SUR LA TOTALISATION DES DÉRIVÉES
DES FONCTIONS CONTINUES DÉ PLUSIEURS
VARIABLES INDÉPENDANTES ,

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SUR LA TOTALISATION DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS
CONTINUES DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES

SUR LA TOTALISATION
DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS
CONTINUES DE PLUSIEURS
VARIABLES INDÉPENDANTES

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS.
EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKS^
UNIVERSITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG
VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS Meester
J. C. NABER, HOOGLEERAAR IN DE
FACULTEIT DER RECHTSGELEERDHEID,
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT
DER UNIVERSITEIT, TEGEN DE BEDEN.
KINGEN VAN DE FACULTEIT DER WIS^
EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN
OP MAANDAG 26 FEBRUARI 1923,
\'S NAMIDDAGS 4 UUR, DOOR

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-l-jtfï

Bij het aanbieden ven dit proefschrift is het mij een
aangename taak, mijn dank te betuigen aan U, Hoogs
leeraren in de Faculteit der Wis= en Natuurkunde, wier
colleges ik bezocht.

Dit geldt in het bijzonder U, Hooggeleerde DENJOY;
niet genoeg dankbaar kan ik U zijn voor Uw onderricht,
dat mij opgewekt heeft tot de studie van de werken van
de moderne Fransche School en in het bijzonder van Uw
eigen integratiesmethoden. Ik beschouw het als een groot
voorrecht, mij Uw leerling te kunnen noemen.

Hooggeleerde WOLFF, de bereidwilligheid, waarmee
Gij de taak van Promotor op U hebt willen nemen, heeft
mij ten zeerste aan U verplicht.

SUR LA TOTALISATION DES DÉRIVÉES
DES FONCTIONS CONTINUES DE PLUSIEURS
VARIABLES INDÉPENDANTES

^ \\ ■W

-, r V ■

Sur la totaîisation des dérivées des fonctions
continues de plusieurs variables indépendantes.

M. Arnaud Denjoj\'^ a résolu le problème de trouver les fonc-
tions primitives f{x) de la fonction dérivée la plus générale q){x)\\
le procédé de calcul, permettant de remonter de (p{x\\ connue en
•tout point d\'un intervalle a<^x<.b (sauf peut être sur un ensemble
de mesure nulle), h la variation f{b) —f{a) de f sur (a, h\\ a reçu
le nom de totalisation^).

Je me propose de définir un procédé analogue dans le cas de
plusieurs variables indépendantes. Les dérivées partielles qui don-
nent lieu il une telle généralisation sont évidemment

Pour ne pas supposer l\'existence de dérivées partielles d\'ordre <
je prends pour définition dans le cas n = 2,

On peut d\'ailleurs considérer d\'autres définitions («\' 10). Aucune
de ces définitions n\'est équivalente à celle de ^^ ^ .

\') A. Don joy: Mémoire sur la totalisation <lc8 nombres dérivés non som-
«lablcs, Ann. Éc. Norm. Sup., 1916, [>. 127—222 ot 1917, p. 181-236.
Co mémoire est précédé par doux autres:

Mémoire sur les nombres dérivés dos fonctions continues, Journ. de Math.
1916, p. 105-240.

Mémoire sur les fonctions dérivées sommables. Bull, de la Soc. Math, de
France, 1916, p. 161-248.

Pour notre but il est essentiel de rechercher, si la variation
de y) sur un rectangle r{a < x < è, c < y < (Z} c. à d. le nombre

est déterminée par la connaissance de la dérivée (avec une de ses
définitions) dans r (11—16).

Il se trouve que pour une fonction continue f{x, y) l\'existence
de s{x, y) dans r entraîne l\'existence d\'une dérivée par rapport à x,

y), finie en tout point de r, et continue en y (mais non pas
nécessairement par rapport à x)j si c) est dérivable par rapport
à X] énoncé analogue pour q{x, y)f si q{a. y) existe (12, 13).

L\'objet principal de ce travail est de montrer que A{f, r) peut
être calculé par une infinité dénomhrable d\'opérations au plus, sous
la seule condition que s(a;, y) existe eu tout point et est connu, sauf
peut être sur un ensemble de mesure nulle (17).

Pour la totalisation des dérivées des fonctions d\'une seule va-
riable, la distinction d\'ensembles fermés (non denses) en ensembles
fermés démmbrables et non dénombrables est d\'une grande importance;
les ensembles \'parfaits non denses jouent un rôle fondamental dans
le calcul totalisant.

Dans le, cas de 2 variables indépendantes, il faut distiilguer, au
lieu d\'ensembles fermés dénombrables et non dénombrables, les en-
sembles fermés que j\'appelle de seconde sorte et de première sorte
(3-7).

L\'ensemble parfait (dans le cas d\'une seule variable) est rem-
])lacé par l\'etisemble de première sorte en lui-même.

Je n\'énonce les définitions et théorèmes que\' pour le cas de
2 variables indépendantes, puisque l\'extension cà plusieurs variables
est immédiate.

1. Nous entendons par rectangle un rectangle à côtés parallèles
aux axes, donc un ensemble a x c <Ci y d Les sommets
(a, c), {b, c\\ {b, d), (a, d) seront désignés resp. par 1®"-, 2""®, 3™®, 4""®
sommets et les cotés

Je désigne par (^^{c, d) (resp. b), un intervalle appartenant
h ix=Xo (resp. y = yo) et d\'extrémités (oîq, c) et [xq, d) (resp. (a, y^)
et [b, yo)) ^^^ P^\'\' ^rroi^^ (resp. «^^(a, h)) le segment correspondant

2. En désignant par E un ensemble fermé (non dense) plan,
définissons l\'expression : portion JT{E, r) de E, déterminée par un
rectangle r.

Si r ne contient pas de points de E dans son intérieur, n{E^ r)
n\'existera pas; si r contient des points de E dans sou intérieur,
II{E, r) sera l\'ensemble des points de E intérieurs à r, augmenté
de leurs points limites sur le contour de r. IT{E, r) est le plus
petit ensemble fermé coïncidant avec E à l\'intérieur de r.

moins 2 points, il existe un plus petit {rectangle rj contenant
n{E.^ r)\\ au contraire, n\'existe pas, si l\'un au moins des 2 en-
sembles r) et r) ne contient qu\'un seul point. Donc
pour que j-j existe toujours, il faut et il suffit, que r) et
r) soient parfaits, quel que soit le rectangle r, contenant des
points de E dans son intérieur-).

f II est à remarquer que /7(ii\', /\'i), s\'il existe, ne coïncide pas
iificessairenient avec r).

les 2 axes suivant un ensemble non dénombrable (nécessairement
parfait); E est alors nécessairement parfait;

de première sorte, si E contient un ensemble parfait P de pre-
mière sorte en lui-môme;

iDisons que E est de première sorte en M, s\'il existe dans E,
un ensemble parfait P{M) contenant M et de première sorte en
lui-même; E sera de seconde sorte en M\', si E n\'est pas de première
sorte en M\'.

Soit Q l\'ensemble des points (de E), où E est de première sorte
et Q\' sont complémentaire.

Q contient tout P(A/), D est fermé. Car si la suite de points
de ifi, i¥2,..., i¥„,..., tend vers Mq, les portions des P{M„),

Q est donc le plus grand ensemble fermé de première sorte en
lui-même, contenu dans E.

Ceci rapelle la décomposition d\'un ensemble en un ensemble
dense en lui-même et un ensemble clairsetné (en particulier la décom- •
position d\'un ensemble fermé en un noyan parfait en un ensemble
dénmnbrahle).

Un ensemble fermé de seconde sorte est fini on dénombrable
sur toute droite de pente finie non nulle.

Mais E peut être fini sur toute droite sans être de seconde
sorte (Exemple; un cercle).

Un ensemble fermé de première sorte en lui-même peut encore
être caractérisé comme il suit. Appelions segment d\'un ensemble
fermé E les segments d) et /î), contenant au moins un

point de E] un segment s,„(y, d) ou j8) sera dit isolé, s\'il existe
un rectangle, ayant ce segment pout diamètre et ne contenant pas
d\'autres points de E. Alors un ensemble de première sorte en lui-
même est un ensemble fermé ne possédant pas de segment isolé.

Ceci rappelle la définition d\'un ensemble parfait comme ensem-
ble fermé n\'ayant pas de point isolé.

4. Si la fonction continue f{x,y) est du type g{x)h{y) sur
un rectangle r{a d x < b, c < y < d), le nombre â{/, q) =
= f{ô,^)/{a,y)—f(^,.y)—Aa, ô) est zéro sur tout rectangle
()(a < a; < y < < <î) contenu dans r; et réciproquement.

Convenons de dire que f{x, y) est du type ■g{x) h{y) en m
point M, si M est centre d\'un carré y {M), où ƒ est du type g{x) -f h (y);
il est équivalent de dire que A{f,ç) = 0 sur tout rectangle Q contenu
dans y (M).

