LIMIETEN VAN
PUNTVERZAMELINGEN

DOOR

J. ROZENBERG

Diss •

Utrecht

1925

isls

iTb

V\' ..

X « I " »••

U:

\\ \' i

• I»-*, -\'-àr

•■-v\'y

• r, --.\'I ■■■..■\'( ■

„f.: » ;

ïpi

■ ■ ; i ^ ; 5

site\'

. V. .V. yvVJi

• . V • \' \' \' • ■ \' • . • • \'

.-li-jo.v:

. \' • •...\'.iC,\'

y-\'y-A\'A-m v ...

mm.

LIMIETEN
VAN PUNTVERZAMELINGEN

■ . ■,

"i

*

/S

Limieten van

puntverzamelingen

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING
VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE
WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE
RIJKS UNIVERSITEIT TE UTRECHT,
OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAG-
NIFICUS DrH. F. NIERSTRASZ, HOOG-
LEERAAR IN DE FACULTEIT DER
WIS- EN NATUURKUNDE, VOLGENS
BESLUIT VAN DEN SENAAT DER
UNIVERSITEIT, TEGEN DE BEDEN-
KINGEN VAN DE FACULTEIT DER
WIS- EN NATUURKUNDE TE VERDE-
DIGEN OP MAANDAG 25 MEI 1925,
DES NAMIDDAGS VIER UUR

DOOR

JOËL ROZENBERG

geboren te leeuwarden

H. J. PARIS

AMSTERDAM—MCMXXV

ViMO \'cijz Pi a n vj-k u 1

[ïia 7.1 K0T-X71Î cf ^.v

»CI y^A/.. C\'Ti\'r/^JyiU: rrjT/y. Ziî. ..>17/
idT Tïy\'ï.^Hi\'T/mi a>iuiî
7ij.i\\. ZA7 \'lo

Aî jr Ktl
-a\'KiT.Ta )A\'i xi

aa za >:ii.T
iiau tîmtjjaai MH: ZMOXIM

.öü^K lai/: A/.fivr/./j^ so T^Mrmi
inu iicM7 H.); (Kîiî^Av^

o/^na/\'iAo;! Jäoi

J. .11

vz —I.\' î. t! H M/raiff. A

Aan de nagedachtenis mijner
moeder en aan mijn vader
Aan mijn vrouw

Bij de voltooiing van dit proefschrift is het mij
een aangename taak U, Hoogleeraren in de Faculteit
der Wis- en Natuurkunde aan de Rijksuniversiteit
te Groningen, en U Hooggeleerde Schuh dank te
zeggen voor het onderwijs, dat ik van U heb ont-
vangen.

Uwe boeiende en levendige colleges, Hooggeleerde
Barrau, zullen bij mij steeds in dankbare herinnering
blijven.

U, Hooggeleerde Wolff, Hooggeachte Promotor betuig
ik in \'t bijzonder mijn erkentelijkheid voor Uwe
heldere voorlichting, buitengewone welwillendheid en
zoo bemoedigende belangstelling.

INHOUD

Blz.

Inleiding............................1

De limietverzamelingen........................7

De ruime limietverzameling..........15

De enge limietverzameling..........26

Slotopmerkingen...............35

INLEIDING

De in dit proefschrift afgeleide eigenschappen voor
puntverzamelingen zijn, indien het tegendeel niet uit-
drukkelijk vermeld is, geldig voor een ruimte R^ van
een willekeurig aantal dimensies.

We zullen in deze inleiding een aantal begrippen
en stellingen welke tot goed begrip van het volgende
noodig zijn in \'t kort uiteenzetten.

Onder een punt A in een ruimte van n afmetingen
verstaan we een verzameling van n reëele getallen
ai, ag, a^,----a^ (de coördinaten van A).

Onder een bol om het punt A met straal e, of een
omgeving s van A, verstaan we de meetkundige plaats
van punten X, wier coördinaten Xj, Xg, X3, .... x^
voldoen aan:

(xi — ai)2 -f (X2 — a2)2 .... -t- (x^ — a,)2 = r2 < e2

Het positieve getal r wordt genoemd de afstand van
het punt X tot het punt A.

Een punt A wordt verdichtingspunt of limietpunt
van een puntverzameling E genoemd, als iedere bol
met middelpunt A een van A verschillend punt van
de verzameling E bevat. Uit deze definitie volgt on-
middellijk dat in elke bol om A oneindig veel punten
der verzameling E liggen. De verzameling E\' der

limietpunten van een puntverzameling E wordt de
„afgeleide" verzameling van E genoemd.

Een puntverzameling E heet gesloten als zij al de
punten harer afgeleide verzameling E\' bevat, hetwelk
we als volgt voorstellen:

E\' ^ E

Een puntverzameling E heet dicht in zich zelf, als
elk harer punten verdichtingspunt van E is. Dit wil
dus zeggen: E i E\'.

Een puntverzameling E heet perfect als zij gesloten
en dicht in zich zelf is, dus als E = E\'.

Een punt P heet een inwendig punt van een punt-
verzameling E als er een positief getal e te bepalen is,
zoodanig dat alle punten in een bol met straal e om
P tot E behooren. Een puntverzameling, waarvan alle
punten inwendige punten zijn heet een open punt-
verzameling. Een bol om een punt P is dus een open
puntverzameling.

Onder een omgeving Q van een puntverzameling E
verstaan we een open verzameling, die E bevat.

Onder de vereeniging S(Ei, Eg, Eg, ____) van een

rij puntverzamelingen Ej, Eg, Eg, ____ verstaan we

de verzameling der punten, die minstens tot één ver-
zameling En behooren.

De doorsnede D(Ei, Eg, Eg,____) van een rij punt-
verzamelingen Ej, Eg, Eg, .... is de verzameling der
punten, die tot alle verzamelingen Ej^ behooren.

Een verzameling E wordt leeg genoemd als zij geen
enkel punt bevat.

Van groot nut zal voor ons zijn het begrip z-samen-
hang eener puntverzameling. We geven hiervan de
volgende definitie.:

Voor een positief getal e wordt een niet leege ver-
zameling E s-samenhangend genoemd, wanneer bij
elke verdeeling van E in twee niet ledige verzame-
lingen F en G de onderste grens van de afstanden
van een punt van F tot een punt van G < e is. Is
P > s dan is dus elke s-samenhangende puntver-
zameling ook p-samenhangend.

Is bovengenoemde onderste grens bij elke verdeeling
O, dan heet E O-samenhangend (d.i. dus s-samen-
hangend voor elk positief getal e).

Van de volgende stelling zullen we herhaaldelijk ge-
bruik moeten maken:

Een verzameling E is z-samenhangend, als men tusschen
elk tweetal harer punten een polygoon kan leggen waar-
van de hoekpunten tot E behooren en de zijden < e zijn.

Bewijs: Stel de verzameling was niet e-samenhangend,
dan was E te splitsen in twee niet ledige deelverzame-
lingen Ej en Eg, zoodat de onderste grens der af-
standen van de punten van E^ tot de punten van Eg
grooter dan e was. Het is dan onmogelijk een punt
van Ej met een punt van Eg te verbinden door een
polygoon, waarvan de hoekpunten in E liggen en met
zijden < e. Immers in een polygoon tusschen een punt
van Ej en een punt van Eg komt een laatste hoekpunt
in Ej en een eerste in Eg voor. De zijde van de polygoon
tusschen deze beide punten is grooter dan e. Uit de

onderstelling, dat de verzameling niet e-samenhangend
is leiden we dus af, dat er twee punten van E zijn, die
niet te verbinden zijn door een polygoon, waarvan de
hoekpunten in E liggen en de zijden < s zijn. Dit is
in strijd met het onderstelde, de gemaakte onderstel-
ling is dus onjuist.

Opgemerkt dient te worden, dat het omgekeerde
van deze stelling niet juist is. Immers is E de ver-
zameling der punten binnen twee buiten elkaar gelegen
cirkels, waarvan de afstand der omtrekken e is, dan is
E s-samenhangend. Een polygoon van de boven om-
schreven eigenschappen tusschen een punt binnen de
eene cirkel en een punt binnen de andere is echter
niet aanwezig. Indien E echter gesloten is, ziet men
gemakkelijk in, dat dan wel het omgekeerde geldt.

De verzameling E wordt in F afgesloten genoemd, als
E = D (F, G)

de doorsnede van F met een gesloten verzameling G is.

Een verzameling E heet samenhangend zonder
meer, als zij zich niet in twee niet leege in E afgesloten
deelverzamelingen zonder gemeenschappelijk punt split-
sen laat. Een gesloten O-samenhangende verzameling
E is dus samenhangend zonder meer, want splitst
men deze in twee niet ledige in E afgesloten ver-
zamelingen dan zou noodzakelijk de eene een verdich-
tingspunt van de andere moeten bevatten, zou er
dus een punt mee gemeen hebben.

Ten slotte zullen we nog het volgende begrip invoeren.

Een rij van puntverzamelingen Vj, Vg, Vg, ....

wordt E-samenhangend, waarbij s met i tot nul nadert,

genoemd, als het mogelijk is bij elk positief getal s
een natuurlijk getal N te bepalen, zoodat Vn voor
n > N e-samenhangend is.

De hier gegeven definities over den samenhang
eener verzameling zijn voor een groot deel ontleend
aan Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre.

Cantor definieerde een samenhangende puntverza-
nieling als volgt:

Een puntverzameling E heet samenhangend als elk
tweetal harer punten te verbinden is door een polygoon,
Waarvan de hoekpunten tot E behooren en waarvan
de zijden kleiner zijn dan een willekeurig vooraf ge-
geven bedrag. Volgens onze terminologie is dit dus
slechts O-samenhangend. De beide begrippen dekken
elkaar alleen als E gesloten is.

