■

fm

> ï..,- ■

J. Ridder

ia

■ti\'ï

»

ï : ■

ïasiii

•mm

ENKELE ALGEMEENE LIMIETSTELLINGEN
MET TOEPASSINGEN OP REËELE FUNCTIES.

• ** u

1

:f

J]
1:

is®

a

M

a

Enkele algemeene limietstellingen met
toepassingen op reëele functies.

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS-

^ NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-
UNIVERSITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG
VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS Dr. W.
VOGELSANG, HOOGLEER A AR IN DE FA-
CULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBE-
GEERTE, VOLGENS BESLUIT VAN DEN
SENAAT DER UNIVERSITEIT, TEGEN DE
BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT DER
WIS- EN NATUURKUNDE TE VERDEDI-
GEN OP DINSDAG 5 JULI DES NAMID-
DAGS 2 UUR DOOR

JACOB RIDDER,

GEBOREN TE HARDERWIJK.

elkctrische dr.ukkkrij „uk industrie" j. van druten - utrecht.

mcxmxxi.

• J

" -• i\'.V, ^ \'.V-Vi

mi

- X-t- v

\' V"

■ir

I

r-

ié.y-\'.^\':.\'.: ..........................

AAN MIJN OUDERS.

-y i

r

■

.A

■M

:

■ , ■ ■ j j

■ \' -, vw...

Het zij mij hier vergund mijn grooten dank te brengen
aan de hoogleerarerv der Leidsche Universiteit, wier colleges
ik gevolgd heb. In het bijzonder zijn voor mij van belang
geweest de colleges van de professoren KlUYVER en VAN
DER WOUDE voor de wiskunde en die van de professoren
EhRENFEST en KUENEN voor de natuurkunde; met groot
genoegen zal ik steeds aan die uren terugdenken.

Ten slotte betuig ik prof. DENJOY mijn erkentelijkheid,
dat hij zoo welwillend is geweest de taak van promotor op
zich te nemen. Hem en zijn assistent, Dr. VAN DER CORPUT,
ben ik ook dank verschuldigd voor de raadgevingen, mij bij
de bewerking van dit proefschrift verleend.

r ;
i

• Y -

,1\' 1

m

INHOUD.

\' Blz.

Inleiding.................^

HOOFDSTUK I.

Algemeene Limietstellingen..........

Eerste Groep. Beschouwing van een enkel punt der

twee- of meerdimensionale ruimte........

Tweede Groep. Beschouwing van een gesloten, lineaire
verzameling, evenwijdig aan een der coördinaatassen. 33

HOOFDSTUK II.
Toepassingen der Algemeene Limietstellingen .... 38
Eerste Groep. Beschouwing van een enkel punt der

twee- of meerdimensionale ruimte . ......38

Tweede Groep. Beschouwing van een gesloten, lineaire
verzameling, evenwijdig aan een der coördinaatassen. 57

HOOFDSTUK III.
Uitbreiding der limiet-definitie.........60

HOOFDSTUK IV.
Oneigenlijke integraal............

HOOFDSTUK V.

Toepassingen der limietstellingen op oneigenlijke integralen 84
Stellingen.................^^

7 ■■ . ■■• . \'■ -".Or-:

INLEIDING.

Een algemeen bekend probleem is dat, hetwelk ons de
noodige en voldoende voorwaarden vraagt voor d? conti-
nuïteit van de limiet van een reeks van continue functies.
We kunnen ons bij de oplossing beperken tot de beschou-
wing der reeks in een enkel punt, of we kunnen een seg-
ment (a, b) \') der onafhankelijk veranderlijke in \'t oog vatten.
In het eerste geval geeft de quasi-aniforme convergentie „in
een punt" ons het middel tot de oplossing, — in het tweede
geval de quasi-uniforme convergentie „op een segment"-,
het laatstgenoemde begrip is afkomstig van ArZELA. Zooals
later zal blijken, is de definitie van de hier in te voeren,
quasi-uniforme convergentie „in een punt" geheel analoog
aan de definitie van enkelvoudig-uniforme convergentie „op
een segment", gelijk deze door DiNI is ingevoerd. Wc
hadden daarom ook van enkelvoudig-uniforme convergentie
in een punt kunnen spreken.

Gemakkelijk is in te zien, dat het genoemde vraagstuk
neerkomt op het vinden der noodige en voldoende voor-
waarden voor het verwisselen van twee limietovergangen.

Stellen we n.1.

S„{X)=U,(X) U2(X)4-.... Uu(X),
waarbij Uk(x) continu is in x\' voor k = 1, 2, 3,... n, en

wenschen we te weten of lim S^ (x) voor x = x\' continu is,

n = a)

dan moeten we trachten te bewijzen, dat

lim lim S„(x)= lim S„ (x\').

x = x\'n=:co n = 00

\') Onder segment (a, b) verstaan we de verzameling der punten tusschen
a en b, vermeerderd met a en b; spreken we van interval (a. b), dan
worden a en b niet meegerekend.

of wel, dat

lim lim Sn i^) — lii" lii" (x).

x = x\' n = oo n — 00 x—x\'

Het ligt dus voor de hand na te gaan of de quasi-uniforme
convergentie in een punt en de quasi-uniforme convergentie
op een segment ons ook helpen kunnen om noodige en
voldoende voorwaarden te vinden voor de gelijkheid van
twee herhaalde limieten, waarin twee limietovergangen in
omgekeerde volgorde voorkomen. Het eerste begrip zal
daarbij moeten helpen, zoo we voor ieder der onafh. ver-
anderlijken slechts één limietwaarde beschouwen; het laatste
moet gebruikt worden, als de verschillende limietwaarden
van een dier veranderlijken een segment vormen. Dit is
door ons in het volgende nagegaan.

Een uitbreiding der genoemde begrippen geeft ook de
mogelijkheid tot het vinden van noodige en voldoende voor-
waarden, waaronder meermalen herhaalde limieten, doch
waarbij de volgorde der limietovergangen een andere is, aan
elkaar gelijk zijn.

In hoofdstuk II volgen toepassingen van genoemde stellingen
op bijzondere gevallen uit difF. en integr. rekening, zooals:
continuïteit-, differentiatie- en integratie van reeksen: gelijk-,
heid van herhaalde integralen, enz. Het zal daarbij blijken,
dat vele bekende stellingen, die tot nu toe ieder voor zich
bewezen werden, zich uit enkele algemeene stellingen uit
hoofdstuk I laten afleiden. Tevens komen we tot enkele
nieuwe.

In hoofdstuk III is het limietbegrip uitgebreid op het geval,
dat de onafh. veranderlijke bij den limietovergang een ge-
ordende verzamehng van elementen doorloopt; de afhankelijk
veranderlijke heeft als overeenkomstige waarden bepaalde
getallen. De verschillende limieten uit hoofdstuk II vallen
onder dit algemeener limietbegrip. ^ Daarna volgt een verdere
uitbreiding op geordende verzamelingen. Daarbij doorloopt
de onafhankelijk veranderlijke weer een geordende verzameling
van elementen; de afhankelijk veranderlijke heeft als bijbe-
hoorende waarden elementen van een andere geordende

verzameling van bepaalde soort. O. a. moet het begrip
inhoud zich op die verzamehng laten toepassen op nader
aan te geven wijze. Hieronder valt de limiet van een com-
plexe functie bij complexe onafh. veranderlijke.

Telkens laat ook de quasi-uniforme convergentie een over-
eenkomstige uitbreiding toe, zóó dat .ze ons weer noodige
en voldoende voorwaarden geeft voor hmietverwisselingen.

In hoofdstuk IV wordt een definitie van oneigenlijke in-
tegraal behandeld, welke een uitbreiding is van die van
DE LA VALLéE POUSSIN. Onder de oorspronkelijke definitie
van De la Vallée Poussin vallen alleen absoluut convergente,
oneigenlijke integralen. Door de uitbreiding omvat ze nu ook
niet-absoluut convergente, oneig. integralen.

Een door HaRNACK gegeven definitie van oneig. integraal
verschilt van de boven aangeduide definitie in de volgorde,
waarin bepaalde limietovergangen worden uitgevoerd. Beide
definities behoeven niet steeds dezelfde integraalwaarde te
geven. Zooals bekend, is dit o. a. wel het geval bij
absolute convergentie der oneig. integralen, zoo we integralen
van RiEMANN gebruiken. We behandelen ook een voor-
beeld van niet-abs. conv., waarbij de twee definities toch
dezelfde uitkomst geven.

Ten slotte bevat hoofdstuk V stellingen over oneigenlijke
integralen, waarbij weer voorwaarden voor het verwisselen
van limieten moeten worden afgeleid.

HOOFDSTUK L

Algemeene Limietstellingen,

Zooals wij reeds in de inleiding zeiden, behooren destel-
lingen van dit hoofdstuk tot twee groepen, n.1,:

le die, waarbij we in een enkel punt der twee- of meer-
dimensionale ruimte (aantal dimensies = aantal onafh. ver-
anderlijken) nagaan de verandering in volgorde der limiet-
overgangen ;

2e die, waarbij we die verandering nagaan in alle punten
van een segment (in \'t algemeen van een gesloten, lineaire
verzameling), evenwijdig aan een der coördinaatassen.

Wij zullen de eerste groep eerst geheel afhandelen, om
daarna tot de tweede over te gaan.

Eerste Groep.

§ 1. Laat i(x.y) gedefinieerd zijn voor de punten (x. y)
eener tweedimensionale verzameling van de volgende soort.
De waarden x vormen een lineaire verz. P met $ als ver-
dichtingspunt, de waarden y een lineaire verz. Q met \'/j als
verdichtingspunt en vj behooren niet tot die verzamelingen).
De punten der tweedim. verzameling worden verkregen door
te nemen alle mogelijke combinaties van x- en y-waarden uit
de verzamelingen P en Q.

Stel: lim f (x. y) = L. (v): Üm Hm f(x,y) = L„.;

lim f(x. y) = L, (x); lim lim f(x, y) = L|...

y = rj x = $ y = 7)

Opdat

is noodig en voldoende:

a) Lfi (y) bestaat voor alle waarden y:

b) L^ j bestaat;

c) L^ (x) bestaat voor alle waarden x en „convergeert
quasi-uniform in het punt f." — Hierdoor verstaan we, dat
bij twee willekeurige, pos. getallen f en a zijn te vinden een
interval — 3, ^ en een waarde Y, behoorende tot de
lineaire verzameling Q en gelegen binnen — x, yj -j- a), zóó
dat voor iedere x uit de verzameling P en in —S, ^
gelegen: ^

|L,(x)-f(x,Y)|<|.\')

Bewijs: We onderstellen hierbij stilzwijgend, dat we voor
X en y slechts waarden beschouwen, die behooren tot de
gegeven, lineaire verzamelingen P en Q.

Zij aan de voorwaarden voldaan. We kiezen een wille-
keurig pos. getal Volgens (b) is dan, voor y binnen een
zeker interval — a:. yj -h gelegen:

(1 ).....m.-L.(y)!<f- ,

Uit (c) volgt, dat bij ^ en « is te vinden een waarde Y,

uit de lineaire verz. Q en binnen — a, a) gelegen, en
een interval (f — I5), zóó dat voor x in dit interval:

(2) . . . . IL, (x) - f (x„Y)|<|.

Voor die waarde Y van y is ook aan (1) voldaan.

Volgens (a) is bij die Y te vinden een interval (f —
14-^i), zoo dat voor x in dat interval gelegen:

\') Na het bestaan der limieten onder (a) en (b) onderstellen we dus ook

1 X ___ y

nog dat van den onder (c) genoemden limiet, f (x, y) =x sin -. —— is een

eenvoudig voorbeeld van een functie, waarvoor in een zeker punt (hier het
punt 0,0) de beide eerste limieten bestaan en de derde niet (x en y zullen
pos. waarden doorloopen, die naar nul convergeeren).

(3) . . . . |L. (Y)-f (x, Y)|<3.

Stel h de kleinste der waarden ^ en ^i. Dan volgt uit
(1). (2) en (3), dat voor x in — h, ^ h):

1 L, . - L, (x) I ^ I L, . - U (Y) I 1 L. (Y) - f (X. Y) | -f
|f(x, Y)-L^(x)l<^.
Dus zijn beide limietovergangen verwisselbaar.

Omgekeerd, zijn de herhaalde limieten gelijk, dan is aan
(a) en (b) voldaan. Bewijzen we nog. dat ook aan (c) is
voldaan.

Kies daartoe 2 willek., pos. getallen e en Bij j is een

interval (I — f te vinden, zoo dat voor x in dit
interval:

(1\') .....

Bij ^ en is te bepalen een waarde Y, uit de verz. Q
en in (ij — ^oc) gelegen, zoodat:

(2\').....m,-L,(Y)|<^.

Verder is voor x in zeker interval —

(3\')\' . . . . |L.(Y)-f(x.Y)|<|.\'

Is h de kleinste der waarden ^ en ^i, dan volgt uit (1\'),
(2\') en (3\'). dat voor x in (I — h, ^ -f h):

L,(x) - f (x. Y) I ^ I L, (x) - L., I I L,. - U(Y) |
|L.(Y) -f(x,Y)l<.c.
Dus er is quasi-uniforme conv. in

1) Vrijwel op dezelfde wijze als in den tekst laat zich aantoonen, dat
ook de volgende voorwaarden noodig en voldoende zijn: a) L^ (y) bestaat
voor alle waarden y; b) h^t bestaat; c) L^ (x) bestaat voor alle waarden x
en deze convergentie is als volgt. Bij willek., pos. een« zijn te vinden een
interval — en een eindig aantal waarden voor y uit de verz. Q

Leest men het tweede gedeelte van het bewijs nauwkeurig
na, dan ziet men, dat we in plaats van de gekozen Y ook
iedere andere Y\', uit Q en dichter bij vj gelegen, hadden
kunnen nemen, zoo Y aldus gekozen was, dat

|L,.-LMY\')|<|

voor Y\' gelegen in het segment met vj als midden en
2 (v5 — Y) als lengte. Ook bij de nieuw gekozen Y\' zou
een interval voor x gevonden zijn, waarin
IL, (x) -f(x,Y\')|<^.

De lengten dier intervallen zijn echter afhankelijk van
Y(Y\'). De onderste grens van die lengten zal in \'t al-
gemeen niet altijd van nul verschillend zijn; was dit toch
voor iedere £ (en a) het geval, dat was de convergentie
uniform in den zin van § 4, en bestond ook de dubbele
limiet. Dit hoeft echter niet steeds het geval te zijn, al
bestaan ook de herhaalde limieten en al zijn deze gelijk.

Zooals men zal bemerkt hebben, is het verschil tusschen
de hier gedefinieerde, quasi-uniforme convergentie^ in een
punt en de enkelvoudig-uniforme conv. van DiNI daarin ge-
legen, dat wij het interval (I — I f doen afhangen
van £ en terwijl het bij DiNI een constante lengte heeft. 2)

§ 2. Het is onmiddellijk duidelijk, dat voorwaarde (c) uit
de vorige § zich laat vervangen door:

en gelegen in (vj — a. rj a), zóó dat bij iedere x in (f — ? o") en be-
hoorendtotP, is aan te geven een waarde yx uit dat eindig aantal waar-
den van y, waarvoor:

|L-,^(x)-f(x,yx)| < is.

1) De stelling, welke Hob son in zijn boek: Theory óf functions of a
real variable, etc.. First Ed., p. 309 geeft, doet onder de noodige en vol-
doende voorwaarden ook vallen de voorwaarde, dat we voor „iedere" Y\'
van het segment om rj een interval voor x kunnen vinden, waarin de on-
gelijkheid geldt. Daarentegen behoeven we dan „niet" aan te nemen het
bestaan van Lyj^. — De hier gegeven stelling vindt men bij Hob son op
p. 310 (Sec. Ed.\' Vol. I. p. 389).

2) Zie Dini. Grundlagen für eine Theorie d. Funktionen einer ver-
ändert. reellen Gcösze. Deutsch von Lüroth und Schepp, § 91.

c\') Lrj (x) bestaat voor iedere x. Kiezen we uit de
lineaire verz. Q een rij ym geheel en pos.), zoo dat
Urn y^ = dan zal Jim f (x. yj quasi-uniform conver^

m = x m = cc

geeren in .

D. w. z.: bij twee willek., pos. getallen f en M zijn te
vinden een interval -- f d) en een geheel getal (x > M,
zóó dat voor iedere x uit de verzameling P en in
f gelegen:

Ihm f(x.yj-f(x, is.

m = 00

_ y

Voorbeeld: Beschouwen we eens den vorm De

verzamelingen P en Q zullen ieder bestaan uit alle pos.
getallen. Dus is O een verdichtingspunt van beide. In het
punt (O, 0) is [L. (y)] e = o = - tL//? = O = - 1- Doch

[L, (x)]^ -f 1; dus ook [Ls J = 1- De her^

\'S* 7j zizz O

haalde limieten zijn hier niet gelijk. ^ Er is echter ook geen
quasi-uniforme convergentie in | = 0. Nemen we n.1. £ en «
willekeurig positief, dan moest bij vaste Y, in het interval
(_ ^^ gelegen en behoorend tot- Q, en voor x in een

interval (—5, -f en behoorende tot P:

x — Y

X-Y

<

x Y

zijn Welke keuze we echter voor Y doen, steeds zal, als

X — Y

X maar dicht genoeg bij nul ligt, ^"y minder van — 1

verschillen dan we wenschen. Is sC^l, dan is het dus bij
geen enkele waarde van Y mogelijk een interval voor x te
vinden, zoo dat voor iedere x in dat interval de ongelijkheid
geldt.

Nemen we y^ = - (m geheel), dan blijkt, dat bij deze rij
ook aan (c^) niet is voldaan.

§ 3. De lineaire verzamelingen van § 1 kunnen we, om
een verdere uitbreiding te verkrijgen, vervangen door een
verzameling P in een p-dimensionale ruimte, die het punt
.....^p) als verdichtingspunt heeft, en door een ver-
zameling Q in een q-dimensionale ruimte, die (\'^i.\'/ja.....>iq)

als verdichtingspunt heeft (deze beide verdichtingspunten be-
hooren niet tot P, resp. Q).

In een (p -f q)-dimensionale ruimte wordt nu weer een
verzameling gevonden door de coördinaten van ieder punt
van P te combineeren met de coördinaten van ieder punt
van Q.

Stel f ( xi, ,.. . xp , y,.....yq) gedefinieerd op die laatste

verzameling.

Noem Hm f (xi,. .., xp , yi----yq) =

x, = ?l, = .....

= L ^ (yi.y2... • - yq)?

lim L (yi...yq)= L ^;

= \'"" ^ P , .....= .....

lim f(xi,..,xp.y,....yq)-L (x,,...xp);

y,=r^i....yq = y/q C-^/i. • • •\'7q)

en

lim L (xi . .. .xp) = L^
.....Xp = fp \\.....y]^

Opdat nu

L = L

U-,. • • . fp) : .....fq) (\'y,..........\'p)

is noodig en voldoende :

a) L (yi,.. •. yq) bestaat in ieder punt van Q;
(^«.....fp)

b) L bestaat:

im..........^p)

c) L (xi.....xp) bestaat in ieder punt van Pen

{•/ji, ... ,-/iq)

„convergeert quasi-uniform in het punt {^i,..., |p). — Hier-
onder verstaan we, dat bij willek, pos. £ en een willekeurige

omgeving O-^ van [m.....vjq) zijn te vinden een omgeving

O^ van .....I^p) en een punt (Y),...,Yq) behoorende

tot Q en gelegen in . zóó dat voor ieder punt van P,
in gelegen:

I L (Xi, . . . , Xp) — f (Xi, . . . Xp, Yi.....Yq) i <£.

.....\'5q)

We krijgen een voorbeeld, waarin de herhaalde limieten
niet gelijk zijn en dan ook geen quasi-uniforme conver-

X _ Y »

gentie bestaat, door in f (x. = x en y te vervan-
gen resp. door V xi ^ xz^ ---- Xp2 en

]/yj2 ;. . yq2 en te kiezen = O, f2 — O,... ,

^P = 0; v|i=0, >72=0, ....,>fq = 0.

§ 4. Wordt behalve de gelijkheid der beide herhaalde
limieten uit § 1 bovendien nog geeischt, dat zij gelijk zijn
aan de waarde, die bij den twee-dimensionalen limietover-
aana • lim f (x, y) of L wordt verkregen, dan moet

^ ^ = = n i^rn)

aan de noodige en voldoende voorwaarden nog als vierde

worden toegevoegd:

d) de onderste grens van de lengten der op p. 7, Ie al
aangeduide intervallen zal van nul verschillend zijn.

Aan de voorwaarden (c) en (d) samen geven we den naam
van uniforme convergentie in het punt i.^)

Ook op de volgende wijze laat zich dit begrip definieeren:
Onder „uniforme convergentie van L^j (x) in het punt
verstaan we, dat het bij willek, pos. s mogelijk is te bepalen
een interval (I — f -f en een interval {vj — h, vj-{- h), zóó
dat voor x in (I — f en behoorend tot de verz. P en
voor Y in {-/j - b, t^ ^^ behoorend tot de verz. Q (P
en Q zijn gedefinieerd in § 1):

\') Voor de definitie van omgeving zie b.v. Osgood, Lehrbuch d. Funk-
tionenth., Ier Band, Kap. I. § 8.

