1924

HET ARITHMETISCH
CONTINUUM

; " •

I p

iM

•■ ■ < »

. JFK\'v

v/i

■»■■tv\'.\'."

Ni • < V

1 . V

, ■ A

.• [

. s

......

■ ■ • ". ■■■■ \' \' \' j \'

■■ ■■• ...... ■ - , - .. J\'

c/

HET ARITHMETISCH CONTINUUM

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD
VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT, OP
GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS Dr. H. F.
NIERSTRASZ, HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT
DER WIS- EN NATUURKUNDE, VOLGENS BESLUIT
VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT, TEGEN
BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN
NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN OP MAANDAG
3 NOVEMBER 1924, DES NAMIDDAGS TE 4 UUR

DOOR

JOHANNES THIE

GEBOREN TE RODEN (DR).

y-, _ -,

v

Aan mijn Ouders.

:mm

■ mSr, - :

Bij het indienen van dit proefschrift betuig \'ik allen, die
tot mijn wetenschappelijke vorming hebben bijgedragen, mijn
hartelijken dank.

In het bizonder ben ik U erkentelijk, Hooggeleerde Wolff,
Hooggeachte Promotor, voor Uw heldere voorlichting, groote
bereidwilligheid en voortdurende belangstelling.

Qm

■■Vf\'

- •

• > • -

- ^Iv

W

■ fyt-
■ î.\'.

\' S

INHOUD.

BIdz.

Inleiding..........................................1

Noodzakelijkheid van het systeem............4

De theorie van Dedekind...............9

De theorie van Cantor................14

De theorie van Baudet...........•.....18

Het Continuum...................27

Slotopmerkingen..................33

u O H

■ t^.

Î

•iß\' ■ ■ ivwrv".\'\'-

« \'t\';

•-Sr .

INLEIDING.

Tusschen de beide groote gebieden der wiskunde, de iVleetkunde
en de Analyse, bestaat, hoe verschillend van aanzien beide ook
zijn, ,op velerlei wijzen verband. Dit verband, hoewel dikwijls
schijnbaar gezocht, is zoo sterk, dat het aanleiding heeft gegeven
tot het onderbrengen van analytische objecten onder de meetkunde
en omgekeerd. Van het eerste is zeker het irrationale getal een
belangrijk voorbeeld.

Wanneer we in het kort de geschiedenis van het irrationale
getal nagaan, merken we op, dat het begrip „irrationale grootheid"
reeds bij Euklides aanwezig is (Pringsheim, Encyclopedie der
Math. Wissenschaften). Hij kent dit echter niet als een getal,
doch als een verhouding van twee meetkundige grootheden, die
geen gemeenschappelijke maat hebben. Uitdrukkelijk zegt hij:
onmeetbare grootheden verhouden zich niet als getallen.

De eerste, die een begrip heeft gehad van irrationale getallen
is M. Stifel, die zegt, dat de irrationale getallen evengoed als
de rationale een bepaalde plaats in de geordende getallenrij
toekomt, waarmee dus het ordebegrip naar voren komt, iets
dat ook in de moderne theorie van de irrationale getallen een
fundamenteele rol speelt.

Als eindelijk Descartes zijn nieuwe Meetkunde gegrondvest
heeft, waardoor met de geometrie der ouden volkomen wordt
gebroken, komt meer dan ooit de behoefte op om het begrip
van het irrationale getal verder uit te spinnen. Newton zegt reeds,
dat de verhouding van twee grootheden een getal aangeeft. Toch
heeft zulk een getal nog altijd meetkundigen ondergrond, het
ontstaat door het meten van segmenten door middel van een
willekeurig gekozen eenheidssegment. Bij het zoeken van een
gemeenschappelijke maat door onderverdeeling van het eenheids-
segment, vindt men een onbegrensde rij van rationale getallen

1

die men een nieuw getal noemt, dit is dan geoorloofd, omdat
met een dgl. metingsrij een bepaald segment overeenkomt. Omge-
keerd kan echter niet geconcludeerd worden, dat met elke
getallenrij een bepaald segment overeenkomt; op grond van
bovenstaande opvatting kan men dus niet zeggen, dat elke ge-
tallenrij een getal voorstelt. De theorie is echter in zooverre
belangrijk, dat zij één der moderne theorieën, die van Cantor,
een duidelijker basis geeft.

Het zijn Cantor en Dedekind geweest, die de laatste band,
die het irrationale getal aan meetkundige objecten koppelde,
hebben doorgesneden. In de Math. Annalen Bd. V wijst Cantor
erop, dat elk arithmetisch gebouw op bovenstaande wijze gecon-
strueerd alleen met behulp van een zuiver geometrisch axioma
kan worden vergeleken met segmenten.

Tot zoover zijn dus alle begrippen omtrent irrationale getallen
afkomstig van meetkundige overwegingen; een gebied der Wis-
kunde dat naar uiterlijke vorm niets met Meetkunde te maken
heeft, is gedurende eeuwen door diezelfde Meetkunde beheerscht.
MetWEiERSTRASZ-CANTOR-DEDEKiNDkomtde kentering; Dedekind
schrijft: „Statt dessen fordre ich, dasz die Arithmetik sich aus sich
selbst heraus entwickeln soll." (Stetigkeit und irrationale Zahlen).
Klaar en duidelijk is hier uitgesproken, dat men wil breken met
de prioriteit der Meetkunde, men stelt zich op het standpunt, dat
de Analyse moet zijn een vrije schepping, berustend op axioma\'s
desnoods, maar dan op eigen axioma\'s. En wonderlijk genoegd
krijgt nu bij veel wiskundigen de Analyse een zekere prioriteit,
de Meetkunde kan worden gearithmetiseerd. Hiermee wil nu weer
niet gezegd zijn, dat de Meetkunde afhankelijk is van de Analyse,
ook zij kan zich zonder de analyse uitgaande van enkele axioma\'s
uitstekend ontwikkelen. (D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie).
Met de prioriteit van de Meetkunde is het echter gedaan.

Van de genoemde theorieën over der invoering der irrationale
getallen zijn die van Cantor en Dedekind de belangrijkste.
Uiterlijk zeer verschillend, kan men ze toch uit elkaar afleiden
(Hobson,\'Functions of a real variable). Die van Cantor is wel
de meest doorzichtige, het is ook de theorie die het meest aan-
sluit bij de historische ontwikkeling der irrationale getallen.
Immers hij beschouwt een rij van rationale getallen a^, a^, a^ . . . ^

met de eigenschap | — ffn | < /z > N; ^ = O, 1, 2,.....

Deze rij kan men dan vergelijken met de rij, die men krijgt
bij het zoeken naar de gemeenschappelijke maat van twee meet-
kundige grootheden. Zoo\'n „fundamentaalrij" stelt dan een getal
voor. Cantor leidt hieruit af de limiet van getalverzamelingen.
De fundamentaalreeksen zijn gemakkelijk te hanteeren, de mathe-
maticus heeft van een dgl. rij een behoorlijke voorstelling, het
rekenen met deze nieuwe getallen is, vergeleken bij de Dede-
kindsche, eenvoudig.

Theoretisch is echter de Dedekindsche methode boven die
van Cantor te stellen, zooals wij later zullen zien. Op geniale
wijze wordt door Dedekind in zijn: „Stetigkeit und irrationale
Zahlen" het begrip „Snede" ontwikkeld, een begrip, dat bij alle
theorieën over irrationale getallen terug gevonden kan worden.
Zijn theorie is abstracter, de bewerkingen met de nieuw inge-
voerde getallen zijn omslachtiger, de opzet is echter ruimer dan
die van de Cantorsche theorie.

NOODZAKELIJKHEID VAN HET SYSTEEM.

Alvorens over te gaan tot de beschouwing der irrationale
getallen, zullen wij enkele opmerkingen maken over de opbouw
van een getalsysteem. De grondslag van elk systeem is de ver-
zameling der natuurlijke getallen. Deze uiterst belangrijke, voor
iedere niet-mathematicus volkomen duidelijke verzameling, zullen
we niet verder bekijken, waarmee niet gezegd is, dat de meeningen
van alle mathematici omtrent de opbouw hiervan volkomen parallel
loopen. Axiomatici als Dedekind willen haar afleiden uit enkele
axioma\'s (Was sind und was sollen die Zahlen); intuitionisten
als Brouwer zijn klaar met de woorden: „1, 2, 3 . . . . deze
rij is intuïtief duidelijk" (Grondslagen der Wiskunde). De laatste
methode is ongetwijfeld de meest eenvoudige; de vraag, of zij
wiskundig den voorrang genieten moet, is nog altijd actueel. We
zullen deze verzameling bekend onderstellen.

Men kan nu rekenregels geven voor de natuurlijke getallen.
De meest eenvoudige bewerking is de optelling; we welen dat
het resultaat van elke optelling van twee natuurlijke getallen
weer een natuurlijk getal is; we kunnen zeggen dat de optelling
binnen het domein der natuurlijke getallen steeds mogelijk is.
Anders staat het met de tegengestelde bewerking, de aftrekking.
Is a -f- ö = c, dan kan men afspreken, dat a = c — b en zoo de
aftrekking van 2 getallen c en b defineeren. Natuurlijk moet dan
c > 6 zijn. Toch bestaat er geen bezwaar tegen om ook voor
\'tgeval c<ö aan de uitdrukking c — ö de beteekenis van een
getal te geven, het „getal" a is dan geen natuurlijk getal, maar
een zg. negatief getal. Voegt men deze getallen toe aan de
natuurlijke, dan ontstaat een uitgebreider verzameling, die der
positieve en negatieve getallen. Het getal a — a noemt men het
getal nul. De inverse bewerking der opteloperatie geeft dus
onmiddellijk aanleiding tot uitbreiding van het getalsysteem.

Een tweede uitbreiding der getalverzameling ontstaat door de
vermenigvuldiging en haar inverse. Vermenigvuldiging is in het
domein der bovengenoemde systemen steeds mogelijk; de inverse

Q

bewerking niet. Is ab = c, dan kan men definieeren a = zoo-
dat dus een getal a van de verzameling kan worden voorgesteld
c

door het getallenpaar Omgekeerd echter is elk getallenpaar

(c, b) geen getal der verzameling, m.a.w. de inverse bewerking
is binnen het domein der positieve en negatieve geheele getallen
niet altijd uitvoerbaar. Wil men nu toch aan elk getallenpaar
(c, b) de beteekenis van een getal toekennen, dan moeten nieuwe
getallen ingevoerd worden. Hier is dus niet ver gezocht om te
postuleeren: elk getallenpaar (p, q) waarbij g^O stelt een
nieuw getal voor, een breuk. Voegt men deze getallen nog toe
aan de reeds bestaande verzameling, dan is ook de inverse
bewerking der vermenigvuldiging altijd mogelijk. Men noemt de
zoo ontstane verzameling die der rationale getallen.

Het eerste werk is nu om elk getal der nieuwe verzameling
zijn plaats aan te wijzen, m.a.w. de verzameling der rationale
getallen te ordenen. Hiertoe kan men als volgt te werk gaan:

1°. T ^ ^ als resp. ad > bc; ad=bc; ad < bc.

0 d

2". We definieeren j = a, waardoor de plaats der nieuwe

getallen tusschen de oude wordt bepaald.

Optelling kan worden gedefinieerd als:

a , c^_ ad bc

b d ~ M

Vermenigvuldiging als: ^ X ^ =

Op analoge wijze definieert men de inverse bewerkingen,
gemakkelijk blijkt dan dat in deze definities de bewerkingen
met de natuurlijke getallen liggen opgesloten. Doordat de reken-
regels voor de nieuw ingevoerde getallen ook voor de oorspron-
kelijke getallen gelden, is de naam „getal" voor het complex
{a, b) gerechtvaardigd.

De opmerking moet gemaakt, dat bovenstaande definities oogen-

schijnlijk vrij willekeurig zijn, ook de aard van een getal {a, b)
is nogal duister. Veel eenvoudiger zou het dan ook zijn om een
breuk als volgt te definieeren: Verdeel de eenheid in b gelijke
deelen en neem a van die deelen; dan heeft men de breuk

^en het is ongeveer duidelijk wat hiermee wordt bedoeld. Echter

hier neemt men zijn toevlucht tot zaken, die niet meer zuiver
arithmetisch zijn, men vooronderstelt hier het begrip eenheid,
die men in gelijke deelen kan verdeelen. Wil men zuiver arith-
metisch blijven werken, dan is dit niet geoorloofd en ook niet
noodig. In zijn „Functions of a real variable" geeft Hobson dan
ook een middel om de aard der breuken duidelijker te zien,
onafhankelijk van het verdeelingsbegrip.

