/^iA

Afbeelding van een iineaireh
stralencómplex op de punten
. der ruimte =====

PSk

■

[W-\'VV\'?:

m

M N VAN DER BIJL

Diss.
Utrecht

192G

- •. ■ • •

•■ \' ;

. .r.i.\'iv

AFBEELDING VAN EEN LINEAIREN STRALEN-
COMPLEX OP DE PUNTEN DER RUIMTE

«V * •

AFBEELDING VAN EEN LINEAIREN STRALEN-
COMPLEX OP DE PUNTEN DER RUIMTE

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN
NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-UNIVER-
SITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN
RECTOR MAGNIFICUS Dr. J. Ph. SUYLING,
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER
RECHTSGELEERDHEID, VOLGENS BESLUIT
VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT,
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACUL-
TEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE TE
VERDEDIGEN OP MAANDAG 1 FEBR. 1926,
DES NAMIDDAGS TE 4 UUR, DOOR

MARTINUS NICOLAAS VAN DER BIJL,

GEBOREN TE SPRANG.

P mt\'l\'y/. ■

^

y;/ ■

> m^- ^- -.mm \'..qm-. ■ - ■ ^

k

AAN MIJN VROUW

AAN MIJN VADER EN DE NAGEDACHTENIS
MIJNER MOEDER

- • - • • \' ^ 1, . - . -5 ^^ppf. \\ . V, •• \' " • -

SI.;

Na het schrijven van dit proefschrift is het voor mij
een behoefte mijn oprechten dank te brengen aan allen,
die tot mijn opleiding hebben meegewerkt, vooral aan
de Hoogleeraren en Lectoren van de Wis- en Natuur-
kundige Faculteit.

De tijd, dien ik als assistent van den Hooggeleerden
Heer, wijlen Professor Julius in het Physisch Labora-
torium heb doorgebracht, zal voor mij blijven een tot
dankbaarheid stemmende herinnering aan den overledene.

Niet minder gevoel ik mij verplicht aan U, Hoogge-
leerde Kapteun wegens Uwe duidehjke en degelijke lessen
en wegens de groote voorkomendheid bij velerlei gelegen-
heid van U ondervonden,

Aan Uwe altijd boeiende colleges, Hooggeleerde
Ornstein, dank ik mijn liefde voor de natuurkunde; Uw
nimmer vergeefs ingeroepen hulp en raad en niet minder
Uw vriendschappelijke omgang hebben mij met hoog-
achting vervuld voor Uw persoon.

Hooggeleerde Nijland, ook U ben ik zeer erkentelijk
voor Uwe zoo belangwekkende colleges, die ik steeds met
het meeste genoegen heb bijgewoond.

Mag ik ten slotte in het bijzonder ü, Hooggeleerde
De Vries, hooggeachte Promotor mijn warmen dank en
hoogachting aanbieden. Uw betoogtrant, even boeiend
als helder en opgewekt, heeft op mij altijd den diepsten
indruk gemaakt. Voor mijn vorming als leeraar zijn
Uw lessen voor mij van onberekenbaar nut geweest.
Bovendien ben ik U de grootste dankbaarheid verschuldigd
voor de aanmoediging en hulp, die ik bij \'t samenstellen
van dit proefschrift zoo rijkelijk van U heb ondervonden.

r

■ • , . ri .\'■ y

.V . iP: -ji; i .\'i- • ■ • r ;

■ ■■■■i

fr^trrie

ïî,-

INHOUD.

Bladz.

Inleiding............... 1

Hoofdstuk I. De afbeelding en hare singuliere figuren 5

Hoofdstuk fl. fiet beeld van een waaier uit L. . .11

Hoofdstuk III. Fiet beeld van een puntenreeks . .18

Hoofdstuk IV. Het beeld van een stralennet ... 26

Hoofdstuk V, De beelden van de punten en figuren
van een plat vlak...........45

Hoofdstuk VI. De beelden van een regelschaar en
eenige andere figuren..........51

Hoofdstuk VU. Afbeeldingen van L, waarbij een
waaier een kegelsnede oplevert.......G2

Stellingen ...............81

■

• ■ ■■ > ■ ) •

INLEIDING.

1. Een algemeene lineaire stralencómplex is een ver-
zameling van oo3 rechte lijnen, die met een willekeurigen
waaier één straal gemeen heeft. Hieruit vloeit voort,
dat de complex door elk punt {nulpimt) één waaier
zendt en, duaal hiertegenover, dat in elk vlak [nidvlak)
één complexwaaier ligt. Deze heeft dus het nulpunt
van zijn vlak tot top. Van groot belang is de eigenschap:

alle complexstralen, die een rechte u snijden, rusten
nog op een tweede rechte v, die u kruist; u en v heeten
toegevoegde richtlijnen van den complex.

Voor \'t bewijs heeft men slechts op te merken, dat
elk punt P van de snijlijn « der nulvlakken van 2 punten
Pi en Pi op M 2 stralen uitzendt, die « snijden nl.
PPi en PPi.

Er volgt onmiddellijk uit, dat het nulvlak van een
punt om u H draait, als men het nulpunt over v («)
laat loopen. Legt men u in \'t oneindige, dan levert dit
op: de nulpunten van een parallelvlakkenbundel (as m)
liggen op een rechte {v). Deze heet een middellijn van
den complex.

Verder volgt uit de genoemde eigenschap: doorloopt
u een waaier (P, i^l dan geldt \'t zelfde voor v. De
waaier («;) ligt in \'t nulvlak t van P en heeft \'t nulpunt
van IX tot top; de- waaiers hebben den straal (f^, t)
gemeen.

Doorloopt u een ster, dan vormen de bijbehoorende
lijnen v het stralenveld in het nulvlak van het m.p. der
ster en omgekeerd. Neemt men voor dit nulvlak het
oneindig verre vlak, dan blijkt, dat alle middellijnen

evenwijdig zijn. De vlakken, loodrecht op de middel-
lijnen, hebben één dezer lijnen tot m.pl. der nulpunten:
de as van den complex. Eindelijk nog:

is u complexstraal, dan wordt v = u, omdat het nul-
vlak van elk punt op tt door u gaat.

2. Door R. Sturm is een afbeelding gevonden van
den lineairen complex op de punten der ruimte. {Die
Gebilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie;
dl I blz. 257 en volg.) De inrichting der afbeelding
komt, eenigszins gewijzigd, op het volgende neer.

Laat {U,a.) een waaier van rechten m. zijn, (F, |3) de
waaier van de toegevoegde richtlijnen v van den com-
plex, zoodat UV complexstraal is. De bedoeling van
Sturm is nu de punten van de velden x en (S zoodanig
met de stralen van de sterren om 2 vaste punten A en
B in projectief verband te brengen, dat aan de punten
van 2 bijeenhoorende lijnen u en v toegevoegd worden
2 stralenbundels (.4, y) en (6,7) in eenzelfde vlak y
(door AB^r). Dit kan als volgt bereikt worden.

Zij X eenig punt in tx. Trek u = ÜX. Voeg hieraan
volgens een (1,1) toe een straal p uit waaier (P,«),
waarbij F = {r, x). Uit een vast punt Ca in a wordt
getrokken Ca X en uit \'t snijpunt Xi van deze met p
een lijn .a; door A. Het vlak 7 = {x, r) snijdt /3 volgens
een straal q uit waaier {Q, (3), als Q = (r, (3). Voeg
hieraan projectief toe de met u homologe lijn v. Aan
een punt Y van v is nu een straal y uit [B, y) te kop-
pelen. Hiervoor wordt genomen de rechte door B uit
het snijpunt F, van- q met C^ Y {C^ is een vast punt
in /3).

Als X een willekeurig punt van een willekeurige rechte
w is en analoog Y eenig punt van de toegevoegde lijn
V, doorloopt s^XY den geheelen complex. Aan s
wordt nu als beeld toegevoegd S = (x, //), Omgekeerd
kan men den beeldstraal s van een punt S vinden door

aan te brengen het vlak y = (r. S) en daarin te trekken
x~SA en y=SB\\ vervolgens heeft men te snijden
met p = [y^ oc) en y met q = (r, ß)- Dit geeft Xi en
Dan moeten nog getrokken worden de met penq
homologe stralen u en v, waarop X en F gevonden
worden als sniipunten resp. met C„Xi en CßYi. Ein-
delijk is s=Zr.

Voor \'t overzicht diene, dat bij deze wijze van af-
beelden gebruik gemaakt wordt van:

(m) Trip) Trir) 7r{q) t (v).

Alleen de eerste verwantschap (j<) tt {p) kan willekeurig
ingericht worden; de andere volgen uit de ligging of
uit den complex.

3. Een complexstraal s, die UV snijdt in N geeft
X~ Y^ N en u = v= f\'V. Overigens verloopt de
afbeelding vpn s gewoon en leidt tot een punt S, dat
echter evengoed als beeld gevonden wordt bij eiken
anderen straal door N. Zoo\'n punt, dat aan oneindig
veel stralen als beeld is toegevoegd, heet uitzonderings-
punt of singulier punt der afbeelding.

Voor de verschillende waaiertoppen N van ü V keeren
dezelfde lijnen p en q telkens terug, dus ook 7. In dit
vlak behooren bij elk punt N één lijn en één lijn y.
Er ontstaat dus als voortbrengsel van de projectieve
Waaiers (a) en (//) een kegelsnede ö■^ die een m.pl. is
van singuliere punten; ö-® gaat door ^ en/i en door (jo, y).

Tegenover een singulier punt staat een singuliere straal:
deze heeft oneindig veel punten tot beeld. Een voor-
beeld hiervan is UV. Daar deze rechte thuis hoort in
alle waaiers N, zooeven bedoeld, wordt ze afgebeeld in
alle punten van it\'\\

Denk een\' willekeurigen complexwaaier. Elk paar
homologe rechten v wordt door één straal uit den
waaier gesneden, dus elk vlak y beval één punt van de
m.pl. der punten S, die den waaier afbeelden. Hieruit

volgt: het beeld van een\' willekeurigen waaier is een
rechte l. Ze steunt op a-^ omdat één straal van den
waaier UV snijdt.

Beschouw nog een regelschaar R^ uit den complex,
Een willekeurige rechte u (en dus ook v) uit (U, a)
snijdt 2 beschrijvenden s van die tot den complex
behooren. De m.pl. der beelden S snijdt dus elk vlak
y in 2 punten, is m.a. w. een kegelsnede, die <7^ twee-
maal snijdt, omdat \'t gezegde omtrent u in \'t bijzonder
ook voor UV geldt.

Zoo kan men vragen naar het beeld van een stralen-
net (bilineaire congruentie) uit den complex, naar het
regelvlak, dat de punten van een rechte afbeeldt, naar
de congruentie, die als beeld behoort bij een punten-
veld, enz.

4. Een eenvoudiger afbeelding van den lineairen com-
plex werd mij door professor Jan dë Vries aan de hand
gedaan. Ze wordt in het volgende onderzocht. In tegen-
stelling met de afbeelding van Stürm bevat elke straal
zijn beeldpunt. Dit heeft belangrijke gevolgen. Andere
afbeeldingen van den lineairen complex zijn door Jan
de Vries beschreven in de Verslagen der K. A. V. W.
deel XXXIV bl. 5 bl. 322.

Een afbeelding van de stralen van een specialen
lineairen complex op de punten der ruimte (van Dr. G.
Schaake) vindt men in het Nieuw Archief voor Wiskunde^
deel XIV, 4de stuk, 1924.

hoofdstuk i.

De afbeelding en hare singuliere figuren.

1. De inrichting der afbeelding.

Denk een algemeenen lineairen complex L. Zij F
een vast, S een willekeurig punt, tt het pool vlak van S
t. o. v. een gegeven quadratisch oppervlak cp^ v het nul-
vlak van S en P de pool van v t. o. v. (pK FS^t
snijdt T in D. De aan p = PD toegevoegde poollijn s
ligt in V, want dit is het poolvlak van P en gaat door
S, want dit is de pool van x. Dus behoort s tot L.
Voeg S als beeld toe aan s.

Omgekeerd kan men bij eiken straal 5 het correspon-
deerende punt S vinden door dien straal te snijden met
de transversaal t uit F over s en p.

Zoo wordt tusschen de stralen van L en de punten

der ruimte een verwantschap (1,1) vastgelegd.
*

2. RaaMijn-complexstralen.

Zij S een willekeurig punt van (p^. De doorsnede
5 = van het nul vlak v van S en het raakvlak a-
in S aan is de eenige raaklijn in S, die tot L behoort.
De toegevoegde poollijn j) van 5 is de toegevoegde raaklijn.
De transversaal t snijdt 5 in het raakpunt. Dus: L stuurt
door elk punt van (p\' één raaklijn en deze wordt afgebeeld

in hel raakpunt.

In het zeer bijzondere geval ö- = v, is ook T = Bij
elke s behoort een toegevoegde raaklijn p. En t geeft
telkens \'t raakpunt S als beeld. Behalve dat S singu-
lier punt zou zijn, zouden er in den waaier om S twee

singuliere stralen liggen: de coïncidenties der involutie
is.p). Hierbij toch kan voor t elke rechte uit waaier
{F,s) genomen worden en voor S elk punt der bedoelde
coïncidentiestralen. Ze zijn alleen reëel, als een
regelvlak is. Nog meer bijzonder is de toestand, als
(r = p door F gaat. Dan bestaat [S, tr) uit louter
singuliere stralen. Zie van deze byzondere gevallen
verder af.

3. Het regelvlak R\\.

Beschouw de complexstraal-raaklijnen s in de punten
X van a^ de doorsnede van met het poolvlak« van
F. Het raakvlak a- = (s, p) in X bevat waardoor t
onbepaald wordt: elke lijn uit {F,(r) is er voor te nemen
en b^gevolg elk punt S op s als beeld van s. Alle
hier bedoelde raaklijnen zijn dus singuliere stralen. Zij
vormen een regelvlak van den vierden graad,

Als volgt blijkt nl., dat een willekeurige, op a^ steu-
nende, rechte u door 4 beschrijvenden gesneden wordt.

De gezochte beschrijvenden behooren tot L, moeten
dus ook de toegevoegde richtlijn v snijden.

Het regelvlak, dat m, v en a^ tot richtlijnen heeft, is
van den derden graad, omdat \'t vlak {X,v) afvalt, en
snijdt den kegel (F, a^) volgens een figuur van den
zesden graad, bestaande uit en een vierdegraads-
ruimtekromme p^. Elke beschrijvende b van het cubisch
regelvlak steunt nu in een punt B op a^ en snijdt
{F, a^) nog in een tweede punt B\\ dat tot / behoort.
Als B = B\\ wordt b raaklijn aan {F, a^) in een punt
van dus ook aan Daar b bovendien tot L

behoort, is b in dat geval singuliere straal. Dit nu komt
4 maal voor. omdat p^ 4 punten met a^ gemeen heeft.

In overeenstemming hiermee is de doorsnee cc)
een figuur van den vierden graad: ze bestaat uit a^ en
uit de beide raaklijnen aan die tot den complex-
waaier (/l,«) behooren.

4. Be duhhelkromme van Il\\.

Een vlak v door een beschrijvende s van snijdt dit
oppervlak volgens s en volgens een derdegraadskromme
r®. Eén van de 3 punten [s, r^) is \'t raakpunt van y;
de 2 andere behooren tot de dubbelkromme d van B^.
Op 5 rusten dus nog 2 andere beschrijvenden en
die koorden van ^ zijn. Het vlak {s, st) blijkt zoodoende
in 3 punten door 5 gesneden te worden (meer punten
zijn niet mogelijk bij de J van een vierdegraadsopper-
vlak). De dubbelkromme is dus van den derden graad:
Zij is een m.pl. van mguliere punten. Immers elk
punt Y op ^^ is beeld van de 2 singuliere stralen, die
er van uitgaan, dus van den geheelen waaier om Y.

De dubbelkromme gaat door A (zie 3) en door F,
omdat het nulvlak van dit punt {F, a^) volgens 2 ribben
snijdt, die tot B] behooren. Tot een nadere bijzonder-
heid leidt de volgende beschouwing.

Uit elk punt -S op een beschrijvende s is nog een
tweede raaklijn r te trekken aan cp\' met raakpunt 31
op Bij iedere ligging van S behoort een nulvlak
(door s) en dit snijdt op a\' een tweede punt N in. Bij
de coïncidenties M=N van de collocale projectieve
puntenreeksen (M) en (NJ op a\' behooren de punten
Si en S2, waarin s op ^^ steunt, want de lijnen r uit
deze punten zijn complexstraal-raaklijnen met raakpunten
op dus beschrijvenden van B^.

Neem voor s een van de 2 singuliere stralen door F.
Van de puntenparen (31, N) ligt dan steeds het eene,
nl. 31, in \'t punt X, waar .s op a\'-\' steu^ Dit punt
X is dus dubbele coïncidentie. Als N=X, is het
raakvlak in X aan cp\' (dit raakt den omhullingskegel
uit F aan volgens s) nulvlak. En het hierbij behoorende
nulpunt S geeft als singulieren straal, die in dit punt
op 5 rust de lijn s zelf. Neemt men S in F, dan wordt
r onbepaald, maar wij weten, dat in F de andere sm-
guliere straal op s steunt.

Iets dergelijks doet zich voor, als men voor s neemt
een van de 2 raaklijnen uit A aan a^ (raakpunten: Ai
en A^). \'t Punt M loopt over maar N is nu telkens
\'t zelfde punt, nl. X= Ai. M valt in X, dus in N, als
5=X, d. i. als men het nulpunt neemt in \'t raakpunt.
De singuliere straal, die hier op s steunt, is SM=s
zelf. Neemt men S in A, dan wordt aj nulvlak en M
dus onbepaald, maar we weten, dat in J. op s steunt
de andere raaklijn AA2.

Uit \'t voorgaande volgt, dat langs de raaklijnen uit
A aan twee singuliere stralen zijn samengevallen;
evenzoo langs de singuliere stralen uit F. Deze 4 lijnen
zijn torsale rechten van i?^; de bijbehoorende klempiinten
zijn Au Ai, en de nulpunten (Bt en B2) van de raak-
vlakken aan den omhullingskegel uit F volgens de sin-
guliere stralen door dit punt.

Natuurlijk gaat door de 4 klempunten. Terwijl het
nulvlak van een willekeurig punt van ^^ met een
doorsnede geeft, die o, a. bestaat uit de beide singuliere
stralen door dat punt, zyn de nulvlakken van de klem-
punten torsale raakvlakken.

5. De singuliere punten en stralen in a.
Zij S een punt van a met nulvlak v. \'t Poolvlak tt
van S gaat door F. Hierin ligt P, de pool van v.
De lijn FS snijdt tt in D = F, waardoor p = FP wordt.
De toegevoegde poollijn s ligt in v, maar ook in a,
omdat p gaat door F, d. i. de pool van x. Derhalve is
s = {v,x). In woorden:

elk punt van het poolvlak van F heeft tot heeld den
complexstraal door dat punt.^ die tot den coniplcxivaaicr
van dat vlak behoort.

Een ander punt Si van s= SA heeft evenzeer den
straal s tot beeld. Hieruit volgt onmiddellijk:
♦ de waaier (A,u) bestaat uit louter singidiere stralen.
Beschouw in het bijzonder een punt op a^ = {(p^, a).

Omdat S in a\' ligt, is S het beeld van SA en omdat S
op ligt, is S ook het beeld van een zekere raaklijn
in S aan Dan is S toegevoegd aan den geheelen

waaier om dat punt. Dus:

alle punten der doorsnede van (p^ met hetpoolvlah van
F zijn singtdiere punten.

