T. J. BOK^
SUR LES RAPPORTS ENTRE 3LES
MÉTHODES D\'INTÉGRATION DE
RIEMANN ET DE LEBESaUE.
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SUR LES RAPPORTS ENTRE LES MÉTHODES D\'INTÉGRATION
DE RIEMANN ET DE LEBESGUE.
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I
SUR LES RAt^PORTS ENTRE LES MÉTHODES D\'INTÉGRATION
DE RIEMANN ET DE LEBESGUE.
ter verkrijging van den graad van
Doctor in de Wis- en Natuurkunde
aan de Rijks-Universiteit te Utrecht,
op gezag van den rector magnificus
Ilooglceranr in de Faculteit der Letteren en Wijibegccrt»,
volgens besluit van den senaat der universiteit,
tcgtn de bedenkingen van de
Faculteit der Wis- en Natuurkunde
te verdedigen 01\'
Dinsdag 5 Juli 1921, des voormiddags te II uur,
door
geboren te Elst (Riienen).
Tlpografln MaUmatlca di Palermo, Piaii« Rtgalmlcl. vicolo Guccia. 11.
1921
A
-ocr page 9-AAN DE NAGEDACHTENIS VAN MIJN VADER.
AAN MIJN MOEDER.
AAN MIJN VROUW.
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y--:\'\' ".:, .
.,-v
- . , . . !. ■
-ocr page 11-Het verheugt mij zeer U, Hoogleeraren der Faculteit der Wis^ en Natuur-
kunde, bij deze gelegenheid mijn welgemeenden dank te kunnen brengen voor
het onderwijs, dat ik van U heb mogen, ontvangen.
in het bizonder geldt mijn dank U, hooggeleerde Denjoy, Hooggeachte
Promotor. Het voorrecht dat ik een tijdlang Uw assistent mocht zijn, en niet
minder Uwe voortreffelijke leiding bij het samenstellen van dit proefschrift
stemmen mij tot groote erkentelijkheid.
Ook jegens U, Hooggeleerde Ornstein, gevoel ik mij zeer verplicht. Nooit
heb ik tevergeefs Uw hulp gevraagd; altijd hebt U mij bij moeilijkheden van
zeer verschillenden aard met de meeste bereidwilligheid met raad en daad ter
zijde gestaan.
Ook U, Hooggeleerde Julius, De Vries en Nij^and dank ik gaarne voor
de welwillendheid, waarmede U mij steeds tegemoet gekomen zijt.
SUR LES RAPPORTS ENTRE LES MÉTHODES D\'INTÉGRATION
DE RIEMANN ET DE LEBESGUE.
Par M. T. J. Boks (Hilversum).
Estratto d«l tomo XLV {19J1) Jei Ilendicontl del Ciicola .Uateinutlco lU J\'nlermo.
Adurunza dell\'ii aprilc ijijo.
Étant donnée une foncuon /(.v) définie entre a et b, intégrable au sens de Lebes-
GUE (ou sommablc) mais non pas au sens de Rie.mann, cst-il possible de tirer parti
des sommes XAC^.OC\'^\'.- ~ ^\'.-i) considérées par Riemann pour obtenir k valeur nu-
mérique de l\'intégrale besgienne / f{x)dx}
• \'0
La réponse est affirmative et le problème admet une grande variété de solutions
ainsi que M. Lebesgue l\'a signalé le premier \').
Les travaux de M. Zoard de Geôcze et de M. Haun ont apporté d\'inté-
ressantes contributions à cette question.
Dans une note sur l\'intégrale Riemannienne parue aux Comptes Rendus de l\'A-
cadémie des Sciences de Paris M. Denjoy a indiqué des procédés très généraux
pour obtenir l\'intégrale de Lebesgue de toute fonction sommable en tirant j-.irti des
sommes utilisées dans l\'intégration riemannienne. La note fournit sans démonstrations
trois méthodes pour atteindre ce but.
Nous nous proposons dans le présent travail, effectué sous la direction de M. Denjoy,
de justifier la seconde méthode et d\'en étudier la portée.
Après avoir rappelé (i), d\'après la noie des Comptes Rendus citée plus haut,
l\'énoncé de ce jirocédé pseudo-riemannien qne M. Denjoy appelle intégration {B), nous
\') H. Lebesgue, Sur les inlégrales singulières l.\\nii.ilcs de la F.»cult(i de Toulouse, série 3, t. I
(1-4), pp. 25-117].
\'L de Geûcze, Sur la fonction semi continue [nullctin de l.i Socititii AJatliónuuique de France,
, 39 (»9\'0. PP- 256-295].
3) H. Mahn, Über Annäherung <in L^msiamschfn Integrale durch RiEMANNic;« Summe [Sitzungs-
berichte der Matiicmatiscii-Naturwisscnscliaftlichcii Klasse der Kaiserliclieii Akademie der Wissen-
sck-iften. Wien. Abteilung IP, Bd. CXXIII (1914), PP- 7\'3-74}J-
•») A. Denjov, Sur l\'intégration riemauienne (Comptes Rendus hebdomadaires des stances de l\'Aca-
démie des Sciences, t. CLXIX (2"\'\' semestre 1919), pp. 219-221].
Rind. Circ. MaUm. Paltrmo, », X1.V (igji). — St«mr»io il IJ m.ggio ijîi. 1
-ocr page 14-montrons qu\'une fonction égale à i sur un ensemble parfait et cà o ailleurs est inté-
grable (5), (2-7).
Nous substituons alors à l\'opération (B) une méthode (BJ comportant un peu
plus d\'arbitraire et se prêtant mieux aux raisonnements.
Nous étudions les propriétés générales de l\'intégrale (BJ, (8-16), et nous établis-
sons ensuite de deux manières différentes la proposition fondamentale que toute fonc-
tion sommable est intégrable (BJ. Les deux démonstrations reposent l\'une et l\'autre
sur l\'emploi d\'une certaine formule auxiliaire (17-22). Mais la première uulise h dé-
composition, avec une certaine approximation, d\'une fonction quelconque cn une somme
de plusieurs fonctions dont chacune est constante sur un ensemble parfait et nulle
ailleurs, (25-28),
La seconde démonstration est fondée sur la propriété de l\'intégrale indéfinie de
Lebesgue d\'admettre son coefficient différentiel pour dérivée sauf éventuellement en un
ensemble de mesure nulle, (29-37).
Nous déduisons de cette propriété dc l\'intégration {B,) l\'existence pour toute
foncuon sommable dc suites dc subdivisions dépendant d\'un p.iramètre t et dont les
sommes riemanniennes correspondantes tendent vers l\'intégrale besgienne sauf pour
un ensemble de mesure nulle dc valeurs de t, (38-59). Nous donnons ensuite une
application de l\'intégration (B^) aux séries trigonométriques convergeant cn tout point
vers une fonction sommable, (40-43).
L\'intégrabilité (/?,) est plus générale que la sommabilité.
Une fonction non-somm.ible peut être intégrable (7i,) (44-57)- Mais une fonction
totalisable, inférieure cn, valeur absolue A une foncnon intégrable (7i,), peut ne pas
être elle-même intégrable (7i,). (58-65).
Les subdivisions utilisées d.ins l\'intégration (/i,) dépendent linéairement d\'un p.v
ramètre t et dc la situation initiale de la subdivision (pour / = o). Il est naturel de
rechercher si, en conservant la méthode cette propriété essentielle de s\'appliquer à
toute fonction sommable, on ne peut pas considérer des subdivisions variaiu d\'une ma-
nière plus arbitraire que les premières.
Il en est effectivement ainsi (66-75).
Une bibliographie dc travaux relaufs A la notion moderne d\'intégrale, et qui sont
venus à notre connaissance, termine ce mémoire.
Intégration (B).
• I. Soit ƒ une foncuon définie sur un segment ab et F la fonction possédant
la période b — a et coïncidant avec ƒ dans le champ rt ^ .v < b.
S) Nous conviendrons, dans le présent mémoire, d\'entendre par intervalU ab ou (a, b) (avec
a<,b) l\'ensemble a < x < ^ et par segment ab on (a, b), l\'ensemble a ^x ^b.
Soit
avec
^ ^ J o < A-. - , ^ = a, .V, = b)
une subdivision de a b. w est supposé indépendant de i. Nous appelons pas de la sub-
division x. le plus grand des nombres posidfs x^ — .
Posons :
= t, -n, = ^
et formons la somme:
1
est une fonction des variables x-,, t.
Nous dirons que j est intégrable au sens {B) et que l\'iiitégraJe de fdx nu sens (B)
a pour valeur si la mesure de retisemble EÇx) des nombres t vérifiaul les relations
tend vers ^éro avec m, quelque soit le nombre positif a, iudiipendatit de m.
Telle est la définition énoncée dans la note rappelée plus haut. Postérieurement
A cette note et pour des raisons indiquées plus loin, cette définition a été légèrement
modifiée par M. Dhnjov, comme on le verra ci-après.
2. Avant d\'exposer et d\'adopter cette nouvelle définition, nous allons néanmoins
montrer qu\'une fonction ƒ égale i sur ui\\ ensemble parfait P situé sur ab, et o hors
de cet ensemble, est intégrable au sens (/i) et que l\'intégrale {B) de fdx sur ab est
égale la mesure de P.
Soit P, l\'ensemble parfait réunissant P et l\'ensemble obtenu en ajoutant b — a h
tous les nombres constituant P. Si ; est un point de P, situé sur le segment a, b
les intervalles contigns A P, contenus dans l\'intervalle ^ b ~ a ont des
longueurs qui, rangées par ordre de valeurs non croissantes forment une suite
»J, ..., ... indépendante de Si ; est intérieur l\'intervalle a, b et est
étranger A P,, il cn est de même de l b — a. Les deux intervalles semi-contigus
A P, et dont l\'un a pour extrémité gauche l, l\'autre pour extrémité droite l b — a
ont pour longueurs deux nombres dont la somme est un certain terme ii^ dans la
suite n^. Les intervalles contigus A P, compris entre ; et i b — a sont respective-
ment égaux chacun aux autres nombres de la suite «„.
[Si b appartient A P, mais non pas F est égale A i en tout point de P, sauf
en b, d\'après F(x b — a) = f(x) si n^x Cb.
Nous supprimons les valeurs de t (en nombre limité) telles que n, soit en b. Nous
ne modifions par lA évidemment pas la mesure de l\'ensemble \\s(J, t) — I]"^ a].
4 T. J. B o K s.
3. Evaluons la somme:
^(0 = Fa. - ^-o) Fa. - • • •
• • • - ^v.) • • • Fa„ -
Supposons que le dernier intervalle supérieur à 2 oi et rencontré dans la suite
u^, ... , U-, ... ait l\'indice p; on a u^\'^ 2a et ^ 2w,
Alors d\'après o y. — = x. — c^ o), il est sûr que dans chacun des
intervalles contigus à P^, intérieurs à y^y^ et dont les longueurs respectives sont
M,, «J, ... J u^, entrent au moins deux points consécutifs y- de la subdivision choisie.
(L\'un de ces intervalles u^ peut être représenté dans cette suite par deux intervalles
semi-contigus , dont la somme est u^ et dont l\'un a son extrémité gauche en y^,
l\'autre son extrémité droite en y^y
Nous distinguons les segments y,, en deux catégories:
1° les segments c, situés (entièrement) dans un intervalle contigu P^.
2° les segments <7^ qui contiennent au moins un point de P,.
On a:
Si est un segment <7,, on a (•/),) = o. Si est un segment on
a F(r\\.) = o ou = I.
Ainsi
Evaluons une limite inférieure de Z •
Il est évident que, si q <ip, l\'intervalle n^ (ou les deux intervalles semi-contigus
u\'^ et m" qui le représentent et dont les extrémités étrangères à P, sont respectivement
yo ^^ y») contient des segments (t, pour une longueur totale au moins égale n^ — 2w.
Car, si a^ est l\'extrémité gauche de u^ (on de n\'^) et si b^^ est l\'extrémité droite de u^
(ou de u\'^), tous les points de n^ (ou de m\'J) étrangers aux intervalles (/ï^ , -j-w),
— w, b^), appartiennent à un segment cr,.
La longueur totale des segments ^^ est donc supérieure ou égale
Posons
On a:
Soit
— "f -
OP
1
00^
z ^ ^ z "" — ^P^\'
•/)(fa)) = -{- iplù.
-ocr page 17-Il vient:
Je dis que oCw) tend vers o avec w.
