tri\' -

/

hi

aQ

W. J. BEEKMAN

■m

\' 4 il

BIJDRAGE TOT DE STUDIE YÄN SYSTEMEN MET 2 ELECTRONEN.

2448 360 8

BIJDRAGE TOT DE STUDIE VAN
SYSTEMEN MET 2 ELECTRONEN

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN
NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-UNIVER-
SITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN
RECTOR MAGNIFICUS Dr. H. F. NIERSTRASZ.
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER
WIS- EN NATUURKUNDE, VOLGENS BE-
SLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVER-
SITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE
FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE
TE VERDEDIGEN OP DONDERDAG 28 MEI
1925 DES NAMIDDAGS 4 UUR, DOOR

WILLEM JAN BEEK/VIAN,

GEBOREN TE ROTTERDAM.

□

electr drukkerij „de industrie" j. van druten - utrecht

1925

: :rrin I4AV OAsn^ ^ H\'

" yiO\'CHM :

■ \' : 7 m: •• ■. ,

SCIMUH^" ; \' - ~ " ■■ \' -......

■ihm n

ysMr\'-ytm. -\'Al mJJ^W:

îv: ""Ovr -\'ri v -Ot^y

\'"If

c=3 O :

■ -1;-

ai-

; ■> ■ \' mi . .

AAN MIJNE VROUW.

Bij het voltooien van mijn proefschrift is het mij eene
aangename taak U, Hoogleeraren in de Faculteit der Wis-
en Natuurkunde, mijnen dank te betuigen voor hetgeen Gij
tot mijne wetenschappelijke vorming hebt bijgedragen.

Bovenal dank ik U, Hooggeleerde Ornstein, hooggeachte
Promotor, voor de aanmoediging tot het schrijven van dit
proefschrift en voor de voortdurende belangstelling en steun,
die ik van U bij de samenstelling ervan mocht ondervinden.

■■J\'f.\'\'

,- f.rilHl <>-\'> ■ -"ffäffl®

d .i

\\

1. INLEIDING.

De experimenteele onderzoekingen van Rütherford en e.a.
hebben den grondslag gelegd voor de hypothese, dat het
atoom bestaat uit een centralen kern met positieve lading,
waaromheen zich een aantal electronen bewegen. In den
neutralen toestand van het atoom is het aantal dezer elec-
tronen gelijk aan het atoomnummer van het element.

Zoo bestaat b.v, het neutrale waterstofatoom uit een cen-
tralen kern met lading e, waaromheen zich een electron
met lading — e in een gesloten baan beweegt. Volgens de
klassieke electrodynamica zal door dit electron straling ge-
emitteerd worden, waardoor de energie van het atoom voort-
durend zal afnemen. Deze straling zal tot een continu spec-
trum aanleiding geven, daar banen van alle mogelijke grootten
kunnen voorkomen. Het waargenomen spectrum bestaat
echter uit scherpe lijnen, waaruit in verband met het voor-
gaande volgt, dat de gewone electrodynamische wetten hier
niet meer geldig zijn.

Ten einde deze moeilijkheid te overkomen, heeft Bohr de
volgende hypothesen ingevoerd:

1) De toestanden van een mechanisch systeem, welke kunnen
voorkomen, vormen een discrete verzameling. Een energie-
verandering grijpt alleen plaats bij den overgang van den
eenen naar den anderen dezer stationnaire toestanden.

2) De straling, hierbij geëmitteerd of geabsorbeerd, is mono-

chromatisch en heeft de frequentie v = —^^^— waarin

oc\\ en «ï de energieën in de beide toestanden zijn en h de
PLANCK\'sche constante.

De problemen, welke mathematisch volkomen te behandelen
zijn, hebben alle betrekking op een zeer speciaal geval: n.m.
de beweging van één electron om een kern met lading Z.

Bohr, Sommerfeld, Epstein en e.a. hebben dit probleem be-
handeld; hunne resultaten zijn echter voor het grootste ge-
deelte slechts van toepassing op waterstof, positief geladen
helium en het dubbel positief geladen lithium. Bij andere
elementen zijn de uitkomsten slechts bij benadering in enkele
gevallen toe te passen b.v. bij een atoom, dat bestaat uit
een kern, waaromheen zich op kleineren afstand een aantal
electronen bewegen, welke met den kern den atoomromp
vormen, terwijl op grooteren afstand zich een enkel electron
beweegt.

Een probleem, dat mathematisch volkomen is te behandelen,
is de beweging van een electron t.o.v. twee positieve kernen
(model van het waterstofmolecuulion), hetwelk door Niessen
en PAULt is opgelost.^)

Bij systemen met meerdere electronen is een berekening
der bewegingen, zooals voor het neutrale waterstofatoom ge-
schied is, tot nog toe mathemathisch onmogelijk. Wij krijgen
dan te doen met drie en meer lichamenproblemen, waarvan
de oplossing nog niet is gevonden.

Bij deze n lichamenproblemen kan men dan zoeken naar
de z.g.n. „periodieke oplossingen", zooals zulks ook in de
astronomie geschiedt.

In de volgende hoofdstukken wordt de beweging van een
electron onderzocht t.o.v.:

a) een neutraal waterstofatoom.
h) een geïoniseerd heliumatoom.

In beide gevallen wordt in rekening gebracht, dat het
atoom zich in het veld van het electron bevindt.

Het Heliumprobleem is op andere wyze behandeld door
Sommerfeld en Lande zonder echter tot juiste resultaten te
voeren.®)

1) Zie: Bokn, Vorlesungen über Atommechanik blz. 148.

2) Niessen, Diss. Utrecht 1922. W. Pauli, Ann. d. Phys. 68, 177 (1922).
=•) A. Lande. Störungstheorie des Heliumatoms Phys. Zschr. 21,

114 (1920).

2. DE BEWEGING VAN EEN ELECTRON T. 0. V. HET
NEUTRALE WATERSTOFATOOM.

2.1 Bespreking eener hypothese, ter vereenvoudiging van
het probleem.

Het neutrale waterslolatoom bestaat uit een kern, waarom-
heen zich een electron in een cirkelvormige baan beweegt.
Het onderzoek naar de beweging van een tweede electron
t. o. V. dit systeem geeft aanleiding tot een drielichamen-
probleem, dat zonder bijzondere verondersteHingen niet op te
lossen is.

Om tot een benaderde oplossing van het probleem te komen,
zullen wij een hypothese invoeren, die het terugbrengt tot
een probleem, dat mathematisch te behandelen is.

Deze hypothese formuleeren wij als volgt:

Het veld van het electron, welks beweging t. o. v. het
neutrale atoom onderzocht moet worden (wij zullen dit het
electron 2 noemen), zal in het atoom een polarisatie veroor-
zaken. De cirkelbaan, waarin het electron van het atoom
zich beweegt, zal een weinig weggedrukt worden in de richting
electron 2 naar kern. Wij nemen nu verder aan, dat evenals
bij het Stark effect het vlak van deze baan voortdurend lood-
recht blijft staan op de richting kern-vrij electron d. w. z. we
onderstellen, dat het atoom zich dus oogenblikkelijk instelt.
Wij kunnen ons nu verder de uitwerking van het ntoom-
electron bij zijne snelle beweging in de cirkelbaan vervangen
denken door de uitwerking van eene gelijke negatieve lading
in het electrische zwaartepunt van de baan d. i. hier het
middelpunt.

Daar de massa van den positieven kern zeer groot is t. o. v.
de massa\'s der beide electronen zoo kunnen we den kern in
rust denken.

2.2 Berekening van de potcntieele energie van het elec-
tron 2 t. o. v. het neutrale atoom met inachtname
van de hypothese in 2.1.

Hiertoe bepalen wij eerst den afstand S van het vlak van
de cirkelbaan tot den kern. De ontwikkeling, die wg hierbij
voor S vinden, breken wij bij den eersten term af. Vervolgens
denken wij ons een lading — e in het middelpunt van dezen
cirkelbaan en berekenen de resulteerende kracht op het
eleetron 2 uitgeoefend.

2.21 Berekening van l

De ontbondenen van de krachten, werkende op het atoom-
electron, evenwijdig aan de richting kern electron 2, moeten
elkaar opheffen.

Dit geeft:

waarin:

cos iL —--en cos <p = —

p a

Substitutie hiervan in voorafgaande vergelijking geeft:

P\'

waaruit volgt:

ra^

p^ — a®

Uit de liguur II zien we verder:

= 5

1

^ H rj

Nemen wij nu r voldoend groot t. o. v. a, dan zal r ook
groot t. 0. V. ^ zijn en kunnen wij hiervoor schrijven:

1 ^

Substitutie van (2) in (1) geeft:
3 =

1

\\

ra\'

Ml-t-g^.-t- ^

33

In eerste benadering stellen wij nu:

(3)

2.22 Berekening van de kracht door het atoom op het
clcctron uitgeoefend.

Noemen wij deze kracht AT, dan volgt uit fig. 2:

(r

e\'

f.2

1

Hierin de waarde van ^ uit (3) gesubstitueerd, geeft:

In eerste benadering is dus de kracht door het systeem
atoom-electron op het electron 2 uitgeoefend, omgekeerd
evenredig met de vijfde macht van den afstand.

Dc potentiëele energie van het electron 2 t. o. v. het systeem
atoom-electron is dus:

Stellen wij nu = dan is dus:

F=-

2.3 Dc bewegingsvergelijkingen van het electron 2,

Stellen wij de massa van het electron = m, dan wordt de
totale energie gegeven door:

= OCl

4r

of in poolcoördinaten:

waarin «i de energieconstante voorstelt, die zoowel positief
als negatief kan zijn.

Om nu de Hamilton\'sghe functie H te vormen, voeren wij

in plaats van de snelheden de bijbehoorende impulsen in,
gegeven door:

jOr = — p^

dep

waarin:

m, ■,

kinetische energie == -(r^ r^

Hieruit volgt:

Ptp — m r^ (p

zoodal:

— 4- -
^ — ^ ^ 2 m ^ r\' I 4

Vervolgens voeren wij een werkingsfunctie S(r,0) in zóó, dat:

(5)

? r ^ i) cp
Daar de lijd niet expliciet in de uitdrukking voor de Ha-
milton\'sche functie voorkomt, zoo wordt dus de Jacobi\'sghe
vergelijking:

1 bs

cii=0

drj r^ Cpl 2 r^
Zooals onmiddellijk is in te zien, worden de variabelen
gesepareerd door aan te zetten:

S = . 0 S, (r)

Differentiatie geeft:
10

waarin «s de perkenconstante voorstelt.

d Si

ï) r \' " dr
Substitutie van (8) en (9) in (6) levert:

d SiY 1 ^_WjM

2 ?

dr

1*2

Sr"

dSi 1 /"o, Xi^

Door integratie verkrijgt men:

Substitutie van (10) in (7) voert tot:

Differentieeren wij hierin naar de constanten, dan verkry-
gen wij hieruit de baanvergelijkingen van het electron; deze
worden dus:

, , ^^ As

waarin ^o, <f>o weer nieuwe constanten zijn.

De berekening levert voor de beide vergelijkingen:

fr ^^

t-to^ m —---(11)

1 / «2\'\' I ni fx

De 2e dezer vergelijkingen geeft ons den geometrischen
vorm der baan, terwijl de eerste vergelijking ons den tijd
geeft, die verloopen is, sedert het electron zich in het punt
met coördinaten (ro, i$>o) bevond.
2.31 Discussie der mogelijke banen.

Wij willen nu gaan onderzoeken, welke typen van banen
door vergelijking (12) worden voorgesteld en eenige algemeene
eigenschappen dezer banen opsporen.
Differentiatie van (12) naar r geeft:

d (p _____«2_

en bijgevolg:

^ (di-y r^ L ,

2 m «1 . r* — r^ V2 m iJt^

\\dcp)

Stellen wij nu: 2 m xt . r^ — r\'^ m u = ii!^ dan is dus:

drV J?^

^^ ^^ (14)

d(p)

(drV

steeds positief moet zijn, zoo kunnen in de

\\d(p)

reëele banen slechts die waarden van r voorkomen, waar-
voor R\' ^ 0.

Nu is R^ een continue functie van r, zij kan dus alleen
van positieve naar negatieve waarden en omgekeerd over-
gaan voor die waarden van r, waarvoor = O wordt. Een
onderzoek naar de wortels dezer biquadratische vergelijking
zal ons dus een en ander omtrent deze baanvormen leeren.
2.321 Onderzoek der biquadratische vergelijking R^ = 0.

dr

Uit = O volgt, dat ^ = O wordt, zoodat dus de posi-
tieve wortels van = O de maximum en minimum-afstanden
geven, waarop de banen van het centrüm komen te liggen.

