ACADEMISCH PROEFSCHRIFT TER VER-
KRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR
IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE
RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT. S OP
GEZAG VAN DEN RECTOR-M AGNIFICUS
Dr.A.J.P. VAN DEN BROEK. HOOGLEERAAR
IN DE FACULTEIT DER GENEESKUNDE.
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER
UNIVERSITEIT. TEGEN DE BEDENKINGEN
VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUUR-
KUNDE TE VERDEDIGEN. OP MAANDAG
17 DECEMBER 1923. DES NAM. TE 4 UUR.

\'i-Vt-.n^tA-J^ Wî-^^iiiVV-ffaOT^lTJUrîA-^ 3« t^ AV
/\'^C^^^tA^M «o 3T 3av\'i0>i

Bij hel voltooien van tlit proefschrifi is hel mij een aan-
gename taak, mijn oprechten dank te hrongfn aan allen, die
tot mijn wetenschappelijke vorming hebben bijgedragen.

In de alleroerslo plaats geldt mijn dank U, Hooggeleerde
OnNSTEiN, nooggeachte Promotor. Dat ik reeds in het begin
van n)ijn sindielijil een bijzondere voorliefde begon te gevoelen
voor de theoretisdie natnmknnde, is grootendeel.s te danken
aan ilen krachtigen invloed, die steeds van Uw persoon en
van Uwe lessen uitging. Dnor Uw nnverflauw<l wetenseliap-
pelijk enlhonsinsme, en de warnie belangstelling, die Rij allijd
voor mij getoond hebt, in hel bijzonder ook bij do bewerking
van dit proefsrhrift, is het werken onder Uwe leiding steeds
even leerzaam als opwekkend en aangenaam geweest. Ik
beschouw het dan ook nis een groot voorrecht, Uw leerling
te zijn.

Hooggeleerde Horn, de bijzondere harlelijkheid, waarmee
fiij mij in Gillingen hebl ontvangen, cn de gulheid, waarmee
Gij Uwen zoo kostbaren lijd voor mij beschikbaar hebl gesteld,
zullen mij met dankbaarheid blijven vervullen. Dat ik onder
Uw toezicht dit proefschrift heb mogen bewerken, wordt door
mij bijzonder op prijs gesteld. De vele uren, op Uw slndeer-
kamer doorgebracht, zullen mij onvergetelijk zijn; voor alles,
wal ik daarbij van U geleerd heb, zal ik U steeds dankbaar
blijven.

Hooggeleerde Jüi.ius, de jaren waarin het mij vergund was,
als Uw assistent werkzaam te zijn, behooren in vele opzichten
lot de aangenaamste van mijn studietijd. In dien tijd heb
ik Uwen vriendschappelijken onjgang loeren waardeeren, en

van Uwe diepdoordachte lessen genotenV Voor de oübekrompen
wijze, waarop Gij mij steeds tijd voor eigen studie gelaten
hebl, ben ik U oprecht dankbaar.

Hooggeleerde de Vries, Uwe boeiende, duidelijke colleges,
vooral in de differentiaalrekening, zullen mij in dankbare
herinnering blijven.

Dat Gij de Utrechtsche Universiteit hebl verlaten, Hoog-
geleerde Denjoy, heeft me zeer gespeten. Met belangstelling
heb ik Uwe lessen in de wiskimde gevolgd.

Hooggeleerde Niji.and, Zeergeleerde Moi.l, ik ben U zeer
erkentelijk voor hetgeen Ge tot mijn wetenschappelijke vor-
ming hebt bijgedragen.

§ 7. Systeme mit einer ;)-zi1hligen Symmetrieachse, /)Sym-
metrieebenen durch diese Achse, und senkrecht zu
diesen, einer Symmelrieebene, welche p zweizahlige
Symmetrieachsen enthrdt.........49

§ 9. Systeme mit einer />-ziHiligen Drehspiegeiungsachse,
q Symmetrieebenen durch diese Achse, und q zwei-
zahligen Achsen einfacher Symmetrie senkrecht zu
der ersten Achse............58

Vorliegende Arbeit ist entstanden ans dem Versuch, einen
ßcilrag zu liefern zur theorelischen Deutung der Heobachtnngen
über das Renexionsvennogen ultraroter Strahlung an Kristnll-
oberflächen. Die wichtigsten experimentellen Untersuchungen
über diesen Gegenstand sind für das Jangwellige" Spektral-
gehiet \') von II. Hiiitm und seinen Milarheitern angestellt
worden. He.snnders interessant sind auch die Messungen von
Ci-. ScuÄKKit und M. SciiuiiEnr im ,kurzwelligen" Speklral-
gebiel. Das Ergebnis (lie.«;er Messungen lässt sich im allgemeinen
.so au.ssprei;hen: das Hellexionsvernidgen hat an den meisten
Stellen des Spektrums einen verhiiltnismässig geringen Werl,
steigt aber bei gewissen Werten der WelleiilAnge än.sser.st
schnell, und gib! ein .«stark ausgeprägtes Renexionsmaximnm. *)
Die.se Retlexionsmaxima liegen bei den ver.schiedenen Kristallen
an vorschiedenen Slellen des Spektrums; auch die Anzahl
die.ser Maxima ist in IioIkmu Mas.se von der Art des behelTejiden
Krislalles abliAngig.

Nach der heutigen Vorstellung über die Struktur «ler Kristalle
kann man diese Erscheinungen sehr einfach deuten. Ein Kristall
ist nämlich ein Hanmgilter, dessen Hausteine aus — im all-
genujinen elektrisch geladenen - Atomen gebildet sind. Diese

\') I>nmit pflogt ,„ft„ ,1„« ypok(rnIg.-l)io(. iiiii Wollfinlangon grösser nl«
etwa 20 /< nnziuloutcii. 1)«« nitrnroto .S|H-ktrnlgobiot m,it kloincron Wellen-
liiiigcn hoitist iln« «kurzwi-liigfi. OcImcI.

\') II. lUiniCNS, HnrI. Ihr. IDl.r, S. 4; Tu. Likiuhch n. H. UmKNs,
Ik\'tl. Her. 1010 S. 108 u. 87(5. Nähoro Literntnrftngabo Hiohe Kncykl. d!
M»ih. WiNscuHchaftci» V. 2, 5, Art. von M. Iloiix. S. (322.

•j Ci.. SdiärKii n. imautha Scuuhkut, Ann. d. Ph. (1) W (lUiü)
S. 283; Zl^chr. f. l\'hy«. 7 (1021) S. 2i)7. Ö. 300 n. S. 313.

*) Siehe dio Figuren in Knp. IV, wo das lloflo.xionftvp.nnr.gen als
Funktion der Wpllenlängo graphisch darge-xtdll wird.

können, wie aus der allgemeinen, von M. Born ausgebildeten,
Kristalllheorie hervorgeht, im Gitterverbande gewisse Eigen-
schwingungen ausführen, und zwar in endlicher Anzahl.
Fällt nun auf den Kristall eine elektromagnetische Welle von
einer Schwingungszahl die der Schwingungszahl einer solchen
Eigenschwingung gleich, oder doch wenigstens annähernd gleich
ist, so kann diese Eigenschwingung unter Umständen diuch
Resonanz besonders stark angeregt werden, wobei die Energie
dieser Schwingung der Energie der Strahlung entnonuiien
wird. Es tritt also eine starke Absorption der belroflendcn
Strahlenart ein. Andererseits findet man aber auch eine be-
sonders starke Reflexion, da bekanntlich nach der Maxwellschcn
Theorie das Reflexionsverniügen nahezu in gleicher Weise mit
dem Extinktionskoenizienten ab und zunimmt. ■\') Ist dagegen
die Frequenz der autTallenden Slrahlnng von den Kigun-
frequenzen des Gitters merklich verschieden, so konunt keine
Resonanz, und also auch keine besonders starke Absorption
und Reflexion zustande. .Icdes Reflexionsmaxininni bezieht sich
daher auf eine im Krlstallgitler vorhandene Eigonsrhwinginig.
Damit ist das Problem dieser „Restslrahlcn" auf das Problem
der Eigenschwingungen der Kristallgitter znrückgofrihrl. Um-
gekehrt \'gilt aber nif.ht, dass jede im (Ülter mögliche Eigen-
schwingung eine aus.serge\\vöhnlich starke Rofloxion gleich-
frequentor Strahlung vftranla.ssl. Um dies oinziisehen niuss
man bedenken, dass der Einfluss der Strahlung, (li(* wir innnor
als polarisiert voraus.setzen wollen, auf die lonon im (liilor als
die Wirkung eines homogenen elektromagnelischon Wechsol-
feldes zu betrachten ist, weil die hier in Rotracht kommenden

M. IJoIiX: Dynamik- «Icr KriHtallgilter. M. Bouk: Ztschr. f. Pliyn.
7 (1021) 8. \'217; 8 (M»22) H. .m Kncykl. il. Mnih. W. V. 2. An.
von M. Bokn über Atomlhi\'orio (1(« fosJon Ztintandm.

\') Die hier ange«U>Ule Ilotrachlung IwzwM\'kt nur, ein ziemlich rohw
Hild von don Vnrgängflu zu rntworfdu. In Wirklichkoil «in«! dio Kigon-
fre<iuenz und die Frequenz maximaler Uefloxion nicht gonati gliMch. Da
vorliegende Arbeit jmloch keine nuincriflohcn It<H>hnuugcn i\'Uthält, inl
die-^cr kleine Untcrnohiwl hier bßlanglo«. Vgl. K. FöliSTKni.iNd, Ann. il,
Phy«. (4) 61 (1920) S. 577.

Wellenlüngen des ultraroten Spektrums sehr gross sind im
Vergleich zu den Abständen der Ionen im Gitter. Dabei kann
man, wie fast immer in solchen Fällen, den Einfluss des
magnetischen Wechselfeldes gegenüber den des elektrischen
Feldes vernachlässigen, und also die Strahlung als ein
elektrisches Wechselfeld auffassen. Nun ist aber klar, dass
• irgendeine Eigenschwingung nur dann von dem Wechselfelde
angeregt werden kann, wenn bei dieser Schwingung ein
elektrisches Moment\') auftritt mit einer von Null verschiedenen
Komponente in der Dichtung des Feldes: sonst kann ja die
Strahlung keine Arbeil an dem schwingenden System leisten,
und also auch nicht dessen kinetische Energie vergrussern.
Es gibt demnach zwei Fälle, wo keine stärkere Heflexion
anftrilt, obwohl die Frequenz der Strahlung genau einer Eigen-
freqnenz des Gilters gleich ist. Erstens ist dies der Fall, wenn
der elektrische Vektor der einfallenden, polari.sierlen Strahlung
senkrecht zum Vektor des bei der Eigenschwingung auflretendon
elektrischen Moments steht, und zweitens wenn das elektrische
Moment der Eigenschwingung Null ist. Eigenschwingungen
der letzten Art werden wir innklir nennen, im Gegensatz zu
den Schwingungen mit einem von Null verschiedenen elek-
trisclien Moment, di(> akUv lieissen. Um zu entscheiden, ob
eine hestimmte Eigenfrequenz des Gitters aktiv oder inaktiv
ist, ist es nötig die Schmmjinmsjonn zu kennen, .d.h. man
nmss wissen in welcher Weise die Ionen gegen einander
schwingen.

Die vollständige Deutung des experimenlellen Materials
wurde mm nach obigen Melrachlungen zu der folgenden, sehr
mnfanpreichon theoretischen Aufgabe fuhren: Man müsste für
jedes beliebige naumgitIcM- die Schwingungszahlen der Eigen-
schwingungen und die ilax.u gehörigen Schwingungsformen,
sowie die Anzahl der optisch aktiven und inakiiven Schwin-
gungen und die Dichtung des elektrischen Moments be-

M nioflor Ilogriff wird nn diwor Stelle als nna der Kxi>crimontnlphy«ik
l)oknnnl vorniisgoflelzt. Spülcr (S. 10) wird dio geimiio, für HUsercn Zweck
gpfignol«? Düfinitioii nngogehcn.

Konstaiile nicht mehr aus, und zwar wächst die Anzahl dieser
unbekannten Konslanlen sehr schnell mit der Anzahl der
Ionen. In dipsen Fällen fehlt inmier das nötige experimentelle
Material zur Hereclinung dieSer Konstanten, und damit ist
vorläufig die Möglichkeit zur theoretischen Berechnung der
Elgenfroquenzen abgeschnitten. \')

Was den zweiten Teil der auf Seile 3 fornuilierten, allgemeinen
Aufgabe belritVt, nämlich: die Bestimmung der Schwingungs-
formen, der Anzahl optisch aktiver und nicht-aktiver Schwin-
gungen, und der Richtung des elektrischen Moments bei
aktiven Schwingungen, dafür lässt sich eine Lösung linden,
die der Sache beträchtlich weiter auf den ürund geht als
dies bis jetzt geschehen ist.

Ebenso wie die Berechnung der Schwingungszahlen, so
gehört auch die i\'olUUindhje Hestinnnung der Schwingungsl\'orm
zu den numerischen Rechnungen. Jedoch stellt sich heraus,
dass es nu)glich ist, durch Berücksi.chtigung der Si/ininrlric-
eii/nisrliaf/vn des Raumgitters sehr viel über die Sohwingungs-
fornien zu erfahren, und die Frage nach tier Anzahl aktiver
und inaktiver Schwingungen und nach der Richtung iles
eleklrischen Moments gewi.ssermassen vollsländig zu lösen.
Die Untersuchung nach dem Einlluss der Kristallsymmeli-Te
auf die Eigenschwingungen bildet den llauptgegensland die.ser
Arbeit. Wa.s sich hierbei über die Schwingungsformen ergibt,
hat an .sich nur ein theoretisches Inleresse, da eine direkte
Prüfung wohl nicht möglich ist. Dagegen sind die daraus
abgeleiteten Schlüsse hinsichtlich iler Fragen, die sich auf
das elektrischo Moment beziehen, de.shall) wichtig, weil sie
ilirekt mit der Eifaluung verglichen werden können. Man kann
mit Recht holTen, dass sich daraus, wenn vollständigere
Messungen des Rellexionsvermögens ultraroter Strahlung vor-
liegen, eine .Methode ergeben wird, um die durch Röntgen-

\') I\'^ wiiro viullcichl müglich, iiwh oinigo oinfncho (Jiltor zu fiiulen,
tlio zu iiumenVchrn Itijchnuiigcn gocigncl Bind; doch wäro kaum r.u
crwnrlcii, dnsn hulclio llochnuiigcn den Kinblick in dio Natur der Sache
weöcnUich verliofcn würden.

stimmen. Diese Aufgabe ist nur in wenigen, sehr einfaclien
Fällen gelöst worden. Hier sind an erster Stelle die von
Af. Born ansgeffdirten Rechnungen bei den Alkali-HaloTden,
Zinkblende, Flnssspat, usw. zu erwähnen Das Ergebnis
dieser Rechnungen stimmte zum Teil sehr gut mit der Er-
fahrung überein, bei den Silber- und Thalliumsalzen dagegen
ist diese Übereinstimmung weniger befriedigend.

Wir wollen uns nun klar machen, inwiefern eine Weiter-
bildung der Theorie für verwickeitere Gitter Erfolg verspricht.
In sämtlichen oben aufgezählten Fällen gibt es nm- eine
aktive Eigenschwingung, die dadurch entslelit, dass das Gitter
der Metallionen als starres Gebilde gegen das ebenfalls starre
Gitter der übrigen Ionen schwingt Die Frequenz der Eigen-
schwingung hängt demnach nur ab von den bekannten Massen
der Ionen und den Bindungskräften zwischen den Ionen dieser
beiden Gitter. Diese lassen sich nach der Hornschen Theorie \')
in einer Konstante znsannnenfassen. Da man über die Grössen
der Bindungskräfte zwischen den Ionen bei der grossen Un-
bestimmtheit der Rohrschen Vorstellungen über den Rau der
Elektronenhüllen noch üehr wenig Quantitatives sagen kann,
muss man diese Konslanle ans anderen Kristalleigensclialten
zu bestimmen versuchen. Das ist nun in oben erwähnten Fällen
mit Hilfe «ler Konq)ressil)ililäl und Dielektrizitätskonstanle
auch wirklich gelungen.

(ieht man nun aber über zu Kristallen, die ans mehreren
lonenarten zusannnengesetzt sind, so kommt man mit einer

\') wiiro auch fiohr wiiiiHchcnswert, rtwan näher nnf (lieKrngo hetrcff«
den Ab^oliilwcrt den UcfIcxionRvormögon» al« Fnniction dor Frociucnz <lor
nnrrnltendcn Strahlung und dor Tonipornliir cingphon zu könnoii. Holungo
CS abor noch kciiio Thoori« diT lMiergic<li!»hipalion in ICriAlnlioii gibt i«l
daran nicht zu denken.

\') M. IloKN. IJcrl. Ber. 1018 H. (M)l; Phy-. Ztsrhr. 1!» (1!»18) .S.
Ann. tl. rh}H. Gl (101!)) H. 87; Vcrh. d. Dcnlnoh Pliy«. des. 21 S. 100,
M. Ih)iiN n. K. BoitMANN, Ann. d. Phyf«. »IJ (l!t2n) S. \'Jlfi. .\'^irhn
auch: W. l)i:in.iNfii:R. I\'hyi». ZtHchr. 15 (lOl t) S. 27(1.
\') Vgl. Kap. III.
*) l.c.

Was nun die Methode betrilll, sei Folgendes bemerkt: Es
gibt nach Sciiönflies i230 nach ihren Syinmetrieeigenschaften
verschiedene f^aumgitter; jede Symmetrieart ist durch eine
der 230 räumlichen Gruppen von Deckoperationen definiert.
Die oben formulierte Aufgabe führt also dahin, dass man für
jedes Punktsystem, welches eine dieser räumlichen Gruppen
zulässt,die verschiedenen Schwingungsformen und das Verhaltbn
des elektrischen iMoments untersuchen nmss. Das Problem in
dieser Form anzugreifen, wäre sehr nu\'ilisam. Glücklicherweise
kann man die Sache erheblich vereinfachen, wenn man bedenkt,
dass nach dem Gesetz des Isomorphjsmus der 230 räumlichen
Gruppen mit den 32 Punktgruppen, die bekanntlich die 32
Krislallklassen be.stiuunen, eine enge lieziehung besteht zwischen
den Symmetrieeigenschaften <ler miendlichen Gllter und den
Synunetrieeigenschaften der endlichen Punkt-systumc. Es liegt
also der Gedanke nahe, zuerst die Theorie tler endlichen
Punktsysteme zu entwickeln, und dann eine allgemeine Methode
zu suchen um die dort erhaltenen Resullate auf die unond-
lichen Raumgitter auszudehnen.

In der Weise erreicht man zwei wesentliche Vorteile: Erstens
ist die Theorie der Eigenschwingungen endlicher Punktsysteme
an sich physikalisch wichtig. Es gibt nämlich in vielen Kristallen
gewisse lonengebilde, wie C\'Oj , i\\ (h , <S(h , usw., die diu ch
besonders starke Kräfte zu.sannnengehalteu wenlen, in der
Weise, dass man in erster Näherung die imieren Schwingungen
als unabhängig vom Gitlerverbande an.sehon darf. Die Deutung

\') Mohr nlrt die Möglichkeit zur nachträglichen l\'rüfuwj knnn dnln-\'i
nicht horauMkommcn, An eino (h\'llcrbcslwnnuny wl nicht zu denken, <1a
natürlich die durch UcfloxionHmertNungon gefundenen Uu«uItalo keine
eiudeuUgcn SchlÜHHo auf die Ciiltcrutruktur gestatten.

\') Siehe A. SoHöNKi,iK8 I.e. S. 3(1«. Eine kurze ZuNamnionfa«hUng der
für unseren Zweck wichtigsten Ilcnultato der Theorie «1er Kaun]grui)|>cn
werden wir in Kap. III, § 1 geben.

der Reflexionsmaxiina, die mit diesen inneren Schwingungen
zusammenhängen, führt also sofort auf das Problem der Eigen-
schwingungen endlicher Punktsysteme. Auch in der Theorie
der Zerstreuung des Lichtes wird man zum selben Problem
geführt: in einer Arbeit über diesen Gegenstand hat M. Born \')
die Frage nach den Eigenschwingungen von Punktsystemen,
die eine Gruppe von Üeckoperationen zulassen, zum ersten
Mal gestellt, und dieselbe für einen speziellen Fall gelöst.

Ein zweiter Vorteil ist, dass eine Untersuchung sämtlicher
230 theoretisch möglichen Gitter nun überlh\'issig wird, wenn
man nur in jedem speziellen Fall nach einem allgemeinen
Prinzip festslellen kann, wie man die bei den endlichen Punkt-
sy.stemen erhaltenen Resultate auf die Raumgitter ausdehnen
muss. (Siehe Kap. III). Dies leuchtet um.sü mehr ein da nian
weiss, dass in der Natur nur eine verhältnismässig geringe
Anzahl dieser Gitter vorherrscht.

\') Nämlich für oiullicho fciyBtcmo, »lio ilio O|iornlinticii ilor Viororgnipim
ztilaKfoii, uhiH» hjK\'zIcllo ncrückHichtigiing dor I\'iinklo nnf «icn Syniniulrio-
nehHcii. Ik\'i «lom Vcrnuch, die«o Theorie weilerznhiidiMi, und r.wur in Ilczug
nnf die Synlemo mit clor Tolrttodergru|i|»o, hat hich ein Vergehen oinge-
■«chlichou.

Wir belraclilen ein beliebiges, endliches System, zusam-
mengesetzt aus s Partikeln Fi .. . Pk . . . P» mit den
Massen mi . . . ink . . • und den elektrischen Ladungen
ei ... et .. . e,. Es wird vorausgesetzt, dass zwischen den
Partikeln nur Zentralkräfte wirken, unter deren Einlluss das
System in stabilem Gleichgewicht ist.

Wir suchen nun Schwingungen dieses Systems mit der
Frequenz w, wobei die Partikel iV mit den Amplituden Ui
schwingen. Die Komponenten dieser Amplituden nach den
drei Achsen eines rechtwinkligen Achsensyslems seien:
t/ky, und Uk,. Man weiss nun aus der analytischen .Mcchanik,\')
dass diese Schwingungen bestinnnt werden durch 3.s lineare,
homogene Gleichungen zwischen den Ampliludenkonqmnenlen,
deren KocITizlenten lineare Funktionen von w^ sind. Man kann
diese Gleichungen so schreiben, dass nur die Ilaupidiagonale
der Üeterminanle dieser Gleichungen dio Tenne mit enthält.
Als allgemeine Form kann man also angeben

V} bedeutet eine Summation über x, y und z. Die Symbole I M
sind Abkürzungen für gewisse, reelle Konstanten, die für jedes

*) Die Bezeichnungen «ind den Arl)citon von M. HoR.v (I.e.) entnommen,
um später einen bequemen Übergang zu den unendlichen Gittern zu haben.

Werlepaar (A-, k\') und für jede Kombinalion (.r, y) definiert
sind; ilwe Grösse wird besliniml durcli die Kn\'dle zwischen
den Ionen, und die Slrulvtur und Dimensionen des Punkt-
systems. Dieselijen Konstanten treten audi auf als Koetlizienten
im Ausdruck für die potentielle Energie, geschrieben als
homogene quadratische Funktion der Verrückungen der I^irlikel
aus ihren Gleichgewichtslagen.

Die 3 s Gleichungen (1) ergeben nur dann eine von Null
verschiedene Lösung für die Amplitudenkomponenten, wenn
die Determinante A der Koetlizienten verschwinilet. Das gibt
eine Gleichung des 3 ^ ic" Grades in oj\'^ deren Wurzeln
sämtlich reell und positiv oder Null sind \')• 2u jeder Wurzel
kann man mit den Gleichungen (1) die Verhältnisse der
Amplitudenkomponenten berechnen. Es gibt also Frequenzen,
uml zu jeder Frequenz gehört eine charakteristische .Schwin-
gungsform. Anders wird es jedoch, wenn die Gleichung A = 0
eine oder mehrere mehrfache Wurzeln hat. Nach einem all-
gemeinen \'riieorom *) sind nämli(;h von den 3 .s Gleichungen
(1) nur (3.S— /.) von einander unabhängig, wenn man in ilie
Koellizienten für o; eine /.--fache Wurzel der Gleichung A = 0
einsetzt. Zu mehrfachen Wurzeln gehört also nicht eine be-
stinunte Schwingungsform, sondern unendlich viele, und zwar
gehört zu einer /.--faclien Wurzel eine (/.:— O-fach-uiiendliche
Mannigfaltigkeit von Schwingungsformen. Schon bei ilen all-
gemeinsten runktsystemcn spielen diese mehrfachen Wurzeln
eine Holle, nämlich bei den sogenannten Nullfrequenzen. Man
sieht leicht, dass w = 0 eine (»-fache Wurzel der Gleichung
A = 0 sein muss. Denn erteilt man tien Punkten des Systems
solche Verrückungen, dass diese einer Translation des ganzen
Systems in der A\'-, )\'- oder Z-Hichtimg, oder einer Kotation
um eine der Koordinatenachsen entsprechen, so kehrt das
System überhaupt nicht (mit tier Frei|uenz U) zu seinem
«irsprünglichen Zustand zurück. Jeder dieser Bewegungen ent-

Sicho (1. Kowaukwhkv. Kinfiihriing in dio Dclcrminantcn-Thcorio
115, 11Ü, S. \'112.

spricht also eine Freqiienz Null: w == 0 ist denmach eine
G-fache Wurzel \'). Nach dem oben erwülmten Theorem muss
sicii infolgedessen eine o-fach-unendMclie Manniglaitigkeil von
,Sch\\vingungslbrmen\' ergeben. Und das ist olTenbar der Fall,
weil man doch durch eine beliebige Translation, verbunden
mit einer beliebigen Rotation co^ Ruwegungslornien erzielen
kann. Ausser diesen trivialen Nullfre(iueiizen werden wir in
manchen Fällen noch andere mehrfache Wurzeln linden, die
für das Verständnis der möglichen Schwinguiigsformcn von
wesentlicher Bedeutung sind.

Um in jedem Falle entscheiden zu können, ob eine Schwiii-
guMg aktiv oder inaktiv ist, muss man das elektri.scho Moment
berechnen, definiert als Vektor M, dessen Komponenlcti ge-
geben sind durch:

In dem allgemeinen Falle, wo das l\'imktsystem keine Sym-
metrieeigen-schaften hat, und keine ganz speziellen Ruziu-
hungen zwischen den verschiedenen, das System be.slinunendciu
Grössen vorliegen, sind sämtliche Schwingungen aktiv. Auf
einen speziellen Fall sei noch hingewiesen: Wenn alle Partikel
des Systems gleiche Massen und gleiche l.adimgen haben,
kann auf (Jrund des Schwerpunklsalzes kein elektrisches
Moment in irgend einer Richtung entstehen.

Im Folgenden wird nun der Hinlluss der verschiedenen
möglichen Synnnetrieelemenle und Kombinationen von Sym-
metrieelementen auf die Schwingungen untersucht. iJie Tat-
sache, dass ein Punktsystem die I)ocko])eralionen einer
Synunetriegruppe zulässt, nmss sich in gewissen Beziehungen

\') Nur wenn ^änUlicho l\'unktc <i(w SyulcmH nuf einer (icrndü liegen,
gibt e« nur zwei Kolnlionen, und i,j = 0 ist eine ö fnche Wurzel. Im
trivialen Falle a=\\ ist .„ eine iMache Wurzel.

\') Die einzige 1 )ccküi»cration für diese öy«lcmo ift die Mcntität. Saiö.v-
Ki.ii-:« (I.e.) bezeichnet die bezügliche Grupinimel C„ indem er die Idcnlitiil
aU Drehung um eine «einziihlige fSymmctricachse. auffm^nt.

wäre also, diese Beziehungen zu suchen und deren Einfluss
auf die Schwingungen zu erniilleln, Ersleres könnte dadurch
geschehen, dass man auf die genaue, hier nicht angegebene, \')

Wir haben jedoch diese Methode nicht gewählt, weil ihre
Durchführung in vielen Fällen sehr mühsam ist. Die gegebene
Methode hat dagegen den Vorzug, von einer Betrachtung
dieser Koellizienten ganz unabhängig zu sein; auch konuncn
die Schwingungsformen, worauf es doch schliesslich ankommt,
in ganz natürlicher Weise zum Vorschein, was von iler anderen
Methode nicht gesagt werden kann.

Wir wollen aber im Folgenden die Indices x und innner
weglassen, um in den späteren verwickeiteren Fällen keine
störende Anhäufung der Indices zu erhallen. Es sollen daher
die Punkte mil P\'-\' und P bezeichnet werden, und die
zugehörigen Amplitudenkomponenten mit ^r usw.

