A 9Vcr/\\ /GfZo

1920

Een afbeelding van het cirkelveld
= op de puntenruimte ===

7;

J. Smit

Een afbeelding van het cirkelveld op de
puntenruimte

t

Een aftali ra tiet c irMwU og li nuntenruimte

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD
VAN DOCTOR IN \'DE WIS- EN NATUUR-
KUNDE AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT
TE UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN REC-
TOR-MAGNIFICUS DR. W. VOGELSANG,
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER
LETTEREN EN WIJSBEGEERTE, VOLGENS
BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVER-
SITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN VAN
DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUUR-
KUNDE TE VERDEDIGEN OP MAANDAG
15 NOVEMBER jg^o^ DES NAMIDDAGS TE
4 UUR DOOR JAN SMIT, GEBOREN TE
GOUDA :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: ::

AAN MIJN OUDERS.

Bij het voltooien van dit proefschrift is het mij aan-
genaam U, Hoogleeraren in de Faculteit der Wis- en
Natuurkunde, te danken voor het onderwijs, dat ik van
U heb ontvangen.

In het bijzonder geldt mijn dank U, Hooggeleerde
de Vries.

Uw welwillendheid en Uw steun bij het schrijven van
dit proefschrift, Hooggeachte Promotor, zullen mij steeds
in dankbare herinnering blijven.

Ook aan U, Hooggeleerde Kapteyn. mijn bijzonderen
dank voor de van U ontvangen lessen.

INHOUD.

Bladz.

Inleiding............... 1

Hoofdstuk XVIII. De cirkels, die twee gegeven
cirkels onder eenzelfden gegeven
hoek snijden ....... 84

„ XIX. Het raakprobleem van Apollonius 88

„ XX. De cirkels, die een gegeven cirkel

/Yi onder een gegeven hoek a,\\
en een gegeven cirkel A2 onder
een gegeven hoek «₂ snijden . 94
„ XXI. Het probleem van Steineh . . 97

„ XXII. De kwadratische cirkelcongruentie 99
„ XXIII. De kromtecirkels van de parabool 105

XXIV. Conclusie . .\'......107

Stellingen..............110

/

*

INLEIDING.

In zijn „Synthetische Geometrie der Kugeln und line-
aren Kugelsysteme\'", legt Dr. Th. Reye den bol t. o. van
drie onderling loodrechte coördinaatassen vast door de
coördinaten van zijn middelpunt en door de macht t. o.
van dien bol van den oorsprong van het coördinaten-
systeem. Die vier grootheden noemt hij de coördinaten
van den bol. De ruimte van vier afmetingen, waarin
elk punt een bol afbeeldt, bestudeert hij evenwel niet.

In de Verslagen van de Kon. Akad. v. Wet. XXV,
blz. 960, bepaalt Dr. K. W. Walstra den cirkel in het
platte vlak op overeenkomstige wijze als Dr. Reyf. den
bol in de ruimte. Hij gaat evenwel een stap verder en
maakt een begin met de bestudeering van de punten-
ruimte, die het cirkelveld afbeeldt. De door hem ver-
kregen resultaten zijn in dit proefschrift, dat zich met
die afbeelding zal bezighouden, gebruikt.

HOOFDSTUK I.

Afbeelding van den cirkel, den cirkelbundel en
het cirkelnet.

§ 1. Een cirkel in het vlak XOY heeft tot verge-
lijking:

a (X² Y²) - 2 b X - 2 c Y d = 0
of

X² Y²-2-X-2-Y - = 0
a a a

b c

Door de grootheden - en de coördinaten van zijn

cl cl

middelpunt, en —, de macht van den oorsprong t. o.

cl

van den cirkel, is de cirkel geheel bepaald.

Beschouwt men nu — = x. — = y en — = z als coör-
a a ^J a

dinaten van een punt, dan wordt dit punt in de ruimte

verkregen door in het middelpunt van den cirkel een

loodlijn op het vlak XOY op te richten en daarop in

de richting van de Z as de z, d. i. de macht van den

oorsprong t. o. van den cirkel af te passen.

Het punt x | y | z is nu het beeldpunt van den cirkel.

De vergelijking van den cirkel wordt nu:

X² Y² — 2xX — 2 y Y -f z = 0.

De vergelijking van den cirkel is ook te brengen tot

den vorm:

X² Y² — 2 x X - 2 y Y x² 4- y² = r².
Hierin zijn x en y de coördinaten van het middelpunt
en is r de straal van den cirkel.

Uit de beschouwing van die beide vergelijkingen volgt,

dat tusschen de coördinaten van het beeldpunt en den
straal van een cirkel de betrekking bestaat:
x² y² = z r².

§ 2. Een cirkelbundel in het vlak X 0 Y wordt voor-
gesteld door de vergelijking:

(a, A a₂) (X² Y²) - 2 (bi A ba) X - 2 (ci Ac₂) Y
di Ad₂ = 0
of

r, a r₂ = 0

Voor de coördinaten a?, y en z van het beeldpunt
van een willekeurigen cirkel uit den bundel gelden de
betrekkingen:

bi A b₂

x = —:---

ai A a₂

_ ci a c₂
^ ~~ ai A a₂

, _di -f- A do

ai A a₂

Vervangt men nu —, —, —, door xi, vi, zi, de coördi-
ai ai ai

naten van het beeldpunt van IV en —, —, door x₂,

a₂ a₂ a₂

y₂, z«, de coördinaten van het beeldpunt van P₂, dan
worden deze betrekkingen:

_ ai xi A a₂ x₂

ai * a₂
_ ai yi A a₂ y₂
^ ai Aa»

_z_ai Zi -J- A a₂ z₂

ai *

Een cirkelbundel wordt afgebeeld door een puntenreeks
op de rechte, die gaat door de beeldpunten van de beide
cirkels, ivelke den bundel bepalen.

§ 3. Een cirkelnet in het vlak X 0 Y wordt voorge-
steld door de vergelijking:

(ai Aa₂ -l-^a3)(X² Y²)-2(b₁ Ab₂ ^b3)X-
— 2 (ci A c₂ (Jt, c₃) Y di A d₂ (Jt, d₃ = O

of

Ti Ar₂ /^r₃ = o

Voor de coördinaten x, y en z van het beeldpunt van
een willekeurigen cirkel uit het net gelden de betrek-
kingen:

_x_ai xi -f- A a₂ x₂ -f- (/, a₃ x₃

ai A a₂ (jt, a₃

\' _ ai yi A a₂ y₂ ^ a₃ y₃

^ ai A a₂ (jt, a₃

_ai Zi A a₂ z₂ ~f~ [jt, a₃ z₃

ai A a₂ (jt, a₃

Hierin zijn Xi | yi | Zi, x₂1 y₂1 z₂, x₃1 y₃1 z₃ de coördinaten

van de beeldpunten van Ti, T₂, F₃.

Elimineert men uit die betrekkingen de parameters

A a₂ u a₃ . , , .....
- en\'—-, dan zal de vergelijking,

ai

ontstaan uit die eliminatie, gelden voor de beeldpunten
van de cirkels van het net.

Een cirkelnet wordt afgebeeld door het puntenveld van
een plat vlak, dat gaat door de beeldpunten van de drie
cirkels, die dat net bepalen.

Behooren de drie cirkels tot eenzelfden bundel, dan
gaat de bovenstaande vergelijking over in een identiteit
en wordt het net onbepaald.

HOOFDSTUK II.

De puntcirkels.

In hoofdstuk I is gevonden, dat voor de coördinaten
van het beeldpunt en den straal van een cirkel de
betrekking geldt:

x² y² = z r².

Voor de coördinaten van de beeldpunten van alle
puntcirkels geldt dus:

x² -f y² = z.

De puntcirkels in het vlak XOY worden afgebeeld
door een omwentelingsparaboloide, waarvan de as samen-
valt met de Z-as en die raakt aan het vlak XOY in
den coördinatenoorsprong.

Die paraboloïde zal voortaan met Po worden aangeduid.

HOOFDSTUK III.

Orthogonaal 011 diametraal snijden van cirkels.

§ 1. Voor twee orthogonaal snijdende cirkels Tj en
en T met middelpunten | ?/i, en x | y .en stralen r en n
geldt:

(x₁-x)² (y₁-y)² = r₁² r²

Na invoering van de betrekkingen tusschen de coördi-
naten van het beeldpunt en den straal van den cirkel
(hoofdstuk I, § 1) wordt dit

2xi x -}- 2 yi y = z 4- Zi.

De beeldpunten van twee orthogonaal snijdende cirkels
worden door P₀ harmonisch gescheiden.

Beschouwt men Xi | yi | zi als de coördinaten van een
vast punt en x | y | z als loopende coördinaten, dan volgt
uit die vergelijking:

1°. De cirkels, die een gegeven cirkel orthogoncial snijden
vormen een net, dat ivordt afgebeeld door het poolvlak van
het beeldpunt van dien cirkel t. o. van P₀.

2°. Een cirkelnet is bepaald door den cirkel, die alle
exemplaren van dat net orthogonaal snijdt. (De ortho-
gonaalcirkel van het net).

§ 2. Aangezien elk punt van I"i kan worden be-
schouwd als een puntcirkel, die orthogonaal snijdt
zullen de punten van Pi, of kortweg, zal de omtrek van
Ti op Po worden afgebeeld door de ellips volgens welke
Po door het poolvlak van het beeldpunt van Fi wordt
gesneden.

De raakkegel aan Po met Xi j yi | Zi tot top en de
rechte cylinder met Ti tot richtlijn doorsnijden elkaar
gedeeltelijk volgens de kromme, die Po en het poolvlak
van xi | yi | zi t. o. van Po met elkaar gemeen hebben.

§ 3. Wanneer de cirkel Fj met middelpunt xi | yi en
straal n door den cirkel T met middelpunt x | y en
straal r diametraal wordt gesneden geldt:
{xi — x)² (yi — y)² = r² — n^a

Na invoering van de coördinaten van de beeldpunten
van F en Fi (hoofdstuk I, § 1) wordt die betrekking:
2 xi x 2 yi y — z = 2 xi² -h 2 yi² — Zi

Bij de substitutie x = Xi, y = yi, z = zi ontstaat een
identiteit.

Beschouwt men xi j yi j zi als de coördinaten van een
vast punt en x|y|z als loopende coördinaten, dan volgt
uit die vergelijking:

1°. I)e cirkels, die een gegeven cirkel diametraal snijden
vormen een net, waartoe die gegeven cirkel zelf behoort.

2°. Een cirkelnet is bepaald door den cirkel, die door
alle exemplaren van dat net diametraal wordt gesneden.

(De diametraalcirkel van het net).

De beide netten, waarvan een gegeven cirkel ortho-
gonaalcirkel, resp. diametraalcirkel is, worden wat dadelijk

blijkt uit de boven afgeleide vergelijkingen, door even-
wijdige vlakken afgebeeld. Die netten zijn aan elkaar
toe te voegen.

Het beeldvlak van het net, waarvoor een gegeven
cirkel Ti diametraalcirkel is, wordt dus gevonden als men
door het beeldpunt van dien cirkel een vlak aanbrengt
evenwijdig met het poolvlak van dal beeldpunt t. o.
van P₀.

§ 4. De voorwaarde, dat Ti door T diametraal wordt
gesneden,

(xi — x)² -f- (yi — y)² = r² — ri²
is ook te schrijven in den vorm:

(xi — x)² (yi — y)² = r² (in)⁸.

De voorwaarde, dat Ti door T orthogonaal wordt
gesneden

(xi - x)² (_yi-y)² = r² n²
is ook te.schrijven in den vorm:

(x₁-x)² (y_I-y)² = r²-(ir₁)²

Hieruit volgt:

1) Een cirkel, die een cirkel met straal n diametraal
(orthogonaal) snijdt, snijdt een anderen cirkel met het-
zelfde middelpunt en straal in orthogonaal (diametraal).

2) Orthogonaal- en diametraalcirkel van eenzelfde
cirkelnet hebben hetzelfde middelpunt; tusschen hun
stralen r^l en n bestaat de betrekking r¹ = in.

§ 5. Zijn van een cirkelnet de coördinaten van het
beeldpunt Ci van zijn diametraalcirkel xi, vi, zi en de
straal n en zijn de coördinaten van het beeldpunt C¹
van zijn orthogonaalcirkel xi, yi, z¹ en de straal r¹, dan
\'gelden de volgende betrekkingen:

xi² yi² "= zi n²

xi² yr = z^l -f- r^l2
r^l8=_n².

Hieruit volgt:

₂j_ , Zi Z¹

Xl 4" yi a •

Dit beteekent, dat de vertikale verbindingsrechte van
de beeldpunten van den diametraal- en den orthogo-
naalcirkel van eenzelfde cirkelnet door P₀ wordt midden-
doorgedeeld. Het snijpunt Co van die rechle met P₀
beeldt het gemeenschappelijke middelpunt van die beide
cirkels af.

Beschouwt men den orthogonaalcirkel van dit net als
diametraalcirkel van een ander net, dan is dat, zooals
eerder bleek, het toegevoegde net. Het beeldvlak van
dat net gaat dan door het punt C¹ en is evenwijdig
aan het beeldvlak van het andere net, dat door het
punt Ci gaat.

De orthogonaalcirkel van het tweede net wordt nu
weer gevonden door C¹ te spiegelen t. o. van Co. Voor
het beeldpunt van dien orthogonaalcirkel wordt dan
weer het punt Ci gevonden.

Het raakvlak in Co aan P₀ heeft tot vergelijking:
2x₁x 2y₁y-z = x₁² -fy,²

Dit vlak is evenwijdig aan de beeldvlakken van de
beide toegevoegde netten.

Vallen van een net orthogonaal- en diametraalcirkel
samen dan vallen de beeldpunten C^l en Ci samen in
Co en zijn die beide cirkels tot denzelfden puntcirkel
samengekrompen.

Hieruit volgt:

Alle cirkels, die door eenzelfde punt van het vlak
XOY gaan, vormen een net, dat wordt afgebeeld door
het raakvlak aan Po in het beeldpunt van dat punt.

,§ 6. Het eindresultaat is dus:

Voor twee toegevoegde netten geldt, dat hun beeldvlakken
evenwijdig zijn, dat de orthogonaalcirkel (diametraalcirkel)
van het eene net diametraalcirkel (orthogonaalcirkel)
is van het andere net, dat de verbindingsrechte van
de beeldpunten van hun orthogonaalcirkels (diarnetraal-
cirkels) loodrecht staat op het vlak XOY, dat die rechte
door Po wordt rniddendoorgedeeld, dat het raakvlak

aan Po in dat snijpunt evenwijdig loopt aan de beide
beeldvlakken en voor die vlakken het middelvlak is,
dat dit raakvlak beeldvlak is voor het net van cirkels,
die door het gemeenschappelijke middelpunt van de
orthogonaal- en de diametraalcirkels gaan.

HOOFDSTUK IV.

Soorten van cirkels.

§ 1. De vergelijking van den cirkel is (hoofdstuk I § 1):
a (X² Y²) — 2 b X — 2 c Y d = 0,
waarbij voor de coördinaten x, y en z van het beeld-
punt geldt: ^ = x,^ = y en ^ = z en waarbij
x² y² = z r² is.

De volgende gevallen doen zich voor:

1°. x en y reëel, r reëel. Het beeldpunt ligt op een
met P₀ congruente paraboloïde met vergelijking:
x² y² — z -f- r², buiten Po.

2°. x en y reëel, r imaginair. Het beeldpunt ligt op
een met P₀ congruente paraboloïde met vergelijking:
x² y² = z r², binnen Po.

3°. x en (of) y imaginair. Het beeldpunt is een ima-
ginair punt van de ruimte.

Uit de beschouwing van 1°. en 2°. volgt, in verband
met hoofdstuk III, dat wanneer bij een net de orthogo-
naal- en diametraalcirkel niet samenvallen, noodzakelijk
een van beide een imaginairen straal moet hebben.

Bijzondere gevallen:

1°. Voor o = 0 ontaardt de eirkel in een rechte.

Het beeldpunt x | y | z van die rechte wordt het on-
eindig verre punt van de rechte:
x _ y _ z^
bed

Uit hoofdstuk III, § 5, laatste alinea, volgt, dat het
beeldpunt van die rechte ligt in alle raakvlakken aan P₀
in de beelden van de punten van die rechte, d. w. z. in
alle raakvlakken aan Po in de punten van de parabool,
welke het vlak door die rechte, loodrecht op het vlak
X 0 Y, uit Po snijdt. Het beeldpunt van die rechte is dus
het oneindig verre punt van de snijlijn van twee van
die raakvlakken. Die raakvlakken omhullen een parabo-
lischen raakcylinder aan Po, waarvan de bovengenoemde
parabool de richtlijn is en waarvan de beschrijvende
lijnen dus evenwijdig loopen aan de rechten, waarvoor
het vlak door die parabool t.o. van Po het middenvlak is.

Daar ook de snijlijn van twee- van die raakvlakken
evenwijdig is aan de beschrijvende lijnen van dien cylinder
volgt hieruit:

Het beeldpunt van een rechte r is het gemeenschappe-
lijk snijpunt van het oneindig verre vlak met alle rechten,
waarvoor het vlak door — r loodrecht op het vlak X 0 Y
t.o. van Po het middenvlak is.

Hieruit volgt:

De rechten van een stralenbundel worden atgebeeld
door de punten van de oneindig verre rechte gelegen
in het raakvlak aan Po in het beeldpunt van den top
van den stralenbundel.

2°. Voor a, b, c eindig en d co groot, worden z en
r go groot en ontaardt de cirkel in de oneindig verre
rechte in het vlak X 0 Y.

Het beeldpunt van de\' oneindig verre rechte is het
gemeenschappelijke snijpunt van alle normalen op het
vlak XOY met het oneindig verre vlak.

Het beeldpunt van de oneindig verre rechte is dus het
punt, waarin Po aan het oneindig vlak raakt.

HOOFDSTUK V.

Soorten van cirkelnetten.

Een cirkelnet is bepaald door zijn orthogonaal- of zijn
diametraalcirkel (hoofdstuk III).

De indeeling van de cirkelnetten valt dus samen met
die van de cirkels.

De volgende gevallen doen zich voor:

1°. Het beeldpunt van den orthogonaalcirkel ligt
buiten Po. Het beeldvlak van het net, het poolvlakvan
het beeldpunt t. o. van Po, snijdt Po. De diametraal-
cirkel heeft een imaginairen straal. Dit net, met reëelen
orthogonaalcirkel, heet het hyperbolische net.

2°. Het beeldpunt van den orthogonaalcirkel ligt
binnen Po. Het beeldvlak van het net snijdt Po niet.

De orthogonaalcirkel heeft een imaginairen straal. Dit
net, met reëelen diametraalcirkel, heet het elliptische net.

3°. De beeldpunten. van den orthogonaal- en den
diametraalcirkel van het net zijn samengevallen in een
punt van Po.

IIet beeldvlak van het net raakt in dat punt aan P₀.
Dit net, waarbij de orthogonaal- en de diametraalcirkel
tot eenzelfde punt zijn samengekrompen, heet het para-
bolische net.

4°. De beeldpunten van orthogonaal- en diametraal-
cirkel zijn imaginair.

Dit net, dat wordt afgebeeld door een imaginair vlak,
is een imaginair net.

Bijzondere gevallen:

1°. Het beeldpunt van den orthogonaalcirkel ligt in
het oneindig verre vlak.

De orthogonaalcirkel wordt tot een orthogonaalrechte.
Alle cirkels van het net hebben hun middelpunt op die
rechte.

Hel beeldvlak van dit hyperbolische net gaat door de

orthogonaalrechte en staat loodrecht op het vlak XOY.

2°. De beeldpunten van orthogonaal- en diametraal-
cirkel van het net zijn samengevallen in het punt, waarin
Po aan het oneindige verre vlak raakt.

De oneindig verre rechte in het vlak XOY moet
worden beschouwd als een puntcirkel, die zoowel ortho-
gonaal- als diametraalcirkel is van dit parabolische net.

Het net bestaat uit alle rechten van het vlak XOY.
Het beeldvlak van dit net is het oneindig verre vlak.

HOOFDSTUK VI.

Structuur en eigenschappen van de cirkelnetten.

§ 1. Bij een hyperbolisch net is de orthogonaalcirkel
de projectie op het vlak XOY van de doorsnede van
het beeldvlak van dat net met Po (hoofdstuk III).

De punten van den orthogonaalcirkel zijn de puntcirkels
van het net..

Het beeldvlak van het net en het raakvlak aan P₀
in het beeld van het middelpunt van den orthogonaal-
cirkel loopen evenwijdig (hoofdstuk III) en snijden uit
het oneindig verre vlak een rechte, waarvan de punten
den stralenbundel door het middelpunt van den ortho-
gonaalcirkel afbeelden (hoofdstuk IV).

De rechten van het net vormen een stralenbundel,
die tot top heeft het middelpunt van den orthogonaal-
cirkel. Zijn de coördinaten van het beeldpunt van den
orthogonaalcirkel xi, yi, Zi en is de straal n, dan is,
(hoofdstuk III) de vergelijking van het beeldvlak van het
net: 2 x xi 2 yyi =z zi, waarbij xi²-fyi² = zi n².
Doorsnijdt men de paraboloïde, die tot vergelijking heeft:
x² y² = z r², met dit beeldvlak, dan is de verge-
lijking van de projectie van de snijkromme op het
vlak XOY:

_X2 y² = 2 x X! 2 y yi - zi r²
of

x² y² — 2 xi x — 2 yi y xt² yi² = Xi²
yi² — zi r² = n² r².

De middelpunten van de cirkels uil een hyperbolisch
net, die denzelfden straal r hebben, liggen op een cirkel,
concentrisch met den orthogonaalcirkel, en niet een

straal W r*. ⁴

De vergelijking van een willekeurigen cirkel in het
vlak X 0 Y was (hoofdstuk. I):

X² -f Y² — 2xX — 2 y Y z = 0.

Voor de cirkels uit het net geldt:

2 x xi 2 y yi = z zi

De vergelijking van een cirkel uit het net is nu:
X² Y² — 2 x X — 2 y Y -f 2 x xi 2 y yi — zi = 0.

Iedere substitutie voor x en y bepaalt een cirkel uit
het net.

De macht van een willekeurig punt van het vlak X 0 Y
t. o. van dien cirkel hangt af van x en y en is dus ver-
schillend voor alle cirkels van het net.

Schrijft men de vergelijking van dien cirkel in den
vorm:

X² Y² — 2 x (X — xi) — 2 y (Y — y,) — zi = 0,
dan blijkt, dat alleen de substitutie X = xi, Y = y, het
linkerlid een waarde geeft, onafhankelijk van x en y.

Voor die substitutie wordt het linkerlid:
xi² yi² — zi d. i. ri².

Bij een hyperbolisch net bestaat er één punt, waarvan
de macht t. o. van alle cirkels van dat net even groot
is, het middelpunt van den orthogonaalcirkel. Die macht
is positief en gelijk aan het kwadraat van den straal
van den orthogonaalcirkel.

§ 2. De rechten uit het beeldvlak snijden of raken
Po, of liggen er buiten.

De cirkelbundels van een hyperbolisch net hebben

twee reëele, twee samenvallende of twee imaginaire
puntcirkels.

§ 3. Voor het parabolische net wordt, op geheel
dezelfde wijze als voor het hyperbolische net, afgeleid,
dat de rechten van het net een stralenbundel vormen
met het vaste punt tot top, dat de middelpunten van de
cirkels met gelijken straal r op een cirkel liggen met
straal r en met het vaste punt lot middelpunt, dat er
één punt is, het vaste punt, waarvan de macht t. o. van
alle cirkels van het net gelijk en wel nul is en dat de
bundels van het net of twee samenvallende of twee
imaginaire puntcirkels hebben.