\'■\') Hob son spreekt over een „punt van uniforme convergentie." Zie
T/ieori/ of functions etc.. First Ed., p. 309 (Sec. Ed., p. 388).

|L,(x)-f(x.Y)|<£.
Het verschil, dat er is tusschen uniforme convergentie in
een punt en uniforme convergentie op een segment is van
dezelfde soort als dat tusschen quasi-uniforme convergentie
in een punt en enkelvoudig-uniforme convergentie op een
segment. Bij de beschouwing van de convergentie op een
segment blijft dit segment vanzelf constant; bij de conver-
gentie in een punt ^ hangt de lengte van het interval -
S -j- h) o.m. af van de waarde van s.

Bewijs: We onderstellen hierbij weer stilzwijgend, dat de
te beschouwen waarden van x en Y behooren resp. tot P
en tot Q:

Zij aan de vier voorwaarden voldaan. Volgens § 1 be-
staan dan beide herhaalde limieten en zijn gelijk. Bepaal
bij willekeurig pos. £ een getal zoo dat voor x in het
interval - l f

Bepaal bij f verder en h, zoo dat voor x in het interval
— I ^i) en voor Y in — h, >5 h):
lf(x,Y)-L,(x)l<£.
Dan is voor alle punten x, Y, waarvoor x ligt in het
kleinste der beide intervallen om I en waarvoor Y ligt in
_ h, h):

1 f (x. Y) - L^^l^ I f (X, Y) - L^(x) I I L^(x) - l<2 ..

Dus bestaat en is gelijk aan elk der herhaalde limieten.

Dat de drie eerste voorwaarden ook noodig zijn, werd
bewezen in § 1. De noodzakelijkheid der uniforme conver-
gentie van Lyj (x) in het punt ^ volgt op eenvoudige wijze
uit de definitie van twee-dimensionalen limietovergang.

We kunnen uit de noodige en voldoende voorwaarden
de in § 1 onder (b) genoemde weglaten. Dan krijgen we dus:
Opdat op de in § 1 gedefinieerde verzameling (x, y)

is noodig en voldoende, dat:

a) L^(y) bestaat voor alle waarden y;

b) Lr^(x) bestaat voor alle waarden x en „uniform con-
vergeert in het punt

Bewijs: We beschouwen slechts waarden der onafh. ver-
anderlijken behoorend tot P en Q. .

Laat aan (a) en (b) zijn voldaan. Dan is in de eerste
plaats te bewijzen, dat L^^ (x) tot een limiet nadert, als x nadert
tot

Steeds is:

I L,^(x,) - L,^(x2) I ^ I L,^(x,) - f (xi. Y) I I f (xi. Y) -
-f(x2,Y)| |f(x2.Y)-L,,(x2)|.

Bij willekeurig pos. f zijn volgens (b). ^ en h zoo te be-
palen, dat voor alle waarden x in — f -f- en alle
waarden Y in — h, -f h):

|L>^(x) ~f(x.Y)l<|

is. Kies een bepaalde Y. gelegen in — h, v; -f- h). Volgens
(a) is te vinden een interval —r ^i), binnen het
interval — f zoodat bij de gekozen Y:

[f(x,.Y)-f(x2,Y)|<|

is voor xi en X2 in dit kleinste interval. Hierin is dus:

s s s
Lrj (xi) — L, (X2) 

LI bestaat.

Merken we op, dat het voor dit gedeelte van het bewijs
reeds voldoende was geweest onder (b) de quasi-uniforme
convergentie te onderstellen.

Beschouwen we nu het verschil L|:(Y) — L^;,.

|f(x.Y)-L^{x)|4-|L^(x)-L^^|.

Volgens (b) zijn bij willek, pos. f te bepalen ^ en h, zoo
dat voor alle waarden x in (I — | en alle waarden
Y in - h. h):

|f(x.Y)-L,(x)i<|

is. Verder is te bepalen een interval — ^i.^H-^i) voor
X, zoo dat:

is. Voor X in het kleinste der twee intervallen om ^ en
voor Y in {yj — h, v) h) is dus aan beide ongelijkheden
voldaan.

Neem nu voor Y een bepaalde waarde uit — h, -f" h)-
Dan kunnen we binnen het kleinste interval om ^ een nieuw
interval (f — f h) bepalen, zoo dat bij de gekozen Y
en voor ieder in dit interval gelegen getal x:

lL^(Y)~f(x,Y)i<|

is. Dus wordt:

iLf(Y)-Lf,l<J J f = \'-

Deze redeneering geldt voor iedere Y in — h, vj h) ge-
legen. Dus L^^ bestaat en^s gelijk aan

Verder is :

I f (X, Y) - L^ .J ^ I f (X, Y) - L.^ (x) I I L.^ (X) - L^.^

Volgens (b) zijn bij willek, pos. e te vinden twee getallen
^ en h, zoo dat voor x in — f en voor Y in
—h,

|f(x,Y)-^(x)|<|

is. Een tweede interval (I — f -f voor x is te vinden,
waarin:

is. Voor X in het kleinste der beide intervallen om ^ en
voor Y in (v) — h, h) is dus:

Dus geeft de twee-dimensionale limietovergang dezelfde

waarde als de herhaalde limieten. De voorwaarden zijn

voldoende.\')

Dat ze, tenslotte, ook noodig zijn, is evident.

§ 5 We zagen, dat we in het eerste gedeelte van ons
laatste bewijs reeds klaar zouden zijn gekomen met quasi-
uniforme conv. van L, (x) in ^ aan te nemen. Dat brengt

ons tot de volgende stelling:

Ux.y) zij gedefinieerd op de in § 1 genoemde, twee-
dimensionale verzameling. Noodige en voldoende voor-
waarden, opdat na:

is, zijn: _ ,

a) L^(y) bestaat voor alle y van Q en convergeert

quasi-uniform in

b) L.^ (x) bestaat voor alle x van P en convergeert

quasi-uniform in , r , i i.

Bewijs: Zij aan (a) en (b) voldaan. Volgens de gemaakte

opmerking bestaat L^^.^) Du^, volgens de stelling van
§ 1, volgt hieruit en uit voorwaarde (a), dat ook L^ ^ bestaat
en gelijk is aan de andere herhaalde Umiet.
De voorwaarden zijn dus voldoende.
Dat ze noodig zijn, wordt bewezen als in § 1.

co xln(n l)x2 — 1 1 j)^

§ -6. Voorbeeld: [TTn^ x^ I 1 (n x"-\' I\'

1) Uit dit laatste deel van het bewijs blijkt, dat, als we slechts ver-
langen, dat — T,^.

is, daartoe noodig en voldoende is:

a) Lvj bestaat voor iedere x van P en „convergeert uniform in het

punt ;

b) L^ Vj bestaat.

De quasi-uniforme convergentie onder (b) is te vervangen door de
volgende, minder eischende voorwaarde: bij ieder willekeurig pos. getal s
bestaat minstens één getal Y en daarbij een interval - zoodat
I L, (x) - f (x, Y) I < £

is voor x liggend in (f — f

Zie Wh ittaker and Watson, Modern Analysis, Sec. Ed., p. 46.

verzameling P voor x zal bestaan uit alle pos. getallen, de
verzameling Q voor n uit alle pos. geheele getallen. Verder
zullen we de onafh. veranderlijken doen convergeeren resp.
naar ^ = 0 en yj — cc.

In de definitie van quasi-uniforme convergentie in een
punt beschouwden we verdichtingspunten en v; in het eindige.
De uitbreiding, die we hier noodig hebben, op het geval,
dat een of beide in het oneindige liggen, ligt voor de hand
(vgl. ook § 2).
Daar

__ XIn (n l)x2 - 1 i ^ nx _
1 1 n2 x2 ÏTl (n 1)2 x2 i 1 n2 x^
_ (n4- l)x

" l (n 1)2x2\'

c; ,, ^ (n l)x

is de som van n termen = (x) JZ^i ~~ i ^ 1)2 x2 \'

Dus:

[L^ (x) 00 =r:^2 en lUv^^^O =0^\'

~ yj= cc

ri= cc

De beide herhaalde limieten zijn gelijk. Dus moet [L^ (x)] yj^ cc
quasi-uniform convergeeren in f = 0.

Kies twee pos. getallen: £ < V2 en N. Dan moet bij vaste
n ^ N en voor x in een zeker interval om f = O de ongelijkheid:

De andere ongelijkheid geeft de quasi-uniforme conv. van
[L=(n)]^=o i" ^^^ P"^\' =o ; er is weer geen uniforme

conv. in dat punt.

Volgens § 4 kan nu niet bestaan ,)] • ^^^

co

dit zoo is, blijkt daaruit, dat we n naar -f co en x naar nul

kunnen doen convergeeren, zoodanig dat lim (n l). x

x = 0,n= O)

niet bestaat.

§ 7. Bij meervoudig herhaalde limieten, wordt alles veel
gecompliceerder. Formuleeren we eerst een deel onzer stel-
lingen voor drievoudig herhaalde limieten. De uitbreiding
op meervoudig herhaalde limieten volgt daarna vanzelf.

Herhaalde limieten zullen we aanduiden door de letter L,
waarbij de indices, onder aan de letter geplaatst, de limiet-
waarden der onafh. veranderlijken aangeven; tevens geeft
hun volgorde van rechts naar links de volgorde der limiet-
overgangen aan. Doen we een limietovergang plaats vinden
in een ruimte van twee- of meer dimensies, dan duiden we
dit aan door de indices, die daarbij de limietwaarden der
correspondeerende veranderlijken voorstellen, tusschen haakjes
te plaatsen.

Stelling: Laat i(x.y.z) gedefinieerd zijn voor de punten
(x. y\\ z) eener drie-dimensionale verzameling van de volgende
soort. De waarden x vormen een lineaire verz. P met f
als verdichtingspunt, de waarden y een lineaire verz. Q
met -/i" en de waarden z een lineaire verz. R met ^ als
verdichtingspunt. De punten der drie-dim. verz. worden
verkregen door te nemen alle mogelijke combinaties van
waarden x, y en z uit P. Q en R.

Veronderstel, dat bestaan L^ (x, y) voor alle combinaties
x en y uit P en Q; L^(y,z) voor alle combinaties y en z
uit Q en R; en L^ ^ (z) voor alle waarden z uit R.

Opdat nu ook l^^staat, is voldoende dat „L^j ^ (z)

quasi-uniform convergeert t.o.v. {(x,y,z) in het punt

Onder „quasi-uniforme convergentie van L^ ^ (z) ten opz.
van f (x, y, z) in het punt verstaan we dat bij willekeurig

pos. s en bij willekeurige intervallen — o, I (vj —

^j) zijn te vinden vaste waarden X en Y, uit P en Q
en in die intervallen gelegen, en een interval {\'( —. C ^2),
zoo dat voor iedere waarde z in dit interval en behoorende
tot R:

L,l(z)-f(X, Y. z)|<.

is.

Een soortgelijke stelling bestaat bij tweevoudig herhaalde
limieten (vgl. het bewijs op p. 14).

Bewijs: Bij dit en alle volgende bewijzen bij drievoudig
herhaalde limieten beschouwen we stilzwijgend steeds waarden
der onafh. veranderlijken, die behooren tot de lineaire verz.
P, Q en R.
We hebben:

I L,. (zi) - L,. (Z2) I ^ I L,,^ (z,) - f (X. Y. z,) I
-f I f (X, Y, zi) - f (X, Y, Z2) I I f (X. Y, Z2) - L, j (22) I.
X, Y, zi en Z2 worden genomen als volgt. Bij willekeurig
pos. f zijn te bepalen vaste waarden X en Y en een interval
^^^ waarden Zi en Z2, in dat interval

gelegen:

L„.(z,)-f(X,Y,z,)

L>j.(z2)-f(X.Y,Z2) <1
Tevens zorgen we, dat Zi en Z2 liggen in een interval

- zoo dat:

if(X,Y„zO -f{X.Y, Z2) |

In het kleinste der beide intervallen voor z is dus:

s s s
Lyj e (zi) — Lr. i (22)  ä =

Dus Lry,? bestaat.

Zooals uit het bewijs blijkt, hadden we de quasi-uniforme
conv. t. o. v f (x, y. z) ook kunnen vervangen door de minder
eischende voorwaarde: bij ieder willek, pos. getal s zijn te

vinden „vaste" waarden X en Y voor x en y, en een in-
terval — C  dat voor iedere waarde z in dit
interval en tot R behoorend:

L,;(z)-i(X,Y,z)\\<s

ts.

§ 8. De volgende stelling is tot op zekere hoogte als een
omkeering van de vorige te beschouwen.

Stelling: l(x,y.z) zij gedefinieerd op de in § 7genoemde,
drie-dim. verzameling.

Bestaan Li r en L^rjt (en dus ook de voorafgaande

limieten) en zijn ze gelijk, dan convergeert Lrjrfx) quasi-
uniform t.o.v. i(x,y,z) in

Bewijs: Kies s (pos.) en de intervallen {vi — t^ ê), — èi,
willekeurig. Het is nu mogelijk een interval —
1 ^2) te bepalen, zoo dat voor x in dat interval;

IS.

Kies in (C —het punt Z zoodanig dat:
is. Kies vervolgens in {vj — ê) het punt Y zoodanig

dat: .

is.

In zeker interval — 1 h) voor x, dat binnen —
^ ^2) ligt, is:

L^ {Y,Z)-f(x,Y,Z)<|.

Dus volgt voor x in — 1 ^3). door optelling uit
bovenstaande ongelijkheden:

m^(x)-f(x,Y,z)|<| |-f| |=,;

L, r (x) convergeert quasi-uniform t. o. v. f (x, y, z) in f.
Op dezelfde wijze gaat het bewijs voor L^ |r(z).

Uit het bewijs blijkt, dat we in plaats van de gekozen
Z ook ieder getal uit de verz. R en gelegen binnen zeker
interval — <x, oc) hadden kunnen kiezen. Is Z een-
maal gekozen, dan zijn ook voor Y nog alle waarden van
Q mogelijk, die in een interval {\'/j — {3, vj [3) liggen. De
lengte van dat interval zal een functie zijn van Z: 1 (Z).
Stel haar onderste grens is van nul verschillend: lo. Bij
alle combinaties Y en Z uit (j^ — V2 lo, ii lo) en

_ a:, ^ a) behoort een interval om wiens lengte een
functie is van Y en Z: A (Y, Z). Is de onderste grens van
A (Y, Z) nu ook nog van nul verschillend, dan is de con-
vergentie van U^f(x) uniform t. o. v. f(x, y, z) in in den
zin van § 19, en bestaat ook de drievoudige limiet. Dit is
natuurlijk in \'t algemeen niet het geval. -- Vgl. § 1, voor-
laatste alinea.

§ 9. Volgens § 7 is uit het bestaan der enkele limieten
en uit de quasi-uniforme convergentie t. o. v. f (x, y, z) der
tweevoudig herhaalde limieten te bewijzen het bestaan van
de drievoudig herhaalde limieten. Men zou nu verwachten,
dat in analogie met § 5 ook hare gelijkheid zou zijn aan te
toonen. De aldus gevonden steUing ware dan volkomen
het omgekeerde van de voorafgaande. Dit bleek echter
niet mogelijk. Nog een laatste voorwaarde moet worden
toegevoegd. En de aldus gevonden voorwaarden zijn niet
alleen voldoende, doch ook noodzakelijk.

We laten hier echter eerst het bewijs volgen van de
stelling, die het analogon is van die van § 1.

§ 10. t(x,y,z) zij gedef. op de in § 7 genoemde, drie-
dim. verzameling.

Opdat:

is noodig en voldoende:

a) L^yj^ bestaat;

b) !>; c tjestaat voor alle getallen x van P;

c) bij willek, pos. e, S en A zijn te bepalen vaste Y en

Z uit de verz. Q en R, waarbij Z in het interval - l
met de beide eig.:
Ie, er bestaat een zeker interval — ^ zoodat
voor iedere x van de verzameling P in dat interval:
\\L,r(x)-f(x.Y,Z)\\<s
2e. onder de in - ^ h) gelegen punten x van P
is te vinden een punt x, waarvoor

Bewijs: Zij aan de voorwaarden voldaan. Volgens § 7
bestaan „beide", drievoudig herhaalde limieten. Het is mo-
gelijk bij willek, pos. f te bepalen intervallen (f — A, ^ -r A)
voor X en - C ^oor z. zoo dat voor waarden in

die intervallen:

(1 ).....|L.,c-L,c(x)|<|

(2 ).....

\'\'Volgens (c) zijn bij ^ en A te bepalen vaste waarden Y
en Z. waarbij Z in het interval - C en een inter-
val _ Ai.f Al), zoo dat voor x in dit interval gelegen:

(3) . . . . mc(x)-f(x.Y.Z)l<i

is. Volgens voorwaarde (c. 2) is het tevens mogelijk het
punt x\' te bepalen, zoo dat:

(4) . . . . |f(x\'.Y.Z)-L,. {Z)\\<\\

is. terwijl x\' ligt in (f - A, f -f A) en in (| - A,. ^ A,).
Volaens (1). (2). (3) en (4) is dus voor het punt (x\'. Y.Z):

i L.^ ^ (x\') - f (x\'. Y. Z) I 1 f lx\'. Y. Z) - L^^ (Z) 1 -f-

£ is willek, klein. Bijgevolg zijn de drievoudig herhaalde
hmieten gelijk.

Nemen we omgekeerd haar gelijkheid aan. Aan (a) en
(b) is dan reeds vanzelf voldaan. Toonen we dus nog voor-
waarde (c) aan.

Kies e, ^ en A willekeurig pos. Bij s is te bepalen een in-
terval (f — Al, f Al) voor X en een interval - ^i, ^ ^i)
voor z, zoo dat voor waarden in die intervallen:

(5 ).....

en

(6 ).....

is.

Volgens § 8 zijn te bepalen getallen Y en Z, waarbij Z
in het interval (C- ^i. ^i) en in (C - ^oo ^at:

(7).....|L^^(x)-f(x,Y,Z)|<|

is voor x in een zeker interval — A2. ^ A2).

Kies x\' binnen het kleinste der intervallen — A, ^ A),
(|_Ai,|-f-Ai) en (f - A2. f A2). Dan gelden voor
het punt (x\', Y, Z) de 3 ongelijkheden (5), (6) en (7). Dus:

lf(x\',Y,Z)-L^^(Z)|< 1 1 1 = ..
Aan (c) is voldaan.\')

§ 11. We geven d? voorwaarden den volgenden, sym-
metrischen vorm:
Opdat:

is noodig en voldoende:

a) L.^i (z) en bestaan, respectievelijk voor alle

getallen z uit R en voor alle getallen x uit P;

b) bij willekeurige, positieve s zijn te vinden vaste waar-
den X en Y uit de verzameling P en Q, en een interval

1) Uit het laatste gedeelte van het bewijs blijkt, dat we inplaats van x\'
ook „ieder" ander getal x van de verzameling P hadden kunnen kiezen,
dat dichter bij c ligt.

^oo dat voor iedere waarde van R in dit in^
c) als in § 10 onder (c).

Het bewijs volgt onmiddellijk uit §7 en § 10.
Tenslotte geven we de volgende stelling, analoog met die

van § 5: t j ^

Noodige en voldoende voorwaarden, opdat:

zijn:

a) L^^ (z) bestaat voor alle z uit R en convergeert quast^

pos....

wil ekeurige intervallen - I ,  ^ be-

tfiae/teut.y vinden een ver-

hoorende pantverzameUngen ix^Y, Z)

zameling met een punt [x, Y. ^^o aai j
keurig gekozen, positieve A-\'

De noodzakelijkheid dezer voorwaarden laat zich gemak-
kelijk bewijzen met behulp van § 8 en de noot bi) § 10.

§ 12. Geheel als in § 10 hebben we voor de gelijkheid
van L..^ en L^^^ de volgende stelling:

i(x^y,z) zij gedef. op de in § 7 genoemde, drie-dim.
verzameling.

Opdat: ^ j.

is noodig en voldoende:

a) Ly^^ bestaat;

b) L^. (x) bestaat voor alle getallen x van P;

c) bij willek, pos. s, ê en zijn te bepalen vaste Y en
Z uit de verz. Q en R, waarbij Z (de veranderlijke van den
laatsten limietovergang uit het rechter lid) in het interval

Ie, er bestaat een zeker interval — h. I zoodat
voor iedere x van de verz. P in dat interval:

2e onder de in (^ — h, I h) gelegen punten x van P
is steeds te vinden een punt x\', waarvoor:

In plaats van te letten op de veranderlijke x, behoorende
bij den laatsten limietovergang in het linkerlid kunnen we
bij het formuleeren der voorwaarden ook letten op de
veranderlijke z, behoorende bij den laatsten limietovergang
rechts. SteUing en bewijs worden dan eenigszins anders.
Voor het bewijs is het nuttig de hulpstellingen van de §§ 7
en 8 uit te breiden. We zullen die nieuwe hulpstellingen
en het bedoelde bewijs zoo dadelijk geven voor het alge-
meene geval.

