PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN
NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-UNIVER-
SITEIT TE UTRECHT. OP GEZAG VAN DEN
RECTOR MAGNIFICUS DR. H. F. NIERSTRASZ.
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER
WIS- EN NATUURKUNDE. VOLGENS BE-
SLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVER-
SITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE
FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE
TE VERDEDIGEN OP MAANDAG 6 APRIL

1925 DES NAMIDDAGS \\ UUR. DOOR
JOHANNES ADRIANUS WERTENBROEK,
GEBOREN TE \'s-HERTOGENBOSCH.

Bij het voltooien van dit proefschrift betuig ik mijn
dank aan alle Hoogleeraren en Oudhoogleeraren van de
Leidsche faculteit voor de Wis- en Natuurkunde, wier
leerling ik mocht zijn, voor het aandeel, dat zij tot mijn

De nagedachtenis van I^rof. Dr. P. Zeeman Gzn. zal
mij bijblijven als die van een zeer bekwaam docent.

Uwe heldere, opgewekte colleges, Hooggeleerde Looentz
zullen mij steeds in dankbare herinnering blijven.

Ook aan U, Hooggeleerde Kluyvkr, mijn bijzonderen
dank voor de van U ontvangen lessen.

Van hel eerste oogenblik af, dat Gij U hebt bereid
verklaard om mij, die voor U een vreemde was, ten-.ijde
le slaan, zijl Gij mij mei groote vrie.ulelijkheid legemoot
getreden. Door Uwe welwillendheid en Uw steun hebt
(;ij recht op mijn blijvende erkenlelijkheid.

De meetkundige plaats van de punten, wier machten
t. O. van twee gegeven cirkels een gegeven ver-
houding hebben. De cirkels, welke drie gegeven
cirkels orthogonaal (diametraal) snijden. ... 13

Do beide maclitcirkels, de beide gelijkvormigheids-
nelten en do gelijkvorinigheidscirkels van twee ge-
geven cirkels.............

Cirkels, wier innchlen l. o. vnn twee gngeveii cirkels
een gegeven verhouding hebben......

§ 1. Men stelle zich voor een rechte lijn en daarop
een punt l\\ Beschouw nu elk der punten van deze
rechte lijn als middelpunt van een cirkel waarvan de
straal evenredig is met den afstand van het middelpunt
tot P. Men verkrijgt dan een stelsel cirkels, waarvan
elk tweetal exemplaren P tot gelijkvormigheidspunt heeft.
Zoo\'n stelsel zal in \'t vervolg een homothetisch stelsel
van cirkels genoemd worden.

De vergelijking van dit stelsel op een orthogonnal coör-
dinatenstelsel met de centraal als A"-as en P als oor-
sprong luidt:

ol A^ r» - 2 A A\' A^« (1 - p\') = O, waarin p een go-
geven bestaanbaren evenredigheidsfactor en a een ver-
anderlijken parameier voorstellen.

Uit deze vergelijking blijkt onmiddellijk, dal door elk
punt van het vlak in \'t algemeen twee exemplaren gaan.
We hebben dus le doen met een cirkelstelsel met
index 2.

Is /j* < 1 dan bestaat de omhullende van het stelsel
uit 2 bestaanbare rechte lijnen, die elkaar in P snijden.

Is = 1 dan bestaat de omhullende uit 2 samen-
gevallen bestaanbare rechte lijnen door PX de centraal
en ontaardt het stelsel in een parabolischen bundel met
P als basispunt.

Is > 1 dan bestaat de omhullende uit 2 onbestaan-
bare rechte lijnen gaande door P.
Dat er door een punt van het vlak in \'t algemeen

twee exemplaren gaan, blijkt ook gemakkelijk door te
construeeren de cirkels van het stelsel, die door een gegeven
punt van het vlak gaan. Noem dit punt Q en con-
strueer een willekeurigen cirkel iU behoorende tot het
stelsel. Trek daarna P Q, welke cirkel Mi snijdt m
twee punten A en B. Men kan nu A en Q, maar ook
B en Q, beschouwen als twee homologe punten t. o.
van het gelijkvormigheidspunt P. Men vindt zoodoende
twee cirkels die aan de vraag voldoen.

Is > 1 dan vindt men steeds 2 bestaanbare cirkels.
Is < 1 dan vindt men slechts 2 bestaanbare cirkels
als Q gelegen is tusschen de beide gemeenschappelijke
raaklijnen van het stelsel. Ligt Q op een dier raaklijnen,
dan is er slechts één cirkel (dubbel te tellen) die voldoet.

Is p2 = 1 aan ontaardt het stelsel in een parabolisci\\en
bundel. Er is dan steeds één eigenlijke cirkel. De
andere cirkel ontaardt in een rechte lijn J_ de centraal.

Ligt Q op de centraal, dan zijn er steeds twee cirkels
die voldoen, uitgezonderd als /r = 1; dan is er slechts
één eigenlijke cirkel; de andere cirkel is dan ontaard

Valt Q met F samen, dan vindt men het punt P, te
beschouwen als twee samengevallen punlcirkels.

Gemakkelijk blijkt, dat de meelk. plaats van de snij-
punten van de cirkels twee aan twee beslaat uit den
stralenbundel met P tot top. De cirkels waarvan de
snijpunten op éénzelfden geiykvormigheidsstraal gelegen
zijn, snijden elkaar twee aan twee oiuler een constanten
hoek w. Is g 1 dan wordt w grooter naarmate de
hoek van den gelijkvormigheidsstraal mei de centraal
kleiner wordt. Valt de gelijkvormigheidsstraal langs de
centraal dan is o; = 180°. Valt de gelijkvormigheids-
straal langs een gemeenschappelijke raaklijn, dan is

Is p*> 1 dan wordt u kleiner en kleiner en valt
eindelijk de gelijkvormigheidsstraal langs de centraal,
dan is o» = O®. Staal de gelijkvormigheidsstraal J. de

Is p^ < 1 en trekt men een gelijkvormigheidsstraal
welke een Z« niet de centraal maakt, dan is zooals

w de constante snijdingshoek is van de cirkels, die elkaar
twee aan twee op dezen gelijkvormigheidsstraal snijden.

Opmerking: Bij \'t voorgaande is voor u genomen de
hoek gevormd door de slralen naar een der beide snij-
punten van de cirkels getrokken.

Ten slotte zij nog opgemerkt: alle cirkels van het
stelsel worden door een gelijkvormigheidsstraal onder ge-
lijke hoeken gesneden.

§ 2. De cirkels ran een homothelisc.h stelsel van cirkels
rakende aan een ge(jeve.n lijn l.

Beschrijf een willekeurigen cirkel Mi van het stelsel en
trek hieraan een raaklijn //1. Noem hel verkregen raak-
punt A. De gelijkvormigheidsstraal PA zal dan l in
\'t homologe punt \'.-1\' snijden. A\' is \'t raakpunt van den
gevraagden cirkel met /. Men vindt nu verder gemak-
kelijk het middelpunt van den gevraagden cirkel.

Daar men steeds aan cirkel .Ui twee raaklijnen //I
kan trekken, zijn er steeds twee eigenlijke cirkels, die
aan de vraag voldoen, mits zich niel hel bijzondere
geval voordoet, dal l aan alle cirkels van hel stelsel
raakt of dal i. door 7\'gaat. In hel eerste van deze
heide uitzonderingsgevallen zijn er oneindig veel cirkels,
in \'t tweede twee samengevallen puntcirkels /\' die
voldoen.

Ligt l in \'t oneindige dan vindl men 2 ontaarde
cirkels als />" J I n.l: tweemaal de lijn in \'t oneindige

telkens dubbel geleld. Is = 1 (het stelsel ontaardt
dan in een parabolischen bundel) dan is er een ont-
aarde cirkel (dubbel te tellen) die aan de vraag voldoet,
n.l. de machtlijn en de lijn in \'t oneindige.

cirkels behoorende bij den driehoek gevormd door l en
de beide gemeenschappelijke raaklijnen van het stelsel.

§ 3. De cirkels van een homothetisch stelsel van cirkels
rakende aan een gegeven cirkel N.

Men stelle zich voor, dat de stralen van alle cirkels
behoorende tot het stelsel met eenzelfde bedrag v toe-
nemen, terwijl de middelpunten op hun plaats blijven.
Is dan de straal van een cirkel in het oorspronkelijk
stelsel li — px, dan is de straal van den overeenkomstigen

Het blijkt nu onmiddellijk, dat het nieuwe stelsel weer
een homothetisch stelsel met denzelfden evenredig-
heidsfactor p is, waarbij P zich over een afstand ^ver-
plaatst heeft. Hierbij kan v zoowel pos. als neg. ge-
nomen worden. De puntcirkel P gaat bij deze trans-
formatie over in een cirkel met straal v.

Neem nu r = den straal van den gegeven cirkel iV,
waarbij v achtereenvolgens pos. en neg. genomen wordt.
Construeer in beide gevallen de cirkels behoorende tol
hel getransformeerde stelsel en gaande door het punt xY.
Deze cirkels zullen dan concentrisch zijn met de ge-
vraagde cirkels. Deze volgen nu gemakkelijk. In ieder
der beide gevallen vindt men in \'t algemeen 2 cirkels,
dus in \'t geheel vier cirkels.

Is > 1, dan vindt men steeds 4 bestaanbare cirkels,
indien cirkel N niet door P gaat.

scheiden, welke bij een tweede oplossing van hel vraag-
stuk behandeld zullen worden.

Is = l, dan ontaardt het stelsel in een parabolischen
bundel. Er zijn dan twee eigenlijke cirkels als cirkel
N niet door F gaat; de twee andere cirkels ontaarden
in rechte lijnen Jl de centraal die raken aan cirkel N
(blz. 2).

Gaat cirkel N door F, dan vindt men den puntcirkel F
en de twee raaklijnen aan N1. de centraal als ont-
aarde cirkels (blz. 2).

§ 4. We zullen nu van hel vraagstuk een tweede
oplossing geven, waarbij het probleem niel teruggebracht
wurdt tot het conslrueeren van de cirkels van een
homothelisch stelsel van cirkels gaande door een ge-
geven punt.

Beschouw twee willekeurige cirkels Mi en .1/2 van het
stelsel, waarvan de middelpunten aan denzelfden kant
van F gelegen zijn. Zooals bekend is, zal dan do uit-
wendige gelijkvormigheidsas a van de cirkels Mt, Ma
en iV gaan door F. Deze lijn zal uilwendige gelijk-
vormigheidsas blijven, wanneer we een der twee cirkels
.1/, bijv. Mt, vervangen door een anderen cirkel van het
stelsel aan denzelfden kant van F gelegen. Elk punt
van de lijn a zal beschouwd kunnen worden als uit-
wendig gelijkvormigheidspunt van cirkel N on een der
cirkels M van het stelsel, welke met cirkel Mi aan
denzelfden kant van F gelegen zijn. Door den cirkel Mi
aan den anderen kant van F te nemen, vindl men als
meelk. plaats van de uilwendige gelijkvormigheidspunten
van cirkel N met elk der cirkels van het stelsel aan
dien kant van /\'gelegen, een tweede lijn h gaande door F.

Denkt men zich aan weerskanten van F cirkels M
en M\' behoorende tol het stelsel en waarvan de stralen
gelijk zijn aan den straal li van cirkel N, dan is \'t ge-
makkelijk in te zien, dat de beide gevonden lijnen even-
wijdig loopen met iVM resp. NM\'. Beide lijneri zijn
gemakkelijk le conslrueeren. Laai <1 // iS\'.W en b // NM\' zijn.

iY en elk van twee cirkels M behoorende tot het stelsel,
aan denzelfden kant van P gelegen, met het uitwendig
gelijkvormigheidspunt der cirkels 3/ d. i. P op één rechte
lijn gelegen zijn, zullen de inwendige gelijkvormigheids-
punten van cirkel N met elk der cirkels van het stelsel
gelegen zijn op twee halfrechten gaande door P, die
met N aan denzelfden kant van de centraal gelegen zijn.
\'t Zal duidelijk zijn, dat deze halfrechten zullen moeten
gaan door de middens van de lijnen NM en NM\' reeds
boven genoemd. Daar de lijnen a en 6 resp. evenwijdig
loopen aan NM en NM\\ zullen de gevonden halfrechten
die helften van de lijnen « en 6 moeten zijn, welke met
N aan denzelfden kant van de centraal gelegen zijn.
De lijnen a en b zullen met PN en de centraal een
harmonischen vierstraal vormen, wat ook dadelijk blijkt,
door te denken aan de harmonische ligging van de
middelpunten en de beide gelijkvormigheidspunten bij
twee cirkels. De snijpunten van de lijnen a en h met
cirkel N kunnen beschouwd worden als uitwendige of
inwendige gelijkvormigheidspunten van cirkel N met die
cirkels van hel stelsel welke cirkel X inwendig, resp.
uitwendig raken. Zijn eenmaal de lijnen a en b ge-
construeerd, dan volgen de middelpunten van deze raak-
cirkels door de snijpunten te bepalen van de centraal
met de lijnen gaande door N en de snijpunten van n on b
met cirkel N. \'t Blijkt nu dadelijk, dat er niet moer
dan vier raakcirkels kunnen zijn.

§ 5. Trekken we door het punt N een lijn // de
centraal, en nemen we hierop aan weerskanten van .Y
stukken NC en NC\' resp. gelijk aan PM en PM\' en in
dezelfde richting, dan zullen de lijnen a en b resp. door
C\' en C gaan. Zonderen we uit hel bijzondere geval
.YPJ_ de centraal, terwijl cirkel A\'aan de beide ge-
meenschappelijke raaklijnen van het stelsel raakt, en
N met M aan denzelfden kant van de lijn doorPJ_ de
centraal ligt, dan is PC\' > PC\' waaruil volgt ^^ NPC

< z NPC\'. Cirkel N kan dus nooit tegelijkertijd aan
a en h raken. Wordt n geraakt, dan zal b gesneden
worden, lerw^l als b geraakt wordt, a geheel builen
cirkel iV moet liggen. Raakt cirkel iV aan oen der lijnen
a of h bijv. f/, dan zal zooals gemakkelijk is na te gaan,
a langs een der beide gemeenschappelijke raaklijnen van
het stelsel moeten vallen (n.l. indien er twee zulke raak-
lijnen zijn, dus als Omgekeerd raakt cirkel N
aan een dier gemeenschappelijke raaklijnen, dan zal deze
raaklijn tevens als een der beide lijnen n of ö optreden.

Na bovenstaande opmerkingen zullen we de ver-
schillende gevallen meer in bijzonderheden nagaan.

ligt binnen cirkel N en noem de snijpunten van dezen
cirkel mei ff, A en A\' en die met h, li en B\\ waarbij
,1 cn B verondersteld worden met N aan denzelfden
kant van de centraal gelegen te zijn. De punten A\'
en B\' zullen dan steeds optreden als uitwendige gelijk-
vormigheidspunten, dus als raakpunten behoorende bij
twee inwendige raakcirkels. Daar PM = PM\' = B {B
straal van cirkel N) zal ook NC= NC\' = /.\'zijn, d. w. z.
de punten A en B vallen met C\'resp. 6\'samen. A en B
zijn dus <le raakpunten behoorende bij twee raakcirkels,
waarvan de middelpunten in \'t oneindige op de centraal
gelegen zijn, m. a. w. die raakcirkels zijn ontaard in de
raaklijnen\' in .1 en B aan cirkel X Kr zijn dus in
\'l geheel Iwee eigenlijke inwendige raakcirkels en twee
in rechte lijnen ontaarde raakcirkels. De middelpunten
van (le twee eigenlijke raakcirkels liggen aan weers-
kanten van P. , ,ri
Gaal cirkel A\' door /\', dan komen we lol hetzelfde

rosuUaal, echter met dit verschil, dat nu de beide in-
wendige raakcirkels in den puntcirkel P ontaarden. ^
Ligt P builen cirkel N, dan komen do punten A, A ,
B en B\' alle met N aan denzelfden kant van de cen-
Iraal le liggen. Men vindl dan steeds vier snijpunten
van de lijnen a en h met cirkel X. Kr zijn <ian twee

uitwendige raakcirkels, waarvan de middelpunten aan
weerskanten van P gelegen zijn of een uitwendige en
een inwendige raakcirkel, waarvan de middelpunten aan
denzelfden kant van P gelegen zijn. Verder twee in
rechte lijnen ontaarde cirkels.

cirkel N de lijn door P J_ de centraal snijdt, het tweede
als Z PC\'ci> 90°, dus als cirkel N met die lijn geen
enkel punt gemeen heeft. Is Z PC\'C = 90°, m. a. w.
raakt cirkel N aan bovengenoemde lijn, dan vindt men
één eigenlijken uitwendigen raakcirkel.

De voor \'t geval = 1 gevonden resultaten stemmen
overeen met hetgeen hieromtrent reeds op blz. 5 ver-
meld is.

plaats, dat P binnen cirkel N gelegen is. Daar nu
PM en FM\' < R zijn, zullen nu de beide punten A
en B verder van de centraal verwijderd zijn dan N,
d. w. z. Ä en B treden beide op als raakpunten be-
hoorende bij twee inwendige raakcirkels.

Er zijn in \'t geheel vier inwendige raakcirkels. Van
de middelpunten van deze cirkels liggen er twee aan
den eenen kant, en de andere twee aan den anderen
kant van P.

Gaat cirkel N door P, dan komen we lol hetzelfde
resultaat, echter met dit verschil, dat nu twee der vier
cirkels in den puntcirkel Pontaarden. De middelpunten
van de twee overschietende cirkels liggen aan weerskanten
van P.

Ligt P buiten cirkel iV, dan komen de punten A, /l\',
B en B\' met N aan denzelfden kant van de centraal
te liggen. Men vindt dan twee inwendige raakcirkels
en twee uitwendige raakcirkels. Hunne middelpunten
liggen twee aan twee aan weerskanten van P.

Derhalve: Is 1, dan vindt men steeds vier raak-
cirkels, indien cirkel N niet door P gaat. Gaat deze
cirkel door P, dan zijn er slechts twee eigenlijke cirkels.

in de eerste plaats dat P binnen cirkel N gelegen is.
Daar nu PM en PM\' > U zijn, zullen de punten Ä en B
op kleineren afstand van de centraal komen te liggen
dan N, d. w. z. A en B treden beide op als inwendige
gelijkvormigheidspunten, dus als raakpunten behoorende
bij twee uitwendige raakcirkels. De punten A\' en B\'
treden op als raakpunten behoorende bij twee inwendige
raakcirkels. Er zijn dus in \'t geheel twee uitwendige
en twee inwendige raakcirkels. Aan weerskanten van P
liggen twee middelpunten, telkens behoorende bij twee
raakcirkels, welke cirkel N op verschillende wijze raken.

Gaat cirkel N door P, dan komen we tot hetzelfde
resultaat, echter met dit verschil, dat nu twee der raak-
cirkels in den puntcirkel P ontaarden.

Raakt cirkel N in P aan oen der lijnen a of i, dus
aan een der gemeenschappelijke raaklijnen van het stelsel,
dan ontaarden drie der vier raakcirkels in den punt-
cirkel P. Er is dan óón eigenlijke uitwendige raakcirkel.

Nu rest nog het geval, dat P buiten cirkel .V gelegen
is. Het blijkt onmiddellijk, dat we dan kunnen onder-
scheiden: a en b snijden beide cirkel N, dus vier raak-
cirkels; een van beide lijnon is raaklijn cn de andere snij-
lijn, dus drie raakcirkels; elk van beide heeft geen enkel
punt met cirkel N gemeen, dus gcen raakcirkels en
beide zijn raaklijn aan cirkel N. Zooals we reeds eerder
opgemerkt hebben, kan dit laatste geval zich nooil voor-
doen, tenzij NP ± de centraal, terwijl dan verder cirkel .V
raakt aan de beide gemeenschappelijke raaklijnen van
hel stelsel. De lijnen a en b vallen dan met die raak-
lijnen samen en men vindt dan twee uitwendige raak-
cirkels, waarvan de middelpunten symmetrisch liggen
t. O. van P. Ligt het middelpunt N op de centraal
en raakt cirkel N aan de beide gemeenschappelijke raak-
lijnen, dan vallen « en b beide langs de centraal. Men
vindt dan twee uitwendige raakcirkels.

centraal en cirkel N rakende aan de gemeenschappelijke
raaklijnen. Zooals reeds gezegd, treedt dan de eene
raaklijn levens op als n, de andere als 6. Trekt men
door N een lijn / // de centraal, dan ligt N midden
tusschen de snijpunten van deze lijn met a en h. Men
stelle zich nu voor, dat cirkel N rolt langs a zóó, dat
de andere gemeenschappelijke raaklijn gesneden wordt.
Laat in den nieuwen stand PN, l in S snijden. Door
er op te letten, dat a, 6, PN en de centraal een har-
monischen vierstraal vormen, blijkt gemakkelijk, dat S
ligt midden tusschen de snijpunten van a en b met/;a
is op zijn plaats gebleven, h zal zooals dadelijk uit de
figuur blijkt, in dezelfde richting met PN meegedraaid
zijn, en daar de hoek welken PN maakt met a grooter
is dan die van PN met b, zal cirkel N in zijn nieuwen
stand h noodzakelijk moeten snijden. Men heeft dus nu
drie uitwendige raakcirkels. Twee middelpunten liggen
aan den eenen kant van P, het derde middelpunt aan
den anderen kant. Laat men nu cirkel verder rollen,
dan komt er een oogenblik, dat hij in P aan a raakt.
Op dat oogenblik ontaarden twee der drie raakcirkels
in den puntcirkel P. Als het raakpunt P gepasseerd
is, komen er weer drie raakcirkels, echter een der drie
is nu een inwendige raakcirkel. Eindelijk als iV is komen
te liggen op de centraal (cirkel N raakt dan aan de
beide gemeenschappelijke raaklijnen), zijn er zooals boven
reeds vermeld, twee uitwendige raakcirkels. Rolt cirkel N
dan nog verder, dan komen er weer drie raakcirkels.
Cirkel N raakt dan aan de eene gemeenschappelijke
raaklijn, terwijl de andere geen enkel punt met dien
cirkel gemeen heeft.

We keeren nu weer tot den beginstand van cirkel N
terug, en we laten hem nu langs a in tegenovergestelde
richting rollen; b diafiit dan weer in dezelfde richting
als PN mee. Daar nu de hoek dien PN met a maakt
kleiner is dan die met 6, zal cirkel N geen enkel punt
met b gemeen hebben. Er is dus slechts één uitwendige

raakcirkel. Cirkel N raakt clan aan een der gemeen-
schappelijke raaklijnen, terwijl de andere raaklijn geen
enkel punt met cirkel N gemeen heeft.

1) Cirkel N snijdt de eene gemeenschappelijke raaklijn
en raakt aan de andere. Er zijn dan drie raakcirkels.

2) Cirkel N snijdt de eene gemeenschappelijke raak-
lijn en raakt de andere in P. Er is dan één eigenlijke
cirkel. P als puntcirkel voldoet ook.

3) Cirkel N raakt aan de beide gemeenschappelijke
raaklijnen. Er zijn dan twee raakcirkels.

4) Cirkel N raakt aan een der beide gemeenschap-
pelijke raaklijnen, terwijl de andere geheel builen cirkel N
ligt. Er zijn dan drie raakcirkels als N ligt binnen een
der hoeken gevormd door die raaklijnen, waarin ook de
centraal gelegen is, anders één raakcirkel.

We stellen ons nu voor een cirkel N welke met de
beide gemeenschappelijke raaklijnen geen enkel punt
gemeen heeft, en gelegen bitmen een der hoeken, waarin
de centraal niet gelegen is. Door dezen cirkel bij on-
veranderlijken straal zich met zijn middelpunt te laten
bewegen langs een lijn evenwijdig aan een der beide
lijnen a of h, bijv. b, tol hij raakt aan een der beide
gemeenschappelijke raaklijnen, bereiken we, dat b ook
zijn functie blijft vervullen voor cirkel N in zijn nieuwen
stand. Nu welen we reeds, dat b met cirkel iV in dien
nieuwen stand geen enkel punt gemeen heeft, en dit
zal dus ook hel geval moeien zijn met cirkel N in den
oorspronkelijken stand. Daar we a en van rol kunnen
laten verwisselen, is \'t duidelijk, dat ook a geen enkel
punl met cirkel .V gemeen zal hebben. Er is dus geen
enkele raakcirkel. Ligt cirkel N in een der beide andere
hoeken, dan vindt men op dezelfde wijze te werk gaande,
dat cirkel .V de lijnen a en b belde in twee punten zal
snijden. Er zijn dan vier raakcirkels, twee uilwendige
en twee inwendige, waarvan de middelpunten alle aan
denzelfden kant van P gelegen zijn.

We stellen ons vervolgens voor een cirkel N welke
de beide gemeenschappelijke raaklijnen snijdt. Door
dezen cirkel zich achtereenvolgens weer met zijn middel-
punt te laten bewegen over lijnen evenwijdig aan a
resp. b tot hij telkens aan een der gemeenschappelijke
raaklijnen raakt, vindt men dat cirkel N in zijn oor-
spronkelijken stand elk der lijnen a en b zal moeten
snijden. Men vindt dus vier raakcirkels, en wel vier
uitwendige raakcirkels als N gelegen is in een der hoeken
waarin zich niet de centraal bevindt, anders twee in-
wendige» en twee uitwendige-. In \'t eerste geval liggen
de middelpunten twee aan twee aan weerskanten van P,
in \'t 2de geval alle vier aan denzelfden kant van F.

Wanneer we tenslotte uitgaan van een cirkel N een
der gemeenschappelijke raaklijnen snijdend, terwijl de
andere raaklijn geheel buiten dien cirkel gelegen is, dan
vindt men twee uitwendige raakcirkels, waarvan de
middelpunten aan denzelfden kant van P gelegen zijn.

5) Cirkel N snijdt de beide gemeenschappelijke raak-
lijnen. Er zijn dan vier raakcirkels.

6) Cirkel N ligt geheel binnen een der hoeken ge-
vormd door de gemeenschappelijke raaklijnen. Er zijn
dan vier raakcirkels of geen enkele.

7) Cirkel N snijdt een der gemeenschappelijke raak-
lijnen, terwijl de andere geheel buiten dien cirkel ge-
legen is. Er zijn dan twee raakcirkels.

De meetkundige plaats van de punten, wier machten
t.o. van twee gegeven cirkels een gegeven
verhouding liebben.
l)e cirkels, welke drie gegeven cirkels ortliogonaal
(diametraal) snijden.

§ 1. Eigenschap. Be meetkundige plants van de punten
waarvoor de verhouding van de machten t. o. van twee
gegeven cirkels M, en standvastig is, is een cirkel O
behoorend. tot den bundel bepaald door de beide gegeven

Beschouw een cirkel 3/, (mol straal n) en een punt 7 .
Macht van P t.o. va.i cirkel Mr. /M/r-n^ Beschrijf
een willekeurigen cirkel O gaande door P \'"et staui ^
en neem op J/.O het punt O\' zóó, dat PO == 7 0 dan
pyf^i^p^^oM^XO\'Mu waarbij op de teekens

van OMr en OM/, gelet moet worden
Dus: 7M/.«0.1/.
Trek nu de .nachtlijn I van de enkels ^ dmi

kan voor (A) geschreven worden: iM/. -n - OJ/. X
X 0\'Mi — iSMi\'- OS*) als S hel snijpunt van l met

_ - O.U, X O\'Ml - iSMi OS) {SMi - OS)
iA/^2_,V=O.U,(OM/.-S3/. OS), waarbij weer
gelet moet worden op de teekens van SMi en OS. Men
kan dan verder schrijven:

Beschouw nu drie cirkels .1/,, O en M2 behoorende
tot eenzelfden bundel (machtlijn /) en neem een willek;
punt P op cirkel O, dan is:

Opmerking. Is S het snijpunt van de machtlijn met
de centraal en is Pi de projectie van P op de centraal,
dan is de macht van P t. o. van cirkel Mx : 2 OMi X PiS.
Hierbij moet men aan OMi en PiS hetzelfde teeken
toekennen, wanneer zij in dezelfde richting loopen.

Is Q een punt niet gelegen op cirkel O, dan kan men
door Q een cirkel O\' brengen behoorende tot den bundel
bepaald door de cirkels Mi en Mt. Voor Q is dan de

Let men op de teekens van 0.1/,, OMi en MiMx
dan is steeds: 0.1/, — OMi=MiMi (3)
üit (1) volgt:

PMi\' X Oil/2 - PMi^X OMi = OMi Xn\'- OMiXr«^(4)
Door op ^MiMiP de stelling van Stewaht toe te
passen, komt er:

.1/2^1/1 X OMi X OMi
Derhalve: - p\'X MiMi MiMi X OMi X 0M-. =
= Oil/2 X — OMi X (lettende op (4))

Zooals bekend, kan deze waarde voor p\'^ ook gemak-
kelijk met behulp van Analytische Meetkunde gevonden
worden. Zijn (7i = O en 62 = O de vergelijkingen van
de cirkels 3[\\ en 3h, dan is die van cirkel O-.Ci —
- IX C\\ = 0.

Macht van P t. 0. van cirkel : W2 = 2 OM^ X P\\S
Derhalve: vh — m = 2 X PiS, waarin aan PiS
en 3[iMi hetzelfde teeken toegekend moet woiden,
wanneer zij in dezelfde richting loopen.

De toename van de macht is dus evenredig met de
verplaatsing van het middelpunt van den cirkel. Hieruit
volgt: richt men in de middelpunten van de cirkels van
den bundel loodlijnen op de centraal op, en geeft men
aan zoo\'n loodlijn een lengle evenreilig met de macht
van P t. 0. van den bijbehoorenden cirkel, waarbij op
het teeken van do macht gelet moet worden, dan zullen
do uiteinden van die loodlijnen moeten liggen op een
rechte lijn p. Deze rechte lijn is de graphische voor-
stelling welke aangeeft het verloop van de macht van P
t. 0. van elk der cirkels van den bundel. Daar p door
twee van zijn punten volkomen bepaald is, volgt hieruit:
efn cirkelbundel zal rolkomen bepaald zijn door de centraal
en de machten van een gegeven punt P t. 0. van twee
cirkels van den bundel.

Het zal kunnen voorkomen, dat p evenwijdig loopt
aan de centraal. Dit zal n.l. het geval zijn, indien P

op de machtlijn van den bundel gelegen is. Men heeft
dan slechts de macht van P t. o. van één cirkel van
den bundel te kennen. Derhalve: een cirkelbundel is
volkomen bepaald door machtlijn, centraal en de macht
van een gegeven punt P op de machtlijn t. o. van de
cirkels van den bundel.

Het snijpunt van p met de centraal is het middelpunt
van den cirkel van den bundel gaande door P. Is P
gelegen op de machtlijn, dan ligt dit snijpunt in \'t on-
eindige, en is dan te beschouwen als het middelpunt
van de machtlijn te zamen met de lijn in \'t oneindige,
opgevat als ontaarden cirkel.

Beschouwt men verschillende punten P, alle gelegen
op eenzelfden cirkel van den bundel, dan zullen de bij-
behoorende lijnen een stralenbundel vormen, alle gaande
door \'t middelpunt van dien cirkel, en het blijkt dan
onmiddellijk, dat de verhouding van de machten t. o.
van eiken cirkel van den bundel voor elk der punten P
dezelfde is. Ook omgekeerd, is die verhouding voor eiken
cirkel van den bundel dezelfde, dan moeten de punten P
noodzakelijk op eenzelfden cirkel van den bundel gelegen
zijn. Do in § 1 afgeleide eigenschap is dus onmiddellijk
uit de graphische voorstelling af te lezen. Men ziet

Beschouwt men verschillende punten P alle gelegen
op een lijn // de machtlijn, of op de machtlijn gelegen,
dan vormen de bijbehoorende lijnen p een stelsel // lijnen.
Dit volgt onmiddellijk uil hel gevondene op blz. 14.

De lijnen pi en pz behoorende bij twee willekeurig
gegeven punten Pi en Pa zullen elkaar in één punt Q
snijden, d. w. z. in den bundel is één cirkel \'aan te wijzen,
die t. O. van twee gegeven punten gelijke macht heeft.
Zijn de gegevens bestaanbaar, dan is \'t middelpunt van
dien cirkel steeds bestaanbaar, terwijl zijn straal be-
staanbaar of imaginair is. \'t Laatste zal alleen het geval

zijn, als de gegeven bundel hyperbolisch is, en de projectie
van het snijpunt Q op de centraal komt te liggen tusschen
de twee grenspunten van den bundel. De afstand van
elk der punten P tot een der grenspunten moet dan
grooter en tegelijkertijd de afstand tot het andere grens-
punt kleiner zijn dan de overeenkomstige afstanden voor
het andere punt P. Hebben beide punten P gelijken
afstand tot een der beide grenspunten, dan voldoet dit
grenspunt als ontaarde cirkel. Hebben de punten
tegelijkertijd gelijken afstand tot beide grenspunten,
m. a. w. zijn Pi en Pi op de machtlijn gelegen, dan
loopen zooals boven reeds gebleken is, pi en pt // de
centraal. In dit geval heeft de machtlijn als ontaarde
cirkel gelijke macht t. o. van Pi en Ps. Dit geldt ook
wanneer de punten P gelegen zijn op een lijn // de
machtlijn.

Uil het bovenstaande volgt ook nog: heeft men een
aantal punten P alle gelegen op een cirkel, concentrisch
met een der cirkels van den bundel, of op zoo\'n cirkel,
dan zullen de bijbehoorende lijnen p elkaar in één punt
snijden.