En effet si m tend vers o, p croît indéfiniment d\'après C^ 2c.j. Donc le pre-
mier terme de -«(oj) savoir tend vers o.
D\'autre part, comme la série A termes positifs et non-croissants ?<,, h^, ..., ...
est convergente, nous savons que p ii^ tend vers o, quand p croît. Donc 2più tend
vers o, puisque u > 2 co. Donc lim r, (a) = o.
° u—o
Or, on a:
Or, l est la somme des longueurs de tous les intervalles contigus et semi-contigus
à P compris entre a et b. Si donc I est la mesure dc P, on = b — a — /.
Mais I est l\'intégrale au sens de Lhhksgue de la fonction donnée ƒ, égale à i sur
P et à o ailleurs. Donc:
Donc, quelque soit le nombre positif «, donné d\'avance, il est possible de trouver
une vrileur i2(3c), telle que si w < il(«), on a, pour toute valeur de t entre o et
b — rt, <;ƒ-{- a, quelle que soit la subdivision .V; dc pas inférieur à w.
4. Calculons maintenant l\'intégrale au sens dc Lebesgue:
I
Nous avons:
5(/) = Fa, oGv. -«) ••• FiL o(/\' -
Donc, cn prenant les intégrales au sens dc Lehesgue:
r\\(t)di=(x, - a) r^Fa. -h /).// ... (/; - r\'Fii, odt.
Jo Jo \'\'o
Or, la fonction F étant périodique et de période b — a, chaque intégrale dans le
ƒ/>—«
Donc :
5. Posons:
,(/) = ƒ /;(/),
nous avons déji obtenu h(t) <yi(w).
D\'après (2), on a donc : ^
J o
Nous voulons démontrer que la fonction f{x) donnée est intégrable au sens (5),
et que son intégrale (5) est L Nous voulons donc montrer que la mesure de l\'en-
semble des points t, (o ^ t b — d) où l\'on a: \\h{t)\\ < a, tend vers zéro avec w.
Nous avons trouvé que pour w < û(a), l\'ensemble /j(0 > ® cesse d\'exister. Il
nous suffit donc de montrer que la mesure {jl de l\'ensemble E des valeurs de t où
<; — a, tend vers zéro avec o>. Soient E\' le complémentaire de E par rapport
au segment (o, b — d) et [a\' la mesure de E\'. L\'intégrale
£
b-tt
f
est la somme des intégrales J et /\' de h{t)dt prises respectivement sur E et sur E\'.
Sur on a toujours < — /< —«P- Sur E\' nous utilisons l\'inégalité
Donc }\' < {;/ •/)(«) < — a) •/)(«).
Donc :
/ = ƒ -I- /\' < - a (/. (/; - «)•/) («).
D\'après (3):
o <\'— a[jL — rt^YiCoj), ou [x <
Puisque a est un nombre fixe, et que •/)((•)) tend vers zéro avec w, p. aussi tend
vers zéro avec w. . c. q. f. d.
6. Ainsi la fonction ƒ est intégrable (/?), la valeur de l\'intégrale (/?) ét:lnt alors
égale ƒ, donc l\'intégrale de M. Lebesguf/
La proposition subsiste évidemment pour une fonction ƒ constante sur un ensemble
parfait et égale A zéro hors de cet ensemble.
On l\'étend sans difficulté A une fonction constante sur n ensembles parfaits deux
A deux distincts, la fonction ayant une valeur propre sur chacun de ces ensembles.
7. Si ƒ est quelconque, mais sommable, on a toujours, en intégrant au sens de
Lebesgue : j
r ^
Comme au paragraphe 26, on décompose ƒ en une somme -f- f^ étant
égale A qt sur un ensemble parfait
P , où < (î Oe, et étant nulle hors
-ocr page 19-àe P^: p et P^ sont ainsi définis que ƒ soit inférieur à — On montre
dès lors sans difficulté que la fonction ƒ est intégrable au sens {B).
Définition (5,).
8. Dans la définition (B), l\'introduction d\'une fonction F, de période h —a, égale
entre a et à la fonction à intégrer ƒ, rend problématique, surtout s\\ b — a ci o — b
ne sont pas comtnensurables entre eux, qu\'une fonction ƒ intégrable (/i) entre a cl b
et entre b ci c {a C^b <C c\\ soit nécessairement intégrable (B) entre a et c.
Pour éviter cet inconvénient, M. Denjoy a légèrement modifié la définition {B).
Nous définissons comme il suit l\'intégration
Considérons une subdivision indéfiniment étendue dans les deux sens, x.,
(pour toutes les valeurs entières, positives, négatives, ou nulle de i)) satisfaisant aux
conditions : . r ^
o < - < 0), ^ ^ x,, •
w étant indépéndant de L
Appelant pas de la subdivision .v,. la borne supérieure des nombres x. — .v._,, nous
dirons que le pas de la subdivision X; est au plus égal A w.
Posons „ ,
;y. = .V. -\\-t et ïi; = ^
ƒ étant une fonction mesurable définie sur le segment a b, (on pourrait supposer ƒ
définie simplement sur l\'intervalle ab), formons pour chaque valeur de t la somme
étendue A toutes les valeurs de i telles que ■/); appartient au segment ab.
Nous dirons que ƒ est intégrable (/j,) et a pour intégrale I, si la mesure de l\'en-
semble des valeurs de t, telles que
tend ven avec w, quelques soient t, oc, et ^ fixes (e étant petit).
Autrement dit:
Pour que ƒ soit intégrable (/i,) sur ab et ait pour intégrale (/i.) le nombre I, il
doit être possible, A tout couple de nombres positifs (s,, e,) de faire correspondre un
nombre posiuf q"^ subdivision .v, de pas inférieur A i2(£., sj,
l\'ensemble des valeurs de / satisfaisant A K/, 0 - > ^ \' « < ^ < ^
mesure < e^.
9. La définition (/i.) est plus restrictive que la définition («), car pour être inté-
-ocr page 20-grable une fonction doit remplir une certaine condition relative à l\'ensemble de
toutes les subdivisions (x., i.) de pas fini oj, tandis que, pour être intégrable (5), il
lui suffit de remplir la même condition pour l\'ensemble des subdivisions de pas fini
soumises aux restrictions suivantes:
1° la subdivision x. a un point en a et un point en b,
2° les deux subdivisions X; et sont péribdiques et de période b — a,
5°a = o, ^ = b — a (cette dernière restriction est simplement apparente). ,
Donc toute foncdon intégrable est intégrable (5). La réciproque est incertaine.
10. Si ƒ est modifié en un point cette altération n\'intervient pas dans l\'intégra-
tion (5,). Car, si a < f < il >> a un nombre limité de valeurs de t, telles que X
est égal .î un des •/).. Donc l\'ensemble \\s(f, t) — n\'est modifié qu\'en un nombre
limité de points. Sa mesure ne change pas.
D\'ailleurs le terme changé /(>^)(}\',.—>\',_,) tend vers zéro avec w.
En conséquence il est indifférent de supposer f nul ou non nul en a et b.
11. Soit /„(x) la fonction ainsi définie: f^(x) = o si x C^a ou x^ b,f^(x)=f(x)
si a ^x ^b. Alors,
-l-M
Les deux sommes s(f, t) et t) relatives au segment.a^ sont identiques. Il
serait indifférent pour l\'intégrabilité de ƒ et de ƒ„ sur ab, et la valeur de leur
intégrale (7?,) correspondante, de supposer /„(x) = o également en a ou en b.
12. Si f est In somme d\'un nombre limité de fonctions inlégrablts (/i,) sur ab,
1,1 fz^ •••>ƒ«> intégrales (/j,) sont /,, ... , /„, ƒ est intégrable sur
ab et a pour intégrale {B^):
N
En effet,étant intégrable (B,) sur ab, et admettant le nombre pour inté-
grale (B^), il est possible quels que soient les deux nombres positifs e et e\', de trouver
un nombre oi^ tel que l\'ensemble /ƒ,„ défini par \\s(f„,, /) — /| > < if < P),
ait une mesure inférieure à pour toute subdivision (.v., de pas inférieur i.
Oi. Or ♦
0 = - y^-,) = Ir/,Ci.) fM • • • )]()-, ->\'._.),
les sommanons étant étendues aux termes tels que /), soit situé sur le segment ab.
Donc
Donc, si / = /, /, ••• /„, et si K/, 0 - /| > s, (7. < / < fi), l\'une
au moins des différences t) — surpasse — en valeur absolue.
Donc l\'ensemble H défini par \\s(f, t) — I\\>t, (« < f < P) est inclus dans la
réunion des ensembles iï,, H^, .. . , .
La mesure de H est donc inférieure à e\' si, w étant le plus petit des n nombres
(0,, w^, ... , co„, le pas de la subdivision (x,., Q est inférieur X w.
13. Si f est intégrable (/i,), d\'une part entre a et b, d\'antre part entre, b et c, les
intégrales (5,) correspondantes étant /, et f est aussi intégrable (/i,) entre a et c, et
VintégraU (5,) correspondante est l
Soit
/^(x)=/(x) pour a<x<^c, • = o pour x x ^ c,
de même
f^ (x) = /(.v) pour a< X <:b, ƒ, (.v) = o pour x ^ a, x ^ b,
f^Çx)=fix) pour hAx<^c, f^{x) — o pour x <Cb, x^c.
Alors, quel que soit x, /„(.v) =/,Gv)
Or, dire que ƒ est intégrable entre a et c, entre a et b, entre b et c, et pos-
sède sur ces intervalles pour intégr.ales respectives c\'est A dire que les
mêmes propriétés respectives appartiennent ƒ, et Or, d\'après le n° lo, ƒ„ est
intégrable (/i.) entre a et\' c, et l\'on a / = -f . Il en est donc de même de ƒ.
En résumé, si a <ih C^c, on a :
jj{x)dx = fji^yx
Cette relation signifie que, si les deux termes du second membre existent au sens
(/i,), il en est de même du premier membre, et que les trois intégrales (B^) corres-
pondantes sont liées par la relation numérique i)récédente.
14. Par définition, si a < b, nous posons
• r^dx^- ffix)dx.
Jh
On en déduit la relation ƒ ƒ ƒ = o qui exprime d\'abord que si deux
des trois termes ont un sens, le troisième aussi a un sens.
Il est A remarquer qu\'a priori f peut être intégrable sur ac sans l\'être sur
ab, b étant compris entre a et c.
R,nJ. Cire. iUlim. Mcrm,. t. XLV (i^îl). - Sfmpato il lî «»«ggio .9II. a
-ocr page 22-15. Si f est intégrable {B^) sur ab et a pour intégrale I, alors k étant une con-
stante quelconque, kf est intégrable sur ab et a pour intégrale kl.
En effet,/, (nul hors du segment ab), étant intégrable (5.), soient e,, s, deux
membres positifs quelconques. II existe un nombre positif" w\'(e,, sj tel que, pour toute
subdivision (x., de pas inférieur à to\'(s,, cj l\'ensemble H des nombres t vérifiant
\\s{f, i) _ /| > A et a < ^ < p a une mesure inférieure à e,.
rl
^ Posons ƒ = il;/. Soit 0 la somme formée avec une
4
subdivision (x., de pas inférieur à o/(£,, ej
On a quel que soit t, s(f,, t) = ks(f, t). Donc l\'ensemble K/,, t) — kl\\>t,,
(a<f<p) coïncide avec l\'ensemble H. La mesure de cet ensemble est donc inférieure
à e^. Donc,/, est intégrable (5,) et a pour intégrale kl.
16. Si f{x)dx est intégrable^{B^ sur le segment est intégrable {B;)
sur le segment (ka, kb), et l\'on a:
Nous démontrerons l\'exactitude de ce«e formule pour toute valeur positive de k
et pour k = — I. Elle sera dès lors établie pour toute valeur positive ou négative
àc k. •
1° k> o. Par hypothèse, à tout couple de nombres posidfs (e,, ej correspond
un nombre positif «"(e,, e,) tel que si la subdivision (x,., a un pas inférieur à
, ej, l\'ensemble H définie par:
a une mesure inférieure ^ •
On a:
sa o =
la sommauon étant étendue aux termes pour lesquels /ij est situé sur le segment ab.
Considérons la subdivision (x! == kx., ;; = /c;.) qui est une subdivision quelcon-
que de pas inférieur A ik(o"(£,, e,). Posons y\'. = x[-\\-t, Soit ƒ, =/j .