De onbepaaldheid van den beeldstraal ontstaat hier
doordat de transversaal FS \\n 7c = (t valt; (3- = \'t raak-
vlak in S aan (p\'^. Daardoor toch ontstaat er geen
bepaald snijpunt- D van FS met tt, dus ook geen bepaalde
rechte p = FI).

6. De m.pl. der singuliere punten en stralen.

Er zijn geen andere singuliere punten en stralen dan
die in \'t voorgaande zijn gevonden.

Beivijs. Bij het zoeken van een beeldpunt S zijn s
en p altijd ondubbelzinnig bepaald. De onbepaaldheid
van S (waardoor s singuliere straal wordt) kan dus alleen
ontstaan doordat er geen bepaalde lijn t gevonden wordt
óf doordat t langs 5 valt. De transversaal t nu is on-
bepaald:

1®. als F, p en s in één plat vlak liggen. Dat vlak
is raakvlak aan en wel een raakvlak door F, dus in
een punt op al Hieruit volgen de singuliere

stralen, die de beschrijvenden zijn van Ji*.

2«. als p door F gaat. Dit is \'t geval, als ^^ ligt in
\'t poolvlak van F. Dit levert den waaier {A, x) op.

30. als s door F gaat. In \'t algemeen leidt dit niet
tot onbepaaldheid van \'t beeldpunt, behalve

4°. als t langs .9 valt. Hiervoor is niet alleen noodig,
dat F op 6- ligt, maar ook dat 5 door p gesneden wordt,
dus \'t samengaan van 1° en 3". Hieraan beantwoorden
de 2 beschrijvenden van door F.

Al deze singuliere stralen zijn echter in het voorgaande
aangewezen.

Onderstel nu, dat een punt S met nulvlak y, buiten

a® gelegen, singulier punt is. De lijnen, die S
verbinden met de 5 snijpunten (v, a^ zijn dan sin-
guliere stralen, omdat ze o. a. als beeld behooren bij 2
singuliere punten. Onder deze verbindingslijnen zijn er
echter minstens 2 (nl. als men S op R^ « kiest), die
niet tot RI oc behooren. Dit is een ongerymdheid.
Er zijn dus geen singuliere punten buiten a^

Men kan opmerken, dat elke singuliere straal 3 sin-
guliere punten bevat en dat door elk singulier punt 2
singuliere stralen gaan (door A een geheele waaier). En
het gevondene is derhalve aldus in woorden te brengen:
de m.pl. der singulie^x stralen is devtjfdegraadsfiguur
(A,ci) met een vijfdegraadsduhhelkromme d^ ^^
als m.pl. der singidiere punten.

Van de singuliere figuren keert a^ telkens terug, welke
complex ook op de hier beschouwde wijze wordt afge-
beeld, omdat d^ alleen afhangt van de ligging van F
en cp^; de rest hangt bovendien van den complex af.

HOOFDSTUK II.
Het beeld van een waaier uit L.

1. \'t Beeld is een hegelsnede.

Daar elke straal van den waaier zijn eigen beeld bevat,
zal de m.pl. der beeldpunten een kromme zijn in \'t
vlak van den waaier. De m.pl. heeft het nulpunt S
van \'t vlak tot gewoon punt, want één der stralen
wordt afgebeeld in S. Een willekeurige lijn door Sza\\
de m.pl. in nog slechts één punt kunnen snijden, nl. in
\'t beeldpunt van dien straal.

De kromme wordt dus door een willekeurige rechte
in 2 punten gesneden: ze is een kegelsnede k\'^ door S.

Deze kegelsnede kan men als voortbrengsel zien ont-
staan van 2 projectieve stralenbundels, als volgt:

Zij y het nulvlak van S. Laat men s den waaier
{S, v] doorloopen, dan doorloopt de toegevoegde poollijn
p den waaier (P, waarbij P weer is de pool van
y en X \'t poolvlak van S. De transversalen tk uit F
over twee correspondeerende stralen en pk uit deze
waaiers worden gevonden als doorsneden van de vlakken
{F,Sk) en (F, Pk). De vlakken {F, sk) vormen een bundel
door FS = t en de vlakken {F,pk) vormen een bundel
met FF=g tót as. En deze 2 vlakkenbundels zijn
projectief, omdat Sb tt pk.

Daar de assen elkaar snijden in F, brengen de pro-
jectieve bundels een quadratischen kegel voort. Flij
snijdt op j/ de kromme Jc^ uit, omdat zijn beschrijvenden
de transversalen tk zijn. Insgelijks wordt op tt de m.pl.
der punten D ingesneden, die dus ook een kegelsnede

Z® is. De kromme Ic^ ontstaat nu ook als voortbrengsel
van 2 projectieve waaiers. De vlakkenbundels (i) en {q)
snijden nl. op v de waaiers (S) en (Q) in, die projectief
verwant zijn. Een punt Sk op F ontstaat door een
straal sjt te snijden met s^, d.i. de doorsnede van y en
(F, pk). Op analoge manier ontstaat \'n punt Dk van P
door de snijding van pk en p*, d.i. de doorsnede van t
en {F, Sk). De rechten Sk en p*^ snijden elkander in
Ak op d = {v,7r); evenzoo s* en pk in Bk op d. Ak en
Bk vormen twee collocale projectieve puntenreeksen.

Er zijn daarbij 2 coïncidenties üi en Cz. Hierin vallen
telkens 4 punten: A, B,. S en I) samen; en/cMiebben
dus Cl C2 tot gemeenschappelijke koorde. In Ci snijden
twee toegevoegde poollijnen si en pi elkaar: (51,^1). is
dus raakvlak aan in Ci; si is een van de 2 raak-
lijnen uit S in V aan Dat Ic^ door \'t raakpunt zou
gaan, was te voorzien, want een raaklijn aan die
tevens tot L behoort, wordt in \'t raakpunt afgebeeld.

Bij s* = QS uit waaier (0 behoort in waaier (S) de
raaklijn s aan Ic^ in den waaiertop; ze is \'t beeld van
S. De top Q~(q,v) ligt ook op Ir. De raaklijn in ^
aan k^ is de straal uit waaier [Q), die correspondeert
met SQ uit {S). Genoemde raaklijn wordt op v inge-
sneden door \'t vlak [F, x), als x de aan SQ toegevoegde
poollijn is. Overeenkomstige opmerkingen gelden voor P.

Vallen de coïncidenties Gi en C2 samen, dan is d
raaklijn aan cp^; v wordt raakvlak in Ci = C2 aan (p^
en de pool F, dus ook Q, valt in Ci,

De kegelsneden P en V^ raken elkaar en cp\'^ in Ci
aan. Deze eigenaardigheid vertoonen P en l\'^ ook, als
men uitgaat van een waaier, behoorend bij een punt
S van

Het is nog van belang, op te merken, dat P steeds
gaat door de 5 punten Z= (y, a\'^S^J, omdat de (sin-
guliere) punten Z o. a. de beelden zijn van de stralen
SZ uit den beschouwden waaier.

2. Geval, ivaarin h^ ontaardt.

Bij toepassing van het voorgaande op den waaier in
een willekeurig vlak y door F met nulpunt S vindt
men als beeld een kegelsnede k\'^ door F en door
S. De quadratische kegel van zooeven valt uiteen
in \'t vlakkenpaar {F, d) [F, pa), waarbij pi de aan
S2 = SF\' toegevoegde poollijn is; TMvordt een lijnen-
paar:

De kromme k^ ontaardt niet, omdat in v weer 2
gewone projectieve waaiers voorhanden zijn, die k^
voortbrengen, nl. de waaiers [S) en [Q) = (F). Als
echter in deze projectiviteit de verbindingslijn SQ aan
zich zelf is toegevoegd, treedt ontaarding op. Dit ge-
beurt, als Pi door D = {t,7r) gaat; t = FS is dezelfde
lijn als 52 = SF, maar in tegengestelde richting getrokken.
Maar dan zijn 52 en pi snijdende lijnen, dus toegevoegde
raaklijnen aan cp\'^ en v is een vlak door een van de 2
complexstralen door F, die tevens raaklijn zijn. Men
kan ook zeggen: het nulpunt S is op zoo\'n complex-
straal gekozen. De ontaarding was te voorzien, want
in y ligt dan een singuliere straal, die toegevoegd is aan
ol z\'n punten. Die straal behoort tot de m.pl. van het
beeldpunt en wordt door een tweede rechte aangevuld
tot een figuur van den tweeden graad. Als v door a^
voor de tweede maal gesneden wordt in Sa, terwijl
de tweede raaklijn in v uit S aan Cp^ haar raakpunt
heeft in Si (de andere raaklijn is ss en deze bevat \'t
andere snijpunt van v met a"), dan is Sa Si de aanvul-
lende rechte. Want de raaklijn 54 = SSi heeft haar
beeld in \'t raakpunt Si en Sa (op a^) is o.a. toege-
voegd aan sa^SSa.

Is y het nulvlak van F, dan bevat de\'waaier 2 sin-
guliere stralen, nl. de beide raaklijnen uit F in v aan
De m.pl. k^ ontaardt dus in dit lijnenpaar. Al
de andere stralen uit den waaier hebben hun beelden
in F.

3. De ontaarding van Tc^ in \'t algemeen.

Het voorgaande is een bijzonder geval. Elk punt van
eiken singulieren straal geeft een nulvlak, waarin P
ontaardt. Immers: in den coniplexwaaier, beboerend bij
zoo\'n punt, komt ook die singuliere straal voor en deze
wordt afgebeeld in al zijn punten.

Hieraan voldoen alle punten van Neemt men
\'t nulpunt op a^ ^^ dan wordt de waaier afgebeeld
in de 2 uitzonderingsstralen door dat punt. Nadere
uitwerking leidt tot een paar bijzonderheden.

a. S op a^. De straal SA is toegevoegd aan al zijn
punten; eveneens de straal s^{v,7r) = {v, a), als «ris \'t
raakvlak in S aan (p^. Ook de kegelsnede P is ontaard,
nl. in FS PS.

b. S in X. Voor SJ. geldt \'t zelfde als onder a.
Zij Sk weer een willekeurige straal uit waaier [S), pk de
toegevoegde poollijn. De transversaal uit F=D (injr)
over Sk en pk snijdt Sk in het beeldpunt .Sk en dit ligt
telkens op {v, 5r). Deze lijn vormt met S^ het lijnen-
paar, dat als beeld optreedt van waaier (S).

Is S in \'t bijzonder het nulpunt A van dan is elke
complexstraal uit den waaier (S) toegevoegd aan al zijn
punten. Beze waaier wordt dus afgebeeld in hetpunten-
veld van u. Iets dergelijks doet zich ook voor, als een
raakvlak door F aan (p\'^ zijn nulpunt zou hebben in \'t
raakpunt.

Heeft \'n willekeurig raakvlak aan (p^ zijn raakpunt
tot nulpunt, dan is dit punt \' de afbeelding van den
geheelen waaier in dat raakvlak. Immers de singuliere
stralen van dien waaier zijn in \'t algemeen onbestaanbaar.

c. S op B\\. Laat de beschrijvende s door /S in X
op rt® steunen. Het poolvlak tt gaat door de aan s toe-
gevoegde raaklijn p-, (p, 5) is \'t raakvlak in X aan
hierin ligt F. De straal s wordt in al zijn punten af-
gebeeld. Bij een willekeurige pk behoort een complex-
straal Sk en hierop vindt men op de gewone manier het

beeld De punten Sk liggen alle op de rechte S3 Si
geheel overeenkomend met de gelijknamige uit 2.
, Zij in \'t bijzonder S het nulpunt van \'t raakvlak aan
in X. De pool P van y valt in \'t raakpunt X; tt
bevat de raaklijn p, die toegevoegd is aan s = SX, dus
^ gaat door X en p = {v,7:)-, F ligt in y. De singuliere
straal s is toegevoegd aan al zijn punten; de aanvullende
rechte gaat door F, want straal SF heeft in F zijn
beeld. Die rechte is FP. Immers bij een\'willekeurige
Pk en Sk behoort een transversaal tk, die steeds langs
FP valt. Hierop liggen dus de punten

Neemt men voor X een der punten, waar de singuliere
stralen door F op a^ steunen (of voor S een der klem-
punten Bl en B2), dan zijn alle stralen toegevoegd aan
\'t uitzonderingspunt S; SX blijft toegevoegd aan al zijn
punten en de aanvullende rechte FP valt samen met
SX, omdat F op SX ligt en omdat P=X Nu is k^
dus ontaard in een diihbelrechte.

Dit is in overeenstemming met hetgeen vroeger omtrent
de singuliere stralen door F gevonden is, nl. dat ze
dubbel te tellen zijn.

d. Iets dergelijks doet zich voor, als men S neemt
in de klempunten Ai of A2. De beide singuliere stralen
door Al (of Ai), die \'t iijnenpaar moeten opleveren,
waarin P ontaardt, zijn samengevallen. Meer uitvoerig
ziet men de dubbelrechte zóó ontstaan:

Zoowel het nulvlak v als het poolvlak s-(= raak-
vlak in S) van S gaat door SA. Het snijpunt D van
FS en T wordt onbepaald. PD is eenige straal uit
waaier [P, tt), zeg pk, waaraan toegevoegd is Sk, eenige
straal uit (S, y). Dit stempelt S tot uitzonderings-
punt. Evenals onder a (waar S een willekeurig punt
van «2 is) wordt SA in al zijn punten afgebeeld,
maar de aanvullende rechte (y, tt) uit a valt hier met
SA samen.

4. Meetkundige plaatsen.

Als \'t voortbrengsel van de projectieve waaiers {S)
en {Q) uit 1 ontaardt, is de verbindingslijn SQ der
toppen aan zichzelf toegevoegd. Dit brengt met zich,
dat het aan den complexstraal SQ toegevoegde beeld-
punt onbepaald wordt, m. a. w. dat SQ een singuliere
straal is. Voor ontaarding van k^ is \'t dus niet alleen
voldoende, maar ook noodig, dat S op zoo\'n straal ge-
kozen wordt. Derhalve:

B^ a. is de m.pil. der p>unten in ivier nulvlak k^
ontaardt in een lijnenpaar.

Behalve volgens de uitkomsten van 3 is de aanvul-
lende rechte, d. i. het niet-singuliere bestanddeel eener
ontaarde k\'^ altyd ook gemakkelijk te bepalen met de
punten (v, a^ -f- \'t Is nl. steeds de verbindingslijn
van dat tweetal dezer punten, dat niet ligt op den uit-
zonderingsstraal, waarop S gekozen is. Ligt S op R^,
dan is de aanvullende rechte enkelvoudige snijlijn van
a^ en ligt S in a, dan is ze koorde van Om-
gekeerd kan elke rechte, die unisecante van ^^ en a^
of bisecante van è] is, optreden als deel van een ont-
aarde k^.

Bewijs: Zij X een punt van a^, Y een punt van
XY snijdt R^ ROg in een vierde punt Z. De sin-
guliere straal s door dit punt bepaalt met XY een
nulvlak, waarin een complexwaaier ligt, die afgebeeld
wordt in s XT. — Zij in de tweede plaats Y\' een
tweede punt op dan bevat /t vlak v door YY\' en
A een waaier, die tot beeld heeft (v, x) YY\'.

In een willekeurig vlak V liggen er wegens de
2 3 snijpunten met a^ 6 rechten van de soort
XY en 3 van de soort YY\'. Door een willekeurig
punt O gaat 1 koorde van verder hebben de kegels
(O, a^) en (O, S^) 6 ribben gemeen, waarvan er echter
2, nl. OAi en OA2, niet in verschillende punten op a^
en steunen. Uit een en ander volgt:

de m.pl. der j%iet-singulie)-e bestanddeelen van ontaarde
kegelsneden is een congruentie [5,9].

Ze is op le bouwen uit kegels van den derden graad
met toppen op a^ en paren van quadratische kegels
met toppen op

HOOFDSTUK III.
Het beeld van een puntenreeks.

1. \'t Beeld is een cuhisch regelvlak.

Laat een vlak v om de rechte (puntenreeks) u draaien.
Het nulpunt S loopt dan over de toegevoegde richtlijn
V van L. De beeldkegelsnede k^ van den waaier in v
snijdt M in Si en Si\\ en de beelden si en s^ van deze
punten zijn beschrijvenden van \'t gevraagde regelvlak
li. Blijkbaar zendt elk punt S van v twee beschrijvenden
uit, is dus dubbele richtlijn van R. Neemt men een
punt Si aan op u, dan gaat \'t nulvlak van dat punt
door V en de complexwaaier van dat vlak heeft één
straal, nl. si, die z\'n beeld heeft op u (in Si). Dus:
R heeft u tot enkelvoudige richtlijn. Daar de volledige
doorsnede (7^, v) de derdegraadsfiguur u si sz is,
vinden we een cubisch regelvlak R = R^ als beeld der
punten van u. In overeenstemming hiermee bevat een
vlak door v slechts één lijn s, want v moet tweemaal
geteld worden.

De punten Si en S2 vormen de paren eener quadra-
tische involutie op u. Deze paren zijn telkens toege-
voegd aan één punt S op v. Bij een coïncidentie van
de involutie is Si = S2, dus si = S2. Het punt S zendt
dan 2 samenvallende beschrijvenden uit. Dit zijn de
torsale rechten van Rl en de beide punten S zijn klem-
punten\', de nul vlakken van deze punten zijn de bijbe-
hoorende torsale raakvlakken.

De rechte u snijdt (p^ in 2 punten Zi en Z2. Bij Zi
behoort als beeld een raaklijn zi aan cp^; zij is de door-

snede van het nulvlak met het raakvlak van Zx. Dit
is tevens raakvlak aan \'t oppervlak i?^ dus Bl wordt
aangeraakt door de raakvlakken aan in de punten
(u,(p^). Bij Zs^iu,^) behoort zs^ZsA als beeld,
dus ook « is raakvlak aan R^ Behalve zijn onder
de beschrijvenden van Rl nog 4 singuliere stralen. Deze
behooren tot R^/, \'t zijn de beelden van de punten «).

De regelvlakken Rl en die bij u en behooren,
hebben een doorsnede van graad 9, die zoover mogelijk
ontaard is, want ze bestaat uit u en v, elk tweemaal
geteld en uit de 5 singuliere stralen, zooeven bedoeld.

2. Andere afleiding van \'t heeldoppervlak.

Hierbij wordt een derde richtfiguur gevonden.

Bij eenig punt S van u zij de beeldstraal 5 op de ge-
wone manier geconstrueerd. Laat nu S over «loopen,
dan draait u om v; t: draait om u\', de toegevoegde
poollijn van ii t. o. van Ó\'; en P, de pool van v, loopt
over v\', de toegevoegde poollijn van v.

\'t Doorgangspunt D van t = FS op ^ is telkens \'t
snijpunt van 2 correspondeerende stralen uit projectieve
waaiers, nl. 1°. den waaier met F tot top in \'t vlak
(F, h) en 20. den waaier in dit vlak, die tot top heeft
\'t punt Q, waar dit vlak gesneden wordt door m\'. Deze
waaier wordt door (F,«) ingesneden in den vlakken-
bundel met u\' als as. D loopt dus over een kegel-
snede r^ in [F, m), gaande door F en Q. In dit punt
steunt u\' op r®. De m.pl. van p is dus: een regel vlak,
dat u\', v\' en r^ tot richtlijnen heeft, \'t Dubbele product
van de graden dezer lijnen is 4, maar er valt af \'t vlak
(C, v\'), dus bedoeld regelvlak is van den derden graad.
Het heeft v\' en tot enkelvoudige richtlijnen, terwijl
u\' dubbele richtlijn is. De w^derkeerige poolliguur van
\'t regelvlak der rechten p t. o. van cp\' is de m.pl. der
lijnen s. die de beelden zijn van punten S op u. Daar
\'t regelvlak (p) niet ontwikkelbaar is, is het ook van de

derde klasse: \'t regelvlak (s) is dus van den derden
graad: i?^. Het laatste heeft u en v tot richtlijnen en
verder een quadratischen kegel tot richtoppervlak.

