Hoogleeraar in ijk Facultkit der Godgeleerdheid
volgens besluit van den senaat der universiteit \'

Bij de voltooiing van dit proefschrift, is het mij een aange-
name taak, U, Hoogleeraren en Oud-Hoogleeraren in de Facul-
teit der Wis- en Sterrekunde mijn welgemeenden dank te
betuigen voor het onderwijs, van U ontvangen.

In het bijzonder geldt mijn dank U, Hooggeleerde Julius,
Hooggeachte Promotor. Dat ik, bij den tweesprong, het pad
der zuiver theoretische astronomie heb verlaten om mij te
wagen op dat der zonnephysica, is vooral geschied onder den
indruk van Uw fraaie resultaten op dit gebied. Uit Uw werk
en later ook uit de gesprekken met U, waartoe Gij steeds zoo
welwillend bereid waart, is mij steeds duidelijker geworden
hoe rijk aan ongedachte mogelijkheden dit gebied is — maar
tevens hoe ontzaggelijke moeilijkheden iedere stap vooruit met
zich brengt. En dit is voor mij de groote winst van dezen arbeid
geweest, dat Gij mij geleerd hebt, hoe, door geduldig overleg,
aanvankelijk onoverkomelijk schijnende bezwaren te overwinnen
of te ontzeilen zijn, hoe hier als overal geldt: arbeiden, niet
vertwijfelen.

Hooggeleerde Nijland, dat Gij het door mij ingeslagen pad
niet het „verkeerde" pad zult noemen, ook al voert het af
van die deelen der sterrekunde, die Uw bijzondére belang-
stelling hebben, daarvan hebben Uw veelzijdige colleges mij
ten volle overtuigd. Dat het mij vergund is geweest ze bij
te wonen, zal ik steeds als een voorrecht blijven beschouwen.

Van alle overige colleges hebben die van U, Hooggeleerde
Kapteyn en Derye wel het meest tot mijn academische vorming
bijgedragen. Vergun mij er U op deze plaats openlijk mijn
blijvende dankbaarheid voor te betuigen.

Zeergeleerde van der Bilt, dat Gij steeds bereid waart mij
bij te staan met uw kennis en uw bibliotheek, daarvoor blijf
ik U zeer erkentelijk.

En tenslotte mag uw naam, Hooggeleerde van Uven hier
niet ontbreken. Dagelijksch, zelf voor de klas staande, her-
denk ik dankbaar Uw altijd even bezielde als bezielende lessen.
Van U leerde ik, dat lesgeven in de eerste plaats is: zich zelf
geven — en zou dit misschien niet de belangrijkste les zijn,
die voor den docent te leeren valt?

In 1531 maakte Apianus de opmerking, dat de staart van
een komeet altijd van de zon afgekeerd is. Oin dit te ver-
klaren stelde Kepler \') in 1618 de hypothese op, dat het
zonlicht een afstootende werking op de deeltjes van een
kometenstaart uitoefent en was daarmee de eerste in een
lange reeks van physici, die stelling namen in den strijd over
het al dan niet bestaan van een druk tengevolge van de
bestraling van een lichaam, een strijd, die voortduurde totdat
in onze dagen zoowel theoretisch als experimenteel de stralings-
druk is aangetoond.

Na Kepleu was Homberg²) (1708), de eerste die meende
experimenteel liet bestaan van een lichtdruk bewezen te hebben,
door het constateeren van afwijkingen, die lichte, aan een draad
opgehangen voorwerpen vertoonden, wanneer hij er een
sterken lichtbundel op liet vallen.

Zijn proeven werden tegen \'t midden van de 1S° eeuw
herhaald door de Mairan ¹) en du Faye — ditmaal met negatief
resultaat.

In 1770 verbeterde Michell ²) de methode van du Faye
o. a. door gebruik te maken van spiegelafiezing. Hij meent

1 \') J. Kepler. Principia mathematica I. 3 Trop. 41.
») Homberg. Histoire de l\'Acad. 1708. p. 21.

^s) de mairasr. Traité physique et historique do l\'Aurore. Boréale
(seconde édition) p. 371, Paris 1754.

tot een reëel effect te mogen besluiten, ofschoon hij moest toe
geven dat thermische werkingen bij zijn proeven niet met
absolute zekerheid waren buitengesloten.

Voor al de genoemde onderzoekers was lichtdruk een effect,
dat zij a priori moesten verwachten, aanhangers als zij waren
van de emissietheorie. Bennet en Young ¹) herhaalden in
het begin der 19^e eeuw de proefnemingen met de grootste
nauwkeurigheid en voerden hun negatief resultaat aan als
een argument • tegen de emissietheorie en ten gunste van
de undulatietheorie van Huygens. Dit is merkwaardig, daar
reeds in 1748 Euler ²) op grond van analogieën tusschen
undulatietheorie en akoustiek theoretisch het bestaan van een
lichtdruk bewees.

Niet gelukkiger was ook Fresnel ³) die in 1820 over het
onderwerp experimenteerde.

In 1872 toonde echter Maxwell ⁴) aan, dat uit de verge-
lijkingen der electro-magnetische lichttheorie het bestaan van
stralingsdruk onvermijdelijk volgt; terwijl eenige jaren later
Bartoli ⁵) (1876) en Boltzmann ⁶) (1884) hem zuiver therino-
dynamisch, zonder gebruik te maken van eenige bijzondere
hypothese over het mechanisme der straling hebben afgeleid.

Ten slotte liet lord Rayleigh ⁷) zien, dat een dergelijke druk
bij elke golfbeweging moet optreden o.a. bij het geluid, waar
hij dan ook ook reeds in 187G experimenteel gevonden was
door Dvorak ⁸).

Ofschoon sedert ± 1880 aan het bestaan van den stralings-
druk theoretisch niet langer getwijfeld kon worden, bleven

5 ) A. Bartoli. Sopra imoviruenti produtti della luce e del colore (1876)
Nuovo Cim. (3) 15 p. 193 (1884); Repert. de Physik 21 p. 198 (1885).

alle pogingen van Bartoli, Zöllner \'), Grookes ¹) e.a. hem
ook proefondervindelijk aan te toonen, onvruchtbaar.

Het eerste experimenteele, zij \'t ook indirecte bewijs heeft
men in de proeven van Lummer en Pringsiieim¹⁵) over de straling
van een absoluut zwart lichaam. Boltzmann²) bewees n.1. dat
uit de tweede hoofdwet en de stralingswet van Stefan de door
Maxwell berekende waarde van den stralingsdruk volgt. Daar
Lummer en Pringsheim deze wet van Stefan nu experimenteel
volkomen bevestigd vonden, volgde hieruit tevens indirect het
bestaan van den stralingsdruk.

Eerst aan de geniale experimenteerkunst van Lebedew³) ge-
lukte het in 1899 den stralingsdruk direct aan te toonen,
terwijl twee jaar later ook Nigholls en Hull⁴) hierin slaagden.

Belangrijke theoretische onderzoekingen over het bedrag van
den stralingsdruk op voorwerpen van zéér kleine afmetingen
zijn verricht door Sciiwarzschild ⁵) en Debye ⁶) naar aanleiding
van werk van Arrhenius ^<j) waarover wij nog te spreken zullen
hebben.

Ten slotte moet nog vermeld worden dat Lededew⁷) in 1910
erin geslaagd is het effect van lichtdruk op gassen te meten
en dit binnen de grenzen van het experiment in overeen-
stemming heeft gevonden met een door Fitzoeralu ^u) gegeven
formule.

3 ⁸) P. Lebedew. llapp. prés, au congrès de phys. 2 133—140 Paris
(1900); Ann. d Phys. G 433-458 (1901).

5 \') K. Schwarzsciiild. Sitz. Ber. d. Kön. Bayer. Akad. d. Wiss. Math.
Phys. Kl. 31 293-338 (1901).

7 ) P. Lebedew. Ann. d. Phys. 32 p. 411 1910.
") Fitzgerald Proc. Roy. Dublin Soc. 3 p. 344 1883.

§ 2. De stralingsdruk is evenredig met de intensiteit der
straling. Op grooten afstand van de zon neemt hij dus
1

De druk dien de zonnestraling op 1 c.M.² van een absoluut
z wart oppervlakopaarde uitoefent, bedraagtslechts 0.00000005 gr.
zoodat het geen verwondering behoeft te verwekken, dat het
zoo lang geduurd heeft, eer dit minimale bedrag proefonder-
vindelijk geconstateerd kon worden.

Vragen wij ons af, in hoeverre de grootte van den stralingsdruk
vergelijkbaar is met de aantrekking, door de zon uitgeoefend.
1 c.M.³ water waarop de aarde werkt met een kracht van 1 gr. wordt

de massa\'s van aarde en zon voorstellen, r de straal van de
aarde R de zonsafstand. Die kracht bedraagt 0.0006 gram;
zij is dus 12000 maal grooter dan de stralingsdruk op een
zijvlak. Vergelijkt men echter de beide werkingen op 1 m.M.³water waarbij de stralingskracht 100 maal kleiner maar de
zwaartekracht 1000 maal kleiner is, dan wordt de verhouding
nog slechts 1200; voor een waterkubus van één micron zijde
is zij 1.2 en heft derhalve de invloed van den stralingsdruk
dien der graviteit reeds op, terwijl nog kleinere deeltjes zelfs
zullen worden afgestooten door de zon.

Arrhenius berekende dan ook dat voor een totaal reflec-
teerend voorwerpje met soortelijk gewicht 1 en een straal
van 0,00008 m.M. de lichtdruk de graviteit ongeveer 10 maal
overtreft, zoodat het aannemelijk is, dat zelfs de grootste
waarden van de afstootende kracht, die volgens de onder-
zoekingen van Bredighin ²) moeten worden aangenomen ter
verklaring der waargenomen krommingen van kometenstaarten,
bereikt kunnen worden.

Intusschen houdt de eenvoudige evenredigheid tusschen
stralingsdruk en bestraald oppervlak op te bestaan wanneer

") Bredichin A. N. 95 p. 15. Mechanische Untersuchungen iiber
Cometcnformen (1903) (Leipzig).

de afmetingen der lichaampjes vergelijkbaar worden met de
golflengten van het opvallend licht; bij deeltjes van moleculaire
afmeting overweegt weer de graviteit op den lichtdruk ¹).

Ofschoon men in den lichtdruk dus een kracht moet zien,
die in sommige gevallen de zwaartekracht vele malen kan
overtreffen, is het opmerkelijk dat men hem nog nagenoeg
niet te hulp heeft geroepen bij het verklaren van kosmische
verschijnselen.

Tot voor kort was Sv. Arrhenius ²) de eenige, die, anders
dan in korte aanduidingen, wees op mogelijke toepassingen.

Behalve van de gedaante der kometenstaarten, meent hij
de verklaring van nog een groot aantal andere, tot dusver
onopgeloste problemen als: structuur der corona, Noorderlicht,
ja, zelfs het ontstaan van \'t leven op aarde! te kunnen geven
door den lichtdruk te hulp te roepen.

Wij zullen hem op dit vrij speculatieve gebied niet verder
volgen, maar liever overgaan tot andere beschouwingen, waarbij
men zeker ook alle reden heeft, rekening met den lichtdruk
te houden. Dit is n.1. het geval bij onderzoekingen betref-
fende den structuur van de zon en in \'t algemeen van gas-
bollen, die hooge temperatuur bezitten.

Op den belangrijken rol, die de stralingsdruk spelen moet
bij het onderhouden van den stationairen toestand, waarin
zich de zonnegassen bevinden, is het eerst gewezen door
W. H. Julius ³) in 1906. Velerlei overwegingen hadden hem
er n.1. toegeleid, het waarschijnlijk te achten, dat de licht-
verdeeling op de zonneschijf in hooge mate afhankelijk is van
zeer onregelmatige kromming der lichtstralen in de zonnegassen,
en dat dus in de buitenste deelen der zon (ook beneden de
fotosfeeroppervlakte) de dichtheid varieert met gradienten in
alle mogelijke richtingen.