Diese letzten Grössen treten jetzt in dem allgemeinen Gleichungs-
system (I) als Variabelen auf. Eine einfache Überlegung zeigt
nun, welchen Bedingungen die 3 .•< = 3 (L\' m kr) Schwin-
gungen infolge des Auftretens der Synunetrieebene genügen
müssen. Wenn nämlich für irgendeine mögliche Schwingung
des Systems die Amplituilenkomponenlen die bestinnnten

Schwingung möglich, die durch die Werte — — — Uj,
U\\j\\ usw. charakterisiert ist, und zwar müssen diese beiden
Schwingungen dieselbe.Fretjuenz aufweisen. Wenn man also
in dem allgemeinen Gleichungssystem (1) die erstgenannten
Variabelen f/j."... usw. durch die Variahelen — V^,^. . . usw.
ersetzt, soll jede fiösung ties thulurch enlslehendeti Systems
einer Lösung ties ursprünglichen Systems gleich sein. Das
heisst: Es soll das System (1) invariuiil sein gegenüber den
Substitutionen:

Die daraus sich ergebemlen Verhältnisse können wir am
besten übersehen, indem wir jetzt neue Variabelen einführen,
deliniert durch:

v.r - Ifj\' 4- u:!\' y„ - (/,!\' - r, = u\'J\' - vT
11\', =-. _ t/f ir, = c;\'" t/;/\' IF, = t/i" -j- . (1)

//¹ oder h, angedcutcl, jo nachdcm dio ApIiho horizontal txlcr vertikal hUsIiI.
Kl)cni«<] iHt dio Anzahl der in einer .SynimctrioolHjno liegenden I\'unklo
kk wler k, je naohdctn dio Kbcno horizontal oder vertikal »tcht. I.iogtcin
Tunkt »owohl auf einer Syniinetricacb-ic, wie in einer öymmotricebcno,
BO bleibt die liezcichnung //* oder /i,.

ebenfalls lineares, System S mit den 3 (2 m Av) Variabelen
l\'^r, H\'r, (Jx usw. Aucli dieses System soll gegenüber den
Substitutionen (3) invariant sein. OlTenbar bleiben dabei die
Variabelen 11%, M\'-, U,, und U: unverändert, während
die Variabelen Tr, Vr und l\'x flas Vorzeichen wechseln.
Es sei nun irgendeine Gleichung \') des Systems

Diese Gleichung soll also ebenfalls zum System S gehören
Durch Addition nnd Substraktion folgt aus (5) und (fir/):

Es tritt daher eine Spaltung auf zwischen den Variabelen I\'r,
1\',,, V,, I\'r imd ir., II\',, H\'r, Dasselbe kann

Juan mit den anderen Gleichungen desSy.sloms .S vorneinnen,
und man erhält nur Gleichungen von den Ty|U\'n (0(/) oder
(OA). Die Gesamtzahl «liesor tlleichungen beträgt 3 (2 m I /.v).
da wir von ei)ensoviol (Jleichungon ausgegangen .sind, nnd
daran durch Anwendung der Suhslitulicmrn (3) nichts geändert
wird. nnt(!r diesen giht es (3 »»/.v) Gleichungen vom Typus
(Cff) imd (3 tn 2 h,) vom Typus ((16), denn nur so lindet
man in jeder Gruppe soviel Gleichungen wie die Anzahl dor
betrellonden Variabelen beträgt, niul das ist nötig, demi sonsl

\') Dlrxn (Ijpirhiuig i«l hü zu vcn-lclion, dn-w «lio (Irörtftcn IJ, 1\', II
uiiii «u«h h, (/, r, a„ r, niil Imlicw *\' (Mlor * vi\'rHch«»u «in«!, uu«l «Iww
imt h *\' un«l * «uiuniiort winl (*\' = 1 . . . A.; * ; : I ... vi). Weil «li««Ho
liiili«;oH oinfoohhcilHhnll)cr wrggcInMspn wurden, nii:>«cn jolzl nu«\'h «lie
Snuiii»«\'nzei«\'h«>n i\' uu«l 1\' unterhioihen.

\'j I\'^ int nuch niilglich, dann (5<i) nichl zu Ä\'goh«")rt, sondern eine lineare
Komhinalion der Gleichungen .S\' darHlelU. In dem letzten Fall«» kann
man et aber immer ho einrichten, «las« (fwi) «ihlirtwlit^h do<\'h zu gehört,
indem man S «lurrh gt>eigneie lineare I\\(mil)iiialii)neii umrorml.

würde man in einer der Gruppen zu wenig Gleichungen finden,
und das würde hedeuLen, dass das ursprüngliche System nicht
aus unabhängigen Gleichungen besteht. Man sieht aber leicht,
dass dies unmöglich ist.

Das Ergebnis aus obigen Betrachtungen lässt sich folgender-
massen aussprechen: Das ursprüngliche System S spaltet in
zwei Teilsysteme Si und S2; Si besieht aus (3 m Av)
Gleichungen mit den Variabelen Vxi Vy, Vz, Ux (und selhsl-
verständlich u^), S2 aus (3 m 2 Z\'r) Gleichungen mit den
Variabelen IFx, H\',. Uz (und co^j.

Wir bezeichnen nun die Delerminanten der Koeffizienten
der Systeme Si nnd S» mit A| und A2. Beide sind Funk-
tionen von

Man kann nun oflenhar auf zwei Weisen erreichen, dass
den Gleiclnmgon der Sysicmo 81 nnd Si genügt wird nämlich:

ontweder A, = 0; II ^ = II\',, = II\'.- = U„ = U-. = 0 [In)
oder A2 = 0; 1\'., = = 1\', = = 0 . . . [Ib)

Also (turh tUe Lösunfien spalten in zivri Gruppen. Für die
eine Gruppe {In) gilt Ai=(). Das ist cino Gleichung dos
(J///-}-Zv) Grades in mid diese ergibt (Ii w/-j-/.v)
Worte für d.h. (:i h/ /.>) Frequenzen. Ilior gill, nach (7fl)
mil Hücksiclit auf dio Definition dor Variabelen II\':

Ks schwingen also boi diesen (3 m Av) Schwingnngnn zwei
zur l\'Z-Fbone spiogflhildlich gülegenn Pnnkle in der Weise,
dass die Komponenten senkrecht zur Synnnelrioebeno gleich
sind, während die Kom|)onenlen pnralh\'l zu diesor Kbeno das
entgegonge.set/.te Vor/eichen haben. Die I\'unkto P .schwingen
fionkreclit zm- Synnnetrieohono.

Für die zweite Gruppe (7/>) gilt A,. = 0. Da.«? ist oino Gleichung
des (.7 m -1-JL^/.-,) t«n Grados in w\', und dioselbo ergibt also
(3 m rf 2 kr) Frecjuenzen. Diese Schwingungen sind nach (7/>),

\') Die Frftge inwiefern dnmit tiinillirhr IioHrrgnngflm(>f{lichkciii>n
Syntoms gefunden werden, wird auf Seite IG näher erurtcrl.

Das heisst aber, dass diese (3 m 2 /.v) Schwingungen sym-
metrisch zur Synunetrieebene erfolgen.

Damit ist gezeigt, dass die 3s = 3 (2 jh Äv) Schwin-
gungen, welche nach der allgemeinen Theorie (.S, 9) vorhanden
sein müssen, in zwei Gruppen gespalten .sind: (3 j»-f/.•,.)
Schwingungen vom Typus (Sa) und (3 m 2 /.v) Schwingungen
vom Tyjtns (8/>). \')

Wie aber .schon in § I dieses Kapitels betont wurde, sind bei
jedem emllichen Pmiktsystem (» nneigentiiche Schwingungen
zu erwarten, für welche w- = 0, und die den 3 Translationen
»nid Rotationen des ganzen Systems entsprechen. Nim gehören
ersieht lieh die Translatioi\\ parallel zur A\'-Achse, uikP die
Rotationen um die )\'- und /-Achse zum Typus (M«), und die

\') Wir hnhcn hoi Ahlnitmig immer din SchwingiingHgloirhiiiiguii
hoiiiilzf. mögo hier l)omcrkl worden, »Insu ninn dn-sscUio ilpsnilnt nuch
l>cknmmen knnn, wenn man von dem c|uailraliHrhon Ausdruck für die
|>olcnliolle ICnorgio anngchl. Sind »«\',", "t". «l", n„ »„ di.«
Vcrrückungen itor Partikel nU\'< ihren (JleichgowiditHlagen, ho ist. die
])otcnticllc Kncrgin ein« honiogone ((uadraUHche Funktion diowr (iriitfeu.
niese muKK nun auch gogcnülier den SulHlilulioncn liJ) invariant, wein.
Auch hier fiilirl. man nrne Variahclen ein, die den Varial>olon (I)
genau nachgcbildel Hind, z.H.: r. = »V I- usw. Man Ivrkomnil eine
wirderum h<imogcne, (luadraliKclic Finiktion in den neuen Vnriai)plen. Die.-««
niUHs nun ho lif»tchnffen Hein, dann nio ungciindert lileii>t, wenn dio
VarialM\'len tv, r,, r, und », dan Vorzeichen wcf-hneln. Darann folgt,du-«
in ilieseni Aufdruck nur Kombinntioneu «nfireteu können <ler Variabelen
r,, »•„ r, unil u,, (ulcr w,, tr,, tr„ ti, uml während jeiim\'h ICombina-
lionen von Variahelnn der einen (]ru|>|>n mil Variabelen d(>r underen
(«rnpiK» aUHget«chI(thhcii hIikI. Dio pnlenliello l-\'nergie liiint nich alno npallcn
in zwei Teile, deren jeiler nur die Variabelen einer l>eHtimmleii Art enthält.
SchlicRHÜch muHH man noch beweinen, ila«« die« auch eine Spaltnug der
Schwingungen verursacht. In diiwm Falle das nun auch Hchr einfach:
Wenn man nämlich die Schwingungsgleichnngen herleitet nun dem Aux-
druek für dio iwlenliellc Knergie, ho findet man zwei Systeme mil
verNchiedenen Variabelen, und dan verursacht lickannilich eine Spaltung
<ler Sehwingungsfurmen.

Translationen parallel zur Y- und Z-Aclise mit der Rotation
nm die A"-Aclise zum Typus (8/^). Zu beiden Gruppen gehören
3 uneigentliche Schwingungen, und es bleiben (3 >ii -j- /.v — 3)
bezw, (3 ni 2 kr — 3) Schwingungen übrig.

Besonders wichtig für unseren Zweck ist die Berechnung
des bei einer Schwingung entstehenden elektrischen Moments.\')
Man sieht ohne weiteres, dass für die Schwingungen (8a) gilt:
J/,/= 0, M: — 0 d.h.: das Moment steht senkrecht zur
Symmetrieebene.\' Für die Schwingungen {Sh) dagegen findet
man: Mx==0- hier ist der Vektor M also parallel zm- Sym-
metrieebene. Im allgemeinen ist >0; nur in be.\'^onderen
Fällen kann es sich ereignen, dass |,l/|=-0 wird für eine
gewöhnliche Schwingung. Erstens könnte dies durch das
Hinzutreten neuer Synnnetrieelemente veranlass! werden, wie
.später gezeigt wird. Da wir jdier ausdrücklich Pmiktsysteme
mit nur einer Synnnetrieebene befl-achten, können wir diesen
Fall hier ausschliessen. Im übrigen können nur ganz zufällige
Reziehungen zwi.schen Ladungen und Massen der Pimkte das
Nidl-werden der Grö.sse \\.M\\ bewirken; das fällt daher ganz
aus deni Rahmen einer allgemeinen Theorie. Das betrachtete
Pmiktsystem kaim denmach 3 (2 ;/)^-v -2) aktive Schwin-
gungen aufführen, von denen (3 in /.v -- ein elektrisches
-Moment senkrecht zur Synnnetrieebene, und (;\'. m 2 /.v — 3)
ein Moment parallel zu dieser Ebene aufweisen.

Es soll jetzt die Frage erörtert wenleu, inwiefern die zwei
Lösung.ssysteme (7^0 und {IIj) wirklich die vollständige Lösung
der Sy.stenie Si und .S\'j bilden. Ollenbar i.st das nur der Fall,
wenn = 0 und i^ln = 0 keine gemeinschaniiche Wurzel
haben. Denn nur daim folgt aus :li=() wegen äi | 0,
da.ss die Variabelen des Systems Sn Nidl sein müssen. Ist
aber u^ eine Wurzel der beiden Gleichungen Ai = 0 und
Ao = 0, so ist es garnicht nötig, die Variabelen in .Si oder
Si Null zu setzen. Man kann jetzt vielmehr die beiden
Systeme S, und S> in der gewöhnlichen Weise lö.sen. Es ist
in jedem System auf fJrund der Reziehungen = 0 und

Aa = 0 eine Gleichung überflüssig, und man bekommt daher
(3 m k, - 1) (3 m 2 Äv - 1) = 3 (2 m -f h) - 2
Gleiclumgen zur Bestimmung der 3 (2 m Zv) — 1 unbekannten

folgt, dass zu der Frequenz wi unendlich viele Schwingungs-
moglichkeiten gehören wie es nach dem allgemeinen Satze
(S. 9) auch sein soll, da ja nach den obigen Voraussetzungen o)\'
eine Doppelwurzel des Systems S ist. Ks fragt sich nun, ob
dieser Fall bei den Pimktsystemen,dieser Symmetrieart wirk-
lich zutrofl\'en kann. Zimächst ist klar, dass dies im allgemeinen
Fall für eine gewöhnliche Schwingung unmöglich ist, weil
die Schwingungen, die sich ans Si und S-i ergeben, völlig
verschieden sind. Ks kommen also nur die Nullfrequenzeu in
Betracht. Tatsächlich ist co\'= 0 eine gemeinschaftliche Wurzel
für = 0 und Aj = 0 und zwar für beide (Gleichungen
dreifach. In ähnlicher Weise wie oben leitet man hieraus ab,
dass v,u der Wurzel = 0 cc\'^ Bcwegungsmöglichkeilen ge-
hören, wie es auch sein soll.

Dasselbe Ergebnis nmss natürlich bei jeilem beliebigen
endlichen Punklsyslem heranskommon, wio in S I schon botoni
wurde. Ks wird daher unnötig sein, das singniäre Verhalten
der Nnlirrotjuenzen in jedem einzelnen Fall näher zu botrachton,
und deujentsprechend werden wir im folgenden die zu den
Translationen parallel zu den Achsen nnd don Holalionen
um die Achsen gehörenden Nullfrequenzen als sechs einfache
Wurzeln ansehen, stall, wie es oigentlich sein sollte, als eine
sechsfache Win-zel.

Es sind in den obigen ifherlogungen die Punkte /\' in <lor
Symmetrieobene inuner .speziell berücksichtigt worden. Man
könnte dies vermeiden, indem man die Punkte in der Sym-
nietrieebeno durch einen Grenzproze.ss aus don anderen Punkten
entstehen lässl \')• Wir haben jedoch diese Methode nicht

\') Mnn küniito z.H. foIgcn(lcrninH.Hcn vorgehen: Mnn iKJtrnchtel ein
äj-Mtcm ohne I\'unklo in der Symmclrioel)cne. Im IlnlbrAiim r > 0 Iw-
finden Bich (»;/ W Punkte, von denen Punkte whr nnlio nn der

gewählt, erstens weil sehr oft gerade diese singulären Punkte
den Einblick in die Natur einer Schwingung erheblich er-
leichtern, und zweitens weil es in fast allen praktischen
Anwendungen gerade auf diese Punkte ankommt. Deshalb
erschien es wünschenswert, sie von vornherein in den Formeln
gesondert zu berücksichtigen.

Es soll jetzt die Z-Achse eine p-zälilige Symmetrieachse
des Punktsystems sein. Wir wollen immer 1 voraussetzen.
Mittels p Halbebenen durch die Z-Achse, die gleiche Winkel
miteinander bilden, können wir den ganzen Raum in/)gleiche

Ebene x = 0 liegen. DioseH System liat 3 {m Av) Schwingungen (8a)
und ebenfalls 3 (ni -f Av) Schwingungen (8ä). Man lÖRHtnundic Av Punkte
immer näher an die Ebene x = 0 hernnrückcn, während man zugleich
die Kräfte zwischen diesen Punkten und den zugehörigen Punkten jenseits
der Symmctrioebeno über jede Qrenzo hinaUH wachsen Ifuist. Schliesslich
wird aus je zwei Punkten ein Punkt, und man bekommt in dieser Weise
wirklich k, Punkte in der Symmetricebene. Bei dem Grenzübergang sind
aber die inneren Schwingungen einer jeden au« zwei dieser Punkte be-
stehenden Gruppe verloren gegangen, und müssen somit abgezogen werden.
Als solche hat man offenbar zu bezeichnen die Schwingung der beiden
Punkt« gegen einander in der A\'-Richtung und die Rotationen um die
l-Achrto und .^-Achse. Die letzteren dürfen aber nicht wie sonst als
Nullfrequenzcn behandelt werden; denn et» handelt sieh hier um einen
Grenzprozeas wobei diese Kotaiionen aus anderen Schwingungen entjitchcn,
die nicht zu den NullfrcqUenzen gehören. Die Schwingung der beiden
Partikel gegeneinander gehört zum Typus ißb), die zwei Rotationen zum
Typus (8a). Eh bleiben also nur 3 (wi Av) —2Av =3 m Av Schwin-
gungen (8a), und 3 (»i k,) — = 3 m 2 Av Schwingungen (SA) übrig, in
Übereinstimmung mit dem früheren Ergebnis. Eine ähnlicho Betrachtung
könnte man in allen anderen Fällen anstellen. In den verwickeltcrcn
Fällen macht sich jc<loch ein gewinser Mangel an Strenge sehr störend
fühlbar, und es winl sehr schwer, Fehler zu vermeiden. Zwar könnlo
man den Grenzübergang einwandfrei gestalten, indem man die linearen
Beziehungen zwischen den Variabelen sucht, die durch die Verschmelzung
der Punkte enUtehen. Jedoch wäre diese Metho<le sicherlich nicht kürzer
als die hier angeführte.

In jedem Gebiete Rj befinden sich
m Punkte Pj-, auf der Z-Achse
liegen h Punkte P Wir können
die Halbebenen immer so wühlen,
dass sie ausser den Pqnkten P
keine Punkte enthalten. Die Am-
plitudenkomponenten der Punkte
Pj und P werden mit Uj^^,
Ujt und Ux, U, und U, bezeichnet.
^ Diese Grössen sind jetzt mit
die Variabelen in dem allgemeinen
Gleichungssystem (1).

Es sei. nun irgendeine Schwingung mit speziellen Werten
10", usw. möglich. Dann ist auch eine Schwingung mög-
lich — und zwar mit derselben Frequenz —, die aus der
vorigen entsteht, indem man sAmtliche Amplitudenvektoren
um dio Z-Achso dreht um

lies Punktes Pj-t usw. Es
sind nun durch dio DoHni-
tionsgleichungen (9) und
(10) jeder Amplitude
zwei komplexe Zahlen Vj
und Vf {V und F*) zu-
geordnet. Diese kann man

Wie in § 2 l&Mcn wir dio Indicofl x und x\', dio hier hinzugefügt
werden mü/wten, fort.

in einer komplexen Ebene, die in Figur 3 zusammenfallend
mit der reellen X F-Ebene gezeichnet worden ist, durch zwei
vom Nullpunkt ausgehende Vektoren darstellen (die A\'-Achse
ist die reelle-, die F-Achse die imaginäre Achse der komplexen
Ebene). Es wird Vj II Vj während 17 durch Spiegelung des
Vektors Vj an der .Y-Achse entsteht. Wenn nun bei der
oben erwähnten Drehung, welche wir mit J),, andeuten, der
Punkt Pj die um 2 s-//) gedrehte Amplitude des Punktes Pj-.i
bekommt, so hat das auf die Grössen TO, und Ii;, oflenbar
den Einnuss, dass F;->f,. Vj-h Vf-^ej\' yf-u^Vj-^ ir,_i,wo

weil bekanntlich in der komplexen Ebene eine Drehung um
2 ttIp eine Multiplikation mit e,, bedeutet. Aus der Figur sieht
man deutlich, dass eine Drehung in po.sitivem Sinne für Vj
eine Drehung in negativem Sinne für !\'ƒ bedeutet, deshalb
mu.sste für F/^^\'ue Multiplikation mil e], \' vorgenonunen werden.

Es soll daher das in den Variabelen (9) und (10) ge.schriebene
allgemeine Gleichmigs.systen) (1) durch die Eigenschaft der
Invarianz gegenüber den Subslilulionen:

Die hieraus hervorgehenden Verhältnisse kann man am
besten überblicken, wenn man jel\'/l wiederum neiu> Variabelen
einführt, detiniert durch:

\') I\'l« «oi hier noch einmal hervorgeho!><>n, daxs dio (Jri\'MHcn Vj, F
UHW. noch mit einem Index * oder i>ehaftct zu denken Hinii. Folglich
gilt «lasHelbo für dio CJrö«ien ij, C nn«l c\' r/ C. mnd also im ganzen
3;»»» 3/v=3« Varial)elen eingeführt, wie es auch sein mufw. Rh ist

3 s V^ariabeleii sind, wie man ieichl nachprüfen kann, so ge-
wählt, dass jede mit dem Index l behaftete Variabele bei der
Drehung Up mit fj, multipliziert wird, also bei der allgemeinen
Drehung (wo n eine ganze Zahl ist) mit fj;Wir werden
das in den V^ariabelen (12) geschriebene Gleichungssystem (1)
mit S andeuten. Es sei nun irgendeine Gleichung des Sy-
stems S\\

Tenne mit ij und ^ gehören; eine ähnliche Bedeutung hat
das Zeichen il. Die Gleichung (13) transformiert sich durch

Für jeden ganzen Wert dos Esponenlen n soll ilio Gloiclnmg
(IG) mit dem System iS verlräglich sein. Somit stehen hier/>
Gleichungen, die .sänitlich aus dem Sy.stem iS durch geeignete
lineare Kombinationen de.^sen Gleichungen hervorgehen nu\'issen.
Multiplizieren wir diu «i" (Jleichmig aus (IG) mit fj;wo

»nlürlich nicht Mölin, für / nur «lio Werlo, I bi-»/» zuzulnsHcn: nuf Itruuil
•Icr KongruenzlKv-ioliunj;: / t pn (ukuI. p) knnn I gicich einer l»o-
liebigen ganzen Zahl nein. Dabei niniuit i«nlo VnrinlH;Io c;, Mchlio««-
lifh «loch nur p wirklich vcnw;hie<leuo Formen an, «Ho «lurch «lio Werlo
\'==1 \' ... p rlmrakloriitiert wenleu. !•!)« genügt «lahor, nur «lio«o Werlo
\'•u betruchlcn. In«lcihmen IhI o« oft zwcckmäH«ig, auch andere Werlo für
\' zuzulassen. luobcwnderc gilt: f, = uhw.

Die letzte Summe nach n ist aber nur von Null verschieden,
wenn l = I\'. Im letzten Fall ist sie gleich p. Folglich ergibt
die Gleichung (17) das einfache Resultat: A»-. p = 0. Weil I\'
beliebig ist, und dieselben Werte durchläuft wie l können
wir sagen Ai=0 oder mit Rücksicht auf (15):

Das bedeutet aber, dass sich die Gleichung (13) von der
wir ausgegangen sind, in p Gleichungen spalten lässt\')»deren
jede nur noch die Variabelen mit einem bestimmten Index
l enthält.

Was hier mit der speziellen Gleichung (13) vorgenommen
wurde, kann man mit sämtlichen Gleichungen des Systems S
machen. Jede Gleichung lässt sich spalten und man bekommt
schliesslich nur noch Gleichungen vom Typus (18). Eine ähn-
liche Betrachtung wie schon auf Seite 13 angestellt wurde,
lehrt nun, dass auch hier die Zahl der unabhängigen Glei-
chungen zwischen den Variabelen f,, fj usw. genau gleich
der Anzahl dieser Variabelen ist. Damit sind wir zu dem
wichtigen Ergebnis gelangt, (hsn das Syatcm S sich sixilten
lässl in p Teihysieme Si, St,... St... S, von der Art, dass
das System Si nur die Variabelen mil den Index l enthält
und aus genau so viel Gleichungen besieht wie die Anzahl
dieser Variabelen beträgt.

Selzen wir diese Systeme mil den zugehörigen Variabelen
in einem Schema zusammen, so bekommen wir, für /)> 2:

\') Wenn in (H) zufällig «ärollicho Variabelen mit dem Index / fehlen,
80 kommen natürlich enlnprechend weniger 8pallung«gleichungen heraus.

Dabei bedeutet, für den Fall p = gerade, q = \'/s p. Für p =
ungerade tritt das System S, nicht auf, was durch die
Klammern angedeutet worden ist.

Für p = 2 hat man in Si die 3m 2/jr Variabelen f,,
Ci, und in St die 3 m Variabelen fj,
und Den Fall p = 1 haben wir von vornherein ausge-
schlossen, weil eine »einziihligo Symmetrieachso" nicht als
Symmetrieelement zu betrachten ist.

Wir bezeichnen die Determinanten der Koefllzientcn der
Systeme »Vi ...St...Sp mit Ai... A/... A^.

Man könnte nun, rein formell, p Lösungssysteme hinschreiben,
nämlich: A/= 0 zusammen mit: sAmtliche Variabelen der
Systeme Si ... Si-u 1... Sp gleich Null. Dabei stellt sich
aber heraus, dass die meisten dieser Lösungen komplexe Werte
für die Amplitudenkomponenten ergehen. Der Grund dieser
scheinbaren Unstinnnigkeit liegt in dem Vorhandensein ver-
schiedener Doppelfrequenzen. Ks ist also unbedingt nötig dio
lïior auftretenden mehrfachen Wurzeln näher zu untersuchen.

Dazu bemerken wir, dass, wie man sofort aus den Définitions-
gleichungen (12) ableiten kann, dio in den Systemen .S\'i ....SV
auftretenden Variabelen je zwei zu einander konjugiert sind,
nämlich (t,, >,,), (f„ (Cm Cr-\'), (f\'i. >j;-i) ^vährend

Kp und reell, also zu sich selbst konjugiert sind. Das
lieisst, es sind jedesmal sihntliclie Variahelen eines Systems Si
konjugiert zu den Variabelen des Systems den Sy-

stemen Sj, und, wenn vorhanden, S,, ist jede Variabele zu
einer Variabele desselben Systems konjugiert. Daraus können
wir nun weiter schliessen, dass auch die Koeffizienten zweier

sein müssen. Mann kann sich nämlich nach den Betrachtungen
auf Seite 22 das Entstehen zweier einander zugeordneten
Gleichungen aus Si und Sp-i folgendermassen denken: Es
ist irgendeine Gleichung (a) des ursprünglichen Systems (1),
also geschrieben in den Variabelen Uj^, Vj,j, Üjz usw., mit
Hilfe der Belationen (0), (10) und (12) auf die neuen Variabelen
f/, -Ah Kl "sw. tiansformiert worden. Da in («) nur reelle
Grössen eine Rolle spielen, und fi und -^1.-1 konjugierte Funk-
tionen sind, so müssen in der transformierten Gleichung (/3)
die Koeffizienten der Grössen und -/ip-i konjugiert sein.
Aus iß) entstehen aber die Gleichungen der Systeme Si und
Sp-/ durch einfache Spaltung, ohne jede Änderung der
Koeffizienten. Damit ist die obige Behauptung bewiesen. Es
sind also die Determinanten A/ und aus lauter kon-

jugierten Grössen gebildet. Da diese Grössen Funktionen von
u^ sind, kann man die Gleichungen A/^o und A;,_/=ü in
der folgenden Form schreiben: (p (w*) i\\p(u\']==0 und
(p (ü}\') — i (u*) — 0, wo cp und \\p reelle Funktionen sind.
Man weiss aber aus der physikalischen Natur des Troblems,
dass diesen beiden Gleichungen nur rcdle Wurzeln genügen
können. (Weil wir stabiles Gleichgewicht vorausgesetzt haben).
Es sei nun «f eine Wurzel der ersten Gleichung. Weil wf, (p
und reell sind folgt cp (wj) = 0 und (w^) — 0. Dasheisst
aber: u\\ ist auch eine Wurzel der zweiten Gleichung. J)ic
iileichuwjen A/ = 0 und A,,_ / = 0 haben also (iienvlben W\'urnln.

Wir können jetzt mit der f^ösung iler in den Systemen
iSi .. . S,, enthaltenen Gleichungen anfangen: Eine solchc Lösung
lä-sst sich auf 1 verschieilene Weisen erzielen \'):

.1, A;, =ü und sämtliche Variabelen aus Si ... St... i>,,-i
gleich Null. Das gibt (3 m -f" I\'r) fhifochf. Fvaiucnini.

Ii. (nur für den Fall /> = gerade) A = 0 und .sämtliche
Variabelen aus Si ... i .. . S,, gleich Null.

Das gibt 3»« tinfachc Frequenzen wenn /) > 2, und
(3 m -f- 2 /»r) einfache Frecjuenzen wenn p = 2.

\') Wir wollen (Irä unintcrwsnnlc Hinguliirc Vcrhnllen der Nullfrwjucnzen
hier nicht näher ausführen, öieho hierüber §§ 1 u. Ii diow« Ka|iitol«.

C. (nur für />> 2) i^i = i = 0 und sämlliche Variabelen
aus Si.. . Sp-t Si, gleich Null. Das sind {\'S mItr)
Doppel frcquemeii.

D. (nur für p > 4) A/ = = ü (/ =|- 1, /> — I,
/) oder q) und sämtliche Variabelen aus Si . . .
S/ 1... Sp-/-i, S,,-/ i, S,, gleich Null. Das gibt für
jedes Wertsyslem (/, p — l) 3 in Doppelfrcqnenzcn.

J. Die Variabelen müssen den l\'ulgenden 3 »i (/? — 1) 2//r
Redingungen genügen: f/ — -^z = — 0 (l />);

=_, = 0. Diese kann man ersetzen durch eben-
soviel andere Redingungen von der Form:

Dass die Redingungen (l\'.l) den vorigen gleichwertig sind,
erkennt luan sofort, indem man ans (1\'.)) mit Hilfe der
Gleichungen (12) z.R. berechnet. Dafür fmdet man nänilich:

Das ist tatsächlich Null für jeden Wert von l aubgenonnnen
für l = Daim ist nändich f/ = p V/. Kbenso tindet man
■\'}/ = U und — (I für l | />, genau den erstgenannten Re-
♦lingungen entsprechend.

Man kann nun dic Gleichungen (I!)) .sehr einfach geometrisch
beuten. Weil nändich ly-i entsteht der Vektor lydurch

Jydcn Amplituden U, parallel sind\'), gilt dasselbe tür die
Amplituden (/,. Da nach (lU) für die jeweiligen/< zusannnen-
gehörigen Dunkle die /-Komponenten der Amplituden gleich
sind, lässt sich die Rewegung p solcher Punkte als eine

Schrauhenbewegung mit der Z-Achse als Schraubenachse auf-
fassen. Dabei schwingen die singulären Punkte P in der
Richtung der Z-Achse. Die Zm h, Schwingungen dieser
Art haben die Eigenschaft, dass der Symmetriecharakter des
Punktsystems während der ganzen Bewegung erhalten bleibt.
Wir wollen sie daher als „symmetrische^ Schwingungen be-
zeichnen.

D. Die Schwingungen mit A, =0 müssen den folgenden
3m (/) — 1) -f 3 Bedingungen genügen: = = = 0
für l =}= q; = = 0. [für /) = 2 nur
(3 m -f h,) Bedingungen nämlich = = —0]-
Diese kann man wieder ersetzen durch die Folgenden:

Es sollen dabei die eingeklammerten Bedingungen nur für
P>2 gellen. Der Beweis ist leicht, denn berechnet man
z.B. so findet man:

Der letzte Faktor ist nur von Null verschieden, wenn 2 l = /,■/?,
wo /c eine ganze Zahl ist; das gibt für / zwei Möglichkeiten:
l = Q und / = />. Für / = /; wird aber der erste Faktor Null,
also nur für / = 7 ist (/ von Null verschieden, wio es sein
sollte. In ähnlicher Weise beweist man auch, dass (20) zu
den Bedingungen >};= 0 (/ | - 9) führt.

Auch die Schwingungen Ii sind leicht geometrisch zu deuten.
Betrachtet man nämlich von p zusammejigehörigen Punkten
Pj nur diejenigen mil geradem (oder ungeradem) Index j, so
sieht man, dass diese .symmetrisch" schwingen. In der
-^-Richtung schwingen die .geraden" Punkte genau entgegen-
gesetzt wie die. ungeraden" Punkte. Wenn /)>2, so sind die
Punkte auf der Z-Achse in Ruhe; in dem Fall /; = 2 schwingen
sie aber senkrecht zur Z-Achse.