Si f{x,y) est du type g{x) h{y) en tout point d\'un rectangle
ro(ao <x<bo, Co<y < rfo), y) est du type g{x) h^y) stir r^.

Il suffit de démontrer que »•i) = 0, si r^ est un rectangle
quelconque intérieur à r^.

Faisons correspondre à tout point M de r, le plus grand carré
y {M) de centre J/, où ƒ est de la forme g{x)-\\-h{y) et soit 2u{M)
la longueur de son côté.

Si le minimum de u{M) était zéro, il existerait une suite de
points iUi, il/g,..., il/„,... tendant vers un point M^ de rj, tels que
M(i¥„) tend vers 0. Après une certaine valeur de «, M„ appartient
au carré de centre ITq et de côté ^M(i1/o)>0, mais dès ce mo-
ment u{M„) > 1 u{Mn).

Donc le minimum de u{M) est un nombre positif /t. Divisons rj
Qii pq rectangles r[, par des droites parallèles à Ox et à Oy, les
côtés des r\\ étant inférieurs à n- Puisque A{f,r\\) = Q, on a
= = c. q. f. d.

5. Supposons maintenant que / est du type g(x) 4- h{y) en tout
point intérieur à r et étranger à un ensemble fermé non dense E
contenu dans r.

Si E est de première sorte, f n\'est pas nécessairement du type
g{x) -f h{y) sur r.

Exemple: soit r le carré 0 < a: < 1, 0 < y < 1, et soit E un
ensemble parfait discontinu situé sur la droite y — x et ayant pour
points extrêmes 0, 0 et 1,1.

Soit (p une fonction continue quelconque, constante dans les
intervalles contigus de E et variante en tout point do E, avec
9(0,0) = 0. Nous définissons f(x,y) comme il suit:

On voit aisément que A{f,r\') est zéro sur tout rectangle r\' ne
contenant pas de points de E dans son intérieur, donc f est du type
9{x)h{y) en tout point étranger à E.

On voit que f est zéro sur les 2 axes, donc si f était du type
g{x)-\\-h{y) sur r, f serait nullo partout, ce qui n\'est pas ainsi.

\') On pout aussi appliquer lo loinine do Morel et reiiianiucr ijue la partie com-
mune à 2 rectangles est un rectangle.

Il est à remarquer que E ne divise pas l\'intérieur de r en régions
distinctes

Si E est de seconde sorte, ƒ est du type g{x)-\\-h{y) sur r^, si
elle est du type g{x)-\\-\\h{y) en tout point de r^ étranger à E.

Il suffit de démontrer que ƒ est du type g(x) h (y) en tout
point de E ou encore que A est zéro sur tout rectangle appartenant
à rj.

D\'après no 4, nous savons déjà que ç) est zéro sur tout
rectangle ç ne contenant pas de points de E dans son intérieur.

Lemme I: Une fonction continue f{x) d\'une seule\'variable indépen-
dante, constante dans les intervalles contigus d\'un ensemble fermé
dénombrable E\', est constante sur tout itiiervaUe contenant des points
de E\'.

En effet, soit a § un intervalle contenant des points de E\' dans
son intérieur. L\'ensemble des valeurs prises par f aux points de
a/3 est fini on dénombrable, puisque ƒ ne peut prendre de valeurs
différentes en x et x\', que si x et x\' appartiennent à E\', ou
si X et x\' appartiennent à des contigus différents de E\'. Or l\'en-
semble des points de E\' et celui des intervalles contigus de E\',
appartenant à a |3 est fini ou dénombrable. — Si l\'on avait f{a) ƒ(/?),
/, étant continue, devrait prendre entre a et ^ toute valeur com-
prise entre f{a) et c. à d, un ensemble de valeurs ayant la
puissance du continu.

») D\'autre part, un segment de droite «,„(0,1) (0 < a;,) < 1) est un ensemble
fermé divisant r en 2 régions; cependant ƒ est de la forme ƒ/ \'.\'/) sur r
si elle est de cette forme en tout point étranger ii 1).

On aura d\'ailleurs l\'occasion de remarquer (lue la distinction de continu ot
discontinu ot la répartition d\'un ensemble ouvert en régions distinctes n\'intervient
jamais dans les résultats.

«) Cette proposition est connue. Voir pour 2 autres démonstrations:
li. Lebesgue, Leçons sur l\'intégration, j). 12
A. Denjoy, Journ «le Math., 1915 p. 111

Il est à remarquer que la démonstration exige seulement la propriété ilo/(x)
de prendre entre ot ot /î toute valeur comprise entre fia) ot/(/?), si ./(a)r|r/(/î).
Or, cette propriété appartient non seulement aux fonctions continues, mais aussi
à certaines fonctions discontinues (Voir A. Denjoy. Enseignement Math. Genève
1916) savoir les fonctions h. prépondérance do continuité, en particulier les fonc-

Lemme II: Soit E" un ensemble fermé non dense jplan, se pro-
jetant sur l\'un des axes suivant un ensemble fini ou dénombrable.
Si A{jj q") = 0 sur tout rectangle q" ne contenant pas de points de E",
dans son intérieur, f est de la forme h[y).

Nous démontrerons que A{f, r") = 0, si r"{a"<a;<ô", c"<y<^d")
est un rectangle^ contenant des points de E" dans son intérieur. La
projection de TI{E",r") sur un des axes, p. e. Ox, est fini ou dé-
nombrable. La fonction de x\\

est continue et constante dans les intervalles contigus de II,{E", r").
Donc, d\'après le Lemme I (p{x,c",d") est constante entre 2 points
quelconques du segment a", b", d\'où

Mf r") == cp{h", c", d") — g) {a", c", d") = 0, c. q. f. d.
Même démonstration, en introduisant la fonction

Passons maintenant à la démonstration de notre théorème. E
contient nécessairement des points Al, centres de rectangles r, tels
que l\'un au moins des 2 ensembles IT,{E,r) on n^{E,r) soit dé-
nombrable; sinon E serait de première sorte (en lui-môme).

Si E ne contient pas d\'autres points, la propriété est démontrée.
Si, au contraire, E contient des points AI^ tels que, si r, est un
rectangle quelconque, contenant jl/, dans son intérieur, les ensembles
IT,{E, r,) et IT^{E, r{) sont l\'un et l\'autre non dénombrables, ces
points il/j forment un ensemble Ei qui est évidemment fermé. En
tout point étranger à L\\, f est de la forme g{x)-\\-h{y).

Soit A\'î l\'ensemble des points de A\',, qui ne sont pas centres de
rectangles r^ tels que un au moins des 2 ensembles ou

, ;•„) est dénombrable.
D\'après le Lemme II, f{x, y) est do la forme g{x) -f h{y) en
tout point de Ej — E^.

lions iipproxiinativemont continnes, ot les ddrivés prépondorants, cn piirticulior le»
<lérivdoa approximatives, les dérivées ordinaires.

Si E,, existe pour toute valeur de «, soit Ea l\'ensemble (fermé)
des points communs à tous les E^.

Généralement, soit a un nombre ordinal quelconque. Si a est
de première espèce, A» est l\'ensemble des points Ma de qui

ne sont pas centres d\'un rectangle tel que l\'un au moins des-
2 ensembles et soit dénombrable. Si a

est de seconde espèce, est l\'ensemble commun à tous les Ea, d\'in-
dice a\' < a.

Tout Eol est fermé et agrégé aux ensembles d\'indice inférieur.
Donc, d\'après le théorème connu de Cantor, il existe un nombre
transfini (dénombrable) tel que E^ = E^ i = étant dif-

Supposons que E^ contienne des points. D\'après la définition de-
quel que soit le rectangle Q contenant des points de
Ep dans son intérieur, les 2 ensembles q) et q) sone

parfaits. Donc E^ est de première sorte en lui-même et E serait
de première sorte, contrairement à notre hypothèse.

Donc E^ ne peut pas contenir des points. Donc ƒ est de la
forme g{x) -f h {y) en tout point de E, donc ƒ est de cette forme

La réunion de tous ces segments, augmentée du segment d)
constitue un ensemble parfait X{r), tel que /li(r) (déduit de A(r)
comme E^ de E au n» 6) existe est est identique au segment s.(c, d).

En remplaçant x par y, a par c, b par d, nous obtenons un en-
semble analogue /t(r), tel que fii{r) existe et est identique au seg-
ment Sj(a, b).

pouvons prendre pour E l\'ensemble Ài^r^). Si ^ = 3, on construit
d\'abord l\'ensemble À{ro) et puis nous construisons pour les rectan-
gles ayant pour côtés verticaux les segments 1) et
s^ 1 1. 1 (0, 1) les ensembles À{r\'„) et pour les rectangles ayant

les ensembles (i{r). L\'ensemble E, réunissant ces ensembles, a pour
ensemble Ey l\'ensemble X{ro).