Daar = 2 m a-i — a.2^ r^ V^ m fx is, zoo zijn de wortels
van =

~ ^ 4 m a\\

" \' 4 m (x\\

Noemen wij deze wortels 7, ^ en stellen wija>/3>
7 > dan is:

^ 4 m

_ 1 X — [Yoc^\'^ — 4 m\'^ (J^oii __

~ ^ 4 tn XX

In de formules (15) moeten wij alleen, indien wij de wijze,
waarop zij verkregen zijn in aanmerking nemen, de positieve
waarden der wortels beschouwen.

Wij kunnen nu de volgende gevallen onderscheiden:
a) «z \' > 4 m"^ [/, oii 1).... 1. alle wortels zijn reeël, als > O
....../ twee wortels zijn reeël \\

2. ^ twee wortels zijn toege- >

/ j 1

......V voegd complex /

b) < 4 m"^ fxoti......alle wortels zijn complex.

2.322 Onderzoek naar dc baan typen, welke in geval (a) 1.
door het electron beschreven kunnen worden.

Om het onderzoek te vereenvoudigen, stellen wij:

OCl = Vi

\' 4 w\'\'\' (j.

waarin dus vi moet voldoen aan: O ^ ^ 1.

De waarde van uit (16) gesubstitueerd in de verge-
lijkingen (15) geeft:

m (Jt,

ß= ~r=V ---

«2 . n

Dit kunnen we nog eenvoudiger schrijven in den vorm:

Vernix   ^

(17)

—^--

«2 ^ ^
Onderzoeken wij nu eerst in ons geval de waarden van

de functie = .r^ ~ • r\'^ V2voor zeer kleine

en voor zeer groote r.

r=0-^ V2 m [x, zoodat er een baan door den oor-

sprong gaat.

r == ± (Xi ^ R^ = CKi, daar «i > O is. Er zal dus ook een
baan in het oneindige komen.
In verband met (17) blijkt hieruit, dat de functie R^ als
volgt verloopt:

R\'^ positief in het interval (r, /3)
R^ negatief in de intervallen (/3, x) en (5, 7\')
R^ positief in het interval («, oo,
Oj = O wordt uitgesloten.

Daar, zooals wy gezien hebben, in de reeëie banen alleen
die waarden van r voorkomen, welke R^ positief maken, zoo
volgt hieruit, dat de volgende baantypen voorkomen:
1®. Baan door het centrum, die tot apocentrum heeft een

punt op een afstand /3 van het centrum gelegen.
2". Baan met twee takken naar het oneindige en waarvan
het pericentrum op een afstand van het aantrekkings-
centrum gelegen is.

Fig. 3.

(/«Hpt

voor positieve waarden der onafhankelijke veranderlijke r:

en wel voor het bijzondere geval: «i = 0,5

vj = 0,5 is.
Hieruit volgt:

0.1 ^ V2

^ 1/2

Is dus vj = 0,50, dan zijn er dus de twee baanvornien:
1". Baan van centrum naar apocentrum, gelegen op een

l/"^ fît (JL

afstand r = 0,76-- en terug naar het centrum.

«2

2°. Baan van het oneindige naar pericentrum, gelegen op

een afstand r = 1,85 —^ en terug naar het oneindige.

«2

Bij elke waarde van vi behooren dus co^ banen van het
eerste type en oo» banen van het tweede type.
2.323 Beschouwing der banen van het eerste type.

Met behulp der vergl. (11) vinden wij nu den tijd U, die
verloopt tusschen het passeeren van het apocentrum {r = (3)
en het bereiken van het centrum en wel:

r\' dr

h = m i ^----------

O

Uitwerking dezer integraal (zie 3.211) geeft:

_(K-E) (18)

K 2 m xi

waarin:

^ = 1  — 4 w V _ jXm iJ^ iX l Kl-»^

^ 4 m ai 0C2 ^ VI

r\'d

complete integraal van de soort / ^-E^com-

. b

f-f.

plete integraal van de 2e soort =./ A(pd0

waarm :

A 0 = — A;^ sin^ (p.

Hierin is:

Voor O < < 1 is:

«2

0<A;<1
dus 1.57080 <Z< 00
1.57080 1

Voor Vj in het interval (0,1) met uitsluiting der grenzen is
dus volgens (18) de tijd h, noodig om van het apocentrum
naar het centrum te gaan en omgekeerd, steeds eindig.

Den hoek, waarover de voerstraal in dien tijd U draait,
vinden wij met behulp van vergelijking (12):

^^ dr

m [Jt,

Ü

Uitwerking dezer integraal (zie 3.211) geeft:

= —(19)

waarin de voorkomende grootheden b.g.n. beteekenis hebben.

Voor ;; in het interval (0,1) met uitsluiting der grenzen is
dus volgens (19) de hoek, waarover de voerstraal draait,
wanneer het electron van het apocentrum naar het aantrek-
kingscentrum loopt, steeds eindig.

Substitueeren wij n.m. bovenstaande waarden van x en xx
in (19), dan krygen wij:

_X2_1 _vj 1^2m [X

\' ^ 1 lYl — ^ \' oco-

<Pi = , . ^^^ K (20)

Hieruit blijkt, dat voor O < >) < 1 steeds:

90°= 1,5708 radialen <4)i < oo.

Dus geschiedt de nadering van het aantrekkingscentrum
niet volgens een spiraal, daar de hoek, waarover de voerstraal
zich draait, eindig is.

2.324 Beschouwing der banen van het tweede type.

Ten einde den tijd ti te vinden, welke verloopt tusschen
het passeeren van het pericentrum op afstand « en het be-
reiken van het oneindige, maken wy weer gebruik van vergl. (11):

/•M r^ dr_

,•00

Daar j f{r)dr convergeert voor A<o, wanneer f{r) =

n

0(W —ï), zoo zal dus in ons geval de integraal niet con-
vergeeren, daar in deze integraal f (r) = O en dus
A = 1 is.

Er verloopt dus een oneindige tijd tusschen het passeeren
van het pericentrum en het bereiken van het oneindige.

Den hoek (p2, waarover in dien tijd fz de voerstraal draait,
vinden wij weer met behulp van vergelijking (12).

r dr

(p2 =«2

-r

dr

(p2 =

Uitwerking dezer integraal (zie 3.22), welke convergent is,
daar ƒ (r) = O(r-^) en dus A = — 1<o geeft:

02 =

a 2w ai

Substilueeren we nu hienn: «i ^ . « en

fx

«2 ^ n

dan is dus:

Hieruit volgt, dat voor O < >{ <11 steeds:
~<(t>2< co

De hoek, waarover de voerstraal draait, wanneer het electron
van het pericentrum naar het oneindige loopt, is dus voor
in het interval (0,1) met uitsluiting der grenzen, steeds eindig.
2.325 Onderzoek der grensgevallen t^ = O cn vi = h
1«. =

De vergelijkingen (17) geven in dit geval:

[/miJ,^/1 KÏ -

= Imi-— 1/--n = ^

.->0 CC2 y y, ^

lim /3 lim

fj-i-O Vj

= =0,707

«2 ^ 2 Xo

Hieruit blijkt, dat voor = O alleen nog de baan aanwezig
is, die van het aantrekkingscentrum naar het apocentrum op

een afstand r — 0,707 ^^^^ en terug naar het aantrekkings-

«2

centrum gaat.

De tijd U, dien het electron noodig heeft om den afstand
langs zijn baan van het apocentrum naar het aantrekkings-
centrum af te leggen, vinden wij uit (18) door daarin b.g.n.
waarden van « en oi\\ te substitueeren en vervolgens van deze
uitdrukking de limiet voor = O te bepalen; dus:

U — lim m

- Illll III\' y------

7? O K 2 w ai

= ----^--

K~ E

l/^l Kl--^

VI

We stellen nu (/1 — vi = m (zie 3.211) dan is:

■»ir

Als i^-^O, dan dus:

.2

2 \'Ji-^i/a \\ T tt

1 2-m\' , 3 (2-n,2)2

/ —^- lim —

2

lim _

1X2" 1

2 2

/i =

- 8

De tijd k is dus ook in het bijzondere geval = O eindig.
Den hoek (pi, waarover de voerstraal draait, wanneer het
electron van het apocentrum naar het aantrekkingscentrum
loopt, vinden wij met behulp van vergl. (20):

^^ K m

voor = O de waarde nul krijgt,

zoo is dus K =

Bijgevolg:

= radialen = 90° en dus eindig.

Dit baantype is dus precies hetzelfde als dat we hierboven
in 2.322 vonden voor O < < i.

2°. >} = 1.

De vergelijkingen (17) geven in dit geval:

ß. (23)

De tijd U, noodig om van het centrum naar een afstand
r = a^(3 te komen, is volgens (11) weer:

r^ r^dr

U = m

O

rß

Nu is / f{r)dr convergent, in het geval, dat/"(r) oneindig

wordt voor r == /3, voor A > O, wanneer ƒ (r) = 0((3 — r)^~
In ons geval is f{r)=\'0{(3 — r)~^, dus A = —1 <0 d.w.z.
bovenstaande integraal heeft een oneindige waarde.

De tijd, noodig om van een afstand r = /3 - e op een af-
stand r = /3 te komen, is dus oneindig lang.

De hoek, waarover de voerstraal draait, wanneer 7\' ver-
andert van /3 —£ tot (3 wordt door vergl. (12) gegeven:

d 1

= «2

1 /"ü) .mf/,

_rfjr__

]/\'2 m «1 . r^ — r^ ^

ß-B

Uilwerking dezer integraal geeft:

1

K—F bgsin

/3

X l^^mxt

In ons geval is de modulus Jc = - = \\ , dus K== cc, ter-

° X

wijl F eindig is. Dus is de hoek 0\\, waarover de voerstraal
draait, oneindig groot.

Uit bovenstaande volgt nu:

In het geval — 1 nadert het electron, komende van het
aantrekkingscentrum, den cirkel met straal r = volgens

een spiraal met oneindig vele windingen. Deze cirkel is dus
een asymptotische cirkel voor de baan van het electron.

Behalve deze baan van het eerste type, is in dit geval
ook nog een baan van het tweede type mogelijk. Beschouwen
we nu deze laatste baan. »

De tijd t^, noodig om van een afstand o; e den afstand
r — x te bereiken, wordt weer met vergelijking (11) gevonden:

r \' r\'dr

L = in

a

Eenzelfde beschouwing als hierboven leert ons, dat ook
deze integraal oneindig groot wordt.

Evenzoo vinden we met vergelijking (12) voor den hoek,
waarover de voerstraal draait, wanneer het electron langs
zijn baan van r = naar r=x gaat:

r ^ dr

X2

1X2 

2

Uitwerking dezer integraal (of beschouwing van de orde
van oneindig worden van den integrand aan de onderste
grens) geeft ook hier weer voor 02 een oneindig groote waarde.
Daaruit volgt:

Een electron, dat uit het oneindige het systeem atoom-

electron nadert, zal in het geval ^ = l een baan beschrijven,

1/ [JL

die den cirkel met straal r =--— tot asymptotischen cir-

«2

kei heeft. •

Loopt het electron in dezen cirkel, dan

is zijne energie:

en zijn snelheid: vciikcl —

Uit de beschouwingen in 2.322 volgt nog, dat in eenzelfde
baan niet tegelijk een pericentrum en apocentrum aanwezig
kunnen zijn.

Loopt \'dus het electron door een of andere oorzaak in boven-
genoemde cirkelbaan, dan zal de beweging mechanisch niet
stabiel zijn, daar volgens bovenstaande het electron zich na
een kleine verstoring öf naar het oneindige óf naar het centrum
zal moeten bewegen; immers zijn apo- en pericentrum niet
tegelijk mogeliik.

2.33 Eenige algemeene eigenschappen van dc banen, die
door het electron beschreven kunnen worden.

1°. Alle banen zijn concaaf t. o. v. het centrum.

Q Dit is als volgt een-

voudig in te zien.

Valt de snelheid van
het electron op een be-
paald oogenblik langs
een lijn t, dan is de
kracht EK, door het
centrum O op het elec-
Y^S tron E uitgeoefend, te

Fig. 4. ontbinden langs t en

loodrecht erop. De kracht E K2 zal nu tot gevolg hebben,
dat de baan tusschen O en t komt te liggen en dus concaaf
t. 0. v. Q zal zijn.