C und D. Die allgemeinen Bedingungen, denen die Schwin-
gungen in diesen Fällen genügen müssen, sind hier, nebst
A/ = 0 und Ap_/=0:

Wir werden zeigen, dass man diese Gleichungen durch die
Folgenden ersetzen kann:

Die Grössen Ai, A«, fti, f4s, vi und v« sind beliebige Parameter;
sie sind wie die Vektoren ly usw. mit einem Index x: behaftet
zu denken, der aber konsequent fortgelassen ist. Weil es

es im Ganzen 3 in Parameter. Die eingeklanunerten Bedin-
gungen r=0 und r* = 0 gelten nur wenn l nicht gleich 1
oder (ƒ)— 1) ist. Wir über/.pugen uns zuerst, dass die Anzahl
der Gleichungen (22) stimmt. Man tlndet zunächst 3m(/)—1)
3 hr Gleichungen. Die.se enthalten aber 3m Parameter.
Werden diese letzteren eliminiert, so behält man nur noch
— 2) in 3 /»r Gleichungen, in Übereinstinunnng mit der
Anzahl der Gleichungen (21)\'). Es hat das System (22) die
Kigenschaft, dass es ungeändert bleibt, wenii man / durch
(p —l) ersetzt, denn dies hnt nur den Einfluss, dass die Para-
meter Ai und Ai, fti und fxt, vi und vt vertauscht werden.
Nach der Elimination dieser Parameter nmss also dasselbe
Ergebnis wie vorher herauskommen. Es haben daher die

\') Für / = ! (xlcr l=p — l findet nun in l)ciden Fällen 2 //p Glei-
chungen weniger, »It»o «limmt c* da auch.

Gleichungen (22) jedesmal für ein bestimmtes Wertanstem
(/, p — l) Gültigkeit, wie es auch nach (21) sein soll. Berechnen
wir nun z.B. fr aus (22) und (12):

Das ist tatsächlich immer Null, ausgenommen für T = ^
und l\' =>p — l. Im ersten Fall gilt nämlich:

Kbenso kann man zeigen: -^ir = == 0 für l\' \\ l und /\' |-/) — l
Damit ist aber die Gleichwertigkeit der Systeme (22) und (21)
bewiesen.

Aus (2:i) unil (2i), und den analogen Formeln für
und leitet tnan schliesslich die folgenden Formeln ab,
dic später Anwendung linden werden:

Die Formeln (2:1), (21-) und (25f/, b,c) gellen nur für ilie
Doppelfrequenzen; man muss also immer / ~/) oder / = 7
ausschliessen.

Man könnle versuchen, den Doppelschwingnngen auch eine
geometrische Deutung beizulegen; indessen lehrt ein Dlick
auf die Gleichungen (22), dass die Verhältnisse hier wesenllich
verwickelter siml als bei den Einzelschwinguugen A mul
und demnach eine allgemeine einfache Beschreibung der Schwin-
gungsform nicht wie dort möglich ist. Das hängt natürlich
unmittelbar zusammen mit der Tatsache, dass wir hier jedesmal

unendlich viele Schwingungsmöglichkeilen berücksichtigen
müssen \'). Auch gibt es in diesem Fall unter diesen ver-
schiedenen Schwingungsmöglichkeiten keine, die durch beson-
dere Einfachheit ausgezeichnet sind. Wir wollen uns daher
mil den folgenden Bemerkungen begnügen: Für die Schwin-
gungen I) sind die singulären Pimkte P auf der Z-Achse in
Buhe, bei den Schwingungen C schwingen sie senkrecht zur
Z-Achse. Isl p gerade, so gilt:

Das ergibt für / = gerade: 17= — ly.j-„und für I =nngnrado:
(;, = ly^.^^ und ebenso fmdel man in diesem Fall für I —
gerade: =— 1? ,; 11\'/= f\'""\' \'= ungenulo:

rA,; 1IV=- ir/ ,.
Hi\'i siimilichen Doppol.schwingnngon .schwingen also, wenn
P g<\'rad(i isl, zwei zur Symmetrieachse spiegelbildlich gelegene
Punkle innner so, «lass entweder die Komponenlon senkrecht
zu die.ser Achs(» gleirh .«^ind und die Komponenlon parallel
zur /-Achse enlgogenge.\'^etzl, oder gerade mngokehrt, je narli-
dem I ungerade oder gerade isl. In dein Fall (\\ wo ja / == I
isl, gilt al.so das orslgenannte.

Wir wollen jetzt das fhilrisrliv Moiiinit boslinnnen für
die Schwingungen .1, (■ und IK Die elektrische Ladung
dor Punkte /\', wonlts mit f bezoirlmel, die dor Punkte /\'
•nil Die Indire.s x und k sind Aieder forlgolassen, und
«\'S sollen im Folgenden auch die Sunnnonzeichon, «lie sich
auf »lie.so Indiros be/.iohen, untorhloibon.

\'» Hnn folgt bckiinmlk-h nun «Icr nllKcmoinoii Thcorio (Seito 51). Auch
in tioin Hpozicllen Knil, «Icn wir hier iM-lrHohlcn, üborzeujrt mm» hU-I« <lnvon
"chr leicht, denn j, = 0 und J^.., = «» g«-!«"»

K\'ingen />, am — 1 (Jloirhnngcn!" «Im wird, /.UKitmmcn mit (21) ««Icr(22):
Üm — \'J 2) m ■{• = (p "» \'».) —2 Cllcirhung««n, für di«

(;> m /, ) _ 1 VcrbiillniH^o «lor Anipliiudcnkomi»onenl.<n. Däs^pUmj
find«a niRU für die Schwingungen C.

Dies ist im allgemeinen von Null verschieden. Deshalb gilt
für die symmetrischen Schwingungen: Mx = M, = 0; =|=0.

Deshalb gilt für die Schwingungen B: Mx = M» — M* — 0,
wenn p > 2. Ist p = 2 so ist nur M, = 0 und }fx uiul Mp von
Null verschieden.
C und 1).

Nun sind ersichtlich sämtliche Grössen auf der rechten Seite
dieser Gleichung gleich Null, wenn / nicht gleich 1 oder(;)— 1)
ist. Ist aber l gleich 1 oder (/)— 1), so sind sie von Null
verschieden. Für Z=1 findet man nfimlich:

und das ist im allgemeinen nicht Null. Ahnliches findet man
für M^. Schliesslich ist:

und das ist für die hier zulässigen Werte von I (l^-p, I =\\=:q)
immer Null. »

Zusammenfassend können wir sagen: Die 3 {p vi /»,)
Schwingungen des hier betrachteten Systems lassen sich nach
ihrer Art in 4 Gruppen zerlegen:

A. (3 m lir) aktive Eimelscfiwingungen mit einem elek-
trischen Moment parallel zur Synunetrieachse.

Ii. (nur für p gerade) 3 m imklive Eimelachwingnngen. [Nur
für = 2 sind diese Schwingungen aktiv, mit einem
Moment senkrecht zur Symmetrieachse; die Anzahl be-
trägt in diesem Fall 3 m -f- 2 //„ |

C. (nur für /)>2) 3 m/»r aktive Doppelschwingungen mit
Moment senkrecht zur Achse, übrigens beliebig.

7m den hier aufgezählten Schwingungen gehören aherauch
<lio G singnlären Nullfrequenzen. Will man die Anzahl ge-
\'ci\'hnlirhn- Schwingmigen bekommen, so nulssen diese Null-
l\'requenzen in Rechnung gesetzt werden. Dazu braucht man
"ur zu bedenken, dass: 1) Die Translation parallel zur/-Achse
und die Rotation um die ;^-Achso zum »symmetrischen"
\'\'ypus A gehören. 2) Die Translationen in die A\'- und
^^•Bichtungen und die Rotationen um die X- und um die
J\'-Achse für /?> 2 als eine , Doppolschwingung" vom Typus C
betrachtet werden nulssen. Ist /) = 2 so gehören sie alio 4
zur Gruppe Ii.

^"^\'an braucht also, wenn ;)>2, in don Gruppen A und C
nur (3 m -f h, — 2) zu setzen statt (3 m -f- /»,) um das
Besuchte Resultat zu erhalten. Ist p — 2, so findet man
(p "» /i. - 2) Schwingungen A und (3 «i 2 Ä. — 4)
S«;hwingungen Ii. \'

§ 4\'. Systeme mit einer ^-zähligen Symmetrieachse und
p Symmetrieebenen durch diese Achse. \')

Wie .in § 3 teilt man den ganzen Raum durchHalbebenen
Y in p gleiche Gebiete Jh.. . Ry. .. R,,. Das

Gebiet halbiert. Es sei diese Ebene
\\l/\' ^ eine der /) Symmetrieebenen des Punkt-

.sowohl für ;>= gerade wie für p =
ungerade die p Ilalhebenen, wenn zu
ganzen Ebenen ergänzt, zu den Sym-
Fig. 4 metrieehenen gehören. Wir wollen nun
annehmen, dass es in der flälfle;i;>0
des Gebietes m Punkte gibt, die nicht in einer Sym-
metrieebene liegen. Ans jedem dieser Punkte gehen durch
Rotationen um die Z-Achse die Punkte /^"hervor. Zu jedem
Punkte gehört ein zweiter Punkt /f», den man ans /y»
ableiten kann durch Spiegelung an <ler das Gebiet Ii, hal-
bierenden Symmetrieebene. In der llalbchene .r = (), ,/><)
mögen sich /.> Punkte P,. bennden, in der U,, und "/.V-t
trennenden llalhehene /.f\' Pmikte Z\';"\', auf der Z-Achse h^
Punkte /\'»). Da sämtliche Deckoperalionon der für dieses
System charakteristischen (iruppe sich aus einer elementaren
Drehung I),, und einer Spiegelung an einer bestimmten Sym-
metrieebene, z.H. .r = (), ableiten la.ssen, genügt es, nur die.se
eine Spiegelung in Retrachl zu ziehen. Ist also das allgemeine
Gleichungssystem invariant gegenüber den Substitutionen, dio
mil der Drehung 1),, und dieser speziellen Spiegelung zusammen-
hängen, so isl es ohne Weiteres auch invariant gegenüber
den Substitutionen, die den anderen Spiegelungen entsprechen.
Wir führen wieder, wie in § 3 die.ses Kapitels, die Variabelen
(12) ein, nur mil einem Index versehen, um die Variabelen,

die sich auf die Punkte Pf\\ P. und If beziehen, unter-
scheiden zu können. Das fülirl ganz ungezwungen zu den
Bezeichnungen: f,, ^f), und ähnlich für ^ und C,

deren Bedeutung wohl ohne Weiteres klar ist. Die Invarlanz-
bedingungen für Drehungen führen, wie im allgemeinen
Fall, (§ 3), eine Spaltung des Systems S in p Teilsysteme
Sy----Sp herbei. Die Bedingungen dafür, dass diese Teil-
systeme auch gegenüber der Spiegelung an der rZ-Ebene
invariant sein müssen, führt nun zu neuen Spaltungen. Bei
dieser Spiegelung wird nämlich:

wo j-\\.}\' = p. Dabei ist es möglich, dass die Zahlen j und
7 sich < 1 oder > p ergeben. Man bedenke aber, dass
^ ~ j Vy } = /\' V (mod. p.) \'). Untersuchen wir jetzt den
Einfluss der obigen Substitutionen auf dio Variabelen r, V*
und ]V. OlTenbar findet man:

Schliesslich soll das Verhalten der Variabelen f, »j, ^ diesen
Substitutionen gegenüber ermittelt werden. Es ist definitions-
geniflss:

Nach einer kloinen Umformung stellt .sich aber heraus, dnss
^•es gleich — ist. Für die anderen Variabelen bekonunt
\'"an in ähnlicher Weise ein analoges Besultat. Etwas ver-
schieden verhalten sich die Variabelen mit dem Index t®\'.

Zusammenfassend icann man sagen, dass die Gleichungen der
Systeme Si ... Sp gegenüber folgenden Substitutionen invariant

Daraus geht hervor, dass die Variabelen eines Systems S/,
multipliziert mit einem Faktor, übergehen in die Variabelen
des konjugierten Systems S,,-/. Für l = p und l — q findet
eine Vertanschung der Variabelen innerhalb eines Systems statt.

Wir müssen jetzt untersuchen, welchen Einfluss die in (20)
enthaltenen Bedingungen auf die Schwingungen /I, Ii, Cund
I) (§ 3 dieses Kapitels) ausüben.

A. Für diese symmetrischen Schwingungen gilt: A;, = 0.
Die Variabelen des Teilsystems S^ sind hier: fj)»,
dasselbe für v) und ^ und schliesslich Betrachtet man nun
diejenigen der Bedingungen (20), die sich auf diese Variabelen
beziehen, so erweist es sich als zweckmässig, neue Variabelen
einzuführen, nämlich die 3 m 2 (i",-f-A*\'®\') /j^ Grössen:

die das Vorzeichen wechseln bei den Substitutionen (20).
Das führt, wie wir es schon mehrfach gesehen haben, zu
einer Spaltung des Systems 6> in zwei Teilsysteme, und damit

hangt auch eine Spaltung der diesen. Systemen genügenden
Lösungen zusammen. Demnach findet man:

Dazu kommen natürlich noch die allgemeinen Bedingungen
(19). Man sieht hieraus, dass diese Schwingungen symmetrisch
zur FZ-Ebene erfolgen, und demnach auch symmetrisch zu
den (/) — 1) anderen Symmetrieebenen. Die Anjplituden-
komponenten senkrecht zur .J^-Achse der Punkte Pj und
sind radial gerichtet. Die hier gefundenen Schwingungen (.Ii)
sind im allgemeinen aktiv. (.l/g=}=o).

Es schwingen also die Punkte /y und l\'f^ tangentiell; die
l\'<ujkte P sind in Huhe, die/-Komponenten zweier zusammen-
ßehöriger Punkte sind entgegengesetzt gerichtet. Daraus folgt
aber J/, =o. Es sind diese Schwingungen (.Ij) also inakliv.

Ii. Es war hier (S. 2i) A, =0. In dem System S,
treten die folgenden Variabelen auf; und das-

»nd hinzu. Die Bedingungen (20), soweit sie sich auf
bliesen Fall beziehen, veranlassen wie bei den Schwingungen
(-"O die Einführung neuer Variabelen, und das führt zu einer
Spaltung der Schwingungen Ii in zwei Gruppen Ut und Iii.

[Für p = 2 kommen noch die Bedingungen f,\' = — hinzu;
die Anzahl beträgt in diesem Fall 3 »i 2 k^ kf^ /«J.
Geometrisch bedeutet das: Symmetrie zur FZ-Ebene und zu

daraus entstehen. Die Punkte Ff\' schwingen in einer Ebene
senkrecht zur Symmetrieachse, und zwar tangentiell; die
Punkte F, schwingen radial, aber mit einer im allgemeinen
von Null verschiedenen Z-Komponente der Amplitude. Die
Punkte auf der Z-Achse sind in Ruhe, nur wenn p = 2
schwingen sie parallel zur y-Achse. Im letzten Falle ist auch
die F-Komponente des elektrischen Moments von Null ver-
schieden, während sonst immer |iV| = 0.

[für p = 2 kommen die Bedingungen f, =>}J hinzu; in diesem
Fall gibt es 3 m -f -f 2 > /i, Schwingungen].

Geometrisch bedeutet das Symmetrie zu den p/2 Trennungs-
ebenen der Raumwinkel Uj \') Die Punkte Fj schwingen tan-
gentiell, die Punkte schwingen mit einer Amplitude deren
Komponente senkrecht zur Z-Achse radial gerichtet ist. Die
Punkte auf der Z-Achse ruhen, ausgenommen wenn p = 2: dann
schwingen sie parellel zur A-Achse. Dementsprechend ist in
diesem Fall im allgemeinen Mx =|-

C und I). Es gilt für diese Doppelschwingungen: A, = 0 mit
= wo l =1= p und l =4= q. Es soll nun auch hier

\') Man sieht das sehr leicht wenn man dio Amplitudonvektoren in
einer Figur zeichnet. Auch algebraiHch läsMt e« sich sofort versleben. Aua
fI\'» = iji») folgt nämlich FJ\'\' = V* und nach (20) kann man dafür setzen •

Ko = — c-> r* 1»! oder «F«» = — F* ») = — F»"
Wenn man alito die Vektoren F<\'» und umdreht, werden sie syra-

Invarianz dieser Gleichungen gegenüber den Substitutionen
(26), soweit diese sich auf diesen Fall beziehen, gefordert
werden. Man sieht nun sofort, dass die Verhrdtnisse hier anders
liegen wie bei den Schwingungen A und Z?, denn hier ver-
tauschen sich die Variabelen des einen Systems S/ mit den
Variabelen des anderen Systems S^-/, wfdirend bisher nur
von Vertauschung innerhalb eines Systems die Rede war.
Damit hängt nun, wie wir sogleich sehen werden, die Tatsache
zusammen, dass bei diesen Doppelschwingungen keine Spaltung
gefunden wird. Wir können nämlich ganz allgemein die Systeme
S/ und Sp-i darstellen durch:

wo k und l soviel Werte durchlaufen, wie die betrachteten
Systeme Gleichungen haben. Die charakteristischen Substitu-
tionen lassen sich bei geeigneter Wahl der V^iriabelen Xk und yt
immer durch Xk\'^gk darstellen. Es müssen also die Systeme

für die Verhrdtnisse der Variabelen xt dieselben Werte heraus-
kommen, die man auch durch Betrachtung des Systems
y(\'kiXk = 0 erhält. Daraus folgt aber auch, dass die Ver-

Damit ist gezeigt worden, dass die Invarianzbedingungen
zwangsläufig zu den Gleichungen (27fl) führen. Umgekehrt
gilt auch: wenn die Koeffizienten der Systeme Si und S^-i
so beschaffen sind, dass die Beziehungen (27fl) gelten, so wird
den Invarianzbedingungen genügt. Die Gleichungen (27f/) sind
deshalb notwendig und genügend zur Erfüllung der Invarianz-
bedingungen: von einer Spaltung der Systeme S/ und Sr-i
isl gar nicht die Rede. Aus den folgenden Betrachtungen wird
der physikalische Grund für dieses Verhallen der Doppel-
schwingungen deutlich werden.

Zunächst bemerken wir, dass mit Hilfe der Gleichungen
(27fl) die Lösungen des Systems S^-i direkt aus denjenigen
des Systems Si bestimmt werden können. Man kann also das
System <S>-/ durch (27rt) ersetzen. Für jeden bestimmten Wert
des Parameters A liefern dan S/, (27a) und die allgemeinen
Bedingungen (21) eine bestimmte Schwingungsform. Da A aber
beliebig ist, bekommt man unendlich viele Schwingungsformen,
wie inmier wenn es sich um mehrfache Schwingungen handelt. \')
Wichtig ist aber dass man in diesen) Fall diese unendlich
vielen Schwingungen direkt von dem Parameter A abhängig
gemacht hat und dadurch imstande ist, indem man diesem
Parameter verschiedene Werte beilegt, einige spezielle Schwin-
gungsformen näher zu studieren.

(Die letzte Gleichung gilt nur für die Schwingungen (J). Um nun
z.B. die geometrische Bedeutung der beiden ersten Gleichungen
zu finden, ziehen wir die Beziehungen (25«) und (2ôb) heran.
Danach gilt für die hier betrachteten Schwingungen:

Indem wir nun diese Gleichungen addieren bezw. subtrahieren
je nachdem wir in (28) die oberen oder die unteren Vor-
zeichen ins Auge fassen, so finden wir:

In ähnlicher Weise leitet man mit Hilfe der Gleichung (25c) ab:
Tr<\')= ± wf_j

Es gehören otTenbar jedesmal zwei symmetrisch zur l\'Z-Ebene
liegende Punkte zusammen. Wenn wir in den obigen Gleichungen
die oberen Vorzeichen wfdilen, so bedeutet das, dass die 1 - und
/-Komponenten von zwei solchen Punkten gleich, die A-Kom-
ponenten entgegengesetzt sind; für die unteren Vorzeichen
findet man das Unigekehrte. Das sind also genau die zwei
Typen, die wir in § 2 bei der allgemeinen Betrachtung der
Systeme mit einer Synnnelrieebone gefunden haben.

Ein allgemeinerer Fall ergibt sich, wenn wir A = ± fj\' setzen,
wo k eine ganze Zahl ist. (Der vorige Ansatz A = ± 1 ist
darin als Spezialfall für ^- = 0 mitenthalten).
Die Gleichungen (27) schreiben sich jetzt:

Auch hier gelingt es mit Ililfo der Gleichungen (25ff, c) leicht,
ilen hilialt dieser Beziehungen geometrisch zu veranschaulichen.
Nach (25a) gilt z.B.:

Multiplizieren wir die erste mit s^, die zweite mit s^ so
muss man wiederum konjugierte Zahlen bekommen. Es ist also:

Die geometrische Deutung dieser Gleichungen ist nunmehr
sehr leicht. Zu dem Zweck betrachten wir die Symmetrieebene,
die durch eine Drehung urn Trkjp aus der FZ-Ebene entsteht.
Die Punkte Pj\'\' und F^Lj k \'\'egen spiegelbildlich zu dieser
Ebene. Die Gleichungen (30) und (31) besagen nun, dass diese
Punkte relativ zu dieser Ebene genau so schwingen wie im
vorher betrachteten Falle (A = ± 1) die Punkte Pj und
relativ zur FZ-Ebene.
Sämtliche Formen, die nach der Theorie für Punktsysteme
mit einer Symmetrieebene (§ 2 dieses Kapitels) möglich sein
müssen, kommen also bei diesen Doppelschwingungen als
Spezialfälle zum Vorschein, indem man dem Parameter A
geeignete Werte beilegt. Dadurch wird nun auch physikalisch
verständlich, warum hier keine Spaltung der Gleichungs-
systeme auftrat.

Interessant ist das Verhalten des elektrischen Moments bei
den Schwingungen C. Hier is / = 1 und demnach sind die
Werte des Parameters A durch A = ± darzustellen, wo k
vorläufig noch eine ganze Zahl ist. Betrachten wir zuerst das
obere Vorzeichen, also A = £j-. Die Schwingung wird dann.

wie wir gesehen haben, symmetrisch zu der Symmetrieebene,
die durch eine Drehung um k7c\\p aus der TZ-Ebene entsteht.
Das elektrische Moment liegt also in dieser Ebene, und zwar,
wie immer bei den Doppelschwingungen, senkrecht zur Z-Achse.
Das elektrische Moment dreht sich also gleichmässig mit der
Grösse k: immer, ist der Winkel zwischen ili und der F-Ächse
gleich kTrlp. Allerdings gilt das vorläufig nur für ganzzahlige
Werte von k. Indessen kann man sich leicht überzeugen, dass
es auch für beliebige reelle Werte von k gültig bleibt.
Die Werte A = —liefern nun nichts Neues, denn man

kann diese offenbar ersetzen durch A = 4- 2 und sie damit
auf den vorigen Fall zurückführen. Zusammenfassend kann
man sagen, dass die unendlich vielen Schwingungsformen vom
Typus G durch die unendlich vielen reellen Werte des Para-
meters k in A = fJ bestimmt sind. Der Vektor M bildet mit
der F-Achse einen Winkel ^ der gegeben ist durch die Be-
it ?r H

so bekommt man spezielle Schwingungsformen, die den in
§ 2 dieses Kapitels gefundenen Formen entsprechen.

Wenn wir nun zum Schluss die verschiedenen Schwin-
gungsmöglichkeiten noch einmal zusammenfassen, so bekom-
men wir:

Br. (nur wenn p gerade isl) 3 »n 2 k^ inaktive
Schwingungen, wenn p>2. Fürp = 2 findet man aber
3 «i 2 /(„ aktive Schwingungen mit Moment
parallel zur F-Achse.
Bi: (nur für p gerade) 3 m 2 kf^ inaktive Schwingungen,
wenn p > 2. Für p = 2 gibt es aber 3 m A;^ 4- 2 kf^ 4" K
aktive Schwingungen mit Moment parallel zur X-Achse.
C: (nur für p > 2) 6 «» 4" 3 A:, 4" 3 A;^ 4"aktive Doppel-
schwingungen. Das Moment kann eine beliebige Richtung
senkrecht zur Z-Achse haben.

(je nachdem p gerade oder ungerade ist).
Will man nun die 6 Nullfrequenzen berücksichtigen, so
muss man bedenken, dass die entsprechenden Translationen
und Rotationen zu den folgenden Schwingungsformen gehören:

Man muss also, wenn p>2, die unter Ai und A2 ange-
gebenen Zahlen um 1, die unter C stehende Zahl um 2
verringern, um das gesuchte Resultat zu erhalten. Ist p = 2
so nimmt man die sich auf diesen Fall beziehenden Zahlen
unter Bi und B2 um zwei Einheiten kleiner.

§ 5. Systeme mit einer p-zäiiligen Symmetrieachse und p
zwEizÄHLiGE Symmetrieachsen senkrecht dazu. \')

Dieser Fall ist dem vorigen sehr idmlich, und die Rech-
nungen unterscheiden sich nur wenig; wir können uns des-
halb kürzer fassen wie dort. Wir nehmen wiederum die
p-zählige Achse als Z-Achse; die Y-Achse wählen wir zusam-
menfallend mit einer der p zweizähligen Achsen. Die Einteilung
des Raumes in p Gebiete Ej erfolgt auch hier so, dass die
Ebene YZ das Gebiet Rp in zwei gleiche Teile zerlegt.

Wir nehmen an, dass es in der Hälfte a; > 0 dieses Gebietes
m Punkte gibt, die nicht zu einer Symmetrieachse gehören.
Durch Rotationen um die Z-Achse gehen daraus die Punkte Pj\'\'
hervor. Aus jedem Punkte entsteht durch Umklappung um

die in dem Gebiet R. verlaufende zweizählige Achse ein
Punkt Pf\\ Auf der positiven T-Achse mögen h^ Funkle P^
liegen, auf der Halbachse die daraus durch Drehung um

und auf der — Z-Achse die daraus durch Umklappung um eine
der p zweizähligen Achsen entstehenden Punkte Schliess-
lich kann im Koordinatenursprung 0 ein Punkt P liegen. Es
ist bequem, die „Anzahl der Punkte P\' in den Formeln durch
einen Buchstaben ^ anzudeuten. Dabei ist aber zu beachten,
dass ^ nur gleich 0 oder 1 sein kann.

Die Variabelen, die hier eine Rolle spielen, werden ange-
deutet mit ff, f; und ähnlich fürund C,
eine konsequente Weiterbildung der Bezeichnungen, die wohl
ohne Weiteres klar ist. Es sei nur noch darauf hingewiesen,
dass die Variabele (die übrigens nur für l = 1 einen Sinn
hat) sich hier auf den Punkt P bezieht, im Gegensatz zum
vorigen Fall, wo sie auf einen beliebigen Punkt der Z-Achse
Beziehung hatte. Eine Verwechslung kann dadurch nicht ent-
stehen, weil die Punkte auf der /-Achse hier mit den Indices
und versehen werden mussten, und dementsprechend
auch die sich hierauf beziehenden Variabelen und

Bei einer Umklappung um die F-Achse linden nun die
folgenden Verwechslungen zwischen den Amplitudenkompo-
nenten statt:

Es ist dabei ƒ ;" — p \')■ Ahnlich wie in § 4 kann man
hieraus die charakteristischen Substitutionen ableiten, gegenüber
welchen die Gleichungssysteme Si .... Sp invariant sein
müssen. Man findet:

Demnach schwingen zwei Punkte, die durch Umklappung
um die Z-Achse in einander übergehen, so, dass die
r-Komponenten gleich, die X- und /-Komponenten ent-
gegengesetzt sind. Die Punkte P^ und Pf schwingen
senkrecht zur /-Achse, und radial.

Weil im allgemeinen für Schwingungen vom Typus A
gilt M^ = My = 0, und hier ausserdem noch = 0 (da
doch von den /-Komponenten je zwei entgegengesetzt
sind) sind diese Schwingungen inaktiv.
Aii 3 m 2 h^ Z Af ^ Schwingungen, für welche gilt:

Hier sind für zwei zusammengehörende Punkte die X- und
/-Komponenten gleich, die F-Komponenten entgegen-
gesetzt. Im allgemeinen sind diese Schwingungen also
aktiv:

Achsen, die daraus durch Drehungen um -y- (n = ganze
Zahl) entstehen. Es gilt 1 = 0. Wenn p = 2, so bekommt

man 3 m /i, 2 hj^^ 2 J Schwingungen, die den-
selben Bedingungen genügen wie oben, und ausserdem:
= = In diesem

Fall sind die Schwingungen aktiv: My 0.
Bz: (wenn p>2): 3 >» 2/j,. Af Schwingungen, cha-
rakterisiert durch:

stehen (« = ganze Zahl). Auch hier ist |iV| = 0. Für
p = 2 aber findet man 3m 2 h^ hf 2 3
aktive Schwingungen, mit einem elektrischen Moment
parallel zur A\'-Achse. In diesem Falle gelten neben den
vorigen Bedingungen auch die folgenden:

Bei den Doppelschwingungen C und D tritt keine Spaltung
auf, genau wie im vorigen Falle. Die dort angestellten Unter-
suchungen über das Verhalten des Vektors M in Abhängigkeit
von dem Parameter A haben auch hier, mit sehr geringen
Änderungen, volle Gültigkeit; es wäre also überflüssig, das

(G m -{- 3 /t;^ 4- 3 Af) inaktive Schwingungen D (je nachdem p
gerade oder ungerade isl).

Die Nullfrequenzen werden in gleicher Weise berücksichtigt,
wie in § 4 geschehen ist, jedoch mit dem Unterschied, dass
hier die Translation parallel zur Z-Achse zu At gehört.