En répétant cette construction un nombre fini de fois, on con-
struit des ensembles tels que p = nombre fini.

Soit maintenant un nombre transfini. Sur un rectangle
r\' (a\' < a; < b\', c\' <i y d\') ou peut construire de la façon suivante
des ensembles a{r\') et T(r\'), tel que et T„(r\') déduits de a et t

comme E^ de ^ au n® 6) existent et sont resp. identiques à s,(c, d)
et s, (a, b).

Dans )•\'„ nous construisons un ensemble e(?",\'.), tel que l\'ensomble
e„(fl,) existe et est identique h l\'ensemble commun à r\'„ et ^(r\').
a(r\') est défini comme réunion des tous les augmentée du

En remplaçant x par y, a pur c, b par d, nous obtenons l\'en-
scmble t(?"\')•

Si ^ = (0 2, il suffit d\'appliquer les constructions des ensem-
bles À, [t, a et T.

On voit aisément que par application répétée de ces construction»
on peut atteindre tout nombre

8. Soit P un »ensemble parfait de première sorte en lui-même et
soit //(P, r) la portion de F, déterminée par le rectangle

Polir calculer ce quo nous pouvons appeler: la variation d\'une
fonction continue /{x, y) sur l\'ensemble complémentaire C(i7) de

i7(P, r) par rapport kr i), nous considérerons un certain domaine D
constitué d\'un nombre fini de rectangles sans points intérieurs en
commun, dont voici la définition.

Donnons nous un nombre positif (o arbitrairement; divisons l\'in-
tervalle a<,x<h en n intervalles partiels x=h\\
dont la longueur est < w. Désignons par la bande verticale
c<iy <d. Alors les rectangles q constituant D seront
tous de la forme x,_^<x<xt, y<y<à i = l, 2,... n)
et seront choisis d\'après la règle suivante:

Si 77(P, iS,) n\'existe pas, q sera le rectangle lui-même.
Si i7(P, iSj existe et si sa projection 77,(P, /?,) sur Oy ne coïn-
cide pas avep le segment il peut se faire ou non qu\'il
existe des intervalles contigus de dont la longueur est
— Dans le premier cas nous prenons pour rectangles q
tous les rectangles x^^^ <x<x,, y^<y <ô,„ yj„ étant un intervalle
contigu de tel que â„ —x, — x,^,. Dans le second
cas, nous dirons que les rectangles ç n\'existent pas (pour la bande

Deux rectangles q n\'ont jamais des points intérieurs en com-
mun et peuvent seulement avoir des points frontières en commun,
s\'ils appartiennent à 2 bandes consécutives et

Un rectangle ç possède sur l\'un au moins des côtés horizon-
taux des points de P, excepté peut être dans le cas où ces 2 côtés
appartiennent resp. h y = c et h y = d.

Le nombre des rectangles ç est fini, puisque les bandes (en
nombre fini) contiennent chacune un nombre de rectangles q,
d — c

On voit facilement, que, si u{M) désigne la longueur du demi-
côté du plus grand carré 7(71/) de centre i¥, appartenant à r et
ne contenant pas de points de F dans son intérieur, le point M
est intérieur à tout domaine D, appartenant à un nombre oi^n[M).

De là on déduit que la mesure de 1) tend vers la meiîure du complé-
mentaire C(i7) de 772), sous la seule condition que w tende vers zéro.

9. q){x) étant une fonction (continue) d\'une seule variable, on
définit comme variation V{z, x\') de cp sur l\'intervalle x, x\' le nombre
■(p{x^) — (p{x\\ {x<.xf).

———-, dont le dénominateur n\'est autre chose que la variation de
x\' — x^

Si f{x, y) est une fonction (continue) de x et y, nous définissons
comme variation de ƒ sur un rectangle r{:ro < x < Xq\', y^ < y < yo\'}
le nombre

r) =/{xo\', yo\') fi^o, I/o) —.fix,\', yo) — /(«o, i/o\')-
Nous définissons comme variation relative de f sur r le rapport
Aifr)

Si A{f, r) = 0 sur tout rectangle r, ƒ est de la forme o{x) h (y);
les fonctions du type g{x) li{y) sont donc les analogues des cons-
tantes.

r, ƒ est de la forme Axy (/^{x) hi{y); les fonctions do ce type
sont donc analogues aux fonctions linéaires.

Remarquons que A{/, r) ne change pas sa valeur, si l\'on remplace
f(x,y) par /{x, y) g{x)h{y). En particulier on peut remplacer
f{x, y) par f{x, y) - f{x, 0) —/(O, y) /•((), 0), sans changer A{f, r);
ou, ce qui revient au môme, on peut toujours supposer que f{x,y)
•s\'annulle sur les 2 axes.

<J(1I). On voit donc <iuo cotte variation n\'obtient conimo limite do lu variation
<le (p sur ƒ>, si w tond tond vers zéro.

de la fonction continue J{x, y) sur r, et appelons i®® quadrant
(i=l,2,3,4) du point la région où doit se trouver le point
pour que r ait le point x, y pour i""® sommet Nous-

Li = lim
= Uni

îiv

A{x, y, u. v)

l, et Li sont les nombres dérivés extrêmes dans le i""® quadrant;
s\'ils sont égaux, il existe une dérivée pour le i""® quadrant; si les &
nombres dérivés sont égaux, il existe une dérivée s{x,y).

indépendants de u et de v. Si a tend vers 0 et ^ [vers oo, /l, et
il, tendent respectivement vers des limites déterminées i\\ et
que l\'on peut appeler: nombres dérivés extrêmes réguliers, r, et Ri peu-
vent être égaux, sans que l\'on ait 1,= L,.

c) Posons u = ç cos d, v = q sin d et faisons tendre (>(>0)
vers 0, d restant fixe. Soient fi{0) et M{d) les limites inférieure

= borne inférieure stricte de ft{6),
Bi = borne supérieure stricte de M{6),
pour les valeurs de 0 correspondant au i™® quadrant.
On a J.^^.^i^.-

, . , A(x,y,u,v) . .
et 2i{a\') les limites inférieures et supérieures de---^-, ainsi

obtenues, ou voit que Ot{a\') et 2i{a\') tendent vers des limites déter-
minées et si a\' tend vers zéro.

On ne voit pas immédiatement que l\'égalité c = C n\'entraîne
pas nécessairement li = Lt. L\'exemple suivant montre que A peut
•être zéro sur tout rectangle contenant un point 0, sans que l\'on ait
li = L, au point 0.

Soit 0 le centre de coordonnées; nous divisons le plan en 8
octants par les 2 axes et leurs bissectrices; nous les numérotons
I, II,..., VIII, dans l\'ordre où l\'on les rencontre en décrivant un cercle
de centre 0 et en partant du demi-axe des x positifs.
/{x,y), nulle sur les axes, sera définie ainsi:

f{x,y) = y(x^y), dans I et V,
f(x, y) =x(x — y), dans II et VI,
f(x, y) = x(x y), dans III et VII,
y) = — y{x y), dans IV et VIII.

Si y est un carré quelconque de côté u, Içontenant le point 0,
l\'un (au moins) des sommets, soit a-o,?/g, appartient à I ou à II, les
autres sommets sont alors [x^ — «, ?/o), (tq — «, yo — ")) ? y* — «)•
Il faut démontrer:

Si Xo, yo appartient à I, resp. à II, le sommet opposé .ro — u,yo — ii
appartient à VI, resp. à V et 1 on vérifie immédiatement:

- ! < a par la condition

Le sommet Xf^ — m, y^ appartient à III ou à IV; le sommet
^d; yo — w appartenant alors resp. à VIII et VII, ou a en tous ie»
cas: /(xo — w, yo) /K, yo — ") = (^o — ^o) (a^o yo — «)•

Si q){x) est une fonction continue d\'une seule variable indépen-
dante, ou sait que l\'existence d\'un nombre dérivé médian ou extrême
zéro d\'un certain côté invariable entraîne la nullité de la variation
fp{b] — q>{a), quels que soient a et b^).

En effet, nous allons donner des exemples de fonctions continues^
telles que lt = Lt = 0 en tout point {i fixe) sans que A{f,r) soit

\') Toute fonction f{x, ;/), nulle sur les axes et dont la variation est nulle sur
tout carré contenant l\'origine des coordonnées, est connue en tous les octants,,
ei elle est connue dans l\'un d\'eux, p. o. dans 1. En considérant diverses catégo-
ries de carrés, on trouve:

a) symmétriques p. r. à la 2« bissectrice, M dans 1 ou 11, M\' dans VI ou V
(carré dont 1 sommet est sur la 2« bissectrice),

b) symmétriques p. r. à la 1® bissectrice, M dans 111 ou VI, M\' dans VIII
ou VII (carrés dont 1 sommet est sur la 1® bissectrice).

