SÄ«

Li-fl\'v\'fc.

OVKR DE RIÎEKS VAN LAMBERT

\' iK /

OVER DE REEKS VAN LAMBERT

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN\'DE VVIS-
EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-
UNIVERSITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG
VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS DR. J. A.
C VAN LEEUWEN, HOOGLEERAAR IN
DE FACULTEIT DER GODGELEERDHEID,
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT
DER UNIVERSITEIT, TEGEN DE BEDEN-
KINGEN VAN DE FACULTEIT DER WIS-
EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN
OP DINSDAG 25 OCTOBEK DES NAMID-
DAGS TE 4 UUR DOOR Jf-Q

JAN EVERT EDIE,

GEBOREN TE ROTTERDAM.

•tiU#THEEK DFR
HUKSUN)V£
n^n UTRECHT..

ELECTRISCHK DRUKKERIJ „ÜE INDUSTRIE" J. VAJJ DRUTJJ!; - UTRECHT.

MCMXXI.

AAN DE NAGEDACHTENIS VAN MIJNEN VADER.
AAN MIJNE MOEDER.

m.

: V.. ^

-vV«;\'-

Bij het voltooien van dit proefschrift is het mij eene be-
hoefte U allen te bedanken, die tol mijne academische vor-
ming hebben bijgedragen.

In \'t bijzonder geldt mijn dank U, Hooggeleerde De Vries.
Uwe welwillendheid Hooggeachte Promotor stel ik op grooten
prijs.

Voor den aanmoedigenden steun bij hel samenstellen van
dit proefschrift ontvangen, ben ik U Hooggeleerde Kapteyn
groolen dank verschuldigd.

Hooggeleerde Kluyveh nog dagelijks ondervind ik de groote
waarde van de lessen, die ik van U heb mogen ontvangen.

■\'■\'v. > V

m\'

m

i . m: -

•> . ■

JS

-J

". ■ \' .....■ ■ \' ■

«■ " , - » ■

NHOUD.

INLEIDING . .
HOOFDSTUK I.
HOOFDSTUK II.
HOOFDSTUK III.
HOOFDSTUK IV.

HOOFDSTUK V.
STELLINGEN .

\'t Kenmerk der priemgetallen . .

Convergentie........

Soiinnalie.........

Algebraische transformaties. . .
Transformaties in asymptotische ont

wikkelingen........

Transformaties in hepaalde integralen
Transformaties met Calcul Symbolique

\'1 oepassingen.........

errata.

(y l)V3

log

log

7 v.b. , —
u,

3 V. b. is weggelaten (30)
12 v.b. staat moet zijn

(2 n)!

sin 2 a- /1
t

D-l

S log
h=l

n — 1

n

n h = i
n- 1
2

(y i)V3 2

log

u„

Jl^n

(2n)!

00
d=:l

sin 2 - /1
l

n-l

S hlog
h = l

n— 1

2

-in-l

— Z h
n h=i

n — 1

lOG de B\'s op regel 9 en 10 v. o. moeten niet dik zijn.

INLEIDING.

§ L J. H. Lambert \') was de eerste, die de aandacht vestigde
op de reeks ^ ^  ......

Hij merkte op, dat wanneer men de termen van deze reeks in
reeksen naar opklimmende machten van x ontwikkelt en daarna
de gelijke machten van x samenvoegt, de reeks: x 2 x®
2 x» -f 3  4.X« 4x8-}-3x» -f ..

verschijnt, waarin de coêfficiönten aangeven hoeveel deelers
de exponenten hebben, de eenheid en het getal zelf meege-
rekend. Deze eigenschap is gemakkelijk lo bewijzen, want

ontwikkelt men = j^k  j-sk ^ ^ ^ ^ ^

slechts dan in die ontwikkeling voorkomen, wanneer k een

00 yk

deeler van n is. In do ontwikkeling van E . , zal x"

k = 1 1 — x*

dus evenveel keeren voorkomen als er getallen k te vinden
zijn, die deelers van n zijn. Do coGfficiönt van x" is dus
gelijk aan het aantal deolers van n; is n een priomgetal, dan
Is do coöfficißnt 2.

§ 2. Om deze eigenschap, die het probleem van de priem-
ßetallon verleidelijk dicht bij eene oplossing scheen le brengen,
»eeft (le reeks van Lamukht de aandacht van velen getrokken.
^-UusEN publiceerde in 1828 eono transformatie in eene sterk
^^j^verg^ reeks. Sghehk gaf in 1832 liet bewijs van deze

F\'1 Architeclonic o,\\or Theorie «Ie. Einfnchen und des

p 507 philosophischen und Mathomatinchon ErkcnntniH«. Riga 1771.

transformatie: Hij ontwikkelde iederen term in eene macht-
reeks en schreef deze onder elkander op:

X x2 -f x3 X* . . .

X^ X^ X« X« . . .

De m® term uit de n" rij is x"»", maar dit is ook de n" term
in de m® rij, dus de ni" term in de n® kolom. De n" rij en
de n" kolom bevatten dus dezelfde termen. Veronderstellen
we 0<x<l, dan zijn alle termen van de dubbelreeks
positief en mogen wij ze dus in willekeurige groepeering som-
meeren. Men neemt eerst de termen van de eerste rij en
de eerste kolom bij elkaar. Deze zijn:

x 2x2-f 2x3 2x^-f 2x5 ......=

\\1 — x/

Dan neemt men de overige termen van de tweede rij en
de tweede kolom, daarna die van de derde rij en de derde
kolom enz. Die van de k" rij en de k" kolom" zijn:
X"\' 2 1) 2 X k(k 2) -I- ... = x^\'(1 2 x\'\'-f

\\i — x

De getransformeerde reeks wordt dus:

1 - x

§ 3. Eisenstein (1844) onderzocht de convergentie.

t. uk i_ , .

k^\'c!D~ük convergentie voor x<l. De conver-

gentiecirkel heeft de eenheid als straal. Op dien cirkel liggen
oneindig veel polen van L (x), ieder punt x = e2Tir

is na-
melijk een pool mits 7 eene rationeele breuk is. De con-
vergentiecirkel is dus eene singuliere lijn.

§ 4. Burhenne (1852) trachtte met de reeks van Lamhert
een analytisch kenmerk voor de priemgetallen le vinden. Hij

wilde die reeks volgens Mac-Laurin in eene machtreeks ont-
wikkelen. Deze ontwikkeling is dan identiek met die van
Lambert zelf. Stelt men dus den coëfficiënt van x" in de
ontwikkeling naar Mag-Laurin gelijk aan 2 dan heeft men
eene vergelijking, waaraan slechts door n priem voldaan
wordt. De resultaten waren niet zoo bevredigend als de
eenvoud deed verwachten. Ook latere onderzoekers als
Rogel en Curtze hebben er niets mee bereikt. Al stelde de
reeks op dit gebied te leur, ze prikkelde lot onderzoek.
ScHLöMiLcn, CEsaRO, Knopp, Landau e.a. hebben belangrijke
eigenschappen gevonden.

Doel van dit proefschrift is een geordend overzicht te geven
van het voornaamste wat van deze reeks bekendis. Daartoe
zullen we in het eerste hoofdstuk de pogingen om een ken-
merk der priemgetallen af te leiden behandelen.

In hoofdstuk II wordt de convergentie en het gedrag in
de omgeving van den convergentiecirkel besproken. In een
volgend hoofdstuk de sommatie en die transformaties, die
daarvoor noodig zijn. In het vierde hoofdstuk de overige
transformaties terwijl in het laatste hoofdstuk eenige resultaten
uit de getallentheorie niet behulp van onze reeks zullen
worden afgeleid.

HOOFDSTUK I.

§ 1. Om de reeks van L. volgens Mac-Laurin te ontwik-
kelen behoeft men slechts ID"

\\ lx = O

te bepalen. Hiertoe splitsen we

t:

eenvoudige gebrokens en noemen — = cc.

K

1

Voor k even stelt men:

I-Xk x-l^x l"^
( Al. Bl. \\

X — e\'b« X —e~ih\'7\'

Substitutie van x=l 3, — 1 -fJ, e\'^a -f-Jene—«ha-f-^
geeft Ao, Bo, Al, en Bi. waardoor we vinden: ^

\'A k -1 I / e\' li«

_V i.

vx - r x -!- 17 h k \\x—e i"h « xe- i\'h
Differentieert men dit n maal dan geeft dit:

n!

(-I)M\'

e — i h a

_______

We schrijven

nu X — e — i li 1 = 1^1, gl ^b dan is x_e"^ =

= Ri. e-\'ï^i. terwijl:

Ri. = (x^ 1 _ 2 X cos h «)V,, cos 01. = IZLC^giilf^. en

Ril

. sin h X
sm 4>h = —TT—.
Rh

Substitueert men dit in (1) dan vindt men na eene korte
lierleiding:

1 1

1 \\ " i n\'

D"

l — x

. ( . 1 ^ n! V»t-1 cos (h g (n 1) 01.)
-r(-l) 2- v^

Voor X = O is nu cos 0h = — cos h «, sin 011 = 4- sin h x
dusói, = tt — h terwijl cos(ha (n 1) 010 = cos !(n Ojt —
— n h a ! = (— 1) " ^ cos n h waardoor we vinden voor
even k:

/ 1 \\ n t n\' Vs k -1

(2) =1^(1-(_ l)n \') 2^ coshn«

\' \' \\ 1 — x7x=:o k k h=i

Voor oneven k voert eene dergelijke redeneering tot het

doel. We stellen nu:
k-i

-I- Bl,

Al,

en vinden:

x —

k—1
I i

1 \\ n\' n\' \'

V coshn«

1 — x\'/xsso k k h = i

Zooals we reeds in de inleiding verklaarden is het aantal
deelers van n:

1 1 oc / vk \\ 1 co / 1 \\

n! \'x=on!kt:^i\\ 1—x7x = o n!k = i\\ 1—x7i=.o

en in verband met (2) en (3) vindt men zoo:

l J_ , 2 2n hT.

(i) T„= S p-^p = . P , V . , ,

p.q. ) I O h= /iq-1 2 n h r

q \' \' q hr=i q

waarbij voor p ieder oneven getal cn voor q ieder even getal
genomen moet worden. ^

Uil den regel van Leidniz volgt, dat -j) voor

\\ 1 - X /x=rO

k>n gelijk nul is, zoodat men in (i) de sommatie slechts
behoeft uit le strekken over getallen p en q ^ n.

.§ 2. Met (4) vindt men nu Ti = j J [J^ ^ j = 1,
= 3, Ts = \'

T4 =

"/l5

V6

Ten einde dieper in de vorming van deze getallen door te
dringen, zullen we voor n = 7, 8 en 9 de substituties voor
p en q afzonderlijk uitvoeren. Daartoe schrijven we Tn =

= ^ ^^ en vinden dan:

Vi Wl

We merken nu op dal, bij 7, p = 1 en p = 7 voor v w
éón opleveren en alle andere substituties nul, dnt voor 8,
de substituties voor p = 1 en q = 2, 4 en 8 éón opleveren,
de andere nul en bij 9 de substituties voor p = 1, 3 en 9 weer
éen, de andere weer nul geven en vermoeden dat alle sub-
stituties aan de eenvoudige wet onderworpen zijn: dat voor
iederen deeler van n de bijbelioorende v w of vi wi éen
oplevert en voor iederen niet-deeler van n de bijbelioorende
som nul is.

§ 3. Zekerheid kunnen we krijgen door de reeksen in (4):
p-1

eos^^ en e\'cos—— te sommeeren. We ge-

h=i p h=i q

bruiken daartoe de identiteit

cos a cos 2 a cos 3 a .....cos m a =

_ sin ^h (2 m 1) a — sin a
2 sin Va a

2ns- —LllJ

Voor de eerste som stellen we a = en m —

%

dan is:

„ 1 . n TT

^ , sin n n- — sin -—

V cos—— ---^ = wanneer n ten

P 2sin^^

P

minste geen veelvoud van p is, in dat geval zou de breuk

onbepaald worden on substitueert men liever direkt in de

p-i

* 2 n h T p — 1

reeks, iedere term wordt 1 en dus —— = —^

indien p een deeler van n is, anders — ^Is.

2n7r ,

Voor de tweede som stellen we a = —- cnm= /aq—i

cn vinden:
V.

q

. nr . nr

cos n r sm--sm —

_-1 = _ i/j (1 -1- cos n z)

2 sm —

q

Is nu n ook even en geen veelvoud van q, dan is
cos-"- = — 1, is n oneven dan is de som gelijk O,

i»=i n 1 • 1 , 1

maar is n even cn een veelvoud van q, dan is de breuk

weer onbepaald, maar geeft directe substitutie in de reeks

§ 4. Voor het bewijs van de wet van § 2 onderscheiden
we nu 5 gevallen,

p-i

1°. p is een deeler van n dan is - - v cos =

P p h = i p

P^P 2

p-1

2°. p is geen deeler van n dan is - -f - V cos =

P P h = l p

19 F

3°. q is een deeler van n dan is n even en:

40. q is geen deeler van n en n is oneven dan is:

5°. q is geen deeler van n en n is even, dan is:
0

Hh-X-i=o.

Iedere substitutie voor p of q levert dus 1 of O, naarmate
P en q al of niet deelers van n zijn.

§5. Het opstellen van een kenmerk voor de priemgetallen

>s m, gemakkelijk. Behalve 2 zijn alle oneven, het is dus
voldoende de substituties slechts voor oneven getallen uit te

voeren. Zoo vond Burhenne dat alle priemgetallen > 2 vol-
p-i

(\\

2nh7r\\

2 2

\\p pu = l P

Tegelijk blijkt echter, dat deze vergelijking eene vanzelf
sprekende identiteit is, die ook wel zonder de reeks van L.
afgeleid had kunnen worden en dat het difTerentieeren van
deze reeks vóór de sommatie geen ander resultaat heeft gehad,
• dan dat het op de gedachte gebracht heeft bij de reeks

cos —naar iets karakteristieks voor de priemgetallen
te zoeken. Bezien we de zaak van dezen kant dan kunnen
we trachten uit de reeks ^ cos " " ^^" nog eenvoudiger func-

— 2.

ties af te leiden, die 1 of O opleveren naarmate r een deeler
van n is of niet. Noemen we eene dergelijke functie x
dan is voor oneven r:

nsr

sm n - — sin

\\P/ p ph = i p

2 sin

P / P

Is p geen deeler van n dan is de teller nul en de noemer
niet, is p wel cen deeler, dan is de breuk onbepaald, maar
wordt feitelijk bedoeld:

, . 1 sin X
Lim--= 1.

x-M>7rP • X

\\

sm-
P

Voor even r is verder %

,2V.\'t-i 2nh
- 2/ cos

fn • "

__ (

1-1-

n T

2 sin

■.nr . nr .nr,. nr
sm»— , smnrcos— — cosnrsm--rsm —

q 1 q q q

q ^.nr q _.nr

^ 2 sm — ^ 2 sm —

q q

, /n\\ 1 sin n r n r

dus y —1 =--cos —

\\q/ q . nr q
^ sm — ^

q

Gemakkelijk is te zien dat deze functie voor alle waarden
van n goed is, want is q geen deeler n, dan is de teller nul
en de noemer niet, is q wel een deeler dan is n even. Tevens

blijkt waarom bij even r een factor cos ^ noodzakelijk is,

sin X q cos n r . . ,

want Lim -= -- en dit is q als n een even

sm— cos —

q q

aantal malen q is en — q als n een oneven aantal malen q
is, de factor cos ^ zorgt nu voor het goede teeken. Daar

de grenswaarde van — — gelijk is aan p, kan men in

sin —^
P

(5) zoo\'n factor niet gebruiken.

