EEN INYOLÜTORISCHE TRANSFORMATIE
DER STRALENRÜIMTE, BEPAALD DOOB
- TWEE ÖMDRATISGHE INYOLÜTIES -

cm

bibliotheek der

V HIJKSUNIVERSITEIT
UTRECHT,

A. T. M. KRAMER

Éi.

EEN INVOLUTORISCHE TRANSFORMATIE DER
STRALENRUIMTE, BEPAALD DOOR TWEE
QUADRATISCHE INVOLUTIES.

•J

Een involutorische transformatie der stralenruimte,
bepaald door twee quadratische involuties.

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJOING VAN DEN GRAAD VAN

Doctor in de Wis- en Natuurkunde

aan de Rijks-Universiteit te Utrecht

or GEZAG VAN DEN RecTOR MAGNIFICUS

Dr. J. Ph. SUYLING

HoOGLEIRAAR in DK FaCULTRIT dhr RRCHTSr.BLEERDKRII)

volgens besluit van den senaat dek universiteit

TRGRN DR IIRIIKNKINGHN VAN DK

Faculteit der Wis- en Natuurkunde

TE VERDEDIGEN

op Maandag 19 April 1926, des namiddags tc 4 uur

DOOR

ANGELA TECLA MARIA KRAMER

geboren tc Groningen.

Elcctr. drukkerij „de Industrie" J. Van Druten — Uliechl

1926

BIBLIOTHEEK DER
rtIJKSUNIVERSITEJT
UTRKCHT.

fMl

i,\'* i

AAN MIJNE OUDERS

Bij het voltooien van mijn proefschrift is het mij een
aangename taak om hier mijn dank te betuigen aan
allen, die door hun onderwijs tot mijn ontwikkeling
hebhen bijgedragen.

In het bijzonder geldt mijn dank U, Hoogleeraren en
Oud-Hoogleeraren in de Faculleit der Wis- en Natuur-
kunde voor Uw interessante colleges, die ik steeds in
dankbare herinnering zal houden.

Maar bovenal U, Hooggeleerde de Vhies, Hooggeachte
Promotor, dank ik, behalve voor Uw duidelijke en boeiende
colleges, voor de voortdurende belangstelling, de hulp-
vaardigheid en den grooten steun, welke ik bij het be-
werken van dit proefschrin van U mocht ondervinden. .

n^ yra Jaff nfiiH iiifv tmooifo\'/ i-^ii \'nH

ntiß aagioj^ :»ï ind) «iiyi lyui .«lo iß),! HfnKsoMuiüJ
^iiU&ijifwJito. ft£im 1«>j «od \'tf»<>}. -^^r

«s» itiiih ntiai JM\'?^ m\'-i \'-aid f-rri ui

-toijJi\'.Vf i^h \'»ivHinf/ii >h (ti -

ni Ji 9jh \'jJiii^isufihii ysrö jt^,»» ^.t\'ftui

\' . .,-n-jhutHi h;;,.\'.innftttîlii\'^iî ityu\'Jntii^

•iJtÏ\'jür^TSSC^tB jüfvli ,1) ico f/ad liyik
\'ihiï9tf»rt<J ao aÀlîhbiab -w\'J icm- MvU.if\'W

->|iurf ab -iiifis^wi\'iiütty lOi-v

.i(ûi»(nivt >bno iibci;:i U huv 31( : ..i miii^jj

INLEIDING.

In een vlak « kan men zich een involutorische qua-
dratische transformatie denken met Ai, A2 en As als
hoofdpunten, in een vlak ß een dergelijke quadratische
involutie met hoofdpunten /ii, Ih en Ih.

Een willekeurige lijn t zal vlak a in een punt P,
vlak ß in een punt Q snijden. Door de transformatie
in vlak a zal daar aan het punt P één punt P\' worden
toegevoegd, eveneens in vlak ß aan Q één punt Q\'.
Wanneer we nu aan dezen straal t=PQ toevoegen
als t\' den straal P\'Q\', dan zal daardoor een involutie
in de stralenruimte ontstaan die we nader willen gaan
onderzoeken.

Dat we hier le doen hebben met een involutorische
transformatie tusschen de stralender ruimte blijkt direct
als we bedenken dal in vlak 01 het beeld van P\' weer
het punt P is, in vlak /? de transformatie voor Q\' ons
Q teruggeeft; van den straal P\'Q\' uitgaande zullen we
dus P Q terugkrijgen.

Zooals bekend is heeft een algemeene quadratische
transformatie slechts één involutorisch pnnteiipaar, kan
het echter op 2 manieren voorkomen dat de geheele
transformatie involutorisch wordt.

Onder een involutorische transformatie van de eerste
soort zullen we hel geval verstaan waarbij de hoofd-
punten zóó zijn samengevallen dat/Ji^/l\'i; yl8=/r2;
As = A\'i.

Hierbij treden dus slechts 4 coïncidentiepunten Di,
Ds en Di op, terwijl het punt Ji overeenkomt met

de lijn «i = A2 As, het punt As met as = Ai As en
As met as = J.1 A2.

Bij een involutorische transformatie van de tweede soort
zijn de hoofdpunten zóó samengevallen dat =
A2 = A\\ en As^A\'s.

Hierbij treden dan oneindig vele coïncidentiepunten
op die alle liggen op een kegelsnede ka die in Ai en A2
raakt aan Ai As en A2 As.

Het punt Al komt in dit geval overeen met Ai As,
dus met de lijn ffa, evenzoo Az met öi, terwijl As weer
afgebeeld wordt door as.

