OVER DE POOLFIGUREN VAN
EENIGE CIRKELSTELSELS

W. ENKLAAR

-■.rv^-.

• \' à\' \'\'- ^^

; ; h î,

•■,^..>.1:\'■•»v.- ■ ;

■ Ta- .:\';.- <>»"\'

WYf "

s A-

y. " v:

.a-?

.............. . -

■v ^r

-v. v,::

OVER DE POOLFIGUREN VAN
EENIGE OIRKELSTELSELS

i1294 10471

OVER DE POOLFIGÜEEN VAN
EENIGE CIMELSTEL8ELS

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING
VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN
DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE
RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT, OP
GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS
Mr. J. C. NABER, HOOGLEERAAR IN DE
FACULTEIT DER RECHTSGELEERDHEID,
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT
DER UNIVERSITEIT, TEGEN DE BEDEN-
KINGEN VAN DE FACULTEIT DER WIS-
EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN
OP DONDERDAG 31 MEI 1923
\'S NAMIDDAGS 4 UUR, DOOR

WILLEM ENKLAAR

GEBOREN TE RUURLO

gedrukt bij de erven j. j. tul te zwolle

mm

f\'

W^M, mm

: .■-l-

... r^\'

i-.v •

AAN MIJNE OUDERS.
AAN MIJN VROUW.

;

V

. \' f-

•S-

Xi\'- : .--r\'--

s®

:

Gaarne maak ik van deze gelegenheid gebruik om U,
Hoogleeraren en Oud-Hoogleeraren in de Faculteit der Wis-
en Natuurkunde, mijn oprechten dank te betuigen voor het
onderwijs, dat ik van U genoten heb.

In mijn tegenwoordigcn werkkring wordt het mij steeds
meer duidelijk. Hooggeleerde Juuus, dat hot een groot voor-
recht voor mij was, eenige jaren als assistent onder Uwe
leiding tc mogen werken.

Hooggeleerde Ohnstein, ik zal U steeds dankbaar blijven
voor do hulpvaardigheid en Avelwillondhoid, dio Gij mij iiebt
bewezen.

Hooggeleerde Dk Vriks, Ilooggeachto Promotor, U ben ik
ton zeerste dankbaar ön voor Uw hooiend onderwijs ön voor
do hulp, dio Gij mij op zoo welwillende wijzo verleend hebt
bij do samenstelling van dit proefsciu\'ift.

V\'.

V

u\' \' y

-li- V

. \' r.

.. f
. i.

-•■/ri

INLEIDING.

Bcpnlliig van de polen van cen clrkeL

Als een cirkel gegeven is door de vergelijkingen:

a.2 ^ y2 4- _ 2Ax — 2By — 2CX i- D = O (B)

IC)

\\2)x qy rx — 8 = 0 (F),

kan men den bol, dio don gegeven cirkel tot grooton cirkel
heeft, vinden uit den bollenbundel:

/i -f 2 /l F = O, d.i.
a;2 _}. y2 ^ — 2(A — ^p) X — 2(B — Xq) y —

— 2[C — Xr) X [D — 2Xs) = Q [B\').

Do coördinaten van hot middelpunt van oen bol {B\') zijn:

= A- Xp,

rj\' =B—Xq,
3\' = C — Xr.

Zal nu do bol (B\') den cirkel {C) tot grooton cirkel hebben,
dan moet hot middelpunt van (Z^\') in hot vlak van (C), dus
in (F) liggen. D.w.z.:

p{A — Xp) -I- q{B - Xq) r{C-Xr) - s = O,

, vA qB
waaruit: X = ----\'■r.f^nfyi

Do vergelijking van den bol (^o), Srooten cirkel

hooft, is dus:

x» 4- X« - 2yla; -2% ~2Gx-\\- D

pi 4- qi 4-

Men .dndt nu de polen van cirkel (C), door de as van (C)
dus de loodlijn uit het m. p. van (B) op (F), te snjd^njuet

den bol (5o). Deze loodlijn wordt voorgesteld door: =

_ y — — z — C ^^ ^^g de polen van den

cirkel, voorgesteld door de vergelijkingen uit:

V - 2AX - 2BY-2CZ I>

2

X-A Y-B Z-C

HOOFDSTUK I.

De polen ran de cirkelvormige doorsneden eeiier
elliptische paraboloide.

§ 1. Zij do paraboloide gegeven door de vergelijking:

"^J^t^X (1), (a > ß).
a ß

Omdat de paraboloide symnietrisch is ton opzichte van het
XX vlak cn van het yx vlak, kan mon a priori cirkels op
haar oppervlak verwachten, dio

óf symmetrisch zijn t.o.v. het a;;i;.vlak en in twee, t.o.v. het
yx vlak symmetrischo, groepen voorkomen,

óf symmetrisch zijn to.v. het // x vlak on in twee, t.o.v. hot
XX vlak symmetrische, groepen voorkomen.

Cirkels, die symmetrisch zijn to.v. beide genoemdo vlakken
en dus loodrecht op do as der paraboloide staan, kunnen niet
voorkomen, omdat vlakken, loodrecht op do as, olliptischo
doorsneden geven.

Wanneer a> ß heeft men, zooals blijken zal, do laatst-
genoemdo groop cirkels op het oppervlak.

§ 2. Om deze to vindon, snijden wo do paraboloide mot
een bol, dio zijn middelpunt hooft op do ;r-as:

4. D = 0 (2).

Ii]liminatio van a; tussehen do vorg. (1) en (2) geeft als
yx projectie dor doorsnedo:

wat men schrijven kan in den vorm:

a 2C —

J-\'

ilen kan deze vergelijking ook opvatten als die van een
hyperbolischen cylinder, welke gaat door de doorsnede van
paraboloide en bol. Is nu

dan ontaardt deze cylinder in 2 platte vlakken:

welke met den bol

• / a\\ 2

2 C — ^ =0, (4)

en dus ook met de paraboloide, cirkelvormige doorsneden
geven.

De vlakken (3) zijn dus de cyclische vlakken van do para-
boloide en de cirkelvormige dooreneden worden gegeven door:

I -f _ 2 C^ ( C— I) =0,

De polen der cirkels

xi iß ^ x"^ — 2 C X

\\fi-ly C-l=(i,

•worden gegeven door:

Z-C

— 1

1

n.

\\ iJ /

r-Z-^-i-C =0;

die der cirkels

door:

X = O,
Y

4- 72 _ 2 c Z (c — ^ j

P

De nieetkimdige plaats der polen bestaat dus uit 2 vlakke
krommen, gelegen in het vlak y o x. Eliminatie van C uit II
opv. III geeft voor deze krommen: ^

(II) A\' = O, [Y - y^rp^^y = {a-^)[z-

(UI) A\' = O, (F Va^-^»)« = [Z--—)•

Dit zijn 2 parabolen met lussen evenwijdig aan do ;ï-as. De
top van (II) is over een afsbuid verschoven in do

richting y , over een afstand in de richting de

top van (III) over oven groote afsbuidon resp. in do richting

y- on x .

S 3. Dat de vlakken (3) de eenige cyclische vlakken zijn,

blijkt, als mon tussehen do vergclükingcn:
^ =

en    (2),

dc y elimineei-t:

Dit is, als D< [c — een eUips. YoovJ)— (c—
ontaardt deze ellips in een imaginair lijnenpaar met reëel
snijpunt x = Ot — De boUenreeksen

aV

en  y\' — 2 Cz (^C - ^J = O

hebben één exemplaar gemeen: voor C = ^ •

§ 4. De doorsnede van de paraboloide met het vlak
a; O levert:

(I) y\' =

een parabool, die de v/-as in O raakt en de lijn ox tot as
heeft De krommen (11) en (III), die in \'t algemeen een anderen
parameter (a —hebben dan (I), hebben een top en as, die
ten opzichte van dio van (I) vei-schoven zijn, synnnetrisch to.v.
ox. Wat deze verschuiving in de ar-richting betreft moet men

3 gevallen onderscheiden, n.1. dat

>

Denkt men zich /? constant en a veranderlijk en to beginnen
met een waarde, weinig meer dan dio van dan is — ~
(a — /3) bijna O, dus de verplaatsing naar rechts, resp. links,
van (II) en (III), gering. Dc verplaatsing in de andere richting

bedraagt naar dus ^^^ " naar dat is iets

minder dan Daar a — /3 weinig van O voi"schilt, zijn de

parabolen (II) cn (III) snud vergeleken bij (I). (Voor a = ^ is
de paraboloide eon omwcntclingspar\'\'\'o cn do «-as do gezochte
meetkundige plaats.)

Groeit a aan, dan komen (II) en (III) vorder van do :t-as
af cn hooger en zij worden breoder. Is a = 2 geworden, dan
hebben (II) en (III) de verg. (als voortiuui allo verand. met
kleine letter woorden aangeduid):

Dus (ü) en (III) zijn congruent met (I), raken de y-as en zijn
over een afstand ^ naar rechts, resp. links, verschoven.

Neemt a verder toe, dan zullen (II) en (III) zich verder
van de x-as verwijderen, breeder worden en raken aan een
lijn, // ?/-as loopende, boven O.

In de figuur (fig. 1) is gekozen: a=:rlOO; ^ = 90, zoodat
a < 2 De kromme (I) wordt dan

de krommen {Tl) en (Hl): (y ± 30)^= 10(x 20).

§ 5. De vergelijking van de boUen (4), welke met do para-
boloide cirkelvormige dooreneden goven, kan men schrijven
in den vorm:

(4)

Hieruit blijkt, dat dezo bol reëel is, jds Yoov C=j

is do straal van den bol O, zoodat er van een reöelo door-
snijding nog geen sprake is. Wat is nu de kleinste waarde
van (7, wmuToor do bol (4) cen rcëelo dooi-snijding geeft?

