PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN
NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-UNIVER-
SITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN
RECTOR MAGNIFICUS J. F. NIERMEYER.
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER
LETTEREN EN WIJSBEGEERTE. VOLGENS
BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVER-
SITEIT. TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE
FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE
TE VERDEDIGEN OP VRIJDAG 22 DEC.
1922. DES NAMIDDAGS TE 4 UUR, DOOR

Bij het uitspreken van mijn gevoelens van dank jegens U,
Hooggeleerde Ornstein, Hooggeachte Promotor, zij het mij
vergund dit in de allereerste plaats te doen als assistent.

Uw assistent te zijn beteekent gelegenheid te hebben tot
werken in een sfeer van vriendschap en liefde voor de weten-
schap, die den moed tot zoeken geeft.

Dat Uw onbekrompen opvatting in dezen mij ten zeerste
aan U heeft verplicht, zal U niet verwonderen, doch de
toekomst moge dit bevestigen.

Doch ook als leider bij mijn onderzoek leerde ik U hoog
waardeeren. Vooral dank ik U, dat U mij binnen de lijnen
der „ofïicieele" Quantumtheorie gehouden hebt, zoodat een
later eventueel negatief resultaat toch altijd nog zijn waarde
zal bezitten als aanwijzing voor. het vinden van den juisten
weg in de verklaring der spectraalverschijnselen.

Hooggeleerde De Vries, het werkelijke genot, dat het bij-
wonen Uwer colleges in de Hoogere Meetkunde my steeds
verschafte, zal zeker een der aangenaamste herinneringen uit
mijn studiejaren blijven.

Bijzonder speet het mij, Hooggeleerde Kapteyn, U als Docent
afscheid te zien nemen.

De enkele jaren, dat ik het voorrecht had Uwe colleges
te kunnen volgen, brachten mij een onuitwischbare liefde voor
de Wiskunde bij, die mij bij mijn verdere zelfstandige studie
der Analyse vaak tot steun en aansporing was.

Ook Prof. JuLiüs, Prof. Nijland en Dr. Moll bedank ik voor
hetgeen zij tot mijn vorming hebben bijgedragen.

Op verdienstelijke wijze heeft de Heer Struik, amanuensis
bij de Theoretische Natuurkunde, mij bij mijn rekenwerk
terzijde gestaan.

Die Konfigurationsänderung der lone zufolge einer lang-
samen Rotation und im Anschlusz hieran einige Be-
merkungen über die Emissionsfähigkeit der lone bei
konstant bleibenden Quantenzahlen wi, »2, ns . . . .141

ABSCHNITT X.
Berechnung einiger Lichtfrequenzen nach dem Bohrschen
Ansatz unter Berücksichtigung des Auswahlprinzips
und fernerer Regeln bezüglich der Intensität des emit-
tierten Lichts..............151

Das Wasserstoffatora ist bisher für die Quantentheorie das
dankbarste Object gewesen.

Schon mancher Erfolg konnte hier verzeichnet werden,
was einerseits spricht für die Zuverlässigkeit der benutzten
Quantenformulierung (derjenigen von Bohr und Sommerfeld)
und anderseits die Rutherfordsche Annahme über die Struktur
des Wasserstoffatoms unzweifelhaft macht.

So lange wir uns auf stationäre Bewegungen beschränken,
kennen wir die Bahnen genau, worin sich die zwei Bestand-
teile, der Kern und das Elektron, bewegen. Obwohl das wahre
Mechanismus bei quantenmäszigen Vorgängen noch im Dunkeln
blieb, ist uns der Bau des stationären Wasserstoffatoms also
völlig bekannt.

In dieser Hinsicht bildet der Wasserstoff ein Unikum; denn
von den übrigen Elementen kann nur das sicheriich behauptet
werden, dasz die richtige Konstruktion ihrer Atome noch
durchaus unbekannt ist.

Von diesen würde das Heliumatorn wohl am ersten für eine
Berechnung in Betracht kommen, da dieses nächst dem Wasser-
stoffatom aus der kleinsten Zahl Bestandteile (einem doppelt
geladenen Kern und zwei Elektronen) zusammengesetzt ist.

Zwar gibt es eine von Lande entwickelte Störungstheorie
für das Heliumatom, aber diese ist nur als eine vorläufige
Orientierung zu betrachten.

Dem Ansehen nach wird man aber in dieser Richtung
nicht viel weiter durchdringen können, da die Störungstheorie,
wie gut sie sich auch eigne zu der Astronomie, in dem
atomistischen Planetensystem wenig ausrichten kann.

Im Sonnensystem, wo die Kräfte von den Massen abhängen,
wirken ja bekanntlich die Planeten mit einer beziehungsweise
kleinen Kraft aufeinander ein, wodurch nur eine geringe Ver-
schiebung aus einer schon bekannten Bahn entsteht; im Atom
aber werden die Kräfte von den Ladungen erzeugt und sind
demnach von gleicher Gröszenordnung, wenn die gegenseitigen
Entfernungen nur nicht allzu sehr abweichen.

Um deshalb das Problem dennoch in den Bereich der
Störungstheorie bringen zu können, muszte Lande annehmen,
dasz eins der Elektronen immer weit entfernt wäre. Es ist
zweifelhaft, ob man das richtige Modell aus einem dermaszen
spezialisierten Modelle als Ausgangspunkt je finden wird.

Vermutlich wird der exakte Lauf der Elektronen in diesem
Atom noch lange vor uns verborgen bleiben, die andren Atome
noch auszer Acht gelassen.

Die Moleküle selbst eignen sich noch viel weniger zu einer
derartigen Berechnung. Sogar das einfachste, d.h. das Wasser-
stoffmolekül, ist, was die Bahn seiner Bestandteile betrifft,
noch völlig unbekannt.

Man stöszt hier schon sofort auf das Vierkörperproblem:
es besteht bekanntlich aus zwei Kernen und zwei Elektronen.
Zwar hat Bohr ein Modell dafür angegeben, aber dieses wird,
trotz der schönen Übereinstimmung mit der Lichtbrechung
(Debue) allgemein verworfen.

Bohr vermied die Schwierigkeit des Vierkörperproblems
dadurch, dasz er eine periodische Lösung wählte. Ersichtlich
kann man dem allgemeinen Fall also nicht entkommen, wenn
man das richtige Modell erreichen will.

Einen Ausweg, um aus diesem Impasz zu geraten, hat man
bisher noch nicht gefunden.

Indessen gibt es noch ein andres Problem, gleichfalls aus
der Physik entnommen, ein Problem, das, obwohl es ein
Dreikörperproblem ist, doch so viel Vereinfachungen gestattet»
dasz es unsrer Analyse zugänglich wird. Wir meinen das
Probjem des Wasserstoffmolekülions.

Von den drei Bestandteilen, zwei Kernen und einem Elek-
tron, sind die beiden ersten in Bezug auf den letzten sehr

schwer, so dasz vorausgesetzt werden kann, dasz sie doch
an ihrer Stelle im Ion stehen bleiben, wenn auch die auf sie
einwirkenden Kräfte sich nicht jeden Augenblick gegenseitig
aufheben, falls nur das Zeitmittel der resultierenden Kraft
verschwindet, wodurch die Bewegungsgrösze der Kerne sich
nicht ändern kann.

Wenn die Kerne aber praktisch ihre Stelle beibehalten,
können wir die mechanisch-möglichen Bahnen des Elektrons
nach Jagobi berechnen; dieser hat ja das Zweizentrenproblem
gelöst. Was uns übrig bleibt, ist also: aus den mechanisch-
möglichen Bahnen diejenigen auszuwählen, welche gequantelt
sind, d.h. in Übereinstimmung mit den Quantenbedingungen
sind, wie Sommerfeld sie eingeführt hat, auch wieder in
Anchlusz an Jagobi\'s Wirkungsintegral.

Allein soll man dann zuerst dafür sorgen, dasz die Kerne
auch wirklich an ihrer Stelle stehen bleiben, d.h. dasz sie
gerade in der Entfernung von einander gestellt werden, bei
welcher das Elektron, indem es irgend eine gequantelte Bahn
beschreibt, die beiden Kerne im Durchschnitt ebenso viel
anzieht, wie diese sich abstoszen, oder genauer formuliert:
dasz das Zeitmittel der Resultante aller Kräfte für jeden Kern
gleich Null ist.

ünsre Aufgabe wird also sein: Aus den mechanisch-möglichen
Bahnen im Zweizentrenproblem diejenigen auszuwählen, welche
die Kerne (die Zentren) an ihrer Stelle belassen (diese also
stationär machen) zugleich den Quantenbedingungen entsprechen
und als neue Forderung: stabile Bewegungen bedeuten.

Dürfen keine neue Hypothesen eingeführt werden, dann sind
dies doch wohl die Forderungen, welche man dem Elektron
im Ion notwendig auferlegen musz, vorausgesetzt natürlich
dasz die Kerne des Ions auch in der Natur wirklich in
Ruhe sind.

Höchstwahrscheinlich liegt dieser Fall in der Wirklichkeit
aber nicht vor; man denke nur an das Rotationsspektrum vieler
Gase. Allein, die hierbei auftretenden Winkelgeschwindigkeiten

sind wegen der enormen Kernmasse so klein, dasz dies für
das schnell hin und her fliegende Elektron nur eine sekundäre
Bewegung bedeuten kann.

Das Zweizentrenproblem bleibt also auch jetzt noch der
angewiesene Weg zur Auffindung der Elektronenbahn.

Aber wie steht es nun mit unsrer Stationäritätsbedingung?
Offenbar soll das Zeitmittel der Anziehung (Kern-Elektron)
um einen bestimmten Betrag gröszer sein als die gegenseitige
Abstoszung der Kerne.

Da die letztere bei den üblichen Quantenzahlen auszer-
ordentlich klein ist, kann die genannte Differenz gleichfalls
nur äuszerst klein sein.

Vorläufig werden wir unsre Stationäritätsbedingung also
genau handhaben und die oben angezeigte Aufgabe lösen um
nachträglich diese Einzelheiten einzuschalten.

Um das Ganze am mindesten zu komplizieren, ist es viel-
leicht am besten den allgemeinen Gedankengang nicht durch
viele mathematische Entwicklungen zu unterbrechen, sondern
diese als Zusätze am Schlüsse der Dissertation zu besprechen.

Ferner wird in einigen besondren Abschnitten untersucht
werden, in welchem Masze die Resultate unsrer Berechnung
sich prüfen lassen.

Möchte keine Übereinstimmung zwischen Theorie und Ex-
periment gefunden werden, dann ist die Zeit angebrochen
zur Einführung neuer Hypothesen, aber zuerst musz die
Tragweite der bestehenden untersucht werden.

Fangen wir diesen Abschnitt an mit der Lösung des Zwei-
zentrenproblems von Euler und Jagobi.

Wiewohl Euler die Ehre zukommt, dieses Problem am
ersten bewältigt zu haben, ist es doch auch untrennbar mit
dem Namen Jagobi\'s verknüpft wegen seiner viel schöneren
und mehr umfassenden Methode.

Bekanntlich hat Jagobi die Lösung eines mechanischen
Problems von der partiellen Differentialgleichung für die
Wirkung abhängig gemacht, wie diese von Hamilton definiert
worden ist.

Sind die Variablen in dieser Gleichung trennbar, dann ist
dieselbe und mit dieser das ganze Problem leicht zu lösen.

Diesem Fall gehört das Zweizentrenproblem zu, so bald
die von Euler definierten elliptischen Koordinaten ge-

(n ^2)
>! = Va 0"! — rz)
indem n und r2 die Entfernungen des Elektrons vom ersten
(z. B. dem linken), bzw. vom zweiten (dem rechten) Kerne
bedeuten.

Zur Umschreibung von (p stelle man sich eine durch das
Elektron und die beiden Kerne angebrachte Halb-ebene vor,
welche durch die Verbindungslinie der letzteren (um der Kürze
willen die Achse des Ions genannt) begrenzt wird. Fängt
das Elektron jetzt an sicii zu bewegen, dann wird diese
Halb-ebene sich im allgemeinen um die Achse herumdrehen.

ebene, etwa vertikal stehend und an der oberen Seite der
horizontal gedachten Achse angebracht, dann meinen wir
mit (p den Winkel zwischen dieser festen und jener beweg-
lichen Halb-ebene, immer in einer und derselben Richtung
von der ersteren aus gemessen.

Mittels jener Koordinaten i,->j,(p wird jeder Punkt im Räume
unzweideutig angegeben.

(po zeigt die Halb-ebene an, in welcher der Punkt sich
befinden musz. In dieser konstruiere man die Ellipse
deren Brennpunkte in den Zentren der Kerne liegen, und die
nur bis zur Hälfte gezeichnet werden kann, da wir mit einer
Halb-ebene zu tun haben.

Auszerdem konstruiere man noch die konfokale Hyperbel
= vjo, von der auch nur die eine Hälfte in der Halb-ebene
liegt. Der einzige Durchschnittspunkt dieser Kurven ist der
gesuchte Punkt (l^o, i^o, cpo).

Setzen wir die Entfernung der Kerne gleich 2 d, so kann
i, wegen ri -h r2 ^ 2 c?, niemals kleiner als d sein, welchen
Wert sie in jedem Punkt der Achse zwischen den Kernen
bekommt.

besitzt ihren kleinsten Wert (— d), wenn der Punkt auf
der nach links verlängerten Achse, und ihren gröszten Wert,
wenn der Punkt auf der nach rechts verlängerten Achse
gewählt wird.

PI verschwindet für einen Punkt in der Mittelebene (welche
die Achse senkrecht halbiert), ist an der linken Seite dieser
Ebene negativ, an der rechten positiv.

Dies und das Vorherge-
hende findet man m Fig. 1
angegeben. Diese Koordi-
naten, welche Euler einge-
führt hat, wurden auch
von Jagobi angewandt um
die Hamiltonsche Differen-
tialgleichung für die Wirkung im Zweizentrenproblem lösbar
zu machen.

Diese Differentialgleichung erhält man im allgemeinen da-
durch, dasz A, die Gesamtenergie des sich bewegenden
Teilchens, in die Koordinaten qi, qs. ... qn und die entspre-
chenden Impulse ausgedrückt wird und die Impulse in der hier-
durch entstandenen Gleichung wieder durch Wß qi, ? W/? 72..

In unsrem Fall, wo die Ladungen in den Zentren einander
gleich sind ( e) und die des sich bewegenden Teilchens den
ersteren gerade entgegengesetzt ist (— e), bekommt jene Dif-
ferentialgleichung die Form: (Zusatz 1)

woraus hervorgeht, dasz die Variablen trennbar sind, sobald
iVjdcp einer Konstante gleich genommen wird.
Wegen späterer Reduktionen wählen wir diese etwa kom-
pliziert und stellen n.l.

wo — e die Ladung, m die Masse des Elektrons, und « die
eigentliche Integrationskonstanle darstellt.

Wird dies in die Differentialgleichung substituiert, so kann
die letztere in das folgende Paar zerlegt werden:

Sie ist zugleich eine allgemeine Lösung, da sie eine voll-
ständige Zahl Integrationskonstanten {x, tr und 6\') enthält.

Wenn die Wirkung in der Form einer vollständigen Lösung
solch einer Hamiltonschen Differentialgleichung gefunden ist,
braucht man (nach Jacobi) die Antwort nur partiell nach den
Integrationskonstanten zu differenliieren um die Bewegungs-
integrale zu bekommen, während man nur den Differential-
quotienten Wß A zu berechnen hat, um bis auf eine Konstante
den Moment zu finden, worauf ein beliebiger Punkt der Bahn
passiert wird.

Da aber ? Wj(>G=l ist, musz C = \\ genommen werden,
so dasz die dritte Relation auf die Identität 1 = 1 hinaus-
läuft, und nur die zwei folgenden übrig bleiben:

Diese beiden Gleichungen zwischen i, vi und (p liefern uns
die Bahn des Elektrons, welche also durch 5 Parameter
{A, (X, IT, a\', ff\') bestimmt wird.

Der zweite Teil des Theorems legt den Verband zwischen
der Zeit und dem Ort auf der Bahn und lautet:

Dieses Ergebnis von Jagobi\') wird der Ausgangspunkt für
unsre weiteren Betrachtungen werden.

Weil das Drehungsmoment um die Achse konstant ist
(xel/m), wird 0 nur dann verschwinden, wenn = 0 ist;
die Bewegung verläuft dann ganz in einer Ebene.

Sobald aber ein Drehungsmoment auftritt, hat man mit
einer räumlichen Bewegung zu tun.

Lüszt man die Halb-ebene mit einer derartigen Geschwin-
digkeit herumdrehen dasz sie fortwährend dem Elektron gleichen
Schritt hält, so wird dieses auf jener Ebene eine Kurve
zeichnen, mittels deren wir die Bewegung des Elektrons viel
bequemer umschreiben können.

Man kann sich die Kurve auch in der festen, vertikal
stehenden Halb-ebene abgebildet denken.

Der Punkt nun, der sich dermaszen diese Kurve entlang
bewegt, dasz seine Koordinaten i, -/j in jedem Augenblicke den
entsprechenden des Elektrons auf seiner wirklichen räumlichen
Bahn gleich sind, nennen wir den Index.

Gewissermaszen gibt dieser also in der unbeweglichen Halb-
ebene eine Abspiegelung der wirklichen Bewegung.

Da sieh zeigen wird, dasz (p in unsrem Problem keine
nennenswerte Rolle spielt, verspricht die Betrachtung dieser
Indexbewegung sehr nützlich zu werden.

Schon sogleich können wir Grenzen angeben, welche der
Index nie überschreiten kann.

Werden den Parametern A, a, <r, x\', ir\' bestimmte Werte
beigelegt, so ergibt sich dasz | zwischen zwei festen Werten
hin und her schwingt und vj ebenfalls.

Um diese Umkehrwerte zu finden (wo 1=0 oder vj ^ 0 ist)
differentiieren wir die Gleichungen nach der Zeit und setzen
bequemlichkeitshalber:

Wir sehen also, dasz die Umkehrwerte für i und yj den
Gleichungen X(i) = 0 und = 0 entsprechen und dem-
nach nur von A, x und o", doch nicht von od und o"\' abhän-
gen können.

Um zu untersuchen, was mit f und vi geschehen wird,
wenn diese Werte erreicht sind, differentiiert man die Formeln
für I und vj nach der Zeit, während zugleicherzeit von —0
und = 0 Gebrauch gemacht wird, und findet dann (na-
türlich nur gültig in den ümkehrwerten):

Denkt man sich nun X{i) abgetragen als Funktion von i
und analog YM als Funktion von ui, so entstehen zwei
Kurven, welche für die Einteilung der verschiedenen Bahnen
von groszer Bedeutung sind.

Nicht allein geben ihre Nullpunkte die Grenzen an, zwischen
denen i resp. ij sich bewegen kann, sondern auch die Richtung in
der sie die Achse durchschneiden, d. h. d X\\d | resp, d Y\\d vj an
diesem Orte, gibt uns eine Idee der Kraft, womit I oder vj
wieder aus solch einem Nullpunkte zurückgezogen wird und
sagt vorher, nach welcher Seite hin dies geschehen wird.

positiv ist, da sonst ^ oder und dadurch die ganze
Bewegung imaginär sein würde.

Weil aber beide Kurven vom vierten Grad sind, ist bei
keiner die Möglichkeit ausgeschlossen, dasz es ein doppeltes
Paar Wurzeln gibt, wozwischen die Funktionen positiv sind,
in welchem Falle es unbestimmt sein würde, welches Paar
die Grenzen für die wirkliche Bewegung angibt.

Man bedenke aber, dasz als Umkehrwerte für S nur die
Wurzeln aus = 0 in Betracht kommen, welche ^ sind,
weil geometrisch keinen Sinn hat und dasz die der vj-

Noch mehr zweifelhafte Fälle könnten hier ersonnen werden;
dieses einzige Beispiel möge aber genügen um das Gewicht
der Resultate zu zeigen, welche in den Zusätzen 2 und 3
erreicht werden und uns in den Stand stellen gerade den-
jenigen Teil der X-Kurve zu beurteilen, lür welchen wir uns
lediglich interessieren, n.l. den Teil, rechts vom Punkt ^ = d.

Zuerst wird dort gezeigt, dasz das Elektron unwiderruflich
wegfliegt, wenn ^>0 ist (Zusatz 2); auch für ^ = 0 erreicht
es noch das Unendliche, aber bleibt, dort arriviert, in Ruhe.

Wir sind also gehalten ^<0 zu setzen um eine Konstel-
lation zu bekommen, die Ähnlichkeit mit einem wirklichen
Ion haben kann.

In diesem Falle nun, also Wenn vi < 0, kann gezeigt werden
(Zusatz 3), dasz, so bald die Gleichung A^(^) = 0 eine Wurzel
> d besitzt, sie noch solch eine Wurzel haben wird und
dasz zwischen diesen die Grösze X immer positiv ist, weiter
dasz es niemals mehr als zwei Wurzeln > d geben kann, so
dasz wir ausschlieszlich auf eine X-Kurve wie S in Fig. 2
angewiesen sind.

Dies hat nur Gültigkeit für die räumlichen Bewegungen,
wenn also ein Rotationsmoment vorhanden ist.

Wird aber die 0-Bewegung durch die Annahme a = 0
ausgeschaltet, dann braucht die zweite Wurzel, gröszer als d,
nicht zu existieren, oder kann in d selbst fallen.

Besteht sie dennoch, dann musz eine andre Wurzel in d
erschienen sein, denn es erhellt augenblicklich aus der Formel
für X, dasz bei « = 0 sicherlich i ^ d zu den Wurzeln gehört.

Im vorliegenden Fall einer rotationsfreien Bewegung hat die
Z-Kurve also entweder die Gestalt von So (Fig. 2) oder die

Um diesen besondren Fall wieder zum allgemeinen zurück-
zuführen braucht man nur ein kleines Rotationsmoment hinzu-
zufügen. Die doppelten Pfeilchen zeigen, wie die Wurzel in d
hierauf reagiert und dadurch den allgemeinen Satz, dasz es
nur zwei Wurzeln >d gebe, wieder zu Ehren bringt.

Wenn nämlich ein Rotationsmoment auftritt, so entsteht
eine von der Achse abwärts gerichtete Zentrifugalkraft, die
dem Momente recht proportional und der dritten Potenz der
Entfernung Elektron-Achse umgekehrt proportional ist (Jacobi),
sodasz die Achse und damit i = d unerreichbar wird.

Ausdrücklich war bei der Formulierung unsrer Sätze hervorge-
hoben, dasz eine «Wurzel gröszer als d bereits anwesend wäre.
Das braucht aber nicht immer der Fall zu sein, da die Para-

meter auch so gewählt werden können, dasz alle Wurzeln gröszer
als d imaginär werden und demnach auch so, dasz die X-Kurve
noch gerade die f-Achse an der unteren Seite berührt.

Die entsprechenden Grenzformen sind in Fig. 2 mit R für
« =1= 0 und mit Rq und Roo für a = Q angedeutet.

Würde man diese Kurven durch eine Variation der Parameter
noch tiefer sinken lassen, so würden sie jede mechanische
Bedeutung verlieren, da ^ dann zwischen imaginären Grenzen
schwingen müszte.

Das Schingungsgebiet für die Koordinate ^ wird in den
Kurven von Fig. 2 mittels Pfeilchen <—> angegeben.

Im linken Umkehrpunkt ist dXjd^ immer positiv und des-
wegen im rechten musz | wieder abnehmen auf Grund
des negativen Wertes von dXjd^.

Wo nun eine Berührung zwischen der X-Kurve und der
I-Achse statt findet und also dXId^ = 0 ist, bleibt keine
Kraft mehr übrig zur Änderung von d.h. um das Elektron
aus der hier erreichten Ellipse zu vertreiben.

Künftighin bedeutet ein Kreuzchen in der Figur, dasz der
Koordinat seinen dort erreichten Wert immer beibehält.

Unterwirft man die Y-Kurve einer derartigen Betrachtung,
so ergibt sich die Gestalt dieser Kurve mehrerer Änderungen fähig.

Dank dem geraden Charakter von Y{ij) verlaufen die Rech-
nungen hier sehr flott (Zusatz 4) und kann man sogar bei
jeder der möglichen Formen (natürlich haben wir uns wieder
auf dep Fall vi < 0 beschränkt) leicht die Bedingungen angeben,
welchen die Parameter zu entsprechen haben, damit die des-
bezügliche Kurve entstehe (Fig. 3).

Ebenso wie bei der X-Kurve der Fall cx = 0 eine besondre
Rolle spielte, so erfordert dieser auch hier eine aparte Be-
trachtung.

Die entsprechenden Kurven sind auch in Fig. 3 untergebracht
und können aus den korrespondierenden bei « =f= 0 abgeleitet,
werden. Der Ordinal bedeutet hier die Grösze Y{yj).

In den Figuren 2 und 3 wurden die Kurven, welche auf
imaginären Bewegungen beruhten, weggelassen.

auszer Betracht lassen, da es sich hier um einen Zusammen-
stosz mit den Kernen handelt.

Sobald nämlich eine X- (oder F-) Kurve die ^ (resp. yj-)
Achse im Punkte = ± d) berührt, findet ein Zusammen-

Fall hat f immer den Wert ^ = d beizubehalten d. h. das
Elektron musz sich auf der Achse zwischen den Kernen
bewegen, was natürlich auf die erwähnte Katastrofe ausläuft,
während im zweiten Fall immer z. B. gleich — d bleibt
d. h. das Elektron musz die nach links verlängerte Achse
entlang auf den linken Kern fallen.

Es sei wiederum erwähnt, wie bei o die Werte vi^ ± d
(d. h. die nach beiden Seiten verlängerte Achse des Ions)
wegen der Zentrifugalkraft unerreichbar werden).

Indem wir zu der X-Kurve bemerkten, dasz das Schwin-
gungsgebiet immer unzweideutig bestimmt werden konnte,
ist dies bei der Y-Kurve manchmal nicht der Fall. -

Man betrachte nur die Gestalt von (e) um ein Beispiel von
dieser Zweideutigkeit zu haben; aber in letzter Instanz sind
von diesen Bewegungen, links und rechts von der Mittel-
ebene = o) die eine das Spiegelbild des andren, sodasz
dieser Unterschied doch keinen Anlasz zu neuen Bahntypen gibt.

Ein merkwürdiger Fall bietet sich da bei (c?) und (rfo):
sobald -/j den Punkt vj — o erreicht hat, bleibt sie dort stehen,
sodasz es hier gar keine Rede mehr ist von einer Schwingung
wie in den angrenzenden Fällen, eine Besonderheit, worauf
wir später ausführlich zurückkommen.

Die grösze Verschiedenheit der X- und Y-Kurven wird nun
eine grösze Zahl Bahntypen zufolge haben.

Eine X-Kurve, kombiniert mit einer Y-Kurve, die denselben
Parametern Ä, x, c zugehört, grenzen zusammen das Gebiet
ab, das der Index nie verlassen kann, und dieses Gebiet,
gedreht um die Achse des Ions, gibt also einen Rotations-
körper, innerhalb dessen das Elektron sich stets aufhalten
musz und der dadurch wesentlich zu einer Einteilung der
Bahnen geeignet ist.

Wie schon manchmal erwähnt worden ist, nimmt der rota-
tionsfreie Fall oft eine besondre Stelle in den verschiedenen
Problemen ein. Ebenso hier, da bei a — o doch gar kein
Rotationskörper in der Rede stehen kann.

Jedoch ist es am besten mit diesen rotationsfreien Bewe-
gungen anzufangen, da man auf diese Weise die Natur der
allgemeinen um so leichter durchsieht.

Betrachten wir also aus dem totalen Vorrat in Fig. 2 und 3
zuerst die X- und Y-Kurven, welche in der Rubrik a = o
eingeordnet sind.

Werden diese nun paarweise kombiniert, so entdeckt man
allerlei Bewegungen in einer Ebene durch die Achse, indem
man die Sicherheit hat, jetzt alle gefunden zu haben, da die
möglichen Formen der X- und Y-Kurven für eine Bewegung
im Endlichen mathematisch gestreng abgesucht worden sind.

In Zusatz 5 wird nachgewiesen, dasz nur die folgenden
Kurven sich kombinieren lassen:

(So) mit (co); [lU) mit (ßo); (Soo) mit (co), mit (f?o) und mit ((/o).
Um sehen zu können, zu welchen Bewegungen die Kombi-
nationen führen, nehme man nur die untenstehenden Vor-
schrift in Acht.

Man entnehme aus den gewählten X- und Y-Kurven die
Umkehrwerte für ^ und ^2) und die für v^ und vj^). Möchte
für die letztere zwei Schwingungsgebiete ausgeschnitten werden
(die übrigens doch spiegelbildlich sind), so wähle man eins
von beiden aus, z. B. das linke.

Zweitens zeichne man die Kurven ^ = und I = vollaus
und gebe die Kurven vj = vji und vi = vi2 punktiert an.

Bei einer allgemeinen Bewegung würden diese Kurven das
Gebiet für den Index abgrenzen und konnten dann mit Recht
ümkehrkurven genannt werden; aber hier bei den rotations-
freien Bewegungen würde dieser Name nicht passen, da das
Elektron (der Index ist hier unnötig) deren einige fortwährend
überschreitet, namentlich die, welche einen Teil der Achse
vorstellen und demnach zur Gleichung haben yi= — d,
oder T/j = d.

Diese behalten ihre Bedeutung als Umkehrkurve nur allein
in der Analyse, nicht mehr in der Mechanik.

Wenn das Elektron z. B. die Achse zwischen den Kernen
passiert, nimmt der Wert von | ab bis d und nimmt hier-
auf wieder zu, aber das Elektron setzt seine Bewegung un-
geändert fort.

Jedoch sind diese Kurven auch hier nützlich, wenn man
sich eine Vorstellung von den entsprechenden Elektronen-
bahnen machen will.

Wählt man als Anfangspunkt einen beliebigen Punkt inner-
halb beider Schwingungsgebiete, so weist der Weg.sich selbst
weiter, wenn nur konsequent berücksichtigt wird, dasz i und -/j
zwischen den gezeichneten Kurven hin und her schwingen
sollen ohne unterwegs sich umkehren zu können.

Auf diese Weise ist nun Fig. 4 entstanden, wo die Bahnen
selbst mit schwachen Limien angedeutet sind.

Soonii c^

Fig. 4.

I. Eine s. g. bedingt periodische Lissajouskurve, welche
die Umkehrellipsen abwechselnd berührt, doch sich stets in
einer und derselben Richtung aufwindet, da — d und
vi~-\\-d die Umkehrwerte für vi sind.

Wenn daher z. B. die nach links verlängerte Achse passiert
wird, musz zuerst wieder der rechte Teil der verlängerten
Achse erreicht werden.

Im allgemeinen wird die Kurve nicht geschlossen sein,
da dies ein rationales Verhältnis zwischen den Umlaufszeiten
für ^ und Vt fordern würde.

Ist diese Bedingung jedoch erfüllt worden, so nennen
wir die Bewegung entartet und ist die Bahn rein periodisch;
die Besprechung dergleicher entarteter Bewegungen schieben
wir bis später auf.

III. Eine Lissajouskurve. welche die Fläche der Ellipse
vollständig auffüllt. Das Elektron kreist in immer engeren
Bahnen um das Paar Kerne herum, bis es zwischen diese
hindurch fliegt und sich wieder in spiralförmigen Bahnen
davon entfernt, wonach alles sich wiederholt.

Erwähnt sei, wie beim Überschreiten von ^ = d der Dre-
hungssinn sich umkishrt, was unter dem Einflusz nur einer
zentralen Kraft ummöglich wäre.

IV. Eine Lissajouskurve, die vielleicht am besten zu um-
schreiben ist als eine kleine Ellipse um einen der Kerne, die
wegen der Anwesenheit des zweiten Kernes unter einer gleich-

zeitiger Gröszenänderung zu drehen anfängt, zufolge welches
Vorganges die Fläche zwischen einem Ellipsbogen und einem
Hyperbelbogen ganz gefüllt wird,

y. Hier hat die Kurve ihren Lissajouscharakter verloren.
Das Elektron wird in der linken Hälfte der Ellipse mit einer
derartigen Geschwindigkeit weggeworfen, dasz seine Bewegung
nach rechts gerade erschöpft ist, wenn es die Mittelebene
erreicht. Auf dieser bleibt es dann und führt darauf eine
geradlinige Schwingung aus, mit der halben kleinen Achse
der Ellipse als Amplitude.

Wäre das Elektron im Anfang mit einer etwas gröszeren
Geschwindigkeit nach rechts geworfen, dann würde die Mittel-
ebene passiert und eine Bahn entstanden sein von der Type III,
während die Bahn im gegenüberliegenden Fall der Gattung IV
angehört hätte.

Sie ist nicht die einzige geradlinige Bewegung, welche über-
haupt möglich ist, denn schon früher hatten wir einer andren
begegnet, n.l. derjenigen längs der Achse, aber dieser auf
Grund des Zusammenstoszes mit den Kernen keine nähere
Aufmerksamkeit geschenkt.

Solch ein Stosz auf die Kerne is ebenfalls unvermeidlich
in den Fällen III und IV, wo die Bahn des Elektrons einem
Kerne unendlich nahe vorübergehen kann, aus welchem Grunde
wir diese Bewegungen für ein lonmodell ungeeignet achten
und von einer weiteren Betrachtung derselben absehen.

Dagegen müssen die entarteten Fälle von III und IV wohl
in unsre Betrachtung aufgenommen werden, weil für diese der
Einwand des Zusammenstoszes wenigstens vorläufig fortfällt.

Nächs den rotationsfreien Bewegungen sind jetzt die allge-
meinen Bahnen an der Reihe eingeteilt zu werden. Diese lassen
sich auch wieder dadurch gruppieren, dasz wir jede der möglichen
X-Kurven (also R und S) nach einander mit jeder der möglichen
1^-Kurven (also mit a, b, c, d, e, f) zusammenwirken lassen.
Für den Index werden dann die folgenden Gebiete abgegrenzt,
die bisweilen zu einem Strich oder zu einem Punkt zusammen-
gedrükt werden können (Fig. 6).

Demnach kan der Rotationskörper, wovon auf Seite 15 die
Rede war, sich in eine Fläche oder sogar in eine Kurve (einen
Kreis) zusammenziehen.

Die punktierten Linien in Fig. 6 bedeuten, dasz der Index
sich nur einmal diese entlang bewegen kann, wonach er fört-
während auf dem vollausgezeichneten Teil verbleibt.

diese a priori denkbaren Kombinationen auch wirklich ausführ-
bar sind, mit Rücksicht auf die Bedingungen für die Parameter.

Es wird sich ergeben, dasz die Frage in der Tat bejahend
beantwortet werden musz, im Gegensatz mit dem rotations-
freien Fall, wo viele Kombinationen ausfielen.

Um auszumachen, ob die ersten sechs Typen vorkommen
können oder nicht, zwingen wir die X-Kurve die I-Achse
zu berühren, was analytisch für die Parameter bedeutet, dasz
gleichzeitig die Relationen

durch einen und denselben Wert von Ç (^la), gröszer als d,
zu erfüllen sind. Aus diesen beiden Gleichungen, die ausge-
schrieben lauten :

(2 m A-{-A- me^ I12 — it) (fiz^ — d^) - d^ m = 0,
2 ^12 (4 m ^ G me^ Ii2 — «r) — 4 md^ A I12 — 4 md^
kann man umgekehrt A und <r ausdrücken in « und die ge-
meinschaftliche Wurzel Ii2 und findet dann :

Um also drei Parameter zu finden, welche die X-Kurve in
die Gestalt (i?) bringen wird, kann man folgendermaszen
verfahren.

Man setze in die rechten Glieder der vorigen Formeln für
1^12 einen und denselben Wert, groszer als d, und für a, irgend
einen beliebigen Wert, so findet man nach Ausrechnung die
Werte für A und tr, welche mit dem gewählten Moment oc kom-
biniert werden müssen um den vorläufigen Zweck zu erreichen.
Jetzt bleibt noch zu untersuchen übrig, ob mit drei derart
bestimmten Parametern die F-Kurve noch in die Formen a,
bis f emschlieszhch zu bringen ist.

Für a gelingt dies sogar bei jedem Werte I12 im Rechen-
schema, aber für b ist es notwendig ^12 > d\\/ 3 zu setzen,

indem die übrigen vier gei-ade I12 <C 3 fordern, damit die
aus dem Schema hervortretenden A und a- bei einer geeigneten
Wahl für a den Auftrag vollbringen können. (Zusatz 6).

Vorhergehende auch folgendermaszen formuliert werden. Die
asymmetrischen Felder III und VI sind nur_möglich auf einer
Ellipse mit einer Exzentricität k > Vs V 3, ebenso wie V,
das wegen der punktierten Linie doch auch zu den asymmetri-
schen Gebieten gehört. Ein groszes symmetrisches Gebiet (Ellips-
bogen) ist auf jeder Ellipse möglich (I und II). Dieses kann
aber nur dann unendlich klein werden, wenn A;<V3l/3.