De formule (G) is om ie rekenen in eene andere, die voor

, , , ., , TA 1 sin n r nr

even en oneven deelers beide geldt. De vorm---cos —

r . n r r
sin —
r

is nul, wanneer r geen deeler van n is, is r wel een deeler
dan is de waarde van den vorm cos n r. Voor even n is
dit -f 1, maar — l als n oneven is. Hieraan is tegemoet
te komen door nog een factor cos n r toe te voegen, die in
het laatste geval voor het goede teeken zorgt en in het eerste
niet schaadt. Zoo vindt men voor iedere n en r:

n r

\\ 4 • • r» cos -

1 Sin n r n r sm 2 n r r

cos — cos n r =

r . n r r 2 . nj

sm— rsm —

r r

en = 2 J^.

^ r=i . nr

rsm —

HOOFDSTUK II.

CoiiYergontie.

00 x\'\'

§ i. Definieert men eene reeks van Lambert als bk . \' n

k = 1 1 ~~

dan geldt voor hare convergentie de volgende wet:

Als bk convergeert, dan convergeert de reeks voor iedere
waarde van | x | die van I verschilt. Is ^ bk niet convergent,
dan is het convergentiegebied van de reeks het binnenstuk van
den convergentiecirkel van de verwante machtreeks bk x*^.
In ieder afgesloten geheel binnen een convergentiegebied ge-
legen deel, is de convergentie uniform.

Om dit te bewijzen gebruiken we het kenmerk van Abel\'):
wanneer ]£ak convergeert en ^ | vk— Vk 1 | is convergent, dan
zal ^ ak Vk convergent zijn en deze convergentie is uniform
in een gebied, waarvoor iedere waarde van x, | Vi | en Ui =

z= I vi — Va I I V2 — Vs I enz____beneden vaste waarden

blijven.

x"

Veronderstel nu eerst bk is convergent en neem vk = ^ __ ^it

dan is:

dus als I x |< 1:

2 I x\'

I Vk - Vk 11<

Ook is er dan eene waarde m te vinden, zoodat voor alle
k ^ m, I x\'\' I bijvoorbeeld kleiner dan \'/a zijn en dus | 1 - x\'\' i
en 1 1 — x\'\' \' I > \'/s. waaruit volgt:

\') Biiümwich: Iiifiniic Serie» p. 205, 200.

, 21X00

S Ivk-vk il^ s ■ s I X I dus eindig.

t = m k = m 12 . ƒ2 k = m

GO jj k

De reeks Z bk . _ convergeert dus in dit geval. Om aan

k — 1 A ^

te toonen, dat zij uniform convergeert voor x < p < 1 merken
we op, dat:

f ivk-vk ii<s n-

^^ ^ — P kt^I k = l l-

p \' k-i\' " "k" i| i-x*^!! i-xi\' \'i

van eene zekere waarde k = m af, zal /j*" < \'/a zijn en dus is:

Ui<2\'"z,__^__

^^ 1 _ , I 1 _ ^k t 1

m - 1 ^k ^ .

= 2

I Vl I en Ul blijven dus beneden vaste waarden, waarmede de
uniforme convergentie bewezen is.

00

Is I x > 1. dan schrijven we S bk-c =

k = i 1 — x*^

_ co

— .X bk X bk-:;-en behoeven slechts de uniforme

k = i

^ bk

convergentie van X aan te toonen. Voor Vk nemen

K ——. 1 J Jk

1

1 -x\'^

- Nu is I vk — Vk 11 =

1-1

X

1

1

x" (1 - x)

Daar | x | > 1 is, is er eene waarde m te vinden, zoodat

> \'/sis, dan is 1---

x"

X

co oo

en ZJvk -vk ,|< V

«=» k =m \'12 . \'h

dig, de Lambertsche reeks convergeert. Verder is weer voor

x|>^>l |v.| =

co

U,= Z Ivk-vk i <

k = 1 k = 1

Xi

< 1 is, blijft dit net als in \'t vorige geval beneden

eene vaste waarde de reeks convergeert dus uniform in het
gebied j x ]>/?> 1.

Veronderstellen we nu dat ^ hu divergeert. Bepaal dan p
co

zoodal Z bk x\'\' convergeert, dus ^ ^ 1. Neem nu in

k= 1
CO x"^

X bk j _ als reeks der v\'s : Vk = ._

k — 1 » X 1 X

co co

ak = bk x\'\' dus convorgeeren. Blijft aan le loonen

X

dat \'Z |vk - Vk 1 I convergeert. Nu is:
k = 1

Vk — Vk I I =

Evenals le voren toont men ook nu weer aan dal de reeks
der I Vk — Vk 11 convergeert en dat hare som heneden eene
vaste waarde blijft. Kr moet dan nog nagegaan worden of
hel gebruikle kenmerk der uniforme convergenlie wel goed
is, daar Buomwigu (p 206) hel adeidl voor hel geval dat
00 00

ak niet do veranderlijke x beval. Maar daar bk x" uni-
k = l k=:l

form convergeert, voldoet deze reeks aan alle eischen, die hij
de afleiding van hel kenmerk door Bhomwich aan ak gesteld
werden, waarmee dit bezwaar vervalt.

§ 2. Wanneer ^hk convergeert en dus de Lamberlsche
reeks binnen en huilen den eenhpidscirkel beslaal, is het niet
noodig dat de waarden binnen (Fi(x)) en builen den cirkel
(Fh(x)) voorlzetlingen van elkaar zijn. Wel beslaal er een

/l\\

verband tusschen Fi(x) en Fi, - , want is jxK 1 . dan is:

flV

X ^

= - - bk.
(M k = l

§ 3. Om te bewijzen, dat de reelcs van L. eene functie
voorstelt, die niet over den eenheidscirkel voortgezet kan
worden, is het slechts noodig, dat we aantoonen, dat overal
op den omtrek eene dicht bijeenliggende menigte punten is,
waar L (x) oneindig wordt. Dit gebeurt nu in ieder rationaal

u en x = ^e2"\'n(nen
x\\

L (x) I = co zijn.

n\' onderling ondeelbaar) Lim |
/ />-)■ 1

Eene dergelijke nadering lot xo, waarbij slechts de voer-
straal verandert, het argument hetzelfde blijft, zullen we eene
radiale nadering noemen. Voor de berekening der limiet

x^

splitsen we E -^ in twee deelen en naarmate

k = 1 1 X

k = 0 of ksj^O (mod. n) is. Nu is:

V = V _ ^ W ^V"

, V n

Noemt men /3" = y dan vindt men:
Lim{l -p) (1 -/3")Zi = -Lim(l-/j"):i:i =

1 co V*
= -Lim(l -y) X -r^-

waarmee de nadering lot het randpunt teruggebracht is tot
de radiale nadering van het punt -f 1. Nu is voor O < y < 1.
co „v ro V

(1 _ y) V —I_= V_y^

v=i 1 - y\' v^i 1 -f y -I- ~7:y
dus:

co

Lini (1 — El > 7 Lim log ~— en dus cc.
n y->i 1 — y

Kunnen we nu aantoonen, dat Lim

X-»-3C„

eene grens A blijft, dan is de stelling bewezen. Is k^O
(mod. n) dan ligt Xo\'\' in een van de (n — 1) andere hoek-
punten van eenen regelmatigen n-hoek, waarvan het eerste
hoekpunt in 1 ligt. Voor O ^ g 1 is er altijd eene
positieve eindige grootheid h aan te wijzen, zoodat | 1 — x\'\' | ^ h
is. Vpor n = 2, is h = 1, is n > 2 dan is h de lengte van
de loodlijn uit het hoekpunt 1 op den straal naar het
eerstvolgend hoekpunt neergelaten (ligt x\'\' niet op dien eersten
straal dan geldt de ongelijkheid ii fortiori.)

2 -

Dus h = sin — en daar n eindig is, al kan n groot zijn,

is h ook eindig.
Nu is echter Lim

x-^r,

1

= Lim f- = ^ = A (eindig), waarbij voor het gemakkelijk som-

I x l\'\'

meeren in de reeks nog eenige termen te veel opge-

schreven zijn.

§ 4. Voor Lamberlsche reeksen geldt de volgende eigen-
schap van Franei. \') afkomstig, maar hier iets algemeener
uitgesproken. Wanneer de coöfficlenten hk zoo gekozen zijn,

dat voor een bepaald geheel getal n, alle n reeksen^^^
convergeeren (/ =0. 1. 2. 3.......n — 1), dan is, wanneer n\'

4ti ^ , ..

\' hu

en n onderling ondeelbaar zijn en men stelt xq = e
radiale nadering:

(1)

1 hk

xo/k = l 1—x^

00 Ij

Fhanel merkte zelf al op dat, wanneer v —^ van nul ver-

V = 1 n v

schilt, Xo een singulier punt van de Lamberlsche reeks moet
zijn, want de linkerkant van (l) moei dan den vorm O X

»)"Su71a~th6orio tic« 8«5ric« Mnlh. Ann. IJtl W (1890) p. .V29-540.
») Knoit. Über Lambcrtscho Kcilicn Crclle. Htl. 14\'J (1013) p. 283.

!i n v

aannemen. Is dit voor od veel verschillende waarden van n
waar dan heeft de reeks ook od veel singuliere punten. Dit

is zeker het geval als alle bk > O zijn en 2 y convergeert.

De eenheidscirkel is dan singuliere lijn. Hij is ook convergentie-
cirkel; dit spreekt niet vanzelf, S bk zou kunnen divergeeren,
de convergentiecirkel is dan dezelfde als van ^ bk x"^. Maar

als S Y convergeert is Lïïïï y ^ 1, dus Lï^ bk ^^ 1

en omdat Sbk divei-geert is Lïm bk ^ 1. Uit beide be-
trekkingen volgt Lïm iK bk = 1. Nu convergeert S bk Xk voor
waarden van x, die Lim iK | bk Xk |< 1 maken of voor | x |

Voor bk = 1, is X ^ niet convergent, daarom moest voor

de reeks van L. een afzonderlijk bewijs gegeven worden. Dit
is het eerst gedaan door C. Hansen, erg ingewikkeld; het
eenvoudig bewijs van § 3 stamt in wezen van Landau.

in\' —

Om de betrekking (1) te bewijzen, stellen we weer x = pc "
en splitsen de reeks weer in twee stukken en naar-
mate k al of niet = O (mod. n) is, terwijl we voor /s" y zullen
schrijven. Eerst bepalen we:

co

Lim(l V, =Lim(l - p)!, b

/ t n

v = l l—p

/>->! A —ƒ3 v=l 1 -p

Lim (1 - y) V b.., = Lin. §
n y-^i v=i 1-y\' y->iT=i nv 1 y y*........y^ \'

M Démonstration de l\'impossibilité du prolongement analytique do la
série de Lamheut ct des séries analogue«.

Oversigt over det kongelige Danske Vidcnskabernofl Selskab Forhand-
lunger (1907) p. 3—19.

Om deze limiet le bepalen, mogen we in de reeks rechts
5\' = 1 substitueeren indien deze reeks voor 0<Cy<Cl uniform
convergent is en ook voor y=l convergeert (Abel). Het laatste

is gegeven, voor het eerste schrijven we = «nv i /3nv.
Uil de convergenlie van volgt dan die van «nv en

van X (3uy. Noem nu tv = j y^yil^......y v -1

moet vooreerst de convergentie van «nv tv en van ^nv tv
aangetoond worden, dus slechts bewezen, dat tv monotoon af
neemt en dat ti kleiner is dan eene constante.\') Nu is:

V y V _ yv 1 _ y V 2..........ylv

\'\'~\' y ....y^-Od y\'-i .....Yr

Dit is zeker positief, want ieder der v termen y^ ^y ^*^,
.....y®^ is kleiner dan y\'\'. De reeks tv neemt dus steeds af

en voor v = 1 is ti = ^ dus < 1 . De reeks w-j^ tv conver-
geert dus, mits 0<y<l . Daar in dit interval tv (y) steeds
positief is, convergeeren de reeksen «nv tv en /3nv tv

uniform -) en hieruit volgt hetzelfde voor de reeks tv. want

als voor:

(Xi g co f

Ai^ m, I «„V tv I < 5, t\'U voor A ^ nu, | ^ ^\'»v tv ! < (waarbij

e eene willekeurig vooruitbepaalde kleine waarde heeft), dan

is als aan de grootste der waarden m en mi:
co co

::: anvtv i::: i3„viv <f.\'

De substitutie y=l in de limiet is dus geoorloofd en geeft:

.. ,, ^ b„v _vy;;_ . ^ l)„v

Lun ( _ ö) V, = Lun ^ -, , ,-= L —^

^ y-\'-\'v 1 nv 1 -f y y^-f-.......y"-» „y

Om het bewijs te voltooien, is het voldoende aan le toonen,

\') UuoMWlcn «Infinito Serie«» p. 48. § 19.
\') IlRoMWicn «Inrinite Serie«, p. 113. § 44. \'2,

dat Lim (1 — Sa =0, dus dat voor iedere waarde van
^ = 1. 2. 3----n — 1 bij radiale nadering:

00 x"*\' l

s bnv I , = O

Xo/V = 1 1 — xnv \' \'

Noem nu = dy zoodat S dv convergeert, dan is te

nv c

bewijzen

,. ^ , (n V O xnv / (1 _

Lmi E dv -—-r------- = O

v=i 1 — xnv /

Voor X = Xo dus p=l, is de waarde der reeks nul; het
is dus weer genoeg te bewijzen, dat zij in hel interval
0<C/\'<Cl uniform convergeert. Nu is:

1-x\'yv

= V d (nv /)y- 1-yv

v^i \'l y y" ...y^-M-x\'y" l - p- ~
_(i ^ (nv O _

1 V = /\' i-fy-f y2 .,.yv-ir_j.»yv-

Ten einde de uniforme convergentie van deze reeks aan to
toonen, bewijzen we die eerst voor de reeks
co (r, V 4- /) y*

E dv ____■ ■■ I --en daarna voor de bedoelde

V-! 1 i- y y\'\' . ..y\'\' \'

] _ yV

reeks, die ontslaat door iederen term met —le ver-

1 — xy"

menigvuldigen. Het eerste kan gebeuren als bij de reeks
E ~ tv, voor het tweede is het kenmerk van Ahel voor

reeksen met complexe termen noodig, zooals we dat eenigs-
zins uitgebreid hebben voor het bewijs in § 1.