Een continuum is een gesloten samenhangende punt-
verzameling. Een punt wordt zoodoende bij deze
beschouwingen onder de continua gerangschikt.

Ter verduidelijking van de hier gegeven definities
over de samenhang eener puntverzameling mogen de
volgende voorbeelden dienen.:

1°. De verzameling der punten met geheele coördi-
naten in Rn is 1-samenhangend.
2°. De verzameling der punten met rationale coördi-
naten in Rn is O-samenhangend, maar niet samen-
hangend.

3°. De verzameling van de punten van de X-as, wier

coördinaten zijn O, f, ^-f-,_____ 2 is 1-samen-

hangend. Ook aan dit voorbeeld is te zien, dat een
polygoon met zijde < 1 niet mogelijk is om elk
tweetal punten te verbinden. Het punt met coör-
dinaat 2 laat zich nl. met een ander punt der
verzameling niet op die wijze verbinden.
4°. Zij Vn de verzameling der punten op de lijn

y = - (n == 1, 2, 3.....), waarvoor

— 1 <x< —, - < X < 1
— — n n — —

De rij verzamelingen Vj, Vg, V3,____is dan e-samen-

hangend, waarbij e met ^ tot nul nadert.

Om ons in het volgende niet tot begrensde punt-
verzamelingen te beperken denken we R^ tot afsluiting
gebracht door een punt co.

Ten slotte zullen we reeds in het tweede hoofdstuk
de volgende stelling ^ noodig hebben:

Bevat een continuum C een punt van een ver-
zameling A en tevens een punt van het complement
van A, dan bevat C een grenspunt van A.

Alvorens de inleiding te beëindigen wil ik me ver-
dedigen tegen een eventueel verwijt, nl. dat ik zeer
evidente stellingen, welke naar het oordeel van som-
migen geen bewijs behoeven, in alle gestrengheid be-
wijs. Op het gebied der puntverzamelingen is nl. het
evidente vaak foutief, terwijl het paradoxale regel
is. Mijn groote voorzichtigheid bij de bewijsvoering
vindt hierin zonder twijfel haar rechtvaardiging.

1 2üe F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, blz. 247.

HOOFDSTUK I
De Limietverzamelinêen

§ 1. Zij Vj, Vg, V3, ____ een oneindige rij van

puntverzamelingen in Rq.

Onder de limiet of ruime grensverzameling verstaan
we de verzameling der punten 1, die de volgende
eigenschap hebben: in iedere omgeving van 1 dringen
oneindig veel verzamelingen van de rij door. We
zullen deze verzameling in dit proefschrift steeds door
de letter L voorstellen.

Onder de enge limiet of grensverzameling verstaan
we de verzameling der punten 1, die de volgende eigen-
schap hebben: er is bij elk gegeven getal s > O een
natuurlijk getal N te vinden, zoodat voor elke n > N
Vq in de omgeving van 1 met straal e doordringt. We
zullen deze verzameling door L* voorstellen.

Uit deze beide definities volgt onmiddellijk, dat
elk punt van L* ook tot L behoort m.a.w. L* ^ L.

L* kan leeg zijn, L niet, want indien geen enkel
punt van de afgesloten R^ limietpunt was, dan zouden
we om elk punt een zoodanigen bol kunnen leggen dat
in elke bol slechts een eindig aantal V^ zou doordringen.
Volgens een stelling van Borel zou dan de geheele R^

te overdekken zijn door een eindig aantal van die
bollen, waaruit zou volgen, dat er slechts een eindig
aantal Vj, was, hetgeen strijdig is met het onderstelde.
L is dus niet leeg.

§ 2. STELLING I. Is E een gesloten puntverzameling,
die met oneindig veel Vj punten gemeen heeft, dan heeft
E met L minstens één punt gemeen.

Bewijs: Had E met L geen enkel punt gemeen, dan
zou, P een willekeurig punt van E zijnde, er een
omgeving van P bestaan, waarin slechts een eindig
aantal Vj doordringen en daar men E met een eindig
aantal van die omgevingen overdekken kan, zou E
slechts met een eindig aantal V^ punten gemeen hebben,
hetgeen strijdig is met het onderstelde.

STELLING II. L is gesloten.

Bewijs: Als L zich in a verdicht en Q. een willekeurige
omgeving van a is, terwijl men een willekeurig na-
tuurlijk getal N geeft, dan bevat Q. een punt 1 van
L en dringt er dus een Vj, i > N, in Q.

STELLING III. L* is gesloten.

Het bewijs gaat volkomen op dezelfde wijze als
voor stelling II.

§ 3. We zullen enkele voorbeelden geven.
1) Zij (zie fig. I) Vg^ de verzameling der punten

van de lijn y = waarvoor O < x < 1 en Vgn 1

de verzameling der punten van de lijn y = -—^-y*

waarvoor O < x < 2. L is het segment O < x < 2
van de X-as, L* het segment O < x < 1.

2) Laat elke verzameling V^ uit slechts één punt
en wel een rationaal punt van het segment O — 1
der X-as bestaan, zoodanig dat elk rationaal punt
van dat segment ook een V^ is. L is nu de ver-
zameling van alle punten van het segment O — 1
van de X-as. L* is leeg.

3) Zij gegeven een kwartcirkel (zie fig. II) en laat

Vn =MAnZijn, zoodanig, dat Z BMA^ ==—.L = L* =
= MB.

4) Kies op een cirkel punten Aj, Ag, Ag,.....zoodat

de hoek die MA^ met een vaste lijn maakt alle
waarden onderling meetbaar met 7t doorloopt. Zij
V^ = MAjj. L bestaat uit de punten binnen den
cirkel en op den omtrek. L* bestaat slechts uit
één punt, het middelpunt van den cirkel.

5) Kies de punten Aj, Ag, Ag.....zooals in voorbeeld

4. Zij Vn de verzameling der punten op de raaklijn
A^Bq in An getrokken, waarbij A^Bn een con-
stante lengte heeft. L is hier een ringvormig ge-
bied met den rand, L* is leeg.

6) Zij Apq een punt van het segment O — 1 der X-as,

waarvoor x = Laat Vpq zijn de verzameling
der punten op de loodlijn in Apq op de X-as opge-
richt, waarvan de lengte - is. L is het segment
O — 1 der X-as, L* is leeg.

7) Laat A en B (zie fig. III) punten op de X-as met
coördinaten — 1 en -f-1 zijn, C^^ een punt op de

2n

de Y-as met ordinaat

2n H- 1

----). Zij Vn =ACnB. Is C het punt op de Y-as

met ordinaat 1 en C\' met ordinaat —1, dan is
L =ACBC\' en L* bestaat uit de beide punten
A en B.

8) Beschrijf (zie fig. IV) met een gegeven punt M
als middelpunt halve cirkels met straal 1 -|---—

I 2*^—1

(n = 1, 2, 3, ----). Voor n even kiezen we de

halve cirkels aan een bepaalde zijde van een ge-
geven lijn door M, voor n oneven aan de andere
zijde. Voor deze rij halve cirkels is L de cirkel
met M tot middelpunt en straal 1. L* bestaat
uit de twee snijpunten van de gegeven lijn met
deze cirkel.

Fig

. I.

-x

§ 4. Buiten de geslotenheid valt zonder nadere on-
derstelling van de ruime en van de enge limietverzame-
ling niets te bewijzen. Immers is gegeven een willekeu-
rige gesloten puntverzameling L, dan kan men altijd een
rij puntverzamelingen (b.v. de rij L, L, L,____) aan-
geven, die L tot limiet heeft. Evenzoo kan men,
indien gegeven is een gesloten verzameling L en daarop
een gesloten deelverzameling L* een rij puntverzame-
lingen (b.v. de rij L, L*, L, L*,----) aangeven, wier

ruime limiet L en wier enge limiet L* is.

§ 5. In het volgende hoofdstuk zullen we nagaan,
wat er van de beide limietverzamelingen te zeggen
is, als we de puntverzamelingen gaan specialiseeren.
Alvorens hiertoe over te gaan, moge hier nog iets
gezegd worden van het verkrijgen der limietverza-
meling eener gegeven rij puntverzamelingen.

Op blz. 25 en volgende van zijn „Leçons sur le pro-
longement analytique" deelt Zoretti mede, dat, indien
men oneindig vele verzamelingen E(a), afhangend
van de parameter a, heeft, men onder een bepaalde
voorwaarde de limietverzameling als volgt kan ver-
krijgen. Men neemt in elke verzameling één punt en
bepaalt van de zoo verkregen puntrij de limiet. Doet
men dit op alle mogelijke manieren, dan is de ver-
eeniging van al die limieten de geheele limiet van
E(«).

De bovengenoemde voorwaarde is, dat, indien men
a voorstelt door een punt van de X-as de verzameling
der zoo verkregen punten slechts één limietpunt mag

hebben. In \'t bijzonder moet de verzameling dus
aftelbaar zijn.

Indien gegeven is een rij van puntverzamelingen
^is Vg, Vg, .... is dus aan deze voorwaarde voldaan.

We zullen nu laten zien, dat men de geheele limiet-
verzameling van een rij puntverzamelingen kan ver-
krijgen door op een geschikte wijze in elke verzameling
één punt te kiezen en daarvan de limiet te bepalen.

