Bijdrage tot de toepassing
van de Waarschijnlijkheids-
rekening in de Natuurkunde

P. C. VAN ARKEL

Diss.
Utrecht

1922

. X. .• \' \'

•vi-^.-V\' V

.^vVif-:.. . .

^ ■ s \'

.Xf^

mi

..... . ..

\'\'JS,.

wm

s*

^ . Vi-\'":.

V -

-ÏW\'

- ■ ■ • . ■ - A ■ • • - . .

BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN
DE WAARSCHIJNLIJKHEIDSREKENING
IN DE NATUURKUNDE.

""•«UNIVEnsiTEIT UTRECHT

824 6567

BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING
VAN DE WAARSCHIJNLIJKHEIDS-
REKENING IN DE NATUURKUNDE

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN
NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-UNIVER-
SITEIT TE UTRECH^ OP GEZAG VAN
DEN RECTOR MAGNIFICUS Dr. J. A. C. VAN
LEEUWEN. HOOGLEERAAR IN DE FACUL-
TEIT DER GODGELEERDHEID, VOLGENS
BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVER-
SITEIT. TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE
FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE
TE VERDEDIGEN OP WOENSDAG 31 MEI
^22. DES NAMIDDAGS TE VIER UUR. DOOR

PIETER COENRAAD VAN ARKEL

GEBOREN TE HAARLEM

□

ELECTR DRUKKERIJ „DE INDUSTRIE" J. VAN DRUTEN - UTRECHT

1922

• f

.rft\' ■■

rOv\'\' .

■ -Viyr:/\'\' ■

■ \',1

•"f.i

AAN MI.INK OUDKKS KiN AAN MÜNK VIU)U\\V.

liet indienen van dit Proefschrift biedt mij een welkome
gelegenheid dank te brengen\' aan allen, wier onder.wijs ik
mocht volgen.

Inzonderheid hen ik IJ erkentelijk, Hooggeleerde Ounstkix,
llo()ggeachl(! IVomolor, voor IJwo steeds welwillende voor-
lichting, Ihve vele goede zorgen, hesteed aan hel tol .stiind
komen van dit IVoefscln-ift en I)\\ve vriendelijke belangstelling.

- , ^^

ty^

-mil\' y

-ngf.-

tMMP\':-

, jf

s , -.\'».

J. V

INHOUD.

Uladz.

Hoofdstuk I.

Toetsing van de theorie van v. Smoluchowski omtrent
de veranderlijkheid van de groepeering van emulsie-
deeltjes met den tijd............ 1

Hoofdstuk II.

De veranderlijkheid van het aantal emulsiedeeltjes in
een volume-element, als het aantal gegeven is, dat te
voren aanwezig was...........

If)

Hoofdstuk III.

Do kans op een bepaalde v(!randoring van een aantal
deellje.s, indien gegeven is het aantal, dat te voren
aanwezig was..............21

Hoofdstuk IV.

Hesdiouwingen over de waarschijnlijkheid in getallen-
reeksen ................

Hookd.stuk

Verandering van kansen hij proeesson, die een heeld
van mengen geven............^^

Hoofdstuk V^I.

Kans o]) tiM-ngkeer van bepaalde toestanden hij de be-
handelde versehuivingsprohlemcn.......()\'••

............................

.............................

-ï

\' -.>>.• "ft Vr/y: N

-ei\' ■ . V , ■ > \'

j -

m r-y..

■v \' i

■ ■ . r ■;. - ;

t.

HOOFDSTUK I.

Toetsing van de tlieorie vaii v. Sniolucliowski omtrent de
veranderlijklieid van de groepeering van ennilsie-
deeltjes met den ti,]d.

In cone vorliandolin^ï over liel l)ovengeiioein(le onderwerp \')
komt v. SMOLL\'cnowsKr lol de slotsom, dal eene vor<,\'elijkin«
van de nil zijne tlieoi-ie affïcleide formules met liet expe-
rimenleele materiaal vjui Tuk SvKnnKnc -) teine recht be-
friedigende IJebereinstinnnun^\'» jjeeft.

De gehrnikte «etallem-ij, die aangeeft hoeveel deeltjes er
in een bepaald volume van een suspensie aanwezig zijn, is de
volgende:

I2{K)()2(H)ia2i I2:n()2111 IHl 125111 Ü2;W 1 :{im2211122i22122r)
I22ii2:jir)2ii I4i:n I i2:{i(H)i(K)i2i I2;n2:{2()i 11 loooi 11 —
211(.K)IH2(K)(HH)I(H)11(KK)|{KK)2H22I()()2! 1(K)(H)2Ü1(K)I — -m
l22(X)()2ni22I()2i{)l 1102 — 12221 l22;n(KH)l Kmi 1102101
1(K)I010;H)| 1812121010121111211 — 10003221012a02()1212
ia21110110l)2:w 122121 IO(M3l20:i010l(K)2217ni410101(K)2112
21111542121 l.i.i()l;{212:{fn i:nH()l 122212;mi()1211112221122
11 :{;{221: J211 ( k x k ) i i () W2() 1212o() 11 :J222:{ 12( )o — 2r);}212()
1110021002201:101 ia2i i:{i2ooioi:n in22i 1221 122:j2:{
ii222:{0:}21121 r>:J22(H)20211212.\'J2:520 m 12H12(K):{;n 1228102
I HlII0112822220221.

Wij zullen aantoonen, dat, indien men andere evenzeer
door V. .S.Moi.iaaiowsKi afgeleide relaties aan het genoemde
getallennmteriaal toel.st, de overeenstemming niet voldoende

\') Sludien über MoIekuIarHUli^tik von KinuI«ioncn und dcnin Zuwaminon-
hang mit der IlrowaWlien Howcgiing. Aknd. Wien 1915 p. L>401.
Existenz der .Alolcktiie It)l2 p. MH.

geacht moet worden; hetgeen waarschijnlijk meer aan het
expenmenteele materiaal, dan aan de theorie te wijten is

Voor de gemiddelde verandering gedurende een tijd t
van het aantal deeltjes op den tijd nul in een ge4ven
volume-element aanwezig, leidt v. Smoluchowski de formule

^n = {y~n)P......(1)

af. Hierin is P de kans, dat een deeltje, dat op den tijd
nul in het element ligt, in den betrokken tijd t buiten het
element gekomen is (de uitspringkans); en . het aantal der
deeltjes, dat zich bij homogene verdeeling over de vloeistof
m het beschouwde element zou bevinden.

Hij vindt voor het gemiddelde kwadraat van de genoemde
verandering

= ..... (2,

— — \' ^............lyj

Uit de waarnemingen van The Sveohkug volgt ^ = 9 25.
^ = 1,55 en dus P = 0,720. v. Smoluchowski gaat aller-
eerst na hoeveel malen in de waarnemingen van Tm-: SvFmiKnc
het getal m op het getal n volgt en vergelijkt het aantal van\'
deze gevallen m de waargenomen reeksen met de theoretisch
berekende aantallen, welke volgen uit een later te noemen
recursieformule (H). Deze overeenstemming is goed evenals"
die van de experimenteel gevojulen en theoretisch berekende
waarden va.i de gemiddelden A"-\',., d. x. de gemiddelde kwa-
draten van de veranderingen gedurende een tijd t van hof
aantal deeltjes n.

Westgukx >) vergelijkt ook - met goed resultaat - de be-
noemde aantallen. Verder toetst hij fonnnle (2) voor verschil-
ende tijdsintervallen, waarbij blijkt, dat de verhouding van de
berekende en de waargenon.en waarden voor de kans/> in de
buurt van de eenheid ligt en ten hoogste 1-P/o ervin ver
schilt. Ten slotte gaat hij den samenhang na tusschen /\'en
de d.lTus,e-coeff,c.ént der deeltjes \'^j, waarbij evenn.in groote
afw.jkmgen aan den dag komen; ,lii is ook niet het geval
bu een formule, die eveneens door v. S.Mor.ucH<.wsK, terloops
getoet^ omtrent het gemiddelde van de absolute waarde
\') Ark. f. M-at. Bd. 11 N\'o. 14, jo^j
VcrKclijk p. 8 en 9 hieronder.

van de relatieve afwijking ^ van y, die gedefinieerd wordt door

Men heeft voor deze grootheid l de formule

•j

—, waarin k het grootste geheele getal kleiner dan y is.

Dij de bepaling van A kan men de reeks in twee richtingen
doorloopen. Wij hebben met een omkeerbaar verschijnsel
te doen en dus moet de uit (l) gevonden P bij berekening
voor beide richtingen dezelfde zijn. Deze omkeerbaarheid
toetst v. Smomichowski door na te gaan of ir(;?, m)— «),

als de kan.s is, dat het getal op het getal « volgt. \')

flebruikt men echter voor de berekening van P de formule
(I), waarbij wij door een pijl aangeven in welke richting wij
de reeks doorloopen, dan vinden wij:

De grootste der hier gevonden waarden wijkt ruim 80°/o
af van de kleinste, terwijl een afwijking van 10 "/o van de
boven gevonden waarde /\' = (),72() naar beide zijden voorkomt.

Hel tijdsinterval bij de waarnemingen van Tuk SvKnnKiui
is \'/au minuut. NoenuMi wij dit 7. Wij kunnen uit de ge-
geven getallenrij dan ook nagaan wat P wordt op grond van
(1) en (2) bij intervallen 2- H 7 enz. Wkstohkn heeft dit,
zooals reeds werd opgemerkt, ook gedaan -) echter alleen
aan de hand van fonnule (2), terwijl hier ook fonnule (1)
wordt getoetst. Het zal blijken dat dan voor /\' bij een
bepaald interval niet dezelfde waarden verkregen worden.

1) Wiener Her. 12-t, lilir».
\'J Arkiv f. Milt. Hand II N\'. I J.

Bij het interval 2 - zullen wij nu uit de gegeven getallenrij
a l> c d e f <j h j Ic enz. moeten beschouwen de twee deel-

reeksen a c e g j.....en b d f h k....., die yehjkivaardiy

zijn. Immers bij een tijdsinterval 2 r zou één van deze beide
door The Svedberg zijn waargenomen, als hij 2 r tot interval
van waarneming gekozen had. Bij een interval 3r krijgen
wij op deze wijze de drie reeksen :

a dg k......

h e h........

cfj........., die ook weer gelijkwaardig zijn; in liet

algemeen hij m - dus m gelijkwaardige deelreeksen. Westgrex
beschouwt deze gelijkwaardige deelreeksen niet, doch gebruikt
bij 2- bijv. de verschillen a—c, f/, c—e, enz. tegelijk,
wat niet juist is, daar hij zoo slechts het gemiddelde van
de deelreeksen vindt.

Wij vinden nu bij 2 r voor F de volgende waarden, waarbij
wij de richting van tellen bij de bepaling van A weer door
een pijl aangeven:

eerste deelreeks
0,885

0,90
0,78
0,77
0,92
0,9()

tweede deelreeks
0,88

0,8;}
0,90
0,79
0,81
0,90

De overeenstemming is wederom niet fraai; do waarden
voor P die grooter dan één zijn, zijn geheel ontoelaalbaar,
daar P een kans is. Voor het interval 8 r vinden wij voor P
eerste deelreeks P uit A\'\' = 0,87
tweede » 0,90

\' \' 0,79, terwijl de volgende waarden

bij dit interval voor P berekend worden uit A„:

Bij de proeven van Westgken \\rijken de waarden voor P,
die afgeleid kunnen worden uit An veel minder af van de
theoretische dan hier. Toch is de overeenstennning tussciien
de theoretische en de berel^nde P in dit geval veel slechter
dan bij zijne- toetsing van A"-® = 2 y P.

Hij grooter in^rvallen berekenden wij nog de waarden
voor J\\ die uil A® volgen:

Over het algemeen is dus bij een bei)aald interval een
dikwijls vrij groot ver.schil le constateeren tusschen de waarden
voor voornamelijk tus.schen die, welke volgen uil formule (1)
voor An, welke juist niet door v. S.molucuowski getoetst
werd in bovengeciteerde verhandeling. Wij kunnen nil dil
alles de conclusie trekken, dat het mogelijk is uil getallen-
reeksen, zooals die van Tuk Svediikiuj, getallen af te leiden,
welke overeenstemmen met de theoretisch te verwachten
waarden; doch dal in de formule (1) een scherper criterium
gegeven is om uil le maken of op een getallenrij de theorie
van v. Smolucuowski is loc le passen en dil laatste schynt
bij de reeks van The SvEmn-:iin dus niel hel geval.

Ook kan img opgemerkt worden, dal de berekende waarden
voor r bij toenemende grootte van het interval niet op be-

paalde wijze tot de eenheid naderen, zooals volgens de theorie
het geval zou moeten zijn. Behalve de hier besproken ge-
tallenrij geeft The Svedkerg in hetzelfde werk nog een tweede,
die betrekking heeft op een geconcentreerdere Gummigut-
emulsie. Berekeningen als boven met deze tweede rij vallen
nog ongunstiger uit. De theorie van v. Smoluchowski geldt
alleen voor zeer verdunde systemen en wellicht was dus hier
niet anders te verwachten.

Wij kunnen de theorie nog op\'een geheel andere wijze
toepassen op de getallenrij van The SvEnuEno. In het meer-
malen geciteerde stuk van v. Smoluchowski vindt men de
volgende recurrente betrekking:

Tr(», m) = P W{n - 1, m) (I - P) W (» - 1,- i) (3)

Hierin is W{n,m) weer de waar.schijnlijkheid dat hel getal
m op hel getal n volgt. v. Smoluchowski gebruikt deze
relatie ter berekening van ir(», ?») uit ]V{o,m), terwijl bij
de betrekking

= .....(4,

ter berekening van ]V{o, k) bezigt.

Wij kunnen omgekeerd le werk gaan en de grootheden
W experimenteel bepalen en daarna uil (a) en (1) /M)erekenen.

Kxperimenteele ir(;/,

In Ver.sl. Kon. Akad. XXVll, 115(), lOH) hebben Ounsteix
en liuRGEu bij vergi-ssing de waarden voor \'W gebruikt die
met (H) en (i) volgen uit = 0,72(5 in plaats van de e.xpe-
rinienteele !)\'\'(;/,»»).

De waarden voor 1\\ die hierniede uit {;]) en (4) volgen
moeten dezelfde zijn en bovendien overeenstemmen met die,
welke volgen uil (1) en (2). Wij vinden echter de volgende tabel.

Deze tabellen zijn zóó ingericht, dat het getal, dat zich
bevindt in de »de rij en de jH^le kolom die waarde voor P
is, welke met formule (3) uit TF (»,???) berekend wordt.
Er blijkt wederom geen overeenstemming wat ook dadelijk
is te zien uit het materiaal. Uit de betrekking (3) n.1. volgt:

p__ W{n,in)— W{n—\\, >» —t)
Whi — A^m)— W{n~ 1, m — l)\'

Nu moet echter 0<P<1 zijn. Dus hebben we de vol-
gende condities:

1. W{n — 1, 1) mag niet liggen tusschen ir(;;, w?) en
W{n — \\,m), anders is P<0.

II Is aan I voldaan en ]V{n~ 1, m- 1) is gmoter dan
de beide andere getallen ir, dan lïioet ir(;/, ni) > II\'(» — i, ,„).