Daar nl. elke lijn p door een der punten D gaat, zal
elke lijn s in \'t poolvlak van zoo\'n punt B liggen; B
nu loopt over een kegelsnede, dus de poolvlakken van
D omhullen een tweedegraadskegel. Z\'n ribben zijn
de toegevoegde poollijnen van \'t raaklijnenstelsel van r^
en de top is de pool van [F, u), dus (»\', x), Daar s in
\'t poolvlak van D ligt, wordt s raaklijn aan genoemden
kegel en deze dus richtoppervlak van De rechte u\'
zelf steunt op dus u raakt ook aan den kegel. Er
gaan door elk punt O van v aan den kegel 2 raak-
vlakken, die elk door u in één punt gesneden worden.
De verbindingslijn van dit punt met O is een beschrij-
vende van R^, dus v is tweevoudige richtlijn. Door elk
punt O* van u gaan ook twee raakvlakken, maar één
daarvan is telkens \'t poolvlak van Q. Het andere snijdt
op V één punt in, dat, verbonden met O* een rechte
van Rl geeft. Dus u is enkelvoudige richtlijn.

De raakpunten der raaklijnen s aan den quadratischen
kegel vormen een m.pl., waarop alle beschrijvenden s
steunen. Deze kan als derde richtlijn worden beschouwd.

3. De rechte u zy complexstraal.

De toegevoegde richtlijn x) valt dan met u samen,
zoodat de gevraagde rechten s deel uitmaken van de
parabolische congruentie, die xi^v tot as heeft. Een
willekeurig vlak v door u heeft zijn nulpunt 8 ergens
op u. De coraplexwaaier van v wordt afgebeeld in k^,
die in S wordt aangeraakt door den beeldstraal s van
dat punt. Het gevraagde beeldoppervlak wordt door s
doorloopen, als v om u draait, want dan loopt S over
M. De rechte u is weer enkelvoudige richtlijn. Verder
is er een richtoppervlak, want alle beschrijvenden s raken
aan \'t oppervlak, dat door k^ doorloopen wordt. Tot

dit oppervlak behoort ook u, omdat ^S achtereenvolgens
in alle punten van u komt; het is van den derden graad.

Een punt S* van ¥ heeft tot beeld s* = SS*. Zoo
is een bepaald punt, nl. \'t tweede snijpunt (I = \\k\\u)
\'t beeld van u. De richtlijn is dus tevens een beschrij-
vende van \'t gezochte regelvlak (dat de punten van ti
afbeeldt). Er gaan 2 bladen door; in de doorsnijding
met V moet ti tweemaal in rekening komen. Dit geeft
mét s een figuur van derden graad als volledige door-
snede: de rechten s vormen dus een cubisch oppervlak
van Gayley (iü^).

De kegelsnede Ic^ blijft steeds door U gaan; als 5in
U valt, wordt de bijbehoorende k^ door u aangeraakt.
Terwijl S over u loopt, draait tt om n\' en de pool P
loopt over v\' = u\'. Het punt D beschrijft weer een
kegelsnede r^ in {F, ?<), voortgebracht door de projec-
tieve waaiers, die in F en ^ hun toppen hebben. Daar
alle lijnen p op r® steunen, is er voor If^ weer een
quadratische kegel als richtoppervlak aan te wijzen.

4. Be lijn w bevat één singulier punt (Si).

Daar dit als beeld behoort bij een geheelen waaier
uit L, wordt er van Rl een plat vlak afgesplitst:\'t vlak
van dien waaier. Er blijft dus over een (quadratische)
regelschaar i?®, gevormd door de lijnen s, welke de
overige punten van u afbeelden. Onverschillig waar Si
op steeds kan men gemakkelijk de regel-

schaar door 3 beschrijvenden vastleggen. Buiten \'t sin-
guliere punt Si heeft u nl. nog 3 punten met i?« «
gemeen. En de singuliere stralen door de 3 laatste
punten behooren tot Rl, omdat zij o.a. in de 3 be-
doelde punten (m, R^ «) afgebeeld worden. Van de
3 beschrijvenden liggen er 2 op en 1 op als Si
op gekozen is; steunt u op fl^ dan behooren ze alle
3 tot

Tot Jil kan men rechtstreeks komen door te beden-

ken, dat de kegelsnede h^ in eenig vlak door u (nul-
punt S op v) de lijn u steeds snijdt in Si, het beeld
van SSi en in een tweede punt T; TS behoort tot \'t
afbeeldend regelvlak. De m.pl. van T& is een regel-
schaar, voortgebracht door de projectieve puntenreeksen
(S) en [T) op de kruisende dragers u en v.

Deze rechten behooren tot Daar \'t afgesplitste
nulvlak n van S\\ door v gaat, is vi raakvlak aan
in \'t snijpunt van v met de beschrijvende vani2®uit5i.

Is u bovendien complexstraal (dus v =«), dan wordt
elk nulvlak door u raakvlak aan lil nulpunt, want
het snijdt dit oppervlak volgens u en volgens den straal
5, die afgebeeld wordt in \'t nulpunt. In \'t bijzonder
geldt dit ook voor het nulvlak van Si, dat van Bl
afgesplitst wordt; dit raakt de regelschaar aan in/Si. Ook
in dit geval van ontaarding gaan er weer 2 bladen van
de m.pl. der beeldstralen door u.

Behalve u en v is er altijd nog een derde richtlijn
van Bl aan te wijzen, die niet tot de soort s behoort.
Dit kan door gebruik te maken van de m.pl. der toe-
gevoegde poollijnen p. — Gaat n b.v. door F, dan kan
als derde richllijn dienen «\'. Want de rechten p = P/)
steunen op u\' en v\', maar ook op u^t. De toege-
voegde lijnen rusten dus op m, v en w\'. Het nulvlak
{F,v) van F, dat in dit geval van B^^ wordt afgesplitst,
raakt Bl aan in \'t snijpunt van v met de transversaal
uit F over v en u\'. —

Behoort u tot L, dan komt volgens het voorgaande
\'t geven van de 2 samengevallen richtlijnen (m = ?;)
neer op \'t voorschrijven van de raakvlakken aan B^ in
de punten van n.

De in deze § bedoelde lijnen door een singulier punt
vormen een\' cubischen en een quadratischen complex.
Immers: de lijnen door \'n willekeurig punt O, die voldoen,
zijn de ribben van de kegels [OJ^) en (O, a^). In de
complexen ligt een congruentie van rechten u, waarvoor

\'t afgesplitste vlak door u gaat; ze wordt gevormd door
de stralen van L, die op a^ a^ steunen. Daar er in
elk vlak en door elk punt blijkbaar 5 van die stralen
te trekken zijn (uit \'t nulpunt naar de 5 doorgangen
van a\' „jg^ nulvlak) is de bedoelde congruentie
een [5,5].

5. Be rechte u gaat door 2 singuliere punten (Si en Si).

Van Rl worden afgesplitst de nulvlakken en j/2 van

Si en si zoodat er nog een derde plat vlak overschiet.
Dit bevat een waaier uit L, wiens stralen afgebeeld
worden in de punten van w, deze lijn is dus niet-sin-
gulier bestanddeel van /c® uit \'t ,derde" vlak en wordt
tot een tweedegraadsfiguur aangevuld door den singu-
lieren straal door den waaiertop, die bijgevolg \'n punt
van X of R^ is. Het derde vlak is zoodoende volkomen
bepaald als\' \'t vlak door u en den uitzonderingsstraal
door \'t punt [R^ t «), huiten Si en & gelegen.

Er is echter nog een mogelijkheid, die niet onder \'t
vorige valt, nl.: Si en S2 op a^. In dit geval wordt
n 4- 1/2 aangevuld lot een figuur van den derden graad
door \'t poolvlak a van F, daar \'n punt S van u = Si
tot beeld heeft den straal SA uit waaier {A,oc).

Is M (door 2 singuliere punten) bovendien complex-
straal, dan is 1/ aan die 2 punten als beeld toegevoegd;
u is in dat geval singuliere straal en bevat volgens \'t
vroeger gevondene nog een derde uitzonderingspunt Sz.
Omgekeerd: als m door 3 singuliere punten gaat, is u
(singuliere) straal van A daar anders de graad van het
afbeeldend regelvlak hooger dan ,3 zou uitvallen.

De punten van u buiten 5,, S^ en worden op u
zelf afgebeeld; nu is Rl^vi 1/2 va.

6. Be m.pl van u, ivaarvoor Rl ontaardt.

Als van R^ \'n plat vlak f (nulpunt N) afgesplitst
wordt, zijn er 2 hoofdmogelijkheden:

1°. u ligt in v.

2°. u ligt niet in v.

Als M in y ligt, kan men hebben:

a. u behoort niet tot L. Daar u de beelden van de
stralen uit {N, v) bevat, is u niet-singulier bestanddeel
van k^ uit y óf ligt in a; u behoort dus tot \'t stralen-
veld [0,1] van dit vlak of tot de [5,9] in IP genoemd.
Deze 2 verzamelingen van rechte lijnen vormen samen
\'t koordenstelsel [5,10] van

b. u is complexstraal. De stralen uit (iV, v) hebben
geen ander punt met u gemeen dan N. Dit moet dus
\'t beeld zijn van alle stralen uit dien waaier en u is
bijgevolg een straal uit L door één singulier punt (iV)-

c. u is singuliere straal. Omtrent N geldt hetzelfde
als onder 6, maar u bevat nu nog 2 andere singuliere
punten.

Als u niet in v ligt, moeten alle stralen uit [N, v)
toegevoegd zijn als beelden aan \'t snijpunt (m, y). De
snijding moet dus plaats hebben in het singuliere punt
iV; M is een rechte door één singulier punt. — Dat u
2 singuliere punten bevat behoeft niet afzonderlijk onder-
steld te worden, omdat deze ligging in 1« reeds is voor-
zien; 3 uitzonderingspunten kan u niet bevatten, omdat
u (door N en niet in v) niet tot L behoort.

Al deze mogelijkheden van ontaarding van Rl nu zijn
in de vorige §§ besproken. Er zijn dus geen andere.
Men kan derhalve zeggen:

Be m.pl. der lijnen u, tvaarvoor Bl = regelschaar -f- \'n
plat vlak is een vij\'fdegraadscomplex, die a^ -f- tot.
m.pl. van hoofdjmnten heeft.

Be m.pl. der rechten u, waarvoor Rl = regelschaar -f-
\'n plat vlak door u is een congruentie [5,5], die a^ -f
tot singuliere kromme bezit.

De m.pl. der rechten u, waarvoor Rl = 3platte vlakken,
waai-van één door u. ivordt gevormd door de congruentie
[5,10] der koorden van -f

De m.pl. der lijnen ti, tvaarvoor Bl = 3 platte vlaTcTcen
door u is \'f regelvlaTc der singuliere stralen B\\ cc.

Alle rechten m, die behooren tot \'t raaklijnenstelsel
van a^ of tot \'t (vierdegraads) raaklijnenoppervlak van
geven een Pf, die ontaard in een dubhelvlah en een
plat vlak door u.

Is u een van de raaklijnen uit A aan rt^ dan gaat \'t
dubbelvlak ook door u.

7. Zij u middellijn van L.

Dan wordt v een lijn in \'t oneindige, nl. de snijlijn
van den parallelvlakkenbundel, gevormd door de nul-
vlakken van de punten op u. Het cubische regelvlak
J^l krijgt dus een richtvlak, nl. een exemplaar uit dien
bundel, is dus een conoïde.

Het wordt een rechte conoïde, als men voor u in \'t
bijzonder neemt de as van den complex.

Als in deze gevallen (m = middellijn) een plat vlak
afgesplitst wordt, is het overblijvende regelvlak een hg-
perholische paraboloïde. Het afgesplitste vlak zelf kan
als richtvlak der paraboloïde dienen. De middellijnen
van deze soort (door één singulier punt) vormen 2 cilin-
ders met evenwijdige assen, die a® en ^^ tot richtlijnen
hebben. Deze 2 cilinders hebben G ribben u gemeen,
waarvan er 2 gaan door de snijpunten (a®, a^).

De 4 andere bevatten 2 singuliere punten en leveren
elk een oppervlak Rl op, dat ontaard is in 2 evenwijdige
platte vlakken (de nulvlakken van de beide singuliere
punten) en een derde vlak door u. De complexstralen
hierin vormen een parallelstralenbundel met top op v^.
Verder is er nog één middellijn, die koorde is van
HiervQor geldt hetzelfde.

HOOFDSTUK IV.
Het beeld van een stralennet.

1. \'t Beeld is een derdegraadsojypervlah.

De beschouwde complex is algemeen, bevat dus geen
hoofdpunten (elke lyn erdoor is complexstraal) of hoofd-
vlakken (elke rechte erin behoort tot den complex). In
L komen dus geen stralenschoven \\_1,0] of slralenvelden
\\P,Ï\\ voor. De eenvoudigste congruentie, die optreedt
in den complex, is \'t stralennet Overigens zijn

voor alle complexcongruenties [p, de beide graad-
getallen gelijk: p^q. Immers: als er door een punt
p stralen gaan, liggen die steeds in één plat vlak en ook
omgekeerd.

Om nu een net uit L te lichten is \'t voldoende, alle
stralen te nemen, die op een willekeurige rechte u
steunen; ze snijden dan ook de toegevoegde richtlijn v,
zoodat u en v de richtlijnen van \'t uitgekozen net zijn.
De 00 2 beschrijvenden van \'t net geven 00 ^ beeldpunten
S, die een oppervlak vormen, waarop u en v liggen.
Want: de regelvlakken Rl en R^, die de beelden zijn
van de punten op u en v, behooren geheel tot de be-
schouwde bilineaire congruentie. Meervoudige punten
buiten u en v kan het oppervlak niet hebben, want in
zoo\'n punt ligt slechts het beeld van de eenige beschrij-
vende, die er door gaat. Is v geen complexstraal en
bevatten u en v geen singuliere punten der afbeelding,
dan liggen ook op die lijnen geen meervoudige punten.
Een willekeurige straal s van de [1,1\'] snijdt bedoeld
oppervlak dus in één punt op m, één punt op v en in

zijn beeldpunt S. Een vierde snijpunt Z is onmogelijk,
omdat er door geen andere beschrijvende gaat dan s.
De m.pl. van S is bijgevolg een oppervlak van den

derden graad: O®.

Dit is ook zóó in te zien: een willekeurig vlak y door

bevat een waaier uit L, wiens beeld k^ tot de m.pl.
behoort; andere punten dan die van u en k^ bezit de
m.pl. niet in v; dit levert een volledige doorsnede van
graad 3.

Laat y wentelen om m, dan blijft y dubbel raakvlak
aan in de punten («, /r). Twee maal vallen de 2
raakpunten samen, nl. in de coïncidenties der involutie,
die op n ingesneden wordt door \'t stelsel Vijfum^l
gebeurt \'t, dat y drievoudig raakvlak is. Bij de wenteling
van y ontaardt A;^ nl. 5 maal in een Iijnenpaar en wel
telkens als voor \'t nulpunt van y, d. i. \'t punt (y, v) ge-
nomen wordt een der 5 punten {v, Rt cc). In zoo\'n
geval is het snijpunt van het Iijnenpaar \'t derde raak-
punt. \'t Aantal 5 is in overeenstemming met de theorie
van de algebraïsche oppervlakken, volgens welke er bij
\'n oppervlak van den graad (n 3). (n — 2)^ raak-
vlakken zijn door u met raakpunt buiten Dit geeft
hier (5 2) (5= 5.

Voor de beschrijvenden van de regelvlakken en R^
vallen de punten S op resp. f. Deze beschrijvenden
zijn dus raaklijnen aan O\' in punten van m en v en de
2 genoemde regelvlakken raken aan, resp. volgens
u en v. De negendegraadsdoorsnede van O® met R„
is zoover mogelijk ontaard; zij bestaat uit « (2 maal
geteld wegens de aanraking), (ook 2 maal gerekend
als dubbelrechte van R^ en uit de 5 singuliere stralen,
die tot Rl behooren. Deze 5 rechten behooren ook tot
0\\ want "zij maken deel uit van de lijnenparen, waarm
/r ontaardt" voor de 5 nulpunten, bovenbedoeld. Verder
valt (0\\ R^) met de vorige doorsnede samen.

Door elk punt Y van ^^ gaat één transversaal over

u en v. Deze beschrijvende van de [7,?] wordt afge-
beeld in r, dus Hgt in haar geheel op O®, \'t Zelfde
geldt om overeenkomstige reden voor al De doorsnede
(jS^, 0^) is een figuur van den twaalfden graad, die
bestaat uit ^^ (2 maal geteld), a^ en de singuliere stralen,
die met iï* gemeen heeft. (0^ a;) = a® singuliere
straal door (h, cc). Daar a^ ook op ligt, behoort a^
tot (O®, Er moet dus nog een restdoorsnede zijn
van den vierden graad. Dit is de m.pl. ir* van de
beelden van alle raaklijnen aan die tot de congru-
entie behooren. In elk vlak y door u kunnen er uit \'t
nulpunt van v 2 raaklijnen aan getrokken worden;
dit geeft 2 snijpunten der m.pl. met v; de 2 andere zijn
de punten (m, 0^). Het samenstel van al de bedoelde
raaklijnen raakt 0^ aan volgens (T^ en heeft buiten
niets met (p^ gemeen. Dit beduidt een ,doorsnede" van
graad 8. De m.pl. van die raaklijnen is dus een regel-
vlak van den vierden graad. Dit blijkt ook hieruit, dat
de doorsnede met een willekeurig vlak v door u bevat
2 raaklijnen en de rechte h, die dubbelrechte is, evenals
v. De 4 tot R^ behoorende singuliere stralen, die op
M en V steunen, maken ook deel uit van het raaklijnen-
regelvlak. En daar deze afgebeeld worden in al hunne
punten, is \'t beeld van dit regelvlak feitelijk een ontaarde
ruimtekromme van den achtsten graad.

Daar O\' geen dubbelpunten heeft, ontstaat er met \'n
willekeurig plat vlak (3 een derdegraadsdoorsnede r®
eveneens zonder dubbelpunten; r® gaat door {u, (3) en
(r, j3). De verschillende nulvlakken v door ti snijden op
/3 een waaier in met top in (m, j3). Behalve (?<, /3) heeft
een straal van dezen waaier nog 2 punten Si en Sz
met r® gemeen. Dit zijn de beeldpunten van SSi en SSn,
als S (op v) \'t nulpunt van v is. Uit {u, (3) zijn 4 raaklijnen
te trekken aan r®. Vier maal vallen dus Si en Si samen;
4 maal gebeurt \'t dus dat k\'^ uit v aan (S raakt. Neemt
men voor (3 het vlak op oneindig, dan volgt hieruit, dat

onder de kegelsneden die bij de punten van u be-
hooren, 4 parabolen zijn. Deze liggen op 01 Zoo
behooren er bij v ook 4.

Daar men voor u elke rechte kan nemen, bestaat er
een vierdegraadsoppervlak als m.pl. der punten, in wier
nulvlak A:^ een parabool is. Dit oppervlak gaat door de
4 klempunten Au A2, Bi en (F = dubbelrechle) van
Bl en verdeelt de ruimte in 2 gebieden H en E, die
punten bevatten, waarvoor k^ een hyperbool, resp. een
ellips is. H is \'t gebied, waarin F ligt, als de om-
hullingskegel uit F aan reëel is; anders ligt J\'in E.