We kiezen daartoe een rij van positieve getallen,

El, £2\' Sg,----limEj, =0

n = 00

We kunnen de limietverzameling L der rij Vj,
Vg, .... overdekken door een eindig aantal bollen
niet straal e^, door een eindig aantal bollen met straal
\'2\' enz. Zetten we dit onbepaald voort dan krijgen we
een aftelbaar oneindig aantal bollen b^, bg, bg, ....
Stel n^ is het kleinste getal met de eigenschap, dat
VjQ^ een punt met de bol b^ gemeen heeft. Kies dan op
Vn^ een punt Au, in de bol bi- Op alle Vi, waarvoor
1 < n^ kiezen we een willekeurig punt Aj. Zij n^ het
kleinste getal grooter dan nj met de eigenschap, dat
Vn^ met de vol bg een punt gemeen heeft. Kies op
Vn, binnen bg een punt A^, en op alle V^, waarvoor
ni < k < ng een willekeurig punt A^. We zetten
dit proces onbepaald voort en zullen bewijzen, dat
lim An = L. Daar Aj, -{ V^ is direct duidelijk, dat
lim Aq { L. Kiezen we nu een punt P van L dan
nioeten we aantoonen, dat in een willekeurige bol
w om P een punt Aj ligt voor oneindig veel indices i.

Daar lim. Sn = O, zal P liggen in een oneindig aantal

n = co

bollen, alle binnen elkaar gelegen en geheel binnen a,
In elke bol b^ is een punt A^^^ op V^^ gekozen. Er zijn
nu twee gevallen mogelijk:

1°. Onder de A^^ zijn oneindig veel verschillende. Dan

is P dus limiet der puntreeks A^^.
2°. Onder de Aj,^ zijn slechts een eindig aantal ver-
schillend. Dan zal dus A^^ voor oneindig veel
waarden van de index met P samenvallen. Echter
heeft een puntreeks uitsluitend bestaande uit
dezelfde punten, dat punt tot limietpunt m.a.w.
P is limietpunt der punten Aj,^.

Daar het bovenstaande geldt voor elke bol om P
is P dus limietpunt der gekozen puntreeks, m.a.w.

lim Aj, = L.

Zie F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, blz. 233.

HOOFDSTUK II
De ruime limietverzameling

§ 6. We zullen een noodige en voldoende voor-
waarde afleiden, waaronder de limiet van een rij
continua zelf een continuum is.

Definitie: Een rij continua Cj, Cg .... C^x noemen
We een e-ketting als de afstand van ieder opeenvol-
gend paar kleiner is dan e. We zeggen, dat de ketting^
Cl met verbindt.
§ 7. STELLING IV. De limiet L van een oneindige
continua Cj, Cg, .... is dan en dan alleen een con-
t\'^nuum, als men bij ieder positief getal e een natuurlijk
getal N kan bepalen, zoodat voor ieder paar indices
^ > n > N de correspondeerende C^ en Cj,. verhonden
kunnen worden door een z-ketting, die uit continua van
de rij bestaat, welker indices niet kleiner zijn dan n.

§ 8. We beginnen met de voldoendheid der voor-
waarde te bewijzen. Was L geen continuum, dan was
L =Li -f Lg; Li en Lg zijn gesloten, niet leeg en
hebben geen punt gemeen. Er bestaan omgevingen
en Üg van L^ en Lg, die een afstand e > O hebben.
Vanaf zekeren index Ni ligt C^ in Üi Qg want
anders zouden oneindig veel C^ in het gesloten com-

plement van üj doordringen, waaruit zou vol-
gen, dat L daar ook indringt.

Daar een continuum, dat een punt van een ver-
zameling A en tevens een punt van het complement
van A bevat, door de grens van A gaat, ligt Cq óf
geheel in óf geheel in Dg voor n > N^. Daar Q^
een omgeving is van een willekeurig punt van L^,
ligt Cn in Oi voor oneindig veel waarden van n, terwijl
hetzelfde geldt voor Qg-

Zij N het getal dat in de onderstelling bij s behoort.
Er bestaat een C^, n > N en tevens > N^ die in ftj
ligt en een n\' > n, die in Qg ügt.

Volgens onderstelling bestaat er een e-ketting van
Cn naar Cn\', bestaande uit continua, waarvan de
indices > n > N^ zijn. Dit is onmogelijk, want die
continua liggen allen óf in óf in Dg» zoodat er twee
opeenvolgende continua van de ketting zouden zijn,
waarvan de eene in Qj en de andere in Qg ^ig^, zoodat
hun afstand > e is. Hiermede is de voldoendheid
van de voorwaarde aangetoond.

§ 9. Zij omgekeerd L een continuum en laat e ge-
geven zijn. Wij kunnen L overdekken door een eindig
aantal bollen yi» waarvan de middelpunten Mj in L
liggen en de stralen zijn. Vanaf zekeren index

N ligt Cn in de verzameling Sy, (verg. § 8). Zijn Mj
en Mj twee middelpunten dan is er een polygoon,
die M, met Mj verbindt, waarvan de hoekpunten mid-
delpunten van y\'s zijn en met zijden <

Daar namelijk L een continuum is, bestaat er een

polygoon Mj, Pi, Pg,____Pa, Mj, waarvan de hoek-
punten in L liggen en met zijden < (zie inleiding);
ieder hoekpunt van deze polygoon ligt minder dan
ts verwijderd van een middelpunt van een bol y,
omdat L door de y\'s wordt overdekt, waaruit on-
middellijk het bestaan van de bedoelde polygoon
volgt.

Laat n en n\' twee indices zijn, waarvoor n\' > n > N.
I^aar C^ in Sy, ligt is zijn afstand tot één der middel-
punten Mj kleiner dan ^e. Evenzoo is de afstand van
Cn\' tot een middelpunt Mj kleiner dan Zij Mj M„ M^
• • •. Mji Mj een polygoon, waarvan de hoekpunten
Mp middelpunten van bollen y^ zijn en met zijden
< T®- Daar M« in L ligt dringen oneindig veelcontinua
Cq in Ya- Zij C^^ er één van met na > n. De afstand
van Cq tot Cn is dan kleiner dan e. Oneindig veel
continua dringen in Zij C^^ er één van met n^j > n.
De afstand van Cj,^ tot C^^ is dan kleiner dan e. Zoo
Voortgaande blijkt het bestaan van een e-ketting die
Cn met Cq. verbindt, die uit continua van de rij be-
staat met indices grooter dan n. De noodzakelijkheid
van de voorwaarde is hiermee aangetoond.

§ 10. De toevoeging, dat de indices van de con-
tinua, die de e-ketting vormen van C^ naar Cn», niet
kleiner dan n zijn, mag niet worden weggelaten, zonder
dat de voorwaarde onvoldoende wordt. Het volgende
voorbeeld toont dit aan:

Zij Cl het segment ^ < x < f, Cg en Cg de middelste
segmenten van de intervallen O — ^ en f — 1, beide

2

van de lengte , C4, C5, Cg, C, de middelste segmenten

groot Jg van de intervallen, die overblijven nadat

uit het segment O — 1 de punten 0,1 en de segmenten
Cj, Cg, C3 weggenomen zijn, en zoo voort. L is hier, zoo-
als bekend is, een perfecte overal discontinue punt-
verzameling (nl. de verzameling der punten, bepaald
door oneindige ternaalbreuken, waarin het cijfer 1
niet voorkomt). Geeft men echter s, dan kan men als
n en n\' gegeven zijn C^ met Cn« door een s-ketting van
continua Q verbinden. Blijkens de constructie wij ze
der Ci ligt echter tusschen C^ en C^\' altijd een C^,
zoodat k < n. De e-ketting bevat dus altijd een Cjj,
waarbij k < n, voor s voldoend klein.

§ 11. We zullen nu een andere noodig en vol-
doende voorwaarde afleiden, dat de limiet van een rij
continua zelf een continuum is. We hebben daartoe
echter eenige hulpstellingen noodig, welke we eerst
zullen aantoonen.

STELLING V. Zij Vj, Vg, Vg, .... een rij van ge-
sloten puntverzamelingen met limiet L en met de eigen-
schap Vi Va V3 .... dan L = D (Vj, Vg,

Bewijs: Is P een punt van D, dan behoort het tot
alle Vj, dus tot L. Is omgekeerd Q een punt van L,
dan behoort Q tot alle V,. Was dit niet het geval, dan
zou het b.v. niet tot V^ behooren. Daar V^ gesloten is,
is er een positief getal e te bepalen, zoodanig, dat als

we om Q een bol met straal s leggen, V^ niet in die
bol doordringt. Aangezien alle Vi (i > n) in V^ bevat
zijn, zou dan elke V, (i > n) geheel buiten de bol met
straal e om Q liggen. Daaruit zou dan volgen, dat
Q niet tot L behoort. Dit is een ongerijmdheid, de
onderstelling, dat Q niet tot alle Vj behoort, is dus
onjuist, waarmee de stelling bewezen is.

§ 12. STELLING VI. Zij gegeven een rij van con-
tinua 1 Cl, Cg, Cg, .... Noemen we Si (Ci, CgJ Cg, . . . . )

de vereeniging der verzamelingen Ci, Cg, Cg, ---- en

Si (Cl, Cg, Cg,____) de afgeleide dezer vereeniging dan

zullen we, als L de limiet der rij Ci, Cg, Cg,----is, aan-
toonen, dat

Si (Cl, Cg, Cg, ....) = S (L, Cj, Cg, ....)