3« ƒ prend des valeurs égales en 2 points N et N\', situés sur une même droite
z = x^ (ou y = yc,) dans dos quadrants diflférents et ayant pour distance le nombre
I Xo I (resp. I y^ ) (carré dont 2 sommets sont sur l\'un dos axes do coordonnées).

(Jn voit facilement que dans I, J satisfait à l\'éfiuation:
f{x,y)-nd-V, d-x)-{-f{y,x-\\-y-d)-f{x,x-\\-y-d=()
et que réciproquement, toute fonction dans I, continue, satisfaisant à cette équation ot
nulle pour x = 0 ot pour y=x, détermine uno fonction f(x,y), nulle sur les axoB.
et dont la vaiation est nulle sur tout carré contenant 0.

On vérifiera quo toute fonction du type fix) —f{x—y) —
(p étant uno fonction continue d\'une seule variable, satisfait à l\'équation et
f\'annulle pour x = 0, et pour y — x = 0. Notre exemple correspond à 9p(;c) ="}>\'.

La démonstration exige seulement la continuité du cOté opposé k celui oii
l\'on considère le nombre dérivé zéro.

identiquenant nulle. Donc A{/, r) n\'est pas déterminé par la con-
naissance d\'une dérivée finie, supposée existante^ pour un même qua-
drant invariable.

Dans chacun des demi-plans y — a; ^ 0 et y — x ^ 0, fi{x, y)
est du type 9{x)-\\-h{y\\ donc A{fi, r) — 0, si r appartient entière-
ment à un de ces demi-plans.

Sur la droite y — a; = 0, les rectangles servant à la définition
de et Lj sont encore situés entièrement dans y — ^ 0, ceux
qui servent pour l^ et L^ daiis y — a; ^ 0, donc en tout point
h = = = = 0.

Cependant Ji{x, y), nulle sur les demi-axes positif n\'est pas
indentiquement nulle dans le premier quadrant.

Géométriquement z=z=f^(x,y) est représentée par un dièdre
ayant pour arête la droite x = y = z, les 2 faces passant resp. par
l\'axe des x et l\'axe des y (positifs).

Cet exemple montre que les nombres et L, ne possèdent pas
un théorème de la moyenne généralisé, comme les nombres dérivés
des fonctions continues d\'une seule variable, et comme la dérivée
sconde généralisée.

12. f[x, y) étant une fonction continue, je désignerai par dt{x,y),
Dt{x, y), d~{x, y), et Dr{x, y) les nombres dérives extrêmes de f
par rapport à x au point x, y, par d~{x,y), etc, les nombres déri-
vés par rapport à y.

1® si Z> (aro,yo) est -f oo (resp. — oo), il existe un nombre po-
sitif (), tel que I} {x, y -\\-v) = -\\-oo (resp. — oo) pour 0 < u < ç;

2" si D {Xo, yo) est fini, le nombre Bt(x, y) est continue à droite
par rapport à y au point x^, yo et l\'on a

Théorème analogue pour dfix^, y«) et (en échangeant x et y) pour
yo) <(^0, yo)-

•) On voit fttciloment les changoinonts à apporter si l\'on remplace l^ et L,
par les autres nombres et L, (i = 2, 3, i).

Démonstration: A tout nombre positif e ou peut faire cor-
respondre un nombre positif q, tel que les 2 inégalités

, , . /(xq yo -f (a;,, yo)—/(go -f u, i/o)—f(xo, yp v) ^ ^
(1) (/,_£)!;< /(-^o M, yo «) — ƒ(«0 _

/(a;o -f M„, y t^) —/(a-o, yo i\') /(a^o t^n; y») —/(a^o,yo) , (,
--------> - _ e)v

tend aussi vers — oo, m tendant vers -f 0 d\'une façon quelconque.
Donc Dt{xo,yo v) — dt{xo,yo v) = — oo (0^tJ<(>).

2® Si D {xo,yo) est fini, il existe une suite dénombrés positifs
«1, «o,..., M„,... tendant vers -f-0, tels que

•d\'où résulte que Dtix^-S-y^) est continue à droite par rapport à y
•et que ses nombres dérivés extrêmes à droite par rapport à y sont
Hîompris entre /, — ê et inclusivement. Donc, c étant arbitrai-

Même raisonnement pour dt{x, y). Enfin, pour démontrer la
.proposition pour Dj^ et df on part de la double inégalité

\') Lo raisonnement et Ic.s résultats subsistent, si l\'on romplace los nombreu
et L^ par los nombres , et ] dans (1): ot par los nombres s,, i et dun»

Si l\'on veut souloment obtenir la continuité do y) «t \'itix-, y) l"^"" """l\'"

13. Démontrons maintenant le théorhm suivant
Si en tout point d\'une droite déterminée x = Xo,
1" Il et Li sont Jinis et égaux, =o{x, y).
2° li et L4 sont finis (ou, condition moins réstrictive, si

tend vers 0, pour m = -j- 0, v = — 0), alors, s\'il existe un seul point
^0} ^0 5 où f possède une dérivée à droite par rapport à x finie yo)j

a) f possède en tout point x^, y une dérivée à droite par rap-
port à X finie p (xo,y);

b) cette dérivée y), continue par rapport à y, possède une
dérivée à droite par rapport à y. = (t(x, y).

(resp, fini) est, d\'après le théorème du n® 13 (énoncé pour et Lj
et pour l^ et L^ centre d\'un intervalle — y p), en tout
point duquel Df est infini (resp. fini).

Les deux ensembles E, où Z)^ (xo,y) est infini, et E\' où, X> (xo, y)
est fini sont l\'un et l\'autre des ensembles ouverts; ils sont complémen-
taires, donc l\'un d\'eux ne peut pas exister; c\'est évidemment E, puisque
au point Xf^^y^ Dt est fini. Donc D^ est fini en tout point Xq, y.

D\'après n« 12, rf (xo,y) et Z) (xo,y) sont continues par rapport
à-y et puisque nous avons supposé = L, = (t(x, y), on a

c. à. d. rf (xo,y) et D (xo,y) ont en tout point Xo,y une dérivée
à droite par rapport à y — <t(x, y).

») Il est évident, qu\'en obtient des énoncés analogues, en remplaçant les in-
indices 1 et 4, par 1 et 2, ou 2 et 3, ou 3 et 4, ou cn échangeant les indice«
d\'un même couple.

Ils coïncident au point Xo,yo? hypothèse, donc ils coïncident
en tout point de = donc en tout point de cette droite /admet
une dérivée à droite finie y) P^^^ rapport à x, continue par

rapport à y et admettant une dérivée à droite par rapport à y, égale
à ff(a;, y); c. q. f. d.

Remarque: En particulier, si tous les nombres l, et Lj sont égaux
entre eux pour x = et =s{X(^, !/), c. à. d. s\'il existe une dérivée
en tout point de la droite x = Xo, et s\'il existe un seul point Xo,yoj
où f possède mie dérivée "par rapport à x, en tout point x^, y, il

Il existe alors même une différentielle totale première, comme
il résulte de la formule:

Si les conditions 1° et 2° du n® 13, sont vérifiées pour tout
nombre x«, a < Xo < {c <i y <, d), je dis que A{/, r) est entière-
ment détervdné par la connaissance de ff(x, y) en tout point de r.

par rapport a x pour toute valeur Xo, « < aro < i. Donc d\'après
n® 12, (p{x, y) admet en tout point de r une dérivée h. droite par
rapport à x, n{x, y), celle-ci est continue par rapport à y et admet
a(x,y) pour dérivée à droite par rapport à y. Donc, puisque une
fonction continue d\'une seule variable est déterminée par sa dérivée

par a(a-o, y\'), et (p{x, yo), nulle pour x = a, est déterminée par 7t[x\\ uA
(a<a:\'< x). Donc i- ^

1° il existe une infinité dénombrable de droites y = y„, partout
deiises sur r, telle qu\'en tout point x, y„ Us 4 dérivés extrêmes par
rapport à x, c. à. d. d7, Dr, d , Df soient finis.

20 il existe une pleine épaisseurde droites x = Xo, telles qu\'en
tout point x,,y {cC y <^d) l\'une au moins des 2 hypothèses suivantes
soit vérifiée :

si Vhypothèse a) est vérifiée, ou bien h —L^, ou bien =
si l\'hypothèse b) est vénfiée, oiç bien l^^L,, ou bien = L^.

En désignant cette valeur commune par -[{x^, y), 4(/,r) est entiè-
rement déterminé par la connaissance de t{x, y).

Démonstration. Puisque une fonction d\'une seule variable
à nombres dérivés extrêmes finis, possède une dérivée sur une pleine
épaisseur, à chaque droite y = y„ correspond une pleine épaisseur
E„ de valeurs de n telles que d: = D\'= d = D = p{x,
X appartenant à E„ Les ensembles E„ ont en commun un ensemble E^
complémentaire d\'un ensemble de mesure nulle. Si x^ appartient
à Ëo, on a en tout point «„»y», c. à d. sur une infinité dénom-
brable de points partout denses sur l\'intervalle

L\'ensemble des valeurs de x, pour le.squelles l\'hypothèse 2" est
verifiée, possède en commun avoc E^ une pleine épaisseur E\'^.

