■ /V

Bi\' V\'

\'■\'■■■vr\'y-iittr^

■:.Mmm

■

JivM

znx äv xtç ebtàç avró rovz\' eïvai üéyot,
ßgoioTai noXXà xvyxâvtiv ovx dxóxa

h\'

IV-

PROEFSCHRIFT, TER VERKRljGING VAN DEN
GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN
NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT
TE UTRECHT, ÓP GEZAG VAN DEN RECTOR
MAGNIFICUS DR.W.VOGELSANG, HOOGLEERAAR
IN DE FACULTEIT DER LETTEREN EN WijS-
BEGEERTE, VOLGENS BESLUIT VAN DEN
SENAAT DER UNIVERSITEIT TEGEN DE BEDEN-
KINGEN VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN
NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN OP DONDER-
DAG 7 )ULI 1921 DES NAMIDDAGS TE 2 UUR
DOOR PIETER TALMA, GEBOREN TE UTRECHT.

l\' ■

Bij het verschijnen mijner dissertatie gevoel ik mij gedron-
gen in de eerste plaats een woord van dank te richten tot U,
Hooggeleerde NIJLAND, Hooggeachte Promotor. Dit proef-
schrift is rechtstreeks uit de herinnering aan Uwe colleges voort-
gekomen. Het was steeds Uw streven Uwe studenten naast Uwe.
eigen opvattingen ook meeningen te doen kennen die van de
Uwe afweken. Aldus ontstond in Uwe hoorders een beeld van
de verschillende kansrekenkunstige theorieën, waarvan Uwe leer-
lingen en oud-leerlingen ongetwijfeld vele trekken in mijne
uiteenzetting zullen herkennen. Ook door de welwillendheid
waarmede Qij ten behoeve van dit proefschrift Uwen tijd voor
mij beschikbaar hebt gesteld, en door de talrijke wenken, raad-
gevingen, en opmerkingen die ik van U heb mogen ontvangen
hebt Gij mij ten zeerste an U verplicht.

Groote verplichting gewei ik ook aan U, Hooggeleerde
KAPTEYN, DE VRIES, en JULIUS, mijne Hooggeachte Leer-
meesters. Jeder van U deed steeds, op de wijze die Zijn bijzon-
der voorrecht en eigendom is, in Zijne lessen de zuivere lijnen
van het schoone gebouw der exacte wetenschappen uitkomen.
Dat ik tot de overtuiging gekomen ben dat dit slechts een
gebouw is, door handen gemaakt, en geenszins het ware beeld
der Schepping zelve, vermindert de groote erkentelijkheid, waar-
mede ik Uw onderricht te allen tijde zal blijven gedenken, in
geenen deele.

Ik kan niet nalaten hier een woord van protest te doen
hooren tegen de wijze waarop dc Wet op het Hooger Onderwijs
voortgaat de wijsbegeerte, als ware deze niet de Moeder doch
slechts de Schoonmoeder der wetenschappen, te bejegenen. Ter-
wijl ik, evenwel, de namen neerschrijf van den Hooggeleerden
BOLLAND en van wijlen PAUL DEUSSBN, dc twee Wijsgceren
wier persoonlijken invloed ik dankbaar gedenk, verschijnt aan
mijnen geest het treurige beeld der verdeeldheid die op het
gebied der wijsbegeerte sinds het verval der Middeneeuwsche
Beschaving heerscht. Door hierover eenen wensch te uiten zoude
ik mij echter op een terrein begeven, hetwelk ik mij voorgenomen
heb in dit proefschrift angstvallig te mijden.

Het „Prinzip des mangelnden Grundes". Het be-
ginsel der evengroote mogelijkheden , ... 24

De theorie van von Kries (Tweede Helft). De kans-
rekenkunstige relatie ........ 52

Kans en Waarschijnlijkheid. Het theorema van Ber-
noulli. De fundamenteele theorema der Kans-
rekening ............90

.. .. , »-«.f.» • . l;ft

4 miT^a^ooH

____________• ■ J

■ . «»»vi .^y \'t\'PX v^iftjofîf.

v .

.V!

• ;

... nüOKiiiïï\'éï "

.\'-V* . .. ■ "

: Vi»

Aan de achttiende eeuw is het gelukt de kansrekening —
tot dien tijd slechts eene verzameling der vernuftige op-
lossingen van een aantal vrijwel op zich zelf staande vraag-
stukken — te verheffen tot eene wetenschap die, wat streng-
heid CU algemeenheid van toepassing betreft, voor geenen
anderen tak der wiskunde onderdoet. En in dc laatste vijftig
jaar Kceft men zich; zelfs van haar, als van een belangrijk
hulpmiddel, leeren bedienen in de wiskunstige natuurkunde,
dat wil zeggen: in dc wetenschap die uitsluitend aan^de exacte
formulccring van natuurwetten gewijd is. In het bestaan iiu
zulk eener exacte kansrekening, zulk LCiier wisse kunde van
hel ongewisse, ligt iets bevreemdends: hoe is het mogelijk.\'
vraagt een buitenstaander zich af, om. met het begrip ,kans\'
of .waarschijnlijkheid\' — dc uitdrukking vau onzekerheid cn
subjccti\\ iteit zelve — als uitgangspunt, tut uitkomsten te ge-
raken waaraan dc werkelijkheid zich als aan onfeilbare, objec-
tieve, weiten der natuur heeft te houden?

Ik zeg: hierin ligt op het »\'crste gezicht voor eciicn
buitenstaander iels bevreemdends. Indien men nu \'.\'chter meent /
dal deze verwondering over hei bestaan der kansrekening
slechls voortkomen kan uit onbekendheid met hare werkwijzen,
cn dat dus alleen een leek dc vraag naar hare mogelijkheid
kan stellen, dan vergist men zich. Om dat te bespeuren be-
hoeft men maar een der bekende leerboeken dezer weten-
schï^p nateslaan. Juist de meest gezaghebbende beoefenaren
der kansrekening, juist zij die hare beginselen met de grootste
bekwaamheid toepassen: juist dezen zijn het die, waar dc be-
teekenis zelve dier beginselen ter sprake komt, blijk geven

\\an eene volslagen verlegenheid. Ket spreekt van zelf dat \'
deze verlegenheid bij de verschillende schrijvers, naar gelang
van hun temperament, en vooral naar ^gelang van hunnen
volksaard, op verschillende wijze aan den dag treedt. Een
Franscbroan is ook zelfs in de grootste verlegenheid niet
verlegen. Wanneer dus Fransche schrijvers over kansrekening,
in plaats van ons over het recht van bestaan hunner weten-
schap leenig uitsluitsel te geven, zich aan eene skepsis te buiten
gaan, die, indien zij slechts voor een klein gedeelte gerecht-
vaardigd ware, ons de geheele kansrekening voor dwaasheid
ZvHide moeten doen houden, dan mogen wij ons door hunne
welbespraaktheid laten innemen, maar wij moeten oppassen
ons door hen niet te laten beetnemen: iets degelijks hebben •
zij blijkbaai niet te verkondigen. Een Duitscher gedraagt zich
weer geheel anders: hij weet, wanneer hij eene zaak niet
begrijpt, steeds eene andere zaak-te vinden die hij ook niet
begrijpt; deze twee zaken brengt hij dan door eene zwaar-
\\vicbtige theorie met elkaar in verband. En deze theorie zet
hij dan met zooveel ijver en geduld uiteen, dat wij na het
lezen iijner beschouwingen niet minder wijs zijn dan hijzelf.
Indien dat echter (gelijk ten aanzien der Duitsche theorieën
over de beginselen der kansrekening inderdaad het geval is)
niet wijzer is dan wij reeds te voren waren, dan zal niemand ons
van verwaandheid mogen beschuldigen, wanneer wij beweren
dat dat nog niet érg wijs is. Aangezien dit geschrift
zich niet dan terloops met andere dan Fransche en Duitsche
schrijvers zal bezighouden, kunnen wij met deze twee opmer-
kingen van ethnologieken aard volstaan.

Als nu hetgeen ik hier beweer (en wat ik in den loop van
mijn betoog door tal van bewijzen hoop te staven") waar is;
als nu inderdaad zelfs de voortreffelijkste beoefenaars der
kansrekening zich van het recht van bestaan hunner weten-
schap feitelijk geene rekenschap vermogen te geven; is\'"dan
niet mijne poging, om de reden van dat bestaan in dit proef-

schrift uiteen te zetten, al te vermetel? Ik" geloof van niet;
immers het gezag ook van den voortreffelijksten beoefenaar
eener wetenschap strekt zich zoo ver uit als die wetenschap,
\'doch niet verder; vragen wij. evt^nvvel, naar het recht van
bestaan eener wetenschap, dan bevinden wij ons niet meer
op het gebied dier wetenschap zelve, doch op dat der wijs-
begeerte. Deze nu is eene geheel afzonderlijke werkzaam-
heid van den menschelijken geest, en al is iemand de grootste
aller geleerden op eenig wetenschappelijk gebied: indien zijn
geest aan de eischen dier werkzaamheid niet voldoet, dan
hebben zijne wijsgeerige inzichten, al betreffen zij zijne eigene
wetenschap, niet meer gezag dan die van den eersten 4en
besten timmerman.

Men heeft, hoop ik, uit deze weinige woorden niet slechts
begrepen dat ik tegenover de beginselen der kansrekening
een geheel ander standpunt inneem dan de meeste kans-
rekenaar? zeiven, doch tevens dat de vrijmodigheid, waarmede
ik dat standpunt in dit geschrift wensch le verdedigen, geens-
zins voortkomt uit een gebrek aan eerbied voor de (Verdiensten
dier kansrekenaars. Integendeel, ik wensch (om mij op \'de
gebruikelijke wijze uit le drukken) in waardeering dier ver-
diensten voor niemand onder tc doen. \'Mijne meening is
slechts da"! deze hunne wetenschappelijke verdiensten ons in
het geheel niet het recht gevdn ook betreffende hunne wijs-
geerige verdiensten eenige verwachting te koesteren. Om mij
in \'de taal der wiskunde uit te drukken: wetenschappelijke
en wijsgeerige bekwaamheid zijn twee onafhankelijke groot-
Kedcn; iedere waarde van eene dier beide grootheden kan
met iedere waarde der andere gspaard gaan; maar van eemg
verband tusschen die twee waarden, dat men bij voorbaat
zoude kunnen aangeven, van eene correlatie dier groot-
heden \'dus, is geen sprake. Er bestaan voorbeelden van mannen
die voor alles eminente geleerden waren en die bovendien
blijlc gegeven hebben van \'een zeer sterk wijsgeerig inzicht (ik\'

behoef slechts den grooten Aristoteles te noemen); en zoo kun-
nen wij Kant noemen als voorbeeld van een groot wijsgeer die
tevens op het gebied der wetenschap geschitterd heeft. Maar
\'dartegenover staan weer andere even eens zeer groote wijs-
geeren die van wetenschappelijken zin vrijwel verstoken waren
(bij de Grieken, bijvoorbeeld, Parmenides, en, bij de mo-
dernen, Jacob Böhme). Zoude men dan ook van verdienste-
lijke geleerden niet mogen zeggen (als het de waarheid is)
dat zij slechte wijsgeeren zijn?

De wetenschap en de wijsbegeerte komen in zoo verre
overeen dat zij beide op een en hetzelfde voorwerp, de werke-
lijkheid, gericht zijn; maar ten aanzien van datgene, waarin
voor haar het belang der werkelijkheid gelegen is, tin aan-
zien, dus, van hare strekking, verschillen zjij tc eenen male.
Dit zal men misschien bestrijden, met de opmerking dal zij
beiden toch niet anders beoogen dan eene stelselmatige _samen-
vatting van de kennis die de menschheid .-^ich in den loop
der eeuwen van de werkelijkheid verworven heeft. Maar
indien dc tegenstelling van de wetenschappelijke en dc wijs-
geerige werkzaamheid op c6n punt bijzonder duidelijk is dan
is het op het punt van de waarde die zij onderscheidenlijk
aan de stelselmatigheid hechten. Stelselmatigheid beteekent
van wetenschappelijk standpunt alles. Ontneem aan de weten-
schap hare stelselmatigheid en gij ontneemt haar hare weten-
schappelijkheid; eene volstrekt waardeloozo veclwelerij is alles
dat overbhjft. Brengt men hier tegen in dat de wetenschap
haren ontzaglijken invloed op de huidige samenleving en hare
groote nuttigheid toch juist aan de groote kennis der natuur-
verschijnselen dankt die zij gedurende de laatste eeuwen heeft
veroverd, dan zal ik dat niet loochenen, doch, slechts, doen
opmerken dal de maatschappelijke en philanthropieke waarde
en de zuiver wetenschappelijke waarde van kennis twee
geheel verschillende zaken zijn. Ook den geleerde
zeiven mogen het vaak eenige moeite kosten de maal

schappelijke en de wetenschappelijke waardeering zijner eigen
wetenschap streng uiteen te houden; het is echter eene moeite
die rnen het recht heeft van hem te vergen. En dan vraag ik
hem — van hoe groot belang hij, ah lid der maatschappij,
als man der praktijk, en als menschenvriend, zijne kennis ook
mc.ge achten — of hem in\'zijne zuivere hoedanigheid van man
der wetenschap toch niet alleen dc methoden waardoor zijne
keunis vergaard is geworden, cn waardoor hij steeds voort-
gaat nieuwe kennis te vergaren, ter harte gain. Niet de be-
lioefïe om reeds ontdekte feiten le weten, maar de zucht om
de wnkwijzcn te kennen, toe le passen, cn\'tc verbeteren, waar-
door nuMi bii voortduring nieuwe feiten tc weten kan komen
driift hem tot zijnen wetenschappelijken arbeid aan. Gelijk
Lorenrz het uitdrukt : „Dans cette région môme, bien des
problèmes, nous l\'avons vu, nous révèlent encore des my-
stères ignorés. Doit on s\'en plaindre? Non sans doute, car
l\'énigme encore inécl.iircic n\'est elle pas un élément essentiel
du charme: qu\'a pour nous la Suience?" Hoc ;\'oudc het «ok
audcrc\' kunnen zijn? De moderne natuurkundififc weet verl :
hij begint zelfs ongeveer le wetttn hoe een atoom er uit zici.
Maar is er iemand die in ernst durft beweren dat, le weten
hoe et-n aloom er uit ziet, op zicii zelf, afgc>.ien van den stelsel,
matigen arbeid waar die kennis uit voortkomt cn waar zij
op haar beurl toe leidl, -- ook zelfs in de verste verte zoo
belangrijk is als, bijvoorbeeld, le weten hoe eene koe er uit
ziet ?

Dc overeenkomst en de tegenstelling vin weienschap en
wijsbogcerle is hiermede, dunkt mij, reeds langegeven. Al
het nut dat dc wetenschap sticht zoude, op zich zelf, haar nog
niet boven de sfeer van het dagelijk^ch leven verheffen. Maar
in dal nut moeten wij, in laatsten aanleg. nÏet de eigenliike

\') Aan het einde zijner voordrachlen over „Les théories statistiques
en thermodynamique" Leipzig 1916 blz. 79.

clrijfveeren der wetenschap zoeken: deze zijn zuiverlijk ideeël:
cn in zoo verre kan men dan ook zeggen dat \'de mensch mede
\'door dc wetenschap in den waren zin des woords mensch is.
Doch naast, en in vele opzichten tegenover, de wetenschap
staat, onder meer, de wijsbeg.--orie. Ook deze streeft naar
kennis niet om het nut dat zij sticht, noch om den maatschappe-
lijken invloed dien zij verleent; en toch is het geene weten-
schappelijke kennis die zij zoekt. Want hóevelè beweeg-
redenen, die in het dagelijksch leven den mensch aan kennis
waarde doen hechten, voor den beoefenaar van strenge weten-
schap ook zijn weggevallen, om haar zelfs wil vergaart hij
iijne kennis toch niet. Daarom heefi wetenschappelijke kennis,
op haar best, geen recht op een hoo.cjer praedicaat dan dat
van j u i 1 h c i d. Immers, alleen doordat hij zich ten doel heeft
gesteld al juister en juister kennis van rcnigo zaak tc verwerven
bezit dc geleerde den prikkel, noodig om zijne eigenlijke bedoe-
ling — dc gestadige uitbreiding cn verfijning zijner bijzondere
methoden van stelselmatig onderzoek der werkelijkheid — niet
inspanning van alle zijne krachten te verwezenlijken. Juiste
kennis echter is nog geene war^ kennis. Want dc waarheid
is alleen begeerlijk om haar zelfs wü; en niemand die kennis
zoekt om het stelscr waar zij in past, of om dc werkwijzen die
tot haar leiden, of om dc gevolgtrekkingen waartoe zij aan-
leiding geeft, of, in het algemócn, om eenige zaak die nirt
onmiddclijk in haar is begrepen, mag zich ecncn zoeker n.i.ir
waarheid noemen. Indien het dan echter inderdaad zoo is
dat de wetenschappelijke mensch niet anders wil dan gestadig-
lijk voortgaan met het stelselmatige onderzoek der werkelijk-
heid, om den wille van die stelsclmaMghcid zelve: gestadiglijk
voortbroicn dus aan het groote net waarin men sinds vier
eeuwen hoopt dc natuur te vangen — zoodat hij dus, op de oogen
blikken dat hij denkt dat het hem om iets anders, bijvoorbeeld
om waarheid, tc doen is, zich bedriegt — dan is het oc)k
duidelijk welke geheel afzonderlijke taak nog voor de wijs-

begeerte is weggelegd. Want hoe zouden wij dan den
mensch anders moeten noemen dan wijsgeerig (en niet:
wc\'tcnschappeliilc), die op de oogenblikken dat hij denkt dat
het hem om de waarheid te doen is zich niet bedriegt?

Ik ben mij volkomen ervan bewust dat ik, indien ik, zonder
nader betoog, de overtuiging uitspreek van de mogelijkheid
eener zoodanige wijsgeerige kennis, niet meor doe dan eene
persoonlijke meening te kennen te geven; zoodat ik niet het
recht heb le vergen dat de \'lezer die overtuiging met mij
zal deelen. Maar wel hoop ik dat hij de eenzijdigheid van
het volgende, citaat van Laplace (Oeuvres, Tome septième
p. VI) zal toegeven. Het ideaal der wetenschap v;ordt er met
gruote helderheid in aangeduid. Maar, met dezelfde helder-
heid (want Laplace bezat ook als schrijver ong\'iwonc lioe-
danigheden) komt in den laatsten zin een standpunt tot uit-
drukking, dat al buitengewoon onwijsgeerig, ja. barbaarsch
moet heel cn : ,,I.Ine intelligence (|ui, pour un instant donné,
connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée, et la
situation respective des ôtres qui la composent, si d\'.ailleurs
elle ct.nt assez vaste pour soumettre ces données l\'analyse,
embrasserait dans la môme formule les mouvements des plus
grands corps de l\'univers et ceux du plus léger atome: rien
ne serait incertain pour elle, et l\'avenir comme le passé serait
prosent h ses yeux. L\'esprit-humain offre dans la perfection
(|u\'il a su donner h l\'astronomie une faible esquisse de cette
mtelHgenre. Ses découvertes en mécanique et en géométrie,
jointes A celle de la pesanteur universelle, l\'ont mis \\ portée de
comprendre dans les mômes expressions analytiques, \') les états
passés Cl futurs du système du monde. En appliquant la môme
méthode h quelques autres objets dc ses connaissances, il est
parvenu ramener h des lois génér.ilcs les phénomènes obser-

\') Dit is tijpeerend voor den geleerde: niet te begrijpen (in den zin
van .verstaan\') is zijn doel, maar: in eene wiskunstige formule te begrijpen
Un den zin van .sammenvatten\'.

vés, et à prévoir ceux que des circonstances données doivent
faire éclore. Tous ses efforts dans la recherche dc la vérité
tendent à le rappocher sans cesse de l\'intelligence que nous
venons de concevoir; mais dont il restera toujours Infiniment
éloigné. Cette tendance propre à l\'espèce humaine est ce qui
la rend supérieure aux animaux ; et ses progrès en ce genre
distinguent les nations et les siècles, et font leur véritable
gloire." \\

Iemand, met een brein als Laplace hier beschrijft ge-
wapend, zoude, in wetenschappelijkcn zm, alwetend zijn. Hij
zoude üit zijne ééne formule af kunnen leiden al hetgeen een
wijsgeer als Plato, bijvoorbeeld, ooit heeft geschreven of, zelfs,
gesproken. Maar wijsgeerig aangelegd zouden wij hem toch
slechts mogen noemen indien hij, na aldus alle woorden en
werken van Plato te hebben .ifgeleid, tevens blijk <^af daar
inderdaad ook i ets van te begrijpen.

Van meer wijsheid dan blijkbaar aan Laplacc ten deel
was gevallen getuigt daarom de volgende plaats van Schopen-
hauer (uit den tweeden Band van zijn hoofdwerk. Hoofdstuk 17 :
Ueber das metaphysische Bedürfnis des Menschen): „Mit dom
Naturalismus, oder der rein pliysikalischen Betr.ichtimgsart,
wird man denmach nie ausreichen : sie gleicht einem Rcchnungs-
exempol, v/clchcs nimmermehr aufgebt. End- uiul .Anfangslose
Kausalreihen, unerforschliche Grimdkräfte. nnendlirher Raun;
anfaiigslose Zeit endlose Teilbarkeit der Materie ... machen das
Labyrinth aus, in welchem sie un? unaufhörlich herumführt.
Die Höhe, zu welcher in unsern Zeiten die Naturwis.senschaftcn
gestiegen sind, stellt in dieser Beziehung alle früheren Jahr-
himdertc in tiefen Schatten, und ist ein Gipfel, den die Mensch-
heit zum ersten Mal erreicht. Allem, wie grosse Fortschritte
audi die Physik (im weiten Sinn dor .Mten verstanden) je
machen möge; so wird damit noch nicht der kleinste Schritt
zur Metaphysik geschehen sein: .so wenig, wie eine Fläche,
durch noch so weit fortgesetzte Ausdehnung, je Kubikinhalt

gewinnt. Denn solche Fortschritte werden immer nur die
Kenntnis der Erscheinung vervollständigen; während die
Metaphysik über die Erscheinung selbst hinausstrebt, zum
Erscheinenden. Und wenn sogar die gänzlich vollendete Er-
fahrung hinzukäme, so würde dadurch in der Hauptsache nichts
gebessert sein. Ja, selbst wenn einer alle Planeten sämtlicher
Fixsterne durchwanderte, so hätte er damit nocli keinen Schritt
in der M e t a p h y s i k getan."

\\\\\'iu deze aanduiding van de strekking der wijsbegeerte
uitgaande zoude ik nu nog vele opmerkingen over de tegen-
stelling van wetenschappelijke en wijsgeerige kennis kunnen
maken. Mijn onderwerp vereischt dat echter )iiet; cn laat het
zelfs niet toe; misschien zal men deze inleiding toch reeds
vrijwfl overbodig achten. Ik ben echter van meening dat zij
dat niet is. Mijn streven in dit geschrift zal niet anders zijn
dan een a.intal theorieün, van wetenschappelijke zijde over het
recht van bestaan der kansrekening verkondigd, aan eene
WO scherp mogelijke kritiek te onderwerpen; indien er,
daarna, van die theorieën nog iets overeind staat, zal ik in
bckwaand\\eid, doch zekerlijk niet in ijver, te kort j:ijn gekomen.
Door dczi: inleiding nu hooj) ik mij gevrijwaard te hebben
legen bel verwijt dat het mij te doen zoude zijn de weten-
schappelijke verdiensten van eenige zeer ernstige en bekwame
geleerden to verkleinen. Men zoude mijne ))edoeling niet
erger kunnen verdraaien. Ik beweer slechts dat wetenschappe-
lijke cn wijsgeerige bekwaamheid niets met elkander heiiben
uit le staan. Moe hooger men dus dc wetenschappelijkheid
van ben, wier wijsgeerig onvermogen ik /.al trachten a.in te
toonen, verheft, des te meer klem zal men aan mijn betoog
vcrlc(?nen.

Maar, zal ukmi zeggen, als ge nu gelijk hebt, en die ge-
leerden inderdaad beter geda an hadden zich aan go-nc wijs-
gcïerigc bespiegelingen te wagen; is d.in dc opzet om hen juist
\'n deze hunne zwakste zijde aan te tasten niet on^ilelmoedig?

Dit venvijt zoude gegrond zijn indien het hier de persoonlijke
liefhebberij van een paar stille kansrekenaars betrof. Maar de
wijsgeerige aanmatiging der geleerden heden ten dage is ecn
algemeen, en juist door de algemeenheid, hoogst bedenkelijk
verschijnsel. Geleerden bezitten, door de ontoegankelijkheid
zelve van het gebied hunner verdiensten, op leeken een gevaar-
lijk overwicht. Daarom behoorden zij het als hunnen eersten
plicht te beschouwen van dat overwicht geen misbruik te maken
door aan het groote publiek, als uitkomsten van hun weten-
schappelijk onderzoek, wijsgeerige beschouwingen voor te dr.i-
gen die inderdadd slechts de voori!)rengselen zijn hunner toomc-
looze phantasie.

Door deze overweging, die aan mijn veiwcei ieder per-
soonlijk element ontneemt, zal ik mij ook wat den toon mijner
critiek betreft laten leiden. Mocht de lezer mij na dc lezing
van dit proefschrift het bekende woord willen toevoegen :
„Les gens que vous tuez se portent asse/ bien", dan geef ik
hom bij voorbaat de verzekering dat niemand Ach over hunnen
allerblakcndsten welstand meer zal kunnen verheugen dan ik zelf.
Tot dc schrijvers, bijvoorbeeld, die ik zal criiisecrcn beh().,:l
Poincaré. Poincaré heeft een voortreffelijk leerboek der kans-
rekening geschreven. Aan dit boek heeft hij cchtcr als aanhef
cn als besluit eenige beschouwingen van algemeenen aard toe-
gevoegd die niet door den beugel kuniien. Is dit nu, op zFch
zelf beschouwd, zoo erg? Geenszhis, eveinnin als het, op zich
zelf beschouwd, zoo erg is dat iiij aan zijne vele hoogsi ver-
dienstelijke werken op wiskunstig gebied, eenige werkjes (bij-
voorbeeld: „La Science et rilypothèse") heeft ,oegcvoegd,
waarin hij, ook al weer op de scherpzinnigste wijze, datzelfde
wijsgeerig onvermogen aan den dag legt. De zaak is echter
dat al deze onwijsgcerige beschouwingen niet op zich zelf
mógen worden beschouwd. Met werkjes als „La Science et
1\'Hypothóse" heeft hij. en ^dat niet bij de groote menigte,
maar bij de geleerden zeiven, den grootsten roem verworven.

Hierdoor verkrijgt zijne omvijsgeerigheid dv; beteekenis van
een algemeen verschijnsel: zij is de uitdrukking van iets dat
erger is dan zijn persoonlijk wisgccrig onvermogen, namelijk:
van de huide ten dage algemeene, o n w i i^s g e e r i g e gezind-
heid van den geleerden stand. Op deze gezindheid, nu,
zijn mijne aanvallen gericht. En daarom zal ik mijne meening
telkens wanneer het noodig is, met de grootste vrijmoedigheid
uitspreken. Telkens wanneer wij in den gang van ons betoogd,
stuiten op beschouwingen waarin een geleerde zich aan onwijs-
gccrigheid tc buiten gaat, zal ik tot mij zeiven zeggen, hetgeen
Marpagon zegt tot den „commissaire": „Chargez-le comme il
faut, monsieur, ct rendez les chosos bien criminelles.\'\' De
Iczor vraagi misschien of mijne critiek dan wel ernjtig ge-
meend is? Zeer ernstig zelfs, antwoord ik, maar op de per-
sonen die ik noem is zij slechts gericht in zoo verre zij kunnen
dienen ah; voorbeelden eener algemeene gezindheid. Moge,
na deze uitcenzetling mijner bedoeling, de lezer derhalve
(naar de male waarin algemeene verschijnselen hem ter harte
gaan) wanneer mijn. loon eenigszins scherj) wordt niet tegen
mij maar niet mij in verzet komen.

.Mijne crilick zal zich tol het gebied dor kansrekening
hebben ic bepalen. Maar toch zal ik mijn doel alleen bereikt
hebben indien bel mij gelukt /.al zijn bij den lezer eenig
wantrouwen le wekken tegen hel wetenschappelijk gephilo-
bopheer in het algemeen. De weienscliap is voortgekomen
uil eene behoefte die met de wijsgeerige behoefte geenszins
ernizelvig is, en zij kan nimmer in staal zijn onze wijsgeerige be
hoefie waarlijk te bevredigen. Dal men daarom van den waan
mocht terugkomen dat men zich, om in wijsgeerige aangelegen-
heden te worden ingelicht, tot de beoefenaars der weten-
schap zoude moeten wenden, in |)I.Kiis van lot dc groote wijs-
geeren zclven. De laatste twee eeuwen nu hebben twee groote
wijsgeeren voortgebracht: Kant cn Scliopenhaner. Ik weer
r wel diU juist de eerste natuurkundigen van onzen tijd. op

grond van eene wijziging door hen (op zeer goede gronden)
in de fundamenteele differentiaalvergelijkingen der physica
aangebracht, gemeend hebben tot het opgeven der „oude"
wereldbeschouwing, gelijk die in de wei ken van K^nt en
Schopenhauer hare klassieke uitdrukking gevonden heeft, to
moeten adviseeren, en dat zij het groote publick tot\'in de dag-
bladen toe (die letterkundige vuilnisbakken van den modernen
t\'jd), op de hoogte stellen van beschouwingen over „ge-
bogen ruimten", „vierde dimensie", en dergeliikc voorstellings-
looze voorstellingen meer, die, volgens hun zeggen, juist de
grondslagen der wijsbegeerte van Kant gevoelig raken. Iv
waarheid echter raken die beschouwingen kant nog wal.