Bewijs: Een punt van S^ is óf een verdichtingspunt
van een Cj en dan behoort het tot Cj dus tot S, óf het
is een punt in welker omgeving oneindig vele Cj door-
dringen en behoort dan tot L, dus tot S. Omgekeerd
behoort een punt van S tot Immers een punt
van S behoort óf tot een Cj of tot L. In het eerste
geval behoort het punt ook tot Si, in het tweede
geval is het een punt in welker omgeving oneindig
vele Cl doordringen, is het dus verdichtingspunt van

Si (Cl, Cg, Cg.....), behoort het dus tot Si (Ci, Cg

Ca, ....).

§ 13. STELLING VII. Noemen we S^ (C^, C^ j,
Cn g, ____) de vereeniging der verzamelingen C^,

^ We onderstellen, dat we met perfecte puntverzamelingen to doen hebben,
m.a.w. dat de Ci niet uit slechts één punt bestaan.

Cn 1\' Cn 2...... ^\'n httttT afgeleide dan is S\'^ y

S\'2 ^ S\'3

Bewijs: We zullen bewijzen, dat S\'^ )■ ^\'n i voor
elke n.

Uit stelling VI volgt dat S\'^ = S (L,  ----)

en dat S\'^ i = S (L, C^ i, C^ ----)• Hieruit

blijkt onmiddellijk, dat S\'^ y S\'^ j.

§ 14. STELLING VIII. Heeft S^\' de beteekenis daar-
aan in de vorige paragraaf toegekend, dan ish =lim S\'^.

Bewijs: Daar S\'i S\'2 S\'3 y____is volgens stel-
ling V limS\'n =D(S\'i, S\'2, S\'3, ....). Uit stelling
VI volgt dan dat lim. S\'^ = L. Immers een punt van

L behoort tot elke S\'^ dus tot D (S\'j, S\'2, S\'3,____).

Omgekeerd kan een punt buiten L niet tot D (S\'j,

S\'2, S\'3, ____) behooren, want uit stelling VI volgt,

dat de gemeenschappelijke punten van alle S\'^ uit-
sluitend punten van L zijn.

§ 15. We hebben dus nu geconstrueerd een rij van
gesloten puntverzamelingen S\'i, S\'2, S 3, .... wier

limiet dezelfde is als de limiet der rij Cj, C2, C3,.....

De nieuwe rij heeft echter het voordeel, dat S\'n y
S\'m. 1. Met behulp van deze rij is een andere noodig
en voldoende voorwaarde af te leiden, dat de limiet
van een rij continua weer een continuum is. Vooraf
ga echter nog een hulpstelling.

STELLING IX. Is Vj, Vg, V3, .... een rij gesloten
puntverzamelingen met limiet L en met de eigenschap

Vj Vg V3 _____ terwijl elke Vj z-samenhangend

is, dan is L ook z-samenhangend.

Bewijs: Was L niet s-samenhangend, dan was L te
splitsen in twee gesloten niet ledige deelverzamelingen
en Lg, wier afstand > e is. Er is een omgeving Q
Van L te-bepalen, zoodat ü -j-Qg» waarbij üj

een omgeving van L^ en Qg ^^^^ omgeving van Lg is,
en zoodanig, dat de afstand van tot Üg grooter
dan e is. Verder is te bepalen een natuurlijk getal N,
zoodat voor n > N V^ geheel in a ligt. Immers was
dit niet het geval, dan zou voor oneindig veel waarden
Van n, V^ punten in het gesloten complement van
^ hebben, waaruit zou volgen, dat L daarin ook
lïimstens één punt had, wat niet mogelijk is. Aange-
zien zoowel in üj als in Cl^ minstens één punt van L
ligt moet Vj, voor n > N zoowel in üj als in üg
punt bezitten. Daar Y^ geheel in -f Dg voor n > N
^igt, zou daaruit volgen, dat V^ in twee deelverzame-
lingen gesplitst was, wier afstand grooter dan e is,,
hetgeen in strijd is met het onderstelde. L is dus
E-samenhangend.

§ 16. STELLING X. De limiet L van een rij con-
tinua Cj, Cg, Cg,----is dan en dan alleen een continuum

^^s S\'n z-samenhangend is, waarhij e met ^ tot nul nadert.

Bewijs: De voorwaarde is noodig. Zij gegeven dat
L een continuum is. L is bevat in elke S\'^.

Overdekken we L met bollen wier straal \\z is en
Wier middelpunten op L liggen dan ligt voor n > N
S\'n geheel binnen die bollen en omdat L in S\'^ bevat
IS dringt S\'^ ook in al die bollen door. Om de e-samen-

hang van S\'^ te bewijzen, zullen we gebruik maken
van de stelling in de inleiding genoemd, dat een ver-
zameling e-samenhangend is, als elk tweetal punten te
verbinden is door een polygoon, waarvan de hoek-
punten tot de verzameling behooren en de zijden
< e zijn. Stel P en Q zijn twee punten van S\'^. Voor
n > N liggen beide in een bol met straal | s en met
middelpunten M^ en Mg. M^ en Mg zijn te verbinden
door een polygoon, waarvan de hoekpunten middel-
punten van bollen zijn, dus tot L, dus tot S\'^ behooren
en waarvan de zijden dus < s zijn. Voegen we aan
deze polygoon nog toe de segmenten PMj en QMg
dan voldoet de nu geconstrueerde polygoon aan boven-
genoemde eischen. S\'^ is dus e-samenhangend.

De voorwaarde is voldoende. Bij elk positief getal
s is nl. te bepalen (zie inleiding) een natuurlijk getal
N, zoodat voor n > N S\'^ e-samenhangend is. Volgens
stelling IX is dan L ook e-samenhangend. De bepaling
van een natuurlijk getal N is voor elke e mogelijk
m.a.w. L is e-samenhangend voor elke e d.w.z. O-samen-
hangend. Daar L gesloten is, is L dus een continuum.

§ 17. Uit deze tweede noodig en voldoende voor-
waarde, dat de limiet van een rij continua zelf een
continuum is, volgt onmiddellijk de eerste. Immers

is C\'n =8 (L, Cq, Cn 1, ----) i e-samenhangend

voor n > N dan wil dit dus zeggen, dat men voor
n\' > n > N, Cn en C^. die gesloten zijn (zie inleiding)
kan verbinden door een | s-ketting, bestaande, uit
continua van de rij wier indices > n zijn, in welke

ketting misschien ook nog L optreedt. Door L weg te
laten uit deze ketting krijgen we dan een s-ketting
uitsluitend bestaande uit continua van de rij met
indices > n. Deze laatste voorwaarde, dat de verbin-
dende continua een grootere index dan n moeten
hebben komt hier op geheel natuurlijke wijze voor den
dag. Immers in S\', = S (L, C^^j, ....) treden
de continua van lageren index dan n niet meer op.

§ 18. Bij de bewijsvoering zoowel van stelling IV
^Is van stelling X is uitsluitend gebruik gemaakt
van den e-samenhang voor elke s der naderende ver-
zamelingen. De noodig en voldoende voorwaarde, dat
een rij van continua een continuum tot limiet heeft,
IS dus ook de noodig en voldoende voorwaarde, dat
een rij van e-samenhangende puntverzamelingen, waar-
bij s met - tot nul nadert, een continuum tot limiet
n

heeft. Als voorbeeld hiervan kunnen we geven het door
Zoretti op blz. 27 van zijn „Leçons sur Ie prolongement
analytique" om andere redenen gegeven voorbeeld.

Laat Vu zijn de verzameling der punten op de lijn

v

n ^^^i\'voor.

— < x < —
3n - - 3n

1.1. ,2
iï  3n

M.a.w. op elke rechte y =1 wordt het segment

0 — 1 in n gelijke deelen verdeeld en V^ is dan de
verzameling der punten van het middelste derde deel
van elk der segmenten. De limiet L (het segment
0 — 1 der X-as) is dus een continuum, omdat V^

s-samenhangend is, waarbij s met - tot nul nadert

n

2

e is hier nl.

SnJ\'

§ 19. Als bijzonder geval van stelling IV krijgen
we een stelling van Zoretti, die als volgt luidt:

STELLING XI. Is voor een rij van continua C^,
Cg, Cg,----L* niet leeg dan is L een continuum.

Inderdaad wordt dan aan de voorwaarde van § 7
voldaan. Is nl. P een punt van L* dan leggen we om
P als middelpunt een bol y met straal e. Is n grooter
dan een zeker natuurlijk getal N, dan dringt Cq in y.
Is dus n\' > n > N dan is de afstand van C^ tot C^\'
kleiner dan e. Hier vormt zelfs iedere rij continua
met indices > N een s-ketting.

Het voorbeeld van § 18, waarbij men Vq kan opvatten
als te bestaan uit n continua, is door Zoretti gegeven
om te laten zien, dat ook, als L* leeg is, L een con-
tinuum kan zijn. Met de stellingen IV en X is dus weer-
legd de op blz. 27 van zijn „Leçons sur le prolongement
analytique" gemaakte opmerking:

„L\'existence d\'un point limite a pour tous les E^,

c\'est-à-dire tel que dans un cercle ^ de centre a il y
ait des points de tous les E^ à partir d\'une certaine
valeur de n, semble bien être presque essentielle pour
que l\'on puisse énoncer un théorème général".

^ Lees: cercle quelconque.

HOOFDSTUK III
De enge limietverzamelinê

§ 20. Een rij puntverzamelingen Vj, Vg, V3.....

zullen we normaal noemen als L* =L, m. a. w. als
ieder punt P van L de volgende eigenschap heeft:
is co een willekeurige omgeving van P, dan is er een
natuurlijk getal N te bepalen, zoodat voor n > N
Vn in w doordringt.