De vraag deed zich toen voor of de radiale dichtheids-
gradient, veroorzaakt door de zwaartekracht, daarbij al of niet

van overwegende beteekenis moet worden geacht. In de aard-
sche atmosfeer is dit zeer zeker wèl het geval; maar men kan
niet direct, naar analogie van hetgeen hier wordt waargenomen
een schatting maken van de waarschijnlijke verhouding tusschen
radicale en onregelmatige gradienten in de zon. „Een voor-
name oorzaak, waardoor dit voorshands onmogelijk is, ligt in
onze onbekendheid met de grootte van den invloed, dien de
stralingsdruk, uitoefent op de stofverdeeling in de zon. Was
er geen stralingsdruk, dan zou men mogen vooropstellen (zooals
steeds geschiedt) dat ter hoogte van de fotosfeer de zwaartekracht
bijna 28 maal zoo groot is als op aarde; maar zij wordt tegen-
gewerkt door den stralingsdruk in een mate, afhankelijk van de
grootte der deeltjes; zij kan daardoor zelfs voor sommige deeltjes
geheel worden opgeheven. Het radiale dichtheidsverval moet dus
in ieder geval veel kleiner zijn dan men, op grond van graviteit-
werking alléén, geneigd mocht zijn te berekenen" ¹).

Uitgaand van optische gegevens komt Julius dan tot de
conclusie, dat het radiale dichtheidsverval op de zon ongeveer
50 maal kleiner is dan in onzen dampkring, zoodat de rela-
tieve waarde der onregelmatige gradienten daar veel grooter
kan zijn dan hier. Het scheen hem daarom geoorloofd aan
te nemen dat op de zon dichtheidsgradienten van vergelijkbare
orde van grootte in alle mogelijke richtingen worden aange-
troffen. In het feit nu, dat inderdaad vele zonneverschijnselen
op eenvoudige wijze kunnen worden uitgelegd als gevolgen
van straalbreking bij zulke onregelmatige gradienten, ziet Julius
een indirecte bevestiging van het denkbeêld, dat op de zon
de graviteit sterk wordt tegengewerkt door den stralingsdruk
(en door den druk van uitgezonden electronen, zie: Handwörter-
buch d. Natürwissensch. VII p. 828 (1912)).

Ook waarnemingen van Fenyi ²) omtrent rustende protube-
ranties, schijnen slechts verklaard te kunnen worden als men
aanneemt, dat de uitwerking der zwaartekracht tot op hoogstens
¹/si van haar ongestoord bedrag is teruggebracht.

Herinneren we ons verder, dat door Lebedew proefonder-
vindelijk is aangetoond het bestaan van een merkbaren stra-
lingsdruk op gasmoleculen, samenhangend met het absorptie-
vermogen, dan is het wel duidelijk dat bij berekeningen
aangaande evenwichtstoestanden van kosmische gasbollen de
belangrijke invloed van den stralingsdruk niet mag worden
verwaarloosd.

Hieruit vloeien ernstige bedenkingen voort, o.a. tegen het
overigens buitengewoon suggestieve en fraaie werk van R.
Emden: „Gaskugeln", waarin de eigenschappen van polytrope
gasbollen worden ontwikkeld en toegepast op de physica van
de zon, echter zonder dat over krachten, die de graviteit
zouden kunnen tegenwerken, ook maar met een enkel woord
wordt gerept.

Evenmin heeft Bigelow *) in zijn uitvoerige studies over de
thermodynamica der zonneatmosfeer den stralingsdruk opge-
nomen onder de hoofdfactoren, die het evenwicht bepalen.

De eerste, die een speciaal onderzoek heeft ingesteld naar
den invloed, dien de stralingsdruk hebben moet op den phy-
sischen toestand van sterren is Eddington ²) geweest.

Zijne onderzoekingen, waarover later nog uitvoeriger ge-
sproken moet worden, hebben voornamelijk betrekking op
„giant stars" met geringe dichtheid en hooge temperatuur.
Op dwergsterren als onze zon is \'t effect van den stralings-
druk volgens hem niet van beteekenis. Dit mag waar zijn
voor de resultaten, die slaan op de zon als geheel genomen
en speciaal voor de binnenste dichtere lagen — in de buitenste,
waarvoor trouwens de vergelijkingen van Eddington hun gel-
digheid verliezen, moet een effect van den stralingsdruk zonder
twijfel bestaan. Waar al onze waarnemingen uit den aard
der zaak betrekking hebben op juist deze buitenste lagen,
lijkt het loonend na te gaan in hoe ver het bestaan van dèn
stralingsdruk invloed kan hebben op onze interpretatie der
geobserveerde verschijnselen. In het volgende moge men een
eersten stap in de aangegeven richting zien.

§ 3. R. Emden behandelt in zijn werk „Gaskugeln" den
bouw van gasbollen onder invloed van Newtonsche attractie.
Daarbij gaat hij uit van de volgende veronderstellingen:

De gassen, waaruit hij zijn gasbollen. opgebouwd denkt
zullen ideale gassen zijn, dus:

A. de energie is door de temperatuur ondubbelzinnig be-
paald of, hetgeen op \'t zelfde neerkomt: de specieke warmte
bij constante volume (C„) hangt niet van druk en volume af;

waarbij p de druk in dynen is, v het volume van 1 gr, T de
absolute temperatuur en H de gasconstante R gedeeld door
het moleculair gewicht is;

Met behulp van deze veronderstellingen kan men dan ge-
makkelijk de differentiaalbetrekking

Behalve de toestandsvergelijking (1) moet nu ook nog de
vergelijking van toestandsverandering vastgelegd worden d. i.
de vergelijking, die aangeeft hoe de op elkaar volgende toe-
standen van het gas met elkaar in verband staan; dus of
wij b.v. met isotherme processen te maken hebben dan wel
met adiabatische of nog andere. Ten éinde zich niet te

binden aan één gegeven toestandsverandering, voert Emden
de zoogenaamde „polytrope toestandsveranderingen" in, waar-
door het mogelijk blijkt een oneindigheid van toestanden in
formeel opzicht samen te vatten tot één uitdrukking.

Over deze „polytropen" moeten wij een enkel woord zeg-
gen, daar zij bij zuiver physische verhandelingen nog minder
gebruikelijk zijn niettegenstaande hun groote beteekenis voor
tal van thermodynamische problemen.

Zooals bekend is geeft de toestandsvergelijking (1) een be-
trekking tusschen p, v (p) en Ti, die altijd en overal vervuld moet
zijn. Wij zouden haar kunnen voorstellen door een oppervlak,
maar zullen hier liever gebruik maken van de gewone voorstelling
in \'t pv-diagram, waardoor aan elk punt van het pv-vlak op
ondubbelzinnige wijze een temperatuur wordt toegevoegd.

De vergelijking van de toestandsverandering kan in het
pv-vlak door een kromme worden voorgesteld, die wij als
den weg van het gas zullen aanduiden.

Door Emden worden nu speciaal veranderingen van het gas
beschouwd op wegen, die polytropen heeten en die gedefinieerd
kunnen worden als omkeerbare wegen van constante warmte
capaciteit. Hun vergelijking kan in één der drie vormen:

te specifieke warmte bij constanten druk en constant volume
voorstellen, y de warmte capaciteit bij een willekeurige warmte
gedefinieerd door

de hoeveelheid warmte voorstelt, die men toe moet voeren
om de temperatuur met d T te verhoogen bij constante waarde
van y.

Als bijzondere gevallen kan men onderscheiden de wegen:
T = constant k = 1 of y—± oo (isotherm)
v\\ = constant k = n y = 0 (adiabaat)

p = constant k = 0 y = c_p (weg v. const. druk)
v = constant k = oo y — c₀ (weg v. const. volume).

Elke waarde, die wij aan y toekennen, bepaalt dus een
schaar van wegen. Ten einde deze onderling te kunnen
onderscheiden voert Emden eene nieuwe grootheid in, die hij
„polytrope temperatuur" noemt en op navolgende wijze
definieert:

In het pv-vlak denken wij op de plaats v = 1 (^ = 1) een
loodlijn opgericht en zoeken het snijpunt der polytroop met
deze lijn op. Door dit punt gaat natuurlijk een isotherm,
die de tot dit punt behoorende temperatuur T bepaalt. Deze
tomperatuur noemen wij de polytrope temperatuur van expo-
nent k (aangeduid door ®k ) en komen daarmee tot deze
definitie:

De polytrope temperatuur (-)/, van een gasmassa in een be-
paalden toestand is die temperatuur, die het gas aanneemt wan-
neer het uit den gegeven toestand langs een polytroop van exponent
k op een dichtheid 1 gr. jl c.M³. gebracht wordt.

Is de toestand b.v. gegeven door pi en pi dan is de door
dit punt gaande polytroop der klasse k:

Als bizonder geval van polytrope temperatuur zullen wij
onderscheiden de adiabatische temperatuur. 0, die het gas
aanneemt als het langs een adiabaat op de dichtheid 1
gebracht wordt.

Het voordeel van het invoeren van deze polytrope tempe-
raturen bestaat in het feit dat zij — zooals uit de definite
volgt — voor den geheelen polytroop constant zijn, doch
van den eenen op den anderen veranderen.

Met behulp van 0k kan men zeer eenvoudige betrekkingen
afleiden tusschen p, p en T en wel:

§ 4. Zij in een gasbol met straal R de massa zoo geordend
dat de dichtheid p enkel functie van den afstand tot het
middelpunt (r) is, dan geldt voor den evenwichtstoestand
de differentiaalbetrekking:

de versnelling van de zwaartekracht naar het centrum voor-
stelt en G de graviteitsconstante is.

„Een gasbol kan in evenwicht zijn, hoe de dichtheid langs
den straal ook varieert."

In het volgende willen wij nu gasbollen onderzoeken, die
zoo geconstrueerd zijn, dat, als wij langs den straal voort-
schrijden, wij gasmassa\'s aantreffen in continu op elkaar vol-
gende toestanden, die alle op denzelfden polytroop liggen.

Een dergelijken, in polytroopevenwicht verkeerenden gasbol
zullen wij met Emden een polytropen gctslol noemen. Om de
differentiaalvergelijking hiervan te vinden schrijven mij eerst (9)
in de gedaante:

Wij moeten dus nu de voorwaarde invoeren dat onze gas-
bol in polytroop evenwicht verkeert, m. a. w. dat:

Ten slotte voeren wij nog in de grootheden u en n, die
wij definieeren door de vergelijkingen:

De hier gedefinieerde grootheid u staat in eenvoudig ver-
band met T en p en wel, zooals uit (16) en (18a en b) on-
middellijk volgt, is

Dit naar r differentieerend komt er
d

De vergelijking (15) geldt voor alle waarden van u behalve
n=Go(k=l) waarmee het isotherme geval, dat ons hier
niet verder interesseert, correspondeert. In gesloten vorm is
zij slechts te integreeren voor de gevallen n = O en n = 1.
Deze geven:

Voor alle andere gevallen moet men zijn toevlucht nemen
tot mechanische kwadraturen. Aangezien de vergelijking van
de tweede orde is, treden in de oplossing dus twee constanten
op, die bepaald moeten worden uit de begin voorwaarden.
Een dezer voorwaarden volgt vanzelf uit den aard van ons

De tweede voorwaarde is echter nog geheel willekeurig en
zou o.a. kunnen bestaan in het aannemen van een bepaalde
waarde van u (dus van p, T en p) in het middelpunt of in
de formule

(alle grootheden, die op het middelpunt betrekking hebben
zullen wij een index 0 geven).

n = 1

dus n, x en Uo willekeurig moeten kiezen m. a. w. een keus
doen uit de co³ polytrope gasbollen, die bestaanbaar zijn.
Om eenig idee te krijgen van cle manier, waarop de gevonden
oplossing van de grootheden n, a? en Uo afhangt zou men dus
heel wat numerisch werk te verrichten hebben. Gelukkig is
het evenwel mogelijk dit werk tot op een derde te vermin-
deren. De vergelijking (15) kan n.1. getransformeerd worden
tot een soortgelijke waarin <x² — 1 en die tot beginvoor-
waarden heeft:

Uit de oplossingen dezer getransformeerde vergelijking vol-
gen die der oude onmiddelijk, zoodat wij de berekening nu
alleen voor een aantal waarden van n te verrichten hebben.
Deze transformatie gaat als volgt:
Stel eerst:

De tabel, die berekend werd met behulp van de methode
van Kutta ^J), laten wij voor n = 3 (k = ⁴/₃) volgen, daar wij
deze later nog noodig zullen hebben; voor de overige waarden
zij verwezen naar het oorspronkelijk werk van Emden p. 78-90.

Behalve de algemeene oplossingen voor n = 0 en n = 1
gelukte het Emden ook voor n = 5 een oplossing te vinden
bij de beginvoonvaarden (21). Deze luidt:

op te lossen voor eenige waarden van n.
Dit heeft Emden gedaan voor de waarden:

Wij kunnen er niet aan denken de even vernuftige als
fraaie discussie, die Emden van de gevonden differentiaal-
vergelijking geeft verder te volgen. Alleen moeten hier
— overigens zonder bewijs — nog eenige formules vermeld
worden, die Emden heeft afgeleid en die wij in het vervolg
noodig zullen hebben.