Nun die Möchlichkeit für I bis einschlieszlich VI festgestellt
worden ist, kann man von hieraus leicht zu der Möglichkeit
der übrigen schlieszen.

VII, VIII und IX werden aus I, II und III abgeleitet, wenn
nian A und «r ihre Werte aus den drei letzteren behalten
läszt aber tz verkleinert.

Aus den Formeln für X (i) und r(\'^) auf Seite 9 geht hervor,
wie diese Funktionen bei jedem Wert i>d und d-j-d

zufolge einer Abnahme von äc selber zunehmen, weshalb die
X- und r-Kurven überall im brauchbaren Gebiet ihrer Achsen
zu steigen anfangen.

Weil die X-Kurve die f-Achse anfänglich berühren sollte,
was immer auf der unteren Seite geschieht, wird sie jetzt
zwei Schnittpunkte in der Nähe des vormaligen Berührungs-
punktes geben, welche Punkte bei fortwährender Abnahme
von <x immer mehr auseinandergehen.

Auch das grosze Stück, welches die F-Kurve schon vorher
von der i^-Achse abschnitt, wird einer dergleichen Ausreckung
unterworfen und auf diese Weis sieht man das Gebiet für den
Index sich nach beiden Seiten hin ausdehnen zur arcierten in
den Endfiguren.

Ein wenig komplizierter ist der Gedankengang um von IV,
V und IV ausgehend X, XI und XII zu erreichen.

Ersichtlich müssen die Parameter dann so abgeändert werden,
dasz das Indexgebiet sich nur in einer Richtung ausdehnen

kann, n.l. in der f-Richtung, d.h. die F-Kurve soll während
des Variationsvorgangs die v)-Achse dauernd berühren.

eine gemeinschaftliche Wurzel (\'^12) zwischen d und — d
besitzen, welche wohl oder nicht konstant gelassen werden kann.

In unsrem weiteren Gedankengang ist die letztere Annahme
am einfachsten, weshalb eine konstante >112 angenommen wird.

In jedem der drei Anfangszustände (IV, V und VI, Fig. 6)
berühren die zugehörenden X- und F-Kurven ihre ent-
sprechenden Achsen (vgl. Fig. 2 und 3), sodasz die oben-
stehenden Gleichungen, die sich nur auf eine Berührung der
F-Kurve bezieht, hier gewisz befriedigt sind.

In den Fällen IV und V, wo = 0 ist, ergibt sich aus
beiden Gleichungen nur eine Relation, n.\\. a = a,"^ e^ m.

Die Bedingungen in VI, wo v)i2 H= 0 ist, bleiben dahingegen
zweiteilig und können geschrieben werden in der Form:

Da diese während der Variation in Kraft bleiben sollen,
werden wir gezwungen, wenigstens bei vii2 0, eine Abnahme
von a; mit einer Zunahme von A und einer Verkleinerung
von ff zu begleiten, drei Factoren, die gerade alle zum Steigen
der X-Kurve zusammenwirken, wie leicht aus deren analj^-
tischer Form hervorgeht (nur das Gebiet f > steht in
unserem Interesse).

Bei vii2 = 0 sind x und ff, wegen ff = x\'^e\'^m, wiederum
gleichzeitig zu verkleinern und weil dies die einzige Bedingung
war, ist hinsichtlich der Variation von A noch nichts vor-

geschrieben worden. Wenn man A auch hier wachsen läszt,
garantiert man sich wieder eine steigende X-Kurve.

Während die F-Kurve die -/^-Achse also unablässig in dem-
selben Punkt berührt, dehnt das Schwingungsgebiet für i sich
in beiden Fällen mehr und mehr aus und auf diese Weise
sieht man die Punkte in den drei Anfangszuständen sich zu
den Hyperbelbogen in X bis XII verbreitern.

Im Vorbeigehen trat schon der grosze Unterschied zwischen
den symmetrischen und den asymmetrischen (0 -f ^)-Bewe-
gungen ans Licht.

Indem bei den ersten auf der Hyperbel vj = vii2 co\'Gebiete
für den Index möglich waren, war ihre Zahl auf der Mittelsenk-
rechte (d.h. bei der zweiten Gruppe), gemäsz der beliebigen
Wahl von a; und A, cc"^.

Demnach können nie alle Bewegungen in der Mittelebene
als die Limite aufgefaszt werden, zu der eine Bewegung auf
dem Hyperboloid -/j = s sich nähert, wenn £ = 0 wird.

Das würde nur für die Bewegungen gelten, wo auszer
<T ~ ix^e^ m (als allgemeine Bedingung für eine Bewegung in

erfüllt ist, da diese zwei Gleichungen sich an die Bedingungen
für v}i2 =4=0 anschlieszen (vgl. S. 22).

Wir sind noch eine kleine Erläuterung schuldig in Bezug
auf die Bedeutung der punktierten Linie in V.

Das Wesentliche davon wird aber erst im folgenden Abschnitt
bei der Betrachtung des Stabilitätsproblems hervorgehoben
werden.

Aus Seite 14 ging hervor, wie die in V angewandte Y-Kurve
[d) auszerhalb eines Berührungspunktes in = 0, auch noch
einen Schnittpunkt ^ lieferte, innerhalb der linken Hälfte des
brauchbaren Gebiets. Schon damals wurde bemerkt, dasz vj
nur einmal von m bis 0 zunehmen konnte, sodasz das Gebiet
hierzwischen kaum den Namen „Schwingungsgebiet\' verdiente-
und demnach in V punktiert angedeutet wurde.

Der so eben beschriebene Variationsvorgang war ganz
gegründet auf der Erhaltung dieses Berührungspunkts, aber
der Schnittpunkt war in der allgemeinen Verschiebung beteiligt.
Dieser möge jetzt in einen andren Punkt yj/ arriviert sein.

Die gleichzeitige Anwesenheit eines Schnittpunktes und
eines Berührungspunktes, deren Entfernung durch eine po-
sitive F-Kurve überbrückt wird, ist jedoch die stätige Ursache,
dasz nur einmal vom Schnittpunkt zum Berührungspunkt
überlaufen kann, da die zurücktreibende Kraft im letzteren
nihil ist (vgl. S. 10).

Das Indexgebiet, wozu sich die punktierte Linie von V
inzwischen verbreitert hat, kann demnach nur einmal von dem
Index übergesetzt werden und dies auf unendlich viele, vom
Anfangspunkt abhängigen Weisen, weshalb wir lieber das
ganze Gebiet punktierten statt nur einer einzigen vom Index
beschriebenen Bahn. Vollständigkeitshalber wurde noch solch
eine mögliche Bahn schwach angedeutet.

Nach dieser Erläuterung möge daran erinnert werden, dasz
die Existenz der zweiten Gruppe (von 6) Kombinationen aus
derjenigen der ersten Gruppe nachgewiesen wurde, womit
der Existenzbeweis für alle zwölf geliefert worden ist.

Betrachten wir diese zwölf Kombinationen mehr von der
geometrischen Seite, dann bemerken wir die folgenden Bahnen
gefunden zu haben:

I und II. Eine Zickzackkurve, welche die Mittel-Zone eines
Ellipsoids ebenso wie eine Lissajouskurve vollständig füllt, da
es im allgemeinen kein rationales Verhältnis zwischen den
Umlaufszeiten für (p und •/; gibt.

III. Eine derartige Bahn, aber jetzt ganz auf der linken
Seite des Ellipsoids gelegen.

V. Wieder einen Kreis, in der Mittelebene, woran sich
jetzt eine Raumkurve anschlieszt. Als Kuriosität erwähnen
wir, dasz der Index erst nach einer unendlich langen Zeit die
Hyperbel = 0 den punktierten Weg entlang erreicht. Dem-
nach wird die soeben genannte Raumkurve erst nach unendlich
vielen Windungen mit dem Kreise zusammenflieszen und kann

sie also eine ellipsoidale Schi\'aubenlinie genannt werden,
welcher Beschleunigung zu Null abnimmt.

VII und VIII. Eine sich in drei Dimensionen krümmende
Lissajouskurve, beschlossen innerhalb der Wände einer ring-
förmigen Röhre, für welche die Mittelebene eine Symmetrie-
ebene ist.

IX. Einen Weg derselben Art wie so eben, aber jetzt
innerhalb einer Röhre verlaufend, welche sich ganz an einer
Seite der Mittelebene befindet.

X. Eine in der Symmetrie-ebene liegende Lissajouskurve,
welche zwei konzentrische Kreise abwechselnd berührt und
dadurch der Bahn 1 aus Fig. 4 sehr ähnlich ist, wiewohl die
Lage derselben eine ganz andre ist.

XII. Eine Zickzackkurve auf einem ringförmigen Band,
welches aus dem linken Blatt eines Rotationshyperboloids,
ausgeschnitten wird, während die Kurve selbst den Charakter
der Lissajouskurven zeigt, so keine bestimmten Bedingungen
erfüllt sind.

Wir dürfen diese Untersuchung nicht beendigen, ohne die
Aufmerksamkeit auf die rein periodischen Bewegungen gerichtet
zu haben, welche auch hier unter den Rotationsbewegungen
verborgen sind. Mit Ausnahme derjenigen, welche in der
Mittelebene liegen, sind sie wegen ihrer sonderbaren Formen
schwierig abzubilden.

Jede Bewegung, die im Endlichen um die Kerne überhaupt
stattfinden kann, musz gewisz durch unsre Musterung gegan-
gen sein, weil die Möglichkeit einer andren X-oder F-Kurve
hierfür streng ausgeschlossen war.

Der Vorrat ist indessen noch grosz genug, sodasz es sich
empfiehlt in den folgenden Abschnitten zuerst ihre Brauch-
barkeit als lonmodell zu prüfen; und der erste auf der Hand
liegende Probierstein wird uns durch die Stabilität ermittelt.

Eine Bahn ist im allgemeinen stabil, wenn das sich
bewegende Teilchen, trotz aller möglichen kleinen auf einem
beliebigen Augenblicke angebrachten Störungen nur Bahnen
beschreiben kann, die der vormaligen benachbart bleiben.

Auf dieser Definition ist u. m. die Theorie der kleinsten
Schwingungen begründet, welche uns in den Stand setzt die
s. g. ,steady motions" (Wuittaker § 83) zu untersuchen.

Aber die vor uns liegenden Bahnen gehören im allgemeinen
dieser Gruppe nicht an, sodasz hier eine andre Methode
anzuwenden ist, und diese ist nach der Untersuchung im
vorigen Abschnitt bald gefunden.

Wir betrachten zuerst den Fall einer rotationsfreien Bewe-
gung und werden vorläufig keine andren Störungen hierauf ein-
wirken lassen als solche, welche die Bahnebene intakt halten.

Um nun die zitierte Definition von Stabilität gebrauchen
zu können, musz das Elektron plötzlich aus seiner ursprüng-
lichen Bahn weggenommen und in einem benachbarten Punkt
wieder freigelassen werden ungefähr mit Beibehaltung seiner
Geschwindigkeit sowohl in Richtung als in Grösze.

Die Bahn, welche nach dieser Manupulation entsteht, wird
wieder eine Lösung des Zvveizentrenproblems sein, aber jetzt

Besonders interessieren uns die Parameter A und c, denn
die angewandte Definition fordert, dasz eine Untersuchung
über die Abweichung zwisclien der alten und der neuen Bahn
angestellt werde und das geschieht am bequemsten mit A und <r.

Wie wir im vorigen Abschnitt erwähnten, bestimmen ja
diese Gröszen das Gebiet, innerhalb welches das Elektron
sich bewegen kann, sodasz es sich empfiehlt die Variationen
zu betrachten, welchen diese Konstanten bei einer dergleichen
Störung unterworfen werden können.

Was d A anbelangt, bemerken wir, dasz diese Variation
ihrer Natur nach nicht grosz sein kann: A ist ja die Gesamt-
energie des Elektrons und diese wird kaum geändert, wenn
das Elektron von der einen auf die andre Bahn hinüber-
gebracht wird. Die kinetische Energie bleibt nach unsrer
Annahme ungefähr dieselbe und das Kraftfeld ist derart, dasz
eine kleine Verschiebung nie grosze Änderungen in der poten-
tiellen Energie zufolge haben kann, da ein Stosz auf die
Kerne, wobei die potentielle Energie ~ co werden würde,
ausgeschlossen ist.

Auch d ö- ist klein, da sonst ^ und >5 im Anfangspunkt der
neuen Bahn bedeutend viel abweichen würden von denjenigen
im Endpunkt der alten, was mit unsrer Annahme streitig
sein würde, dasz die Störung nur eine kleine Abänderung in
der Geschwindigkeitsrichtung veranlassen konnte.

Weiter ist d oc identisch gleich Null, da eine Störung vor-
ausgesetzt wurde, welche die Bahnebene ungeändert läszt.

Nun d A und d s sich als klein ergeben haben, scheint es
leicht die Grenzen für die neue Bewegung aufzufinden, da
man sie doch in der Nähe der vorigen vermutet. Wirklich
ist dies auch für die Umkehrwerte von ^ der Fall.

Diese wurden aus Schnittpunkten bestimmt, oder wenn
f konstant blieb, aus einem Berührungspunkt der X-Kurve
mit der ^-Achse.

Im gewählten Beispiel einer rotationsfreien Bewegung ist
X(i) = (2m i\'A-i- 4m e^ f - ö-) (^2 - d^).

Liegen die Sciinittpunkle (rnil ^^ d) bei und I2, dann
verschieben diese sich über Abstände d und d welche
sich berechnen aus:

X ist ein gewöhnliches Polynom ohne gebrochene oder
negative Potenzen, weshalb alle seine DitTerentialquotienten
endlich sind für endliche Werte von für welche unser
Problem ja gerade aufgestellt worden war. Weil weiter

ist, folgt hieraus, düsz d und dh am höchsten von der-
selben Ordnung sein können wie d A oder d er.

[Die Hinzufügung „am höchsten" zielt auf die Möglichkeit
einer identisch verschwindenden Verschiebung. Bei Ii = d
verschwinden ja alle Differentialquotienten automatisch auszer-
halb derjenigen nach I, was einfach dem konstanten Wert
Ii = d für den rotationsfreien Fall entspricht].

Weil d A und d c klein sind, sind die Abänderungen, die sie
in den Umkehrwerten von I veranlassen können, auch nur
klein, so diese nur Schnittpunkten der X-Kurve angehören.

AVenn die ungestörte Bewegung bei einem konstanten Wert
von I stattfindet und die X-Kurve die I-Achse also in einem
Punkt |j2 berührt, sind die Verschiebungen der Grenzkurven
wohl groszer aber doch nicht endlich.

Die Entwicklung von Taylor gibt jetzt nur eine Gleichung,
doch eine vom zweiten Grade:

deren Wurzeln \\d und [rf die Auseinanderschiebung
der zwei zusammengefallenen Wurzeln bestimmen, oder geo-
metrisch eingekleidet: bestimmen bis wie weit die X-Kurve
zufolge der Störung steigen wird, welche den gewühlten
Werten dA und d<T entspricht.

Es versteht sich von selbst, dasz die Kurve nicht sinken
kann, denn einer reellen Störung entspricht eine reelle End-
bewegung.

Da die X-Kurve nicht im Stande ist sich zugleicherzeit noch
irgend wo anders über die ^-Achse zu erheben, müssen [rf
und {df\\2 bei einer reellen Störung immer reell sein.

Ihrer Gleichung nach können sie am höchsten von derselben
Ordnung sein wie VdA oder Vd ff.

Auch hier sind also keine groszen Grenzverschiebungen auf-
zufinden, welche zur Labilität der ursprünglichen Bewegung
führen würden:

Unter den Schnittpunkten der T-Kurve mit der >}-Achse
gibt es zwei, die fest an ihrer Stelle gebunden sind, n.1.
n = d und ■/! = — d (der konstanten Wurzel d bei
der X-Kurve analog).

Die zwei andren sind verschiebbai", namentlich über kleine
Abstände d-/jx und d-z^ von derselben Ordnung wie dA oder
d ff, wenn sie zwei einzelnen Schnittpunkten entsprechen, und
über Abstände [f^^Ji und Lrf>?]2, wenn sie zusammen aus
einem Berührungspunkt hervorgegangen sind.

Die Übereinstimmung mit der X-Kurve würde demnach
vollkommen sein, wäre es nicht, dasz [d und \\cl vi]2 bei
einer reellen Störung imaginär werden könnten, was für [d
und \\d unmöglich war. Es läszt sich verstehen, dasz dieser
Unterschied von eingreifender Art für die Stabilität der Elek-
tronenbewegung sein wird, da die Baken jetzt nicht nur ein
wenig versetzt, sondern auch plötzlich unsichtbar werden
können.

Wenn das Elektron nun solch einer reellen Störung aus-
gesetzt worden ist, wodurch seine früheren Grenskurven ima-

ginür geworden sind, so wird es doch eine andre Grenze für
seine >j-Koordinate aufzusuchen liaben, sodasz hier eine Bewe-
gung entstehen wird, welclie der ursprünglichen durchaus
unäiinlich ist, weshalb die ungestörte Bahn notwendig labil
sein musz.

Fragen wir uns ab, ob und wo solch ein Verschwinden
der ;^-Grenzen wirklich stattfinden kann, so erhellt aus Fig. 3
unter x = 0, dasz dieses nur geschehen kann bei einer F-Kurve
von der Gestalt (do), die ja mittels einer passend gewählten
Störung in (co) übergeführt werden kann.

Indem also anfänglich Null blieb, fliegt sie später zwischen
— d und d hin und her.

Alle Bewegungen, zu deren Zusammensetzung diese Kurve
gebraucht worden ist, sind mit demselben Übel behaftet und
demnach labil, weshalb die geradlinige Schwingung V in Fig. 4
von der Liste der lonmodelle abgeführt werden musz.

Aber alle andren Bewegungen, die ja nichts mit {do) zu
schaffen haben, sind gegen eine dergleiche Störung unemp-
findlich und demnach stabil, denn nur {do) hatte in der Gruppe
von F-Kurven bei x = 0 die Unartigkeit labile Bewegungen
hervorzubringen.

Verhehlen wir nicht die rotationsfreien Bewegungen nur
für eine sehr speziell gewählten Störung auf ihre Stabilität
untersucht zu haben.

Im allgemeinen wird die störende Kraft nicht gerade in der
Bahnebene liegen, sodasz bei der Annahme einer beliebigen
Störung auch das Auftreten eines Momentes dx zu berück-
sichtigen ist.

Verbessern wir dazu den vorhin entwickelten Gedanken-
gang, so konstatieren wir, dasz

2°. dasz dx gleichfalls klein ist, da die senkrecht auf der
Bahnebene angebrachte Geschwindigkeitskomponente nur gering
und ihr Moment bei einer endlichen Entfernung von der Achse
demnach auch nur klein sein kann,

f und Vj gerade vor und nach der Störung nicht zu sehr
verschieden sein dürfen.

Auch ergibt sich wieder, dasz das Auftreten einer d x keine
grosze Verschiebung einer selben Wurzel verursachen kann,
weder bei der X-Kurve, noch bei der F-Kurve.

Indem aber bei der letzteren eine kleine Abänderung für
die >}-Bewegung fatal werden kann, ist der Einflusz auf die
^-Bewegung niemals nennenswert.

Man untersuche nur in Fig. 2 und 3 zu welchen Gestalts-
verwandlungen der X- und F-Kurven die Hinzufügung einer
Ä führen kann, dann wird man zu dem Entschiusz kommen,
dasz die Kurve (do) auch jetzt wieder das einzige labile Ele-
ment der Gruppe ist.

Bis so weit verläuft alles gerade so wie im Falle einer
konstanten <p (einer intact gelassenen Bahnebene}, aber — und
das war der Grund, warum wir diese Art Störungen lieber be-
sonders behandelten — es ergibt sich hier jedoch noch etwas
eigentümliches.

Schon früher war es auffallend — und es wurde \'auch
mechanisch erklärt — wie die Achse, obwohl sie bei der
rotationsfreien Bewegung fortwährend passiert wurde, plötzlich
wegen der mindesten Rotation unzugänglich wurde und die
Frage liegt auf der Hand, ob und in welcher Hinsicht dieses
eine Labilität der Bewegung bedeuten kann.

Die Bemerkung, dasz die Wurzel $ = d nur wenig verschoben
werde, genügt hier nicht mehr.

Früher, wenn es sich handelte um wirkliche Umkehrkurven,
bewies dies unzweifelhaft gute Dienste, aber hier ist es ohne
Nutzen.

Erst wenn die Wurzel verschoben ist (nach d-{-di) weist
sie eine Umkehrkurve an, aber im Anfang, wenn sie in d fiel,
stand eine wahre Umkehrkurve mit als Gleichung i — dgar
nicht in der Rede.

Die Achse wurde fortwährend überschritten statt berührt
und nun plötzlich wird eine hart an die Achse entlang lau-
fende Kurve wohl berührt (wiewohl jetzt vom Index).

flüssig ist um beurteilen zu können ob eine kleine c^ajeeine
ernstliche Bahnumbilclung veranlassen kann.

Wohlan, wenn der Index von der Achse noch weit entfernt
ist, kann die Winkelgeschwindigkeit Cp wegen des geringen Mo-
ments (dx) nie erheblich sein, aber desto mehr der Index sich
der Achse nähert, um so deutlicher wird die cJ)-Bevvegung, bis
das Elektron schlieszlich mit einer rasenden Winkelgeschwin-
digkeit die Achse vorübergeht und seinen Weg jetzt unter
einer gleichzeitiger 4)-Bewegnng weiter verfolgt, welche schon
bald wieder erschlafft ist.

Wenn die Halb-ebene des Elektrons sich hierbei um unge-
fähr 180" dreht, weicht die Bahn in erster Anlage nicht viel
von der ursprünglichen ab. Der einzige Unterschied ist dann
eine schwache Verbiegung in der Nähe der Achse, der das
Elektron ausweichen sollte.

Wird in der Tat solch eine Verbiegung vom Anfang bis
zum Ende betrachtet, dann stellt cp sich heraus als eine
Grösze, die in dem ganzen Knick sich um 180" einen Be-
trag\' ändert, der mit da proportional ist, gleichviel ob das
Elektron die Achse zwischen den Kernen oder die verlänger-
te Achse vermeiden sollte (Zusatz 7).

Zugleicherzeit wird der scheinbare Widerspruch, der die
Veranlassung zu dieser ausführlichen Behandlung war, erklärt,
wenn man d a in Gedanken wieder langsam zu Null abnehmen
läszt.

Wegen der Abnahme der Zentrifugalkraft kommt das Elektron
der Achse immer näher und näher (d. h. die innere Umkehrel-
lipse für den Index schmiegt sich mehr und mehr der Achse
I = an) die Verbiegung der Bahn wird allmählig undeutlicher,
wiewohl es noch immer eine cp-Bewegung über ungefähr 180°
gibt, bis plötzlich, wenn da = 0 geworden ist und man doch
noch von einem Index reden will, dieser die Achse im kri-
tischen Moment einen Augenblick berührt und, als wäre es
ein Stosz, sogleich wieder in die feste Halbebene wird zurück-
geworfen. Dies was das Berühren der Achse durch den
Index anbelangt.

lieh schnell von 0 auf t:, sodasz das Elektron selbst ungestört
die Achse überschreitet mit Beibehaltung seiner eignen Ge-
schwindigkeit und jetzt seinen Weg weiter fortsetzt in der
Halb-ebene, welche die Verlängerung ist derjenigen, welche
das Elektron gerade verliesz.

Auf diese Weise ist also doch ein allmählicher Übergang
zwischen die rotationsfreien und die allgemeinen Bewegungen
zustande gebracht, trotzdem es uns zuerst wunderte, dasz das
Überschreiten der Achse durch das Elektron, durch eine Be-
rührung durch den Index zu ersetzen war.

Kommen wir wieder zurück auf die anhängigen Fragen:
ob die rotal ionsfreien Bewegungen in Bezug auf eine senkrecht
auf die Bahnebene gerichtete Störung stabil sind, so lehrt das
Vorhergehende, dasz die Bahn in erster Anlage wenig von
der ursprünglichen abweicht.

Ungeachtet einiger Krümmungen in der Nähe der Achse
veriäuft die Bahn anfänglich gerade oben oder unter der unge-
störten ebenen Bahn, aber auf die Dauer musz doch eine
Erweiterung zwischen die Bahnen entstehen, denn jedesmal,
Wenn das Elektron die Achse an der Vorder- oder an der
Hinterseite passiert, beträgt die gesamte ^-Bewegung etwas
mehr als 7t, welcher Überschusz sich immer mehr aufhäuft,
Weil die ^-Bewegung nimmer ihre Richtung ändert.

Es entsteht also eine Art Präzessionsbewegung, wobei die
Bahnebene oder genauer gesagt: die Ebene, die sich während
einiger Zeit am besten der Bahn anpaszt, langsam um die
Achse des Ions zu drehen anfängt.

Das Entstehen einer derartigen Bewegung kann aber kaum
als ein Beweis für die Labilität der rotationsfreien Bewegungen
angemerkt werden, weil es doch sehr wahrscheinlich sein wird,
dasz das Ion in der Natur binnen nicht zu langer Zeit eine
entgegengesetzt gerichtete Störung empfinden wird, wodurch
die Bahnebene doch im Durchschnitt ihre Stelle im Raum
handhaben kann.

Unser Schlusz musz demnach sein, dasz von den rotations-
freien Bewegungen I, II und V (Fig. 4), die noch nicht als
lonmodell verworfen waren, nur die zwei ersteren die Probe

bestanden haben, aber dasz die letztere, d. h. die geradlinige
Schwingung längs der Mittelsenklinie, aus Stabilitätsgründen
fortfallen musz.

Und noch mehr werden, fallen!, n.l. die aus Fig. h, die
rein periodischen Bewegungen.

Sie gehen ja doch bei der mindesten Störung in die quasi-
periodischen Lissajouskurven I, III und IV aus Fig. 4 über
und es hat also keinen Sinn uns länger bei diesen aufzuhalten,
weil es doch überdies höchst zufällig sein würde, dasz es
einer entgegengesetzt gerichteten Störung gelingen würde die
Bahn wieder genau herzustellen.

die Lissajouskurve I und die reine Ellipse II (Fig. 4), welche
wir fortan anziehen werden als:

Demnächst ist jetzt das Stabilitätsproblem für die allge-
meinen Bewegungen an der Reihe gelöst zu werden. Hier
können wir es kurz machen, da das Wesentliche schon im
Vorhergehenden erkläi\'t worden ist.

Um aus den Rotationsbewegungen die labilen aufzufinden
durchsucht man die ganze Gruppe möglicher X- und Y-Kurven
(bei <a:=j=0) und fragt sich ab, welche dieser mittels kleiner
Variationen der Parameter (auch hier sind cl A, d <s und d x
wieder klein!) derart in einander übergeführt werden können,
dasz dadurch ein Paar Schnittpunkte in der einen verloren geht.

Hier hat man dann wieder die Spur einer oder mehrerer
labiler Bewegungen gefunden, denn all den Bahnen, denen
eine dergleiche Kurve zu Grunde liegt, fehlt die Eigenschaft
gegen alle Störungen stabil zu sein.

Eben dadurch, dasz man nur die möglichen X- und F-Kurven
mit einander verglich, garantierte man sich das Anbringen
nur reeller Störungen.

Die I-Bewegung ergibt sich immer als stabil; die F-Kurve
aber ^läszt sich wie vorhin leicht den gesuchten Übergang
gefallen.

Eine kleine Gestaltsänderiing, wie die von (r?) zu (c), Fig. 3,
zwingt plötzlich ihren konstanten Wert = 0 zu verlassen
um zwischen weiten Grenzen hin und her zu schwingen.
Demnach sind die Kreise und die Lissajouskurven in der
Mittelebene labil, falls sie aus (d) hervorgekommen sind, aber
stabil, so sie ihr Entstehen einer Kombination irgend einer
X-Kurve mit (b) statt [d] als T-Kurve zu verdanken haben.
Im letzteren Falle ist der Effekt einer reellen Störung nur
eine kleine Verbreiterung des Schwingungsgebiets für vj.

Bei kleinen Parameteränderungen ist (b) nur im Stande in
eine benachbarte Kurve der Art (a) überzugehen, was nach
den hinzugeschriebenen Bedingungen deutlich sein wird.

Die genannten labilen Bewegungen wurden in Fig. 6 von
V und XI vertreten, eben denjenigen, wo das Anbringen
punktierter Linien nötig geurteilt wurde.

Erinnern wir noch einmal an deren Bedeutung ~ der Index
konnte sich nur einmal solch eine Bahn entlang bewegen —,
dann wird es deutlich sein, warum gerade diese Bewegungen
labil sein muszten.

Bei solch einer einseitigen Bewegung ist immer die Rede
von einer F-Kurve mit einem Schnittpunkt und weiter hinauf,
einem Berührungspunkt an der oberen Seite der -^-Achse, dem
Endpunkt, von wo die Rückkehr unmöglich war.

Aber weil die F-Kurve ihrer Natur nach symmetrisch und
vom vierten Grade ist, nmsz der Berührungspunkt immer in
der Mitte liegen und bringt das Bestehen eines Schnittpunktes
von selbst das eines zweiten in der andren Hälfte mit sich.

Mittels einer \'geeignet gewählten Störung wird der Be-
i\'ührungspunkt steigen und dadurch eine ^^-Bewegung zwischen
den zwei Schnittpunkten gestatten ohne dieselbe wieder halb-
wegs aufzuheben, welche Störung also für das Modell fatal ist
und dessen Labilität nachweist.

Andre labile Bewegungen gibt es in Fig. 6 nicht mehr,
da die F-Kurve (d) nirgendwo anders angevvandjt worden ist,
und diese doch bei x =|= 0 die einzige war, wo ein Berührungs-
punkt die Achse verlassen konnte.

die in sich sebst geschlossenen rein periodischen Lissajous-
kurven zu behandeln, deren Periodizität doch bei der min-
desten Störung für immer verloren gehen würde.

Wird all das Vorhergehende in Betracht genommen, so geht
daraus hervor, dasz noch zu unsrer Verfügung stehen: die
ebenen Bahnen 1 und II (Fig. 4) und alle Rotationsbewegungen
(auszer V und XI), deren Indexgebiet in Fig. G abgebildet
wurde und die selbst auf Seite 24 näher umschrieben worden
sind.

Der Wahl is also noch sehr ausgebreitet, aber wird zum
zweiten Male beschränkt werden und wohl dadurch, dasz
wir jetzt auf die Stationäritätsbedingung Acht geben wollen,
welchen viele dieser Bewegungen nicht genügen können.

Wie bereits in der Einleitung bemerkt, sind die Bahnen im
allgemeinen stationär, wenn das Zeitmittel der Kraft, womit
das Elektron einen Kern anzieht, der gegenseitigen Abstoszung
der Kerne in Richtung entgegengesetzt aber in Grösze gleich ist.

Allererst musz die resultierende Anziehung also längs der
Achse gerichtet sein.

Diese Bedingung ist aber überall identisch befriedigt, weil
alle Bahnen, sowohl die ebenen als die räumlichen in Bezug
auf die Achse symmetrisch sind, während auszerdem die
Geschwindigkeit des Elektrons unabhängig von (p ist, weshalb
nicht nur das Wegmittel sondern auch das Zeitmittel der
Kraft längs der Achse gerichtet sein wird.

Allein das letztere hat für unser Problem Bedeutung, da
nur das Zeitintegral der Kraft der aus ihr hervorkommenden
Bevvegungsgrösze äquivalent ist, und es ist gerade diese Grösze,
welche, verglichen mit der Bewegungsgrösze zufolge der Abstos-
zung, bestimmt, ob die Kerne an ihrer Stelle stehen bleiben
oder nicht, m. a. W. ob die Elektronenbahn wohl oder nicht
stationär ist.

Betrachten wir zuerst den zweiten Teil der Stationäritäts-
bedingung : das Zeitmittel der Anziehung hat für beide Kerne
der Abstoszung e^l^ d^ gleich zu sein.

Dem Obigen nach darf hierfür also auch das Zeitmittel der
horizontalen Anziehungskomponente genommen werden.

Wiewohl die Bedingung für beide Kerne gelten musz, genügt
es aber nur einem (z. B. dem linken) die Forderung aufzuerlegen:
der zweite Kern wird sie dann auch ohne mehr befriedigen.

aber für diejenigen, welche in Bezug auf die Mittelebene
asymmetrisch liegen, fordert es eine nähere Erklärung: Nach
dem Satze, das Aktion und Reaktion einander bis auf das
Zeichen gleich sind, wird die Bewegungsgrösze, welche der
linke (rechte) Kern zufolge der Anziehung des Elektrons, nach
rechts (links) empfängt, gleich derjenigen sein, welche das
Elektron wegen der Anziehung des linken (rechten) Kernes
nach links (rechts) bekommt.

Auf die Dauer musz das Elektron aber eine eben so grösze
Bewegungsgrösze nach links wie nach rechts bekommen haben,
da es sich sonst während seiner Schwingungen beständig nach
einer Seite dringen würde, was bei den in Fig, 4 und 6
gefundenen Bahnen doch nicht der Fall ist,

(Wir beschäftigen uns ja nicht mit den punktierten Teilen
in Fig, 6, welche nur als der „Anlauf zu den angehörenden
Bewegungen aufgefaszt werden können).

Von den beiden horizontal gerichteten Komponenten, die
am Elektron angreifen, müssen die Zeitmittel also einander
gleich sein.

Da nur diese zur resultierenden Anziehungskraft beitragen,
welche, wie wir sahen, immer die Achse entlang gerichtet ist,
folgt hieraus, dasz beide Kerne im Durchschnitt gleich stark
angezogen werden.

Es genügt also nur das Zeitmittel der horizontalen Anziehungs-
komponente zu berechnen, welcher der linke Kern aus-
gesetzt ist.

Die erste Methode ist kurz und lehrreich, aber beruht auf
einer Hypothese, sodasz derselben die Kraft der zvireiten fehlt,
die exakt aber umständlich ist.

Bei der ersteren bedient man sich der Adiabatenhypothese
von Ehrenfest, bei der letzteren geht man direkt von der

Mit ^dieser bekam ich äuszerst verwickelte Formeln, die sich
bei einer näheren Betrachtung auf solch eine wunderbare

Weise reduzieren lieszen, dasz es ohne Zweifel möglich sein
muszfe einen viel direkteren Weg anzuweisen.

Diesem folgen wir in der ersten Methode, welche, wiewohl
sie noch nicht allgemein anerkannt heiszen darf, meiner
Ansicht nach doch ihrer Kürze wegen den Vorrang verdient.

Die hiermit erhaltenen Resultate werden nachher dadurch
verifiziert werden, dasz wir die Formeln der zweiten Methode
mittels einiger analytischer Verwandlungen in dieselbe ein-
fache Form bringen werden.

Wie schon erwähnt, beruht diese auf der Adiabatenhypothese
von Ehrenfest, welche im besondren Fall trennbarer Koor-
dinaten die Kraft eines Satzes besitzen kann, wie Burgei\'s
nachgewiesen hat.

Vorläufig werden wir sie ganz auszerhalb der Quanten-
theorie halten und sie nur als eine Wahrheit aus der klassischen
Mechanik übernehmen, wie sie doch im Falle trennbarer
Koordinaten bezeichnet werden kann.

Die Periodizitätsmodüle der Wirkung in einem quasiperio-
dischen System sind invariant gegen s. g. adiabatische Ände-
rungen von Konstanten, die in der Funktion von Hamilton
auftreten.

Hierbei heiszt eine Änderung einer dergleichen Konstante
adiabatisch, wenn sie unendlich langsam (in Bezug auf die
Schwingungen der Koordinaten) stattfindet und wenn zugleich
da\\dt (nach dem Vorhergehenden schon unendlich klein von
der ersten Ordnung) konstant gehalten wird und die Hamil-
tonschen kanonischen Differentialgleichungen während der Varia-
tion in Kraft bleiben.

Als Beispiele solcher Parameter werden meistens genannt:
die Ladung oder die Masse irgend eines Teilchens oder auch
wohl die Stärke eines magnetischen, eventuell elektrischen
Feldes.

Auch dieser tritt in der Hamiltonschen Funktion auf, wie
sofort aus Zusatz 1 hervorgeht.

Variiert man rf, so wird eigentlich das Koordinatensystem
varriiert; dann ändern sich ja für einen stillstehenden Punkt
die Abstände zu den Kernen und demnach auch dessen
elliptische Koordinaten. Da der Punkt selber in Ruhe blieb,
kann es nur als eine Transformation des Koordinatensystems
interpretiert werden.

In wie fern ist es aber erlaubt den Adiabatensatz anzuwenden,
wenn das Koordinatensystem fortwährend angegriffen wird,
da dieses bisher bei einer Anwendung dieses Satzes immer
intakt gelassen wurde?