In het hier beschouwde geval luidt de stelling:

Opdat:

is noodig en voldoende:
a) L^^^ bestaat;

h) L ^ (z) bestaat voor alle getallen z van R;
c) bij willekeurige, positieve e, ^ [en A] is te bepalen een
vaste

X, in het interval (i — I ^ gelegen, met de\'

eigenschap: ^ i i j

Ie. er bestaat een zeker interval — ^oodat

voor iedere z van R in dit interval:

[2e onder de in (? - C ^i) gelegen punten z van R
is steeds te vinden een punt z\', waarvoor:

C1<A is].

Aan (c, 2) is hier natuurlijk vanzelf voldaan.

Uit de beide laatste stellingen laten zich ook weer sym-
metrische vormen der voorwaarden afleiden.

§ 13. Gaan we nu over tot het algemeene geval.

We beschouwen n lineaire verzamelingen Ej, E^----E^

(n geheel en positief), die respectievelijk ^i, . • •, ^n tot
verdichtingspunt hebben: Xi, x,..... xn zullen willekeurige ele-
menten voorstellen, resp. van E,. E,. .. . E„. De n verza-
meUngen vormen een uit n elementen bestaand stelsel. We
kunnen die n elementen op vooraf willekeurig aan te geven
wijze ordenen. De k eerste elementen vormen dan een ge-
ordend stelsel, dat we voorstellen door Sk. de overige ele-
menten een geordend stelsel voor te stellen door Sk\'. (dus
met behulp van een accent). Sk\'. heet het complementaire
stelsel van Sk. Het stelsel Sk bestaat uit minstens nul en

hoogstens n elementen.

Verder beschouwen we nog een hneaire verzamehng E (y).

met Vi tot verdichtingspunt.

Laat f (y. xi. X2..... Xn) gedefinieerd zijn voor alle combi-
naties\' (y,xx.x,.....xn) van getallen uit de verzamelingen

E(y).Ei.E2.....En.

Su moge bestaan uit de verzamelmgen Üm- ^-a,, .. ..
(en wel in deze volgorde). Een combinatie van getallen
^^ _________Xa, uit de verzamelingen van Sk duiden we ver-
kort aan door k; een dergelijke combinatie van getallen uit
de verzamehngen van het stelsel Sj,\'. duiden aan door k\'.
We spreken af onder f (y. k. k\') te verstaan f (y. Xj. x^. .... xn).
Evenzoo schrijven wc een functie F van de veranderlijken
uit het stelsel S^ verkort F (k); op gelijke wijze laten zich
ook verklaren de notaties: F (k\'). F (y. k). F (y. k\'). Aan
k(k\') een bepaalde waarde geven wil zeggen: uit iedere ver-
zameling van het stelsel S^ (S],\') een bepaald getal nemen.

Bestaat het stelsel Sj^ uit nul elementen, dan verstaan we

onder Lj, (y, k\') eenvoudig f (y, k\'); als Sk uit de verzamelingen

Eai, Ea.,.....Eaic (en wel in deze volgorde) bestaat, verstaan

we onder Ly^ (y, k\') de limiet Lf^^... ^^^ (y. k\'), In \'t al-
gemeen zullen indices z\', onder aan de letter L geplaatst,
limietovergangen aangeven. Daarbij zullen de limietover-
gangen, door (\'/) aangegeven, in dezelfde volgorde worden
uitgevoerd als waarin de bijbehoorende verzamelingen ge-
plaatst zijn in het stelsel S^ (Sj,\'). De limietovergang(en), bij
een index behoorend, die rechts van een anderen index is
geplaatst, gaat(n) aan de(n) bij den laatsten index behoo-
rende(n) limietovergang(en) vooraf.

Behalve van y en het stelsel veranderlijken (xi, xz, . . xn)
hadden we de functie f ook nog van een of meer andere
veranderlijken (z. enz.) kunnen doen afhangen. De daarbij
te gebruiken notaties liggen, na het voorafgaande, voor de
hand.

§ 14. Stel Lt t , a A (y) = F (y)- ^^ zeggen,

^ Sn <n — 1 . . . \'\'2

dat F ({/} in het punt v; quasi-uniform t o. v. Ly^ {y, k\') con-
vergeert, als bij een willekeurig positief getal s en bij wille-
keurige intervallen om de verdichtingspunten der verza-
mehngen van het stelsel Sk\', zijn te vinden:

Ie een interval {\'/j — -/j -jr

2e een bepaalde waarde K\' van k\', waarbij de verschil-
lende getalwaarden uit K\' liggen in de intervallen om de
bijbehoorende verdichtingspunten, met de eigenschap, dat
voor iedere y van E (y) in (j^ — de ongelijkheid:

|F(y)-L^(y.K\')l<.

geldt.

In de definitie onderstellen we stilzwijgend, dat F(y) bestaat
voor alle waarden y uit de verzameling E(y) en dat Lj^ (y, k\')
bestaat voor alle combinaties van waarden uit de verzameling
E(y) en die van het stelsel Sk\'.

Bij de definitie zijn twee grensgevallen te onderscheiden,
n.1. Sk bevat geen- of Sk bevat alle elementen van het stelsel

E,, E2...... E„. In het eerste geval is de ongelijkheid ook

te schrijven in den vorm:

|F(y)-f(y.K\')|<f;
in het tweede geval wordt ze: O <

Hangt de functie f ook nog van een veranderlijke z af,
dan moet deze in de definitie van quasi-uniforme convergentie
gerekend worden tot de veranderlijken van het stelsel Sk-.

§ 15. Hulpstelling I: f (y, Xt, X2,.. ., xj zij gedefinieerd
als in § 13 aangegeven.
Veronderstel:

a) F iy) _ ,... ^^^^
y uit E{y);

b) L ^ {k\') bestaat voor alle combinaties van getallen mt de

verzamelingen van Sr. Convergeert nu bovendien F {y) in het
punt VI quasi-uniform to.v. L., {y, k\'), dan bestaat ook lim^ F{y).

Het bewijs laat zich geven als in § 7.

De voorwaarde, dat de getallen van K\' in willekeurig
kleine intervallen om de overeenkomstige verdichtmgspunten
moeten liggen, hadden we ook hier wegkannen laten: deze
voorwaarde is in het begrip van quasi-uniforme convergentie

besloten.

§ 16 Hulpstelling II: f iy> X2..... zij gedefinieerd
als in § 13 aangegeven. Laat <r aangeven de limietovergangen,
bij de verzamelingen E,. E2, • > ^ E„ behoorend. en wel in vooraf
willekeurig gekozen volgorde. Bestaan L^^ en zijn

ze gelijk, dan convergeert L^{y) in ^ quasi-uniform t.o.v.

^Bewijs: Kies een willekeurig positief getal £ en willekeurige
intervallen om de verdichtingspunten, behoorend bij het
stelsel Sk\'.

Het is nu mogelijk een interval {■/, — I -f è) te bepalen,
zoo dat voor iedere y van E (y) in dit interval:

is.

Stel. dat de verdichtingspunten. behoorende bij de verza-
melingen van het stelsel Sk\'. gerangschikt op dezelfde wijze

als die verzamelingen, zijn^bi-^b^.....\'^b,,.-

Kies in het om Ib^. aangenomen interval het punt Xb^^,
zoodanig dat:

hierbij duidt de index - 1) dezelfde limietovergangen, in
dezelfde volgorde, aan als z\', behalve den laatsten limietover-
gang van v\' (dien naar Ib,^,)-

Kies vervolgens in het om aangenomen interval

het punt Xbj^. j zoodanig dat:

I 1), z (Xb,,) - Xb,,) ^ < is :

hierbij duidt de index {yJ — 2) dezelfde limietovergangen, in
dezelfde volgorde, aan als - 1). behalve den laatsten

limietovergang van {x — l)(dien naar

Zoo gaan we voort en krijgen aldus de vaste getallen:
Xj, ,Xb , ......Xb,^. Xbj. In de laatste ongelijkheid is de

achterste limiet (die met het kleinste aantal limietovergangen)

(K\'). als K\' aangeeft de getallen: Xb^, Xb^......Xb^,.

Voor alle waarden y van E (y) in een zeker interval — ^i.
vj ^i). dat ligt binnen (>; — is:

m,(K\')-L,(y.K\')l<..
Uit de in het voorafgaande verkregen ongelijkheden volgt
door optelling, dat voor iedere y van E (y) in het interval
__ M 3i) het verschil:

U(y)-L,(y.K\')
in absolute waarde kleiner blijft dan een vast. positief getal.
Dit getal kan willekeurig klein gemaakt worden door f maar
klein genoeg te\'nemen. Dus U(y) convergeert in yi quasi-
uniform t. O. v. Ly^ (y. k\').

Ook hier laten zich soortgelijke opmerkingen maken als
in § 8, laatste alinea.

§ 17. Hoofdstelling A: We beschouwen het stelsel van
verzamelingen Eu E......En, dat reeds in § 13 werd ge-
definieerd. Bovendien zijn gegeven twee verzamelingen E {y)
en E {z), die respectievelijk en ^ tot verdichtingspunt hebben

f{y,z,XuX2____Xn) zij gedefinieerd voor alle combinaties:

y, z, xi, X2____,xn uit de verzamelingen E {y), E {z). Ei .. En.

Laten Sk en Sk\' en eveneens Si en Si\' complementaire

deelverzamelingen zijn van het stelsel Ei, E2----En\', de

stelsels van bijbehoorende limietovergangen worden aange-
geven door de indices x, yJ en X, x\'. Dan zijn noodige en
voldoende voorwaarden voor de betrekking:

de volgende:

b) y^ bestaat voor alle getallen y van E (y);

c) bij willekeurig positieve s, ^ en A zijn te bepalen een
waarde K\' en een getal Z, gelegen in ^^

de beide eigenschappen:

Ie. er bestaat een interval {-a - v) ^i)- ^oo dat voor
iedere y van E iy) in dit interval:

is;

li. onder de in in - Su ^ h) gelegen punten y van
Eiy) is te vinden een punt y\', waarvoor:

en

Het bewijs laat zich geven als in § 10.

§ 18. Gewijzigde vormen der hoofdstelling zijn:
Al; Opdat:

is noodig en voldoende:

„^ r , iz) en L.\' y (y) bestaan resp. voor alle getallen

X yj z \' A <; A

z van

E{z) en alle getallen y van Eiy);
\') De noot op p. 20 laat zich ook op het algemeene geval overdragen.

b) bij willekeurige positieve s zijn te vinden vaste waarden
A\' en Y en een interval — l ^ ^oo dat voor ieder
getal z van E[z) in dit interval:

c) als in § 17 onder (c).

Het bewijs volgt uit de §§ 15 en 17.

A^; Noodige en voldoende voorwaarden voor de onder
A\' genoemde betrekking zijn ook de volgende:

a) als in A\' onder (a);

b) L^/ ^ (z) convergeert quasi-uniform t. o. v. L^iy, z, l\')
in het punt

c) L^/ ^ iy) convergeert quasi-uniform t. o. v. L,^ iy, z, k\')
in het punt

d) volgens (c) zijn bij willekeurig positieve s en bij wille-
keurige intervallen om de verdichtingspunten van het stelsel
S^\' en om het verdichtingspunt \'( te vinden verzamelingen
({ƒ, Z, K\') wier punten aan een bepaalde ongelijkheid voldoen
[zie § 14). Onder deze verzamelingen laat zich bij vooraf
willekeurig gekozen, positieve A een verzameling aanwijzen,
welke een punt: y\'. Z, K\' bevat, waarvoor bovendien de on-
gelijkheden :

en | y\'- ^ 1 < A

gelden.

De noodzakelijkheid dezer voorwaarden volgt met behulp
van § 16 en de noot bij § 17.

§ 19. De laatste stelling van § 4. welke noodige en vol-
doende voorwaarden geeft voor het bestaan en de gelijkheid
der beide, tweevoudig herhaalde limieten en van de waarde,
die bij den twee-dimensionalen limietovergang wordt ver-
kregen. laat zich hier uitbreiden.

We moeten daartoe eerst een uitbreiding van het begrip
„uniforme convergentie in een punt" doen voorafgaan.

De notaties van § 13 en § 14 worden ook hier gebruikt.

Stel dus U . . A I \'y)--=F(y)- dat

F(y) in het pant y, uniform convergeert

bi ieder willekeurig positief getal . zijn te viriden mteryallen
om . en om de verdichtingspunten van het stelsel S^. 200
dat voor alle combinaties van waarden uit die intervallen
en behoorend tot de gegeven verzamehngen:
lF(y)-L5,(y.k\')l<5
Onder uniforme convergentie van Lyjy.k\') in het punt ^
t O. .. f (y, k, k\') verstaan we, dat het bij f
tieve . mogelijk is intervallen te vinden om alle verdichtmgs-

punLm zoo dat voor iedere combinatie van waarden mt

L intervallen en behoorende tot de gegeven verzamehngen:
lU(y.k\')-f(y.k.k\')|<^
Bij die gevallen, waarop beide definities van toepassing

ziin, dekken ze elkaar volkomen.

Hangt de functie f ook nog van een veranderlijke z af,
dan moet deze in de definitie van uniforme convergentie
gLekend worden tot de veranderlijken van het stelsel S,\'.

§ 20. Hoofdstelling ^^ z^ Xu x,...., Xn) zij gedefi-
nieerd als in § 17 aangegeven.
Opdat: __

IS noodia en voldoende:

a) L \' (z) en iy) bestaan respectievelijk voor

alk getallen\\ van E{z) en alle getallen y van Eiy);

b) iy) convergeert uniform t. o. v. L^ {y, z,k)m het
^"c)^ "\'h^iy.z^k\') convergeert uniform t.o.v. i(y,z.k.k\') in
^^Brwijs:\'^ Volgens hulpstelling I volgt uit de voorwaarden

het bestaan van Lj^

Bij willekeurig positieve s is het mogelijk aan te geven
een interval [v, - ^o« ^^^ ^^^ere y van E (y)

in dat interval:

Wegens de uniforme convergentie, onder (b) genoemd,
zijn aan te geven intervallen om de verdichtingspunten van
Sk\'. om ^ en om waarbij het laatste interval te kiezen is
binnen — zoo dat voor alle getallen van de ver-
zamelingen van S]^,, van E(z) en van E(y) in die intervallen:

(2) . . . . |<~ is.

Volgens (c) zijn weer te kiezen intervallen voor alle veran-
derlijken, welke bij de veranderlijken y, z en die van S^,
zullen liggen binnen de voorafgaande intervallen, zoo dat
voor alle waarden in die nieuwe intervallen en behoorend
tot de gegeven verzamelingen:

(3) . . . |L^(y.z.k\')-f.y.z,k.k\')|<| is.

Voor de laatst genoemde waarden der veranderlijken is
aan (1). (2) en (3) gelijktijdig voldaan, of wel. daarvoor is:

In woorden: de meerdimensionale hmietovergang in het
punt

(>]. C. 54\') is mogelijk en levert een waarde gelijk aan
de herhaalde limiet uit het Ie lid.

Hieruit en uit voorwaarde (a) volgt nu vanzelf het bestaan
van de herhaalde limiet uit het 2e lid en haar gelijkheid aan

de beide vorige.

De voorwaarden zijn dus voldoende.
Dat ze ook noodig zijn, is evident.

De voorwaarden (b) en (c) zijn te vervangen door één

voorwaarde: ^

bc) L/ ^^^ convergeert uniform t o. v. f [y, z, k k ) in

het punt Vj.

1) Opdat = I, . . . In)\' - ^ \'

b) L^\' ^ (y) convergeert uniform t o. f fy. k, k\') in het punt i^. - In

deze stelling speelt ? geen bijzondere rol en kan daarom onder de f\'s worden
opgenomen. — Vgl. p. 13, noot.

y 2

§ 21. Voorbeeld: f (x. y, z) - ^ ^ ^ in het punt (0,0,0).

De verzamelingen voor x, y en z zullen ieder bestaan uit
alle positieve getallen. Van de zes herhaalde limieten zijn
er vier gelijk aan 1, de beide andere aan - 1. De 3-dimen-
sionale limietovergang levert dus geen waarde. O. a. is
in (0,0,0):

moet dus quasi-uniform t. o. V. f (x, y, z) conver-
geeren in f = O, terwijl deze convergentie „niet" uniform t. o. v.
f (x, y, z) is.

Het is dus noodig, dat bij willekeurig positieve ^ en
willekeurige intervallen om -,1 = 0 en O waarden Y en Z
in deze intervallen en verder een interval om ^ = O mogelijk
zijn, zoodat voor iedere positieve x in laatstgenoemd interval:

t c of

l-xTY Z

(1)..... 2Y<5(x Y Z) is.

Kies voor Z een willekeurig positief getal, in het interval
om ? = O gelegen. Kies daarna Y in het gegeven interval

om ;i = 0 zoo dat:

2Y<.XZofY<|XZ is.

Dan blijkt, dat voor alle positieve getallen x de ongelijkheid
(1) geldt. Voor x kunnen we dus een geheel willekeurig

interval om I = O nemen.

Er is echter geen uniforme convergentie t. o. v. f (x, y, z\\
Nooit zal het mogelijk zijn, voor f < 2, bij een zeker interval
voor x om f = 0 de getallen Y en Z zóó te bepalen, dat
ook voor alle kleinere waarden van y en z aan (1) is vol-
daan bij die zelfde waarden voor x. Immers, voor x en Z
klein genoeg zal nx Y Z) zoo weinig van £ X Y afwijken,
als we wenschen, en dus „kleiner" zijn dan 2 X Y.

Tweede Groep.

Onder deze- groep vallen de stellingen, waarbij we voor
sommige veranderlijken niet een enkele limietwaarde, doch
een verzameling van limietwaarden beschouwen.

§ 22. Laat f {x, y) gedefinieerd zijn voor de punten {x, y)
eener twee- dimensionale verzameling van de volgende soort.
De waarden x vormen een begrensde, lineaire verzameling P
met een of meer verdichtingspunten die de verzameling Pi
vormen. De waarden y vormen een (al- of niet begrensde)
lineaire verzameling Q met n als verdichtingspunt in behoort
niet tot Q). De punten der twee-dimensionale verzamelmg
worden verkregen door te nemen alle mogelijke combinaties
van x- en y-waarden uit P en Q.
Opdat nu in ieder punt | van Pt:

is noodig en voldoende:

a) L ^ iy) bestaat voor alle combinaties iy, O uit QenPi;

h) L ^ bestaat voor alle waarden f uit Pt;

c) l\\x) „ . » ^ " P

V)

geert qaasi-uniform op de verzameling P."

Onder „quasi-uniforme convergentie van L.^ (x) op de ver-
zameling P" verstaan we, dat bij willekeurige, positieve f en
5 zijn te vinden een eindig aantal intervallen Ii, I2,... lp met
de beide volgende eigenschappen:

Ie ieder punt van Pi is inwendig punt van minstens een

der intervallen;

2ê bij ieder interval Ik is te vinden een Yk, in in — I n
gelegen en behoorend tot Q, zoo dat voor iedere x van Ik,
die tevens tot P behoort:

|L^(x)-f(x.Yk)l<£ is-

Bewijs: Dat de voorwaarden noodig zijn, volgt uit § 1, met
behulp van het bekende lemma van Borel. Dat ze vol-
doende zijn, is direct duidelijk uit § 1. - Het blijkt, dat de

quasi-uniforme convergentie op een verzameling een uitbrei-
ding is van de quasi-uniforme convergentie in een punt^)
Voorwaarde (c) is te vervangen door :

c\'l L (X) bestaat voor iedere x van P. Kiezen we uit

\'/j

Q een rij y^ (m geheel en positief), zoodat Jim^ =

dan zal Jim f {x, ym) quasi-uniform convergeeren op de

m —ao

verzameling P."

D.w. z.: bij 2 willekeurige, positieve getallen £ en M zijn
te vinden een eindig aantal intervallen Ii... lp met de beide
eigenschappen:

Ie ieder punt van Pi is inwendig punt van minstens een

der intervallen; \\ xa

2e bij ieder interval I, is te vinden een y waarbij ^^ > ^

en zoo dat voor iedere x van P. in gelegen:
! lim f(x, ym) )|<f

ra = 00 \'\'

Door aan het begrip van .. quasi Worme convergentie op
een verzameling" een kleine uitbreiding te geven, waardoor
het ook op niet-begrensde verzamelingen kan worden toe-
gepast (vgl. § 6). is het niet meer noodig in de voorafgaande
stelling de verzameling P begrensd te onderstellen.

dok zijn de voorwaarden symmetrisch te maken, zoo we
in plaats van alleen ^ alle verdichtingspunten van Q be-
• schouwen. Die stelling wordt dan een uitbreiding van die

van § 5.

§ 23 Voor het geval van meer-dimensionale verzame-
lingen \'P en Q geven we hier nog de symmetrische \' voor-
waarden :

^^i^zööweTuit de stelling van § 1 als uit die van de noot op p. 6 volgen
voor het hier behandelde geval de volgende, minder eischende, noodige en
voldoende voorwaarden: a) en b) als in den tekst; c) Lvj (x) bestaat voor
alle waarden x uit P en deze convergentie is als volgt. Bij willekeurige,
positieve e en a zijn te bepalen een eindig aantal waarden voor y\' uit de
verzameling Q en gelegen in  "h zoo dat bij iedere x van P be-

hoort een waarde yx uit dat eindige aantal, waarvoor | ^ (xj - f (x, y J | < £ is.

