DE VERWANTSCHAP
2,2

EN HARE TOEPASSING OP
VLAKKE KUBISCHE KROMMEN

DOOR

H. B. VAN DER HEIJDE

A-,-\'^i^i\'\'y.

VÏÎ-:
j

/ ^

, V

■ ■ \'Ló^ ■ - \'

n

j 1
f

t 1 ^ V «

DE VERWANTSCHAP [2,2]
EN HARE TOEPASSING OP VLAKKE
KUBISCHE KROMMEN

■■"äs. ^^ • \' \'

DE VERWANTSCHAP [2,2
EN HARE TOEPASSING OP VLAKKE
KUBISGHE KROMMEN

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN
NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-UNIVER-
SITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN
RECTOR MAGNIFICUS Mr J. P. SUIJLING
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER
RECHTSGELEERDHEID, VOLGENS BE-
SLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVER-
SITEIT, TEGEN DE BEDENKINGEN VAN
DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUUR-
KUNDE TE VERDEDIGEN OP WOENSDAG
7 JULI 1926, \'S NAMIDDAGS TE 4 UUR.

door

HERMANUS BERNARDUS VAN DER HEIJDE

GEBOREN TE SCHIEDAM

H. J. PARIS
AMSTERDAM — MCMXXVI

bibliotheek der

RIJKSUNIVERSITEIT
UTRECHT.

îÀ4f

-ft

"v-----.-■"^.v. - • —"ijMCS" ............\'»-.Äitt,,

AAN

WIJLEN MIJN MOEDER

iïv

Bij het voltooien van dit proefschrift maak ik gaarne van de ge-
legenheid gebruik mijn dank te betuigen aan ieder, die op eenige
wijze mij bij mijn studie heeft gesteund.

Daarbij denk ik in het bijzonder aan U, Hooggeleerde Kapteyn.
Voor de voorlichting, die Gij mij meermalen zoo welwillend hebt
gegeven, wanneer ik U daarom verzocht, zal ik steeds erkentelijk
blijven.

Het meest echter weet ik mij aan U verplicht. Hooggeleerde De
Vries, Hooggeachte Promotor. Voor Uw advies bij de keuze van
het onderwerp, alsmede voor de correctie van het handschrift, breng
ik U hier mijn hartelijken dank.

tîh

^^ ks ^^tlSiqsrm ruweetf D Ii nmiis;^

INLEIDING

Het onderwerp van dit proefschrift is, voor zoover mij bekend,
tot nu toe alleen behandeld in geschriften van Emil Weyr,Prof.
Dr. J. de Vries en R. Sturm.

De analytische eigenschappen der [2,2] vinden bij Weyk
slechts een korte bespreking. Een paar der belangrijkste eigen-
schappen zijn door Prof. de Vries onderzocht in een tweetal
artikelen, verschenen in het Nieuw Archief voor Wiskunde.
Sturm eindelijk geeft in „Die Lehre von den geometrischen Ver-
wandtschaften 1" een uitvoeriger behandeling van dit deel der
theorie.

In hoofdstuk I van dit proefschrift wordt thans een systema-
tische samenvatting gegeven van de tot dusver verkregen resul-
taten, uitgebreid met eenige bewijzen en ontwikkeh\'ngen, welke
tot nu toe ontbraken. Door doelmatige parameterkeuze, die
aan de algemeenheid niet te kort doet, zijn bovendien enkele
bij Sturm voorkomende bewijzen vereenvoudigd.

E. Weyr en Prof. J. de Vries hebben de [2,2] gebruikt voor
het onderzoek van de eigenschappen der vlakke krommen van
de 3e en 4e orde van \'t geslacht i. De resultaten van hun arbeid
ten opzichte van de kubische krommen, gedeeltelijk gewijzigd
en uitgebreid, zijn opgenomen in de hoofdstukken III en IV.

Litteratuur:

1. R. Stuhm, Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften I.

B. G. Teubner.

2. J. de Vries, Ueber einen Correspondenzsatz. Nieuw Archief voor

Wiskunde. 2c R. Deel VII.

3. J. de Vries, Ueber die zwei-zweideutige Verwandtschaft. N. Arch.

voor Wisk. 2e R. Deel IX.

4. J. de Vries, Over vlakke krommen der derde orde. N. Arch, voor

Wisk. le R. Deel XII.

5. E, Weyr, Erzeugung der Curven 3er Ordnung mittelst symmetri-

scher Elementensysteme zweiten Grades. Akad. der Wiss.
Wien. Deel 69.

6. H. DuRiGE, Die ebenen Kurven dritter Ordnung.

7. L. Cremona, Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen

Kurven. Uebers. v. M. Curtze.

HOOFDSTUK I

1 — Tusschen twee elementenstelsels U en Ui bestaat een ver-
wantschap [2,2], wanneer met elk element van U twee elementen
van Ui overeenkomen, terwijl eveneens met elk element van
Ui er twee overeenkomen uit U.

Wordt elk element in U bepaald door zijn parameter X en
in Ui door [z, dan is de algebraïsche verwantschapsvergelijking
in \'t algemeen:

aoih\' aoo = o.... (i).

Deze verwantschap is projectief d. w. z. als \'t stelsel u\' pro-
jectief is ten opzichte van U en u\'i projectief ten opzichte van
Ui, dan bestaat tusschen u\' en u\'i ook een verwantschap [2,2].

Het aantal termen der vergelijking bedraagt 9. Door 8 con-
stanten wordt de vergelijking bepaald. Tusschen twee bepaalde
stelsels zijn dus 00® verwantschappen [2,2] mogelijk.

De constanten kunnen éénzinnig bepaald worden door acht
paar overeenkomstige elementen. Hieruit volgt:

Een verwantschap [2,2] tusschen twee gegeven stelsels wordt
^éénzinnig bepaald door acht paren overeenkomstige elementen,

2 — Bijzondere beteekenis hebben in verg. i die waarden
van X(|ji), waarvoor de beide overeenkomstige waarden van ^
(X) samenvallen. We kunnen schrijven:

(aoo aioX aaoX®) (aoi anX aaiX»)}^ (ao2 aijX

a„X2) = O.

Voorwaarde, dat de beide waarden van n samenvallen is:
(aoi a„X a2iX2)2 — 4(800 a,oX a^oX^) x (aoa a^X
ajjx») = o. (2).

Dit is een vergelijking van den vierden graad in X. Er zijn
dus vier elementen in U, waarvoor de overeenkomstige elemen-
ten van Ui samenvallen. Deze elementen van Uheeten,,i;er£a^-
^i/2|5e/emenfen/\'deermeeovereenkomendeuitU%,rfM&&e/e/ementen/\'

Evenzoo bevat U\' vier vertakkingselementen, waarmee in U
evenveel dubbelelementen overeenkomen. Samen heeten deze
zestien elementen de „singuliere elementen",

Is verg. (2) identiek nul, dan is elk element vertakkings-
element, waarmee steeds een element van \'t andere systeem als
dubbelelement overeenkomt.

3 — We kunnen de parameters zóó kiezen, dat X = 00 en
(x = 00 vertakkingselementen bepalen, terwijl de daarmee over-
eenkomende dubbelelementen worden aangewezen door (1 = 0,
X = o.

Aan de verwantschapsverg. moet dan voldaan worden, zoo-
wel door X = 00, = o, als door X^ = o, [x = 00. Dit eischt,
dat 321 = 3x2 = azo = aoa = O, waardoor overblijft:

a22XV®   aoit^ aoo = O,

welke vergelijking na deeling door 322 kan geschreven worden
in den vorm

XV^ 2aX[ji 2bX 2b\'ti c = O. (3)

De vertakkingselementen worden nu gevonden uit:
(aX b\')" — X2(2bX c) = O.
{Z\\L b)2 — (Jl2(2b\'[JL c) = O.

Na rangschikking:

2bX\' (c — a2)X2 — 2ab\'X — b\'^ = 0. (4a)
2bV3 -f (c — zV — 2ab|x — b2 = O. (46).

Vermenigvuldigen we (4a) met b^ en (46) met b\'S dan vin-
den we:

2b\'X3 (c — a2)b2X2 — 2abb\'bX — b^b\'® = o.
2b\'V (c — a2)b\'— 2abb\'bV — b^b\'» = o.

De eerste verg. gaat over in de tweede door de substitutie
bX == b\'[jL.

Ook de vertakkingselementen (z = oo, X = co voldoen hier-
aan. Daaruit blijkt, dat de beide vertakkingsquadrupels pro-
jectief zijn. Duiden we de vertakkingselementen aan met
Xi, Xg, Xg, X4; [Xi, ti.3, dan geldt dus:

(X1X2X3X4) = ((Xi[X2[X3(X4).

Van de 24 dubbelverhoudingen tusschen vier elementen zijn
echter telkens 4 aan elkaar gelijk. Dus moet ook gelden:
(x1x2x3x4) = ([jl2[xi[x4[jl3) = (tx4ta3l^2t^l) = d. w. z.

de vertakkingselementen van béide stelsels zijn op vier verschillende
wijzen projectief.

Ook de dubbelelementen van beide stelsels staan in projectieve
betrekking. Dit blijkt aldus:

Een vertakkingselement Xk komt overeen met het dubbel-
element

.. aXK b-

evenzoo komt (xk overeen met

a[j.K 4- b

X(K) =

IXK^

Deze betrekkingen kunnen geschreven worden in den vorm

a.b{x bb-

Door de transformatie

bX = b\'(x

gaat de eene in de andere over. Hieruit volgt de stelling:

De acht singuliere elementen van het eene stelsel zijn op vier
verschillende wijzen projectief ten opzichte van de singuliere elemen-
ten van het andere systeem. De vertakkingselementen en de dubbel-
elementen van het eene stelsel zijn respectievelijk toegevoegd aan de
vertakkingselementen en de dubbelelementen van het andere, (Emil
Weyr).

4 — Tusschen de vertakkingselementen en de dubbelelemen-
ten van een stelsel bestaan drie quadratische involuties zoodanig,
dat tot elke involutie behooren twee paren vertakkingselemen-
ten benevens de twee paren overeenkomende dubbelelementen.

Noemen we de singuliere elementen van \'t eerste stelsel

Xi, Xa, Xg, X4; XI, X", X"i, W en van het tweede

t^i» 1^2» {^4; (A^ fi"\'»
waarbij in elke groep de eerste vier de vertakkingselementen
zijn, dan hebben we volgens art. 3 de volgende betrekkingen:

aXj b\'

ii = —

b\' aXi b\'

bXi = bV, dus = — b--^—\'

en analoge betrekkingen tusschen

X" en X2 enz.

Kiezen we de parameters zóó, dat Xi = 00 en = 00 ver-
takkingselementen zijn en X^ = o, (i^ = o de bijbehoorende
dubbelelementen, dan gelden bovendien de verg. (4a) en (46)
2bX3 (c — aa)X2 — 2ab\'X — b\'«
2bV3 (o —a2)(jL2 —2ab(JL
waaruit:

a\' — c

X2 4" X3 -f- X4 —

ab\'

X2X3 -f- X3X4 -{- X4X2 =3 —
_ ^

X2X3X4 - ^^

We zullen nu bewijzen, dat aan de verg. der involutie, be-
paald door de paren XjXj, X^X" ook voldaan wordt door de paren
X3X4 en Xi"Xiv.
De algemeene involutievergelijking is:

X1X2 a(Xi X2) P = O
Xi = 00, dus Xg a = o, waaruit a = — X2.

Hierdoor wordt de vergelijking:

xiXa — XzCxi X2) P = O.

b\' aXg b\'
Substitueer hierin Xi = o, X" = — ^^

We vinden uit:

xixn _ X^CXi X") p = O,

b\' 3X2 b\'

daar X^ = o is: p = XaX" = — —^^ •

Hiermee is de involutievergelijking bepaald:

^ b\' aXa b^
xixj — XaCxi xj) — —-

•2

^ = O.

In de eerste plaats moeten daaraan voldoen X3, X4.
Uit de betrekkingen (5) volgt

a\' — c — abXg
= ^b \'

■ b\'®
X3X4 =

2bX,\'

Dit gesubstitueerd in

^ b\'(aX2 b\')
X,X4 - X,(X, XJ--^^-- O

geeft

b" (a= — c)Xa — 2bX,\' b^aX, bQ ^

2^,"" 2b bXa

2bX,» -f (c — a\')Xa\' — 2ab\'Xa —b\'» _

----------- — Of

2bXj.

Daar X, een wortel is van (4a), is de teller o en daarmee
de geheele breuk.

X3 en X^ voldoen dus aan de involutievergelijking.

Voorts staat te bewijzen, dat ook Xi", X^v aan de verg. vol-
doen dus:

Hierin is:

b X^a

b \\\\

Substitutie van deze waarden en herleiding van de verkregen
vergelijking, onder gebruikmaking van de betrekkingen^ boven
afgeleid voor X3 X4 en X3X4, geeft
^^ (aX4 bQ (aXa h\') b\' /aXs b\' aX^ b^

b\' aXg b\'

3^X3X4 ab\'(X3 X4) b\'2 X2{aX3X4(X3 b\' (X^g

xw

__b aXg h\'

Na substitutie en herleiding:
ab\'

Y { bMc — a^) Xg^ — aab^b\'Xa}

b^s I-

_ab b

~ b\' X2\'

Nu is Xg een wortel van

hHc — a2)X22 —aab^b\'Xa — b^b\'^ = o.
De eerste breuk wordt daarom:
ab\'

b ab

b\'^ ~ b\'
Dus moet nog bewezen worden:
4abb\'2X2 4abb\'(a2—c)X2== 4b2b\'2X22 b(a"—c)2.X23_4b3X25 b

b^^^ ---=X/

of

{2ab\'X2 — (c — a2)X22}2 — {abXg® — b\'^}^ = o.
[abXg\'— (c—a2)X22 2ab\'X2—b\'2] [—abXa»—(c—a2)X22 2ab\'X2

b\'2] = o.

Volgens (4a) is de laatste factor van dit product nul. Aan de
vergelijking wordt dus voldaan.

Hiermee is dus aangetoond het bestaan van een involutie Ii
met de paren X^Xg, X3X4, X^X«, X"iXiv.

Het is echter dadelijk in te zien, dat op volkomen gelijke wijze
is aan te toonen het bestaan van de involuties met de paren:

K\'^zf Wf en X"Xiv............ (I2)

en X1X4, X2X3, XIXIV en XiiXm............ (I3)

Deze drie involuties vormen een tripel van elkaar steunende
of geconjugeerde involuties. Nemen we toch bij de elementen
van een paar van een dezer involuties de bijbehoorende volgens
een andere, dan vormen deze een ander paar der eerste involutie.
B.v. bij X1X4 van I3 nemen we de overeenkomende elementen
uit Ij, dat zijn X2X3. Deze vormen een ander paar van I3.

5 — Een involutie met de paren X^Xi, XgX", X3X111, X4X1V is
niet mogelijk.

Nemen we dezelfde parameters en bepalen we de involutie
door de paren XiXi en X2X". In de algemeene vergelijking

X1X2 a (xi X2) P = O
moet dan in de eerste plaats a = o zijn dus

X1X2 p = o

Daaraan moeten voldoen XaX"; dus

b\' aXj b\'

De involutieverg. is dan

b\' 3X2 b\'

Hieraan souden nu moeten voldoen X3X™ en X4X1V dus:

b\' aXg b\'

aX3 b^ aX^ b^ _

b* X3 b\' X2

Dit kan alleen als X3 = Xj. Evenzoo zou X4 = X2 moeten zijn.
Er bestaat dus geen involutie, waarbij in eenzelfde paar een ver-
takkingselement en het daarbij behoorende dubbelelement
voorkomen.

6 — Voor de elementen van het tweede stelsel vinden we
natuurlijk ook drie geconjugeerde xnvoluties. De eerste heeft
tot vergelijking:

yxy^ - (X2(yx yO - g/ ^^ = «.....(?). dx\')

b\'

Door de substituties

b\'
b\'

gaat de verg. (6) in (7) over.

De involuties (10, (I/)/ gaan dus door projectie in elkander
over. Hetzelfde is het geval met de involuües (Ij), (!,\') en (I3), (I3\').

7 — Stellen we de [2, 2] weer voor door (3).

XV\' 2aXn 2bX 2b\'[ji c = o.
Zij X = 00 nu een tweevoudig vertakkingselement. Dan moet
verg. (4a) ook een wortel X = 00 bezitten. Dit eischt, dat b = o.
Daardoor gaat (4b) over in:

2bV® (c — a2)[x2 = O.
Met X = 03 komt dixs overeen het dubbele vertakkingselement
(A = O. Volgens art. 3 kwam echter met het vertakkingselement

X = 00 overeen het dubbelelement (jl = o. In (x = o valt dus een
dubbelelement van het tweede stelsel sam^n met twee ver-
takkingselementen.