Uit de aanwezigheid der 4 parabolen volgt nog, dat
de m.pl. der middelpunten van de restdoorsneden (v, 0\'^)
een vierdegraadsruimtekromme is, die u tot drievoudige
snijlijn heeft; immers: behalve 4 punten in \'t oneindige
heeft zij met nog gemeen de 5 buiten u gelegen
raakpunten van de drievoudige raakvlakken door u.

2. De rechte lijnen op O\'.

Als bij de wenteling van v om u \'t nulpunt genomen
wordt in een der 5 snijpunten Z van v met
dan bestaat v) uit u, de singuliere straal r door
zoo\'n nulpunt en een derde rechte p, die r aanvult tot
een figuur van den tweeden graad (\'n ontaarde P).

\' Zoo liggen er ook op u 5 punten T, waarbij \'n nulvlak
behoort, waarin k^ ontaard is. Dit levert dezelfde 5
uitzonderingsstralen als de punten Z en verder nog 5
rechten q van de soort p. Tesamen met u en v zijn
hiermee 17 rechten van 6>\' aangewezen. Voor \'t over-
zicht is \'t dienstig deze lijnen aldus te benoemen:
de rechten p: pr, pz; ps; Pi\\ P0;
de rechten q: qi qz qs qi ?ö;
de rechten m en v resp. qe en po\', en
de rechten r: ru »\'26 »"se \'\'6g.
Hierbij zij rss de singuliere straal door [qn, x).
Denk een regelschaar 11", die bepaald is door 3 van

de 5 lijnen ni als richtlijnen, b.v. ne, ras en rse. Hierop
liggen ook u en v. De dubbelkromme snijdt R^ in
6 punten, waarvan er 1 op rss (d. i. A), 2 op ns en
2 op r26 liggen. De beschrijvende rsi van R\'^ door \'t
zesde snijpunt heeft 4 punten met O® gemeen, nl. dat
snijpunt en op ns, /\'ae en rsG telkens 1 punt: r^i ligt
dus geheel op Daar ze de 3 richtlijnen snijdt, kruist
ze pe en qe.

Zoo geven de regelscharen
(ri6 ras rss); (rie r46 ^ae); {r^e r&s rse); (^26 rts rse); (rae »-46 r^e)
achtereenvolgens aanleiding tot de rechten

^24 ; r23 ; fii ; ri3 ; ?\'i2

van O®. Een drietal lijnen, gekozen uit rie, rae, rza en
r46 (dus >-56 buitengesloten) bepalen een regelschaar
die door a^ in 4 punten wordt gesneden, waarvan er 3
op de gekozen richtlijnen liggen.

De beschrijvende van R^ door \'t vierde snijpunt heeft
weer 4 punten met 0\'^ gemeen, behoort dus geheel tot
dit oppervlak. Zoo krijgen we nog 4 lijnen ne, ^25,
rsh en ns, resp. opgeleverd door de regelscharen
(>\'26 ^36 r46); (ri6 ^36 Tis); (^16 r26 rii); (ri6 r^s rsa).

Hiermee is \'t 27-tal volledig. De laatste 10 komen
bij de beschouwing van \'t beeld van een regelschaar
beter tot haar recht als m.pl. van bepaalde beeldpunten
S. Ifki blijkt \'t beeld te zijn van de bijbehoorende R^
of beter: R^ heeft tot beeld r« en de 3 singuliere stralen,
waardoor R^ vastgelegd is]. Ze zijn dus alle door middel
van de onderzochte afbeelding te vinden.

De lijnen pi, p2, pa, Pi, pb, p& vormen een kruisend
zestal; evenzoo qi, 32, qu ?6. Tesamen is dit
\'n bisextupel.

Bisecanten van ^^ zijn ns, >\'26, rse, ns, omdat dit sin-
guliere stralen zijn. Verder ook p^. Dit is nl. de rechte,
die met rse \'t lijnenpaar vormt, waarin k^, behoorend
bij \'t nulpunt Z^ ^ (pe, a) ontaard is. \'t Correspondee-
rende nulvlak wordt door ^^ gesneden in A en nog

2 andere punten B en G. De stralen Z^ B en Z5 C
hebben hun beelden in B en C, dus ps bevat deze
punten van Dezelfde redeneering geldt voor 55

Nulsecanten van ^^ zijn pa en qs wegens de wille-
keurige ligging; ?-45 kan geen punt met gemeen hebben,
omdat anders de hyperboloide (ric ?-2g rsc) door in 7
punten zou gesneden worden. Analoog is \'t gesteld
met ri5, ras en rss.

Unisecanten van ^ zijn vooreerst pt, p-z, ps, p*, qi, 32,
93 en qi. Voorbeeld: pi vult ria aan tot de ontaai\'de
k^ uit \'t nulvlak van Zi={p6,riG)\', snijdt dit vlakin
2 punten, die op ru liggen en nog in een derde punt
I), dat \'t beeld is van Zi D en waardoor dus pi gaat.
Ook »\'56 heeft slechts 1 punt met gemeen, omdat de
2 andere snijpunten «) de punten zijn, waar a^ aan-
geraakt wordt door de raaklijnen uit A. Beschouw
verder >\'12. Dit is de transversaal over »-36, »\'40 en ree
uit \'t punt, waar ^ de regelschaar (rse, nu,«ree) nog
snijdt behalve in de 4 punten op rao en rie en in A:
ri2 is dus zeker snijlijn van maar slechts eenmaal,
o. a. omdat ri2 gesneden wordt door rse en in \'t vlak
{ri2, rso) reeds 3 punten van zijn aangewezen. Ana-
loog voor: ri3 ru ras fYi en f$.i. Samenvattend hebben
we: de kromme op heeft tot bisecanten:

ri6 r26 rss r46 p^ 55,

die een kruisend zestal vormen; tot nulsecanten

ri6 r25 ras r^e pe qe,
die met de vorige een bisextupel uitmaken; en al de
overige rechten lot unisecanten.

De hier volgens de eigenschappen der afbeelding ge-
vonden ligging klopt met de theorie van \'t cubische
oppervlak.

3. Be lijn u behoort tot L.

Dan is v = u en we hebben dus te doen met een
parabolische bilineaire congruentie. Een willekeurig vlak

y door de richtlijn u snijdt volgens u en volgens een
P door \'t nulpunt N van y en door U, \'t beeld van u.
\'t Nulvlak y is raakvlak in N aan waaruit volgt, dat
elke straal s van de congruentie \'t oppervlak O® aan-
raakt (in \'n punt van m) en verder nog snijdt in zijn
beeldpunt S. De raaklijn r in iV aan P is hoofdraaklijn.
De m.pl. hiervan is \'t cubisch regelvlak van Gayley
(El), dat als beeld gevonden werd voor de punten op
M. Een vlakke doorsnede door- r levert voor O® op:
een derdegraadskrorame, die r in ^ tot buigraaklijn heeft
en voor R^ een derdegraadsfiguur, die met 2 takken
door N gaat, waarvan r er één is. De 2 doorsneden
hebben dus in iV 4 punten gemeen. Hieruit volgt, dat
in {Rl, 0^) de rechte u viermaal in rekening te brengen
is. Het eene blad van Rl wordt door O\' volgens ii
gesneden en \'t andere blad volgens u gesneden en aan-
geraakt. De restdoersnede O®) wordt gevormd door
5 singuliere stralen.

Daar bij de wenteling van v om u k^ steeds door U
blijft gaan, heeft elke rechte door U in dat punt 2
samenvallende punten met gemeen: f7is dus dubbel^
punt, O\' monotde. De raaklijn r* in U aan k^ is raak-
lijn aan O®; de m.pl. van r* is de raakkegel, die bij U
behoort. De richtlijn u is een zijner ribben, want als
N \\n U genomen wordt, raakt k^ de rechte u aan, dus
r* gaat in u over. De kegel wordt dus door \'t nulvlak
van U aangeraakt volgens «. Hij moet nog 5 andere
ribben hebben, die tot O® behooren. Deze zijn gemak-
kelijk aan te wijzen. Laat toch u in Th op een der 5
singuliere stralen ruc, (A; = 1,.. 5) steunen, \'t Nulvlak
van Tk is (m, rx^e) en k^ daarin ontaardt in n-c en een
rechte qk, die door U gaat.

De rechten u en v zijn samengevallen (g-e = pe); daar-
door ook de punten Tt en Zk en de lijnen qk en p^.
De 10 rechten, afkomstig van regelscharen, blijven. In-
dit geval liggen er dus op O® 21 verschillende rechte

lijnen. Zes ervan kan men echter dubbel tellen, nl. de
2 aan 2 samengevallen lijnen uit \'t bisextupel ipk^qk).

4. De lijn u bevat één singulier punt {Si).

a. Zij, om den toestand nader te bepalen. Si \'n punt
van Behalve u gaan door alvast 2 andere rechten
van O\', nl. 2 singuliere stralen, zeg nr> en r^e: Si is
dus dubbelpunt. Verder steunt u nog op rge, nc en
rse (in «). Deze 3 lijnen snijden v in punten Z, waarbij
nulvlakken behooren, waarin k^ beslaat telkens uit een
singuliere straal en \'n rechte van de soort p door Si.
Zoo zijn de 6 tot behoorende, beschrijvenden van
den raakkegel in Si aangewezen. In dit zestal zijn weer
2 sextupels samengevallen, nl.:

ns en qz tot ne \'"26 en qi tot >-26.

ga en rii tot u^qs\', ps en ns tot ps.

Pi en »\'35 tot Pi ; Pb en ^34 tot p5.

De 2 aan 2 samengevallen lijnen vormden het bisextupel:
( ps Pi Pb ri2 f\'ie f2s }
( >\'45 f\'35 rsi qe qz qi \\

Volkomen analoge uitkomst geldt, als Si op a^ ligt.
Evenals in 3 liggen er op O® in deze gevallen 21 ver-
schillende rechten.•

b. Als u bovendien tot L behoort, liggen w, ru en
r26 in één plat vlak, nl. in \'t nulvlak van Si. Nu is
Si een biplanair punt: de raakkegel is ontaard in een
vlakkenpaar, bestaande uit genoemd nulvlak en een
tweede plat vlak, waarin pa, Pi en p& liggen. Behalve
de rechten door Si zijn er nog 9 aan te wijzen; \'t zijn
de restdoorsneden van O\' met de vlakken {ti, ps); (m, pi);
(m,P5); (ricps); (rifi,P4); ine, po); (»-20,^3); {r26,Pi) en
(>\'26, Pb).

c. Tot \'n bijzonderheid komt men verder, als Si een
van de punten {Ai en ^2) is, waar a^ aangeraakt wordt
door de raaklijnen uit A. Zij 11 een willekeurige rechte
door zoo\'n punt. Behalve op s = SiA steunt u nog

op sleehls 2 andere singuliere stralen: Si en »2. In \'t
nulvlak van (si, v) ontaardt k^ in si en een rechte h door
Si. Een soortgelijke lijn ?2 behoort bij \'t punt (s2, v).
Het nulvlak van Si levert als k^ de dubbelrechte s en
in \'t nulvlak van (s, v) ontaardt die kegelsnede in s en
een tweede lijn l. Volgens de uitkomsten in II in soort-
gelijke gevallen verkregen, vindt men, dat Hs de rechte,
die Si verbindt met \'t snijpunt, dat nog vertoont
met \'t nulvlak van (s, v) buiten Si en A. In dit nulvlak
liggen s, l en u. Si is dus weer een biplanair punt De
raakkegel bestaat uit \'t vlakkenpaar (s, w) (A, ^2). In
ihjz) moet nog een derde rechte van O® liggen; \'t is
natuurlijk .s, want deze moest dubbel geteld worden.
\'tVlak {Si,v) snijdt volgens v en heeft er 2 samen-
vallende lijnen volgens s mee gemeen, is dus raakvlak
volgens s en s is bijgevolg torsale rechte. — Er liggen
op O\' nog 4 andere rechte lijnen, die verkregen worden
door snijding met de vlakken (m, h)-, (m, h)\', [l, h) en {l, h).

Dat u slechts 3 verschillende punten met B\\-\\- a,
gemeen heeft, spreekt vanzelf. Voor v wordt hetzelfde
veroorzaakt doordat v ligt in \'t torsale raadvlak [Si, v)
aan i?^ volgens s; v is zoodoende raaklijn aan in
(s, v) en in dit raakpunt valt bovendien \'t snijpunt (v, oc).

\'t Torsale karakter van s (t. o. van O\') ontstaat door-
dat k^ uit \'t nulvlak van Si een dubbelrechte is. Dit
doet zich ook voor, als Si genomen wordt in de punten
Bl of Bi, genoemd in Een verschil met \'t voorgaande
is, dat k^ uit \'t nulvlak van (s, v) een aanvullende rechte
bevat, die niet door Si gaat. Dit mag ook niet, want
tl steunt nu nog op 3 andere singuliere stralen: si, sz
en Sa. En in \'t nulvlak van {sk,v), waarbij ä;=1,2, 3,
ontaardt k^ in Sk en een rechte 4 door ^i. Met u en
de dubbel te tellen lijn s zijn dit reeds 6 rechten door Si.

? Hierin komt geen verandering als u bovendien complex-
straal is.

Behoort de rechte u door Ai of Az tot L, dan valtZ

samen met s, zoodat er slechts 4 verschillende lijnen
door Si tot 0\'hehooren. Wegens de complanaire ligging
van s, h en h zijn er nog slechts 2 andere rechten van
Ze worden verkregen door O\' te snijden met de
vlakken (w, h) en (m, h). De lijn s blijft torsale rechte

met (m, s) als raakvlak.

d. Daar t^ door St gaat, is = „ulvlak van
Su De doorsnede {R\\ O\') bestaat uit u (2 maal geteld
wegens aanraking), v en 3 singuliere stralen. Behoort
tl tot L, dan heeft er aanraking en snijding plaats
volgens M = y. \'t Aanvullend nulvlak snijdt 0=» volgens
de singuliere stralen door Si en volgens v.

,5. De lijn u gaat door 2 singuliere punten Si en S2.

a. Si en S2 op

Noem de uitzonderingsstralen door Si: si en Si, die
door S2: S3 en S4. Op u steunt nog \'n vijfde singuliere
straal 55, die tot (A, a) behoort. Uit \'t voorgaande volgt
al, dat Si en S2 dubbelpunten van O\' zijn. Door Si
gaan nog 2 andere rechten van nl. de lijnen h en
h, die 53 en aanvullen^ tot de kegelsneden k^ uit de
nulvlakken van v) en (84, v). Zoo zijn er ook 2 aan-
vullende rechten h en h door S2. In \'t nulvlak van
Is P = 55 m; dit brengt mee, dat (.95, «) torsaal

raakvlak is volgens u. —

Si op en S2 op a\'\' geeft \'n geheel overeenkomstig
resultaat. Een bijzonder geval hiervan is:

b. Si op S2 in Al of Ai.

Op M steunen geen andere singuliere stralen dan
en door Si en 55 door S2. Bij \'t nulpunt (ss, v)
behoort weer ss « als k\\ bij S2 de dubbelrechte
Verder gaan nog door S2 de 2 bovenbedoelde lijnen h en h.
De vlakken («6,«) en («5, t\') zijn torsale raakvlakken, resp.
volgens u en S6. Door Si gaan slechts 3 rechten, nl.
51, 52 en w, maar de laatste is 4 maal te tellen, want
in 56 zijn samengevallen de stralen 53 en 54 uit («) en

daardoor komen ook h en h nog langs u te liggen (en
u was al dubbel te rekenen). — Nog meer bijzonder is
de ligging:

c. Si in Bl of Bi (zie I^); Sz in Ai of Az.

Op M steunen slechts 2 singuliere stralen: si door Si
(samenvalling van si en 6-2) en ss door 82 (samenvalling
van Sa, Si en .ss). De 2 rechten h en k door S2 vallen
nu ook samen, zoodat door dit punt 3 maal 2 samen-
vallende rechten van O® gaan. Door Si gaan si, die
2 maal en m, die 4 maal te tellen is. Torsale rechten
zijn u, Si en ss; de bijbehoorende raakvlakken zijn («5, m),
(si, i;) en (s5, v). — Drie maal 2 samenvallende rechten
door een punt van O® krijgt men ook door in (a) de
punten en Si te doen samenvallen: n wordt raaklijn
aan in 81=82. Tot samenvalling komen sa en si,
Si en Si en verder de „aanvullende rechte" uit \'t nul-
vlak van (s5, v) met xi. Van meer belang is \'t vol-
gende geval:

d. Si • en Si op a^.

Daar u in « ligt, gaat v door A. De waaier (A, a)
behoort tot de [1,1] en daar hij afgebeeld wordt in \'t
puntenveld van x, ontaardt O® in dit vlak en een
quadratisch oppervlak dat v bevat, dus een regel-
schaar is. In een willekeurig vlak v door v ligt als
doorsnede met O® = « een straal uit (A, x), de

lijn V en nog \'n tweede rechte l van 01 Deze gaat
door de snijpunten v) buiten A en vult bedoelden
straal uit {A, x) aan tot \'t lijnenpaar, dat als k^ behoort
bij \'t nulpunt (y, u). Alle beschrijvenden op O\'-\' van de
soort l worden zoo door in 2 punten gesneden, alle
beschrijvenden van de soort v \'m 1 punt.

Door de 2 overige (buiten Ä) snijpunten [v, üj) gaan
nog 2 singuliere stralen si en Si. Daar ze ook op u
steunen, gaan ze door Si, resp. Si. Ze behooren na-
tuurlijk geheel tot \'t Nulvlak vi van (v, 5i) snijdt O*
volgens Si en de lijn, die Si verbindt met vi) buiten

si; analoog voor (v, «2). Bij \'n willekeurig punt van v
behoort \'n nulvlak f, waarin k\'^ een echte kegelsnede is,
geheel bepaald door de 5 punten O\'snijdt
Ä volgens een kegelsnede, gaande door A, Si, S2 en door
de raakpunten Ai en A2, want hierdoor gaat ook en
en deze ligt geheel op

Laat tl \'t stralenveld van « doorloopen, dan doorloopt
V de ster A en \'t tiet met basis Een heel bij-
zondere hgging is u = Ai A2. De singuliere stralen si
en 52 vallen nu langs Ai A en A2 A, zoodat v \\n A
4 samenvallende punten met R^ gemeen heeft. Dit komt
doordat v \'m A raakt aan v ligt nl. in de beide
(torsale) raakvlakken aan B^ volgens AAi en AA2.
Eenig punt S op u geeft \'n nulvlak v = {S,v), waarin
p = -f (y, 3-). Dit bleek in IP. Daar \'t poolvlak
van A door m, dus door S gaat, gaat \'t poolvlak 7:
van S steeds door A en de rechten (f, w) vormen dus
een kegel met top in A. Deze kegel is \'n ontaarde 0^
dus quadratisch, hetgeen ten overvloede ook daaruit
volgt, dat de doorsnede met (S, v) is: « (v, t). De kegel
snijdt <z volgens AAi en AA2, zooals blijkt door S in
Al en -<42 te nemen.

In eiken bundel van \'t net komen i kegels voor, die
echter 2 aan 2 zijn samengevallen.