La somme j\'(/,, t) correspondant à cette subdivision (x!, Ç;.) et au segment
(ka, kb) est: \' _
s\'il, o = ->:•-.)
avec
ka^l[-{-t ^kb ou a
-ocr page 23-D\'après cette dernière condition et l\'expression de ,
>\'(ƒ,. 0= = I) •
Donc l\'ensemble H\' défini par:
est identique à l\'ensemble »
14 i)-
Cet ensemble est formé des points t telsque appartienne i H. Cet ensemble
a donc une mesure égale à k fois celle de H. La mesure de H\' est donc inférieure
e^. Et cela, pour toute subdivision de pas inférieur à /;(->"(£,, ej. La proposition est
donc établie pour A\' > o.
2° k — — I. Soit un nombre posiuf tel que, pour toute subdivision
x., de pas inférieur (»\'"(s,, ej, l\'ensemble H défini par
K/, -p</<-«
ait une mesure inférieure à avec
Posons
Alors,
o < x; - xL. = - x_, < , zj.
Soit ƒ,(*) = ƒ(— ^O- Evaluons la somme
étendue aux termes pour lesquels est situé sur le segment (— b, — a). On a :
•/,; = .-}-/ = _ (;_,. - 0, « ^ L.- -t^b, y; - = - x_,.
Donc
s\'Un 0 =
Donc rensemble H\' défini par
coïncide avec le symétrique de H par rapport à l\'origine. Donc sa mesure est inférieure
^ k \' k ^ k ^ k \'
à s^ quelle que soit la subdivision (x\'., c.) de pas inférieur à t^). Donc ƒ (—.v)
est intégrable (5,) sur le segment (— b, — a) et a pour intégrale (BJ sur ce seg-
ment, le notnbre /. Donc, en utilisant la convention du n° 14,
r ƒ(- x)dx=- rV(- =-/=- f\'fixyx.
J-a J-l\' ^ a.
Li formule est donc établie pour k — — i. Elle est donc vraie quelle que soit
la constante k.
Formule fondamentale.
17. Nous allons maintenant démontrer que toute fonction somtnable [c\'cst-A-dire
intégrable au sens de Lebesgue ou intégrable (Z,)] est intégrable (/i,).
Nous démontrerons d\'abord la formule suivante :
Si G(x) est une fonction sommable sur ab, et nulle hors de ab, si la subdivision
(x,., ii) satisfait aux conditions
et si l\'on pose
-t-OO
—
avec = x,. /, •/),. = a la relation :
J a J a J a
avec îî\' < I, intégrales étant prises au sens de Lebesgue.
Quand t varie de" a il n\'y a qu\'un nombre-limité de valeurs dc i pour les-
quelles O; pénètre sur le segment ab. Ces valeurs de i vérifient les inégalités
a-j-^ ^ [i-j-^ Pour les autres valeurs dc i, on a = o, quelque
soit /.
Pour une valeur donnée dc i, la fonction G(•/).)()\'. —est somm.iblc d\'après
•/i; = t, y, - y,., = X, -
Donc 5(G, t) ét.int pour a < / < {4, la somme d\'un nombre limité dc fonctions
somm.ibles, est sommable. On a :
/(a, f siG,t)dt= f y G(0(y,rf/
Ja
= K^. - TgC;, t)dt = y (x, - x,_,) G{u)dn.
«\'a »/» £..
Dans cette somme l\'intégrale de la fonction G(«) sur l\'intervalle (a-j-E.,
figure avec le coefficient Çx. — Appelons cr. l\'intervalle q,., P Pour
que l\'intervalle <7. empiète sur , il faut que ? —f..
Cette condition sera réalisée quelque soit i dès que 2 (o jl — x. Dès lors, les inter-
valles recouvrent tout le champ des valeurs de«/; et en particulier le segment ab.
L\'intégrale de la fonction G(u) sur une partie de (ab) figurera donc dans ƒ (a,
avec un coefficient égal à la .somme des longueurs x^ — étendue aux indices i des
intervalles d. qui ont en commun la partie considérée.
Considérons sur l\'axe des ii une subdivision quelconque contenant tous les points
a -}- [i -j- et en outre a et b.
Les points de cette subdivision séparent une suite d\'intervalles <t.
Alors, quelque soit i, l\'extrémité d\'un intervalle o. n est Jamais intérieur A un
intervalle <7, et chaque segment <7. est la réunion d\'un certain nombre de segments cr
^cux .A deux adjacents.
Calculons le coefficient de l\'intégrale de G(u)du étendue A un certain inter-
valle (7.
Posons que le premier intervalle cr. contenant cet intervalle g soit et que le
\'lernier qui contient encore a soit .
Le coefficient de l\'intégrale de G^u^dn prise sur a sera donc:
f ♦
»
Appelons A l\'extrémité gauche de l\'intervalle 7 considéré, B son extrémité droite,
^ous avons par hypothèse
P ^ < ^ P > « S, ^ ^ < ^ « •
Donc
D\'après
vient
- - - V.) < (i - a - (.V, - V.) ^ - - -
^ais, quel que soit i
. o < - a:,.. < CO.
Donc, ^ ^
- 2(0 < P - « - C^-, - -V>) <
-ocr page 26-14 t. j. boks.
On peut donc écrire
- V. = P — "
avec < I.
Le coefficient de l\'intégrale de G{u)dn prise sur a est donc p — a
Donc en ajoutant les valeurs des intégrales de G(/t) sur tous les segments c dont
la réunion forme a on a :
-= - « 2K0,)£G{u)du
ƒ^(G, t)dt = {i^ — oi)£ G{u)du £ \\Giu)\\dn,
où S\' < I.
La formule est donc démontrée.
18. Remarque: Quand G(u) ne prend pas les deux signes, la formule précédente
se réduit à :
J s{G, t)dtz={^ — 0L 2^(ù)J G(^u)du.
ig. Le raisonnement suivant a l\'avantage de se transformer commodément pour
s\'appliquer à des subdivisions {y., yi.) dont la variadon par rapport à t n\'est plus li-
néaire.
Supposant sommable entre a et b et nul hors de ce segment, nous voulons
évaluer . ^ p
[ sis, Odt = £
rysi-r^diyi-yi-ôdt = Tik^.- -
La fonction g est sommable. Posons
G{x) = £g(iu)du.
Alors :
1° la fonction G(w) est continue
ou
2° G(x) = O pour X ^ a.
3° G(x) = f g(^u)du = I pour x\'^b.
J a
Or,
La somme à évaluer devient donc :
I - - I G(. e,)(x, -
20. La foncdon continue G(x) étant intégrable au sens de Riemann, on a, sui-
vant le théorème de la moyenne :
avec
Donc
diffère de
/ G(u)du
d\'une quantité au plus égale à
Or,
g - G(li = = S.
avec < I.
Donc :
21. Soit p le plus grand des indices i tels que P -j" ^\'i-i ^ ^^ ^^ Q le plus peut
des indices i tels que a x. ^ /;.
Alors si i ^p — i, on a pour a < / < fi, ^^ \' < Pj Jonc \' <
et 0 = o- tuemc si i\'^q i, et si a < Ç. / > a -f- x^. Donc
^f ^ > ^ " encore -f- /) = o.
Donc
\\
0 = - -V.) = iK^OGv. - -v.)
et
r^ig, l)dl = i [G({i Q - G(« $..)](x, ~ x,_.).
Ja f
22. Or, on a :
1 - = f Giu)da S\'o. f la(u-)\\du
= f^GOOdu ^\\o>j\\(n)\\dt^ cV < I),
d\'après ^ < a. De même :
X - = / GOO^» / ^OOI^n
avec ^^ C^ I.
En retranchant ces deux relations, on trouve a :
va , "a
avec S\' <; I.
Mais d\'après i -< a -j- < P -j- .v^, dans l\'intervalle (a -f- {i -{- x^), G(n)
est constante et égale à ƒ. Donc :
t)dt = ([i - a) fg{n)dn f\\{n)\\du
va va J a
avec I. c. Q. F. D.
Toute fonction sommable est intégrable (jB,).
23. Nous allons maintenant démontrer que la fonction ƒ égale i sur un en-
semble parfait P situé sur le segment ah ci h. o hors de cet ensemble est intégrable
et a pour intégrale la mesure de P.
La démonstration est entièrement, analogue à celle du n° 3 pour la définition (/i).
Soient c et d les extrémités de P, (c peut être en a et d en b, indépendamment
l\'un de l\'autre); »,, u^, ... , les intervalles contigus de P [tous intérieurs CiiJ, la
longueur n^ ne croissant jamais avec n.
Soient, pour une valeur quelconque dc t, q et r les deux entiers définis par
\'< yr-, On d - c < d - c -{- 210, et
1
Si nous distinguons, comme dans la démonstration analogue relative A la défini-
tion (5), (n° 3), les segments , j.) pour q ^ i ^ r en deux catégories et
les segments étant entièrement situés dans un intervalle contigu à P, et les seg-
ments «T^ contenant au moins un point de P, on a s (/;, 0 ^ X >
d — cC y <7, =}V — <d — c
Soit u^ le dernier des intervalles ii^, u^, ... supérieur à 2oj.
On a:
, Z«^. ----
Donc ;
f
y <7, < - c — Z 1)0,
1
et, si I est la mesure de P,
en posant :
yi
y)j(u) tend vers zéro avec œ.
Soit s(J, t) = I-\\-h(t), on a donc et d\'ailleurs, d\'après la for-
mule fondamentale (n° 17) (G = ƒ est ici non négatif):
= (P — a -{- 2Sco)/ _ (P _ «)/> __ 2o>r.
De cette inégalité et de la précédente h(t) on déduit comme au n° 3
que l\'ensemble H des points /, vérifiant: \\h(t)\\ > e, a < f < fi a une mesure tendant
vers zéro avec o). D\'après h(t) = s(f, t) — I, f est intégrable (J5,) et son intégrale
(/i,) est égale A son intégrale besgienne.
24. La même proposition est évidemment encore vraie pour une fonction ƒ con-
stante et égale A k sur une ensemble parfait et égale A zéro hors de cet ensemble.
Son intégr.ile (Zî,) est alors km, m étant la mesure de l\'ensemble parfait.
34 bis. P,, P,, .. . , P„ étant sur le segment ab des ensembles parfaits deux A
deux distincts, si ƒ est constante sur chacun d\'eux et nulle en dehors de leur réunion,
.ilors, d\'après le principe du n° 12, ƒ est intégrable (ZJJ et son intégrale (/j,) entre
a et b est égale A son intégr.ile (L).
25. ƒ étant une fonction sommable, soit p un nombre supérieur A f [/■(.v)|(i.v.
• \' a
Evaluons une limite supérieure de la mesure y. de l\'ensemble H formé des nom-
bres t vérifiant les inégalités :
Hf, 0\\>Mç, «</<p,
011 M est un nombre positif quelconque.
Rtni. Cirt. Mittm. PiUfmf, t. XLV (191O. - Sumptto il 11 m»ggio 19U. ,
-ocr page 30-t j. boks.
On a, ƒ étant nulle hors de a^:
Donc :
V d J a.
Suivant la formule fondamentale (17) la dernière intégrale est inférieure à
Donc i\'ensemble H où \\s(J, /)! > Ma, a une mesure inférieure à .
M
26. Ayant établi ces lemmes, passons maintenant à la démonstration que toute
fonction f{x) sommable sur un segment ab est intégrable (5,), avec égalité des inté-
grales (Z,) et (BJ sur ce segment.
Nous faisons donc f{x) = o, quand x est extérieur au segment ab.
Formons une progression arithmétique indéfinie dans les deux sens de raison po-
sitive X :
... , — nl, — (« — ... , — \\ o, (« — ni,____
L\'ensemble E^ des valeurs de x situées sur le segment ab et telles que
i)>>, où n est positif, négatif ou nul, est mesurable, puisque la fonc-
tion ƒ est sommable.
Soit {J.\' la mesure de E .
t n ft
Sur nous posons ƒ = « >. ^ On a :
Soit e^ un nombre positif, dépendant de n et tel que la série (|«| -f- i)X£^ ait
une somme inférieure à un nombre positif donné .
On peut, dans déterminer un ensemble parfait dont la mesure diffère de
celle de £ de moins de t .
n tt
Les points de E^ étrangers à forment un ensemble (2,, •
Mais puisque sur E^, don<; sur Q^, on a [ƒ] < (|«| 1)^5 l\'intégrale sur de
la fonction [/] est inférieure à (|n| -{-
Donc l\'intégrale (L) de [/] sur la réunion des Q^ de \'tout indice positif, négatif,
ou nul est inférieure à ^
2
Puisque la fonction ƒ est intégrable (L), il est possible, suivant Lebesgue, en dé-
-ocr page 31-signant par la réunion des ensembles ... ^ et par R^ la réu-
nion des ensembles E^^^ ... de choisir N, positif et si grand que
N peut se calculer connaissant a et e.