Men kan de elementen van een eindige verzameling laten
correspondeeren één aan één met de getallen van een aanvangs-
segment der natuurlijke getallen, b.v. 1, 2, . . . . b. Hoe men deze
(1, 1) correspondentie ook inricht, altijd krijgt men hetzelfde aan-

vangssegment 1, 2.....b. (Brouwer, Mengenlehre, deel pag. 5.)

Kies nu een deelverzameling en laat daarmee correspondeeren
het segment 1, 2, . . . . a, waarbij a < b, dwz. we hebben a
elementen genomen uit de verzameling van b elementen. Dit kan

men aanwijzen door de schrijfwijze het getallenpaar ^ noemen

we een breuk. Wil men een breuk ^ (fl > ö) definieeren, dan
neme men meerdere verzamelingen van b elementen en kieze
daaruit weer a (o > b). Zoo kan men y beschouwen als de ver-
zameling van a elementen die elk behooren tot de verzameling (7).
Deze interpretatie lijkt mij even voor de hand liggend als de
verdeelingsinterpretatie. Du Bois-Reymond meent (Allgemeine
Functionenlehre) dat een breuk is ontstaan bij de oervolken om
een buit te verdeelen. Maar men zal toch wel eerst begrip gehad
moeten hebben om 6 reebokken onder 3 personen te verdeelen
(bovengenoemde opvatting) en daarna 3 reebokken onder 6 per-
sonen. En daar de oorsprong van de vermenigvuldigingsregel

Q Q QQ

b ^ d~M ^^^ duister ligt is voor de eene opvatting

evenveel te zeggen als voor de andere, terwijl bovenstaande het
voordeel heeft, geen beroep te doen op het verdeelingsprincipe.

De verzameling der rationale getallen, die we met R zullen
aanduiden is er een van eerbiedwaardigen omvang. Russell noemt
haar in zijn „Principles of Mathematics" zelfs continu, waarmee
hij dan bedoelt, dat er tusschen elke twee elementen altijd een
derde en bijgevolg oneindig veel liggen. Wij zullen haar liever
„dicht in \'zich zelf" noemen. Verder noemt hij haar „endless"
d.w.z. zonder eerste of laatste element. Zeer merkwaardig is de
eigenschap, dat zij aftelbaar is, d.w.z. de elementen kunnen in
<1, 1) correspondentie worden gebracht met de elementen der
natuurlijke getallen. Een zeer eenvoudig bewijs van de aftelbaar-
heid is het volgende. De rij der natuurlijke getallen is aftelbaar.
Het product van twee aftelbare verzamelingen is weer aftelbaar.
Breng nu de verzameling der natuurlijke getallen in het quadraat,
dan krijgt men juist het R systeem, dit is dus aftelbaar.

Ten slotte nog de bewerkingen Machtsverheffing en haar inverse.
De eerste is weer mogelijk in het domein der rationale getallen,
de laatste echter niet. Dedekind laat b.v. zien, dat \\/2 niet
bestaat in het R systeem. Wil men nu ook deze bewerking een
beteekenis geven, dan moet de verzameling nogmaals worden
uitgebreid. De vraag is echter hoe. Bij de laatste uitbreiding ging
men eenvoudig zeggen: elk complex {a, b) zal een getal voor-
stellen, de deelingsoperatie gaf de uitbreiding als vanzelfsprekend
aan. Maar hier wordt de zaak moeilijker, de worteltrekking geeft
geen directe aanwijzing voor de nieuw in te voeren getallen.
Bij nadere beschouwing van het R systeem wordt men echter
vanzelf gevoerd tot oneindige getalverzamelingen. Hiertoe merken
wij op, dat de deelverzameling der quadraatgetallen van het R
systeem overal dicht ligt t.o.v. de verzameling R. Kiest men nu een
getal p van R dat geen quadraat is, dan kan men een rij van
quadraatgetallen van R bedenken, die meer en meer totp naderen en
het ligt voor de hand, om de rij, die men krijgt door de wortels uit
elk der quadraatgetallen te nemen, als het getal te beschouwen
dat \\/p voorstelt. Op dezelfde manier kan men handelen t.o.v. van
hoogeremachtswortels. Het is duidelijk, dat men op deze wijze

alleen krijgt de algebraische getallen, doch het principe is aange-
geven en kan ook worden uitgebreid tot transcendente getallen.

Ook de ontstaanswijze van het getal n geeft aanwijzing voor
de te volgen methode en ook hier komt men tot de beschouwing
van een oneindige getallenrij.

De bedoeling van bovenstaande is niet om een wiskundig
betoog van de ontstaanswijze van de irrationale getallen te geven,
doch slechts om in \'t kort uiteen te zetten, in welke richting men
noodzakelijk wordt gevoerd. Bovenstaande gedachte ligt ook aan
alle theorieën ten grondslag, al wordt zij daar ook niet uitgesproken.

We zullen nu overgaan tot de bespreking van de belangrijkste
theorieën, nl. die van Dedekind, Cantor en Baudet. Op de
eerste twee theorieën is door Russell (Principles of Mathematics)
scherpe critiek gegeven, terwijl Hobson in de genoemde Functions
of a real variable aantoont, dat beide gelijkwaardig zijn, d.w.z.
dezelfde resultaten geven.

DE THEORIE VAN DEDEKIND.

In het jaar 1872 zijn onafhankelijk van elkaar twee theorieën
over de invoering der irrationale getallen ontworpen, de één door
Dedekind in zijn beroemd werkje: „Stetigkeit und Irrationale
Zahlen", de andere door Cantor in Band V der Mathematische
Annalen. Het werk van Dedekind bestaat uit twee naar hun aard
zeer verschillende deelen; de paragrafen 1, 2 en 3 vormen, zou
men kunnen zeggen, een populaire, volkomen onwetenschappelijke
aanloop tot het kernpunt van het betoog, dat in paragraaf 4
gegeven wordt. In deze populaire inleiding voert Dedekind het
systeem der rationale getallen in en beeldt deze af op een rechte
lijn. In par. 2 spreekt hij van de analogie van de punten van een
rechte en het systeem R der rationale getallen. Om deze analogie
aan te toonen, noemt hij de volgende drie eigenschappen van
het R systeem:

1°. Is een getal a > b en b > c, dan \\s a > c.

2^. Zijn fl en c twee verschillende rationale getallen, dan ligt er
altijd een rationaal getal b (en dus oneindig veel) tusschen a en c.

30. Is a een getal van R, dan vallen de getallen van R uiteen
in 2 klassen, A^ en Ao, die beide oneindig veel individuen
bevatten, en waarbij alle getallen van A^<a en alle getallen
van 4 > fl zijn, a zelf kan dan ad libitum tot A^ of Ao gerekend
worden.

Neemt men op de rechte lijn een nulpunt en een eenheids-
segment aan, dan gelden voor de punten op die rechte analoge
eigenschappen. Op den keper beschouwd, komen wij op deze
wijze geen stap verder, wat Dedekind hier doet is niets anders
dan het R systeem op een andere wijze voorstellen, men zou
kunnen zeggen een andere symboliek invoeren, in plaats van het
getal V2 te schrijven, zet hij nu een punt. De bedoeling is
echter om ons te laten zien, dat er op een rechte lijn nog

andere punten geconstrueerd kunnen worden, dan de „rationale";
hij zegt nl.: zet vanuit het nulpunt af de hypothenusa van een
rechthoekigen driehoek, waarvan de rechthoekszijden gelijk aan 1
zijn, dan is het eindpunt niet een rationaal punt. Hierdoor wordt
aannemelijk gemaakt, dat op de rechte meer punten liggen, dan
het R systeem getallen bevat. Deze beschouwing hebben wij boven
populair genoemd, want de stelling van Pythagoras, die hierbij
gebruikt wordt heeft eerst zin als de irrationale getallen ingevoerd
zijn. Men moet verder niet uit het oog verliezen, dat de rechte
waarvan Dedekind spreekt, niets anders is, dan de te fabriceeren
getalverzameling. De heele inleiding kan men in \'t kort samen-
vatten met de woorden: de vergelijking x^ = 2 is valsch in het
systeem der rationale getallen. Daarom is een uitbreiding noodig
en deze uitbreiding is de invoering der irrationale getallen.

Hiertoe komt Dedekind nu, door zich de intuïtieve rechte lijn
voor te stellen als een vloeiende opeenvolging van punten. De
moeilijkheid is echter om dit intuïtieve begrip wetenschappelijk
te definieeren en Dedekind meent het als volgt te kunnen doen:
Als alle punten van een rechte in twee klassen en A2 uiteen-
vallen, zoodat alle punten van Al links van die van A2 liggen, dan
bestaat er één punt, dat deze indeeling teweegbrengt. Hij noemt
dit een axioma, we zouden het nog beter kunnen noemen:
„continuiteitsdefinitie", want van het bestaan en de opeenvolging
van punten in de intuïtieve rechte lijn hebben wij toch eigenlijk
in \'t geheel geen notie. We kunnen nog even wijzen op een
logische fout in bovengenoemde definitie, die door Russell (Prin-
ciples of Mathematics) is aangewezen. Hij zegt als alle punten uiteen-
vallen, blijft er geen enkel punt meer over, dat de splitsing kan
veroorzaken, zoodat dus de definitie eenigszins gewijzigd moet
worden. Russell zegt dan ook: Als alle punten uiteenvallen in
genoemde twee klassen, heeft de eerste klasse geen laatste, de
tweede een eerste, óf de eerste een laatste en de tweede geen
eerste element. De bedoeling van Dedekind is eenvoudig deze:
Als de punten van een rechte in 2 klassen A^ en A, gesplitst
worden dan is er een punt van de rechte zelf (het laatste van
Al of het eerste van A2), dat deze splitsing bewerkstelligt. Veel
wetenschappelijks zit er in deze uitspraak niet, wij doen het
best met dit te beschouwen als een poging om de komende

continuiteitsdefinitie te koppelen aan het intuïtieve begrip, dat wij
meenen te hebben van vloeiende opeenvolging van punten op
een rechte lijn.

We komen nu tot het wetenschappelijk gedeelte. Toetsen we
de verzameling R aan deze definitie, dan zien we onmiddellijk,
dat zij er niet aan voldoet. De getallen, waarvan het quadraat
kleiner is dan 2 kan men in klasse A^ opnemen, er ontstaat
blijkbaar een snede, die echter niet door een getal der verzame-
ling R is teweeggebracht. Om nu een continue getalverzameling
te krijgen, beschouwt Dedekind de verzameling aller sneden in
R en voegt aan elke snede een „getal" toe en wel een rationaal
getal als de snede door een zoodanig getal wordt teweeg gebracht,
een irrationaal getal als de snede op eenige andere wijze ontstaat.
Het op deze wijze aangeduide getal wordt nu nader vastgelegd
door >< en = van twee dezer getallen te definieeren.

In de eerste plaats moet goed in \'toog gehouden worden, op
welke wijze hier de continue verzameling der reëele getallen
ontstaat. Zij ontstaat niet door het tusschenvoegen van nieuwe
getallen tusschen die van het R systeem, „door het volstoppen
der gaten", maar als één geheel: de snedenverzameling in /?; er
wordt een geheel nieuwe verzameling gemaakt, waarvan intusschen
een aftelbaar oneindige deelverzameling „correspondeert" met de
verzameling der rationale getallen. Ik meen deze opmerking te
moeten maken, in verband met uitdrukkingswijzen van Hausdof^ff
en een zienswijze van Russell. Hausdorff geeft nl. in zijn
„Grundzüge der Mengenlehre", pag. 91 een algemeene methode
tot Lückenausfüllung van een willekeurige dichte verzameling
zonder eerste en laatste element en bewijst dan, dat de Anfangs-
stücke zonder laatste element, die verschillen van o en van de
gegeven verzameling, een continue verzameling vormen. Van
Lückenausfüllung is hier echter geen sprake, hij maakt een geheel
nieuwe verzameling, die der genoemde Anfangsstücke; een deel-
verzameling ervan kan dan in (1, 1) correspondentie gebracht wor-
den met de elementen der gegeven verzameling. Op te merken is nog
dat bovengenoemde verdichting alleen geldt voor niet-continue verza-
melingen, past men hetzelfde nog eens toe op de continue verzame-
ling, dan krijgt men niet een nog sterker gecomprimeerde verzameling
zooals door Hobson is bewezen (Functions of a real variable).