Veronderstel, dat u den waaier (S^, a) doorloopt, dan
doorloopt V den waaier (^4, als (jt. is \'t nulvlak vanS\'i.
De bijbehoorende oppervlakken vormen een bundel
uit \'t net; de basis is: a^ si. Bijzondere standen van
tl hierbij zijn:

u = SiXi, als Xi een van de 2 punten (Zi en X»)
is, waar de op si (in Yi en Y2) steunende singuliere
stralen a® snijden; S2 gaat over in Xi Yi en v gaat door
\'t singuliere punt Yi. In \'t nulvlak van 5 op « ontaardt
P in SA en een rechte / door Yu Dit punt is dus de
top van \'n kegel, waarin ontaard is. Onder de kegel-
ribben zijn op te merken: Yi A, Yi Si, Yi Xi, Yi Ai en Yi A2.

u^ raaklijn in Si aan a^. Dan moet v raaklijn zijn
aan De doorsnede E^) bestaat uit si en een
derdegraadskromme met dubbelpunt in A. Ze snijdt
in Yi èn Yi en in een derde punt, \'t raakpunt van/ot;
V is nu de lijn, die dit punt met A verbindt. (OS «)
raakt aan in Si. Verder geen bijzonderheid,

u = SiAi. In dit geval komt «2 langs AJii te liggen,
zoodat buiten A nog slechts 1 uitzonderingsstraal op u
steunt, nl. si. De rechte v heeft in ^ 5 samenvallende
punten met R^ gemeen; ze is raaklijn geworden in dat
punt. Dit komt doordat v ligt in \'t nulvlak van Ai,
welk vlak R^ aanraakt o.a. in A. wordt door dit
nulvlak gesneden volgens v en AAi. Deze rechte maakt
dus ook deel uit van (OS x), die voor de rest gevormd
wordt door Si Ai, want \'t moet een exemplaar zijn van
den kegelsnedenbundel, die A, Si, Ai en Ai tot basis-
punten heeft. De 2 andere lijnenparen, welke in dien
bundel optreden, zijn (AAz; Si Ai) en (ASr, Ai Ai).
\'t Eerste wordt uitgesneden door OS die bij u = S\\ Ai
behoort en \'t andere door de bij u = ASi behoorende 01
In dit geval is

6. de lijn u singuliere straal.

In een willekeurig nulvlak v door u wordt de complex-
waaier afgebeeld in u en de verbindingslijn \'der punten
(y, die buiten A liggen. Als u den waaier {A,oc)
doorloopt, krijgt men weer een bundel van quadratische
oppervlakken met basis ^ Az. De kegels, die ^^
uit de dubbelpunten der basislijn projecteeren, krijgt men
als 0^ voor de gevallen u = AAi en u = AAi.

Zij u een singuliere straal, die tot R\\ behoort en in
X op a^ steunt. Bij \'n willekeurig punt iV van u behoort
een complexwaaier [N, v), die tot beeld heeft u en de
lijn l, welke de punten (v, en {v, a^) buiten u gelegen,
verbindt; v is raakvlak aan de gezochte m.pl. in N\' = {u, l).
In de beide coïncidenties der projectiviteit {N, N\') heeft

#

men nulvlakken met de nulpunten tot raakpunten; deze
raakpunten zijn de beide singuliere punten u).

Uit een en ander volgt, dat de m.pl. hier een recht-
lijnig oppervlak is. \'t Is geen regelschaar (zooals voor
M in «), want de doorsnede met a bestaat uit a^ en
XA; neem toch N=X, dan wordt l = XA. Dem.pl.
is dus \'n cubisch regelvlak O\', dat u en a^ tot richt-
lijnen heeft. Daar (v, O®) van den derden graad is,
moet « in de doorsnede 2 maal geteld worden: er gaan
2 bladen van door. (0^ R^) beslaat uit u en elk
2 maal gerekend, verder uit a^ en de 2 singuliere stralen
van R*, die op u steunen. — Neemt men N in \'t nul-
punt van \'t raakvlak in X aan dan wordt l = XF.
Hiermee doet zich een bijzonderheid voor, als u een van
de 2 singuliere stralen door F is. De aanvullende rechte
XF valt dan met u samen, zoodat \'t raakvlak in Xaan
(p^ torsaal raakvlak is aan O\' volgens u. Daar ditzelfde
vlak ook torsaal raakvlak is volgens u aan jRj, zal i?*
een der bladen van volgens u aanraken en \'t andere
snijden. De rest der doorsnede (0^ R*) wordt gevormd
door a® en de andere singuliere straal door F.

7. Dó lijn u doorloopt de ster om \'n singulier punt Si.

Denk dezelfde ligging als in 4». Dan beschrijft v \'t
stralenveld van (rie, ras). Daarbij komt \'t voor, dat v
door een van de singuliere punten S\' op no buiten Si
gaat. De rechten u en v spelen nu precies dezelfde rol
t.o. van 0^. Van de 2 punten (f, 7?*), die niet in (v, rie)
of (v, ru) vallen, komt er één in S\' = (f, ne). De lijn
pa, die \'t nulvlak van dat punt opleverde bij snijding
met valt samen met ru. De limietsland van

{pa, ric) is dus torsaal raakvlak volgens ne = (Si S\').
O\' is dimonoïde wegens Si en S\'.

Ook kan v bij z\'n beweging door \'t nulvlak van Si
door 2 singuliere punten gaan, die een van beide of
beide tot a^ kunnen behooren. \'t Laatste is al besproken

in S*!; ontaardt. Liggen niet beide bedoelde punten
op rt^ dan krijgt men een niet-ontaarde O® met 3 dub-
belpunten. Hun verbindingslijnen zijn torsale rechten.
Door de nulvlakken te beschouwen van de punten op
u en V, die daarvoor in aanmerking komen, ziet men
gemakkelijk, dat door elk der 3 dubbelpunten 4 ver-
schillende rechten van gaan. Verder blijkt er op
elke torsale rechte nog 1 rechte van O® te steunen.

Bij de co 2 standen van behoort \'n net van opper-
vlakken O®. Immers: alle exemplaren hebben in Si een
dubbelpunt, wat neerkomt op \'t geven van 4 punten;
verder gaan ze door \'t geen met \'t geven van
3\'X.2-\\-l of 7 punten gelijkstaat; eindelijk bevatten
ze ook Daar deze kromme a^ 2 maal snijdt en door
\'t dubbelpunt Si gaat, beteekent \'t gaan door \'t voor-
schrijven van 3X3-^1 — 4 of 6 punten. In totaal
zijn dus gegeven 4 7 6\' of 17 punten, d.i. 2 minder
dan voor \'t bepalen van \'n noodig zijn. \'t Net heeft
tot basisfiguur q^^^ bundel van

0^\'s uit \'t net te lichten, die door een willekeurig punt
Z gaat, moet men alle stralennetten afzonderen, die den
beeldstraal z van Z bevatten. Voor deze is u eenige
straal uit den waaier Si in {Si, z). De correspondeerende
rechten v vormen een waaier in \'t nulvlak v van Si met
top in N=(z,v); dit punt is nulpunt van (Si,^). De
basis van den bundel is die van \'t net, aangevuld door
de kegelsnede P uit \'t nulvlak van iV. tot \'n figuur van
den negenden graad.

Volgens \'t boven besprokene bevat \'t nel 4 bundels
van cubische oppervlakken met 2 dubbelpunten; ze be-
hooren bij de waaiers van rechten v in v, die hun toppen
hebben in de singuliere punten, welke v bevat buiten Si.
Er zijn verder 2 stelsels van oo\' oppervlakken met
2 dubbelpuiiten, die verkregen worden door u de ribben
van de kegels (Si, è^J en {Si, a^) te laten doorloopen.
Daar Si op gedacht is, zijn beide kegels quadratisch.

De oppervlakken 0\\ die door eenig punt Z gaan en tot
een van de 2 laatstbedoelde stelsels behooren worden
opgeleverd door de 2 snijlijnen van zoo\'n kegel met
{Si,z)\\ \'t zijn dus stelsels met index 2. De nulvlukken
van de singuliere punten van y buiten 8i snijden op
meergenoemde kegels, behalve ne en r^Q, elk nog 1 be-
schrijvende u in. Hierbij behooren dus 4 oppervlakken
met 3 dubbelpunten, nl, 2 op u en 1 op v. Laat
Xi (op «2) en Yi de 2 andere singuliere punten opno
zijn, Xa (op «2) en Fz die op rae- Dan wordt b.v. voor
\'t nulvlak van X2 « de lijn, die verbindt met\'t punt,
waar a^ voor de tweede maal gesneden wordt door den
complexstraal uit X2 in Een O\' met 3 dubbelpunten
bleek ook te behooren bij f = Ti Yz, Yi X2 of Yz Xi,
terwijl bij v = XiX2 behoort n = dus een OS die
ontaardt in een regelschaar -f a.

De kegels (Si, en (Su n^) hebben é ribben gemeen.
Twee ervan zijn no en rse- De 2 andere zijn 6\'i Ai en
Si Az. Ligt u volgens een van deze 2 rechten, dan
krijgen we een 0^ met biplanair punt in Ai of Az.
Zoo\'n punt, nl. Si, bezit elk exemplaar van den bundel,
die behoort bij den waaier {Si,v) van rechten «(=«);
alle exemplaren hebben in Si u tot gemeenschappelijk
raakvlak. Twee exemplaren van dezen bundel zijn regel-
vlakken, nl. die, welke behooren bij v = ri6 of rzs.

B,\\ wordt door v gesneden volgens /Mc en ras en vol-
gens" een kegelsnede Is v een raaklijn aan dan
raakt ze ook aan B* en \'t zelfde geldt dan voor «. De
stralen, die in^» ra& en >-40 genoemd zijn, komen tot samen-
valling, eveneens de lijnen ps en pi, zoodat {pa, pi) torsaal
raakvlak wordt. Deze eigenschap komt toe aan een
stelsel van oppervlakken O\'^ met index 2. In eiken
bundel (Z) uit \'t net liggen er nl. 2 oppervlakken van
deze soort; ze behooren bij de raaklijnen uit N aan l^.
Verder behoort er tot zoo\'n bundel 1 exemplaar met
biplanair punt in Si (opgeleverd door v^NSi) en 8

exemplaren met 2 dubbelpunten. Deze behooren bij
v~NXi, NXi, NYi of NY2 en bij de 4 rechten u,
die op (Si, en Ingesneden worden door \'t

nulvlak van N.

Ligt Si op dan zijn geheel overeenkomstige op-
merkingen van kracht.

8. De lijn u doorloopt een loillekeurige ster 8.

Er ontstaat weer een net van oppervlakken O®; de
basis is ^^ a^ ^^ „ulvlak van «\'(nu niet ontaard).

De bijzondere exemplaren zijn gemakkelijk aan te wijzen.

De bundel door \'n punt Z heeft tot basisfiguur die
van \'t net, aangevuld met \'t beeld k\'^ van den complex-
waaier N. Dat \'t geven van deze basis op juist 18
punten neerkomt, blijkt uit de volgende optelling:
\'t Gaan door a^ beteekent \'t voorschrijven van X 5 -j- J of 7 pp.
\'t Gaan door ^^ beteekent \'t voorschrijven van 5 X 5 -f- i — 2 of S pp.

[^f heeft 2 punten met a^ gemeen],
\'t Gaan door k^ beteekent \'t geven van X. 5 7 — 5 of 2 pp.
[A;2 heeft 2 punten met a^ gn 3 punten
met gemeen].

\'t Gaan door k\'^ beteekent \'t geven van 2X3 1 —Ooi lp.
heeft 5 punten met a^ ^^ gemeen
en 1 punt met k^, nl. \'t beeld van 5\'iV].

Totaal 18 pp.

De doorsnede van \'t net met \'n plat vlak i is een
net van cubische krommen met 7 basispunten; dit
zijn de punten (i, a^), en (f, k^). De 21 (ontaarde)

exemplaren met 2 dubbelpunten van dit net zijn dus
onmiddellijk aan te wijzen. \'tZijn de C^ = 21 verbin-
dingsrechten van telkens 2 basispunten, aangevuld met
de kegelsnede door de 5 overige. Hieruit volgt, dat de
congruentie gevormd door de rechten van de netexem-
plaren 21 tót veldgraad heeft. Tot die congruentie
behoort de ster S en \'t stralenveld iran «; immers \'t

net in eenig vlak f bevat \'n ontaarde waarvan de
verbindingslijn der punten a^) \'t rechte stuk is. Ook
\'t stralenveld (y) behoort tot de congruentie.

Na afsplitsing van de beide verzamelingen [0,1] blijft
haar veldgraad 19.

Wat is de schoofgraad?

Een kan een rechte door \'n willekeurig punt Z
zenden, als zelf door Z gaat, dus behoort tot den
bundel [Z) uit \'t net. De rechten van \'n O® zijn tot
verschillende soorten terug te brengen:

1«. lijnen u. Hiervan is 1 exemplaar voorhanden,
nl. SZ. Als u = SZ, gaan bij willekeurige ligging geen
rechten van andere soort door Z.

2°. lijnen v. Hiervan gaat er geen door Z, daar ze
alle in \'t nulvlak van S liggen.

3°. singuliere complexstralen, vroeger (in § 2) rie, J\'26,
rae, r^f, en »\'se genoemd. Ook deze komen niet voor,
daar Z willekeurig wordt gedacht, dus niet op of in

4°. rechten van de soort pk {Ic = 1, 2, 3, 4, 5). Deze
• kunnen niet door Z gaan, daar anders u en v elkaar
zouden snijden.

5°. rechten van de soort qu. Hiervoor geldt \'t zelfde.

6°. rechten van de soort ru {k = 1, 2, 3, 4; 1 = 2, 3, 4, 5;
Ic < l). Een lijn n-/ is beeld van een regelschaar, bepaald
door 3 van de 5 op u steunende singuliere stralen; ze
is unisecanle van^^^ of a^.

Zoo leveren de ribben van kegel {Z,^) een enkel-
voudig oneindig stelsel van regelscharen als beelden, die
elk 3 uitzonderingsstralen onder hare beschrijvenden
tellen, \'t Beeld h^ van den complexwaaier van eenig
punt T snijdt (Z, a^) in 6 punten Q.

Hierdoor gaan 6 kegelribben, die oppervlakken It^ lot
beelden hebben, welke door T gaan, want Q is \'t beeld
van QT. Evenzoo gaan er door T nog 4 oppervlakken
R^, opgeleverd door 4 ribben van kegel (Z, a^). \'t Stelsel
[R\'\') is dus van index 10. Neem T in 5, dan leert \'t

voorgaande, dat er 10 regelscharen jR^ zijn, die z be-
vatten {z^\'i beeld van Z) en door S gaan. Deze
oppervlakken snijden {S, z) volgens « en volgens een
rechte door S, dus volgens een lijn u. De 3 singuliere
stralen steunen, evenals z, op u (en op v). En de 10
bijbehoorende rechten Vki liggen dus op oppervlakken
van \'t net. De congruentie der rechten van de net-
exemplaren heeft derhalve 11 tot schoofgraad; en zondert
men oók de ster S af, dan is ze een [lö, lO\'].

\'t Bleek, dat bij 2; 10 lijnen behooren. \'t Zelfde
geldt voor elke andere straal uit waaier N in (S, z).
Omgekeerd geeft elke u aanleiding tot 10 regelscharen
door iV, die in (S, z) 10 rechten van de soort z uit-
snijden. Tusschen de stralen van de waaiers 8 N
in \'t vlak {S, z) bestaat dus \'n verwantschap {10,10).
Hun voortbrengsel, een kromme van graad 20 met 10-
voudige punten in S en N is de m.pl. der punten
b = (m, z), waar de correspondeerende oppervlakken b^
door (S, z) worden aangeraakt.

HOOFDSTUK V.

De beelden van de punten en figuren van
een plat vlak.

1. Het beeld van een puntenveld is. een congruentie [2,2].

Laat S \'t puntenveld van een vlak V doorloopen.
De oo2 punten S geven co2 beeldstralen, dus een con-
gruentie [p, q\\ uit L. De stergraad p = 2, want de
kegelsnede k\\ die den complexwaaier door \'n willekeurig
punt Z afbeeldt, snijdt V in 2 punten Si en en de
stralen ZSi en ZSi zijn de eenigsten door Z, die hun
beelden in F hebben. Volgens \'n vroegere opmerking
is nu ook de veldgraad q = 2, zooals trouwens direct
daaruit blijkt, dat in een willekeurig vlak y geen andere
complexstralen liggen met beelden in F dan de 2, die
door \'t nulpunt van y gaan. De complexwaaier van \'t
vlak F zelf behoort in zijn geheel tot de [2,2]. Een
willekeurig punt Z van F vormt geen uitzondering op
den stergraad 2. De beschrijvenden van de [2,2] door
Z zijn: de complexstraal van F door dat punt en de
straal, die in dat punt wordt afgebeeld; de beide stralen
vallen samen, als Z ligt op de kegelsnede k"^ van V.

Voor sommige punten zijn de 2 beschrijvenden on-
middellijk aan te wijzen. Voor \'n punt van ^ b.v. zijn
\'t de 2 singuliere stralen door dat punt; deze zijn immers
o. a. toegevoegd aan hunne snijpunten met F. Hetzelfde
geldt voor de punten van a\'^. Uil een en ander volgt,
dat hel geheele regelvlak Jïj en de waaier (^1, oc) tot de

congruentie behooren.

Tot de [2,2] behooren ook de 5 waaiers, die de 3 2

punten (F, en {V,nP) tot middelpunten hebben. Een
complexwaaier met top buiten V behoort tot de [-2.2],
als hij afgebeeld wordt in een lijnenpaar, waarvan de
component, die niet singuliere straal is (V bevat in \'t
algemeen geen singulieren straal) in V ligt. Al deze
niet-singuliere bestanddeelen zijn unisecanten XY van
en ^ óf koorden YY\' van ^ en omgekeerd (IP).
Wegens de bovengenoemde 3 2 snijpunten van F
met liggen er 6 rechten van de soort XFen5
van de soort YY\' in F. Deze geven nog 9 waaiers
van de congruentie.

De beeldcongruentie is dus de algemeene congruentie [2,2]
met een eindig aantal singuliere punten (16).

2. Het stralemeld van V.

Beschouwt men F als stralenveld [m], dan blijkt de
[2,2] opgebouwd te zijn uit oc2 cubische regelvlakken
Rl, alle met dubbelpunt in \'t nulpunt N van F. Deze
vormen geen net. Door \'n willekéurig punt Z zal een
oppervlak Rl gaan, als dit een complexstraal van waaier
{Z} bevat, die in F zijn beeld heeft. De kegelsnede
die bij Z behoort, snijdt F in 2 punten 7\'i en T^. Elke
rechte u uit de waaiers [Ti, V) en (Ta, F) heeft als beeld
een Rl door Z, want u bevat Ti of ïa, die de beelden
zijn van Ti Z of Ta Z. Door Z gaan dus 2 stelsels
van 001 cubische oppervlakken; aan de stelsels is gemeen
1 exemplaar met dubbelpunt in Z, nl. dat, behoorend
bij u = Tl Ti. De 2 bedoelde stelsels zijn geen bundels,
maar stelsels met index 2, zooals blijkt als wij bedenken,
dat de kegelsnede, die den complexwaaier van \'n punt
Q afbeeldt, F in 2 punten TFi en fFa snijdt; hierdoor
gaan «i = Ti Wi en u = Ti IFa, die elk een oppervlak
Rl opleveren door Q. Ieder exemplaar van een stelsel
snijdt F volgens een lijn u uit waaier (Ti, V) en volgens
de 2 stralen uit waaier (N, F), die op u hun beelden
hebben. Neemt men voor u de raaklijnen uit N aan

de van V, dan krijgt men 3 exemplaren, die V tot
torsaal raakvlak hebben. Eén der stralen u van waaier
(Tl, V) geeft een oppervlak van Gayley als beeld, nl.
M = Tl N. De complexwaaier van V geeft, als m.pl.
van rechten n, een stelsel van louter zulke oppervlakken.

