CIRKELCONGRUENTIES
= IN DE RUIMTE =

J. B. H. \'T HART

m.

w-

.. .1\'

, \' - \' _ \' \' »

ƒ

- : -

■ ■ • .W -

Cirkelcongruenties in de ruimte.

Cirkelcongruenties in de ruimte.

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS-
EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-
UNIVERSITEIT TE UTRECHi;^OP GEZAG
VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS DR. W.
VOGELSANG, HOOGLEERAAR IN DE FA-
CULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBE-
GEERTE, VOLGENS BESLUIT VAN DEN
SENAAT DER UNIVERSITEIT, TEGEN DE
BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT DER
WIS- EN. NATUURKUNDE TE VERDEDI-
GEN OP DINSDAG 19 APRIL DES NA-
MIDDAGS 4 UUR DOOR

JOHANNES BERNARDUS HERMANUS \'T HART,

GEBOREN TE \'s-GRAVENHAGE.

. iîtSr

■M

}

•v

V. ■ i!.\'««\'^\'») . \'i-V

■ f»\' y - ■■\'\'A^

AAN MIJN VROUW.
AAN MIJN OUDERS.

• 5\'> r •

Bij het voleindigen van mijn studie denk ik met groote
erkentelijkheid terug aan de lessen, die ik van U, hoog-
leeraren aan de Leidsche Universiteit genoten heb.

In \'t bizonder houd ik Uw persoonlijkheid, hooggeleerde
Kluyver, steeds in aangename en levendige herinnering,
terwijl ik met gevoelens van piëteit de nagedachtenis van
wijlen Prof. zeeman huldig.

Hooggeleerde DE VRIES, hooggeachte promotor, het is
me een behoefte U mijn oprechten dank te betuigen.

Uw korte en bondige toezegging om de leiding van dit
proefschrift op U te nemen, ofschoon ik Uw leerling niet
was, en daarna de opmerkelijke nauwgezetheid en voort-
varendheid, waarmee ge mij bij voortduring Uw steun ver-
leende, hebben op mij grooten indruk gemaakt.

Ik acht mij gelukkig met Uw werkwijze en Uw behan-
deling van de meetkunde van naderbij te hebben kennis
gemaakt.

INHOUD.

niz.

Inleiding.................

hoofdstuk i.

Congruentie van cirkels, die een cirkel m^ twee keer
en twee rechten a en fc één keer snijden.....4

hoofdstuk ii.

Congruentie van cirkels, die twee vlakken a en ß raken
en een rechte rn twee keer snijden.......

hoofdstuk iii.

Congruentie van cirkels door de snijpunten van een
kubische ruimtekromme p^ met de vlakken van een
vlakkenschoof S . ........... \' \' ^

hoofdstuk iv.

Congruentie van cirkels, die een bikwadratische ruimte-
kromme van de eerste soort ß\' in vier punten snijden. 27

INLEIDING.

Een cirkel (O) in de ruimte is bepaald door zes voor-
waarden. Zijn er vier voorwaarden gegeven, dan zullen
daaraan oo2 o\'s of een congruentie van O\'s voldoen.

Het éénmaal snijden van een kromme geldt .voor één
voorwaarde, tweemaal snijden voor twee, driemaal voor drie
en viermaal voor vier voorwaarden.

Zoo is in Hfdst. I de congruentie van O\'s behandeld, die
een O rn^ tweemaal en twee rechten a en 6 éénmaal snijden.

In Hfdst. IV zijn de O\'s behandeld, die een kromme /S\'\'

viermaal snijden.

Het raken aan een vlak of ligging in een vlak, dat door
een bepaald punt gaat. gelden beiden voor één voorwaarde.

In Hfdst. 11 zijn b.v. de O\'s behandeld, die raken aan
twee vlakken a en f3 en die een rechte m tweemaal snijden.

In Hfdst. III zijn behandeld de O\'s, die een kubische
ruimtekromme p^ driemaal snijden en wier vlakken door een
punt S gaan.

Het gaan door een punt geldt voor twee voorwaarden.

Een eenvoudige congruentie zou dus b.v. zijn, de con-
gruentie der o\'s, die door twee vaste punten gaan.

Bovengenoemde voorwaarden kan men op talrijke wijzen
tot viertallen combineeren, zoodat ook talrijke congruenties
zich voor een onderzoek leenen.

Veelal zullen dan echter bij dit onderzoek herhalingen en
analoge afleidingen optreden.

Uit den aard der zaak neemt het oneindig verre vlakVa,
bij het onderzoek der cirkelcongruenties een belangrijke plaats

in, doordat alle O\'s den imaginairen bolcirkel «oo i" Vq^
tweemaal moeten snijden.

Vervangt men den imaginairen bolcirkel door een wille-
keurige kegelsnede dan blijken de cirkelcongruenties slechts
een bizonder geval van congruenties van kegelsneden te zijn.

Op tweeërlei wijzen zijn in de onderzochte congruenties

ontaardingen van ©\'s opgetreden:

10. als twee snijdende rechten, waarvan er één in Vq, ligt;

2». als twee elkaar snijdende isotrope rechten.

Stelt men den eisch, dat een O van een congruentie gaat
door een willekeurig punt, dan heeft men zes voorwaarden.
Het eindige aantal Q\'s, die daaraan voldoen noemt men
de orde.

Stelt men den eisch, dat een willekeurige rechte tweemaal
gesneden moet worden dan voldoen daaraan eveneens een
eindig aantal O\'s. Dit aantal noemt men de klasse.

Singuliere punten zijn punten waardoor oneindig veel O\'s
gaan. Deze vormen een oppervlak, wanneer er od \' doorgaan.

Singuliere koorden zijn rechten, die door oneindig veel

O\'s tweemaal gesneden worden.

Ook deze O\'s liggen op een oppervlak als er oo\' zijn.

Voegt men aan de vier voorwaarden van de te onder-
zoeken congruentie nog een vijfde voorwaarde toe. dan
zullen -aan die vijf voorwaarden co> O\'s voldoen, die dus

een oppervlak vormen.

In alle vier de congruentiegevallen hebben wij het opper-
vlak der G\'s gezocht, die een willekeurige rechte / éénmaal
snijden, of die een willekeurig vlak (p raken.

De middelpunten der O\'s in de congruentie zullen in\'t al-
gemeen op een oppervlak liggen.

Congruenties van O\'s zijn nog weinig onderzocht. In het
verslag van de Koninklijke Academie van Wetenschappen
deel XXVIIl N». 7 blz. 666 van 8 Mei 1920 behandelt
Prof. Dr. Jan de Vries een congruentie van kegelsneden,
die een vaste kegelsnede ß^ tweemaal snijden en die drie
kruisende rechten snijden in overeenkomstige punten van
puntreeksen. waartusschen een trilineaire verwantschap bestaat.

Voorts beschouwt M. PlERI (Sopra alcune congruenze di
coniche, Atti di Torino, t. XXVIII) een congruentie van
kegelsneden, welke als bizonder geval de congruentie der
O\'s omvat, die twee gegeven Q\'s tweemaal snijden.

HOOFDSTUK 1.

Congruentie van cirkels, die een cirkel m^ tvirce keer
snijden en die twee rechten a en t één keer snijden.

§ 1. Algemeene afleiding.

We noemen het vlak, waarin O ni^ ligt, (m.
De snijpunten van een willekeurigen O uit de congruentie
met a en b noemen we A en B en die met m^. C en D.

De verbindingsrechte A B snijdt (x in P en de snijpunten
van a en b met [x noemen we A/j. en B/x.
Er moet voldaan worden aan de betrekking:

paxpb = pcxpd-

D. w. z. dat m2, A en B op een bol liggen.
De meetk. plaats der punten A en B wordt dus gevonden
als de verzameling der snijpunten van a en b met een.bun-
del bollen door m^.

Iedere bol uit den bundel levert twee snijpunten A en twee
snijpunten B. Deze geven vier verbindingslijnen P A B.

De vlakkenbundel door een rechte P A B snijdt den bijbe-
hoorenden bol volgens O\'s. die aan de vraag voldoen.

§ 2. Ontaarde O\'s in de congruentie.