Russell meent (Principles of Mathematics) dat Dedekind de
irrationale getallen opvat als limieten. Het is mogelijk, dat het
woord snede aanleiding kan geven tot een dgl. meening, misschien
ook het door Dedekind genoemde voorbeeld van een snede, die
niet door een rationaal getal ontstaat. Russell redeneert (Prin-
ciples of Mathematics) als volgt: Een limiet van een verzameling
U heeft alleen zin als U deel uitmaakt van een omvangrijker
verzameling, waartoe de limiet als element behoort, m. a. w. het
bestaan van de limiet moet verzekerd zijn. Hij zegt nu, dat
Dedekind de irrationale getallen opvat als limieten, zonder aan
te toonen, dat deze limieten bestaan en demonstreert zijn ziens-
wijze aan de hand van een voorbeeld, nl. 1/2. Hij toont aan, dat
de snede, door \\/2 in R teweeg gebracht niet het recht geeft om
van een limiet te spreken, omdat volgens hem, deze limiet niet
kan zijn een rationaal getal en, zegt hij, aan de bepaling van
limiet is dus niet voldaan, daar er geen verzameling is, die deze
limiet als element bevat en waarvan R een deelverzameling is.
Afgezien van het feit, dat dit de bedoeling van Dedekind niet
geweest is, waartoe wij boven den nadruk legden op het ontstaan
van de verzameling der reëele getallen in haar geheel, kan het
RussELLSche bezwaar op buitengewoon eenvoudige wijze weer-
legd worden. Neem b.v. het getalsysteem zooals Brouwer dit in
de Grondslagen der Wiskunde ontwikkelt (pag. 6). Hij zegt: men
kan het R systeem aanvullen met de gebruikelijke irrationale
getallen, in de eerste plaats door invoering van gebroken expo-
nenten ..... Men houdt dan zelfs een verzameling van hetzelfde

type r} als R waarvan R een deelverzameling is. Vult men nu R
aan met 1/2, dan houdt men een „series", immers de plaats van
getal 1/2 betreffende > en < is volkomen bepaald, d.w.z. men
kan bij elk getal a van R uitmaken of 1/2 > a of |/2 < a. En
dan mag men 1/2 toch volgens Russell\'s definitie wel als een
limiet beschouwen.

De beschouwing van het BROUWERsche systeem in dit verband
is alleen geschied terwille van een eenvoudige uiteenzetting, men
zou kunnen zeggen omdat de BROUWERSche schrijfwijze iets
gemakkelijker is. Overigens kan de weerlegging met het Dede-
KiNDsche stelsel zelf evengoed gegeven worden. Men kan echter
de RussELSche opvatting geheel van de baan brengen als men

als volgt redeneert: Voor het uiteenvallen van R in de twee
klassen van Dedekind is noodig een wet. Deze wet kan dan zijn
een fundamentaalrij van Cantor, een zooals Dedekind in zijn
voorbeeld geeft enz. Aan deze wet nu, koppelen we het begrip
„getal", de wet bepaalt een getal, waarmee het woord „snede"
dat blijkbaar een der \'oorzaken voor de begripsverwarring is
geweest, komt te vervallen. Het is duidelijk dat niemand bezwaar
kan maken om aan een dgl. wet het woord ^^getal" in ruimere
beteekenis toe te voegen. Van een limiet is op deze wijze in
\'t geheel geen sprake.

Zoo voert m.i. Dedekind zijn getallen ook werkelijk in. Hij
zegt immers: Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (AiA^) vorliegt,
welche durch keine rationale Zahl hervorgebracht wird, so erschaf-
fen wir eine neue, eine irrationale Zahl a, welche wir als durch
diesen Schnitt (/Ii A^ vollständig definirt ansehen. Hoe een dgl.
snede ontstaat, daarover spreekt Dedekind zich niet uit, elke wet
waarmee men een snede kan bepalen, is goed. Deze wet kan wel
heel ingewikkeld zijn, \'t is zelfs mogelijk, dat men er op het
eerste gezicht geen snede aan vastknoopt, wanneer er echter een
snede mee bepaald kan worden, is hel DEDEKiNDsche getal gereed.
De groote algemeenheid der definitie zit hem in het stuk:
„welcher durch keine rationale Zahl hervorgebracht wird." Stellen
wij de vraag: hoe kan dan een snede ontstaan behalve door een
rationaal getal, dan kan men hiervoor allerlei wetten bedenken;
fundamentaalrij van Cantor, getalverzameling van Baudet,
hypothenusa van een rechthoekig gelijkbeenigen driehoek met
rechthoekszijden = 1 enz. Zoo opgevat is de DEDEKiNDsche theorie
de meest algemeene der drie genoemde. Uit bovenstaande volgt,
dat de verzamelingen (A^ Ao) de gelijkheid van verschillend gefor-
muleerde snedenwetten vast leggen en zoo kan men deze ver-
zamelingen A^ Ao gelijk stellen met de gelijkheidsdefinitie van twee
getalverzamelingen zooals Baudet die geeft. Intusschen bieden
de theoriën van Cantor en Baudet zeker voordeden, het rekenen
met de DEDEKiNDsche getallen is nogal omslachtig. Theoretisch
lijkt mij echter het DEDEKiNDsche stelsel zeker te stellen boven
het systeem van Baudet.

DE THEORIE VAN CANTOR.

De grondslagen van Cantor\'s theorie vindt men in Bd. V der
Math. Annalen, pag 123, later aangevuld in Bd. XXI. In de eerst-
genoemde verhandeling vormt Cantor een rij van rationale
getallen a^a^ .... On ... (1) die de eigenschap heeft dat
\\ (^n m a„ I < e voor e willekeurig en positief, n > N, en m
willekeurig. Deze eigenschap der rij drukt hij uit door te zeggen:
de rij heeft een bepaalde grens b. Tegen deze gevaarlijke uit-
drukking is natuurlijk niet veel anders in te brengen, dan dat zij
gevaarlijk is, daar zij sterk aan een limiet doet denken. Intusschen,
zoolang de limiet niet gebruikt wordt, is er tegen de uitdrukking
geen bezwaar. Wel echter bestaat groot bezwaar tegen de vol-
gende passage: Es haben also diese Worte zunächst keinen
anderen Sinn als den eines Ausdrückes für jene Beschaffenheit
der Reihe und aus dem Umstände, das wir mit der Reihe (1)
ein besonderes Zeichen b verbinden, folgt, dasz bei verschiedenen
derartigen Reihen auch verschiedene Zeichen b, b\', b" .... zu
bilden sind. Hier wreekt zich de ontijdige invoering van het woord
„Grenze" immers, indien het teeken „b" alleen slaat op de
„Beschaffenheit" dat — o„|<e enz. (en op iets anders
kan het geen betrekking hebben), dan volgt hieruit dat elke rij
met deze Beschaffenheit het teeken b toekomt. Voeren wij den
naam fundamentaalrij in, een naam dien Cantor eerst later gebruikt,
dan moet elke fundamentaalrij het teeken b toegevoegd worden.
Men moet dus definieeren: elke fundamentaalrij geven wij een
teeken b, terwijl twee niet identische rijen verschillende teekens
b en b\' krijgen.

Hierna wordt gedefinieerd b = b\', b>b\', b<b\', terwijl ten
slotte de rationale getallen in het B systeem een plaats wordt
gegeven. Cantor maakt dus een nieuwe verzameling waarvan
de elementen bestaan uit fundamentaalrijen, als fundamentaalrij

is ook te beschouwen een rij als a, a, a, ... . Dit reëele getal
is dan gelijk aan het rationale getal a. Nu volgt de stelling, dat
elke verzameling van rationale getallen a^, a^, . . . waarbij aan
de voorwaarde voor fundamentaalrij voldaan is, in deze verza-
meling een grenselement heeft. De nieuwe verzameling wordt dus
eerst gemaakt en daarna de de grensstelling bewezen. Dit in
verband met de kritiek van Russell, waarop we bij de theorie
van Baudet nader terugkomen.

In Bd. XXI behandelt Cantor hetzelfde onderwerp nog eens,
waarbij vooral de limietstelling sterk op den voorgrond treedt.
In het kort bespreekt hij hier de theorieën van Weierstrasz en
Dedekind en geeft daarbij enkele bezwaren op van deze methoden.
Van de DEDEKiNDSche theorie zegt hij op pag. 566, 567, dat
een groot voordeel is het feit dat bij elk getal slechts één snede
behoort. Reeds bij de bespreking van het DEDEKiNDSche systeem
wezen wij erop, dat Dedekind zich niet uitspreekt over het ont-
staan van een snede, de snede is secundair, maar door het getal-
begrip aan de snede te koppelen, bereikt Dedekind dat elk reëel getal
slechts op één wijze kan worden voorgesteld. Cantor begint met
één fundamentaalrij te nemen en hieraan een getal te koppelen,
maar daarna definieert hij de gelijkheid van reëele getallen, die
door verschillende fundamentaalrijen worden voorgesteld. Zoo
wordt dus de oorspronkelijke (1, 1) corr. van fundamentaalrij en
getal verbroken. Baudet gaat nu nog een stap verder en begint
met een reëel getal te definieeren als een klasse van „gelijke"
verzamelingen. Van dien kant bezien kunnen wij dus zeggen, dat
Cantor staat tusschen Dedekind en Baudet.

Als nadeel voor de theorie van Dedekind noemt Cantor de
omstandigheid dat de getallen zich nooit als sneden voordoen in
de Analyse. In der daad lijkt mij de CANTORSche manier van in-
voeren der irrationale getallen doorzichtiger in verband met de
uiteenzetting in het hoofdstuk „Noodzakelijkheid van het systeem".
Maar toch kan men bij een getal als 1/2 heel goed aan een snede
denken; in de eene klasse komen de getallen, waarvan het
quadraat < 2, in de andere die waarvan het quadraat > 2. Deze
bewering van Cantor is dus niet juist.

De theorie van Weierstrasz treedt minder op den voorgrond. Hij
beschouwt verzamelingen van rationale getallen, die de eigenschap

hebben, dat hoeveel en welke van deze getallen men ook in
eindig aantal sommeert, de som altijd beneden een bepaalde grens
blijft. De opteloperatie speelt hierin een fundamenteele rol en
Cantor merkt zeer terecht op, dat deze theorie staat en valt met
het al of niet doorgaan van de eigenschappen der optelling, b.v.
commutativiteit. Wenscht men de theorie uit te breiden ook op
transfinite getallen, dan houdt de commutatieve wet op en is dus
de theorie van Weierstrasz onbruikbaar. Intusschen is deze uit-
breiding voor de opbouw van het systeem der reëele getallen niet
noodig, zoodat dit bezwaar van zuiver theoretischen aard is.

Op pag. 569 geeft Cantor zeer kort aan, dat als men heeft
«en verzameling van irrationale getallen, dus fundamentaalrijen
200dat bij ieder positief getal e een getal N behoort met de
eigenschap, dat | —I <£ voor v>N en /n willekeurig,
er een fundamentaalrij (ö^) bestaat, die een getal b definieert
zoodanig, dat

lim b^ = b.

r—> 00

Het bewijs kan men als volgt geven. De verzameling van
irrationale getallen stellen we voor door:

b^^......bf, bf ...........öl^^r.........

waarvan dus gegeven is:

I bin m) _ i}(n) | < g n> N, w. willekeurig.
We vormen nu de rij:

b = b% b%.....öi«\'.....

waarin | — | < V/.-

Dit beteekent dus, dat we uit elke fundamentaalrij een

element nemen, zoodat | — ójfj | < wat volgens een

vorige stelling mogelijk is. Te bewijzen is nu: Gegeven e, dan
is er een /x zoodanig, dat \\ b — | < e zoodra
De verschilreeks komt er als volgt uit te zien:

b - = - (ög - 4"))...... - öW.....

.....(M^l — óW ).....

\' ^ Pv m v ni"

We vinden nu de volgende ongelijkheden:

nl. <

V m)

voor v> ix^, m willekeurig.