Soit Q l\'ensemble réunissant E^,, et les ensembles d\'indice compris en-
tre — A^ et -f- A^ inclusivement, (tous les autres <2« sont compris dans R^, et
Alors
Le complémentaire de Q relativement au segment ab est l\'ensemble parfait P
constitué par la réunion des ensembles deux A deux distincts
P-N, P-N.,, P.,, Po, PN-
27. Considérons deux fonctions auxiliaires,
1° la fonction (f^ égale à il sur l\'ensemble parfait P. (— N^i ^N) et égale
à o sur Q.
2° la fonction définie par:
/W =
On a:
sur Q, et = XO(a-) avec o^O(x)<i, sur P.
Si nous .ippelons /,/jv- et respectivement les intégrales (L) sur le segment rt/»
des fonctions ƒ, et "j/j^/, on a:
Mais:
Jq JI> Jq
Donc :
(i)
D\'autre part, l\'inégalité
entraîne, suivant la formule du ^ 25, où l\'on donne à M la valeur . , .
\' ^ — a)
et à p la valeur e -}- — cette conséquence que, si K^ est l\'ensemble des va-
leurs des t vérifiant à la fois
(2) IK\'I\'n, et
la mesure de K^ est inférieure à (P — a -}- 2 w) j/s > — a).
Or, Çj^ étant constante sur l\'ensemble parfait P. N ^N) et nulle hors
de P, fj^ est intégrable (5,) sur ab et son intégrale (5,) est Ijj.
Donc, quelques soient les deux nombres z^ et s^ positifs, donnés d\'avance, il est
possible de trouver un nombre £2 dépendant de e^, e^ et N, ou (puisque N dépend
de ). et de e), dépendant de s^, e^, X et t, tel que l\'ensemble K^ défini par a < / <;
a une mesure inférieure à e^, quel que soit w inférieur à e^, "k, e).
Soit K la réunion des ensembles K^ et K^. Alors, en tout point étranger d K,
on a
2° t) — J\\ <C h ^ ~ dernière relation étant obtenue en
combinant les relations (i) et (3).
Donc, puisque 5(/, t) = /) -{- t), on a en tout point étranger à K:
HL 0 - ^ K?^, 01 0 - ^o ^ - «) - «)•
28. Supposons w < e^, "K, e). Alors la mesure de K est inférieure A
(P _ « -I- 2(-0l/e lib _ -I- e^ < 2(p - cL)yz -a) e^,
si en outre:
.p-a
Si donc nous nous donnons deux nombres positifs e, et e^, et si nous choisissons
les nombres positifs e^, e^, e, "k tels que
*
^o = - Hb - «X ^
nous pouvons calculer un nombre , ej au plus égal à ^-- [et A \\
-ocr page 33-tel que, si to < £l(s,, ej, l\'ensemble — ƒ] > ^ a < f < (i, a une mesure
inférieure à e^.
Donc la fonction sommable quelconque ƒ est intégrable (5,) et son intégrale
est égale à son intégrale besgienne.
29. Nous allons donner une seconde démonstration de l\'identité des intégrations
(Z,) et (5,) pour une fonction sommable, la nouvelle démonstration s\'appliquant im-
médiatement la fonction sommable la plus générale, sans que l\'on ait besoin d\'effec-
tuer sur celle-ci une décomposition préalable en fonctions plus simples.
Nous nous appuierons sur le théorème fondamental dû à M. Lebesgue, que l\'in-
tégrale (I) de f(x)dx entre a et x possède /(x) pour dérivée en tout point de a b
sauf éventuellement en un ensemble de mesure" nulle.
Nous utilisons en outre cette propriété que si p ((x) désigne le maximum\' des inté-
grales (Z,) de 1/1 dX sur tous les ensembles de mesure [a situés sur ab, ^((x) tend vers
zéro avec {x
Soit f(x) une fonction sommable, nulle hors de ab et soit F{x) = J* f(x)dx
l\'intégrale (Z) entre -a et x. Si x ^a, on a donc F(a:) = o; si x^b, on a:
F(x)=£f(ix)dx = L
30. Considérons l\'ensemble //(e, w) des points a:^ tels que, si x vérifie les rela-
tions o < |x — < w, on a : •
(0 ^^\'x-x}^ <
Cette condition imposée A x^ équivaut i la suivante. Les relations:
l X ^ x^ ^ x\' avec o x\' — x w entraînent:
(i"\') . \\ F(x\') — Fix) ,, . , . ^
I --J----- avec S\'<i.
En crtet, si >«„ est la mesure de l\'ensemble » i ^1/1 > «, et si [i^ = .„,
l\'intégrale de [/, Jx sur tout ensemble de mesure inférieure.^ est inférieure -{-...
qui tend vers zéro quand n croît puisque la condition de sommabilité est précisément la convergence
la série nm
» •
-ocr page 34-Appelons H^ l\'ensemble des points où F\' (x) = ƒ (x).
Entre a et b, H^ a pour mesure b — a; hors du segment ab, F étant constant,
on z F\' — f — o.
Donc H^ comprend tous les points x a, x"^ b; de même, HÇz, w) comprend
tous les points x ^a — w, xX^ m.
Si, s restant fixe, < , tout point de H(t, QJ est dans H(t, ûj, car si la
condition (i) est satisfaite pour w = Q^, la condition (i) est à fortiori satisfaite pour
w = . Donc, quand Q décroit, e restant fixe, HÇs, ù) ne perd jamais de points.
• Je dis que l\'ensemble réunissant tous les H(z, Q) contient H^.
En effet, si en un point x,, k dérivée de F(x) existe et vaut /(x,), il existe un
nombre ii,, dépendaiit de x, et de e, tel que, les condinons (i""\') sont vérifiées
quand on y reinplace w par 12,, x^ par x,.
Donc, le complémentaire R{t) de H{z), formé par tous les points de l\'axe des x
étrangers à H (s), est contenu dans le complémentaire R^ de H^.
R^ est situé sur le çegment ab et est de mesure nulle. Il en est donc de même
de i?(e). \' . *
De même que H(t) est la réunion de tous les H(z, Ll), son complémentaire RÇt)
est l\'ensemble commun d tous les i?(s, ii), û) étant l\'ensemble de tous les points
de l\'axe des x étrangers à H{z, ii).
Comme R(s, Si) décroit en même temps que iî, la mcsure.de R(z) est la limite
de la mesure de 12). Donc si [A(e, 12) désigne la mesure* de R(s, 12), |ji.(e, 12)
tend vers o avec 12. .
Soit ip la fonction égale à i sur l\'ensemble w) et .A o sur R(e, w); de
même soit tj; = i \'— <p.
On a t}/ = I sur R(s, w) et = o hors de R(s, oj).
31. Désignons, pour chaque valeur de /, par >.(/) la longueur totale des inter-
valles y. — y,_, pour lesquels le point n. appartient .A l\'ensemble R(£, w).
On a:
Formons
Ja ,
La fonction étant sommable, on a, d\'après la formule fondamentale (17) et
la remarque (18):
ƒ^iH-i-OCy.- - = (P - « ^S«) ƒV«)^«-
Mais étant égal à i sur i?(e, w) et à o ailleurs, son intégrale (Z,) est H.(e, ")-
-ocr page 35-Donc,
J l(t)dt = (P — « -f 2Sa))fx(e, co) < 2(P - a)|x(e, w)
S — a
en supposant toujours (o < îl^—. e nous est donné. Soit v), un second nombre
positif donné.
Choisissons le nombre tel que pour oi < Q,, w) <•/)_. Li^ est une fonc-
tion de e et de yj^. Nous écrivons Q, = 12, (e, y),).
Nous supposons- désormais w < Û,. y)^ étant un nombre^posiuf quelconque, cher-
chons la mesure [x\' = {/.\'(e, y),, nj de l\'ensemble des valeurs de t, où pour une sub-
division Çx., donnée l\'on a a < ? < > y), -j- .
Puisque
si (0 <i2,(£, y),), et que IQ) n\'est jamais néganf, on a les inégalités suivantes:
Donc
Faisons yj^ = j/^ — yi,, y)^ est positif en supposant y), < i.
Alors rcHsemble K des valeurs de t, telles que a < / < [i et ^(t)^ f/yf, a une
mesure infMeure à 2({i — a)pour (,)<i>,(£, y,,), valeur qui entraîne (z(e, (.))</),.
Nous supposons désormais t étranger K,
3a. Nous avons, d\'après <p -f- = i,
sU, 0 = l9Ci.)/(o,)Cv.- - y,_.) -
Considérons d\'abord le premier terme du second membre.
Par définition de //(e, w), si est dans ce dernier ensemble, on a les rela-
tions (i
Donc pour tous les points n. situés dans //(e, w) on a:
Observons de plus, que si le segment (v,_,, y,) est sans points communs avec
on a:
- Hy;-,) = o, /(y,,) = o,
^onc dans ce cas = o.
-ocr page 36-24 T. J. B o K s. ,
Donc, quelque soit ïi,. situé dans w) ou non:
«
Car, si t)^ est dans H (s, w), (p(Y)i) est égal à i, et l\'équation est identique à la
relation ci-dessus; si r). est étranger à H(t, a>), (p(•/).) est par définition égal à zéro. \'
On a donc toujours:
- = I?(nJ[F(y,) - F(y,_J] - - ]
D\'autre part: •
- m-.)] = - - iH^.myj ~ ^a.,)]-
Les termes F(yJ — f(y;_J sont nuls, pour yi^a et pour y._, X b.
La première somme du second membre est donc
F{b)-F{a) = jy{x)dx = L
Donc :
Donc :
33. Désignons par Za» Z5 respectivement le second, le troisième et le qua-
trième terme du second membre de cette dernière formule.
Quand le segment y.) est extérieur au segment ab, (5,. = o, donc, d\'après
est inférieur à la somme des longueurs des segments (_>>,_,, y^) ayant au moins un
point commun avec le segment ab, donc:
en supposant w — .
34. Evaluons
On a:
- i^O\'.-,) = rmdn.
-ocr page 37-- ^ r \\m\\du.
IJ^IK^.) \\m\\du.
Puisque -K-v) est nul sur //(e, w) et égal à i sur i?(e, w), les termes de\'la
dernière somme ne peuvent avoir une valeur différente de zéro, que si y). est situé sur
Oi); la longueur totale des segments y.) où appartient à A\'(s, oi) est
par définition >.(/). ^
Le second membre est l\'intégrale J\\f(u)\\dH étendue à un champ formé de seg-
ments Q,.,, y\'i), dont la longueur totale est IQ).
Or, t étant supposé étranger à K, on a "kÇt)^]/^^. Donc, |y,| est, pour ces
valeurs dc t inférieure ou égale au maximum des intégrales J\\f{u)\\dti étendues aux
ensembles E de longueur maximum que nous avons désigné par pd^/T,), (29).
Ce nombre tend vers o avec n,.
35. Considérons enfin Z..
On a
La foncnon ƒ étant sommable il cn est de même dc d\'après (j^ = o ou 1.
Donc, suivant la formule fondamentale (17) et l\'hypothèse 2w < p — a,
VOL J a
\'I\'(m) est nul^en dehors dc A\'(s, to); si w \'1,) l-i mesure de w) est in-
férieure Aï),.
L\'intégrale du second membre est donc inférieure ou égale A p(yi,).
Donc :
Soit (x" la mesure de l\'ensemble / des valeurs de t comprises entre a et {i
et où*:
1; >
On a: _ ,
donc
Kend. Ciri. Malim. Palirm«, t. XLV (1911). — Sump«to il 13 m»ggio 1921, .
Donc :
^.r - ■
Donc :
26 . ^ T. J. 1) o KS.
36. Les ensembles K et / réumis ont une mesure totale au plus égale à
En résumé si co < £i,(e, ■/),), 2 0i<b — a, 2co < p - a et si t, compris entre
a et est étranger à ƒ et à iîT, on a ;
KA 0 - ^ II.I IXJ II3I fÇy^,) ViM \'
Supposons donnés deux nombres positifs quelconques e, et e^.
Nous pouvons choisir e et vi, tels que
et en même temps :
Désignons par , eJ le plus petit des trois nombres ^ ^ ^ , —, "\'"\'i)\'
alors l\'inégalité o)<î2(s., eJ entraîne \\s{f, t) — I\\<t, sauf éventuellement pour des
valeurs de t formant entre a et ^ un ensemble de mesure inférieure à e^.