Wohl kommt d in der Funktion von Halmilton vor und
kann man sie in Gedanken langsam abändern und dabei
dd!dt konstant lassen, aber ob jetzt dann noch die Hamil-
tonschen Differentialgleichungen gültig bleiben, ist unbekannt.

Zwar behalten sie ihre Gültigkeit bei, sobald der zu variierende
Parameter a, auszer in der Funktion von Hamilton auch noch
in der Kräftefunktion auftritt, wie Bubgers in einer Fusznote
in den Annalen I.e. bemerkt, aber geht er \' nicht in die
Kräftefunktion ein, so nimmt Burgers die Gültigkeit der Hamil-
tonschen Gleichungen als Hypothese an. Dadurch geht die
Kraft des Adiabatensatzes, wenigstens als Satz, verloren,
wiewohl die Hypothese sehr wahrscheinlich bleibt.

Nun gehört d auch gerade dieser Kategorie von Parametern
an, worin wir keinen Bescheid wissen: die potentielle Energie
des Elektrons ist nämlich — ^ e\'^ — vi^), vgl. Zusatz 1,
sodasz d hierin nicht auftritt.

Wird der Adiabatensatz dennoch im fraglichen Falle ange-
wandt, so gelangt man zu richtigen Resultaten,, was also
sehr zu Gunsten der Annahme Bürgers\' zeugt.

Win werden jetzt nachweisen, wie in der Tat die mittlere
Kraft aus solch einem adiabatischen Prozesze abgeleitet werden
kann und wählen dazu die Bahn so allgemein als möglich

Die Periodizitätsmodüle der Wirkung sollten bei einem
solchen Prozesze konstant bleiben.

Aus der Formel für die Wirkung W auf Seite 7 geht hervor,
dasz diese Modüle bei einer allgemeinen Bewegung sind:

wo die Grenzen in den beiden ersten Integralen die Umkehr-
werte der betreffenden Koordinaten sind.

Während einer adiabatischen Abänderung von d bleiben
diese Gröszen I konstant, a; selber also in erster Stelle, was
übrigens plausibel ist.

bleiben, woraus d Aid d und dffldd gelöst werden können.
Die Kenntnis der ersteren ist hauptsächlich unser Zweck.
Nehmem wir einmal an, dasz die Kerne einander nicht
abstieszen, aber doch vom Elektron angezogen wüiden, so
würde es uns die Arbeit f? X f^ ^^ kosten um jeden der
Kerne um einen Abstand d d unendlich langsam nach auszen
zu versetzen.

Da die Handlung adiabatisch gedacht wird, ist d^ zu
leistende Arbeit auch zu schreiben als 2,Kdd, wo K das

Zeitmittel der Anziehungskraft ist, welche vom Elektron auf
jeden der Kerne in der Achsenrichtung ausgeübt, und positiv
gerechnet wird, so sie nach der Mitte des Ions gerichtet ist,
woraus dann hervorgeht, dasz

zuerst die Differentialquotienten von h und h zu berechnen.
Diejenigen nach A und a können auf die gebräuchliche Weise
bestimmt werden; da der Integrand an den Grenzen ver-
schwindet, braucht nach den letzteren gar nicht differentiiert
zu werden.

Um die Differentialquotienten nach d zu bekommen, empfiehlt
es sich den gebräuchlichen Weg zu verlassen und h und h
zuerst in eine geeignetere Form zu bringen. Dadurch werden
verwickelte Formeln umgangen und für später der Übergang
nach den rotationsfreien Bewegungen ermöglicht.

Gebrauchen wir dazu für h die Substitution: ^ = d sec
und für h: sin so verwandten diese sich in:

enden Formeln und % wieder in S und -/j ausgedrückt, so
bekommen die beiden Gleichungen zwischen und ^^
die folgenden Formen:

Deutlichkeitshalber wollen wir Kmil dem Anhang $ |
versehen um hervorzuheben, dasz diese Grösze hier für die
allgemeine Bahn berechnet wurde, wo es sowohl eine Geschwin-
digkeit wie i und •/} gibt.

Diese Funktionen dürfen natürlich nicht mit denjenigen auf S. 9
verwechselt werden, wiewohl dafür dieselben Zeichen X und Y gebraucht

Wegen ^ ^d, vj\'^ ^ d musz x ^ \\ und iß ^ 1 sein; ici und X2
sind die beiden Wurzeln von X (x) = o, welche gröszer als d
sind, während yi und yt ein Paar Wurzeln von Y [y) = o
sind, wozwischßn Y [y] positiv ist.

Es hängt von den Werten dieser Gröszen ab, ob yi und y2
einander gleich und entgegengesetzt sein werden (in diesem
Falle hat man mit den Bahnen VII und VIII aus Fig. G zu
tun) oder ob sie dasselbe Zeichen haben werden (was sich
bezieht auf IX).

Diese einzige Formel umfaszt demnach nicht nur die sym-
metrischen sondern auch die asymmetrischen Bahnen.

Um nun aus derselben die mittlere Kraft bei den weniger
komplizierten Wegen abzuleiten, verfahren wir folgendermaszen.
Eliminieren wir aus den 0-, i-, und jj-Bewegungen, welche
jede nach der Reihe auszuschalten sind, zuerst die 4)-Bewegung.
Man braucht in K^ ^ v^ nur « == o zu setzen um die mittlere
Kraft bei diesen ebenen Bahnen zu erhalten.

Alles wird dort von den beiden Gröszen — Adje^ und
(rl\'UmeH beherrscht. Von den Wurzeln, die sie in X{x)=^o
und Y [y) = 0 geben, hängt es ab, ob man sich im Falle I,
III oder IV (Fig. 4) befindet.

Da die letzten zwei Bahnformen schon früher abgewiesen
wurden, geben wir nur die Formel für I, also für die sym-
metrische (I-j-;^)-Bewegung:

wurden. Deutlichkeitshalber wollen wir darum immer die Variablen hinter
das Zeichen hinzuschreiben.

Die allgemeine Formel für K läszt sich auch leicht an den
Fall anpassen, wo die ^-Bewegung fehlt.

Da hier die Grenzen Xi und ii^s zusammenfallen (xi=x2 = xi2)
sind die Integrale über Funktionen von ^ leicht zu bestimmen.
Man hat z. B.:

Die restierenden Integrale verschwinden nicht bei =^2
weil sie für jedes Paar also auch für die zusammen-

Wir hatten hier statt Y eine andre Funktion To einzuführen,
da die Gröszen — Äd/e^, und d, weichein Y

unabhängig von einander waren, jetzt durch die Bedingung
cci=x2 gegenseitig verbunden sind.

Auf Seite 20, wo der Fall Ii = (= In) besprochen wurde,
konnten A und <7 in ^,2 und « ausgedrückt werden, welche
Beziehungen in der hier gewählten Schreibweise lauten:

Zusammenfallen semer Grenzen, so viel auszerhalb des Inte-
gralzeichens^ gebracht werden, dasz als Integral nur übrig bleibt:

Die Konstanten — Adje\'^, a-j^m-e\'^d und d, die in
X{x) auftraten, sind in diesem Fall nicht mehr unabhängig
von einander, sondern haben in V (y) = 0 eine doppelte
Wurzel =_)\'2 (=>\'12) zu geben, weshalb wir Xo statt X
schrieben.

Auf Seite 22 fanden wir, auf welche Weise Ä und 5- von
und yji2 abzuhängen hatten, damit die Grenzen vji und y,2
zusammenfielen (=-,^12), wenigstens wenn vii2=\\=0 war.

Wären «r und oc. damals in A und ■/ii2 ausgedrückt worden,
so hätte dies hier geführt zu:

sodasz im Falle der asymmetrischen (f 0)-Bewegung (also
für XII, Fig. 6, wo >112-|=0 ist)
f\'x.

Bahnen auf dem Hyperboloid = (H-0) und für diejenigen
in der Mittelebene, welche als die Limite aufzufassen sind,
zu der die ersteren sich nähern, wenn vji2 bis Null abnimmt.

Um nun einen Ausdruck für K zu finden, der für alle
möglichen (0 ^)-Bewegungen gilt, wo >)i2=0 ist, d. h.
also für alle Bahnen, welche unter X und XI ressortieren,
braucht man (eingedenk der Bedingung oc^e^m für j}i2 = 0,

Seite 23) hier in Tc^^-^ nur = 0 und statt Zo (;.) jetzt X[x)
mit = einzusetzen, was ergibt:

Je nachdem nun aus den gewählten Werten für — A dle^
und cc^l2d hervorgeht, dasz oder <0 ist,

Sowohl die stabilen als die labilen Bahnen der symm.
(0 ^)-Bewegung fallen also in ihren Bereich.

Diejenigen, welche den Übergang zwischen beide Bewegungs-
formen bilden, liegen auch noch im Gültigkeitsbereich von K
für die asymmetrische (cp ^)-Bewegung. Dann ist ja

und welche zu erfüllen war, damit eine symmetrische {(p
Bewegung als die Limite einer asymmetrischen aufgefaszt
Averden könnte.

Von dieser Bemerkung werden wir später Gebrauch machen
Übrigens galten für die symm. und die asymm. Bewegungen
durchaus andre Formeln.

Die ganze Zahl von möglichen Kombinationen der je zwei
und zwei genommenen Variablen ist jetzt erschöpft, so dasz
uns nur übrig bleibt eine A:-Formel für die Bahnen aufzufinden,
wo^ nur eine der Koordinaten hin und her pendelt.

I kann auf zwei -verschiedene Weisen einzeln auftreten
entweder m der symm. ^Bewegung (der geradlinigen Schwin-
gung V, Flg. 4) oder in der asymmetrischen, d. h. in der
Hyperbelbahn, welche in Fig. 4 nicht repräsentiert worden
ist, da das Elektron längs dieser Bahn ins Unendliche fliegen

Auch die geradlinige Schwingung hatte sich schon — aus
Slabilitätsgründen — als unbrauchbar erwiesen. Leiten wir
trotzdem auch für diese \'mal die Kraftformel ab, damit die
Kontrolle später desto vollständiger sei. Wird in K^ k ein-
fach <x = 0 gesetzt, so erhält man: «y»™-

Es gelingt aber nicht auf analoge Weise die Z-Formel für
die Hyperbelbahn aus derjenigen für die asymm. (0 I)-

darf, da zugleich mit a = 0 X2 = co \\vird.
Es versteht sich aber von selbst, dasz

sein musz, weil das Elektron ja fortfliegt.
K\' liegt wieder in K- , • beschlossen.

Man braucht hierin nur ix = 0 einzusetzen um für die
Ellipsbahn (II, Fig. 4) zu finden:

womit die Reiche der aus der Adiabatenhypothese entstandenen
Kraft-Formeln geschlossen ist.

Auch hier, sind alle Bahnen vom Gesichtspunkt der allge-
memen zu übersehen, aber die erforderlichen analytischen

Transformationen würden dann so gekünstelt scheinen, dasz
es mir besser dünkt mit den einfachsten Bahnen anzufangen
um auf diese Weise die Reduktionen nach einander kennen
zu lernen, welche im allgemeinen Problem anzuwenden sind.
Als Anfangspunkt empfiehlt sich die reine 0-Bewegung.
Bei dieser ist die mittlere Kraft K= der Anziehungskom-
ponente selber, weil diese konstant Jst.

Bewegt sich das Elektron einen Kreis in der Mittelebene
entlang, so ist seine Entfernung von den Kernen ^ [nämlich
ri=r2 in = Va (n -f r^)].

Bewegt es sich in einem asymmetrisch gelegenen Kreise, so
wird die resultierende Kraft auf das Elektron u. m. immer
senkrecht auf der Achse gerichtet sein. In
der Mittelebene war dies von selbst der Fall,
aber hier enthält es eine neue Bedingung:
Die horizontalen Komponenten der Kräfte
in E (Fig. 7) haben das Gleichgewicht zu
halten; zugleich sind die Kerne dann gleichen
Fig. 7. und konstanten die Achse entlang gerichteten
Anziehungskräften ausgesetzt (Aktion gleich Reaktion).

In A EKL sind die Seiten ^ S — vj und lang
(Vgl. die Definition von ^ und ^ auf S. 5).
Die Bedingung will nun, dasz:

Was die Lösung = 0 betrifft, dafür können wir auf den
vorigen Fall verweisen.

Werden die letzten Ausdrücke umgekehrt und dann sum-
miert um die ungeraden Potenzen von zu eliminieren, so
erhalt man nach Anwendung der Formel für vj^:

In allen andren Bahnen schwankt die Anziehungskompo-
nente um ein bestimmtes Zeitmittel. Auf einem beliebigen
Augenblick, wenn das Elektron sich im Punkte I, cp be-
finden möge, ist die Komponente für den linken Kern:

Sei vo die Geschwindigkeit des Elektrons und s« die von
irgend einem Punkte auf der Bahn aus gemessene Länge des
zurückgelegten Weges, dann ist das Zeitmittel der Kraft:

Ba Z"i,onz. di^ Koordinate (p nicht enthält, erfordert die
Berechnung von K nur eine Studie der Indexbewegung.

Sei Vi die Geschwindigkeit des Indexes und si die Länge
des Weges, welchen er seit einem bestimmten Augenblick in
der festen Halb-ebene zurückgelegt hat, dann ist auch:

dessen Integrale sich über die ganze Bahn des Indexes erstrecken.
Die Integrale sind Linienintegrale geblieben, aber statt des
räumlichen Integrationsweges kommt jetzt ein ebener.

Ist v] oder ^ überdies noch konstant, so wird derselbe ja
ganz einfach; er ist dann nämlich ein Bogen einer Hyperbel,
bzw, einer Ellipse.
Wenden wir dann in

wo das Zeichen o neben X und Y wieder auf das Bestehen
einer doppelten Wurzel, entweder in ^(y) o oder in
X (I) = 0, zielt.

Wird wieder die Schreibweise von S 43 gebraucht, so geht
hervor, dasz die Identität der hier und dort erreichten Resultate
festgestellt sein wird, so bald gezeigt worden ist, dasz:

Der Beweis für den ersten Teil, also für die {cp ^).Be-
wegung, kann auf die folgende Weise geliefert werden

Zerlegt man den Integrand in eine gerade und eine ungerade
J-unktion von y, dann wird unter vorläufiger Vernachlässigung
des Zeichens 12:

Es läszt sich vorhersagen, dasz das erste Integral im rechten
Glied gleich Null sein wird.

Die Grösze der horizontalen Kraftkomponente auf den linken
Kern wurde ja als die Summe einer geraden und einer unge-
raden Funktion von y geschrieben. Die Grösze der Anziehungs-
komponente auf den rechten Kern berechnet sich hieraus, wenn
y das entgegengesetzte Zeichen gegeben wird.
Der ungerade Teil, n.l.

Auf S. 38 sahen wir, wie das Zeitintegral dieser Differenz
verschwinden muszte, aber dies ist sogar das fragliche Integral.

[Das Verschwinden des Integralwertes könnte auch direct
nachgewiesen werden, denn:

Wird diese Gleichung zwischen den Grenzen und ^2
integriert, so ist der Beweis sofort zum Abschlusz gebracht.]
Zur Aufgabe bleibt uns also noch, zu zeigen dasz:

Wird dies wieder von Xi bis integriert, so folgt der
Satz sogleich, da ja Xi und Wurzeln der Gleichung Xo {x) = 0
waren.

Wir haben also eine vollständige Übereinstimmung erreicht
zwischen den Resultaten der Adiabatenhypothese einerseits und
den der gebräuchlichen Methode anderseits, wenigstens für die
(0 D-Bewegung (und auch für die reine ^-Bewegung.)

Auf eine dergleiche Weise gelingt es das Entsprechende
für die (cp -f >i)-Bewegung nachzuweisen.

Hier musz nach einer Zerlegung des Integrands im ersten
Glied (S. 54) gezeigt werden, dasz:

Da das erste Integral wieder das Zeitintegral über die
Differenz der horizontalen Kraftkomponenten ist, musz dasselbe
wieder verschwinden, wovon man sich übrigens leicht dadurch
überzeugen kann, dasz -man die Gleichung:

wieder zwischen den Grenzen jVx und jys integriert, für welche
^o(jv) = 0 wird.

Nach einer Integration zwischen x^ und ^fs liefert diese
Gleichung das gewünschte Ergebnis.

Auch bei der (0 -f ;^)-Be\\vegung (und der reinen ^^-Bewegung)
ist also von der direkten Methode aus wieder Kontakt mit
dem Resultate der Adiabatenhypothese hergestellt.

Auszer die sich doch nicht in der Anziehungskraft geltend
machen kann, ändern sich nun sowohl | als was die Be-
rechnung des Zeitmittels der Kraft nicht wenig erschwert.

dies ist der Sache nicht viel mehr beförderhch: Da der Index
jetzt eine Lissajouskurve beschreibt, sind die Linienintegrale
unumgänglich und die Methode daher unbequem, wie die
Integrale auch aufgefaszt werden mögen.

Wir wollen den Weg des Indexes demnach nicht in Linien-
elemente zerlegen, sondern vielmehr das ganze Gebiet, welches
vom Index durchkreuzt wird, in Flächenelemente unterver-
teilen, und ♦dann untersuchen, ob das Kurvenintegral sich
vielleicht in ein Raumintegral verwandien läszt.

Sei Ps immer das Symbol für einen beliebigen Punkt
innerhalb des Indexgebietes, so dasz

<. h und vii<im<i m
ist, dann schneiden die Ellipsen S = h und ^ = d ^
zusammen mit dem Paar Hyperbeln -/i = yjs und vj = vj3d vj
ein Flächenelement aus, das fortwährend vom Index passiert

wird, aber jedesmal wieder einen
andren Weg entlang (z. B. längs Ä B,
nachher A\' B\' entlang, u. s.w., Fig. 8),
da man sonst mit einer rein perio-
dischen Bewegung zu tun hätte. Es
handelt sich jetzt darum, von der
ganzen unendlich langen Zeit den
Fig. 8. Teil zu berechnen, während welches

Dazu haben wir die Geschwindigkeit des Indexes und die
Summe der Wege A B, A\' B\\ u. s. w. (E w) zu betrachten.

Die Geschwindigkeit kann im ganzen Element als konstant
geachtet werden, da diese in einem bestimmten Punkt auszer
von dessen Koordinaten nur von den Konstanten A, «r und
a, \\n ^ und Vj abhängt.

Bei einem selben Indexgebiet kann aber die Reihenfolge,
worin die Wege im Element nach einander zurückgelegt
werden, ganz anders ausfallen, wenn man als Anfangspunkt
der Bahn einen andren Punkt innerhalb des Gebietes wählt.

Da der frühere Anfangspunkt, wie jeder Punkt zwischen
den Umkehrkurven, nach irgend einer Zeit r, welche nötigen-
falls unendlich grosz sein kann, wieder erreicht wird, wird
von diesem Augenblick ab wiederum gerade auf dieselbe Weise
wie früher zu beigetragen werden.

Denkt man sich die Beobachtungszeit in Beziehung zu r,
unendlich grosz, dann hat der vorherige Unterschied keinen
nennenswerten Einflusz, wodurch ^ w also unabhängig von
der Wahl des Anfangspunktes wird.

wir die Bahngleichung für den Index, also die erstere der
beiden für die Elektronenbahn geltenden Gleichungen (S 8).

Diese läszt sich auch ohne neue Konstante <r\' schreiben,
wenn nur der Anfangspunkt der Bahn angegeben wird, wovon
wir uns nachher wieder befreien werden.
^ Wählt man als solch einen Punkt denjenigen mit den
Koordinaten |o, vjo, unter der Bedingung:

Wird der gemeinschaftliche, aber variable Wert dieser
Integrale p genannt, so sind f und »j bestimmte Funktionen
dieses Parameters p.

Im Punkt f = lo, ^ = vjo, wo die Bahn anfängt, ist p = o,
während die Bahn weiter durch die auf einander folgenden
Werte von p völhg festgelegt ist — dieses „völlig" eigentlich
unter Vorbehalt —,

Nehmen wir an, dasz p mit dp zunimmt, dann entsprechen
diesem Zuwachs bestimmte Zunahmen von | und vi, da

und d, ^ immer dasselbe Zeichen haben und
dies auch für |ZTöi und dvi gilt, musz dp immer positiv
sein. Wenn p dann von ^ = o aus anzuwac^en anfängt, musz
man aber wissen, in welchem Stadium [/\'JC{[) und I^YM
sich in diesem Augenblick befinden. Bei demselben Kon-
stanten Ä, (T und Ä gibt es für die Wurzeln nämlich vier
denkbare Zeichenkombinationen, in Übereinstimmung mit der
Möglichkeit um den Anfangspunkt unter Beibehaltung derselben
Konstanten Ä, er und « in vier verschiedene Richtungen zu
verlassen, welche je zwei und zwei um 180° verschieden sind.
(Die Bahn ja kann sich selber durchschneiden).

Welchen Fall man wählt, tut für den weiteren Gang der
Beweisführung wenig zur Sache; wir werden beide Wurzeln
im Anfang positiv voraussetzen.

ist zugenommen, hat | ihren maximalen Wert erreicht und
wird die Wurzel im Begriff stehen ihr Zeichen zu ändern.
Verstehen wir unter [^X und nachher auch unter y (vj)
die absoluten Werte dieser Wurzeln, dann wird, sobald

ihren minimalen Wert zu erreichen, wonach sie M\'ieder auf-
wärts hinauf nach iz geht.

Hierbei bekommt ^ wiederum ihren ursprünglichen Wert
h zurück, aber diesmal in steigender Richtung, sobald:

Denkt man sich nun | als Funktion von p abgetragen, dann
werden zu beiden Seiten der minimalen Ordinate (bei po2i)
und davon gleich weit entfernt jedesmal wieder gleiche Or-
dinaten angetroffen werden, m. a. W. die I-Kurve musz in
Bezug auf dieses Minimum symmetrisch sein.

Urn also einen Wert von I wieder in demselben Sinne zu
erreichen, worin er verlassen wurde, genügt eine Zunahme
von p um

Also ist i eine periodische Funktion von p U£id die |-Kurve
eine periodische Kurve, beide mit der Periode p.

Trägt man auch >; als Funktion von p ab, dann läuft der
Beweis für die Symmetrie und die Periodizität dieser Kurve
ganz und gar dem vorigen parallel. Die Periode beträgt hier

In ujisrem J\'all quasiperiodischer Bewegungen gibt es zwi-
schen p und p kein rationales Verhältnis.

Mögen die in Fig. 9 gezeichneten Kurven ? und >) als
Funktion von p abbilden. Die so eben gefundenen Symme-
trie-und Periodizitätseigenschaften_heben sie wenigstens deutlich
hervor.

Vom Berühren der und ;;-Kurven einerseits und die
Geraden 2;\'= I2, hzw..z = yii, z=-/i2 anderseits, kann

man sich Rechenschaft geben, indem man bedenkt, dasz die
Tangente der X-Kurve mit der p-Achse einen Winkel Arctg.

Betrachten wir jetzt den Zusammenhang der Figuren 9
und 8. Das Flächenelement in der letzteren wurde ganz
beliebig gewühlt. Wenn das Elektron also gerade in eine
der Ecken hineinkommen möchte, so würde es das Element
nicht genau in der gegenüberliegenden Ecke verlassen, m. a. W.
d^ und dv! waren nicht gerade so gewühlt, dasz die einem
selben Werte von dp entsprachen.
Für (ZI ist ein bestimmter Wert

I-Kurve Bogenelemente aus, deren Projektionen auf die jo-Achse
wegen der nachgewiesenen Symmetrie und Periodizität ein-
ander gleich sind.

Weiter geht aus der Figur hervor, wie der Index sich bei
p = 0 im Anfangspunkt lo, ^lo befindet, wie er bei p = pti
das erwähnte, bei Is, >)3 gelegene Element zum ersten Male
betritt um dasselbe bei p = ph wieder zu verlassen.

Der Index erreicht das Flächenelement wieder zum zweiten
Male wenn p = Pa- ist, um es fast sogleich wieder bei p = pb-
zu verlassen.

geben wird, der sich auf dem gemeinschaftlichen Stücke von
dp, und dp2 befindet, so lange hält der Index sich auch im
i lächenelement von Fig. 8 auf.

Sobald aber die Projektionen dpi und dp2 übereinander-
greifen, ist f ungefähr und ^ ungefähr weshalb der
Ausdruck für die ganze Zeit des Aufenthaltes sich verwan-
delt in:

Ztv wird auf die Dauer, d.h. wenn die ^ und >j-Kurven
nur genügend weit verlängert werden, proportional mit den
Längen der Stückchen, die einander bedecken wollen, also
proportional mit dpiX dpz.

Dies würde ebenso gut für eine andre Grösze von dp, ge-
golten haben, da dies auf ein Vergröszern oder Verkleinern des
bei m betrachteten Flächenelementes hinausgelaufen wäre.

Verteilt man nun jede Strecke dp, in m gleiche, mit 1, 2,
^.......genummerte Teilchen, so tragen die ersteren,\'

also die mit 1 genummerten Teilchen, um einen bestimmten
Betrag zu der Bildung von ^tv bei; diezweite Gruppe

Da diese elementaren Gitter durch Verschiebung um den
Abstand dPihi in einander übergeführt werden können, wird:

Durch eine Wiederholung dieser Schluszfolgerung für den
Fall, dasz das zweite Gitter in m elementare unterverteilt
wird, versteht man, wie £ w mit nx X n^ proportional sein
musz, d. h. wie

Als Proportionalfaktor f funktioniert hier also der Wert
von welche zu zwei Gittern von Strichbreite 1 gehört,

Die im ersten Gitter gehören _abwechselnd zwei Serien zu,
welche denselben Strichabstand p haben, aber um einen be-
stimmten Abstand sagen wir dx, aus einander verschoben sind.

Das zweite Gitter läszt sich auf eine dergleiche Weise
zerlegen; nur haben die zu einer seilen Serie eingeteilten
Striche hier den gegenseitigen Abstand p, während die Serien
selber um einen Abstand d^ aus einander verschoben sind.

Wird eine Serie des ersten Gitters gegen eine des zweiten
verschoben, so kann dies keine Abänderung der von denselben
zustandegebrachten gesamten Bedeckung veranlassen.

Um diese Behauptung zu rechtfertigen wählen wir einmal
als Flächenelement dasjenige, das in einer Ecke des Index-
gebietes liegt und z. B. an die Kurven I = = grenzen
möge.

Jetzt fallen beide Serien in jedem Gitter zusammen (vgl.
Fig. 9) und hat man hier also nur mit zwei einzelnen über
einander greifenden Serie^ zu tun, wovon die eine die Periode
p, die andre die Periode p besitzt.

formationen führen lassen, welche für die ((p >))- und die
(cp ?)-Bewegungen den gewünschten Übergang vollbrachten.
Wir schreiben also:

Die Nenner hier und auf S. 43 sind schon identisch.
Um die Gleichheit der Zähler zu beweisen, zerlegen wir
den obenstehenden in:

Der erstere Teil wird verschwinden, da dieser das Zeit-
integral der Differenz der horizontalen auf das Elektron
einwirkenden Kraftkomponenten ist (S. 54) Dieses Resultat

nach differentiiert und die entstandene Gleichung wieder
von Xi bis integriert worden war. Dies würde nämlich
führen zu:

Ausdruck wieder zwischen den Grenzen yi und 2/2 integriert,
dann ist das Ergebnis, dasz die y-Integral für jeden Wert

von X gleich Null ist. sodasz das ganze doppelte Integral
identisch verschwindet, was unsre Voraussage über den ersten
Teil des zerlegten Zählers (S. 65) bestätigt.

Also restet noch nachzuweisen, dasz der zweite Teil des
zerlegten^ Zählers dem Zähler in der adiabatisch abgeleiteten
Formel gleich ist.

Unsre Aufgabe wird also zur folgenden zurückgeführt:
Den Beweis dafür zu liefern, dasz:

Integration des erscheinenden Ausdrucks von yi bis y^,
weist man die Gleichheit der y-Integrale für jeden Wert von
^ nach, was offenbar hinreichend ist um die Gleichheit der
doppelten Integrale zu bestätigen.

Auch bei der allgemeinen Bahn finden wir \'^as Ergebnis
der Adiabatenhypothese also von der directen Methode be-
kräftigt. ^

duzieren läszt, ist hiermit auch die Verification der Formeln
für die (I >))-Bevvegung zum Abschlusz gekommen.

Demnach haben alle adiabatisch abgeleiteten Formeln die
Probe bestanden, wiewohl der variierte Parameter nicht in
der Kräftefunktion auftrat.

Nachdrücklich sei nochmals darauf hingewiesen, dasz das
Obenstehende am allerwenigsten ein strengerer Beweis für
den Adiabatensatz in diesem zweifelhaften Fall sein will —
das allgemeine Problem in solch einer Gestalt wurde ja gar
nicht berührt — allein sind die Resultate, zu denen seine
Anwendung in einem besondren Problem führt (die Berechnung
des zeitlichen Mittelwertes der Kraft) strenge nachgewiesen
worden, unabhängig davon, ob die Hamiltonschen kanonischen
Differentialgleichungen gültig bleiben oder nicht und dies war
gerade, was für unser Problem notwendig war.

Das Gleichgewicht der Kerne, anders gesagt: die Stationä-
rilat der Bahn, ist verwirklicht, sobald

Es wird sich ergeben, dasz K nicht in jedem Modell den
Wert e /4 d\' erreichen kann; in einigen wird sie so gar negativ.

Es braucht kaum erwähnt zu werden, dasz wir uns sofort
von dergleichen Bewegungsformen losmachen.

Ich werde daher die Reihenfolge unterbrechen, worin die
Bahnen bis jetzt besprochen wurden und die Behandlung der
Stationäritätsbedingung bei denjenigen Modellen anfangen, wo
meme Untersuchungen zum Resultat hatten, dasz sie sich
nimmer stationär machen lassen, welche Werte den Konstanten
auch beigelegt werden mögen.

I und II (Fig. 4) der rotationsfreien Bewegungen (sodasz
jetzt alle rotationsfreien Modelle den diversen For-
derungen weichen muszten) und
IV, VI, X und XII der Bahnen mit (p-Bewegung (Fig. 6). Im
folgenden werden wir diese Behauptung motivieren.

I (Fig. 4). Die Unbrauchbarkeit läszt sich für dieses Modell
nicht leicht aus der Endformel für die mittlere Kraft selber
feststellen. ^

Viel directer kommt sie ans Licht, wenn wir einmal nach
der Ableitung der Formel zurückgreifen.

Diese verdankt den nachfolgenden Gleichungen ihr Entstehen:
f^-^^m^d^ d<T d^ _ (2 m e A m e\' ^ —

Diese Gleichungen sind der auf S. 43 gegebenen Ableitung
der allgemeinen Kraftformel entnommen, indem = 0, vii = —d
und = eingesetzt wurde.

Da bei einer reellen Bewegung immer ^ 0 ist, musz
bei a = 0 fortwährend Xi ^ 0 und somit
2 m r ^ 4 m ? — ö- > 0
sein, sodasz das rechte Glied der ersten Gleichung gewisz
negativ ist.

Nach dieser Bemerkung sieht man die Unmöglichkeit eines
positiven Wertes von dAjdd (und somit von K) leicht ein.

Aus der ersten Gleichung, wo I > tZ ist, würde im Falle
eines positiven Wertes von dAldd als notwendige (aber noch
keineswegs hinreichende) Bedingung folgen, dasz

dd dd
möglich sein könnte; aber dies stöszt wieder auf den nega-
tiven Wert des rechten Gliedes in der zweiten Gleichung ab,
wo ^ d^ ist.

Es bleibt für dAjdd also nichts andres übrig als negativ
zu sein^aber dadurch ist das Urteil gerade gesprochen, denn
wenn K (= V2 dAldd) negativ ist, bedeutet dies, dasz das
Elektron während seiner Bewegung um die Kerne herum diese

auseinandertreiben würde, ohne dasz ihre gegenseitige Ab-
stoszung mitzuwirken brauchte.

Das Vorhergehende war für jeden Wert von und
gültig und bleibt also auch in Kraft, wenn = wird, d.h

die reme ^^-Bewegung (II, Fig. 4) wird niemals unsrem Zweck
entsprechen können.

Für IV (Fig. 6) ist K zwar positiv (vgl. S. 50) aber zu
klein, denn hier ist = ii^ld = 1 Ik, während bekannt ist, dasz
für dieses Modell k < Vs V 3 und also > V 3 ist, und da hier:

ist, ergibt sich, dasz die Anziehungskraft in diesem Modell
nicht ausreicht um die Abstoszung der Kerne aufzuheben.

Will man nachweisen, dasz auch die Anziehung in VI
(Fig. 6), wiewohl positiv, jedoch zu kurz fällt, so braucht
man nach der Formel für K^^ (S. 50) nur zu zeigen, dasz:

Da das linke Glied bei einer eventuellen Vergröszerung
von ^12 abnehmen wird, ist sein Maximum bei dem kleinst
möglichen und doch erlaubten Wert von gelegen, d. h
bei = 1.

Da erst dann beide Glieder einander gleichkommen, ist die
obige Ungleichheit für alle übrigen Werte von x,^ richtig.

Die asymmetrisch gelegenen Kreisbahnen führen also nur
in einem Fall zu einem stationären Modell, n.l. für x^^ = \\
und somit = l (Vgl. S. 50) oder, was auf dasselbe hinaus
läuft, wenn \\ und ml<i=± 1 ist.

Bei einem endlichen Kernenabstand müssen die zwei ersteren
Koordinaten des Elektrons sein:

1x2 = d und vii2 = ± d
also gerade diejenigen der Kerne selber.
Das Elektron beschreibt dann um einen der Kerne einen

senkrecht auf der Achse stehenden Kreis mit Radius Null,
d. h. das Elektron ist mit diesem Kerne zusammengefallen.

Noch ungeachtet dessen, dasz die Kerne selbst doch nicht
verschwindend klein sind, hat ein solches Modell für uns
natürlich keine praktische Bedeutung.

Das sich Zusammenziehen des Kreises kann dadurch ver-
mieden werden, dasz man den Kernenabstand zu gleicher
Zeit unendlich grosz nimmt.

Führt das Elektron dann eine Bewegung über endlichen
Abständen in der Nähe eines der Kerne aus, dann sind seine
Koordinaten zwar nicht rigöristisch | = cZ und = ± o5, aber
weichen von diesen verhältnismäszig so wenig ab, dasz trotzdem

In unsrem Fall führt dies zu einem Atom, wo das Elektron
einen natürlich stationären Kreis um den Kern herum beschreibt,
dessen Ebene senkrecht auf der Richtung steht, worin der
andre Kern ins Unendliche verschwunden ist.

Möge dies auch als Übergangsfall vielleicht interessant sein,
für ein lonmodell fehlt dem natürlich jeder Sinn, sodasz unsre
Schluszfolgerung nur sein kann, dasz keine der Bahnen vom
Typus VI uns dienlich sein können.

In X fällt die Anziehung auch immer zu klein aus. Der
Bemerkung auf S. 23 gemäsz gibt es unter X Bahnen, die
mit ebenso viel Recht unter XII als unter X eingeteilt werden
könnten, und welche wir daher die Limitbahnen von XII

Von diesen Bahnen aus X läszt sich schon sofort nach-
weisen, dasz die Abstoszungskraft die ObeAand behält.
Benutzen wir nämlich die Formel für K in der asymm.
^)-Bevvegung (S. 47), wo jetzt yi^ = 0 zu setzen ist, so

mtegneren diesen Differentialquotienten von bis woraus
eine Gleichung entsteht, mittels deren die obige zu beweisende
Bedingung ubergeführt werden kann in-

. ne ativ da es für x = l maximal und trotzdem negativ ist
sodasz das ganze Integral negativ sein musz. \'

Wir haben also unsren Zweck erreicht, nämlich zu zeigen
dasz die „Limitbahnen" in der Mittelebene wegen der un-
Tnnen\' " Kern-Elektron nicht stationär sein

Es wird also unsre Aufgabe sein, zu zeigen, dasz die An-
ziehungskraft bei den letzteren ebenso wenig imstande ist die
Abstoszung der Kerne auszugleichen als bei den ersteren
Bringen wir dazu die analytischen Bedingungen zuerst in
eine handlichere Form und wohl dadurch, dasz wir die Grenz-
werte Ii und I2 einführen.

Diese machen die Beziehungen darum so durchsichtig, weil
I bei einer Bewegung in der Mittelebene als der Abstand des
Elektrons zu den Kernen interpretiert werden kann

indeni das Elektron also seine Lissajouskurve zwischen den
beiden Grenzkreisen beschreibt (die den Durchschnitt der beiden
Ellipsoïde 1 = 1,, ^ = ^it der Mittelebene bilden) v\'er-
groszert und verkleinert sich der Abstand zu den Kernen
fortwahrend von bis I2 und umgekehrt.