2°. De raaklijn aan de haan van het electron kan nooit
door het centrum gaan.

üit is als volgt aan te toonen: Uit mr^(p — <X2 volgt, dat
0 — 0 wordt voor r = go ; anders is 0 steeds ongelijk nul O-

Is nu ö de hoek,
dien de radius vector
maakt met de raaklijn
aan de baan, dan is:

tgd = r

dr

Verder is:

• d0 •

Uit beide vergelijkin-
volgt:

1 tqö ■
(p = ^ . r

Hieruit volgt nu onmiddellijk, dat voor O < < co tg ö
steeds ongelijk nul is en dus ö O, d. vv. z. de raaklijn gaat
niet door het centrum.

Een gevolg van deze eigenschap is, dat het electron zich
steeds in een zelfde richting om O zal moeten bewegen.

3". De bamn bezitten geen bxiigpunten in het eindige.
(Zie Fig. 4.)

Valt de snelheid van hét electron op een bepaald oogenblik
langs f, dan zal zij een oneindig kleinen tijd later nog langs
t vallen, wanneer gedurende dien oneindig kleinen tijd de
ontbondene EK2 = O is. Dit is alleen mogelijk, wanneer
EK nul is of langs t valt.

EK==—^ wordt alleen nul voor r= co, terwijl het 2e geval

niet mogelijk is, daar volgens de hierboven bewezen eigen-
schap t nimmer door O kan gaan. In het eindige bezitten
de banen dus geen buigpunten.

Het bewijs dezer drie eigenschappen was noodzakelijk om
nog een beter idee te krijgen van de baanvormen, die het
electron in staat is te beschrijven.

\') Daar we het geval a^ = O uitgesloten hebben.

2.35 Onderzoek naar de baantypen, welke in het geval
(a) 2. [zie 2.321 J door het clcctron beschreven kunnen
worden.

Daar in dit geval £ti<0 is, stellen wij:

aci = — (25)

zoodat dan x\\ positief is.
Dan wordt:

= _ 2 m oc[ . r^ - oi^ r\' V2 m [u. (25«)

De wortels van Ji\'^ — O worden dan :

_____I /"

4 ma:; V m\'

,__— , (2G)

,■^4-1/- I ""

- y -\\ mx\\ V

Ter vereenvoudiging stellen wij nu:

waarin vj positief moet zijn.

Substitueeren wij nu de waarde van ot!^ uit (27) in de for-
mules (2G) en noemen wij de beide reëele wortels /3 en y
(,\'i>7), dan is: _

De beide imaginaire wortels zijn:

V)

Vervolgens gaan wij weer het verloop van de functie
na. Uit (25a) volgt, dat

voor r — O.......R^ ~ m [x

voor r — ± co .... R\'^ = — co wordt.
In verband met (28) blijkt hieruit, dat de functie R\'^ het
volgende verloop heeft:

R^ positief in het interval (y, (3)
R\'^ negatief in het interval {(3, 00, y)
Nu komen alleen die waarden van r in reëele banen voor,
welke R^ positief maken [zie: 2.31] en dus volgt uit het

bovenstaande, dat er in dit geval slechts één baantype moge-
lijk is, n.ra.: een baan van het centrum naar een apocentrum
op een afstand ?■ = /•/ van het aantrekkingscentrum gelegen

en terug naar het centrum.

Als in 2.323 kunnen wij nu weer den tijd berekenen, die
verloopt tusschen het passeeren van het apocentrum en het
bereiken van het aantrekkingscentrum, benevens den hoek,
waarover in dien tijd de voerstraal gedraaid is. Beide blijken
weer eindig te zijn, zoodat geen spiraalvormige banen hierbij
voorkomen.

Daar in dit geval samenvallende positieve wortels buiten-
gesloten zijn, zoo zijn er geen banen mogelijk, die volgens
een spiraal met oneindig vele windingen tot een asymptoti-
schen cirkel naderen.

2.35 Onderzoek naar de baantypen, welke in het geval
{h) [zie 2.321] door het electron beschreven kunnen
worden.

4

In dit geval is «i > zoodat alle wortels van = O

complex zyn.

Stellen wij ter vereenvoudiging ^

oii = n

waarin nu v) > 1 moet zijn.
De wortels van R^ = 0 zijn:

(31)

Substilueeren wij in de formules (31) de waarde van «i
uit (30), dan krijgen wij:

=  \' K»^ - i 1

\' \' (32)

0C2 ^ Vi

Daar K^ = m oa . r^ — x-i"^. r^ V2 is en «1 > O zoo
volgt hieruit:

voor r = O wordt R\'^ = V2 w
voor r = ± Gc wordt = 00.
Hieruit blijkt, dat de functie steeds positief is, zoodat
in elke reeële baan alle positieve waarden van r kunnen
voorkomen d. w. z. het type baan, \'t welk in dit geval door
het electron beschreven kan worden, is een baan van het
centrum naar het oneindige gaande of omgekeerd.

Berekening toont weer aan, dat er geen spiraalvormige
banen met een groot aantal windingen om het centrum
mogelijk zijn.

2.36 Overzicht van de mogelijke banen.

Uit het voorgaande is gebleken, dat de volgende banen
door het electron doorloopen kunnen worden.

4 m^ [j.

xi positief. 1". Banen tusschen centrum en een apocentrum.

2". Banen tusschen het oneindige en een peri-
centrum.

negatief. 1". Banen tusschen centrum en apocentrum.

2«)

■ W [X

XI positief. 1°. Banen tusschen centrum en een asymptotischen
cirkel.

2°. Banen tusschen het oneindige en een asymp-
totischen cirkel.

3»)

4 ni^ (X

1°. Banen tusschen centrum en het oneindige.
Wij kunnen dus deze banen tot 3 typen samenvatten:
1. Banen tusschen centrum en een maximum afstand.
11. Banen tusschen het oneindige en een minimum afstand.
111. Banen tusschen het centrum en het oneindige.

3. TOEPASSING DER QUANTENTHEORIE OP HET PRO-
BLEEM UIT HOOFDSTUK 2.

3. l Quantcnconditics.

Sommerfeld heeft aan de quantencondities den volgenden
vorm gegeven:

IIdp^ d<p = 9ih f[dpr dr n\'h (33)

Voeren wij hierin de integratie naar dpf resp. dpv uit, dan
gaan de vergelijkingen (33) over in:

ƒ {Pf — Pf) d<f> =nh Iipr — pi) dr = n\'h (34)

Wij moeten nu onderzoeken:

1®. Tusschen welke grenzen moeten de integraties in (34)
uitgevoerd worden. _

2® Hoe bepalen wij de aanvangswaarden p<p en pi\'^

3.11 Bepaling der integratiegrenzen.

Beschouwen wij eerst, om onze gedachten te bepalen de
banen van het type II (zie 2.36). Denken wij ons de waarden
van den coördinaat r langs een rechte uitgezet, dan wordt
deze rechte van r = <x naar r = ^ (via oo) en weer terug van
r=\'è naar r = a. afwisselend doorloopen (zie 2.324). Het
ligt dus voor de hand, om de integratie in dit geval uit te
strekken van « naar ^ (via co) en terug. Epstein is bij de
behandeling der hyperboolbanen op overeenkomstige w^ze
te werk gegaan. \')

Voor den coördinaat cp zijn als integratiegrenzen te nemen
O en 23".

Bovenstaande keuze der integratiegrenzen is in overeen-
stemming met den eisch, dien Planck gesteld heeft n.m. dat
deze grenzen samen moeten vallen met de eindpunten van

\') P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 50, 815 (1916).

het interval, dat door den beschouwden coördinaat doorloopen
kan worden.

Bij banen van het I® type zullen wij in analogie met het
voorgaande de integratie in r uitstrekken vari r = y naar
r = ß en terug; wij kunnen integreeren van r = 0 naar r = /3,
mits wij deze integraal viervoudig in rekening brengen.

Bij de banen van het III« type kan r het interval — oo
tot -]- cc en terug doorloopen; hierbij kunnen wij dus tot
ii.legratiegrenzen kiezen O en co. mits wij ook hier weer
deze integraal dan viervoudig tellen.

.3.12 Keuze der aanvangswaarden cn pi-.

1°. p<p.

In overeenstemming rnct de toepassingen door Sommerb-eld,
Epstein e.a. willen wij ook hier de aanvangswaardegelijk
nul stellen.

In verband met 3.11 gaat dus de eerste vergelijking van
(34) over in:

rarr

./ = (35)

2". Pr.

De aanvangswaarde pv kunnen wij echter in ons probleem
niet gelijk aan nul stellen, daar dan de tweede integraal van
(34) bij elk der door ons beschouwde baantypen oneindig
zou worden.

De afhankelijkheid van het impuls px van de coördinaat
wordt volgens [2.3] gegeven door:

y-= (36)

In de Fig. G, 7 en 8 is de functie graphisch voorgesteld.
Langs de as der abscissen is afgezet r: terwijl als

ordinaat pv: —gebruikt is.

ylmiJL

In fig. 6 is dit graphisch verloop weergegeven voor banen

\') M. Planck. Ann. d. Phys. 50, 385 (1916). Verh. d. Deutsch.
Phys. Ges. 17, 408, 438 (1915).

ai

van het type I en wel voor eenige waarden van [zie 2.36].
Ten einde nu de integraal (34) convergent Ie maken, hebben

wij de onderstelling pr — ingevoerd. Het graphisch

verloop dezer functie wordt in fig. 6 door de kromme 1 .
weergegeven. De integraal wordt dan b.v. voor vj = 1 gra-
phisch voorgesteld door het gearceerde oppervlak. Deze
onderstelling vindt hare rechtvaardiging in het feit, dat pr, als

xi en Ä2 tot nul naderen de waarde tot limiet heeft.

In fig. 7 is voor banen van het type 11 dezelfde con-
structie uitgevoerd en wel voor het bijzondere geval vj = l.
De kromme bestaat hier uit twee symmetrische takken, die
asymptotisch naderen tot twee rechten, evenwijdig aan de as
der abscissen, hiervan op een afstand 1 gelegen. Deze
ordinaten komen dus overeen met de waarden van het impuls
pr in het oneindige. Dit rechtvaardigt voor dit geval de
volgende onderstelling: pr = 1^2 m «i.

De integraal (34) wordt dan convergent. Zij is in de fig.
graphisch door het gearceerde oppervlak voorgesteld.

Ten slotte is in flg. 8 het verloop van ^r voorgesteld voor
banen van het type III en wel voor de bijzondere waarde
= 4.

Ten einde de integraal (34) nu convergent te maken,
stellen wij:

Het verloop dezer functie is in de figuur graphisch voor-
gesteld; de integraal (34) wordt weder voorgesteld door het
gearceerde oppervlak.

In alle gevallen is de bij eenzelfde waarde van r behoorende
Pr grooter dan pr, zoodat dus volgens (34) alleen negatieve
waarden der quantengetallen w\' mogelijk zullen zijn.

üit de gegeven beschouwingen volgen nu de quanten voor-
waarden:

= i,\'li (37(0

O

voor banon van het type I.

-XJ

KX2\'\'\' , ni /X I -

2 m ai — 4- — 1/2 Hl XI

voor banen van hel type II.

3) dl
0

voor banen van het type III.

Integratie dezer vergelijkingen geeft in verband met (35)
de mogelijkheid de energieën der banen in de quantengetallen
n en n\' uit te drukken.

3.2 Berekening der energie uit de quantcnconditics.

3.20. De quantenconditie (85).

De integraal / p^ d^ wordt, daar /v gelijk is aan de con-
ü

stante xz, 2;ra2 en bijgevolg levert de quantenconditie (35)
voor alle baantypen de betrekking:

2 ^ = n h
n h

(38)

Daar X2 en rfc/) noodzakelijk hetzelfde teeken moeien hebben,
is n een positief geheel getal.

3.21 Berekening der quantenconditie {dia). Banen van het
type 1.

Deze banen komen volgens [2.36] voorin de volgende gevallen:.