Voor het elliptische net geldt, dat zijn rechten een
stralenbundel vormen met het middelpunt van den
diametraalcirkel tot top, dat de middelpunten van de
cirkels met gelijken straal r op een cirkel liggen con-
centrisch met den diametraalcirkel, dat de straal van
dien cirkel is V^r² — n², waarbij ri is de straal van den
diametraalcirkel, dat er één punt is waarvan de macht
t. o. van alle cirkels van het net even groot is en wel
— ri², het middelpunt van den diametraalcirkel, en dat
de bundels van het net elk twee imaginaire puntcirkels
hebben.

§ 4. De beelden van den orthogonaalcirkel en den
imaginairen diametraalcirkel van een hyperbolisch net
liggen op een rechte loodrecht op het vlak X O Y, die
middendoorgedeeld wordt door P₀ in het punt, dat het
gemeenschappelijke middelpunt van de beide cirkels af-
beeldt (hoofdstuk III). Het beeld van den imaginairen
diametraalcirkel is het middelpunt van de ellips door
het beeldvlak van het net uit P₀ gesneden.

Zijn xx, yi, Zi de coördinaten van het beeld van den
orthogonaalcirkel met straal n, dan zijn de coördinaten
van de beelden van zijn middelpunt en den imaginairen
diametraalcirkel resp. (hoofdstuk III):

xi | yi | xi² yi²
en

xi | ji | 2 xx² 2 _yi² - Zj
Na invoering van de betrekking Xi² yi² = zi -f ri²
zijn de coördinaten van het beeldpunt van den diametraal-
cirkel ook te schrijven als:

xi | y_t | xi² yi² ri².
Dit punt ligt op de paraboloide, die tot vergelijking
heeft:

2 19 O

x" y — z - ri".
Het raakvlak aan die paraboloide in dat punt heeft
tot vergelijking:

. z xi² yi² ri²
x xi -h y yi =-^-----i\'i²

of

2 x xi 2 y yi = z zi
Het raakvlak is identiek met het beeldvlak van het net.
De beeldvlakken van de hyperbolische netten met
orthogonaalcirkels met gelijken straal n omhullen de
met Po congruente paraboloide, die tot vergelijking heeft:

x² -f- y² = z — ri²
en raken die paraboloide aan in de beeldpunten van
de imaginaire diametraalcirkels van die netten.

Op overeenkomstige wijze wordt gevonden, dat de\'
beeldvlakken van de elliptische netten met diametraal-
cirkels met gelijken straal n, de paraboloide omhullen,
die tot vergelijking heeft:

x² y² = z n²
en dat die beeldvlakken de paraboloide aanraken in de
beeldpunten van de diametraalcirkels van die netten.
Elke rechte in het beeldvlak van het elliptische net,
die gaat door het beeldpunt van den diametraalcirkel,
heeft met de paraboloide: x² y² == z rr twee samen-
vallende punten gemeen.

In eiken cirkelbundel van het elliptische net, die den
diametraalcirkel bevat, moet die cirkel als tweevoudig
worden beschouwd.

HOOFDSTUK VII.

Toegevoegde cirkelbundels en machtlijnen.

§ 1. De cirkels door een punt in liet vlak XOY
worden afgebeeld door de punten van het raakvlak aan
Po in het beeld van dat punt (hoofdstuk III).

De cirkels door twee vaste punten in het vlak XOY
worden afgebeeld door de gemeenschappelijke rechte van
de beide raakvlakken aan Po in de beelden van clie punten.

Die cirkels vormen een bundel met twee imaginaire
puntcirkels. (Elliptische bundel).

De verbindingsrechte van de beelden der beide vaste
punten beeldt een cirkelbundel af, die de basispunten
van den elliptischen bundel tot puntcirkels heeft. (Hyper-
bolische bundel).

Deze beide bundels zijn aan elkaar toe te voegen.
Zijn de coördinaten van het beeldpunt van het eene
vaste punt Xi|yi|zi en die van het andere x₂ ] y2 |z₂,
dan zijn de vergelijkingen van de beeldrechte van den
elliptischen bundel:

i z zi
Xi x yi y = - -

en

, Z Z₂

x₂ x y₂ y = —

De projectie van die beeldrechte op het vlak XOY,
de centraal van den elliptischen bundel, heelt tot ver-
gelijking:

(Xi — x_a) x (y, — y₂) y = _g ²²

Na invoering van de betrekkingen:

zi = xi² yi² en z₂ = x₂² y₂²

wordt dit:

(x, - x (y, -y,)T-

De centraal van den hyperbolischen bundel heeft tot
vergelijking:

(xi — x₂) (y — yi) — (yi — y₂) (x — xi) = 0.

De centralen van de beide toegevoegde bundels snijden
elkaar loodrecht in een punt, dat tot coördinaten heeft

^{Xl X}\'² Dit punt ligt in het midden tusschen

de beide puntcirkels of de beide vaste punten.

§ 2. De beeldrechten van twee toegevoegde bundels
zijn t. o. van Po toegevoegde poollijnen.

Hieruit volgt:

1°. Elke cirkel van den eenen bundel snijdt alle
cirkels van den anderen bundel orthogonaal.

Hel middelpunt van eiken cirkel van den eenen bundel
heeft dus (hoofdstuk VI) dezelfde macht l.o. van alle
cirkels van den anderen.

Elk van de beide centralen van twee toegevoegde
bundels is machtlijn voor den anderen bundel.

De machtlijn van een hyperbolischen bundel deelt
de verbindingslijn van de puntcirkels van dien bundel
loodrecht middendoor; de machtlijn van een elliptischen
bundel gaat door zijn basispunten.

2°. De vlakken door elk van de beide beeldrechten
van twee toegevoegde bundels, loodrecht op het vlak
XOY, zijn middelvlakken t. o. van P₀ voor de koorden
evenwijdig aan de andere beeldrechte.

De snijlijn van elk van de beide vertikale vlakken
met het vlak XOY wordt afgebeeld door het gemeen-
schappelijke snijpunt van het oneindig verre vlak met
de rechten evenwijdig aan de beeldrechte van den bundel,
in het andere vertikale vlak gelegen (hoofdstuk IV),
d. w. z. de machtlijn van een cirkel bundel wordt afge-
beeld door het gemeenschappelijke snijpunt van het
oneindig verre vlak met de rechten evenwijdig aan de
beeldrechte van den bundel.

De machtlijn van een cirkelbundel is de eenige tot

dien bundel behoorende cirkel, die in een rechte is
ontaard.

Alle cirkelbundels door evenwijdige rechten afgebeeld
hebben een gemeenschappelijke machtlijn.

§ 3. Het snijpunt van de centralen der beide toege-

yi y2
2 \'

is de projectie van de beelden van twee cirkels, die elk
tot een van die bundels behooren.

Die beeldpunten worden door Po harmonisch gescheiden
en bijgevolg wordt hun verbindingsrechte, een loodlijn
op het vlak XOY, door P₀ middendoorgedeeld.

Beschouwt men die punten als beelden van orthogo-
naalcirkels van toegevoegde netten (hoofdstuk III), dan
liggen de beeldrechten van die beide toegevoegde bundels
elk in een beeldvlak van een van die beide netten en
is het raakvlak aan Po evenwijdig aan die beide beeld-
rechten.

Voor twee toegevoegde netten is er slechts één cirkel
met reëelen straal, die voor het eene net als orthogonaal-
cirkel en voor het andere als diametraalcirkel optreedt.

Aangezien er slechts één paar toegevoegde netten
bestaat, waartoe die toegevoegde bundels behooren, volgt
hieruit, dat er slechts één cirkel is met reëelen straal,
die orthogonaalcirkel is voor een hyperbolischen en
diametraalcirkel voorden toegevoegdenelliptischen bundel.

yi ya
2

den elliptischen bundel en gaat door de beide punten
met coördinaten Xi | yi en x₂1 y₂.

Het middelpunt van dien cirkel is in elk van beide
bundels als het middelpunt van den bundel te beschouwen.

Aangezien iedere bundel tot één net behoort, waarvan
de orthogonaalcirkel (diametraalcirkel) met zijn orthogo-
naalcirkel (diametraalcirkel) samenvalt, vormen zijn cirkels
met gelijken straal paren, waarvan de middelpunten

symmetrisch liggen t. o. van zijn middelpunt (hoofdstuk VI).
In den elliptischen bundel is die diametraalcirkel voor
twee te tellen (hoofdstuk VI).

Een cirkelbundel is dus geheel bepaald door zijn beide
basispunten of door zijn beide puntcirkels.

§ 4. Raakt de beeldrechte van een bundel aan Po,
dan zal ook de beeldrechte van den toegevoegden bundel
in hetzelfde punt aan P₀ raken.

In beide bundels zijn de beide vaste punten (punt-
cirkels) vereenigd. (Toegevoegde parabolische bundels).

Alle cirkels van den eenen bundel snijden alle cirkels
van den toegevoegden bundel orthogonaal in de projectie
op het vlak XOY van het gemeenschappelijke raakpunt
van de beide beeldrechten.

Alle cirkels van een parabolischen bundel raken in
hetzelfde punt aan dezelfde raaklijn.

Omgekeerd bepalen twee rakende cirkels een bundel,
die wordt afgebeeld door een aan P₀ rakende rechte.

Hieruit volgt, dat de cirkels, die een gegeven cirkel
aanraken, worden afgebeeld door de punten van den
raakkegel aan Po, die het beeldpunt van den cirkel tot
top heeft.

De snijkromme van dien raakkegel met het oneindig
verre vlak beeldt het raaklijnenstelsel van den cirkel af.
Ontaardt de cirkel in een puntcirkel, dan ontaardt de
raakkegel in het raakvlak aan Po in het beeld van
dat punt en ontaardt de cirkel in een rechte, dan ont-
aardt de raakkegel in den raakcylinder aan Po, waarvan
de richtlijn de parabool is, welke Po gemeen heeft met
het vlak door die rechte loodrecht op het vlak XOY
en waarvan de beschrijvende lijn de richting heeft van
de koorden, waarvoor dat vertikale vlak t. o. van Po
het middelvlak is.

§ 5. Bijzondere toegevoegde bundels:

1°. Staat de beeldrechte van een bundel loodrecht

op het vlak X 0 Y, dan valt een van zijn snijpunten
met Po samen met het punt, waarin het oneindig verre
vlak aan Po raakt. De beeldrechte van den toegevoegden
bundel is dus de snijlijn van het raakvlak aan Po in
het andere snijpunt met het oneindig verre vlak.

De eene bundel is een bundel concentrische cirkels,
welke het snijpunt van de vertikale beeldrechte met het
vlak X 0 Y tot middelpunt heeft. Die bundel is hyper-
bolisch. De puntcirkels zijn het gemeenschappelijk middel-
punt van de concentrische cirkels en de oneindig verre
rechte in het vlak X 0 Y.

De toegevoegde bundel is een stralenbundel met het
middelpunt van de concentrische cirkels tot top.

Die bundel is elliptisch.

De basispunten zijn de top van den stralenbundel en
de als een punt beschouwde oneindig verre rechte in
het vlak X 0 Y.

2°. Raakt de beeldrechte van een bundel aan Po in
hetzelfde punt, waarin Po het oneindig verre vlak aan-
raakt, dan raakt ook de beeldrechte van den toegevoegden
bundel aan P₀ in datzelfde punt.

Elk van de beide toegevoegde parabolische bundels
bestaat uit een bundel evenwijdige rechten in het vlak
XOY. De beide bundels snijden elkaar loodrecht. Voor
elk van beide bundels is de oneindig verre rechte in
het vlak XOY tweemaal als puntcirkel of tweemaal
als vast punt te beschouwen.

§ 6. Beschouwt men een rechte als den drager van
punten, die orthogonaalcirkels van netten afbeelden, dan
hebben de beeldvlakken van die netten de poollijn van
die rechte t. o. van P₀ gemeen. Die netten hebben dus
den bundel gemeen toegevoegd aan den bundel van hun
orthogonaalcirkels. Die netten vormen een netbundel.
De gemeenschappelijke bundel van twee hyperbolische
nellen, gegeven door hun orthogonaalcirkels, is de bundel
toegevoegd" aan den bundel bepaald door die beide

orthogonaalcirkels. Snijden die orthogonaalcirkels elkaar,
dan is de gemeenschappelijke bundel hyperbolisch, raken
ze elkaar, parabolisch en liggen ze buiten elkaar, elliptisch.

HOOFDSTUK VIII.

Do pooltetraeders van P₀ en de orthocentrische groep.

§ 1. De hoekpunten van elk der oc" pooltetraeders
van Po beelden vier elkaar orthogonaal snijdende cirkels
af. Een van de hoekpunten ligt altijd binnen P₀; een
van de vier cirkels heeft altijd een imaginairen straal.
Twee overstaande ribben van een pooltetraeder beelden
toegevoegde bundels af; zij worden op het vlak X 0 Y
geprojecteerd als elkaar loodrecht snijdende rechten
(hoofdstuk VII).

Hoekpunten en ribben van een pooltetraeder worden
op het vlak X 0 Y geprojecteerd als een volledige vier-
hoek met zijn zes -zijden. Die zes zijden zijn te rang-
schikken in drie paar elkaar orthogonaal snijdende rechten.

Het middelpunt van elk van vier onderling orthogonaal
snijdende cirkels is het hoogtepunt van den driehoek,
die de middelpunten van de drie andere cirkels tot
hoekpunten heeft.

De eigenschap, dat drie elkaar orthogonaal snijdende
cirkels één cirkel bepalen, die die drie orthogonaal snijdt
en dat die vier onderling orthogonaal snijdende cirkels
gelijkwaardig zijn, omvat de eigenschap, dat de drie
hoogtelijnen van een driehoek door één punt gaan en
dat in de orthocentrische groep, die ontstaat uit de drie
hoekpunten en het hoogtepunt van den driehoek die
vier punten gelijkwaardig zijn, m. a. w. dat elk van die
vier punten het hoogtepunt is van den driehoek bepaald
door de andere drie.

§ 2. Een hoekpunt van een pooltetraeder is pool
van het overstaande zijvlak; de loodlijn op het vlak
XOY door dat punt snijdt P₀ in een punt, dat in het midden
ligt tussehen het hoekpunt en haar snijpunt met het
zijvlak (hoofdstuk III). Het raakvlak aan P₀ in dat
deelpunt loopt evenwijdig met het zijvlak (hoofdstuk III).

De raakvlakken aan Po in haar snijpunten met de
rechten, loodrecht op het vlak XOY door de hoekpunten
Ai, A₂, A₃, Ai van een pooltetraeder getrokken, bepalen
een tetraeder met hoekpunten Bi, B2, B3, B₄, waarvan
de zijvlakken evenwijdig zijn met die van den pool-
tetraeder.

Elk zijvlak van dien raaktetraeder is middelvlak voor
een hoekpunt en het overstaande zijvlak van den pool-
tetraeder. Die raaktetraeder is, wat blijkt na een een-
voudige stereometrische beschouwing, symmetrisch met
den pooltetraeder. Elke ribbe van den eenen tetraeder
wordt door een ribbe van den anderen tetraeder midden-
doorgedeeld.

Het hoekpunt Bi van den raaktetraeder wordt uit
den pooltetraeder gevonden door het midden van Ai A.₄
te spiegelen t. 0. van het midden van de verbindings-
rechte van de middens van A₂ A4 en A₃ A₄.

Zijn de coördinaten van Ai, resp. A2, enz., Xi | yi | Zi,
resp. x₂ | y₂1 z₂, enz., dan wordt voor den ^-coördinaat
van het punt Bi gevonden:

X₂ -1 x₄ , X3_ JU _ Xi X4 _ X₂ X3 X4 — Xi
2 2 2 2

De coördinaten van het punt Bi zijn dus:

y2 ys y₄ — yi I z₂ z₃ z4— zi

1_ (Xa 4~ X-t — Xl , X₃ X4 X! — X₂ |

4 V 2 ~ ~  2

, X4 -f Xl -f- X° — X3 Xl -f- X2 -f X3 — x₄\\ _
2 2 ) ~
_ Xl 4 x₂ x₈ Xi
4

De coördinaten van dat punt Z zijn dus:

Xl X₂ X₃ X4

yi y₂ y₃ y4
4

Raak- en pooltetraeder hebben hetzelfde zwaartepunt.
Het punt in het midden gelegen tusschen een punt Ai
en een punt Bi heeft tot x-coördinaat:
I X₂ x₃ x₄ — Xl

2 X1 X2 X3 X4

2 4

De coördinaten van dat punt zijn dezelfde als die van
liet punt Z. Voor elk van de beide tetraeders geldt,
dat door spiegeling van zijn hoekpunten t. o. van zijn
zwaartepunt de hoekpunten van den anderen letraeder
zijn te bepalen.

§ 3. De hoekpunten A van den pooltetraeder worden
op het vlak X 0 Y in de punten A^p van een orthocen-
trische groep geprojecteerd.

De ribben van de beide tetraeders loopen twee aan
twee evenwijdig. De hoekpunten van den raaktetraeder
worden dus eveneens in een orthocentrische groep ge-
projecteerd. Elk van de zes verbindingsrechten van
twee van die punten B^p is evenwijdig aan een van de
zes verbindingsrechten van twee van die punten A^p.

Uit de symmetrische ligging van de beide tetraeders
volgt bovendien, dat die twee orthocentrische groepen
congruent zijn.

Beide groepen hebben hetzelfde zwaartepunt met
coördinaten Vt (^xi x₂ -f- x₃ x₄) | V¹ (yi y2 ys -f- y-»)
Elk punt van de eene groep wordt uit het toegevoegde

punt van de andere groep verkregen door dat punt t. o.
van het zwaartepunt van zijn groep te spiegelen.

De ribben Ai A₂ en A₃ A4 zijn t. 0. van Po toegevoegde
poollijnen, de ribben Ai A₂ en B₃ B4 cleelen elkaar midden-
door, de ribben A₃ A₄ en B₃ B₄ loopen evenwijdig.

Toegevoegde poollijnen worden op het vlak XOY
als loodrecht snijdende rechten geprojecteerd (hoofd-
stuk VII).

Hieruit volgt, dat Ai^pA₂^p en B₃^PB4^P elkaar loodrecht
middendoordeelen.

Elk van de zes zijden van den volledigen vierhoek,
bepaald door de punten van een orthocentrische groep,
wordt door een zijde van den volledigen vierhoek, be-
paald door de toegevoegde orthocentrische groep, lood-
recht middendoorgedeeld of m. a. w.:

Elk punt van een orthocentrische groep wordt door
spiegeling t. 0. van de drie verbindingsrechten van de
niet aan dat punt toegevoegde punten van de toegevoegde
orthocentrische groep in de drie andere punten van zijn
groep omgezet.

§ 4. De. punten van een orthocentrische groep fun-
geeren als de projecties van de hoekpunten van slechts
één pooltetraeder.

De punten A^p bepalen op ondubbelzinnige wijze één
tetraeder met hoekpunten B, die aan Po raakt in de
beeldpunten van die punten. Uit dien tetraeder wordt
dan door spiegeling van de hoekpunten t. 0. van het
zwaartepunt de pooltetraeder A verkregen. De punten
B worden geprojecteerd in de punten B^p, de toegevoegde
orthocentrische groep van die van de punten A^p; de
punten A worden geprojecteerd in de punten A^p.

De orthocentrische groep-van de punten A^p is on-
wrikbaar verbonden aan den raaktetraeder met hoek-
punten B en den pooltetraeder met hoekpunten A.

Uit de gelijkwaardigheid van de beide orthocentrische
groepen A^p en B^p volgt nu, dat bij de punten B^p een

raaktetraeder behoort met hoekpunten G en een pool-
tetraed.er met hoekpunten D. De punten G worden op
het vlak X 0 Y geprojecteerd in de punten A^p, de punten
D in de punten. B^p.

Beschouwt men nu de punten A, B, G en D als
beeldpunten van cirkels, dan beelden de punten A resp.
D, vier onderling orthogonaal snijdende cirkels af met hun
middelpunten in de punten A^p, resp. B", en de punten
B, resp. G, vier cirkels beschreven om telkens drie punten
van de orthocentrische groep van de punten A^p, resp.
B^p. Immers het punt Br is gelegen in drie vlakken,
die aan Po raken in de beelden van de punten
A₂^p, A₃^p, A₄^p en bijgevolg het beeldpunt van den cirkel-
door die drie punten (hoofdstuk III). Het punt Bi" is
het middelpunt van dien cirkel.

§ 5. De acht punten B en G beelden cirkels met
gelijke stralen af.

Bewijs: De ribben Ai A₂ en Aa A* zijn toegevoegde
poollijnen, Ai^p A₂^P is dus de machtlijn van den bundel
afgebeeld door A₃ A4 (hoofdstuk VII). B₃ B4 is even-
wijdig met A₃ A-4. De bundel afgebeeld door B_s Bi heeft
dus ook Ai^pA₂^p tot machtlijn (hoofdstuk VII).

Eerder is reeds gebleken, \'dat Ai" A»^p en B₃^P B.j^p elkaar
loodrecht middendoordeelen.

De middelpunten van de cirkels met beeldpunten B₃
en Bi liggen dus symmetrisch t. 0. van de machtlijn
van den bundel, waartoe zij behooren. De cirkels met
beeldpunten Bs en Bi hebben denzelfden straal. Bij-
gevolg ook de cirkels met beeldpunten Bi en B₂.

De cirkels met beeldpunten G hebben dan ook alle
vier denzeltden straal.

Uit de congruentie van de beide orthocentrische groepen
volgt dadelijk, dat de stralen van de cirkels met beeld-
punten B gelijk zijn aan die van de cirkels met beeld-
punten G.

§ 6. Twee cirkels met gelijke stralen worden door
hun machtlijn in elkaar gespiegeld.

De cirkels met beeldpunten B₂, B3 en B₄ worden
respectievelijk door de machtlijnen A₃^P A₄^P, A₄^P A₂^P, A₂^P A₃^P
in den cirkel met beeldpunt Bi gespiegeld. De cirkels
met beeldpunten B₂, B₃ en B₄ hebben het punt Ai^p ge-
meen. Dit punt wordt dus door die machtlijnen ge-
spiegeld op den omgeschreven cirkel van de punten
A₂^p, A₃^r, A₄^p, den cirkel met middelpunt Bi^p.

§ 7. Het resultaat is dus:

De middelpunten van de cirkels om telkens drie punten
van een orthocentrische groep beschreven vormen weer
een orthocentrische groep. De middelpunten van de
cirkels om telkens drie punten van die tweede groep
beschreven vormen weer de eerste groep.

De stralen van die acht omgeschreven cirkels zijn even
groot. De beide orthocentrische groepen zijn congruent.

Elke verbindingsrechte van twee punten van de eene
groep is evenwijdig aan een verbindingsrechte van twee
punten van de andere groep van dezelfde lengte.

De be\'ide orthocentrische groepen hebben hetzelfde
zwaartepunt. Elk punt van de eene groep wordt door
dat zwaartepunt in het toegevoegde punt van de andere
groep gespiegeld. Elk punt van een orthocentrische
groep wordt\' door de verbindingsrechten van de drie
niet aan dat punt toegevoegde punten van de andere
groep in de drie overige punten van zijn groep gespiegeld.

Elk punt van een orthocentrische groep wordt door
cle verbindingsrechten van de overige drie punten van
zijn groep gespiegeld in drie punten, op een cirkel ge-
legen, waarvan het toegevoegde punt van de andere
groep het middelpunt is.

Voor den driehoek luidt deze laatste stelling:

Het hoogtepunt van den driehoek wordt door de zijden
van den driehoek gespiegeld in drie punten van den
omgeschreven cirkel van dien driehoek.