Is aan I voldaan doch 1,,«—i) is kleiner

dan de beide andere getallen IF, dan moet ir(« ,»)<
W(n — 1,)«)- \'

Ken getallenrij zooals die van Tm-: SvKm.Kiuj, die niel aan
deze voorwaarden I en II voldoet, is onbrnikbaar.

-V. 8.Mo,.ur:n(.wsKi heeft uit theoreti.sche be.schouwingen P
berekend; hij vindt:

^ 1 - I f /# 1/ —■ _»I I*»

h

waann "Is D .litfusio-foWllcir.,,! va„ ,io

dodljc» vnorslcK ( lijd ,.„ /, ,l„ diklc v„„ con horuo„l„l,.
laas n,t ,lo o,„nls,c ,s, waan......e .icellios «oloM .ij„ m

c„ ,,aan,il „„, (5, = „,„

de waarde (),/2() die volgl uit A- = 2y/*

Men kan nu den duur van het interval / = een zeker

O\'J

O 2Ö

aantal malen t maken, bijv. n t, dan wordt ß = r\' — en men

y n

vindt voor P

Berekend
0,8G
0,90
0,92
0,93
0,91
0,94
0,95

P worden dus eerst te groot, later Ie
trachten een ß te vinden, die beter
overeenstenuning geefl. Om kleine veranderingen van /\' te
verkrijgen moet ß sterk gevarieerd worden. Men vindt n.1.

De formule (5) is bij een aan alle eischen voldoende ge-
tallenrij dus betrekkelijk weinig geschikt om uit de e.xperi-
menteel gevonden P een waarde voor I) Ie berekenen. Dit
is in overeenstennning incl hel verloop vun de kromme
/>=ƒ(,5) |,ij do waarnemingsreeksen van Wkstc.hkn.\')

, n T J

Deze l)e.sprcekl ook dc formule ^ waaru»

P (hi gasconstantc is, N do constanto van AvotiAnuo, /x de
inwendige wrijving van hel medium on a do straal der deeltjes,
doch komi in verband mol hel bovonslaando evenzeer lot de
slotsom dal fonuule (5) ter berokcniiig van N «van geringe
waarde» is. Dit gelukt hem wel in nauwkeuriger waarne-
mingen bij eon cilindrisch volume, waarbij de theorie en bel
o.xporimenl wederom goed overeenstemmen.

M Arkiv. f. .Mnlcnmtik, IJii. 11, 14, 191(5.

Arkiv. f. .Mulcniulik, lUl. 13, N . N, HM8.

Wij zullen de waarnemingen van Westgrex no<T op een
andere wijze toetsen. Men kan de kans W{a, n r, i) berekenen
dat het getal « na nr sec (- is het oorspronkelijke waar-
nemingsinterval) gevolgd wordt door h. De kans, die uit de
waarnemingen wordt afgeleid, noemen wij de «experimenteele^ •
de kans, gevonden uit de formules (3) en (4) zullen wij aan-
du.den als de «theoretische^. Wij willen nu nagaan of deze
getallen II (a, nT,h) voor toenemende n naderen tot Wih)
d. 1. de kans dat het getal h optreedt.

In onderstaande tabel is voor de reeks C van Westgukx

de kans Wia, n r, h) vermeld en wel de «experimenteele» steeds

op de bovenste van twee bijeenhoorende regels, de .theore-
tische» beneden.

Verder blijkt:

If(0) = (VJ.i2 (expcr.)
ir(l) = 0.350
If\'(2) =0,227
If\'(3) = 0,111
If\'(i) = 0,013

Ook hier levert een vergelijking der experinienteele en der
\'lieorelische kansen !!\'(«, geen goede overeenstemming,

zooals ook graphisch kan blijken, indien men de verkregen

getanen uitzet. De «theoretische» convergeeren zooals te ver-
wachten 18 zeer goed tot W{h), de «experimenteele^ echter
m t geheel niet. Dit is vooral hierom te betreuren, omdat
hierdoor een middel vervalt om na te gaan over welken
afstand de correlatie bij deze proefnemingen nog te bespeuren is.

Van enkele andere onderzoekingen op dit gebied vermelden
WIJ de volgende.

R. Fürth >) heeft de beschouwingen van v. Smoluchowski
toegepast op een getallenreeks, die op de volgende wijze
verkregen werd.

Orn de 5 sec. werd het aantal voorbijgangers, dat zich op

het trottoir voor een huis bevond, geteld. Is Pde kans dat

een voetganger op den tijd nul in hel beschouwde interval

van ƒ Meter zich bevindt en er na den tijd / uil verdwenen
is, dan is

als ^ de snelheid van den voetganger i.s. Dekan berekend
worden uil deze formule en aan de han.1 van de betrekking
A =2v./ u.l de getallenrij. Kr blijkt goede overeenstem-
ming te beslaan. Voor ^ = 5 sec was />=(),HJ(P) Fcrru
bel verder zien, dal na omroeren van de door hem gevonden
gelallennj de nawerking verdween en voor P in dit L^evil
1 werd gevonden. ^ \'

Ook worden eenige formules van v. Smol.ichowsk, getoelst
door A h. VAN- Aukkl \') aan w-aarnemingen mei bepaalde
solen. Ilij vuidl bevredigende resullalen .bij de fi.rmule

Hij controleert evenals v. S.MOLUcuowsKr l,crekende en
\'alnjkheden n.et goede overeenstennning. Aan!

\') Phy«ik\'. Zeitschr. XfX, 421, Ull8 cm XX, 21 lOlü

Du IS medegedeeld door Ounstjjin en hii\'ur-v.,"\\r ,
Ak-ad. v. \\Veten.ch. XXVH. IIÓO, 1010

!! n^ Zeitschr. XXI. N». 12,

U,tvlokk.„g..„elheuI van het «eleensoi, Dis.. Utrecht I!)20 "

getoond wordt dat de waarnemingen niet kloppen met de
talrijkheden, wanneer deze berekend zouden worden in de
onderstelling van volkomen onafhankelijkheid, d. w. z. wanneer
Tr(», m)= Tr(») Tr(»0 was. P berekend uit de formules
(2) en (5) stemmen hier goed overeen (Ü,ö3 en 0,55).

Gaat men uit van de onderstelling, dat bijv. door strooming
de afhankelijkheid tusschen de waarnemingen zou zijn op-
geheven, dan vindt men de i)elrekking An = v — wat in
de formule (1) verantwoord - wordt door /\'= I te stellen.
Het blijkt echter, dat de werkelijk waargenomen waarden
Aii tamelijk goed overeenstemmen met die, welke berekend
zijn volgens von S.moluciiowski in de onderstelling, dal alleen
de diffusie de veranderingen veroorzaakt; dat zij echter zeer
aanmerkelijk afwijken van de waarden, die berekend zijn in
de onderstelling van geheele onafhankelijkheid. Do stroo-
mingen, die .soms opgemerkt werden, hebben dus slechts
een geringen invloed o|) de waarnemingen; integendeel toonen
de tabellen aan, dat de snelheid, waarmoe hier de concentralie-
veranderingen plaats vinden, zeer goed met de theorie van
v. Smoi.ucmowski in overeenslemming is. Het gelallenmateriaal
is echter onvoldoende om er de scherpe toetsing op toe le
laten.

K. Mucmwam) \') deliniecrl andere uitspringkansen on toetsj
deze in Aimalen der PIn\'sik IV Folge Hd (Hi, 1921. Hij gaat
eerst na de betrekking A- = 2 y P voor een cilindrisch volume
en vindt dal de Iheorie voldoende bovesligd wordt.

Hij neenil bij een tweede reeks proefnemingen den aan-
vangsloesland van een deellje in het volume v weer wille-
keurig, doch gaal dan de kans Pi na, dal hel deellje gedu-
rende den lijd t uitgetreden is, waarbij in logonslelling met
liel vorige geval hel deellje niet hel volume verlaten en weer
intreden mag, doch de eerste uillroding hel deelto aan verdere
beschouwing onttrekt. Ook hier vindt hij bevestiging van
(ie theorie.

Pi is bij hem verder de kans, dat een in v intredend

\') Phy^ik. ZcilHc-hr. XXII, 497, 1921.

deeltje t; binnen de volgende ^ sec. weer verlaten heeft De

\'\' P-efnemingen bevestigd.

Volledigheulshalve onderzoekt hij naast P, A, P, ook no. de
kans P dat een deeltje ^ sec. na zijn intrede in . .ieh;ie
ann bevindt; en hij toetst zijne theoretische beschou^Cn
aan eigen waarnemingen. \'\'

i.itehatüür nu IloOFn.stuk I.

2.«,, „„5.

l\'liysik. Zcilsclir. XVII, f»", iok;

SvE„„„„n. Die Kxisicu der Mcleküle, M1I2

Tu i-nf\' \'\'\'• -

[■• s. (),msTK,.v. Vci-Sl. Kon. Akad. v. W. X.W n-H ini7

I\'. ^«nrn. Sei,wa„i<„n«.ersel,oi„un„e„ i. -ïï nly\' ■ \'

schweig li)2ü. \' mmiiii-

I\'hysik. Zeitschr. XIX, 421, I«)18
21, l\'«)!!). ■

I^iiysik. Zeit.schr, XXII, 4i)7 l«)->i \'

Annalen d. Physik. IV, Fol.c Md.\'(lil, Jn-Jl

^ v. „. «eleenso,.

\' • """ XXI, 4ti5, h,2().

HOOFDSTUK II.

De Teraiulerlijklieid van het aantal emulsiedeeltjes in
een voliinie-elemeut, als liet aantal gegeven is,
dat to voren aanwezig was.

v. .Smolikmiowski heef! helrekkingen afgeleid, waarin de
kan.s P voorkom!, dal een deeltje, dal op den lijd md in een
volume-element v aanwezig i.s, na een tijd / daaruit verdwenen
is. Hij toonl aan, dal het helrelTende ver.schijnsel met dilTusie
te vergelijken is. Weel men alleen dat het deeltje ergens
in V ligt, dan zijn dus alle plaatsen in r even waarschijnlijk
en is de kans /Me berekenen uil hel dilTusieprobleem, waarbij
de massa op f = O homogeen over hel element r verdeeld is.

Weel men, dal hel deeltje op den lijd nul in r lag en
dal hel op den lijd f nog in r is, dan zijn niet meer alle
plaalsen even waar.schijnlijk voor de ligging van hel deeltje
op den lijd /, doch zijn de kansen voor de ligging van hel
deellje gegeven door een dilTnsieverdeeling, die op den lijd t
uil de honwifciir verdeeling, welke op het tijdstip nul bestond,
ontstaan is.

De kans om tu.s.schen de lijden f en 2 f uil le springen
niel langer P (de kans bij homogene verdeeling), doch
Deze kan met behulp van de oplo.ssing van hel diffusie-
vraagstuk berekend wonlen, als men als aanvangstoestand
neemt de zooeven genoemde verdeeling op den tijd /, een-
voudiger echter door de toestanden, die op de tijden 2 f en
f >iil do homogene verdeeling op / = () ontstaan zijn, le ver-
Rolijken. .Men vindt:

Hierin is I{t) de hoeveelheid, die na den tijd t nog in v
aanwezig is en U{t) de hoeveelheid, die zich in den tijd t
huiten v begeeft.

Wij hebben dus de oplossing van het beschouwde diffusie-
probleem noodig. Gegeven zij bijv. een bol met straal R,
aanvankelijk homogeen gevuld (dus beginconcentratie constant
= c) met een substantie, die. door diffusie zich naar buiten
verspreidt. Gevraagd de concentratie in een punt A binnen
den bol na een tijd t (de afstand van A tot hel middelpunt
M van den bol zij p). We moeten dus eene oplossing u {p, t)
zoeken van de diffusievergelijking, als gegeven is
u ip, 0) = c voor O < ^ <
n{p,0) = () voor //<^<co
Deze oplossing vindt men bij Rik.manx-Wkhku \')•
Zij luidt:

. . . (I)

Hierin is <r-=I) de diffusie-coëfficiënt; r de afstand van
A tot een willekeurig punt q binnen den bol;r een volume-
element; de aanvang.sconcenlratie iii het punt welke
bij ons c is. Hierdoor wordt

\'\'^^(MTr^rj^ • • . • (2)

Voeren wij poolcoördina/en met nu\'ddelpunl .1 in, dan wordt
(lr = (Ir sin Ö d O tl 0 en

 0,

2zc f-Ji- r

» 0

want de integratie naar 0 geeft 2z.

Is het punt q zoo gelegen, dat O <Cr<C.B — p d. w. z. q
binnen een bol met straal li — p om A, dan kan ö varieeren
van O tot 2 - (integratie geeft 2 -); is 7? — p<C.>\'<iIi-{- p, dan
loopt ó van O tot < li A M = ói, als B op een afstand r
van .\'1 op den omtrek ligt. Splitsen wij dienovereenkomstig
den integraal uit vergelijking (8), dan wordt het resultaat:

C — C

R P

— a r\'

. dv I . . (4)

als a

De hoeveelheid, die zich in den lijd i builen den bol be-
geeft, is

m " I I ■ «1

V ^Plp = n

Dan volgt uit (4):
. -JL la\'\' y n^ a ./

fayi _
als I c ---

Verder, is de lioeveellieid, die na den tijd t nog aanwezig is,

li

1 {li, t)=^7r I u.p^ dp
u

lin V()lg<ïns (4) is dit: \' ^^^

/(«, O = H cK . I f -^ ^ (-1

i . . . . ((5)

Uit de vergelijkingen (5) en (6) volgt ter contrôle

d. 1. de hoeveelheid, die aanvankelijk in den bol aanwezig was
De uitspringkans p van v. Smoluchowski d. i. de kans
dat een deeltje op den tijd nul aanwezig, na een tijd t uit
het element verdwenen is, bedraagt

pu. U{B,t)

^^^\'-^hTlFc......(8)

Uit formule (5) volgt terstond

Lim

l = 00

dus

Lim P[t)= 1.

t = co

Men kan nu echter ook vragen naar de kans, dat een deeltje

op de tijdstippon nul en t aanwezig is, doch op 2 / ver
dwenen is. Deze kans is

HB, t)

Algemeen is de kans, dat een deeltje aanwezig is op de
tijden O,/, 2t,----nt, doch verdwenen is op (»-f-

P" //) _ iU) — iJ ( H, » t)

^^ i(p,Vn ■ • ■ 0))

Wij berekenen nog

= Lim :Jl-zJLil>_J) ■

= 00 I {p f)

K\'\'!=» ■ ■. (10)

I)il is du» van do „rde (i) ; ,en »|„„o n„<l„H dc.e

\'p = 00

kans dus tot nul bij een bolvormig volunie-elemenf
Voor een vlakke laag zijn de formules van v. Smoluchowski

te gebruiken .„ P p- en P- te vinden, moeten a

1 (<)= h. e. 0.— U(jL)
waarin O het oppervlak van de laag voorstelt.

en h de dikte van de aanvankelijk homogeen met de con-
centratie c gevulde laag is. \') Wij hebben dan

t

J dx

. dt = h. c. O. F,

h

waar m

V-i " \' ""-2]/lit

Hiermede is U {() gevonden en zijn P\'____P" te berekenen

(h)or middel van formule (9), terwijl reeksontwikkeling geeft

[t) — O, wederom van de orde (- evenals fonmde(l()).