_ I <i/g£ (volgens gegeven) . .
j\'>/t2, m willekeurig.

Kies nu een waarde voor v>iJi^ en >,«2» dus bv. r>/i, en
hou deze waarde voor v vast. Dan kan men m-^ bepalen, zoodat
voor m>m^ geldt:

......(3)

Uit (1), (2), (3) volgt:

<e v> m> m^.

y m \'

Van de verschilreeks onderaan pag. 16 worden dus bij een
:bepaalde v ^ fi de termen vanaf een zeker nummer v -f- kleiner
-dan £, dus —Voor geldt hetzelfde, waaruit

■(volgt:

<e, dus ö = limö(\'\'K

V—^ 00

DE THEORIE VAN BAUDET.

In „Christiaan Huygens" Ie Jrgg. No. 1 geeft Baudet een
theorie van het irrationale getal, die zich eenerzijds aansluit bij
die van Dedekind, anderzijds overeenkomst vertoont met die van
Cantor. Zij is zeker algemeener dan de laatste wat de formu-
leering betreft, echter niet algemeener dan de eerste, wel meer
concreet dan deze. Intusschen zijn de getallen van Baudet ten
slotte dezelfde als die van Dedekind en Cantor, wat wij zullen
aantoonen.

Het door Huntington in zijn „Continuum" zoo karakteristiek
genoemde „framework" der rationale getallen vormt weer den
grondslag en Baudet beschouwt nu willekeurige verzamelingen
van rationale getallen. Twee dergelijke verzamelingen U en V
heeten gelijk als elk getal, dat een getal van V overtreft ook een
getal van U overtreft en omgekeerd. Alle getalverzamelingen,
die in de^en zin aan de verzameling U gelijk zijn, vormen een
klasse, zoo\'n klasse noemt Baudet een reëel getal.

We zullen nu laten zien dat de getallen van Baudet overeen-
komen met de Dedekindsche. Bewezen moet dus worden, dat
elke klasse, of wat hetzelfde is, elke representant V eener klasse,
een snede in R bepaalt. Hiertoe merken we het volgende op.
Kies een getal x van R, dan bestaan voor dat getal twee moge-
lijkheden:

l". Er is een getal van V aan te wijzen, dat <x.

2®. Er is geen getal van V aan te wijzen, dat

We vormen nu twee klassen van rationale getallen, nl.:

a. Klasse K^, waarin alle rationale getallen x komen, die aan
1°. voldoen.

b. Klasse K^ waarin we alle rationale getallen x onderbrengen,
die aan 2°. voldoen.

In de eerste plaats is het nu duidelijk, dat K^-^- —

Zal nu (/Tl A\'s) een snede in R definieeren, dan moet elk getal
van K^ > alle getallen van K^ en elk getal van K^ < alle getallen
van A\'i zijn.

Bewijs. Ligt x in K^ en y in K^, dan is volgens de bepaling
van K^ geen getal van V aan te wijzen, dat <y, m.a.w. >\'<
alle getallen van V. Maar volgens definitie van K^ is er een
getal van V dat <x, waaruit dus volgt, dat y<x.

We zien dus, dat de verzameling V een snede in R bepaalt.
Omgekeerd is het direct duidelijk, dat een snede van Dedekind
een getalverzameling bepaalt, zooals Baudet gebruikt. Bij de
snede Ao) kan men b.v. A^ beschouwen als de representant
van een klasse van Baudet. In plaats van A^ mag men dan ook
nemen elke verzameling die met A^ coinitiaal is, de verzameling
dezer coïnitiale verzamelingen vormt een klasse in den zin van
Baudet. En dus, zou men kunnen zeggen, is de opzet van
Baudet algemeener. Toch is dit m.i. niet het geval. Immers de
verzamelingen (A^ A^) zijn bij de Dedekindsche theorie niet
primair, doch secundair, zooals bij de Dedekindsche theorie
reeds besproken is.

Natuurlijk kan men zich op het standpunt stellen, dat de theorie
van Baudet is opgezet zonder aan het snedenbegrip te denken.
Ik kan mij dit voorstellen bij het Cantorsche stelsel; de ontwik-
keling van het getalsysteem voert vanzelf in die richting. Het
koppelen echter van het getalbegrip aan een willekeurige ver-
zameling van rationale getallen heeft m.i. geen enkelen logischen
grond, en kan alleen verklaard worden als een poging om een
zeer algemeene snedenwet op te stellen.

Door Hobson (Functions of a real variable) is bewezen, dat
de getallen van Dedekind en Cantor dezelfde zijn; uit. boven-
staande volgt in verband hiermee, dat de theorieën van Baudet
en Cantor dezelfde getallen bepalen. We kunnen echter deze
identiteit ook rechtstreeks gemakkelijk afleiden en moeten dus
laten zien, dat uit de klasse van Baudet, die een reëel getal
voorstelt, een representant kan worden gekozen, die de eigen-
schappen heeft van een Cantorsche fundamentaalreeks.

Kies hiertoe een representant der klasse V en laten we onder-
stellen om triviale gevallen uit te sluiten, dat V geen eerste
element heeft. In R zijn nu altijd 2 getallen te vinden a^ en b^

zoodanig dat a^ > een getal van y en ö^ < alle getallen van V.
Tusschen a^ en liggen nu oneindig veel getallen van V, daar
anders V een eerste element zou moeten hebben. We bepalen

nu het getal ^^ d. i. een getal van R, waardoor het segment

a^ — in 2 gelijke deelen wordt verdeeld, het ééne deelsegment
bevat de kleinste, het andere de grootste getallen van Qx — by

Voor ^^ bestaan twee mogelijkheden, of —^^ is > een
getal van öf < alle getallen van V. Is < alle getallen

van V dan laten we het segment b^ — ^^^ weg en beschouwen
alleen verder het andere segment.; is > een getal van V,

dan vervalt verder het segment — Het is duidelijk,

dat in het overblijvende segment getallen van V moeten liggen,
we kiezen een getal x^ en maken van dit segment weer het
arithmetisch midden op, dat weer een getal van R is. Met de
twee ontstane segmenten handelen we weer als boven, in het
overblijvende kiezen we weer een getal Xg van V, maar zóó, dat
X2<Xi. Dit is altijd mogelijk omdat het overblijvende segment
als kleinste getal heeft een getal < alle getallen van V. Op deze
wijze krijgen we een reeks van segmenten, die binnen elkaar liggen
en waarvan de grootte tot nul nadert. De getallen x zijn monotoon
afnemend, terwijl, als in hel segment s„ ligt, alle volgende
getallen jc ook binnen s„ liggen Geeft men nu een willekeurig
positief.getal e, dan is er een s„ te vinden <e. Hierbinnen liggen
dan alle getallen Xn en volgende, zoodat dus de ongelijkheid geldt.:

|;c„ —x„4.pl<Ê voor p willekeurig. De reeks Xo.....is dus

een afdalende fundamentaalreeks van Cantor.

Rest nog te bewijzen, dat zij in den zin van Baudet gelijk is
aan V. In de eerste plaats zal elk getal, dat een getal van de rij

Xi, X2.....overtreft ook een getal van V overtreffen, daar de

getallen x tot V behooren. Nu het omgekeerde. Stel er is een
getal P van R dat > een getal van V maar niet > getal van de
rij Xi, X2, . . . . dus < alle x\'en. V bevat zeker getallen < P.

Kies hiervan één Q, en laat P — Q = We kunnen nu van onze
deelsegmenten er een nemen die <r), daar het kleinste getal van
dit deelsegment < Q, zal zeker P buiten dit deelsegment liggen.
Maar in dat deelsegment ligt een Xn, deze Xn is dus < P, waar-
uit de onhoudbaarheid der onderstelling blijkt. Nieuwe getallen
worden dus door Baudet niet gedefinieerd, zijn theorie kan dan
ook alleen van belang zijn door grootere eenvoud in de bewijzen
van sommige stellingen.

Over de voordeelen van de theorie van Baudet zullen wij nader
spreken. Eerst echter moet gewezen worden op een niet onbe-
langrijk nadeel; nl. dat zij de toch al niet zoo heel eenvoudige
voorstelling van het irrationale getal nog ingewikkelder maakt.
Terwijl men bij de theorie van Cantor onmiddellijk inziet, dat
de fundamentaalrij haar oorsprong heeft óf in de beschouwing
van de in het R systeem onuitvoerbare worteltrekking óf in het
beschouwen van de ontstaanswijze van een getal als n door een
fundamentaalrij van rationale getallen ziet men hier geen enkele
aanwijzing en lijkt de definitie van reëel getal iets willekeurigs.
Bovendien is zeker de fundamentaalreeks heel wat duidelijker
dan een klasse van gelijke getalverzamelingen. Men kan wel
zeggen, dat bij Cantor ook gedacht moet worden aan een klasse
van confinale of coïnitiale fundamentaalreeksen, echter voor elk
reëel getal beschouwt Cantor slechts één fundamentaalreeks, die
ons duidelijk voor oogen staat. Daarna eerst definieert hij de
gelijkheid van twee fundamentaalrijen. Baudet doet omgekeerd,
hij detinieert eerst de gelijkheid van twee verzamelingen en noemt
daarna de klasse van gelijke verzamelingen een reëel getal. Het
gevolg hiervan is, dat de aansluiting bij de rationale getallen
gemakkelijker wordt, waarover later.

De klasse van Baudet is veel ingewikkelder, dan zij op het
eerste gezicht lijkt. Zij bevat een formidabel aantal representanten,
de verzameling hiervan is zelfs niet aftelbaar, maar heeft de
machtigheid van het continuum. Immers kies een irrationaal getal
a, dit wordt gerepresenteerd door de verzameling van alle rationale
getallen > a. Kies een rationaal getal b>a, elke deelverzameling
der rationale getallen >b vormt met de getallen >aen<öeen
representant van het getal a. De verzameling. der rationale

getallen >6 is aftelbaar, het aantal deelverzamelingen bedraagt
2^0 = c d.i. de machtigheid van het continuum. Hieruit volgt,
dat het cardinaalgetal van de verzameling van alle representanten
van a>c. Maar kiest men een getal b\' < a, dan hebben de deel-
verzamelingen der getallen > b\' weer het cardinaalgetal c, de
verzameling dezer deelverzamelingen is echter > klasse die a
bepaalt, zoodat deze de machtigheid c van het continuum heeft.

Men ziet dus, dat een dgl. klasse wel gemakkelijk kan worden
neergeschreven, maar niet zoo heel eenvoudig voor te stellen is.

In dit verband is het niet ondienstig op een zekere analogie
te wijzen, die bestaat tusschen de theorieën van Baudet en
Russell, zooals de laatste ontwikkelt in zijn Principles of Mathe-
matics pag. 270 en volgende. Hij begint met een scherp verschil
te maken tusschen reëele getallen en rationale getallen. Geestig
is de aanhef van par. 258:

The philosopher may be surprised after all that has already
been said concerning numbers, to find that he is only now to
learn about real numbers; and his surprise will be turned to
horror, when he learns that real is opposed to rationell ....
But he will be relieved to learn that real numbers are really not
numbers at all, but something quite different.

Deze uitspraak behoeft ons niet te verwonderen. We zagen
reeds vroeger dat de rationale getallen logisch volgen uit de
hoofdbewerkingen der rekenkunde. We zagen echter ook dat de
nieuwe uitbreiding, noodig voor het uitvoerbaar zijn van wortel-
trekking, van geheel anderen aard was en aanleiding gaf tot de
beschouwing van oneindige verzamelingen van rationale getallen.
Geen wonder dus, dat de kritische blik van Russell een scheiding
meent te moeten trekken tusschen de natuurlijke getallen met de
relaties daartusschen, de rationale getallen, eenerzijds en de irra-
tionale getallen anderzijds.

De grondslag van Russell\'s theorie is weer het framework
der rationale getallen. Hij beschouwt hiervan een element a,
waardoor 4 getalklassen gedefinieerd worden nl.: alle getallen
<a, alle getallen niet >a, alle getallen >a en alle getallen niet
<a. De verzameling der getallen <a kan men ook definieeren
als een verzameling van rationale getallen < een variable term

der verzameling. Zoo komt hij tot de definitie van een segment,
d.i. een verzameling van rationale getallen, die:

1°. niet leeg is en niet samenvalt met alle rationale getallen.

2^. identisch is met de verzameling der getallen kleiner dan
een variabele der verzameling.