Laat i/i.. .., yq) gedefinieerd zijn voor alle

combinaties: yu • • • > yci uit de p-dimensionale

verzameling P en de q-dimensionale verzameling Q. Stel Pi
is de afgeleide verzameling van P en Qi de afgeleide ver-
zameling van Q.

Opdat nu:

.... fp); (i^i.....ilq) ^ • • • • • • "

waarbij (^i,..., lp) zal zijn een willekeurig punt van Pi en
(vji,.. ., vjq) een willekeurig punt van Qt, is noodig en vol-
doende:

a) L^^ I ^ (yi\' . • " y<l) bestaat voor alle combinaties
(yj________liO üit Q en Pi en convergeert quasi-

uniform op Q;

b) Lf .... X,,) bestaat voor alle combinaties

{yjl, . • • . \'-Iq)

.....Xp; . . ., Hq) uit P en Qi en convergeert quasi-

uniform op P.

De definitie van „quasi-uniforme convergentie op een
meer-dimensionale verzameling" ligt voor de hand.

Het bewijs laat zich geven met behulp der stelling van § 3.

§ 24. Voorbeeld: f (x. y) = ^ . De verzameling P zal

bestaan uit de punten van het segment (o, a). waarbij a wille-
keurig positief; de verzameling Q zal bestaan uit alle posi-
tieve getallen.

Op het segment (o. a) is limietverwisseling niet in alle
punten geoorloofd. Er is dan ook niet aan alle 3 voorwaarden
uit § 22 voldaan.

§ 25. f (x. y) zij gedefinieerd als in § 22.

Opdat in ieder punt | van Pi;

is noodig en voldoende:

a) L^ (y) bestaat voor alle combinaties (y, I) uit QenPi;

b) L (x) « " " waarden x uit P en deze con-
vergentie is bovendien als volgt. Bij willekeurige, positieve

s zijn te bepalen een eindig aantal intervallen U. ƒ2,.. •, /p
met de beide eigenschappen:

Ie ieder punt van Pi is inwendig punt van minstens een
der intervallen;

2e bij ieder interval h is te vinden een interval (vj — h,
vj-\\-h), zóó dat voor „iedere" Y van Q in dit interval en
voor iedere x van P in Ik:

Y)\\<s is.

Het bewijs volgt uit § 4, met behulp van het lemma van
Borel.

Daar het aantal intervallen in — h, vj -j- h) eindig is en het

aantal x-waarden buiten Ii.....lp eveneens, is voorwaarde

(b) te vervangen door de volgende:

b\') L^ {X) bestaat voor alle waarden x uit P en „con-
vergeert uniform op de verzameling P."

D. w. z.: het is bij willekeurige, positieve s mogelijk te be-
palen een interval (vj — H,yi-{- H), zóó dat voor iedere Y
van Q in dit interval:

|L^(x)-f(x.Y)l<.

is,- onafhankelijk van de keuze der x.

Evenals dus de quasi-uniforme convergentie op een ver-
zameling P een uitbreiding is van de quasi-uniforme conver-
gentie in een punt x, vormt de uniforme convergentie op een
verzameling P een uitbreiding van de uniforme convergentie
in een punt x.

De voorwaarden kunnen een symmetrischen vorm krijgen
door zoowel van Q als van P de afgeleide verzameling te
beschouwen.

§ 26. Voorbeeld: Vervangen we in het voorbeeld van

§ 6 de letter n door —. Beschouwen we dan een verzameling
y 0

Q van y-waarden met vi = 0 tot verdichtingspunt (dit punt

zal niet tot Q behooren) en èen segment om x = O voor de

x-waarden (verzameling P). Dan is in ieder punt van dat

segment limietverwisseling geoorloofd, doch in f = O geeft

de twee-dimensionale limietovergang geen uitkomst. Er be-
staat dus op dat segment wel quasi-uniforme-, doch geen
uniforme convergentie.

Dit volgt ook uit de continuïteit ten opzichte van x en y
in ieder punt 0), verschillend van (0,0), en uit de be-
schouwingen van § 6 over het punt (O, 0).

§ 27. Uitbreiding van het begrip der „uniforme conver-
gentie op een verzamehng" geeft de mogelijkheid hoofdsteUing
B uit te breiden op het geval, dat we voor een der ver-
anderlijken niet een enkel verdichtingspunt, doch alle punten
der afgeleide verzameling beschouwen.

Voor hoofdstelling A is het in het algemeen niet mogelijk
eenvoudige uitbreidingen te vinden.

De volgende tabel geeft een kort overzicht van de begrippen,
gebruikt bij het afleiden der noodige en voldoende voorwaarden
voor:

a) gelijkheid van twee herhaalde limieten;

b) „ „ » t, èn de daarbij
behoorende, enkele limiet op een meer-dimensionale verza-
mehng.

Gelijkheid

onder (a) genoemd onder (b) genoemd

in een punt: quasi-unif. conv. „in een punt" unif. conv. „in een punt"

in de verd. p. e. verz.: quasi-unif. conv. „op een verz." uniforme conv. „op een verz.

HOOFDSTUK IL

Toepassingen der Algemeene Limietstellingen.

Eerste Groep.
Tot deze groep behooren de theorema\'s, die zijn af te
leiden uit hoofdstuk I, Ie groep.

§ 28. De volgende stelling is slechts een bijzonder geval

van de stelling van § 1:

I. Opdat een in een omgeving van ^ convergente reeks
van in | continue functies in dat punt continu is, is noodig
en voldoende, dat ze in dat punt quasi-uniform convergeert.

Natuurlijk gaat de stelling ook door, als de functies slechts
gedefinieerd zijn op een bepaalde verzameling P(x), met f
als een harer verdichtingspunten.

Bij de dubbelsommen [lim lim S^^ (x)] van continue

n = 00 m = 00

functies is noodig en voldoende de quasi-uniforme conver-
gentie der dubbelsom t. o. v. S^^ (x) in het punt f en nog
een 2e voorwaarde (zie § 12).

§ 29. Uit § 4 volgt:

II. Een functie f (x, y) zij gedefinieerd in een omgeving
van het punt (f, -/j) en zij in die omgeving continu t o. v. x
en t.o.v. y. Opdat ze nu in het punt i^, \'/j) continu zal zijn
t, O. V. X en y, is noodig en voldoende, dat lim f ix, y) in |

uniform convergeert („hebbare Unstetigkeit" \') buitengesloten).

1) Hieronder is volgens Riemann te verstaan een discontinuïteit, die
verdwijnt door de functie in het beschouwde punt op geschikte wijze te
deflnieeren. ^ Zie b.v. Osgood, L. d. F^n/c^io^en^ft., Ier gand, Kap. I, § 3.

De omgeving van (I, is te vervangen door een verza-
meling uit die omgeving van de volgende soort. De
x-waarden vormen een verzameling P met | tot verdichtings-
punt, de y-waarden een verzameling Q met tot verdichtings-
punt. De twee-dimensionale verzameling ontstaat door te
nemen alle mogelijke combinaties van x- en y-waarden uit
P en Q.

Voorbeeld: Dit volgt uit dat van § 6 door n te vervangen

door — en aan y alle waarden toe te kennen uit een wille-
y

keurige omgeving van -/j = O, dit punt zelf uitgezonderd. -
aan x alle waarden uit een willekeurige omgeving van | == O,
dit punt zelf weer uitgezonderd.

§ 30. a. De bekende stelling van BAIRE betreffende de
mogelijkheid, een eindige functie op een perfecte verzameling
P{x) op te vatten als limiet van naar x continue functies,
eischt als noodige en voldoende voorwaarde, dat de functie
puntsgewijze discontinu is.

In de punten, waar de functie continu is, is limietverwis-
seling mogelijk. In die punten is er dus quasi-uniforme con-
vergentie (§ 1). De stelling van BairE laat zich bijgevolg
ook aldus uitspreken:

a\\ Noodig en voldoende is, dat op iedere willekeurige,
perfecte onderverzameling de punten van quasi-uniforme
convergentie overal dicht liggen,

D. w. z. in ieder interval, dat punten der onderverzameling
bevat, moet een punt van die onderverzameling zijn aan te
wijzen, in welks omgeving de functie zich zoodanig als limiet
van naar x continue functies laat voorstellen, dat de con-
vergentie in dat punt quasi-uniform is.

Gaan we echter het bewijs na, dat door LEBESGUE ge-
geven wordt in Note II van de Leçons sur les fonctions
de var. réelles van BOREL, dan blijkt, dat hij bij de afleiding
der noodige voorwaarde aantoont, dat op iedere willekeurige,
perfecte onderverzameling de punten, waar de reeks uniform
convergeert, overal dicht liggen. Deze voorwaarde is ook
voldoende. Dus :

b. Noodig en voldoende, opdat een eindige functie op
een perfecte verzameling als limiet van continue functies is
te schrijven, is dat op iedere willekeurige, perfecte onder-
verzameling de punten van uniforme convergentie overal
dicht liggen.

De bedoeling van de uitdrukking „punten van uniforme
convergentie" is na het onder a\' meegedeelde duidelijk.

In die punten is volgens §4 twee-dimensionale limietoverr
gang mogelijk, welke dan als uitkomst de functiewaarde
oplevert.

De punten van uniforme convergentie (b) vormen natuur-
lijk een onderverzameling van de punten van quasi-uniforme

convergentie (a\').

Zoowel de punten van quasi-uniforme convergentie als die
van uniforme convergentie vormen bij\' functies van de klasse 1
een verzameling van de tweede categorie, i)

Tenslotte volgt uit het bewijs van Lebesgue ook nog
een 3e vorm van de stelling van Baire:

c. Noodig en voldoende is, dat op iedere perfecte onder-
verzameling de punten, waarin de functie van de klasse 1

is, overal dicht liggen.\'^)

De functie is in een punt van de klasse 1, als bij iedere
positieve e is aan te geven een omgeving van dat punt en
een functie van de klasse 1, zoo dat in ieder punt van die
omgeving, waarin de functie gedefinieerd is, deze van die
functie van klasse 1 3) minder dan 5 afwijkt.

De onder a\' en b bedoelde punten van quasi-uniforme
convergentie en uniforme convergentie behooren onder de
punten, waarin de functie is van de klasse 1.

■ 1) Dit volgt gemakkelijk met behulp van de eigenschap, dat de discon-
tinuïteitspunten van een functie van een of meer veranderlijken, waarin de
oscillatie > <t (willekeurig positief) is, een gesloten verzameling vormen;
vgl. Hob\'^on. T.o. F., First Ed., p. 485.

2) Vgl. de,la Vallée Poussin, Intrégcales de Lebesgue, Foncfions
d\'ensemble. Classes de Baire, p. 144.

Onder de functies van klasse 1 rekenen wij, evenals Lebesgue in de
genoemde „Note", ook de continue functies.

Lebesgue heeft de stelling van Baire uitgebreid op functies
van klasse ot. i<x geheel). Als uitbreiding van stelling (c)
hebben we:

Opdat een eindige functie op een perfecte verzameling
P iy) is van een klasse ^ a, is noodig en voldoende, dat de
punten, waarin de funtie is van klasse ^ x, op iedere per-
fecte onderverzameling overal dicht liggen.

De definitie van een punt, waarin de functie is van klasse
^ a, ligt na het voorafgaande voor de hand.

Gaan we de punten na, in wier omgeving het ons gelukt
de functie voor te stellen door middel van herhaalde limieten
van naar y continue functies, waarbij het aantal limietover-
gangen is ^ « 1. Onder de punten, waarin de functie is
van klasse ^vallen dan die punten, waarin er is quasi-
uniforme convergentie volgens de definitie van § 14 en die,
waarin er is uniforme convergentie volgens de definitie van
§ 19 (het grensgeval, dat Sk bevat alle elementen van het
stelsel (El, E2,.... En) wordt buitengesloten, zoowel bij de
quasi-uniforme- als bij de uniforme convergentie).

Gaan we de punten na, in wier omgeving een dergelijke
voorstelling mogelijk is, waarbij nu echter het aantal limietover-
gangen willekeurig groot (eindig) mag zijn. De punten, waarin
er is quasi-uniforme convergentie t. o, v. f (y, k, k\') en die,
waarin er is uniforme convergentie t. o. v. f ( y, k. k\') vallen
onder de punten van klasse ^ x. Voor de continuïteit naar
y is noodig de gelijkheid van bepaalde, herhaalde limieten;
bij continuïteit naar y en de parameters uit het stelsel (Ei ,.., En)
moeten die herhaalde limieten bovendien nog gelijk zijn aan
een bepaalde, meer-dimensionale limiet. De beide, genoemde
manieren van convergentie behooren respectievelijk tot de
noodige voorwaarden voor het eerste en tweede geval van
continuïteit. De punten, waar de functie continu is naar y
en die, waarin ze continu is naar y en de parameters, vallen
dus ook onder de punten van klasse ^ x.

Aldus beschouwd zijn de uitgebreide. voorwaarden van

1) Vgl. de la Vallée P., Int. de L.. etc. p. H4,

Baire van grooter belang dan de voorwaarden van een
andere soort, welke ook door Lebesgue werden gegeven, i)

§ 31. Stel u, (x) U2 (x) ..... uu (x) = Sn (x). De

mogelijkheid van termsgewijze differentiatie der reeks in een

punt f laat zich aldus schrijven:

s„ (I h) - s„ _
hm hm ---------r---

h=:0 n= 00 ^

= hm hm-----r—

n = QO h = 0 "

Dus volgens § 1 en § 5:

III. Opdat een in de omgeving van een punt f conver-
gente reeks van in f differentieerbare functies in dat punt
termsgewijs mag gedifferentieerd worden, is noodig en vol-
doende, dat de reeks der differentiaalquotienten convergeert en

dat lim /i) — ^»ÜI h = o quasi-uniform conver-

n = oo h

geert\', ^J
Of wel:

dat de reeks zelve in f een afgeleide bezit en

lim in n= GO quasi-uniform convergeert;

h=0 h
Of wel:

n = =0

lim in n = 00 quasi-uniform convergeert.

h^O h

In het laatste geval is het dus mogelijk:
Ie bij willekeurige, positieve £ en N te bepalen een geheel
getal y > N en een interval (— l d), zoo dat voor iedere
waarde van h in dit interval:

1) Zie de la Vallée Poussin. Int de L.. etc.. p. 141.
Zie H ob s on, T.o.F., First Ed., p. 563 en 564.

Sa(| h)-S„(f) 

I hm -r------^—ï---|<£ IS,

n = oo h h

2e bij willekeurige, positieve s en J te bepalen een getal
H, in (— S) gelegen, en een positief getal N, zoo dat
voor ieder geheel getal n]>N:

, Sn h) - Sn (i) Sn(l H)-Sn(|), ^ .

hm -r----ö- I < f IS.

h = 0 h H

xn xii 1

Voorbeeld:^) Is un(x) = —— —dan wordt sn(x) =

n n 1

= x — ^ Op het segment (0,1) is lim Sn(x) = x;

n 1 n= 00

A s,j (x) = 1 — xn; A lim Sn (x) = 1. Het blijkt dus, dat
dx dx

voor 0^x<l geldt: ^ lim s„ (x) = lim ^Sn(x);echter

n = 00 n = 00

niet voor x = 1.

^ 11 1-1 • ^ . . ^ . Rn (0 h)-Rn(0)
Gemakkelijk is aan te toonen, dat -^-=

un

-. Kiezen we geheel willekeurig voor n een zeker, ge-

n 1

heel petal N, dan is het mogelijk bij willekeurige, positieve £

hN

een interval (O, è) voor h te bepalen, zoodat <! £ is:

. /i\'/Tiü-T-rr- •• T- Su(\'0 h)-Sn(0)
daartoe moet ^ < ]/ (N 1) £ zi)n. Lim -r---

n = 00 "

convergeert (quasi\'-)uniform in h = 0.

,, ^ . Rn(l-h)-Rn(l) n 1 " n 1
Verder is----—---—

— 1 r unJuXl—h)^ voor h tusschen O en 1. Bij
h J i_ h

iedere waarde van n is een zoodanige, positieve waarde van
h te bepalen, dat (1 — h)*^ zoo weinig van 1 verschilt, als

■) Zie Stolz, Grundzüge d. Diff. u. Int. Rechnung, pr Teil, p. 71 e. 72.

we wenschen. Er is dus geen quasi-uniforme conver-

Sn(l -h)-su(l) ,
gentie van hm--in n — w.

, Sn (g h) - Su (e)

Evenzoo laat zich aantoonen, dat hm - ^

h = O

in n = 00 (quasi-)uniform convergeert voor f = O, niet
quasi-uniform voor f = 1.

^ = O is dus aan alle voorwaarden voldaan, in f = 1 niet.

§ 32. De gelijkheid, laat zich schrif-

ven in den vorm: , , s , r/ .

f (xo h, yo  ^yo k) f(xp,yp)_

lim lim-----j^k

f t. yo - f (Xn j^yo) - f (XQ. y» k) f (xo, yo)

= Hm lim --""" h k

k=0h=0

Hieruit volgt (§1):

IV. Bestaan in een punt (x,. y,) en dtens omgeving

\'dl{xo,y) ^ i {X, yo) . i

eindige differentiaalquotienten —

punt een eindig differentiaalquotient

en voldoende, opdat ook bestaat en

dat

f 4- h, yo  h\' yo) - f yo fc) f yo)

lim —------------------------^ O

k = 0

in h = 0 quasi-unifotm convergeert.

D. w. z. bij twee Willekeurige, positieve getallen £ en ^ zijn
te bepalen een K, in (— gelegen, en een interval
^i), zoo dat voor alle h in (— ^i, ^i):
f (xo h, yo 4- k) — f (xo h. yp) — f (xp. yp k) f (xp. yo) _
lim —^ ^ ~hk

k = 0

f (xo h, yo K) — f (xo h, yo) - f (xp. yp K) f (xo. yo) ^
— h K

is.

2 2

Voorbeeld (van Peano \')): f (x, y) = x y ^^^^

combinaties (x, y) behalve voor x = O, y = 0; f (0,0) = 0.

\' \\ / \\
__1 en -

7^0,0 \\ c>yi>x/0,0

lijk laat zich aantoonen, dat bovengenoemde limiet in h = O
niet quasi-uniform convergeert.

Uit de § § 17 en 18 volgen soortgelijke stellingen voor
difFerentiaalquotienten.

Hoofdstelling B(§19) geeft nog de volgende:
Een functie f (x, y, z) zij gedefinieerd in de omgeving van
het punt (xo, yo, Zo). Laat in de omgeving van dit punt een
tweede difFerentiaalquotient bestaan, waarin de beide diffe-
rentiaties geschied zijn naar verschillende veranderlijken,

b.v. \' f (x, y, z). Is verder
(> y d X

——^ f (xo, yo, Zo .1) - . ^ f (xo, yo. Zo)

i)yofxo ^^^___t)yo d Xp_

"1

uniform convergent t.o.v. F (h, k, 1) in het punt (0,0,0),
waarbij h, k, 1 de onafhankelijk veranderlijken voorstellen,

dan bestaat ook -^-f (xo yo, Zo). Tevens bestaat

c\' Zo c\' yo c\' Xo

ieder ander 3e differentiaalquotient, waarin dezelfde diffe-
rentiaties in andere volgorde voorkomen, in dit punt en is

bovendien = -^^-^ f (xo, yo, Zo), zoo de bij dat 3e dif-

^ Zo p yo Xo

ferentiaal quotient behoorende, voorafgaande differentiaal-
quotienten in

de omgeving van (xo, yo, Zo) bestaan.
Hierbij is F (h, k, 1) =

f (xo -f h, yo k. Zo 1) - Z f \'t\' — f (xo, yo, zo)

^--------

De waarden f uit 2 f (p = 1 of 2) behooren bij de verschillende

(p)

•) Zie Hob son. T.o.R, First Ed., p. 321 (Sec. Ed., p. 403 en 404).

punten (x.y.z). die p coördinaten gemeen hebben met het punt

(xo. yo.zo) en (3 - p) coördinaten met het punt (xo h, yo k,

De differentiaalquotienten worden eindig ondersteld.
Een eenvoudig voorbeeld, waarbij gemakkelijk is aan te
toonen. dat aan deze voldoende voorwaarden is voldaan, is
£ y 2) = x X y X z. beschouwd in het punt (0. 0. 0).

§ 33. In deze en de volgende §§ van dit hoofdstuk be-
schouwen we uitsluitend integralen van RiEMANN.

lim rf(x,y)dx=r lin^

laat zich schrijven in den vorm:
lim lim £f(xi.y)Axi= lim lim 2f(xi.y)Axi.

y = y„ (AxOb = 0 i (Axi)3 = 0 y=y„ >

Hierbij stelt A xi voor dc lengte van het le mterval, dat
bij een zekere verdeeling van (a. b) behoort, terwijl (A xi)^
is de grootste intervalslengte bij die verdeeling. xi ligt in- of
op den rand van het interval A xi.
Volgens § 1:

Va. Laat i(x,y) integrabel zijn in (a, b) vooralle waarden
van den parameter y. uit een verzameling Q met y^ tot

verdichtingspunt. Laat verder lim f y) bestaan voor

y = Vo

alle waarden x in (a, b) [behalve voor een verzameling met
inhoud nul] en integrabel zijn in {a. b) [welke waarden we de
functie in de punten van genoemde verzameling^) ook toekennen,
zoo die waarden slechts een begrensde verzameling vormen].