3. Beeld van ee)i kromme r" in V.

In de [2,2] is opgesloten elk regelvlak, dat als beeld
behoort bij eenige kromme in V. Neem hiervoor een
kegelsnede r^ Daar elk punt van r^ één beeldstraal als
beschrijvende oplevert, is r^ enkelvoudige richtlijn van
\'t afbeeldende regelvlak. De doorsnede met F bevat
dus vooreerst r^. De kegelsnede k"^ van V snijdt r\'^
in 4 punten. Hierbij behooren 4 stralen s, die hun
beelden op r^ hebben, dus tot \'t regelvlak behooren.
De volledige doorsnede is zoodoende van graad 6 en \'t
beeld een li\'\'. Hierop liggen iO^ singuliere stralen, nl.
die, welke behooren bij de 8 snijpunten (r^, Rl) en
(>•2,«). De 4 punten (s, r^), die niet op van F liggen,
behooren tot de dubbelkromme van R^.

Als r^ door 1, 2, 3, 4 of 5 singuliere punten gaat,
worden er van R^ evenzoovele platte vlakken afgesplitst.
Het voorlaatste geval, waarbij R^ is ontaard in een
regelschaar en 4 platte vlakken, komt in anderen vorm
nog eens ter sprake, als \'t beeld van een R^ onderzocht
wordt.. Het laatste geval (r^ door 5 singuliere punten)
doet zich voor met de kegelsnede k"^ van V. Dit vlak
en de nulvlakken van de 5 punten (F, en {V,a^)
vormen de uiterste ontaarding van een R^. Tot de
krommen r^ door 2 singuliere punten behoort als bij-
zonder geval (F, 02). Deze kegelsnede bevat nl. de 2
snijpunten {V,a% Na afspHtsing van de waaiers, die
met deze punten correspondeeren, blijft er als beeld een
R* over, geheel opgebouwd uit raaklijnen aan in
punten van Dit regelvlak is geheel analoog met
JJ*. De doorsnede (R*, F) bestaat uit r\'^ en de raak-

lijnen h en f^ aan deze kegelsnede uit N. Door geheel
overeenkomstige beschouwingen als voor \'t singuliere
regelvlak R^ gehouden zijn, blijkt, dat er een dubbel-
kromme van den derden graad is, gaande door iV, door
de pool F* van F, door de raakpunten Ei en B2 van
h en h en door de nulpunten der raakvlakken aan den
omhullingskegel uit I* aan volgens een der 2
raaklijn-complexstralen uit F*. Deze 2 nulpunten en de
punten Bi en B^ zijn klempunten van B^, de beide
bedoelde beschrijvenden uit F* en de raaklijnen h en tz
zijn torsale rechten.

Analoog met \'t beeld van een r^ zal dat van een
r" (in F) het vlak F snijden volgons r" en volgens de
2n stralen uit waaier (iV, F), die de beelden zijn van
de punten {r\'\\k\\). Het is dus een regelvlak onder
de beschrijvenden zijn 5 n singuliere stralen.

Als r" een dubbelpunt heeft, krijgt \'t beeld een dub-
belribbe. Ligt dat dubbelpunt in een singulier punt,
dan wordt er van B^" een dubbelvlak afgesplitst. Zoo
geeft r\'^ = (ü^, F) als beeld een figuur van den twaalfden
graad, bestaande uit 3 dubbelvlakken, 2 éénmaal te
tellen vlakken en B\\.

Een beeldoppervlak R^" heeft een dubbelkromme, die
gaat door de 2 n (n — 1) snijpunten van r" met de be-
schrijvende uit N, voorzoover deze punten niet op k\\r
liggen.

Bij een bundel van krommen r" behooren 00\' exem-
plaren J?^", die een stelsel vormen met index 2. Want
de kegelsnede, die den complexwaaier van een punt Z
afbeeldt, snijdt F in ^ punten; hierdoor gaan 2 exem-
plaren van den bundel, die elk een afbeeldend regel-
vlak door Z opleveren. Het stelsel der oppervlakken
R^" snijdt F volgens den bundel, die als uitgangspunt
dient en volgens een straleninvolutie van graad 2 n met
N als middelpunt. Er zijn dus in \'t stelsel 2{2n ~ ï)
exemplaren, die F tot torsaal raakvlak hebben (volgens

de coïncidentiestralen). Overigens is V voor alle exem-
plaren een 3 «-voudig raakvlak, nl. in de 2 « beeldpunten
van de beschrijvenden door iV. De beeldstralen van de
n\' basispunten zijn aan alle exemplaren gemeen^ ^ Er
zijn 5 oppervlakken, die ontaard zijn in een B^" ^ en
\'n plat vlak, nl. die, welke behooren bij de bundel-
exemplaren door de singuliere punten van F. Kiest
men basispunten in deze singuliere punten, dan^nt-
staan stelsels van oppervlakken waarbij x—1,

2, 3, 4, of 5 is. De waarde x=5 vervalt, als n — 2.
Zijn\'in dit geval (kegelsnedenbundel) alle basispunten
gewone punten van F, \'dan leveren de 3 lijnenparen
van den bundel als beelden 3 oppervlakken welke
ontaard zijn in samenstellen van 2 cubische regelvlakken.

4. Bijzondere liggingen.

a. V bevat 1 singuliere straal s van Hierop
liggen 2 punten Fi en Y2 van en 1 punt van
al Verder snijdt F de krommen en a\'^ elk in nog
1 punt: Ta en\'Xa. De 3 singuliere punten Xi, Yi en
Yi leveren 3 waaiers der beeldcongruentie, die den
straal s gemeen hebben; 5 behoort ook tot den waaier
van F zelf. Van de 9 verbindingslijnen Yk Y, of Xk Yi
treden er 3 niet als „aanvullende rechte" op, nl. Fi F2,
Xi Fi en Xi Fa, daar zij alle langs 5 vallen. Ook X2 F»
geeft geen afzonderlijken waaier der [2, 2], daar deze lijn
„aanvullend" optreedt in de k^ van F en daar gebleken
is, dat elk van de bedoelde rechten slechts in 1 bepaald
nulvlak dien rol vervult. Er behooren dus tot de
congruentie slechts 6 waaiers met toppen buiten F.

b. V bevat 1 singulieren straal van a. Noem de
snijpunten met a^ X, en X2. De punten (F,a^) zijn
Fi = J-, Fa en F3. Weer zijn er 4 congruentiewaaiers,
waartoebehoort, waaronder U, «). Geen waaier met
top buiten F wordt opgeleverd door Xi Fi, X2 Fi en
F2 Fs. De overige verbindingslijnen geven wel aanleiding

tot zoo\'n stralenbundel. Hierbij is A T^o) aanvullende
rechte in den waaier van het nulvlak, bepaald door
A en de raaklijn in A aan

c. V bevat 2 singuliere stralen 6\'i = Xi Fi en $2 =
X2 ¥2 van Fa = (51,52). Er zijn in dit geval niet 5,
maar 5 congruentiewaaiers met top in V, daar de waaier
van V zelf bij \'t nulpunt Fa behoort. Verder zijn er
nog 4 waaiers met top buiten V, nl. die, welke afge-
beeld worden in een singulieren straal, aangevuld door
Xi Xs, Xi F2, X2 Fi en Fi Y2. Geheel analoge op-
merkingen gelden, als V 1 singulieren straal van R^ en
1 van X bevat.

d. V bevat 2 singuliere stralen van x, dus V=x.
Bij elk punt van V behoort als beeld de straal van
« door dat punt. Dit levert alles samen den complex-
waaier (A, x) op. Verder geeft elk punt van a\' een
waaier van congruentiestralen. De geheele [2, 2] is dus
uit deze waaiers opgebouwd. Ze heeft a^ lot singuliere
kromme en.A tot een geïsoleerd singuher punt.

HOOFDSTUK VI.

De beelden van een regelschaar en van eenige
andere figuren.

1. \'t Beeld van een regelschaar is een vierdegraads-
ruimtekromme.

Een regelschaar R^ wordt uit den complex gelicht
door alle stralen te nemen, die 3 willekeurige, elkander
kruisende, rechten u en tv snijden.

Het nulvlak van eenig punt Z op ti snijdt nl. tv in
één punt T en de beschrijvenden van R^ zijn de ver-
bindingslijnen van correspondeerende punten uit de pro-
jectiviteit: iZ) TT (T). Men kan u, tv en de aan «toege-
voegde richtlijn v van den complex als richtlijnen der
schaar beschouwen. Daar R\'^ co\' beschrijvenden telt,
wordt de m.pl. van hare beelden een ruimtekromme p,
die geheel op R\'^ ligt. De graad van p is te vinden
door \'t aantal snijpunten te bepalen met een plat vlak,
b.v. een vlak door u. Dit snijdt v in Q, tv in R;
s=QR is de beschrijvende, die R^ in v bezit (behalve
de richtlijn u). Zij S het beeld van .s-, dan wordt > door
de m.pl. van S buiten u in dit ééne punt gesneden.
De complexstralen, die op u hun beelden hebben (dus
ook op V steunen) vormen een cubisch regelvlak Rl, dat
door tv in 3 punten wordt gesneden. Door deze 3 punten
gaan dus 3 beschrijvenden van R\'^ met beelden op «,
dus in y. Samen met \'t zooeven genoemde snijpunt S
zijn dit 4 punten (v, p). De hier gezochte m.pl. is der-
halve een ruimtekromme van den vierden graad p*, die
M tot trisecante heeft. Alle andere rechten op R^ van

de soort u zijn dan eveneens drievoudige snijlijnen, alle
beschrijvenden s enkelvoudige. Daar uit elk punt van
p^ slechts 1 drievoudige snijlijn te trekken is, is R\'^ het
regelvlak der trisecanten van p^. Het gedrag van p*
t. o. van de rechten van R^ bewijst, dat ze rationaal is;
R^ is \'t eenige quadratische oppervlak, dat door p* gaat.

Men kan ook tot p\'^ geraken door te bedenken, dat
die kromme, behalve op R^, ook op het cubische opper-
vlak 01 liggen moet, dat \'t beeld is van \'t stralermet
(m, v). Zij treedt daarbij op als restdoorsnede.

Eindelijk is ß^ nog te beschouwen als doorsnede van
de 2 netten (m, v) en {w, zoodat na terzijdestelling
van a^ en de m.pl. = OfJ moet zijn.

Omgekeerd zou men uit \'t gezegde in de eerste alinea
een andere afleiding van, \'t beeld van een bilineaire
congruentie (m, v) kunnen putten. Denk toch een wille-
keurige rechte tv. Hierop steunen die stralen der con-
gruentie, welke behooren tot de regelschaar (m, v, w).
Deze worden afgebeeld op een p*, die tv tot trisecante
heeft. Er zijn dus 3 beschrijvenden van het net, die
hare beelden op tv hebben. Het beeld van de {ti,v) is
derhalve eeü 0^.

2. Nadere bijzonderheden.

R^ heeft met a^ 4 punten gemeen. Hierdoor gaan
4 beschrijvenden s, die afgebeeld worden in die snij-
punten, dus / steunt in 4 punten op a^ Evenzoo blijkt,
dat / in 6 punten op ^^ rust, nl. in de punten
De beeldkromme / snijdt a in geen andere punten dan
de 4 zoo juist genoemde. De 16 snijpunten (/j^ R^) zijn
nu ook alle vermeld, want de 6 op tellen elk 2 maal
en verder is er \'t viertal op a^.

Daar door p* in 8 punten wordt gesneden, telt R^ 8
beschrijvenden, die (p^ aanraken. Dit geldt algemeen,
want men kan steeds aan een complex denken, die J?^
bevat en deze afbeelden met behulp van \'t quadratische

oppervlak cp®. Omdat men het eene of \'t andere rechten-
stelsel van B^ tot complexstralen maken kan, zijn erin
\'t geheel 16 beschrijvenden, die (p^ aanraken.

De kegel van transversalen t = FS, die p^ uitFpro-
jecteert, snijdt op B^ natuurlijk de kromme p^ in en
verder nog een tweede vierdegraadsruimtekromme X*.
Zij L het tweede snijpunt van t met m de rechte
van R^ door L, die niet tot de soort s behoort. Op u
liggen 3 punten S : & en De 3 verbindingslijnen
FSk snijden s in 5 punten U. Hieruit volgt, dat voor
de rationale kromme de beide soorten van rechten
op R^ haar rollen als secantenstelsels hebben verwisseld.
Genoemde kegel heeft 3 dubbelribben. Voor zoo\'n
dubbelribbe zijn de beide snijpunten met R^ punten van
p^, maar evengoed van zooals o.a. blijkt door de
beide componenten der dubbelribbe stuk voor stuk te
beschouwen. Dit levert 3X2 snijpunten (p\\ A^) op.
Zoo\'n snijpunt kan echter nog op \'n andere manier
ontstaan. De kegelsnede, volgens welke R\'^ aangeraakt
wordt door den omhullingskegel uit F, heeft met p^ 4
punten Z gemeen. De lijnen, die F met deze punten
verbinden, zijn ribbon van den omhullingskegel en tegelijk
van den vierdegraadskegel (F, p*). In elk punt Z valt
een puntenpaar (5, L) samen. Dit levert nog 4 punten
{p\\ op. Als .s* en u* de rechten van B^ zijn door
Z, liggen er op s* nog 2 punten L: Li en L« en op
M* nog 2 punten S: Si en S2. Dat er hier in \'t vlak
(s*, «*) slechts 5 verschillende punten van A\'\' p* zijn
aan te wijzen, komt doordat dit vlak in Z raakt aan
R\'^ en daardoor ook aan de beide vierdegraadsruimte-
krommen. In \'t geheel worden 10 punten A\'\') ge-
vonden, hetgeen in overeenstemming is met de theorie
over de snijding van krommen op een quadratisch
regelvlak. Immers p^ = p [1, 3) en A-« = A (3,1), zoodat
\'t aantal snijpunten is: IX 1 3X3. Er bestaat aan-
raking tusschen (s*, u*) en de beide bovengenoemde

kegels volgens t = FZ, zoodal (F, p^) en (F, cp\') elkander
volgens 4 ribben aanraken. Het vlak («*, s*) is als raak-
vlak aan p^ een bijzonder geval van raakvlakken aan
die kromme, zooals elke rechte van de soort w er 3
oplevert: de vlakken door m en de 5 lijnen s, die op u
haar beelden hebben; \'t zijn de nulvlakken van de
punten (s, v).

Neemt men voor u een middellijn van den complex,
dan ligt v in \'t oneindige, zoodat R^ een paraboloïde
wordt. Maar aan de voorgaande beschouwingen wordt
niets gewijzigd.

Als M complexstraal is, wordt v = tt. In m heeft men
dus 2 samengevallen richtlijnen van B^. Men kan ook
zeggen, dat in elk punt N van u het raakvlak aan R^
voorgeschreven is. Dit is nl. hel nulvlak v van dat
punt, daar dit, behalve «, nog een tweede rechte van
B^ door N bevat. Deze tweede rechte is de complex-
straal s uit {N, v), die rust op w. In de doorsnede
{Bl, B\'^), die in \'t algemeen uit 3 beschrijvenden s, de
lijn u en v {2 maal geteld) bestaat, moet nü u 3 maal
gerekend worden, zoodal B^ door één der bladen van
Bl volgens u wordt aangeraakt. Metdoet zich echter
geen bijzonderheid voor, ook niet als men ook voor lo
een complexstraal neemt.

De vraag rijst, of \'t tweede stelsel beschrijvenden,
waartoe u behoort, deel kan uitmaken van den complex.
Hiertoe is vooreerst noodig, dat u en w complexstralen
zijn. De rechten u zijn de transversalen van 5 beschrij-
venden van de soort s, zeg si, s^ en ss. Het is echter
aan te toonen, dat daarop slechts 2 andere complex-
stralen rusten, dus geen andere dan n en iv. Brengt
men toch een vlak [ji, door met nulpunt in M, dan zal
de lijn, die (sg, j«) met (.sa, /x) verbindt, in \'l algemeen niet
door Si gesneden worden in M, maar in e.en punt M\'.
Tusschen de punten M en ilf\'bestaat een projectief ver-
band. Alleen bij de 2 coïncidenties M=M\' is de genoemde

verbindingslijn straal van den complex. Indien in de
projectiviteit [M) % [M\') 3 coïncidenties optraden, zouden
alle transversalen over Kk tot den complex behooren.
In dit zeer bijzondere geval zou er op B^ nog een tweede
kromme p\'^ liggen, die ook \'t beeld is van B^, als men
dit oppervlak beschouwt als m.pl. van de rechten der
soort M. Deze rechten zouden enkelvoudige, die van
de soort s drievoudige snijlijnen zijn van p\'*. De beeld-
kromme p\'* is niet de aS die in dit geval bij p* behoort.
Want een transversaal t = FS kan op u niet \'t beeld
van u insnijden, daar k\'^ uit {F, u) op t reeds de punten
F en S bevat. Wegens p\' = p(l,3) en p\'\' = p\'(3,l)
zijn er weer 10 punten (p^p\'"^). Deze punten zijn toe-
gevoegd aan beide beschrijvenden door zoo\'n punt, dus
singuliere punten. Het zijn de 10 snijpunten van B^
met ^^ a^. De nulvlakken van die punten zijn raak-
vlakken aan B^ in hun nulpunten.

3. Ontaardijig van p^.

a. Leg M door F. De transversaal s uit F over v
en w is complexstraal en behoort tot B"^. Haar beeld
is F. De projecteerende kegel {F, p*) valt uiteen in een
plat vlak (r = (F, p), als p de aan s toegevoegde poollijn
is t. o. van cp^, en een cubischen kegel, die « tot dubbel-
ribbe heeft. Deze dubbelrechte en de kegelsnede (tr, (p^)
vormen de kromme X*. De restdoorsnede van den kegel
met B^ is het beeld van dit oppervlak, dus weer een p*.
Dat de beeldkromme niet ontaardt al gaat u door een
singulier punt (F) was te voorzien, want bij de meest
algemeene ligging zijn er 10 rechten van de soort u,
die zoo\'n punt bevatten.

Alleen als u door A gaaf, doet zich een bijzonderheid
voor. In dit geval ligt v in de singuliere straal s*,
die A met {w, x) verbindt, is beschrijvende van i?^ en
behoort in zijn geheel tot \'t beeld. Dit bestaat voor
\'t overige uit een cubische ruimtekromme p^, die de

beelden bevat van alle andere rechten s van R^. Een
willekeurig vlak y door v snijdt p^ in \'t beeldpunt van
de in v liggende lijn s en in de punten {v, a^). Deze
punten immers zijn als singuliere punten o. a. toegevoegd
aan de beschrijvenden s van R"^ door die punten.
Evenals v zelf bevat elke rechte van die soort 2 punten
van p^ en elke rechte s één punt. Dit geldt in \'t bij-
zonder voor s*, zoodat we te doen hebben met \'n be-
kende ontaarding der rationale p^: een p^ unisecante.

Van de 4 snijpunten der beeldkromme met vallen
af de punten (s*, a^) en van de 6\' met Jf het punt A.
De 7 overigen liggen op /3^

Men kan p^ als voortbrengsel zien ontstaan van 5 pro-
jectieve vlakkenbundels met assen u, v en v\\ de aan v
toegevoegde poollijn t. o. van fj^j beeld S toch
wordt op een beschrijvende s ingesneden door \'t vlak
{F, p), als p de toegevoegde poollijn is van s. De lijn
v\' nu gaat door F, omdat v \'m a, ligt en wordt door p
gesneden, omdat s de rechte v snijdt. Hieruit volgt,
dat {F, p) steeds door v gaat, zoodat S het snijpunt is
van het vlakkendrietal: (m, s), (v, s) en {F, p) door v\'.
Fliermee is de projectieve ontstaanswijze van p^ opge-
helderd. Ook blijkt hier weer, dat m, v, enz. koorden
van p^ zijn en tevens, dat v\' haar bisecante is uit F.