We toonen dus eerst aan dal <ï>v (v) =-^ y"-^

eene monotoon afnemende functie is. Nu is:
(y) _ cp, ^ , (y) _ri(nv /)-n(y y^-|-y» ..r)l _

= yMn(v —y-y=\'-y3....yv)-f / j___

(I i-y y^^ .-.r-\'jd y-f y^«-!- ....yV)\'

Voor O < y < 1 is cpv (y) — i (Y) zeker positief, cpv (y)
neemt monotoon af, voor v = 1 is 0i (y) = ^^ ^ < 2 (n O

00

en daar S dv convergeert is aan alle voorwaarden voor de

V=1

00

uniforme convergentie van S. dv (pv (y) voldaan.

? = i

, _yv

Voor de uniforme convergentie der reeks IS dv (pv (y) j-—

T= 1 1 A

1 — y\' 1 — yy \'

GO

is nu noodig dat

V=1

geert en eene som heeft die kleiner is dan eene eindige

van y onafhankelijke waarde. Ook moet
zijn dan eene dergelijke vaste waarde.

1 —y\'- 1 - y^ \'
1 _ x\' yv "" 1 — x\'y V 1

Alle punten x\', x\' y\\ x\' y ^ \' liggen op de stralen van
een regelmatigen n hoek, die een hoekpunt in x = 1 heeft;
op den straal naar dit hoekpunt ligt geen der bedoelde punten.
Evenals in § 3 kunnen we aantoonen, dat | 1 — x\' y* | en
I 1 _ X\' yv 1 I altijd grooter zijn, dan eene waarde h

(h = sin^ als n > 2, anders 1), terwijl | 1 - x\' | < 2. Zoo

vindt men:

yv(l-y)(l -X\')
(1 -x\'y\'\')(l - x\'yv >)
1 — y" I ^yv 1

c) co 0 0

c\'vV 1

r 1—x\'y
1-y

< - is hiermede de uniforme con-
1—x\'y h

vergentie tier bedoelde reeks aangetoond en tegelijk bewezen,
dal Lim (l -/j) Ii:» = 0.

- /j) Zi = § ^ volgt hieruit de

v=inv

Daar ook

In verband met Lim (1 — /j)

juistheid van (1).

§ 5. Ook voor het geval, dat x niet radiaal tot Xo nadert

/

1 - —
Xq/

Daarvoor maken we gebruik van eene stelling, die door Appell
gevonden en door Pringsheim voor complexe waarden uitge-
breid is. Appell bewees, dat wanneer X ak x\'\' en X bk x\'^
den eenheidscirkel als convergentiecirkel hebben en voor x = 1

00

X akx"

divergeeren dat dan Lim^^^^-= Lim ^ mits deze laatste

^ U k k->Mbk

Dk x"

k=0

limiet bestaat.

Appell stelde zich voor dat x langs de reeele as tot 1
nadert. Pringsheim breidt dit uit voor het geval dat x door
complexe waarden tot 1 nadert. Hij voert daartoe het begrip
uniform divergent in, en noemt de reeks bk x^" uniform
divergent bij x = -f-l, wanneer het mogelijk is binnen het
convergentiegebied bij 1 een gebied af te zonderen, b.v.
een gelijkbeenigen driehoek A met eindigen tophoek, met den
top in -j- 1 en de beeiien synnetrisch ten opzichte van de
reêele as, zoodat (en minste binnen dit gebied

is de waarde van Lim

x->10

^ a > O, waarbij « eindig is.

Na deze afspraak bewijst Pringsheim: Wanneer ]£akX^ en
X bk x\'\' den eenheidscirkel als convergenliecirkel hebben en
beide voor x=l divergeeren, terwijl de tweede reeks posi-
tieve coêfficienlen heeft en uniform divergeert, dat dan als

M^x bk ~ ^ ^^^ nadering van x tot 1 langs

\') CesîIro: Déiuonstralion d\'un théorème do M. Aitell. Mathénis
1893. p. 241. Ook Bromwich: Infinité Bcries p. 131. § b2. Ex. 1 en 2.

Prin^kheim: Ubcr don Divcrgenzcharakter gewisuer rolenzreihen.
Acia Math. Ud 28 p. 1—30 (1904).

00

S ak yi

complexe waarden, mits binnen A: Lim-—g.

k=0

De voorwaarde, dat Lim bestaal, is nog iets algemeener

te maken, want stellen we ao = Ao, ao ai == Ai enz. en

eveneens bo = Bo, bo bi = Bi enz. dan is het al voldoende

GO

^ akx"^

dat Lim ~ bestaat; is deze g, dan is ook Lim ----= g.

k co Bk * \' bk x"\'

k^O

Dit is werkelijk eene uitbreiding, want uil Lim \' =g volgt

k->\'00t)k

Lim ^ = g maar hel omgekeerde is niet altijd waar.
k-foo Bk

§ 6. Mei de stelling van PiuNfiSHEiM kunnen we nu aantoonen,
bk
k

convergeert\') en wanneer xo = e - "\' „

ing ondeelbaar) dat dan bij willekeurige na-
dering, mits binnen A

(O) LimS bkA! =

X-.X, \\ xo/k = i 1-xM v^inv
Stelt men x=.xo t dan is:

Lim 5 f, ,, ! = Lim S (1 _ l) § bk ^^

^-^^iy Xo/kri \'l-xM \'k 1 1-xon

We ontwikkelen nu alle breuken in reeksen cn vereenigen

alle termen met gelijke machten van xo t, dan gaat de reeks

00 y k f k 00 QO

bk - over in ^ ak Xo •\'r waarbij ak = b,i.

k = l 1 — Xo "l" k = l .11 k

Men vindt zoo ^

) l(akXo\'\')t\'\'

(3) Utn (1 - l) V (a, „o t" = pi"/ - ""-bo ^ •

t 1 k = 1 \' \' —\' V ^k

_ k = 0

\') In tegenstelling met het geval vnn radiale nadering moet do reeks

nu absoluut convergeeren.

GO

Nu heeft de reeks E tk positieve coefticiepten en is voor
k = 0

_ l-|t|
~ ii-tr

1 -iti

Teekent men nu in A ( 1) den bedoelden gelijkbeenigen
driehoek ABC en neemt men binnen dien driehoek een punt P om
t te bepalen, dan is 1—lt| = OA— OP en| 1—t l = PA dus

l^zlll _0 A — OP ggg^

I 1 — 11 PA

punt binnen den driehoek oneindig klein kan worden, dus steeds
grooter is dan eene eindige grootheid Ä. Slechts als ZBAO =

= 90" zou ^ ^ ~ ^ ^ tot nul kunnen naderen. De tophoek
P A

moet dus kleiner dan 180*^ zijn; naderen langs den conver-
gentiecirkel is uitgesloten.

We mogen (3) dus met de stelling van Pringsheim berekenen
en vinden:

_Lim JL" ^\'o\'\' ........ak Xo

k-^OO - ,

We maken nu gebruik van de eigenschap ak = E bd en vinden:

d I k

ai Xo a2 Xo^ -}- as Xo\' ..............ak Xo =

b, Xo b, Xo» -f b, xo^" ........................bl Xo"

• k

b2 Xo\'\'  bz Xo\' ..............bï (xo^)

k

1)3X0=» 1)3X0" 1)3X0» ...... b8(Xo\') ^

.................

k

X b„ Xo" b„ Xo-" b„ xo^" .........bn(xo") "

...................

X bvD Xo\'" bv„ Xo«"" bvn Xo\'"" .....bvn (Xo")

Vestigen we de aandacht op de gemerkte rijen, dan zijn de
factoren, waarmede de b\'s in die rijen vermenigvuldigd zijn,

alle 1, de eerste van die rijen heeft

, termen, de tweede

n

zoodat we voor de som van alle

in \'t algemeen
gemerkte rijen vinden:

k

n
V

V = 1

vn

en dus is:

(ai Xo 32 Xo" .....ak Xo ) —

■ V = 1

kl„

waarbij in het

= b, \\-^ —.......

1 — Xo 1 —

tweede lid geen termen mogen voor komen, die sommen
zijn van reeksen met Xo°* als reden. De modulus van hel
eerste lid is kleiner dan de som der moduli van het tweede.
De punten xoi* liggen in de hoekpunten van een regelmatigen
n hoek in den eenheidscirkel beschreven, maar hel hoekpunt
X = 1 komt niet voor, omdat de reeksen met reden xo"* overge-
slagen zijn. I 1 — Xo"\' I heeft dus als minimumwaarde de zijde

van den regelmatigen n hoek = 2 sin Nu is de omtrek van

een regelmatigen veelhoek grooter dan de middellijn dus

2n sin - > 2 en daarom | I - xqP I > j:« Ieder der coemciönten

n u

van de b\'s in het tweede lid van (5) heeft dus eene modulus

ll_Xol, 2 _

2
n

De som der moduli van het tweede lid is dus lb

V=1

waarbij do ongelijkheid nog versterkt is, door bn, ban

, die er niet bij behooren er ook bij to tellen. Men

vindt als resultaat:

vn

(6) |(aiXo-f a2Xo^ a3Xo® ........akxe»^)- S

k

< n z

v= 1

n

1

k v^i

n k

<- S |bvl.
k V^:^ 1

\\l

n ^ ^ n

Hel tweede lid splitsen we in - X i bv | en - X lbv|

k V = 1 k V y-g

en nu blijkt de limiet van beide stukken nul te zijn, van hel
eersle, omdat de reeks zoo weinig termen heeft, van hel
tweede, omdat de termen zoo klein zijn. Want is G een
getal, dat voor iedere v grooter is dan | b¹ | dan is:

Lim ^ X I bv l< Lim G = O

k-»-00 k v\'^1
k

n ^

Verder is Lim- Z |bvl=Limn X

k

Lim n V
V = Vk

convergeert.

Hierdoor vindt men uit (7):

(8) Lim ^^  = Lim i v

k->CO k k-fOO k v = l

Wanneer nu ü ^ ö ^ 1 dan is:
k

k

= Lim 7- X bvn

k->oo K vï=J

1  = Lim X — — Lim p V
k-»-ao v=t vn k-fxk v=:i

<Lim,- Z |bvn|<Lim| S ibvl=0
k V = 1 k->-oo k v = l

zooals juist bewezen is, waaruit volgt:

fk k

Lini ^ a2 Xo\' -4-.....ak Xo\'\' _ ^

en we met behulp van (4) vinden:

\\ \\ ^
1 - ^ b:: bk

Xo/k=l 1 — X

§ 7. . Riet behulp van (6) is een iels algemeenere voor-
waarde voor de niet-voorlzethaarheid van Lamberlsche reeksen
op le stellen:

Eene binnen den eenheidscirkel convergeerende Lamberlsche
reeks met positieve coöfficiönten stelt altijd eene niet over
dien cirkel voorl le zeilen functie voor, wanneer voor on-
eindig veel waarden van n do betrekking geldt:

k

i: b,
Lim ■ = O

k->00 j. V hv"
nv^kVn

Omdat bk positief is volgt uil (6):

k

n

I ai Xo -f aj Xo" ----ak xi — ^ bvn

v = l

<n bv of:

V=1

r^l vn v=l

(11) I ai Xo 4 a2 xo\'\'\' .... at xo\'\' - k Z —

v=ivn

Z bvn4-n Z bv = (n4- 1) Z b..

V = 1 V = 1 T = 1

k

Z bv

V = 1

ai Xo a2 XQ^ 4-.....ak xp\'^

n

Jvn

k Z

v=i V n v = iV n

Laat men k oneindig worden dan geeft dit in verband,
met (10)

ai Xo 4" a2 Xo® 4".....ak Xo\'\'

= 1.

k
n

k V

v=iv n

bvn

Nu stellen we k Z — = Dk, dan is Dk>Dk-i en dus

v = i V n

Dk — Dk-i = dk een positief getal. Nemen we bovendien
dl = Dl dan is Dk = di 4" d2 4- da 4".........dk en zal

Lim Dk = co , want uit (10) volgt dat k Z —

oneindig groot

k->Qo

wordt. Men heeft nu:

V n

— T i.» Xo4- a2 Xo\' 4-

-Lun

k->oo

co

Nu is Lim Z dk t\'\' = Lim di t 4- dj 1« 4-......dk t" = co

t-fl k = lQ0 t-*!

dus moet Lim Z (ak xo\'\') t\'\' ook oneindig worden: Maar
t->i k = i ®
r • ^ CO jjk

Lim Z (ak Xo\'\') t\'\' = Lim Z bk ;-r dus is Xo een singulier

k=l k = l 1 —x"^

punt van de Lamberlsche reeks, waarmee de niet-voortzet-
baarheid aangetoond is. Niet-voortzetbaar is dus eene Lam-
berlsche reeks wanneer: 1° convergeert.

^ bk k
2°. bk = 1, want dan is Lim-^ = Lim -------= 0.

nvjk vn n n^kV

een nieuw bewijs dat de reeks van L. zelf niet-voortzetbaar is.

3°. bk = 0 of 1, naarmate k een priemgetal is of niet,
want dan is:

k

Lim —= Lim = O, voor alle ondeelbare n.

k->QO b^ k->co J.

nv^ k V n n

De reeks —waarin pk hel k\' priemgetal is, is
k = i i_/k

dus niel-voorlzelbaar.

00 v\'k

Ilelzelfde geldt voor de reeks , waarbij ci c»..

k I 1 _ X

willekeurig aangroeiende getallen zijn, voldoende aan

y,„ = ü waarbij c(m) het aantal der ck beteekent,

m 00 ni

waarvoor k ^ m is.

ij x\\ x\'\'
§ 8. De waarde der Lim 1 -

*->•*, \\ Xo/ k = 1 1 — X

zullen we nu onderzoeken, wanneer = f = en y

irrationaal is. Eenig idee hierover kunnen we krijgen, door

de coGmdönten bk zoo te kiezen, dat in (2) te bere-

kenen is en daarna n geleidelijk oneindig te laten worden.

1 k^ 1
Voor bk convergeert y = - (2):

co
; y

v=ivn \\vn

1 co 1 1 1

Dit nadert voor groote waarden van n tot nul, het vermoeden

ligt voor de hand dat voorl=e^ ~\' " Lim ]

v -i - \'

Knopp heeft aangetoond dat dit vermoeden juist is en dat de
limiet zelfs nul is voor iedere waarde van bt mits 2 I bk | con-
vergeert en X radiaal lot f nadert. Hij breidde daartoe
eerst de stelling van Appell en Pringsheim (§ 5) uit. Evenals
in § 5 denken we ons weer een gelijkbeenigen driehoek met
den top in -f 1 en zoo dat ten minste binnen dezen driehoek
y I xM

f^ g ß iß eindig).