\') Kutta, Zeitschr. fur Math. und Phys. Bd. 40. p. 435 (zio ook:
Gaskugeln p. 92—95).

Hierin is: r de afstand tot het middelpunt; R de straal
van den gasbol (deze wordt gevonden uit den eisch, dat aan
den omtrak van den bol p, p en T (dus u) nul zullen zijn —
M stelt voor de massa besloten binnen den bol met straal r,
Cl de waarde van de gravitatie potentiaal op een afstand r
van het middelpunt, p de gemiddelde dichtheid van de massa,

en evenzoo g de gemiddelde waarde van g langs de straal
tot aan de plaats r, dus

Met behulp van deze formules kunnen wij den bouw van
een gasbol nagaan als wij getalwaarden aannemen voor de
verschillende optredende constanten. Hierbij moet dan o.a.
een veronderstelling gemaakt worden over u₀, terwijl de waarde
van tx? hieruit bepaald kan worden. Dit is de manier, die
Emden volgt in de voorbeelden van hoofdstuk VI p. 95—105.
Voor ons doel zal het meestal anders zijn, a² zullen wij n.1.
bekend veronderstellen terwijl wij u₀ niet van te voren aan-
nemen. De gang der berekening wordt dan deze:

waarbij ui de waarde is, die de tabel voor ri geeft, waarmee
de karakteristieke grootheden bekend zijn.

Ten einde de beschouwingen van Emden, genoemd in het
voorgaand hoofdstuk, uit te breiden door naast de kracht
der graviteit ook den stralingsdruk in de lliermodynamische
vergelijkingen in te voeren, moet aangegeven worden welk
verband bestaat tusschen dezen druk en de energie dei-
straling, die dezen druk bewerkt. Dit is geenszins eenvoudig.

Wanneer op een onbegrensd, zwart lichaam per secunde
een totale hoeveelheid stralingsenergie S per c.M². valt, wordt
hierop een druk D uitgeoefend, die volgens een bekende
formule is:

Met dit geval hebben wij helaas niet te maken. De gas-
moleculen, die den druk ondergaan, zijn ten eerste niet on-
begrensd uitgebreid, maar integendeel van afmetingen, die
zelfs kleiner zijn dan de golflengte van de opvallende straling
en ten tweede mogen zij niet als absoluut zwart beschouwd
worden. De formule (28) is dus zeker niet van toepassing.

Beter te gebruiken voor ons doel is wellicht de formule,
die door Fitzgekald \') gegeven en door Lehedew ²) experi-
menteel getoetst is bij mengsels van waterstof en koolwater-
stoffen, welke luidt

\') Proc. Roy. Dublin Soc. 3 p. 344. 1883.
^s) P. Lebedew, Ann. d. Phys. 32 p. 411. 1910.

waarin weer S de hoeveelheid stralingsenergie is van alle
golflengten, komend uit alle richtingen, die per secunde op
1 c.M². valt, c = 3 X 10¹⁰, [x \'t breukdeel der energie geab-
sorbeerd door 1 c.M³.

Toch stelt ook (29) den stand van zaken alleen maar juist
voor bij betrekkelijk groote dichtheden van het gas. Wanneer
de dichtheid zoo gering wordt, dat de verschillende moleculen
elkaar nagenoeg niet meer beinfluenceeren, krijgen wij te
rekenen met stralingsdruk, veroorzaakt door intramoleculaire
absorptie en dan is het proces veel te ingewikkeld om door
één enkelen parameter p juist voorgesteld te kunnen worden.

Indien slechts bij moleculen nog zin gehecht kon worden
aan begrippen als: brekingsindex, dielectriciteitsconstante e.d.
zou men de formule

Voor één molecule verliezen grootheden als <r\\ s etc. echter
allen zin en mag (30) noch (31) gebruikt worden.

Het eenige wat overblijft is een andere formule, die door
Debye in hetzelfde artikel is afgeleid en die geldt voor een
dipool met eigen golflengte A₀.

S (a) — energie der straling van golflengte a vervoerd
door \'n stralenbundel van 1 c.M². doorsnede in 1 sec.
<r = dempingscoöff.
a₀ = eigengolflengte van dipool.
/3 = een hoek, gedefinieerd door:

Wanneer <r klein is — en dit is steeds het geval — volgt
uit (3 4) bij benadering

Voert men dit in (33) in en merkt tevens op, dat een dipool
slechts meetrilt voor stralen, wier golflengten in de onmiddel-

Wanneer wij ten slotte elke lijn uit \'t spectrum van zeker
element opvatten als ontstaan door eigen trillingen van den
dipool, die het molecule a. h. w. representeert, komt er:

Vermoedelijk doen wij het best de formule van Fitzgerald
toe te passen in de diepere en dus dichtere deelen van de
zon, waar de moleculen zoo dicht op een zijn, dat zij niet
langer als onafhankelijk van elkaar stralende dipolen mogen
worden opgevat, die één of althans slechts enkele trillingen kun-
nen uitvoeren, maar waar zij eikaars bewegingen zoodanig bein-
fluenceeren dat een continu spectrum wordt uitgezonden,
waar — om \'t met één woord te zeggen — wij mogen
rekenen met zwarte straling.

In de buitenste, ijlere deelen van de zon daarentegen zal de for-
mule (37) van Debye waarschijnlijk de beste resultaten opleveren.

§ G. Stralingsdruk in een willekeurig punt P van de zon.
Een willekeurig punt P ergens binnen de zon gelegen, ont-
vangt straling van alle kanten en ondergaat dus een stralings-
druk D naar alle richtingen. Uit symmetriegronden is on-
middelijk in te zien, dat de resultante van al deze drukkingen
radiaal moet zijn.

Deze radiale resultante, die dus tegengesteld aan de zwaarte-
kracht werkt, zullen wij voortaan bedoelen met den stralings-
druk in P en noteeren als I)_t.

Om haar t(? bepalen, moeten wij allereerst onderzoeken,
hoe groot de intensiteit is der straling in radiale richting, die
P treft.

Het is duidelijk dat deze, ondermeer, zal afhangen van de
absorptie en diffusie in de zonneatmosfeer.

Al naar de eerste of tweede factor overweegt, moeten wij
een anderen weg inslaan bij de bepaling van D_r.

Ofschoon de onderzoekingen van Schartzsciiild, \') Defant, ²)
Julius,³) Spijkerboer,⁴) v. Cittert ⁵) e. a. voor de zonne-atmosfeer
overtuigend bewezen hebben, dat de diffusie verreweg den
belangrijksten rol speelt, zoodat men zelfs de absorptie in
eerste instantie — althans in de buitenste lagen — mag
verwaarloozen, zullen wij toch aan de behandeling van
dit geval vooraf laten gaan dat der uitsluitende absorptie,
aangezien Eddington zich bij zijn beschouwingen op dit stand-
punt heeft gesteld⁰) en het de moeite loont zijn resultaten
nog eens langs een van den zijnen verschillenden weg te
controleeren.

Ten einde dan in het punt P, gelegen op een afstand r van
het middelpunt der zon, den component in radiale richting
op te maken van alle straling, die P treft, vragen wij voor-
eerst naar den stralingscomponent in radiale richting dei-
straling, die P bereikt van uit één volume element d T = £ d £
sin cp d cp d a, gelegen op een afstand £ van P, aannemend
dat hiervan een stralingsintensiteit S per massa eenheid
uitgaat, gelijkelijk naar alle richtingen. (In de laatste onder-
stelling komt dus tot uiting dat van diffusieëffecten afge-
zien wordt).

\') K. ScinvARZsCHiLD. Uber Diffusion u. Absorption otc. Sitz. Bcr.
d. Berl. Akad. 1914.

\') A. Defant, Uber Diffusion u. Absorption etc. Sitz. Ber. d. Akad.
Wicn. 1910.

In M. N. 77 (1916) p. 25 onderzocht E. weliswaar hoe zijn verge-
lijkingen gewijzigd worden door bijkomende verstrooiing, maar hij stelt
zich daarbij op ^Jt zeer elomentairo standpunt dat uitsluitend verstrooiing
in twee tegenovergestelde richtingen plaats heeft en ziet bij zijn verder
onderzoek geheel van verstrooiing af.

£ heeft doorloopen door een gas van de dichtheid p met een
specifieke extinctieconstante yt, wordt gegeven door

In \'t geval van een bolvormigdivergeerenden lichtbundel,
zooals hier, wordt de formule

Als (x de specifieke extinctieconstante is, wordt de absorptie-
coëfficiënt, d. i. de breuk, die aangeeft \'t hoeveelste deel der
straling geabsorbeerd is bij den doorgang van een cylinder
van 1 c.M. lengte, waarbinnen de dichtheid p heerscht, en
die wij noteeren zullen als ft, blijkbaar gegeven door:
(u, = 1 -- e — P

Als wij mogen aannemen *) dat voor elke richting absorptie
gelijk aan emissie is, zal het volume-element dr in de gekozen
richting emitteeren: ft S d r en dus in P een bijdrage aan
straling in radiale richting leveren van:

De algebraische som van al deze componenten, komende
uit alle elementen d r van waaruit nog straling tot P door-
dringt, geeft de overmaat van bestraling in radiale richting
aan, de grootheid, waarmede volgens de formule van Fitzgerald
de stralingsdruk in P evenredig moet worden gesteld.

\') Dit schijnt wel do beteekenis te zijn van de min of meer zonderling
aandoende uitspraken van Eddington M. N. p. 17: «the emissive and
absorbing powers of n substance are equal» en p. 18: «since the absorbing
and emissive powers of a substnnce are nccessarily equal....»

" 7TÏ

waarbij de integratie 1 betrekking heeft op alle punten links,
2 op alle punten rechts van P gelegen.

De grootheid p is op niet \'al te groote afstanden niet sterk
veranderlijk. Laten wij een gemiddelde waarde p invoeren
gedefinieerd dOOl-

Voor groote waarden van £ wordt deze factor al spoedig
zeer klein, m. a. w. alleen punten, die op niet al te grooten
afstand £ van P verwijderd zijn, leveren nog een merkbare
bijdrage aan straling in P op.

Voor niet al te groote afstanden mag p zeker als constant
beschouwd worden, terwijl dan tevens bij benadering:

wanneer S₀ de waarde van S in P beteekent.
Met deze beperking valt de integraal J uiteen in:

Hierbij is verondersteld, dat de integratie over £ alleen
over de naaste omgeving van P zal plaats hebben. Maar
aangezien de verder verwijderde punten toch geen bijdrage
meer geven voor de waarde van de integraal, ten gevolge
van de geringe waarde van den factor e — mogen wij
zonder bezwaar integreeren van £ = 0 tot £= co, zonder iets
anders te vinden dan als wij uitsluitend over de naaste om-
geving van P hadden geintegreerd.

Bij afwezigheid van diffusie geeft de formule v. Fitzgerald
voor den stralingsdruk D_r in P dus:

§ 7. Nadere beschouwing der formules (39) en (40). Bij de
afleiding van (39) en (40) moesten wij nog al eenige benade-
ringen invoeren. Daar op deze formules de verdere ontwik-
kelingen voor het geval wij de diffusie verwaarloozen, moeten,
gebazeerd worden, is het gewenscht haar geldigheid en be-
teekcnis nauwkeurig na te gaan.

Alles berust in laatste instantie op de veronderstelling, dat
buiten een niet te grooten afstand de factor e — ** p £ prac-
tisch gelijk nul mag gesteld worden, zoodat de integralen («)
en (b) van pag. 25 en 26 tusschen do grenzen 0 en £ ge-
nomen mogen worden. Daarbij wordt met, „niet te groote"
afstand £ bedoeld een afstand waarbij nog geldig blijft:

Helaas is het moeilijk een juist oordeel over deze grootheid
te vormen. Wij zijn aangewezen op min of meer plausibele
schattingen, maar welen ten slotte nóch van fx, nóch van p
de juiste waarde.

Emden ¹) geeft voor de aardatmosfeer op: [x — 0.2, waarbij
als lengte eenheid 1033 c.M. genomen is; herleidt men dit
tot \'t G. G. S. stelsel dan zou _tx = 0.0002 zijn.