Daar, wegens de symmotric, hetgeen voor (H) ton opzichte
van (I) geldt, ook geldt voor (III) ten opzichte van (I), is het
voldoende, alleen op bijv. (1) on (II) to letten.
Voor de krommo (H) gelden do verg. 11:

= O, _

y = -{x.-C) 1/^-1,

3.2 2/s — 2  (c- — 1) —

Eliminatie van y uit deze verg. geeft, beludve a:=:0:

Deze vergelijking geeft, na snbst van zekere waarde vmi
C, de ^-coörd. der bijbehoorende cirkelpolen (gelogen op do
kromme (U)). Zullen deze reëel zijn, dan moet

CA >

of

of, daar > 0:

Voor C= " ^ krijgt de bol (4) de verg.:

" = "-i. (6)

Het gelijk zijn van de wortels der vergelijking (5) beteekent
niet, dat de bijbehoorende cirkelpolen liggen op een lijn, even-
wijdig aan de //-as, omdat de paraboloide geen cirkels bevat,
welker vlak evenwijdig met baar as is, maar dat de bijbehoorende
polen samenvallen en dus polen zijn van een pnntcirkel.

De bol (6) bepaalt dus op do paraboloide 2 puntcirkels I\\
en J\\ (de verg. Hl voeren n.l. tot dezelfde, verg. (5)), met coörd.:

lx = O

y = \\ ^^^ = U § - f}-^

X =

De paraboloide en do bol hebben clan ook in I\\ het raakvlak

a-fi

-/ = »

in het punt I\\ het raakvlak

gemeen.

§ 6. Dc kronmien (I) on (11) snijden elkaar in:
x = 0 / Xj = O

de krommen (I) en (III) in:

\'a; = O

Uß-

_a-ß

\'x = 0

ja 2ß)^aß-ß^
2{a-2ß)
_{a-ß){a 2ßy

\\ 4{a-2pr \'

Is a < 2/3, dan liggen de punten Pj en Ai rechts van de
x-as, P2 en A^ links van de ^-as.
Is a = 2 dan worden de coörd.:

(.=0 = " ,, (.=0

^ x — <x>

Dc punten Ai on A^ liggen dan in het oneindige en wel,

daar - van do orde \\ is, op do x-as. Dit komt overeen met

?/ O

hetgeen boven opgemerkt is, dat in dit geval do krommen (II)

on (IM) kunnen wordon gevonden door oen translatie van (I)
// y-a.s.

Is a>2ß dan ligt I\\ rechts, Ay links van do sr-as; J^
links, A^ rechts van de x-i\\s.

§ 7. üe vergelijkingen II van S •\'> go^\'o" bij elkaar
beiiooronde cirkelpolon als de snijpunten van do cirkelas met
don bol, die den cirkel als grooten cirkel heeft üo cirkolassen
vormen oen bundel evenwijdige rechten, bhjkcns verg. II,
gelegen in het i/x vlak, do cirkelpolon worden op deze assen
bepaald door de in het i/x vlak gelogen cirkelverzamoling:

(^ «V

„2 — G — Ty —

W\'at men schrijven kan:

•(7)

(// - i -

Dit stolsel heeft den index twee. Substitueert men nl. do
coördinaten van oon willekeurig punt in de verg. (7) dan

verkrijgt men een vierkantsvergelgking in C. De cirkels, behoorende
bij de waarden van C, die aan deze vergelijking voldoen, gaan
door het punt

Een cirkel uit deze verzameling is óók een groote cirkel
van den bijbehoorenden bol uit II en wel een, welks vlak
(samenvallende met het y^^-vlak) loodrecht staat op het vlak
van de bijbehoorende cyclische doorsnede van de paraboloide.
Zooals men ziet hebben de cirkels (7) tot m. pl. hunner mid-
delpunten de Hjn

y = i

dat is de lijn door P^ // »-as, de middellijn P^ Q^ van de
parabool (11).

a B

De cirkel (7) gaat voor C = —over in een puntcirkel:

I O

het punt Py —^^ is, zooals boven ook reeds opgemerkt

is, de kleinste waarde van C welke bestaanbare, (hier samen-
vallende) polen geeft.

Een cirkelas, b.v. K^ K^^ snijdt den bijbehoorenden cirkel M
uit (7) in 2 punten, welke op do kromme (II) gelegen zijn.
Trekt men nu in cirkel M eon middellijn ± K^ /ij, dan is
deze lijn de snijlijn van het vlak van do bijbehoorende cyclische
doorsnede met het vlak yox. De snijpunten L, en L^ van
deze lijn met de parabool (I) zijn de in het //a:-vlak gelogen
punten der cyclische doorsnede en dus is ML^ = MK^ =
MLi = MK-i, d.w.z. de cirkel M gaat door Li en L^,

Wanneer nu 31 loopt langs Pi Q^ verschuiven Jv\'i K^ en
Li Lj evenwijdig, waarbij A\\ cn K^ over (II), L, on L^ over (I)
loopcn en hun afstanden tot M blijven onderling gelijk. De
lijn OT, die door P^ Q^^ middendoor gedoeld wordt, behoort
tot het stelsel koorden van (II), welko///ii/ij zijn. Zoo behoort
OT\' tot het stelsel Li L.^ van (I). Do krommen (I) en (II)
hebben dan ook do middellijn P^ Q^ gemeen. Komt M in Pj,
dan vallen K^ en K^ op (II) samen in Pi, /fi iij wordt raaklijn
in Pl aan (II); L^ on L.^ vallen op (I) samen in Pj, LiL^
wordt raaklijn in P^ aan (I): de krommen (I) on (II) snijden
dus elkaar in Pj rechthoekig. Dit blijkt ook eonvouidig uit do
verg. van do raaklijnen in

(I): ia^ -

„ (II): Jr y a ^ -

Wat hier opgemerkt is omtrent de krommen (I) en (II),
geldt, wegens de symmetrie, ook voor (I) en (III).

De bol (4), welke behoort bij de door cirkel M bepaalde
waarde van C, heeft zijn middelpunt in liet snijpunt iS van
K^ Aj met de as o « der paraboloide. De cirkel, volgens welken
het vlak y o x dezen bol snijdt, gaat door Li, door L^ en door
li\'i en .Hl, de spiegelbeelden van Ly en L.^ t.o.v. de ;t-as. In
de vlakken, door Ly resp. Hy R^^ loodrecht op bet y ;ï-vlak
gebracht, liggen de cirkels, volgens- welke deze bol de para-
boloide snijdt. De polen van den 2°" cirkel zijn de spiegel-
beelden van A\'i en t.o.v. de ;t-as, gelegen op de kronnne (III).

8 8. Ten slotte kan nog opgemerkt worden, dat de krom-
men (I) en (11), wat haar eigenschappen betreft, verwisselbaar
zijn: Het punt M beweegt zich over een lijn, dio middellijn
is van beide parabolen, de cirkel M snijdt beide krommen in
de uiteinden eener middellijn. Dit doet vermoeden, dat, waar
(H) een gedeelte van de meetk. plaats van de polen dor cirkel-
vormige doorsneden eener paraboloide is, dio met het vlak
yox de doorenedo (I) heeft, (I) een gedeelte van de meetk.
plaats van de polen dor cirkelvormige dooi-snedcn eener para-
boloide is, die met het vlak yox de dooi-snedo (11) heeft
Zooals gebleken is behoort bij de paraboloide

a

die met het vlak yox de doorenedo

y\' = Px (I)

lieeft, als (gedeeltelijke) meetk. plaats van de polen dor cirkel-
vormige dooi-snedon:

in het vlak x = 0. A\'"erplaatst men nu den oorsprong van
het coörd. stelsel naar O\' door te stollen:

2 B — a

02. - ^ J--L-,

dan gaat de laatste verg. over in:

= {a X\', (8)

de voorlaatste in:

Men behoeft nu slechts te bepalen, welke waarde p moet
hebben in de verg.

— ^ (10)
p a — fi

om te maken, dat (9) de bij de paraboloide (10) behoorende
(gedeeltelijke) meetk. plaats is. Bij de paraboloide (10) behooren

als ni. plaats:

\\y\' ± =

p — 2 a 2 B\\
en voor p = a gaat een dezer verg. over in:

(,/ u^-n = (i(x - j\'

d. i. de vergelijking (9).

De oorspronkelijke paraboloide voldoet in ongeaccentueerde
coördinaten aan:

a (f

de nieuwe paraboloide in geaccentueerde aan:
- =

a a — p

{Opm. In do figuur ligt (II) lager dan (1), omdat « < 2 /?.
Nu ligt (I) hooger dan (II), dus moot a > 2 (a — /?). Dit is
inderdaad het goval, als a < 2 fi.)

Drukt men nu alles in ongeacc. coördinaten uit, dan vol-
doet do oorspronkelijke paraboloide aan:

de beide nieuwe (beide, want wat voor (II) geldt, geldt ook
voor (IH)) aan:

^^ , Cv  _, , 2/g-«

stelt men nu:

= y" = y -{■ ^^^^

y\' = y — ya^-p-\'; x" = z\'= z
dan gaan deze verg. over iu:

Bij de eerste dezer behoort nu de meetk. pl:

__L a — 2B\\

iy" ± = ^ —4— j\'

d.w.z., in ongeacc. coördinaten:

(// -f 2 Up— P\'Y = Pz en y\' = px.
Dus, bij do paraboloide, die (III) tot doorsnijding heeft mot
liet 7/;ï-vlak, beliooren als meetk. plaats do parabool (^ en een
een parabool, congruent met (1) en over een afstvnd 2 Yap — p*
in de richting y- verschoven, d.w.z. de symmetrie van (1)
to.v. o"x".