In de inleiding heb\' ik gewezen op de Jgrootc Jegen-
stelling van de wetenschappelijke en de wijsgeerige houding
tegenover de werkelijkheid; die, zooals ik\' heb trachten duide-
lijk te maken, hierin bestaat dat de wetenschap de dingen en
de verhoudingen der werkelijkheid alleen beschouwt om den
wille van dc proefnemingen, berekeningen, cn gevolgtrekkingen
waartoe die beschouwing aanleiding kan geven, terwijl de
wijsbegeerte zich juist om die dingen en verhoudingen zelve
bekommert. Daarom ligt het voor de hand dat ik. thans tot
dc behandeling der begrippen ,kans\' en .kansrekening\' over-
gaande, mijne bespreking aldus indeel, dat ik eerst eenige der
belangrijkste wetenschappelijke theorieën, die ovet- ons onder-
werp i:n omloop zijn, bespreek, en aantoon dat die tot ons
ware begrip zelf van kans cn kansrek\'ening niet de geringste
bijdrage leveren, cn dat ik daarna eenige beschouwingen ten
beste geef die althans in zooverre wijsgeerig mogen heeten
dat zij inderdaad op dat ware begrip gericht zijn. Van din
>vctenschappelijke theorieën nu komt voor bespreking in de
eerste plaats in aanmerking die van von Kries;^) alleen reeds
wegens dc uitvoerigheid waarnudc hij haar te boek heeft
gesteld. I.aat ons dus onderzoeken welke andere hoedanig-
heden hel werk van von Krics nog bezit. In de cerstc.plaats,
dan, moeten wij dc vraag stellen of wij aan zijne beschouwingen
ccnc waarlijk wijsgeerige strekking? mogen toekennen. De lec-
tuur cchtcr van slechts dc eerste twee bladzijden van zijn boek

\') Die Principie.1 der Wahrscheinllchkcits-Rechnung. EIne iopischc
^ntersuchung von johanncs von Krics, Freiburg i. B. 1886.

volstaat om ons op dat punt alle hoop te benemen. Door
éénen volzin wordt hier (blz. 2) het pleit te zijne nadeeïe" be-
slecht. Ik bedoel niet den volzin waarin hij zijne onbevredigd-
heid over de hem bekende theorieën der kansrekening uit:
„Was gemeint sei, wenn wir die Wahrscheinlichkeit mit einem
Würfel 4 zu werfen = j setzen, dürfte in der Tat nicht ohncï
weiteres in einer ganz befriedigenden und erschöpfenden Weise
anzugeben seirx"; maar ik bedoel den volzin die daarop volgt.
Wjj weten wat hij had moeten doen volgen om van eenige
wijsgeerige bedoeling blijk te geven; hij had moeten zeggen:
„Zoolang daar echter twijfel over bestaat heeft al ons kans-
gerekeix niet de minste wijsgeerige beteekenis." Maar er-staat:
„Solange aber hierüber Zweifel bestehen, kann auch selbst-
verständlich über sonstige principiellc Fragen, etwa über
die Bedingungen, an welche die Anwendbarkeit der
Wahrschcinlichkeits-Rechnung geknüpft ist, nichts Bestimmtes
ausgemacht werden." (ik spatieer) Dit is natuurlijk volkomen
juist, maar toch blijkt er duidelijk uit dat het hem niet om
de zaak zelve doch terstond om iets anders: om dc toe-
passing der zaak, te doen is: eene houding die typeerend is
voor den geleerde, doch die ik reeds als volstrekt onwijsgccrig
heb gekenschetst. Hiermede stemt volkomen overeen dc aan-
duiding die H. Bruns van de strekking van het bock van von
Kries geeft, wanneer hij het noemt :„einc bisher viel zu wenig
beachtete kritische Studie über die Prinzipien, auf denen die
A n w e n d u n g e n der Wahrscheinlichkeitsrechnung beruhen."
(H. Bruns, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kollektivmass-
lehre. Leipzig, 1906. blz. 9; spatieering van mij; inplaats van
„Anwendungen" zal Bruns wel „Anwendbarkeit" bedoelen).

Op blz. 36 van zijn boek geeft von Kries zelf de vol-
gende samenvatting van zijn betoog: „Als Gesamt Ergebnis der
logischen L^ntersuchung erhalten wir somit den Satz, dass
Annahmen in einem zahlenmässig angebbaren Wahrschiun-
lichkeits-Verhältnis stehen, wenn sie indifferente und ihrer

Grösse nach vergleichbare ursprüngliche Spielräume umfassen,
und dass bestimmte Wahrscheinlichkeits-Werte sich daher \'da
ergeben, wo die Gesamtheit aller Möglichkeiten dtircK eine
Anzahl solcher Annahmen erschöpft werden kann." Hij bezigt
hier vier uitdrukkingen: Spielräume, 2° ihrer Grösse liacH
vergleichbare Spielräume, 3O ursprüngliche Spielräume en
indifferente Spielräume. Ik zal trachten van de beteekenis
van deze uitdrukkingen, voor zoo verre zij, mijns mziens, voor
de theorie der kansrekening eenige waarde bezitten, uitleg
te geven. ;

In de eerste plaats dan: sj^ e e I r u i mt e on onder-
ling vergelijkbare speelruimten.

Iedereen zal von Kries terstond toegeven dat onze ver-
wachtingen betreffende de eene of andere gebeurtenis of om-
standigheid, ten aanzien waarvan wij ons niet met zekerheid
doch slechts met meerdere of mindere waarschijnlikheid
kunnen uitlaten, eene zekere speelruimte moet bezitten. Maar
niet iedereen zal het er met hem ook terstond over eens zijn
dal wij, wanneer wij aan die gebeurtenis of omstandigheid dan
eene bepaalde numerieke waarschijnlijkheid (bijvoor-
beeld Vï of i/ioo of welke breuk\'ook) toekennen, — dat wij
dan niet anders doen dan verschillende\' van zulke speelruimten
vergelijken. Laat mij, om aan tc toonen dat dit toch
inderdaad zoo is, twee voorbeelden nemen; waarvan het eerste
aan von Kries zclvcn (blz. 35) ontleend is.

Gesteld dat wij van dc temperatuur "der zon niets be-
paalds afweten. Wij zullen dan toch wel twee zeer ruime
grenzen aan kunnen geven binnen welke wij, redelijkerwijs,
mogen aannemen dat die temperatuur gelegen is; Iaat die
grenzen zijn 1000 graden cn 1000.000 graden. Mogen wjj
dan, nu wij aldus eene zekere speelruimte aan onze verwach-
ting hebben toegekend, terstond verder redeneeren, cn die
speelruimte, met behulp van het begrip kans, In kleinere speel-
ruimten verdoelen, cn bijvoorbeeld, zeggen: de kan^ dut dc

temperatuur der zon tusschen 5000 en 6000 graden gelegen
is bedraagt zóóveel; die dat \'zij tusschen 500.000 en 600.000
graden gelegen is zóóveel?

Het spreekt van zelf dat wij dat niet zeggen mogen.
Want wat weten wij bij onze onbekendheid aangaande dé oor-
zaken \'die, sinds hef ontstaan van het zonnestelsel, \'de huidige
temperatuur der zon hebben helpen bepalen, van de beteeke-
nis eener temperatuur, voor de zon, van 5000 graden, of
500.000 graden, eigenlijk af? Ts, voor eene ster, eene tem-
peratuur van 5000 graden bijzonder laag? Of eene van 500.000
graden bijzonder hoog? Wij weten het niet. Wij kunnen dus
de werkelijke grootte der speelruimte van onze verwachting
eener temperatuur tusschen 5000 en 6000 graden, of eener
temperatuur tusschen 500.000 en 600.000 graden, niet beoor-
deelen. Onze kennis levert ons dus in het geheel geenen grond
om aan eene dier beide speelruimten eene grootere of klei-
nere waarschijnlijkheid toe te ken\'ften dan aan de andere. Wij
zien dus dat het, in dit geval, onzinnig zoude zijn voor die
speelruimten eenige numerieke waarde der waarschijnlijkheid
waarmede wij h\'aar mógen verwachten aan te geven. En
tevens zien wij dat de reden daarvan deze is: dat wij niet in
staat zijn de speelruimten onzer verschillende verwachtingen
onderling te vergelijken.

Als tweede voorbeeld zal ik het vraagstuk behandelen
van het werpen met eenen dobbelsteen. He^ verwondert mij
zeer dat von Kriefe op dit eenvoudige probleem zijne eigen
beginselen niet op juiste wijze toepast; want het zal blijken
ons tot toelichting dier beginselen al bijzonder goede diensten
te kunnen bewijzen. Maar hij tracht het dobbelspel tc her-
leiden tot een door hem speciaal verzonnen „\'Stoss-Spiel",
waarmede het niets te maken heeft; eene uitvindinc: overigens
(wat dat betreft kan zijn geweten volkomen gerust zijn) zoo
volmaakt onpraktisch, dat geen speelbank haar ooit in toe-
passing brengen zal.

Gesteld dus dat wij eenen volmaakt afgewerkten en
uit eene volmaakt homogene zelfstandigheid vérvaardigdea
dobbelsteen (waarbij wij afzien van het feit dat de verschillende
wijzen waarop de verschillende zijden gemerkt zijn steeds eene
zekere onregelmatigheid moeten veroorzaketi) op eene tafel
werpen. Onze vcrwachtig is in dit geval niet volkomen be-
paald; maar toch ook niet volkomen onbepaald: Immers wij
kunnen verwachten dat of de i, of de 2, of dc 3, of ds 4, of
de 5, of de 6, bovenkomt. (De mogelijkheid dat dc dobbel-
steen op eene zijner twaalf kanten of op oenen zijner acht
hoeken blijft balanceeren laten wij buiten beschouwing). Nu
zal iedereen terstond toegeven dat wij op dit geval het begrip
kans inderdaad kunnen toepassen, cn dat wel (in het ideale,
d. w. /.. nimmer geheel te realisceren, geval) met volstrekte
numerieke bepaaldheid: er bestaat ccnc kans 1/6 dat dc i
bovenkomt, cn kans 1/6 dat de 2 i)ovcnkomt, en zoo voorts.
Indien nu echter de theorie-van von Kries juist\'is, dan moeten
kunnen zeggen, dat wij, het begrip kans op dit geval op
(leze wijze toepassende, niet anders doen dan dc speel-
ruimte, die aan onze meest algemeene verwachting beant-
woordt, vcrdeelcn in zes o n d e r 1 i n g g c l i j k e kleinere speel-
ruimten w.-iarvan elke aan een der zes mogelijke uitkomsten
van onzen worp beantwordt. Op dc volgende wijze kan men
aantoonen dat dat inderdaad het geval is.

Gesteld dat bij onzen worp de 4 boven is konicn te
liggen. Deze uitkomst is dan het volstrekt noodzakelijk ge-
volg van dc plaats, den stand, cn dc beweging, die dc dobbel-
steen gehad heeft op het oogenblik dat onze hand hem los-
liet. Dobbelden wij niet met dc hand, doch met ccn instru-
ment waarvan wij dc bewegingen volkomen konden regelen,
dan zouden wij, na den dobbelsteen weer op volkomen dezelfde
wijze in het instrument gcpl.iatst te hebben, de beweging slcchti
volkomen eender behoeven tc herhalen om wéér de 4 boven
doen komen. Nu wij echter met dc hand werpen, dio wij

niet zoo volkomen in onze macht Hebben, vermogen wij
den worp niet te herhalen. Had\'onze hand zich op het oogen-
blik dat wij den dobbelsteen loslieten slechts iets hooger
bevonden, of hadden wij één onzer vingers slechts iets sneller
gestrekt; dan zoude niet de 4 boven zijn gekomen doch
misschien de 2; nog iets sneller, dan misschien de 6, en zoo
kunnen wij voort gaan. Kortom, de s p e e 1 r u i m t c, die onze
bepaalde worp, met de 4 als uitkomst, aan de houding en de
beweging onzer hand toelaat, is veel te gering dan dat wii
aan haar eene bepaalde gewaarwording zouden kunnen ver-
binden. Maar hoe gering die speelruimte ook moge zijn, zij
bestaat toch. Men zoude zich dus, in theorie, kunnen voor-
stellen dat wij eenen tweeden keer onze hand een weinig anders
hielden en een weinig anders bewogen (hoe uiterst gering die
afwijking ook zoude mogen zijn) zonder dat wij toch dc grenzen
van die uiterst geringe sp\'eelruimte te buiten gingen; zoodat
wij dan eenen worp zouden doen, dien wij met den eersten
worp identiek zbuden mogen noemen: hoewel wij onze
hand beide malen niet volkomen eender gehouden en bewogen
hadden, zouden wij toch den zelfden worp hebben gedaan.
Hieruit volgt, echter, dat het aantal worpen, die wij met onzen
dobbelsteen kunnen doen, wel onnoemelijk, maar toch niet
oneindig, groot is. Immers de geheele speelruimte, aan onze
band, bij het werpen met den\'dobbelsteen, geboden, is be-
grensd ; het aantal uiterst kleine speelruimten, ieder aan eenen
bepaalden worp beantwoordende, in welke wij die algemeene
speelruimte kunnen verdeden, is dus, noodzakerlljkcrwijze,
eijidig. ï)

\') Hiervan kan men zich door de volßende, wiskunstige, redcneerine
nog nadtr rekenschap geven. Gesteld dat men de houding en de beweging
Z.lu verschillende spieren der hand door 1000 onderling

dobbelsteen lulst in onze hand zoude passen. Stel dat er 900 onderling
onafhankili,ke coördinaten zouden overblijven. Door die 900 coördinaten

Beschouwen wij thans eene bepaalde van die onnoemelijk
vele uiterst kleine speelruimten; bij voorbeeld eene die 4 tot
uitkomst heeft, en veronderstellen wij dat de dobbelsteen, op
het oogenblik dat wij hem loslaten, eenen zoodanigen stvind
heeft, dat de zijde, met de 4 gemerkt, naar links, naar voren,
en naar boven gekeerd is. Wij kunnen ons Jan ook eenen
worp voorstellen, waarbij de houding en de beweging onzer
. hand geheel dezelfde ware, en de stand von den "dobbelsteen
bij hot loslaten enkel in zoo verre verschillend, dat niet do
zijde met dc 4 gemerkt, maar juist de tegenoverliggende (dus
die mot do 3 gemerkt) naar links, naar voren, on naar boven
gekeerd waro. De dobbelsteen zoude dan geheel dezelfde
beweging vei krijgen, alleen zoude niet de zijde met de 4 ge-
merkt, maar do tegenoverliggende, de 3 dus, boven komen
te liggen. Waren dc zijden van den dobbelsteen, namelijk,
tiiet gemerkt, dan zouden wij deze twee worjjon in het geheel
nici kunnen onderscheiden. En zoo kan mon zich nog vier
andere worpen voorstellen, daar men zich niet slechts dc zijden
met 4, t.r met 3, gemcrkti, maar oven goed iedere der vier
nog ovcrigt zijden, als bij het loslaten naar links, naar voren,
en naai boven gericht kan denken; en ieder dier vier worpm
zoude dan eeno der vier nog overige uitkomsten tengevolge
hebben. Icdcro uiterst kleine speelruimte die wij, indien de-
zijden van den dobbelsteen niet gemerkt waren, ronden n?ocien
o.ulerschciden, blijken wij dus, nu dc zijden wel gemekt zijn,
als zes verschillende speelruinilen, met telkens ocn«^ der zes

zoude dan tevens de stand en de bcweßinc van den dobbelsteen ccheel be-
pald zijn, cn wel op zulk eene wijze dat bl) leder stel waarden der coördi-
naten 24 standen van den dobbelsteen mogelijk waren. Immers Iedere stand
van eenen cubus waarvan de zijden niet gemerkt zijn vertegenwoordigt
standen van denzelfden eubus nadat men do zijden gemerkt heelt. Elke
van die 900 coflrc\'lnaten nu zoude waarden kunnen aannemen tusschen zekere
grenzen gelegen. De geheele «peelruimte, die aan onze hand bij het dobbelen
g®boden is, zoude dus voor te stellen zijn door en begrensd gebied In
«ene uitgebreidheid van 900 dimensies.

mogelijke uitkomsten, in rekening te moeten brengen. Maar
als dit" geldt voor iedere der onnoemelijk vele uiterst kleine
speelruimten, dan kunnen wij al die speelruimten ook som-
meeren, en zeggen: de geheele speelruimte, die aan onze
hand geboden is, moet zes maal in rekening worden gebracht:
eenmaal als de som van alle, onnoemelijk vele, uiterst klein.;
speelruimten die tot uitkomst hebben dat de i bovenkomt;
eenmaal als de som van alle, onnoemelijk vele, uiterst kleine
speelruimten die tot uitkomst hebben dat de 2 bovenkomt;
en zoo voort. En thans eerst is het duidelijk waarom wij met
stelligheid aan ieder dier uitkomsten de gelijke kans 1/6
moeten toekennen; elke dier zes uitkomsten beantwoordt aan
eene bepaalde speelruimte; die speclrujmten zijn alle zes
volkomen gelijk en gezamenlijk maken zij de geheele
speelruimte onzer verwachting uit. .

Men ziet: inderdaad eerst door toepassing der beginselen
van von Krie.s, verkrijgt het fundamenteele begrip der kans-
rekening: de bepaalde kans breuk, hare stellige beteekenis.

Von Kries zelf leidt, zooals ik al gezegd heb de kans-
breuk die bij het werpen met eenen \'lobbelsteen optreedt op
eene onjuiste wijze af. Hij vergelijkt het werpen met eenen
dobbelsteen met het door hem verzonnene „Stoss-Spiel". Het
ongeluk wil echter dat het daarmede in het geheel niet te
vergelijken is. Zijn (niet bepaald anmsante) stootspel namelijk
komt hierop neer dat hij eenen biljartbal aan het eene einde
eener horizontale volkomen rechte gleuf legt, die van een
groot aantal, even breede, loodrecht op dc lengterichting der
gleuf aangebrachte, beurtelings wit cn zwart gekleurde, strepen
voorzien is. Het aantrekkelijke van het spel bestaat nu hierin,
<lat men deii bal eenen stoot geeft en ziet op wdk streepje
hij liggen blijft. Nu zc^t voi^ Kries dat dc kans, dat dit eca
wit streepje is, gelijk is aan die, dat het een zwart streepje is
(dus =.- V,); en hij vraagt zich af hoe dat tc verklaren is daar
toch de kans, (die hij tot eene speelruimte herleidt) dat de bal

op, bijvoorbeeld, het loo-ste streepje komt te liggen, geenrins
gelijk te stellen is aan dd klans dat hij bijvoorbeeld op het
looo-ste streepje terecht komt. De beantwoording dezer vraag
is dan volgens hem hierin gelegen (cn niemand zal daar iets
op hebben aan te merken) dat de kans voor verschillende
streepjes, zoo zij slechts in eikaars buurt gelegen zijn (bijvoor-
beeld voor de streepjes No. 990 tot No. loio) toch wel uiterst
weinig zal verschillen; zoodat, als men dc kansen [o{ speel-
ruimten) van alle witte en van alle zwarte streepjes optelt, men
voor beide kleuren ccnc gelijke kans verkrijgt. Daartoe moe-
ten do streepjes echter smal zijn: men moet dus liever zijnen
bril opzetten en streepjes nemen van één millimeter breed,
dan bijvoorbeeld van „tien meter breed" Hiet staat cr, blz. 66).
Voor den stijl van von Krics is het kenschetsend dat zulk ccnc
simpele opmerking hem (en don lezer) ccnc geheele bladzijde
kost. Moge hij die zich ccn „Stoss-vSpicl" aan wil schaffen
er zijn voordeel meedoen!

Dit alles is nu wel is w^iar ccn weinig onnoozel, jnaar
toch volkomen juist. Niet juist echter is het deze besehouwing
ook op hei dobbelen toe te passen. Met welk recht immers
mag men zeggen: „denn wie dort" (bij het Stoss-Spicl) „die
gleiche Breite der schwarzen und weissen Streifen, so wird
hier" (bij het werpen met eenen dobbelsteen) „die geome-
trische und physische Rcgelmässigkeit des Würfels es not-
wendig mit sich bringen, dass einem bestimmten zusammen-
hängenden Komplex von Bewegungs-Möglichkciten, wclchcr
etwa den Wurf 6 ergäbe, immer andere, in jeder Bozic-
li n n g nur ganz wenig v c r s c h i c d c n c n n cl v o n sehr
n a h c g 1 e i c h c m. U m fang c sich an die Seite stellen lassen,
welche die Würfe i, 2, 3, 4, 5, be^wirktcn" (blz. 68).

Ik zou willen vragen of er iemand is die ook ?naar het
geringste argument aan kan voeren voor dc bewering dat de
door mij gespatieerde gevolgtrekking uit dc „mathcmatieke cn
Physiekc regelmatigheid van den dobbelsteen noodzakelijker-

wijze" zoude voortvloeien? Er. bestaat tusschen het Stoss-Spiel
en het werpen met eenen dobbelsteen in waarheid al bitter
weinig- overeenkomst. Men stelle zich de uiterst eenvoudige
beweging voor van eenen biljartbal die door eene gleuf rolt
(geeft men den bal geen effect dan zal dat niet veel van eene
eenparig vertraagde beweging verschillen) en daarnaast het
dansen en hobbelen van eenen hoekigen dobbelsteen over
eene tafel. Ongetwijfeld kan men ook van den dobbelsteen
zeggen dat hij eene baan beschrijft; beurtelings komen daar-
bij dc verschillende zijden van den dobbelsteen, in snelle
afwisseling, boven; maar hoe men dc onregelmatigheid en
de ingewikkeldheid van deze afwisseling met het zoo uiterst
regelmatige passeeren, door den biljartbal, van, beurtelings
even breede, witte en zwarte streepjes, tot hij eindelijk, op
één daarvan, liggen blijft, zoude kumien vergelijken is mij
een raadsel. Men kan natuurlijk wel de baan die de dobbel-
steen beschrijft op eene rechte lijn voorstellen; bijvoorbeeld
door daar achtereen volgens stukken op af te zetten, waarvan
de lengte, evenredig is aan het arbeidsvermogen van\'beweging
dat de dobbelsteen bij ieder zijner talrijke kantelingen ver-
bruikt. Maar het komt mij voor dat men, aldus doende, eene
hoogst onregelmatig verdeelde lijn zoude verkrijgen, cn wel
zoude de verdoeling het alleronregelmatigst zijn juist bij het einde
der baan. (En dal einde der baan komt er juist op aan!)

Ook B runs geeft (op bldz. 9 van het aangehaalde werk)
eene uiteenzetting van von Kries\' opvatting van het werjjen
met eenen dobbelsteen. In werkelijkheid heeft die uiteen-
zetting met do opvatting van von Kries echter niets 10 maken.
Hij zegt: het aantal oogen dat ten slotte boven komt ie liggen
(y) moet voor dc stellen zijn door eene functio van den de f
parameters (x, x\'...) die op een zeker oogenblik dc plaats, den
stand, en de beweging van den dobbelsteen Dcpalcn, x\\u zal
die functie zeer gecompliceerd zijn; uiterst kleine wijzigingen
in de waarde der parameters zullen sprongen in dc waarde

van V ten gevolge hebben: „Die Funktion .y ist also, wie wir
kurz sagen wollen, äusserst rasch veränderlich. Damit wird
dem Spieler die Möglichkeit genommen, das Ergebnis eines

ist also hier in der raschen Veränderlichkeit von y zu suchen."
Jawel, maar dat wist men ook al voor van Kries; deze wilde
echter juist die snelle veranderlijkheid van y^ n fi d e r onder-
zoeken. Bruns noemt het bock van von Kries „bisher viel
zu wenig beachtet". Wie dat boek in de eerste plaats beter
had behooren te „beachten" is Bruns zelf.

Al hetgeen men op de beschouwingen van von Kries
over het werpen met eenen dobbelsteen kan aanmerken, nfet "^
V/eg dat de theorie van von Kries ons in staat gesteld heeft
de toepassing van het begrip ^numerieke kans\' beter te be-
grijpen. Thans zal ik, voor dat ik de theorie van von
Kries verder behandel, twee andere theorieën die men van
de kansrokoning gegeven heeft in dat opzicht met haar
vergelijken. Van von Kries neem ik dus, von <5én hoofdstuk,
afscheid; niet twijfelende of hij zal zich in dien tusschentijd
met zijn Stoss-Spiel wel weten le vermaken.

HET „PRINZIP DES MANGELNDEN GRUNDES". HET BEGINSEL DER
EVENGROOTE MOGELIJKHEDEN.

Men zal het misschien vreemd vinden dat ik, midden in
mijne bespreking van de theorie van von Kries, mij zeiven,
rnci dit hoofdstuk, als het ware eensklaps in de rede val, maar
ik doe dat alleen om niot den gjng van mijn betoog ic ver^
storen. Dit proefschrift houdt zich bezig met de verklaring
der kansrekening. Nu is de werkzamhcid die men verklaren
noemt van tweeërlei aard. De behoefte om eene zaak te ver-
klaren ontstaat, namelijk, in twee gevallen; vooreerst d^in,
wanneer die zaak en hare verhouding tot andere zaken on.s
niet helder voor den geest staan; maar in de tweede pla.its
(hoe vreemd het ook moge klinken) ook dfm. wannee- die zaak
en hare verhouding tot andere zaken ons juist bijzonder helder
vöor den geest staan. Immers .alleen in het tweede geval,
alleen indien iets ons bijzonder helder voor den geest staat,
vermag hel die zoo merkwaardige cn edele verwondering in
ons tc wekken die het begin en Jict beginsel is der wijsbe-
geerte. 1) De verklaring die ons in het eerste geval bevrediging
schenkt zal een wetenschappelijk karakter dragen; in
het tweede geval zal het ons, indien wij niet, op dc wijze van
den kunstenaar, in onze verwondering wenschen te verwijlen,
om eene wijsgeerige verklaring le doen zijn. Door deze
beide gevallen, nu, niet behoorlijk te onderscheiden, kan men
op tweeërlei wijze in verwarring geraken, en — indien men

ró ypaCay Sv ydg éQyJj rpdoocpia, f) uür,}. Arlstotcles, in
het begin zimer Metaphysica verklaart hetzelfde.

).ij zijne medemensclien eenig gezag heeft, — verwarring stich-
ten. Ten eerste, namelijk, doordat men meent, dat het, om
van eenige zaak wijsgeerig inzicht te bezitten, voldoende is dat
die zaak ons slechts hdder voor den geest sta. Dit is de
fout die vooral zij begaan, die men „positivisten" noemt; men-
schen, wier wijsgeerig besef door hunne scherpzinnigheid wordt
overtroffen: zulk een positivist is, onder de moderne schrij-
vers, bijvoorbeeld Ernst Mach. En de tweede oorzaak van
verwarring bestaat, omgekeerd, hierin, dat men meent ge-
roepen te zijn over eenige zaak wijsgeerige beschouwingen
te gaan houden, juist ortidat men van de zaak géén bolder beeld
bezit. Het is de fout, die zij begaan, wier scherpzinnigheid door
hunnen ijver wordt overtroffen;-cn hun naam is Legio. Tot
hen behooren ook dc aanhangers van dc beide beginselen det
kansrekening die ik in dit hoofdstuk zal bespreken.

Dc bespreking, nu, dier beide beginselen, past op dc
volgende wijze in den gang van mijn betoog. Wij hebben
één vraagstuk der kansrekening met behulp van het beginsel
der speelruimten verklaard. Voor deze wijze van veVlclaring
is het kenschetsend dat wij het begrip ,kans\' niet door ccn
ander begrip hebben vervangen. Integendeel, wij hebben
niet anders gedaan dan hetgeen bij het werpen met ccnen
dobbelsteen plaats heeft op zulk ccnc wijze tc bcschrijvcn
dat op dc toepassing van het begrip .kans\' juist het volle licht
viel. Toen wij, namelijk, dc vcrschillcndc uitkomsten, bij het
dobb(;]cn mogelijk, tot onderling vergelijkbare speelruimten
hadden herleid, kon ik, zonder meer. zeggen: „iSlcn ziet, in-
derdaad eerst door toepassing der beginselen van von Krics
verkrijgt het fundamentccle begrip der kansrekening, dc be-
paalde kansbrcuk. zijne stellige beteekenis." Want toen kon
ik cr oj» rekenen dal dc lezer het begrip ,kans\' met mij, zonder
eenig bezwaar te maken, onmiddellijk, zotidc toepassen. En
dit mocht ik als een bewijs beschouwen dal dc beteekenis van
het begrip ,kans\' in dit ééne geval, door dc invoering van het

begrip,speelruimten\'ons volkomen helder was geworden; an-^
ders gezegd; het beginsel der speelruimten bleek de juiste we-
tenschappelijke verklaring van dit ééne vraagstuk der kansreke-
ning te behelzen. Ons rest dus nog slechts dat beginsel ook op
de andere vraagstukken der kansrekening toepasselijk te maken.
Ten einde, nu, het belang van die uitbreiding van dar beginsel
over de geheele kansrekening zoo scherp mogelijk te doen
uitkomen doe ik haar voorafgaan door de bespreking van twee
beginselen voortgekomen uit de neiging om de kansrekening
te verklaren op eene wijze, die men als ,,de averechtsche"
kan betitelen; uit de neiging namelijk, om de strekking van
dat begrip niet helder in het licht te stellen, doch te verdoezelen
onder andere begrippen die, in waarheid, bij de juiste toe-
passing van het begrip ,kans\' slechts zijdelings betrokken zijn.
Bovendien zal de bespreking ons tevens de gelegenheid ver-
schaffen om op de eischen die men, in het algemeen, aan be-
ginselen der kansrekening moet stellen nader in te gaan. Ook
hierdoor zal het voor onze verdere besprekingen nog eenig
nut afwerpen.