Heeft ieder stelsel een dubbel vertakkingselement, X^ = oo
en [i^ = 00, die niet met elkaar overeenkomen, dan wordt in
verg. (4b) ook b\' = o, zoodat nu verg. (3) overgaat in
XV® 2a.\\\\i c = o.

of _

(Xfx a— Va\' — c) (X(i a Va\' — c) = o.....(8).

De [2,2] bestaat nu uit twee projectiviteiten.

(J. de Vries).

8 — Veronderstellen wij nu, dat met elk element van het
paar (X^, X2) van het eerste stelsel hetzelfde paar (fXi, [Xj) van het
tweede stelsel overeenkomt. We kunnen nu de parameters zóó
kiezen, dat de waarden [x = o en [x =» 00 toegevoegd zijn aan
X = o en X = 00. In vergelijking (i) moet dan aoo =■ aoj = a^o =
=a 322 = O zijn. Dus wordt de verg. thans

32,X» pi -f aiaX[i® 2a„Xtx aioX aoijx =• o.....(9)..

Vervormen we deze tot:

(aaiX» -f anX aox) pi (auii\' anfA -f aio)X = o.
dan blijkt, dat de [2, 2] gevormd wordt door twee projectieve
involuties:

aaiX» a„X -f- aoi = pX \\.......... ^^^^

aiïix® aiifi aio = —J.......... •

Hieruit volgt de stelling:

„i4/s bij een twee-tweezinnige verwantschap een paar van het
eene stelsel is toegevoegd aan een paar van het andere, dan corres-
pondeert elk paar van het eene stelsel met een paar van het andere
en de verwantschap ontstaat door de projectiviteit van twee quadra-
tische involuties**. , (J- de Vries).

9 — Om de voorwaarde op te sporen, waaronder een [2,2] een

dergelijke projectiviteit wordt, gaan we uit van de algemeene
verwantschapsvergelijking (i) en rangschikken deze naar afdalende
machten van [x:

(a22X2 ai2X ao2)[i2 (a2iX2 anX aoi)fx (a2oX2 aioX aoo)=o.

De vergelijkingen in [z, die we vinden, als we voor X substi-
tueeren de waarden Xi en Xg, waarvoor het in art. 8 onderstelde
geval intreedt, moeten dezelfde wortels hebben.

Daarvoor is noodig, dat de coëfficiënten evenredig zijn. Der-
halve:

a2iXi^ aiiXi api ag^Xg^ a^Xg ap^
aiaXi ao2 ~~ ajzX^a aigXg apa
a2o>^i^ aipXi 4- apo ajpXg^ aipXg app

a22^i^ aigXj ao2 332X3^ ajaXg apg
Verdrijven we de noemers en brengen alles naar links, dan
kunnen we beide vergelijkingen deelen door Xj — Xg. Dit is
geoorloofd, want Xj ^ Xg. We vinden dan:

(311322 — ai232i)XiX2 (apia 2821) (Xj ^2)

(3oi3I2 — Soaaii) = O.

(310322 3J232O)XIX2 (aoo322- 3p2a2o) (Xj Xg)

(3po3i2 — 3p23ip) = o,

Naargelang we Xi of Xg elimineeren, vinden we:
(322X1=^ 312X1 apa) A = O.
(312x2- 312x2 ao2) A = o.

waarin

300> 3oi, ao2

A = 3ip, aii, ai2

320» 321, 322

Aan deze vergelijkingen wordt voldaan, wanneer óf de vormen
tusschen haakjes nul zijn óf A = o is.

In \'teerste geval wordt aan de verg. (a) voldaan, doordat
beide zijden 00 worden; de gewenschte evenredigheid is daar-
mee niet bereikt. De voorwaarde moet dus zijn A = o.
In dit geval is gemakkelijk aan te toonen, dat de coëfficiënten

van de eene vergelijking (p) evenredig zijn met die der andere.
Ter bepaling van Xj en Xg hebben we slechts één vergelijking,
die een oo aantal oplossingen toelaat. Er zijn dus een oo aantal
paren elementen van \'t eerste stelsel, die aan onzen eisch voldoen.

De vergelijking (p), die we voor de oplossing gebruiken, is
ten opzichte van Xi, Xg bilineair en symmetrisch: de elementen
Xi, Xg doorloopen dus een involutie in het eerste systeem.

Waren we uitgegaan van twee elementen van \'t tweede stelsel,
die met dezelfde twee van het eerste overeenkomen, dan zou het
betoog op dezelfde wijze verloopen zijn: slechts de indices waren
verwisseld. De involutievergelijking in het tweede stelsel zou
dan zijn:

(a^agg agiaig)(Xi[X2 4" (aioagg agoa^g) ((J,i -j- (Xg) (aioagi

agoaii) = o. -

Dus is

A = o

de voorwaarde, dat een verwantschap [2, 2] met de vergelijking
(i) een projectiviteit is van twee involuties. (R. Sturm).

10 — Bestaat tusschen de elementen van twee stelsels, die
door een [2, 2] verbonden zijn, ook een projectiviteit, uitgedrukt
door de bilineaire vergelijking.

aX(ji -f bX c(jt d = O,
dan blijkt, wanneer we de in fx uitgedrukte waarde van X uit
deze vergelijking substitueeren in (i) een vergelijking van den
4en graad in (x te ontstaan.

Hieruit volgt:

Bij een verwantschap [2,2] zijn er vier paren elementen, die
tegelijk met elkaar overeenkomen in een projectiviteit tusschen
dezelfde stelsels.

Collocale twee-tweezinnige verwantschappen

11 — Bevinden zich twee gelijksoortige stelsels op denzelfden

drager — twee puntreeksen op eenzelfde kromme, twee stralen-
bundels op \'t zelfde centrum — dan kunnen er elementen voor-
komen^ die met één der correspondeerende elementen samenvallen.

Het is dan steeds mogelijk in beide stelsels dezelfde parame-
terbepaling in te voeren. Doet men dit, dan geven gelijke parame-
ters identieke elementen.

In verg. (i) wordt voor zoo\'n element X = fi. Daardoor ont-
staat een vergelijking van den 4en graad. De vier wortels bepa-
len de 4 coïncidenties. Dus:

Twee coUocale stelsels, waartusschen een [2,2] bestaat, hebben
vier coïncidenties,

12 — Bestaat tusschen de elementen van twee coUocale stelsels,
die door een [2,2] verbonden zijn, tevens een quadratische in-
volutie, dan blijkt op dezelfde wijze als in art. 10:

Twee coUocale stelsels waartusschen een [2,2] bestaat, hebben
vier paren overeenkomstige elementen, die tevens paren zijn van een
op denzelfden drager gelegen involutie.

Als elementen van de [2, 2] zijn deze paren in \'t algemeen niet
involutorisch.

13 — Bij coUocale stelsels kunnen paren voorkomen, die in
de [2, 2] wel involutorisch zijn. Nemen we (i) weer als verwant-
schapsvergelijking en verondersteUen we, dat Xi en [Xj een der-
gelijk paar vormen. Nu moeten gelijktijdig gelden:

a22>^iVi^ a2iXiVi ai2Xi[Xi2-fa2oXi2-fao2[Jii2-|-anXi(jLi

aioXi aoi|Xi aoo = o.

(11) en

a22|Xi%\' a2i[Xi®Xi ai2[XiXi2-l-a2o(X:® ao2Xi2 aiifXiXi

aiofii aoiXi aoo = o.

Trekken we deze vergelijkingen van elkaar af, dan vinden we:

aJo(Xl—(Xi) aoi([Xi—Xi)= o,
en na deeling door Xj — |jii ^ o,

(321 —  (azo — ao2) f^i) aio — aoi = o. (12)

Deze bilineaire vergelijking bepaalt een involutie. Sturm
noemt deze de met de gegeven [2, 2] verbonden involutie.

Elk involutorisch paar van de [2, 2] behoort dus tot involutie
(12); omgekeerd volgt uit (12) en één der vergelijkingen (11) de
andere d.w.z. als een paar der verbonden involutie in de [2, 2]
met elkaar in den eenen zin correspondeert, dan correspondeert
het ook in den anderen, is dus een involutorisch paar. Elk involu-
torisch paar bestaat eigenlijk uit twee paren. Volgens art. 12
heeft een [2, 2] vier paren, die tevens behooren tot een involutie;
hier vinden we dus slechts twee paren.

14 — willen nog op andere wijze aantoonen, dat de [2, 2]
slechts twee paren involutorisch samenhangende elementen
bevat.

Zij gegeven, dat er één paar voorkomt. We kunnen nu de pa-
rameterbepaling zóó kiezen, dat dit paar bepaald wordt door
X = 00, [ji = O in den eenen zin en (x = 00, X = o in den an-
deren. In verg. (i) moet dan aao = aoa = o zijn, zoodat de ver-
gelijking wordt:

X[i.2 aiiX(i aioX aoifx aoo=o (13)

Is er nu nog een involutorisch paar, dan moet, indien we
de parameters daarvan X, (x houden, naast (13) gelden:
a22[i\'X2 a2i|x2X ai2|xX2 a„[xX aio[x aoiX4-aoo=o (13a)

waaruit na aftrekking en deeling door (X — |x) ^ o volgt:

(agi — 312) X|x 310 — aoi = O (14)

of

^ _ api — 3io ^ a
"" (aai — ai2)|x (x
_ — ^10 _ ?
~ (321 — ai2)X X

indien we -^ = a stellen.

321 — ai2

Hieraan voldoet ook het eerste involutorische paar.
Substitutie van deze waarde van X in (13) geeft na vermenig-
vuldiging met (i.2 en rangschikking:

(^12« aoi)[A^ (a22a2 aiia-f aoo)ix (a2ia aio)a=o (16)

Hierin blijkt

ai2 a aoi = ancc aio ^ o dus
(i^ -f A{x 4- a = O
De twee waarden van yL, ni en (Xg hebben tot product

IXifXa = a

dus

a a

Tevens hadden we Xj = ^ dus Xj = (i^ en evenzoo X^ = (i^,
We vinden dus

naast het paar X = 00, pt = o nog één in-

volutorisch paar.

15 — In \'t algemeen kan dus een collocale [2, 2] met meer
dan

twee involutorische paren bezitten, die tot een involutie op
denzelfden drager behooren. Veronderstel, dat de [2, 2] behalve
deze twee paren nog een derde paar heeft, dat met de eerste
twee tot eenzelfde involutie behoort. Daar elk involutorisch
paar voor twee telt, heeft de met de [2, 2] verbonden involutie
in dit geval 6 paren met de [2, 2] gemeen, terwijl de substitutie-
vergelijbng van den 4en graad is. Deze moet dan een identiteit
zijn. De involutievergelijking moet nu deel uitmaken van de
verwantschapsvergelijking.
Verg. (16) moet dus identiek zijn. Dit eischt:

Bn<x 4- aoi = O of a = —

au

322«\' 4- a„a 4- aoo = O,
321« 4- 310 = O of a ---

321

. , Sfli 3x0 -

Hieruit volgt — = — of a^ = n. aoi; a^i = n. aig.
Voorts moet a = — een wortel zijn van

321

322«^^ 311« 300 = O. Dit geeft een betrekking, wa3r33n
de coëfficiënten vsn (13) moeten voldoen, opdst dit gevsl ksn
intreden. Vergelijking (13) is nu te schrijven:
322XV^ n. 312XV 312X1x2 4- 3iiX(x 4- n.

3oi^ aoi[x 4"3oo—O

of

(a22X2[X^ 3iiX(X 4" 3oo)

3i2(nX (x)X[x aoi(nX (x) = o,
a22(X[x — a) (X[x — p) 3i2(X[x — a) (nX (x) = o,
(X(x — a) (322 ^(A 3i2n.X 3i2[x — 322P) = o. (17)

W33rin p de andere wortel van ajaXV^ SnXix -f aoo = o is.
De verwantschapsvergelijking valt dus uiteen in de involutie-
vergelijking en een niet-involutorische conjectiviteit. Van de
twee elementen (x, die 33n eenzelfde element X zijn toegevoegd,
is het eene involutorisch, het sndere niet-involutorisch toege-
voegd.

Een dergelijke verwsntschsp heet half-involutorisch.
Nemen we nu het bizondere gev3l, dat 332 = au = 3oo = o,
aji ai2 = O en aio aoi = o dus n = — i, dsn wordt (17)
(X[x — a) (X — [x) = o. (18)

De verwsntschapsvergelijking ontaardt in een identiteit en
een involutie. Met elk element komt dit element zelf overeen
en nog een tweede element volgens de involutie.
Schrijven we verg. (18) in den vorm

{xX2 — ((X® a)X a[x = o,
dan is de vergelijking der vertakkingselementen,
(fx2 a)2 —4|x=a = o,

terwijl we een dubbelelement van de involutie vinden door in
X[x — a = o X = [x te stellen, dus

u.2 — a = o.

Met elk dubbelelement van de involutie, vallen dus twee
vertakkingselementen van de verwantschap samen.

i6 — Nemen we nu aan, dat de verwantschap [2,2] drie
involutorische paren heeft, die niet tot éénzelfde involutie be-
hooren. Daar volgens art. 13 elk involutorisch paar tot de ver-
bonden involutie zou leiden, kan deze in dit geval met bestaan.
Elk paar moet echter voldoen aan verg. (12) dus:
(an -  (a^o - ^oè (^1 " ^01 = o

(a^i -  (a^o - (>^2 ^xo - aoi = o

{^n - ai.)X3ix3 (a^o - a«,) (X3 t-a) a^o - aoi = o

Daar Xifx^, Xafx^, X3[X3 niet tot dezelfde mvolutie behooren, moet
Xi[JLi, Xi [Al. I\'
XafAg, X2 {^2» I
X3PL3» >^3 1^3» I

De homogene Hneaire vergelijkingen in a^i —a^^, a^o —ao^,
aio-aoi laten in dit geval geen andere oplossmg toe^dan
a2i-a,2 = o a2o-ao2 = o aio-a^-o

321 = 3ia = ao2 — aoi

Daardoor wordt de verwsntschapsvergeHjking, als we de over-
tollige indices weglaten, , . ^ , r

aXV bX,(X P^) ^^^ e(X ,) f=o(i9)

Met een bepaald element komen, als men het tot het eene stel-
sel rekent, dezelfde twee elementen overeen, als wanneer men

het tot het andere systeem telt.

De stelsels kunnen niet meer gescheiden worden: de ver-
wantschap is geheel involutorisch. Emil Weyr noemt het een
symmetrisch elementensysteem van den tweeden graad. Dus:

Twee collocale stelsels in [2,2] vormen een involutorisch stelsel,
als er drie involutorische paren zijn, die niet tot eenzelfde quadra-
tische involutie behooren (J. de Vries).

Vergelijking (19) bevat nog slechts vijf onafhankelijke coëffi-
ciënten, een involutorisch stelsel wordt dus bepaald door 5
paren overeenkomstige elementen.

Een algemeene [2,2] is bepaald door 8 elementen. De voor-
waarde, dat zulk een [2,2] involutorisch is, is dus drievoudig.

Daar vijf onafhankelijke gegevens een involutorische [2,2]
bepalen, zijn er oo^ involutorische [2,2]\'s, die dezelfde vier
elementen als vertakkingselementen bezitten.

17 — Bij een involutorische verwantschap vallen de vertak-
kingselementen van het eene stelsel samen met die van het
andere. Hetzelfde gebeurt met de dubbelelementen, die met de
samenvallende vertakkingselementen correspondeeren.

Omgekeerd, wanneer twee collocale stelsels in [2,2] de vertak-
kingselementen gemeen hebben, is in \'t algemeen de verwant-
schap involutorisch.

Alleen, indien de dubbelverhoudingen (X1X2X3X4) en ((JiitJt2!^3[A4)
harmonisch of aequi-anharmonisch zijn, is ook een samenvallen
der vertakkingselementen mogelijk zonder dat de [2,2] involu-
torisch wordt.

I. De dubbelverhoudingen zijn nóch harmonisch nóch aequi-
anharmonisch.

We noemen de reeksen singuliere elementen als in art. 4:
XiXaXgXi xixnxnixiv en ixiixafiafi, Hiertusschen be-

staan vier projectiviteiten. Eén daarvan is X1X2X3X4 XïX"X"iXiv
TT (Xi[X2[Ji3tA4 waarin [x^Xi de dubbelelementen zijn

behoorende bij Xjfjii als vertakkingselementen.

Veronderstel nu, dat de vertakkingselementen samenvallen
en wel Xj met fjti.

Groepen, die samenvallen, zijn projectief. Van de groepen,
die met (Xi beginnen, is alleen fxijjiaiiaijii projectief ten opzichte
van X,X,X,X., dus alleen deze kan samenvallen met X1X2X3X4.