Bij de tweede dor verg. behoort als m. plaats:

of, in ongeacc. coördinaten:

y\'^ = px, en (// - 2 = P^\'

l).w.z. bij do paraboloide, die (II) tot doorsnijding met hot
//«-vlak heeft, bobooren als meetk. plaats de parabool (I) on
een parabool, congruent met (I) en over een afstand 2yap — p^
verschoven in do richting dus de synnnetrie van (I) to.

van o\'x\'. , ,

Zot men dit voort, dan vindt men, dat bij een paraboloide,

X» lu kfaP- P*f _ ^ nai
voorgesteld door ^ --f--

beliooren do parabolen, voorgesteld door:

1) i^JZZJ^Y ={a-P)[x

en

(11")\'

Bij de paraboloide, voorgesteld door:
^^^^^ ^ ^ ^n = .  ,eho„re„:

(12\') , /I , « _ «2 12

Hierin stellen k en / voor geheele, positieve of negatieve ge-
üdlen; k even, l oneven.

Men kan ook zeggen, dat de krommen, dio bij een zeker
exemplaar van (11) als meetkundige plaatsen behooren, go-
vonden worden, doordat men de oppen-lakken uit (12), waar-
voor l = k 1, snijdt met a; = O, en omgekeerd.

Of (met het oog op \'t geen in ^ ^ is medegedeeld)
neemt men naburige oppervlakken uit do reeksen (11) en (12)
(waarvoor b.v. k = 2 j)^ I = 2]) -f 1), dan besbiat er een
stelsel bollen, waan\'an elk exemplaar elk dezer paraboloidon
snijdt volgens een gi\'ooton cirkel, zoo, dat de vlakken dezor
grooto cirkels loodrecht op elkaar on loodrociit op het vlak
a; = O staan en do meetkundige plaats van de polen dor
cirkels, die door do bollen op 66n dor paraboloiden worden
uitgesneden, is do doorsnijding van de andere paraboloide mot
het vlak a; = 0.

HOOFDSTUK IL

Dc polen yan de eirkelvoniilge doorsneden eener
ellipsoïde.

§ 1. De ellipsoido worde voorgesteld door do vergelijking:

• ^ c^ - ^^

in do onderstelling, dat a > b > c is.

Dozo drioassigo ellipsoido is synnubtrisch ten opzichte van
do coördinaat\\dakken. Do cyclische dooi-snoden kunnen hij dit
oppen-lak niet loodrecht op oen der lussen staan; zij vormen
tweo stelsels van cirkels, dio synnnetrisch liggen ten opzichte
van oen dor symmotrievlakken van het oppervlak.

Een vlak door do .x-as snijdt do ellipsoido volgons oen ellips,
waarvan do oono as a is on do andere, afhankelijk van don
stand van hot vlak, oon waarde tusschen h on c, dus steeds
kleiner dan n. Een dcrgelijko doorsnede kan geen cirkel zijn.

Eon vlak door do x-as snu\'dt het oppervlak volgons oen
ellips, dio C tot oono as hooft en tot andore eon waardo
tussehon h cn a, dus steeds grooter dan c. Ook zoo\'n vlak
lovort nooit ccn cirkelvormigo doorsnede.

Een vlak door do //-as echter snijdt volgons eon ellips, dio
l> tot oono as hooft en oen waardo tusschen a on c tot andoro.
Dit vlak kan dus zoo geplaatst worden, dat do erin gelegen
ellips golijko assen hooft, d.w.z. oen cirkel is. Do andere
cyclischo doorsneden liggen in vlakken, evenwijdig mot hot
zoo juist genoemde, dus loodrecht op hot vlak xox.

§ 2. Do bol

ƒ 4- - 2Cx D = 0,

die zijn het middelpunt op de heeft, heeft met de ellipsoide
een doorsnede, welker projectie op het vlak zox io\\. verge-
lijking heeft:

_ 1^2 — 2Cx -{- b^ D = O,

C -\'

= - i)

— c^J

Men kan dit opvatten als de vergelijking van een hyper-
bolischen cylinder, welke gaat door de doorsnede van ellipsoide
en bol.

dan ontaardt de hyperbolische cylinder in 2 platte vlakken:

welke gaan door de dooi-sncde van bol en ellipsoide, cn op
de laatste dus cirkels bepalen.
De vergelijkingen

ic^n-i \\

2Cx - (i^ 4- = O

bepalen dus de beide stellen van cyclische doorsneden op de
ellipsoide.

De polen der cirkels

U r\' 4- - 2(7;t - [h^ = O

± Va2 _ X — ± Yï^

a c

worden gegeven door:

/ c^C^

(I X — - — Z —

(a2 — Vö^ _ c2

= O

aX dZ-C)

\\ F=0,
of:

g - C-» A P -
\\ 7=0.

Eliniinatio van C voort tot oen verg. in X en

c^) ^ 4 " Al

of:

Z® = 1

mot Y = 0.

Do polen dor cirkels

/ c» CM .

» f  p^j - O

, __r C

worden aangewezen door:

(«2 _ c2) — C2 a2 —C2 \'

, , c2 ia? c2)

g _ c(Z—C)
— — \'

Dit geeft na eliminatie van C de verg.:

c^ ^^ __

(ni) _ c-2) («2 _ 62) - _ (^2 _ ^2) ^^^ ^

^ («2 _ c2) (i2 — c2) ^ —

met 7=0,

een vergelijking, welke van de vorige slechts verschilt in liet
teeken van den gemengden term.

De meetkundige plaats van de polen der cyclische door-
sneden hestiat dus uit 2 vlakke krommen, gelegen in het
vlak van de grootste en kleinste as der ellipsoïde.

§ 3. Dc vergelijking (II) is de voorstelling van een kegel-
snede, waarvan men onmiddellijk kan opmerken, dat het ccn
ellips is, omdat op een ellipsoide geen cirkels met oneindig
grooten straal en in het oneindige gelegen polen voorkomen.

De ellips (II) heeft den oorsprong tot middelpunt, want,
als Xq en Zq aan haar vergelijking voldoen, zullen ook — A\'o
en — Zy er aan voldoen. Do assen der ellips zijn gedraaid
ten opzichte van de coördinaatassen.
Schrijft men do verg. als

pX\' 2q XZ ^ rZ-\'=\\ (2)

en subst

(= X\' cos q) — Z\' sin 9?
f Z = X\' sin (p-\\- Z\' cos (p

dan gaat verg. (2) over in

(p cos2 4- sin 2 -I- r sin2 93) A"^ -f (— p sin 2 (p -f
-{- 2 (/ cos 2 93 -f r sin 2 93) X Z\' -f sin® 93 —
— sin 2 9) -f r cos» 93) Z\'^ = 1.

Voor de waarde (po^ welke voldoet aan:

— p sin 2(pn 2q cos 29^0 sin 2<Po = O

V —

ontstaat de verg.:

(3). {p cos Vo 4- 7 sin 29?o r sin Vo) ^

-f {p sin Vo — Q sin 2(po ^ cos Vo) = 1.

Substitueert men voor <7 en r hunne waarden, dan vindt

men:

Is 2 > a^ ^ï, dan vindt men voor 2 (po een hoek in het
eerste cn een hoek in het derde kwadrant; is 2 h^ < a? c^,
dan vindt men voor 2<Po een hoek in het 2o cn een in het
•Ie kwadrant, dus voor wnarden, van welke in b^\'de ge-
vallen er een scherp is.

Denkt men zich deze gekozen, dan gaat do verg. (3) over in:

^ (2 h-i—_ c\'(a\' 

~ 2 (a® — /j\'l {h^ — f®) (a\' —

2 _ 1,1) — c\') (a-i — r®)

Kan dozo ellips een cirkel zijn? Daarvoor is blijkbaar noodig,
dat do vorm onder het wortclteekon verdwijnt. Deze vorm is
een som van 2 positieve termen, dus zou

2_ - c« = c^)= Ö
ön bijv.: — = O

moeten zijn, \'t welk voeren zou tot a=:h = (\'.

Bij oon drioassigo ellipsoido is hot dus niet mogelyk, dat
cirkels als m. pl. dor polen optreden.

S 4. De vergclyking (IU) is do vooi-stelling van een ellips,
congruent mot (II), maar in andoro richting gcdraaul ten op-
zichte van ox. Do verg. kan geschreven worden als

pX\'-2qXZ r = 1.

Substitueert men weer X = X\'cos (p— Z\'wi(p\\ Z= A\'sintp
-j- Z\' cos (p, dan verdwijnt de term met X\' Z\' voor een waarde 93\'
van 93, welke voldoet aan:

tg2<p\' = - =

Hieraan voldoet steeds ^

93\' = — 9?o.

Het blijkt dus, dat de ellipsen, waaruit de meetkundige
plaats der polen bestaat, assen hebben, welke uit de as 0 cc
ontstaan door een draaiing over een hoek cp^ naar weerskanten.
De assen der ellipsen onderling maken een iioek, gegeven door

4 a c V(a2 — 62) (i^ _ c")

2 9^0 = are tg

(a« c") — {a? -f c2)i

§ 5. De verg. H van ^ 2 bepalen een polenpaar als de
snijpunten van den bol, die den bij de polen belioorenden
cirkel tot grooten cirkel heeft, met de as van den cirkel.
De bol heeft een verg., welke geschreven kan wordon als:

(„2 _ yb2 _ c2 )

___j

( (a2 — c») (6» — c\'))

Do cirkelas wordt voorgesteld door:

a _ c2 A\' c Va2 — b\'^ Z = c ^^iT^T^ 0.
7=0.

Men kan dit weer ojivatten als een verzameling cirkels on
oen schaar evenwijdige rechten, dio aan elkaar zijn toegevoegd,
gelogen in het vlak xox en waarvan twee bij elkaar behooronde
exemplaren telkens een polenpaar bepalen:

m I Y j; /

- ( (a2_c2)
(5) a iU\' — c\' X c — b^ Z = c Vrt^ — a

Opjn. Dit stelsel van cirkels heeft den index 2. Substitueert
men de coörd, X en Z van een Avillekeurig punt van het
vlak xox\'m de cirkelvergelijking, dan ontstaat n.l. een vierkants-
vergelijking in C. Door het punt gaan dus 2 cirkels.