Daar de lijn p behoorende bij een gegeven punt P,
niet op de machtlijn gelegen, door een lijn // de centraal
in één punt Q gesneden wordt, is cr slechts één cirkel
in den bundel, welke t. o. van zoo\'n gegeven punt P een
gegeven macht heeft. Zijn do gegevens bestaanbaar, en
is de macht pos., dan is het middelpunt van dien cirkel
steeds bestaanbaar, terwijl zijn straal bestaanbaar of
imaginair is. Dit laatste zal alleen het geval zijn, als
de gegeven bundel hyperbolisch is en als de projectie
van Q op de centraal komt le liggen tusschen de beide
grenspunten van den bundel. Het punt P is dan zóó
gelegen, dat de gegeven macht gelegen is tusschen de
machten van P t.o. van do grenspunten. Is de geg.
macht gelijk aan een van deze machten, dan voldoet
het bijbehoorende grenspunt als ontaarde cirkel. In
\'t bijzonder geval, dat de gegeven macht = O, komt Q

op de centraal te liggen. Dan voldoet de cirkel van
L bundel gaande door P. Ligt P op de macht-
liin (dus p II de centraal), dan ligt Q op p m t on-
eindige en zal de machtliin als ontaarde cirkel aan de
vraag voldoen. Is hierbij de gegeven macht toevallig
gelijk aan de macht van P t. o. van alle cirkels van
den bundel, dan zijn er oneindig veel punten Q en vol-
doet daarom iedere cirkel van den bundel aan de vraag.
Is de gegeven macht neg., dan voldoet er altijd een

De resultaten, waartoe we in \'t bovenstaande gekomen
ziin, kunnen nog in anderen vorm gebracht worden. Is
n 1 de gegeven macht = r^ waarbij r bestaanbaar, en
de gegeven bundel elliptisch of parabolisch is, dan zal
er in den bundel steeds één cirkel met bestaanbaar middel-
punt en hestaanbarm straal aan te wijzen zijn, welke den
cirkel met P als middelpunt en r als straal orthogonaal
mijdt. Is de gegeven bundel hyperbolisch, dan is er
één cirkel met bestaanbaar middelpunt en imaginairen
straal als het eene grenspunt van den bundel binnen,
en het andere buiten den cirkel P gelegen is. Zijn
plaatsvervanger" zal dan door cirkel P diametraal ge-
sneden worden. In de overige gevallen is cr één cirkel
met bestaanbaar middelpunt en bestaanbaren .straal.
Gaal cirkel P door een der grenspunten, dan voldoet
dit grenspunt als ontaarde cirkel. Ligt P op de macht-
lijn, dan is de machllijn de cirkel welke voldoet. Gaat
dari cirkel P tevens door de grenspunten van den bundel,
dan voldoet iedere cirkel van den bundel aan de vraag.

Is de gegeven macht = - r«, dama] cr in den bundd
steeds één cirkel md bestaanbaar middelpunt en bestaan-
baren straal zijn, welke den cirkel met P als middelpunt
en r als straal diametraal snijdt.

§ 4. Is O het middelpunt van den cirkel gaande
door F en behoorende lot den gegeven bundel en M
hel middelpunt van den gevraagden cirkel, dan geldt

in \'t geval van orthogonaal snijden: r^ = ^OMX.PiS
en in \'t geval van diametraal snijden: — r^ = 2 OM X
X PiS (zie blz. 14), waarbij PiS voorstelt den afstand
van P tot de machtlijn van den bundel, terwijl OM en
PiS hetzelfde teeken hebben, wanneer zij in dezelfde
richting loopen.

Het blijkt nu onmiddellijk, dat de beide middelpunten
M symmetrisch t. o. van O gelegen zijn. Deze middel-
punten zijn met behulp van bovenstaande betrekkingen
gemakkelijk te construeeren; de stralen van de gevraagde
cirkels volgen dan verder gemakkelijk.

Laten we nu beschouwen drie cirkels Pu Pï en Pi
met stralen ri, r2 en ra. Laat ^^^ de cirkel zijn welke
deze cirkels orthogonaal snijdt en O de cirkel gaande
door de middelpunten Pi, Pt en P3. De machtlijn van
den bundel bepaald door de cirkels Mi en O is ge-
makkelijk te construeeren, zonder dat de cirkels Mi
en O aanwezig zijn. Men heeft n.1. r,^ = 2 OM.i X A6\',
ra^ = 2 OMi X Pi S en rs\' = 2 0M\\ X Pa S, waarbij
Pi S, Pi S en Pi S de afstaiuien van de punten P tot
de machtlijn voorstellen (blz. 14). Derhalve: Pi S: i\'« S:

Het blijkt nu in de eerste plaats, dat Pi S, P^ S en
Pi S hetzelfde teeken hebben, d. w. z. de punten A,
Pi en Pi zijn aan denzelfden kant van de machtlijn
gelegen. Die machtlijn zal verder verkregen worden,
door elke zijde van A Pi Pi Pi uitwendig te verdeelen
in stukken evenredig met de kwadraten vnn de stralen
behoorende bij de uiteinden van zoo\'n zijde. Men krijgt
dan drie punten, die volgens de stelling van Menki-aus
op (ién rechte lijn gelegen zullen zijn. Deze rechte lijn
is de gezochte machtlijn. Construeert men vervolgens
cirkel O, dan volgt daarna de centraal van den bundel,
waarna dan gemakkelijk het punt Mx bepaald kan worden.
Mi zal tusschen O en de machtlijn gelegen zijn. Het
kan gebeuren, dat Mi tusschen de eventueele bestaanbare
grenspunten van den bundel komt te liggen. In dat

geval is Mi het middelpunt van een orthogon aal cirkel
met imaginairen straal. De „plaatsvervanger" zal dan
diametraal gesneden worden.

Volgens \'t voorafgaande (§ 3) zal dit geval zich voordoen,
als één der beide grenspunten binnen elk der drie ge-
geven cirkels gelegen is, terwijl het andere grenspunt
er telkens buiten ligt. Heeft men eenmaal Ma en neemt
men dan op de centraal M\'i symmetrisch met ^1/4 t. o.
van O, dan zal volgens \'t voorafgaande de cirkel met
M\'i tot middelpunt en levens behoorende tot den bundel,
de drie gegeven cirkels diametraal moeten snijden.

Is n = 1-2 = ra, dan komt de machtlijn in \'t oneindige
te liggen, d. w. z. de cirkels van den bundel zijn con-
centrisch, de punten Mi en M\'i vallen dan met O samen.

Verder is; Mi\'\' — = — J\\ Mi"\' = r,« of
P^Mi^Pi Mi\'^ = n""pi^ als ri en pi de stralen
zijn van de cirkels Mi en il/4\'. Derhalve: r4*-h/J4\' =
= 2 -f Mi\' Mi\'\' als R de straal van cirkel O voor-
stelt. Is nu ri = = rs, dan is Mi\' Mi = O, zoodat
dan r4® = 2R\'.

Liggen J\\, Pi en P^ op één rechte lijn, dan is deze
lijn de machtlijn van den bundel. Deze machtlijn is
dan tevens cirkel O. Dan wordt ()Mi = OMi = cn,
d. w. z. ook de cirkels Mi en .174\' ontaarden in de machtlijn.

§ 5. We denken ons in \'t aigemeene geval de snij-
koorden van den diametraalsnijdenden cirkel J/4\' met
elk der drie cirkels 7\'i, Pi en Ps doorgetrokken, tot zo
elkaar twee aan twee snijdeti in de punten A, B en C.
A Pi Po Pi is dan voetpuntsdriehoek van .1/4\' t. o. van
A ABC. Laat hierbij Pi gelegen zijn op de zijde BC,
Pi op de zijde CA en Pa op de zijde AB. Mi, het
machtpunt van de cirkels 7\'i, P3 en 7\'$ is dan het
snijpunt van de loodlijnen uit A, B en C resp. neer-
gelaten op Pi Pa, Pa en Pi Pi. \'t Is dan gemakkelijk
aan te toonen, dat Mi en Mi\' twee isogonaal verwante

punten zijn t. o. van A ABC. Cirkel O zal de zijden
van A ABC behalve in Pt, P« en P3, nog in drie andere
punten P/, Pi en Ps snijden. Daar O het midden is
van Mx Mi\\ en Mx en Mx\' isogonaal verwante punten
zijn, volgt gemakkelijk, JA\'^l J_ A\'Ps\', JA\'/^ _L A\'Pi\'
en Mx\'Cl.Px\'Pi.

We kunnen nu Pi\', Pi en P«\' beschouwen als middel-
punten van cirkels, waarbij we een der drie stralen
willekeurig nemen en daarna de beide andere stralen
zóó bepalen, dat Mx\' machtpunt van die cirkels wordt.
.¥4 moet dan het middelpunt van den diametraalsnij-
denden cirkel zijn, m. a. w. A Pi\' Pi\' P3 is voetpunts-
driehoek behoorende bij .1/4. De A A J\\ Pi P» en
Pi\' Pi\' P3\' zullen we twee wederkeerig aan elkaar toe-
gevoegde voetpuntsdriehoeken noemen, liet punt Mx
in den eenen driehoek komt overeen met Mx\' in den
anderen driehoek en omgekeerd, terwijl beide driehoeken
een gemeenschappelijken omgeschreven cirkel hebben,
waarvan hel middelpunt O hel midden is van Mx Mx\'.

Omgekeerd, veroiulerstel, men heeft een A ABC en
men bepaalt den voetpunlsdriehoek Pi Pi P» van een
willek, punt Mx\' l. o. van dien A ABC. Vervolgens
beschrijft men met Mx\' als middelpunt een cirkel, welke
de zijden van A ABC snijdt. Men denkt zich vervolgens
op de drie verkregen snijkoordcn als middellijnen, cirkels
Pi, Pi en /\'a beschreven. Deze drie cirkels hebben een
machtpunt en \'l is gemakkelijk in le zien, dat dil punt
gelegen moet zijn op elk der drie loodlijnen neergelaten
uil A, B en C resp. op /\'« /\'s, Pa Pi en Pi Pi. Die
loodlijnen moeten elkaar dus in één punl .I/4 snjjden.
Het midden O van MxMx\' is \'l middelpunt van den
omgeschreven cirkel van A Pi Pi Pa. Mx is isogonaal
verwant mei Mx\' t.o. van A ABC, waaruit dan weer
volgt, dat de voetpunlsdriehoek Pi Pi\' Pi behoorende
hij il/4 toegevoegd is aan dien behoorende bij Mx\',
terwijl beide voetpuntsdriehoeken oen gemeenschappelijken
omgeschreven cirkel hebben.

Heeft men een A ABC, en verbindt men een wille-
keurig punt Mi met de hoekpunten van dien driehoek,

in A ABC een A Pi P2 Ps te beschrijven, waarvan de
zijden loodrecht staan op Mi A, resp. 3Ii B, resp. Mi C.
Men kan nu Pi, P2 en P3 weer beschouwen als middel-
punten van cirkels, welke Mi tot machtpunt hebben,
\'t Is dan altijd mogelijk een cirkel te brengen door de
uiteinden van twee der drie middellijnen, volgens welke die
cirkels de zijden van A ABC snijden, en het blijkt dan
gemakkelijk, dat de machtlijn van dezen cirkel met den
overschietenden derden cirkel zal moeten vallen langs
die zijde van ABC waarop het middelpunt van dezen
laatsten cirkel gelegen is, m. a. w. deze cirkel wordt ook
diametraal gesneden, zoodat A Pi P2 P3 een voetpunts-
driehoejï, is. De voetpuntsdriehoek behoorende bij Mi
is de toegevoegde voetpuntsdriehoek.

Na de voorafgaande beschouwingen zal \'t duidelijk
zijn, dat aan den voetpuntsdriehoek behoorende bij
\'t middelpunt M van den omgeschreven cirkel van een
driehoek, toegevoegd is de voetpuntsdriehoek behoorende
bij \'t hoogtepunt H van dien driehoek. Nu volgt tevens
de bekende eigenschap, dat hoogtepunt en middelpunt
van den omgeschreven cirkel twee isogonaal verwante
punten zijn t. 0. van A ABC, en dat het middelpunt van
den negenpuntscirkel gelegen is in \'t midden van de
verbindingslijn van beide punten, terwijl de negenpunts-
cirkel de zijden snijdt in dè middens en in dc voetpunlen
van de hoogtelijnen. Daar de voetpuntsdriehoek van M
kan ontstaan uit A ABC door vermenigvuldiging met
— Va t. 0. van hot zwaartepunt Z van den driehoek, is
dit punt inwendig gelijkvormigheidspunt van den om-
geschreven cirkel en den negenpimlscirkel en is do
straal van dezen laatsten gelijk aan \'/z B. Hieruit volgt
dan weer, dat // het uitwendig gelijkvormigheidspunt
dier cirkels is. Door le trekken de drie gelijkvormig-
heidsstralen gaande door Z en de drie hoekpunten van

den driehoek, vindt men 6 bijzondere punten op den
negenpuntscirkel en door \'t zelfde le doen t. o. van H
als uitwendig gelijkvormigheidspunt, volgen nog eens
6 bijzondere punten.

Gaat men uit van den voetpuntsdriehoek behoorende
bij Z, dan vindt men als toegevoegden driehoek, den
voetpuntsdriehoek behoorende bij K, het snijpunt der
symmedianen.

De voetpuntsdriehoeken behoorende bij de middel-
punten van de vier raakcirkels zijn aan zichzelf toegevoegd.

Construeert men den voetpuntsdriehoek behoorende
bij een punt P gelegen op den omgeschreven cirkel, dan
biijkt onmiddellijk uit de figuur, dat het met/\'isogonaal
verwante punt t. o. van den driehoek,, gelegen is in
\'t oneindige. Het middelpunt van den omgeschreven
cirkel van den voetpuntsdriehoek behoorende bij P is
dus ook in \'t oneindige gelegen, m. a. w. die voetpunts-
driehoek is ontaard in een rechte lijn, de bekende rechte
van \\Vai.i.ace. De toegevoegde voetpuntsdriehoek is
ontaard in de lijn in \'t oneindige.

§ G. Men stelle zich voor ecn A JÖC en op de zijden
van dezen driehoek als middellijnen de cirkels /\'i, Pt
en Pi beschreven, zóó, dat /\'i. Pi en /\'s tle middens
zijn resp. van /iC, CA en Ali. De diametraal snijdende
cirkel Mi\' is dan de omgeschreven cirkel van A AliC,
terwijl het machtpunt .I/4 (middeli)unt van tien ortho-
gonalen cirkel) van de cirkels /\'., P, en in\'t hoogte-
punt vnn AABC vnlt. Het middelpunt O van den
omgeschreven cirkel van A/\'a, en dal is de negen-
puntscirkel vnn A AJiC, zal dus gelegen zijn in \'t midden
vnn de verbindingslijn van hoogtepunt en middelpunt
vnn den omgeschreven cirkel. Zooals boven reeds ver-
meld is, volgen dan verder gemakkelijk do 12 bijzondere
punten op den negenpuntscirkel.

Zooals reeds eerder is meegedeeld, vormen de cirkels
Mi, O en .1/4\' een bundel, waarvan de machtlijn de

zijden van A Pi P2 P3 snijdt in punten, welke die zijden
uitwendig verdoelen in stukken, die omgekeerd evenredig
zijn met de kwadraten van de stralen behoorende bij
de uiteinden van zoo\'n zijde. Nu is Pi P2 = \'/s c,
P2 P3 = 1/2 « en Ps Pi = V2 als a, 6 en c de zijden
van AABG zijn, terwijl de cirkels Pi, 1\\ en P3 resp.
tot stralen hebben \'h ^ en V2 c. Men kan dus
zeggen: bovengenoemde machtUin verdeelt de zijden van
A Pi P2 P3 uitwendig in stukken, die omgekeerd even-
redig zijn met de kwadraten van de aanliggende zijden.
Beschrijft men met de op de zijden verkregen doel-
punten als middelpunten cirkels, welke den omschreven
cirkel van A Pi 1\\ Pa oTthogonaal snijden, dan behooren
deze drie cirkels tot eenzelfden cirkelbundel. De bestaan-
bare (of imaginaire) basispunten Si en Si van dezen
bundel zijn de punten zóó gelegen, dat hunne afstanden
lot Pi, P2 en Pa omgekeerd evenredig zijn met de zijden
P2 / 3 en I\\ P2 van A 1\\ Deze punten
zullen dus gelegen zijn op de centraal van de cirkels
O en Mi\', dus op de rechte van Euler van A I\\ IV
De punten -Si en S2 verdoelen hel stuk door den om-
gescllreven cirkel van de rechte van Eulkr afgesneden,
harmonisch.

gaande zal \'t duidelijk zijn, dat dan hel middelpunt Pi\'
van den diametraal snijdenden cirkel gelegen is in het
hoogtepunt van A V\\ 1\\ /\'s en dat de straal /j* van dezen
cirkel = 2 R, als R de straal is van den omgeschreven
cirkel O van A I\\ P2 Pa.

Is Ih het midden van Pa P*\\ Aa dat van Pi /\'j, en
is Pi het middelpunt van den orthogonaalcirkel, dan is
Pa Pi = 20Bt = ^ Pi\' Aa. P*\' Aa is zwaarlelijn in

_ 1/, ,.32 = _ (,,2 _ Y, en dus Pi =
= 4 _ 2 ^ _ ,.32^ Derhalve: r^® = Pi Pa\' —
,.32 = 4 ^,2 _ 2 ,.^2) _ ,.32 _ ,.32 = 4 ^^2 _ 2 (ri2

§ 8. Laten we nu eens nemen het geval dat de cirkrh
i\'i, Pi en Pa elkaar twee aan twee orthogonaal snijden.
We noemen de middelpunten van den orthogonaal- en
den diametraalsnijdenden cirkel Px resp. Px\'. Zooals
bekend, is het middelpunt van elk van vier elkaar
onderling orthogonaal snijdende cirkels het hoogtepunt
van den driehoek met de middelpunten van de drie
andere cirkels tot hoekpunten. De punten /\'i. Pi, l\\
en Px vormen dus een zoogenaamde ortliocentrische groep.
Verder is bekend, dal de vier driehoeken, welke men
verkrijgt door telkens drie van de \\ punten tot hoek-
l)unten le nemen, omgeschreven cirkels met gelijken

De middelpunten 0., Oi, O3 en O, ((h behoort bi)
A /\', Pi enz.) van deze cirkels vormen weer een
ortliocentrische groep, die congruent is met de groep
Pu Pi, /\'s. Pi. De verbindingslijnen van telkens twee
overeenkomstige punten in beide groepen gaan door één
punt en deelen elkaar in dil punl middendoor. Dilpnnl
is hel middelpunt N van den zoogenaamden negenpnnts-
cirkel met straal melken de acht driehoeken uit

de groepen /\'., /\'„ Pa. P^ on 0., Oa, genieen-
schappeliik hebben. De groep van de punten O kan
dus verkregen worden uit die dor punten P door ver-
menigvuldiging t. o. van N met - 1. Door de groep / . ,
Pi, P,, P, te vermenigvuldigen l. o. van .V mel^ -- d
blijkt, dat eveneens de zoo verkregen punten /, , / 2,
Pa\' en Px\' een orthocentrische groep vormen.

Daar de cirkels Pu Pi, Pi en P4 niet onafhankelijk
van elkaar zijn, maar elk der vier cirkels te conslrueeren
is met behulp van de overschietende drie cirkels, zullen
ook ri, r2, n en n niet onafhankelijk van elkaar zijn.
Er zal dus een betrekking tusschen ri, >\'2, n en r4 moeten
bestaan. Deze betrekking zullen we afleiden.

In A Pi O4 Az is: cos.Pi O4 A^ = ^^ of cos 1\\ P2 =
In A P, P2 P3 geldt: cos Pi P3 Ps =

(ra^ r4^) (ra\'\' ri^) W ra®) = r»^ (n» r,\' ra« r^^),
waaruit na eenige herleiding volgt:

Uit (A") blijkt naar behooren, dat de vier stralen
ri,r2, rs en r\\ niet alle bestaanbaar kunnen zijn. Van
le voren is in le zien, dat een der vier cirkels P een
imaginairen straal heeft.

Is Ih hel midden van Pa Pi en Az dat van Pi P2,
dan is Ps Pi\' = 2 O4 Ji2 = 2 A^. Pt A^ is zwaarlelijn

\'lellende op (A"), p-i uilgedrukt kan worden in n, >\'2 en
ra ipi is de straal van den cirkel P4\', welke de cirkels
Pi, Po en P3 diametraal snijdt), \'t Bovenstaande kan
ook gebracht worden in den vorm pi\'— i Vi^ — ri^
r2^ rs^

Door gebruik te maken van het gevondene op blz. 20
heeft men ook: Pi\'= \'h A\' Pi\' en volgt

nu gemakkelijk: Pi\' Pi\'= li\' 8 ri«, zoodal P4 Or =
= 2 r4^ Heeft men nu een A ABC met zijden
a, b en c (a>b>c), dan blijkt door te stellen
= -f ra^ = ra^ \'"i\' = en daarna op
te lossen r.,;-, en rg, dat B en G altijd beschouwd
kunnen worden als middelpunten van drie elkaar onder-
ling orthogonaal snijdende cirkels met stralen r,, ra en ra,

en daarna L/= l/ÖVT^), M^KÖV V) en
C7/= V (rs» >-4«), alle drie uilgedrukt m o, 6 ene, als
II het hoogtepunt isvanA.lPC, terwijl doormiddel van
(A) R volgt. Daar IlOi = V {R\' 2 ^4») kan ten slotte
ook de lijn van Eule» //04 uitgedrukt worden m en c.

Daar de punten van de groep /\'., /\'a, I\\ niet hunne
bijbehoorende cirkels gelijkwaardig zijn, vindt men voor
de stralen van de cirkels /\'.\', /V, /V en 1\\ , ^vel^ke telkens
drie der vier cirkels diametraal snijden: /»i" = 4 /i 3 n ,
= 4 n^ -f 3 ^s\' = i li\' 3 ra« en px\' -4 R\' 3 »•4^

8 9. Men kan nu ten slotte nog beschouwen de
cirkels, welke drie gegeven willekeurige cirkels /
P2 en />,, hetzij orthogonaal, hetzij diametraal snijden,
bijv. den cirkel, welke de cirkels I\\ en beide ortho-
gonaal, en den cirkel Pz diametraal snijdt. Men kan

zoodoende zes combinaties maken, en krijgt dan tezamen
met de twee reeds op blz. 20 behandelde cirkels, J/4 en
71/4\' in \'t geheel acht cirkels. Deze cirkels zijn, zooals
reeds geschied is voor de cirkels iI/4 en Mi\', twee aan
twee aan elkaar toe te voegen, als volgt:

diametraal

orthogonaal

diametraal

orthogonaal

diametraal

Ml\'

Mi\'

Ma\'

Mi\'

(II)

(III)

(IV)

orthogonaal diametraal
orthogonaal diametraal
diametraal orthogonaal
orthogonaal orthogonaal
diametraal diametraal
orthogonaal orthogonaal
diametraal diametraal
Op soortgelijke wijze als voor \'t cirkelpaar (IV), blijkt
ook voor elk der drie andere cirkelparen (l), (II) en (111),
dat zij met cirkel O, den omgeschreven cirkel van
A Pi Pi Pa, een bundel vormen. De drie machtlijnen
van deze drie bundels worden gevonden door in A / 2 Pi
telkens twee zijden inwendig en de derde zijde uitwendig
op de reeds vroeger (§ 4) aangegeven wijze te verdeelen.
Telkens liggen de middelpunten van twee toegevoegde
cirkels symmetrisch t. 0. van 0. Nu liggen telkens
twee der punten P aan de eene zijde en hel derde
punt P aan de andere zijde van de maciitlijn. Daar
we vrooger gevonden hebben (§ 3, blz. 18), dal er steeds
in een bundel een cirkel met bestaanbaar middelpunt
en bestaanbaren straal aan tc wijzen is, die een gegeven
cirkel diametraal snijdt, hebben deze drie paren cirkels
steeds bestaanbare middelpunten cn bestaanbare stralen.
Ook nu geldt weer: som van de kwadraten van de
stralen van twee toegevoegde cirkels = 2 R^ -f- halve
kwadraat van den afstand der middelpunten. .

Liggen Pi, Pi en Pa op één rechte lijn, dan ontaarden
de cirkels weer in deze rechte lijn.

We zijn dus tot het volgende resultaat gekomen:
Üe acht cirkels behooren twee aan twee tot vier cirkel-

bundels, ivelke den omgeschreven cirkel van den driehoek
met de drie middelpunten van de gegeven cirkels tot hoek-
punten, gemeenschappelijk hebben. De middelpunten liggen
twee aan twee symmetrisch t. o. van het middelpunt van
dien omgeschreven cirkel.

§ 10. We zullen nu nog eens het bijzondere geval
nemen, dat de drie gegeven cirkels 1\\ 1\\ en 1\\ {mei
bestaanbare stralen) elkaar onderling orthogonaal snijden.
Het paar toegevoegde cirkels (IV) heeft dan zijn middel-
punten il/4 en Mx\' in het hoogtepunt van A / 2 / 3,
resp. in het punt dat symmetrisch met dat hoogtepunt
t O van het middelpunt O van den omgeschreven cu\'kel
van A 1\\ 1\\ gelegen is. Van de middelpunten van
het paar (I) valt M, met l\\ samen, terwijl cn-kel .1/.
met cirkel 1\\ samenvalt. Immers cirkel l\\ deelt zich-
zelf middendoor. Mx\' is dus hel tegenpunt van / . op
cirkel 0. Van de middelpunten van hel paar (11) va l
M. met samen. M,\' is dus hel tegenpunt van 2
op cirkel O. Van de middelpunten van het paar (111)
valt .1/3 met P3 sau.en. .Ifa\' is dus hel tegenpunt van
/\', op cirkel 0. De groep punten .1/. \' ;

kan dus ontslaan uil .le groep punten Mx M^ M, Mx
door vermenigvuldiging met - 1 t. o. van O. Daar deze
laatste groep een orthocentrische is, zal dit ook hel
geval moeten zijn met de andere groep.

Verder blijkt gemakkelijk, dal bijv. .1 . met alleen
machlpunl is voor de cirkels Mu M. ^ M. ^^.r 00^
voor de cirkels Mx\\ M.\' en .Ua\'. / - rn-ke s ud de

eene .ro^p en dc drie toegevoegde arkels uU deandeu
groep hebben concentrische orthogonaalcu\'kels. ^oor

lellen op .Ie symmetrische ligging van .le
van den orthogonaalcirkel en den diame raai sn dende
cirkel l. 0. van O. volgt nu onmiddellijk, dal .l/j me
alleen mi.l.lelpunl is van den diametraal smjc e, den
cirkel voor de cirkels Mx, M. en .1/,, maar ook 00.
de cirkels .1/,\', en M.\'. Daar J/a gehjke neg.

macht heeft t. o. van de cirkels Mx en ilfg\', is JSU het
middelpunt van een imaginairen orthogonaalcirkel voor
de cirkels Mi\' en Mz\', terwijl die cirkel dan zichzelf
diametraal snijdt. Daaruit volgt, dat het tegenpunt J/a\'
op cirkel O het middelpunt is van een cirkel, concen-
trisch met den cirkel M^\' van het cirkelpaar (III), welke
de cirkels Mi\' en M2 diametraal en bovengenoemden
cirkel M^ orthogonaal snijdt. De „plaatsvervanger" van
dezen cirkel ifa is de cirkel ifs, behoorende tot het
cirkelpaar (III). Deze zal dus diametraal gesneden worden.

Op soortgelijke wijze toont men aan, dat er een cirkel
is concentrisch met cirkel Mi van het cirkelpaar (II),
welke de cirkels Mi, M^\' en den cirkel M^ van het
cirkelpaar (II) diametraal snijdt. Ten slotte een cirkel
concentrisch met cirkel ilfi\'van het cirkelpaar (I), welke
de cirkels il/a\', Mz\' en den cirkel M\\ van het cirkel-
paar (I) diametraal snijdt.

Noemt men de stralen van de cirkels Mi\\ Mï\', Jlfa\'
en Mi\' resp. pu pi, pz en pi, dan vindt men gemakkelijk:
^,2 = 4 It\' - n®, P2\' ra®, ^a® = It\'- n® en

§ 11. Doormiddel van de graphischo voorstelling
(§ 3, blz. 15) is verder gemakkelijk af te leiden:

Zijn vier cirkels M\\, M2, Mz en Mi van een bundel
zóó gelegen, dat de middelpunten harmonisch gelegen
zijn, en is een vijfden cirkel van den bundel Ma zóó
gelegen, dat Mi il/o = Mq Mz, terwijl V op cirkel Mo
genomen wordt, dan vindt men, lettende op \'t gevondene
op blz. 14 C§ 1): mz\' = mij X m.

Heeft men vier cirkels il/o, iJ/i, M-i en il/s van een
bundel, zóó, dat hunne middelpunten harmonisch gelegen
zijn, en wordt P op cirkel il/o genomen, dan geldt:
Q 1 1

§ 12. Eigenschap. De meetkundige plaats van het punt
P zóó gelegen, dat de afstand van dat pxint tot een gegeven
rechte lijn, en de macht van dat punt t. o. van een gegeven
cirkel een gegeven constante verhouding hebben, is een cirkel,
welke met den gegeven cirkel de gegeven lijn tot machtlijn
heeft.

Zij Ml de gegeven cirkel, Peen punt van de gevraagde
meetkundige plaats. Beschrijf den cirkel O gaande door

welke met cirkel Mi de gegeven lijn l tot machtlijn
heeft. Men heeft dan volgens \'l voorgaande (§ l):
macht van P t. o. van cirkel Mi = 2 OMi X l\\S.
Hierbij moet in aanmerking genomen worden hel
teeken van PiS (afsland van P lol /), terwijl aan OMi
en PtS hetzelfde teeken toegekend moet worden als ze
in dezelfde richting loopen.

Voor alle punten P van de meetkundige plaats is dus
OMi constant; m.a.w. die punten P zijn alle op den
cirkel O gelegen. OMi moet in pos. resp. neg. richting
genomen worden, al naar gelang de geg. verhouding
pos. of neg. is. De plaats van O is dan door de geg.

Ook omgekeerd elk punt op den omlrek van cirkel O
voldoet aan de gegeven voorwaarde.

8 13. Berekening ran den straal p van cirkel O.
In A OMiP:p\'^ PMi^ OMi\' 2 OMi X MiPi,

omdat volgens (A) PMi^ - = 2 OMi X PiS.
p2 = 4 2 Oilfi X r,2, waarbij op de tee-

kens van OMi en 3IiS gelet moet worden. 3IiS is
bekend, 03Ii volgt volgens (A) onmiddellijk uil de ge-
geven verhouding.

§ 1. Men stelle zich voor twee cirkels Mi en M2
(stralen n en r», terwijl n > Vi), die geheel buiten elkaar
gelegen zijn en een cirkel O welke deze cirkels op
dezelfde wijze opvolgend aanraakt in de punten A en B.
Zooals bekend is, liggen de raakpunten en B met het
uitwendig gelijkvormigheidspunt U van de cirkels Mi
en Mi op één rechte lyn. A en B zijn twee anti-
homologe punten t. o. van U en zooals bekend, is het
product UA X UB constant. Daar UA en UB in
dezelfde richting liggen, zal dit product pos. genomen
worden. Trekt men nu uit U een raaklijn UG aan
cirkel O, dan is UC^ = UA X UB of UC = ^u =
= K UA X UB constant, d. w. z. de cirkel met U tot
middelpunt en /j» tot straal zal alle cirkels O orthogonaal
snijden. De cirkel U wordl genoemd de uitwendige
machtcirkel van de cirkels Mx en Mi.

De raaklijnen in A en B aan cirkel O, zullen elkaar
in een punt 1) gelegen op de machtlijn van de cirkels
Mx en Mi snijden. I) heeft n.1. gelijke macht t. o. van
elk van deze cirkels. I) is verder de pool van AB t.o.
van cirkel O en dus de pool lijn van U t. 0. van dien
cirkel, zal moeten gaan door I). Hieruit volgt onmid-
dellijk, dat l) gelijke macht heeft t. 0. van de cirkels
O, Mx, Mi en U. Derhalve: de uitwendige machtcirkel
behoort tol den bundel bepaald door de cirkels Mx en Mi
en snijdt de cirkels O, welke de cirkels Mx en Mi op
dezelfde wijze raken, orthogonaal.

De cirkeh 0 behooren tot een zoogenaamd (hyperbolisch)
gelijkvormigheidsnet met den uittoendigen machtcirkel als
bestaanbaren orthogonaalcirkel.

Dat D gelijke macht heeft t. o. van de cirkels 0, Mx,
Ah en U kan ook als volgt blijken. In den gelijk-
beenigen A ABI) geldt: DÜ^ ^ Dß-^ UAX UB of
UV\'— = DB\\ d. w. z. macht van D t. o. van cirkel
U = macht van D t. o. van cirkel M^. Daar D even-
eens gelijke macht heeft t. o. van de cirkels 0, Mi en
Mi is nu het gevraagde bewezen.