=03

Hij een bolvonnig element en bij een vlakke laag beide
nadert deze kans dus lot nul van dezelfde orde. Is dit bij
een willekeurig o|)i)ervlak ook het geval? Analoog aan for-
mule (7) is sleeds

inp.t)-hJ{j> t)=h,

als h de hoeveelheid is, die oorspronkelijk in het lichaam
aanwezig was, dus

n{p t) = h — i[p t).

Derhalve

p=z<x> \' \\J\'tJ ;) = oo

lipt) ~ ;fio lipt) \'

In al dezo formules is t eindig.

Nu heeft J (t) den vorm:
/(/) = />/\'\'lager machten van /(II). Dan wordt dus

7,00 _ , , \'lli\' nnw\\ücn_
(«i— » j,^k ^Tiuge,. nuichten

\') Vergelijk M. v. Smoi.uchowhki MolekuInrrttntlHtik von EmulHioncn
1>. ü en 10.

/ ju .

1 — Lim 1 - =0, van dezelfde orde als -voorw^co

p = zo \\ 2^/ P

Dat voor Ut) de gebruikte formule inderdaad goed is, ziet
men op de volgende wijze uit formule (I). De in deze formule
optredende integraal heeft eindige grenzen, n.1. de grenzen
van het beschouwde oppervlak, daar buiten het oppervlak
(Pq = c = 0. Kiezen we het punt A, waar we concentratie
u^ zoeken, als oorsprong, dan gaat de betrekking (I) over in

_ _c rP ff _ x\' y» 4- x»

Stellen wij \'—f; -—

dan krijgen wij:

i> r u

/ i\\k

c /--\'«I// r-aVT

2n\\/T iTiï^

Ontwikkelen wij deze integralen in een reeks, dan komt er

lager machten van t en aangezien 1 (/) = fu dv
is de functie f ook van den vorm

nt) = h t lager nuichten van waarmee hel bewiis
van (11) geleverd is.

HOOFDSTUK III.

Do kans op 0(511 liepaalde verandering vjui een aantal
deeltjo.s, indien goRoven is het, aantal, dat to
voren aanwezig was.

Naast de doorv. Smoluchowski gedefinieerde kans ir(«,/;),
dat in een beschouwd volunie-elenient v zich eerst bevinden
a deeltjes en na het waarneiningsinterval r een aantal deeltjes
h, kunnen wij invoeren een kans r), dat zich eerst«

deeltjes in het element bevinden, r sec later h deeltjes en
weer r sec later e deeltjes of anders de kans, dat b gevolgd
wordt door r, als men weet, dat a aan h voorafging. De
gedachte, die hiertoe leidt, i.s de volgende. Indien de corre-
latie zich ver genoeg doet gelden, hangt het aantal deeltjes c,
dat in v aanwezig is oj) zeker tijdstip, niet alleen af van het
aantal dal r sec te voren in r zich bevond, doch ook van
hel aantal n, dal 2rsec le voren in v was, ja hel kan zijn,
dal bij groote correlatie toestanden van ii 7 sec te voren nog
invloed hebben. De eer.ste uitbreiding is dus van de kan.sen
/;) over te gaan op ir(w,r). \')

(Jelieel op dezelfde wijze als bij v. Smoluchowski voor
twee indices is ook hier \'

W {a, b, c)= ^ lJu /i. c -1, (c > b) ]

n=0 f

b ( (1)

Of ir(rt,/>,0)= llu Jn U-C {C<h)
11=0 \'

Hierin is Un de kans, dal 11 deeltjes hel element verlaten,
in aanmerking genomen, dal er r sec te voren a deeltjes aan-

M By het experiment kan raen r niet willekeurig kleiner maken, anders
zou hierdoor ook al afhankelijkheid optreden van het aantal, dat 2r8ec.
te voren aanwezig was.

wezig waren en In de kans op intrede van n deeltjes bij
dezelfde gegevens. Is ons van den toestand r sec. te voren
niets bekend en weten wij alleen, dat zich h deeltjes in het
element v bevinden, dan noemen wij evenals v. Smoluchowski
de kansen op uittreden resp. intreden van n deeltjes An
en En.

Om uit de waarnemingen te bepalen in boeverre er cor-
relatie is, zullen wij een uitdrukking opsporen voor de ge-
middelde verandering van het aantal deeltjes en wij kunnen
weer trachten deze te vinden door sommeering der producten
{h — e) W{a h c) bij gegeven a en & en variabele c. Wij moeten
dan de formules (1) gebruiken en de functies (/„ en ƒ„ op-
schrijven. Bij dc berekening biervan moeten wij bedenken,
dat van de h deeltjes, die in het beschouwde element aan-
wezig zijn, er een zeker aantal, stel m, ook reeds - sec. te
voren zich in het element bevonden, terwijl de overige h — m
deeltjes van buiten naar binnen zijn gekomen «bij den eersten
slap». Wij zullen kortweg deze twee soorten ten- onder-
scheiding «oude» en «nieuwe» deeltjes noemen. De tn\'lspritig-
kans van een nieuw deeltje is evenals bij v. Smoi.ucuow.ski
l\\ voor een oiul deeltje (vergelijk hoofdstuk 2).

We beginnen dus na Ie; gaan de kajis Uu, dal u deelljes
het element verlaten cn zullen onderstellen, dal zich hieronder
bevinden / oude, dus n — i nieuwe deelljes. Men ziel dan
terstond, dal, als er m oude deelljes zijn, do kans op vertrek
van i exemplaren daarvan is

i>,i(1_p)m-i......

Evenzoo is dc kans op uiltreden van » — /nieuwe deelljes
uit een totaal h — m gelijk aan

Om Un te kunnen opschrijven, nu)el n.en hol product dezer
2 uitdrukkingen nog vermenigvuldigen met ,lo kans. dal er
^ de h deelljes m oude zijn, d.w.z. de kans «•«(«,„,)

\') Vgl. Wiener Berichto 1915, pag. 2383 en 2391.

dat van de a eerst aanwezige deeltjes er m in het element
zijn gebleven en dus h — m van buiten naar binnen zijn
gekomen. Dan wordt:

f^n = V V lm\\ pi (j _

mi \\lj

• . (4)

Hier nujet gesonnneerd worden naar l van O tot ?h; en
naar m van O tol a resp. lotal naarmate a <6 of «>/ms.
In bovenstaande formule is

als ir(r/, W de aan hel begin van dit hoofdstuk genoemde
kans is, dat a gevolgd wordt door h en A en K de door
V. S.Mor.ucnowsKr 1. c. ingevoerde kan.sen. De juistheid van
deze formule voor irnCfJ, wj) kan men op de volgende wijze
inzien. ]\\len kan hel lol stand komen van de gebeurtenis,
dat er eerst a deeltjes in het element annwezig zijn en later
verklaren door ver.schillemle oorzaken bijv. dat er van de
<i deeltjes m blijven en b — m nieuwe bijkomen. De kans
priori, dat er m deeltjes blijven, is yl.i-m. De kans, dat
er }) — m deeltjes intreden, is A\'i.-in. D(> kans A i)riori, dat
van (i(! a deeltjes m in het element blijven en er ten slotte
door de intrede van h — m deeltjes h zijn, is dus het product
dezer kansen .l.-i - m A\'ii-m- Als nu de gebeurtenis (« ge-
volgd door h) heeft plaats gehad, dan is do kans nh (a, m),
\'lat dc genoemde oorzaak (hel blijven van »uleeltje.s) gewerki
Jieeft (kans i\\ posteriori) gelijk aan de bovengenoemde kans
-•a-m A\'i.-ni gedeeld door de som dier kan.sen naar»», als
^ve deze grootheid als variabele nemen, d. i.

„. / X -la —111 A\'li —111
II»(f/,)») = .. ,

Z. - la - lil /a> —111

III

Pn dit lovert fonnule (M, omdat de imemer II\'(f/,/\') is.

^hn ƒ„ te berekenen onderstellen wij, dat er, oji den tijd
t == O in het buitengebied deeltjes zijn. Op den tijd t = r
^Ü» er binnen m oude dcelljes cn h — m nieuwe en buiten

dus a — i 4- tn oude en « — m nieuwe. Voor de kans, dat
hiervan naar binnen gaan k oude deeltjes en n — k nieuwe
deeltjes, vinden wij geheel als bij het voorgaande

« — i m\\ „ t „ u , „ u la — lil"

Pi"" (1 — p, - ^ I ~ l] (1 — m - „ k

Om Ia te vinden moeten wij dit allereerst met ws (a, m) ver-
menigvuldigen en naar de mogelijke k en m sommeeren, docli
omdat ons bovendien « onbekend is, moeten wij dit product

nog vermenigvuldigen met de kans ^ j ^ dat er op < = O

buiten a deeltjes waren \') en naar « sommeeren.
Derhalve is

7 — v£Z^ vv / J^-h-hm
Jn — 2.-j— X 2. w» (a, m) , \'

« «! m k n-

Pr^ (1 - - - " - pn-t (1 _ m - n k

waarbij de som te nemen is naar
k van O tot « — -f w;

m van O tot a resp. h, al naarmate a ^ h of a>i;
. a van O tot QO als a"^!);
X van h — a tot oo als

Men zou nu kunnen trachten deze sonnnen door eenvoudiger
uitdrukkingen te vervangen; hierbij stuit men op bezwaren.
Doch dit is ook niet noodig, want.men kan direct de e.xpe-
rimenteel gevonden waarde van P gebruiken, bijv. uit do
reeksen van Wkstguen -) om de kans P, te berekenen uit-
de formules (1), (4), (5) en de zoo gevonden grootheid P,
vergelijken met de theorelische (zie blz. 28). Voor de gevallen,
die wij controleerden, werd de zoo uit de waarnemingen be-
rekende" Pi steeds te groot. .

Vraagt men alleen naar de waarden der gemiddelden, dan
kan men evenals in de door v. S.MOLUcnowsKi beschouwde
gevallen de Jngewikkelde sommatiemethoden ook vermijden

») Vgl. Wiener Berichte 1915, pap. 2383 en 2391.
\') Arkiv. f. Mat. XI, N®. 14, 1916.

en door een geheel andere redeiieering komen tot de hoofd-
stuk 1 gebruikte fornniles voor An en A"\'. \')

Wij zullen dus ook trachten langs een anderen weg een
uitdrukking te vinden voor de gemiddelde verandering Aab
van het aantal deeltjes h, dat door a is voorafgegaan. Wij
merken op dat _ _ _

Anl) = al.Ai — iil.Au (()),

waarin de grootheden uit het tweede lid voorstellen het ge-
middeld aantal deeltjes, dal intreedt (aiiAi) resp. het aantal,
dal uittreedt (abAu), als gegeven is, dat er eerst a zijn en
later b.

Wij onderstellen, dat onder de deeltjes zich w oude en
h — m nieuwe bevinden. Om ai»Au le berekenen, zoeken
wij eerst hel gemiddeld aantal deeltjes Ai, dat bij gegeven
m uittreedt. De kans K{x), dal er x deeltjes uittreden en
wel X — ?/ oude en y nieuwe, is, gelijk men gemakkelijk inziet

A\' ix) = (1 — Z^)\'\' - - >• .

y=o\\ y

I m
- !/j
Nu is

Al = r .r.7v\'(a;).......(H)

Oni deze sommatie uit te voeren, tellen wij eerst alle pro-
ducltMi samen, waarbij oc oude (hieltjes uittreden en vinden
hiervoor:

]V{a) = f"\'") (1 - /\',)•"-" /V\'4- f^-)

De hier voorkomende som is te splitsen als volgt:

l>-ni /ƒ,_,„\\ l\'-»»

k .0 \\ / k ü

\'\' "\'j (1 — If = x (h—„>} r

Zie Oknstkin\'. Do vcrftiulerlijkheid vnn degroepeeringvnn emulsie-
deeltjes met den tyd.
Versl. Kon. Akad. v. Wetensch. 31 Mei 1917, A\'dam.

en derhalve

Wicc) — (1 — ƒ>,)■"— ƒ>,« (10)

en blijkbaar is nu

tn

A, = X Wix), wat bij soortgelijke splitsing als bovenop-
a = o

levert:

Ai = mp, (i — ,n)p.....(h)

Dit is dus het gemiddeld aantal uittredende deelljes hü
gegeven m. De uitkomst is ook direct in te zien.

Noemen wij nu de kans, dat er van de & deeltjes inderdaad
m^ud zijn, weer ws {«, m) dan blijkt:

al)A11 = £ Wh (a, m) Al = X Wü [a, m) j m 4- [b — m) PI =

i.i \\ / I

= bP.-£w, ia, m) - P) X m . w, [a,=

"1 m

= .... (12)1)
Hier is mnh het gemiddeld aantal deeltjes, dat in het ele-
ment blijft, als er aanvankelijk a zijn en later/y. Deze groot-
heid wordt dus zoo noodig berekend uil de formule

— -111 Eh - in

------"]rM)--■ • • •

waarin A en K de bekeiule beteekenis hebben als bij von
Smoluchowski van uil- en inlreekans op grond van de for-
mule (4 fl) ■•\'). De sommalie in den teller is naar m en wel
van O tot h als «>/>
van O lol a als

Hest dus nog Ie berekenen de grootheid ai.Ai van form. 6.
Hiertoe gebruiken wij een andere methode. De gebeurtenis.sen,
die er voorvallen in en builen ons element lus.schen do oogen-
blikken, dal er « en dat e\'r h deeltjes zijn, vatten .wij samen
onderden naam «eersten staj)»; zoodra er h zijn, begint dc
«Iweedj! slaj)«. fJaan er nu bij den eerslen stap q deelljes
van de « naar buiten, dan welen wij, omdat er bij hel begin

\') Men ziet weer terstond dat formule (12; uit formule (11) volgt door
naar m te middelen.

V Vergelijk Wiener Ber. 1014, p. 2388.

van den tweeden stap h zijn, dat er bij den eersten stap
b — a-^ q ingetreden zijn. Die q uittredende deeltjes zullen
zich verspreiden over het buitengebied. Beschouwen wij van
dit buitengebied een bepaald element dv, dan is het duidelijk,
dat de kans, dat een deeltje van binnen naar dv springt,
afhangt van de grootte van dv en verder van den afstand
waarop du zich bevindt van het element waarvoor wij Aaii
zoeken. Wij kunnen dus zeggen dat de dichtheidsvermeer-
dering van dv tengevolge van het bovenstaande bedraagt:
Qjip)

Zooals gezegd treden er bij den eersten stap b — a q
deeltjes van buiten weer in .1. Hierdoor is de dichtheid
van dv verminderd en deze verandering is weer afhankelijk
van den afstand p van dv en A en is dus gelijk aan

[h — a q). (j (p),
waarin de functie (/{p) aangeeft, welke fractie der deeltjes
uit het element dv in het element A terugkomt.

De functies / en ;/ zijn echter gelijk, want de kans om
van A naar dv l(! springen is gelijk aan die om van dv naar

ferug te keeren; en was de dichtheid buiten aanvankelijk
dus d, dan zal deze bij het eind van den eersten stap dus
geworden zijn

\'f -h\'lJip)- (h -n q) ./ip) = r/ - (h - a) .f{p) (11)
en wij vinden nu:

al. A i=f\\d-{h-a)./\\f(p).dr =

= ƒ djip) d r-ih- a) j]/{p)\\^dT==

=\'yr ih-a)x . (15),

als we den laatsten integraal, die evenals de eerste uitge-
strekt moet worden over hel geheele buitengebied, vervangen
door een constante x, die in de gegevens dor dilTusieverge-
lijking is nil le drukken.