Verder weten we ook dat in dit laatste geval de
punten op elke lijn door As een involutie vormen waarbij
de beide snijpunten van die lijn met k^ de coïnciden-
ties zijn,

We kunnen nu dus 3 verschillende gevallen onder-
scheiden :

1°. de vlakken x en (3 bevatten elk een involutie van
de le soort.

de vlakken « en bevatten elk een involutie van
de 2e soort.

30. de involuties in a en /3 zijn ongelijksoortig.

HOOFDSTUK I.

De transformatie bepaald door twee involuties
Tan de eerste soort.

§ 1. Zoowel in vlak « als in vlak (i denken we ons
een involutie van de soort, dus met 4 coïncidentie-
punten.

In het algemeen zullen 2 homologe slralen t en t\'
elkaar kruisen. Beschouwen we echter een willekeurig
vlak fji, dan zullen /x en /x elkaar snijden volgens een
lijn p, /X en ß volgens een lijn q. De kegelsnede
die het beeld is van de lijn p in a, zal daar door p
gesneden worden in twee punten P en P\' die een paar
vormen van de involutie in Eveneens zullen in ß
de rechte q en haar beeld q\'" elkaar snijden in de invo-
lulorische punten Q en Q\'.

Bij t^PQ behoort nu als t\' de lijn P\' Q\\ terwijl
P\' Q homoloog is met P Q\'. In een willekeurig vlak (ji,
liggen dus steeds vier rechten die twee paren t, t\' van
elkaar snijdende homologe slralen vormen.

Nemen we een willekeurig punt M op 7\' en ver-
binden we M met P\' in «, dan zal il/P\'vlaksnijden
in een punt li\'. Tusschen de punten li\' en Q\' zal een
verwantschap moeten bestaan, en zoo dikwijls als daarbij
een coïncidentie 11\' = Q\' optreedt zullen we 2 homologe
slralen t en t\' hebben, die elkaar in 3Ï snijden.

Doorloopt R\' een rechte r\' in (i, dus üf Ji\' een waaier,
dan beschrijft P\' in cc ook een rechte, dus P een kegel-
snede door de 3 hoofdpunten Ak; in ß zal Q dan echter
een kegelsnede beschrijven, die getransformeerd wordl

in een kromme van den 4"" graad, waarop de punten
Q\' zullen liggen. We krijgen hier dus tusschen de
punten R\' en Q\' in (3 een birationale verwantschap van
den vierden graad.

Daar een birationale (1,4) 6 coïncidenties heeft, zal
het in /3 6 maal voorkomen dat li\' = Q\'; dus door
een willekeurig punt van de ruimte gaan 6 paren
homologe stralen t, t\'.

De stralen f, die door den homologen straal t\' gesneden
worden, vormen dus een congruentie [6,4].

§ 2. Met het hoofdpunt Ai komt overeen de geheele
lijn ai, het punt Az wordt afgebeeld door de lijn «2,
As door as-, eveneens is de lijn hk het beeld van het
hoofdpunt Bk.

Beschouwen we Ai Bi als een straal t, dan komt
daarmee dus overeen elke lijn die rust op ai en bi\',
eveneens komen met Ai Ih overeen alle lijnen die be-
hooren tot de bilineaire congruentie welke ai en 62 tot
richtlijnen heeft en de straal Ai Bs wordt afgebeeld door
de lijnen die rusten op ai en 63. Zoo vinden we hier
dus 9 singuliere stralen Ak Bi waarvan het beeld een
bilineaire congruentie is met richtlijnen a* en bi.

Verbinden we Ai met een willekeurig punt van bi,
en beschouwen we die verbindingslijn als een straal t, dan
zal hiermee elke straal uit den waaier Bi [ai) overeen-
komen; dus met eiken straal uit den waaier Ai (61) is
homoloog elke straal uit Bi («i). (Hiertoe behooren de
stralen Ai Bi en Ai lis, Bi A2 en Ih As, die wc al
vonden als singulier.) Evenzoo correspondeert met eiken
straal van den waaier Ai (62), elke straal die behoort
tot den waaier Bs («1).

Uitgaande van de 9 waaiers Ak {bi) krijgen we de 9
waaiers Bi{ak), die alle geheel uil singuliere slralen beslaan.

Zoo hebben we dus 18 waaiers die 2 aan 2 involu-
torisch aan elkaar zijn toegevoegd.

§ 3. Wat is nu het beeld van een ster met top
A, (B,)?

Een straal f door At snijdt vlak /? in een punt Q;
met Q komt in overeen één punt maar het punt
Ak wordt getransformeerd in de lijn ak.

Elke straal Ak Q wordt dus omgezet in een waaier

Q\' M.

Een ster met top Ak {Bk) bestaat dus geheel uit
singuliere stralen en het beeld van deze ster is een
lineaire axiale complex met as ak {bk).

Wij vonden voor het beeld van den hoofdstraal Ak Bi
de bilineaire congruentie met richtlijnen Ok en bi. Nu
hebben de sterren om Ak en Bi den straal Ak Bi ge-
meenschappelijk; zijn beeld moet dan de doorsnede van
twee lineaire axiale complexen zijn, dus een bilineaire
congruentie die de assen der complexen lot richtlijnen
heeft; dit komt dus overeen met bet vroeger gevonden
resultaat.

§ 4\'. Een punt P op de snijlijn c van de vlakken
X en (3 kunnen we evengoed als een punt Q beschouwen.

In X wordt c getransformeerd in een kegelsnede c\'
door de 3 punten Ak; evenzoo wordt c \'m (3 omgezet
in een kegelsnede c^ door de 3 punten B\'\'.

Een lijn die c snijdt in een willekeurig punt be-
schouwd als straal /, wordt dus getransformeerd in een
straal t\' die rust op cl cn c^. Met de geheele sier | /-\']
komt dus overeen één straal t\\ en nog het beeld van c
zelf, daar c behoort tot elke ster [/\'].