Dasz während einer Steigung von f die horizontale Kraft-
komponente abnehmen wird, ist deutlich, nicht nur wegen der
Vergröszerung des Abstandes Kern-Elektron, sondern auch
wegen der nachteiliger gewordenen Richtung der Kraft selber.

Um nun die Grenzwerte in die obenstehenden Bedingungen
einsetzen zu können, hat man aus den S. 48 entnommenen
Gleichungen; (Vgl. die Nenner in Kip k)

Ein < Zeichen würde den labilen Bewegungen entsprochen
haben, welche zusammen die XPe Gruppe bilden.

An die Grenzkreise läszt es sich also beurteilen, ob die
zwischen denselben verlaufende Lissajousbahn stabil oder labil
sein M\'ird.

Wir erwähnten schon, dasz das Gleichheitszeichen den
Limitbahnen angehöre, und dasz diese als Bahnen vom Typus
XII aufzufassen seien.

Bei jeder Bahn in XII kann xi, zu einer gegebenen Wert
von yi2, nur zwischen 1 (ebene Hyperbel) und demjenigen
Wert X12 liegen, welcher der entsprechenden asymmetrischen
cp-Bewegung angehört und welcher sich also aus (S. 50):

berechnen läszt, weshalb Xi bei_ den Limitbahnen von XII
iyi2 = 0) nur zwischen 1 und 1/3 und li somit zwischen d
und liegen kann.

Wir sahen dasz K das Auseinandergehen der Kerne hier
d.h. bei den Limitbahnen nicht verhindern konnte.

Könnte nur noch vielleicht unter den andern Bahnen von
X eine stationäre Bewegung angetroffen werden, so müszte
die Differenz der momentanen Anziehung und Abstoszung, d.h.

eventuell stationären Bahn der innere Grenzkreis (mit Para-
meter Ii) immer mit dem inneren Grenzkreise einer der Limit-
bahnen von XII zusammenfallen würde.

Ihre oberen Grenzen würden selbstverständlich nicht zu-
sammenfallen, da die Bahnen nicht denselben Bedingungen

so ergibt sich leicht mittels einer Differentiation nach h, dasz
das rechte Glied abnimmt, wenn I2 unter konstant gelassener
Ii vergröszert wird.

Um die Gleichheit also in eine Ungleichheit überzuführen
braucht man von einem Paar Ii, I2, welches der ersteren
entspricht Ii ungeändert zu lassen aber I2 zu vermehren d.h.
möchte es in X eine stationäre Bahn geben, so würde diese
dadurch aufzufinden sein, dasz man von einer bestimmten
Limitbahn ausgeht und lediglich deren Parameter I2 vergröszert.
Es fragt sich nun, ob hierdurch die Differenz

Kann es nicht, so wird X auch niemals eine stationäre
Bahn liefern können, weil K dann immer zu kurz fällt, auch

für die Paare ii, wo die Möglichkeit einer stationairen
Bahn noch nicht im Voraus ausgeschlossen war.

Folgendermaszen kann nun nachgewiesen werden, dasz der
Wert von K — e\'^jA- d? fortwährend negativ bleibt.

Denkt man sich das Elektron in\'einem Punkt P auf der
Mittelsenklinie und um den Abstand von den Kernen
entfernt und dann plötzlich weggeschossen in eine senkrecht
zur festen Halb-ebene stehende Richtung und mit einer
gröszeren Geschwindigkeit als nötig wäre um das Elektron
einen Kreis um die Aclise herum beschreiben zu machen,
dann wird die Bahn eine Lissajouskurve, deren innerer Grenz-
kreis der Durchschnitt der Mittelebene mit dem Ellipsoid
I = ist, während der Radius des äuszeren Kreises von der
Anfangsgeschwindigkeit des Elektrons in F abhängen wird.
Wird diese gesteigert, so bedeutet dies eine Zunahme des
Impulsmomentes um die Achse, also eine Zunahme von

Diese veranlaszt eine Erweiterung des äuszeren Grenzkreises,
was leicht aus der Indexbewegung hervorgeht. Für den Index
wirkt die Zentrifugalkraft iz^ e^/r® (S. 12; r ist die Entfernung des
Elektrons von der Achse) als eine Steigkraft, indem die nach

Kehrte der Index also vorhin schon bei zurück, so wird
er jetzt wegen der Vergrösserung der Steigkraft bis h d^
Aveiter steigen.

Unser Zweck sei nun mittels dieses Bildes den Beweis zu
liefern für den fortwährend negativen Wert von K— e^ji-d^.
Im Anschluss an

wo T die halbe Periode der Indexbewegung sei, wird das
Zeichen dieser Differenz bestimmt von dem der Grösze

1 unkt unbedingt zu passieren war (S. 74), wollte die Anziehung
mcht fortwährend zu grosz oder fortwährend zu klein sein
Das erste Stück nun streckt sich von bis aus,

Seiner gröszeren Geschwindigkeit zufolge erspart das Elektron
au der ersten Strecke eine bestimmte Zeit dU, Während auch
auf der zweiten einige Zeit [d h) erübrigt wird.

Wird die Zeit, welche das dritte Stück für sich allein
erfordert, dh genannt, so ist die ganze Dauer (2\') des Steicrens
um den Betrag ^

A T>0, also dh^dh dh.
Fassen wir jetz wieder die Grösze {G) ins Auge.
Da der Index in jedem Element der ersten Strecke kürzer
verweilt wie vorhin, werden die Kerne während der ersten
ieriode dementsprechend einen geringeren Impuls nach innen
bekommen. Dies kann also schon einer der Faktoren sein für
eine Verkleinerung von [G], welche Grösze ja als das Zeit-
integral der resultierenden einwärts gerichteten Kraft umschrie-
ben werden kann.

In der zweiten und dritten Periode werden die Kerne aber
fortwahrend von einander getrieben.

Die gesamte Aufnahme auswärts gerichteter Impulse beläuft
sich m der zweiten Periode auch wieder auf etwas weniger
als früher, wégen des kürzeren Aufenthalts des Indexes in
jedem Element der zweiten Strecke.

belaufen, da die auseinandertreibende Kraft desto gröszer
ist, um so höher der Index sich befindet.

Als Dritte im Bunde kommt während der dritten Periode
noch eine Aufnahme negativer Impulse hinzu im Betrage von
mehr als:

Demnach schlieszt die Bilanz für das Zeitintegral der aus-
einandertreibenden Kraft mit einem Saldobetrag von wenig-
stens:

Dies war für das Zeitintegral der auswarts gerichteten
Kraft wirklich ein Vorteil, denn wir sahen früher, wie
dh\'^ dh dt% war, aber dann bedeutet es für die Grösze
{G) einen Verlust, da diese das Zeitintegral der einwärts
gerichteten Kraft ist.

Auch in der ersten Periode hatte diese schon einen Verlust
gelitten, sodasz unsre Schluszfolgerung ist, dasz {G) abnimmt,
wenn I2 vergröszert, aber konstant gelassen wird.

Geh^ wir demnach von einer Limitbahn von XII aus, so
bleibt K — e^/4 d^ negativ, ungeachtet der so eben besprochenen
Variation, womit also das letzte noch fehlende Glied in die
Beweisführung eingebracht worden ist, nach welcher die
Gruppe X eine stationäre Bahn zu liefern nie imstande ist.

Die Behandlung dieser Gruppe ist hiermit zum Abschlusz
geljracht \'und kommt die Reihe jetzt an XII.

XII. die asymmetrische (0 -f |)-ßewegung kann unter Bei-
behaltung der Hyperboloidkonstante >^,2 entweder in die asym-
metrische reine <^)-Bewegung (wo, wir schon auf S. 70 das

Auseinandergehen der Kerne bestätigten) oder in die asym-
metrische reine ^-Bewegung übergeführt werden.

Weil das Elektron bei der letzteren entlang einer Hyperbel
für immer ins Unendliche fliegt, ist die mittlere Anziehungs-
kraft hier Null, sodasz der Kernenabstand sich auch im diesem
zweiten äuszersten Fall vergröszern wird.

Wie es aber mit der asymmetrischen (0 D-Bewegung
(XII) selber beschaffen ist, läszt sich demnach wahrscheinlich
wohl vorhersehen.

Trotzdem ist es mir nicht gelungen das Auseinandergehen
der Kerne für diesen Fall unmittelbar_nachzuweisen wes-
halb ich mir die Mühe gegeben habe K für einige Werte von
yi2 und — A dje^ numerisch zu berechnen.

Ai^s S. 47 geht hervor, dasz die Integranden in der Formel
für /f^ j an den Grenzen und X2 unendlich werden was
einer numerischen Berechnung sehr hinderlich ist. Zwar kann
man dem dadurch entgehen, dasz man die Integrale zu ellip-
tischen zurückführt, aber um übermäsziges Rechnen und
unnötige Genauigkeit zu vermeiden entnehmen wir den Inte-
granden lieber einfach ihre Pole mittels der Substitution-

) Nachher fand ich einen indirekten Beweis, der in Zusatz 9 wieder-
gegeben ist. Zum besseren Verständnis desselben empfiehlt es sich aber
zuerst den Abschnitt VII und namentlich die darauf folgende Bemer-
kung durchzusehen.

Dieselbe hängt von xu X2 und ab, doch da die Umkehr-
punkte auf der Hyperbel je zwei und zwei an einander ver-
bunden sind, hängt sie in letzter Instanz nur von Xi undjyi2 2 ab.

musz selbstverständlich zwischen 0 und 1 gewählt
werden, xi zwischen 1 und demjenigen Wert, bei welchem
X2 mit xi zusammenfällt. (Die äuzersten Fälle ja waren die
Hyperbel und der asymmetrisch gelegene Kreis).

Für jeden Wert von folgt diese obere Grenze für xi
im Anschlusz an S. 50 aus der Formel:

Fleben wir noch einmal die Beziehung zwischen X2 und den
zuwählenden xi und 1/12^ hervor. Mit den zwei letzteren wird
— Adje"^ bekannt und somit alle Koefificiehten der Gleichung
Xo, ,isymm. (a:) = 0 und deshalb auch deren gröszte Wurzel,
d. h. X2. (Vgl. S. 47).

Die Werte von [...], welche
einer selben Grösze von ent-
sprechen sind durch vollausge-
zeichnete Kurven verbunden.

Diese enden jedesmal in einem
Punkt, dessen Abcisse den gemein-
schaftlichen Wert von und X2
bei der asymmetrischen Kreisbahn
auf dem entsprechenden Hyperbo-
loid angibt.

Grösze [ ] den erforderlichen Wert von 0,25 nur dann
erreichen kann, wenn = 1 ist

at,on.ren Kreis als vorhin bei VI anlangen, welcher Kreis
als Mronenbahn m einem lonmodell unbrauchbar war

Etwas brauchbares liefert die asymmetrische (0 ^-Bewe-
gung XII also nicht auf. ^

Von einigen dieser negativen Resultate werden wir Gebrauch
machen um nachzuweise.n, dasz die übrigen Bahnen aus dem
Vorrat, d. h. die symmetrischen und die asymmetrischen (04-P)
Bewegungen, nebst den symm. und asymm. (0 ^
wegungen diese Bedingung wohl befriedigen können ohne
dasz wir diese noch näher auszuarbeiten brauchen. \'

Betrachten wir einmal die äuszersten Fälle, worin die svm
metrische (0 -^^Bewegung übergehen kann, wenn mani"
die Konstante des Ellij^soids, festzuhalten wünscht

Wird .bis zu Null verkleinert, so bleibt die reine ;^-Bewegun^
übrig bei welcher das Elektron die ganze Ellipse | ==

Wird . vergröszert, so hängt es v6n der Exzentricität des
Elhpsoids ab, was geschehen wird.

Kreis treib , welcher von der Mittelebene auf dieser Fläche
ausgeschnitten wird. J^iacne

von der Zentrifugalkraft kompensiert werden kann, was als
äuszersten Wert von oc denjenigen ergibt, welcher der Gleichung

Würde noch gröszer gewählt, so würde eine symmetrische
Bewegung auf dem Ellipsoid unmöglich sein und somit jede
Bewegung auf dieser Fläche, da jede Möglichkeit für eine
asymmetrische Bahn schon zuvor durch die Voraussetzung
3 ausgeschlossen war. (Fig. 6).

Der gröszfe Wert von oc ist also gelegen in der symme-
trischen ^-Bewegung und gerade in der stabilen wegen V ^/s,
(IV, Fig. 6). Für diese aber war das Auseinandergehen der
Kerne schon früher nachgewiesen. _

Da beide Grenzwerte von a; der Grosze K—e\'^l^d\'^ also
ein negatives Zeichen besorgen, müssen wir vorläufig die Antwort
auf die Frage schuldig bleiben, ob vielleicht bei zwischen-
liegenden Werten von « stationäre Bahnen möglich sind.

Dahingegen kann diese Frage wohl unmittelbar beantwortet
werden, wenn es sich handelt um Bahnen auf einem Ellipsoid
von einer Exzentricität Vi-

Bei oc = 0 hat man dann wieder mit einer Ellipsbahn zu
tun, in welcher die Kerne immer auseinandergehen, und bei
(1 —wieder mit einer Kreisbahn in der Mittel-
ebene, wo die Kerne sich wegen ä; >> i?\'\' Vi immer einwärts
bewegen.

Unterwegs müssen wir also stationären Bahnen begegnet
haben, welche der symmetrischen (0 !i)-Bewegung ange-
hörten.

Eine symmetrische Bewegung kann es dann gewisz nicht
mehr geben, denn im oberen Punkt des Ellipsoids würde
die Anziehung nicht mehr im Stande sein der immer wach-
senden Zentrifugalkraft zu widerstehen.

Jedoch ist eine asymmetrische Bewegung jetzt, d. h. bei
1/4 > Vs V 3, nicht mehr ausgeschlossen. (Vgl. III, Fig. 6).

Zur Erläuterung betrachten wir den Übergang von I über
V und III nach VI und richten insbesondre unsre Aufmerk-
samkeit auf die Schwingu\'ngszeit des Indexes Diese beträgt in I:

wo und die Konstanten derjenigen Hyperbeln sind,
die durch die Enden des Weges angebracht werden können,
wahrend gesetzt worden ist.

Auf S. 46 findet man diesen Ausdruck als Nenner in der
Formel für ausgeschrieben. Erwägen wir, dasz hier

Der Zusammenhang zwischen der früher eingeführten y ~ -^jd
und der jetzt introduzierten ist ganz einfach; nämlich:

So lange die (45 ;^)-ßewegung noch symmetrisch verläuft
musz der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen sich schreiben
lassen als:

— und ^!i sind jetzt die alleinigen Umkehrwerte.
Die Formel für T lautet sodann:

V übergeht, ist es einleuchtend, dasz eher als zi\'^ zu
Null herabsinken wird. T wird jetzt aber enorm zunehmen
und bei Z2 = 0 sogar unendlich werden, da s = 0 den Inte-
grand dann unendlich grosz macht von der ersten Ordnung.

Hieraus erhellt, dasz es unendlich lange dauert, bevor der
Index in V, wo x^/i = 2(1— k^)^ und somit tatsächlich
«2 = 0 ist, entlang der punktierten Linie die Symmetriebene
erreicht hat. Auf dem letzten Teil seines Weges kriecht er
mit der Geschwindigkeit Null weiter, weshalb die Bahn des
Elektrons sich erst nach unendlich vielen Windungen um
die Achse dem Kreise in der Mittelebene anschmiegt.

Für die mittlere Kraft hat es aber den Anschein, ob das
Elektron fortwährend den Kreis selber beschreibt, weshalb
früher mit Re^t erwähnt worden ist, dasz bei diesem Werte
von . immer K — e^/4 rf^ > 0 sei, so bald Ä; > 0,25. Wählt
man . noch gröszer, dann geht die y-Kurve (d), welche für

V zur Grundlage diente, über in (e), Fig. 3, und entsteht die
asymmetrische ((p ;^)-Bewegung.

Ihre Grenzfälle werden demnach von der eben besprochenen
aperiodischen Bewegung (VO und der asymmetrischen reinen
d)-Bewegung (VI) gebildet.

B^einer Exzentricität i?\' 0,25 war im ersteren Grenz-
fall K—und im letzteren, wie übrigens in jeder
asymmetrischen Kreisbahn, war diese Differenz negativ.

Hat man sich von der Möglichkeit stationärer symmetrischer
und asymmetrischer (0 f >;)-Bewegungen überzeugt, so wird
es deutlich sein, dasz auch die symm. und asymm. (c£> -j-^-^vj)-
Bewegungen stationäre Bahnen geben können, da die Index-
bewegung in den behandelten {cp -f- >})-Bahnen mittels der
Hinzufügung einer kleinen ^-Schwingung nur weinig beeinfluszt
und die mittlere Kraft somit kaum abgeändert werden kann.

Für diese vier Bahntypen, die bisher alle Bedingungen be-
friedigen konnten, betrachten wir die Stationäritäts-bedingung
im folgenden Abschnitt etwas näher.

Nähere Betrachtung der Stationäritätsbedingung für die
übrig gebliebenen Bewegungen.

Xi2 = 1 /k und y — zjk
eingesetzt worden ist, so kann die Gleichung für das Gleich-
gewicht der Kerne im Falle einer

wo Zi^ und - 1^221 die Wiirzeln der nachfolgenden biqua-
dratischen Gleichung sind:

denselben abgeleitet werden, lassen sich wesentlich vereinfachen,
wenn statt der konstanten Grösze a^/l eine andre gleichfalls kon-
stante Grösze a eingeführt wird, welche wir definieren mittels:

Zur Deutung von a bemerken wir, dasz die Bahn in der
Mittelebene ein Kreis ist, sobald (S. 81)

Offenbar verhalten das Rotationsmoment (S. 7) in der ent-
sprechenden Bahn und das Moment in der eben genannten
Kreisbahn sich wie \\/a :\\.

Für eine asymmetrische Bahn ist a > 1, während ihre obere
Grenze aus dem Moment bei der asymmetrischen Kreisbahn
zu ermitteln ist. Hier ist die Zentrifugalkraft wieder der nach
der Achse gerichteten Kraftkomponente gleich; heisze r der
Radius des Kreises, so musz also in Fig. 7, S. 51:

Durch Einsetzung dieser Grösze « werden die Stationäritäts-
dedingungen umgestaltet in
(für die symm. Bahn):

wo im ersteren Fall ^^^ und - | ^^^ | und im letzteren Fall
und die Wurzeln sind von:

Die obigen Integrale können zu elliptischen Integralen erster
und zweiter Gattung zurückgeführt werden.
Mittels der Substitution z = erhält man dann:

ist diejenige zweiter Gattung mit demselben Para-
meter und derselben Amplitude.

wo Zi" und — 1I die Wurzeln waren ■ von Z* (z^) = o
(s. oben) unter der Beschränkung 0<a<l.

Da die Gleichung Z\'^ = 0 nur aus den Gröszen k und a
aufgebaut ist, legen die Stationäritätsbedingungen eine Beziehung
zwischen a und k fest, die wir graphisch durch eine Kurve
abbilden werden, nachdem wir die Gleichungen für mehrere
Werte von k numerisch gelöst haben.
Dies braucht nur zu geschehen für

da wir nachweisen werden, dasz bei kleineren Exzentricitäten
unmöglich stationäre Bahnen bestehen können.

(Diese Frage bot sich bereits auf S. 81 dar, aber blieb
dort ungelöst, weil der erforderliche Beweisgrund sich damals
dem Gedankengang weniger gut anpaszte.)

links von der Mittelsenk-
linie alle Ellipsen mit einer
Exzentricität zwischen 1
und 0,625, berührt die-
jenige mit 0,625, über-
schreitet die Mittelsenkhnie
im Schnittpunkt mit der

An der unteren Seite von l ist die Anziehung immer zu
grosz, an der oberen Seite fortwährend zu Iclein. Eine ana-
loge Kurve, nämlich r, bezieht sich auf den rechten Kern.

Leicht geht hervor, dasz die Kerne immer auseinandergehen
werden, wenn das Elektron eine Bahn beschreibt, die asym-
metrisch auf einem Ellipsoid liegt, dessen Exzentrizität k <
0,25 ist.

Ist sie z. B. auf der linken Hälfte gelegen, so wird der
rechte Kern fortwährend zu schwach nach links gezogen,
sodasz das Zeitmittel der Kraft auf diesen Kern und somit
auch dasjenige für den andren Kern (S. 38) der Abstoszung
niemals gleichkommen kann.

Weniger augenfällig ist, dasz auch bei den symmetrischen
Bahnen auf solchen Ellipsoiden (mit k < 0,25) die Kerne
auseindergehen, denn hier ist die Anziehungskracht auf jeden
der Kerne bald zu schwach, bald zu stark.

Passiert der Index aber den Punkt so musz er mit
derselben Geschwindigkeit auch den Punkt — passieren.
Die Summe der horizontalen auf den linken Kern ausgeübten
Kraftkomponenten beträgt

und ist immer kleiner als zweimal die Abstoszung, also kleiner
als Jene Summe besitzt nämlich bei konstanter f

Jedoch ist das Maximum nicht hinreichend um das Zweifache
der Abstoszung gleichzukommen. (Hierfür würde 0,25

Aus dem Obigen geht also hervor, dasz die Kerne im
Durchschnitt mehr aus einander als zu einander getrieben
werden, weshalb wir behaupten konnten, dasz es für/c < ^^ 0,25
weder eine symm., noch eine asymm. stationäre Bewegung
gebe und \' dasz man zur Berechnung der Grösze a aus den
Stationäritätsgleichungen der Exzentricität k nur Werte zwischen
1 und 0,25 zu geben brauche.

In der Tabelle 1 sind die Ergebnisse dieser Rechenarbeit
für die symm. ((p ;^)-Bewegiing untergebracht, während die
Tabelle 2 sich auf die asymm. ((p i5)-Bewegung bezieht.

Mittels der gefundenen Werte für zi, im Falle einer sym-
metrischen, und zi mit 22 im Falle einer asymmetrischen
Bewegung kann man auf den entsprechenden Ellipsen die
Bogen angeben, welche der Index kraft der Stationäritäts-
bedingungen zu beschreiben hat.

Ersichtlich konnte der Wert a = 1 sowohl bei der symm.
als bei der asymm. Bewegung nur für Ä: = 0,25 erreicht
werden, denn nur dann waren die Kerne bei der reinen
0-Bewegung im Gleichgewicht.

Eigentlich handelte es sich hier nicht um eine reine 0-Bewe-
gung sondern um eine (cp ;^)-Bewegung, deren ^^-Schwingung
nur einmal und in einer Richtung stattfand. Hierdurch ver-
steht es sich dasz, bei a = 1 in Übereinstimmung mit den
Tabellen, dajdk = o sein wird.

Die mindeste Abänderung von a ist hier ja imstande eine
plötzliche Hin- und her-Bewegung des Indexes hervorzurufen,
was mit einer Abänderung der mittleren Anziehung verbunden /
ist, die in Bezug auf da grosz sein wird.

Wird nun ein Ellipsoid mit einer Exzentricität k = ^ 0.25
dk betrachtet, so übertrifft die Anziehungskraft bei der
reinen 0-Bewegung (a = 1) die Abstoszung um einen Betrag,
der mit dk proportional ist.

Um die Kerne also im Gleichgewicht zu halten ist eine
Abänderung von a erforderlich, welche in Bezug auf die Kraft-
differenz klein ist, also da^dk, doch dies is gleichbedeutend
damit, dasz bei 0,25, da\\dk = o sein wird.

Weiter bemerken wir, dasz die asymm. stationäre (4)
Beweging bei Ä; = 1 in die asymm. 0-Bewegung übergeht,
wofür wir auf S. 85 ableiteten:

Was jetzt das gesuchte lonmodell anbelangt, so bewerken
wir, dasz dasselbe durch die Stationäritätsbedingung noch
keineswegs bestimmt wird.

Erstens kanh k noch ganz beliebig zwischen 1 und 0,25
gewählt werden; a läszt sich dann mittels der den Tabellen
1 und 2 entsprechenden Kurven finden, sodasz die Wurzeln

zi^ und der Gleichung Z* {z\'^) =0 bekannt werden und
mittels dieser auch die Form des Modells.

Weiter steht uns noch die Grösze des Modells mittels d
zur Verfügung, sodasz es im ganzen für die stationäre (Ö t^)-Be-
wegungen noch zwei Freiheitsgrade gibt.

Im folgenden Abschnitt werden wir erklären, wie die Quanten-
theorie über dieselben verfügt.

Weniger erfolgreich wird eine nähere Betrachtung der Sta-
tionäritätsbedingung für die allgemeinen Bewegungen.
Diese legt nach der Formel für ^^ auf S. 43 eine

Mit dieser Bedingung ist demnach zunächst nicht viel aus-
zurichten; trotzdem erwähnten wir sie hier um zu betonen,
dasz zwei jener Gröszen beliebig gewählt werden können.
Die Stationäritätsgleichung ermittelt uns dann die dritte und
dadurch werden die Wurzeln von X(x) = 0 und F(y) = 0,
d.h. die Grenzen und yt bekannt, welche die Form

Da man die Grösze des Modells noch mittels c? in der Hand
hat, gibt es im ganzen unter den allgemeinen Go^ stationäre
Bahnen.

Für die drei erforderlichen Nebenbedingungen sorgt die
Quantentheorie abermals.

Die Quanteilbedingungen. Die Kombination derselben mit
der Stationäritätsbedingung im Falle einer
(cp ;5)-Beweguug.

Nach Bohr und Sommerfeld kommen nur diejenigen statio-
nären Bahnen vor, wo die Periodicitätsmodüle der Wirkung
ganze Vielfache der Plankschen Konstante h sind.

Dies bedeutet für den allgemeinen Fall, dasz die auf S.41
erwähnten Gröszen /den folgenden Gleichungen zu entsprechen
haben:

h = Hl h, h = 112. h, Js = «3 h,
welche Bedingungen auch umgerechnet werden können zu

In beiden Fällen reicht ihre Zahl gerade aus um die mög-
lichen Gestalten des Ions endgültig festzulegen, vorausgesetzt,

Ehe wir uns zur Bewirkung dieser Quantenbedingungen
wenden werden, wollen wir zuerst einige allgemeinen Sätze
über die totale Energie eines lonmodelles beweisen, wenn
dieses nur lediglich stationär zu sein braucht.
Der erste lautet:

Die totale Energie jedes beliebigen stationären lonmodells
ist immer gröszer als die Energie eines Atommodells, wo das
Elektron einen Kreis um den Kern herum beschreibt und zwar
mit demselben Moment, mit dem es sich im Ion um die
Achse herum bewog.
Und der letzte:

Die totale Energie eines symmetrischen, doch übrigens be-
liebigen, stationären lonmodells ist immer gröszer als die
Energie des stationären lonmodells, wo das Elektron mit dem -
selben Rotationsmoment um die Achse einen Kreis in der

Der erste Satz ist die unmittelbare Folge des bekannten
Theorems, dasz das Zeitmittel der kinetischen Energie in
einer stationären Bewegung, wo es nur Goulombsche Felder
gibt, gleich der Hälfte ist des Zeitmittels der potentiellen
Energie mit entgegengesetztem Zeichen, formuliert als:
Kin. En. = — V2 Pot. En.

Totale En. = — Kin. En.
Wegen des essentiell positiven Charakters der kinetischen
Energie kann die Gesamtenergie also nur negativ sein.

Wird sich also später ein stationäres lonmodell mit totaler
Energie Null als möglich erweisen — wiewohl es ein entartetes
und unwesentliches Ion sein wird — dann wird dieses ge-
wisz ein Maximum an Energie besitzen.

Der zweite und dritte Satz stehen ebenso wie der erste
ganz auszerhalb der Quantentheorie.

Da ihr Beweis sich auf Eigenschaften der Module/gründen
wird, rnusz zuvor festgestellt werden, dasz diese noch nicht die
vorhin erwähnten diskreten Werte mh,... u.s.w. zuhaben
brauchen, sodasz n hier jeden positiven Wert vorstellen kann.

Da die Kerne in einem stationären lonmodell in Ruhe sind
stellt die Gesamtenergie sich hier nur zusammen aus der ge-
genseitige potentiellen Energie der Kerne und aus A (der
Summe der kinetischen Energie des Elektrons und dessen
potentieller Energie in Bezug auf die Kerne).

Ist die Bewegung dahingegen nicht stationär, dann denken
wir uns die Kerne von fiktiven Kräften festgehalten. Auch
in diesem Fall kann man noch die oben definierte Grösze E
betrachten, die dann nicht mehr die Rolle der Gesamtenergie
erfüllt, da für diese noch die potentielle Energie der fiktiven
Kräfte hinzugenommen werden müszte.

Berechnen wir nun die Grösze E définitionsgemasz für alle
dergleichen Modelle, welche also entweder aus eigner Natur
stationär, oder auf der beschriebenen Weise stationär gemacht
worden sind, und können wir dann nachweisen, dasz der
kleinste Wert von E trotz dieser Erweiterung doch derjenige
ist, welcher im Satze erwähnt wurde, so wird die zweite Be-
hauptung hiermit bewiesen sein.

Solcherweise aufgefaszt ist die Grösze E eine Funktion
von vier unabhängigen Variablen, da auch sämtlich oo "
Modelle mit festgehaltenen Kernen denkbar sind.

Betrachten^ wir E nun als Funktion von d, m, n^ und n^,
und fragen wir nach dem Zeichen der partiellen Differential-

Für bedeutet dies, dasz « ungeändert bleiben musz; na
kann nur dann konstant bleiben, wenn Ad\\e^ und (rj^me^d
beide zu- oder beide abnehmen und überdies hat die Än-
derung von \'Adje^ in absolutem Sinne diejenige von (rj^tne^d
zu übertreffen, da die erstere Grösze mit y^ « 1) multipliziert
wird. (S. 92).

In der Formel für aber befindet A dje^ sich kraft ihres
Factors der günstigeren Lage und wenn ihre

Variation obendrein noch diejenige von cr/2m e^ d übertrifft, so
ist dies um so mehr ein Grund, weshalb n, sich mit Adje^
in einer selben Richtung änderen wird, sodasz i^Aßm >0
und also auch ^El^ih > 0 sein wird.

Damit ni hier konstant bleiben könne, müssen Ad/e^ und
sich wieder in gleichem Sinne ändern, aber die
erstere wegen ihres Factors (< 1) jetzt in geringerem Masze
als die letztere,

Da A dle^ in der Formel für nz zum Überflusse noch mit
j/®«l) multipliziert wird, erhellt hieraus, dasz «2 sich immer
nach <r\'2me^d richten wird, doch weil deren Variation im
Zeichen mit Ad/e^ übereinstimmte,, wird schlieszlich:

Tfa.\'^Ej^in und c^Ej^nz beide positiv erschienen, wird E
bei einem gegebenen Kernenabstand und einem bestimmten
Rotationsmoment zufolge fortwährend abnehmender m und n^
immer abnehmen um schlieszlich bei ni — «2 — 0 ihren
Minimalwert zu erreichen.

Wir kommen auf diese Weise wieder an bei der reinen
cJ)-Bewegung und gerade bei der stabilen 0-ßewegung da
lediglich diese mit ganz verschwindenden Quantenzahlen
und Hz erreicht werden kann. Bei der labilen (J)-Bewegung
ist ja Hl zwar Null aber 712 nicht, da «2 h gerade derjenige
Teil der Wirkung ist, der zu dem „Anlauf zur 0-ßewegung
korrespondiert oder, will man lieber, zu dem Ausfall, den das

Elektron macht, wenn es mit Beibehaltung seines Rotations-
momenls aus seiner Kreisbahn fällt.

Nun ist bei gegebenem Kernenabstand und gegebenem
Moment nur eine stabile ^-Bewegung möglich.

Bei einem vorgeschriebenen Kernenabstand ja bilden die
Punkte, wo der Index sich bei den verschiedenen 0-Bewegungen
aufstellt, eine Kurve, die in Fig. 12 wiedergegeben ist.

M.Vj Gesamtheit aller (^-Bewegungen in der Rich-
tung des Pfeilchens durchläuft.

Um nun bei einem vorgeschriebenen Moment den über-
haupt kleinsten Wert von E aufzufinden, haben wir d nach
einander allerlei Werte beizulegen, und bei diesen jedesmal
die einzige stabile CD-Bewegung zu betrachten, die mit dem
fraglichen Moment versehen ist.

Da für alle diese Kreisbahnen das Moment um die Achse
und also auch «3 gemeinschaftlich ist (während m und n^
auch für alle ähnlich waren, nämlich = 0) können diese Be-
wegungen also adiabatisch aus einander abgeleitet werden.

Bereits wurde nachgewiesen, dasz die Kerne bei jeder sta-
bilen <i)-Bewegung in der Mittelebene und bei jeder asym-
metrischen 0-Bewegung (ausgenommen bei k = \\) auseinander
getrieben werden.

Führt man derartige ^-Bewegungen nun immer auf solch
eine Weise in einander über, dasz der Kernenabstand ver-
gröszert wird, dann werden diese Kräfte auf die Kerne immer
Arbeit leisten, welche als kinetische Energie der Kerne
erscheinen wird.

Denkt man sich diese Arbeit auf irgend eine Weise benutzt,
so musz die übrige Energie, und das ist gerade E, wegen
der Erhaltung der Energie kleiner geworden sein. Man kann
es auch anders einkleiden:

Es wurde nachgewiesen, da^ die einwärts gerichtete mittlere
Kraft auf die Kerne beträgt: it = V2 dA\\dd, welcher Diffe-
rentialquotient adiabatisch zu bestimmen war.

Durch eine Vergröszerung des Kernenabstands nimmt E in
solchen Bewegungen also ab und ist demnach am kleinsten,
wenn die Kerne unendlich weit von einander entfernt sind.
Das Elektron beschreibt dann einen Kreis um einen der Kerne
und in einer Ebene, senkrecht zu der Richtung, worin der
andere Kern verschwunden ist, während das Rotationsmoment
den gegebenen Wert besitzt. Diese Bewegung ist selbstver-
ständlich stationär.

Von einem symmetrischen lonmodell mit festgehaltenen
Kernen ausgehend, wo der Symmetrie wegen cr^a^e-m ist,
(Fig. 3) müssen wir beim Anbringen von Änderungen vor allem
dafür Sorge tragen, dasz die eben erwähnte Ungleichheit
gültig bleibe.

Hat das Modell ursprünglich die Modüle rn h, n^ Ii, na h,
so kann man «1 mittels einer Abnahme von A d\\e^ bis auf
Null herunterbringen. Da dies mit einer Steigung der Z-Kurve
Hand in Hand geht, können wir von der Erhaltung der Sym-
metrie überzeugt sein; n^ ist aber zugenommen. Bei einem
gegebenen Kernenabstand und einem gegebenen Rotations-
moment musz das symmetrische Modell mit dem kleinsten
Wert für E also unter denjenigen gesucht werden, wo das
Elektron eine (0 vj)-Bewegung ausführt.

Unter diesen wird der Minimal wert von E wegen ^Eßn^\'^O
dort gefunden werden, wo «2 minimal ist.

Wir salien S. 95, dasz die Änderung von «2 im Falle einer kon-
stanten iH in Richtung immer derjenigen von cr/S m e® d folgte.

Will man bei konstanter ni (in casu m = 0) «2 verkleinern,
so musz (X demnach vermindert werden.

Dies läszt sich fortsetzen bis (t dem konstant gebliebenen
Wert a.^ e" m gleich geworden ist, da wir sonst die Symmetrie
preiszugeben hätten.

Nun ist also der kleinste Wert von E erreicht worden, der
mit dem gegebenen Kernenabstand und dem gegebenen Mo-
ment in einem symmetrischen Modell vereinbar ist.

Wir hörten auf bei (t= m, während m ■■= 0 war, d. h.
bei einer stabilen. (^-Bewegung in der Mittelebene, so n^ zu-
gleicherzeit verschwand, oder (wenn «2 > 0 blieb) bei einer
einseitig verlaufenden Bewegung, die in eine labile c^)-Bewegung
in der Mittelebene ausläuft.

Für die Grösze von E tut es wenig zur Sache mit welchem
Fall man zu tun hat, da E während des „Anlaufes" doch
ebenso grosz ist wie später in der Kreisbewegung.

Um also zu sehen bei welchem symmetrischen Modell, mit
einem von vornherein festgestellten Moment; E ihr absolutes
Minimum erreichen wird, musz man d keine Beschränkung mehr
auferlegen, sondern bei verschiedenen Werten von d die
Bewegungen in der Mittelebene mit einander vergleichen, wenn
diese mit dem gegebenem Moment versehen sind.

Da diese Modelle sämtlich wieder adiabatisch aus einander
abgeleitet werden können, werden wir auf die Arbeit acht
geben, die bei einem derartigen IJbergang geleistet wird.