La fonction ƒ est donc intégrable (5,) et son intégrale est 7.
37. Nous avons vu (n° 14) que si <p est intégrable (ZJ,), ƒ et ƒç sont à la
fois intégrables ou non intégrables (/?,), et dans le premier cas, la différence des
intégrales (5,) de ƒ et de ƒ ? est égale celle de 9. Cette même proposition sera
en particulier exacte quand «p sera sommable, puisqu\'alors 9 est intégrable {li,).
Plus spécialement, on ne modifie ni l\'existence ou la non-existence ni la valeur,
si elle existe, de l\'intégrale (/?,) de ƒ sur un segment ab, quand on modifie indiffé-
remment ƒ aux points d\'un ensemble de mesure nulle.
Suites de subdivisions (y,-, v),)-
38. Soit /(x) une fonction sommable quelconque. Nous avons établi que la me-
sure de l\'ensemble a < t < p, \\s(f, /) - /| > e tend vers zéro, avec le pas t» de la
subdivision quelque soit s, positif, donné d\'avance.
Donnons nous deux suites de nombres positifs et t\'^ telles que 1" c^ tend vers
zéro, quand n croît et 2° la serie e;, est convergente, ^par exemple = ■ Mors
il est possible de trouver un nombre (o„ tel que, si w l\'ensemble des valeurs
de / où l\'on a — « < / < K^, /) — /| > £„ a une mesure inférieure i e,\',.
Pour chaque valeur de «, choisissons indifféremment une subdivision particulière
-ocr page 39-quelconque D, indéfinie dans les deux sens et de pas inférieur à Appelons s^f, 0
la somme s(f, t) correspondant A la subdivision D,. Alors la mesure de l\'ensemble
où l\'on a :
est inférieure A e\'.
il
Je dis que s^U 0 te"\'! vers / quand n croît, quelque soit t, sauf peut-être pour
\'des valeurs de t formant un ensemble de mesure nulle.
En effet, si t appartient A un nombre limité d\'ensembles £ , soit p le plus «rand
des indices de ces ensembles. Alors quelque soit n supérieur A p et A on a •
K(f,
Donc t) tend vers /, quand u croit. C\'est donc\'dans le seul cis où l appar-
tient A une infinité d\'ensembles £ , que s,Xf, 0 peut ne pas tendre vers ƒ.
Mais dans ce cas, t appartient quelque soit p, A l\'ensemble li^ formé par la réu-
nion de ,....
Or, la série e;, étant convergente, la mesure de H^ est au plus égale A e\' -|-e\' -i. ...
et tend vers zéro, quand p croit indéfiniment. ^
Donc l\'ensemble E des\'points t où s^f, t) ne tend pas vers / quand « croît est
contenu dans un ensemble H^, dont la mesure est aussi petite que l\'on veut Donc F
est de
mesure nulle. Nous aboutissons donc au théorème suivant qui contient plusieurs
des résultats de M. Haun [Sitz. 13er. der Wiener Ak. der Wiss., Math. Nat Klisse
Bd. 125, I, 15)14): • • • »
Étant donnée une fonction sommable f(x) nulle hors de l\'intervalle a, b, et dont
l\'intégrale besgienne entre a et b est I, il est possible de déterminer une suite de nombres
positifs: (.),, ... , w,, ... tendant vers zéro, tels que, si ou (.v^, est une
subdivision quelconque de l\'axe réel, indienne dans les deux sens et de pas inférieur à
w„, si de plus
-t-OO
avec y; = x\'; -f- /, -fi". = i". t, la fonction s„(f, t) de la variable t, tend vers I quand
« croît, sauf éventuellement pour certaines valeurs de t formant un ensemble de mesure
mile.
Ce dernier ensemble E dépend du choix de la suite des subdivisions D m.iis
quelque soit le choix fait, pourvu que le pas de D^ soit inférieur A la mesure de
E est zéro.
Il est peu probable que la suite puisse être fixée indépendante de f (par exem-
ple en posant x] = = * , les p„ étant des entiers supérieurs A i), de ma-
ri \' \' \' Fn
-ocr page 40-nière que, pour toute fonction ƒ sommable, 5„(/, t) tende vers I, sauf pour des va-
leurs de t formant un ensemble de mesure nulle.
39. Si l\'on a une infinité dénombrable de fonctions sommables ƒ,, . • • , • ■ • •> fp
étant nulle hors d\'un intervalle h^ (on pourrait même s\'offrancbir de cette re-
\\fp\\dx fût fini) et ayant pour intégrale entre a^, et b^, on
.00
détermine pour f^ une suite décroissante et positive , wf, ... , , ... , analogue
à la suite relative if. Soit Q„ le plus petit des nombres ... , o,", et D„
une subdivision quelconque de pas inférieur à Alors, quelque soit t, étranger à
certain ensemble de mesure nulle, la fonction de t,
\' si(f, t) = XMr^^Ky" - y:..)
—oo
tend, quand n croît, vers pour chaque valeur de l\'entier p, indépendant de n et de t.
Application aux séries trigonométriques.
40. Soit une série trigonométrique partout convergente
avec A = a cos 0 -f- sin n 0.
ft w I Tl
Supposons que la fonction ƒ (0) soit sommable.
M. de la Vallée Poussin a montré que dans ce cas on a :
l\'intégrale étant prise au sens de M. Lebesgue
Nous allons appliquer à la fonction /(O) la méthode d\'intégration (/?,).
Appelons ƒ, (fJ) k fonction égale A ƒ si o^O <2-, et nulle pour 0 < o et
0^27:.
Nous .ivons »
Quelle que soit la subdivision x. de pas inférieur à w, il résulte du théoréme de
7) M. Denjoy, vient de déterminer une nouvelle méthode d\'intégration permettant de calculer\'
les coefficients de la série trigonométrique convergente la plus générale dont la somme est connue.
(Comptes rendus hebdomadaires des séances de l\'Académie des Sciences, Mars, Avril, Mai 1921).
M. de la Vallée Poussin et de la propriété fondamentale de l\'intégrale que,
sous les conditions et notations :
o X. — <[ w, lim X. = 00, lim x. — — oo,
i=o<j 00
et quels que soient les nombres a, p, s fixes, le dernier aussi petit qu\'on le veut, l\'en-
semble des valeurs de t vérifiant a ^ < P et , /) — 2 > e, a pour mesure
un nombre tendant vers zéro avec t».
41. Appliquons ce résultat A la subdivision x. = = de pas égal à — .
On a alors
27;
J 0 évidemment périodique en t et de période
Mais comme la fonction ƒ a la période 2-, on a quelque soit t:
42. Donc, la mesure de l\'cnsembJe H défini par « / <C P?
- ^[/(o ƒ (/ T) • • •
> e
tend vers ^éro, quand n croît, quelques soient a, p, c indépendants de u.
Nous remarquons que, si la fonction ƒ, est intégrable an sens de Riemann, ou
intégrable (/?) il est possible de trouver un nombre N dépendant de e, mais non de
/, et tel que l\'on a pour n > N, quelque soit t,
En effet, le membre intermédiaire étant périodique en t et de période on
2TC
peut supposer o ^ f <
Or, d\'après la condition d\'intégrabilité (i?), quelques soient , t^, ... , t^ satis-
-ocr page 42-30 T. J. B O K s.
o TT
faisant aux conditions o ^t^ , la somme
tend vers
XJTt
Donc, si ƒ est intégrable (i?), l\'ensemble cesse d\'exister A partir d\'une valeur
AT de n.
Si ƒ est seulement intégrable (I), la mesure de E tend vers zéro, quand n croît.
43. On peut encore présenter autrement ce résultat, en utilisant le développement
de /(O).
En effet,
m -1-... ƒ
----H-----
D\'où
— ci^
Donc, quelques soient £, et e^ posinfs donnés d\'avance, (nous faisons a = o,
P = 2 Tî), il est possible de trouver un notnbre , sj tel que pour n > AT, l\'en-
semble des valeurs dc /, pour lesquelles o ^ / 2 et
a une mesure inférieure A e^.
L\'intégrabilité (5,) plus générale que la sommabilité.
44. Nous avons montré que la définition (/?,) de l\'intégrale est au moins aussi
générale que celle (je M. Lebesgue ; nous .liions prouver qu\'elle permet d\'intégrer cer-
taines foncdons non-somm.ibles, (et non-totalisables).
Si ƒ est une fonction impaire, intégrable (5,), on aura
-ocr page 43-d\'après la formule du changement de la variable d\'intégration x "en — x (n\' i6) et
la convention du n° 14. \' .
En effet
/(x)^ix = - / f{~x)dx= / fi~x)dx = - / /(x)rix.
a V a J—a J—a
(n° 16) \'(«"14)
Donc, si une fonction impaire est intégrable (Z?,), son intégrale {B^) entre deux
limites opposées ne peut être que zéro.
Nous allons montrer, qu\'il existe des fonctions impaires, intégrables et non
sonnnablcs.
45. Soit ƒ (x) une fonction définie âans un intervalle (—a, d) {a > o), et
1° impaire [en particulier /(o) = o]
2° décroissante dans chacun des intervalles (— a, o) et (o, a),
f telle que xf{x) — (f(x), fonction positive et paire, soit bornée dans l\'intervalle
(— a, a), nulle et continue pour x = o.
La fonction /(x) est intégrable au sens de Riemann dans tout segment ne con-
tenant pas l\'origine. Supposons-la non-soiinnable (alors ni J* f(^x)dx, ni J f(x)dx
ne tendent vers des limites, quand e positif tend vers o).
Nous allons montrer que f est intégrable (B,) dans l\'intervalle (— a, a). Son in-
tégrale (yj,) est alors nécessairement zéro, connne nous venons de le montrer.
46. Il n\'est pas moins général de supposer que la fonction ƒ est égale -X o pour
X = a et pour x = — a.
En effet, si une fonction est sommable, ƒ et ƒ -f- sont ou non en même
temps intégrables (BJ, (n° 57).
(|/(x)iix = o les intégrales (Z?,) des deux fonctions ƒ et ƒ-{-entre
— rt et -}- rt sont égales.
Posons <|/ = — ƒ(— rt) pour x < 0, et = — f(^a) pour x > o, i{;(o) = o.
A devient une nouvelle fonction remplissant toutes les conditions imposées ƒ.
De plus/-,(rt) = o,/.(-rt) = o.
Enfin ƒ et ƒ, sont cn même temps intégrable (/i,) ou non, et dans le premier
cas leurs intégrales (/ij sont égales.
Supposons donc désormais /(x) = o pour x ^ — a et x a.
47. Soit (.v,, c,) une subdivision indéfinie dans les deux sens et w un nombre
\'"lu moins égal au pas supposé fini des x. .
A étant nn nombre positif, très grand, nous formons les intervalles suivants :
-ocr page 44-1° autour de chaque point X; un intervalle (x!, x"), ayant pour milieu x. et dont
la demi-longueur est le plus grand des deux nombres -i—et ^ >
A A
2° autour de chaque point ç^ un intervalle l\'!) ayant pour milieu et dont
la demi-longueur vaut -
Il est à remarquer qu\'il peut se foire que x]\' < x," , et, de même, que x\'. < X;_,
(bien entendu ces deux inégalités ne peuvent pas être vérifiées en même temps). Si
< < on a nécessairement x,_, — > (x,. — x._J(i A). Si x! < x;,_, on
a nécessairement (x. — 4" <C — •
Mais on a toujours :
et .
Posons \'
= x,. 7,,. = t,
y\'; = x\';-i-t, < = r
t doit rester compris entre à et p.
Nous excluons de V intervalle a p les valeurs de l, pour lesquelles le point o est dans
l\'un au moins des intervalles (y[., j") ou (•/)!, -/il\'), c\'est dire les valeurs de t pour
lesquelles existe au moins une valeur de i vérifiant, soit
y\\<o<y% donc _x:.\'</<-x;,
soit
•o;<o<-o:/, donc
48. Quelle est la longueur totale des intervalles formés par les valeurs exclues de
t, et que nous appellerons intervalles t exclus ? Ces intervalles sont :
1° les parties communes à l\'intervalle «fi et aux intervalles (— x", — x!),
2° les parties communes à l\'intervalle a[i et aux intervalles (—q", —
Considérons d\'abord les premières.