Wir wollen, speziell für den Fall p = 2, das Ergebnis
etwas näher betrachten. Wir haben in diesem Fall nämlich
drei zu einander senkrecht stehende Symmetrieachsen. Unter
diesen spielt die if-Achse keine besondere Rolle: sie ist den

beiden anderen gleichwertig. Die Transformationsgruppe, die
das Punktsystem hier zulässt, ist die bekannte Vierergruppe.
Diese Gleichwertigkeit der drei Symmetrieachsen muss auch
in den Lösungen zum Ausdruck kommen. Am besten sieht
man das, wenn man für die Anzahl Punkte auf der
positiven Z-Achse hz statt ho setzt, und entsprechend Ax und

statt /ijf\' und Man bekommt dann:
Ai: 3 m hx h,j Jis inaktive Schwingungen. Alle Punkte
auf einer der drei Symmetrieachsen schwingen in der
Richtung der betreffenden Achse. Der Punkt P, wenn
vorhanden, ist in Ruhe. Zwei symmetrisch zu 0 liegende
Punkte schwingen entgegengesetzt.
A2: 3 m 2 Äx 2 hy /is ^ aktive Schwingungen mil
einem elektrischen Moment in der Richtung der Z-Achse.
Bi: 3 m 4- 2 Az 2 hx ^ aktive Schwingungen mit

Moment parallel zur F-Achse.
B2: 3 jw -[- 2 hy -j- 2 //a hx ^ aktive Schwingungen mil
Moment parallel zur X-Achse.
Die Nullfrequenzen werden in der Weise berücksichtigt, dass
man die Zahlen unter A2, Bt und B2 um 2 verkleinert. Man
sieht, dass das Ergebnis wirklich mit der Gleichwertigkeit der
drei Achsen in tJbereinstimmung ist. Diese Punktsysteme, die
die Operationen der Vierergruppe als Deckoperationen zulassen,
sind, wie wir später (Kap, II) sehen werden, besonders wichtig
für die Behandlung der Punktsysteme regulärer Symmetrie.

§ 6. Systeme mit einer p-zähligen Symmetrieachse und einer
Symmetrieebene senkrecht zu dieser Achse. \')

Wir nehmen die Z-Achse als p-zählige Symmetrieachse, die
XOy-Ebene als Symmetrieebene. Ein beliebiger Punkl in
der Hälfte «>0 des Gebietes Bj wird mit angedeutet.
Es gibt 7n solche Punkte. Zu jedem Punkt gehört ein
Punkt Ff\\ der daraus durch Spiegelung an der XO Y-Ebene
entsteht. In dieser Ebene z=:0 liegen im zu gehörenden Ge-
biet kh Punkte P^, auf der positiven Z-Achse /i„ Punkte auf

der negativen Z-Äclise die zugeliörenden Punkte in 0
5 Punkte P (a = 0 oder 1).

Substitutionen, die einer Spiegelung an der A^OF-Ebene
entsprechen. Diese sind hier sehr einfach. Die Übergänge
zwischen den Amplitudenkomponenten sind nämlich:

Und hieraus leitet man sofort die gesuchten charakteristischen
Substitutionen ab:

Demnach findet in jedem System S; eine Spaltung der Va-
riabelen statt, und also auch eine Spaltung der betrelTenden
Lösungen. Man bekommt nun folgende Schwingungen:
/l, : 3 «j 2 inaktive Schwingungen, gegeben durch:

Diese erfolgen offenbar symmetrisch zur XOF-Ebene.
Ai: 3 Hl S aktive Schwingungen, für welche gilt:

Zwei zusammengehörende Punkte schwingen in der Z-
Richtung gleich, in den A\'- und r-Richtungen entgegen-
gesetzt.

Bl: 3 m 2 k^ inaktive Schwingungen (für p> 2), gegeben durch:
Das bedeutet wiederum Symmetrie zur ZOF-Ebene. Ist

p = % so bekommt man 3 m 2 2 2 5 aktive
Schwingungen. Für jede dieser Schwingungen hat das elek-
trische Moment eine bestimmte Richtung senkrecht zur Z-
Achse. Es ist = ; ^ = ^.
Bi\'.Zm -{- k^ inaktive Schwingungen (wenn p > 2), für welche
gilt:

Ist p = 2, so kommen 3 2 h^ Schwingungen
heraus, die ebenfalls inaktiv sind.
Es ist: = =

Auch hier bedeutet das, wie man mit Hilfe der Gleichungen
(25 a.b.c) leicht nachweist, Symmetrie zur Ebene JCOZ.
Ci: 3 m y^A K inaktive Doppelschwingungen, mit:

pelschwingungen (je nachdem p gerade oder ungerade
ist), symmetrisch zur Symmetrieebene.

Die Translation parallel zur Z-Achse zu Az
Die Translation parallel zur T-Achse zu Ci {Bi)

Die Translation parallel zur X-Achse zu Gi (Bi)
Die Rotation urn die Z-Achae zu Ai
Die Rotation urn die Y-Achse zu C2 (Ih)
Die Rotation um die X-Achse zu C2 {B2)

§ 7. Systeme mit einer /i-zähligen Symmetrieachse, p Symmetrie-
ebenen durch diese Achse, und senkrecht zu diesen,
eine Symmetrieebene, welche p zweizählige
Symmetrieachsen enthält. \')

In diesen Systemen treten neben der p-zühligen Symmetrie-
achse die charakteristischen Symmetrieelemente aus den drei
vorigen Paragraphen zusammen auf. Diese sind aber nicht
von einander unabhängig, denn durch die p-zühlige Symmetrie-
achse, zusammen mil zwei anderen, von einander unabhängigen
Symmetrieelemenlen, isl die ganze hier auftretende Gruppe
von Deckoperalionen bestimmt. Wir können deshalb eine dieser
drei neben der p-zähligen Achse auftretenden Symmelriearlen
ausser Betracht lassen, und nur mit den beiden anderen
rechnen. Am einfachsten ist es wohl, als solche die p Sym-
metrieebenen durch die ;)-zählige Achse, und die Symmetrie-
ebene senkrecht zu dieser Achse zu wählen. Die Frage gestaltet
sich nun so, dass untersucht werden muss, welchen Eintluss
eine Symmetrieebene senkrecht zur p-zähligen Achse auf den
in § 4 dieses Kapitels behandelten Punktsystemen ausübt.

Es soll also in Figur 4 die A^OF-Ebene eine Symmetrie-
ebene des Punktsystems sein. Die Punkte Pf \\ Pj, Pf und
P in dem Gebiet ^^O bezeichnen wir jetzt mit dem unteren
Index also J^j,. zur Unterscheidung

und in dem Gebiet «<0, während die ursprünglichen
Bezeichnungen Pf\\ P^, If> und P für die Punkte in der
Ebene z — O benutzt werden. Es gibt m Punkte /-^\'j\',), k^ Punkte
kf^ Punkte K Punkte Punkte P/\', h,

in sehr eiiifacher Weise erhalten, indem man Invarianz der
Gleichungssysteme i) fordert gegenüber denjenigen Substi-
tutionen, die der Spiegelung an der XOF-Ebene entsprechen.
Wegen der grossen Analogie mit dem im vorigen Paragraphen
behandelten Falle wird es genügen diese charakteristischen
Substitutionen ohne Weiteres hinzuschreiben:

Dadurch werden die in § 4 gefundenen Schwingungsformen
Ai, A2, Bi, Bi, (7 und Z) wiederum gespalten in zwei Gruppen,
deren eine nur Schwingungen enthrdt, die symmetrisch zur
XOF-Ebene erfolgen, während die Schwingungen der anderen
Gruppe so beschaffen sind, dass zwei synjmetrisch zu dieser
Ebene liegende Punkte mit gleichen Z-Komponenten, aber
entgegengesetzten X- und F-Komponenten schwingen. Wir
werden das kurz als „nicht-symmetrisch" bezeichnen

Man findet nun folgende Schwingungsmöglichkeiten:
A\\: 3 m -f 2 kf^ K ^ K K K^ inaktive, sym-

metrische Schwingungen.
ä; : 3 hj 2 -f 2 /.f 4- /i, Ä:;, h^ Af 5 aktive, nicht-
symmetrische Schwingungen. {Mt =4= 0).
A^: 3 m kf^ -}- 2 /c^ h^ /if inaktive symmetrische
Schwingungen.

Hier sind gemeint die Systeme, die in § 4 dieses Kapitels durch
Spaltung der Systeme Si . . . . Sp erhalten wurden.

\') Wir benutzen also hier die Worte «symmetrisch» und «nicht-
symmetrisch» nicht in der allgemeinen Bedeutung (Seite 26), aber nur
um das Verhalten gegenüber der Symmetrieebene x = 0 anzudeuten.

(wenn p = 2): 3 2 2 Är, h, Äf ^
aktive, symmetrische Schwingungen. (My^^O).
B\'l: (p > 2): 3 »i 2 k^, /»., inaktive, nicht-sym-
rnetrische Schwingungen.

(p = 2): 3 2 k^ -f inaktive, nicht-
symmetrische Schwingungen.
: (p > 2) : 3 m 2 Ä:® -f- 2 A;, /i®\' inaktive,
symmetrische Schwingungen.

(p = 2): 3 m 2 kf} Ä, 2 ^t* hf ^
aktive, symmetrische Schwingungen. (iVx=4=0).
B\';-. (p > 2): 3 m A;^ 2 A;® Äf inaktive, nicht-sym-
metrische Schwingungen.

(p = 2): 3 m A^ 2 A:^ k^ /tf inaktive, nicht-
symmetrische Schwingungen.
C : 6 )/» 3 k„ 3 U^} h„ 4 A-, -f 2 -f 2 Af ^ aktive,

symmetrische Doppelschwingungen.
C" : 6 m -f 3 A:„ -f 3 2 A;, /t, -}- inaktive, nicht-
symmetrische Doppelschwingungen.

inaktive symmetrische Doppelschwingungen O\'e nachdem p
ungerade oder gerade ist).

inaktive nicht-symmetrische Doppelschwingungen.(je nach-
dem p ungerade oder gerade ist).
Auch hier sind die Schwingungen B nur vorhanden, wenn p
gerade ist, und die unter C, G", D\' und f)" angegebenen
Zahlen gelten nur wenn p mindestens gleich 3 ist.

Die G Nullfrequenzen gehören zu den folgenden Typen:
Die Translation parallel zur /-Achse zu Ä^
Die Translation parallel zur F-Achse zu C (ßj)
Die Translation parallel zur A\'\'-Achse zu C\' (Zij)

Die Rotation um die Z-Achse zu Ä^
Die Rotation um die Z-Aclise zu C" [B\'^)
Die Rotation um die X-Aclise zu C" {B\'^)

Die grundlegende Deckoperation wird bei den Systemen
dieser Art gebildet von einer Drehung Dp um die Drehspiege-
lungsachse, zusammen mit einer Spiegelung an einer Ebene
senkrecht zu dieser Achse. Die allgemeine Operation der für
diese Systeme charakteristischen Gruppe wird von einer n-
maligen Wiederholung dieser elementaren Operation gebildet.
Wir können uns beschränken auf den Fall wo p gerade ist,
denn man sieht leicht, dass der Fall p = ungerade zu einer
Betrachtung der Gruppe C* führt, die schon in § ü dieses
Kapitels erledigt wurde.

Man könnte nun diesen Fall der p-zähligen Achse zusammen-
gesetzter Symmetrie (wo p = 2(/) als Spezialfall eines Systems
mit einer ^-zähligen Achse einfacher Symmetrie auffassen,
und die Untersuchung nach den verschiedenen Schwingungs-
möglichkeiten entsprechend gestalten. Das ist auch sehr gut
möglich, jedoch nicht empfehlenswert. Es hat sich nämlich
herausgestellt, dass man mit einer Betrachtung von Symmetrie-
ebenen, Achsen einfacher Symmetrie und Symmetriezentren
nicht auskommt und dass es durchaus nötig ist, die Achse
zusammengesetzter Symmetrie als neues Symmetrieelement
hinzuzufügen. Es ist deshalb besser, die Drehspiegelungsachse
nicht aufzufassen als ein der Achse einfacher Symmetrie unter-
geordnetes Symmetrieelement, sondern diese beiden Achsen
einfacher und zusammengesetzter Symmetrie als unabhängig
und gleichberechtigt anzusehen. Das kommt auch sehr schön
in den Rechnungen zum Ausdruck, die sich dadurch viel
übersichtlicher gestalten, und die diese Auffassung durch ihre

grosse Ähnlichkeil mit den in § 3 dieses Kapitels angestellten
Überlegungen durchaus bestätigen.

Es sei also die Z-Achse eine p-zühlige Drehspiegelungsachse
{p = 2g); die Spiegelungen werden an der X 0 Z-Ebene vor-
genommen. Durch p Halbebenen durch die Z-Achse, welche
man wieder so wählen kann, dass sie ausser den Punkten
auf der Z-Achse keine Punkte des Systems enthalten, teilt
man den Raum in Gebiete Ih ■.. Rj.... lif. Die m Punkte
im Gebiet Rj bezeichnen wir mit P^; die Punkte Pj i in
Rjjf i entstehen daraus durch die elementare Drehspiegelung,
usw. Auf der positiven Z-Achse liegen h,, Punkte und
auf der negativen Z-Achse hv entsprechende Punkte die
durch eine einfache Drehspiegelung, das heisst in diesem I^alle
eine Spiegelung an der XOF-Ebene, aus den Piinkten
entstehen. Schliesslich kann man in 0 3 Punkte P annehmen
(3=0 oder I).

Man führt nun auch hier zuerst die Variabelen F^, F/ und
Wj ein, detiniert durch (D), und ausserdem, den Punkten
i^*), und P entsprechend, die Variabelen F<\'\\ F*<\'\\
Ij\'d). ivif). Y* und Oann werden die

folgenden linearen Kombinationen dieser Grössen als neue
Variabelen eingeführt:

Das sind 3/jm 0/»„ = 3s Variabelen, wie es nach
der allgemeinen Theorie sein muss. Die Rezeichnungen sind
wiederum so gewählt, dass jede Variabele mit dem Index /
bei der reduzierten Drehspiegelung mit ej, nuiltipliziert wird.
Das führt nun, genau wie in § 3, zu einer Spaltung des allge-
meinen Gleichungssystems in p Teilsysteme Si ... 5/ ,.. S,.,
deren jedes nur die Variabelen mit dem bestimmten Index l
enthält. Wir schreiben diese mit den zugehörigen Variabelen
in einem Schema zusammen und bekommen, für /;>4:

Ist aber /) = 4 oder jo = 2, so sind diese Systeme nicht
alle verschieden und man bekommt:

Um diese Fälle ;j==4 und 75 = 2 nicht immer gesondert
berücksichtigen zu müssen, geben wir vorläufig nur die
Resultate für p>4 an, und erst nachher das Ergebnis für

Die Lösungen der Gleichungssysteme Si... Sp spalten nun,
genau wie in § 3, in verschiedene Gruppen, deren einige aus
einfachen, andere aus Doppelschwingungen bestehen, und man
findet folgende Möglichkeiten:

A. 3 m h„ symmetrische Schwingungen \'). Diese genügen,
wie man leicht nachrechnet, den Bedingungen:

B. 3 m /t„ ^ Schwingungen, die charakterisiert sind durch
folgende Beziehungen:

Das elektrische Moment steht senkrecht zur Z-Achse.
D. 3m /«,. inaktive Doppelschwingungen, fvir welche gilt:

Zur geometrisclien Deutung der Doppelschwingungen ist
noch zu bemerken, dass für i = gerade gilt:

und schliesslich gilt = ± TF^^^^, je nachdem {Iq) ge-
rade oder ungerade ist. Die Deutung der Schwingungen Ä
und B dürfte nach dem in § 3 Ausgeführten ohne Weiteres
klar sein.

Die Gleichungen (25») und (256) gelten hier auch; statt
(25c) bekommt man aber jetzt:

Wie gesagt, sind die Möglichkeiten p = 4 und p = 2 bis
jetzt nicht in Betracht gezogen. Wir werden nun dazu über-
gehen diese beiden Fülle zu behandeln, und fangen an mit
p = 4. Aus dem für diesen Fall gültigen Schema (Seite 54)
liest man sofort ab, dass man hier finden muss:

A. 3 m hv inaktive, symmetrische Schwingungen, die den
Bedingungen (33), für p = 4 genommen, genügen.

B. 3 m hv 5 aktive Schwingungen, charakterisiert durch
die Gleichungen (34), für p = 4. Das elektrische Moment
hat, wie im allgemeinen Fall, die Richtung der Z-Achse.

C. 3 m -f- 2 Är 5 aktive Doppelschwingungen, welche den
Gleichungen (35) genügen, und ausserdem noch den

Gleichungen: H\'«\') = TF^-^ = TF = 0 (aber nicht, wie im
allgemeinen Fall F^D = oder Das

elektrische Moment steht senkrecht zur Z-Achse.
Während also, wie man hieraus sieht, der Fall p = 4 nur
wenig abweicht von dem allgemeinen Fall finden

wir bei p = 2 erhebliche Unterschiede. Das Hesse sich auch
erwarten, denn eine zweizählige Drehspiegelungsachse ist ja
nichts anderes als ein gewöhnliches Symmetriezentrum. Da
man aber jede Gerade durch ein Symmetriezentrum als zwei-
zählige Drehspiegelungsachse auffassen kann, muss sich hier
die Sonderstellung der Z-Achse als eine scheinbare erweisen.
Das gibt nun natürlich Verhältnisse, die von den vorigen
wesentlich verschieden sind.

Aus dem für /; == 2 gültigen Schema (Seite 54) liest man
nun sofort ab, dass man hier zwei Lösungssysteme be-
kommt:

Es ist also der Punkt P in Huhe, und je zwei symme-
trisch zu 0 liegende Punkte schwingen entgegengesetzt.
Es ist klar, dass diese Schwingungen inaktiv sind.

B. 3 3 Är 3 3 aktive Schwingungen, gegeben durch:
F, = v^; V* = F*; IF, = IFa; FC) = ; = F >«>;
|F<" = IF"^\'. Das bedeutet, dass jo zwei zu 0 symme-
trisch liegende Punkte mit gleicher Amplitude schwingen.

Man sieht, dass der Unterschied zwischen den Punkten Pj
und oder völlig verschwunden ist, was wir auch er-
warteten. Setzt man vi h,, = m\\ so findet man also für
Systeme mit Symmetriezentrum, die gebildet sind aus
2 »»\' 3 Punkte (3 = 0 oder 1):

A) 3 in inaktive-, und B) 3 m\' 33 aktive Schwingungen.
Über die Richtung des elektrischen Moments bei diesen ak-
tiven Schwingungen lässt sich nichts Allgemeines sagen.
Die Nullfrequenz^n gehören zu den folgenden Gruppen:

§ 9. Systeme mit einer ^-zähligen Drehspiegelungsachse, •
q Symmetrieebenen durch diese Achse, und q zweizähligen
Achsen einfacher Symmetrie senkrecht zu der
ersten Achse.

Diese Symmetrieelemente können nur dann vorhanden sein,
wenn p gerade ist, und wir wollen uns denn auch wie im
vorigen Paragraphen auf diesen Fall beschränken. Zweitens
werden wir den Fall p = 2 ausschliessen, weil der in § G
dieses Kapitels erledigt wurde.

Es sei nun die Z-Achse die p-zählige Drehspiegelungsachse;
an der XOF-Ebene werden die Spiegelungen vorgenommen.
Durch den Koordinatenursprung 0 gehen q zweizählige Sym-
metrieachsen, senkrecht zur Z-Achse; eine dieser Achsen
nehmen wir als T-Achse des Koordinatensystems. Weiter
gibt es q Symmetrieebenen durch die Z-Achse. Diese teilen
den Raum in p Gebiete lij, die wir so numerieren, dass das
Gebiet /?,, die F-Achse enthält. Das System sei nun aus
folgenden Punkten gebildet: m Punkte in der Hälfte von
R , wo a;> 0, nicht in einer Symmetrieebene; daraus entstehen
durch Drehspiegelungen die Punkte I^^K In jedem Gebiet
R ■ gehört zu Pf^ ein Punkt Pj?der aus dem vorigen hervor-
geht durch Umklappung um die zweizählige Symmetrieachse,
die in dem betreffenden Gebiet verläuft. Auf der F-Achse
befinden sich h^ Punkte P^; in der Halbebene, die die Gebiete
und Rp trennt, k^ Punkte P^\'; auf der -f Z-Achse h^

Punkte mit den zugehörigen Punkten auf der — Z-Achse,
und 3 Punkte in 0. (3 = 0 oder 1).

Jede Deckoperation der für diese Punktsysteme charakte-
ristischen Gruppe lässt sich als Produkt einer Umklappung
um die F-Achse mit einer gewissen Potenz der elementaren
Drehspiegelung auffassen. Wir brauchen also nur Invarianz
der Gleichungssysleme aus § 8 gegenüber den Substitutionen
zu fordern, die einer Umklappung um die T-Achse entsprechen.
Dabei vertauschen sich die Amplitudenkomponenten wie folgt:

C/x - -
(Es ist /

werden	nun:

	t-%-1
	— fp \'
t\'	t — %-1


	t-%-1

Dadurch werden nun wieder einige Spaltungen hervorge-
rufen in den in § 8 gefundenen Schwingungsformen und wir
finden:

Diese sind vom »symmetrischen" Typus.
A^: 3 m -I- 2 h^ inaktive Schwingungen, gekennzeichnet
durch:

C: 6 w 3 /?/. 3 /rr Ap ^ aktive Doppelschwingungen,
(aber für p = 4 wird die Anzahl: 6 j« 3 A/. 3
-f 2 //r 5). Das elektrische Moment steht senkrecht zur
Z-Achse, und kann übrigens jede beliebige Richtung haben.
Man kann auch hier eine einfache Beziehung finden
zwischen der Richtung dieses Moments und einem Para-
meter A, der das Verhältnis der Variabelen aus Si und Sp-i
darstellt, alles genau wie in §§ 4 und 5; wir brauchen
das hier also nicht weiter auszuführen.

D\'. (nur für ;; ^ 6) 0 m 3 Aa 3 k\\ h, inaktive Doppel-
schwingungen aus den Systemen Sq-\\ und S^ i.

Die Translation parallel zur Z-Achse zu B2
Die Translation parallel zur F-Achse zu G
Die Translation parallel zur X-Achse zu C
Die Rotation um die Z-Achse zu jU
Die Rotation um die F-Achse zw D {C)
Die Rotation um die X-Achse zu I) (G)

§ 1. Systeme mit den der Tetraedergruppe entsprechenden
Symmetrieelementen. \')

Es gibt bekanntlich fünf Symmetrieklassen, die dem regulären
System angehören. Diese sind alle gekennzeichnet durch vier
dreizählige und drei zweizählige Achsen einfacher Symmetrie.
Wir werden diese im folgenden als „die regulären Symmetrie-
elemente" bezeichnen. Die entsprechende Gruppe von Deckope-
rationen ist die Tetraedergruppe. Sie ist für die in diesem
Paragraphen zu besprechenden Punktsysteme die Hauptgruppe,
in den vier anderen Fällen ist sie eine Untergruppe einer
anderen, mehr Operationen umfassenden Gruppe. Jedenfalls
ist aber die Tetraedergruppe für das ganze reguläre System
massgebend. Man sieht nun sehr leicht, dass die Methode
des vorigen Kapitels hier wenig Erfolg verspricht. Denn dort
war nur von Systemen die Rede, die eine Hauptachse auf-
wiesen, oder wenigstens ohne jeden Zwang als solche aufgefasst
werden konnten Bei den Systemen regulärer Symmetrie
gibt es aber drei zu einander senkrecht stehende zweizählige
Symmetrieachsen, und vier dreizählige Symmetrieachsen, die
mit den vorigen gleiche Winkel bilden. Dadurch wird schon
nahe gelegt, die drei zweizähligen Achsen als Achsen des
rechtwinkligen Koordinatensystems zu wählen, und die Rech-
nungen so zu gestalten, dass die Gleichwertigkeit dieser Achsen
dadurch auch zum Ausdruck gebracht wird.

Projektion des Punkt-
systems darstellt, sind
also die X-, Y- und
/-Achse die zweizähli-
gen Symmetrieachsen\').
Die Geraden x—y=z,
x=-y=-z, -x=y^-z
und —x= — y=z sind
diedreizähligen Achsen,
die wir der Reihe nach
mit rti, 02, cTs und ai
bezeichnen.

Es ist nun für das
Folgende bequem, den
ganzen Raum, mit Aus-
nahme der Punkte auf
den drei Koordinatenachsen, in vier Gebiete Rk (/■;== 1,2, 3
oder 4) einzuteilen. Diese Einteilung kann noch in hohem
Masse willkürlich erfolgen, nur soll den folgenden Bedingungen
genügt werden:

Punkt, gehört zu einem der Gebiete Rk.
a. Aus einem Punkt in Ri entstehen durch Umklappungen
um die X-, Y- und Z-Achse Punkte in Rz, Rs bezw. Ri.

um ganzzahlige Vielfache von 120° um die Achse «i
entstehen aus jedem Punkt in Ri Punkte, die ebenfalls
zu Ri gehören.
Man leitet aus diesen Bedingungen zunächst ab, dass jeder
Punkt der Achse Ok, ausgenommen der Koordinatenursprung,

») Die Schnittpunkte der i^Achse mit der Kugeloberfiiiche, die bei
dieser Projektion eine Rolle spielt, sind als Projektionszentra gewühlt,
dio XOy-Ebeno als Projektionsebene. Deshalb ist die Z-Achse in der
Figur nicht sichtbar, und nur durch den Punkt 0 vertreten.

zum Gebiet Rk gehört. Eine für die jetzt zu betrachtenden
Punktsysteme vernünftige Definition wäre z.B.: Man reclmet
die Gesamtheit der Punkte:

(x>0, v>0, z>Oh te<0, y<0, ^<0); te=0, //>0, z>0),
{jf = 0, a;> 0, 3> 0), und = 0, o; > 0, > 0) zu 7?i, und
die daraus durch Spiegelung an der X-, Y- und Z-Achse
entstehenden Punkte zu R-i, Rs bezw. Ri. Damit wird den
oben aufgestellten Bedingungen genügt. In manchen anderen
Fällen erweist sich jedoch eine etwas allgemeinere Definition

die Punkte P12 und P15, ebenfalls in Ri. (Der erste Index in
Pn, Pi2 und Pia bedeutet, dass die betreffenden Punkte zu/^i
gehören). In Bezug aut das Vorzeichen der Drehungen Ak be-
stimmen wir Folgendes: Wir nennen die Hälftea; =ƒ/ = 0
der Achse fli positiv, und ebenso die daraus durch die Um-
kläppungen um die Achsen X, Y und Z entstehenden Hälften
der Achsen az, oa und 04. Eine Drehung Ak um die Achse ak soll
nun positiv sein, wenn man, von 0 aus nach der positiven
Richtung der Achse Ok blickend, eine Rechtsdrehung wahr-
nimmt. — Wenn wir nun jeden Punkl Piy (/ = 1, 2, 3) den
Operationen der Vierergruppe unterwerfen, so entstehen daraus
bei Umklappungen um die X-, T-, und Z-Achse die Punkte
Pi;, iV und Pi/. Die 12 Punkte Pkj bilden ein gegenüber
den Operationen der Telraedergruppe invariantes System, da
bekanntlich jede dieser Operationen als Produkt einer Drehung
yl^ und einer Uinklappung um eine der zweizähligen Achsen

Nach den obigen Festsetzungen über das Vorzeichen der
Drehungen Ak ist noch zu bemerken, dass für jedes k
bei der Drehung de Punkte P,y in der Reihenfolge

Pi iineinander übergehen. Wenn wir
schliesslich mil k\' die Werte 2, 3 und 4 andeuten, mit der
Bestimmung, dass k\' 3 n (n = ganze Zahl) dasselbe bedeutet
wie k\', so kann man leicht einsehen, dass bei der Drehung

muss man auch für die Indices / den cyclischen Charakter
dadurch zum Ausdruck bringen, dass man bestimmt: /=ƒ 3
(mod. 3).

Wir wollen annehmen, dass es m Punkte Pn gibt, also
12 JH „allgemeine" Punkte. Ausserdem können aber auf den
Symmetrieachsen Punkte liegen, nämlich: /13 PunktePi
auf der Achse «i (nicht im Koordinatenursprung 0), und
entsprechend auf jeder Achse nr^. die Punkte ; auf der posi-
tiven X-Achse /i^ Punkte P^, entsprechend auf der negativen
X-Achse /i^ Punkte auf der -f F-Achse /j^ Punkte P,^,

Die Amplitadenkomponenten, die als Variabelen in den
3(12 m -}- 4 /j3 6 I/x Gleichungen (1) auftreten, werden
mit U^^, f/^, usw. bezeichnet 2), Die Untersuchung

der verschiedenen Schwingungsmöglichkeiten wird nun darauf
hinauslaufen, dass man von diesem Gleichungssystem (1) In-
varianz fordert gegenüber den Substitutionen, die den Ope-
rationen der Tetraedergruppe entsprechen. Man -macht das
am besten in der Weise, dass man zuerst nur die Operationen
der Vierergruppe in Betracht zieht, und nachher auch die
Operationen yPj"\' berücksichtigt.

Wenn man die Summen und Differenzen dieser Variabelen
als neue Variabelen einführt, wird dadurch in bekannter
Weise das allgemeine Gleichungssystem in zwei andere ge-
spalten. Nun müssen aber diese Gleichungssysteme wiederujn
invariant sein gegenüber den einer Umklappung um die
r-Achse entsprechenden Substitutionen, welche gegeben sind
durch:

Dadurch wird jedes System noch einmal gespalten, und man
bekommt vier Gleichungssysteme, die wir mit Su Si, S& und Si
bezeichnen. Das System Si enthrdt die folgenden Variabelen:

Wir werden die Variabelen der drei ersten Zeilen mit
^kj ^kj andeuten, die der drei folgenden Zeilen

zu Sk gehört; übrigens enthiilt jede Variabele, die nur aus
X-Komponenten der Amplituden gebildet ist, ein und ebenso
bedeutet v\\ und dass die betreffende Variabele sich nur
aus Y- oder Z-Komponenten zusammensetzt.