Raakt cirkel O de cirkels Mi en Mi op verschillende
wijze, dan liggen, zooals bekend, de opvolgende raak-
punten A en B met het inwendig gelijkvormigheidspunt ƒ
van deze cirkels op één rechte lijn. Nu zijn A en B
twee antihomologe punten t. o. van I en zooals bekend,
is \'t product IA X li^ constant. Nu liggen echter IA
en IB in tegengestelde richting en daarom zal dit pro-
duct neg. genomen worden. X ^ is dus ima-
ginair en kan voorgesteld worden door i pu De cirkel
met I tot middelpunt en i pi tot straal, zullen we noemen
den (imaginairen) inicendigen machtcirkel van de cirkels
Ml en Mi. Zijn .plaatsvervanger" is de bestaanbare
cirkel met I als middelpunt en p\\ als straal. p\\ wordt
gevonden als de helft van de kortste koorde, welke men
door I in cirkel O kan trekken. De „plaatsvervanger"
wordt door alle cirkels O diametraal gesneden en de
inwendige machtcirkel (met straal tVO
cirkels O orthogonaal snijden.

Op soortgelijke wijze als bij den uitwendigen macht-
cirkel, vindt men: DP — {ipiY = d. w. z. macht

van D t. O. van den inwendigen machtcirkel I = macht
van D t. O. van cirkel Mi. liet blijkt nu dat /, gelegen
tusschen de grenspunten van den bundel bepaald door
de cirkels Mi en Mi, beschouwd kan worden als middel-
punt van den inwendigen machtcirkel met bestaanbaar
middelpunt maar met imaginairen straal i pi en dat
deze inwendige machtcirkel gerekend kan worden tc behooren

tot den bundel bepaald door de cirkels Mi en Mo. Deze
machtcirkel snijdt alle cirkels O welke de cirkels Mi en
3h op verschillende wijze raken, orthogonaal.

Deze cirkels O behooren tot een zoogenaamd (elliptisch)
gelijkvormigheidsnet met den inwendigen machtcirkel als
{imaginairen) orthogonaalcirkel en dus diens „plaatsver-
vanger" als bestaanbaren diametraal cirkel. Deze laatste
behoort tevens tot het net (hij deelt zichzelf midden-
door).

Opmerking: de orthogonale cirkels van de cirkels Mi
en Mz behooren tegelijkertijd lot de beide gelijkvormig-
heidsnetten.

§ 2. pü en pi kunnen gemakkelijk geconstrueerd
worden, door telkens voor cirkel O een bijzonderen
cirkel te nemen en wel zóó, dat het middelpunt O
telkens op de centraal gelegen is.

Zooals bekend is, verdeelen U en 7, ilA uit-, resp.
inwendig in stukken, die zich verhouden als n en rs.
Door nu te letten op het gevondene in hoofdstuk II
(blz. 15), blijkt gemakkelijk, dat/Ju^ verkregen zal worden

Blijkbaar wordt (»>0\' gevonden, door in die betrek-
king tc substitueeren = d«": =
_ S rf» - (r, r«)\' dus

Nu is: VI=IMf^Mt U =

- — ri ri -f ra r,2 — rj^\'
,, /2rfri rsV __
Uit (A) en (A\') volgt: pn^ = -

Dit beteekent: de heide machtcirhels snijden elkaar
orthogonaal. Men kan ook zeggen: „de plaatsvervanger"
van den inwendigen machtcirkel wordt door den uit-
wendigen machtcirkel diametraal gesneden.

Opmerking: en kunnen ook gemakkelijk be-
rekend worden, zonder gebruik te maken van de be-
trekking (6) op blz. 15, door n.1. en/Ji te beschouwen
als raaklijn, resp. halve kleinste koorde bij de bijzondere
raakcirkels O hierboven genoemd in verband met de
constructie van /ju en pi.

§ 3. Zooals boven bleek, zijn de beide machtcirkels
U en I twee orthogonale cirkels, behoorende tot den
bundel bepaald door de cirkels Mi en M^. De cirkel
behoorende tot den toegevoegden orthogonalen bundel,
en waarvan het middelpunt S gelegen is op de centraal
van eerstgenoemden bundel, snijdt cirkel U orthogonaal
en den „plaatsvervanger" van cirkel I diametraal vol-
gens de middellijn FG door J±MiM2, terwijl de cen-
traal door den cirkel S gesneden wordt in de beide grens-
punten P en Q van den bundel. Daar nu ^„^ — = UP,
zal ook cirkel f/dien .plaatsvervanger" volgens diezelfde
middellijn FG snijden. Nu geldt in den rechth.
A USG: SG^= SIX SU d.w.z. /\' en Q worden har-
monisch gescheiden door de punten I en U. Daar dit
bewijs ook op elk tweetal willekeurige orthogonale cirkels
van den bundel kan toegepast worden, geldt algemeen:
de beide grenspunten van een bundel worden harmonisch
gescheiden door de middelpunten van twee elkaar orthogo-
naal snijdende cirkels van den bundel.

Zooals bekend is, wordt iedere lijn in \'t vlak van een
bundel door de cirkels van dien bundel gesneden in
.paren punten, die involutorische ligging hebben. Die
paren punten zijn harmonisch gelegen t. o. van de raak-
punten van de lijn met twee cirkels van dien bundel.
Neemt men nu de centraal als die lijn, dan worden die

Be heide grenspunten van een bundel worden harmonisch
gescheiden door de snijpunten van eiken cirkel van dien
bundel met de centraal.

Deze eigenschap volgt ook onmiddellijk, door gebruik
te maken van bovengenoemden cirkel S. Deze snijdt
n,l. elk der cirkels van den bundel orthogonaal, waaruit
de eigenschap onmiddellijk volgt.

§4. In AVSG was gevonden: SG^ = SIX SU.
Dit beteekent ook: macht van S t. o. van den cirkel H
op lU als middellijn = Maar dit is ook de macht

van S t. O. van eiken anderen cirkel van den bundel.
Derhalve cirkel IJ, de zoogenaamde gelijkvormigheidscirkel
behoort lol den bundel. Dit is weer een bijzonder geval
van een meer algemeene eigenschap, welke geldt voor
eiken cirkel beschreven op de verbindingslijn van de
middelpunten van twee orthogonale cirkels behoorende
tot den bundel. Ook \'t omgekeerde is waar. De beide
snijpunten van een cirkel behoorende tot den bundel met de
centraal, zijn te beschouwen als de middelpunten van twee
orthogonale cirkels van den bundel.

De beide boven vermelde eigenschappen, betrekking
hebbende op de harmonische scheiding van do beide
grenspunten, vloeien dus eigenlijk uit elkaar voort.

Derhalve: lIMr. = ir-P. In verband met
een eigenschap van hoofdstuk 11 (§1) volgt hieruit:
de gelijkvormigheidscirkel is de meetkundige plaats van de
punten, waarvoor de verhouding van de machten t.o. van
de twee geg. cirkels Mi en Mo = ri^:r2^.

§ 5. Ligt de gegeven cirkel Mi geheel binnen den
gegeven cirkel Mx, dan ligt het uitwendig gelijkvormig-
heidspunt V binnen cirkel i/2 en dus tegelijkertyd binnen
beide cirkels. Evenzoo het inwendig gelijkvormigheids-
punt 1. Zijn nu ^ en ß weer opvolgend de raakpunten
van de cirkels Mx en met een cirkel O, welke beide
op dezelfde wijze raakt, dan liggen nu UA en UB in
tegengestelde richting. i^UAX UB is weer constant,
maar nu imaginair en kan dus voorgesteld worden door
i^u. De uitwendige machtcirkel heeft dus nu een be-
staanbaar middelpunt U maar imaginairen straal. Trekt
men in de punten A en B weer de raaklijnen aan
cirkel O, welke elkaar in D snijden, dan ligt I) weer
op de machtlijn van de cirkels Mx en il/2. Men vindt
nu denzelfden weg volgend als bij \'t vorige geval:

De uitwendige machtcirkel behoort tot den bundel bepaald
door de cirkels Mx en Mi. Déze machtcirkel snijdt alle
cirkels O, welke de cirkels Mx en Mi op dezelfde tvijze

Deze cirkels O behooren tot een zoogenaamd [elliptisch)
gelijkvormigheidsnet, met den uitwendigen machtcirkel U als
(imaginairen) orthogonaalcirkel en dus diens „plaatsver-
vanger" als bestaanbaren diametraalcirkel. Deze laatste

Zijn\'^ en B opvolgend de raakpunten van de cirkels
Mx en Mi met een cirkel O, welke beide cirkels op
verschillende wijze raakt, dan liggen nu IA en IB in
dezelfde richting, pi = VIA X IB is weer constant en
reëel. Men zal nu vinden:

De inwendige machtcirkel behoort tot den bundel bepaald
door de cirkels Mx en Mi en snijdt de cirkels O, welke
de cirkels Mx cn Mi op verschillende tvijze raken, ortho-
gonaal.

^ Deze cirkels O behooren tot een zoogenaamd (hyper-
bolisch) gelijkvormigheidsnet, met den inwendigen macht-
cirkel I als bestaanbaren orthogonaalcirkel.

§ 6. De constructie en berekening van pn en p\\ ge-
schieden op dezelfde wijze als bij \'t vorige geval. Men
vindt:

De gevolgtrekkingen bij het vorige geval afgeleid, en
vermeld in de §§ 3 en 4-, gelden ook nu, waarbij echter
de uitwendige- en inwendige machtcirkels van rol ver-
wisselen.

§ 7. Snijden de beide gegeven cirkels Mx en Mi
elkaar, dan ligt ü builen beide cirkels, terwijl / tege-
lijkertijd binnen beide cirkels gelegen is. Zijn weer A
en Ji de raakpunten met éen cirkel O, welke de cirkels
Ml en Mi op dezelfde wijze (op verschillende wijze)
raakt, dan moet nu zoowel aan UA X Uli als aan JA X iii
het pos. teeken toegekend worden.

De beide machtcirkels zijn nu beide bestaanbaar; ze
behooren tot den bundel bepaald door de cirkels Mi
en Mi.

Dc cirkels O behooren tot twee (hyperbolische) gdijk-
vormighcidsnetten, met de beide machtcirkels tot bestaanbare

Opmerking: de orthogonaalcirkels van de cirkels .U,
en Mi behooren tegelijkertijd tot de beide gelijkvormig-
heidsnetlen.

Daar de beide machtcirkels behooren tot den bundel
bepaald door de cirkels en M^, zullen ze beide gaan
door de snijpunten van deze cirkels en zooals gemak-
kelijk na te gaan is, zullen ze de hoeken onder welke
de cirkels Mi en M2 elkaar snijden, middendoordeelen.
Tevens is nu onmiddellijk in te zien, dat de gelijkvor-
migheidscirkel ook door de beide bovengenoemde snij-
punten gaat en dus eveneens lot den bundel behoort.
Verder is dadelijk in te zien, dat de beide snijpunten
van een cirkel behoorende tot den bundel met de cen-
traal, zijn te beschouwen als de middelpunten van twee
orthogonale cirkels van den bundel. De paren middel-
punten van telkens twee orthogonale cirkels vormen een
elliptische involulie met de twee toegevoegde imaginaire
grenspunten van den bundel als dubbelpunten en 6\'als
middelpunt.

§ 9. Raken de beide gegeven cirkels Mi en M^
elkaar in S, dan valt een der beide gelijkvormigheids-
punten in S. De bijbehoorende machtcirkel ontaardtin
den puntcirkel S, de andere raakt in 5 aan de beide ge-
geven cirkels.

Derhalve: De beide machtcirkels behooren tot den bundel
bepaald door de cirkels Mi en M^. Ze snijden elkaar
orthogonaal.

Verder blijkt gemakkelijk: Het eene gelijkvormigheidsnet
is parabolisch, het andere hyperbolisch.

Opmerking: de orthogonaalcirkels van de cirkels Mi
en Mi behooren tegelijkertijd tot de beide gelijkvormig-
heidsnetlen.

Daar de puntcirkel S eiken cirkel van den bundel
orthogonaal snijdt, zijn de beide snijpunten van een
cirkel behoorende tot den bundel, met de centraal te
beschouwen als de middelpunten van twee orthogonale
cirkels van» den bundel. De paren middelpunten van
telkens twee orthogonale cirkels, vormen een parabolische
involutie met de twee in S samengevallen grenspunten
van den bundel als samengevallen dubbelpunten.

§ 11. Ontaardt een der beide gegeven cirkels in een
puntcirkel, dan vallen de beide gelijkvormigheidsnetten
tot één parabolisch net samen. De beide machtcirkels
zijn dan samengekrompen tot den gegeven puntcirkel.

Ontaarden de gegeven cirkels beide in puntcirkels,
dan worden de beide machtcirkels, en dus ook de beide
gelijkvormiglieidsnetten, onbepaald. Beide hebben blijk-
baar den bundel, met de beide gegeven puntcirkels als

Ontaardt een der beide gegeven cirkels bijv. il/z, in
een rechte lijn welke geen enkel punt met cirkel Mi
gemeen heeft, dan moeten, daar \'t middelpunt van den
ontaarden cirkel ligt op de rechte lijn in \'t oneindige,
U en 1 symmetrisch t. o. van hel middelpunt Mi gelegen
zijn. Daar de punten U en I beschouwd kunnen worden
als de snijpunten met de centraal van eenzelfden cirkel
behoorende tol den bundel bepaald door den cirkel Mi
en den ontaarden cirkel Mi, en er tot dien bundel slechts
één cirkel behoort met Mi als middelpunt, zijn U cn I
de snijpunten van cirkel Mi met de centraal van den

bundel. De gelijkvormigheidscirkel valt dus met cirkel
Mt samen. De eene machtcirkel is bestaanbaar, de
andere heeft een imaginairen straal. Het eene gelijk-
vormigheidsnet is dus hyperbolisch, het andere elliptisch.

Is cirkel Ah ontaard in een rechte lijn, welke cirkel
ilfi snijdt, dan heeft men slechts in een van de snij-
punten van Ml en M^ de hoeken tusschen Mi en de
raaklijn aan Mi in dat punt middendoor te deelen. De
snijpunten van de beide deellijnen met de centraal van
den bundel bepaald door den cirkel Mi en de lijn il/2,
zijn dan de gelijkvormigheidspunten ü en L De beide
gelijkvormigheidsnetten zijn hyperbolisch. U en I zijn
weer de snijpunten van cirkel Mi met de centraal.

Ontaarden de beide gegeven cirkels in rechte lijnen,
dan vormen de orthogonale cirkels van deze ontaarde
cirkels een bundel concentrische cirkels met het snijpunt
van Ml en Mi als gemeenschappelijk middelpunt. Deze
orthogonaalcirkels behooren zooals vroeger opgemerkt
is, tegelijkertijd tot beide gelijkvormigheidsnetten, zoo-
dat nu de beide machtcirkels ontaarden in rechte
lijnen, gaande door het snijpunt van Mi en Mi. Daar
nu de beide ontaarde cirkels Mi en il/a, en ook de beide
ontaarde machtcirkels, tevens op te vatten zijn als raak-
lijnen, aan de cirkels, waarvan zij de ontaarding zijn, is
\'t duidelijk, dat de beide deellijnen van de hoeken ge-
vormd door Ml en Mi, de beide machtcirkels zijn. Deze
deellijnen zijn dus de orthogonaalr^chten van de beide
gelijkvormigheidsnetten.

§ 12. Na de voorafgaande uiteenzetting omtrent de
beide rnachtcirkels van twee cirkels Mi en ^1/2, zal het
duidelijk zijn, dat twee cirkels beschouwd kunnen worden
als eikaars afbeeldingen in twee verschillende inversies,
waarbij de beide machtcirkels optreden als inversiecirkels,
en hunne middelpunten, dus de beide gelijkvormigheids-
punten van de cirkels Mi en Mi, als inversiecentra. De
inversiemachten zijn dan de kwadraten van de stralen

dier machtcirkels. Naar gelang zoo\'n machtcirkel een
bestaanbaren- of imaginairen straal heeft, is de bijbe-
hoorende inversie hyperbolisch resp. elliptisch. Een punt
op den oorspronkelijken cirkel en het beeldpunt op het
beeld van dezen cirkel, zijn niets anders dan twee anti-
homologe punten t. o. van het inversiecentrum als gelijk-
vormigheidspunt der beide cirkels. Door een cirkel en
zijn beeld is de inversie volkomen bepaald. Daar de
machtcirkels van twee cirkels behooren tot den bundel
bepaald door die cirkels, kunnen we zeggen: een cirkel
en zijn beeld bepalen een bundel, waartoe ook de in-
versiecirkel behoort.

Ook omgekeerd, inverleert men een cirkel Mi t. o.
van een gegeven inversiecentrum bij gegeven inversie-
macht, dan zal de inversiecirkel machtcirkel zijn voor
den gegeven cirkel en den beeldcirkel. Verder blijkt
gemakkelijk, dal alle cirkels, welke den inversiecirkel
orthogonaal snijden, in zichzelf getransformeerd worden.
Derhalve: een hyperbolisch- resp. elliptisch net van
cirkels is te beschouwen als de meetkundige plaats van
de cirkels uit een hyperbolische- resp. elliptische inversie
zóó gelegen, dat elk exemplaar in zichzelf overgaat.
De orthogonaalcirkel van het net treedt dan op als in-
versiecirkel.

Met gevondene omtrent de machtcirkels van een cn-kel
en een rechte lijn beschouwd als ontaarden cirkel, is in
overeenstemming met de bekende eigenschap, dat een
cirkel geïnverteerd t. o. van een inversiecentrum, gelegen
op zijn omtrek, afgebeeld wordt door een rechte lijn.

§ 13. Beschouw 2 cirkels J/i en Mi (stralen n resp. >-2),
een cirkel O gaande door Mi en M« en een cirkel M,
welke de cirkels Mi en Mi beide diametraal snijdt. Het
is dan zonder veel moeite (zie Hoofdstuk 11 § 1) in te
zien, dat de machtlijn van de cirkels O en M steeds
zal gaan door het punt, dat MiMi uitwendig verdeelt
in stukken, die zich verhouden als en »-22, dus door

het middelpunt N van den gelijkvormigheidscirkel van
de beide gegeven cirkels. Daar cirkel O door cirkel N
orthogonaal gesneden wordt, zal dus ook de snijding
van laatstgenoemden cirkel met cirkel i/orthogonaal zijn.

Op soortgelijke wijze vindt men, indien men cirkel M
vervangt door een cirkel M\', welke een van de beide
gegeven cirkels Mi en Mo, orthogonaal en den anderen
diametraal snijdt, dat de machtlijn van de cirkels O en
M\' steeds zal gaan door het punt N\', dat M1M2 in-
wendig verdeelt jn stukken, die zich verhouden als ri^
en De (imaginaire) cirkel met JV\' als middelpunt,

welke cirkel O orthogonaal snijdt, zal dus ook cirkel J/\'
orthogonaal snijden. Dezen cirkel N\' zou men kunnen
noemen den inwendigen gelijkvormigheidscirkel van de
cirkels Mi en il/2 en men zou dan aan cirkel jY den
naam uitwendigen gelijkvormigheidscirkel kunnen geven.

IJe cirkels, tvelke 2 gegeven cirkels bf beide orthogonaal,
öf beide diametraal snijden, hebben den uitwendigen gelijk-
vormigheidscirkel als orthogonaalcirkel.

De cirkels, tvelke een van 2 gegeven cirkels orthogonaal
en den anderen diametraal snijden, hebben den inwendigen
gelijkvormigheidscirkel als orthogonaalcirkel.

Men kan aantoonen, dat dc beide gelijkvormigheidscirkels
N en N\' elkaar orthogonaal snijden. De „plaatsvervanger"
van cirkel N\' zal dus door den cirkel N diametraal
gesneden worden.

De beide gelijkvormigheidscirkels behooren tot den
orthogonalen cirkelbundel toegevoegd aan den cirkel-
bundel met Ml en M2 als basispunten.

§ 1. Laten Mt en Mo twee gegeven cirkels zijn met
T als uitwendig gelijkvormigheidspunt. Trek nu twee
willekeurige gelijkvormigheidsstralen, welke de cirkels
M\\ en Mi snijden in de homologe puntenparen At, Ai
en Bi, Bi resp. Ct, Ci en Ih, Ih. We zullen dan be-
wijzen : At Ai X Bx Bi = Ct Ci X 7), Ih.

Het blijkt dus, dat het product van de twee homologe
stukken, door de beide cirkels afgesneden op een gelijk-
vormigheidsstraal, constant is. Dit constante product
zullen we noemen de uitwendige macht van cirkel Mt
t.o. van Mi] hel zal voorgesteld worden door vn.i.
Het spreekt vanzelf, dat wi.2 = ms.i, d.w.z. de uit-
wendige macht van cirkel Mt t. o. van cirkel Mi = die
van cirkel Mi t. o. van cirkel Mt. Door Ai en Bi en dus
ook tevens At en Bi te laten samenvallen, blijkt ge-
makkelijk, dat mt.i = ti.2^ (veronderstellende dat de beide
cirkels oen uilwendige gemeenschappelijke raaklijn /1.2
hebben).

Op overeenkomstige wijze blijkt, dat wanneer men
inplaats van het uitwendige gelijkvormigheidspunt, het
inwendige- neemt, ook het product van de twee homo-
loge stukken afgesneden op een inwendige gelijkvormig-
heidsstraal, constant is. Dit constante product zullen
we noemen de inwendige macht van cirkel Mi t. o. van
cirkd Mi en zullen we aanduitlen met Ook nu

Laten we den gelijkvormigheidsstraal door de middel-
punten 3ïi en Mi gaan, dan blijkt gemakkelijk: j =42—
_ (,-2 _ en wj\'i.ä = 42 - (\'"2 \'\'O\' te zijn. waarbij
dan di.i den afstand tusschen de beide middelpunten
voorstelt.

\'t Is duidelijk, dat door een der cirkels in een punt-
cirkel te laten ontaarden, men krijgt de macht van een
punt t. O. van een cirkel.

Snijden beide cirkels elkaar zóó, dat de beide middel-
punten aan weerskanten van de snijlijn gelegen zijn,
dan is 4.2 — (»\'j — pos., maar^ 4.2 — {ri r,)2 neg.
We zullen daarom in dit geval mj j neg. noemen. Aan
de twee homologe stukken op de inw. gelijkvormig-
heidsstralen moeten dan tegengestelde teekens toege-
kend worden.

Snijden de beide cirkels elkaar zóó, dat beide middel-
punten aan denzelfden kant van de snijlijn gelegen zijn,
dan is nog steeds pos. en neg.

Ligt de eene cirkel geheel binnen den anderen, dan
is neb\'; \'»1.2 moet nu neg. genomen

worden, zoodat aan de homologe stukken op den uitw.
gelijkvormigheidsstraal tegengestelde teekens toegekend
moeten worden. ^ is neg. gebleven.

binnen den anderen gelegen is, en is alleen pos.,
wanneer de eene cirkel geheel buiten den anderen ge-
legen is. mi.2 = 0 wanneer de beide cirkels elkaar in-
wendig raken; wanneer de beide cirkels elkaar

Op de volgende wijze kan men gemakkelijk omtrent
het teeken van de macht beslissen. Beschrijf concen-
trisch met een der geg. cirkels een hulpcirkel, waarvan
de straal = het verschil der beide stralen n en rz.
Ligt dan het middelpunt van den anderen cirkel buiten,
op of binnen dien hulpcirkel, dan is de uitw. macht
pos., resp. O, resp. neg. Beschrijft men concentrisch
met een der geg. cirkels een hulpcirkel waarvan de
straal = de som der beide stralen en en ligt dan
het middelpunt van den anderen geg. cirkel buiten, op
of binnen dien hulpcirkel, dan is de inw. macht pos.,
resp. O, resp. neg. In beide gevallen is de macht van
het middelpunt van den tweeden geg. cirkel t. o. van
den hulpcirkel = de uitwendige, resp. inwendige macht
van de beide geg. cirkels t. o. van elkaar. ^

We maken nog de opmerking, dat steeds
en dat het verschil tusschen beide steeds 4 n bedraagt.

Zijn mi/resp. neg, dan is er geen bestaanbare
gemeenschappelijke uitw. resp. inw. raaklijn. Trekt men
in deze gevallen door het uitw. (resp. mw.) gelijkvor-
migheidspunt een gelijkvormigheidsstraal ± de centraal
der beide cirkels, cn noemt men dan den afstand tusschen
2 homologe punten op dezen straal p resp. ;;, dan is

binnen cirkel il/« gelegen over, dan gaan p en p over
in de helft van de kleinste koorde door dat punt in

as langs de j»-as; de eene is t. o. van de andere over
een afstand 4 ryro in de richting van de ?n-as verschoven.

§ 2. Veronderstel men heeft 2 cirkels Mi en M^
welke elkaar snijden onder eenZ-a: M\\AM2 = a. als
A een der beide snijpunten is).

Voor Ä = 180° (uitw. raking) komt er: »«i.2 = 4;\'ir2
, «=120° , , «Ji.2 = 3rir2

^ a = 90° (JL snijding) „ „ ?hi.2 = 2 rir^
^«=00° , « »«1.2 = \'•ir2

^ K= 0° (inw. raking) „ , Hh.2 = O
Neem « = 90° — ß, dan is >»,.2 = 4 rir2sin2(45° — \'hß)

= 4 ri/\'2 cos^ (45° — V2|3). De som van deze beide
machten = 4rir2 en dit is juist 2 X de uitw. macht
behoorende bij een snijdingshoek van 90°. Deze laatste
macht kan dus beschouwd worden als een middelwaarde
voor de uitw. macht van 2 elkaar snijdende cirkels t. o.
van elkaar.

Teekent men een graphische voorstelling aangevende
het verloop van de uitw. macht bij verandering van
den snijdingshoek, dan blijkt gemakkelijk, dat deze een
sinusoïde is.

Men kan ook schrijven: (/[ j = (r^ rj)2 — 4 r,rjCOS V2«
dus: 2 = f^.2 — (\'2 f\'iY = — 4 nrz cos^^lzoc.
Voor a,— 180° (uitw. raking) komt er:Mj\',2 = 0

„01.— 0° (inw. raking) „ , "\'1.2 = — 4\'ri>\'2
Op geheel dezelfde wijze als bij de uitw. macht, blijkt
dat bij snijding onder een Z van 90° de inw. macht
een middelwaarde heeft.

deze weer een sinusoïde te zijn, congruent met de zoo
juist gevondene en die t. o. van deze over een afstand
4 rxVi _L de a-as verschoven is.

In verband met het gevondene, zou men kunnen af-
spreken: noem de snijding van 2 cirkels uitw. indien
a > 90", en noem ze inwendig indien a. 90°.

We merken nog op: Is « = 90° dan zijn in^^en m^^
gelijk maar met tegengesteld teeken. Neemt men in-
plaats van a, 180\'\' —a dan verwisselen de waarden van
wj,2 en J«\',2 afgezien van de teekens. Wordt cirkel Mi
door cirkel Mz gehalveerd, dan is f/f j = ra^ — n2, zoo-
dat jHi.2 = 2 n (r2 — ri) en Wj\' j = — 2 {»-2 ri).

Men zou ook een „gemiddelde machf ^ [x van 2 cirkels
t. 0, van elkaar kunnen invoeren zóó, dat

4 riro sin^Vï« — 4 nr« cos^\'/z«
of ^1.2 = —-\'-ö--— = —2/•!>•« cos a.

(x.^ 0 voor X = 90°, pos. voor a > 90° en neg. voor
oc <, 90°. Gaat een der cirkels in een punt over, dan
krijgt men de bekende macht van een punt t.o. van
een cirkel.

§ 3. Eigenschap. Gegeven een cirkel il^ en 3 cirkels
Mi, Mi en Mi, welke eerstgenoemd en cirkel op dezelfde
wijze raken. A is het gemeenschappelijke raakpimt van
de cirkels Mi en Mi. Zijn nu pi en ps de machten van
A t. 0. van cirkel Mi resp. Ma, dan geldt: W2..1: >»3.1 =
Pi: pa.

Veronderstel cirkel Mi raakt de drie andere cirkels
alle inwendig. Zij li het punt waarin cirkel Mt^ geraakt
wordt, en laat AB de cirkels ü/s en il/.i voor den tweeden
keer in G resp. snijden. Dan geldt: »»4.3 = AG X DB,

is van de ligging en grootte van cirkel Ms, is ook
\'Jhl = I^J:^, zoodat = ^ of nii i: ^4.3 = Ih :

Op soortgelijke wijze blijkt, dat dc eigenschap ooi geldt,
tvanneer de cirkels M^, Mz en M^ op andere wijze aan
cirkel Ml raken, mits men voor de macht van twee raak-
cirkels t. o. van elkaar de uitwendige- neemt als zij
cirkel Ml op dezelfde wijze raken en de inwendige- als
zij dit op verschillende tvijze doen.

Raakt cirkel Mi cirkel Mi uitwendig, dan komt in-
plaats van ri — ri, n -}- r4 en in plaats van jh4.3 komt
er m^g.

§ 4. Doormiddel van de zoo juist bewezen eigen-
schap is het bekende Theorema van Casey, betrekking
hebbende op vier cirkels rakende aan een vijfden cirkel,
zonder inversie te bewijzen, terwijl dan tevens dit theorema
in een meer algemeenen vorm te brengen is.
Theorema van Casey.

Gegeven ecn cirkel Mi en 4 cirkels M«, Mz, Mi en
Mt welke eerstgenoemden cirkel op dezelfde wyze raken.
Dan geldt: _ _

Soortgelijke hetrekkingen gelden ook, als dc 4 cirkels
op andere ivyze aan cirkel Mi raken, mits men voor de
macht van twee raakcirkels t. 0. van elkaar de uitwendige-
neemt, als zy cirkel Mi op dezelfde wijze raken \'en de
inwendige-, als zy dit op verschillende wijze doen.

Veronderstel cirkel M, wordt, denzelfden kant om-
gaande, achtereenvolgens uitwendig geraakt door de

AG	k^JHC.2
CD
BD
BC	l/^WlB.t
AG
DA	I/WA.5

§ 5. In „Grelle, Journal für Mathematik" Bd I
(pag. 252-288) behandelt Steineo een reeks van stel-
lingen en opgaven over cirkelquotienten t. o. van een
rechte lijn. Onder deze stellingen komen ook een paar
oude stellingen van Pappus (Collectiones mathematicae
libr. IV) voor. Het is nu door veelvuldige toepassing
van het Theorema van Casey mogelijk een aantal dier

stellingen op andere wijze te bewijzen dan Steiner dit
gedaan heeft. Het blijkt dan verder, dat bedoelde
stellingen voor uitbreiding vatbaar zijn.

Bepaling. Onder het quotiënt q van een cirlcel t. o.
van een rechte lijn, verstaat men dc verhouding van den
afstand l van het middelpnnt tot dc lijn en den straal r
van den cirlcel.

Eigenschap. Wordt een van 2 elkaar rakende cirkels
Ml en il/2 door elk van tivee elkaar onder een Z. x
snijdende cirkels Mz en Mi op dezelfde wijze geraakt,
tericijl de andere door deze cirkels gesneden wordt
onder dc hoeken /Ss resp. I3i, dan geldt:

Veronderstel cirkel Mi raakt cirkel M^ inwendig, ter-
wijl de cirkels Ma en Mi aan cirkel M2 inwendig raken.
Ri en Ih {Ri < Ri) zijn de stralen van de cirkels Mi resp.
Mo, Rz en Ri {Rs > Ri) die van de cirkels Ms resp. Mi.
Spiegel cirkel Mi t.o. van il/iil/2 en noem het verkregen
spiegelbeeld Mi\'. Pas nu het Theorema van Gasey toe
op de cirkels Mi, Mi en Mi\'. Er k^it dan:

Spiegel daarna cirkel M3 t. 0. van MiM^ en pas- het
Theorema van Gasey toe op de cirkels Mi, Mi, M3 en
Ah\'. Èr komt dan: •

welke aan ccn van twee elkaar rakende cirkels ilfj en
Mi op dezelfde wijze raken en den anderen onder denzelfden
hoek snijden, terwijl elke twee opcenvohjemle elkaar onder
oen hoek oc snyden, dan (jrldt: qi = qiÜ sin^lict;
.qz = qi-\\-4 sin^l%x.....qyi = qv 2 (x — l) liin^lix.

De stellingen van Steiner en Pappus zijn als bijzondere
gevallen in deze meer algemeene stelling begrepen.
Neemt men n.l. «==180°, dan vindt men 52 =51 2;
yg = 4.....= 2 (a; — 1). Dit geldt onaf-
hankelijk van Z/3. Steiner heeft deze stelling voor
ƒ3 = 0° of 180° bewezen. Neemt men in \'t voorgaande

= 0, d. w. z. het middelpunt van cirkel >«i ligt op
MiMi, dan wordt 71=0 en men vindt:

Derhalve k^\'iri. Dit is een bekende eigenschap
afkomstig van Pappus, welke ook gemakkelijk rechtstreeks
bewezen kan worden door toepassing van hel Theorema
van Gasey. Men heeft dan slechts het spiegelbeeld van
cirkel vh t.o. van M1M2 le nemen.

De cirkels m, welke cirkel Mi en evenzoo cirkel M^
onder gelijke hoeken snijden, zullen alle geraakt worden
door twee cirkels Ni en N2 behoorende tot den bundel
bepaald door de cirkels Mi en M2. We mogen daarom
zeggen:

tcelke elk van twee elkaar rakende cirkels Mi en Mz
onder gelijke hoeken snijden, tenvijl elke tivee opeenvolgende
elkaar onder een hoek a snijden, dan geldt:

qx = (lt 2(x — 1) sin^jix.
Volgens (A\'") vindt men voor de gemeenschappelijke
uitwendige raaklijn van de cirkels m^ en ?«y: ix.y =
2 (y — a;) sinV2«K\'xry. Dus Wx.y = 4 (2/ - xfr^^rysin^ V2«.