\' a. Beschouw den vlakkenbundel door A// B/x. De onein-
dig verre rechte in ieder vlak uit den bundel, gecombineerd
met A/j, B/, geeft een ontaarden O.
Dit levert dus co \' ontaarde O\'s.

b. Beschouw een rechte door A,, //6 en een vlakkenbundel
door die rechte. De snijlijn van ieder vlak met jx, gecom-
bineerd met de oneindig verre rechte in dat vlak levert

eveneens cen ontaarden O. Op deze wijze weer go\' ont-
aarde O\'s. Evenzoo worden door B^ en a, 00» O\'s bepaald.

c. Noemen we de oneindig verre punten van a en 6 resp.
A^o en .

De vlakkenbundel door A^o snijdt f^ volgens even-

wijdige rechten. Iedere rechte gecombineerd met A^ Boo is
weer een ontaarde O. Op deze wijze krijgen we weer een
stelsel van oo\' ontaarde O\'s.

d. Imaginaire lijnenparen i,j \'der congruentie,
afleiding.

De rechten i, die a, m^ en Wqq snijden vormen een opper-
vlak van den graad 8.

Hiervan splitsen zich twee waaiers af, die de imaginaire
cirkelpunten van m^ tot centrum hebben en op a rusten.
Er blijft dus een oppervlak Ie over.

Door eén punt B op 6 gaan twee rechten j, die op m^ en
Wqo rusten en voorts de rechten, die B met de imaginaire
cirkelpunten van m^ verbinden.

Deze laatsten blijven buiten beschouwing.
De beide rechten j snijden I(, in 12 punten C; snijden
m. a. w. 12 rechten i, waardoor 12 O\'s van de congruentie
bepaald worden, die ontaard zijn in het isotrope lijnen-
paar i, j.

Laten we B de rechte b doorloopen, dan krijgen we een
stelsel van co\' isotrope lijnenparen i, j.

Van welken graad is de ruimtekromme c, die de meetk.

plaats is der punten C?

De rechten i liggen op een lo en de rechten j liggen op
een Je- Hun doorsnede is een kromme van den graad 36,

die bestaat uit:

10. rn^ op beide oppervlakken dubbel; graad 4X2 = 8.

20. Ü)qo " •• " „ ; 4 X 2 = 8.

30. 6 rechten, die rusten op a, 6, m^enwoQ.
40. de kromme c.
Deze laatste is dus van den graad:
36-{8 8 6)= 14.

De kromme is dus een Ch.

We kunnen deze uitkomst verifieeren door de snijpunten
te bepalen van Ch met een vlak « door a.

In Ä liggen 4 rechten i. Elke rechte i snijdt Je in 6 punten,
waarvan 2 op m^ en 2 op Wqo- Blijven dus 2 punten C op
elk dezer 4 rechten i. Dit geeft 8 snijpunten C in a. Op
a zelf liggen 6 punten C, d. z. de snijpunten van a met Je.
Dus totaal 14 punten,

Opmerking.

De kromme cu heeft a en. b tot zesvoudige snijlijnen en
de 6 rechten, die Ie en Je gemeen hebben tot koorden. De
steunpunten van die koorden zijn de snijpunten van ch met
a en b.

§ 3. De orde der congruentie is 4.

De o\'s door een willekeurig punt Q liggen op den bol
door m^ en Q. Deze snijdt de rechten a en b ieder in twee
punten A en B, waardoor vier rechten AB bepaald worden.
De vier vlakken QAB snijden den bol volgens vier O\'s van
de congruentie. De orde is dus 4.

§ 4. De klasse der congruentie is 4.

Door den bollenbundel wordt op a en op 6 een puntenin-
volutie \'bepaald. Projekteeren we deze punteninvoluties door
vlakken, welke door een willekeurige rechte / gaan dan krijgen
we twee projektieve kwadratische vlakkeninvoluties met 4
coïncidenties. Er zijn dus 4 rechten P A B, die / snijden.
De vlakken door l en elke P A B snijden den bijbehoorenden
bol volgens een O van de congruentie, die l twee keer snijdt.
De klasse is dus 4.

§ 5, Hetregelvlak, gevormd door de rechten PA B iseen O4.

Dit volgt rechtstreeks uit § 4, daar de rechte / door 4
rechten P A B gesneden werd. Nog op andere wijze kan
de graad ■Oan dit regelvlak, en dus ook de klasse, worden
afgeleid.

We zoeken het aantal snijpunten van m^ met de meetk.
plaats van P.

Zal P op m^ liggen, dan moet P A B op een bol liggen
van den bundel, dus w^o snijden. Omgekeerd zullen alle
rechten, die m^, Wjo, a en è snijden, een punt P [op m^
leveren.

Het aantal rechten, dat op m^, cc^, a en b rust is gelijk
aan den graad van het regelvlak, gevormd door de rechten,
die op m2, Woo en a rusten.

Een vlak door a snijdt m^ en elk in twee punten,
die vier verbindingslijnen geven. Bovendien is a dubbel-
rechte, omdat door ieder punt van a twee beschrijvenden
gaan. Het regelvlak is dus .van den graad 6, zoodat het
punt P 6 keer op m^ komt. De snijkromme van het ge-
vraagde regelvlak met iJt, is dus een kromme Ook de
rechte A^ B^^ ligt op het oppervlak, doordat het vlak /x met
Vqo een ontaarde bol uit den bundel vormt. Hieruit volgt,
dat de graad van het regelvlak 4 is.

§ 6. Singuliere punten,

a. De punten van

b. De punten van a en b.

c. De punten van B/^ en A^ Boo-

§ 7, Oppervlak van cirkels door een singulier punt.

a. Door een punt M op m^ gaat een Ou.

Bepalen we de doorsnede van het gevraagde oppervlak
met cen bol van den bundel. Deze bol bepaalt vier rechten
A B, dus vier O\'s, die erop liggen cn tot het oppervlak
behooren. Hoeveelvoudig telt m- op den bol, m. a. w. hoe-
veel O\'s gaan behalve door M nog door cen punt N op m^?

Blijkbaar drievoudig, want het oppervlak der O\'s door
de punten M en N, die a in een punt snijden is van den
graad 3 (in elk vlak door M N ligt één O benevens de
rechte M N).

De vlakken van dc O\'s, die door M gaan, omhullen een

kegel van de vierde klasse, waarvan de doorsnede met V^
een kromme van de vierde klasse is.

Uit ieder punt van cc^ kan men dus vier raaklijnen trekken,
waaruit volgt, dat op het gezochte oppervlak viervoudig
is. Op den ból uit den bundel is dus de doorsnede van
den graad; 4X2 3X2 4X2 = 22.

Hieruit volgt, dat het gevraagde oppervlak een Ou is.

b. Door een punt A op a gaat een bol.

Door A gaat één bol van den bundel, die b in twee
punten B snijdt, dus twee rechten AB levert.

Hieruit volgt, dat het gevraagde oppervlak de dubbel-
tellende bol uit den bundel is, die door A bepaald wordt.
Analoog een dubbeltellende bol door een punt B op 6. ^

§ 8. Singuliere koorden.

Iedere rechte P A B.

Want door elke P A B werd een vlakkenbundel gebracht,
die den bijbehoorenden bol volgens ©\'s van de congruentie
sneed.

§ 9. Het oppervlak van de O\'s, die een rechte 1 snijden
is een Aso-

Ie afjeiding,

De graad van het gevraagde oppervlak wordt bepaald
door het aantal snijpunten met een willekeurige rechte p,
D. w. z. door het aantal keeren. dat de snijpunten A, B, L. P
van de gelijknamige rechten met een bol uit den bollenbundel
in een plat vlak liggen. Breng een bol door m^ en een
willekeurig punt P op p.

Deze snijdt a, b en l ieder in twee punten, die acht ver-
bindingsvlakken geven en dus acht snijpunten 11 met p. Zoo
dikwijls P met I I samenvalt, wanneer P de rechte p door-
loopt, hebben we een O van het gevraagde oppervlak.
We onderzoeken dus de verwantschap (P, li).

Bij elk punt P behooren 8 punten 11.

Hoeveel punten P behooren bij één punt 11?

We nemen een willekeurig punt Lq op l aan en duiden
de rechte Lq 11 door q aan.

De bol door Lq en m^ snijdt a en b ieder in twee punten
A en B, zoodat we vier vlakken krijgen door A, B en 11,
die weer vier snijpunten Li met l geven.

We duiden de rechte Lr 11 door r aan.

Doorloopt q een waaier, dan zien we, dat bij iedere q
vier rechten r behooren.

Hoeveel rechten q behooren nu bij één rechte r?

Projekteeren we de puntenparen A en B vanuit r, dan
krijgen we twee vlakkenbundels, die een (2, 2) correspondentie
vormen met 4 coïncidenties.