«1 > O niiax = /3

Xi < T—T,— ai < O riiiiix = /3
4 nr [X

In het eerste geval heeft = 0 vier reeële wortels [zie
2.322]; « = —(3 = — r en
In het tweede geval zijn van de wortels van E^ — O twee

reeël en twee imoginfiir. Voor de reeële geldt (3_y

en /3 > r-
3.211 Geval K

Ten einde in dit geval de elliptische integraal (37fr) terug
te brengen tot elliptische integralen van de en 2e soort,

li\'

O

R^^mxir^ ^/smf^^\'^inxi {r — (x){r - (3)ir — y){r —

Stellen wij nu:

= (r - cc) (r - (3) (r - , ) (r - 3) = R\'^
dan wordt bovenstaande integraal:

r^ dr

(40)

/

Om (40) tot den normaalvorm terug te brengen, gebruiken
wij de transformatieformules

ß) (3 - ß)

r y ix- r) (^ - 7)\' 1 ^

1 ] /\'(ß-x) ir~s)

i k y [ß- (7 - x)

dr lyic dz

K A R\'\' K J (/3 - 7) (x-ê)\' K(ï - (1 - k\' Z-\')
waarin aan de waarden van r: x, ß, 7, ê moeten worden

toegevoegd, die van z: 1, — 1, —

Hierin is: k = modulus van de elliptische integraal van
de Ie soort.

Stellen wij verder z= sin 0 en nemen wij in aanmerking,
dat in ons geval x = — S, |3 = — 7 is, dan gaan deze trans-
formatieformules over in:

r = /3sinci) (41)

k = ^ (42)

X ^ \'

dr ^ 1__d^_

~ cc 2 m XX — )? sin^ ^

\') Zie bijv.: Durèöe, Theorie der elliptischen Funktionen.

Volgens (41) correspondeert met r = (3, cp = tt/\'S, en met
r = 0, (p = 0.

De integraal (37a) schrijven wij nu als volgt:

I dr y ^ m - 2—4 - V --T

O

Na eenige herleiding krijgen wij:

f\' . 2 /// . r^ - \'A m (x l^yTVn u \\
j i-------^ 4

n\'li

dr =

Passen wij nu de transformatieformules (41) t/m (43) toe,
dan vinden we voor de drie integralen in het eerste lid van
(44) achtereenvolgens:

a) / 2 m . ^^ = 2 m . /^^sm^cj) —- =

^ li Ä K 2 m Ä1 0

= a 1/2 m xt {K — E)
Hierin is:

complete integraal van de soort ^ ^^

/TT 2

Acpd<p

O

waarin:

1

(X1/2 m oit

2

--K.

m at

fß 1/, ^ _ l^^n ^ . 1X2 m ccr. - (r^ - ß\') dr _
c) J ^—^-R

I / V2 m (J. . r^"^ K\'A m /.^-KSm^i.^/SKd -sin^cD) (1 -psin\'^d))

V ocy^lmociJ^ A® /3WÓ

, 1/ 72 W [X----j__P\'®— . a fS cos 0. A (p d 0

De integrand dezer integraal wordt oneindig aan de on(|^èrste
grens, echter tot zoodanige.orde, dat de integraal toch con-
vergent is. Om haar waarde te bepalen, trachten wij de
limiet te vinden, waartoe

f m [X ~ ^ m xi . x ;3 cos Cb . A0 d cp

i /32 sin^cp ^

nadert voor £ -)- 0.

Deze laatste integraal is als volgt te schrijven:

^^ . -A-JA- ^ r\' ==
1

= 1/m fx . [dg  (.) Fa (.)] -f

mxi . ~ {I — cosec e)

Hierin is: F{£) = Fis,k) = f .

O — k^ sin2 0

El (f) = El (s, k) = ƒ - Psin^cJ). d ó
O

zoodat dus in onze notatie geldt:
K = F

Uit bovenstaande volgt nu:

lim ƒ\' V (sin 0) = lim

. ) dg.. A f K-E-F{s) El (s) i [y\'^mc.i
(1 — cosec f) =

ctg £ . A e — 2 iXi cosec f
^ P /

Deze laatste limiet is nul, zooilat:

f (sin = ]/ V^^ (/V - Al j/\'s.» .. .

In verband met het voorgaande volgt hieruit:

[^(\'jimiJ. ^ m [x K-E

{ Vlir\' r\' j 2 2

De uitkomsten, onder a), 6), c) gevonden, in (44) gesub-
stitueerd, voeren tot de betrekking:

,__«2\'\'^ m K — E 1ma n\'h , _,

Deze formule levert, daar volgens (38) 0:2 = ^ is, dus een

Ji 7t

verband tusschen «i, n en n\'. Zijn n en n\' gegeven, dan
kunnen wij met behulp van (45) de daarbij behoorende energie
ai berekenen.

De moeilijkheid, waarop wij echter bij de praktische uit-
voering stuiten, is gelegen in het feit, dat de wortels iz en ß
van = O, welke in (45) voorkomen, niet alleen afhankelijk
zijn van ^2, maar ook van «i [zie vergl. (17) in 2.322].
Drukken wij deze wortels in «2 en «i uit en substitueeren
wij deze waarden in (45), dan bekomen wij een zeer inge-
wikkelde vergelijking, waarmede niets is aan te vangen.

Wij moeten dus trachten door een kunstgreep tot het ver-
langde resultaat te komen.

Te dien einde stellen wij als in 2.322:

^ /X

waarin: O ^ ^ 1.

De vergelijkingen (17) geven ons dan:

« = K^^lX 1 Kl--^. ^^ _ L- ^J^ (47)

«2 >1 \' «2 \'/,
Deze waarden, in (42) gesubstitueerd, leveren de volgende
waarde van k:

(48)

Wij voeren vervolgens een nieuwe grootheid vji in door
te stellen:

(49)

Na eenige herleidingen verkrijgen wij dan:

= = (50)

Substitutie van (46) en (47) in (45) brengt deze laatste
betrekking in den vorm:

■1 I 1^1-1

--l 2 1/2 n

Deeling door -/j geeft ons dan verder:

Kl l/f -V, .{K~ K) --]/ ^ , -K

1 K 1 — •/

21/2"

Door hierin (49) te substitueeren, krijgt men ten slotte:

(51)

21/2 «

\'UK ^ E

Men kan nu verder als volgt te werk gaan: - en —-

TT TT

worden in een reeks naar machten van P ontwikkeld. Dit geeft:

/l.3.5Wc« , (52)

Nu ligt Vj in het interval (0,1), volgens (48) ligt dus ook
k in dit interval. Nemen wij de grensgevallen = O, y, = l
in onze beschouwing op. dan zal voor k=\\ de eerste reeks
van (52) divergeeren. Breken wij bijgevolg deze reeks b.v.
bij den 4®" term af, dan zal voor waarden van k, welke dicht
bij 1 gelegen zijn, de gemaakte fout te groot worden, zoodat
we deze methode alleen kunnen toepassen voor waarden
van /c, die voldoend ver van 1 verwijderd zijn.

Wij substitueeren nu de waarde van k^ uit (50) in (52) en
vinden dan ten slotte voor (51):

I

-28,5Vil»-181—^1^ 41 >5i«-302;ii^ 396>)i2-200-0 (53)

Volgens (49) ligt vu in het interval (1/2, l); nemen wij dus
voor vu verschillende waarden in dit interval, dan geeft ver-
gelijking (53) de bijbehoorende waarden van de verhouding

— en (50) de overeenkomstige waarden van vj.

Wij kunnen nu een tabel construeeren, waarin voor het

I

11

argument ^ de verhouding - gevonden kan worden. Onder
n ^^

deze waarden van — zoeken wij naar de echte breuken en

n

interpoleeren in de tabel om de bij deze breuken behoorende
waarden van en dus van oci te vinden. Daarna kunnen
wij in een tabel de waarden van de energie xi vastleggen,
die bij bepaalde quantengetallen (n, n\') behooren.

Daar wij ten slotte toch tot interpolatie in een tabel moeten
overgaan, kunnen wij de berekening eenvoudiger als volgt
verrichten:

Met k — sin d als argument kunnen wij in de tafels de
waarden van K en E opzoeken, terwijl de waarden van vji,
die bij deze waarden van k behooren, gegeven worden door
vergelijking (50).

Herleiding geeft: = j/(54)
De waarden van \'/j, die met de verschillende waarden van vji

Ij b.v. Tafels van .Tahnke-Emde.

overeenkomen, vs^orden gevonden met behulp van (50):
De volgende tabel geeft het resultaat dezer berekening aan:

/

Hieruit blijkt, dat de waarde van — moet liggen tusschen

— 0,451 en — 0,363, d. w. z. de waarden van de echte breuken,

/

die de verhouding —- weergeven, moeten liggen tusschen deze

beide grenzen.

Onderstaande tabel geeft die waarden weer:

n\' 2 3^,34^. 4 5 5 6 ,, 6 7 ., 7

- 7 == 5\' 7 8\' 9" Ü\' Ï2 Ï3\' 14 Tê\' Ï6 To\'

8 ,, 8 9., 9 10^, 10 11 ,, 11 12 ,, 12

Alvorens nu over te gaan tot de numerieke bepaling van de
energie, willen wy eerst onderzoeken tot welke vergelijkingen
het tweede geval van 3.21 voert en tot welke uitkomst de
integratie van (376) voor banen van het type II leidt.
3.212 Geval Ib [zie 3.21].

Stellen wij in dit geval «i = — zoodat dus steeds
grooter dan nul is, zoo is:

=_ 2 mx[ . r^ — r" V^ w = - 2 m (r - /3)(r - y).

Noemen w^ vervolgens = A en (r — (3) (t— 7\').

. [(,. _ -I- dan geldt:

dr dr

Ten einde de integraal (37«) in dit geval tot den normaal-
vorm terug te brengen, zyn de volgende transformatieformules
op te stellen:

r-y y ir-ixV y\'\'
2 A 1

(1 4-A^)y(/3 - r) 

d^r_ ^y/\' 2 A__

waarin:

terwijl u en v bepaald worden uit:

iß -f^) =

Aan de waarden van r: ß, y moeten hierbij worden toe-
gevoegd die van 1, — 1.

De wortels van = 0 zijn in het nu beschouwde geval
[zie 2.34 vergl. 28 en 29]

«2 ^ -/j
tJieruit volgt: = o, v = • ]/

«2 \' V\\

Nemen we deze waarden in aanmerking, dan gaan bgn.
translbrmatieformules over in:

r = /3 cos 0 (57)

.

= (58)

_dr 1__d0

Volgens (57) correspondeert met r = /3 de waarde 0 = O en
met r = O de waarde 0 = —

2

Eenzelfde herleiding als in 3.211 voert de integraal (37a)
over in:

odr 2 \\ / i\'^h\'^nyt, , nh

\' j u J --=

O 0 0

Toepassing van de transformatieformules (57) tot en met
(59) geeft ons achtereenvolgens voor de drie integralen in
het eerste lid van (60):

O —

32 r\'^ d<P -.

^^ / R--VTW.Kv^^^j ^^

o

_ ___3 _

t/

ß

m fj^ V2 m \'\'

Ô

•ß

Ji

iX -_=v

y 2 i/iw

\'\'O

y I _------

^ Acp ß^cos^p\'

_ ____ 1X ^

X ^ /32cos20 \' A(p

O

Daar de integrand aan de bovenste grens oneindig wordt,
besciiouvven wij eerst de waarde der integraal, wanneer de

bovenste grens f.is. Door daarna s tot ^ te laten naderen,

vinden wij de waarde der gevraagde integraal.

Ks m «i\' . sin 0 y/ 1 __

COS^ (ï>

= 2 wi <xi .-^----d(p —-

/ PCOS^CD

_ -, 4. ,2 r ,1 eos cp K1/2 ni [X f\' 1 dep _

/S / cos20 ■ /92 j cos^cp\'Acp
O 0

= K2 J» \'---(sec 5 - 1)--^^tg6-. A F[e)—^r2

Hieruit volgt:

lin, I = sin.A.

-7 K/ï\'  mfx

m «1

Een korte berekening leert ons, dal de limiet in don eersten
term van het tweede lid nul is, zoodat dus:

Ten slotte vinden wij:

^ / V2 ^^ 7® ^^_\\/ mfjL __

Rr\'^

Substilueeren wij de uitkomsten, in «), 6), c) gevonden, in
(60), dan bereiken wij als resultaat de volgende betrekking,
die het verband aangeeft tusschen «i, n en n\':

_ KW (f  K

t

4

Ten einde deze betrekking in eenvoudiger gedaante te
brengen, voeren wij in:

OCi = Vi

4 m^

waarin: > O

Deze waarde in (56) gesubstitueerd, levert ons:

\' 0,2 Vi \' «2

Bijgevolg: -^^--f-^^--

Substilueeren wij deze waarden in (58) dan vinden wij:

= , \'L__en hieruit: , . - (03)

2 K1 M 2 K 1 t

l igt dus ■/! in het interval (O, co), dan ligt k in het interval
(0, V2 1/2) en k\' in (l, 7^ ^2).