De geheele axiale lineaire complex met c lot as wordt dus
afgebeeld door een regelvlak met c„ en c\'j tol richllijnen.

üe rechte c snijdt c\\ in twee punten Py (= Q) en
Pz (= 11). In vlak (i liggen nu de beschrijvende lijnen
Pi Q\' en Pl li\' benevens de richtkromme c^ van het
regelvlak. Het regelvlak is dus van den vierden graad.
Daar het rationaal is, heeft het een kubische dubbel-

kromme; deze snijdt het vlak in de punten Si en Sz,
welke Pl R\' en Ps Q\' nog met c^ gemeen hebben, en
in het punt 83 = B\\ P». Q\'. (Door Si gaat nl. ook
de beschrijvende, die <Si met het overeenkomstige punt
van Ca verbindt.)

Dit regelvlak {RY bestaat uit hoofd stralen, want met
eiken van zijn stralen correspondeert een geheele ster [P].

Verbinden we echter een willekeurig punt C^ op
met een willekeurig punt G^ op dan zal in het
algemeen niet hetzelfde punt zijn als C^.

Het beeld van dien straal Ca C^ is dus de lijn c zelf;
maar dan is c zelf een hoofdstraal en wordt afgebeeld
door een congruentie [4,4].

Immers: een willekeurig vlak f/. zal zoowel c« als c^
in twee punten snijden, dus 4 stralen bevatten die we
als beeld van c kunnen beschouwen; en projecteeren we c^
uit een willekeurig punt Af op vlak a, dan zal de pro-
jectie van c^ daar in 4 punten snijden; dus uit een
willekeurig punt .\\J vertrekken 4 stralen, die zoowel cJ^
als cj snijden, derhalve als beeld van c beschouwd
kunnen worden.

Daar de lijn c in twee punten Pi en P2 snijdt,
en Pl (evenals P2) met elk punt van een lijn bepaalt
die tol deze [4, 4] behoort, liggen in vlak (S twee waaiers
met toppen Pi en P2 die geheel tot deze [4, 4] behooren.
Elke waaierstraal zal cj in 2 punten snijden en is daarom
als beeld van c dubbel te tellen. We vinden dus dat
X een singulier dak is van deze congruentie [4, 4].

Precies hetzelfde geldt dan ook voor vlak B daar ook
» \'

c^ de lijn c in 2 punten snijdt.

Singidiere jninten van deze [4, 4] zijn alle punten van
de beide richtkrommen Ca en c^.

§ 5. De involutie in vlak x bevat 4 coïncidenties,
de punten Bi, A, Bi en Bi, evenals de involutie in
vlak /ï de 4 coïncidentiepunlen EI.

De rechte die een coïncidentie van x verbindt met
een coïncidentie van is een straal die in zichzelf
getransformeerd wordt. Wij vinden zoo dus de 16 stralen
DkEi als dubbelstralen voor onze involutie.

Met Dl Bi correspondeert elke straal uit den waaier
Dl (61), evenzoo met Ih B^ elke straal uit den waaier
Dl (bs).

Dit geeft ons dus 1:8 singxdiere stralen Dk Bi, en even-
eens 12 singuliere stralen EkAi, die elk correspondeeren
met een geheelen waaier.

De sterren om Dk [Ei) worden in zichzelf getrans-
formeerd, echter zóó dat elke waaier uit de oorspronke-
lijke ster (resp. [£"4.]) afgebeeld wordt door een
kegel met top Dk (£x).

Een waaier in vlak « met top Dk wordt afgebeeld
door den quadratischen kegel (c|); evenals een waaier
met top Ek in vlak ß getransformeerd wordt in Ek (c^).

§ 6. Wat is het beeld van een rechte gelegen in
vlak «?

r kan nu zijn elk punt van terwijl Q steeds is
het snijpunt van ta met c.

In X wordt ta getransformeerd in een kegelsnede
door de drie hoofdpunten terwijl in ß bij <;> slechts
éón punt behoort. In onze transformatie is hel beeld
van een willekeurigen straal ta dus een quadratische
regelschaar met Q\' tot top, terwijl de richtlijn in x een
kegelsnede is door de 3 punten Ak.

Alle lijnen van vlak x zijn dus singulier.

Precies hetzelfde geldt voor alle lijnen van vlak ß;
deze worden ook alle omgezet in quadratische kegels
met top op Ca, terwijl hun richtlijn in (i een kegelsnede is
door de 3 punten Bk.

§ 7. Draait ta in x om een punt E op c dan Avordl
t\'^ telkens een andere kegelsnede uil den bundel die

tot basispunten heeft de 3 hoofdpunten At en het punt
H\'a dat in de transformatie dj met B overeenkomt. In
(? blijft de top van den kegel die het beeld is van de
beschouwde straal t steeds het punt B-j dat in de trans-
formatie (i met B overeenkomt.

De waaier van stralen ta met top i? op c wordt dus
omgezet in een verzameling van kegels, alle met top
Bfj en die alle de 3 stralen B^ Ak en nog den straal B^j Ra
gemeen hebben.

Als de waaierstraal fa door een der hoofdpunten Ak
gaat, dan wordt B Ak getransformeerd in het lijnenpaar
{Ba At, Ok), en de kegel valt dus uiteen in de beide
waaiers B^{Ba-A.i) en Bjj{ak)- Evenals we een lijnen-
paar kunnen beschouwen als een ontaarde kegelsnede,
zoo zullen we deze beide waaiers kunnen beschouwen
als een ontaarde regelschaar.