§ 6. Beschouw twee cirkels Mi en M2 met stralen
n en ra, welke elkaar snijden onder een Z« en neem
voor dezen hoek den hoek tusschen de beide stralen

naar een der snijpunten van de cirkels getrokken. Worden
nu deze cirkels door inversie (inversiemacht p"^) getrans-
formeerd in de cirkels M[ en M^ met stralen r\\ en

waarbij im en j«2 de machten zijn van O t. o. van cirkel
Ml resp. cirkel M2. fiet is nu gemakkelijk na te gaan,
dat indien mi en m^ hetzelfde teeken hebben, de beeld-
cirkels elkaar weer onder een Z« zullen snijden. Zijn
de teekens van mi en m2 verschillend, dan is die snij-
dingshoek 180° — Voor het bijzondere geval, dat de
cirkels Mi en M2 elkaar raken beteekent dit, dat indien
mi en nn hetzelfde teeken hebben, de beeldcirkels elkaar
op dezelfde wijze zullen raken als de oorspronkelijke
cirkels en dat indien die teekens verschillend zijn, de
raking niet van dezelfde soort is.

\'t Ligt nu voor de hand na te gaan, hoe dit alles
wordt in \'t geval, dat de cirkels Mi en Mi geen enkel
punt met elkaar gemeen hebben. We zullen daartoe
eerst de machten mi\' en »«2\' van O t. o. van de cirkels
Ml\' en Mi\' uitdrukken in nu, ma en p\\

In LMiOMi-.
rfï^ = 0Mi2 Oilfï^ _ 2 OMi X OM2 cos 7l/iOil/2
rf«\'^ = 4- >-2^ mi mi - 2 OMi X OM« cos TlfiOMi
_ ri2 - >-22 = mi 4- m - 2 OMi X OMiCosMiOMi.

Dc gevonden resultaten komen geheel overeen met
die gevonden voor \'t geval, dat de cirkels Mi en Mi

Door uit te gaan van drie cirkels rakende aan een
rechte lijn en door het raakpunt van een dier cir-
kels met deze rechte lijn als puntcirkel te beschouwen,
kan men door van de bovenstaande resultaten gebruik

le maken, komen lot een bewijs van de eigenschap van
§ 3 blz 49. Men heeft daartoe slechts op de cirkels
en \'de rechte lijn een inversie toe te passen en er aan
te denken, dat de eigenschap van § 3 voor de oor-
spronkelijke figuur geldt.

aan eenzelfde rechte lijn, door inversie het Theorema
van Caset (§ 4, blz. 50) bewijzen.

§ 7 Na de voorafgaande beschouwingen (§§ 1 en 2)
zal \'t\'duidelijk zijn, dat de meetkundige plaats van de
middelpunten van cirkels met gegeven constanten straal
welke alle t.o. van een gegeven cirkel Ah (straal n
een gegeven uitwendige-, inwendige- of gemiddelde macht
hebben, steeds een cirkel is concentrisch met cirkel Mu
Heeft men te doen met cirkels met straal r^, well^
cirkel Mr alle onder een Z « snijden, dan zijn m.i -

cos 1 constant. -De stralen van de drie bi.ibehoorende
meetkundige plaatsen zijn dan gelijk. Omgekeerd, heeft
men cirkels met gelijken straal, waarvan de middelpunten
gelegen zijn op een cirkel concentrisch met een gegeven
cirkel, dan zijn voor äie cirkels zoowel m als
t O van den gegeven cirkel constant. Snijden ze dien
gegeven cirkel, dan geschiedt dit voor alle onder den-
zelfden hoek.

S 8 De uitwendige, resp. inwendige macht van twee
cirLls Ml en Mi t. o. van elkaar hebben we gedeh-
niëerd als volgt:

Laten de cirkels doormiddel van een orthogonaal
coördinatenstelsel voorgesteld worden door:

Wanneer we de definities voor ?)ii.2 en »/ja toepassen
op rechte Hjnen beschouwd als ontaarde cirkels, dan
worden «11.2 en m/j oneindig groot.

Men stelle zich voor, dat op den omtrek van een der
cirkels bijv. cirkel Mi met het punt (02/^2) als middelpunt
en r2 als straal, het punt A {xoyo) op zijn plaats blijft,
terwijl men «2, bi en r» onbepaald laat toenemen, echter
zóó," dat Mi zich verplaatst over de rechte lijn OMi

Cirkel .^2 zal dan meer en meer naderen tot de rechte
lijn door A X OMi (te zau.eu met de lijn in \'t oneindige).
Vergelijking van cirkel Mi: {X - OiV {Y- bf -
of 1-2 Oi X - 2 62 r «ï bl - rl = 0. Deelt

waarin we cirkel 71/2 hebben laten ontaarden. Blijkbaar
moet het teeken van j/l 72^ zoo gekozen worden,

Gemakkelijk blijkt, dat (i = — r, cos « als « de hoek
voorstelt tusschen den cirkel 3Ii en de rechte lijn 3I2
(straal ra = 00). Deze Z« invoerende, komt er:

— 2 n\' cos2 Va « of w\', j = — 4 nra cos^ Va a. De uit-
drukkingen voor de machten van 2 cirkels t. 0. van elkaar,
afgeleid in § 2 blz. 47, blijken dus ook geldig te zijn
als een der cirkels in een rechte lijn ontaard is.

en dus w»i.2 = 4 nrz sin^\'/a waarbij « voorstelt den
hoek waaronder de rechte lijnen Mi en Mi elkaar snijden.

= — 2 cos21/2 « en dus wj, = - 4 n>\'2 cos^ V2 i*- Dus
ook wanneer beide cirkels in rechte lijnen ontaard zijn,
blijven de uitdrukkingen van § 2 voor de machten van
2 cirkels t. o. van elkaar geldig.

Heeft men drie cirkels ilfi, il/2 en Mi waarbij Mz in
een rechte ontaard is, dan geldt:

J»8.2 S3.2 »"aa 4.2\' "\'3.2 s.1.2 "\'3.2 \'\'\'32
Is ook de cirkel il/a in een rechte lijn ontaard, dan
geldt:

m.i si.2. "\'1.2 _ .fi.2 m.i __ »1.2 „ "\'1,2 _ «1.2
-= —f —--—~ — r~ en ,

waarbij we de rechte lijnen ilf2 en M3 als congruente
cirkels met oneindig grooten straal beschouwen.

§ 9. Langs elementairen weg is gemakkelijk na te
gaan, hoe de eigenschap van § 3 blz. 49 wordt, als
men een of meer der cirkels in rechte lijnen laat overgaan.

Beschouw 2 cirkels 3li en il/2 met stralen n en rt
(n < ri), dan is wJi.z = si.2 l(»i.2 2 (ft — n)!, als .<>,.2 de
afstand is tusschen 2 snijpunten van ilfi il/2 met de
beide cirkels, als die snijpunten homoloog 1. 0. van

het uitw. gelijkvormigheidspunt van de beide cirkels
gelegen zijn. Voor de inwendige macht vindt • men:
mja = ^ is;2 2 (ra ri)!, waarbij voorstelt den af-
stand van 2 snijpunten homoloog gelegen t. o. van het
inw. gelijkvormigheidspunt van de beide cirkels.

Laat nu r4 grooter en grooter worden. Voorn == cc
gaat dan cirkel Mi in een rechte lijn over. (A) wordt

Hierbij zijn weer een drietal getallen te voegen, waarbij
men telkens cirkel M3 in een rechte lijn laat overgaan.

In de hmiet (ra = a>) wordt dit: = of
{ds is de afstand van het raakpunt op cirkel

1) Cirkel 3Ii raakt de 3 andere cirkels uitwendig. De
cirkels M2 en Ms in rechte lijnen latende overgaan, vindt

2) cirkel il/i raakt cirkel il/i inwendig, de cirkels
M2 en il/a uitwendig. Men vindt, de cirkels M2 en il/s

3) Laten in \'t geval 1) de cirkels J/s en iU4 in rechte
lijnen zijn overgegaan. Men vindt dan:

4) Voor \'t geval, dat de cirkels M3 en Mi uitwendig
en cirkel M2 inwendig geraakt worden, vindt men, als
men de cirkels M3 en Mi in rechte lijnen laat overgaan:

Voor \'t geval, dat de cirkels Mi, M3 en Mi alle in
rechte lijnen* overgaan, vindt men:
cos\'^ 7^ _ ^
COS^ 72 03.4 d3
De gevonden resultaten zijn in overeenstemming met
het in de vorige § gevondene.

§ 1. Gegeven twee cirTcels M\\ en J/2 met stralen
vi en >\'2 (vi > Vi). Gevraagd de meetkundige ])laats van
de middelpunten der cirkels met gegeven straal R welke
t. 0. van de gegeven cirkels gelijke uitwendige macht hébhen.

Lettende op een opmerking gemaakt op blz. 46 omtrent
de macht van twee cirkels t. 0. van elkaar, is \'t gemak-
kelijk in te zien, dat de gevraagde meetkundige plaats
is de machtlijn l\' van de cirkels concentrisch met de
cirkels ilfi en M2 en resp. rx — R en r^—R tot stralen.
Is O het midden van Mi M2, dan vindt men voor den
afstand van O tot de gevonden meetkundige plaats:

(>•1 - RY - (r2 -RY_ r^:^ \'>lZJl= QS-R.^^,
2 di.2 2 di.2 \'di.2 \' di.2
waarbij OS voorstelt den afstand van O tot de machtlijn
l van de gegeven cirkels ilfi en ilfj. l\' kan dus ver-
kregen worden door evenwijdige verschuiving van / over

cirkels ilfi en M2 gemeenschappelijke uitwendige raak-
lijnen, dan is deze factor < 1 en kan dan voorgesteld
worden\'door sin u, waarbij u den hoek voorstelt welke
zoo\'n raaklijn met de centraal maakt. Is R = o, dan

toe, dan beweegt l\' zich verder en verder naar den
kant van il/i, tot eindelijk voor = co , in \'t oneindige
gelegen is.

Laat nu gevraagd worden naar dc meetkundige plaats
van de middelpunten der cirkels met gegeven straal li,
welke t. 0. van twee gegeven cirkels Mi en il/2 gelykc in-
wendige macht hebben. Men vindt nu weer als meetkundige
plaats een rechte lijn l\' // l. Nu is de afstand van O tot l\'
= (>\'. liV - (>-2 nr _ ri\'-ri\' n - >-2 _

weer evenredigheidsfactor is. Hebben de cirkels ilfi cn
M2 gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen, dan kan
hiervoor weer geschreven worden sin w. Is li = O, dan
valt l\' met l samen. Neemt met O beginnende steeds
maar toe, dan verplaatst zich l\' naar den kant van Mï,
tot eindelijk als li== 00, l\' in \'t oneindige gelegen is.

Uit \'t voorafgaande volgt onmiddellijk, dat alle cirkels
welke t. 0. van twee gegeven cirkels Mi en M2 met
stralen n en rz (n > ra) gelijke uitwendige macht hebben,
te rangschikken zijn in groepen van cirkels met gelijken
siraal zóó, dat de middelpunten van zoo\'n groep gelegen
zijn op een lijn evenwijdig aan de machtlijn l van de
gegeven cirkels aan den kant van den groolsten dier
cirkels, terwijl de straal van de cirkels van zoo\'n groep

centraal van de groep tot l. Hebben de cirkels i»/i en
illa gemeenschappelijke uilwendige raaklijnen dan kan

de cirkels elkaar inwendig, dan \\sp=\\. Hebben de
cirkels gelijken straal, dan is co. De verschillende

echter met dit verschil, dat de middelpunten der cirkels
nu aan den anderen kant van l gelegen zijn.

hebben, dan krijgt men een veld van cirkels, waarvan
de middelpunten het geheele vlak bedekken en waarvan

de X-as van het orihogonale coördinatenstelsel langs
MiM2 en de F-as langs l genomen is. 5 en e zijn ver-
anderlijke parameters en de volstrekte waarde van

Uit deze vergelijking volgt onmiddellijk, dat door elke
twee punten van het vlak twee cirkels gaan. Substitu-
eert men n.l. achtereenvolgens in de vergelijkmg de
coördinaten van twee willekeurige punten, dan krijgt
men twee vergelijkingen met 5 en . als onbekenden,
welke twee stel oplossingen voor^ en ^ opleveren.
We hebben dus te doen met een kwadratische cirke -
congruentie ft.a- De puntcirkels van liggen op de
r-as Beschouwt men in deze congruentie de cirkels
welke met hunne middelpunten gelegen zijn op een
liin II de X-as, dan blijkt zonder veel moeite, dat deze
cirkels vormen een homothetisch stelsel van cirkels

telkens de puntcirkel P op I gelegen is. CYa bestaat
dus uit O.» van deze stelsels, die alle congruent zijn.
Als de cirkels Mi en Mi gemeenschappelijke uitwendige

Als p^= \\ , dan raken de cirkels Mi en Mz elkaar in-
wendig. Hebben de cirkels Mi en M2 gelijken straal,
dan is = De cirkels van O1.2 hebben dan alle
hunne middelpunten op l.

denzelfden hoek 90° w en is = dus co = 90°: dan
zullen die cirkels alle aan l raken.

Men kan C1.2 ook beschouwen als opgebouwd uit
00 \' groepen van cirkels met gelijken straal, waarvan
de middelpunten telkens gelegen zijn op een lijn // de
r-as. Deze groepen zijn te beschouwen als bijzondere
gevallen van een homothetisch stelsel van cirkels. Elke
twee groepen welke symmetrisch t. 0. van l gelegen
zijn, zijn congruent.

Trekt men een willekeurige lijn onder een Z « (scherp)
met de F-as, dan zullen de exemplaren van C1.2 wier
middelpunten op de getrokken lijn gelegen zijn, weer
een homothetisch stelsel vormen, zóó, dat p\\\'= p\' sin^«,
waarbij de puntcirkel P het snijpunt is van de getrokken
lijn niet l. C1.2 bestaat dus uit 00\' van deze stel.sels,
alle congruent en alle met hunne centralen gelegen in
dezelfde richting. Ook volgt uit het voorgaande: de
cirkels met gelijke uitwendige of inwendige macht t. 0. van-
twee gegeven cirkels en waarvan de middelpunten op een
gegeven rechte lijn gelegen zijn, vormen ecn homothetisch
stelsel van cirkels, waarbij het snijpunt van die gegeven lijn
met de machllijn l van de gegeven cirkels optreedt als
gemeenschappeiijk gelijkvormigheidspunt P, tevens punt-
cirkel van het stelsel en waarvoor = s^^«.

als a de Z is onder welke de gegeven lijn l snijdt. De
eene helft van het stelsel bevat de cirkels met gelijke uit-
wendige macht, de andere helft de cirkels met gelijke inwen-
dige macht t.o. van de gegeven cirkels. Hebben deze laatste
cirkels gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen, dan

zich voor als de gegeven lijn loodrecht slaat op een der
gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen.

cirlcel te construeeren met een gegeven punt N tot middel-
punt welke t. 0. van twee gegeven cirkels gelijke uitwendige

Men trekt daartoe door N een lijn, welke de macht-
lijn l van de gegeven cirkels in F snijdt. Het homo-
Ihetisch stelsel waartoe de gevraagde cirkel behoort is
dan bepaald, en men kan in dit stelsel dan den cirkel
bepalen met iV tot middelpunt. Gemakshalve kan men
de te trekken lijn door of nemen.

Men kan ook gemakkelijk consixneeren de heide cirkels
gaande door twee gegeven punten A en B en hehooiyide
tot de kwadratische cirkelcongruentie Cx.2. Deze zijn de
cirkels gaande door /i en ß en die gelijke uitwendige
(inwendige) macht hebben t. o. van de cirkels Mx en .I/2,
of nog anders gezegd, de beide cirkels, behoorende tol
een gegeven elliptischen cirkelbundel met basispunten
A en B, en die t. 0. van de cirkels Mx en M2 gelijke
uitwendige (inwendige) macht hebben. Men heeft slechts
de middelloodlijn van AB le trekken, welke lijn dan de
centraal zal zijn van een homolhetisch stelsel van cirkels,
waartoe de gevraagde cirkels behooren. Het vraagstuk
is dan teruggebracht lot het construeeren van de cirkels
van hel stelsel gaande door een gegeven punt A (hoofd-
stuk I § 1). Daar er in \'t algemeen twee cirkels
gevonden worden, blijkt nu ook meteen meetkundig, dal
de cirkels welke t. o. van twee gegeven cirkels gelijke
uitwendige (inwendige) macht hebben een kwadratische

is er slechts één eigenlijke cirkel; de andere cirkel is
dan ontaard in de rechte lijn AB. x is de scherpe hoek
waaronder de middelloodlijn van AB de machtlijn Z van
de cirkels Mi en M2 snijdt.

Wordt gevraagd naar den cirkel met gelijke uitwendige
(inwendige) macht t.o. van de cirkels Mi en M2 waar-
van het middelpunt gelegen is op een gegeven rechte lijn, en
welke door een gegeven punt gaat, dan is ook deze con-
structie op soortgelijke wijze uit te voeren. Men kan ook den
gevraagden cirkel inplaats van door een gegeven punt
te laten gaan, laten raken aan een gegeven lijn of aan
een gegeven cirkel. Men heeft dan slechts uit te voeren de
constructies besproken op blz. .3 en 4. Door het bijzondere
geval te nemen, dat het gegeven punt op de gegeven
lijn gelegen is, blijkt dat men nu ook kan bepalen in
een gegeven parabolischen cirkelbundel de beide cirkels
behoorende tot CV2. Moet men in een gegeven hyper-
bolischen cirkelbundel de cirkels bepalen behoorende tot
Ci.2, dan kan men als volgt te werk gaan. De gevraagde
cirkels behooren lot een homothelisch stelsel, waarvan
de centraal samenvalt met die van den gegeven bundel.
Construeer een cirkel N behoorende tot dat stelsel, en
trek vervolgens door het gemeenschappelijke gelijkvor-
migheidspunt F van het stelsel een willekeurige lijn m,
welke cirkel N onder een snijdt. Men heeft nu
slechts te conslrueeren de cirkels behoorende tot den
gegeven bundel welke m onder een Z cp snijden. Zooals
bekend, is deze constructie mei behulp van inversie
uit le voeren. Men vindl in \'t algemeen twee cirkels
die voldoen.

Op te merken valt, dat langs analytischen weg uit het feit,
dat door twee punten van het vlak twee cirkels van een kwa-
dratische cirkelcongruentie gaan, onmiddellijk volgt, dat een
cirkelbundel met de congruentie twee cirkels gemeen heeft.

§ 3. We zullen beschouwen de cirkels gaande door
een gegeven punt A, welke t.o. van tivee gegeven cirkels
Ml en M2 gelijke uiticendige (imvendige) macht hchhen.
Zij M het middelpunt van een dier cirkels en laat ê de
afstand van M tot de machtlijn l van de cirkels Mi en

onmiddellijk, dat de meetkundige plaats van de middel-
punten M een kegelsnede is met l tot richtlijn en A tot

kegelsnede is een ellips voore<l of (ii.2 <n — >\'2,
dus als de kleinste der gegeven cirkels binnen den
anderen gelegen is; een parabool voor « = 1 of
(^j 2 = n — r2, dus als de beide gegeven cirkels elkaar in-
wendig raken; een hyperbool voor e> 1 of rfi.2 > n — »\'2,
dus als de beide gegeven cirkels elkaar snijden, uit-
wendig raken of geheel buiten elkaar gelegen zijn. Op
te merken valt, dat in \'t geval van een hyperbool, aan
de beide gegeven cirkels gemeenschappelijke uitwendige

Neemt men de coördinaatassen zooals bij \'t voorgaande
geschied is, dan is de vergelijking van de meetkundige
plaats:

cirkels Mi en M2 gemeenschappelijke uitwendige raak-
lijnen (ß>l), dan is x=-xotg"co. Het middelpunt
en het punt A liggen dan aan verschillenden kant van
de machtlijn l van de cirkels Mi en M2. Zooals boven

reeds is vermeld, stelt (A) dan een hyperbool voor. Is
<e<l, dan liggen het middelpunt en A aan denzelfden
kant van l. De kegelsnede is dan een ellips. Ise=l,
dan ligt \'t middelpunt in \'t oneindige. De kegelsnede
is dan een parabool.

De beide asymptotische richtingen zijn verschillend
en bestaanbaar voor e> 1 (hyperbool). Ze zijn bestaan-
baar en samenvallend voor «= 1 (parabool). Ze zijn
onbestaanbaar voor e<l (ellips;.

d.w.z. de asymptotische richtingen staan loodrecht op
de gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen van de
cirkels Mi en M2, De beide lijnen door A evenwijdig
aan die raaklijnen, zullen dus beschouwd moeten worden
als ontaarde cirkels gaande door A en met gelijke macht
t.o. van de cirkels Mi en il/2.

Door als nieuwen oorsprong te kiezen het middelpunt
van de ellips (hyperbool) met behoud van de richtingen
van X-as en F-as, gaat de vergelijking (A) over in:
yS Y~

X\'\' , , ,........... _ ex,

Is e - 1 (parabool), dan zal daar l richtlijn en A
brandpunt is, de top \'/^xo en yo tot coördinaten
moeten hebben. Verschuiven we het coördinatenstelsel
naar dit punt, dan gaat de vergelijking (A) over in:
= X.

Is e =00 (de cirkels Mi en Ah hebben dan gelijke
stralen), dan komt er als meetkundige plaats de macht-
lijn l, dubbel te tellen.

\' Is 0-0 = O, dan gaat in \'t geval e < 1, (A) over in
twee imaginaire rechte lijnen gaande door A; in \'t ge-
val e> 1, ontaardt (A) in twee bestaanbare rechte lijnen
door A loodrecht op de gemeenschappelijke uitwendige
raaklijnen en in \'t geval e = 1, ontaardt (A) in de lijn
door A // de X-as, dubbel te tellen.

§ 4. Trekt men in \'t vlak van de cirkels Mi en M2
een willekeurige lijn m, welke de machtlijn l van deze
cirkels onder een Z cc \\n P snijdt, dan is zooals reeds
eerder gebleken is, deze lijn m de centraal van een
homothelisch stelsel van cirkels met gelijke uilwendige
(inwendige) macht t.o. van de cirkels Mi en M2 en
met P als gemeenschappelijk gelijkvormigheidspunt. In
dit stelsel bevinden zich hoogstens twee cirkels, welke
tevens gaan door \'t punt A. De getrokken lijn m zal
dus de bovenstaande meetkundige plaats (§ 3) in hoogstens
twee punten kunnen snijden, hetgeen in overeenstemming
is met het feit, dat deze meetkundige plaats een kegel-
snede is. Het geval, dat een of beide bovengenoemde
cirkels ontaarden in rechte lijnen, dus dat deze kegel-

snede bestaanbare punten in \'t oneindige zal hebben,
zal zich alleen kunnen voordoen als de evenredig-
heidsfactor behoorende bij het bovengenoemde stelsel van
cirkels met 711 als centraal de waarde 1 heeft; dus als

kunnen zijn als c 1 is; dus dan is de kegelsnede een
ellips. De toppen van deze ellips vindt men, door de
lijn VI door A loodrecht op l te trekken en daarna op
de getrokken lijn de middelpunten te bepalen van de
beide cirkels van het homothetisch stelsel waarvan ni
de centraal is. Het middelpunt van de ellips - ligt
midden tusschen de beide gevonden toppen. Is e> 1,

De lijn m getrokken onder een Z <x met l, snijdt dan
een der gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen onder
een rechten hoek. In \'t algemeen komt er dan 1 snij-
punt van in met de kegelsnede in \'t eindige, en 1 snij-
punt in \'t oneindige te liggen. De kegelsnede heeft dus
twee verschillende bestaanbare asymptotische richtingen
loodrecht op de beide gemeenschappelijke uitwendige
raaklijnen van de cirkels j1/i en Mz en is dus een hyper-
bool. De beide punten in \'t oneindige op de hyperbool
zijn te beschouwen als middelpunten behoorende bij de
beide rechte lijnen door A evenwijdig aan de beide ge-
meenschappelijke uitwendige raaklijnen, waarbij deze
rechte lijnen als ontaarde cirkels met gelijke gelijknamige
macht t. O. van de cirkels il/i en il/o opgevat moeten
worden. Trekt men door A een lijn evenwijdig aan een
der gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen welke l in
F snijdt, en daarna door F de lijn m loodrecht op die
raaklijn, dan zullen de beide cirkels gaande door yl met
gelijke gelijknamige macht t. 0. van de cirkels Mi en
en waarvan de middelpunten op m gelegen zijn, beide
in de door A getrokken lijn ontaarden. De lijn m heeft
dus dan met de hyperbool twee samengevallen punten

in \'t oneindige gemeen en die lijn is dus asymptoot van
de hyperbool. Daar zooals reeds op blz. 70 opgemerkt
is, A een der brandpunten van de hyperbool is en l de
bijbehoorende richtlijn, volgt nu gemakkelijk, dat op de
lijn door Aj_l het middelpunt van de hyperbool ge-
legen is, en een eenvoudige berekening leert ons, dat

hetgeen in overeenstetnming is met het langs analytischen
weg gevondene. Meteen is nu uit de figuur af te lezen
de bekende eigenschap, dat de voetpunten van de lood-
lijnen uit een brandpunt van de hyperbool neergelaten
op de asymptoten, punten van de richtlijn zijn. Door
een eenvoudige berekening vindt men voor de lengte

inwendig), dan is ^!sin«=l als « = 90°, dus wij_/.
Alle cirkels van het homothetisch stelsel met m als cen-
traal raken dan aan l. Kr is dan één eigenlijke cirkel
door A met gelijke gelijknamige macht t. 0. van de cirkels
il/i en iU2, terwijl de lijn door A //1 optreedt als ontaarde
cirkel, m snijdt dus dan de kegelsnede in een punt
gelegen in \'t eindige, terwijl het andere snijpunt in het
oneindige op m gelegen is. Laat men m door even-
wijdige verschuiving zich meer en meer van J/iil/2 ver-
wijderen, dan blijkt gemakkelijk, dat als tn in \'t on-
eindige gelegen is, de beide cirkels samenvallen tol de
lijn door A evenwijdig aan de gemeenschappelijke raaklijn
van de cirkels Mt en 3I2, welke lijn dus dubbel geleld
moet worden, m heeft dan met de kegelsnede twee
samengevallen punten in \'t oneindige gemeen. We hebben

dus te dopn met een parabool als ^=1, waarbij de
.^-coördinaat van den top = ^\'sXq.

Trekt men een lijn //1 op afstand dan kan men
hierop gemakkelijk bepalen de beide middelpunten van
de twee cirkels (straal R) gaande door A en met gelijke
gelijknamige macht t. o. van de cirkels il/i en il/2, door

middelpunt van een dier cirkels, dan kan nu gemakkelijk
de raaklijn in Q\\ aan de bij A behoorende kegelsnede
geconstrueerd worden. We behoeven er slechts voor
te zorgen, dat we door Q\\ een lijn ni trekken zóó, dat in het
homothetisch stelsel van cirkels met ni als centraal, twee
samenvallende cirkels door A gaan. Dit wordt verkregen
duor in A aan cirkel Qi de raaklijn te trekken, welke/
zal snijden in het gemeenschappelijke gelijkvormigheids-
punt P van het te zoeken stelsel. De Ijjn PQ is dan
de gevraagde raaklijn. Uit de figuur kunnen we nu on-
middellijk aflezen de bekende eigenschap, dat bij een kegel-
snede het stuk eener raaklijn gelegen tusschen het raak-
punt en de richtlijn, vanuit het bijbehoorende brandpunt
onder een rechten hoek gezien wordt of anders gezegd,
bij een kegelsnede snijden een raaklijn en de loodlijn
in een der brandpunten op den voerstraal van het raak-
punt opgericht, elkaar in een punt van de bijbehoorende
richtlijn.

Trekt men de lijn m door A en bepaalt men in het homo-
thelisch stelsel van cirkels met m als centraal de beide cir-
kels Qi en Qz gaande door ^1, dan zullen deze cirkels
elkaar in A raken. De voerstralen van de punten Qi en Q2
liggen dan in eikaars verlengde. De belde raaklijnen
in Qi en Qz aan de kegelsnede, zullen elkaar dan snijden
op de richtlijn l in \'t snijpunt P van de gemeenschap-
pelijke raaklijn in A aan de cirkels Qi en (?2 metDit
beteekent, dat de pool van een lijn, gaande door een
brandpunt t. 0. van de kegelsnede op de bijbehoorende
richtlijn gelegen is, en dat dus die richtlijn de poollijn is

van het bijbehoorende brandpunt. Tevens blijkt, dat
de verbindingslijn van een punt P op de richtlijn met
het bijbehoorende brandpunt, in dat punt loodrecht slaat
op de poollijn van P.

Men stelle zich voor 2 cirkels Qi en beide gaande
door A en met gelijke gelijknamige macht t. o. van de
cirkels Mi en M2, dus behoorende tot C1.2. Laten de
raaklijnen in Qi en Q2 aan de kegelsnede met A tot

l resp. in Pi en P2 en elkaar in S snijden. De lijnen
PiQi en P2Q2 zijn dan elk te beschouwen als centraal
van een homothetisch stelsel van cirkels behoorende tot
Cl 2, welke de raaklijnen PiA en PiB uit Pi aan cirkel
Qi, /esp. de raaklijnen Pal en P^C uit P2 aan cirkel
Q2, tot gemeenschappelijke raaklijnen hebben. Deze beide
stelsels hebben gemeen den cirkel met S tot middelpunt
en behoorende tot C1.2. Deze cirkel zal dus tegelijkertijd
moeten raken aan de bovengenoemde vier raaklijnen
aan de cirkels Qi en Q2. Hieruit volgt dan verder ge-
makkelijk de bekende eigenschap, dat bij een kegelsnede
de voerstraal van het snijpunt van twee raaklijnen den
hoek tusschen de voerstralen van de beide raakpunten
middendoordeelt. Daar verder S het middelpunt is van
den omgeschreven cirkel van /\\ABC, blijkt zonder veel
moeite, dat het snijpunt T van de raaklijnen in BenG
aan cirkel Qi resp. cirkel Q2 op de machtlijn van deze
cirkels gelegen is. Hieruit volgt dan weer, dat de lijnen
BQi en CQ2 elkaar zullen snijden in een punt A\' zóó,
dat A\'B = A\'G. Door er aan te denken, dat de punten
B en G symmetrisch gelegen zijn met A t. 0. van de
raaklijnen in (?i resp. (>2, is \'t met \'t oog op een be-
kende eigenschap duidelijk, dat het punt A\'niets anders
is dan het andere brandpunt van de kegelsnede en dal
de cirkel met A\' als middelpunt en yl\'P = A\'C als
straal, welke aan de beide cirkels Q raakt, de bekende
richlcirkel li behoorende bij A\' van de kegelsnede is.

Deze riclitcirkel zal aan alle cirkels Q behoorende bii
de verschillende punten van de kegelsnede, moeten
raken. Het brandpunt A treedt bij deze omhullende
als geïsoleerd punt op. Het middelpunt van de kegel-
snede vindt men als \'t midden van AA\'.

Is e= 1, dan komt A\' in \'t oneindige te liggen. De
richtcirkel ontaardt dan in de richtlijn. Deze raakt aan
alle cirkels Q. We hebben dan te doen met een
parabool.

Door den richtcirkel (richtlijn) t. o. van A met V2 te
vermenigvuldigen, ontstaat de cirkel O (topraaklijn) welke
de kegelsnede in de twee toppen liggende op de groote
as raakt, als de meetkundige plaats van de voetpunten
van de loodlijnen uit de brandpunten op de raaklijnen
aan de kegelsnede.

De cirkels behoorende tot CYz en gaande door een
vast punt A, voldoen aan de eigenschap, dat door een
willekeurig ander punt IJ in het vlak twee exemplaren
gaan. Deze cirkels hebben n.l. hunne middelpunten in
de snijpunten van de middelloodlijn van AB met de
„middelpuntenkegelsnede". De cirkels behoorende tot
Ci.2 en gaande door een vast punl A vormen dus een
cirkelstelsel met index 2, dat blijkbaar behoort tol het para-
bolische cirkelnet met A als ontaarden orthogonaalcirkel.

De cirkels li behoorende bij de verschillende punten
van het vlak als brandpunt van een „middelpuntskegel-
snede" niet behoorende bij l als richtlijn, vormen samen
weer een kwadratische cirkelcongruentie, waarvan de
exemplaren omhullende cirkels van de cirkels behoorende
tot Ct.2 zijn, waarbij we ons deze gerangschikt moeten
voorstellen in cc\' cirkelstelsels met index 2, zoo, dat
telkens zoo\'n stelsel deel uitmaakt van een parabolisch
cirkelnet. De cirkels li kunnen voorgesteld worden door
de vergelijking:

Is « = 1 dan is de machtlijn l (te zamen met de lijn
in \'t oneindige) de omhullende voor alle cirkels van C1.2.

De cirkels O behoorende bij de verschillende punten
van het vlak vormen eveneens een kwadratische cirkel-
congruentie, waarvan de vergelijking is:
X^i r^- SfF d - e\') a2-|-£2=0als e4=l.

Is e= 1, dan ontaarden de cirkels O in rechte lijnen
(topraaklijnen) evenwijdig aan l.

§ 5. Indien men aan de cirkels M (§ 3) de conditie
oplegt, dat ze alle t. 0. van een gegeven punt A [xo 1/0)
een gegeven macht (± zullen hebben, vindt men,
dat de meetkundige plaats hunner middelpunten voor-
gesteld wordt door de vergelijking:

{X - Xo)\' (F - ijoY - e® T T® = O of
(1 - e\') X\'-\\-Y\'~SxoX-2yo Y-\\- Xo\' (r\' = 0.