In de eerste plaats dan het „Prinzip des mangelnden
Grundes". (Dit in goed Hollandsch tc vertalen is, gelukkig,
onmogelijk.) Volgens Czuber is dit één van de twee wijzen
van verklaren waartoe de kansrekening aanleiding geeft. „Die
beiden, einander entgegengesetzten Standpunkte, auf die man
sich dabei stellen kann, sind durch die Prinzipien des man-
go 1 n d e n und des z w i n g e n d e n G r u n d e s gekennzeichnet.
Nach dem ersten stützt sich die Konstatiernng der \'Glcicli-
möglichkeit auf absolutes Nichtwissen über die Be-
dingungen des Daseins oder der Verwirklichung der einzelnen
Fäliü-, also auf ihre blosse Unterscheidung; dem zweiten
zufolge ist zu ihrer Feststellung ein sicheres objectives
Wissen erforderlich, das jede andere Annahme ausschliesst."
(Enz. der Math. Wiss. I, II blz. 736.) In zijne „Wahrscheinlich-
keitsrechnung" (,903. blz. 9), verder, stelt hij het voor als of

reeds Bernoulli en Laplace dat beginsel aan de kansrekening
teil grondslag zouden hebben gelegd, i) Dit nu is geenszins
het geval. Immers wanneer Jac. Bernoulli (Ars conjéctandi
p. 224) zegi dat aan iedere der zes uitkomsten, bij het werpen
met eenen dobbelsteen mogelijk, eene gelijke kans toekomt
(deze zes gevallen, namelijk doen zich alle even gemakkelijk
voor (sunt aeque proclives) „cum propter similitudinem liedra-
rum atque conforme tesserae pondus nulla sit ratio, cur una
hedrarum proriior esset ad cadendum quam altera, queniadmo-
dum fieret, si hedrac dissimiles forcnt figurae, aut tessera una
in parte cx ponderosiorc materia constaret quam in altera";
dan doet hij niet anders dan het uit andere takken der wis-
kunde bekende, ,bcwijs uit het ongerijmde\' op de kansrekening
toepasselijk maken. Hij geeft n. 1. stellige redenen aan (den
rcgelmatigen bouw van den dobbelsteen) waarom het on-
gerijmd zoude zijn aan te nemen dat die kansen niet gelijk
waren. Verder op (blz. 57) zal ons blijken dat het bewijs uit
het ongerijmde inderdaad voor de kansrekening van prin-
cipicelc beteekenis is; maar juist daarom is het zaak deze
bewijsvoering niet met het „Prinzip des mangelnden Grundes",
dat. zooals wij zullen zien, volkomen zinneloos is, te vereen-
zelvigen. Bernoulli mogen wij derhalve niet als eenen aan-
hanger van dat beginsel beschouwen. 23

Het „Prinzip des mangelnden Grundes", nu kan men
aldus formuleeren: „Gesteld dat men mei zekerheid kan zeg-

Hij drukt zich eenicermate va«R uit. „Belde Erklärungen (n. I. die
van Bernoulli en van Laplace, maar niet dez® wiskunstenaars lelven) berufen
slch.aut das Prinzip des mangelnden Grundes." Eenige regels verder hei-
roept hij deze bewering weer ten deele. De wijie waarop Bernoulli zich
uitdrukt is trouwens zelve ook niet vrij van eene zekere halfjlachtlgheid. Op
ßrond v.in de regelmatigheid cn den homogenen bouw van den dobbelsteen
hebben wij geen grond om de eene uitkomst van het dobbelen eerder te
verwachten d.in de andere. Hebben wij nu grond of geen grond?

*) En Laplace evenmin. Zie over dc opvatting van Laplace Blz 42 van
dit geschrift.

gen \'dat ééne (welke dan ook) van n mogelijkheden zich voor ral
doen, terwijl men geene enkele reden heeft om ééne
bepaalde dier mogelijkheden eerder te verwachten dan eene
andere; dan moet men aan elke dier mogelijkheden eene ge-
lijke waarschijnlijkheid toekennen, die dus \'/n „bedraagt", i)
Dit komt dus hierop neer dat men ook, wanneer iemand niet
met een dobbelsteen werpt, maar met een voorwerp waarvan
men niets weel dan dat het, hoe het er verder ook moge uit-
dien, zes zijden heeft op ééne waarvan het neer moet komen,
voor de kans dat het op ééne bepaalde dier zijden neer komt
de breuk Vc zoude mogen neerschrijven. Nu zal iedereen ,tocK
terstond inzien dat zulk eene kansbreuk slechts subjectieve
waarde kan hebben integenstelling met de obje_ctievc
waarde van die zelfde kansbreuk wanneer men w o e t dat men
met eenen zeer zuiver afgewerkten dobbelsteen te doen heeft.
En van welk eene beteekenis dit verschil is wordt duidelijk\'
wanneer men eerst het onbekende voorwerp en daarna \'den

«) Indien men niet gelooft dat zulk eene bewering door Iemand in allen
ernst opgesteld kan worden, dan leze men de verhandeling v»n Stumpf
„Uebcr den Begriff der mathematischen Wahrscheinlichkeit (Münchener
Sitzungsberichte Phil. Kl. 1892), eene werkelijk scherpzinnige, verdediging
van het „Prinzip des mangelnden Grundes." Hij definieert: (DIz 48) „jede
beliebige Urteilsmaterie nennen wir wahrscheinlich, wenn wir sie auf-
fassen können als eines von n Gliedern (günstigen Füllen) Innerhalb einer
Gesamtzahl von N Gliedern (möglichen Fällen), von denen wir wissen, dass
eines und nur eines wahr Ist. dagegen schlechterdings nicht wissen welches "
Volgens hem zweefde deze opvatting der kansrekening ook reeds Laplace
voor den geest. Daarom lat hij op züne bepaling volgen: „Auf diese Welse
«Ind gleichsam die Eierschalen (!) abgestreift, die dem Begriff der mathe-
manschen Wahrscheinlichkeit von seinen UrsprungsbeUplelen her noch an-
hafteten." Een belandjk deel van zijn betoog Is aan eene critiek van von
f^nes gewijd: „Von Kries gründet den Angriff auf die ältere Lehre" (iawel
eierschalen d. w. z. op het „Prinzip des mangelnden
mm«T auf den Umstand, dass danach eine feste Berech-

dobbelsteen een groot aantal malen, bijvoorbeeld (ïoo malen,
opwerpt. In het tweede geval kaïi men dan met r-roote waar-
schijnlijkheid zeggen dat ieder der zes zijden een aantal malen
dat niet veel van loo verschilt boven zal komen, maar wat
kan men in het eerste geval zeggen? Mij dunkt niets; want
dv- waarschijnlijkheid % had daar zelve slechts
eene geringe w a a r s c h i j n 1 i j k h c i d.

Als eerslc bezwaar tegen het „Prinzip des mangelnden
Grundes" hebben wij dus reeds gevonden, dat het strekt tot
verdoezeling van het uiterst belangrijke verschil tusschen sub-
je c t i e v c en objectieve kans. Nu wil ook, bijvoorbeeld.
Stumpf, in ieder geval, zooveel mogelijk weten. Dc waarde
echter van die kennis speelt in zijne definitie van het begrip
,kans\' gccne rol. Dit alleen reeds zoude ons het recht geven
om zijn beginsel tc verwerpen. Ik zal echter trachten het ook
nog van ccn meer algemeen standpunt te critisccren; en wel
zal ik aantoonen dat men, indien men het eens inderd.iad
Jian dc kansrekening icn grondslag legt, dusdoende in het
geheel niet tol dc kansrekening, nuar slechts tot ccn complex
van allerlei ongerijmdheden komt. Aan die criiick zal ik
zoo principieel mogelijk karakter geven, niet zoozeer ter
cere van hei „Prinzip des numgclnden C.rundcs\'; als wel opdat
wij aldus tevens dc cischen Iccrcn kennen waaraan een \'be-
ginsel der kansrekening, wil hel werkelijk als zoodanig be-
schouwd kunnen worden, moet voldoen.

De kansrekening dankt haar bestaan hieraan, dat hot
mogelijk is dc waarschijnlijkheid van verschijnselen, of van
welke andere zaken ook, onder zekere voorwa.udcn, uit te
drukken door breuken. Ware, evenwel, dit uitdrukken van
bepaalde kansen door bepaalde breuken .illcs dat de wiskunde
op het gebied der waarschijnlijkheid vermocht; dan zoude
dc kansrekening, op haar best, slechts ccnc bijzondere toe-
passing der wiskunde, maar nog geenszins zelve ccnc af-
sjondcriijkc wiskunstige wetenschap zijn.

Vergelijken wij de kansrekening, in dit opzicht, me: de
rekenkunde. De rekenkunde dankt haar bestaan hieraan, dat
wij ons van de telbaarheid der voorwerpen om ons heen
rekenschap kunnen geven door getallen. Nu ,s tellen eene
uiterst merkwaardige werkzaamheid van den menschelijken
geest; immers het is (gelijk wij sinds Kant weten, of althans
behooren tc weten) niet minder dan het onmiddellijk ineen-
denken van het in den tijd op elkaar volgende, i) Maar, hoe
merkwaardig ook, tellen is nog geen rekenen. Rekenen\'gaat
de mensch eerst dan, wanneer hij de uitkomsten zijner tellin-
gen, de getallen dus, tot het voorwerp maakt eener tweede,
eveneens uilerst merkwaardige, werkzaamheid van zijnen geest\':
Ik bedoel de wetenschappelijke werkzaamheid. En gelijk in
alle gevallen, zoo is de wetenschappelijke werkzaamheid ook
dan, wanneer zij rekenkunst wordt, hierdoor gekenmerkt dat
zij zich met de zaken, waar zij op gericht is (in dit geval dus
dc getallen; niet bezig houdt om die zaken zelve, doch om
de betrekkingen die tusschen die zaken bestaan. V.oo is het
dan ook voor de rekenkunst niet van belang (zooals dut, onder
.anderen, voor de Pythagoreeers van belang was^ te welen
wat bijvoorbeeld het getal 4, op zich zelf beschouwd, .vel be-
leekent; doch voor haar be^teekent het getal 4 terstond iets
anders: namelijk 2X2 of 3-f,, „f iedere andere uitdrukking
dic men (m rekenkunstigen zin) iian\'4 gelijk mag stellen. Past
men, derhalve, „p eenig gebied de getallen roe, dan is op dal
gebied alleen dan tevens de rekenkunst toepasselijk geworden,
indien men daarbij, bijvoorbeeld, voor hel getal 4 ook 2x2
mag schrijven, en iedere andere uitdrukking die, in rek\'en-

kunstigen zin, aan 4 gelijk is. Is dat niet het geval, dan heeft
men op dat gebied slechts ■ eene n u m m e r 1 n g of eene
s c h a a 1V e 1- d e e I i n g, of wat ook, maar zeker niet de reken-
kunde ingevoerd.

Tot geheel overeenkomstige beschouwingen geeft ook
de kansrekening aanleiding. Deze dankt liaar bestaan hier
aan, dat men in vele gevallen kansen kan uitdrukken djor
breuken. Verleent dit echter alleen reeds aan dc kansreke-
ning den rang eener zelfstandige wiskunstige wetenschap?
Geenszins; daarvoor wordt vereischt, dat men ook aan de
verschillende rekenkunstige betrekkingen die tus-
schen breuken bestaan eeno zelfstandige kans-
rekenkunstige beteekenis mag toekennen.

Dc invoering van breuken op eenig gebied heeft alleen
zin indien men daarmede tevens de rekenkunstige betrek-
kingen tusschen breuken op dat gebied invoert; zij heeft
echter dc waarde der invoering eener zelf st i n d ige we-
tens c hp corst dan indien die betrekkmgen daarbij tevens
eeno, zelfstandige beteekenis verkrijgen.

Üo kansrekening levert daarvan een merkwaardig voor-
beeld. En, wanneer iemand een beginsel der kansrokenmg
opstelt, dan is het eerste dat men van hem cischen moet dit,
dat zijn beginsel ons van do zelfstandige kansrekonkunstige
bUeekenis der rekenkunstige betrekkingen tusschen breuken
rekenschap geve. Daarom lijkt hel mij toe dat de volstrekte
waardeloosheid van hel „Prinzip des mangelndcn Grundos"
uit niets beter blijkt, dan hieruit, dat dil beginsel het reeds
tegenover dc alleroenvoutligsle botrokkingon, dio tussohen kans-
breuken voorkomen, schromelijk aflegt.

De allorocnvoudigste betrokking die in de theorie der
breuken ter .sprake komt is de gelijkheid van twee breuken
waarvan mer. do eeno uit de andere, door toller (!n noemer
daarvan mei eenzelfde getal te vermenigvuldigen, kon doen
"nistaan. De rokonkunstigo beteekenis dezer betrekkin\'»- be-

staat hierin dat eene breuk niet de twee getallen zelve, waaruit
zij is samengesteld, beduidt, doch slechts hunne verhou■
d i n g. D c k a n s r c k c n k u n s t i g c beteekenis, nu, dezer be-
trekking komt met hare rekenkunstige beteekenis geheel en
al overeen (zoodat door haar alleen de kansrekening nog
geene zelfstandige wetenschap wordt). In vraagstukken
betreffende het dobbelspeel, bijvoorbeeld, treden kansbreu-
ken op waarvan de noemer 6 is; daar, rooals men pleegt te
zeggen, het aantal „mogelijke gevallen" hier (3 bedraagt. Bij
onze behandeling van zulk een vraagstuk hebben wij, nu, gezien
dat de invoering van het begrip .speelruimte ons er toe brengt,
zelfs een onnoemelijk aantal mogelijke gevallen te onder-
scheiden. Deze zoude men naar allerlei gezichtspunten in
groepen kunnen verdeden, cn aldus zoude men voor het aan-
lal mogelijke gevallen allerlei getallen vinden. Maar steeds
zoude daarbij hel aantal gunstige gevallen tot het aauial moge-
lijke gevallen in eene verhouding staan die tot eene breuk met
i.ocmer 6 kon worden vereenvoudigd. De beteekenis van
kansbreuken als verhoudingen treedt bij het „beginsd der
spedruimten" dus al bijzonder duidelijk aan het licht.

Hoe staal het, echter, in dit opzicht met het „Prinzi|)
des mangdndcn Grundes"? Nemen wij het voorbeeld dal
von Kries op blz. lo van zijn boek bespreekt. Wij veronder-
stcllin dat wij van den scheikundigen aard der srerren in hel
geheel niets welen. Vragen wij ons nu af wplke /le kans is
dat er zich op eene bepaalde ster een bepaald (\'lemeni, bijvoor-
beeld ijzer, bevindt. Er zijn twee mogelijkheden; 6f er komt
op die sier ijzer voor, óf niet. IC cn dezer beide gevallen eerder
te verwachten dan het andere zoude geheel ongegrond we/en;
volgens hel „Prinzip des mangdndcn Grundes" hebben zij
ïlus beide ^ waarschijnlijkheid \'/j. Ziedaar inderdaad eene
breuk. Man, drukt die breuk nu ook eene v c r h o n d i n g uit ?
Dct zal men toch al heel moeilijk kunnen beweren. Er zijn
twee absoluut vage mogdijkheden gegeven, anders niets;\'van

eene verhouding van die mogelijkheden le spreken heeft gee-
nen zin. En ze dus wiskunstiglijk aan elkaar en aan gelijk
te stellen is dwaasheid; die men zich alleen nog over-
troffen zoude kunnen denken door de bewering dat men
voor clic breuk \\U nu ook 2/4 of zoude mogen schrijven.
Want wat zouden die 4 en die 6 hier kunnen beteekenen ? Men
ziet: dit beginsel lijdt, op het oogenblik zelf dat men er mede
in zee wil steken, schipbreuk.

Mij dimkt, wij zouden feitelijk thans reeds dit beginsel
als afgedaan kunnen beschouwen. Maar omdat alle verkeerd-
heden. waaraan een beginsel der kansrekening maar lijden
kan, er nu eenmaal in vereenigd zijn, zal ik het nog verder
behandelen.

C)nder dc betrekkingen tusschen breuken die nu inderdaad
ccnc zclfslandipc kansrekenkunstige beteekenis hebben valt in
dc eerste plaats tc vermelden dc bctrckkin.ï^ die tusscbcn een
aantal k.Tnsluctikcn bestaat, waarvan öénc (in rckcnkunsligcn
zj\'O gelijk is aan dc soniidcr andere. Deze kansrckcnkimstigc
hetcckenis wordt uitgedrukt door het „theorema der to-
tale kans" waarvan nicn dc uiteenzetting in ieder leerboek
der katisrekcning kan aantreffen. Vraagt nuMi, bijvoorbeeld,
bij her dobbelen n.iar de kans\' v^p eenen oneven worp. die drié
nmgclijkhodcn omvat op iedere van welke dc kans V,- be-
draagt; dan is die kans i/„-|-V,,.Li/-1/2. Dc zelfstandige
kansrekenkunstige beteekenis van dit theorema bestaat, nu,
Incrin, dat men het slechts met cenc zekere b c p e r k i n g-.mag\'
toepassen: dc vcrschillcndc mogelijkheden, wier waarschijn-
lijkheid door de breuken die men wcnscht op te tellen .worden
gerepresenteerd, moeten clka.ar. namelijk, buitensluiten,
/^oudc men, bij ccnc onoordeelkundige toepassing van dit
theorema, bijvoorbeeld zeggen dat dc kans dat mc»i, tc gelijk
met renen dobbelsteen cn een muntstuk werpende, hetzij
een oneven aantal oogen met den steen, hetzij ,kruis\' met het
muntstuk wierp, gelijk ware aan V2 V2=i; \'dan zoude dit

hierom verkeerd zijn, dat de beide \'genoemde mogelijkhcüen
elkaar niet buitensluiten. Had men daarentegen eenen dobbel-
steen oi) iedere zijde waarvan een muntstuk ware ingelegd, zoo-
danig dat op de zijden met een oneven aantal oogen ,munr
en op de zijden met een even aantal oogen ,kruis\' naar buiten
vare gekeerd, dan zoude de gevraagde kans inderdaad door
die som i/, van twee kansbreuken worden uitgedrukt.

Nu is het een feit dat de aanhangers van het ,,Prinzip
des mangelnden Grundes" het theorema der totale kans met
alle vereischte voorzichtigheid toepassen. Maar hieruit blijkt
alleen dat zij dit beginsel wel met de mond belijden maar het
in waarheid in het geheel niet toepassen. Immers, dat theorema
uit dit beginsel af te leiden is volstrekt onmogelijk; het biedt
voor zulk eene afleiding geen enkel uitgangspunt. Zoo vol-
strekt onbruikbaar is het als beginsel der k.insrekening!

Nemen wij echter voor een oogenblik aan dat het on
mogelijke geschiedde en iemand er in slaagde het theorema
der totale kans op ons beginsel te baseeren. Ook clan zoude
men tot volslagen ongerijmdheden komen. Want vragen wij
ons welke de kans is dat eene bepaalde ster geheel uit ijzer
beslaat. Ons beginsel antwoordt wederon^ Vj (een antwoord
dat het ten slotte op alle vragen geven moet als men zc op
eene bepaalde wijze inkleedt) zoo is ook de kans op de moge-
lijkheid dat de ster uit koper bestaat »/„ en ook de kans dat
zij geheel uil goud beslaat. Deze drie mogelijkheden sluiten
elkaar buiten. Dus de totale kans dat onze ster óf uit
ijzer óf uit koper óf uit goud bestaat is Vt \'/i V«=\'/ii liet welk
onzinnif( is. Hiermede hebben wij uit het ongerijmde be-
wezen dal het theorema der totale waarschijnlijkheid niet uil
bet „Prinzip des mangelnden Grundes" kan worden afgeleid.

-Moet ik nu ook nog de ongerijmdheden aantoonen waar-
toe men komt als men het „Prinzip des mangelnden Grundes"
als grondslag van het theorema d er samengest eldc
kans wil opvatten? Men berekene dan slechts de kans die er

op bestaat dat geen onzer aardsche elementen op de bepaalde
ster voorkomt. De kans dat één element er niet voorkomt
is weer Vi- De kans dat er twee niet voorkomen dus VaX,^/^.
en zoo voorts. Toen von Kries (die deze vraag doet en op
de ongerijmdheid der uitkomst wijst, zonder de principieele
beteekenis er van in tc zien) zijn boek schreef waren er 68
elementen bekend. Men krijgl dus voor de gevraagde kans
(Vï)®^, een uiterst kleine breuk. Stelt men echter de vraag
onmiddellijk (zonder met één clement te beginnen) dan zegt
het Priiiz\'p weer het eenige dat het zeggen kan, namelijk S\'«.
Met leidt dus tot de meest krasse tegenstrijdigheden. Kn
toch is het theorema der samengestelde kans voor de l:ans-
rekening van fundamenleele bet(^ekenis. Imtners het peeft
dc kansrekcnkunstige beteekenis aan van het vermeiiig-
V u 1 d i g (\' n van kansbreuken.

Wij zien dus dat het „Prinzip des mangelnden Grundes",
als men het op zijne bruikbaarheid als grondslag, ook zelfs
van de meest algemeene betrekkingen der kansrekening, on-
derzoekt. dien toets niet doorstaat. En dit behoeft ons ook
niet te verwonderen; immers beschouwen wii dal beginsel op
zich zelf. dan blijkt het niet niinder in te houden dan eene
poging om tol stellige kennis (want j)ok kennis van waarschijn-
lijkheden is stellig) te geraken, juisl op grond (!) van de af-
wezigheid van konnis. Waarlijk, te beweren -lat dit moge-
lijk zoude zijn is zoo kras, dat Baron von Münchhausen (die
slechts beweerde dat hij zich aan zijne haren nit een moeras
getrokken had) er confuus van zou zijn geworden! Toch
zoude het uit de leerboeken der kansrekening en uit alle
andere leerboeken behooren te verdwijnen om alleen m eene
nieinve bewerking van de avonturen van den gcnoen\\den Baron
cenc j)]aats te verkrijgen. Van een zoo uitgelezen dwaasheid
ii hot; niet omdat het ons er toe brengt op grond van onvol-
doende kennis verkeerde gevolgtrekkingen te maken (want
tlat doen wij, bij dc onvolkomenheid van ons intcllekt, helaas

dagelijks) maaar omdat het verlangt dat het ontb/eken zelf
van eene beweegreden om gevolgtrekkingen te maken ons
tot eene beweegreden om gevolgtrekkingen te maken strekken
zal. Zoo iets, nu, strijdt met den aard van ons intellekt zeiven. Wij
kunnen geene gevolgtrekking (ook geene verkeerde) maken,
indien wij niet althans meenen (hoezeer ook misschien\'ten
onrechte) daarvoor eenen positieven grond te hebben. Het
maken von eene gevolgtrekking is eene h a n d e 1 i n g van
onzen geest, deze handeling moet eene oorzaak hebben even-
als ieder ander voorval of verschijnsel in de natuur. Ontbreekt
zulk eene oorzaak (dat wil hier zeggen eene beweegreden) dan
moet ook het gevolg (dat wil hier zeggen het maken eener
gevolgtrekking) uitblijven. Het „Prinzip des mangelnden Grun-
des" loochent dit. Wil men dus deze uitdrukking op de juiste
wijze gebruiken dan komt men tot een beginsel dat geheel
anders luidt; namelijk: dat wij bij ontstentenis van gegronde
redenen ons van het maken van gevolgtrekkingen moeten
onthouden, cn dat wij, als wij geehen grond hebben om iets
te verwachten, niets moeten verwachten. Gelijk wij kunnen
waarnemen aan de beide Polen uit Heine\'s gedicht „Zwei
Ritter", die hel ware „Prinzip des mangelnden Grundes" in
toepassing brachten, wanneer liet oogenblik aangebroken was
dat zij hunne vertering moesten betalen:

Und da keiner wollte leiden,
Dass der and\'re für ihn zahle,
(had dc waard slechts eene kans Vi op betaling, denkt men?
Neen, maar)

Zahlte keiner von den beiden.
^ Van dezc beide Polen kunnen dc kansrekenaars leeren
hoc het in waarheid met het „Prinzip des mangelnden Grun-
des" gesteld is.

„Maar" zal men vragen ,.hoc is het dan mogelijk dat
verdienstelijke geleerden hun hart aan dit beginsel hebben
verpand?" Men kan hierop, geloof ik, als volgt antwoorden.

Het begrip ,waarschijnlijkheid\' speelde eene belangrijke
rol in het dagelijksch leven, reeds lang voordat de kans-
rekening bekend was. En ook nu de kansrekening, als eene
strenge wiskunstige wetenschap, bestaat, zijn hare uitspraken
niet alleen voor den buitenstaander, maar veelal ook voor
den kansrekenaar zeiven, voornamelijk om de toepassing op
het dagelijksch leven van belang. Men is onwillekeurig ge-
neigd hare uitspraken (die in waarheid slechts de waar-
schijnlijkheid van gebeurtenissen betreffen) als voor-
spellingen of althans als verwachtingen van gebeurte-
nissen op te vatten. Zoolang iemand echter deze opvatting
van de kansrekening koestert, miskent hij hare werkelijke
bedoeling, cn het gevolg zal zijn dat hij in haar niet zoo zeer
dc uitdrukking van kennis (wat zij toch ongetwijfeld is) als
wel van een gebrek aan kennis ziet. En van dit standpunt
tot het „Prinzip des mangelnden Grundes" is maar édnc
schrede. Vergeleken met dc andere wiskunstige wetenschap-
pen, verkeert dc kansrekening inderdaad in ccne eenigszins
ongelukkige positie. Ook op het gebied dier andere weten-
schappen kennen wij ten decle; maar daar behoeft, gemeen-
lijk, onze gebrekkige kennis door het geen cr aan ontbreekt,
in zekeren zin, nog slechts aangevuld tc worden: het ge-
deelte der werkelijkheid dat wij kennen cn het gedeelte dat
wij niet kennen zijn cr inderdaad twee gedeelten die, als
het ware, rustiglijk buiten cn naast elkander zijn gelegen.
Ook de fijnste benadering van het getal .-r is, noodzakelijker-
wijze, onvolkomen, maar ook dc ruwste benadering behoeft
om volkomen te worden nog slechts ccnc geringd toevoe-
ging (al zullen wij die toevoeging ook nimmer volkomen
kunnen aangeven). En hoe dc achterzijde der maan er uit-
ziet, dat zullen wij wel nimmer tc weten komen; maar juist omdat
zij de achterzijde is, behoeven wij niet te vreezen dat zij ons
t>ij het bestudeeren der voorzijde ooit in den weg zal staan.
Of men denke aan het relativiteitsbcginsel: in de wetcnschappc.\'

lijke voorstelling van de natuur brengt dit eene algeheele
wijziging; in de natuurkundige grondformules evenwel treedt
het slechts als eene kleine, aanvullende correctie op. Bij
\'dezen stand van zaken heeft de geleerde geene reden om
zich over de onvolledigheid der menschelijke kennis tc Ver-
ontrusten: op zich zelve, inabstracto, beschouwd, doet dc
wereld zijner wetenschap, wat strengheid van bouw en be-
griipelijken samenhang aangaat, voor de wereld der werke-
lijkheid niet onder, en hare gelijkenis daar mede ziet hij ge-
leidelijk en gestadiglijk toenemen.

Ik wil nu geenszins beweren dat dit alles ook niet op
\'de kansrekening van toepassing is. In tegendeel, wanneer men
de kans voor het bovenkomen van eene bepaalde zijde van
eenen volmaakl afgewerkten, homogenen, dobbelsteen door
Vfi voorstelt; dan heeft men het over eenen dobbelsteen die
slechts in a b s t r a c t o bestaat ; en iets dergelijks geldt voor
ieder vraagstuk der kansrekening. Terwijl dus de Icansreke-
naai weet dat zijne uitspraken om op de werkelijkheid toe-
. passelijk te zijn steeds eene correctie moeten ondergaan (die hij
vaak,.wegens de gebrekkigheid zijner kenni.ï, nic-^ bij machte
zal zijn aan tc geven); behoeft hij zich over deze omstandig-
heid toch niet bezorgd tc maken: in abstracto valt die
gebrekkigheid zijner kennis geheel weg; en juist wanneer hij
zijne problemen aldus in abstracto beschouwt bevindt de kans-
rekenaar zich in zijn element, t) Het onderscheid echter

\') Dit onderscheid tusschen ,k.in In abstrActo\' en .kans In concreto\'
ziet Polncaré geheel over het hoofd, war hij (Calcul des ProhabllKés blz 27.1)
zegt: Quelle est la probabilité pour qu? des comètes, étrangères au sy.Mème
solaire, aient une orbite hyoerbolique? On supposera bien que. à une cer-
taine distance du .soleil, les comètes sont imiformément réparties d.ins
l\'espace; mais sur quoi fonder rettt hypoihèse? en vertu de quelle cause»"
Deze laatste vraag Is, echter, In een boek over kansrekenlnj niet op haar
plaats. Toen Laplacc zich had voorgenomen om de gevraagde kans uit te
rekenen, zoude hij, In zijne hoedanigheid van kan^rekenaa r. even goed
van iedere andere vooronderstelling kunnen hebben uitgaan, maar hij koos
natuurlijk, de vooronderstelling die hem, in zijne hoedanigheid van astro-

tusschen de kansrekening en de andere wetenschappen, waar,
ik op v;ilde wijzen, is hierin gelegen: dat het elemen t waarin
de kansrekening zich aldus, met volkomen zekerheid, bWeegt,
en waardoor zij alleen bestaat, met het begrip .wetenschap\',
op het eerste gezicht, geheel in strijd schijnt te zijn; het
is, namelijk, niet anders dan de (binnen de grenzen, door "de
mogelijkheden van ieder geval bepaald) volstrekte onzelcer-
be i d zelve. Nu spreekt het, dunkt mij, van zelf «1at.de kans-
rekening, behoorlijk opgevat, zich\' dan ook over datgene waar-
over wij ons in die volstrekte onzekerheid bevinden,\' niet zal
uitlaten; met andere woorden, dat de kans op een zeker feit
iets geheel anders moet zijn dan de verwachting van
dat feit. Maar kansen en verwachtingen te venvarren is zeer
verleidelijk: en maakt men zicb aan de verwarring schuldig, dan
verkrijgt dc kansrekening te eenen male een p.iradoyaal ka-
rakter, en het „Prinzip des mangelnden Grundes" is Kef eenige
beginsel dat tot hare verklaring overblijft.