Wij zullen een noodige en voldoende voorwaarde
afleiden, waaronder een rij normaal is

Zij djt de bovenste grens van de afstanden, waarop
de verschillende punten van Vj verwijderd zijn van V

STELLING XIL De rij V„ V„ V3, .... ddn m
dan alleen normaal als voor i en k heide voldoend groot
dik < waarin s een willekeurig gegeven positief getal is.

De voorwaarde is voldoende. Is nl. 1 een willekeurig
punt van L dan construeeren we bollen y met 1 tot
middelpunt. Behoorde 1 niet tot L*, dan zou er een
bol Y zijn, waarin oneindig veel V„ niet doordringen.
Is de straal van y gelijk aan 2 e dan merken wij op,
dat oneindig veel V^ doordringen in den concentrischen
bol y\' met straal s. Hieruit volgt onmiddellijk, dat

dik grooter dan e zijn, waarbij i en k ieder bedra»

Ö

kunnen overschrijden. Dit is in strijd met de onder-
stelling, dus de voldoendheid der voorwaarde is aan-
getoond.

De voorwaarde is noodzakelijk. Zij nl. L* = L.
Wij overdekken L met een eindig aantal bollen
waarvan de middelpunten op L liggen en met ^ e tot
stralen (e is gegeven). Vn dringt in zoodra n een
bepaald getal N/, overtreft. Zijn i en k beide > N > N^,,
waarin [x ieder van de indices der y\'s mag zijn, dan
dringen V^ en V^ in alle zoodat dj^ < e, waarmee
de noodzakelijkheid der voorwaarde bewezen is.

§ 21. STELLING XIII. Iedere rij V^ hevat een

deelrij V,^, p = 1, 2, 3.....met d,^ < waarin

e > O willekeurig gegeven is; i en k mogen onafhankelijk
van elkaar alle waarden doorloopen.

Om dit te bewijzen beschouwen we weer de bollen
Y^. Vj, ligt in zoodra n een bepaald getal v over-
treft en dringt door in zekere Y/*- Daar het aantal
combinaties der Y/« eindig is en het aantal indices,
die V overtreffen oneindig, bestaat er een aantal
zoodat oneindig veel V^ in ieder daarvan en in geen
andere doordringen. Deze V^ noemen we Zijn

nu i en k twee willekeurige natuurlijke getallen, dan
is d„ „ < s, want als P een punt van V is, is P min-

l Ic

der dan ^e verwijderd van een middelpunt van een
y^, waarin ook V^^ doordringt.

§ 22. STELLING XIV. Iedere rij bevat normale

deelrijen.

Er is een deelrij Ri (Vj,.., ....) waarbij d^^ < 1,

als i en k twee willekeurige indices uit de rij zijn (§21).
Ri bezit een deelrij R^ (V,.^, V^.., ....) met d^^ <
Zoo voortgaande correspondeert met ieder natuurlijk

getal g een deelrij R^ (V V, , ....) met d,^ < - en

»1 g2 g

steeds is Rg i een deelrij van R^.

Beschouw nu de deelrij R (V,.,, ....). Deze

is normaal, Is nl. s gegeven dan is er een natuurlijk

getal g > -. De verzamelingen V^ , V„

£ eg e ig i \' \' \' \'

behooren allen tot de deelrij Rg. Dus als i en k beide
g overtreffen is d^^ n^^ < s. Uit Stelling XII

O

volgt derhalve, dat R normaal is.

§ 23. Laat weer een rij continua Cj, Cg, C3____ge-
geven zijn.

STELLING XV. Noodig en voldoende voor het hestaan
van een deelrij met perfecte limiet is: de diameter\'^
Sn van Cji nadert niet tot nul voor n oneindig.

Nadert ^^ niet tot nul, dan is er een deelrij, waarin
alle diameters een vast positief getal h overtreffen.
Deze heeft een normale deelrij (§ 22). De limiet hiervan
is een continuum L\'. Onmogelijk kan L\' uit slechts
1 punt 1 bestaan. Want leggen we om 1 als middelpunt

een bol y met straal dan dringt Cn in y vanaf ze-

kere n. Daar S^ > h, moet V^ ook punten buiten y be-
zitten.

^ Onder de diameter van een puntverzameling verstaan we do bovenste
grens van de afstanden van twee harer punten.

Daaruit zou volgen, dat L\' ook punten buiten y bevat.
L\' is dus perfect

Nadert S^ tot nul, dan kan de limiet van een nor-
male deelrij uit niet meer dan 1 punt bestaan. Bevatte
de limiet nl. twee punten Ij en Ig dan zou C^^ voor p
voldoende groot een punt in een nog zoo kleine omge-
ving van ll in een punt in een nog zoo kleine omgeving
van L hebben, hetgeen in strijd is met lim. = 0.

^ n <o

Hiermee is het door Zoretti bewezen theorema:
„als L* niet leeg is en L meer dan 1 punt bevat, bestaat
er een normale deelrij met perfecte limiet" ^ eenigszins
aangevuld; bij die onderstelling kan niet tot nul
naderen, omdat oneindig veel continua punten bezitten
in de nabijheid van twee verschillende punten.

§ 24. Met behulp van de stelling, dat elke rij nor-
male deelrijen bevat, laat zich een zeer eenvoudig
bewijs van de volgende welbekende stelling geven.

STELLING XVI. Zij Cj, Cg, C^, .... een rij van
continua met de eigenschap dat > h is. Indien L
de limietverzameling is, heeft deze een continu deel L\'

met diameter S > h.

De gegeven rij bevat een normale deelrij.

Cn,» Cn,, Cjj,, ....
Noemen we daarvan de limietverzameling L\' dan is

L\' ^ L

L\' is een continuum. Stel de diameter 8 daarvan is

1 Een continuum, dat meer dan één punt bovat is perfect.
® Bulletin de la Soc. Math. de Fr., Dl. 37, 1909, pag. 116.

kleiner dan h, dus b.v. 8 = h — s. L\' is te overdekken
met bollen, wier straal | e is. Voor q > N ligt C^ in
die bollen en dringt in al die bollen door. Daaruit volgt
dan dat S,^ <h —e dus S^^ < h — | e, wat

in strijd is met het onderstelde.

Opmerking: Het is duidelijk, dat de eigenschap
Sn > h slechts behoeft te gelden voor een oneindige
deelrij der rij Cj, Cg, .....Het bewijs gaat nl. onver-
anderd door, indien men in plaats van de gegeven rij
die deelrij beschouwt.

§ 25. We zullen nog een tweede noodig en vol-
doende voorwaarde geven, dat een rij van puntver-
zamelingen normaal is, laten daartoe echter de vol-
gende hulpstelling voorafgaan.

STELLING XVII. Indien voor een rij van puntver-
zamelingen elke deelrij dezelfde limiet L heeft, is dit ook
de limiet der geheele rij.

Bewijs: Dat elk punt van L ook tot de limiet der
rij behoort is direct duidelijk. We zullen nu nog aan-
toonen, dat elk punt der limiet tot L behoort. Stel
er was een punt 1 der limiet dat niet tot L behoort.
Dat wil dan zeggen, dat in elke omgeving oj van 1
oneindig veel verzamelingen der rij doordringen. Be-
schouwen we deze rij. Deze deelrij kan dan L niet tot
limiet hebben, want haar limiet bevat het punt 1, dat
niet tot L behoort. Hiermee is de gemaakte onder-
stelling ad absurdum gevoerd.

§ 26. STELLING XVIII. Een rij puntverzame-
lingen Vi, Vg, Vg, ---- is dan en dan alleen nor-

maal als elke oneindige deelrij dezelfde limiet L heeft.

De voorwaarde is voldoende. Nemen we aan, dat
de rij niet normaal is, dan bevat L, omdat L de limiet
is der geheele rij (§ 25) een punt 1, zoodanig, dat in
een willekeurige bol om 1 oneindig veel verzamelingen
der rij niet doordringen. Beschouwen we nu deze
oneindige deelrij, dan kan deze onmogelijk L tot
limiet hebben, want tot haar limiet behoort het punt
1 niet, dat wel tot L behoort.

De voorwaarde is noodzakelijk. Zij de rij Vj, Vg, Vg,
---- normaal. Voor n > N dringt V^ in een wille-
keurige bol om een punt 1 der limiet L. Daar L met een
eindig aantal dezer bollen te overdekken is, dringt
dus voor n voldoend groot, V^ in al die bollen. Elke
oneindige deelrij bevat nu een oneindig aantal dezer
verzamelingen V^, wier limiet, zooals duidelijk is, L is,
zoodat elke oneindige deelrij L tot limiet heeft.

§ 27. Als een noodige (maar niet voldoende) voor-
waarde, dat een rij puntverzamelingen normaal is
moge hier nog genoemd worden de volgende:

Noodig, dat een rij puntverzamelingen Vj, Vg, Vg,
----1 normaal is, is dat lim. =B (8^ is de diameter

n co

van Vn, S de diameter van de limiet L).

Immers L is te overdekken met een eindig aantal
bollen, wier straal | e is en omdat de rij normaal
is zal Vn voor n > N in al die bollen doordringen
en er geheel binnen liggen. Zijn dus A en B twee
punten van L met afstand S dan dringt Vn voor
n > N in die bollen en is dus voor n > N:

s—e  S d.w.z. lim S^ = S

n =■ co

De voorwaarde is geenszins voldoende. Denken we
ons nl. in een cirkel een overal dicht aftelbaar stelsel
middellijnen, dan is de limiet het binnengebied van
den cirkel de rand. Hier is voor elke n = S, ter
wijl de rij toch niet normaal is.