Deze meetkundige plaats is dus een kegelsnede ge-
lijkvormig en evenwijdig geplaatst met de kegelsnede
voorgesteld door de vergelijking (A) blz. 70 en met
hetzelfde middelpunt. Het blijkt weer gemakkelijk, dat
de cirkels M vormen een cirkelstelsel met index 2, be-
hoorende tot een cirkelnet met de cirkel A met <r als
straal als orthogonaal (diametraal) cirkel.

§ 6. Beschouwt men in vergel. (A) blz. 70 en yo
als veranderlijke parameters, dan is (A) de vergelijking
van een gansch veld van gelijkvormige en evenwijdig
geplaatste kegelsneden. Door in deze vergelijking de
coördinaten van twee punten in \'t vlak te substitueeren,
krijgt men twee vergelijkingen met Xq en yo als onbe-
kenden, welke twee stel waarden voor ato en yo op-
leveren. Door twee punten van het vlak gaan dus in
\'t algemeen twee kegelsneden. De kegelsneden voor-
gesteld door (A) vormen dus een kwadratische ellips-
congruentie als e<l, een kwadratische hyperboolcon-
gruentie als e > 1 en een kwadratische paraboolcongru-
entie als e = 1 is.

Beschouwt men in deze congruentie Ki.i, de kegel-
sneden, waarvan telkens het brandpunt A, en dus ook
het middelpunt en het andere brandpunt A\' (§ 3)
gelegen zijn op een lijn // de X-as (ijo constant), dan
blijkt zonder veel moeite, dat deze kegelsneden telkens
vormen een stelsel van gelijkvormige en evenwijdig ge-
plaatste kegelsneden, waarbij telkens hel gemeenschappe-
lijk gelijkvormigheidspunt P op /, de gemeenschappe-
lijke richtlijn, gelegen is. \'t Is duidelijk, dat door elk
punt van het vlak twee kegelsneden van het stelsel
zullen gaan. We hebben dus te doen met een kegel-
snedenslelsel met index 2.

Men kan K1.2 ook beschouwen als opgebouwd uitoo*
groepen van congruente en evenwijdig geplaatste kegel-
sneden alle met l als richtlijn, waarvan de middelpunten
(en dus ook de brandpunten (zie § 3) telkens gelegen
zijn op een lijn // de F-as. Deze groepeti zijn te be-
schouwen als bijzondere gevallen van de bovengenoemde
stelsels.

Trekt men een willekeurige lijn in \'t vlak van de
congruentie, dan zullen de e.xemplaren van K1.2 wier
middelpunten of gelijkstandige brandpunten op de ge-
trokken lijn gelegen zijn, weer een stelsel met index 2
vormen. Door de getrokken lijn evenwijdig te ver-
schuiven, ziet men gemakkelijk in, dat men zich Ki.a
kan denken opgebouwd uit 00\' van deze stelsels die
onderling congruent zijn en evenwijdig geplaatst zijn.

§ 7. We zullen nu in de congruentie A\'1,2 beschouwen
de kegelsneden, welke door een gegeven punt Q van
het vlak gaan. Dit punt Q is te beschouwen als \'t mid-
delpunt van een cirkel behoorende tot de cirkelcongru-
entie Ci.2 en na al \'t voorgaande, zal \'t duidelijk zijn,
dat deze cirkel gaat door die brandpunten A van de
beschouwde kegelsneden welke bij l als richtlijn be-
hooren. Hieruit volgt, dat de middelpunten van die
kegelsneden gelegen zijn op een ellips. Immers de

AT-coördinaat van zoo\'n middelpunt wordt telkens verkregen
door de :i;-coördinaat van A te vermenigvuldigen met den

dere brandpunten" ook op een ellips gelegen zijn,
daar de ;»r-coördinaat van zoo\'n brandpunt telkens ver-
kregen wordt door de ^-coördinaat van A te voi inenig-

voor Q achtereenvolgens alle punten van het vlak le
nemen, blijkt, dat de middelpunten en de „andere
brandpunten" van de kegelsneden behoorende tol K1.2
le rangschikken zijn als punten van gelijkvormige en
evenwijdig geplaatste ellipsen, welke een kwadratische
ellipscongruentie vormen.

Is e= 1, dus Ki.2 een kwadratische paraboolcongruentie,
dan vindt men voor de meetkundige plaats van de brand-
punten een cirkel, en voor die van de toppen een ellips.

§ 8. Opgeven twee cirkels Mi en M2 met stralen ri
en r2 O\'i > ra). Gevraagd de meetkundige plaats van de
middelpunten van de cirkels met gegeven straal R, waar-
voor de uitwendige macht t. o. van cirkel Mi gelijk is aan
de inwendige macht t. 0. van cirkel M2.

De gevraagde meetkundige plaats is weer een rechte
lijn l\' // de machtlijn l van de cirkels Mi en Mi. Is O
het midden van M1M2, dan vindt men voor den afstand

2 di.i \' di.i di.i
voorstelt den afstand van O lot de machtlijn l. l\' kan
dus verkregen worden door evenwijdige verschuiving

factor optreedt. Hebben de cirkels Mi en Mz gemeen-
schappelijke inwendige raaklijnen, dan kan voor dezen
afstand geschreven worden li sin w\', waarbij co\' den hoek
voorstelt, welken zoo\'n raaklijn met MiM^ maakt. Is

zich verder naar den kant van Mi, tot eindelijk voor
R—cc, l\' in \'t oneindige gelegen is.

Laat nu gevraagd worden naar de meetkundige plaats
van de middelpunten van de cirkels met gegeven straal li
tvaarvoor de inwendige macht t. o. van cirkel 2£i gelijk is
aan de uitwendige macht t. o. van cirkel M2. Men vindt
voor die meetkundige plaats weer een rechte lijn l\' //l.

stand van l\' tot l is weer evenredig met li, waarbij
als evenredigheidsfactor optreedt. Is li = O, dan

valt /\' met l samen. Neemt R met O beginnende steeds
maar toe, dan verwijdert zich l\' meer en meer van Mi
tot eindelijk als R = <X), l\' in \'t oneindige gelegen is.

Uit \'t voorgaande volgt nu onmiddellijk, dat alle cirkels
waarvoor de uitwendige (inwendige) macht t.o. van cirkel
Ml gelijk is aan de inwendige (uitwendige) macht t.o. van
cirkel M2, te rangschikken zijn in groepen van cirkels
met gelijken straal, zóó, dat de middelpunten van zoo\'n
groep gelegen zijn op een lijn // de machtlijn l van de
cirkels Mi en Mi, terwijl de straal van de cirkels van

weer te doen met een kwadratische cirkelcongruentie
C;,, waarvan de vergelping is:

Men kan nu weer dezelfde opmerkingen maken als
geschied is t.o. van de cirkelcongruentie C1.2 (blz. 66
en volgende).

pi\' > 1 als de cirkels Mi en il/2 gemeenschappejijke
inwendige raaklijnen hebben, zoo niet dan is pi® < 1.
pi\'= 1 als de cirkels il/i en il/a elkaar uitwendig raken.
Is 1, dan snijden alle cirkels van I onder Z
(90° 4- u\') en is pi® = 1, dus co\' = 90°, dan zullen die

De beschouwingen op blz. 70-80 zijn ook van toe-
passing, indien de cirkels M gelijke ongelijknamige macht
hebben t. 0. van de cirkels Mi en J/2, waarbij dan

gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen van de cirkels
Ml en iV/2, heeft men de gemeenschappelijke inwendige
raaklijnen te nemen.

§ 9. Onder de cirkels, welke gelijke uitwendige (in-
wendige) macht hebben t. o. van twee gegeven cirkels
Ml en il/2, bevinden zich ook de cirkels, welke de cirkels
Ml en il/2 op dezelfde tvijze raken. Immers voor de
cirkels, welke deze cirkels beide inwendig raken geldt,
dat ze alle een uitwendige macht O t. 0. van de cirkels
Ml en il/2 hebben. Is de raking uitwendig, dan hebben
ze alle een inwendige macht O t. o. van de cirkels Mi
en il/2. Trekt men nu in \'t vlak van deze cirkels een
willekeurige lijn m, dan is zooals reeds afgeleid is,-deze
lijn de centraal van een homethetisch stelsel van cirkels
welke\'gelijke uitwendige (inwendige) macht hebben t.o.
van de cirkels Mi en il/2, waarbij dan het snijpunt van
m met de machtlijn /, als gemeenschappelijk gelijkvormig-
heidspunt tevens puntcirkel van het stelsel, optreedt.

De cirkels in dit stelsel die met hunne middelpunten
gelegen zijn aan denzelfden kant van l als waar het
middelpunt van den grootsten der beide gegeven cirkels
gelegen is, en die een der gegeven cirkels inwendig
raken, zullen ook den anderen gegeven cirkel op clezelfde
wijze moeten raken, terwijl de cirkels in dit stelsel, die
met hunne middelpunten aan den anderen kant van l
gelegen zijn en een der gegeven cirkels uitwendig raken,
ook den anderen gegeven cirkel op dezelfde wijze zullen
moeten raken.

Uit het gevondene omtrent de cirkels welke gelijke
uitwendige (inwendige) macht hebben t. o. van twee
gegeven cirkels il/i en M« volgt ook, dat van twee
cirkels welke de cirkels Mi en M^ op dezelfde wijze
raken, het uitwendig gelijkvormigheidspunt gelegen is
op de machtlijn l van de cirkels Mi en M2. Deze be-
kende eigenschap blijkt dus een bijzonder geval to zijn
van een meer algemeene stelling.

De eigenschap, dat alle cirkels, welke twee gegeven
cirkels Mi en M^ op dezelfde wijze raken, de machtlijn
l van die cirkels alle onder denzelfden hoek snijden,
blijkt ook een bijzonder geval van een meer algemeene
stelling te zijn.

§ 10. Zij M het middelpunt en It de straal van een
der cirkels, welke de cirkels Mi en M2 beide uitwendvj
raken, dan geldt: iW» = /? >-2 = /) A\' ?-2, waarbij

(A"" — Xt)\' -j- V\' = (p X -f rg)* of na eenige herleiding:
(1 — p\') X\' r» - 2 {xt p n) X - r«- = (A).

We zullen nu nog den bekenden term — ra^ uit-
drukken in p, n en ra.
Gemakkelijk vindt men:

Is iVhet middelpunt van een der cirkels welke de cirkels
Ml en i¥a beide inwendig raken, dan wordt de vergelijking
waarvan we uitgaan: {X — 0C2V Y\'^ ={-- p X— ra)®;,
zoodat \'we dan ten slotte weer de vergelijking (A\') vinden.

J)e meetkundige plaats van de \'middelpunten van de
cirkels M, icelke de cirkels Mi en Ah op dezelfde wijze
raken, is dus een kegelsnede.

dat de gevonden kegelsnede gelijkvormig en evenwijdig
geplaatst is met de kegelsneden van de kwadratische
kegelsnedencongruentie K\\,2. Dus ook nu is voor de

deze kegelsnede is een hyperbool voor /j ^ 1; de cirkels
Ml en J/2 hebben dan gemeenschappelijke uitwendige
raaklijnen. De asyrnptotische richtingen staan dan lood-
recht op die raaklijnen, welke beschouwd moeten worden
als ontaarde raakcirkels.

De kegelsnede is een ellips voor /)<1, dus als de
cirkels Mi en Ah geen gemeenschappelijke uitwendige
raaklijnen bezitten.

Ten slotte heeft men te doen met een ontaarde para-
bool, als />=1, dus als de cirkels Mi en M^ elkaar
inwendig raken. De parabool zal dan n.l. ontaarden in
de dubbel te tellen centraal van de cirkels Mi en il/2.

Door als nieuwen oorsprong te nemen het middelpunt
van de ellips (hyperbool) met behoud van de A\'-as, gaat
de vergelijking (A\') over in:

c = ea= ^Isin — fi) e = ^s rfi.2, d. w. z. Mi en il/2 zijn
de brandpunten van de ellips, wal van le voren natuurlijk
in te zien was.

Voor e>\\ (hyperbool) wordt de vergelijking:
^ - = 1,waarbij«= -(n-,
c= ^Un - r2)e = \'Udi.2 [Mi en M^ zijn de brandpunten,
zooals van te voren ook in te zien is).

Is e = 1, dan is xa^ = en gaat de vergelijking (A )
over in f = 0. De meetk. plaats is dan de centraal
M1M2 dubbel geteld. Is e = ^^ (de cirkels ilfi en M2
hebben dan gelijke stralen), dan komt er als meetkundige
plaats de machtlijn l dubbel te tellen.

§ 11 Trekt men in \'t vlak van de cirkels Mi en M2
een wi\'llekeurige lijn m, welke de machllijn l van deze
cirkels onder een Z« (scherp) in F snijdt, dan is zooals
reeds eerder gebleken is, deze lijn m de centraal van
een homothetisch stelsel van cirkels met gelijke uitwendige
(inwendige) macht t. 0. van de cirkels Mi en M2 en met
F als gemeenschappelijk gelijkvormigheidspunt. Voor
dit stelsel is de bijbehoorende evenredigheidsfactor

In het bovengenoemde stelsel van cirkels zullen in het
algemeen ook cirkels voorkomen, welke de cirkels Mi
en M2 op dezelfde wijze raken. Deze cirkels kunnen
gevonden worden, door in het stelsel te bepalen de
cirkels, waarvan de middelpunten gelegen zijn aan den-
zelfden kant van l als waar Mu liet middelpunt \'van
den grootslen der beide gegeven cirkels, gelegen is en die
een der gegeven cirkels bijv. 3Ii inwendig raken en verder
die cirkels, waarvan de middelpunten aan den anderen
kant van l gelegen zijn en die een der gegeven cirkels
bijv. Ml uitwendig raken. Uit de beschouwingen van

hoofdstuk I §§ 4 en 5 volgt, dat hoogstens twee cirkels
van het stelsel aan bovengenoemde condities voldoen.
Hieruit volgt, dat de lijn m de meetkundige plaats van
de middelpunten van de cirkels, welke de cirkels Mi en
Mi op dezelfde wijze raken, in hoogstens twee pimten
kan snijden, hetgeen in overeenstemming is met het
gevondene, dat deze meetkundige plaats een kegelsnede
is. Het geval, dat een of beide cirkels ontaarden in
rechte lijnen, dus dat deze kegelsnede bestaanbare punten
in \'t oneindige zal hebben, zal zich alleen kunnen voor-
doen, als de evenredigheidsfactor behoorende bij het
bovengenoemde homothetisch stelsel van cirkels de waarde

1 is, is de kegelsnede een ellips. De toppen van
deze ellips vindt men door de middelpunten te bepalen
van de beide raakcirkels, die met hunne middelpunten
op de centraal van de gegeven cirkels gelegen zijn. Men
vindt dan, dat het middelpunt van de ellips ligt in het
midden van MiMi en dat de groote as = \'/a (\'\'i — \'"a).
Daar gemakkelijk in te zien is, dat Mt en JA brand-
punten zullen moeten zijn, volgt nu de excentriciteit

van het homothetisch stelsel van cirkels =1. De lijn «j
staat dan loodrecht op een der gemeenschappelijke uit-
\\yendige raaklijnen en een der snijpunten van m met de
kegelsnede ligt dan in \'t oneindige, terwijl het andere
snijpunt in \'t eindige gelegen is. De kegelsnede heeft
dan twee verschillende bestaanbare asymptotische rich-
tingen, loodrecht op de beide gemeenschappelijke uit-
wendige raaklijnen van de cirkels Mi en Mi, en is dus
een hyperbool. De beide punten in \'t oneindige op de
hyperbool, zijn te beschouwen als middelpunten behoorende

bij de beide gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen,
opgevat als ontaarde raakcirkels. Trekt men de lijn
m X een dezer raaklijnen en tevens door \'t snijpunt
van zoo\'n raaklijn met Z, dan zullen de beide raakcirkels
welke behooren tot het bij m behoorende homothetische
stelsel van cirkels, beide samenvallen lot de beschouwde
gemeenschappelijke uitwendige raaklijn als ontaarden
raakcirkel. De lijn m heeft dus dan met de hyperbool
twee samengevallen punten in \'t oneindige gemeen, en
is dus dan een asymptoot van de hyperbool. Gemak-
kelijk blijkt nu dadelijk uit de figuur, dat hel snijpunt
der beide asymptoten, dus het middelpunt van de hyper-
bool, hel midden van Mu^h is.

Verder vindt men voor den afstand der toppen n — rr,
(lus a = (r — r2). Daar Mi en M2 de brandpunten
zijn en dus 2c = rfi.2, vindt men dat de excentriciteit

en dil is de helft van een gemeenschappelijke uitwendige
raaklijn. Meteen is direct uil de figuur te zien, dal de
loodlijnen uit Mi en Mi op de asymptoten, gelijk zijn
aan de helft van een gemeenschappelijke uitwendige
raaklijn, dus gelijk aan b.

m JL l. Alle cirkels van het stelsel behooren dan lol
den bundel bepaald door de cirkels Mi en M2. Er zijn
dan in \'l stelsel oneindig veel raakcirkels, die alle hunne
middelpunten op de centraal van de cirkels Mi en Mz
hebben. Trekt men m willekeurig, dan is er in \'t bij-
behoorende stelsel hoogstens 1 raakcirkel aan te wijzen,
welke dan telkens zijn middelpunt op de centraal van
de cirkels Mi en Mz heeft. Deze centraal moet dus
als meetkundige plaats dubbel geteld worden.

eén punt Q van de meetkundige plaats. Daartoe heeft
men slechts de lijn m door Q zóó te trekken, dat de
beide raakcirkels voorkomende in het bijbehoorende
homothetisch stelsel, samenvallen. Dit verkrijgt men
als volgt: Irek in de raakpunten van den raakcirkel Q
met de cirkels M\\ en Ah, de beide raaklijnen, welke
elkaar in een punt P van de machtlijn l snijden; de
lijn PQ is dan de gezochte raaklijn. Uit de, figuur is
nu onmiddellijk af te lezen de bekende eigenschap, dat
bij een ellips en hyperbool een raaklijn gelijke hoeken
maakt met de beide voerstralen QMi en QM^ van het
raakpunt. Ook blijkt nu gemakkelijk uit de figuur, dal
de punten liggende symmetrisch met een der brand-
punten t. o. van een raaklijn, gelegen zijn op een cirkel
met Tl — >-2, dus de dubbele groote as lot straal en hel
andere brandpunt lol middelpunt, dus op den zoogenaam-
den richlcirkel, terwijl dan weer door vermenigvuldiging
van dezen richlcirkel met \'/a l. o. van het eerstgenoemde
brandpunt, een cirkel ontstaat met \'l midden O van
i/iil/o tol middelpunt en de groole as lot straal, op
welken cirkel de voelpunlen van de loodlijnen uil de
brandpunten op de raaklijnen, gelegen zullen moeien
zijn. Men ziel nu ook dadelijk, dal by een hyperbool
de raaklijnen uit een der brandpunten aan den richlcirkel
behoorende bij hel andere brandpunt, loodrecht zullen
moeten slaan op de asymptoten en dal deze raaklijnen
levens zullen raken aan bovengenoemden cirkel met O
als middelpunt. De asymptoten vallen langs de beide
raakstralen bij laatstgenoemde raking.

We zullen nu beantwoorden de vraag: hoeveel cirkels,
rakende op dezelfde wijze aan de cirkels Mi en M^,
gaan door een punt A van het vlak? Daartoe be-
schouwen wij de kegelsnede van de congruentie /vi»,
behoorende bij /I als brandpunt en met l als bijbehoorende
richtlijn. De middelpunten van de „raakcirkels" gaande
door .1, moeten in de eerste plaats op deze kegelsnede
gelegen zijn. Zij moeien echter ook liggen op de zoo

juist besproken kegelsnede, welke de meetkundige plaats
is van de middelpunten van de cirkels, welke de cirkels
Ml en Mi beide op dezelfde wijze raken. Zooals reeds
eerder opgemerkt is, zijn beide kegelsneden gelijkvormig
en evenwijdig geplaatst. Zij zullen elkaar dus in \'t al-
gemeen in twee bestaanbare punten in \'t eindige snijden.
Deze beide snijpunten zullen de middelpunten moeten
zijn van twee cirkels, welke de cirkels Mi en Mi op
dezelfde wijze raken. Derhalve: de cirkels rakende op
dezelfde tvijze aan twee gegeven cirkels, vormen een cirkel-
stelsel met index 2.

Heeft men te doen met twee gegeven elkaar snijdende
cirkels Mi en Mi, dan is daar er gemeenschappelijke
uitwendige raaklijnen aanwezig zijn, de meetkundige
plaats van de middelpunten van de cirkels, welke aan
de twee gegeven cirkels beide op dezelfde wijze raken,
een hyperbool. Een der beide takken van deze hyper-
bool zal natuurlijk moeten gaan door de beide snijpunten
Si en 52 van de cirkels Mi en Mi, daar deze snijpunten
beschouwd kunnen worden als puntcirkels, welke aan
de beide cirkels Mi en Mi raken. Voor zoo\'n punt-
cirkel bijv. Si, vallen de beide raakpunten met de cirkels
Ml en Mi in Si samen. Nu is (blz. 89) reeds gebleken,
dat de raaklijn aan de „middelpuntskegelsnede" in
\'t middelpunt Q van een „raakcirkel" bissectrice is
van den hoek gevormd door de beide raaklijnen welke
men in de beide raakpunten van cirkel <? met de cirkels
Ml en il/2, aan die cirkels kan trekken. De raaklijn in
Si aan de hyperbool wordt daarom verkregen, door
den hoek tusschen de beide raaklijnen in Si aan de
beide gegeven cirkels middendoor te deelen. De zoo-
doende gevonden raaklijn zal dan ook Z il/iSiil/2
middendpordeelen. Hieruit volgt dan weer, dat deze
raaklijn ook raaklijn is aan den uitwendigen machtcirkel
van de cirkels Mi en il/2, m. a. w. de „middelpunts-
kegelsnede" zal in Si en natuurlijk ook in Si aan dien
machtcirkel raken. Zooals gemakkelijk in te zien is.

§ 12. Beschouwt men de cirkels il/, welke de cirkels
Ml en M« op verschille7ide wijze raken, dan kan men
opmerken, dat deze cirkels behooren lol de cirkelcon-
gruentie 6\',2 (het veld van cirkels, welke gelijke onge-
lijknamige macht hebben t. o. van de cirkels i¥i en Mt).
Trekt men in \'t vlak van deze cirkels een willekeurige lijn
?», dan is deze lijn de centraal van een homothetisch
stelsel van cirkels, welke gelijke ongelijknamige macht
hebben t.o. van de cirkels Mi en Mi, waarbij dan het
snijpunt P van m met de machtlijn l van de cirkels
Ml en il/a, als gemeenschappelijk gelijkvormigheidspunt,
tevens puntcirkel van het stelsel, optreedt. De cirkels
in dit stelsel, die met hunne middelpunten gelegen zijn
aan denzelfden kant van / als waar cirkel il/i, de
grootste der beide gegeven cirkels, gelegen is, en die
cirkel ilfi inwendig raken, zullen cirkel Ah uitwendig
moeten raken, terwijl de cirkels in dit stelsel, die met
hunne middelpunten aan den anderen kant van l ge-
legen zijn en cirkel ilfi uitwendig raken, cirkel vUz
inwendig zullen moeten raken. Van twee cirkels, welke
de cirkels J/i en il/2 op verschillende wijze raken, zal
dus het inwendig gelijkvormigheidspunt gelegen zijn op
de machtlijn l van de cirkels Mi en M2. Deze bekende
eigenschap blijkt dus een bijzonder geval te zijn van
een meer algemeene stelling.

Üp. overeenkomstige wijze als geschied is in § 10,
vindt men voor de meetkundige plaats van de middel-
punten van de cirkels M:

De meetkundige plaats-is dus weer een kegelsnede.
Voor het middelpunt van deze kegelsnede vindt men:

Deze kegelsnede is gelijkvormig en evenwijdig ge-
plaatst met de kegelsneden van de kwadratische kegel-
snedenqongruentie K^. Ze is een hyperbool als de
cirkels ilfi en M2 gemeenschappelijke inwendige raaklijnen
bezitten; de kleine as A = \'A — (\'\'1

gelijk aan de helft van een gemeenschappelijke in-
wendige raaklijn. De beide asymptoten van de hyper-
bool staan loodrecht op de gemeenschappelijke inwendige
raaklijnen. Zijn er geen gemeenschappelijke inwendige
raaklijnen, dan is de gevonden kegelsnede een ellips.
Raken de cirkels elkaar uitwendig, dan vindt men de
centraal (dubbel te tellen) van de cirkels M^ en 3/2, als
ontaarde parabool.

d.w.z. M\\ en M2 zijn de beide brandpunten, wat van
te voren natuurlijk in te zien was.

Voor ei > 1 (hyperbool) geldt: a = Val\'"! \'\'2),
b = Va (n rz) Vei\'— 1, 0 V2 \'"2) ^^ = V2 rfi.a
{Ml en Mz brandpunten).

Men kan nu verder soortgelijke opmerkingen maken
als vermeld zijn in § 11. Men heeft daarbij te be-
denken, dat inplaats van - , gelezen moet worden

raaklijr.en, gemeenschappelijke inwendige raaklijnen van
de cirkels Mi en Mz en inplaats van de hoek w, de hoek co\'.

Men vindt weer: de cirkels rakende op verschillende
wijze aan twee gegeven cirkels, vormen een cirkelstelsel met
index 2.

Heeft men te doen met twee gegeven elkaar snijdende
cirkels Mi en Mz, dan is daar er geen gemeenschappe-
lijke inwendige raaklijnen aanwezig zijn, de meetkundige
plaats van de middelpunten van de cirkels, welke aan
de twee gegeven cirkels op verschillende wijze raken,
een ellips. Deze ellips zal natuurlijk moeten gaan door
de beide snijpunten Si en Sz van de cirkels Mi en Mz.
Men kan im op soortgelijke wijze als geschied is op
blz. 90 beredeneeren, dat deze ellips in do punten Si
en Sz raakt aan den inwendigen machtcirkel van de
cirkels M\\ en Mz. Boschouwen we nu tevens ook nog
eens de hyperbool gaande door Si en Sz, welke de
„middelpuntskegelsnede" is voor alle cirkels, welke de
cirkels Mi en Mz op dezelfde wijze raken, dan blijkt,
dat de raaklijnen in Si aan ellips en hyperbool de beide
bissectrices zijn van de hoeken gevormd door de cirkels
Ml en il/2; daar deze bissectrices loodrecht op elkaar
staan, zullen ellips en hyperbool elkaar in Si en natuurlijk
ook in Sz loodrecht snijden. Dit is in overeenstemming
met \'t feit, dat de beide machtcirkels elkaar loodrecht
snijden en met de bekende eigenschap, dat een ellips

Raken de cirkels Mi en Mi elkaar, dan ontaardt een
der beide kegelsneden in de centraal (dubbel te lellen)
van de cirkels Mi en M^.

Cirkels, Avier machten ten opzichte van twee j^egeven
cirkels een gegeven verhouding hebben.

§ 1. Gegeven tiree cirkels Mi en M^ met stralen ri en r«
{ri ^ V\'i). Gevraagd de meetkundige plaats van de middel-
punten der cirkels M met gegeven straat li, waarvoor de
verhouding van de uitwendige machten t. o. van de cirkels
Ml en Mi een gegeren constante waarde v heeft.

Lettende op een opmerking gemaakt op blz. 4(» om-
trent de macht van twee cirkels t. o. van elkaar, is het
gemakkelijk in te zien, dat de gevraagde meetkundige
plaats is een cirkel C behoorende tot den bundel
bepaald door de twee cirkels concentrisch met de cirkels
Ml resp. Mi en met »\'i — li, resp. ri — H tot stralen.
Het middelpunt G is zóó op de centraal van de cirkels

dien cirkel C, en p die van den cirkel met C tot middel-
punt en behoorende tot den bundel bepaald door de
gegeven cirkels Mi en Mi, dan geldt:

Derhalve pi\' = p\' R\'- ^ (tZT^) ^^
We kunnen nu gemakkelijk berekenen de uit- en in-

wendige macht van een der cirkels M (straal R) l. o.
van den cirkel C met p tot straal. Men vindt voor de

dus: de cirkels M waarooor de verhouding van de uit-
wendige machten t. o. van twee gegeven cirkels Mi en Mz
een gegeven constante waarde v heeft, hebben t. o. van den
cirkel C van den bundel bepaald door de cirkels M\\ en Mi-
uit- en inwendige machten, die evenredig zijn met R. Het

Nu volgt onmiddellijk: Snijdt een der cirkels ilf cirkel
C onder een bestaanbaren hoek cc, dan is dit het geval
met alle cirkels M.

Men kan nu ook nagaan, wanneer (A") de
waarde O aanneemt. Daarvoor is noodig als p =j= O,

waaruit in de eerste plaats volgt: y = 0 (als mi.2 0),
wat ook werkelijk blijkt te voldoen. Is dus jwi.2=|=0
en f = O, dan zullen alle cirkels 31 den cirkel Mi in-
wendig raken. Voor mi.2 = O (d. w. z. de cirkels Mi

en M2 raken elkaar inwendig) is p^ = , ^ ^
^ rz — ri ^ ^ beteekent, het punt C ligt met de

punten Mi en M2 aan denzelfden kant van het gemeen-
schappelijke raakpunt van de cirkels Mi en Alz), dan
zal (A") steeds de waarde O aannemen, d. w. z. de cirkels
M zullen dan den cirkel C steeds inwendig raken.

Wanneer we nagaan, wanneer (A\'") de waarde O aan-
neemt (d. w. z. de cirkels if raken den cirkel (7 uitwendig),

waarde y = O is nu door het kwadrateeren ingevoerd,
en nu blijkt 7H1.2 = 0 onafhankelijk van v alleen te voldoen,

\'t Spreekt vanzelf, dat voor v = 00 de cirkels M aan
cirkel M2 raken, indien zij voor v = O aan cirkel ilfi
zouden raken.

Liggen de cirkels Mi en Mo geheel buiten elkaar,
dan is \'t mogelijk, dat bij neg. waarde van v, p^ neg.
is, terwijl als cirkel M2 "geheel binnen cirkel ifi gelegen
is, die mogelijkheid bij pos. v bestaat. In alle andere
gevallen is p^ steeds pos. Verder zal \'t kunnen voor-
komen, dat bij pos. waarde van p^, pi imaginair uitvalt
en omgekeerd, dat bij imaginaire p, pi bestaanbaar uitvalt.

(blz. 95) onmiddellijk, dat ook pi bestaanbaar is, en dat de
cirkels M den cirkel C met p tot straal zullen snijden onder

Nemen we nu \'t geval dat v pos. is, dan blijkt dat x
bestaanbaar zal zijn, als de cirkels Mi en Mz bestaan-
bare gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen bezitten.
Bij neg. v zal « bestaanbaar zijn, als de cirkels Mi en
M2 geen bestaanbare gemeenschappelijke uitwendige
raaklijnen bezitten.

stand UG, als U het uitwendige gelijkvormigheidspunt
van de cirkels 3Ii en J/2 is, waarbij dan x pos. is als
C met Mi en 3h aan denzelfden kant van U gelegen
is, en neg. als C aan den anderen kant van U ligt. Is
y pos., dan kan x zooveel pos. als neg., is v neg. dan
kan X alleen pos. zijn. Voor (A\') kan nu geschreven

V pos. en hebben de cirkels Mi en Ah bestaanbare ge-
meenschappelijke uitwendige raaklijnen, dan zal indien

Uil (A") volgt een gemakkelijke constructie van pi
(en dus ook Ynn x). Zet in den cirkel C met p tot
straal een koorde = 2 o; sin w uit, en neem op het ver-
lengde van deze koorde een stuk = R als UC neg. is,
en langs de koorde zelf als UC p.os. is. Verbind hct
verkregen uiteinde AI met G, dan is CM = pi; cc stelt
hierbij voor den hoek van de gemeenschappelijke uit-
wendige raaklijnen van de cirkels ilfi en ATi met hunne
centraal, x sin « stelt dan voor de lengte van de

{x=,0), dan is de lengte van deze loodlijn = O en
= 90°. Neemt y toe, dan wordt de loodlijn grooter
en grooter en dientengevolge « kleiner en kleiner, tot
eindelijk wanneer G met Ah samenvalt, de loodlijn de
waarde p (= r^) verkregen heeft. Dan is > = 00 en

SC = 0°, d. w. z. de cirkels Tlf raken cirkel C {M2) inwendig.
Wordt y mot — te beginnen kleiner, dan wordt Z «

stomp en eindelijk als v tot 1 afgenomen is, is 6 ver-
dwenen in \'t oneindige. Cirkel C met p tot straal
is dan ontaard in de machtlijn l van de cirkels Mi
en J/2, en zooals vroeger reeds gevonden is, is dan
« = 90° -f- co. Cirkel C met pi lot straal is dan ontaard
in een lijn // l aan den kant van Mi, op een afstand

Op te merken valt, dat zich onder de cirkels M ook
bevinden de cirkels met R tot straal, welke de cirkels
Ml en M2 tegelijkertijd inwendig raken. Immers voor

dezer cirkels te construeeren, volgt op gemakkelijke wijze
de cirkel C met pi tot straal.