De straal fa die B verbindt met een der coïncidentie-
punten Dk, wordt getransformeerd in een kegelsnede
door Au Ai, As, Ba en 7)^"; hier is de kegelsnede uit
den bundel door deze 5 punten volkomen bepaald.

Samenvattend kunnen we zeggen dat een waaier in oc
met top R op c getransformeerd wordt in een ster met
top B^.

Ook omgekeerd is in te zien dat elke straal t uit die
ster [Rji] zijn beeld beeft in oc. Een willekeurige straal uit
B\'i^ zal vlak oc in een punt S\' snijden; S\' is het beeld
van een punt S in oc, terwijl Bf^ het beeld is van een
punt R op c. De verbindingslijn BS ligt dus in vlak oc.

De lijn c kunnen we ook beschouwen als een straal
uit den waaier met top R, en vinden dan als beeld

I 2

van c een kegel Bj3{cay, deze bevat echter slechts een
deel van alle stralen die we reeds vonden als vormend
het volledige beeld van c.

Laten we nu den top B van den waaier zich bewegen
langs c, dan verplaatst Bjj zich langs de kegelsnede
terwijl Ba de kegelsnede Ca doorloopt.

Met het stralenveld [ta] van vlak a komt dus overeen
het stelsel der sterren die hun centra hebben op c^,
d. w. z. het beeld van het stralenveld [«„] is de quadra-
tische stralencomplex die gevormd wordt door de stralen
die Cß snijden.

Evenzoo vinden we als het beeld van het stralenveld
\\t.ß\\ van ß den quadratischen stralencomplex gevormd
door de stralen die c\\ snijden.

De doorsnee van deze complexen is een congruentie
met richtlijnen c« en Cß.

Iedere straal die een punt

van Ca verbindt met een
punt van c^ vonden we echter reeds als beeld van de
snijlijn c der vlakken a en ß. We vinden hier dus
nogmaals dat de snijlijn c getransformeerd wordl in een
congruentie [4, 4] met richtlijnen en Cß.

§ 8. Beschrijft ta in « een waaier met willekeurigen
top T, dan doorloopt weer hef snijpunt S van ta en c
de geheele lijn c; dus S\'in/3 doorloopt de kegelsnede c^S,

De waaier om T wordt dus zóó getransformeerd dat bij
eiken straal t behoort een kegel met top op terwijl die
kegel vlak oc snijdt volgens een exemplaar t\'^ uit den
bundel {t\'^) met basispunten/li,en 7\'\'. De punten
van de kegelsnede cß komen dus projectief met de exem-
plaren van den bundel {t\'^) overeen. Dat er een ver-
wantschap één aan één beslaat blijkt direct: immers
bij elk punt S\' op c^ belioort één punt S op c, en dit
bepaalt een exemplaar van den waaier met top ï\',
waardoor weer één exemplaar uil den bundel (z\'^) vol-
komen bepaald wordl.

Projecteeren we nu de punlenreeks Cß uit een wille-
keurig centrum ^f op dan krijgen we in x een kegel-
snede waarvan de punten één aan één toegevoegd
zijn aan de punten op Cß, dus ook één aan één toege-
voegd aan de exemplaren van den bundel Zoo
dikwijls nu een kegelsnede t\'^ uit dien bundel de kegel-

snede ^^ overeenkomstig punt snijdt, gaat door

het centrum van projectie M een straal t\' die het beeld
is van een straal t uit den waaier T.

Om dit aantal te vinden kunnen we als volgt rede-
neeren. Met elk punt P op j^Qfj^^ overeen één kegel-
snede uit den bundel (i\'^), die in 4 punten snijdt;
bij één punt P behooren dus 4 punten Rn.

Een willekeurig punt R van (x"^ bepaalt één exemplaar
uit den bundel [t\'^) dus één punt P op Tusschen
de punten op ^^ bestaat dus een verwantschap (4,1),
die, daar gg^ rationale kromme is, op een rechte
kan worden afgebeeld; er zijn dus 5 coïncidenties P.

Wij vinden dus dat hel beeld van een waaier met
top T in a vijf stralen door een willekeurig punt M
zendt.

Een willekeurig vlak fj, zal in 2 punten Q snijden,
daarbij behooren dan 2 punten, Q\\ en op c. Elk
van die beide punten geeft, verbonden met T, een straal
uit den waaier [Q. Deze straal wordt omgezet in een
kegelsnede dig jgp doorgang van [x met« in 2 punten
snijdt. Deze punten bepalen met de punten Q vier
stralen l\' die beelden zijn van stralen uit den waaier (/«).

Een willekeurig vlak bevat dus vier stralen t\' die
homoloog zijn met 2 stralen uit den waaier

Wij komen dus tot de slotsom dat een willekeurige
tvaaier met top T in vlak a: omgezet wordt in een
congruentie [5, 4].

Analoog wordt natuurlijk een willekeurige waaier (^^g) in
vlak (3 getransformeerd in een congruentie [5,4].

Verbinden we T\' met een willekeurig punt van cj,
dan behoort deze t\' altijd bij een straal t door T in«;
de geheele kegel T\' (c^) behoort dus tot deze congruentie
[5,4], zoodat T\' een singulier punt is.

Wij zagen reeds dat zich niets bijzonders voordoet
wanneer we T verbinden met een der 3 hoofdpunten
Ak. Eveqmin is dit het geval wanneer we T verbinden

met een der coïncidenties Dt. De kegelsnede t\'^ die
het beeld is van den straal T Dk, gaat door Au Ai, As
T\' en Dk\', maar een kegelsnede is door 5 punten be-
paald, zij is dus een der kegelsneden uit den bundel {t\'%
Gaat een kegelsnede t\'^ door Ai, Ai, ^U, T\' en 2 coïn-
cidentiepunten dan beteekent dat alleen dat 2\' op de
verbindingslijn der beide coïncidenties gekozen is.