Opdat nu de limietovergang, voor y naderend tot\' yo.
mogelijk is en onder het integraalteeken mag worden uitge-
voerd. is noodig en voldoende, dat lim S f {Xi. y) A Xi

(A i

bij één enkele rij van sommen van Riemann quasi-uniform
convergeert in yo. [We nemen voor Xi geen punten, waarin

lim f {X, y) niet bestaat].

_

\') Uit den eisch van integrabiliteit volgt, dat, als we die verzameling
gesloten maken door toevoeging der verdichtingspunten, haar inhoud toch
nul blijft.

Bij twee willekeurige, positieve getallen t en ^ moet het
dus mogelijk zijn uit de rij te vinden een som van Riemann,

Xf(Xi,y) AXi, waarbij (AXi)^ <C d, en een interval (yo —

i

yo zoo dat voor iedere y van Q in dit interval:

lim £ f (xi, y) A xi - E f (Xi. y) A Xi

(A Xi)B = 0 i i

/\'f(x. y) dx-Ef(Xi,y)AXi

b — a

Kiezen we alle intervalslengten A xi = (N geheel)

b — a

en Xi = a -j----X (i — !)• dan wordt de noodige en vol-
doende voorwaarde:

J i=:2N _

dat lim Z fia —^X(i-l).yl quasi-uniform

convergeert in yo.

Natuurlijk zijn ook tal van andere verdeelingen van fa, b)
mogelijk en daarmee ook tal van andere vormen der noodige
en voldoende voorwaarde.
Uit § 1 volgt ook:

Vt>. Laat f {x, y) integrabel zijn in (a, b) voor alle waarden
van den parameter y uit een verzameling Q met yo als ver-
dichtingspunt Laten deze integralen tot een limietwaarde
naderen, voor y convergeerend naar yo, en laat verder bestaan
lim i{x,y) voor alle waarden x van {a, b) [behalve mis-
y = ya

schien voor die van een verzameling met inhoud nul].

Opdat nu lim i{x,y) integrabel is in {a, b) [met welke

y — Vo

waarden we deze functie ook aanvullen in de punten van
genoemde verzameling, zoo die functiewaarden slechts een
begrensde verzameling vormen] en die integraal = limiet van
de eerstgenoemde integralen, is noodig en voldoende, dat
lim E f i^i\' y) quasi-uniform convergeert in (A Xi)^ = O,
y^Vo \'

bij beschouwing van slechts één enkele rij van sommen van

Riemann. [We nemen weer voor Xi geen punten, waar

lim niet bestaat],

y^Vo b — a . .

Kiezen we alle intervalslengten A xi = i^l Qetieei;

eh = (i- 1). dan wordt de voorwaarde:

dat lim 

\'°ra?rezVvoorwarrde wordt o.a. voldaan in het geval
dat lim f (x.y) in (a. b) uniform convergeert of enkelvoudig

uniS°convergeert (volgens Dini). Dit zijn dus „voldoende"

voorwaarden. j u *

Ook is de mogelijkheid van limietovergang onder het

integraalteeken te schrijven in den vorm:
1. 1- V f(x\' v\')Axi = lim lim lim Zf(xi,y)Axi

y = yO X=:b (AXi)3—ü B

\' We denken ons de sommen genomen over (a.x): echter
geeft (A x.) toch aan de grootste intervalslengte in (a. b).
bij een bepaalde intervalsverdeeling behoorend.
Hopfdstelling A (§ 12 en § 17) geeft:

Vc. Laat f {x. y) integrabel zijn m (a. b) enz. [als m eerste

^^\'oldaTnu Urn f [x, y) integrabel is in [a, b) [met welke

waarden we deTe functie ook aanvullen in de punten, waar
de limiet niet bestaat, zoo die waarden slechts een begrensde

verzamelingvormenjen die integraal^limiet van eerstgenoemde
integralen, is noodig en voldoende, dat f l^^^ f {x.y)dx

quasi-uniform convergeert t o. v. i{x,y) dx in b {de bovenste

grens x ligt tusschen a eri b).

-[T^iTHTbson. T.O.P., First Ed.. p. 540 e. 541. 595. ^ In geval van
uniforme conv. is natuurlijk vanzelf voldaan aan de conv. der integralen
naar een limietwaarde.

Hierbij kan de integraal van lim f [x, y) over (a, b) ook

y=yo

oneigenlijk zijn.

Het moet dus, bij twee willekeurige, positieve getallen
£ en a, mogelijk zijn te vinden een waarde Y uit de ver-
zameling Q, in (Yo - Yo gelegen, en een interval
— du f ^i). zóó dat voor iedere waarde x van de bo-
venste grens in (I—Ji, ^ ^i):

r lim f (x,y) dx^ rf(x,Y)dx

• y—yo ~

Is de verzameling van functiewaarden f (x, y), behoorende
bij alle mogelijke combinaties (x, y) begrensd, dan is het
mogelijk bij willekeurig positieve e een getal H uit de ver-
zameling Q aan te geven, zoo dat voor iedere y van Q,
waarvoor j y — yo | ^ | H — yo 1 , tevens:

f
a

Cp\\ lim f (x,y)-f(x,y) ldx<

y = yo

is (x willekeurig tusschen a en b). Dit volgt met behulp

van de stelling van Arzela: bestaat lim f (x, y) in de punten

y = Yo

van een verzameling E(x) en noemt men E (x) de verzame-

H

lim f (x, y) - f (x, y) I > e en ] y — yo |

y y,)

^ 1 H — yo I is, zoo £ is een vooraf gegeven, positief getal,
dan nadert de inhoud der verzameling E (x) tot nul, voor H

convergeerend naar yo.\')

De convergentie is hier niet alleen quasi-uniform in b,
doch zelfs uniform in (a, b). Het begrensd zijn van f(x,y)
is dus een „voldoende" voorwaarde voor de limietverwis-
seling. — We zien tevens, dat deze voorwaarde ook in ieder
ander punt x van (a, b) de limietverwissehng mogelijk maakt.2)

1) Zie b V. B O r e 1, Fonctions de Var. Reélles, p. 37.

Zie Hob son, T. o. F.. First Ed., p. 539 e. 540, 595 e. 596.

§ 34. De punten x van (a , b), welke de eigenschap hebben
dat • in de twee-dimensionale omgeving van (x, yo) f (x. y)
niet begrensd is, vormen een gesloten, lineaire verzameling.
Is haar inhoud nul, dan vormt ze een integreerbare groep, i)
We kunnen dus al haar punten insluiten in een eindig aan-
tal gescheiden intervallen, die ieder minstens één punt van
de groep bevatten, zoo dat hun gezamenlijke lengte < een
vooraf aangegeven, positief getal £ is. Voor elk der over-
schietende intervallen is f (x, y) begrensd op een bijbehoorende
verzameling (x, y), die ontstaat door te nemen alle mogelijke
combinaties van waarden x uit het interval met waarden y,
uit een omgeving van yo en behoorend\'tot Q. Limietovergang
onder het intergraalteeken is in zoo\'n interval dus geoorloofd.

Hieruit volgt:

y=yo ^ i \'

zoo (xi, Xi 4-1) het ie der niet-uitgesloten intervallen is. Wanneer
nu lim f (x, y) integrabel is in (a, b) en verder voor £ naderend

tot nul, lim s \' f (x. y) dx continu nadert tot lim J f (x, y)

dx. dan is ook in (a. b) de limietovergang onder het integraal-
teeken toelaatbaar. Dus:

Laat integrabel zijn in {a, b) voor alle waarden van

den parameter uit een verzameling Q met yo tot verdich-
tingspunt. Laat verder lim i{x,y) bestaan voor alle waarden

y=yo

X van ia,

b) en integrabel zijn in (a, b). De verzameling der
punten x van {a, b), welke de eigenschap hebben, dat in de
twee-dim. omgeving van{x,yo) i{x,y)niet begrensd is, moge
een inhoud nul hebben.

Opdat nu lim j\'i{x,y) d x = J lim l{x,y)dx, is de
y = yo\'a n y — yo

volgende voorwaarde „voldoende":

1) Zie voor definitie en eigenschappen van integreerbare groep Lebesgue,
Leçons sar l\'intégration, etc., p. 26 e. vlg.

Sluit genoemde verzameling in een eindig aantal gescheiden
intervallen met gezamenlijke lengte e, zoo dat ieder interval
minstens één punt der verzameling bevat. Bij nadering van

£ tot nul zal nu lim E dx [x^, x^,^^ is het

y—yo Xi

I®, niet\'Uitgesloten interval) continu naderen tot

rb

lim J l[x,y)dx.^)

y—yo a

§ 35. Laat f {x, y) integrabel zijn in (a, b) voor alle waarden
van den parameter y, behoorend tot een verzameling Q met
verdichtingspunt y^. Stel dat in alle punten bestaat
lim l\\X,y) [behalve misschien in de punten van een ver-

y=yo

zameling met inhoud nul].

Opdat nu lim f (x, y) in (a, b) integrabel is [met welke

y=yo

waarden we deze functie ook aanvullen in de punten van
genoemde verzameling, zoo die waarden slechts een begrensde
verzameling vormen], is noodig en voldoende:

a) lim fix,y) is in {a, b) begrensd;

b) zoo we uit de y-waarden een rij y^ kiezen met lim ym—y^

m = oo O

(m geheel), vormen de punten x van (a, b), waarin lim f {x,y^j

m — ca

niet quasi-uniform convergeert, een verzameling E met in-
houd nul.

Bewijs: Zij aan de voorwaarden voldaan. Dè punten van
E èn de punten, waarin minstens één der functies f (x, yi),

f (x, yg).....discontinu is, vormen een verzameling met inhoud

nul. In alle andere punten van (a, b) zijn dus f(x, yi).

f(x, ya).....continu en convergeert lim f(x, yn,) quasi-uni-

m = co

form Volgens § 2 is in die punten lim f (x, y) een continue

y = yo •

1) Vgl. deze stelling met die van Osgood-Arzela in Hobson, T.o.F.,
First Ed., p. 543 en eveneens met de laatste stelling van § 412, p. 596,
le alinea in dat boek.

fun\'-tie van x; ze vormen een verzameling met inhoud (b ~ a).
In verband met conditie (a) volgt hieruit, dat Ito f (x, y).

y — Jo

integrabel is in (a,b).

Omgekeerd, zij lim f(x,y) integrabel. Aan (a) is voldaan.

y Yo

Dediscontinuïteitspuntenvan Ito f (x. y) vormen een verza-
meling met inhoud nul. Zij Ito = yo (m geheel), waarbij

de waarden y. een overigens willekeurige rij uit de verza-
meling Q vormen. De punten, waarin een of meer der

functies f(x,yO. f(x.y2).....discontinu zijn, vormen eveneens

een verzameling met inhoud nul. De beide verzamehngen
vormen dus ook samen een verzameling met inhoud nul; volgens
8 2 is alleen in de punten der laatste verzameling niet-
quasi-uniforme convergentie mogelijk. Aan (b) is voldaan. »)
Natuurlijk laat zich deze stelling onmiddellijk overdragen
op het geval van dubbele- en meervoudige integralen.

Het voorgaande vormt een nieuw bewijs en een nieuwe
vorm van een bekende stelling van ARZELa. 2)

§ 36 Door toepassing van de steUingen der voorgaande
85 vinden we onmiddellijk soortgelijke stellingen voor de
termsgewijze integratie van reeksen. We brengen ze daarom
hier niet in woorden, doch laten even een voorbeeld volgen
van stelling Vc, voor het geval van reeksen.

(x) = 2 n2 X e - De limiet s (x) = ^Ito^ s„ (x) = O

voor alle punten van (Xq, 0), waarbij xo<0.
lim f"sn (x) dx = - 1; ƒ "s (x) dx = 0. Dus is het volgens Vc

n = co\'x(, "0

niet mogelijk, dat f s(x)dx quasi-uniform convergeert t. o. v.

"T^oor het eerste gedeelte van het bewijs eenigszins te wijzigen, blijkt,
dat voorwaarde (b) te vervangen is door de volgende: de punten x van
(a b) waarin lim f (x, y) niet-quasi-uniform convergeert, vormen een ver-

\' \' y=yo

zameling met inhoud nul.

2) Zie Borel, Fonctions de Var. Réelles, p. 45—48.

ƒ Sjj (x) dx in x = 0. Dan toch moesten bij willekeurige,

positieve f en N zijn te bepalen een interval (— 0) en een
geheel getal N\'>N, zoo dat:

ƒ s (x) dx — I Sj^/ (x1 dx

<

O \'\'O

■/l2 V 2

of <£

was voor x in (— 0), Dat is echter niet mogelijk.

i

§ 37. Ook voor differentiatie onder het integraalteeken
bestaan soortgelijke stellingen, Vc b.v. wordt:

VI. Stel, l{.x,y) is integrabel in {a,b) voor alle waarden
van den parameter y uit een verzameling Q met j)\'o tot ver-
dichtingspunt; ro behoort tot Q. Laat lim ƒ\'It^iAzzil^L^

y = yja y-yo

dx bestaan, waarbij y behoort tot Q; laat ook het differen-

tiaalquotient bestaan voor alle waarden van (a, b)

[behalve misschien voor die van een verzameling met in-
houd nul].

Opdat nu — integrabel is in {a, b) [met welke waarden

^ yo

we deze functie ook aanvullen in de punten, waar de afge-
leide niet bestaat, zoo die waarden slechts een begrensde verza-
meling vormen] en die integraal — lim I -^ dx,

y = y

Is i

is noodig en voldoende, dat / -r— dx quasi-uniform con-

i \'^yo

rf(^.y) — i(x,yo} ^ ,

vergeert t. o. v. J ——- dx m b [x ligt tusschen

y—yo ^

a en b).

\') Verdere voorbeelden in Hobson, T.o.F., p. 547—550; p. 597—599.
Hier is het begrip van difïerentiaalquotient een weinig algemeener
genomen dan gewoonlijk.

c>f

Hierbij kan de integraal van ^^ over {a,b) ook oneigen-

/ — 1 y\\ 4 xy y
Voorbeeld: f (x, y) = sin ^4 t g -j — y2 ^

Xcos(4 tg - Neem als interval voor x (O, X), waarbij

X positief, en als punt voor de differentiatie y - 0. De
verz\'ameling Q zal bestaan uit alle punten van een omgevmg
Differentiatie onder het integraalteeken bhjkt met
geoorloofd; het laat zich dan ook aantoonen, dat aan boven-
genoemde voorwaarde niet is voldaan, i)

§ 38 Uit § 35, eerste noot volgt:

Stel, f(x.y) is integrabel in (a. b) voor alle y van een
verzameling Q, met y« tot verdichtingspunt en yo bevattend.

Laat bestaan in alle punten x van (a, b) [behalve mis-

schien In de punten van een verzameling met inhoud nul
waar we deze functie aanvullen met waarden uit een be-
grensde, overigens willekeurige verzameling].

Noodige en voldoende voorwaarden voor de integrabihteit

van ^ in (a, b) zijn:

^^yo

a) iLi is begrensd in (a, b);

b) de verzameling E der punten van (a, b), waar

^ f _ Ijjjj niet quasi-uniform convergeert,

c>yo y-yo

heeft een inhoud nul.

^ iiW == lim

dx O y

volgt uit het bovenstaande:

Stel f (x) is continu {in \'t algemeen integrabel) in (a, b).

1) Zie Hobson, T. o. F., First Ed., p. 606.

Laat bestaan voor alle punten x van (a, b) [behalve

■dx

misschien voor een verzameling met inhoud nul, waar we
deze functie aanvullen met waarden uit een begrensde, ove-
rigens willekeurige verzameling]. \'

Opdat nu integrabel is in (a, b), is noodig en vol-

Cl X

doende:

a) ^^ ^ - is in (a, b) begrensd:

d ^

b) de punten van (a. b), waar lim ^ -niet

y^o y

quasi-uniform convergeert, vormen een verzameling met
inhoud nul.

Is D f(x) in (a,b) begrensd, dan is dat ook het geval met
^^ iZ)—voor X y en y gelegen in (a, b). Dus vol-

y

gens § 33, beide laatste alinea\'s, is bij continuïteit van f (x)
in a en b:

/■\' dlWdx= lim /■\'■t(x y)-fM

d X V = O a

f(b)-f(a).

= hm

y = 0

De functie van Volterra\') is een continue functie, wier
afgeleide eindig, doch niet integrabel is. Ze voldoet dus
niet aan conditie (b).

We wenschen hier nog even op te merken, dat, zoo we
in hoofdstuk I ook bovenste en onderste limieten hadden
toegelaten, de daarbij behoorende stellingen ons in staat zouden
hebben gesteld, de voorafgaande stelling en ook andere, in
dit hoofdstuk voorkomende eenigszins te wijzigen; door n.1.

in de punten, waar [in \'t algemeen, waar lim f (x, y)

° * y = yo

1) Zie Hobson, T.o.-F,, First Ed., p. 357 iSec. Ed., p. 461).

niet bestaat, willekeurige waarden te nemen tusschen bovenste

en onderste limiet in zoon punt.

§ 39 VII. zij gedefinieerd voor alle combinaties

{X y) uit de intervallen (a. b) voor x en (c, d) voor y. Laat
[(x.y) integrabel zijn naar x in {a,b) [behalve op een ver-
zameling van y-waarden in {c. d) met inhoud nul]. In {c,d)

zij ƒ\' iix.y) dx integrabel [met welke waarden we deze

II

functie ook aanvullen, enz.].

Laat verder j\' {{x,y) dy bestaan voor alle waarden x van

(a b) [behalve \'wellicht voor die van een verzameling met
inhoud nul, waar we weer willekeurige, begrensde waarden
aannemen]. ^ .

Opdat nufdxj\' £(x,y)dy bestaat en = J dyj^ {(x,y)dx,

a c , ,

is noodig en voldoende, datf dxj H^.y) dy qaasi-uniform
convergeert in b t.o.v.f dx E A i{x,yi), voor één rij van

a i

sommen E A > H^\'yi)\' genomen over {c, d).
. i

dxJ\'^H^-y) dy k^n ook zijn een oneigenlijke integraal

\'a c

over (a, b).

De beteekenis der voorwaarde is duidelijk, als men be-
denkt. dat hier i in de plaats treedt van y in stelling Vc.
Het voorgaande is weer een gevolg van Vc.
Is f(x. y) in den rechthoek (a. b; c. d) begrensd, dan is de
genoemde convergentie zelfs uniform in (a, b). Dit volgt uit
het feit, dat de punten x, waarvoor bij willekeurig positievee:

f(x,y) dy-E AVi- f{x, yi) >£

c i

is een verzameling vormen, wier inhoud tot nul nadert, zoo we
ver genoeg gaan in de rij der sommen. In \'t kort kunnen
we dus zeggen:

Bestaan de beide herhaalde integralen voor een in een
rechthoek (a, b; c, d) begrensde functie, dan zijn die herhaalde
integralen gelijk.

De voorbeelden, die men geconstrueerd heeft (o.a. Gauss
en Cauchy), waarbij de herhaalde integralen niet gelijk zijn,
hebben dan ook alle betrekking op oneigenlijke integralen.

De dubbele integraal behoeft bij gelijkheid der herhaalde
integralen nog niet te bestaan. Een voorbeeld van Prings-
heim vindt men in HOBSON, T.o.F., First Ed., p. 429,
n". 4, (Sec. Ed., p. 487, n». 4).

Tweede Groep.

§ 40. Uit § 22 volgt de stelling van arzela:

I. Stel, de functies s„ (n geheel) zijn gedefinieerd op
een begrensde, gesloten verzameling P{x). Zij verder s^ix)
continu in alle verdichtingspunten ^ van P{x).

Opdat nu ook de op P convergente reeks lim {x) in de

n = 00

punten {$) continu is, is noodig en voldoende, dat lim s„ (x)

^ n — co

quasi-uniform convergeert op P.

In plaats van te onderstellen de quasi-uniforme conver-
gentie op P is het volgens prof. WolfF reeds voldoende
aan te nemen de quasi-uniforme convergentie op een (al of
niet gesloten) onderverzameling, welke dezelfde verdichtings-
punten heeft als P. Het bewijs, dat zich heel eenvoudig
laat geven, 2) berust op het continuïteitsbegrip. Deze kleine
uitbreiding van de stelling van Arzela laat zich dus niet
overdragen op het algemeen geval van Hmietverwisseling.

II. De stelling, analoog aan § 29, II, zou als noodige en
voldoende voorwaarde eischen de uniforme convergentie op

de verzameling P.

Ook zou een noodige en voldoende voorwaarde zijn de

Zie Schoenflies, Entw. d. Lehre v. d. Punktmannigfaltigk.. Hef
Teil, Erste Aufl.. p. 325 e. vlg. — Uit § 22, eerste noot volgt als noodige
en voldoende voorwaarde het daar onder (c) genoemde. In dezen vorm
vindt men de stelling in Borel, Fonctions de Vac. Réelles, p. 41 e. vlg.
Zie Verslagen Kon. Akad. Amsterdam. Dl XXVII. 2. p. 1098 e. 1099.

uniforme convergentie op een onderverzameling van P. die
dezelfde verdichtingspunten heeft als P.

