Inleiding tot een Afbeeldingsmethode
van de Stralenruimte op de Punten-
paren van een Puntenveld

Diss.
Utrecht

1922

«r? » /

M " \'

i" ^ir-f

, i \'\'

^ A

INLEIDING TOT EEN AFBEELDINGSMETHODE
VAN DE STRALENRUIMTE OP DE PUNTEN.
PAREN VAN EEN PUNTENVELD

wmT

y

INLEIDING TOT EEN
AFBEELDINGSMETHODE VAN DE
STRALENRUIMTE OP DE PUNTEND-
PAREN VAN EEN PUNTENVELD

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN
NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-UNIVER-
SITEIT TE UTRECHT. OP GEZAG VAN
DEN RECTOR MAGNIFICUS DOCTOR J. F.
NIERMEIJER. HOOGLEERAAR IN DE FACUL-
TEIT DER LETTEREN EN WIJSBEGEERTE.
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER
UNIVERSITEIT. TEGEN DE BEDENKINGEN
VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUUR-
KUNDE TE VERDEDIGEN OP MAANDAG
23 OCTOBER\'22, \'SNAMIDDAGS 4 UUR. DOOR
PETRUS JACOBUS VAN LOO
GEBOREN TE UTRECHT

DRUKKERIJ ZUIDAM, UTRECHT

........ ^liCi ■

AAN MIJN VROUW
AAN MIJN VADER

. j\'
( . . .

" - H ■

ÄÄV-.. :

É\'-JS-:;:

VOORWOORD.

Bij het eindigen mijner academische studie dank ik U,
HOOGLEERAREN in de faculteit der Wis en Natuurkunde
voor het onderwijs, dat ik van U mocht ontvangen.

Hooggeleerde ORNSTEIN; de tijd, die ik in Uw labora-
torium mocht doorbrengen, zal bij mij steeds in dankbare
herinnering blijven, niet het minst door de wijze waarop gij
U wist te interesseeren, ook voor het geringste werk door
Uw leerlingen verricht.

Hooggeleerde DE VRIES, Hooggeachte Promotor. U in
het bijzonder dank ik voor de heldere wijze waarop ge mij
door Uwe colleges en door het beantwoorden van vragen,
waartoe ge steeds bereid waart, hebt ingeleid in de kennis
van de methoden der Hoogere Meetkunde.

Tevens maak ik van de mij hier geboden gelegenheid
gaarne gebruik U openlijk mijn dank te betuigen voor de
belangstelling en raad, welke gij mij bij het vervaardigen
van dit proefschritt zoo ruimschoots hebt toebedeeld.

Cl

vr\' \' V, V^ \' . • »\'sc

,, ......

■ :

■ iS j, -\'i - ■\'.-VK\'.lt\'\' ,,, .\'\'\'<■ .■\', ^

L

- A\'". V l \'Jt^- , •

U\'r :

INLEIDING.

1. De centrale projectie van een rechte wordt gekenmerkt
door twee punten: doorgang (D) en vluchtpunt (V). Het
puntenpaar (D, V) kan nu beschouwd worden als afbeelding
van een rechte.

2. De stralenruimte is vierdimensionaal het aantal punten-
paren van een puntenveld is eveneens viervoudig oneindig;
de stralenruimte kan dus afgebeeld worden in de puntenparen
van een puntenveld.

3. Enkelvoudig omindige lijnenstelsels.

Een meetkundige plaats van een enkelvoudig oneindig
stelsel rechten noemen we in algemeenen zin een regelschaar.
Het beeld van een regelschaar wordt gevormd door twee
reeksen in (1, 1) verwantschap op, in het algemeen, kromme
dragers.

Beschouwen we ter inleiding achtereenvolgens den waaier
en den kegel.

4. Waaier.

Een waaier wordt in het algemeen afgebeeld in twee
perspectieve puntenreeksen op evenwijdige dragers, n.1. door-
gang en vluchtlijn van het waaiervlak. Ligt het projectie-
centrum (C) in het waaiervlak, dan bestaat de afbeelding uit
twee collocale gelijkvormige puntenreeksen. Deze hebben,
zooals bekend is, twee dubbelpunten (coïncidenties). Het eene
(Dp, Vp) is het beeld van den waaierstraal door het centrum

van projectie gaande, het andere (D«,, V«,) is het beeld van
den waaierstraal welke evenwijdig loopt aan de snijlijn van
tafereel en waaiervlak. In het bijzonder kunnen de dubbel-
punten samenvallen in (D^, V«,). Valt het centrum van
projectie samen met het middelpunt van den waaier, dan is
het beeld van den waaier vertegenwoordigd door twee iden-
tieke collocale puntenreeksen.

Een parallelwaaier wordt vertegenwoordigd door de punten-
paren, die men krijgt door de punten Dk van een puntenreeks
van de Ie orde te koppelen aan een vast punt V.

Worden de punten Vk van een puntenreeks van de Ie orde
gekoppeld aan een vast punt D, dan vormen de aldus ge-
vormde puntenparen het beeld van een waaier welks centrum in
het tafereel gelegen is.

5. Kegel.

Het beeid van een kegel van de m orde bestaat in het
algemeen uit de homologe puntenparen van twee homothe-
tische puntenreeksen van de n^ orde. Het homothetisch
middelpunt is het beeld van de verbindingslijn van projectie-
centrum en kegeltop. We hebben hier dus een homologie
met als dubbellijn en het homothetisch middelpunt als
centrum. Ligt het projectiecentrum op een straal des kegels,
dan raken de dragers der puntenreeksen (V) en (D) elkaar
in het dubbelpunt (Dk. Vk) dat het beeld is van eerst-
genoemden straal.

Bijzondere ligging van tafereel en projectiecentrum geeft
geen aanleiding tot bijzondere opmerkingen.

Het beeld van een parallelstralenkegel (cylinder) wordt
vertegenwoordigd door de puntenparen, die men krijgt door
de punten Dk van een puntenreeks van de ne orde te kop-
pelen aan een vast punt V.

HOOFDSTUK I.

De Kwadratische Regelschaar.

1. In het algemeen zal de afbeelding van een kwadratische
regelschaar bestaan uit twee projectieve puntenreeksen van
de 2e orde.

We definieeren de kwadratische regelschaar als het samen-
stel der 00\' verbindingsrechten van overeenkomstige punten van
twee projectieve puntenreeksen op kruisende dragers: (a) en (6).

2. Kiezen we het projectiecentrum op een straal / der
regelschaar en het tafereel ï door den straal a der toegevoegde
regelschaar, zóó, dat de projectie der puntenreeks {b) perspectief
is met de puntenreeks (a) in het tafereel.

De afbeelding der regelschaar wordt nu gevormd door
de paren (D, V), zoodanig gelegen, dat hun verbindingslijnen
concurrent zijn. Hun snijpunt zij S\'.