Is V neg. en hebben de cirkels Mi en M2 geen be-
staanbare gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen, dan
is daar nu x steeds pos. is, <z steeds een bestaanbare
scherpe hoek. Bij de constructie van pi en moet dus

Onder de cirkels M bevinden zich weer de cirkels met
R tot straal, welke de cirkels Mi en il/2 tegelijkertijd
inwendig raken. Dit levert ons weer een gemakkelijke
constructie voor den cirkel C met pi lot straal.

Raken de cirkels il/i en il/2 elkaar inwendig, dan is
steeds cos « = ± 1 en dus pi\' = {p T RY, d. w. z. de
cirkels M raken steeds den cirkel C met p tot straal.
Is v—l, dan ontaardt cirkel G in de machtlijn l van
de cirkels il/i en il/2, en de cirkels il/ raken dan alle
aan deze machtlijn, zooals ook reeds vroeger gevonden
is. Hunne middelpunten zijn alle gelegen op een lijn
// l aan den kant van Mi.

Resumeerende, hebben we nu gevonden: de cirkels
M, waarvoor de verhouding van de uitwendige machten
f. O. van twee gegeven cirkels M\\ en M^ een gegeven con-
stante ivaarde y heeft, snijden alle een cirkel C van den
bundel bepaald door de cirkels Mi en M2, onder denzelfden
hoek a. Het middelpunt van cirkel C is zóó gelegen, dat

Op le merken valt, dat de cirkels van dit stelsel
concentrisch zijn met cirkels van een cirkelnet, waarvoor
de cirkel met C als middelpunt en p sin a als straal
orthogonaalcirkel is. De stralen van de cirkels van ons
stelsel worden verkregen, door die van de cirkels van

De cirkels welke de cirkels Mi en Mi tegelijk inwendig
raken, behooren tegelijkertyd tot alle stelsels, welke men
verkrijgt door v te variëeren. Hierin ligt opgesloten de
bekende eigenschap, dat een cirkel behoorende tot den
bundel bepaald door de cirkels Mi en M^, al die raak-
cirkels, dus ook de gemeenschappelijke uitwendige raak-
lijnen, onder denzelfden hoek zal snijden. Als bijzonder
geval zit hierin weer opgesloten de reeds vroeger afge-
leide eigenschap, dat deze raakcirkels de machtlijn l
van de cirkels Mi en M2 alle onder denzelfden hoek
snijden.

§ 2. Gegeven twee cirkels Mi en M2 met stralen ri
en >-2 (ri > Vi). Gevraagd de meetkundige plaats van de
middelpunten der cirkels M\' met gegeven straal R, tvaar-
voor de verhouding van de inwendige machten t. 0. van de
cirkels Mi en M2 een gegeven constante waarde v heeft.

Men komt tot dergelijke resultaten als in \'t geval,
dat de verhouding van de uitwendige machten een ge-
geven constante waarde v heeft. Men heeft slechts R
door — R ie vervangen, en men vindt dan:

De middelpunten van de cirkels M\' zijn weer gelegen
op een cirkel, concentrisch met den cirkel C met straal ^
behoorende tot den bundel bepaald door de cirkels Mi
en .1/2, en waarvan het middelpunt zóó gelegen is, dat

van een der cirkels M\' (straal B) t.o. van bovenge-
noemden cirkel C met p tot straal, wordt gevonden:

De cirkels M\' hebben dus uit- en inwendige machten, die
evenredig zijn met R. Hieruit volgt onmiddellijk: snijdt
een der cirkels M\' cirkel G onder een bestaanbaren
hoek dan is dit het geval met alle cirkels M\'. Let-
tende op het gevondene in § 1, kunnen we zepen:
(A\') neemt de waarde O aan voor »»1,2 = O (de cirkels

terwijl (A") die waarde aanneemt voor v = O en v = co.
De cirkels M\' raken dan inwendig resp. uitwendig aan
den cirkel G met p tot straal.

De cirkels M\' snijden cirkel G alle onder denzelfden
hoek « fonafhankelijk van J?), terwijl dan cos oc\' =

Op te merken valt, dat zich onder de cirkels M\' ook
bevinden de cirkels met B tot straal, welke de cirkels
Ml en Mi tegelijkertijd uitwendig raken.

Daar «\' onafhankelijk van B is, hebben we nu ge-
vonden: de cirkels M\', waarvoor de verhouding van de
imvendige machten t. 0. van twee gegeven cirkels Mi en Mi
een gegeven constante waarde v heeft, snijden alle den cirkel

G van den bundel bepaald door de cirkels Mi en M2, onder
denzelfden hoek a!. Het middelpunt van cirkel G is zóó

De cirkels van bovengenoemd stelsel zijn concentrisch
met cirkels van een cirkelnet, waarvoor de cirkel
met G als middelpunt en p sin a! als straal, orthogonaal-
cirkel is. De stralen van de cirkels van ons stelsel
worden verkregen, door die van de cirkels van dit cirkel-
net met te verminderen.
di.2

§ 3. Door de cirkels M samen te nemen met de
cirkels M\' blijkt, dat alle cirkels waarvoor de verhouding
van gelijknamige machten t. 0. van de cirkels Mi en Ah
een constante waarde y heeft, verkregen kunnen worden
door de cirkels van hel bovengenoemde cirkelnet op de ge-
noemde wyze te transformeeren (Zie ook § 1 blz. 100). Men
kan de cirkels AI en M\' ooTc rangschikken in parabolische
cirkelbnndels, waarvan de gemeenschappelijke raakpunten
gelegen zijn- op den omtrek van cirkel G met p lot
siraal, en waarvan het middelpunt zóó gelegen is, dal

cirkel G hoeken a, en 180° — a maken, zijn te beschouwen
ais in rechte lijnen ontaarde cirkels, waarvoor de ver-
houding van de gelijknamige machten l. 0. van de cirkels
Ah en Ah een constante waarde v heeft. Onder deze
machtlijnen bevinden zich ook de gemeenschappelijke
uilwendige raaklijnen van de cirkels Ah en Ah. Immers
onder de cirkels AI en AI\' bevinden zich de cirkels,
welke -de cirkels Ah en M2 beide op dezelfde wijze
raken. Tenslotte nog de opmerking, dat de constante
hoek, waaronder de „uitwendige raakcirkels" door een
cirkel van den bundel bepaald door de cirkels Ah en Ah
gesneden worden, het supplenu nt is van den constanten

§ 4. Een cirkel te construeeren met een gegeven punt
N tot middelpunt, waarvoor de verhouding van de uit-
wendige (inwendige) machten t. o. van twee gegeven cirkels
Ml en Mi een gegeven waarde v heeft.

Men bepaalt eerst den cirkel C, behoorende tot den bundel
bepaald door den cirkels Mi en Mz en zóó gelegen, dat

Beschrijf daarna den cirkel met N tol middelpunt, welke
cirkel C met p sin « {p sin x\') tot straal orthogonaal
snijdt, en vermeerder (verminder) den straal van dezen

Men kan op dezelfde wijze ook construeeren de beide
cirkels, gaande door twee gegeven punten A en ß en waar-
voor de verhouding van de uitwendige {inwendige) machten
t. o. van de cirkels Mi en Mi, een gegeven waarde v heeft.
Men heeft dan slechts te construeeren de beide cirkels,
welke raken op dezelfde wijze aan de cirkels A en B

p sin « tot straal orthogonaal snijden. De gevraagde
cirkels zijn concentrisch met deze cirkels. Daar we in
\'t algemeen twee cirkels vinden, blijkt dat de cirkels,
waarvoor de verhouding van gelijknamige machten t. o.
van de cirkels Mi en Mi een constante waarde v heeft,
een kwadratische cirkelcongruentie vormen.

Wordt gevraagd naar den cirkel, waarvoor de ver-
houding van de uitwendige (inwendige) machten t.o.
van de cirkels Mi en Mi een gegeven constante waarde

V heeft, waarvan het middelpunt gelegen is op een
gegeven lijn en welke door een gegeven punt gaat, dan
is ook deze constructie op soortgelijke wijze uit te
voeren. Men kan ook den gevraagden cirkel in plaats
van door een gegeven punt te laten gaan, laten raken
aan een gegeven rechte lijn of aan een gegeven cirkel.

§ 5. We zullen vervolgens afleiden de vergelijking
van het stelsel van cirkels (7V 1.2, waarvoor de verhouding
van gelijknamige machten t. o. van de cirkels Jfi en M^

we de betrekking (A) § 1, blz. 95 eerst in een anderen
vorm brengen. Na eenige herleiding vindt men:

Neemt men C als oorsprong van het orthogonale
coördinatenstelsel en de centraal van de cirkels Mi en
Mi. als X-as, dan is de vergelijking van het stelsel Cvi.2:
(X — 3)2 -f (y - f)2 _ = 0 of
X2 4- 72 - 2 3 X - 2 f r 4- — Jï^ = O (A).

waarbij deze woitelvorm als tweewaardig beschouwd
moet worden, Voor (A") kan dan geschreven worden:

en £ veranderlijke parameters). Aan deze vergelijking
is onmiddellijk te zion, dat het stelsel a.1.2 een kwa-
dratische cirkelcongruentie is.

§ 6. We zullen nu beschouwen de cirkels gaande
door een gegeven punt A, en waarvoor de verhouding van
de uitwendige {inwendige) machten t. 0. van 2 gegeven
cirkels Ml en 3/2, een gegeven constante waarde v heeft.

Zij M (X, Y) het middelpunt van een dier cirkels
(straal /?), c\'het middelpunt van den cirkel (met straal
p) behoorende tot den bundel bepaald door de cirkels

Tan het orthogonale coördinatenstelsel, waarvan men
de X-as langs AC laat vallen, en laten (rf, 0) de coör-
dinaten van C t. o. van dit coördinatenstelsel zijn.
We gaan nu uit van pi-^^ p^ Wl^^t R, waarbij

kundige plaats van de middelpunten M een kegelsnede
is, met A als brandpunt en de machtlijn van cirkel G
en het punt A (als puntcirkel beschouwd), als bijbe-
hoorende richtlijn.

Na verdrijving van het wortelteeken, gaat de verge-
lijking (A) na eenige\'herleiding over in:

Bepaalt men de coördinaten van het middelpunt van
de gevonden kegelsnede, dan vindt men: x=

De vergelijking van de richtlijn behoorende bij A als
brandpunt is: \'ït d X — d\'^ p\'^ ^ 0 (zie A). Voor den af-

tot de richtlijn. Men vindt zoodoende voor de excen-
^ We hebben dus te doen met een

Is d^ >• (hyperbool), dan kunnen de beide bestaanbare
asymptoten gemakkelijk geconstrueerd worden. Men

beschrijft daartoe den cirkel met C tot middelpunt,
welke ontstaat door vermenigvuldiging van een der cirkels
il/i of M2 t. 0. van hun uitwendig gelijkvormigheidspunt

voorstelt den afstand van C tot U. Zooals reeds vroeger
vermeld is, kan voor dezen straal geschreven worden

dezen hulpcirkel. De beide lijnen door A loodrecht op
deze raaklijnen, geven aan de beide asymptotische rich-
tingen behoorende bij A. Door er aan te denken, dat

trokken lijnen Z« en 180° — « met den omtrek van
cirkel G maken. De beide bovengenoemde raaklijnen
moeten beschouwd worden als ontaarde cirkels gaande
door J., waarvoor de verhouding van gelijknamige machten
t. 0. van de cirkels Mi en il/2 = f- Laat men nu on-
bepaald toenemen, on veronderstelt men dat de cirkels
ilfi en Mz gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen
hebben, dan zullen als ten slotte het punt ü in \'t on-
eindige verdwenen is (v = 1; cirkel G ontaardt dan in
de machtlijn), de beide bovengenoemde raaklijnen uit J.
aan den hulpcirkel G, evenwijdig loopen aan de gemeen-
schappelijke uitwendige raaklijnen van de cirkels Mi en
M2, en de beide asymptotische richtingen staan dan
loodrecht op die raaklijnen, hetgeen in overeenstemming
is met de vroeger gevonden resultaten.

twee imaginaire rechte lijnen gaande door in\'t geval
d\'^ > ontaardt (A\') in twee bestaanbare rechte lijnen
door A, welke met den omtrek van cirkel G (met straal p)

hoeken « en 180° — « maken (^cos« = 0- In\'t geval
ontaardt (A\') in de lijn door ^ en C dubbel te tellen.

De cirkels behoorende tot Cj,.i.2 en gaande door een
vast punt A, voldoen aan de eigenschap, dat door een
willekeurig ander punt B in het vlak twee exemplaren
gaan. Deze cirkels hebben n.l. hunne middelpunten in
de snijpunten van de middelloodlijn van AB met de
zoo juist gevonden „middelpuntenkegelsnede". De cirkels*
behoorende tot Cv.1.2 en gaande door een vast punt A,
vormen dus een cirkelstelsel met index 2, dat blijkbaar
behoort tot het parabolische cirkelnet met A als ont-
aarden orthogonaalcirkel. Door y te variëeren blijkt,
dat dit net beschouwd kan worden als te bevatten ^^
van zulke stelsels met index 2. Daar voor de cirkels
gaande door A en de cirkels Mi en Mz op dezelfde

het stelsel gevormd door deze raakcirkels (hoofdst. V § 11).
De „rniddelpunlenkegelsnede" behoorende bij deze raak-
cirkels, is blijkbaar de omhullende van de kegelsneden
(A\'), (§ 6 blz. 105) als men y laat variëeren.

Beschouwt men in vergelijking (A\') (blz. 106) d
als een veranderlijke parameter, dan is (A\') de verge-
lijking van een stelsel van kegelsneden, waarby de
excentriciteiten evenredig zijn rnet d. Door in (A\') de
coördinaten van een punt in \'t vlak te substitueeren,
krijgt men een vergelijking in d van den 4<ien graad.
We hebben dus te doen met een stelsel van kegelsneden
met index 4. Laat men nu ook nog de richting van
GA veranderen, dan krijgt men een gansch veld van
kegelsneden bestaande uit <» ^ stelsels met index 4, die
alle congruent zijn. Men kan de kegelsneden van dit
veld ook rangschikken volgens Qo^ stelsels congruente
kegelsneden, wier gelijkstandige punten op cirkels met G
als middelpunt gelegen zijn.

en >-2 (n > ra). Gevraagd de meetkundige plaats van de
middelpunten der cirkels M met gegeven straal R, ivaar-
voor.de verhouding van de inwendige macht t.o. van den
cirkel Ml en de uitwendige macht t. o. van den cirkel M^ een

"Men vindt als meetkundige plaats een cirkel C, be-
hoorende tot den bundel bepaald door de twee cirkels
concentrisch met de cirkels Mi en M^, en met n Jï,
resp r2 — R tot stralen. Het middelpunt C is zóo op
de centraal van de cirkels Mi en M, gelegen, dat

van den cirkel met G tot middelpunt en behoorende
tot den bundel bepaald door de gegeven cn-kels Mi en
il/a, dan geldt:

We kunnen nu weer berekenen de uit- en inwendige
macht van een der cirkels ilf (straal R) t. o. van den cirkel
C met p tot straal. Men vindt voor de uitwendige macht:

M, waarvoor de verhouding van de inwendige macht t. o.
van cirkd Mi en van de uitivendige macht t. o. van cirkel
Mi een constante waarde v heeft, hebben t. o. van den
cirkel G van den bundel bepaald door de cirkels Mi
en Mi uit- en inwendige machten, die evenredig zijn met

Derhalve: snijdt een der cirkels M cirkel C onder
een bestaanbaren hoek x, dan is dit het geval met alle
cirkels M. Nu zal in de veronderstelling p =|= O, R =]= O,

3I2 gelegen is aan denzelfden kant van I, het gemeen-
schappelijke raakpunt van de cirkels ilfi en M2), dan
zal (A") steeds de waarde O aannemen, d. w. z. de cirkels
M zullen dan den cirkel C steeds inwendig raken. Wan-
neer we nu nagaan, wanneer (A\'") de waarde O zal
aannemen (d. w. z. de cirkels If raken den cirkel C
uitwendig), dan komen we tot dezelfde vergelijking

\'t Spreekt vanzelf, dat voor v = 00 de cirkels 31 aan
3I2 zullen raken, indien zij voor v = O aan cirkel Mi
zouden raken.

onmiddellijk, dat ook bestaanbaar is en dat de cirkels
M den cirkel C met tot straal zullen ^sni]|en^ onder

een bestaanbaren Z terwijl dan cos « = l^^ZT^y^\'
in deze uitdrukking li niet voorkomt, is « onaHiankelijk
van li een constante hoek. Substitueeren we boven-
staande voorwaarde de waarde van ^^ volgens (A , dan
komt er na eenige herleiding: . |(n r^]
Nemen we nu het geval dat . pos. is, dan blijkt, dat «
bestaanbaar zal zijn, als de cirkels M, en M. bestaan-
bare gemeenschappelijke inwendige raaklijnen bezitten.
Bij neg. V zal « bestaanbaar zijn, als er niet twee zulke
raaklijnen aanwezig zijn. ^ ^ ^ ^^

afstand IC als 7 het inwendig gelijkvormigheidspunt
van de cirkels ÜA en il/2 is, terwijl dan o: pos. is als
C met M, gelegen is aan denzelfden kant van / en
nee als beide punten aan verschillende zijden van /
gelegen zijn. Voor (A\') kan nu geschreven worden:

Is nu V pos. en hebben de cirkels ilfi en il/2 bestaan-
bare gemeenschappelijke inwendige raaklijnen, dan zal
indien ^ pos. is, d.w.z. indien v>l, « een bestaan-
bare scherpe Z zijn, terwijl indien o; neg. is d.w.z.
indien v<l, « een bestaanbare stompe Z zal zijn.

Uit (A") volgt een gemakkelijke constructie van p,
(en dus ook van oc). Zet in den cirkel 0 met ^ tot
straal een koorde = 2 o; sin co\' uit, en neem op het ver-
lengde van deze koorde een stuk = E als ^^ neg. is
en langs de koorde zelf als 7C pos. is, verbind he
verkregen uiteinde il/ met C, dan is stelt

wendige raaklijnen van de cirkels Mi en M^ met hunne
centraal. a;sin«\' stelt dan voor de lengte van de lood-
lijn uit G op zoo\'n raaklijn neergelaten. Valt G met
Ml samen (y = 0), dan heeft die loodlijn de waarde
p{=ri) en dan is « = 180°. d. w. z. de cirkels if raken
cirkel C uitwendig. Laat men v toenemen, dan zal als
V tot 1 aangegroeid is, G verdwenen zijn in\'t oneindige;
cirkel G met p tot straal is dan ontaard in de macht-
lijn l van de cirkels 3It en J/a, en zooals vroeger reeds
gevonden is, is dan « = 90° w geworden. Cirkel G
met pi lot straal is dan ontaard in een lijn // l, op een

worden, dan komt G op het verlengde van M1M2 te
liggen, en voor y = ao valt G met M^ samen; « is dan
van 90° ~ w tot O afgenomen. De cirkels 31 raken dan
aan den cirkel M2 inwendig.

Op te merken valt, dat zich onder de cirkels M ook
bevinden de cirkels met R tot straal, welke cirkel Mi
uitwendig en cirkel M2 inwendig raken. Immers voor

dezer cirkels te construeeren, volgt op gemakkelijke
wijze de cirkel G met pi tot straal.

Is V neg. en hebben de cirkels Mi en Mi geen be-
staanbare gemeenschappelijke inwendige raaklijnen, dan
kan weer x zoowel pos. als neg. zijn. Is x pos. d.w.z.

n
ra\'

pi"^ = R\\ waaruit volgt « = 90°. De constructies
besproken bij pos. y, zijn ook nu toe te passen.

Raken de cirkels Mi en M2 elkaar uitwendig, dan is
steeds cos « = ± 1 en dus (p R)\\ d. w. z. de

Is y = l, dan ontaardt cirkel C in de machtliin l van
de cirkels Mi en M^, en de cirkels M raken dan alle
aan deze machtlijn, zooals ook reeds vroeger gevonden is.

Resumeerende, hebben we nu gevonden: de cirkels
M, waarvoor de verhouding van de inwendige macht t. o.
van cirkel Mi en van de uitwendige macht t.o. van cirkel
Ml een gegeven constante tvaarde -j heeft, snijden alle den
cirkel C van den bundel bepaald door de cirkels Mi en
M2, onder denzelfden hoek x. Het middelpunt van cirkel

De cirkels, welke cirkel Mi uitwendig en tegelijk cirkel
Mz inwendig raken, behooren tegelijkertijd tot alle stelsels
welke men verkrijgt door ^ te variëeren. Hierin ligt
opgesloten de bekende eigenschap, dat een cirkel be-
hoorende tot den bundel bepaald door de cirkels Mi en
Mi, al die raakcirkels onder denzelfden hoek zn\\ snijden.
Als bijzonder geval zit hierin weer opgesloten de reeds
vroeger afgeleide eigenschap, dat deze raakcirkels de
machtlijn l van de cirkels Mi en Mi alle onder den-
zelfden hoek snijden.

§ 8. Gegeven twee cirkels Mi en Mi met stralen
ri en Vi [ri > Vi). Gevraagd de meetkundige plaats van
de middelpunten der cirkels M\' met gegeven straal R,
waarvoor de verhouding van de uitwendige macht t. 0. van
cirkel Ml en van de inwendige macht t. 0. van cirkel Mi
een gegeven constante waarde v heeft.

Men komt nu tot dergelijke resultaten als bij \'t hier-
aan voorafgaande. Men heeft slechts li door — li te
vervangen, en men vindt dan:

De middelpunten van de cirkels M\' zijn weer gelegen
op een cirkel concentrisch met den cirkel C met straal
p, behoorende tot ■ den bundel bepaald door de cirkels
M\\ en M2 en waarvan het middelpunt zóó gelegen is,
, , CMi

Uitwendige- resp. inwendige macht van een der cirkels
M\' (straal B) t. o. van den cirkel C met p tot straal:

We zien dus: de cirkels M\' hebben t. 0. van cirkel G
uitwendige- en inwendige machten, die evenredig zijn met
li. Derhalve: snijdt een der cirkels M\' cirkel C onder
een bestaanbaren hoek cc\', dan is dit het geval met
alle cirkels M\'. Nu zal in de veronderstelling p =|= O,
B =1= O, (A\') de waarde O aannemen voor v = 0 (en

lende zijden van I gelegen zijn), dan zal (A\') steeds de
waarde O aannemen, d. w. z. de cirkels 31\' zullen dan
den cirkel G steeds inwendig raken. (A") zal de waarde
O aannemen (d. w. z. de cirkels 3f raken den cirkel C
uitwendig), voor = O en C en M2 aan denzelfden
kant van I.

\'t Spreekt vanzelf, dat voor v~cc, de cirkels 31\'
aan cirkel Jlf2 zullen raken, indien zij voor v = 0 aan
cirkel 3fi zouden raken.

Uit (A) volgt: de cirkels 31\' snijden cirkel C alle
onder denzelfden hoek x\', onafhankelijk van B, waarbij

bevinden de cirkels met J? tot straal, welke cirkel Jfi
inwendig en cirkel M2 uitwendig raken.

Daar onafhankelijk van B is, hebben we nu ge-
vonden: de cirkels M\', tvaarvoor de verhouding van de
uihvendige macht t.o. van cirkel Mi, en van de imvendige
macht t. 0. van cirkel M2 een gegeven comtante waarde
y heeft, snijden alle den cirkel C van den bundel bepaald
door de cirkels Mi en M2, onder denzelfden hoek x\'. Het

§ 9. Nu volgt weer: door de cirkels M samen te
nemen met de cirkels M\' blijkt, dat alle cirkels, waar-
voor de verhouding van ongelijknamige machten t.o.
van de cirkels Mi en M2 een constante waarde v heeft,
verkregen kunnen worden door de stralen van de cirkels
van een cirkelnet, waarvoor de cirkel met C tot middel-
punt en sin « (=/j sin «\') tot straal orthogonaalcirkel

Men kan de cirkels 31 en M\' ook rangschikken in
parabolische cirkelbundels, waarvan de gemeenschappe-
lijke raakpunten gelegen zijn op den omtrek van cirkel
C met p tot straal en waarvan het middelpunt zóó
C

gelegen is, dat ^ = v. De machtlijnen van die bun-
dels welke met cirkel C hoeken « en 180° -- a maken,
zijn te beschouwen als in rechte lijnen ontaarde cirkels,
waarvoor de verhouding van de ongelijknamige machten
t. O. van de cirkels 3Ii en Jf2, een constante waarde v
heeft. Onder deze machtlijnen bevinden zich ook de
gemeenschappelijke inwendige raaklijnen van de cirkels
3Ii en Mi. Immers onder de cirkels M en M\' bevinden
zich de cirkels, welke de cirkels Mi en beide op
ongelijksoortige wijze raken.

cirkels Mi en M2 op ongelijksoortige wijze raken, alle
gesneden worden door een cirkel van den bundel be-
paald door de cirkels Mi en M^, onder hoeken die
gelijk of eikaars supplement zijn.—

§ 10. Op soortgelijke wijze als geschied is in § 4
blz. 103, kan mex\\ consirueevBn een cirlcel met een gegeven
punt N tot middelpunt, ivaarvoor de verhouding van on-
gelijlcfiamige machten t. 0. van twee gegeven cirlcels Mi
en il/2, een gegeven rvaarde v heeft. En evenzoo de heide
cirlcels gaande door twee gegeven punten A en B, en
ivaarvoor de verhouding van ongelijhnamige machten t. 0.
van de cirkels Mi en M2 een gegeven tvaarde v heeft.
Het blijkt dan, dat de cirkels il/en i/\'een kwadratische
cirkelcongruentie vormen.

§ II. We zullen vervolgens afleiden de vergelijking
van het stelsel van cirkels C"m.2, waarvoor de verhouding
van ongelijknamige machten t. o. van de cirkels Mi en

daartoe denzelfden weg als in § 5 blz. 104. Men vindt:
p^ = (7Zr{j2 "f" y _ ^ 1 en als vergelijking van C\'v.1.2:

Aan deze vergelijking is onmiddellijk te zien, dat het
stelsel G\'v.i.2 een kwadratische cirkelcongruentie is.

§ 12. We zullen nu beschouwen de cirkels gaande
door <een gegeven punt A, en waarvoor de verhouding van
ongelijknamige machten t. 0. van 2 gegeven cirkels Mi
en J/2, een gegeven constante waarde v heeft.

dat de verhouding van gelijknamige machten een ge-
geven constante waarde v heeft (§ G). Echter nu is

vormigheidspunt van de cirkels ilfi en ilfa, komt het
inwendig geliikvormigheidspunt 1 van die cirkels, en
inplaats van gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen,
moet gelezen worden gemeenschappelijke inwendige
raaklijnen. Ook nu blijkt, dat we te doen hebben met
een cirkelstelsel met index 2, dat blijkbaar behoort tot
het parabolische cirkelnet met A als ontaarden ortho-
gonaalcirkel. Door V te varieeren blijkt, dat dit net
beschouwd kan worden als te bevatten oo\' van zulke
stelsels met index 2. Daar voor de cirkels gaande door
A en de cirkels Mi en Mz op ongelijksoortige wijze

gemeen hebben het stelsel gevormd door deze raakcirkels.
De , middelpuntenkegelsnede" behoorende bij deze raak-
cirkels, is blijkbaar de omhullende van de „middelpunten-
kegelsneden" behoorende bij bovengenoemde oo\'stelsels.

Als vergelijking van de meetkundige plaats van de
middelpunten van de cirkels, gaande door A en waar-
voor de verhouding van ongelijknamige machten t. o.
van twee gegeven cirkels Mi en M^ een gegeven con-
stante waarde v heeft, vindt men:

Laat men d = CA veranderen, maar houdt men de
richting van AC vast, dan krijgt men weer een stelsel
kegelsneden, waarbij de excentriciteiten evenredig zijn
met d. Dit stelsel blijkt weer te zijn een stelsel met
index 4. Laat men nu ook nog de richting van AC
veranderen, dan krijgt men een gansch veld van kegel-
sneden, bestaande uit oo\' stelsels met index 4, die alle

congruent zijn. Men kan de kegelsneden van dit veld
ook rangschikken volgens co\' stelsels congruente kegel-
sneden, wier gelijkstandige punten op cirkels met Cals
middelpunt gelegen zijn. j\'

§ 13. Wij komen nu nog even terug, op de reeds
vroeger (Hoofdst. III) besproken gelijkvormigheidmetten
behoorende bij twee cirkels M\\ en M2. Uit onze be-
schouwingen omtrent de verhouding van de machten
van een cirkel M t. 0. van twee cirkels Mi en M^, volgt
onmiddellijk, dat de cirkels welke de cirkels Mi en M^
op dezelfde wijze raken, behooren tot het uitwendig
gelijkvormigheidsnet, en dat de cirkels welke deze cirkels
op verschillende wijze raken, behooren tot het inwendig
gelijkvormigheidsnet, hetgeen we in hoofdstuk III reeds
langs anderen weg gevonden hebben. Wij kunnen nu
van de cirkels behoorende tot die gelijkvormigheidsnetten,
iets meer zeggen. De cirkels hehoorende tot het uitwendig
gelijkvormigheidsnet, sullen hlijkhaar zijn cirkels, waarvoor
de verhouding van gelijknamige machten t. 0. van de
ri

te merken valt, dat onder de eerstgenoemde cirkels zich,
behalve raakcirkels, ook bevinden de cirkels, ivclkc dc
cirkels Mi en 3I2 onder denzelfdcn hoek O snijden, terwijl
onder de cirkels behoorende tot het inwendige gelijk-
vormigheidsnet, zich behalve raakcirkels, ook bevinden
de cirkels welke de cirkels Mi en M2 onder de hoeken cp
resp. 180° — 0 snyden. De cirkels waarvoor Z 0 — 90°,
behooren blijkbaar tegelijkertijd tot beide gelijkvormig-
heidsnetten.

§ 14. Wij komen ook nog even terug op de eigen-
schap van Hoofdst. IV, § 3 blz. 49. We stellen —
^ W3.4

voor door de letter y. We denken ons nu geconstrueerd
den cirkel met p tot straal, behoorende lot den bundel
bepaald door de cirkels M2 en ilfs, en waarvan het

dus door cirkel G onder Z« gesneden worden. Cirkel
G behoort dus tot het uitwendig gelijkvormigheidsnet
van de cirkels Mi en Mi, m. a. w. cirkel G zal moeten
gaan door het raakpunt A van deze twee cirkels. Hieruit

§ 15. Zooals reeds eerder opgemerkt werd, is van
twee cirkels rakende tegelijkeitijd aan twee gegeven
cirkels Mi en M2, en beide öf behoorende tot de cirkel-
congruentie C\\,2, öf tot de cirkelcongruentie een
der beide gelijkvormigheidspunten gelegen op de macht-
lijn l van de cirkels Mi en M2, terwijl een cirkel C van
den bundel bepaald door de cirkels Mi en M2, twee
zulke cirkels öf zal snijden onder hoeken die gelijk zijn,
öf onder hoeken die eikaars supplement zijn. Het l^\'c
zal \'t geval zijn, als het uitwendig gelijkvormigheidspunt
op l komt te liggen, het S\'le als dit het geval is met
het inwendig gelijkvormigheidspunt. In \'t eerste geval
behoort cirkel C tot het uitwendig gelijkvormigheidsnet
van de twee raakcirkels, in \'t. 2de geval lot het inwendig
gelijkvormigheidsnet van die twee cirkels. Hieruit volgt
gemakkelijk, dat de cirkels van den orthogonalen bundel
toegevoegd aan den bundel bepaald door de cirkels Mi
en M2, machtcirkels zijn van telkens 2 raakcirkels van

Beschouwt men 2 cirkels Ni en N2, waarvoor de
verhouding van de uitwendige (inwendige) macht t. 0.

van een gegeven cirkel Mi en van de uitwendige (in-
wendige) macht t.o. van een tweeden gegeven cirkel
een constante waarde v heeft, dus twee cirkels be-
hoorende tot G.1.2, dan zal de uitwendige machtcirkel
van de cirkels Ni en Nz den cirkel C van den bundel
bepaald door de cirkels Mi en M2, waarbij het middel-
punt C zóó gelegen is, dat ^^ =y, orthogonaal snijden.

Immers de verhouding van gelijknamige machten van
cirkel C t. o. van de cirkels Ni en Nz, is dan gelijk aan
de verhouding van de slralen dier beide cirkels (blz. 96
en 101). Zoo\'n machtcirkel behoort dus tot het cirkel-
nel met cirkel C als orthogonaalcirkel. Is v = 1, dan
ontaardt deze orthogonaalcirkel in een rechte lijn, n.1.
de machtlijn l van de cirkels ilfi en Mi, hetgeen in
overeenstemming is met de reeds vroeger vermelde
eigenschap, dat dan het uitwendige gelijkvormigheids-
punt van de cirkels Ni en Nz op de machtlijn /
gelegen is.

Is de verhouding y van de uitwendige machten van
een der beide cirkels N bijv. cirkel Ni t.o. van de
cirkels Mi en M2, gelijk aan die van de inwendige
machten van den cirkel Nz l. o. van de cirkels Mi en
Mz, dan behoort de inwendige machtcirkel van de
cirkels Ni en Nz tol het cirkelnel met cirkel C als
orthogonaalcirkel.

men 2 cirkels Ni en Nz behoorende lot
C\'v,i,z, dan komt men tot dezelfde resultaten als bij 2
cirkels behoorende tot G.1,2.