§ 8. Een orthocentrische groep van punten A^p be-
paalt, zooals boven bleek, op één manier een raaktetraeder
met hoekpunten B. Die raaktetraeder bepaalt weer op
één manier een pooltetraeder met hoekpunten A, die in de
punten A^p op het vlak X 0 Y worden geprojecteerd.

Die orthocentrische groep bepaalt ook weer op één
manier de orthocentrische groep van de punten B^p. Uit die
groep wordt weer op één manier een raaktetraeder ver-
kregen met hoekpunten G, die in de punten A^p op het
vlak XOY worden geprojecteerd. ,

Hieruit volgt:

De punten van een orthocentrische groep zijn middel-
punten van slechts één stel van vier elkaar orthogonaal
snijdende cirkels en van slechts één stel van vier cirkels
met gelijke stralen, beschreven om telkens drie punten
van een andere orthocentrische groep.

Aangezien een orthocentrische groep reeds door drie
van zijn punten is bepaald, volgt hieruit, dat de beide
stellen cirkels door drie van hun middelpunten volkomen
zijn bepaald.

Van vier elkaar orthogonaal snijdende cirkels is dus
de straal van den vierden cirkel uit die van de drie
andere cirkels af te leiden.

Die betrekking, hier niet afgeleid, is:

^ t A =

rr r₂² r₃² iv

Voor de cirkels van het tweede stel geldt, dat ze
telkens met drieën een punt van een orthocentrische
groep gemeen hebben. Zijn die vier cirkels nu door
drie van hun middelpunten gegeven, dan is het gemeen-
schappelijke punt van de drie cirkels, welke die drie
punten tot middelpunten hebben, het middelpunt van
den cirkel beschreven om die drie punten.

Omgekeerd volgt hieruit, dat drie cirkels met gelijke
stralen, die door een punt gaan, nog drie snijpunten
hebben, die met dat punt een orthocentrische groep
vormen.

§ 9. De beeldpunten van drie onderling orthogonaal
snijdende cirkels bepalen het beeldpunt van den bijbe-
hoorenden vierden cirkel als de pool van het door die
drie punten bepaalde vlak.

De beeldpunten van drie cirkels met gelijke stralen
door één punt, die dus in één raakvlak aan P₀ liggen,
bepalen het beeldpunt van den vierden bijbehoorenden
cirkel als het gemeenschappelijk snijpunt van de drie
andere raakvlakken, telkens door twee van die punten
aan P₀ aan te brengen.

§ 10. De straal R van de cirkels met beeldpunten
B en G is te bepalen uit de oude betrekking tusschen
coördinaten en straal van den cirkel door een van die
punten afgebeeld.

Voor het punt Bi b.v. geldt:

ri² r₂² r₃² 4 r₄²

xi | yi | xr yr
x₂1 y₂1 x₂² 4 y₂² —

enz.

De coördinaten van het zwaartepunt van den tetraeder
met hoekpunten C zijn dus:

£ xi² yi² _ ^IL²
i 4 i 4

Na invoering weer van de vier betrekkingen van den
vorm:

Xi² yi² — n² = Zi

vindt men:

yi • f- y2 yg y4
4

Dit zijn weer de coördinaten van het punt Z.
De vier tetraeders met hoekpunten A resp. B, C, D
hebben hetzelfde zwaartepunt Z.

De straal p van den door het punt Z afgebeelden
cirkel wordt weer op de gewone wijze gevonden als:

^ _ ^xi 4- x₂ 4- xb 4 X₄y ^ ^yi yz ys y<y _
Zi Z₂ -f Z₃ 4- Z₄

Xi X₂ x₃ x₄

Na invoering weer van de vier betrekkingen van den
vorm: xr 4" yi^{2 =} zi n² en de zes betrekkingen van

den vorm: xi x₂ 4 yt y₂ = "jjf ⁷\'~ vindt men:

.,_ri² r₂²-j-r₃² 4-r4²__TR²
P 1G 4

R

Z^p, de projectie van het punt Z, is het punt waardoor
de punten van de beide orthocentrische groepen A^p en
B^p in elkaar worden gespiegeld.

Elk van de punten A^p, resp. B^p, is nu het uitwendig

gelijkvormigheidspunt van den cirkel met straal R en
het toegevoegde punt B^p, resp. A^p tot middelpunt en
den cirkel met straal Va R en Z^p tot middelpunt.

De cirkel met middelpunt B^ gaat door de punten
A₂^p, A₃^p, A₄^p. De cirkel met middelpunt Z^p bevat dus
de middens van de rechten, die Ai^p met A»^p, resp. A3^P,
A₄^P verbinden.

De middens van de zes verbindingsrechten der vier
punten van de orthocentrische groep van de punten
A^p liggen op den cirkel Z^p. Eveneens in diezelfde punten
de zes middens van de verbindingsrechten van de
punten B^p.

De cirkel beschreven om de punten A₂^P, Aa^p, A₄^P bevat
ook de punten, waarin het punt Ai^p door de zijden
A₂^p A₃^p, A₃^p A₄^p, A₄^p A₂^p wordt gespiegeld.

De cirkel Z^p bevat dus de snijpunten van elk van de
drie paar orthogonaal snijdende rechten, die gaan dooi-
de punten van de orthocentrische groep van de punten A^p.
Eveneens bevat die cirkel Z". de snijpunten van elk van
de drie paar orthogonaal snijdende rechten van de
punten B^p.

Die cirkel Z^p, de negenpuntscirkel van den driehoek
A₂^p A₃^p A₄^p treedt hier op als de twaalfpuntscirkel voor
de beide toegevoegde orthocentrische groepen A^p en B^p.

§ 12. Het zwaartepunt Zi van den driehoek A₂^p A₃^p A₄^p
heeft tot coördinaten:

y₂ ja y4
3

3

De coördinaten van het punt Z" zijn:

XI x₂ x₃ x₄ [ yi -f y₂ -f y₃ -f y₄
4 I 4

en die van het punt Bi^p

x₂ x₃ x₄ — xi j y₂ ya y4 — yi
2 | 2
Het punt Zi ligt op de rechte Z^p Bj^p, wat dadelijk
blijkt uit het vergelijken van die coördinaten.
Verder blijkt daaruit, dat Z^p Zi = Z^p Bi^p.

De zwaartepunten van de vier driehoeken, die telkens
drie punten van een orthocentrische groep tot hoekpunten
hebben, worden verkregen door uit het middelpunt van den
negenpuntscirkel de afstanden tot de middelpunten van
de omgeschreven cirkels van die driehoeken tot op ^lls
te verkleinen.

Die zwaartepunten vormen dus een orthocentrische
groep, die, gespiegeld t. o. van het middelpunt van den
negenpuntscirkel, weer een orthocentrische groep geeft.

De punten van die groep zijn de zwaartepunten van
de driehoeken, die telkens drie punten van de orthocen-
trische groep B¹\' lot hoekpunten hebben.

Bij deze toegevoegde orthocentrische groepen behooren
weer acht cirkels met straal Vs R.

Uit deze beschouwingen volgt nu de bekende stelling:

Voor den omgeschreven- en den negenpuntscirkel van
een driehoek is het hoogtepunt het uitwendig-, het
zwaartepunt het inwendig gelijkvormigheidspunt.

§ 13/ Zijn in driehoek A₂" A₃^P A₄^P de punten V₂, V₃, V₄
de voetpunten van de hoogtelijnen op de zijden, dan is
dadelijk in te zien, dat het punt Ai^p en de punten
A«^p, A₃^p, A₄^p de middelpunten zijn van den ingeschreven
en de aangeschreven cirkels van den driehoek V₂ V₃ V₄.

De middelpunten van den in- en de aangeschreven
cirkels van een driehoek of kortweg de middelpunten
van de raakcirkels van een driehoek vormen een ortho-
centrische groep.

De punten V₂, V₃, V₄ liggen op den negenpuntscirkel
van den driehoek A₂^PA₃^PA₄^P met straal \\\'₂R; de vier
cirkels door telkens drie van de vier punten A^p hebben
denzelfden straal R.

Hieruit volgt: De cirkels door telkens drie punten van de
orthocentrische groep, gevormd door de middelpunten
der raakcirkels van een driehoek, hebben een straal,
die tweemaal zoo groot is als de straal van den om-
geschreven cirkel van den driehoek.

De orthocentrische groep gevormd door de middel-
punten van de raakcirkels van een driehoek heeft den
omgeschreven cirkel van dien driehoek tot negenpunts-
cirkel en zijn middelpunt tot zwaartepunt.

Hieruit volgt nu:

Voor den omgeschreven cirkel van een driehoek en
den cirkel, bepaald door de middelpunten van drie der
raakcirkels van dien driehoek, is het middelpunt van
den vierden raakcirkel het uitwendig-, het zwaartepunt
van den driehoek, die de middelpunten van die drie
raakcirkels tot hoekpunten heeft, het inwendig gelijk-
vormigheidspunt.

§ 14. Is p de straal van den negenpuntscirkel van een
orthocentrische groep van punten A^p en is Z^p het middel-
punt van dien cirkel, tevens zwaartepunt van die groep,
dan zijn de stralen van de cirkels beschreven om de
driehoeken,\' die hun hoekpunten in telkens drie punten
van die groep hebben gelijk aan 2 p.

De middelpunten van de raakcirkels van elk van die
vier driehoeken vormen vier orthocentrische groepen.
Voor elk van die orthocentrische groepen is de omge-
schreven cirkel van den bijbehoorenden driehoek de
negenpuntscirkel en het middelpunt van dien cirkel, een
van de punten B^p, het zwaartepunt. Aangezien Z^p het
zwaartepunt is van de punten B^p volgt hieruit, dat Z^p ook
het zwaartepunt is van de zestien middelpunten van
raakcirkels.

De zestien cirkels beschreven om telkens drie punten
uit een van elk van die vier orthocentrische groepen
hebben, wat dadelijk blijkt, een straal 4 p. Aangezien de
middelpunten van elk van. die vier viertallen cirkels
worden verkregen door spiegeling van de punten van
elk van die vier orthocentrische groepen t. o. van het
bij die groep behoorende zwaartepunt B^p, volgt hieruit,
dat Z^p ook het zwaartepunt is van de middelpunten van
die 16 cirkels met straal 4 p.

Uit elk van die vier orthocentrische groepen van
middelpunten van raakcirkels zijn nu op dezelfde wijze,
als boven is aangegeven, weer vier orthocentrische
groepen van middelpunten van raakcirkels af te leiden,
waarvan de zestien cirkels met straal 4 p de negenpunts-
cirkels zijn en hun middelpunten de zwaartepunten.

De 64 cirkels beschreven om telkens drie punten uit
een van die zestien orthocentrische groepen hebben een
straal 8 p. Het zwaartepunt van die 64 middelpunten
van raakcirkels zoowel als het zwaartepunt van de 64
cirkels met straal 8 p is het punt Z^p.

Op dezelfde wijze voortgaande wordt het aantal middel-
punten van raakcirkels en het aantal cirkels beschreven
om telkens drie punteil uit een van elk van die ortho-
centrische groepen iederen keer viermaal, de straal van
die cirkels tweemaal zoo groot.

Uitgaande van een orthocentrische groep met zwaarte-
punt Z" en negenpuntscirkel met straal p zijn op deze
wijze groepen te vormen van 4" middelpunten van raak-
cirkels met den straal 2". p. Zoowel van de groep van
de 4" middelpunten van raakcirkels als de groep van
de 4" middelpunten van de cirkels met straal 2". p is het
punt Z^p het zwaartepunt.

§ 15. Alleen lettend op de vier driehoeken, waarvan
de hoekpunten telkens drie punten zijn van een ortho-
centrische groep, zijn de boven verkregen resultaten
samen te vatten m de navolgende stelling: •

Voor de vier driehoeken, waarvan de hoekpunten
telkens drie punten zijn van een orthocentrische groep
is het zwaartepunt van die groep het zwaartepunt van
de vier hoogtepunten, het zwaartepunt van de vier zwaarte-
punten, het zwaartepunt van de vier middelpunten van
omgeschreven cirkels, het zwaartepunt van de zestien
middelpunten van raakcirkels.

Ten slotte is nog op te merken, dat alle bijzondere
punten, cirkels, punten- en cirkelgroepen behoorende

bij de orthocentrische puntengroep A^p bij spiegeling t. o.
van Z^p overgaan in de overeenkomstige punten, cirkels,
punten- en cirkelgroepen, behoorende bij de orthocen-
trische puntengroep B^p.

»

HOOFDSTUK IX.

De cirkel bundel en (le punteninvolutie op een rechte.

§ 1. Het vlak door de beeldrechte l van een hyper-
bolischen bundel loodrecht op het vlak XOY snijdt uit
Po en twee raakkegels aan P₀, die hun toppen hebben
in de punten Ci en C2 van die beeldrechte, een parabool
en twee paar raaklijnen si, s₂ en t\\, U aan die parabool.

De beide snijpunten li en I2 van die rechte l met de
parabool vormen een puntenpaar van elk der beide
involuties door de stralenbundels met toppen Ci en C₂
uit die parabool uitgesneden.

De punten Si, S₂ zijn de dubbelpunten van de eene,
de punten Tj, T₂ die van de andere involutie.

Een involutie op een kegelsnede wordt door een punt
van die kegelsnede op een rechte weer als een involutie
geprojecteerd.

Kiest men voor dat punt het raakpunt van P₀ aan
het oneindig verre vlak, dan worden de beide involuties
weer als involuties geprojecteerd op de rechte van de
middelpunten van de cirkels van den bundel, waarvan l
de beeldrechte is.

De punten Ii^p en l2^p worden zoowel door het punten-
paar Si^p, S2^P als door het puntenpaar Ti", T₂^P harmo-
nisch gescheiden, de punten Ii^p en l</ zijn dus de dubbel-
punten van de punteninvolutie op die rechte bepaald
door die beide puntenparen.

Die puntenparen zijn (hoofdstuk III) de snijpunten van

de beide cirkels, afgebeeld door Ci en C₂, met de rechte
van de cirkelmiddelpunten van den bundel, afgebeeld
door de rechte 1.

Hieruit volgt: In een hyperbolischen cirkelbundel worden
de beide puntcirkels harmonisch gescheiden door de
snijpunten van eiken cirkel van dien bundel met de
verbindingsrechte van die puntcirkels.

Elk puntenpaar van de rechte l, dat twee orthogonaal
snijdende cirkels afbeeldt, Avordt harmonisch gescheiden
door de beide punten li en I₂.

De punten li en I₂ zijn dus de dubbelpunten van de
punteninvolutie op de rechte Z, bepaald door de beeld-
punten van de paren orthogonaal snijdende cirkels uit
den door l afgebeelden bundel.

Projecteert men die involutie op het vlak X 0 Y, dan
volgt daaruit, dat de puntcirkels van den bundel har-
monisch worden gescheiden door de middelpunten van
elk paar orthogonaal snijdende cirkels van dien bundel
en dat de punteninvolutie van de middelpunten van de
paren orthogonaal snijdende cirkels dezelfde is als de
punteninvolutie uitgesneden op de rechte van de cirkel-
middelpunten door de cirkels van den bundel.

Een dergelijke eigenschap bestaat nu ook voor de
parabolische, resp. de elliptische bundels. In die bundels
zijn de puntcirkels evenwel samengevallen, resp. imaginair
geworden.

De soorten van de punteninvoluties op een rechte
bepalen nu ook de soorten van cirkelbundels.

De punteninvolutie met * reëele dubbelpunten komt
overeen met den hyperbolischen bundel.

De punteninvolutie met reëele dubbelpunten, waarbij
een van de dubbelpunten ligt op de oneindig verre
rechte, de symmetrische involutie, komt overeen met
een bundel concentrische cirkels.

De verbindingsrechte van de beide puntcirkels van
den bundel, d. i. elke rechte door het middelpunt van
die concentrische cirkels wordt door elk van de cirkels

in twee punten gesneden, symmetrisch gelegen t. o. van
dat middelpunt.

De aan eiken cirkel toegevoegde orthogonaal snijdende
cirkel van den bundel is imaginair. Het middelpunt
van elk van die toegevoegde cirkels valt samen met het
middelpunt van de concentrische cirkels.

De punteninvolutie met samengevallen dubbelpunten
komt overeen met den parabolischen bundel.

De puntcirkel van den bundel staat loodrecht op alle
cirkels van den bundel.

De punteninvolutie met reëele dubbelpunten, samen-
gevallen met het oneindig verre punt van den drager,
komt overeen met een bundel evenwijdige rechten. De
beide puntcirkels zijn samengevallen met de oneindig
verre rechte in het vlak X 0 Y, het middelpunt van de
als cirkels beschouwde rechten met die beide puntcirkels.

De punteninvolutie met imaginaire dubbelpunten komt
overeen met deh elliptischen bundel.

De punteninvolutie met imaginaire dubbelpunten op
de oneindig verre rechte komt overeen met den stralen-
bundel.

De oneindig verre rechte in het vlak X 0 Y is de
rechte van de middelpunten van de als cirkels beschouwde
rechten van den stralenbundel.

De middelpunten van telkens twee als cirkels be-
schouwde orthogonaal snijdende rechten van dien stralen-
bundel bepalen op de oneindig verre rechte een invo-
lutie met imaginaire dubbelpunten. De dubbelstralen
van die straleninvolutie zijn de beide imaginaire rechten;

de beide imaginaire dubbelpunten de imaginaire cirkel-
punten van het vlak X 0 Y.

§ 2. Het vlak door de beeldrechte m van een ellip-
tischen bundel loodrecht op het vlak X 0 Y snijdt uit
Po en twee raaktegels aan P₀, die hun toppen hebben
in de punten Gi en C2 van die beeldrechte, een para-
bool en twee paar raaklijnen aan die parabool.

Zijn si, s₂, h, h de raaklijnen, Si, S₂, Ti, T₂ de raak-
punten en beelden Ci en C₂ orthogonaal snijdende cirkels
van dien bundel af, dan ligt Ci op de rechte Ti T₂, C₂
op de rechte Si S₂. Het puntenpaar Ti, T₂, resp. Si, S₂,
behoort tot de involutie op de parabool uitgesneden
door den stralenbundel niet top Ci, resp. C₂. Dubbel-
punten van die involuties zijn het puntenpaar Si, S₂,
resp. Ti,T₂.

Projecteert men beide involuties op het vlak XOY,
dan zullen de puntenparen Si^p, S₂^P en Ti^p, T₂^P, gelegen
op de rechte van de cirkelmiddelpunten van den bundel,
afgebeeld door m, elkaar harmonisch scheiden.

De punten bepaald door twee orthogonaal snijdende
cirkels op de verbindingsrechte van hun middelpunten
vormen een harmonisch viertal.

Ook deze eigenschap geldt voor de andere soorten
bundels. Bij den parabolischen bundel zijn van elk
viertal drie punten samengevallen in het vaste punt van
den bundel, bij den hyperbolischen bundel zijn van elk
viertal twee punten imaginair.

HOOFDSTUK X.

Onderlinge ligging van bundels 011 netten.

§ l; Wanneer een net is gegeven door zijn orthogo-
naal-, punt- of diametraalcirkel, een bundel uit dat net
door de rechte van zijn cirkelmiddelpunten, zijn centraal,
dan is op eenvoudige wijze (hoofdstukken III, VI en VII)
de orthogonaal-, punt- of diametraalcirkel van dien bundel
te bepalen. Omgekeerd zijn daaruit de voorwaarden te
vinden, waaraan de puntcirkels of vaste punten vaa een
bundel moeten voldoen om dien bundel tot een aldus
gegeven net te doen behooren.

In de voornaamste hierna volgende gevallen geschiedt
het bepalen van den orthogonaal-, punt- of diametraal-
cirkel van dien bundel als volgt:

1) Net gegeven door orthogonaalcirkel, bundel door
een dien cirkel snijdende rechte. De orthogonaalcirkel
van den bundel heeft de verbindingsrechte van de beide
snijpunten tot middellijn.

2) Net gegeven door orthogonaalcirkel, bundel door
een dien cirkel rakende rechte. Het raakpunt is de
puntcirkel van den bundel.

3) Net gegeven door orthogonaalcirkel, bundel door
een rechte, die dien cirkel niet snijdt of raakt. De
loodlijn uit het middelpunt van den orthogonaalcirkel
op die rechte is de machtlijn van den bundel, het snij-
punt van loodlijn en rechte het middelpunt van den
diametraalcirkel, de diametraalcirkel de den orthogonaal-
cirkel loodrecht snijdende cirkel. Orthogonaalcirkel net
en diametraalcirkel bundel bepalen op die machtlijn twee
puntenparen, die een harmonisch viertal vormen.

4) Net gegeven door puntcirkel, bundel door een
rechte buiten dat punt. De loodlijn uit het punt op
de rechte is de machtlijn, het snijpunt van loodlijn en
rechte het middelpunt van den diametraalcirkel, de af-
stand van puntcirkel tot middelpunt de straal van den
diametraalcirkel. De puntcirkel is het eene vaste punt;
het andere punt wordt verkregen door dat punt te
spiegelen t. o. van de rechte van de cirkelmiddelpunten.

5) Net gegeven door puntcirkel, bundel door een
rechte door dat punt. De beide puntcirkels zijn in dat
punt tot den puntcirkel van den bundel samengekrompen.

6) Net gegeven door diametraalcirkel, bundel door
een willekeurige rechte. I)e loodlijn door het middel-
punt van den diametraalcirkel op die rechte is macht-
lijn van den bundel en snijdt die rechte in het middel-
punt »van den diametraalcirkel van den bundel.

De diametraalcirkel van den bundel snijdt den diame-
traalcirkel van het net in twee punten gelegen op een

rechte door het middelpunt van dien cirkel, evenwijdig
aan den centraal van den bundel. De snijpunten van
den diametraalcirkel van den bundel met de machtlijn
zijn de vaste punten.

Bijzonder geval:

Ontaardt de orthogonaalcirkel in een orthogonaalrechte,
dan valt de centraal van den bundel behoorende tot
het door die orthogonaalrechte bepaalde net met die
orthogonaalrechte samen. De bundel is nu nader te
bepalen door zijn puntcirkels of zijn vaste punten.

§ 2. De gemeenschappelijke bundel van twee netten,
elk gegeven door zijn orthogonaal-, punt- of diametraal-
cirkel is in verband met het vorenstaande volkomen
bepaald, wanneer de centraal van dien bundel be-
kend is.

Die rechte wordt op de eenvoudigste manier gevonden
door uit te gaan van twee cirkels en F₂, die elk
zoowel als orthogonaal- en diametraalcirkel van een net
worden beschouwd en waarvan de middelpunten de
puntcirkels zijn van parabolische netten. Elk van die
beide drietallen netten wordt dan afgebeeld door drie
evenwijdige vlakken, liet middelste der vlakken van elk
drietal raakt aan Po in het beeldpunt A, resp. B, van
het middelpunt van den cirkel Pi, resp. F₂ (hoofdstuk III).
Het vertikale vlak door de punten A en B snijdt Po en
die vlakken volgens een parabool en twee drietallen
evenwijdige rechten, h, /₂, k en mi, m₂, >/i₃. Het beeld-
punt G, resp. E, van den cirkel Ti, resp. P₂, ligt met A,
resp. B, op een vertikale rechte, die h, resp. m 1, snijdt
in het punt D, resp. F.

Hierbij heeft men CA = AD en E B = B F (hoofd-
stuk III).

De twee drietallen evenwijdige rechten snijden elkaar
in negen punten G, II, J, K, L, M, N, O e\'n P.

De beide drietallen beeldvlakken snijden elkaar volgens
negen evenwijdige rechten, elk door een van die punten.

Die negen rechten beelden dus negen bundels met dezelfde
machtlijn af.

Elk van die bundels behoort tot twee van de zes
netten, een uit elk drietal.