Er zijn dus vier rechten A B, die een rechte r snijden.

Daarbij behooren vier bollen, die / in acht punten Lj
snijden.

Bij één rechte r behooren dus 8 rechten q.

De waaiers q en r vormen dus een (4, 8) correspondentie
met 12 coïncidenties, d. w. z. twaalf keeren zullen de punten
Lq en Lr samenvallen.

Daarbij behooren twaalf bollen, die de rechten a, b en /
zoo snijden, dat bij eiken bol een drietal snijpunten A, B
en L met II in één plat vlak liggen. Deze twaalf bollen
snijden de rechte p in 24 punten P.

Bij één punt 11 behooren dus 24 punten P.

De verwantschap (P, II) is dus een (8,24).

Er zijn derhalve 32 coïncidenties, dus 32 bollen, dus 32
vlakken, die de snijpunten A, B, L en P op een O hebben
liggen, die m^ in twee punten snijdt. Komt P in Pqq of in
P//, dan is voor beide punten de bijbehoorende bol het
vlakkenpaar /x, Vq^. Maar de vier snijpunten van deze
vlakken met de rechten a, b, l en p liggen niet op een O.

Van de 32 coïncidenties moeten er dus twee afgetrokken
worden. Het gevraagde oppervlak is dus een Aso.

2c afleiding.

We bepalen de doorsnede van het gevraagde oppervlak
met fi.

Hoeveel voudig ligt m^ op A m. a. w. hoeveel O\'s gaan
door een punt M op rn^l

Wij vonden voor het oppervlak van Os, die door M gaan
een Ou. Dit blijkt nog op andere wijze door de doorsnede

met (j. te bepalen.

Het oppervlak der O\'s, die m^ in twee vaste punten M en
N snijden en ook de rechte a snijden is van den graad 3.
In laatstgenoemde doorsnede telt dus m^ drievoudig, Verder
liggen in fj. de G door de punten M, A/. en de rechten
M A^^, M B;, en de doorsnede met fz van een vlak door
M II a en b.

■ De laatste drie rechten maken deel uit van ontaarde O\'s
die tot het oppervlak behooren.

Dat oppervlak is dus van den graad:

3X2 2 (1 1 1)=11-

De rechte / snijdt Ou in elf punten, zoodat er 11 O\'s zijn.
die m2 in M en nog een punt snijden en die a, 6 en / één
keer snijden.

Op het oppervlak A. en in de doorsnede met ^ ligt der-
halve m2 elfvoudig. Verder liggen nog in fx de O door
A/„ B;, en L;,. de rechten A,, B/,, B^, L/^, A^, L/,. en ten
slotte de rechten, die de doorsnede vormen met van vlakken
door A,, II b en l door B,, / / a en l, door L,, H a en t.

Al die rechten maken weer deel uit van ontaarde O\'s.

De totaaldoorsnede met /j, is dus van den graad:

llX2 2 {H- 1 ^1) (1 1 1) = 30.

We krijgen dus een Aao-

Hierop is l koorde van 4 O\'s, die dubbelkrommen van
Aso zijn. Wegens de symmetrie tusschen a, b en I zijn er
dus op Aso twaalf dubbelcirkels.

§ 10. Het oppervlak der cirkels, die aan een vlak Ó raken
is een «Pae-

Brengen we een vlak A door /, dan snijdt dit vlak A30
volgens een doorsnede, waartoe l viervoudig behoort, omdat
de orde 4 is.

Blijft een restdoorsnede A26. die l in 26 punten snijdt.

Alle punten van A26 zijn punten van O\'s, die X voor de
tweede keer doorboren in een punt van l. Beschouwen we
nu den O door één der 26 snijpunten, dan kunnen zich
twee gevallen voordoen.

Ie Het snijpunt van den O met / valt niet met het be-
doelde snijpunt, dat ook op /\'ligt, samen.

2e Het snijpunt valt er wel mee samen.

Valt het er niet mee samen, dan hebben we te doen met
een O, die l in twee punten snijdt. Dit gebeurt vier keer,
omdat de klasse 4 is. Van de 26 punten blijven er dus 18
over, die raakpunten zijn van O\'s op/V30, welke aan A raken.
De raakkromme van o\'s in de congruentie, die aan een
vlak 0 raken is derhalve van den graad 18 en het oppervlak,
dat deze ©\'s vormen is een <I>36.

Op dit oppervlak liggen de rechten a en b viervoudig.
Want breng door een punt A op a een bol uit den bundel.
Deze snijdt b in twee punten Bi en Bj en het vlak (p vol-
gens een O (p^. Trek raaklijnen aan uit de snijpunten
met (p van de rechten A B] en A B^.

Ieder twee raaklijnen, waardoor vier vlakken bepaald
worden, die den bol snijden volgens O\'s, die aan cp raken.

Wat is de doorsnede van <I>j« met het vlak /x?

Vooreerst liggen in /x de beide O\'s door A,^ en B,^, die
aan de doorsnede (fx, Cp) raken.

Voorts de beide rechten door A^^ en B^^ II (fx, (p) en ten
slotte de O tn^ die rt voudig telt. Hieruit volgt:
2 X 2 1 4- H- 2 n = 36.

Dus ni"^ ligt 15 voudig op «l\'ao.

HOOFDSTUK II.

Congruentie van cirkels, die twee vlakken « cn raken
cn een rechte m twee keer snijden.

§ 1. Algemeene afleiding.

De snijpunten van m met « en ^ noemen we resp. A en
B. de doorsnede van ^ en ,3 zij («/3), een vlak door m
noemen we f^ en het snijpunt daarvan met [x (5) geven we

met P aan. ,

Het oneindig verre punt van m zij M^o- De O s van de
congruentie liggen in de vlakken van den vlakkenbundel
In ieder vlak liggen \' O\'s. die aan P A en P B raken
en die dus hun middelpunt hebben op de binnen- en buiten-
bissectrice van Z A P B.

v

§ 2\'. Ontaardingen in de congruentie.

a. Alle rechten in Vq,, die door het punt M«, gaan.
opgevat als dubbelrechten.

b. De isotrope lijnenparen, die hun top hebben liggen

op {x(3) en die rusten op m.

c. De isotrope rechten als dubbelrechten opgevat, die
liggen in de raakvlakken door m aan den imaginairen bol-
cirkel. Dit geeft twee stelsels van oo\' ontaardingen.

§ 3. De orde van de congruentie is 4.

Brengen we n.1. door een- willekeurig punt X een vlak
dan zijn er 4 O\'s. die door X gaan en die P A en P B
raken. Twee ervan zijn reëel, de andere twee imaginair-

Komt X op P A of P B te liggen, dan zijn er twee reëele
dubbeltellende O\'s.

§ 4. De klasse is nul.

Door een willekeurige rechte l kan in \'t algemeen geen
vlak [A gebracht worden.

§ 5. Singuliere koorden.

a. Elke rechte, die m snijdt.

b. De rechte m is een hoofdkoorde.

c. Alle rechten in Vq^.

Deze laatsten snijden n.1. de ontaarde O\'s van § 2 a in
twee samenvallende punten.

§ 6. Singuliere punten.

a. Alle punten van m.

b. De beide punten van den imaginairen bolcirkel bedoeld
in § 2 c.

§ 7. Oppervlak der O\'s door een punt M op m is
een O12.

Ic afleiding.

Door het punt M gaan, in ieder vlak fx, 4 O\'s van de
congruentie. Laten we (x wentelen om m dan ontstaat cen
oppervlak. Hierop komt m viervoudig voor. Door inversie
toe te passen, ziet men n.1. dat er 4 O\'s zijn, die bovendien
door een willekeurig punt N op m gaan. De doorsnede
van het opp. met een vlak ^ is dus van den graad:
4X2 4=12.

2c afleiding.

In een vlak a liggen 4 O\'s, die door M gaan.

Om de veelvuldigheid van m te bepalen, vragen we naar
het aantal O\'s, die behalve door M, nog door een wille-
keurig punt N gaan.

Het opp. der O\'s, die door M en N gaan, en die a raken,
heeft in a. een O p\'^a tot raakkromme, waarvan de straal
r„ bepaald wordt door de betrekking:

A N X A M = r2„.....analoog in (5 een Q p^ ^ :

BM X =

Het opp. der g\'s, die ix raken is nu van den graad 4
en snijdt dus (S volgens een vierdegraadskromme, die met
p\'^13 acht snijpunten heeft.