§ 28. We zullen een voorwaarde afleiden, waaronder

de enge limiet L* van een rij continua Cj, Cg, C3,____

zelf een continuum is. Het is wel bijna absoluut zeker,
dat het onmogelijk is aan de C^ zelf een voorwaarde
op te leggen, omdat in de deelen van C^, die niet tot
de vorming van L* meewerken een groote willekeurig-
heid zit, ook al is L* een continuum. De volgende
stelling levert ons een rij verzamelingen, waaraan het
mogelijk zal zijn een conditie op te leggen, zoodat L*
een continuum is.

STELLING XIX. Indien L* niet leeg is, is er altijd
aan te geven een normale rij verzamelingen Ej, ■{ C^,
zoodanig, dat lim. E^ = L*.

Bewijs: Zij s^ het maximum van de afstanden der
verschillende punten van L* tot C^. Daarmee is dus

gedefinieerd een rij van getallen e^, eg, £3, .......

zoodat lim. s^ = 0. Immers was lim. Sq zfz O, dan zou

n = 00 n = co

dit beteekenen, dat s^ voor oneindig veel waarden
van n grooter was dan e > 0. Voor oneindig veel
waarden van n zou dan het maximum der afstanden
der verschillende punten van L* tot Cn grooter dan
e zijn. Overdekken we L* echter met een eindig aantal

bollen, wier straal ^e is, dan dringt C^ voor n > N
in al die bollen, waaruit volgt, dat het maximum der
afstanden der verschillende punten van L* tot C^
voor n > N kleiner dan s is. Dit is strijdig met de ge-
maakte onderstelling, dus lim e^ =0.

n r= co

Zij En nu de verzameling der punten van C^, die op
een afstand < van L* liggen. E^ is, zooals blijkt
uit de definitie van s^, niet leeg.

We zullen nu aantoonen, dat de rij E^ normaal is

en dat lim E^ = L*.

Is P een punt van L* en leggen we daarom een bol
D dan is er een e, zoodanig dat een bol met straal
e om P geheel binnen ü ligt. Verder is te bepalen
een natuurlijk getal N, zoodat voor iedere n > N,
< e. Een bol met straal e om P heeft dus met
En voor n > N minstens één punt gemeen. De bol
O. heeft dus ook een punt met En voor n > N ge-
meen. Dit geldt voor elk punt P en voor elke bol n
om P, m.a.w. de rij En heeft alle punten van L* tot

normale limiet.

Omgekeerd kan een punt buiten L* niet limietpunt
zijn voor de rij En, want was A zoo\'n punt, dan is
daarom een bol te leggen, zoodanig dat elk punt daar-
binnen een afstand > en tot L* heeft, m.a.w. voor n > N
blijft En buiten die bol. Hieruit volgt dus dat lim.

En=L*. .

§ 29. Zij weer gegeven een rij continua Cj, Cg, Cg,

____en laten de verzamelingen En dezelfde beteekenis

hebben als in § 28.

STELLING XX. Noodig en voldoende, dat L* een
continuum is, is dat E^ z-samenhangend is, waarhij z

met - tot nul nadert.
n

De voorwaarde is noodig. Zij L* een continuum.
L* is te overdekken met een eindig aantal bollen,
wier straal Je is. Daar de rij E, normaal is, dringt
En voor n > N in al die bollen door. Deze bollen,
vormen een samenhangend gebied. Splitsen we dus
En in twee deelen E\'n en E"n dan is de onderste grens
van de afstanden van punten van E\'n tot punten van
E"n kleiner dan e. Aangezien dit geldt voor elke e, is
de voorwaarde dus noodig.

De voorwaarde is voldoende. Was L* geen con-
tinuum, dan was L* =Li L^. L^ en L^ zijn geslo-
ten, niet leeg en hebben geen punt gemeen. Er bestaan
omgevingen en van L^ en L^, die een afstand
e > O hebben. Daar de rij En normaal is, dringt En
voor n > N in en üg en is geheel bevat in al
Hieruit zou volgen, dat En voor n > N gesplitst
was in twee deelverzamelingen, wier afstand grooter
dan e is. Dit is in strijd met het gegeven, dat En e-samen-
hangend is, waarbij e met ^ tot nul nadert. De vol-
doendheid der voorwaarde is dus aangetoond.

HOOFDSTUK IV

Slotopmerkingen

§ 30. Zij gegeven een rij van rijen puntverzame-
lingen.

WWW

l-i K) co

Lj is met een eindig aantal bollen met straal e te
overdekken.

Lg is met een eindig aantal bollen met straal e te
: overdekken.

enz.

Voor n > Nj bevindt zich V^ in de bollen, die Lj
overdekken.

Voor n > Ng bevindt zich Vg^ in de bollen, die Lg
: overdekken.

enz.

Definitie: Men zegt, dat de rijen Rj, Rg, Rg,____

gelijkmatig of uniform tot haar limieten eonvergeeren,
als het mogelijk is bij een gegeven positief getal s een
natuurlijk getal N te bepalen, zoodanig, dat voor
n > N en voor elke p Vp^ zich bevindt in de bollen
met straal e, die Lp overdekken.

Schrijft men deze rij van rijen puntverzamelingen
b.v. door middel van de diagonaalmethode als een en-
kele rij en noemen we daarvan de limiet L, dan is altijd:

L2» Lg, . . . . )

De vraag dringt zich op: onder welke voorwaarden
zal

L = S (Lj, Lg, Lg, ....)?

Direct valt het volgende op te merken. Zijn onder

de Lj, Lg, Lg, ---- oneindig veel verschillende dan

laten deze een niet ledige limietverzameling L\' toe,
waarvan men onmiddellijk inziet, dat deze tot L be-
hoort. Slechts in zeer speciale gevallen b.v. als er
onder de L^, Lg, Lg, .... slechts een eindig aantal
verschillende voorkomen of als L\' ^ S (L^, Lg, Lg,
....). zal L =S(Li,

Lg, Lg, . . . .) kunnen zijn.

§ 31. Men kan zich nu de vraag stellen: onder
welke voorwaarden zal

L = S (L\', Ll, Lg, Lg, ....)?

Een voldoende (niet noodige) voorwaarde is:

1°. de rijen Ri, Rg,----eonvergeeren gelijkmatig

tot haar limieten.
2°. S(Ki, Kg, ....) ^ S(L\', Ll, Lg, ....).

Bewijs: Daar altijd L S (L\', Li, Lg, ....) zullen

we nog aantoonen, dat in dit geval ook L S (L\',

Lj, Lg.....). Zij 1 een willekeurig punt van L. In een

willekeurige omgeving van 1 dringen dus oneindig
veel verzamelingen Vpq door. Er zijn nu 3 gevallen te
onderscheiden:

o) Deze oneindige rij van verzamelingen Vpq bevat
een oneindige deelrij, waarvan alle eerste indices
dezelfde zijn b.v. alle gelijk aan m. Dan behoort 1

tot dus tot S (L\', Li, Lg, Lg,----)•

De rij bevat een oneindige deelrij, waarvan alle
tweede indices dezelfde zijn b.v. alle gelijk aan r.

Dan behoort 1 tot K^, dus tot S (Ki, Kg, Kg,----),

dus tot S (L\', Li, Lg, Lg,----).

c) Noch aan het onderstelde in a), noch aan het
onderstelde in h) is voldaan. Stel het punt 1 behoorde
niet tot S (L\', L^, Lg, Lg, ....)• De verzameling
S (L\', Li, Lg, Lg, ....) is gesloten, want een ver-
dichtingspunt is óf een verdichtingspunt van een
Lp en behoort dan, omdat Lp gesloten is tot Lp dus
tot S (L\', Lj, Lg, Lg, ....), óf het is een punt in welker
omgeving oneindig vele verzamelingen Lp doordrin-
gen en behoort dan dus tot L\', dus tot S (L\', Lj, Lg, Lg,
....). Daar S (L\', Lj, Lg, Lg, ....) gesloten is, heeft

1 een positieve afstand > e tot S (L\', L^, Lg, Lg,----)

dus ook tot L\', Lj, Lg, Lg, .... Kj, Kg, Kg.....

In een bol met straal ^ e om 1 dringt dus noch L\',
noch één der Lj, Lg, Lg, .... of Kj, Kg, Kg, .... door.
Daar 1 een punt van L is, dringen in die bol oneindig
vele verzamelingen Vpq door, waarvan we mogen

aannemen, omdat noch aan de voorwaarde in a)
genoemd, noch aan de voorwaarde in b) genoemd
voldaan is, dat de indices boven elk van te voren
gegeven getal uitkomen.

Elke der limietverzamelingen L^, Lg, Lg,____is met

een eindig aantal bollen, wier straal | s is te over-
dekken. Wegens de gelijkmatige convergentie der
rijen, zal voor n > N en voor elke p Vp^ zich bevin-
den in de bollen die Lp overdekken. Dit is in strijd
met het feit, dat oneindig vele verzamelingen Vp^
met steeds toenemende indices in de bol met straal
om 1 doordringen. De onderstelling, dat 1 niet

tot S (L\', Li, Lg, Lg,----) behoort is dus onjuist,

waaruit dus volgt, dat L = S (L\', L^, Lg, Lg,____).

Opmerking 1. Van het onderstelde is de tweede
voorwaarde noodig, de eerste niet.

Immers is aan de tweede voorwaarde niet voldaan,
dan is er een punt behoorende tot een verzameling
Kv en dus een punt van L, dat niet behoort tot S (L\',
), zoodat onmogelijk L = S (L\', L^,
.) kan zijn.