Hat das Ellipsoid, das durch den Kreis angebracht werden
kann und die Kerne zu Foci hat, eine Exzentricität k < 0,25,
dann werden die Kerne auseinandergetrieben, ist A; > i?" 0,25,
dann geben sie der einwärts gerichteten Kraft Gehör. Nur bei
i?-\' 0,25 ist die Kraft auf die Kerne nihil und die 0-Be-
wegung von sich selbst aus schon stationär.

Verlangt man also ein lonmodell mit einer symmetrisch bei
0,25 gelegenen Kreisbahn umzubilden in das stationäre
bei k = 0,25, so ist der Kernenabstand zu vergröszern, zu
welchem Vorgang die Kernesich gerade neigten, (Letzteres auch
für k > 0,25). Während all dieser Übergänge musz also
abnehmen, sodasz der stationären reinen 0-Bewegung die
Eigenschaft zukommt ein bestimmtes Rotationsmomept mit dem
überhaupt kleinsten Wert von E verwirklichen zu können.

Betrachtet man nur stationäre Bewegungen, so ist ein Satz
bezüglich E im Wesen auch ein Satz bezüglich der totalen
Energie, sodasz mit dem Obigen der dritte auf S. 93 erwähnte
Satz bewiesen ist.

Nach dieser Abschweifung nehmen wir die Behandlung der
Quantenbedingungen wieder auf und betrachten nun insbesondre
diejenigen für die (cp \\^)-Bewegungen, nachdem sie gebracht
sind in die Form (Vgl. S. 92 und S. 84):

das Integral sich von — bis z\\ erstreckt, welche Grenzen
die einzigen Umkehrwerte sind.

Z iz^) = 0. Die Integrationsgrenzen liegen jetzt bei — und
— oder bei ^2 und ^i, doch da wir die asymmetrisch
gelegenen Indexgebiete links von der Mittelsenklinie wählten,
betrachten wir nur allein das erstere Integratiohsgebiet.

Die Quantenbedingungen lassen sich schon vereinfachen,
wenn der Radius ro des ersten Bohrsctien Kreises im Wasser-
stoffatom eingeführt wird, dessen Grösze bestimmt wird aus:

Für die Reduktion dieser Integrale sei nach den Zusätzen
10 und ] 1 verwiesen.

Im ersteren Falle waren zi^ und — | 22^ | und im letzteren
zi^ und (in abnehmender Grösze) die Wurzeln von:

Wählt man bestimmte Quantenzahlen aus, dann ruft die
Quantentheorie eine Beziehung zwischen djfo und k hervor,
was nach dem Obigen einleuchten wird.

Würden nun zu verschiedenen Werten von k zwischen 1
und 0,25 die entsprechenden Werte von djro bestimmt,
so würde man letztere Grösze mittels einer Kurve als Funktion
von k abbilden können.

Wir werden zeigen, dasz die Stationärität gleirhfalls eine
Beziehung zwischen denselben Gröszen erfordert.
Wir fanden ja, dasz eine Grösze a, definiert mit

was uns in den Stand setzen würde eine zweite Kurve mit dlr^
als Ordinate und k als Abscisse zu zeichnen, weil a aus
den Tabellen 1 und 2 numerisch als 5\'unktion von k be-
kannt ist.

Der Schnittpunkt beider Kurven würde die nötigen Angaben
bezüglich des gefragten stationären, mit den gewünschten
Quantenzahlen behafteten, lonmodells ermitteln:

Aus der Ordinate des Schnittpunktes würde nämlich die
Grösze des Kernenabstandes folgen, ausgedrückt in den Ra-
dius des ersten Bohrschen Kreises im Wasserstoffatom; die
Abscisse würde die Exzentricität des Ellipsoids angeben, auf
dem das Elektron seine Bahn beschreibt.

Diese Handlungsweise wird aber sehr weitläufig, wenn bei
mehreren Paaren Quantenzahlen nach den stationären Bewe-
gungen gefragt wird.

Zwar veranlaszt die aus der Stationäritätsbedingung ent-
standene Kurve durchaus keine Schwierigkeiten: sie kann
durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor aus derje-
nigen für ws = 1 abgeleitet werden, aber mit der auf den
Quantenbedingungen fuszenden Kurve ist es ganz anders be-
schaffen, weil djro in dieser Beziehung nicht ausschlieszlich

Das Problem musz also behender angefaszt werden, wie-
wohl viel aus dem vorstehenden benutzt werden kann.
So bleibt z. B. die Kurve:

Sie bedeutet, dasz man mit einem stationären lonmodell zu
tun hat, wo nur die 0-Bewegung gequantelt ist {na Quanten
enipfangen hat).

wählen, die aus der Forderung hervorgeht, dasz das lonmodell
auszer stationär, in seiner ^^-Bewegung gequantelt (mit n^
Quanten versehen) sein musz..

Der Schnittpunkt dieser Kurven wird sich auf ein stationäres
lonmodell beziehen, wo sowohl die v^- als die (|)-Bewegung
gequantelt ist (resp. im Betrage von na und «3 Quanten).

Zunächst dienen wir aber nachzuweisen, erstens, dasz die
auf die beschriebene Weise entstandene neue Kurve sich wirk-
lich nur auf k und djra bezieht und zweitens, dasz diese
Kurve jetzt wohl multiplikationsfähig: ist.

Die Konstruktion der zweiten Kurve beruht sowohl auf der
Stationäritätsbedingung als auf der zweiten Quantenbeziehung.

Letztere läszt sich für unsren Fall einer ungequantelten
cÖ-Bewegung aus der Formel auf S. 100 reproduzieren, wenn
hier ws^ wieder durch x^lr^ ersetzt wird, und lautet dann:

Glied dieser Gleichung auftreten (vgl. S. 100) sind jetzt nicht
m\'ehr die Wurzeln der Gleichung Z {z"^) = 0 auf S. 101 (zu
deren Anwendung man ja eine gequantelte 4)-ßewegung
voraussetzen musz) sondern die von Z {z\'^} = 0 auf S. 99.

In dieser Gleichung, und gleichfalls im rechten Glied der
obensteheriden wird die Grösze von a^ weiter von der Statio-
näritätsbedingung als Funktion von k vorgeschrieben, denn
auch diese war bei der Konstruktion der zweiten Bestimmungs-
kurve zu berücksichtigen. . \'

Wird a jetzt mittels der Stationäritätsbedingung: a^/f = 2aX
(1 — A;2)2 eliminiert, wo a die in Tabelle 1 festgelegte Funk-
tion von k bedeutet, so findet man:
d m^

Gröszen und | P können direkt aus der Tabelle 1 ent-
nommen werden für die dort gewählten Werte von k, wodurch
der Lauf der zweiten Kurve genugsam bekannt wird.

Zugleich geht aus der Formel hervor, dasz diese Kurve
sich ebenso bequem anwenden läszt wie die erstere: auch
sie kann ja durch Multiplikation aus derjenigen abgeleitet
werden, welche für die Quantenzahl 1 berechnet ist.

sich je auf ein symmetrisches Modell beziehen, dessen Quanten-
zahlen durch die Ordnungszahlen der Kurven angedeutet werden.

Die Ordinate eines solchen Schnittpunktes gibt wieder die
Grösze, die Abscisse die Form des entsprechenden Modells.
Dies was die symmetrische (0 >j)-Bewegung gilt.

Man bedient sich wieder zweier Bestimmungskurven, deren
Bedeutung die nämliche ist wie so eben, aber nun durch
andere Gleichungen dargestellt werden.
Die Gleichung der ersten lautet:

wo a jetzt diejenige Funktion von k ist, die in Tabelle -2
numerisch berechnet ist.

Die hierin (teils implicite) vorkommenden Gröszen a,
und sind nun aus der Tabelle 2 zu entnehmen.

Auch hier gibt es also wieder zwei Scharen Kurven, aus
denen wieder Form und Grösze der stationären asymmetrischen
(0 jj)-Modelle abzulesen sind.

Jedoch legt man in der Quantentheorie den Nachdruck vor
allem auf die Gesamtenergie und gibt erst in zweiter Stelle
Acht auf die Form der Modelle.

und zwei Scharen von Kurven suchen, deren Schnittpunkte
unmittelbar die totale Energie der Modelle angibt. Hierzu
machen wir Gebrauch von den gefundenen Formeln für djro.

Die erstere Kurve wird die totale Energie eines stationären
Modells angeben, das nur ein gequanteltes Rotationsmoment
besitzt, während seine j^-Bewegung beliebig bleibt, die letztere
die Energie eines stationären Modells, dessen i^-Bewegung
lediglich gequantelt ist.

Da beide Kurven sich auf stationäre Bewegungen zu be-
ziehen haben, kan für die totale Energie geschrieben werden:

Wird nun d durch den Ausdruck (1) resp. (3) ersetzt, so
erhält man hier die totale Energie (Äs) eines symmetrischen,
resp. asymmetrischen stationären {(p •^)-Modells mit gequan-
telter 0-Bewegung.
Bedenkt man, dasz:

wenn N die Rydbergsche Konstante ist (beide Glieder stellen
die totale Energie eines unangeregten Bohrschen Wasserstoff-
atoms dar), so findet man:

Wird d in der Formel für E mittels (2) resp. (4) eliminiert,
so läszt sich die totale Energie (7^2) eines symmetrisclien resp.
asymm. stationären ((p ;^)-Modells mit gequantelter vj-Bewegung
folgendermaszen ausdrücken:

mit a und anverwandten Gröszen aus der Tabelle 1, und
Asymm. = _ A (j „ p) /j ^ „ [Asymm.]^ = - ^ 02

mit Hinweis auf Tabelle 2 für die benötigten Angaben.
Also haben wir jetzt vier Funktionen von k kennen gelernt:

Bezüglich der Ausdrücke [Symm.] und [Asymm.] bemerken
wir noch, dasz dieselben ursprünglich introduziert wurden
durch:

sodasz sie in einander übergehen, wenn z^ = 0 wird, d. ii.
wenn die Bewegung im Begriff steht von symmetrisch asym-
metrisch zu werden oder umgekehrt.

Werden die vier Funktionen C jetzt graphisch abgetragen,
dann liefern Cs^y"""- und nach Multiplikation mit

der Energie eines stationären symmetrischen lonmodells mit
Quantenzahlen m und «3, während und mit.

sich zu demselben Zweck in Bezug auf das asymmetrische
lonmodell anwenden lassen. Wir nennen sie C3- und Ca-Kurven.

Wird es nun derart eingerichtet, dasz alle Kurven in eine
Figur vereinigt werden, aber so, dasz die rechte Hälfte sich
nur auf die symmetrischen und die linke Hälfte sich auf die
asymmetrischen Modelle bezieht — z. B. durch eine Einteilung
der Abscissenachse wie in Fig. 13 — so wird eine Cs-Kurve
über ihre ganze Länge stetig sein, da die a-Funktion konti-
nuierlich von Tabelle 1 in Tabelle 2 übergeht.

Hingegen wird eine C2-Kurve aus zwei von einander ge-
trennten Stücken bestehen.

Bei Je — 0,25 erforderte das Gleichgewicht der Kerne ja
eine kreisförmige Bewegung in der Mittelebene, welche sich
aber als labil erwies, wo also zwar aber Zi^^O

Geht eine symm. ((p -f- >5)-Bewegung zufolge einer Abänderung
der Konstanten in eine asymmetrische über, so wird der
Wirkungsmodul für >) plötzlich halbiert.

Derselbe ist ja ein Integral, das entlang der Bahn des Indexes
einmal hin und einmal zurück zu erstrecken ist; doch dieser
Weg bricht plötzlich gerade in der Mitte entzwei, auf einem
welcher Stücke der Index zurück bleibt.

In Fig. 13 wird also nur dann Anschlusz bekommen werden,
wenn die Quantenzahlen im symmetrischen und im asymme-
trischen Modell sich zu einander verhalten wie 2:1.

auch gestattet sei für die asymmetiischen Bewegungen auch^
halbe Quantenzahlen einzuführen. Hierzu fehlt aber jeder
Grund.

Alan würde sich auf die Adiabatenhypothese von Ehrenfest
berufen können, nach der jede Bewegung, die adiabatisch-
mechanisch aus einer richtig gequantelten Bewegung entsteht,
wieder richtig gequantelt sei, aber diese darf nie bei einem
plöhlichen Übergang angewandt werden.

Überdies würde man noch in Konflikt geraten mit der
Quantelung im Starkeffekt. Hier doch hat man auch mit
einem Zweizentrenproblem zu tun: einer der Kerne ist sozu-
sagen unendlich weit entfernt und zugleicherzeit unendlich
stark aufgeladen worden. Von diesem Standpunkt aus betrachtet,
führt das Elektron hier auch eine asj^mmetrische Bewegung
aus. Da die elliptischen Koordinaten hierbei in die parabo-
lischen übergehen, welche Epstein in- seiner Erklärung des
Starkeffekts benutzt hat, würden halbe Quanten in unsrem
Problem notwendig zur Existenz halber Quanten im Starkefifect
führen, welche letzteren aber bekanntlich fehlen.

Einzelheiten deutlicher hervorheben zu können, haben wir
die Bestimmungskurven in Fig. 13 nicht in der wahren Pro-
portion gezeichnet aber vielmehr eine schematische Abbildung
bevorzugt.

Hinsichtlich einer Cs-Kurve bemerken wir, dasz dieselbe auf
der linken Hälfte (also für ein asymmetrisches Modell) ein ab-
solutes Maximum zeigt, von hieraus wieder ein Minimum
passiert um bei k = 0,25 ein relatives Maximum zu erreichen.
Jetzt tritt sie ins Gebiet der symmetrischen Modelle hinein
und endet bei ä;=1, wo sie die /c-Achse berührt.

so kann der Verlauf dieser Kurve leicht an der Hand der auf
S. 93 erwähnten Sätze erklärt werden.

Eine Ca-Kurve ist ja berechnet für eine konstant bleibende
«3, d. h. für ein konstantes Rotationsmoment, eine Tatsache,
die eben in den genannten Sätzen vorausgesetzt wurde.

Das linke Ende einer ft-Kurve nun bezieht sich auf die
Energie — Nhjns\'^ eines entarteten lonmodells, das in ein
Bohrsches Atom und einen unendlich weit entfernten Kern
auseinandergefallen ist.

Bei k — i kann ein Modell nur dann mit einer Ö-Bewegung
behaftet sein, wenn der Kernenabstand unendlich ist, sodasz
das Elektron sich auf jedem Paraboloid bewegen kann, das
einen der Kerne (den im Endlichen gebliebenen) zum Fokus
und die Verbindungslinie der Kerne zur Achse besitzt.

Bewegt das Elektron sich nun fortwährend in dem Kreise,
der auf dem Paraboloid von derjenigen Ebene ausgeschnitten
wird, die senkrecht gegen die Achse und durch den Kern an-
gebracht ist, so hat man mit der stationären asymmetrischen
0-Bewegung zu tun, deren Energie — Nhjm\'^ beträgt und
welche unter allen lonmodellen mit dem nämlichen Moment
die kleinste Energie erforderte. (S. 93, zweiter Satz.)

den Feldern geschnitten wird, gelangt man in den Fall eines
stationären Modells mit einer (labilen) cJ)-Bewegung in der
Mittelebene, das unter allen symmetrischen Modellen mit dem
nämlichen Moment die kleinste Energie besasz. (3er Satz, S. 93.)

Dem Verlauf der Kurve nach musz die Energie dieser cp-
Bewegung auch bezüglich der benachbarten stationären asym-
metrischen Modelle ein Minimum gewesen sein. Auch dies
stimmt völlig mit unsrem früheren Befinden überein, da das
aus der Stationäritätsgleichung abgeleitete Differentialquotient
d aid k bei 0,25 sowohl für die symmetrischen als für die
asymmetrischen Bewegungen Null war (S. 90), weshalb Gä an
beiden Seiten der Teilungslinie und in deren Nähe für gleiche
Werte von k auch den nämlichen Wert haben musz.

Dasz die Cs-Kurve mit ihrem rechten Ende die A-Achse
berühren musz, geht analytisch unmittelbar aus dem Faktor
(1 — hervor. (Vgl. überdies den ersten Satz, S. 93.)

Schon früher betonten wir, dasz, wenn die totale Energie
Null geworden ist, gewisz ein absolutes Maximum in Energie
(also ein absolutes Minimum von C) erreicht sein müsse. In
welchem Modelle dies aber stattfinden konnte, wurde damals
in der Mitte gelassen.

Da es später in Erwägung gezogen wird, ob ein stationäres
lonmodell mit verschwindender Energie überhaupt möghch
ist, so wird es von Belang sein zu untersuchen, welchem
Modell wir hier begegnet haben.

Soll nun irgend eine symmetrische (cp -f- >^)-Bewegung bei
k = 1 stattfinden, dann denke man sich auf einem langgereckten
Ellipsoid eine ähnliche Ellipse von einer Ebene ausgeschnitten,
die durch einen der Kerne angebracht ist und jetzt solch
einen äuszerst kleinen Winkel gegen die Achse bildet, dasz
auch die andre Hälfte des Ellipsoids durchschnitten wird.

Je gröszer jetzt der Kernenabstand ist, mit desto mehr
Recht kann behauptet werden, dasz die Bahn des Elektrons
mit dieser Durchschnittskurve zusammenfällt, und eine Parabel
wird mit dem im .Endlichen gebliebenen Kern zum Fokus.

Aber aus dem Zweikörperproblem ist bekannt, dasz die
Bewegung längs einer Parabel eine totale Energie Null erfordert
und dasz das Zeitmittel der Anziehung auf jeden der Körper
Null ist, sodasz ein derartig entartetes lonmodell eine ver-
schwindend kleine Energie besitzt und doch zugleich stationär
genannt werden darf.

Damit das Rotationsmoment um die Achse seinen erforderlichen
Wert nshl^TT beibehalte, trotzdem die Bahnebene einen immer
kleineren Winkel gegen die Achse bildet, musz das Rotations-
moment in der Bahnebene selber immer gröszer gewählt
werden. Eine einfache Berechnung lehrt, dasz der Abstand
Scheitelpunkt-Brennpunkt vergröszert aber doch immer klein
in Bezug auf den Kernenabstand bleiben musz.

Es wird also ein Problem von Grenzübergängen und aus
dem Verlauf der Cg-Kurve erkennt man, dasz solch ein Grenz-
übergang in richtiger Weise zu vollziehen ist.

Alsdann entdeckt man aber, dasz dieses lonmodell mit Energie
Null nur auf einen bestimmten Stand der drei Bestandteile
hinausläuft, welche alle ihrer Geschwindigkeit beraubt unend-
lich Aveit von einander entfernt sind.

Von einer Ca-Kurve läszt sich der mechanische Hintergrund
nicht leicht auffinden. Sie beruht vielmehr auf numerischen
Berechnungen. Nur das Berühren der /c-Achse läszt sich un-
mittelbar verstehen, da die Energie, wenn einmal Null,
maximal ist. (S. 93, erster Satz.)

Den Relationen auf S. 93 zufolge, weist das Verschwinden
der Energie in einem stationären Modell immer auf das Ver-
schwinden der kinetischen Energie hin. Trotzdem hat die vj-
Bewegung für jeden Punkt der Ca-Kurve ihren Modul n2 h
beibehalten, was mit der verschwindenden kinetischen Energie
streitig scheint.

Jedoch reimt sich dies sehr gut, da der Wirkungsrnodul,
was seine Dimension anbelangt, ein Zeitintegral über kinetische
Energie ist und die Umlaufszeit doch unendlich werden kann.

lieh weit von einander entfernt und ihrer Gesehwindigkeit
beraubt und verwirklichen also ein stationäres Ion ohne Energie,
aber auch ohne irgend einen physikalischen Sinn.

Bezüglich des Verhaltens einer Cg-Kurve beim Überschreiten
der Teilungslinie {k =■ i?- 0,25) und beim Erreichen von ä; = 1
auf der rechten Hälfte, bemerken wir, dasz dort nichts besondres
stattfindet.

Die Teilungslinie wird unter einem Winkel Arctg (0,207/n22)
gegen die /c-Achse passiert, während die Kurve der äuszersten
Vertikal (bei k^l) unter einem Winkel Arctg (40,5/",2^) begegnet.
C2 hat hier resp. die Werte 0,0034/»i2^ und 5,226ln2^. (Zusatz 12).

In der rechten Hälfte werden zwei Kurven, in Kasu die Abbil-
dungen von und Cs^\'""\';/^^, einander durchschneiden,

Unter dieser Beschränkung für die Quantenzahlen findet
man dann für die symmetrischen Modelle die in der Tabelle 3
mitgeteilten Energieen.

Man kann sich noch eine nähere Vorstellung machen von
der Gestalt dieser Modelle, wenn aus der Abscisse des Schnitt-
punktes die Exzentricität des Ellipsoids abgelesen und der
Kernenabstand nachher und dadurch die Grösze des Modelles
folgendermaszen bestimmt wird.

Aus der Tabelle 1 entnehme man denjenigen Wert von
welcher der gefundenen Exzentricität entspricht und bestimme
weiter d mittels der Formel (1), S. 102.

Auf dem derartig festgelegten Ellipsoid bewegt das Elektron
sich nun ausschlieszlich in einer mittleren Zone, deren Breite
mittels zx angegeben wird, welche letztere gleichfalls aus der
Tabelle 1 zu haben ist, doch genauer direkt aus Z(z^) = 0
bestimmt werden kann.

rechnen (Tabelle 3) um die ersten Resultate unsrer Erwägungen
näher kennen zu lernen.

Hinsichtlich der Modelle mit einer asymmetrischen (cp ij)-
Bewegung werden wir nachweisen, dasz der Kernenabstand
so enorm grosz ausfallen musz, dasz wir diese vorurteilsfrei
als höchst unwahrscheinlich achten. Hier gilt nämlich wieder
die Formel (1) S. 102:

Zwar kann a hier unendlich werden, doch wir bemerkten
auf S. 85, dasz für eine asymm. (cp >))-Bewegung:

ro ^ (1 — F) (1 -f /cY
deren Gültigkeitsgebiet sich von k = ^ 0,25 bis k = 1 erstreckt.

Wären die Kurven in der schematischen Figur 13 in richtiger
Proportion gezeichnet worden, so würde sich herausgestellt
haben, dasz der kleinste Wert von m, wobei eine Ca-Kurve
und eine Cs-Kurve sich auf dem asymmetrischen Gebiet
schneiden können, jedenfalls noch gröszer als 10 ist. Ist aber
?i3>10, so lehrt eine globale Berechnung (mittels der vorigen
Formel und einer richtig gezeichneten Fig. 13) dasz, will eine
asymmetrische stationäre (0 ;^).Bewegung gequantelt sein
können, hier

und der Kernenabstand also mehr als 80 X den ersten Radius
des Wasserstoffatoms sein musz.

Sowohl wegen des enormen Kernenabstandes als wegen
der gröszen Quantenzahl m achte ich mich der Verpflichtung
enthoben diese Modelle noch näher zu untersuchen.

Stationäritätsbedingung für die allgemeinen
Bewegungen. Die Konstruktion der allgemeinen Modelle.

Im Gegensatz mit dem vorhergehenden werden wir jetzt
die Berechnung anfangen mit einer Reduktion der Quanten-
forderungen, da die Bedingung für das Gleichgewicht der
Kerne, wie schon auf S. 91 erwähnt, keinen bequemen Angriffs-
punkt bietet.

Ein Angriff mittels der Quantenbedingungen ist aber im
allgemeinen nicht zu empfehlen, da mit derartigen Gleichungen
meistens graphisch nichts auszurichten ist, ohne zuerst bestimmte
Quantenzahlen angenommen zu haben und es ist all zu weit-
schweifig die Berechnung für jede Kombination dreier Quanten-
zahlen wiederholen zu müssen!

Diese Schwierigkeit führen wir bis auf ein Minimum zurück,
wenn der Vorgang so eingerichtet wird, dasz vorläufig nur
das Verhältnis der Quantenzahlen bekannt zu sein braucht.
Überdies wird die Stationäritätsgleichung möglichst bald in
Gebrauch genommen werden, da diese nicht mit Quanten-
zahlen behaftet ist.

Weiter müssen unsre Gleichungen, die ja der Reihe nach
4, 4, 1 und 4 Unbekannten enthalten und demnach noch
keineswegs einer graphischen Auflösungsmethode zugänglich
sind, durch die Annahme neuer Unbekannten in eine zweck-
mäszigere Form gebracht werden.

Das Obige wird erreicht, wenn die Formel für den Radius
des ersten Bohrschen Kreises im Wasserstoffatom

■ Auch die Stationäritätsbedingung, welche au^einer Gleich-
setzung der auf S. 43 mitgeteilten Formel für-iCj i; ^und
6^/4 entsteht, kann in diesen Gröszen ausgedrückt werden.
Dieselbe lautet nun:

Für die symmetrischen Bewegungen sind yi und y^ also
durch — yi und yi zu ersetzen, für die asymmetrischen
(die wir immer in der Nähe des linken Kernes wählten) durch
— yi und — ?/2.

Sind mivs und n^lns gegeben, dann sind/i, C und — vi f^/ß^
also aus drei Gleichungen zu ermitteln, die bzw. 3, 2 und 3
dieser Gröszen enthalten.

Der Einfachheit der mittleren ist es zu verdanken, dasz das
Problem einer grafischen Berechnung fähig geworden ist.

Werden diese im Falle einer symmetrischen Bewegung mit
r/i2 und — I I und im Falle einer asymmetrischen (in ab-
nehmender Grösze) mit i/i^ und y^\'^ bezeichnet, dann ist
für die

Symm. allgemeine Bewegung:
und geht die zweite Quantenbedingung in diesem Fall über in:

bei, dann liefert die zweite Quantengleichung y^^ als Funktion
von yi\\ welche für eine symm. resp. asymm. Bewegung

mit = Ts. (yl^ V3), = /s. (^/l^ V2) s. w.
bzw. y^\' = /as. (y^^ Vs), i/22 = /as. (2/,^ V2) U. S. W.
bezeichnet werden könnte.

Bevor wir diese Funktionen einer näheren Betrachtung
unterwerfen, werden wir zuerst im gröszen ganzen den Ge-

dankengang wiedergeben, der uns bei der Lösung des allge-
meinen Problems führen wird.

Da B und G bereits in yi\'^ und y^} ausgedrückt wurden,
werden dieselben wegen der funktionalen Beziehung zwischen
2/12 und yz^ Funktionen von die wir mit Bs. (r/i^, 1/3),
Bs. {tji^, V2),...u.s.w., oder mit Bas.{yi\\Vs), ßas.C^/i^, V2)...u.s.w.
bzw. Cs 0/12,73) U.S.W, bezeichnen könnten.

Es hat keinen Sinn diese in Kurven abzubilden; wenn man
deren braucht, werden dieselben einfach aus ihren Formeln
auf S. 117 berechnet.

Um auch noch — Adle^ als Funktion von yi^ bestimmen
zu können, kann man sich entweder der ersten Quantenrela-
tion, oder der Stationäritätsgleichung bedienen.

Wir ziehen die letztere vor, da diese keine neuen Annahmen
betreffs der Grösze der Quantenzahlen erfordert.

Da B und G nur von //i 2 ~ abhängten, ist das linke Glied
der Stationäritätsgleichung eine Funktion von yr und — Ad/e^,
oder von yi^ und xi, was auf eins hinausläuft, da xi und
— A dje"^ mittels der Relation

Jedoch ist es in der Tat bequemer xi als Unbekannte
einzuführen, weil davon schon a priori etwas vorherzusagen
ist. Es ist doch ja unser Endzweck ein lonmodel aufzufinden,
das auszer gequantelt auch stationär sein musz. Der letzteren
Beschränkung gemäsz musz aber

Man vergleiche dazu die Bemerkung aUf S. 88, die zwar
anläszlich der (0 ;^)-Bewegung gemacht wurde aber dennoch
im allgemeinen für jede Bewegung gilt, wo das Elektron nicht
ins Ellipsoid mit k= t?^ 0,25 hineintreten kann.

xi wird also aus der Stationäritätsbeziehung mit Anwendung
von schon früher bekommenen Resultaten zu finden sein.

Sind y^"^ und Xi auf diese Weise als Funktion von yi\'^
gefunden, so läszt sich das linke Glied der ersten Quanten-

geschrieben wird. Dieser Wert kann grafisch über der ge-
wählten T/i^ als Abscisse abgetragen, werden.

Auf diese Weise entsteht eine Kurve, die »ii/jis als Funktion
von yi"^ wiedergibt.

erreicht wird, wird als Abscisse derjenige Wert von yi\'^ ge-
funden, der sich auf das stationäre lonmodell mit den fraglichen
Quantenzahlen bezieht, und dieser Wert von yi^ ist der
Schlüssel zu den übrigen Gröszen des Ions.

Wenn nämlich yi\'^ bekannt, so folgen und unmittelbar
aus der entsprechenden Kurven und mittels dieser können B,
C und —A dle^ gefunden werden.
Weiter war

Erst jetzt haben wir uns über die Grösze der einzelnen
Quantenzahlen auszusprechen, indem bisher nur deren Ver-
hältnisse hinreichend waren.

Da B und — A dje"^ so eben gefunden wurden, wird die
Grösze des Ions also mittels obiger Formel festgelegt.

Die Form des Ions hängt von yi, y^, xi und xz ab und
is also bekannt, sobald wir noch x^ bestimmt haben aus:

Nach dieser übersichtlichen Auseinandersetzung wenden wir
uns zur wirklichen Ausführung dieser Gedanken, und nehmen
uns vor bei den analytischen Betrachtungen die mechanische
Bedeutung so viel als möglich hervorzuheben.

Geben wir zuerst Acht auf die Kurven, die (im Falle
einer asymm. Bewegung) und | y^^ \\ (im Falle einer symm,
Bewegung) als Funktion von yi^ abbilden.

Deutlichkeitshalber empfiehlt es sich nur diejenigen Kurven
in eine Figur zusammenzubringen, wo n^hh für die symm.
Bewegung gerade doppelt so grosz ist als für die asymmetrische.

Das Atom mit einem
zweiten unendlich weit ent-
fernten Kern is ja einer der
äuzersten Fälle, worin die
asymm. Bewegung über-
gehen kann.

Hier ist yt\'^ = yz"^^ 1,
was dem Punkt Pi im oberen
Teil der Fig. 14 entspricht.

Dies gilt unabhängig vom
Werte ttzlna, da jeder Wert
dieser Grösze im Atom
möglich ist.
Q Deswegen fangen alle
asymm. Kurven im Punkte
Fig. 14. Pi an.

Weiter läszt sich leicht aus der zweiten Quantenbeziehung
der asymm. Bewegung ableiten, dasz für jede dieser Kurven gilt:

sodasz >\'2^ nach rechts hin (nach der Seite der kleineren jVi 2)
abnehmen musz.

Da für eine asymm. Bewegung 1 >//22> 0 erforderlich ist,
kann die „asymm." Kurve sich nur bis dort erstrecken, wo
= Q geworden ist. Diese Grenze (P2) ist leicht aufzufinden,
da die Bedingung 1/2^ = 0 die Quantenforderung von ihrem
elliptischen Charakter befreit und dieselbe zurückführt auf:

Bei diesem Werte von ji^i^ wird die Achse also erreicht und
zwar berührt, wie aus dem Ausdruck für das Diflferential-
quotient hervorgeht, da dieser füry2^ = 0 ein unendlich groszes
Integral im Nenner besitzt.

In diesem Berührungspunkt Po fängt auch die 12/2^ |-Kurve
für die symm. Bewegung an, kurz die „symm." Kurve genannt,
wenn der entsprechende Wert von mim zweimal denjenigen
der asymm. Bewegung ist, denn nur dann werden die Quanten-
bedingungen für y2\'^ \\ yz^ \\ = 0 identisch.

Der weitere Verlauf der „symm." Kurve wird vom unten-
stehenden Differentialquotienten beherrscht, der leicht aus der
zweiten Quantenbeziehung für die symm. Bewegung abge-
leitet wird:

Für I = 0 wird der Nenner unendlich, sodasz auchdiese Kurve
die Achse im Punkt P2 berührt. Auch das fortwährend nach rechts
hin Steigen der Kurve wird vom Differentialquotienten erklärt.

Da für eine symm. Bewegung 0<C IjVä^ | <C ^ ist, kann der
äuszerste Wert von jVi^ gefunden werden durch Einsetzung
von |j)\'22|=co in die Quantenbedingung, welche hierdurch
seinen elliptischen Charakter verliert und sich vereinfacht zu:

Um die übrigen, zwischenliegenden Punkte beider Kurven
zu finden ist die Quantenbedingung zuerst in elliptischen Inte-
gralen auszudrücken.

Am leichtesten überzeugt man sich von der Richtigkeit
dieser Formeln dadurch, dasz man in den Reduktionen auf
S. 100 Zl und Z2 durch y, yi und 7/2 ersetzt und k = 1 nimmt.

Mittels dieser Gleichungen lassen sich zu einigen Werten
von yi"^ die entsprechenden von ^2^ durch ein Näherungsver-
fahren finden und können die Kurven alsdann vollendet werden.

Im Punkte P2, wo ii/2^ = 0 und Vi\'^ > 0 ist, liegt eine
einseitig verlaufende Bewegung vor, die in eine labile Bewegung
in der Mittelebene endet.

Ersichtlich ist es hier der ,Ausfall", der, zusammen mit
dem Rotationsmoment, gequantelt ist.

Alle übrigen Punkte der „asymm." Kurve beziehen sich
auf die asymm. Bewegungen, wo nz/ns den fraglichen Wert
besitzt und deren Form zwischen den eben genannten äus-
zersten Bewegungsformen liegt.

Wird von der erwähnten, zu P2 gehörenden labilen Bewegung
der gequantelte Ausfall nach links vermehrt um denjenigen
nach rechts, (was möglich ist, da sie vermittels einer Geschwin-
digkeit Null in einander übergehen) so entsteht einer der beiden
äuszersten Fälle für die in cp und gequantelte Bewegung.

(Wir setzten hier ja für die symm. Bewegung einen ver-
doppelten Wert von fiz/ns voraus).

Zur Deutung des Punktes P3 wo 1I = Qo ist, bemerken wir,
dasz die Mittelebene in einer symm. Bewegungmiteiner Geschwin-
digkeit passiert wird, deren horizontale Komponente sich
nach Zusatz 1 aus (t f): d berechnen läszt. Hierin ist
nach Anwendung der Formeln auf S. 10f = 0 einzusetzen,
wodurch sich für die_ erwähnte Komponente der Wert
yi [/—2A. : X \\/m ergibt.

Damit diese Geschwindigkeit nicht unendlich grosz werde,
ist zu yt^ = 00 , Ä = 0 oder jc = co zu nehmen.

Da das Elektron bei ^ = 0 dauernd von beiden Kernen
unendlich weit entfernt bleibt, sodasz von einer Quantelung gar
keine Rede mehr sein kann, musz hier notwendig oo, d. h.
d = 0 sein. Mit andren Worten : Der zu P3 gehörende Grenzfall
würde verwirklicht sein, wenn die Kerne in einander gelegt
werden könnten, was . wegen der unendlich steigenden Abstos-
zungskraft nicht realisierbar ist, aber dennoch in einer mathe-
matischen Betrachtung für möglich gehalten werden kann.
[Die Stationäritätsbedingung hat ja mit der Konstruktion dieser
Kurven nichts zu schaffen.] •)

\') Noch auf andre Weise läszt sich verstehen, dasz .drf im Falle
verschwinden musz, denn zu diesem Wert von 12/2^! gehören od
und 0 = 00. (S. 117.) Trotzdem hat der Ausdruck unter dem Wurzel-
zeichen in der ersten Quantenbeziehung (derjenigen mit ni/n3, auf ö. 116)
positiv zu sein, damit Wi/Wg reell sei, was nur für = 0 möglich ist.

In diesem Ion, das also in ein Atom mit doppelter Kernladung
entartet ist, bewegt das Elektron sich in einer Keppler-Ellipse,
die bezüglich der früheren Achse im Ion räumlich gequantelt ist.

Alle übrigen symm. Bewegungen mit dem nämlichen Werte
}i2ln3 (d. h. dem Zweifachen desjenigen in der asymm. Bewegung)
werden von den zwischenliegenden Punkten vertreten.

Dies, was und | I als Funktionen von iji^ anbelangt,
wie sie aus der zweiten Quantenbedingung hervorgehen.

Betrachten wir nun Xi als Funktion von wie sie uns
von der Stationäritätsbedingung geliefert wird.

Auch hier lassen sich sofort einige Punkte der betreffenden
Kurve angeben, ohne weitere numerische Rechnungen zu fordern.

Die „asymm." Kurve fängt wieder in einem sich auf ein
Atom beziehenden Punkte an, weshalb hier Xi = 1 sein musz ((;)i).