De cirkel (4) is een pnntcirkel voor:

C=±- V(a2 — c\') (b^ — c\').
c

Voor waarden van C, gelegen tussehen deze, stelt (4) een
reëelen cirkel voor.

§ G. Laat in de figuur (fig. 2), welke voor een bijzonder
geval ix.o.) geconstrueerd is, doch wel als model voor het
algemeene kan dienen, cirkel ^f een der cirkels (4) zijn. De
bijbehoorende rechte (5) is een rechte door 31, welke den
cirkel in 2 punten en A\', (een polenpaar) van de meet- ^
kundige i)laats snijdt. Do cyclische dooi-snede van de ellipsoïde,
welker polen A\', en K, zijn, is do doorsnijding van het vlak
door M loodrecht op K\\K\\ gebracht, met den bol, die cirkel
.1/ tot grooten cirkel heeft Trekt men nu de lijn door .1/
loodrecht op A\\ K, dan zijn de snijpunten L, en L, van deze
lijn met cirkol do snijpunten van de cyclische dooi-snedo
n\'iet cirkel M en met de kromme (l), de dooi-snedo van do
ellipsoide met het vlak De punten L, en L, zijn dus

snijpunten van cirkel M met de kromme (I).

Als nu verandert tussehen do bovengenoemde grenzen
verplaatsen do punten en A", zich zoo over de kromme (I ,
dat de rechte h\\ h\\ een bundel evenwijdige stralen beschryft
Het midden M van K, K\\ beweegt daarbij over een middolhjn
van (II), welker vergelijking men vindt, door tussehen de
uitdrukkingen voor dc coördinaten van M\\

^ - (a» _ c^) «

do grootheid C te eliminceren. De vergelijking is:

, ^ -f- a 3 = 0.

De coördinaten van de puntcirkels P^ en P^ zijn:
a Ya^ — b^ l a^a^ — b^
Va2 _ y~ Va2 — c«

Pi , ,_ - , __

Beide stellen coördinaten voldoen aan de vergelijking der
kromme (II) en aan die der kromme (I):

% t = m

Bij de beweging van M langs Py P^ beschrijft ook L^ Lj,
welke steeds in M loodrecht op Z, K^ staat, een bundel even-
wijdige stralen. De bijbehoorende cirkel M gaat steeds door
de 4 punten Zj, Li, TTj, L^. M is steeds het midden ook van
Li Lg, zoodat Pj P^ ook middellijn is van de kromme (I).

Wanneer Ky en K^ in P^ (P^) samenvallen op (II), dan
vallen L^ en L^ samen in Pj {P^) op (I) en dc ellipsen snijden
elkaar in P^ en Pj rechthoekig. Dit blijkt ook uit de verge-
lijkingen der raaklijnen, in I\\ bijv.:

aan I: — c — b^ a; a Yb^ — c^ z = nc Ka^ — c»,
„ II: a yb^ — c2 X c ya^ — b\'^ x =

= }/(a2 — [U\' — c») (n2 — pï).

De verg. III stellen een ellips voor, welke de symmetrie is
van (II) ten opzichte van de lus ox. Do punten Pg en P^, de
spiegelbeelden van P^ en zijn de puntcirkels van de bij-
behoorende cirkelverzameling.

§ 7. De bol uit de verzameling

x2 -j- ^2 _ 2 = ^2

f,2 _g2

welke op de ellipsoide o.a. den cirkel bepaalt, welks polen
Ky en Aj zijn, heeft zijn middelpunt op ox en op do lijn
Ky ÜQ, de as van de cirkelvormige dooi-snede, dus in 5. Een
der door dezen bol bepaalde cyclische dooi-sneden is do cirkel,
die Li 1/2 tot middellijn heeft on welks vlak loodrecht vlak
xox staat, de andere is een cirkel, die de lijn L, L^ (L3 en L^

zijn de spiegelbeelden van Ly opv. L^ to.v. o x) tot middellijn
heeft en welks vlak loodrecht op het vlak xox staat.

Voor (7 zzr — - V(a2 — c^) Ib^ — c^) snijdt de bol (6) op
c

de ellipsoide de puntcirkels P^ (op de kromme (ü) gelegen) en
Pg (op (111) gelegen) in, deze bol raakt de ellipsoide in de ge-
noemde punten. Zijn vergelijking is:

yi y(a2_c2) (62—"^ Z = ü^ b^ — cK

c

Het raakvlak in P^ bijv. aan beide oppervlakken wordt voor-
gesteld door:

_ c Va« — b\' X a — c^ x = a c Ya^ — c^.

Het middelpunt van dezen bol is het punt T, waar de raak-
lijn in P, aan do kromme (II) (de verbindingslijn der samen-
gevallen punten A"), do ;?-as snijdt.

S 8. Wat do beweging der punten K, L en M betreft bij
verandering van Q zijn de kronnnen (I) on (II) bij do ellipsoide,
ovonals bij do paraboloide, verwisselbaar. In aansluitmg hier-
nieo kan ook hier bewezen worden, dat do kronnno (I) oen
gedeelte is van do meetkundige plaats van de polen der
cyclische dooi-snoden eener ellipsoido, dio hot vlak xox snijdt

volgens do kronnno (II).

Om dit aan to toonen op do wijze, waarop het bij do be-
handeling der i)araboIoidü bewezen is, zou men uit mooton
gaan van de ellipsoido

2 („» _ b\') (b\' — c\') (a\' — r.\')

yi

Mon zou vervolgens op do bovon besproken wijze uit deze
vergelijking mooton afleiden dio van do meetkundige plaats
van do polen dor cyclischo dooi-snedon dezer ellipsoido (dio
liet vlak xoz snijdt volgons kromme (II)), en n,igaan, welke

waarde q moet hebben opdat de vergelijking van een gedeelte
der meetkundige plaats identiek worde met die der kromme (I),
wanneer men deze onderworpen heeft aan de transformatie
van de ongeaccentueerde naar de geaccentueerde assen. Het
bestaan van een dergehjke waarde van q zou n.1. de bewuste
betrekking aantoonen.

Het bewijs kan echter ook zeer eenvoudig geleverd worden:
De punten iC, en K^ zijn de polen van cirkel L.^ (loodi-echt
op \'t vlak X O z\\ die, als M loopt van P^ naar Pg, de oorspron-
kelijke eUipsoide beschrijft. ]\\ren kan echter ook L^ en L^
beschouwen als polen van den cirkel K^ K^i een grooten cirkel
van denzelfden bol iV, ook loodrecht staande op \'t vlak xox.
Wat is nu, als M van P^ naar P^ loopt, het door den cirkel
iTi K^ beschreven oppervlak ?

De cirkel K^ K^ is de doorsnede van den bol M met het
vlak door K^ K^ loodrecht op het vlak xox. Hij wordt dus
voorgesteld door:

2 « c — 62 _ , 2 c2 „ ,

XÏ J_ „2 4-^2--, Cx H--Cx -f-

^ \'> ^ („2 _ c») V/;2 — C2 ^ «2 _ c2

C2 (a2 -f C2)

-r („2 _ c2) (i2 _ c2) ^
a )//;2 _ c2 x c ia\' — X = c C Ka\'^ — IA

Het door den cirkel h\\ K^ beschreven oppervlak vindt mon,
door hiertusschen C to elimineeren. Het resultaat is do ver-
gelijking:

^ /.2 ^ Ini _ /.21 Ih-i __\'

(a2 — c«) (fl2 _ Ij2) \' iji ^ (a^— c2) — c\')

Aacxx

(«2 _ c2) V(a2"— b^) (b^ — c) ~ ^^^

Dit is inderdaad de vergelijking van een ellipsoide, welke
het vlak xox snijdt volgens do kromme (II). Do in dc »/-richting
gelegen as dezer ellipsoide is (do hierboven .mot q aange-
duide grootheid blijkbaar), welko dus even groot is als do
overeenkomstige as der oorspronkelijke ellipsoide. Uit de wijze,
waarop de door de verg. (7) voorgestelde ellipsoide ontstaat.

blijkt onmiddellijk, dat de ellips (I) de meetkundige plaats is
van de polen van een reeks der cyclische doorsneden. De
meetkundige plaats van de polen der andere cyclische door-
sneden van (7) is een ellips, congruent met (I) en symmetrisch
met deze gelegen ten opzichte van de assen van (II).

Verder bestaat er een ellipsoide, congruent met (7), welke
de ellips (III) als doorenede met het vlak xoz heeft De bij
deze ellipsoide behoorende meetkundige plaats bestoat uit (I)
en een ellips, congruent met (I) en symmetrisch met deze
gelegen ten opzichte van de assen van (111).

Zet men dit voort, dan vindt men twee reeksen ellipsoiden
en twee reeksen ellipsen als dooi-sneden daarvan met het
vlak xoz. De golijknaniige assen van twee opvolgende exem-
plaren uit een reeks maken hoeken 29^0 met elkaar. Bij de
ellipsoide, die een ellips van een der reeksen als doorenede
met het vlak xoz heeft, behooren jUs meetkundige plaats der
polen do ellipsen uit do andere reeks, welker assen hoeken cpo
niakon mot dio dor dooi-snijdingscllips.

Is 2<p^ met 3G0° onderiing meetbaar, dan vindt men eindige
reeksen ellipsoiden (cn ellipsen), zijn cn 360° onderiing
onmeetbaar, dan vindt men oneindig voortloopondo reeksen.

S S). Do figuur is goteokond in do op blz. 27 niot genoemde
ondoi-stelling, dat

2 = «2 c2.

Dan is ig2(p = oo, 2 9) = flO°, dus

9, = 45°.