Overigens is het gemakkelijk in te zien, dat (x geen con-
stante waarde kan hebben. Voor elk element heeft [x een
eigen waarde. Op verschillende diepte zal de totale /x, die
wij in de formule gebruiken dus een andere zijn, afhankelijk
van de samenstelling van \'t gasmengsel daar ter plaatse.
Verder moet ;x ook afhangen van de temperatuur (en dus
van r) — wij kunnen ons absorptie in een gas immers
moeilijk anders voorstellen dan als gebonden aan de spec-
traallijnen.

Bij de nog sterk uiteenloopende waarden voor /x, die men
opgegeven vindt, moeten wij een keus doen. Om later nog
te vermelden redenen komt het mij \'t best voor ons aan de
orde van grootheid van Emden te houden, dus [x = ± 0.0001
a 0.001 C. G. S. eenheid te rekenen, onder voorbehoud dat deze
waarde eventueel te klein zal kunnen blijken.

Wat p betreft — er kan geen twijfel aan bestaan, dat deze
grootheid van de buitenste lagen der zon af, waar zij praktisch
nul is, naar binnen toe gaandesveg moet aangroeien. De waarde
van [xp — ook al is zij in de buitenste deelen nog zeer klein —
zal in de diepere lagen, waarover onze beschouwingen juist
loopen, grooter worden zoodat wij mogen verwachten ergens
een zone te zullen aantreffen van waar af de opgestelde formules
geldig zijn.

Emden ²) heeft berekend, dat bij een adiabatischen gasbol
van de grootte en temperatuur van de zon aan de schijnbare

oppervlakte p van de orde 10~³ moet zijn. Verkeert de
gasbol niet. in adiabatisch evenwicht, maar in een polytroop
evenwicht, gekarakteriseerd door de waarde n = 1439 bijv.
dan zou p aan de schijnbare oppervlakte nog 10^-5 zijn.
Bij berekeningen als deze houdt Emden geen rekening met
eventueelen stralingsdruk. Zou men dit wel doen, dan moet
p natuurlijk kleiner uitvallen evenals ook de gradiënt van p
slapper zal zijn. Misschien is het echter toch niet over-
dreven, wannéér wij op een tienduizend K. M. beneden de
fotosfeer aannemen:

< 10 ~ ¹⁶ voor £> 4 10⁸m. a. w. de straling afkomstig uit alle punten, gelegen buiten

straal) om P, geven in P praktisch geen merkbare bijdrage
aan straling meer. Binnen een dergelijken bol nu, mogen wij
de besproken verwaarloozingen ongestraft begaan; terwijl wij
verder ook nog in het oog moeten houden, dat hoe dieper
wij in de zonnemassa doordringen hoe kleiner de grenswaarde
voor d. i. de straal van den bedoelden bol, wordt, hoe
beter de benadering dus geldig is.

Dat onze formule voor zéér kleine waarden van ;xp niet
langer geldig is, ziet men ook nog uil het volgende. Wanneer
p = 0 — m. a. w. wanneer er geen absorptie plaats heeft —
moet de stralingsdruk natuurlijk ophouden te bestaan, als
wij ons n.1., zooals hier, op het standpunt stellen, dat hij uit-
sluitend door absorptie tot stand komt. De formule van
Fitzgeiuld geeft dan ook

Maar volgens (40) zou de resulteerende druk D_r niet tegelijk
met (x verdwijnen, maar naderen tot

uitsluitend toe te schrijven aan het feit, dat (40) voor dit
extreme geval niet langer geldig is, daar de praemissen dan
ophouden juist te zijn.

Nog een ander punt moet overwogen worden. Welke
benadering mogen wij invoeren voor 1—e ^—

^ <10~ ³ is 1 -e~\'"\'\'=[xp dus geldt (40¹).
,x_P) 30 1 — = 1 „ „ (40").

terwijl het voor tusschengelegen waarden gevaarlijk is een
benadering te gebruiken.

De vraag ligt voor de hand: wat zijn de maximale waarden
van [x p, die nog kunnen voorkomen? Het antwoord hierop hangt
nauw samen met deze andere vraag: aan welke gaswet gehoor-
zamen de gassen in het binnenste der zon?

De wet van Boyle, die tot oneindig groote dichtheden moet
leiden is, natuurlijk buitengesloten. Nemen wij als beste wet,
die van v. d. Waals aan, dan is p nog hoogstens 1, zooals
zoowel theoretisch als experimenteel gevonden is. Met de
waarde van Emden voor (x, is dan zelfs in de uiterste gevallen
nog steeds fx p < 10~³ en geldt dus (40¹). Maar zelfs bij grootere
waarden van (x blijft het onwaarschijnlijk dat de benadering
(40") ooit van toepassing zou kunnen zijn.

ziet, als dat bij /x = 0 D_r = — — zou zijn, maar dat dit-
maal juist is en te danken aan het feit, dat het gebied dei-
punten, van waaruit nog straling tot P doordringt, bij \'t toe-
nemen van [x zoo klein wordt, dat binnen dit gebied geen
merkbare differentiatie tusschen \'t deel links en \'t deel rechts
van P meer bestaat.

Reeds meermalen waren wij in de gelegenheid het werk
van Eddington over ons onderwerp te citeeren. Het is hier

de geschikte plaats iets uitvoeriger op dit werk, dat te vinden
is in M. N. 77 (1916—1917) p. 16 en p. 596 en A. J. 48
(1918) terug te komen. Ofschoon Eddington ook in wezen
tot onze formule (40\') komt, zijn er in zijn artikel een aantal
vaagheden, waarop het noodig is te wijzen, aangezien men
anders misschien geneigd zou zijn te gaan denken, dat deze
formule inderdaad regoureus juist is — als hoedanig Eddington
haar meent te mogen beschouwen. En toch is niets minder
waar. De formule (40\') is — zooals wij in de § § 6 en 7
hebben gezien — slechts eene benadering

Eddington beroept zich in zijn inleiding er op, dat hij bij
het probleem in kwestie slechts zeer algemeen geldige natuur-
wetten zal mogen gebruiken — en als één ervan noemt
hij dan (M. N. 77 p. 17)... „the emissive and absorbing po-
wers of a substance are equal...", welke bewering dan ook
even verder gebruikt wordt om de emissie van een volume\'
element op te stellen. Het is absoluut onbegrijpelijk wat hij
hiermee bedoeld heeft, tenzij dan de hypothese, dat, bij een
toestand van stralingsevenwicht, door een elementje dat op
een afstand r van het zonsmiddelpunt afligt, evenveel straling
in een gegeven richting geemitteerd wordt als het straling, uit die
richting komend, absorbeert — maar dit is een vrij gewaagde
hypothese, die zeker niet meer waar zal zijn, ver van \'t middel-
punt af, in geen geval een natuurwet die „nccessarely" waar is.

Verder heerscht groote vaagheid over de grootheid k (de
absorptiecoëfficiënt) M. N. 77 pag. 18 defineert k aldus: „Con-
sider a small cylinder of matter of cross-section dS and with
axis ds in direction 0. The fraction of the radiation absorbed
in this cylinder will be proportional to the density p and
may be set equal to

where k is a coefficient of absorption and represents the ab-
sorption by a cylinder of unit mass and unit cross-section
Assuming that each molecule absorbs independently of the
others, it will make no difference whether the cylinder is
long and of low density, or short and of high density."

een breuk dus. Maar eenige pagina\'s verder vinden wij dat
k = G.2 X 10^G is — welke waaide dan wel is waar „quite
absurd" heet, maar vervangen wordt door „a more reasonable
value of k, say 40." Eddington bedoelt hier nu schijnbaar iets
als onze [x met k. Voor kleine waarden van /x, is inderdaad
1 —e~^,J\'= [x en mag voor de absorptie door een volume
element dr geschreven worden (xpdr, voor groote geldt dit
evenwel niet langer — het heeft dan ook geen zin van k = 40
te spreken bij de definitie, als boven aangehaald, waarbij k
altijd een breuk moet zijn.

Wellicht is de afwijkende waarde van k — k opgevat als
onze /x — welke Eddington genoodzaakt is aan te nemen een
gevolg van het in de formules gebruiken dezer twee verschil-
lende beteekenissen van k.

De beschouwingen van § 12 p. 34—35 verliezen daardoor
hun beteekenis. Toch moet nog even de aandacht er op ge-
vestigd worden, dat Eddington zich, blijkens \'t daar gezegde,
schijnt voor te stellen dat een gas ook merkbaar absorbeert
in deelen van het spectrum, waar géén absorptielijnen voor-
komen — hoe dit mogelijk is blijft een raadsel.

Dat ten slotte toch de gevonden formule overeenkomt met
(40\') moet gezocht worden in \'t feit, dat Eddington zijn redenee-
ring toepast op sterren van zéér geringe dichtheid, waar de kleine
waarde van p maakt, dat voor /x p desnoods ook 1 — e~
mag worden geschreven.

Dit verklaart verder ook ten deele hoe het komt, dat (40\')
als definitieve, niet als benaderde formule optreedt — maar
hiertoe werkt wellicht nog een andere reden mede. Eddington
leidt de formule voor den stralingsdruk op een gas op de
volgende manier af: (M. N. 11 p. 2G).

„The pressure is simply a consequence of absorption or
scattering. A beam of radiation carries a certain forward mo-
mentum, proportional to its intensity; after passing through
a sheet of absorbing medium, a weaker beam ernerges,

carrying proportionnally less momentum; the difference of
incident and emergent momentum is retained by the medium
and constitutes the pressure ....

In the present problem we have an energy % A -f- -g jt B
flowing outwards and jA-j^B flowing inwards across unit
surface, hence the net outward momentum absorbed is
c -Q- 7T B k p d where c is the factor relating the momentum
and energy of a beam. Now the presture on a black body
is numerical equal to the densely of the energy (assumed
isotropic). The densety of the energy at temperature T is aT^l,
where a is the universal constant 7.06 X 10^-15. The outward
flow of isotropic energy across unit surface is T⁴

Tot zoover Eddington. De afleiding is — afgezien van
hetgeen reeds over k werd opgemerkt — zuiver, op óén punt
na. Mag, zonder meer, bij een niet zwart lichaam de stralings-
druk berekend worden als numerisch gelijk aan de energie-

en moet een factor b toegevoegd worden om de afwijking van
een zwart lichaam te verantwoorden. De factor zou dan bijv.
zoo gekozen kunnen worden, dat aan de formule van Felz-
gerold voldaan wordt.

vraag of wij de straling als zwarte straling mogen opvatten
en de wet van Stefan-Bolzmann clus kunnen toepassen.
Ofschoon dit in de buitenste deelen der zon allicht niet zal
mogen, lijkt er geen bezwaar tegen deze wet in de binnenste
deelen voorloopig aan te nemen.

De manier waarop Eddington nu verder, uitgaande van
bovengegeven formule — die geheel dezelfde is als onze
formule (40\') — zijn resultaten afleidt, is grondig bekritiseerd
door J. II. Jeans M. N. LXXIX Mrt. 1919 p. 319-332. Jeans
laat zien dat Eddingtons handelwijze niet geheel bevredigend
is, maar dat zijn voornaamste resultaten ook bij andere, meer
correcte behandeling blijven bestaan. Wij zullen hierop niet
verder ingaan, waar deze onderzoekingen toch geen direct
verband houden met het doel van dit proefschrift: invloed
van den stralingsdruk op de verschijnselen in de buitenste
lagen der zon.

§ 9. Uitbreiding der methode van lï. EMDEN, door in de
vergelijking het effect van den stralingsdruk op te nemen.

De manier, waarop zoowel Eddington als Jeans, na tot
formule (40\') gekomen te zijn, verder gaan, wijkt geheel af
van de fraaie behandeling van Emden, die door ons in \'t eerste
hoofdstuk in het kort is uiteengezet. Dit moet waarschijnlijk
voornamelijk géweten worden aan het feit, dat bij invoering van
den stralingsdruk het niet goed mogelijk blijkt de vergelijking
te discussieeren, zoolang niet een bepaald polytroop evenwicht
— n.1. dat waarbij n = 3 (k = ⁴/3) is — wordt aangenomen,
(immers hierop komt Eddingtons hypothese: g : II = const.
neer, zooals Jeans heeft laten zien) terwijl men in dit speciale
geval ook anders kan te werk gaan.

Toch lijkt het mij van belang om de behandeling van
Emden, voor zoover zulks mogelijk blijft, te herhalen voor \'t
geval wij den stralingsdruk, zooals deze door (40\') gegeven
wordt, meenemen, daar deze behandeling duidelijker inzicht
geeft in de thermodynamica van \'t probleem. Daarom moge
zij hier kortelijk volgen.