Pourqu\'un intervalle (— x\'.\', —x|.) ait une partie commune avec a{i, ou bien
qu\'un intervalle (x|, x)\') ait une parue connnune avec l\'intervalle (— (4, — a) il fiiut
que l\'on ait A la fois x" > — fi et x,\' < — a.
Soient r et s respectivement le plus petit et le plus grand indices des intervalles
(x|, x)\') empiétant sur (— {4, — a). \'
On a: — P < x^\' et ^ — ^ quelque soit l\'entier p posiuf, et de même
x; < — a. et x;^^ X — a.
Il n\'est pas nécessaire que tous les intervalles (xj, x") d\'indice i tel que r<i<i
empiètent sur (— fi, — a). •
32 T. J. BOKS. .
Mais il est sûr que la contribution des intervalles (x), .v|.\') dans la longueur totale
des intervalles-^ exclus de a, ^ est inférieure ou au plus égale à la longueur totale
des intervalles d\'indice i tel que r <Ci <C. s, augmentée de partie de (— % x\'jYct
, — a), ces dernières longueurs étant d\'ailleurs chacune inférieure à ~ .
A
Pour calculer la contribution des intervalles pour lesquels nous écrivons:
Donc:
Donc les intervalles , .v") donnent dans la longueur totale des intervalles-^ exclus
de a, p une contribution inférieure à
a I ^^
Considérons les intervalles / exclus provenant des
Puisqu;on a ^ — P, et que ^ on a ^ - p.
D\'autre part, puisque ^ — a et que ^ , on a ^ — a. Les
intervalles et sont donc extérieurs i (— [4, — a).
Donc les intervalles (cj, Ç") donnent dans la longueur totale des intervalles-/ exclus
de a, p une contribution inférieure à
B _ a -I-
A A A ^ A ^^ 2-:
La longueur totale des intervalles-/ exclus est donc inférieure à
2 w
\' I 12(0 8co \'
6---1- S-^ — —
Si nous supposons donc w<—et -<^>2, la longueur totale des intervalles-/
exclus est inférieure A 8 ^ ~ . Nous désignerons par K l\'ensemble de ces valeurs
de / exclues.
Rtnd. Cire. Molem. PaUtmc, t. XLV (19J1). - Sump.to U i) m.ggio I9»i. ,
-ocr page 46-49. Supposant que t a une valeur non-exclue, donc étrangère à K nous allons
considérer diverses espèces de termes de
—00
1° Le point zéro ne coïncide avec aucun point y., donc il y a un entier p défini
par les conditions <^0 <^yp-
Considérons le terme d\'indice p :
On a:
Le point zéro ne tombe pas dans l\'intervalle sinon la présente valeur
de t aurait été exclue, donc:
LI ~ - yp-yp-^
Or, par hypothèse (p(x) tend vers zéro quand x tend vers zéro.
Soit 0(«) le maximun de <p(a:), quand jc satisfait à la condition < w; [0({i))
tend vers zéro, avec oj].
Par conséquent, A étant indépendant de w, le terme d\'indice p tend vers o
avec (0.
2° Quelque soit i différent dc p, puisque la fonction ƒ est décroissante autour de
tout point distinct de l\'origine et que zéro est extérieur au segment
O.-,» yd on a:
Ky^hi - <miyi - <- y.-.>
De même:
Ky.)(yi - y.-.) < r <- y.-.)-
Jyi-i
Donc :
m{yi - >\'.-.) - r = ^.[/O^-.)-KyMy< - y^.) ^vec \' c^; < i.
i peut avoir toutes les valeurs enùères exceptée p.
On a donc:
- y-) - r\'^K^yx
= -/(J.)j(>\'.- \'-^vec s- < I..
-ocr page 47-(3) \\ „
= -/O.OJa- - ^.-J, avec S- < I.
p-t-i
(4)
En ajoutant les relations (i), (2), et (3)» nous obtenons:
( Î/Ci.)(y. - - fyf(.x)dx - J^fix^dx
avec S\' < I, et en désignant par une somme où manque uniquement le terme
correspondant à i = p.
50. Considérons d\'abord les deux intégrales figurant dans la relation (4).
Changeons dans la première la variable x en-x; /(x) étant une fonction impaire,
= Û(.o)
--3V-.
il vient:
- r"f(x)dx- rKx)dx= r f(x)dx.
Les deux limites positives — et y^ de l\'intégrale étant l\'une et l\'autre infé-
rieures A (0, on a ?(x)<0((o) dans tout l\'intervalle on peut donc
écrire :
ig-A
■yp
Posons :
yp -
Nous avons :
\\>- _ yp
sinon le point zéro dont la distance A y est évidemment y serait dans l\'intervalle
De même,
IX , = <
yf-x
sinon le point zéro serait dans l\'intervalle ,
D\'où :
I et
-ocr page 48-Donc,
.g
et
n f(^x)dx = S\'0(o>)lg(J - i) avec < i.
-yp-i
51. En résumé:
^(A 0 = TfMiyi - y.-,) = - 0 K^K^)
ou enfin, en remarquant que log(.<4 — i) < ^ et en posant:
On suppose t situé hors de l\'ensemble K exclu, de mesure inférieure A 8 ^ ^ ".
52. Étudions maintenant la somme t7(/). «
Posons
on a :
— CO
Formons :
J=ju{t)dt,
E étant le complémentaire de K par rapport A a {4, donc l\'intervalle «, ^ diminué des
intervalles-x\'!<t< — x\'., <t Cherchons la contribution du terme «,(/)
dans cette intégrale J.
Cette contribution est l\'intégrale Ji = le long d\'un champ consti-
tué par E, d\'où l\'on retranche les valeurs de / pour lesquelles /(,.(/) ne figure pas
dans
U(t), c\'est A dire pour lesquelles
*
On a
ùb
— JO
53. Comme u^Q) est positif, quand zéro n\'est pas compris entreet y^, tt a
-ocr page 49-fortiori, quand t est extérieur à l\'intervalle x\\\', — xi ;), on a:
Or,
«.-(0 = - -/(y,)] ;
tl V CO
Un calcul très simple, fondé sur des changements de variables évidents et sur
l\'identité ƒ(— u) = — ƒ(«), nous donne :
/; < - r^\' -
Ces deux dernières intégrales sont positives, d\'après o < x\'.\' — x < x" — x
54. Pour limiter supérieurement ces deux intégrales, nous utilisons la remarque
suivante :
K^) àant une fonction définie pour o < x < nulle et continue à l\'origine, som-
mable dans tout intervalle (x, a), si a est positif,1\' intégrable j\\çx)~ tend vers ^dro
avec si l\'on suppose y A) et o - y < A étant un nombre
En effet, d\'après lim \'^(x) == o (x > o), quelque soit £ positif donné d\'avance,
nous pouvons trouver un nombre positif o dépendant de e et ■ de A [vi = (c
tel que, si o < X < r,(e, A), on a ^^
1° Si S <ï)(e, A), on a:
2« Si A), d\'où la fonction ƒ > (x) ~ = K\'O ^\'tam con-
tinue par rapport A « sur le segment de •/,(£, A) A ifest possible, puisque la con-
linuité sur un segment est uniforme, de définir un nombre 12, dépendant uniquement
^^ ^ " T^ ^^ ^ ^^ ^^ ^^^ ^^^ conditions < Y < ^
-ocr page 50-Or, ^ .
Ceci montre que les conditions y < ^ < y(i -{-A), o < S — y <; £2(s, A) en-
traînent
dx
L
H^y
55. Je dis que, en vertu de cette propriété, il existe un nombre 12, (e, A) tel que
si w <; Q,, toute intégrale
f(u)du et / f(u)dn
est inférieure à e.
En effet, si nous posons dans le premier cas y = x!\' —x,., S = x" — ,
et dans le second cas y = x._, — ^ = x.—nous avons dans les deux
cas o < Y < S, S — Y < 0) et en outre — < i
Nous sommes dans les conditions du n° 54, en posant ({/(/t) = »ƒ(«) = (p(«).
Soit 12, (e, A) le nombre désigné ci-dessus par 12 (s. A) et correspondant A l\'ac-
ception (p(») de la fonction \'!\'(")• On a donc, quel que soit i, J\'. <^2e(Xf —
pour w <; 12,.
D\'ailleurs, si je segment (v,._,, _y.) est, quelque soit i compris entre a et exté-
rieur au segment (— a, a), on a = o, donc cn ce cas
00
Donc ^ /. se réduit à la somme des ]. correspondant aux indices i telsquc, pour
—»
au moins une valeur de / comprise entre a et p, on ait A la fois — <C et
< a.
Il faut donc, d\'après y,- < P x^ et > a -f- , que — a < P -f x,. et
fl > a x,._,, ou A la fois x,._, < fl — a et x. > — (rt -}- p).
La plus grande valeur p des indices i est telle que < « — a ^ x^.
Leur plus petite valeur q remplit les conditions x^ > — (rt -}" P) ^ •
En somme, /,. = o pour i>;) et pour et /i<2e(x,. —x._,), si p^i^q,
£0 12,. Donc :
i
Or d\'après xon a A
Q après w < — .
o
En résumé, si w < (e, A) on a :
56. Soit r l\'ensemble des points de £ où U (t) > /ê.
Alors si II est la mesure de F, U(i) n\'étant jamais négatif, on a
On a donc, sur l\'intervalle ap, en dehors d\'un ensemble ƒ/ de va-
leurs de t, réunissant les intervalles K et l\'ensemble r.
57. La mesure de H est inférieure A 4f/I(a-f p_a) si co<ii,(E, A).
D\'autre part on a toujours (51) sur E (complémentaire de K par rapport à ap):
donc, sur i/:
\\si/, OK 2^0(0))
Cela
étant, donnons-nous deux nombres positifs quelconques e et e Nous
choisirons e\'et A, fonctions de e^ et e^, tels que
I
Par exemple, nous prenons VT inférieur au plus petit des deux nombres ^ et
2
__, , . , i6(P — a) . .
p — a)\' ^ superleur A —-puis assez petit pour que 0(wj <
Alors A) se calcule A l\'aide de e, et de e, (54), de même que Nous dèsi-
Snons par a)(e,, cj le plus petit des nombres ^ ~ ,
Cela posé, l\'ensemble des valeurs de t vérifiant ^ c^ avec a c^ / p a
^"c mesure inférieure A e^, quand w est inférieur A w (e^, e J. \'
Donc la function ƒ est intégrable (i?,) sur l\'intervalle {—a, a) et son intégrale
est o.
Fonctions totalisables, mais non intégrables (5,).
58. Les conditions que /(x) soit impaire et que x/(x) soit continu et nui à l\'ori-
gine suffisent-elles pour que /(x) soit intégrable (5 J ?
Nous allons voir qu\'il n\'en est rien en donnant un exemple d\'une fonction satis-
faisant aux deux premières conditions, intégrable même au sens habituel entre — a
et a, mais non intégrable (5,). A fortiori cette fonction est non sommable sur le
même champ. ^
59. Soit/„(x) = ^^ une fonction remplissant les conditions de l\'étude précé-
dente, (p(x) définie de — fl à fï, est paire, continue et nulle à l\'origine, /„(x) est
décroissante dans tout intervalle ne contenant pas l\'origine, mais n\'est pas sommable
sur le segment {—a, a). Enfin nous supposons /„(x) nul hors de l\'intervalle (—fl, b).
Nous pouvons déterminer de proche en proche une suite de nombres décroissants,
positifs, a = a^, ... , a^, ... tels que, si l\'on pose :
•\'«n I
on ait
> «(««-■ ----H ».)•
»
En effet, soit a^ quelconque, inférieur à rt,, et
Ja,
D\'après /„(x) > /"„(«) pour o > x > a, on a > o. Puisque
)
croît indéfiniment quand s tend vers zéro par valeurs positives, (ƒ„ est non sommable
par hypothèse il est possible de choisir a^ tel que
Ja,
De même, ayant défini a^, a., ... , nous pouvons trouver un nombre positif
tel que
r = > • • • -f »,),
•\'«n I
-ocr page 53-puisque Je premier membre croit indéfiniment quand tend vers zéro, n étant in-
variable. Il est aisé de voir que ^ croît indéfiniment avec n.
En effet,
croît indéfiniment, d\'après
> «(«,.-. H------\'0 > n et u^ > o.
Or, d\'après IJm xf^Çx) = o, u„ est égal à
r- dx
£„ étant inférieur au maximum de <p(x) = entre et
Donc = ejg donc z=: A„ avec A = ^ . .
Donc —^ croît indéfiniment avec n.