Nemen we nu oneindig veel reeksen Z ak Wx*\' (A=1.2.3.....),

aoW 4- a,U)4-......ak

— =ex

terwijl voor iedere A bestaat: Lim

k-»-oo

en er telkens een getal k^ aan te geven is, zoodat:
aoW-f .........ak(^)

< ^ ^ ßi voor alle

^ ^ k; terwijl k;. =Am en f eene willekeurig klein le kiezen
grootheid is, en wanneer er bovendien eene constante H be-
slaal, ^oodal voor alle K en A

aoMH- ........a^iX)

k T ^^

dan bewees Knopp\'), dal er met den top in -f 1 een drie-
hoek A met basis 2c zoo aan te geven is, dat voor alle x

2c

in een driehoek A, met de basis

^ A

co

(1-x) £ akWx^-g^

k = 0

§ 9. Deze stelling van Knopp zullen we nu op de Lam-
berlsche reeks toe passen. Daar 2 I bk I werd verondersteld

Über Lambertsche lieihen Crelle lid 142 (1013) p. 283.

2ri -

complexe nadering lot xo = e "" " volgens (2)

co

1--- \\ Z bk

Xo/ k = i 1 — X*

We moeten nu nagaan hoe snel deze functie lot hare grens-
waarde nadert, wanneer xodus n telkens verandert. Door de

substitutie x = Xo t. wordt het naderen lol het randpunt Xo over-

00

gebracht in hel naderen tol 1, terwijl de reeks ^ bk -

k=l 1 — ^

00

overgaat in E (ak xoM l\'\'. Beschouw nu de oneindig vele

n\'

reeksen, die voor alle onherleidbare — ontslaan, gerangschikt

naar de grootte der noemers, dan is (9):

ai Xo aa Xo\' 4-.....ak Xo^ _ ^ b»n

iT-i-ï.........= - v» 1

1° Lim

00

Noemt men Z 1 bk | = B dan is volgens (11):

v=

(ai Xo a2 Xo\' -f----ak xo\'\') ~ ^ ^ "Ti?

<(n-f 1) S |b.|<(n-|- 1)13.

V = 1

(lus: 1 (a, Xo a» xqM- .... ak xo^) — (k -f 1) ^^^ —

k

<{n-f l)B-f

a.jco aj x^« -I-.....ak Xo" __

bvn

^ (n 2) B
^ k-fl\'

Nu is:
Lim (k 1)

k = oo

co

^ Lim (k 1) s
k->00

en dit is nul omdat S i bv | convergeert.

bvn

heeft dus eene grootste

V n

1

waarde M, zoodat:

ai XQ 32 XQ^ ----ak XQ*^

k 1 ~
n (n 2) B M

^(n 2)B M_
k l -

N.

k l
f > O dan

kan men daarbij eene waarde van m kiezen, zoo groot, dat
- < ^ en dan is voor alle n en k ^ k„ = m n:

ai Xo 32 x„2 -f.....ak Xo\'\'

- Bn , <

k l <="\' 1 ^ 1 -I-

Aan de drie voorwaarden in de vorige paragraaf gesteld
is dus\'voldaan en daarom bestaat er bij 1 een driehoek A
met basis 2 c zoodat bij iedere n

co cc K

(1-t) E (akKo")!"- E —
k=i k=ivn

mits t in een bij 1 te plaatsen driehoek An \'i^et basis

2 c X

ligt. Stelt men nu t = ^ dan volgt hieruit, dat bij voor-

" Xo

uit bepaalde kleine f > O er altijd een driehoek A "iet basis
2 c zoo aan te geven is, dat:

co u

Xo/ k = i 1 — Y=i vn

wanneer x in een bij het randpunt Xo = e" ~\' " geplaatsten

2 c

driehoek An met basis — ligt.

§ 10. Hieruit is af te leiden, dat als ^ = e \'\' ir irrationaal)
en als X | b^ I convergeert dat dan bij radiale nadering

vA 00 VI.

= 0. \'t Is daartoe voldoende

Xk

Lim n I — ^ bk-^---V

aan te toonen, dat bij eene bepaalde kleine f > O de geza-
melijke driehoeken A,,, hoe klein ook de basis 2c van A uit-
valt, toch ieder stuk van den naar ^ voerenden straal in de
buurt van f geheel en al, dus zonder één punt over te slaan,
bedekken. Wegens de concaviteit van den cirkel is het al

voldoende te laten zien, dal wanneer men op de lijn O......1 in

r eene loodlijn opricht, dat dan in de huurt van y alle punten
van deze lijn liggen in een of meer der naar denzelfden kant in

de punten ^ geplaatste driehoeken A,,. Al deze driehoeken zijn

gelijkvormig, hunne bases zijn evenwijdig O.... 1 en gelijk

hunne tophoeken zijn 2(i)oUo<^y Daar de omtrek van

den cirkel tol de lijn O____1 ingekort is, zijn alle afmetingen

in de richting van die lijn in de zelfde verhouding te ver-
kleinen, zijn de tophoeken kleiner dan in den cirkel, zijn do

bases niet - maar — = — . De grootte van e bepaalt c en
n TU n

dus c^

We ontwikkelen nu r >» eene kellingbreuk, dc benaderde

breuken zijn: ...... —.....»en beschouwen

ni ng ns

de, in de punten n^, gezette driehoeken An,,, kortweg A". De
n\'

opvolgende punten — liggen telkens aan weerskanten

van 7, hun afstand tot r \'s:

■< — \' dus dan de halve basis van den driehoek A\'^, dan reiken

deze driehoeken telkens over de loodlijn heen. Dit gebeurt
dus zoodra n„ i ;> voor alle u\'s grooter dan eene be-
paalde is het dus zeker het geval. Onder aan de loodlijn laat
ieder der driehoeken nog een stuk onbedekt. De grootte van

h"

dit stuk is gemakkeliik te berekenen. Men vindt —

waarin h. de hoogte van den oorspronkelijken driehoek met

basis 2c\' is. Hel onbedekte stuk is dus —---Hel

^ " /\'t n/i 1

zal dus zeker kleiner zf^n dan de hoogte van den volgenden
driehoek, wanneer , - — <\' —^^—of n» <[ -r. Van eene-

bepaalde waarde van /x, dus vanaf een bepaald punt zullen
de opvolgende driehoeken over de loodlijn in y heenreiken en
zal de hoogte van den volgenden driehoek grooter zijn dan het door
den vorigen vrijgelaten stuk, daarom zal ieder punt der lood-
lijn, yan eene bepaalde hoogte af, minstens in een der drie-
hoeken liggen en is voor ieder punt der loodlijn

—7

k = i l — x\'\' v=i vn

n/a behoorende bij den driehoek A\'\', waarin hel punt ligt, is.
Nu wordt n steeds grooter naarmate hel punt lager komt,

met het toenemen van n, neemt X af, want V

v=i vn , = i vn

= - X en daar S I br | convergeert is ^ zeker
n v=i V ^ V

eindig en nadert voor toenemende n tot nul, des te sterker

1 ^ bvn ,

- 2/ —, waaruit dus:
n v=i V \'

§ 11. Landau O heeft eene kortere afleiding van dit resul-
taat gegeven en daarbij de voorwaarde: Z I b^ | convergent,

door eene algemeenere vervangen. Hij onderzocht eerst wan-

00

neer bij eene willekeurige reeks Z Ckt^de Hmiet:

00

Lim(l—t) S Ckt\'\'=Ois. Nu is deze limiet gelijk aan;
1->1 k=l

u

v ik

k^l .... c.-l-cH-..........Cj. ^^J^

~ /ix 1 1 l 1

Dit moet nul zijn, dus moet G(y)= S Ck bij deeling door

y lot nul naderen, wanneer y oneindig wordt, of volgens de
notatie van Landau:
(13). C(y) = o(y).

Stelt men nu weer in de Lamberlsche reeks x =« f l dan is:

\' v\\ co vk 00 , u

VI,, =Lim(l-t) akf^t".

k = l 1—X" l-».l k = l

In dit geval is dus C (y) = ^^^ak I\'\' «n moet men de be-
trekking (13) slechts aantoonen. Nu is C (y) = l*" ^^b,,..

Deze dubbele som is nu le bepalen, door eerst alle machten
van ^ le sommeeren, die bij eene bepaalde b,,, behooren en
daarna de sommalie van m = 1 lot «n = y uit In voeren.

y L"iJ

Men vindt: C(y)= X b."

m = 1 q = 1

"1\'

Nu is: 1°. I S ^

q = l

[3

20 i v
qr=l

1 -

») Sur Icrt Hériw (lo Lamukkt. CompU» Rcndus do l\'Académio dw
Science« t. lf)6. p. 1451 (1013).

Nemen we nu voor z een geheel getal < y, terwijl y ^ 2,
dan is:

(14) |G(y)| ^ S if^l y S

m = l I 1 —? I m = i l m

Over het getal z kan nu nog naar verkiezing beschikt
worden. We nemen eerst voor z het grootste geheele getal
<Cy, dat voldoet aan:

Dit is altijd mogelijk, want voor z = 1 is de som links
deze som groeit steeds aan en het is mogelijk dat

een bepaald aantal termen de constante waarde ^ ^ ^ |

overtreft, anders is z = y— 1. Wordt y oneindig groot, dan
is de vorm rechts oneindig groot en moet dus z ook oneindig
genomen worden. Na z zoo bepaald te hebben vindt men
uit (14):

I 1 — ? I in = z 1 m

De beide eerste termen zijn o (y), daar tegelijk met y ook z

oneindig wordt is ook de laatste term o (y), wanneer

convergeert, waarmee levens bewezen is, dal reeds in dezo
ruimere veronderstelling:

/ x\\ » x\'\'
Lim 1 — -r Mï^ bk -g = 0.

Bij de afleiding van (13) hebben we gebruik gemaakt van
de stelling van Appell dal voor radiale nadering
00

x clcl" , ,

Lim = Lim \'\'t 1" "\'S-\'l

t-^l ^ ^Ic y->.00 I 1 1 ... 1
k = o

Pringsheim heeft deze stelling uitgebreid voor nadering
binnen een bepaalden hoek, maar daarmee is Iegelijk aange-

y

loond, dat ook voor complexe nadering, mits Z \'-^conver-
geert de juist berekende limietwaarde goed is.

§ 12. De weg ligt nu open om, na het maken van be-
perkende afspraken omtrent de coëfficiënten bk of het irratio-
nale getal 7, andere limieten te berekenen. Is bijvoorbeeld
ZI bk 1 convergent en zijn de partieele noemers van de
kettingbreuk, waarin y ontwikkeld kan worden eindig, dan

x\\V: x^ _

kunnen we bewijzen dat: Lim 1 — -r Z bk-

\\ c / k=i 1 — X

We gaan daartoe eerst de voorwaarde na, waarvoor bij de
00 V, Qo

reeks Z ck t"\' de limiet: Lim (1 - t) E ckt\'\' = 0. Deze
k = i t-».i k = i

limiet is weer gelijk aan:
,. .......

Lmi ---ttt = Lim --55---------= Lim —XT~TT~T 7

t-M (1 — t) /« 1-». 1 ^ ^^ ^k y=oo ao ai aa ... ay

k = 0

Nu is (I_t)V. = l \'/»t4-V2=\'/!|^ ....

1.3.5......(2y-n ty

2.2.2...... 2 y!

1 3 2 , , 1 3 5 2 ,
Dus ao ai = 2 \'2 \'n\' "" 2 \' 2 2 ^ ^

een bewijs van y op y -f 1 kunnen we bewijzen dat:

__ 1 3 5 2y 1 2
ao ai as-l-.....2 • 2 2...... 2 yl\'

en dus Lim ao ai 4" as .....ay =

1.3.5.....(2y-l) 2y l _ ^^ ^ - ^ ]/l

2.2.2........2 y! y " j > -

00

Deze limiet is dus 0{yVi), dus Lim (1 --l)Vi Z Ck f\'= O

l-fl kml

als G(y)= S^Ck=o(yV.).

Bij de Lamberlsche reeksen is C (y) = E ak terwijl vol-
gens (14) ~

m = lll — S I m=z l

m

Evenals in § 3 is | 1 — f™ | grooter dan de loodlijn uil 1
op den voerstraal van neergelaten. Dus | 1 — f° | >
sin 2 r m y. Zij g nu het geheele getal, dat zoo dicht mogelijk
bij m •) ligt, dan is dus

(15) I 1 -|\'°|>|sin2r(m7—g)|.

Ontwikkelt men y in eene keltingbreuk r = t qi qa qa----

qs____! en noemt men r» = I q» i • qs 2----I dan is

, , k\'s k\'g 1

r = ! qi q2 qs. •.. qs r» !• Zyn en

de benaderende

breuken van deze keltingbreuk, dan is kg i = ks y s kg _ i

k H 1 B

en dus omdat

ks 1

1

kH(kHr« kB_i)\'" k«Mr« 1)

Volgens de veronderstelling is er nu altijd een getal A,
zoodat voor iedere s, qH<A, maar dan is
7«= Ig« li q. Kqs 1 1 <A 1, dus

B

k«\' (A -h 2) k«

fr

Is nu — eene naderende breuk van y, dan is
m

is ~ geen naderende breuk, dan is volgens eene bekende

> -r—- en dus in beide gevallen
2 m"

y — — i > -1 waarbij k eindig is, of | m y — g | > —,

JYJ ! tn * Itl

m

waardoor (15) geeft:

k 2 cc Tt

1 — s® I > sin 2— en omdat sin « > ^ mits a <

m - m m

Hieruit volgt: I C (y) | ^ f E | b™ | m y i \'

A m = l m = i 1

Stel nu z =[Vy] en splits ook de eerste reeks in twee
stukken, dan vindt men:

2 tïT^. . . 2 .... lb„

c) L\' IJ O X y I

G(y)|^7 E |b™|m 4 S I b„, | m y ^ i

A*^ I ~»41 I —- I . ^^ • •-\'Jll I ••• I J ^^ -

m = l m = z l ni

A m = l ^m = [V7] I Zm = i 1

CO

Daar X bm | convergeert en z en [/ z tegelijk oneindig

m= 1

worden, is de reeks in den eersten term eindig, de beide
andere naderen tot nul, waaruil:

|C(y)| = o(yV,).
13. Eindelijk zullen we nog aantoonen dal

^ xV/» . x" .
-

V bk-r- = O, wanneer E ! bk | conver-

k=l 1 — X* k = l

geert en de parlieele noemers q« van de kellingbreuk, waarin

7 ontwikkeld kan worden vanaf eene zekere waarde voldoen

aan q« < A k, _ i (A eindig).

Eerst bepalen we weer de voorwaarde, waarvoor bij
00 co

V Ckl" do limiet: Lim (l-l)V> Z Ck l\'\' = 0. Men vindt
k^l l-fl k==l

dan als in § 12 dal Lim "j" f ........= O moet zijn,

y-foo no 4-ai-t-aa ----ay

waarbij do a\'s de coefllcienten van de ontwikkeling (1 -1) - V» zijn.

, ,, . . 2 5 12 , 2 5 8 3y-l , ty

Nuis(l-t)-V3=l-M/»l 3 3-2, ..... 3 3-3-.. \'3 ^Tj-• •

2510 , , __25819
ao a, =3. 3-2,2 \'  3 3 3 3!2

door een bewijs van y op y 1 kunnen we bewijzen:

ao ai az .......ay ==

2 5 8 3y 2 1 3 (y 1)

3 3 3 ........ 3 (y 1)!