In plaats van de vergelijking (9) uit hoofdstuk I moet, als
wij rekening met den stralingsdruk willen houden, blijkbaar
komen:

Indien wij ons zoo diep binnen de zon bevinden, dat wij
de straling als zwarte straling mogen beschouwen, is volgens
de formule van Stefan—Bolzmann

Het lijkt misschien op het eerste gezicht vreemd, dat beide
termen van het rechterlid hetzelfde teeken vertoonen, terwijl zij
elkaar toch moeten tegenwerken, maar dit begrijpt men, als men
bedenkt, dat de temperatuur van de zon van binnen naar

Wanneer wij in (44) de in § 4 gedefinieerde variabelen en
notaties invoeren — zie vergel. (IG) (17) en (18), — gaal zij
over in:

Dit is de gewenschte differentiaalvergelijking, die overeen-
komt met de door Emden gegeven vergel. (15), die te schrijven is:

Vergelijking (47) is veel ingewikkelder dan de toch al niet
eenvoudige vergelijking van Emden. Zij kan niet in gesloten
vorm geinlegreerd worden, behalve voor het bijzondere geval
dat n = 0 waardoor zij overgaat in :

n = 0 beteekent echter p == const. — een geval dat ons
op het moment niet verder interesseert.

In geval n == co krijgen wij een ander extreem geval, n.1.
een isothermen gasbol. De vergelijking heeft dan geen zin
meer aangezien in een isothermen gasbol geen sprake kan zijn
van stralingsdruk.

Dit polytroop evenwicht, dat een zeer bijzondere rol speelt
noemt Emden het kosmogonetisch evenwicht. Voor alle andere
waarden van n zal men zijn toevlucht moeten nemen tot
mechanische kwadratuur. Daarbij valt te betreuren, dat de
transformatie, die tot (22) leidde, hier spaak loopt. Wel kunnen
wij de vergelijking reduceeren tot een waarin a² = 1 door
te stellen:

De transformatie, waardoor u = uo overgaat in ui = 1, loopt
hier echter vast op den term (3² u³ ~ⁿ. Het rekenwerk bij
mechanische kwadratuur der vergelijking wordt hierdoor boven-
matig vergroot.

§ 10. Opstelling der differentiaalvergelijking voor gassen, die
de li-et van BOYLE niet volgen.

In de vorige § werd aangenomen, dat de zonnegassen zich
zouden gedragen als ideale gassen. Dit zal zeker opgaan in
de buitenste deelen der zon, waar de dichtheid nog gering is,
maar hoe dieper wij de zon binnendringen, hoe grooter de
afwijkingen van de wet van Boyle-Gay-Lussac zullen worden
en wij kunnen er zeker van zijn, dat reeds op tamelijk geringe
diepte de waarden van p, p en T, die uit onze vergelijking (49)
volgen, sterk van de werkelijkheid afwijken.

Ten einde een betere overeenstemming te bereiken moeten
wij, in plaats van de wet van Boyle, een andere toestands-
vergelijking aan onze berekeningen ten grondslag leggen.

Verreweg het fraaist zou het zijn, indien het mogelijk bleek
hiervoor de wet van van der Waals te kiezen. Deze is daartoe
echter veel te gecompliceerd en wij zullen ons tevreden moeten
stellen met als l^st0 benadering te nemen:

In deze vergelijking wordt dus rekening gehouden met het
feit, dat de dichtheid van het gas door comprimeeren niet
boven een zekere grens (p_m) kan komen, terwijl afgezien wordt
van den correctieterm voor p, die nog in de wet van v. d.
Waals voorkomt.

geldig is (d.i. dat c_v onafhankelijk is van t); immers als de
wet van v. d. Waals

Uit het nul stellen van a volgen dus tegelijkertijd (53) en (54).
De relaties (2) worden nu echter vervangen door:

Uit deze vergelijking volgt voor de vergelijking van een
polytroop een der vormen;

Wanneer Ti pi Vi (^1) bij elkaar passende waarden der groot-
heden T p v (p) zijn, kunnen wij de vergelijking van een poly-
troop dus schrijven:

m. a. w. een grootheid, die karakteristiek is voor een bepaal-
den polytroop van een gegeven gas, dus vergelijkbaar met
de door (7) gedefinieerde polytrope temperatuur. Met behulp
van Pk kunnen wij nu schrijven:

De grootheid TI_k — constant voor een gegeven polytroop —
zullen wij „gewijzigde polytrope temperatuur" noemen.
Stel verder:

dan komen wij tot een stelsel eenvoudige betrekkingen, die
groote overeenkomst vertoonen met de oude vergelijkingen (18)

Deze vergelijking neemt dus de plaats in van (15). Zij is
heel wat ingewikkelder gebouwd! Aan integreeren of zelfs
maar aan mechanisch kwadrateeren valt niet te denken.
Maar als wij in het oog houden dat:

kunnen wij uit (72) twee benaderde vergelijkingen afleiden,
waarvan de een zal gelden voor de buitenste lagen van de
zon, waar p nog veel van pm verschilt, de ander juist voor de
binnenste lagen, waar p nagenoeg gelijk aan p_m is geworden.

Inderdaad, zoolang p < < p_m zien wij uit de l^stu der ver-
gelijkingen (73) dat nagenoeg

hetgeen niets anders is dan vergelijking (47), maar met ge-
wijzigde constanten. Dit was te verwachten, want in de

buitensche lagen zijn de afwijkingen der gassen van de wet
v. Boyle nog zoo gering, dat wij er vanaf mogen zien, wat
mathematisch uitgedrukt is door het verwaarloozen van p~ ¹tegenover p~^{.

, Wanneer wij ons daarentegen ver binnen de zonnemassa
bevinden, is door de enorme toename van den druk ook p
sterk toegenomen en vergelijkbaar met p_m geworden. Dan
mogen wij voor de tweede vergelijking (73) wel schrijven

r\' — ^ , ,

dr ( \\ pnv pm

hetgeen, zooals te verwachten was, groote overeenkomst toont
met den integraal van de oude differentiaalvergelijking voor
het geval n = 0 (constante dichtheid),
dw

Door vele onderzoekerswordt aangenomen, dat p op
eenigen afstand onder de fotosfeer reeds vrij spoedig tot de
maximale waarde nadert. Wat hiervan ook zij — \'t lijkt zeer
aannemelijk dat op afstanden van ± -5 zonstraal (140000 K M)
beneden de schijnbare oppervlakte deze toestand beslaat. Daar
en in diepere lagen zou dan (74) — of, wat praktisch op
\'t zelfde neerkomt, (4-9) — moeten gelden.

is, maar nog niet zoo klein, dat de formules ongeldig worden,
zou men aan den anderen kant met {11a) of, als men — ver-

Om duidelijk te maken op welke manier de stralingsdruk
de uitkomsten ,van de eenvoudige theorie van Emden wijzigt,
willen wij ons afvragen, hoe in de lagen waar (50) — sc. (74) —
geldig is de gradienten aan p en T zijn.

Uit de formules (A) en (C) van p. 21 volgt gemakkelijk dat
voor een gasbol, voldoende aan de vergelijking v. Emden

als de index S betrekking heeft op \'t geval dat wij den stralings-
druk in rekening brengen, E \'t geval van Emden. De invloed
van den stralingsdruk is dus hier \'t slapper maken der gradiënten.
Het is van belang na te gaan van welke orde van grootheid

(m = moleculair gewicht) terwijl voor n = 3 uit tab. 7*) p. 80
van Gaskugeln gevonden wordt:
n = 6.9011

Substitueert men deze waarden, dan blijkt dat bij m = 3,
een onderstelling, die ook door Eddington en Jeans voor zeer
waarschijnlijk wordt gehouden:

ongeveer driemaal kleiner worden dan uit de theorie van Emden
zonder op stralingsdruk te letten zou volgen. Voor massa\'s die
grooter zijn dan de zon wordt /3² al spoedig zéér groot — het
effect op giant stars is dus zéér appreciabel; voor massa\'s
kleiner dan onze zon — dwarfstars — daarentegen is (3²klein, stralingsdruk heeft hier geen of weinig effect, tenzij de
kleinere massa weer gecompenseerd wordt door grooter ge-
middeld moleculair gewicht. Een ster met 100 X kleinere
massa, maar 10 X grooter moleculair gewicht als onze zon
zou n.1. even sterke stralingsdruk ondergaan als deze, zooals
onmiddellijk uit de formule voor (3² volgt.

behandelde geval n = 3 (kosmogonetisch evenwicht) een uit-
zonderingsgeval is, daar de dichtheid van de ster uit de ver-
gelijking voor /3² is weggevallen (zie Jeans l.c.).

Groote verschillen zijn evenwel bij naburige waarden van n
niet te verwachten, terwijl uit de behandeling van Jeans
valt op te maken, dat de algemeene conclusies geldig blijven.

Deze zijn: Bij sterren met een massa als van onze zon en
een gemiddeld moleculair gewicht van 3 — of algemeener
bij sterren waarvoor \'t product M²m⁴ van de orde 3.10⁸⁸ is —
doet zich een merkbaar effect van den stralingsdruk gevoelen,
dat zich o.a. hierin openbaart dat temperatuur — druk — en
dichtheidsgradiënt drie a viermaal kleiner zijn dan anders
\'t geval zou zijn.

Bij „giants" is dit effect nog veel sterker uitgesproken, bij
„dwarfs" is het vrijwel onmerkbaar.

Men vergete echter vooral niet, dat al hetgeen tot dusver be-
sproken werd, betrekking heeft op reeds zéér diep gelegen lagen
van de zon en werd afgeleid onder de, voor de zon zeer zeker
niet geldige hypothese, dat de beschouwde gasmassa uitsluitend
absorbeerend niet verstrooiend werkt.

Voor de lagen der zon, die voor onze waarnemingen toe-
gankelijk zijn, gelden de gevonden resultaten dus niet. Met
deze lagen zullen wij ons in het volgend hoofdstuk hebben
bezig te houden.

Nadat wij de consequenties der formules (40), (40^r)en (40")
voor den thermodynamischen bouw van een gasbol nagegaan
hebben rest nog de afleiding eener formule voor den stralings-
druk binnen een gasmassa, waarin de straling sterke molecu-
laire diffusie en onregelmatige breking ondergaat.

Een behandeling als in § G zou tot absoluut verkeerde voor-
stellingen leiden, want de fundamenteele veronderstelling, waar-
op de geheele methode ten slotte berustte, dat n.1. een gegeven
elementje dr naar alle kanten evenveel straalt, houdt op geldig
te zijn; terwijl ook niet langer een oorspronkelijk evenwijdige
bundél zich evenwijdig zal voortplanten.

Straling, die \'t punt P bereikt onder een hoek (p met den
straal P M (zie figuur), is niet langer uitsluitend afkomstig
van de punten, die op de lijn PP\' gelegen zijn, maar ook
voor \'n deel van de punten Q, R, S ... \'

Noemen wij de intensiteit der totale straling, die P, \'n
punt van de fotosfeer, bereikt onder zekeren hoek Ó f (<£),
dan wordt de intensiteit der straling, die den stralingsdruk
per massa eenheid in radialen zin bepaalt, gegeven door:

Hierbij heeft f(d>) betrekking op de totale bestraling voor
alle golflengten te samen en moet aan empirische gegevens
ontleend worden, bijv. aan de waarnemingen van Frost¹), of
aan de eclipswaarnemingen van W. H. Julius ²).

Met vrij groote benadering laten deze gegevens zich voor-
stellen door de empirische formule:

Naarmate men dieper komt zal f($) veranderen, doch als
men niet te diep doordringt niet sterk! Hoe f(0,h) afhangt
van h (wanneer h voorstelt de diepte beneden het niveau der
schijnbare zonneoppervlakte) zou af te leiden zijn uit de theorie
van Spijkerboer ³) toegepast op het materiaal van Abbot ⁱ).
Voor het bepalen van den stralingsdruk kan men echter —
zoo men zich lot de buitenste lagen beperkt — volstaan met
de kennis van f (0,0), want zóóveel straling moet in den
stationairen toestand, waarin wij ons de buitenste lagen denken,
tenslotte door elk niveauvlak naar buiten treden.