§ 9. Als de straal t in een willekeurig vlak fx een
waaier ï\'(w) doorloopt, dan liggen de doorgangen en
Q van t steeds op de doorgangen p en q van vlak {j,
met a en [i.

In vlak oc wordt p afgebeeld door een kegelsnede p\'^
door de 3 hoofdpunten At; eveneens wordt q in /3 ge-
transformeerd in een kegelsnede door de 3 punten l^t.

De puntenreeksen, die P\' en Q\' op p\'^ en q\'^ be-
schrijven zijn dus projectief, en een willekeurige waaier
T{m) in [x wordt dus afgebeeld door een verzameling
lijnen die de punten van p\'^ met de homologe punten
van q"^ verbinden. Vlak /3 snijdt dit regelvlak, behalve
volgens de kegelsnede nog volgens de beide lijnen
die de 2 snijpunten van p\'^ met c met hun overeen-
komstige punten op y\'* verbinden; de doorsnee met
vlak (i is dus van den vierden graad.

Het blijkt dus dal een waaier in een wiHekeurig vlak [x
getransformeerd wordt in een rationale biquadratische
regelschaar.

Daar de stralen die de snijpunten van p"^ met c ver-
binden met hun homologe punten op behalve elkaar,
ook elk de kronune nog in een 2« punt snijden,
vinden we dus in /3 3 punten waardoor twee slralen
gaan die het beeld zijn van slralen uit den beschouwden
waaier. Hel regelvlak heeft dus een dubbelkromme
van den derden graad.

§ 10. Een straal die een willekeurig punt van p\'^

met een punt van verbindt, zal wel het beeld t\' zijn
van een straal t in vlak (jü, rnaar deze straal t zal in
het algemeen niet door T gaan, dus geen straal van
den boven beschouwden waaier T{m) zijn.

Als echter t het geheele stralenveld M beschrijft, dan
zullen de doorgangen Pen <2 ook steeds op de doorgangen
p en 5 van het vlak fj, met « en |3 blijven, en de homo-
loge punten F\' en Q\' beschrijven de beide kegelsneden
p\'^ en g\'^.

Het stralenveld [/x] wordt dus afgebeeld door een
congruentie, waarvan wij de kenmerkende getallen zullen
bepalen.

Om den veldgraad van deze congruentie te vinden
moeten we zien hoeveel stralen t van fx hun beeld i\'
in een willekeurig vlak hebben. Nu snijdt een willekeurig
vlak p\'^ en q^ elk in 2 punten en Pj, Qi en Q\'i;er
zijn dus 4 stralen t\' (= Q\'^ waarmee in (m 4 stralen t
overeenkomen.

Om den stergraad te krijgen projecteeren we q"^ uit
een willekeurig centrum M op vlak «. De projectie
van q"^ zal daar p* in 4 punten snijden; dit beteekeiit
dat 4 stralen uit M zoowel p\'^ als q\'^ snijden.

Deze snijpunten op en q"^ zijn beelden van punten
op p en <7, dus de 4 hiermee correspondeerende stralen
liggen in vlak /u.

We vinden dus zoowel voor den veldgraad als voor
den stergraad 4; een willekeurig stralenveld [f^] wordt
getransformeerd in een congruentie [4, 4].

Het vlak [ji, zal de rechte c snijden in een punt C.

De waaier in fj, met top C wordt in zijn geheel af-
gebeeld door één straal van de congruentie [4,4], nl.
door den straal die het beeld van C op c« verbindt met
het beeld van C op cj. Nu welen we dat c« en
beide gaan door de 3 hoofdpunten yU, evenals c^ en
q"^ de 3 punten Bk gemeenschappelijk hebben. Zoowel
cl en p\'^ als ook c^ en q"^ zullen elkaar nog in een

4® punt snijden; het beeld van den waaier met top C
zal dus de straal zijn die deze 4^ snijpunten verbindt.

De doorgang p snijdt c« in 2 punten, evenals q ook c^
in 2 punten snijdt. Daar alle punten op c„. zoowel als
op c-^, afgebeeld worden door punten op c, vinden we
dus dat 4 lijnen t in de lijn c tot beeld hebben.

Tot ditzelfde resultaat komen we als we bedenken
dat c zoowel door p\'^ als door q\'^ in 2 punten gesneden
wordt, dus een viervoudige, straal is van de congruentie [4,4].

De kegelsnede p\'^ snijdt p in de beide involutorische
punten li en R\'.

De waaier R {q) in u wordt afgebeeld door de qua-
dratische regelschaar met top R\' die in |3 als richtlijn
beeft q\'^, evenals de waaier R\'iq) afgebeeld wordt door
den kegel R (7\'*). Elk punt van p kunnen we als top
van een waaier in fx nemen; het beeld is steeds een
kegel met top op p\'^, terwijl de doorsnede met vlak /3
steeds 7\'® is. Evenzoo is het beeld van een waaier in
[X met top op q een kegel waarvan de top op q\' ligt
en die vlak a volgens p\'^ snijdt. De kegelsneden p\'^
en q\'^ bestaan dus geheel uit singuliere puntm van deze
congruentie [4,4]. Anders gezegd: de congruetilio [4, 4]
die het beeld is van een willekeurig stralenveld [/x],
heeft tol singuliere krommen de beide kegelsneden p\'^
en die de beelden zijn van de doorsneden p en q
van vlak /u, met de vlakken « en fi.