Volgens het voorgaande is de meetkundige plaats (D) der
punten Dk de rechte a^\'^ de meetkundige plaats (V) der
punten Vk een kegelsnede. In het hier beschouwde geval
(C op een straal / der regelschaar) is deze kegelsnede een
hyperbool, waarvan a\' ^ een der beide asymptotische richtingen
aangeeft.

Is Db het doorgangspunt van b, dan zal het verdwijnpunt
behoorende bij het doorgangspunt D^, verkregen door S\'Ob
met (D) te snijden, naar het oneindige verhuizen. Door S\'Ob
wordt dus de tweede asymptotische richting der hyperbool
(V) bepaald.

3. Klaarblijkelijk zullen nu twee stralen der regelschaar
elkaar niet kunnen snijden, daar de waaier (S\') uit de

hyperbool geen koorde evenwijdig aan een asymptotische
richting kan snijden.

De straal l door het projectiecentrum wordt afgebeeld in
de coincidentie (Di, Vi) in het snijpunt van a\' en b\'.

4. Zoeken we nu de beelden van de stralen der toege-
voegde regelschaar. Twee dezer stralen zijn reeds gekarakteriseerd
door (Db. Vb) en (öa, Va°°) bij welke laatste Da als willekeurig
punt van a\' is te beschouwen. Een derde is bepaald door
de \'coincidentie (dA, y2.) in S\'.

De coincidenties (Di, Vi) en (dA, vA) zijn dus de beelden
van de beschrijvenden der hyperboloide (drager der regel-
scharen) welke door het projectiecentrum gaan.

De stralen der eerste schaar worden door die der toege-
voegde in projectieve puntenreeksen gesneden, welke projec-
tieve puntenreeksen op de projecties hunner dragers ingesneden
worden door een waaier met de coincidentie (Di, Vi) als
middelpunt.

De doorgangspunten Dk der tweede schaar liggen op S\'Ob,
terwijl de vluchtpunten Vk op de reeds beschouwde hyper-
bool liggen.

5. Wil men aantconen dat de stralen der tweede regel-
schaar eiken straal der eerste snijden, dan is het voldoende
dit aan te toonen voor drie stralen.

Voor de hand ligt hiervoor te nemen:

(Dm, V^); (Dl, Vi) en een willekeurigen straal (Dk, Vk).
Verder volgt dat de algemeene kwadratische regelschaar geen
straal in het oneindige heeft.

Dit is alleen mogelijk als de oneindig verre elementen der
puntenreeksen a en b aan elkaar toegevoegd zijn (paraboloide).

6. Opmerkingen.

a. De richtkegel uit het centrum van projectie wordt

afgebeeld in twee collocale identieke puntenreeksen van de
2e orde met (V) als drager.

b. De vorm der doorsnede van een vlak met het kwadratisch
regelvlak kan onmiddellijk bepaald worden. Heeft de vlucht-
lijn van het vlak 2, 1 of O punten met de meetkundige plaats
(V).gemeen, dan is de doorsnede een hyperbool, parabool
of ellips.

c. Snijden a en 6 elkaar dan valt Db samen met het snij-
punt van a\' en 6\'. We zien dan dat de afbeelding van een
waaier gevormd wordt door twee perspectieve puntenreeksen
op evenwijdige dragers.

d. Het tafereel is een raakvlak van de hyperboloide.

7. Beschouwen we nu nog eenige meer algemeene af-
beeldingen van de kwadratische regelschaar.

Kiezen we het tafereel door een beschrijvende a der toe-
gevoegde regelschaar en C willekeurig. Het is bij de meer
algemeene keuze der gegevens voordeelig een regelschaar te
definieeren als het samenstel der rechten welke op drie ge-
geven rechten a, b en c rusten.

De afbeelding bestaat nu uit twee projectieve puntenreeksen
(D) en (V). (D) heeft a tot drager, (V) is een kegelsnede
en wel in het algemeen een hyperbool, waarvan a\' een der
asymptotische richtingen vertegenwoordigt. De at^ere asymp-
totische richting wordt gekarakteriseerd ^oor Db Dc welke
tevens voorstelt de meetkundige plaats (d) der toegevoegde
regelschaar.

De meetkundige plaats (V) is het product van twee projec-
tieve waaiers met toppen Vb en Vc welker overeenkomstige
stralen evenwijdig loopen aan de homologe stralen der pers-
pectieve waaiers Db (D) en Dc (D).

8. Kiezen we het tafereel willekeurig en C op een straal
a der toegevoegde regelschaar. Bij de afbeelding zullen we
uitgaan van de punten K van den toegevoegden straal c en

hierdoor de transversalen over a en b trekken. De afbeelding
der regelschaar zal nu bestaan uit twee puntenreeksen (D)
en (V) van de 2e orde. De kegelsneden welke* de dragers
dezer puntenreeksen zijn, zullen in het algemeen hyperbolen
worden met dezelfde asymptotische richtingen. Immers, letten
we er op hoe de punten Dk en Vk geconstrueerd worden,
dan volgt, als D V het snijpunt is van Vb K met de lijn uit
Dc // Vb Vc getrokken, dat Dk naar het oneindige verhuist als
Da K//D^k Db, maar dan is ook Vb Vk//Da K dus verhuist
Vk tegelijk met Dk naar het oneindige.

9. Hoe bepaalt men de asymptotische richtingen?

Hiertoe bepalen we de meetkundige plaats der punten

D \'k die zoodanig gelegen zijn dat Da K // Db D \'k en D \'k op Vb K.

Deze meetkundige plaats is een kegelsnede en wel een
hy^rbool, ga^de door Db. Vb en het snijpunt van Da Db met
Dc Vc. en met Vb Da en c\' als asymptotische richtingen.

Op de lijn door Dc // Vc Vb getrokken bepaalt deze in het
algemeen twee punten D\'k en D\'i waardoor [de gezochte
asymptotische richtingen bepaald zijn.

We hebben dus:

De afbeelding der kwadratische regelschaar bestaat uit de
puntenparen van twee projectieve kegelsneden met dezelfde
reëele asymptotische richtingen.

10. Zien we nu nog hoe de projectiviteit tusschen de pun-
tenreeksen (D) en (V) vastgelegd is. Klaarblijkelijk dooreen
waaier met Da Va als centrum.

De toegevoegde regelschaar wordt door projectieve pun-
tenreeksen op dezelfde dragers bepaald, en wel wordt hier
de projectiviteit vastgelegd door een waaier met het tweede
snijpunt van (D) en (V) : (Dp.Vp) als centrum.

De puntenreeks (D) is het voortbrengsel van twee pro-
jectieve waaiers met Db en Da als centrum, die respectievelijk
projecteerende waaiers zijn van de projectieve puntenreeksen

op Dc Vc en op de rechte door Dc // Vc Vb getrokken, (hun
gemeenschappelijk element is aan zichzelf toegevoegd).