Der Endpunkt (^2) dieser Kurve läszt zieh zwar leichter
bestimmen als die übrigen Punkte, aber bedarf doch einer
näheren Berechnung, deren Behandlung wir bis später auf-
schieben. Hier liegt zugleicherzeit der Anfangspunkt der „symm."
Kurve, die einem verdoppelten Wert von «2/W3 entspricht.

Von dieser Kurve ist ein einziger Punkt bereits bekannt,
nämlich derjenige, der sich auf die stationäre (c/) ;^)-Bewegung
bezieht, welche ja für eine Anzahl mit der Quantentheorie
übereinstimmenden Werte von n2/w3 berechnet worden ist.
Tabelle.3 gibt nicht nur die Abcisse (t/i^) dieses Punktes Qa
sondern auch seine Ordinate, weil

Da hier xi=x2 gilt, können für diesen Wert von yi^ zwei
zusammenfallende Werte die Rolle von Xi spielen d. h. die
Xi-Kurve wird hier vertikal verlaufen.

Werden auch die Werte von Xa durch-eine (punktierte)
Kurve angedeutet, so wird dies der Klarheit beförderlich sein.

Zwischen den Abscissen von Qa und P3 kann sich durchaus
kein Wert von xi mehr geben, der einer stationären Bewegung
angehöre, denn der geometrische Ort der xi abbildenden

Punkte kann sich nie bis an die Abscisse von Ps erstrecken,
weil die Abstoszung der Kerne dort unendlich grosz wird
und ein stationäres Ion dort also gar nicht in der Rede
stehen kann.

Auch kann der erwähnte Ort nicht mit demjenigen der xz
abbildenden Punkte eine geschlossene Kurve bilden, denn die
Punkte, in denen die Berührungslinie vertikal verlaufen würden,
würden sich wegen jci = X2 auf stationäre gequantelte (cj)
Bewegungen beziehen müssen, deren aber nur eine einzige
gefunden war (und diese entsprach dem Punkte Qa).

Die übrigen Punkte der ,asymm." und „symm." Xi-Kurve
müssen der Stationäritätsgleichung selber entnommen werden,
welche nach Ausführung der Integration nach y geschrieben
werden kann als: (Zusatz 13)

Zur Bestimmung von Xi (und somit von —Ad\\e^) als
Funktion von yi" kann zu einigen Werten von yi~ derjenige
von Xi aufgefunden werden, für den das (grafisch berechnete)
Integral verschwindet.

Für den gewählten Wert von yi~ können wir nämlich
mittels der Kurve = 1/3) u. s. w. (vgl. S. 117 und den
oberen Teil der Fig. 14) y^r bestimmen, die uns wieder in

die Lage bringt die Gröszen B, (7, und Qi berechnen zu können
(S. 117 und S. 125). Jetzt ist irgendein Wert von Xi anzu-
setzen und das obige Integral für diesen grafisch zu berechnen:
— Adle^ folgt aus der Relation S. 118, sodasz der Ausdruck
unter dem Wurzelzeichen in seine Faktoren zerlegt werden
kann. Zwar ist das Integral nun der Theorie der elliptischen
Integrale angepaszt worden, dennoch ziehen wir bequemlich-
keitshalber eine grafische Integration vor. Um den Integrand
von seinen Polen zu befreien wenden wir wieder die Substi-
tation von S. 78 an. Wird diese Berechnung für einige Werte
van xi wiederholt, so liefert sie schieszlich den gesuchten
Wert xi, für den das Integral in der Tat verschwinden wird.

Glücklicherweise kennt man, wenn in Fig. 14 bekannt ist,
xi schon dermaszen genau, dasz die obige Rechnung meistens nur
für zwei benachbarte Werte von.ri ausgeführt zu werden braucht.

Also bleibt uns noch zu zeigen übrig, wie der Punkt Q2 am
schnellsten gefunden werden kann.

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen kann jetzt in seine
Factoren x [x - xi) {x^ — x) {x — X3) zerlegt werden, wofür
aus dem Zusammenhang von Koeffizienten und Wurzeln der
Gleichung leicht hervorgeht, dasz

Dem einfachen Rau dieser .Wurzel zufolge lohnt es hier der
Mühe sehr elliptische Integrale einzuführen. Jedoch wollen
wir hier nicht auf Einzelheiten eingehen. Nur sei erwähnt,
dasz xt mittels der entstehenden Relation zu einigen Werten
von yi^ berechnet und auf diese Weise eine Kurve gezeichnet
werden kann, die xi als Funktion von yi^ abbildet.

Diese Kurve bezieht sich also auf alle stationären labilen
Bewegungen in der Mittelebene.

1) Nicht nur cc^ konnte als Funktion von y,\' bestimmt werden, doch
ebenso nxin^, im allgemeinen jede Grösze, die sich auf die labile sta-
tionäre Bewegung in der Mittelebene bezieht.

dasz wir den Wert von yi"^ aus der mit n^jns versehenen
Gleichung von S. 121 entnehmen. Die erwähnte Hilfskurve
gestattet uns dann sofort xi für den Punkt abzulesen.

Wir dürfen unsre Betrachtung der Xi-Kurve nicht beenden
ohne auf die folgende Besonderheit hingewiesen zu haben, dasz
n.1. der „asymm." und der „symm." Teil im gemeinschaft-
lichen Punkt Q2 verschiedene Tangenten haben.

Dies findet seine Erklärung in einer Diskontinuität beim
Übergang von in der Stationäritätsgleichung für die asymm.
Bewegung nach der nämlichen Grösze für die symm. Bew.

ist, wie sich leicht direkt zeigen läszt, so wird es einleuchten,
dasz Qo in beiden Fällen negativ ist.

Würde auch Qo mittels einer Kurve wiedergegeben, so würde
sowohl der „asymm." als der „symm." Teil dieser ^o-Kurve
unter der yi^-Achse verlaufen. Nur im gemeinschaftlichen
Punkt, wo = 0 ist, würde = 0 sein. BeideTeile der Kurve
stehen in diesem Punkte aber senkrecht zu der Abscissenachse,
sodasz die ^o-Kurve hier eine Spitze haben musz.

Dieser vertikale Verlauf im Ende des „asymm.", resp. im
Anfang des „symm." Teils läszt sich folgendermaszen nach-
weisen :

Die partiellen Differentialquotienten können mittels der für
vollständige elliptische Integrale gültigen Relationen
dE ^E — F dF__E- (1

bestimmt werden. Es ergibt sich dann, dasz ^Qol^fi^ für
= Q verschwindet und ^Qol^j\'2^ unendlich wird in der-
selben Ordnung wie 1 : (1 — n^jF\'^ y.,^, wenn hier jc= 1 ge-
nommen wird.

Parameter jc genügt um den richtigen Wert der unbestimmten
Form d Qold}\'!^ = cc XO zu ermitteln. Schlieszlich wird ge-
funden :

Hier würde sich also hinsichtlich der Richtung der ^)o-Kurve
ein plötzlicher Sprung ergeben, der in der Tat als eine plötz-
liche Richtungsänderung der Xi-Kurve im Punkt Q2 ans Licht
kommt (Fig. 14).

herungsversuch, Punkt nach Punkt konstruiert werden kann.
Ihre Nullstellen korrespondieren zum Atom («2, fh = 0)
und zur stationären symm. {(p t ;j)-Bewegung («2, na, ni = 0),

Wie gesagt, konnten alle stationären gequantelten lonmodelle
mit einem gewissen der Fig. 14 zugrunde liegenden Werte

Die Gesamtheit aller lonmodelle würde aus einer Anhäufung
solcher Kurven hervorgehen.

Der Bemerkung auf S. 107 gemäsz braucht es kaum erwähnt
zu werden, dasz die „symm. "-Kurven in solch einer komplizierten
Figur sich nur abwechselnd an die „asymm."-Kurven an-
schlieszen würden.

Zum Schlusz noch eine Bemerkung praktischer Art.
Die „asymm."-Kurven brauchen gar nicht vom Anfang bei
ab (das Atom!) gezeichnet zu werden, da sie dann
noch zu allzu gröszen Kernenabständen führen würden, die
ja doch nicht wahrscheinlich sind.

Es läszt sich nämlich folgenderweise eine untere Grenze\'
für den Abstand der Kerne finden.

Kraft des zweiten Satzes auf S. 93 ist die Gesamtenergie
immer gröszer als —Nhlm\', also eC^l/tis^ und djro daher
gröszer als die positive Wurzel aus

Sobald der Kernenabstand 2 d sich auf diese Weise als
gröszer als 50 ro herausstellte, habe ich auf eine Fortsetzung
der Konstruktion verzichtet.

In den Tabellen 4 und 5 sind die Resultate der in diesem
Abschnitt erforderten Rechnungen zusammengefaszt.

unmöglich
unmöglich
unmöglich
unmöglich
0,0001
0,012
unmöglich
unmöglich
unmöglich
unmöglich

2 2

1
1
1
1

2
2
2
2
2
2
3
3

2
3

4
1
1
1
2
2
3
1
1
2
1

2
3

2
1

3
2

4
1

1
3

0,087

ns\'
0,206

«3

0,064

0410

■

0,245

■

0,359

■ m\'

0,437

«3^

0,1111

0,25

0,36

0,4444

0,0625

0,16

0,25

0,04

0,1111

0,0278

0,0625

0,16

0,25

0,04

0,1111

2	3
3	1
3	1
2	2
3	2
4	1

Im folgenden Abschnitt wird der Nutz einiger hier noch
überflüssig scheinenden Spalten erklärt werden.

Einige allgemeine Bemerkungen über die gefundenen
Energieen samt einer Untersuchung über die Stabilität
in Bezug auf den Stand der Kerne.

Zunächst möge erklärt werden, warum einige der in den
Tabellen angedeuteten Modelle unmöglich waren.

Man lege m\\m einen Wert bei, der sich mit der Quanten-
theorie verträgt, befriedige darauf die Stationäritätsbedingung
und untersuche schlieszlich, wo einen quantentheoretisch-
möglichen Wert erhält.

Weiler erinnern wir daran, dasz die für • symmetrische
Modelle aufgestellten Berechnungen sich an diejenigen für die
asymmetrischen anschlössen, wenn nzlua in den letzteren nur
einen halb so gröszen Wert hatle.

Die Serie stationärer symm. Bewegungen, denen einer der
untersuchten Werte von nzhh zu Grunde liegt, streckte sich
aus von der stationären symm. (cp i^j-Bewegung, wo ihlns = 0
war, bis irgend eine labile Bewegung in der Mittelebene,
wo nilm nach einer anhaltenden Steigung seinen gröszten
Wert erreichte. (Vgl. den unteren Teil der Fig. 14).

Die Serie stationärer asymm. Bewegungen mit einem halb
so gröszen Wert von «2/^3 fing bei derselben labilen Bewegung
an und endete bei einem entarteten Ion, das aus einem Atom
und einem unendlich weit entfernten Kern zusammengesetzt
war. Das Verhältnis nijm, das jetzt fortwährend abnahm,
kam hier wieder auf Null zurück.

Wird nun zu einem dieser Werte von M2/W3 nach einem
stat. symm. Modell gefragt mit einem bestimmten mlns und
zugleicherzeit nach einem stat. asymm. Modell mit demselben
nilns aber einem halb so gröszen nz/na, so wird es von den
stationären Bewegungen in der Mittelebene abhängen, ob
beide zu finden sind oder nicht.

Übertrifft deren mlns den gewünschten Wert, so wird die
Aufgabe in beiden Fällen lösbar sein; im gegenüberliegenden
Fall bestehen die gefragten Modelle aber nicht.

Aus den Tabellen 4 und 5 geht hervor, dasz letzterer Fall
manchmal vorlag. Die maximalen Werte von /Ji/^s, wie sie in
der Mittelebene erreicht werden, sind in eine spezielle Spalte
untergebracht.

Es möchte jetzt so scheinen, alsob hier ein allgemeiner
Satz verborgen liege. Dies ist aber nicht der Fall, denn es
gibt Fälle, wo das gewünschte Verhältnis ni/us das entspre-
chende in der labilen Bewegung übertrifft, während das gesuchte
Modell sich trotzdem konstruieren läszt.

Um dies zu zeigen, beachte man, dasz alle möglichen
stationären Bewegungen in der Mittelebene labil waren, sodasz
es immer einen „Ausfall" ?/i2>0 gab.

am Ausfall verbunden war, schlieszt ein unterer Wert von
auch einen unteren Wert von n^ln^ in sich.

Berechnet man nun grafisch, für welche stationären Bewe-
gungen in der Mittelebene minimal ist, so ergibt sich,
dasz dies für die stationäre reine 0-Bewegung, zutrifft.

Zu ni\\nz < 0,0212 würde also keine stationäre Bewegung
in der Mittelebene möglich sein. Es versteht sich aber, dasz es
trotzdem stationäre asymm. Bewegungen geben musz, wo
n^lui den fraglichen Wert erreicht, denn die Kepplerbewegung
im Atom kann ja ein weinig abgeändert werden ohne das
Verhältnis «?2\'«3^und die Stationärität preiszugeben.

Noch durch ein andres Beispiel läszt sich zeigen, dasz hier
kein allgemeiner Satz zu erwarten ist.

Schon auf S. 112 erhellte, dasz unter den (cp v))-Bewegungen
mit nzlm < 1/16 nur blosz die asymmetrischen sich an die
Stationäritätsbedingung anpassen konnten, sodasz es hier wie-
derum einen Fall gibt, wo die symm. und asymm. Modelle
nicht je zwei und zwei mit einander verbunden sind.

Beschränken wir uns nun wieder auf die in den Tabellen
gewählten Werte von nslns. \'

Ist zu diesen ein stationäres symm. Modell mit den Quanten-
zahlen «1, 2 »«2, na gefunden, so ist auch ein stationäres
asymm. Modell mit den Quantenzahlen «i, nz, m möglich.

Aus den Tabellen 4 und 5 geht hervor, dasz die Energie
des letzteren nicht nur immer gröszer als die des ersteren ist,
aber auch die Energie des Atoms mit den Quantenzahlen r/i,

Bekanntlich beträgt die Energie des Bohrschen Wasser-
stoffatoms — 7-1 ^^^ I-worauf sich die erste Spalte in

Die so eben gefundene Regel können wir folgendermaszen
bestätigen und als Satz aussprechen.

Betrachtet man alle möglichen symmetrischen Bewegungen
mit 2 Wz, und alle asymmetrischen mit ni,W2, «3 als
Ouantenzahlen, ohne Acht zu geben auf die Stationäritäts-
bedingung, dann wird die totale Energie E eine Funktion
von d sein.

Sobald E einen extremen Wert erreicht, ermittelt der zu-
gehörende Wert von d uns den Kernenabstand eines stationären
Modelles.

wo A als Funktion von ni, W2, \'113 und d betrachtet werden
kann. Früher sahen wir, dasz

Das Quantein unter Berücksichtigung der Stationäritäts-
gleichung ist also aequivalent mit dem Quantein bei mini-
maler oder maximaler Energie unter Beibehaltung derselben
Quantenzahlen.

Statt d, welche Grösze unendlich werden kann, wählen wir
als unabhängige Variable den bequemer abzubildenden Wert
von yi^.

labilen Bewegung in der Mittelebene; hier war 1= 0, S. 121)
und läuft bei den asymm. Bewegungen vom letzten Wert bis 1,
nämlich yi"^ im Atom, wo d = co ist.
Für 1 ist E also:

Auf S. 123 bemerkten wir, dasz mit\' 1/2^ | = co, also mit yi 2aus(2),
ein lonmodell korrespondiere, wo c? = 0 geworden ist, während
das Elektron eine Keppler-ellipse beschreibt. Hier gilt also:

Denkt man sich nun E als Funktion von «/i^ in eine Kurve
abgetragen, so ist also der Anfangspunkt im „asymmetrischen"
Gebiete nebst einer Asymptote an der Grenze des „symm."
Gebietes bekannt.^ (Fig. 15).

2 nz) als unter den
asymmetrischen (mit wi,
W2, «3 versehenen) Bewe-
gungen eine einzige statio-
näre gebe, können wir
also schlieszen, dasz im
„ symm." Gebiet der Fig. 15
ein Minimum,im „asymm."
Gebiet ein Maximum liegen
müsse. Aus dem Obigen
so wohl als aus der sche-
matischen Darstellung in
Fig. 15. Fig. 15 folgt sofort die

Richtigkeit unsrer Behauptung auf S. 135 bezüglich der relativen
Gröszen der Energien im Atom und den beiden stationären
lonmodellen. Über die Kontinuität der Kurve vgl. Zusatz 14.

An dieser Betrachtung knüpft sich auch die Frage nach
dem stabilen oder labilen Stand der Kerne.

Eine schwache Störung kann die Kerne nämlich ihrer
gröszen Masse wegen nur eine äuszerst kleine Geschwindigkeit
besorgen. Das ganze System wird anfänglich also nur adia-
batisch beeinfluszt, sodasz der momentane Verlauf der Grösze E
durch die so eben gezeichnete Kurve angegeben wird, da diese
auf die Konstanz der Quantenzahlen beruhte.

Da wir ein stationäres Modell ins Auge faszten, besitzt E
hier einen extremen Wert. Ist dieser ein Minimum so wird
die Geschwindigkeit der Kerne zur Vergröszerung von E
angewandt werden und wird die angebrachte Störung keinen
andren Erfolg haben als eine adiabatische Schwingung des
ganzen Systems um den Zustand minimaler E, m. a. W. die
Kerne standen stabil. (Hier war also Ej^ d^"^ 0).

Aus dem ersten Satz auf S. 93 geht hervor, dasz alle extremen
Punkte unter der Achse liegen müssen.

Geschwindigkeit dann während geraumer Zeit auf Kosten von
E immer zunimmt. (Hier gilt: El\'^ d^ < 0).

Von daraus kommen wir zum folgenden Sehlusz: Treten die
gefundenen symm. und asymm. stationären Bewegungen auf die
beschriebene Weise je zwei und zwei mit einander verbunden
auf, so sind die symmetrischen stabil, die asymmetrischen
dahingegen labil in Bezug auf eine Abänderung in den Stand
der Kerne.

Wie schon erwähnt, treten die symm. und die asymm.
stationären Bewegungen nicht immer an einander gepaart
auf (z. B. wenn «2/«3<l/l6 und = vgl. S. 134).

Sind z. B. nur die • asymmetrischen stationärungsfähig,
so sind die stationären Bewegungen abwechselnd Kern-
stabil und Kern-labil. Dasjenige Modell, dessen iji\'^ am kleinsten
ist, ist gewisz stabil, da E hier zumerstenmal einen extremen
Wert erreicht, welcher wegen der benachbarten Asymptote
(jE\'^ gc) selbstverständlich ein Minimum sein musz.

Noch bleibt uns übrig die gefundenen {(p t^)-Modelle
(Tabelle 3) auf ihre Kernstabilität zu untersuchen. Diese
entsprachen ziemlich gröszen Werten von n^lna, zu denen die
Kurven in Fig. 13 nur ein einziges (und zwar ein symme-
trisches) Modell ergaben.

Es gab hier also nur ein einziges Extremum in E, das daher
notwendig ein Minimum sein muszte, m. a, W. die gefundenen
Modelle aus der Tabelle 3 sind alle, auch bezüglich der
Kernenbewegung, stabil.

Hiermit ist die Frage nach der „Kern-stabilität" für alle
ausgearbeiteten Modelle beantwortet worden.

Von allen stationären gequantelten Modellen mit einer
stabilen Elektronenbahn besitzt das symm. Modell mit den
Quantenzahlen ni=0, «2 = 1, «3 = 1 die kleinste Energie
(und war überdies Kern-stabil).

Geht man von der für dieses Modell berechneten Energie
(—0,516 iVA) aus, so wird es möglich den Beweis zu liefern.

Wir wissen ja, dasz die (i ;^)-Bewegungen nicht stationär
sind, dasz also ng = 0 sich nimmer mit der Stationäritätsbe-
dingung verträgt, sodasz «3 > 0 sein musz.

Also bleibt zu zeigen übrig, dasz auch zu ns = I kein sta-
tionäres Modell mit einer Energie kleiner als — 0,516 iV/i
möghch ist.

Wäre wirklich ein stationäres Modell mit — 0,516 Nh
möglich, deren Quantenzahlen ni, n2, ns = 1 sein mögen, so
würde hier gewisz «2 ^ 1 sein, da n2 — 0 notwendig zu einer
der drei folgenden Bewegungen führen würde: entweder zu
einer ((p f)-Bewegung, die, wenn asymmetrisch, niemals die
Stationäritätsbedingung erfüllen konnte (S. 80),
oder zu einer (cp -f- |)-Bewegung in der Mittelebene, die labil

wird, sobald sie stationär ist (S. 35 und 77),
oder zu dem entarteten Ion, das\' in ein Atom und einen
unendlich weit entfernten Kern auseinanderge-
fallen ist, und unsrem Zwecke nicht entspricht.

Von einem Modell mit diesen Quantenzahlen als Anfangs-
zustand aus kann man durch eine blosze Verkleinerung von
A dje^ zu einem zweiten gelangen mit demselben Kernenabstand
aber mit Quantenzahlen, die bis »21 = 0, 112 A n2, ns = 1
abgeändert werden können.

Dieser ■ Variation zufolge nahm ni ja fortwährend ab, und
stieg die F-Kurve unablässig, sodasz A jjs > 0 ist. (Vgl. S. 92)

Modelles bleibt während der vorgeschlagenen Abänderung
unverletzt, da (t und oc^ ihre Werte beibehalten und die
Frage bezüglich der Symmetrie doch mittels der Ungleichheiten

Da d konstant gelassen und A verkleinert wurde, hat die
totale Energie abgenommen.

Die Existenz eines stationären gequantelten lonmodelles
mit stabilen Bahnen und-einer Energie kleiner als — 0,516 Nh
würde also notwendig führen auf die Möglichkeit einer ((|) \'^)-Be-
wegung bei demselben Kernenabstand und einer noch kleineren
Energie, wiewohl die Quantenzahlen «2 A »(2 > 1 und i?3 = 1
sein würden.

Dies nun ist unmöglich, denn die stationäre symm. (0 t^)-Be-
wegung mit n^ — 1, iiz = 1 {E= — 0,516 Nh) erfordert nicht
nur unter allen symm. (cp ;i)-Bewegungen mit denselben
Quantenzahlen die geringste Energie, sondern auch unter allen
asymmetrischen mit den Quantenzahlen n^ = m =1,
und da ? n^ > 0 ist, bleibt ihre Energie unter derjenigen
irgendeiner ((p >j)-Bewegung mit «2 A »22 > 1, n» = 1,
gleichviel wie grosz der Kernenabstand in der letzteren sei.

Wir folgern also, dasz es kein stationäres quantentheoretisch
mögliches Ion geben kann mit einer kleineren Energie als
— 0,516 iV/<, welcher Wert der symm. (cj)-h >))-Bewegung mit
^22 = 1, na = 1 entspricht.

Zum Überflusz möge nochmals erwähnt werden, dasz falls
die Stabilitätsbeschränkung behoben würde,-die reine (p-Be-
wegung mit ns = 1 von allen symmetrischen Modellen die
kleinste Energie bedingen würde (— 0,88 Nh, S. 93, dritter Satz).

Vgl. Fig. 15, wo das Maximum im «asymm.» Gebiet jetzt fehlt,
da es zn n^li^—lj-l keine stationäre asymm. (w -/j)-Bewegung gibt.
(Fig. 13.)

Die Konfigurationsänderung der lone zufolge einer
langsamen Rotation und im Anschlusz hieran einige

Bemerkungen über die Emmissionsfahigkeit der lone
bei konstant bleibenden Quantenzahlen m, «2, «3.

Wie schon in der Einleitung betont wurde, sind die lone
in der Natur höchstwahrscheinlich nicht frei von einer lang-
samen Rotation, wobei die Kerne sich auf einem Kreis um das
Zentrum des Ions bewegen.

Wir werden demnach untersuchen, welchen Erfolg be-
züglich Form und Energie des Ions die Zufügung einer der-
gleichen Bewegung hat.

Rotiert das Ion aber mit einer Winkelgeschwindigkeit cc um
eine beliebige Gerade durch seinen Zentrum, und die senkrecht
zur Achse steht, sodasz der Trägheitsmoment

beträgt, {M ist die Kernmasse) und ist die Umlaufszeit, 2 Trjcü,
grosz in Bezug auf die Perioden in der Elektronenbahn, so
musz das Zeitmittel der resultierenden Kraft, i^, und die Zentri-
fugalkraft aut die Kerne einander im Gleichgewicht halten, also:

also das Zeitmittel der Anziehung längs der fortwährend
sich drehenden Verbindungslinie der Kerne.

Da wir 2 x/w als grosz g^gen die Perioden in der Elektronen-
bahn voraussetzten, kann K hier in erster Anlage auf dieselbe
Weise bestimmt werden wie in einem nicht-rotierenden Ion.

Wenden wir diese Gleichung zur Bestimmung von It auch
auf ein langsam rotierendes Ion an und setzen wir wieder

Sei do der halbe Kernenabstand in einem stationären nicht-
rotierenden Ion, dann ist also (vgl. S. 136)

Nimmt man an, wie es mit der Natur der Quanten über-
einzustimmen scheint, dasz die inneren Quantenzahlen («i, n^, na)
nicht von der langsamen Rotation beeinfluszt werden, so musz
der Kernenabstand sich um einen Betrag 2 ^ änderen, damit
das rotierende Ion der Stationäritätsgleichung
\\ ^ E

genügen könne. Wird das linke Glied unter Berüchsichtigung
der vorigen Gleichung nach Taylor entwickelt, so ergibt sich:
1 >

Links steht eine Grösze, die sich auf das stationäre nicht-
rotierende Ion bezieht und der wir schon auf S. 137 begegnet

haben. Dort wurde betont, dasz sie für ein stabiles Ion immer
positiv sei, sodasz ^ einer Ausreckung entspricht im Betrage von:

Zur Berechnung von p\'^ empfiehlt es sich dimensionslose
Gröszen einzuführen, die wir mit einem versehen und folgen-
dermaszen definieren wollen:

Da ein partieller Differentialquotient ist, sind die Quantenzahlen
hierbei konstant zu halten, oder was auf dasselbe hinausläuft, die Ver-
hältnisse und n.Jn^ in den Bedingungen auf S. 116 und n^^ in der
Definition von B auf S. 116 sind ungeändert zu lassen. Dies führt zu
drei Relationen:

In den Differentialquotienten q treten nur die Gröszen — Adle\\ B,
C und d^ auf.

Aus den drei obigen Gleichungen folgen d{— Ad/e^)/dd^, dßldd^,
dC/dd^ als Funktionen der q, und wenn A = — A^e^/2ra gesetzt wird,
folgt aus dem ersten Differentialquotienten wieder J) c^^ und somit

Wenn wir aber für — Adje\', B, C und in den Koeffizienten 5 nicht
genau die dem stationären Ion entsprechenden Werte einsetzen, sondern
diese zuerst um einige mit den beiden ersten Gleichungen übereinstim-
menden Beträge vergröszern. so stellt sich aus den drei Gleichungen nicht
mehr heraus, sondern z.B. =

Da die dritte Gleichung uns den Wert von dd^ ermittelt, der den
adiabatisch angebrachten Variationen entspricht, kann aus diesen beiden
Werten von leicht ^^E^j^d^\'^, also p\\, berechnet werden.

Für die Bewegung sind zufolge der Bedingung = noch
mehrere Vereinfachungen gestattet, aber wir wollen der Beschränkung
wegen in diese Einzelheiten nicht eingehen.

Wenn p*^ alsdann berechnet ist,, kann die Ausreckung ^ der
lone mittels der auf dieser Seite erhaltenen Gleichung bestimmt

werden, denn in dieser wird cc bekanntlich durch die Quanten-
theorie folgendermaszen festgelegt:

Unsre Absicht war aber nicht sosehr die Gestaltsumbildung
der lone zu betrachten, sondern vielmehr die Abänderung in
der Gesamtenergie E zu untersuchen, welche von der Rotation
veranlaszt wird.

Wird das rechte Glied unter Streichung von ^^ und höheren
Potenzen, nach ^ entwickelt und wenden wir für ^ die oben-
stehende Formel an, so ergibt sich:

Sei nun —E^oNh die Gesamtenergie des stationären lon-
modells, dessen Kerne in Ruhe bleiben, (welche Grösze man
also aus den Tabellen 3, 4 und 5 entnehmen kann), dann ist
die Energie des rotierenden Ions:

Schlieszlich können wir noch die s. g. Kernschwingungen
einführen, wo die Kerne entlang der Achse des Ions hin und
her pendeln.

Wir wollen diese Schwingungsart zuerst ins ruhende nicht-
rotierende Ion einschalten.

Der gröszen Kernmasse zufolge findet solch eine Schwingung
immer äuszerst langsam statt. Trotzdem würde sie doch nicht
genau als ein adiabatischer Vorgang aufgefaszt werden können,
da der periodisch zu variierende Parameter d hier noch einen
Differentialquotienten zweiter Ordnung besitzt.

Da d^dldt^ in Bezug auf ddjdt wahrscheinlich sehr klein
sein wird (welcher Fall z. B. bei einer harmonischen Schwingung

von gröszer Periode vorliegt) kann die periodische Form-
änderung des Ions wohl als adiabatisch betrachtet werden,
um so mehr als es dann gerade eine langsame harmonische
Schwingung geben wird.

Obendrein, wenn (analytisch) langsame Schwingungen bei
konstant gelassenen inneren Quantenzahlen möglich sind, liegt
es doch ganz in der Art der Quantentheorie letztere auch
wirklich in der Natur als konstant vorauszusetzen.

Die Energie E (aufgefaszt als eine Funktion von ni, n2, m und
d, und von Alters her gleich der Summe von der Energie des
Elektrons und der potentiellen Energie der Kerne) schwankt
bei diesem Vorgang um ihren Minimalwert hin und her.

Dieser wird erreicht, wenn d den Wert des Kernenabstands
im ruhenden stationären lonmodell passiert.

Wenn dieser Stand passiert ist, empfinden die Kerne eine
zurücktreibende Kraft, gegen welche sie sämtlich die Arbeit
V2 J^/dd^ zu leisten haben um jeder für sich den Abstand ^
zurückzulegen. Für jeden der Kerne ist die Bindungskraft
also mit der Entfernung (a) aus dem Gleichgewichtsstand
proportional und beträgt: ^ e"-p^^j^ro^.

Man hat hier so zu sagen zwei lineare Vibratoren, welche
fortwährend in entgegengesetzter Phase sind.

Die Masse ist il/, der Bindungskoeffizient e® p^^j^ ro^ und
die Frequenz somit:

Wird die Bewegung beider Kerne als die eines einzigen
Systems gequantelt, wie es auch bei der Rotation geschah,
so beträgt die Oscillationsenergie nach Aufnahme von n\'
Quanten:

nichl-rotierenden Ions mit ruhenden Kernen zu addieren,
sodasz die Gesamtenergie eines oscilHerenden Ions ist:
N h{— 73 n\'), mit i^.

Im vorstehenden wurde aber vorausgesetzt, dasz die Vibration
harmonisch sei, m. a. W. dasz der Kernenabstand sich nur um
relativ kleine Beträge zu ändern hat um den Kernen die
Aufname von n\' Quanten zu gestatten.

Vermutlich ist diese Annahme für geringe Werte von n\'
erlaubt, denn es läszt sich leicht finden, dasz die maximale
Konfigurationsänderung des Ions, wobei die Kerne also ihre
kinetische Energie ganz verloren haben, bestimmt wird aus:

Um eine Idee von der Gröszenordung von pj^ zu bekommen,
habe ich diese Grösze für einige stationäre symmetrische
lonmodelle berechnet, und fand:

Da d^: im gröszen ganzen mit proportional ist, läszt
sich aus den obenstehenden Angaben leicht verstehen, dasz
die relativen Gestaltsänderungen für mäszige Werte von n
niemals beträchtlich sein können, sodasz diese Schwingungen
hier einwandfrei als harmonisch zu behandeln sind.

Will man sowohl der Rotation als der Oscillation der Kerne
Rechnung tragen, so bleiben die vorherigen Formeln nur dann
in Kraft, wenn die Periode der Rotation verglichen mit der-
jenigen der Vibration sehr grosz ist.

Die Rotationsperiode (2\'r — 2 x/o;) ist:
Tv = (j. N
und die Vibrationsperiode (7V = l/i\'v):

Im Falle nicht zu schneller Rotation, d. h. für eine Rota-
tionsquantenzahl n < 30 z. B., ist dieser Quotient noch grosz
und wird man füglich annehmen können, dasz die Oscillation
und Rotation einander gegenseitig wenig beeinflussen.

Sei dann — E^^o Nh wiederum die Gesamtenergie des statio-
nären Ions, das weder mit einer Rotation noch mit einer
Oscillation behaftet ist, so wird die Gesamtenergie des
rotierenden und vibrierenden Ions, also für einen mäszigen
Wert von nx

Einen der Rotationsterme (— 72 n\'^) konnte hier füglich
fortgelassen werden, da 72 ^ 71 ist und n hier als nicht zu
grosz vorausgesetzt wurde.

Bei hervorragend starker Rotation würde dies nicht erlaubt
sein, und hätte man diesen Term gerade in Betracht zu
ziehen um die Lage der Bandenköpfe aufzufinden, wie sich
nachher ergeben wird.

Bemerken wir weiter noch, dasz sowohl die Rotations- als
die Oscillationsfrequenz klein ist in Bezug auf die Frequenzen
in der Elektronenbewegung im ruhenden Ion (deren Gröszen-
ordnung am besten durch N vertritten wird), so versteht es
sich, dasz wir früher immer nur erlaubte Vernachlässigungen
eingeführt haben.

Hiermit haben wir also die in der Einleitung gemachte
Zusage — nachher bei einer langsamen Rotation des ganzen
Modells auf die Kernbewegungen Rücksicht zu nehmen —
erfüllt, nicht nur was die Rotation selber, sondern auch was
die gleichzeitige Oscillation der Kerne anbelangt.

Zwar bewegen die Kerne sich noch unabhängig vom Rotieren
und Vibrieren des Ions — wir meinen die s. g. Mitbewegung
der Kerne als eine reine Abspiegelung der Bewegung des
Elektrons — aber da wir über solche abhängigen Bewegungen
doch nicht frei verfügen können, können diese keine neuen

Reihen von Spektrallinien ergeben, sondern lediglich eine
kaum wahrnehmbare Verschiebung (oder Aufspaltung vielleicht)
derjenigen Linien veranlassen, deren Emission ganz andren
Vorgängen zu verdanken ist.

Überdies würde die gewöhnliche Störungstheorie diese letzte
Art Kernbewegungen näherungsweise zu berücksichtigen im-
stande sein.

Fragen wir jetzt auf welche Weise ein einziges Ion (d. h.
ein Ion mit bestimmten festgehaltenen Quantenzahlen «i, n2, ^3)
ein Spektrum emittieren kann.

Ändert sich blosz die Rotationsquantenzahl w, so bekommt
man das Rotationsspektrum des fraglichen Ions; ändert sich
nur die Oscillationsquantenzahl w\', so erhält man das Schwin-
gungsspektrum ; verspringen beide Zahlen, so entsteht das s. g.
Rotationsschwingungsspektrum.

Dem groszen Kernenabstand gemäsz, aber nicht weniger der
groszen Kernmasse zufolge, rotieren die lone bei mäszigen
Rotationsquantenzahlen (w) nur äuszerst langsam, was wir
überdies auf S. 147 bestätigten.

Daher wird ein symmetrisches Ion sozusagen kein elektrisches
Moment mehr zeigen können und wird die Fourier-Entwicklung
dieser Komponenten entlang der Achsen eines rechtwinkligen
Koordinatensystems nicht von dem Winkel abhängen können,
worüber das Ion sich hat gedreht.

Folglich ist ein Sprung der Rotationsquantenzahl verboten,
wenn übrigens keine andren Übergänge stattfinden dürfen, m.a.W.
das symmetrische Ion besitzt kein reines- Rotationsspektrum.

In einem asymmetrischen Ion hingegen liegen zwei der
drei geladenen Teilchen fortwährend an einer Seite des Mittel-
punkts des Ions, sodasz ein solches Ion sein die Achse ent-
lang gerichtetes elektrisches Moment beibehält. Hier ist also ein
Rotationsspektrum nicht im Voraus ausgeschlossen und leicht
läszt sich wieder zeigen, dasz das Auswahlprinzip jetzt A n = 1
bedingt. (A n = — 1 würde zu negativen Frequenzen führen).

Ein solches Spektrum können nur die stabilen asymme-
trischen lone emittieren, da eine Vergröszerung oder Verklei-
nerung des Kernenabstands in den labilen Ionen für diese
fatal sein würde.

Aber stabile asymmetrische lone mit einem einigermaszen
annehmbaren Kernenabstand fanden wir nicht. Trotzdem
wollen wir vollständigkeitshalber etwas bezüglich dieser Spek-
tren mitteilen, wiewohl sie also höchst unwahrscheinlich sein
werden.