Wanneer wij dus bij Poincard lezen (C. d. P. blz 8):
>,Unc question de probabilités ne se pose que par suite de
notre ignorance;" dan zullen wij niet beginnen te lachen cn
zeggen dat dat nog al van zelf spreekt, aangezien nu eenmaal
alleen een gek naar den bekenden weg pleegt te vragen; maar
wij zullen, integendeel toegeven dat onze onwetendheid in dc
kansrekening inderdaad op eene geheel bijzondere wijze aan
het woord is. En wij zullen zelfs bereid zijn .\'clven over de
wonderlijke situatie waarin de kansrekening, met de andere
natuurwetenschappen vergeleken, tengevolge van dat feit ver-
keert, uit do welden. Immers, op grond der kansrekening ken-
nen wij aan de verwerkelijking van allerlei fnogelijkhcdcn be-
noom, xlleeti voorkwam ju Ut te zijn. En Indien de door hem berekende
kans gebleken ware niet met de ervaring overeentestemmen. dan zoude
die vooronderstelling hebhen moeten wlizlgen; hetgeen hl) zich als
astronoom misschien ten zeerste; maar als kansrekenaar In het geheel niet
zoude hebben aangetrokken.

paalde „kansen\' door breuken uitgedrukt, toe. Letten wij nu
echter op die verwerkelijking zelve, dan blijkt het dat die
al of niet plaats heeft: óf ten volle óf in het geheel niet; van
eene „breuk" die men daarbij te pas zoude kunnen brengen
valt niets meer te bespeuren. Vandaar dat, zoodra wij de uit-
spraken der kansrekening als verwachtingen opvatten,
datgene dat wij, toen wij zulk eene venvachting uitspraken,
meenden te weten, in datgene dat wij niet wisten (de ver-
wei kelijking of het uitblijven van wat wij verwachtten) telken-
male geheel te niet schijnt te gaan. en er als het wa\\re door
schijnt te worden opgeslokt. Zoo heeft, bijvoorbeeld, een kans-
rekenaar die, voor eene roulette staande, betoogt dat dc kans
op het zesmaal achtereen uitkomen van de nul nog minder
dan één tweecneenhalfmilliardste bedraagt, alle reden om be-
vreesd te zijn dat hij, indien daarop, de nul nu toevalliglijk"
eens juist zes maal achtereen uitkomt, tegenover de omstan-
ders een figuur slaat dat zeer veel op eene zevende mil gelijkt.
En toch zal hij dan slechts het slachtoffer geworden zijn van
de onjuiste meening dat de kansrekening ons verwachtin-
gen aangaaande bepaalde gebeurtenissen aan dc hand doet,
en dus dient om ons gebrek\' aan kennis van dc spccialc oor-
zaken, die die gebeurtenissen bepalen, op te heffen. Zulk\'
eene meening echter is verkeerd.

En daarom zullen wij niet met Poincard mede gaan
wanneer hij op den zoo juist aangehaalden zin Iaat volgen:
„il n\'y aurait place quc pour la cer^itude si nous connaissions
toutes les données du problème " Want deze uitspraak bVrust
op eene verwarring van .wetenschappelijk vraagstuk\' in het
algemeen cn ,kansrekenkunstig vraagstuk\' in het hijzonder.
Een kansrekenkunstig vraagstuk is slechts oplosbaar indien wij
alle k?nsrekcnkunstige gegevens ervan inderdaad ken-
nen; deze kansrekcnkunstigc gegevens echter, ziin ,gegc.ven.s*
alleen van kansrekenkunstig standpunt beschouwd; van ieder
ander standpunt zijn het geene gegevens maar beteckencn zij

totale ,onzekerheid\'. En zoo is het ook met de oplossing
van kansrekenkunstige vraagstukken. Zulk eene oplossing geeft
ons evenzeer als de oplossing van ieder ander wetenschappelijk
vraagstuk ,zekerheid\', maar : ,kansrekenkunstige\' zekerheid, dat
v.il zeggen eene zekerheid die, van ieder ander dan kans-
lekenkunstig standpunt beschouwd de onzekerheid zelve is.

Ons resultaat is dus dat de kansrekening slechts dan
een paradoxaal karakter vertoont, wanneer men haar van een
niet-kansrekenkunstig standpunt beschouwt. Van een kans-
rekenkunstig standpunt beschouwd echter, is zij evcnab ieder
andere wiskunstige wetenschap de exacte formuleering van
positieve kennis. Deze positieve kennis is echter geene
kennis van feiten of speciale oorzaken, maar van
„speelruimten". En hiermede zijn wij weer bij de theorie van
von Kries aanbeland. Von Kries\' verdienste bestaat, mijns
inziens, hierin dal hij (in tegenstelling tot dc aanhangers van
liet „Prinzip des mangelnden Grundes") zich afgevraagd heeft :
Welke is de kennis die wij moeten bezitten om tot kans-
rekenkunstige uitspraken gerechtigd le zijn? Die kennis is
van ieder ander standpunt beschouwd de onwetendheid zelve;
maar hierdoor heeft von Kries zich niet laten afschrikken. En
men heeft, dunkt mij, de keus om óf met von Kries (blz. 296
van zijn boek) te zeggen dat de kansrekening als wiskunstige
wetenschai) slechts recht van bestaan heeft „wenn sie sich
streng daran hält, dass sie reale Grössen von einfach an-
gebbarer objectiver Bedeutung zu berechnen hat. Um dies
i-u können, nmss sie notwendig von dem Begriff der S {) i c 1 -
räume ausgehen" óf om aan de begrijpelijkheid van de kans-
rekening te vertwijfelen, zooals bijvoorbeeld Poincarc doet,
die zegt (C. d. P. blz. 274) „Le calcul des probabilités offre une
contradiction dans les termes mômes qui servent ä le désigner."

Nu het „beginsel der evengroote mogelijkheden". Eigen-
lijk zoude men beter doen slechts van „de uitdrukking even-
groote mogelijkheden" te spreken, waarmede tal van srhrij-

vers het begrip ,waarschijnlijkheid\' gemeend hebben tc kun-
nen verklaren. Dat die uitdrukking hen zeiven, evenwel, nimmer
geheel heeft kunnen bevredigen, blijkt wel hieruit dat zij haar
steeds weer, op haar beurt, door een ander begrip hebben
trachten op te helderen. Zoo zegt bijvoorbeeld Jac. Bernoulli
(Ars Conjéctandi blz. 219) „Pono autem, omnes casus aeque
possibiles esse, seu pari facilitate evenire posse" en dit begrip
„gemakkelijkheid" beschouwt hij zelfs als iets waarvan men de
grootte wiskunstiglijk uitdrukken kan, in het geval n. 1. dat de
gevallen niet „even mogelijk" zijn: ,,pro quovis casu faciliori tot
alii casus numerandi sunt, quotics is caeteris facilius evenit."
Hij verklaart dus het begrip „evengrootc mogelijkheid", gelijk
voor hem Huyghens reeds gedaan had,(Ar3 Conjéctandi blz. 7)
met behulp van het begrip „gelijke gemakkeiijkhcui". Het
kcmt mij echter voor dat dit laatste begrip te eenen male van
beteekenis ontbloot is. Immers, ik geloof niet dat iemand, bij
eenig nadenken, zoude kunnen volhouden dat, bijvoorbeeld,
indien men met twee dobbelstecncn werpt, dc uitkomst van
7 oogen inderdaad gemakk e 1 i j k cr tot stand komt dan dc
uitkomst van 12 oogen (hoewel zij toch zesmaal waarschijnlijker
is). In dc werkelijkheid, dat wil zeggen de natuur, namelijk,
ge.schicdt alles met volstrekte gcmaklrelijkheid. Zelfs in-
dien een dobbelsteen (uiterst onwaarschijnlijk!) op één zijner
twaalf kanten blijft balanceeren, .lan geschiedt dal (in dc
7eldz?mo gevallen dat het geschiedt) met diezelfde volstrekte
gemakkelijkheid; al mag het voor ons ook zeer moeilijk of
zelfs onmogelijk zijn die uitkomst met opzet tc bewerk-
stelligen.

Ook Laplace bezigt de uitdrukking „des cas égalcmeni
possibles" maar ook hij voegt er eene nadere verklaring aan
toe: „c\'est h dire, tels que nous soyons dgalement indécis -ur
.cur existence." (Oeuvres VII p. IX) Wat men, echter, onder
„également indécis" moet vcrstaaan, begrijp ik alweer niet.
.Want deze uitdrukking houdt den eisch in om eene volstrekte

De moderne kansrekenaars zijn in hunne verklarhig van
hel begrip „evengroote mogelijkheid" al niet gelukkiger. Ge
mcenlijk brengen zij het in verband met het „Prinzip des man-
gelnden Grundes" (Czuber Wahrscheinlichkeitsrtchnung blz. 9
ziet zelfs hetzelfde sCeven ook in de zoo juist aangehaalde
uitlatingen van Bernoulli cn Laplace). Zeer duidelijk is op dit
punt Markof (Wahrscheinlichkeitsrechnung, übersetzt von H.
Liebmaim, Leipzig 1912, blz. 2) „Wir nennen zwei Ereignisse
gleich möglich, wenn gar keine Gründe vorliegen, eines
von ihnen bestimmter als das andere zu erwarten." Het een-
\\oudigsie geval nu is dal men een aantal „Ereignisse" heefl
die „allein möglich, unvereinbar und gleichmöglich.sind. Dann
wird Wahrscheinlichkeit eines jeden dieser Ereignisse der Bruch
genanni, dessen Zähler der Einheit, dessen Nenner dagegen
ihrer Anzahl gleich ist." Dil is dc verklaring die Markof van
bei begrip ,waarschijnlijkheid\' geeft; men zoude haar als ,,de
gladverkeerde verklaring" kunnen aanduiden, hnmcrs, ook zon-
der nadere opheldering treedt het begrip .waarschijnlijkheid\'
op als iets dal quantilalief volkomen bepaald is. Nu gaal
hij dii begrip afleiden uit de vage notie van „cvcngrooic moge-
lijkheid". En deze uitdrukking krijgt dan op haar beurt tot
basis het totaal ongerijmde „Prinzip des mangelnden Grun-
des". Mij dunkt, op deze wijze geraakt men eerst van den
wal in dc modder, en vervolgens uit :1c modder in dc sloot.

Dit schijnt ook von Kries gevoeld tc hebben. Ondanks
zijn beginsel der speelruimten heeft hij, namelijk, toch een
zeker zwak voor het begrij) „even groote mogelijkheden".
Zoodal hij op blz. 6 van zijn bock verklaart: „In der Aufstellung
und Abziihlung solcher gleich möglicher Fälle ist ni der Tat
das ganze Geschäft der Wahrschcinlichkeiis-Rcchnung zu er-
blicken." Daarop voelt hij groote neiging om dit begrip met
behulp van het „Prinzip des mangelnden Grundes" tc verklaren.

Op het laatste oogenblik maakt hij echter, juist nog op tijd,
rechtsomgekeert en — komt weer bij het begrip waarschijnlijk-
heid terecht. Hij had beter gedaan maar van meet af bij dat
begrip te blijven! Omdat men misschien denken zal dat ik nier
juist gelezen het zal ik hem letterlijk aanhalen (Op het keerpunt
zijner gedachte plaats ik een gedachtenstreepje): „... so ergibt
sich ohne Schwierigkeit die Erklärung, dass als gleich möglich
zwei oder mehrere Fälle anzusehen sind, wenn in dem jeweili-
gen Stande unserer Kenntnisse sich kein Grund findet, unter
ihnen einen für — wahrscheinlicher als irgend einen anderen
zu hallen." :

Van de schrijvers die ik geraadpleegd heb is Bruns de
eenige die met het begrip ,evengroote mogelijkheden\' eens-
klaps (blz. 11 van zijn boek) zonder nadere verklaring voor
den dag komt. Ilij zegt n. 1. dat hij, wanneer hij spreekt van
hel ,blindelings\' trekken van een balletje uit cenc urn die zwarte
en witte balletjes bevat, daaronder twcecriei wcnscht te ver-
staan: ten eerste dat de persoon die trekt niet bij machte is
opzettelijk eene bepaalde kleur te bevoordeelcn; „und zweitens,
dass für jede der Kugeln die gleiche Möglichkeit des .Gezogen-
werdens bestehe; so dass der Zug selber den Charakter eines
zufälligen Ereignisses annimmt." Hij vat dus het begrip ,even-
groote mogelijkheden\' op als iets waarvan de beteekenis v.in
zelf spreekt. Maar het beginsel waaruil hij de waarschijnlijk-
heidsrekening wil verklaren is toch weer iets anders; namelijk
de j,schijnbare toevalligheid" van gebeurtenissen wier oor-
zaken wij niet tot in alle onderdeden kennen nagaan.

Na al deze aaanhalingen zal men het met mij eens zijn,
dat het zeer gewenscht is de uitdrukking „evengroote moge-
lijkheden", onafhankelijk van hetgeen de schrijvers over kans-
rekening er met zulk een weinig bevredigend resultaat over le
berde gebracht hebben, aan een nader onderzoek le onder-
werpen. Dit onderzoek zal dan in de eerste plaats daarin moeten
bestaan dat wij ons afvragen wat toch wel de eigenlijke be-

teekenis is van het woord „mogelijkheid" ; daarna ral het ons
niet moeilijk vallen uit te maken of wii het praedicaat „even-
groot" aan mogelijkheden mogen toekennen of niet.

Wat nu het begrip „mogelijkheid" aangaat; eene voor-
treffelijke ontleding daarvan heeft Kant (die een meester is in
het ontleden van begrippen) ons gegeven in de Kritik\' der
reinen Vernunft (2de druk blz. 265 vvg. Die Postulate des
empirischen Denkens überhaupt). Hij geeft aldaar, om te be-
ginnen, de volgende bepaling: „Was mit den formalen Be-
dingungen der Erfahrung (der Anschauung und\' den Begriffen
nach) übereinkommt, ist möglicli." De woorden „der An-
schauung und den Begriffen nach" dienen, in \'dezc bepaling,
om datgene aan te geven, waar het, indien wii het over de
mogelijkheid eener zaak hebben, op aankomt (in tegenstelling
ntct datgene waar het op aan zoude komen indien wij het over
de werkelijkheid dier zaak hadden). Lezen wij, bijvoor-
beeld, in eenen roman, spelende op dc planeet Mars, eene
\'^-eschriiving v-^n het een of andere, door den schrijver gc
fantaseerde, levende wezen, cn vragen wij ons af of dat voort-
brengsel zijner verbeelding ook mogelijk is; dan moet het
J^ntwoord luiden, dat dat, in laatsten aanleg, alleen afliangt
^\'au de aanschouwelijke elementen en van de begrippen, waar-
de voorstelling van dat levende wezen is opgebouwd: vau
^le formcele gesteldheid dier voorstelling dus. Komt
deze, namelijk, aldus „den Anschauungen und den Begriffen
nach" met de formcele voorwaarden, door den aard der
^^"Ren aan ervaarbare werkelijkheid gesteld, overeen, dan is
i\'>J dc voorstelling van iets mogelijk.s; indien niet, dan van
\'ets ónmogelijks. Of zij echter de voorstelling van iets werke-
^\'jks is, of van iets dat ooit werkelijk geweest is, dat hangt
van iets geheel anders af: hiervan namelijk, of zulkicen levend
^ezen inderdaad te eenigen tijd, te eeniger plaats, krachtens
l^\'-t causale verloop der natuur, vleesch en bloed geworden
\'s; zoodat een mensch die zich op dien tijd óók\' op die plaats

Hadde bevonden, het zoude hebben kunnen waarnemen. De
vraag naar de werkelijkheid heeft dus (om ons in het gebruik
\'der termen „vorm" en „materie" bij Kant aan te sluiten) b\'e-
trekking op materieele voorwaarden. Vandaar dat
Kant ook zegt: „Was mit den materialen Bedingungen der
Erfahrung (der Empfindung) zusammenhängt, ist wirklich."

Men zal deze definitie van .mogelijkheid\' misschien te
speculatief vinden. Bij Kant echter behoeft men voor specula-
tieve neigingen niet bevreesd te zijn. Hij acht juist „den aus-
geb\'reireien Nutzen und Einfluss dieses Postulat^ der Mög-
lichkeit" daarin te zijn gelegen dat het ons voor speculecren
behoedt. Immers de formeele voorwaarden door den aard
\'der dingen aan ervaarbare werkelijkheid gesteld zijn ons niet
bekend.\') En daarom moeten wij in de b e o o r d e e 1 i n g van
wat mogelijk is, en wat niet, juist de uiterste voorzichtigheid
betrachten: dat is de „invloed" die het „postulaat der moge-
lijkheid" op ons hebben moet. Omtrent de mogelijkheid of
onmogelijkheid van eenige zaak, kan ons alleen dc ervaring
iets leeren;2) ook al hangt die mogelijkheid of onmogelijk

\') Beh«^ive dan de meest algemeene (volgens Kant, ruimte, tijd en de
„kategoriecn"). Dli|t behoort echter niet tot het onderwerp van dit g\'schdft.

Kant komt vooral hier teilen op dat men ment de mopellikheld eener
zaak te kunnen bewijzen door aan te tnonen dat het begrip dier zaak niet met
zich zeïf In strijd Is. Dit Is de fout van hen onder anderen, die. omdat men
allerlei ..meetkunden" kan verzinnen die op de ons bekende ruimte niet toe-
passelijk zijn; meetkunden bijvoorbeeld waarin twee rechte of ..rechtste"
lijnen eene vlakke figuur begrenzen kunnen, nu ook meenen eene ruimte, waa-
rin zulk eene meetkimde ..gelden" zoudr. voor mogelijk te moeten houden.
Zulk eene uitsoraak klinkt zeer bescheiden, en zoo zal leder ook op het
eerste gezicht de welwillendheid lofwaardig achten waarme\\ie bijvoorbeeld
Helmholtz. over Kant (die niet aan eene andere dan de van oudsbekende
ruimte geloofde") «prekende, dit standpunt aldus verklaart dat Kant ..durch
den damaligen Entwlcklungszustand der Mathematik beeinflusst gewesen"
zoude zijn (Vorträge und Reden Auflage II blz 230). Hooren wij nu echter
Kant: „Dass In einem solchen Begriffe kein Wlderspnich enthalten sein
müsse. Ist zwar eine nothwendlge logische Bedingung; aber zur oblektlven
Realität des Begriffs, d. 1. der Möglichkeit eines solchen Gegensundes, als
durch den Begriff gedacht wird, bei weitem nicht genug. So Ist In dem Be-

Heid, op zicK zelve beschouwd, niet van ervaring af (maar veeleer
omgekeerd de ervaring van de mogelijkheid). Langs iederen
an\'deren weg „würde man in lanter Hirngespinste geraten,
\'deren Möglichkeit ganz und gar kein Kennzeichen für sirK
hat, weil man bei ihnen nicht Erfahrung zur Lehrerin an-
nimmt."\'

Wij kunnen dus Hetreffende het begrip .mogelijkheid\'
bVf volgende vaststellen. Indien onze geest de dingen van
hun eigenlijke wezen uit aanschouwde, dan zouden wij liunne
niogelijkheid of on.mogelijkheid, onafliankelijk\' van i\'ïdere er-
varing, geheel a priori kunnen beoordeelen. Onze geest aan-
schouwt de dingen echter niet van hun eigenlijke wezen uit,
maar wordt hen eerst nadat zij eenmaal werkelijk zijn ge-
orden, als het ware van buiten af, gewaar. En daarom, nu,
zijn wij. wat de beoordeeling hunner mogelijkheid of on-
mogelijkheid aangaat, geheel en al van onze ervaring afhanke-
lijk- Intusschen blijft de mogelijkheid der dingen in \\»\'aar-
heid toch van hun al of niet bestaan re eenen male i\'maf-
bankelijk; cn deze waarheid treedt voor ons hierin aan den
dag. dar ook onze kennis van de mogelijkheid van eenige
^aak of van eenig verschijnsel fook al hebben wij enkel op
«rond van ervaring tot dic kennis kunnen komr.n) wanneer
dio kennis eenmaal bezitten toch van alle verdere ervaring
cenemnale Onafhankelijk is. Zoo behoeven wij slechts \'66n

Rdffe einer Figur, die In zwel geraden Linien eingeschlossen
"t. kein Widerspruch, denn die Begriffe von zwei geraden Linien und deren
-»«simmensiossung enthalten keine Verneinung einer Figur; sondern die
Unmöglichkeit beruht nicht auf dem Begriffe an sich selbst,
\'ondem der Construction desselben Im Räume" enz (Ik spatieer) welke
•.Construction im R.iume" nog geheel lets anders Is dan het verzinnen van
of .-»ndere „nlet-Hudldlsche meetkunde", gellik men bij lezing der Kritik
oer reinen Vernunlt zal bemerken! Waarlijk. d.it Ksnt de verzlnners

un eenige Inlichtingen kunnen verschaffen die zij wel zouden hebben kunnen
ß^orulken.

exemplaar, of zelfs slechts één onbetwistbar onderdeel van
een exemplaar van eenige voorwereldlijke dierensoort opge-
graven te hebben, opdat voor alle tijden de mogelijkheid
(onder omstandigheden overigens die ons dan misschien nog
onbekend zijn) van die dierensoort onwankelbaar vast sta.
En daarom moeten wij onze kennis van mogelijkheden
beschouwen als eene kennis, die van onze kennis van werke-
lijkheden wel in zooverre verschilt dat zij van eene geheel
andere orde is, maar niet in zooverre dat zij minder objec-
tief zoude zijn. Hare objecten zijn niet werkelijk maar
mogelijk; dit verschil in object beteekend echter geen verschil
in objectiviteit.

En thans de toepassing dezer overweging op de kans-
rekening. Nemen wij als voorbeeld wederom het werpen met
eenen dobbelsteen. De natuurwetten die hierbij in het sp^el
zijn, zijn van zoo eenvoudigen aard dat reeds de meest alge
meene ervaringen omtrent het vallen en de beweging van
voorwerpen ons in staat stellen de verschillende mogelijk-
heden die zich in dit geval voordoen te beoordeelen. Dc
\'dobbelsteen kan óf op ééne zijner zes dijden komen le liggen
óf blijven balanceeren; en dit laatste kan weer op iwee wijzen
geschieden: óf op éénen zijner twaalf kanten óf op één zijner
acht hoekpunten. De vraag is nu, of wij aan elke dezer ver-
schillende mogelijkheden ook eenen bepaalden graad van
mogelijkheid moeten toekennen. Welk antwoord wij hierop
moeien geven, komt mij voor niet twiifelachtig tc zijn. Indien
wij die verschillende mogelijkheden zich eens achtereenvolgens
zagen verwerkelijken, dan zouden wij toch aan die verschillende
uitkomsten zekerlijk geenen graad van werkelijkheid toeken-
nen. Nu is ons gebleken dat de mogelijkheid der dingen in geen
enkel opzicht minder objectief tc achten is dan hunne werkelijk-
heid. Met welk recht zouden wij dan aan mogelijkheden, enkel
omdat hare verwezenlijking meer of minder waarschijnlijk
(maar daarom wanneer zij zich voordoet geenszins meer of

minder werkelijk) is, eenen graad van mogelijkheid toe
mogen kennen ? Zoo iets zoude iederen zin ontberen; iets is óf
mogelijk óf onmogelijk, van „meer of min" kan men hierbij niet
spreken, en daarom moeten wij de uitdrukking „even groote
mogelijkheid", zoowel op zich zelve beschouwd als gebezigd
ter verklaring der kansrekening, tc eenen male afwijzen cn
verwerpen.

Ook langs dezen weg zijn wij dus weder tot de slotsom
gekomen, dat men er verkeerd aan doet het begrip ,kans\'
of ,waarschijnlijkheid\' te willen verklaren door het door een
ander begrip te vervangen. Kennis van waarschijnhjk-
heden is geene keimis van werkelijkheden, want voortdurend
geschiedcn dc onwaarschijnlijkste dingen.\') Maar zij is ook
geen kennis van mogelijkheden, want dc dingen zijn meer of
minder waarschijnlijk, maar geenszins meer of »ninder moge-
lijk. Wal is kennis van waarschijnlijkheden dan echter wel?
2ij is eene kennis gegrond op kennis van mogelijkheden
b ruik bar bij het onderzoek der werkelijkheid. Deze
verklaring behoeft nog nadere opheldering, maar zij volstaat
toch reeds om le doen inzien dat bij dc zeer eigenaardige be-
teekenis van het begrip ,kans\' aaji dit begrip ook een eigen
naam lioekomt. In plaats, dus, van het woord ,kans\' uit dc
tl>oorie zelve der kansrekening te verdrijven moeien wij veeleer
<ir over verheugd zijn dal dit bijzondere woord voor dat bij-
zondere begrip bestaat; ware dal niet het geval dan zouden
^vij genoodzaakt zijn zulk een woord uil tc vinden.

Van bijzonder belang nu is het dat wij, door het t h c o -
\'■^»"a van Bernoulli, in staat zijn dc bruikbaarheid van
kennis van kansen lot hel kennen van werkelijkheden aan tc
toonen, zonder dc sfeer van het begrip ,kans\' tc verlaten. Het
sioh ons, namelijk, in staat om iedere kansbreuk in verband

O j\'/yvcrat j-do ro .tnoa ti\\ eixó;, (oarr f/x<>s x<t} to rtnoit n) rïxói,
(Aristotelcs, Rhctorika B p. 1^)2a).

te breTtgen met eene andere kansbreuk, die men onbepaald
tot de éénheid kan doen naderen. Dit zal in het laatsts hoofd-
stuk ter sprake komen. Maar hier is de opmerking op hare
plaati dat het theorema van Bernoulli evenzeer dienen kan
om de eigenaardige beteekenis van het begrip /tcans\' in het
hebt tc stellen, dään waar die kans niet tot de eenheid maar
tot nul nadert. Men zegt vaak dat ,eene kans nul\' ,onmoge-
lijkheid\' beteekent. Dit is echter geenszins het geval. Om dat
aan een voorbeeld te doen zien, behoef ik slechts te herrinne-
ren aan dc behandeling van het werpen met eenen dobbel-
steen, volgens het beginsel der speelruimten, in het vorige
hoofdstuk. Daar hebben wij de mogelijkheid dat de dobbel-
srecn op één zijner kanten of hoekpunten blijft balanceeren
buiten beschouwing gelaten. Aan deze uiikom3t, namelijk,
beantwoorden geene speelruimten, maar slechts de grensge-
bieden tusschen de onnoemelijk vele uiterst kleine speelruimten
van n afmetingen, die wij hebben ingevoerd. >) Hebben wij
echter eenen idealen dobbelsteen en werpen wij op eene vol-
komen gladde tafel, dan zullen die grensgebieden of gebieden
van discontinuïteit n—i afmetingen dus geen n-dimensionaal
volumen hebben. Op de verwezenlijking der mogelijkheden
die aan deze gebieden beantwoorden bestaat derhalve eene
kans nul. Toch zijn deze uitkomsten niet onmogelijk. Para-
doxaal is deze uitkomst alleen voor wie de begrippen ,müge-
lijkheid\' en ,waarschijnlijkheid\' niet uiteenhoudt. Houdt men
deze begrippen daarentegen wel uiteen dan beteekent de kans
nul die aan eene mogelijkheid toekomt het volgende. Gesteld

>) Aan ieden der zes in het vorige hoofdstuk beschouwde uitkomsten
beantwoordde de geheele speelruimte aan onze hand geboden. De grens-
gebieden echter tusschen de onnoemelijk kleine speelruimte blijven toch
hunne beteekenis behouden. Want bl) den overgang van één zoo \'n speel-
ruimtetje dat, bijvoorbeeld da 4 tot uitkomst heeft, naar een naburig sposl-
ruimtetje, moet men om wederom de 4 tot uitkomst te hebben, den dob-
belsteen een anderen stand geven. Het grensgebied tusschen die twee speel-
ruimtetjes heeft derhalve de beteekenis van een gebied van discontinuïteit.

dat men van de uitvinding van den dobbelsteen af tot nu toe
onafgebroken gedobbeld had met ideale dobbelsteenen op vol-
komen glatlde tafels; dan zoude het toch uiterst onwaarschijn-
lijk zijn dat daarbij ook slechts één maal één dier dobbel-
steenen op een zijner kanten of hoekpunten ware komen tc
balanceeren. Daarin ligt niets paradoxaals, dit zoude cr slechts
dan inliggen indien zij luidde dat het niet mogelijk zoude
geweest zijn dat één dier dobbelsteenen (of .\'elfs ook vele
dier dobbelsteenen) één maal (of zelfs ook vele malen) op een
hoekpunt of kant waren komen te balanceeren.

Van zooveel belang is het om de twee onderling geheel
verschillende begrippen ,kans\' en ,mogclijkheid\' ook als twee
onderling geheel verschillende begrippen te behandelen. Ik
hf»üp door deze kritiek op eenige pogingen om het begrip
kans tot een ander begrip te herleiden de belangstelling voor
het beginsel der speelruimten, dat juist de oorspronkelijke
beteekenis van hel begrip ,kans\' in het licht stelt, eenigermate
verhoogd le hebben en ga daarom, in het volgende hoofdstuk,
wederom tol de bespreking van dat beginsel over.