Vallen nu hj[jl2[jl3{ji4 samen met X1X2X3X4 dan moeten ook samen-
vallen XiX"Xi"Xiv met We hebben dan twee samen-
vallende groepen van acht elementen.

Volgens art. 4 bestaan tusschen deze groepen drie involuties
van telkens vier paren, waarbij in twee paren vertakkingselemen-

ten staan, in de andere de overeenkomstige paren dubbelelemen-
ten b.v.:

Verder bleek, dat een involutie XiX^, XgX", XsXi", X4XIV onbe-
staanbaar is.

In de verwantschap [2,2] zijn echter de paren XiX^, XaX" enz.
wel involutorisch, daar immers Xi samenvalt met (Xi en [x^ met Xi.
Er komen dus zeker in de [2,2] drie involutorische paren voor,
die niet tot éénzelfde quadratische involutie behooren.

Volgens art. 16 is dan de verwantschap geheel involutorisch.

II. X1X2X3X4 en (Xiti2[A3(Ji4 zi]n harmonisch. Nu bestaan er
tusschen deze groepen acht projectiviteiten:

X1X2X3X4 (Xi[X2[X3tA4

„ A {X2[ii[X4[X3

„ "A

„ ^

Hiervan strekken zich alleen de eerste vier ook uit over de
dubbelelementen. Zou b.v. de 5e dit ook doen, dus

X1X2X3X4 XiX"Xi"Xiv TT
dan zou, overeenkomstig de eerste projectiviteit

X1X2X3X4 XIX"X"IXIV A iJli[X2|X3[X4 {JLVn,x"IfxIV

ook moeten gelden

waaruit zou volgen, dat

fig ^ en (x"\' = [A^v, wat niet het geval is.
Vielen nu |Xi(X2[i4(Ji3 samen met X1X2X3X4 dan zouden de dubbel-
elementen toch niet samenvallen en ware dus de verwantschap
niet involutorisch.

III. (X1X2X3X4) en ([i.i|JL2[A3!^4) zijn aequi-anharmonisch d. w. z.
gelijk aan de imaginaire kubische wortels der negatieve eenheid.

In dit geval bestaan er twaalf projectiviteiten,. waarvan zich
echter slechts vier ook uitstrekken over de dubbelelementen.
Ook in dit geval kunnen de vertakkingselementen samenvallen,
zonder dat de dubbelelementen coïncideeren, In zulk een geval
is de [2,2] niet involutorisch.

We vinden dus:

Ah hij een verwantschap [2,2] van coUocale stelsels de vertak-
kingselementen van beide systemen samenvallen, dan is de [2,2]
involutorisch, tenzij de dubhelverhouding van deze elementen har-
monisch of aequi-anharmonisch is. In deze laatste gevallen kan
zoowel involutorische als niet-involutorische verwantschap voor-
^omen. (r. Sturm).

18 — We duiden een involutorische [2,2] aan door [2], om-
dat met elk element, tot welk stelsel men het ook rekent, dezelfde
twee andere elementen overeenkomen.

In zulk een [2] komen dus met één element slechts twee andere
overeen en niet vier, zooals in de niet-involutorische coUocale
[2,2]. Een vertakkingselement is dit in tweeërlei zin.

19 We schrijven de verg. van de [2] in den vorm:

XV^ aXiJL(X (x) b(X2 fx2) cXjA d(X (x) e = o.

Vinden we voor een bepaalde waarde van X twee daaraan
gelijke waarden van (x dan kunnen we door een lineaire substi-
tutie, die altijd mogelijk is, aan X de parameterwaarde nul geven.
De vergelijking der [2] behoudt in het algemeen hare gedaante,
wordt dus b.v.

X\'li^ a\'X|x(X (x) b\'(X2 !x=) c\'Xfx d\'(X [,) e\' = o.

Voor X = O vinden we

b\'fx\'^ d\'fx e\' = O.
Deze moet twee wortels o geven, dus is

d\' = 0, e\' = O.

Hierdoor wordt de vergelijking der [2]

XY\' a\'X[x(X fx) b\'(X2 fx^\') c\'X|x = o

De coïncidentievergelijking wordt dan:

2a\'X3 (2b\' c\')X2 = o
dus X2 = O d, w. z. we hebben een dubbele coïncidentie. Der-
halve :

Wanneer in een involutorische [2] de beide elementen, die met
een bepaald element overeenkomen, daarmee samenvallen, dan
heeft men een dubbele coïncidentie, (R. Sturm).

Bij een niet-involutorische [2,2] mag men tot een dubbele
coïncidentie alleen besluiten, wanneer met een element zoowel
de twee elementen, die er in den eenen zin mee correspondeeren,
samenvallen, als de elementen, die er in den anderen zin mee
overeenkomen. In de coïncidentieverg., die we uit verg. (i)
verkrijgen, is dan de coëfficiënt van X a^o aoi. Deze kan o
worden, zonder dat a^o en a«! elk afzonderlijk nul worden. Alleen
indien a^o = o en aoi = o zijn, verdwijnen in de verg. der [2,2]
de termen van den eersten graad en kunnen met een waarde
X = o de beide waarden y. = o samenvallen.

20 — Een involutie van den graad (n i) is een involuto-
rische [n]. Met elk element komen de n overige elementen van
zijn groep overeen. De verwantschap is involutorisch, omdat
twee correspondeerende elementen op dezelfde wijze uit elkaar

worden afgeleid.

Een involutie van den 3en graad is dus een involutorische [2].
Deze onderscheidt zich van de algemeene [2] daardoor, dat elke
twee elementen, die te samen correspondeeren met een derde
element, ook onderling overeenkomen. De drie elementen
vormen dus een cyclus zóódanig, dat uit elk van hen de beide
andere op dezelfde wijze worden afgeleid.

In een gegeven stelsel komen 00 ^ involutorische verwant-
schappen [2] voor; daarvan zijn echter slechts 00« involuties
van den derden graad.

_\'We willen nu onderzoeken, welke voorwaarde vervuld

moet zijn, opdat een involutorische verwantschap [2] een invo-
lutie van den 3en graad is. Daartoe moeten dus de beide elemen-
ten, die met een bepaald element overeenkomen, ook onderling
correspondeeren.

Zij de [2] voorgesteld door verg. (19):
aXV\' bX|x(X (Ji) c(X2 (i.2) ^ dX[x e(X (x) f = o.

Indien er een element voorkomt, waarvan de beide overeen-
komende elementen aan de voorwaarde voldoen, dan kunnen
we de parameters zóó kiezen, dat de parameter voor dit element
nul wordt. Dus b.v. X = o. De beide overeenkomende elementen
worden dan bepaald door de vergelijking

-f e(x f = o;
^ O. e f

dus (Al [ia = — -, =

Substitueeren we voor X en (ji de waarden van (jlj en [Xg dan
moet ook aan verg. (19) voldaan worden, dus

e\\ . /e\' 2i\\

— e-- f = o.

c \\ c

of af- — bef — c\'f cdf = o
dus

f{af—be —c(c —d)} = 0. (20)

Hieraan wordt voldaan voor f = o of voor
af — be — c(c — d) = o

In \'t eerste geval, dus f = o, is (XiiXj = ^ = o dus óf (Xi = 0
óf [I2 = o.

Daar X = o hebben we dan in elk geval te doen met een
coïncidentie. De vier coïncidenties van de [2] voldoen dus in
de eerste plaats.
Voorts wordt aan (20) voldaan voor

af — be — c(c — d) = o. (21)

Is deze voorwaarde niet vervuld, dan komen er naast de coïn-
cidenties geen elementen voor, wier overeenkomstige elementen
ook onderling correspondeeren.

Is echter aan (21) voldaan, dan is de voorwaarde voor elk

element vervuld. Dus:

Wanneer in een involutorische verwantschap [2] buiten de coïn-
cidenties nog één element voorkomt, waarvoor de beide overeen-
komende elementen onderling ook correspondeeren, dan gebeurt dit
bij elk element. De elementen der [2] vormen dan een kubische invo-
lutie. De voorwaarde daarvoor is vergelijking (21). (R. Sturm).

22 — Dat we hier inderdaad met een kubische involutie
hebben te doen, toonen we aldus aan: Uit (19) volgt:
(aX2 bX c)[i2 (bX2 dX e)[x (cX^ eX f) = o.

dus

bX2 dX e _ cX2 eX f

1^2 = - bX -Tc\' ~ aX2 bX c

X, en [Zg moeten wortels zijn van een verg. van den 3en graad.

We vormen dus de betrekkingen:

aX=> (c —d)X —e
X {Xi li.2 = aX2 bX c

—bX3 (c —d)X^ f
1^2) -  bX c

cXa eX\'^ f^

De verg. van den 3en graad wordt dus:
(aX^ bX c)y® - {aX3 (c-d)X-e}y2 {-bX»
(c-d)X=\' f}y-(cX3 eX2 f) = O.

Is de voorwaarde (21) vervuld, dus

af — be — c(c — d) = o
dan moet deze derdemachtsvergelijking te brengen zijn in den
vorm der kubische involutievergelijking
(ao — pbo)y® (ai — — — pbs) = O.

waarin ao, bo......^3, b3 constanten zijn, dus vormen uitgedrukt

in de constanten der verwantschapsvergelijking, terwijl p een
veranderlijke parameter is afhangende van de wortels der verg.

p kan dus als functie beschouwd worden van X. Geven we
aan deze functie den vorm

aoX3 aiX^ -f a^X ag _
boX3 biX2 baX bg

dan moet de gevonden derdegraadsverg. te transformeeren zijn in:

{ao(boX3 biX2 baX bg) — bo(aoX3 a^X^ a^X as) }y\'
{ai(boX3 biX2 b^X bs) — bi(aoX3 aiX^ agX ag)
{a2(boX3 biX2 baX ba) — b^CaoX^ a^X^ a^X as) }y
{asCboX^ biX2 b^X bg) — bg(aoX3 ajX^ a^X ag) }=o

Daartoe moet dus:
aobi — boaj = a ajbg — biS^ = d — c \'

aobz — boag = b ajbg — biag = e ^ (A)

aobs — boag = c ajbg — bgag = f

Hieruit volgt

(aobi —boai) (ajbg — baag) — (aobj — boaz) (aibg —biag)

4- (aobg — boag) (aiba — bjaa) = af — be — c(c — d).

Het eerste lid der vergelijking is identiek nul. Is het laatste
lid, d. i. verg. (21) niet nul, dan is de transformatie niet mogelijk.

Is echter (21) vervuld, dan zijn de zes betrekb\'ngen (A) met
vijf aequivalent. Vijf vergelijkingen met acht onbekenden laten
oplossingen toe. Kiezen we dus een systeem van waarden
ao> bfl.... ag, bg, dan is hiermee de transformatie voltooid.

23 — In art. 22 vormden de elementen X, (jli en (jlj een cyclus.
Gaan we van X over op het eene overeenkomstige element (jii,
dan kunnen we van dit element alleen overgaan op [J^a en komen
over [JI2 weer terug bij X. Buiten de coïncidenties kan een derge-
lijke gesloten groep alleen bestaan onder bepaalde voorwaarden.

Onderzoeken we of de [2] groepen van meer elementen be-
vatten kan.

Met een element Xi komen overeen de elementen Xa en X\'a
met Xa behalve Xi nog een element Xg, met Xg als tweede X4,
enz. tot Xn i; evenzoo met X\'a als tweede X\'g, met dit X\'4

enz. ook b.v. tot X\'n i- Naar gelang we van Xi overgaan op
X2 of op X\'2 krijgen we dus de groepen:

X1X2X3. .... .Xn 1

of XiX\'gX\'s......X\'

Omgekeerd kunnen we van Xn 1 of van X\'n 1 na n schreden
terugkomen bij Xi. De betrekking tusschen Xi en Xn 1 is dus
involutorisch. Evenzoo die tusschen Xi en X\'n i. Met elk
element komen twee elementen Xn 1 en X\'n 1 overeen,
dus de verwantschap tusschen deze elementen is ook een [2],
die we ter onderscheiding van de gegeven [2] = [2]^ kunnen
aanduiden door [2]°, omdat we telkens n schreden te doen
hebben.

Er zal nu een cyclus van n elementen ontstaan, wanneer
Xn 1 = Xi Xn 2 ^ X2 in \'t algemeen Xn m = Xm is. In
de [2]\'\' moet dan de coïncidentievergelijking meer dan vier
wortels hebben d. w. z. ze moet identiek nul zijn. Dan is echter
elk element van de [2] beginelement van een uit n elementen
gevormden cyclus, dien men zelf weer beginnen kan met elk

van zijn elementen.

De vraag is, of, indien de coïncidentievergelijking niet iden-
tiek is, er toch niet vier in zichzelf terugkeerende groepen zijn,
beginnende met de coïncidenties van de [2]».

\'t Is onmiddellijk in te zien, dat dit onmogelijk is, want 4
groepen zouden reeds vorderen 4TI coïncidenties van de
n zou dus gelijk i moeten zijn.

Is n > 4 dan is zelfs één in zichzelf terugkeerende groep
in \'t algemeen al onmogelijk, omdat deze reeds meer dan 4
coïncidenties der [2]° zou vorderen.

Gaan we nu nog na voor n = 4 en voor n = 3. Is n = 4 dan
beschouwen we een groep, waarin X3 een vertakkingselement
is van de [2]. Met X3 correspondeert dan Xa dubbel, met Xj,
X3 en Xi. Gaan we van Xi uit, dan vinden we de groep:

X1X2X 3X3X1

Xi is nu een coïncidentie van [2]^ We hebben hier echter geen

cyclus van 4 elementen, maar een groep van drie elementen,
die niet in zichzelf terugkeert, doch heen en terug doorloopen
wordt.

Daar er 4 vertakkingselementen in de [2] voorkomen, bestaan
er 4 van zulke groepen. ,

Is n = 3 dan beschouwen we een groep, waarvan X2 coïn-
cidentie is van de [2]. Daarmee komen overeen Xg zelf en Xj.
Beginnen we bij Xj, dan krijgen we

XjXgXgXi

dus is Xi een coïncidentie van de [2]^ \'t Is duidelijk, dat we
hier eenvoudig de involutorische paren der coïncidentieelemen-
ten van de [2] terugvinden.

Als resultaat van deze beschouwingen vinden we dus; Een
willekeurige involutorische verwantschap [2] bezit in het algemeen
geen cyclus van n elementen, waarin met elk element het volgende
en met het laatste het eerste overeenkomt.

Bezit echter een involutorische [2] één zoodanigen cyclus, dan
heeft zij er cd^. De cycli vormen de groepen van een involutie van
den n-den graad. Bij n — is deze involutie identiek met de ge-
geven [2]. (R. Sturm).

24 — Een involutorische verwantschap [2] kan ontaarden
in het product van twee projectiviteiten.

Daar de verwantschap involutorisch is, mag verwisseling van
de beide parameters geen verandering in de vergelijking bren-
gen. De projectiviteiten moeten daardoor dus in elkaar overgaan.
De vergelijking wordt dan

(XfJL aX P(i y) a(ji PX y) = o (22)

of

XV (a P)Xfx(X (i) aP(X2 {x«) (a» p» 2Y)X[X
Y(« P) (X [a) Y® = O. (23)

Door vergelijking met
XV aX|x(X n) b(X2 cX[x d(X (i) -f- e = O
vinden we de betrekkingen, waaraan de coëfficiënten van de [2]

moeten voldoen om deze in twee projectiviteiten te doen ont-
aarden.

Zoeken we op de bekende wijze de vertakkingselementen,
dan blijkt, dat deze bepaald worden door de verg.

(a —  (« y]2 = O. (24)

Zijn de projectiviteiten niet zelf involutorisch dus a $ p,
dan blijken de vertakkingselementen twee aan twee samenge-
vallen te zijn.

Stellen we in (22) X = [jl dan blijkt, dat dezelfde vergelijking
(24) ook de coïncidenties geeft. Er is dus met elk paar samen-
gevallen vertakkingselementen ook een paar coïncidenties samen-
gevallen.

Rangschikken we voorts verg, 23 naar X en geven we aan
(jt de waarden n^ of pig bepaald door (24) dan is de vergelijking
der dubbelelementen te vervormen in:

(ap — Y) (X2 — 2X[Xi,2 ii\'in) = O

(ap —T) (X—[Xi,2)\' = O. (25)

waaruit blijkt, dat, indien ap —o is, met de vertakkings-
elementen tevens de daarbij behoorende dubbelelementen samen-
vallen. In elk der .twee punten vallen dus telkens samen: twee
vertakkingselementen, twee coïncidenties en twee dubbel-
elementen.