Hiervoor kunnen we schrijven:

(y l)-Vs 3(y l)_
y 1 2

"" 2 kiil 3kj

Dit oneindig product zal divergeeren, omdat S^divergeert.

Nemen we den logarilhmus en ontwikkelen de logarithmen der

/l 1 1
termen dan komt er — ^la ^"j" g •

•y 1

hier Va log (y 1) bij dan wordt dit eindig, daarom
Lim ao ai a« .... ay =

1 \\ V»iog(y 1) -Vsiog(y 1)
1 — —Ie e

3 k

1 \\ V,l<\'B{y 1) , n / « ^
3k) ® \'

Lim , , ,vrr
y^l (y l)V3k=i

zoodat:

Lim (1 — l)V» S cic t\'\' = O als C (y) = o (yV.).
t->i k=i

Om dit op de Lamberlsche reeksen toe le passen volgen
we de redeneering van de vorige paragraaf. Vanaf eene be-
paalde waarde van s is nu q» < A k» _ i en dus

78= I qn 1 • q« 2 . ■. •! <q9 4-1 1< A k„ 1 = B k\'H.

Met (16) vinden we nu:

ks^ (rl (Bk« ircb~KV

Nu kan — eene herleide breuk zijn of niet. In het eerste
m

> is geen herleide breuk dan is

geval is

nr I J V

r — - > —; dus ook > —
\' m 2 m^ m\'

Zoo vindt men weer | m r — g 1 > ^

m^

(X>0)

Substitueert men dit in (14) dan komt er:

«) « y I bm 1

IC(y)|Sj S lb.|m\' y J£ Li\'-

m =1 ra = ï 1 H\'

Neemt men nu z = [»^\'y] en splitst de eerste reeks in
twee stukken, dan vindt men:

|G(y)1^7/. X |b„,| 7Z« i  i Jb^

Nu is s I bm I convergent, dus de som in\'den eersten term
is eindig en in de beide andere termen nul, omdat z tegelijk
met y oneindig wordt. Dus:

IC(y)l = o(y\'A).

HOOFDSTUK III.

Sommatie.

§ 1. Alleen bij reeksen met groote convergentiesnelheid
zal men door het samentellen der opvolgende termen zonder
veel moeite de som in eenige decimalen nauwkeurig kunnen
verkrijgen. ,Een denkbeeld over de convergentiesnelheid kan
men krijgen door de verhouding te berekenen van de rest
aijj = u„ 1 Un 2 • • ■ den n term Ur. Beschouwen

we nu twee reeksen U = Ui -f Ua -f Us ........(Rest «n)

en V = vi v2 v8 .....(Rest /S,,) en heeft de reeks u

uitsluitend positieve termen dan is

3n Vn4.i Vn 2 ............Vn

1. Lim Lim -^-^--"" T\'

. n-*oo «n n-coo Un 1 Un 2 ~r...... n->-ao Un

mits deze laatste limiet bestaat. Neem nu voor V de reeks:
U2 U3 U4 ____dus Vn i = Un^.2, dan gaat (1) over in:

Un 2 Un 3 ........_ , "n-fl

Lim--.-------X--T;—

n-)>00 Unxi -h Un 2 "T................"n

Noem deze laatste limiet A, dan is dus:

/ U 1 \\

1 — " ) = A of: Lim («„ — Au„) = Lim A^n dus:

^ «n / n-^CO 00

(2). Lmi --

n->30 Up 1 -A

Hij eene convergente reeks kan A varieeren van O tot 1 ;

in het eerste geval is Lim — =^0, convergeert de reeks als
- VOO u-

«n

het ware oneindig snel, in het tweede is Lim — = 1 en con-

n-> 00 Un

vergeert de reeks oneindig langzaam.

Is X nu positief dan kan men dit op de reeks van Lambert
toepassen

Un i x" Ml—x")

Lmi -=--r —-- = X.

n->00 Un (l-x° Mx"

Daar de limiet niet nul is, zal voor de berekening der som
in eenige decimalen nauwkeurig een vrij groot aantal termen
noodig zijn.

§ 2. Grootere nauwkeurigheid is te bereiken door eene
benaderde uitdrukking voor de rest op te stellen of door de
reeks in eene sneller convergeerende te transformeeren. Trachten
we dus eerst «n te benaderen. We leiden daartoe eene alge-
meene betrekking af door in de reeks:

, (IX|< 1) tesubstilueeren x =

(3). of: \'h log = waarbij

____.

plp^-D^p-i p 1

en dus: vp < | \' ^

p-1 p 1
Geeft men nu in (3) aan p achtereenvolgens do waarden Ui,
uj, us.....Un en telt alles samen, daarbij ^n == — — .

Ua

j_ en Vn = Vu, vuj .....Vu. noemend, dan vindt

Un

men de betrekking:

(5) U„ Vn - /2 j^g _ 1) (U2 - 1) . . . (Un - 1)

§ 3. Om hieruit den restterm van de reeks van L. te

1 -hx 1 — X"^ , . Uk-l 1
vinden noemen we Uk —^ _ ^ oan is ^^ _ ^ —xen

(6) u„ = ^ ^ Y^ - xqr^ Sn.

(Sn is de som van n termen van de reeks van L.).
De reeks van L. convergeert voorx<l, dan is

u- = > 1 en mag daarom voor p in (3) ge-

1 — X x*"

substitueerd worden. Men vindt nu uit (5) en (6):

l X 1 —

Un 1 ,, , 1 — X

Un Vn = log xn- 1 = V^logX"-

X

(7) Un Vn = \'h log fl 4- 2 X i—

Vn moet nu benaderd worden. Dit kan gebeuren door het
verschil tusschen V = Lim Vu i vm -f-.....Vu™ en V„ te

m-^oo

benaderen. Bij deze berekening zal tegelijk blijken dat V
eindig is. Uit (4) volgt:

00/1 1 2\\

(8) ■
Nu is:

1 . (l-x)x\'\' 1 _ d-xjx" ^^

Uk — I "" 1 X — 2 x"\' Uk 1 1 ■ X _ 2 xk 1
J_ ^ (1 — x) x*^
Uk (1 x)(l-x\'\')\'

dus:

1.1 1

u"rn"^uk l~uk \'\' \\1 -I-X-.2X

. 1 ___ 1

^ 1^-f-x —2 xk l 1-I-X — xk — xk

Nu is 2 X k 1 < xk -I- xk 1 en dus:

__1_^ 1__

l x — 2xk l^l x — xk — xk l
1 . 1

_ \'__^_____

•x — ^xi^^l x — xk—

1

Ulc—1 ^Uk 1

Uk

(1 — x) xk

<

1 -f. X — xk — 1 — xk

waardoor (8) overgaat in:

^ 1]
Uk,

6 k=7 1 \\"k — 1

1 - - X — 2 x"^
X

Uk-I

<i(ü_ f
6 \\Uk k = n I

(.1 _x) (U-Un)

,u„
1

wanneer weU= Lim \' ........„

m-fOO Ul U2 Um

xn 1 _ 1

~l x 1—X 1-f-x 1-x"
Hierdoor vindt men uit (9)

(> \\Un

De reeks der v\'s convergeert dus zeker, terwijl de gevon-
den betrekking ook kan dienen om de fout te benaderen,
wanneer men bij den n"" term afbreekt. Men heeft dan

(10) V„ = V - \' waarhij 0 < ó < 1. Intusschen moet

^ \'\' 0 Un

V zelf ook nog gevonden. Dit kan ontgaan worden door (10)
in (7) te subslitueeren en op te merken dat V onafhankelijk
van n is, eene bijzondere waarde van n voert dan tot hel doel.
Men vindt zoo
1

\'^Sn =\'M0g (l-f 2X ^

l -X

° xk • 1 x, 1 1 — x2n l

1 X \\ I X

Deze constante = — V --,-log 2 is onafhankeliik

l—x l—X®

van n. Neemt men nu n= co dan vindt men uit (11).

\'"^\'logl/v^JÉ^ const

k^l 1 -x"^ 1-x
en hiervan (11) aftrekkend:

V ^^ _ 1 ^ 1 1/ 1 x <?x2n l

= n 1 1 —1 —X l-l-x—2xn l 61—xn\'

k

Dus:

co yk n k

n <51 _^_= V _±_ _L_

^ k = i k=i l-x" \'

, 1 X 1 X 1 x _ O 1
i- j log y 1 X - 2xn 1 6 1 - X«\'

§ 4. Uit deze formule van CEsano is voor niet te groote

X de waarde der reeks snel te bepalen. Nemen we x = 0,1

en wenschen we eene nauwkeurigheid van 7 decimalen dan
O x2n 1

moet g ^ _ ^n^ 10—7, Elieraan is reeds voldaan door

n = 3 te nemen. Men vindt dan:

c 1 ^ 1 I 1 11 1 5500 _ n 11 11 11 1 i

^ = 9 99  ^^ ^^ ^^

0. 01 01 010. 0. OOI 001.0..

0. 000 I 1 1 1 .. = 0. 1 2 2 3 2 4 2 ...

De juistheid van deze uitkomst is gemakkelijk te contro-
leeren, daar, volgens de fundamenteele eigenschap der reeks
van L., voor x = 0.1 de som van deze reeks in de eerste
46 decimalen het aantal deelers van de eerste 46 getallen
geeft. (48 heeft 10 deelers, dus is de 47« decimaal 3 en
niet 2).

§ 5. De transformatie van Clausen (inleiding § 2)

(i 4- xk\\

kil 1-xk k = l \\l-xkj

geslaagde poging om de reeks in eene snel convergeerende
om te rekenen, want volgens (2) is:

«„ 1 — xn l xn l xn\' 2n l_^

n->c3oUn n 00 Un n->oo

§ 6. De reeks van Clausen heeft het nadeel, dat alle
termen positief zijn. Cesiiro \') is er in geslaagd eene reeks
met gestadig afnemende beurtelings positieve en negatieve
termen te vinden. Men heeft dan direkt eene grens voor de
fout. Uitgaande van eene formule van Cauchy:®)
co i_qkx_ ^ (—l)k qV,k(k i)

kSir^q»^" k=o(i-q)(i-q^)........O-q"^)

(x-y)(x-qy).......(x-qk-ly)

(l-qy){l-q»y)........(l-q»^y)

waarbij rechts voor k = 0 als eersle term I genomen moet
worden, substitueert hij x = yq" en vindt:

00 1 _ qk n y _ co (- DkqV.Mk ])___

k=i~T-\'q"k7 "" k = i(i

(_ I)kyk(_qn-J- 1) (..qn q)......(_qn qk-l)_

X(i_qy) (i_q=»y)...................(l-qky)

_ oo qV,k(k 1) qV.k(k-l)

kii(i-q) a-q\').......d -n\'^)

V .,(1 -q") (1 -q"-\')......O -q"-\'^^ O

(i-qy) (i-q\'-y)............(i-qi^y)

\') Sourco d\'identités Mnthésia t. 6. p. 120—131 (1880). Ecno olomcntftire
afleiding vindt men in do Wiskundige Opgftven van hot Wiskundig Go-
nootschap «Onvermoeide Arbeid» t. 13. 2« stuk.
») Comptcfl Kcndus t. XVII p. 530.

zoodat:

00
k:

^ (1 -q") (1 ......(1 -qn-k ij

ki](l-q)(l-q\').................(1-qk)

qk\'xk

(1 _qx)(l -q2x)...(l -qkn)

Deze formule geldt voor willekeurige n, men mag haar dus

naar n differentieeren.

... d 1 - qk n X _

Nu IS 3— n . —r— —
d n k = 1 1 — qk X

GO 00 1 — nk nx

(H) =l0Bq f

Idn k=l l-ql^x /n^o = i 1 - qPx

Het differentiaalquotient naar n van den rechterkant van
(13) is:

^ qk\'xk\'ll^ _qn-p(i _qn)(l _ qn - 1) . . . . (1 _ q„ - k 1)

k£l (l -q) (1 -?).. (1 -q^) (I -qx) (1 -q«x). .(1 -qkx)(l -qn^F)"

Voor n is nul valt alles met den factor (1 — q") weg, blijven
alleen die termen, welke bij p = 0 behooren (in teller en
noemer (1 — q")) en vindt men:

wn V - q\'^\' xk (1 - q-l) (1 - q-2)........\'(1 - q-k 1)

^ kil (1 - q) (I - q\'-^).....(1 - qk) (1 - qx) (1 -q\'-^x).....(1 - qkx)

00 nVik(k l)vk
(.5) ......(i-q>x)-

Uit (14) en (15) volgt:

(16) I I (_nk l qV.k^k Dxk

^ ^ kill-qkx-kil \' (l-qk)(l-qx)(l-q\'^x).:..(l-qkx)

Stelt men x = 1 en q = x dan vindt men de gezochte
transformatie van de reeks van L.:

(17)  ......

•x x^» X«

Door de termen der reeks van L. Ui, U2, Us enz. te noemen
krijgt (17) den vorm:

Ui Ui U2 , U1U2U3

(18) U1 U2 U3 .....=

De termen van deze reeks zijn afwisselend positief en nega-
tief en nemen snel af; zelfs als ze alle positief waren, had
men nog:

tn l U1U2U3.....un i 1 —

Lnn - = Lim v" ~v nï 1 TTT^---un 1 — U

§ 7. Daar de termen meestal direkt (x^O. 8) en anders
toch vrij spoedig gaan afnemen, zal de reeks van GEsano met
steeds kleiner amplitudines om de juiste waarde van L (x)
heenschommelen. Men kan deze amplitudines nog verkleinen.
We merken daartoe op dat:

_-t-—=l-^uk. Hierdoor gaat (18)

l_xk 1 —xk 1 —xk

over in :

Ui 4- U2 4- U3 .... = UI (1 4-"i) — u» "2 d\'  4-"3)...=

u, 4- ui» — u, U2 — Ui Us» 4- iii "s 113 4- Ui "2 U3\' —.....dus:

(19) Ui -f U24-U8 4-.....= ui -f- Ui (ui—U2)-Ui U8(Ua -U3)4-

4" Ui Uï U3 (ua — U4)......de getransformeerde reeks is dus

uitsluitend uit termen der oorspronkelijke opgebouwd. Maar
nu is:

- xk _ xk-»(|—x) _Uk-lUic

Uk_i - Uk -j - 1 - xk (l_xk)(l_xlt->) uixk-l

Substitueert men dit in (19) dan vindt men:

, , Ui Uj U2* Us I Us Ua\'Ui

Ui 4- Us -I- Us 4-----= Ui 4- --^s 4- j.3 ----

Do beide eerste termen zijn nog eenvoudig samen te voegen,
want:

, Ui U2 X I

Ui = ^

X 1 _x \' (1 - x) (I —

X X^ — x3 _ _ , J__— _ 1 I 3l£2

1 _ X — x2 x3 \' \' (1 _ X) (1 _ X--\')
dus:

(20) Ui U2 us ... = — 1

U2 U3^ U4 U2 Us U4^ U5 ,
175 -.d I \'

Dat de amplitudines door dit proces werkelijk verkleind
zijn, is gemakkelijk te zien. In de reeks (18) is de som van

2 termen — te klein, in de reeks (20) is de som

1 — X I — X

U2 Us , , , , .