Vier ervan zijn de dubbeltellende imaginaire cirkelpunten
van a, omdat w op het vierdegraadsopp. tweevoudig voor-
komt.

Er zijn echter geen o\'s mogelijk, die (3 in deze punten
raken, die a raken en die door M en N gaan.

Blijven over 4 snijpunten op dus 4 O\'s, die door M
en N gaan en die a en (3 raken.

Op het gezochte opp. is dus m viervoudig en de door-
snede met fx, van den graad:

4 X 2 4 \\2. Het oppervlak is dus een O12.

§ 8. De o\'s die a in A raken, hebben hun raakpunten
in (3 op een c3.

In een vlak [j, liggen twee G\'s, die <x in A en die (3 in
twee punten C, en Q raken. De punten C, en C2 liggen
op P B zoodanig, daf:

P C, = P C2 = P A.

Behalve Ci en C2 behoort op een rechte PB ook het
punt B tot de gevraagde kromme. Want als /x zoodanig
aangebracht wordt, dat APAB gelijkbeenig is, valt C, met
B samen.

De rechte P B snijdt de gevraagde kromme dus in 3
punten. Deze is daarom een C3.

Het oppervlak door die O\'s beschreven is nu van den graad 6.
Hierop komt A voor als viervoudig punt, want in een vlak
fx liggen twee O\'s, die door A gaan, terwijl de rechte m
op het oppervlak tweevoudig ligt. Er zijn n.1. twee O\'s.
die door een willekeurig punt M gaan en aan (3 raken. Hun
raakpunt in (3 ligt op een cirkelomtrek, waarvan \' B het
middelpunt is en waarvan de straal r volgt uit de betrekking;

r2 = B M\'X B A.

We zien dus, dat in ^en willekeurig vlak (jt, twee O\'s en

de tweevoudige rechte m liggen. Hiermee is de graad 6
van het oppervlak gecontroleerd.

§ 9. Wanneer het raakpunt in x een rechte 1 doorloopt,
doorloopt het raakpunt in [3 een cs.

Een vlak iz snijdt l in een punt L.

In liggen twee G\'s, die x in L raken en (3 in twee
punten Ci en C2 op P B gelegen en zoodanig, dat:
PQ = PC2 = PL.

Het punt B kan zelf ook als raakpunt optreden en wel
van o\'s, die hun raakpunt in « op / hebben liggen. Want
volgens § 8 correspondeert met het raakpunt B in /3 een
kromme C3 in x, die / in 3 punten snijdt.

Op de rechte P B in ^t^ liggen dus 5 punten van de ge-
vraagde kromme w.o, het drievoudige punt B. Deze kromme
is dus een C5, die door het snijpunt van / met {x (S) gaat.

Het door de rakende o\'s gevormde oppervlak is van den
graad 10.

Een willekeurige rechte k in ^ snijdt c^ in 5 punten.

Van de congruentie van O\'s, die een vlak x in de punten
van een rechte l en een vlak /3 in de punten van een rechte
k raken, zijn er dus 5, die een rechte m twee keer snijden.
Van die congruentie is derhalve de klasse 5.

§ 10. Het oppervlak der O\'s. die m raken is een Oio.

In een vlak fu, liggen vier O\'s, die aan de voorwaarde
voldoen, n.1. de in- en aangeschreven G\'s van A P A B.
Bovendien ligt m tweevoudig op het oppervlak, waaruit de
graad 10 volgt.

Dat m tweevoudig is, volgt uit de afleiding van het aan-
tal O\'s, die in een punt M aan ni raken.

Ic afleiding.

Inverteer de figuur t.o. van M. De vlakken « en /3 gaan
dan over in bollen door M. De gevraagde O\'s zullen
overgaan in rechten // m, die de bollen moeten raken. De
rechte m blijft een rechte m door M. We beschouwen het
punt Mqo op m. De rechten uit M^o, die de bollen x en (3 raken

liggen op twee cilinders, die x en (3 omhullen. Hun door-
snede bestaat uit twee eindige rechten en uit de twee raak-
lijnen. die men in V^ uit M^ aan co^ kan trekken. De twee
eindige rechten teruggeinverteerd gaan over in O\'s. die m in
M raken en die a en fi raken.

2e afleiding.

De raakpunten A\' van de gevraagde o\'s met het vlak
moeten liggen op een cirkelomtrek, waarvan het middelpunt
A is en waarvan de straal AA\' = AM. Evenzoo een analoge

O in j3 met straal B B\' = B M.

In het vlak waarin een gevraagde © ligt moet nu verder
PA\' = PB\' zijn. Slaan we de vlakken a en ^ om hun
doorsnede {« (3) neer in een plat vlak. dan kunnen we vragen
naar de meetk. plaats der middelpunten van de © \'s. die aan
de G\'s A\' en B\' raken. Deze meetk. plaats is een kegel-
snede. welke door {x (3) in twee punten gesneden wordt.
Hierdoor worden twee vlakken bepaald, dus twee O\'s. die
m in M en die x en (3 raken.

§11. Hetoppervlak van de O \'s, die een vlak(p raken, is een<1^32.

Het vlak Cp snijdt m in een punt M.

Door M trekken we een rechte fin Ó. Van de raakkromme
in 0 bepalen we het aantal snijpunten met f Brengen we

het vlak fx door f en m.

Door een willekeurig punt F op ƒ gaan vier O s van de
congruentie, die dus in (x liggen. Zij bepalen op F vier
snijpunten G. Omgekeerd bepaalt ieder punt G vier snijpunten
F op f De punten F, G vormen dus een (4,4) correspon-
dentie met 8 coïncidenties.

Er zijn derhalve 8 o\'s in [x, die aan f raken en die dus

aan (p raken.\')

Van de 8 coïncidenties op f worden er 4 geleverd door dc in- cn
aangeschreven O\'s van den A. gevormd door de rechten PA.-PB cn f.
De andere 4 vallen samen in het oneindig verre punt van f d. i. Faj.

Denken ^ve ons n.1. de G\'s van de congruentie, die door F^j gaan. dan
correspondeeren daarmee 4 punten G op f. De 4 O\'s door en telkens
één der punten G moéten nu ook gaan door de beide imaginaire cirkclpunten

Dit levert 8 snijpunten van de raakkromme in Q met f.
Bovendien telt M als achtvoudig snijpunt mede.

We hebben n.1. in § 7 afgeleid, dat het oppervlak van
de o\'s, die tot de congruentie behooren en door een punt
M gaan, een O12 is.

In fx liggen 4 O\'s van dit oppervlak (orde is 4), die door
de rechte ƒ behalve in M in nog 4 punten gesneden worden.
Het punt M is dus achtvoudig punt op O12, dus 8 raaklijnen
uit M aan de doorsnede van O12 met (p, dus 8 O\'s, die aan
d) raken.

We zien derhalve, dat het aantal snijpunten van de raak-
kromme in (p met de rechte f zal bedragen: 8 8 = 16. \'

Deze raakkromme is dus van den graad 16 en het opper-
vlak, dat door de rakende O\'s gevormd wordt, is een cl>32.

§ 12. Het oppervlak der O\'s, die een rechte l snijden is
een A20.

We zoeken de doorsnede van het oppervlak A met een
vlak [j,. dat / in een punt L snijdt.

Er zijn 4 o\'s, die door L gaan, omdat de orde 4 is.

In [j, ligt nu ook nog de rechte m. die 12 voudig tot het
oppervlak behoort. Want het oppervlak O12 van § 7, wordt
in 12 punten door / gesneden.

In het vlak ix is dus de doorsnede van den graad:
4X2 12 = 20.

Het gevraagde oppervlak is dus A20.

Snijden we A20 met een vlak A door /.

De doorsnede is nu van den graad 20. waartoe / vier-
voudig behoort, omdat de orde 4 is.

Blijft over een kromme van den graad 16, die / in 16
punten snijdt. Daar de klasse nul is, zal elk van de 16 snij-
punten raakpunt zijn van een O, die aan A raakt. Deraak-

van H< zoodat zc alle 4 moeten ontaarden in dc dubbeltellende oneindig
verre rechte van //. Dc 4 punten G vallen dus met F« samen.

Laten wc// den bundel doorloopen. dan wordt in V„ dc waaier met
M, als middelpunt uitgesneden. Hieruit volgt, dat 8 voudig tot \'/\'„
behoort.

kromme van de O\'s, die aan een vlak <p raken is derhalve
van den graad 16 en het oppervlak door die O\'s beschreven
is een 4>32 (zie § 11).