Een van de negen beeldrechten, de rechte l_g door
het punt G, beeldt den gemeenschappelijken bundel af
van de beide netten, die Fi en F₂ tot orthogonaalcirkels
hebben. Die bundel is toegevoegd aan den door Fi en
r₂ bepaalden bundel (hoofdstuk VII).

Zijn A^p en B^p de projecties op het vlak X 0 Y van
de punten A en B en is l_B^p de projectie van die rechte
lg, dan zijn de rechten A^p B^p en l_e^p toegevoegde macht-
lijnen van den bundel met beeldrechte l_g en den bundel
van de cirkels Ti en T₂.

Die negen beeldrechten worden dus op het vlak X 0 Y
geprojecteerd in negen rechten loodrecht op de lijn A^p B^p.

Die negen projecties zijn de centralen van negen
bundels.

De beeldrechte k door het punt H beeldt den gemeen-
schappelijken bundel af van de beide parabolische netten,
waarvan A^p en B^p de vaste punten zijn; de centraal
van dien bundel is de machtlijn van de puntcirkels A^p
en B^p (hoofdstuk VII).

De beeldrechte l_a door het punt 0 beeldt den gemeen-
schappelijken bundel af van het net, waarvan T₂ de
orthogonaalcirkel is en het parabolische net, waarvan
A^p het vaste punt is; de centraal van dien bundel is
de machtlijn van den cirkel F₂ en den puntcirkel A\'.

De punten G, O en K liggen op een rechte. Eveneens
de punten G, H en J.

Uit de gelijkheid van K O en O G volgt nu, dat Z_k^p,
de projectie van de beeldrechte l_k door het punt K, en
l^p symmetrisch liggen t. o. van l₀^p en uit de gelijkheid
van J H en H G, dat de projectie van de beeldrechte
Ij door het punt J, en lg symmetrisch liggen t. o.
van l_h^p.

Het resultaat is dus:

Van twee cirkelnetten gegeven door hun orthogonaal-
cirkels is de centraal van den gemeenschappelijken bundel
van die netten de machtlijn van de beide orthogonaal-
cirkels.

Voor twee cirkelnetten gegeven door een orthogonaal-
en een diametraalcirkel wordt de centraal van den ge-
meenschappelijken bundel gevonden door de machtlijn
van die beide cirkels te spiegelen t. o. van de machtlijn
van den orthogonaalcirkel en het als een puntcirkel
beschouwde middelpunt van den diametraalcirkel.

Voor twee cirkelnetten gegeven door hun diametraal-
cirkels wordt de centraal van den gemeenschappelijken
bundel gevonden door de machtlijn van de beide cirkels
te spiegelen t. o. van de middelloodlijn van de verbin-
dingsrechte van hun middelpunten.

§ 3. Voor een net gegeven door zijn orthogonaal-,
punt- of diametraalcirkel is boven afgeleid, hoe de paren
puntcirkels of vaste punten van de oo² bundels van dat
net t. o. van dien orthogonaal-, punt- of diametraalcirkel
zijn gelegen.

Beschouwt men van die bundels de toegevoegde bundels,
clan gaan hun beeldrechten door een punt, de pool van
het beeldvlak van het net. Al die toegevoegde bundels,
afgebeeld door al de rechten van de ruimte door dat
punt hebben een cirkel gemeen, den orthogonaalcirkel
van het net.

De puntcirkels, resp. vaste punten, van een bundel
van het net worden voor den toegevoegden bundel de
vaste punten, resp. de puntcirkels.

Hiermee is dan ook de ligging bepaald van de paren
vaste punten, resp. de puntcirkels, van alle bundels, die
een gegeven cirkel gemeen hebben.

§ 4. Worden de beeldpunten van de orthogonaal-
cirkels van twee netten harmonisch gescheiden door Po,
dan behoort elk van die beide cirkels tot het net, waarvan
de andere de orthogonaalcirkel is.

HOOFDSTUK XI.

Pool en poollijn.

§ 1. De poollijn van een punt A^p t. o. van een cirkel T
gaat door den anderen puntcirkel B^p van den bundel,
bepaald door dien cirkel en het als een puntcirkel be-
schouwde punt A^p (hoofdstuk IX). Het vertikale vlak
door de beeldrechte a van dien bundel snijdt Po volgens
een parabool. De beide snijpunten A en B van die
beeldrechte a, met de parabool beelden de beide punt-
cirkels van den bundel af.

Uit de wijze van afbeelding van een rechte (hoofd-
stuk IV) volgt nu, dat de poollijn tot beeldpunt heeft
het gemeenschappelijke snijpunt van het oneindig verre
vlak met de co² rechten evenwijdig aan de raaklijn aan
de parabool in B. Hieruit volgt weer de eigenschap,
dat de poollijnen van elk van de beide als punten be-
schouwde puntcirkels van een bundel samenvallen met
de rechte door het andere punt loodrecht\' op de ver-
bindingslijn van die beide punten getrokken.

De poollijnen van een punt A^p t. o. van de cirkels
van een bundel (F) worden nu gevonden door in eiken
cirkelbundel, bepaald door het punt A^p en een van de
cirkels T, den tweeden puntcirkel B^p te bepalen en op
elke rechte A^p B^p in B^p de loodlijn op te richten.

Het punt A^p en de bundel (r) bepalen tezamen een
cirkelnet.

Die tweede puntcirkels vormen den orthogonaalcirkel
van dat net, de poollijnen snijden elkaar in het punt
van \'den orthogonaalcirkel, dat diametraal tegenover het
punt A^p is gelegen.

Hieruit volgt:

1) De orthogonaalcirkel van een net is de meetkundige
plaats van de punten P, die de eigenschap bezitten, dat
hun poollijnen p t. o. van alle cirkels van dat net elkaar
in één punt Q snijden. Steeds is ook dat punt Q op

-den orthogonaalcirkel gelegen en wel diametraal tegen-
over het punt P.

2) De orthogonaalcirkel van een net snijdt de pool-
lijn van elk van zijn punten t. o. van een willekeurigen
cirkel van het net in een punt, dat in het midden ligt
tusschen de snijpunten van die poollijn met dien wille-
keurigen cirkel. Twee orthogonaal snijdende cirkels
bepalen op elke middellijn van een van die cirkels twee

puntenparen, die elkaar harmonisch scheiden.

%

§ 2. De beeldpunten van de poollijnen van een wille-
keurig punt t. o. van de cirkels van een net worden
gevonden door het beeld van dat punt achtereenvolgens
met de beeldpunten van de cirkels van dat net te ver-
binden, door elk van die rechten een vertikaal vlak te
brengen, in liet andere snijpunt van élk van die rechten
met Po de raaklijn aan de door het vertikale vlak uit
Po uitgesneden parabool aan te brengen en het snijpunt
daarvan met het oneindig verre vlak te bepalen.

Die cc² raaklijnen vertegenwoordigen de oo² richtingen
in de ruimte. De poollijnen worden afgebeeld door de
punten van hel oneindig verre vlak. Zij vormen het
net van de rechten in het vlak X 0 Y.

§ 3. Is een rechte l^p afgebeeld door het gemeen-
schappelijke snijpunt van het oneindig verre vlak met
de co² rechten, die als koorden van P₀ beschouwd het
vertikale vlak door l^p tot middelvlak hebben en is een
cirkel afgebeeld door een punt C, dan is het beeld van
de pool van die rechte l^p van P als volgt te vinden:

Breng een vertikaal vlak door l^p, breng een vertikaal
vlak door G, evenwijdig met het koordenstelsel, dus
loodrecht op l^p, bepaal de snijlijn van die beide vlakken,
bepaal het snijpunt B van die snijlijn met Po, verbind B
met C en bepaal het andere snijpunt A van die ver-
bindingsrechte r met P₀.

De projectie van dat punt A op het vlak X 0 Y is
dan de pool van l^p t. o. van F.

Om nu de meetkundige plaats te vinden van de polen
van een gegeven rechte t. o. van een cirkelbundel moet
op de boven aangegeven wijze voor eiken cirkel uit dien
bundel de pool worden gevonden.

De punten G vormen nu de beeldrechte c van den
bundel.

De vertikale vlakken 7 door de punten C loodrecht
op F zijn evenwijdig.

^De snijlijn van het vertikale vlak A door l^p met een
vlak 7 snijdt Po in een punt B van de parabool 7r,
welke A met Po gemeen heeft.

De meetkundige plaats der polen wordt dus blijkbaar
bepaald als de projectie van de doorsnede van P₀ met
een regelvlak. Van dit regelvlak, een conoïde, loopen
alle rechten r evenwijdig aan een vast vlak y₀ en snijden
een rechte c en een parabool n. Het vlak A van de
parabool staat loodrecht op het vaste vlak y₀, de as
van de parabool loopt er aan evenwijdig.

Door wenteling van het assenkruis om de Z as kan
men het vlak, waarin de parabool ligt, evenwijdig kiezen
aan het vlak X 0 Z en het vlak, waaraan alle rechten
r evenwijdig zijn, evenwijdig aan het vlak YOZ.

Is de beeldrechte van den bundel gegeven door de
vergelijkingen:

x — a = m (z — c)
y — b = n (z — c)
en de parabool door:

x² y² = z (1)
Y = P (2),

dan is elke rechte van het regelvlak gegeven door de
vergelijkingen:

x — a — m (z — c) -(- A ! (y — b) — n (z — c) | = 0 (3)
x = p (4)

De rechte (3) (4) moet (1) en (2) snijden.

Na eliminatie van x, y en 2 uit de vergelijkingen (1),

(2), (3) en (4) en na eliminatie van A en [u, uit de aldus
verkregen betrekking en de vergelijkingen (3) en (4) wordt
voor de vergelijking van dit regel vlak gevonden:
(x — a) (y — b) — n (x — a) z — c)
jn(x - a) - m (y - b)| (x² -f p² - c) -
— (x — a) (p - b) m (z — c) (p - b) = 0
Het regelvlak is van den 3^en graad.
De eliminatie van 2 uit deze vergelijking en de ver-
gelijking x² y² = z geeft de vergelijking van de pro-
jectie op het vlak XOY van de doorsnede van dit
regelvlak met P₀.

De vergelijking van die projectie is:

m (x² — c) (p — y) (x — a) (y — p) —
— n (x — a) (y² — p²) — mb (y² — p²) mpy (y — p) = 0
De projectie bestaat uit een rechte met vergelijking:
y - p = 0,

d. i. de vergelijking van de projectie van de parabool
en een hyperbool met vergelijking:
— mx² — nxy (1 — np) x -f (na — mb -f- mp) y —

— a nap -f- mc — mbp <= 0
De meetkundige plaats van de polen van een rechte
t. o. van de cirkels van een bundel is dus een hyperbool.
De beide asymptotische richtingen worden gevonden uit:
— mx² — nxy = 0, dus
— mx — ny = 0 en x = 0.
De eerste asymptoot staat loodrecht op de rechte van
de cirkelmiddelpunten van den bundel, de tweede staat
loodrecht op de vaste poollijn.

Het regelvlak bevat, wat dadelijk is in te zien, de
beeldpunten van de beide puntcirkels van den bundel,
d. z. de snijpunten van de beeldrechte met Po.
De hyperbool bevat dus ook die beide puntcirkels.
Hieruit volgt: De meetkundige plaats van de polen
van een rechte t. o. van de cirkels van een bundel is
een hyperbool, die door drie vaste punten gaat, waar-
van er een op de oneindig verre rechte ligt.

Het net van de rechten van het vlak X 0 Y, als een

net van poollijnen beschouwd, wordt vergezeld door
een driepuntsnet van hyperbolen. Elk van die hyper-
bolen is de meetkundige plaats van de polen van een
van die rechten t. o. van de cirkels van den bundel.

§ 4. Boven is afgeleid, dat de poollijnen van een
punt t. o. van de cirkels van een bundel door een punt
gaan.

Tusschen de punten van het vlak X 0 Y en het ge-
meenschappelijk snijpunt van de poolliinen van elk van
die punten t. o. van de cirkels van den bundel is een
verwantschap één aan één te stichten. Deze verwant-
schap is een bijzonder geval van de algemeene ver-
wantschap van Steiner bij den kegelsnedenbundel.

Uit een eenvoudige beschouwing volgt nu, dat de
boven besproken hyperbool ook kan worden opgevat
als een verzameling van de in die verwantschap aan
de punten van die rechte toegevoegde punten.

Blijkbaar wordt bij deze wijze van toevoegen de graad
van een figuur verdubbeld.

Bijzondere punten zijn in deze verwantschap de beide
puntcirkels li en I₂ van den bundel en het snijpunt S
van de loodlijn op hun verbindingslijn met de oneindig
verre rechte in het vlak X 0 Y.

Aan het punt li (I₂) is in deze verwantschap toege-
voegd de loodlijn op de lijn li I₂ door het punt I₂ (li),
aan het punt S de centraal van den bundel.

HOOFDSTUK XII.

Harmonische cirkel viertallen, bundels en netten.

§ 1. Vier cirkels uit een bundel vormen een harmo-
nisch viertal, wanneer zij worden afgebeeld door twee
puntenparen, die elkaar harmonisch scheiden.

De machtlijnen van een willekeurigen cirkel F en elk
van vier harmonische cirkels gaan door een punt.\'

Immers die machtlijnen gaan door het middelpunt
van het net bepaald door dien cirkel in den bundel,
waartoe die harmonische cirkels behooren.

De vier verbindingsrechten van het middelpunt van JT
met elk van de vier middelpunten van de harmonische
cirkels vormen een harmonischen vierstraal.

Elk van de vier machtlijnen staat loodrecht op een
van die vier verbindingsrechten.

Aan elk van de vier verbindingsrechten door het
middelpunt van F is een machtlijn toegevoegd door het
middelpunt van het net en omgekeerd. Die toegevoegde
rechten zijn dus te beschouwen als toegevoegde stralen
uit twee stralenbundels, waarbij tusschen de stralen een
verwantschap een aan een bestaat. Een dergelijke ver-
wantschap is bepaald door drie st.ralenparen.

Tusschen vier stralenparen bestaat dan een betrekking,
die in dit geval beteekent, dat ook de vier machtlijnen
een harmonischen vierstraal vormen.

De poollijnen van een willekeurig punt t. o. van de
cirkels van een bundel gaan door een punt (hoofd-
stuk XI).

De poollijnen van een willekeurig punt t. o. van vier
harmonische cirkels staan loodrecht op de verbindings-
lijnen van dat punt met de vier middelpunten van die
cirkels en vormen dus ook een harmonischen vierstraal.

Stelling: De machtlijnen van een willekeurigen cirkel
en elk van vier harmonische cirkels zoowel als de pool-
lijnen van een willekeurig punt t. o. van elk van vier
harmonische cirkels vormen harmonische vierstralen.

§ 2. De bundels bepaald door een willekeurigen
cirkel F en elk van vier harmonische cirkels worden
afgebeeld door een harmonischen vierstraal gelegen in
het beeldvlak van het net bepaald door dien cirkel F
en den bundel van de vier harmonische cirkels.

Die vier bundels zijn harmonische bundels.

Elke rechte in het. beeldvlak van het net, dat zij
bepalen, wordt door hun beeldrechten in een harmonisch
puntenviertal gesneden.

Vier cirkelbundels hebben dus met eiken cirkelbundel
uit het net, dat zij bepalen, vier cirkels gemeen, die
een harmonisch viertal vormen,

§ 3. Vier netten, die een harmonisch cirkelviertal
tot orthogonaalcirkels hebben, worden afgebeeld door
vier vlakken door de beeldrechte van den bundel toe-
gevoegd aan den bundel bepaald door die orthogonaal-
cirkels.

Die vier vlakken vormen dus een harmonisch viertal;
de vier netten, die tot denzelfden netbundel behooren,
zijn harmonisch.

Vier harmonische netten hebben dus met een wille-
keurig net vier harmonische bundels en met een wille-
keurigen bundel vier harmonische cirkels gemeen.

HOOFDSTUK XIII.

De cirkels, die een gegeven cirkel onder eenzelfden
hoek snijden.

§ 1. De cirkels, die een gegeven cirkel V met straal r
in een punt A" van zijn omtrek onder een hoek a
snijden vormen twee parabolische cirkelbundels, die
worden afgebeeld door twee rechten door het punt A,
het beeldpunt van A^p, en gelegen zijn in het raakvlak
aan Po in dat punt.

De- centralen van die beide bundels gaan door het
punt A^p en raken aan een cirkel Ti met straal r sin «,
die concentrisch is met T.

De beeldrechten van die beide cirkelbundels zijn nu
te bepalen als de doorsnijding van het raakvlak aan P₀
in het punt A met de beide raakvlakken door dat punt
aan een rechten cylinder, die den cirkel Ti tot richt-
kromme heeft.

Op overeenkomstige wijze zijn nu ook de beeldrechten
te bepalen van de beide bundels, waarvan de cirkels
den cirkel T in een ander punt B^p van zijn omtrek
onder een hoek x snijden.

De beide raakvlakken aan P₀ in de punten A en B
zijn raakvlakken van den raakkegel aan Po met het
beeldpunt G van F tot top en snijden elkaar volgens
een rechte s, die op het vlak X 0 Y wordt geprojecteerd
in de rechte s^p, de rniddelloodlijn van de verbindingslijn
van de punten A^p en B^p (hoofdstuk X).

Zijn li en nu, resp. I2 en m₂ de beeldrechten van de
beide bundels door A, resp. door B, U^p en mi^p, resp.
1₂^P en m₂^p hun projecties op het vlak X 0 Y, die gaan
door het punt A^p, resp. door B^p, dan snijden V\' en
ni2^p elkaar in een punt Si^p, 1₂^P en nii^p elkaar in een
punt S₂^P beide gelegen op de lijn s".

Het punt Si^p is zoowel de projectie van het snijpunt
van de rechten s en li als van de rechten s en m₂.
De rechten li en m₂ snijden elkaar in het punt Si, de
rechten 1₂ en mi in het punt S₂. De rechten h en mi
en de rechten 1₂ en m₂ snijden elkaar niet.

De afbeelding van alle cirkels, die F onder een ge-
geven hoek x snijden, bestaat dus uit tweetallen van
rechten door de beeldpunten der punten van F; elk
van de beide rechten uit een tweetal snijdt van elk
ander tweetal een rechte en kruist de andere.

De beelden der punten van F vormen een elljps.

Hieruit volgt:.

Het stelsel van de cirkels, die een gegeven cirkel
onder een gegeven hoek snijden, wordt afgebeeld door
een eenbladige hyperboloïde, die Po aanraakt volgens

een ellips, waarvan de punten de beelden zijn van de
punten van den cirkel.

Wordt die gegeven hoek « = 0, dan gaat de hyper-
boloïde over in den raakkegel aan Po, die het beeld-
punt van den cirkel tot top heeft en dus Po volgens
dezelfde ellips aanraakt.

Wordt die gegeven hoek a = t, dan ontaardt de
hyperboloïde in de meetkundige plaats van de rechten
in het poolvlak van het beeld van den cirkel, die dezelfde
ellips omhullen. Elk van die rechten is daarbij dan
tweemaal te tellen.

Minder juist, maar eenvoudiger, is het te zeggen, dat
VOOr <X - 12 TT de hyperboloïde ontaardt in twee samen-
vallende platte vlakken, die Po volgens dezelfde ellips
snijden.

De verschillende hyperboloïden, die de cirkels afbeelden,
welke een gegeven cirkel F onder een gegeven hoek x
snijden, de raakkegel aan Po, het dubbelgetelde poolvlak
van het beeldpunt van T en Po zelf behooren tot een-
zelfden bundel van kwadratische oppervlakken, die tot
basiskromme heeft de ellips, die de punten van F af-
beeldt, als dubbelkromme beschouwd.

Aangezien het beeld van een punt van F tot alle
oppervlakken van dien bundel behoort, volgt hieruit,
dat elk punt van T kan worden beschouwd als een
puntcirkel, die T onder alle mogelijke hoeken snijdt.

§ 2. Om de ligging te bepalen van de hyperboloïde
oc¹, d. i. de hyperboloïde, die de cirkels afbeeldt, welke
een gegeven cirkel T onder een gegeven hoek a. snijden,
beschouwt men een raaklijn u^p aan den cirkel Fi met
straal r sin a.

Zijn V^p en AV^P de snijpunten van u^p met F, dan is
u^p te beschouwen als de projectie van twee rechten
van de hyperboloïde, een rechte Vi door het punt V,
het beeldpunt van V^p, en een rechte \\v₂ door het punt
W, het beeldpunt van W^p. Die beide rechten, lot de

verschillende stelsels van de hyperboloïde behoorend,
snijden elkaar in de snijlijn s van de raakvlakken aan
Po in de punten V en W. Het snijpunt Z^p van de
rechte s^p, de projectie van .<?, en de rechte u^p is dus de
projectie van het snijpunt der rechten Vi en \\v₂; s^p is
de middelloodlijn van de verbindingsrechte van de punten
V^p en W^p, u^p is een raaklijn aan den met T concen-
trischen cirkel Ti, Z^p.is dus een punt van Tx.

De vertikaal door het punt Z^p ligt in een raakvlak
aan de hyperboloïde en gaat door het snijpunt van de
beide rechten der hyperboloïde, in dat raakvlak gelegen.
De vertikaal door Z^p is dus een raaklijn aan de hyper-
boloïde. De hyperboloïde a,² wordt dus aangeraakt door
een rechten cvlinder, die den cirkel Ti tot richtkromme
heeft. De loodlijn op het vlak X 0 Y in het middelpunt
C^p van de cirkels T en Ti is dus t. o. van de hyper-
boloïde <x² de middellijn voor een stelsel van evenwijdige
vlakken, waartoe, wat dadelijk blijkt, ook het vlak der
ellips behoort, die de punten van T afbeeldt.

Het middelpunt van de hyperboloïde en de hiermee
samenvallende top van den asymptotenkegel van die
hyperboloïde liggen op een loodlijn op het vlak X 0 Y
door het middelpunt van P.

§ 3. De snijpunten van de hyperboloïde a² met het
oneindig verre vlak beelden de rechten af, die den
cirkel T onder den hoek a. snijden. Die rechten raken
aan den met F concentrischen cirkel P₂ met straal r cos ot.
Die rechten worden dus ook afgebeeld door de snij-
punten van het oneindig verre vlak met den raakkegel
aan Po die het beeldpunt van P₂ tot top heeft. De
beschrijvende lijnen van den asymptotenkegel van de
hyperboloïde u? loopen dus evenwijdig aan de beschrij-
vende lijnen van den raakkegel aan Po, die het beeld-
punt van P₂ tot top heeft.

De raakkegel aan de hyperboloïde «² met het beeld-
punt van P tot top, valt samen met den raakkegel aan

Po met denzelfden top en raakt die hyperboloïde volgens
de „beeldellips" van T.

De hyperboloïde x² is nu volkomen bepaald door de
volgende gegevens:

1°) Een ellips op die hyperboloïde gelegen, de beeld-
ellips van T.

2°) De raakkegel aan de hyperboloïde met top in
het beeldpunt van T, d. i. de raakkegel aan Po met
hetzelfde punt tot top. Die raakkegel raakt de hyper-
boloïde volgens de beeldellips.

3°) Een kegel, evenwijdig aan den asymptotenkegel,
de raakkegel aan Po, die tot top heeft heeft het beeld-
punt van r₂. F₂ is concentrisch met T en heeft tot
straal r cos x. r is de straal van Y.

De onder 1°) en 2^U) genoemde gegevens gelden voor
alle raakhyperboloïden uit den bovengenoemden bundel
kwadratische oppervlakken, het onder 3°) genoemde
heeft betrekking op een bepaalden hoek x.

De verbindingslijn van het middelpunt van de ellips
roet den top van den onder 2°) genoemden raakkegel
aan de hyperboloïde komt hier op een andere wijze
voor den dag als de middellijn voor de hyperboloïde
voor een stelsel van vlakken evenwijdig met het vlak
van die ellips.