Men Iiooft dan verder:

-

— = h^ — C2 = ---

Do V-as der ellip.soide hangt dan op bepaalde wijzo van do
a:- en do ;;-ius af: haar vierkant is het rekenkundig gomiddoldo
van do vierkanten der andore.

Do vergelijking der ellipsoide wordt dan:

a2 ^ rt» c\' C-

De vergelijking van de bollen (6), die op de ellipsoide de
cirkels uitsnijden, gaat over in

, 2 c2 O
De cirkels -worden op deze bollen bepaald door de vlakken

en

cx 4- ax —--5-

De polen worden bepaald door:

_ g» c»

Y=0

_ aX 4- cZ
en door:

_g* 4- c»

7=0

— aX -{- cZ
c

Deze stellen geven bij do eliminatie van C:

c^) ■ 8gc v ■ 2(a\' c\')
- c\'Y ± (a\'-cY ^ (a\' - Cy ~
7=0.

Do vergelijking mot positieven coëfficiënt van XZ komt
overeen mot de ellips (II) in de figuur.

De vergelijkingen van do verzamelingen cirkels on rechten,
dio (II) voortbrengen, worden:

7 V c\'C 2c« CM

g^-c\'/\' " 2 r (a\'-cTi

7=0.
[a X cZ=c a

De waarden van C, welke puntcirkels geven, zijn:

de middelpimtscoördinaten der cirkels van het stelsel:

De middelpunten liggen op de rechte P^Pg:

d-f a3 = 0.
De coördinaten van de puntcirkels zijn:

In het algemeene geval wordt de afstand d^ van O tot een
der puntcirkels gegeven door:

= f f = „» - c\'.

§ 10. De hoek ©o, dien de voei-straal lüt O naar een
puntcirkel met de as maakt, volgt uit:

^ — c\') c»

De hoek B^ tusschen oa; en den voerstraal uit O, die een
lengte b heeft, volgt uit:

De waarden van ©o cn 0„ die hieraan voldoen, zijn in het
idgenieen verschillend, zij zijn gelijk voor het geval

— r\'\' _ (^jzJH

at —b\'^J^? \'

of

=

liet bij de constructie der figuur onderstelde.
Dit volgt ook daaruit, dat hier

n^ 4- c\'\'^ ,,

dus de voorstraal naar een pnntcirkel tevens de voorstraal is,
welke gelijk is aan de 7/-as der ellipsoide.

Hieruit volgt nu, dat in de figuur P^P^ en toegevoegde
middeUijnen zijn der ellips (I). Waat de vlakken door P^P^
en door de raaklijn in P^ aan (I) loodrecht op het vlak xoy
zijn cyclische vlakken van dezelfde reeks, dus evenwijdig.
Dus zijn ook hun snijüjnen met het vlak yiox evenwijdig,
d.w.z. de middellijn P3P4 is evenwijdig met de raaklijn in het
uiteinde Pi van de middeUijn P^P^.

§ 11. Wat andere kwadratische oppervlakken betreft, kan
•men opmerken, dat de resultaten bij de hyperboloiden analoog
zijn aan de bij de ellipsoide gevondene. Bij de eenbladige
hyperboloide ontbreken de puntcirkels, omdat elk raakvlak de
hyperboloide volgens twee rechten snijdt.

Op de hyperbolische paraboloide komen geen cirkels voor.

HOOFDSTUK HL

Dc meetkundige plaats van de polen der cirkels, die dc
exemplaren van ecu vlakkeiibundel nlt een met
den vlakkenbundcl pro.jectlcvcii bollen-
bundel iiitsiiydeii.

§ 1. We beschouwen eeret:

Dc meetkundige plaats van dc polen der cirkeLs, die de
vlakken van ccn vlakkenbundcl op ccn bol uitsnijden (fig. 3, a—f).

Dc ooi-sprong van het coördinatenstelsel zij hot middelpunt
van den bol; do as van den vlakken bundel zij do lijn,
gegeven door

= O, // = k.

Dan is do vergelijking van den bol, als a zijn straal is:

x^i-  = O, (1)

die van den vlakken bundel:

y^Xx-k = 0. (2)

Do polen van 66n dor door do verg. (1) on (2) bepaalde
cirkels zijn gegeven door:

( A\'2 4- y^ 4. 4. (7 AZ-/C) = O

A = 0

Kliminatie van X hieruit geeft als vorgolyking van do moet-
l^undigo plaats dor polen dor cirkels:

iA- = 0.

((r^ 4. Zï) (4- - a\') -2kY(Y^-\\- Y) = 0. (3)

Deze vergelijking stelt voor een 4® graads kromme, gelegen
in het vlak yox., symmetrisch ten opzichte van de y-as.

De punten dezer kromme kunnen op eenvoudige wijze
constructief bepaald worden. Het vlak yox snijdt den bol
volgens een cirkel, die O tot middelpunt en a tot straal
heeft; het snijdt den vlakkenbundel volgens een waaier, die
zijn top heeft in het punt y, met coördinaten (0^ A;, 0). Snijdt
een der vlakken van den bundel het vlak yox volgens een
lijn, die den cirkel in A\' en snijdt, dan is A\'B\' de middel-
lijn van den cirkel, volgens welken het vlak den bol snijdt
De as van dien cirkel is de loodlijn OM\' uit O op A\'B\' neer-
gelaten en de polen van den cirkel zijn de punten van Oil/\',
welke op afstand M\'A\' = M\'B\' van M\' liggen.

De door de vergelijking (3) voorgestelde kromme heeft een
dubbelpunt in O. De snijding met z = 0 geeft (de toevoeging
X = 0 is weggelaten en voor do coörd. zijn kleine letters
gebruikt): ; ^^ ^ ^ ^^

x=0.

Als men nu onderstelt k> a (dus T buiten den cirkel), dan
hoeft de kromme alleen in O twee rcëolo punten mot de
//-as gemeen.

De dubbelpuntsraaklijnen zijn:

. ...
^ = ±y y- (4)

Ook meetkundig ziet mon gemakkelijk in, dat de kromme
2 keer door O gaat Trekt men n.1. uit T do lijnen TAB on
TCD zóo, dat do hoeken AOB en GOD recht zijn, dan
komt van elk der cirkels AB en CD van den bol eon der
polen in O terecht Een willekeurige rechto, door O getrokken,
heeft mot do kromme, behalve het dubbelpunt O, 2 buiten O
vallende punten gemeen, op do loodlijnon op TAB en TCD
zijn nu 3 der snijpunten met do kromme in O samen gevallen,
dozo lijnen zijn dus do dubbelpuntsraaklijnon. De lijn TAB
b.v. is daardoor bepaald, dat do afstand van O tot TB Va«!^ is.
De vergelijking dezer lijn is:

Die der loodlijn, uit O hierop neergelaten:

een der boven gevonden dubbelpuntsraaklijnen. Verder bewijst
men eenvoudig, dat de kromme in Q en 7?, de niet in O
gelegen polen der cirkels AB en CD^ loodrecht op OQ,
opv. OR, staat De driehoeken Oil\'A\', OMA, ONC enz.
hebben n.1. gelijke basis en tophoek; dan zal de gelijkbeenige
driehoek daaronder de grootste som der opstiande zijden
hebben. D.w.z.

OM MA =2 O Q is max., zoo ook OR.

Verder gaat de kromme door de snijpunten van den cirkel
met ox en zij raakt aan de stralen, getrokken uit O naar de
raakpunten van de raaklijnen uit T aan den cirkel; zij staat
dus in die raakpunten loodrecht op de raaklijnen.

Nadert het punt T tot den cirkel (de as van den vlakken-
bundel tot den bol), dan naderen de raakpunten van do raak-
lijnen uit T aan den cirkel tot E\\ do koorde A B luidert tot
den stand E T, ^ Y O Q wordt kleiner.

Als P in E ligt, dus voor k = a, wordt do vergelijking
der kromme:

(.V\' (.\'/\' -f — aï) — 2 a // {if x^\'— a y) = 0.

Men kan dit schrijven als:
{y^ — ay x\' — ax) {y^ — ay x.^ax) = O,

U aV . / ay 1 .JU «V ,

d.w.z. de \'f-graads krommo ontaardt in hot samenstel van 2
cirkels. De verg. (4) worden nu:

z = ± y,

dit komt overeen met don stand E F van A B in dit geval.

iMeetkundig: De meetkundige plaats van M\' is in dit geval
de cirkel, die OE tot middellijn heeft Jlen vindt het punt Q^^

door te nemen O Q^ = O M\' M\' E. De meetkundige
plaats van is dan de cirkelboog, die OE tot koorde en
^31=4:5° = ^ O FE tot hoek heeft. Een overeenkomstige
redeneering geldt voor de andere cirkelbogen.

Wanneer T in E gekomen is, heeft de kromme voor het
eerst 4 reëele snijpunten met de ^-as. Komt T binnen den
cirkel te liggen, is dus k < a, dan bhjft dit zoo. Deze punten
volgen uit:

y\' {y\' - a\') - 2 ky {y^ - ky) = 0.

y^ = 0,y = k± —

d.w.z. het dubbelpunt O en 2 punten, welke als polen be-
boeren bij den cirkel, welks vlak loodrecht op o?/ staat.

Wanneer k afneemt van a tot \\ a f2 beweegt een dezer
punten, IT, zich naar rechts, het andere, 7, naar links. II heeft
als y-coörd.:

yii =ik _

dy^j.

en < o, d.w.z. t/^ neemt toe bij afnemende /c, als
k^ > i al

Voor k = ^ a i 2 wordt yji = a Y2 = O Q = O R, dus
als k > i a dan is OH < O Q on O E.

Daar de kromme symmetrisch is ten opzichte van de ?/-as
en H en I enkelvoudige punten zijn, staat ze in deze punten
loodrecht op o y ; verder is OH een minimum, O I een
maximum voerstraal.