§ 12. Het oppervlak der middelpunten van de Q\'s in
de congruentie is een regelvlak Mi,

We bepalen weer de doorsnede met een vlak

Daarin liggen de deellijnen d\\ en di van ^ A P B als
meetk. plaats van middelpunten.

De rechte m telt in jx tweevoudig.

Noemen we n.1. de snijpunten vnn d\\ en d2 met m resp.
Dl en D2, dan bepaalt ieder vlak (x één puntenpaar Di en
D2, maar elk puntenpaar Di en D2 bepaalt twee vlakken

De bol met Di D2 tot middellijn snijdt n.1. {x (3) in twee
punten P. Daarom is m tweevoudig en de doorsnede van
het gevraagde oppervlak met (x van den graad: 1 1 2 = 4.

Op dit oppervlak ligt {a (3) dubbel, want door ieder punt
P gaan twee beschrijvenden di en c/2.

Brengen we het vlak [x // {x (3) aan, dan is di de rechte,
die AB halveert en // {cc (3) loopt, terwijl d^ de oneindig-
verre rechte in dat vlak is.

De restdoorsnede van het vierdegraadsoppervlak met Vqo
is een niet ontaarde derdegraadskromme. Dit blijkt b.v.
door die kromme vanuit B te projekteeren. We krijgen dan
een kegel, die het vlak oc volgens een niet ontaarde C3 snijdt.

In § 2a noemden we de rechten in Vq^ door Mq^ als
ontaarde 0\'s. Als middelpunt van zoo\'n dubbeltellende
rechte, kan ieder punt van de rechte zelf gelden. Zoo op-
gevat behoort ook Vg, nog tot de meetk. plaats der middel-
punten.

HOOFDSTUK III.

Congruentie van cirkels door de snijpunten van een

kubischc ruimtekromme p^ met de vlakken van een
vlakkenschoof S.

§ 1. Algemeene afleiding.

Een willekeurig vlak door het punt S snijdt p^ in de punten
A,\'B en C. De O door die punten behoort tot de congru-
entie. De vlakken van de schoof S snijden op p^ een P3 uit
en deze involutie heeft een neutraal puntenpaar Ni, N2. d.z.
de snijpunten van de bisekante door S met

§ 2. Ontaardingen.

a. Noemen we de drie snijpunten van p"^ me^ V^ resp.
R,. R2. R3.

Een ylak a door S en één dier punten snijdt p^ in nog
twee eindige punten. De bisekante, die ze verbindt vormt met
de rechte (a, Vqo ) een ontaarde O van de congruentie. We
krijgen aldus 3 stelsels van co \' ontaardingen.

b. Beschouw de bisekanten, die rusten op

Een vlak door een bisekante en door S snijdt p\'^ in nog een
punt C. De bisekante aangevuld met de isotrope rechte door
C in dit vlak vormt een ontaarding. Dit geeft go2 ontaar-
dingen.

§ 3. De orde van de congruentie is 3.

Denken we een punt P buiten p^ en een O door P, die
tot de congruentie behoort. Deze G bepaalt dan met p^ een
kwadratisch regelvlak.

Op elke hyperboloïde door P en p^ liggen nu 6 Os. die
door P gaan. De hyperboloïde snijdt n.1. V^o volgens een
kegelsnede, die door Wqo in 4 punten gesneden wordt.

Deze 4 punten geven 6 verbindingslijnen en de vlakken
door elk daarvan en door P geven een cyclische doorsnede.
Laten we de door P en p"^ bepaalde hyperboloïde een bun-
del doorloopen, dan omhullen de verbindingslijnen in
een kromme van de derde klasse

Want door elk punt van u^d ga^n ^ van de genoemde
verbindingslijnen.

Door het oneindig verre punt van S P trekken we de ,3
raaklijnen aan \'y^ waardoor 3 hyperboloïden uit den bundel
bepaald worden. De vlakken door S P en die raaklijnen snijden
de bijbehoorende hyperboloïde volgens O\'s. De orde is dus 3.

§ 4. De klasse is één.

In het vlak door S en een willekeurige rechte /, ligt één
Q van de congruentie.

§ 5. Singuliere punten.

a. Elk punt van p^.

b. De punten van Wqo-

c. Het punt S.

§ 6. Singuliere koorden.

Alle rechten door S.

§ 7. Oppervlak van O\'s door een singulier punt.

a. De o\'s door een punt P van p^ liggen op een O5.

In elk vlak door S P ligt één O. De rechte S P ligt drie-
voudig op het oppervlak, omdat de orde 3 is.

In zoo\'n vlak is dus de doorsnede van den graad 5 en het
gevraagde oppervlak is dus een O5.

Hierop Jigt /j^ enkelvoudig.

Ook Wqo ligt er enkelvoudig op, want door P, S en een
punt Q op Wao wordt één vlak. dus één O bepaald.

De restdoorsnede van O5 met V^o bestaat uit 3 rechten
n.1. door het oneindig verre punt van S P en door resp. Ri,
R2 en R3.

Een willekeurige rechte door P snijdt het oppervlak in
nog een punt. zoodat P viervoudig punt is en O5 dus een
monoïde.

Daar de rechte SP drievoudig is. moeten op O5 nog
5X4 — 32=11 rechten liggen, die door P gaan.

Daartoe behooren:

1°. De drie bisekanten door P in de vlakken door S P en

resp. Ri, R2. R3-

2". Vier isotrope rechten, verkregen door den imaginairen
bolcirkel vanuit P te projekteeren. De kegel wordt door.p^
in nog 4 punten gesneden, wat 4 imaginaire bisekanten levert.
Deze worden aangevuld met de isotrope rechte telkens in
een vlak door S en één dezer bisekanten en gaande door
het snijpunt van zoo\'n vlak met p^.

30, Alle bisekanten, die S P snijden vormen een kwadratisch
regelvlak, dat door oJqo in 4 punten gesneden wordt. Door
die 4 snijpunten worden 4 bisekanten bepaald, die aangevuld
kunnen worden met de isotrope rechten door P in de vlak-
ken door S en resp. elk der 4 bisekanten.

b. De o\'s door een punt I op Wa, liggen op een I5.

In elk vlak van den vlakkenbundel S 1 ligt één O.

De rechte SI is drievoudig, omdat de orde 3 is. De door-
snede van het oppervlak met een vlak uit den bundel is dus
van den graad 5. dus het oppervlak cen I5. Op I5 ligt
enkelvoudig evenals p^.

De restdoorsnede met V^o zijn de rechten door 1 cn resp.

R,. R2. R3.

Het punt I is viervoudig punt cn dus het oppervlak cen
monoïde. Daar S I drievoudig is liggen weer: 5 X 4 — 3^ = 11
rechten op I5, die door I gaan. Deze zijn:

1°. Het bovengenoemde drietal.

2°. De bisekante van 1.

Breng een vlak door S en de bisekante van I. Dit snijdt

en p^ elk in nog een punt. De bisekante, aangevuld met
de verbindingslijn van die twee punten geeft een ontaarden
O van het oppervlak.

4°. De bisekanten, die S I snijden, vormen een regelvlak
van den graad 4. Want S I ligt er enkelvoudig op en een
vlak door SI snijdt p^ in drie punten, wat drie bisekanten^
levert. Dit oppervlak wordt door o; j» in I en nog 7 punten
gesneden, waardoor 7 bisekanten bepaald worden. In de
vlakken door S en elk dier bisekanten, krijgen we als aan-
vulling de isotrope rechten door I en het snijpunt van zoo\'n
vlak met p^. Dit geeft dus nog 7 rechten door I.

c. De o\'s door S liggen op een

Ie afleiding.

Een O van de congruentie door S bepaalt met p^ een
hyperboloïde uit den bundel, die door p^ en S bepaald wordt.
Op iedere hyperboloïde liggen 6 O\'s. die door S gaan.
Hoeveel snijpunten heeft nu een rechte / met het gevraagde
oppervlak?

Een punt P op / bepaalt één hyperboloïde uit den bundel,
waarop 6 cyclische doorsneden door S liggen. De vlakken
daarvan snijden / in 6 punten Q. Door het oneindig verre punt
van S Q kunnen we 3 raaklijnen aan de kromme trekken,
waardoor 3 hyperboloïden uit den bundel bepaald worden,
die / in 6 punten P snijden. De correspondentie (P, Q) op /
is dus (6.6) met 12 coïncidenties.