, ook te klem, maar

X

\\ ,

blijkens de afleiding Ui U2 U3 grooter dan de overeenkomstige
som van (18) dus dichter bij de juiste waarde.

§ 8. De waarde van deze reeksen kan men onderling ver-
gelijken door voor ieder eene grens voor de fout op te stellen,
die men maakt als men na n termen de berekening afbreekt.
Voor de reeks van L. zelf moet dus bepaald worden

_ xn 1 ^ xn 2 xn 3

~ f— xn 1 \' r _ xn 2 1 _ xn 3 \' \'

Nu hebben we in (16) gevonden:

xq , xq\' xq\' _

1 _ q X ^ 1 - q» X 1 — q3 x ^ • • •

qx___q^x»_ ,

(l_qx) (1-q) (l-qx) (1-q^x) (1 -q\')^

_t^\'

{l_qx)(l-q«x)(l-q5x)(l-q=»)
Stelt men hierin x = qn en q = x dan vindt men:

xn l , x" 2 xP 3 ■ ^

•J 1 4 „n J. V .....

xd I x2n 3

— (l-xn l) (1-x) (1-xn l) (ï-xn \'\'^) (l-x2)

x3n 6

(l_xn l)(l_xn 5i) (l_xn 3)(l_x^

dus:

_Un l Un 1 "n 2 , »n 1 "n 2"n 3
(.1) «n-——-.....

De termen van deze reeks zullen in \'t algemeen weer spoedig
afnemen, voor x ^ 0.8 direkt, en daar het teeken afwisselend

positief en negatief is, heeft men dan <

1 X

§ 9. Voor de reeksontwikkeling van Clausen moet een
grens gevonden worden voor:

f^n 1 _ X» I \' 1 _ X" -i

 (n.3). .......

^ 1 _ xn 3

tl n

Hiervoor maken we gebruik van de identiteit ^^^ aij =

n n

Z [aii S (aij aji)]
i=i j-t i

Stelt men hierin aij = xij dan vindt men links:

n II n " . 1 — X" i
V V xij = V (xi -I- x2» 4-......xn 1) = V X»

i = 1=1 i = l I — X

Rechts vindt men: £ (xi\' 2 (xi(i D xi(i 2) ....... xin)) =

\' = > . ....

" 1 -i. v< _ Q vni—i\' fi

Jj-I ir=l 1 - X

Linker- en rechterkant gelijkstellend:

V ^ V 1 

i^l 1 _ x\' \' i = l 1 — x\'

ï) Uit dezo idonlitoit Ih trouwen« ook do reelcR vwi CLAU8KN nf to leiden.
E. Ciïsi\\Ro: Sur le« transformations do la »<?rio do Lamukkt.
Nouvelle« Annale« série 3, t. 7, p. 374. (1888).

fa 1 4- vi ° n \'

„f. y ^ x^\'_ V ^ .— £----r waaruit:

ièil-xi i^il-x^ i = il_x\'

(23) s-/3n - S «„=a:n-/3n=x" U, x2°U2 .....x"\'un.

Eene eenvoudige uitdrukking voor (Sn krijgt men door «n in

een anderen vorm dan (21) le ontwikkelen. Nu verschijnt

ccn, als we in £ , ^ V voor q = zetten. Maar
k=i 1—X. q

C/O vk fj x\'^ n\'\'

V _y— = y J—3—- hetgeen bliikt als men iederen

k^il-x-^q 1 = 1 1-x^\'

term van de laatste reeks in eene reeks ontwikkelt, de reeksen
onder elkaar schrijft en de kolommen sommeert. Substitueert
men in deze gelijkheid q--x" dan vindt men:

^ ___I ___I____u . =

^ 1 — ^

___L---U........

1 -

(24) of: a„ = UiX" U2x2n U3X=\'n .....

Nu is (23) (5n = «n - (Ui X" U2 x\'" -f........Un X"\')

waaruit met (24) volgl:

(25) =     
Maar en zoo gaal (25) over in:

u, U2  .....

(26) \' of: 

§ 10. Voor de reeks van Cesiiho (18) moet een grens ge-
vonden worden voor:

_ Ul U2----U,, 1 U1 UO . . • • "n4-2 "1 »>2 • •••"ii 3_

We merkten reeds op dal voor x ^ 0.80 dc termen onmid-
dellijk zullen afnemen, zoodat men dan heeft:
^ U, U2 U3 .... Un 1

(27) rn< -YZ-^nTl" =

____x.x»... x" _________^

(1 - X) (1 - X\'^) (l - X=\')7.T; (1- X-\'^^ \') ("l - x" \')

xV«("
^ (l—
want 1 — X < 1 — X® < I — x\' enz.

§ 11. In (20) vonden we de transformatie:

Ui U2 Uz^ U3 , U2 Us^ m U2 Us U4\' U5 ,

L(x) --^......

Voor de rest van deze reeks vindt men evenzoo:

U2 Us U4----u®n 1 Un 2

(28) ^n<---=

_____X\'\' X« x^. V _

- (f_ X») (1- X») d - x^).... (1 - x" - x"

l)(n 4)

(1 _ X»)"

§ 12. Voordat we nu de waarde der verschillende reeksen
vergelijken,-merken we op, dat ze niet voor alle waarden tusschen
O en 1 geschikt zijn om L (x) le becijferen. De termen van
de reeks van CEsaao kunnen b.v. aanvankelijk toenemen, want

ti>t2, wanneer ^ f(x)= 1 x-2x«-x»>0.

Nu is f(0.80) = 0.008 en f (0.81) = -0.033641. De
termen nemen dus direkt af als x g 0.80. Voor x> 0.80
zal de reeks vrij onbruikbaar zijn, maar zelfs als x < 0.80 is
de convergentie in de buurt van 0.80 nog traag. Dergelijke
bezwaren heeft men ook bij de andere reeksen. Nu heea
Scin,ÖMiixn do reeks van Lamheht in een eene half convergente
reeks ontwikkeld, welke hel antwoord des te nauwkeuriger
geen, naarmate x dichter bij l ligt. Maar zelfs voor x = 0.4
vindt men nog 9 decimalen nauwkeurig, wanneer men 4
termen van de reeks van SchlOmilcu sommeert, de reeks van
Clausen geeft er dan ook 9. De gebieden van bruikbaarheid
van beide reeksen onlmoelen elkaar hier. Voor waarden van
x>0.4 zal men bij voorkeur de reeks van Schlömilch gg-
bruiken, bij waarden van x<Ü.4 do andere reeksen, die wij
nu in die veronderstelling zullen vergelijken.

,n 1

§13. Nu is (21) «n < = _ ^„^ Ij —) <

want: (1 - x" (1 - x) ^ (1 - x^) (1 - x) >
(1—0.16) (1 — 0.4)>0.4>x.
Men zou kunnen denken, dat deze grensbepaling wat ruw
was, maar

j^n 1 x° ^ x" ^

  3 .....

waaruit

Voor /?„ vinden we nu uit (26) < x" ^^«« < x" 2).
Ook hier is de benadering als macht van x zoo nauwkeurig
mogelijk, want:

Un = > x" en dus (25) i3„ = x" u» i
1 — x"

  .......>

x(n 1)\' 1)(» 2)  l)(n 3)^.....^ ^n» 2n 1

De waarde voor yn (27) is ook nog iets te vereenvoudigen,
want sommeert men niet te veel termen,

dan zal(l—x)" \'\'^>x
zijn. Dit is het geval als (n 2) log (1 — x) > log x dus

n 2 < , ^ Men vindt dan:
log (1 — x)

0

Otok 3n (28) is zoo te behandelen. Weer moet (1 - x*) " ^ > x
zijn of (n \'2) log (1 - x\') > log x dus n 2 <

Men kan hier dus nog wat meer termen sommeeren dan bij
ra en toch blijft

§ 14. Volgens deze resultaten geeR voor x = O, 1 de som-
matie van n termen vai> de reeks van L. n decimalen nauw-
keurig, de transformatie (12) geeft er 2n -f- 1, de reeks van
Claüsen n (n 2), de reeks van CEsano V2 n (n 3) mits

n 2 < = 21. 8 dus n < 20. Is n > 20 dan kan men

log 0. y

nagaan voor welke n, (1 — x) " > x^ en vindt zoo dat
slechts het laatste cijfer onnauwkeurig zal zijn, wanneer
19 < n < 42 enz. De reeks (20) geeft Va (n-\' 5n 4- 3)

decimalen, mits n 2 <= 299,... dus n < 228.

log 0.99

Om 35 nauwkeurige decimalen voor x = 0. 1 te vinden, moet
men 5 termen van de reeks van Clausen sommeeren of 7 van
de reeks van CEsano, maar 35 van de reeks van L. Gebruikte
men echter 35 termen van de reeks van Clausen dan vond
men 1295 decimalen nauwkeurig, de reeks van CEsano gaf er
dan GG4 en de reeks (20) 701. De reeks van Clausen ver-
dient in het algemeen den voorkeur, do reeks (20) is echter
beter om vlug een paar decimalen te vindon. Voor x = 0. 1
geeft éón term reeds hot antwoord in 4 decimalen, twee
termen geven er zelfs 8, bij meer termen wint de reeks van
Clausen het.

§ 15. Besluiten we dit hoofdstuk met eono afleiding van
do asymptotische ontwikkeling van Schlömilch. Hij ging uit
van de sommatieformule van Eule«-Mac. Laurin: \') (29)
h [f (a) 4- f (a 4- h) f (a 4- 2 h) 4-.....f (a 4" (q - 1) li)] =

\'"f (u) du - V» ll [f (b) - f (a)] 4- ^ [f\' (b) - f\' (a)] 4"

\') Scm-ömu.cn Compondiiim der Höhere Analyse Bii II p. 225.

.....

1,2 n 1 /•!

[f2n-3(b)_f2n-3(3)]_iL^ ƒ S^ „ (t-2 n) dt.
waarin:

S2 „ = f2 " (a ht) f2 " (a h ht) ........

f2°(a (q-l)h-|-ht)

en f(u), f\'(u), f"(u).......f2°(u) van u = a tot u = b

continu zijn en eindig blijven.

1

1,1 Bg , Bl 3 ,

Hij nam f (u) =

|fu5 ...(mits|u|<2T)

Substitueert men deze functie in \'(29), neemt a = 0 dus
b = qh en bedenkt dat f (0) = O, f\' (0) = \'k Ba, f(0) = \'I* Bi

enz.....f^ " ~ \' (0) = ^ B2 n, (lan vindt men: ,

2n
1

e^-1

1

(q-l)V2h = log-—^

qh

h i.1,

E2n-2h^[f2 n - 3 (q,) _

(2 n - 2)!

\') Voor getallen van Beunoulli zullen wij do notatie van CEsilno
gebruiken, dio deze getallen definieerde door de «ymbolische vergelyking
(B 1)P—= waarbij Bj = 1 genomen wordt. Men vindt zoo:
B, = 1, B, = V,. B, = V.. «» = O, B, = - 7,0, B, = O, B. = % enz.
TuHHchen rte »lotatie« van Serket, SCHl^MnXH en CesJro bcHtaat de

betrekking: b" = b""" =(-!)""\' B®

n 3 B 1 «n

waarbij I2 n = ƒ ^ §2 „ (t- 2 n) dt.
0

Deelend door h en rangschikkend vindt men:

1

.(q-l)h _ 1

1

h h ^ 4 ^

^ [f (q h) - V« 13.] ^ [f"\'(qh) - i B.] ....

.2n

(q •\') - B2 n - 2] - l2n-

(2 n - 2)!

Kunnen we nu de waarden van f\' (u), f\'" (u) enz. voor
u = co vinden dan kunnen we in (30) q oneindig groot laten
worden, dus de reeks links tot in het oneindige voortzetten.
Nu is:

1,1

— m e

ü„

Iedere vorm met eene macht van (e" — 1) in den noemer
levert dus na diiïerentiatie twee dergelijke vormen, éen met
dezelfde macht en éen met een éen hoogere macht van
(e" — 1) in den noemer. Hieruit volgt direkt:

A, . Aa , A,„ (2n-l)!

, .....

e"-!"^ (e"-l)» ......(e"-l)\'-\'"

waarin Ai . Aa... Au eindige getallen zijn. Lim f

U->00

dus nul en uit (30) volgt voor q oo :

C. — log h O. 1 _ % \' J, _ ■ Ir\' _
h \' 4 2!2 4!4

waarin Ssn = f^" (ht) f^" (h ht) f(2h ht) ..... \'

Nu is (—1)" (p (t. 2n) van O tot 1 positief, kan men dus
twee eindige van t onafhankelijke grootheden M en N vinden,
zoodat M<S2n<N dan is;

(- D" f^M. 4) (t.2n)dt<(-!\')"ƒ\'Son cï)(t.2n)dt<(-l)n j\'N4)(t.2n)dt

O O O

of

(-1)" ^ M. B2n <(-l)"/\'s2n (t-2 n) dt<(-l)" \' N B^n

O

want /\'0(t.2n) dt = — Ban-

O

dus S2nCP(t,2n)dt=-B2n[M ö(N-M)]voorO<ó<l.
O

Hierdoor wordt de restterm van (31)

\' -(^B2„[M Ö(N-M)]

Hel komt er nog slechts op aan M en N le bepalen. Nu
geeft de betrekking (— jt ^ x ^ s-)

1 X cos x , A cos 2 x _

acos3x 1 ,v

......Voorx = .

1 . ___\\ J_ ,  

waaruit voor 2 A ;r = u:
f(u) = 2

2» u\' ^ 4\' T» U» u\'

\') ScHLöMiLcn Compendium Bd. II p. 140.

wanneer we deze betrekking 2 n maal differentieeren en be-
denken dat:

(cos (2n l)bgtg —
4?r

(2n Dbgtg

...... j dus:

f2"(u)| <2(2n)! ^ - ^---------(-.

2(2n)!

Vervangt men nu 4\'t*, 6\'t\' enz. overal door 2\'jr\', dan
vindt men:

2 2(2 n)! I i _ 1 1 . 1 , \\ 1

f (") < /g » — 2 \\i 2 n -2 22 n -2 32 n -2 ...../ 2* T* U*

dus:

2(2n)!so„_o •

f" " (") = (2 - ~ U\'\' - 1< f < l.

U« 2(2 n)!s2 n-2/_^ ,

Nu wordt S,„ = ^2,)2n-2 [ï^hlj^

\') Men bewnst dit door: . " . = ^ (—ï-r- —m V <«
\' ^ a\' u\' 2 \\u —la u la/

differcniiecren.