§ 4. Een plat vlak gebracht door de loodlijn opliet
vlak X 0 Y door het middelpunt van T snijdt x² volgens
een hyperbool en den raakkegel aan x² die het beeld-
punt G van F tot top heeft, volgens twee raaklijnen
h en k aan die hyperbool.

De beide raakpunten P en Q zijn twee punten van
de beeldellips van T; de coördinaten van het snijpunt C
van h en k zijn:

x | y | x² -f- y² — r²

Datzelfde platte vlak snijdt den raakkegel aan Po, die
het beeldpunt C₂ van T₂ tot top heeft volgens twee
rechten mi en w«₂, evenwijdig aan de asymptoten van

de hyperbool (§ 3); de coördinaten van het snijpunt C₂
van m\\ en m₂ zijn:

x | y | x² -j- y² — r² cos² x.

Zijn R en S de punten, waarin die beide rechten aan
Po raken, dan is R S // P Q.

Immers PQ ligt in het poolvlak van G, R S in het
poolvlak van G₂ en de beide poolvlakten loopen even-
wijdig, omdat CC₂ loodrecht staat op het vlak X 0 Y.

De lijn CC₂ is tevens middellijn van de hyperbool
voor het stelsel van koorden evenwijdig aan P Q (§ 2)
en bevat dus het snijpunt van de beide asymptoten.

Van de hyperbool zijn nu gegeven:

1°) De beide raaklijnen h en 1₂ met hun raakpunten
P en Q.

2°) De asymptotische richtingen.

Door gebruik te maken van de eigenschap, dat het
punt P, resp. Q, in het midden ligt tusschen de snij-
punten van de beide asymptoten met li, resp. I₂, worden
nu langs planimetrischen weg de coördinaten van het
middelpunt van de hyperbool en daarmee ook de coör-
dinaten van den top van den asymptotenkegel gevonden.

Die coördinaten zijn:

x | y | x² y² r² sin² x — r² cos² x

Daar een eenbladige hyperboloïde volkomen bepaald is
door haar asymptotenkegel en een punt, is het boven ge-
vonden resultaat ook in den volgenden vorm te brengen:

De eenbladige hyperboloïde, die de cirkels afbeeldt,
welke een cirkel F met middelpunt x | y en straal r
onder een hoek x snijden, heeft tot middelpunt het punt
x | y | x² -f- y² r² sin² x — r² cos² x. De asymptoten-
kegel is evenwijdig aan den raakkegel aan P₀, die tot
top heeft het punt x | y | x² y² — r² cos²Elk van
de beeldpunten van de punten van den omtrek van F
ligt op de hyperboloïde.

§ 5. Ontaardt de cirkel F in een rechte p, dan gaat
de eenbladige hyperboloïde over in een hyperbolische

paraboloïde. Die rechte p kan altijd, na wenteling van
het assenkruis om de Z as, evenwijdig loopen met de X as.

Is a de afstand van p tot de X as en zijn x en y de
coördinaten van het middelpunt van een cirkel met
straal r, die p onder een hoek « snijdt, dan is dadelijk
in te zien, dat:

r cos a = y — a
of

y — a
r = ---

COS CC

Substitueert men deze uitdrukking voor r in de be-
trekking tusschen de coördinaten van het beeldpunt en
den straal van een cirkel (hoofdstuk I), dan gaat die
betrekking over tot den vorm:

^J \\COS«>

Na vereenvoudigen wordt dit:

» / cl \\ 2 cl²

_ j-p.2 I y---) - g _ _•

° \\ sin² cc\' \' sin² a,

De cirkels, die de rechte p onder een hoek oc snijden
worden afgebeeld door de punten van een hyperbolische
paraboloïde, die tot top heeft het punt:

0

en waarvan de richtvlakken zijn gegeven door de ver-
gelijking: •

° V⁷ sin² cc

Tot de paraboloïde behooren ook de punten, welke
het vertikale vlak door p op P₀ bepaalt.

De.hyperbolische paraboloïde is dus volkomen bepaald
door haar top, haar beide richtvlakken en een willekeurig
punt van de parabool door het vertikale vlak door p
uit Po uitgesneden.

HOOFDSTUK XIV.

De inversie en de gelgkvormigheidsiietten.

§ 1. Een willekeurige rechte li door een punt Ci
van de ruimte, buiten P₀ gelegen, snijdt Po in twee,
involutorisch met elkaar verbonden, punten.

De vlakken van den vlakkenbundel met die rechte h
tot as snijden Po volgens ellipsen.

Die ellipsen worden op het vlak XOY geprojecteerd
in de cirkels van een bundel, die de projectie li" van h
tot machtlijn heeft.

De projectie Ci^p van Ci heeft gelijke macht t. o. van
alle cirkels van den bundel.

Een andere rechte I2 door het punt Ci bepaalt even-
eens een cirkelbundel in het vlak XOY, waarvan de
machtlijn door Ci^p gaat. Het vlak door de rechten li
en I2 snijdt Po volgens een ellips, die op hel vlak XOY
wordt geprojecteerd in een cirkel, die tol die beide
cirkelbundels behoort.

Het punt Ci^p heeft dus dezelfde gelijke macht t. o.
van alle cirkels van die beide bundels.

Hieruit volgt voor elke rechte door het punt Ci, dat
het product van de afstanden der projecties van haar
snijpunten met Po tot de projectie van Ci constant is.

Voor de rechten van den raakkegel aan Po met Ci
tot top vallen die beide snijpunten samen.

Elk van die tweelallen samengevallen snijpunten wordt
geprojecteerd in een punt van den door Ci afgebeelden
cirkel (hoofdstuk III).

Is r de straal van den door Ci afgebeelden cirkel,
dan volgt hieruit, dat voor een willekeurige rechte door
Ci het product van de afstanden van de projecties van
zijn snijpunten inet Po tot de projectie van Gi gelijk is
aan r^l.

Door Po en het punt Ci is nu in het vlak XOY een
hyperbolische inversie bepaald.

Het punt Ci^p is het centrum van de inversie.

Voor een punt uit het vlak X 0 Y en zijn inversie,
gelegen op een rechte door Ci^p, is het product van hun
afstanden tot Cx^p gelijk aan r².

De inversie van een willekeurige figuur wordt gevonden
door haar punten op Po af te beelden, die beeldpunten
met Gi te verbinden, de andere snijpunten van die
verbindingsrechten met Po te bepalen en die punten op
het vlak X 0 Y te projecteeren.

De figuur van die projecties is dan de inversie der
eerste figuur.

De co² vlakken door Ci snijden P₀ volgens ellipsen,
die op het vlak X 0 Y als cirkels worden geprojecteerd.

De inversie van elk van die cirkels, op de boven
aangegeven wijze bepaald, is de cirkel zelf.

Elk van die cirkels (hoofdstuk III) heeft tot beeld
de pool van het vlak door Ci, dat Po snijdt volgens de
ellips, die op het vlak XOY in dien cirkel wordt ge-
projecteerd.

Van elk van die cirkels wordt dus het beeldpunt
door P₀ harmonisch gescheiden van Ci.

De beeldpunten van al die cirkels vormen het pool-
vlak van Ci. De cirkels vormen een hyperbolisch net.
Een hyperbolisch net is dus te beschouwen als de meet-
kundige plaats van de cirkels uit een hyperbolische
inversie, hierdoor gekenmerkt, dat elk exemplaar, nadat
aan elk van zijn punten een ander punt is toegevoegd,
in zichzelf overgaat.

De eenige cirkel uit de hyperbolische inversie, waar-
van elk punt aan zichzelf is toegevoegd, treedt op als
de orthogonaalcirkel van dat hyperbolische net.

Kiest men een punt C₂ binnen P₀, dan is op overeen-
komstige wijze een elliptische inversie samen te stellen.

Een elliptisch net is nu te beschouwen als de meet-
kundige plaats van de cirkels uit een elliptische inversie,
hierdoor gekenmerkt, dat elk exemplaar door die inversie
in zichzelf overgaat.

Het punt 0₂ beeldt weer den, nu imaginairen, ortho-
gonaalcirkel van het net af.

Gentrum van inversie en centrum van den diametraal-
cirkel vallen samen. Is het product van de afstanden
van een punt en zijn inversie tot het inversie-centrum
gelijk aan — r², dan heeft de diametraalcirkel een
straal r.

§ 2. In de hyperbolische inversie gegeven door Po
en een punt Ct, dat dus buiten Po ligt, wordt aan den
cirkel Ai, met beeldpunt Li een andere cirkel A₂ met
beeldpunt L₂ toegevoegd.

Dit blijkt aldus:

De punten van Ai worden op P₀ afgebeeld door de
punten van een ellips Ei. Die punten worden verbonden
met Gi. De kwadratische kegel, die dan ontstaat, heeft
met Po een doorsnede van den 4^en graad die uit Ei
en een andere ellips E₂ bestaat.

De ellips E₂ wordt dan op het vlak X 0 Y geprojec-
teerd in een cirkel A₂ met beeldpunt L₂.

Twee kwadratische krommen op een kwadratischen
kegel zijn altijd te beschouwen als de doorsnede van
dien kegel met een anderen kwadratischen kegel.

Voor de toppen van twee dergelijke kegels geldt de
eigenschap, dat zij door de vlakken van die twee kwa-
dratische krommen harmonisch worden gescheiden.

De beide ellipsen Ei en E₂ liggen dus ook op een
kwadratischen kegel met top C₂; de beide vlakken ge-
bracht door elk van de punten Gi en C₂ en de snijlijn
van de vlakken, waarin die ellipsen zijn gelegen, vormen
met die vlakken een harmonisch viertal. •

Een rechte, die Ci verbindt met een punt van Ei,
snijdt P₀ in een punt van E₂. Het punt op die rechte,
dat met Gi die punten Ei en E₂ harmonisch scheidt, is
een punt van het poolvlak van Ci t. o. van P₀.

Hieruit volgt, dat het vlak door het punt C₂ en de
snijlijn van de vlakken van de beide ellipsen hel pool

vlak is van Ci en na eenzelfde beschouwing voor het
punt C2, dat het vlak door Ci en die snijlijn het pool-
vlak is van C₂.

De toppen Ci en C2 beelden dus elkaar orthogonaal
snijdende cirkels af.

Uit de gelijkwaardigheid van de beide kegels volgt,
dat de cirkels Ai en A₂ ook nog in een andere inversie
aan elkaar zijn toegevoegd.

Die tweede inversie, die bepaald wordt door Po en
het punt C₂ is öf hyperbolisch óf elliptisch.

Beschouwt men dat harmonisch vlakkenviertal als de
afbeelding van vier harmonische netten, dan beelden
hun polen, de punten Li, L₂, Ci, C₂ een harmonisch
cirkelviertal af.

Het resultaat is dus:

1) Twee cirkels zijn in twee verschillende inversies
aan elkaar toegevoegd.

2) In elk van die beide inversies is een net, waarvan
de cirkels aan zichzelf zijn toegevoegd.

De orthogonaalcirkels van die beide netten behooren
tot den cirkelbundel bepaald door de beide cirkels; de
beeldvlakken van die beide netten snijden elkaar dus
volgens een rechte, die den bundel afbeeldt toegevoegd
aan dien bundel.

3) De orthogonaalcirkels van die beide netten snijden
elkaar orthogonaal.

4) De middelpunten van de beide cirkels en van de
orthogonaalcirkels vormen een harmonisch viertal.

5) De beide inversies en de netten uit die inversies,
waarvan de cirkels aan zichzelf zijn toegevoegd, zijn
volkomen door die twee cirkels bepaald.

§ 3. Het punt Ci, resp. C₂, ligt in hel poolvlak t. 0.
van P₀ van het punt C₂, resp. Ci.

In een door Po en het punt Ci gegeven inversie is
nu op eenvoudige wijze het beeldpunt L₂ te bepalen
van den cirkel A₂ toegevoegd aan den door zijn beeld-

punt Li gegeven cirkel Ai. Daartoe is Ci met Li te
verbinden, het snijpunt C₂ van die rechte met hetpool-
vlak van Ci te bepalen en het 4^e punt L₂ te vinden,
dat met Li het puntenpaar C.i,C₂ harmonisch scheidt.

Beschouwt men een punt als een puntcirkel, dan omvat
deze wijze, om van het beeldpunt van een cirkel in een
inversie het beeldpunt van den toegevoegden cirkel te
bepalen, de oorspronkelijke wijze om van een punt in
een inversie het toegevoegde punt te vinden.

Dadelijk is nu in te zien, dat in een inversie aan een
cirkelbundel weer een cirkelbundel is toegevoegd.

Immers de beeldrechte van een bundel wordt weer,
door van eiken cirkel uit dien bundel op de boven aan-
gegeven wijze het beeldpunt van den toegevoegden
cirkel te bepalen, in een rechte omgezet. Ook de soort
van bundel blijft bij inversie dezelfde.

§ 4. De cirkels, die een gegeven cirkel Ai onder
een eenzelfden hoek snijden, vormen parabolische bundels,
die afgebeeld worden door de rechten van een eenbladige
hyperboloïde, welke P₀ raakt volgens een ellips Ei, waar-
van de punten de punten van Ai afbeelden (hoofd-
stuk XIII).

In de door P₀ en het punt Ci bepaalde inversie is
aan den cirkel Ai een cirkel A₂ toegevoegd, waarvan
de punten worden afgebeeld door de punten van een
ellips E₂, op de boven aangegeven wijze uit Ei verkregen.

Aan de parabolische bundels zijn weer parabolische
bundels toegevoegd, waarvan de beeldrechten paarsge-
wijze gaan door de punten van E₂.

Aan eiken cirkel, waarvan het beeldpunt het snijpunt
is van twee rechten van de eenbladige hyperboloïde,
is in de inversie weer een cirkel toegevoegd, waarvan
het beeldpunt het snijpunt is van twee rechten, die elk
gaan door een punt van E₂.

Hieruit volgt:

In een inversie is aan een cirkel Ai en de cirkels*

die dien cirkel onder eenzelfden hoek snijden, weer een
cirkel A₂ en een cirkelverzameling toegevoegd.

De cirkels van die cirkelverzameling worden afgebeeld
door de punten van een eenbladige hyperbolóïde, die
P₀ raakt volgens een ellips, waarvan de punten de
punten van A₂ afbeelden.

Die cirkels snijden dus A₂ onder eenzelfden hoek.

Om nu te bewijzen, dat die hoek dezelfde is als de
hoek waaronder de toegevoegde cirkels den cirkel Ai
snijden, is het voldoende, wanneer voor ten minste een
snijpunt van de beide raakhyperboloïden wordt aange-
toond, dat het een cirkel of ontaarding afbeeldt, die de
beide cirkels Ai en A₂ onder eenzelfden hoek snijdt.

Dit geschiedt als volgt:

In elke inversie wordt aan elk punt een ander punt
toegevoegd, gelegen op de verbindingsrechte van dat
punt met het inversie-centrum. Is Ci^p de projectie van
Ci, dan volgt hieruit, dat de beide raaklijnen uit Ci^p
aan Ai weer raaklijnen zijn voor den in die inversie aan
A₂ toegevoegden cirkel.

De punten van de doorsnede van de eerste raak-
hyperboloïde met het oneindig verre vlak beelden de
rechten af, die den cirkel Ai onder een hoek x snijden,
de punten van de snijlijn van het oneindig verre vlak
met het raakvlak aan P₀ in het beeldpunt van Ci^p beelden
de rechten door Ci^p af.

Er zijn dus twee rechten door Ci^r, die den cirkel A_t
onder een hoek x snijden, de beide raaklijnen uit Ci^p
aan den cirkel met straal ri cos x, die concentrisch is
met Ai.

Bij inversie blijven die beide rechten onveranderd. Is
r₂ de straal van A₂, dan blijkt dadelijk, dat ze ook
raken aan den cirkel met straal r₂ cos x, die concentrisch
is met A₂.

Die beide rechten, die worden afgebeeld door twee
snijpunten van de beide raakhyperboloïden snijden dus
de beide cirkels onder gelijke hoeken.

De inversie is dus een isogonale transformatie.

Boven is gebleken, dat in elk van de beide inversies,
waarin de cirkels Ai en A₂ aan elkaar zijn toegevoegd,
een cirkelnet is, clat bij die inversie niet verandert.

Aangezien de inversie een isogonale transformatie is,
volgt hieruit, dat die netten de meetkundige plaatsen
zijn van de cirkels, die Ai en A₂ onder denzelfden
hoek snijden.

§ 5. Een vertikaal vlak door het punt Gi snijdt de
ellips Ei in twee punten Ai en Bi.

De verbindingsrechten van Ci met die beide punten
snijden P₀ in de punten A₂ en B₂.

Beide rechten worden op het vlak X 0 Y in dezelfde
rechte geprojecteerd.

Zijn Ai^p resp. Bi^p, A₂^P, B₂^P de projecties van Ai, resp.
Bi, A₂, B₂, dan zijn de punten Ai^p en A₂^P evenals de
punten Bi¹\' en B₂^P in die inversie aan elkaar toegevoegd.

Voor die punten geldt dus:

Ci^pAi^p.Ci^pA₂^p = r,²
en

Ci^pBi^p. Ci^pB₂^p = r,².

Hieruit volgt: Ci^p Ai^p: C,^p B₂^P = Ci^p Bi^p: Gi" A₂^P.

De cirkel A₂ kan dus door gelijkvormige vergrooting
ontstaan uit den cirkel Ai. Het punt Gi^p is hierbij
het gelijkvormigheidspunt. Uit de gelijkwaardigheid van
de beide inversies volgt nu dadelijk, dat het punt C₂^P
als het andere gelijkvormigheidspunt voor die beide
cirkels optreedt.

In elk van de beide gevallen dat het vertikale vlak
door het punt C₂ aan de ellips Ei raakt, vallen de
punten Ai^p en Bi^p en bijgevolg ook de punten A₂^P en
B₂^p samen.

De beide raaklijnen uit Ci^p aan Ai blijven, zooals
reeds boven bleek, na inversie raaklijnen aan A₂.

§ 6. Een cirkel f, gelegen in het cirkelnet, waarvan

het beeldvlak het punt Ci tot pool heeft, snijdt Ai in
twee punten Fi^p en Gi^p. De aan die punten in de
inversie toegevoegde punten zijn de beide andere snij-
punten van T met de rechten Ci^p Ft^p en Ci^p Gi^p.

Hieruit volgt, dat de vier snijpunten van een cirkel T,
waarvan het beeldpunt gelegen is in een van de beide
poolvlakken van de punten Ci en C₂, met de cirkels
Ai en A₂ op twee rechten liggen, die elkaar in een
van die beide punten Ci en C₂ snijden.

Die beide netten, die de gelijkvormigheidspunten van
de beide cirkels Ai en A₂ tot centra van hun ortho-
gonaalcirkels (diametraalcirkels) hebben, heeten de gelijk-
vormigheidsnetten voor die beide cirkels.

De beeldvlakken van de beide gelijkvormigheidsnetten
snijden elkaar volgens een rechte, die de toegevoegde
poollijn is voor de beeldrechte van den bundel bepaald
door die cirkels Ai en A₂.

Die snijlijn is dus tegelijk de beeldrechte van den
bundel, waarvan de cirkels Ai en A₂ orthogonaal snijden.

§ 7. Wanneer de cirkels Ai en A₂ elkaar snijden,
dan hebben ook de -ellipsen Ei en E₂ twee punten ge-
meen en is -de verbindingslijn van die twee punten de
snijlijn van de beeldvlakken van de beide gelijkvormig-
heidsnetten van die cirkels. De bundel bepaald door
Ai en A₂ is elliptisch en wordt dus afgebeeld door
een rechte buiten P₀. De beide punten Ci en C₂, de
beeldpunten van de orthogonaalcirkels van de beide
gelijkvormigheidsnetten, liggen, zooals boven bleek, op
die rechte. De orthogonaalcirkels zijn dus reëel, de
gelijkvormigheidsnetten hyperbolisch.

De middelpunten van die beide orthogonaalcirkels, de
gelijkvormigheidspunten Gi^p en C₂^P verdeelen den afstand
tusschen de middelpunten van Ai en A₂ uit- en in-
wendig in reden van de stralen van die cirkels. Die
punten Ci^p en C₂^P zijn te vinden door in een van de
beide snijpunten van Ai en A₂ de stralen te teekenen,

in dat punt de hoeken tusschen die stralen middendoor
te deelen en de snijpunten van die bissectrices met de
verbindingslijn van de. middelpunten van Ai en A₂ te
bepalen.

Die bissectrices deelen dus ook de hoeken tusschen
de raaklijnen in dat snijpunt aan de cirkels Ai en A₂
middendoor en raken in dat punt aan de orthogonaal-
cirkels IY en F₂.

Raken de beide cirkels Ai en A₂ elkaar, dan raken
de ellipsen Ei en E₂ elkaar ook. De snijlijn van de
beeldvlakken van de beide gelijkvormigheidsnetten valt
nu samen met de gemeenschappelijke raaklijn aan Ei
en E₂ in hun raakpunt. Een van de beide orthogonaal-
cirkels wordt afgebeeld door dat raakpunt, de andere
raakt aan Ai en A₂ in datzelfde punt. Het eene
gelijkvormigheidsnet is hyperbolisch, het andere para-
bolisch. \\

Liggen de beide cirkels Ai en A₂ geheel buiten elkaar,
dan is de door die cirkels bepaalde bundel hyperbolisch.
De ellipsen Ei en E₂ snijden elkaar niet. De snijlijn
van hun vlakken beeldt weer den gemeenschappelijken
bundel van de gelijkvormigheidsnetten van die cirkels
af. De punten Ci en C₂, die twee orthogonaal snijdende
cirkels van den door Ai en A₂ bepaalden bundel af-
beelden, vormen met de puntcirkels van dien bundel
een harmonisch viertal (hoofdstuk IX). Een van die
beide puntcirkels ligt dus binnen P₀. Het eene gelijk-
vormigheidsnet is hyperbolisch, het andere elliptisch.

De netten, waarvan de beeldvlakken gaan door de
poollijn van de beeldrechte van den bundel, bepaald
door Ai en A₂, en door elk van de beeldpunten van
de vier cirkels Ai, A₂, Fi en T» vormen een harmonisch
viertal.

Bijzondere gevallen:

1) De cirkels Ai en A₂ ontaarden in een cirkel Ai
en een rechte T₂, die Ai snijdt. De rechte van de
middelpunten van de cirkels van den door Ai en T₂

bepaalden bundel is de loodlijn uit het middelpunt van
Ai op T₂ neergelaten. De rechte T₂, de ontaarding
van den cirkel A₂, is tegelijk ook als een raaklijn aan
dien cirkel te beschouwen. Deelt men in een van de
beide snijpunten van Ai en T₂ de hoeken tusschen
T₂ en de raaklijn aan Ai in dat punt middendoor, dan
zijn de snijpunten van die bissectrices met de rechte
van de middelpunten van de cirkels van den door Ai
en T₂ bepaalden bundel, de middelpunten van de ortho-
gonaalcirkels van de beide gelijkvormigheidsnetten. De
orthogonaalcirkels, die tot den door Ai en T₂ bepaalden
bundel behooren, zijn dus volkomen bepaald.

2) Ontaarden de cirkels Ai en A₂ in twee rechten
Ti en T₂, dan wordt de bundel, toegevoegd aan den
door Ti en T₂ bepaalden bundel, afgebeeld door een
rechte loodrecht op het vlak X 0 Y door het snijpunt
van Ti en T₂ (hoofdstuk VII).