Es ist nun nicht nötig, Bedingungen zu suchen für die In-
varianz der Systeme Si gegenüber den Substitutionen, die der
dritten, von der Indentität verschiedenen Operation der Vierer-
gruppe entsprechen, denn weil diese Operation (die Umklap-
pung um die Z-Achse) von den vorigen abhangig ist, sind
diese Bedingungen sowieso erfüllt. Wenn wir die Umklap-
pungen um die X-, Y- und Z-Achse mit X, Y und Z
andeuten, so ist es ja auch klar, dass z.B. eine Variabele
aus 5i, die bei X und V das Vorzeichen behfdt, auch- bei
der Operation Z das Vorzeichen behalten muss, auf Grund
der Beziehung:

sich die Variabelen der Systeme St von einander unterscheiden,
ist, wie man leicht sieht:

Sowohl aus diesem Schema, wie aus Anzahl und Art der
Variabelen sieht man deutlich, dass das System Si sich ganz
anders verhält wie die drei anderen; das ist, wie wir gleich
sehen werden, der Grund für die Spaltung der Schwingungen
in inaktive- und dreifache Sctiwingungen. Dazu müssen
jetzt die Drehungen yt\'i"* berücksichtigt werden was be-
kanntlich auch genügt, da die anderen Drehungen aus
den vorigen und den Operationen der Vierergruppe abgeleitet
werden können. Bei der Drehung /Ii wird nun:

und dadurch finden die folgenden Verwechslungen zwischen
den Amplitudenkomponenten statt:

\') Wir wollen nebenbei darauf hinweisen, dass, ohne diese Drehungen,
hier ein Sonderfall des auf Seite 4(5 besproehencn Systems, mit der Oruppo
/)i, vorliegt, nümlich der Fall hy = h.r — ht. Wenn man die ver^ehiedeno
Bedeutung der Grösse m in geeigneter Weise beriicksichtigt, kommt man
tat(>richlich zu demselben Ergebnis.

zyklische Vertauschung von a;, ƒ/ und ^ hervorgehen. Wir
müssen jetzt untersuchen, welchen Einfluss diese Substitutionen
auf die Variabelen der Systeme S, haben. Man findet folgende
Übergänge:

und alle durch zyklische Vertauschung der Symbole K
oder der Indices a;, ^ daraus hervorgehenden Substitutionen

Man sieht hieraus erstens, dass die Variabelen von Si sich
untereinander vertauschen, zweitens, dass die Variabelen von
82 übergehen in die Variabelen von S3 und diese wieder m
die Variabelen von S4, während die letzteren sich wieder m
die Variabelen des Systems S2 umwandeln.

Wir können nun ubkürzenderweise die Gleichungen der
Systeme S2, Sa und Si darstellen durch:

wo k und I soviel Werte annehmen können wie die
Anzahl der Gleichungen in jedem System beträgt (also
9 j« 3 hz 5 -f 3). Das Ganze soll nun verträglich sein
mit den Gleichungen, die man bekommt, indem man die
Variabelen und .. zyklisch vertauscht. Daraus leitet

gleichwertig sein müssen, d. h., dass sie dieselben Lösungen
für die Verhältnisse der Unbekannten x, ergeben. Wenn man
nun aber in dem zweiten dieser Systeme die rc, durch m
dem letzten durch .. ersetzt, so ändert sich dadurch nichts
Wesentliches: die Lösungen bleiben dieselben. Damit ist also
gezeigt, dass die Systeme dieselben Lösungen haben. Auch
ist es klar, dass dies nur möglich ist, wenn die Deter-
minanten der Koemzienten «u, und al e Funktionen
von dieselben Wurzeln für besitzen. Jede dieser Wur-
zeln ist demnach für das ganze System als dreifach zu be-

trachten, und entsprechend sind die zugehörigen Schwingungen
von zwei Parametern abhängig. Als solche kann man am
besten die Verhältnisse der Variabelen xt, //t und Zk wählen.

beliebigen reellen Wert der Parameter A und (j. den Systemen
Sa und Si genügt wird, wenn u" und die Verhältnisse der
Xk so gewählt sind, dass sie eine Lösung von bilden.
Übergehend zu den wirklichen Variabelen, kann man hierfür
auch schreiben:

Jedes Wertepaar (a, bestimmt eine einfache Schwingungs-
form, die gegeben ist durch die Gleichungen (36) und die
Forderung, dass die Variabelen in Si alle Null sind. Im
allgemeinen sind diese Schwingungen aktiv.

sämtliche Variabelen der Systeme S3 und S4 Null. Ausserdem
waren die Variabelen in Si gleich Null zu setzen. Für diese
Schwingungen gilt:

Man sieht leicht, dass My = Ms = 0, aber im allgemeinen
Zwei ähnliche Schwingungen llndet man, wemi

die zweite parallel zur /-Achse. Setzt man
so bekommt man eine Schwingung mit elektrischem Moment
parallel zur Achse aj, und überhaupt kann man durch geeignete
Wahl der Parameter A und [j, jede beliebige Richtung des
Moments im Räume erreichen.

Es müssen jetzt diejenigen Schwingungen noch näher be-
trachtet werden, die durch\'Nullsetzen der Determinante der
Koeffizienten von Si und der Variabelen aus 6V gefunden
werden. Wir sahen schon, dass Si invariant sein muss
gegenüber den Substitutionen -»■ i^j 1,; fj-»- »ipusw.,
die der Drehung Äi entsprechen. Man kann also die Variabelen
von Si in Gruppen zu je 3 Variabelen einteilen, die sich bei
der erwähnten Drehung zyklisch miteinander vertauschen,
z.B. USW. Die Variabelen einer solchen

die Anzahl der Variabelen im System Si. Es sei nun irgend-
eine Gleichung \') aus Si:

Wenn rhan nun die Variabelen Xi, Vi und Z: zyklisch
vertauscht, so bekommt man neben (37) zwei andere Gleichungen,
die — das ist nun die Forderung — mit Si verträglich sein müssen.
Man kann also je drei Gleichungen aus Si darstellen durch:

wo fs = — I K — 3. Die Gleichungen (38) lassen sich
nun nach einer kleinen Umformung wie folgt schreiben:

Das System Si ist daher gespalten in drei Teilsysteme, die
wir der Reihe nach mit ^j, S\'I und bezeichnen werden.
Wir bemerken zunächst, dass die Koetllzienlen und die Varia-

belen aus S\'/ und S\'^\' konjugiert sind. Genau wie auf Seite 24
kann man hieraus auf das Vorhandensein von Doppehimrzeln
schliessen. Für diese sind die Variabelen aus ^^ gleich Null,
also = 0 und demzufolge

Das System S[ gibt einfache Wurzeln, die durch das Ver-
schwinden der Variabelen jf/, und gekennzeichnet sind. Aus
= 0 und = 0 folgt aber:

In den ursprünglichen Variabelen geschrieben, lautet nun
das Ergebnis, dass die (3 m h^ /jJ einfachen Schwingungen
charakterisiert sind durch:

Ausserdem verschwinden für beide Arten sämtliche Variabelen
der Systeme Letzteres gibt die für beide gültigen Be-
ziehungen :

die man leicht geometrisch deuten kann. Beide Arten sind
inaktiv, wie aus difesen Bedingungen sofort deutlich ist. Für
die einfachen Schwingungen gilt nun ausserdem:

Die zweite Bedingung bedeutet, dass die Punkte Pa- senkrecht
zur Achse ai schwingen. Die Punkte Pij und Pa mit einem
bestimmten Wert für k, schwingen immer so, dass der Vektor
ihres elektrischen Moments senkrecht zur Achse at steht. Die
Schwingung als Ganzes betrachtet, wird dadurch inaktiv, dass
die vier Vektoren, die den vier Gebieten Ih- entsprechen, eine
Resultierende vom Betrag Null ergeben. Die hier gefundenen
einfachen Schwingungen und Doppelschwingungen erinnern
stark an die früher bei der Betrachtung der Systeme mit
einer 3-zrdiligen Symmetrieachse gefundenen „symmetrischen"
Schwingungen und Doppelschwingungen. Es ist ja auch klar,
dass sich die allgemeinen Gesetzmässigkeiten der Systeme
mit einer 3-zähligen Symmetrieachse im regulären System
bemerkbar machen müssen.

Wenn wir nun schliesslich die verschiedenen Schwingungs-
möglichkeiten noch einmal zusammenfassen so bekommen wir:
A. .3 m hs hx. einfache, inaktive, symmetrische Schwin-
gungen.

Ii. 3m-{-li& hx inaktive Doppelschwingungen.
C. 0 m 4- 3 ha 5 /jx ^ aktive, dreifache Schwingungen.
Das elektrische Moment kann jede beliebige Richtung
im Räume haben.

Die den Nullfrequenzen entsprechenden Bewegungen des
Punktsystems gehören alle zu C und können also leicht be-
rücksichtigt werden.

§ 2. Systeme mit üen der oictaedenunupre entsrnecuenden
Svmmetiueklementen \')•

Man erhält bekanntlich die Operationen der Oktaedergruppe
indem man zu den Operationen der Tetraedergruppe die

üniklappungen um sechs zweizählige Achsen, die die Winkel
zwischen den Achsen X, V und Z halbieren, hinzufügt. Wie

aus der nebenstehen-
den Figur ersichtlich,
werden dadurch die
ursprünglich vorhan-
denen drei zweizähli-
gen Achsen in vier-
zäh lige Achsen ver-
wandelt, und somit
gehören die Drehun-
gen um t/2 um diese
Achsen auch zu den
Operationen der be-
trachteten Oktaeder-
gruppe, die also mit
der Identität 24 Ope-
rationen enthält. Für unseren Zweck genügt es, neben den
Operationen der Tetraedergruppe nur eitie bestimmte der
neuen Operationen zu betrachten, weil durch die Invarianz
der Gleichungen gegenüber den dieser Operation entsprechenden
Substitutionen, die Invarianz gegenüber den anderen Substi-
tutionen notwendig bedingt ist. Diese eine neue Operation
kann man beliebig wählen: wir werden im Folgenden als solche
die ümklappung um die Achse // = 0; == 0 betrachten.
Durch diese Operation wird jedem der Punkte F*/, die wir
jetzt mit Fl\'J bezeichnen werden, ein Punkt P}?,^ zugeordnet.
Dabei gilt, dass /c" = l oder 4 wenn k=l oder 4, und
Ä;" = 2 oder 3 je nachdem k gleich 3 oder gleich 2 ist
Ebenso fmdet man zu den Punkten F^, die jetzt mit PJ^"
angedeutet werden, die Punkte P^?^ Aus den Punkten F,F, usw.
entstehen keine neuen Punkte. Die/j2 Punkte auf der Halbachse
a; = //>0, 2! = 0 bezeichnen wir mit Pn, die daraus durch

\') Nach dem auf Seite 62 Gesagten gilt das auch für dio in den
Koordinatenebenen liegenden Punkte, wenn man die Gebiete ent-
sprechend definiert.

die Operationen der Tetraedergruppe liervorgelienden ^Punkte
mit Pkj. Durcli Anwendung der Operationen der Olitaeder-
gruppe bekommt man auch hier keine neuen Punkte. Es
gibt also im ganzen (24 in 8 //s 6 Ax 12 //a Punkte.
Die Amplitudenkomponenten dieser Punkte werden angedeutet
mit

Zwischen diesen Amplitudenkomponenten finden nun bei
der TJmklappung um die Achse r r/ = 2: = 0 die folgenden
Verwechslungen statt:

Es soll jetzt untersucht werden, welchen Einfluss das auf
die im vorigen Paragraphen definierten Variabelen

$ usw. hat. Zuerst betrachten wir die Variabelen des
Systems Si. Man findet zunächst die folgenden Übergänge:

Im System Si hatten wir jedoch schon eine Spaltung in
einfache- und Doppelschwingungen gefunden, die durch die
Einführung der Variabelen a;/, tj/ und 2/ (Seite 70) erreicht
wurde. Daher müssen wir jetzt den Einfluss der Substitutionen
(40) auf diese Variabelen untersuchen.

In den Definitionsgleichungen (Seite 70) wurden diese Grössen
X/, ƒ//, ZI als lineare Kombinationen der Variabelen A7, Yi und
Zi eingeführt. Es empfiehlt sich daher, diese verschiedenen
Gruppen von drei zusammengehörenden Variabelen des Systems

Si noch einmal zusammenzuschreiben. Dazu muss aber noch
Folgendes bemerkt werden: im vorigen Paragraphen gehörten
die Variabelen ^-«sammen; da wir diese

mit dem Index versehen haben, so müssen hier die Grossen
Ad) . und zusammengehören. Dasselbe gilt aber

fir die entsprechenden Grössen ff] usw. Denn wie
aus Figur 6 ersichtlich ist, gehen die Punkte
und tfi durch eine negative Drehung um die Achse a, m
einander über. Bei einer positiven Drehung ist die Reihen-
folge also: /fjUPilUPlIU/fi\', und dementsprechend findet
man hier z.B. If^ und als zusammengehörende

Die verschiedenen Gruppen der früher mit A/, 1 / und Z/
bezeichneten Variabelen sind also:

Die Variabelen die die einfachen Schwingungen bestim-
men, werden, bis auf den Faktor 1/3, der hier belanglos ist,
von den Summen der drei Variabelen aus einer solchen Gruppe
gebildet. Wenden wir nun darauf die Substitutionen (40) an,
so verwechseln sich, mit oder ohne Zeichenwechsel, diese
Variabelen untereinander oder sie gehen in sich selbst über. Die
Gruppen, die sich dabei untereinander vertauschen, sind in (41)
nebeneinander geschrieben und nur durch ein Komma getrennt..
Man findet also eine Spaltung der einfachen Schwingungen:

also, mit Rücksicht auf die im vorigen Paragraphen
(S. 72) gefundenen Beziehungen:

Offenbar sind diese Schwingungen „symmetrisch" im
allgemeinen Sinne (Seite 26). Sämtliche Punkte auf den
Symmetrieachsen schwingen in der Richtung der be-
treffenden Achse.
As: -3 »j As 2/(2 Schwingungen, charakterisiert durch:

Diese sind nicht symmetrisch zu den G zweizähligen
Achsen. Die Punkte auf den vierzähligen Achsen sind in
Ruhe; die Punkte auf den zweizähligen Achsen schwingen
senkrecht zu diesen, die Punkte auf den dreizähligen
Achsen schwingen in der Richtung dieser Achsen, und
zwar haben zwei auf einer solchen Achse symmetrisch
zu 0 liegende Punkte gleiche Amplituden.
Wir wollen jetzt zu der Betrachtung der l)oi)pelschwin-
gungen übergehen. Diese werden bestimmt durch die mit den
Variabelen yi und zi gebildeten Gleichungen (39). Dabei ist
definilionsgemäss:

Wenn wir nun beispielsweise in den beiden ersten Gruppen (41)
die Grössen ^la Cis Variahelen A\'^, identifizieren,

und das ist bis auf das Vorzeichen gleich 3 zi für die zweite
Gruppe. Ahnliches findet man für die anderen Gruppen. Jedes-
mal geht eine Variabele über in eine der Variabelen Zg. Da

die Variabelen schon in y^ und Zi gespalten sind (39), gibt
das bekanntlich keine neuen Spaltungen, und man tindet
(6 j« 2 Äg 3 h^ Doppelschwingungen Für diese gilt:

Schliesslich wenden wir uns zu den dreifachen Schwingungen
und untersuchen, wie sich die Variabelen der Systeme Sk-
verhalten gegenüber den oben angegebenen Substitutionen.
Wir werden die verschiedenen Übergänge in einem Schema
zusammenschreiben. Zum Verständnis sei das Folgende be-
merkt: das Schema ist gebildet aus drei Reihen, deren ein-
zelne Terme die Variabelen der Systeme ä, «S\'s und Si sind.
Es stehen jedesmal drei zusammengehörende Variabelen unter
einander. Wenn zwei Variabelen ineinander übergehen, *) sind
sie durch einen Slrich verbunden. Ist eine Variabele unter-
strichen, so bedeutet das, dass sie bis auf Zeichenwechsel
ungeändert bleibt.

») Man sieht, mit Rücksicht auf eine Bemerkung auf Seite 73, darin
eine Analogie zu dem in § 5 des vorigen Kapitels erhaltenen Resultat.

») Diese Vertauschungen können mit- oder ohne Zeichen Wechsel statt-
finden. Letzteres wird durch ein ( ) angedeutet, das sich hier immer auf
alle Vertauschungen in derselben Kolonne bezieht.

Man sieht, dass die Variabelen der Systeme S2 und S3 sich
miteinander vertauschen; in S^ finden Vertauschungen inner-
halb dieses Systems statt. Es sieht so aus, als ob das
System Sx hier den beiden anderen gegenüber eine besondere
Rolle spielt. Indessen ist diese Ungleichwertigkeit nur scheinbar
und kommt nur dadurch zustande, dass wir die Substitutionen
betrachtet haben, die einer Umklappung um die Achse-
x-]-!/ — 2 = 0 entsprechen, welche Achse relativ zum Gebiet
Iii eine andere Stellung einnimmt als zu den Gebieten Ih und Ih.
Es stellt sich denn auch sofort heraus, dass die sich erge-
benden Spaltungen in den Systemen S2, Sa und gleichwertig
sind. Zuerst betrachten wir St; hier finden wir:
Ci: 9 w» 3 //3 -f 2 hx -f 4 In Lösungen für \'welche gilt:

Nun haben wir gefunden, dass die Systeme Si und Ss
genau dieselben Lösungen haben wie Si und also vollkommen
gleichwertig sind. Man kann sich etwa diese Systeme S2
und Si mit denselben Koeffizienten versehen denken wie Si.
Daraus sieht man sofort, dass dieselbe Spaltung, welche
bei Si gefunden wird, auch bei S2 und S3 auftreten nuiss.
Umgekehrt gemigt das aber auch, utn die Invarianz der
Gleichungen gegenüber sämtlichen in dem obigen Schema
enthaltenen Substitutionen zu gewährleisten. Denn Ss ist ge-
spalten in zwei Systeme, deren eines (Sj) die Variabelen
(fy — . •. 1 C/) "sw. und das andere (S^\') die
Variabelen (fyj fff^^ „), • , - Q, •. •, f,... usw. enthält.
Ebenso ist Ä zerlegt in ein Teilsystem S\'^ mit den Variabelen
— • • • > (C f.-)\'---» "sw., und ein Teilsystem
5-3 mit den Variabelen (\'4\'/; 1) ..., (C^ — O,. ..,>},...,

usw., und zwar liaben S\'^ und S\'^ dieselben Koeffizienten,
und gleichfalls S\'^ und Durch die in dem Schema

angegebenen Substitutionen geht nun (4/ ~ u) übei\'
in und ebenso ^ in C O, das

heisst: die Variabelen aus S\'^ gehen ohne weiteres über in
die Variabelen von S!^. Ebenso findet man, dass die Variabelen
aus Sj mit Zeichenwechsel in die Variabelen des Systems S"^
übergehen. Auf Grund der soeben erwähnten Gleichheit der
Koeffizienten in S\'^ und S\'^, und in S\'^ und S\'^ sieht man aber
sofort, dass hier den Invarianzbedingungen genügt wird. (Der
Vorzeichenwechsel bei den Variabelen aus S\'^ ist natürlich
belanglos da die Gleichungen homogen sind). Damit ist ge-
zeigt, dass die Spaltungen, die wir bei der Betrachtung des
Systems Si als notwendig erkannten, auch genügen um die
Gleichungen gegenüber sämtlichen Substitutionen des Schemas
invariant zu machen.

Ci: 9»2 3/j3 2//x \'1\'/<2 Schwingungen, die neben den
oben schon angegebenen Bedingungen: = —CiyUSW.
auch den Bedingungen: 4y= —l3(y i) = ~~C
usw. genügen. Man sieht sofort, dass diese Schwingungen
inaktiv sind.

Diese sind alle aktiv.
Zusammenfassend kann man sagen, dass es bei den Punkt-
systemen dieser Art folgende Schwingungsmöglichkeiten gibt:
Ai: 3 MJ /i3 /<x ^2 inaktive, einfache Schwingungen.
A2: 3m-f A3 2//2 inaktive, einfache Schwingungen.
B: G m 2 ha 3 h^ inaktive Doppelschwingungen.
Gl: 9 wi 3 hs 2 /»x 4/i2 inaktive dreifache Schwingungen.
62: 9m 3/j| 3//x 5/<2 5 aktive dreifache Schwin-
gungen.

Die den sechs Nullfrequenzen entsprechenden Bewegungen
gehören alle zum Typus C2, und können also leicht berück-
sichtigt werden.

§ 3. Systeme mit den „regulären Symmethieelementen" und
sechs Symmetrieebenen \').

Ebenen durch je zwei
dreizählige Achsen als
Symmetrieebenen hin-
zufügen, so bilden die
entsprechenden Ope-
rationen eine neue, aus
24 Elementen zusam-
X mengesetzte Gruppe.
Jede der neu hin-
zugefügten Operatio-
nen ist das Produkt
einer Operation der
Tetraedergruppe mit
einer der neuen Ope-
rationen, z.B. mit der
Spiegelung an der
Ebene cc -f- // = 0. Es genügt daher, nur diese bestimmte
Spiegelung zu betrachten. Aus den Punkten Pf.j des § 1,
jetzt mit angedeutet, entstehen dadurch die in Punkte
wo /.\'" die Werte 4, 2, 3, 1 annimmt wenn k gleich 1, 2, 3

Wie im vorigen Paragraphen liegen diese Punkte so,
dass sie durch eine positive Drehung um die Ache ai in
der Reihenfolge

in einander übergeführt werden. Aus den Punkten Pk-, Px P,
usw. entstehen keine neuen Punkte. In der Halbebene

*) Das sind also dio 0 Spiegelungen, und ausserdem ü Drehspiegelungen
um die Koordinatenachsen, dio hier vierziihligo Drehspiegelungsachsen
geworden sind.

a; = //>0 wollen wir schliesslich noch kv Punkte Pu an-
nehmen, die nicht auf einer dreizähligen Achse liegen. \')

Dieser Fall ist dem vorigen äusserst ähnlich. Wir können
uns daher kurz fassen. Man findet zunächst eine Spaltung
der einfachen Schwingungen in (3 m hz /(x 2 k,) Schwin-
gungen einerseits, und (3 m kp) Schwingungen anderer-
seits. Beide Typen sind inaktiv. Die Doppelschwingungen
werden dagegen nicht gespalten 2); ihre Anzahl beträgt daher:
6 m I13 Ax 3 kr.

Für die dreifachen Schwingungen empfiehlt es sich wieder,
die verschiedenen charakteristischen Substitutionen in einem
Schema zusammenzusetzen. Dieses ist dem Schema auf Seite 78
genau nachgebildet mit dem Unterschied, dass die Übergange
in Si, die alle ohne Zeichenwechsel stattfinden, hier nicht
mit ein ( ) vermerkt sind. Man findet nun:

.,(1) £(2)

	^2
X	1	1
	\'•13	VI
^4 \'\'J4 1_1		i

Daraus leitet man, genau wie im vorigen Paragraphen, eine
Spaltung der Systeme Si\' ab. Es gibt also im ganzen folgende
Schwingungen:

\') Nach Seite 62 kann man die Gebiete lit immer ho definieren, dash
diese Punkte alle zu R^ gehören, und also die Bezeichnung /\'„ be-
rechtigt ist.

») Man vergleiche das mit § 4 des vorigen Kapitels, mit Rücksicht
auf die Bemerkung auf Seite 73.

3 m H- //3 Ax 2 Jco inaktive, einfaclie Schwingungen.
3 in 4- kv inaktive, einfache Schwingungen.
6 m As I- /\'x 3 h-v- inaktive Doppelschwingungen.
9 ni 2 //3 3 /(x 5 kr 5 aktive, dreifache Schwin-
gungen.

9 m -f /i3 2 hjc 4 k, inaktive, dreifache Schwingungen.
Von den Nullfrequenzen gehören die drei, welche den
Translationen entsprechen, zu Ci, die übrigen zu Ct.

§ 4. Systeme mit den regulären Symmetrieelementen und drei
Symmetrieebenen \')•

Wir fügen den regulären Syminetrieelementen die drei
Koordinatenebenen als neue Syminetrieebenen hinzu. Dadurch

entsteht ausserdem
noch ein Synnnetrie-
zentrum, wie aus der
Figur leicht ersicht-
lich ist. Die Achsen
ak sind jetzt als sechs-
zählige Drehspiege-
lungsachsen aufzu-
fassen. Alle neuen
Operationen werden
durch Multiplikation
der Spiegelung an
der A\'Or-Ebene mit
einer Operation der
Telraedergruppe er-
halten. Durch diese

Spiegelung entstehen aus den 12 m Punkten des § 1, die
jetzt mit Ii!] bezeichnet werden, die Punkte I^Vy. Dabei isl
jt\' = 4, 3, 2, 1 wenn k= 1, 2, 3, 4. Bei der positiven Drehung
um ffi gehen die Punkte in derselben Reihenfolge in ein-
ander über wie die Punkte i^\'], also:

Aus den 4 Ä3 Punkten P^, die jetzt mit P^^ bezeichnet
werden, entstehen ebensoviel Punkte aus den Punkten P^,
P, usw. entstehen keine neuen Punkte. Schliesslich wollen
wir kh Punkte Pn im Gebiet z — O, x\'^0, annehmen.

Die charakteristischen Substitutionen sind hier für die
Variabelen des Systems Si:

Man bildet nun wieder die verschiedenen Gruppen von drei,
bei der Drehung At in einander übergehenden Variabelen, z.B.:

und bildet aus je drei dieser Variabelen die auf Seite 70defi-
nierten Veränderlichen x/, yi und zi. Bei den obigen Sub-
stitutionen vertauschen sich die Variabelen xi untereinander,
und dasselbe gilt für die Variabelen yi und zi. Man findet
demnach sowohl für die einfachen wie für die Doppelschwin-
gungen eine Spaltung, und zwar in (3 m -f -h /»x 2 kh)
Schwingungen einerseits und (3 m kh) Schwingungen
andererseits. Selbstversländlich sind diese alle inaktiv. Dio
ersteren schwingen .symmetrisch zu den Symmetrieebenen.

Dadurch wird S2 in zwei Teilsysteme gespalten. Genaudie-
selben Spaltungen ergeben sich bei S» und Si. Daher werden
auch die dreifachen Schwingungen gespalten und zwar in
(9w-f-3/i3 3/»x 5A"* aktive- und (9 m 3/j3 2/jx 4Ä;A)
inaktive Schwingungen.

und J2: (3 m /13 /u 2 h) und (3 in //a h) in-
aktive, einfache Schwingungen.
Bl und B2: (3 m /13 /ix 2 h) und (3 tn /13 h) in-
aktive Doppelschwingungen.
Cit 9 m 3/j3 3/ix 5/cA ^ aktive, dreifaclie Schwin-
gungen.

Die Punktsysteme dieser Klasse besitzen die höchste Sym-
metrie, die in dem regulären System möglich ist: sämtliche
Symmetrieelemente, die in den vier anderen Klassen eine
Rolle spielten, treten hier zugleich auf. Die für diese Systeme
charakteristische Gruppe umfasst demnach die Gruppen

0, T\' und als
Untergruppen. Um
sämtliche Operatio-
nen der Hauptgruppe
zu erhalten, kann
man ausgehen von
irgend einer der letz-
ten drei Untergrup-
pen 0, 7" oder T"
und deren Opera-
tionen multiplizieren
mit einer beliebigen,
darin nicht enthal-
tenen Operation der
Hauptgruppe. Wir
wählen die Oktae-
dergruppe, und dazu die Spiegelung an der Ebene XOY.

Man überzeugt sich leicht, dass dadurch eine neue Gruppe,
die den oben erwähnten Symmetrieelementen entspricht, voll-
ständig definiert ist.

Wir wollen nun von der Figur 6 ausgehen, und die
Punkte des dort dargestellten Systems spiegeln an der
XOF-Ebene. Aus den Punkten P^} und Pf}, die wir jetzt
mit -Pi!](i) und bezeichnen werden, entstehen dadurch

A;=l,2,3,4. Bezüglich der Reihenfolge dieser Punkte bei
Drehungen um die Achse fii ist zu bemerken, dass die Punkte
sich genau so verhalten wie die Punkte Pjilj j,) und
ebenfalls gilt das für die Punkte P^kjw P/^-j), jedoch
verhalten sich, wie schon in § 2 dieses Kapitels betont
wurde, die Punkte P^^jH) P^y^) verschieden.
Aus P^, P, usw. entstehen keine neuen Punkte.

Schliesslich müssen wir aber noch k^ Punkte im Gebiet
z = 0, //>a;>0, und k^ nicht auf a^ liegende Punkte
im Gebiet a; = //>0,annehmen, mit den daraus durch
die Operationen der Oktaedergruppe hervorgehenden Punkten

Es müssen nun die verschiedenen, in § 2 dieses Kapitels
gefundenen Gleichungssysteme invariant sein gegenüber den
Substitutionen, die der Spiegelung an der A\'\'OF-Ebene ent-
sprechen. Um diese verschiedenen Substitutionen bequem zu
finden, empfiehlt es sich, zuerst in einer Tabelle die ver-
schiedenen Verwechslungen der Punkte zusammenzustellen,
so wie diese sich aus einfachen geometrischen tJberlegungen
sofort ergeben:

Wir untersuclien nun zuerst die einfachen Schwingungen.
Diese waren schon in zwei Systeme Ai und A2 gespalten,
deren das eine, nach den dort benutzten Bezeichnungen
(3 7/1 A3 Ax /h), das andere (3 t/i /\'s 2 A2) Schwingungen
enthielt. Da wir jetzt aber durch Spiegelung an der XOY-
Ebene, und durch Hinzufügung der Punkte .P;^, F\'^j\'^
und F\'^\'J^^ eine grössere Anzahl erhalten haben, findet man
entsprechend im Teilsystem Ar.
6 1)1 /\'3 hx /»2 3 h 3 kr, und in A2:
6 in //3 2 //2 3 A\'a 3 Ä-r Schwingungen.
Die Variabelen von Ai sind:

«1 = (^lV(l) \'liïU) "1" Cl3(l) ~ ^12(1) »In (1) ~ ^13(1))\'
~ 1l2(2) ?\'l3(2) ^12(2) \'^U (2) Cl3\'(2))\'

Wendet man nun auf diese Variabelen die Substitutionen
an, die aus einer Spiegelung an der A\'^OF-Ebene hervorgehen
— man fmdel diese leicht aus den oben angegebenen Über-

gängen zwischen den Punkten, wenn man dazu bedenkt, dass
die X- und F-Komponenten der Amplituden das Vorzeichen
behalten, während die Z-Komponenten das Vorzeichen wech-
seln — so findet man, dass dabei:

Das Ganze ergibt also eine Spaltung in (3 m bs hx //2
2 Z-A 4- 2 kv) Schwingungen einerseits, und (3 m -f kk -f kv)
Schwingungen andererseits. Die ersteren erfolgen symmetrisch
zu den verschiedenen Symmetrieebenen.

In ähnlicher Weise findet man für die Schwingungen aus
Ai eine Spaltung in (3 in Äa 2 kv) Schwingungen
einerseits und (3 m />& -f /t2 2 kp) Schwingungen
andererseits.

Auch für die Doppelschwingungen, deren es jetzt (12 m
2 //3 hx f- 3 /j2 6 kn 6 kj gibt, kommt eine Spaltung
zustande, nämlich (6 in /<3 hx i 2 hi i- ki. 3 k^) Schwin-
gungen, die symmetrisch zu den Symmetrieebenen erfolgen
und (6 m /\'s Ä2 2 kn 3 k„) andere.