Soit xô un point de et y^ un point de l\'intervalle (r, d). Il suit
du théorème du n» 12, que si au point x^, y^ le cas a) se présente,
les 2 nombres dt{x\'„ y,) et Dt{x\'„ y«) doivent être finis et égaux
entre eux; donc pti4,yo) existe. De môme, si au point //q. le
cas b) se présente, d7{Xo,yo) et I)7{x\',,y,) sont finis et égaux\'entre
eux et pr(^i,yo) existe.

Il existe donc une fonction g)(x,!/), définie quels que soient x,
appartenant a, E\'q et y appartenant à l\'intervalle (c, d), coïncidant avec
aux points avec ou p~{x^,y) resp., aux

points iCo, y où le cas a) resp. le cas b) se présente. qo(a-, y) est conti-
nue par rapport à y, car (p{x, y) = lim <p{x, y„), si y„ tend vers y,
.donc = lim (p{x.^■^/), si y\' tend vers y, puisque tout 9t>(a?ojy\') est
lui-même limite de (p{x,yj.

De notre hypothèse 3"), il résulte (d\'après n» 13) que q){x,y) (x ap-
partenant à Eq) possède une dérivée unilaterale\'finie, = a{x, y), quel-
que soit y appartenant à l\'intervalle (c, d).

Donc pour une telle valeur de x, la variation de g){x, y), c. à d.
le nombre (p{x, y) — (p(x, c), est entièrement déterminée par la con-
naissance de o{x,y) pour cette valeur de x.

Considérons maintenant f{x, y„) ; puisque f{x, y.) est à nombres
dérivés finis par rapport à x (hypothèse 1»), la variation de ƒ (pour
cette valeur y„) par rapport à x, est entièrement déterminée par la
connaisance de la dérivée gp(x, y), sur la pleine épaisseur E\'^.

Donc, f{x, y.) - /(a, y„) étant entièrement déterminé et y„ étant
partout dense sur l\'intervalle c < y <. d, A{f,r) est entièrement
déterminé.

supposée existante et finie, y étant un carré quelconque contenant x, y,
le côté u tendant vers 0.

Il suffit évidemment de démontrer, que A{f, r) — 0, si X{x, y) — 0
en tout point de r.

En effet, puisque /(x, y) est continue, il existe un rectangle r,
dont le rapport des côtés = nombre rationnel p/q (p et q nombres
entiers), et tel que

tels que y^^, est contenu dans y\'„ et que mes (y;.^,) = mes y„. Il
existe donc un point M\' et un seul appartenant à tous les yl, et
l\'on a

D\'une manière analogue, on trouve un point M", tel que
X{M")^ù} -f £. Donc notre lemme est établi.
Supposons O) ={= 0.

Donc en tout cas, ou trouve un point, où ^ 0.
Donc si À{x, y) = 0 en tout point, w = r) doit être 0, c. q. f. d.
16. Un raisonnement analogue permet de démontrer que id (/, ro)
eut entièrement déterminé par la dérivée réguUh-e^) y), supposée

») Voir n®. 10 b), çix, i/) est la valour commune de« r( et Hf supposés égaux
entre eux.

existante et finie en tout point de ro, si l\'on fait l\'hypothèse complé-
mentaire, que pour une sidte régulière de rectangles r„ ayant un point

17. Il est est bien facile de former des fonctions dérivées \'s{x, y),
non sommables au sens de Lebesgue^).

En effet, si (p{x) est une fonction continue d\'une seule variable
indépendante, admettant une dérivée non sommable la fonction

donc s{x, y) existe et =(p\'[x), donc s{x, y) n\'est pas sommable, car
toute fonction sommable est sommable par rapport à x pour une
pleine épaisseur de valeurs de y.

Nous avons démontré, que si s{x, y) existe (et est finie) et si
nous supposons /{a, y) =f{x, c) = 0 (ce qui est toujours permis),

s{x, y), dérivée d\'une fonfction continue en y, est donc totalisable
sur chaque droite parallèle à Oy (et sur chaque droite parallèle à Ox)

») Dans ce qui suit, j\'entends i,a.r\'i»tégrale toujours Viniegrale double, c. à d
\' lim 2 mes. ens. {h y) < /, ,} (les /J étant une ëchollo de nombre, allant

^e — œ à 4- oo) pour une suite quelconque do subdivisions, tollo que max (/, , — It)
lend vers zéro.

Pour calculer l\'intégrale répétée j^dx s{x, y)dy, si cette intégrale n un
d

aens, il faudrait calculer J^s(x, y)dii pour une pleine épaisseur de valeurs d© x,
<

■ce qui exigerait une infinité non dénombrabie d\'opérations. Or, notre but est do
«e pas sortir du dénombrable. ^

\\ « \' ■
. Totalisons [y) TU{x, y) = d) -p{x, c).
p{x,y), continue pas rapport à y, peut avoir, par rapport à a:\'
toutes les discontinuités de la fonction dérivée la plus générale^
Donc, pour pouvoir calculer

de Xo, c. à d. il faut effectuer une infinité non dénombrable d\'opé-
rations. ^

L\'objet des pages suivantes est de donner une méthode exigeant",
seulement l\'emploi d\'une suite dénombrable de calculs.
Faisons d\'abord une remarque générale.

du rectangle r, le problème de l\'intégration i) est de retrouver A{f, r>
pour tous les rectangles r.

>) Tout revient, comme nous verrons, à donner le moyen de trouver un en-
semble fermé E, agrégé à an ensemble fermé E (non dense, donné quolconqueV
et non dense sur E, en dehors duquel la totalisation puisse être effectué si ell^
est déjà effectuée en dehors de A l\'analogie de la totalisation dans le cas liné-
aire, on pourrait être tenté de tirer parti de la décomposition du complémentaire
de E en régions distinctes tâcher de définir la totalisatioa

pour l\'intérieur de iî„, puis pour le domaine , correspondant à !{„■ puis tâcher
de réunir D„ et D„, si et ont des points en commun, etc. Mais un exem-
ple simple montrera que la décomposition du complémentaire de K en régions-
distinctes ne peut pas jouer un rôle dans la totalisation.

Soit g>{x) une fontions continue, dont la dérivée (z) existe en tout point
du segment 0, 1 et admet pour ensemble de points de non-sommabilité un certaia
ensemble parfait H de points extrêmes 0 et 1. La fonction /(x

dont l\'ensemble des points de non sommabilité est constitué par des segments-
»Te((>, 1). Xt appartenant à II.

L\'ensemble complémentaire est composé d\'une infinité dénombrable de réirions-
distinctes.

y), P»"\' 0 < y ^ 1 ; != 0, pour _ 1 ^ y ^ q
point une dérivée (x, y), dont l\'ensemble des pointa de non-sommabilité est le

moine que celui pour /[x. y). Maintenant l\'ensemble complémentaire est une seule
region.

Or, A(f, r) dépend continûment des 4 paramètres, dont dépend r.
Donc il suffit de donner le moyen de calculer i(/, r\') pour tous
les rectangles r\', en infinité dénombrable, dont les cooirdonnées
des sommets sont des nombres rationnels. Nous les appellerons 7\'ec-
tangles à sommets rationnels. Si /o est donné quelconque, r)
peut être calculé comme lim4(/, r\'), r\' tendant vers ro-

19. Si s,(x y) est sommahle sur le rectangle r{a<^x<i_h, c<y<^d\\
on a l\'égalité

Mr\\>-)= f fs{x,y)dxdy^).
D\'après les propriétés de l\'intégrale de Lebesgue, on a:
Jf y)dxdy —JdxJî(a-, y)dy,

donc puisque dans le calcul de la totale les valeurs sur un ensem-
ble de mesure nulle peuvent être négligées,
d (

20. Supposons maintenant s{x, y) non sommahle.
Dans tous les cas, s{x, y) est la limite de la suite de fonctions
continues

>) C\'est flonleinont dans les démonêtrations que nous utilisons les intégrales
et les totales répétées, pour le calcul nous nous servons exclusivement de l\'inté-
Crale double.

u„ et y, étant deux suites de nombres, non nuls, tendant vers 0. Donc,
d\'après le théorème de Baire:

Quelque soit Vensemble parfait P, l\'ensemble des points au voisi-
nage desquels s{x. y) n\'est pas borné sur P, est non dense sur P.

Vensemble H des points, au voisinage desquels s{x, y) est non
sommable sur P, H est non dense sur P.

L\'expression „«(a;, y) est sommable sur P", signifie que la fonc-
tion a(x, y)r=s{x, y) sur P et =0 en dehors de P, est sommable.