Evenzoo is de puntenreeks (V) het voortbrengsel van twee
projectieve waaiers met Da en Vb als centrum. De waaier
Vb is congruent met den waaier Db dien we zooeven beschouw-
den: hun overeenkomstige stralen loopen evenwijdig.

11. Beschouwen we tenslotte het geval dat C en t geheel
willekeurig zijn.

Op dezelfde wijze als in 8 volgt dat ook hier de afbeelding
der regelschaar bestaat uit de puntenparen van twee projec-
tieve kegelsneden met dezelfde asymptotische richtingen.

Het bepalen der asymptotische richtingen geschiedt op
analoge wijze: We bepalen de meetkundige plaats der punten
P, die aldus gevonden worden:

Trek uit Db en Dc evenwijdige lijnen die respectievelijk de
assen ab (door Da//VaVb getrokken) in Q en ac (door
Da II Va Vc getrokken) in R snijden. Verbind deze snijpunten
Q en R respectievelijk met Vb en Vc dan is het snijpunt dezer
verbindingslijnen een punt P.

De meetkundige plaats blijkt een kegelsnede te zijn, immers
(Q) X (R) dus (Vb Q) (Vc R). De punten waar deze de lijn
Va Da snijdt zijn de snijpunten van de stralen der regelschaar
welker kenmerkende punten Dk en Vk naar het oneindige
verhuizen.

Snijdt Va Da de kegelsnede injwee reeele punten dan zijn
(D) en (V) hyperbolen. Raakt Va de kegelsnede, dan zijn
(D) en (V) parabolen. Hebben Va Da en de kegelsnede geen
reeele punlen gemeen dan zijn (D) en (V) ellipsen.

12. Opmerking.

De kegelsneden (D) en (V) zijn gelijkstandig gelijkvormig.

De homologe punten dezer gelijkvormige kegelsneden zijn
echter in het algemeen geen puntenparen (Dk.Vk).

HOOFDSTUK II.

1. De afbeelding van het enkelvoudig oneindig stelsel
raaklijnen van een vlakke algebraische kromme c° bestaat
uit twee puntenreeksen van de Ie orde (D) en (V) op even-
wijdige rechten. Beschouwen we de afbeelding van het
raaklijnenstelsel van een c", gelegen in een vlak gaande door
het projectiecentrum C, dan bestaat de afbeelding uit twee
collocale puntenreeksen (D, V).

2. Uit een willekeurig punt kan men aan een algemeene
kromme van den n^» graad n (n-J) raaklijnen trekken.
Verhuist dit willekeurige punt in een bepaalde richting naar
het oneindige, dan volgt hieruit, door toepassing van de
wet van het behoud van het aantal, dat aan een vlakke
c" in het algemeen n {n^l) raaklijnen getrokken kunnen
worden evenwijdig aan een bepaalde richting.

Bij elk punt Dk behooren dus n (n^l) punten Vi. nl. de
vluchtpunten der n {n^l) raaklijnen uit Dk aan C te trekken

Bij elk punt Vk behooren eveneens n {n-_i) punten

Dl. nl. de doorgangspunten der n {n^l) raaklijnen, welke
evenwijdig aan de door Vk bepaalde richting loopen.

Op den drager der puntenreeksen (D, V) hebben we dus
een verwantschap {n (n—7), n (n—i)}

Deze bezit in het algemeen 2 n (n—1) coincidenties, welke
hier aldus gegroepeerd zijn:

n (n—1) voor de raaklijnen door C gaande en n (n—1)
voor de raaklijnen, welke evenwijdig aan het tafereel loopen.

3. Opmerkingen.

a. De afbeelding van het raaklijnenstelsel van een kegel-
snede, gelegen in een vlak door het projectiecentrum gaande,
zal dus zijn een verwantschap (2, 2) op den drager (D, V).

b. Ligt C op de kegelsnede, dan telt de coincidentie
(Dfc, Vk ) welke het beeld is van de raaklijn in C aan de
kegelsnede, dubbel.

c. Bezien we het raaklijnenstelsel van een kegelsnede
rakend aan het tafereel, dan verdwijnt schijnbaar een coinci-
dentie (Doo, Voo). Merken we op dat elk punt van de
meetkundige plaats (D) beschouwd kan worden als door-
gangspunt der in het tafereel gelegen raaklijn d, dus ook
het punt Doo dezer rechte, dan blijken ook hier 4 coinci-
denties aanwezig te zijn.

d. Bij de parabool kan in een gegeven richting slechts
éèn raaklijn getrokken worden. Daar de lijn 1«: van het
paraboolvlak echter met elke rechte van dat vlak eiken
willekeurigen hoek maakt ,is 1«, te beschouwen als tweede
raaklijn evenwijdig aan een gegeven richting.

De vier coincidenties zijn dan de beelden van de twee
raaklijnen uit C, de raaklijn evenwijdig aan het tafereel en
van de raaklijn Ioq.

e. Raakt de parabool aan het tafereel en laten we l^o
en de in het tafereel gelegen raaklijn d buiten beschouwing,
dan krijgen we als afbeelding twee collocale puntenreeksen
(D, V) welke nu in projectief verband tot elkaar staan, en
welke 2,1 of O dubbelpunten vertoonen, naarmate uit C
2,1 of O reëele raaklijnen aan de parabool getrokken kunnen
worden.

4. Gaan we nu nog afbeelden het raaklijnenstelsel van
een kegelsnede gelegen in een willekeurig vlak, dan blijkt
de afbeelding te bestaan uit twee puntenreeksen van de
Ie orde (D) en (V) gelegen op evenwijdige dragers.

Ook hier bestaat een verband (2, 2) tusschen de punten
Dk en Vk.

Bij de afbeelding van het raaklijnenstelsel van een parabool,
welke aan het tafereel raakt krijgen we twee projectieve
puntenreeksen op evenwijdige dragers (D) en (V).

HOOFDSTUK III.

Het bepalen van het origineel van een gegeven beeld.

1. Collocale puntenreeksen (D, V) van de 2« orde.
Deze zijn het beeld van enkelvoudig oneindige lijnenstelsels,

in één plat vlak gelegen, welk vlak door het projectiecentrum
.gaaat.

2. We hebben achtereenvolgens:
Gelijkvormige collocale puntenreeksen.

Daar de puntenreeksen (D) en (V) gelijkvormig zijn, is
er in het algemeen in het vlak van het lijnenstelsel een
waaier M (D) te bepalen die gelijkvormig is met den be-
paalden waaier C (V). De puntenreeksen (D, V) zijn het

beeld van den waaier M (D).