Voor de gemiddelde verandering van het aantal deeltjes h
in ons element A (dat vroeger a deeltjes bevatte) vinden wij
dus op grond van de formules ((>), (il)_en (15):

Aab = (v — h) V (b — a) x — niai, (Pi — P/ . (1 ü)
\') Voor /■(/>) zie blz 28.

De functie f{p) is uit te rekenen en dus a: eveneens. Deze
berekening verloopt voor een bolvormig element geheel als
die op blz. 16 e. v. Het punt A moet nu echter buitenden
bol aangenomen worden; dit brengt verandering in de inte-
gratiegrenzen. Wij kunnen echter zonder x op deze wijze
te bepalen de formule (16) toetsen.

Wij gebruiken Avederom het waarnemingsmateriaal van
Westgren \') en gaan na of deze waarnemingen steeds dezelfde
waarden voor de grootheden a; en l\\ o|)leveren en of deze
laatste overeenstemmen met de op volgende wijze te berekenen
waarden van Pi.

Volgens hetgeen afgeleid is in Hoofdstuk II, blz. 18, for-
mule (9) is

1\', it] = t)-U{t) _ £(2 t) - U{t)
I{t) h-U{t)

waarin h de aanvankelijk aanwezige hoeveelheid voorstelt, ü (f)
de hoeveelheid, die zich in den lijd / naar buiten begeeft en
I(t) de hoeveelheid, die na den lijd t nog aanwezig is.
Verder geldt

P(/) = M)of Uit) = k.P{t)-

hierdoor gaat de ^^enoemde uildrukking voor /\', (/) over in

.....07)

Westgren piibliceeri l.c. (h-ie waarneming.sreeksen .1 C
en E. Hiervoor is \' \'

De hier opgegeven waarden van Px zijn met formule (17)
berekeiid. Verder leveren deze reeksen de volgende waarden
voor ?»aij, berekend met fonnule (IH) en voor Aab

Natuurlijk is jnou = O = »»ao.

Schrijven wij met behulp van deze labellen de vergelijking
(10) op voor alle mogelijke comhinalies («,/;), daarbij x en
als onbekenden beschouwend, dan blijken sojnmige ver-
K<ilijkingen slechts één der onbekenden te bevallen, terwijl
de overige geheele coëfficiënten voor x hebben. Deze is dus
telkens zeer gemakkelijk te elimineeren. De waarden, die
•nen voor x vindt, loo|)en zonder eenige regelmaat zeer uiteen
\'n de reeksen .1 en (\\ die wij voor de toetsing gebruikten,
«ivenals ook die vom- De laatste zijn bovendien bijna
zondoi- uitzoiulering to groot (vaak grooter dan l\'), zoodal

deze controle op de genoemde waarnemingsreeksen toegepast
zeer slechte resultaten oplevert.

Na al onze toetsingen mogen wij blijkbaar besluiten, dat
de waarnemingen tot nu toe onvoldoende zijn om zelfs de
theorie van v. Smoluchowski in alle onderdeelen na te gaan
en zeker niet kunnen dienen voor nog meer in bijzonderheden
gaande kwesties. Het is dus wenschelijk nieuw experimenteel
materiaal te verkrijgen, waarbij zooveel mogelijk alle fouten
vermeden worden. Dat de waarnemingsreeksen van Westgre.v,
die in ander opzicht zulke goede resultaten leverden (zie het
geciteerde stuk), hier bij meer nauwkeurige toetsing minder
goede resultaten geven, behoeft geen verwondering te wekken,
als men het negatieve resultaat van blz. 10 c. v. hoofdstuk I
overweegt.

HOOFDSTUK IV.

«esclioiiwingeii over de waarschyiilykliehl in
getnUenreekHeii.

Indien een reeks van getallen gegeven is, kan men, als
hetzelfde getal in voldoende male herhaald wordt, spreken
van de waarschijnlijkheid van het voorkomen van dit getal
in de reeks, of ook zelfs van de waarschijnlijkheid in een
deel van de reeks. \') Wij zullen in het volgende nader in-
gaan op de omschrijving van de waarschijnlijkheid van het
voorkomen van een getal in dergelijke reeksen, waarbij wij
ons op het standpunt zullen plaatsen, dat de reeks isotroop
is, d. w. z., dat er geen redenen zijn, die ons nopen te onder-
stellen, dat de waarschijnlijkheid in een deel van de reeks
systemati.sch van die in een ander deel verschilt.

Hehalve de vraag mmr de waarschijnlijkheid ir(«)vanbet
voorkomen van een getal kan ook die gesteld worden naar
de waar.schijnlijkheid, dat een getal « door een getalgevolgd
wordt j) termen verder in de reeks. Deze grootheid stellen
wij voor door W{a,}},h). Verder kunnen wij vragen naar
de waar.schijnlijkheid H\'\'c), dat a na p tennen ge-
volgd wordt door h cn deze q termen verder door c. Wij
zullen ons verder bepalen tol hel geval, dal de intervallen
p en q gelijk genonum worden. Korlheidshalvo kunnen wij
dan de twee bovengenoemde kansen door IV {a, h) en \\V {a, h, c)
voorstellen. Kvemils l.c. hebben wij dan weer:

.......(1);

\') Vcrgolijk L. S. Ornstkin en H. C. Rijkokr. Statistiek van go-
talIenrcckKcn. Vcr8l. Kon. Akad. 1019.
(V«H)rlaan geciteerd aU 1. c.)

b

W{h) = Y,W{a).W{a,h).....(3)

a

In deze betrekkingen moet de index, waarnaar gesommeerd
wordt, alle in de reeks voorkomende getallen doorloopen.
Hierbij moeten nu gevoegd worden:

......(4);

W = W ix). ir {x, y). W [x, ij,c) . . (5),

waarbij eerst en dan ij alle mogelijke waarden, die in de
reeks voorkomen, moeten doorloopen. Om in te zien, dat
tusschen \\V{c), W{a, li) en 11%, h, c) de identieke betrekking (5)
moet bestaan, bedenke men, dat \\V (o) de kans voorstelt op
een waarde rt, W{a,h) de kans, dat deze gegeven a door h
wordt gevolgd en W («, h, c) de kans, dat, als a door h wordt
gevolgd, na h weer c komt. In de som zijn nu alle wijzen,
waaroj) c kan voorkomen, in aanmerking genomen, daar toch
c door een van de mogelijke waarden en deze weer door
een van de mogelijke waarden a moet voorafgegaan zijn.
. Ken tweede identieke betrekking kan op analoge wijze
afgeleid worden n.1.:

If\' («). W ia, h) = ^ W Cr). ir ia^, „). W ,,, /,) («)

In de .som moeten aan a; alle in de reeks mogelijke waarden
toegekend worden. Immers, indien a en h gegeven getallen
zijn, verkrijgt men alle in het eerste lid nu)gelijke combinaties
door in het tweede lid aan a: alle denkbare waarden toe te
kennen.

Het aantal vergelijkingen (f)) i.s gelijk aan het aantal moge-
lijke waarden c, terwijl er juist zooveel vergelijkingen (li) zijn
als er combinaties ah kunnen optreden (verondersteld n.1.
is, dat alle intervallen gelijk zijn: p=zij).

Kvenals l.c. de waarschijnlijkheden ir(«) berekend kinmen
worden uit de kansen W met twee indices, kan nien hier
alle kamsen ir(«. en W(a,h) bepalen, indien dc kansen
ir (a, h, c) gegeven zijn. De vergelijkingen (ü) dienen daarbij .)m
de verhouding der waarden van alle producten IF(a). lV{a,h)

te bepalen. De betrekkingen (G), opgevat als vergelijkin-
gen voor de producten als onbekenden, zijn homogeen. De
determinant der coëfficiënten is volgens (4) nul, terwijl
de nuloplossing krachtens (3) en (1) niet te gebruiken is.
Verder is echter de som dezer producten volgens de verge-
lijkingen (3) en (I) gelijk aan één; dientengevolge zijn dus
de producten te berekenen. Subslitueeren wij de op deze
wijze gevonden waarden in de vergelijkingen (5), dan vinden
wij terstond de grootheden \\V{a\\ terwijl dan tenslotte de
getallen !!\'(«,hel quotiënt van de belrelTende producten
\\y{a,h) en de gevonden grootheden \\V [a] zijn. Hier-
mee is aangetoond, dat alle kansen W met I of 2 indices
uit de te berekenen zijn. neschoiiwen wij thans

het algemeene geval. Wij nemen dan aan, dat er een dus-
danige correlatie in de getallein-ij beslaat, dal de kans op
(ien zekere waarde van elk gelal in de rij van de waarde
der » — 1 vorige giitallen afhangt, d. w. z. wij be.schouwen
\'\'\'(«I, «2... . r/n) als afhankelijk van «i, ^\'a • • • • ^\'n\')• Wij
nioelen dan aanloonen, dal uit do betrekkingen tusschen de
grootheden 11\' met // indices en die van oen lager aanlal én
de gegeven waarden van alle f/j.... ^/n)o()k alle kans(;n

____rtk) voor ()</•<» le vinden zijn. Men zal

aan do hand van het vorige g(!makkelyk inzien, dat de vol-
gende betrekkingen beslaan:

V 1 .... (7)

«k

waarhij aan do indo.x /• de waarde 1 tot // moei worden
\'«»egekend, lorwijl elk dor t/\'n allo waarden, die in do reeks
•<111111011 voorkomen, moei doorloojien.

Vorder

II, H, n, «k-i

____----f/k-i,(l) (8)

Waarhij weer lielzelfde voor de ti\'s en do geldl.

\') (I,____n„ tJn i) wordt noncht ni«l vnn rt, nf to Iwngcn, zoodat

ir(n,,n,----rto,nn ,)= ----rtn,nn ,).

Verder

W{a). fy(rr,b) = EE....E • Tr(ai, 02)....

ai aj at-,

IF{\'r,,cr2----f7k-2,n). JF(fri----(9);

«1 n, nk-3

----JF(ai,fr2----f/k-s, "). fF(oi .. . ak-3, ^ /\').

• ftk — a, (i, h,c).....(10)

enz. tot ten slotte
ir(flr,) . W {01,02) . Wir/t, 02, f/3)----JFio,, (,s____=

= Z JF(x,o,). JF (x, o,, 02)....

X

----. .00-,) . . . . (11)

Wil men nif de IF met » indices die met een kleiner aanlal
afleiden, dan begint men biertoe met deze laatste vergl. (II).
Schrijft men voor alle mogelijke waarden deze" betrekkingen
op en bescbouwt men de producten J\' van den vorm

» ("1). ir (\'^i, \'\'2). U\' {ot, oa).... 11\' (a,, 02... Ou _ ,)
als onbekenden, dan zijn de vergl. (11) weer homogeen in
deze onbekenden, evenals de vergl. ((i) ten opzichte van de
producten )F{oi). iF (m, ,,2). Krachtens de vgl. (1) is de
determinant der coëfTic. van (11) weer nul. De luiloplossing
is weer onbruikbaar en wij kunnen de verhouding der ge-
noemde producten I\' berekenen. Hun som is door vergl.
(7) weer gelijk aan de eenheid en biermede zijn du.s de
producten weder bekend. Subslilueeren wij hun waarden in
de vergelijkingen, die men krijgt, door in (H), (9), (10) enz.
aan k de waarde » toe te kennen, dan vindt men achtereen-
volgens de noodige combinalies der groolhedon n 1 •

.....

^V{a,,02). ]F a^ . . . . 0^-2)

Iedere 11\' met een willekeurig aantal indices <» is dan
door een eenv(,udige deeling te verkrijgen van b..venslaan.le
producten en de |)rüducten F op elkaar.

Men kan bij de beschrijving van een getallenrij in plaats
van met waarschijnlijkheden te werken ook uitgaan van het
aantal malen, dat een zekere combinatie voorkomt. Wij zullen

dit aantal door A(ni----On) aanduiden; de functie A stelt dus

het aantal groepen (ati (h . ... «n) voor, hetwelk in een bepaalde
getallenrij optreedt. Deze functies A kiumen ook dienen om
de waar.schijnlijkheden te bepalen en de genoemde relaties
tusschen de kansen le bewijzen, zooals men gemakkelijk kan
verifieeren. Tusschen de functies A leidt men op eenvoudige
wijze betrekkingen af. Hestaat een getallenrij bijv. alleen uit
de cijfers 0 en I, dan is, gelijk men onmiddellijk inziet:

(0) = A (01) A lOO) = A (10) A ((K))
d.w.z. vl (10) = (01), wal ook volgl uit

.1 (l) = .l(10) vl(ll) = .l (01) .1 (II).

Verder is

((X)) = .1 ((K)l) -f- .1 ((KX)) = .\'1 (100) -f ((KX))
dus A ((K)l) = (KX))

en

.l(ll) = /l(110) .-l {lll) = vi(011) .l (lil), dus
.1 (110) = .\'! (011) enz.

Hit de functies A worden de kansen H\' volgens delim\'lie
van de waarschijnlijkheid als volgt bepaald:

(^\'1----_

Hn

.1(0, ....«„ _i)......^

Hebben wij een getallenrij, waarin 3 cijfers voorkomen
^•>ijv. O, 1,2) die wij <i,h,a zullen noemen, dan is weer:

Ain) = A{n,a) -}-(«, M /I r) =

= A («, n) 4- A {h, (i) ^ (c, a)

Dus

(fi, b) A (a, c) = A (6, a) A (e, a).

Kvenzoo:

A (b, a) A (b, c) = A Oi, b) A (c, b).

Kn

A (c, a) A (c, b) = A {<1, r) A (b, c).

De som van deze drie betreivkingen is een identiteit. Dus
slechts 2 van deze 8 vergel. zijn onafhankelijk.
Verder is

A (ft, a) = A (rf, a, a) A {a, a, h) A {a, n, c) =

= A (ff, f7, fi) A (/j, d, (i) -f A (f, a, n)

Derhalve

A {(\', f\', h) -f- A [n, \'t, c) --= .-1 (/>, a, n) -f A {r, n, a)

en nog twee andere betreJikingen, door cyclische ver.schuiving
hieruit te verkrijgen.

Gemakkelijk volgt nu, dal in het algemeene geval geldt:
Z A , «2 . . . . On, X) = ^ /I {X, (tl, di.... „„) . (18),

* x

waarbij aan beide zijden evenveel cijfers n voorkomen; x
moet alle nu)gelijke waarden a aannemen. Van d(;ze v(M-gel.
bestaan er evenveel als er cijf(;rs in de be.schonwde getallenrij
optreden, daar x al deze waarden kan aaimemen.

Men kan met behulp der functies .1 de conditie op.schrijven,
waaronder na een bepaald aantal ternien in eene getalh\'nrij de
correlatie niel meer aanwezig i.s. Laat dc invloed van een ge-
geven waarde zich nog wel doen gevoehin in <len term, die
-zich w—I plaatsen van verwijderd bevindt, doch niel
meer in den term o|) dc «-l»; plaats, of korter g(*zegd laat
de correlatie bij den l\'-n (enn nog aanwezig zijn,\'l)ij den
echter verdwenen. Dan is dus

«2.... ft», ,) = \\\\\'[„i, a^.... Ou, «/„ .i i) \')
of uitgedrukt met de functies /I:

^ A (r/2 . .ihi-^.,)

("1----"II) A ((12 . 7. . (fu) \'

Is mi deze conditie voor elke mogelijke cond)inalie r/, .. ,
vervidd, dan is de correlatie bij den »-1«" ((»rm verdwenen.