Gaan we nog enkele bizondere gevallen na.

I. a = p, d. i. in de verg. der [2] a^ — 4b = o.

Verg. 24 is dan een identiteit. Elk element is nu vertakkings-
element. De [2] is ontaard in een dubbelinvolutie:

{X[x a(X fx) Y}\' = o. (26)

Bij elk element, als vertakkingselement beschouwd, is het in
de involutie er mee gepaarde dubbelelement. De twee-twee-
zinnige verwantschap gaat hier over in een één-éénzinnige.

II. ap —Y = O-

Nu is (25) een identiteit d. w. z. bij elk tweetal samengevallen
vertakkingselementen, behoort een oneindig groot aantal dubbel-

elementen. De vergelijking der vertakkingselementen is nu,
indien a $ ß.

of ([1 a)» (fi = O

d. w. z. twee samengevallen vertakkingselementen met para-
meter (— a) en twee met parameter (— ß). De vergelijking
van de [2] wordt:

(Xjx aX ß[i aß) (X(x a(x ßX aß) = o
of (X a) (X ß) ((X a) ((X ß) = o (27)

III. Is ten slotte a = ß en y = a® dan worden (24) en (25)
beide identiteiten. Elk punt is dan vertakkingselement, waarbij
als dubbelelement, volgens de vergelijb\'ng, die de [2] nu voorstelt:

(X a)2 ill a)8 = o (28)

steeds het element met parameter (— a) behoort.

Voor dit element, als vertakb\'ngselement beschouwd, is echter
elk ander element dubbelelement.

25 — In art. 8 vonden we, dat, indien in de [2, 2] met elk
element van een paar van \'teene stelsel eenzelfde paar van *t
andere overeenkomt, de [2, 2] ontstaat door de projectiviteit van
twee quadratische involuties. Dezelfde beschouwing blijft van
kracht, als de twee-tweezinnige stelsels collocaal zijn. Bij de
parameterbepaling in art. 8 ingevoerd, werd de verg. der [2, 2]
in dit geval:

(aaiX^ aiiX aoi) fx (a^fx^ an[x aio)X = o
Deze projectiviteit kan alleen dan involutorisch worden,
indien aji = en a^ = aio. Dan worden echter de beide
involuties identiek. Hieruit volgt:

Een projectiviteit tusschen twee coUocale quadratische involuties
is alleen dan involutorisch, als deze involuties identiek zijn.

26 — Beschouwen we in \'t algemeen het geval, dat bij de vier
vertakkingselementen van een [2] nog een vijfde komt. We
kunnen hierbij twee gevallen onderscheiden:

a) het vijfde vertakkingselement valt samen met zijn dub-
belelement.

h) het vijfde vertakkingselement valt niet samen met zijn

dubbelelement.

We gaan uit van de algemeene vergelijking:
aXV bX[x(X tx) c(X2 [x^) dX|x e(X (x) f = o
In beide gevallen moet de vergelijking der vertakkingselementen
een identiteit zijn. Dus, indien we een vijfde vertakkingselement

X nemen, moet
(bx2 dX e)2 — 4(aX2 bX c) (cX^ eX f) - o zijn.
Alle coëfficiënten moeten dan o zijn, dus:
b2 — 4ac = o b^4ac=o (a)

bd—2ac—2bc=o b(d—2c)=2ac (P)

da_4af_2bc—4c2=o of (d—2c)(d 2c)—4af—2bc=o (y)
de—2bf—2ce=o (d—2c)e=2bf (S)

e3_4cf=o e2—4cf=o (e)

Indien het vertakkingselement X5 met zijn dubbelelement
coïncideert, moeten we tevens vinden:
bXe\'^ dX3 e

d —2c ^ o. Dan volgt uit deeling van (p) door (S)

b ac ace

- = of b^ =
e bf I

ace

in verband met (a): -j — 4ac — o.

Dus

a = O of c = o of e — 4f = o.
A) Is a = o dan moeten we tevens hebben:
b = o, d 2c = o, e = o, f = o.
Bij deze voorwaarden wordt ook voldaan aan (9). De verg. van
de [2] wordt nu

C(X2 (1.2) dX(i = O
of c(X2 [x2) — 2cX{x = o
(X~|x)2 = o

d.w.z. de [2] is een identiteit. Elk element is vertakkingselement
en daarmee overeenkomend dubbelelement.

B) Is c = O dan hebben we tevens:

b = o, e = O, d^ — 4af = O

Deze condities voldoen niet aan (9). Het vertakkingselement
valt dus niet met z\'n dubbelelement samen. De verg. van de
[2] wordt:

d2

aXV^ dX(x — = o.

4a

4a2XV=^ 4adX(x d^ = o
(2aXp, d)2 = o

We hebben hier een dubbelinvolutie. Met elk element als
vertakkingselement komt het in de involutie er mee gepaarde
als dubbelelement overeen.

C) e = 4f. Daarbij kunnen we weer onderscheiden:

e = f = oene^o.

Is e = f = o dan vinden we daarnaast uit de betrekkingen
b2 b2
(«), (P). (ï) óf c = d = 2C = -.

óf b = 0, a = O, d 2C = O

Het eerste geval is in strijd met onze veronderstelling d — 2c $ o,
dus hier buitengesloten.

Het tweede geval beschouwden we reeds; het leidt tot een
identiteit.

e ^ o, e = 4f. Daarnaast vinden we:

b= ^ b2 ab
e = c, c = —, d =-.

4a 2a

De vergelijking van de [2] wordt na eenige herleiding:
{4aX(i 2b(X (x) b}= = O.
klaarblijkelijk de verg. van de dubbelinvolutie van (26).

II. d — 2c = O. Dan is 2ac = o, dus c = o óf a = o.

Is c = O dan hebben we tevens d = o, b = o, e = o, f = o^
Van de vergelijking der [2] rest alleen

aXV = 0 of XV^ = O.

Aan X = o als vertakkingselement voldoen alle elementen als
dubbelelement; evenzoo aan fx = o.

Is a = O, c ^ O dan is d = 2C, b = o, e® — 4cf = o, dus

f =

4c

De verg. der [2] wordt:

e2

c(X2 [x2) dX|x e(X (a) - = 0,
en te herleiden tot

{2c(X (i) e}2 = o;
wederom een dubbelinvolutie. Aan (9) wordt niet voldaan.

Andere gevallen zijn niet mogelijk. Wanneer bij de vier ver-
takkingselementen der [2] nog een vijfde komt, heeft men dus
óf een identiteit óf een dubbelinvolutie.

Daarbij is ieder element een vertakkingselement. In \'t alge-
meen is de verwantschap een identiteit, als het vijfde vertakkings-
element samenvalt met zijn dubbelelement.

Elke involutie heeft echter twee dubbelelementen (coïnciden-
ties). In de dubbelinvolutie komen dus twee. dubbelcoïnciden-
ties voor, waarin dan tevens een vertakkingselement met het
overeenkomstige dubbelelement moet zijn samengevallen. Is
nu een dezer elementen als vijfde vertakkingselement gegeven,
dan kan de symmetrische [2] zoowel een identiteit zijn als een
dubbelinvolutie.

HOOFDSTUK II

I — Elke twee-tweezinnige verwantschap is door projectie
of snijding over te brengen op een kegelsnede. Beschouwen we
dus een kegelsnede K^ als drager van een twee-tweezinnige
puntverwantschap. Elk punt kan behooren tot het eerste stelsel
en dan aangeduid worden door j:. Er komen dan mee overeen
de punten x\\ en x^\' van het andere systeem, \'t Is echter ook
te beschouwen als x\', behoorend tot het tweede stelsel, waarmee
dan correspondeeren Xi en Xz van de eerste reeks.

Er zijn dus vier stralen uit x, die dit punt met de overeen-
komstige punten verbinden.

Hieruit volgt:

De verbindingslijnen van overeenkomstige punten der [2,2]
omhullen een kromme D4, van de 4e klasse.

Deze noemt men de „directiekromme\'* der verwant-
schap.

Dat uit elk willekeurig punt P niet meer dan 4 raaklijnen te
trekken zijn aan D^, ziet men licht in, als men bedenkt, dat de
straalbundel uit P op K® een involutie insnijdt, waarmee de [2, 2]
volgens I. 12. vier paren gemeen heeft.

De [2, 2] op K2 veroorzaakt in een willekeurigen straalbundel
een verwantschap [4,4], waarbij stralen naar overeenkomstige
punten der [2, 2] als overeenkomend worden beschouwd. De 8
coïncidenties van deze verwantschap zijn i®. de 4 raaklijnen aan
D4, 2° de stralen naar de 4 coïncidenties der [2, 2].

De [2,2] heeft op K® acht vertakkingspunten. Voor elk vertak-
kingspunt vallen twee raaklijnen aan D4 samen.

De raakpunten van deze raaklijnen vallen samen in het vertak-

kingspunt. In de 8 vertakkingspunten snijdt dus D4 de K^
In een coïncidentie C wordt de verbindingslijn van twee
overeenkomstige punten een raaklijn der K^. Tevens echter
is ze een raaklijn aan D4. Nadere beschouwing leert, dat het raak-
punt met D4 ook in C valt. D, raakt dus K^ in de 4 coïncidenties.
Totaal heeft D4 met K^ 16 punten gemeen. De kromme D4 is

dus van de achtste orde.

In 1.13 toonden we aan,datin de collocale [2,2] twee involuto-
rische paren voorkomen. De verbindingslijnen zijn dubbel-

raaklijnen aan D4. .

Uit de formule van PlÜcker blijkt voorts, dat D4 geen buig-

punten heeft: n\' = 4, « = 8, cf\' = 2; dus uit

„\'(„\' __ i) = n 2i\' 3r\' volgt r\' = o.

2 - Beschouwen we nu de symmetrische [2]. Ook deze kun-
nen we overdragen op een K^. Met elk punt x, tot welk van beide
stelsels ook gerekend, komen dezelfde twee punten x^ en x,

overeen. Uit elk punt van K^ zijn nu slechts twee stralen te trek-
ken, die overeenkomstige punten verbinden. In elk van deze
stralen zijn twee der in het vorige art. bedoelde samengevallen.
De directiekromme D4 is hier ontaard in een dubbel te tellen

kegelsnede D^, van de 2e klasse.

De symmetrische verwantschap heeft 4 vertakkingspunten
Vi, 1^2, Vs, U4. In deze punten snijdt D2 de kegelsnede K". De
punten, waarin de raaklijnen in 1^2, 1^3 of v^ aan D2 getrokken
K2 nogmaals snijden, zijn de dubbelpunten d,, d^, d^, d^ der in-
volutorische [2]. , . 1

In de coïncidenties der [2] raakt de correspondeerende raak-
lijn van D2 aan Yi\\ De vier gemeenschappelijke raaklijnen der
beide kegelsneden bepalen door haar raakpunten met de vier
coïncidenties c^ ^3» C4.

3 — Stelt f(x, x,) = o de vergelijking van een [2] voor en

fi(x, xi) = O die van een andere op denzelfden drager, dan
bepaalt

f(x, Xi) pfi(x, Xi) = O
een bundel van symmetrische verwantschappen op dien drager.

Is de drager een kegelsnede, dan komt met elke verwant-
schap van den bundel een directiekegelsnede D overeen. Kie-
zen we voor de vergelijkingen f = o en fi = o den vorm (19),
dan wordt de bundelvergelijking:

(a pajXV (b pbi)X[x(X ....= o.

Substitueeren we de coëfficiënten van deze vergelijking voor
de overeenkomstige in de voorwaarde-vergelijking (21) dan
vinden we een verg. van den tweeden graad in p; waaruit blijkt,
dat in een bundel van involutorische verwantschappen [2] twee
kubische involuties voorkomen.

Door elk punt P van K^ gaan twee kegelsneden van de schaar
van directiekegelsneden. P is dus voor twee verwantschappen
van den bundel vertakkingspunt. De raaklijn in P aan K\'\' wordt
nog door één kegelsnede D geraakt: P is dus voor één verwant-
schap coïncidentie.

Zooals we later zullen zien, vormen de raakpunten van de
raaklijnen uit P aan de kegelsneden van de schaar een kromme
van de 3e orde K^. Deze gaat dubbel door P. In de vier overige
snijpunten van K® met K^ bevinden zich vertakkingspunten met P
als bijbehoorend dubbelpunt. Dus:

Elk punt P van K^ is voor vier verwantschappen van den bundel
dubbelpunt.

4 — Nemen we nu in plaats van een schaar een bundel van
kegelsneden. Daarbij valt te onderscheiden: a) de drager-kegel-
snede K2 maakt geen deel uit van den bundel, b) K^ behoort ook
tot den bundel.

a) Elke kegelsnede van den bundel is directie-kromme voor
een verwantschap [2] op K-. Aan een straal r uit P op K\' raken
twee kegelsneden Q en Cj van den bundel. Met P en het punt

P\', waarin r K^ nogmaals snijdt, komen dan overeen de beide
punten Qi en Qg, waarin de andere raaklijnen uit P aan C^ en
Cg getrokken K^ nogmaals snijden. De verwantschappen [2]
op K2 vormen dus een quadratisch stelsel.

Door P gaat in \'t algemeen één kegelsnede van den bundel.
P is dus voor één verwantschap vertakkingspunt. De andere snij-
punten van diezelfde kegelsnede met K^ zijn de overige vertak-
kingspunten van dezelfde verwantschap. De vertakkingspunten
van alle verwantschappen [2] op K^ vormen een involutie van
den 4en graad.

Aan de raaklijn in P aan K^ getrokken raken nog twee kegelsne-
den van den bundel. Hieruit volgt:P is voor twee verwantschap-
pen coïncidentie.

Zooals we nog nader bewijzen zuUen, is de meetk. plaats van
de raakpunten der raaklijnen uit P aan de kegelsneden van den
bundel getrokken, een kromme van de 3.O. K^ gaande door P.
Deze K« snijdt K^ nog in 5 punten. Bij elk dezer punten als
vertakkingspunt van een [2], behoort P als dubbelpunt. P is
dus dubbelpunt voor 5 verwantschappen.

b.) K.\' behoort ook tot den bundel. De vier basispunten zijn
dan de gemeenschappelijke vertakkingspunten van alle op K^
liggende symmetrische verwantschappen met de kegelsneden
van den bundel als directie-krommen. Een dergelijk systeem
noemt R. Sturm een stelsel van consinguliere verwantschappen.
De onder a) genoemde K^» gaat door de vier basispunten. Trek-
ken we in een der basispunten een willekeurige rechte, die K®
nog in P snijdt, dan is er één kegelsnede van den bundel, die
AP in A raakt. Deze kegelsnede is de directiekromme van de ver-
wantschap, die P als bij A behoorend dubbelpunt heeft. Evenzoo
is er voor elk ander vertakkingspunt één [2] in het stelsel, waar-
voor P het bijbehoorende dubbelpunt is. Daar K^ ook tot den
bundel behoort, kan deze kegelsnede zelf als directiekromme
optreden. De beide raaklijnen, die men uit een punt P aan de

directiekromme moet trekken om de met P overeenkomende
punten te vinden, vallen hier samen in de raaklijn in P aan K^.
Elk punt P valt dus met de overeenkomstige punten samen:
de verwantschap is een identiteit. Elk punt van K^ is vertakkings-
punt en er mee samenvallend dubbelpunt.

Aan een willekeurige snijlijn PQ van K^ raken twee kegelsneden
van den bundel d.w.z. er zijn twee verwantschappen, waarvoor
P en Q overeenkomstige punten zijn. Anders:

Door vier vertakkingselementen en een paar overeenkomstige
elementen zijn twee ,,eigenlijke" symmetrische verwantschappen
van den 2en graad bepaald.

Is PQ raaklijn aan K^, dan wordt P coïncidentie. Een der
twee kegelsneden is dan K" zelf. Een willekeurig punt P op K^
is dus coïncidentie voor één verwantschap van het stelsel.Dus:
Door vier vertakkingselementen en een coïncidentie is één ver-
wantschap van het stelsel bepaald.

Elke [2] heeft vier coïncidenties. De coïncidentiepunten
vormen dus op K^ een involutie van den vierden graad. Voor
elke [2] behoort bij een der vertakkingspunten, b.v. A, één dub-
belpunt. De puntreeks der dubbelpunten behoorende bij A is dus
projectief t.o.v. de involutie van den 4en graad. Deze verwant-
schap [1,4] heeft 5 coïncidenties d.w.z. vijfmaal is een punt
èn dubbelpunt èn coïncidentie van een [2]. Ten eerste is dit
het geval, als \'t dubbelpunt samenvalt met A, d.i. bij de identiteit.
Ten tweede, wanneer de beide in het dubbelpunt vereenigde
punten ook met elkaar overeenkomen d.w.z. bij de kubische
involutie. Dit komt viermaal voor. In het stelsel van symmetrische
involuties, die gemeenschappelijke vertakkingselementen bezitten,
komen dus vier kubische involuties voor.