De in het algemeen aanwezige twee coincidenties (Dk, Vk)
en (Doo. Voo) zijn de beelden van den waaierstraal door C
gaande en van den waaierstraal welke evenwijdig aan het
tafereel loopt.

3. Bijzondere gevallen:

a. Identieke collocale puntenreeksen (D, V.)

Deze zijn het beeld van een waaier met het projectiecentrum

als middelpunt.

/5. Direct congruente collocale puntenreeksen (D. V.)
Deze zijn het beeld van een waaier M, zoodanig gelegen,
dat de waaierstraal door het projectiecentrum evenwijdig aan
het tafereel loopt. Er is dus maar één dubbelpunt {D^, Vq,).

We kunnen dus de directe congruentie beschouwen als een
parabolische projectiviteit met oneindig ver dubbelpunt.

y. Symmetrische coUocale puntenreeksen {D, V).

Deze zijn het beeld van een waaier M welke symmetrisch
is met den waaier C (V) ten opzichte van een op den drager
(D, V) gelegen symmetriecentrum O.

Er zijn 2 dubbelpunten : (Do, Vo) in O, welke het beeld
is van den straal door het projectiecentrum gaande; en een
dubbelpunt (D^o. Vqo), beeld van den straal evenwijdig aan
het tafereel.

4. Projectieve collocale puntenreeksen {D, V).

Deze hebben in het algemeen twee dubbelpunten.

Daar de reeksen niet gelijkvormig zijn, komt met D^,
overeen een bepaald eigenlijk punt Vk; eveuzoo met V^
een bepaald eigenlijk punt Di.

Door het projectiecentrum gaan dus twee stralen van het
lijnenstelsel, dus omhullen ze een kegelsnede.

Het paar (Do^, Vdoo) is het beeld van de lijn l^^ van het
vlak van het lijnenstelsel: de omhulde kegelsnede is dus een
parabool.

De parabool raakt het tafereel, dus (D, V), in het punt
(Dvoo)- Vallen de dubbelpunten der projectieve collocale
puntenreeksen samen, dan ligt het projectiecentrum op de
parabool.

Is de projectiviteit elliptisch, dan ligt het projectiecentrum
binnen de parabool.

5. Involutie.

Een involutie is het beeld van een parabool.

Is de involutie elliptisch, dan ligt C binnen de parabool;
is zij hyperbolisch, dan ligt C er buiten.

6. Puntenreeksen (D) en (V) op evenwijdige dragers.

Deze zijn het beeld van een stelsel lijnen, in één plat vlak

gelegen.

We onderscheiden:

7. Perspectieve puntenreeksen.

Zij vormen het beeld van een waaier, gelegen in een vlak,
niet door het projectiecentrum gaande.

Bijzonder geval: parallelwaaier.

8. Projectieve puntenreeksen.

Deze zijn het beeld van de raaklijnen van een kegelsnede
in een vlak, niet door het projectiecentrum gaande. De lijnen
Dfc Vk omhullen de projectie der kegelsnede.

De kegelsnede raakt aan Iq^, is dus een parabool. Immers,
het punt Vk behoorend bij D^» is een bepaald eigenlijk punt
van (V). Verder raakt de parabool aan het tafereel want
door Dk gaat slechts één raaklijn die niet in ï ligt.

9. Puntenreeksen (D) en (V) op elkaar snijdende dragers.

Deze zijn het beeld van een enkelvoudig oneindig lijnen-
stelsel, welks exemplaren evenwijdig loopen aan een bepaald
vlak, waarvan de richting bepaald wordt door den drager (V).

10. Perspectieve puntenreeksen.

Deze zijn het beeld van een regelschaar van een hyper-
bolische paraboloide door C gaande.

Immers: Alle lijnen van het beschouwde stelsel rusten op
de in het tafereel gelegen rechte (D).

Daar de puntenreeksen perspectief zijn, gaan de ver-
bindingslijnen van overeenkomstige punten Du, V^door één
punt, welk punt, opgevat als coincidentie (dI, vA), te be-
schouwen is als beeld van een rechte, gaande door het
centrum van projectie.

Deze rechte wordt, evenals (D), door alle lijnen van het
beschouv/de stelsel (D, V) gesneden. Verder loopen alle
lijnen evenwijdig aan een vlak, welks stand door (V) be-
paald wordt.

Het snijpunt der meetkundige plaatsen (D) en (V) is aan
zichzelf toegevoegd: (Di, Vi), is dus beeld van een straal
der regelschaar door C gaande.

Eén exemplaar der regelschaar ligt in het oneindige, nl.:
(D«,. Vdoo).

De exemplaren van de toegevoegde regelschaar loopen
evenwijdig aan een vlak door C, welks stand bepaald wordt
door de verbindingslijn (v) van met het oneindig ver
gelegen vluchtpunt van (D).

(V) loopt dus evenwijdig aan (D).

Evenzoo loopt (D) door dA evenwijdig aan (V). De ver-
bindingslijnen Dp Vp vormen een waaier met Di Vi als centrum.

Een willekeurige lijn (Dm, Vm) snijdt nu elke lijn (Dk.Vkl-
immers, noemen we het snijpunt van Vm Vk met (Dy.- A en
dat van Vk Di met (V): B dan is:

Dm Vm : Vm Dl Vm : Vm B = Dk A : ADi

Zoodat Dm Dk // Vm Vk.

De toegevoegde regelschaar heeft ook een exemplaar in
het oneindige, nl. de lijn die afgebeeld wordt in (Doo Vd„)-

11. Opmerkingen.

a) Verhuist D^ vA naar het oneindige, dan loopt de
toegevoegde regelschaar evenwijdig aan het tafereel. (D)
zoowel als (V) verdwijnen dan naar het oneindige.

b) Gelijkvormige- en projectieve-puntenreeksen zijn even-
eens beelden van paraboloidische regelscharen. Zij geven
geen aanleiding tot bijzondere opmerkingen.

c) De algemeene afbeelding van een paraboloidische
regelschaar bestaat uit twee projectieve puntenreeksen: (V)
van de Ie orde, (D) van de 2e orde.

De puntenreeks (D) kan geen ellips zijn, daar (V) een
asymptotische richting bepaalt en reëel is. De tweede
asymptotische richting wordt gekarakteriseerd door de ver-
bindingslijn der vluchtpunten van twee exemplaren der toe-
gevoegde schaar. Deze lijn is tevens de meetkundige plaats
der toegevoegde schaar.

HOOFDSTUK IV.

Twee projccticvc puntenreeksen van de Ie en 2e orde.

1. Twee projectieve puntenreeksen: (V) van de Ie orde.
(D) van de 2e orde.

Alle lijnen van het stelsel loopen evenwijdig aan het vlak
C (V), of anders gezegd: alle lijnen snijden de oneigenlijke
rechte Uoo van dit vlak.