Heeft men een reeks van cirkels N, die alle een ge-
geven cirkel Mi onder een constanten hoek x snijden,
dan behoort de uilwendige machtcirkel van elk tweetal
cirkels N lot het cirkelnel met cirkel Mi als orthogo-
naalcirkel. Heeft men nu twee gegeven cirkels Mi en
Mz beide door twee andere cirkels onder eenzelfden
constanten hoek a gesneden, dan behoort de uilwendige
machtcirkel van deze twee laatstgenoemde cirkels lege-

lijkertijd tot tiet cirkelnet met cirkel Mi als orthogonaal-
cirkel, en tot het cirkelnet met cirkel M^ als orthogo-
naalcirkel, m. a. w. zoo\'n machtcirkel behoort tot den
orthogonalen cirkelbundel toegevoegd aan den bundel
bepaald door de cirkels Mi en M^.

Bovenstaande redeneering kan ook toegepast worden,
als inplaats van onder gelijke hoeken a, de cirkels Mi
en Mi onder hoeken « en 180° — o: gesneden worden.
Inplaats van uitwendige machtcirkel komt dan inwendige
machtcirkel.

Heeft men een cirkel ilf behoorende tot 2 of C\'v.1.2,
dan kan men altijd op zoo\'n cirkel twee punten A en
B aannemen, en vervolgens de middelloodlijn van
AB trekken. Construeert men dan den cirkel gaande

bundel bepaald door de cirkels Mi en M^ loodrecht
snijdend, dan zal deze geconstrueerde cirkel beschouwd
kunnen worden als uitwendige (inwendige) machtcirkel
van cirkel M en nog een anderen cirkel M\' ook gaande
door A en B. Snijdt cirkel M cirkel C onder een hoek
dan is « (180° - cc) de snijdingshoek van cirkel
M\' met cirkel C. De cirkels M en M\' behooren óf
beide tot C^>.l.2 6f beide tot Cv.1.2. Daar men slechts
één cirkel M\' vindt, is dan meteen bewezen, dat de cirkels
behoorende tot C^.i.i {Cv.1.2) een kwadratische cirkel-
congruentie vormen, hetgeen vroeger reeds op andere
wijze aangetoond is.

cirkel ilfi snijden onder Z <pi en cirkel Mi onder Z 02-
Beschouw nu de cirkels Ni en Ni gesneden door cirkel
Ml elk onder Volgens \'t voorafgaande behoort

dus cirkel Mi tot het uitwendige gelijkvormigheidsnet
behoorende bij de cirkels Ni en Ni, d. w. z. de uitwendige
machtcirkel van deze cirkels snijdt cirkel ilfi orthogönaal.

Op geheel dezelfde wijze kunnen we beredeneeren,
dat deze machtcirkel ook cirkel M^ orthogonaal snijdt.
Die machtcirkel behoort dus tot den orthogonalen bundel
toegevoegd aan den bundel bepaald door de cirkels Mi
en M2] het uitwendig gelijkvormigheidspunt van de
cirkels Ni en N2 is dus op de machtlijn l van de cirkels
Ml en M2 gelegen. Elke andere cirkel van den bundel
bepaald door de cirkels Mi en M2, snijdt evenzoo boven-
genoemden machtcirkel orthogonaal en behoort dus ook
tot het uitwendig gelijkvormigheidsnet van de cirkels
Nl en N2. Hieruit volgt, dat zoo\'n cirkel evenzoo de
cirkels Ni en N2 onder gelijke hoeken zal snijden.
Door inplaats van de cirkels Ni en N2, te beschouwen
de cirkels N2 en N^, daarna lYs en Ni enz., blijkt, dat

van den bundel bepaald door de cirkels Mi en M2 onder
constanten hoek snijden. Hieruit volgt dan weer, dat
de beide cirkels in den bundel welke cirkel Ni raken,

zullen moeten raken. We hebben nu bewezen de be-
kende eigenschap: Cirkels, die hvee cirkels onder constante
hoeken 0i en Cp2 snijden, raken aan twee cirkels van den
bundel bepaald door die tivee cirkels.

Op te merken valt nog het volgende. Indien cirkel
Nl twee cirkels Mi en M2 snijdt onder Z 0i resp. Z 02,
en cirkel N2 snijdt die cirkels onder Z(18O°--0i)
resp. Z(180° — 02), dan zal het inwendig gelijkvormig-
heidspunt van de cirkels Ni en N2 op de machtlijn l
van de cirkels Mi en M2 gelegen zijn, en de inwendige
machtcirkel behoort dan tot den orthogonalen bundel
toegevoegd aan den bundel bepaald door de cirkels Mi
en M2. Dan behoort elke cirkel van dezen bundel tot
het inwendige gelijkvormigheidsnet behoorende bij de
cirkels Ni en N2. Zoo\'n cirkel snijdt dan de cirkels
Nl en Ni onder hoeken die eikaars supplement zijn.
Hieruit volgt dan weer, dat er in den bundel twee

cirkels zijn, welke cirkel Ni inwendig (uitwendig) en
cirkel Nz uitwendig (inwendig) raken.

de uitwendige- resp. inwendige macht van cirkel ilfa
t. O. van den cirkel C met straal p behoorende tot den
bundel bepaald door de cirkels Mi en ilf2, waarbij dan
CMi ^
CMz

Voor \'t bijzondere geval v = l, ontaardt cirkel C in
de machtlijn l van de cirkels M, en en gaat (A")
over in: (v — = 4.2- stellen ons nu voor,

dat y van den grooten kant tot 1 nadert. Voor (A) en
(A\') kan dan geschreven worden:

a en h\' stellen voor den afstand van het middelpunt
Ms tot de machtlijn l van de cirkels Mi en M2.

hetgeen in overeenstemming is met de resultaten, waartoe
wij vroeger bij de behandeling van de cirkelcongruentie
Cx.2 gekomen zijn.

Gaan we uit van een cirkel M^ behoorende tot CV.i 2,
dan komt er (§ 7 blz. 109 en § 8 blz. 114):

weer in overeenstemming is met de resultaten, waartoe
wij vroeger bij de behandeling van de cirkelcongruentie
gekomen zijn.

§ 1. Met behulp van de eigenschappen voorkomende
in hoofdstuk II § 1. § 12 en hoofdstuk IV § 3, is het
Raakplobleem van Apollonius volledig op te lossen.

Construeer: a) een cirkel, welke 8 gegeven cirkels alle
oi) dezelfde wijze raakt, h) een cirkel, tvelke 2 gegeven
cirkels heide uitivendig (inivendig) en een derden gegeven
cirkel imvendig (uitivendig) raakt.

a) Laten 3/2, .1/3 en Ma de gegeven cirkels zijn,
en zij Mi een cirkel, die aan de vraag voldoet.
Zijn Pi en pz de machten van het raakpunt P van
cirkel Mi met cirkel Ma, t. 0. van de cirkels M2

gevonden als snijpunt van cirkel Ma rnet een cirkel O,
behoorende tot den bundel bepaald door de cirkels Jf2
en Mz (hoofdstuk 11 § 1). Het middelpunt O is
zóó gelegen, dat OMi: OMs = wiz.i: niz.u We nemen
mi.A en mz.A als de producten van homologe stukken
t. O. van het uitwendig gelijkvormigheidspunt, gelegen
langs de centraal van de cirkels Mi en Ma resp. Mz
en Ma. De loodlijn uit het machtpunt If van de 3 cirkels
3Ii, Mz en Ma op 03Ia neergelaten, zal gaan door het
purït P. Men vindt in \'t algemeen 2 snijpunten P en
P\' met cirkel Ma, dus 2 raakpunten. Het eene raak-
punt behoort bij den cirkel, welke de cirkels Mi, Mz

en Mi alle uitwendig raakt, het andere bij den cirkel
welke de cirkels M2, M^ en Mi alle inwendig raakt.

Men kan de punten P en P\' ook vinden, zonder het
middelpunt O te construeeren. Bepaal daartoe van
cirkel O een punt S. Let nu op de cirkels O, M^ en
een willekeurigen cirkel Oi gaande door S en de cirkels
M2 en Ml snijdend. Van deze 3 cirkels bepaalt men
het machtpunt M\'. M\'S is dan de snijlijn van de cir-
kels O en Ol. Vervolgens letten we op de cirkels O,
Ol en Mi. Ook van deze 3 cirkels bepaalt men het
machtpunt M". Men vindt dan MM" als snijlijn van
cirkel O met cirkel M^. P en P\' worden dus gevonden
als snijpunten van MM \' met cirkel Mi.

Men kan ook als volgt te werk gaan. Men stelt
zich voor, dat OMi // zichzelf verplaatst wordt naar A/2.
Het snijpunt A van de zoo verkregen hulplijn met MsMi
is dan zóó gelegen, dat MiA : MiM^ = O/l/g: OM^ =
«2.4 : «^8.4 en is dus te construeeren. Men laat nu uit
M de loodlijn op M^A neer, en vindt dan de raakpunten
P en P\'.

Heeft men eenmaal het raakpunt op cirkel Mi, dan
vindt men dat op cirkel M.^, door gebruik te maken
van het uitw. gelijkvormigheidspunt van de cirkels M^
en Mi. Daarna volgt het middelpunt van cirkel Mi
gemakkelijk.

b) Laten de cirkels Mz en Ms beide uitwendig (in-
wendig) en laat cirkel Mi inwendig (uitwendig) door
cirkel Mi geraakt worden. De constructie verloopt op
geheel dezelfde wijze als die behoorende bij a). In-
plaats van W2.4 en ms.i moeten m^^ en m\'^^ genomen
worden, terwijl men voor de bepaling van het raakpunt
op cirkel Mz gebruikmaakt van het inw. gelijkvormig-
heidspunt van de cirkels Mz en M4.

Voor het geval, dat een of 2 gegeven cirkels door punten
vervangen zijn, kan men ook geheel denzelfden weg volgen
door de punten als puntcirkels te beschouwen. Men zou de
constructie ook kunnen terugbrengen tot a] of b), door

De beide oplossingen a) en h) kunnen ook toegepast
worden, indien de middelpunten ilfs en M, op één

§ 2 Bij de bovenstaande oplossing van het Raakpro-
bleem van Apollonius is gebruik gemaakt van de eigen-
schap, dat het raakpunt van den gevraagden cn-kel met
een der gegeven cirkels, gelegen is op een cirkel O be-
hoorende tol den bundel \'bepaald door de beide andere
gegeven cirkels. Elk der gegeven cirkels wordt door den
bijbehoorenden cirkel O in \'t algemeen in 2 punten ge-
sneden. Verder is gemakkelijk in te zien, dal bi] elk
der 3 gegeven cirkels 4 cirkels O aan te wijzen zijn. Zoo-
doende zijn er in \'t algemeen 4 stellen van telkens 2
raakcirkels, welke aan de vraag voldoen. Zijn er mmder
cirkels, dan is dit het gevolg van de omstandigheid, dat
een of meer der cirkels O minder dan 2 punten met
een der gegeven cirkels gemeen hebben. Ook het ontaarden
van een of meer der gegeven cirkels in punten of rechte
lijnen, heeft in \'t algemeen tol gevolg een kleiner aan-
tal cirkels.

De 12 cirkels O hierboven genoemd, kunnen beschouwd
worden als een uitbreiding van de drie cirkels van
Apolloniüs behoorende bij een driehoek. Ze zullen daar-
om cirlceh van Apollonius behoorende bij 3 gegeven
cirkels genoemd worden. Ze hebben met de gegeven cirkels
een gemeenschappelijk machlpunl M, en kunnen ver-
deeld worden in 4 groepen van 3 cirkels, waarbij elk
drietal tot eenzelfden cirkelbundel behoort. De vier
machtlijnen gaan alle door het gemeenschappelijk macht-
punt M. Bij ontaarding van een of meer der drie gegeven
cirkels, wordt in \'t algemeen het aantal groepen kleiner.
Dit aantal is bijv. voor 3 puntcirkels een. De vier

groepen zijn dan tot één groep samengevallen. Het ge-
meenschappelijk machtpunt Avordt dan het middelpunt
van den cirkel gaande door de 3 puntcirkels. We
komen zoodoende tot de bekende eigenschap, dat in een
driehoek de drie cirkels van Apollonius elkaar snijden
in 2 punten, en dat hun snijlijn gaat door \'t middelpunt
van den omgeschreven cirkel.

Zooals boven reeds gebleken is, liggen op elk der 3
gegeven cirkels in \'t algemeen acht raakpunten, die twee
aan twee aan elkaar toe te voegen zijn, doordat zij ge-
legen zijn op denzelfden cirkel van Apollonius. De
raakcirkels. correspondeerende met drie paren toegevoegde
raakpunten behoorende tot eenzelfde groep cirkels van
Apollonius, zullen we toegevoegde raakcirkels noemen.
De verbindingslijnen van 2 toegevoegde raakpunten gaan
alle door het gemeenschappelijke machtpunt M. Hier-
uit volgt onmiddellijk, dat M gelijkvormigheidspunt is
van telkens 2 toegevoegde raakcirkels, en dat de ortho-
gonaalcirkel van de 3 gegeven cirkels machtcirkel voor
2 zulke raakcirkels is. M ligt dus met de middel-
puntne van elke twee toegevoegde raakcirkels op één
rechte lijn.

De acht raakcirkels behooren dus tot vier bundels, welke
den orthogonaalcirkel van de 8 gegeven cirkels gemeen
hebben. De vier gelijkvormigheidsassen van de drie
gegeven cirkels zijn de machtlijnen van deze vier bundels.
Men kan n.l. steeds 3 gelijkvormigheidspunten aanwijzeni
die gelijke macht hebben t. o. van 2 toegevoegde raak-
cirkels. Elk der vier bundels is bepaald door den
bovengenoemden orthogonaalcirkel en een der gelijk-
vormigheidsassen. Door nu in elk der vier bundels
op de bekende wijze te construeeren de cirkels, welke
aan een der gegeven cirkels raken, heeft men het Raak-
probleem van Apollonius opgelost. Men komt zoodoende
in \'t algemeen tot 4 X 2 raakcirkels.

voorkomende in hoofdstuk II § 1, § 12 en hoofdstuk
IV § 3, nok gemakkeliik tot de bekende oplo.^mig ran
Gergonne komen. Bescliouw daarloe 2 toegevoegde
raakcirkels Ih en ilf^, en laten F en F\' de biibehoorende
toegevoegde raakpunten op Ah, een der 3 gegeven cirkels,
zijn. Het snijpunt Q van de raaklijnen in F en F\' aan
cirkel Mi getrokken, heeft gelijke macht t. o. van de
cirkels Mi en M[, en moet dus op de bijbehoorende ge-
lijkvormigheidsas van de drie gegeven cirkels gelegen zijn.
FF\' moet dus gaan door de pool van die gelijkvormig-
heidsas t. o. van Mi. Maar FF\' moet ook gaan door
het gemeenschappelijk machlpunt M der drie gegeven
cirkels. Twee toegevoegde raakpunten worden dus telkens
gevonden, als snijpunten met de lijn door M en de
pool van een der gelijkvormigheidsassen t. o. van elk der
drie gegeven cirkels.

Men kan ook zeggen: bepaal de poollijn van M t. o.
van Mi, dan zal deze poollijn de hijbelioorende gelijk-
vormigheidsas in Q snijden. Men vin(it dan verder F
en F\' door uit Q raaklijnen aan cirkel Mi le trekken.
Heeft men eenmaal F, dan vindt men het middelpunt
M\\, als snijpunt van MiP met de loodlijn uit M op
de bovengenoemde gelijkvormigheidsas neergelaten. M[
wordt op soortgelijke wijze gevonden.

§ 4. Construeer: <i) een cirkd, welke 2 gegeven rechte
lijnen en een gegeven cirkel uitwendig raakt.

b) een cirkel, welke 2 gegeven rechte lijnen en een ge-
geven cirkel inwendig raakt.

a) Laten lt en h de gegeven rechte lijnen, en laat Mi
de gegeven cirkel zijn. Het raakpunt F op cirkel Mi is

§ 9); di en ds zijn de afstanden van F tot k
resp. Zs. P is dus gelegen op een rechte lijn l gaande
door het snijpunt van h en la, welke lijn gemakkelijk
te construeeren is, daar S2.4 en S3.1 bekend zijn. De

§ 8 en § 9). De constructie verloopt ^op overeen-
komstige wijze als die voor a).

Opmerking. De constructiefiguren blijken precies de-
zelfde te zijn, als die voortvloeiende uit de constructie
van Gebgonne.

Voor het geval, dat de gegeven cirkel door een punt
vervangen is, brengt men de constructie tot de voor-
gaande terug, door eerst een cirkel concentrisch met
den gevraagden cirkel te construeeren.

Ook is dit geval op de bekende wijze terug te brengen
tot het construeeren van een cirkel, gaande door 2 gegeven
punten en rakende aan een gegeven rechte lijn.

§ 5. Construeer: a) een cirkel, welke een gegeven rechte
lijn en 2 gegeven cirkels heide op dezelfde wijze raakt.

h) een . cirkel, welke een gegeven rechte lijn en 2 ge-
geven cirkels uitwendig resp. inwendig raakt.
Oplossing.

a) Laten ilfa en ilfi de gegeven cirkels en laat h de
gegeven rechte lijn zijn. Het raakpunt P op cirkel ilfé is

§ 9) als de cirkels Mz en Mi beide uitwendig geraakt
moeten worden. P ligt dus volgens de eigenschap
van hoofdstuk II § 12 op een cirkel O, behoorende tot
den bundel bepaald door cirkel Mz en k als machtlijn.
De constructie verloopt verder op geheel overeenkomstige
wijze als die, behoorende bij het algemeene geval van
3 gegeven cirkels.

Men vindt in elk der beide gevallen in \'t algemeen
2 cirkels, die aan de vraag voldoen.

b) Ook dit geval is geheel volgens de voorgaande
wijze van conslrueeren te behandelen. Nu geldt voor

Men kan ook bij de beide gevallen a) en />) inplaats
van het raakputit F op cirkel ilf4, beginnen met te be-
palen het raakpiinl (? op de gegeven rechte lijn /s. Men
komt dan tol de volgende 4 gevallen:

In elk der 4 gevallen wordt Q gevonden als snijpnnl
van Is met een cirkel O, behoorende tot den bundel
bepaald door de cirkels Mz en 71/4. Men vindt in hel
algemeen 8 cirkels die aan de vraag voldoen.

Voor hel geval, dal een der beide gegeven cirkels door
een punt vervangen is, kan men geheel denzelfden weg
volgen. Men zou de constructie, en dit is ook het geval
als beide cirkels door punten vervangen zijn, ook kunnen
terugbrengen tot a) of b), door eerst een cirkel te con-
slrueeren concentrisch met den gevraagden cirkel.

Men kan tenslotte ook onafhankelijk van deze alge-
meene wijze van conslrueeren te werk gaan.

Cirkel te construeeren, gaande door 2 gegeven }mnten
A en B en rakende aan een gegeven rechte lyn l.

dus op een cirkel O, waarvan het middelpunt op de
rechte lijn AB gelegen is, en welke den gevraagden
cirkel in P loodrecht snijdt. Het middelpunt O van
dien cirkel is dus het snijpunt van l en AB. Ook elke
willekeurige cirkel, gaande door A en B zal door cirkel O
loodrecht gesneden worden. Men komt nu tot de be-
kende constructie met behulp van machtlijnen.

GirJcd te construeeren, die door een gegeven punt gaat,
en een gegeven rechte lijn en een gegeven cirTcel raait.

Door eerst te construeeren een cirkel concentrisch
met den gevraagden cirkel, is^ deze constructie tot de
vorige terug te brengen.

§ 6. In \'t voorgaande is gebleken, dat de middel-
punten van 2 toegevoegde raakcirkels steeds op één
rechte lijn liggen met het machtpunt M van de gegeven
cirkels, en dat dit punt M steeds gelijkvormigheidspunt
van twee zulke raakcirkels is. Neem nu als voorbeeld
de beide raakcirkels, die cirkel M^ uitw. (inw.) en de
cirkels M^ en Ifs beide inw. (uitw.) raken. Laat men
nu den straal van cirkel Mi met een zeker bedrag p
afnemen, en die van M^ en M^ met hetzelfde bedrag
toenemen, dan blijven de middelpunten van de beide
raakcirkels op hun plaats, de straal van den eenen
raakcirkel neemt met een bedrag p toe, die van den
anderen neemt met dat bedrag af.\' Het machtpunt M
van de cirkels Mi, M^ en Mi, zal zich dus bij de boven-
genoemde veiandering der stralen over de centraal der
beide raakcirkels verplaatsen. Verder is !t gemakkelijk
in te zien, dat door de verandering der stralen, j»2.3,
en m\'j^^ niet van grootte veranderen. Daaruit volgt on-
middellijk, dat de middelpunten van de drie bijbehoorende
cirkels van Apollonius niet van plaats veranderen, en
daaruit volgt dan weer, dat de drie verbindingslijnen
van telkens twee toegevoegde raakpunten // opschuiven.
Neem nu het bovengenoemde bedrag p zóó, dat de

cirkel Mx overgaat in een puntcirkel. Bepaal vervolgens
het machtpunt M\' van de cirkels M2 (straal r^ r.i) en
Ms (straal 1-3 4 ^4) en het punt il/4. De cirkel van
Apollonius (middelpunt O) gaande door il/4, zal dan
den orthogonaalcirkel niet M\' als middelpunt, in \'tpunt
Mi loodrecht snijden. Daar de middelpunten van de
cirkels van A, door de verandering van de stralen der
gegeven cirkels niet van plaats veranderen, zal dan iT/\'il/t
aangeven de richting van de lijn door de twee toege-
voegde raakpunten op den oorspronkelijken cirkel J/t
gelegen. Deze lijn wordt dus verkregen, door uit il/de
lijn // M\'Mi te trekken. Hebben we eenmaal deze twee
toegevoegde raakpunten, dan volgen de middelpunten
van de twee raakcirkels gemakkelijk, door er aan te
denken, dat ze gelegen zijn op de lijn MM\'.

De andere 3 paren van telkens 2 toegevoegde raak-
cirkels worden op soortgelijke wijze gevonden. Men
maakt daartoe achtereenvolgens gebruik van hulpcirkels
met stralen

Opmerking. Bij deze oplossing behoeven de gelijk-
vormigheidspunten van de gegeven cirkels niet gecon-
strueerd te worden.

Liggen de middelpunten il/a. Ma en il/i van de gegeven
cirkels op één rechte lijn, dan kan bovenstaande methode
niet toegepast worden. We kunnen dan echter het
middelpunt O van den cirkel van A, gaande door il/4
gemakkelijk construeeren, daar dit neerkomt op het
construeeren van den cirkel gaande door il/4, en be-
hoorende tot den bundel bepaald door do hulpcirkels
M2 en il/3. Dit kan ook gedaan worden in \'t geval,
dat de middelpunten Mz, Ma en il/t niet op één rechte
lijn liggen. Het bepalen van het punt O bij de op-
lossing Ia wordt daardoor\'zeer eenvoudig.

§ 7. De constructie is ook toe te passen, als een
of meer der gegeven cirkels puntcirkels zijn, of als een
of meer dier cirkels in rechte lijnen ontaard zijn. Als
voorbeeld nemen we de constructie: een cirkel te con-
strueeren, rakende aan twee gegeven rechten h en h
en inwendig rakende aan een gegeven cirkel Mx. M is
dan het snijpunt van h en h, M\' wordt verkregen als
snijpunt van 2 rechten l\'^ en // h resp. // U op af-
stand Va.

Heeft men te construeeren een cirkel, gaande door
twee gegeven punten Mz en Mt en rakende aan een
gegeven rechte lijn h, dan bepaalt men eerst het macht-
punt M\' van Mi, Mi en h. Vervolgens laat men de
stralen van Mz en Mi (als puntcirkels beschouwd) beide
met eenzelfde bedrag p aangroeien, en verschuift men/s//
zichzelf over den afstand p; men bepaalt vervolgens
het machtpunt 31 van de zoo verkregen lijn en de beide
cirkels Mz en Mi met straal p. Het middelpunt van
den gevraagden cirkel moet dan op MM\' liggen. Men
trekt nu uit M een lijn // 3ï3Ii, en men bepaalt de
snijpunten van de getrokken lijn met cirkel Mi. De
middelpunten van de beide cirkels, welke voldoen, zijn
dan gemakkelijk op de lijn MM\' te bepalen.

Op soortgelijke wijze is ook uit te voeren de con-
structie: een cirkel te construeeren, welke aan twee
gegeven rechte lijnen raakt en gaat door een gegeven
punt.

§ 8. Reeds eerder (hoofdst. V § 9 en § 12) is
opgemerkt, dat de cirkels, welke tegelijk aan twee cirkels
ilfi en Mz op gelijksoortige wijze raken, behooren tot de
cirkelcongruentie Ci.z, en dat de cirkels, welke die beide
cirkels tegelijk op ongelijksoortige wijze raken, tot de cirkelcon-
gruenlie behooren. Dit opent ons een weg tot een
oplossing van liet Raakprobleem van Apollunius.

n > »-2 > n. Noem de machtlijnen van deze cirkels
twee aan twee ^1.2, h.z en h.s. Beschouw nu de cirkel-
congruenties C,.2 en C2.3. De cirkels met straal li
behoorende tot G.a, zijn gelegen op twee rechte
lijnen evenwijdig aan h.\'> aan weerskanten op afstand

vier cirkels met straal R, welke C1.2 en C2.3 gemeen
hebben. De afstanden van hunne middelpunlen tot I1.2

is dus onafhankelijk van R. Hieruit volgt, dat de middel-
punten van de cirkels welke C1.2 en ^2.3 gemeen hebben,
gelegen zijn op twee rechte lijnen, gaande door het macht-
punt Jf van de cirkels ilfi, M2 en M3. Verder is gemakkelijk

in te zien, dat de gemeenschappelijke cirkels van C1.2
en C2.3 twee homothetische stelsels van cirkels vormen,
niet M als gemeenschappelijken puntcirkel. Tot een
dier beide stelsels behooren cirkels, die gelijke uitwendige
(inwendige) machten hebben t. o. van de cirkels üfi,
M2 en Jfs; de cirkels waarvan de middelpunten aan
de eene zijde van M gelegen zijn, hebben gelijke uit-
wendige machten, en die waarvan de middelpunten aan
de andere zijde van M gelegen zijn, hebben gelijke in-
wendige machten (zie in bovenstaande figuur resp. de
gearceerde velden U en 7). Gemakkelijk is in de teeke-
ning na te gaan, dat het bovengenoemde stelsel alle
cirkels bevat, welke gelijke uitwendige (inwendige) machten
hebben t. o. van de cirkels ilfi, M^ en M^.

We zullen in \'t vervolg de reeks van cirkels met
gelijke uitwendige machten t. 0. van de cirkels Mi, M2
en A/a, aanduiden met <51.2.3, en de reeks van cirkels met
gelijke inwendige machten met -SV.g\'.s\' Zij (tias de £?e-

meenschappelijke centraal van de cirkels behoorende
tot Si.i.3 en -Si\'.2\'.3\', dan geldt:

sin Cö-i.2.3 , /i.2\\ : sin /ö-i.2.3 , ks\\ : sin /<ri.2 3 , 3\\ =
\\ 1\'.2\'.3\' / \\ 1\'.2.3\' ) 1\'.2\'3\' 7

sin {li.3,ks)sm (ö-ifs^,\' Zi.aj sin(/2.ij3.i)sin ^(Ti.o^
= sin {ks, h.i) sin (\'ö-i2 3 , kiV

Daar onder de cirkels behoorende tot Si.%s en Sv.i\'s\',
voorkomen de beide cirkels, welke de drie cirkels Mi,
Mz en J/s op gelijksoortige wijze raken, komt nu weer
de reeds vroeger vermelde eigenschap te voorschijn, dat
de middelpunten van deze twee aan elkaar toegevoegde
raakcirkels met M op één rechte lijn n.l. op a-igelegen

zijn, en dat M gelijkvormigheidspunt voor deze raak-
cirkels is. De Uw ö"i.2.3 is de meetkundige plaats van

de middelpunten van alle cirkels met gelijke gelijknamige
machten t. 0. van de cirkels Mu Mz en Ms.

§ 9. Na \'t voorafgaande zal \'t duidelijk zijn, dat het
construeeren van een cirkel, welke drie gegeven cirkels
alle op dezelfde wijze raakt, teruggebracht kan worden tot
het bepalen van de cirkels, behoorende tot het stelsel Si.z.s
en inwendig rakende aan een der drie gegeven cirkels bijv.
Mu en tot het bepalen van de cirkels, behoorende tot «S\'i-.a\'.s\'
en uitwendig rakende aan cirkel Mi. Deze constructies
zijn vroeger reeds behandeld (hoofdstuk 1, § 4). Door-
middel van de resultaten toen verkregen, is gemakkelijk
na te gaan, dat er hoogstens twee cirkels zijn, die aan
de vraag voldoen. £ri.2.3 kan verkregen worden, door

eerst te bepalen het middelpunt M\' van den cirkel met
n tol straal en met gelijke inwendige machten t. o. van
de cirkels Mi, Mz en Ms. Dit middelpunt is macht-
punt van de drie cirkels welke verkregen worden door
de slralen van de drie gegeven cirkels elk met een
stuk =ri le doen toenemen. Hierin ligt opgesloten
de reeds vroeger langs anderen weg afgeleide eigen-
schap, dal wanneer men de slralen van drie gegeven
cirkels met eenzelfde bedrag p laat toenemen (afnemen),
het machtpunt zich over een rechte lijn zal verplaatsen.
We zien nu ook zeer gemakkelijk, dat die verplaatsing

evenredig is met p. Neemt men nu MM" = MM\\
dan is M\'\' het middelpunt van den cirkel met n tot
straal en met gelijke uitwendige machten t. o. van de
cirkels ilfi, Mz en M^. Trekt men nu door M de
rechte a // MiM"{MiM\') dan zijn de snijpunten P en P\' van
a met cirkel Mi, raakpunten behoorende bij de twee
gezochte cirkels. De middelpunten Mi en M\'^ van deze
cirkels volgen daarna gemakkelijk.

We kunnen ook volgens de andere methode (hoofdst. I,
§ 3) te werk gaan. Men stelle zich daartoe voor, dat de
stralen van alle cirkels behoorende tot Si.2.3 (Si\'.2\'3\') met
n afnemen (toenemen), terwijl de middelpunten op hun
plaats blijven. We krijgen dan 2 nieuwe stelsels van
cirkels, met M\'{M") als puntcirkels. Het komt er nu
op aan, in de zoo verkregen stelsels de cirkels te be-
palen gaande door Mi. Daarna volgen gemakkelijk de
cirkels 31"^ en 3I^ inwendig (uitwendig) rakende aan
cirkel 3Ii en behoorende lot /Si.as (Si\'.2\'.3\')- Deze zijn
dan de gevraagde cirkels.

§ 10. Snijdt 3I"3Ti den cirkel met 1/als middelpunt
en t\'i als straal in de punten Q en Q\\ waarbij MQ // 3IiMi
en MQ\' H dan blijkt uit de figuur:

MiM" : M"M\'^ = MiMi : M\'^Mi, d.w.z. MiM" is bis-
sectrice in A MiM^M[. Noemen we de stralen van de

De cirkels Mx en ]\\h hebben gelijke ongelijknamige
machten t.o. van de cirkels Mi en M\'^, dus hun uit-
wendig gelijkvormigheidspunt is gelegen op de machtlijn
van deze cirkels. Hetzelfde kan gezegd worden van
de cirkels M^ en M^ en van de cirkels M^ en Mx. De
uitwendige gelijkvormigheidsas u van de cirkels Mx, M^
en yl/s, is dus de machtlijn van de cirkels M^ en M\'^.
Noem de afstanden van Mx, Mz en Mz tot u-.lx, h

Noemt men den straal van den orthogonaalcirkel van
de cirkels Mx, Mz en Ma li, dan kan hiervoor ge-
schreven worden:

Daar de cirkels Mi, M\'^ en de orthogonaalcirkel M
tot denzelfden bundel behooren, met de uitwendige ge-
lijkvormigheidsas u van de cirkels Mx, Mz en Ma tot
machtlijn, mag geschreven worden:

_ p\'i = A^ — E^. Dit gaat na substitutie van
bovenstaande waarde van na eenige herleiding en
door te letten op (A") over in:

§11. Construeer een cirhel, welke twee gegeven cirkels
beide inivendig (uitwendig) en een derden gegeven cirkel
uitwendig {inwendig) raakt.