Tot de kegelsneden van den bundel door de punten A, B, C en
D behooren de paren rechten (AB, CD), (AC, BD) en (AD, BC)
Elk dezer kegelsneden is directiekromme voor een verwant-
schap. Zij Si het snijpunt van AB en CD. De raaklijnen uit een
punt P van K^ aan (AB, CD) getrokken, vallen samen in de lijn

PSi, die K2 nog in één punt snijdt. Elk punt van de verwantschap
is dus vertakkingspunt en het overeenkomstige punt dubbelpunt.
We hebben hier de dubbelinvolutie van I. 26. Dubbelpunt en
vertakkingspunt vormen steeds een involutorisch paar. Tot de
involutie behooren ook de paren A, B en C, D ,die juist de in-
volutie bepalen.

Zijn S2 en S3 respectievelijk de snijpunten van AC met BD
en AD met BC, dan is A Si S2 S3 aan zich zelf geconjugeerd
(pooldriehoek) t.o.v. alle directiekrommen van den bundel.
Hieruit volgt, dat de snijpunten cti, Ci\', van Sg S3 met K" de raak-
punten zijn van de raaklijnen uit Si aan K^. In elk raakpunt valt
een vertakkingspunt van de overeenkomstige dubbelinvolutie
samen met het correspondeerende dubbelpunt. Dit geeft volgens
I. 29 tevens een dubbele coïncidentie.

In de involutie van den 4en graad, gevormd door de coïnciden-
tiepunten van alle op K^ gelegen symmetrische verwantschappen,
die A, B, C en D als gemeenschappelijke vertakkingspunten
hebben, komen dus drie groepen voor, <ti, CTi\'; (T2, a^\'; Og\',
die telkens bestaan uit de dubbelgerekende dubbelpunten van
een der drie dubbelinvoluties.

De vierzijde van de aan K^ en een directiekegelsnede Dj
getrokken gemeenschappelijke raaklijnen, die K\' raakt in de vier
coïncidenties, heeft den driehoek S1S2S3 als diagonaaldriezijde.
Deze driehoek is dus ook diagonaaldriehoek voor den volledigen
vierhoek der vier coïncidenties. Alle quadrupels der coïncidenties
op K\', die overeenkomen met denzelfden vasten driehoek S1S2S3
vormen dus samen de drie quadratische involuties op K\'. Met een
punt van zoo\'n quadrupel is elk der andere drie in een andere

involutie gepaard.

Tot dezelfde drie quadratische involuties behooren ook de
quadrupels der dubbelpunten, want de driehoek S1S2S3 moet
ook diagonaaldriehoek zijn voor elk van de door die quadrupels
bepaalde vierhoeken.

Als resultaat hebben we dus gevonden:

„Onder alle symmetrische verwantschappen [2], die gemeen-
schappelijke vertakkingselementen bezitten, komen 4 „oneigen-
lijke" systemen voor en wel 1° dat systeem, waarvoor K^ zelf
directiekegelsnede is, 2° de drie stelsels, waarvoor de ontaarde
kegelsneden, gevormd door de paren tegenzijden van den volle-
digen vierhoek der vertakkingspunten, directiekrommen zijn."

Het eerste systeem is een identiteit.

In I. 26 vonden we, dat, indien naast de 4 gegeven vertakkings-
elementen nog een vijfde voorkwam, de verwantschap [2] óf
een identiteit was óf een dubbeh\'nvolutie. Dat is hier gemakkelijk
in te zien. Komt een vijfde vertakkingselement E voor, dat met
zijn dubbelelement samenvalt, dan moet de directie-kegelsnede
Da behalve de punten A, B, C, D ook het punt E bevatten en in
dit punt de raaklijn aan K^ dus K^ zelf, raken. K® en Dj moeten
dus identiek zijn.

Alleen in \'t geval, dat E een dubbelelement (coïncidentie)
is van een der door het quadrupel A, B, C, D bepaalde qua-
dratische involuties, dus raakpunt van een der uit Si, Sa of S3
aan K\'\' getrokken raaklijnen, voldoet aan de voorwaarden, be-
halve de identiteit, ook nog de ontaarde kegelsnede, die het
overeenkomstige punt S tot dubbelpunt heeft. Het hiermee
correspondeerende symmetrische stelsel van den 2en graad is
dan een dubbelinvolutie.

HOOFDSTUK III

1 — Tusschen twee straalbundels (U) en (Ui) moge een twee-
tweezinnige verwantschap bestaan, uitgedrukt door een verg.
van den vorm (i). Is in eiken bundel de parameterbepaling één-
zinnig vastgelegd, dan zijn de verwante stralen nauwkeurig
bepaald. Elke straal heeft met eiken der overeenkomstige stralen
een snijpunt. De m.p. van deze snijpunten is in \'t algemeen een
binodale kromme van de 4e orde. Kiezen we toch een willekeu-
rige rechte /. Elke straal van beide bundels heeft daarmee een
snijpunt. Op / ontstaat een collocale [2,2]. De coïncidenties
van deze verwantschap zijn de snijpunten van Z met de m.p.
Volgens I. ii zijn er vier: de m.p. is dus een K^.

De centra U en Ui zijn dubbelpunten der K«; met UUi
als element van (U) komen twee stralen overeen, die UUi in Ui
snijden. Evenzoo met UUi als element van (Ui) twee stralen
in U.

2 — Ook tusschen twee rechtlijnige niet-collocale punt-
reeksen L en Li kan een [2,2] bestaan. Nemen we nu een wille-
keurig punt O en verbinden dit met de punten van L en Li
dan krijgen we collocale straalbundels in [2,2]. De rechten, die
twee overeenkomstige punten der puntreeksen verbinden, om-
hullen een kromme, die in \'t algemeen van de 4e klasse is. De
straalbundels hebben vier coïncidenties d.w. z. uit O gaan 4
raaklijnen aan de m.p.; deze is dus een K4. De dragers der beide
puntreeksen zijn dubbelraaklijnen. Elke puntreeks heeft vier
vertakkingspunten. In elk vertakkingspunt vallen twee raak-
punten aan K\'\' samen d. w. z. de rechte L is dubbelraaklijn aan

de K^ en snijdt deze bovendien nog 4 maal. De K4 is dus van de
8ste orde.

3 — De binodale K^ kan ontaarden in een K® en een rechte R.
Dan moet een der 4 coïncidenties voor elke rechte / liggen op
R. Dit is alleen mogelijk als UUi correspondeert met UjU
De dubbelpunten der K« zijn nu de snijpunten der K» met R
d. i. U, Ui. Dit zijn dan enkelvoudige punten van K^.

De straalbundels zijn twee-tweezinnige stelsels in half-perspec-
tieve ligging.

De m,p, van de snijpunten van overeenkomstige stralen van een
[2,2] in half-perspectieve ligging is een kromme K^,

Bij de K4 van art. 2 vinden we de half-perspectieve ligging der
puntreeksen, als \'t snijpunt S van L en Li met zichzelf
overeenkomt. S is dan een geïsoleerd punt van de K4 d. w. z.
deze bestaat uit een Kg en den straalbundel om \'t punt S. L en Li
zijn nu enkelvoudige raaklijnen. Dus:

De rechten, die de overeenkomstige punten van twee half-perspec-
tief gelegen puntreeksen in [2.2] met elkaar verhinden, omhullen
een kromme van de derde klasse.

Het is duidelijk, dat we op deze wijze door dualiseeren naast
de eigenschappen der ordekrommen steeds die der klassekrom-
men kunnen vinden. In \'t vervolg beperken we ons tot de eerste.

4 — Beschouwen we nu een K^ als gegeven. Twee punten mi
en ma op de kromme nemen we als centra van straalbundels.
Twee stralen, die elkaar op de K^ snijden, komen overeen. Tus-
schen de twee straalbundels bestaat nu een [2,2]. Elk stelsel
heeft 4 vertakkingselementen, waarmee 4 dubbelelementen van
\'t andere stelsel overeenkomen. Elke vertakkingsstraal is dus
raaklijn aan de K\'\'. Hieruit volgt:

Uit een willekeurig punt der K^ kunnen niet meer dan 4 raak-
lijnen aan dé kromme getrokken worden. Deze is dus van de zesde
klasse.

De vertakkingsstralen van beide stelsels zijn op vier verschil-
lende wijzen projectief d. w. z. hebben dezelfde dubbelverhou-
ding [L 3]. Dus, daar mi en m^ willekeurig gekozen kunnen
worden:

De dübbelverhoüding van de vier uit een willekeurig punt der
K^ aan de kromme getrokken raaklijnen is constant.

Elke K3 heeft dus een invariant nl. de dübbelverhoüding van
de raaklijnenquadrupels. Bij een dübbelverhoüding —i of
è(i ± W3) kan men dus spreken van harmonische en aequi-
anharmonische kubische krommen. De snijpunten van de over-
eenkomstige stralen van projectieve straalbundels liggen op
een kegelsnede door de middelpunten. Daaruit volgt:

Trekt men uit twee punten mi en m^ van een K^ de raaklijnen,
dan liggen haar zestien snijpunten op vier kegelsneden door mi
en mg. (Salmon).

f

5 — Op elk van de vier gevonden kegelsneden snijden de
straalbundels uit mj en mg puntreeksen in. Ook tusschen deze
bestaat een [2,2]. Daar twee raaklijnen uit mi en mg aan K^ elkaar
op de K2 snijden, vallen de vertakkingspunten van beide reeksen
samen, d. w. z. we hebben een symmetrische puntreeks van den
tweeden graad.

Zijn fli en Cg twee overeenkomstige punten van zoo\'n reeks,
dan moet Og het snijpunt zijn van een der met miOi en een der
met mgfli overeenkomende stralen, omdat het onverschillig is,
tot welk stelsel men a^ rekent. De punten pi = (miOi, mgOg) en
pg = (mgOi, miflg) liggen derhalve op de K\'.

Dit geldt ook voor de punten mi en mg: in de plaats van Pi
treedt dan het punt m^, waarin mjmg de K\' nogmaals snijdt en
in de plaats van pi het snijpunt pa van de raaklijnen in mi^g aan
K2 getrokken.

Uit den zeshoek, gevormd door deze raaklijnen met den vier-
hoek miflimgag volgt, dat p^p^ gaat door pa- Omgekeerd snijdt
elke rechte door pz de kromme in twee punten, die uit mi en mg

in dezelfde punten, schoon in tegengestelde volgorde, op K^
worden geprojecteerd.

Laat men deze rechte door m^ gaan, dan valt een der snij-
punten met K® met p^ samen: ma is dus het snijpunt van K®
met de raaklijn in pa d. i. het tangentiaalpunt van p^.

Daar bij m^ als tangentiaalpunt 4 raaklijnen behooren, zijn er 4 pun-
ten ps, die elk overeenkomen met een der 4 kegelsneden van art. 4.

De symmetrische puntreeks op K^ heeft vier coïncidenties
Cl/ C2, C3, C4. In deze punten moeten twee overeenkomstige stralen
uit nii en mg elkaar snijden: het zijn dus de vier snijpunten,die
K^ buiten mi en m^ met K^ gemeen heeft. In zoo\'n punt c vallen
dus, behalve ai en Oz, ook pi en pz samen. De rechte PsPiPz
wordt nu raaklijn aan de K^ met tangentiaalpunt pg. De punten
Cl, C2, C3 en C4 zijn dus de punten van het quadrupel met tan-
gentiaalpunt P3.

Laat men de rechte niimz om mg draaien, dan blijft pa op zijn
plaats. Bij elke nieuwe ligging van mima behoort één nieuwe K®,
die volgens de voorgaande beschouwing moet gaan door de vaste
punten Cj, C2, C3, C4. Hieruit volgt:

„De m.p. van de raakpunten der raaklijnen, die men uit een wille-
keurig vast punt kan trekken aan de kegelsneden van een K^-hundel
is een kromme van de derde orde**

Door de punten c,, C2, C3, C4 en pa is dus een K^ volkomen
bepaald. Derhalve:

Door een raakpuntenquadrupel en zijn tangentiaalpunt is een
K^ eenzinnig bepaald.

De rechte mim^ is de poollijn van p^ ten opzichte van de K\'.
Deze snijdt de K\' in m^. Uit het voorgaande volgt dus:

De poollijnen van een willekeurig punt p ten opzichte van de
kegelsneden van een K^-bundel gaan door één punt.

Uit de theorie der kegelsneden is dit bekend als de geconju-
geerde pool van p ten opzichte van den K^-bundel.
Dus:

Het eerste en het tweede tangentiaalpunt van een quadrupel zijn

geconjugeerde polen ten opzichte van den K^-bundel, die dat qua-
drupel tot basispunten heeft,

6 — Beschouwen we omgekeerd twee punten p en q als ge-
conjugeerde polen ten opzichte van een K^-bundel door 4 punten
Cl, C2, C3 en C4. Beide punten zijn centra van straalbundels in [2,2],
Immers, aan een straal x uit p raken twee kegelsneden van den
bundel. Ten opzichte van elk dier kegelsneden heeft p een pool-
lijn en deze poollijnen y^ en y^ snijden elkaar in q. Met eiken
straal y uit q komt één kegelsnede van den bundel overeen ten
opzichte waarvan y de poollijn is van p. Uit p kunnen we nu
weer twee raaklijnen x^ en Xj aan die K® trekken.

De straalbundels liggen half-perspectief. Immers van de twee
kegelsneden, die aan pq raken, moet de eene p tot raakpunt
hebben, waardoor qp tevens de overeenkomstige poollijn wordt.
De andere kegelsnede raakt in q, zoodat met pq overeenkomt de
straal uit q getrokken naar \'t raakpunt van de tweede raaklijn
uit p aan die K^.

Met qp komt overeen pq als dubbelstraal dus qp is vertakkings-
element. De andere vertakkingselementen zijn voor den bundel
(q): qsi, qs^, qs^, naar de punten s^ = {c^c^, C3C4), = (c^ca, C2C4)
en 53 = (C1C4, C2C3), de dubbelpunten van de drie ontaarde kegel-
sneden van den bundel. Daarmee komen ps^ps^ en pSg als dubbel-
stralen overeen.

De vertakkingsstralen van den bundel (p) zijn pc^, pc^, pc^
en pCi, waarmee overeenkomen de dubbelstralen qci, qc^, qc^
en qCi,

Daar de bundels half-perspectief liggen is de m.p. van de
snijpunten der overeenkomstige stralen een K^. Deze snijpunten
zijn echter de raakpunten van de raaklijnen uit p aan de kegel-
sneden van den K^-bundel. We vinden zoo de stelling van art.
5 terug.

De K3 gaat door de basispunten Ci, Cg, Cg, C4, door p en g en
door de punten Si, s^ en S3.

De punten Ci, c^, c^, c« vormen het quadrupel, dat p tot tangen-
tiaalpunt heeft; q is tangentiaalpunt van p, waarbij Si, 53 en
als andere punten van \'t zelfde quadrupel behooren.

We kunnen het verkregen resultaat ook aldus uitdrukken:
Trekt men uit een punt q van een K^ de vier raaklijnen aan de
kromme met raakpunten s^f S3 en p en uit p vier nieuwe raak-
lijnen met raakpunten Ci, Cj, Cg en C4 dan zijn s^ $2 en Sg de diago-
naalpunten van den volledigen vierhoek C1C2C3C4.

Op een straal door p wordt door den K^-bundel een involutie
ingesneden. Het punt p en het snijpunt s, dat de straal gemeen
heeft met de inp rakende K^ vormen een paar van deze involutie.
De beide andere snijpunten, die de straal buiten p nog met K®
heeft, zijn de dubbelpunten van de involutie. Daar elk paar der
involutie harmonisch ligt ten opzichte van de dubbelpunten, is
het punt s dus steeds harmonisch toegevoegd aan p ten opzichte
van de beide andere snijpunten met K^. De kegelsnede door de
punten van het quadrupel en zijn tangenüaalpunt is derhalve
de poolkegelsnede van dat tangentiaalpunt.

7 — Keeren we terug tot de kegelsnede K^ van art. 5. Ver-
bindt men elk punt van K^ met de beide toegevoegde punten,
dan omhullen de verbindingslijnen een kromme der tweede
klasse. Dj, de directiekromme der symmetrische puntreeks (II. 2).

D2 en K2 snijden elkaar in de vertakkingspunten der [2],
terwijl de gemeenschappelijke raaklijnen der kegelsneden K^
in de vier coïncidenties raken.

Deze punten Ci, Cj, Cg en C4 bleken de snijpunten van K=
met K® te zijn.