Door substitutie dezer waarden in (61) vindt men:

2 F-H /i - 4 ^ iT\'jl E y i^TT^ l =7:. -(64)

Wij kunnen nu weer evenals in 3.211 voor verschillende

waarden van vj de bijbehoorende waarden van -endaarmede

voor verschillende quantentoestanden (n\', n) de energie be-
rekenen.

3.22 Berekening der quantenconditie (376). Banen van
het type IL

Uit [2.36] volgt, dat deze banen doorloopen worden in het
geval:

> O rniin = a

«2"

Stellen wij weder xi = vj treedt het grensgeval

op voor >1 = 1.

De vergelijking = 0 heeft in dit geval [zie 2.322] vier

reeële wortels: x = — ß-= — 7, waarbij >/3 > 7 >
Stellen we weder:

2 m X, = A; (r - x) (r - ß) [r - 7) {r = li"\',

dan geldt: -77

li

Om nu de integraal {37b) op den normaalvorm te brengen,
kunnen we gebruik maken van de volgende transformatie-
formules :

y {x-r){cc -^)\' I -{-z

I ] /"(^-y) (g
/c ~ \' ^^ (S - (a - r)

1

dr _ 2 __d^__

KZ^ \' K(i - Z\') (1 - k:" Z^

waarbij aan de waarden van r : 7, ^ zijn toegevoegd

1 1

die van z : — 1, — ^

Door 0 = sin 4) te stellen en in aanmerking te nemen, dat
in dit geval — r geldt, gaan bovenstaande

transformatieformules over in:

(65)

sin cp

lc = - (66)

cc

____. (67)

K ylir\'^" a 1^2 m ai Kl - sin^ <p

Uit (65) volgt, dat met de waarden van r = cc, cr> respec-
tievelijk correspondeeren de waarden van cp= — 0.
De integraal (37b) laat zich nu als volgt schreven:

n\'k

m ai

r - - - r^ a r^ r

a

Na eenige herleiding krijgen wij:
r\'°2mai .r2-K2mai .ii? ^^^ C ^ \\ ^^ f^ ^ ^ dr _ n\'h

J -^-Jf-^ ~ j 2 J r^ li ~~ 4 ^ \'\'

a a «

Passen wij nu de transformatieformüles (65)\' t/m (67) toe,
dan wordt achtereenvolgens voor de drie integralen in het
eerste lid van (68) gevonden:

a) ƒ2 m ai ■ - 2 m ai Kp"- g^) (,.2 _ ^ ^

II- ^ ,

= 2 m ai J [»-2 - (r2 — a^) (r^ - =

.sin2 cp V

1 — cos V^l — sin^ <p _ d 0
sin^ 0 A0

O

Daar de integrand aan de onderste grens oneindig wordt,
maar met zoodanige orde, dat de integraal convergeert, zoo

r^^ d ó

bepalen wij de waarde ervan door van J F (sin 0} ^^ de
liraiet te bepalen voor £ 0. ^

/•yl — cos 0) A 0 d(i> fi ^ ^0 f^cos^
J sin^0 \' Acp J sin^0\'A(p J sin^cp

s se

= clg e.As-l-K—F- Fis) (f) 1 — cosec £
Bijgevolg:

f^l— COS0 d^ _ coseKl—F sin^g—1

ƒ siti^cp A0 sin £

K—EJr 1.
Daar de limiet in het tweede lid nul is, zoo vinden wij:

li

"J R r A0

f( — «/

«2

«K2

rr^ C^ [ dr_m/x _1 /"Osin^cp d0

«1 J ^ «2 Acp
-2

2 a\'V^lmnxJ A(p 2

O

« k «1

Substitueeren wij de waarden in e), h), c) gevonden in (68),
dan krijgen wij de betrekking:

«K2mai 2 4

Zijn nu « en n\' gegeven, dan kunnen wij met betrekking
(69) de bij deze getallen behoorende energie oci berekenen.

n h

Substitutie van oci — vi-—5— en «2 = in (69) levert ons

r

fX

dan een vergelijking in en —. Bij elke waarde van v; kunnen

Yt

t

Yt

wij de overeenkomstige waarde van — bepalen.

Het resultaat dezer substituties wordt:

— K • (70)

yji 2 1^2 «

waarin:

= (71)

Vergelijken wij deze formules met (51), resp. (49) van
3.211, dan zien wij, dat zij volkomen identiek zijn.

Nu gelden de formules (49) en (51) voor banen tusschen
den kern en een maximum afstand, terwijl (70) en (71) gelden
voor banen tusschen het oneindige en een minimumafstand.
In beide gevallen is de functie K^ volkomen dezelfde, zoodat
ook de wortels a, i\'>, y, 3 van ^2 = 0 identiek zijn.. In het
eerste geval geeft de wortel /•/ den maximumafstand, terwijl
de minimumafstand in het tweede geval door den wortel a

gegeven wordt. De betrekkingen, welke het verband aangeven

tusschen en — zijn identiek; dit pleit er voor, dat wij de juiste

keuze der aanvangswaarden van in beide gevallen gedaan
hebben.

I

De tabel in 3,211, die de waarden van — voor verschil-

n

lende waarden van geeft, kan dus ook voor dit geval ge-
bruikt worden.

3.23 Numerieke beschouwingen.

In het voorgaande is de energie gegeven als functie van
•A en het azimufhale quantengetal n. Daar echter bij een be-
paalde waarde van v^ een volkomen bepaalde waarde van
11

— behoort, zoo is dus ook hier de energie bepaald als functie

tv

van n en n\'. Het was ons niet mogelijk de energie onmid-
dellijk als functie van n en n\' uit te drukken, daar de ellip-
tische functies tot een vergelijking aanleiding gaven, waarvan
de oplossing niet in eenvoudigen vorm te geven is.

Ten einde nu na te gaan, tot welke numerieke resultaten
vooi-gaande beschouwingen aanleiding geven, zullen wij be-
ginnen met de energie als functie van Nh te berekenen,
waarin N de RuDBERö\'sche constante voorstelt.

In de formules (46) en (52) is xi als volgt gegeven:

= ^ 7-^2"— 72)

waarin:

en = (73)

Wij nemen nu voor o den straal van de baan, welke het
electron van het atoom in zijn eersten quantentoestand be-
schrijft en noemen dezen «i.
Invoering van (73) in (72) levert ons dan:

— ^Ahl 1

waarin: _ /i2

— «—9-Ö

4 TT^ m e^

Na eenige herleiding vinden wij dan:

n^TT\'^me\'\' Ji 2 m e*

= (74)

4

In het geval, dat ai posilief is, worden de maximum- en
minimumafstanden bij de banen van het eerste en tweede
type [zie 2.322] resp. ___

^ ^ ^ ^^^ 1/^1  (75)

«2 ^ i1 ^ •\'l
Wij voeren nu de volgende getallenwaarden in:

//= 6,54 . 10-^^ cm2 gr. sec-\'
lY =.329,211 . sec-\'
e = 4,77 . 10-cmV. gr\'A sec"\'
= 0,54. 10"^ cm
üit (73) volgt, als wij van deze waarden gebruik maken:

= n 1,041 . cm^ gr sec"\'

2 TT

= = 2 .22,75 . 10-2^0,157 . lO-^^cm« grsec-^

a = 7,14.10-\'^^cm®grsec-^ en dus:

_ 8. 10-2^7,14. 10-J^ om^gr sec
. - cm^grséc

10--\'cm (76)

naar 1, dan zal de waarde

1/ LziI^ILJ^ liggen in het interval (V2K2,1)

n ___

en die van de breuk An het interval (oo , 1).

. In verband met_(75) volgt hieruit, dat de waarde van «

ligt tusschen en 00, terwijl de waarde van (3 zich
® «2 _

tugsciien —^ en 0,707 bevindt. Maken wij nu ge-

a2

bruik van de waarde in (7G) voor--^ gevonden, dan ligt

dus a tusschen —— . 10"^ cm en oo, /3 tusschen —10-« cm
n n

5,384 g
en -. 10"\'\' cm.

11

Zooals wij uit de tabel in 3.211 kunnen aflezen, worden
de asymptotische cirkels (>}=I), die volgens de quanten-
voorwaarden mogelijk zijn, verkregen, wanneer de verhouding

n\' 9

— — de waarde — bezit. Laten wij alleen geheele quanten-

gelallen toe, dan is de kleinste waarde, welke n bezitten kan,
twintig, waaruit voor den straal van den asymptotischen cirkel
volgens (75) zou volgen de waarde 0,38 . 10" ® cm. Daar
echter de straal van het neutrale waterstofatoom gelijk
0,54. 10-® cm gesteld is, zoo zou dus deze asymptotische
cirkel veel dichter bij den kern gelegen zijn. Hier geldt onze
benadering echter niet meer, zoodat deze asymptotische cirkels
volgens de quantentheorie niet bestaanbaar zijn.

Beschouwen wij vervolgens de energie van het electron,
dat een baan van het type II doorloopt [zie 3.22], Voeren
wij de onderstelling in, dat ook bij deze niet periodieke be-
wegingen het azimuthale quantengetal n slechts met ± 1
kan veranderen, zoo kunnen wij met behulp der tabellen in
3.211 het energieverschil bepalen, dat bestaat tusschen twee
quantentoestanden, waarvan de bgn. voorwaarde voor de n
vervuld is. Met behulp der ßoHR\'sche frequentievoorwaarde:
hv = Acxi kunnen wij dan de bijbehoorende frequentie
berekenen.

Uit deze tabel blijkt, dat de energiesprongen van dezelfde
orde van grootte zijn als de energieën der verschillende
qnantentoestanden. De grootte der energie in een bepaalden
quantentoestand hangt af van n en van n\' («\' als functie van

n\'

^ en 11 beschouwd). Ligt de verhouding - dicht bij de

bovenste grens der toegelaten verhoudingen, d. i. — 0,363,
dan wordt de energie in dien quantentoestand gering; zie
b.v. in den tabel de toestand (4,11).

Zooals uit de tabel blijkt, liggen de waarden der frequentie
in het gebied van de zachte Röntgenstraling.
3.31 Invloed van volgende termen in de ontwikkeling
van de kracht, door het neutrale atoom op het
vrije clcctron uitgeoefend.
In 2.22 vonden wij voor de grootte der kracht in eerste

benadering de waarde K= Zooals een korte berekening

ons leert, is de volgende term evenredig met en heeft

3 (i^

de grootte ——, zoodat de potentieële energie wordt:

—(77)

De functie R"^ uit 2.31 wordt dan:

R^ = 2 m . r^ - ^ r^ - (78)

3

waarin: = y = (79)

Uit de discussie van de betrekking (78) zal nu moeten
blijken, of in dit geval periodieke bewegingen mogelijk zijn.
Wij stellen = dan geeft (78):

fip) = 2 m cci p^ (80)

Van deze functie behoeven wij alleen maar het verloop na
te gaan voor positieve waarden van p.
Uit (80) volgt:

De wortels van f (p) = O geven ons de waarden van p, die
f(p) tot een extreem maken. Deze wortels zijn:

Substitutie dezer waarde in (82) levert ons na eenige her-
leiding:

_ m/x 1 — ^

pm —

51

Wij kunnen nu verder twee gevallen onderscheiden:
1°. (XI positief; d.w.z.

20. oci negatief; < 0

P. oci positief.

Wij krijgen nu volgens (80) voor p = 0 .....f{p)=z— ^^

voor ^ = -f 00.....f[p) = GO

voor p = — QO.....f{p) = — 00

Is nu dan zijn beide waarden van pm reeël en posi-

tief, terwijl voor vj > 1 deze waarden complex zijn.

a) >^<1.

Noemen wij de kleinste der reeële positieve waarden van
de abscissen, waarvoor
fip) een extreem wordt,
\'pnu en de grootste pm2,
dan is f(/Jnii) een maxi-
mum en fißxm] een mini-
mum, Graphisch zou de
functie dan weergegeven
kunnen worden op de wijze,
zooals in fig. 9 is voor-
gesteld. De graphische

voorstelling van R^ wordt dan in Fig. 10 weergegeven. Wij
zien hieruit, dan er in dit geval twee baantypen mogelijk zijn:

1". banen van het oneindige naar een pericentrum en terug
naar het oneindige.

banen tusschen een maximum en minimum afstand.