Beschouwen we nog eens de beide snijpunten P, en P\'^
van met de snijlijn c. P[ verbonden met ieder punt
van q\'^ geeft telkens een straal t\' waarvan de homologe
straal i ligt in /jt.-, eveneens geeft Pj verbonden meteen
willekeurig punt van q\'^ een straal t\' waarbij een t be-
hoort in (x.

Zoo vin<len we dus dal vlak /i een singulier vlak is
van de congruentie [4,4]; hetzelfde geldt natuurlijk voor
vlak X.

Daar elke waaierstraal t\' in x de kegelsnede p\'* (resp.

in /3 de kegelsnede q"^) in twee punten snijdt, moet elke
straal t\' in x {(3) geteld worden als beeld van twee
stralen t in (x.

In het vlak (x zelf zullen ook 4 stralen t\' van deze
congruentie [4,4] moeten liggen. Bedenken we dat
p\'\'^ den doorgang p in 2 involutorische punten R en R\'
snijdt, evenals q\'^ de lijn q volgens het involutorische
puntenpaar S en S\\ dan zien we dal in /m de 4 ver-
bindingslijnen tusschen deze punten twee involutorische
stralenparen (t, t\') vormen.

§ 11. Wij willen nu nagaan wat hel beeld is van
een ster [if], en onderzoeken daartoe eerst hoeveel
stralen uit [A/] hun beeld hebben in een willekeurig
vlak O". Dat vlak a snijdt x volgens een rechte p, (3
volgens een lijn q. De rechten p en q worden weer
getransformeerd in kegelsneden, p in p\'^ door de 3 punten
Ak en q in q^ door de 3 punten Bk. Omgekeerd worden
deze kegelsneden p\'^ en q\'^, omdat ze door de 3 hoofd-
punten gaan, weer afgebeeld door de beide rechten p
en q. Beschouwen we nu dus de stralen van de con-
gruentie, die p\'^ en q"^ tot richtlijnen heeft, als stralen ^
dan liggen de beeldstralen t\' in vlak s*. Projecleeren
we uit hel centrum M de kegelsnede p\'^ op vlak ft,
dan zal de projectie van p"^ de kegelsnede q"^ in 4 punten
snijden; dit beteekent dat er 4 stralen zijn uit M die
én p\'^ én q"^ snijden, dus hebben 4 stralen uit M hun
beelden in het vlak <r.

Wij vinden dus dal het beeld van een ster [A/] een
congruentie is met veldgraad 4.

Wij moeten nu nog den stergraad van die congruentie
bepalen en ons daartoe dus afvragen hoeveel beeld-
stralen het centrum 31 der te beschouwen ster bevallen.
De rechten der ster snijden de vlakken « en /3 in punten
P en Q, de puntenvelden [J-*] en [(^J zijn dus projectief.
Nu wordt [P] omgezet in het collocale veld [P\'] en

eveneens in het coUocale veld Projecteeren

we nu het veld [(^\'J uit M op a dan krijgen we daar
nog een veld [E\'] in Wij moeten trachten de ver-
\\vanlschap tusschen de puntenvelden [2ï\'] en [P\'] te
vinden; een coïncidentie R\' = P\' beteekent immers dat
de straal P\' Q\' zijn beeld P Q \\n 31 snijdt.

Doorloopt R\' in x een rechte r\', dus il/een waaier,
dan beweegt Q\' zich in /3 langs een rechte l\'. Deze l\'
wordt in vlak /3 getransformeerd in een kegelsnede
door de 3 hoofdpunten Ih, maar P in a doorloopt dan
een kegelsnede p"^ die getransformeerd wordt in een
kromme waarop het punt P\' zich bevindt. De ver-
wantschap tusschen de velden [P\'j en [P\'] is dus een
(1,4), waardoor we G coïncidenties P\'= P\'vinden. Zoo
vinden we dus dat ö beeldstralen t\' hun overeenkomstigen
straal t in een willekeurig punt snijden, de stergraad
is dus G.

In het algemeen is dus het beeld van een ster [ilf]
een congruentie [6, 4].

Hierbij kunnen we eciiter de volgende bijzonderheden
opmerken.

In een willekeurig vlak ^ liggen de beelden van
4 stralen uit de ster [M]; omgekeerd verwachten we
dus dal 4 stralen uit /j, hun beeld door een willekeurig
punt Af zenden, dit zullen juist de 4 stralen zijn die
het beeld van een willekeurig vlak ^ (immers een [4,4])
door een punt ilf zendt.

Iedere willekeurige sier [il/] bevat steeds een waaier
waarvan de stralen op de snijlijn c rusten; deze wordt
afgebeeld door het biquadralisch regelvlak met richt-
lijnen 4 en Tot de congruentie [G,4] behooren dus
steeds alle stralen van dal regelvlak.

De ster [I\\[] bevat ook een kegel van stralen die
op c^ rusten. Deze kegel snijdt vlak a volgens een
kegelsnede a® waarop de doorgangen van de stralen een
punlenreeks bepalen van punten P, waarvan de homologe

punten P\' liggen op een kromme in a. De punten
Q\', die de beelden zijn van de punten Q op c^, liggen
alle op de snijlijn c\\ de stralen P\' Q\\ die de beelden
zijn van de stralen van den hier beschouwden kegel
liggen dus alle in a. Elke waaier in a rnet top
op c bevat dus één straal die het beeld is van een
straal uit de ster [ilfl. Daar in a de doorgang van
den hier beschouwden kegel de kegelsnede c^ in

4 punten snijdt, moeten 4 punten P hun beeld P\' op
de rechte c hebben. Daar de punten Q\' alle op c liggen,
telt de rechte c 4 maal als een verbindingslijn P\' Q\';
dus is de rechte c het beeld van 4 stralen uit de ster [M].