Hij bewijst nu, dat een dgl. segment evengoed bepaald kan
worden door een willekeurige, maar begrensde eindige of oneindige
verzameling van rationale getallen.

We beschouwen hiertoe alleen een verzameling die oneindig is
en geen maximum heeft en die we U zullen noemen. Neem nu
de verzameling V der getallen < variabele van U. Deze verza-
meling bevat alle «\'s. Immers stel Ux behoort er niet toe. Er is
een term van U, Uy, zoodanig dat Uy > Ux, waaruit blijkt, dat iix er
wel toe behoort. Verder is elke term van V < een term van U, dus
< een term der verzameling Ikzelf, maar ook is elke term die < dan
de een of andere term van V ä fortiori < een term van U,
en is dus een term van V. De verzameling V is dus identisch
met de verzameling der termen < een of andere term der ver-
zameling en is dus een segment.

Een dgl. segment noemt Russell nu een reöel getal.

Men ziel hierin eenig verband met de voorstelling van Dedekind,
immers een segment van Russell bepaalt een snede, omgekeerd
echter behoeft een snede niet een segment te bepalen. In verband
met de vorige alinea ziet men er ook in een overeenkomst met
de CANTORSche methode; een fundamentaalrij van Cantor bepaalt
in het algemeen een segment, omgekeerd kan uit een segment
een fundamentaalrij gekozen worden, die het segment bepaalt.
Aardiger is echter het verband tusschen de theorie van Russell
en die van Baudet. Neemt men twee getalverzamelingen u en v,
zoodanig, dat elk getal van ii een getal van v overtreft en om-
gekeerd, dan definieeren beide verzamelingen hetzelfde segment.
Zulke verzamelingen noemt Russell coherent en hij zegt: coherente
verzamelingen hebben iets gemeenschappelijks, dit gemeenschap-
pelijke is het door hen bepaalde segment, het RussELLSche reëele
getal. Maar men ziet, dat coherente verzamelingen van Russell
niets anders zijn als wat Baudet gelijke verzamelingen noemt.
Het verschil in beide theorieën is nu, dat Baudet een reëel getal
voorstelt door alle mogelijke getalverzamelingen, die tot één klasse

behooren en waarvan wij gezien hebben, dat zij de machtigheid
van het continuum heeft, waardoor het moeilijk wordt zich een.
dgl. klasse voor te stellen. Russell ondervangt dit bezwaar, door
het gemeenschappelijke dezer coherente verzamelingen als een
reëel getal aan te zien, waardoor het reëel getal geen andere
beteekenis krijgt maar de voorstelling van het reëele getal ver-
gemakkelijkt wordt. We kunnen ook zeggen: Russell noemt de
som van alle coherente verzamelingen een reëel getal, terwijl de
termen der som bij hem slechts in zooverre een rol spelen, dat
zij het segment kunnen bepalen. Baudet beschouwt elke term en ook
de som als gelijkberechtigde dingen om een reëel getal te bepalen.

De voornaamste grief van Russell tegen de bestaande theorieën
is, dat daar de irrationale getallen worden opgevat als limieten,,
waarvan het bestaan door Russell wordt ontkend. Hij zegt dan.
ook: een segment kan wel een limiet hebben, maar dan is het een
rationale limiet, omdat er geen andere getallen bestaan, die een
limiet zouden kunnen zijn. Vroeger zagen we reeds, dat Russell
de kwestie onjuist heeft gesteld, de bedoeling van Dedekind,
Cantor en Baudet is: eerst het systeem der reëele getallen
scheppen en daarna de limietstelling bewijzen.

De RussELLsche segmentenrekening vindt men eigenlijk, zij het
ook minder uitvoerig, bij Hausdorff (Grundzüge der Mengenlehre).
Zijn Anfangsstück is niets anders dan het RusSELLSche segment
als men er aan toevoegt, dat het geen laatste element mag bevatten.

Keeren wij terug tot de theorie van Baudet. Russell maakt
bezwaar tegen het feit dat Cantor het getal a (rationaal) ook
voorstel door de rij a, a, a, ... . Cantor echter identificeert

het rationale getal a niet met het reëele getal a, a,.....doch

stelt ze alleen aan elkaar gelijk, waartegen geen bezwaar is.
Baudet echter doet dit wel. Op pag. 35 indentificeert hij het
rationale getal a met het reëel getal (a) en dit is niet geoorloofd.
De verzameling (a) behoort immers tot een heel andere categorie
dan het element a en men mag dus niet spreken van identiteit.
Wel mag men natuurlijk het reëele getal (a) gelijk stellen aan
het rationale getal a.

Als voordeden van zijn theorie boven de bestaande noemt
Baudet ten eerste de aansluiting der reëele getallen bij de rationale.

Een dgl. aansluiting, moet dan bestaan in hel feit, dat de operaties
met reëele getallen die met rationale getallen insluiten. Baudet
zegt nu, dat bij zijn theorie die aansluiting gemakkelijker is in te
zien. Laten we daartoe de optelling nagaan. Bij Cantor wordt
de som van (a,.) en (6,.) voorgesteld door (a,. Aansluiting
bij de rationale getallen krijgt men als a^ en 6,. beide een rationale
limiet hebben, waaruit dan moet volgen dat (ff,, -f ö,.) ook een
rationale limiet heeft gelijk aan de som der limieten van o,. en ö,..
Laat nu lim. = lim. by — B zijn, dan is A-\\-B — C (rati-
onaal). Eenvoudig bewijst men nu, dat C de limiet van (a,. -j- b,.)
is. Immers kies e, dan is er een «i, zoodat | A — o„„ | < ie waarbij
de ongelijkheid goed blijft voor elke n>ni, verder is er een n«
zoodat I 5 — ö„21 < K terwijl weer dezelfde opmerking voor n^
als voor n, geldt, kies de grootste van beide, b. v. n^, dan is
j C — (ö„2 -f ö„o) I < e, waarmee het bewijs gegeven is.

Schijnbaar is het proces bij Baudet eenvoudiger. Hij zegt: als
twee reëele getallen meetbaar zijn, mag men als representanten nemen
twee rationale getallen, waarbij de aansluiting onmiddellijk te zien
is. Cantor kan echter precies eender redeneeren. Hij kan de twee
reëele getallen voorstellen door a, a, ... en ... de aanslui-
ting is dan ook evident. Er is dus in werkelijkheid geen verschil.

De verklaring van deze meening van Baudet moet dunkt mij
gezocht worden in practische overwegingen. Stel, men heeft twee
reëele getallen A en B. Daar Baudet zich A als een klasse van
gelijke getalverzamelingen denkt, ligt het voor de hand, dat hij
meent onmiddellijk uit tc kunnen maken, of onder de represen-
tanten een rationaal getal is. Evenzoo voor B. Dit lijkt mij ten-
minste een logisch gevolg van de bepaling van het reëele getal.
Zooals boven werd aangetoond, hebben wij echter de represen-
tantenverzameling in de verste verte niet voor oogen, zoodat in
de meeste gevallen hier evenmin op eenvoudige wijze kan worden
uitgemaakt of er een rationale representant is als bij Cantor.

Een tweede voordeel ziet Baudet in de stelling van de onderste
en bovenste grens. Deze stelling is een bizonder geval van de
meer algemeene: elke oneindige verzameling van reëele getallen
heeft een grenselement (dat dus weer een reëel getal is), d.i. niets
anders als een der voorwaarden voor het perfect zijn van de
verzameling der reëele getallen, n. 1. het afgesloten zijn. Geheel

•duidelijk is Baudet op dit punt niet. Hij neemt een verzameling
V van reëele getallen en zegt nu op pag. 41:

„Daartoe beschouwen wij de verzameling W der meetbare
getallen, die ontstaan door ieder getal van V door een represen-
teerende verzameling van meetbare getallen te vervangen en al die
verzamelingen tot één verzameling te vereenigen. Uit het onder-
streepte moeten wij concludeeren, dat hij hier met reëele getallen
bedoelt rationale getallen, immers een reëel getal is reeds gere-
presenteerd door een verzameling van rationale getallen, en kan
ook niet anders worden gerepresenteerd. Bedoelt hij rationale
getallen, dan is de stelling fout, bedoelt hij reëele getallen, dan
is de stelling juist, maar het bewijs onjuist geformuleerd.

Veel eenvoudiger dan het bewijs voor het bestaan van een
bovenste grens bij de CANTORSche getallen, is dit echter niet.
Cantor wijst er op, dat men zijn getallen kan voorstellen door
oneindig voortloopende decimale breuken. Heeft men nu een
verzameling van dgl. fundamentaalreeksen (laten we aannemen
zonder grootste element) dan construeere men de volgende deci-
maalbreuk. Als eerste decimaal neme men de grootste van alle
eerste decimalen der voorkomende breuken. Is er één, die de
grootste decimaal heeft, dan is dit de bovenste grens (uitgesloten
volgens aanname). We beschouwen nu alleen de breuken met de
grootste eerste decimaal en gaan hiervan de tweede decimaal na.
Hiervan nemen we weer de grootste enz. De decimaalbreuk, die
zoo ontstaat is de bovenste grens. Men ziet dat dit niet of althans
weinig ingewikkelder is dan de methode van Baudet; zoodat
het tweede voordeel ook niet zoo heel veel beteekent.

Eindelijk de slotopmerking van Baudet. Russell zou hierin
ongetwijfeld een poging hebben gezien om het bestaan van
een limiet aan te toonen van een verzameling van rationale
getallen. Hij zegt nl. dat het reëele getal feitelijk als onderste
grens van een verzameling van rationale getallen is ingevoerd.
Dit is niet juist. Eerst wanneer men de rationale getallen (als
reëele) in het systeem der reëele getallen heeft opgenomen, kan
men zeggen, dat een verzameling, van reëele getallen, waarvan
elk element gelijk is aan een rationaal getal in het gebied der
reëele getallen een onderste grens heeft.

HET CONTINUUM.

Bij een beschouwing over de invoering der irrationale getallen
mogen enkele opmerkingen over het continuumbegrip niet achter-
v/ege blijven, daar dit ten nauwste samenhangt met deze getallen.
Noodig is het hier twee geheel verschillende soorten continua te
scheiden en wel het geometrisch continuum eenerzijds, het arith-
metisch continuum anderzijds. Van beide is zeker wel het geome-
trisch continuum het oerbegrip, men kan dit als een soort
physisch begrip beschouwen, ontstaan door een bewegend punt,
waarvan men alle opvolgende standen opgeteekend denkt. Als
eenvoudigste continuum ontstaat hieruit de rechte lijn, een van
de „elementen der meetkunde", een begrip overigens duidelijker
voor den oningewijde, dan voor den mathematicus. Interessant be-
schrijft H. PoiNCARÉ deze kwestie in zijn „Science et l\'Hypothese".
Hij stelt zich voor, dat de rechte lijn ontstaat door een streep,
die men al smaller en smaller laat worden, waarbij dus reeds
een limietenkwestie optreedt. Men ziet dat op deze wijze de
rechte lijn al minder eenvoudig wordt dan men op het eerste
gezicht denkt. Moeilijker, maar in verband met het arithmetisch
continuum belangrijker, wordt de zaak als men tracht, populair
gesproken, de rechte lijn stuk te slaan, haar te ontleden in zijn
elementen, die men punten noemt. De invoering der irrationale
getallen is aan te zien als een poging om hiertoe te geraken; op
bevredigende wijze opgelost is echter de kwestie tot dusver niet
(Prof. Wolff, Inaugureele rede 16 Oct. 1922). Door Prof. Brouwer
wordt dan ook aangenomen dat een dergelijke verdeeling onmo-
gelijk is, voor hem is het continuum niet herleidbaar, hij beschouwt
het als mathematische entiteit die geen verdere reductie gedoogt,
een „eenheid in de veelheid."