Schiesslich müssen wir die dreifachen Schwingungen unter-
suchen. In § 2 haben wir schon eine Spaltung der Systeme
gefunden, die, wie sich dort herausstellte, für die Systeme
Si, Sa und Si genau gleich war. Diese Gleichwertigkeit bleibt
auch den hier zu besprechenden Substitutionen gegenüber
erhalten. Daher werden wir uns damit begnügen, nur das
System Si in Betracht zu ziehen. Für dieses hatten wir also
schon eine Spaltung gefunden, die sich aus dem Schema auf
Seite 78 sofort ergab. Mit Rücksicht auf die grössere Anzahl
Punkte des jetzt betrachteten Systems lautet das dort erhaltene
Resultat hier, dass eine Spaltung in (18 wi 3 /t3 2 hx
4 /j2 9 /ca 9 kv) Variabelen einerseits, und (18 ?h 3 //3
3 hx 5 hi j- 9 kh 9 kv 3) Variabelen andererseits
auftritt.

Die Forderung der Invarianz gegenüber diesen Substitutionen
führt zu einer Spaltung, nämlich in

dni-{-2h3-\\-hxA-2li2-\\-i-kh bfcc Gleichungen einerseits und
9 m /i3 /»x 2 /<2 5 i\'A 4 Ar, Gleichungen andererseits,
die ebensoviel dreifache Schwingungen ergeben. Diese sind
alle inaktiv.

In ähnlictier Weise kann man beim zweiten Teilsystem von
Si vorgehen, und findet:

9 »J -I- 2 Iii -I- 2 /»x 3 //2 -f 5 kn -1- 5 A\'r 5 aktive, dreifache
Schwingungen.

B\': G »» As //X 4 2 Ä2 4 A-* 3 A-,. 1 ^ ,
... ^ ... , I ß» I r o » doppelt, maktiv.

Die Schwingungen C^ sind somit die einzigen, die ein von
Null verschiedenes elektrisches Moment ergeben.

Die Möglichkeit, die bei den endlichen Punktsystemen er-
haltenen Resultate in einfacher Weise auf die unendlichen
Raumgitter auszudehnen, hängt mit der Tatsache zusammen,
dass nach der Bornschen Theorie die Schwingungen
dieser Raumgitter durch Gleichungen bestimmt werden, die
formell vollständig mit den Gleichungen (I) übereinstimmen.
Nur haben die Koeffizienten selbstverständlich eine andere
Bedeutung. Zum besseren Verständnis des Folgenden empfiehlt
es sich, einen Teil der Ableitung dieses Satzes etwas ausführ-
licher zu besprechen als in den zitierten Arbeiten geschehen
ist. Nach M. Born \') lässt sich ein beliebiges Kristallgitter
auf folgende Weise aufbauen:

Von einem Punkte 0 aus denkt man sich drei, nicht in
einer Ebene liegende Vektoren «i «s ccn. Das durch diese
Vektoren aufgespannte Parallelepipedon heisst, Elementarzelle",
oder kurz .Zelle". In dieser Elementarzelle befinden sich s
Partikel, deren Lagen durch die vom Nullpunkte 0 ausgehenden
Vektoren ri ,.. r* ... r, bestimmt sind. Die Konfiguration dieser
Punkte wird Basis genannt. Das ganze Gitter entsteht dadurch,
dass man die Basis allen Translationen unterwirft, die durch
ganzzahlige Vielfache der Vektoren «i «s «s charakterisiert
werden. Jeder Gilterpunkt ist der Endpunkt eines von 0 aus-
gehenden Vektors:

\'fc = \' fc ^ h «2 k «8-
wo /i, h und h ganze Zahlen sind, und l eine Abkürzung

für U, h, h. Der Vektor von einem Punkte zu einem
Punkte wird met r^^,bezeichnet; entsprechend ist?-^";^/\' gesetzt
für den Vektor von dem Punkte r^\', zu dem Punkte r^..

man sich über das ganze unendliche Gitter erstreckt zu denken.
S (oder X usw.) bedeutet, dass die betreffenden Indices unter

Wenn zwischen den Partikeln konservative Zentralkräfte
wirken, kann man eine potentielle Energie zwischen zwei
Partikeln (kl) und [k\' I\') einführen, und diese bezeichnen mit
<Pkk\' (r), wo r die Entfernung ist.

Sind nun schliesslich »«i . .. mk ... m» die Massen der Basis-
partikel, und ii[ die Verrückungen der Gitterpunkte aus ihren
Gleichgewichtslagen, so kann man, wie M. Born gezeigt hat,
die Schwingungsgleichungen des Gitters in folgende Form
bringen:

nur definiert, wenn nicht zu gleicher Zeit k = k\' und l = 0.
Die für diese Wertsysteme geltenden Koeffizienten werden
nun aber formell durch die Bedingungen:

Es gibt drei Schwingungsgleichungen zu jedem Wertsystem
[k l). Wenn man sich also den Kristall nach allen Richtungen
unendlich ausgedehnt denkt, stehen hier unendlich viele Schwin-
gungsgleichungen, und man könnte daraus unendlich viele
Schwingungsmöglichkeiten ableiten. Jedoch hätte ein solches
Verfahren, wenigstens gegenüber den Erscheinungen, die wir

hier ins Auge gefasst haben, kein pliysikalisches Interesse.
Denn es ist klar, dass sämtliche Partikel mit dem gleichen
Index k im Kristall vollkommen gleichwertig sind. Fällt nun
auf den Kristall eine langwellige, polarisierte Strahlung, die
wir, wie auf Seite 3, als homogenes, elektrisches Wechselfeld
auffassen können, so werden gleichwertige Punkte auch in
vollkommen gleicher Weise beeintlusst, und diese müssen dem-
nach genau dieselben Bewegungen ausführen. Es haben also nur
diejenigen Eigenschwingungen des unendlichen Kristallgitters
physikalische Bedeutung, bei welchen die Amplituden gleich-
wertiger Punkte gleich sind. Das bringen wir zum Ausdruck,
indem wir mit dem Ansätze:

Amplitude der durch die Vektoren r\'^. bestimmten Partikel.
Für die 3s nunmehr übrigbleibenden Amplitudenkomponenten

Die Gleichungen (44) sind dor äu-sseren Form nach mil den
Gleichungen (1) identisch, nur sind jetzt die KoetHzienten
durch Symbole in eckigen Klammern angedeutet, um auf den
Unterschied der Bedeutung hinzuweisen. Man kann nun

dem man von dem Gilter nur die Basisgruppe betrachtet,
und es so einrichtet, dass diese für sich in Gleichgewichlist,
während man die Kräfte zwischen dieser Basisgruppe und
den Partikeln der anderen Zellen Null setzt. Man findet dann:

\\xyl \\ i^x^y Jrtk\'
Da bei allen betrachteten Schwingungen die im Giller gleich-

wertigen Punkte mit gleichen Amplituden schwingen, kann
man sich, ohne etwas Wesentliches zu ändern, solche Punkte
starr verbunden denken zu einem ,einfachen Gitter". Ein
solches „einfaches Gitter" kann nur Translationen unterworfen
werden, kann aber nicht drehen, und auch keine inneren
Bewegungen ausführen. Es verhält sich also ganz wie ein Punkt:
seine Lage im Baume ist durch drei ICoordinaten vollständig
bestimmt. Ein beliebiges Raumgitter besteht aus s „einfachen
Gittern". Wir werden diese mit Pf..!. bezeichnen.

In den folgenden Betrachtungen werden die Svmmetrie-
eigenschaften dieser, aus s einfachen Gittern bestehenden
Raumgitter eine grosse Rolle spielen.

Bekanntlich gehört, wie bei den endlichen Punktsystemen,
zu jedem Symmetrieelement eine gewisse Deckoperation. Der
ganze Symmetriecharakter eines Raumgitters wird durch eine
Gruppe von Deckoperationen bestimmt, die man als „Raum-
gruppe" bezeichnet, im Gegensatz zu den „Punktgruppen",
die für den Symmetriecharakter der endlichen Punktsysteme
massgebend sind.

wo /i, Iz und Is ganze Zahlen sind, ist eine Deckoperation
für das Raumgitter. Die Gesamtheit dieser Translationen
bildet eine Translationsgruppe, die immer als Untergruppe
in der für das Raumgitter charakteristischen Raumgruppe
enthalten ist. In verschiedener Hinsicht kann die Symmetrie
eines Raumgitters verwickelter sein als die eines endlichen
Punktsystems. Denn erstens gibt es gewisse Deckoperationen,
die nur bei den Raumgittern auftreten können, nümlich:

\') Eingebende Betrachtungen über diesen Gegenstand findet man in
A. Schönflies, Kristallsysteme und Kristallstruktur.

Punktoppraiionen in einer solchen Welse zusammen auftreten,
wie das bei endlichen Systemen umnög-Iich ist, z. B. zwei
sich kreuzende Synmietrieachsen, die auch durch keine Trans-
lation des Gitters so verschoben werden können, dass sie
sich schneiden. Ausserdem fmdet man zu jedem Symmelrie-
element unendlich viele gleichwertigen Symmetrieelemenle,
deren Lagen durch die Translationen des Gitters in einander
übergehen.

Wenn nun auch die Symmetrie eines Gitters wesentlich
verwickelter ist als die eines endlichen Systems, so gibt es
doch zwischen den räumlichen Gruppen und den Punktgruppen
gewisse Beziehungen, die für unseren Zweck sehr wichtig
sind. Zunächst führt man den Begriff isomorpher Operationen
ein, und meint damit Folgendes: zwei Operationen sind iso-
morph, wenn sie in der^Bichtung der Axe und Spiegelnden
Ebene, sowie in der Grösse des Drehungswinkels überein-
stimmen, z.B. eine Schraubung um eine Axe « ist isomorph mit
einer Drehung um eine zu a parallele Axe, wenn die Drehungs-
winkel gleich sind. \') Jede mit einer Inversion isomorphe
Operation ist wiederum eine Inversion. Eine Translation ist
mit der Identität isomorph.

Ist 1 eine beliebige Operation, so gibt es immer unter den
mit I isoniorplien Operationen solche, die mindestens einen
Punkt unverändert lassen (also Punktoperationen). Es gilt
nun ein wichtiger Satz, den man als das Geaetz des Isomor-
phismus für die Zmammensetzinuj beliebiger Operationen be-
zeichnet, und den man in folgender Weise aussprechen kann:
sind I und 31! zwei beliebige Operationen, und sind L imd M
zwei mit diesen isomorphe Operationen, ist weiter I = Ji
und L M — iV, so sind 31 und N auch isomorph.

Man führt nun weiter den Begriff Isomorphismus zwischen
Raumgruppen und Punklgruppen ein, und definiert: eine
Raumgruppo F und eine Punktgruppe G heissen isomorph,
wenn jede Operation von F einer Operation von G isomorph ist.

kristallographischer Bedeutung ist einer der 32 Punklgruppen
G isomorph, welche den 32 Kristallklassen entsprechen.

Das nennt man das Gesetz des Isomorphismus zwischen
Raumyriippen xind Punktgruppen.

Wenn man nun das Problem der Eigenschwingungen end-
licher Punktsysteme vergleicht mit demselben Problem für die
unendlichen Raumgitter, so frdit sofort eine grosse Ähnlichkeit
auf: mechanisch beruht diese auf der Analogie der Formeln
(1) und (44), geometrisch findet sie in dem Gesetz des Iso-
morphismus zwischen Raumgruppen und Punktgruppen ihren
Ausdruck.

Statt s Punkte hat man jetzt s „einfache Gitter"; die Be-
wegungsgleichungen sind der aüsseren Form nach identisch,
wenn auch die Koeffizienten ganz andere Bedeutungen haben;
die Symmetrieeigenschaften sind durch das soeben erwähnte
allgemeine Gesetz des Isomorphismus zwischen Raumgruppen
und Punktgruppen zu einander in Beziehung gesetzt.

Es ist daher naheliegend, zu versuchen, diese Ähnlichkeit
wirklich zur Lösung unseres Problems zu benutzen, und zwar
in der Weise, dass man zu jedem, aus s einfachen Gittern
bestehenden, Raumgitter ein aus s Punkten zusammengesetztes
aequivalentes Punktsystem sucht, das dieselben-Schwingungs-
formen zeigt wie das Gitter. Damit wird gemeint, dass zu
jeder Schwingung des Gitters eine Schwingung des aequiva-
lenten Systems gehört wobei die durch die Symmetrie be-
dingten Beziehungen zwischen den Amplitudenkomponenten
der s Punkte einerseits dieselben sind wie die der s einfachen
Gitter andererseits.

Man kann schon vermuten, dass die Symmetriegruppe dieses
aequivalenten Punktsystems, wenn es ein solches gibt, die
mit der Raumgruppe des Gitters isomorphe Punktgruppe
sein muss. <

Mit der Auffindung dieses aequivalenten Punktsystems wäre
die Aufgabe gelöst, weil man sie dadurch auf die in den
vorigen Kapiteln behandelten Fällen zurückgeführt hat.

Man kommt nun schliesslich zu den folgenden zwei Sätzen,
die für unser Problem von prinzipieller Bedeutung sind:
Satz 1: Es sei ein beliebiges liaumgitter aufgebaut aus s

Pi. Es ist möglich, mit den Partikeln Pk ein endliches Punkt-
system S herzustellen, das die Operationen der zu der räumlichen
Gruppe F des Gitters isomorphen Punktgruppe G zulässt.

Satz II. Es ist möglich, die Bezeichnungen so zu wählen
dass die Schwingungen von S mit denen des Gitters identisch
sind, d.h. dass die Bfziehungen zwischen den Amplitudenkom-
ponenten Ukx, Uky, Ukz in S dieselben sind wie zwischen den
Amptitudenkomponenten Ukx, Uty, Utz des Gitters,

Beweis des ersten Satzes: Es sei F/. diejenige Untergruppe
von F, die das einfache Gitter P]t in sich selbst transformiert\').
Die mit Vk isomorphe Punktgruppe sei Gk. Die I^age des
Partikels Pi wird nun so bestimmt, dass es gegenüber Gt
invariant ist aber übrigens beliebig. Es seien nun:
311,2, 311 Jj .... usw.

die Operationen von F, die A* in Pi überführen; deren gibt
es unendlich viele. Die isomorphen Punktoperationen seien:
J/jj, il/jj, .... usw.

Wendet man diese auf Pi an, so könnte man erwarten, dass
dadurch verschiedene Punkte P^, P^, P^ usw. entstehen. Wir
werden nun aber zeigen, dass diese alle zusammenfallen.
Um das einzusehen, bemerken wir, dass offenbar gilt:

\') Es ist klar, dass dio Operationen dieser Art wirklich den Gruppen-
charakter haben.

\') Das ist bekanntlich Immer möglich, da jede Punktgruppe mindestens
einen Punkt invariant lüsst.

Nach dem Gesetz des Isomorphismus für die Zusammen-
setzung beliebiger Operationen \') müssen dieselben Beziehungen
auch für die isomorphen Opemtionen gelten. Man fmdet also
neben (45) und (46)

Da = besagt die Gleichung (47), dass der Punkt P,
durch die Operation L, in übergehl. Aus der Gleichung
(48) leitet man jedoch ab, da durch Li nicht geändert
wird, dass P^ bei der Operation L2 invariant ist. Das ist
nur gleichzeitig möglich, wenn =
Damit ist gezeigt, dass sämtliche Operationen

den Punkt Pi in einen ganz bestimmten Punkt A überführen.
Es seien nun P*, die einfachen Gitter, die durch
irgendwelche der anderen Operationen von P aus Pf ent-
stehen (es ist n ^ s). Zu diesen Punkten gehören im endlichen

genau derselben Weise aus Pi abgeleitet werden, wie wir es
für den Punkt A dargetan haben. Im allgemeinen ist nun
aber n < s, d. h. es gibt noch mehrere Systeme von einfachen
Gittern P*, deren Elemente sich bei den Operationen von P
miteinander vertauschen.

Da die Elemente eines jeden Systems sich defmitionsgemäss
nie mit denjenigen eines andern Systems vertauschen, sind
diese Systeme von einander unabhängig, d. h. man kann bei
jedem genau so vorgehen, wie wir es bei den einfachen
Gittern P^____P* gemacht haben.

der Operationen von P ist, die das einfache Gitter P^, in das
einfache Gitter P*, überführen, so gilt:

d.h. die mit T&kk\' isomorphe Operation ü/fei-führt den Punkt
Pk in /fc\' über. Damit ist der erste Satz bewiesen.

Es bleibt noch zu zeigen, dass die Schwingungen des oben
definierten endlichen Systems die Gitterschwingungen be-
stimmen. Die letzteren werden bestimmt durch die 3 s
Gleichungen (44) zwischen den Amplitudenkomponenten U*^,
U*y, U*^ der einfachen Gitter -P*, die ersteren durch die
3 s Gleichungen (1) zwischen den Amplitudenkomponenten
Ukx, Uky, Ukz der Punkte Pk.

Es soll nun im Gitter der Einfluss irgendeiner Deckoperation
311^>t\' untersucht werden. Man findet erstens gewisse Ver-
tausclmngen der einfachen Gitter, nämlich P^,-* P^, usw.
Gleichzeitig findet man gewisse Übergänge zwischen den
Amplitudenkomponenten, die man ganz allgemein schreiben
kann in der Form:

Wir suchen nun im endlichen System den Einfluss der
mil Hh/\'isomorphen Operation Nach (49) und (50) findet
man, dass dabei Pk Pk>. Die Übergänge zwischen den
Amplitudenkomponenten Ui-x nsw. werden nun aber durch
genau dieselben Ausdrücke bestinnnt, wie beim Gitter, also:
f (Uk X, Uk Uk z) g (Uk\' X, Uk\' „ Uk\',).

Das folgt sofort aus der Haupleigenschafl isomorpher Ope-
rationen, da durch eine Translation die Grösse jeder Ampli-
ludenkomponenle ungeänderl bleibt. Die neuen Variabelen,
die man also in den beiden Fällen einführen muss, um die
gesuchten Spaltungen zu finden, sind genau dieselben Funk-
tionen der Amplitudenkomponenten. Geht man damit ein in
die Schwingungsgleichungen (1) und (44), die auch gleiche
Form haben, so muss das Resultat dasselbe sein. Damit
ist auch der zweite Salz bewiesen.

Wir sind nun in der I^age, für jedes beliebige Raumgitter
die Schwingungen auf die eines endlichen Punktsystems zu-
rückzuführen. Dabei kann man nun aber noch auf folgende
Schwierigkeilen slossen: Das System S isl so definiert, dass es

jede Operation der mit F isomorphen Gruppe G zulässt.
Daraus folgt aber noch nicht, dass S keine andere Deck-
operationen zulassen kann, die nicht mit einer Operation von T
isomorph sind. Es kann also S eine höhere Symmetrie auf-
weisen als es der Gruppe G entspricht. Würde man nun ohne
Weiteres die Schwingungen von S berechnen, und diese als
massgebend für die Gitterschwingungen ansehen, so würde
man zu ganz falschen Resultaten gelangen, weil die neuen
Symmetrieelemente von S für das Gitter keine Bedeutung
haben. Man muss diese also unberücksichtigt lassen, und nur
diejenigen Deckoperationen von S in Betracht ziehen, die der
Gruppe G angehören. Eine zweite Schwierigkeit ist die fol-
gende: Es kann beim Aufbau des Systems S sich als notwendig
erweisen, mehrere Punkte an derselben Stelle anzunehmen.
Dass dies physikalisch unwirklich ist, schadet natürlich nichts,
denn das ganze System S ist ja nur ein llilfsbegrifT, von dem
man keine physikalische Existenz vorauszusetzen braucht. Und
gedanklich ist dem nichts entgegen, sich an derselben Stelle
mehrere Punkte zu denken. Immerhin wird man damjt eine
Verallgemeinerung der endlichen Punktsysteme zulassen, die
in Kap. 1 und II immer. stillschweigend als unmöglich be-
trachtet wurde. (Z.B. haben wir dort immer 3 = 0 oder 3 = 1
angenommen für die Punkte im Koordinatenursprung. Jetzt
erweist es sich oft als nötig, 5>1 an7,unehmen). Das führt
nun zu der wichtigen Frage, inwiefern die Resultate der
vorigen Kapitel für solche Punkte gültig bleiben. Nun ist klar,
dass man nur bei Punkten, die irgendeine symmetrische Lage
einnehmen, genötigt sein kann, mehrere Punkte zusammen-
fallen zu lassen: bei beliebigen Punkten lässt sich das immer
vermeiden. Nun konnten wir früher als selbstverständlich
voraussetzen, dass irgendeine Operation, die einen Punkt
geometrisch invariant lässt, auch das physikalische Partikel,
dass sich da Jjefindet, in sich selbst überführt. Gibt es aber
mehrere Partikel in demselben Punkte, so braucht dies nicht
mehr richtig zu sein. Hier liegt also das Mittel zur Entschei-
dung der Frage, ob die früher abgeleiteten Formeln richtig
bleiben oder nicht. Wo dies nicht der Fall ist, muss eine

kleine Revision der Formeln vorgenommen werden. Das wird
aber in jedem Fall sehr einfach, auch sind die erforderlichen
Änderungen sehr geringfügig; es ist daher unnötig, sämtliche
Möglichkeiten zu behandeln. In folgendem Paragraphen werden
wir nun mehrere der Natur entnommene Beispiele anführen,
die die Anwendbarkeit der Methode noch deutlicher hervor-
heben werden.

1). Cäsiximdichlorojodid Ca J Ch kristallisiert rhomboedrisch.
J>, Die Elementarzelle hat die Gestalt eines

Rhomboeders; sie enthält vier Ionen:
Cs in [0, 0, 0], J in y\' t] ^^
in [0.31, 0.31, 0.31] und [0.G9, 0.G9,
0.G9], in der Figur der Reihe nach mit
Pi, Pi, Ps und Pi angedeutet. Das
Gitter hat die folgenden Symmetrie-
elemente: eine \') G-zählige Drehspiege-
lungsachse, drei Ebenen gewöhnlicher
Fig. 10. Symmetrie, die diese Achsen enthalten,

und drei zweizählige Symmetrieachsen senkrecht dazu. Die
isomorphe Pimktgruppe ist S^. Wir konstruieren zunächst das
im vorigen Paragraphen definierte System S. Da die einfachen
Gitter F¹ und F* gegenüber allen Operationen von F invariant
sind, sind die Gruppe Fi und Fa hier mit F identisch, also
sind Gl und Ga mit G (d.h. mit .S;;) identisch. Daraus folgt,
das Pi und Pb in 0 liegen. Das einfache Gitter Pi ist nur
invariant gegenüber den Spiegelungen und den gewöhnlichen
Drehungen, die in F enthalten sind. Die isomorphe Gruppe
ist 63: ein jeder Punkt der dreizähligen Achse ist gegenüber
den Operationen dieser Gruppe invariant. Man wählt also den
Punkt Ps irgendwo auf der Drehspiegelungsachse, übrigens
beliebig. Da schliesslich P* durch Inversion aus PT entsteht,

1 Wir werden dio unendlich vielen gleichwertigen Synjuietrieclcuicnte
nicht immer erwähnen.

und die zu einer Inversion isomorphe Operation wiederum
eine Inversion ist, tindet man den Punkt A durch Inversion
des Punktes A gegen den Koordinatenursprung. Man hat nun
ein äusserst einfaches System S erhalten, das die Gruppe S^
zulässt. (Wir haben hier schon einen Fall, wo S eine viel
höhere Symmetrie hat als der Gruppe G entspricht. Die
anderen Symmetrieelemente werden aber ausser Betracht ge-
lassen). Wir setzen also in die Ausdrücke des § 9 der ersten
Kapitels: ^ = 2, /?„ — l und alle übrigen Grössen Null.
Da die Punkte Pi und Ps verschiedener physikalischer
Natur sind, ist das, obwohl 5>1, ohne Weiteres gestaltet.
Man findet:

Ai: eine, einfache, inaktive Schwingung: die Ca-und J-Atome
ruhen, während die beiden (7/-Gitter in der Richtung der
Z-Achse gegeneinander schwingen.
Bs: drei einfache, aktive Schwingungen: die Cs-, J- und Gl-
Gitter schwingen in der Richtung der Z-Achse, wobei
die beiden CT-Gitter gleiche Amplituden haben. Die
Translation parallel zur Z-Achse gehört hierher, sodass
nur zwei wirkliche Schwingungen gefunden werden.
C: aktive Doppelschwingungen: sämtliche lonenschwingen

senkrecht zur Z-Achse; die Amplituden für die beiden
C/-Gitter sind gleich. Das elektrische Moment steht
senkrecht zur Z-Achse, und kann übrigens eine beliebige
Richtung haben. Die Translationen senkrecht zur Z-
Achse sind von diesem Typus. Es gibt also nur zwei
wirkliche aktive Doppelschwingungen.
7): eine inaktive Doppelschwingung: die Ionen schwingen
wiederum senkrecht zur Z-Achse, die beiden C/-Gitter
mit entgegengesetzter Amplitude.

2). Der Dolomit (003)2 Mg Ca kristallisiert ebenfalls rhom-
boedrisch. In dem Elementarrhomboeder befinden sich 10
Ionen: Erstens \'Ca, Mg, und 2 G ähnlich wie Cs, J und 2 Cl
beim Cäsiumdichlorojodid. Weiter ist jedes C-Atom von drei
0-Atomen umgeben, die ein gleichseitiges Dreieck bilden,
dessen Ebene senkrecht zu der ausgezeichneten Achse des

Rhomboeders steht, und zwar ist die
Sachlage so, dass diese beiden Dreiecke
symmetrisch zum Mittelpunkte des Rhom-
boeders liegen. Das Elementarrhorn-
boeder liegt in Bezug auf diese Basis-
partikel so, dass die dreizfdiligen Achsen
zusammenfallen, jedoch liegen die Sym-
metrieebenen und -Achsen des Rhom-
boeders gerade zwischen denen der
Basis, und sind also im ganzen Gitter
nicht vorhanden. Die Gruppe G wird
daher Ss. In System S liegen die Punkte und P3 wieder
in 0, P2 und P4 auf der Symmetrieachse in gleichem Ab-
stand von 0, Pf, völlig beliebig, und Ao, Ps, Pi und i\'3
so, dass, sie durch die reduzierte Drehspiegelung ineinander
übergehen.

Setzt man in §8 des ersten Kapitels: ;» = 1, /<,. = !,
3 = 2, so bekommt man die folgenden Schwingungsmöglich-
keiten:

/l: vier inaktive, „symmetrische" Schwingungen. Das Schwin-
gungsbild wird durch die Formeln (33) wiedergegeben.
sechs aktive, einfache Schwingungen. (Schwingungsbild
siehe (34)). flierzu gehört die Translation parallel zur
Z-Achse, also bleiben fünf wirkliche Schwingungen übrig.
sechs aktive Doppelschwingungen (35). Da die Trans-
lationen senkrecht zur Z-Achse als eine Doppelschwingung
von diesem Typus gelten, bleiben wiederum/"j/«/"Schwin-
gungen übrig.

3). Die Kristalle vom Steinsalz-Ti/pns, wie Steinsalz (AV( Cl\\
NaPr, KCl, KJ, Mg 0, Pb S, usw. sind in der Natur be-
sonders häufig vertreten. Sie kristallisieren bekanntlich ku-
bisch, und zwar so, dass die beiden lonenarten jede für sich
ein fiächenzentriertes, kubisches Gitter bilden. Diese beiden
Gitter sind so ineinander gestellt, dass die Ionen des einen
Gitters die Mitten der Würfel und der Würfelkanten des anderen
Gitters besetzen. Bekanntlich führt die tlächenzentrierte Anord-

wird. In dieser Elementarzelle
findet man nun z.B, in [0,0,0]
ein AVlon, in i] ein Cl-lon.
(in der Figur durch A und Pz
angedeutet). Die Konstruktion des
Systems S ist hier äusserst ein-
fach. Denn die Punkte P* und P*
sind beide invariant gegenüber allen
Operationen von F, deshalb müs-
sen in S die Punkte Pi und P2 invariant sein gegenüber G,
d.h. gegenüber O\'"; beide liegen also in 0. Es ist 5 = 2, und
alle übrigen Grössen der in § 5 des zweiten Kapitels abge-
leiteten Ausdrücke sind Null. Da Pi und P2 von verschiedener
physikalischer Natur sind, darf man 5 = 2 ohne Weiteres
einsetzen, und findet:

Cj\': zwei aktive, dreifache Schwingungen, Dazu gehören aber
die Translationen, die als eine dreifache Schwingung zu
betrachten sind. Es bleibt also nur eine aktive, dreifache
Schwingung übrig. Diese entsteht dadurch, dass die Na-Ionen
als starres Gebilde gegen das ebenfalls starre Gebilde der
67-lonen schwingen. Das elektrische Moment kann jede be-
liebige Richtung haben.

4). Fast genau dasselbe gilt für das Cäsiimohlorid. Die
Cs- und die CMonen bilden zwei einfache, einander zentrie-
rende, kubische Raumgitter, Die Elementarzelle isl also ein
Würfel. Der Aufbau des Systems S erfolgt mm aber in
gleicher Weise wie beim Na Gl, und führt daher auch zu
demselben Ergebnis.

5). Zinkblende Zn S kristallisiert auch regulär, jedoch in
der Hemiedrie die der Gruppe T\' entspricht. Die Z«-Atome
und die iS-Atome bilden beide flächenzentrierte, kubische
Gitter, die um \\ der Raumdiagonale des Würfels gegeneinander
verschoben sind. Die Elementarzelle ist wiederum ein Rhom-
boeder, entsprechend der flächenzentrierten Anordnung; sie
enthält, in [0, 0 0] ein Z/i-Ion, in i, {] ein 5-lon, Die Gruppe

T\' ist, wie man leicht sieht, mit (?i und G» identisch. Daraus
folgt, dass auch hier beide Punkte P\\ und P2 in 0 liegen.
Es ist und alle andere in

Man findet:
Ol\', ztoei aktive, dreifache Schwin-
gungen ; dazu gehören die
Translationen, also bleibt nur
eine wirkliche Schwingung
übrig.