In het tafereel ligt een exemplaar / van het stelsel, n.1.
dat welks beeld vertegenwoordigd wordt door het puntenpaar
(Dl, Voo). De doorsnede van het lijnenstelsel met het tafereel
is dus van den 3en graad.

Kunnen twee lijnen van het stelsel elkander snijden?

Dit kan alleen als Dk Dk. // (V).

We kunnen dus de lijnen rangschikken in paren elkaar
snijdende lijnen. De punten Vk, Vk. van de beelden van de
paren elkaar snijdende lijnen vormen op den drager (V) een
hyperbolische involutie, met dubbelpunten in de punten Va
en Vb, behoorende bij de punten Da en Db, welke de uit-
einden zijn van de toegevoegde middellijn der richting (V).

Alle andere lijnen kruisen elkaar.

Evenwijdige lijnen komen niet voor, tenzij men de be-
standdeelen der dubbellijnen, afgebeeld in (D «, V«) en (D b, Vb)
als zoodanig wil beschouwen.

2. Beschouwen we het vlak van een paar elkaar snijdende
stralen k en k\' en projecteeren we u^ uit het snijpunt Skk.
door een waaier, en (D) door een kegel van de 2e orde.

dan zijn waaier en kegel projectief (door tusschenkomst van
de projectiviteit op (V)). Verder hebben zij de twee stralen
k en k\' gemeen. Hun voortbrengsel is dus een vlakkenbundel
welks as d door Skk- gaat. Deze as d bevat nu klaarblijkelijk
alle snijpunten Skk-.

In de afbeelding krijgen we nu het volgende:

De verbindingslijnen der homologe punten van (V) en (D)
snijden elkaar op een as d\', welke de projectie is van een
rechte d. bepaald door Da en Va. Deze dubbele richtlijn snijdt
alle lijnen (Dk, Vk) van het beschouwde stelsel en tevens
de kegelsnede (D). Immers: zij l de straal van het stelsel,
welke in het tafereel ligt (afgebeeld in Di, V«,). dan behoort
hierbij een straal l\' afgebeeld in (Di-, Vr). Hun snijpunt
Sir ligt in het tafereel en valt samen met Dr Door dit punt
gaat de lijn d, dus Da ligt op (D).

Het beschouwde stelsel (D, V) is dus de afbeelding van
een stelsel rechten, die rusten op de kruisende lijnen u^ en
d en op de kegelsnede (D).

Het is dus de afbeelding van een kubische regelschaar
waarvan de enkelvoudige richtlijn naar het oneindige ver-
huisd is (conoïde met richtlijn d).

Tevens merken we op dat het tafereel raakvlak is.

3. Opmerkingen.

a) Een kubisch regelvlak is te beschouwen als een
bikwadratisch regelvlak, waarvan een waaier afgesplitst is

(nl. de waaier Da (Uoo))-

Ontaardt nu de kegelsnede (D) in een lijnenpaar, dan
wordt nog een waaier afgesplitst, namelijk de parallelwaaier,
welke op d wordt ingesneden. In dit geval krijgen we dan
het beeld van een paraboloidische regelschaar.

b) Het afsplitsen van een parallelwaaier geschiedt ook
als (V) loopt in een asymptotische richting van de, nu niet
ontaarde, kegelsnede (D).

In dit geval krijgen we, zooals we reeds op blz. 14 zagen
de afbeelding van een paraboloidische regelschaar.

c) Een meer algemeene afbeelding van het kubisch regel-
vlak krijgen we door af te beelden het lijnenstelsel rustend,
behalve op een in het tafereel gelegen kegelsnede, op twee
kruisende lijnen u en d, welke laatste op de kegelsnede rust.

De doorsnede van het regelvlak met het tafereel is van
den 3en graad, ze bestaat n.1. uit de zooeven genoemde kegel-
snede en de in het tafereel gelegen beschrijvende lijn Da Du.

De meetkundige plaats (V) d.w.z. de doorsnede van een
richtkegel met het tafereel levert een kubische kromme met
dubbelpunt in Vd.

d. De lijnen afgebeeld in (Da, Va) en (Db, Vb) zijn torsale
rechten van het kubisch regelvlak. Immers: twee toege-
voegde beschrijvenden vallen hier samen.

e. Tusschen (V) en d bestaat een verwantschap (1, 2).
Bvenzoo tusschen (D) en d.

f. Hebben (V) en (D) één dubbelpunt, dan ligt dit op
d\'. Immers het vlak bepaald door d en den door het dubbel-
punt bepaalden straal gaat door C.

Hebben (V) en (D) twee dubbelpunten dan gaat d door
het projectiecentrum.

4. Twee projectieve puntenreeken: (D) van de Ie orde.
(V) van de orde.

Ook deze vormen de afbeelding van een kubische regel-
schaar. De meetkundige plaats (D) is hier enkelvoudige
richtlijn.

De dubbele richtlijn d heeft haar vluchtpunt Va op de
meetkundige plaats (V) immers: de beschrijvende lijnen der
regelschaar kunnen gerangschikt worden in paren m en m\',
zoodat deze elkaar op d snijden. Hiervoor is noodig, dat
Vm Vm- // (D).

Hiertoe behoort het paar (Dk°°, Vk), (Dk-, Vk).

De eerste van deze twee ligt in het oneindige. Hun snij-
punt is dus het oneigenlijke punt van (Dk\', Vk ). Hierdoor
gaat d, dus k\' en d loopen evenwijdig: ze hebben hetzelfde
vluchtpunt.

De lijnen rusten nog op 0=2 kegelsneden F welke d snijden.

Een kegelsnede k^ is voor den dag te brengen door de
beschrijvende lijnen te snijden met een vlak, gelegd door
een hunner.

5. Opmerking.

Ontaardt de kegelsnede k^ in een lijnenpaar m, n (zoodat
bijvoorbeeld d op m rust) dan wordt de waaier, gelegen in
het vlad (m d) afgesplitst. De afbeelding vertoont dan een
paraboloidische regelschaar.

Loopt (D) in een asymptotische richting van (V) dan
hebben we de afbeelding van een hyperboloidische regelschaar.

HOOFDSTUK V.

Twee puntenreeksen (D) en (V) van de 2c orde.

1, Zooals bekend is hebben twee projectieve punten-
reeksen van de 2e orde hoogstens drie dubbelpunten.

Bezien we dit geval, dan wordt de projectiviteit tusschen
de puntenreeksen (D) en (V) teweeg gebracht door een
waaier met het vierde snijpunt S der kegelsneden als centrum.

Beide puntenreeksen zijn dus met dezen waaier in per-
spectieve ligging.

Het punt 8 kunnen we beschouwen als beeld (Dd, Va) van
een rechte d door het projectiecentrum C gaande. Klaarblijke-
lijk snijden nu alle rechten van het lijnenstelsel de lijn d.