Hoe dit zij, vast staat, dat in het geometrisch continuum de
aanleiding van het continuumbegrip gezocht moet worden, dit

heeft de analisten geprikkeld tot het scheppen van een arithme-
tisch continuum d.i. een getalverzameling even gecomprimeerd
als de verzameling der punten op een rechte lijn. De vraag moet
dus gesteld worden, welke eigenschappen noodig en voldoende
zijn om een verzameling dezelfde machtigheid te geven als het
continuum der rechte lijn. Deze vraag is echter nog steeds open,
en waar de definities van rechte lijn óf een beroep doen op onze
intuïtieve voorstelling (Euclides) óf heelemaal niets zeggen (fiilbert
Grundlagen der Geometrie) is het de vraag of dergelijke eigen-
schappen wel ooit gevonden zullen worden. Mathematici als
Dedekind en Cantor hebben het dan ook over een andere boeg
gegooid en zijn begonnen met een „continuumdefinitie" te geven,
d. w. z. voorwaarden op te stellen, waaraan de elementen eener ver-
zameling moeten voldoen om continu te heeten. Tot op zekere
hoogte zijn deze definities willekeurig, het doel van alle is echter
verzamelingen te definieeren die zoo nabij mogelijk het continuum
der rechte lijn komen. Hierover nader.

Men zou kunnen meenen, dat de verzameling der rationale
getallen als continu beschouwd kan worden: de eigenschap, dat
tusschen elke twee getallen andere liggen wijst hierop, de punten
eener rechte vertoonen een zelfde eigenschap. Wanneer wij echter
de rationale getallen op de rechte lijn af gaan beelden, door b.v.
eerst de geheele getallen te bepalen en de zoo ontstane seg-
menten door midden deelt enz. enz. (waardoor een puntverzame-
ling ontstaat, gelijkmachtig met de verzameling der rationale
getallen) dan kunnen wij opmerken, dat men op deze wijze slechts
een verzameling krijgt van punten, die een zekere tusschenruimte
hebben (zie Poincaré Science et l\'Hypothèse pag. 30). Van een
continuïteit als bij de intuïtieve rechte is dus geen sprake. Poin-
caré noemt deze verzameling dan ook een met continuïteit der eerste
orde. Ook Russell noemt deze verzameling in den beginne continu.

Blijkbaar bevat de verzameling der rationale getallen dus nog
niet „genoeg" elementen, er moet een continuum van de tweede
orde ontstaan, dat beter voldoet, waarmee we komen tot de
definities van Dededind en Cantor. Volgens Dedekind is een
verzameling continu als elke snede in de verzameling ook door
een element der verzameling wordt teweeggebracht.

Cantor zelf geeft twee definities, waarvan de eerste het begrip

afstand vooronderstelt, de tweede alleen orderelaties bevat. Het
CANTORsche getalsysteem beantwoordt aan beide definities, de
eerste is: perfect en samenhangend, de tweede: perfect en be-
vattend een deelverzameling van het type zoodanig dat tusschen
elke 2 elementen der verzameling elementen der verzameling t]
liggen. Men ziet dat inderdaad het CANTORsche getalsysteem aan
beide definities beantwoordt.

Of nu het arithmetisch continuum werkelijk overeenstemt met
het geometrisch intuïtieve continuum is niet uitgemaakt. De ont-
staanswijzen der beide continua zijn zeker totaal verschillend.
Terwijl het geometrisch continuum a. h. w. met één slag gereed
is, wordt het arithmetisch continuum met groote moeite in elkaar
getimmerd, door achtereenvolgens de natuurlijke, rationale en
irrationale getallen in te voeren. Wiskundig is echter deze kwestie
van weinig beteekenis, tenzij men hierin de kloof ziet tusschen
de Analyse en de Meetkunde.

De zuivere Meetkunde heeft het arithmetisch continuum niet
noodig, het is voor de Analyse van weinig belang of haar con-
tinuum zich werkelijk dekt met de punten op de physische rechte.
Van arithmetisatie der Meetkunde in den strengsten zin van het
woord kan men echter niet spreken. Het zal dus zaak zijn groote
voorzichtigheid te betrachten bij het gebruik van meetkundige
voorstellingen bij analytische problemen.

Reeds eenige keeren is gebruik gemaakt van een decimale
ontwikkeling voor de voorstelling van een reëel getal, omdat
deze voorstelling een zeer eenvoudige is. We hebben opgemerkt,
dat de theorieën van Cantor en Baudet te beschouwen zijn als
speciaal gevallen van de alomvattende DEDEKiNDsche theorie. We
zullen nu nagaan, of het mogelijk is, een bruikbaar continuum
op te bouwen door middel van ontwikkeling in één of ander
talstelsel.

Het eenvoudigst is het duale stelsel. Onder een getal tusschen
O en 1 verstaan wij een volgens een bepaalde wet oneindig voort-
loopende duaalbreuk, waarin dus alleen de cijfers O en 1 optreden.
We maken nog deze restrictie, dat in de ontwikkeling altijd een
oneindig aantal keeren nul moet voorkomen, m.a. w. het geval, dat
vanaf een zeker cijfer alle verdere cijfers 1 zijn, wordt uitgesloten.

In de eerste plaats scheppen we orde, d. w. z. we definieeren
> = en <. Een getal A = 0, a^, a^,. . . is > getal B = O, öj, Ö2, • • •

als fli > of voor \'t geval a^ = b-^, 03 = 62.....= ^n, en

als an \\>bn \\ A = B als an = bn, dit kan altijd
worden uitgemaakt, daar volgens definitie de voortschrijdingswet
gegeven is.

We merken nu op, dat de rationale getallen in dit systeem een
plaats krijgen. Immers van elk rationaal getal is de duale ont-
wikkeling door het getal zelf vastgelegd. En ook de stelling van
de bovenste grens is gemakkelijk te bewijzen. Nemen wij een
verzameling van reëele getallen en construeeren we het volgende
reëele getal: flj = / als minstens één der gegeven reëele getallen
als eerste cijfer 1 heeft. Is er slechts één zoo\'n gelal aanwezig,
dan is dit het te construeeren reëele getal. Hebben alle getallen
het cijfer O als cijfer, dan nemen we 0^ = 0. Zijn er meerdere
met 1® cijfer = /, dan gaan we de cijfers op de plaats na.
02 wordt nu weer 1 als er minstens één getal is, dat als cijfer
1 heeft, anders wordt a^ = O. Is er maar één met 2 cijfers = /,
dan is dat getal het te construeeren getal, zijn er meerdere, dan
kijken we naar de cijfers op de 3^ plaats enz. Het reëele getal,
dat zoo ontstaat is de bovenste grens.

Bewijs. Uit de constructie van de bovenste grens volgt reeds,
dat er geen getal der verzameling is, zoodat B< dit getal. Er is
echter altijd een getal dat de eerste n cijfers met B gemeen-
schappelijk heeft, waarbij we voor n elk geheel getal mogen

nemen. Geef nu een e, dan kan men kiezen een n zóó dat ^ < c.

Bepaal het getal dat de eerste n cijfers met B gemeen heeft,

dan \\s B — getal < ^ <

We hebben hier dus inderdaad een continuum verkregen. Merk-
waardig is, dat de ontstaanswijze geheel anders is, als die van
de besproken continua, immers, daar werd eerst het R systeem
opgebouwd <en was noodzakelijk voor de vorming van het con-
tinuum, hier vervalt dit. Voor de vorming van een element van
het continuum is slechts noodig het systeem der natuurlijke
getallen. Voor de vorming van de geheele verzameling echter is meer
noodig. Immers, door Cantor is bewezen, dat deze verzameling.

niet aftelbaar is, d. w. z. haar elementen kunnen niet in (1, 1) cor-
respondentie gebracht worden met de natuurlijke getallen. Dit wil
dus zeggen, dat de verzameling der voortschrijdingswetten, volgens-
welke we een getal gedefinieerd hebben, een grootere machtigheid
heeft dan de verzameling der natuurlijke getallen en we moeten
ons dus de vraag stellen: hebben we een scherp begrip van een
dergelijke verzameling?

We komen hier tot een probleem, dat in de mathematische
wereld heel wat stof heeft doen opwaaien, dat een splitsing onder
de Mathematici heeft teweeggebracht. De volgelingen van Cantor
meenen, dat zij wel begrip hebben van verzamelingen van hoogere
machtigheid dan die der natuurlijke getallen, de tegenstanders
zooals Borel, Brouwer e.a. erkennen alleen aftelbare verzame-
lingen als wiskundig beteekenis hebbend. Alle andere verzame-
lingen noemen zij zinloos.

Het is wel de moeite waard in \'t kort na te gaan, welke gronden
de laatste hebben om alleen aftelbare verzamelingen toe te laten.
Deze kan men toch ook nooit kant en klaar neerschrijven, waarom
worden zij nu als wiskundig denkbaar aangezien? Hierop geeft ons
Borel in zijn „Polémiques sur Ie transfini" (Leçons sur la theorie
des Fonctions) een duidelijk antwoord. Hij gaat uit van een stelling
van P. du Bois-Revmond. Deze stelling is de volgende: Gegeven
een aftelbare verzameling van stijgende functies, dan bestaat er
een stijgende functie grooter dan elk der gegeven functies. Hij
vergelijkt dit met de rij der natuurlijke getallen en komt tot de
conclusie, dat wij van laatstgenoemde een voorstelling hebben,
van de eerste niet. De motiveering is, dat bij het spreken over
aftelbare verzamelingen de wiskundigen elkaar begrijpen, terwijl
bij kwesties over niet aftelbare verzamelingen groote verdeeldheid
onder de Mathematici optreedt. Men denke b.v. aan het principe
van Zermelo aangaande het kiezen van een element uit een dgl.
verzameling, een principe, dat door de eene categorie wel, door
de andere niet geaccepteerd wordt. Van degenen, die het trans-
finitum niet erkennen, zegt Borel (pag. 145):

La question est maintenant de savoir si ces derniers sont dans
leur droit, ou bien s\'ils se trouvent vis-à-vis du transfini dans
une situation analogue à celle d\'un enfant qui vient d\'apprendre
la numération à qui on expliquerait ce qui est un ensemble

dénombrable et qui aurait quelque peine a ie comprendre. Afwijzen
doet Borel hier het transfinitum dus niet, beschouwt het echter
momenteel als wiskundig geen zin hebbend.

Het is een zonderlinge geschiedenis met deze continue ver-
zameling. Zij is in elkaar gezet en de maker schijnt van zijn eigen
werk geen overzicht meer te hebben. Brouwer noemt haar aftel-
baar onaf, maar dit is slechts een kwestie van naam. Hij neemt
aan, dat zij wiskundig niet bestaat. Een ding echter staat vast;
het CANTORSche bewijs der niet-aftelbaarheid toont aan dat er
verzamelingen zijn met een hoogere machtigheid dan die der
natuurlijke getallen. De continue verzameling mag dan wiskundig
geen zin hebben, dat er behalve de aftelbare verzamelingen nog
andere zijn, is zeker, al hebben wij dan ook niet het middel om
haar mathematisch te bepalen.

SLOTOPMERKINGEN.

De grondslagen der Wiskunde kunnen zich verheugen in een
groote belangstelling van de zijde der philosophie. Talrijke
philosophen hebben met meer of minder succes over deze materie
huri ideeën verkondigd, in de duistere diepten dezer gronden is
menig gevecht geleverd tusschen philosophen eenerzijds, mathe-
matici anderzijds. We behoeven slechts te herinneren aan de
transfinite getallen van Cantor, het Zermelosche Auswahlaxiom,
enz. om aan te toonen, dat de wegen der beide wetenschaps-
menschen elkaar moesten kruisen. En in het algemeen zal ook
de wetenschap hier wel bij varen, samenwerking harer verschil-
lende beoefenaren is absoluut noodzakelijk. Mogelijk is echter
deze samenwerking niet altijd, de verschillende standpunten loopen
dikwijls zoover uiteen, dat van overbruggen der kloof geen sprake
kan zijn, nu eens is het de philosoof, die niet mathematisch denkt
en voelt, dan weer de mathematicus, die niet philosophisch aan-
gelegd is. Elke korle bespreking van een paar philosophische
werken mag hier een plaats vinden in verband met het in dit
proefschrift behandelde.

In „Die Gesetze und Elemente des Wissenschaftlichen Denkens"
behandelt pröf. Heymans o.a. het getalbegrip. Hij begint met de
invoering van het systeem der natuurlijke getallen, dat oorspron-
kelijk niets anders is als een willekeurige, maar bepaalde rij van
klanken. Deze rij wordt gebruikt als een soort maatstaf, men
kan hiermee beslissen of de elementen van twee verzamelingen
met elkaar in (1,1) correspondentie gebracht kunnen worden.
Stellen we hier even vast, dat het begrip „verzameling" door
prof. Heymans als bekend wordt aangenomen; dit is immers juist
de aanleiding voor het scheppen der natuurlijke getallen geweest. Er
is dan ook geen bezwaar tegen om, zooals in par. 37 pag. 136 ge-
beurt, de rij der klanken te vervangen door een rij van teekens 1,2,...