§ 41. III. = u, {x) ua .. •  gede-

finieerd op een begrensde, gesloten verzameling P (x). In

ieder punt x zal bestaan lim sjx) en in ieder ver dichting s-

punt ^ een eindige afgeleide hm^— \' d^

t 1 /j slechts waarden aanneemt, behoorend tot P.

dsj^) . ..

Bovendien zal lim aanwezig zijn.

Opdat nu inde Zrdichtingspunten ^vanP{ x) de reeks terms-
mag worden gedifferentieerd, is noodig en voldoende, dat

Sn i^ h) — (f) .

yoor ieder verdichtingspunt I Hm-----[t^oor

n= co

h = O aangevuld met lim . quasi-uniform convergeert

op de verzameling ^welker punten volgen uit die van
P{x) met behulp der betrekking: h = x

Bewijs: Zij aan de voorwaarden voldaan. Vatten we
een willekeurig verdichtingspunt ^ in het oog. dan is volgens
§ 22 voor alle verdichtingspunten p der bijbehoorende ver-
zameling (h): , (f,
. s^lih)= Urn lim

Dus is in \'t bijzonder voor het verdichtingspunt 0:
A lim Sn(l)= lim Sn

df n=:o n = co

Is termsgewijze differentiatie mogelijk, dan is voor alle ver-
dichtingspunten der boven beschouwde verzamelingen (h) de
limietverwisseling mogelijk. Volgens § 22 zijn dus de voor-
waarden ook noodig.

Deze stelling werd door Prof. Wolff uit de boven onder I
genoemde stelling van Arzela afgeleid. 2)

""\'^^"lïto^liet begrip van afgeleide een weinig algemeener genomen dan
Meutf Archief, 2e reeks, deel XIII, 2e stuk, p. 185 en 186.

Op dezelfde wijze als III laat zich een steUing (IV) afleiden

voor het bestaan en de gelijkheid van en ^^^

voor het geval, dat we een twee-dim. verzameling (x, y)
beschouwen van de volgende soort. Ze ontstaat door com-
binatie van alle waarden y uit een verzamehng, met yo tot
verdichtingspunt, met alle waarden x van een begrensde,
gesloten verzameling P (x).

§ 42. Ook de in de eerste groep genoemde stelling V\'\'
over het nemen van de limiet onder het integraalteeken laat
\'n voor de hand liggende uitbreiding toe, zoo we in plaats
van het enkele verdichtingspunt yo alle verdichtingspunten
der verzameling Q(y) beschouwen.

Het is duidelijk, dat de in § 33 genoemde, voldoende voor-
waarden, n.1. uniforme convergentie of enkelvoudig uniforme

convergentie (Dini) van lim f (x, y) in (a, b) ook voldoende

y = yo\'

zijn, zoo we als integratievak (a\', b\') nemen een willekeurig
interval, binnen (a, b) gelegen.

Toepassing van het lemma van Borel geeft uit § 33,
Vc volgende, noodige en voldoende voorwaarde, opdat in
het daar beschouwde geval het nemen van de liqiiet onder
het integraalteeken geoorloofd is voor ieder onderinterval

(a\' b\'). f lim f (x, y) dx.zal quasi-uniform convergeeren t.o.v.

a y = yo

f (x, y) d X op het segment (a, b).

a

Men ziet direct, dat aan deze voorwaarde is voldaan bij
uniforme convergentie of enkelvoudig uniforme convergentie

van lim f (x, y) in (a, b).

y=yo

Voorbeelden volgen uit die van de vorige groep door de
punten, waarin we daar de functies beschouwden, in inter-
vallen in te sluiten.

HOOFDSTUK III.

Uitbreiding der limiet-definitie.

§ 43 Bij de definitie van integraal volgens Riemann\')

beschouwen we een rij van intervalsverdeelingen, waarbij het

aantal deelpunten voortdurend toeneemt en de grootste m-

tervalslengte van iedere verdeeling tot nul nadert, zoo we

ver genoeg in die rij voortgaan; in ieder interval wordt op

vooraf aan te geven wijze een functiewaarde uit een zijner

punten gekozen. Komt er dan een limietwaarde voor de

hierbij behoorende som S f(xi). A xi en geeft ook iedere

i

andere rij van verdeelingen met daarbij behoorende functie-
waarden dezelfde limietwaarde, zoo weer het aantal deelpunten
toeneemt en de grootste. intervalslengte tot nul nadert, als
we ver g.enoeg in die rij voortgaan, dan noemen we die

limietwaarden de integraal volgens R.

Het is nu mogelijk alle denkbare verdeelingen dezer soort
tot een geordende verzameling bijeen te voegen, zoodanig
dat van twee verdeelingen eener rij die van laagste rangorde
in die rij ook is van laagste rangorde in de geordende ver-
zameling. We laten daartoe verdeelingen, waarvoor de
grootste intervalslengte G is, voorafgaan aan verdeelingen,
wier grootste intervalslengte is G\' < G. Onder de verdee-
lingen met gelijke, grootste intervalslengte G laten we die
met n intervallen voorafgaan aan die met n\' intervallen,
zoo n < n\' is. Onder de verdeelingen met gelijke n en gelijke
G laten we de verdeelingen, waarvoor G het le interval is.

1) Zie Lebesgue, Leçons sac l\'intégration, etc., p. 23 e. vlg.

voorafgaan aan die, waarvoor G is het 2e, 3e, .. ne interval;
de verdeelingen, waarvoor G het 2e interval is, gaan vooraf aan
die, waarvoor G is het 3e,,, . , ne interval; enz. Dat G het pe
interval is, duiden we aldus aan: Gp. Onder de intervalsver-
deelingen met dezelfde n en Gp komen intervalsverdeelingen
voor, waarbij k van de (n — 1) overblijvende intervallen
dezelfde zijn (k kan nul zijn). Die verdeelingen nu, waar-
voor het (k l)e interval Ij, i lang is, gaan vooraf aan die
waarbij het (k l)e interval l\'k 1 is met i < Ik 1
De verdeelingen met gelijke n en Gp en k = n — 1 hebben
dus dezelfde deelpunten. Alleen de keuze van het punt xi
in het i« interval, waar we de functiewaarde nemen, is nog
verschillend. Onder deze gelijke verdeehngen laten we die,\'
waarbij xi kleiner is, voorafgaan aan die met grootere waarde
xr\'; onder die met gelijke xi laten we de verdeelingen,
waarbij xa kleiner is, voorafgaan aan die met grooter
X2\';enz.

Op deze wijze hebben we alle mogelijke combinaties gehad,
terwijl we van 2 verdeelingen met bijbehoorende functie-
waarden direct kunnen zien, welke de andere voorafgaat.
Nemen we nu een willekeurige rij van verdeelingen met
daarbij behoorende functiewaarden, dan is boven ieder ele-
ment der geordende verzameling steeds nog ■ een element aan
te wijzen, dat behoort tot die rij van verdeelingen.

Deze methode van ordening laat zich ook gemakkelijk op
meervoudige integralen toepassen.

Bij limieten van functies van 2 of meer veranderlijken
laten zich de functiewaarden ook eenvoudig ordenen en wel
op een wijze, waarbij aan de volgende conditie is voldaan.
In iedere rij van functiewaarden, waarvoor de bijbehoorende
waarden der onafhankelijk veranderlijken naar haar respec-
tievelijke limietwaarden convergeeren, zal bij een willekeurig
element der geordende verzameling steeds een functiewaarde
zijn aan te geven, welke in de geordende verzameling
een element van hooger rangorde vormt dan het vooraf
gekozene.

Bij de. overige limietovergangen, die men in ieder leerboek

der differentiaal- en integraalrekening aantreft, zijn de ge-
tallenwaarden reeds vanzelf op dergelijke wijze geordend.

§ 44 Wenschen we al deze bijzondere gevallen van limiet-
overgang onder één begrip te brengen, dan ligt het voor de
hand de limietdefinitie den volgenden vorm te geven:

Al. Een oneindige, geordende verzameling van ge-
tallenwaarden heeft een limiet L in het volgende geval Btj
iedere aftelbaar oneindige onderrij van waarin steeds is
te vinden een element van hooger rangorde dan een voorat
willekeurig aangewezen element van zal het voor wille-
keurig pos. s mogelijk zijn een element aan te wijzen, zoo
dat voor dit element en alle volgende elementen a van die

onderrij: ] a — L | ^ £

Deze definitie is identiek met de volgende:
A2 Een oneindige, geordende verzameling van getallen-
waarden heeft een limiet L. als het mogelijk is bij willekeurig
pos. s in de verzameling /x een element aan te wijzen, zoo
dat voor dit element en alle volgende elementen a van /x:

1 a - L 1 ^ £ \'S.

Het bewijs van die gelijkwaardigheid blijft vrijwel gelijk
aan het bewijs van de gelijkwaardigheid der overeenkomstige,
gewone hmietdefinities. i)

Hét algemeene convergentie-principe blijft doorgaan:
Noodig en voldoende voor het bestaan van de limiet L is.
dat zich bij willekeurig positieve s in de geordende verzame-
Ij^ {of in iedere onderrij) een element a- laat aanwijzen, zoo
dat voor 2 willekeurige elementen a en a" van hooger rang

dan- of identiek met a:

\\a\'-a"\\^s is.

Het bewijs blijft weer gelijk aan dat bij de gewone Hmiet-
definitie.2) Gaat men dit na. dan blijkt het o.a. te berusten

1) Vgl. Burkhardt, Fanktionenth.. I.-l {Algebraische Analysis). Zweite

Aufl., p. 133 e. 134.

Zie b.v. Osgood, Fanktionenth.. fer Band, Kap. I. § 7.

op de eigenschap van het continuum een gesloten, geordende
verzamehng te vormen.

§ 45. Onder een gesloten, geordende verzamehng verstaan
we een geordende verzamehng met de volgende eigenschap.
Verdeelen we alle elementen in 2 onderverzamelingen, zóó
dat ieder element der eene verzameling van lager rangorde
is dan ieder element der andere, dan heeft óf de eerste ver-
zamehng een element van hoogsten rang óf de tweede ver-
zameling een element van laagsten rang.

De in de vorige § gegeven limiet-definitie A^ laat zich nu
als volgt op gesloten, geordende verzamelingen overdragen.

B.\' Een oneindige, geordende verzameling (x van elementen,
die behooren tot een gesloten, geordende verzameling M
heeft het element L van die gesloten verzameling tot limiet,
als aan de volgende voorwaarde is voldaan. Bij iedere aftel-
baar oneindige onderrij van (x, waarin steeds is te vinden
een element van hooger rangorde dan een vooraf willekeurig
aangewezen element van [/,, is het mogelijk:

Ie dat ieder element a van lager rangorde dan L in de
gesloten verzameling M „niet" overtroffen wordt door geen-
of slechts een eindig aantal elementen, behoorende tot die
onderrij van (jl:

2e dat ieder element b van hooger rangorde dan L in de
gesloten verzameling M overtroffen wordt door geen- of slechts
een eindig aantal elementen der onderij.

De rij der geheele getallen en het continuum vallen onder
de definitie van gesloten, geordende verzameling. Op beiden
laat zich dus de limiet-definitie B^ toepassen.

De stelling van Weierstrass, dat een monotone rij (in \'t
algemeen een geordende onderverzameling (x, waarbij de
elementen dezelfde plaats innemen t.o.v. elkaar als in de ge-
sloten verzameling), die begrensd is, een limiet heeft, gaat

\') De manieren van ordening in n en in de gesloten verzameling M
kunnen geheel verschillend zijn. Een element der gesloten verzameling M
kan in JJ- eindig- of oneindig veel maal voorkomen.

nu ook door. -- Dat de rij (de verzameling i^) begrensd is,
wil zeggen, dat zich in M een element laat aanwijzen van
hooger rangorde dan alle elementen der rij (van de verza-
meling f/).

§ 46, Ofschoon de geordende verzameling M, waarin de
limiet gezocht wordt, nu gesloten is, is het nog niet mogelijk
hier een algemeen convergentie-principe te geven. Dit komt,
omdat dat principe tevens berust op het begrip van inhoud.
Die geordende, gesloten verzamehngen. waarop dit begrip
zich op de volgende wijze laat uitbreiden, hebben het a ge-
meene convergentie-principe:

le Bij 2 willekeurige elementen a en a\' van M laat zich
minstens één onderverzameling aangeven, welke a en a en
alle in M daartusschen gelegen elementen bevat, en waarop
zich het begrip inhoud laat uitbreiden. D. w. z. waarbij een
of meer grootheden zijn aan te geven, welke door die onder-
verzameling bepaald worden en die we bij elkaar haar

„inhoud" noemen. , „ ,

Definitie: De inhoud zal tot nul naderen, als elk der groot-
heden. die den inhoud bepalen, tot nul naderen.

Definitie: Een inhoud zal kleiner zijn dan een tweede inhoud,
als alle grootheden van den eersten inhoud dichter bij nul
liggen dan de overeenkomstige grootheden bij den tweeden.

2« Naderen a en a\' (zie 1®) tot één limietelement, dan
moet het mogelijk zijn de onder V genoemde verzamehngen
zóó te kiezen, dat haar inhoud tot nul\' nadert.

3« Omgekeerd, naderen de inhouden van in elkaar sluitende
onderverzamelingen tot nul, dan zullen twee elementen a en a\'.
willekeurig in zoon onderverzameling gekozen tot dezelfde
limiet naderen.

4® Hebben twee onderverzamelingen Oi en O2 een inhoud,
dan zal ook de verzameling 0(i,2) hunner gemeenschappelijke
elementen een inhoud hebben en deze zal kleiner zijn dan
of hoogstens gelijk aan die van Oi en die van O2.

We noemen een geordende verzameling meetbaar, als aan
bovenstaande voorwaarden is voldaan.

Voor „meetbare",, gesloten, geordende verzamelingen is
een tweede vorm der limiet-def. te geven, overeenkomend
met A2.

B2. Een oneindige, geordende verzameling van elementen,
die behooren tot een meetbare, gesloten, geordende verza-
meling M heeft het element L van die gesloten verzameling
tot limiet, als het mogelijk is bij een willekeurig gekozen
inhoud in de geordende verzameling (x een element a aan
te wijzen, zoodat er een onderverzameling van M bestaat
met de eigenschappen:

1« ze bevat het element a en alle volgende elementen van

(X, en L;

2® ze bevat bovendien alle elementen, die in M liggen
tusschen 2 willekeurige elementen, onder V genoemd:

3" haar inhoud ligt dichter bij nul dan de vooraf willekeurig

gekozen inhoud.

De gelijkwaardigheid van B\' en B^ laat zich op dezelfde
manier bewijzen als die van A\' en A^.

§ 47. Algemeen convergentie-principe: Een oneindige,
geordende verzameling (x van elementen eener meetbare,
gesloten, geordende verzameling M heeft een limiet in het
volgende geval. We nemen willekeurige waarden voor de
grootheden, die den inhoud bepalen. In iedere willekeurige
onderrij van [x, waarin steeds is te vinden een element van
hooger rangorde dan een vooraf willekeurig gekozen element
van [X, moet zich een element a laten aangeven en in M een
onderverzameling O met kleiner inhoud dan de gekozene,
zoo dat 2 willekeurige elementen a en a", die in de onderrij
van [X van gelijke of hooger rangorde dan a zijn, en alle
in M daartusschen gelegen elementen in O liggen.

Deze voorwaarde is ook noodig.

Bewijs: Dat de voorwaarde noodig is, is evident.

Zij omgekeerd aan haar voldaan. We nemen een wille-
keurige onderrij van [x, waarin steeds is te vinden een element

van hooger rangorde dan een vooraf willekeurig gekozen
element van [x. en een willekeurige rij naar nul convergee-

rende inhouden. Duiden we deze aan door (1). (2)......

(n)..... Bij (1) behooren een onderverzameling 0(i) van M

en een element E(i) van de onderrij van met de in de
stelling aangeduide eigenschap. In \'t algemeen krijgen we
onderverzamelingen 0(k) en elementen E(k). die steeds zoo zijn
te kiezen, dat in de onderrij E(k i) van hooger rangorde
is dan E(kw 0(i) en 0(2) hebben gemeenschappelijke elementen;
noemen we hun verzameling 0(i,2). 0(i,2)en0(3) hebben een
verzameling 0(i.2.3> gemeen; enz. Uit de definitie van „meet-
baar" volgt, dat ook de inhoud van 0(i,2.....n) tot nul nadert

met (n). E(„) ligt in 0(i,2.....n). Dus naderen de elementen

E(i.....daarbij tot een limiet-element L. Gemakkelijk volgt

nu. met B\'. dat de onderrij ook naar L convergeert.

Dat 2 willekeurige onderrijen der beschouwde soort dezelfde
limiet opleveren, volgt door combinatie harer elementen tot
een derde onderrij. Volgens definitie B> heeft dan ook de

verzameling /x een limiet.

Het algemeene\' convergentie-principe is in aansluiting aan
de definitie B^ ook in een vorm te brengen, die meer over-
eenkomt met die bij de gewone limiet-definitie bij getallen.

§ 48. Een complexe functie van een complexe verander-
lijke is een combinatie van 2 reëele functies bij 2 reëele
onafhankelijk veranderlijken. De hierbij behoorende limiet-
definities vallen dus onder de limiet-definities B^ en B^. zoo
we in plaats van één verzameling M twee verzamelingen Mi
en M2 beschouwen, eveneens twee geordende verzamelingen
IM en [jl2 van hetzelfde ordetype. wier elementen behooren resp.
tot Ml en M2. en daardoor ook twee limiet-elementen Li en L2.

^ 49, Voorbeeld van een meetbare, gesloten geordende
verzameling: Beschouwen we het vierkant in het x y-vlak,
dat tot zijden heeft x = ± 1. y = ± 1. We verdeelen het

in 4 andere vierkanten I----.IV, deze ieder weer in 4 andere

vierkanten, enz., op de wijze als in fig. 1 aangegeven. De

randpunten van I denken we ons gerangschikt van hnks
naar rechts, in een volgorde behoorend bij een rondgang
om I tegen de wijzers van het uurwerk. Het meest linksche

A4

Dl

Fig.1.

element zal (O, 0) zijn. Rechts van deze groep, doch daarvan
gescheiden, komen de randpunten van II, beginnend met (O, 1)
en van links naar rechts in een volgorde, weer behoorend
bij een rondgang tegen de wijzers van het uurwerk. Rechts
hiervan komen de randpunten van III, beginnend met (O, 0),
en tenslotte krijgen we nog verder rechts die van IV, be-
ginnend met (O, — 1). Steeds wordt een vierkant rondgegaan
tegen de wijzers van het uurwerk.

Tusschen de randpunten van I en die van II denken we
ons geplaatst alle elementen, die we op de volgende wijze

krijgen uit de punten van het vierkant I. Daar fO, 0) het meest
hnksche randpunt van I is en (O, 1) het meest hnksche van
II, zullen we beginnen met de randpunten van I, 1 en eindigen
met die van I, 4 (de verzameling moet immers gesloten zijn).
Die van I, 1 komen, te beginnen met (O, 0), onmiddellijk rechts
van die van 1. Rechts van-, doch gescheiden van die van
I, 1 komen de randpunten van I, 2; rechts van-, en gescheiden
van die van 1,2 komen de randpunten van 1,3; daarna die
van I, 4. De meest linksche elementen zijn daarbij respec-
tievelijk Al, A2, A3 en Al. Tusschen de randpunten van
1,1 en 1,2 komen die van de vierkanten 1\', 2\', 3\' en 4\', in
I, 1 gelegen, en wel in deze volgorde van links naar rechts.

Hoe dit verder doorgaat, toont de figuur.

Hetzelfde gebeurt met 11, III en IV.

Ieder inwendig punt of randpunt van het groote vierkant
is gelegen in- of op den omtrek van oneindig veel in elkaar
sluitende vierkanten, die we in een rij kunnen rangschikken
zoodanig dat de lengte der zijden afneemt. Zoon punt
denken we ons in de geordende verzameling onmiddellijk
rechts geplaatst van alle randpunten der vierkanten uit die rij.

Aldus ontstaat een gesloten, geordende verzameling.

Ze wordt meetbaar bij gebruik van de volgende inhouds-
definitie. De inhoud van de verzameling van elementen, die
staan links van de randpunten van II zal zijn (1,1,0,0);
die van de verzameling der elementen, die staan links van
de randpunten van 1,2 en rechts van die van I zal zijn
(v2, v2, O, 0); de inhoud van de punten, die staan hnks van
de randpunten van 1,1,2\' en rechts van die van 1,1 zal
zijn (V4, Vi, 0,0); enz.

Hebben we een deelverzameling, die enkel uit randpunten
bestaat en wel in dezelfde volgorde als in de geordende
verzameling en zonder dat daarbij een element uit de ge-
ordende verzameling wordt overgeslagen, dan zal het derde
cijfer, dat haar inhoud bepaalt, aangeven den totalen afstand,
waaróver* men in de x-richting heen en weer is moeten gaan
om van het meest linksche grenselement te komen tot het
meest rechtsche. Het vierde cijfer geeft dan aan den totalen

afstand heen en weer, afgelegd in de y-richting. De beide
eerste cijfers zullen nu nul zijn.