60. Soit /(.v) une foncuon impaire, telle que, pour ^ .v <
alors, pour — a^<x ^ — , on a
Nous prendrons b^ entier et, tel que, quand n croît
1° tend vers zéro, 2° a^b^ croît indéfiniment.
Plus précisément, nous choisissons b^ égal A la valeur entière i une unité près
par excès de b^ croît indéfiniment, d\'après
et le rapport dc b^ à tend donc vers i.
^H l
Alors la première condition :
est évidemment remplie, puisque ^(a\') tend vers zéro, quand .v tend vers zéro.
Je dis que la seconde condition peut aussi être remplie, cn imposant i la suite
une nouvelle condition.
Rend. Cire. .Wa/tm, Ptltrme, t. XLV (ijai). — St«mp«to U 14 "»ggio l^JJ ,
-ocr page 54-En effet, , a^, .. . , étant supposés choisis, la relation (i) ne limite a^^^ que
dans le sens de la croissance. Nous pouvons donc prendre assez petit pour que
^„ 1 < K • Alors on a :
"A ^ = ^. > ^fj^^,
qui croît indéfiniment avec n.
61. Considérons la subdivision
et formons la somme
s(J,0 = î.fM(yi - = 1, y^ = 0-
—00
Il est évident que s{f, t) est une\'fonction périodique de / de période L\'en-
tt
semble \\s(f, > i que nous allons étudier possédera la même période. La mesure
(JL^ de cet ensemble E sur une partie quelconque a — de l\'axe
« m
réel sera indépendante de a. [i^ sera le quotient par b^ de la mesure u. de E dans le
champ o ^ ^ 2 7ï.
Inversement, si l\'on pose ƒ = a -f- -y- avec — r ^ 0 t:, les valeurs de 0 for-
n
ment un ensemble dont la mesure est indépendante de a et vaut donc [i.
Ainsi la mesure de l\'ensemble \\s (ƒ, /)| > r, o ^t dir. est égale la mesure
de l\'ensemble des nombres 0, tels que |5(/", /)| > i, t =1 ~, — t: 0 < 7;.
Cherchons la mesure de cet ensemble de valeurs de 0.
62. Les •/!,. se divisent en trois groupes caractérisés par\' les condiuons respectives
suivantes 1° - a,,, < r, < , 2° ^ |y).| f a^^ |r,J. .
Étudions successivement ces trois cas.
1° Cherchons la mesure des valeurs de 0 pour lesquelles
D\'après
b.
et
on a:
2tr, 0
-\'^H.. <-y-
OU
Or, quand n croît indéfiniment, tend vers o, donc A partir de la valeur
A^ de telle que b^ < t:, i ne peut avoir que la valeur zéro, puisque 0 est
compris entre — 7; et t:.
Le premier cas est\'donc réalisé uniquement par v)^ et sous la condition
— a b <0 a b .
"n I H ^ ^ n I n
Donc la mesure de l\'ensemble des valeurs de 0 pour lesquelles un des yj. tombe
dans l\'intervalle rt,,^.,) est inférieure A A partir de la valeur A/" de u.
2° Considérons les •/),. tels que ^ |r).| <
D\'abord nous formons la somme ^(fti^Çyi — }*,•_,) relative aux indices i tels
sue a^^^ ^ •/). <; . Nous désignons cette somme par T,.
Nous trouvons
I, ƒ(«,)(%■->,-,) = ^I. ƒ("<) =
M «
n
0
cl\';
après
Or, si l\'entier s est tel que
avons d\'une part, la fonction (x) étam décroissante pour x>o:
A
y -r I « •\'oy ■ t,^ /j
"h i If u \\ "
^^ r / " . 27:\\ . , r I
(i
2::
T
^"•^ue dans chacun des intervalles (accrus de leùr extrémité gauche) séparés par les
autre part:
-ocr page 56-points
, 2\'îr , 2S7t , 2 -f- l)
J \'ï«-! y \' • • • \' \' H--^-^
n rt tt
existe un point m,, et un seul.
Donc
-y ZJoM = K s. y/oK..) avec Sj < i,
b
nous avons
= P («), en posant p (n) =
Or, b^ étant la valeur entière par excès de
Donc p(«) tend vers zéro, quand n croît.
D\'après /(-/î,.) = sin (G -j- aJ/^(Yi,.), nous avons:
(0 I./C^,.■)(>.• - = \'I p («)] sin (0 a J.
Les termes pour lesquels —«„<*), < — donnent pareillement la somme:
(2) Ij(vi,)O,-3\'._J = -K ^.P(")Jsin(-0 «„) avec < i.
Donc :
-f" Xï = 2 sin 0 cos -]- 2 (î p(>;) avec ^^ < i.
Nous ferons désormais a^ = o,
3® Considérons les valeurs de i telles que |ï);| > a^.
Les termes pour lesquels ■/),.> rt, donnent une contribution —^^.-i) qui
est en valeur absolue intérieure à la somme j^C^.X)*.—}\'(-,)
diminuée de son premier terme est inférieure h
rfoi^)dx.
t/a, "n
Or,
LM _ IL^J
Donc
ab\'
n\'n
-ocr page 57-tend vers zéro, quand n croît, donc :
II3 ƒ C^.) Q.- - ^.-Jl \\ ^ = o)-
Les termes pour lesquels •/).< — ont une somme X4 vérifiant aussi l\'inégalité
précédente.
63. On a en résumé, si < |0| <
avec lim z\'„ = o et fV <; i.
Soit a un nombre positif très petit et fixe. A pardr d\'une certaine valeur N de
n, on a d\'une part « b^ < a, d\'autre part
Soit 0 un nombre quelconque vérifiant les conditions :
a ^ |0| ^ -
Alors SI / =-!— on a :
n
Donc la mesure dc l\'ensemble o ^ i < 2 tt, K/, /)! > i, reladf la subdivision
= = 1 tend vers 2:: quand n croît.
M
Donc ƒ n\'est pas intégrable (BJ.
64. Nous allons montrer que, moyennant une condition sujiplémentaire imposée
aux a^, ƒ f{x)(îx a un sens, selon les conventions habituelles (ƒ est dans ce c.is
totalisable).
La fonction ƒ étant impaire, il nous suffit de montrer que ^ = f f(,x)dx a un
»\' o
sens.
Posons
Pour que 1 existe, il faut et il suffit
1° que la série soit convergente,
2° que le maximum de f f(x)dx pour ^ x < tende vers zéro,
quand n croît.
-ocr page 58-On a:
U d n.
Puisque ^^^ n\'est jamais croissant, on sait que cette intégrale est en valeur ab-
X
solue inférieure, quelque soit a; > , à
"»H-I J o
i
Donc lii^ tend vers zéro.
Pour que la série soit convergente, il suffit de choisir les a^ assez rapidement
décroissants pour que la série soit convergente.
Cela est possible puisque «p(x) tend vers zéro avec x.
Aux conditions imposées à supposant connus , ... , a^, s.ivoir
----h".), <<,
nous ajoutons celle-ci :
alors |/j<4~.
La série est donc convergente, ƒ (x) est totalisable.
Et la fonction /(x) n\'est pas intégrable (/ij sur, l\'intervalle (— a, -f- d) bien-
qu\'elle soit d\'une part intégrable au sens habituel (et par suite) totalisable dans ce
champ, d\'autre part impaire avec une valeur absolue constamment inférieure celle
d\'une fonction impaire intégrable (^J.
Ceci montre que les mesures p.(a), (jL\'(a) des ensembles ƒ>*\',ƒ<;_«\' ne
sont pas seules à intervenir dans la condition nécessaire et suffisante pour qu\'une fonc-
tion ƒ soit intégrable (/i,).
La répartition de ces ensembles joue un rôle essentiel dans cette condition in-
connue.
65. On prouve aisément que ƒ f(x)s\\nb^xdx croît indéfiniment avec n. Donc
f (x) n\'est pas développable en série trigonométrique dans le champ — 7: < x < tt.
Il serait intéressant de chercher si la somme de toute série trigonométriqne con-
vergente est ou non intégrable (B,), tout au moins quand on emploie exclusivement
des subdivisions périodiques (x., ;,.) admettant pour période une partie aliquote
Généralisation de l\'intégration {B^).
66. Jusqu\'ici nous avons supposé que la subdivision mobile (jy., •/).) varie linéai-
rement avec le paramètre t.
Posons maintenant :
y. = IÇx,, /), Y). = 0, ■ où X(.v, 0
est une fonction continue par rapport i l\'ensemble des deux variables .v et t, croissante
en a: et / séparément, et dont les deux dérivées par rapport à x. et / sont
1° continues,
o . .. /dl ax , \\
2" toujours posiuves f ^ = o, = o exclus 1 .
Nous allons montrer que, si f est sommable entre a et b, nulle hors de a b et si
son intégrale besgienne entre a et b est égale à I, alors quand on pose:
^\'i^nsemble « < / < fi, \\S(J, t) — a une mesure tendant vers ^éro avec cj, sous
seules conditions o<.v.-x, ,<o>, limx. = oo, limx; = —oo
. ^ \' — I —-t-OO I—oo
indépendant de i, .t;, indépendants de t).
67. Nous nous bornerons à démontrer la formule:
f\' imiy. - = - «) ƒ VW\'^\'V -VC-), < 0,
PO\'O étant une certaine fonction tendant vers zéro avec (o, indépendante du choix des
et calculable connaissant seulement les fonctions ƒ (.v) et t).
Ayant établi ce lemme on achèverait la démonstration comme aux paragraphes
-^■28 par exemple.
68. /(.v) étant définie sur l\'intervalle « b et égale A o hors de rt il est inuule
s\'occuper des termes pour lesquels n. est toujours supérieur A b, ou toujours mfé-
^\'cur A a.
Les inégalités XŒ., b a P) > « déterminent les v.ileurs exclues de t.
Soient rt et b les valeurs de x déterminées par les relations X(rt,, P) = rt,
Nous supposons a ^ x. et ^ •
J Nous désignerons rc"ï>ectivement par p et q la plus petite et la plus grande va-
«le i satisfaisant A ces conditions. On a :
-ocr page 60-Observons que a^ K ^ —
Si iCp, = et de même si r,,:>b.
Donc,
69. Or:
en appliquant la formule des accroissements finis à la fonction X, étant un nombre
compris entre x._^ et x^.
Dans le champ
sont par hypothèse continus et positifs. Ils restent donc compris entre deux nombres
positifs A et B {A <C B) indépendants de x et dc t.
Désignons par Ax, deux accroissements donnés à x et à. t et par Au l\'accrois- j
sement correspondant subi, par une fonction u de x et de /. Alors, A tout nombre
positif e donné d\'avance, on peut faire correspondre un nombre positif C tel que si
|Ax|<^, lA/KC, on a:
Il existe donc une fonction positive e((.)) tendant vers zéro avec m et telle qi\'C
les inégalités :
y
I?; - < - Oi < < ^ (0, a < / < (i,
entraînent
La fonction e(oj) est indépendante de de et de l. Elle se calcule connais-
sant X(x, /), a;, b^y a, (i, et la variable w.
Donc : .
-}\'.-.) =/(^)lr(^. - -
70. Je clis que f{:ni)dt et f(:f,.)^(it sont sommables.
D\'après A <<. B, W suffit de montrer la première proposidon.
-ocr page 61-dt
{il reste invariable, tandis que \'t et n,. croissent l\'un et l\'autre)-
d ï)
Donc, étant supérieur à ^ (> o) et étant sommable, f(ri,)dt et
d ïj
^^\'^i^-^dt le sont aussi. II en est donc de même de S(/, t)dt qui est la somme d\'un
nombre limité de termes f(;fiiXyi—y,_,)dt.
71. Nous pouvons donc écrire l\'égalité ci-après où tous les coefficients différentiels
sont sommables:
Donc : .
Ja Ja r
= fJpM^Ç", - \'IK") ƒ\'i l/C^JIfe - (K < >)■
dt
(puisque ƒ(») est nul hors du champ ab).
Donc :
d\'après
le dernier terme de la relation (i) tend vers zéro avec w.
^o\'t maintenant ^
G(î,) = ffM^\'"-
On a: J,
Ci\'c. su,,m. p,l„m*, t. XLV (1911). - Sumpilo 11 M "«Kg\'" ^
-ocr page 62-72. Je dis que est continu en ç..
En effet :
d-n,.