3

Nu volgt de verklaring van de formule 7 4 = 11. Men merke
op, dat de gang van zaken als volgt is: 7 4=11 wordt neer-
geschreven, daarna wordt aangegeven, wat met die formule wordt
bedoeld. Natuurlijk kan men ook omgekeerd eerst de omschrijving
geven en daarna deze omschrijving kort door een formule weer-
geven. De omschrijving is de volgende: De rij der getallen van
1 ... 7 en die van 1 ... 4, laten zich in (1, 1) correspondentie
brengen met de rij 1 ... 11 en omgekeerd, het begrip aantal
speelt hierbij geen rol, dit komt eerst later bij de toepassing.
De nadruk moet gelegd worden op het feit, dat de verklaring der
arithmetische formules, voorzoover zij betrekking hebben op de
natuurlijke getallen, wordt gegeven door directe aanwending van
de rij der natuurlijke getallen zelf, die van te voren is vastgelegd
en die men met Weyl (Das Continuum) een grondkategorie
kan noemen.

In par. 40 wordt de uitbreiding van de getallenrij besproken,
de hier volgende theorie kan men noemen de „eenheids" theorie.
Alle formules zullen worden teruggevoerd op de ééne grond-
kategorie der natuurlijke getallen, te dien einde voert prof. Heymans
in een „negatieve eenheid", „breukeneenheid", „irrationale" en
zelfs „imaginaire eenheid". Zeer zeker geeft deze opvatting tot
weinig moeilijkheden aanleiding, of zij echter aan de eischen van
wetenschappelijke strengheid beantwoordt, zullen wij moeten
nagaan.

In de eerste plaats wijst prof. Heymans erop, dat de invoering
der nieuwe getallen aanleiding geeft tot nieuwe problemen, zeer
zeker, de invoering zelf is reeds een probleem. Hij zegt, dat we
van te voren niet weten wat we onder een negatief of gebroken
aantal objecten moeten verstaan. Natuurlijk niet, evenmin als de
Boschjesman weet, wat wij onder 3 peren verstaan, weten wij
in dit stadium van de theorie wat met een negatief aantal dingen
bedoeld wordt. Als deze uitdrukking beteekenis heeft, moet die
eerst verklaard worden. Anders gezegd: zoolang wij alleen de
natuurlijke getallen kennen, zijn alle andere „getallen" voor ons
mysteries. En evenals men de grondkategorie der natuurlijke
getallen willekeurig, maar bruikbaar heeft ingevoerd, moet men
nu de kategorie der breuken in zijn geheel invoeren. Zelfs Weyl,
die zoo beangst is voor „Stufenbildung" durft nog wel een tweede

grondkategorie der rationale getallen invoeren. En hiertegen is
ook niet het minste bezwaar, mits men maar niet al te scrupuleus
aan het begrip „tellen" vast zit. En zelfs kan men breuken wel
invoeren zonder afstand te doen van dit begrip, men kan ze
scheppen (analoog aan de rij der natuurlijke getallen) als een
verzameling van klanken of teekens, waarvan de samenstellende
deelen genomen worden uit de rij der natuurlijke getallen. Men
moet nu (als bij de natuurlijke getallen) deze symbolen een be-
teekenis toekennen. Dit definieeren we nu: Vs wil zeggen: uit\'een
verzameling van 3 elementen er één nemen, (zie Noodzakelijkheid
van het systeem), hierbij wordt dan alleen gebruik gemaakt van
het begrip verzameling (wat geoorloofd is) en van de verzameling
der natuurlijke getallen. Men vergelijke de beteekenis van het getal
7., d.i. de rij 1 ... 7. En nu de verklaring der formules: Boven
zagen we, welke de beteekenis is van: 7-f-4 = 11. Nu moeten
we een beteekenis geven aan Va Vö = ®/i5- Deze kan men als
volgt geven: Neem een verzameling van 15 elementen, Vs be-
teekent hiervan 5 nemen, V5 er 3 van nemen, samen dus 8 ele-
menten, d.i. 8/15. Er wordt hierbij nergens gebruik gemaakt van
dingen die niet van te voren verklaard zijn. Is dit niet in den
grond hetzelfde als de verklaring van 7-}-4=ll? Het verschil
lijkt mij slechts gradueel, dat breuken meer moeite geven, minder
doorzichtig zijn is niet le verwonderen, het zijn toch ook de
producten van een hoogere beschaving. Zeker zijn de breuken
niet een direct gevolg van het tellen, wel echter wordt op boven-
staande wijze hun beteekenis geheel op de natuurlijke getallen
teruggevoerd. Bovendien, voor het bewijs van de formule 7 4-4 = 11
is de rij der natuurlijke getallen alleen niet voldoende, ook het
toevoegingsprincipe moet bekend ondersteld worden. Men zou
nu nog kunnen vragen: waarom is Vs X Vc = Vis Voor ons
ongetwijfeld omdat het ons zoo geleerd is, de oorsprong van deze
formule is echter zelfs Cantor niet bekend. Met het definieeren
en het geven van de interpretatie is dus de zaak afgeloopen.

Prof. Hevmans doet het anders. Tegen bovenstaande invoering
maakt hij op pag. 146 bezwaar, waaraan hij een voorbeeld laat
voorafgaan. Hij zegt: Die Wissenschaft hat ohne Zweifel das Recht,
einen bestehenden Begriff zu erweitern: einzelne seiner Merkmale
fallen zu lassen, oder andere, allgemeinere, an die Stelle der-

3*

selben treten zu lassen. Aber sie hat nicht das Recht, ein Merkmal
fallen zu lassen, und dennoch andere, welche von diesem Merk-
male abhängen, zu handhaben. Sie war ohne Zweifel berechtigt,
nachdem der Ozon endeckt worden war, aus dem Begriff des
Sauerstoffs das Merkmal eines spezifischen Gewichtes =16
fallen zu lassen und also den weiteren Begriff eines Stoffes, dem
sämtliche bekannte Eigenschaften des Sauerstoffs, nur nicht ein
bestimmtes spezifiches Gewicht zukämen, aufzustellen. Aber sie
würde nicht berechtigt sein, den Begriff eines Etwas aufzustellen,
dem sämtliche bekannte Eigenschaften des Sauerstoffs auszer
dem Merkmale der Stofflichkeit zukämen. Denn ohne Stofflichkeit
lassen sich eben die übrigen Eigenschaften des Sauerstoffs nicht
denken; der aufgestellte Begriff enthielte demnach einen Wider-
spruch. De bedoeling is, dat de eigenschappen, die een gevolg
van de stoffelijkheid zijn, zich anders niet laten denken. Voor-
zichtig moet men hiermee toch zijn, b.v. radioactieve stoffen
hebben eigenschappen, die ook niet stoffelijke dingen bezitten nl. de
aethertrillingen. Overigens is het voorbeeld juist. Maar nu volgt:
Einen solchen Widerspruch enthielte nun aber der Begriff eines
Etwas, welches ohne ein Produkt des Zählens, ohne demnach eine
eigentliche Zahl zu sein, dennoch den Zahlgesetzen unterworfen
wäre. Het verband met bovenstaande voorbeeld ontgaat mij. Indien
in plaats van „Zahlgesetzen" had gestaan „Zählungsgesetzen",
is het duidelijk, maar men mag toch een bestaand begrip uitbreiden,
en dus ook het getalbegrip, en in de plaats van „eigentliche Zahl\'»^
(d.i. natuurlijke getal), een ruimer getalbegrip invoeren, hiervoor
rekenregels geven, waarin de regels van de natuurlijke getallen
opgesloten liggen. Voert men de breuken in als boven, dan blijkt
dat de natuurlijke getallen ook in dit kader passen, met behoud
van hun oorspronkelijke beteekenis (zie Noodzakelijkheid van
systeem). De invoering van een nieuwe eenheid, waarvan er n
aequivalent zijn met een andere eenheid (breuk \'/„) maakt de zaak
m.i. niet duidelijker.

Een ander bezwaar van prof. Hevmans tegen bovengenoemde
invoering van breuken is, dat de toepassing op objecten
problematisch moet blijven. Met hetzelfde recht kan men dan
ook de toepassing van de natuurlijke getallen op objecten
problematisch noemen. Alles is immers een gevolg van conventie.

bij de natuurlijke getallen evenzoo goed als bij de andere.

Eindelijk de invoering der irrationale getallen. Hier blijkt toch
heel duidelijk de onhoudbaarheid van de gevolgde methode.
Immers wordt de irrationale eenheid vastgelegd door de geometrie,
nl. de beschouwing van den rechthoekig gelijkbeenigen driehoek.
Maar de stelling van Pythagoras heeft toch eerst zin, als de
irrationale getallen ingevoerd zijn? Door Dedekind is hierop
dunkt mij zeer duidelijk gewezen. De Analyse heeft waarlijk reeds
leergeld genoeg betaald als gevolg van het gebruik maken van
geometrische voorstellingen.

En hoe moeten de imaginaire getallen verklaard worden? Zij
zijn toch ongetwijfeld producten van bewerkingen, die de Analyse
zelf voorschrijft, de rekenregels met deze getallen worden door
de Analyse, in aansluiting met die van de reëele getallen vast-
gesteld. Wat prof. Heymans zich voorstelt bij een imaginaire
eenheid anders dan de letter / kan ik niet begrijpen.

En nu de vraag: waarom twijfelt niemand aan de door mathe-
matische bewerkingen verkregen uitkomsten. Het antwoord is
tweeledig: De zuiver theoretische bewerkingen berusten geheel
op van te voren vastgestelde definities, zoolang de overeenge-
komen regels gevolgd worden is men zeker steeds hetzelfde
resultaat te krijgen, daar alle regels ondubbelzinnig zijn. In het
uitsluiten der dubbelzinnigheid ligt m.i. de mathematische zeker-
heid. Ten tweede de toegepaste wiskunde. Hier is de kwestie
een geheel andere. Zekerheid van een langs mathematischen weg
bereikt resultaat, bestaat dan lang niet altijd, dit hangt van allerlei
factoren af. Nemen wij een paar voorbeelden. Op een rechte lijn
kan men een beweging naar rechts positief, naar links negatief
noemen en verder een nulpunt kiezen. Men kan nu bewegingen
naar rechts door positieve, naar links door negatieve getallen voor-
stellen. Een beweging vanaf hel nulpunt naar rechts van 3 cm.,
gevolgd door een naar links van 3 cm. levert b.v. weer het nulpunt
op, enz. De bewerkingen met negatieve getallen vinden hier een
analogon, het rekenen met positieve en negatieve getallen beeldt
zich ondubbelzinnig af als bewegingen naar links en naar rechts.
Erkent men met Heymans het toevoegingsprincipe, dan zijn de
uitkomsten bij deze toepassing even zeker als de uitkomsten bij
de zuiver theoretische bewerkingen. Andere voorbeelden van

toegepaste wiskunde levert ons de mathematische physica. En
hier hangt de zekerheid van het resultaat niet af van de wiskun-
dige bewerkingen, doch van physische hypothesen. Neemt men
deze aan, dan moet ook het resultaat als vaststaand beschouwd
worden. Dit is echter een kwestie, die geheel buiten de wis-
kunde staat.