Deze constructie is op soortgelijke wijze als de vooraf-
gaande uit te voeren. Beschouw bijv. de beide cirkels,
welke de cirkels Mi en M2 inwendig (uitwendig) en
cirkel M^ uitwendig (inwendig) raken. Inplaats van C,.«
en <72.3, treden nu C1.2 en op. Deze beide cirkel-
congruenties hebben weer twee homothetische stelsels
van° cirkels gemeen, waarvan de centralen door het
machtpunt M van de cirkels il/i, AU en Mz gaan, ter-
wijl de afstanden van de middelpunten tot I1.2 en

gevraagde cirkels. Dit stelsel is weer te verdeelen in
twee reeksen van cirkels. In de eene reeks Si2.3\'liggen
de middelpunten aan de eene zijde van M, en in de
andere reeks Si-.a\'.a, aan de andere zijde van M. We
behoeven nu slechts na te gaan, of er in Si.2.3\' cirkels
voorkomen welke cirkel Mi inwendig raken, en of er
in Si\'.2\'.3 cirkels voorkomen, welke cirkel Mi uitwendig
raken (hoofdst. I § 3 en § 4). iMen vindt zoodoende
in \'t algemeen twee aan elkaar toegevoegde raakcirkels
die voldoen. Hunne middelpunten liggen met M op
één rechte lijn 5-1.2.3\' en M is gelijkvormigheidspunt.

imnten van de cirkels, waarvoor de uitwendige (inwendige)
macht t. 0. van cirkel Mi = de uitwendige (ijiwendige) macht
t. 0. van cirkel M2 — de inwendige (uitwendige) macht t. 0.
van cirkel Mz. Na de uitvoerige bespreking van de vooraf-
gaande constructie, behoeft de uitvoering van deze con-
structie niet verder besproken te worden. De gevolgtrek-
kingen bij de vorige constructie gemaakt, zijn ook hier van

toepassing, met dit verschil, dat de uitwendige gelijkvor-
migheidsas van de cirkels Jfi, Jfa en ifs vervangen
moet worden door de inwendige, gaande door het uit-
wendig gelijkvormigheidspunt van de cirkels Mi en Jia,
en dat /J2.3 en /^s.i resp. vervangen moeten worden door

Op dezelfde wijze als bij de vorige constructie kunnen
ook nu verschillende betrekkingen afgeleid worden
(blz. 138, 139 en 140).
Men kan

nu vervolgens beschouwen 62.3 en Cgj, en
daarna C3.1 en Dit geeft telkens een paar toege-

voegde raakcirkels. Men vindt zoodoende in \'t algemeen
drie paar toegevoegde raakcirkels, en dit geeft dus te
zamen met het eerste paar, in \'t geheel acht cirkels als
oplossingen van het Raakprobleem van Apollonius.

§ 12. Liggen de middelpunten Mi, Mz en M3 op
één rechte lijn, dan is \'t niet mogelijk de punten M\'
en M" te bepalen. Men moet dan eenigszins anders
te werk gaan. Laat bijv. gevraagd worden de cirkel,
welke de cirkels Mi, Mz en itfs alle op dezeltde wijze

ontaardt dan in een reeks van cirkels met gelijken straal,
waarvan de middelpunten gelegen zijn op een lijn tr J_
de gemeenschappelijke centraal van .de cirkels Mi, Mz
en Mz. De afstanden van deze lijn tr tot I1.2 en k.3

punt van tr, waarna deze lijn kan getrokken worden.
De straal R van den gevraagden cirkel volgt nu uit
R = pi.2 waarbij 3 voorstelt den afstand van 7 tot
h.2. De gevraagde cirkel volgt dan verder gemakkelijk.
Men vindt twee cirkels die voldoen.

is ook toe te passen, als een of meer der gegeven cirkels
puntcirkels zijn, of als een of meer dier cirkels in rechte
lijnen ontaard zijn. Als voorbeeld kiezen we: te con-
strueeren den cirkel ifi, rakende aan een gegeven rechte
lijn h, een gegeven cirkel Mz inwendig, en een tweeden
gegeven cirkel Jfs uitwendig rakend. Eerst wordt be-
paald het machtpunt M, daarna het machtpunt M\' van
/; (///, op afstand p) en van de cirkels Mz en M3 met
stralen ra p, resp. ra — p. Het middelpunt van den
gevraagden cirkel moet dan op cr (rechte door Men M\')
liggen. M" wordt verkregen als snijpunt van cr met
if (// h op afstand ra). Daarna wordt beschreven cirkel
M\' met ri p tot straal, en worden bepaald de snij-
punten r en F\' van dezen cirkel met de lijn MaM".
De lijn door Ma//JfP, snijdt a* in \'t middelpunt Mi
van den gevraagden cirkel. Bij het punt F\' behoort
nog een cirkel welke voldoet.

§ 14. Reeds meermalen is opgemerkt, dat aan het
Raakprobleem van Apollonius in \'t algemeen 8 cirkels
voldoen. We zullen nu bij eenige van de voornaamste
gevallen het aantal bestaanbare cirkels nagaan.

le. T)c gegeven cirMs Mi, Ma en Ms bepalen een
elliptisch net. \'t Is gemakkelijk in te zien, dat in dit
geval de cirkels van Apollonius, welke bij oplossing 1«
optreden, met de cirkels Mi, resp. Ma, resp. M, steeds
reêele snijpunten zullen hebben. De 8 cirkels zijn dus

2e. J)c gegeven cirkels M\\, Mz en Ms bepalen een
hyperbolisch net. We zullen eerst \'t geval beschouwen,
dat deze cirkels twee aan twee geheel buiten elkaar
gelegen zijn. We hebben nu slechts na te gaan, of
bijv. de 4 cirkels van Apollonius, behoorende tot den
bundel bepaald door de cirkels Mi en Ma, met den
3\'len cirkel Ms reëele snijpunten hebben. Bij deze 4 cirkels

waarvoor de verhouding van de uitwendige machten
t. o. van de cirkels Mi en Mz = ook de cirkels,

welke de cirkels Mi en Mz beide inwendig raken.
Wanneer nu de cirkel van A. met bijbehoorende macht-
verhouding deze raakcirkels in reëele punten snijdt,
niz.z ^

dan zal volgens het vroeger gevondene, ook cirkel M^
door dien cirkel in reëele punten gesneden worden en
wel onder denzelfden hoek. Voor de drie andere cirkels
van A. maakt men gebruik van de drie andere soorten
van raakcirkels van de cirkels Mi en Mz. Daar de vier
bovengenoemde machtverhoudingen alle pos. zijn, blijkt
gemakkelijk, dat elk der 4 cirkels van A. de bijbehoo-
rende raakcirkels, en dus ook cirkel ilfs in reëele punten
zullen snijden. Men vindt dus 8 bestaanbare cirkels,
rakende aan de gegeven cirkels ilfi, Mz en Mi.

Ook wanneer de twee kleinste gegeven cirkels geheel
buiten elkaar liggen, en samen binnen den grootsten
gegeven cirkel gelegen zijn, vindt men 8 bestaanbare
cirkels die voldoen.

Raken twee van de drie gegeven cirkels, bijv. de
cirkels Mi en Mz elkaar uitwendig, terwijl cirkel M^
geheel buiten elk dier cirkels gelegen is, dan blijkt
gemakkelijk, dat twee van de vier cirkels van A.

behoorende tot den bundel bepaald door de cirkels Mi
en Mz, met cirkel Ma elk twee reëele snijpunten zullen
hebben, terwijl de beide andere cirkels van Apollonius

aan cirkel ilfs zullen raken. Van de 4 paren raakcirkels
trekken daardoor 2 paren telkens tot één raakcirkel
samen. Er zijn dus nu 6 bestaanbare cirkels die voldoen.

Laat men de cirkels M, en if^ elkaar snijden inplaats
van raken, dan kan men opmerken, dat daar de 4 macht-

4 cirkels van A. alle pos. zijn, twee paren raakcirkels
noodzakelijk onbestaanbaar zullen moeten zijn. Het
blijkt gemakkelijk, dat de beide cirkels van A. met bij-

reëele snijpunten met cirkel Ks zullen hebben. Er zijn
dus in dit geval 4 bestaanbare cirkels die voldoen.

Raken de cirkels Mi en M^ elkaar inwendig, dan
gaan de twee cirkels van A., die bij \'t vorig geval elk
twee reëele snijpunten opleverden, over in twee cirkels
rakende aan cirkel Ma. Er zijn dan 2 bestaanbare cirkels
die voldoen.

Ligt cirkel M^ geheel binnen cirkel Mu dan zullen
de beide bovenbedoelde cirkels van A. imaginaire snij-
punten met cirkel Ma hebben. Er zijn dan O oplossingen.

We komen tot het besluit, dat bij overgang van twee
der gegeven cirkels, die buiten elkaar gelegen zijn, in
twee elkaar uitwendig rakende cirkels, bij overgang
van twee zulke cirkels in elkaar snijdende-, bij overgang
van twee dergelijke cirkels in elkaar inwendig rakende-,
en bij overgang van twee zulke cirkels in cirkels waar-
van de kleinste geheel binnen den grootsten gelegen is,

Raakt cirkèl Ma uitwendig aan een der beide snijdende
cirkels Mi en Mi bijv. aan cirkel Mi, en ligt hij geheel
buiten cirkel Mi, dan hebben 2 der 4 machtverhoudingen

De twee andere machtverhoudingen blijven pos. De
beide bij een dezer verhoudingen behoorende raakcirkels
zijn bestaanbaar, die behoorende bij de andere verhou-
dingen onbestaanbaar. Dus in \'t geheel 4 bestaanbare
cirkels die voldoen.

Heeft men te maken met het geval, dat cirkel ilfs
een der beide snijdende cirkels Mi en ilfa snijdt en
geheel buiten den anderen gelegen is, dan is van de
vier machten m^ g, m^.^ en m\'^^ er een n.1. jHjgneg.
en dientengevolge zijn nu twee van de vier machtver-
houdingen neg., en de twee overschietende pos. Men
vindt 4 bestaanbare cirkels die voldoen.

Raakt bij \'t bovenstaand geval cirkel Mz inplaats van
uitwendig, inwendig aan cirkel ilfi, dan vindt men
eveneens 4 bestaanbare cirkels.

Ligt cirkel M^ geheel binnen een der snijdende cirkels
Ml en Mz, bijv. binnen cirkel Mi en geheel buiten den
anderen cirkel Mz, dan zijn van de 4 machten mi.s en
Wjg neg., de beide andere m^^ en m\'^^ pos. Daardoor
zullen nu alle vier machtverhoudingen neg. zijn, waardoor
slechts 2 paren bestaanbare raakcirkels zullen kunnen
optreden. Dus 4 bestaanbare cirkels die voldoen.

Snijdt bij \'t vorig geval cirkel M^ den cirkel Mz, dan zijn
drie van de vier machten neg., zoodat men dan weer
met 2 pos.- en 2 neg. machtverhoudingen te doen krijgt.
Men vindt weer 4 bestaanbare raakcirkels.

Snijden de drie gegeven cirkels elkaar twee aan twee,
dan zijn 2 machtverhoudingen pos., en de twee andere
neg. Men vindt nu 8 bestaanbare cirkels die voldoen.

Daar bij elk drietal niet rakende cirkels Mi, Mz en
Ma alleen mogelijk is, dat 4, 2 of O van .de 4 macht-

overschietende neg., zullen blijkbaar indien minstens
twee der gegeven cirkels byv. Mi en Mz elkaar snijden,
8 of 4 bestaanbare raakcirkels mogelijk zijn. Immers
de cirkels van A. behoorende tot den bundel bepaald

door de cirkels M, en iI/2 met bijbehoorende pos. macht-
verhoudingen ^ resp. snijden dan in reëele punten

de cirkels, welke de cirkels M, en Mz op dezelfde wijze
raken, terwijl de cirkels van A. met bijbehoorende neg.

de cirkels, welke de cirkels en Ma op ongeliiksoortige
wijze raken, \'t Geval van O bestaanbare raakcn-kels
kan niet voorkomen, want hiervoor zou ^noodig zijn:

Opmerking. Behooren de drie cirkels Mi, M, en M,
tot eenzelfden elliptischen bundel, dan voldoen de
2 basispunten van dien bundel (elk voor 4 te tellen)

Resumeerende, kunnen we nu zeggen: van drie cirkels,
welke een hyperbolisch net bepalen en elkaar met aan-
raken, geldt, dat er O, 4 of 8 bestaanbare cirkels voldoen.

We keeren nu nog eens terug tot het geval (I), dat
cirkel Mg geheel binnen cirkel M gelegen is, maar ge-
heel buiten cirkel Ma, welke cirkel den cirkel M, snijdt.
In dit geval zijn m^^ en beide neg., m^^ en m^.^
beide pos. Alle vier machtverhoudingen zijn dan neg.
en er zijn dus 4 bestaanbare cirkels die voldoen. Men
stelle zich nu voor, dat cirkel Mz verplaatst wordt zóó,
dat de teekens van m^^ en onveranderd blijven, en
men beschouwt dan als achtereenvolgende standen II,
III, IV en V van cirkel Mg t. 0. van cirkel Mi: inwendige
raking, snijding, uitwendige raking en tenslotte het geval,
dat cirkel Mg geheel buiten cirkel Mx gelegen is. Men
heeft dan voor m,^ en de volgende teekens:
I II III IV V

Een — teeken bij de twee eerste verhoudingen wijst
op 2 imaginaire raakcirkels, en een teeken op 2 be-
staanbare raakcirkels. Bij de twee andere verhoudingen
is \'t omgekeerde het geval. Bij inwendige- resp. uit-
raking van cirkel M^ met cirkel nemen

bijbehoorende cirkels van A. raken dan aan cirkel M^,
terwijl zij in den daaraan voorafgaanden stand van
cirkel Ms telkens 2 imaginaire (reëele) snijpunten met
cirkel Ms hebben, en in den daaropvolgenden stand
telkens 2 reëele (imaginaire) snijpunten. Naar behooren
treedt dus het geval van 2 samenvallende snijpunten
op als overgang tusschen het geval van 2 imaginaire-
en dat van 2 reëele snijpunten en omgekeerd. Het
volgende lijstje geeft aan het aantal bestaanbare- en
onbestaanbare raakcirkels.

111

2 best. cirkels
2 onbest. „
2 onbest. .

Vraagt men nu bijv. naar het aantal bestaanbare
raakcirkels van 3 gegeven cirkels iV,, Jfa en Jfs, waarbij
de cirkels üf, en elkaar snijden, terwijl cirkel
cirkel 3h snijdt en cirkel M2 uitwendig raakt, dan kan
men uitgaan van het geval III (zie boven) en daarna
cirkel 3Ia zoo lang verplaatsen tot hij cirkel ilfa uit-
wendig raakt. Men heeft dan:
III

ju\'jg O, terwijl de teekens van m^g en mgg on-
veranderd blijven. Dientengevolge blijven de teekens

waarde O aan. Na \'t voorafgaande, zal het volgende
lijstje geen verdere toelichting behoeven.
111

Het aantal bestaanbare raakcirkels blijft dus 4.
3e. De cirkels 3h, 312 en 3U bepalen een parabolisch

Men vindt 4 bestaanbare eigenlijke raakcirkels, daar
van elk paar toegevoegde raakcirkels een cirkel ontaard
is\' in \'t snijpunt van de 3 gegeven cirkels.

Opmerking. Behooren de cirkels M2 en M3 tot
eenzellden parabolischen bundel, dan telt hun gemeen-
schapiïeliik raakpunt voor 4 raakcirkels. Verder voldoen
alle cirkels behoorende tot den parabolischen bundel.

d. w. z. de 4 paren toegevoegde raakcirkels vallen twee
aan twee tot één paar samen. Er zijn dus in \'t alge-
meen 4 cirkels die voldoen.

4 paren toegevoegde raakcirkels vallen tot één paar
samen. Er zyn dus in \'t algemeen 2 cirkels die voldoen.

Ontaarden alle drie cirkels in punten, dan vallen alle
8 raakcirkels tot één cirkel samen, n.l. den omgeschreven
cirkel van den driehoek met de 3 gegeven punten tot
hoekpunten.

Ontaardt een der gegeven cirkels bijv. cirkel Ms in
een rechte lijn, dan vindt men in \'t algemeen 8 raak-
cirkels, welke de gegeven rechte lijn raken in de 8 snij-
punten met de 4 cirkels van A., behoorende tot den
bundel bepaald door de cirkels Mi en Jfa.

Ontaardt cirkel Mi in een punt en cirkel Ma in een
rechte lijn, dan is m^^ = en dientengevolge heeft
men dan slechts 2 cirkels van A. Dus in \'t algemeen
4 cirkels die voldoen.

Ontaardt nu ook nog cirkel Mz in een punt, dan is
daarenboven m^^ = waardoor het aantal cirkels
van A. tot één gereduceerd wordt. Men vindt nu in
\'t algemeen 2 cirkels die voldoen.

Ontaarden twee der gegeven cirkels bijv. de cirkels
Ml en Mz in rechte lijnen, dan ontaarden de 4 cirkels
van A. behoorende tot den bundel bepaald door de
ontaarde cirkels 3Ii en M2 in rechte lijnen. Men vindt
in \'t algemeen 8 cirkels die voldoen.

door de 3 gegeven rechte lijnen, waarbij Z A gelegen
is tegenover den ontaarden cirkel il/i, Z B tegenover
den ontaarden cirkel il/2 en Z C tegenover den ont-
aarden cirkel il/s. De 4 cirkels van A., behoorende tot
den bundel bepaald door de ontaarde cirkels il/i en Mz
zijn in rechte lijnen ontaard. Van de 8 snijpunten van
deze rechte lijnen met den ontaarden cirkel il/s, liggen
er 4 in \'t eindige en de 4 andere op de lijn in \'t oneindige.
De eerstgenoemde 4 snijpunten zijn de raakpunten
op AB van de 4 raakcirkels behoorende bij A ABC.
De lijn in \'t oneindige moet opgevat als puntcirkel,
beschouwd worden als een voor vier te tellen raakcirkel
van A ABC. Dat de 4 bovengenoemde snijpunten in
\'t eindige werkelijk de raakpunten zijn van de 4 raak-
cirkels van A ABC met de zijde AB, is gemakkelijk aan
te toonen. Noem de raakpunten van den ingeschreven
cirkel M, en van de aangeschreven cirkels 3/c, il/i, en
Ma resp. I), E, F en G en noem de loodlijnen uit deze
punten op a eu b neergelaten resp. kx en /b, l\'^ en

§ 16. We zullen in \'t vervolg een snijding tusschen
twee cirkels een uitwendige- noemen, als de snijdings-
hoek (p stomp is. Is die snijdingshoek scherp, dan zal
de snijding een inwendige- genoemd worden. Ter ver-
eenvoudiging zullen we een snijding onder een scherpen
hoek (p, een inwendige snijding onder een hoek (180° — (p)
noemen. We kunnen dan zeggen: de verhouding van
gelijknamige machten van een cirkel Mi t. o. van twee
cirkels Mi en M2, welke beide door eerstgenoemden
cirkel op dezelfde wijze onder denzelfden hoek cp ge-
fi

het uitwendig gelijkvormigheidsnet\' van de cirkels Mi
en M2. Snijdt cirkel Mi de cirkels Mi en M^ op on-
gelijksoortige wijze onder denzelfden hoek (p, dan is de
verhouding van ongelijknamige machten van cirkel Mi

Is cp = 180°, dan raakt cirkel Mi aan de cirkels Mi enilfa
uitwendig. Vroeger (hoofdst. VI § 16) is reeds opgemerkt,
dat alle cirkels, welke twee gegeven cirkels Mi en Mj

onder constante hoeken resp. 02 snijden, raken aan
twee cirkels N, en Nz van den bundel, bepaald door
de cirkels Mi en Mz. De cirkels Ni en Nz kunnen
gemakkelijk geconstrueerd worden, door er aan te denken,
Lt ze raken aan een rechte lijn (te beschouwen a^^s
ontaarden cirkel), welke de cirkels en Mz onder de
hoeken resp. d). snijdt. Worden de crkels Mi en
M. door cirkel Mi op dezelfde wijze gesneden, be.de
onder denzelfden hoek 0, dan wordt bovengenoemde
rechte lijn verkregen als gemeenschappelijke uitwendige
raaklijn\'van twee cirkels 3fi en it/. met - n cos cp
resp ■ - ra cos 0 tot stralen (0 stompe hoek). Worden

de cirkels il/i en il/. op ongelijksoortige wijzen gesneden,
dan moet inplaats van een gemeenschappelijke uitwendig-,
een gemeenschappelijke inwendige raaklijn getrokken
worden Men kan dan verder weer construeeren twee
cirkels iV\' en X van den bundel bepaald door de cirkels
ilf. en Mz, waaraan alle cirkels raken, welke de cirkels
ilf, en Mz op ongelijksoortige wijze steeds onder den-
zelfden hoek 0 snyden.

§ 17. Na \'t voorafgaande, zal \'t duidelijk zijn, dat
als men in het Raakprobleem van Apollonius „raken
aan" vervangt door: „snijden (uit- of inwendig) onder
een gegeven hoek 0", de gevraagde „snijcirkels" evenals
de raakcirkels" bij \'t Raakprobleem van Apollonius,
twee" aan twee aan elkaar toe te voegen zijn zóó, dat
telkens het machtpunt 31 van de gegeven cirkels il/i.
Mz en il/s gelijkvormigheidspunt is voor twee toegevoegde
snijcirkels, terwijl dan de orthogonaalcirkel van de cirkels
3ft Ah en Ah als machtcirkel van die twee toegevoegde
snijcirkels optreedt. Verder zullen twee zulke snijcirkels
een der gelijkvormigheidsassen van de cirkels Ah, Mz
en il/s tot machtlijn hebben. We komen tot het resultaat,
dat telkens twee toegevoegde „snijcirkels" met de twee
overeenkomstige toegevoegde „raakcirkels" in één bundel
voorkomen, waartoe ook behoort de orthogonaalcirkel

van de cirkels ifi, M^ en M^, en eveneens als ontaarde
cirkel een der gelijkvormigheidsassen van de drie boven-
genoemde cirkels. Door nu in zoo\'n bundel doormiddel
van inversie te bepalen de cirkels, welke een der drie
gegeven cirkels uit- of inwendig sneden onder een hoek O,
krijgt men telkens in \'t algemeen twee cirkels die vol-
doen. Daar er in \'t algemeen vier van die bundels zijn,
vindt men in \'t algemeen 8 „snijcirkels".

Men kan ook zeggen: de gevraagde cirkels zijn te
beschouwen als cirkels, wier machten (uitwendige- of
inwendige-) t. o. van de cirkels Mi, resp. M2, resp. IIs, zich
verhouden als n : ± r^: ± n. Men kan door combinatie
van de teekens vier verschillende verhoudingen krijgen.
Bij elk dezer verhoudingen behooren drie machtcirkels,
resp. behoorende tot de cirkels Mi en Mz, tot de cirkels
M2 en Jfa en tot de cirkels Mz en Mi. Elk drietal
machtcirkels vormen een bundel. Men krijgt zoodoende
vier bundels. De vier orthogonale bundels, toegevoegd
aan die vier bundels, bevatten de cirkels wier machten
t. O. van de cirkels Mi, Mz en Mz zich verhouden als
± \'\'1 : ± r-i: ± rz. In elk van deze vier bundels kan
men nu in \'t algemeen twee cirkels bepalen, welke een
der gegeven cirkels bijv. Mi, en dus ook de cirkels Mz
en Mz snijden onder den hoek cp.

Het vraagstuk kan ook zonder inversie opgelost worden.
Men beschouwt twee toegevoegde „snijcirkels" M.i en
en men denkt zich geconstrueerd de beide cirkels
iVi en Nz, reeds in § 16 genoemd (als de cirkels Mx
en M; de cirkels Mi en Mz óf beide uitwendig, öf
beide inwendig onder hoek cp snijden), of de cirkels N[
en iVg (als de cirkels M.i en M^ de cirkels Mi en Mz
op ongelijksoortige wijze onder hoek cp snijden). In
\'t eerste geval worden de cirkels Ni en Nz op dezelfde
wijze^door de cirkels Mi en M^ geraakt, in \'t geval
geschiedt de raking met de cirkels N[ en N\'^ op ongelijk-
soortige wijze. Door te letten op de snijdingshoeken
van de cirkels Mi en M^ met de cirkels Mz en Mz,

resp Mz en Mx, vindt men, dat de cirkels M, en M,
zullen moeten raken aan een tweetal cirkels O2 en O3
of O\' en O3 behoorende tot den bundel bepaald door
de cirkels M. en JI/3, en aan een tweetal cirkels P3 en
Px of F: en p; behoorende tot den bundel bepaald door
dè cirkels Ms en Mx. Men krijgt zoodoende in \'t geheel
zes cirkels behoorende tot het cirkelnet bepaald door
de cirkels Mx, M2 en 3Iz, waaraan een paar toegevoegde
snijcirkels M^ en zullen uioeten raken, en H blijkt
tevens dat er 4 paar toegevoegde snijcirkels zijn. De
cirkels M, en 311 kunnen gevonden worden, door uit
bovengenoemde (5 cirkels een drietal te kiezen en dan
te construeeren een cirkel rakende aan deze drie cirkels,
waarbij natuurlijk gelet moet worden op de wijzen,
waarop de verschillende rakingen moeten geschieden.
Deze rakingen zijn van dezelfde ^soort als de overeen-
komstige snijdingen met de cirkels 3Ix, 3U en 3U Er
zijn in \'t algemeen 8 cirkels die aan de vraag voldoen.

Daar telkens twee toegevoegde „snijcirkels" met den
orthogonaalcirkel van de cirkels il/., en M3 een bundel
vormen, met een der vier genjkvormigheidsassen van
die drie cirkels als machtlijnen, behoeven van de cirkels
iV,. O2, O3, O,. enz. slechts twee cirkels
geconstrueerd te worden, bijv. de cirkels iST, en .V,. Men
behoeft dan slechts in de beide bundels, waarvan de
machtlijnen de gelijkvormigheidsassen zijn, die elkaar m
\'t uitwendig gelijkvormigheidspunt van de cirkels 3[x
en ilf2 snijden, de cirkels te construeeren welke aan den
cirkel Nx \'raken, en in de twee andere bundels, met de
twee andere gelijkvormigheidsassen als machtlijnen, de
cirkels welke aan den cirkel N[ raken.

Opmerking. Uit de opmerkingen gemaakt ter inleiding
van deze constructie, en door te letten op \'t gevondene
omtrent de raakcirkels aan twee gegeven cirkels (hoofdst.V),
volgt gemakkelijk het volgende. De meetkundige plaats van
de middelpunten van de cirkels, die twee gegeven elkaar
snijdende cirkels Mx en M2 onder gelijken hoek 0 snijden,

beslaat uit twee kegelsneden, die elkaar orthogonaal
snijden in de beide snijpunten van de twee gegeven
cirkels en die in die snijpunten raken aan de beide
machtcirkels van de cirkels Mi en M2.

Wanneer de cirkels Mi en Mi elkaar raken, heeft
men: de meetkundige plaats van de middelpunten van
de cirkels, die twee gegeven rakende cirkels Mi en Mi
onder denzelfden hoek CD snijden, bestaat uit een kegel-
snede, die aan de cirkels Mi en ilfa in hun gemeen-
schappelijk raakpunt raakt en uit 2 rechte lijnen gaande
door dat raakpunt en symmetrisch t. 0. van de centraal
van de cirkels Mi en Mi gelegen. Deze twee lijnen
kunnen beschouwd worden als de centralen van twee
parabolische cirkelbundels, wier cirkels de cirkels 3Ii
en Ml in hun gemeenschappelijk raakpunt onder hoek 0
snijden.

Wanneer de cirkels Ah en Ah elkaar noch snijden,
noch raken, dan bestaat de meetkundige plaats weer
uit twee kegelsneden. De beide bovengenoemde snij-
punten van die twee kegelsneden zijn dan imaginair
geworden.

§ 18. Het voorafgaande vraagstuk is een bijzonder
geval van het „Probleem van Steiner": de cirkels te
construeeren, welke drie gegeven cirkels Ah, Ah en ilfg
resp. onder gegeven hoeken ói, (p2 en (pa (uitwendig of
inwendig) snijden. Men kan ook nu de constructie terug-
brengen tot het Raakprobleem van Apollonius. Inplaats
van de hulpcirkels Ah, Ah en 3h resp. met stralen
— ri cos cp, — r2 cos (p en — >-3 cos 0, komen nu hulp-
cirkels met stralen — ri cos 0i, — ri cos 02 en — rs cos 03.
Met behulp van deze cirkels zijn weer te construeeren
de cirkelparen (Ni, iVa) en (N[, N^}, (O2, O3) en (0^, Oj),
(Ps, Pi) en (Pg, Pj). Er moet echter aan gedacht worden,
dat \'t nu mogelijk is, dat een cirkel welke bijv. de cirkels
Ml en M2 resp. onder de hoeken 0i en 02 op ongelijk-
soortige wijze snijdt, de beide cirkels iVj en N^ op

dezelfde wijze raakt. Wanneer men nu het construeeren
van twee toegevoegde .snijcirkels" terugbrengt tot het
construeeren van twee toegevoegde ,raakcirkels\' aan
drie cirkels behoorende tot bovengenoemde cirkelparen,
dan moet men er zich van te voren rekenschap van
geven, hoe de rakingen zullen moeten zijn.

Uit de constructie volgt gemakkelijk, dat elk van de
vier gelijkvormigheidsassen van de drie hulpcirkels met
resp. - cos - r2 cos cPz en - rs cos cps tot stralen,

Daar de drie cirkels Mi, ilf^ en ilfs elk eenzelfden macht-
cirkel van twee zulke snijcirkels loodrecht snijden, zal
deze machtcirkel de orthogonaalcirkel van de cirkels ilf,,
Mi en Ms moeten zijn. De snijcirkels zijn dus twee
aan twee te rangschikken in vier bundels, telkens met een
der vier bovengenoemde gelijkvormigheidsassen als macht-
lijn, terwijl deze vier bundels den orthogonaalcirkel van
de\'cirkels Mt, Mz en Ms gemeenschappelijk hebben.
iMen kan nu de constructie ook met behulp van mversie
uitvoeren, door in elk van die vier bundels de beide
cirkels te bepalen, die een der gegeven cirkels bijv.
cirkel Mt onder den gegeven hoek (pi snijden. Men
vindt in \'t algemeen 8 cirkels die voldoen.

Men kan tenslotte ook op de volgende wijze, zonder
inversie te werk gaan. Men construeert slechts twee
van de cirkels K 0^, 0„ 0„ enz., bijv.

de cirkels iVj en N^, en men heeft dan nog slechts in
twee der bovengenoemde 4 bundels de cirkels te bepalen,
welke aan cirkel Ni raken, en in de twee andere de

Opmerking. Daar de cirkels, welke twee gegeven
cirkels Mi en Mz onder de hoeken Ói resp. (pz snijden,
raken aan twee cirkels van den bundel bepaald door
de cirkels Mi en Mz, kunnen we weer door gebruik te
maken van \'t vroeger gevondene voor raakcirkels, be-
sluiten tot:

cirkels, die twee gegeven elkaar snydende cirkels ilfj
en M2 onder hoeken 0t resp. 02 snijden, bestaat uit
twee kegelsneden, die elkaar orthogonaal snijden in de
beide snijpunten van de twee gegeven cirkels, en die in
die snijpunten raken aan twee cirkels van den bundel
bepaald door de twee gegeven cirkels. De middelpunten
van die twee cirkels zijn de beide gelijkvormigheids-
punten van de cirkels met Mi en M2 als middelpunten
en — n cos Ói, resp. — rz cos CP2 als stralen.

Wanneer de gegeven cirkels 3fi en M2 elkaar raken,
heeft men: de meetkundige plaats van de middelpunten
van de cirkels, die twee gegeven elkaar rakende cirkels
Ml en M2 onder hoeken 0i resp. 02 snijden, bestaat
uit twee kegelsneden, die aan de cirkels Mi en M2 in
hun gemeenschappelijk raakpunt raken.

Wanneer de cirkels Mi en M2 elkaar noch snijden,
noch raken, dan bestaat de meetkundige plaats weer
uit twee kegelsneden. De beide bovengenoemde snij-
punten van die kegelsneden zijn dan imaginair geworden.

blz 4 De 2de zin van § 3 moet luiden als volgt:
Men stelle zich voor, dat de stralen van alle cirkels
behoorende tot het stelsel, waarvan de middelpunten
aan den eenen (anderen) kant van P gelegen zijn met
eenzelfde bedrag . toenemen (afnemen), terwijl de middel-
punten op hun plaats blijven,
regel 15 v. b.:

De afleiding van den sinusregel en den cosinusregel
van de Vlakke Trigonometrie uit de overeenkomstige
regels van de Spherische Trigonometrie (Weber und
Wellstein, Enzyklopädie der Elementar-Mathematik
Bd II § 56, 1.2.3.4), kan eenvoudiger geschieden.

Het is vvenschelijk, dat bij de behandeling van de
lineaire differentiaalvergelijkingen van de orde, de
methode van den integreerenden factor voorafgaat aan
de methode van Bernouilli en aan die van Lagrange.
Bij deze behandeling dient tevens duidelijk in \'t licht
gesteld te worden, dat tusschen de beide laatstgenoemde
methoden geen essentieel verschil bestaat.

De argumenten, welke van Arkel en de Boer aan-
voeren om het voorkomen van een waterstofatoom met
heliumconfiguratie in sommige verbindingen aan te toonen,

De eigenschap, dat de 8 cirkels, welke 3 gegeven
cirkels Pi, Pz en Pa orthogonaal (diametraal) snijden,
twee aan twee behooren tot 4 cirkelbundels, welke den
omgeschreven cirkel van A P1P2P3 gemeenschappelijk
hebben (proefschrift, hoofdst. II, § 9), vloeit onmiddellijk
voort uit een afbeelding van het cirkelveld op de punten -
ruimte, waarbij de machten van den cirkel t.o. van
3 vaste punten als coördinaten in de puntenruimte op-
treden.

Versl. Gew. Verg. van 29 Jan. 1921 van de Wis- en Nat.
afd. van de Kon. Akad. v. Wet. XXIX.

De opmerking in Salmon-Fiedler, Anal. Geometrie
des Raumes, Aufl. 4 blz. 23, dat voor 3 onderling lood-
rechte rechte lijnen met richtingshoeken (a\',/3\',/),

Het verdient aanbeveling bij het onderwys in de
methoden der orthogonale projectie, het invoeren van
het derde projectievlak zoo lang mogelijk uit te stellen,
en dit vlak op te vatten als een bijzonder hulpvlak
loodrecht op het horizontale projectievlak.

Het is gewenscht in het onderwijs van de planimebie,
de allereerste beginselen van de Goniometrie en Trigo-
nometrie op te nemen.









Iii