Nous effectuons comme il suit le changement de variable : Ayant posé
nous laissons fixe (i fixe). ^ et 7)^ varient alors simultanément et croissent continû-
ment ensemble par hypothèse, t est donc pour chaque valeur de E. une fonction dé-
terminée de t = •/),.), et p. est une fonction continue de et •/). à la fois,
puisqu\'il en est ainsi de l(x, t) en x et t. La fonction
est continue en et t. Nous y remplaçons t par v].). Par ce changement la
fonction 0 devient donc une fonction r,;), continue en yi,. et Ç,..
On a donc :
MS,-.a)
Or, ^(x, y) étant continu dans le champ borné a^^x^h^, > , P)
il correspond, d\'après le caractère uniforme de la continuité, \\ chaque nombre positif
e donné d\'avance, un nombre positif tel que, si |Ax| et sont inférieurs X .
En outre ^ peut être si petit que l\'on a encore
IKx Ax, «) - X(x, a)| < c et IKx-f Ax, P) - X(x, P)| < e.
Donc, pour |a Ç .| < ^ :
fOOi-m, «) \'("ivec S", S- < I).
Donc
-ocr page 63-Les trois intégrales du. second membre sont infiniment petites avec c les deux
premières parce que l\'intervalle d\'intégration est inférieur à s, la troisième plrce qu\'elle
contient s en facteur.
Quelque soit donc le nombre positif s\' donné d\'avance, il est possible de trouver
un nombre C tel que si < C, on a: ^
La fonction est donc continue.
73. Donc :
r ^ = - -v,..), avec • < e:\' < .V. ■
et par suite :
Cv^ - av,) = / \'\' G{x)dx (.v. - ~ G(^;\')J.
. Or,
= avec .V < i,
tendant vers zéro avec w, qui surpasse — ^"j.
Donc :
- .v,_,) = r G(x)dx - x. .)e.(a>),
et
i oa^dx, ~ .v,_.) = GÇx)dx _ Je. (co) ; S- < i.
Dans le dernier terme .v^ — est inférieur — rt, 2w.
La relation (5) devient donc :
f^S(f, t)dt= r < i).
" "t-\' L J ^
74. Or, puisque
on a :
d\'après la fornuile de l\'échange de l\'ordre des intégrations dans les intégrales doubles
de fonctions sommables, la dernière expression vaut :
r-" r/(«jI^;,=f\'di
-ocr page 64-j 2 T. J. BOKS.
Or,
donc la dernière intégrale vaut, d\'après ƒ (x) = o pour < a et pour x > b,
r^t ffin.y-n, = (P - r^dx := - a)/.
«/(X J a. "a
75. En résumé, nous avons :
f"S(f, = (P - / - 2o>) ^C\'-O
Ja .
Donc l\'intégrale
Ja
tend vers zéro avec w.
Les sommes riemanniennes formées avec les subdivisions ,/), , t)
possèdent donc dans le cas des fonctions sommables la même propriété fondamentale
(17) que les sommes s(f, t) reladves aux subdivisions y. = x. -f- /, v). = -f-
Ce lemme étant établi, on en déduit sans difficulté l\'intégrabilité (ii,), de toute
fonction sommable, au moyen des sommes riemanniennes fournies par la subdivision
générale y, = a(x., t), -/i. = t).
On modifie la subdivision (x,., dont on fait tendre le pas vers zéro, mais la
fonction 1 ne change pas d\'une subdivision A la suivante (A moins que ses dérivées
pardelles cependant ne restent comprises entre des nombres positifs fixes).
d\'f (x
Il y aurait lieu de se demander s\'il n\'est pas possible de laisser — s\'an-
nuler sur un ensemble (x, /) d\'aire nulle.
Hilvcrsum, Mars 1920.
-ocr page 65-H. Bauer, Der perron^c/« Inlegralbegriff und seine Beziehung inm Lebesgue .fcfe«» [Monatshefte
für Mathematik und Physik, Bd. XXVI (1915), pp. 153198]; G. A. Buss, Integrals of Lebesgve [Bul-
letin of the American Mathematical Society, 2\'"\' series, t. XXIV (i-.f) (1918), pp. i-.jyj ; 1Î. Borel,
Sur la definition de l\'intégrale définie [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l\'Académie des
Sciences (Paris), t. CL (i" semestre 1910), pp. 37S-Î77J. •5«\'\' condition générale d\'intègrabilité
[ibid., pp. joS jii]; C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen; M. J. Conran, The Rie-
Mann integral and measurable sets [Proceedings of the Royal Irish Academy, section A, vol. 30(1912),
pp. i-ij]; P. J. Daniell, a general form of integral [Annals of Mathematics of the Princeton Univer-
sity, 2"\'\' series, t. XIX (1918), pp. 279-294] ; A. Denjoy, Une exUnsion de l\'intégrale dt M. Lebesgue
[Comptes renthjs hebdomadaires des séances de l\'Académie des Sciences (Paris), t. CLIV (i®"- seme-
stre 1912), pp. 859-862], Calcul de la primitive Je la fonction dérivée la plus générale [id., pp. 1075-
1078J, Sur les fonctions dérivées sommables [Bulletin de la Société iMatliématique de France, t. XLIII
(\'9\'s). PP- 161-248J, Mémoire sur la totalisation des nombres dérivées non sommabUs [Awmhs scientifiques
de ri\'îcole Normale Supérieure, série 3, t. XXXIIl (1916), pp. 127-222J, Sur une propriété des fonctions
<i nombres dérivés finis [Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l\'Académie des Sciences (Paris),
t. CLVIII (i" semestre 1914). PP- 99-101]; D. Tii. Iîgoroff, Sur l\'intégrale des fonctions mesurables
[ibid.; t. CLV (2\'"\' semestre (1912), pp. 1474-1475]; M. Fréciiet, On Pierpont\'s definition of integral
[Bulletin of the American Mathematical Society, 2"\'\' series, t. XXII (1-6) (1915-16), pp. 295-298], On
Pierponts intégral. Reply to Prof. Pierpont [id., t. XXIII (1916-17), pp. 172-174, 174-175]; Z. de
Geöcze, Sur la fonction semi-continue [Bulletin de la Société Mathém.itique de France, t. 39 (1911),
pp. 256-295] ; D. C. Gillespie, The Cauciiy definition of a definite integral. [Annals of Mathematics of
the Princeton University, 2"\'\' series, t. XVII (1915). pp. 61-63]; H. Hahn, Über Annäherung an Le-
^EGUE-schen Integrale durch Riemann«/« Summe [ Sitzungsberichte der Mathematiscli-Naturwissenschaft-
lichen Klasse der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. Wien. Abteilung II*, Bd. CXXIII (1914),
pp. 713-743], Über eine Verallgemeinerung der Riemannjc/wj Integral definition [Monatshefte für Mathe-
matik und Physik, Bd. XXVI (1915), pp. i-i8J ; T. H. Hildebrandt, On integrals related to and exten-
sions of the Ledesgue integrals [Bulletin of the American Mathem.itical Society, 2\'"\' series, t. XXIV
(1-4) (1918), pp. 113-11.1, 177-202]; C. P. Horton, Functions of limited integration and Lebesgue in-
tegrals [Annals of Mathematics of the Princeton University, 2\'"\' series t. XX (1-2) (1918), pp. i-g] ;
A. Khintchine, Sur une extension de l\'intégrale de M. Denjov [Comptes Rendus hebdomadaires des
séances de l\'Académie des Sciences (Paris), t. CLXII (i" semestre 1916), pp. 287-291]; J. K. La-
Mond, The reduction of multiple L-integrals of separated functions to iUrated L-integrals [Transactions
of the American Mathematical Society, t. XVI (1915), PP- 387-398]; H. Lebesgue, Leçons sur
l\'intégration et la recherche des fonctions primitives, Sur l\'intégration des fonctions discontinues [Annales
scientifiques de I\'lxole Normale Supérieure, série j, t. XXVII (1910), pp. 361-450J, Sur l\'intégrale
àe Stieltjbs et sur les opérations fonctionnelles linéaires [Comptes rendus hebdomadaires des séances
l\'Académie des Sciences (Paris), t. CL (i" semestre 1910), pp. 86-88], Sur les intégrales singu.
Hères [Annales de la Faculté de Toulouse, série 3, t. I (1-4), pp. 25-117]; N. Lusin, Sur les
propriétés de l\'intégrale de M. Denjoy [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l\'Académie
des Sciences (Paris), t. CLV semestre 1912), pp. i475-i477], Sur la notion de Vinlégrale [An-
nali di Matematica pura ed applicata, serie t. 26 (1917), PP-77-129]; P. UotiTEi., Sur l\'existence des
dérivées [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l\'Académie des Sciences (Paris), t. CLV (2\'"^
semestre 1912), pp. 1478-1480];]. Pierpont, Reply to Fréchet [Bulletin of the American Mathema-
tical Society, 2"\'^ series, t. XXII (1915-16), pp. 298-302], (voir Fréchet ci-dessus), The theory of functions
of real variables, vol. II (1912); A. SzOcs, Das Intégral [Mathematikai es physikai lapok. Bd. XVII
(3-6) (1909), pp. 205-236, 263-290] ; Ch. j. de la Vallée Poussin, Réduction des intégrales doubles de
Lebesgue [Bulletin de l\'Académie Royale de Belgique. Classe des Sciences [1910 (7-12)], pp. 768-798],
Sur l\'intégrale de Lebesgue [Transactions of the American Mathematic.-il Society, t. XVI (1915),
pp. 43)-5oi], Intégrales de Lebesgue. Fonctions d\'ensemble. Classes de Baire (Paris, Gauthier-Villars,
1916); W. A. Wilson, On separated sets [Bulletin of the American Mathematical Society, 2"^ series,
t. XXII (7-10), (1916), pp. 384-402] ; W. H. Young, Intégrale de Stieltjbs et sa généralisation [L\'En-
seignement mathématique, t. XVI (1914), pp. 81-92J, On the new theory of inUgration [Proceedings of
the Royal Society of London, series A, vol. 88 (1914), pp. 170-178], On a tiew method in the theory
of integration [Proceedings of the London Mathematical Society, scries 2, vol. 9 (1910-11), pp. 15-50],
.Vo/ff on the Fundamental theory of integration [Proceedings of the Cambridge Philos9phical Society, t. XVI
(1911), pp. 35-38], On integrals and derivates with respect to a function [Proceedings of the London
mathematical Society, vol. 15 (1916), pp. 33-63], Sur les fondements de la théorie de l\'intégrale [Com[>ws
Rendus hebdomad-iires des séances de l\'Académie des Sciences (Paris), t. CLXII (i" semestre 1916),
pp. 909-912], General theory of integration.
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-ocr page 70- -ocr page 71-I.
Iedere sommeerbare functie is integreerbaar (B,).
II.
%
Er bestaan niet-sommeerbare functies die integreerbaar (B,) zijn.
III
De integraal (B,) voldoet aan de 6 voorwaarden opgelegd aan de integraal
^an Lebesgue. \'
[H. Lebesque, Leçons sur Vintégration et la recherche des fonctions
primitives, (p. 98)].
IV.
Het Is niet noodig voor het bepalen van de integraal (B,) de onderverdeeling
^^n een segment lineair van een parameter t te laten afhangen.
V. . ,
Het is noodzakelijk dat .v / (a-) = o voor .v = o (blz. 31).
VI.
Uit de forinulecring door Lebesgue van de stelling: „Une fonction continue
^out les points d\'un intervalle est continue dans cet intervalle" blijkt, dat het
2eer gewenscht is de begrippen segment en interval nauwkeurig te onderscheiden.
[M. Leuesque, Leçons sur l\'intégration et la recherchc des fonctions
primitives, (p. 22)].
VII.
^ De drie eigenschappen waardoor Vreeswijk in zijn dissertatie de axiale 1„
P rationale ruimtekromme karakteriseert, zijn niet onafhankelijk.
[jon. A. Vreeswijk, Invotuttes op rationale ruimtekrommen. lOOf). (blz. 71)].
VIII.
\'Jet theorema van Poncelet is te bewijzen met behulp van het principe
" behoud van het aantal.
De theorie der verzamelingen kan ook op de waarschijnlijkheidsrekening
toegepast worden.
X.
Het verdient aanbeveling het begrip warmtehoeveelheid te definieeren na
de eerste hoofdwet.
^ XI.
In verschillende leerboeken der Mathematische Physica wordt ten onrechte
het variatieteeken gebruikt waar het differentiaalteeken op zijn plaats was.
XII.
Het wiskundig onderwijs in de lagere klassen der H. B. S. dient veel ver-
eenvoudigd te worden.
-if.. ■ ;■•;
- • , A" , \'
if\'
\'t t\'
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