De beschouwingen van het vorige hoofdstuk kunnen
ons leeren tot welke kwade gevolgen de even algemeen ver-
breide als verkeerde opvatting der wijsbegeerte leidt, volgens
welke het wijsgeerige gebruik der woorden er in zoude be-
staan hun gewone gebruik té verlaten; zoodat de volmaakte
wijsbegeerte (gesteld dat de menschelijke geest bij machte
ware deze tot uitdrukking te brengen) iets .ïoude zijn dat ons
— in plaats van oneindig veel vertrouwder — oneindig veel
vreemder moest voorkomen dan al hetgeen wij nog ooit hadden
gehoord. Nu is het een bekend feit (dat te allen tijde aan
den vooruitgang der wijsbegeerte in den weg staat) dat wij
woorden en uitdrukkingen slechts een aantal malen achtereen
behoeven te vernemen om dc beteekenis, waarin zij oorspronke-
lijk werden gebezigd, eerst uit het oor, ;-;n vervolgens ook
uil het oog te verliezen. En daarom ben ik bevreesd dat ^ok
het woord ,speelruimte\', enkel doordat ik "het een aantal m,iU;n
heb genoemd, voor den lezer eenen bijzonderen en vreemden
klank heeft verkregen die de oorspronkelijke beteekenis, in
de taal van het dagelijksch leven aan dat woord eigen, geheel
overstemt.

In dit hoofdstuk, nu, zal ik trachten aan te toonen dat
het juisl die gewone en oorspronkelijke beleekeni.s is^ waarin
het begrip »speelruimte\' in dc kansrekening behoort tc worden
gebezigd. En wel leent dit begrip zich tot dit \'cansrekcnkunstig
gebruik zoozeer van nature, dat men er zich over verbazen moet
dat het zijne plaats in deze wetenschap piet van den beginne

heeft ingenomen. Maar in de achttiende eeuw koesterde men
van de kansrekening (gelijk dat ten aanzien van eene weten-
schap die in korten tijd tot zoo grooten bloei geraakte wel ver-
klaarbar is) zulke overdreven verwachtingen dat men hare
eigenlijke, veel bescheidenere, strekking vvel voorbij moest
zien. Bernoulli vat haar op als eene wetenschap om de waar-
heid tc gissen, en prijst haar aldus : „C o n j i c e r e rem aliquam
est mcïiri ejus probabilitatem: ideoque Ars Conjectandi
sive Stochastice nobis definitur ars metiendi quam fieri potest
exactissimc probabilitates rerum, co fine, iit in \\udiciis ët
actionibus nostris semper eligere vel sequi possimus id, quod
melius, satius, tutius aut consultius luerit deprehensuny; in quo
solo omnis Philosophi sapientia et Politici prudentia versatur."
(Ars conjectandi blz. 213.) En ook Laplace verheft haar hemel-
hoog en spreekt van hare applicatie „aux questions les plus
nnporlantes de la vie, qui ne sont en effet, pour la i)lupart,
•lue des problèmes de probabilité" ; en hij hoopt dat zijne be-
schouwingen „puissent mériter rattcniion des philosophes, et
la diriger vers un objet si .digne dc les occuper" (Aanhef :fijncr
»Introduction"). Van dezc achttiendc-ecuwschc overschatting
der kansrekening is dc verwarring, die thans nog ten aanzien
lii^rer "heginsclen bestaat, afkomstig.

Het beste bewijs der onontb:erlijkheid van het begrip
\'Speelruimte\' in dc kanfrekcning is hierin gelegen, dat njcn
Kcenc waarlijk bevredigende verklaring van één der iunda-
»nenicclc vraagstukken der kansrekening kan opstellen (of bij
«-\'enigen schrijver zal aantreffen) waarbij dat begrip niet het
^\'igangspunt vormt. Het woord „speelruimte", weliswaar.

men niet vaak aantreffen; maar men zal het in iedere juiste
l^ansrokenkunstigc verklaring, zonder deze te wijzigen, kunnen
invoegen, cn dan zal die verklaring blijken daardoor aan duide-
lijkheid, althans aan aanschouwelijkheid, nog iets te hebben

.Waarin bestaat bijvoorbeeld de toepassmg van dc kans-
rekening op. de theorie der moleculaire bewegingen, door Max-
well üigevoerd, anders dan hierin, dat men de coördinaten van
plaats en beweging der moleculen van een gas Ijeschouwt, met
naar de bepaalde, waarde die zij voor ieder bepaald molecuul
op ieder bepaald oogenblik bezitten, doch als grootheden waar-
aan eene zekere ,speelruimte\' is gelaten? Hoe men, aldus,
geraken kan tot eene speelruimte van zeer vele afmetingen,
waarin iedere (door dc coördinaten van ieder bepaald molecuul
bepaalde) toestand eener gasmassa door een bepaald punt
wordi vertegenwoordigd, behoef ik hier niet uiteen te zetten,
daar meu die uiteenzetting elders vinden kan, bijvoorbeeld in
Lortntz\': j,Les Théories statisticpies en Thermodxnamiquc"
(g 4). Lorentz noemt die speelruimte „l\'extension cn phase".
Had hij gesproken van „latitude" (of, m het Ncderlaudsch,
„speelruimte") dan zoude hij zich nog iets juister uitgedrukt
hebben. Want, aangezien, zooals Lorentz zegt, „le point re-
préscntavif décrira dans eet cspace uue certainc trajectoire
hebben wij niet met eene werkelijke .uitgebreidheid\' t.i doen,
maar juist met datgene, dal onder ,speelruimte\' wordt verstaan.

Uil dil voorbeeld blijkt, (gelijk dat ook bij dc behande-
ling van het werpen met eenen dobbelsteen in Hoofdstuk 11
gebleken is,) dat men, wil men het begrip ,speelruiinte\' op hei
gebied der kansrekening invoeren, lot é6i\\ ding bereid moet
zijn: namelijk, om in het woord ,spcelruinuc\' aan ,ruiintc\' eene
geheel overdrachtelijke beteekenis toe le kennen. Maar dai
düci men ook reeds in de laai van hel dagelijksch leven, wan-
neer men, bijvoorbeeld, oj) eene beschrijving van eenige zaak
de aanmerking maakt dat zij „le veel •speelruimlc aiii onze
verbeelding laai", ja, men gaat in de kansrekening, in dit
opzicht, niet eens zoover als in hel dagelijksch leven; daar de
kansrekening de toepassing van het begrip speclruiinte beper-
ken zal tol, in wiskunsligen zin, streng bepaalbare verander-
lijke grootheden. Aan deze kunnen wij dan sicicU (indien het

ons weiischelijk voorkonU) door zc als „afmetingen" oß te
vaiten, j.,en:akkclijk eene quasi-ruimtelijkc beteekenis verleenen.

Hel volgende voorbeeld onlleeu ik aan Czuber (Wahr-
scheinlichkeitsrechnung 1903 blz. 3); het betreft het trekken
van een balletje uit eene vaas, met balletjes van gelijke grootte,
maar van verschillende kleuren, gevuld. Gewoonlijk voor-
onderstelt men dat hierbij de kans om getrokken te worden
voor alle balletjes dezelfde is. Maar het spreekt van zelf dat
deze vooronderstelling niet geheel juist is; immers er is toch
alle reden om aan te nemen dat de kans om getrokken te
worden voor twee balletjes, waarvan het eene zich op den
bodem der vaas bevindt, terwijl het andere bovenop ligt,
«^enigszins, cn in sonimige gevallen zelfs zeer veel, zal verschil-
len. Czuber behandelt dil geval aldus:

Hij veronderslelt dat wij voor eene vaas staan dio cóix
V\'ii, iwec ?v.aiic, en drie roode balletjes bevat. „Auch hier
kann von einem Bereich der allgemeinen Bedingungen mid
voll einer Scheidung desselben in i\' e i I b cr e i.chc gesprochen

einer Kugel von bestimmter Farbe; das Gleiche gilt für jede
^er unendlich vielen denkbaren Lagerungen der Kugeln in

">eine Erkcnninis die quantitative Vergleichung der vcrschic-
<»enen Bereiche von Bewegungen. Denkt man sich näm-
lich innerhalb einer jeder räumlichen Lagerung der ücchs
l^ugeln alle möglichen Anordnungen der Farben ausgeführt,
wird ein bcsiimmier IMaiz zweimal so oft durch eine schwarze,
dreimal so ofi durch eine rote besetzt sein als durch eine
^^\'eisse: daher verhaken sich die Gesamlheilen der Bcwe-

gungen, welche zu einer weissen, ein~er schwarzen, einer roten
Kugel führen, quantitativ wie i:2:.3." (ik spatieer).

Mij dunkt, in eene Nederlandsche bewerking van het
boek van Czuber, zoude men, zonder meer, op deze plaats,
het woord „Bereich" door „speelruimte" mogen vertalen.

Uit deze verbeelden, tezamen met die uit het eerste
hoofdstuk van dit geschrijft, blijkt wel dat von Kries, het begrip
,onderling vergelijkbare speelruimten\' op het gebied der kans-
rekening invoerende, eenen gelukkigen greep gedaan heeft,
flad hij echter niet méér gedaan, dan zoude zijne verdienste
nog niet bij/onder groot zijn. \\\\^nt reeds vóór hem heeft
A. Fick, in een werk dat ik bij von Kries aangehaald heb ge-
vonden (Philosophischer Versuch über die Wahrscheinlich-
keilen, Würzburg 1883), eene theorie der kansrekening ont-
wikkeld, waarin het, aan het begrip ,speelruimtc\' na verwante,
begrip ,Bereich\' of ,Sphäre\' kennelijk eene groote rol speelt.
Vcm kries zegt (blz. 284 van zijn boek): „Jeder Wahrschein-
lichkeits-Satz enthält nach Fick dic Angabe einer Bedingung
und einer Folge; dic Bedingung ist in der Weise tormuliort,
dass sie einen gewissen ,Bereich\' umfasst." En dan haalt
hij de volgende uitspraak van Fick aan: „Dia Wahrscheinlich-
keit eines unvollständig ausgedrückten hypothetischen Urteils
ibi dej als echtef Bruch dargestellte Teil des ganzen Bereichs
der Bedingung, an dessen Verwirklichung der im Nachsalz
ausgedrückte Erfolg notwendig verknüpft wird." N\\i schijnt
de theorie van Fick zeer onvolledig te zijn; althans von Krier,
zegt (blz. 286): „Zu einer befriedigenden Vervollständigung der
Fick\'schen \'"heorie würde zunächst die Frage aufzuwerfen sein,
ob und wie der »Bereich\' einer allgemein formulierten Bedin-
gung in Teile von vergleichbarer Grösse zerlegt gedacht werden
kann. Diese Frage berührt Fick gar nicht...." (»k
spatier). Maar, indien von Krics niet meer had gedaan dan
de theorie van Fick in dem door hem hier aangegeven zin tc
compleieercn en daarbij het woord ,Bereich* door .Spielraum\'

le vervangen, dan zoude zijne eigen beschojiwingen den naam
van eene zelfstandige theorie der kansrekening zekerlijk" met
verdienen.

Wij hebben echter reeds gezien (blz. 15 van "dit geschrift)
dat von Kries van speelruimten, aillen deze tot grondslag
mogen dienen van kansrekenkunstige uitspraken, meer ver-
lat,gt dan dat zii enkel onderling vergelijkbaar zijn: zij moeten
tevens ziin hetgeen hij noemt: „oorspronkelijk" cn „in-
different". In dit meerdere, dat hij verlangt, ligt de zelf-
standige beteekenis zijner theorie. Voordat ik. nu, mijn oor-
do^ over die theorie uitspreek, is het van belang dat wij
weten welke toevoeging het beginsel der speelruimten, zooals
wij het hebben leeren kennen, nog behoeft om volledig te zijn.
Daarna zal het ons gemakkelijk vallen te beoordeelen of von
Kries, met begrippen ,oorspronkelijkc\' en .indifferente speel-
niimtcn\', ons die toevoeging inderdaad levert.

Het beginsel der speelruimten, voorzoover ik het bc-
sproken heb. bestaat in de twee volgende overwegingen. Van
^va.ar.cchijnHikilcid of kans kan clechts sprake zijn in de ge-
mallen, waarbij aan onze verwachting eene zekere, speel-
\'"nimic gelaten is. 2® Eene streng wiskunstig bepaalde u 11 -
clrukking van kansen is slechts mogelijk indien de speel-
n\'imten, die voor beschouwing in aanmerking ):omen, zelve
voor eene streng wiskunstige bepaling vatbaar, en d.entengc-
\'\'olge onderling vergelijkbaar zijn. Eene kansbreuk geeft
\'^iot anders dan dc verhouding van twee dergelijke onderling

nar dit beginsel, aldus geforn.ulecrd, nog onvolledig
blijkt hei duidelijkst hieruit, dat het niet in alle -eval cn to
ondubbelzinnige opstelling van kansbreuken leidt. \\ ooral

\'ïit- Nemen wij een vraagstuk dat Hcrirand (Calcul des Proba-
bilitds 1889 bl>.. 6) behandelt, en waarvan hij beweert dat het
"iet voldoende bepaald is. Het zal ons blijken dat hij zich m

die bewering vergist, en tevens dat de reden zijner vergissing
deze i«^, dat bij het beginsel der speelruimten (zonder dat hij
dit als zoodanig kent) in zijnen onvoHedigen staa^ waarin oolc
wij het tot hier toe slechts kennen, toepast. „On fixe au hasard
deux points sur la surface d\'une sphère; quelle est la proba-
bilité pour que leur distance soit inférieure à lo\' ?" Bertrand
zegt nu vooreerst (en daar valt niets tegen te zeggend „Le pre-
mier point peut être supposé connu, la position qu\'il occupe,
quelle qu\'elle soit, ne change rien à la probabilité cKcrcKée."
Nu geefî hij echter van dit vraagstuk twee oplossingen die lot
geheel verschillende uitkomsten leiden. Voeren wij den term
.speelruimte\' in, dan kunnen wij zijne eerste oplossing aldus
weei geven :

Het problem betreft, strikt genomen, niet de plaats
van het tweede punt op het boloppervlak. doch slechts zijnen
afstand tot het eerste punt. Wij hebben dus met ééne
grootheid tc doen, ten aanzien van welke aan onze verwachting
cenc speelruimte gelaten is : deze gr.)otheid kan iedere waarde
hebben tusschen ö\'cn 180« -- 10800\'. Deze speelruimte die aan
\'de gevraagde kans beantwoordt is met deze algemeene speel
ruimK; terstond vergelijkbaar, zij ï)cdraagt er. namelijk, het
1080ste gederllc van; de gevraagde kans is dus 1/1080.

Deze oplossing is onjuist. Van het standpunt, echter,
van hn beginsel der speelruimten in den vorm waarin
wij dit tot nog toe hebben leeren kennen, valt er
niets op aan te merken. =) Volgt hieruit nu \'dat dit beginsel

\') Bertrand levert ons dus weer e-n voorbeeld van de onwlUekcuHRc
toepassing van het beginsel der speelruimten, waartoe leder kansrekenkunsIC
probleem aanleiding geeft, ook bij kansrekenaars d|e van de theorie van von
Kries geene kennis hebben genomen.

*) Van ieder ander standpunt, echter, valt er alle.s op aan te merken.
En daar Bertrand het beginsel der speelruimten niet bewust aanvaardt Is
zijne fout niet te verontschuldigen. Hij z;gt, na de opmerking te hebben
gemaakt dat men de plaats van het eerste punt bekend mag veronderstel-
len: „Le grand cercle qui réunU les deux points peut être également supposé
connu." Zijne oplossing komt d.m hierop neer, dal hij het boloppervlak bo-

foutief is? Neen, want xvij kunnen aan het vraagstuk van-Ber-
tran-d gemakkelijk xulk eenen vorm geven dat de onju.ste
orlossiuR juist wordt. Gesteld men heeft eenen catalogus
-.vaarin de plaatsen van alle sterren, lot eene zekere grootte, op
,080 Waden worden vermeld: terwijl elk blad de sterren be-
va. die tusschen twee parallelcirkels, wier afstand 10
b-earaagt, zijn gelegen. \' T.aat men nu eene ster m dezen
catalogus geheel door het toeval a.nnwijzen, dat w.l zoggen:
slaat men een willekeu rig blad van den oatalogt^ op en
kies. men op dat blad eene willekeurige ster. dan bedraagt
de kans dat deze ster op eenen afstand kleiner dan 10 van
He noordpool \'des hemels gelegen is inderdaad t/io8o.

Men ziet, de eerste oplossing van Bertrand met de
oplossing van het vraagstuk dat bij opgegeven beeft, doch
men kan gcn.akkelijk een vraagstuk fonnulceren waarvan z,,
inderdaad d<- juiste oplossing zoude zijn. Voor ons. nu .s het
van belang op te n>erkeu dat wij ons op-grond van het be-
ninsel der speelruinueu. gelijk wij het tot dusverre hebben ge-
formuleerd, van het verschil dezer beide vraagstukken u, het
Robeel geene rekenschap vermogen te geven. Be-
schouwen wij thans. on. ee..e duidelijke voorstel .ng te ve ■
krijgen van betgeen aan onze for.nnleerh.g va., bet begu e
ilcr speehuhnte., ,.og o..tbreck.. de jnistc "rl"\'^\'"®;»^ "
vraagltuk va., Ber.ra.trt. die Bcr.rand zelf als ..tweede oplos-

Volgens de gegevens va., het vraagst..k .noetcn w. e
plaa.s van be. tweede pun. geheel aan het toeval overlatem
«it wil zeggen da. aa., onze verwachting be. geheele opperMak

van den bol als algemeene speelruimte gelaten is. Gevraagd
wordt nu naar de kans dat het tweede punt op minder dan lo\'
afbtands van het eerste punt gelegen is. Aan dit bijzondere
geval beantwoordt als speelruimte een klein gedeelte van het
boloppervlak. De verhouding van deze kleine speelruimte tot
de algemeene speelruimte is, door eene breuk uitgedrukt,

Ik heb dit vraagstuk van Bertrand behandeld (en zal
voortgaan het te behandelen) niet om zijns zelfs wil, maar
opdat hei ons een voorbeeld leveren zoude, waaraan wij kun-
nen zien in hoeverre onze formuleering van het beginsel der
speelruimten nog onvolledig is. Zoolang wij, namelijk, ni"t
in staat zijn op grond van het beginsel der speel-
ruimten aan tc geven, waarom alleen de tweede oplossing
van Bertrand juist, en daarentegen de eerste geheel verkeerd
is, zullen wij niet mogen beweren in het begrip .speelruimte\'
het ware beginsel der kansrekening tc hebben gevonden. Nu
zal men, misschien, zeggen dat men om over dc juistheid en dc
onjuistheid dier twee oplossingen (en van kansrekenkunstige
oplossingen in het algemeen) tc oordeelen het beginsel der
speelruimten zeer goed missen kan. Maar deze opmerking (dic
trouwens,, zooals wij zoo juist aan Bertrand\'s mislukte poging
om de dubbelzinnigheid van een, i\'i kansrekenkunsligcn zin,
volkomen bepaald vraagstuk aan te toonen, hebben jjezien,
niet eens opgaat) is, in dit verbaand, misplaatst. Want wij
houden ons thans bezig met het beginsel der kansrekening;
dal wil zeggen: wij vragen ons niet af of wij kansrekcnkunstige
vraagstukken wel op dc juiste wijze kunnen oplossen, maar
of wij ons van de juistheid dier oplossingen wel rekenschap
kunnen geven. En dit zal ons alleen gelukken indien wij van
het beginsel der speelruimten uitgaan en daarbij dit beginsel
in zijne volledige gedaante, die wij tot nu toe nog niet hebben
leeren kennen, opstellen.

Waarcn is de eerste oplossing van Bertrand verkeerd?
Deze vr.aag is «iet moeilijk te beantwoorden. Immers de speel-
ruimten, die als in kansrckenkunstigen .... aa.r
elkaar gelijk worden beschouwd, stellen op den bol gor-
dels voor van gelijke breedte; dc gelijke breedte va., zulke
gordels zal echter geenszi.« met de.gelijkheid hun>ter opper-
vlakte gepaard behoeven te gaan. Bij de tweede oploss.ng
daare..tegen gaa-, wij rechtstreeks van oppervlakten als spee.-
ruimten uit. De reden dat wij de eerste oplossmg verwerpen
terwijl de tweede ons bevredigt, is dus d..ze, dat z.ch a.an ons,
zoodra wij het v-raagstuk van liertrand lezen, ce.te zeer be-
paalde opvatting opdringt on.trent dc. aard van de spee ra.m-
ten die wj, in ka,.srekenkunstigc,. zin, aan elkaar gel.jk, dat
«il zeggen- als even waarschijnlijk, moeten beschouwen. En
dit geld, ,en aanzien va., i e d e r vr...-,gstuk der kansrekc.ng.
Vandaar dat van de oneenigheitl die onder de beoelenaa.s
der kansrekening te., aanzie., van dc beginselen hunner weten-
schap heetscht in dc oplossingen,
vraagstukken geven, zeer weinig te bemerken .s. W-"^ \'
.nen een kansrekenku..stig vraagstttk zuiver gesteld heef^ a,
haas, altijd, ieder wiskunstenaar terstond aa,. 8

giuseleu der kansrckcing tc doea is dan "J";\')
schoone overeenstemming in de oplossing van ^ ^

s>ukken zeer weinig gebaat. Want «nlang w.) ..\'o. »\'etu.^ ^
.waarschijnlijkheid\' is, k,urnen wii kwalijk geh.aa, z>j
\'.erleiden va, dit begrip to, de, in waarheid zelve st op ^

waarschijnlijkheid\'. Konden wij, derhalve, n.et op het beg.nse
<ler speelruimten nog onze hoop vestigen, dan zouden «1 «han
1." zoeken naar eene bevredigende verklar.ng der kan.reke

ning wel kunnen staken. En in welke verlegenheid w]j ons
dan zouden bevinden, dat kunnen ons Bertrand en Poincare
leeren. Want deze twee zoo verdienstelijke wiskunstenaars
zijn op dezelfde moeilijkheid gestuit, en zij hebben niet anders
kunnen doen dan hunne vertwijfeling aan eene mogelijke ver-
klaring der kansrekening uit te spreken. Om den wille der
eerlijkheid waarmede zij dat gedaan hebben verdienen hutme
woorden te worden aangehaald. Bertrand, dan, (Calcul des
Probabilités, 1889) vangt de inhoudsopgave van zijn eerste
hoofdstuk aldus aan: „Définition de la probabilité. L\'égalité
des chances est supposée dans la définition." En Poincaré zegt
hel zelfde nog iets duidelijker (Calcul des Probabilités, 1896).
ilij begint zijn boek met de verklaring: „L\'on ne peut guère
donner une définition satisfaisante dc la Probabilité. On
dit ordinairement : La probabilité d\'un événement est le rapport
du nombre des cas favorables à cet événement au nombre total
des cas possibles." en op blz. 3 geeft hij dc aanvulling dezer
definitie aldus aan: „A la définition de la probabilité, il faut
donc ajouter : à condition que tous les cas sont é g a 1 e m e n t
vraisemblables." En op blz. 5 schrijft hij: „La définition com-
plète de la probabilité est donc une sorte de pétition de prin-
cipe: comment reconnaître que tous les cas sont également
probables? Une définition mathématique ici n\'est pas possible;
nous devrons dans chaque application faip des conven-
tions, dire que nous considérerons tel et tel cas comme éjfale-
ment probables. Ces conventions ne sont pas tout h fait arbi-
traires, mais échappent à l\'esprit du mathématicien qui n\'aura
pas à les e.\\aminer, une fois qu\'elles seront admises." i)

\') Volgens deze plaats in het begin van het boek van Poincaré, berust
dt kanirekening dus op eene petitio princlpii; in het vorige hoofdstuk hebben
wij een citaat, uit het einde yan hetzelfde werk, leeren kennen dat de kans-
rekening deed berusten op eene condradictio in termini». Men ziet, de
kansrekening komt er bij Poincaré vrij kaal af; maar tevens blijken de be-
schouwingen aan het begin en aan het eind van zijn werk niet bepaald met
elkaar overeen te stemmen. De „conventions qui echappent h Tesprit du

Misschien is de lezer van oordeel dat ik al te lang heb"
stilgestaan bij de groote moeilijkheid die zich bij de poging
om dc kansrekening tc verklaren voordoet, en vindt hij dat
ik beter gedaan zoude hebben terstond met het beginsel der
speelruimten in zijne volledige gedaante voor den dag te komen.
Maar met het volgende wijze woord van Plato (Phaedrus
237 C) hoop ik mij bij hem te kunnen verontschuldigen. „Voor
hcri die zich, over welke zaak ook, behoorlijk wenschen tc be-
raden is er (?.én begin, namelijk: te weten waarpver hcc beraad
loopt, of dc geheele opzet zal noodzakelijkerwijze falen. Aan
de menigte ontgaat het dat zij niet het wezen van iedere zaak
kent. En, als kenden zij het \\yel, zorgen zij niet daarover in
het begin van hun onderzoek tot overeenstemming te geraken.
Maar verder op krijgen zij de le verwachten straf: namelijk
noch met zich zeiven noch met elkander zijn zij het eens."
Wij, nu, zijn tol overeenstemming geraakt over hetgeen wij
van het beginsel der speeh-uimte in zijnen volledigen staat,
zal hel werkelijk aan de kansrekening ten grondslag gelegd
mogen worden, moeten eischen. Met moet ons nameliik, in.
ieder afzonderlijk geval, leeren welke speelruimten aan even
groote kansen beantwoorden. Wam als wij eenmaal net begrip
..even groote kansen\' of, algemcener gesproken, ,()nderling ver-
gelijkbare kansen\' op het begrip ,spcelruimie\' hebben geba-
seerd, dan is de kansrekening zelve daarmede óók op hel
hegrip speelruimte gebaseerd, en het doel, dat wij ons hebben

Zij (om mij op de in de kansrekening gebruikelijke wij^e
uit tc drukken A een zeker .verschijnsel\' O door allerlei

mathemAtldcn", namelijk, waarin hij in het begin zijne toevlucht zoekt
buiken hem ten slotte (en geen wonder!) toch niet erg te bevallen. Poincaré
uitstekend wiskunstenaar, maar als hij meent te moeten gaan philosophee-
^•n. dan komt daar gewoonlijk niets van terecht.

\') .Erelgnis\' .événement\'. Met wat voor object heelt men In de kant-
rekening eigenlijk tc docnt De meeste kansrekenaars vergenoegen zich ook

omstandig]leden (in de kansrekening pleegt men die alle door
het woord „oorzaken" samen te vatten) bepaald wordt, die wij
slechts ten deele, ja, wat een aantal dier oorzaken betreft,
misschien zelfs in het geheel niet kennen. Aan onze verwach-
ting betreffende dat verschijnsel is dan eene zekere speel-
ruimte gelaten. Laat het mogelijk zijn van deze speelruimte
eene wiskunstige voorstelling te geven. (Mocht dat niet het
geval zijn dan zijn de gegevens voor een kansrekenkunstig
vraagstuk feitelijk niet aanwezig.)

Het is, nu, duidelijk dat ons, in de keuze van de wijze
waarop wij de speelruimte onzer verwachting willen voorstellen
eene groote vrijheid is gelaten. Schat iemand bijvoorbeeld
de hoogte van eenen toren op zekerlijk meer dan vijftig en
zekerlijk minder dan zeventig meter, dan kunnen wij zeggen
dat de sj^eelruimte zijner verwachting twintig ni e\'t e r be-
draagt. Maar indien hij die hoogte met behulp van oenen
theodoliet meten moet, en hij is gewoon met dat instrument
te werken, dan zal hij allicht in staat zijn diezelfde schat-
ihig; van de plaats uit waar hij den theodoliet geplaatst heeft,
onmiddellijk in graden te verrichten, zoodat de speelruimte
dierzelfde verwachting in dat geval bijvoorbeeld vi.|f grii-

op dit punt met de meest vage aanduidingen. Zoo bijvoorbeeld Czuber
iWahrscheinliclikcitsrechnung 1903 blz 5) „Die Wahrschclnllcfikcitsthcorie
bedient sich dafür allgemein des Ausdruckes I^rclgnissc wiewohl der-
selbe nicht immer zutreffend Ist; hüuilg würde sich die liezelchnung Tat-
bestände besser empfehlen." En daaibij verwijst hij dan naar de hier-
boven reeds genoemde verhandeling van Stumpf blz. 46. Tatbestände! Er
zijn menschen, die gelukkig zijn, als zij maar een woord, waarbij men den
mond vol heeft, uit kunnen spreken. Overigens moet ik verklaren, dat
Czuber Stumpf verkeerd heeft gelezen. Stumpf namelijk zegt dat het
niet alleen „Ereignisse" en niet alleen „Tatbestände" (twee ver-
schillende begrippen) zijn waarmede de kansrekening te doen heeft; maar
„ebenso können wir uns auch in Bezug auf jede beliebige Urteils-
materie (alweer een juweeltje uit den duitsclien woordenschat) In einem
analogen Stande des Wisse.ns und Nichtwissens belinden". En in de vol-
gende paragraaf volgt dan zijne (hierboven blz 28) aangehaalde definitie
van waarschijnlijkheid. Hij neemt dus een geheel ander standpunt in dan
men uit de verwijzing vaii Czuber naar zijne verhandeling zoude opmakeu.

den bedraagt. En besluit hij, als hij aan liet meten toe is, zijn
instruniem toch maar te verplaatsen en dichter bij den toren
op te stellen, dan zal de speelruimte, alwe\'ïr van dezelfde
venvachting. wederom eene andere grootte, thans bijvoorbeeld
van twaalf graden hebben. Of. om het voorbeeld te nemen
dat von Kries tot uitgangspunt dient zijner beschouwingen over
indifferente speelruimten (welke beschouwingen, op haar
beurt, ons dienen zullen om aan te toonen dat ook \\\'on Kries
zelf over het beginsel der speelruimten toch nog niet tot vol-
komen klaarheid gekomen is), wanneer wij de verwachting
dat het soortelijk gewicht eener stof tusschen i en 2 gelegen
is vergelijken met die dat het tusschen 10 en ti is gelegen,
dan zijn de speelruimten dier twee verwachtingen, indien wij
ze door dc speelruimten van het soortelijk gewicht zelf uit-
drukken. even groot. Kiezen wij echter voor de voorstelling
van de speelruimten dicrzclfdc verwachtingen de speel-
niimicn der soortelijke volumina dan strekken zij zich uit
van I tot 0,5, respectievelijk van 0,1 tot 0,09, on de eerste
speelruimte is vijftig maal zoo groot als dc tweede. Dc
eerste wijze van voorstelling is dus wel zeer verschillend van
d«i tweede.