Wij kunnen vragen naar de voorwaarden voor de om-
keerbaarheid.

Later, wij beginnen met hel geval van drie getallen n, h en
c. Ken gelallenr(!eks is omkeerbaar, als

Vergelijk noot op i)lz.

Hierin zijn de getallen; p en f/de intervallen, terwijl

door de notatie -^p resp. — q wordt aangeduid, dat het
getal c q stappen te voren door en dit p stappen le voren
in de rij door a werd voorafgegaan. De waarschijnlijkheid
M\' in hel tweede lid kan als een waarschijnlijkheid !\\ posteriori
berekend worden, dus is:

<l,c}

c

waarbij de som naar c in den noemer ovor allo mogelijke
waiu-den c mooi worden uilgestrekl. De noemer blijkt vol-
gons (()) gelijk le zijn aan

Is (Ie reeks dus omkeerbaar, dan is volgens formule (15),
als we gemakshalve de intervallen weglaten:

ii\'(/0. ir(\'/,/>,«)= H\'W. \\v{c,h,„) (lo).

Nu is do voorwaarde voor omkeerbaarheid (I. c.), voor zoover
belrofl de waarschijnlijkheden met Iwee indices

H\'(/,).)(\'(/;,,,)= ir(r,). ir. . . (17);

«lienlengevolgo zal, omdat, indien geeischl wordl, dat do
reeks omkeerbaar zij, ook aan (17) voldaan mooi zijn, do
voorwaarde (!H) iii den vorm:

\\\\{n). !!\'(<\',/\'). H\'(r) . n\'(r,/;). /;,..) (|S)

«t\'bniiki kunnen worden.

•Men ziel nu terslond in, dal mot behulp van volle<ligo
\'nduclie is af lo leiden, dal voor )i indices bij een omkeer-
bare reeks do betrekking

\'\'\'("i). II\'W.,^^..).... ir((/,....\'/„) =

= lf\'("n). (10)

»"oei gelden; waarvoor we de symboli.\'^che schrijfwijze

il(rM ....=/\'n "\'(«„....</,) . . (20)

\'^\'innen invoeren,
\'s een reeks omkeerbaar, dan geldt (20) voor alle mogelijke

waarden n. Wij kunnen (20) met behulp van vergl. (12)
ook met behulp van de functies A (pag. 35) schrijven. Passen
we dit toe op formule (18), dan wordt deze, als we het aantal
cijfers van de getallenrij N noemen:

A{a) ^aj) ^aM^^) A^cb) A {c h g)
N \' A(a) \' A iab) N \' A {c) \' Aicb)

of A{abc)= A(cba)......(21)

Op dezelfde wijze gaat de algemeene omkeerbaarheids-
betrekking (20) over in

A{ai,a2----cr„) = A{an____«2, ffi)

Wij zullen tenslotte deze relatie toetsen aan de reek.sen
van Westgren \') voor dc gevallen, dat a niet gelijk is aan c
(Voor a = c is steeds aan (21) voldaan).

Reeksen A en E.

») Arkiv. f. Mat. Band 11 n». 14.

Heeks C.

]\\len ziet, dat, evenals in Hoofdstuk I reeds voor andere
vragen bleek, do toetsing van de oinkeerheid resultaten geeft,
die verre van voldoende geacht mogen worden.

HOOFDSTUK V.

Verandering van kansen bij processen, die een beeld
van mengen geven.

Wij zullen ons thans bezighouden met eenige problemen
over waarschijnlijkheidsrekening, n.1. de verandering van kansen
bij processen, die een beeld van mengen geven. De oplos-
sing van deze problemen voert tot de dilTusievergelijking of
tot verwante vergelijkingen.

Als eerste voorbeeld noemen wij het bekende een-dimen-
sionale stappenbeeld der Brownsche beweging. Als hierbij

A-) dc kans voorstelt, dat het springende deellje na
stappen k plaatsen van den nulstand verwijderd is, dan vol-
doet deze ]V(n,k) aan een differentievergelijking, die in de
diiïu.sievergelijking overgaaf, indien de slappen op geschikte
wijze tot nul en hun aiuilal in een eindigen tijd lot oneindig
nadert. Hetzelfde blijft het geval, wanneer wij van de baan,
waarop het deeltje zich beweegt een cirkel resp. een kronnne
maken.

In het navolgende zullen wij \'ons bezighouden met ver-
schillende vragen omtrent een probleem, dat een analogon
van het roeren in een aanvankelijk niel homogene verdee-
ling levert.

1. Een willekeurige vcrdeeling van leekens verandert door
een proces van plaats. De verdeeli?ig zal tol een stationaire
toestand naderen, indien in hel proces een element van toeval
aanwezig is.

Wij zullen dil door eenige voorbeelden aanloonen.

Wij begimien daartoe met hel volgende geval, (iegeven
een zeer {/root aantal 2 N genummerde leekens; er zullen
twee soorten leekens zijn en wel van elk evenveel. (Met
het oog op dc analogie met physische vraagstukken zij het

getal iVzeer groot). Wij noemen deze leekens om de gedachten
te bepalen O en 1. Verder is gegeven een zak met 2 ^cijfers.
Hieruit trekken wij tegelijk twee cijfers en-verwisselen ver-
volgens de teekens op de betreffende plaatsen. Na elke
trekking worden de cijfers in den zak teruggelegd. Gevraagd
de kans, dat, na een zeer groot aanlal trekkingen op een
bepaalde plaats k een bepaald teeken slaat, bijv. een O of
een 1. Wij noemen de kans, dat er na de m\'Io irekking op
de plaats een O, resp. een 1 staat IP (»,/!•, 0), resp.

^,1). Steeds is de som van deze kansen\'gelijk aan de
eenheid ;

n\'Kx-,ü)4-irO/,/-, 1)= 1 . . . . (1)

Kik dezer grootheden W voldoet aan een dilTerenlieverge-
lijking, die wij als volgt vinden. Ken cijfer 0 kan na n
trekkingen zich op de X«!« plaats bevinden (h)or de volgende
oorzaken:

F. Wanneer er reeds een 0 slond en deze bij de loling
niel getroffen wordl.

2". Wanneer er na de »—1«\' Irekking een O stond en
deze door een andere ü werd vervangen.

H". Warmeer er van le voren een 1 slond en deze door
een O werd vervangen.

Nu is de kans, dal een bepaald cijfer wordt geraakt

C=\'aN iV\'

dus de kans, dal een bejiaald cijfer niet wordl geraakt\\
Wanneer er oj) de plaals een O staal, is de kans een

^Y_I

andere O le raken ./y^T-j op de /"l« plaals zich

bevindi een 1, is de kans, dal men een (I looi —
Derhalve luidt de gezochte dilTerenlievergolijking

JK{»,/-,ü)= Jr(»-1,/•,()).ir(„-i,/. ü)
1 .V—.1 , , , n ^ iV

Met behulp van formule (1) vindt men vervolgens gemakkelijk:
ir (», yt, 0) = 2 ^ ~ IIV (n-1, k, 0) ^y^rr

Is derhalve W[n—0)=\'/2, dan is ook volgens for-
mule (2) l\\\'{)i,k,0)=^l2, d. w. z., als bij den aanvang de
kans op een O voor de plaats = is, dan blijft W{n, 0)
steeds — \'/2 en men kan gemakkelijk, door vgl. (2) herhaal-
delijk toe te passen, bewijzen, dat, als de aanvangskans
W (O, A-, 0) = fl =H \'Is is, dat dan toch lim W (», Z-, 0) = \'/a-

n = 00

Men vindt n.1.

W («, k, 0) --= - en W (», Z-, I) = V2

2 iY - 1 . ,
waarm p = > 1.

Dus lim ir {>1, k, 0) = lim fV (;/, 1) = \'h.

I) = 00 n = 00

Gelijk men ziet, is de differentievergelijking voor het thans
beschouwde geval onafhankelijk van het nummer k van de
plaats, die wij beschouwen. Dit wil zeggen: de kans op een
ü of 1 verandert voor de verschillende plaatsen onafhankelijk;
er zal na een groot aantal verschuivingen geen correlatie
tusschen de kansen voor verschillende plaatsen bestaan, ook
als die in den aanvang mocht bestaan hebben.

Trekken wij uit den zak de nuiiimers niet beide tegelijk,
doch nemen wij er eerst een en daarna nog een en verwis-
selen wij de teekens op de betreffende plaalsen, dan ver-
andert er niets, want de kans om de plaats te treffen is
weer het aantal gunstige gevallen gedeeld door het totaal

2 (2 iV—1) • 1

aantal mogelijke gevallen = IT^^^i^flL ij weer

In\'werkelijkheid is natuurlijk elke be|)aalde distributie der
teekens over de elementen van de rij even waarschijnlijk.
Dat men bij beschouwingen als hierboven gegeven viiult, dat
er een bepaalde stationaire toestand is, hangt samen met de
probleemstelling, die ons bezig houdt. Wat wij op de ge-
geven wijze vinden, is niet de waarscliijnlijkheid van een

bepaalde verdeeling der cijfers, docli wij leeren iets omtrent
de verwachting, dat er een bepaald toeken op een bepaalde
plaats komt door een groot aaiital verschuivingen. De uit-
komst is, dat, welk tecken ook in den aanvang o|) de i)laats
gestaan moge hebben, de kans voor een nul of een één na
een voldoend groot aantal trekkingen \'/s wordt. Men kan
dit ook inzien, door te overwogen, dat onder alle mogelijke
configuraties van teekens, die na » trekkingen uit een be-
paalde configuratie ontstaan kunnen, die, waarin op de k^
plaats een nul en die, waarin op deze plaats eon één slaat,
in gelijke mate vertegenwoordigd zijn. Men kan ook dc
kans op een afwijking van de kans \'/•.; nagaan. Dit zal ons
voor de afwijking dc wet van (Jauss opleveren.

Men kan uit do differenliovergolijking (2) een difroronliaal-
vergelijking alleiden. Wij laten daartoe do ii trekkingen
plaats hebben in oen tijd t mot tusschom-uimten van r sec.;
dus t = nT, waarbij T lot luil zal naderen; dan kan men
formule (2) schrijven in den volgenden vorm:

,r { („ 1) r, I = . II\' (n r, /•) ^ ^^ ,

ir!(»-}- l)r,/-|- = -

Om de afhankelijkheid van de grootheid 11\' van don lijd
Ie bepalen, nemen wij nu don lijd f eindig on hol daarin
l)laats hebbende aantal Irokkingon n zeor groot, dus r zoor
klein. Wij kunnen vervolgons don eersten lorm uit hol oorslo
lid van onze vergelijking in oen reeks ontwikkelen on vindon

.>ir__ 2. 1_

waarbij wij nu zullen onderstellen, dat hel product (2 .V — 1) r
eindig blijft; wij stollen het voor door 2;; en vintlon dan
de vergelijking

^t ~ p 2;/

waarvoor de oplossing luidt:

W= \'I2 A.c \\ waarin A = JFo — \'h,

dus "j iroe

Ook in het thans beschouwde geval is het verloop van de
kans Jf^ met t onafhankelijk van den index \')

Deze uitkomst doet de superjwsitie zien van twee effecten, het
laatste het verminderen van den invloed van de aanvangskans
H^o; het eerste is een voor de rij typische kans. liet beschouwde
vraagstuk is te vergelijken met een vraagstuk van warmtegelei-
ding. Zij n.1. een lichaam van bepaalde temi)eratuur 7o gegeven,
dat door uitwendige geleiding warmte afstaat aan de omgeving,
die een temp. 1\\ bezit. De betrelTende vergelijking wordt nu:

^ T \'
cjj=-k(T-\'J\\),

waarin c de soortelijke warmte is en het uitwendig gelei-
dingsvermogen.
De oplossing is

7\'= 7\', (I -I- 70.-"\'

- Dit is dezelfde vergelijking als de bovenstaande, indien voor

7o= H\'\'o; Tl = \',\'2 en voor genomen wordt.

Wij hebben hier .steeds gelet op hetgeen gebeurde op een
bepaalde plaat.s. Hij waarnemingen in de natuur kan dit
gewoonlijk niet ge.schieden, .doch men vindt iets omtrent de
middelwaarde voor meerdere elementen of omtrent hare
lluctuatie. Iets, wat hierop betrekking heeft, verkrijgen wij,
als wij ons nu afvragen: welke is de kans, dat onder a op-
volgende plaat.sen («<2.V) zich er x bevinden, die na
trekkingen een be|)aald teeken bijv. een 1 dragen. Wij noemen
deze kans In het be.schouwde gebied kan hel aantal

cijfers 1 met een verminderen doordat een cijfer van de groep,
I^twelk een 1 is, getroffen wordt en verwisselt met een cijfer

\') Wij kunnon tot het gevnl van de distributie vnn punten op een
lijn overgaan door .le genummerde punten op zeer kleine afstanden
te kiezen, zoodat voor een eindige lijn l is J = -L.

buiten de groep, terwijl dit een O is. De kans, dat ons gebied
geraakt wordt, is evenzoo de kans, dat een cijfer er buiten

geloot wordt" ^^ ^^ ■ Als \'t gebied geraakt wordt en x cijfers 1

bevat, dan is de kans, dat het getroffen nummer een I draagt, -.

a

De kans, dat een plaats van het buitengebied O of 1 draagt,
is bij voldoend groote N gelijk aan \'/s. Dus is de kans op ver-

... a X "1N — a ,, . ,

nnndernig . v» - • -. \'/ï- Kvenzoo is de kans op ver-

fej ly (f ^ .li

meei\'dering (een O uil hel gebied wisselt melY\'en 1 erbuiten)
a a — X 2N—a

2N\' 7 \' 2X \'

Hel aanlal cijfers I kan hetzelfde n.1. x blijven:

1". doordat \'2 cijfers van hel buitengebied worden geh)ot.

2\'\\ doordat 2 cijfers uit het gebied worden geraakl.

doordal een O uit hel gebied wisselt mei (!en O er
builen en idem een I.

D»! kans, dal 2 cijfers builen worden geloot, is

1) \' evenzoo voor 2 cijfers bnmen

O \\r i\\; \'l^- binnen wis.sell mei

•1 A (2 A — 1)

eenzelfde cijfer builen is

a X 2N — (t u , f\' 1/ _

_ (I 2N—a ,,
2N\' 2N \'
.Men ziel nu gemakkelijk, dal de kans .r) voldoel aan
de volgende dilTerenlievergelijking:

^ \'2iV(2A^—I) 2A^ \'\'M

I nw —.r 4- I . 2 iV—ff ,, ,

-r -I- 1 2 iV — ft

Op de oplossing van zulke differentievergelijkingen komen
wij hieronder nader terug (blz. 59).

Men kan de sehuivingen, die door de loting plaats hebben,
ook op de volgende wijze beschouwen. Op een zekere plaats
k staat bij elke schuiving een O of een 1 en men kan zich
nu afvragen hoeveel maal van de n trekkingen heeft er op
de plaats k een 1 gestaan en hoeveel maal een 0.