£2

4 (h ht)2 ^ 4 (2 h hl)\'-\'

2(2n)!s2n-2 l 1

S2nl<- \\  4 (2 h)\'

L4.1(1 1 1 ....)

<

2(2n)!s2n-2 M ^

dus |S2„i <(-l)"~\'2n(2n-l)B2„_2j 1

wanl =

Men vindl dus dal 1 S2 „ 1 kleiner is dan een eindig gelal
N en dus is M < S2 n < N, waarbij M = — N, maar dan is
M Ö (N — M) = - N 2 ö N =/JiN, waarhij— l</?i < 1-
De resllerm wordl volgens (32):
.2n

i.iin ( 1

(iW "" ~ëiT\'

h2"-2B2„_2B2„ j J^^jr^i.

of R = P

"(2n- 2)1
Uil (31) vindl men dan:

l

1 _ Bo\'\' h B,\' h\'
2! 2 4! 4

h

2n-3

(2n —2)!(2n--2)

Slell men hierin e~" ^ = x, dan is O < x < 1 omdal h po-
silief is en slrekl men de sommatie nog een term verder uil,
dan gaat (83) over in:

X x» G-log log i

- ^ log - - JTI r" x).....- (T^Wrn r« V "

waarbij:

Wij noemen de coëfficiënten ^^y^ = Ca enz. en geven voor
eene snelle becijfering de waarden van Ca = ^^ ~ 86ÏÖÖ\'

^^ ~^0480\' ~ ^04000\' "" 6^2821120\'

30 xk G-loglogv X i\\ik-i

V —  c^k log- Ra..

§ IG. We merkten reeds op, dat de brnikbaarlfeid van de
reeks toeneemt, wanneer x lot 1 nadert. Voor x ^ 0.9 vindt

C —log log 7

men reeds 4 decimalen nauwkeurig met L (x) =-;-j--h

logT

. ---Iy log ^ , terwijl men voor x = 0.9 reeds IO termen

4 144 ® X\'

van de reeks van Ci.ausen moet berekenen om eene dergelijke
nauwkeurigheid te bereiken. Maar ook voor kleinere waarden

is de reeks nog geschikt mits log -CÜ 1 dus x>-^= 0.3Ü728----

^ O

Voor x = 0.4 vindt men met de reeks van SciilOmilcii:
L (0.4) = 0.72535G2799 0.25 - 0.00G3G31301 - 0.0000089010
— 0.0000000848 - 0.0000000019 = 0.9689841591.

Ter controle berekenen we L (0.4) ook met de reeks van
Clausen:

L (0.4) = 0.9333333333 0.0353523810 0.0002979928
0.0000004521 =0.9689841592.

Nu is  en bij de berekening

0.4^

met de reeks van Claüsen is de fout < 0.4^° _ q 4») o 6

< 0.0000000002.

De eerste 9 decimalen zijn dus juist becijferd, de reeks
van Schlömilch geeft precies dezelfde, ook daar zijn ze dus
goed. De gebieden van bruikbaarheid van beide reeksen
ontmoeten elkaar dus bij x = 0.4 (van beide zijn 4 termen
becijferd). Wanneer men echter voor onze becijfering met
de reeks van Schlömilch den restterm berekent vindt men

= iog8 0.4 of iRsl <0.00000005,

\' 8! l o 4 i

door controle met de reeks van Clausen weten we | Rs |
<0.0000000004. De grens voor de fout is bij Ran dus lang
zoo nauw niet getrokken als voor «n en ^n.

§ 17. Wij besluiten dit hoofdstuk met een tabelletje der
waarden van L (x) in vijf decimalen nauwkeurig.
L (0) = 0.00000. L (0.3) = 0.56686. L (0.6) = 2.69140. L (0.9) = 27.08648.
L (0.1) = 0.122?2.L (0.4) = 0.96898. L (0.7) = 4.75640. L(l) = co
L (0.2) = 0.30173. L (0.5) = 1.60669. L (0.8) = 9.55705.

HOOFDSTUK IV.
(Transformaties).

rt. Algebraische transformaties.

§ 1. We gebruikten reeds de transformatie van Clausen
(Inleiding § 2):

co vk 00 /l 4- vk \\

y ■ = s X^M ; ^ \' ■ . Met behulp hiervan heeft
k^i 1 — xk k = l \\1 — xk /

Eisenstein de reeks van L. in eene kettingbreuk getrans-
formeerd. Clausen vond:

l-x^\'^....."" l-x»^^.....

x . x» , X« , x" , xk\' xk\' k

7 1 "" 1 I" • • • • 1 vk l" « _vk \'

1 1 — X^ l —X»^ 1—1 _ xk ^ 1—xk

Stelt men rechts ^ = dan gaat dit over in :

(1) L (x) = — jj -i-    .....

1 I 1 I

lk«-k(ik_i)-t-ik.(tk_. i)-r.....

De reeks is nu in eenen vorm geschikt om met de methode
van Eule» in eene kettingbreuk ontwikkeld te worden. Men

heeft namelijk dal, wanneer S =  ----eene

U| Ut Us

convergente reeks is, dat dan:

"■-V ï,;--^

U2 "9 — enz.
Past men dit op (1) toe dan hoeft men:

u, u, = l«- 1, u2-|-u5 = l(t\'-1), u8i-u4 = t»(t*-1),.....

u,k-i = (t^"- 1), U,k U,k 1 = (1«\'\' \' -1)

waaruit de ontwikkeling volgt:

_!__

t«(t\'—1)— enz.

of telkens teller en noemer door eene macht van t deelend:

I mits (x) < 1 dus | 11 > 1.
t^— 1 — __L , tJ— ns

t\'— 1 — enz.

tk-lftk—1)»

^ \' tMf-D\'

t\'k—1 —

t2k i—1 _ enz....
§ 2. CuRTZE Iranst\'ormeerde de reeks van L. in eene be-
paalde integraal, en leidde hieruit weer eene reeksontwikke-
ling af. Zoo vond hij:

(2) 2 V = _iL_ f x^ Hoewel de

\' k=i 1—x\'\' 1—X k = il—x"

integraal geen beteekenis had, kan men de juistheid der trans-
formatie aantoonen. Ontwikkelt men iederen term der reeks
van L. in eene reeks dan vindt men:

k = l l—x^ k = l

= 1 (x\'\' 2x"-f  ......)

k=l k=l

CO

: Z .....) =

k XV

~"1-X \' k=l 1 - X^
Uit deze afleiding ziet men direkt, dat deze transformatie
voor uitbreiding vatbaar is. Men vindt in \'t algemeen:

GO x\'\'

k= 1 1 — X\'\' k=l
co co ,

S (n-l)x\'\' Z (n-2)x" ..... Z 

k = i k = i k =
f

-f f (x\'^ 2x"-f......(n - l)x<°-i>\'= nx"\'\' nx("

^ (n-2)

1 -x\'

GO

Z ..... .....)

t

waaruit:

k = l 1 — x" 1 — X

.n- 1

(n-2)

1 — \' •\' ■

Men ziet flat (3) voor n = 2, (2) als bijzonder geval bevat.

§ 3. Eene dergelijke transformatie kan men afleiden door
de opvolgende termen der reeks van L. in reeksen te ont-
wikkelen, en deze reeksen onder elkaar te schrijven. Op deze
wijze ontstaat eene dubbelreeks, waarvan we eerst de diago-
naal lerm sommeeren, dan de overblijvende termen van de
eerste rij en de eerste kolom, daarna de dan nog overgebleven
termen van de tweede rij en de tweede kolom enz. Men
vindt zoo

00
V

k=l 1
2xk(k 1)

1 -x"^
\\

2x\'\'

Sx\'\'

1 x
4.x"

k-^i 1 — x\'

1 x\'

4-x

I-l-X«"^ l-X*"
gP j-SP-\' k

..ïP-U

„4k

1 -X

2P lx»\'\'\'\' I

r-x»\'\'" i

Daar | x |< I nadert de laatste lerm met toenemende p
lot nul en dus:

00 vk CO ,
V _= V

2\' X\'"\'

1 xk

1 X«k \' 1 -i-

Nemen we in de laatste dubbelreeks alle termen bij elkaar.

die —i- bevatten, dan vindt men vooreerst den term

1 xi

2 xi 2 xi

x"!®-—;—maar als q een tweevoud is komt —;—- ook
1 xi\' ^ 1 x^

voor in de reeks, die met x^\'^\'\' begint, is q een viervoud, dan

ook nog in de reeks met x^^^ enz., waaruit volgt, dat alle

9. x\'ï

termen met den factor j-—- zijn:

1 X"

q (^V f-V \\

^ Ix^\' 4 2 4 -i/ ....), waarbij de reeks

1 x^ \\ /

tusschen haakjes afgebroken moet worden bij den laatsten
geheelen exponent.

Men vindt zoo de transformatie: • .

co x"" 00 u

2 - ^
k=l 1 - k=:l

C-V (-Y \\

xk* 2xV2/  ...

V ^^
kèii x"

§ 4. . Eene andere transformatie vindt men door te stellen:
00 x\'\' Ak

y, -r = y 7—T—r en dan de coCfficiénten Ak onaf-

k = i 1 — x" k = il x"

hankelijk van x trachten te bepalen. Nu is

x*^ _ x\'\' — x"^ _ x** . 2X»\'\'
1 -f x" ~ 1 ~ 1 _ xk 1 —x2k-

Er moet dus voldaan worden aan:
(4) , j—^ - T—m -2.2 —

l-x" k^il-xk

Bij ontwikkeling in reeksen geeft de tweede term rechts
slechts even machten van x. De oneven machten van x in

co x\'\' ^ x\'\'

de ontwikkelingen van E Ak ,-------en van E -7

k = l 1 — X» k=l 1 — x»

inoeten dus gelijk zijn, hetgeen achtereenvolgens vereischt:
Ai = l, As —1, Ar,= l enz. (4) gaat nu over in:

00 v2J 00 x®\' X®\'

nr-x- = .f, CT". - ^ ,5, r-r-x\'-i

OD x^\' QO x"

waaraan voldaan wordt door Au— 1 = 2 Ai.

Nu is voor alle oneven l: Af=l en heeft men dus
Aa; — 1 = 2, As» = 2 1 = 3. Voor even l heeft men:
Aim — 1 = 2 Asnv, wat weer voor oneven m geeft:
Atm =2(2 1) f 1=2^ 2 1=7.
Men kan op deze manier doorgaan en ziet gemakkelijk in,
dat als k = 2P n en n oneven dat dan:

QP 1 _ 1

A, = 2M-2P-i 2\'\'-2 ....1= =2P \' - 1

De reeksontwikkeling uitschrijvend:
» xk _ X 3xg__, 7

k=iï - xk— 1 -i- X 1  1 X\' 1 x^

xii 3x" x^ 15 X» ,

4 I „R 4 1 „7 4 I ..S • • • • •

^ 1 x^ ^ 1 X« ^ 1 x^ 1 H- x»

§ 5. Trachten we de reeks van L. te vervangen door eene
. . xk 2x»k ....(q-l)x<q-\'>k
reeks met algemeenen term Ak-^ ^k -f---

dan vinden wij eene uitbreiding der vorige transformatie,
welke haar voor q = 2 als bijzonder geval bevat.

xk 2 x\'k-f... (q-l)x(q-\')k_(l -xk) ... (q^) xfj-»^

Nuis: —- - ...... , " \' \'

xk -I- x\'lk^ . . . . x(l-\')k — (q-l) xk _ xk _ X<lk_

l—xlk

Er moet dus voldaan worden aan:

00 vk CO vk OO x\'Jk

Bij ontwikkeling in reeksen geeft de tweede term rechts
slechts machten van x*», de andere machten van x in de

GO x^ ^ x"^

ontwikkelingen van S JZT^ l — x*^

dus gelijk zijn. Dit vereischt dat Ak = 1 voor alle waarden
van k, die niet deelbaar zijn door q, voor de andere A\'s heeft men:

00 x^\'ï x\'\'^

(Al, - 1) = q A, —^ dus 1 = q A,.

Is l geen q-voud dan is Aj = 1 dus A;q = q 1. Is Z wel
een q-voud, dan heeft men Amq^ — 1 = q Amq, dus als m geen
q-voud is Amq2 = q (q 1) 1 q\' q I- Op deze
manier kan men doorgaan en men ziet gemakkelijk in dat
als k = qPn en n geen q-voud dat dan:

— 1

A, = qP qP-i qP-® ......... 1 = ^

§ 6. Bedenkt men, dat men alle getallen kan verkrijgen
door alle oneven getallen achtereenvolgens met 1,-2, enz.

le vermenigvuldigen, dan ziet men in dat:

kèt r^^- Y ii -1 - x^\' 1 -X*\'^ • ......

waarbij de sommatie over alle oneven getallen i uitgestrekt
moet worden. Ontwikkelt men de reeks tusschen haakjes
naar opklimmende machten van x, dan zal x"\' (n = 2« p en
p oneven) slechts in de ontwikkeling van die breuken voor-
komen, \'die in den teller hebben: x\\ x®\'.........x®"\', de

coëfficiént van x°\' is dus « 1.

co x\'\' ^

Men vindt daarom S t"—^ (a l)x"\'.

1 _ x" r n = l

Verandert men rechts de volgorde der sommatie, dan geeft dit:

f , \'\'\' k = f 1) (X" -f x\'M-...........) =

k-l 1 — X* n = l

co vn

§ 7. Zonder de afleiding te geven heeft Eisenstein\') reeds
vermeld, dal, de reeks van L. getransformeerd kon worden in

\') Transformation» remarquables de quelques séries. Grelles Journal
t 27—28 p. 193-197. 1844.

het quotient van eene oneindige reeks en een oneindig product.
We zullen daartoe eerst het oneindig product van Euler in
eene reeks ontwikkelen en stellen:

P(x.t) = (l-xt) (l-xn) (l-xH)......=

= 1 Alt Aat^ ......mits 1 X |< 1 en 111 ^ 1 .

Maar dan is

(l-xt)P(x.xt) = (l-xt).(l-xn)(l-xn).... = P(x.t).

Substitueert men hierin de machtreeks in t, dan kan men uil
de komende identiteit de coömciënten A bepalen. Men heeft zoo:
(1 _ xt) (1 A, xt Aa xH\'^ .......) = 1 4- Al H- Aa -}- . . .

__x

dus Al X — X = Al of Al--I __ ^

x2 _ x\'__

Aax2-A,x2 = AaofA2 = - -x\')

xk

Akxk —Ak-ixk = AicOfAic= - dus
* .........^

= (l-x)(l -X^).........(1 -x^ ~

xV.Mk 1) _

= _x) d-x\'\').....(l-xk)"

dus (I~xt) (1-xH) (1 -xM).........= l--r^x

1

(, _ x)crr^) i - (t- x) (1 -x\') (1 - x\')
en voor t=l : (1-x) (I -x») (1 - x\')..........=

r-x (1 -x) (1 -x=) - (1 -x) (I - x») (1 - x«)

§ 8. Langs een dergelijken weg is de transformatie van

x •

Eisenstkin te verkrijgen. Nu stellen we f(x. l)= ^YTZla"^

    ......)(i-xO(.-xn)(i-xn)....