Het electron blijft dan
steeds op eindigen afstand
van het centrum en heeft
een periodieke beweging.

_ Het laatste geval inte-

r resseert ons het meeste
en wij willen nu onder-
zoeken, of het in ons
probleem kan voorkomen.
Het eenvoudigste ge-
Fig- 10- schiedt dit door na te

gaan, welke waarden de extremen f ipmi) en /\'(/3m2) be-
zitten. Hiertoe maken wij gebruik van de getalwaarden,
die in 3.23 zijn ingevoerd. Substitutie dezer waarden in (84)
.levert ons:

= 28,8.10- 28,8.10 -

Stellen wij nu ter vereenvoudiging:

= „ = . (85)

VI \'Vj

dan vinden wij door substitutie in (80) na eenige herleiding:

-fi 1 -9,165. 10-\'

(86)

-f2 l -9,165.10-

Het resultaat der berekening voor verschillende waarden
van V) is weergegeven in de volgende tabel.

Nemen wij aan, dat n alleen geheele waarden kan ver-
krijgen, dan is de kleinste waarde 1. Uit de tabel blijkt nu
onmiddellijk, dat voor n=l fipmi) zoowel als fipmi) voor

alle waarden van vj negatief zijn, zoodat de vergelijking f{p) = 0
slechts één reëele wortel p bezit; in verband met het voor-
gaande volgt hieruit, dat er alleen banen van het oneindige
naar een pericentrum en terug naar het oneindige mogelijk zijn.

Geven wij daarentegen aan n ook waarden kleiner dan 1,
dan blijkt uit de tabel, dat er altijd waardecombinaties van
n en vj\' te vinden zyn, waarvoor f{px\\n) positief en f{pnn)
negatief wordt, zoodat ook de periodieke bewegingen mo-
gelijk zijn. Onder de mechanisch mogelijke banen bevinden
zich dus, wanneer wij den term met in de ontwikkeling
van de kracht in aanmerking nemen, ook banen, welke tusschen
een maximum en minimum waarde van r liggen. Onder deze
banen komen er echter géén voor, die aan de quantenvoor-
waarden voldoen.

h) vi>\\.

De waarden pm z^n volgens (84) beide complex, zoodat
f[p) = Q slechts één positieve wortel heeft. Onmiddellijk is
nu in te zien, dat in dit geval alleen banen met twee on-
eindige takken en een pericentrum mogelijk zijn.

2°. <xi negatief.

Stellen wij = — n\', dan is dus in dit geval vj\' steeds
grooter dan nul. Invoering dezer waarde in (84) geeft ons dan:

_ mfx 1 ± 1

Uit (87) blijkt, dat een der waarden pm steeds positief, de

andere steeds negatief is.
Nu behooren bji de waar-
den van /9 = 0, go, — co,
resp. de waarden van

zoodat het vérloop van
f{p) graphisch als in fig. 11
voorgesteld kan worden.
Fig. 12 geeft dan het ver-
loop der functie R^{r).

Hieruit blijkt, dat er pe-
riodieke bewegingen vol-
gens de klassieke mecha-
nica voor bepaalde waarde-
combinaties van vi\' en n
mogelijk zijn. Stellen wij
echter den eisch, dat n
alleen de waarden 1, 2, enz. kan aannemen, dan blijkt uit
eenzelfde numerieke beschouwing als onder 1°. a (3.31) ge-
houden is, dat er uit deze mechanisch mogelijke banen
géén banen gekozen kunnen worden, die aan de quanten-
voorwaarden voldoen.

Daar de experimenteele onderzoekingen van Thomson en
Aston het bestaan van een negatief waterstofatoomion hebben
aangetoond, zoo zal het dus mogelijk kunnen zijn, dat dit
ion in niet gequantelden toestand voorkomt.

>) Zie hiervoor ook: Born und Frank, Zeitschr. für Phys. 31, 411
(1925).

4. DE BEWEGING VAN EEN ELECTRON T.O.V. HET
GEÏONISEERDE HELIUMATOOM.

4.1 Bespreking der hypothese uit 2.1 voor dit geval; be-
rekening van dc potenticelc energie van het buitenste
electron t.o.v. het geïoniseerde Heliumatoom.

Het geïoniseerde Heliiiraatoom bestaat uit een kern met
positieve lading 2 e, waaromheen zich een electron beweegt.
Wij onderstellen, dat dit electron zich in de eenquantige baan
bevindt en stellen den straal dezer baan gelijk a. Wij zullen
t.o.v. dit systeem de beweging van een electron onderzoeken.
Het probleem is feitelijk weder een drielichamenvraagstuk
waarvan wij de oplossing zullen trachten te benaderen door
van de hypothese gebruik te maken, die in 2.1 opgesteld is,
• Wij kunnen nu als volgt de potentieele energie van het
electron berekenen.

Noemen wij r den afstand van het buitenste electron tot
den kern en ê den afstand, waarover het baanvlak van het
binnenste electron verschoven wordt in do richting van het
buitenste electron naar den kern, dan geeft een eenvoudige
berekening, dal in eerste benadering geldt:

0)

terwijl wij voor de kracht, die door het systeem op hel bui-
tenste electron wordt uitgeoefend, in eerste benadering vinden:

r.2 /

1 7 (2)

Door substitutie van de waarde van 3 uil (1) in (2) ver-
krijgt men:

Met behulp hiervan vinden wij nu voor de potenlieële
energie:

r a\'i. C n^

dr

(3)

4.11 Opstellen der bewegingsvergelijkingen van het
electron.

Stellen wij de massa van het electron m, dan wordt de
totale energie gegeven door:

E= j {x^ -f y^) ~

of in poolcoördinaten:

waarin xi weder de energie voorstelt, die zoowel positief als
negatief zijn kan.

Om de HAMiLTON\'sche functie te verkrijgen, voeren wij in
plaats van de snelheden de bijbehoorende impulsen in, welke
gegeven worden door:

?T ?T

Pr = ^ = ^

dr 00

waarin T de kinetische energie voorstelt. Hieruit volgt:

Voeren wij nu weer een workingsfunctie S {r, cp) in zóó, dat:

dan wordt de vergelijking van Jacobi, daar de tijd niet expli-
ciet in de uitdrukking voor de Hamilton\'sghe functie voorkomt:

-ai=0 (7)

Om de variabelen te separeeren, stellen wij:

(r) (8)

waaruit door differentiatie volgt:

^S dSi

— = p ^ = X2 —= —— (9J

?<p ^ ^ dr ar

waarin «2 de perkenconstante voorstelt.
Na eene korte herleiding vinden wy:

2

Integratie levert:

_ I ■ / ^ 2 , ^ //e O 1 Ä //«■ C\' i«- , /« ^ \\

S, = ƒ 1/ 2 m «1 - ^H--::--1--c^r (II)

r 4 r\'

Substitutie van deze waarde in (8) geeft ons:

Door differentiatie naar de constanten krijgen wij hieruit
de baanvergelijkingen van het electron. De berekening voert
ons tot de beide vergelijkingen:

t-k = m fr-T-- f ,

1 / ^ <X2^ , ^ m e^ . m e^ a^

ó — (bo — X2 I --^ — — — (13)

nl / . \'Ü in e\'^ . m e^ a^

De eerste vergelijking levert ons de afhankelijkheid van de
beweging van den tijd, terwijl de laatste vergelijking ons den
vorm van de baan geeft.
4.12 Discussie der mogelijke banen.

Evenals wij in 2.31 gezien hebben, kunnen slechts die

waarden van r in reeële banen voorkomen, waarvoor ^ ^ O

is. Differentieeren wij (13) naar r, dan is:

n 1 X ^ «22,2 m e^ , ni e^ a

waaruit volgt:

ld 2 m . r\'^ m r"^ ^U m [m a^

^d<p)

waarin wij 2 e^ = gesteld hebben.
Ter vereenvoudiging stellen wij:

2 m «1 . r^ m r^ - cc^^ r^ \'A «« /-^i = (14^)

Cf)/ ~

en bijgevolg kunnen alleen die waarden van r in reeële banen
voorkomen, waarvoor de functie wordt; de wortels

van de vierdemachtsvergelijking = 0 leveren ons de apo-
en pericentra der banen.

4.121 Onderzoek naar het verloop van dc functie JB^.

Plet bepalen der wortels van de vergelijking 7^2=: O is zeer
omslachtig; wij zullen dus beginnen met de ligging der maxima
en minima van de functie R^ te bepalen, en met behulp
hiervan te trachten ons een voorstelling dezer functie te
maken. Stellen we daartoe dan is:

f {r)= 8 m   r2 - 2 «22 r (16)

f\' (r) = 24 m oct m r - 2 «22 (17)

De wortels der vergelijking f (r) = O geven ons de waarden
van r, die f{r) tot een maximum of minimum maken.
JSa eenige herleiding vinden wij voor deze waarden:

\'iYt tJL\'X ^

Stellen wij nu: a:i = yi-—^ (19)

4.\' 1X2

dan gaan de laatste twee wortels over in:

< \' mfJLi 4

waarin vi zoowel positief als negatief kan zijn.

4.122 Ie Geval: tj > 0.

Wij beschouwen nu eerst het geval, dat vj positief is; de
energie xi is dan positief. Voor r = ± cc krijgt de functie
W^ de waarde Qo, voor r = 0 de waarde ^/imfMa^; deze
laatste waarde is maximum, daar (r) < O is voor r = 0.

wordt f" [vifi) = ^

Voor r2,3= .

in [M 4 • ö tj

[18 32 tj 6 K9 16 tj], zoodat voor Vi>Q>f" (ra,3) steeds
grooter dan nul is en dus maken de waarden r^ en rg de
functie f{r) = R^ tot een minimum.

Substitueeren wij de waarden van r2 en ra in de uitdrukking
voor functie f(r), dan krijgen wij na eenige herleiding:

«2"

/\'(r2,5) =

m^fMi\'^

_ ± K9 16 tj — 3

£ —

4tj

Voor verschillende waarden van tj kunnen wij nu r^ en >-3
benevens de daarbij behoorende waarden van ƒ (r) — m /xi a^
bepalen. Onderstaande tabel geeft het resultaat van deze
berekening:

Kolom 1 geeft:
Kolom II geeft:

Ten einde na te gaan of de waarden f{r^) en /\'(rs) in ons
probleem positief of negatief uitvallen, moeten we de numerieke
grootte der coëfficiënten in de functie beschouwen. Daar in
ons geval aangenomen is, dat het electron van het atoom
de eenquantige baan doorloopt, zoo kunnen wij a gelijk stellen
aan den halven straal van de eerste quantenbaan van het
electron in het neutrale waterstofatoom. Verder willen wij
bij deze numerieke beschouwing in zooverre op het volgende

h

vooruitloopen, dat wij stellen: «2=^, waarin dus n weer

Z TT

het azimuthale quantengetal voorstelt.

Wij voeren dus de volgende waarden in:
a == 0,27 . 10-« cm.

= 45,5 . 10-« cm. ^ gr. sec.-^
ac2 — n. 1,051 . 10"^^ cm. ^ gr. sec.-^
m = 8,8 . 10-28 gj..

waaruit volgt: = «« 0,0842. 10-\'«cm.« gr. ^ sec.-^;

2

— = «2.0,2761 . 10-« cm; V^ ^ 0,0197 . lO-\'o cm «

Wf4l

gr.^ sec.-^

In verband hiermede blijkt nu uit bovenstaande tabel, dat

voor w = 1 f (^2) voor alle waarden van positief blijft,

f{n) daarentegen zal voor kleine waarden van negatief zijn.

Een korte berekening leert ons, dat ({r^) zoowel als /"(rs)

0,234 , .. ,

nul wordt voor ei = — ; voor n = 1 grijpt dit voor

f{rz) plaats bij een waarde van vj gelijk aan 5,2; voor kleinere
waarden van v^ is f{r%) dan negatief.

Voor n — ^ worden zoowel /(ra) als fin) voor kleinere
waarden van vj negatief; zij worden nul, wanneer de bij hen

O 234

behoorende waarde van ei gelijk — wordt terwijl de

waarde van vj, die hiermede overeenkomt, weer volgt uit de

V . \' ± 1X9 16 >,-3 2!

betrekkingen: s =--^-en si = f\'\' -j- s — 1 j

Hoe grooter echter n is, des te kleiner wordt de waarde
van e, waarvoor ({vi) resp. f{r^) nul worden en uit voor-
gaande betrekking blijkt dan onmiddellijk, dat daarbij een
steeds grootere waarde van Tj behoort, welke waarde wij resp.
en vjz zullen noemen.