Men kan dan nagaan of er op de beschouwde plaats ge-
durende langen tijd een bepaald teeken gestaan heeft en
komt zoo naast een kans, die analoog is met die in een
ruimte-ensemble tot een analoog met die in een tijd-rnscmhh
der Statistische Mechanica. Kr bestaat een betrekking tusschen
deze kansen. Wij noemen ir(H,«) de kans, dat er op dc
betrokken i)laats k in n trekkingen a cijfers O hebben gestaan.
Kr kunnen in n1 trekken a nullen zijn gekomen, doordat
er 1 trek te voren reeds a geweest waren en na de laatste
loting k een 1 draagt of er kunnen in » trekken a — 1 zijn
gewee.st, terwijl na de laatste lotingeen O draagt. Derhalve:

.... (H)

Nu was =

(M, ir („ -i-1, /. 0) = - (i/, _ . ^ ^ ^

= O).

Hij voldoend groote n is d,, , = \'/a.

Schrijven wij vergelijking (;}) op voor alle mogelijke waarden
fl n.1. n = O tot «=» -I- I on tellen wij de zoo verkregen
vergelijking na vermenigvuldigen met a op, dan .vinden wij:

i; ui = Tr^ dn ,.

Dus bij voldoend groote n is ir (;/,«) = «/j

Is het aantal trekkingen n zoo groot, dat wij voor dn -f-.
dc waarde •/2 mogen substitueeren, dan gaal vergelijking (H)
over in

De oplossing luidt dan:

als men in aanmerking neemt, dat V «) = 1.

a

Hiermede is de bovengenoemde kans a) be|)aald,

terwijl wij tevens aangetoond hebben, dat het gemiddeld
aantal malen, dat in n trekkingen een O op de beschouwde
plaats staat, Vs n is, zooals te verwachten was.

Aan de hand van het bovenstaande kan men gemakkelijk
adeiden, dal de kans op een bepaalde afwijking van dit ge-
middeltle \'/« n uit de wel van (Jauss volgt.

(

2. Wij zullen nu een ander |)robleem behandelen. Wij
trekken nu slechts één ninnmer en verwi.s.selen hel leeken
op de bolrelTende plaats met het rechts er van staande feeken.
Als do A\'\'\'" plaats gelrolTon wordt, zullen wij ouderslollon,
dal or geen verwisseling zal plaats grijp(;n.

Verder nemen wij do gegevens van hol vorige over. Wy
lUHMuon echter hel aanlal plaatsen voorlaan N.

Do kans, dal oen bepaalde |)laals wordt geraakt, is

iV

oi.schl men, dal do plaals onaangeroerd mooi blijven, dan
mogen do getallen en / — 1 niet geraakt worden; de kans

hierop isDoor stollen wij do kans voor,

dal zich oon bepaald toekon op de plaals bevindl.

Men ziet nu gemakkelijk in, dal vcxu- doz« kans de vor-
«elijking:

ir (w, X) = ir („ - 1, k) . H\' {» - I, /• 4- 1) i -{-
.....(1)

Roldt.

Ten einde do dilToronlievorgelijking voor "\'(j;,/-) op le

lossen, Iracblon wij daaraan te voldoen door te stollen:

ir («,/;:) = .Ik. ......(2)

1)0 groolhoden Jk hangen van k af. liet getal n wordt

hieronder nader berekend. Na substitutie in de dilTerentie-
vergehjking en deelen door e-""» vinden wij:

^k-i /tk i =0 . .

fe^-W \' \' \'\'

C=N

e"

gesteld is.

Wij kunnen de vergelijking (8) opgeschreven denken voor
alle mogehjke waarden van 1 tot .Y en krijgen dan voor
de .V onbekende functies ^k een stel van .V homogene lineaire
vergehjkmgen. Zal een andere dan de nuloplossing voldoen
dan moet e detenninant der coëfficiënten gelijk aan nul zijn.

randen de eerste en de laatste vergelijking slechts twee
-men bevatten met coëfficiënten C, 1 resp. 1 6\' dan I Hk
deze determinant te zijn (Afrijen):

1 0 0 0. ............O I

1 6\' 1 O 0 \'
O 1 6\' 1 ü
O O I C\' I

J) =

==ü..(ó)

ü

Stellen wij

C\' = — 2 cos O

^an is d^e determinant
i" .le ,.l«t. ,.„ ,\',, kir " °

^^ — V IJ -In ons geval is dus

sin(iV^ 1)0 = 0 of

.......

waarin = 1, 2, 8,.....N (grooter waarden van X geven

hetzelfde voor Û weer en .? = 0 geeft Û = 0 en D=l, wat
niet te gebruiken is). De formule (7) geeft nu N waarden Ô,
die volgens formule ((>) correspondeeren met N waarden C
en elk van deze geeft met fornuile (4) een waarde voor a:

<ll (l2......Ui......rtn .

Wat de oplossing der grootheden Ak aangaat, hun ver-
houding is gelijk aan do verhouding van de minoren van de
elementen van een willekeurige rij van I) en daarmee is
elke Ak nit to drukken in c\'én dezer grootheden byv. Ai.
Omdat een constante h ook een oplossing van de dilTeren-
tiovorgelyking (1) is, vindon wij dus als meest algemeene
oplo.ssing

irr",/-;^^/.-}-\'\'^: .h./kC^).\'"\'"......=«) . (8)

S=1

Hieruit volgt terstond, dal

lim. WOiJ)\'^!,......(()),

M = 00 \'

«i.w. z. v(mr ;; = oo zijn allo W(k) gelijk en, daar steeds
l»ij elke u
k-S-

i: \\y(k)=-\'liN. is ook lim. irc„,/•; = /,=(lo).
^=0 n=x>

Iedere Ôa, die uil formule (7) volgl, geeft een be|)aal(lo C,
\'lio den deh;nninant J) gelijk nul maakt Do minoren van
welke do verhouding der Au. bepalen, hangen dus af van
tle gekozen ^h. Hij elke Oh behoort dus een slol verhoudings-
Kolallen voor do Jk. Daarom bestaat de som in hel tweede
liïl van betrekking (8) uil .v termen.

\') Vcrgnlijk Kavi.kiuh Thcory of S?ouml vol. 1, pg. 174.
j \'j Dnt dezo reek8 kan convergecren volgt uit do waarde vaii c"", n.1.

—4 ain \' Vi «at onmid<leIyk volgt uit do formules (4) en (6).

Men ziet hieruit ook, dat de geUlleu a roeel zijn.

Het btijkt gemakkelijk, dat de minoren der elementen van
de eerste rij van 1) van dezelfde soort zijn als J) zelf; n.1.
is de minor van het element van de le rij van D gelijk
aan

Wij mogen dus stellen:

Ak^P,.sin{N—J:. l)6,. . . . (12),

waaruit de Ps nader bejjaald moeten worden. De algemeene
oplossing is dus:

N _

w (n, = 1/2 S Ph. sin (iV^ - 4- 1) e " " (13)

s= 1

De N grootheden P» moeien gevonden worden uil den
aanvangstoestand, waarin ?? = 0

welke formule ontslaat door gebruik te maken van de betrekking
(iV 1) ös = - .V dus sin (iV - 1) 0;= (_ D\' \' sin k Ö„.

Er doen zich hier direct de volgende mogelijke problemen
voor:

a) De beginverdeeling der leekens is gegeven. Dan is

ir(0,/:) = () of 1, al naar men weel, dal er een O of een 1
slaat.

h) ^ De aanvangstoestand is gegeven zc>ó, dal ir(0, AO =f{k)

cn Z/(/)=\'/2iV, d.w.z. de verdeeling is (hmr hel toeval
bepaald op bekende wijze.

c) De aanvangsv(\'rdeeling is zóó, dal clU-e ir (O, A:) =\'/,.
Dil is juist het geval, waarin de vergelijkingen (li) homogeen
zijn en dus de P, niet gevonden zouden knmnen worden.
Men leidl echter uit de »lilTerenlievergelijking (1) dan terstond
af, dal mhre ir(»A) elke u en voor elke k dan steeds
V2 l)lijft. \')

\') Terloops zij hier opgemerkt «lat ook terstond nil vergelijking (I)
blijkt, dat. wanneer op een gegeven oogenblik do Hon> van 2 kannen W
voor plaalxen, die zich l>cvinden symnietriHch ten opzichte van het midden,
samen = I w, dit vuorUhuend het geval blijft.

Om de grootheden op te lossen schrijven wij de ver-
gelijkingen (IH) en (14) in den vorm:

MnO,A^)-Vï!==EP8.sin(iY-yt-f l).ös . (15)
8

Wij noemen het eerste lid van deze vergelijking en
vermenigvuldigen naar analogie van de bepaling der coëffi-
ciënten van een reeks van Fourier de eerste vergelijking
, . Nsz ®

(}(_1) <j -

de tweede vergelijking met sin

do iyrde vergelijking met sin N\\ \'

en tellen op; dan verdwijnen do cocfnciönton van alle
behalve van Do coëfliciënt van Ph wordt (N-{- l)en
wij vinden dus:

\'/,(iV^ l)/>H= (10)

Jt = 1 iV I

Hcdenkt men weder, dat

"" -iVT r- " «\'"ïTfl

is, dan vindt men:

(17).\')

Men kan hot vraagstuk ook omkeeren on vragen van welken
Ijogintoestand, d.w.z. van welke IT((),/•), men nu)ol uitgaan
«»ni een stol bepaalde waarden voor de Ph Io vinden. Stolt
•nou den eisch, dal alle /« gelijk zijn aan een nader te bo-
lekonen J\\ dan biykl alleen mogelijk /\' = () en wol voor bol
»"eeds genoemde triviale geval n\'\'(0,/) =\'/a-

Als VQorhccUl van de algemeene oplossing diono hel volgende.
Wanneer gegeven is, dat allo nullen aan een kant van do
\'Ü en alle óénon aan do andere zijde liggen, dan is

\') Dczü formule toeiU zich goc<l voor do volgeindc controle. Schrijft
\'»en de vergelijking (]\'») «p voor iwlere wnnrdo vnn k en lelt men «»p,
J«n blijken beide letlen van do Bomvergelyking gelyk aan nul.

W (O, k) = 1 voor k=],2,.....V2 iV

en Tr{0,X-)=0 voor 1, . . . . N.

Volgens formule (17) is aan

( . N—\\ , ^ . «
sm —-— a ±2 sm-

2

waarvan men het bovenste teeken moet nemen, als \'/a iV
even is en de onderste teekens, als % N oneven is.

Wij kunnen evenals bij het eerste probleem uit de dilTe-
rentievergelijking (I) weereen differentiaalvergelijking afleiden.
Wij denken de plaatsen der teekens in de i)unten van de
X-as van een coördinatenstelsel op kleine afstanden 3 en
laten de n trekkingen j)laats hebben in een lijd t met tusschen-
ruimten van rsec; zoodat f = u t. Dan kan men fonnnle
(1) schrijven in den volgenden vorm:

Jr((» |)r,a:) = (iV-2). ]V{nT,x) ir(„ r, -f

4- \\V(,1T,X ) 3)
Of iv^l ]V[{n \\)T,x)- ir(»r,a:)( =

Wij nemen mi het interval t eindig, het aantal trekkingen
n zeer groot, dus r zeer klein; en eveneens hel amilal
l)laatsen N zeer groot en h zeer klein, zoodaljiel geheele
gebied waarin de venschuivingen\'plaats grijpen\'een eindige

lengte x\\ 0 = / iieeft.

Wij kunnen dan beide leden van formule (IH) in een reeks
ontwikkelen en vinden dan gemakkelijk

Af - ^y

= (19).

Hier verkrijgen wij dus de bekende dilTusievergelijking.
Wij moeten onderstellen, dat het product Nr blijft van

\' de orde zóódanig dat de verhouding een eindig gelal,
de dilTusieconstanle, is.
Wij moeten nu ook nog de randvcmrwaarden afleiden.\')

\') Zie blz. 47.

Om deze te vinden, bedenken wij, dat de differentievergelijking
(1) voor bet geval k — N overgaat in:

IV (n, N) = ^^^ . W(n-\\, N) ~ W(n-l, N),

waaruit op de bekende wijze de differentiaalvergelijking

/cMr\\

• . . : (20).
volgt.

i\\u is ondersteld dat P van de orde Xr is; derhalve is
de kleine grootheid h groot ten opzichte van Xt. Dus moet

volgens vergelijking (20) j gelijk aan nul zijn.

X = A\' (?

Wij kunnen als oplossing van de dilTusievergolijking hier
gebruiken:

cc ,s-Tr

\'h \'.2 c \' sin -r~

waaruit ook weer terstond volgt, dat voor dke

ir=\'/2 wordt. Deze oplossing is ook uil de oplossing van
hel discrete probleem, fonnule (13), te verkrijgen door daarin
N tot oneindig te laten naderen en voor lY^, L; voor « r, <

en l— = I) in le voeren

i\\ 7

Hij andere afsjiraken omtrent de verwisseling aan den
nmd veninderen de gren.sconditie.s. iMen krijgt hierbij bijv.
de grensconditie IT = constant =op dezelfde wijze als
boven, indien men het be.schouwde gebied ojn-at als deel-
gebied van een ander en wel zóó, dat, wanneer een nuid-
plaats zou moeten wisselen met een plaats buiten ons gebied,
de kans op een nul \'/« is. Hel probleem komt dan overeen
met dal van een lichaam dal aan de grens in verbinding is
met een oneindig groot reservoir van constante temperatuur
(warmtegeleiding), of een mengsel, dal grenst aan een reservoir
van constante concentratie (diffusie).

\') Vcrgolijking Hi:i-Mnoi;rz VI j». 1-11.

*) Dit blijkt onmiddelijk bij uitwerken van de formule voor
van blz, 49, noot

Wij kunnen hier opmerken, dat het mogelijk is uit de
diffusievergelijking de gemiddelden op den tijd t te berekenen,
als de gemiddelden op den tijd nul bekend zijn. Om de
gemiddelden x" = ƒ . TF a: te berekenen, bedenken wij,
dat uit de diffusievergelijking volgt:

dx . x".

^t J

Na partieel integreeren vinden wij, omdat de stukken aan
de grenzen gelijk aan nul zijn:

.....(2,)

^=2Dt-\\-C2 etc.

Do gemiddelden zijn met behulp van (21) af te leiden.
De integratieconstantcn C volgen uil de iniliaalwaarden voor
deze gemiddelden.

Vatten wij een bepaald cijfer op een bepaalde plaats in
het oog, dan kunnen wij vragen naar de kans, dal dil be-
^ IKuilde cijfer in n trekken p plaatsen naar rechts of naar
links is verschoven. Noem deze kansen
\'IM", en

Ken dergelijke vraag had bij de gegevens van hel eerste
probleem weinig zin, omdat door de loting en hel terugleggen
van de nummers de kans o|) eeii bepaalde verplaatsing even
groot IS als o|) iedere andere willekeurige verplaatsing.