Wil men desnoods de afname van den straal, dus van \'t
boloppervlak bij \'t dieper binnendringen in de zon nog in
rekening brengen, dan zou men, f(0,0) aan de schijnbare

zonneopperviakle als gegeven beschouwend, mogen nemen
op een kleinen afstand h beneden dat niveau:

Op deze wijze zal de som van de radiale componenten der
straling, die een volume element, gelegen op een kleinen
afstand h onder de fotosfeer, ontvangt, gegeven worden door:

Voor de geheele beschouwing is blijkbaar essentieel dat
wij ons de op elkaar volgende lagen in een toestand van
stralingsevenwicht denken en de bronnen der zonneenergie
gelegen in het inwendige der zon, dieper dan de door ons
beschouwde lagen — alleen dan is veroorloofd aan te nemen,
dat door ieder niveauvlak evenveel stralingsenergie naar buiten
treedt.

Tot dusver hebben wij er ons niet over uitgelaten of
wij ons den stralingsdruk tot stand gebracht denken door
een algemeene. absorptie of door selectieve absorptie, zooals
bijv. in de formule van Dedye voor dipolen is veronder-
steld. Inderdaad heeft dit op het voorgaande ook geen
invloed. Wellicht zou men geneigd zijn te meenen dat door
absorptie stralingsenergie als zoodanig verloren raakt — maar
de opgenomen energie moet tenslotte toch in den een of
anderen vorm weer afgestaan worden, zoodat wij mogelijk
wèl met \'n transformatie van stralingssoorten te maken hebben
maar niet met een vernietiging ervan. Weliswaar zou de

opgenomen straling misschien in chemisch of electrisch arbeids-
vermogen kunnen omgezet worden, maar zoolang wij daar-
omtrent geen stellige aanduidingen vinden, mogen wij deze
mogelijkheden wel terzijde stellen.

Indien wij nu verder met de formule van Debye willen
werken, zooals met het oog op de geringe dichtheid, die
vermoedelijk in de grenslagen heerscht, gewenscht lijkt, moeten
wij onze formules nog eenigszins wijzigen, aangezien in de
bedoelde formule van Debye de stralingsdruk afhankelijk is
van de straling met golflengte A₀, als A₀ de eigengolflengte
van den dipool voorstelt. Inplaats van onze f(<£, h), die
voor alle golflengten te samen gold, treedt nu een overeen-
komstige grootheid op voor elke A, die wij ter onderscheiding
zullen noteeren: S^ (cp, h).

Het blijkt ook nu mogelijk S^ (cp,0) tamelijk nauwkeurig uit
te drukken in S^ (0,0) door een formule van de gedaante

terwijl S^ (cp, 0) te vinden is uit de getallen van Abbot \'), die
in label II zijn afgedrukt.

De totale straling in radiale richting, die den stralingsdruk
op de massa eenheid in P bepaalt (de grootheid, die min
of meer analoog is met de II van pag. 26 dus) wordt derhalve
gegeven door de formule:

waarin Ai, A₂... Ai ... de golflengten der spectraallijnen van
een gegeven element voorstellen.
De stralingsdruk D_r (h) wordt dan:

^{dr (h)} = li (ïdb)² !io (*« ï ^^b*)^s* ^(o-^{o) (82)}of aan de fotosfeer:

D_r (0)= 1Af (a,; 1 b^j) S, (0,0) (82*)

§ 18. Voorstelling der getallen van ABBOT door een een-
voudige itnpirische formule.

Hierop moeten wij nu iets verder ingaan en tevens de
waarden van a; en b; bepalen.

Daartoe construeeren wij rechte lijnen, die zich zoo goed
mogelijk aansluiten bij de punten, verkregen door in een
rechthoekig assensysteem de waarden van Sa (0,0) als ordinaat
bij cos <p als abscis af te zetten.

Hierbij hangen ca en cIa nog af van de waarde Sa (0.0).
Om ons hiervan onafhankelijk te maken, stellen wij Sa (0,0) = 1
d. i. nemen aan dat

De zóó bepaalde waarden van ca en dA noemen wij aA en
bA. De uitvoering van dit programma gaf de waarden, die in
tabel III vereenigd zijn en geheel overeenstemmen met de
op dergelijke wijze door A. Defant \') bepaalde getallen.

De beteekenis hiervan is dus dat bijv. voor A = 0,501 (j,.
Sa (cp, 0) = (0,32 0,68 cos-cp) Sa (0,0)

Wat de geldigheid der formules betreft nog dit: tot voor
cos cp = 0.5 is de benadering zeer goed; voor grootere waarden
komen er afwijkingen, maar voor ons doel mogen wij er zeker
tevreden mee zijn, daar wij voor den stralingsdruk toch geen
absoluut juiste waarden kunnen verwachten en dus genoegen
mogen nemen met waarden, die, althans wat orde van groot-
heid betreft, niet al te zeer afwijken van de waarheid. Boven-
dien wordt tot den totalen stralingsdruk, op een bepaald
element ongetwijfeld verreweg het grootste gedeelte bijgedragen
door straling uit richtingen voor welke cos cp (0.5 is.

^]) A. Defant, Ueber Absorption etc. Sitz. Ber. Wien. Akad. 125 II^a
(1016) p. 502.

Uit de in tabel III gegeven waarden van a^ en b^ werden
verder grafisch de in tabel IV bijeengebrachte waarden van
a; en b^ bepaald.

§ 14. Bepaling van de absolute waarde van f (0,0) en Sx (0,0).
Uit het bedrag van de zonneconstante valt af te leiden hoe-
veel straling aan de oppervlakte van de zon per secunde in
alle richtingen door 1 cm² gaat. Deze grootheid, 2 (0), wordt
blijkbaar uitgedrukt door:

In § 12 zagen wij dat, om de formule van Debye voor den
stralingsdruk op een dipool te kunnen toepassen, in het geval
dat aan de oppervlakte van de zon zich één atoom met n
dipolen bevindt, bekend moet zijn de intensiteit, S^ (0,0),
der straling, die in radialen zin aan de oppervlakte wordt
uitgezonden (zie formule (82)).

Deze grootheid zullen wij afleiden uit de totale radiale
straling f(0,0) van allo golflengten te samen, die op haar
beurt eerst weer ontleend dient te worden aan de waarde 2 (0).

Binnen een elementair lichaamshoekje dlL is de radiale
straling f(0,0) dll; de straling onder een hoek cp met den
straal is: t\'(cp, 0) di2, als beide geacht worden uit te gaan van
1 cm², loodrechtstaande op de gekozen richting.

De functie f(0, 0) is bekend en kan worden voorgesteld door:
f (<p, 0) = (0,4 0,6 cos (p) f (0,0) (zie (77))

Als wij thans 2 (0) willen opbouwen uit al de verschillend
gerichte bundels, moet bedacht worden, dat onze 1 cm² zonne-
opperviakte in richting cp slechts een bundel geett van door-
snede cos (p cm² en dus, binnen een elementairen lichaamshoek
dn = dó dw sin een bijdrage levert:

Uit deze nu bekende absolute waarde van f(0,0) moet
verder die van S-l (0,0) afgeleid worden.

m.a.w. f (0,0) kan opgevat worden als inhoud van de kromme,
die Sa (0,0) als functie van A voorstelt.

De getallen van Abbot (tabel III) stellen ons in staat deze
kromme in willekeurige eenheden te teekenen op mm. papier.
Hiertoe stelde ik een abscis, die in absolute maat 0,0001 cm
* was, voor door \'n lijntje van 20 cm (schaal 2.10⁵ a 1 dus),
een ordinaat van 1 dyne (de grootheid Sa (0,0) wordt n.1. in
dynes gemeten) door een lijntje van n cm, waarbij n voór-
loopig onbekend is. Zij de inhoud van de zoo geteekende
figuur O cm², dan is duidelijk dat nu n te vinden is uit de
betrekking:

_ Deze bepaling gaf: O = 284,4; wij weten reeds dat
0 = 2,6.10¹⁰ en vinden daarmee

Om nu de waarde van Sa in dynes te vinden behoeven wij
slechts de in cm. gemeten ordinaten yA te vermenigvuldigen
met n, dus:

Uit de nu\' bekende waarden van a;, b^ en Sa (0,0) kan
zonder bezwaar het verloop van de grootheid

functie van A gééft, dan blijkt deze van A = 0,3 tot 0,0 p
zeer goed bij de gevonden waarden aan te sluiten, van A — 0,9
tot 1,5 p liggende punten wat meer verspreid — hetgeen voor
een deel ongetwijfeld mo§t gezocht worden in de minder
nauwkeurige gegevens bij deze groote waarden, speciaal over
Sa (0,0).

Waar wij slechts met waarden van A tusschen 0.3 en 0.7
[j, zullen werken, kunnen wij ons van de geconstrueerde kromme
(figuur 2) zonder eenig bezwaar bedienen ten einde nu voor
een gegeven element den totalen stralingsdruk te berekenen
volgens (82). Daartoe hebben wij slechts de ligging van de
spectraal lijnen van een gegeven element op te zoeken, uit

da-
lezen en deze te sommeeren. Vooraf nog een opmerking:
alleen de lijnen liggend tusschen 0.3 en 0.7 p konden gebruikt
worden, daar het ultraroode deel van het spectrum nog niet
voldoende nauwkeurig bekend is. Dit is te meer te betreuren,
waar uit \'t verloop van onze kromme duidelijk is, dat ook bij
tamelijk groote waarden van Aj_j waar dus S.Ü (0,0) reeds zeer
2c

gevolg van het optreden van A³j in formule (82). Wanneer
later \'t ultraroode spectrum beter bekend is, is het dus zeer
wel mogelijk, dat in onze resultaten hierdoor vrij belangrijke
wijzigingen worden gebracht.

Ter bepaling der lijnen van de verschillende elementen
werd gebruik gemaakt van een door Dr. A. Minnaert samen-
gestelde atlas, die de tabellen van Rowland in zeer overzichte-
lijken vorm weergeeft en mij door hem vriendelijk werd
afgestaan.

Neemt men <r = 5.10~⁸, zooals Debye opgeeft voor een
gewoon electron, c = 3.10¹⁰, dan zou de lichtdruk op één Na-
molecule aan de zonsoppervlakte bedragen

Vergelijken wij dit bedrag met de aantrekking die het Na-
molecule van de zon ondervindt — 0.21 X 10"¹⁸ dyne — dan
komen wij onmiddellijk tot de conclusie dat de gevonden waarde
absurd groot is. Er moet nog iets niet in den haak zijn. En
inderdaad kunnen wij verscheidene oorzaken aanwijzen waar-
door het gevonden bedrag veel te groot is.

In het voorgaande hebben wij eenige verwaarloozingen be-
gaan, waartoe wij eigenlijk niet het recht hadden:

jste hebben wij, evenals trouwens Debye in zijn meerverrneld
onderzoek, aangenomen dat de dipolen, waaruit wij ons het
Na-molecule opgebouwd dachten, voortdurend in een toestand
zijn waarbij zij absorbeeren en dus stralingsdruk ondergaan.

2^cl° hebben wij verondersteld dat elke lijn, onverschillig of
zij zwak of sterk is, evenveel bijdraagt tot den stralingsdruk.

3^de hebben wij niet in aanmerking genomen, dat bij absorptie
het licht dat geabsorbeerd wordt (dus van de golflengte overeen-
komend met die der dipolen) reeds na \'t doorloopen van een
tamelijk dunne laag veel minder intensiteit heeft dan de om-
liggende niet geabsorbeerde lichtsoorten.

Nemen wij dit laatste punt \'t. eerst. Het is duidelijk, dat,
terwijl wij in de formule voor D_r(0) de waarden, afkomstig
van Abbots metingen van Sa (0,0) hebben gebruikt, deze feite-
lijk betrekking hebben op niet of althans slechts weinig geabsor-
beerd licht, terwijl wij hadden moeten rek\'enen met de waarde
van S^ (0,0) geldende voor \'t midden der Fraunhofersche lijnen.
Daar D_r (0) evenredig is met S^ (0,0) moet de berekende
stralingsdruk ongeveer zooveel maal kleiner genomen worden,

als het licht in de kern eener Fraunhofersche lijn zwakker is
dan de grond van het spectrum — een verhouding, die moeielijk
te bepalen is.

Wat het l^ste punt betreft het volgende: wij zullen ons voor
een oogenblik op het nieuwere standpunt van Boiir *) stellen.

Deze neemt aan dat electronen alleen dan stralen, wanneer
zij van de eene baan in de andere overgaan, terwijl deze dis-
continuïteit in de beweging maar kort duurt en zelden voor-
komt vergeleken met den tijd gedurende welken \'n electron in
zijn normale baan rondloopt. Wij zien dan onmiddellijk in, dat
wij, ook al blijven wij vasthouden aan ons beeld van trillende
dipolen, toch een wijziging behooren aan te brengen in dezen
zin, dat op een gegeven tijdstip slechts een klein percentage der
aanwezige moleculen „actief" is, d.i. in een toestand, waarbij
zij kunnen stralen of absorbeeren.