Het harmonisch netviertal, waarvan de beeldvlakken
gaan door die rechte en elk van de beeldpunten van
Ti, To, Ti en T₂ wordt dus afgebeeld door vier vlakken
loodrecht op het vlak X 0 Y. De orthogonaalcirkels van
de gelijkvormigheidsnetten Ti en P₂ ontaarden dus in
orthogonaalrechten door het snijpunt van Ti en T₂.

Ti en T₂ zijn behalve als ontaardingen van Ai en
A₂ ook te beschouwen als raaklijnen aan die cirkels.
Evenzoo zijn de beide orthogonaalrechten de raaklijnen aan
de orthogonaalcirkels, waarvan zij de ontaarding zijn.

De beide bissectrices van de door Ti en T₂ gevormde
hoeken zijn de orthogonaalrechten van de beide gelijk-
vormigheidsnetten.

3) Ontaarden de beide cirkels Ai en A₂ in een
cirkel Ai en een rechte T₂, die Ai niet snijdt, dan is
de bundel, bepaald door Ai en T₂, hyperbolisch. De
middelpunten van de beide orthogonaalcirkels vormen
met de middelpunten van Ai en T₂ een harmonisch
viertal. Aangezien het middelpunt van T₂ ligt op de

oneindig verre rechte in het vlak X 0 Y, zijn de middel-
punten van die beide orthogonaalcirkels symmetrisch
gelegen t. o. van het middelpunt van Ai op de loodlijn uit
dat middelpunt op T₂ neergelaten. Die middelpunten
worden bovendien harmonisch gescheiden door de punt-
cirkels Ii^p en I₂^P van den door A_x en T₂ bepaalden
bundel (hoofdstuk IX).

Die punten Ci^p eji C₂^P zijn cle snijpunten van Ai met
de rechte van de cirkelmiddelpunten van den door Ai
en T₂ bepaalden bundel.

Is Ci" het middelpunt van ilen orthogonaalcirkel met
reëelen straal Fi, dan is C₂^P het middelpunt van den
diametraalcirkel van het elliptische gelijkvormigheidsnet.
Aangezien I\\ in dat elliptische net is gelegen en het
middelpunt van dat net, C₂^P, bekend is, is nu op een-
voudige wijze de diametraalcirkel van dat net te bepalen.
Daartoe is C₂" met het middelpunt van Fi te verbinden
en daarna in C₂^P de loodlijn op die verbindingslijn op
te richten. De beide snijpunten van de loodlijn met 1\\
bepalen op die loodlijn de uiteinden van een middellijn
van den diametraalcirkel van het elliptische gelijkvormig-
heidsnet.

HOOFDSTUK XV.

Do cirkels uit eon bundel, dio oen gegeven cirkol
raken of onder 0011 gogo ven hoek snijden.

§ 1. De cirkels, die een gegeven cirkel F aanraken,
worden afgebeeld door de punten van den raakkegel
aan P₀, die het beeldpunt Cl van F tot top heeft.

Een cirkelbundel wordt afgebeeld door een rechte l.

De beide snijpunten van l met den kegel beelden de
cirkels uit dien bundel af, die aan F raken.

Het vlak gebracht door G en de rechte l is het beeld-
vlak van het net, bepaald door T en den bundel. Dit

vlak zal den raakkegel snijden volgens twee rechten,
aanraken of alleen den top er mee gemeen hebben.

In het eerste geval is het net, bepaald door T en den
bundel, een hyperbolisch net. De beide rechten m en
n, door het beeldvlak van dat net uit den kegel gesneden,
hebben met l twee punten gemeen, die reëele cirkels
afbeelden.

In het tweede geval is dat net een parabolisch net.
De beide rechten m en n zijn samengevallen, dus ook
hun snijpunten met l. Het snijpunt beeldt een reëelen
cirkel af, die voor twee moet worden geteld.

In het derde geval is het net elliptisch. Er zijn geen
reëele cirkels uit den bundel met beeldrechte l, die aan
den cirkel T raken.

Hieruit volgt, dat in eiken hyperbolischen cirkelbundel
altijd twee gescheiden reëele cirkels en in eiken para-
bolischen cirkelbundel twee gescheiden of twee samen-
vallende reëele cirkels zijn te vinden, die aan een ge-
geven willekeurigen cirkel raken. Voor een elliptischen
bundel zijn twee gescheiden of twee samenvallende
reëele cirkels te vinden, naarmate het net, bepaald door
den willekeurigen cirkel en dien bundel, hyperbolisch
of parabolisch is.

In een elliptischen bundel, die met een gegeven cirkel
een elliptisch net bepaalt, zijn geen reëele cirkels, die
aan den gegeven cirkel raken.

De ruimte-constructie, waarbij de snijpunten van de
rechten m en n met de rechte l werden bepaald, geeft
nu de aanwijzing voor de constructie in het platte vlak
van de cirkels uit een bundel, die aan een gegeven
cirkel raken.

Is T de gegeven cirkel met middelpunt C^p en zijn
Ix^p en I₂^P de puntcirkels van den bundel, dan wordt eerst
de orthogonaalcirkel van het net geconstrueerd door in den
bundel bepaald door T en Ii^p den anderen puntcirkel
te vinden. Die puntcirkel I₃^P is het midden van de als
koorde van T beschouwde poollijn van Ii^p t. o. van F.

De cirkel door de punten Ii^p, I₂^P en I₃^P is dan de
orthogonaalcirkel van het net. De snijpunten van dien
orthogonaalcirkel met T, de punten Si^p en S₂^P, geven
verbonden met C^p de rechten m^p en n^p.

De snijpunten van die rechten m^p en n^p met de ver-
bindingsrechte l^p van de punten Ii^p en I₂^P, de punten
Mi en M₂, zijn nu de middelpunten van de beide raak-
cirkels. De stralen van die beide raakcirkels zijn tegelijk
gegeven door de afstanden Mi Si^p en M₂ S₂^P.

De beide cirkels, die een gegeven cirkel V onder een
gegeven hoek « snijden en tot een gegeven bundel be-
hooren, worden afgebeeld door de snijpunten van een
raakhyperboloïde aan P₀ en de beeldrechte van dien
bundel.

Uit den onderlingen stand van Po, de raakhyperboloïde
en de beeldrechte van den bundel, is op eenvoudige
wijze stereometrisch aan te toonen, dat bij een hyper-
bolischen of elliptischen bundel die beide cirkels öf
reëel öf imaginair zijn öf tot één reëelen cirkel kunnen
samenvallen, en dat bij een parabolischen bundel die
beide cirkels of reëel zijn öf tot één reëelen cirkel
samenvallen.

Ook hier geeft de ruimte-constructie do aanwijzing
voor het bepalen van de beide cirkels uit den bundel.

Een willekeurig vlak door de beeldrechte van den
bundel snijdt de hyperbóloïde volgens een kwadratische
kromme. Beeldreqhte en kwadratische kromme worden
op het vlak X 0 Y weer als een rechte en een kwadra-
tische kromme geprojecteerd. De beide snijpunten van
die rechte en de kwadratische kromme zijn de middel-
punten van de beide cirkels.

De constructie wordt nu de volgende:

Bepaal den orthogonaal- of diametraalcirkel van het
net, dat den cirkel F en den gegeven bundel bevat,
bepaal daarna de middelpunten van vijf cirkels, die dat
net gemeen heeft met vijf parabolische cirkelbundels,
die den cirkel T onder een hoek u snijden.

De beide snijpunten van de rechte van de cirkel-
middelpunten van den gegeven bundel met de kegelsnede,
bepaald door die vijf punten, zijn de middelpunten van
de beide cirkels.

Die middelpunten zijn nu te vinden als het gemeen-
schappelijk puntenpaar van twee punteninvoluties op
die rechte, ingesneden door de kegelsneden van twee
verschillende bundels, die elk vier van die vijf punten
tot basispunten hebben.

Een eenvoudiger constructie wordt evenwel verkregen
met behulp van de inversie. Hierbij dient onderscheid
te worden gemaakt lusschen een elliptischen en een
hyperbolischen bundel.

Zijn Vi" en V₂^P de beide basispunten van den ellip-
tischen bundel en is T de gegeven cirkel met beeld-
punt G, dan is als volgt een inversie in elkaar te zetten.

Bepaal het poolvlak van G, bepaal het snijpunt Ci
met dat poolvlak van den vertikaal op het vlak XOY
door het punt VY\', bepaal het poolvlak van Ci. In dat
poolvlak ligt dan weer het punt G. Bij de inversie, be-
paald door Po en het punt Ci, blijft dus F onveranderd
(hoofdstuk XIV).

De beide cirkels uit den bundel, bepaald door Vi^p en
V₂^P, die r onder den gegeven hoek x snijden, zullen na
inversie overgaan in twee cirkels uit den bundel, die
na inversie uit den eersten ontstaat. Aangezien de in-
versie een isogonale transformatie is, zullen ook die beide
cirkels T weer onder denzelfden hoek x snijden.

Het punt Vi^p wordt op Po afgebeeld door een punt Vi.
Dit punt Vi ligt op den vertikaal door Vi^p halverwege
tusschen het snijpunt van dien vertikaal met het pool-
vlak van Ci en het punt Ci zelf (hoofdstuk III).

In de inversie bepaald door Po en het punt Ci wordt
dus aan het punt Vi het raakpunt toegevoegd van Po
met het oneindig verre vlak. Aan liet punt V₂, dat op
Po het punt V₂^P afbeeldt, wordt op de gewone manier
een punt V₃ toegevoegd. De in die inversie aan den

oorspronkelijker! bundel toegevoegde bundel wordt dus
afgebeeld door de rechte vólgens welke het oneindig
verre vlak en het raakvlak aan P₀ in het punt V₃ elkaar
snijden (hoofdstuk VII).

De cirkel bundel door de beide punten Vi^p en V₂^P gaat
dus na inversie over in een stralenbundel doorliet punt
V₃^P, het punt, waarin V₃ op het vlak XOY wordt ge-
projecteerd.

De beide raaklijnen uit dat punt V₃^P aan den met F
concentrischen cirkel met straal r cos x zijn in de door
Po en het punt Gi bepaalde inversie toegevoegd aan
de beide cirkels uit den oorspronkelijken bundel, die T
onder een gegeven hoek x snijden. Die beide cirkels
zijn nu op eenvoudige wijze uit die raaklijnen af te
leiden.

§ 2. Zijn Ii^p en I₂^P de beide puntcirkels van een
hyperbolischen bundel en is F de gegeven cirkel met
beeldpunt C, dan wordt op overeenkomstige wijze als
met de punten V₍^p en V₂^P nu met behulp van de punten
Ii^p en I₂^P een inversie in elkaar gezet. Zijn li en I₂ de
beeldpunten van die beide puntcirkels, dan wordt op
Po aan li het raakpunt van Po aan het oneindig verre
vlak en aan I₂ een punt In toegevoegd. De beeldrechte
van den na inversie verkregen hyperbolischen bundel is
dus een vertikaal op het vlak XOY door het punt l».
De cirkelbundel, bepaald door de beide puntcirkels Ii^p
en I₂^P, gaat dus na inversie over in een bundel concen-
trische cirkels, die het punt I₃^P, de projectie op het
vlak XOY van het punt I₃, tot middelpunt hebben.

De beide cirkels uit dien concentrischen bundel, die
F onder een hoek x snijden, worden nu als volgt ge-
vonden. Trek aan den met F concentrischen cirkel met
straal r sin <* een van de beide raaklijnen uit I₃^P, bepaal
van die raaklijn de beide snijpunten A^p en B^p met F
en beschrijf twee cirkels met middelpunt I₃^P en stralen
I₃^P A^p en I₃^P B^p. De beide cirkels uit den oorspronkelijken

bundel, die T onder een hoek oc snijden, zijn nu op
eenvoudige wijze uit deze cirkels af te leiden.

HOOFDSTUK XVI.

Het cirkelstelsel met index 2.

§ 1. De cirkels, die door eenzelfde punt van het vlak
X 0 Y gaan, worden afgebeeld door de punten van het
raakvlak aan Po in het beeld van-dat punt.

Voor een cirkelstelsel met index 2 in het vlak X 0 Y
geldt dus, dat in elk raakvlak aan Po twee punten zijn
gelegen, die twee cirkels van dat stelsel afbeelden.

Hieruit volgt dadelijk, dat de cirkels van een cirkel-
stelsel met index 2 worden afgebeeld door de punten
van een kwadratische kromme. Omgekeerd is iedere
kwadratische kromme te beschouwen als de afbeelding
van een cirkelstelsel met index 2.

Tegelijk blijkt hieruit, dat een cirkelstelsel met index n
wordt afgebeeld door een kromme van den n^den graad.

Een cirkelstelsel met index 2 is dus bepaald door
vijf cirkels, die tot hetzelfde net behooren.

Een eenvoudiger wijze om een dergelijk stelsel te doen
ontstaan dan met vijf cirkels is analytisch te vinden.

De vergelijking van een stelsel met index 2 is de
volgende:

(ai A a₂ A² a₃) (X² -j- Y²) - 2 (bi A b₂ A²b³) X —

— 2 (ci A c₂ A² c₃) Y d, A d₂ A² d_s = 0

of

Pi a r₂ a² f₃ = o.

Zijn xi | yi | Zi, resp. x₂ J y₂1 z₂, x₃1 y₃ j z₃ de óoördi-
naten van de beeldpunten van Pi resp. r₂, P₃ en x j y | z
de coördinaten van het beeldpunt van een willekeurigen

cirkel van hel stelsel, dan is op overeenkomstige wijze
als in hoofdstuk I in te zien, dat:

_ai xi -f A a₂ x₂ -f- A² a₃ x₃

ai A a₂ A² a₃

_ ai yi A a₂ y₂ A² a₃ y₃
ai A a₂ A² a₈

ai Zi A a₂ z₂ 4" A² a₃ z₃

2-«----

ai Aa₂ A²a₃

Die drie vergelijkingen bepalen een kwadratische
kromme. Zij zijn ook uit de drie vergelijkingen voor
het cirkelnet, zie hoofdstuk I, af te leiden, wanneer men
daarin p vervangt door A². De kwadratische kromme
ligt dus in het beeldvlak van het net bepaald door die
drie cirkels Ti, F₂ en r₃.

Voor A — 0 is x = xi, y —yi, z = Zi en
voor A = oo is x = x₃, y = y₃, z = z₃

De beeldkromme van het stelsel gaal door de beeld-
punten van de cirkels Ti en F₃.

De projectie van de beeldkromme op hel vlak X O Y,
d. i. de kromme van de middelpunten van de cirkels
van het stelsel, heeft tot vergelijkingen:

__ai xi -f- A a₂ x₂ -f A² a₃ x₃

ai A a₂ A² a₃

_ai yi -f- A a₂ y₂ -f- A² a₃ y₃

^ ai A a₂ A² a₃

De eliminatie van A uit die beide vergelijkingen geeft
de vergelijking van de kegelsnede in den vorm:

ai a₃1 (y_s - yi) x — (x₃ — Xi) y x₃ y_t — Xi y₃1² —
— a₂²1 (y₃ — y₂) x — (x₃ — x₂) y x₃ y₂ — x₂ y₃ j X
X I (ya — yi) x — (x₂ — x,) y -f xe yi — xi y₂ ! = O
Deze vergelijking is ook te brengen tot den meer
eenvoudigen vorm ai a₃ Li₃² — a₂² L₂₃ Li₂ = O,
waarbij Li₃ = O de vergelijking is van de verbindingslijn
van de middelpunten van Ti en F₃, L₂₃ = O die van
F₂ en F₃ en L_!2 = O die van Fi en T₂.

De meetkundige plaats van de middelpunten van de
cirkels van een aldus bepaalde cirkelschaar is een kegel-
snede, die door de middelpunten van twee van die
cirkels en r₃ gaat en in die punten raakt aan de
verbindingsrechten van die punten met het middelpunt
van den cirkel r₂.

a₂²

Door de verhouding —— is die kegelsnede geheel
bepaald.

Uit het feit, dat bij de bepaling van de cirkelschaar
door de vergelijking: Ti ^ U2 A² r₃ = 0, ook de
coëfficiënten ai, a₂ . en a₃, die eigenlijk met de cirkels
niets te maken hebben, een rol spelen, volgt dat de
drie cirkels niet één stelsel met index 2 bepalen, maar
een enkelvoudig oneindig aantal stelsels. De beeldkrommen
van die stelsels liggen in één plat vlak en vormen een
kegelsnedenbundel, waarvan de vier basispunten twee
aan twee zijn samengevallen in de beeldpunten van Fi
en r₃ op de rechten, die het beeldpunt van T₂ met die
beide beeldpunten verbinden.

Een cirkelstelsel met index 2, een kwadratische cirkel-
schaar, wordt dus afgebeeld door de doorsnijding van
een plat vlak en een kwadratischen cylinder, waarvan
de beschrijvende rechten loodrecht op het vlak X 0 Y
staan.

Het platte vlak is het beeldvlak van het net, bepaald
door de drie cirkels; de richtkromme van den cylinder
in het vlak X 0 Y is de kegelsnede van de middelpunten
van de cirkels van het stelsel.

In het vlak X 0 Y is een kwadratische cirkelschaar
dus volkomen bepaald, wanneer gegeven zijn de kegel-
snede K¹\' van de middelpunten van de cirkels van die
schaar en de orthogonaal-, resp. punt- of diametraal-
cirkel van het net, waartoe die cirkels behooren.

De kwadratische cirkelscharcn zijn in vijf soorten in
te deelen:

1°) De cirkels van de schaar behooren tot een hyper-

bolisch net; de raaklijnen aan K^p snijden den orthogo-
naalcirkel niet. Tot deze schaar behooren geen punt-
cirkels.

2ⁿ) De cirkels van de schaar behooren tot een hyper-
bolisch net; een deel van de raaklijnen aan K^p snijdt
den orthogonaalcirkel. In de scharen van deze soort
kunnen zoowel 0, 2 als 4 puntcirkels voorkomen, die
ook nog weer twee aan twee kunnen samenvallen.

3°) De cirkels van de schaar behooren tot een hyper-
bolisch net. Alle raaklijnen aan K^p snijden den ortho-
gonaalcirkel. Is K^p een ellips, dan is die ellips binnen
den orthogonaalcirkel gelegen, is K^p een hyperbool, dan
bevat de schaar vier puntcirkels.

4°) De cirkels van de schaar behooren tot een para-
bolisch net.

5°) De cirkels van de schaar behooren tot een ellip-
tisch net. Deze indeeling, aan de hand van de ruimte-
voorstelling, houdt, zooals later zal blijken, verband met
de soorten van omhullingsfiguren van de cirkels van een
schaar.

§ 2. De constructie van de beide cirkels door een
punt X^p van het vlak X 0 Y, die behooren tot een kwa-
dratische cirkelschaar, gegeven door een kegelsnede K"
en den orthogonaal-, resp. punt-, diametraalcirkel van
het net, waartoe die schaar behoort, is uit de ruimte-
voorstelling af te leiden.

De beide cirkels behooren tot het net, dat wordt
afgebeeld door het raakvlak aan Po in hel beeldpunt
X van X^p.

De beide cirkels worden dus afgebeeld door Iwee
punten van de rechte, volgens welke dat raakvlak en
het beeldvlak van het net van de schaar elkaar snijden.

De beide snijpunten van die rechte met de beeld-
kromme K van de schaar zijn nu de beeldpunten van
die beide cirkels.

De middelpunten van die beide cirkels zijn dus de

snijpunten van K^p met den centraal van den bundel,
die het net waartoe de schaar behoort, en het parabo-
lische net met het vaste punt X^p met elkaar gemeen
hebben.

Is het net, waartoe die schaar behoort, gegeven door
zijn orthogonaal-, punt- of diametraalcirkel, dan is
(hoofdstuk X), die centraal dadelijk te bepalen.

Raakt die centraal aan K^p dan vallen de beide cirkels
door X^p samen en is X^p een punt van de omhullings-
figuur van de cirkels van de schaar.

Omgekeerd is nu, weer aan de hand van de ruimte-
voorstelling, uit de raaklijnen aan K^p en den orthogo-
naal-, punt-, of diametraalcirkel van het net, waartoe
de schaar behoort, die omhullingsfiguur te construeeren
en zijn de eigenschappen van die figuur te vinden.

Alvorens daartoe over te gaan, verdient het aanbe-
veling, om eerst langs analytischen weg iets van die
omhullingsfiguur te weten te komen.

Is Ti A P₂ A² Ta = 0 weer de vergelijking van
die schaar, dan is de vergelijking van de omhullings-
figuur:

4 Tt r₃ - r₂² = 0

De omhullingsfiguur is een kromme van den vierden
graad.

De bovenstaande vergelijking is ook te brengen tot
den vorm:

ai (x² y²)² a₂ (x² y²) a₃ = 0.
Hierbij is: ai = const.

a₂ = bi x b₂ y -f ba

a₃ = ci x² c₂ xy c₃ y² c₄ x es y c₆

De b\'s en de c\'s zijn constanten.

Hieruit yolgt, dat de omhullingsfiguur van een kwa-
dratische cirkelschaar ook te beschouwen is als de pro-
jectie op het vlak X 0 Y van de doorsnijdingskromme
van Po en een kwadratisch oppervlak.

Om nu op de boven reeds aangestipte wijze de om-

hullingsfiguur te construeeren zal, om de gedachte te
bepalen, worden uitgegaan van een kwadratische cirkel-
schaar van de l^e soort en zal voor K^p worden gekozen
een ellips.

Een punt X^p van de omhullingskromme is hierdoor
gekenmerkt, dat het raakvlak aan P₀ in zijn beeldpunt X
het beeldvlak van het net van de schaar snijdt volgens
een raaklijn aan de-beeldkromme K van de schaar.

De punten X worden dus paarsgewijze gevonden als
de raakpunten van de beide raakvlakken aan Po door
elk van de raaklijnen t van die beeldkromme K.

De beide punten X, behoorende bij een gegeven raak-
lijn t, zijn dus de snijpunten van P₀ met de aan t t. o.
van P₀ toegevoegde poollijn.

De raaklijnen t liggen in een plat vlak, het beeldvlak
van het net van de schaar; de toegevoegde poollijnen
gaan dus door een punt, het beeldpunt C van den
orthogonaalcirkel van het net.

In verband met de boven afgeleide vergelijking van
de omhullingskromme, is nu dadelijk in te zien, dat
die poollijnen een kwadratischen kegel vormen.

Ook onafhankelijk van die vergelijking is dit aan te
toonen. Do poollijnen der raaklijnen van K t. o. van
Po gaan allen door de pool van het vlak van K, het
punt G.

Door elk punt Y van het vlak van K gaan twee
raaklijnen aan K. De poollijnen van die beide raaklijnen
liggen in het poolvlak van Y en gaan door het punt C.
Elk plat vlak door het punt G bevat twee poollijnen
van raaklijnen aan K. De poollijnenkegel is kwadratisch.

Hieruit volgt: De omhullingskromme van de cirkels
van een stelsel met index 2 is de projectie op het vlak
X 0 Y van de doorsnijdingskromme van P₀ met een
kegel, waarvan de beschrijvende lijnen de t. o. van Po
toegevoegde poollijnen zijn van de raaklijnen van de
beeldkromme van het stelsel.

Een raaklijn t aan K en de toegevoegde poollijn p

worden op het vlak X 0 Y geprojecteerd in twee lood-
recht snijdende rechten (hoofdstuk VII).

Die rechten zijn de raaklijn t^p aan Ii^p en de rechte
p^p door het middelpunt C^p van den orthogonaalcirkel
van het net, waartoe de schaar behoort.

De rechte p^p is de centraal van den door p afgebeelden
bundel. De orthogonaalcirkel van het net behoort tot
dien bundel, de rechte t" is de machtlijn.

De puntcirkels van den aldus gegeven bundel zijn nu
in het vlak XOY op eenvoudige wiize te construeeren.