Uit C vertrekken drie lijnen van het stelsel, afgebeeld in
de dubbelpunten der projectieve puntenreeksen.

Beschouwen we nu een punt P op de lijn d en zien we
hoeveel stralen door dit punt gaan. Het doorgangspunt
Dt van een straal door P ligt op (D). Deze straal ligt dus
op een kegel met P als top en (D) als richtlijn.

Het vluchtpunt Vt ligt op de kegelsnede (V). De straal
C Vt loopt evenwijdig aan P Dt dus ligt deze straal op een
kegel met C als top, gelijkvormig met den kegel P (D). Deze
snijdt het tafereel in een kegelsnede, welke gelijkvormig is
met (D), met S als gelijkvormigheidspunt.

Deze kegelsnede heeft dus met (V) behalve het punt S
nog drie punten gemeen. Er zijn dus door een willekeurig
punt P van d drie stralen van het lijnenstelsel te trekken.

De lijn, afgebeeld in Da Va is dus een drievoudige richtlijn.

Trekken we door P een willekeurige rechte l en leggen
we een vlak door d en l, dan ligt in dit vlak één rechte
der regelschaar. Op / steunen dus vier lijnen van het stelsel:
de regelschaar is er een van de 4e orde met een drievoudige
richtlijn.

De doorsnede van het regelvlak met het tafereel moet
van den 4en graad zijn. In het tafereel liggen dus twee stralen
van de regelschaar, welke reëel zijn als (V) reëele asymp-
totische richtingen heeft.

2. Opmerkingen.

a. Denken we ons twee vlakke doorsneden, elk gebracht
door een punt van de drievoudige richriijn en twee der in
zoon punt samenkomende beschrijvende lijnen, dan zal in
zoon vlak de restdoorsnede bestaan uit een kegelsnede rustend
op d. Het bikwadratische regelvlak met drievoudige richtlijn
is dus te beschouwen als het samenstel der rechten, rustend
op twee kegelsneden en een hen snijdende rechte.

3. b. Het regelvlak is in het bezit van vier torsale
rechten. Immers, de doorsneden met het tafereel van de
kegels met C als top welker beschrijvende lijnen evenwijdig
loopen aan de overeenkomstige beschrijvenden der kegels
P (D) waarvan de top P zich over d verplaatst, vormen een
stelsel gelijkvormige kegelsneden met S als gelijkvormigheids-
punt. In dit stelsel zijn vier exemplaren welke aan (D) raken.
Het gebeurt dus vier maal dat twee beschrijvenden samen-
vallen tot een torsale rechte (anders: de torsale rechten worden
geleverd door de dubbelpunten van een kubische involutie
op (D)).

4. c. In een bijzonder geval kan de projectiviteit tusschen
(D)\'en\'(V) aldus vastgelegd zijn: (D) en (V) raken elkaar
in een punt. Behalve dit raakpunt beschouwen we de overige

twee snijpunten van (D) en (V) als dubbelpunten. Een waaier
met het raakpunt als centrum zorgt voor vastlegging der
projectiviteit.

In het raakpunt wordt nu ook de lijn d afgebeeld. Uit
een punt P van d vertrekken nu twee stralen van het regel-
vlak. De derde valt samen met d. Dit geschiedt voor elk
punt van d, dus worden er oo i met d samenvallende stralen
afgesplitst.

In een vlak door d ligt één straal.

We krijgen hier dus de afbeelding van een kubisch regel-
vlak met dubbelrechte d. De twee torsale rechten komen
op dezelfde manier als bij het bikwadratisch regelvlak te
voorschijn.

Uit een bepaald punt P vertrekken twee stralen naar
Da en Db. Op (D) krijgen we dus een punteninvolutie,
evenzoo op (Vj. Da Db gaat dus door een vast punt D*,
zoo ook Va Vb door een punt V*.

De enkelvoudige richtlijn (D*.V*) is dus de as van den
vlakkenbundel welks exemplaren twee elkaar op d snijdende
beschrijvenden van het regelvlak bevatten.

5. Hebben de projectieve puntenreeksen (D) en (V) twee
dubbelpunten, dan kunnen we ons voorstellen dat een der
drie dubbelpunten van het vorige geval is samengevallen met
een ander dubbelpunt. (D) en (V) raken elkaar dan in een der
dubbelpunten. De projectiviteit wordt nu vastgelegd door
een waaier met het derde gemeenschappelijke punt S der
kegelsneden als centrum. De paren (D. V) zijn ook nu de
afbeelding van een bikwadratische regelschaar met d ((Da Vd)
zr S) als drievoudige richtlijn.

Door C gaan drie stralen, waarvan er twee samengevallen zijn.

6. Opmerking.

Het geval van twee dubbelpunten kan ook te voorschijn

komen als de kegelsneden (D) en (V) elkaar in twee punten
aanraken.

Een dezer raakpunten kiezen we als centrum van den
waaier, die de projectiviteit tot stand brengt. Ook hier krijgen
we de afbeelding van een kubisch regelvlak,

7. Is er één dubbelpunt aanwezig, dan kan dit zóó op-
gevat worden, dat de kegelsneden (D) en (V) behalve het
punt S (centrum der met beide kegelsneden perspectieve waaier)
nog één punt gemeen hebben: het dubbelpunt.

Ook hier hebben we in de afbeelding een bikwadratisch
regelvlak te zien met drievoudige richtlijn afgebeeld in
Dd.Vd) = S.

Door C gaat één reeele straal, de twee andere zijn imagmair.

8. Opmerking.

a. Het geval van één dubbelpunt kan echter ook zoo zijn
dat de kegelsneden (D) en (V) elkaar in een punt S raken
en verder geen reeele snijpunten hebben. De coïncidentie
(D. V) valt dan samen met S. Door een willekeurig punt
P van d gaan weer twee stralen, welke voor C met d
samenvallen. We hebben hier weer de afbeelding van een

kubisch regelvlak.

We zien dus dat, wanneer een dubbelpunt (D, V) met S
in een raakpunt van (D) en (V) samenvalt een regelschaar
van de derde orde te voorschijn komt.

b. Het kan voorkomen dat een (hoogstens twee) der
dubbelpunten naar het oneindige verhuizen. Dit geeft aan-
leiding tot het afsplitsen van een waaier, gelegen in het
raakvlak van dit dubbelpunt (beschouwd als snijpunt van twee
kegelsneden, waarvan er één in het vlak CP^o ügt)- Het is
in verband met het voorgaande \'duidelijk dat de afbeelding
dan te zien geeft een kwadratische regelschaar of een kwa-\'
dratische kegel

9. Beschouwen we tenslotte het geval dat de projectieve
puntenreeksen (D) en (V) geen dubbelpunten hebben.

Ook hier wordt door de afbeelding een bikwadratische
regelschaar vertegenwoordigd.