Een onderverzameling met inhoud, waarvoor de 4 cijfers
alle van nul verschillend zijn, wordt b.v. gevormd door alle
elementen links van de randpunten van II èn de randpunten
van II, in dezelfde volgorde als in de geordende verzameling.
Deze inhoud is (1, 1, 2, 2).

§ 50. Om de stellingen over limietverwisselingen hier te
kunnen overdragen, is het gewenscht aan den inhoud bij
gesloten, geordende verzamelingen nog den volgenden eisch
te stellen.

We beschouwen uit een meetbare, gesloten, geordende
verzameling een rij van onderverzamelingen Pu (n geheel)
met naar nul convergeerenden inhoud. Bij alle elementen x
van Pn worden verzamelingen Q^^ (x) gekozen, die een inhoud
hebben, kleiner dan dien van P^^; zoon verzameling Q„ (x)
kan ook bestaan uit het punt x alleen. Nu zal steeds een
verzameling met inhoud zijn aan te wijzen, die alle elementen
van Pjj en van de verzamelingen Q,^ (x) bevat en wier inhoud
tot nul zal naderen, voor n naderend tot het oneindige.

•Is hieraan voldaan, dan geldt de volgende stelling.

Zij M een meetbare, gesloten, geordende verzameling van
elementen E, wier inhouds-definitie aan bovenstaanden eisch
voldoet. Laten verder gegeven zijn twee ordetypen jx en /x\'
Bij iedere combinatie van een element x van het ordetype (x
met een element y van het van het ordetype [x\' zal een
element E (x, y) van M behooren.

Laten de elementen E(x,y), behoorend bij een zelfde
element y van y.\', geordend volgens het ordetype y, een
limiet opleveren (we schrijven dit: L^^(y)). Laat op gelijke
wijze bestaan L^/(x).

De limieten L^^ (y), behoorende bij de verschillende ele-
menten van zijn elementen van M. We ordenen ze
volgens y\' en denken ons nu ook te bestaan de herhaalde
limiet L^/^.

Opdat nu Ly^^\' bestaat en — L^f^^ is noodig en vol-

doende, dat (x) bestaat voor iedere x en „quasi-uniform

convergeert t o. v. ///\'.

Hieronder verstaan we, dat bij iederen willekeurigen inhoud
(genomen volgens de definitie, behoorend bij de verzameling
M) en bij een willekeurig element Y van het ordetype
is te vinden een element X van het ordetype (x en een
element Y\'. van hooger rangorde dan Y en behoorend tot
/x\', zoo dat voldaan is aan het volgende. Bij iedere x. van
hooger rangorde dan X in (x, zullen L^^\' (x) en E (x. Y\') en
alle in M daartusschen geplaatste elementen gelegen zijn in
een onderverzameling van M, wier inhoud kleiner is dan

de willekeurig gekozene.

Het bewijs der stelling laat zich geheel afleiden uit dat

van § 1 en geven we hier daarom niet.

§ 51. Daar het lemma van Borel ook geldt voor gesloten,
geordende onderverzamelingen van een gesloten, geordende
verzameling volgt uit bovenstaande stelling, na definitie
van quasi-uniforme convergentie op een gesloten, geordende
verzameling, een steUing. welke het analogon is van die
van § 22.

Een der ordetypen wordt vervangen door een gesloten,
geordende, al of niet meetbare verzameling m. Elementen E
van M zullen toegevoegd zijn aan alle mogelijke combinaties
(x. y) van elementen van m en fx\'. De elementen hnks van
een willekeurig element x van m vormen een ordetype
ook die rechts van x vormen een ordetype zoo we de

volgorde van 2 willekeurige elementen omgekeerd nemen aan
die in m. We denken ons nu te bestaan bij ieder element
y van ix\' zoowel ^^^ (y) als en onderstellen deze

limieten identiek ^ (y) = ^^ ^ (y) = iv) ]

De bedoelde stelling laat zich na het bovenstaande ge-
makkelijk in woorden brengen.

Natuurlijk laten ook alle andere limietstellingen uit hoofd-
stuk I zich op passende wijze overdragen.

1) Zie Schoenflies-Hahn. Entw. d. Mengenlehre u. ihrer Anwend.,
Ie Hälfte, Zweite Aufl., p. 251.

Ook de eigenschappen over de limieten van sommen en
producten zouden zich op gesloten, geordende verzamelingen
laten uitbreiden; daarbij moesten dan o.a. aan het inhouds-
begrip nog verdere eigenschappen worden toegekend. We
gaan hierop niet nader in.

§ 52. Toepassingen: 1. Tengevolge van de gelijkwaardig-
heid der definities A^ en A^ van §44 is het bij een integraal
van Riemann mogelijk om bij willekeurige, positieve f een
getal ^ aan te wijzen, zoo dat iedere  i — Xi) f (x/)

minder dan s van de integraal afwijkt, als ieder interval
(xi, Xi i) een lengte heeft ^^ (\'n bekende eigenschap).

2. De noodige en voldoende voorwaarden, gegeven in
de stellingen V\'\' en V\' (§ 33) volgen uit § 50 in eenigszins
algemeener vorm.

HOOFDSTUK IV.

Oneigenlijke integraal.

§ 53. Stel dat de meetbare functie f niet begrensd is op
de begrensde verzameling E. We kunnen dan bij twee
willekeurig positieve getallen n en n\' een functie L,definieeren
van den volgenden aard. In de punten, waar iligt tusschen
n en n, stellen we = f. In die punten, waarin - n\'
is, nemen we - - n; en in de punten, waar i^nis,
zalLu- = n zijn. is een op E begrensde, meetbare

functie en heeft dus een integraal van Lebesgue:

We beschouwen twee naar het oneindige convergeerende
rijen n^ en n\'^ (p geheel); de verschillen n^- n\'^ zullen

een begrensde rij vormen. Levert nu (P) dP een

limiet, voor p naderend tot co. en is deze limiet steeds
dezelfde, welke rijen n^ en n^ we ook combineeren, zoo
slechts de verschillen n^ en n ^ een begrensde rij vormen,
dan noemen we die limietwaarde de oneigenlijke integraal

van i op E.

Uit deze definitie volgt direct, dat de punten, waar de
aldus integreerbare functie f = ± co , een verzameling vormen
met inhoud nul. Had toch b.v, de inhoud der verzameling
van punten, waarin f= GC, een van nul verschillende

waarde dan zouden lim / fn, n (P) ^ P en

n = 00 ^

lim fJn p.n (P) (P p X e van elkaar verschillen

en zou dus de oneigenlijke integraal niet bestaan. Derhalve
is de inhoud dier verzameling nul; evenzoo de inhoud van
de verzameling van punten, waar f = — co.

Omgekeerd, is de inhoud der punten, waar f = ± cc, nul,
dan zal. als lim f ^ (P) dP bestaat, ook lim f f„ (P) dP

n = <» \' n = a) J^ \'

n\' = 00

bestaan, zoo | n — n\' | kleiner blijft dan een vooraf willekeurig
aangenomen, positieve waarde.

We kunnen dus van nu af nemen: n = n\', in de onder-
stelling dat de verzameling der punten, waar f—±cr), een
inhoud nul heeft

§ 54. Onder de gegeven integraal-definitie vallen alle
(absoluut convergente) oneigenlijke integralen, volgens de
definitie van DE LA VALLéE POUSSIN. \')

De gegeven definitie omvat echter ook niet-absoluut con-
vergente, oneigenlijke integralen. Een voorbeeld is het
volgende. Een vierkant met zijde 1 verdeelen we als in
fig. 2 aangegeven. Het oppervlak van I zal zijn v2, - van
II 1/4, - van III Vs, enz. De functiewaarde zal in alle

punten van I (de randpunten

inbegrepen) zijn - in alle

punten van II (de randpunten,
die niet tevens randpunten

_1/2

van I zijn, inbegrepen) —r—.

\'\'4
4- V3

- in alle punten van III

\'/8

enz.; in \'t algemeen in de
punten van het ne vakje

(- 1)

2"

\') Zie b.v. Hobson, T. o. F., First Ed., p. 368 en 369 (Sec. Ed., p. 523).

De bijdrage van alle vakjes, op het ne volgend, tot de

2" 1 _ 1_ I

oneigenlijke integraal ligt dus tusschen " "2" " „! n\'

Dus is de oneigenlijke integraal gelijk aan

l/l -.1/2 ,, ■ , 1 , L ________^ 1/2"

= Hm [h - 1/2 \'/3 - ... (- ir- \' = 2.

De\'\'definitie van de la Vallée Poussin had geen uitkomst
gegeven; die van Harnack \') geeft dezelfde uitkomst.

§ 55. Toch zijn de definitie van Harnack en de hier
gegevene niet identiek. Ze verschillen in de volgorde, waarin
zekere Hmietovergangen plaats hebben, zoo beide oneigenlijke

integralen bestaan. ,1.

Bij gebruik der definitie van Harnack wordt ondersteld,

dat de punten, waarin f onbegrensd is, een (gesloten) ver-
zameling met inhoud nul vormen. Bij willekeurige, positieve .
is het dus mogelijk een eindig aantal continua te bepalen,
die ieder minstens één - en samen alle punten bevatten,
waarin f onbegrensd is, en wier gezamenlijke inhoud klemer
is dan\'f. Volgens Harnack wordt nu genomen de integraal
van f over de overschietende verzameling E\'; de limiet dezer
integraal, voor s tot nul naderend, is de oneigenlijke integraal.
In formule:

/\'f(P)dP=Hm /\'f(P)dP.

Definieeren we bij positieve n f (P) op E, als boven aan-
gegeven, dan is ook te schrijven:

f f(P)dP= Hm Hm [ (P)dP. .

Onze definitie, die we voortaan „uitgebreide definitie van

1) Zie b.v. Hobson, T. o. F., First Ed.. p. 367 e. 368 (Sed. Ed.,
p. 599 e. 600).

de la Vallée Poussin" zullen noemen, geeft voor de oneigen-
lijke integraal dezer functie f:

[{(P)dP= lim lim

als £ dezelfde beteekenis heeft als in de voorgaande alinea»

Zij f op E niet negatief en laten de punten, waarin f niet
begrensd is, een verzameling vormen met inhoud nul. Laat
de oneigenlijke integraal van f op E bestaan, volgens de
(uitgebreide) definitie van de la Vallée Poussin. Het is dan
mogelijk bij willekeurige, positieve Ç een waarde v voor n aan
te geven, zóó dat;

O g lim lim ff„„(P)dP- lim ff, ,(P)dP<C.
Nu is ook:

lim f (P)dP-/\'f,,,(P)dP<C,

onafhankelijk van den gezamenlijken inhoud £ der uitgesloten
continua. Er is dus quasi-uniforme convergentie. De inte-
graal van Harnack bestaat en is gelijk aan de hier gegevene.

Heeft f positieve en negatieve waarden, dan kunnen we op
E twee functies definieeren als volgt. De eerste, f ^ (P), zal
gelijk zijn aan f (P) in alle punten, waar f positief is, en == O

in alle punten, waar fnul of negatief is; de tweede, f___(P),

zal zijn = — f (P) in alle punten, waar f negatief is, en = O
in alle punten, waar f positief of nul is. Op E is dan f (P) =
f (P) — f _ (P). Daar het voorafgaande bewijs zoowel
voor f (P) als f_ (P) geldt, indien deze functies een on-
eigenlijke integraal volgens de la Vallée Poussin bezitten,
hebben we :

Heeft een functie f (P) op een verzameling E een absoluut
convergente integraal, volgens de (uitgebreide) definitie van
de la Vallée Poussin. en vormen de punten, waarin ze niet
.begrensd is. een verzameling met inhoud nul, i) dan bestaat

\') Bij gebruik van integralen van Riemann is hieraan vanzelf voldaan.
Vgl. p. 3.

ook de oneigenlijke integraal van Harnach en is gelijk aan
die van de la Vallée Poussin. i

Op soortgelijke wijze laat zich bewijzen:
Bestaat de absoluut convergente integraal van Harnack.
dan bestaat ook die van de la Vallée Poussin en heeft

dezelfde waarde.

Bij de definitie van Harnack wordt ondersteld, dat de
punten, waarin de functie niet begrensd is, een verzameling
met inhoud nul vormen. Dit is, nu we over de niet-uitge-
sloten verzameling E\' de integraal van Lebesgue \') nemen,
niet meer noodig. Aan de definitie van Harnack is n.l deze

uitbreiding te geven:

Een functie zij gedefinieerd op een begrensde verzameling
E. De punten, in wier omgeving f niet sommeerbaar is,
zullen een (gesloten) verzameling H vormen met inhoud nul.
We sluiten de punten dezer verzameling in een eindig aantal
continua met gezamenlijken inhoud, kleiner dan een wille-
keurig positief getal f, zoodat ieder continuum minstens één-
en de continua samen alle punten der verzameUng H bevatten;
de integraal van Lebesgue over de overblijvende verzameling
E\' zal tot een limietwaarde naderen, als e tot nul nadert
en deze limietwaarde zal onafhankelijk zijn van de wijze,
waarop •de uitgesloten continua worden gekozen. Deze Umiet
noemen we dan de oneigenlijke integraal van f op E (uit-
gebreide definitie van Harnack). 2)

Bij gebruik dezer definitie worden de beide, voorgaande
stelhngen eikaars omgekeerde. We hebben dan:

Bestaat de absoluut convergente integraal volgens de
(uitgebreide) definitie van de la Vallée Poussin, dan bestaat
ook die volgens de uitgebreide definitie van Harnack en
heeft dezelfde waarde; en omgekeerd.

De verzameling H bevat n.l. geen enkel punt; de definities
zijn hier identiek.

Laat de * verzameling der punten van een interval (a,b),

1) H. nam integralen van Riemann.

2) Men vindt deze definitie in Hobson, T. o. F., Sec, Ed., p. 616.

waarin een functie f niet begrensd is, reductibel zijn. Levert
nu de uitgebreide definitie van de la Valleé Poussin een
integraal over het interval (a, b) en ieder onderinterval\')
en is deze integraal een continue functie van bovenste en
onderste grens, bestaat bovendien de integraal van Harnack
over (a, b), dan zijn de integralen volgens de beide definities,
over (a, b) en over ieder onderinterval gelijk.

Is aC^cC^b en bestaan, overeenkomstig de uitgebreide
definitie van de la Vallée Poussin, integralen over (a, c),
(c, b) en (a, b), dan is:

ƒ i{x)dx j iix)dx=f [{X)dx.

a c a

Deze beide eigenschappen gelden natuurlijk ook in een
meerdimensionale ruimte.

§ 56. Fig. 3 geeft een voorstelling van de wijze, waarop

-X

FIG.3-

1) Dit behoeft niet steeds het geval te zijn. f (x) = ^ geeft over (— 1, 1)
een integraal: niet over (—1, 0) of over (0. 1).

een oneigenlijke integraal ontstaat bij de uitgebreide definitie

van de la Vallée Poussin.

Doen we haar om O 90° ronddraaien, zoodat de x-as
komt op de plaats der y-as en omgekeerd, dan verknjgeri
we een figuur, die ons er toe brengt om voor de integraal
van een functie over een oneindig interval de volgende

definitie te geven.

We beschouwen een interval (- n\', n), waarbij n en n\'niet

ƒ n

— n\'

We laten n en n\' rijen n^ en nj {p geheel) doorloopen, die
naar o) gaan, echter zoo dat de verschillen n^-n\\een

begrensde verzameling vormen. Nadert nu J l{x) dx

-V

tot een limiet, voor p naderend tot co , en is deze limiet

dezelfde voor alle mogelijke combinaties van rijen n^ en n^,die

aan de genoemde voorwaarde voldoen, dan noemen we deze
limiet de oneigenlijke integraal over (— go , go ).

Evenals bij het geval van een niet-begrensde integrand is
hier een wijziging der definitie mogelijk:

lim f ^ "f (x) d X zal bestaan. Bovendien moeten bij ieder

r P a\'

willekeurig positief getal a de integralen J f (x) d x (p pos.)

P •

Qj^if"^ f(x) dx (q positief) naar nul convergeeren. voor

•1-q-a\'

p en q naderend tot QO . Deze convergentie moet zijn
uniform op het segment (0. a). d. w. z. bij willekeurige, posi-
tieve s zullen zich waarden p en q laten vinden, onafhankelijk
van a\', zoo dat de absolute waarde der beide, daarbij be-

\') Is f (x) in {— n\', n) niet begrensd, dan wordt de oneigenlijke inte-
graal bedoeld.

hoorende integralen kleiner is dan s voor iedere positieve
a\' ^ a. De waarde der oneigenlijke integraal wordt dan

gegeven door lim ƒ f (x) dx.
<1 -

Voorbeeld: Een functie is ^ , , — , respectieve-

1 Z J n

lijk in de intervallen (O, 1), (1, 2), (2, 3),. . ., (n — 1, n),. , . en

— j, — — ^...... respectievelijk in de intervallen

(O, - 1). (- 1. — 2),. ., (- n 1. — n)......In (- OD . 00 )

bestaat de oneigenlijke integraal en haar waarde is nul.

Bij een functie van twee of meer veranderlijken, te inte-
greeren over de geheele, meerdimensionale ruimte, nemen we
rijen van meetbare continua, zoo dat de afstanden der rand-
punten tot O naar het oneindige convergeeren, terwijl boven-
dien aan de volgende voorwaarde wordt voldaan. Voor
ieder continuum hebben genoemde afstanden een bovenste
en onderste grens. Hun verschil zal voor ieder continuum
der rij beneden een vooraf willekeurig gekozen, positief getal
blijven. De rij van integralen, over die continua genomen,
zal een limiet opleveren en deze zal steeds dezelfde zijn bij
iedere rij van continua der aangegeven soort. Die limiet noemen
we dan de oneigenlijke integraal over de geheele, meer-
dimensionale ruimte.

§ 57. Ook tot de volgende definitie van integraal over
een oneindig gebied komt men door beschouwing van fig. 3.

We denken ons in die figuur de richting der pijlen om-
gekeerd. Dat geeft:

Bij twee willekeurige, positieve getallen N en N\' definieeren
we twee functies en f^/ [x). Voor alle punten x,

waar f is, stellen we ii^{x) — i{x) — N; voor alle

punten, waar f(x)<iV is, stellen we f^(x) = Ö. Vooralle
punten, waar f (x) ^ — N\' is, stellen we fjv\' (x) = f (x) N\';
voor alle punten, waar f (x) > — N\' is, stellen we f^v (x) = 0.

We bepalen tusschen 2 willekeurige punten n en — n

de integraal  ^N\' ^^ "

naderen tot O), op de in § 56 aangegeven wijze. We

krijgen dan   ^^

- =0

der vorige §. , , ^ .

Laten nu N en N\' willekeurige rijen doorloopen, die tot

nul naderen, doch zóó dat de rij - ^^^ (P

grensd is. Dan verstaan we onder de integraal van f(^)

o.er (_ oo , O)) lim / [^n^^) ^N\'

N=0 tao

N\' = O

de onderstelling, dat de aangegeven limieten bestaan en dat
de laatste limiet steeds dezelfde waarde heeft, onafhankelijk

van de gekozen rijen. , kj

Ook deze definitie laat een wijziging toe. geheel op dezeltde

wijze als in § 56.

Voorbeeld: Neem dezelfde funtie als in de vorige üe

waarde der integraal is dan 0.

§ 58. We laten hier een transformatie van de integraal
van Lebesgue 2) volgen, die ons zal doen zien. waarin bij ons
voorbeeld het gebruik der beide voorgaande definities verschilt.

Is f een meetbare, begrensde functie gedefinieerd op
een begrensde verzameling E met inhoud e, dan heeft ze
een integraal (L). Om deze te vinden verdeden we het
interval tusschen bovenste en onderste grens der functie-
waarden op een aftelbaar oneindig aantal manieren in n deelen
en onderstellen, dat n oneindig wordt en de grootste inter-
valslengte tot nul nadert, als we maar ver genoeg in de rij
der verdeelingen voortgaan. Stellen we de deelpunten voor

1) Dit kan ook een oneigenlijke integraal zijn.

Dergelijke transformaties werden gegeven door Prof. Denjoy: zie

Bulletin de la Soc. math. de Fvance, (2« et 3« fase.. 1915).
«) Het aantal veranderlijken wordt eindig ondersteld.

door li (i = 0. 1.....n). We bepalen dan den inhoud der

verzameling van punten, waarvoor

li <f , (lo^f^li)
en noemen dezen ei (eo). Onder integraal (L) verstaan we

n n

lim X li-iei = lim S li ei.

n = oo i = l n = coi = l

Deze limiet is als volgt te transformeeren:
lim i liei=lim |l,(ei e2 .. e„) (l2-li)e2 (V-li)e3 .. (ln-li)eni-

= Hm\'^lli e (ïa - li) (e2 es •. e„) (I3 - I2) eg ... (1^ --12) eni =

= l7m 11, e (I2 - li) e2... n (I3 -12) (ea e4 .. en) {I4 -13)63 .. (In -13) eni =

lim; li e (I2 - li) e2... n (I3 -12)63... „ (I4-13) e4.. .n .. (In-lu-i)enl.

als ei..."„"^ei ef 1 •. • en. dus e = ei...„ ,

Hm li e = lo e.