Bedenken we, dat mi en m^ (art. 5) ook overeenkomstige pun-
ten zijn op K2 en dus mim^ raakt aan Dj, dan kunnen we uit
de beschouwingen van art. 5 de volgende voortbrenging der
krommen K^ afleiden.

Snijdt een bewegelijke raaklijn van een\'vaste kegelsnede D^ een
andere vaste K~ in ai, a^ en zijn mj, m^ de snijpunten van K\' met

een vaste raaklijn van D^, dan is de m.p. der punten pi = {miaittn^^
en Pi = (miOa, maOi) een kromme der derde orde, die door mi, m^
gaat, (E. Weyr).

8 — Is i^i een der vertakkingspunten op K^ dus een der
snijpunten van K^ met D^ en ontmoet de raaklijn in Vi aan Dg
getrokken K^ in het overeenkomstige punt Wi, dan raken miVi
en m^Wi de kromme K^ in p\' = {miVi, m^Wi) en p" = {m^Vi,
miWi),

Daar p\'p" door ps gaat en mg het tangentiaalpunt van p^ is,
komen wij tot de bekende eigenschap:

Zijn mi, 7722, 7^3 de snijpunten van een K^ met een rechte dan
gaat de lijn, die de raakpunten van twee uit mi en m^ getrokken
raaklijnen verbindt, door het raakpunt van een raaklijn uit m^.

(Maclaurin).

Uit elk punt kan men vier raaklijnen trekken, dus ook:
De raakpunten der twaalf raaklijnen, die men uit drie op een rechte
gelegen punten van een K^ kan trekken, liggen drie aan drie op
zestien rechten, (Hesse).

Is Vi een tweede vertakkingspunt van K2, dan gaat — weer
volgens de eigenschap van Pascal — de rechte, die het snijpunt
der raaklijnen miVi en m^v^, met het snijpunt der raaklijnen
miVi en m^Vi verbindt, door het snijpunt der rechten, die K^
in mi en m^ aanraken d. i. pa. De punten v zijn op zes wijzen
twee aan twee samen te stellen, terwijl mi, m^ aanleiding geven
tot vier kegelsneden K^. Men heeft daarom:

De snijpunten der raaklijnen uit twee punten mi, m^ eener K^
liggen twee aan twee op vier en twintig rechten, die zes aan zes
samenkomen in de punten van het quadrupel, welks tangentiaal-
punt op mimz ligt. (Salmon).

g _ We nemen op een K^\' vier willekeurige punten pi, p^, p^
en Pi en brengen daardoor een K--bundel. Elke K^ snijdt de
K^ bovendien in twee andere punten, die involutorisch aan elkaar

zijn toegevoegd. Immers, zijn x en y twee zulke snijpunten,
dan snijdt de K^ door de vier basispimten en x de K® in y, ter-
wijl de K^ door de basis en y de K® snijdt in jc.

Nemen we een willekeurig punt t als centrum van een straal-
bundel, dan ontstaat in dezen bundel een symmetrische [2].
Immers elke straal x van den bundel snijdt K® in twee punten
Si en Daarmee komen twee kegelsneden overeen, die K^ nog-
maals snijden in s\\ en s\'2, waardoor twee stralen gaan, ts\\ = y-^,
en ts\'2 = y^\' Beschouwen we tSiSz als een straal y, dan vinden we
met volkomen identieke operatie dezelfde stralen is\'i en ts\'2
als Xi en Xg. Van deze symmetrische verwantschap zijn de ver-
takkingsstralen de raaklijnen uit t aan K®. In het algemeen vallen
de dubbelstralen niet met de vertakkingsstralen samen.

Hoe zal t nu gelegen moeten zijn, opdat er buiten die vier
vertakkingsstralen nog een vijfde voorkome? Daarvoor zijn
twee mogelijkheden: a) de vertakkingsstraal valt samen met zijn
dubbelstraal, b) vertakkingsstraal en dubbelstraal vallen niet
samen.

a) In dit geval moeten tSiS^, ts\\ en ts^ samenvallen, dus s\'i
valt in S2, s\'2 in Si d. w. z. t is het snijpunt van de verbindingslijn
van twee involutorisch overeenkomende punten met K®.

We hebben nu het geval van I. 26A: de verwantschap is een
identiteit, elke straal is vertakkingsstraal en daarmee overeen-
komende dubbelstraal. Meetkundig beteekent dit, dat alle rech-
ten, die de puntenparen verbinden, welke de kegelsneden van
den bundel buiten de basispunten nog met K^ gemeen hebben,
door één punt gaan, het „tegenpunt" der vier punten. Dus:

Laat men een kegelsnede zoo veranderen, dat ze een K^ in vier
vaste punten ontmoet, dan gaat de rechte, die de beide andere snij-
punten der krommen verbindt, door een vast punt van K^,

b) Valt de 5e vertakkingsstraal niet samen met zijn dubbel-
straal en noemen we het middelpunt van den straalbundel voor
dit geval ti, dan moet ïis\'i samenvallen met £is\'2 dus met fiSiSj
komt overeen de dubbelstraal ïis\'is\'g.

We hebben nu het tweede geval van I. 26, d. w. de [2] gaat
over in een dubbelinvolutie. Voor eiken straal uit ti vallen de
beide overeenkomstige stralen samen.

De punten Si en s\'x behooren tot dezelfde K^ dus de rechte
5iS\'i gaat door t; evenzoo de rechte Uit het punt t^ worden
dus de involutorisch overeenkomende punten Si en s\\ gepro-
jecteerd in twee andere, tot dezelfde involutie behoorende pun-
ten.

Beschouwen we t en t^ als middelpunten van straalbundels
en noemen we weer twee stralen overeenkomstig, als ze elkaar
op K® snijden, dan blijkt, dat met de stralen ïsis\'i en ts^s\'^ dezelfde
twee stralen tiSiS^ en iis\'is\'g overeenkomen, We hebben hier dus
\'t geval van I. 8: de verwantschap ontstaat door de projectivi-
teit van twee quadratische involuties. Met een paar stralen
van \'t eene stelsel komt steeds een paar van \'t andere overeen.
Men noemt dit projectieve involuties.

10 — Tot den K\'^-bundel behooren drie ontaarde kegel-
sneden nl. {pipi, PzP^f ipip3f P2P4) en {pipi, pzpa). Noemen we de
snijpunten van de le en de 2e kegelsnede met K® Ti en r^, s^
en $2, dan volgt uit art. 9, dat r^Tz en SiSz beide door t gaan. Hier-
uit volgt:

„Snijdt men een K^ door twee rechten achtereenvolgens in a„
Oa, Og en hu b^, 63 en ^^^ ^iK ^zb^ in c,, c^, Cg dan liggen
ook de punten c in een rechte"

Vallen de punten a met de punten b samen, dan vinden we:
„De tangentiaalpunten van drie in een rechte gelegen punten eener
K^ liggen op een tweede rechte*\' (Maclaurin).

Duiden we de tangentiaalpunten van bovengenoemde punten
p, r, s en f door accenten aan, dan leert de stelling van Maclaurin,
dat de volgende drietallen op rechte lijnen gelegen zijn:
p\'u P\'zf r\'u p\'z> p\\) ^\'2/ ^\'u r\'i, t\'.

Hieruit blijkt, dat t\' het tegenpunt is der punten p\\, p\\,
p\\. Dus:

„Het tangentiaalpunt van het tegenpunt van vier punten is het
tegenpunt van hun tangentiaalpunten." (Küpper).

Zijn verder p^, p^ de snijpunten van K® met een K^ door pi,
P2f p3f Pi zoodat pspe door t gaat, dan ligt t\' met p\\p\\ in één
rechte (Maclaurin) terwijl het zesde snijpunt van K® met de
kegelsnede door p\'i, p\'z, p\'^, p\'^, p\'5 volgens de laatste eigen-
schap zich op p\\t\' bevindt, dus met p\'q samenvalt. IDus:

De tangentiaalpunten van zes door een K^ vereenigde punten
van een K^ liggen weer op een kegelsnede. (Cremona).

Zijn zes punten Oi, a^; 61, h^; c^, Cz de op K® gelegen hoek-
punten van een volledige vierzijde en beschouwen wij (oièiCi,
OiègCa) en (az&iCg, a^biCj) als twee kegelsneden van den bundel
(&162C1C2), dan blijkt, dat de raaklijnen in Oj en 02 elkander in
het tegenpunt der vier punten moeten snijden. Noemen wij dus
met Cremona twee punten ,, correspondeerend" als zij het-
zelfde tangentiaalpunt hebben, dan volgt:

„Wanneer de hoekpunten eener volledige vierzijde op een K^
liggen, vormen zij drie paren correspondeerende punten,*\'

II — Beschouwen we nu weer de projectieve involuties van
art. 9. De punten t^, Si, S2,Si s\'ztnt liggen op de K® en zijn hoek-
punten van een volledige vierzijde. We hebben ook hier dus
paren correspondeerende punten en wel {t, ti), {Si, s\'^) en (s\'i, s^).
Daar bij \'t punt t drie correspondeerende punten behooren,
kunnen we drie paren zulke projectieve involuties vinden. Dus:
Uit de correspondeerende punten van het tegenpunt van vier punten
worden de door den K^-hundel op de K^ bepaalde involutorische
paren in elkaar geprojecteerd.

Voorts blijkt ook, dat het paar correspondeerende punten Sj,
s\'2 uit tl en uit t geprojecteerd worden in het paar s^, s\'i,

13 — In I. 4 vonden we, dat de vertakkingselementen en de
dubbelelementen van éénzelfde stelsel tot drie quadratische
involuties behooren. Liggen de centra van straalbundels in [2,2]

4

op de K®, dan moeten dus de raaklijnen en de tot de [2,2] behoo-
rende dubbelelementen uit hetzelfde tangentiaalpunt behooren
tot drie involuties. Tevens toonden we aan, dat de drie involu-
ties in een punt P door projectie overgaan in de drie involuties
uit een willekeurig ander punt Q.

De quadrupels correspondeerende punten worden dan even-
eens verdeeld in drie stelsels. Elk punt der K^ behoort dus tot
elk der drie stelsels.

„Projecteeren we uit een willekeurig punt der K^ twee correspon-
deerende punten op de iC®, dan zijn de projecties weer correspon-
deerende punten"

We geven van deze stelling nog \'t volgende bewijs: U zij \'t
tangentiaalpunt behoorende bij de correspondeerende punten
a en b. We projecteeren ze uit V. De straalbundels uit U en V,
die we aanduiden door U(X) en V(fx) staan in [2,2]. De projec-
tie van a op K^ zij \'t punt p. Het tangentiaalpunt van p zij T.
We kunnen dit punt als centrum beschouwen van een bundel
T(v), die met V(pl) ook in ([2,2] staat.

Noemen we dit laatste stelsel voor deze verwantschap V\'(ti).
De collocale stelsels V(|x) en V\'((x) hebben nu zeker de vertak-
kingselementen gemeen — immers de raaklijnen uit V aan K^
Bovendien hebben ze den straal Va als dubbelstraal gemeen.
In beide stelsels moet nu een quadratische involutie voorkomen
met de paren (jtiiXj, (Xgizi, terwijl van het derde paar het dubbel-
element Va gemeenschappelijk is. Daaruit volgt, dat ook het
tweede element van dit paar gemeenschappelijk moet zijn,
d. w. z. V6 is ook dubbelelement in het systeem V\'(fJi). Dan moet
echter het punt q, waarin Yb K^ nogmaals snijdt, raakpunt zijn
van een raaklijn uit T, dus correspondeeren met p.
Uit het voorgaande volgen de stellingen:
Elk der drie stelsels van correspondeerende punten wordt uit
ieder punt der K^ door een quadratische straleninvolutie in zich-
zelf geprojecteerd. Tot die involutie behooren ook de vier raaklijnen
uit het projectiecentrum, tot twee paren vereenigd. (E, Weyr).

Uit elk pmtquadrupel op een K^ kan men alle andere verkrijgen
door het achtereenvolgens uit alle punten der kromme op haar te
projecteeren, (j. de Vries).

13 — Zijn ttit «2 en Xi, x^ twee paren correspondeerende pun-
ten van hetzelfde stelsel, dan moeten volgens art. 12 de snijpunten
(ajXi, OgXa) = mi en (01X2, 02*1) = m^ op K^ liggen. Immers,
bepalen we het snijpunt m^ van OiXa met K^, dan kunnen we uit
dit punt fli en a^ projecteeren op K^. De eene projectie is Xi,
doch daar bij Xj slechts één punt van \'t zelfde stelsel behoort
als fli, 02 en dit het punt X2 is, moet de projectie van Og uit m^
ook X2 zijn.

Evenzoo wordt uit het snijpunt van 0^X2 met K^\', het punt
mj, 02 geprojecteerd in Xj.

We kunnen echter mi en m^ ook beschouwen als de projecties
van 02 en Oi uit Xg op K^ of van Oi en «2 uit Xi. Volgens art. 12
moeten mi en m^ dan ook correspondeerende punten zijn, be-
hoorende tot hetzelfde stelsel.

Beschouwen we een der drie paren correspondeerende punten
b.v. ai en Og als centra van twee in [2,2] staande stralenbundels,
dan hebben we hier weer het geval van I. 8. Immers met aiXimi
komen dezelfde stralen a^m^Xi en üiX^mi overeen als met 01^3X2.

De [2, 2] is dan weer een projectiviteit van twee quadratische
involuties in half-perspectieve ligging.

We kunnen omgekeerd aantoonen, dat, indien twee centra
van straalbundels zoo gekozen zijn, dat de [2, 2] overgaat in een
projectiviteit van twee quadratische involuties, deze centra
correspondeerende punten zijn.

Noem de punten ai en a.. Het tangentiaalpunt van ai zij Z.
Met de raaklijn üit in a, komen overeen de stralen azai en
a.t. De straal a^ai moge K® nogmaals snijden in p. Uit de
projectiviteit der involuties volgt, dat het derde snijpunt van
a^t met K® moet liggen op Oip d.w.z. het valt samen met Oj.

De rechte 32^ is dus raaklijn aan K^\' in a^. De punten ai en a^

4*

hebben dan een gemeenschappelijk tangentiaalpunt t d.w.z.
het zijn correspondeerende punten.

De vier punten, waarin de overeenkomstige stralenparen der
projectieve involuties elkaar op K® snijden, vormen met de
centra de hoekpunten van een volledige vierzijde. Daarin zijn de
tegenpunten dus correspondeerende punten en daar ze door
projectie in elkaar overgaan, zijn het punten van hetzelfde stelsel.

Passen we de stelling van Maclaurin (art. lo) toe op deze
volledige vierzijde, dan vinden we:

De drie tangentiaalpunten van de paren tegenpunten van een
volledige vierzijde op een K^, liggen op een rechte,

14 — Een quadratische involutie heeft twee dubbelelementen.
Als stelsel van de [2, 2] zou zij vier dubbelelementen moeten heb-,
ben.

Bij nadere beschouwing blijkt, dat ieder dubbelelement over-
eenkomt met twee vertakkingselementen.

Een vertakkingsstraal van \'t stelsel (aO moge K» raken in r.
Hiermee komt overeen de dubbelstraal a^r. Zij \'t derde snijpunt
van aar met K^ het punt s. De straal «iS is dan in de involutie
toegevoegd aan a^r. Aan een vertakkingsstraal is echter een
andere vertakkingsstraal toegevoegd. Dus is a^s ook vertak-
kingsstraal d.w.z. OiS raakt de K^ in s. Met de vertakkingsstralen
ajS en air komt dus één dubbelelement Oj^ overeen. Hieruit
volgt:

Wanneer een kromme K^ wordt voortgebracht door twee pro-
jectieve involuties in half-perspectieve ligging, dan liggen van de
vier raaklijnen, die men uit elk involutiecentrum aan K^ kan trekken,
tweemaal twee raakpunten op een straal door het andere centrum,

(R. Sturm).

Of, daar de centra correspondeerende punten zijn:

De rechte, die de raakpunten van twee uit eenzeljde punt P van
K^ getrokken raaklijnen verbindt, gaat door een der met P corres-
pondeerende punten.

We zijn daarmee langs een anderen weg teruggekeerd tot de
laatste stelling van art, 6.

Is het punt P een buigpunt, dan is elk der raakpunten van de
uit P getrokken raaklijnen tevens een correspondeerend punt
van P. Uit de gevonden eigenschap volgt:

De raakpunten der drie uit een huigpunt aan K^ getrokken raak-
lijnen liggen op een rechte.

Ook het omgekeerde van deze stelh\'ng geldt:

Wanneer de raakpunten van drie uit eenzelfde punt P der
K® getrokken raaklijnen op een rechte h\'ggen, valt het raakpunt
van de vierde raaklijn met P samen en is dit punt een buigpunt.