Immers: (V) is te beschouwen als de projectie uit C van
een kegelsnede (V^)oo gelegen in het vlak

De projectiviteit tusschen (D) en (V) bepaalt dus tevens
een projectief verband tusschen (D) en (V^)oo.

De lijnen van het beschouwde stelsel zijn dus de verbin-
dingslijnen van homologe punten van twee projectieve kegel-
sneden, in verschillende vlakken gelegen.

De vlakkenbundel om een as a wordt door deze projectiviteit
in een verwantschap (2, 2) gebracht, welker coïncidenties
vier rechten (D, V) leveren die op a rusten, waarmee aan-
getoond is dat de regelschaar van de 4e orde is.

In het tafereel heeft de regelschaar in het algemeen twee
beschrijvenden, welke bepaald worden door (D^, V^),
en (D„ ,

Hun snijpunt S is een punt van de dubbelkromme van
het vierdegraads regelvlak (drager van de regelschaar).
Noemen we de tweede snijpunten van S\' D^ en S\' Dn met
(D) resp. Dm- en D„\' dan blijkt dat deze punten ook op de
dubbelkromme liggen. De dubbelkromme is dus een kubische
ruimtekromme.

Collocale puntenreeksen (D) en {V) van de tweede orde.

10. Identieke collocale puntenreeksen (D) en (V) zijn het
beeld van een kwadratische kegel met het projectiecentrum
als top.

11. Involutorische collocale puntenreeksen (D) en (V).

Beschouwen we het geval van een hyperbolische involutie

(D, V). We weten dat de homologe punten verbonden
worden door een waaier. Zij het centrum van die waaier

het punt S dan is dit punt te beschouwen als het beeld van
een lijn d door het projectiecentrum C gaande (S = Da. Va).

Klaarblijkelijk snijden nu alle lijnen van het beschouwde
stelsel de rechte d. In elk vlak door d liggen twee stralen
tl en t2 die elkaar zullen snijden in een punt P, zoodanig
gelegen dat zijn projectie P\' in het midden van D,, Vt. ligt;
immers:

CV,. // t, en CVt2 // ta en Vt^ = Dt,

De meetkundige plaats van P\' is dus een kegelsnede
gaande door het punt (Da, Va) en door de raakpunten der
raaklijnen uit Dd aan (D, V) getrokken.

Daar CP = 2 CP\' zal de meetkundige plaats van P uit
die van P\' ontstaan door vermenigvuldiging met 2, is dus
een kegelsnede in een vlak evenwijdig aan het tafereel.
Deze kegelsnede welke d snijdt is een dubbele richtkromme.

Het beschouwde lijnenstelsel bestaat dus uit de rechten,
rustend op twee kegelsneden in verschillende vlakken gelegen,
die dezelfde asymptotische richtingen hebben, en bovendien
rustend op een rechte d. die k^ snijdt.

12, Beschouwen we het aldus gevormde regelvlak nader.

Het doorgangspunt Da ligt op de meetkundige plaats van
P\', dus de lijn d rust op de kegelsnede k\'^.

Het regelvlak zou zijn van den graad 2.2.2. = 8.

De kegel welks top het snijpunt van d en k^ en welks
richtkromme (D, V) is, wordt nu afgesplitst, evenals de
vlakken door d en de oneindig verre punten der twee
kegelsneden.

Onze afbeelding stelt dus voor een regelvlak van den
4en graad.

We merkten reeds op dat k^ een dubbele richtlijn is.

Noemen we het snijpunt van een beschrijvende lijn t met
de richtlijn d : T, dan is t een beschrijvende lijn van de
beide kegels die k^ en (D, V) uit T projecteeren. Deze

kegels hebben hier 2 stralen gemeen, dus uit een willekeurig
punt van d vertrekken 2 lijnen t. De lijn d is dus op het
regelvlak een dubbele richtlijn.

13. Projectieve collocale puntenreeksen (D)en(V).
Door gebruik te maken van de methode toegepast in
Hoofdstuk V9 toont men aan dat we hier te doen hebben
met een regelschaar van de orde gelegen op een
bikwadratisch regelvlak met dubbelkromme q^.

HOOFDSTUK VI.

De bilineairc congruentie.

1. Beschouwen we het geval van de hyperbolische bilineaire
congruentie.

Deze is te definieeren als het samenstel der oo^ rechten,
rustend op twee elkaar kruisende richtlijnen u en v. De punten
en vlakken, welke met de richtlijnen incident zijn, zijn singulier.

Het nulpunt van een vlak door de eene richtlijn gaande,
ligt op de andere richtlijn.

Het nulvlak van een punt der eene richtlijn gaat door
de andere.

2. We kiezen het projectiecentrum C op de richtlijn u.
In het tafereel t krijgen we nu te beschouwen twee collocale
puntenvelden [D] en [V], welke het beeld der congruentie
vertegenwoordigen. Beschouwen we het puntenpaar (Dk.Vk)
welke het beeld is van een willekeurige, niet door C gaande,
congruentiestraal, dan blijkt dat zijn bestanddeelen collineair
liggen met het beeld der richtlijn u.

3. Zien we nu naar de puntenreeks (V) behoorende bij
een puntenreeks van de orde (D).

We vinden een punt Vk, behoorend bij Dk door VvVk
evenwijdig aan DyDk te trekken en met D^Dk te snijden.

De m.pl. der punten Vk blijkt nu een hyperbool te zijn ;
immers, het punt Vk verhuist twee keer naar het oneindige.

Dc asymptotische richtingen zijn reëel en worden bepaald
door (D) en door de lijn DuDy.

We hebben dus :

De bij een puntenreeks van de orde (D) behoorende
puntenreeks (V) is een hyperbool, gaande door Vv, Vu en
Vp°° (de hoofdpunten van de kwadratische transformatie).
Bepalen we omgekeerd de m. pl. (D) behoorend bij een
puntenreeks van de Ie orde (V) dan blijkt (D) een hyper-
bool te zijn, gaande door de hoofdpunten Du, Dv en D^.

4. De afbeelding der bilineaire congruentie wordt dus
geleverd door een kwadratische transformatie in collocale
puntenvelden [D, V].

5. Bezien we de hoofdpunten nader:

Met het hoofdpunt V« komt overeen een rechte (D\')u
gaande door Dv en D^ .

• We hebben hier te maken met een parallelwaaier welker
stralen evenwijdig aan de richlijn u loopen, dus met de stralen
der congruentie gelegen in het nulvlak van het punt Poo van
de richtlijn u.

Met het hoofdpunt Vv komt overeen een rechte (D\')v
gaande door Du en

We zien hier voor ons het beeld van een parallelwaaier,
welker stralen evenwijdig aan v loopen, dus met de con-
gruentiestralen gelegen in het nulvlak van het punt Q

00 van V.