21. Soit E l\'ensemble (fermé, non dense, d\'après 20) des points
du plan au voisinage desquels s{x, y) n\'est pas sommable. Pour tous
les rectangles r,, à sommets rationnels, ne contenant pas de points
de E dans leur intérieur, ni sur leur contour, nous calculons A{f, r^)
d\'après la formule:

■ /

L\'intégration besgienne sera appellée la première opération de la to-
talisation.

Les rectangles r^ étant en infinité dénombrable, nous n\'effectuons
qu\'une infinité dénombrable d\'opérations.

22. Soit maintenant r, un rectangle à sommets rationnels, con-
tenant des points de E sur son contour, mais n\'en contenant pas
dans son intérieur.

en désignant par r[ un rectangle variable, intérieur à r^, et tendant
ver.s rj; J(/", r,\') est déjà connu (n® 21).

Le calcul de A d\'après cette formule sera appelé la seconde opé-
ration de la totalisation.

Les rectangles r, sont en nombre nul, fini ou infinité dénombrable.
Dès à présent, quel que soit le rectangle r», ne contenant pas
de points de E dans son intérieur, A{f r„) peut être supposé connu.

2® possèdent un côté en commun et soient situés de part et
d\'autre de ce côté. Supposons que ce coté contienne des points de E
et appelons r^ la réunion de r, et /-j.

Le calcul de A d\'après cette formule sera appellé la troisième opé-
ration de la totalisation.

Q = l\'ensemble des points au voisinage desquels E est de seconde
sorte (n® 3).

Nous allons démontrer, que, si r^ est un rectangle quelconque ne
contenant pas de points de P dans son intérieur, A{f,r^) peut être
caculé en appliquant un nombre fini ou infinité dénombrable de fois
la première, seconde, et troisième opérations.

Pour cela, nous calculerons A{f, q) sur tous les rectangles q
51 sommets rationnels, ne contenant par de j)oints de P dans leur
intérieur; ces rectangles sont évidemment en infinité dénombrable.

Il existe un nombre fini ou transfini dénombrable P, tel que
E^= ... — P, étant diflféront de P.

1) ç contient des points de E, (dans son intérieur), ot no contient
pas de points de (ni dans son intérieur, ni sur son contour),
^^oit Q le rectangle a <C x <i p. y <. y <i à-

Tout point de n{E, q) ^tant centre d\'un rectangle, tel que la
projection do la portion correspondante de E, sur l\'un au moins
des deux axes, est dénombrable, on voit, en appliquant le lemme
de Borel, que ITiE, ç) est compris dans la réunion do 2 ensembles
fermés H et K, H étant constitué de segments s^{y, ô), H, est fini ou
dénombrable; K étant constitué de segments s^(a, K^ est fini ou
dénombrable.

A tou-^^ intervalle contigu a„cx<p„ de H., il correspond un
rectangle a„ y<!/<à}, tel que //(//-f A\', a„)—ÏI{K, aj.

L\'ensemble complémentaire de aj par rapport à a„ est divisé
en rectangles (en nombre fini on infinité dénombrable), oîi A est déjà
connu. De ees nombres on déduit i(/, cr„) en appliquant la 2"^« et
3"" opération en nombre fini ou une infinté dénombrable de
fois, d\'une manière analogue à celle employée dans la totalisation
de Denjoy»).

Après avoir calaculé A(/, pour toute valeur de m, on calcule
A{f, ç) au moyen des A(f, oJ de la même façon que A{f, o„) a été
calculé.

La démonstration, que le résultat obtenu, est exactement A(f,ç\\
se fait à l\'aide de la proposition du n® 9.

1 bis) Q contient des points de sur son contour, mais non
pas dans son intérieur.

On applique la seconde opération, A étant calculé pour tous les
rectangles du cas 1»). /

2°) Q confient des points de dans son intérieur, et ne con-
tient pas de points de E^ dans son intérieur, ni sur son contour.

2 bis) Q contient des points de E^ sur son contour, mais non
pas dans son intérieur.

De là on passe au cas 3), 3 bis),... w), n bis),... Si E^ existe,
et si Q ne contient pas de points de E^ dans son intérieur, ni sur
son contour, A{f, q) est déjà calculé dans un des cas n^) ou «o bis),
«0 étant un certain nombre fini.

(x) bis) Q contient des points de E^ sur son contour, mais non
pas dans son intérieur, et ainsi de suite.

Arrivé à l\'opération de rang fi), il ne reste qu\'à effectuer l\'opé-
ration de rang p bis), pour avoir ç) sur tout rectangle p, ne
contenant pas de points de E^ = P dans son intérieur. /

Dès lors A{f, j\'o) peut être supposé connu, quel que soit r^y
n\'ayant aucun point de F pour point intérieur; on n\'est jamais sortie
du dénombrable. i

uu rectangle contenant des points de P dans son intérieur, soit C(/7)
l\'ensemble complémentaire de r) par rapport à r.

Soit 0) uu nombre positif arbitrairement petit, D un domaine
correspondant à co (voir n® 8) et désignons par F(/, D) (variation
de j sur D). la somme des variations de f sur les rectangles (>,
constituant D.

Alors, si lim F( ƒ, Z>), pour w = 0, existe, nons dirons, que la ^
variation \'V(f, C{II)) de ƒ sur C{n) est définie et nous posons:

Le calcul de V{J\\ t\'ill)}. (si ce nombre est défini), sera la
quatrième opération.

Il suffit évidemment, de choisir une suite de nombres décrois-
sants. tendant vers zéro,

D\'après n» \'JO, l\'ensemble (fermé) H des points de P. au voisi-
nage desquels s{x,t/) n\'est pas sommable sur P, H est non dense sur P.
Soit M un point do P — H.

Nous dirons que r) est calculable au voisinage de M, si M
est centre d\'un rectangle y(M), tel que:

1» !\'{/•, C\'(77(/\', r))} est défini sur toute portion HiP, r) appar-
tenant à 77(F, y);

L\'intégrale J J\' cr(x, y rfxrfy existo dridom.nont pour tout rectangle r ne
contenant par do points do II dans son intérieur, ni sur son contour.

L\'ensemble des points M, au voisinage desquels A(f, r) est
calculable, est évidemment ouvert sur F. Son complémentaire K par
rapport à F, est donc fermé; K comprend évidemment B.

L\'ensemble R des points de P, au voisinage desquels A ( ƒ, r) est
non calculable, K est non dense sur F.

Il suffit de démontrer, que toute portion II[P, To) contient un
point M, au voisinage duquel A(/, r) est calculable; pour cela il
est permis de supposer que r^ ne contient pas de points de H dans
son intérieur, ni sur son contour (puisque H est non dense).
Nous établirons l\'existence de M:

1°) Si i7(P, ro) contient une portion II {F, »;) constitué de seg-
juents d\'o)] ró est le rectangle < x < è; < // < dg.

Si ITiF, ro) ne-satisfait pas à P), mais si II(P, r«) contient une
portion II(F, ról tel que /•;) coïncide avec le segment

3° Si JI(F, ro) ne satisfait ni à 1"). ni à 2°).
Donc l\'existence de M sera établi dans tous les cas.

28. Dans le premier, resp. le troisième cas, JI^(F, r^), resp.
IT^iP. ro) sont des ensembles parfaits discontinus. Désignons rô dans
le r\'" eus, et ro dans le .S"" cas, par r{a<x<&, et soient

En désignant par r\'„ un rectangle quelconque intérieur à r„ (sens
large), nous })Osons

>) Ce nombre est analoque à l\'oscillation relative dans lo cas d\'une seule
variable. Voir pour cette notion:

maximum. Nous prolongeons ses 2 côtés horizontaux (s\'il le faut)
jusqu\'à leur rencontre avec x=a„. On obtient (sauf dans le cas
a|,=a,) 2 rectangles nouveaux, ayant l\'un et l\'autre le point a„, y\'„
pour l®"" sommet et a„, ô\'„ pour 4*"® sommet et l\'on voit aisément

a„=a\'„, l\'un de ces rectangles est nul, l\'autre coïncide avec le rec-
tangle, sur lequel le maximum est atteint). Désignons ce rectangle
par r\'::

Prolongeons le côté vertical à droite jusqu\'à sa rencontre avec
y = c et y — d. Cette droite verticale et x = a„ déterminent avec une
droite quelconque y — y^ et les 2 côtés horizontaux res-

On voit en considérant respectivement les hypothèses: c^yo^^y-j
yn<!/o<ài. àl^yo^d, que ce rectangle peut avoir le point a„ y^
aussi bien pour 1®"" que pour 4™® sommet,
Donc notre énoncé est établi.

La seconde partie se démontre d\'une façon analogue.
29. Apellons: nombres /f, au voisinage de Xo [x^ appartenant
à n,) les nombres (i„ correspondant aux intervalles contigus a„ /3„

Supposons que l\'ensemble des nombres x,, au voisinage desquels
les 7iombres fi, ne sont pas bornés, soit dense sur /7., eu autres termes,
contienne une portion 77^ de 77,.