Volgende figuren geven het verloop van jj^ j^gj ggyal
> O graphisch weer.

Noemen wij de wortels van R^ = 0 resp. |3, 7, waarbij
a > /•/ > 7 > ^ dan volgt uit bovenstaande beschouwingen,
dat voor het geval van positieve energie «i voor verschillende
waarden van n de volgende baantypen mogelijk zijn.
1 O < < >12 < ; in dit geval krijgen wij:
ff) banen met twee takken naar het oneindige, waarvan
de pericentra op een afstand resp. ^ van het aan-
trekkingscentrum gelegen zijn.
b) banen van het centrum naar apocentra, die op een
afsland ft, resp. 7 ervan verwijderd liggen en weer
terug naar het centrum.
2» O <ivi=:vj2<.vi3\', de volgende baantypen komen voor;
fl) banen met twee takken naar het oneindige en waarvan

de pericentra op een afstand J van het aantrekkings-
centrum gelegen zijn.

b) banen van centrum naar apocentrum en terug, waarvan
de apocentra gelegen zijn op een afstand 7 van het
aantrekkingscentrum.

c) banen, die van het centrum komen, en een cirkel met
straal <x = (3 asymptotisch naderen.

Ten einde dit laatste aan te toonen beschouwen wij
den lijd h, dien het electron noodig heeft om van een
afstand fS — z op een afstand (S te komen; hierbij is

een klein, maar vast getal. Volgens (12) is deze tijd:

_ n^___r^_

ƒ 1/2 m «1 r^ — r^ m r\'^ V\'^IM n^

De integrand wordt echter oneindig aan de bovenste
grens; daar dit oneindig worden van de orde (/3 — r)- ^
is, zoo is dus de integraal niet convergent, zoodat het
electron eerst na oneindig langen tijd den afstand (3
bereikt.

Ook voor den hoek Ói, waarover de voerstraal in
dezen tijd ti draait, vinden wij een oneindig groote
waarde, zoodat de nadering volgens een spiraal met
een oneindig groot aantal windingen geschiedt.

d) banen, die van het oneindige komen en een cirkel met
straal a = (S asymptotisch naderen.

3°. O < >52 < < >)3; de baantypen, die in dit geval moge-
lijk zijn:

a) banen met twee takken naar het oneindige en een peri-
centrum op een afstand h.

b) banen tusschen centrum en een apocentrum op een
afstand y.

c) banen tusschen het centrum en het oneindige.

4°. O < Jf2 < = J^s; mogelijk zijn nu:

a) banen tusschen het centrum en het oneindige.

b) banen, die van het centrum komen en een cirkel met
straal y S asymptotisch naderen.

(;) banen, die van het oneindige komen en een asympto-
tischen cirkel met straal y = ê bezitten.
5". O < < -.13 < Vj. In dit geval zijn alleen banen van het
centrum naar het oneindige en omgekeerd mogelijk.

4.123 2c Geval: < 0.

In dit geval is de energie «i negatief en bestaat de moge-
lijkheid, dat wij banen van een gesloten type kunnen krijgen,
waarin dus periodieke bewegingen mogelijk zijn. Dit geval
zullen wy nu in het volgende nader onderzoeken.

Voor r = oo krijgt de functie K^ de waarde — oo, voor
= O de waarde V^welke laatste waarde een maxi-
mum is, daar /"\'(0)<0 is.

Stellen wij r\\\\i ^ = — >i\', dan zal > O zijn. Voeren wij
deze waarde in (20) in, zoo geeft ons dat:

3 K9 —16V

f% 3 = - • -7—-•

m [Jt,i 4

Met behulp hiervan vinden wij:

f" hx 3) = I "T r- 18 32 ± 61X9-16 V]
ö n

Uit deze formules volgt:

P. voor vj\' = 7ig wordt = n en heeft de functie JS^ dus
een buigpunt.

2». voor -A < 7ig heeft de functie een minimum bij
r = ro en een maximum bij r = n. Daar verder geldt
O < r2 < rs, zoo hangt het nog slechts van de waarden
en f{rz) af, of gesloten banen mogelijk zijn.
In de volgende tabel zijn voor enkele waarden van n\' de
bijbehoorende waarden van r2, r» en fin), fin) berekend.

Kolom I geeft: {f [n) — ^im a^)

Kolom II geeft: ( f{rz) - \'/i m (m :

Ten einde nu na te gaan, wanneer fir^) en /\'(r») positief
of negatief zijn, voeren wij, evenals in 4.122, in:

6 2

=n«. 0,0842.10-^0 cm« gr^sec-^; ^ = 0,2761. lO"« cm.

m (xi

en \'A m (m a^ = 0,0197 . lO"^» cm» gr® seC^.

Hieruit volgt, dat en f{ri) nul worden, wanneer de

bijbehoorende £i gelijk — jg Hiermee komen voor r^

\'il

en ra verschillende waarden van vi\' overeen, welke wij resp.
m\' en vja\' zullen noemen, waarbij, zooals de tabel aangeeft,
steeds vjz\' kleiner dan vja\' is.

Het verloop van de functie B^ wordt nu voor verschillende
waarden van vj\' in de volgende figuren graphisch voorgesteld.

Voor een negatieve energie zijn dus voor verschillende

waarden van n de volgende baantypen mogelijk:

a) banen, die van het centrum uitgaan naar een apocentrum
en terug naar het centrum; de apocentra liggen op een
afstand a resp. ê van het centrum verwijderd.

20. 0<>,\' = >,2\'<m\'

fl) banen van het centrum naar een apocentrum op een
afstand ^ en terug naar het centrum.

b) banen, die van het centrum komen en volgens een
spiraal met oneindig vele Avindingen na een oneindig
langen tijd een cirkel met straal r bereiken.

c) banen tusschen een apocentrum op een afstand en
een cirkel met straal /S, welke volgens een spiraal met
oneindig vele windingen na een oneindigen tijd bereikt
wordt.

30. 0.<il2\'

a) banen, die het centrum en het oneindige niet bereiken
en welker apo- en pericentra resp. op een afstand a
en j3 gelegen zijn.

b) banen tusschen het centrum en apocentra, op afstanden
7 en ^ van het aantrekkingscentrum gelegen.

4°. QC-^r\'=

a) banen, die van het centrum uitgaan naar apocentra op
afstanden 7 en è gelegen.

b) cirkelbanen met straal x — (3. De beweging in deze
banen is stabiel, daar waarden van r in de nabijheid
van r — X — (i niet in reeële banen voor kunnen komen.

d4t

5°. O < VI2\'< vis\'< VI\'

a) banen tusschen hel centrum en apocentra, welke op
afstanden 7 en ^ gelegen zijn.

6°. >^\'=0,5625. 7«. 0,5625

a. banen tusschen het centrum en apocentra, op een afstand
7 resp. 3 van het centrum gelegen.

Uit de tabel zien wij verder, dat voor w = 1 alle baantypen
voorkomen; voor «>1 ontbreken de banen, welke asymp-
totische cirkels bezitten, terwijl voor O < ^ 0,5 in dit geval
alle banen van het type 3" a zijn. De waarde van vj\', waarvoor
de wortels a en ft samenvallen, ligt voor n > 1 zeer weinig
boven 0,5 en nadert tot 0,5, wanneer wij w tot oneindig laten
naderen.

Wij zullen nu de banen van het type 3®a beschouwen,
waarvan de cirkelbanen (4\'\' b) een bijzonder geval zijn.

Met behulp der grootheden, welke in 4.122 zyn ingevoerd,
kunnen wij de energie x\\ in Nh uitdrukken en vinden na
eenige herleiding:

(21)

rr

4.13 Bepaling der wortels van de vergelijking 72^=0.
voor die waarden van waarbij banen van het
type kunnen optreden.

Wij moeten de wortels bepalen van:

2 m «1. r^ m r^ - -j- ^^ = O (22)

Daar alle coëfficiënten lettergrootheden zijn, zoo is het be-
rekenen der wortels zeer omslachtig. Het is dus wenschelijk
de numerieke waarden dezer coëfficiënten in te voeren, zoo-
dra de berekening te ingewikkeld wordt.

Ter oplossing stellen wij:

r = . (23)

Sai

terwijl wij voorloopig V^ /^i = nemen. Door substitutie
van (23) in (22) krijgen wij ter bepaling van p de vergelijking:

2\\

f^l

\\m X} 8^12

2 I «2^

2«! 64«i2\\2wai 64ÄI2
3

\' 32 «12;
2

«2^

64ai2

\\2wai 64 ai 2
^ , 3^i2\\

«2

4mai 64 ai 2/

I 3 [M^ I fXl"^

256 ai^ 8«ïai3 2 ai

a22 (-^12

\\m2ai2

64 ai^ \' 4 ai^
3/^l2\\

64 ai 2

a2^

\\64w2ai2 \' 4096ai\'\' \' 128wai3 8ai

l

4096ai2\\m2ai2 \' 64 ai\'\' \' 4?« ai»/ " ^^^^

Zijn de wortels dezer vergelijking 1/1, 2/2, Z/s, dan volgen
hieruit de wortels van (24) als volgt:

waarbij de teekens zóó te
kiezen zijn, dat

Om de wortels «/i, y2, ys te bepalen, stellen wij:

1 (x\\ ,

12ai\\m 16 ai/

en krijgen dan na eenige herleiding voor de vergelijking in

f U

= O (28)

Tj. . , .. . m ixt^

Hierin voeren wij nu in: waarin vj in ons

4 Ä2

geval negatief zal zijn.

Na een korte herleiding verkrijgt men:

«2\'

4 ,, 4

a\' VI 3 a\'

Evenals in 4.122 voeren wij weder in:

=4, lO-^öcm^^gr^sec-^ «3 = 0,0197 . 10"^^cm^;
a2=n. 1,051 . lO-^^cm\'-^gr sec" ^
Substitutie dezer waarden in (29) levert:

(4,850 6,800

,12

4,106 - 17,285 fp-

n"

Wij stellen vervolgens hierin:
8 /

= 4,850 6,800-^llO"
>5 \\

^ 12,964\\,^_

10-

2 5=4-^(^4,106- 17,285^
Hieruit volgt:

S\' P\' = 10- (^i « 112,04 49,775 ^ -

2 3 \\

112,04-^ 49,7751^-26,615 —53,258 >5-11,646 (32)

Afhankelijk van de waarde van q^ vinden wij uit (30)
de wortels Xi, x^, X3 op de volgende wijze:

Xi = U -j- V

u-\\-v , i-i

X2

2

Xs =

waarin:

Xi =2 Vd],.cos|

X2 = ~2l^~p.cos
waarin:

V = q -  f

Zijn Xi, Xs langs dezen weg berekend, dan levert ver-
gelijking (27) ons de wortels ?/i, y^, tja. Na substitutie van de
ingevoerde grootheden vinden wij:

2/1,2,3 = ^1,2,3 H— 2,5434-

terwijl voor b gevonden wordt:

4,212

VI\'

Uit (26)^ vinden we de wortels pi, p2, /js, pi als volgt:

b positief,
p— — ^iji — 1^2/2 — ^1/3

P = —1^2/2

P = — l^yi l^y2
/j = —

b negatief

1^2/2(35)
p = 1^2/3

/? =—l/.\'/i - ^y-i ^2/3

De wortels ri, ra, rs, r4 worden nu hieruit met behulp van
(23) gevonden, die na invoering der numerieke waarden over-
gaat in:

r = /?--. 1,381 . 10-«

VI

Wij willen nu de berekening uitvoeren voor banen van het
type 30« [zie 4.12 2" geval]. Wij moeten dan -/j negatief
nemen en stellen daarom weer vj — — vj\'. De waarden van
waarvoor deze banen bij verschillende waarden van«

kunnen optreden, hebt)en hebben wij reeds in 4.12 besproken
en geven dus de resultaten dezer numerieke berekening in de
volgende tabellen weer.