Dc beteekenis, nu, van het beginsel der speelruimten be-
staat hierin dat het ons in staat stelt de voorstelling der specl-
niimtcn onzer verwachting steeds zoo te kiezen dat zij iicK
"\'»niiddel lijk leent tot kansrekenkunstig gc-
\'^ruik. Laat ons, om de wijze tc vinden waarop deze keuze
ntoel geschieden, eerst de wiskunstige uitdrukking van dc
\'necst algemeene vorstelling van speelruimten onzer verwach-
ting opstellen. Het zal ons daarna niet moeilijk vallen die
ïdg<?meene uitdrukking aldus nader tc bepalen dat zij dc voor-
stelling weergeeft van hetgeen wij „speelruimte in kansreken-
kunstigeu zin" mogen noemen.

In het algemeen zal het verschijnsel .V bepaald zijn door
^e waarden van ééne of meer onafhankelijke veranderlijken

X, y, z..... En gewoonlijk zal er, ook afgezien van alle kans-
rekenkunstige beschouwingen, ééne voorstelling van de speel-
ruimte onzer verwachting zijn, die zich door hare aanschouwe-
lijkheid terstond aan ons opdringt. De grootte van een on-
eindig klein element dezer speelruimte zal worden uitgedrukt
door

waarbij de functie f zoowel als het gebied der integratie zich
uit dc gegevens van het vraagstuk laten bepalen. Hebben
wij, bijvoorbeeld, met eene cirkelvormige schiefschijf met
straal a to doen dan ligt het voor de hand om de speelruimte
onzer verwachting aangaande de plaats waar een kogel deze
schijf treft eenvoudig voor te stellen door de oppervlakte
der schijf. Voeren wij polaire coördinaten, r in, dan wordt
dus\' bij deze voorstelling de grootte van een oneindig klein
element der speeelruimte uitgedrukt door

Deze voorstelling bezit ontegenzeggelijk de schoone
eigenschap van aanschouwelijk te zijn; maar kansreken-
kunstige n zin zoude zij slechts in het bijzondere geval bV
zitten dal wij bij het schieten in het geheel niet mikten. Dan
zoude de kans dat een bepaald gedeelte der schijf door den
kogel (gesteld dat deze bij toeval de schijf trof) getroffen werd
inderdaad eenvoudig aan de oppervlakte van dat gedeelte
evenredig moeten worden gesteld. Ongetwijfeld een zeer bij-
zonder geval!

Wihen wij derhalve het begrip speelruimte dienstig ma-
ken tol kansrekenkunstig gebruik dan moeten wij, om t"; be-
ginnen, bereid zijn den eisch van aanschouwelijkheid oiucr

voorstelling van speelruimten te laten vallen. Doen wij \'dit,
dan wordt de eenvoudigste uitdrukking voor de voorstelling
van een clement der speelruimte gegeven door het product,
zonder meer, van de oneindig kleine speelruimten \'der ver-
anderlijken zelve, dus door

Tn het voorbeeld van dc schietschijf zouden wjj bij \'dtr.c
voorstelling voor de geheele speelruimte onzer verwachting
dus do uifdrukking hebben:

Ook deze wijze van voorstellen der speelruimte kan bij
de oplossuig van een vraagstuk aangewezen \'.ijn, maar alleen
in uiterst bijzondere gevallen. Gesteld bijvoorbeeld a?t de
schijf ir haar eigen vlak om haar middelpunt met eene stand-
vastige snelheid ronddraait, en dat wij haar van een, niet al te
dicht bij de schijf gelegen, punt uit op een zeker oogenblik
pliotographeeren. Laat zich nu op de aldus verkregen opname
het beeld van eenen regendruppel, diciblijkt juist volgens eene
middellijn langs do schijf gevallen le zijn. afteekenen. Welke is
(lan dc kans dat het beeld van dezen druppel zich in een
tc voren aangegeven gedeelte van dc schijf bevindt ? Wij mo-
Rcn aannemen dat ook dc snelheid waarmee de druppel zicli
langs de schijf beweegt standvastig? is. Stond de schijf stil, dan
zoude do kans dat dc druppel zich op een bepaald element dr
van de middellijn afteckcndc eenvoudig evenredig zijn aan
de lengte dr van dat element. Nu de schijf echter draait treedt
»» de plaat.«; van dat lineaire element het ringvormige ge-
deelte van de schijf dat door twee cirkels met stralen r en r f dr
begrensd wordt. Dc kans dat het qppervlakteëlement, door de
voerstralen .9 en .9-l-d»7uit dat ringvormig gedeelte gesneden,
^ich juist op de midellijn, waarlangs de druppel valt, bevindt

is evenredig aan dt?; de kans, dus, dat een bepaald opper-
vlakteëleme.nt zich, op het oogenblik der opname juist daar
bevindt waar de druppel zi,ch afteekent, is evenredig aan drd ê.
Dit is dus degrootteinkansrekenkunsti\'genzin van
hetzelfde element, dat, als oppervlakte beschouwd, de
grootte r d r d & bezit. En voor de grootte in kansrekenkunsti-
gen zin van het van te voren op de schijf aangegeven gebied
vinden wij derhalve de uitrukking

Ik geef tóe dat dit vraagstuk in hooge mate „gezocht"
is; maar mij dunkt dat het daardoor des tc beter geschikt is
om ons te doen inzien hoe iedere bepaalde voorstelling, die
wij ons van de speelruimte van eenige verwachting kunnen
maken, ook eene evenzeer bepaalde gesteldheid van de
kansrekenkunstige vraagstukken, die wij met behulp dier voor-
stelling kunnen oplossen, beantwoordt. Hierin, nu, bestaat
juist dc groote waarde van het beginsel der speelruimten;
geen ander beginsel geeft van het verband, dat toch in dc
kansrekening evenzeer als in iedere andere wiskun.nige weten-
schap, tusschen dc gegevens van een vraagstuk cn dc groot-
heden die de oplossing van dat vraagstuk bepalen, moet be-
staan, op eene eenigermate bevredigende wijze rekenscliap.
Om dat verband echter duidelijk in het algemeen tc kunnen
aangeven moeten wij eerst het onderzoek beëindigd hebben
waarmede wij bezig zijn, het onderzoek namelijk naar de meest
algemeene wijze waarop men speelruimten van verwachtingen
kan voorstellen.

Dit onderzoek, nu, is reeds zoover gevorderd, dat wij
de uitkomst ervan gemakkelijk neer kunnen schrijven. Wij
hebben gezien dat de onvolledigheid van het beginsel der
speelruimten in den vorm waarin wij het tot nog toe hebben

leeren kennen ten nauwste samenhangt met het feit^ dat wij
eene speelruimte op verschillende wijzen kunnen voorstellen.
Twee gedeelten eener speelruimte die bij eene bepaalde wijze
van voorstellen gelijk zijn, zullen, bij eene andere wijze van
voorstellen, in het algemeen niet gelijk zijn. Op \'de ver-
houding van speelruimten, nu, komt het in de kansreke-
ning aan. Alle verhoudingen, echter, die tusschen de ver-
schillende gedeelten der speelruimte onzer verwachting, bij
eene bepaalde wijze van voorstellen, bestaan, kan men tot
de verhoudingen der overeenkomstige gedeelten der speel-
ruimte bij eene andere wijze van voorstellen terugbrengen
doordat men zich ieder element der speelruimte bij de eenste
wijze van voorstellen met eenen bepaalden factor (die in
het algemeen van element tot element zal varieeren) ver-
menigvuldigd denkt. Voeren wij weder de onafhankelijke ver-
anderlijken x, y, z..... in, dan kunnen wij derhalve uit de

bosj>roken wijze .van voorstellen, waarbij de elementen der
epeclruimte onzer verwachting ^eenvoudig uitgedrukt worden
door

«edere andere wijze van voorstellen afleiden door dit product
der oneindig kleine speelruimten der veranderlijken te ver-
meuigvuldigen met den factor

der algemeene speelruimte onzer verwachting gelegen, ééne
bepaalde waarde bezit. Hieruit volgt dat de meest algemeene
voorstelling eener speelruimte wordt uitgedrukt door:

^•aarbij de integratie zich over de geheele speelruimte onzer
verwachting, of ook over een bepaald gedeelte daarvan, uit-
-strekt

Zoodat dus het algemeene vraagstuk der
kansrekening, zoo beknopt mogelijk geformuleerd^ aldus
luidt:

De functie 93, zonder van het begrip ,evengroote waar-
schijnlijkheid\' gebruik te maken, zoodanig te bepalen, dat de
waarde der integraal

over een bepaald gedeelte der algemeene speelruimte onzer
verwachting berekend, eene waarde oplevert die aan de kans
dat het beschouwde verschijnsel binnen dat gedeelte valt, even-
redig is.

Het behoeft geene nadere verklaring dat de functie (p
niet anders is dan hetgeen men de kansfunctie pleegt te
noemen.

Ten einde het gezegde door een voorbeeld toe te lich-
ten, breng ik de eerste (en verkeerde) oplossing in herinnering,
die Bcrtrand geeft van het op blz. 58 behandelde vraagstuk:
de kans te bepalen, dat, indien men op het oppervlak van eenen
bol een vast punt aangenomen heeft, de afstand van ccn tweede,
geheel willekeurig op het oppervlak van den liol aangenomen,
ptmt van het vaste punt minder dan 10\' zal bedragen.

ruimten tot nog toe geformi^leerd hehben, nog niet zeggen
waarom dat zoo is) dat de kans dat het tweede punt binnen
ren bepaald gedeelte van het oppervlak ^van den bol gelegen
zal zijn, evenredig is aan de oppervlakte van dat gedeelte.
Op grond hiervan kunnen wij de eerste oplossing van Ber-
trand aldus corrigeeren:

De oppervlakte van het gedeelte van het oppervlak van
den bol dat tusschen de kleine cirkels, op afstanden a en
a-fa d van het eerste punt gelegen, is begrepen, is evenredig
aan dc projectie van den afstand da ,p de midellijn van het
vaste pnnl, dat will zeggen: aan sin ada.

Dc factor waarmede wij ieder element der speelruimte,
voorgesteld op de wijze van Bertrand, moeten vermenigvuldigen
om eene wijze van voorstellen der speelruimte onzer verwach-
ting te verkrijgen dic kansrekenkunstigen zin bezit is dus:

en dit is de uitkomst die wij ook volgens dc tweededen juiste)
oplossing verkregen hebben.

Wi; zijn thans voldoende voorbereid om tot de opstel-
ling \\aM het beginsel der speelruimten, in zijne volledige ge-
daante, over tc gaan.

In dc eerste plaats, dan, is het van b\'elang op te merken
dat het bezwaar, hetwelk zich op blz. 59 voor deed het bezwaar,
namelijk, dat wij niet konden aangeven van welke wijze van
voorstellen der speelruimte onzer verwachting wij in een gc-
ge\\en geval moesten uitgaan, formeel niet meer bestaat. Im-
ïners, door middel van de functie kunnen wii. iedere wijze
^an voorstellen der speelruimte onzer verwachting lot iedere
undcic wijze van voorstellen herleiden. De voorstelling der
speelruitntc waar wij bij een kansrekenkunstig vraagstuk yan
^»igaan, kunnen wij dus geheel naar eigen verkiezing be-
palen, als. wij maar zorgen dat wij ons tenslotte bij het doen
van cenc kansrekcnkunstige uitspraak pp eene speelruimte
die werkelijk kansrekenkunsligcn zin bezit kunnen beroepen.

finzc taak, echter, hebben wij hiermede noj geenszins
volbraciit. Integendeel, wij kunnen zeggen dat thans eersl

(duidelijk -blijkt, waarin die taak eigenlijk wel bestaat. Wij
hebben reeds een aantal kansrekenkunstige speelruimten lecreri
kennen, maar die traden op in voorbeelden, tot toelichting
dienende van een betoog, welks uitkomst wij aldus kunnen
^veergeven dat tusschen het begrip ,speelruimte onzer ver-
v.achting\', op zichzelf beschouwd, en het begrip .kans\' geen
onmiddellijk verband bestaat. Die „kansrekenkunstige speel-
ruimten\' moesten wij dan ook telkenmale uit het begrip ,even-
grooie waarschijnlijkheid- afleiden. Ons doel was echter juist
het begrip kansrekenkunstige speelruimte\' af te leiden zon-
der van het begrip ,evengrootc waarschijnlijk-
heid gebruik te maken. Bij het zoeken naar de wis-
kunstig- uitgedrukte speelruimte eener verwachtiiig Hebben wij
niet óAne zoodanige speelruimte, maar eëne ,groep* van on-
eindig vele, verschillende speelruimten gevonden, Dc .kans-
rekenkunstige speelruimte\' is slechts een bepaald lid zulk eener
groep. Wij moeten dus trachten te bepalen waardoor dat lid
zich van dc andere leden der groep onderscheidt, zonder dat
wij"daarbij var het begrip ,evengrootc waarschijnlijkheid\' uit-
gaan. Hiermede is hetgeen ons thans te doen staat aan-
gegeven.

De eigenaardige gesteldheid der kennis die wij van een
verschünsel moeten bezitten om aanleiding tc hebben tot
het opstellen van een kansrekcnkunstig vraagstuk heb ik in
hcï vorige hoofdstuk besproken. Ik heb .ildaar betoogd dat
de andere geaardheid der gegevens van een kansrekenkunstig
vraagstuk dnn van de gegevens van, bijvoorbeeld, een meet-
kunstig vraagstuk. ons niet moet verleiden tot de meeninp
dat de uitspraken der kansrekening minder stellig zijn dan
die der meetkunde; zij zijn niet minder stellig doch slechts
stellig op eene andere wijze. Kansrekenkunstige be-
schouwingen zullen wij alleen dan houden, wanneer wij. ten-
gevolge van onze gebrekkige kennis, gedwongen zijn van een
aantal der oorzaken die eenig verschijnsel bepalen af te zien;

van welke wij zeker niet zouden afzien indien onze kennis
van het verschijnsel volledig ware. Maar iets dergelijks heeft
ook (om weer dat voorbeeld te nemen) in de meetkunde plaats.
Iedere cirkel heeft eenen bepaalden straal, een cirkel met
eenen onbepaalden straal is eene volstrekte ondenkbaar-
heid. Toch berust de meetkunde van den cirkel juist
hierop dat men van de bepaaldheid van den straal ,(en
van andere afmetingen die bij den cirkel eene rol spelen) af-
ziet, en geheel in het algemeen (dat wil -jeggen: geheel in het
onbepaalde), bijvoorbeeld, den omtrek gelijkstelt aan27rR,
Hierdoor wordt aan de s t e 11 i g h e i d van meetkunstige uit-
spraken niet de minste afbreuk gedaan. En zoo is het ook
n.et de andere wetenschappen; de wetenscbau, namelijk be-
rust op het vermogen tot generalisatie, dat het wezen
der menschelijke rede uitmaakt; dat -vil zeggen: de objecten
der wetenschap zijn geene individueclc feiten of dingen, maar
genera; en genera zijn onbepaaldheden die men niettemin
toch als stelligheden heeft te aanvaarden. Ook de onbepaald-
heid, nu. der kansrekenkunstige vraagstukken, die aan de ge-
heele kansrekening, op het eerste gezicht, zulk een paradoxaal
voorkomen geeft, blijkt bij nadere beschouwing, indien die
vraagstukken maar juist gesteld zijn, geene andere beteekenis
le hebben dan die eener wetenschappeliike generalisatie. Slaag
ik er in dat aannemelijk te maken, en toon ik tevens aan dat
ik da;;rin alleen op eene bevredigende wijze kan slagen door
KCibruik tc maken van het begrip .speelruimten\', dan zal men
niij moeten toegeven dal alleen in dit begrip, op de juiste
verklaard, hei ware beginsel der kansrekening is gelegen.

In de kansrekening hebben wij mei verschijnselen te
doen waarbij aan onze verwachting eene speelruimte is ge-
«aten. Deze onbepaaldheid onzer verwachting beteekent geens-
2ins dat het verschijnsel dat wij beschouwen zelf onbepaald
is. Evenmin als een cirkel met eenen onbepaalden straal is
ook een verschijnsel denkbaar, dat niet door volstrekt be-

paalde „oorzaken" op volstrekt bepaalde wijze wordt teweeg-
gebracht. Dat wil zeggen: stellen wij de onbepaaldheid onzer
verwachting door eene wiskunstige .speelruimte voor, dan zal
het verschijnsel, dat wij wel niet met bepaaldheid kunnen
verwachten, maar dat zich toch met alle bepaaldheid
zal verwezenlijken, voorgesteld worden door een bepaald punt
dier speelruimte. Het verschijnsel wordt dus bepaald dóór
zijne oorzaken fds een punt der speelruimte onzer verwach-
ting: zocdat tusschen de oorzaken van het verschijnsel, in
hare bepaaldheid, en dat bepaalde punt der speelruimte eene
strenge relatie bestaat. Deze relatie nu, is het die
bij eene kansrekenkunstige beschouwing van
het verschijnsel op wetenschappelijke wijze
wordt gegeneraliseerd.

Indien dit inderdaad het geval is, dan is dus het begrip
dezer relatie voor de verklaring der kansrekening onmisbaar.
En dan kunnen wij het gemeenschappelijk gebrek van alle ver-
klaringen der kansrekening, die wij tot dusver hebben leeren
kennen, aldus weergeven, en de kritiek, die wij er op hebben
geleverd, aldus samenvatten: dat zij uitgaan van begrippen
die niet voor eene wetenschappelijke generalisatie vatbaar zijn.
Immers de aanhangers van het „Prinzip des mangelnden
Grundes" en van het „beginsel der evengroote mogelijkhe<len"
eenerzijds, cn Bcrtrand cn Poincaré andererzijds, verschillen
in zeer vele opzichten, maar hierin komen .\'.ü overeen, da\' zij
allen de kansrekening trachten te verklaren uit .latgene waar-
uit men ook dc verschijnselen zelve, waarop de kansrekeniti^
betrekking heeft, moet verklaren, namelijk uit \'hunne „oor-
zaken". .Dat zij aldus te werk gaan is \'zeer bsgrijpelijk; m.iar
het is toch eene methode die niet tot een resultnr kan leiden.
Want terwijl iedere andere wetenschap eene theorie is van ver-
schijnselen waarvan men veronder.sfelt dal men de oor-
zaken kent, is de kansrekening juist de theorie van ver-
schijnselen waarvan men vooronderstelt dat men de oorzaken

niet kent. Anders gezegd: wanneer men in eene andere weten-
schap eene oorzaak generaliseert (zooals voortdurend geschiedt,
daar de wetenschap op ons vermogen om tc generahseeren
berust), dan brengt dat eenvoudig mede dat men ook het ver-
schijnsel in zijne overeenkomstige, uit die algemeenheid
der oorzaak voortvloeiende algemeenheid beschouwt; waarm
niets raadselachtigs gelegen is. Maar in de kansrekening is
men gedwongen eene oorzaak in hare algemeenheid te be-
schouwen, terwijl men zich voor het versch ij ns cl, dat uit
die oorzaak voortvloeit, juist in zijne bepaaldheid (of althans in
eene minder algemeene onbepaaldheid) interesseert. De ge-
neralisatie van de oorzaak levert ons dus hier juist niet dat-
^\'cno dat wij omtrent het verschijnsel willen weten. Vandaar
de onmogelijkheid om, enkel uitgaande van het bcgnp der
kansrekenkunstige oorzaken, dc kansrekening tc verklaren.

Onbevredigd door de pogingen om dc verklaring der
kansrekening enkel op het begrip der kansrckenUun-.tige ooi-
zaken te baseeren, hebben wij ons daarom, in Hansluiting b.j
von Krics, gewend tot het begrip .speelruimte\'. Het wóórd
.speelruimte\' is niet eene speciale uitvinding va:i von Krics,
doch slechts de meest doeltreffende benaming voor hetgeen wij
omschrijven kunnen als de objectieve uitdrukking van de on-
bepaaldheid, waarmede onze verwachting, bij onze gebrekk.Re
konnis der kansrekenkunstige oorzaken, noodzakcli,kerwijz. bc-
lu"pt i,. Terwijl wij, nu, he. begrip der kansrekenkunstig. .or-
^akcn ongeschikt hebben bevonden tQt eene wetenschappehjke
generalisatie omdat het te bepaald is (met welke bepaald-
hcid wii niets kunnen aanvangen omdat zij, krachtens de voor-
onderstelling zelve der kansrekening, aan .)nze kennis ont-
snapt) is het begrip .speelruimte\' tot generalisatie ongesc i
omdat het. gelijk ons in dit hoofdstuk is gebleken, tc onbc
l>aald is. En dat ons dit moest blijken was wel tc voorzien;
immers de wetenschappelijke gcneralisaf.. eener oor/aak i.
anders dan dc algeheole opheffing eener oorzaak; m

de speelruimte onzer verwachting, echter, gelijk wij die tot
dusverre hebben leeren kennen, is de „oorzaak" feitelijk ic
e«;nenmale opgeheven, slechts de grenzen onzer verwach-
ting zijn overgebleven, en deze zijn dan ook de eenige .bepaald-
heid, die aan de speelruimten valt te bespeuren Maar thans
zal het ons blijken dat het begrip ,speelruimte\' daaremegen
uitermate geschikt is om van een ander begrip de bepaald-
heid, die het, op zichzelf beschouwd, ontbeert, te ontvan-
gen: en däärin is de groote beteekenis van het begrip ,speel-
ruimte\' gelegen. Dit andere begrip nu (en derhalve het derde
der voor de verklaring der kansrekening onmisbare begrip-
pen) is het begrip der kansrekenkunstige relatie, zoo-
als ik het zal noemen; dat wil zeggen: het begrip der strenge
relatie die aan de „oorzaken" in hare bepaaldheid ook een
bepaald punt der speelruimte onzer verwachting (op welke
wijze ook voorgesteld) verbindt. Laat ons thans deze kans-
rekenkunstige relatie nader beschouwen.

In dc eerste plaats, dan, is het duidelijk dat de kans-
rekenkunstige relatie, indien zij bij het bepalen van kansen
mderdaad eene rol speelt, daarbij steeds eene generali sa
Ke zui },ebben te ondergaan. Immers, in ds kansrekening
hebben wij niet met bepaalde punten, doch steeds met be-
paalde gedeelten (zij het ook vaak met oneindig kleine ge-
deelten) der speelruimte onzer verwachting te doen. Nu gekit
ten aanzien van zulke gedeelten der speelruimie onzer ver-
wachting hetgeen (in onze kritiek op de pogingen om de kans-
rekening uit het begrip der „oorzaken" in hare bepaaldheid
te verklaren; ons gebleken is tc gelden ten aanzien der speel-
ruimte in haar geheel: van eene relatie van zulke gedeelten der
speelrjunte tot de kansrekenkunstige „oorzaken" in hare be-
I> ^^ O 1 d h e i d kan men niet spreken. Maar (cn dat is voor ons
doel ecuceg) men kan wel iets van hunne relatie lot de „o-.r-

.n hare algemeenheid zeggen. Men kan name-
\'»Jk twee van zulke gedeelten der speelruimte omcr

vc-iwachring in hunne relatie tot de oorzaken" in hare alge-
meenheid vergelijken; en wel zal deze vergelijking de
grootte betreffen die wij, va n een kansrekenkunsvig
stF.ndpunt, aan die twee gedeelten moeten toekennen. Een
eenvoudig voorbeeld zal mijne bedoeling duidelijk maken.

Gesteld een punt P verkeert in enkelvoudige trilling; dat
wil duG zeggen: zijne plaats wordt, op ieder oogenblik, aange-
geven dcor de projectie van een punt Q, dat zich met eenparige
snelheid langs den omtrek van eenen cirkel beweegt, op eene
middellijn van dien cirkel. Vraagt men nu naar de plaats van
het piml P op een zeker tijdstip, dan is al hetgeen men zeggen
kan dit. dat het zich ergens op de middellijn zal bevinden.
He geheele middellijn, (indien men wil, eerst in de eene eh
vervolgens nog eens in de andere richting gemeten) vormt dc
speelruimte onzer verwachting. Met een vraagstuk van kans-
rekening. echter, heeft men te doen zoodra «en zijne aand.icht
vestigt op een bepaald gedeelte van de middellijn, bijvoor-
beeld op het stuk van de middellijn tusschen de punten x^ en
Xj gelegen; waarbij x den afstand van een punt\'van ^e middel-
lijn tot het middelpunt van den cirkel voorstelt. Immers, oï>
de vraag, of het punt P zich op een zeker tijdstip in dit gedeelte
der speelruimte bevindt, kan men méér antwoorden, dan dat
bet zeer wel mogelijk is: men kan, bovendien, dc kans aan-
geven die voor dc verwezenlijking dier mogelijkheid bestaat,
^lijne bewering is nu, dat men, om tot zulk cenc kansreken-
kunstige uitspraak tc geraken, eerst ccne vergelijking tus-
schen verschillende gedeelten der speelruimte moet maken,
l-aat ons, om dit in te zien. twee gelijke gedechen van den
cirkelomtrek beschouwen. Dit zijn ongetwijfeld twee ver-
schillende gedeelten. Maar het is duidelijk, dat men zich\'
dit verschil op grond van de „oorzaken" i n har e alge-
"^eenheid (als „oorzaak", van dc plaats van het punt P
is, bij de gegevens van ons vraagstuk, de plaats van het punt Q
beschouwen) geen rekenschap kan geven. Immers, om ons

van dit onderscheid rekenschap te kunnen geven zouden wij
de „oorzaken" in hare bepaaldheid moeten kennen; deze
kennis echter is het juist die aan het vraagstuk zijn kans-
rekenkunstig karakter zoude ontnemen. Of ook, moeten wij,
om ons van het onderscheid der twee gedeelten rekenschap
te geven, ons op een ander dan kansrekenkunstig standpunt,
bijvoorbeeld op een meetkunstig standpunt plaatsen.
Plaatsen wij ons echter op het standpunt van de gegevens van
het vraagstuk, dan blijkt dit een kansrekenkunstig vraagstuk
te zijn doordat wij tot de slotsom komen: dat de beide
gedeelten niet zijn te onderscheiden. Hoe noemen
wij nu echter twee dingen die, op zichzelf en in ieder a n d c r
opzicht misschien wel, maar in een zeker opzicht niet tc
onderscheiden zijn? Wij noemen die twee dingen iii dat ze-
kere opzicht: gelijk. Zoo noemen wij twee dingen, die in
alle andere opzichten misschien te onderscheiden zijn, maar
ten opzichte van hun gewicht niet: even zwaar. En zoo
moeten wij ook twee gedeelten der speelruimte onzer verwach-
ting, die misschien in alle andere opzichten te onderscheiden
zijn, maar ten opzichte van hunne relatie tot de gegevens
van een kansrekenkunstig vraagstuk niet, c \\ e n w a a r s c h i j n-
lijk noemen.

, Hadden wij nu twee gedeelten van de middellijn be-
schouwd, die de projectie waren van twee ongelijke ge-
deelten van den cirkelomtrek, dan zouden wij tot dc slotsom
gekomen zijn, dat deze gedeelten in hunne relatie tot dc ge-
gevens van hel vraagstuk alleen in zóóverre verschilden dat
het eene\'een bepaald aantal malen in het andere begrepen
was. En zoo zouden wij tot het begrip gekomen zijn van
iwee gedeelten der speelruimten waaraan iwec kansen beant-
woorden waarvan dc eene een bepa.ild aanral malen
5^00 groot is als de andere. En met dit begrip is te-
vens dc geheele kansrekening gegivcn.

Hiermede hebben wij dus de kansrekening inderdaad
herleid tot een beginsel dat het begrip ,kans\' niet stilzwijgend
of uitgesproken vooronderstelt. Men zal thans misschien van
mij verlangen dat ik dit beginsel aan een aantal vraagstukken
der kansrekening ga toetsen; het komt mij echter voor meer
r.aar den aard der zaak te zijn, dat wij niet het beginsel der
kansrekening aan alle mogelijke kansrekenkunstige vraag-
stukken, maar veeleer omgekeerd alle mogelijke kansrcken-
kunstige vraagstukken aan het beginsel der kansrekening,
toetsen. Een vraagstuk verdient eerst dan een vraagstuk van
kansrekening tc heeten indien het ons de gelegenheid biedt
het beginsel der kansrekening vollediglijk in toepassing tc
brengen. Daartoe nu is vereischt: vooreerst, dat het betrek-
king heeft op een verschijnsel welks „oorzaken" óf ons, in
hare bepaaldheid, niet bekend, óf althans, in hare gevolgen,
niet volkomenlijk berekenbaar zijn. Ten tweede moeten de
gegevens vafi het vraagstuk ons in staat stellen de gren.^.cn v.in
onze verwachting met zekerheid te bepalen; zoodat wij de speel-
ruimte onzer verwachting op wiskunstige wijze (zij het ook
op oneindig vele wijzen) kunnen voorstellen. En in de derds
plaats moeten dc „oorzaken" (al vallen zij in hare bepaald-
heid ook geheel buiten onze kennis) in hare algemeen-
heid toch in zooverre bekend zijn, dat wij dc kansrcken-
kunraigc verhouding van twee willekeurige gedeelten der
speelrnimte, geheel onafhankelijk van de verhouding die tus-
schen die gedeelten bij de wijze van voorstellen der speel-
ruimte waaroi) "nze keuze gevallen is, beslaat, kunnen bepalen.
Hezc laatste cisch behelst hetgeen wij in dit hoofdstuk aan dc
^ot dusverre verkondigde theorieën der kansrekening hehhen
toegevoegd. Wij kunnen dezen cisch ook aldus mkleeden:
dat wij in staal moeten zijn onder alle mogelijke wijzen van
voorstelling der speelruimte onzer verwachting diegene tc kie-
waarbij de. verhouding van twee verschillende gedeelten
""nnddellijk gelijk tc stellen is aan dc kansen waaraan zij be-

antwoorden. Eene aldus voorgestelde speelruimte is het dan
die den naam van kansrekenkunstige speelruimte
in waarheid verdient.