Uit yi=k — io? — k^

volgt: —- — 14- , " —> dus voor aUe waarden van /c,
d k yo? —

gelegen tussehen a en O positief. Bij afnemende k beweegt het

punt I zich voortdurend naar links.

Voor k =■ ^ a f2 wordt de vergelijking der kromme:

en de snijpunten met de ^-as worden bepaald door:
7/8 = O, y = a /2.
Het punt / is in O gekomen, de kromme heeft daar een

keerpunt, met o y als keerpuntsraaklijn. De koorden A B m
CD vallen hier samen in de koorde, in T loodrecht op o
getrokken; de punten Q en R liggen op oy samengevallen nietlT.
Stelt men

y =: p cos % z = P sin 93,
dan wordt de vergelijking:

— aY2 p cos cp — sin2 cp) — O,

of:

p\'^ z= O p\'^ — ai2 p cos (p — a^ sin V = 0.
De laatste vergehjking geeft voor de positieve waarde van:
a /2

p = ^ (cos n sin V)

cos (p _ ^

d(p 2 ^ \\

Yl sin V

Dit is negatief voor alle waarden van 93 < 180°, zoodat de
voerstraal uit O naar de punten der kromme getrokken,
steeds afneemt, als hij wentelt van OH in do richting oy^
naar oz .

Neemt k verder af, dan geeft de verg. (4) aan, dat O is
geworden een geïsoleerd dubbelpunt. De koorden en CD
bestaan niet meer: alle koorden zijn grooter dan aF^. Do
punten H on I naderen do uiteinden van de horizontale
middellijn van den cirkel. Verder is:

p — k cos 93 — k^ cos V

k

, — cos 93

dp . / - . a

— = /o sin 93 ( — 1 --—

cos 299

Dat dit negatief is voor waardon q> tusschen 90° en 180° blijkt
onmiddellijk. Nu is echter, als men ¥ = ^ a^ [1 — ó) stelt:

- cos (p . — ö cos (p,

CL

/l _ ^ cos i Vl (5 cos 93 als 93 < 90° is,

dus:

k

— cos Cp

a 1 — ^ ^ , , , dp ^
^-- = rr^ < 1\' «ok ^ < 0.

1---cos V

Men heeft dus ook hier weer, dat de voerstraal voortdurend
afneemt, als een punt zich langs de kromme van H over F
naar J beweegt; n.1. van k -f ia^ — k^ toi — kia? — A;2.

Is ten slotte T in O gekomen, als k = O, dan wordt de
vergelijking der kromme:

{y^ (7/2 ^2 _ ^2) _ O,

d.w.z. de kromme bestaat uit den cirkel OF en O als punt-
cirkel. Schuift T naar het oneindige, dan wordt de kromme
tenslotte samengedrongen op de x-as tusschen 2 punten,
welker ^-coördinaten zijn ai2.

§ 2. Men denke zich nu een vlakkenbundel en een bollen-
bundel, tusschen welker elementen een verwantschap een aan
een bestaat. Een vlak uit den eenen en de toegevoegde bol
uit den anderen bundel bepalen een cirkel. Wat is de meet-
kundige plaats van de polen van alle cirkels, die de projectieve
bundels bepalen?

Stel, dat de vlakkenbundel bepaald wordt door de vlakken:

{ax py = c (waarin a^ -f ^2 _ ^ gesteld mag worden)

( X = h^

dan is de vergelijking van den bundel:

ax py — c -{- l {x — h) = O
of: ax py i- Xx — {c Xh) = 0. (1)

De as van den vlakkenbundel is dus een rechte, evenwijdig
met het vlak x 0 y een afstand h \'daarvan.

Zonder nu te kort te doen aan de algemeenheid, wat betreft
de plaatsing van de twee bundels ten opzichte van elkaar,
mag men als centraal van den bollenbundel de a;-as kiezen
en \'t y 0 «-vlak als symmetrievlak.

In een bollenbundel zijn steeds de exemplaren twee aan
twee gelijk. Heeft men n.1. den bundel:

{x"^ y2 x^ — Ax—2 By — 2 Cz D) Pix\'

- 2 G\'x -f D\') O,

of:

-2{B P B\')y - 2{C p C\')z iP p B\') = O,
dan wordt de straal van een willekeurigen bol uit den bundel
gegeven door:

P2— ^T ^{B P B\'f Cy _ (1 (I) B\')

WTW ■

Dit geeft voor een bepaalde waarde van R twee waarden
van /j, d.w.z. twee (in \'t algemeen verschillende) bollen, welke
gelijken straal hebben. Het is dus geoorloofd, een bollenbundel
met behulp van twee gehjke exemplaren samen te stellen.
De eene bol zij:

_ 2AX D = 0,

de andere:

x^ y\'\' -{- 2 Ax D = O,
dan wordt de bundel voorgesteld door:
(1 -f p) ^ ^ x^) —2 A{1 — p)x [1 p) D = O,

a;2 2/2 _ 2 AX D 0.

mag ^ = A als parameter aangenomen worden,
1

want tusschen en A bestaat een lineair verband. De verge-
lijking van den bollenbundel wordt dan:

x-iz^ — 2kAx D = 0. (2)
Het cyclisch oppervlak, door de beide projectieve bundels
bepaald, dus voorgesteld door:

ax ßy — (c AÄ) = O

x^ y^ z^ — 2 X Ax D — O ^ ^^^
is een derdegraads oppervlak (03), zooals blijkt, wanneer men
A elimineert tusschen de verg. (3).

§ 3. Denkt men zich 6en bol van den bundel (2) gesneden
met alle vlakken van den vlakkenbundel, dan behoort bij de
hierdoor verkregen cirkels als meetkundige plaats der polen

een vlakke vierdegraads kromme ^^ van een der boven besproken
typen, al naar den afstand van het middelpunt van den bol
tot de as van den vlakken bundel, in verband met den straal
van den bol. Het vlak dier kromme gaat door het middelpunt
van den bol en staat loodrecht op de as van den vlakken-
bundel. Wordt deze bewerking toegepast op alle bollen van
den bundel (2), dan ontstaat een verzamehng van dergelijke
krommen Pi, gelegen in vlakken, welke evenwijdig zijn, omdat
zij aUe loodrecht staan op de as van den vlakkenbandel. Deze
krommen hebben als meetkundige plaats een vierdegraads
oppervlak de meetkundige plaats van de polen van de
tweevoudige oneindigheid van cirkels, die alle vlakken van
den vlakkenbundel met alle bollen van den boUenbundel
bepalen.

Elke p^ op dit oppervlak 04 draagt nu tot de gezochte meet-
kundige plaats pn 2 punten bij. Een p^ behoort n.l. bij een
bol uit den bollenbundel; hieraan wordt door de verwantschap
een vlak uit den vlakkenbundel toegevoegd. Bol en vlak be-
palen een cirkel, welke, als cirkel van den bol, zijn polen
heeft op p^ en ook op de as van den cirkel, dat is de lood-
hjn, uit het middelpunt van den bol op het vlak van den
cirkel neergelaten. Deze loodlijn ligt in het vlak van p^.
p^ heeft in* het middelpunt van den hol een dubbelpunt en
de beide andere snijpunten van de loodlijn met p^ zijn de bij
den op den bol gelegen cirkel behooreiide polen.

De kromme Pn is dus gelegen op a^ en wordt daarop uit-
gesneden door de loodlijnen, die men uit de middelpunten
der bollen op de bijbehoorende vlakken kan neerlaten. Deze
loodlijnen vormen een kwadratische regelschaar Oj, welke de
as van den bollenbundel tot richtlijn en een vlak, loodrecht
op de as van den vlakkenbundel tot richtvlak heeft.

De as van den bollenbundel, welke bij het opstellen der
vergelijkingen als «-as genomen is, is een dubbelrechte van
04. Elke p^ heeft n.l. een dubbelpunt op die lijn, zoodat het
oppervlak er met 2 bladen doorheen moet gaan. De regel-
schaar 02 l^evat ook de as van den bollenbundel als rechte.
De achtstegraads doorsnijding van de oppervlakken o^ en Oj
zal dus voor een gedeelte bestaan uit de dubbel te tellen

gemeenschappelijke rechte der beide oppervlakken, zoodat de
gezochte meetkundige plaats pn is een G\'-graads ruimtekromme p^,
de gedeeltelijke doorsnijding der opp. g^ en o^.

§ 4. Analytisch blijkt dit als volgt:

Een kromme p^ is de meetkundige plaats van de polen van
een stelsel van cirkels, bepaald door:

a a: iSv/ — = O I (4)
_[_ _ 21 Ax D = O )

als IX in de Ie vergehjking veranderlijk gedacht wordt.

De polen van één der door (4) voorgestelde cirkels volgen uit:

I X^ Y^ Z^ 2XAX D

X-XA_Y_Z
a — ^

p, wordt voorgesteld door de vergelijkingen, welke ontstaan
door eUminatie van /i uit de verg. (5). Uit de laatste gelijk-
heid van (5) volgt: ^

i" = y*

Substitutie hiervan in («) geeft, na herleiding:
(72 ^2^2) Y^ Z^— 2XAX D)-]r

2 {XaAY-cY-^hZ) [aXY ^Y\' -f

Un {hy.

^X — a Y— l^A.

Om nu de vergelijking van het oppervlak a^ te vinden
moet mon uit de verg. (6) X eUmineeren. Het resultaat is:

(7) (72 ^2^2) ^2 72 4- ^2 2^XY-\\- D) -{-

4- 2 [aXY -jY^-cY-§hz) X

X [aXY-^ =

De gevraagde meetkundige plaats wordt nu op dit oppervlak
uitgesneden door de regelschaar, welke men verkrijgt, door
uit het middelpunt van eiken bol een loodlijn neer te laten
op het aan dien bol toegevoegde vlak van den vlakkenbundel.
Dus uit het punt:

AA, O, O,

op het vlak

ax -i- Az — {Xh c) = 0.