Bij sommige standen van u (door A) wordt v raaklijn
aan Dan is v ook raaklijn aan zoodat en p^
elkander aanraken.

Laat men u de geheele ster A doorloopen, terwijl tc
vastgehouden wordt, dan behoort bij de oo 2 regelscharen
(h, v, w) een tweevoudig oneindig stelsel van krommen p^,
die alle liggen op \'t cubische oppervlak O^. Zij worden
daarop ingesneden door het net van quadratische regel-
scharen 01 (de beelden van de stralennetten met w en v
tot richtlijnen). Door 2 willekeurige punten van 0\\ gaat
1 exemplaar ter verzameling (/j®), omdat door die 2 punten
1 exemplaar van \'t genoemde net gaat.

Het gaan van u door 2 of 5 singuliere punten brengt
geen ontaarding van p^ mee, tenzij u in a wordt gekozen,
maar dit komt op \'t zoo juist besproken geval neer,
want dan gaat v door A. De ontaarding werd veroor-
zaakt doordat een singuliere straal s* uit [A, x) als be-
schrijvende van B\'^ optrad. Behoort 5* tot dan is
natuurlijk evengoed p^ = p^-]r unisecante s*; p^ snijdt ^
in 4, a^ in 3 punten.

b. Als onder de beschrijvenden s van R^ 2 singuliere
stralen zijn (^i en S2) moet / ontaarden in die 2 lijnen
en een kegelsnede Deze toestand wordt verkregen
door voor u en xo 2 transversalen te nemen over si en
52. Daar p^ geheel op R\'^ ligt, steunen si en 52 elk in
1 punt op die kegelsnede, terwijl zij elkander kruisen.
Behooren 5i en tot R\\, dan heeft p^ 2 punten met ^
en 2 met a^ gemeen. Dit zijn de punten -f a^)
buiten s\\ en 52. Het blijkt hier, dat dit viertal in een
plat vlak ligt. Voor \'t geval, dat si in « en 52 op B^
ligt, bevat p\'^ 3 punten van ^^ en 1 van

c. Neemt men voor u en w 2 transversalen over 3
singuliere complexstralen si, S2 en 53, of wat hetzelfde
is, beschouwt men de regelschaar B\'^ isi, S2, ss), dan
ontaardt haar beeld in die 3 rechten, aangevuld door
nog i rechte tot een figuur van den vierden graad. De
vierde rechte l is steeds gemakkelijk aan te wijzen.
Laat Sk tot Bl behooren. De 6\' punten (/i^, ^3) ^ijn de
3X2 punten {sk, Van de 4 snijpunten {R\\ a\'^) liggen
er 3 op Sk, nl. de punten, waar deze lijnen op steunen.
De beschrijvende van R- van de soort u uit \'t vierde
punt op a^ is de aanvullende rechte l. Immers: vraag
naar hel beeld van de punten dier rechte. Dit is een
regelschaar omdat / door 1 singulier punt gaat.
En omdat l de singuliere stralen Sk snijdt, behooren
deze tol dus = Dit is \'t geval, waarop
in IV^ gedoeld werd bij de bespreking der rechten op
een

De tweede mogelijkheid is, dat er van de stralen Sk
één tot U, tx) behoort. Van de 10- punten {R\\
ligt er weer 1 buiten st, nu op De transversaal uit
dit punt over Sk is de „4de rechte".

Hiermee zijn alle ontaardingsvormen van de rationale

uitgeput, want we zagen achtereenvolgens optreden:
p^ 4" unisecante,
p^ 2 kruisende unicecanten,
3 kruisende rechten transversaal.

4. Eenige andere beelden

a. Een p" heeft tot beeld een E^".

Bewijs: bij een willekeurige rechte a behoort een be-
paalde rechte b als toegevoegde richtlijn t. o. van den
complex. De congruentie van complexstralen (a, i) heeft
tot beeld een Bij de 3n punten (p", O®) behooren
3n stralen, die op a steunen en hun beelden op p"
hebben. Het bij p" als beeld behoorend regelvlak wordt
dus door a in 3n punten gesneden: het is een E^".
Dit oppervlak heeft p" tot enkelvoudige richtlijn; onder
de beschrijvenden van R^" zijn 2n raaklijnen aan
n stralen uit waaier U, x). en 4 n rechten van R^ Deze
lijnen worden resp. opgeleverd door de punten {p",
ip", x) en {p\\ R%

b. Het beeld van een R" is een p\'^".

Bewijs: zij de beeldkromme p"". Dan is het regelvlak,
dat haar afbeeldt, een R^"". Het is echter R", aangevuld
met de nulvlakken van 5n singuliere punten; toch
bevat de punten (R\'\\ jm gg^f^ ^^ vergelijking

3x = n-\\- 5n, dus x — 2n.

c. Een O" wordt afgebeeld op een [2n, 2n]. .

Bewijs: O" snijdt de kegelsnede k^ van een willekeurig

punt iV in 2n punten. De stergraad der beeldcongruentie
is dus 2n\\ want door N gaan geen andere stralen met
beelden op O" dan die door de punten (O", yt®). Verder
is, volgens een vroegere opmerking, de veldgraad aan

den slergraad gelijk. De congruentie beval den waaier
en \'t regelvlak i?* beide n maal geteld. Bij de
5 n punten (O", ff") behooren evenveel waaiers van
de [211,211].

d. Een [n, n] uit L wordt afgehe-eld op de punten van
een \'

Laat \'t beeldoppervlak O" zijn. Dit gaat met n bladen
door a®, daar in elk punt van deze kromme n stralen
van de [«, n] afgebeeld worden. Dus is omgekeerd het
beeld van een [\'2.x, 2^], maar ook de \\_n,n] aan-
gevuld met n maal de congruentie [5,5], die bestaat
uit alle complexwaaiers met nulpunten op ^ a". Dit
geeft de vergelijking 2 x = n-\\- 5 n, waaruit volgt x = 3n.

5. Toepassingen.

a. Gevraagd de doorsnede van een [p, p] en een
[2, q] uit L.

De genoemde congruenties hebben tot beeldopper-
vlakken O^P en waarvoor ^^ een p-voudige,
resp. ï-voudige kromme is. Deze levert voor den graad
der doorsnede 5pq eenheden. De restdoorsnede [0^\'\',
C^i) is dus een ruimtekromme van graad ^ p q — 5 p q
= 4pq. Het regelvlak, dat op deze ruimtekromme
wordt afgebeeld, dus een IÜ^pi, is gemeen aan de [p,/?]
en de [q, q].

Controle: 2 bilineaire congruenties (ff,/;),en {c,d) uit
L hebben een R^ gemeen, nl. de regelschaar («, b, c).
Dit klopt, want hier is p = q — 1, dus 2 pq = 2.

h. Hoeveel complexstralen zijn gemeen aan een R"
en een [p, p]?

Het beeld van de [p,p] is weer een dat met
p bladen door ff® gaat. R" wordt afgebeeld op
een z?®", waarop 5n singuliere punten liggen. Van de
6pn punten zijn er dus 6> n — p X 5 n = p n

niet-singulier. Zoo groot is dan ook \'t aantal der ge-
vraagde complexstralen.

Controle: neem als congruentie de [ï, i], die u en y
tot richtlijnen heeft en als regelvlak een i?^ j^^et a, h
en c tot richtlijnen. Dan p = 1, n = 2, dus \'t ant-
woord moet 2 worden. Nu is aan de netten {u, v) en
{a,b) een regelschaar S^ gemeen. Deze wordt door c
in 2 punten gesneden. De beschrijvenden van S^ door
die 2 punten zijn de gevraagde.

c. Hoeveel stralen heeft L met een willekeurig regel-
vlak R gemeen?

Laat ifl", / en p\' drie richtlijnen zijn van het regel-
vlak. Op p" steunt een congruentie [«, «] van complex-
stralen. Deze heeft met de [6, è], die op / steunt, een
regelvlak van graad 2 a b gemeen. En hiervan behooren
weer 2 ab c beschrijvenden tot de [c, c], die met p" corres-
pondeert. Hiermee is de doorsnede [L,R) gevonden;
zij bestaat blijkbaar uit evenveel stralen als de graad
van R bedraagt.

Dit gaat nog door, als de richtlijnen snijpunten ver-
toonen. Is b.v. S = dan valt van \'t regelvlak
de kegel {S, p\') af, zoodat de graad is 2 ab c — c. Be-
doelde kegel heeft echter juist c beschrijvenden met L
gemeen: de rechten, volgens welke hij gesneden wordt
door \'t nulvlak van S. Voor de doorsnede (L, R) blijven
dus ^ a b c — c rechten over. Zoo wordt voor elk snij-
punt van p" en p\'\' zoowel \'t graadgetal van R als \'t aantal
rechten, waaruit (L, R) bestaat, met c eenheden ver-
minderd; analoog met a, resp, b eenheden voor elk
snijpunt ƒ) resp. ip", p\').

Heeft R meer beschrijvenden met L gemeen dan met
zijn graad overeenkomt, dan behoort R in z\'n geheel
tot L.

Controle: als R\'^ 3 beschrijvenden telt onder de stralen
van L, zal volgens het voorgaande R^ uit complexstralen
zijn opgebouwd. Dit is als volgt te controleeren. Leg
over de 3 bedoelde beschrijvenden si, S2 en sa drie
transversalen, waarvan er 2 willekeurig gekozen worden

[f en q), terwijl als derde genomen wordt de toegevoegde
richtlijn p\' van jo t. o. van L. De regelschaar =
(si,s2, s3) is identiek met (p, 3,/), maar deze bestaat uit
louter complexstralen daar al haar beschrijvenden tot
de complexcongruentie (/>, p\') behooren.

HOOFDSTUK VII.

Afbeeldingen van L, waarbij een waaier een kegel-
snede oplevert.

1, Be hoofdeigenschap en haar directe gevolgen.

Als hoofdeigenschap van de besproken afbeelding is
te beschouwen, dat een waaier uit L afgebeekl wordt
op een kegelsnede k^. Hoe de afbeelding verder ook
is ingericht en onverschillig of straal en beeldpunt incident
zijn of niet, steeds keeren bijna alle eigenschappen terug.
Onmiddellijke gevolgen van de hoofdeigenschap zijn:

a. Een puntenveld V wordt afgebeeld op een [2,2],
omdat door een willekeurig punt P zooveel beeldstralen
gaan als \'t aantal punten {V,k\\) bedraagt; verder is:
veldgraad der beeldcongruentie = stergraad.

b. Een oppervlak O" geeft analoog een [2 n, 2 w],
omdat er 2 n punten (O", k\\) zijn.

c. Een regelvlak R" heeft een p^" tot beeld, daar
een vlak V door de beeldkromme in 2 n punten gesrteden
wordt, welk aantal nl. gelijk is aan \'t aantal gemeen-\'
schappelijke stralen van E" en de congruentie [2,2],
die V afbeeldt.

2. Be andere beeldfiguren.

Laat O" het beeld zijn van een net uit L.

Dan wordt een puntenreeks u afgebeeld op een regel-
vlak R". Op \'n willekeurige rechte l steunen immers
die beschrijvenden, welke afgebeeld worden in de a snij-
punten van u met \'t beeld O" van het bij l behoorend
net uit L.

Een p" wordt afgebeeld op een B"". Dit blijkt door
op de an punten (O", p") te letten.

Eindelijk is \'t beeld van een [«,»] uit L een opper-
vlak O"". Want een rechte I heeft zooveel snijpunten
met \'t beeldoppeivlak als \'t aantal gemeenschappelijke
stralen bedraagt van de [n,»] en \'t bij l behoorend
regelvlak B^. Dit aantal nu is na.

3. De singuliere figuren.

Denk 3 vlakken door een punt P. De 3 beeldcon-
gruenties [2,2] van die vlakken hebben 76\'(of cc) stralen
gemeen. Slechts 1 hiervan is \'t beeld van P. De overige
zijn aan meer dan 1 punt als beeld toegevoegd, dus
singulier. Onderstel, dat \'n singuliere straal r in de
afbeelding gekoppeld is aan een Het beeld van een B\\
dat 3 singuliere stralen met L gemeen heeft, dus geheel
tot L behoort, is volgens i" een p\\ maar bevat o. a.

4

3 krommen dus 4>3b o( b<-, dus h==l.

De beelden van een singulieren straal liggen dus op
een rechte d. Alle rechten d vormen samen een regel-
vlak D^, waarop de beelden liggen van alle beschrij-
venden "r van het regelvlak der singuliere stralen

Een singulier punt D zij aan een regelvlak R\' uit L
toegevoegd. De m.pl. van P" is een congruentie S =
[z,z]„ die de beeldstralen omvat van alle singuliere
punten, welke samen een kromme vormen..

4. Samenhang der singuliere figuren.

a. Het beeld van oen rechte d is een B", maar ook
een singuliere straal (graad 0), aangevuld door zooveel
regelvlakken P" als \'t aantal punten (rf, bedraagt.

Dus: een lijn d steunt in ^ punten op Als omge-
keerd een rechte ^ maal op rust, moet zij een der

rechten d ziin, daar anders \'t regelvlak, dal haar punten
afbeeldt, een graad zou krijgen, hooger dan a.

Het oppervlak Df is derhalve het regelvlak der ^-voudige

snijlijnen van de singidiere krmnme

b. Uit \'t voorgaande volgt direct, dat elke singuliere

straal tot - regelvlakken R\' behoort. Omgekeerd is

v

elke straal, waardoor meer dan 1 oppervlak R" gaat,
singulier. Dus:

Ry is --voudig regelvlak van

» v

c. Een singulier punt D is in de afbeelding toege-
voegd aan een R". Het beeld hiervan is omgekeerd
een p^", maar ook: 2), aangevuld door zooveel rechten rf
als \'t aantal stralen bedraagt, dat i?" met R\'^ gemeen
heeft. Dit aantal is dus 2 v. En heeft een regelvlak
van graad v dit aantal beschrijvenden met gemeen,
dan is \'t een oppervlak daar anders de graad der
afbeeldende ruimtekromme te hoog zou uitvallen. Dus:

De congruentie £ is de m.pl. der regelvlakken van den
graad v, die 2 v rechten gemeen hebben met W,.

d. Uit (c) volgt, dat door elk singulier punt 2v
rechten d gaan. En gaat door \'n punt meer dan 1 lijn d,
dan is dat punt singulier. Derhalve:

is 2v-voudige kromme van
* .

5. De graden der singuliere figuren {x, y, z, tv),
a. Een net [1,1] uit L heeft met elk oppervlak R\'
V stralen gemeen. Deze hebben hun beelden in 1 punt
van a^. Dus \'t beeld O\'\' yan de [1,1] gaat met v bladen
door \'è\'^. Insgelijks is een v-voudige kromme op \'n
tweede\'heeldoppervlak O\'", behoorend bij \'n andere [1,1],
In (O", O\'") telt dus voor een stuk van den graad
v^iv. De restdoorsnede van den graad a^ — v^ w is

\'t beeld van de die aan de beide netten gemeen is.
Dit beeld is een p^, dus:

a® - 4

«2 — v\'^W = 4 of tv =-—

h. Een puntenveld F snijdt elke rechte d in 1 punt,
dat afgebeeld wordt op een bepaalden straal van Ejf.
De beeldcongruentie {2,2\\ van F bevat dus \'t regelvlak
der singuliere stralen. Evenzoo behoort i?^ tot het
beeld van een tweede vlak F\'; noem dit beeld [2,2\']\'.
De doorsnede van [2,2\'] en is een m Dit bestaat

uit Rl en de restdoorsnede R^\'^, die de beelden bevat
van de punten der rechte (F, F\'). Deze rechte wordt
echter afgebeeld op een E", dus geldt:

8 — y = a, waaruit volgt y = S — a.

c. Een waaier uit L heeft met S = ^ stralen
gemeen; zijn beeld P steunt dus in « punten op
Het beeld O" van een [1,1] heeft dan met P op vz punten
gemeen, wegens de «^-voudigheid dezer kromme voor
genoemd beeldoppervlak. Verder is er nog 1 punt
{(y,k-) buiten nl. \'t beeld van den eenigen straal,
dien de beschouwde waaier met de \\_1,1] gemeen heeft.
Daar \'t totale aantal snijpunten (O", P) 2 a is, wordt

, . ^ 2a —1
8a = vz-\\- 1, dus z =--

v

d. Een rechte ti heeft met x punten gemeen.
Daaruit volgt, dat R", \'t beeld van m, op R\'J x be-
schrijvenden telt. Het beeld [2,2] van een veld F heeft dus
met R" ook a; stralen gemeen, daar immers R^ tot de
[2,2] behoort, \'t Punt (t/, F) levert nog 1 straal op,
die gemeenschappelijk is aan R" en de [2,2]. En daar
de doorsnede van deze 2 figuren uil 2 a stralen bestaat,
heeft men:

2a = 1 o{ x = 2a — 1.

e. In \'t voorgaande is gevonden: ^

Uit {2) volgt a<8 en uit {4) of a> 2. Dus

a = 3,4, 5, 6 of 7. Volgens (5) is:
2 a — 1 = v-voud, dus v is onevm.

Leg een p^ door 6 singuliere punten. Het beeld
van p^ bevat o. a. 6 regelvlakken R\', zoodat 3a\'>6v
of V <C. \'/i a, dus zeker v < 3^/2.

Daar v oneven is, heeft men v = 1 of 3.

Onderstel v = 3, dan moet 2a~- 1 = 3-voud en tevens
volgens (4) a\'^ — 4 — 9-voud ziin. Bij substitutie blijkt
geen der mogelijke waarden van a hieraan te voldoen.

Dus v — 1, in woorden:

Ee7i singulier, punt ivordt afgebeeld op een waaier uit L.
Daar volgens 4^ het regelvlak met 2 v bladen door
gaat, is deze lijn dubhelkromrne voor bedoeld opper-
vlak. Op de gebruikelijke wijze vindt men voor haar
graad w = 2 x — Neemt men in aanmerking, dat

(1) x = 2a — 1 en (4) tv = a^ — 4,
dan volgt hieruit

a\' — 4 — 4a — 7 oi a^ — 4 a-{ 3 = 0.

a = 2 ± 1^4-3] a = 3 oï 1.

De waarde a = 1 was echter reeds uitgesloten, dus
a = 3.

Verder wordt nu:

x = 2a - 1 = 5 z = 2a — 1 = 5
y = 8 — a = 5 w = a^ - 4 = 5.

f. De congruentie \\_z, z]s = [5, 5], omval volgens 4\'
alle regelvlakken van den graad v, d, w. z. alle complex-
waaiers, die 2 stralen met iï^ gemeen hebben. Bedoelde
congruentie heeft dus een singuliere kromme /j^die niets
anders is dan de dubbelkromme van J?^. Zooals behoort
vindt men voor den graad van p in haar beide hoe-

danigheden \'t zelfde getal, nl. 5. Noem deze kromme
p^. Elk harer punten B is top van een waaier, die tot
beeld heeft het lijnenpaar {d), dat toegevoegd is aan de
,8 singuliere stralen r door B. Het snijpunt der lijnen d
is natuurlijk een punt D der singuliere kromme. Om-
gekeerd behooren bij een punt D 2 rechten d, hierbij

2 beeldstralen r met een snijpunt B. Wegens dezen
samenhang (1,1) zijn p^ en van\'t zelfde geslacht. Hoe
groot is dit?