Dezen laatsten eisch heeft men, zooals ik zoo juist heb
gezegd, tot nog toe over het hoofd gezien. (Behalve dan von
Kries, die er, zooals aan het eind A\'an dit hoofdstuk zal blijken,
over is gestruikeld.) Dit verzuim is zeer gemakkelijk te ver-
klaren. Immers de kennis van de kansrekenkunstige oorzaken
in hare algemeenheid, die wij tot het doen eener kansreken-
kunstige uitspraak moeten bezitten, zal in de formuleering van
een vraagstuk meestal niet uitdrukkelijk worden gestipuleerd,
maar stilzwijgend zijn voorondersteld. Zoo. bijvoorbeeld, in
het door Bertrand behandelde, in dit hoofdstuk l)esproken.
vraag.<;tuk, betreffende de kans dat een punt, willekeu rig
op het oppervlak van eenen bol .aangenomen, binnen eenen
bepaalden afstand van een vast punt van dat oppervlak zal zijn
gelegen. Wij hebben gezien dat men hierbij over de kans-
rekenkunstige verhouding van verschillende gedeelten van het
ln\'loppervlak eene bepaalde vooronderstelling maakt: en wel
\'de vooronderstelling dat gedeelten van gelijke oppervlakte
ook aan eene gelijke kans beantwoorden. Maar feitelijk ligt
\'deze vooronderstelling buiten de formuleering van het vraag-
stuk. En alleen de redelijke verwachting dat. indien deze voor-
onderstelling niet gemaakt moest worden, dit in het vraagstuk
vermeld zou zijn, noopt ons het vraagstuk zóó op te vatten als
wij gedaan hebben, cn gaf ons daarom ook het recht de eerste
oplos.cing van Bertrand, die met deze vooronderstelling gcenc
rekening\'hield, als een onjuiste oplossing ^an te merken. Wij
hebben, overigen.s, gezien dat deze onjuiste oplossing juist
zoude zijn geweest, indien wij eene zekere andere vooronder-
•stelling hadden mogen maken (blz. 59). Ook hieruit blijkt,
dat het dc kansrekenkunstige relatie (dat wil zeggen de relatie
van de verschillende gedeelten der speelruimte tot de „oor-

zaken" in hare algemeenheid) is, die de oplossing van een
kansrekenkunstig vraagstuk bepaalt.

Het loont de moeite om aan het feit, dat juist de kans-
rekenkunstige relatie, die aan een vraagstuk zijne stelligheid,
dat wil zeggen zijne kansrekenkunstige bepaaldheid, verleent,
gewoonlijk niet in het vraagstuk zelf vermeld staa., nog
eenige aandacht te wijden. En in de eerste plaats dan is het
van belang op te merken dat het vaststellen dei^ kansrcken-
kunstige relatie geen onderdeel .ormt van dc kansrekenmg
zelve, maar aan de oplossing van elk vraagstuk met behulp
van de meiboden der kansrekening voorafgaat. Zoolang
wij dus over de kansrekenkunstige relatie in het onzekere z.jn
hebben wij niet met een vraagstuk van kansrekening tc doen.
En daarom moeten wij ons ten strengste er van onthouden te
beweren, dat de onzekerheid, waarin wij ia vele gevallen be-
treffende de kansrekenkunstige relatie verkeeren, ook dekan.s-
rekening zelve in het onzekere brengt. In deze fout vervalt
onder anderen Poincaré, wanneer hij, aan het cmdc van zijn
bu<.k, de kansrekening als eene cotitradictio In terminis tracht
voor te. stellen.\') En ook Herirand blijkt op dit pum met tot
helde, heid van begrip te zijn gekomen. Op blz. 4 cn 5 n. .
van zij„ boek bespreekt hij het volgende vraagstuk: „On tracu
au hasard une corde dans un cercle. Quelle est la probabihtc
pour qu\'elle soit plus grande que la côté du triangle équila-
térial inscrit?- Hij noemt nu drie voorondcrstcllmgen op.
die men omtrent de kansrekcnkunslige rclat.e, dic aan d.t
vra;.gsiuk zijnc bepaaldheid verleent, maken kan. En na a.ui-
getoond te hebben dal dezc drie vooronderstellingen, zooals
le verwachten was. ook tol drie verschillende uitkomsten leden,
\'^cgi hij: „Entre ces trois réponses, quelle est la vcr.table?
Aucune des trois n\' est fausse, aucune n\' est exacte, la question
«^si mal posée." Dc waarheid is. dat het vraagstuk, m den

vorm waarin men het opgegeven heeft, de samenvatting is
van drie (en van nog veie andere) vraagstukken; iedere der
drie oplossingen kan dus juist zijn, de twee andere zijn dan
verkeerd; het vraagstuk is onvolledig gesteld. En zoo
staat het met de meeste vraagstukken, die op „meetkunstige
waarschijnlijkheden" betrekking hebben, geschapen. De exact-
heid der kansrekening zelve wordt hierdoor echter niet in het
minst aangetast. Misschien wil ook Bcrtrand dit eigenlijk
zeggen; maar hij zegt het niet.

In sommige gevallen is een vraagstuk van dien aard dat
men omtrent de kansrekenkunstige relatie in het geheel geene
vooronderstelling maken kan. In zulk een geval heeft men,
ook eigenlijk niet met een vraagstuk van kansrekening te doen.
Aldus is bet, bijvoorbeeld, gesteld met het volgende vraagstuk,
dat in de kansrekening eene zekere vermaardheid geniet, hoe-
wel her er feitelijk in het geheel niet thuis behoort.

iMen heeft eene vaas voor zich staan, waarvan men niet
anders weet dan dat zij witte en zwarte balletjes bevat. Men
trekt uil deze vaas blindelings een balletje. Welke is de kans
dat dil balletje wit zal zijn ?

Zeer gelukkig gekozen is dit vraagstuk niet. Wij weten
dat dc vaas wiiic en zwarte balletjes bevat. Hoe is het le
vermijden, dal deze kennis eenig vermoeden of eenig: voor-
onderstelling bij ons doet opkomen omtrent de oorzaken
die de aanwezigheid dier witte en zwarte balletje: verklare-i.\'
Eene vaas met balletjes, en dan nog wel juist met witte e-i
iwarie balletjes, dit is een zoo bijzonder feit, dat het oüs ter-
stond aan het denken brengt. En iedere vooronderstelling
om<rent de oorzaken, die tot dal feit aanleiding hebben ge-
geven, moet ook terstond tot dc opstelling van, min of meer
vage, kansrekenkunstige verhoudingen leiden. Laat ons echter
van de noodzakelijkheid van het maken van eenige voor-
onderstelling betreffende die oorzaken afzien. Ik beweer nu.

daf men dan ook van iedere "kansrekenkunstige uitspraak over
het trekken van een wit of een zwart baHetje uit de vaas moet
afzien. Is de lezer het hiermede niet eens, dan beproeve hij
slechts crne kansrekenkunsiige oplossing van het vraagstuk
te geven dic niet berust op eene zekere vooronderstelling aan-
gaande dc kansrekenkunstige oorzaken, die hij, zij het pok
biina (maar nimmer geheel) zonder het zelf tc weten, maakt.
Eerust zijne uitspraak niet op zulk eene vooronderstelling dan
berust zij op niets. En dit geldt ook ten aanzien vati alle
andere gelijksoonige vraagstukken. Een kansrekenkunstig
Nraagstuk, dat niet op eene vooronderstelling l^ircffende kans-
rekenkunstige oorzaken berust, bcritst op niets. Zulke vraag-
Mukken behooren wij dus uil de kansrekening te weren.

Nog ecn punt, waarvan dc behandeling zich bij de op-
merking. dat dc eigenlijke kansrekcnkunstige vooronderstel-
ling van ecn vraagstuk gewoonlijk niet in het vraagstuk zelf
vermeld staat, zeer geschikt aansluit, is dc beteckcms die, m
de kansrekening, aan het bewijs uil hel ongerijmde
toekomi. Wij hebben op blz. 27 pczien dat Jac. Bernoulli dc
kansen die bij het dobbelspel optreden met behulp van ecn
bewijs uil het ongerijmde afleidt. Of. beter gezegd, Bcrnoull.
HMf drukt zich eenigszins onduidelijk uit. maar hetgeen h.j be-
^l<.elt, is dit: „indien dc kans op é<\'.ne der /.es. bij het werpen
met eenen dobbelstorn mogelijke, uitkomsten van eene of
meer der vijf andere mogelijke uitkomsten verschilde, dan zoude
clai enkel begrijpelijk en verklaarbaar zijn op grond eener on-
regelmatigheid in den vorm of in den bouw van den d..bbc -
«ecn. Nu nemen wij aan dat wij met eenen volkomen regel-
»matigen en homogenen dobbelsteen werpen. Do zes kansen
^erschillcn dus niet." Dit bewijs is nit het ongerijmde. In
het eerste hoofdstuk van dit proefschrift hebben wij gezien dat
"len dc gelijkheid dier zes kansen ook zeer wel recht-
streeks kan bewijzen. Zulk oen direct bewijs schenkt nu
"»^tegenzeggolijk eone zekere bevrediging; maar toch zouden

wij, dunkt mij, te veel beweren indien wij zeiden dat men, zon-
der dar bewijs, van de gelijkheid der zes kansen niet over-
tuigd zoude zijn. En zoo staat het met de meeste vraag-
stukken der kansrekening. Bij het directe bewijs staat men
eei\'t een oogenblik bij de kansrekenkunstige oorzaken in
hare bepaaldheid stil. Dit verleent aan het directe bewijs jeene
soliditeit, om den wille waarvan het, op het eerste gezicht,
onze voorkeur schijnt te verdienen. Maar ten slotte moet men
(zij het ook niet zoo maar, zonder meer, doch door eene streng-
wetenschappelijke generalisatie) die bepaaldheid toch weder
opheffen^ Waarom zoude men dan niet terstond naar het
bewijs uit het ongerijmde grijpen, dat, van meet af, enkel met
dc kansrekenkustige oorzaken in hare algemeenheid reke-
ning houdt? Men moet bij zulk een bewijs natuurlijk zeer
voorzichtig te werk gaan; maar voorzichtigheid is eene deugd,
die men steed.s gaarne moet betrachten Ook kan er over de
juistheid van zulk een bewijs uil het ongerijmde twijfel ont-
staan. Dan moet men tol een direct bewijs zijne toevlucht
nemen; cp. stemmen de uitkomsten van dit bewijs met de uit-
komsten van hel bewijs uit het longerijmdc overeen, dan wordt
dil laatste daardoor nog gesteund.

Zoo heeft Maxwell (,Sc. Pap. I blz. 380) een bewijs uit
het ongerijmde gegeven voor zijne bekende wet betreffende
de verdecling der moleculaire snelheden in eene afgesloten
ruimte, met een ideaal gas gevuld. La.it de kansfunctie
f (x) f (y) ^ f (z) de verdeeling der componenten y, z,
van de snelheden der moleculen aangeven. Hij zegt dan:
„Now the existence of the velocity (x) doos not in any way
affect thav of the velocities ^ or z, since these are all at right
angles to each other and independent, so that the number
of particles whose velocity lies between x and x -}-dx, and
also between y and y-fdy, and also between z and z-!-dz, is
Nf (x) f (y) f (z) dx dy dz", waaruit dan de wet der snelheids-
verdeeling valt af te leiden door f (x) f (y) f (z) ~ 9- (x« -f

y2 z2) te stellen, enz. (N\'is het aantal moleculen). Di^ be-
wijs uit het ongerijmde heeft twijfel gewekt. Mijns inziens
ten onrechte. Maar hoe dit ook zij, door di ree c o bewij-
zen heeft men zich uit de moeilijkheid geholpen, zoodat de
twijfel zich zeer zeker niet tot de uitkomst , waartoe Ma.v-
well geraakt was, mag uitstrekken.

\' Bertrand behoort ook tot de critici van Maxwell, en
hij geeft zijne critiek op blz. 30 en 32 van zijn boek. Dei^e
gelegenheid om weder eens door te slaan laat hij niet on-
benul. Hij vali feitelijk de uitkomst van het bewijs van
Maxwell aan, dus juisl datgene dat bov.n allen twijfel vast-
staat. Hetgeen hij daartegen in tc brengen heeft, is echter,
allervermakelijkst. Zien wij, met Bertrand even af van den
derden coördinaat Hij zegt dan: „Le principe des proba-
bilités composées n\'a pas été correctement appliqué. Si la
composante de la vitesse d\'une molécule parallèlement l\'axe
des X est X. la valeur dc x supposée connue influe sur la pro-
habilité pour que la vitesse composée parallèlement à l\'axe
des V soit y." Dit is onzin; of liever, de opmerking zelve
is juist, maar haar aan te voeren als een argument tegen het-
geen Maxwell zegt is onzinnig. De waarschijnlijkheid dat een
molecuul de snelheidscomponenten x, v heeft, wordt volgen.s

Maxwell uitgedrukt door het pnuluct f (x^ f (y).
vin.len (ik vind het niet) dat Maxwell dit product tets te vlug
heeft nee,geschreven; maar één bezwaar is er dat men daar-
tegen zekerlijk niet mag inbrengen, en dat is juist het be-
swaar waarmede Bertrand komt aandragen. Van het feit c _ ,
I^eitrand met Maxwcll\'s beschouwing in 3tri)d acht tt ■ -
geeft Maxwcll\'s beschouwing juist voortreffelijk rekenscn, p.
I^e kans op eene bepaalde waarde van y. zal bi^ uvee versch l-
le..dc waarden van x inderdaad verschillend zijn; d.t hgt echter
niet aan eene in beide gevallen verschillende waarde van f (>)
\'"aar van f (x). Bertrand ziet maar eventjes de elementaire
eigenschap van een product over het hoofd, volgens welke

de waarde ^-an een product van de waarde van al zijne fac-
toren afhangt, en niet uitsluitend van die van den laatsten
factor. Het is fraai!

Hetgeen volgt is echter, zoo mogelijk, nog fraaier. In-
dien er één ding is dat wij aan de door Maxwell afgeleide for-
mule, bij den eersten oogopslag, kunnen opmerken, dan is
het haar asymptotiek karakter: van eene maximum snelheid
, der moleculen kan geen sprake zijn. Maxwell zelf zegt
dit, trouwens, uitdrukkelijk (blz. 382): „The vélocités range
from o to 00." Hooren wij nu, echter, -Bertrand: „Si, par
exemple, m est égal à la vitesse maxima, le mouvement est
certainement dirigé parallèlement h l\'axe des X, et la i)ro-
babilité de y est nulle." Men ziet, Bertrand heeft van de be-
schouwingen van Maxwell niet eens behoorlijk kennis ge-
nomen. Toen ik hem dus eenen „criticus" van Maxwell noem-
de, was mijn oordeel veel te gunstig. Hii geeft geene critiek,
maar hij kletst.

Wij zullen dus zonder de waarde van directe bewijzen tc
ontkoimen (waarvan men, om de kansrekening tc kuimen be-
grijpen, de mogelijkheid cn de strekking ten volle moet inzien)
toch volhouden dat, in dc kansrekening, bewijzen uit het onge-
rijmde wel buitengemeen op hunne plaats zijn.

Wensrht iemand nu, dat ile beteekenis van het bev\\ij.s
uit het ongerijmde voor de kansrekening in de formulee-
ritig van het beginsel der kansrekening reeds tot haar rerht
kome; dan kunnen wij aan dien wensch zeer wel voldoen.
Kansrekenkunstige speelruimten zijn speelruimten waarvan ge-
decltcji dic ir grootte aan elkander gelijk zijn, van het ge-
zichtspunt (\'er kansrekenkunstige relatie beschouwd, niet tc.
onderscheiden zijn. Eene voorstelling der speelruimte onzer
verwachting dic aan dezen eisch voldoet kunnen wij gevoege-
lijk, i;i kansrekenkunstigen zin. homogeen noemen. In het
algemctn nu zullen wij genoopt zijn cc ne speel-
ri:imtc in k a n s r ek c n k u n s t i g c n zin homogeen tc

noemen, indien iedere vooronderstelling waar-
bij zij niot homogeen zoude zijn. niet met de ge-
gevens van het vraagstuk in kv/estie, doch
slechts met een vraagstuk met gewijzigde ge-
gotens (met e en ander vraagstuk dus) vereenig-
baar is. Ter verduidelijking kan ik volstaan met te ver-
M\'ijzen naar eene opmerking, op blz. 59 van dit proefschrift, ^
naar aanleiding van de onjuiste oplossing van een vraagstuk,

Alvorens dit hoofdstuk to eindigen, n,oeten w, nog een
oogenblik stilstaan bij cle theorie van von Kr,es. Ik heb
het hem als eene verdienste aangerekend dat hij er z,cl, van
bewust bleek tc zijn dat het begrip .speelruimte\', om. als grond-
slag oer theorie der kansrekening te kunnen dienen, nog eene
nadere bepaling behoeft. Ik moet thans, tot mijn leedwezen,
verklaren, dat hij blijk geeft niet to weten, waarin d,o nadere
bepaling bestaat. Dit aan te toonen is de pbeht waarvan
mij thans ,noe, kwijten; daannede zal ik mij dan tevens voor
het feit verantwoord hebben dat ik von Kries bi, nujnc .afle,-
ding van bet juiste beginsel der kansrekening bet geheel

begrip „indifferente speelruitute". door von Kr^-s .ngcvoerd
me. L. begrip .bo.nogcne speelruim.e\' slech.s eene opper-

fci. dat ^on K.ies voor zijne theorie aan be. \'«S"\'\'
>c,itc spech-uiintci,\' .liet genoeg \'lectt. H,) eischt
fuim.cn bovcdien dat zij „oorspro.tkolijk" z.jn: tcrwij
•Üd to. tijd ook hc. begrip „onafhankelijke speelru,.,,ten ec c

\'"1 bij iL .speel,. l-„ tenslcc heeft hij .,og oene b„«,.,derc
voorkeur voor spcelrnim.en dio uit zeer vele, zeer kle.ne, ge-
«oclten bestaan, doordat „gewisse Modi des Erfolges I^c-
5\'än ligcr Wiederholung miteinander .abwechseln" (blz. 262

zijn beek). Tot welk eene ongelukkige verklaring der\'kanseji
bij het dobbelspeel deze voorkeur hem leidt hebben wij in
het eerste hoofdstuk van dit geschrift gezien.

De zaak is dat wij, met de vraag die wij ons thans ge-
steld iiebben, ons daar bevinden, waar het inzicht van von
Kries zich in allerlei vaagheden verliest. Al zijne vergeefsche
pogitigen, om tot eene bepaalde slotsom over het beginsel der
kansrekening tc komen, tc volgen zoude eene nuttclooze moeite
zijn. Hij bezit het inzicht dat speelruimten indifferent (homo-
geen) moeten zijn om in de kansrekening gebruikt tc mogen
worden. Maar hoe weinig begrip hij heeft van de kansrekcn-
kunstige relatie, waarop alleen dc indifferentie (homogeniteit)
van speelruimten kan berusten, dat blijkt wel uit de wijze
waarop hij het begrip .indifferentie\' invoert (op blz. 25 van
rijn boek;. Mij bespreekt daar de vraag of men, indien men
weet dat hel soortelijk gewicht van cenc zekere stof grooter
dan 5 cn kleiner dan 6 I\'s, aan dc verwachting dat het, meer
bepaaldelijk, tusschen, bijvoorbeeld, 5, 35 en 5,36 gelegen is,
dc kans i/ioo toekennen mag. Hij zegt dan: „Die eben ver-
suchte Aufstellung darf nämlich jedenfalls nur dann als zu-
lässig gelten, wenn unsere Kenntnis derart is, dass sie zwar
Werte unter 5 und über 6 positiv ausschliesst, aber durchaus
keinen Grund enthält, innerhalb\' dieses Spielraumes von
5,0 bis 6,0 einen Wert für wahrscheinlicher als irgend
einen andern zu halten." Dan, zegt hij hebben wij mei ccne
„freie Erwartungsbildung" te doen, „und es mögen Spiel-
räume des Verhaltens, für welche in der eben charakterisierten
Weise keinerlei logische Bevorzugung des einen vor dem an-
dern bf.f.tchl, indifferent geneniu werden". Ik beb m dit
citaat tweemaal cenc spatiëcring aangebracht; om daardoor
dc aandacht er op tc vestigen dat von Krie.s, ten eerste, ook
op dit alleresscntieclst punt van /ijn betoog weder eens be-
zwijkt voor zijne heimelijke genegenheid voor het „Prinzip
des mangelnden Grundes" en, ten tweede, zijn heil ten slotte

tóch zoekl bii het beginsel der „evengroote waarschijnlijkhe-
den" da^ wil zeggen, gelijk wij bij de bespreking der theorie
van Poincaré en Bertrand gezien hebben, bij eene petitio
principii

Indien wij, dus, besloten ons nog langer met de theorie
van von Kries bezig te houden, zouden wij niet anders kunnen
leveren dan afbrekende critiek. Daarom komt het mij voor
dai het juiste oogenblik gekomen is om van von Knes af-
scheid te nemen.

lUNS EN WAARSCHljMLIJKHEID.
HET THEOREMA VAN BERNOULLl.
DE FUNDAMENTEELE THEOREMA\'S DER KANSREKENING.

Hetgeen ik, in dit laatste hoofdstuk, oni aan mijne be-
schouwingen eene zekere volledigheid te geven, nog moet
doen, is de vraag te beantwoorden naar het verband tusschen
de kansrekening en het begrip .waarschijnlijkheid\'.

Alen zal zeggen dat het antwoord op die vraag nog al
voor de hand ligt; immers, wat zoude de kansrekening an-
ders kunnen zijn dan de leer van het begrip .waarschijnlijk-
heid\' , voor zooverre dit zich leent tot vvirikunstige behandeling?
In werkelijkheid, echter, is de zaak minder eenvoudig. Sederl
twee eeuwen heeft men. op alle wijzen, getracht de kansreke-
ning uit het begrip ,waarschijnlijkheid\' af te leiden; en men is
daar niet in geslaagd. Daarom hebben wij in dit geschrift
eenen anderen weg ingeslagen. De beteekenis van het be-
grip ,\\vaarschijnlijkheid\' zelf hebben .wij vrijwel in het midden
{{clatcn; slechts wanneer anderen dat begrip, ten behoeve der
kansrekening, op eene verkeerde wijze wilden verklaren zijn
wij daartegen in verzet gekomen. .Maar onze aandacht hebben
wij aan de v e r h o u d i n g e n, die bij kansrekenkunstige vraag-
stukken in het spel zijn, geschonken. Het is ons \'gebleken dat
dit verhoudingen zijn van volkomen obij\'ctieve grootheden,
n. I. \\an, voor wiskunstige uitdrukking vatbare, speelruimten
onzer \\erwachting. Daarmede hadden wij voor d:ï kansreke-
ning, als de theorie van dergelijke speelruimten, cenc bevre-
digende verklaring gevonden zonder dat wij het begrip waar-
schijnlijkheid zelf aan eene nadere beschouwing behoefden
te onderwerpen.

Hel oogenblik voor deze nadere beschouwing is, echter,
thans gekomen. Die beschouwing zal aan dui^eliiVbeid ten
zeerste winnen indien wij, in dit hoofdstuk, streng onder-
scheid maken tusschen ,kans\' en ,waarschijnlijkheid\'. Onder
Jeans\' zal ik eenvoudig de verhouding verstaan van twee speel-
ruimlcn, op de wijze die wij ili het vorige hoofdstuk hebben
besproken, en die thans geene nadere toelichting meer behoeft.
En het woord ,waarschijnlijkheid\' zal ik bezigen in den zm
waarin men het in het dagelijksch leven bezigt, cn reeds be-
zigde lang voordat de kansrekening bestond; aan welke defi-
nitic ik met opzet niets toevoeg, omdat ik mij bij het gebruik
van dal woord juist op niets anders dan op het spraakgebruik
xan het dagelijksch leven wensch te beroepen.

Miine bewering dan, als eene verdediging waarvan men
dit hoofdstuk zal kunnen beschouwen, is: dat hel begrip ,kans
met het begrip »waarschijnlijkheid\' geenszins eenzelvig is, cn
rr ook niet door ontleding rechtstreeks uit kan worden afge-
leid: maar dat wij het veeleer als eene u i t b r c i d i n g er van
heblen op tc vatten: eene uitbreiding, die voorzeker n.el wille-
keurig is, maar die toch op overeenkomst of afspraak
berust; daar wel iedereen in haar zal loesiemnien, maar met
dan nadat hü er oersi uitdrukkelijk loc is uitgenoodigd. Zulke
uitbuidiecn. die iedereen redelijkerwijze (maar, strikt genomen,
niet noodzakelijkerwijze) zal aanvaarden, komen op hel ge-
l)icd der wiskunde veelvuldig voor: dc invoering der ,püsilievc.n
•on negatieve gcfallcn\' is er wel het meest bekende voorbeeld
van. Daar zulke uitbreidingen op conventie berusten beho -
ven zii nie. bew.zen te worden; haar recht ^
ontlcenen zij aan hare natuurlijkheid cn bruikbaarheid. r

^ii. echter, geenc geheel nieuwe begrippen, maar uitbrcidingui
van reed.s bestaande begrippen zijn, moet men bij nare in-
voering zorgdragen dal zij inderdaad, in e.n bepaald gedeeUc
van het gebied harer geldigheid, met dic reeds bestaande b -
grippcn samenvallen. Aan tc iconen dal aan dezen cisch vol-

daan is, is daarom de verplichting die bij het invoeren van
zulke uitbreidingen in de plaats treedt van \'de verplichting
tot bewijs.

En zoo zal ik dan ook^ om mijne bewering, dat het begrip
.kans\' dl\' beteekenis heeft eener zoodanige uitbreiding van
hei begrip ,waarschijnlijkheid\'/ waar tc maken uvee dingen
hebben aan te toonen, namelijk: ten eerste dat de begrippen
jkans\' ei; ,waarschijnlijkheid\' twee verschillende begrip-
pen zijn, en wel in dier voege verschillend dat het gebied van
geldigheid van het begrip ,kans\' zich verder uitstrekt dan het
gebied van geldigheid van het begrip .waarschijnlijkheid\'; en
ten tweede dat het begrip ,kans\', in dat gedeelte van het ge-
bied zijner geldigheid, waar ook het begrip .waarschijnlijk-
heid\' geldt, met het begrip .waarschijnlijkheid\' samenvalt. Hoe
dit tweede gedeelte van ons onderzoek uit zal vallen is reeds
bij voorbaat duidelijk: groote kansen (dat wil :<eggcn kansen
die dooi breuken welke weinig van de eenheid verscTiillon
worden uiigedrukt) geven tevens waarschijnlijkheden aan. Nu
kunnen door het theorema van Bernoulli kansen van
willekeurige grootte met zéér groote kansen in verband worden
gebracht. Wij kunnen dus óók /eggen: dat >vij in dit hoofd-
stuk twee zaken zullen moeten behandelen, namelijk: ten
éérste hel onderscheid der begrippen ,kans\' en .waarschijn-
lijkheid\'; en ten tweede de beteekenis van het theorema van
Bernoulli.

Het begrip ,w aarschijn lijk heid\'. AVij hebben
in het vorige hoofdstuk gezien dat iemand die zich, op goede
gronden, uitlaai over de kans die op eenig vei-schijnsel bestaat,
daarmede geenszins eene verwachting of een vermoe-
den over dat verschijnsel te kennen geeft. Immers in de
kansrekening heeft men, evenals in iedere andere wiskunstige
\\vet¹.\'nschai/, met volkomen objectieve grootheden (cn wel mei
.speelruimten\') te doen. Zegt iemand, dus, dat de kans om met
Uvee dobbelsieenen „dubbele zes" te werpen 1/36 bedraagt, dan

beweert hij daarmede niet anders dan dat eene zekere speel-
luimte het zesendertigste gedeehe van eene andere speelruimte
beslaat; en zijne uitspraak staat derhalve, wat stelligheid en
objectiviteit betreft, volkomen op ééne lijn met, bijvoorbeeld,
de uitspraak dat een ,inch\' het zesendertigste gèdeeUe van
een ,yard\' beslaat. In één opzicht, evemyel, verschillen kans-
rekenkunstige uitspraken van andere wiskunstige uitspraken
ten zeerste: al drukken kansrekenkunstige uitspraken, name-
lijk. op zich zelve beschouwd, geenszins verwachtingen uit,
hun aard brengt mede dat zij, in zeer vele gevallen, verwach-
tingen opwekken. Immers, leert de kansrekening ons dat
de kans op een zeker verschijnsel zeer groot is, dan zullen
v\'ij, no(.dzakelijkerwijze, dat verschijnsel waarschijnlijk ach-
ten; is de kans daarentegen zeer gering dan onwaarschijnlijk.\')
Ziedaar hel verband, dat tusschen de begrippen ,kans\'
en ,waarschijnlijkheid\' beslaat. Van dit verband afgezien ver-
schillcn deze beide begrippen echter ten zeerste. Gewoonlijk
ziet men dit verschil over het hoofd, en men stelt het dan
voor alsof hel begrip ,kans\' niet anders is dan het begrip
.waarschijnlijkheid\', ietwat nader (namelijk door eene kans-
Ineuk) bepaald. Dat deze voorstelling verkeerd is bhjkt zoo-
«Ira nun bedenkt dal een begrip \'loor eene nadere bepaling

nimmer an der s soort ig kan worden. De begrippen ,kans\'
en .waarschijnlijkheid\', nu, zijn ongelijksoortig. De be-
handeling van het begrip ,kans\' behoort in de wiskunde, die
van het begrip ,waarschijnlijkheid\' in de zielkunde thuis.