De vergelijking van die lijn is:

X — XA _ F_ Z
a ~ /S ~ I\'

die van het regelvlak:

^XY— aY^ =z p^AZ (8)
De meetkundige plaats wordt dus voorgesteld door:

/(F2 -f (-  2jXY d] -f

^ P \'

(9)1 2 (^aXY-j Y^-cY-^hz) X

X F2 aXY-cY~ phZ) = 0
PXY— aY^ — PAZ,
voor zoover hiertoe niet behoort de a;-as.

Dat het. oppervlak o^ de a;-as tot dubbelrechte heeft, bhjkt,
als men de vergelijking (7) combineert met die van een
willekeurig vlak door de a;-as:

Z=:lcY. (10)

Eliminatie van Z uit de verg. (7) en (10) geeft als xy
projectie der snijkromme:

\'(1 7,2^2) JC2 (1 /c2) 72 2 « JC r j -f

(10a) I 2[aX-^jY-§hk-c)x

X {a A (1 -f F) Y ~ piik — c} Q
\\ 72 = O,
dus een kegelsnede en de dubbel te tellen a;-as.

§ 5. Dat de gezoehte meetkundige plaats een 6« graads
kromme is, blijkt ook uit het volgende.

De polen van een der cirkels uit de verzameHng worden
bepaald door de vergelijkingen:

72 — 2XAX D

(11) <( 1

^ — § — k-
De vergelijkingen (11) zijn, als X veranderlijk is, een voor-
stelling van de meetkundige plaats.

Uit de laatste der verg. (11) kan men oplossen:

X=%Y^XA (12i)
P

Z = ^ F. (12c)

P

Substitutie hiervan in de eerste der verg. (11) geeft voor Y:

y. I ^y§{XaA-Xh-c)

F^-f 2 Y-pqj-^^

(AM2 - D) (1 X"^) - 2 [XaA- Xh - ^ Q
— P (1 X\'f

X{-{XaA-Xh-c)±y{X^A^-D){l-\\-X:^)-{XaA-Xh-cf.

(12a)

Men kan nu de vergelijkingen (12) opvatten als een para-
metrische voorstelling der kromme met X als parameter. Om
den graad der kromme te vinden substitueert men in de
vergelijking van een willekeurig vlak:

PX^ QY^V = 0 (13)

eerst (12i) en (12c). Dit geeft:

i/^j Y-^rPXA -f T=Q.

Substitueert men daarna (12a), dan vindt men, na kwadra-
teering :

2 (Pa Qß ßaA — Ul — c)2 -j-

-j-2{Pa Qß-l-RX)(-XaA-^ Xh c) {T PXA) (1 X\')

- (Pa R^) - D) (1 ;i2) O, (14)

dus een 6® graads vergelijking in X, waarin de co-iffieient
van A® is:

De oplossing van de vergelijking (14) levert 6 waarden
voor X. Deze bepalen echter, in de vergelijkingen (12) gesub-
stitueerd, 12 punten. Maar elke waarde van X bepaalt slechts
één punt, dat in het vlak (13) gelegen is. Men kan n.1. de
vergelijking, waaraan voldaan moet worden, en die na kwa-
drateering de verg. (14) geeft, voorstellen door:

A = ±

Een waarde van X, die aan (14) voldoet, zal nu L^ gelijk
maken óf aan of aan — Vz^, hetgeen daarop neer-
komt, dat voor elk der 6 waarden van X één der waarden
van (12a) in aanmerking komt; dus hggen in het vlak (13)
6 snijpunten met de kromme.

Ook kan men opmerken, dat een bij zekere waarde van X
behoorend, door de vergelijkingen (12) bepaald, puntenpaar
gelegen is op een beschrijvende der schaar o.^. Nu gaat een
willekeurig vlak (13) niet door een dezer beschrijvenden, dus
zal van een door (12) bepaald puntenpaar, dat behoort bij
een aan (14) voldoende waarde van A, slechts één punt in
het vlak (13) liggen.

§ 6. Een willekeurig vlak V door de x-as snijdt behalve
volgens de dubbel te tellen a;-as, in een kegelsnede (verg. (10)),
het 2^-graads regelvlak o^ volgens de a;-as en een andere rechte.
Rechte en kegelsnede hebben 2 snijpunten, welke punten zijn
van pq, gelegen in V.

Daar het vlak V willekeurig is, ligt het voor dó hand, te
vermoeden, dat 4 der snijpunten van V met op do a;-as
liggen. Dat dit vermoeden juist is, blijkt meetkundig als volgt:

Door een willekeurig punt A van de «-as gaat een 2° rechte
van Og. Deze rechte bepaalt met de «-as een vlak TF, dat
a^ snijdt volgens de avas en een kegelsnede. Deze kegelsnede

snijde de a;-as in de punten B en B\'. Beschouw nu de ver-
wantschap tussehen de punten A en B. Bij één punt A be-
hooren blijkbaar 2 punten B.

Om te bepalen, hoeveel punten A bij één punt B beboeren,
merke men op, dat het bovengenoemde vlak W a^ raakt m
de punten B en B\'. Door een punt B^ van de a;-as kan men
nu aanbrengen 2 raakvlakken aan o^, n.1. één aan elk der
bladen, welke door de cc-as gaan. Elk dezer vlakken bevat,
behalve de a>as, tevens een 2° rechte van welke de cc-as
snijdt in een aan het punt By toegevoegd punt A. Bij een
punt B behooren dus 2 punten A. De verwantschap tussehen
de punten A en B heeft dus als kenmerkende getallen (2, 2).
Zij bevat dus 4 coïncidenties.

Een punt nu, op de a-as, waarin een punt A en een bij-
behoorend punt B zijn samengevallen, is een snijpunt van
de a;-as met p^. De centraal van den bollenbundel heeft dus 4
snijpunten met de meetkundige plaats der polen.

Bil analytisch:

Een snijpunt van met de x-as heeft men dan, wanneer
een cirkel uit de verzameling een zijner polen op do a;-as
heeft, d.w.z. in het middelpunt van den bol, waarop de cirkel
gelegen is. Dit zal het geval zijn, als de straal van den cirkel
gehjk is aan den afstand van het middelpunt van den bol
tot hét vlak van den cirkel, dus \\ i2 maal den straal van
den bol.

Nu is van den bol

a;2 ƒ x-\' — IXAx D = 0

de straal bepaald door

m = AM2 — D.

De afstand van liet middelpunt {XA, O, 0) van den bol tot
bet bij den bol behoorende vlak

a X py Xx — {Xh c) = O

wordt bepaald door:

2 _ — ^^^ — gP

« — 1 A2

Nu moet: dus a2 = y, dus

^XaA — Xh — cY _ — 2)

^ 2

zijn. Dit geeft de vergelijking:

An^ {A^ — 4.a Ah — — D) X^

A {a A — h) cX — (jn = 0. (15)

De bij de 4, aan deze vergelijking voldoende, waarden van
X behoorende cirkels hebben een pool op ox\\ deze heeft dus
4 snijpunten met p^.

§ 7. Het derdegraadsoppervlak Og is opgebouwd uit de
cirkels, bepaald door de verg. (3). Van een cirkel dezer
verzameling wordt de straal gevonden uit de eerste der verg.
(5), n.1. die van den bol, welke den cirkel tot grooten cirkel
heeft. Gemakkelijker vindt men hem, door op te merken, dat
het kwadraat van den straal van den cirkel (3) gelijk is aan
het kwadraat van den straal van den bol (3), waarop hij ligt,
verminderd met het kwadraat van den afstand van het middel-
punt van dien bol tot het vlak (3). Het resultaat is:

{XaA — Xh — cf
r^ = AM2 -I) — ^--•

Nu is voor 4 waarden van X r^ = O, n.1. voor die, welke
voldoen aan de 4Vaads vergelijking:

(1 4- p) _ Z?) = {laA — Xh — c)2.

Het bij een zoodanige waarde ^ van X behoorende stel (3)
heeft als snijcirkel een punt, het is dus een bol en een vlak,
die elkaar raken. In \'t algemeen zal het dus 4 keeron voor-
komen, dat een vlak en do bijbehoorendo bol elkaar raken.
Van een puntcirkol vallen de polen met den puntcirkel samen.
De 4 puntcirkels op Ö3 zijn dus tevens punten van p^, dus

snijpunten van beide.

Men ziet nu gemakkeUjk in, dat, als voor X = X^ r^ —O is,
dit in het algemeen niet een minimum waarde van r^ is.
Was dit n.1. wel het geval, dan zou voor A = Ay (waarin
d klein) de snijcirkel (3) een reëelo, kleine cirkel zijn en dan
zou de vorm van het oppervlak a^ in de buurt van den
puntcirkel P zoodanig zijn, dat een door P gelegd vlak met

Ö3 een doorsnede zou hebben met een dubbelpunt in F. Een
vlak, door 3 der 4 punten P gebracht, zou dan als doorsnede
met ög moeten hebben een 3® graads kromme met 3 dubbel-
punten. Dit is onmogelijk, tenzij die doorsnijdingskromme
ontaardt in de rechten P^Pg, PgPg, PgPf Neemt men dan
echter ook het 4° punt P^ in aanmerking, dan zouden op Og
gelegen moeten zijn de ribben van het tetraëder PiPiPsPi-
Nu is de vergelijking van o^-.

(z — h) {x^ y^ Z)) 2Ax [ax-\\- — =
De kegel, die de oneindig verre punten van dit oppervlak
uit den oorsprong van het coördinatenstelsel projecteert, heeft
tot vergelijking:

Het reëele deel hiervan is slechts het vlak xoy. Het is dus
onmogelijk, dat de ribben van bovengenoemd viervlak op Og liggen.