Vallen P en Q samen, dan hebben we een O, die door
S gaat en / snijdt. Er zijn dus 12 o\'s. die / snijden. Het
oppervlak is dus een

2e afleiding.

We bepalen de doorsnede van het gevraagde oppervlak
met een hyperboloïde uit den bundel.

Op de hyperboloïde liggen 6 cyclische doorsneden door S.
De kromme p^ ligt er drievoudig op. Want neem een punt
P op p\'^, dan kunnen we door het oneindig verre punt van
S P drie raaklijnen aan trekken.

Ook de bisekante S Ni N2 ligt er drievoudig op, want

deze kan drievoudig als ontaarding beschouwd worden en
moet daartoe telkens aangevuld worden met de rechten door
het oneindig verre punt van S Ni N2 en resp. Ri.Ra, R3.
De doorsnede is dus van den graad: 6X2 3X34-3 = 24.

Het oppervlak is dus een V12.

Behalve /J^ ,en de bisekante door S ligt ook Wqo drievoudig
op het oppervlak, omdat door een punt I op weer drie
raaklijnen aan te trekken zijn.

De restdoorsnede van het oppervlak met V^ bestaat uit
de drie rechten in de tweede afleiding vermeld en uit de
bisekanten van p^ in Vqo. Deze laatsten aan te vullen met
de rechten door S en het snijpunt met p^ van elk der drie
vlakken door S en één dezer drie bisekanten.

Door het oneindig verre punt van een willekeurige rechte /
door S kunnen we weer drie raaklijnen aan trekken,
zoodat / door drie O\'s van het oppervlak gesneden wordt.
Dus S is 9 voudig punt op X12.

•§ 8. Oppervlak van G\'s door een singuliere koorde.

a. Door de koorde S Ni Na wordt een O5 bepaald.

In een willekeurig vlak door SN1N2 ligt een O. De
koorde ligt zelf drievoudig op het oppervlak, omdat ze aan-
gevuld kan worden met de rechten door haar oneindig verre
punt en resp. Ri,R2. Rs-

De doorsnede is dus van den graad 5.

Op O5 liggen p^ en Wqo enkelvoudig.

De punten Ni en Na zijn viervoudig, zoodat het opper-
vlak een dimonoïde is. Door elk dezer punten moeten
daarom 2 (5 ^ 1) = 8 rechten gaan.

Projekteer coco vanuit N]. De kwadratische kegel wordt
door p^ in nog 4 punten gesneden, waardoor 4 beschrijvende
imaginaire rechten bepaald worden.

In het vlak door S en elk dier rechten beschouwen we
een tweede isotrope rechte door Na.

Dit geeft dus twee viertallen resp. door N| en Na.

Door woo ook vanuit N2 te projekteeren krijgen we nog
twee viertallen.

b. Door een rechte /, door S gaande, wordt een O5
bepaald.

In elk vlak door l ligt één O.

De rechte / is drievoudig, omdat de orde drie is.

Het oppervlak is dus van den graad 5.

Hierop liggen p\'^ en u^s enkelvoudig.

In Voo liggen als restdoorsnede de rechten door het on-
eindig verre punt van l en resp. Ri,R2.R3.

Als / p^ snijdt, is O5 een monoïde.

§ 9. Het oppervlak der O\'s, die een rechte l snijden is
een A22-

We bepalen de doorsnede mét het vlak S /.

Daarin ligt een O, die l twee keer snijdt en daarom dubbel
is te tellen. De rechte l ligt er drievoudig in, omdat de
orde drie is.

Voorts ligt er nog een restkromme in, waarvan we den
graad bepalen door het aantal snijpunten met een rechte
SP, waarbij P op l ligt. Door P gaan drie o\'s van dc
congruentie, die dus S P in drie punten snijden.

Het oppervlak van de O\'s, die door S gaan was een ^il 12
(§ 7. c) dus S is een 12 voudig punt. De restkromme is
daarom van den graad:

12 3=15 en de totaaldoorsnede in vlak SI:

2X2 3 15 = 22.

Het gevraagde oppervlak is dus een A22-

Op A22 ligt p^ vijfvoudig, omdat het oppervlak der o\'s,
die door een punt P van gaan een O5 was (§ 7. a). Dc
bisekante S Ni N2 snijdt het oppervlak in de punten S, Ni, N2,
die resp. 12 voudig, 5 voudig en 5 voudig zijn, waarmee
de graad 22 van A22 nog gecontroleerd wordt.

Ook Wco ligt vijfvoudig op A22 (§ 7. b).

De restkromme in V^ is van den graad 12 en bestaat uit:

1°. De drie rechten door Lqo op/en door resp. Ri,\'R2. R3.

Als ontaardingen zijn deze rechten aan te vullen met de
bisekante in het vlak door S en door elk dier \'rechten.

2°. De drie bisekanten van p^ in V^.

Aan te vullen met een rechte in de vlakken door S en.
resp. elk dier bisekantén. Zoo\'n vlak snijdt p^ en /; de
verbindingslijn dier snijpunten is de aanvulling.

30. Trekken we een rechte S Ri. De bisekanten, die
deze rechte snijden vormen een hyperboloïde, die door l in
twee punten gesneden wordt.

Daardoor zijn twee bisekanten bepaald, die aangevuld
worden met de snijlijn van V^ met een vlak door S en
zoo\'n bisekante.

Dit geeft ons nog:

3X2 = 6 rechten.

We hebben hiermede tevens de 5 rechten aangewezen
door elk der punten Ri, R2. R3 in V^c > want p^ was vijfvoudig
op A22-

§ 10. Het oppervlak der Q\'s, die een vlak O raken is
een <^34-

Brengen we door de rechte / van § 9 een vlak a, dan
wordt dit door A22 gesneden volgens een kromme van den
graad 22. Hiertoe behoort / drievoudig, omdat de orde 3 is.

Blijft over een kromme van den graad 19, die / in 19
punten snijdt. Hiertoe behooren de twee snijpunten van
een O, die / snijdt, daar de klasse 1 is.

Dus nog 17 snijpunten op /, in welke punten het vlak a
door G\'s geraakt wordt. De aanrakingskromme van de O\'s,
die aan een willekeurig vlak cp raken is dus van den graad 17
en het oppervlak gevormd door die O\'s is een <1)34.

§ 11. Het oppervlak van dc middelpunten der O\'s in dc
congruentie is een Mm-

We bepalen het aantal snijpunten van dit oppervlak met

de rechte S Ni N2.

Het midden van Ni N2 is viervoudig punt. Want de bol.
die Nl N2 tot middellijn heeft, snijdt p^ in nog 4 punten.

Het oneindig verre punt van S Ni N2, dat drievoudig is
te tellen, laten we voorloopig buiten beschouwing.

Het punt S is 10 voudig punt. Nemen we n.1. een wille-

•keurig punt P op p^ aan en brengen we een bol aan door
P met S tot middelpunt, dan zal \'deze p^ in nog 5 punten

snijden. We kun\'nen vlakken aanbrengen door P

en twee dier snijpunten. Laten we P de kromme p^ door-
loopen, dan omhullen die vlakken een kromme van de lO^e
klasse.

Door het punt S gaan dus 10 van die vlakken, zoodat S
tien keer als middelpunt optreedt. Het aantal snijpunten
van het oppervlak met S N, N2 is dus; 10 4 = 14, waarmee
de graad van Mu bepaald is.

kan drievoudig opgevat worden als meetk. plaats
van middelpunten van ontaarde o\'s.

Brengen we n.1. een vlakkenbundel door SRi,dan snijdt
deze Vgo volgens een waaier door Ri-

Iedere rechte daarvan kan aangevuld worden met de
bisekante in het bijbehoorende vlak.

Hetzelfde geldt voor R2 en R3.

Het oppervlak Mi4 wordt overdekt door een stelsel van

00 2 krommen C5.

Denken we een rechte / door S en een vlak daardoor,
dan liggen, behoudens het tienvoudige punt S nog 4 middel-
punten van g\'s op /.

In \' het vlak ligt nog één middelpunt, en wel van den 0
in dat vlak. dus krijgen we behoudens S nog 5 middelpunten
daarin.

Doorloopt het vlak een bundel om /, dan zullen die middel-
punten een C5 doorloopen. Het punt S telt niet mee als
middelpunt, omdat er 10 O\'s met S tot middelpunt zijn. wier
vlakken in het algemeen niet tot den bundel behooren.