\'tkomt er nu maar op aan f(xl) in eene machtreeks naar t

te ontwikkelen en dan t = 1 te stellen. Stel f (x. t) — Go
Git G2t2 03 1^4-.....dan is x (1 — xt) f(x.xt) =

/ x^ \\

dus x(l -xt)f(x.xt)=f(xt)--p^^P{x.t).

Vermenigvuldigt men dit met (1—xt) en substitueert de
reeks voor f(x. t) dan geeft dit:

x(l-xt)MGo C,xt G2xn2 .......) =

(1 - xt) {Go Glt4-C2t2 .......) -

of:

Go (C,x2 - 2Gox2) t   Gox\'\') t\' ....

(Ckx-\' \'-aGk-i xi\' \' Gk-a .....=

Go4-(Gi-Cox)t (G2-Cix) t\'H-.....(Gk-Gk-ix)t\'\' ..

l.4

_ X -J____ f — -^^^-t2 ...

^^ 1-x\' (1 _X)(1-X2)\' .................

(- i)\'"^\'(Tzrx)(i_x2)\'.T.. d-x\'\')^\'........

zoodat Co X = Co — X dus Go = - - - .

1 — X

x\' 2 x=»

(C, - 2 G,) X\' = C, - C, X  of C, = -(!_,)

x\'

(C2 - 2 C, Co) x^ = G2 - G, X - ^^ of

3 X®

^ (1 - X) (1 - X») (1 - X-^)
Dit wekt het vermoeden dat:

n^ (k 1) ......

lA-l- u ........(1 -xk f- 1)

Om dit te onderzoeken, merken we op dat de coöfllciönten
G voldoen aan:

 x^\' i =Gk-Ck-.ix

 (T - x~k)

of aan: Ck(l - (2 x\'^^^- x)-Gk_2

Uit deze betrekking blijkt nu gemakkelijk, dat wanneer
Ck _ 2 en Ck _ 1 den veronderstelden vorm hebben Ck hem
ook heeft en omdat Ci en C2 van dien vorm zijn, zijn het
dus alle coëfficiënten C. Men vindt:

""   -xt) (l-xM).....=

— xt \' 1—xn

/

2x3 3X\'\' 3
t i- Ti ..2\\ ____

i -X (1 -x)(l -x=^)(l-x=\')

4

en t=l stellend en door het product van Euler deelend:

1-X^l-X» • l-x^«^.....

X 2x\' _ _ _ ___

1~~(T-x) -x) (i-x\') (1 -x\'\')" (1 -xj(1 -x^Hi-x^ld-x*)
(T^) (1 - x^) (1 - x=») (1 - x^)........

de transformatie van Eisenstein.

§ 9. Wij zullen nu formules afleiden, die hel verband
tusschen Lamberlsche reeksen met verschillend argument aan-

geven. Zooals bekend is, is L (x) = v -----= v ö(k)x^ -

k=il-x\'^ k=i

Substitueert men in deze gelijkheid achtereenvolgens 1 x, x,

^ x,.....~ \' x, waarbij 1, C\', T • • • • ~ \' wortels

van x^\' — 1 = O zijn, dan vindt men na samentelling:

(5) L (x) x) L . .. ^ x) =
co .

= p X ó (ll p) X want X x", uitgestrekt over do wortels
h=l

van xl^ — 1 = O is O of p naarmate n niet of wel een p-voud

is. Men kan nu altijd S ö (hp) x^P in de som van een eindig
■ h=i

aantal reeksen van L. uitdrukken, waarvan de argumenten
machten van x zijn. We veronderstellen daartoe eerst dat
p = l^- m\'\' waarbij l en m priemgetallen zijn. De getallen h
verdeelen we dan in vier groepen. 1°. de getallen a. die
noch door l noch door m le deelen zijn, 2°. de getallen van
den vorm U, b ondeiling ondeelbaar met m, 3°. de getallen
van den vorm c m, c. o. o. mei /, 4". de getallen van den
vorm dim, waarbij d van 1 tot co loopt. Nu heeft men:

(6) Z Ö ril p) x^P = S ö (a p) x«P Z ö {hip) x^\'P
h = l a b

c d = 1

Ieder getal a is van den vorm A" B\'^ C....... waarbij

A. B. C____ van elkaar en van m en l verschillende priem-
getallen aangeven, dus Q (ap) = (it 1) (/3 1) (r 1).....

1) (A -I- 1).... = (i^ 1) (A 1) Ö (a). Ieder getal b is

van den vorm A" B\'^G^____l^ .... , waarbij p ook nul kan

zijn en A, B, C . ... Z van elkaar en van m verschillende priem-
getallen zijn. Dus, in aanmerking nemend, dat A p 2 =
= 2)_ 1), vindt men ö(b;p) = (« l)

(« -f. 1) (,3 -f 1) (r -f 1).... (p 2).....- A 1) (a 1)

i)(r 1).....1).....= (A 1) i)ó(b/)-

Eveneens ó (cmp) = (a -f 1) 1) ö (6m) - (a 1) Ö (c).

Voor ieder getal d kan men zetten A" B\'^ G^----l^\' m"...

waarbij A. B. G____Lm____weer onderling verschillende priem-
getallen zijn. Neemt men weer in aanmerking, dat men voor
-f- a- 2 een dergelijken vorm als voor A p 2 kan
zetten, dan vindt men O (dimp) = (A 1) {/z 1) (« -f 1) (i3 -j-1)
(7 !)..(; 2) (<r 2)..-(A l)/.U-f l)(/3 l)(r-|-l)..
{^-f2) (<r-f 1)..-A (^x 1) (a-f 1) (/3-f 1) (r 1).. • (i\' 1)
4- 2)... A (« -M) (/3-I- 1) (y 1)... 1) I) • • =
(A 1) (^x 1)Ö idlm) - (A -f 1)ö (dZ) - A 1)Ó (dm) A/Xó(d)

Substitueert men dit in (6) dan vindt men:

E 6 (hp) x^P = (a 1) 1) [Z ö (a) x^P Z ö {bl) x^^P
h=l a b

z 6 (cm) x^\'^P 4- z 6 {dim) x\'^^\'^P] -

c d = l

- a (f^ 1) [Z ö (b) x^\'P 4- Z O (dm) -
b d=l

c d = 1

00

Tusschen de eerste haken slaat niets anders dan Z ö (k) x P\'

k = i

want de eerste term bevat alle termen der som, die behooren
bij waarden van k, die met l en met m onderling ondeelbaar
zijn, de tweede term alles wal behoort bij waarden van k
die een deeler l maar geen deeler m hebben, de derde term
zorgt voor de waarden van k, die wel een deeler m, maar
geen deeler l hebben, terwijl de laatste term die waarden
van k bevat, die door l en door m deelbaar zijn. Evenzoo

staat tusschen de tweede haken Z ö(k)x\'\'\'\'P en tusschen de

k=l

derde Z Ö(k)x\'\'-™P, waardoor men vindt: Z Ö(lip)x^\'\' =
k=l h=l

= (a4-1)(^^4-1) Z ö(k).x\'^\'P-a(/x4-1) Z ö(k)x\'^-\'P
k=l k=l

00 , co \' , ,

-(A4-l)At Z Ö(k)x\'\'-"\'P4-A^ Z ö(k)x\'\'-\'\'"Pofmel(5):
k=l k=l

L (x)4-L(r x)4-L(C» x)4-.....L(CP-^) =

7) (A 4- 1) (^ 4- 1) P L (xP) - A (f. -M) p L (xP^) -

-(a4- l)/=^pL(xP"\')4- a/xpL(x\'\'"P)

Door analoge redeneeringen kan men hot geval behandelen
dal p een product van machten van meer priemfacloren is;
de wel volgens welke hel resultaat gevormd wordl is uil (7)
voldoende le zien. Is p b.v. gelijk aan l^ dan vindt men:

(8) L (x) L (^x) L (C^x) .... L x) =
= (A 1) -f 1) (v 1) pL(xP)- A 1) (. 1) pL (xP^ -
- (A l)^(> l)pL(xP")-(A l)(^ l);.pL(xP")
A (y 1) p L (XP\'"\') -f (A 4- 1) ^ , p L (xP""\')
A 1) V p L (xP"\') - A . p L (xP^""\')-
Bijzondere gevallen zijn:
p = 2 L (x) L (— x) = 4 L (x2) - 2 L (x^)
eene formule, waarmee de waarde van de reeks van I.. voor
negatieve argumenten uit die voor positieve berekend kan
worden.

p = 3. L (x) L (\'/2 (- 1 i 1/3)x) L(\'/2(- 1 -iK3)x) =

= 6 L (x3) - 3 L (x").
p = 4. L (x) L (i x) L (- x) L (- i x) = 12 L (x^) -

- 8 L (x8) enz.

§ 10. Noemen we L (x) L (C x) L (^ x).........

L(CP-^x) = v«\'(p.x) dan kunnen wij met (8) aantoonen,
dat wanneer r een niet op p deelbaar priemgetal is, dal dan

(9) (p r^^ .x) = r/\' \\{p (p. xr^\') -p^piv. x^^\'^ \')J.

Voorloopig nemen we weer aan dat p van den vorm m"
is, dan is: i// (p rr- x) = (A 1) (pt 1) (^ 1) p L {xl^ m/^ rr)
- A 1) (^ 4- 1) p r." L (x\'"^"^\' V) _

- /X (A -f 1) (^ 1) p r/\' L (x\'^ \' r/\') _ ^ j) ^ j) ^^ ^^^^ ^^^ j ^

Dprp 1 \' l)L(x\'^\'" \') _

- A^ p r/\'L  Ir/\' ^\') = r^ (^ 1) [(^ 1) (A 1) pL -

-A^/^ Dp L (A

A p L ((X^O^\'^- 1) (A-f-1) p L ((xr/"^ v^

- ^ (A iS PL ((x--^\' ^ Y\'-" ^ A p L ((x^\'\'V^\' ""\')]
=  waarmede de betrek-

king (9) aangetoond is, dat zij ook geldt, wanneer p een
product van machten van meer priemgetallen is, wordt be-
grijpelijk als men bedenkt, dat iedere term met een factor
(^ 1) in den exponent heeft rp en iedere term met een
factor p in den exponent r/\' i heeft, terwijl de vorming der
andere factoren en exponenten onaniankelijk van r en p is.

§ 11. Wanneer 1......^»p-i de wortels zijn van

x^\'P-1 =0, dan is:

L (x) L x) L x) L x) ... L x) = p x) of
 .... L(-^^P-\'x) = ^(2p.x)-L(.x) -L(-^^x).. .-l(>,»p-»x).

Nu zijn »), .... de wortels van xp 1=0, terwijl
1, ... -^»P-« de wortels zijn van xP— 1 = 0. Hierdoor
vindt men voor de wortels van xp 1=0:

Z L (w x) = (2p. x) - ^p (p. x).

§ 12. Wij zullen nu nog eenige transformaties van Lam-

bertsche reeksen, J^ bk behandelen. Deze conver-

gieren absoluut binnen het convergentiegebied der\'reeks

bk xS mits dit den eenheidscirkel niet bevat, (llfdst. II, § 1).

Voor waarden van x binnen dit gebied mag men dus de
termen m machtreeksen ontwikkelen en deze oj) willekeurige
wijs samenvoegen. Schrija men nu deze reeksontwikkelingen
onder elkaar op en sommeert dan do kolommen, dan vimit men:
x\'\' co 00 00

l^k H- bk V ,,, ^........

* \' * « = I kssl ite-1 .......

00 yk

Daar de reeks bk j—^ absoluut convergeert zullen

oo QQ

alle reeksen bk x""\' convorgoeren. Is nu E bk .x\'\' = g (x)

dan vindt men do transformatie:

^ , x" 00

Door nu voor bk verschillende waarden te nemen volgen
hieruit bijzondere transformaties:

k = l 1 — x\' m = l m = l 1 1" X

. X X^ , X^ _ X X\'\' ,

"M-x-l-x^\'^l-x® .....— l X^"^

Men had dit ook kunnen vinden door uit de reeks van § 4

GO x^k

£ --rr af te leiden en daarna beide kanten van de be-

k = l 1 — X^k

co x^k

doelde reeks met 2 S _ 2k verminderen.

k = 1 1 X

2». bk = k.

00 yk 00 00 X ™

......(1-^

X , X^ , X® ,

-(1_X)2^(1 -X2)2 \' (1 \' .......

30 i3k = {— Men vindt nu:

00 yk CO y"*

of:

1-x 1 - X2 \' 1 - X^».

X , X^ 4.

.....

Telt men deze reeks bij de vorige op dan vindt men:

I, " - " = J, (T-ixSjr Aftrekking geeft

niets nieuws, maar reeks n®. 2

40. bk = r- Nuis 1 (x«" V2 x^\'" \'/s x""-f ...) =
k m —1

= S -log (I -X") dus:

ni = l

1 1 ^^ 1 _

^ T? o" Ï Tb

1—x2^31— x3

= ïoe los rrhr» • • • •

Op deze manier vindt men, dat het oneindig product van
Eulkr met eene Lamberlsche reeks in verband slaat:

fl (,_x») = e

m = l

50. l)lc-li. Nu is Z   =

ra = 1

= 1 logd x»").

m = l

x 1 x2 . 1 x»
dus ::-- — - ::--r-) "r 01--3

1 — x 2 1 — x2 \' 3 1 — x^

= log(l x)(l x2)(l x\').....

Teil men deze en de vorige reeks samen dan vindl men :
co 1 co l-j-x"\'

Aftrekking geeft niets nieuws
G". bk = a\'\' |ax|<l.

co . vk co . . ^ ax

k=l 1 — X" „, = 1 . m = ll—I

a X , a^ x2 , a^ x\'

V \' 1 -r2 \' 1 v3 " • ■ • •

1 _ x ^ 1 _x2 \' 1 -x»

_. a X 2 , a x^ ,

1 — a X 1 — a x 2 1 — a x » •\'\' •

de reeks, waaruil in Ilfdsl. 111 § 9 (21) is afgeleid.

co x*\'

S 13. Door iederen term der Lamberlsche reeks Z bk 7-^—1,
^ k-i 1—x*

te ontwikkelen en dezo reeksen le sommeeren ontstaat de
co

reeks Z a^ x^. De coëfficiönten a hangen natuurlijk met

de coëfficiënten b samen. Nu zal x\'^-slechts in die ontwik-
kelingen voorkomen, die met eene macht van x beginnen,
waarvan de exponent op k deelbaar is. Alle termen van
zoo\'n ontwikkeling hebben als coëfficiënt b met een index
gelijk aan die exponent, waaruit volgt:
(.0) =

Omgekeerd kunnen we ons voorstellen, dat de getallen a
gegeven zijn en dat er gevraagd wordt de bijbehoorende ge-
tallen b te bepalen, dus de betrekking (10) om te keeren.
Dit blijkt altijd en slechts op eene manier mogelijk.

V /k\\