Daar nu f^ voor X — Xq niet een minimum is, zal bijv. de
waarde van r^, dio met A = — <5 correspondeert positief,
die, welke met A = ^ ó overeenkomt, negatief zijn. Op de
bij A = Afl — ö behoorende beschrijvende van a.^ liggen 2
gescheiden punten van op de bij A =: Aq belioorende
2 samenvallende, en die, welke bij A = A^ -f <5 behoort, bovat
geen punten van p^. Deze raakt dus in de punten P aan de
bijbehoorende bescln-ijvende lijnen van o.^ en staat in die punten
loodrecht op Og.

§ 8. Do krommo p^ heeft 2 reëele snijpunten mot het
oneindig verre vlak. Dit volgt uit liet feit dat de cirkel-
verzameling slechts 66n oneindig grooton cirkel kan bevatten,
omdat de bollenbundel slechts 66n oneindig grooten bol heeft

Maar ook volgt hot uit do vergelijkingen. Do vergelijkingen,
welke de kegels voorstellen, die de doorsnijdingen van a^ en
Ö2 met het oneindig verre vlak uit den oorsprong projec-
teeren, zijn:

{Y\' p-^Z^) (-.Y^\'-j- 2« A\'Y)

4-2 {aXY-j Y^) {aXY-\\-f}Y^ pZ-\') = 0

iPX — aY)Y=0,

Dit stelsel valt uiteen in 3 andere:

— = = 0
, Y= 0.

{¥•\' ^^ZJ = O
(16c) ^ ^ _ « „

Hiervan geeft (16c) alleen den oorsprong aan. (166) heeft
betrekking op het oneindig verre punt van de «-as, \'t welk
geen punt van p^ is, daar (15) geen oneindig groote waarde
van X als wortel heeft. De verg. (16a) geven 2 richtingen
aan, in welke p^ een oneindig ver gelegen punt heeft.

En ook blijkt het uit de verg. (14). Deze heeft als coëffi-
ciënt van A®:

Deze verdwijnt, d.w.z. (14) heeft een oneindig grooten
wortel, als

P=± li.
Dan wordt de vergelijking van het vlak (13)

P [X ±Z)-\\-QY T=Q^

d.i. de vergelijking van een vlak, evenwijdig aan een der door
(16a) voorgestelde richtingen.

§ 9. De op a.^ gelegen kromme p^ bestaat ini, in de onder-
stelling dat de verg., die de punten P bepaalt, 4 reëele wortels
heeft, uit twee

stukken, waarvan het eene geheel in het
eindige ligt, het andere bestaat uit 2 gedeelten, welke in do
oneindig verre punten der kromme aaneensluiten.

Het eerstgenoemde stuk ligt tusschen do beschrijvonden van
02, welke bijv. door P^ en P, gaan. Alle beschrijvonden van
02 tusschen deze twee bevatten 2 reëele punten van Do
beschrijvenden, gelegen tusschen die van P^ en P2 en tusschen
die

van Pg en P^, bevatten geen punten van p^^; de gedeelten
van het 2° bovengenoemde stuk liggen op de beschrijvonden,
gelegen buiten die van P^ en P4. De kromme raakt, zoóals
reeds opgemerkt is, de beschrijvenden der punten P in die
punten en staat er loodrecht op het cyclischo oppervlak, dat
de punten P als puntcirkels bevat.

Heeft de genoemde vergelijking slechts 2 reëele wortels,
dan ontbreken b.v. de punten P.^ en Pg en het tussehen deze
punten begrepen gedeelte van p^. De kromme bestaat dan uit
2 takken, welke de beschrijvenden van P^ en P4 op o.^ in die
punten raken, daar loodrecht op Ö3 staan en in de 2 oneindig
verre punten samenhangen.

Heeft de vergelijking geen reëele wortels (een geval, dat
zich zal voordoen, wanneer de bollenbundel een basiscirkel
heeft, welke de as van den vlakkenbundel omsluit) dan ont-
breken de punten P alle. p^^ bestaat dan uit twee gedeelten,
die met alle beschrijvenden van o., 2 gescheiden punten ge-
meen hebben.

§ 10. De kromme /jg ligt op het oppervlak a.^. Zij snijdt
de als cc-as gekozen rechte van o^ (welke behoort tot de schaar,
welker e.vemplaren met een a worden aangeduid) in 4 punten,
de exemplaren dor andere schaar (lijnen b) in 2 punten.
Legt men nu een vlak V door een willekeurig stol lijnen
a en b, dan heeft p,^ 6 snijpunten met F", welko liggen op do
doorsnijding van a.^ en F, dus op de lijnen a en b. 2 er van
liggen op b, dus 4 op a.

Hieruit volgt, dat de punten van p^ zoodanig over de
rechten van a.^ zijn verdeeld, dat de lijnen van de eene schaar
van o.^ vier, die der andere twee punten van p^^ dragen.

Donken we ons nu, dat do kromme p,. uit een willekeurig
punt O van a.^ wordt geprojecteerd en de projectcorende kegel
gesneden met een willekeurig vlak W. Do doorsnedo is dan
een kronnno van den (5°" graad waarvan het volgende is
op to merken.

Stol, dat de door O gaande lijnen a en b van a.^ het vlak W
in A opv. n snijden, dan is, op grond van het voorgaande,
A een 4-voudig, B een 2-voudig punt van h\\.. Andore meer-
voudige ])untou bezit /.-,; niet. Daarvoor zou toch noodig zijn,
dat andere projecteerende stralen uit O dan a en i 2 of
meer punten met p^ gemeen hadden, dus met a.^ 3 of meer
punten. Deze lijnen zouden dan geheel op a.^ liggen, hetgeen
onmogelijk is. Het 4-voudigo punt A en het 2-voudigo punt B

4X3

van /cg zijn te zamen voor —---}- 1 = 7 gewone dubbel-
punten te tellen.

Verder kan k^ geen keerpunten bezitten. Een keerpunt zou
n.1. zijn het snijpunt van een raaklijn uit O aan met TF.
Deze raaklijn aan pg zou tevens raaklijn aan zijn en dus
geheel op o.^ liggen, wat onmogehjk is. Het aantal keerpunten
van kg is dus 0. Voor deze kromme geldt dus:

graad: n = 6,
aantal dubbelpunten d =
„ keerpunten r = 0.
Past men nu de formules van Plücker toe, dan vindt
men verder:

de klasse v =: n [n — 1) — 2d — 3 r = 16,
en uit:

p {n— 2) — Qd — ?>r

n = V [v — l)2d — ^ P
het aantal buigraaklijnen p — 30,
„ „ dubbelraaklijnen ó = 72,
en ten slotte het geslacht: g — ^ (n — l){n—2)— d — r = 3.

Hieruit vindt men voor pg het volgende:
De\' rang van ^og, d.w.z. het aantal raakvlakken aan pg door
een willekeurige rechte, is 16. Snijdt n.1. de rechte / o., in

de in IV gelegen krommen en k.^, volgens welke de pro-
jecteerende kegels van die Oi opv. tot top hebben,
W snijden, raken in de punten B^ en R.,, waar Q, opv.
O-i Q, s snijden. Het aantal raakvlakken U door l aan p^ is
dus gelijk aan het aantal raaldijnen, dat men uit het snijpunt
s van l met W aan een der krommen k kan trekken (zij
raken tevens de andere) dus IG.

Een vlak, gebracht door O en een buigraaklijn van k. is
een osculatievlak van de kromme p^. Het aantal door een punt
gaande osculatievlakken van p^, haar klasse, is dus gelijk aan
het aantal buigraaklijnen van A-g, dus 30.

Het aantal schijnbare dubbelpunten van a; is het aantal
dubbelpunten harer projectie, dus 7.

Het aantal door een punt gaande dubbelraakvlakkcn van p^
is het aantal dubbelraaklijnen der projectie, dus 72.

Het geslacht van ^^ is liet geslacht der projectie, dus 3.

. .....

« ■ ■

^■f t

il

- SÄ" \'î

STELLINGEN.

1.

De krorainea vau Hdst. III § 1 kunnen opgevat worden
als voetpuntskrommen van kegelsneden.

2.

De meetkundige plaats van de polen der cirkels van
een cycliscli oppervlak van den graad is in liet alge-
meen niet van den graad 2 n.

3.

Er zijn gevallen, waarin de door P. J. van Loo in zijn
proefschrift, Inl. § 3, genoemde verwantschap (1,1) een
verwantschap (m, w) is.

4.

Dat de veeltermen van Abel reëele, positieve en onder-
ling verscliillende wortels liebben kan eenvoudig worden
bewezen. (Vgl. diss. A. A. Nijland, § 9).

5.

De wijze, waarop J. Edie in § 3 van zijn proefschrift
afleidt, dat de functie L {x) den eenheidscirkel tot singu-
liere lijn heeft, is onjuist.

6.

De stelling en het bewijs op bl. 181, 182, (§ 490)
van Serret—scheffers „Lelirbiicli der Diff. und Int.
reclinung 11" zijn onjuist.

Men kan geen principieel verschil maken tusschen
qualitatieve en quantitatieve overeenstemming van theorie
en waarneming.

8.

Het is in beginsel mogelijk Eöntgengolven te analj-
seeren, langer dan die, welke men tot nu toe heeft onder-
zocht. Een uitbreiding van de experimenteele techniek iu
deze richting is met het oog op de theorie zeer gewenscht.

9.

De gevolgtrekking, die A. Bouwers maakt in het
naschrift van zijn artikel „Zwarting van de photogra-
fische plaat door Eöntgenstralen" (Physica, April 1923)
aangaande de overeenstemming tusschen twee zwartings-
wetten, is onjuist.

- . ^^ if-

iw

r

V i .

v..

■ .. .. , < !; ;< • .> ^-»m;

-...