De middelpunten der G\'s op het oppervlak O5 van
§ 8. a liggen op een vlakke kromme C5 op Mh- Want in
ieder vlak door S Ni N2 ligt één middelpunt. Voorts is
het midden van Ni N2 een viervoudig punt dus de middel-
punten van O5 liggen op een vlakke kromme Cn in het middel-
loodvlak van Ni N2.

HOOFDSTUK IV.

Congruentie van O\'s, die een bikwadratischc ruimte-
kromme van dc eerste soort in vier punten snijden.

§ 1. ^Algemeene afleiding.

De kromme ß\'* bepaak een bundel kwadratische opper-
vlakken. Elke O op een kwadratisch oppervlak snijdt (3*
in vier punten. Omgekeerd zal een kwadr. oppervlak, dat
een O in nog een punt buiten ß* snijdt, dien O geheel be-
vatten. Hieruit volgt, dat de O\'s van de congruentie de
cyclische doorsneden zijn van den bundel hyperboloïdendoor ßK

§ 2. Ontaardingen.

a. Elk van de 6 bisekanten in Va,, aangevuld met een
bisekante. die daarop rust.

Deze laatsten vormen een paraboloïde.

Dit geeft 6 stelsels van go\' ontaarde O\'s. die op de drie
paraboloïden van den bundel liggen.

b. Op elke hyperboloïde H^ liggen 12 ontaarde O\'s van
isotrope lijnenparen. Want door elk van de 4 snijpunten
met w^o gaan twee isotrope rechten op de hyperboloïde ge-
legen en behoorende tot de twee stelsels rechten op H^.

Een isotrope rechte van een stelsel kan men combineeren
met de drie isotrope rechten van het andere stelsel door de
andere drie snijpunten. De middelpunten van deze isotrope
lijnenparen zijn de navelpunten van H^.

Bovengenoemde ontaardingen vormen een oppervlak van

den graad 16.

Gaan we n.1. de doorsnede met V^ na, dan ligt a^ er
dubbel op, omdat door elk punt twee isotrope rechten gaan.
terwijl de zes bisekanten in V^, ook dubbel tellen, daar ze
00^ twee keer snijden.

De umbilikaalpunten vormen hierop een kromme nse. De
snijpunten, met V^^ zijn n.1.:

Ie De snijpunten, waarin elke bisekante in V^ door Wqo
gesneden wordt, elk dubbelgeteld. omdat de twee raakvlak-
ken door zoo\'n bisekante aan het bijbehoorend kwadratisch
oppervlak samenvallen.

2e De 6 punten, waarin co^^ door een kegelsnede van den
bundel in V^o aangeraakt wordt, elk dubbelgeteld.

Er zijn 6 van die kegelsneden, omdat r^ de kromme
6 keer raakt (zie Hfdst. III § 3).

Deze 6 punten zijn de dubbelpunten van een I4.

3e De raakpunten met Voo van de drie paraboloïden.
viervoudig geteld. We kunnen n.1. de umbilikaalpunten van
elk oppervlak opvatten als de raakpunten van raakvlakken,
die twee aan twee door elk der 6 rechten in gaan. Bij
een paraboloïde is nu V^ zelf raakvlak en het raakpunt
ligt in het snijpunt van het bijbehoorende lijnenpaar inV^^.
Door elk van de 4 andere rechten in V^ gaat nu één raak-
vlak door dat snijpunt en dit is dus V^o zelf. Daarom is dat punt
viervoudig als umbikaalpunt te tellen; zoo zijn er drie. Het
totale aantal umbilikaalpunten in Vco is dus:

6X2 6X2 3X4 = 36.

Uit den graad van nse volgt, dat er op elke H^ dus 72
navelpunten liggen. Twaalf ervan zijn specifiek voor het
oppervlak; de andere 60 moeten dus op liggen.

§ 3. De orde van de congruentie is 6.

Door een punt P is één hyperboloïde bepaald en deze
heeft 6 cyclische doorsneden, die door P gaan (zie Hfdst. III
§ 3). De orde is dus 6.

§ 4. De klasse van de congruentie is 3.

De vlakken, die de O \'s van de congruentie bevatten, raken

Door een raaklijn aan kan men n.1. een vlakkenbundel
brengen, die de bijbehoorende H^ volgens evenwijdige cyclische
doorsneden snijdt.

Door een willekeurige rechte l gaan nu drie raakvlakken
aan waardoor drie G; \'s van de congruentie bepaald worden
als snijkrommen met de hyperboloïden, die bepaald worden
door de raaklijnen aan 7^ in V^ en in die vlakken.

De klasse is dus drie.

§ 5. Singuliere punten in de congruentie.

a. De punten van 13*.

b. De punten van Wqq.

§ 6. Singuliere koorden.

De raaklijnen van 7\'.

§ 7. Oppervlak van O\'s door een singulier punt.

a. Door een punt P van (3* gaat een B12.

We bepalen de doorsnede van dit oppervlak met een H^
uit den bundel. Deze bestaat uit 6 O\'s door P op H^ en
uit /3^ die drievoudig is te tellen.

Want als Q een willekeurig punt op (3* is, dan is P Q
koorde van 3 O\'s (klasse is 3). De doorsnede is dus van den
graad:

5X2 3X4 = 24 en dus het oppervlak van den graad 12.

Behalve (3* ligt ook cc^ er drievoudig op, wat eveneens uit

de klasse volgt.

Het punt P ligt als negenvoudig punt op B,», omdat iedere
rechte door P nog slechts drie punten van het oppervlak
bevat (klasse). De restdoorsnede met Vqo bestaat uit de 6
rechten in Voo en dezen worden als ontaardingen van O\'s
aangevuld met de bisekante in het vlak door P en elk dier
rechten.

Er gaan dus 6 rechten door P op het oppervlak.

b. Door een punt I van u^ gaat cen Lh.

Door het punt I is n.1. een H^ uit den bundel bepaald en

hierdoor gaan drie stelsels van coi cyclische doorsneden,
die elk H^ overdekken.

Het oppervlak is dus een H^ uit den bundel.

§ 8. Het oppervlak der O \'s door een singuliere koorde is een K^.

Een raaklijn aan bepaalt een H^.

De vlakkenbundel door die raaklijn snijdt H^ volgens
cyclische doorsneden.

• Ook het oppervlak K2 is dus een H^ uit den bundel.

§ 9. Het oppervlak van O\'s, die een rechte l snijden is een

Trekken we door een punt L op / een bisekante
Deze snijdt het gevraagde oppervlak in de punten A en B
als snijpunten met (3*. verder in het punt L en in nog een
aantal punten P.

Op het oppervlak ligt /S" twaalfvoudig (zie § 7a) en l
zesvoudig (orde is 6).

Stel nu, dat door een punt P op 6 ook een O gaat.

De hyperboloïde H^. die door en deze O bepaald wordt,
bevat dan ook b.

Stel verder, dat H"-^ de rechte / in nog een punt Q snijdt,
dan gaan er 6 O\'s door Q op H^, die dus 6 in 6 punten
P snijden.

Het totale aantal snijpunten op t is nu:

2 X 12 6 6 = 36.

Het oppervlak is dus een Ase-

Uit de afleiding blijkt, dat /S" er twaalfvoudig en / er
zesvoudig op ligt.

Ook Wqo ligt er zesvoudig op (zie § 7b).

De restdoorsnede met Vqo bestaat uit:

Ic De 6 bisekanten in Vqo. die dubbel tellen, omdat de
aanvulling van elk daarvan bestaat uit de bisekanten op een
paraboloïde, die l twee keer snijdt.

2e Door een punt P is een H\' bepaald en daarop 6
cyclische doorsneden door P. Analoog daarmee is door het
oneindig verre punt L^, van l ook een H^ bepaald en daar-
door gaan eveneens 6 cyclische doorsneden. De vlakken

daarvan vallen samen met omdat ze door elk der 6

verbindingslijnen van de vier snijpunten op Wqo met dat
kwadratisch oppervlak gaan en door L;,^-

De 6 cyclische doorsneden zijn nu niets anders dan de
oneindig verre kegelsnede van het kwadratisch oppervlak 6
keer geteld.

De totaal doorsnede van /Vab met \'V^ is dus van den graad:

6X2X2 6X2 = 36.

§ 10. Het oppervlak der O\'s, die een vlak cj) raken is een <1)48.

le afleiding.