Voor « ^ 4 kunnen de voorgaande formules belangrijk ver-
eenvoudigd worden; men verkrijgt dan achtereenvolgens:

Q) K—=\'-V . 2,543 .10-®

= -^-^ 1,272.10-1« (38)

n

/l,907

yi,2,3 - -^1,2,3 H ~f

Substitutie vnn (39) in (38) levert:

= 1,907.10-

VI

;!/2 = ?/3 = —,.1,907(1 -2>5\')10-
VI

Deze waarden, in (35) ingevoerd, leveren ons:
pi = K 1,381 (I 2 V"l - 2 vi\') lO-ö

VI

= ~ 1,381 . 10-«

= 1,381 (1 -2Ki
,2

n

-9

= — ^1,381 . 10

Voeren wij nu ten slotte deze waarden in (36) in, dan
vinden wij met goede benadering voor de wortels der ver-
gelijking = wanneer n^A is:

1 ————

ri =--- 2,762 [1 10-» = «

ra = ^ 2,762 [1 - Kl _ 2-^\'] lO"® = |3

VI

Voor rs = y en >-4 = ê vinden wy de waai\'de nul, terwijl
in werkelijkheid 7 een kleine positieve en $ een kleine negatieve
waarde bezit. Deze waarden zijn echter in ons geval zoo
klein t.o.v. de waarden van « en /3, dat zij gelijk nul gesteld
kunnen worden.

Gaan wij nu nog na in hoeverre de formules (42) in de
gevallen m = 2 en n = \'S de waarden van x en ft weergeven.
Vergelijken wij n.m, de waarden, die uit de formules volgen
met die uit voorgaande tabellen, dan zien wij, dat zij er mede
overeenstemmen voor kleine waarden van terwijl bij nadering
van vi\' = 0,5 de tabellen voor x iets grootere waarden, voor
ft iets kleinere waarden geven dan die volgen uit de formules (42),
Waren de tabellen met nog grootei e nauwkeurigheid berekend,
dan zouden wij zien, dat de tabellen voor alle waarden van
VI in de gevallen « = 2, « = 3 iets grootere resp, kleinere
waarden zouden geven, terwijl de verschillen zouden toenemen
bij het grooter worden van vj\'. Hieruit kunnen wij de conclusie
trekken, dat de r-\'" term in de uitdrukking voor de aantrek-

kende kracht, welke doof hel systeem atoom-eleclron op het
tweede electron wordt uitgeoefend, voor n ^ 4\') in onze
benadering geen invloed meer uitoefent, terwijl deze invloed
nog zeer groot is voor «=1, verder afneemt voorn = 2, 3.
De r-^ term heeft, zooals begrijpelijk is, verder de meeste
uitwerking bij kleine daar de banen met hunne pericentra
dan dichter bij het systeem atoom-electron komen. Hij ver-
oorzaakt een RuoBERG-correctie, die wij hieronder zullen be-
rekenen en met de experimenteele waarde vergelijken.

Bij negavieve energie zijn er, wanneer wij den term
in aanmerking nemen, ook banen mogelijk [zie 4.123] van
het centrum naar een apocentrum en terug naar het centrum.
Voor deze banen geldt echter, wanneer het tweede electron
in de onmiddellijke nabijheid van het systeem atoom-electron
gekomen is, onze benadering niet meer. Toch zal dit tweede
electron, langs een dergelijke baan naderend, in de meeste
gevallen dicht bij den kern komen; daar zal echter de Gou-
lomb\'sche aantrekking van den kern overheerschen en het
electron zal een baan om den kern beschrijven, die geheel
gelegen is tusschen een maximum en minimum waarde
van r.

Wij moeten nu uit de mechanisch mogelijke banen die
kiezen, welke overeenkomen met de quantencondities. In zoo-
verre zijn wij eenigszins hierop vooruitgeloopen, door het

invoeren van de waarde ^ voor de constante «2. Geven

Jt 7t

wij echter aan n een continue opeenvolging van waarden, dan
krijgen wij weer alle banen, die mechanisch mogelijk zijn,
zoodat wij aan de algemeenheid niets te kort gedaan
hebben.

\') In de s-, p-, d; f-, ... series is = 1, 2, 3, 4, ... te stellen,
zoodat de invloed dus nihil wordt voor de f- en volgende series. ^

NZ*

\') De waargenomen spectra laten zich brengen op den vorm: ^^ g^v

waarin d in "den regel zeer weinig van n n\' afhangt De grootheid (J
wordt nu de RuDBERG-correctie genoemd. atoomnummer).

4.14 Opstelling der quantenconditics voor de banen van
het type 3" a. [Zie 4.123].

Evenals in 3.1 vinden wij de beide condities:

» _ /% _

n{p<P — Pf) d(p = nh O {pr — Pr) dr = n h (43)

«

Wij stellen hier de beide aanvangswaarden p<p en pr gelijk
nul, terwijl als integratiegrenzen in het eerste geval Oen2;r,
in het tweede geval rmin. = en rmax. = a moeten genomen
worden.

De eerste integraal van (43) levert ons dan:
^ p<p d (p = n h

O

Nu is volgens (9) p<f — zoodat deze betrekking overgaat in:

— (44)

De tweede integraal van (43) wordt:
2 1\'" Pr dr = n\'h.

Substitutie van de waarde van pr uit (10) geeft ons:

^ f 1 , 2 m e^ , m e? a^ ,

2j 1/   = n h.

Voeren wij hier nu in: 0.1 = — xi\' en 2e~ = /xi, dan wordt

de vergelijking:

---—^—-------------------

2 / [/ — 2 ^üi ---- — -2- H----d>- = n h (45)

O \' 2 I 2 1 ^Uni/MüAdr , ,

— 2 mx\\ r^ m [m r — «2^ H--^- = n h (4b)

, X r J li

/?___

waarin 2 m «i\' r^ m fM r^ — a^^r^ ^/i m /m a^ (47)

= 2 w «1\' (r - x) {r - , •/) (r - y) (/• - ê)

waarin /V, 7, d de wortels van li^ = O zijn. (a>/V>7>

Wij kunnen (46) als volgt schrijven:
, c" ,dr , /•« dr oTdr.l 3 rM , ^

/9 /S

welke integralen nu afzonderlijk berekend moeten worden.

Daar het elliptische integralen zijn, willen wij eerst de
noodige transformatieformules opstellen, ten einde hen tot
elliptische integralen van de eerste, tweede en derde soort
terug te kunnen brengen.

De wortels van = 0 zijn reeël en wij vinden nu achter-
eenvolgens:^)

, 1 ZÜHWE2

i k-^y {a-r){ft-h)

r — a_ ] /" («—(«-r).l - ^ 1(49)

y 1 . \'

dr 2 \\/lc dz _

Daar «> > is, zoo zijn aan de waarden «, l\'i, r
van resp. toegevoegd de waarden p 1) — —
van z.

Stellen wij verder 2 = sin dan gaan de beide laatste
twee formules van (49) over in:

r — a_ 1 X{oc — — r) 1 — sin 0

- V {J- ê) _ 7) • 1 -H sin cp ^^^^

— 2 y"k _ #

Daar de waarden der wortels /3, 7, ^ in het algemeene
geval niet onmiddellijk in «2 en «i (en dus in «2 en -/j\') zijn
uit te drukken, zoo is de oplossing der integralen niet mogelijk
zonder zeer ingewikkelde formules en ten slotte moet men
dan toch nog zijn toevlucht nemen tot het numeriek bepalen

1) Zie o.ii. DukÈgk, Theorie der ellipt. Funklionen.

verhouding — bij elke waarde van ■/( voor elk stel waarden

tv

van a, /3, 7, l.

In 4.13 hebben wij waarden van <x en j3 afgeleid [zie
formule (42)], die met zeer groote benadering gelden voor
» ^ 4 en met voldoende benadering voor n== 2 en n = 3.
Het geval n = 1 valt er in het geheel niet onder. Uit de
tabel in 4.13 bleek verder, dat de wortels 7 en ^ zeer klein
zijn t. 0, V. a en /3, terwijl geld: 7 = —

Voeren wij deze laatste betrekking in de formules (49) en
(50) in, dan leert ons dit:
1 —k

k ^ V [oc-y]

/— x

r-f3
(Jr_

^ ai\' . 27 [oi
7) 1 sin 0

_ d(p

7)\' KH^I^^ïi^

Maken wij verder nog gebruik van het feit, dat ^ en ^
klein t. 0. v, één zijn, dan vinden wij na eenige herleiding:

r <x — (3
2 ■ oc(3

(52)

(a /3)-(a —(3) sin0

— — 1 d (p
R

\\X2mai\'a(3 KI - F sin^ cp I

Wij willen nu de integralen van (48) in de elliptische
integralen van de eerste en tweede soort uitdrukken.

2x13

_ . _

\\{x _ _ 0j

De integratiegrenzen — t/s, itU volgen uit het feit, dat
met r = f3,x overeenkomen de waarden -1,4-1 van 2=sin cp

Wij stellen nu ter vereenvoudiging:

oc{3 = h-, cc (i = c-,-ix-(3) = d (54)

waardoor wij kunnen schrijven:

/ \\c c?sin(ï)y A0 ƒ {c\' — d^mi^cpYA^

- \'^A - ^U

dé

— ^cd

— Ad)

-t.L

sin^ ó

{c\'~ d\'sm\'cpy AO

Direct is in te zien, dat de tweede integraal in den vorm
tusschen haken van (55) nul wordt, zoodat wij alleen nog de
waarde van de beide andere integralen moeten bepalen.

.TT/,

d0_

{c^ — d^ sin^ (py Acp "J (c\'— d\'sin^ ó)^\' A ó

O

1

2 /TT

(56)

O

waarbij dus in het algemeen in ons geval geldt:

— ^ sin^cpj d (p

aTÖ

Om V/j. (0) te berekenen moeten wij van de volgende
reductieformule gebruik maken:

waarin:

.2\\ /

A = —

d\'

(7=1

Daar wij nog meerdere functies zullen moeten berekenen,

laten wij voorloopig in de gevonden uitdrubking F-a

dq)

^ sin 2 (?)

= 2

Ó

d0 __ 2 Ta

-lp (£
— \'-li 9

-J^-f sin^ój\'.A^

Door substitutie van (56) en (60) in (55) verkrijgt men:
■26-2 „ . 2 .. . 2 c\'

h.) h= I r^=Gi

{x(3) — {x — (3) sin 0 Acp

Maken wij weer gebruik van de substitutie (54), dan is dus :

^ TZ

^ , l — c?sind) dó
^ = 2 Cl è \' -------- —

c sin ó A 0

7Z

2 c

__ d (p I 2 d sin cp d 0

"2

De laatste integraal heeft de waarde nul, terwijl we voor
de voorgaande kunnen schrijven:

d0 _ 2c 2

— Ad) d^i c , . „

O O

zoodat hieruit volgt:

l2= I

waarin JiT de complete integraal van de eerste soort voorstelt.

TT

\' -

, I dr ^ 1\' 2({x (3)-{cc-f5) smPY d0_

I I ^

Acf) 4 62

TT

\'J

Acp

De tweede integraal in deze uitdrukking heeft de waarde
nul, terwijl wij de waarde van de laatste vinden met behulp
der uitdrukking:

O

= A\\((p)=f Acpdcp

Avaarm:

Hieruit volgt:

F

dep V2

Z;2

waarin E de complete integraal van de soort voorstelt.
Door substitutie van deze waarde in bovenstaande uitdrukking
vinden wij:

Voeren wij nu de uilkomsten voor de integralen /i, h, h, h
[zie formules (61) t/m (64)] in de de vergelijking (48) in, dan
verkrijgen wij:

Cl

Deel ing door Ci geeft:
V

— Imai..

c\'\' J? rf^

Wij moeten nu nog de waarden van en F_j

bepalen. Volgens is:

1 - ^sin^cpj Ad)
(Ü6)

Nu ligt de parameter — tusschen — k\'^ en 1 en moeten

wij bijgevolg stellen:

(P.

— — — k^ sin^ am (i rti -f- K)
c\'-

Met behulp der nieuw ingevoerde grootheid ai vinden wij:

A am (ai, k\')

777 i II (m, iai E)

k\'^ sin am («i, k\') cos {am Oi, k\')

waarin: u = F(cp); k\' = complementaire modulus = p/j_

en n (m, ai) = normaalvorm van Jagobi =

^ /" k^ sin am ai cos am «1 . A am ai sin^ am u du
1 — ¥ sin® am ai . sin\'-\' am u

Daar 7 in ons geval zeer klein is, mogen wij k\' grlijk 1 stellen.
Uit (67) volgt verder:

dus sin am (»ai K) =

ri^-rß)

Voeren wij nu de betrekking:

sin am (i ai -j- /{)= ^