Die Frequenzen werden sich bestimmen lassen aus (S. 144):
[n^ ^ (n - m - 72 Vn\'^ - [n - 1)^].

Die Differenz zweier aufeinander folgenden Frequenzen ist:
— 72 (12 n^ - 24 n 14).

Diese wird bei steigender n fortwährend kleiner, verschwindet
(wegen 72 rO für «k = Kri/«r2, wird negativ für noch
gröszere Werte von und zwar immer stärker negativ, sodasz
die Linien, welche zuerst nach der Seite des sichtbaren Spek-
trums anrückten nun wiederum nach den kleineren Frequenzen
fortschreiten und zwar mit immer gröszeren Sprüngen.

Heurlingers und Thieles Theorie des Bandenkopfes gemäsz
wird der Kopf dieses Rotationsspektrums also an der Seite
der gröszeren Frequenzen liegen und zwar bei

Da die Bewegungen der Kerne spiegelbildlich und die
Ladungen genau einander gleich sind, kann eine solche
Schwingung keine Änderung im elektrischen Moment hervor-
bringen, vs^eshalb das Auswahlprinzip die Konstanz des Oscil-
lationsquantenzahl n\' erfordert.

\'Was schlieszlich das Rotationsschwingungsspektrum anbe-
langt, bedenke man, dasz die Rotation verglichen mit der
Oscillation nur langsam vorgeht und diese wieder langsam in
Bezug auf die Schwingungen des Elektrons im Ion.

Die Hinzufügung einer Oscillation erfordert also keine
Revision unsrer Schluszfolgerung hinsichtlich Sprünge in der
Rotationsquantenzahl und die gleichzeitige Anwesenheit einer
Rotation ebensowenig eine Zurücknahme unsrer Behauptung
über die Konstanz der Vibrationsquantenzahl.

Demnach müssen wir die Frage nach der Möglichkeit reiner
Rotationsschwingungsspektren verneinend beantworten.

Das Emissionsspektrum eines einzigen Ions (also bei konstanten
inneren Quantenzahlen «i, n^, m) kommt als Prüfungsmöglich-
keit unsrer Theorie also kaum in Betracht, da wir dem einzig-
denkbaren, d. h. dem Rotationsspektrum des stabilen asym-
metrischen Modells wegen der gröszen , Unwahrscheinlichkeit
a priori" ihres Tragers (Kernenabstand gröszer als 80 ro!)
jede Bedeutung als Kontrolle abweisen müssen.

Ansatz, unter Berücksichtigung des Auswahlprinzips
und fernerer Regeln bezüglich der Intensität des
emittierten Lichts.

Bevor wir die im Abschnitte VII gefundenen Energien nach
dem Bohrschen Ausstrahlungssatz in Lichthequenzen um-
rechnen werden, müssen wir zuerst der Frage Rechnung tragen,
ob die Übergänge zwischen die verschiedenen stationären
Bewegungen wohl oder nicht gestattet sind.

Dazu hat Bohr ein Mittel an die Hand gegeben, das u.m.
in der Dissertation Kramers\' kurz wiedergegeben wird.

Zur Anwendung des Bohrschen Prinzips musz die Bewegung
des Elektrons mittels eines rechtwinkligen Koordinatensystems
(a, u) beschrieben werden, wofür wir das in Fig. 16 abgebil-
dete System wählen werden, worin die Kerne die Koordinaten
X = ±d,(M = v = 0 haben.

Die Koordinaten des Elektrons sind
nun mittels mehrfacher Fourierscher
Reihen in die folgendermaszen defi-
nierten Winkel variablen xvi, W2, tvz zu
entwickeln :

Da d in dieser Berechnung konstant ist, können die Gröszen
J nur mittels Variationen von A, <r und x abgeändert werden.
Findet dies dermaszen statt, dasz zwei der J konstant bleiben,

Werden die hierin auftretenden Differentialquotienten für
den Fall einer symm. Bewegung ausgeschrieben und die Null-
punkte für wi und W2 auf dem Moment festgelegt, worauf
i — und V] = — -/Ii ist, so erhält man schlieszlich für die
AVinkelvariablen:
"x

In einem synam. Mödell > e^ in) ist die dritte Wurzel nämlich
positiv und kleiner als 1 und die vierte negativ. Man hat ja:

X(l\') = (2 A 4 m ? — <t) — _ «2 e\' m, also A^ (0) =
d^ff — a\'\'e-m), oder X(0) > 0. Weiter ist X{d)= — rf^ a\'e\'w,\'demnach
X{d) < 0 und X{—ao)<0 gemäsz A < Q. Maij hat also 0 < f3 < t^und
— 00 < f^K 0.

= .92 gh .91.90; h = — ,92.95 — .91 ö\'tf — .95 — .90; U = gigö gs gs — 1.

Es erhellt aus den Formeln für tvi und dasz jc und y
ausschliesziich Funktionen sind von tih und iv^.

ist, kann letztere Grösze als reine Funktion von ivi und 102
folgendermaszen entwickelt werden.

Um diese Doppelintegrale in ein Produkt einfacher Integrale
zerlegen zu können führt man x und als neue Variablen
ein und setzt:

Es läszt sich leicht zeigen, dasz der imaginäre Teil aus
allen Integralen herausfällt; so.wird z.B.

Wert zwischen xi und xz) einmal berechnet bevor der Wert
Ä = X2, das andre Mal nachdem der Wert a; = a;2 passiert
ist, so stellt sich ihre Summe gerade gleich n heraus, weshalb
die Grösze sin 2 ;r [.....] auf dem Hin- und Rückweg ent-
gegengesetzte Werte durchläuft.

Das Produkt pidx bleibt positiv, da seine beiden Factoren
bei X = X2 zugleicherzeit ihr Zeichen ändern. Deshalb musz
das ganze Integral verschwinden.

Ähnliches gilt für die andren imaginären Teile. Wäre statt
eines symmetrischen Modells ein asymmetrisches diesen Berech-
nungen zum Zweck gestellt worden, so würde das Ergebnis
um sehr wenig vom vorigen verschieden sein.

durch — y^ zu ersetzen sein, während unsre Behauptung über
die imaginären Teile in Kraft bleiben würde.

Nur im Falle einer symmeirischen Bewegung können die
reellen Teile der Integrale noch weiter vereinfacht werden,
insofern sie y als Integrationsvariable enthalten.

beliebigen Wert zwischen — yi und 0), das andre Mal be-
rechnet für jV = :)\'o, so ergibt sich für ihre Summe gerade tü/S.

eine ungerade Funktion von y sein, je nachdem ra eine gerade
oder ungerade Zahl ist.

Da;\'ö-2(:v) \\mdLy(Xi{y) überdies ungerade Funktionen sind,
werden die reellen Teile der jy-lntegrale und mit diesen der
ganze Koeffizient Or^^r, verschwinden, wenn r2 nur gerade ist:

Cr ^ = 8 / ^ xPi {x) COS, [r, ij, (x) r, R, (a:)] dx. / {y) cos. 2t. [r^ S, (jj) r^ S^ (y)] d y

~ 8 j xp., (x) COS. 2rr [r, E, (x) t, Ii, (x)] dx. J y {y) cos. 2n [t, (y) r^ S, (y)] dy.

Um die übrigen rechtwinkligen Koordinaten, (j, und y, auf
eine derartige Weise entwickeln zu können, bietet die Formel

Da rechterhand wieder eine reine Funktion von x und y
steht, kann das rechte Glied folgendermaszen in die Winkel-
variablen loi und iV2 entwickelt werden:

Verstehen wir unter xo einen beliebigen zwischen Xi und
X2 gelegenen V\\^ert und berechnen wir die Grösze
« Ii (x) = R (x) -f ri Ih (x) ra Äa (x)

für x = xo, einmal bevor der Wert = erreicht, das andre
Mal nachdem dieser Wert passiert worden ist und addieren
wir beide Gröszen, so ergibt sich in^er n.

Demzufolge durchläuft cos. ^tt R{x) _auf dem Hin- und
Rückweg immer dieselben, aber sin. ^ttR (x) nur entgegen-
gesetzte Werte.

Da pi (x) d X und p2 {x) d x forhvährend positiv bleiben,
werden die Integrale mit sin. ^tt R{x) im Integrand heraus
fallen.

Dem Obigen ganz parallel verläuft der Beweis für das Ver-
schwinden der Integrale mit sin. [S iy) n Si {y) -f ra & (y)]
im Integrand.

Im Falle einer asymmetrischen Bewegung würde überall
d.h. sowohl in dieser Formel als in den Ausdrücken für die
Konstanten g auf S. 153, dnrch — ra zu ersetzen sein.

Blosz im Falle einer symmetrischen Bewegung läszt
sich noch weiter vereinfachen:

Verstehen wir unter jo einen beliebigen Wert zwischen 0 und
j/i und berechnen wir die Grösze

einmal für y ~ —ji\'o, das andre Mal für/ = j\'o, so stellt sich
ihre Summe gerade gleich T2/2 heraus, sodasz cos 2 x S (/)
eine gerade, bzw. ungerade Funktion von y ist, wenn tz
eine gerade, bzw. ungerade Zahl ist.

Da l/l — <Ti {y) und [/\'i—y\'^ 0-2 {y) nur gerade Potenzen
von y enthalten, werden alle v-Integrale und mit diesen auch
für einen ungeraden Wert von r^ verschwinden, also:

Das /-Integral läszt sich nun blosz durch zweimal das
7-Integral von 0 bis ersetzen.

Zur Anwendung der Bohrschen Theorie müssen wir auszer
der Entwicklung der rechtwinkligen Koordinaten in Winkel-
variablen, überdies dieWinkelgeschwindigkeitenbetrachten, also:

Zwar können diese aus den Formeln für die Winkelvariabeln
abgeleitet werden, wenn für k und v\\ ihre Ausdrücke von S. 10
substituiert und auszerdem die Relationen auf S. 10 ange-
wandt werden, aber einfacher ist es sich nachfolgender aus
der Theorie der quasi-periodischen Bewegungen abgeleiteten
Formeln zu bedienen:

Werden A, s und x dermaszen variiert, dasz zwei der
Modüle konstant bleiben, so ergibt sich nach einigen Reduk-
tionen: (wenn iV die nämliche Abkürzung ist wie auf S. 152)

Nach Bohr wird die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang
von irgend einer stationären Bewegung nach einer andren,
deren Quantenzahlen um die Beträge

A ni — 7-1, A nz = ra, A = rs
von den vorherigen verschieden sind, grösztenteils abhängen
von der Summe folgender Gröszen:

(ri Wl, Tz CÜ2 4 T5 C/\'g)®
wo F T einen Koeffizienten aus einer der mehrfachen
Fourierreihen darstellt, mittels deren jede der rechtwinkligen
Koordinaten in die Winkelvariablen ausgedrückt werden kann.

Es wird genügen, diese Gröszen nur im Anfangs- und im
Endzustand zu berechnen und deren Mittelwert als endgültig
anzusehen.

Erscheinen sie sämtlich in beiden Fallen gleich Null, so ist
der betreffende Übergang quantentheoretisch verboten.

In den eben entwickelten Reihen traten nämlich nur Terme
jiiit rs = 0 auf (in der Darstellung von a) und andere mit
7.3 = 1 (in den Formeln für [x und v).

Auch Ts = — 1 würde möglich sein, da die Entwicklungen
von /X und v (S. 157) ebensogut in die Gestalt:

n = — ti\', t2 = — t2 zu entnehmen ist. Es gibt also auch
Terme mit rs = — 1.

Übrigens verschwinden alle Koeffizienten f, sobald rs !> 1,
oder rs <C — 1 ist, sowohl in der Entwicklung von a als in
denjenigen von fj, und v.

Dem Bohrschen Auswahlprinzip gemäsz musz m also ent-
weder konstant bleiben oder sich um nur eine Einheit ver-
mehren oder vermindern.

Im Falle allgemeiner asymmetrischer Bewegungen ist das
Obige die einzige Beschränkung für einen Übergang zweier
dieser, wie. es mit den Polarisationsregeln im Stark-effekt
übereinstimmt.

Im Falle symmetrischer Bewegungen dahingegen greift das
Buhrsche Prinzip viel tiefer ein.

Nicht blosz sind auch hier wiederum sämtliche Übergänge
verboten, wo m sich um mehr als eine Einheit ändert, aber
gerade diejenigen, wo A??3 = 0, — 1, oder 1 ist, sind hier
noch nur bis auf die Hälfte gestattet.

Wir sahen ja, dasz ra — 0 lediglich nur in die Entwicklung
von a einging und dasz für gerade Werte von r^. der ent-
sprechende Koeffizient G^^^t^ === 0 war, weiter, dasz rs ^^ ± 1
blosz in die Reihen von [j. und erschien und der Koeffizient
Dj^ r.^ für die ungeraden Werte von r^ in Fortfall kam.

Dies bedeutet, dasz unter den allgemeinen symm. Bewe-
gungen nur nachfolgende Kombinationen von Quantensprüngen
erlaubt sind:

während die Übergänge unter den asymm. Bewegungen einer
weniger strengen Einschränkung unterliegen.
Es gibt ja:

Auf ähnliche Weise möchte das Auswahlprinzip jetzt auf
die (0 ;i)-Bewegungen angewandt werden.

Jedoch kann man sich hierzu auch der Formeln für die
allgemeinen Bewegungen bedienen, wenn in dieselben überall,
also auch in die Ausdrücke ff, xi = X2 = X12 eingetragen wird.

Die Ergebnisse brauchen dann einiger Reduktionen um in
dieselbe einfache Gestalt gebracht zu werden, worin sie bei
einem direkten Angriff des vereinfachten Problems erscheinen
würden.

Es hat wieder den Anschein, ob die Koeffizienten
und Dr r gemäsz ihrer Darstellungen auf S. 155 und 157 bei
zusammenfallenden Grenzen xi=x2=xi2 verschwinden würden.
Dies ist aber nicht der Fall, da die Funktionen pi (z) und
ps (x) zugleicherzeit unendlich werden, und zwar unendlich von

Wird nun auf alle a;-lntegrale dieselbe Reduktion angewandt,
deren man sich bediente in:

f^ yA /2 /s = 0, also R (x) = 0 wird; weiter, dasz sich
<71 —.93=0, also 7?2(x) = 0 ergibt.
R\\ ix) bleibt von Null verschieden, aber dessen Koeffizient
n, ist im Falle einer (c?) ;i)-Bewegung gleich Null zu nehmen.

Auf diese Weise erhalten wir schlieszlich nachfolgende
Gleichungen zur Beschreibung der symm. (cp -f >j)-Bewegung:

Ganz dem Beweis entsprechend für die allgemeinen Bewe-
gungen kann nachgewiesen werden, dasz im Falle einer symm.
(cp ti)-Bewegung:

(7rj = 0, falls t2 eine gerade und
B^^ = 0, falls T2 eine ungerade Zahl ist,
sodasz wir für die Kombinationen der Quantensprünge zwischen
(0 >j)-Bewegungen keine Abweichung von den für die allge-
meinen Bahnen gültigen Vorschriften konstatieren können.

Den eben abgeleiteten Auswahlregeln ist Rechnung ge-
tragen bei der Bestimmung folgender Frequenzen, die mittels
des Bohrschen Ansatzes

Die in der Tabelle 5 erwähnten asymmetrischen Modelle
haben wir dabei auszer Acht gelassen, da dieselben in Bezug
auf den Stand ihrer Kerne labil waren.

Da das sichtbare Gebiet sich von 13000 bis v = 28000
erstreckt, haben wir v nur dann in die Tabelle 6 eingetragen.

Diese Frequenzen wurden aus Übergängen von lonmodellen
nnt ruhenden Kernen abgeleitet.

Da die Kerne aber noch obendrein um das Zentrum des
Ions rotieren konnten (die hierzu korrespondierende Quanten-
zahl nannten wirund ihrer Verbindungslinie entlang vibrieren
konnten (m.t ..v Quanten), winl es neben jeder der so eben
berechneten Spektrallinien als Mauptlinie noch mehrere Neben-
linien gehen müssen.

Da die inneren Quantenzahlen n., nämlich jetzt auch
selber ver.sprmgen, was von einer vollständigen Konfigurations-
andermig des. Ions begleitet wird, besitzen die Ausvvahlregeln
n.cht mehr die einschränkende Kraft, welche wir denselben
aul b. 48 und 149 bei der Behandlung quantenmäsziger Über-
gange bei festgehaltenen inneren Quantenzahlen zuschrieben.

Jetzt werden wir nur behaupten können, dasz für und
«V Sprunge erlaubt sind im Betrage von:

Es sind dies die bekannten Auswahlregeln für einen Rotator
und einen harmonischen Vibrator mit elektrischem Moment

bchon früher berechneten wir die für eine Rotation, bzw
Vlbration extra-erforderliche Energie:

[A E\\r =-Nh irx nr\' - 72 nr\'),
[A /i-Jv = Nh 73 «V,
mit 7,, 72 von S. 144 und 73 von S. 146.

Erwägen wir noch, dasz jede der Konstanten 7,, 72, 73
Ihrer Formel gemäsz im Endzustand von ihrem Anfangswert
verschiedenen und dementsprechend durch 71, 7, -f A 71
u. s. w. vorzustellen ist, so ergibt sich, dasz die Rotation bei
jeder Hauptfrequenz vo zu drei neuen Spektralserien führt
welche (wegen 72^71) zusammengefaszt werden können in:

Diejenigen, welche aus den Vibrationstermen stammen,
lassen sich darstellen durch:

Sogar im Falle konstant bleibender Rotations- und Vibrations-
quantenzalilen macht sich nocli der Einflusz der Rotation und
Oscillation geltend und veranlaszt dieser zwei spezielle
Nebenserien.

Es gibt aber heutzutage eine Theorie, welche die Übergangs-
möglichkeit bei konstanter Rotationsquantenzahl nur denjenigen
Molekülen zuerkennt, die, vermöge einer gewissen Asym-
metrie ihrer Bauart, kreiseln können.

Da das Ion aber in diesem Sinne überhaupt symmetrisch
ist, würde diese Theorie die fraglichen Übergänge verbieten.

Zu Gunste welcher Theorie jene Frage zu entscheiden ist,
wird sich vermutlich nicht ohne nähere empirische Tatsachen
vorhersagen lassen.

Wir können uns eine Vorstellung machen von der Grösze
der Frequenzdifferenzen in den übrigen Nebenserien, wenn
die Konstanten 71 und 73 für einige lonmodelle bestimmt
werden.

Setzt man N = iO^ (uneigentliche Schwingungszahl), so
erhellt aus den obigen Angaben, dasz die aus der Rotation
entstandenen Nebenlinien durch äuszerst kleine Frequenz-
differenzen charakterisiert sind, während die der Vibration viel
weiter auseinander rücken.

Dahingegen geht die Linienzahl im ersteren Fall weit über
die im letzteren hinaus, da die Oscillationsquantenzaht nie
erheblich werden kann (Vgl. die Rotationsschwingungsspektren

einiger lietcropolarer Gase) ja sogar nur auf z. B. 0, 1, 2
eingescln-iinkt sein wird.

Sclilieszlich bemerken wir noch, dasz natürlicli jede Ver-
scliiebung erster Art mit jeder zweiter Art kombiniert werden
kaim.

Solcliergestalt wird es also in der Nähe der berechneten
Ilauptlinien eine grösze Menge Neljenlinien geben, deren
Intensität walirscheinlicli auf die in Sommebfelü\'s Atombau,
S. 53G beschriebene Weise von derjenigen der Hauptlinie ab-
hängen werden.

Von den Hauptfrequenzen vo selber ist die Intensität aber
schwer zu bestimmen. Zwar ist die Grösze (S. 159)

h (ri oji r2 ü32 Ts cosY F\\, r^, r^
nach Bohr einer der Faktoren, welche die Intensität bestimmen,
da diese das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit eines Über-
ganges und der hierbei emittierten Energie ist, aber die
Wahrscheinlichkeit a priori der Anfangsbahn ist dann noch
nicht in Betracht gezogen.

Die Anzahl und die Art der lone wird doch stark von den
Umständen abhängen und ist eine wenig zugängliche Grösze.

Vielleicht läszt sich diese Warscheinlichkeit a priori für
die Anfangsbahn nach demselben Prinzip berechnen, dessen
Bohr sich bediente um der fraglichen Grösze für das Wasser-
stoffatom zu nähern.

Doch wollen wir hier de Gelegenheit benutzen einer be-
merkenswerten Eigenschaft des Faktors ti wi r2 «2 -j- rs uz
Erwähnung zu tun.

Zum Zwecke einer rohen Schätzung der Intensität genügt es
nach Bohr die Mittelwerte der Faktoren (n r2 aj2 rg t^^a)*

Bei der Balmerserie nahm Bohr als Mittelwert des letzteren
Faktors das arithmetische Mittel der Werte im Anfangs- und
Endzustand.

Als Mittelwert des ersteren fungierte weiter v^, wo v die
wirklich emittierte Frequenz war.

In einer einfachen Überlegung konnte er zeigen, dasz die
Grösze ri ra 0)2 u 0)3 bei relativ kleinen Quantensprün-
gen gleich der nach dem Bohrschen Ansatz ausgestrahlten
Frequenz ist wenn die Quantenzahlen der zwischenliegenden
Bahnen nur linear von ihren Anfangs- bis zu ihren Endwerten

Stellt E die totale Energie dar, die nur von den Wir-
kungsmodülen 7k abhängen möge (welcher Fall beim Wasser-
stotfatom vorliegt), so wissen wir, dasz:

bezeichnet, so setzen wir voraus, dasz sie in den intermediären
Zuständen\' mit m — {nk -nk") A vorgestellt werden können,
wo A die zwischenliegende Bahn charakterisiert.

Wird die obenstehende Gleichung integriert von A = 0 bis
^ _ j ypfl werden die w\'s als Konstanten betrachtet, was
nur im Falle relativ kleiner Quantensprünge gestattet ist,
so ergibt sich:

was mit der Behauptung, dasz n wi r2 0)2 ra 013 die emit-
tierte Frequenz sei, in Übereinstimmung ist.

Für unser Ion liegen die Verhältnisse aber anders.
Die totale Energie E hängt hier nicht blosz von den Wir-
kungsmodüllen J\\,J%,Jz., sondern auch vom Kernenabstand
{2d) ab.

Um so bemerkenswerter ist es dann, dasz das Ergebnis
jedoch ungeändert bleibt, wenn wir für die zwischenliegenden
Bahnen immer solche Kernenabstände voraussetzen, dasz die
Bewegung stationär sei, was sich übrigens in die Quanten-
theorie gut einfügt. Wir haben dann nämlich:

Diese Frequenzen waren mit Rücksicht auf die erstaun-
liche Liniendichte des Viellinienspektrums noch nicht mit
genügender Genauigkeit berechnet worden um die Richtigkeit
der Theorie schon sofort prüfen zu können.

Es würde aber schon sehr schön sein und als eine vorläufige
Bestätigung der Theorie, d. h. der Quantentheorie in ihrer
heutigen Fassung, zu betrachten sein, wenn sich nur in der
Nähe der angedeuteten Stellen im Spektrum Linien anweisen
lieszen, die unter andren Umständen entstehen und sich gegen
magnetische und elektrische Einflüsse vielleicht anders ver-
halten mögen als die übrigen, die dann dem Molekül selbst
angehören könnten.

Bei einer der Spannungen würde das Molekül in das
fragliche Ion und ein Elektron auseinander fallen können und
bei der anderen wäre das Ion selber in seine drei Bestand-
teile zu zerlegen.

Bekanntlich is eine Spannung von 13,5 Volt äquivalent
mit einer Energiezufuhr im Betrage von 1 N h, sodasz, wenn

die Energie des Ions darstellt, wir lonisierungsspannungen zu
erwarten haben von

Nun hat man X annähernd aus der Dissoziationswärme
von Wasserstoff abgeleitet, wenigstens wenn die Annahme
richtig ist, dasz das Molekül beim Dissoziationsvorgang in zwei
unangeregte Atome zerschlagen wird.

Franck, Knipping und Thea Krügeu halten es für wahr-
scheinlich, dasz die richtige Dissoziationswärme von Wasserstoff
81300 kal. beträgt, woraus sie für die Energie des Moleküls
— 2,26 Nh folgern.

Setzen wir also Jt = 2,26 und entnehmen wir aus den
Tabellen 3 und 4 den Wert von I für einige lone mit
einfachen Quantenzahlen, so würde es unsrer Erwartung

gerniisz die naclifolgenrlon lonisierungsspannungen geben müssen
(Vgl. die erste Spalte in der Tabelle 7).

Es fragt sich aber noch, ob die berechneten lone sich tat-
sächlich durch Reduktion eines Moleküls herstellen lassen.

Es scheint mir nicht unmöglich, dasz das Molekül seiner
eigentümlichen Bauart zufolge bei beträchtlichen Störungen,
immer in zwei Atome auseinander fällt, die im einzeln unan-
geregt, angeregt oder sogar ionisiert sein mögen.

Das Ion würde dann blosz auf synthetische Weise entstehen
können, z. B. durch einen Zusammenstosz eines unangeregten
Atoms mit einem schon frei gewordenen Kern.

Die einzige lonisierungsspannung, die sich auf das Ion be-
ziehen könnten würde dann, die jenigesein, bei welcher das Ion
in seine drei Bestandteile zerlegt werden kann. Bei diesem
Vorgang kommen ja aus nur einem geladenen Teilchen drei
andere mit gleicher absoluten Ladung hervor, was den Trans-
port der Elektrizität plötzlich sehr beschleunigt. Da die
endgültige Energie gerade Null ist, sind hierzu Spannungen
erforderlich von 13,5 I Volt (Vgl. die zweite Spalte in Ta-
belle 7.)

\') Zerfiel das Ion in ein Atom und einen Kern, so würde dies nie
eine lonislerungsstufe veranlassen können.

Hieraus erkennen wir, dasz diese sekundären Spannungen
weit unter den primären bleiben, welche uns zuvor das un-
angeregte Atom und den von Elektronen befreiten Kern er-
mitteln sollte, sodasz solch eine Zunahme im lonisierungsstrom
sich doch nicht beobachten lassen würde.

Deswegen ist der Versuch derartig einzurichten, dasz durch
eine Vor-ionisation schon allerlei lone in gröszer Zahl vor-
handen sind.

Vielleicht kann das Gas aus irgend einer lonisierungskammer,
wo ein starkes Feld erzeugt wird, sofort in eine andre geführt
werden, wo die Feldstärke gering ist und allmählich gesteigert

Es werden sich dann stationäre lonisierungsströme einstellen,
die, wenn die Stärke des zweiten Kraftfelds schheszlich hin-
reicht um die lone einer bestimmten Gattung in ihre drei
Bestandteile zu zerlegen, sich plötzlich ändern werden, worauf
sich ein ganz andrer stationärer Zustand einstellen würde.

Der oben erwähnte Versuch wird ein durchschlagendes
Kriterium sein um uns über die Existenz der berechneten
lone entscheiden zu können.

Schlieszlich bietet sich hier die Gelegenheit dar einige Ein-
wände gegen die Auffassung von Fbanck anzuführen, nach
welcher er die lonisierungsstufe bei 30,4 Volt einer Reduktion
des Moleküls zum Ion zuschreiben wilP).

Er stellte für die Energie des Moleküls den sehr annehm-
lichen Wert von — 2,26 Nh vor (S. 169) und konnte
dann mit Knipping und Krüger die Spannung von 17.1 ±
0 25 Volt 2) auf einfache AVeise erklären, da diese gerade be-
nötigt sein würde um das Molekül in ein unangeregtes und
ein total ionisiertes Atom zu zerlegen.

Auch die bei 13,6 Volt aufweisbare ultraviolette Strahlung
war nach ihrer Überlegung evident. Eine Spannung von

\') J Fbanck, I.ichtanregung nnd Ionisation von Atomen und Mole-
külen, Physik. Zeitschr. 1921, S. 469.

13,(5 Volt kann nämlich das Molekül in zwei Atome dissozieren:
in ein unangeregtes und in ein andres, wo das Elektron sich
auf dem zweiten Bohrschen Kreis befindet.

Bei der weiter beobachteten lonisierungsspannung von 30,4
Volt würde nach der jüngsten Auflassung ein Ion ins Spiel
gelangen.

Da diese Spannung gerade einer Energiezufuhr von 2,2G Nh
gleichkommt, würde die Energie des fraglichen Ions also Null
sei müssen.

Demnach waren sie anfänglich der Meinung zugetan, dasz
man hier mit einem vollständig zerschlagenen Molekül zu tun
hatte. Nachher hat Fbanck diese Auff^assung preisgegeben\')
- ein theoretischer Grund dafür wurde, insofern mir bekannt
ist, nicht erwähnt - und schreibt er diese lonisierungsspan-
nung dem Entstehen eines wirklichen Ions zu.

Wir werden einmal diese Hypothese durchführen und zeigen,
dasz sich hiergegen viele Einwände anführen lassen.

Erstens kann solch ein Ion mit verschwindend kleiner
Energie niemals stationär sein, da die Gesamtenergie dann
jedenfalls negativ sein müszte, wie wir auf S 93 betonten.

Die stationären Modelle, welche wir zu einfachen Quanten-
zahlen analytisch und grafisch konstruierten, hatten dann
auch erheblich von Null verschiedene Energien.

Dann würde man noch der Auffassung huldigen können,
dasz die Kerne zu schwer seien um bei solch einem plötzlichen
Vorgang wie einem lonisierungsprozesz augenblicklich ihre
richtige Stelle einnehmen zu können (wiewohl dieselben bei
der Dissoziation des Moleküls doch auch grosze Abstände in
wahrscheinlich geringer Zeit zurücklegen konnten!)

Wir werden also einmal annehmen, dasz\' das Ionisieren im
Gegensatz zur Emission bei Übergängen stationärer Bewegungen
so schnell vor sich geht, dasz den schweren Kernen nicht die
Zeit gegönnt wird sich nach der strengen Stationäritätsbedin-
gung aufzustellen.

Hinsicht sehr plausibel war, da dieselbe in den besprochenen
Fällen ein Minimum an Energie bei festgehaltenen Quantenzahlen
bedeutete!]

Wie es auch sein möge, jedenfalls müszte es dann ein
gequanteltes Ion geben können mit einer totalen Energie Null
und einem Kernenabstand ebenso grosz wie im Molekül.

Nun läszt sich der Abstand der Kerne im Molekül aus dem
Trägheitsmoment des Wasserstoflfmoleküls ableiten, wofür
Reiche 0 aus der spezifischen Wärme den Wert 2.10-^\'fand.
Hieraus würde für den halben Kernenabstand folgen:

Nun habe ich nachgewiesen (und ich hoffne meine Ergeb-
nisse der Beschränkung wegen jetzt ohne nähere Argumente
mitteilen zu dürfen), dasz ein derartiges, gequanteltes Ion nicht
existieren kann, selbst nicht wenn man sogar labile Bewe-
gungen zulassen wollte.

Aus meinen Rechnungen ergab sich nämlich, dasz das
Elektron in einem Ion mit totaler Energie Null nur dann
gequantelte Bewegungen der verschiedenen Gattungen aus-
führen konnte, wenn der halbe Kernenabstand die nachfol-
genden Werte hat:

Für die geradlinige (labile) Schwingung entlang der Mittel-
senklinie erfordert die Quantentheorie:. . c? = 0,73«i2j-o.
Für die reine vf-Bewegung, wo das Elektron
also in einer Ellipse um die Kerne herum-
läuft .............d = 0,22 n\\ ro.

Und falls sie asymmetrisch liegen kann (über
die Möglichkeit dazu brauchen wir uns gar

Für eine symm. (i ii)-Bevvegung jedenfalls: > 5 ro.
Für die symm. {<p ;^)-Bewegung . ... d^ 0,97 ro.
(Das Gleichheitszeichen für n2==?!3= 1).

Bei der asymm. (cp •^)-Bewegung ist überhaupt kein Wert
von d air/>ngeben, da die totale Energie in dieser Bewegung
inuner negativ ist.

(l^as Gleichheitszeichen für ni = m — 1).
Für die asymm. ((p f)-Bewegung jedenfalls: . d^ na^ ro.

In der symm. (cp -f f i^)-Bewegung musz d immer gröszer
sein als bei der symm. (cp v))-Bewegung.
Für die asymm. (0 ^ ;^)-Bevvegung: jedenfalls d > «s^ ro.

Wir lassen die Möglichkeit offen, dasz es in einigen dieser
Typen gar keine Bewegungen mit totaler Energie Null geben
wird. Die hinzugeschriebenen Bedingungen folgten nur ana-
lytisch aus der Annahme E=0, ohne dasz wir uns immer
um die Möglichkeit einer solchen Bewegungsform kümmerten.

Es scheint mir demnach sehr umwahrscheinlich, dasz bei
der Spannung von 30,4 Volt ein wirkliches Ion entstehen
würde.

Es versteht sich von selbst, dasz sich wohl zur Erklärung
dieser Spannung ein gequanteltes Ion konstruieren läszt mit
totaler Energie Null, aber welchen Bedingungen soll dasselbe
dann genügen, wenn es nicht stationär zu sein und ebenso-
wenig mit dem Molekül den Kernenabstand gemein zu haben
braucht? Die Quantenforderungen allein waren das Ion fest-
zulegen nicht imstande.

Nach meiner unmaszgeblichen Ansicht hat Frank daher
seinen zuerst eingenommenen Standpunkt (dasz das Molekül
bei einer Spannung von 30,4 Volt in all seine vier Bestand-
teile zertrümmert würde) wahrscheinlich zu bald verlassen.

Um sich deswegen über das Vorhandensein der berechneten
lone entscheiden zu können, und auf diese Weise die heutige
Quantentheorie zu prüfen, empfiehlt es sich am meisten den
S. 171 angedeuteten Versuch anzustellen.

Legt man in einer durch das Elektron und die beiden Kerne
angebrachten Ebene ein rechtwinkliges Achsensystem mit
Koordinaten ti und v zugrunde, wo die Kerne die Koordinaten
11 = — d, v = 0 und u = d, = 0 haben, so lassen sich
die rechtwinkligen Koordinaten v durch die elliptischen vj
ausdrücken, denn es gibt:

Die Gleichungen entsprechen einer Ellipse, deren halbe
grosze Achse gleich ? ist und einer Hyperbel, mit einer reellen
halben Achse gleich jj, während beide Kegelschnitte die Kerne

Mittels dieser lassen sich die Geschwindigkeiten u und v
in è und yj ausdrücken, während die senkrecht zu u und v
gerichtete Geschwindigkeitskomponente (d. h. also v \'(p) sofort
aus dem Moment um die Achse folgt [m v^ 0 = x e l/?«).
Hierauf berechnet sich die kinetische Energie T:

Werden I, vj und Cp noch durch die Impulse:
p, = ? Tl-d i, = ^ i\' p^ = d Tl^ <p
ausgedrückt, so finden wir für die Gesamtenergie A des
Elektrons:

aussetzung yl>0. Infolgedessen wird die Gleichung = 0
eine ungerade Zahl Wurzeln haben, die gröszer sind als d.

Bestimmt man nun d\'Xld^ und zwar für eine Wurzel Ii
von X(|) = 0, sodasz (T eliminiert werden kann, dann ergibt
sich:

Da die Differentialquotienten einer eindeutigen Funktion,
wie Xl$) tatsächlich ist, in den aufeinander folgenden Null-
punkten regelmäszig in Zeichen abwechseln, folgt aus dem
vorhergehenden, dasz A^(|) = 0 nur eine Wurzel gröszer als
d besitzen kann und obendrein, dasz X(|) für einen Wert
von I, gröszer als diese Wurzel,- immer positiv ist.
Nun ist:

Im Falle A = 0 würde das Elektron das Unendliche gerade
mit einer zu Null abgenommenen Geschwindigkeit erreichen.

sodasz die Gleichung X{^) = 0 jetzt gar keine, oder zwei oder
vier Wurzeln gröszer als d besitzen musz. Wir vverden zeigen,
dasz letzeres unmöglich ist.

Berechnet man für zwei der Wurzeln (sagen wir h und ^j,
von denen Ij die gröszere sei) den Wert von d Xjd ^ und
bildet man die Differenz:

so lassen sich die Gröszen A und s- aus dem entstehenden
Ausdruck mittels = 0 und X(|j) = 0 eliminieren und

Das rechte Glied ist immer positiv, da ij > ii vorausgesetzt
war. Hätte die Gleichung X(i) = 0 nun vier reelle Wurzeln
gröszer als d, welche nach steigender Grösze geordnet und
mit ^1,12,^3 und h bezeichnet sein mögen, so rnusz, falls
35=1=0 und mithin X((^)<0 ist:

sein, wo das abwechselnde Ungleichheitszeichen mit der
Eindeutigkeit der Funktion X(|) in Übereinstimmung ist.
Leicht läszt sich verstehen, dasz dies mit der Bedingung:
(dX/d % - (dX/d i).. > 0 für fj >
im Widerspruch sein würde.