\') Voir pour co typo de raisonnoinont Denjoy, Journ. de Math. 1916, p. 1 9.
On applique lo principe suivant:

existe un ensemble partout dense R sur ZC, tel que tout point x«
de K est premier sommet d\'une infinité de- rectangles ri dont la

l\'un au moins des 2 nombres et ;L,I estooau point ^o, c-
, Si une telle suite .n\'existe pas, il existe évidemment une suite
de rectangles r\'J, tendant vers un segment limite d).

tendre vers ±oo que si l\'un au moins des nombres X,, L,
est infini au point rr«, ô, ou si l\'un au moins des nombres rf/l et
[i> est infini, soit au point Xo,c, soit au point x^.ô.

Donc, en supposant L,, l, et L, /inis (eu particulier en suppo-
sât l\'existence (Tune dérivée s{x,y) finie), Vensemble des points x, de
77, au voisinage desquels les nombres /i,. ne sont pas bornés, cet ensem- \'
ble est non dense sur F.

Môme consequence, si l\'on suppose 4, L.,, et Lj finis.
30. Il existe donc, d\'après n» 29, un rectangle
appartenant à r, tel que les nombres //„ sont liornés sur U,{F,r^)
par un môme nombre fini A. f \' \' \'

Je dis que, dans le premier cas, A{f, r,) est calculable an voisi-
nage d\'un point quelcotu^ue M inté,ieur à

En effet, soit /•, un rectangle quelconque, appartenant à r, et
contenant des points de F dans son intérieur.
Considérons la fonction de -r, (a^ < x </>,):

tinu ou (Ii8C(/ntinu, à un nombre quelconque do dimensions), et si ie point M est
intérieur ^ un domaine il exutte un ensemble R partout dense sur P el\'àont
cha(iue point est intérieur à une infinité de domaines o)„

R est api,clé un résiduel, savoir un ensemble situé sur P et dont la coinpl.\'-
mentaire relativement à P est, ou bien non dense sur ƒ\', ou bien la réunion d\'une
infinité dénombrable d\'ensembles non denses sur P.

2® g) possède en tout point une dérivée finie =p{x, d^)—p{x, Cj)
3® p(x, df) — p(x, Cj) est sommable sur r,) et l\'on a:

Démonstration analogue à celle du n® 19.
4® L\'oscillation relative de (p{x) autour de (P, r^) est bornée,
et la variation de <p autour de 7Z,(F, r,) est définie. En effet, si aß
est un intervalle appartenant à un intervalle contigu a„ß„ de 7T(P, r,),
on a évidemment

en désignant par ]V{(p, a„, ß„) le nombre (p{ß,) — fp{an), et on éten
dant la sommation sur tous les intervalles contigus de rj.

Construisons maintenant un domaine D correspondant à un
»ombre positif cj assez petit.

Les rectangles g constituant 7>, ont tous leurs cotés horizontaux
sur y — c et y = d, donc on a:

si a<a;</3. est la projection de ç sur Ox, aß appartient à un
intervalle a„ß„.

Donc V{f, D) = somme dos variations de cp sur un certain
nombre d\'intervalles a\'J\',, intérieurs îi des intervalles cnntigUs
de (p- un intervalle a,.ß„ contient au plus un intervalle a\'Jl et
l\'on a: ~ < (o, ß^ — ßKo).

I^onc, puisque la variation do q> autour do 77,(P, r,) existe,
1° lim V{f, D) existe;

31. Désignons maintenant par r(a < x < è, c < y < d):
le rectangle (n» 30) pour le troisième cas,
le rectangle r\', (n® 27) pour le deuxième cas.

L\'ensemble des points x de r), tel que le segment sJc, d)
appartient à 7Z(/>, r), est un ensemble fermé non dense sur 77 s\'il
exista L\'ensemble complémentaire est donc ouvert et partout dense
sur r); a-,, appartenant à ce complémentaire, le segment s (c d)
contient à la fois des points de 77(P, r) et du complémentaire \'(7(77)
de 77(P, r); ces derniers points constituent des intervalles i (y ô)
dont l\'un au moins des extrémités. appartient à 77(P, r). l\'aitre
pouvant appartenir k y = c, on y = d, sans appartenir à 77(P, r).

L ensemble des points x», y et des point, x«, ô est partout dense
sur 77(P, r) 1).

Puisque p(x, 7j) est continue par rapport à y, le segment d)
contient au mains doux points x, y, ot x, y, tel que

\') .\'/) Jésigne la dérir,<e de f par rapport li x, ou plus généralement la
dériTée k droite (dans ce can s{x, y) est lu valour commune do et A,).

32. Supposons que Vensemble des points de II{P,r) au voisinage
desquels lés nombres ne sont pas bornés, soit dense sur U (ou
contienne une portion 77\' de 77).

Il en est donc de même de l\'ensemble où les nombres:
max\\p{x, ô}-p{x, y)\\ max\\p{x, y) - p{x, y)\\

le segment s,{y\\ y") pour côté gauche et dont le côté horizontal tend
vers zéro, on démontre, par un raisonnement analogue à celui du
n® 29, l\'existence d\'un résiduel R de 77\', dont tout point est premier
sommet d\'une suite de rectangles ;•\', dont le côté horizontal tend

33. On peut donc déterminer toujours une portion Il{l*, r,) do
l\'ensemble n{F, »•) du n® 31, sur lequel les nombres fi sont bornés
par un nombre fini B.

Je dis que, dans le deuxième cas, û est calculable au voisinage
de tout point intérieur à n{F, rj).

Soit r, un rectangle intérieur à r, (sons large), tel que I1{1\\ r)
existe; il faut démontrer que l\'on a:

Tout domaine D, est la réunion d\'un nombre fini do rectangles
C» du type ^ w„^^ u», »ans points intérieurs en
commun.

On a: \\(p„{x)\\<M(d~c), donc cp„{x) étant mesurable, est inté-
grable. \'

A l\'aide de cette expression nous allons démontrer que lim F(./; D„)
existe. Il nous suffit de démontrer, d\'après le théorème""^ la pas-
sage à la limite sous le signe ƒ pour les fonctions bornées, que

le second membre désignant la somme de la série absolument
convergente des nombres p(x., ô)y), si les intervalles (d, y)
sont les intervalles contigus (s\'il en existe) de l\'ensemble fermé
(s 11 existe) commun à d,) et /7(P, r,). Si aucun intervalle con-
tigu n existe, nous posons = si l\'ensemble fermé y>oxxtx = x,
n existe pas, nous posons (p{x,) = d,) ~ p{x,, c,).
(p{x) est une fonction bornée de x^).
Je dis que cp„{x) tend vers (p(x)^).

L\'ensemble commun à D et x = x,, s\'il existe, est un nombre fini
d intervalles, intérieurs aux intervalles contigus do la section do II{P )
avec x^xo, tendant vers le système d\'intervalles contigus, si w tend
vers 0. fp,{x) pour une valeur de o: différente des points de division

\') <p{x) est la variation do p(x,\\ y) sur l\'ensemble complémentaire do l\'ensemblo
commun k x = et i/(P, r,).

X n\'est autre chose que la . variation de pix, i/) sur ce nombre fini
d\'intervalles. D\'où résulte, en remarquant (comme a,u n" 30) que la
variation de p{x\'y)- autour de l\'ensemble {i7(P. »v), a^o) est définie
que\'qD„(x) tend vers (p{x). Dans les cas particuliers où x = Xq [x,
difi"érent des x) ne contient pas de points de C(i7), ou de n{P, r),
(p^{x) = q){x) après une certaine valeur de û>„.

Si X appartient au système des x^ pour une infinité de valeurs
de M, il peut se faire que lim (p„[x) n\'existe pas, mais cet ensemble
est de mesure nulle.
Donc on a:

On voit aisément que la fonction à intégrer est égale à p{x, d^) —
■-p(x,r,), donc, puisque /(.r, d) -/ïx, c) est une totale indéfinie

34. Désignons maintenant par r{(i<x<b, c<y<d) le rectangle
r, du n° 33, pour ie troisième cas.

L\'ensemble //,(/\', r) est parfait discontinu; sur II{P,r) l\'ensom-
ble, des points a-, y et x, ô est partout dense. En désignant par
les intervalles contigus do r). mémo l\'ensemble des points

Considérons les rectangles r\', dont un côté vertical appartient
à un intervalle ô), x^ étant un point a„ ou^„, et dont la projection
r: sur Ox appartient à un intervalle contigu de 77,. En désignant
la longueur de aussi par r\',, nous considérons les nombres

Considérons en particulier les rectangles r\'(y) et /-\'(d), ayant pour
sommets les points x«, y et x^, d, et se projetant sur Ox dans r;
On voit facilement que les 2 nombres

En supposant que l\'ensemble des points de 77(P, r), au voisinage"
desquels les nombres v ne sont pas bornés, soit dense sur 77(7-\', r\\
on obtient une contradiction analogue à celle déjà obtenue aux
n" 29 et 32.