6), Flusssjmt CaFi kristallisiert
in der Holoedrie des regulären Systems. Die (7a-Atome bilden
ein nächenzentriertes kubisches Raumgitter, die i^-Atome zwei
solche, die in der Diagonale des Würfels um | bezw. J deren
Länge verschoben sind. Das Elementarrhomboeder enthält Ca
in [0,0,0] und F in [t, |] und ij, Die i.somorphe

Punktgruppe ist 0\'\'. Bei der Kon-
struktion des Systems ..V stellt sich
nun heraus, dass die Punkte Pi, P-i
und P3 alle in 0 liegen. Es wäre
also in § 5 des vorigen Kapitels
einzusetzen 5 = 3, und alle übrigen
Grössen Null. Aber hier liegt nun
ein Fall vor, wo es nicht erlaubt
ist, diesen Wert ohne Weiteres
einzusetzen, denn die Punkte P«
und P3 sintI nicht gegenüber allen Operationen der Gruppe
invariant, sondern gehen bei gewissen Operationen inein-
ander über. Es fragt sich nun, wie man die Formeln jetzt
ändern nmss. Wir bedenken nun Folgendes: Es wurden in
Kap. II die Systeme mit der Gruppe O"* aufgebaut aus Systemen
mit der Gruppe 0, und diese wiederum aus Systemen mit der
Gruppe T, indem man zu den schon vorhandenen Symmetrie-
elementen neue hinzufügte. Nun sind die Resultate bei den
Systemen mit der Gruppe T noch richtig für diesen Fall, wo
3 = 3, denn die Punkte A, P2 und P3 sind alle invariant

gegenüber den Operationen der Gruppe T. Daraus ersieht
man schon, dass es keine einfache- und Doppelfrequenzen
gibt, und dass also nur die dreifachen Frequenzen in Betracht
kommen. Die für Systeme mit der Oktaedergruppe erhaltenen
Resultate gelten aber hier nicht mehr, weil die Punkte
und -P3 gegenüber den Operationen dieser Gruppe nicht in-
variant sind. Wenn man nämlich das Schema auf Seile 78
betrachtet, so findet man im System Sa statt — ^ jetzt:
— ^2^ — Ca« Es wechseln also nur zwei Variabelen,
nämlich und (^2 Cs) das Vorzeichen, während die dritte
(C2 — Ca) das Vorzeichen behält. Man findet daher im System Ci
jetzt eine Variabele, und in C2 zwei. Durch das Hinzutreten
der 9 Symmetrieebenen werden keine neuen Spaltungen her-
vorgerufen, und man findet:

CJ: eine inaktive, dreifache Schwingung. Die 6\'a-Atome ruhen,
während die beiden F-Gitter gegeneinander schwingen in
beliebiger Richtung.
(Tj\': zwei aktive, dreifache Schwingungen: die beiden i\'-Gitter
schwingen als ein starres Gebilde gegen das Ca-Gilter.
Da zu diesem Typus die Translationen gehören, bleibt
nur eine aktive, wirkliche Schwingung übrig.

7) Kalkspat, Ca COs, und viele anderen Kristalle, wie
Mn CO3, Fe CO3, Mg COa, Na NO3 usw. kristallisieren rhom-
boedrisch; die Struktur lässt sich einfach aus derjenigen des
Dolomits (Seite 102) ableiten, wenn man dort das Mg-Aiom
durch ein zweites Cß-Atom ersetzt, und entsprechend die
Entfernungen der Punkte I\\, P2, F3, Fi gleich macht. Dadurch
wird die Symmetrie des Gitters erhöht, denn es kommen drei
zweizählige Schraubenachsen und drei Ebenen gleitender
Symmetrie hinzu. \') Die isomorphe Punktgruppe ist -Sg. Es
fragt sich nun, welches endliche Punktsystem mit dem Gitter
aequivalent ist. Man geht aus von einem beliebigen einfachen
Gitter, z. D. P* Dieses ist nur invariant gegenüber den
Schraubungen um die Schraubenachsen parallel zur X-Richtung,

und natürlich gegenüber den Gittertranslationen. Die isomorphe
Gruppe ist also C2, mit einer ebenfalls zu dieser Richtung
parallelen Ache. Man nimmt also den Punkt -P5 auf der
A\'\'-Achse. Die Lagen der übrigen 0-Atome ergeben sich
daraus indem man den Punkl P^ den verschiedenen Dreh-
spiegelungen unterwirft, die mit den Drehspiegelungen im
Gitter isomorph sind. Die 6 0-Atome im System S bilden
also ein reguläres Sechseck. Die einfachen Gilter P^ und -P*
sind bei der Drehspiegelung invariant, also liegen die Punkte
Pi und P3 in 0; P* und P^ sind bei den Schraubungen in-
variant, also müssen Pi und P^ in S auf den zweizähligen
Achsen liegen, d.h. ebenfalls in 0. Man bekommt nun ein

sehr einfaches System: ein Sechseck
mit den 4 Punkten P^ A, und P^
im Zentrum. Dieses System genügt
den Bedingungen des Satzes: die
G-zählige Drehspiegelungsachse, die
3 mit den Ebenen gleitender Sym-
metrie isomorphen gewöhnlichen Sym-
metrieebenen si, Xi und .s-3, und die
Pjg 3 mit den Schraubenachsen isomor-

phen Symmetrieachsen (P5 Ps), {Pü Pa)
und (P7 Pio) sind alle vorhanden. Ausserdem sind noch andere
Symmetrieelemente hinzugekommen, z.B. die 6-zählige Symme-
trieachse, usw., aber diese werden ausser Betracht gelassen. Es
isl die Raumgruppe des Gitters also wirklich isomorph mit einer
Untergruppe dieses endlichen Punktsystems. In den B\'ormeln
des § 9 des ersten Kapitels hat man nun /u = 1 und 5 = 4 ein-
zusetzen. Nur isl bezüglich dieser Punkte in 0 eine kleine
Revision der Formeln vorzunehmen. Es wurde die Gruppe
Sq aus Sq abgeleitet. In Bezug auf diese Gruppe sind die
Punkte J\\ nnd Pa invariant, die Punkte Po und P4 nicht.
In (32) führt man also für diese letzteren nicht die Variabelen
vom Typus fj\', sondern Variabelen vom Typus ein, z. B.
fj — y(i) ^ yx*)^ u.sw. Die Anzahl Schwingungen wird dadurch
bei A und B um 1 grösser, bei Ii und C um 1 kleiner \')• Für die
\') Dieee Angaben beziehen sich auf die auf Seite 55 mitgeteilten Formeln.

Systeme mit der Giuppe S;^ wurden die Spaltungen nun da-
durch gefunden, dass man Invarianz der Gleichungen forderte
gegenüber den Substitutionen, die einer Umklappung um die
r-Achse entsprechen. Bei dieser Umklappung bleiben die
Punkte und P4 invariant, während A und P3 sich mit-
einander vertauschen. Daraus folgt, dass die eine neue Variabele
^ = _ tF^*^ in A das Vorzeichen wechselt, also zu A2
(S. 59) gehört; in B wechseln IF^\') TF«^) das Vor-

zeichen, während IF^\'^ — IF^^) das Vorzeichen behält, also 1
zu Bl und 2 zu i^g; in C und D bleibt alles dasselbe. Zu-
sammenfassend findet man:

All eine inaktive, einfache Schwingung: die Ca- und die C-
Atome ruhen, während die 0-Atome radial und senkrecht
zur Drehspiegelungsachse schwingen, und zwar „sym-
metrisch".

A2: drei inaktive, einfache Schwingungen: die Cfl-Atome
ruhen; die beiden C-Gitter schwingen in der Z-Richtung
gegeneinander. Die beiden Oa-Gruppen in jeder Zelle
führen eine Schraubenbewegung aus, mit der .^-Achse
als Schraubenachse, und zwar so, dass der Rotationssinn
gleich ist, die Translation aber entgegengesetzt.
Bi: zwei inaktive, einfache Schwingungen: Die CVGitter
schwingen in der Z-Richtung gegeneinander; die C\'-Gitter
ruhen. Die 0-Atome schwingen radial und senkrecht
zur if-Achse, und zwar schwingen zwei zum Zentrum
symmetrisch liegende Punkte der Elementarzelle mit
gleicher Amplitude, d. h. während die eine Os-Gruppe
sich dehnt, schrumpft die andere gerade zusammen und
umgekehrt.

B2: vier aktive, einfache Schwingungen. Die beiden 6\'a-Gitter
schwingen mit gleicher Amplitude in der ;if-Richtung;
ebenso die (7-Gitter. Die Oa-Gruppen führen Schrauben-
bewegungen aus mit entgegengesetztem Drehungssinn und
gleicher Translationskomponente. Zu diesem Typus ge-
hört die Translation in der 2J-Richtung: es bleiben also
nur drei eigentliche Schwingungen dieser Art übrig.

C: sechs aktive Doppelschwingungen, wozu die Translationen
senkrecht zur Z-Achse gehören, also in Wirklichkeit nur
fünf. Hier gibt es unendlich viele Schwingungsmöglich-
keilen; unter diesen gibt es einige, die durch besondere
Einfachheit ausgezeichnet sind. Wir erwähnen nur die
folgende, die ein elektrisches Moment in der F-Richtung
gibt: (Siehe Fig. 15). Die Atome P2, P4, i\'ö und Ps
schwingen in der F-Richtung, und zwar P2 und P.i, und
ebenso P5 und Ps mit gleicher Amplitude. Die Ca-Aiome
Pi und P3 schwingen senkrecht zur Z-Achse: die Am-
plituden haben gleiche F-Komponenten und entgegen-
gesetzte A"-Komponenlen. Die Atome Po und Po, und
ebenso P- und Pio schwingen mit gleicher Amplitude:
Die Amplituden der Atome Pa und P7 haben gleiche F-
und entgegengesetzte A\'- und Z-Komponenten.

I): vier inaktive Doppelschwingungen. z.B.: Alle C/a-Atome
ruhen; die 6\'-Gitter schwingen in der F-Richtung gegen
einander. Die Atome Pi und Ps ebenso. Die Atome P,-.
und Po, wie die Atome P-i und Pio, schwingen mit ent-
gegengesetzter Amplitude. Übrigens verhalten sich die
Amplituden von Pa und P? wie bei der unter ü beschrie-
benen Schwingung.

8) Rutil, n. Ol, kristallisiert tetragonal. Die Elementarzelle
ist eine quadratische Säule, mit den Kantenlängen a, a und c,
deren Ecken und Zentren mit ï\'t-Atomen
besetzt sind. Die 0 Atome liegen in,
10.31, 0.09, 0], [0.19, 0.19, 0.5],
[0.69, 0.31, 0] und [0.81, 0.81, 0.5]
Dieses Gitter hat die folgenden Sym-
metrieelemente :

Die Ebenen z = 0,x = y, x= ~ ƒ/, sind
Symmetrieebenen, die Achsen ic = ^ = 0;
x = y,z = 0-,x = — y,z = 0 sind zwei-
zählige Symmetrieachsen. Die Ebenen x = p // = j, sind Ebenen

ist ein Symnietriezentrum. Die isomorphe Punktgruppe ist
somit B\\. Im System S liegt der Punkt Pe auf der Achse

den Punkt P3 durch Umklappung von Pc um die X-Achse;
in ähnlicher Weise findet man P4 und Pf>. Die Punkte Pi
und Pz liegen, wie man leicht sieht, in 0. Man bekommt
also ein Quadrat mit zwei Punkten im
Zentrum; dieses System hat genau die
richtige Symmetrie. Die Schwingungen
werden erhalten, indem man in| § 7 dés
ersten Kapitels 5 = 2, hf = 1 einsetzt,
während die übrigen Grössen Null sind.
Die Punkte in 0 erfordern wiederum
spezielle Berücksichtigung. Die Gruppe
Fig. 17 jyH ^vurde aus Q, diese wiederum aus

aus 64 abgeleitet. Schon in C\'i müssen die Formeln geändert
werden, da bei der Drehung um die Z-Achse die Punkte Pi
und Pi sich mit einander vertauschen. Man muss jetzt für
diese Punkte die folgenden Variabelen einführen:

Das gibt also eine Schwingung A, eine vom Typus 7i, und
zwei vom Typus G. Geht man jetzt über zu 6\'|, so fmdet
man, da die Punkte Pi und P2 bei der Spiegelung an der
Ebene x = 0 auch in einander übergehen: in Ai eine, in A%
keine, in Bx keine, in Bi eine, in G zwei Schwingungen. Und,
schliesslich \'übergehend zu DJ, bemerkend, dass die Punkte
Pi und Pi bei der Spiegelung an der Ebene z = 0 in sich
selbst übergehen, finden wir: In A[ keine, in A\'^ eine, in
B[, B\'l und keine, in B\'^ eine, in G\' zwei, in C"

keine Variabelen. Selzt man nun in die Formeln auf S.bO:
/j(0)=l, so fmdel man endgültig:

A\\i eine inaktive Schwingung: Die Tt-Gitler sind in Ruhe;
A und Pg und ebenso Pa und A schwingen gegen ein-
ander, und zwar so, dass in der Elemenlarzelle die Ent-
fernung der Atome A und Po grösser wird, wenn sich
die der Atome P3 und A verkleinert.

in der Richtung der Z-Achse. Da aber hierzu die Trans-
lation parallel zur Z-Achse gehört, bleibt nur eine wirk-
liche Schwingung übrig: alle 2V-Alome schwingen als
starres Gebilde in der Z-Richlung gegen das ebenfalls
starre Gebilde der 0-Atome.
/Ij: eine inaktive Schwingung: die 2V-Giller ruhen; die 0-Alome
schwingen horizontal: A und A, und ebenfalls A und
A schwingen senkrecht zu ihrer Verbindungslinie; A und
A schwingen mil gleicher X-Komponente.
A\'i: von diesem Typus gibt es hier keine Schwingungen.
li[-. eine inaktive Schwingung: die 2V-Gitler ruhen: die 0-
^ Atome schwingen wie bei A^, nur schwingen A und A
jetzt in der X-Richtung entgegengesetzt.
n\'l : von diesem Typus gibt es hier keine Schwingungen.
li\'^: eine, inaktive Schwingung: Die Tt-Giller ruhen: die Atome
A und /\'o. und ebenfalls A und A schwingen gegen
einander, und zwar so, dass die Atome A und A in der
A\'-Richtung gleich schwingen.
W;-. zwei, inaktive Schwingungen: Die T/-Giller schwingen in
der Z-Richtung gegen einander: die von den Atomen P5
und Pi gebildeten Gilter schwingen mil gleicher Ampli-
tude gegen die Gilter der Atome Pa und A, ebenfalls

in der Z-Richtung.
C\' vier aktive Doppelschwingungen, mit einem elektrischen
Moment senkrecht zur Z-Achse. Die Translationen senk-
recht zu dieser Achse gehören zu diesem Typus: es
bleiben also nur drei wirkliche Schwingungen übrig. Von
den unendlich vielen Schwingungsformen erwfdmen wir
die folgende: Die Atome schwingen alle senkrecht zur

Z-Achse; die beiden Ti-Gitter schwingen in der F-Richlung
mit gleicher, in der X-Richtung mit entgegengesetzter
Amplitude. Die Atome Fö und Pe und ebenso P3 und Pi,
schwingen mit gleicher Amplitude; von den Amplituden
der Punkte P3 und P5 sind die F-Komponenlen gleich,
die X-Komponenten entgegengesetzt.

C": eitle inaktive Doppelschwingung. Die 7V-Gitter ruhen; die
0-Atome schwingen parallel zur Z-Achse, und zwar Pa
und Pg, und ebenso P3 und Pi, mit entgegengesetzter
Amplitude.

9) liotzinlcerz Zn 0 kristallisiert hexagonal. Die Elementar-
zelle ist eine gerade rhombische Säule, in Bezug auf welche
die Zn-kiovae in [0,0,0] und j], die 0-Atome in

liegen. Die Figur 18 gibt zwei auf
einander folgende ^f>i-Schichten senk-
recht zur Z-Achse. Zu jedem Zii-
Atom gehört ein 0-Atom, das relativ
zum vorigen um einen gewissen Be-
trag in der j^-Richtung verschoben
ist. Wir bezeichnen die Zn-Atome in
zwei aufeinander folgenden Schichten
mit Pi und A, die zugehörigen 0-
Atome mit P3 und P4. Das Gitter
hat eine 3-zählige Symmetrieachse, und 3 Symmetrieebenen
durch diese Achse; ausserdem eine G-zählige Schraubenachse,
(durch den Punkt P), und 3 Ebenen gleitender Symmetrie
durch diese Achse. Die isomorphe Punktgruppe ist also
Im System S muss man alle Punkte auf der G-zähligen Achse
annehmen, und zwar Pt und A, und gleichfalls Ps und A,
an gleicher Stelle, da die zugehörigen einfachen Gitter bei
der Schraubung und bei den Gleitspiegelungen in einander
übergehen. « S besteht also aus zwei Doppelpunkten auf der
Z-Achse. Daher muss man in § 4 des ersten Kapitels /»,- = 4,
und alle übrigen Grössen gleich Null setzen. Da je zwei
Punkte bei der Drehung um die Z-Achse in\' einander über-

gehen, darf man die früher abgeleiteten Formeln nicht ohne
Weiteres benutzen. Die Variabelen werden hier:

Das gibt zwei Schwingungen zwei vom Typus 7i, zwei
vom Typus G und zwei vom Typus D. Da die Symmetrie-
ebenen, die der Gruppe entsprechen, natürlich keine neuen
Spaltungen hervorrufen, können wir das Resultat nunmehr
sofort angeben:

All zwei aktive Schwingungen: alle Punkte schwingen in der
Z-Richtung, und es ist IF^) = TF« und fP^) = IF^«.
Es gibt jedoch nur eine wirkliche Schwingung, da die
Translation in der Z-Richtung in Rechnung gesetzt
werden muss.

C: zwei aljlive Doppelschwingungen mit einem elektrischen
Moment senkrecht zur Z-Achse, deren nur eme eine wirk-
liche Schwingung ist. Alle Atome schwingen senkrecht
zur Z-Achse. Es ist = F*«" - F* W; =

Auf Grund der L\'ormel (27(r) kann man weiter schliessen,
dass die Zn- und 0-Atome parallel schwingen.
D: zwei inaktive Doppelschwingungen: alle Atome schwingen
senkrecht zur Z-Achse, und es gilt: =

Es soll jetzt geprüft werden, inwiefern jetzt schon von
einer Übereinstimmung der im Vorigen gegebenen Theorie
mit der Erfahrung gesprochen werden kann. Zunächst seien
einige Bemerkungen über den zu erwartenden Grad von
Übereinstimmung vorausgeschickt. Man kann die Experimente
über das Reflexionsvermögen ultraroter Strahlung an Kristall-
oberflächen in zwei Gruppen teilen, nämlich erstens solche,
bei welchen die Spektrometermethode angewandt wird, und
zweitens solche, die mit Reststrahlen arbeiten. Die Spektro-
metermethode hat den Nachteil, nur in einem beschränkten
Spektralgebiet brauchbar zu sein: man kann damit nur wenig
über das .kurzwellige" Gebiet hinauskommen. In diesem
Gebiet aber übertrifTt sie die Reststrahlmethode bei weitem
an Genauigkeit. Die Versuchsergebnisse machen durchweg
einen sehr zuverlässigen Eindruck, wenn auch zwecks näherer
Feststellung verschiedener Einzelheiten Experimente mit grös-
serem Auflösungsvermögen durchaus wünschenswert bleiben.
Ganz anders ist es jedoch bei der Reststrahlmethode, die man
für die Strahlenarten grösserer Wellenlängen anwenden muss.
Die Schwierigkeit dieser Experimente liegt darin, dass es
nicht möglich ist, genügend homogene Strahlung in genügender
Intensität von einer beliebigen Wellenlänge herzustellen. Es
gibt ja nur eine beschränkte Anzahl von Kristallen, deren
Reststrahlen benutzt werden können. Mann muss also den
ganzen Verlauf des Reflexionsvermögens als Funktion der Wel-

») MiUels einer Kombination der Spektrometermethode mit der Rest-
strahlmethode sind von Liebisch und Rubens Versuche in dem Gebiet
18m—31/i angestellt worden.

lenlänge im Gebiet von 20 (jl bis zu etwa 200 /x aus wenigen
Beobachtungen bestimmen, und ausserdem sind diese einzelnen
Bestimmungen auf Grund der Inhomogenität der Strahlung
nicht völlig zuverlässig. Es ist klar, in welcher Weise dies
die Ergebnisse beeintlusst. Im allgemeinen werden Retlexions-
maxima mit niedrigen Werten des Reflexionsvermögens der
Beobachtung ganz entgehen, wenn sie sich über einem nicht
zu breiten Wellenlängengebiet erstrecken, und zwei einander
nahe liegende Maxima werden sehr oft nicht getrennt erscheinen.
(Man könnte das einer Spektralaufnahme mit breitem Spall
vergleichen). Das alles hat den Einfluss, dass man immer zu
wenig Refiexionsmaxiina erwarten kann. Es ist klar, dass
dadurch ein Vergleich der Theorie mit der Erfahrung zurzeit
noch sehr erschwert wird: die Unvollständigkeit der Experimente
nötigt zu grosser Vorsicht. HotTentlich wird es gelingen, die
Reslstrahlmethode weiter auszubilden, vor allem dadurch, dass
man die Beobachtungen bei tieferen Temperaturen anstellt,
weil sonst die Wärmebewegung der Kristallpartikel eine sehr
störende Inhomogenität der Reststrahlen verursacht.

Es gibt nun aber doch eine gewisse Kategorie von Erschei-
nungen, die eine zuverlässigere Prüfung der Theorie gestatten,
nämlich das Auftreten der Reflexionsmaxima, die durch innere
Schwingungen von Ionengruppen entstehen. Wie schon in
der Einleitung erwähnt wurde, gibt es in vielen Kristallen
gewisse lonengebilde, COs, SOi, N Os u.s.w., die durch be-
sonders starke, innere Kräfte zusammengehalten werden. In
erster Näherung darf man diese Schwingungen als unabhängig
vom Gitterverbande ansehen; man hat also mit den Schwin-
gungen eines endlichen Systems zu tun. Diese Erscheinungen
sind nun aus zwei Gründen viel mehr zum Vergleich mit der
Theorie geeignet, denn erstens hat die Wärmebewegung der

>) Die obere Grenze ist natürlich «ehr willkürlich. Eine Überschlags-
rechnung zeigt, (lass man bei gewöhnlichen Kristallen ausser (liesem Uebiet
an der langwelligen Seite kaum noch Rcflexionsma.xiina erwarten kann.

Kristallpartikel sehr wenig Einfluss auf diese inneren Schwin-
gungen, was eine grössere Schärfe der Maxima verursacht,
und zweitens liegen die zu den Eigenfrequenzen gehörigen
Wellenlängen weil die ßindungskräfte gross sind, sehr oft
im „kurzwelligen" Gebiet, v^ro man mit der Spektrometer-
methode operieren kann. Von Gl. ScnÄFea und M. Schubert
sind nun für verschiedene Karbonate, Sulfate, Nitrate, Chlorate,
Bromate, Jodate, Chromate, Selenate u.s.w. die Reflexions-
maxima ultraroter Strahlung im „kurzwelligen" Gebiet unter-
sucht worden. Aus diesen Versuchen geht mit besonderer
Deutlichkeit hervor, dass diese Maxima wirklich den inneren
Schwingungen der Gruppen CO3, SOi, NO3 u.s.w. zuzuschreiben
sind. Wir wollen nun zuerst mit Hilfe der in Kap. I und II
abgeleiteten Resultate berechnen, wieviel Maxima man hier
erwarten kann. Dazu muss man natürlich die geometrische
Gestalt dieser lonengruppen kennen.

Zunächst betrachten wir die Gruppen mit drei Ü-Atomen,
wie CO3, NO3, CIO3 u.s.w. Es ist wohl sehr wahrscheinlich,
dass man sich diese, wenigstens angenähert, denken darf als
ein von den 0-Atomen gebildetes gleichseitiges Dreieck, mit
dem vierten Atom (6\\ lY, Cl...) im Schwerpunkte. (In einigen
Fällen wurde das auch durch Röntgenanalysen bestätigt, jedoch
mit einer ungenügenden Genauigkeit). Wir werden das die
„Normalform" nennen. Nun ist aber klar, dass in vielen
Fällen die Formalform sich nicht genau ausbilden kann, z. B.
bei allen Kristallen, die keine dreizählige Achse senkrecht
zur Ebene des Dreiecks aufweisen. Dann muss also die
Form ein wenig von der Normalform abweichen; jedenfalls
ist aber diese Verzerrung sehr gering, da, wie wir schon
bemerkten, diese lonengebilde besonders fest zusammengehalten
werden. Immerhin müssen wir den Einfluss einer solchen
Verzerrung untersuchen. Wir werden nun der Reihe nach
einige typische Formen betrachten.

Gemeint worden natürlich die auf das Vakuum bezogene Wellen-
längen, nicht etwa die Wellenlängen im Kristall.
\') In der Einleitung zitiert.

a. Normalform. Die Symmelriegruppe ist mit = 1,
3 = 1 (sielie Seite 50). Betracliten wir nur die aliliven
Schwingungen, so finden wir;

A\'l: zwei einfaclie Schwingungen, mit Moment senkreclit
zur Ebene des Dreiecks.

DieTranslationen und Rotationen müssen aber abgezogen
werden, und es bleiben übrig: eine Schwingung mit Moment
senkrecht zur Ebene des Dreiecks, und zwei Doppel-
schwingungen, mit Moment in dieser Ebene.

gezeichnet). Die Symmetriegruppe ist
C| mit h^ = 2, Af = 1 (siehe Seiteil);
weil wir die Richtung senkrecht zur
Ebene des Dreiecks, wie bei der
Normalform, als /-Richtung bezeich-
nen wollen, steht hier das Koordi-
natensystem anders als dort ange-
nommen wurde).
Man findet:

vier Schwingungen mit Moment in der r-Richlung.
Ih : drei Schwingungen mit Moment in der Z-IVichtung.
Iii\', vier Schwingungen mit Moment in der X-Richtung.

Nach Abzug der N/illfrequenzen bleiben übrig:
drei Schwingungen mit Moment in der T-Richtung.
eine Schwingung mit Moment in der Z-Richtung und
zwei Schwingungen mit Moment in der X-Richtung.

c. Beliebiges Dreieck. Die Synnnetriegruppe ist C} mit k^ = i
(siehe Seite IG). Man findet, nach Abzug der Nullfrequeir/.en:
eine Schwingung mit Moment in der Z-Richtmig und
filnf Schwingungen mit Moment in der Ebene des Dreiecks.

d. Gleichseitiges Dreieck, aber mit einem zentralen Atom, das
in der Z-Uichlnng aus dem Schwerpunkte verschoben ist.
Die Symmetriegruppe ist mil /<,= !, kf = 1. (siehe
Seite 41) Man findet:

e. dasselbe für ein gleichschenkliges Dreieck. Die Symmetrie-
gruppe ist C;, mit m= l, = 2 (siehe Seite 16). Man
findet zwei Schwingungen mit Moment senkrecht zur
Symmetrieebene, und vier mit Moment in dieser Ebene.

f. beliebige Verzerrung. Die Symmetriegruppe ist (7i; man
findet im ganzen sechs aktive Schwingungen.

Rechnet man eine Doppelschwingung als zwei Schwingungen,
so sieht man, dass die Gesamtzahl der aktiven Schwingungen
im Falle a fünf beträgt, in allen übrigen Fällen sechs. Das
kann man auch sehr einfach erklären, denn bei den Systemen
in der Normalform gibt es eine inaktive Schwingung, die
dadurch entsteht, dass die 0-Atome radial in der Ebene des
Dreiecks gegen das ruhende zentrale Atom schwingen. Jede
beliebige Verzerrung, die den Symmetriecharakter ändert, macht
diese Schwingung aber aktiv. Da wir jedoch nur sehr
geringe Verzerrungen zulassen, ist zu erwarten, dass das bei
dieser Schwingung auftretende elektrische Moment äusserst klein
ist, und der Wahrnehmung sehr schwer zugänglich. Wenn es
überhaupt nachweisbar wäre, müsste mann also als erste
Folge der Verzerrung ein äusserst schwaches Reflexions-
maximum erwarten, das im allgemeinen an anderer Stelle
des Spektrums liegt als die übrigen. Wichtiger sind aber
die Erscheinungen bei den übrigen Schwingungen. Wenn wir
nun diese sechste Schwingung ausser Betracht lassen, so bleiben,
wie man leicht sieht, noch übrig:

b. eine Schwingung mit Moment in der /-Richtung.
zwei Schwingungen mit Moment in der A\'-Richtung.
zwei Schwingungen mit Moment in der y-Richtung.

c. eine Schwingung mit Moment in der /-I\\ichtung, und
vier Schwingungen mit Moment in der Ebene des Dreiecks.

zwei Schwingungen mit Moment in der X-Riclitung.
zwei Schwingungen mit Moment angenrdiert in der Y-
Richtimg.

f. eine Schwingung, mit Moment angenähert in der Z-Richtung.
vier Schwingungen mit Moment angenäliert in der Ebene
des Dreiecics.