In art. 5 vonden we, dat de kegelsnede door de punten van
een quadrupel en zijn tangenüaalpunt de poolkegelsnede van dit
tangentiaalpunt is. Bij een buigpunt liggen drie van deze punten
op een rechte. De poolkegelsnede is dus ontaard in twee rechten,
waarvan één is de stationaire raaklijn aan K® en de andere de
verbindingslijn h der andere drie raakpunten.

Uit een buigpunt en één van zijn correspondeerende punten
wordt K® voortgebracht door twee projectieve involuties in half-
perspectieve ligging. Zij i het buigpunt en s het correspondeerende
punt. Van de involutie (s) zijn de dubbelstralen si en bovengenoem-
de verbindingslijn h der drie met i correspondeerende punten.
De dubbelelementen van een involutie scheiden de elementen
van elk involutorisch paar harmonisch. Op een willekeurigen
straal uit i is dus het snijpunt met h harmonisch toegevoegd aan
i t.o.v. de beide andere snijpunten met K®. Om deze reden heet
h de harmonische poollijn van i.

Uit s gaan vier raaklijnen aan K®. Hun raakpunten moeten
volgens het voorgaande twee aan twee liggen op rechten door i,
de dubbelstralen van de involutie (z). De beide andere raaklijnen
uit i aan K® zijn overeenkomstige stralen der involutie. Deze
worden dus weer harmonisch gescheiden door de genoemde dub-

belstralen van (f). Hetzelfde is het geval met den straal i s en de
stationaire raaklijn.

15 — Verbinden we de overeenkomstige punten van een der
drie stelsels van correspondeerende punten door rechten, dan
omhullen deze een kromme van de derde klasse.

Zij m het centrum van de quadratische straleninvolutie, waar-
door we de punten van \'t stelsel projecteeren. Deze involutie
heeft twee dubbelstralen d. z. stralen, die overeenkomstige
punten verbinden. Dit zijn dus twee raaklijnen aan de omhulde.
Voorts behoort bij m ab punt van \'t stelsel nog een correspon-
deerend punt. De verbindingslijn is volgens definitie ook een
raaklijn. Uit m gaan dus 3 raaklijnen aan de kromme. Deze is
dus van de 3e klasse.

De drie stelsels van correspondeerende punten eener K®
geven aanleiding tot drie krommen C3 van de 3e klasse, die door
de verbindingslijnen der paren worden omhuld.

C3 heet de Cayleyana van K^, K® de Hessiana van C3.

Door de quadratische involutie wordt de straal naar het cor-
respondeerende punt toegevoegd aan den straal naar m zelf
d.i. aan de raaklijn in m aan K^\'. Daar twee overeenkomstige stralen
door de dubbelstralen harmonisch gescheiden zijn, volgt hieruit:

Van de drie raaklijnen uit een punt van K^ aan de Cayleyana,
wordt de raaklijn, die naar het correspondeerende punt gaat, van
de raaklijn in het punt aan K^ harmonisch gescheiden door de beide
andere raaklijnen.

Zijn tti, Og twee correspondeerende punten en Xi, Xg een ander
paar, dan snijden a^Xz en OgXi elkaar in een punt van K^\', \'t punt
m. Laten we Xi zeer dicht naderen tot ai, dan zal Xa zeer dicht
liggen bij a^. De lijnen aiQa en XiXa zijn beide raaklijnen aan
de Cayleyana. Het snijpunt s van deze rechten wordt in den grens-
stand, waarin Xi samenvalt met Oi en Xg met öa» het raakpunt
van flifla aan C3. Het punt m gaat dan over in het derde snijpunt
van aiUi met K^ Uit de volledige vierzijde, gevormd door de

rechten sa^a^, Xitn^a^ en x^m^üi volgt nu, dat m van s

harmonisch gescheiden is door de rechten a^Xi en a^x^. Valt
samen met a^a^ dan moeten dus m en s evenzoo harmonisch
gescheiden zijn door de punten a^, a^. Derhalve:

Het raakpunt van C, met de verbindingslijn van twee corres-
pondeerende punten is van het derde snijpunt dezer rechte met

K^ harmonisch gescheiden door dit paar correspondeerende pun-
ten, ^

16 -- Trekken we nu uit een punt m^ de drie raaklijnen aan
de Cayleyana: m, m, 5, m, a^ a, en b, b„ waarin m„ a^,
öi, 62 drie paren correspondeerende punten zijn.

We vonden reeds, dat de snijpunten ^ {a.a^, bA) en
«2 = a^bi) correspondeerende punten zijn. De punten m^,
ni, fli, 02, 62 vormen echter ook de hoekpunten van een vol-
ledige vierzijde op de K^ d.w.z. m^ en n^ zijn correspondeerende
punten. Dus vormen m^, m^, n^ een puntquadrupel.

n^n^ is dan ook een raaklijn aan de Cayleyana. Denken we s
als projectiecentrum, dan wordt m^ geprojecteerd in m^ en moet
«2 geprojecteerd worden in omdat buiten m2 en n^ alleen nog
^ met mi correspondeert. Dus snijdt n^n^ de in het punt s.
Het raakpunt van n^n^ met de C3 is het punt r, dat door /i^ en n^
harmonisch gescheiden wordt van s.

Trekken we ook uit m^ de drie raaklijnen aan C3. Dit zijn m^ m^ s,
m^ Cl C2 en m^ di d^. De diagonaalpunten van den volledigen vier-
hoek Cl C2 dl d^ moeten volgens dezelfde redeneering weer zijn
de beide punten, die met m^ en m^ het quadrupel vormen d.w.z.
het zijn de punten ni en n^. De rechte nin^ is dus gemeenschap-
pelijke diagonaal van 0,026162 en CiC^did^. Deze diagonaal
snijdt mi O, 02, mi bi b^, m^ Ci c^ en m^ di d^ in punten a, ß, y, S,
die opeenvolgend harmonisch gescheiden zijn: a van mi door
au Ö2; ß van mi door bi, b^; y van m^ door Ci, c^; 8 van m^ door
du d^, d.w.z. a, ß, y, 8 zijn de punten, waarin mi o, Oj, m, bi 62,
Cl Ca en mi did^ de Cayleyana raken.

J

De rechte n^ n^ s heeft dus met C3 zes punten gemeen. De
Cayleyana is van de zesde orde.

Uit de genoemde vierhoeken volgt verder, dat a, p, n^ en n^
en Y Hl, Ha harmonische groepen zijn, zoodat (a, p), (y, S),
(r, s) drie paren zijn van een involutie met dubbelpunten Hj, n^.
De punten a, p, y, 8 kunnen drie verschillende involuties bepalen.
Een kromme Cg« als Cayleyana beschouwd, kan dus behooren
tot drie verschillende Hessiana\'s. De dubbelpunten der involutie
en het, aan het raakpunt r toegevoegde punt, vormen dan drie
punten der Hessiana, terwijl de raaklijnen aan C3 in de paren
toegevoegde punten nog twee punten van K® leveren.

17 — Is I een buigpunt van K® en s het raakpunt van een uit i
getrokken raaklijn, dan zijn deze punten te beschouwen als cor-
respondeerende punten, omdat i met zijn tangentiaalpunt samen-

Het derde snijpunt van is met K® is nu met s samengevallen.
Het raakpunt van deze rechte met de Cayleyana, dat van het
derde snijpunt harmonisch is gescheiden door i en s, moet nu
ook terecht komen in s. K® en C3 raken elkaar dus in s en hebben
daar de raaklijn s i gemeen. Hieruit volgt:

De Cayleyana wordt door K^ aangeraakt in de correspondeerende

punten der buigpunten,

18 — Om te weten te komen of C3 en K® nog andere punten
gemeen kunnen hebben, moeten we nu het aantal der buig-
punten bepalen. Dit kan op de volgende wijze gevonden worden:

Uit een van de punten m van een K® trekken we een snijlijn
mab. Beschouwen we de punten a en 6 als tangentiaalpunten,
dan is aan elk een puntquadrupel toegevoegd, dus aan den straal
mab acht stralen naar de punten dezer quadrupels.

Beschouwen v/e a en b als raakpunten dan is aan elk één tan-
gentiaalpunt toegevoegd en aan mab een tweetal stralen naar

die tangentiaalpunten. Deze stralenovereenkomst kan uitge-
drukt worden door een vergelijking, die ten opzichte van de beide
parameters van den tweeden en den achtsten graad is. Voor
een coïncidentie worden de parameters gelijk en de vergelijking
dus van den tienden graad. De straalbundel (m) bevat dus tien
stralen, die tot beide stelsels gerekend moeten worden. Eén
daarvan is de raaklijn in m, de andere negen gaan naar punten
van K®, die met hun tangentiaalpunten samenvallen. Dus:
Een K^ heeft negen buigpmten.

Daar nu van de drie met een buigpunt der Hessiana corres-
pondeerende punten telkens maar één ligt op een der drie Cayleya-
na\'s, raakt de C3 de K® in negen punten. De krommen resp.
van de zesde en de derde orde kunnen buiten deze raakpunten
geen andere punten gemeen hebben.

19 — De harmonische poollijn h van i snijdt K® nog in twee
punten n^ en nz, die met s (zie art. 17) en i een quadrupel vormen
en dus tot hetzelfde stelsel behooren als s en i. C3 wordt dus
ook door h aangeraakt en wel in het punt r, waarvoor {n^ n^ r s)

Vergelijken we met art. 16, dan hebben we hier, dat i en s
de punten m^ en m^ vervangen. Voorts is s uit art. 16 samenge-
vallen met mi. Het punt r is weer het raakpunt van ni n^ (d.i. h)
met C3.

De punten van het quadrupel met s als tangentiaalpunt zijn
hier de punten Oi, Oi, &i, 62, want iaiOz, en 16162 zijn de dubbel-
stralen van de involutie (i) dus de raaklijnen uit i aan C3. Zij
raken C3 in haar snijpunten a, ß met Ä. Van de drie raaklijnen
uit s aan C3 zijn twee samengevallen in si, de derde is h. Van de
raakpunten y en S moet dus een zijn samengevallen met 5 en het
andere met r. Dit laatste punt is dus één der keerpunten, die een
C3 als reciproke kromme eener K® moet bezitten. Dus: De har-
monische poollijnen eener iC® zijn de keerpmtsraaklijnen der drie
bijbehoorende Cayleyana\'s. De keerpunten liggen harmonisch met

de punten, die K^ met haar harmonische poollijnen gemeen heeft,

20 — Uit een buigpunt i trekken we twee rechten, die K^\' nog
in 4 punten a^, a^, h, b^ snijden. Brengen we door die punten
een K^, dan snijdt deze K^ nog in twee punten, die eveneens
moeten liggen op een straal door i.

De harmonische poollijn h van i blijkt de poollijn van i t.o.v.
K2 te zijn, waaruit het bewijs onmiddellijk volgt. Dus:

Een buigpunt i is tegenpunt van elk puntquadrupel, waarvan de
punten twee aan twee liggen op stralen door i.

Hieruit volgt, dat als men de ontaarde kegelsnede (aiOg, bjbz)
neemt, de snijpunten van deze rechten met K®, dus ag en ög,
ook liggen op een straal door f. Bovendien snijden aiOg en bA
elkaar op de harm. pooll. van i.

Dus:

Snijdt men K^ door een rechte in de punten Oj, Og en Og en trekt
men de rechten ia^, ia^, ia^ die K^ nogmaals snijden in de punten
bi, bi, 63, dan liggen deze eveneens op een rechte.

Deze uitkomst is een bizonder geval van de stelling in art. 10
bewezen. Immers in i heeft de stationaire raaklijn drie punten

met K® gemeen.

Vallen Oi en fla samen, dus ook 61 met b^, dan hebben we:

Trekt men uit een buigpunt een rechte, die K^ snijdt in twee
punten a en b, dan snijden de raaklijnen in deze punten aan K^
getrokken, elkaar op de harmonische poollijn van het buigpunt.

(Maclaurin).

Vallen Oi, a^ en 03 samen, dan moeten ook 61, fcj en 63 samen-
vallen en krijgt men:

De raaklijnen in twee buigpunten snijden elkaar op de harmonische
poollijn van \'t buigpunt, dat met hen tn een rechte ligt. (Cremona).

Zijn Tl, Ta, fa de snijpunten der raaklijnen in drie op een rechte
gelegen buigpunten i\'i, ij, I3 dan gaan de harm. poollijnen Hj,
Ha, H3 dus achtereenvolgens door r,, ra en rg.

Hl snijdt de lijn i\'izV\'s in een punt, dat door en I3 dus ook
door hun raaklijnen harmonisch gescheiden wordt van i, dus
moet Hl de rechte r^r^ ontmoeten in een puntpi, zoodat (z pi r^ r^)

Daar nu fj, Zj» h op een rechte gelegen zijn, moeten de punten
Pit Pif Ps waarvan zij door de hoekpunten van driehoek Ti Tg Tg
harmonisch gescheiden zijn, uit de overstaande hoekpunten ge-
projecteerd worden door lijnen, die door één punt gaan.

De harmonische poollijnen van drie in een rechte gelegen buig-
punten gaan door één punt, (Plücker).

Brengen we \'t slot van art. 19 hiermee in verband, dan vinden we:

„De keerpuntsraaklijnen eener Cayleyana gaan drie aan drie
door twaalf punten."

21 — Een ander bewijs voor bovengenoemde stelling van Cre-
mona is dit:

Uit een punt P buiten K® kunnen zes raaklijnen getrokken
worden aan de kromme. Door de zes raakpunten gaat een kegel-
snede, de poolkegelsnede van P. Noemen we de raakpunten
Tg, rt, Ts en To, dan zal de rechte r^r^ moeten gaan door het
tegenpunt der punten fi, rj. Tg, r«. Vallen r^ en r^ samen, dan moet
P liggen op de raaklijn in het buigpunt (r^, r^) en het tegenpunt
valt in het buigpunt. Dus:

Een buigpunt is tegenpunt voor elk viertal punten der K^, wier
raaklijnen elkaar snijden in één punt op de raaklijn van het buigpunt.

Leggen we P in het snijpunt van twee stationaire raaklijnen,
dan vallen, als we z\'i als het tegenpunt beschouwen, twee der
punten ry r^ rg r4 samen in ij, b.v. Ti en r^. De ontaarde kegelsnede
(r,r2, Tgr^) bestaat nu uit de raaklijn in z\'j en de rechte Tgr,.
De laatste moge K\' nog snijden in een punt s. Dan moet nu i^
gaan door z\'i. Doch zVa snijdt K® in een derde buigpunt ig. Dus
valt 5 samen met Zg.

Nu zijn Tg en r« de snijpunten met K® van een rechte uit ig.
De raaklijnen in deze punten snijden elkaar op de harmonische

poollijn van het buigpunt iV Zij snijden elkaar echter in het
snijpunt van de raaklijnen der punten fj en iVWaarmeegenoemde
stelling bewezen is.

Volgens Cremona liggen de tangentiaalpunten, behoorende bij
zes door een K" vereenigde punten van K» weer op een kegel-
snede. Dus ook de tangentiaalpunten van ri. Tg, Tg, r^, rg, r^.
Deze kegelsnede heet de satellietkegelsnede van P. Passen we de
stelling van Küpper toe, dan moet het tangentiaalpunt van i
tegenpunt zijn van de tangentiaalpunten van r^ r^, Tg, r^. Daar
het tangentiaalpunt van i met dit punt samenvalt, blijkt i ook
tegenpunt van de tangentiaalpunten van elk viertal punten, wier
raaklijnen elkaar snijden in één punt op de stationaire raaklijn van t.

HOOFDSTUK IV

i — In III, 7. gaven we de stelling van Emil Weyr:

„Snijdt een bewegelijke raaklijn van een vaste kegelsnede Dj
een andere vaste kegelsnede K^ in a^, a^ en zijn m,, mg de snijpun-
ten van K® met een vaste raaklijn van Da, dan is de m. p. der
punten pi ^ (mifli, m^a^ en pa ^ (mifla, m^a^ een kromme der
derde orde, die door mi en ttiz gaat."

Zijn twee kegelsneden K® en Dj gegeven en een rechte mjma,
die beide kegelsneden snijdt (mi en m^ op K\'\'), dan is de m. p.
van de punten pi = (miOi, m^az) en Pzimiaz, m^ai) een K* met
mi en ma als dubbelpunten. Onder Oi en Oj verstaan we weer de
snijpunten met K^ van een raaklijn aan Dj.

Zoodra echter mimj raaklijn wordt aan Da, worden de twee-
tweezinm\'ge straalbundels half-perspectief en gaat dus K^ weer
over in een K\' en de rechte mima. Van de beide raaklijnen in het
dubbelpunt mi is de eene samengevallen met mimg, de andere
verbindt mi met het tweede snijpunt met K" van de raaklijn, die
men uit mj nog aan Dg kan trekken; mi en m, zijn nu enkelvoudige
punten van de K®.