Opmerking 2. Blijkens het bewijs zou in plaats van
de gelijkmatige convergentie der rijen, ook die der ko-
lommen voldoende zijn.

Opmerking 3. Is het aantal rijen eindig, dan is aan
beide voorwaarden voldaan en daar L\' dan leeg is,
geldt daarvoor altijd L = S (Lj, Lg, Lg, ....), wat ook
direct in te zien is.

In het volgende zullen we aan een voorbeeld laten

zien, dat de gelijkmatige convergentie der rijen geen
noodzakelijke voorwaarde is.

Voorheelden

r

Fig.V.

\'A

m.

m.

m

\'zs

O

Zij (zie fig. V) de verzameling Vj^ de verzameling
der punten o < x < op de lijn y = de verzameling
Vgn de verzameling der punten i < x < f op de lijn
, de verzameling Vg^ de verzameling der

y ==

n 1

punten f < x < | op de lijn y = ^

Li is dan de verzameling der punten O < x < | op
de X-as, Lg de verzameling der punten | < x < | op
de X-as, Lg de verzameling der punten f < x < | op
de X-as, enz. L\' bevat dan uitsluitend het punt x = 1

op de X-as. Hier is Ki = Kg = Kg =____het punt

X = 1 op de X-as. Aan de tweede voorwaarde is dus
voldaan. De uniforme convergentie der rijen is ook
aanwezig, want kiest men e dan is te bepalen een na-
tuurlijk getal Nl, zoodanig dat voor n > Ni V^ zich
bevindt in die bollen, die Li overdekken. Deze Nj
kan, zooals direct duidelijk is, voor elke rij dienen.
De voorwaarde der uniforme convergentie is dus ook
vervuld.

Dat de voorwaarde der uniforme convergentie echter
niet noodig is, blijkt als we dit voorbeeld eenigszins
wijzigen. We laten nl. alle verzamelingen Vpq, waar-
voor p = q ongewijzigd, vervangen echter de ver-
zameling Vpp door het punt ^ op de Y-as. De uniforme

convergentie der rijen is nu niet meer vervuld, de an-
dere voorwaarde nog wel, terwijl hier ook L = S (L\',

Ll, Lg, Lg, ....).

Ten slotte ziet men nog aan dit voorbeeld, dat de
kolommen ook niet gelijkmatig tot haar limiet conver-
geeren. Ook dit is dus niet noodig.

§ 32. We zullen zoo\'n rij van rijen nog eens van
een ander standpunt bezien. We beschouwen weer het
schema van § 30.

STELLING XXI. Zijn de rijen normale rijen en

convergeeren deze gelijkmatig tot hun limiet dan is de
ruime limiet der K\'s = de enge limiet der K\'s = de
ruime limiet der

Zij K* de enge limiet der K\'s, L de ruime limiet
der L\'s. Zij P een punt van L. Oneindig veel L^ dringen
in een bol B^ met straal e om P. Voor al deze indices
n geldt dat V^p in een bol Bg met straal 2 e om P
dringt voor p > p,,, waarbij Po onafhankelijk van n
is. Dus Kp dringt in B^ voor iedere p > Po, dus P zit in
de enge limiet K* der K\'s, m.a.w. L ^ K*.

Zij Q een punt van de ruime limiet K der K\'s. Er
zijn oneindig veel indices p, zoodat Kp in een bol Bg
met straal e om Q dringt. Is Ap een punt van Kp
binnen Bg, dan zijn er oneindig veel nummers n,
waarvoor V^p in Bg dringt. Nu kieze men p van te
voren zoo hoog, dat voor al deze n L^ steeds in een
bol B4 met straal 2 e om Q dringt; daartoe behoeft
men slechts p > po te kiezen, waarin Po toegevoegd
is aan e volgens de definitie van uniforme conver-
gentie. Daar nu oneindig veel L„ in B4 dringen, zit
Q in L, dus K ^ L. Men heeft dus L-{ K* < K ^ L,
dus L = K = K*.

De K-rij is dus normaal en heeft de ruime limiet der
L-rij tot limiet.

Nemen we eens als bijzonder geval, dat ook de kolom-
men uniform tot haar limiet convergeeren en tevens nor-
maalreeksen zijn. Dan is dus L =K =L* =K* en men
ziet gemakkelijk in, dat het geheele tableau geen limiet-^
punt heeft buiten S (L, Lj, Lg, L3, .... Kj, Kg, Kg, ....)

§ 33. We zullen ten slotte enkele opmerkingen
maken over de limiet van een rij vlakke continue
krommen. Onder een continue kromme verstaan we
een puntverzameling die het continue beeld is van
een lijnsegment. Zooals bekend is, is een puntverza-
meling M het beeld van een andere puntverzameling
N, wanneer aan elk punt van N een punt van M toe-
gevoegd is, zoodanig dat ook aan elk punt van M
minstens één punt van N toegevoegd is. Verder is M
het continue beeld van N, als die toevoeging aan de
volgende voorwaarde voldoet: is Q een punt van N,
waaraan P van M is toegevoegd, is verder Q^ een ver-
anderlijk punt van N, waaraan P^ van M is toegevoegd,
dan zal als Q^ in een omgeving S van Q ligt, P^ in een
omgeving e van P liggen, waarbij s met S tot nul
nadert.

Onder N verstaan we nu het eenheidssegment O < t
< 1 eener t-as. Onder M een puntverzameling in het
XY-vlak. M is nu het continue beeld van het eenheids-
segment, als er twee continue functies x = 9 (t),
y = ^ (t) bestaan, zoodanig, dat als t het eenheids-
segment doorloopt, het punt van het XY-vlak met
coördinaten x = 9 (t), y = (t) minstens eenmaal
met elk punt van M samenvalt.

Het continue beeld van een gesloten samenhangende
verzameling is zooals bekend is weer gesloten en samen-
hangend. Is M het continue beeld van het eenheids-
segment dan moet M dus een continuum zijn. Dat
deze voorwaarde niet voldoende is, is door Hahn be-

wezen Er is nl. nog een voorwaarde noodig wil een
continuum een continue kromme zijn. Het is de
volgende:

Is P een punt van M, dan behoort bij elk positief
getal s een positief getal t), zoodanig dat elk in de
omgeving y) van P liggend punt P\' van M met P ver-
bonden kan worden door een continuum, dat deel is
van M en dat geheel in de omgeving e van P ligt. Een
verzameling, die in elk harer punten deze eigen-
schap bezit zullen we met Hahn „samenhangend in
het kleine" noemen. We zullen hier het bewijs van
Hahn geven, dat deze voorwaarde noodig is, wil een
continuum een continue kromme zijn.

Stel M was niet in \'t kleine samenhangend, dan
was er minstens één punt P van M, dat de bovenge-
noemde eigenschap niet heeft. Dit wil zeggen, er be-
staat een positief getal e, zoodanig dat er in iedere
omgeving van P punten P\' van M liggen, zoodanig,
dat elk continu deel van M, dat zoowel P als P\' bevat^
ook punten buiten de omgeving e van P bevat. Laat

P\'g, ____ een rij verschillende van dergelijke

punten zijn met lim. P^ = P. Daar M het continue

n = 00

beeld van het eenheidssegment is, is elk punt P^
beeld van minstens één punt daarvan, b.v. van t^
Op het eenheidsscgment hebben we nu oneindig vele
verschillende punten t;, t^, .... die dus minstens

^ H. Hahn, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Dl. 23,
1914 en Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in
Wien, Abt. IIa, Dl. 123, 1914.

één verdichtingspunt t\' hebben. In de rij der t\'^ is
dus een deelrij t\'^^, t\'^, .... zoodat lim. t\'^ = t\'.

\' i = co i

Wegens de continuïteit der afbeelding wordt noodzake-
lijk t\' op P afgebeeld. Het segment t\'^t\' wordt op
een continu deel van M afgebeeld, dat zoowel het
punt P als het punt P\'^^ bevat. Nu zijn echter de
coördinaten van het aan het punt t van het eenheids-
segment toegevoegde punt van M continue functies
9 (t) en tj; (t) van t; er bestaat dus een positief getal
S, zoodat voor | t — t\' | < S

|9(t)-9(t\') I < ^ (f) 1

Daar lim. t\'i, =t\'bestaat er echter een getal i^,, zoodat
—t\'l <8 voor i>i, (2)

Uit (1) en (2) volgt echter dat voor i > alle pun-
ten van het segment t\'^^t\' in de omgeving e van het
beeldpunt P van t\' (d.i. van het punt met coördinaten
X = <p (t\'), y = (t\')) afgebeeld worden. Voor i > io
bevindt zich dus in de omgeving s van P een continu
deel van M, dat zoowel P als P\'^^ (het beeldpunt van
t\'n^ met coördinaten x = 9 (t\'n^), y = ^ (t\'n^)) bevat.
Dit is echter in strijd met de gemaakte onderstelling.
De samenhang in \'t kleine is dus noodzakelijk.

Dat de samenhang in \'t kleine ook voldoende is, wil
een continuum een continue kromme zijn, wordt ook
door Hahn bewezen. Voor het nogal uitvoerige bewijs
verwijzen we den lezer naar de reeds genoemde „Sit-
zungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissen-
schaften in Wien."

§ 34. Een eenvoudig voorbeeld van een continuum,
dat niet in \'t kleine samenhangend is levert de ver-
zameling der punten van de kromme y = sin -

(O < X < 1) aangevuld met de punten der Y-as waar-
voor — 1 < y < !• In alle punten van dit laatste
segment bestaat geen samenhang in het kleine; want
is P één of ander punt van dat segment dan bestaat

op de kromme y = sin - een rij van punten P^ met

lim.Pn =P; hoe dicht echter P^ ook bij P ligt elk

n = co

continu deel van de verzameling, dat zoowel P^ als
P bevat, moet het tusschen P^ en de Y-as verloopende

deel der kromme y = sin ^ bevatten en blijft dus

niet binnen een willekeurig kleine cirkel om P.

Een ander voorbeeld is (zie fig. VI) de verzameling
der punten bestaande uit:
1°. de punten der X-as waarvoor O < x < 1.
2°. de punten der Y-as, waarvoor O < y < 1.

3°. de punten der lijnen x = - (n = 1, 2, 3, ----),

waarvoor O < y < 1.

Men ziet direct in, dat samenhang in \'t kleine niet
bestaat voor de punten der Y-as, waarvoor O < y < 1.

§ 35. We zullen nu eens nagaan, wanneer de limiet
van een rij continue krommen weer een continue krom-
me is en zullen ons beperken tot een normale rij van
continue krommen C^. In \'t algemeen is nl. de limiet

van een normale rij continue krommen niet een con-
tinue kromme. Immers zij (zie fig. VI) Cj de kromme
ABCD, Cg, de kromme ABCDCEF, C3 de kromme
ABCDCEFEGH enz. De limiet is dan het continuum
in het tweede voorbeeld van de vorige paragraaf
genoemd en is dus geen continue kromme, terwijl men
direct inziet, dat de rij normaal is.

ns.VI. ^^

LLk

i/ M

ITfT /

Alvorens een stelling over de limiet van een normale
rij continue krommen te formuleeren merken we op
dat de limiet daarvan altijd een continuum is. Indien
we onder | P^ — P\'^ | verstaan de afstand van P^ tot
P\'n dan geldt de volgende

STELLING. XXII. De limiet C van een normale rij
continue krommen C^ is zelf een continue kromme, als, P^
en P^ twee punten van C^ zijnde, er voldaan is-aan de
volgende voorwaarde: aan ieder positief getal e is een

positief getal 8 toegevoegd, zoodat uit de ongelijkheid
I Pn — P\'n I < S volgt dat de diameter van een tot C^ be-
hoorend continuum dat Pj, en P\'^ verbindt kleiner dan s
ïs hetgeen onafhankelijk van n moet gelden.

Bewijs: Er moet bewezen worden, dat de limiet Cj
samenhangend in \'t kleine is. Ontkenning hiervan
brengt mee, dat er twee tot C behoorende puntreeksen

R,, R» ..

... en Sj, Sg, S3----zijn, zoodanig dat

lim. I Rjj — Sj, I = O, terwijl een van nul verschillend

n = co

positief getal p is aan te geven, zóó dat voor geen
Waarde van n de punten R^ en S^ deel uitmaken van
een tot C behoorend continuum met diameter < p.

Fig. YII.

Zij P een limietpunt van de puntreeks R^, Rg, Rg,
... dan is P ook limietpunt van de reeks Sj, Sg, Sg,
•. We mogen, zonder aan de algemeenheid te kort

te doen, aannemen dat P het eenige limietpunt der
beide reeksen is. Ware dit nl. niet het geval, dan
zouden we deelreeksen kunnen beschouwen, die slechts
een enkel limietpunt hebben.

Denken we ons om P als middelpunt een cirkel B^
met straal | p.

Aan het in de stelling genoemde positieve getal e
geven we de waarde i p. Hieraan is dan op grond van
het onderstelde toegevoegd een positief getal S. Men
ziet direct, dat 8 < s en dus S < i p. Om P als mid-
delpunt denken we ons een tweeden cirkel B^ met
straal ^ S. Vervolgens bepalen we een natuurlijk getal
n, zoodanig, dat R, en S, beide binnen cirkel Bg lig-
gen. Verder denken we ons om R^ als middelpunt een
cirkel Bg en om S^ als middelpunt een cirkel B^, zoo-
danig, dat Bg en B^ geheel binnen Bg liggen.

Nu behooren R^ en S, tot de limiet C van de normale
rij continue krommen C^, Cg, Cg, .... Er is dus een
natuurlijk getal N te vinden, zoodanig, dat voor elke
index q > N de verzameling C^ zoowel in Bg als B^
binnendringt. Verder is het mogelijk een punt Ao
van Cn te vinden, een punt Ac^ ^ ^ van C^ ^ j, een punt
^^N g van Cn 2 enz., alle gelegen binnen Bg en
welke Rn als eenig limietpunt hebben. Eveneens
een punt Dc^ van C^, een punt Dc^^^ van Cj^ j,
een punt Dc^^^ van C^ g enz., alle gelegen binnen
B4 en welke S^ als eenig limietpunt hebben.

De afstand van Ac^ ^ ^ tot Dc^ ^ ^ is voor elke 1 kleiner
dan S en deze punten zijn dus te verbinden door een

continuum Kc^ ^ ^ dat deel is van Cn 1 en welks dia-
meter < 1 p is, zoodat Kc^^ ^ ^ dus geheel ligt binnen
cirkel Bj. De limietverzameling K van deze continua
ligt dus geheel binnen of op cirkel B^ en heeft dus een
diameter < p.

We memoreeren nog even de in § 19 genoemde
stelling van Zoretti in eenigszins gewijzigde vorm:

Zij Fn een reeks punten met limietpunt F. Behoort
Fn voor elke n tot een continuum V^ dan is de limiet
V van Vn een continuum.

Dit toegepast levert hier dat de limietverzameling
K een continuum is. Verder bevat K de punten R^ en
Sn en heeft een diameter < p.

Hiermee is een contradictie bereikt en de stelling
dus bewezen.

Opmerking: De conditie is niet noodzakelijk, zooals
blijkt uit bovenstaande figuur.

rfm

■■ fM m\'r-

m

-v . ■ .

STELLINGEN

De uitdrukking van Zoretti: "un point limite pour
tous les En" is slordig.

Zoretti: Leçons sur le prolongement analytique blz. 27.

II

Is de maat van de limiet van een rij puntverzame-
lingen Vj, Vg, Vg,____nul, dan is lim (x V^ =0. Het

n =3 CD

omgekeerde dezer stelling is niet juist.

III

In het Leerboek der Differentiaal- en Integraal-
rekening van Prof. Dr. Hk. de Vries wordt op blz. 345
(§ 77) onder de voorwaarden, dat voor een functie f(x)
in een zeker interval het theorema van Rolle geldt,
genoemd de voorwaarde, dat de functie bij gedeelten
monotoon is. Deze voorwaarde is overbodig en voert
hier tot een niet juist bewijs.

IV

In dezelfde paragraaf van het bovengenoemde leer-
boek wordt een voorbeeld gegeven van een functie,

wier grafische voorstelling in een punt twee raaklijnen
bezit en gezegd, dat in dat punt de afgeleide niet
eenwaardig is. Dit is onjuist. De functie heeft in dat
punt geen afgeleide.

Het bewijs, dat Borel geeft van het theorema van
Cantor-Bendixson is niet juist.

Borel: Leçons sur les fonctions de variables réelles blz. 5.

VI

De definitie, die Hausdorff van een gebied geeft
werkt verwarrend.

F. Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre blz. 215.

VII

De definitie van een oneindig kleine grootheid
wordt vaak foutief gegeven.

Zie o.a. Dr. Chs. van Oa: Het oneindige.

VIII

"Nun bemerke man, dasz wenn Cj, und Cg zwei
Punktmengen sind, die man als Vereinigung von
endlich oder abzählbar unendlich vielen perfekten
Punktmengen ansehen kann, dasselbe auch für die
Vereinigungsmenge (Cj Cg) und für den Durch-
schnitt Cj Cg der Punktmengen C^ und Cg zutrifft".

Het tweede deel dezer bewering is onjuist.

Carathéodory: Vorlesungen über reelle Punktionen blz. 404.

Het is bewijsbaar, dat de puntenparen van een
vlak V niet (1,1) en algebraïsch afbeeldbaar zijn op
een platte R4.

X

Het vervangen van den naam "omhullende" door
"omhulde" is voor de wiskunde van geen beteekenis.
Beide namen zijn te verdedigen.

XI

De methode van Czuber voor de bepaling der om-
hullende van een systeem vlakke krommen wordt
door Wieleitner onvoldoende bewezen.

Wiolcitner: Theorie der ebenen algebraischen Kurven höherer
Ordnung blz. 49.

XII

Het verlangen om de met behulp van hoogere wis-
kunde bereikte resultaten ook langs elementairen weg
te verkrijgen, leidt in vele leerboeken der natuur-
kunde tot waardelooze afleidingen.

Zio o.a. in Müller Pouillet\'s Lehrbuch der Pliysik und Meteorologie
do afleiding voor het traaghoidsmoment van een staaf wentelende
om een uiteinde.

XIII

De theoretische verklaring van G. Klein voor de
vermindering der wrijving bij een roteerenden zuiger
is onjuist.

G. Klein: Untersuchung und Klritik von Hochdruckmessom blz. 18.

Aan middelbare scholen, waar een litterair econo-
mische afdeeling bestaat en in plaatsen, waar afzon-
derlijke litterair-economische scholen bestaan, dient
de facultatiefstelling der Mechanica in de vijfde klasse
aan de mathematisch-physische afdeeling, respectievelijk
school, te vervallen.

M t V

\'CHr

7i

■X^t;

• , V •

•

■ \'---fît-..,