Dit komt hierop neer: onder een paar millioen moleculen
zullen op het beschouwde tijdstip er maar eenige zijn, die
„actief" zijn en bijgevolg stralingsdruk ondergaan. Even later
zijn zij hun activiteit kwijt, andere zijn actief geworden, onder-
gaan stralingsdruk, worden op hun beurt weer inactief enz. enz.

\'t Resultaat moet wezen dat de door ons berekende licht-
druk zooveel maal te groot is als de verhouding van het aantal
inactieve tot dat der actieve moleculen bedraagt.

Hoe moeten wij ons deze perioden van activiteit denken?
Wellicht zoo, dat gedurende den korten tijd van opschudding
en verwarring binnen het molecule, sommige dipolen met
groote, andere met mindere hevigheid aan \'t trillen worden
gebracht, waarbij zij de karakteristieke spectraallijnen van het
element geven. Dat de sterkte der lijnen in \'t spectrum bij
gegeven condities steeds dezelfde is, kan op twee manieren
worden uitgelegd, n.1. öf als \'n gevolg van statistische samen-
werking öf als uiting van den bouw van het molecule, waar-
door alle moleculen van dezelfde soort gedurende den tijd
van hun actief zijn op dezelfde manier zouden stralen. Wat
hiervan ook zij: in beide gevallen moeten wij aannemen dat

niet alle lijnen gelijkwaardig zijn, maar dat juist de sterkste
lijnen ook \'t meest tot den druk zullen bijdragen, zoodat een
eenvoudige sommeering, zonder rekening te houden met de
lijnsterkte, ongeoorloofd is.

Een en ander maakt begrijpelijk waarom het gevonden be-
drag van D_r (0) zooveel grooter gevonden werd dan aannemelijk
mag genoemd worden — in welke verhouding wij dit bedrag
echter moeten verkleinen om de werkelijke absolute waarde
te vinden, valt helaas niet uit te maken bij al de onbekende
factoren, die nog in dit vraagstuk voorkomen.

Wij kunnen er geen schatting over maken, wat wij als
absolute eenheid van lijnsterkte zouden moeten invoeren.

Het eenige, wat wij op grond van de in dit hoofdstuk ont-
wikkelde beschouwingen kunnen bepalen is het relatieve effect
van den stralingsdruk op verschillende elementen.

Het eenige - - maar misschien toch niet zóó weinig als op
het eerste moment wellicht lijkt! Wij zullen n.1. zien dat
nagenoeg alle elementen, voor welke de stralingsdruk, berekend
overeenkomstig de bovengenoemde overwegingen, relatief groot is,
juist elementen zijn, die in \'t chromosfeerspectrum voorkomen,
zoodat \'t wel schijnt als of wij hier werkelijk men een duidelijk
effect van den stralingsdruk op de samenstelling van de
waarneembare deelen van de zonnemassa te maken hebben.

Aleer wij er toe overgaan deze bewering te staven, willen
wij er nogmaals op wijzen, dat de beschouwingen, in de
vorige bladzijden uiteengezet, geheel in overeenstemming zijn
met de nieuwere opvattingen over straling en absorptie.

\') In het Astr. Journ. 50 p. 220 (1919) treft men een beschouwing
aan van Meoh Nai> Saiia, die, wat gedachtengang betreft, vele punten
van overeenkomst vertoont met do onze. Ofschoon zijn — zuiver kwa-
litatieve — overwegingen hem tot conclusies brengen, die ik niet gaarno
zou onderschrijven en ik ook bij \'t opstellen van bovengeschreven blad-
zijden geen kennis droeg van zijn artikel, komt hem in elk geval do
prioriteit too van de gedachte dat een selectieve stralingsdruk aansprakelijk
kan zijn voor verschijnselen in de buitenste deelen der zon.

Speciaal de hypothese, dat niet alle moleculen meewerken
bij absorptie en dispersie der opvallende straling en dus ook
geen stralingsdruk ondergaan, vindt grooten steun in de
experimenten van Loria en Ladenrurg ^l) over absorptie en

aanwezige moleculen actief zouden zijn. In hoever ditzelfde
getal geldig is op de zon bij de daar heerschende condities
blijft overigens natuurlijk een open vraag.

Teneinde den stralingsdruk op verschillende elementen te
kunnen vergelijken en zoo althans te kunnen oordeelen over
het relatieve effect, nu de bepaling van het absoluut bedrag
voorloopig onmogelijk is gebleken, gaan wij uit van twee
vereenvoudigende hypothesen. Wij veronderstellen in de eerste
plaats, dat het percentage actieve moleculen voor alle elementen
evengroot is en vervolgens, dat de bijdrage tot den stralingsdruk
van een bepaalde lijn evenredig is met de lijnster/de, zoodat de
bijdrage van twee naburige lijnen (dus A, a; t tu, Sa (00,)
nagenoeg gelijk) waarvan de een 10 X zoo sterk is als de
ander zich zullen verhouden als 10: 1.

nu bovendien de sterkte van iedere lijn in rekening moeten
brengen. Hiertoe zullen wij eiken term van de som ver-
menigvuldigen met het getal dat de lijnsterkte in Rowlandsciie
eenheden geeft en dat aan meergenoemden atlas van Dr.
Minnaert werd ontleend.

Terwijl 2 evenredig is met den lichtdruk, zal --- (ni = molecu-
lair gewicht) blijkbaar evenredig zijn met de versnelling in
radiale richting, die \'n bepaald molecule tengevolge van den
stralingsdruk ondervindt en die dus de versnelling van de
zwaartekracht tegenwerkt.

houding hiervan tot de versnelling g van de gravitatie uit-
maken of het beschouwde molecule — of, als wij met gemid-
delden mogen rekenen, \'t beschouwde gas — door de zon wordt
afgestooten of aangetrokken; naarmate deze verhouding ) 1 of < l
overwint n.1. de afstootende of de aantrekkende werking.

in elk geval weten wij, dat deze grootheid voor verschillende
elementen zeer uiteenloopende waarden kan hebben, terwijl
g voor alle elementen gelijk is. Naarmate de gevonden — rela-
tieve — waarde van — grooter is, zal ook de absolute waarde
m

voor wat wij zouden kunnen noemen de „stijgkracht" van een
gegeven element in de zonsatmosfeer.

Pb, Hg, Tl) ± 10.000 maal kleiner is dan voor andere (als
H, Ga, Fe), ligt het voor de hand na te gaan of zoo\'n sterk
verschil zich niet op de een of andere wijze kenbaar maakt.
En dan is het wel opmerkelijk dat al de elementen, waarvoor

In de kolom „opmerkingen" van tabel VII is telkens ver-
meld of \'t bedoelde element voorkomt in de lijst der chro-
mosfeerlijnen van Younc. door achtervoeging van de letter Y.
Evenzoo of het voorkomt in \'t flashspectrum, zooals dit waar-
genomen werd gedurende de eclips van 17 Mei 1901 door
de Sumatra-expeditie \') van het U. S. Naval Observatory —
genoteerd als: E — en in het buiten een eclips waargenomen
flashpectrum, zooals dit o.a. door Adams en Miss Burwell ¹)
is waargenomen (genoteerd als „f"). Een vraagteeken beduidt
dat de lijnen, waaruit tot \'t voorkomen van \'t element werd
besloten, alle samenvielen met lijnen van andere elementen of
dat zij niet geheel overeenstemden met de waarde van Rowland.
Wanneer men dezen tabel inziet, is het onmiddellijk frappant

hoe, vanaf de waarde 0,1, geen enkel element meer

alle overige öf in \'t een öf in \'t ander en, met uitzondering
van C, Si, Zr en Sc, in beiden voorkomen.

Bedenkt men verder dat in Young\'s tabel vele niet ge-
identificeerde lijnen voorkomen, zoodat \'t ontbreken in de
lijst van Young nog niet de afwezigheid in \'t chromosfeer-
spectrum behoeft te beteekenen, dan frappeert de overeen-
stemming nog meer.

Zooveel is zeker dat de beide stoffen, die men steeds en
overal in de chromosfeer vindt: II en Ca, ook dé beide stoffen

Om verschillende redenen — sterkte, aantal en hoogte
boven de fotosfeer waarop de lijnen in \'t flashspectrum ver-
schijnen — zijn wij geneigd als /tooA?bestanddeelen van de
hoogere deelen van de chromosfeer te beschouwen: Ca, H,

sterke lijnen in het chromosfeerspectrum vertegenwoordigd
zijn, behoeft geen argument tegen \'t gezegde te zijn, maar
kan beteekenen dat zulk een element slechts in kleine hoeveel-
heden voorkomt.

Alles samengenomen zouden wij tot deze conclusie komen:
de samenstelling van de hoogere deelen van de zon staat in
nauw verband met het bedrag van den stralingsdruk op de
verschillende elementen. Die elementen komen voornamelijk

is en dat toch — voor zoover de tegenwoordige waarnemingen
gaan — uitsluitend in de dieper gelegen deelen van de chromos-
feer wordt gezien. Maar dit is verklaarbaar, indien de weinig
vluchtige koolstof slechts met geringe concentratie in \'t gas-

mengsel voorkomt en derhalve door anomale refractie alleen
maar dicht bij den zonsrand zichtbaar kan zijn.

Bij den huidigen stand onzer kennis kunnen wij niet verder
gaan dan deze kwalitatieve uitspraken. Pas wanneer wij het
absolute bedrag van den stralingsdruk zouden kunnen bepalen,
komt de mogelijkheid de tallooze vragen, die zich in dit
verband aan ons opdringen, te beantwoorden.

Daartoe zal het echter in de eerste plaats noodig zijn,
dieper in te dringen in het mechanisme van straling en
absorptie. Ons beeld der trillende dipohn is niet meer dan
een eerste, nog zeer gebrekkige benadering.

Maar dit moge aan de toekomst worden overgelaten: reeds
nu kunnen wij constateeren dat ongetwijfeld stralingsdruk een
belangrijken rol speelt op de zon in de voor onze waar-
neming toegankelijke lagen.

Na in de inleiding in \'t kort de geschiedenis van den
stralingsdruk te zijn nagegaan en gewezen te hebben op ver-
schillende gebieden der astrophysica, waar deze druk een rol
zou kunnen spelen, werd in hoofdstuk I de thermodynamische
theorie over in polytroop evenwicht verkeerende gasbollen,
zooals deze door R. Emden is ontwikkeld, zeer beknopt uit-
eengezet.

In hoofdstuk II is deze theorie vervolgens uitgebreid op het
geval dat men, behalve op gravitatie, ook op stralingsdruk let.
Hiertoe werd eerst een uitdrukking voor den stralingsdruk
gezocht in de veronderstelling dat, ver binnen de gasmassa,
de wet van Fitzgerald geldt en afgezien mag worden van
verstrooiing. De gevonden uitdrukking gaf aanleiding het werk
van Eddington over dit onderwerp te bespreken. Hierbij bleek
dat onze formule algemeener is dan die van Eddington, die
overigens als speciaal geval van de onze te voorschijn treedt.

De vergelijkingen waartoe wij komen, wanneer wij, deze
formule toepassend, verder een analogen weg als Emden volgen,
bleken te leiden tot een zéér samengestelde differentiaalverge-
lijking, waarvan wij slechts voor een paar bijzondere gevallen
een oplossing konden vinden, te weten voor \'t geval van
p = const (heigeen in de allerdiepste lagen nagenoeg plaats
moet grijpen) en voor de meer aan de oppervlakte gelegen
lagen — maar nog niet de allerbuitenste — wanneer men
mag aannemen dat hier een polytroop evenwicht, gekenmerkt
door n = 3, heerscht. Dit laatste geval blijkt juist overeen
te stemmen met het door Eddington onderzochte geval, zoodat
verdere discussie hiervan overbodig bleek. Alleen werd nog

aangetoond hoe bij dit evenwicht (en vermoedelijk ook bij
naburige waarden van n) de gradienten van p en T voor
massa\'s van de grootte van onze zon 3 a 4- maal slapper
uitvallen dan indien men geen rekening met stralingsdruk
.houdt.

In hoofdstuk III eindelijk, laten wij de vereenvoudigende
veronderstellingen van \'t voorgaand hoofdstuk varen, maar
beperken ons daartegen nu tot de allerbuitenste lagen van de
zon, waar wij mogen aannemen dat niet langer de formule
van Fitzgerald geldt, maar een andere, die wij aan het werk
van Debye ontleenen.