Die puntcirkels zijn dan een puntenpaar van de om-
hullingskromme C4 van de schaar.

De punten van C4 zijn in involutorische paren te
rangschikken, die symmetrisch liggen t. 0. van de raak-
lijnen aan K^p.

§ 3. Op ongezochte wijze verschijnt bij de constructie
van die G4 nog een andere kromme, de kromme V4 van
de voetpunten van de loodlijnen uit het middelpunt van
T op de raaklijnen van K^p neergelaten. De punten van die
kromme liggen elk in het midden van de beide punten
van een involutorisch puntenpaar. Elk punt van die
kromme is de projectie van het midden van een be-
schrijvende rechte van den kegel van de poollijnen, als
koorde van Po beschouwd.

Op vrij eenvoudige wijze is aan te toonen, dat de
middens van alle koorden van Po, die door eenzelfde
punt gaan, weer een omwentelingsparaboloïde vormen,
waarvan de as evenwijdig is aan de as van P₀.

Die voetpuntenkromme is dus de projectie van de
doorsnijding van een omwentelingsparaboloïde en een
kwadratischen kegel.

Die voetpuntenkromme is dus een 4° graadskromme
geheel van dezelfde soort als de kromme C4.

§ 4. De kegel van de poollijnen en P₀ bepalen een
bundel kwadratische oppervlakken, waarvan de basis-

kromme op het vlak XOY in de kromme C₄ wordt
geprojecteerd.

In dien bundel zijn behalve den kegel van de pool-
lijnen nog drie kwadratische kegels. De toppen van de
vier kegels uit den bundel zijn de hoekpunten van een
pooltetraeder van Po.

De poollijnen van de beschrijvende rechten van elk
van die vier kegels omhullen vier kegelsneden, elk ge-
legen in een zijvlak van dien pooltetraeder.

De vier kegelsneden zijn de beeldkrommen van vier
cirkelscharen, die omhuld worden door dezelfde kromme C₄.

De toppen van de vier kegels worden op het vlak
XOY geprojecteerd in de orthocentrische groep van de
punten C^p.

Door die vier punten G^p zijn, zie hoofdstuk VIII, de
vier orthogonaalcirkels bepaald van de vier netten, waartoe
die cirkelscharen behooren.

De vier orthogonaalcirkels liggen dus drie aan drie
met een van de vier cirkelscharen in hetzelfde net.

§ 5. Omgekeerd zijn nu verschillende eigenschappen
opgespoord voor de algebraische kromme, gegeven door
de vergelijking:

ai (x² y²)² a₂ (x² y²) a, = 0,
waarbij ai = const., a₂ = bi x -f- b₂ y -f b₃, a₃ = Ci x² -f-
-f c₂ xy -f c₃ y² -j- c₄ x -f c₅ y c« en waarbij de b\'s
en de c\'s constanten zijn.

Voor die kromme C₄ geldt dus:

De punten ervan zijn op vier manieren in involutorische
paren te rangschikken.

De verbindingsrechten van de puntenparen uit een-
zelfde involutie snijden elkaar in een punt C^p.

Die vier punten G" vormen een orthocentrische groep.

De middelloodlijnen van de verbindingsrechten van
de puntenparen uit eenzelfde involutie omhullen een
kegelsnede K^p.

De loodlijnen opgericht op G₄ in elk van de beide

punten van een paar uit dezelfde involutie, snijden elkaar
op de middelloodlijn van de verbindingsrechte van die
beide punten.

Hierin ligt tevens opgesloten, dat de beide loodlijnen
elkaar snijden in het middelpunt van den cirkel, die
in die beide punten C₄ raakt.

Het middelpunt van den cirkel is een punt van K^p.

De kromme C4 omhult vier kwadratische cirkelscharen.

De vier kegelsneden K^p zijn de meetkundige plaatsen
.van de middelpunten van de cirkels van elk van de
vier scharen.

De vier netten van cirkels, waartoe die vier cirkel-
scharen behooren hebben de punten van de orthocen-
trische groep C^p tot middelpunten van hun orthogonaal-
cirkels.

De vier orthogonaalcirkels snijden elkaar twee aan
twee orthogonaal en zijn dus volkomen bepaald door
hun middelpunten (hoofdstuk VIII).

Een van de vier orthogonaalcirkels is altijd imaginair,
een van de cirkelscharen is dus van de 4^e soort, de
andere drie behooren tot de eerste, tweede of derde soort.

§ 5. De verschillen tusschen de kwadratische cirkel-
scharen van de verschillende soorten en hun bijzondere
eigenschappen komen het best uit bij de constructie van
hun omhullingskrommen.

De kwadratische cirkelschaar van de l^e soort heeft
zoowel in het geval, dat K^p een ellips is, als in het geval,
dat K^p een hyperbool is, een omhullingskromme, die
uit twee gesloten takken bestaat. Voor het geval, dat
K^p een hyperbool is raken die beide takken aan elk van
de beide loodlijnen uit het middelpunt van den ortho-
gonaalcirkel op de asymptoten van de hyperbool neer-
gelaten.

Is bij de kwadratische cirkelschaar van de 2^e soort
K^p een ellips, die den orthogonaalcirkel in twee punten
snijdt, dan snijdt de omhullingskromme. den orthogonaal-

cirkel orthogonaal in de beide raakpunten van de ge-
meenschappelijke raaklijnen van ellips en orthogonaal-
cirkel.

De kwadratische cirkelschaar van de 3^e soort bestaat
alleen uit imaginaire cirkels.

Bij de kwadratische cirkelschaar van de 4° soort bezit
de omhullingskromme een geïsoleerd punt, het vaste
punt van het parabolische net.

Een zeer bijzonder geval van een dergelijke cirkel-
schaar wordt verkregen, wanneer men voor K^p een ellips
kiest en voor het vaste\' punt een van de brandpunten
van die ellips. De omhullingsfiguur gaat dan over in
een cirkel, die het andere brandpunt tot middelpunt en
de lange as tot straal heeft. Het eerste brandpunt is
weer voor die omhullingsfiguur het geisoleerde punt.

Voor de kwadratische cirkelschaar van de 5° soort
bestaat in het geval, dat K^p een ellips is en het middel-
punt van den diametraalcirkel buiten die ellips is ge-
legen de omhullingskromme uit twee gesloten takken.

HOOFDSTUK XVII.

De cirkels, die aan twee gegeven cirkels raken.

§ 1. Twee cirkels met vergelijkingen Ai = ö en
A₂ = 0 zijn te beschouwen als een algebraische kromme
van den 4^en graad, die tot vergelijking heeft: -
Ai A₂ = 0

De algebraische kromme is, wat dadelijk blijkt bij
uitwerken van het linkerlid van de bovenstaande verge-
lijking een bijzonder geval van de kromme C₄ uit het
vorige hoofdstuk.

Hieruit volgt dadelijk, dat die beide cirkels door de
cirkels van een viertal kwadratische cirkelscharen worden
aangeraakt.

Die kwadratische cirkelscharen worden afgebeeld door
kwadratische krommen, gelegen in de vier zijvlakken van
een pooltetraeder, die tot hoekpunten heeft de toppen
van vier kegels uit een bundel kwadratische oppervlakken.

De basiskromme van dien bundel is de kromme op
Po, die op het vlak X 0 Y in de beide cirkels Ai en A₂
wordt geprojecteerd; de basiskromme bestaat dus uit
twee ellipsen Ei en E₂.

Hieruit volgt dadelijk, dat er van de vier kegels uit
den bundel maar twee eigenlijke kegels overblijven, want
dat het vlakkenpaar, dat de ellipsen Ei en E₂ bevat,
tweemaal als een ontaarde kegel uit den bundel moet
worden beschouwd.

Twee van de vier kegeltoppen en bijgevolg ook twee
van de cirkelscharen zijn onbepaald.

De beide toppen van de eigenlijke kegels zijn nu,
zie hoofdstuk XIV, de beide punten Ci en C₂, die met
Po de beide inversies bepalen, waarin de cirkels Ai en
A₂ aan elkaar zijn toegevoegd.

Het resultaat is dus:

De cirkels, die aan twee gegeven cirkels raken, vormen
twee kwadratische cirkelscharen.

Elk van de beide gelijkvormigheidsnetten van die twee
gegeven cirkels bevat een van de beide cirkelscharen.

De middelpunten van de cirkels, die aan twee gegeven
cirkels raken, liggen op twee kegelsneden.

§ 2. De cirkels, die aan twee gegeven cirkels Ai
en A₂ raken, Avórden afgebeeld door de punten van de
snijkromme van de beide raakkegels aan Po, die tot toppen
hebben de beeldpunten Li en L₂ van die beide cirkels.

Uit hetgeen boven is gevonden, volgt nu, dat die
snijkromme bestaat uit twee kegelsneden.

Ook onafhankelijk daarvan is dit aan te toonen.

Elk vlak door de rechte Li L₂ snijdt Po en de beide
raakkegels aan Po volgens een ellips en twee paar raak-
lijnen aan die ellips.

Die twee paar raaklijnen vormen een volledige vier-
zijde, waarvan de hoekpunten zijn de punten Li en L₂
en vier punten A, B, C en D.

Die punten A, B, G en D zijn nu vier punten van
de snijkromme.

De drie nevenzijden van die volledige vierzijde snijden
elkaar in twee punten Q en R, op de rechte Li L» ge-
legen, en in een punt P.

Voor een om een kegelsnede beschreven volledige
vierzijde geldt de eigenschap, dat het snijpunt van twee
nevenzijden pool is voor de derde.

Het punt P is dus de\'pool voor de rechte Li L₂ en
bijgevolg een punt van de aan Li L₂ t. o. van Po toe-
gevoegde poollijn.

Elk vlak door Li L₂ bepaalt dus een ander punt P
op die poollijn.

De punten Q en R zijn voor alle vlakken door Li L₂
dezelfde.

Immers zij worden door de punten Li en L₂ harmo-
nisch gescheiden en beelden bovendien twee elkaar
orthogonaal snijdende cirkels van een cirkelbundel af.
Die punten Q en R vormen een puntenpaar, dat twee
op de rechte Li L₂ bepaalde involuties met elkaar gemeen
hebben.

Het puntenpaar A, B ligt in het vlak bepaald door
R en do toegevoegde poollijn van Li L», het puntenpaar
C, D in het vlak bepaald door Q en die poollijn.

Die beide vlakken zijn weer de beeldvlakken van de
gelijkvormigheidsnetten van Ai en A.₂, de punten Q en
R zijn weer de beeldpunten van de orthogonaalcirkels
van die netten.

De beeldkrommen van de beide kwadratische cirkel-
scharen, waarvan de cirkels aan twee gegeven cirkels
raken, zijn dus ook dadelijk te vinden door elk van de
beide boven besproken raakkegeis aan Po te doorsnijden
met de beeldvlakken van de gelijkvormigheidsnetten van
die beide cirkels.

§ 3. Wanneer de beide cirkels Ai en A₂ elkaar
snijden, dan zullen de beide ellipsen Ei en E₂, welke
de punten van Ai en A₂ afbeelden, elkaar snijden vol-
gens twee punten Si en S₂. De rechte Si S₂ is de
poollijn van Li L₂ t. o. van P₀.

De beide raakvlakken door Li L₂ aan P₀, die P₀ in
de punten Si en S₂ aanraken, zijn tegelijk twee ge-
meenschappelijke raakvlakken aan de beide raakkegels
aan P₀ met toppen Li en L₂.

De punten Si en S₂ zijn ook de beide snijpunten van
de twee kegelsneden, die de raakkegels met elkaar ge-
meen hebben.

Immers bepaalt men de snijkromme van die beide
raakkegels door de snijpunten te bepalen van de be-
schrijvende rechten van den raakkegel met top Li met
den raakkegel met top L₂, dan blijkt, dat die beide
snijpunten samenvallen op de rechten Li Si en Li S₂
in de punten Si, resp. S₂.

Die punten Si en S₂ zijn dus dubbelpunten van de
doorsnijdingskromme van die beide raakkegels en bijge-
volg de snijpunten van de beide kegelsneden.

De kegelsneden van de doorsnijdingskromme liggen
in de beeldvlakken van de gelijkvormigheidsnetten en
gaan door de punten Si en S₂.

De beeldvlakken snijden P₀ volgens twee ellipsen dooi-
de punten Si en S₂, die op het vlak X 0 Y worden ge-
projecteerd in de orthogonaal snijdendé orthogonaal-
cirkels Pi en P₂ van de gelijkvormigheidsnetten (hoofd-
stuk XIV).

Raakkegels en P₀ hebben in de punten Si en S₂
dezelfde raakvlakken.

De beide kegelsneden van de snijkromme worden dus
op het vlak X 0 Y geprojecteerd in twee kegelsneden,
die elk een van de beide orthogonaalcirkels aanraken
in de beide punten, die de orthogonaalcirkels met elkaar
gemeen hebben.

De beide kegelsneden snijden elkaar tweemaal loodrecht.

Het resultaat is dus:

De meetkundige plaats van de middelpunten van de
cirkels, die aan twee snijdende cirkels raken, bestaat uit
twee kwadratische krommen, die elkaar loodrecht snijden
in de beide snijpunten van die twee cirkels en die in
diezelfde punten raken aan de orthogonaalcirkels van
de gelijkvormigheidsnetten van die cirkels.

§ 4. Wanneer de beide cirkels Ai en A₂ elkaar
raken, dan raakt de rechte Li L₂ aan P₀ in een punt S.

Het beeldvlak van een van de beide gelijkvormig-
heidsnetten is het raakvlak aan P₀ in het punt S.

Dat beeldvlak raakt elk van de raakkegels aan l o
met loppen Li en L₂ volgens de rechte Li L₂, de ver-
bindingslijn van die toppen.

Een van de beide kegelsneden van de doorsnijdings-
lcromme bestaat dus uit de dubbelgetelde rechte Li L₂.

Die rechte Li L₂ wordt op hel vlak X 0 Y geprojec-
teerd in de rechte Li^p L₂^P, de verbindingslijn van de
middelpunten van de cirkels Ai en A₂.

Het resultaat is dus:

De meetkundige plaats van de middelpunten van de
cirkels, die aan twee elkaar rakende cirkels raken, be-
staat uit een kwadratische kromme, die die cirkels in
hun gemeenschappelijk raakpunt aanraakt en uit de
dubbel te tellen verbindingsrechle van de middelpunten
van die cirkels.

§ 5. Wanneer de beide cirkels Ai en A₂ elkaar niet
snijden, dan zijn de beide punten Si en S₂ imaginair
geworden. De beide kwadratische krommen, die de
meetkundige plaats vormen van de middelpunten van
de cirkels, die aan die beide cirkels raken, snijden elkaar
loodrecht in twee imaginaire punten.

HOOFDSTUK XVIII.

De cirkels, die tAvee gegeven cirkels onder eenzelfden
gegeven hoek snijden.

§ 1. De cirkels, die twee gegeven cirkels A_x en A₂
onder denzelfden hoek a, snijden, worden afgebeeld door
cle snijkromme van twee eenbladige aan P₀ rakende
hyperboloïden. Die beide hyperboloïden raken P₀ aan
volgens ellipsen Ei en E₂, waarvan de punten de beeld-
punten zijn van de punten van Ai en A₂ (hoofdstuk XIII).

Die snijkromme bestaat weer uit twee kegelsneden.
Immers die snijkromme is ook dadelijk te vinden door
elk van de beide raakhyperbóloïden te snijden met de
beeldvlakken van de gelijkvormigheidsnetten van de
cirkels Ai en A₂.

De cirkels, die twee gegeven cirkels onder eenzelfden

gegeven hoek snijden, vormen twee cirkelscharen.

i

§ 2. De verschillende eenbladige raakhyperboloïden
aan P₀, waarvan bij elk de punten ervan de cirkels af-
beelden, die Ai onder denzelfden hoek snijden vormen
met P₀ en den raakkegel aan P_n, die het punt Li, het
beeldpunt van Ai, tot top heeft, een bundel kwadratische
oppervlakken.

Doorsnijdt men de oppervlakken van dien bundel met
de beeldvlakken van de gelijkvormigheidsnetten van de
cirkels Ai en A₂, clan vormen de snijkrommen in elk
van die beeldvlakken een kegelsnedenbundel.

Die beide kegelsnedenbundels worden op het vlak
X 0 Y weer in twee kegelsnedenbundels geprojecteerd.

Elk van die beide kegelsnedenbundels is bepaald dooi-
den orthogonaalcirkel van een- gelijkvormigheidsnet en
de kegelsnede van de middelpunten van de cirkels uit
het andere net, die aan Ai en A₂ raken.

Voor twee snijdende cirkels geldt nu:

De meetkundige plaats van de middelpunten van de

cirkels, die twee snijdende cirkels onder denzelfden
hoek a. snijden, bestaat uit twee kwadratische krommen,
die elkaar loodrecht snijden in de beide snijpunten van
die twee cirkels en die in diezelfde punten raken aan
de orthogonaalcirkels van de gelijkvormigheidsnetten van
die cirkels.

Elke hoek a bepaalt twee dergelijke kwadratische
krommen. Al die kwadratische krommen zijn te rang-
schikken in twee kegelsnedenbundels.

In elk van de beide kegelsnedenbundels zijn de basis-
punten twee aan twee in dezelfde twee punten samen-
gevallen.

Elke kegelsnede van den oenen bundel snijdt alle
kegelsneden van den anderen bundel loodrecht in die
beide basispunten.

§ 3. Wanneer de beide cirkels Ai en j\\2 elkaar
raken, dan gaat het beeldvlak van een van de beide
gelijkvormigheidsnetten over in het raakvlak aan Po in
het gemeenschappelijke punt S van de beide ellipsen,
waarvan de punten de punten van Ai en A₂ afbeelden.

Ook de beide raakhyperboloiden die tot die beide
cirkels behooren, raken aan P₀ in dat punt S.

Dat beeldvlak snijdt elk van de beide raakhyper-
boloiden in dezelfde twee rechten.

Die twee rechten worden op het vlak X 0 Y gepro-
jecteerd in twee rechten door het punt S^p, de projectie
van S en het raakpunt van Ai en A₂.

Die beide rechten zijn symmetrisch t. o. van de rechte,
die de middelpunten van Ai.en A₂ verbindt.

Immers die rechten zijn de rechten van de middel-
punten van twee parabolische cirkelbundels, waarvoor
het punt S^p het basispunt is.

Voor twee rakende cirkels geldt nu:

De meetkundige plaats van de middelpunten van de
cirkels, die twee rakende cirkels onder denzelfden hoek cc
snijden, bestaat uit een kwadratische kromme, die aan

die cirkels in hun gemeenschappelijk raakpunt raakt en
uit twee rechten door dat raakpunt, die symmetrisch
liggen t. o. van de rechte, die de middelpunten van de
beide cirkels verbindt.

Elke hoek x bepaalt een kwadratische kromme en
twee dergelijke rechten.

De kwadratische krommen bepalen een kegelsneden-
bundel, waarvan dé 4 basispunten in het punt S" zijn
samengevallen op de gemeenschappelijke raaklijn van
de beide cirkels Ai en A₂.

De paren rechten bepalen een stralenbundel.

Voor x=¹l2 z ontaardt de kwadratische kromme in
de dubbel te tellen raaklijn aan de beide cirkels in het
punt S^p. Ook het rechtenpaar gaat in de dubbel te
tellen raaklijn over.

De machtlijn van de cirkels Ai en A₂, beschouwd
als de meetkundige plaats van de middelpunten van de
cirkels, die die cirkels onder den. hoek V₂ - snijden, is
voor vier te tellen.

Wanneer de cirkels Ai en A₂ elkaar niet snijden of
raken, dan vormen de middelpunten van de cirkels, die
die beide cirkels onder denzelfden hoek a, snijden, weer
twee kegelsneden. De beide punten, waarin die kegel-
sneden elkaar loodrecht snijden, zijn imaginair geworden.

Ook hier vormen de kegelsneden voor de verschillende
hoeken x weer twee kegelsnedenbundels.

§ 4. Ontaarden de beide cirkels Ai en A₂ in twee
elkaar snijdende rechten, dan worden de cirkels, die aan
die beide rechten raken afgebeeld door de doorsnijdings-
kromme van twee \'cylinders, die raken aan P₀.

Elk van die beide cylinders raakt P₀ volgens een
parabool? waarvan de punten de punten -van een van

van de beide rechten afbeelden.
»

De snijkromme van die beide parabolische cylinders,
die gelegen is in de beide beeldvlakken van de gelijk-

vormigheidsnetten van die twee rechten valt dus weer
uiteen in twee kegelsneden.

De cirkels, die aan twee rechten raken vormen dus
weer twee kwadratische cirkelscharen en zijn een stelsel
met index 4.

De beeldvlakken van de gelijkvormigheidsnetten zijn
twee vlakken loodrecht op het vlak X 0 Y door het
snijpunt van de beide rechten, die de hoeken lusschen
die beide rechten middendoordeelen.

Beide beeldvlakken snijden die beide parabolische
cylinders volgens dezelfde twee parabolen, die op het
vlak X 0 Y in de bissectrices van de hoeken van die
beide rechten worden geprojecteerd.

De meetkundige plaats van de middelpunten van de
cirkels, die aan twee elkaar snijdende rechten raken,
bestaat uit de bissectrices van de hoeken tusschen die
beide rechten.

§ 5. De cirkels, die twee gegeven rechlen onder
eenzelfden hoek « snijden, worden afgebeeld door de
snijkromme van twee hyperbolische paraboloïden, die
aan P₀ raken.

Elk van die beide paraboloïden raakt Po weer aan
volgens een parabool, waarvan de punten de punten
van een van de beide rechten afbeelden (hoofdstuk XIII).

De snijkromme van die beide paraboloïden beslaat
weer uit twee parabolen, gelegen in de beeldvlakken
van de gelijkvormigheidsnetten.

De cirkels, die twee rechten onder denzelfden hoek a
snijden vormen weer twee kwadratische cirkelscharen en
zijn een stelsel met index 4.

De meetkundige plaats van de middelpunten van de
cirkels van die beide scharen bestaat weer uit de beide
bissectrices van\' de hoeken tusschen die beide rechten.

HOOFDSTUK XIX.

Het raakprobleem van Apollonius.

§ 1. De cirkels, die de twee gegeven cirkels Ti en
r₂ onder gelijke hoeken snijden, worden afgebeeld door
de punten van de beeldvlakken oc en (3 van de beide
gelijkvormigheidsnetten van die cirkels.

Die beide vlakken d en /3 snijden elkaar volgens de
toegevoegde poollijn l van de rechte, die den door Ti
en r₂ bepaalden bundel afbeeldt.

De cirkels, die drie gegeven cirkels Fi, r₂ en T₃ onder
gelijke hoeken snijden, worden dus afgebeeld door de
punten van de vier rechten, die de beeldvlakken yen ei
van de beide gelijkvormigheidsnetten van F₂ en F₃ uit
de vlakken tx. en (3 snijden.

De snijlijn m van de vlakken y en cï, de toegevoegde
poollijn van de rechte, die den door T₂ en T₃ bepaalden
bundel afbeeldt, snijdt de snijlijn l van de vlakken «
en /3 in een punt 0, het beeldpunt van den orlhogonaal-
cirkel* van het cloor Fi, F₂ en F₃ bepaalde net.

De cirkels, die drie gegeven cirkels onder gelijke
hoeken snijden, worden dus afgebeeld door vier rechten
door een punt, het beeldpunt van den orthogonaalcirkel
van het door die drie cirkels bepaalde net.

De cirkels, die aan die drie gegeven cirkels raken,
worden dus afgebeeld cloor de acht gemeenschappelijke
snijpunten van die vier rechten met elk van de drie
raakkegels , aan P₀, die de beeldpunten van die cirkels
lot toppen hebben. Er zijn acht cirkels, die aan drie
gegeven cirkels raken. De constructie van die acht
cirkels bestaat dus uit het bepalen van de vier bundels
en het daarna vinden van de beide cirkels uit elk van
die bundels.