De omstandigheid, dat men bij het gebruik der woorden
,kans\' en ,waarschijnlijkheid\' het verschil in beteekenis dezer
Iwee begrippen gemeenlijk over het hoofd ziet, ontslaat ons
derhalve niet van den plicht om ons, \'telkens wanneer wij in
eenig geschrift een dier woorden lezen, af te vragen, wélk dier
belde begrippen de schrijver eigenlijk bedoelt. Zoo geeft
Kant bijvoorbeeld, waar hij zegt „Wahrscheinlichkeit ist Wahr-
heit, aber durch unzureichende Gründe erkannt, deren Er-
kenntnis also zwar mangelhaft, aber darum doch nicht trüg-
lich ist." (Kr. d. r. V 2de druk blz. 349) eene definitie, niet
van ,kans\' maar van ,waarschijnlijkheid\'; icrwijl daarentegen
Laplacf-, v.aar hij zegt: „La probabilité d\'un événement est le
rapport du nombre des cas qui lui sont favorables au nombre
dc tous les cas possibles, lorsque rien ne porte, à croire que
l\'un, des ces cas doit arriver plutôt que les autres" (Oeuvres
Tome Vîi blz. «95) niet .waarschijnlijkheid\' maar ,kan.s\' op

Niet zonder belang is het na tc gaan hoe Jac. liernoulli,
dc ontdekker van het theorema dat hel verband \'tusschen
,kans, cn ,waarschijnlijkheid\' uitdrukt, over de onderlinge be-
trekking dezer beide begrippen denkt. In het vierde deel
zijner Ars Conjectandi, „Iradens usum ac applicaiionem prao-
cedenlis doctrinac in Civilibus. Moralibus et Oeconomicis"
gelijk hij zich, niet zonder zwier, uitdrukt, treffen wij cenc
menigte definities aan. die ons over zijne opvatting niet in
het duister laten. Reeds aanstonds blijkt dat hij het onder-
scheid tusschen subjectieve (of zielkundige) en objectieve be-
glippen geheel veronachtzaamt. Immers, het begrip .zeker-
heid\' is toch ongetwijfeld een subjectief begrip. ^L^ar Volgens
liernoulli kan men de zekerheid van eenige zaak subjec-

tivc zoowel als objective bescbouwen. En dan zegt l.ij:
„ömnia quae sub Solo sunt vel fiunt, praeterita, praesent.a s.ve
futura. in se et objective summam semper certitudinem ha-
bent." Hoe hij met deze zonderlinge opvatting .ijne niet minder
zonderlinge opvatting (die wij, in het tweede hoofdstuk, reeds
besproken hebben) omtrent het „meer e.\\ minder gemakkelijk"
geschieden van meer en minder waarschijnlijke gevallen n,rat,
weet ik niet; maar zeker is het dat zijne beschouwing over het
begrip .zekerheid\' ons van zjjne behandeling van het begnp
.waarschijnlijkheid\' niet veel goeds kan doen verwachten. Do
zaak is dan ook dat Bernoulli aan het begrip .zekerheid eene
objecieve beteekenis opdringt, alleen met <le bedoeling om
daarna he. begrip .waarscliijnlijklicid\' hetzelfde te doen weder-
varen. Eu wat bij .laarniede voor heeft is duidchjk. Zoolang
men .zekerheid\' en waarschij,.lijkheid\' naar waarhe.d, as
subjectieve begrippen opvat kan ^el zeggen dat waarsch.jiihjk-
heid niet a,.ders is dan een graa.l v.in zekerlie.d, daar het

B.:voel va„ waarschijnlijkheid zwakker en sterker kan z„n en,
wanneer he. zéér sterk is, to. het gevoel van zekerhe.d .ladcr.;
.naar dien „graad" objectief uit te drukke,i door eene breuk is
niet doenlijk, - in.ners, daartoe zoude vereischt ,i,n da
,waars. hiinlijkheid\' tot ,zekerheid\' in do verhouding stond w.i
e..n deel lo. oen geheel; - objec.ivecr. men echter beide
begrippen, dan word. dat doenlijk. Niets, toch, belet ons aa,
het begrip .waarschijnlükheid\' kahnweg „let het begri,
,kans\' \' I-eroenzolvigen. ()n, te bewijzen dat d,t tnderdaa

namelijk voor God: „nisi enim certo eveniant quaecumquc
futura sunl, non apparet, quo pacfo summo Creatori omni-
scientiae et omnipotentiae laus illibata constare queat." (Men
ziet, behalve in Civilibus, Moralibus et Oeconomicis Is zijue
leer ook van toepassing in TheologicisI) En, wat de vraar-
scnijiilijkheid aangaat, hij weet zeer goed dat eene kans alleen
dan het gevoel van waarschijnlijkheid opwekt wanneer zjj zeer
groot is of zooals hij het uitdrukt, de waarde \'/s aanmerkelijk
te boven gaat. Maar zijne voorliefde voor het begrip ,kans\'
ib 7.0) groot (gelijk bij iemand die jegens de kansrekening
r.ulke groote verdiensten heeft ook zeer goed te begrijpen Is)
doi hij hel feit dat het -begrip ,waarschijnlijkheid\' niet volko-
men aan het begrip ,kans\' beantwoordt slechts beschouwt als
le berusten op eene „wijze van spreken": „Illud igiiur altero
probabilius vocatur, quod niajorem ceriitudiuis partem habet;
elsi ivi positivo probabile usu loquendi lanium dicatur id,
cujus probabilitas semissem certiludinis notabililer superat.
Dico notabililer; nam quod semissem certiludinis circiter
aequai, dubium vel anceps vocatur. Ita probabilius est, quod
1/3 ccrliiLidinis habet, quam quod i/io; elsi neutrum in posi-
tivo sil probabile." (blz. 211).

Ik zeide zoo juist dat de nci_ging om het begrip ,waar-
schijnlijkheid\' lot het begrip ,kans\' te herleiden bij iemand
als Bernoulli zeer goed te begrijpen is. Maar ook bij ieder
ander is zij zeer goed tc begrijpen. Immers het begrip »waar-
schijnlijkheid\' heefl iets raadselachtigs, het heeft iets van
,rekcrhcid\' cn tegelijk iets van »onzekerheid\' in zich, en berust
toch n\'ct op een mengsel van deze twee geheel icgengesieldc
gemoedstoestanden, maar heeft cenc geheel afzonderlijke be-
teekenis. Wal kan dus verleidelijker zijn dan pm, als men
eenmaal met het zoo stellige cn eenvoudige begrip ,kans\' ken-
nis gf maakt heeft, met dit begrip als uitgangspunt te trachten
het begrip »waarschijnlijkheid\' rc verklaren? En loch handelt
men, aldus te werk gaande, verkeertl. Iemand die het bcgrij)

.waarschijnlijkheid\' door het begrin ,kans\' wil verklaren keert
de verhouding dezer twee begrippen om. Het begrip ,kans-
ontleent aan het begrip .waarschijnlijkheid\' eerst zijne be-
teekenis Op zich zelve beschouwd is eene kans niet meer dan
de verhouding van een bepaald gedeelte eener .speelruimte\'
tot die geheele speelruimte; en als men zicK niet \'speciaal voor
de verhouding dier speelruimten interesseerde dan zoude deze
geene meerdere beteekenis hebben dan bijvoorbeeld het ver-
schil, of dc som, of wat ook. van die speelruimten. Waarom
interesseert men zich, nu echter niet voor dat verschil of voor
die som maar wel voor die verhouding? Enkel dn alleen omdat
die verhouding indien zij tot de eenheid nadert de uitdrukking
>.\'ordt van eene waarschijnlijkheid (en als zij tot nul nadert van
eene onwaarschijnlijkheid). Door het theorema van Bernoulli
nu kan men iedere kans met eene waarschijnlijkheid in ver-
band brengen; en daarom bezit ook het opstellen van eene
o\'illckeurige kans beteekenis: eene beteekenis die dus gehéél
aan de beteekenis van het begrip .waarschijnlijkheid\' ontleend
is.ï)

Hc! begrip .waarschijnlijkheid\' daarentegen speelt in ons
dageliJk.;ch leven voortdurend zijne belangrijke rol zonder
Haarbi\'j in het minst van het begrip .kans\' afhankelijk te zijn.
Wij zien ons. namelijk, voortdurend genoopt tot handelen, ter-
wijl wij ons bii onze handelingen t >ch slechts in zeer wem.gc
Povallen door zekerheid kunnen laten leiden. Da:iram moe-

-»n di. geschrK.) Pe waarde van die uitspraak be,.». \'\'"«/f" "
\'""in dat ZIJ on doe. verwachten dat v-n de ze. keae.
dobbelsteen werp. gemiddeld èèn maat de zes boven
vcrw,ch..n, nu Is nfe. ander, dnn de In.ui.ieve en vaje "iM nk^ v n de
^"\'held die he. theorema van Bernoulli streng wlskunstiglllk en scherp bepaald

leii wij ons meestal vergenoegen met af te gaan op hetgeen
wij min of meer waarschijnlijk achten. Maar ging men
nu werkelijk in ernst enkel die zaken waarschijnlijk achten
waarvoor wij kansen „aanmerkelijk grooter dan 1/2" konden
afleiden, dan zouden er zoo weinige gevallen van waarschijn-
lijkheid overblijven, dat ons dagelijksch leven terstond spaak
zoude loopen. Dpor het begrip ,waarschijnlijkheid\' pp het be-
grip ,k?,ns- te baseeren beperkt men derhalve het gebruik
van dat begrip in eene hoogst onredelijke mate. In werke-
lijkheid is de zaak dan ook geheel anders. De kansrekening,
namelijk, dankt hare beteekenis hieran dat -ij het gebruik
van het begrip .waarschijnlijkheid\' niet beperkt, doch er in-
tegendeel nog eenige uitbreiding aan geeft. Zij vormt niet
den grondslag van dat gebruik maar breidt het nog uit over
een aantal gevallen waarin men, voordat de kansreTcening be-
stond, niet vermoeden kon dat men ooit tot bruikbare, weliswaar
niet zekere, maar toch, wegens hare buitengewone waarschijn-
lijkheid, zoo goed als zekere, uitspraken zoude kunnen ge-
raken. En dat in vele van dic gevallen (bijvoorbeeld in dc
statistiek cn in dc moleculaire thermodynamica) de waarschijn-
lijkheid onzer uitspraken zóó groot is dal zij, practisch, met
zekerheid gelijk staat, dal danken\' wij aan het theorema van
Bernoulli.

Eene interessante poging om het gevoel vaii waar-
schijnlijkheid, in die weinige gevallen dat het door de over-
weging van kansen in ons opgewekt wordt, ziclkunstig tc ver-
klaren kan men aantreffen in dc Section VI (Of Probabiiity)
van Muir.c\'s Enquiry,\') Humc stelt zich voor dat men werpt
met eenen dobbelsteen met zeer vele zijden, alle op ééne na
n»et hetzelfde aantal oogen gemerkt. De kansen op dc twee
verschillende uitkomsten bij het werpen met dezen dobbelsteen

>) Essays and Tr««ti8rs on sevcra! Subjcct» by David Hume Eiq. A uew
Edition, London 1768, Vol 11,

,.„ncur in the one evcnt than in ,he o.her, ,he n.md ,s carned
::"e,ue„,W .0 .ha. even., and .nee.s i. of.e- .n ^

.e nn,s. no. overlook ;\';: \',r i ropor.ion as
„f .hen, a par.icular we.gh. "

out that whole month; though this probability varies according
to the different climates, and approaches to a certainty in the
more northern kingdoms. Here ihen it seems evident, that
when we transfer the past into the future, in order to deter-
mine the effect, which will result from any cause, we transfer
all the different events, in the same proportion as they have
appeared in the past, and concieve one to have e.xisted a hun-
dred times, for instance, another ten times, and another once.
As a great number of views do here concur in one event, they
fortify and confirm it to the imagination, beget that sentiment
which wr call belief, and give it the preference above its
antagonist, which is not supported by an equal number of
experiments, and occurs not so frequently, to the thought in
transferring the past to the future."

Om aan Hume\'s theorie der waarschi jnlijkheid recht tc doen
wedervaren zouden wij haar in verband met dc andere deelen
zijner wijsbegeerte moeten beschouwen, hetgeen ons hier te
ver zoude voeren. Ook houdt dit geschrift zich met het begrip
.waarschijnlijkheid\' alleen in zooverre bezig als noodig is om
uit te doen komen, dat dit begrip zich van het hegrip ,kans\'
ten zeerste onderscheidt. Ik moet dus volstaan met te doen
oprncrken: ten eerste, dat Hume\'s verklaring slechts op een
beperkt aantal van alle gevallen waarin het begrip .wa\'arschijn-
lijkheid\' eene rol speelt betrekking heef»^; en ten tweede, dat
zij, ook in die gevallen, eigenlijk meer de noodzakelijke con-
nectie in het licht stelt die efr in onzen geest tusschen „groote
kansen\'^ of ook „oorzaken van een zeer bepaald karakter", cn
hei gevoel van ,waarschijnlijkheid\' bestaat, dan dat zij het be-
grip »waarschijnlijkheid\' uit het begrip ,kans* verklaart. Integen-
deel hel onderscheid van het begrip ,kans\' (als zijnde d6 uitdruk-
king van tene objectieve verhouding) en het begrip ,waarschijn-
lijkheid\' (als zijnde dc uitdrukking van eene subjectieve gesteld-
heid van onzen geest) komt in deze plaats van Hume juist

van den geheel versehillenden aard der twee begrippen
.kans\' en .waarsehijnlijkheid\' zal de le.er thans, -r ■ ho"p
genoegzaam overtuigd zijn. Ook de beteeken,s van het th o
en.a L Bernoulli hebben wij leeren kennen:,,, ~ h,ern
da. wij door middel van dat theorema, zonder daa b„ door
eene ontiidige zielkundige interpretatie ^^ « ;

r^et an,a, n,a.en da,, .kruis\' en .mun,\' bovenkomen, dat w,l
z ggen- va, men de verschillende gevallen. ,n plaats van ze
alfe iteen te houden, in een veel kleiner aantal van groepen
,e zan,e,, dan word, ook he. ,heorema der .p,ale kans van

toepassing, en dit heeft eene aan den kans verkleinenden in-
vloed van het theorema der samengestelde kans tegengestelde.

■ Voorts is er onder \'alle groepen steeds ééne die het
grootste aantal gevallen vereenigt; in deze groep doet zich de
invloed van het theorema der totale kans derhalve het sterkst
gelden. \\\\\'eliswaar weegt ook in deze „waarschijnlijkste groep"
de kans vèrgrootende invloed van het theorema der totale
kans nog steeds niet tegen den kans-verkleinenden invloed van
het theorema der samengestelde kans op; maar het is de
verdienste van Bernoulli aangetoond te hebben, dat dit anders
wordt, indien men nu een aantal der groepen op hare beurt
tot eene groep samenvat door niet alleen niet op de juiste
volgord.\' waarin, maar ook zelfs niet op het juiste aantal malen
dat, .kruis\' en .munt\' bovenkomen tc letten, doch enkel tc vra-
gen naar de kans dat dit aantal malen niet meer dan een zeker
percentage van het „waarschijnlijkste aantal malen" afwijkt.

theorema der totale kans verkrijgt dan op het theorema
der camcngestelde kans zoozeer de overhand, dat men dc
gevraagde kans. door dc .proef\' maar vaak genoeg tc her-
halen, zoo dicht tot de eenheid kan doen naderen als men zelf

Van een zuiver kansrekenkunstig standpunt beschouwd
houdt het theorema van Bernoulli dus niet meer in dan ccne.
op bijzondere wijze gekoppelde, toepassing van het theorema
der totale en dat der samengestelde kans. Om het theorema
van Bernoulli tc bewijzen behoeven wii derhalve slechts die
beide fundamcnteele theorema\'s der kansrekening uit onze
defmitie van het begrip .kans\' af te leiden.

Indien het ons nu enkel te doen ware om de j u i s t h c i d
der beide fundamcnteele theorema\'s aan te toonen. dan zoude
onze taak al zeer gemakkelijk zijn. Immers aan de kansreke-
ning, gelijk zij in de leerboeken behandeld wordt ontbreekt
slechts één ding, namelijk de definitie van hetgeen men noemt

„even waarschijnlijke gevallen". Dit begrip nu hebben w,,
door onze definitie van kans op eenen vasten grondslag ge-
steld. Hiermede zouden wij de quaestie ,ls afged=..u, kunnen
beschouwen. Van een principieel standpunt echter beschouwd,
zoude zulk eene wijze vau doen ons kwaUjk kunnen bevredjgeu.
Daarom zal ik beide theorema\'s uit onze definitie van het

uit dan de verhouding vau een bepaald gedeelte eener speel-
ruitme to, de geheele speelruimte. De beide lundamenteele
theorema\'s hebben betrekking op het combiueeren van kansen,
onze definitie, wijs. o.ts .ers.ond aan hoe wij zulke comb.na..es
van kansen .c behandelen hebben. Ges.eld, aa,. een zeker
.verschijnsel\' bean.woord. een bepaald gedeeltes dor speel-
ruim.e S o.,zer verwachting. Wij kunnen dan <ht vxrsclujnse
aanduiden door (s,S). Beschouwen wij nu het versch.,nsel (s.S)
i„ con,bina,ie met een ander verschijnsel (a, dan behoeven
wij o,n de ,gecombinee.de kans\' te vinden ons slechts af te
vragen- ,e; Wa. is, na de co.nbinatie, de geheele speelru„,,.c
onztr ve.-wachti„gF en .c) Op welk

speelruhnte is bij de co,nb,natie, n.eor bepaaldeh,k o ze a.n
dL-h. gev,-s,igdf Indie.. wij er dan bovend,en zo,g voo,
hebbe.. gedragen da, de geco.nbineerdo .peehuuute aan d.e

"\'"\'\'Tiet begrip .co.nbinecren\' of .in verband beschouwen\' is
zeer vaag. Slec.Us enkele va,, zulke

van b-lang. Het houvast echter, dat w„ b., be b.. p eken
de er on,Wna.ies aan bet begrip .speehuim.en\' zullen hebben,
zal volstaan „,« ons er van te overtuigen, dat w„ ons. ook u -
dien wij do leer der kansrekenkuns,ige comb,nat,es moor uu-
voo,igli!k wilden behandelen. ,net gor.«tho,d o,. <la, i>egr,p
zouden kunnen verlaten.

Het theorema der totale kansen wordt gewoonlijk af-
geleid als een onmiddellijk gevolg van de definitie van her
begrip kans, doordat men het geval stelt, dat men met twee
verschillende gedeelten ééner speelruimte (of met twee ver-
schillende groepen van ,gunstige gevallen\' uit ééne groep ,mo-
gelijke gevallen\') te doen heeft. Het theorema komt dan
hierop neer dat men het aantal gunstige gevallen (of een be-
paald gedeeUe der speelruimte onzer verwachting) mag split-
sen zonder da< dit aan de kansbreuk iets af- of toedoet. Het
komt mij voor dat dit niet een onmiddellijk gevolg maar
veeleer eene noodzakelijke vooronderstelling van
de definitie van het begrip ,kans\' is, zonder welke deze defini-
tie in het geheel niet tot ondubbelzinnige kansbreuken zoude
leiden,1) Wij zullen dus terstond overgaan tot de combinaties
van twee verschijnselen waarbij S en 2\' verschillende speel-
ruimten zijn.

De speelruimte onzer verwachting betreffende de com-
binatie van twee verschijnselen (s, S) en (o, 2\') zal samenge-
steld zijn uit dc speelruimten S cn 1. Hetgeen wij ons in
de eerste plaats moeten afvragen is of dc speelruinitcn S en 1\'
ongewijzigd in dc combinatie opgenomen zullen worden of
niet? Ecn voorbeeld zal duidelijk maken dat ik bij deze vraag
het begrip der ,kansrekcnkunstige\' afhankelijkheid\' ()p het
oog heb. Gesteld dat zich in cenc vaas \'één wil en drie zwarte
balletjes bevinden. Dc kans om uil deze vaas hci witte balletje
te trekken zal dan bedragen. Zoo wij echter het trekken
van ecn balletje uit dc vaas hiervan afhankelijk stellen dat
wij te voren mei ecn muntstuk .kruis\' hebben geworpen dan
bedraagt dc kans om het witte balletje ic trekken slechts i/8.
De mogelijkheid bestaat dan, namelijk, dat wij in het geheel

\') Zoo zegt Bettrand (blz 25 van zljn boek): „al l\'on parUgc k$ cas
lavorables en plusieurs groupes, la probabilité dc l\'événéinenl sera U somme
des probabilités pour qu\'il appartienne à chacun des groupes. On ajoute en
ellet les fractions de même dénominateur en ajoutant les nûméraieutk\'.

niet zullen trekken. Ook deze mogelijkheid moeten wij in
onze speelruimte opnemen. En wel zal, in dit geval, deze .speel-
ruimte even groot zijn als de geheele speelruimte 3 die aan
de mogelijkheid dat wij wel trekken zunnen toekomt. Üe speel-
ruimte S, derhalve, ondergaat, omdat zij betrekking heeft op
een geval van kansrekenkunstige afhankelijkheid door de com-
binaïi.-. met het verschijnsel (o, 2\') eene uitbreiding.

Wij kunnen het voorbeeld eenigszins 3nders formuleeren.
Laat naast dc vaas die dc vier balletjes bevat eene andere,
ledige vaas, die in uiterlijk geheel met de eerste vaas overeen-
komt, geplaatst zijn. Weten wij niet welke der beid.\' vazen de
balletjes bevat, cn worden wij uitgenoodigd een ».alletje uit
eene der beide vazen tc trekken dan is het terstond dindclijk
dal de speelruimte die aan het irekken uit de ledige vaas be
antwoordt gelijk is aan de speelruimte die aan het trekken uit
dc andere vaas beantwoordt.

muni

. kan dienen om den- beide voorbeelden .an-
schouweirU weer te geven. In he. geva- der beule vazen vaU
de ondersu- lielft der figuur weg.

Laat ons thans vooronderstellen dat de verschijnselen
(s, S) en (ö, ^)onafhankelijk van elkaar zijn. In dat geval
kunnen wij ieder gedeelte van S met ieder gedeelte van Z
gecombineerd denken. Aan het gedeelte s van S beantwoordt
dus een gedeelte sX-T van de gecombineerde speelruimte onzer
verwachting. De geheele gecombineerde speelruimte be- *
draagt derhalve S>2:. En de combinatie der bepaalde ge-
deeltelijke speelruimten s en a bedraagt sXo. Hieruit volgt
onmiddellijk het theorema der samengestelde kans voo»* twee

Ook van dit geval kunnen wij eene aanschouwelijke voor-
stelling geven, indiert de verdeeimg van S en 2\', door het vraag-
sivk vcreischt. zoo eenvoudig is dat wij haar do(»r een in enkele
kleine stukken verdeeld stuk eener rechte kunnen voorstellen.
Nemen wij een voorbeeld, dat Bertrand (blz. 32 van zijn boek)
geeft om tc doen zien hoe licht men zich redds bij eenvoudige
vraagstukken van kansrekening kan vergissen: „Une urne
contient trois boules, marquées i. 2 et 3. On en tire deux
successivement, en remettant dans l\'urne après le premier
tirage, la boule qui en est sortie. Quelle est la probabilité

pour que le plus grand numéro sorti soit 2?" Figuur 2 bréngt
dit vraagstuk in beeld. Men ziet terstond dat het gearceerde

gedecllc der figuur aan dc gevraagde kans beantwoordt, en
dat deze kans derhalve .t/3 bedraagt. Wij zien in de figuur
tevens het theorema der totale kans, in eene meer algemeene

de twee speelruimten S en Jï op twee onderling loodrechte
assen af tc zetten, laat zich overigens ook in gevallen van kans-
rekenkunstige afhankelijkheid doorvoeren. Mot moet dan
slechts hiervoor zorg dragen dat men ieder gedeelte der speel-
ruimte van S combineert met de speelruimten vat, - d,o b,j
dat gedeelte van S passen. De figuren die men dan verkr„gt
leveren eene aanschouwelijke voorstelling van de toepasstug
in zulke gevallen van het theorenta der samengestelde kans

gestcldc. kans ook in die gevallen ,oepassen. ."en v.nd ge-
lijk voor de kans op een san.engcsteld ver.sclnp.sel he, , odu
van de kans van bet eerste verschijnsel (s, S^ en dc kans d
aan he, .wccde (», ."ckon,. voor het geval dat n.cn weet
da, h.., eerste verschijnsel zich hoeft voorge-

Figuur 3 too,U ons hoe wij ons hiervan op grond van
ons beginsel rekenschap kunnen geven. Gesteld „,en trekt

twee malen achtereen een balletje uit eene vaas die voor de
eerste trekking twee balletjes gemerkt i, één gemerkt 2, en één ge-
merkt 3 bevat. Het bij de eerste maal getrokken balletje legt men
terzijde. Gevraagd wordt weer de kans dat het hoogste getrok-
ken nummer 2 is. Langs de S-as zijn de speelruimten beantwoor-
dende aan de mogelijke uitkomsten der eerste trekking uit-
gezet. Boven ieder dier, bij deze wijze van voorstellen line-
aire, speelruimten zijn de planaire speelruimten geteekend die
aan de daarin aangegeven uitkomsten der tweede trekking
beantwoorden. Het geärceerde gedeelte beantwoordt aan de
gevraagde kans, deze bedraagt dus 1/3. Ook andere vragen
betreffende bij dit voorbeeld optredende kansen, zijn uit de
figuur gemakkelijk af te lezen.

Wij zouden onze beschouwingen over de combinatie van
kansen nog sterk kunnen uitbreiden. Ik wilde echter slechts
de juistheid en de bruikbaarheid van de in dit geschrift ver-
dedigde opvatting der kansrekening aantoonen, en ik meen dat
het- daartoe niet noodig is aan al hetgeen ik gezegd hel) nog
iets toe te voegen.

De verwarring, ten aanzien van de vericlaring der kans.
rekening heerschende, berust in laatsten aanleg op eene ver-
warring van hel begrip .kans\' met het begrip .waarschijnlijk-
heid\'. Het begrip .waarschijnlijkheid\' kan niet wiskunstiglijk
verklaard worden. Hel begrip .kans\' laat zich enkel verklaren
met b(rhulp van het wiskunstige begrip .kansrekenkunstige
siHclruimien\'.

I. H. Mill (A System of Logic. New York i860 b\'.z. 320)
hccft gelijk waar hij zegt: „To be able to pronounce two
evtrnis equallv probable it is not enough that wc should know
thai ont. or the other must happen, and should have no ground
for conjecturing which." Hij dwaalt echter waar hjj daarop
doei volgcji: „Experience must have shown that the two events
are of equally frequent concurrencc. Wliy in tossing up a
halfpennv do we reckon it equally i>robable that we shall
Ihrow cross or pile? Because experience has shown that in
any great number of throws, cross and pile are thrown about
equally often."

G. Heymans\' vertrouwen in de „Enquêtemethode" der
psychologie berust op cenc verkeerde opvatting van dc theorie

De bezwaren door Bertrand in het laatste gedeelte van
het zevende hoofdstuk (Probabilité des Causes) van zijn boek
geopperd worden opgeheven door de overweging dat men van
eene „waarschijnlijkheid der oorzaken" alleen spreken mag
indien men te voren eene vooronderstelling omtrent ^den aard
dier oorzaken gemaakt heeft.

Ten onrechte beweert Czuber (Wahrscheinlichkeitsrech-
nung, 1914, Erster Band blz. 15) dat de kansrekening nood-
zakelijkerwijze, onder meer, van den voijgende vooronderstelling
uitgaat: „Von der Kausalität des Geschehens wird abgesehen,
somit dic Hypothese eines absoluten oder reinen Zufalls ge-
macht."

De vraag „of er een toeval bestaat" en\'de vraag „of alle
verschijnselen door oorzaken bepaald zijn" zijn vragen die
mets, of athans zeer weinig met elkaar hebben uit te staan.
Dit niet ingezien te hebben is de fout van II. Bruns (Wahr-
scheinlichkeitslchre und Kollcktivmasslchrc, Leipzig, 1906).
Deze fout ontneemt aan zijne beschouwingen over de be-
ginselen der kansrekening alle waarde.

Dc crilick door Bcrtrand en Poincaré op Maxwell\'s af-
leiding van dc wel der snclheidsverdecüng der moleculen van
eene gasmassa uitgeoefend is ongcrechtva;irdigd.

Dc oplossing die Czuber (t. a. p. blz. 244) van hel vierde
zijner „Spielprobleme" geeft is onjuist.

Een bewijs te geven van het axioma der parallelle lijnen
is onmogelijk; maar het is ook volstrekt onnoodig.

De rekenkunde bestaat in en door den tijd, evenzeer als
de meetkunde in en door de ruimte bestaat, gelijk Kant heeft

Helmholtz\' bewijs voor het beginsel der virtueele ver-
plaatsingen bij volkomen vaste verbindingen is overbodig en
onjuist.

Righi past in zijne beschouwingen ovar de proef van
Michelson het beginsel van Huyghens op verkeerde w.jze toe.
(A. Righi. L\'esperienza di Michelson e la sua ^interpretazione
Memorie della R. Acad.. di Bologna Serie VII Tomo VI.)

De vraag naar het ontstaan der soorten behoort tot het
Kcbied der metaphysica en daarom niet\'tot dat der biologie.

Het relativiteitsbeginsel beteekent het bankroet der
natuurwetenschap als natuurverklaring.

De sttidie der klassieke oudheid behoort den gron\'dslag
le vonnen van alle voorbereidend, en de studie \'der wijsbe-
geert e van alle hooger onderwijs.

	f^li

	i