Volgens III. 5 moet pip^ steeds gaan door pa, de pool van mimg
t.o.v. K^. Trekken wij in mima, de raaklijnen aan Kg, dan is het
snijpunt het punt pg. Dit punt is ook gelegen op K®.

Het derde snijpunt van mim, met K® vinden we als volgt:
Als de bewegelijke raaklijn OiOj oneindig dicht tot mimg nadert,
komt üi oneindig dicht bij mi, Og bij mg. Van de volledige vier-
zijde gevormd door miOi, miOg, mjai en mgOj zal nu het snij-
punt pi samenvallen met pa, terwijl pg zal vallen op mimg en wel

in het raakpunt van rrixirii met Dg. Uit de vierzijde volgt verder,
dat nu dit raakpunt harmonisch geconjugeerd moet zijn aan
het snijpunt van a-fi^ met mimg t.o.v. m-y en m^. Dit punt is echter
gelegen op K®, dus het derde snijpunt van m-jn2 met K®. Zooals
we zagen is niz geconjugeerde pool van p^ t.o.v. den bundel
kegelsneden door de raakpunten van het quadrupel met p^ als
tangentiaalpunt. We vinden m^ dus door uit p^ de rechte te trek-
ken door het raakpunt van trii mg met Dg en in de snijpunten
van deze rechte met K^ de raaklijnen te construeeren aan K^.
Deze snijden elkaar in mg.

Trekken we de gemeensch. raakl. aan K^ en Dg, dan zijn de
raakpunten op K^ de 4 coïncidenties Ci, Cg, C3, C4 van de symme-
trische verwantschap. Dit zijn ook 4 punten van K® nl. de 4 pun-
ten, die K^ en K^ buiten m^ en ruz gemeen hebben. De rechten
PzCu P3C2, P3C3 en p^Ci zijn raaklijnen aan K^.

Bepalen we nu de diagonaalpunten van den volledigen vier-
hoek C1C2C3C4, dan zijn dit eveneens drie punten van K®, die
met ps het quadrupel vormen, dat m^ tot tangentiaalpunt heeft.

De vier snijpunten van K^ en Dj zijn de 4 vertakkingspunten
van de [2]. Trekken we in deze punten fj, v^, v^, v^ de raaklijnen
aan Dg, dan snijden deze K^ nog eens in de dubbelpunten dy, d^,
da, di. Met iTiiVi komt nu overeen de dubbelstraal ma^i; iriiVi
is dus raaklijn aan K^ in het snijpunt met nizdi.

Evenzoo m^Vi een raaklijn met raakpunt op rnjdi. Dus:
„De stralen, die nii en m^ verbinden met de snijpunten Vi, V2, v^.
Vi van K^ en Dg zijn de door nii en nii gaande raaklijnenquadrupeb
van K®. Haar raakpunten liggen in de snijpunten met de rechten,
die 7712 en mi verbinden met de dubbelpunten di, di, d^, ^4."

(E. Weyr).

2 — We willen nu de snijpunten zoeken van K® met een wille-
keurige rechte G.

Als een punt tt op G zich beweegt, beschrijven de stralen
rnjTT, rnjTT twee perspectieve straalbundels. Deze snijden K^
nog in de puntreeksen en (73). Deze reeksen zijn projectief.

De dubbelpunten zijn de snijpunten e, f van K® met G.

De rechte ^yj omhult een kegelsnede C. Deze raakt K^ in e
en ƒ en raakt ook aan

De bundels-(miTj) en (mg?) zijn ook projectief, de snijpunten
van overeenkomstige stralen liggen op een kegelsnede C\'. Deze
kegelsnede gaat door e, ƒ, mi, m^ en het snijpunt der raaklijnen
in mi en m^ aan K^ d. i. het punt p^.

De punten mi (mj) vinden we, als tt het snijpunt is van de
raaklijn in mi(m2) aan K" met de rechte G.

Het punt Pa komt overeen met het snijpunt van mimg met G.

Met elke rechte G komt dus een kegelsnede C overeen en een
kegelsnede C\'.

Omgekeerd komt met elke kegelsnede C, die mimg tot raaklijn
heeft en bovendien K^ raakt in de punten e, ƒ één rechte overeen
nl. G (=e/). en bovendien één kegelsnede C\'.

Wordt een raaklijn van Dj, dan ligt het punt tt ^ {m^,
m^-fi) op K®. Dus is Ir^ een gemeenschappelijke raaklijn van Dj
en C. Deze kegelsneden hebben vier gemeenschappelijke raak-
lijnen, waarvan mima er een is. Daar in \'t algemeen G niet gaat
door ma, kan mima niet met een snijpunt van G en K^ corres-
pondeeren. De andere drie leveren de gezochte snijpunten van
G met K\\

Vallen twee gemeenschappelijke raaklijnen van D« en C samen
d. w. z. raken Da en C elkaar, dan vallen ook twee der snijpunten
van G en K® samen en wordt G dus een raaklijn aan K^«.

Vallen alle drie de gemeenschappelijke raaklijnen samen
d. w. z. osculeeren Da en C elkaar, dan zal G drie samenvallende
punten met K® gemeen hebben en is G dus een stationaire
raaklijn aan K®.

Hieruit volgt:

„De raaklijnen van K^ zijn de raakkoorden van K- met die
kegelsneden C, die tweemaal raken aan K- en bovendien aan de
rechte m^m^ en aan de kegelsnede Dj."

„De stationaire raaklijnen van zijn de raakkoorden van

KP- met die kegelsneden C, die tweemaal raken aan K^, de kegel-
snede £>2 osculeeren en raken aan m^m^"

(E. Weyr.)

Het onderzoek naar de onderlinge ligging der buigpunten
is hierdoor teruggebracht tot dat naar de in de laatste stelling
genoemde osculeerende kegelsneden. Wijl er negen buigpunten
zijn, moeten er ook negen zulke kegelsneden voorkomen.

5 _ Draait de rechte G om een punt tt, dan beschrijven

de punten e, / een involutie op KS wier dubbelpunten de raak-
punten der beide uit tt aan K^ getrokken raaklijnen zijn. Volgens
de eerste van bovengenoemde stellingen moet men, om de
raaklijnen te vinden, de kegelsneden C bepalen, die de rechte
miWa en Dg raken en bovendien raken aan K« in de punten g, ƒ.
Deze laatste punten echter, deel uitmakende van een involutie,
moeten harmonisch liggen ten opzichte van de dubbelpunten
dezer involutie, d, z. de raakpunten van de raaklijnen uit tc
aan K^

We moeten dus om de raaklijnen uit tc te construeeren, de kegel-
sneden C vinden, die raken aan m^m^, aan Dg en bovendien aan
K® in twee punten, die harmonisch liggen ten opzichte van de
raakpunten der raaklijnen uit tc aan K^.

4 — We willen nu de raaklijn bepalen in een punt p, dat
volgens de methode van art. i uit een raaklijn ayü^ aan Da is
afgeleid.

De raaklijn a^a^ worde oneindig weinig om het raakpunt t
gedraaid. Daardoor gaan a^ en a^ over in de punten h^ en ftj
oneindig dicht er bij gelegen. De rechten a^hi en Oa^a zijn dan
raaklijnen aan K®. Bij den nieuwen stand van de raaklijn be-
hoort een punt op K® oneindig dicht bij p liggende. De rechte
ppi is dan de raaklijn aan K® in het punt p.

Een straalbundel in t snijdt op de raaklijnen in aj en a^ perspec-
tieve puntreeksen in, die in de straalbundels met m^ en m, als

toppen een projectiviteit teweegbrengen. De snijpunten van
overeenkomstige stralen liggen op een kegelsnede C. De punten
p en Pi zijn dus ook twee oneindig dicht bij elkander liggende
punten van die kegelsnede en ppi dus ook een raaklijn daarvan.

Beschouwen we de volledige vierzijde, gevormd door de
rechten ainii, aiUii, agmi, aipiz en daarbij den zeshoek van Pascal,
gevormd door deze rechten met de raaklijnen aan C in = (maOi,
miOg) en p\' = (miaj, m^ai), dan blijkt, dat de raaklijn in p de
rechte öifla snijdt in een punt, dat harm. toegevoegd is aan \'t
snijpunt van p\'p met fliOg.

Laten we Oifla oneindig weinig draaien tot den stand bib^
dan krijgen we voor de aldus gevormde figuur eenzelfde be-
schouwing.

Bij den grensovergang blijkt nu het snijpunt van p\'p met Ojaa
het raakpunt t te zijn van aiü^ met Da.

Bepalen we dus het punt t\' zoo, dat (oioaf t\') = — i, dan zijn
pt\' en p\'t\' de gezochte raaklijnen aan K®.

De beide kegelsneden K^ en D\'» snijden elkaar in de vier ver-
takkingspunten Vi, Vz, V3, U4 d. w. z. maken deel uit van een
bundel met deze basispunten. Van een bundel raken echter twee
kegelsneden aan een bepaalde rechte. Voor de tweede kegel-
snede rakende aan OiOa als Dj beschouwd, zal nu t\' het raakpunt
moeten zijn. Uit (oiozt t\') — — i blijkt immers, dat t en t\' invo-
lutorisch overeenkomen.

Als Da den drager K^ in een punt d raakt, zijn in dit punt
twee punten V samengevallen, dus ook twee raaklijnen uit m,,
evenals twee raaklijnen uit ma. Hieruit volgt, dat in dit geval d
een dubbelpunt is van K®.

Hebben K® en Dj drie samengevallen punten gemeen, dan
moeten drie raaklijnen uit m^ of ma samengevallen zijn en is
dus het punt een keerpunt van K®.

4 — De constructie door middel van de symmetrische ver-
wantschap kan worden aangewend om verdere punten van een

K® te bepalen, die volgens de methode van Chasles gebracht
wordt door 9 gegeven punten. Dit kan op de volgende wijze
worden uitgevoerd.

De punten mogen zijn a, 6, c, d, e, ƒ, g, h, L We bepalen
volgens Chasles eerst een punt P zóó gelegen, dat de dubbel-
verhouding der stralen Pe,P/, Pg en PA dezelfde is als die der kegel-
sneden Ki {abcde), YL^iahcdf), K3 {abcdg) en YL^iabcdh) en tevens
de dubbelverhouding van Pe, P/, Pg, Pi dezelfde als die der
kegelsneden Ki, Ka, K3 en Kg {abcdi).

We beschouwen nu een der punten, b.v. a, als een punt nii
(art. i) en een ander, b.v. d, als coïncidentie van de symmetrische
verwantschap, overeenkomende dus met een der punten c van
art. i.

De raaklijn T ia d aan K® is de raaklijn in dit punt aan die
kegelsnede van den bundel (a, b, c. d) die volgens onze construc-
tie projectief overeenkomt met Prf. Is deze bepaald, dan vindt
men het tangentiaalpunt p^ als volgt: met elk punt x op T komt
overeen een kegelsnede {abcdx), een raaklijn aan deze kegel-
snede in d en een straal Px. Er is op deze wijze dus een projec-
tiviteit tusschen de straalbundels in P en in d. Overeenkomstige
stralen snijden elkaar op een kegelsnede A, die te bepalen is.

Met straal Px komt volgens onze beginconstructie ook een
kegelsnede van bundel (a, b, c, d) projectief overeen en daar-
aan eveneens een raaklijn in d. Dus bestaat tusschen de straal-
bundels in "9 en in d nog op deze wijze een tweede projectiviteit
met als meetk. pl. van de snijpunten der overeenkomende stralen
een tweede kegelsnede B. De kegelsneden A en B raken elkaar
in d en gaan beide nog door P. Ze zullen dus nog één snijpunt
buiten P en d hebben. De straal uit P naar dit snijpunt moet,
zooals licht is in te zien, de rechte T snijden in haar snijpunt
met K®. Dit punt is dus p^.

Om nu weer de raaklijn in pa en haar tangentiaalpunt te be-
palen, kan men de constructie van Chasles herhalen voor negen
der nu bekende punten van K®, waaronder dan pa wordt opge-

nomen en wel als basispunt van den te gebruiken K^-bundel.
Men vindt dan het punt m^.

Het snijpunt van miOig met K» kan nu op analoge wijze ge-
construeerd worden als hiervoor het tangentiaalpunt p^.

De kegelsnede K^ is dan bepaald; zij moet gaan door d en in
mi en mg raken aan p^nii en p^rriz.

Trekken we vervolgens uit mi en m^ de rechten naar twee
andere gegeven punten, b.v. naar e en ƒ, en bepalen de snijpunten
van deze vier rechten met K® resp. q^ q^, r, en r^, dan moet D^
raken aan q^r^ aan q^r^, aan de raaklijn, getrokken aan K^ in
d en aan mimg in het punt (m), dat harmom\'sch is toegevoegd
aan mg ten opzichte van m^ en mj.

Heeft men aldus Ka en Da bepaald, dan kunnen alle andere
punten van K® door middel van de symmetrische verwant-
schap gevonden worden. De beschouwingen van art. 3 en 4
leeren ons dan buigpunten en raaklijnen te construeeren.

\'J>\'r

l^. i^m-jfrtei -Jt^t\'-iijêli jtmi^ asM

■ ■ .-iii«*« ^-tti\'
■ »Cf iiÄ ti\'^jf rfÇ a-Mrbji-iaiv -«^f^i a&v

^^ siJt, ^-ïisbös ^ .TfiL -bÏJieq^ ns flSt,.tjjfek-»MM Ï^JÖH

m t. OTv \' iftÖ .«j\'iiw• flafcaó\'ir^ ijftiit»»;-

L ksH\'

STELLINGEN

Het is bezwaarlijk om, alleen gebruik makende van de ver-
wantschap [2, 2], een sluitende theorie op te bouwen betreffende
de geconjugeerde polen op een vlakke kubische kromme.

II

In de „Theorie der ebenen algebraischen Kurven höherer
Ordnung" van Dr. H. Wieleitner, staat op blz. 19:

„Ein Punkt Q hat dieselbe s^® Polare in bezug auf die gegebene
n-ik, wie in bezug auf alle k\'®" Polaren (k > s) des nämlichen
Punktes".

Deze Stelling is geheel foutief geredigeerd.

III

De Stelling: „Ein Wendepunct einer Curve ist ein Doppelpunct
für jede erste Polare eines Punctes der Wendetangente" (Cremona,
Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Curven,
übers, von Max Curtze blz. 113)".

is fout. Zij geldt slechts voor één punt der stationaire raaklijn.

IV

Indien o < | a | < i, geldt de betrekking:

jt

j ^\'P = SAna—^

(i2acos9)* „=1 JVi —a^sin«?\'

De redeneering, waarmede Charles Nordmann in „Einstein en
het Heelal" (bewerking van Dr. S. L. van Oss), de Lorentz-con-
tractie tracht duidelijk te maken, is in strijd met een der grondprin-
cipes van de relativiteitstheorie.

VI

Ten onrechte wordt in het verslag van de Phys. Techn. Reichs-
anstalt over 1925 vermeld, dat bij de door die instelling gebouwde
modificatie van den dubbelen monochromator de dispersie ver-
dubbeld is.

Zeitschrift für Instrumentenkunde 46-176-1926.

VII

De opmerking, voorkomende in Grimsehl, Lehrbuch der Phy-
sik Bd. 2. 4e Aufl. pag. 560:

„Die Erklärung für die Uebereinstimmung in der Wellenlänge
sowohl für Draht- als freie Wellen, kann nur darin gefunden
werden, dasz sich auch die Drahtwellen nicht im Drahte, sondern
am Drahte im umgebenden Dielektrikum bewegen."
is niet juist.

VIII

Ten onrechte wordt in Chwolson, Lehrbuch der Physik, 2e
Aufl. Bd. II, 2 pag. 448 bij de behandeling van den photometer
van Bunsen, het als vanzelfsprekend aangenomen, dat, wanneer
de vlek ter weerszijden even helder verschijnt, de betrekking
Ii : I2 = dl" : da® geldt.

IX

Door waarnemingen in gepolariseerd licht zou uitgemaakt

kunnen worden, waaraan het geringe contrast is toe te schrijven
der Mars-photografiën in blauw licht.

(Vgl. D. H. Menzel. The Astrophys. Journ. 1926. LXIII. 48).

Het is van groot belang voor het onderwijs in de Natuurkunde
aan Gymnasium en H. B. S., dat aan de harmonische beweging
een meer centrale en belangrijker plaats worde toegekend.

v ;

■ .p.v

.<ü\'

... .. .

r •-■S^J "À

. • ^ ^

; \' \'M,y.

\' «0