Mij dil probleem kan hel cijfer bij de (»—l)o trekking
reeds p plaal.sen verschoven zijn en niet geraakt w..rden;of
(;>-l) plaalsen ver.schoven zijn en geraakt worden, waar-
door hel mei zijn rechlerbunrman wisselt; of (// !) phmlson
verschoven zijn en wis.selen met zijn linkerbuurma.., (hmrdat
deze getroffen wordt. Dientengevolge bestaat tus.schen de
beschouwde kansen de betrekking:

W (n 1, X: = („^ ^ N-~2

1-1- i).l. (22)

Wij krijgen dus voor de fhans beschouwde kans dezelfde
differentievergelijking als (1) en als wij van deze op een
difTerentiaalvergelijking overgaan weer dc dilTusievorgelijking.
Voor het continue probleem kunnen wij in dit geval de hoofd-
oplos,sing van de diffusievergelijking gebruiken. Van elk
punt h af verplaatst zich een deeltje dus als bij hel diffusie-
proces en dc samenwerking der effecten op een bepaalde
plaals is dus oj) te vatlen als het dilTusie-efTcct van alle
punten in do omgeving, (laai men dus van een gegeven
vcrdeeling uit, dan kan bot ontstaan van den stationairon
toestand verklaard worden als oen reeks dilTusioprocosson
van do verschillomio i)unton uil, waarbij de hoofdoplossiug
o|) de gebruikcïlijko wijze oon rol speelt.

Kvonals uil do dilTerenliaalvergoIijking kunnen wij ook de
genn\'ddoldon alleiden uil de diiïoronliovorgolijking (22). Vvr-
monigvuldigon wij deze mol on .schrijven wy haar o|) voor
alle mogelijke waarden p (van — /• lol j> = N — /•), dan
vindt men na sonunalio:

.V. ir- (» 4-\' 1, /• -f p) . n^" (», 7)

X

Do middolwaardon zijn dus wederom uil (>lkaar af l(> l(>idon
als bekend is, ho(; grool zij zijn voor D. d.w.z. bij don
aanvang.

Hij Ik^I vorwis.solon van d(! lookons O on 1 bohoofl men
zich niet U)l oon óón-dimonsionaal gobiod Io boperkon, doch
bol kan ook in eon plat vlak plaals hebben. Wij donken (uis
do cijfers O en 1, waarvan or weer ovonvool aanwezig zün,
verdoold over de .^V^ punten van hot platte vlak, wier coor-
dinalcn x on // gohoolo gotallon zijn. Door hot lot wordt
eon bo|)aalde plaats aangowozen. Do kans om oon bepaalde

plaals (X, ij) Io troffen is ^ waarvoor wy zullen schrijven.

Wij stollen ons nu voor, dal hot cijfer, dat zich op deze
plaats bevindl, verwisselt mol een der acht omliggende cijfers.

De kans, om met een bepaald cijfer van deze acht te ver-
wisselen, is telkens |. Wij vragen naar de kans, dat zich

na n trekkingen op de plaats (x,y) een O bevindt en noemen
deze kans Wn (x,y). Het is mogelijk, dat op de plaats
(X, y) na den voorlaatsten trek reeds een O stond en dat
deze bij de laatste trekking niet geraakt wordt. Dit kan ge-
beuren 1» doordat de plaats (x,y) en de 8 omliggende niet
geloot, worden. De kans hiervoor is 1—Oa

2« doordat een der omliggende plaatsen wordt getroften
doch het wegspringende cijfer zich niet naar de plaats (x y)
begeeft. Hierop is de kans 7 (7. Het is evenzeer mogelijk
dat het cijfer op de plaats y; wel wordl geraakt en wisselt
met een O op een der omliggende plaatsen of dal een cijfer
O op een dier plaatsen getroffen wordt en naar de plaats
springt.

Men ziet nu gemakkelijk, dat de kans ir„ (x, y) voldoet
aan de volgende «lifferentie-vergelijking:

ir,. , (X, y) =>1—2 C) Wn (X. y) -f
-c\\\\VnCx-\\, y |r, ^^ _ , ^

IVu 1, y -f- u Ir„ r-t -f 1, y) -f ,Vu (x-\\.\\,y-l)\\,

fJaan wij op de bekende wijze van .leze differenlie-verge-
lijkmg over op een differentiaal-vergelijking dan vinden wij:

cl. i. weer de diffusie-vergelijking. In het analoge probleem
voor )i dimensie.s vinden wij evenzeer:

De aard van het ver.schuivingsproces is dus bij elk aanlal
dimensies dezelfde.

Dit is van belang, omdat blijkt, dal elke door toeval ver-

anderende verdeeling door «diffusie» in een stationairen
toestand blijkt over le gaan.

Wij keeren thans weer terug tot het probleem in zijn
vorigen vorm en bespreken daarvan nog de volgende vraag:
Hoe groot is de kans, dat na u trekkingen in een bepaald
gebied van a plaatsen (van k tol /. «—!) voorkomen
cijfers 1 en a —^cijfers 0. Wij noemen deze kans Wu(x).
Wij zullen do differentie vergelijking voor deze kans alleiden.

Wij moeten daarbij hel volgende bedenken. Kik cijfer
wordt met zijn rechterbuurman verwisseld. Wordt een der
plaat.sen k tol k-\\-a — 2 getrokken, dan verandert het aantal
cijfers I in ons gebied niet. Hel aantal der cijfers één kan
alleen grooter of kleiner worden als de raud|)laatsen k — 1
of k-]r(i—1 getroffen worden.

Het aantal cijfers één in ons gebied blijft dus hetzelfde
bij de trekking, wanneer:

1". de plaat.sen /.•—1 of /H-f\'—I niet geloot worden.
j\\r_2

De kans hiervoor is ——.

2". de plaats k—1 wel geraakt wordt en op do plaats
fc hetzelfde teeken slaat. De kans hiervoor is

I^„_,(^.-l,ü). ir.,-.(/.•,())

ir„_,(A--i, I). ir„_,(/.\', 1)1.

Iliorby is II^i -1 (/.-,()) de kan.s, dat na u— I trokkingen
"P do plaats k een O staat en irii_i(/.-, I) do kans op oen
één.

H". de plaals -f-«—1 wel geraakt wordt en rechts
•laarvan hetzelfde teeken staal. De kans hiorv<)or bedraagt

ir„_,(>t a—1,1). ir„_,(AH-«, 1)1.

Het aantal cijfers één van het gebied wordl één grooter
•>ij de »^lo trekking, wanneer

1°. de plaats k—1 een één draagt en getrofTon wordt.

terwijl op de plaats k een nul staat; de kans hiervoor is

1 1, 1). irn-i(/.-,0).

2". de plaats k | a — 1 een nul draagt en getroffen wordt,
terwijl op de plaats k -f a een één staat. De kans hiervoor is

1 Wn - , fl - 1, 0). Wu -i{k a, 1).

Het aantal cijfers 1 in het gebied vermindert met één als:
1°. de plaats k—1 een O draagt en getroffen wordt,
terwijl op de plaats k een 1 staat. De kans hiervoor is

2". de plaats k-\\-a—1 een 1 draagt en geirolTen wordt,
terwijl op de plaats k -f a een 0 staat. De kans hiervoor is

Wu - , (Z: « — 1, 1) . Wn - , (A: 0).

De dilTerentievergelijking voor IFn W luidt dus:

ir„(Ar)=liF„-. n^„-,(/-,o). ir„_i(/.i-i,o)

ir„_,(/.-, 1). 1,

ir„_,(/^ «-i,i), ir„_, (/, „, 1)14-

^^ -, - 1) I ir„ _, (/.-, 0). ]Vn -,(/.•-1,1) 4-

4- w„ -, (/.• -(- « — 1,0). w„ ^, (xr 4- fl, I)! 4-

4-i ir„_,(,i;4-1)1 ir„_,(x-,i). 1,0)4-

4- ir„_,(/.r4-fl—1,1). ir„_i(/.--i-fl,o)|.
De kans op een cijfer 1 op de randplaatsen in ons gebied

X . X_ I

IS -, als er x cijfers I in het gebied zijn en\'-- resi).

a fl

—als er x—\\ resp. x1 aanwezig zijn.

Houden wij er rekening mede, dat de
ir,.-i(A--i,0), (/,_1J), ^^„_,(^•4-fl,0) en ir„_, D

uit het tweede lid van de differentie-vergelijking niet alle

gelijk l zijn, doch afhankelijk van het aantal cijfers 1 in
het gebied,^ dan is de kans op een 1 voor een bepaalde

plaats

van het buitengebied —— en de kan op een O dus
1 ^

-YZrif-\' er ^ cijfers 1 in het gebied, dan

blijven er - — cijfers I voor het buitengebied beschikbaar.

Indien N voldoende grool ten opzichte van n is, kan voor

deze kansen ^ genomen worden, wal wij hieronder straks

zullen doen.

Substitueeren wij deze waarden

in bol tweede lid van de
vergelijking (20), dan wordt deze na herleiding:

V a a 1 \'

Wu-i (x-\\) \' I)

ir.. -1 {X 1). 2 ~j> {X 1) j

. , . N-2X , ,, .

waann yj(.v)= gesteld is .... (25).

Uil de vergelijking (21) kan men nu de grootheid H\',, (x)
berekenen. \') Wij zullen dit op (wee wijzen doen. In de
eerste plaats met behulp van de methode der monuiuten;
in de tweede plaals langs een meer directen weg. Om de
methode der monuMiten lo(i te passen, hebben wij eerst de
gemiddelde som der cijfers één in het gebied te bepalen.
Deze som kan worden voorgesteld door

V Trn(^).

x = 0

Vgl. blz. 45, waar naar deze oplossing verwezen wordt.

Om haar te bepalen, vermenigvuldigen wij vergelijking (23)
met en schrijven haar op voor alle mogelijke waarden a;
en tellen op.

Nemen wij vergelijking (25) in acht, dan vinden wij na
herleiding:

Hieruit volgt terstond

lim <S\'i (w) — \'/a n. M

11= 00 \'

Voor de andere gemiddelden

5k(«)= i A;Mr,.(,r).....(2(5)

x= O ^ \'

kunnen wij gemakkelijk een recursieforimile afleiden door
de vergelijking (23) op te schrijven vermenigvnidig.l met
voor alle mogelijke waarden Na optellen vinden wij
iS\'. Sk (n) = X Sk(n-l)-lziru-, U). 

a T ^^^ — („ _ 2 ,r) .r"

(rr — D" j.

Daar in de sommen van deze formule alle machten van a-
niel e.xponenten grooter dan wegvalhm, kan men i.ulere
6k uitdrukken in de grootheden met lager index en argument.

lilt de gevonden gemiddelden kunnen nu de groolheden
\'\'n(x) bepaald worden.

Daartoe be.lenken wij, dat als ..p deze wijze .Ie „ gr....l-
lie.fen .Sa 6\'a-,.... 8, berekend zijn, de vergelijkingen (2(5)

JFn(x) = Sn;

\') Hetzelfde rcKuItnat wordt verkrceen nU ui; „m i . n

vereenigd met de vergelijking

i = = U

X = 0

{n 1) lineaire niet homogene vergelijkingen voor de Tr„ {x)
opleveren. Uit de genoemde vergelijkingen kunnen de groot-
heden ir,, (a-) worden opgelost als (|uolient van 2 delermi-
nanlen. De determinant in den noemer is de bekende deter-
minant van VANnKUMONnE \')•\' /^ij is dus gelijk aan het pro-
duct van allo mogelijke verschillen van de getallen ri—1,
« — 2,.... 1,0. dal is al a —1! a —2!.... 21 II Mot be-
hul|) van hare minoren vinden wij voor den teller:
S:, . P _ , . P V. S:x _ 2 . 7\' V />, hi I -
\'Sa - 3. y. /m hi ht^ enz. Si .P.\':^, hl hi hti.... -2

Hierin zijn de /\'k de getallen O, 1,2,8......a nuit uitzon-

doring van hot getal x en P het i)roducl van alle mogelijke
vor.schilIen dier getallen; dus

a — x o—1—x 2

Op deze wijze zijn dus do grootheden U n bepaald.
Wij kunnen ook, gelyk wij reeds opgemerkt hebhon, de
Il\'iii-v) direcl uit do dilTorentievgl bepalen. Tor vereenvou-
«liging nnikon wij gebruik van do benadering /j (-f) — I (zio
pag. f)«) en ()()). Wij substituooren nti in de vgl (21)
II n(.r).lx.

waarbij wij onderstellen, dat de grootheid -lx van -vafhangt
en hot getal h nader bepaald nioet worden.
Wij vindon dan na herleiding:

 . . (27),

als

= I _ .... (2H).

Wij kiMinen de vorgel. (27) op.schrijven voor do waardcui
•^==0,1,2,____a en vorkrijgen zoo -f 1 liniairo homogene

\') Zie l\\ WiJDKXIW, Mi.ldclalgebrR p. \'2U.

vgl. voor de rt 1 onbekenden Ax. Zal een andere dan de
nuloplossing voldoen, dan moet de determinant der coëffi-
ciënten gelijk nul zijn.

Dus:

(71000
a C 2 O O
O a — 1 C 3 O
O O a —2 C 4

= 0. . (29)

O
a

^................ O 1 C ,

Deze vergelijking geeft rr 1 wortels C, dus volgen ook
« 1 waarden h uit formule (28), die wij door i,
•... /^a . zullen aanduiden. D(!ze wortels 6\' bepalen wij op
de volgende wijze. Wij voegen aan Aa-a als«<loen(H- 1"
kolom toe:

O O

en als «\'Ic en a rij:

Wij verkrijgen hierdoor een determinant, waarvan de waarde
gelijk is aan Aa-2 (G® — a^) met a ! 1 rijen en van den
volgenden vorm:

6\' 1 ü ü
a—2 C 2 O
O a—3 C 3

0 O O

a—2 O O

O 1 G a—l O

O O O C <1

O O O a a

Om deze determinant met Aa Ie vergelijken, iloen wy hel
volgende. Wij tellen, te beginnen bij al^^« kolom, aehler-
eenvolgens elke kolom op bij de kolom, welke 2 plaatsen
verder naar links slaat, dus de n1" bij de a—1«, de
bij de u — 2\'«; de zoo verkregen u—1« bij de« — 3^1«;

de zoo verkregen a —2e bij dea —4\'leenz. Wij vinden dan:

C 1 O O O......................O

«0200
O a (7 3 O
a C a ü 4
C

ü
(t

" ................. C a ü a a

Hel blijkt, dat deze deter|"inanl dezelfde is als Aa.
Om dit te bewijzen, hebben wij in An (fonnnle (29)) sleehls
\'le 1« rij i)ij de 3\'l" Ie lellen, de 2\'l" bij de 4^«\'; vervolgens
\'le zoo verkregen 3\'lc rij bij de »-i«; dan do zoo verkregen
rij bij de C)-\'« enz.

Hiennee is aangetoond:

Dus de vergelijking Aa = ()heoft dezelfde wortels alsA,_ï
en bovendien C= i- a.

In verband met hel feil, dal Ao= 6\' = () oen wortel 6\'= O
heeft en A, = _ 1 de wortels 6\'= ± 1, vindt men, dal
de wortels van Aa zijn:

C = a~2k (^ = 0,1,2.......a).