Een vlak X door l snijdt Aae volgens een kromme, waartoe
l zesvoudig behoort en die dus / in 30 punten snijdt. Van
die snijpunten zijn er 6, die tot de 3 O\'s behooren, die /
snijden (klasse is 3).

Er treden dus 24 punten van / op als raakpunten van
o\'s, die aan A raken. De raakkromme van het oppervlak
der o\'s, die aan een vlak 0 raken is dus van den graad 24
en het oppervlak is een <1>48-

2c afleiding.

We kunnen het oppervlak <I> ook onafhankelijk van A36
vinden.

Een vlak 0 snijdt de oppervlakken H^ volgens kegelsneden,
die een bundel vormen. Op elke kegelsnede liggen:

6X2=12 punten, waarin een O op de bijbehoorende
hyperboloïde het vlak <!> raakt.

Dc cyclische doorsneden liggen n.1. in zes vlakkenbundels
in elk waarvan twee vlakken aan de kegelsnede raken. Dc
andere snijpunten van de raakkromme in <p kunnen alleen
liggen in de basispunten.

Uit § 7a volgt, dat er in elk basispunt 9 O\'s zijn, die
aan cp raken, zoodat het totale aantal raakpunten op een
willekeurige kegelsnede is:
6X2 4X9 = 48.

De raakkromme is dus van den graad 24, dus het opper-
vlak is een (hs-

Uit deze laatste afleiding blijkt tevens, dat er negen-
voudig op ligt.

telt zesvoudig. Want alle O\'s door een punt I van
Wqo zijn de doorsneden van een kwadratisch oppervlak met
drie stel evenwijdige vlakken.

Elk stel heeft twee vlakken, die raken aan de doorsnede
van dat kwadratisch oppervlak met (p.

De restdoorsnede met Vq^ bestaat uit:

le De twee kegelsneden, die aan de oneindig verre rechte
van Cp raken en die zesvoudig tellen, omdat de 4 snijpunten
met Wqo op 6 manieren twee aan twee gecombineerd kunnen
worden.

2e De zes bisekanten in V^o snijden de oneindig verre
rechte van (p in een punt door elk waarvan nog een bise-
kante van gaat.

Deze moeten dubbel geteld worden, want door een wille-
keurige rechte in (p gaan steeds twee raakvlakken aan elk
der O\'s op (p48. Voor elk dezer 6 ontaarde O\'s vallen de
twee raakvlakken samen met 0. Dus het lijnenpaar moet
als rakende O tweevoudig geteld worden.

§ 10. Het oppervlak van de middelpunten der 0 5 in de
congruentie is een Mis.

De cyclische doorsneden van een H^ uit den bundel liggen
in 6 stel evenwijdige vlakken, zoodat de middelpunten liggen
op 6 rechten. Het gevraagde oppervlak is dus een regelvlak.
Nu zijn de richtingen van de middellijnen harmonisch toege-
voegd aan de vlakken van de bijbehoorende cyclische
doorsneden.

Het oneindig verre punt van een middellijn is dus pool
van de oneindig verre rechte dier vlakken t.o. van de kegel-
snede in Vqo van de beschouwde H^.

Van die oneindig verre rechten zijn er voor iedere\'H^ zes.

We kjijgen dus het volgende planimetrische vraagstuk.

Als in een vlak de kegelsneden h"^ een bundel doorloopen,
vraagt men de meetk. plaats van de polen t.o. van /i^ der

zestallen rechten, die door de 4 snijpunten van /i^ en een
kegelsnede co bepaald worden.

Om den graad van deze kromme te leeren kennen, vragen
we naar het aantal snijpunten met de oneindig verre rechte
in het vlak.

M. a. w. we vragen naar het aantal keeren, dat de
beschouwde rechten middellijn worden van de bijbehoo-
rende h"^.

Nu is de meetk. plaats der middelpunten van den bundel
kegelsneden /i^ een kegelsnede [x^ en we hebben dus te onder-
zoeken hoe vaak het middelpunt M van een kegelsnede /i^
samenvalt met één der snijpunten van de bijbehoorende 6

rechten met fx\'^.

Bij één punt M worden door die 6 rechten op 12 snij-
punten N bepaald. Bij elk punt N behoorén drie van de
verzameling rechten, dus drie kegelsneden /j^, dus drie punten M.
(De rechten omhullen n.1. y^). De correspondentie op jca^
tusschen de punten M en N is dus (3, 12). Deze geeft 15
coïncidenties.

Hiertoe behooren echter de drie middelpunten van het
drietal lijnenparen in den bundel h\'^ dubbel geteld. Blijven
over 9 gevallen, waarbij de beschouwde verbindingslijnen
middellijnen worden.

De bedoelde kromme is dus van den graad 9.

De meetk. plaats der snijpunten met Vqo van de middel-
lijnen der cyclische doorsneden in den bundel hyperboloïden
is dus ook een kromme van den graad 9.

Hierbij moeten nog opgeteld worden de drie paren rechten,
die de 4 basispunten in Vqo verbinden (snijpunten van ß^

met Voj).

Want alle vlakken door zoo\'n rechte aangebracht zullen
de bijbehoorende paraboloïde volgens ontaarde O\'s snijden.
Deze 6 verbindingsrechten zijn echter op te vatten als meetk.
plaats van middelpunten.

De totaalkromme in V«, is dus van den graad 15 en het
gevraagde regelvlak is dus een M15.

Op dit oppervlak liggen 60 snijpunten met ßK

Dit moeten de umbilikaalpunten zijn, waarvan in § 2. c
reeds melding gemaakt is.

De kromme nae ligt natuurlijk op Mi5.

Het middelpunt van een kwadratisch oppervlak H^ van
den bundel is middelpunt voor 6 O\'s van de congruentie.
Dus de kubische ruimtekromme, die meetk. plaats is van de
middelpunten der oppervlakken H^ ligt zesvoudig op Mi5.

Stellingen.

L

De afbeeldingsmethode van Dr. K. W. walstra (Ver-
slag Kon. Akademie van Wetenschappen Deel XXV. 2
blz. 960) is nauw verwant met de bekende methode van
stereografische projektie.

2.

Scheefhoekige coördinatenstelsels hebben weinig praktisch
en theoretisch nut. De wijze, waarop ze door Dr. G. SCHOUTEN
in zijn leerboek van de analytische meetkunde op den voor-
grond geplaatst zijn, verdient daarom geen aanbeveling.

3.

De uitkomsten van p^ in Hfdst. III kunnen uitgebreid
worden op een kromme /)" waarop drie puntreeksen, die een
(ct, ß, r) correspondentie vormen.

4.

Een rechte lijn opgevat als cirkel heeft oneindig veel
middelpunten.

5.

De uitkomsten door ZEUTHEN vermeld in zijn „Lehrbuch
der Abzahlenden Geometrie" § 80 kunnen gecontroleerd
worden met behulp van inversie.

6.

De invoering van het teeken O van landau is zeer
belangrijk voor de analytische getallentheorie.

7.

De door ViGGO BRUN verkregen resultaten (Bulletin des
Sciences Mathématiques, deuxième série. Tome XLIII, le partie
1919, pg. 100--104 en pg. 124^128) zijn uit te breiden.

In § 54 van het leerboek van ABRAHAM FöPPL „Theorie
der Elektrizität 1" blijkt uit de definitie - = cniet
de vectoreigenschap van

9.

Het verdient geen aanbeveling om. zooals KOSTER in
zijn dissertatie (Utrecht 1921) op blz. 57 doet. een diep-
liggende stelling te citeeren, waar hij slechts een resultaat
noodig heeft, dat in enkele regels aan te toonen is.

10.

De redeneering, waardoor Dr. N. HERZ (Wahrschein-
lichkeitsrechnung und Ausgleichungsrechnung blz. 10) tot de
grondformule van de waarschijnlijkheidsrekening komt. mist
alle bewijskracht.

11.

De afleiding, die CZUBER (Wahrscheinlichkeitsrechnung I.
blz. 24) geeft van de formule van STIRLING is onbruikbaar.

12.

De oprichting van tijdschriften, gewijd aan een bepaald
onderdeel der Wiskunde, verdient aanbeveling.

rr " \' \' . \' \' ^ \' ^ .

Sin: ■■

\' u

« "Vf,

\'ii-iy

- \'-yp\'-^

. • A .

\'fs

if^iip

* • V T r \' V« ■ • ■ • . •

. ...... \' V-

■ \'\'\'.ri^:

\'Vv\',■

• \'ÄS \'

^ \'Al,

■ -IT \' ; s, • ■ \' :