Met het hoofdpunt V^ komt overeen een rechte D« Dv =(D\')p.

Hierin hebben we het beeld te zien van de in het tafereel
gelegen congruentiestraal.

6. Met het hoofdpunt D« komt overeen de rechte (D)u
door Vv en Vp\'^ gaande.

We hebben hier het beeld van de singuliere waaier van
het doorgangspunt van u.

Met het hoofdpunt Dv komt overeen de rechte (D)v =
Vu V^: beeld van de singuliere waaier van het doorgangs-
punt van V. _
Met het hoofdpunt Df\' komt overeen de lijn Vu Vv = (D)q,
Hierin zien we het beeld van de in het vlak 0cc gelegen
congruentiestraal.

7. We zagen dat met een willekeurige rechte (D) een
hyperbool (V^) overeenkomt, gaande door de hoofdpunten

V„. Vv en Vp°°.

Het samenstel dezer twee puntenreeksen (D) en (V^) levert
het beeld van een kwadratische regelschaar welke in de
congruentie opgesloten is.

Evenzoo levert een willekeurige rechte (V) een puntenreeks
(D2) met welke zij het beeld vormt van een paraboloidische
regelschaar.

8. Gaat (D) door een hoofdpunt, dan is aan (D) gekpppeld
een rechte (V) gaande door het overeenkomstige hoofdpunt.

Gaat (D) door Dv dan is aan (D) toegevoegd een lijn
(V) door Vv evenwijdig aan (D) getrokken.

De puntenparen (D,V) op (D) en (V) gelegen zijn pers-
pectief; ze zijn het beeld van een singuliere waaier in een

vlak door v gaande.

Gaat (D) door Df dan loopt de er aan toegevoegde lijn
(V) door het snijpunt van (D) en v\' naar V^. We krijgen
het beeld van een paraboloidische regelschaar welke tot de

congruentie behoort.

Gaat (D) door Du dan krijgen we twee collocale ge-
lijkvormige puntenreeksen (D,V) met twee dubbelpunten:
één in het oneindige en één in het snijpunt van v en

(D,V).

De puntenreeksen zijn het beeld van een waaier gelegen
in een vlak door u gaande.

9. Gaat (V) door Vv dan is hieraan een lijn (D) toege-
voegd door Dv II (V).

We hebben hier het beeld van een singuliere waaier in
een vlak door v.

Gaat (V) door V^ dan krijgen we als m. pl (D) een
rechte door het snijpunt van (V) met v naar D^ getrokken.

Ook hier hebben we het beeld van een tot de congruentie
behoorende paraboloidische regelschaar. Gaat (V) door Vu dan
krijgen we twee collocale gehjkvormige puntenreeksen (D,V)
welke het beeld zijn van een waaier in een vlak door u gelegen.

10. Om niet te veel in bijzonderheden af te dalen be-
schouwen we nog de volgende gevallen:

a. Gaat een kegelsnede (D^) door de hoofdpunten D« en
Dv dan wordt deze door de kwadratische transformatie
omgezet in een gelijkstandig gelijkvormige kegelsnede (V^)
gaande door de overeenkomstige hoofdpunten V„ en Vv welke
kegelsneden elkaar snijden in een punt (Dk . Vk ) van v\\

Het stelsel rechten, door (D^) en (V^) afgebeeld is een
regelschaar met (D^), u en y als richtlijnen. De graad is
4 — 2 = 2.

Opmerking.

Het stelsel kegelsneden (D^) is drievoudig oneindig? de
congruentie bevat oo ^ kwadratische regelscharen welke elkaar
in u en p snijden.

11. b. Gaat een kegelsnede (V^) door het hoofdpunt Vv ,
dan behoort hierbij een kubische kromme (D^) met dubbel-
punt in Dv.

We zien hier te voorschijn komen de afbeelding van een
kubisch regelvlak met \'D^j en u als enkelvoudige- en v als
dubbele richtlijn.

12. c. Een kegelsnede (V^), niet door een hoofdpunt gaande.

wordt omgezet in een bikwadratische kromme (D\'\') met
dubbelpunten in de hoofdpunten.

We krijgen hier de afbeelding van een bikwadratisch
regelvlak.

13. Opmerkingen.

A. De stralen van de bilineaire congruentie die een kegel-
snede snijden vormen een bikwadratisch regelvlak.

Immers, beschouwen we het vlak der kegelsnede als
tafereel en de kegelsnede zelf als meetkundige plaats (D^)
dan volgt deze eigenschap direct uit het voorgaande.

B. Kiezen we C willekeurig, dan wordt de bilineaire
congruentie ook afgebeeld door een kwadratische verwant-
schap tusschen collocale puntenvelden [D] en [V].

De hoofdpunten zijn hier wederom

Du. Dv en D^ (op V„ Vv)
Vu . Vv en Wf (op Du Dv)

In plaats van de m.pl. van coïncidenties (D, V) krijgen
we hier maar één coïncidentie voor de straal door C gaande.

t.

f,

P

\' 5.

rr\';.-\'^^- \'y-.y\'-.-J^

\'i v

^ - w t . K.

STELLINGEN

L De resultaten van het laatste hoofdstuk kunnen worden
uitgebreid voor de congruentie (m, n).

2. De opmerking, dat het platte vlak zich bij de inversie
gedraagt alsof het slechts één oneindig ver punt had,
is niet toelaatbaar.

H. weber und J. wellstein, Encyklopadie der
Elementar mathematik II. 2e aufl. 1907, pg. 39 Satz 3.

3. De vraag naar de machtlijn van twee in rechten ont-
aarde cirkels wordt in de literatuur niet, of onvoldoende
behandeld.

4. Een rechte, opgevat als bestanddeel van een ontaarden
cirkel, heeft in het algemeen slechts één middelpunt.

5. Bij de invoering van het begrip „hoek" is het aan te
bevelen uit te gaan van het begrip „waaier".

6. De opmerking van forsyth dat de singuliere integralen
van de vergelijking F(z.p,q) = o op de gebruikelijke
manier gevonden kunnen worden, kan achterwege blijven.
A. R. Forsyth. A treatise on Differential Equations
4"\'ed. pg. 411.

7. De wijze waarop het getalbegrip ingevoerd en uit-
gebreid wordt in het „Leerboek der elementaire

theoretische Rekenkunde" van Dr. F. SbHUH is voor
het gestelde doel niet aan te bevelen.

8. De meeste onderzoekingen over de intensiteit van
emissielijnen zijn van geen waarde.

9. Het is te betreuren dat de hoogere meetkunde-studie
voor den aanstaanden physicus niet meer verplicht is.

•4

/v >1

■

---it -1!»?

\'tó\' »pyjsf siïi

L.\' \'

ft"..\'/\'