De grootheden Ax verhouden zich nu weer als de minoren
van de elementen van een willekeurige rij van Aa. Wij ge-
bruiken hiervoor de eerste rij en noemen de minor van het
element van de eerste rij il/p. Voor deze minoren geldt
de volgende recursiefonnule:

{p 1) 7lf„ 2 = C. iVp 1 — (« - i; -1- 1) Mp . . (80),

wat door ontwikkeling terstond blijkt. Wij hebben alleen
noodig de waarden, welke deze minoren aannemen voor do

waarden C=a — 2 k{k = 0, ----a) d.w.z. de functies

Mp(a —\'2^). Aan fonnule (80) blijkt,le voldoen:

en

Ma ,=(-- l)\\

De grootheden .lx, die evenredig zijn met deze minoren,
kunnen wij dus voorstellen door:

Ax(A:) = 7\'k..Vx .(«-2A-)
en de mee.st algemeene ojilo.ssing is dus

li - ii

ksO

waarbij do waarde voor l>k volgt uit de vergelyking

a-2fc = a{N-\' [ - Ne-^"). . . . (81)
Voor x = n vindon wij

ir„(rt) = v(_l)\'. Pk.

liet is «luidoiyk, dal do tenn, die voor k = (i verkregen
Wordl, Iiu. = o oplevert en <lus n niet bevat.

I)<! co(\'ffieiont(!n I*k moeten weer volgen uit do iniliaal-
t^ondilie.s.

Onderstollon wy, dat aanvankelijk n cijfers 1 aanwezig
^\'»len, dan i.s

M o (;t) = O voor .r < a en H\'o («)=!.
De coeflionten Pk worden in dit geval gevonden uit de
VRrgolgkingen

" O [x) = i: /\'k. Mx . (« - 2/). (- l)^

De eerste a vergelijkingen hebben linkerlid gelijk nul en de
(a 1)® vergelijking is

k

Hieraan voldoet

C\\{—\\)\\ zooals men gemak-
kelijk verifieeren kan met behulp van de voor jVx i gevonden
waarden. Derhalve is de eindoplossing

Wu ix) = (- a (i/,)^ X Cl Jfx -f , (« - 2k) c-"\'\'\' (32),

waarin voor hk de waarde volgens vergelijking (31) to nemen is.

Voor n = co levert alleen de term k = n iets op en wij
vinden weer

lim 6\', (>/) = liui V jr„ [x] = »/2

n = co n = 00

Stellen wij in de differentie-vergelijking (2i) weer (a:) = 1,
dan kmmen wij ook weer op ,1« bekende wijze oj) eeii
differentiaalvergelijking overgaan en vinden dan, .dal ]V„{x)
voldoet aan:

als / do tijd is, waarin met Ins.sclienpoozen van r sec. do i,
trekkingen plaats hebben (;/r =/).
Door de .substitutie

gaat deze vergelijking over in

als I) = ^

a N\' T^

De oplossing van deze vergelijking is

_ (x-x,. g-y

= __1_1)

Voor t = 00 wordt dit de foutenwet.

liet is weer mogelijk uit de differentiaalvergelijking (33)
de gemiddelden

af le leiden. Uit dezo vergelijkingen volgt n.1.

Na |)arlieel inlegreoren vindon wg, omdat de stukken aan

«Ie grenzen gelijk aan nul zijn:
--

— 2^ 2 D]

O\'

«r A" = -11 .r» A, (» - 1) x"-*.

i

F /)»(»—dt.

De gemiddelden zijn dus door aelitereonvolgendo elemenlairo
\'\'ilegralies af le leiden, waarbij do conslanlen der integralen
"\'I «Ie waarden der geniiddeldon op <lon lijd nul bepaald
l^\'innon wordon.

Wanneer wy een gebied van a plaal.sen beselionwon,
lonnion wij ook weer vragen naar de kans, dal in oen groot
»anial trekkingen ;; zioli oen bepaald aanlal »/ malen (»/ ^ ;/)
^ cijfers 1 in het gebied hebben bevonden.

\') M. v. Smoi.uchowhki. IMiy^ik. ZpiJ»<phr. 17. HtlO p. 588 en Vor-
träge üIkt Kinct. Theorie p. lOü («ölliiige»).

Wij noemen deze kans (x, y).

Men ziet gemakkelijk, dat deze kans voldoet aan de vol-
gende differentie vgl.:

0n = Wn (AT)| _. y - 1) ir.. (;,).

Is n voldoend groot, dan is volgens formule (82):
ir„ {x)=q = (>/2)a _ (J,

en dan is

\\y

waarin de constante C zóó moet gekozen worden, dat

x" (pn iy) = 1.
>• = 0

HOOKHSTIIK VI.

Kim.s op t«nigk««r vjiii iiepaalilo fop.slaiuleii hij d«
Ijpliaiidolde vorsclmiviiigsproblomcn.

AI.s iiien een getallenrij van 2 iV eijfer.s he.solioinvt (even-
veel cijfers O als 1), dan/al voor A\'groot liet aantal mogelijke
e»)nliguraties

„tN_ 2 A7
~A7A7

zeer groot, doeli eindig zijn en na een zeer groot aantal
wi.s.selingen zullen dus reeds vroeger verkregen groepeeringen
terugkomen of ook een zekere, geheel willekeurige, aanvang.s-
gi\'oepeering zal voor de tweede maal verschijnen en men kan
i\'ijv. vragen naar den gemiddelden tijd, die verloopen zal,
voordal een zekere aanvangstoestand, waarvan on.s overigens
niets hekend is, terugkeert.

Men kan hiertoe een methode van v. S.mouiciiowski ge-
bruiken. \') Denken wij ons iedere groejieering van een nummer
v<)orzien en noemen wy haar hij dat nummer », dan kunnen
^^\'ij cle waarschijnlijkheid, dat de //-loestand ()|)lreedl, voor-
«\'ollen door ir(«); de kans, dal deze toe.><tand na 1 trekking
\'j\'ijft bestaan, ir(;n/); de kans, dat deze na 2 trekkingen
»og aanwezig is, ir(>M/;/) enz. Wij voeren nu in de grool-
\'»eden A\'k en ,1/k, welke zullen aangeven, gedurende een
^«-\'keren buitengewoon langen tyd, hel aantal gevallen, waarin
•\'e " toestand, res|). de niet-;/-toestand juist /.• intervallen ge-
•luiird heeft (niet onderbroken en niet overschreden). Men
ziel nu gemakkelyk dat:

Wiener licrichie 1915; 124 Hand; Heft 5, p. 344.

__ 2 iY. 3 Ya .....

iV^i 2iV2 3N^ .. ilA 2J/2

en

iY, 2Y2 3.V3 ...... • •

Van deze laatste kans moet een verwant begrip goed onder-
scheiden worden, n.i. de kans, dat een op het oogenblik
aanwezige «-toestand slechts nog een verder interval voort-
duurt d. w. z. dat na onze groepeering in \'t volgende interval
dezelfde groepeering optreedt, doch daarna een andere. Deze
kans noemen wij (D(2r). Zij bedraagt:

00

X iVk

0(2r)=:-^......(3).

k iw

k=i

Evenzoo is

cc

w All

= ......(1)

X iVh
ii = i

de kans, dat een aanwezige »-toestand nog juist k intervallen
voortduurt, doch in het(/.-|-l)^ i,.„,val in een anderen
toestand overgaat.

Dc analoge uitdrukkingen voor .len niel-»-loesland kunnen
niet aangegeven wor.len en dan is ^ (/.•, r) de kans, dal
een niet-;Moestand juist na alloop van /.• intervallen in den
»-toestand overgaat.

Hiermee is nu te delinieeren, wat men moet verslaan ondei-
omkeertijd en aanverwante begrippen

De [\'"xr van .len »-loeslaml is hel rekenkundig

gennddelde der intervallen, die gekarakleiiseerd zijn .hn,;
voortduren van den »-loe.stand.

I)c/e groothei,I 7\', kunnen wij met .Ie boven ingevoer.le
symbolen voorstellen door:

\' ^v, -f .Ys ,Y3 :.. r.^\'ötïT) —

Daarentegen is de gemiddelde duur van den niet-;Hoestand:
, ^ iV, 2 M. aJ/^.... __ r

\' \' ii/. ii/2 ii/3 .. TTT.-^pTu) • • •

Deze grootheid kan men ook de gemiddelde tenajkeertijd
van den «-toestand noemen.

Neemt men voor eiken »-toestand den tijd tot het optreden
van den eerstvolgenden niel-»-toestand en van deze tijden
liet gemiddelde, dan vindt men dc mmvschijuUjkc duur \\\'x\\n
don «-toestand:

\' " ---EkrOikr).. (7)

De berekening der grootheden Ti en öx is uil le voeren
zonder dal men de functies 0 en kent. Daar hel klaar-
J>lijkelijk evenveel malen voorkomen nu)el, dat u in m"et-u
overgaat als omgekeerd, is:

A^i .Ys Aa L......= .V, M^ .1/3. . (8)

en dus volgens formule (I):

= \'I\\

— I

ir(;/

Mei behulp van de vergelijkingen (2) en (ó) vindt men dus:

I — ir(»/)

(ID)

In ons geval van een g(«lalleiu\'ij van 2 S cijf(»rs is hel
»»nlal mogelijke configuraties

iN

= ^y/y^ en dus H\'l»)

Oni ir{w ;/), n\'(;/;M/)enz. bepalen, moet men bedenken,
•\'al, wjinneer op een bepaalde plaals een cijfer gebraakt wordt,
kan wis.Kclen mol oon van dezelfde soort of mol oon van
anilero .soort, wat bij elke volgende trekking weer geldt on
van do 2\' gevallen, die zich in u trekkingen kuimon voor-
•\'oen, er dus .steeds 2 zijn, <lie <len toosland lalen voortduren,
flie bij den aanvang aanwezig was. Derhalve

= \'A;
2

W{nnnn) = —^ = \'/s; enz.

In het algemeen bij a letters n wordt dit ^r^^

a

Volgens formule (10) is dus in ons geval:

2N 1

^ (zeer groot).

In het algemeen is de berekening van de waarschijnlijke
duur Ï2 niet zoo eenvoudig, omdat hiervoor vereischt wordt
de kennis van de functies <p en <//, wier berekening veel
gecompHceerder is dan die van ir («) en ir(>/»).

Men kan de betrelTende uitdrukking (7) herleiden tot:

^=14- t \'^L-\'-

T \' /V. 4- 9 "II. " u .V \'i

iV3 2 A^ H A^j^..
A\'2 2

Aa 2 A\'44--}.V5-f •

Het eerste der gebroken polynomen van het tweede lid is
volgens fonnnle ((>) gelijk aan de kans ir(»»), dat op den
«-toestand wederom een «-toestand volgt. Kvenzoo is de
tweede breuk het gedeelte der «-«-gevallen, die nog door oen
derde «-toestand worden gevolgd, d.i. W (» „ „) enz.

Dus vindt men:

1-f iri««)(i ir(„»,o[i -fin««»,/) .]

Na substitnlio dor waarden, die wij voor do grootheden
ir vonden, is in ons geval

-Tg -t-23^2"^

In elk probleem, waarvoor dus de grootheden ir(M) en

TF(n----n) bekend zijn, kan men met behulp van de for-
mules (10) en (11) direct berekenen

de gemiddelde duur Ti,

de gemiddelde terugkeertijd öi

en de waarschijnlijke duur Tt.

In hel vorige hoofdstuk bijv. beschouwden wij het geval,
dat zich een zeker aantal cijfers 1 in een gebied van a
plaatsen bevond en berekenden daarvoor de kansen !!\'(>/)
en ir(w»).

Substitutie in de vergelijking (10) levert terstond de groot-
heden T\\ en öi.

In plaats van te vragen naar duur of terugkeertijd van
bepaalde groepeeringen van een geheele getallem ij, kan nu\'u
ook zeker teeken bijv. een O op ven hrjxuildv, idaats aandacht
schenken en vragen, wat de gemiddehhi terugkeertijd voor
een O op die plaats is of de genu\'ddelde duur van de aan-
wezigheid van een O op cle plaats k. Om deze te bepalen,
voeren wij in de kans V, dat een cijfer van de eene soort
op een bepaalde plaats vervangen wordt door een cyfer van
de andere soort bij de eerstvolgende trekking.

Voor een verandering is in de eer-ste plaals noodzakidijk,
dal het be.schouwde numnujr wordt getrolTen. De kans

Iiierop is

Verder moei «Ie aanwezige O wi.s.selen met een der A\'aan-
wezige cijfers I en dus is

__fL ^ -

~2N\'2X—\\ 2{2N—\\Ï

Daarentegen zal /\'= 1 — V de kans zijn, dal na de eerst-
volgende trekking hetzelfde cijfer zich op ile plaals k bevindt

I)e kans, dut een op /• aanwezig cijfer O zich n trekkingen
onafgebroken op de plaals k bevinden blijft, is

Dus de gemiddelde duur van de aanwezigheid is
T F V 2T F\' V ^r P^ V .....—\'^•Jr

Met dezelfde grootheden F en V kan men ook den ge-
middelden terugkeertijd voor een O vinden. Na één trekking
kan zich op de beschouwde i)laats reeds weer een O bevinden.
De kans is hiervoor F. Ook kan na de 1" trekking do O in
1 veranderd zijn, doch na de 2 frekking weer een O zijn
geworden. De kans hierop is P. Algemeen kan na de eerste
trekking de O veranderd zijn in 1, deze kan gedurende » —2
trekkingen onveranderd blijven en na den »\'Ic" trok weer
voor een O plaats maken. De kans hierop is V. P\' r.

Men vindt met behulp hiervan voor den gemiddelden
terugkeertijd:

rP-f 2rP BrPP 47/« r^^. „-/>n-Jp ^

/ 1\\

Dat de gevonden tijden zoo groot zijn, is een gevolg van
•t feit, dat wij een bepaalde plaats be.schonwden en de kans,
dat deze getroffen wordt, is zeer klein.

s A lAI E N VATTIN G.

Hoofdstuk I.

Vergelijking van de waarnemingen van The SvEnitKîin met
formules, afgeleid uil de llieorie van v. Smoluchowski

(pg. 1-B).

Samenliang tusschen ile uitspringkans P en de diffusiecoëfli-
cient I) (pg. 8—S)).

Toetsing van de waarnemingen van Westoiikn (pg. 10—12).

Overzicht van andere onderzoekingen (pg. 12—1-1).

Hoofd.stuk II.

Herekening van de hoeveelheden lJ{t) en T{t), welke iia den
tijd ^ zich (hmr diffusie huiten een bolvormig element begeven
hebben, resp. na den lijd t nog aanwezig zijn (pg. lö—17).

Berekening van do kans (t\\ dat een deeltje aanwezig is
op de tyden O, 2^ . ... n t. doch verdwenen op {u I ) /.
(pg. 18).

Bewys, dal P^ {t) nul is, van de orde ( ) (pg. 19—20).

Hoofdstuk III.

Herekening van de gemiddelile verandering ^ai» van het aan-
tal deelljes van een vohime element, dat eerst a, later h
<leeltjes bevat (pg. 21—27).

Toetsing van de gevonden formules aan de waarnemingen
van \\VK.sT(inKN (|)g. 28—IJO).

Hoofdstuk IV.

Betrekkingen tu.s.schen de kansen ir(«), H\'(«,/»), ll\'(f/,c)

(pg. ai—:}2).

\'dansen met ii indices en de berekening uit deze van de
kan.sen met een kleiner aantal indices (pg. aij—IM).
aantalfnncties (pg. ïló).

Be omkeerbaarheidshelrekking en hai\'e toetsing aan de reek.sen
van Westghk.n (pg. aü—31)).