De beelden van de stralen van den kegel M (c^) liggen
dus alle in vlak a, en omhullen daar een kromme van
de 5® klasse.

Dezelfde overweging geldt natuurlijk voor den kegel
2 *
M {ca) en dan vinden we dat de beelden van alle stralen

van dien kegel in (3 liggen en een kromme van de

5e klasse omhullen.

Zoo vinden we dus a en j3 als singuliere vlakken van
onze congruentie [6,4]. De ster [jl/] bevat een waaier
M[ai), die dus vlak a. volgens ai, vlak |3 volgens een
willekeurige rechte r snijdt. Met rti komt in vlak a
overeen het hoofdpunt Ai, in (3 wordt de rechte r ge-
transformeerd in een kegelsnede r\'^. De waaier M{ai)
wordt dus afgebeeld door een kegel Ai (r\'^); Ai is een
punt waardoor oneindig vele stralen van deze congruentie
[6,4] gaan, het is dus een singulier punt van den 2o" graad.
Daar de ster [M] 3 waaiers M{ak) én 3 waaiers (M
bevat, vinden we hier dat de 3 hoofdpunten Ak evenals
de 3 hoofdpunten Bk singuliere punten van de [6, 4] zijn.

De straal M Ai snijdt vlak ("i in een punt R. Daar
het punt Al in « getransformeerd wordt inde rechte ai,
vinden we dat het beeld van den straal MAi de ge-
heele waaier ii\'(ai) is. Zoowel de 3 stralen M Ak als
de 3 stralen M Dk zullen getransformeerd worden in

waaiers; zoo vinden we dus nog 6 singuliere punten wan
onze congruentie [6, 4], nl. de beelden van de 3 punten
R volgens welke de stralen M Ak vlak ft snijden en de
beelden van de 3 punten S waarin de stralen MBk
vlak a. snijden, terwijl de vlakken, waarin die waaiers
R\' (ofc) of S\' {hk) liggen, 6 singuliere vlakken zijn.

§ 12. Beschouwen we nu eens de bilineaire con-
gruentie [1, 1] die tot richtlijnen heeft twee willekeurige
rechten rfi en ds.

Het beeld van een vlak fz is steeds een congruentie
[4,4], deze heeft met de [1,1] 8 slralen gemeen. Deze
8 transversalen t van de [1, 1] die dus tot de [4,4]
behooren, hebben hun beelden t\' in vlak fx.

Voor den veldgraad van hel gezochte beeld vinden
we dus 8.

Om den stergraad te vinden bedenken we weer dat
de doorgangen van de transversalen PQ van de [1, 1]
twee projectieve velden vormen, die getransformeerd
worden in de velden [7^\'] en [(?\']. Doorloopt het punt
P\' in <x een rechte lijn l, dan zal P een kegelsnede T*
beschrijven; de transversalen PQ van rfi, dt en
vormen dan een regelschaar van den 4e» graad, dus
doorloopt Q een q*; haar beeld in ft is een <7\'®. De
verwantschap tusschen de punten op <7\'® en de punten
Q\' is dus een (1,8) en deze heeft 10 coïncidenties. Het
gebeurt dus 10 maal dal het beeld van een punt Q
samenvalt met een punt van in een willekeurig punt
snijden elkaar dus 10 paren homologe stralen t, t\'. De
stergraad is dus 10.

Dit laatste kunnen we ook vinden door te bedenken
dat het beeld [G, 4] van een sier met een willekeurige
[1, 1] 10 stralen gemeen heeft. Dit beteekent dat
10 stralen van de [1, 1] hun beeld door een wille-
keurig punt zenden, dus de slergraad van het beeld
10 is.

Het beeld van een willekeurige hilineaire congruentie
is dus een congruentie [10,8].

Dit resultaat mochten we ook verwachten; immers
als een [1, 1] ontaardt in een ster en een veld, d. w. z.
in een [1, 0] en een [O, 1], dan bestaat het beeld uit
een [6, 4] (nl. het beeld van de ster) en een [4, 4] (het
beeld van een veld jCi), is dus een ontaarde [10,8].

Omtrent het beeld [10,8] van een [1,1] kunnen we
nog het volgende opmerken.

De lijnen over rfi,c?2 en c worden getransformeerd in
het regel vlak [t\'Y dat d en tot richtlijnen heeft; dit
regelvlak behoort dus in zijn geheel tot de [10,8].

De straal uit Ai over di qx\\ d^ snijdt vlak /3 in een
punt /S; het beeld van S is een punt S\\ maar Ai is
weer homoloog met de geheele lijn ai, dus het beeld
van die transversaal uit Ai is een waaier S\'(ai).

Zoo vinden we dus in vlak 3 singuliere punten,
evenals in vlak nl. de beelden van de snijpunten
van de stralen uit de 3 punten Ak{Bk) over di en dz
met vlak (-f {x) zijn toppen van waaiers die in hun ge-
heel tot de [10, 8] behooren; tevens zijn de 6 vlakken
waarin die waaiers liggen ook 6 singuliere vlakken.

De regelschaar met richtlijnen oi, di en d^ snijdt (i
volgens een kegelsnede l^. Daar het beeld van oi het
punt Al, van l^ echter een 4o graadskromme l\'* is,
wordt deze regelschaar getransformeerd in een kegel van
den 4en graad met top Ai. Dit geldt voor de 3 regel-
scharen ük, d\\, d^, evenals voor de 3 regelscharen bk, rfi, d«.
De 6 hoofdpunten Ak [Bk) van de quadratische involuties
zijn dus ook alle singuliere punten van den 4en graad
van de [10, 8], ze zijn nl. alle 6 toppen van de 4« graads-
kegels die in hun geheel tot de [10, 8] behooren.