Donc, si six, y) existe et est fini, l\'ensemble des points de II (P. r)
nu voisinage desquels les nombres v ne sont pas bornés, est non dense
sur n{P, r).

35 II existe donc toujours une portion n{P,r^) de II[P, r)
telle que les nombres v sont bornés par un môme nombre fini\'C.
Je dis que A est calculable au voisinage de tout point intérieur

Désignons par r,(a,<x<Cb„ f,<y<f/,) un rectangle appartenant
à ri, tel que 77(P, r^) existe; nous choisissons une suite de nombres
décroissants, tendant vers zéro: ùj,,oj„.... w,,... et nous construisons
des domaines D,, !)„,... correspondants. Si n est assez grand,

il existe parmi les rectangles q de I) des rectangles ayant
leur côtés horizontaux re.^p. sur y = c, et y = d^ et encore d\'autres
rectangles (>,.
Ecrivons :

dans son intérieur et ç^ est la réunion d\'une infinité dénombrable. de
rectangles çô, ayant même hauteur que et se projetant sur Ox
comme les intervalles contigus de /^»(P, r^), (deux des çô peuvent se
projeter suivant des parties d\'intervalles contigus), et d\'un ensemble
parfait de segments sji/^, yâ)- Les nombres p{xo, y\'^ —pix^, y\\) sont
bornés et les nombres ii(çi)| sont en rapport borné avec çâ,, donc

Faisons la sommation sur les rectangles q.^ (e" nombre fini). On a:
2Ai/, ç,) = 2{^Aif, (>;)] 2Jlpix, y\',) - pix, y,]dx.

Oomme au n° 33, on montre que, si x appartient à njj\\ »\',),
^ jivi^iV\'^ — (4"® P®^^\' écrire aussi J (p„ix)dx,

si X n\'appartient pas à /7„ ^^ ^^ et (p„ix)=:Stp^ix)), tend vers ƒ g)ix)dx,

eu définissant (pix), pour x appartenant à 77.(/\', r) comme nous avous
fait au n" 33 pour x quelconque.

Ce nombre étant la somme d\'un nombre fini de séries absolument
convergente.s, noua pouvon.s prendre les termes dans un ordre quel-
conque.

Faisons d\'abord la somme des /3i) correspondant à des rec-
tangles çô se projetant dans un même intervalle contigu do II,,
cette somme est inférieure à C X X ~ 4

En faisant maintenant la somme sur les intervalles contigus de II„
nous voyons:

^i^Aif, q\\)) < CXid -c)X mes (projection dos sur Ox).
Or on voit facilement que cette mesure tend vers zéro avoc
Donc ^i2SAi/, ().j)) tend vers zéro.
Donc lim Vif, D„) existe et =

36. Ayant démontré que l\'ensemble K des points de F, au voi-
sinage desquels A est non calculable, est non dense sur F, soit r^
un rectangle à sommets rationnels, étranger à K et contenant des
points de F — K dans son intérieur.

Tout point de n{F, r^) est centre d\'un plus grand carré y (de
demi-côté u) tel que A est calculable sur tout rectangle r\' intérieur
à y. On voit que le minimum des nombres u est un nombre posi-
tif Uq (cf. n» 4). Divisons r^ en un nombre fini de rectangles ?v(de
côté et calculons les nombres A{f, r\'^. On trouve ensuite A{ f, /-q)
par la formule

En appliquant la 2®® opération, ou trouve A{/, ?•) sur tous les
rectangles à sommets rationnels, qui contiennent des points de K
sur leurs contours mais pas dans leur intérieur.

Nous sommes dans le cas étudié, E étant remplacé par K, nous
faisons des calculs analogues; et ainsi -de suite. Nous obtenons une
suite d\'ensembles fermés:

Chacun des ensembles étant non dense sur les précédents, la suite
s\'arrête à un ensemble nul à un certain rang fini ou dénombrable.

Arrivé à ce rang, nous connaissons A sur tout rectangle à som-
mets rationnels, après avoir fait seulement une infinité dénombrable
d\'opérations.

3. Hulpstelling I van § 6 Iaat voor meer onafhankelijk veran»
derlijken nog andere generalisaties toe dan de stelling van § 6.

4. Een continue functie ƒ (x, y), die in elk rechthoekig gebied
buiten een niet dichte afgesloten verzameling E van de maat
nul, samenvalt met een functie g^r (x) /ir (y), valt overal
samen met een enkele functie g (x) h (y), als in elk punt
van E de getallen k, Lu h, Lx, of ook de getallen c en C
(diss. § 10 en eindig zijn.

5. Het is mogelijk, om, onafhankelijk van de stelling van Baire,
een rij continue functies te construeeren, die convergeert
tot een gegeven approximatief continue functie (meer alge=
meen een functie a prcpondérancc dc continuïtc vooreenzelfdcn
kant) of tot een gegeven appro.ximatieve afgeleide (meer
algemeen een nombre dérivé prépondcrant). ¹■)

6. Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde, dat een functie
f(x, y) van begrensde totale variatie is (in den zin van Hardv),
is, dat op elke afgesloten verzameling de variatie gedefinieerd
is (in den zin van § 8 van dit proefschrift).

7. Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde, dat een afge«
sloten verzameling van dc 2c soort is (diss. § 5), is, dat ze
begrepen is in de vereeniging van een aftelbare oneindigheid
van rechten x =■ const. en y = const.

8. Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde, dat ƒ (^x) het
verschil is van 2 convexe functies. is, dat ƒ (^x -}- y) van
begrensde (2=\'dimensionale) variatie is ten opzichte van x, y.

9, Dat men langen tijd een functie ƒ (x) continu noemde, als
ze tusschen a en b elke waarde aanneemt tusschen/(a) en
f (b), (verschillend ondersteld), komt waarschijnlijk hier«
door, dat men alleen aan discontinuïteiten van de le soort
gedacht heeft.

10. Van de uitkomsten van dit proefschrift zijn toepassingen
te maken in de complexe?functietheorie.

11. In Math. Ann. Bd. 83, pag. 120, laat H. Hake de vraag
open, of iedere functie, integreerbaar volgens Perron (in
meer uitgebreiden zin), ook integreerbaar is volgens Denjoy.

Deze vraag moet bevestigend beantwoord worden.
Bovendien bestaan er functie\'s, integreerbaar volgens Denjoy
(in den meest algemeenen zin), die niet integreerbaar zijn
volgens Perron¹),

12. Dat van een continue functie f(x) dc variatie f(b)—f(a)
bepaald is door de gegeneraliseerde le afgeleide:

13. Er bestaat voor het lineaire continuum een redenecrprincipe,
dat analogie vertoont met het principe van de volledige inductie.

14. In dit proefschrift mag een zekere puntverzamcling toegelaten
worden, waar de afgeleide oneindig is.

15. Is f(z) een continue, cenwaardige complexe functie, die
in elk punt binnen zeker gebied een eindig of oneindig
differentiaalquotiënt heeft, dan is de verzameling van dc
punten, waar f\'(z) = oo is, nergens dicht en van dc maat
nul; de verzameling P van de singulariteiten van f{z)
bevat in elke omgeving van elk harer punten, punten die
op een continuum binnen P liggen.

16. Ten onrechte ontbreekt in Hobson „Theory of Functions",
2<i Ed. vol. I, de vermelding, dat de in § 91 en § 112
behandelde splitsing van puntverzamelingen op hetzelfde
neerkomen.

17. De figuur van de 10 rechten, die door alle exemplaren van
een 5:«voudig oneindig lineair stelsel van quadratische opper«
vlakken gesneden worden in de puntenparen van eenzelfde
involutie (Ch. v. Oss, diss. Utrecht 1916, Hfdst. VIII, § 7,

blz. 159), bestaat uit de 10 gemeenschappelijke bisecanten
van 2 kubische ruimtekrommen.

18. Een convexe kromme heeft in alle punten (afgezien hoogstens
van een aftelbare oneindigheid) een raaklijn.

19. De verklaring, die Dember en Uibe (Leipziger Berichte, 1917)
(Ann. der Physik 55. 587, 1916) geven van den schijnbaren
vorm van het hemelgewelf, is niet bevredigend.

20. Het „Prinzip der beschränkten Arithmetisierbarkeit der
Beobachtungen" van Bernstein (Math. Ann. dl. 71. blz. 419)
dient met voorzichtigheid toegepast te worden.

21. Het bewijs, betreffende de uniciteit van dc ontwikkeling van
een functie naar veeltermen van Abel, voorkomende in de
dissertatie van A. A. Nijland (Over een bijzonder soort
gehcelc functiën, blz. 69, § 48) is van geen waarde.

22. Lc principal gage des progrès de l\'esprit est dans l\'instinct
qui nous pousse à quitter sentes et chemins pour monter
droit à la source des faits. A- Di^njoy.

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