In de tweede plaats is door R. J. Kortmulder een beschouwing
gegeven over de invoering van het getalsysteem (Dissertatie, De
logische Grondslagen der Wiskunde). Ten grondslag ligt een vrij
vage „grondrij", waarmee de natuurlijke getallen gedefinieerd
worden. Door een relativeeringsproces komt hij tot de invoering
der negatieve getallen en tot de rationale getallen. Of dit relati-
veeringsproces overal erg duidelijk is zullen we daar laten, een
„oorspronkelijke eenheid als relatieve veelheid" denken (pag. 122
invoering der breuken) lijkt nu niet zoo heel eenvoudig, liever
gaan we na wat de schrijver opmerkt over de invoering der irra-
tionale getallen. We treffen hier, anders als bij Heymans de namen
Cantor en Dedekind aan, en Kortmulder blijkt het meest te
voelen voor de DEDEKiNDSche opvatting. Hij zegt nl. dat de
CANTORSche wijze van opvatting formalistisch is, terwijl Dedekind
de invoering bewerkstelligt door te letten op de ordinale functie.
Hiertegen is weinig in te brengen, echter zijn opvatting van de
DEDEKiNDSche getallen is niet die, zooals zij door Dedekind is
bedoeld. Op pag. 125 zegt hij: Deze (de irrationale getallen)
worden dan ingevoerd als het geheel der elementen, die de
hiaten in de rij der rationale getallen vullen. Geen sprake van.
Zoo mag men deze getallen niet beschouwen. Zeer duidelijk zegt
Dedekind: Jedesmal nun, wenn ein Schnitt vorliegt, welche durch
keine rationale Zahl hervorgebracht wird, so erschaffen wir eine
neue, eine irrationale Zahl, m. a. w. er wordt een geheel nieuwe
verzameling van dingen gemaakt, nl. de snedenverzameling in R,
met elke snede correspondeert een getal. Van het opvullen van
hiaten is geen sprake. Eerst nä de invoering wordt aan de
nieuwe getallen een plaats in het systeem aangewezen.

In dezelfde paragraaf trekt hij ook van leer tegen de forma-
listische invoering van de negatieve getallen, waarbij hij zich
beroept op Frege. Volgens deze laatste is het dwaasheid om een
nieuw teeken in te voeren voor b — c, als c> b, want zegt hij:

men kan evengoed een teeken invoeren voor de gemeenschap-
pelijke oplossing van x-{-2 = l en x-\\-l = 2. Frege vergeet
hier één ding.

Indien de ontwikkeling der getallenleer er toe zou leiden om
een dgl. teeken in te voeren, dan zou dit ook zonder bezwaar
kunnen gebeuren. Gebeurt bij de invoering der imaginaire getallen
niet precies hetzelfde? In het voorbeeld bovengenoemd zal wel
niemand behoefte gevoelen om een nieuw symbool in te voeren^
juist daarom is het aangehaalde voorbeeld waardeloos. Bij de
negatieve getallen staat de zaak geheel anders. Dat een bewerking.
6 —c alleen beteekenis heeft voor ö>c is toch in elk geval iets
onvolkomens, en het ligt m. i. voor de hand om te trachten die
onvolkomenheid op te heffen. En in de toegepaste wiskunde?
Men zal hier bij elk voorkomend geval moeten nagaan of er in
de werkelijkheid dingen voorkomen die tot elkaar in dezelfde
betrekking staan als de ingevoerde negatieve getallen tot de
positieve. En dit gebeurt ook inderdaad, al denkt men daarbij
ook niet atijd na. Waarom heet een schuld van 3 gulden — 3
gulden vordering? Omdat een schuld van 3 gulden en een vor-
dering van 3 gulden samen niets opleveren. En waarom gelooven
wij zoo vast aan onze wiskunde? Al onze berekeningen berusten
op van te voren vastgestelde wetten, het resultaat is dus een
gevolg van deze definities en is dus met betrekking tot de defi-
nities in orde. Zijn nu de definities toepasbaar op werkelijke
dingen, dan spreekt het voor ons ook van zelf, dat de berekenings-
resultaten voor die dingen goed zijn. Ieder die dit niet wil toe-
geven moet dunkt mij ook het bestaan van een functie-theorie
loochenen, de integraalstelling van Cauchy is toch ook zuiver
formalisme. Toch gelooft ieder mathematicus eraan om de een-
voudige reden, dat bij het ontstaan der stelling de van te voren
vastgestelde rekenvoorschriften gevolgd zijn. En eenig contact
met de werkelijkheid zal deze stelling toch wel nooit krijgen.

Hier dreigen dus geen gevaren, waarmee niet gezegd is, dat
gevaren überhaupt niet bestaan. Zij komen van geheel andere zijde
en wortelen in de al- of niet-toelaatbaarheid van in de wiskunde
gebruikte axioma\'s, in welks middelpunt het principiuum tertii
exclusi staat (Brouwer—Weyl). Deze vragen staan echter buiten
het door Kortmulder bestreken gebied.

Op pag. 128 § 19 vertelt Kortmulder ons wat wij hebben te
verstaan onder continu. Hij zegt: „Het systeem der reëele getallen
is continu, omdat door het voorschrift der opvulling aller hiaten
de discretie verdwenen is. Continuïteit wil zeggen: absolute
samenhang door opvulling aller gapingen. Het begrip „tusschen"
is hier van groot belang. Een lichaam beweegt zich continu, als
alle tusschengelegen punten doorloopen worden, juister gezegd;
als alle tusschen begin- en eindpunt op de bewegingslijn te
denken punten doorloopen worden. Toepassing van tusschen-
stelling, tot deze uitgeput is, dat is wat het begrip continuïteit
eischt."

Hadden Dedekind en Cantor niet geleefd, dan zou dit con-
tinuumbegrip denkbaar kunnen zijn. Blijkbaar denkt Kortmulder
hier aan de vloeiende lijn, het physische ding, dat geheel buiten
de Analyse slaat. De beweging van een lichaam, dat alle punten
van een lijn doorloopt, heeft met arithmetische kwesties niets te
maken. De constructie van het arithmetisch continuum wijkt ook
nog al af van die van de physische rechte, het eerste onstaat als
een verzameling, die successievelijk wordt opgebouwd uit ver-
zamelingen van lagere machtigheid, de laatste in eens door een
pennestreek. Dat het arithmetisch continuum geconstrueerd is door
naar de physische lijn te kijken, is ongetwijfeld waar, maar daarom
zijn beide noch niet identisch. Continuïteit wil niet zeggen:
absolute samenhang door opvulling aller hiaten, continuïteit be-
teekent heel eenvoudig: gehoorzaam zijn aan de continuum-
definitie en niets meer.

We zagen dat Kortmulder het CANTORsche stelsel van irra-
tionale getallen verwerpt als zijnde formalistisch. Is het DEDEKiND-
sche dat niet? Cantor construeert een fundamentaalrij en voegt
hieraan een „getal" toe, Dedekind maakt een snede, d. i. twee
getalverzamelingen die . . . enz. en voegt hieraan een „getal" toe-
In den grond is dat toch evengoed formalisme. De oorzaak van
de dwaling zit hem dunkt me in een verkeerd begrijpen van het
stelsel van Dedekind. Kortmulder schijnt te meenen, dat Dede-
kind a. h. w. tusschen 2 rationale punten een irrationaal punt
stopt, dat is echter niet waar, de verzameling der reëele getallen
ontstaat als één geheel, waarin de rationale getallen een plaats
kunnen krijgen door ze aan een snede toe te voegen.

Afgezien echter van alles wat hierboven over de meening van
Kortmulder is opgemerkt, is zijn theorie ontoereikend. Op
pag. 104 zegt hij: „Het zal nu in het vervolg blijken, dat de
voortgezette ontwikkeling van het getalbegrip bestaat uit een
voortdurend toepassen van ditzelfde proces: het relativeeren der
getallen, het beweeglijk stellen t.o.v. een gebied, dat met de
getallen ontstaat en dat zoo in den schijn een zekere onafhankelijk-
heid krijgt van de getallen, waarmee het echter ontstaat". Voor de
irrationale getallen echter moet Dedekind helpen, het relativee-
ringsproces wordt dus gedurende eenige tijd op non-actief gezet,
maar komt plotseling in par. 20 pag. 129 weer in dienst; om
nl. heel gauw de bewerkingen met de irrationale getallen te ver-
klaren. Hoe een irrationaal getal zonder dat van te voren de
bewerkingen ermee zijn „gedefinieerd" als relatieve nul op kan
treden, is mij een raadsel.

Ten slotte is de door Kortmulder gegeven oplossing van de
paradox van Burali Forti zeker niet juist. Deze paradox is de
volgende: Als het geheel der welgeordende typen naar volgorde\'
gerangschikt wordt, dan is dat geheel weer een welgeordend
type en wel de grootste. Maar dan krijgt men door toevoeging
van één element een nog grooter welgeordend type; het eerste
was dus niet de grootste.

Kortmulder zegt nu, dat de voortgezette relativeering van de
eenheid steeds grootere rang-getallen schept. Dit proces is onvol-
eindbaar, daar ieder ontstaan getal tot nieuwe eenheid kan worden
gekozen. Het begrip nu van de verzameling van alle rang-getallen,
is een begrip, dat ondenkbaar is, daar het een innerlijke tegen-
strijdigheid bevat, immers: de voortdurende voortzetbaarheid van
eenzelfde denkhandcling, nl. de relativeering der eenheid, waarop
de uitbreiding van het getalbegrip berust, sluit de afsluitbaarheid
van het proces uit, het is dus ongeoorloofd het begrip „verza-
meling" van alle ranggetallen te vormen, daar het begrip tegen-
strijdig is. Deze „oplossing" is onjuist. Het bewijs draait hier
om de voortdurende voortzetbaarheid van dezelfde denkhandeling.
In de eerste plaats kan men zonder nieuwe „Erzeugungsprincipes"
nooit lot hooger alefs komen; wat ook op pag. 132 door Kortmulder
niet bestreden wordt. Van eenzelfde denkhandeling is dus geen
sprake. Maar nemen we nu eens als voorbeeld de natuurlijke

getallen. Door steeds een nieuwe eenheid toe te voegen, d. w. z.
door voortdurend dezelfde denkhandeling te verrichten, krijgt
men al grooter en grooter getallen. Pas hier op woord voor
woord bovenstaande uitspraak toe, behalve dan het relativeeren.
Het proces is onvoleindbaar, het begrip dus van de verzameling
van alle natuurlijke getallen is ondenkbaar! En toch spreken alle
mathematici van de verzameling der natuurlijke getallen.

STELLINGEN.

De meening van Du-Bois-Revmond over het ontstaan der
breuken bij de oervolken, is ongemotiveerd. (Allgemeine Funk-
tionenlehre, pag. 49).

De relativeeringstheorie van Kortmulder kan de irrationale
getallen niet te voorschijn roepen. (Dissertatie, pag. 104 en § 18).

111.

De voordeelen van de theorie van Baudet boven die van
Cantor blijken minder belangrijk te zijn. (Christiaan Huygens,
1« Jaargang, 1921 — 1922, N^ 1, bldz. 33, 37. en § 7).

Ten onrechte beweert Russell, dat Cantor en Dedekind de
irrationale getallen invoeren als limieten. (Principles of Mathe-
matics, pag. 280, § 267 en pag. 285, § 269).

V.

De uitspraak van Cantor dat irrationale getallen zich nooit
als snede voordoen, is niet juist. (Math. Annalen Bd. XXI,
pag. 567).

VI.

Het begrip getal is door Heymans te eng geformuleerd. (Gesetze
und Elemente des wissenschaftlichen Denkens, § 36—§ 42).

VII.

Op pag. 403 § 124 zegt H. Weber (Lehrbuch der Algebra
1« deel):

Setzen wir: x = ao 4\'-

(jc = irrationaal getal, üq = geheel getal, zoodat a«< «0 O
so ist Xi ein positiver unechter Bruch. Dit is onjuist.

VIII.

♦

In het 1«= deel van zijn Geometrie der Lage geeft Th. Reve
een bewijs van den Fundamentalsatz (pag. 52, 53). Dit bewijs
is zeer onvolledig.

De ontwikkeling van tiet integraalbegrip uitgaande van een
continue functie is onlogisch. (Hk. de Vries, Leerboek der
Diff. en Integraalrekening, deel, § 1).

X.

In hetzelfde werk 1« deel pag. 35—36 wordt een bewijs ge-
geven van de gelijkmatige continuïteit van f{x) in een gesloten
interval a<x<b voor \'t geval f{x) in elk punt van het interval
continu is. Dit bewijs is niet voldoende scherp.

XI.

De invoering der homogene lijncoördinaten door Jessop is
onlogisch. (Treatise on the line-complex pag. 16 § 3).

XII.

De invoering van het begrip kracht zonder kinematische inleiding
is ongewenscht. (Riecke, Lehrbuch der Physik, 1<= deel).

t\' V

•jéE.

M

• : .V ; - >

Çî ■ ■ i " ■ .

. >

- ■ ■ ... .-rmÂ^r.

\' t * \' \\ \' \'

? •

v .■■".(

m

• t.

m

\'i :

. VA\'.

\'■i \'i\'

f\' • V ; . -r-

TtöSWik I

m