Aangezien de constructie van de beide cirkels uit een
gegeven bundel, die aan een gegeven cirkel raken in

hoofdstuk XV gegeven is, blijft hier alleen over het
bepalen van de vier bundels.

Het bepalen van die vier bundels geschiedt aan de
hand van de ruimte-constructie.

De gemeenschappelijke bundel van twee netten heeft
tot machtlijn de verbindingslijn van de middelpunten
van de orthogonaalcirkels van die netten (hoofdstuk X).

De gelijkvormigheidspunten Ai en A₂ van de beide
cirkels en F₂ zijn de middelpunten van de orthogo-
naalcirkels van hun gelijkvormigheidsnetten.

Evenzoo de gelijkvormigheidspunten Bi en B₂ van de
beide cirkels F₂ en T₃ voor de gelijkvormigheidsnetten
van die cirkels.

De vier rechten Ai Bi, Ai B₂, A₂ Bi en A₂ B₂ zijn dus
de machtlijnen van de vier gezochte bundels. Aangezien
die vier bundels elk den orthogonaalcirkel van het net
bevatten, zijn zij dus geheel bepaald.

De constructie van die vier bundels geschiedt dus
als volgt:

Bepaal den orthogonaalcirkel van de drie cirkels Ti, F₂
en r₃. Bepaal de gelijkvormigheidspunten Ai en A₂
van i\\ en P₂ en de gelijkvormigheidspunten Bi en B₂
van r₂ en F₃. Trek daarna de rechten Ai Bi, Ai B₂,
A₂ Bi en A₂ B₂. Elk van die vier rechten is machtlijn
van een bundel, waartoe de orthogonaalcirkel behoort.
Het eigenlijke probleem is hiermee opgelost.

§ 2. De acht cirkels, die aan drie gegeven cirkels
raken, worden, zooals bleek, afgebeeld door de snijpunten
van vier rechten met een kwadratischen kegel. Hieruit
volgt, dat telkens twee van die cirkels tot een cirkel
kunnen samenvallen of imaginair kunnen worden.

Voor de hand zou nu liggen, dat van de aclil cirkels,
die aan drie gegeven cirkels raken, (bijzondere standen
van die drie cirkels daargelaten), er 0, 2, 4, C of 8
reëel zijn.

Dit is niet het geval, zooals later zal blijken.

De ruimte-voorstelling levert nu weer het hulpmiddel
om de realiteit van die cirkels te bestudeeren.

Twee van de voornaamste gevallen zullen worden
beschouwd.

1°) De drie cirkels bepalen een elliptisch net. De
orthogonaalcirkel van dat net is imaginair en wordt af-
gebeeld door een punt binnen Po- De vier beeldrechten
van de bundels snijden Po. De vier bundels zijn hyper-
bolisch. De acht raakcirkels zijn alle reëel (zie hoofd-
stuk XV).

2°) De drie cirkels bepalen een hyperbolisch net.

De drie dirkels Ti, P₂ en r₃ met beeldpunten Ci,
, resp. C₂ en Cs zijn zoodanig gegeven, dat bij elk paai-
de afstand van hun middelpunten grooter is dan de
• som van hun stralen.

Vervolgens wordt T₂ in het vlak X 0 Y verschoven,
tot hij raakt aan Ti. De afstand tusschen de middel-
punten van P₂ en P₃ blijft grooter dan de som van hun
stralen.

De beeldrechte Ci C₂ raakt nu aan Po in een punt Q.

Een van de beide gelijkvormigheidsnetten van de
cirkels Ti en T₂ is nu een parabolisch net, dat wordt
afgebeeld door het raakvlak aan P₀ in het punt Q.

Twee van de vier bundels worden nu afgebeeld door
twee rechten in dat raakvlak ingesneden door de beeld-
vlakken van de beide gelijkvormigheidsnetten van L₂
en L₃.

De raakkegel aan Po met top Ci bevat de beschrijvende
lijn Gi C₂ en wordt aangeraakt door het raakvlak aan
P₀ in het punt Q.

Die beide rechten in het raakvlak snijden den raak-
kegel aan P₀ dus elk in twee samenvallende punten.

In twee van de vier paar cirkels, die aan Pi, P₂ en
r₃ raken, zijn de beide cirkels tot een cirkel samen-
getrokken. Aangezien voor de raakcirkels geldt, dat ze
paarsgewijs kunnen samenvallen of imaginair worden
en het samenvallen van de beide cirkels van een paar

een overgangsgeval is van twee reëele tot twee imaginaire
cirkels, volgt hieruit, dat, wanneer de cirkels P_x en r₂,
waarvoor de afstand van de middelpunten grooter was
dan de som van hun stralen, elkaar nu gaan snijden,
vier van de acht raakcirkels öf reëel óf imaginair worden.

Om nu in te zien, of bij die snijding vier cirkels reëel
of imaginair worden, wordt r₂ geleidelijk verplaatst,
totdat hij geheel binnen den cirkel Fi is gelegen. Aan-
genomen is, dat de straal van T₂ kleiner is dan die
van Ti.

In dezen stand zijn alle acht de raakcirkels imaginair.
Verplaatst men nu den cirkel P₂ weer naar zijn ouden
stand terug, dan zullen onmiddellijk na het passeeren
van het punt, waarin r₂1\\ inwendig raakt, vier van de
raakcirkels reëel en vier imaginair zijn.

Bij het passeeren van het punt, waarin r₂ Ti uitwendig
raakt, zullen dus de vier reëele cirkels imaginair of de
vier imaginaire cirkels reëel worden.

In den eersten stand, waarbij de afstand tusschen de
middelpunten van elke twee van de drie cirkels grooter
was dan de som van hun stralen zijn de raakcirkels
dus of alle acht reëel of alle acht imaginair.

Dadelijk is in te zien, dat het eerste het geval is.

Hieruit volgt:

Voor drie cirkels, die een hyperbolisch net bepalen
en elkaar niet aanraken geldt, dat van de acht cirkels,
die die drie cirkels aanraken er 0, 4 of 8 imaginair zijn.

§ 3. Voor het geval, dat van de 3 cirkels H, T₂ en
r» de cirkel Pi tot een punt samenkrimpt, vallen de
gelijkvormigheidsnetten van I\\ en P₂ samen tot. één
gelijkvormigheidsnet, dat wordt afgebeeld door het raak-
vlak aan P₀ in het beeldpunt van Fi. De beeldvlakken
van de gelijkvormigheidsnetten van F₂ en P₈ snijden
dat raakvlak volgens twee rechten.

Elk van die beide rechten snijdt de raakkegels aan
P₀, die de beeldpunten van de cirkels P₂ en P₃ tot

toppen hebben in twee punten, die tot die beide kegels
behooren.

Er zijn vier dubbel te tellen raakcirkels.

Dat er vier raakcirkels zijn is ook dadelijk in te zien.

De cirkels, die raken aan de cirkels r₂ en F₃ worden
afgebeeld door twee kwadratische krommen, de cirkels,
die raken aan den puntcirkel door een plat vlak.
Er zijn vier snijpunten van dat vlak met de beide kwa-
dratische krommen.

Gaan de cirkels en r₂ in punten over, dan valt zoowel
het paar gelijkvormigheidsnetten van Fi en r₃ als het paar
gelijkvormigheidsnetten van F₂ en F₃ elk tot één gelijk-
vormigheidsnet samen. De snijlijn van de beide raak-
vlakken aan Po in de beeldpunten van de puntcirkels
van Fi en T₂ is de beeldrechte van den eenigen bundel,
waarvan de cirkels Ti, F₂ en F₃ onder denzelfden hoek
snijden. De beide snijpunten van die rechte met den
raakkegel aan Po, die het beeldpunt van F₃ tol top
heeft, zijn de beeldpunten van de beide cirkels, die aan
Fi, F₂ en r₃ raken.

Er zijn twee, elk voor vier te tellen, raakcirkels.

Gaan de cirkels Fi, F₂ en T₃ alle drie in punten over,
dan gaat de raakkegel, die het beeldpunt van F₃ tot
top heeft over in een raakvlak.

Er is een, voor acht te tellen, raakcirkel, de omge-
schreven cirkel van den driehoek, waarvan de puntcirkels
Ti, F₂ en F₃ de hoekpunten zijn.

De omgeschreven cirkel van een driehoek is dus tevens
de orthogonaalcirkel van een hyperbolisch net, dat be-
paald wordt door de als puntcirkels beschouwde hoek-
punten van den driehoek.

• *

Voor het geval, dat van de drie cirkels er een of
twee in rechten ontaarden, blijft het aantal raakcirkels
acht. Alleen wanneer alle drie de cirkels in rechten
ontaarden heeft men een bijzonder geval.

De gelijkvormigheidsnetten van twee als cirkels be-
schouwde rechten worden afgebeeld door twee vlakken,

vertikaal op het vlak X 0 Y, die de hoeken tusschen
die beide rechten middendoordeelen.

De vier boven besproken bundels worden dus afge-
beeld door vier rechten loodrecht op het vlak X 0 Y.

De cirkels, die aan een van die rechten raken, worden
afgebeeld door een hyperbolische paraboloïde, waarvan
in hoofdstuk XIII de stand t. o. van het assenkruis is
aangegeven.

Elk van de vier rechten snijdt de paraboloïde in twee
punten, waarvan telkens een punt samenvalt met het
raakpunt van Po aan het oneindig verre vlak.

Er zijn vier, enkel te tellen cirkels, die raken aan de
drie zijden van een driehoek.

Bovendien moet de oneindig verre rechte in hel vlak
XOY, opgevat als puntcirkel, als een voor vier te
lellen raakcirkel van dien driehoek worden beschouwd.

§ 4. Alle andere raakproblemen, waarbij b.v. een
cirkel in een punt, een ander in een rechte ontaardt,
zijn nu op eenvoudige wijze, aan de hand van de ruimte-
constructie op te lossen.

Aan het boven behandelde probleem is nu uit den
aard der zaak het probleem verbonden van het con-
slrueeren van de cirkels, die drie gegeven cirkels onder
denzelfden gegeven hoek snijden.

Die cirkels behooren weer tot de vier boven gevonden
bundels. De cirkels uit elk van de vier bundels, die
een van de drie gegeven cirkels en dus ook alle drie,
onder denzelfden gegeven hoek snijden, zijn op de in
hoofdstuk XV aangegeven wijze te construeeren.

HOOFDSTUK XX.

De cirkels, «li© een gegeven cirkel Ai onder een
gegeven hoek x_t en een gegeven cirkel A₂
onder een gegeven lioek x₂ snijden.

De cirkels, die een gegeven cirkel Ai onder een ge-
geven hoek cci en een anderen gegeven cirkel A₂ onder
een gegeven hoek snijden, worden afgebeeld dooi-
de punten van de doorsnede van twee eenbladige hyper-
boloïden Hi en H₂, die Po aanraken.-

De doorsnede van die beide raakhyperboloïden, een
4^e graadskromme, valt weer uiteen in twee vlakke
krommen.

Het bewijs van deze stelling geeft tevens de oriëntatie
van de beide vlakken, waarin die krommen zijn gelegen.

Bewijs:

Ai en A₂ zijn twee snijdende cirkels met stralen n
en r₂, middelpunten Mi en M₂, beeldpunten Li en L₂.

Zijn Ei en E₂ de ellipsen, waarvan de punten de
punten van Ai en A₂ afbeelden, dan zijn de snijpunten
Si en S₂ van die beide ellipsen de beelden van de
snijpunten Si^p en S₂^P van Ai en A₂.

De heide hyperboloïden Hi en II₂ raken Po aan vol-
gens de ellipsen Ei resp. E₂.

De doorsnede van Hi en H₂ wordt nu gevonden door
van de rechten van b.v. Hi de snijpunten met H₂ te
bepalen.

In het raakvlak aan Po in het punt Si liggen zoowel
twee rechten van Hi als twee rechten van II₂. Alle
vier die rechten gaan door het puntSi. Hetzelfde geldt
voor het punt S₂. De punten Si en S₂ zijn dubbel-
punten van de doorsnijdingskromme van Hi en PI₂.

Hi, resp. H₂, snijdt het oneindig verre vlak volgens
een kwadratische kromme, waarvan de punten de rechten
afbeelden uit het vlak X 0 Y, die den cirkel met middel-

punt Mi resp. M2 en straal ri cos <xi resp. r₂ cos aan-
raken.

Die beide kwadratische krommen snijden elkaar in
vier punten, die de vier gemeenschappelijke raaklijnen
van de beide cirkels met middelpunten Mi en M2 en
stralen i\'i cos «1 en r₂ cos «₂ afbeelden.

Zijn L₃ en L₄ de beeldpunten van die beide cirkels
A₃ en A₄, daiv zijn die vier punten ook de vier snij-
punten van de beide kwadratische krommen, die de
beide raakkegels aan Po met toppen L₃ en L₄ met het
oneindig verre vlak. gemeen hebben.

Die beide raakkegels met toppen L₃ en L₄ raken Po
aan volgens ellipsen Fi en F₂.

Het vlak van de ellips Fi is evenwijdig met dat van
Ei, het vlak van F₂ met dat van E₂.

Immers uit hoofdstuk III is dadelijk af te leiden, dat
elk vlak, waarin de beelden der punten van een cirkel
zijn gelegen, evenwijdig loopt aan het raakvlak aan Po
in het beeldpunt van het middelpunt van den cirkel.

Daar Ai en A₃ hetzelfde middelpunt hebben, volgt
hieruit, dat het vlak van Fi evenwijdig is met dat
van Ei.

Evenzoo is het vlak van F₂ evenwijdig met dat van E₂.

De rechte Si S₂ is evenwijdig aan de snijlijn p van
de vlakken door Fi en F₂.

De vier punten in het oneindig verre vlak liggen in
twee vlakken door de rechte p.

Immers die vier punten behooren tot de doorsnede
van twee raakkegels aan Po, die, zooals in hoofdstuk XVII
is gebleken, uiteenvalt in twee kegelsneden gelegen in
twee vlakken, die elkaar snijden volgens de poollijn van
de rechte, die de toppen van die beide kegels verbindt.

Uit het feit, dat Si S₂ evenwijdig is aan p, volgt, dat
de vier snijpunten van Hf en II₂ in het oneindig verre
vlak gelegen, zijn onder te brengen in twee platte vlakken
door Si S₂.

Die beide platte vlakken door Si S₂ loopen dus even-

wijdig aan de beeldvlakken van de gelijkvormigheids-
netten van de cirkels A₃ en A₄.

De 4° graadskromme, gemeenschappelijk aan de raak-
hyperboloïden, raakt aan elk van die beide platte vlakken
in de punten Si en S2 en snijdt elk van die beide vlakken
in twee punten in het oneindig verre vlak gelegen.

De 4° graadskromme ontaardt dus in twee takken,
elk in een plat vlak gelegen.

Daar die 4^e graadskromme ook gelegen is op elk van
de beide raakhyperboloïden, volgt daaruit, dat die kromme
bestaat uit twee kwadratische krommen.

De vlakken van die beide kwadratische krommen gaan
door de rechte Si S₂, de poollijn van de rechte, die
den door Ai en A₂ bepaalden bundel afbeeldt. Vat
men die vlakken als beeldvlakken van netten op, dan
behooren dus de orthogonaalcirkels van die netten tot
den door Ai en A_₂ bepaalden bundel.

Uit hoofdstuk III is ook weer op eenvoudige wijze
af te leiden, dat netten, door evenwijdige vlakken afge-
beeld, orthogonaalcirkels hebben,die tot een concentrischen
bundel behooren. Immers het raakvlak, in het beeld-
punt van het middelpunt van den orthogonaalcirkel van
een net aan Po aangebracht, loopt evenwijdig met het
beeldvlak van het net. Voor een bundel van netten
met evenwijdige beeldvlakken is er slechts één raakvlak
aan P₀, dat aan die voorwaarde voldoet, dus ook slechts
één middelpunt voor de orthogonaalcirkels van die netten.

De beide vlakken door Si S₂, als beeldvlakken van
netten beschouwd, hebben dus tot middelpunten .van
hun orthogonaalcirkels dezelfde punten als de beide
vlakken door p.

Die beide vlakken door p zijn de beeldvlakken van
de gelijkvormigheidsnetten der cirkels A₃ en A₄; die
punten zijn dus de gelijkvormigheidspunten van A₃ en A₄.

Wanneer de cirkels Ai en A₂ elkaar niet snijden,
dan worden de snijpunten Si en S₂ van de ellipsen Ei
en E₂ imaginaire punten van de rechte volgens welke

dp vlakken, waarin die ellipsen zijn gelegen, elkaar
snijden.

Het boven gegeven bewijs blijft ook in dit geval van
kracht.

Het resultaat is dus:

De cirkels, die een gegeven cirkel Ai met straal ri
onder een hoek x\\ en een gegeven cirkel A₂ met straal
r₂ onder een hoek x₂ snijden, vormen twee kwadratische
cirkelscharen.

De orthogonaalcirkels van de netten, waartoe die beide
scharen behooren, zijn cirkels van den cirkelbundel be-
paald door Ai en A₂.

De middelpunten van die beide orthogonaalcirkels zijn
de gelijkvormigheidspunten van twee cirkels A₃ en A₄.
As is concentrisch met Ai en heeft tot straal ri cos xi,
Ai is concentrisch met A₂ en heeft tot straal r₂ cos x₂.

De beeldkrommen van de beide kwadratische cirkel-
scharen vormen de doorsnijdingskromme van twee een-
bladige raakhyperboloïden x\\ en x₂ aan P₀, behoorende
bij de cirkels Ai en A_a.

De vlakken van de beide beeldkrommen snijden elkaar
volgens de toegevoegde poollijn van de rechte, die den
door Ai en A₂ bepaalden cirkelbundel afbeeldt.

HOOFDSTUK XXI.

liet probleem van Steiner.

De cirkels, die drie gegeven cirkels Fi, T₂ en F_s
respectievelijk onder de hoeken «i, a₂ en x₃ snijden,
worden afgebeeld door de snijpunten van de beide beeld-
krommen van de kwadratische cirkelscharen, waarvan
de cirkels Fi onder den hoek x\\ en F₂ onder den hoek
a₂ snijden, met de raakhyperboloïde x₃ behoorende bij IV
Er zijn acht cirkels, die drie cirkels onder die hoeken
snijden.

Zijn <n en <r₂ de beide vlakken, waarin de beeldkrommen
zijn gelegen van de kwadratische cirkelscharen, waarvan
de cirkels de cirkels Ti en T₂ respectievelijk onder hoeken
x\\ en x₂ snijden en cr₂ en 0-3 die beide vlakken voor
de cirkels T₂ en F₃ • met de hoeken x₂ en x₃, dan
snijden die vier vlakken elkaar volgens vier rechten
door een punt.

Die vier rechten zijn de beeldrechten van vier bundels,
die elk twee van de acht bovengenoemde cirkels bevatten;
dat punt is, wat dadelijk uit hoofdstuk XX volgt, het
beeldpunt van den orthogonaalcirkel van het net bepaald
door Ti, r₂ en F_s.

Elk van de vier bundels is te bepalen als de gemeen-
schappelijke bundel van twee netten, waarvan de middel-
punten van de orthogonaalcirkels zijn gegeven.

De machtlijnen van die vier bundels zijn dus bekend.

Alle vier de bundels bevatten den orthogonaalcirkel
van het net. Die vier bundels zijn dus geheel bepaald.

In elk van de vier bundels zijn nu op de in hoofd-
stuk XV aangegeven wijze de beide cirkels te construeeren,
die aan de boven gestelde voorwaarde voldoen.

De constructie van de vier bundels in het vlak X 0 Y
geschiedt nu als volgt:

Ti, r₂ en r₃ zijn gegeven met hun respectieve middel-
punten Mi, M₂ en M₃ en hun respectieve stralen n,
r₂ en r₃.

Construeer den orthogonaalcirkel II van die drie cirkels.

Construeer drie cirkels IY, lY en 1Y met middel-
punten respectievelijk Mi, M₂ en M₃ en stralen ri cos xi,
r₂ cos a₂ en r₃ cos x₃.

Bepaal de gelijkvormigheidspunten Ai en A₂ van lY
en IY en de gelijkvormigheidspunten B₂ en B₃ van lY
en IY.

De vier bundels zijn nu bepaald door hun gemeen-
schappelijken cirkel ft en hun machtlijnen Ai B₂, Ai B3,
A₂ B₂ en A₂ B₃. Het probleem is hiermee opgelost.

HOOFDSTUK XXII.

De kwadratische cirkelcongruentie.

§ 1. Een kwadratische cirkelcongruentie voldoet aan
den eisch, dat door elke twee punten van het vlak X 0 Y
twee cirkels moeten gaan, die tot die congruentie be-
hooren.

Elke cirkelbundel heeft dus met de kwadratische
cirkelcongruentie twee cirkels gemeen.

Elke cirkelbundel wordt afgebeeld door een rechte.

Elke kwadratische cirkelcongruentie moet dus worden
afgebeeld door een kwadratisch oppervlak.

Een kwadratische cirkelcongruentie is dus bepaald
door negen cirkels.

Analytisch is die congruentie op vrij eenvoudige wijze
voor te stellen.

In de vergelijking van die congruentie moeten twee
parameters A en p voorkomen.

De vergelijking van die congruentie moet zoodanig
zijn, dat daaruit bij substitie van de coördinaten van
twee willekeurige punten uit het vlak X 0 Y twee ver-
gelijkingen in die parameters A en ontstaan, die twee
stel oplossingen voor die parameters bepalen.

De twee vergelijkingen in A en //, die na die substitutie
ontstaan,\' hebben denzelfden vorm en kunnen alleen van
den tweeden graad zijn.

Gebonden door de voorwaarde van slechts twee op-
lossingen, kunnen de beide vergelijkingen, die na die
substitutie ontstaan, alleen den vorm hebben, zooals is
aangegeven in de hiernavolgende drie gevallen:

10) Ai A^I-Bi A C₁₍* -f-Di=0
A₂ A (a -f- B₂ A C₂ p D₂ = 0

2°) A₃ A² Bs A p C₃ A -f D₃ — 0
A* A² B₄ A fjt C₄ A Ü4 = 0

3°) As A² -I- B₅ A -1- C₅ /x D₅ = 0
A« A² -f Bc A Cö f* D_ü = 0

Beschouwt men in het stel vergelijkingen onder 2°)
A (A als een parameter, dan blijkt dat dat stel van den-
zelfden vorm is als het stel vergelijkingen onder 3°).

De kwadratische cirkelcongruentie zal dus ten slotte
zijn voor te stellen door twee verschillende vergelijkingen,
die blijkbaar twee hoofdgroepen van die congruentie
vertegenwoordigen.

Een cirkelcongruentie van de eerste hoofdgroep heeft
tot vergelijking:

(ai A a₂ ^ a₃ A ft a₄) (X² Y²) - 2 (bi A b₂
fA b₃ A (Jt b₄) X —{12 (ci 4 A c₂ 4- ft Cs 4 A fi, c₄) Y
di 4" A d₂ 4~ ft d₃ A [j, d₄ = 0

of

Fi a r₂ (jt r₃ 4- a (j, r₄ = o

Zijn xi|yi|zi,. x₂1 y₂1 z₂, x₃1 y₃1 z₃, x₄1 y₄ | z₄, de
coördinaten van de beeldpunten van de cirkels Ti, resp.
r₂, r₃, r₄ dan zijn weer op dezelfde wijze als in hoofd-
stuk I voor de coördinaten van het beeldpunt van een
willekeurigen cirkel uit die congruentie de navolgende
betrekkingen te vinden: