PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN
NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-UNIVER-
SITEIT TE UTRECHT. OP GEZAG VAN DEN
RECTOR MAGNIFICUS DR. H. F. NIERSTRASZ,
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER
WIS- EN NATUURKUNDE. VOLGENS BE-
SLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVER-
SITEIT. TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE
FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE
TE VERDEDIGEN OP MAANDAG 6 JULI 1925.
DES NAMIDDAGS 3 UUR. DOOR

ra «^iv/ h0 m fliotdoo wav oaa^ö mrlo
m MAA aôHJÎ>filUÎITA^Î
VT30 MAVOA^CSO qO .THDHHTU HT TiaTiE
.^.EAîlTagHiM 3 .H ÎDHÎHDAM ^tO T^a^
-«aa vi

Het verschijnpn van dit proefsclirifl geeft mij gelegenheid
mijn dank te betuigen aan allen die tot mijn vorming als
natuurkundige hebben bijgedragen, en die mij zoo hartelijk
hebben onlvangen in de Noordelijke helft van ons Neder-
landsche vaderland.

Hooggeleerde Julius, Uw aandenken blijft mij onvergetelijk.
Het is mij een onschatbaar voorrecht geweest onder den
invloed van Uw edele persoonlijkheid te komen, en zoovele
jaren onder Uw rechtstreeksche leiding te mogen werken.
Wat dit voor mij beteekend heeft, kan ik niet in korte woorden
lot uitdrukking brengen. De geestdrift die U voor de studie
der zonnephysica bezielde, hebt Gij ook aan mij weten mede
te deelen, en het zal mijn streven zijn, in Uw geest verder
te werken. Dat ik U dit proefschrift, waarin Gij zoo warm
belang steldet, niet voltooid heb kunnen aanbieden, is mij zeer
smartelijk geweest. Uw heengaan laat een blijvende leemte
in mijn leven.

Hooggeleerde Ohnstkin, ik dank U voor de bereidwilligheid
waarmede Gij »Ie taak van Promotor hebt willen overnemen;
na hel overlijden van Prof. Julius kon niemand mij als zoo-
danig liever zijn dan U. Gaarne zou ik dit proefschrift meer
in bijzonderheden aan Uw oordeel hebben onderworpen, doch
de omstandigheden maakten dit moeilijk; voor de nuttige
wenken die Gij mij nog hebt gegeven, ben ik U zeer verplicht.
Het is mij een behoefte hier mijn bewondering uil te spreken
voor de groole kracht die van U uilgaal, voor Uw liefde tot

Aan alle andere Hoogleeraren in de Faculteit der Wis- en
Natuurkunde te Leiden en te Utrecht, wier onderwijs ik heb
mogen genieten, betuig ik hierbij mijn erkentelijkheid.

Vrienden van het Physisch Laboratorium te Utrecht, U, allen
dank ik voor den echt kameraadschappelijken omgang dien
ik steeds met U hebben mocht. .Deze vriendschap geeft kracht
om de moeilijkheden van het wetenschappelijke werk te over-
winnen, en maakt de beoefening der wetenschap tot een genot.

De integraalvergelijking en de differentiaalvergelijking
der onregelmatige straalkromming.

§ 1. De afleiding der aigemeene vergelijkingen ... 8
2. De differentiaalvergelijking toegepast op een damp-
kring begrensd door twee evenwijdige vlakken . . 15
§ 3. De differentiaalvergelijking toegepast op een bol . 20

§ 4. De uitspreiding van één enkelen oneindig breeden
bundel, in een dampkring begrensd door twee

S 5. De uitspreiding van een naaldvonnigen bundel in
een dampkring van overal gelijken uitspreidings-

een laagsgewijs opgebouwden dampkring . . . . 4G
§ 7. De samenwerking van regelmatige en onregelmatige
breking bij het krommen en uitspreiden van een

§ 8. De uitspreiding van een ftchuin invallenden bundel,
in een dampkring begrensd door twee evenwijdige
vlakken ......\' ........ G7

Toepassing van de theorie der onregelmatige straal-
kromming op zonneverschijnselen.

de lichtverdeeling over de zonneschijf .... 76
§ 10. Het vraagstuk van den scherpen zonsrand ... 93

§11. De onregelmatige straalkromming als niet-omkeer-
baar proces; „makroskopische" en ,mikroskopische"

§ 12. Enkele proeven betreffende onregelmatige straal-
kromming ..............128

Wanneer een lichtbundel op een plaatje matglas valt, wordt
hij door de kleine onregelmatigheden van het oppervlak in
alle richtingen verspreFd. Het verschijnsel aan de achterzijde
van de matglazen plaat duiden wij aan door de uitdrukking
„onregelmatige breking"; het verschijnsel aan de voorzijde,
door ^onregelmatige terugkaatsing". Dergelijke verschijnselen
kunnen wij waarnemen, wanneer wij een glazen bakje vullen
met stukjes glas, en daar een lichtbundel op laten vallen.
Ieder scherfje werkt op geheel onregelmatige wijze, maar
tezamen geven zij aanleiding lot oen bepaalde gemiddelde
lichtverdeeling. De onderdeelen van den bundel worden hier
niet ieder éénmaal, maar een groot aantal malen gebroken
en teruggekaatst. Dit is de meest onregelmatige vorm van
het verschijnsel, en men kan verwachten, dat het juist daar-
door eenvoudiger Ie beschrijven zal zijn dan de werking van
een matglazen plaat.

Bij de proef met de glasscherfjes werken om egel matige
breking en onregelmatige terugkaatsing samen. De onregel-
matige terugkaatsing alleen kan men waarnemen, indien men
de glasklompjes vervangen denkt door dunne glasplaatjes,
gebroken mikroskoopdekglaasjes bijvoorbeeld. De stralen onder-
gaan daarin geen noemenswaarde afwijkingen, maar worden
in alle richtingen gespiegeld.

Ook de onregelmatige breking kan men alleen laten werken.
In een groot aquarium mengen wij een geconcentreerde op-
lossing keukenzout met water; bij het door elkaar roeren van
de vloeislofTen wordt de heele massa eigenaardig troebel; een
lichtbundel, die door het aquarium wordt gestuurd, wordt

penseelvormig uitgespreid. De lichtuitspreiding is hier alleen
te wijten aan het verschil in optische dichtheid van naburige
nog onvermengde slieren, zoutoplossing en water, waardoor
de stralen in allerlei richtingen gaan krommen en afwyken.
Terwijl de eigenlijke onregelmatige breking altijd gepaard
gaat met onregelmatige terugkaatsing, is deze onregelmatige
straalkromming niet met andere verschijnselen vermengd. Het
kenmerkende is, dat de brekingsaanwijzer hier geleidelijk ver-
andert, en niet merkbaar van waarde verschilt voor twee
punten op den afstand eener golflengte. \') De onregelmatige
straalkromming is het, waaraan wij in hei vervolg onze aan-
dacht willen wijden.

Het onderscheid tusschen onregelmatige breking en onregel-
matige terugkaatsing vervalt, wanneer de korreltjes die het
licht verstrooien van de afmetingen der golflengte of kleiner
worden; dit is het geval bij het fljnste matglas, dat het
doorgelaten licht een roodachtige tint geeft. In deze omstan-
digheden spreken wij van de ver.\'<trooiing van het licht. Evenals
voor de onregelmatige breking en voor de onregelmatige terug-
kaatsing kunnen wy het verschijnsel niet alleen in één dunne
laag, maar in een geheel ruimtegebied laten plaats grijpen:
wij kunnen bijvoorbeeld enkele druppels eener alcoholische
harsoplossing uitgieten in een groote hoeveelheid water; do
roodachtige kleur van het doorgelaten licht, de blauwe tint van
het rondom verstrooide, laten ons toe de kleinheid der deeltjes
te beoordeelen.

Tusschen deze verschijnselen bestaan natuurlijk allerlei over-
gangen. Maar het is van groot belang voor de theoretische

\') Een eenvoudig en helder be\\vijn, waarom in deze omslandighedcn
geen terugkaatsing plaats grijpt, vindt men bij H. A. Lorentz, Stralingn-
theorie, Leiden 1919, blz. 47.

behandeling, in de eerste plaats de zuivere grensgevallen te
onderzoeken zooals wij die hier hebben gekenmerkt.

De typische verstrooiing van het licht is sedert Rayleigh
uitvoerig bestudeerd, zoowel proefondervindelijk als theoretisch.
Daarentegen is onze kennis van de onregelmatige terugkaatsing,
breking, straalkromming, nog hoogst onvoldoende.. Vele dezer
vraagstukken zijn van het grootste belang voor andere natuur-
wetenschappen. De meteoroloog onderzoekt de onregehnatige
breking en terugkaatsing met het oog op de verklaring van
troebelheid van den dampkring, van de kleur der wolken en
den vorm van lichtzuilen; de sterrekundige maakt ervan ge-
bruik bij do theorie der albedo; de technicus doet er metingen
over bij projectieschermen en bij allerlei soorten gefigureerd
glas en matglas. Deze toepassingen hebben herhaaldelijk aan-
leiding gegeven tol vruchtbaar onderzoek, maar de literatuur
over het onderwerp is moeilijk bereikbaar en zeer verspreid.

Voor middenstoffen van doorloopend veranderlijke dichtheid
kan de baan van één enkelen straal niet door algemeene
formules worden voorgesteld; daarenboven is het de vraag
hoe de trillingsrichting van het gepolariseerde licht bij zulke
gekromde stralen is. Hauzru \') en Roussinesq ») hebben de
regelnuitige straalkronnning bestudeerd van het standpunt der
elastische lichttheorie; Seeuoch =>) heeft zich op hei electro-
magnetische standpunt geplaatst. Deze schrijvers hebben
aangetoond dal hel trillingsvlak der aetherdeeltjes altijd don-
zelfden hoek blijft vormen mei het invalsvlak van den licht-
straal; de trilling is transversaal, op termen van hoogero orde
na; de gekromde straal behoudt overal dezelfde energie.

regelmatige straalkromming, en de formules die hij zelfs voor
dit lichtverlies had opgegeven (!), kunnen als weerlegd worden
beschouwd. Hieruit volgt tevens, dat een straal natuurlijk
licht door de straalkromming niet gepolariseerd wordt; het
onderzoek van Fabry \') heeft dit proefondervindelijk bevestigd,
en is niet in tegenspraak met de eigenaardige resultaten van
Gans.

Van groot belang voor . ons is de reeks onderzoekingen
betreffende het fonkelen der sterren, welke wij aan ver-
scheidene natuurkundigen, meteorologen en astronomen te
danken hebben. De dampkring der aarde, met zijn afwis-
selend heetere en koudere lagen, met zijn windstroomingen
en zijn verschillen in vochtigheidsgehalte, is een typisch voor-
beeld van een middenstof die onregelmatige straalkromming
^ veroorzaakt. De scintillatie blijkt te bestaan uit een schijnbare
plaatsverschuiving, een intensiteitsverandering, en een kleur-
wisseling van de sterren; bij sterke scintillatie bedraagt de
schommeling tot ± 7", normaal zijn schommelingen van
± 4" met een periode van de orde van enkele tijdsecunden.
De luchtslieren blijken een gemiddelde grootte te hebben van
10—20 cm., de kromtestraal der golfvlakken is van de orde
3 Km.

Bij deze studie echter is typisch, dat altijd wordt waarge-
nomen met /c/eiiie openingen; de grootte van den oogappel
bij visueele waarnemingen, de grootte van het objeetiefdia-
phragma bij den scintillometer (c.a. 4 cm.) zijn van dezelfde
orde als de afmetingen der luchtslieren of kleiner. De .scin-
tillatiewaarnemingen zijn daarom te bestempelen als een
„mikroskophch" onderzoek, in den zin welken wij in het aan-
hangsel nader zullen toelichten. Zoodra men echter overgaat
tot waarnemingen met kijkers van yroote opening, verdwijnt
het fonkelen: iedere ster schijnt verbreed tot een wazig uit-

Algemeen overzicht in Exner: Über die Szintillalion, Wien 1891.
Ook in Pernter-Exnkk: Meteorologicche Oplik. Wien luid Uipzi«
1922; blz. 188-241.

vloeiend vlekje, wit en van onveranderlijke helderheid. ^ Juist
deze laatste soort waarnemingen behoort tot het gebied der
onregelmatige straalkromming, dat typisch de „mnkroskopische"
waarnemingen beschrijft.

Duidelijk uitgesproken is het begrip der onregelmatige
straalkromming voor het eerst door Julius, reeds in een zijner
allereerste verhandelingen over de zonnetheorie®); en het zal
stellig een zijner grootste verdiensten blijven, dat hij de
gevolgen van dit verschijnsel met zulk een zuivere intuïtie,
met zulk een levendig voorstellingsvermogen heeft nagegaan.
Door tal van proeven heeft hij zijn opvattingen over de
onregelmatige straalkromming gestaafd, en ruim partij ge-
trokken uit de nieuw ontdekte wetten om de verschijnselen
op de zon uit te leggen. — In deze zelfde verhandeling van
—^ 1000 verklaart hij de chromospheer en de protuberanties
door onregelmatige kromming der stralen in de buurt van
de Fraunhofer lijnen. In 1902 wijst hij als oorzaak der
onregelmatige gradiënten de discontinuïleitsoppervlakken aan,
die volgens IIelmuoi.tz en Emden moeten bestaan in een zich
afkoelende, wentelende gasmassa. In 1903 \') verklaart hij de
—^ duisterheid der Kraunhoferlijnen als in hoofdzaak een gevolg
van de onregelmatige strnalkronmu\'ng der sterk breekbare
stralen in de buurt der eigenfrequenties van de zonnegassen;
en in een geheele reeks verhandelingen \') leidt hij hieruit
vrijwel alle eigenaardigheden af, die dooi- de waarneming
dezer lijnen lo voorschijn zijn gekomen. In lOOi"^) breidt
hij deze opvattingen uit lot de speklroskopie der sterren.
Tevens laat hij zien dat hel algemeene uilzicht der spektro-

\') Nkwton, OpticlcH, 1730; bi/.. 1)S (Lil). I. parn 1, proi». «. probl. L\').
Kxnek, SilziingHhcr. Wicn, 1881, 84, II, lOfJO-KXM.

\') Verrtl.Akn.l.AmHlordnm, 1900,8,510. I\'hy«. )!M)l, 2, \\i\\S Arch.
^ Nccrl. IfWl, II. l. 4, 155.

*) A. .1. 1910, 31, 119; 1011, 1395; 1911, 40, 1; 191(5,4;J,"43; Vcrnl.
Akad. Amsterdnni, 1915, 24. (178; 1!»23, 32, 487 (niK .Minnakut).

\') Werken v. h. Gen. ter bev. van Nnt., fïcn., Heelk. te AniMerdani
1904, 116. VerHi. Akad. Amsterdam: 1904, 18, 138 en 359; 1908, 17,
193. A. J. 1905, 21, 278 en 286; 1908, 28, 360.

heliogrammen volkomen in overeenstemming is met de op-
vattingen der dispersietheorie. Tenslotte komt er nog een
gewichtige verhandeling in 1913 waarin wordt aangetoond
dat de onregelmatige straalkromming van het gewone (witte)
zonlicht het verschijnsel van den scherpen zonsrand kan ver-
klaren, ook indien de gemiddelde dichtheid der zonnegassen
zeer geleidelijk verandert.

Onder den invloed van deze zonnetheorie, werd de studie
der onregelmatige straalkromming te Utrecht door verscheiden
natuurkundigen voortgezet en uitgebreid. Ornstein en Zernike^)
deden een zeer belangrijken stap, door de grondslagen te
leggen voor de wiskundige behandeling van het verschijnsel.
Van Gittert toonde proefondervindelijk aan®), dat de onregel-
matige breking van het licht in de buurt van anomale ge-
bieden aanleiding kan geven tot dispersiebanden, en dat deze
verplaatsingen kunnen ondergaan welke met de theorie in
overeenstemming zijn. Spijkerboer ¹) behandelde de onder-
linge verhouding van verstrooiing en onregelmatige straal-
kromming.

Het was wel geen toeval, dal juist te Utrecht hel onder-
zoek begonnen werd van een verschijnsel dal als een geheel
nieuwe toepassing van de onregelmatige straalkromming kan
worden beschouwd: de troebelheid der vloeibare kristallen
en de eigenaardige wijze waarop zij het licht uitspreiden.
R. Riwlin heeft dit verschijnsel zóó verklaard\'^): de moleculen
groepeeren zich vanzelf tot zwermen; de richting der deeltjes
verandert van de eene groep tot de andere, een straal die
uit een bepaald groepje komt en in een bepaalde richting
trilt, zal in een naburig groepje gesplitst worden in een ge-
wonen en in een buitengewonen straal; en daar deze beide
stralen bij de vloeibare kristallen zeer verschillende brekings-
aanwijzers bezitten, zullen zij in verschillende richtingen ge-

kromd worden. De zorgvuldige proeven van R. Riwlin hebben
getoond dat deze onregelmatige straalkromming tengevolge
van dubbele breking dezelfde wetten schijnt te volgen als de
gewone. Mocht deze uitkomst-algemeen gelden — en er is
alle reden om dit te verwachten —, dan zouden wij in de
vloeibare kristallen voortreffelijke onderzoekingsobjektenhebben,
om proefondervindelijk al die vraagstukken van onregelmatige
straalkromming na te gaan welke te ingewikkeld zijn om
door berekening op te lossen.

DE INTEGRAALVERGELIJKING EN DE DIFFERENTIAAL-
VERGELIJKING DER ONREGELMATIGE STRAALKROM-
xAIING.

De wiskundige behandeling van het vraagstuk der onregel-
matige straalkromming is voor het eerst aangevat door Ornstein
en Zernike, in een korte mededeeling, waarvan de inhoud
echter van groot belang is \') Wij zullen hunne redeneering
volgen en hier en daar iets nader toelichten.

Ornstein en Zernike hebben niet getracht door een of ander
bijzonder beeld de slieren in den dampkring te beschrijven;
als grondslag voor hunne beschouwingen hebben zij den ge-
zamenlijken invloed genomen van een groot aantal zeer kleine
dichtheidsgradiönten. Deze invloed bestaat daarin, dat een
bundel oorspronkelijk evenwijdige stralen, na een afstand l
te hebben doorloopen, penseelvormig uitgespreid is over de
naburige richtingen, zoodat zijn energie verdeeld is over de
afwijkingshoekjes a volgens een kansfunctie xi»)- Heell de
oorspronkelijke bundel de lichtsterkte 1 per oppervlakte-een-
heid zijner doorsnede, dan is z{a)duy de lichtsterkte welke
onder een hoek « is afgeweken binnen een ruimtehoekje d w
en dan is

Het mooie van de theorie is nu, dat de vorm van de uit-
spreidingsfunctie voor de verdere redeneering geheel zonder

belang is, mits slechts de uitspreiding na elk doorloopen
wegelemenlje tot zeer kleine hoeken beperkt blijft, zoodal
X («) alleen voor kleine waarden van x een merkbare waarde
bezit. Het kenmerkende verschil tusschen de moleculaire ver-
strooiing en de onregelmatige straalbreking komt hierin tot
uitdrukking: bij het ééne verschijnsel wordt een klein deel
van het licht naar alle richtingen verstrooid terwijl de hoofd-
bundel ongehinderd doorgaat; bij het andere wordt de geheele
bundel eerst over kleine, dan over langzaam aangroeiende
hoeken opengespreid.

Ploe het mogelijk is iels te weten te komen over de uit-
spreidingswetten zonder onderslellingen over den elementairen
opbouw der middenstof, kan men het best nagaan door ver-
gelijking met de theorie van de waarnemingsfouten. Besskl
heeft aangetoond \'), dat men altijd een kronune van CJauss
krijgt wanneer een aantal gedeeltelijke fouten samenwerken,
die ieder hun eigen, geheel willekeurige freqiiontiekrommon
vertoonen, mits 1°. het aantal gedeeltelijke fouten zeer groot
weze, 2°. elk der foulen zeer klein, en de fouten onaf-
hankelijk van elkaar. Üe twee eerste voorwaarden zijn stellig
vervuld waimeer wij een stralenbundel als geheel beschouwen
«lie een doorsnede heeft, groot t.o. van de ongelijkmatigheden
der middenstof. De Ho voorwaarde echter zal onvoldoende
vervuld zijn. Een stralenbundel die door een optischen dicht-
heidsgradißnl dringt, zal een afwijking ondergaan die afhangt
van zijn hoek met de gradiöntriohting, en die dus mede bepaald
wordt door de vroeger ondergane afwijkingen; wij kunnende
foulen niel als onafhankelijk van elkaar beschouwen. Daar
slaat echter tegenover dat (jemiddeld de invloed der verschil-
lende gradiënten wel onafhankelijk is van de helling der
slralen; het zal allijd mogelijk /[jn een zeker aantal elemen-
lairgebieden vereenigd te denken lol een geheel, dat aan
eiken straal dezelfde uitspreiding geefl, hoe ook de richting
weze van dewelke hij aankomt.

symmetrische frequentiewetlen vertooneri, en PEARSON\')is, hiervan
uitgaande, tot het besluit gekomen dat de samenwerking van
asymmetrische elementairfouten ook een asymmetrie van de
resulteerende kromme veroorzaakt. Deze opvatting was geheel
onjuist; ook bij asymmetrische elementairfouten is de resul-
teerende foutenwet symmetrisch, mits aan de voorwaarden 1,
2, 3 voldaan weze. Dit bevestigt ons in de overtuiging,
dat de vorm der afzonderlijke vloeistofslieren zonder belang
is, zoodra het op de samenwerking van een groot aantal
hunner aankomt. Wij hebben dus alle reden om aan te
nemen dat de verdeelingswet % (x) den vorm van de fouten-
wet zal hebben, en in elk geval symmetrisch zal zijn.

In vele gevallen is het doelmatig de vraagstukken der on-
regelmatige straalkromming te behandelen in het platte vlak
als vraagstuk van 2 afmetingen. Wij kunnen ons voorstellen
dat de lichtbundel door een zeer lange spleet dringt, en ge-
broken wordt door lange onregelmatige dichtheidsslieren, die
alle als prisma\'s evenwijdig aan de invalsspleet zijn gericht.

Het uitspreidingsvraagstuk wordt dan onafhankelijk van de
lengtecoördinaat dezer slieren, en kan behandeld worden in
een vlakke doorsnede, loodrecht op deze richting. Alle reke-
ningen en voorstellingen worden door deze beschouwingswijze
zeer vereenvoudigd. Uit hare studie kunnen de eigen-
schappen der lichtuitspreiding door onregelmatige straalkrom-
ming qualitatief worden gevonden; terwijl quantitatief wel
enkele getallenfactoren, maar zelden de algemeene vorm der
wetten voor de uitspreiding in de ruimte zal worden gewijzigd.

Omdat het er voor ons op aankwam, de tot hiertoe nog onbe-
kende wetten der onregelmatige ^l^g in hare hoofdtrekken te ^
leeren overzien, hebben wij in het vervolg een belangrijke plaats
toegekend aan de twee-dimensionale behandeling. Het ware
zeer wenschelijk die naderhand nog in elk onderdeel tot de
onregelmatige straalkromming in de ruimte uit te breiden.

•) Ckofton, Phil. Trans. 1869,160,175. — Kapteun : Skew Frequency
Curves, Groningen, 1903; biz. 5—11 — Ornstein en Burgeu, Versl. Akad.
Amst. 1919, 28, 183.

daar\'een hoek met de
^-as maakt{fig. 1). Deze
slralingis afkomstig van
stralen f {x, y, ê\') uit de

buurt van Pi {x, y), die
vandaar onder ietwat
verschillende hoeken
vertrokken zijn, en die,
wanneer zij een lengte l
hebben afgelegd en in Pu
zijn aangekomen, door

- onregelmatige straal-

® krommitig een afwijking
ondergaan en ieder een breukdeel
de richting t*^ bijdragen. De siraling

in Pi{x l cos »*>, y-\\-l sin is de som van al die bijdragen;
dus krijgen wij de integraalvergelijking:

Aangenomen is, dat de verschillende stralen die van punten
in de buurt van P\\ vertrekken, alleen tengevolge van hun
i\'>\'-verschil een verschil in sterkte vertoonen. liet verschil in
hun X- en //-coördinaten kan verwaarloosd worden tegenover
de verandering die deze coördinaten ondergaan bij overgang
van P\\ naar Pï.

Deze integraalvergelijking, afgeleid in de onderstelling dal
de afwijkingshoeken a klein zijn, kan in dit geval lol een
(lifferentiaalvergelijking worden omgevormd. Wij ontwikkelen
beide leden en vinden:

Üe eerste integraal is gelijk aan 1; de tweede verdwijnt, wegens
de symmetrie der kansfunctie % («) (blz. 10); in de derde is
de integraal niets anders dan de gemiddelde waarde van x^.
De vergelijking wordt aldus:

Men kan het ontstaan van de integraal- en de differentiaal-
vergelijking nog nauwkeuriger toelichten, door in aanmerking
te nemen dat de verschillende t\'^\'-stralen niet van P\\ zijn
uitgegaan, maar van punten x x l sin y xl cos Dan
wordt de integraalvergelijking /"(ic / cos y / sin =
\\■0 — x) dx, en de differentiaalvergelijking:

Om nu een differentiaalbetrekking te krijgen, moeten de
stukjes l oneindig klein gekozen worden; hierbij nadert tevens
X tot nul. In de_grens vallen de twee eerste termen weg,

terwijl de term in y tot een eindige grenswaarde nadert. Wij
vinden aldus de vergelijking (2) terug.

Wij nemen een rechthoekig coördinatenstelsel (fig. 2), en
bepalen de richting van een straal P2 S door zijn hoek = S l\\ X
met de ;t-as en door den hoek 0 van het vlak S P2 X mei
het vlak Y (azimuth). Deze straal is samengesteld uil de
bijdragen van verschillende stralen/"(a:, t?\', ö\') vertrokken
uit de buurt van l\\ {x,;/, z). Door een dergelijke redeneering
als tevoren vinden wij de integraalvergelijking
(3) f{x-\\-l cos i/i-l sin cos (p, ^ -f / sin f> sin 0, (p)=

Beschouwen wij nu den eenheidsbol met F« als midden-
punt; de richting der ^r-as P2 A\', de straal Pi S en de straal
Pi Pi (verlengd tot S\') bepalen een boldriehoek (fig. 3)

0\' — 0. Bi] hetin-
tegreeren over de
verschillendestra-
len komt het punt
( S\' achtereenvol-
gens op allerlei
plaatsen rond Ste
liggen, en het in-
. tegratie-element
^ d u om S\' be-
strijkt de heele
omgeving van S,
terwijl echter x
steeds klein blijft.
Noem den hoek

Wij zullen de verschillen in de hoekcoördinaten van de
stralen uitdrukken in den afwijkingshoek a.

aangezien O en in het
algemeen weinig van el-
kaar verschillen, « en
A(J) gelijk aan hun .sinus
kunnen worden gesteld.
Om A = 0\' -

te vinden, trekken wijde
bogen S\'L loodrecht op
en S\'a zóó dat

In deze afleiding is ook ondersteld dat A0 klein is; voor
stralen in de buurt van de ^-richting kan echter A cl) zeer
groot zijn, zelfs 180° bedragen, terwijl toch a willekeurig
klein is. Dit zal echter slechts het geval zijn voor een zeer
klein gedeelte van de stralenbundels, een gedeelte dat des te
kleiner is naarmate « kleiner gekozen wordt.

In deze verschillende integralen worden de waarden (4) en
(5) van A i\'> en A cp gesubstitueerd.

De integraties over zijn uit te voeren tusschen O en 2 r,
die over x van O tot co.

De eerste integraal wordt 1, de derde en de vijfde vallen
weg bij integreeren over i/\', de andere leveren

De integraal jcc^ % (a) rf « is onmiddellijk in verband te brengen
met de gemiddelde waarde <x^= = fa^ % ^

§ 2. de differentiaalvergelijking toe-
gepast op een dampkring begrensd
door twee evenwijdige vlakken.

Een der meest algemeene gevallen waarin wij de werking
«Ier onregelmatige breking hebben na te gaan, is dat van een
tiampkring begrensd door twee evenwijdige vlakken. Wij denken

ons breede bundels evenwijdige
—^ ~ stralen, die op het ééne grensvlak
~ s vallen, en die zulk een groote door-
eg i snede hebben dat het geheele vlak
er op dezelfde wijze door wordt
\'n -V verlicht(fig.i).Daarenbovenonder-
slellen wij dat die bestraling sym-
metrisch gebeurt om de normaal,
die onze ^-as is, zoodanig dal zij
voor hel ruimtevraagstuk onafhan-
kelijk wordt van hel azimulh
en dal voor hel vlakke vraagstuk
Fm. 4. f{&)=zr{-ty).
Dit geval is in zooverre bijzonder eenvoudig, dat nu alle

punten in een zelfde aan de grensvlakken evenwijdige laag
op dezelfde wijze bestraald worden. Het vraagstuk wordt
onafhankelijk van y, van van cö. De differentiaalvergelijking
vereenvoudigt zich aldus:
voor het platte vlak,

Wanneer de hoek & klein is, kunnen wij cos ^ = 1 en
De vergelijkingen worden dan:

De eerste vergelijking heeft denzelfden vorm als de diffe-
rentiaalvergelijking der warmtegeleiding, en heeft de oplossing

Kiest men bijvoorbeeld a bestaanbaar en gelijk aan 1, 4, 9,...
dan wordt de reeks: S e(/I sin O B cos
en kan iedere willekeurige bestraling aan het grensvlak x — 0
voorstellen. In het algemeen zal men n onbestaanbaar hebben
te nemen.

De tweede vergelijking (10) is die welke Fourier ontmoet
heeft bij de beschrijving van de warmtegeleiding in een cylinder.
Schrijf f=X{x)-\'e {&). Substitueer dit in de vergelijking, en stel

= iy) = Cl Jo (//) Co .Vo (.v),
waarin ./o en No de Besselsghe functies van de eerste en
tweede soort en van de orde O voorstellen.
Tenslotte wordt

De oplossing van de ruimtevergelijking wordt dus van
denzelfden vorm als van de vlakke vergelijking, alleen zijn
de trigonometrische functies door Besselsghe vervangen.

Wij kunnen de beide eerste termen van do cosinusont-
wikkeling in de vlakke vergelijking opnemen:

en de methode van Lai\'lage lost deze vergelijking oj) in den
vorm van een bepaalde integraal:

Wij schrijven de oplossing als produkt van een functie van
met een functie van O, dus f=X{x). (-)(i>). Substitutie
in de differentiaalvergelijkingen geeft

De vergelijkingen voor 0 zijn van de tweede orde met
periodieke coëfficiënten; de bijzondere moeilijkheid doet zich
voor dat de coëfficiënten zoowel positief als negatief worden
binnen het integratiegebied. De »functies van Mathieu" welke
door deze vergelijkingen bepaald worden, komen herhaalde-
lijk voor in de theoretische natuurkunde; de uitgebreide lite-
ratuur is echter voor ons doel weinig bruikbaar, de oplossingen
zijn onhandige reeksontwikkelingen.\')

Do cersto der twee vergeiykingen (14) is ede vergeiyklng van den
elliptischen cylinder», een bijzonder geval van do «vergelijking van
Gyldén—Lindstedt» : 9" (p ?c08.v) 9 = 0. Zij verschijnt bij do
theorie der beweging van de maan en van de wachters van Jupiter, bg
de berekening van de getijden in een elliptischen vijver, van den potentiaal
van een cylinder met elliptische doorsnede, eu van do trillingen van een
elliptisch vlies. Het geval p = O komt daarby zelden of nooit voor.

0 = <fo -f S, ... = S 6-„
Substitueert men deze in de 2-dimensionale vergelijking b.v.
en ontwikkelt ook cos dan vindt men voor de coëfficiënten:

(n l)(n 2),„to (2«,)! ; \'
Twee bijzondere oplossingen zijn te vinden door uit te
gaan van So = O, = 1, of van «o = 1, = 0. Zoo krijgt
men de reeksen

Uitspreiding van evenwijdige bundels in een dampkring
van laagsgewijs veranderlijken uitspreidingscocfficiënt. —

De dampkring van de zon en van de sterren moet in het
algemeen beschouwd worden als in rust; in de verschillende
horizontale lagen van zulk een dampkring zal de samenstelling
en de male van roering verschillend wezen, maar in alle
deolen van eenzelfde laag vrijwel dezelfde (flg. 4«). Do uit-
spreidingscoöniciént k is dan een functie van x alleen.

In de vergelijkingen der
onregelmatige breking (7)
en (8) verandert f niet,
wanneer men de :v-coör-
dinaten grooter maakt,
maar den uitspreidings-
coëfficiënt in dezelfde mate
verkleint; de wijze waarop
een laagje hel licht uit-
spreidt, hangt dus alleen af
van de waarde die hel pro-
dukl /t-A-voor dielaagheeft.

§ 3. DE DIFFERENTIAALVERGELIJKING DER
ONREGELMATIGE STRAALKROMMING TOE-
GEPAST OP EEN BOL.

De aigemeene differentiaalvergelijking (G) der onregelmatige
breking^ in de ruimte beschreef de veranderingen van de straling
algemeen volgens de coördinaten y, z, (p. Wij hebben
gezien dat aanmerkelijke vereenvoudigingen optreden wanneer
de brekende laag door evenwijdige vlakken begrensd is, en
symmetrisch om de x-as bestraald door oneindig breede bundels.

Wij zullen thans de onregelmatige straalkromming in een
bol nagaan, en zoeken welke vereenvoudigingen optreden
wanneer wij volkomen symmetrie om het middenpunt aannemen.
De uitspreidingscoöfficiênt moet dus dezelfde zijn in iedere
bolschil, en de stralingsbronnen moeten gelijkmatig over bol-
schillen verdeeld zijn. Een dergelijken toestand kunnen wij
in het algemeen bij hemellichamen verwachten.

Om deze symmetrie tot uitdrukking te brengen, zullen wij de dif-
ferentiaalvergelijking op andere coördinaten omrekenen (zie flg. 5).

\') Een dergelijke betrekking-treedt op bij de verzwakking van het licht
door een opslorpende of verstrooiende laag; zy is b.v. in ietwat anderen
vorm uitgesproken door SPiJKKRnoKR (Arch. Neerl. blz. 19 en 9C (nota)).

Diss. Utrecht 1917, blz. 149. — Voor de onregelmatige breking in vloei-
bare kristallen is zij (bij constante k) toegepast door R. Riwmn: Dob
Wesen der Lichtzerstreuung in flüssigen Kristallen, Diss. Utrecht 192.3,
blz. 40 en hoofdstuk IV; do schrijfster heeft de stelling ook door voor-
treffelijke metingen proefondervindelijk gestaafd.

In de oude coördinaten was een bepaald punt gekenmerkt
door x^ y, z\', een lichtstraal door dit punt, door:
^ = hoek lichtstraal — Ar-as,

vlak door lichtstraal en ^-richting
vlak evenwijdig aan O x ij.
In de nieuwe coördinaten zullen wij een punt kenmerken
door zijn afstand r tot het middenpunt van den bol,
(-) = hoek tusschen voerstraal en ;v-richting;

een lichtstraal door het beschouwde punt zal gekenmerkt
zijn door de hoeken
^ = hoek tusschen lichtstraal en voerstraal;

schrijven. Voor het omrekenen der richtingscoördinaten denke
men zich den eenheidsbol om het beschouwde punt, lijnen
evenwijdig aan de at- en y-richtingen door dit punt, en leide
de onderlinge betrekkingen tusschen de hoeken af uit den
boldriehoek (fig. 6).

De transformatievergelijkingen worden:
(20) x = )\' cos 0
y =z rsin 0 cos
z = r sin 0 sin
= bg cos [cos 0 cos % sin 0 . sin % . cos \\p]
cot % . sin 0

Nu hebben wij de waarden der „oude" differenliaalquotiënten
in de ,nieuwe" coördinaten uit te drukken, met de formules:

nul volgens (20). 2°. Een aantal differentiaalquotiënten zijn
nul wegens de symmetrie-onderstelling, die \\vij hier wiskundig
uitdrukken. Bolsymmetrie beteekent: a) dat alle punten waar-
voor r gelijk is, dezelfde verdeeling der straling ieder rond
hun voerstraal verloonen; b) dat voor elk bepaald punt de

(21) 1^ = ^ = 0; uit (6) volgt: = De tweede diffe-
renliaalquotiënten vallen dus ook tón deele weg:
i>2/- ƒ

Deze differentiaaluitdrukkingen zijn rechtstreeks te berekenen
uit de transformalieformules (20).

Wij kunnen nu nog een belangrijke vereenvoudiging in de
beschrijving der straling van den bol verkrijgen, door ons voor
te stellen dat wij hem bekijken van op zeer grooten afstand
in de richting der y-as, ongeveer zooals een aardsch waar-

nemer kijkende naar de zon. Wij zullen dan bijvoorbeeld in
het schijnbare middelpunt de grootste helderheid zien, en aan
alle kanten daaromheen een afnemende helderheid. Wegens
de symmetrie-onderstelling is de verdeeling der straling in
eiken meridiaan dezelfde, en" het is dus voldoende die na
te gaan voor één bepaalden meridiaan, bv. voor de punten
gelegen in het vlak Qyx. Overigens krijgen wij, aardsche
waarnemers, van elk dezer punten slechts den straal even-
wijdig aan de ?/-as te zien. Maar voor zulke punten en
zulke stralen krijgen de transformatievergelijkingen een bijzonder
eenvoudigen vorm (fig. 7):

x=.r cos (-)
// = r sin 0
z = 0

0 = 0

Nadid de difïerenliaaluitdrukkingen (22) uit de algemeene
transformatievergelijkingen (20) berekend zijn, kunnen wij de
bijzondere waarden (23) substitueeren.

Het berekenen der differenliaalquotiênten ^»^^ enz.
dient slechts om ons ervan te vergewissen dat geen hunner

Wij kunnen nu de diiTerentiaalvergelijking in de nieuwe
coördinaten opschrijven:

Tenslotte bedenken wij nog dat voor den beschouwden
meridiaan 0 = — x^ en krijgen

Deze vergelijking, afgeleid voor een bepaalden meridiaan, is
wegens de symmetrieonderstelling voor alle meridianen geldig.

Deze (lillerentiaalvergelyking beschrijft de onregelmatige straal-
breking in een hol (de zon), waarin dcslralingsbronnen Relijkinalig
over concentrische bolschalen verdeeld zyn, dus symmetrisch om

het middenpunt (bldz. 20). De straling / is dié straling welke
gericht is naar een bepaalden, oneindig ver geplaatsten
(aardschen) waarnemer, en welke uiJgaat van een punt op afstand
r van het middenpunt van den bol, en op een (heliocentrischen)
hoekafstand % van het punt van den bol daf naar den waarnemer
gekeerd is.

De vergelijking (25) voor den bol gelijkt volkomen op de
vergelijking (8) voor een door twee vlakken begrensde laag;

lerm\' neemt af naarmate de straal r toeneemt: op grooten
afstand van het middenpunt nadert de vergelijking voor den
bol tot die voor \'t platte vlak. Ook in de buurt van % = O,
het naar den aardschen waarnemer gekeerde deel van den
bol, wordt de krommingsterm nul, wat alweer volkomen be-
grijpelijk is.

Is de straling niet iso-
troop, dan verandert f
wel degelijk met de
diepte, terwijl toch geen
onregelmatige breking
werkzaam is. Dit is ge-
heel een gevolg van
meetkundige betrekkin-
gen (fig. 8); klaarblijke-
lijk is immers fii = /c,
dus \\fn — /U = fc — f.i

Wij hebben gezien (bldz. 20) dat de strahng in een door twee
vlaicken begrensde laag beschreven kan worden als functie van

in de -richting. Laten wij evenzoo beproeven voor het geval
van den bol de straling voor te stellen als functie van t.
Substitutie in de vergelijking geeft:

hl hel algemeen is het dus niet mogelijk, de straling in een
onregelmatig brekenden bol voor te stellen als een functie van
k dr. Alleen bij hemellichamen die voldoen aan de voorwaarde

zou dit het geval zijn, hemellichamen dus waarin de uitspreidings-
co\'éffici\'ént afneemt omgekeerd evenredig met den afstand tot het
middenpunt.

Wij noemen: ^oneindig breede, evenwijdige bundér, een uit
evenwiidige stralen samengestelden bundel, waarvan de breedte
groot is t. o. van de afmeting der vloeistofslieren, en groot
t. o. van de uitspreiding die de bundel ondergaat. — Valt
zulk een bundel op een dampkring begrensd door twee even-
wijdige vlakken, dan gedragen al zijn stralen zich op dezelfde
wijze, en de uitspreiding is te beschrijven als een verdeeling
der straling over de verschillende richtingen.

Wij noemen: ^naaldvonnige bunder, een uit evenwijdige
stralen samengestelden bundel, waarvan de breedte groot is
t. o. van de afmetingen van de slieren, maar klein t. o. van
de breedte waarover de bundel wordt uitgespreid. — Zulk
een bundel wordt door de onregelmatige straalkromming
penseelvormig verbreed.

Wij noemen: Jichtstraal", een bundel die dun is L o. van
de afmetingen der slieren. — Zulk een lichtstraal wordt door
de dichtheidsverschillen in den dampkring niet uitgespreid,
maar onregelmatig gekromd (fonkelen der sterren, vgl. blz. 4).

§ 4. DE ONREGELMATIGE BREKING VAN ÉÉN
ENKELEN ONEINDIG BREEDEN BUNDEL,
IN EEN DAMPKRING BEGRENSD DOOR
TWEE EVENWIJDIGE VLAKKEN.

Waar een volledige, algemeene oplossing der differentiaal-
vergelijking, met de ingewikkelde grensvoorwaarden die in de
natuur voorkomen, groote moeilijkheden oplevert, is het doel-
matig een meer graphische of numerieke behandeling in studie
te nemen. Het eenvoudigste vraagstuk dat als uitgangspunt

kan dienen, is de onregelmatige breking van één enkelen
oneindig breeden, evenwijdigen bundel, in een dampkring be-
grensd door twee evenwijdige vlakken en overal van gelijken
uitspreidingscoëfficiënt. Hebben wij eenmaal dit vraagstuk
opgelost, dan kunnen wij de onregelmatige breking van wille-
keurig samengestelde, oneindig breede stralenbundels gemakke-
lijk vinden, door ze te beschouwen als de som van een aan-
tal bundels die ieder aan één richting evenwijdig zijn (bron-
matige voorstelling der straling).

De benaderde differentiaalvergelijking (9) voor kleine hoeken
heeft ons de oplossing (11) gegeven (blz. IG).

Evenals men gewoon is dit te doen voor de vergelijking
van de warmtegeleiding, schrijven wij deze 2-dimensionale
oplossing in den gelijkwaardigen vorm:^)

Iedere bundel die oorspronkelijk bestaat uit evenwijdige stralen,
invallend onder een hoek »"^o en met een totale sterkte
gelijk aan do eenheid, wordt dus uitgespreid volgens do wel

Deze functie voldoet aan de diiïerontiaalvergelijking. Ge-
integreerd van !> = —a. toti\'>= -f co, geeft zij 1; er gaat
dus geen energie verloren, zij wordt alleen volgens do fouten-
wet van Gauss over de verschillende richtingen verdeeld.

In hel belangrijke geval van oen loodrecht invallenden
bundel wordt de uits ireidingswel:

Bij groote invalshoeken kan men bij wijze van benadering
de uitspreidingswet schrijven:

Dit komt daarop neer, aan te nemen dat de uitspreiding
van den bundel op dezelfde wijze gebeurt wanneer de damp-
kring door de vlakken A\' en B\' begrensd is, als wanneer

hij in eindigt (fig. 9). Dit is een bruikbare, maar niet
zeer nauwkeurige benadering. Het is duidelijk dat de stralen
die uittreden onder hoeken i> > ^o, gemiddeld langere wegen
door den dampkring zullen hebben afgelegd dan de stralen
die onder hoeken uittreden (in fig.\'9 treden de eerste

vooral links van het punt M uit, de tweede rechts daarvan).
Terwijl de formules dus een gelijke lichtsterkte geven voor
de stralen ^ — en <>o — zou er eigenlijk asymmetrie
moeten zijn. Wij zullen zien dat, bij toenemende dikte van
den dampkring, de straling die onder een hoek ^ uittreedt
eerst toeneemt, daarna een maximum bereikt en weer afneemt
(blz. 33). Dit beteekent dat onze benaderde waarde van de
lichtsterkte voor groote en positieve i? — \'^o zou moeten ver-

meerderd worden, voor groote en negatieve & — ^o vermin-
derd (fig. 10). In welken zin het verschil zal zijn voor kleine
waarden van ^ — ^o, is niet zonder meer te zeggen.

Volgende tabelletje bevat eenige numerieke gegevens over
de verdeeling der straling, die bij tweedimensionale uitsprei-
ding uit een dampkring treedt. De ruwe benaderingswet (3)
is toegepast; aangenomen is: at = 0,01; dus «^ = 0,02; de
middelbare uitspreidingshoek is 0,14 = 8°.

Wij zullen later een geheel ander, veel nauwkeuriger middel
leeren kennen om de uitspreiding van een schuinen bundel
te berekenen. (§ 5).

B. Drie Afmetingen.
Uitspreiding van één cvenwijdigcn bundel over kleine
hoeken.

Ook voor de 3-dimensionale uitspreiding kan de straling
bronmatig voorgesteld worden, en kunnen wij de uitsprei-
dingswet van één enkelen bundel opschrijven.

en die, geïntegreerd over den eenheidsbol, 1 geeft.
Voor kleim invalshoeken wordt de uitdrukking:

Wij kunnen den hoek a tusschen de richtingen O^o, OA
van den invallenden en van den uitgespreiden straal gemak-
kelijk in onze cylindercoördinaten uitdrukken (tig. 11); deze

richtingen vormen met de x-
richting hoeken ^o, de vlakken
door elk dier stralen en de nor-
maal vormen hoeken i/\' met
een vast referentievlak. Aange-
zien t^o en ^ klein zijn, is het bol-
driehoekje O A Ao als een recht
driehoekje te beschouwen, zoodat

De uitspreidingswet wordt voor kleine invalshoeken:
.9» — 2 .9o >^con{</> — </\'o) \'V
1 - 4Ax

Voor gemiddeld groote in-
valshoeken schrijven wij
X sec in plaats van x;
de boldriehoek O A A\' (fig.
12) heeft een korte zijde,
en geeft:

Uitspreiding in een dampkring van laagsgewijs verander-
lijken uitspreidingscoëfficiënt. —

Wanneer k een functie is van ^ alleen, kunnen wij toe-
passen wat op blz. 19 gezegd is. Substitutie van de grootheid
dt = kdx in de vergelijking verandert haar vorm niet, en wij
vinden de oplossing uit die in x, wanneer wij k vervangen

Men denke zich een oneindig breeden evenwijdigen stralen-
bundel die loodrecht invalt op een onregelmatig brekenden
dampkring, en een waarnemer die de straling meet welke
onder een bepaalden hoek i\'>* uittreedt. Onderstel nu dat
de dampkring eerst zeer dun is, en dan langzamerhand in
dikte toeneemt. Eerst vangt de waarnemer bijna geen straling
op, omdat het licht nog bijna onafgeweken doorgaat. Bij
toenemende dikte van den dampkring krijgt hij meer en meer
straling. Tenslotte echter wordt de. dampkring zoo dik dat
energie over allerlei richtingen verdeeld wordt, en dan neemt
do straling welke de waarnemer opvangt weer af. Voor zeer
dikken dampkring nadert zij tot 0.

Bij een zeer bepaalde dikte van den dampkring krijgt de
waarnemer een maximale hoeveelheid »\'^*-licht.

de dikte, maar de uitspreidingscoëfficiënt van den dampkring
geleidelijk grooter wordt gemaakt. Het komt alleen aan op

Hieruit volgt dus dat, hoe ook een onregelmatig brekende
dampkring samengesteld moge zijn, nooit meer dan een zeer
bepaald breukdeel der invallende straling onder een gegeven hoek
kan uittreden.

De beteekenis dezer uitdrukkingen kan b.v. als volgt worden
toegelicht. Stel dat de invallende evenwijdige bundel een
totale lichtsterkte 1 bezit. Dan is de grootst bereikbare
lichtsterkte van den uitgespreiden bundel binnen een ruimte-
hoekje van een vierkanten graad:

§ 5 DE UITSPREIDING VAN EEN NAALDVOR-
MIGEN BUNDEL IN EEN DAMPKRING VAN
OVERAL GELIJKEN UITSPREIDINGSCOËFFI-
CIÈNT.

Onder de verschillende vraagstukken waartoe de studie der
onregelmatige straalkromming aanleiding geeft, is de uitsprei-
ding van den naaldvormigen bundel het echte elementairver-
schijnsel, en de oplossing van dit probleem is de ware grondslag

voor de behandeling van alle andere gevallen. Zoodra wij
te weten zijn gekomen hoe een elementairbundeltje uitgespreid
wordt, kunnen wij door eenvoudige integratie overgaan tot
bundels van eindige of oneindige doorsnede, bestaande uit
evenwijdige of uit convergeerende stralen.

Wij zullen nu deze uitspreiding onderzoeken in het meest
typische geval, dat van een onregelmatig brekende laag die
door evenwijdige vlakken begrensd is, en waarop e^n naald-
vormige bundel loodrecht invalt (fig. 13). De lichtsterkte van
dien bundel stellen wij gelijk aan de eenheid. Wij nemen aan
dat de stralen bij het doorloopen van de onregelmatig brekende
laag slechts geringe hoekafwijkingen ondergaan, hetzij omdat
de dichtheidsgradiënten klein zijn, hetzij omdat de laag dun
is. Het geheele verschijnsel denken wij ons in twee afmetingen
zich afspelend (vgl. blz. 10): de lichtbundel valt in volgens
de ^-as, treedt in de onregelmatig brekende laag bij x = 0,
en wordt daarin uitgespreid. Dat beteekent dat de bundel,
nadat hij een zekeren afstand A\' heeft doorloopen, gesplitst
is in stralen die allerlei kleine hoeken & met de x-as vormen,
en die op allerlei kleine afstanden r rond de A;-as voorkomen.
De richting der positieve r is naar dezelfde zijde der as ge-
x = o X = X kozen als de richting

de wetten van het
toeval; het geldt de
lichtverdeelinginden
A \' . . ^ buntlel te berekenen.

^ V ,__\\

Fio. 13.

opgebouwd uit een groot aantal laagjes van gelijke dikte
evenwijdig aan do grensvlakken (fig. 14).

In elk dier laagjes denken wij ons de slieren vereenigd

nabii de scheidingsvlakken: de laagjes zelf echter homogeen
en helder. Aan de scheidingsvlakken grijpt sprongsgewijs de
hoekuitspreiding der lichtstralen plaats, in de homogene laagjes
gebeurt het uiteenwijken der stralen, waardoor de zijdelingsche
verschuivingen ontstaan. De baan van eiken bepaalden licht-
straal wordt dus een gebroken lijn, die meer nadert tot de
werkelijke kromme baan, naarmate wij den onregelmatig
brekenden dampkring in talrijker laagjes gesplitst denken.
Deze opvatting geeft ons nu de mogelijkheid, de uitspreiding
van een naaldvormigen bundel te herleiden tot uitspreidingswet
van een oneindig breeden evenivijdigen bundel. Immers naar-
mate de laagjes talrijker en dunner worden, wordt de dikte
ïeer klein tegenover de doorsnede van den bundel, en zal
ook de zijdelingsche uitspreiding in één laagje klein geworden
zijn tegenover deze doorsnede.

Zal de hoekuitspreiding door de slieren, vereenigd nabij
het grensvlak, even sterk zijn als wanneer zij gelijkmatig
over geheel het laagje verspreid waren, dan moet het product
kx dezelfde waarde behouden: wij spreken dus af dat x
en k hun vroegere beteekenis bewaren.

Onder dezelfde hoeken en op afstanden r = (^x treffen
de stralen het tweede scheidingsvlak.

normaal klein zijn, gebeurt de tweede uitspreiding van eiken
straal geheel zooals die van een loodrecht invallenden bundel,
alleen zal in formule (2) de hoek vervangen worden door
_ De stralen bereiken dus het derde scheidingsvlak
onder hoeken op afstanden r\' = r x. Even vóór dit
derde scheidingsvlak is de lichtverdeeling geworden:

Om die lichtverdeeling uit te drukken als functie van
en >•\', bedenken wij dat (tig. 14):

Verder is, bij gegeven i"^\'— (/i\'> = f/i\'/\'; en, bij gegeven i\'>,
d (/>\' — i>) = —. Substitueeren wij deze waarden in formule
(13), dan wordt de verdeelingswet na 2 laagjes:

doorloopen, en bij zijn aankomst in de (N 1)® laag, de
lichtbundel uitgespreid is volgens de verdeelingswet

Wij vragen ons af hoe de verdeelingswet geworden is na
iY ^l laagjes. In het punt r van de 1)® scheidingslaag.

van waar de door ons beschouwde straal r\' uitgaat, zijn ver-
schillende stralen bijeengekomen die allerlei waarden tJ hadden
(fig. 15). Elk dezer stralen wordt in deze scheidingslaag uiteen-
gespreid volgens formule (1) blz. 29 en levert dus een bijdrage
tot den beschouwden straal r\' O\'; deze krijgt een lichtsterkte

Natuurlijk zijn de integratiegrenzen — co, -f- co slechts
fictief; alleen kleine waarden van i> leveren een merkbare
bijdrage tot de integraal.. Wij vervangen nu r door r—^\'x\\
in den exponent der e-functie vereenigen wij de termen in en
en voeren dé integratie naar uit volgens formule (11) blz. 36.
Er komt:

Bij overgang van N naar iV i lagen heeft dus de uit-
spreidingswet denzelfden vorm bewaard, maar de coëfficiënten
G, m, n, p hebben andere waarden gekregen. Aangezien aan-
getoond was dat voor 2 lagen een uitdrukking geldt van den
vorm (15), is thans ook bewezen dat voor een willekeurig
aantal lagen dezelfde uitspreidingswet blijft gelden, maar met
veranderde coëfficiënten. De coëfficiënten zijn één voor één
te berekenen uit de recurrentieformules (18).

Willen wij overgaan tot het geval van een onregelmatig
brekenden dampkring, dan moeten wij het aantal laagjes
oneindig groot laten worden, maar daarbij tevens ieder laagje
dunner en dunner maken, zoodat de totale dikte X dezelfde
blijft. Wanneer de dampkring eerst verdeeld was in iV laagjes,

Deze tot gelijke dikte herleide uitspreidingsformules behouden
dus ook denzelfden vorm, wanneer men den dampkring in
meer en meer laagjes gesplitst denkt; de coëfficiënten ver-
anderen volgens recurrentieformules die men vindt door (20)
in (18) te substitueeren:
iV

Met behulp van deze recurrenlie-formulos zijn de coëffi-
ciënten berekend van de uitspreidingswei, voor een dampkring
dien men zich gesplitst denkt in 2, 3,----,8 laagjes.

De coëfficiënten schijnen asymptotisch te naderen tot een
vaste waarde. Om die te vinden gaan wij over tol de grens

Lagrange heeft geleerd hoe men de grenswaarde van der-
gelijke recurrentieformules vinden kan, door ze om te zetten
in differentiaalvergelijkingen. Deze methode geeft ons het
stelsel gelijktijdige difFerentiaalvergelijkingen:

liet oplossen van dit stelsel is stellig niet eenvoudig. Mnar
wij hoeven x, /^t, y, p niet te berekenen als functies van N,
doch alleen de grenswaarden x*/ji* p* dezer functies voor
iV=oc, dus:

Uit natuurh-undige overwegingen weten wij. dat deze inte-
gralen moeten convergeeren. Volgens een bekende stelling
uit de integraalrekening kan dit alleen het geval zijn, wanneer
voor .V=x de integrand van lioogere orde oneindig klein

onze integranden tot nul naderen voor N=cc. Aldus krygen
wij het stelsel gewone vergelijkingen:

p*-y*- p*^ = O
De drie laatste vergelijkingen geven voor v, p drie stel
waarden; de eerste vergelijking laat toe op volkomen scherpe
wijze te beslissen welk van de drie stel oplossingen gekozen
dient te worden, namelijk:

De grenswaarde waartoe z nadert, is door do vergelijkingen
niet gegeven. Zij is echter te vinden uit den eisch, dat de
totale straling die den dampkring verlaat, gelijk moet zijn aan
de invallende straling. Dus:

Een naaldvormige lichtbundel valt loodrecht in op eetï onregel-
matig brekende laag van dikte X en uilspreidingscocfficiént k
(blz. 15). De uitspreiding geschiede in een plat vlak (blz. 10), de

uitspreidingshoeken zijn klein gedacht. De formule geeft dan aan,
welk breukdeel van de invallende energie uittreedt onder een hoek
met de invalsricliting, en op een afstand r van hel punt waar
de rechtdoorgaande straal uittreedt. (Zie fig. 13).

1. De gewichtige formule (26) leert ons, dat er bij onregel-
matige breking van een naaldvormigen hxxn^eX een zeer bepaald
verhand bestaat tusschen de hoekuitspreiding en de zijdelingsche
verschuiving welke de stralen ondergaan.

2. Wij noemen stralingsveld van een lichtbundel alle punten
waar deze bundel nog merkbare lichtwerkingen veroorzaakt.
Bij de uitspreiding van een naaldvormigen bundel over kleine
hoeken is het veld smal en langwerpig uitgestrekt. Een punt
van het veld is bepaald door de coördinaten X, r; door elk
punt gaat een bundeltje lichtstralen, die wij als vectoren
kunnen opvatten. Onze formule beschrijtt het veld volledig,
en geeft voor elk punt en voor elke richting de grootte der
vectoren.

riet aldus onderzochte stralingsveld strekt zich natuurlijk
slechts uit van af de lijn A"=0 naar de positieve A-richting;
voor negatieve waarden van A" heeft de formule geen zin en
geeft negatieve energiewaarden.

3. In overeenstemming met .wat op blz. 34 gezegd is, stelt
de formule het elementair-proces der onregelmatige breking
voor. Zij geeft ons dus ook den sleutel tot het oplossen van
allerlei bijzondere gevallen, zooals wij door volgende voor-
beelden zullen toelichten.

A. Beschouwen wij alleen die stralen welke evenwijdig aan de
as uittreden; hoe zijn die verdeeld over de verschillende afstan-

li. Beschouwen wij het bundeltje stralen dat uittreedt in
het axiale punt r = o; hoe is de straling daarin verdeeld

C. In punten buiten de as kan men ook de samenstelling
van den uittredenden bundel berekenen. De uitdrukking
3 _ 3 ^ X x^ is altijd kleiner wanneer ^ en r hetzelfde
teeken hebben dan wanneer zij het tegengestelde teeken hebben
Dit beteekent (vgl. blz. 35) dat in een punt buiten de as de
uittredende lichtbundel altijd asymmetrisch is, en wel zóó dat
zijn helderste stralen voorkomen aan de zijde die van de as
afgewend is — een feit dat al te voren kon worden ingezien.

D. Integreert men de formule over alle r, dan vindt men
de energieverdeeling terug voor den oneindig breeden, even-
wijdigen bundel, waarvan we zijn uitgegaan (formule 2).
Inderdaad, in zulk een oneindigen bundel gedragen zich alle
elementairbundels gelijk; gaat men voor één ^lementairbundeltje
de verdeeling der uittredende straling na over de verschillende
hoeken, dan moet deze verdeelingswet dezelfde zijn als voor
den oneindigen breeden bundel in zijn geheel.

E. Integreert men de formule over alle dan vindt men
de totale verlichting welke de verschillende punten van het
stralingsveld krijgen:

Wanneer men de dikte van een onregelmatig brekende laag
laat aangroeien maar daarbij tevens den uitspreidingscoëfficiënt
laat afnemen, zoo dat het product k X standvastig is, dan
weten wij dat de hoekuitspreiding van den uittredenden bundel
onveranderd blijft. Niet aldus echter de zijdelingsche ver-
schuiving der stralen; zij neemt voortdurend toe naarmate de
onregelmatig brekende laag dikker wordt.

4. Men kan de uitspreidingswet (26) toepassen op twee
opeenvolgende onregelmatig brekende lagen; de einduitkomst
is dan dezelfde als die welke men vindt door de formule
rechtstreeks op de dubbele laag toe te passen. Deze eigen-
schap is opzichzelf reeds voldoende om de coëfficiënten p
te bepalen, wanneer eenmaal bekend is dat de formule voor
den naaldbundel den vorm (15) moet hebben.

5. Evenzoo zijn deze coëfficiënten te vinden, door den
vorm (15) te substilueeren in de algemeene diiïerentiaalverge-
lijking (2) (blz. 12). Wij hebben echter verkozen bij de af-
leiding der formule voor den naaldbundel alleen gebruik te
maken van de uitspreidingswet voor oneindig breede bundels,
die den eenvoudigen vorm heeft van do foutenwet en ook
proefondervindelijk getoetst is.

De uitspreidingswet voor een naaldbundel stelt ons in staat
allerlei vraagstukken met grensvoorwaarden op te lossen.
Beschouwen wij b.v. een donker halfvlak grenzend aan een
halfvlak waarop de slralen loodrecht invallen (fig 17). Een
straal die invalt op een afstand p van de scheidingslijn, geeft
aan de andere zijde van den dampkring, in een punt op
afstand r van de scheidingslijn, een totale belichting:

waarin de waarschijnlijkheidsintegraal voorstelt in de gewone
notatie (Vgl. Jahncke-Emde, Funktionentafeln).

Op dezelfde
wijze kunnen w^
ook een ander
vraagstuk oplos-
sen: gegeven een
donker halfvlak
grenzend aan een
halfvlak waarvan
de punten in alle
richtingen licht
uitzenden. Ge-
vraagd hoeveel er
aan de andere
zijde van den
dampkring uit-
treedt in een rich-
ting loodrecht op het grensvlak, en in elk punt van dit vlak.
Wij krijgen hiervoor volmaakt dezelfde oplossing als voor het
vorige vraagstuk. Deze overeenstemming is geen toeval, zij
volgt uit de wederkeerigheidsstelling (vgl. aanhangsel).

§ 6. DE UITSPREIDING VAN EEN NAALDVOR-
MIGEN BUNDEL IN EEN LAAGSGEWIJS OP-
GEBOUWDEN DAMPKRING,

Voor alle beschouwingen over de onregelmatige breking in
gasvormige hemellichamen, is van groot belang het geval van
een dampkring waarin de uitspreidingscoöfficiënt k veranderlijk
is in de richting der normaal op de grensvlakken, dus alleen
een functie van is (vgl. blz. 19). Wij hebben de uitsprei-
ding van een oneindig breeden bundel in zulk een dampkring

reeds behandeld, en gaan thans over tot het geval van een
loodrecht invallenden, naaldvormigen bundel, die in twee af-
metingen over geringe hoeken wordt uitgespreid.

Dc onregelmatige breking van een naaldvormigen bundel
in 2 lagen van verschillenden uitspreidingscoëfBciënt. —

Beschouwen wij twee aan elkander grenzende lagen van
gelijke dikte met uitspreidingscoêfficiënten h en kz. Wij
kiezen de ^r-as loodrecht op de richting der grensvlakken, en
denken ons een naaldvormigen bundel volgens de ic-as in-
vallend. In de eerste laag wordt de bundel uitgespreid vol-
gens de verdeelingswet (26); de tweede laag gaat nu deze
lichtpluim aan een nieuwe uitspreiding onderwerpen (vgl. blz. 37).
Nu hebben wij in rekening te brengen dat de uitspreidings-
coêfficiënten van de twee lagen verschillend zijn; de straling
die de tweede laag verlaat is:

Opmerkelijk is het gebrek aan symmetrie der formule ten
opzichte der grootheden k\\ en h. Indien men de volgorde
der twee lagen verwisselde, zou dus de uittredende bundel
volstrekt niet dezelfde uilspreiding verloonen.

Wij zien hier reeds een bijzonder geval Ie voorschijn komen
van een later te bewijzen wei: voor de onregelmatige

breking van een naaldvormigen bundel door lagen van verander-
lijken nitspreidingscoëfficiënt, is de volgorde dier lagen in het
algemeen niet willekeurig. Voor een oneindig broeden even-
wijdigen bundel gold daarentegen wel de verwisselbaarheid
der lagen (blz. 33).

Duidelijk komt dit te voorschijn wanneer we den uitsprei-
dingscoëtTiciënt van een der twee lagen nul maken. Wanneer
/,-! = O gesteld wordt, gaat de formule (29) eenvoudig over
in de uitspreidingswet (26) voor een laag van dikte
3 r" — 3 r\',9 \' x x\'

Een blik op de figuurtjes 18
verklaart onmiddellijk de oorzaak
van dit verschil: terwijl in het
eerste geval de laag k\\ heelemaal
geen invloed uitoefent en even-
goed weggedacht kan worden, ziet
men dat in het tweede geval de
reeds uitgespreide stralen blijven
uiteenwijken, en weliswaar geen
nieuwe hoekdraaiingen, maar wel
een toenemende zijdelingsche ver-
schuiving in de laag h ondergaan.
In het algemeen: wanneer men
Fig. 18. de straling die een onregelmatig

brekende laag verlaat, niet aan het grensvlak bestudeert, maar
slechts nadat zij een tweede, homogene laag van dikte y heeft
doorloopen, dan verandert de uitspreidingswet die l)ij het
einde der eerste laag gold nu in zooverre dat r overgaat in
r\' —lYy, in De formule wordt aldus:

Wij volgen een dergelijken gedachtengang zooals in § 5,
maar gebruiken een ietwat gewijzigde notatie.

Onderstellen wij dat een naaldvormige lichtbundel, na een
reeks lagen met veranderlijken uitspreidingscoëfficiënt te hebben
doorloopen, bij zijn uittreding een verdeelingswet volge ge-
geven door:

M, N, P zijn functies van de doorloopen laagdikte en hangen
af van de wijze waarop de uitspreidingscoëfficiënt verloopt.

Wij voegen nu aan de reeds doorloopen lagen een nieuw
laagje toe, dun genoeg opdat wij den uitspreidingscoëfficiënt
als gelijk in alle deelen Viin het laagje kunnen beschouwen.
Noem dezen uitspreidingscoëfficiënt Ic, en de dikte van het
laagje a:.

Volgens dezelfde redeneeringswijze welke wij al hebben
toegepast op bldz. 38 en op bldz. 47, kunnen wij nu opschrijven
welke verandering in de verdeeling der straling het nieuwe
laagje veroorzaakt. De uittredende bundel wordt:

Om symmetrischer en eenvoudiger uitdrukkingen te krijgen,
stellen wij tijdelijk:

_ ^ } 3r«( 1) 3r I -JV^9x 2 (.9 x - »•\') - x(.9 - .9\')] ƒ\'.9\'x» H- 3 (r\' - ,9 x)\' ]
« dr\' d dr d i>

vervangen, en die als volgt luidt: de straling die na toevoe-
ging van het nieuwe laagje uittreedt, volgt de uitspreidingswet
Ty^ - [3 M\' r\'2 - 3 N\' r\' ,9\' F ,9"]

Aangezien bij een zeer dunne laag, waarin de uitspreidings-
coëfficiënt als constant kan worden beschouwd, een verdee-
lingswet geldt van den vorm (32), is tevens aangetoond dat
ook voor lagen van willekeurig veranderenden uitspreidings-
coëfïiciënt dezelfde wet geldt, doch met veranderde coëfficiënten.

De formules (33) geven ons het middel om één voor één
deze coëfficiënten te berekenen voor een toenemend aantal
laagjes, elk met hun eigen uitspreidingsvermogen.

Overgang tot het geval van een willekeurig veran-
derenden uitspreidingscoëfiiciënt. —

Om de uitspreidingswet te vinden voor een doorloopend
veranderlijken uitspreidingscoëfïiciënt, kunnen wij ditmaal niet
meer de eenvoudige methode toepassen welke in het vorige
hoofdstuk gebruikt is; wij dienen hier een algemeener methode
te volgen. Men kan n.l. beproeven na te gaan hoe de
stralingsverdeeling gewijzigd wordt door toevoeging van een
oneindu) dun laagje aan de reeds aanwezige lagen. Over deze
oneindig kleine veranderingen is daarna te integreeren.

Wij gebruiken de laatst afgeleide uitdrukkingen (33), en
gaan over tot de grens voor oneindig kleine x\\ wij ontwikkelen
tot de eerste macht in x en verwaarloozen alle grootheden
die van hoogere orde oneindig klein worden. Er komt:

M\' = [_M kx (4 MP - 3 N\')] [1 - 4 kx P]
N\' ={N 2 3Ix){{-J^kxP)
P\'= {P3 Nx) {I - kx P).
Hieruit volgt het stelsel gelijktijdige differentiaalvergelijkingen:

Het gelukt op het spoor te komen van de oplossing, door
uit natuurkundige overwegingen een voorwaarde te halen
waaraan de functies C, M, N, P hebben te voldoen.

Wij weten innners, dat voor een oneindig breeden, evenwijdigen
bundel, de hoekuitspreiding onafhankelijk is van de wijze
waarop de uitspreidingscoëmciënten tusschen de verschillende
lagen verdeeld zijn, en dal zij alleen bepaald wordt door de

voor een naaldvormigen bundel die uiteengespreid is, de stralen
over de verschillende hoekrichtingen op dezelfde wijze verdeeld
zijn als bij den oneindig breeden bundel. Wanneer wij dus
dc uitspreidingswet (31) over alle r integreeren, moet het resultaat

Een nader onderzoek toont dat het voldoen aan de diffe-
rentiaalvergelijkingen en aan één dezer voorwaarden, onmid-
dellijk voor gevolg heeft dat ook aan de andere voorwaarde
voldaan is.

Uit deze laatste vergelijking en (35) wordt iVgeëlimineerd;
in geval van twijfel over het teeken der wortelvormen, kan
men zich van de juistheid vergewissen door even ^• = const. te

De substituties \'y = z en z = herleiden deze vergelijking
tot een lineaire vergelijking van de l®orde, waarvan de op-
lossing luidt:

De bepaling der constante c en der integratiegrenzen ver-
eischt nader overleg. Wanneer x tot O nadert, zal k naderen

zal deze uitdrukking tot nul naderen voor a; = O, dan moet
de haakjesvorm ook tot nul naderen. Dit beteekent dat c = O,

De geheele noemer van nadert dus tot const.J x^dx\\ om
zeker te zijn dat hij tot nul zal naderen voor a; = O, moeten
we dus nog de grenzen der integraal aangeven: O — a;.

Eenvoudigheidshalve zullen wij de volgende notaties invoeren:
Ju = k dx
(43) k] = jl Ki dx

In de uitdrukking (42) voor M voeren wij deze notaties in.
Tevens wordt op den noemer partieele integratie toegepast.

Thans zijn ook de andere onbekenden gemakkehjk op te
lossen door achtereenvolgens van de vergelijkingen (35), (39)
en (34) gebruik te maken.

6^=21/3 (2/iTi/iTs — i^z2).
In de algemeene uitdrukking (31) van de uitspreidingswet
kunnen wij nu de verschillende functies substitueeren, en
vinden tenslotte:

Deze formule is toepasselijk op het geval van een onregelmatig
brekentlen dampkring, waarvan de uilspreidingscoëfficiënt alleen
afhangt van de coördinaat x, loodrecht op de grensvlakken, en ver-
loopt volgens de functie A; (a;) (Vgl. fig. 4b). Een naaldvormige licht-
bundel valt loodrecht in op een der grensvlakken, en wordl in den
dampkring uitgespreid over hoeken die klein worden gedacht; het
vraagstuk is 2-dimensionaal behandeld (blz. 10). De formule geeft
de lichtsterkte van de stralen, die een laagdikte x hebben door-
loopen en uittreden onder een hoek met de normaal, op een
afstand r van .het punt waar de rechtdoorgaande straal uittreedt
(fig. 14); de letters JTi, JiT«, Zg zijn de 1«, 2»,\'30 inlegraalfiinctie
van k naar x (blz. 53).

1. Deze zeer gewichtige formule geeft ons, behoudens de
reeds vermelde beperkingen, de oplossing van het fundamen-
teele vraagstuk der onregelmatige l^rel^ng, toegepast op den
dampkring van hemellichamen. Wij merken op, dat in deze
uitdrukking de functie k{x) nergens optreedt tenzij onder het
integraalteeken; inderdaad zou een factor k[x) beteekenen
dat het laatste laagje een overwegend groot belang krijgt voor
de uitspreiding, en zulk een overwegend belang bestaat geens-

Men kan gemakkelijk nagaan dat de uitspreidingswet (34)
onder meer al de bijzondere gevallen omvat welke wij reeds
hebben behandeld: inzonderheid de gevallen:
A- = const.

k = const. voor O < ^ < Z
= O voor XKx-C^ X
^ k = h voor 0<xCX
\\ k = k2 voorX<Cxa2X

Een ander eenvoudig geval is k = x\' met s ^ O of ^ - • 4;
in dit geval is de verdeelingswet:

Bij de toepassing der formule dient streng te worden gelet
op de juiste beteekenis van Ki, K», Ka. Voor ^ = sin at b.v.
worden

3. Wat kan men uit de waarneming van het uittredende
licht besluiten omtrent de samenstelling van de laag?

De waarnemer dient i mcthif/en uit te voeren van de uit-
tredende lichtsterkte, voor 4 paren van waarden r en
daarmee in in Imjimel de uittredende ,ytralin<j volkomen hekend,
en alles waargenomen wat er waar te nemen valt.

De getallen A\'a, Ks zijn kemnerkend voor iederen be-
paalden dampkring; twee onregelmatig brekende middenstoffen
met gelijke Ki, Ki, Ka geven dezelfde lichtuitspreiding aan
een naaldvormigen bundel, maar hoeven volstrekt niet hetzelfde
verloop van k{x) te vertoonen. Neemt men echter aan dat
de uitspreidingscoëfTiciönt van de laag voorgesteld kan worden
door een lineaire functie k = ko k\' x, dan volstaan de ver-

gelijkingen voor het berekenen van h, k\' en at; deze laatste
grootheid komt in absolute afmeting te voorschijn, in dezelfde
eenheid waarin r bepaald is.

Vier waarnemingen van de uittredende straling zijn dus
voldoende om te berekenen: de lichtsterkte van den naald-
vormigen bundel die op de onregelmatig brekende stof is
ingevallen; de laagdikte, den gemiddelden uitspreidingscoëfïl-
ciënt en den gemiddelden gradiënt ervan, in de onderstelling
dat deze ongeveer lineair verloopt. Meer kan men door studie
van de uittredende straling niet te weten komen; althans zoolang
wij ons beperken tot de aangegeven omstandigheden en be-
naderingen.

De meest kenmerkende eigenaardigheid van de uitspreidingswet
voor een naaldvormigen bundel, is het vaste verband dat be-
staat tusschen de hoekdraaiing en de zijdelingsche verschuiving
die de uittredende lichtstralen hebben ondergaan. In ietwat
gewijzigden vorm komt dit verband te voorschijn, wanneer
wij de uitspreidingswet aldus schrijven

die rechtstreeks van het
in- naar het uittredings-
punt loopt (fig. 19).
Wij kunnen nu het ver-

aanschouwelijk voorstel-
len, door een schaar krom-
men te teekenen met deze coördinaten, parametrisch inXen

1) De laagdikte is ditmaal aangegeven door X, ter onderscheiding van
de loopende coördinaat x.

- (2 Ki JU - K,") (log r log 4 r 1/2 Kx Kz -
Zij is van den tweeden graad. De beschouwde kurven zijn
altijd ellipsen, want volgens (48) is de discriminant

ellipsen zyn concen-
trisch en hebben
hun middenpunt bij
r/x=0, = 0. Voor
een gegeven damp-
kring worden hun
assen des te kleiner
naarmate de procen-
tueele lichtsterkte f
toeneemt; met toe-
nemende X worden
zij eerst grooter,
daarna weer kleiner;
de helling der assen
blijft daarbij echter
onveranderd.

in welk punt 11 de raaklijn aan de ellipsen horizontaal zal
loopen. De vergelijking der kurve is van den vorm F{r/x,\'f^)\'=C]

dit is het geval wanneer tusschen de coördinaten r/x*
van het raakpunt de betrekking bestaat:

zelfde schuine lijn door den oorsprong liggen; aangezien Ki
en K2 altijd positi\'ef zijn, komen die raakpunten in het 1« en
3e kwadrant te liggen, wat slechts kan indien ook de groote
as door deze kwadranten loopt,

Verandert dus de uitspreidingscoëfTiciênt overal in de onregel-
matig brekende laag, en wel in dezelfde verhouding, dan
verandert de helling der assen van de ellips niet. Men kan
zich afvragen waardoor deze kenmerkende eigenschap van
de uitspreidingsellips dan wél beïnvloed wordt? Het antwoord
luidt: door het verloop van den uitspreidingscoëiriciënt in de
onregelmatig brekende middenstof. Immers, stel
k = a(i-\\- a,x a^x^ ____; dan vindt men:

De groote as der ellips gaat dus des te meer rechtop staan,
naarmate de sterkst uitspreidende lagen meer naar het achterste
deel van den dampkring worden geplaatst (d. i. naar het
laatste gedeelte van de baan der lichtstralen).

De verdeeling der uitspreidingscoëfficiënten heeft ook invloed
op de verhouding des assen van de ellips, zooals men ge-
makkelijk verder zou kunnen nagaan.

Voor een laag van overal gelijken brekingsaanwijzer heeft de
^ uitspreidingsellips een assenver-

ten opzichte van de verticaal.
Dit is in zekeren zin de normaal-
vorm van de uitspreidingsellips
(fig. 21).

Zoo weerspiegelen zich in de
uitspreidingsellipsen de verschil-
lende uitspreidingswetten die voor
een naaldvormigen bundel kunnen
gelden; de eigenaardigheden van
de onregelmatig brekende laag
komen bij het onderzoek dezer
kurvenscharen op aanschouwelijke wijze te voorschijn.

§ 7. DE SAMENWERKING VAN REGELMATIGE
EN ONREGELMATIGE BREKING BIJ HET KROM-
MEN EN UITSPREIDEN VAN EEN NAALDVOR-
MIGEN BUNDEL.

De tot hiertoe ontwikkelde beschouwingen hadden betrekking
op een dampkring waarvan de gemiddelde brekingsaanwijzer
n overal dezelfde is, terwijl de uitspreidingscoëfficiönt wille-
keurig verandert van de eene laag tot de andere. Voor de
astrophysische toepassingen dienen wij echter ook rekening te
houden met het feit, dat in het algemeen de dichtheid van

den dampkring met de hoogte zal afnemen, zoodat de ge-
middelde brekingsaanwijzer uit dien hoofde een stelselmatig
verloop zal vertoonen.

Het vraagstuk dient thans te worden gesteld, hoe deze
groote, aigemeene straalkrommingen zich met de kleine on-
regelmatige verbinden; met andere woorden: hoe de zonne-
theorieën van ScHJimT en Julius in éénzelfde wiskundige be-
trekking vereenigd kunnen worden.

AVij zullen dit nagaan voor een eenvoudig geval; dezelfde
methodes die in de vorige hoofdstukken gebruikt zijn, zullen
blijken voldoende kracht te bezitten om ons onmiddellijk tot
de oplossing te voeren.

Laten wij vooreerst de werking der regelmatige straal-
kromming afzonderlijk onderzoeken, in een dampkring zonder
ongelijkmatige dichtheidsgradiënten.

Het geval waarmee wij te maköti hebben is uitermate een-
voudig. Wij beschouwen een dampkring die uit vlakke lagen

bestaat, en waarvan
de brekingsaanwijzer
niet veel verandert;
het vraagstuk wordt
weer tweedimensio-
naal behandeld.

Noem den in-
valshoek van een
straal op een der
laagjes waaruit de
dampkring bestaat;
zij n de brekingsaan-
wijzer van dit laagje,
dan geldt voor elk
grensvlak (fig. 22):

Als de krommingen klein blijven, wordt de totale hoek-
draaiing van een straal die den geheelen dampkring heeft
doorloopen:

Wij kunnen nu ook nagaan welke zijdelingsche versclmiving r
de lichtstraal door de regelmatige breking ondergaat (fig. 22.)
Noemen wij a; den afgelegden weg, dan is klaarblijkelijk
dr = {ê — ^o)dx
en de totale zijdelingsche verschuiving:

Terwijl de uitdrukking voor de hoekdraaiing alleen afhing
van begin- en eindwaarde van den brekingsaanwijzer, hangt
de uitdrukking voor de zijdelingsche verschuiving ook nog af
van de wijze waarop n verloopt.

Er is bier eenige gelijkenis met de uitspreidingswetten voor do
onregelmatige breking van den oneindig breeden evonwijdigen
bundel en van den naaldvormigen bundel (7) blz. 34 en
(44) blz. 54.

De samenwerking van regelmatige en onregelmatige
straalbreking voor een oneindig breeden evenwijdigen
bundel. —

Beschouwen wij thans een onregelmatig brekenden ]damp-
kring waarin zoowel de uitspreidingscoêfficiönt k als de ge-
middelde brekingsaanwijzer n van laag tot laag veranderen
volgens willekeurige functies van x .Mirkoskopisch" beschouwd

is het verloop van den
brekingsaanwijzer
langs een bepaalde
lijn dus voorgesteld
door een kurve in

Het zou volkomen fout zijn, wanneer men zich de samen-
werking van regelmatige en onregelmatige breking zonder
meer als additief ging denken; wij zullen zien dat beide ver-
schijnselen op veel ingewikkelder wijze in elkaar grijpen.
Additief is die samenwerking alleen in oneindig dunne
laagjes, op dezelfde wijze zooals wij de hoekdraaiing en
de zydelingsche verschuiving der lichtstralen als samen-
werkend hebben beschouwd (blz. 36); het is datzelfde be-
langrijke beginsel dat in de wiskundige natuurbeschrij-
ving elk oogenblik wordt toegepast, en dat tot uitdrukking
komt in de formule van Taylor voor twee veranderlijken.

B volgens fig. 24 aanschouwelijk
\'il voorstellen, dat de dampkring
! opgebouwd is uit laagjes van
\'i dikte en dat de gemiddelde
brekingsaanwijzer telkens na een
"j laagje,, in een klein gebied A, B

nabij het scheidingsvlak van het
volgende, een gewijzigde waarde
krijgt. In het laagje x wordt
I de aankomende bundel onregel-
I matig gebroken, nabij het schei-
|l dingsvlak zal nu de regelmatige
\' breking aan de convergeerende
of divergeerende bunileltjes die
door de onregelmatige breking

waren ontstaan een sterkere of een minder sterke con- of
divergentie geven; haar werking zal des te aanzienlijker zijn,
naarmate de bundels reeds een grootere hoekuitspreiding hadden
ondergaan. Deze opmerking is op zichzelf al voldoende om ons
eenig inzicht te geven in de ingewikkelde wijze waarop de wer-
kingender regelmatige en onregelmatige breking in elkaar gi üpen.

Wij laten nu een oneindig breeden bundel evenwijdige
stralen invallen, loodrecht op het grensvlak van den damp-
kring. Stel dat na het iV« laagje, bij het vlak A, de uit-
spreidingswet geldt:

Nu komt de bundel in het kleine gebied waarin de
regelmatige breking werkt; stralen die anders zouden uittreden

Vervolgens komt de onregelmatige breking in het volgende
laagje B C\\ waarin de gemiddelde brekingsaanwijzer zijn waarde
n\' behoudt. De verdeelingswet verandert nu aldus:

Hieruit ziet men dat de wet haren vorm (44) behoudt, maar
dat de coëfficiënten aldus veranderen:
n

Men beschouwe nu oneindig veel laagjes en passe de for-
mules herhaaldelijk toe; a wordt

lm]	2	M	1 n.t
[noj		[nij	U.r — 1

b vermeerdert telkens met kx, vermenigvuldigd met de daar
ter plaatse geldende o, en wordt:

Terwijl de uitspreidingscoëfliciënt alleen onder het integraal-
teeken voorkomt, staat de brekingsaanwijzer ook daarbuiten;
dit beteekent dat de brekingswijzer van de laatst doorloopen
laag een grooten invloed heeft op den uittredenden bundel.

Dit vraagstuk wordt op dergelijke wijze als het vorige
behandeld, daarbij echter voortdurend aansluitend bij de
rekeningen van § 6.

In het (iV 1)® laagje wordt de straling vooreerst
onregelmatig uitgespreid \'); de uitspreidingswet behoudt haar
vorm, maar de coëfficiënten 3/, iV, P, C veranderen in M*,

Het is voor deze berekening iets doelmatiger eerst de onregelmatige,
daarna de regelmatige breking te beschouwen; in de vorige paragraaf is
de tegenovergestelde volgorde gekozen (bldz. 62) wat natuurlijk bij over-
gang tot de grens op hetzelfde neerkomt.

C*, F* (vgl. (33). Nu komt de regelmatige breking, waardoor
de stralen die anders in B zouden uittreden onder den hoek
■d*, nu uittreden onder den hoek

De differentiaalvergelijkingen (34) — (37) worden thans ver-
vangen door een gewijzigd stelsel:

Om dit stelsel op te lossen, zoeken wij naar een betrekking
tusschen M\\N\\P\\C\' (vgl. blz. 51); die vinden wij uit den
eisch, dat de integratie over alle O ons terug moet voeren lot
de formule (57) voor een oneindig breeden bundel; dus is:

Een naaldvormige bundel valf loodrecht in op liet grensvlak van
een dampkring; uitspreidin<\'scoëfficiëiit k en gemiddelde brekitigs-
aanvvijzer n van dezen dampkring zijn standvastig in elk vlak even-
wijdig aan de twee grensvlakken, maar veranderen loodrecht daarop
volgens willekeurige functies van x. De krommingen worden klein
ondersteld en het vraagstuk is 2-dimensionaal behandeld. De for-
mule geeft de lichtsterkte die uittreedt onder een hoek >9, op een
afstand r van het uittredingspunt der reclitdoorgaande stralen,
y/j, /ioi zijn bepaalde integralen over k en n (zie (03)).

Men ziet dat de uitspreidingswet aldus herleid is tot een
dergelijke overzichtelijke, harmonisch opgebouwde formule, als
gold voor de onregelmatige breking alleen (blz. 54). De
grootheden II spelen hiér dezelfde rol als de grootheden K
daar; de hqek ^ is vervangen door ni>. Voor n = const.
gaat de uitdrukking (64) over in (44).

beide tegelijk onder elk der integraalteekens voorkomen, is
kenschetsend voor de innige wisselwerking tusschen regel-
matige en onregelmatige breking, die zich aan dit zeer een
voudige voorbeeld treffend openbaart.

§ 8. DE UITSPREIDING VAN EEN SCHUIN IN-
VALLENDEN BUNDEL, IN EEN DAMPKRING
BEGRENSD DOOR TWEE EVENWIJDIGE
VLAKKEN.

De kennis der uitspreidingswet voor een naaldvormigen
bundel stelt ons in staat het geheele stralingsveld van zulk
een bundel te beschrijven. Telkens dat wij te maken hebben
met vraagstukken waarbij grensvoorwaarden een rol spelen,
zullen wij uit deze uitspreidingswet partij kunnen trekken.

Een der belangrijkste gevallen van dien aard is dat van
een dampkring, begrensd door twee evenwijdige vlakken, welke
getroffen wordt door een schuin invallenden naaldvormigen
of oneindig breeden stralenbundel. De invalshoek moge groot
zijn, de uitspreidingshoeken echter worden gering ondersteld.
Het vraagstuk is tweedimensionaal op te lossen. — Wij
hebben reeds in paragraaf 4 de uitspreiding van een schuinen
bundel geschat, maar daarbij de onnauwkeurigheid der uit-
komsten doen opmerken. De werkwijze die wij thans zullen
volgen is veel lievredigender.

Beschouwen wij één naaldvormig onderdeel van den on--
eindig breeden bundel, en vragen wij welk gedeelte daarvan
het grensvlak li verlaat onder een hoek Stralen onder
een hoek treden uit alle punten iVi, N2,... van het grens-
vlak li. Om de straling te vinden die bij iVi uittreedt onder
een hoek »\'>, denken wij ons de grensvlakken A en li vervangen
door de grensvlakken A\' en Iii\\ loodrecht op den invallenden
bundel, Bi\' gaande door hel punt Ni. Een blik op fig. 25.
overtuigt ons ervan dat de lichtpluim in Ni hierdoor geen

verandering in samenstelling ondergaat. Wij kunnen nu aan-
geven, welk gedeelte van den naaldvormigen bundel, na een
afstand Xi te hebben doorloopen, op een afstand r, van den

Evenzoo kunnen wij ook de straling berekenen, die in hel
punt N2 uittreedt onder denzelfden hoek met wij hebben
hiertoe slechts de grensvlakken te denken in A\' Bz\' (fig. 25).
De som van de i?-stralen die door elk punt van het grens-
vlak B gaan, geeft ons het breukdeel van den naaldvormigen
bundel dat onder een hoek uittreedt. En aangezien alle
naaldvormige bundels, waaruit de oneindig breede bundel
bestaat, zich volkomen gelijk gedragen, hebben wij tevens
gevonden welk gedeelte van den geheelen bundel onder
den hoek uittreedt.

Laten wij thans deze redeneering uitwerken. Beschouw
een naaldvormigen bundel die bij O invalt onder een hoek
Het punt Ni bepalen wij door den hoek 7 van de hulplijn
Ni O met de normaal. Uit fig. 26 kan men nu onmiddellijk
de waarde der drie grootheden aflezen, welke de uitspreiding
van een naaldvormigen bundel beschrijven:

Wij kennen nu de »^-straling in het punt Ni (y); integratie
over alle punten N geeft de totale uittredende i^-straling:

Een oneindig breede, evenwijdige bundel valt schuin op een
dampkring van dikte X, begrensd door twee evenwijdige vlakken
en wordt over kleine hoeken uitgespreid. De formule geeft aan,
welk gedeelte van den onder een hoek \'9o invallenden bundel uit-
treedt onder een hoek .9 — >9 (^\'9. De uitspreiding is 2-dimen-
sionaal gedacht.

Om de bruikbaarheid der formule te laten zien, zullen wij
haar toepassen op het bepaalde geval dat Ar X sec t^o = 0,01;
en wel zullen wij achtereenvolgens de uitspreiding berekenen

In de drie gevallen zijn de afstanden X sec dezelfde.
De benaderde formule (blz. 30), zou dus in de drie gevallen
voor de uittredende straling dezelfde verdeelingswet hebben
gegeven (bovenste regel van tabel 1).

Wij becijferen den integrand van (66), daarbij zorg dragend
den teller van den exponent op ten minste 4 decimalen nauw-
keurig te berekenen. Voor iedere combinatie van en
wordt aan y een reeks waarden gegeven, met 0.04 op-
klimmend. Vervolgens worden de bekomen getallen graphisch
uitgezet, een\' vloeiende kurve door iedere reeks punten ge-
trokken, en geïntegreerd met een planimeter. De resultaten
vindt men in volgende tabel:

De afwijkingen tusschen de benaderde formule en de juistere
berekening moesten nul zijn voor »?o = 0; inderdaad zijn de
verschillen tusschen de twee eerste regels klaarblijkelijk te
wijten aan kleine onnauwkeurigheden in het trekken der
krommen — het aantal punten waardoor zij gelegd zijn is
klein — en in het graphisch integreeren.

De verschillen blijven overal beneden 1 °/o. Daarentegen
ziet men hoe bij toenemenden invalshoek de asynnnetrie in
de uitspreiding grooter en grooter wordt. Zij is in de richting
welke wij voorzien hebben (blz. 30).

De redeneering van vorige |)aragraaf geeft uitkomsten die
zeer nauwkeurig -/ijn, zelfs voor aanzienlijke invalshoeken van
den bundel. Wanneer echter de invalshoek zóó groot wordt
dat een merkbaar gedeelte der stralen bij de uitspreiding
evenwijdig aan do grensvlakkon gaat loopen of zelfs „terug-
keert", dan treden moeilijkheden op. Beschouwen wij innners
weer een naaldvormigen straal, als vertegenwoordiger van
den geheelen evenwijdigen bundel (fig. 27). Wij verplaatsen
de grenzen A B naar A\'B\\ en willen weten welk breukdeel
der straling bij het punt N onder een gegeven hoek met
de normaal uittreedt. Voor den eenvoud der notatie zullen
wij deze straling in \'t vervolg kenmerken door haren hoek ^

met de grensvlakken. Wanneer wij nu de uitspreidingswet
voor een naaldvormigen bundel toepassen, begaan wij een

fout; die wet is immers afgeleid voor een onbegrensden
dampkring; stralen zooals ORTNU zijn beschouwd als
mede een bijdrage leverend tot de straling N U. Nu echter
in werkelijkheid B de grens is van den dampkring, zal zulk
een straal onmiddellijk bij R rechtdoor voortloopen, en zijne
deelen zullen niet door uitspreiding tot in N kunnen komen.
Formule (66) gaf ons in elk punt N van het grensvlak de
uittredende lichtsterkte voor \'t geval de begrenzing

1°. uit het licht dat tot in ^gekomen is «onrfcr de grens Z^
te passeeren: deze lichthoeveelheid is gegeven door de on-
bekende functie ^ (X,

het N bereikt; laat | de dikte der laag zijn die overeenkomt
met het punt R waar de straal voor het eerst is uitgetreden,

de hoek van den voor het eerst uittredenden straal met
het grensvlak, dan is zijn bijdrage tot de straling f: (f, vj)
K is hier op te vatten als Greensche functie
of , invloedsfunctie", die dus uitdrukt welk een bijdrage de
straal f, tot den straal X, ^ levert.

Het zou geen zin hebben de integratie naar ? verder uit
te strekken dan tot aan f = X; stralen waarvoor f > X zouden
zeer groote afwijkingshoeken moeten ondergaan om N te be-
reiken (360°), en zijn dus uit de beschouwing weg te laten.

De integraalvergelijking (67) is van het type dat naar
VoLTERRA genoemd wordt, en wel „van de 2® soort".

Het is niet moeilijk de kern K van de vergelijking nader
uit te drukken, daarbij bedenkend dat alle straalkrommingen
klein worden ondersteld. In fig. 27 vestigen wij onze aan-
dacht op den straal (f >j); hij doorloopt een afstand Xi —■ f;
gevraagd wordt welk gedeelte op dien weg een zijdelingsche
verschuiving . (X — f) heeft ondergaan, en een hoekafwij-
king VI — Volgens de uitspreidingswet (26) voor een naald-
vormigen bundel is nu:

Deze kern is symmetrisch in ^ en vj, en hangt verder alleen
af van het verschil X — f

>) V. Voi.tkrra: Leçons sur les équations intégrales et les équations
intégro-différentielles. Paris 1Ü13. Hoofdstuk II. — Atli Acad. Torino
1896, XXXI,-311. Annali di Matcm. 1906.

toepassing van dezelfde uitspreidingswet van naaldvormige
bundels (26). De invallende straal doorloopt een afstand f,
een bepaald breukdeel ondergaat daarbij een zijdelingsche
verschuiving D — ^oS (de afstand der grensvlakken is door D
aangegeven), en een hoekafwijking vj — ^o. Dus is

De klassieke methodes ter oplossing van integraalvergelij-
kingen zijn hier van toepassing; één hunner is echter in dit
geval bijzonder aan te bevelen, omdat men hare beteekenis
door aanschouwelijke natuurkundige voorstellingen gemakkelijk
volgen kan.

Men ziet immers in, dat de straling niet zoo heel veel
verschillen zal van de straling f, en dat men dus kan be-
ginnen met in de integraalvergelijking (67) onder het inte-
graalteeken ^ door f te vervangen; aldus krijgen wij een
eerste benadering

Deze waarde «ï^i kan nu weer in (67) onder het integraal-
teeken worden gesubstitueerd en geeft weer een betere waarde,
enz. Dit geeft ons voor ^ de reeksontwikkeling van Neuma.xn:

De convergentie van de reeks is bij de vergelijkingen van
het type van Volterra in het algemeen verzekerd en veel

gunstiger dan bij dat van Fbedholm In het algemeen zal
het dus voldoende zijn slechts enkele termen te berekenen;
met de waarden van f en K die voor het hier behandelde
geval zijn aangegeven (blz. 73), is de eerste integratie naarj^
gemakkelijk uit te voeren, de tweede vereischt numerieke of
graphische methodes.

De hier aangegeven werkwijze om den invloed van de be-
grenzingen in rekening te brengen, is zeer algemeen bruikbaar
voor grenzen van allerlei verschillende vormen; zij laat zich
ook toepassen op het gewichtige geval van een bundel
die evenwijdig aan een grensvlak loopt, op een afstand r.
Wij rekenen dan alle lengten f en X langs de grens van af
het punt O waar de onregelmatig brekende laag begint (fig. 28).

en de kern K behoudt denzelfden vorm (68). Is hét vraag-
stuk eenmaal opgelost voor een naaldvormigen bundel en voor
een punt op afstand X, dan kan men door integratie over
>• en X gemakkelijk breedere bundels en het geheele uit-
tredingsgebied beschrijven.

1) Vgl. bv. Heywood-Frkcukt: L\'Bquation do Fredholtn et ses
application« il la physique mathématique. — Paris 1912, blz. 47.

§ 9. DE INVLOED DER ONREGELMATIGE
STRAALKROMMING OP DE LICHTVERDEE-
LING OVER DE ZONNESCHIJF.

Het vraagstuk der zonnestraling heeft nog altijd geen af-
doende oplossing gevonden. Vier groepen waarnemingsfeiten
dienen verklaard te worden:

Daarenboven dient men rekening te houden met een reeks
eigenaardigheden van de Fraunhoferlijnen, die ons onrecht-
streeks kunnen inlichten over de wijzigingen die de continue
straling heeft ondergaan.

Het doel van het theoretisch onderzoek is, te zoeken welke
eigenschappen men aan den dampkring der zon moet toe-
schrijven om de waargenomen verschijnselen als een samen-
hangend geheel te kunnen verklaren. Wij moeten ons dezen
dampkring en de geheele zon als een gasvormige massa voor-
stellen; een andere zienswijze, de hypothese der wolken, werd
in den laatsten tijd vrijwel verlaten. Wat wij dus .dampkring"
der zon noemen, gaat eigenlijk vloeiend in de ,kern" over.

Men verstaat thans meestal onder ,dampkring" het geheel der
buitenste lagen van de zon, zoo diep als nog voor ons bij-
zonderheden te onderscheiden zijn; tot de kern worden gerekend
de lagen van dewelke wel energie, maar geen lichtstralen tot
ons komen, waarvan dus de straling eerst andere atomen
moet verhitten of aanslaan, of wel herhaaldelijk verstrooid
moet worden vóór ons een merkbaar gedeelte ervan bereikt.

Van den dampkring moeten volgende eigenschappen nage-
gaan worden, welke den aard der uittredende straling zullen
bepalen:

Allerlei onderstellingen betreffende de drie eerste factoren
zijn door verschillende schrijvers geopperd \'). Dikwijls is men
erin geslaagd een deel der verschijnselen vrij bevredigend te
verklaren, maar een over de geheele lijn goed met de ervaring
kloppende theorie ontbreekt nog steeds. Wij wijzen bijvoor-
beeld op de merkwaardige tegenstrijdigheid die Milne het
eerst is opgevallen: dat namelijk in de zonnestraling het groene
spectraalgebied ten opzichte der andere golflengten een zoo
bijzonder groote energie bezit, terwijl toch de kurven der
randverzwakking voor het groen geen abnormaal sterke ver-
zwakking vertoonen. Milne heeft tevens aangetoond dat deze
tegenstrijdigheid met de tot hiertoe gebruikte hypothesen
niet op te lossen is, ook al kiest men den opslorpingscoöfficiént
der zonnegassen geheel willekeurig veranderlijk met de golf-
lengte. De pogingen van Lindhlad om aan deze moeilijkheid
te ontkomen bevredigen slechts weinig.

slechts verkregen door onderstellingen welke physisch moeilijk
te wettigen zijn. — Een voorbeeld. Men neemt vrijwel algemeen
nis uitgangspunt voor de redeneeringen, dal de zonnegassen
„grauwe" straling zouden uitzenden, dus straling die voor alle
golflengten in dezelfde verhouding geringer is dan de straling
van een zwart lichaam volgens de wet van Planck. Een gas
dat aan deze onderstelling voldoet kennen wij echter in onze
aardsche laboratoria niet, en men kan niet zonder meer inzien
waarom op de zon zulk een toestand van de slof verwacht
zou kunnen worden. Evenzeer blijft het een gebrek van de
theorie, dat bijna altijd gerekend is alsof de zon opgebouwd
was uit evenwijdige vlakke lagen. Bij de thans algemeen
aangenomen lage drukkingen in den dampkring der zon,
is het waarschijnlijk dat wij diep in de zonnemassa kunnen
kijken, volgens schattingen van Julius en Spijkerboeh tot \'/i"®
van den straal. En in dit geval is hel volkomen ongeoorloofd,
den bolvorm der zon te benaderen door een vlakke laag \')•

Hel vraagstuk der zonnestraling kan dus geenszins als op-
gelost worden beschouwd, en er is nog ruime gelegenheid,
zelfs noodzakelijkheid om naar den invloed te zoeken van
factoren welke de theorie tot hiertoe over het hoofd heeft gezien.
Nu ligt het voor de hand, te beproeven of het in acht nemen
van den vierden belangrijken factor die de zonnestraling kan
beïnvloeden, van de onregelmatige straalkromming, ons hier
geen nieuwe gezichlspunleii verschaft. Des te meer wordt
men aangemoedigd in deze richting te zoeken, waar allerlei
andere zonneverschijnselen den invloed der onregelmatige
straalkromming verraden, en waar het beslaan der dichtheids-
gradiënten en dus der straalkrommingen a priori en met
stelligheid te voorspellen is. Het is dus alleen de vraag, hoe
sterk de onregelmatige straalbreking op de zon is. En om
over deze vraag te beslissen, is er geen andere weg dan haar
invloed te berekenen voor verschillende uitspreidingscoëf-
ficiënlen, en te kijken welke onderstelling hel best met de
feilen in overeenstemming is.

>) Si\'i.iKERBOER, Proefschrift, Utrecht 1917, hoofdstuk IV enz. —
Versl. Akad. Amst. 1924, 33, 207.

Bij de behandeling van den invloed der verstrooiing op de
zonnestraling begint men meestal met bepaalde onderstellingen
te maken omtrent de straling die de verstrooiende laag aan
de binnenzijde ontvangt (bijvoorbeeld: even groote sterkte in
alle richtingen: „cosinus-straling"), en berekent daarna van
welken aard de straling wordt die aan de buitenlaag uittreedt.

Het schijnt ons evenwel doelmatiger, bij de studie der
onregelmatige straalkromming uit te gaan van de zonnestraling
die wij rechtstreeks kunnen waarnemen, en door terugrekenen
uit te maken hoe de straling in de diepere lagen moet zijn
geweest Aldus hoeven wij over de invallende straling geen
enkele onderstelling a priori te maken.

Wij denken ons dus de massa der zon opgebouwd uil uit-
stralende, opslorpende, verstrooiejide gassen, op de wijze van
Eddington, Mn.ne, Lindhi.ad, Lundblao, en andere schrijvers.
Maar rond deze massa onderstellen wij nog een omhulling
van onbekende dikte, waarin de onregelmatige straalkromming
de- hoofdrol speelt. Wij zullen nu beproeven te berekenen,
hoe de strrfling in toenemend diepere lagen is samengesteld,
liet zal een bijzonder onderzoek vereischen, na te gaan of een
«Ier stnilingstoestanden welke wij in de binnenlagen vinden,
overeenstemt met de beslaande theorie der uitstraling, opslorping
en verstrooiing van de kern. Mocht dit gelukken, dan zouden wij
een goed en overzichtelijk beeld van de zon hebben gewonnen.
Aangezien wij uitgaan van de buitenlaag, waar de straling

hoe de straling moet geweest zijn in een laag die A r onder
het buitenoppervlak ligt. Voor deze lang kunnen wij weer

de waarden van ^ en y-^ berekenen, en weer een stapje
dieper dringer. Zoo kan meii van laag lol laag vooruitkomen.

De waarnemingen die wij als uitgangspunt voor onze be-
schouwingen zullen gebruiken, zijn de gegevens welke door
Abbot en zijn medewerkers verzameld zijn in den loop der
jaren 1907—1909 \')• Wij dienen in acht te nemen dat dit
materiaal stellig niet als geheel betrouwbaar beschouwd kan
worden van het standpunt der meettechniek. Enkele nieuwere
gegevens van Abbot zijn evenmin bevredigend; het is vol-
doende een oogslag te werpen op de figuren 23 om de
groote asymmetrie der geregistreerde krommen en dus de
traagheid der gebruikte toestellen te bemerken. De oudere
gegevens zijn in elk geval voor meer verschillende golflengten
bepaald, en vormen een goed samenhangend geheel, stellig
het beste waarover wij op dit oogenblik beschikken; zij
schijnen voor ons doel beter geschikt dan de nieuwere, meer
sporadische gegevens, die overigens met een ander doel werden
verzameld (studie der veranderlijkheid van de zonnestraling).

de buitenlaag rechtstreeks uit de gegevens dezer waarnemingen
te berekenen, voor elke bepaalde golflengte en voor eiken
hoek X\' De weg zou de volgende zijn:

Beschouw straling van een bepaalde golflengte. De tabel
van Abbot geeft fx ix) voor een reeks van 10 onregelmatig
opklimmende waarden van den uittredingshoek Interpoleer
daartusschen, en zoek de waarden van fx (%) voor een reeks
uittredingshoeken die op gelijke afstanden van elkaar liggen,
stel van 6° tot 6°; hiertoe gebruike men de formules van
Encke, voor interpolatie bij ongelijke tusschenruimten van
het argument. Nu kunnen de waarden der differenliaalquo-

Everett, Runge, en Sheppard Deze rekenwijze heeft het
voordeel van volkomen objectiviteit en sluit rechtstreeks aan
bij de waarnemingen.

hoogst onregelmatige wijze, zóó dat men ze onbruikbaar kan
achten. Klaarblijkelijk zijn dus de waarnemingen onvoldoende
nauwkeurig om ons toe te laten er de tweede differentiaal-
quotiënten door interpolatieformules uit af te leiden. Een
poging om de stappen van te vervangen door stappen van
12° had geen betere gevolgen.

En achteraf beschouwd hoeven ons deze moeilijkheden niet
te verwonderen. De interpolatierekening geeft ons een kurve
die streng door ieder waarnemingspunt gaat. Nu kan men
echter uit Abuot\'s tabel duidelijk afleiden dat, nog afgezien
van de stelselmatige fouten waarmee zijn getallen behept
zijn, ook toevallige afwijkingen van onregelmatigen aard voor-
komen; om dit op te merken doorloope men b.v. de hori-
zontale lijnen voor 0,20 R en 0,40 li. Al deze kleine afwij-
kingen, op zichzelf onbelangrijk, doen hun invloed gelden op

Het is dus duidelijk in welken zin wij onze werkwijze moeten
verbeteren. Een vloeiende kromme moet zoo goed mogelijk
tusschen de waarnemingspunten door gelegd worden, zonder
hun kleine onregelmatigheden te volgen, en toch getrouw bij
de waarnemingen aansluitend. Door een teekening te maken
bereiken wij ons doel niet, wegens de bekende onnauwkeu-
righeid van het graphisch differentiëeren.

een volgende j)aragraaf zal getoond worden op welk
een wijze de moeilijkheid overwonnen kan worden. Wij zullen
eenvoudig f ontwikkelen in een machtreeks naar cos X\' l^e
aldus gevonden kronnne is tevens een voldoende juiste samen-

Deze formules zijn alleen bruikbaar voor gelijke tUMSchenruimten van
bet argument.

vatting van de metingen, en tevens voldoende vloeiend om
als basis voor verdere berekeningen te dienen.

De ontwikkeling van / in een machtreeks naar cos en
de numerieke oplossing der differentiaalvergelijking. —

Deze functie is even gekozen, daar de straling langs een be-
paalden meridiaan aan beide zijden van het middenpunt

Substitueeren wij deze uitdrukkingen in de differentiaalver-
gelijking (25) blz. 25 voor een onregelmatig brekenden bol.
Er komt:

De bijzonder gunstige omstandigheid doet zich voor, dat
ook deze functie den vorm aanneemt van een machtreeks in
cos X, evenals die waarvan wij zijn uitgegaan. Schrijven wij

en stellen wy de coëfficiënten van cos\'" x. beiderzijds aan
elkaar gelijk. Dan krijgen wij de betrekkingen

Deze formules gaan door voor alle waarden van 111, ook
negatieve waarden treden op.

over Ie gaan tot de eerstvolgende binnenlaag I, die A r
dieper ligt. De straling in deze nieuwe laag kan ook weer
door een cos-reeks voorgesteld worden:

Passen wij dit nu toe op de straling der zon, en stellen
wij de straling die de buitengrens verlaat door een vierterm voor:

Door een gelukkig toeval heeft Lundblad o voor zijn theorie
der verstrooiing dezelfde coëfficiënten noodig gehad, zoodat
wij van de uitkomst zijner becijferingen gebruik kunnen maken.
Hem is gebleken dat de 4- eerste coëfficiënten volkomen vol-
doende zijn om de waarnemingen binnen de grenzen der meet-
fouten nauwkeurig voor te stellen, en dat het geen zin heeft
verdere coëfficiënten te berekenen. Do reeks der vier coëf-
ficiënten is in tabel II voor de verschillende golfiengten opge-
geven (blz. 90).

f/j = a-i— 12 ffs c 2 a-i y
«\', = rtl — G «2 C -f" ((Tl — 3 «3) y.
«Q = ffo (— 2 ai c -f- G as c) c — 2 ai y.
a_^ = 2 f/2 c — ai 7.
Kvenzoo kunnen wij tot do volgende laag II overgaan, door
de formule (10) op de reeks van laag 1 toe te passen, en
daarna de coëfiiciënten ai\', as\', 03\'.... te vervangen door

Hel verband tusschen de straling in de laag II en in de
buitenlaag wordt:
(11) „;\' = „3(i 6^ 97^).

= _ 12ö2c (2ai—6 as) 7 72 a3c2 —18(727^.
«ó\' = ao -f (— 4 rti 12 rta) c — 4 02 7 12 «2

(48 (73 — 2ai) 7 c — 4 «2 7^.
a\'_^ = 4 (72 c — 2(717—24(73 0^ 10(72?\'<^—(«1 — 803)72.
(i_z — 8 (72 7 — 4 (Ji 7^.
= 4 fl2 C^ — 2 (7l 7 c.

Zoo kan men ook de straling der volgende lagen berekenen.
Uit formule (8) /.iet men onmiddellijk dat het 2« lid nul wordt
voor w = —2, De term in cos"^;^ blijft dus nul.

Stel dat wij bij een eerste berekening een bepaalden stap
c = kAr hebben uitgevoerd, bij een tweede berekening twee

Deze uitkomst verschilt slechts van de eerste (10) door de
termen in cl Bij onderverdeèling van den stap (; in 3 déelen
zouden er termen van den derden graad bijkomen. Wij
krijgen aldus met willekeurige nauwkeurigheid de afhankelijk-

Wij merken op, dat bij gebruik van de differentiaalverge-
lijking voor vlakke lagen, de termen 7 wegvallen, en dat dan
de grootte van den slap aangegeven kan worden door het

men niet afzonderlijk aan te geven. Voor bolvormig gekromde
lagen daarentegen dient men de grootte van den stap te ken-
merken niet alleen door k A r, maar ook door het breukdeel
Ar

Wij willen onze formules nu toepassen op het geval van
de zon. Ons doel is, te berekenen hoe de straling verdeeld
is over de zonneschijf eer ze de onregelmatig brekende laag
bereikt, die volgens de dispersietheorie de buitenste deelen
van den zonnebol uitmaakt. Julius schat dat een dergelijke
laag ongeveer 0,1 van den straal van de zon dik is; uit de
theorie van den zonsrand volgt dat de uitspreidingscoöfliciènt
dezer buitenste lagen van de orde van 1 is. Hiernaar
kunnen wij ons richten wanneer wij willen schatten welke uit-
werkingen de onregelmatige straalkromming op de zon kan
veroorzaken.

Veel dieper dan deze laag zouden wij ons onderzoek niet
kunnen voortzetten. De cosinus-ontwikkeling van dewelke
wij zijn uitgegaan stelt het verloop der zonnestraling vóór
zooals het gemeten is, tot 0,95 R, dus tol een uittredings-
hoek van 72°. Tot 90° geven de machtreeksen van Lun\'dbi.aü
een goede extrapolatie, die waarschijnlijk weinig van de
werkelijkheid afwijkt. Daarentegen weten wij met stelligheid
dal de reeksen verder dan 90° in strijd zijn met de waar-
neming; inplaats van daar scherp af te vallen, vertoonen al
deze kurven een vloeiend verloop, dat niet met de werkelijk-

heid overeenstemt. Om een schatting te maken van de
bereikte benadering, stellen wij ons voor dat wij aan het
buitenoppervlak der zon met groote schijnwerpers lichtbundels
naar haar binnenste zenden, onder verschillende hoeken met
het oppervlak. Deze „terugkeerende" bundels zullen in de
buitenlagen het bedrag der uittredende, echte zonnestraling
niet merkbaar veranderen. Naarmate zij echter door de on-
regelmatige-^ straalbreking in de diepere lagen worden uitp-
spreid, zal een gedeelte ervan de rechtstreeksche zonnestraling
komen versterken. Eerst zijn het de rakelings uittredende
stralen die erdoor worden „verontreinigd", daarna die welke

onregelmatige breking een merkbaar gedeelte der bijkomende
stralen zelfs 90° gedraaid zijn, en op dat oogenblik zouden
wij onze kurven nergens meer kunnen vertrouwen, en ware
het niet zonder meer mogelijk, verder door te dringen. Dit
zal ongeveer het geval zijn, wanneer

gaan dan Ä;Ar = 0,1, en blijven dus zeker aan de veilige
zijde. De lichtverdeeling nabij den rand zal in § 10 door
een geheel andere methode berekend worden.

Lichtsterkte van het loodrecht uittredende licht in ver-
schillend diepe lagen. —

In tabel III blz. 91 is als eenheid genomen: de sterkte van het
licht dat loodrecht uittreedt aan het buitenoppervlak der zon.
Nu is voor alle golflengten berekend hoe sterk het uittredende
licht was op de diepte 0,05 R en op de diepte 0,1 li, aan-
nemend dat in deze buitenlagen de uitspreidingscoëmciönt
overal 1 is, dus voor c = 0,05 en y = 0,05; voor c = 0,1
en 7 = 0,1.

De uitkomsten vertoonen een opvallende, zeer regelmatige
golflengte-afhankelijkheid (flg. 28; tab. III, blz. 91). Alleen
het eerste punt valt buiten de kurve en verraadt daardoor
ineens zijn anderen oorsprong: het is het punt voor A = 323,

de golflengte waarvoor Abbot niet zelf heeft gemeten, maar
de getallen van Sghwarzsghild en Villiger heeft overgenomen

welke langs photographischen weg bepaald zijn. De andere
punten wijken niet meer dan 0,005 van de gemiddelde kurve
af, wat stellig merkwaardig mag heeten, \'gezien de groote
schommelingen in de coöfHciënten f^o,\'M, 02.. •. waarvan wij
zijn uitgegaan (tabel II, blz. 90).

Voor dc loodrecid uittredende stnden oeroorzaaht dc onregel-
matige breking dus een gradiënt; de toename dezer str<ding naar
hel binnenste der zon is verreweg het grootst voor de korte, golven.

Hot loont do moeite, op te merken dat de werking der
onregelmatige straalkromming voor de verschillende golflengten
geheel verschillend is. Dit is geenszins een gevolg van eenige
kleurschifting: de brokingsaanwijzer van gassen is zeer weinig
afhankelijk van de kleur, en wij hebben dan ook k altijd als
constant beschouwd. — De oorzaak is anders. In de kern
hebben emissie, absorptie en verstrooiing, die wel rechtstreeks
van de golflengte afhangen, de straling over do verschillende
richtingen verdeeld op een wijze die ook van de golflengte

afhangt; nu komt de onregelmatig brekende laag: zij werkt
alleen verschillend voor de verschillende kleuren, uit hoofde
van het bestaande verschil in de verdeeling over de hoeken.
Deze afhankelijkheid van de golflengte is dus als onrechtstreeksch
te beschouwen. Zij is niettemin van groot belang.

In tabel IV (blz. 92) is de lichtverdeeling over de zonne-
schijf berekend voor een diepte 0,1 ii en ^=l,dus voor
c = 0,l en 7 = 0,1. Zes verschillende uittredingshoeken en
zes golflengten zijn gekozen (dezelfde voor dewelke Spijkerboer
zijn berekeningen uitvoerde). In de eerste helft der tabel is
bij elke golflengte als eenheid genomen: de sterkte van het
licht dat de buitenlaag loodrecht verlaat; in de tweede helft,
de sterkte van het licht dat loodrecht uittreedt op een diepte 0,1 R.

Twee typische eigenaardigheden van de uilkomst trekken
onmiddellijk onze aandacht. —

Vooreerst is de randverzwakking aanmerkelijk sterker dan in
de tabel van Abbot, die voor de buitenlaag gold. En dit is
ook volkomen begrijpelijk; de onregelmatige breking heeft voor
gevolg, de straling gelijkmatiger over de hoeken te verdeelen;
de randverzwakking die aan de buitenlaag nog waarneembaar
is, moet dus eerst veel aanzienlijker geweest zijn.

In de tweede plaats bemerken wij een zeer eigenaardig
verloop van de betrekkelijke lichtsterkte met de golflengte
(vgl. de verticale kolommen van tabel IV). Reeds bij hoeken
van 12° en 24° is een inzinking merkbaar nabij de golflengten
456 fjt,\'jc.—604 fxfi. Bij 37°, 53° en 64° is die inzinking nog
veel duidelijker geworden. Bij zijn uitvoerige studie over het
stralingsevenwicht in de zon, is Milne \') voor het raadsel komen
te staan, dat de sterke afwijkingen der energiekurve van het
zonnespectrum van die van het zwarte lichaam, niet met
correspondeerende veranderingen in de randverzwakking over-
eenkomen. Inzonderheid verwachtte hij, dat de golflengten

nabij het energiemaximum (485 /^/ot), welke zulk een abnormaal
groote energie hebben in het zonnespectrum, ook een abnormaal
sterke randverzwakking zouden geven. Dat dit niet uitkwam
scheen hem onbegrijpelijk. Het lijkt nu wel zeer waarschijnlijk,
dat de versterkte randverzwakking die wij vinden tusschen
A = 456 en K = 604 niets anders is dan het door
Milne gezochte etïekt. En nu onze aandacht er op gevestigd
is, kunnen wij de sporen van deze inzinking in de kurven
terugvinden, zelfs in de tabel van Abbot voor het aan de
buitenlaag uittredende licht: het is niets anders dan de z,g.n.
„anomalie" in het verloop der randverzwakking met de golf-
lengte \')• Het blijkt ons, dat deze „anomalie" het laatste
overblijfsel is van een veel sterkere inzinking, die door de
onregelmatige breking bijna weggewischt is, en die wij door
rekening hebben teruggevonden.

Dit laatste geval bewijst ons op treffende wijze, hoe noodig
hel is te beschikken over uiterst nauwkeurige metingen van de
helderheid der zonneschijf, wil men door terugrekening de
straling in de diepere lagen eenigszins nauwkeurig kunnen
vinden. De metingen van Abbot laten nog in vele opzichten
te wenschen over, en het is dringend noodig dat zij met zorg
/ en in gunstige atmospherische omstandigheden worden herhaald.
Voorloopig kan men slechts zeggen, dat de theorie der on-
regelmatige straalkromming nieuwe mogelijkheden opent, en
\\ resultaten geeft die in het algemeen zeer hoopvol schijnen.

Bij rustige lucht vertoonen onze kijkers den rand van de
zon als een scherpe lijn. Hoe snel het intensiteitsverval is
kan men afleiden uit de waarnemingen van „Baily\'s parel-
snoer", dat zich bij totale zonsverduisteringen een kort oogen-
blik vóór en na de totaliteit vertoont; door de dalen tusschen
de maanbergen, ziet men dan nog de schitterende photospheer,
terwijl de toppen dezer bergen haar reeds geheel bedekken.
Schat men de hoogte van tamelijk aanzienlijke maanbergen
op 4 Km., en neemt men voor den afstand aarde —maan
400.000 Km. aan, dan komt het hoogteverschil tusschen berg-
toppen en dalen met ongeveer 2" overeen. De metingen
van Auwehs \') met den heliometer van de slerrewachl Ie
Kaapstad gaven de middellijn der zon met een zoo groote
nauwkeurigheid, dat de uitkomsten der verschillende reeksen
waarnemingen niet meer dan 0",1 uiteenloopen. Men mag
wel aannemen dat een hoogteverschil van één boogsecunde,
of 700 Km. in den dampkring der zon, moet overeenkomen
met een toename van de lichtsterkte in de verhouding van
tenminste 100:1.

1. De oudere zonnetheorieên hadden geen moeite om
dezen scherpen zonsrand te verklaren. Zoolang men uitging
van de opvatting van Kihghiiofk en de zon beschouwde
als een vaste of vloeibare kern, omhuld door een gasvormigen
dampkring, sprak het vanzelf dat men den scherpen rand
identiflreerde met de begrenzing van de zonnekern.

2. Ook de theorieén die de photospheer verklaarden als
een wolkenlaag, gevormd uit kleine gloeiende korreltjes die

zweven in een gasvormige omgeving, behoefden zich niet om
de verklaring van den scherpen zonsrand te bekommeren.
Faye \'), Stoney Ball, Hastings "¹), in \' den lateren tijd
Young Halm Amaftoensky \'), Schulz en Brester
beschouwden den zonsrand als de grens van de condensatie-
laag.

3. De moeilijkheden begonnen echter, zoodra men ertoe
kwam, uitgaande van andere overwegingen, de zon als in
haar geheel gasvormig te beschouwen. A. schjimt stelt zich
voor dat de dichtheid in de zonnemassa geleidelijk van
buiten naar binnen toeneemt, en dat de lichtstralen in dezen
dampkring worden gekromd. Een gezichtsstraal die van de
aarde uitgaat en de zon treft op grooten afstand van het
middenpunt, wordt slechts weinig gekromd en ontsnapt in
de ruimte; een straal die dichter bij het middenpunt der
zonneschijf loopt, wordt sterker gekromd en nadert spiraals-
gewijs steeds dichter tot het binnenste van het hemellichaam.
De eerste soort stralen brengt den aardschen waarnemer geen
licht, de tweede brengt hem de volle straling van de kern.
De overgang tusschen beide soorten stralen geschiedt volkomen
plotseling, en de scherpe grens van de zonneschijf wordt dus
door een zuiver optisch verschijnsel verklaard. Als argument
tegen Schmidt\'s theorie wordt gewoonlijk aangehaald dat de
moleculaire verstrooiing en de absorptie veel te groot zouden
zijn op de lange lichtwegen welke de theorie vereischt. De
moderne opvattingen over het verloop van het absorptie-
proces in de atomen hebben ons echter de overtuiging ge-

Americ. .lourn. of Scienco 1881, 21, 11.
\') Vgl. Nkwcomb-Enuelmanx, Populäre AHlrononiie, Iicipzig, 1921,
6« Aufl., blz. 327.
«) Ann. II. Obfl. Edinb. 1902, 1, 74.
\') A. N. 1909, 180, 136, N". 4305.
») A. J. 1909, 29 , 33.

») Zie o. a. Le Soleil, Den Haag, 1924; blz. 21, 150 enz.
Die Slrahlenbrechung auf der Sonne. Stuttgart 1891.

geven dat bij verdunde gassen echte absorptie alleen plaats
grijpt in zeer smalle spectraalgebieden nabij de eigenfrequen-
ties; en waar de drukkingen nabij de photospheer thans zoo-
veel lager worden geschat dan vroeger, moet men erkennen
dat de theorie van Schmidt nog aan een ernstig en onbevoor-
oordeeld onderzoek zal moeten worden onderworpen, vooraleer
men er een beslissend oordeel over kan vellen.

4. ScHWARzsGniLD \'), BiGELow gaan uit van de theorie
der geheel gasvormige zon, en berekenen langs Ihermodyna-
mischen weg dat er een laag moet zijn waarbij de dichtheid
en het uitstralend vermogen der meeste zonnegassen zeer snel
afneemt, voor een hoogteverschil van slechts enkele honderden
kilometers. Zulk een laag ziet de aardsche waarnemer als
een praktisch scherpen rand. Al deze theorieön behoeven echter
herziening, daar zij geen rekening houden met den stralings-
druk. waarvan het groote belang nog niet erkend was toen zij
werden opgesteld en die een dergelijk snel drukverval stellig
onmogelijk maakt. Do tlu\'orie van ICoDiNfiTON,die wèl reke-
ning houdt met den stralingsdruk, is ongelukkiglijk niet toe-
passelijk op de buitenste lagen van de zon, en geldt alleen
voor de diepere deelen.

5. Ook Adhot neemt de zon als gasvornn\'g aan, maar
hij beproeft den scherpen zonsrand toe te schrijven aan de
moleculaire verstrooiing. Wij kunnen aan zijn verklaring geen
hel minste gewicht hechten; zij gaat uil van de onderstelling,
dal hel verstrooide licht verloren is, en vraagt niet op welke
andere plaatsen deze energie weer te voorschijn komt. Ken
uitvoerige weerlegging van Admot\'s theorie door simjkknnoen
is in voorbereiding.

G. Do nieuwste opvatting van het randverschijnsel hebben
wij te danken aan Stewaiit. i^) De geïoniseerde zonnegassen be-
vatten vrije elerlronen, die siraling kimnen opslorpen en in

warmte omzetten. Het ttieoretisch onderzoek toont, dat deze
absorptie aanzienlijk wordt voor drukkingen van de orde
atm. en meer. Rekening houdend met allerlei waar-
nemingsfeiten, beteekent dit dat de drukking over een afstand
van 200 Km. zou moeten toenemen van 10"\' tot 10~® alm.\')
In die onderste laag is de opslorping al zoo groot dat men
niet meer dan een paar honderd Km. diep kijken kan; de
zon is van daar af als ondoorzichtig te beschouwen, en de
temperatuur stijgt snel. Deze theorie heeft stellig veel voor-
deelen; maar het is de vraag of het zal gelukken uit een
thermodynamische berekening aan te toonen dat een zóó
snelle toename van de drukking mogelijk is; in dat geval
zouden de opvattingen (4) en (G) elkander kunnen aanvullen.

7. Geheel onafhankelijk van vorige verklaringen is de theorie
van Julius, welke steunt op de onregelmatige breking. De
dichtheid der zonnegassen en hun uitspreidingscoëlïiciënt nemen
van binnen naar buiten geleidelijk af. Een gezichtsstraal die naar
het punt P van de zon gericht is (fig. 30), wordt pluimvormig
uitgespreid; vele van zijn verlakkingen brengen licht aan uit
de zeer heldere diepe deelen der zon. Een gezichtsstraal die
naar Q is gericht brengt veel minder licht aan: 1". omdat
hij verder van het middenpunt der zon loopt; 2®. omdat de
uitspreidingscoëfTiciënt van de zonnegassen in dit hoogere
niveau kleiner is. De aardsche waarnemer zal het punt P
tot de „photospheer" rekenen, het punt Q zal hij als daar-
buiten liggend beschouwen. Bij het bekijken van fig. 30
voelt men dat een betrekkélijk yerimje verandering in de uit-
spreiding voldoende zal zijn om een (jroofe verandering in de
lichtsterkte te geven. Dit is een belangrijk voordeel van de
theorie van Julius tegenover de theorieën die rechtstreeks op
de dichtheidsverandering steunen (nr. 4 en nr. C)

\') Russell & Stewart, A. J. 1924, 59, 208.
\') Vers!. Akad. Amsterdam, 1913, 22, fiS.

breken op de meest ingewikkelde wijze. Omhul dezen bol
door een alleen onregelmatig brekende laag, waarvan de
uitspreidingscoêfficiönt naar buiten toe snel afneemt. Een
waarnemer, op grooten afstand geplaatst, zal nu de scherpe
grens van den binnensten bol niet meer zien; de bol schijnt
hem grooter geworden, de nieuwe grens ligt meer naar buiten
en is waziger. — Gevraagd: hoe wazig? Hoe snel moet de
uitspreidingscoöfficiënt afnemen, wil de lichtsterkte aan de
nieuwe grens afnemen in de verhouding 100: 1 over een
hoogte van 700 Km.?

Deze formuleering schematiseert de opvatting van Jülius
alleen in zooverre, dat de binnenbol en de onregelmatig
brekende buitenomhulling hier scherp gescheiden worden ge-
dacht, terwijl zij in dc gedachte van Julius natuurlijk geleidelijk
in elkander overgaan.

Om dit vraagstuk op te lossen, kunnen wij met veel vrucht
gebruik maken van de voorstelling der twee-dimensionale
onregelmatige straalkromming, welke wij in hoofdstuk II
hebben uitgewerkt. Wij denken ons dus de zon als een cylinder
en beschouwen de onregelmatig brekende slieren als uitgerekt
evenwijdig aan de riciiting der as. Wij hoeven nu alleen
rekening te houden met de uitspreiding in een doorsnede

loodrecht op de as, waarvan wij het vlak als vlak van teekening
nemen. Door deze voorstelling worden alle integraties zeer
vereenvoudigd, terwijl het wezen van de redeneering en de
orde van grootte der uitkomsten dezelfde blijven als die welke
voor de onregelmatige breking in de ruimte zouden gelden.

Noem El den straal van den bol dien wij als „kern" aan-
nemen, i?2 = h El den straal van het buitenste boloppervlak dat
de onregelmatig brekende lagen omvat (fig. 32). A moge een
der punten zijn van het stralende binnenoppervlak, op een hoek-
afstand - — öi van het middelpunt der schijf; de lichtstralen

die van Pi uilgaan kenmerken wij door hun hoek met het
oppervlak. De aardsche waarnemer meet de straling die uit-
treedt door een punt A van het buitenoppervlak, onder een
hoekje u met de richting zon-aarde; dit hoekje zal ongeveer
0,004G rad. groot zijn wanneer Pa nabij den rand ligt.

De straling die van P- naar de aarde gericht is, is de
som der bijdragen van al de naaldvormige stralen Pi S die
van de punten Pi onder de verschillende hoeken -/j vertrokken
zijn. Elk der bijdragen van deze bundeltjes kunnen wij be-
rekenen met behulp van de wetten van hoofdstuk II.

Om den invloed der grenzen hoeven wij ons niet te be-
kommeren, dank zij de bijzondere wijze waarop wij het probleem
hebben gesteld. Immers, de stralen die van hel boloppervlak Ei
uitgaan bestaan uit twee deelen (fig. 31): die zooals O welke
voor de 1« maal door dit oppervlak gaan; en die zooals I welke
voor de 3o . . . maal het oppervlak passeeren. De stralen
die wij als oorsprong van de uittredende straling aannemen,
zijn die welke de bol Ei zou uitzenden indien er geen on-
regelmatig brekende omhulling was (vgl. blz. 97), dus de
groep O alleen. Wanneer wij deze stralen op hun gekromde
wegen volgen, zijn wij zeker dat wij al de stralen I behoorlijk
mee in rekening zullen brengen, en toch geen enkelen straal
meer dan éénmaal zullen tellen. Alleen nemen wij aan, dat
stralen zooals I op het korte stukje van hun weg dat zij in
den binnenbol afleggen, geen merkbare opslorping of molecu-
laire verstrooiing zullen ondergaan; dit is des te aannemelijker.

omdat deze verscliijnselen zeer zwak zijn nabij het oppervlak Ri
en slechts in diepere lagen toenemen, — Met den invloed
van de buitengrens, het boloppervlak B«, zouden wij kunnen
rekening houden volgens de methode uiteengezet op blz, 71.
Eenvoudigheidshalve zullen wij echter dezen invloed verwaar-

loozen; de bijdragen
van stralen zooals O\'
worden dus ten on-
rechte meegerekend,
maar men ziet onmiddel-
lijk dat de afwijkings-
hoeken dezer stralen
zeer groot zijn en dus
hun bijdragen uiterst
gering.

wij de drie grootheden berekenen die bepalen welk een bijdrage
de straal Pi S in Pi levert.

A) Een bepaalde, van Pi uitgaande lichtstraal Pi S, heeft
een weg Pi Pa af te leggen door de omhulling:

B) Zal de straal Pi S, die onder een hoek vertrokken
is, na onregelmatige breking in de richting van de aarde ge-
richt zijn, dan moet hij een hoekafwijking hebben ondergaan:

C) En eindelijk zal de straal Pi S een zijdelingsche ver-
schuiving r moeten ondergaan, wil hij in P2 uittreden. Deze
kunnen wij benaderen, als wij den hoek ^ (fig, 32) invoeren.

Nu weten wij weliswaar niet hoe de straling die den bol
El verlaat, over de verschillende uittredingshoeken verdeeld
is. Maar aangezien wij vooral het randverschijnsel willen
nagaan, zullen wij alleen te maken hebben met stralen die
onder kleine hoeken >) uittreden. In dat geval kunnen wij
de verdeeling der lichtsterkten van de kern voldoende nauw-
keurig beschrijven door een lineaire formule: A Bvj. Deze
lichtsterkten zijn gemeten per lijn- en hoekelement, loodrecht
op de straling, zooals de rechtstreeks waarneembare helder-
heidsverdeeling op de zonneschijf; een aardsch waarnemer zou
dus aan den rand van de kern de oppervlakte-helderheid A
zien; de grootheid li beschrijft hoe die helderheid van den
rand af toeneemt naar het centrum. De straling per lengte-
eenheid van den zpnsomlrek is dus {A -f- li >5) sin vj) Ih d 0 d
Met het oog op de aanstonds uit te voeren integratie, merken
wij op dat de hoek weinig verschilt van den hoek C/ler
lijn Pi Pi met het zonsoppervlak; en wij schrijven

Het geval van een dampkring met veranderlijken uit-
spreidingscoë£Bciënt. —

In het algemeen zal de uitspreidingscoëficiënt k alleen een
functie zijn van den afstand R tot het middenpunt van de
zon; een stralenbundel die van Pi uitgaat, doorloopt dus
lagen van verschillenden uitspreidingscoëfficiënt. De opper-
vlakken van gelijke k zijn nu niet loodrecht op den naald-
vormigen bundel Pi Pi gericht, zooals in hoofdstuk II § G
was aangenomen. Wij hebben echter de uitspreiding der
bundels in den omhullenden onregelmatig brekenden damp-
kring gering ondersteld; het verloop van den coëfficiënt dwars
op den bundel kan daarom verwaarloosd worden tegenover
het verloop in de richting van den bundel zelf, en men kan
de formule (44 blz. 54) toepassen. De grootheden Ku Ka
zijn integralen van k langs den weg Pi P2 = X; om ze te
bepalen teekent men de functie k{R) over in den vorm

Onze algemeene uitspreidingswet voor naaldvormige bundels
geeft nu de straling die van uit P2 naar de aarde gericht is,
als een dubbelintegraal van den vorm:

Deze integraal beschrijft behoudens vereenvoudigende onder-
stellingen de lichtverdeeling op een stralenden bol, omringd
door een onregelmatig brekenden dampkring van veranderlijken
uitspreidingscoêfficiënt.

Het geval van een dampkring met overal gelijken uit-
spreidingscoëfficiënt. —

eenvoudiger. Wij kunnen ze vinden door in de vorige uil-
drukkingen (19) Ie slellen: \')

Dan krijgen wij dezelfde uitdrukking als (19), doch met
eenvoudiger waarden van de verschillende letters.

Bedenkt men dat nu x = — x, ß = x y = — l, dan
komen er allerlei rereenvoudigingen. De formule die de
lichtverdeeling geeft wordt:

Deze integraal boschryfl «Ie liclilverdeeling over een stralentltMi
hol van straal omring«! iloor een onregelmalig brokonden damp-
kring van overal gelyken uilspreidingscoömciënl k. De waarnonier
is ver verwijderd gedacht. De integrand gocifl aati hoeveel siraling
van een punt /\'i van dc «korn» een imnl i\'a van hol htiitenopper-
vlak bereikt en van daar naar <ten waarnemer slraall (lig. 32).
Dn integraal sommeert over al de punten /V De letters A en JJ
l)c.schryvcn de .straling die de kern verlaat (blz. 100).

Wij zullen de volgorde aangeven waarin de integrand
berekend moet worden en tevens de beteekenis der letters
herhalen.

Tenslotte verkrijgt men den totalen coëfficiënt van A en
dien van B. Daarna wordt vermenigvuldigd met den factor
t/3 sinC

De uitkomsten der integraties (23) zijn medegedeeld in label V.
De getallen omringd door het teeken Q zijn de coöficiönten
der /i-straling, al de andere zijn de coëfficiënten der ^i-straling.

Denken wij ons bijvoorbeeld een gelijkmatig stralenden bol,
die over geheel zijn oppervlak een helderheid 100 vertoont,
omhuld door een dampkring welke 0,1 II dik is; en bekijken
wij den uitersten rand van die omhulling, dan vinden wij

den uitspreidingscoëfficiënt der omhulling. Vertoont echter
de stralende bol een helderheid 100 A aan den rand,
lOOyl 100 Z^-^ op een (heliocenlrischen) hoekafstand van den
rand, dan wordt de helderheid der omhulling 47.3^1 40 Z^,
36.3 A 24.6 B, enz.

Straling van ccn bol (cylinder) omringd door ccn
onregelmatig brekenden dampkring.

ï) Dat (leïo getallen niet 100 zyn, is te wü\'ten aan onvcrmüdelükc
onnauwkeurigheden bij do graphischo integratie.

1. Voor een dampkring van gegeven dikte doet een toe-
name van den uitspreidingscoëtliciënt de lichtsterkte afnemen
in de middenste deelen, toenemen in de randgedeelten. De
onregelmatige breking verdeelt dus de straling gelijkmatiger.

2. Voor een dampkring van gegeven uitspreidingscoëfficiënt,
is de lichtsterkte aan den rand des te grooter naarmate deze
dampkring dunner is.

3. De invloed van de ongelijkmatige helderheid van de
kern op de randgedeelten doet zich vooral gevoelen bij een
dikken dampkring en sterken uitspreidingscoëfficiënt.

Bijzonder merkwaardig is de groote invloed dien een geringe
verandering van den uitspreidingscoëfficiënt op de lichtsterkte
hebben kan. In de tabel voor li= \\ i\\ en 02 = 0 zien wij
bijvoorbeeld de lichtsterkte bijna 100 maal kleiner worden,
wanneer k U\\ van 0,20 tot 0,05 afneemt. Juist op dit ver-
schijnsel, dat wij hier wiskundig hebben bevestigd gevonden,
^ berust de verklaring van den scherpen zonsrand door Jümus.

Wij gaan uit van de „kern" der zon, het gedeelte waarin
verstrooiing, uitstraling, opslorping de hoofdrol spelen, en
waarvan wij met Julius den straal schatten op 0,0 van den
straal der schijnbare photospheer. Rond deze kern brengen
wij nu achtereenvolgens een reeks onregelmatig brekende om-
hullingen aan; voor het gemak der berekeningen beschouwen
wij in ieder dezer bolschalen den uitspreidingscoëfficiënt als
constant.

A. Onderzoeken wij vooreerst of het mogelijk is dooreen
onregelmatig brekende omhulling de grens van de stralende
„kern" schijnbaar naar buiten te verplaatsen, tot aan den
cirkel dien wij als „photospheergrens" waarnemen. Wij kiezen

dus een bolschaal met /i = ^ = l, l. Haar uitspreidings-
coëfficiënt moet zóó groot zijn, dat de rand nog ca. 40%

van de centrale lichtsterkte vertoont; dit volgt immers uit
de metingen van Julius tijdens de zonsverduistering van 1912\'),
j de eenige objectieve bepaling van de lichtsterkte aan den ^
\' rand der zon welke ooit is uitgevoerd.

Indien wij aannemen dat de kern straalt als een zwart
lichaam, moeten wij in onze formules A = 1,00; B = 0 stellen.
Waarschijnlijker is het, dat de kern een randverzwakking ver-
toont zooals die bijvoorbeeld welke Si\'ijkehboer voor ver-
strooiende lagen heeft berekend 2): A = 0,39; B = 0,92; cen-
trale lichtsterkte = 100.

Uit tabel V volgt nu de lichtsterkte aan den rand der
onregelmatig brekende omhulling, wanneer de centrale licht-
sterkte met 100 willekeurige eenheden-wordt gelijkgesteld,

k Ri= 2 1 0,2 0,05
.•l=l,00;ß = 0 i7,3 36,3 8,6 0.091
.1=0,39; /i = 0,92 55,2 36,7 7,0
In beide gevallen voldoet een uitspreidingscoötllciönt 1 tot
1,3 het best. Do sterke randverzwakking die wij voor do
kern hebben aangenomen, hoeft slechts geringen invloed op
onze keuze gehad.

13) Om de omstandigheden dichter nabij de schijnbare
photospheergrens te onderzookon, gaan wij rond de omhulling
A een nieuwe voel dunnere bolschaal aanbrengen, waarvan
de dikte \'/\'oo" bedraagt van den straal der schijnbare zonne-
schijf fê = 1,01
\\/ii

Deze laag wordt verlicht door de bolschaal A, waarvan de
lichtvordeeling niet veel zal verschillen van die welke wij op
aardo waarnemen; volgons do metingen van Julius : A=0,44;
li = 67.

Do lichtstorkle aan don rand van bolschaal B wordt (in
dezelfde eenheden als hierboven):

\') Vcml. Akad. Amnt. 1013, 21, NOO. Domclingon hebben betrekkin);
u|) dc totnlo slrniing van nllo golflengten.

A=\\,00; B = 0 54,3 41,8 28,4 4,8 0,001
^ = 0,44; B = Ofil; 40,0 30,0 16,7
Onze eisch is nu, dat de lichtsterkte tot zelfs aan den
rand dezer bolschaal slechts langzaam dale. Dit wordt bereikt
door k Ri = l te kiezen; de lichtsterkte vermindert dan van
44 tot 40 over een afstand 0,01 R, toevallig precies het bedrag
dat de metingen van Julius voor de verandering der straling
nabij den rand opleveren. Het is dus mogelijk de onregel-
matig brekende omhulling te laten dikker worden, en toch
de lichtsterkte aan den rand ongeveer onveranderd te bewaren.

C) Onderzoeken wij nog het laagje dat vlak onder de
photospheergrens gelegen is, voorgesteld door een nieuwe

D) Het nu volgende laagje, insgelijks ^mo van den straal
dik, ligt voor den aardschen waarnemer nauwelijks 1 boog-
secunde verder naar buiten dan het vorige. De eisch is, dat
zijn lichtsterkte ongeveer 100 maal zwakker weze. De tabel V
bewijst dat dit voor den uitersten rand van de laag het geval
zal zijn, indien haar uitspreidingscoëiïlciënt ongeveer 0,008
bedraagt. Op 0,999 R ziet de waarnemer dan de scherpe
grens van den binnenbol C; op 0,998 R heerscht reeds volle
lichtsterkte. Dit laatste blijkt uit tabel V, die voor de licht-
sterkte bij 02 = 4° (= 10\' -f bg cos 0,998) ongeveer 90 een-
heden opgeeft.

Een afname van den uitspreidingscoëfficiënt van 1 tot 0,008,
overeenkomend met een 7uveauverschil van 700 Km., is dus
voldoende om de scherpe grens van de zonneschijf te verklaren.

letten alleen op de straling A, wat voldoende is bij de kleine
uitspreidingscoëfficiënten die in aanmerking komen.

Een bolschaal die 0,01 R dik is vertoont geen noemens-
waarde lichtsterkte meer aan haren rand, indien 0,01.
Echter zou zij dan teel de scherpe grens van den binnenbol C
verwazigen, en dit te vermijden wordt nu onze hoofdvereischte.
Deze scherpe grens moet gezocht worden in de buurt van
02 = 8°V2; label V toont dat zij daar inderdaad verschijnt
indien <0,0001.

Het intensiteitsverval schijnt te gebeuren over een afstand van
0,003 R, dus van ongeveer 3"; maar nadere berekening voor
hoeken 02, gelegen tusschen 8° 30\' en 9° 30\', zou misschien
aantoonen dat de breedte van de wazigheid nog geringer
uitvalt. De aansluiting bij de werkelijkheid is dus vrij be-
vredigend voor = 0,0001.

F.) Tenslotte beschouwen wij nog een buitenste bolschaal,
0,1 U dik. De grens moet dan gezien worden nabij het punt
(pi = 24° 54\'. Een voorloopige schatting wijst uit, dat de
lichtsterkte even buiten die grens, bij 24° 4G\', kleiner dan 1
wordt, wanneer k Ri van de orde 10"^ is. Wij mogen aan-
nemen dat de grens dan voldoende scherp zou blijven.

De uitspreidingscoëfficiënten in de verschillende lagen der
zon zijn dus ongeveer:

Nabij de schijnbare .photospheergrens" eischt de theorie
van Julius dat de uitspreidingscoëfficiënt over een hoogte-
verschil van 700 l\\m. 125 maal kleiner worde; bij gelijk-
blijvende .roering" in den dampkring, is daartoe voldoende
dat de dichtheid in de verhouding 11 tot 1 dale. Dit is heel
wat aannemelijker dan de verhouding 10* (over 200 Km.)
van Schwarzsciiild en 10^ (over 200 Km.) van Stewaht en

Russëll. De grondgedachte van de theorie van Julius is
aldus volkomen bevestigd.

Voor onzen aardschen dampkring kunnen wij den uitsprei-
dingscoëfficiënt berekenen uit de waarnemingen der scintillatie.
(vgl. blz. 4). Wij mogen aannemen dat de luchtlaag welke
de scintillatie veroorzaakt, van de orde van 10 Km. is, dus
1.4X10-\'^ i?. (/i\' = straal der zon). Een middelbare af-
wijdingshoek van 4", zooals men op aarde dikwijls waar-
neemt, komt dan overeen met een uitspreidingscoêfficiënt van

die wij even buiten de photospheer hebben gevonden, in lagen
die reeds zeer ijl zijn.

Bij gelijke dichtheid schijnt de dampkring der zon dus zeer
veel meer gradiënten te vertoonen dan de dampkring der aarde.

Het is mogelijk aigemeene betrekkingen aan te geven tusschen
den uitspreidingscoêfficiënt van een dampkring en de roering
die in dezen dampkring heerscht.

Beschouw één bepaalden straal; denk den dampkring op-
gebouwd uit een groot aantal elementairgebieden, zoo dal de
straal een even langen weg l door elk gebied afiegt.. In
zulk oen gebied moge de optische dichtheidsgradiënt n overal
gelijk en gelijkgericht zijn, zijn componente loodrecht op de
straalrichting wezo n.

(voor gassen is n ongeveer 1), en ondergaat hij oen afwijking
ix = ln; de uitspreidingscoëfficiënt wordt

ratuur van 0° en een drukking van 1 almospheer, s de dicht-
heid (t. o. van de normale), s den dichtheidsgradiënt in een
gebied, i de componente daarvan welke loodrecht op den
lichtstraal is gericht. Wij kunnen nu van den optischen naar
den mechanischen gradiënt overgaan:

Een gradiënt s, die een hoek y vormt met de richting van
den straal, heeft een componente ? = s sin y. Do kans op

Do uitspreidingscoëfficiënt van een gas is dus evenredig
met het vierkant van hot brekend vermogen en van de dicht-
heidsgradiënten; hij is recht evenredig met de gemiddelde
afmeting der gradiëntgebieden (bij gegeven waardo van den
gradiënt).

Wanneer . de gradiënt heerscht over een afstand /, zal
de schommeling van de dichtheid bedragen:
(28) As = ls.

Bij gegeven waarde van de amplitudo der dichtheidsschom-
meling, is de uitspreidingscoëfficiënt dus omgekeerd evenredig
met de afmetingen der slieren.

Tenslotte kunnen wij nog bedenken, dat de amplitudo der
dichtheidsschommeling in het algemeen kleiner zal zijn dan
2 maal de gemiddelde dichtheid. Wij schrijven dus:

Passen wij nu deze formules toe op den dampkring der aarde.
Uit de scintillatiewaarnemingen hebben wij gevonden:

Volgens Exner is de gemiddelde afmeting l der slieren van
de orde 15 cm. (vgl. blz. 4). Laboratoriumproeven geven
voor het brekend vermogen van lucht bij 1 atm. en 0°:
„0-1 =3. 10-*.

male dichtheid bij 0° en 1 atm.).
Volgens (28) bedraagt de amplitudo der schommelingen:
A 8 = 3 .10"^ (t.o. der normale dichtheid).

Deze dichtheidsschomnïelingen worden toegeschreven aan
de turbulentie der luchtstroomingen. Zij superponeeren -zich
op den veel zwakkeren algemeenen gradiënt van onzen damp-
kring, die van de orde 1,3.10"® —is.

Passen wij onze formules toe op de zon, en wel op de laag
vlak onder de „photospheer", waar de onregelmatige straal-
kromming de eigenaardigste werkingen uitoefent. Volgens

radVcm. Voor een temperatuur van 6000° en een drukking
van 1 atm. wordt s ongeveer 0,05. Wij onderstellen voor-
loopig Mo — 1 = 3 . 10-^ zooals voor lucht op aarde. Uit (29)
vinden wij

De afmetingen der slieren op de zon zouden dus van dezelfde
orde van grootte worden als op aarde, de dichtheidsschom-
nielingen echter honderd maal grooter.

Dit beeld van de zon zou ons afmetingen en verhoudingen
vertoonen die aanzienlijk afwijken van die welke Jui.ius zich
had voorgesteld. Bij het verder uitbouwen der theorie staan
wij thans voor de keuze tusschen twee mogelijkheden:

öf de gradiënten zijn inderdaad slechts enkele cm. groot;
dit zou in overeenstemming zijn met de belangrijke rol die
.microstructuur" in den dampkring dor zon schijnt te spelen;

df de gradiënten zijn veel uitgestrekter, maar dan is ^do
brekingsaonwijzer der zonnegassen grooter dan wij uit de
aardsche proeven hadden besloten. De hevige bestraling
(resp. electronenbescliieting) waaraan hun moleculen zijn bloot-
gesteld, maakt dit stellig niet onwaarschijnlijk.

§ 12. DE ONREGELMATIGE STRAALKROMMING
ALS NIET-OMKEERBAAR PROCES. MAKROS-
KOPISCHE EN MIKROSKOPISCHE BESCHOU-
WINGEN.

Niet-omkecrbaarheid van den stralengang bij de on-
regelmatige straalkromming. —

Beschouwen wij een naaldvormigen lichtbundel, die door
onregelmatige straalbreking pluimvormig uitgespreid wordt.
Wanneer wij omgekeerd een pluimvormigen bundel door een
onregelmatig brekende massa zenden, zullen wij er geenszins
in slagen hem weer te veranderen in een fijnen, naaldvor-
migen straal. — Laten wij echter het verschijnsel niet meer
,makroskopisch", maar .mikroskopisch" beschouwen. Als het
mogelijk was den dampkring geheel in rust te houden en elk
van de oneindig dunne lichtstralen nauwkeurig in de uit-
tredingsrichting terug te zenden, dan zou ook inderdaad
omkeerbaarheid beslaan.

Op deze wijze beschouwd, is de onregelmatige breking
geheel in overeenstemming met wat wij weten van de andere
niet-omkeerbare processen.

Wij zullen een straal door het punt in de richting «
aanduiden door de notatie (/J, x), den omgekeerd loopenden
straal door [A, — a). Nu geldt algemeen volgende stelling:
wanneer in een onregelmatig brekende middenstof de straal
{A,x) van sterkte Si een bijdrage St levert tot den straal {li, ß),
dan zal omgekeerd de straal {li, — ß) van sterkte Si een bijdrage
Si leveren tot den straal {A, — ä).

Deze wederkeerigheidswet volgt niet uit symmetrieredenen. In
j ^ ^ ■ , — . . \' / - fig. 33 zijn bv. de

- r / ^

O/ rV

-PXB ^

gekozen, dat de ver-
^ trekkende straal «
gericht is naar het
punt van aankomst
B; terwijl bij omge-
keerden stralenloop
— i3 geenszins in de
richting van A loopt.
Toch levert A in
het eerste geval een
even groote bijdrage

willekeurig gesloten op-
pervlak, zóó dat iedere
straal die van A naar
B gaat dit oppervlak
moet snijden. Noem
het breukdeel

der straling dat van A
komt in de richting
en dat in C uittreedt
door een oppervlakte-
element d fl-, binnen
een hoekje dw in de richting r-

Wanneer de wederkeerigheidswet gold voor elk der over-
gangen A C, C B, dan zou ook gelden, [.-!„ =

Nu kunnen wij tusschen ^ en /? meerdere elkander niet
snijdende oppervlakken aanbrengen; in elk van de laagjes
waarin wij aldus de ruimte verdeelen, worden de uitsprei-
dingshoeken steeds kleiner; tenslotte kunnen wij de uitspreiding
binnen één laagje voldoende nauwkeurig beschrijven door de
kansfunctie x[oi) van blz. 8, en deze voldoet aan de weder-
keerigheidswet op termen van hoogere orde na. Bijgevolg
is zij ook algemeen geldig voor groote uitspreidingen.

Mits enkele voorzorgen kan men de wederkeerigheidsstelling
der onregelmatige breking beschouwen als een bijzonder geval
van de optische wederkeerigheidswet van Helmholtz. Deze
is door hem aldus uitgedrukt\'):

„een lichtstraal kome van het punt A na willekeurig veel
„brekingen enz. naar het punt li. In A brenge men door
„de richting van dien straal twee willekeurige vlakken en «z
„loodrecht op elkander aan, volgens dewelke men zijn trillingen
„ontbonden denkt; twee dergelijke vlakken worden insgelijks
„aangebracht door den straal in li. Dan kan men het volgende
„bewijzen: als de lichthoeveelheid J, gepolariseerd in het
„vlak ai, uitgaat van A in de richting van den beschouwden
„siraal, en als daarvan de hoeveelheid A\', gepolariseerd in
„het vlak ht, in li aankomt; dan zal langs denzelfden weg,
„maar omgekeerd, indien de lichthoeveelheid ./ volgens In
„gepolariseerd van li uitgaat, dezelfde hoeveelheid A\'volgens
„rti gepolariseerd in A aankomen".

Voor deze stelling is door II. A. Lohentz een algemeen
electromagnetisch bewijs gegeven

De wiskundige uitdrukking van de wederkeerigheidsstelling
leidt ons tot het aangeveti van transformaties waarvoor de
uitspreidingswetten invariant moeten zijn; voor het ontdekken

\') H. von HEi..Nfnor.tz: Phyniol. Optik, 3q Aufl., I, I9S. Vörie«,
über Theorie der Wärme, Ix^ipzig 1903, 1.\')8.
\') Verrtl. Akad, Amsterdam, 1895, 4, 17ü.

van nog onbekende uitspreidingswetten kunnen deze betrekkingen
van groot belang zijn.
1. In het platte vlak. —

Neem den straal {A,x) als ^-as, meet ten opzichte van dien
straal de grootheden en laat de uitspreidingswet zijn :

Si = f{X,r,ê). Bij het wederkeerige geval kiezen, we den
straal {B, (3) als ^-as, en meten r\' ten opzichte daarvan;
de uitspreidingswet zij nu: S = f[X\\r\\<y\').

Wij kiezen als rc-richting den invallenden straal, als vlak
van teekening het vlak ABC door A B en door de ic-as
(flg. 36). Trek B K evenwijdig aan de a;-as.

De bij B uittredende straal B D wordt jbepaald door de
grootheden X, r, door zijn hoek i\'> = 1) B E met de x-as, en
door den hoek \\p van het vlak ABC met het vlak D B K.
Voeren wij nog een derde as z in, loodrecht op de j;-as en
op de r-as, en door B gaande.

De richtingscosinussen van den straal B D zijn (fig. 37):
cos sin cos i//, sin sin t/^.

De afstand X\' is de
projectie van A B of A BC
op de richting van den
uittredenden straal B l);
de afstand r\' van het punt
A tot aan de lijn B I) door
den oorsprong, is gegeven

tenslotte is de hoek tus-
schen vlak A B D en vlak
\' \' DB E, zijn waarde is af

Mier wordt hij uitstek duidelijk dat de wederkeerigheids-
stelling geenszins vanzelfsprekend is; de opbouw van den
dampkring brengt een element van asymmetrie in het vraag-
stuk, waarvan de gevolgen niet zonder meer zijn te overzien.

Voor .r, r, t/\' gelden dezelfde transformalies van blz. 117.
Nu gaat ook voor kleine hoeken k over in k\' (a:) = k (X — a:), en

Onze uitspreidingswet (blz. 54) voldoet inderdaad aan deze
wederkeerigheidsbelrekking. Vereischt is:

Schrijft men de integralen (5) uit, en past men enkele een-
voudige transformaties toe, dan kan men die betrekkingen
gemakkelijk bewijzen. Tevens is dan aangetoond, dat in (44)
blz. 54 de noemer van den exponent behoorlijk in zichzelf over-
gaat; het is daartoe voldoende in de uitdrukking 2 KiK^—Ki\'^
de grootheden door hun waarden (5) te vervangen.

Dc stelling van Malus en het golfoppervlak voor
onregelmatig gebroken stralenbundels. —

Malus heeft er de aandacht op gevestigd, dat de lichtbundels
algemeen behooren tot de stralenstelsels die men orthotomisch
noemt: dit beteekent dat het altijd mogelijk is een oppervlak
aan te brengen dat al hunne stralen loodrecht snijdt. Malus
heeft aangetoond dat een bundel die eenmaal orthotomisch
is het ook blijft na willekeung veel brekingen en terugkaatsingen.\')
Nu is het merkwaardige, dat een naaldvormige bundel door
onregelmatige breking wordt opengespreid tol een lichtpluim,
die een bij uitstek kenmerkend voorbeeld van ;i/c/-orlholo-
mischen bundel schijnt te zijn. In die lichtpluim gaat immers
door elk punt een bundeltje stralen van allerlei richtingen,
en men zou meenen dal het onmogelijk moet zijn ergens
een normaal vlak aan te brengen.

Om deze schijnbare tegenstrijdigheid op le lossen, moeien
wij den stralengang .mikroskopisch" nagaan. Eenvoudig-
heidshalve behandelen wij eerst het 2-dimensionale geval.
Het naaldvormige bundeltje dal door de onregelmatig brekende
laag uitgespreid is, bestond oorspronkelijk uil een reeks even-
wijdige stralen, die wij ons kunnen denken op regelmatige
afstanden van elkander, en die wij in hun volgorde kunnen

Zie de litcraluur over de «telling van .Malus in Czapski-Epi-en-
stkin: Grundzüge der Theorie der optischen Instrumente. Leipzig 1924.
blz. 19 en volgende.

onregelmatig brekende laag is gedrongen, zoeken wij den straal
op die bet nummer 1 draagt, en door een zijner punten
brengen wij een loodlijn aan. Die loodlijn snijdt een weinig
daarnaast den straal die nummer Si heette; in dit nieuwe
snijpunt teekenen wij de loodlijn op straal 2 en volgen die
tot aan straal 3. En zoo doorgaande moeten wij een ortlio-
gonale trajectorie vinden die alle stralen loodrecht snijilt;
door de afstanden dx waarin de stralen 1,2.... op elkaar
volgden oneindig klein te laten worden, is het altijd mogelijk
het verloop der trajectorie zoo nauwkeurig als men wil te
benaderen.

Hoe zal er nu zulk een trajectorie uitzien? Wij dienen
te bedenken dat de invloed der onregelmatige breking van
tweeörlei aard is: 1) hij verandert de helling »\'> der stralen;
2) hij verschuift ze heen en weer. Wanneer wij dus van
den H-den uittredenden straal naar den (;i l)-den overgaan
langs de orthogonale trajectorie, zullen »■> en r onafhankelijk
van elkander op grillige maar doorloopendo wijze veranderen.
Bij een bepaalden overgang dn langs de orthogonale trajectorie
kunnen zich verschillende gevallen voordoen; de kurven in
do kolom rechts van onderstaand tabelletje geven aan hoe
de orthogonale trajectorie in fig. 38 verloopen zou.

In het algemeen zal de orthogonale tra-
jectorie dus een zacht golvende lijn zijn
(zoolang wij ons tot kleine uitspreidingshoeken
beperken), waarin echter een groot aantal
spitsen voorkomen, en wel gemiddeld even
veel spitsen als er keerpunten in de kurve
zijn (flg. 39). Deze spitsen zijn in het algemeen
spitsen ^van de eerste, soort^naarmate men
dichter bij hel uiteinde van de spits komt, gaan
de twee raaklijnen willekeurig dicht tot elkaar
naderen. De gevallen A en & (lus) komen
niet voor. Siechls geheel uitzonderlijk kan
een spits ,van de tweede soort" voorkomen.

In de ruimte met drie afmetingen worden
onze bevindingen ongeveer dezelfde. Inplaals
van de orthogonale trajeclorie komt er een
orthogonaal oppervlak, dal een zeker aantal
teruijkeerkanten == (jnmtlijnen vertoont. De
graat lijnen zullen in het algemeen geen ge-
sloten kurven zijn, maar stukjes met een
begin en een euidèi\'

De orthogoi;iale Irajectoriën zijn levens de
golfoppervlakken van hel licht, volgens de
trillingstheorie, en, wij hebben dus gevonden
hoe de algemeene A{orm van hel golffront na de

sterren wordt toegezonden; het is ietwat bevreemdend dat men
in de gewone figuurtjes altijd een verloop van het golffront
zonder spitsen geteekend vindt \') (fig. 40), terwijl deze toch
onmiddellijk te voorschijn komen zoodra men het orihogonale
oppervlak op een iets verder gelegen punt van de lichtslralen
aanbrengt, üe spitsen of graatlijnen komen trouwens ieder
oogenblik te voorschijn wanneer men golfoppervlakken gaat
teekenen 2). Wanneer wij ons twee opeenvolgende golffronten
voorstellen, elk met een spits, zien wij dat er snijpunten
ontstaan, waar dus twee coherente golven gelijktijdig aankomen
langs verschillende wegen (fig. 30). Zoo krijgen wij een
aanschouwelijke voorstelling van het bekende feit, dat dub-
belgekromde golfoppervlakken in het algemeen tot interferentie
aanleiding geven

>) Zie bv. Pkuntkr-Exnkii, Meteor. Oplik, 2o Aufl. 1<.I22, blz. 220.
Wood, Physical Oplicfl.
\') Zio Wood, Physical Optics, hoofdolnk III.

Waarotn deze inlcrferenlie toch bij bct neinlillwrcii der Rterren >5ccn
rol Kiwelt, vindt men uitKclend bij havm-Kin, Phil. Mag. 181)3, h(5,
129 cn bij Kxnkk, Sitzungnber. Akad. Wien 1881, «4. 1038 (zie biz.
1075) en Sitzungsber. Akad. Wien 19Ü1, 110, II A, 114.

Het golfoppervlak voor een eenvoudig geval van „on-
regelmatige" straalkromming. —

Ter toelichting van vorige beschouwingen en ter nadere be-
paling van de gedachten, zullen wij het golfoppervlak nagaan
voor een zeer eenvoudig geval, dat van een bundel even-
wijdige stralen, die gebroken wordt in een dunne laag waar-
van de brekingsaanwijzer periodieke schommelingen vertoont
(flg. 41). Is ^ de richting waarin de stralen invallen, y die
waarin de brekende laag zich uitstrekt, dan nioge bijvoorbeeld
de brekingsaanwijzer van het gas verloopen volgens de wet:

Do hellingen van de niltrodende stralen ten opzichte van de
^-as worden: rsiny, waarin c oen constanle is die afhangt
van rt, b, en de dikte der laag.

De orthogonale trajectoriën (golfoppervlakken) zijn dus ge-
geven door de differentiaalvergelijking:

Laten wij afspreken dat wij de trajectoriën bestudeeren in
de omgeving van de as ?/=0; dan wordt

Kio. 12.

Wij vestigen nu onze aandacht op de .viijpunfen van de
sinud\'urve met de rechte lijnen. Voor kleine waarden van A"
is er miiar één enkel snijpjuit: s = üdus !/\' = r/:. inderdaad
ziet men in fig. 41 dat kort na het passeeren der brekende
laag alle golfvlakken loodrecht op do A-.as stann. I3ij loe-
nemende waarden van x echter komt er een oogenblik waar-
op de rechte lijn aan de sinuslijn raakt in Ji en li\' en ze

indien ^ = I" een rechthoekig assenstelsel zetten wij de
waarden van 2: uit als abscis; wij teekenen de kurve .sin
en de rechte lijnen —voor verschillende waarden van

daarna gaat snijden; dit beteekent dat de spitsen die zich in
het golfoppervlak hebben gevormd (fig. 41) zich zoover hebben
uitgebreid dat zij de ^-as hebben bereikt; voor één bepaalde
waarde van kan van dan af z (en dus de helling y\' der
golfvlakken) 5 waarden hebben: de spits die van boven aan-
komt en door de x-as dringt geeft 2 verschillende hellingen,
de spits die van beneden komt geetl er 2 van tegengesteld
teeken, en tenslotte is daar ook het gedeelte van het golf-
front dat loodrecht op de x-as blijft doorloopen. Voor nog
grootere waarden van x, dus op nog grooteren afstand van
de brekende laag, vinden wij dat een nieuwe groep van 4
snijpunten CC\' optreedt; dit is het oogenblik waarop niet
alleen de naastbijzijnde, maar ook de eerstvolgende spitsen
de ^-as hebben bereikt.

Zoo kan men alle eigenaardigheden van fig. 41 getrouw
weerspiegeld vinden in de graphische voorstelling fig. 42.

De afstand waarop de spitsen voor het eerst verschijnen is
van dezelfde orde als de gemiddelde „kromtestraal" dien men
aan de golfoppervlakken kan toeschrijven. Bij de scintillatie der
sterren is gebleken dat deze kromtestraal gemiddeld van de
orde 2—4 Km. is Men kan aannemen dat deze krommin-
gen der golfoppervlakken ontstaan door optische gradiënten
in alle lagen van de tropospheer, en dat de onderste lagen
daarbij niet de geringste rol spelen. Het zal dus waarschijnlijk
vrij zelden voorkomen dat de golfoppervlakken welke wij op
aarde waarnemen hunne kromming reeds in de hoogste lagen
hebben gekregen; meestal zullen zij dus nog geen spitsen
hebben gevormd op het oogenblik dat zij ons oog bereiken;
dit bevestigt weer de thans algemeen aangenomen verklaring,
dat interferentie geen rol speelt bij de verschijnselen der
scintillatie.

"\') Exnkr: Siiziing^ber. Akad. Wien. 1881, 84, 11, lOM.
riïrntkh & Tkaukut: Silzuiignber. Akad. Wien, 1888, 97, Ila, 1301.

inzicht te krijgen in een schynbare tegenstrijdigheid die zich
bij de studie der onregelmatige breking voordoet.

Beschouw een bundeltje van sterkte sa, uitgezonden door
het vlakje diXA binnen een ruimtehoekje d ua. Plaats op
eenigen afstand Ia van A een bolle lens, vermijd terugkaat-
singen op hare oppervlakken door de stof waaruit de lens
bestaat geleidelijk te laten overgaan in de middenstof waarin
wij onze proef uitvoeren. Aan de andere zijde van de lens,
op een afstand In, vormt zich een beeld d <tb van hel vlakje
d (Ta- Alle lichtstralen die van d ca zijn uitgegaan komen iii
d <Tii tezamen: SAd iTAdü)A = ssdffnduB; terwijl echter het

gewijzigd. Dit beteekent dat d(TA<lo}A = d(Xjiduii, en dat de
sterkte s der bundeltjes niet veranderd, is. Door een dergelijke
redeneering zou men aantoonen dal ook in C, buiten het
beeldvlak, de sterkte der straling dezelfde is gebleven \')

Hoe is het nu mogelijk, dat door willekeurige makrosko-
pische brekingen de sterkte van een kogelbundeltje onver-
anderd blijft, ierwijl de onregelmatige breking deze sterkte
doet afnemen volgens wetten die wij hebben kunnen afleiden?

Denken wij een oogenblik aan de gollTronten welke wij in
een eenvoudig geval hebben geleekend (blz. 124). De straling
die door een mikroskopisch oppervlakte-element uittreedt, be-
staat uit een groot aantal bundeltjes, in ieder waarvan de
lichtsterkte even groot is als vóór de lichtbundel de onregel-
matig brekende laag passeerde; maar deze bundeltjes zijn ge-

Evenzoo kan men de stra-
ling onderzoeken die bin-
nen een mikroskopisch
ruimtehoekje uittreedt, en
vindt dan dat zulk een
straling slechts door enkele
heldere vlekjes van het
makroskopisch oppervlak-
te-element passeert. Wan-
neer men r\\n makroskopisch
den uittredenden licht-
bundel onderzoekt, vindt
men natuurlijk dat zijn
.sterkte" kleiner is ge-
Fig. 44. worden.

Een dergelijke beschouwing geldt voor de entropie. Breking
door stelsels lenzen of prisma\'s doet de entropie van een
bundel niet veranderen. \') Na onregelmatige breking daaren-
tegen vinden wij dezelfde totale energie verdeeld over een
grooter oppervlak en een wijderen ruimteboek; in elk makros-
kopisch gedeelte is de temperatuur der straling afgenomen,
dus moet de entropie van den lichtbundel bij het verschijnsel
aangegroeid zijn. De verklaring is alweer, dat een entropie-
beschouwing de kleine\' lichtbundeltjes en de tusschenruimlen
als geheel ziet. Zoodra men mikroskopisch gaat ontleden ver-
dwijnt de entropietoename en levens de niet-omkeerbaarheid
van het verschijnsel.

Eigenlijke proeven over het verschijnsel der onregelmatige
straalkromming zijn tot hiertoe niet genomen. De onregel-
matige breking door glaspoeder, altijd gepaard met onregelmatige

\') Vgl. over (lü entTopi.i van lichtbunilclM: H. A. Lorkntz. Stralingfl
theorie, I^idun IÜI9, hootdHluk III.

terugkaatsing, is niet zonder meer met onregelmatige straal-
kromming te vergelijken; de proeven met vloeibare kristallen
zijn ook van ietwat anderen aard, wegens de dubbelbreking
der structuurelementen (vgl. blz. G).

Wij hebben ons daarom voorgesteld, door enkele eenvou-
dige proeven en metingen de voornaamste wetten der onregel-
matige straalkromming te onderzoeken, in een middenstof met
typisch continu verloopende en zeer grillige slieren.

Een groot aquarium, met wanden van spiegelglas, 50 X
20 X 10 cml metend, werd bijna geheel gevuld met leiding-
water. Van een verzadigde oplossing keukenzout werden
50—150 cm^. in dit aquarium gegoten, en wel volgenderwijs:
gedurende 5 secunden werd het water in roering gebracht
met behulp van een dun glazen staafje; van de 5® tol de
80 secunde werd de zoutoplossing uitgegoten, terwijl de hand
snel heen en weer bewoog zoodat deze oplossing door alle
deelen van het aquarium verspreid werd. Van de 8® tol de
10e secunde werd weer geroerd. Van de 10« tot de 11° se-
cunde werden dan de lichtverschijnselen gepholographeerd
welke ontstonden door onregelmatige straalkromming in de
nog onvolledig gemengde vloeistof. Al deze bewerkingen ge-
schiedden volgens het tikken van een metronoom. — Door
hel werken met vloeistofslieren waren wij zeker dat onze

middenstof nergens discontinue overgangen vertoonde, dat de
waargenomen verschijnselen aan echte slraalkronnuingen waren
loe te schrijven; daarentegen moesten wij het nadeel op den
koop loe nemen, dal alleen moment-opnamen konden worden
gemaakt, en dal de geschikte toestand van de middenstof
slechts kort aanhield.

De dunne, gloeiende koolspits van een booglampje (fig.
45, L) werd door een lens sterk verkleind afgebeeld in het
brandpunt F van een achromatisch objectief; een tweede ob-
jectief maakt het licht evenwijdig. De wijde bundel valt
door het aquarium A en treft een scherm waarop men de
slieren die zich in de vloeistof vormen afgeteekend ziet. Pho-
tographische opnamen worden gemaakt door het scherm te
vervangen door een plaat P, en een nauwe spleet snel voorbij
het brandpunt F te bewegen: de belichtingstijd is dan onge-
veer 0,01 sec.

1. Bij korte lichtwegen (10 cm.), zeer weinig en verdunde
zoutoplossing, zien wij een groot aantal langwerpige slieren,
die herinneren aan de figuren in vloeibare kristallen. Flet
verschijnsel is op verkleinde schaal een model van het ont-
staan der scintillatie; bij lichtsterke sterren en planeten kan
men de slieren in onzen dampkring eveneens op een scherm
geprojecteerd zien, en dan spreken de waarnemers altijd van
„golven", van „banden"\').

2. Bij meer en geconcentreerder zoutoplossing zien wijde
individueele slieren niet meer. De structuurelementen van het
beeld gelijken nu vrij goed op de granulatie van de zonne-
schijf, zij zijn vrijwel ronde puntjes. Toch is er geen twijfel
aan dat iedere slier in werkelijkheid lintvormig uitgerekt is.
Dit is een belangwekkende bijzonderheid met het oog op de
verklaring van de photospheerverschijnselen.

3. Bij lange lichtwegen (50 cm.) en veel geconcentreerde
zoutoplossing, wordt het geheele beeld grover, vervaagt, en
de tegenstellingen worden geringer.

») Vgl. de waarneming van Keplek, Antr. par« optica, 1604; VI, 12,
blz. 262. Rozet, C. R. 1908, 146, 325. - Vgl. ook de «vliegende
schaduwen» bij zonsverduisteringen.

lampje met zeer korten gloeidraad te plaatsen in het brandpunt
van een groot Petüval-objectief van 17 cm. opening; achter ons
aquarium A komt een achromatisch kijkerobjectief K van
1 meter brandpuntsafsland, on in het brandvlak bevindt zich
de phologrnphische plaat P. Elk punt op de plaat is dus
toegevoegd aan een bepaalde rkhtiwj der lichtstralen die het
aquarium verlaten; de verdeoling der lichtsterkte over |de
verschillende punten van de plaat geeft de verdeeling der
lichtsterkte over de verschillende richtingen in den uitgespreiden
bundel.

Het kijkerobjeclief wordt gediaphragmeerd tot een o[)ening
van 3 cm. middellijn. Het is dus groot ten opzichte van
de vloeistofslioren, maar toch veel kleiner dan do doorsnede
van den invallenden bundel, zoodat dezo als werkelijk on-
eindig breed kan worden beschouwd. De wanden van het
aquarium worden zorgvuldig gereinigd en van luchtbelletjes
bevrijd; een koker C\', een camera on verscheidene diaphragma\'s
beschermen de plaat logen valsch licht van buiten.

Wanneer het aquarium alleen met water gevuld is, wordt
het gloeidraadje van de nitralamp op do plaats der photo-
graphischo plaat afgebeeld als een heldor beeldje van ca.
1 X 2,5 mm. Zoodra wij echter zoutoplossing in hel aqua-
rium brengen en roeren, verbreedt zich dit beeldje lot een
groote, wazige lichtvlek van enkele centimeters middellijn
(Plaat \'blz. 139, lig. 6). De lichlverdeeling in die vlek is
mooi gelijkmatig vorloopend van hel midden naar don rand;
slechts een tiental secunden na hel einde van het roeren krijgen

de groote vloeistofstroomen de overhand, en wordt het uit-
gespreide beeld gaandeweg onregelmatig en flikkerend.

Wij willen thans de lichtverdeeling in de wazige vlek
quantitatief onderzoeken. Hiertoe maken wij vooreerst een
opname I van nauwkeurig 1 secunde belichtingstijd. Daarna
verwijderen wij het aquarium, en brengen in de camera een
photographische plaat II, gesneden uit hetzelfde stuk als de
eerste. Vlak vóór deze plaat bevestigen wij een glasplaatje,
waarop G verschillende stukjes rookglas gekit zijn. De breede
evenwijdige lichtbundel valt nu door deze rookglaasjes en
belicht de photographische plaat gedurende 1 sekunde, evenals
bij de eerste opname. Deze tweede photographie zal nu
dienen als ijkingsplaat om de zwartingen in lichtsterkten om
te rekenen.

De beide platen 1 en 11 worden gelijktijdig ontwikkeld,
gedurende 10 minuten, met 1 deel glycine-ontwikkelaar -f
3 deelen water. Na fixeeren, spoelen, drogen, worden zij
doorgemeten met den microphotometer van Mull.

Aangezien beide platen even lang belicht zijn en gelijktijdig
ontwikkeld, moeten punten die door even sterk licht getroffen
zijn er ook even zwart uitzien. Het is voldoende, op de
plaat I de zes punten te zoeken die dezelfde zwarting ver-
toonen als de hokjes van plaat II; wij weten dan voor zes
verschillende lichtsterkten, op welken afstand A van het
midden der uitspreidingsvlek zij voorkomen, en de kurve der
lichtverdeeling is daardoor voldoende bepaald.

Bij de uitvoering van de methode dient men enkele voor-
zorgen in acht te nemen. Het drijfwerk van den geïmprovi-
seerden microphotometer loopt niet volkomen gelijkmatig;
men brengt dus lichtseinen aan op de registreerkurve telken-
male dat de plaat I verplaatst is over 2 mm. (= een om-
wenteling van de schroef) en men meet alle afstanden A op
het registrogram volgens deze lichtseinen. De rookglaasjes
werden onderzocht in den lichtbundel van een monochromator,
en hun doorlatingsvermogen met thermozuil en galvanometer
bepaald voor het geheele zichtbare spectrum tot A 4200;
dit doorlatingsvermogen veranderde weinig met de golflengte.

Nu weten wij, dat de orthochromatische platen waarmede wij
werkten vooral gevoelig zijn voor geel en voor blauw-violet;
wij kunnen met vrij groote zekerheid voor elk rookglaasje
een gemiddelde waarde aangeven van het doorlatingsvermogen
dezer twee gebieden, liet ultraviolette licht, waarvoor ons
het doorlatingsvermogen der rookglaasjes niet bekend is, wordt
uitgeschakeld door een bakje geconcentreerde aesculine-
oplossing, dat bij de opname der platen I en II onmiddellijk
voor het nitralampje was geplaatst, (fig. 4G li). Het door-
latingsvermogen onzer rookglaasjes was: 92, GG, 3G, 14, 7, 4, 1%
(het getal 92®/o slaat op het doorlatingsvermogen van het glas
waarop de verzwakkers waren gekit); men ziet dat deze ver-
zwakkers toelieten de intensiteitsverhoudingen binnen wijde
grenzen te bepalen.

Op deze wijze zijn twee platen doorgemeten. De uitkomsten
zijn samengevat in volgende tabel:

Wij zullen nu deze gegevens gebruiken om de fundamen-
teele wet te toetsen, die theoretisch is afgeleid voor de uit-
spreiding van den oneindig breeden evenwijdigen bundel over
kleine hoeken. Deze wet luidde (blz. 32):

Ons materiaal leent zich tot verificeering van do afhanke-
lijkheid der straling f van den hoek i>. Met behulp van
enkel logarithmisch papier, zetten wij logf uit legen
Uet blijkt nu dat voor de twee onderzochte platen de verkregen

punten vrijwel op rechte lijnen liggen; dit is een quantitatieve
bevestiging van de uitspreidingsivet.

De afwijkingen blijven overal binnen 5 °/o; zij laten zich
verklaren door: 1°. de gewone fouten van de photographische
intensiteitsbepaling: 2". de spiegelvlekken gegeven door de
groote Pelzval-lens, en de lichtverstrooiing door de stofjes
in het water; 3°. den eindigen tijdsduur der opname en de
niet volkomen onregelmatige verdeeling der vloeistofslieren.
Uit deze grafieken kan men den uitspreidingscoëffiiciënt be-
rekenen van de vloeistof in ons aquarium. Men vindt:

3. Dc uitspreiding van naaldvormige bundels. Ver-
gelijking tusschen de uitspreiding in richting en in
afstand.

Bij deze proeven is een groote lichtsterkte nooilig. Wij
vervangen hel nitralampje door een kleine booglamp van
Zeiss met rechtstandige kolen; het gloeiende pimtje van de
horizontale kool kan als een zeer heldere puntvormige licht-
bron beschouwd worden (tig, 48). De stralen worden
evenwijdig gemaakt door een gewoon pholographisch ob-

een opening van 2,5 mm. De uittredende smalle bundel
doorloopt ons aquarium, ditmaal over zijn geheele lengte van
50 cm. Daarachter bevindt zich een achromatische lens van
35 cm. brandpuntsafstand, die den achtersten wand W van
het aquarium op het scherm Pi afbeeldt. Wij kunnen nu
de lichtverdeeling op twee plaatsen onderzoeken.

1) In Fi is ieder punt toegevoegd aan een punt van het
uittredingsvlak W; de lichtverdeeling op de plaat komt overeen
met de totale lichtsterkte die door elk dezer punten is gegaan.
Wij bestudeeren aldus de uitspreiding in afstand.

2) In P2, het brandvlak der lens, is ieder punt toegevoegd
aan een richting van de uit het aquarium tredende stralen.
Wij bestudeeren aldus de uitspreiding in richting.

Bij de uitvoering der proef vinden wij dat de slierenvorming
in hel aquarium het lichtpuntje op de plaat lol een wazige
vlek openspreidt, zoowel in Pi als in P»; deze vlekken ver-
toonen echter onregelmatige wolkerige gedeelten, omdat de
bundel niet veel breeder meer is dan de vloeistofslieren zelf,
zoodat de wet der groote getallen niet geheel opgaat (Plaat
blz. 139, fig. 4, 5, 7).

Geschiedt de afbeelding in Pi op ware grootte, dan is de
wazige lichtvlek opvallend veel kleiner dan in Pi, wat men
zien kan door het opvangscherm snel heen en weer te schuiven
tusschen beide punten. Wij zullen nu laten zien dat het
mogelijk is aan heide lichtvlekken dezelfde intensiteitsverdeeling
te geven, door het aquarium met een zeer bepaalde vergrooting
op het scherm Pi af te heelden, terwijl P2 in het brandpunt
der lens blijft.

Laten wij eens teruggaan tot de uitspreiding in twee af-
metingen. Volgens onze uitkomsten (blz. 42 en 44) zijn de
twee verdeelingswetlen:

Bij proeven zooals die welke wij hebben genomen, komt
de hoek & te voorschijn als een afstand /?= 1,33 OV op hel
scherm P2; de factor 1,33 is afkomstig van de vergrooling

der hoeken bij alle stralen die het aquarium verlaten; F is
de brandpuntsafstand van het achromatisch objectief. De
afstand r wordt op het scherm Pi afgebeeld als p\' = r T,
wanneer wij aquarium en scherm op zoodanige afstanden van
de lens plaatsen dat de vergroeiing V bedraagt. Men ziet
uit (9), dat de uitgespreide lichthoeveelheid dezelfde zal zijn

zij wordt op beide schermen even ver uil hel centrum aan-
getroffen, indien p — p\'. De voorwaarde voor gelijke licht-
verdeeling in Pi en Pa is dus: V = ^\' = 1 I bij

aamiemen dat do uitspreiding in plaats eveneens door een
foutenwol wordt weergegeven van den vorm

De factor c kan nu proefondervindelijk bepaald worden.
Door dezelide redeneering als tevoren vinden wij, dal indien
do lichtuitsproiding in Pi bij een vergrooling V dezelfde is
als in Pï, dan moet

Wegens de vluchtigheid on niel-reproduceerbaarheid van
de sliervorming in vloeislofTen, nuiken wij gelijktijdige moment-
opnamen in P\\ en l\\. Een glasplaaljo ö\' kaatst 22 % van
den bundel zijwaarts, het rechtstreeks doorgaande licht wordt
door een Ica-verzwakker op dezelfde lichlsterkle verzwakt;
de ééne bundel treft de plaat i\'i, de andere Pi. De slieren
worden zoo gelijkmatig mogelijk door het goheele aquarium
geroerd, en beide platen 1 secunde belicht.

Voorloopige dergelijke "opnamen, bij allerlei vergróotingen
r, gaven volkomen met elkander kloppende uilkomsten:
opdat de lichtvlekken dezelfde intensiteitsverdeeling zouden
vertoonen, moet V begrepen zijn tusschen 2,15 en 2,9-, de
juiste waarde ligt dichter bij het eerste getal dan bij hel tweede.
Wij besluiten dat, bij uitspreiding van een naaldbundel in de
ruimte, de constante c grooter zal zijn dan voor uitspreiding
in het platte vlak, en wel ongeveer 6 zal bedragen.

Fig. 1,2, 3. Vloeistofslieren in evenwijdig licht. Drie typische
stadia, met toenemenden uitspreidingscoëfliciënt (blz. 130)

Fig. 4. Uitspreiding van een naaldvormigen bundel door
vloeistofslieren. Deze opname dient alleen ter demonstratie;
een tamelijk breede bundel is gebruikt, die rakelings langs
een wit geverfde ruit loopt.
Fig. 5. Dezelfde naaldvormige bundel nadat de slieren ver-
dwenen zijn.

bundel in richting (blz. 131).
Fig. 7. Uitspreiding van een naaldvormigen bundel in alstand

Lees ó\' — CP i. p. v. 0 — cp\'.
Lees A\' i. p. v. Ai\'.
Lees X\' i. p. v. Xi\'.
Zet /)\' bij de punt-slreeplijn door
Met boogje Wi mag niet boven de hori-
zontale stippellijn doorloopen.

De stralingsdruk in de corona is niet omgekeerd evenredig
met den afstand tot het middenpunt van de zon. De juiste
wet kan aangegeven worden.
Millek, A. J. 1911, 33, 303.

Het zoeken naar polarisatieverschijnselen van hetphotospheer-
licht dient in ultraviolet licht te geschieden.

De bruikbaarheid en het oplossend vermogen van den
massaspectrograaf kunnen aanzienlijk vermeerderd worden,
door gebruik te maken van de ontwikkelmethodes van Gerlach
en Stern.

De wel van den constanten lichtweg mag uitgebreid worden
tol virlueele lichtpunten, door de virlueele lichtstralen te
beschouwen als zich bevindend in een middenslof van nega-
tieven brekingsaanwijzer.

De bewering van Stöiier over hel richten van kristal-
deeltjes door een warmlestroom, kan proefondervindelijk ge-

De weerstand van een differenliaalgalvanomeler kan met
voordeel in de brug van Wheatstone bepaald worden, mits
van een bijzondere schakeling gebruik worde gemaakt.

De .onzichtbare massa\'s" van Hertz zijn wel degelijk gedacht
als bestaande stoflelijke voorwerpen, niet als rekensymbolen.

De demonstratieproef van Rosenberg over de schaduwbeelden
gevormd door holle spiegels, is fout in de uitvoering en in
de redeneering.

Broüwer\'s voorbeeld van een stelling die ontsnappen zou
aan de wet van het uitgesloten derde, is niet overtuigend.

De theorie der bolfunctie\'s dient in hel onderwijs ingeleid
te worden door aanschouwelijke voorstellingen, niet door
formeele bepalingen.

De interpolaliemethode van Tsjebysjef houdt slechts on-
voldoende rekening met de gewichten der waarnemingen,
ook indien men de graphische werkwijze volgt die Harzer
daartoe aanbeveelt.

Om uit te maken in hoeverre de verschillende luchtlagen
bijdragen lot het fonkelen der sterren, zijn de methodes van
Exneh onvoldoende. Waarnemingen in een luchtballon kunnen
hier de oplossing geven.

Het waarnemen van natuurkundige en weerkundige ver-
schijnselen in de vrije natuur, moet een belangrijker rol spelen
bij hel onderwijs dan tol hiertoe het geval was.

Het anagram, gegrift in de lens van Hüygens, is ontleend
aan Ovmius, Fasti, Lib. 1, 305, en is waarschijnlijk ter kennis
van Hüygens gekomen door het 3« titelblad van Scheiner,
Kosa Ursina.

Felices animae, quibus haec cognoscere primis
Inque domus superas scandere cura fuit.
Credibile est illos pariter vitiisque jocisque
Altius humanis exeruisse caput.
Non Venus aut vinum sublimia pectora fregit,
Officiumve fori, militiaeve labor;
Nee levis arnbitio, perfusaque gloria fuco,
Magnarurnque fames sollicitavit opum.
Athnocerc octtlis distantia sidera nostris,
Aetheraque ingenio supposuere suo.



	tf
; J

i- ■1 .	■ M
1
k-	Vi

±(»-êo) =	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
^0 = 0	2,82	2,18	1,04	0,299	0,052	0,006
0,2	2,79	2,18	1,05	0,310	0,056	0,006
0,4	2,71	2,16	1,08	0,342	0,068	0,008
0,6	2,56	2,08	1,12	0,402	0,095	0,015

1 laagjes	x		V	P
2	-1-1	1G	- 24,0	10,0
3	1,089	13,5	— 18,0	7,0 •
4	1,117	12,8	— 1G,0	Ü,0
5	1,131	12,5	— 15,0	5,5
6	1.139	12,34	— 14,4	5,2
7	1,143	12,23	— 14,0	5,0
8	1,145	12,17	- 13,7	4,86
00	1,153	12,0	- 12,0	4,0

.9 - .9, =	— 220,9 - 0,4	— 170,2 - 0,3	1 — 11°,ó I- 0,2	— 50,7 - 0,1	0 0	50,7 0,1	110,5 0.	170,2 0,3	220,9 0,4 rad.
Benaderde formule (3)	0,052	0,299	1,04	2,18	2,82	2,18	1,04	0,299	0,052
Betere benade- ring = (P	0,058	0,289	1,035	2,203	2,83	2,203	1,035	0,289	0,058
40°	0,024	0,209	0,915	2,14	2,83.	2,30	1,197	0,441
GfP		0,157	0,818	2,05	2,84	2,42	1,44	0,730	0,350

A	Cfo	at	02	«3
323 ix fjt.	0,1269	0,7625	0,2109	—	0,1283
386	1699	7553		1244	—	0525
433	2126	7002		1903	—	1108
456	1786	9939	—	2026		0292
481	2192	9638	—	2200		0350
501	2444	9507	—	2610		0641
534	3119	7694	—	0312	—	0525
604	3288	9794	—	4819		1749
670	3566	1,0359	—	6133		2216
699	3716	1,0215	—	6146		2216
866	4563	9499	—	6450		2391
1031	5163	8220	—	4984		1633
1225.	5572	7756	—	4972		1633
1655	6491	6726	—	5019		1808
2097	6851	6322	—	5139		1983

A	Diepte=0,05	Dieple = 0,l R.
d^Sfjifji	1,047	1,113
38Ü	1,078	1,151
433	1,003	1,125
45G	1,000	1,110
481	1,054	1,100
501	1,054	1,100
534	1,047	1,080
004	1,050	1,089
070	1,041	1,073
099	1,039	1,009
8ÜÜ	1,032	1,050
1031	1,029	1,047
1225	1,023	1,035
1025	1,017	1,028
2097	1,018	1,029

		12°	24°	37°	53°	64°
A	sin%=0	0,20	0,40	0,60	0,80	0,90
	1,151	1,138	1,094	1,013	0,862	0,686
433	1,125	1,116	1,082	1,017	0,894	0,755
456	1,110	1,098	1,063	0,997	0,848	0,575
604	1,084	1,074	1,048	0,972	0,819	0,542
1031	1,047	1,037	1,015	0,974	0,864	0,629
mi	1,029	1,019	0,999	0,962	0,875	0,687
A =		12°	24°	37°	53°	64°
386		0,988	0,950	0,880	0,758	0,595
433		0,991	0,962	0,904	0,794	0,672
456		0,989	0,958	0,898	0,764	0,518
604		0,991	0,966	0,896	0,755	0,500
1031		0,991	0,970	0,931	0,825	0,601
2097		0,991	0,972	0,935	0,851	0,668

	2	1	0,2	0,05
^o i		47,3	36,3	8,6	0,091
0° ,		40\|	I24.6	4,0
10°			45,2	21,2
30°			61,5	69,7
55°			90,4	99,5
90°			98	102 \')

	1	0,1	0,02	0,01	0,005
0" 1	58,1 12,7	25,8 1.6	s.n	1,6	0,04
4°					89,9

Blz. 13,	fig.	3.
G8,	fig.	2G.
72,	fig.	27.
99,	fig.	32.
118,	fig.	3G.

	\|!e\|!l

	■Hl
	tfi^l
3 y
	itïti