2ij f niet negatief op E. We definieeren op het interval
tusschen bovenste grens (B) en onderste grens (Iq) van f een
positieve, niet-toenemende functie F (x), welke in het deel-
punt li van een der gebruikte verdeelingen gelijk is aan
den inhoud der punten van E, waar f>li. Dan wordt:

rf(P)dP(L) = l„e /\'\'F(x)dx(R).

\'E \'0

Zie fig. 4. Stellen we F (x) tusschen O en gelijk aan e, dan
is te schrijven:

\\

Fig. 4

i O

Zijn er ook negatieve waarden van f op E, dan is de
integraal (L) gelijk aan het verschil van twee integralen (R)
positieve, niet-toenemende functies. De eerste in-
tegraal behoort dan bij
de positieve waarden en
de waarde nul-, de tweede
bij de negatieve waarden
van f.

§ 59. Passen we bij
gebruik der eerste defi-
nitie f§ 56) deze transfor-
matie toe, dan is de on-
-■ — eigenlijke integraal de
limiet van het verschil
van 2 oppervlakken, als
in fig. 5 voorgesteld. Het
gebruik van de tweede definitie (§ 57) geeft als integraal-
waarde de limiet van het verschil van 2 oppervlakken als
in de figuur, bij weglating van het gestreepte gedeelte.

Een voorstelling der limietovergangen bij de tweede defi-
nitie geeft fig. 6.

De uitbreiding op functies van meer veranderlijken is

evident.

§ 60. De tweede definitie laat zich schrijven in den vorm:
lim lim P"[fjj(x) fN.(x)]dx, de eerste definitie in den vorm:

N =0 n =c» I
N\' = 0 a\' = ooJ

hm lim r "[fuW fïj\'W] dx. Ze verschillen dus in

n =00 N =0 f
n\' = oo N\'=0./

«-n\'

de volgorde, waarin 2 limietovergangen plaats hebben, evenals
dat het geval was bij de definitie van Harnack en de uit-
gebreide definitie van de la Vallée Poussin.

De eerste definitie is het analogon van die van Harnack,
de tweede van de uitgebreide definitie van de la Vallée
Poussin.

Fig. 6.

De inhoud van dit hoofdstuk blijft in hoofdzaak doorgaan
bij gebruik van integralen van Riemann.

HOOFDSTUK V.

Toepassingen der limietstellingen op oneigenlijke
integralen.

§ 61. We wenschen ons eerst te beperken tot integralen
van Riemann.

Laat de veranderlijke y een verzameling doorloopen met ^
als verdichtingspunt. Stel. dat hierbij lim i (x, y) bestaat

y = v

voor alle punten x van het segment (a. b) [behalve misschien
voor de punten eener verzameling met inhoud nul].

Uit de y-waarden kiezen we een rij yj, {k geheel), conver-
geerend naar >j. De punten x. in wier omgeving een of
meer der functies: lim f {x. y). f {x. yj. f(x, y^),... f (xy^)...

niet begrensd is. zullen een verzameling E vormen, wier af-
geleide verzameling E\' een inhoud nul heeft. We sluiten
de punten van E\' in een eindig aantal intervallen van ge-
zamenlijke lengte s; we doen dit voor iedere s uit een rij
van positieve, naar nul convergeerende waarden. Over (a. b)

zullen bestaan de integralen ƒ i(x,y)dx als eigenlijke

a

iutegralen of oneigenlijke integralen volgens de definitie van

Harnack en verder zal f (fx.yj dx = lim f ffx.ykJdxzijn

a s = Ov

(de verzameling V bevat alle punten van (a. b) behalve die uit
de intervallen met gezamenlijke lengte s). Eveneens zal be-
staan lim I i(x.yj dx.
y^-n\'a

/ lim i (x, y) dx zal bestaan als eigenlijke integraal of

\'a y = n

oneigenlijke integraal van Harnack [welke waarden we de
integrand ook toekennen in de punten, waar de limiet niet
bestaat, zoo die waarden slechts een begrensde verzameling

vormen] en die integraal zal = lim j lim i{x,y) dx zijn.

s—O

Opdat nu

fb rb

j lim i(x, y) dx = lim J f (x, y) dx,

\'a:y = V \' Va

is noodig en voldoende, dat f lim f (x. yj^) dx quasi-uni-

form convergeert t. o.v. [ f (x. y^.) dx in s = 0.

V

Bewijs: De bedoelde gelijkheid is te schrijven in den vorm:
lim lim lim X f (x;, y^) A X; =

= lim lim hm £ f (x;, y^) A Xj,

waaruit de stelling volgt.

Stelling Vc van § 83 is hiervan een bijzonder geval.

§ 62. Als uitbreiding van de stelling van § 34 is te be-
schouwen het volgende:

Stel. dat lim i(x.y) bestaat voor alle punten xvan(a,b).

Uit de y-waarden kiezen we een rij y^ (k geheel), conver-
geerend naar yj. Beschouw de verzameling (x, y^), waarbij
X in (a, b) en k willekeurig geheel; de punten (x, vi) waarin
f op de verzameling (x,y^) niet begrensd is, zullen een
lineaire verzameling E vormen, wier afgeleide E\' een inhoud
nul heeft. We sluiten de punten van E\' in een eindig
aantal intervallen van gezamenlijke lengte s. Voor s nemen
we een rij van naar nul convergeerende. positieve getallen.

Over (a,b) zullen bestaan de integralen ƒ i(x,y)dx als

eigenlijke- of oneigenlijke integraal volgens Harnack. Eveneens
zal bestaan lim f i(x,y)dx (V bevat niet de punten van

V/c

fa, b). gelegen in de intervallen met gezamenlijke lengte e)

en haar waarde zal convergeeren naar lim f i(x,y)dx,

/ = a

voor s naderend tot nul.

lim i(x.y) dx zal bestaan als eigenlijke-of oneigenlijke

\'a y = n

integraal van Harnack en zal =--lim f lim i(x,y) dx zijn.

^ £ = 0 V y — \'^

Het voorafgaande is voldoende, opdat

f^ limi(x,y)dx = lim J^f{x,y)dx. i)

ay=V y=Va

Het bewijs gaat als in § 34.

§ 63. De stelling van § 61 krijgt een veel eenvoudiger
gedaante bij gebruik van de uitgebreide definitie van de la
Vallée Poussin. Dan laat zich

lim f (x, y) dx = üm ƒ f (x, y) dx

schrijven in den vorm:

lim lim lim S Fn (xj. y) A Xj =

N = ^ (J x;)b = O y = 1? ■

= lim lim lim S fN (^i» y) A X;.

y = , N = CO (/lXi)B = 0 >

In deze gelijkheid heeft fN (x. y) dezelfde waarden als
f(x,y) tusschen N en - N (N positief); is f(x,y) ^ N,
dan zal (x. y) = N zijn; is f(x.y) < - R dan wordt
fN (x. y) = — N genomen.
Hieruit volgt:

Stel, dat lim f (x, y) bestaat voor alle punten x van het
1) Vgl. Hobson, T. o. F., First Ed.. p. 544 e. 545; p. 596.

interval (a. b) [behalve misschien voor de punten eener ver-
zameling met inhoud nul].

Verder zullen bestaan als eigenlijke- of oneigenlijke in-
tegraal volgens de uitgebreide definitie van de la Vallée

Poussin f^ f (x, y) dx en f lim f {x, y) dx [welke waarden

a \'a y = V

we de integrand ook toekennen in de punten, waar de limiet
niet bestaat, zoo die waarden slechts een begrensde ver-

rb

zameling vormen]. Bovendien zal bestaan lim J f (x, y) dx.
Opdat nu

rb fb

j lim f {x, y) dx — lim j f {x, y) dx,

rb

is noodig en voldoende, dat j lim {x, y) dx quasi-uni-

\'a y^V

form convergeert t, o. v. ƒ f^C^, y) dx in N = cc.

Aan deze voorwaarde wordt o. a, voldaan als f (x, y) be-
grensd is op de verzameling (x, y), die ontstaat door com-
binatie van alle beschouwde x- en y-waarden.

§ 64. Stel. dat lim f {x, y) bestaat voor iedere x [behalve

y = V

misschien voor x-waarden met de eigenschap, dat de in een
willekeurig, begrensd interval gelegene een verzameling vormen
met inhoud nul].

Verder zullen bestaan als oneigenlijke integralen, in den

ƒ 00 /■ GO

f {x, y) dx en j lim f {x, y) dx [welke

— 00 00 J =

waarden we de integrand ook toekennen in de punten, waar
de limiet niet bestaat, zoo die waarden slechts een begrensde
verzameling vormen]. Bovendien moge bestaan

lim i{x,y)dx.

/ = 15 — 00

Opdat nu

Urn = lim i{x,y)dx,

is noodig en voldoende, dat Hm l{x.y)dx quasi-uni-

-n y = V

form convergeert to.v. \\ " f [x. y) dx in n= cc.

— n

Schrijven we de gelijkheid in den vorm:

lim lim lim Sf(Xi.y)AXi =

= lim lim lim S f^.y) Ax;,

dan volgt het bewijs direct.

Stilzwijgend is ondersteld, dat de integralen over de seg-
menten {- n. n) eigenlijke integralen zijn. Zijn dit on^
eigenlijke integralen volgens de uitgebreide definitie van de

la Vallée Poussin, dan gaat de stelling toch onveranderd door.

Toepassingen: 1. De eerste stelling, door prof. F. SCHUH
gepubliceerd in Nieuw Archief, 2e reeks, deel XIII: 3. p. 309
laat zich ook bewijzen door te onderzoeken, of aan de voor-
gaande, quasi-uniforme convergentie is voldaan.

2. Hetzelfde geldt voor de 2e stelling op p. 546 van
HOBSON\'s T. O. F.. First Ed.

§ 65. Stel, dat lim f [x, y) bestaat voor iedere x [behalve

y — v

misschien voor x^waarden met de eigenschap, dat de in een
willekeurig, begrensd interval gelegene een verzameling vormen

met inhoud nul].

Verder zullen bestaan als oneigenlijke integralen, in den

zin var^ § 57, T i y) dx en f Hm f y) dx [welke

— 00 -co y-v

waarden we de integrand ook toekennen in de punten, waar
de limiet niet bestaat zoo die waarden slechts een begrensde
verzameling vormen]. Bovendien moge bestaan

lim f^"^ i{x,y)dx,
y = v — co

Opdat nu

ƒ 00 r oo

f {x, tj) dx = 1 lim f {x, y) dx,

y = V —00 co I—V

is noodig en voldoende, dat voor N=N\'

lim [f^ {X, y) fj^, {x, y] dx

— 00 y —

quasi-uniform convergeert t o. v.

lim ƒ " [f^ y) ^N/ y)] dx in iV = 0.

n = QO_n

Hierbij zijn de notaties van § 57 gebruikt.

Het bewijs volgt door de gelijkheid te schrijven in den
vorm

r n

lim lim lim / [fx, (x, y)-f f^j, (x, y)] dx =

y = , N = 0 n=oo -Ln ^ ^

r n

lim lim / lim [f^ (x, y) (x, y)] dx.

N = 0 n = ooi_n y = 7i

Zijn de integralen over (— n, n) oneigenlijke integralen,
volgens de uitgebreide definitie van de la Vallée Poussin,
dan gaat de stelling onveranderd door.

Bijzondere gevallen van de .voorafgaande stellingen van
dit hoofdstuk heeft men bij integratie van reeksen en diffe-
rentiatie onder het integraalteeken.

§ 66. Hoofdstelling A geeft ons ook noodige en voldoende
voorwaarden in de volgende gevallen:

1. Voor de gelijkheid van 2 herhaalde integralen over
een rechthoek, zoo de enkelvoudige integralen eigenlijk zijn
óf oneigenlijk volgens de uitgebreide definitie van de la Vallée
Poussin. De herhaalde integralen zelf zullen eigenlijk zijn,

2. Voor de gelijkheid van 2 herhaalde integralen als
zoowel voor x als voor y het interval loopt van — co
jj^gf 4- 00 , bij gebruik van de definitie van § 56.

Beschouwen we voor een der veranderlijken niet een enkele

limietwaarde, doch een verzameling van limietwaarden, dan
treedt de quasi-uniforme convergentie .,op een verzameling\'\'
in de plaats der quasi-uniforme convergentie .,in een punt"»

§ 67. De stellingen over herhaalde limieten laten zich
niet zoo eenvoudig toepassen op integralen van Lebesgue.
Zijn de functies begrensd, dan is het nog mogelijk: voor
niet begrensde functies niet meer. Dit komt. doordat bij
integralen van Lebesgue niet het interval der onafhankelijk
veranderlijke(n). doch dat der functiewaarden wordt verdeeld.

§ 68. We hebben voor eigenlijke- en oneigenlijke inte-
gralen van Riemann aangegeven noodige en voldoende voor-
waarden voor de gelijkheid van herhaalde integralen.

Ook voor integralen van Lebesgue willen we nog even

die gelijkheid onderzoeken.

We kunnen daartoe uitgaan van de stelling:
Zi] in den gesloten rechthoek met hoekpunten (a, c)\'Aa, d);
(b.c) en (b.d) de functie l{x,y) begrensd, continu naar x
en continu naar y. Dan is:

l^dxf {x, y)dy==J dy f f {x. y) dx.

. a c ca

De integralen bestaan zoowel in den zin van Riemann

als van Lebesgue.

Bewijs: Daar f(x.y) continu is naar x en naar y. bestaan

f(x,y)dy en ƒ f (x. y). dx.

c

De bekende stelling van Lebesgue. over het nemen van
de limiet onder het integraalteeken bij integralen (L). is uit
te breiden op het geval, dat de onafhankelijk veranderlijke
bij dien limietovergang niet een rij. doch een willekeurige
verzameling doorloopt; ze blijft daarbij onveranderd. Passen
we haar in dien uitgebreiden vorm toe op bovengenoemde,
enkelvoudige integralen, waarbij x en y zullen convergeeren
naar een punt resp. van het segment (a. b) en van het seg-

Zie b.v. de la Vallée Poussin. Integrales de Lebesgue. etc. pA\'i.

ment (c, d), dan blijkt, dat die integralen zijn continue functies
van X en van y en dus integrabel, volgens Lebesgue en
Riemann. De herhaalde integralen bestaan dus ook.
Als integralen (R) opgevat, hebben we:

P dx r^x, y) dy = lim Z A X;. f^ ^x,. y) dy =

i c = ^ \'

= lim fd

— dy . S A Xj. f (xj, y) = (volgens § 33, laatste al.)

c \'

r dy . Urn z A x;. f (x;, y) - ^ dy ƒ ^ f (x, y) dx.

Hiermee is de stelling bewezen.

§ 69. Toepassing van de genoemde limietstelling van
Lebesgue of van de limietstelling van Beppo Levi doet
op eenvoudige wijze uit de voorgaande stelling volgen:

1. Is i {x, y) in den gesloten rechthoek met hoekpunten
{a, c); (a, d); {b, c) en [b, d) begrensd en meetbaar (B) als
functie van x en als functie van y. dan bestaan de enkel-
voudige en herhaalde integralen {D en de laatste zijn gelijk.

2. Is f {x, y) niet begrensd in den gesloten rechthoek,
meetbaar {B) t. o. v. x en t. o. v. y en niet negatief, dan
bestaan de herhaalde integralen en zijn gelijk.

Hierbij wordt de mogelijkheid toegelaten, dat haar waarde
is co.

3. Zij f {x, y) niet begrensd in den gesloten rechthoek,
doch meetbaar {B) t.o.v. x en t.o.v. y, i{x, y) dy zal be-

staan voor alle x van (a, b), behalve voor een verzameling
met inhoud nul; daar nemen we willekeurige waarden aan.
Verder zal nog bestaan

Cd

f {x, y) dy.

1) Zie de la Vallée Poussin, Integrales de Lebesgue, etc., p. 49.

N. bestaat ook b-halv. Mt in een ver-

.ameling met mh:^^ nul op (c, d) «-aar .e .«eurigc

maarden aannemen. Tekens bestaat] dy I t(x,,)dxen

C ^

is = p dxf"^ iUy)dy.

Hilcbij zijn alle integralen integralen {LI

De bewijzen gaan op ^-elfde wijze als d.e van d„
eenkomstige stellingen, die te vinden z,n b, DE LA VALLeE
POUSSIN. Intégrales de Lebesgue, etc., p. 5U e. Dl.

ERRATA.

Blz. 5, regel 13 v. b. staat: <1; lees <f.
„ 15. .. 13 V. b. : S„ =(x); lees: (x) =

21. „ 4 v. o. „ : verzameling:

lees: verzamelingen.

22, „ 1 V. b. „ : iedere waarde van R;

lees: iedere waarde z van R.

„ 50. „ 13 V. b. „ : intergraalteeken;

lees: integraalteeken.

57. 17 V. b. „ : punten lees: punten

63. .. 11 V. O. „ : onderij: lees: onderrij.

Stellingen.

Door gebruik te maken van de begrippen van bovenste
en onderste limiet laten zich de in dit proefschrift gegeven
limietstellingen uitbreiden.

11. ¹)

Opdat de bovenste limiet, lim f(x, y), van een functie f(x, y),

y=7j

die bij vaste y in het punt ^ half-continu naar boven is, ook
in I half-continu naar boven zal zijn, is voldoende, dat „die
bovenste limiet in | half-quasi-uniform naar boven conver-
geert".

D. w. z. bij 2 willekeurige positieve getallen e en 5 zal het
mogelijk zijn te bepalen een waarde Y, in gelegen,

en een interval (f — ^i, ^ zóó dat voor iedere x in

dit interval: _

lim f(x,y) < f(x.Y)-f £
y=v

is.

III. *)

Ook met behulp van stelling ii laat zich bewijzen, dat
de in § 1 genoemde voorwaarden voldoende zijn voor de
daar beschouwde limietver wisseling.

Elders zullen hierover uitvoeriger mededeelingen verschijnen.

Bestaan de herhaalde limieten L^y^ en L^^ van een functie
f(x,y). dan is noodig en voldoende voor haar gelijkheid,
dat\'bij willekeurige positieve s en ^ is te vinden een waarde
Y. in (v) — gelegen, en een verzameling waarden X,
met ^ als verdichtingspunt. zóó dat voor iedere X:

m(x)-f(x. Y)i<£

is.

V.

Zal een functie f(P) op een begrensde verzameling E een
absoluut convergente integraal hebben, volgens de definitie
van de la Vallée Poussin. dan is een daartoe noodige voo^
waarde, dat lim n e„ = O en lim n\'e„, = 0. Hierbij is e„-

= de inhoud der onderverzameling, waarop f ^ n en e„, — de
inhoud der onderverzameling, waarop f ^ — n .

VI.

HOBSON zegt in Theory of Functions of a Real Varikble,

etc., Sec. Ed., Vol. I op p. 605:

An absolutely convergent integral which exists according
to either Lebesgue\'s definition, or that of Harnack, exists
also according to the other definition, and has the same
value for the two definitions.
Dit is onjuist.

VII.

Ook op complexe functies van complexe onafhankelijk
veranderlijken laten zich de limietinstellingen van dit proef-
schrift uitbreiden.

95
VIII.

Met het ooQ op het maatbegrip hgt het voor de hand
om de definitie A, welke Prof. A. DENJOY geeft in de
Comptes Rendus, t. CLXIX, 1919, p. 219-221 (Sur l\'inté-
gration riemannienne) te wijzigen, door de daar voorkomende
grootheden <x en ß gelijk aan V2 te nemen.

IX.

De beschouwingen van BURKHARDT in Algebraische
Analysis, Zweite Aufl., § 43 zijn niet volledig.

X.

We beschouwen op een rechte lijn het segment (O, 1) en
in een plat vlak de verzameling, gevormd door de rand-
punten en de inwendige punten van het vierkant, dat tot
hoekpunten heeft (0,0), (O, 1), (1,0) en (1, 1).

Het is onmogelijk een eeneenduidig verband te leggen
tusschen de punten van die beide verzamelingen, zoodanig
dat een op het segment (0,1) gelegen som-element van
2 elementen a en b van dat segment overeenkomt met het
in het gesloten vierkant gelegen som-element der homologe
elementen a\' en b\' van dat gesloten vierkant, en omgekeerd.

[Het segment (O, 1) is ook te vervangen door het interval
(O, 1), terwijl de rand van het vierkant geheel of gedeel-
telijk buiten beschouwing kan blijven].

XI.

De beschouwingen van Prof, H^^. DE VRIES op p. 81 en 82
van zijn boek „De vierde dimensie" lijken mij ten deele
niet juist toe.

XII.

Evenals de mechanica laat zich de mathematische physica
als onderdeel der wiskunde beschouwen.

Toepassing der waarschijnlijkheidsregels op de toekomst
geeft goede-, op het verleden verkeerde uitkomsten. Dit
„bewijst" nog niets tegen de mechanische natuurwetten, doch
toont alleèn, dat de waarschijnlijkheidsrekening een hulp-
middel is, dat niet altijd is te vertrouwen.

XIV.

Het resultaat en het daarbij behoorend bewijs van BOLTZ-
MANN op p. 27 van het eerste deel zijner Vorlesungen über
Gastheorie zijn verkeerd.

b -

n

ïj J \' s \' -

V o