Es gibt also in jedem Fall eine Schwingung mit Moment
genau oder angenäliert senkrecht zur Ebene des Dreiecks, und
vier Schwingungen (die bei a und d in\' zwei Doppelschwin-
gungen entarten) mit Moment genau oder angenähert in der
Ebene des Dreiecks. Betrachten wir nun z.B. den Fall b.
Es gibt zwei Schwingungen in der -Y- und zwei in der Y-
Richtung. Wenn man nun bedenkt, dass b nur sehr wenig
von der Normalform abweicht, so sieht man, dass die Fre-
quenzen dieser Schwingungen mit den beiden Doppelfrequenzen
fast übereinstimmen müssen. Andererseits sind aber die Schwin-
gungen in der A"- und F-Richtung nicht genau von gleicher
Frequenz, weil diese Richtungen nicht gleichwertig sind. Man
findet also, wenn das anregende Feld parallel zur F-Richtung
steht, zwei Maxima; wenn es parallel zur A\'-Richtung orientiert
ist, ebenfalls zwei Maxima, deren Stellen im Spektrum nur sehr
wenig von den vorigen abweichen; wenn schliesslich das
Feld eine beliebige andere Richtung senkrecht zur Z-Achse
hat, findet man zwei Doppclinaxivia; beide bestehen aus zwei
einander sehr benachbarten Maxima. Dasselbe findet man
im Falle e, etwas ganz ähnliches konnnt bei c und f zum
Vorschein. Hier gibt es aber keine zwei ausgezeichnete, zu
einander senkrechte Richtungen in der Ebene des Dreiecks.
Folglich isl es hier nicht möglich, die Polarisationsrichtung
des Feldes so zu wählen, dass zwei der Maxima ausfallen,
aber jedenfalls findet man auch hier zwei Doppel maxima.
Zusammenfassend können wir sagen: wenn das lonengebilde
die Normalform hat, findet man ein Refiexionsmaximum für
senkrecht zur Ebene des Dreiecks polarisierte Strahlung, nnd
zwei Maxima für Strahlung, die in dieser Ebene polarisiert
ist. Jede kleine Verzerrung, ausgenommen vom Typus
verursacht eine Spaltung der beiden letzten ^Maxima in je zwei

Komponenten, die einander sehr benachbart sind, während
das erstgenannte Maximum einfach bleibt. Bei den Verzer-
rungen b und e. ist es möglich, durch geeignete Wahl der
Polarisationsrichtung der erregenden Strahlung die beiden
Komponenten eines solchen Doppelmaximums gesondert zu
betrachten. Schliesslich ist bei jeder Verzerrung ein neues,
äusserst schwaches Maximum zu erwarten, mit einer Frequenz,
die zu den übrigen nicht in einfacher Beziehung steht. Wir
wollen nun prüfen, inwiefern diese Resultate durch die Erfah-
rung bestätigt werden. Die Fig. 20, den mehrfach zitierten
Arbeiten von Gl. Schäfer und M. Schubert entnommen, gibt

für den rhomboedrisch
kristallisierenden Ei-
senspat [FeCOi) das
Reflexionsvermögen R
als Funktion der Wel-
lenlänge A. Die Kurve
a bezieht sich auf na-
türliche Strahlung, b
und c auf polarisierte
Strahlung; für b war
der elektrische Vektor
senkrecht zur opti-
schen Achse, bei c
parallel zu dieser. Fast
alle anderen Karbo-
^ nate ergeben eine sehr
ähnliche Figur: es
kann demnach mit Sicherheit geschlossen werden, dass diese
Maxima wirklich den Schwingimgen des C\'Os-Ions zuzuschreiben
sind. Man findet nun, da nach röntgenometrischen Bestim-
mungen das Os-Dreieck .senkrecht zur optischen Achse sieht,
in vollständiger Übereinstimmung mit der Theorie: ein Re-
flexionsmaximum, verursacht durch eine Schwingung mit
Moment senkrecht zur El)ene des Dreiecks, und zwei Maxima
die sich l)eziehen auf Schwingungen mit Moment in der Ebene
dieses Dreiecks. Eine ebenso gute lllbereinstimmung findet

man bei den Nitraten, Chloralen, Bromaten und Jodaten. Nur
sind die Messungen bei den letzteren noch unvollständig, da
die Maxima sich nach der langwelligen Seite des Spektrums
verschieben, wenn die Masse der zentralen Atome grösser
genommen wird, sodass diese teilweise im „langwelligen"
Gebiet liegen, und zurzeit nicht mit der Spektrometermethode
gefunden werden können. An dem wirklich-Vorhandensein
dieser Maxima kann man jedoch kaum zweifeln. Die Figur 21
bezieht sich auf den rhombisch kristallisierenden Cerussit

{Pb COa). Hier\' kann man eine
Deformation vom Typus b erwar-
ten, wie auch von M. L. Hüggins
angenonnnen wird Die Beobach-
tungen sind nur für die beiden
kurzwelligen Maxima bei etwa Ifjt,
0 io a Xir,^ und 12 durchgeführt worden. Die
Kurven or, b und c beziehen sich
auf polarisierte Strahlung mit einem elektrischen Vektor in
der Richtung der n, h und «r-Achse. Man sieht nun sehr
deutlich, dass das kurzwellige Maximum gespalten ist, das
andere Maximum aber nicht *), genau in Übereinstimmung
mit der Theorie. Die ganze Er.scheimmg bestätigt also
durchaus die Annahme einer
Deformation vom Typus b. =\')
Ähnliche Resultate hat man
bei anderen zweiachsigen
Karbonaten erhallen. Beson-
ders bemerkenswert ist nun
schliesslich die beim Kalkspat
gefundene Kurve (Fig. 22),
welche für natürliche Strah-
lung gilt. Man fmdet wiederum

\') Die Verzerrung c wiiro auch möglich, jo<l()ch ist diese mit RückHicht
auf <lio Krisiallsymmctrio weniger wahrscheinlich.

♦) Auch andere ähnlicho Kristalle zeigen dasselbe, dio Kurve für Kalknpnt
gibt aber ein besonders deutliches Reispiel.


A		f
M	—1-

bei 7 [j, und 14/x sind doppelt. Das ist aber genau dasjenige,
das von der Theorie für deformierte COa-Gruppen vorher-
gesagt wurde. Es ist daher sehr naheliegend, auch hier
verzerrte COs-Grnppen anzunehmen. Nur kann man nicht
gut verstehen, wie das bei diesen, rhomboedrisch kristallisie-
renden Substanzen möglich ist, wo das gleichseitige Dreieck
in so schöner Weise sich der Symmetrie des Gitters anpasst.
Immerhin bietet die Annahme einer Deformation die einfachste
Erklärung für diese Tatsachen. Die Schwierigkeit bezüglich
der Kristallsymmetrie ist natürlich in verschiedener Weise zu
beseitigen, etwa dadurch, dass man annimmt, dass eine ge-
wisse, durch die innere Struktur der C\'Oa-Gruppe bedingte,
Deformation sich im Gitter nach dem Zufall in verschiedenen
Richtungen ausbildet. Man kann auch an ganz systematische
Anordnungen denken, wobei die dreizählige Achse des Gitters
wiederhergestellt wird, jedoch fragt es sich, ob auch in diesen
Kleinigkeiten der Aufbau eines Kristalles noch ganz regel-
mässig isl: da muss doch schon die Wärmebewegung störend
eingreifen. Bemerken wir schliesslich, dass vielleicht diese
Fragen in Zusammenhang stehen mit der Tatsache, dass die
nach verschiedenen Methoden angestellten Versuche, dio Abso-
lutdimensionen dieser C\'Oa-Gruppe zu finden, zu sehr ver-
schiedenen Ergebnissen geführt haben.

Wir wollen nun die lonengruppen mil vier Sauerslotfalomen
betrachten, wie S0i,Cr0.i u.s.w. Als Normalform muss man
sich ein von den 0-Atomen gebilileles reguläres Tetraeder
denken, mil dem fünften Atom (S, (\'r u.s.w.) im Schwer-
punkte. In dieser Form lässt das System die Operationen
der Gruppe T^ zu. Es isl //3= I, 3=1. Setzt man das
in die in § 3 des zweiten Kapitels gefundenen Ausdrücke
ein, so bekommt man:

die Doppelscliwingung, und zwei aktive dreifache Schwingungen.
Man muss also zwei Reflexionsmaxima erwarten, für jede
Polarisationsrichtung der erregenden Strahlung an gleicher
Stelle im Spektrum. Auch hier kann man nun verschiedene
Deformationen zulassen. Wichtig sind z.B. die folgenden:

a. Ein 0-Atom ist ein wenig nach aussen verschoben, sodass
das Tetraeder die Gestalt einer regulären dreiseitigen
Pyramide annimmt. Diese Form ist bei einachsigen
Kristallen mit einer dreizäliligen Symmetrieachse zu er-
warten. Die Symmetriegruppe ist Cgmit = kf\'>= 1.
Man findet, nach Abzug der Nullfrequenzen, drei aktive
Schwingungen mit Moment in der Richtung der drei-\'
zähligen Achse, und drei aktive Doppelschwingungen, mit
Moment senkrecht dazu.

b. Das Tetraeder wird in der Z-Richtung (also in der Richtung
einer seiner zweizähligen Symmetrieachsen) zusammenge-
drückt. Die Synnnetriegrnppe ist -Sj mit I, 5= I.
Man findet zwei einfache Schwingungen mit Moment in
der Z-Richtung, und Doppelschwingungen mit Moment
senkrecht dazu. Diese Form ist bei tetragonalen Kristallen
zu erwarten.

c. Das Tetraeder wird in der Weise verzerrt, dass es nur
noch die Opeiationen der Vierergruppc zulässt. .Man
findet, neben drei inaktiven Schwingungen, in jeder Koor-
dinatenrichtung zwei aktive Schwingungen. Diese Form
ist bei rhombischen Kristallen zu erwarten.

Bei anderen Verzerrungen, wo die Symmetrie noch stärker
herahgesetst wird, findet man \\) aktive Schwingungen. Auch
hier gilt mm, dass die Gesamtzahl der aktiven Schwingungen
(wenn man dreifache Schwingungen als drei, und Doppcl-
schwingungen als zwei rechnet) bei einigen Verzerrungen da-
durch grösser wird, dass die in der Normalform inaktiven
Schwingungen der Systeme aktiv gemacht werden. Weil aber
die Deformationen sehr gering sind, muss auch das elektrische
Moment dieser Schwingungen sehr klein sein, und nur äusserst
schwache Refiexionsmaxima verursachen. Lassen wir diese
beiseite, so bleiben noch bei den Typen:

a. und h. zwei Schwingungen mit Moment in der Z-Rich-
tung, und zwei Doppelschwingungen mit einem Moment
senkrecht dazu.
c. ztcei Schwingungen mit Moment in der X-Richtung, und
dasselbe für die Y- und Z-Richtung.

Bei Beobachtung mit natürliciier Strahlung muss man also
finden: für Systeme in der Normalform zwei Maxima; für
deformierte Systeme vom Typus a oder b sind diese beiden
doppelt, für Systeme vom Typus c, und bei anderen Verzer-
rungen, dreifach. Bei den Typen a, b und c ist es möglich,
die verschiedenen Komponenten eines jeden Maximums durch
Beobachtungen mit polarisierter Strahlung zu trennen.

Zum Vergleich mit der Erfahrung möchte man nun zunächst
ein reguläres Sulfat wählen, weil man nur hier die Normal-
form erwarten kann. Leider gibt es fast keine einfache regulär
kristallisierende Sulfate, und es liegen, soweit mir bekannt,
auch keine Messungen vor, die sich auf einen solchen Fall
beziehen. Da müsste man also die Alaune nehmen, aber
diese sind zum Vergleich mit der Theorie nicht geeignet, da
der Wassergehalt verschiedene andere Rellexionsmaxima in
demselben Gebiet verursacht, die den Einblick in die ganze
Erscheinung trüben müssen. Wir müssen uns also damit
begnügen, nur Kristalle zu betrachten, deren ^)Oi-Gruppen
etwas von der Normalform abweichen. Die Fig. 28 gibt nun
{j das Resultat der Mes-

sungen beim hexago-
nal - kristallisierenden
Lithiumkaliumsulfat,
mit natürlicher Strah-
lung erhalten. Man fin-
det also wirklich die
zwei für die Normal-
form gültigen Refiexi-
onsmaxima. Nun mu.ss man aber bei hexagonalen Kristallen
eine Deformation vom Typus a erwarten, und dementsprechend
müssen nach der Theorie diese beiden Maxima doppelt sein.
Das ist nun in der Tat der Fall, wie die Fig. 24 zeigt, wo



	.—	V

10 IZ ft

Fig. 23.

Xln^

das Ergebnis der Messungen bei polarisierter Strahlung dar-
gestellt isl: die Kurven a beziehen sich auf senkrecht zur

optischen Achse-, die Kurven b auf parallel zur optischen
Achse polarisierten Strahlung. Beide Maxima sind gespalten:
das kurzwellige Maximum aber viel weniger als das langwellige.
Die Figur 25 gibt schliesslich die Analyse für das kurzwellige

Maximum beim Coelestin
(rhombisch). Die Kurven rr,
fc und c beziehen sich auf
Strahlung, polarisiert paral-
lel zur a, b und c-Achse.
Es stellt sich dieses Maxi-
mum wirklich als dreifach
heraus; die Möglichkeit,
durch Versuche mit pola-
risierter Stahlung die Kom-
ponenten einzeln zu erhal-
ten, isl in Übereinstinunung
mil der Annahme einer
Deformation vom Typus c.



		K
	a	W
	J _

			kV
/
A

7 B 9 10 Xin^

Fig.25.

nnmg mit der Erfahrung sehr gut. Dasselbe kann nicht gesagt
werden von den Versuchen mit der S/Os-Gruppe, die immer
zu viel Retlexionsmaxima ergeben haben. Man kann hier

nur schliessen, dass in Wirklichkeit die Strukturverhrdlnisse
des Quarzes viel komplizierter sind als meistens angenommen
wird.

Wir gehen nun über zu den unendlichen Gittern, und be-
trachten sämtliche Reststrahlen eines Krislalles, sowohl im
kurzwelligen wie im langwelligen Gebiet.

Als erstes, einfachstes Beispiel kann man die Alkali-Halo\'iden
und Zinkblende heranziehen. Nach der Theorie muss hier
(siehe Kap. III) eine Schwingung erwartet werden, und das
sich darauf beziehende Reflexionsmaximum hat man auch
wirklich im langwelligen Gebiet gefunden. Dies ist übrigens
schon längst bekannt. Etwas komplizierter ist es beim Fluss-
spat-. es gibt (siehe Kap. III) hier eine aktive-und eine inaktive
dreifache Schwingung. Man kann also nur ein Reflexions-
maximum erwarten. In der Literatur findet man oft zwei
Maxima erwähnt, doch scheint mir die Existenz dieses zweiten
Maximums noch nicht mit der nötigen Sicherheit festgestellt
zu sein. Insbesondere bedeutet die Tatsache, dass II. Rubens
immer mit zwei vom Flussspat herrührenden Reststrahlen
arbeitet, nichts, da diese aus einem breiten Gebiet starker
Reflexion durch geeignete Absorptionen in anderen Kristallen
abgesondert wurden. Eine nähere Untersuchung hei tieferen
Temperaturen wäre hier sehr am Platze.

Einen sehr schönen Prüfstein für die Theorie bieten die
Karbonate der Calcitgruppe, weil hier sowohl die Gitterstruktur
wie die Reststrahlen ziemlich genau untersucht worden sind.
Nach der Theorie muss man drei Reflexionsmaxima für parallel
zur optischen Achse polarisierte Strahlung, und/\'«»/\'für senk-
recht zu dieser Achse polarisierte Strahlung erwarten (siehe
Kap. III). Dazu gehören jedenfalls die drei schon vorher
erwähnten Maxima im „kurzwelligen" Gebiet, die den Schwin-
gungen des COa-Ions zuzuschreiben sind \'). Es bleiben also
im „langwelligen" Gebiet noch zwei Maxima für ausser-

\') Die Verdoppelung, dio bei zwei dieser Mnxima gefunden wnrdo,
muss hier natürlich ausser Betracht gelassen werden.

Fig. 2G gibt nun die von LiEDiscnund Ruuens\') beobachteten Maxi-
ma beim Kalkspat, Fig. 27 gibt dasselbe für Natronsalpeter; beide

geben das Re-
flexionsver-
mögen als
Funktion des
Logaritlnnus
der Wellen-
länge. Man er-
kennt sofort,
»0 xin^ sowohl für
den ordent-
lichen wie für den an.sserordentlichen Strahl, zwei Maxima. *)
Für den au.sserordcnlliclien Strahl stinnnt das genau, für «len
ordentlichen Strahl ist das Kins zu wenig. Bemerkenswert
ist jedoch, dass sich sowohl beim Kalkspat wie beim Natron-
salpeter gerade für den ordentlichen Strahl eine Andeutung
eines dritten Maximums findet, das beim ausserordentlichen
\') I. c.

\') Dass dieeo beim Na NOt viel mehr nach der langwolligen Seite des
SpektrumH vcr>-chobcn sind, wird leicht erklürt durch die verschiedene
Valenz der Ionen in diesen beiden Kristallen.

Strahl fehlt, nämlich für Ca CO3 bei etwa 55 [x, und für
Na NO3 bei etwa 83 ij,, wie aus den Figuren 26 und 27 deutlich
ersichtlich ist\'). Wenn man diese Maxima als reell ansehen
darf — und es sieht wirklich so aus — so ist damit eine
vollständige Übereinstimmung von Theorie und Erfahrung ge-
funden.

Mit Rücksicht auf die früheren Bemerkungen über die Ver-
doppelung der kurzwelligen Maxima für den ordentlichen

Strahl beim Kalkspat
ist es nun schliess-
lich interessant, zu
untersuchen ob eine
derartige Verdoppe-
lung vielleicht auch
bei den langwelligen
Maxima auftritt. Die
Reststrahl methode
ist natürlich nicht
imstande, ein solches
Maximum aufzulö-
sen. Glücklicherweise

haben Liebiscu und Rubens das erste langwellige Maximum
des Kalkspats bei etwa 30 (m nach einer teilweise spektro-
metrischen Methode genau untersuchen können. Fig. 28 gibt
das Resultat: tatsächlich ist das Maximum doppelt für den
ordentlichen Strahl, aber nicht für den ausserordentlichen Strahl.
Wenn wirklich die auf S. 122 ausgesprochene Vernmtung
dass die COa-Gruppen nicht genau in der Normalform aus-
gebildet sind, richtig ist, so muss man tatsächlich eine solche

\') In der Rubensschen Abhandlung int dio sich auf den Kalkspat
beziehende Kurve auch für den ausserordentlichen Strahl so gezeichnet,
dass daraus eine Andeutung eines solchen Ma-ximums (bei etwa 45/i)
ersichtlich ist. Wenn man jedoch ganz objektiv versucht, eine Kurve
durch die aus den Messungen hervorgehenden Punkte zu zeichnen, so
findet man davon keine Spur. Man hat wohl unbewusst geglaubt, dass
die Kurven für den ordentlichen- und für den ausserordentlichen Strahl
einander ähnlich sein müssten, und die sich auf den ausserordentlichen
Strahl beziehende Kurve dementsprechend gezeichnet.

Spaltung der langwelligen Maxima erwarten. Umgekehrt be-
stätigt die beobachtete Spaltung die Richtigkeit der erwähnten
Hypothese.

Bei einigen anderen Kristallen vom selben Typus, wie Zinkspat
und Eisenspat, ist das Ergebnis der Messungen im wesent-
lichen dasselbe. Nur sind diese Kurven durch die wenigen
Messungen so unvollständig bestimmt, dass man da unmöglich
auf die Existenz des dritten Maximums für den ordentlichen
Strahl schliessen kann. Das Umgekehrte lässt sich aber natürlich
noch mit viel weniger Grund behaupten!

Im Ganzen darf man sagen, dass die Theorie durch die
Erfahrung bestätigt wird. Zwar findet man in anderen Fällen
(z.B. Dolomit, Zirkon usw.) zu wenig Maxima, aber, wie schon
im Anfang dieses Kapitels betont wurde, lässt sich das kaum
anders erwarten, wenn es viele Maxima und nur wenige
Beobachtungen gibt. Man darf daraus also keineswegs auf
eine Unstimmigkeit schliessen.

Wir haben in den vorigen Paragraphen gezeigt, dass man
im allgemeinen die Beobachtungen mit Hilfe der in dieser
Arbeit entwickelten Theorie erklären kann. Doch sind wir
schon einem Fall begegnet, wo die ursprünglichen Annahmen
etwas verallgemeinert werden mussten, und es ist durchaus
nicht ausgeschlossen, dass man mit der Verfeinerung der
Beobachtungsmelhoden noch mehrere Beispiele finden wird,
dio man nur unter allgemeineren Voraussetzungen wird er-
klären können. Wir wollen daher dio verschiedenen Annahmen,
die der Theorie zu Grunde liegen, hier noch einmal zusam-
menstellen, und prüfen, inwiefern eine Verallgemeinerung Erlolg
verspricht.

1. Es wurde angenommen, dass die Krislallpartikel punkt-
förmig sind, und dass zwischen diesen nur Zentralkräfte wirken.
Wenn man erstens die Partikel als slarre Kugeln von endlichem
Radius voraussetzt, so wird dadurch nichts Wesentliches ge-
ändert. Die Annahme starrer Kugeln spielt in der Physik

eine grosse Rolle, und hat sich in vielen Fällen gut bewährt.
Angenähert ist das ohne Zweifel richtig, aber doch lässt sich
erwarten, dass diese Voraussetzung nicht genau zutrifft, vor
allen Dingen in den Fällen, wo die Partikel einander sehr
stark beeinflussen wie z.B. die Atome einer COa-Gruppe. Als
zweite Annäherung kann man annehmen, dass die Partikel
nicht kugelsymmetrisch sind, aber doch andere Symmetrie-
eigenschaften aufweisen, und damit hängt zusammen, dass die
Kräfte zwischen den Partikeln nicht mehr genau zentral sind.
Das ganze Gitter bekommt dadurch die doppelte Anzahl von
Freiheitsgraden, und dementsprechend wird auch die Anzahl
der Eigenfrequenzen erhöht. Nur sind die neuen Eigenfre-
quenzen von einer ganz anderen Grössenordnung, da sie mit
Drehungen eines einzelnen Partikels um eine Achse durch
dessen Schwerpunkt zusammenhängen, die auf Grund des
kleinen Trägheitsmomentes sehr schnell erfolgen. Diese fallen
daher ganz aus dem betrachteten Gebiet, und dadurch wird
also die Anzahl der Maxima nicht vergrössert. Indirekt könnte
dies aber doch der Fall sein, wenn durch die nicht zentral
wirkende Kräfte eine Änderung der Symmetrie entsteht. So
könnte man z.B. die Verdoppelung der Maxima bei der COn-
Gruppe des Kalkspats \') formell dadurch erklären, dass man
die konstituierenden Atome nicht mehr als kugelsymmetrisch
voraussetzt, und diesen eine geringere Symmetrie erteilt. Es
lässt sich dabei leicht so einrichten, dass die C\'Oa-Gruppe
nicht die Normalform annehmen kaim, und die Abweichung
von dieser Form verursacht schliesslich die Verdoppelung der
Maxima, wie früher gezeigt wurde. In dieser Richtung scheint
also wirklich eine Möglichkeit zur Weiterbildung der Theorie
zu liegen, die zur Erklärung der feineren Erscheinungen ge-
eignet sein dürfte. Nur ist für die genauere Verfolgung dieser
Gedanken eine weitgehende Kenntnis des Atombaus erforder-
lich, von dem sich jetzt noch sehr wenig mit Bestimmtheit
behaupten lässt.

betrachtet, Wcährend es in Wirklichkeit endlich ist, wenn auch
die Dimensionen gegen die der Basis immer sehr gross sind.
Theoretisch hat dies den Einfluss, dass gewisse Schwingungen
möglich werden, die mit der Beschaffenheit der Kristallober-
fläche zusammenhängen. Da die Randschicht aber äusserst
dünn ist, ist kaum zu erwarten, dass hieraus Reflexionsmaxima
entstehen, die der Wahrnehmung zugänglich sind.

3. Es wurde die Wärmebewegung vernachlässigt. Diese
führt zu einer Verbreiterung der Maxima, und zu einer Ver-
schleierung der ganzen Erscheinung. Von wesentlicher Bedeu-
tung ist die Annahme ruhender Atome nicht, und an sich
hat die Berücksichtigung der Wärmebewegung keinen Sinn,
weil sich dabei doch keine wesentlichen neuen Erscheinungen
ergeben. Um eine bessere Übereinstimmung zu erhalten scheint
es umgekehrt zweckmässiger, das Experiment den Vorausset-
zungen der Theorie anzupassen, d.h. bei tieferen Temperaturen
zu beobachten. Natürlich bleibt die Frage nach dem Einfliiss
der Wärmebewegung in Beziehung zu ganz anderen Fragen,
wie die nach der bei einer Schwingung auftretenden Dämpfung
und nach der Grösse des maximalen Reflexionsvermögens,
äusserst wichtig.

4. Es wurde der Kristall als Raumgitter, d. h. als vollkommen
regelmässiges Punktgebilde vorausgesetzt, hi der letzten Zeit
hat es sich immer mehr herausgestellt, dass Störungen im
Kristallbau häufig sind. Damit entwickelt sich, wie eè P. Niggli
nennt, eine „Pathologie" der Kristalle. Über die Art dieser
Störungen isl allerdings sehr wenig bekannt. Im allgemeinen
darf man sich diese wohl als sehr gering vorstellen, sodass
auch der Einfluss auf die Reslslrahlen zu vernachlässigen ist.
Theoretisch ist als Folge einer solcher Störung eine Zunahme
der Anzahl Maxima zu erwarten; ob diese praktisch wahr-
nehmbar sind, hängt schliesslich von der Art der Störung ab.
Im allgemeinen dürfte das jetzt nicht der Fall sein.

5. Bei der Ableitung der Schwingungsformeln wurde immer
nur bis zur ersten Ordnung in den Verrückungen der Partikel
aus ihren Gleichgewichtslagen entwickelt: nur dadurch war
es möglich, überhaupt nur eine endliche Anzahl von B\'requenzen

zu erhallen. Man kann nun fragen, was sich ergibt, wenn
man auch höhere Glieder der Entwicklung berücksichtigt. Das
führt bekanntlich dahin, dass man neben den gewöhnlichen
Eigenschwingungen auch die höheren harmonischen Schwin-
gungen fmdet. Da die Schwingungszahlen in einem einfachen
Verhältnis stehen, kann man meistens leicht entscheiden, ob
ein solcher Fall vorliegt oder nicht. Vor kurzem sind von
Gl. Schäfer tatsächlich Andeutungen dieser Oberschwingungen
gefunden worden, zwar nicht mit Reflexionsmessungen, sondern
mit Absorptionsmessungen. Diese EiTekte sind natürlich auch
sehr schwach.

6. Dem Ansalze 43 liegt die Annahme zu Grunde, dass
das anregende Feld ein homogenes, elektrisches Feld ist. In
Wirklichkeit kommt erstens das magnetische Wechselfeld hinzu,
aber dies hat, wie schon früher bemerkt wurde, praktisch
keinen Einfluss. Zweitens ist aber das Feld nicht homogen,
da die "Wellenlänge nicht unendlich gross ist. Damit hängt
zusammen, dass man theoretisch erwarten könnte, dass einige
inaktive Schwingungen am Ende doch angeregt werden. Wenn
man jedoch bedenkt, dass die Wellenlänge im Kristall etwa
10\' bis 10® mal so gross ist als die Entfernungen benach-
barter Atome, so erkennt man, dass diese Bemerkung kaum
praktische Bedeutung hat.

Es wird eine Methode beschrieben, um für jeden der Gitter-
typen, die durch die 230 räumlichen Gruppen von Deck-
operationen definiert sind, die Schwingungsformen der Eigen-
schwingungen zu finden, und die Richtung des dabei auftretenden
elektrischen Moments zu bestimmen.

Zu diesem Zweck wird dieselbe Aufgabe zunächst gelöst
für endliche Punktsysteme, die als Deckoperationen die Opera-
tionen einer Punktgruppe zulassen, die mit einer der Raum-
gruppen isomorph ist. (Kap. I und II).

Nachher wird gezeigt, wie man das Problem der Gitter-
schwingimgen auf das Problem der Schwingungen endlicher
Punktsysteme zurückführen kann. Für einige, in der Natur
häufig vorkommende Gilter wird das Resultat ausführlich
angegeben (Kap. III).

üie Tatsache, dass die experimentell gefundenen Reslslrahlen
bei Reflexionsmessungen ultraroter Strahlung an Kristullober-
flächen mit den „aktiven" Eigenschwingungen eines Kristalles
zusammenhängen, ermöglicht eine Prüfung der Theorie durch
Vergleich mil der Erfahrung. In den Fällen, wo die Reflexions-
maxima alle im kurzwelligen Gebiet liegen, isl die Überein-
stimmung sehr gut. Im langwelligen Gebiet sind die Messungen
meistens sehr unvollständig, wodurch sichere Schlüsse oft
unmöglich sind. Auch hier scheint die Theorie die Erschei-
nungen jedoch richtig wiederzugeben.

Indien mocht blijken, dat fluoriet in het ultrarood twee
reflexiemaxima levert, is het geenszins zeker, dat de in de theorie
gevonden inactieve eigentrilling bij de verklaring van dit
verschijnsel een rol speelt.

Het feit, dat de verschillende Heliumatoommodellen een
onjuiste waarde voor de ionisatiespanning hebben gegeven,
bewijst nog niet, dat het noodig is, de wetten der mechanica

Bij het oplossen van sommige vraagstukken uit de waar-
schijnlijkheidsrekening wordt met voordeel van de foutenwet
van van Loon gebruik gemaakt.

J. U. van Loon. Mittcilungon ül)or Gegcnsliindo doa Artillorie-
und Geniewosons 1914, 3, 4 cn 7.

Een verschijnsel heeft zich bij fjt, proeven m maal voorgedaan,
en n = (j.— m maal niet. Gevraagd de kans, dat het zich
bij de volgende proef voordoet.

Er wordt meestal te weinig aandacht gevestigd op het feit,
dal dit een geheel onbepaald vraagstuk is.

In Sghwarzsghild\'s onderzoek betreffende de lichtverdeeling
over de zonneschijf, trekt hij het besluit, dat deze in hoofd-
zaak door verstrooiing beheerscht wordt; dit volgt niet nood-
zakelijk uit zijn verhandeling.

Het is niet wenschelijk, bij het opbouwen van structuur-
formules van organische stoffen te veel aan de vierwaardigheid
van koolstof vast te houden.

De oplossing van het door Baudet behandelde sluitings-
probleem op de hyperboloïde kan door een eenvoudige meet-
kundige redeneering gevonden worden.

Het verdient aanbeveling, bij het onderwijs in de wiskunde
aan de Nederlandsche Universiteiten, aan de getallentheorie
meer aandacht te schenken dan tol dusver gebruikelijk was.

Het is wenschelijk, het gebruik van de rekenliniaal in het
leerplan voor H. B. S. en Gymnasium op te nemen.

sein müssen:
: -	1,(2)	t -
		Kt t

	-i-i

		p—i	p=2
Die Translation parallel zur Z-Achse zu	B	B	B
Die Translation parallel zur F-Achse zu	C	C	B
Die Translation parallel zur X-Achse zu	C	c	B
Die Rotation um die Z-Achse zu . . .	A	A	A
Die Rotation um die F-Achse zu. . .	D	C	A
Die Rotation um die X-Achse zu. . .	D	C	A

		-*■ _

tu,.	-> •<-		->
tu,.	-> _ -<-
	->■ --		-> -
t ^(-!/)x	4r-		->
	-		-

i^xx	■h-	Uxyt-		u.z t-
	_		Un,	TT —
Un.	_	U. t-	Uy

fx	^22	^23	Iii ^23	^22 ^22
1	1	><	><	><
%	>133		^32 ^31	C33 ^3:5	C3I ^31
		^42 ^43	^43 ^42		^42 I43
		1 1	1 1	1 1	1 1

	P	\'^n .(-■\'41	;y\'(l)->- r>"(2 ■\'12 •\' 43	^ 13 ■\'42
	P	jym \'21 ^ 31	\' n ■»-■^33	\'23 •\' 32
^31	P	„"(!)-► t>"(2) i 31 ^21	ƒ>\'(!)- • «"(2) •\'32 \' 2 3	^33 \'21
	P 43	■\'^il -<- -^11	■^^42 .«-■\'13	/y\'d)-»- ry\'(2) ■\'43 ^ \' 12

p\'IP	7X1)-)■ p\'d)	^ 12
	p\'(l)-> P\'d)		nn
	p\'(l) ->■ p (l) ^13 ^ 23	^ 13 -t-	ml) 33
	p\'(l)-> p\'(l) 1 -^33	p\'(2) ->■

	Y

\\	/^R X
/	\\