Dat \'t geslacht niet O is volgt reeds daaruit, dat
het trisecanten-regelvlak is van ^^ (zie 4"). Was ratio-
naal, dan zou \'t regelvlak der 5-voudige snijlijnen van
den graad 8 zijn. Evenzoo is B^ het vijfdegraadstrise-
cantenoppervlak p^. Dit volgt uit Als volgt kan

blijken, dat ^^ (dus ook p^ van \'t geslacht 1 is.

Twee netten uit L hebben 2 cubische oppervlakken

03 en O\'« tot beelden. De regelschaar B.\\ die aan de
netten gemeen is, wordt afgebeeld op de vierdegraads-
restdoorsnede na terzijdestelling van
De theorie der doorsnijding van 2 algebraïsche opper-
vlakken O\'" en O", wier doorsnede p\'"" uit een pf en
een p\'\' is opgebouwd, leert nu dat

hp, -{-2K = q (i». - O {n - !)•,

Hierin beteekenen: \'t aantal rechten door een
punt P, die 1 punt met p" en een ander met gemeen
hebben en hq het aantal koorden van door P. We

passen dit toe op . ,

= =

Daarbij is = want de kegels {P, p\') en (P, a^)
hebben wel 20 ribben gemeen, maar 10 ervan snijden
fli en niet in verschillende punten; op p* liggen nl.
de 10 punten D (dus punten van waarin afgebeeld
worden de 10 stralen, die P^ met [5,5], gemeen heeft.
Verder is q = m = n = 3, zoodat de aangehaalde
vergelijking oplevert: 10 2 hg = 5 {3 - 1) {3 — 1),
waaruit volgt /j, = 5, dus ê] is van \'t geslacht 1. Het

is hiermee in overeenstemming, dat door af oo^ cubische
oppervlakken te leggen zijn. L toch omvat oo^ netten
en elk van deze heeft z\'n eigen beeld door a-^. Dat
een O® door af moet gaan, is dus een i5-voudige voor-
waarde.

6. Samenvatting.

Er is een vijfdegraads singuliere kroinme caf) van \'t ge-
slacht 1, toier punten de beelden zijn van complexwaaiers,
die samen een [5,5]s vormen. Haar singidiere kromme p^^^
eveneens van graad 5 en geslacht 1, heeft een vijfdegraads-
trisecantenregelvlak R^, dat als singulier oppervlak optreedt
en dat omgekeerd p^ tot dubbelkromme bezit. Het wordt
afgebeeld op de beschrijvenden van een regelvlak D], dat
met 2 bladen door af gaat en omgekeerd van deze kromme
\'t trisecantenregelvlak is.

Gelet op deze singuliere figuren zijn aangaande de
besproken beelden de volgende aanvullingen te geven.

a. Een waaier W wordt afgebeeld op een k^, die
geheel bepaald is door de 5 punten (af, k^), welke de
beelden zijn van de stralen (W, S). Hierbij is weer
2 = [5,5]..

b. Een net N heeft tot beeld een oppervlak O® door
af, dat 5 rechten d bevat, nl. de beelden van de singu-
liere stralen (iV,

c. Een puntenreeks u wordt afgebeeld op een
dat 5 beschrijvenden gemeen heeft met R], de beelden
van de punten {u, IJ^).

d. Een punten veld V heeft tot beeld een [2,2\\ die
üf omvat. Daartoe behooren 15 waaiers: 5 ervan zijn
de beelden van de punten (V, af) en de 10 overige zijn
de waaiers, die afgebeeld worden op een A;^, welke een
der 10 verbindingslijnen van de punten (V, af) tot niet-
singulier bestanddeel heeft (zie 7°). Van den waaier in
V behooren slechts 2 stralen tot de [2,9\'].

e. Het beeld van een regelvlak R" is een p^", die

met o^ 5n punten gemeen heeft: de beelden van de
stralen (E", 2).

f. Het beeld van een ruimtekromme p" is een R^",
dat onder de beschrijvenden 5n singuliere stralen heeft,
behoorend bij de punten (/?", I/\').

g. Een oppervlak O" wordt afgebeeld op een [3 n, S n\\
waartoe n maal geteld, behoort, daar elke rechte d
door O" in n punten wordt gesneden.

h. Een congruentie [ji, n] uit L heeft tot beeld een
oppervlak dat met n bladen door ^^ gaat, omdat
in elk punt B van de singuliere kromme afgebeeld worden
de n stralen, die [«, ?i] met den aan B toegevoegden
waaier gemeen heeft.

7. Ontaarding.

Er zijn ook allerlei eigenschappen op te stellen, die
betrekking hebben op ontaarding van beeldfiguren en
die voor alle hier bedoelde afbeeldingen geldig zijn.
Hier volgen een paar voorbeelden:

a. Als een waaier zijn top {R) heeft op de singuliere
kromme, dan bestaat k\\ uit de 2 rechten d, die de
beelden zijn van de 2 stralen r door R.

Ligt de waaiertop in een ivillekeurig punt F van \'n
singulieren straal r, dus ergens op J?^ buiten è], dan
ontaardt k], in een lijnenpaar, dat bestaat uit de aan r
toegevoegde lijn d, aangevuld door een r snijdende koorde
k van De steunpunten deze koorde zijn de punten
D, die overeenkomen met de beide buiten r gelegen
snijpunten van \'t waaiervlak met p^^.

Zij omgekeerd k een koorde van de singuliere kromme,
K haar snijpunt met B^ buiten en d de beschrijvende van
door K. Laat verder r de singuliere straal zijn, die
met d overeenkomt en R het punt op p^, dat aan een
der steunpunten van k gekoppeld is. Dan ligt er in
{r,B) een waaier, die tot beeld heeft d-j-k. Hieruit
volgt:

De m.pl. van de niet-singidiere bestanddeelen van ont-
aarde waaierbeelden is. de congruentie [5,10], opgebouicd
uit de koorden der singuliere kromme.

b. Indien een rechte u op steunt, ontaardt het
beeld R^ in een regelschaar, aangevuld door een plat
vlak, dat gevormd wordt door den waaier, die als beeld
bij \'t steunpunt behoort.

Is u koorde van de singuliere kromme, dan worden
er analoog van R^ 2 platte vlakken afgesplitst, zoodat
er nog een derde vlak is, gevormd door \'n waaier, die
uit de beelden van de puntenreeks u bestaat. Zijn lig-
ging is onder (a) aangegeven.

Eindelijk ontaardt R^ in een vlakkendrietal door één
rechte, als u een lijn d is. De 3 vlakken bevatten de
waaiers, waarop de 3 singuliere punten van d worden
afgebeeld en snpen elkander volgens den met d over-
eenkomenden singulieren straal r.

8. Eenvoudig voorbeeld ter controle.

Dit is te ontleenen aan de afbeelding met behulp van
een quadratisch oppervlak cp\\ die in de vorige hoofd-
stukken uitvoerig onderzocht is.

Aan een straal s wordt als beeld toegevoegd het snij-
punt S van de poollijn p van s t. o. v. met de trans-
versaal t uit \'t vaste punt F over s en p. Omgekeerd
zou men bij S den beeldstraal s kunnen vinden als
doorsnede van \'t poolvlak u" van S met \'t nulvlak van
(t,^), als t = FS.

Met \'t oog op de hier bedoelde controle is het een-
voudiger op te merken, dat de poollijnen p zelf ook een
lineairen complex (p) vormen. Immers in een willekeurig
vlae y ligt een waaier van lijnen p, nl. de poollijnen van
den tot L behoorenden waaier om de pool van v. En
nu kan men S opvatten als beeld van p, ontstaan door
de in Hoofdstuk I besproken afbeelding op den complex
ip) toe te passen. Bij toepassing op (p) zullen we deze

afbeeldingswijze met [A] aanduiden. Omgekeerd kan
nu uit S met behulp van [A] de lijn p gevonden
worden en hierbij de toegevoegde poollijn 5 als beeld
van S. Hiermee is de nieuwe afbeelding [A]* tot [A]
teruggebracht.

Het beeld van een waaier (5) volgens [A]* is nu blijk-
baar identiek met \'t beeld volgens [A] van den waaier
ip), die uit de toegevoegde poollijnen van (5) bestaat,
dus een kegelsnede P.

Verder wordt een net {u,v) afgebeeld op een opper-
vlak, dat volgens [A] ontstaat uit de die de toe-
gevoegde poollijnen u\' en v\' (van w en v t. 0. v. tot
richtlijnen heeft, dus op een O®.

Uit de beelden k^ en 0\\ waarvan \'t eerste trouwens
in H. II § 1 onder den naam P ter sprake kwam, volgen
alle andere.

Hoe staat \'t met de singuliere figuren hij Een

straal s is singulier, als de correspondeerende lijn p het
in U] is. Bij de afbeelding van den complex (p) vol-
gens [A] ontstaat als m.pl. der singuliere stralen: de
p-waaier in « en een regelvlak van den vierden graad
Dj, opgebouwd uit de stralen van (p), die tevens raak-
lijnen zijn aan (p^ in de punten van i(p\\ x). Het sin-
guliere regelvlak bij [A]* is dus: de complexwaaier om
F, aangevuld door een vierdegraadsregelvlak, dat blijk-
baar geen ander is dan \'t geen vroeger is genoemd.
Wij hebben dus:

Jfö = waaier om F, terwijl
J)^ = jD* -f- p-ivaaier in x.

Een punt S is singulier bij [A]*, als het dit is in
[J.]. Bij de laatste afbeelding is de m.pl. der singuliere
punten opgebouwd uit de (steeds optredende) kegelsnede
a^ = i(p\\x) en de derdegraadsdubbelkromme A^vanD*
dus ook in [Al* geldt:

Als congruentie 2 treedt op de [5, 5], die bestaat

uit de rechten s, welke de poollijnen zijn van de stralen p
der [5,5], die de waaiers van (p) omvat met toppen
op Zoo\'n waaier uit de laatstgenoemde [5, 5] bevat
2 singuliere stralen der afbeelding [A], die als toege-
voegde poollijnen hebben 2 snijdende rechten van R^.
Haar snijpunt, dat waaiertop is van een waaier uit 2,
ligt dus\' op de dubbelkromme pl van B^. Deze bestaat
uit de van vroeger, aangevuld door de kegelsnede
a*^ die als restdoorsnede optreedt bij de snijding van
üj met \'t nulvlak van F. Deze doorsnede toch omvat
volgens \'t vroeger gevondene ook 2 complexstralen door F.
Naar behooren is de singuliere kromme van S tevens
dubbelkromme van R], terwijl de dubbelkromme van D]
als singuliere kromme (a^) der afbeelding dienst doet.

Het is ten slolte direct in te zien, dat en p^ vijfde-
graadsfiguren van \'t geslacht 1 zijn: ze bestaan beide
uit een cubische ruimtekromme en een deze 2 maal
snijdende kegelsnede. Voor \'t overzicht diene:
Rl = B\\ waaier {F}-, a*\\

Dl = (door a®) p-ioaaier in «; = A^ a^
Hierbij hebben R^, a^ en a de beteekenis, die
daaraan in de vorige hoofdstukken steeds is toegekend.

9, Hoofdpunten en hoofdstralen der afbeelding.

Hierop is in \'t voorgaande niet gelet.
a. In \'t bijzondere geval, dat een (singulier) punt H
aan meer dan 1 waaier is toegevoegd, is het \'t beeld
van oneindig veel waaiers. Deze kunnen geen [2,2] (of
hoogeregraadscongruentie) vormen. Want een R^ zou
hierin 4 stralen hebben en de afbeeldende p^ dus een
4-voudig punt in H, wat niet kan. Dus:
H is het beeld van een [1, ï].

Er kunnen geen 2 (of meer) hoofdpunten zijn. Immers
een B\' zou met elk van de beeldcongruenties [1, ï] 2
stralen gemeen hebben, hetgeen zou leiden tot 2 dubbel-
punten in de beeldkromme p*; dit nu is onmogelijk.

De richtlijnen u en v van \'t bi] H behoorend net maken
deel uit van p% want elk punt van u en v is top van
een waaier, die 2 singuliere stralen moet bevatten. Dit
zijn nl. de rechten r, uit wier beelden d het corres-
pondeerend waaierbeeld moet bestaan. Hieruit volgt:
als er een hoofdpunt is, is de dubbelkromme van\'t sin-
guliere regelvlak zeker ontaard. Omdat m tot pl behoort
zenden de punten R op u waaiers uit, die samen het
tot 2 behoorende net vormen, dat in H wordt afgebeeld.
Daar de punten R van v hetzelfde net opleveren, moet
dit als bestanddeel der [5,5]. 2 maal geteld worden.

De aanwezigheid van H geeft eenige bijzonderheden
in de beeldfiguren. Alle kegelsneden k\'^ gaan door H
en hebben daar 2 samenvallende punten met af gemeen;
dit komt doordat de correspondeerende waaier een straal
bevat, die als beschrijvende van de meergenoemde [2,1\\
dubbel te tellen is. Hieruit valt af te leiden, dat H
dubbelpunt is van af.

De p\\ die een R^ afbeeldt, heeft in H een dubbel-
punt. Het beeld van een net heeft H tot kegelpunt.

Op de graden der beeldfiguren en der singuliere figuren
heeft H geen invloed, want de beschouwingen van § 4
en § 5 blijven doorgaan, mits men de [J, 2], die bij H
behoort opneemt in de congruentie 2 en wel 2 maal.
Alleen raag men niet langer zeggen, dat er tusschen
de punten van af en p] een verband {1,1) bestaat.

b. Een (singuliere) straal h is hoofdstraat, als hij op
2 puntenreeksen d wordt afgebeeld; hij heeft in dat geval
een geheel regelvlak {d) tot beeld, dat niet van den
tweeden (of hoogeren) graad kan zijn. Immers dit regel-
vlak zou omgekeerd op een (4, i) afgebeeld moeten
worden, waarvoor niets anders beschikbaar is dan de
parabolische congruentie om de as h (opgeleverd door
singuliere punten op (f/)) en de [i, i], die behoort bij
t eene hoofdpunt, dat mogelijkerwijs op (rf) ligt. Dus:
h is toegevoegd aan een plat vlak, gevormd door rechten d.

Dit vlak, als puntenveld beschouwd, moet een [2, 2]
tot beeld hebben. Deze congruentie bestaat uit de [1,1],
die h tot as heeft en de [?, li die toegevoegd is aan
het hoofdpunt, dat blijkbaar op {d) ligt. Uit een en
ander volgt, dat h niet alleen beschrijvende van R^ is,
maar ook deel uitmaakt van de dubbelkromme p]; door
h gaan 3 bladen van \'t singuliere regelvlak.

Als bestanddeel van is \'t vlak (d) tweemaal in
rekening te brengen, tfet is nl. de m.pl. der rechten c^,
waarop h wordt afgebeeld, maar ook wordt \'t opgeleverd
door componenten d van de lijnenparen, die de beelden
zijn van complexwaaiers met toppen op h.

Er is slechts 1 hoofdstraal mogelijk, want elke hoofd-
straat brengt \'t bestaan van een hoofdpunt met zich.

10. Voorbeeld van een afbeelding met een hoofdpunt.

a. Denk 2 vaste vlakken x en (3 en 3 vaste punten
A, B en C, waarvan A in x ligt, doch overigens wille-
keurig is. Een straal s snijdt x in P, (S in Q. Trek
uit C de transversaal t over a = AP enb = BQ. Fiet
snijpunt S = {b,t) wordt als beeld van ogenomen. Uit-
gaande van S kan men omgekeerd S C en S B trekken.
Door de eerste lijn wordt a bepaald en door de andere
\'t punt Q. Verder is de beeldstraal .9 die straal uit den
waaier van L om Q, wel^e op a steunt.

b. Laat s een waaier [N, v) doorloopen. Dan door-
loopt a den waaier {A, x) en b een daarmee projectie ven
waaier in \'t vlak ^^ door B en n = (v, (3). Hiermee
correspondeeren 2 projectieve vlakkenbundels om de
(snijdende) assen CA en CU. Hun voortbrengsel, een
quadratische kegel, wordt door gesneden volgens het
beeld van (N, v). Dit is dus een kegelsnede door B en
door \'t doorgangspunt van GA op /x.

c. Beschouw een net (m, v) uit L. De waaiers in
de nulvlakken v door u leveren kegelsneden Ic^ op, wier
vlakken iJt, elkander snijden volgens een rechte door B

en door (m, (3). Deze rechte en een P vormen de door-
snede van zoo\'n vlak [j, met \'t beeldoppervlak. Dit is
dus een cubisch oppervlak met dubbelpunt in B.

De overige beeldfiguren kloppen nu vanzelf met \'t over-
zicht in § 6 gegeven.

d. Singuliere stralen.

1°. Voor een straal s in a is « onbepaald; Q is een
bepaald punt op = Als beeldpunt kan men

nemen elk punt S op b=BQ. De complexwaaier
(X, x) bestaat dus uit singuliere stralen. De beelden
vormen den waaier {B f), als ^ = {B, d).

20, Ook voor een straal s uit waaier {A,va) is a
onbepaald, terwijl Q een punt op q=(f3,yA) is. Elk
punt op b = BQ kan weer als beeld dienen. Dus:
{A, va) bestaat uit singuliere stralen en wordt afgebeeld
op waaier {B, vj), als -/i = {B, q).

30. Voor een straal s \'m (3 is Q onbepaald (op 5),
terwijl a de verbindingslijn is van A en (d,s). Als
beeldpunt S is bruikbaar elk punt op de doorsnede van
(C, a) en {B,s). Hieruit volgt: de waaier {Y, (3) bestaat
uit singuliere stralen.

Zij worden afgebeeld op de m.pl. van de zooeven
bedoelde doorsnijdingslijnen. Dit is een R^, nl. het
voortbrengsel van de projectieve vlakkenbundels om de
assen AC en B Y. B^ gaat door deze assen.

40. Beschouw een straal s uit den waaier in vlak
ABC^r- Dan liggen a = («, r) en b ook in y, dus
S is eenig punt op b. De waaier {Z,r) bestaat dus
uit singuliere stralen en wordt afgebeeld op waaier {B, 7).

50. Een straal s uit den waaier om (rf, y) geeft
als snijpunten met a en (3 het punt K zelf. Verder is
a^AK; b = B K. Daar a en h in y liggen, is de
transversaal t uit C onbepaald (in y), dus S eenig punt
op x = BK.

Dus: de waaier {K, k) bestaat uit singuliere stralen,
die alle afgebeeld worden op x

e. Singuliere punten.

1°. Uit 5") volgt direct: alle punten van x zijn
singulier; elk ervan is toegevoegd aan de stralen van

{K,

20, Leg S o^ d = («, (S). C S levert op a = ^ en
B S geeft Q^S. Als beeldstraal s voldoet dus elke
straal uit den waaier om S. Dus: alle punten van d
zijn singulier. Zij zijn de beelden van het net {d, d\'),
als d\' de toegevoegde richtlijn is van d.

3°, Als S OT^ y = AC ligt, wordt a onbepaald. Voor s
kan dus genomen worden elke straal uit den waaier
om Q. Loopt S over A C, dan loopt Q over e = (/3, y).
Derhalve: alle punten van y = AG zijn singulier,. Zij
behooren als beelden bij de bilineaire congruentie (e, e\');
e is de toegevoegde richtlijn van e.

4\'\', Zij S=B; a is bepaald als verbindingslijn m
van A en \'t snijpunt van « met B C, naar Q is onbe-
paald (in (3). Voor s is dus te nemen elke straal, die
op a steunt.