Na een poging gewaagd te hebben om de absolute waarde
van den stralingsdruk te berekenen door experimenteel ge-
vonden waarden van de, in \'t midden van den zonneschijf
uittredende, straling in te voeren in onze formule, moesten
wij helaas tot de overtuiging komen dat, bij den tegenwoor-
digen stand van het vraagstuk, dit nog niet mogelijk is. Wat
wij wèl konden vinden, waren de relatieve waarden van den
druk op de verschillende elementen. Deze waarden blijken
sterk uiteen te loopen. De versnellingen, die de actieve mole-
culen der verschillende elementen tengevolge van dezen druk
ondergaan (en dus ook, bij eerste benadering, hunne stijg-
snelheden in de, door de niet-actieve moleculen gevormden,
weerstandbiedende middenstof) wisselen af tusschen de maxi-
male waarde, die voor H op 100 is gesteld, en de minimale
bedragen van 0,001, zooals bij Ge, lig, Bi.

Merkwaardig is, dat, met uitzondering van \'t element kool-
stof, alle elementen wier versnelling tengevolge van den stra-
lingsdruk tusschen 100 en 0.1 gelegen is, voorkomen in het
chromosfeer- en tlashspectrum, daarentegen van de elementen
met kleinere versnelling geen één; terwijl alle elementen, die
daarin sterk vertegenwoordigd zijn, versnellingen tusschen
100 en 1 blijken te hebben (Ga bijv. 11).

Dit doet ons besluiten: de procentische samenstelling van de
buitenste deelen der zon is in sterke mate afhankelijk van den
selectieven stralingsdruk.

De waarnemingen over vorm en ontwikkeling van kometen-
staarten maken aannemelijk dat de stralingsdruk op een
molecule van dezelfde orde van grootte is als de aantrekkings-
kracht, die de zon erop uitoefent.

Bij de uitlegging der zonneverschijnselen kan verwaarloozing
van den stralingsdruk tot ernstige fouten leiden.

De stralingsdruk kan niet de groote protuberantiesnelheden
verklaren, zooals Megii Nad Saha meent.

Ten onrechte neemt Eddington onder de algemeene natuur-
wetten op: „The emissiveand absorbing powers of a substance
are equal."

De wijze waarop Eduington het effect van eventueele ver-
strooiing in rekening brengt, is onvoldoende.

De effectieve temperatuur van de zon houdt slechts zeer
los verband met de op de zon heerschende ware temperaturen.

Nadere bestudeering der eigenbewegingen van granulatie-
korrels zal kunnen leiden tot het bepalen van de ware tempe-
ratuur van sommige deelen der zon.

De polarisatie van het coronalicht moet niet worden toe-
geschreven aan in de corona zwevende vaste deeltjes.

Ten onrechte meent E. Geiircke, dat de bij de zoneclips
van Mei 1919 gevonden afwijkingen der sterreplaatsen veroor-
zaakt kunnen zijn door refractie van de corona.

De periheliumbeweging van de Mercuriusbaan wordt door
Einstein\'s theorie ongedwongen verklaard. Alle andere tot
dusver gegeven verklaringen zijn onbevredigend.

De behandeling, die Schubert in zijn „Niedere Analysis"
(deel V, Samenlung Schurert) geeft van het „Ursachen Pro-
blem", is op z\'n minst onvolledig te noemen.

De op pag. 7G en 77 afgeleide formules zijn alleen geldig
onder de, door Schubert niet genoemde, beperkende voor-
waarde dat alle samenstellingen van de urn even waarschijn-
lijk zijn.

Vragen als gesteld zijn in N°. 12, N°. 17, N°. 18 van
Sgiiubert\'s „Niedere Analyse" § lObehooren uitsluitend volgens
het „Princip des manglenden Grundes" behandeld te worden.
De formules van § 10 zijn er niet op van toepassing.

De verwachting, dat experimenteel zal kunnen worden uit-
gemaakt of cle ruimte Euclidisch of Niet-Euclidisch is, is
ongegrond.

Het bekende beeld der tweedimensionale schaduwwezens,
die niets kennen dan hun wereld, werkt de verkeerde opvatting
in de hand, dat, indien iemand „\'t vierdimensionale oog" maar
bezat, hij méér dan de gewone drie-dimensionale wereld zou zien.

Het verdient aanbeveling bij de toestandsvergelijking dei-
gassen meer rekening te houden met de chemische associatie.

Afschaffing der cosmografie in een der beide hoogste klassen
van de H. B. S. ware te betreuren.

Wanneer hel streven 0111 de beginselen van differentiaal-
en integraalrekening op de II. B. S. te brengen, tengevolge
heeft dat de vlakke meetkunde meer op den achtergrond wordt
gedrongen, is het af te keuren.

A	I^Dr (0) X 10~¹⁴3 <7	Lijnsterkte L	LX	D_r (0) X 10~¹⁴ o <T
0.398	0.18	6		1.08
0.434	0.28	20		5.60
0.487	. 0.45	30		13.50
0.657	0.85	40		34.00
	2 = 54

ri	Ui	dui ~~ drï
. 0	1	0
0.25	0.98975	0.08204
0.50	0.959S7	0.15495
0.75	0.91355	0.20270
1.00	0.85505	0.25219
1.25	0.78897	0.27370
1.50	0.71948	0.27993
1.75	0.04990	0.27400
2.00	0.58282	0.20149
2.50	0.40109	0.22390
3.00	0.35921	0.18393
3.50	0.27029	0.14859
4.00	0.20942	0.11998
4.50	0.15529	0.09748
5.00	0.11110	0.08003
0.00	0.04411	0.05599
0.80	0.00471	0.04300
0.9011	0	0.04231

Golflengte in f.i	Si (0,0)	CA	dx		bx
Volgens Abbot.	Reductie v. c;en b;.
0.323	. 144	13	127	0.09	0.91
0.386	338	53	283	0.15	0.85
0.433	456	90	367	0.20	0.80
0.456	515	127	390	0.25	0.75
0.481	511	140	376	0.28	0.72
0.501	489	160	330	0.32	0.68
0.534	463	171	293	0.37	0.63
0.604	399	176	224	0.44	0.56
0.670	333	161	171	0.49	0.51
0.699	307	154	152	0.50	0.50
0.866	174	105	70	0.59	0.41
1.031	111	72	43	0.63	0.37
1.225	77.6	50.6	27	0.65	0.35
1.655	39.5	29.1	10.2	0.74	0.26
2.097	14.0	10.0	4.0	0.75	0.25

A	SA	^bA	A		b;	A		b;
0.30	0.08	0.92	0.90	0.59	0.41	1.50	0.71	0.29
0.35	0.11	0.89	0.95	0.61	0.39	1.55	0.72	0.28
0.40	0.16	0.84-	1.00	0.62	0.38	1.60	0.73	0.27
0.45	0.23	0.77	1.05	0.63	0.37	1.65	0.73	0.27
0.50	0.32	0.68-	1.10	0.64	0.36	1.70	0.74	0.26
0.55	0.40	0.60	1.15	0.65	0.35	1.75	0.74	0.26
0.60	0.44	0.56	1.20	0.66	0.34-	1.80	0.75	0.25
0.65	0.48	0.52	1.25	0.67	0.33	1.85	0,75	0.25
0.70	0.51	0.49	1.30	0.68	0.32	1.90	0.75	0.25
0.75	0.53	0.47	1.35	0.69	0.31	1.95	0.75	0.25
0.80	0.55	0.45	1.40	0.70	0.30	2.00	0.75	0.25
0.85	0.57	0.43	1.45	0.71	0.29

A in p	yA in cm	SA (o.o)	A in p	y^in cm	SA (0.0)	A in p	yAincm	SA (0.0)
0.30	4.4	8.05X10\'³	0.70	16.4	30.0	1.10	5.5	10.1
0.35	12.0	21.96	0.75	14.3	26.2	1.20	4.2	7.6
0.40	19.3	35.3	0.80	12.3	22.5	1.30	3.3	6.0
0.4-5	25.6	46.8	0.85	10.3	18.8	1.40	2.7	4.9
0.50	25.6	46.8	0.90	8.8	16.1	1.50	, 2.3	4.2
0.55	23.4	42.8	0.95	7.7	14.1	1.60	2.1	3.8
0.60	21.0	38.4	1.00	6.9	12.6	1.70	1.8	3.2
0.65	18.7	34.8	1.05	6.1	11.3	1.80	1.6	2.9

Ai	a^i ^bAi	3 lg Ai	lg s; (0.0)	[	II	^Dr(0)Xl0-^u
0.30	0.80	1 0.431-2	13.905	0.903—1	12.239	0.017
0.35	0.80	0.632 -2	14.341	0.903-1	12.876	0.074
0.40	0.82	0.806—2	14.550	0.914—1	13.270	0.186
0.45	0.83	0.959—2	14.670	0.919—1	13.54-8	0.353
0.50	0.85	• 0.097 — 1	14.670	0.929—1	13.696	0.497
0.55	0.87	0.220—1	14.631	0.939-1	13.790	0.617
0.60	0.88	0.334—1	14 584	0.944—1	13.862	0.728
0.65	0.89	0.439—1	14.541	0.949—1	13.929	0.849
0.70	0.89	0.535—1	14.487	0.949—1	13.961	0.914
0.75	0.90	0.625—1	14.420	0.954—1	13.999	1.000
0.80	0.90	0.709—1	14.355	0.954-1	14.018	1.042
0.85	0.91	0.787-1	14.279	0.959—1	14.025	1.059
0.90	0.91	0.862 — 1	14.207	0.959—1	14.028	1.067
0.95	0.91	0.934—1	14.154	0.964—1	14.047	1.114
1.00	0.92	0.000	14.107	0.964-1	14.071	1.178
1.05	0.92	0.063	14.054	0.964-1	14.081	1.205
1.10	0.92	0.123	14.010	0.964— 1	14.097	1.250
1.15	0.92	0.183	13.943	0.964—1	14.090	1.230
1.20	0.92	0.237	13.885	0.964—1	14.086	1.219
1.25	0.92	0.291	13.842	0.964—1	14.097	1.250

Element.	n	m	2	V m	Wh = ioo	Opmerkingen.
H	4	1	54	54	100	Y, E, f.
Fe	323	56	996	18	34	Y, E, f.
Ga	43	40	436	11	22	Y, E, f.
G	24	12	47 •	4	7	f.
Ti	147	48	166	3.5	6.3	Y, E, f.
Ni	141	59	199	3.3	6.2	Y, E, f.
Mg	11	24	58	2.4	■ 4.4	Y, E, f (?)
Na.	7	23	46	2.0	3.7	Y, E, f.
Gr	125	56	110	1.9	3.6	Y, E, f.
Mn	98	55	87	1.6	2.9	Y, E, f (?)
Go	100	59	59	1.0	1.8	Y, E, f.
V	\' 74	51	37	0.72	1.3	Y, E, f.
Si	7	28	17	0.60	1.1	E. f (?)
Al	5	27	6.2	0.23	0.4	Y (?) E.
Zr	62	91	17	0.19	0.3	E.
Sc	14	4-4	6.6	0.16	0.3	E, f.
Zn	8	66	8.8	0.14	0.3	Y, E, f (?)
La	37	139	15	0.10	0.2	Y, E, f
Sr	13	87	7.3	0.08	0.1	Y, E, f (?)
Y	26	89	7.7	0.08	0.1	Y, E, f.
Ba	13	137	11	0.08	0.1	Y, E, f (?)
Ce	16	140	6.6	0.05	0.1	Y, E, f (?)
Nd •	11	144	3.7	0.026	0.05	f (?)
Gd	6	112	2.2	0.020	0.03
Cu	8	63	1.1	0.018	0.03
Ag	4	108	1.1	0.010	0.01
Pd	9	106	0.88	0.008	0.01
Pb	4	206	1.2	0.006	0.01
Be	2	9	0.06	0.006	0.01
Eb	3	166	0.84	0.005	0.01
Ru	3	102	0.29	0.0029	0.005
In	1	114	0.18	0.0016	0.003	•
Sn	2	118	0.18	0.0015	0.003
Di	2	117	0.22	0.0015	0.003	₀
Rh	1	103	0.i5	0.0015	0.003
W	1	184	0.26	0.0014	0.003
TI	3	204	0.25	0.0012	0.002
Ge	3	72	0.06	0.0008	0.001
Hg	1	200	0.06	0.0003	0.001
Bi	1	208	0.11	0.0005	0.001