Vier Wurzeln gröszer als d sinü also bei « =|= 0 unmöglich,
aber zwei deren können sehr gut auftreten, da ja:

Ganz anders liegen die Verlulltnisse, wenn cc = 0 ist; dann
braucht {dXld$)t^ nicht mehr negativ zu sein, da jetzt = o!
und = 0 ist.

Weiter beachte man, dasz = 0 eine biquadratische
Gleichung ist, deren Diskriminante lautet:

Jedoch genügt dies noch gar nicht, da es nur reelle bzw.
zusammenfallende Wurzeln verbürgt aber diesen Wurzeln noch
nicht vorschreibt kleiner als d\'^ zu bleiben. Deswegen haben
wir weiter zu bedingen, dasz die Maxima der F-Kurve inner-
halb der Strecke von — bis d fallen müssen.

Nachdem wir auf diese Weise die geometrische Deutung
der Bedingungen aus Fig. 3 erklärt haben, wird es leicht
fallen sich vom richtigen Verlauf der dort gezeichneten Kurven

zu überzeugen, da noch zu beachten ist, dasz es niemals
mehr als vier Schnittpunkte mit der Achse geben kann und
die Kurve überdies symmetrisch sein musz.

Diese Wurzeln sind reell, wenn die Diskriminante der
Gleichung (*) positiv ist, und dieselben sind gröszer als d,
wenn das linke Glied von (*) für einen Wert f > c? maximal
und für I == ^ negativ ist.

Da dieses Maximum sich bei — e^/A befindet, erhalten
wir die folgenden Bedingungen
für So: e\'lA\' m ^ > 0 (1), - e\'/A > d (2), 2 m d"^ A A^n ~ ^<0 (3)

indem verlangt wird
für Ro: e\'lA^ ^2 m A = 0, — e^A > c?, 2 m dKi A m e" d — tr 0.

Für -Soo (Fig. 2) musz es an beiden Seiten von ^ = d
eine Wurzel der Gleichung (*) geben. Wegen ^ < 0 genügt
es hierzu zu fordern, dasz:

Fragen wir zunächst mit welchem dieser Fälle die Bedingung
für die Kurve co aus Fig. 3 sich kombinieren läszt.

,Tßm\\A\\<d^-\\- id p^f und (r/2 m \\ A\\> d^ d p,
welchen man ersichtlich bei (r>0 genügen kann.

Ganz ähnlich verfiihrt man zum Nachweis dasz die Kurven
Co und A\'o sich vereinigen lassen, während es ohne weiteres
deutlich sein wird, dasz die Bedingungen für co und Sgo
gleichfalls harmonieren können.

Um aufzufinden mit welchen der X-Kurven die F-Kurve
do sich vertragen kann, haben wir zu beachten, dasz hierfür
cr = 0 ist, sodasz die Gleichung (*), S. 179 unter andern
^ = d zur Wurzel haben musz; deshalb sind So und ßo jetzt
total unmöglich.

Da die andere Wurzel, i =i 2 e^j \\ A\\, wohl gröszer als d
sein kann, ist die Kombination do, Soo sehr gut ausführbar.

In Hinsicht auf das Anpassungsvermögen der F-Kurve eo
bemerken wir, das bei den hierzu erforderlichen Bedingungen
ö- < 0 und I ö-1 < 2 w 1 ^ I die Wurzeln der Gleichung (*)
von entgegengesetztem Zeichen sind, sodasz So und lio nicht
mehr realisierbar sind; wohl aber Soo, denn diese erforderte nur
2 w d« I ^ I — 4 m e2 rf < I ö-1, was der Bedingung | a-1< 2 w (i® U |
nicht zu widersprechen braucht.

Mittels der S. 20 gefundenen Ausdrücke für A und a- gehen
die Bedingungen für a bis f in Fig. 3 über in:

für (ƒ): dieselben Bedingungen als für (é-), uur mit dem Unter-
schied, dasz in der dritten das Ungleichheitszeichen
durch ein Gleichheitszeichen zu ersetzen ist.

Es lie"\'t auf der Hand, dasz man die Bedingungen für a
leicht erfüllen kann, wenn a nur hinreichend klein gewählt
wird, was d\\^ = k auch sein möge.

Wenn wir die Terme mit in den Beziehungen für c
durch Multiplikation einander gleich machen, ergibt sich hier
sofort als erste Bedingung:

Wenn wir für e aus den Relationen (1) und (3) eine neue
Ungleichheit ohne « ableiten, finden wir als erste Bedingung:

bereits erfüllt ist, wenn wir nur der Beziehung (2) genügen,
ebenso, dasz die Erfüllung der Ungleichheit (3) zu gleicher
Zeit die von (4) enthält.

Es ergibt sich, dasz zu ihrer Kombination nur — 3
erfordert, wird, was also nicht zu einer neuen Bedingung führt,
sodasz die gefundene Relation

Zu dem Moment, worauf das Elektron in einer yj)-
Bewegung zwischen die Kerne hindurch passiert, =

Deswegen wählen wir dann | als Variable zur Berechnung
des Winkels, um welchen die Halb-ebene sich dreht, wenn
ein kleines Moment a hinzugefügt wird.

Der ganze Drehungswinkel beträgt- während der Zeit, worin
? von I2 wiederum bis I2 zurückkehrt:

wo ^ im ersteren Integral negativ und im letzteren positiv
zu nehmen ist, sodasz (vgl. S. 10): I •

Durch Hinzufügung von x hat die vorherige Wurzel = d
von X{i) =0 um etwas zugenommen und ist geworden:

m d^ A m e^ d ~ ff) 2 d\'
Bei konstanter A und ff ist dem Voranstehenden gemäsz
eine Funktion von a, deren Verhalten nur bei « = 0 unter-

Es hängt nun von der Ordnung dieser Unendlichkeit ab,
ob das fragliche Integral nach Multiplikation mit a: wohl oder
nicht für ^ einen endlichen Wert ergibt.

Möchte das Elektron bei seiner \'^)-Bewegung die ver-
längerte Achse überschreiten, also hinter .die Kerne herum
passieren, so würde dort, für a; = 0, vn = ± d sein, sagen
wir Vii — d.

Wählen wir jetzt n als Variable um den Einflusz eines
kleinen Moments « zu übersehen.

Der Winkel, um den die Halbebene (durch die Achse und
das Elektron) sich gedreht hat während der Zeit, dasz \'a von
Null wiederum zum ersten Male bis Null zurückgekehrt ist,
beträgt:

wo ^ im ersteren Integral positiv und im letzteren negativ \'
zu nehmen ist, sodasz:

Durch das Auftreten der kleinen Grösze hat die vorhe-
rige Wurzel = d von YM = 0 jetzt abgenommen bis
m = d — Gcc\\

Unter Benutzung der Formel für C ergibt sich schlieszlich:
= eine endliche Grösze X jt.

Da xi, X2 und Xs die Wurzeln der Gleichung Xo®(x) = 0
sind, welche nur zwei Parameter enthält, besteht zwischen
denselben die Relation:

Nun war das Moment um die Achse zu steigern, damit X2
bei konstanter xi zunähme. Dies ist aber gleichbedeutend
mit einer Zunahme\'von A.

Da — A im Nenner von T also abnimmt, wird es zum
Nachweis, dasz ^ Tj\'d > 0 ist, reichlich genügen, wenn ge-
zeigt werden kann, dasz :

bei Vergröszerung von X2 zunimmt, oder dasz das Umge-
kehrte dieser Grösze abnimmt.

Letzterer Fall liegt hier wirklich vor, da — selbst ver-
mindert, was leicht aus der entsprechenden Formel hervorgeht.

Trotzdem werden wir uns zuerst mit den (0 -}- >j)-Bewegungen
beschäftigen und zwar mit denjenigen, die nicht näher durch-
gerechnet wurden, nämlich den asymmetrischen.

Ist iizlns um etwas kleiner als 1/16 (S. 112), so lassen die
Kerne in den symm. (0 ;^)-Modellen sich nicht mehr ins
Gleichgewicht bringen, sondern treten dann drei asymme-
trische stationäre (0 >})-Modelle auf mit 112/113 <C 1/32. Vgl.
Fig. 13. Betrachten wir nun aus sämtlichen mechanisch-
möglichen Bewegungen nur diejenigen, wo mim einen be-
stimmten Wert besitzt (für die symmetrischen den verdop-
pelten Wert) und die zu gleicher Zeit stationär sind \'), so fangen
die asymmetrischen beim Atom mit iit = 0, «2, m an und
enden bei einer der drei Station, symm. (0 -]- ;^)-Bewegungen,
wo Hilm wieder auf Null zurückgekehrt ist, nachdem dieses
Verhältnis bei den allgemeinen Bewegungen mehrere Werte
durchlaufen hat.

Eine zweite Gruppe allgemeiner asymm. Bewegungen (die
wiederum stationär und mit demselben Wert mim versehen
seien) nimmt ihren Anfang in der zweiten stat. asymm, (0
Bewegung (nilm = 0) und verschwindet wieder bei der dritten
stat. (4) )^)-Bewegung, wo ihlm abermals zu Null abge-
nommen hat, nachdem allerlei positive Werte bei den allge-
meinen Bahnen passiert worden sind.

Wählt man mim um etwas gröszer als 1/16 (für die asymm.
Bew. 1/32), so hat man mit einem einzigen symm. stat. (0 j^)-
Modell und zwei stationären asymmetrischen zu tun.

Die erste Gruppe stationärer Bewegungen mit bestimmtem
Wert mim besteht dann ausschlieszlich aus asymmetrischen,
die sich vom Atom (iii = 0, m, m) bis eine der zwei stat.
asymm. [0 »^)-Bevvegungen erstrecken.

Eine zweite Gruppe umfaszt diejenigen asymm. Bewegungen,
die anfangen bei der zweiten asymm. stat. (0 -f jj)-Bewegung

\') Wir betonen die Analogie mit der Bemerkung auf S, 133, woMj/Wg
aber viel giöszer war. ÖS

wo Hl Ins — 0 ist und enden bei einer labilen Bewegung in
der Mittelebene, wo niAis noch einen bedeutenden Wert übrig
behalten hat. Darauf werden die Bewegungen symmetrisch
und behalten ihre Symmetrie fortwährend bei, bis schlieszlich
die letzte: die Station, synun. (cp }^)-Bewegung erreicht ist,
wo ni/na wieder verschwindet.

Diese Beschreibung ist darum von Belang, da sie uns
führen kann, wenn wir sogleich den Beweis für das Ausein-
andergehen der Kerne in der asymmetrischen (4) ^)-Be-
wegung liefern wollen.

In dieser bleibt (— c) konstant. Würde c = 0 genommen,
so hätte man mit den Liniitbahnen in der Mittelebene zu tun,
wofür nachgewiesen wurde, dasz die Kerne ungenügend an-
gezogen werden (S. 72).

Nehmen wir einmal an, dasz es wirklich stationäre {<p -f
Bewegungen gäbe, so würden sie eine Gruppe (na/ng = 0)
bilden, die aber nicht in zwei asymm. reine 0-Bewegungen
auslaufen kann, da diese nicht stationär sind. Werden die
Wege des Indexes durch Hyperbelbogen angedeutet, so sind
die Figuren 17 A und B als Abbildung dieser Gruppe also
unmöglich. Jedoch bleibt noch die Möglichheit der Figuren
G und D offen.

Die letzte Auffassung fällt aber unmittelbar fort auf Grund
der Bemerkung, dasz es in der Mittelebene keine stationären
Limitbahnen gäbe (S. 72), weshalb wir nur noch allein die

Beacliten wir dazu die Werte von n\\hH bei den ((p i)-
ßewegungen, wie sie aus der Fig. G hervorgehen wih\'den,
dann ist es sogleich deutlich, dasz dieses Verhältnis wieder
in sichselber zurückkehrt und demnach als Funktion irgend
eines Parameters durch eine geschlossene Kurve dargestellt
werden kann.

Da eine geschlossene Kurve und eine Gerade sich immer
in eine gerade Zahl Punkte durchschneiden, würde es also
eine gerade Zahl stationärer ((p I)-Bewegungen zu einem
bestimmten Wert von nJm geben müssen.

Denkt man sich nun sämtliche symm. und asymm. stat.
Bewegungen, wo ni/ns einen bestimmten Wert hat, so würde
die erste Gruppe sich vorn Atom (wo mlm^O ist) bis eine
der beiden stat. {<p ?)-Bevvegungen zu erstrecken haben,
wo nzlm wiederum den Wert Null angenommen hat.

Weiter würde die andere stat. (<p |)-Bewegung den Anfang
einer zweiten Gruppe bilden müssen. Aber dann würde man
umsonst nach dem Ende dieser Gruppe suchen, da keine
Station, (cp -f- ^)-Bewegung mehr übrig blieb.

(Hat es im ganzen 4 Station, (d) I)-Bewegungen gegeben,
so würde eine mit dem Atom zusammenhängen, zwei andere
gegenseitig mit einander, und die vierte wiederum allein übrig
bleiben.)

Der einzige Ausweg scheint noch die Annahme, dasz die
letzte Gruppe wieder zu derselben Station.. (cp |^)-Bewegung
wie im Anfang zurückkehre, aber dann würde diese doppelt
zu zählen sein und würde es eigentlich drei (im allgemeinen
eine ungerade Zahl) stationärer (cp ^)-Bewegungen gegeben
haben, was nicht mit der geraden Zahl Schnittpunkte einer
Gerade und einer geschlossenen Kurve übereinstimmen
würde.

Hiermit i?t schlieszlich jede Möglichkeit für eine stationäre
(cp I)-Bewegung ausgeschlossen worden.

Beweis nicht leugnen und musz deswegen sicherheitshalber
auf die numerischen Berechnungen von S. 79 verweisen.

Um das letzte Integral, ein vollständiges elliptisches Integral
dritter Gattung, auf unvollständige erster und zweiter Art zu
reduzieren habe ich dem Weg gefolgt, der im zweiten Band
des Compendiums der höheren Analysis von Schlömilgh (Ab-
schnitt VI aus „Die elliptischen Integrale") angegeben wird.

Diese Methode ist eine Verallgemeinerung derjenigen, nach
der Jagobi ein vollständiges elliptisches Integral dritter Gattung:

Für andere Werte von n führt sie aber auf elliptische Integrale
mit imaginären Amplituden, deren Behandlung nicht viel
schwieriger ist aber viel Arbeit erfordert.

Nachher entdeckte ich, dasz Legrende schon dergleiche In-
tegrale zu elliptischen erster und zweiter Gattung zurück-
geführt hatte und sogar für jeden Wert von n, wiewohl ihm
dies nur mittels unzusammenhängender Substitutionen ge-
lungen war.

Zur Bekürzung der Reduktion unsrer Integrale werden wir
von seinen, im „Traité des fonctions elliptiques" mitgeteilten
Formeln Gebrauch machen und dieselben mittels einer Trans-
formation, die ohne das obenstehende keinen Sinn haben
würde, zu den Ergebnissen meiner ersten Methode umbilden.

In unsrem Fall nun ist n = zi"^: [k^ ~ z-^)^ also w>0,
sodasz wir aus dem Werke Legendre\'s (Tome I, pag. 134)
die Formel {k\') anführen werden:

n ■ («, 0) = f ^ A (6, «) F\' (0) (c) F (S, 0) - F\' (c) E(l>,«) - E\' (c) FdJ

Unter Benutzung der bekannten Subtractionsformeln für
elliptische Integrale erster und zweiter Gattung erhält man
schlieszlich:

Jetzt können wir die Berechnung des Quantenintegrals
vollenden und gelangen dann sofort zu dem auf S. 100 schon
vorweggenommenen Resultat.

was leicht aus ä; > Zi > 22 erhellt, [z = k y, S. 82 und y < 1).
Infolgedessen zitieren wir die Formel (w\') von Legendre
(Traité I, S. 138):

Die Relation von Legendre (vgl. Zusatz 9) führt das rechte
Glied obiger Gleichung über in:

Wird dies in das zerlegene Quantenintegral eingetragen, so
entsteht sofort die auf S. 101 erwähnte Quantenbedingung.

Um den Verlauf der Cz-Kurve bei k = 0,25 zu unter-
suchen, braucht man zuerst das Verhalten von a in der Nähe
dieses ;L--Wertes festzustellen.

Auf S. 90 stellte es sich schon als sehr annehmlich dar,
dasz hier da\\dk=-0 sein würde, was sich folgendermaszen
analytisch bestätigen läszt.

Setzen wir nämlich Ä- = 0,25 ^ = ^o ^ und a = 1 — f,
wo ^ und s kleine Gröszen vorstellen.

Werden Zi\'^ und | | bis in die erste Potenz in 5 und s aus-
gedrückt, so geht die Stationäritätsbedingung über in:

Wird eine symmetrische Bewegung betrachtet, so gilt in
Fig. 13 in der Nähe der Teilungslinie

Den gefundenen Beziehungen d ald k = 0 und d\'ajd k\'^ = 0
gemäsz können wir £ = 0 setzen, wenn auch der Punkt noch
um einen Abstand d von der Teilungslinie entfernt ist, weshalb
im Ausdruck [Symm.] in:

Bei der «Berechnung des erwähnten Ausdrucks tut sich
noch die folgende Schwierigkeit vor:

Wie aus der Formel auf S. 100 hervorgeht, stöszt man hier
auf die unbestimmte Form 0 X zu welcher der Ausdruck

Die Formel für C\\ kann jetzt direct nach k differentiiert
werden. Trägt man noch k—^^ 0,25 ein, so wird erhalten:
Cz = 0,0034 und d Czid k = 0,207.

Handelt es sich über den Verlauf einer Ca-Kurve in der
Nähe von /<;=1, so brauchen wir zuerst wieder eine Be-
trachtung über die Funktion a für diese Werte von k voraus-
zuschicken.

und entwickeln die Wurzeln zi\'^ und —{zs\'^l der Gleichung
Z* (^■2) Q auf S. 86 bis in ^ genau, worauf die Stationäritäts-
bedingung sich schreiben läszt in die Form:

Nehmen wir /c = 1, also ^ = 0, so folgt der korrespondierende
Wert rto aus der Beziehung

= K(«o 1): 2 5 . n (ao) ^ • A («o)
und können die elliptischen Integrale mittels der bekannten
Diiferentialrelationen:

^ ¥/ ~ ^^ \'2 j ^ • ^^ . (ao).
In den durch g angedeuteten Funktionen kommen i^jj^o, ^

gehende in die ursprüngliche Relation (*) eingetragen, so
heben die Terne ohne ^ und s sich naturgemäsz heraus und

Benutzen wir noch die Beziehung (**) zwischen F und E,
so finden wir schlieszlicli:

genommen, so können «i^ und 122^1 bis auf 5 und ? genau
aus der quadratischen\'Gleichung auf S, 86 bestimmt werden,
wodurch sich k, r> a, | k, d \\ | ^ und

berechnen lassen, was uns wieder in die Lage bringt
^Q^Symm./dk ZU bestimmen. (Vgl. auf S. 106 und

Das Doppel-Integral in der Stationäritätsbedingung für die
allgemeine symmetrische Bewegung läszt sich dadurch zu
einem einfachen Integral reduzieren, dasz man das ^-Integral:

wo = -—^ 2 , wodurch die Stationäritätsbedingung die
auf S, 125 erwähnte Gestalt annimmt.

Da für die ganze Schluszfolgerung auf S. 137 nur das hinter-
einander maximal und minimal werden von E maszgebend
war, brauchen wir hinsichtlich der Kontinuität der Kurve in
Fig. 15 blosz nachzuweisen, dasz die beiden Teile der Kurve
im gemeinschaftlichen Punkt dieselbe Gerade zur Tangente
haben.

Wenn wir denn auch in diesem Zusatz von einem stetigen
Übergang sprechen, meinen wir nur eine Stetigkeit im oben
erwähnten Sinne.

Die Ordinate in Fig. 15 bildete nunmehr die totale Energie E,
bei festgehaltenen Quantenzahlen «1,^2, «3, als Funktion von
yi^ ab.

Nm- setzten wir bei den symmetrischen Bewegungen einen
doppelt so gröszen Wert für mim voraus als bei den asym-
metrischen.

Daran verdanken wir den stetigen Ubergang von ] ih \\ für
die Symm. Bew. in für die As. Bew. (Vgl. die obere Kurve
in Fi" 14), also auch die Stetigkeit von B und 6\', wie aus
den entsprechenden Formeln auf S. 117 hervorgeht.

stetig waren, kann dasselbe also auch von -Adle\'\' behauptet
werden, sodasz wir nur die Formel

Wir stellten uns zur Aufgabe auf der Grundlage der Quanten-
theorie einige Modelle für das Wasserstoffmolekül ion anzugeben.

Von dén beiden ersteren setzten wir anfangs voraus, dasz
sie ungeachtet der s. g. Mitbewegung als Abspiegelung der
Bewegung des Elektrons in Ruhe blieben.

Auf Grund ihrer enormen Masse erforderte dies nur, dasz
das Zeitintegral der auf dieselben einwirkenden Kräfte Null
sei, welche Forderung wir die Stationäritätsbedingung nannten.

Die Frage zur Auffindung der Bahn des Elektrons wurde
also zum Zweizentrenproblem zurückgeführt.

Die möglichen Bahntypen sind für unseren Fall (wo das
Elektron sich nicht unendlich weit entfernen darf) umschrieben
auf S. 17, insofern es ebene Bahnen sind und auf S. 24,
soweit sie zu den raümliehen gehören.

Hier war nur blosz die endliche Grösze des Ions berück-
sichtigt worden; alle anderen Forderungen waren noch auszer
acht gelassen, z. B. dachten wir uns die Kerne noch fest-
gehalten.

Natürlich verwarfen wir sofort diejenigen Bewegungen, wo
das Elektron unendlich nahe an einem der Kerne vorübergehen
konnte. (Vgl. Fig. 4, III, IV).

Ebensowenig waren die Modelle brauchbar, wo das Elektron
eine labile Bahn beschreibt.

Aus diesem Grunde fiel die Hälfte der Bewegungsformen
in der Mittelebene aus (V; Fig. 4 und V, XI Fig. 6).

Bei den «übrigen also den stabilen Bahnen des Elektrons
lieszen wir weiter die Kerne frei und fragten uns, ob für

Nach einigen Erwägungen ergab sich, dasz dies bei den
nachfolgenden Bewegungen gar unmöglich war:
bei den ebenen Bahnen I und II von Fig. 4;
bei den stabilen Bahnen in der Mittelebene (IV und X
Fig. 6);

bei der asymmetrisch gelegenen Kreisbahn (VI, Fig. 6);
bei der asymmetrischen räumlichen Bahn, die ganz auf dem
linken oder rechten Blatte eines Hyperboloids lag (XII, Fig. 6).
Auf diese Weise blieben uns nur

a) die symmetrischen und asymmetrischen auf einem Ellip-
soid gelegenen Bahnen und

Es liesz sich nachweisen, dasz die für beide Kerne aufge-
stellte Stationäritätsbedingung nur im wesentlichen auf eine
Beziehung hinausläuft, sodasz sie uns hier nur eine der drei, bzw.
vier benötigten Gleichungen besorgte, die zur Bestimmung der
Parameter des Modelles im Falle a bzw. h erforderlich waren.

Die übrigen Gleichungen ermittelte die Quantentheorie, denn
durch die Einführung elliptischer Koordinaten wurde die
Hamiltonsche Differentialgleichung für die Wirkung trennbar,
was eine direkte Anwendung der Bohr-Sommerfeldschen
Quantenformulierung ermöglichte.

Von den solchergestalt festgelegten lonmodellen sind einige
Angaben über Grösze und Form, somit die Gesamtenergie in
die Tabellen 3, 4 und 5 zusammengebracht.

Die asymmetrisch auf einem Ellipsoid gelegenen Bahnen
sind hierin nicht aufgenommen, denn der Kernenabstand würde
bei diesen mehr als 80 mal den kleinsten Radius des Wasser-
stotfatoms sein, was mir für ein Ion unwahrscheinlich grosz
vorkommt. \')

1) Möchte man diese Modelle dennoch kennen wollen, so wird es für
mich eine geringe Mühe sein dieselben aus schon erhaltenen Kurven
einmal abzuleiten.

Die Tabelle 5 für die allgemeinen asymmetrischen Bahnen
wurde nicht zur Berechnung von Lichtfrequenzen nach dem
Bohrschen Ansatz benutzt und zwar aus folgenden Gründen.

Die Stationäritätsbedingung war sowohl direkt als rhittels
der Adiabatenhypothese von Ehrenfest aufgestellt worden
und beide Resultate konnten nach einigen Transformationen
in einander übergeführt werden. Dadurch liesz sich nach-
weisen, dasz die stationärt^n Modelle bei festgehaltenen
Quantenzahlen einem extremen Energiewert entsprachen.

Bei den allgemeinen asymm. Modellen in der Tabelle 5
stellte sich dieser AVert immer als ein maximaler heraus,
wiewohl dies im allgemeinen kein notwendiger Nebenumstand
für die asymm. Bewegungen war.

Hieraus folgerten wir, dasz das Gleichgewicht der Kerne
in den in der Tabelle 5 enthaltenen Modellen labil war,
weshalb auch diese aus unserem übrig gebliebenen Vorrat zu
streichen waren.

Die in den Tabellen 3 und 4 erwähnten symm. Modelle
waren in Bezug auf den Stand der Kerne stabil.

Infolgedessen haben wir den Bohrschen Ansatz für Licht-
frequenzen nur auf Übergänge dieser Bahnen angewandt.

Zuvor überzeugten wir uns kraft des Bohrschen Korres-
pondenzprinzips, dasz nur bestimmte Kombinationen von
Quantensprüngen erlaubt waren (S. 160.)

Auf diese Weise wurden die Frequenzen aus der Tabelle 6
berechnet, wo ich die Genauigkeit der Wellenzahlen auf 200
schätze.

Diese Frequenzen sind also aus Übergängen von lonmodellen
mit ruhenden Kernen abgeleitet.

Da die Kerne aber noch um den Mittelpunkt des Ions
rotieren und ihrer Verbindungslinie entlang oscillieren können,
wird es neben jeder der soeben berechneten Spektrallinien
noch eine Menge Nebenlinien geben müssen.

Da die Winkelgeschwindigkeit bei den üblichen Rotations-
quantenzahlen dem gröszen Trägheitsmoment zufolge klein
war und die Oscillation wegen der gröszen Kernmasse als
eine adiabatische harmonische Schwingung zu betrachten war,

Auch beim Verspringen der Rotations- und Vibrations-
quantenzahlen waltet das Auswahlprinzip (S. 164).

Die aus den Rotationstermen stammenden Frequenzdifife-
renzen waren sehr klein, die von der Vibration veranlaszten
dagegen beträchtlich gröszer (S. 165).

Es würde also sehr schön sein und als eine vorläufige
Bestätigung der hier gegebenen Theorie (d. h. der Quanten-
theorie in ihrer heutigen Fassung) zu betrachten.sein, wenn
sich in der Nähe der in Tabelle 6 angedeuteten Stellen im
Spektrum mehrere Linien anweisen lieszen, die z. B. unter
anderen Umständen entstehen oder sich gegen magnetische
oder elektrische Einflüsse vielleicht anders verhalten mögen
als die übrigen, welche dann dem Molekül angehören könnten.
Untersuchungen hierüber werden im Institut für Theoretische
Physik der Universität Utrecht angestellt und möglichst bald
veröff\'entlicht werden.

Ein reines Rotations- (also: Ultrarot-) Spektrum irgendeines
symmetrischen Ions war auf Grund des Korrespondenzprinzips
nicht zu erwarten und dasjenige eines stabilen asymmetrischen
Modells konnte wegen der groszen Unwahrscheinlichkeit seines
Tragers (Kernenabstand gröszer als 80 X den kleinsten Radius
im Wasserstoffatom) unmcghch in Betracht kommen.

Über eine dritte Prüfungsmöglichkeit der Theorie (mittels
lonisierungsspannungen) lese man Abschnitt XI.

Auch werden dort einige Einwände gegen Frangk\'s Auf-
fassung erhoben, nach weicher das Wasserstoffmolekül bei
einer Spannung von 30,4 Volt in ein Ion und ein Elektron

Vermutlich hat Franck seinen zuerst eingenommenen Stand-
punkt, dasz das Molekül bei dieser Spannung in all seine
vier Bestandteile zertrümmert würde, zu bald verlassen.

bewiesen werden, deren man drei auf S. 93 erwäimt findet,
während auf S. 138 von einem bestimmten lonmodell gezeigt
wurde; dasz dasselbe unter allen gequantelten stationären lon-
modellen mit stabiler Elektronenbahn und stabilem Kerngleich-
gewicht die kleinste Energie besitzt.

Wenn die ersten Abschnitte meiner Dissertation schon unter
der Presse waren erschien in den Annalen der Physik eine
Abhandlung über dieselbe Frage und zwar von der Hand des
Herrn W. Pauli Jr.

Deshalb habe ich in einem 16 Okt. in die Annalen einge-
gangenem Artikel, der in kurzem erscheinen wird, meine Ta-
bellen und eignen Ergebnisse mitgeteilt, die fast alle die-
jenigen des Herrn Paüli umfassen und seine Arbeit gerade
dort ergänzen, wo er mehrere Fragen offen liesz.

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i

■ -, ■ I ■.- r

■ - ■

De bewering, dat Kalium en Rubidium radioactief zijn, is
nog niet voldoende gemotiveerd. (Sommerfeld, Atombau und
Spektrallinien, 3er Aufl. S. 66.)

Door een relativistische behandeling van het tweelichamen-
probleem heeft men aangetoond, dat in het waterstofatoom
(hetwelk in de quantumtheorie tot de ontaarde problemen
behoort) slechts de op poolcoördinaten betrekking hebbende
impulsen gequantiseerd moeten worden. Dit kan ook langs
een geheel anderen weg worden bewezen.

Eenige verschijnselen in het zonnespektrum zullen een
periodiciteit van 11 jaar blijken te bezitten.

De numerieke overeenstemming, die Silberstein in the
Astrophysical Journal (Sept. \'22) in vele gevallen verkrijgt,
wettigt nog niet de veronderstelling, dat de electronen in het
Heliumatoom elkaar niet zouden afstooten.

De door Mighelson ingevoerde grootheden C en S (noodig
ter bepaling van de energieverdeeling in een spektraallijn)
waarvan Drude in zijn Lehrbuch der Optik, blz. 146, beweert,
dat zij door waarnemingen in den Interferometer niet van

elkaar Ie scheiden zijn, ook al beschikt men over een ge-
voeligen, snel regisireerenden photometer, kunnen beide recht-
streeks bepaald worden door een wijziging in den interferometer
van Mighelson aan te brengen.

Bij het toepassen van het correspondentiebeginsel van
Ghasles moet men soms met groote omzichtigheid te werk gaan.

Ten onrechte doet Schlömilgh het in zijn Compendium der
Höheren Analyse, Band 11, S. 345, voorkomen, alsof de
formule

De herleiding van een elliptische integral tot haar nor-
maalvorm kan soms veel overzichtelijker geschieden dan in
ScuLOMiLcii\'s Compendium behandeld staat.

Er wordt meestal te weinig de aandacht gevestigd op het
feit, dat een partieele integratie gemakkelijk tot fouten aan-
leiding geven kan.

Het schijnt, dat de wet van Titius-Bode niet verklaard kan
worden door een hypothese, die eenige analogie met de
Quantumtheorie vertoont.

k	a	i 2 i Zi" 1		k	a	0 Zl~
0,63	1	0,075	0	0,84	0,8795	0,663	0,0791
0,67	0,9965	0,242	0,0044	0,86	0,8685	0,707	0,0837
0,685	0,9900	0,283	0,0113	0,88	0,8585	0,751	0,0876
0,70	0,9805	0,325	0,0199	0,90	0,8495	0,794	0,0910
0,72	0,9660	0,378	0,0312	0,92	0,8410	0,836	0,0940
0,74	0,9495	0,429	0,0424	0,94	0,8335	0,878	0,0965
0,76	0,9340	0.478	0,0517	0,96	0,8265	0,919	0,0988
0,78	0,9190	0,526	0,0600	0,98	0,8205	0,960	0,1009
0,80	0,9050	0,573	0,0672	1,00	0,815	1	0,102
0,82	0,8920	0,619	0,0734
TABELLE 2.
k	a			k	a	0 Zl"	0 Z2
0,63	1	0	0	0,84	1,618	0,574	0,355
0,68	1,008	0,259	0,0095	0,86	1,83	0,617	0,423
0,70	1,026	0,302	0,0280	0,88	2,11	0,662	0.493
0,72	1,056	0,342	0,0550	0,90	2,52	0,708	0,572
0,74	1,099	0,380	0,0890	0,92	3,18	0,752	0,665
0,76	1,157	0,418	0,130	0,94	4,30	0,791	0,769
0,78	1,233	0,456	0,178	0,95	5,12	0,824	0,803
0,80	1,333	0,494	0,233	0,96	6,37	0,857	0,841
0,82	1,455	0,534	0,290,	1,00	00	1	1

"3	«2	Totale Energie gemessen in	k	a	Kernen- abstand gern essen in r„.	2
	1 2 3 4 5	- 0,516 - 0,304 — 0,198 — 0,138 -0,102	0,780 0,843 0,878 0,900 0,915	0,9190 0,8780 0,8595 0,8495 0,8430	5,53 11,5 19,5 29,4 41,0	0,864 0,943 0,968 0,980 0,986
2 2 2 2	1 2 3 4	-0,176 — 0,129 — 0.098 — 0,076	0,725 0,780 0,817 0,843	0,9620 0,9190 0,8940 0,8780	13,4 22,1 33,1 46,0	0,743 0,864 0,916 0,943
3 3 3	1 2 3	- 0,087 -0,071 — 0,058	0,701 0,746 0,780	0,9800 0,9450 0,9190	24,9 36,1 50,0	0,666 0.797 0,864
4 4	1 2	— 0,051 - 0,044	0,686 0,725	0,9895 0,9620	39,6 53,6	0,608 0,743
5	1	— 0,034 \\	0,675	0,9950	57,2	0,561

				1					2d ro	Totale En.	Maximale ih -zugege- "3 bener
n.	«3	«3	Wj				iCi		gemessen in Nh.
1	1	1	1	0,1111	0,887	0,0001	1,043	2,34	10,6 ns\'	0,125	1,031

1	2	1	1	0,25	0,776	0,0005	1,090	2,20	5,34^3\'	0,254	0,535
2	2	r\\ O rr -4
1	3	Î	1	0,36	0,694	0,0001	1,135	2,15	3,83 ws\'	0,371	0,364
3	3	y-v H C\\ -i
1	4	1	1	0,4444	0,632	0,0003	1,180	2,07	3,10 ws\'\'\'	0,481	0,272
4	4
2	1	1	2	0,0625	0,950	0,017	1,029	1,93	19,3 ns\'	0,110	1,94

2	2	1	1	0,16	0,882	0,014	1,069	1,91	8,25 rîs\'	0,248	1,031
2	«3^

			2d
0,34	1,014	1,45	39,6 na
0,365	1,032	1,45	17,9 na
0,26	1,063	1,54	9,68 W3
0,25	1,083	1,55	7,49^3

Ans	A m	A Hl
0	ungerade (pos. oder neg.)	beliebig (pos. oder neg.)
1	gerade ( , „ „ )	» ( » I) » )
— 1	n ( » » !f )	» ( » » » )

Anfangs- zustand.	End- zustand.	1 (cm.-i)	Anfangs- zustand.	End- zustand.	1 (cm.-i)
m	m	Ms	m	\'IH	"3	ni	Ih	ns	ni	i ! IH	»3
0	3	2	0	3	1	10950	1	3	2	0	3	1	16000
0	4	2	0	1	2	10950	0	2	2	0	2	1	19200
0	3	1	0	2	1	11650	1	1	1	0	2	1.	19650
■ 2	2	2	0	4	l	11750	0	5	1	0	2	1	22150
1	2	2	0	1	2	12500	0	2	1	0	1	1	23250
0	3	3	0	1	2	12950	1	3	1	0	2	1	23800
2	3	1	0	1	2	13400	0	4	2	0	2	1	25000
1	1 4	2	0	3	1	14700	1	2	2	0	2	1	26550
1	1	0	3	1	14700	2	3	1	0	2	1	27450
1	1	3	0	1	2	14800	2	2	2	0	2	1	29950
2	2	2	0	1	2	15900

	Ion.		(X—I) 13,5	13,5/
"l		«3	Volt	Volt.
0	1	1	23,5	7,0
0	1	2	26,4	4,1
0	1	3	27,8	2,7
0	2	1	28,1	2,4
0	1	4	28,6	1,9
0	2	2	28,8	1,7
1	1	1	28,8	1,7

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