Eén transversaal van de [1, 1] ligt in vlak « en deze
heeft tot beeld een quadratischen kegel met top op c^,
evenzoo ligt in vlak (•} één transversaal van de [1; 1]
die afgebeeld wordt door een kegel met top op Dit

geeft dus nog 2 singuliere punten van den graad
van de [10,8].

Van den kegel met top Ai en richtlijn l\'^ in |3 liggen
in vlak a 4 stralen; evenzoo bevat vlak a 4 stralen
van de [10,8] uit den kegel met top A^ en 4 stralen
van den kegel met top As; maar dan moet a een
singulier vlak van de [10,8] zijn. Dit is ook direct in
te zien als we bedenken dat iedere straal uit een punt
van c^ over di en d^ zijn beeld heeft in vlak x; want
dan bevat elke waaier in x met top op c één straal
van de [10,8]. De transversalen over dt en d^
vormen een regelvlak van den 4e" graad, dus « wordt
gesneden volgens een a*; deze heeft met c« 8 punten
P gemeen, die hun beelden P\' op de snijlijn c hebben.
Ook de homologe punten Q van die snijpunten van x*
met cl hebben hun beeld (/ op c, dus r telt 8 maal
voor een verbindingslijn P\' Q\'. Daar c zelf dus een
8voudige raaklijn is, en uit elk punt op c nog één
straal van de in x gelegen beeldstralen gaat, omhullen
die stralen een kromme van de klasse in x.

Door uil de [1, 1] het regelvlak te beschouwen met
richtlijnen c«, rfi en d2 vinden we op dezelfde manier
dal ook {3 een singulier vlak is van deze [10,8].

We vonden vroeger dat met c overeenkomt een con-
gruentie [4, 4] die c^ en c^ tol singuliere krommen heeft.
Deze congruentie [4,4] heeft 8 stralen met de [1,1]
gemeen, waaruit nog eens volgt dal c een 8voudige
straal is van de [10,8].

§ 13. Een willekeurige quadratische regelschaar zal
vlak X snijden volgens een kegelsnede vlak ft volgens
een kegelsnede ft^.

Nu wordt getransformeerd in een kromme x\'^ met
dubbelpunten in de 3 hoofdpunten Ak, en in vlak /3
in een met de 3 punten Bt als dubbelpunten.

De projectieve puntenreeksen op en bepalen

nu dus op x^ en ß\'^ twee puntenreeksen waar tusschen
een verband één aan één bestaat, en het beeld van de
quadratische regelschaar zal dus het regelvlak zijn dat
beschreven wordt door de lijnen die de punten op
verbinden met de homologe punten op ß\'*\'. De door-
snede van dit regelvlak met ß zal bestaan, behalve uit
ß\'*, ook nog uit de 4 lijnen die de 4 snijpunten van
x\'^ en c verbinden met de overeenkomstige punten op
ß\'* en waarmee ze dus samen in vlak (5 liggen. Daar
we zoo voor de doorsnede van het regelvlak met ß
vinden dat deze van den 8^» graad is, kunnen we hieruit
besluiten dat het beeld van een willekeurige quadratische
regelschaar een regelvlak van dm graad is.

We kunnen nu in /3 21 dubbelpunten aanwiizen.

Verbinden we de 4 snijpunten ^^ van met c maar
eens met hun homologe punten H\'^ op ß\'^. De straal
R\\ snijdt immers ß\'^ nog in 3 andere punten K[. en
door zoo\'n punt K^ gaat ook de straal t\' die ver-
bindt met het overeenkomstige punt op x\'^. Ook wordt
R\\ ä\'j nog gesneden door de 3 andere lijnen R\',. S\'^, dus
de lijn S[ bevat G dubbelpunten. Op elk der 4 lijnen
Jil Sl liggen G dubbelpunten, maar dan tellen we de
6 hoekpunten van de vierzijde die de stralen Rt Sk
vormen tweemaal, dus in het geheel vinden we hier
4 X 6 — G = 18 dubbelpunten. Bovendien snijdt elk
der 3 lijnen de kegelsnede ß^ in 2 punten, die beide
getransformeerd worden naar Ih; dit geeft dus telkens
weer 2 stralen van de regelschaar die hun beeld door
hetzelfde punt van vlak ß zenden; de 3 hoofd-
punten Dk in vlak ß zijn dus ook dubbelpunten op het
regelvlak dat het beeld is van de quadratische regel-
schaar.

Dit regelvlak van den 8en graad bevat dus een dubbel-
kromme van den 21^ graad.

De lijn c snijdt de hyperboloïde in 2 punten, en de
stralen van de regelschaar, die door deze beide punten

gaan, worden afgebeeld door stralen van het regelvlak
met richtlijnen cl en c^. Nu snijdt ^ in « de cc\'\\ die
daar de doorsnede is met het heeldregelvlak, in 8 punten.
Daar de 3 punten Ak dubbelpunten zijn van de
tellen deze dus voor 6 snijpunten en blijven er nog
2 snijpunten van a\'^ en c« over. Evenzoo snijden in /3
de Cy9 en de (i\'* elkaar in 8 punten waarvan er 6 in de
punten Bk vallen, zoodat er nog 2 punten overblijven. De
verbindingsstralen van die 2 punten op c^ met die
2 punten op c^ moeten dan de beelden zijn van de stralen
van de regelschaar op de liyperboloïde die c snijden.

Een bijzonder geval krijgen we als we een quadratische
regelschaar beschouwen die (3 volgens snijdt, maar
« volgens een willekeurige kegelsnede Nu liggen
dus de punten P op een willekeurige kegelsnede a» in
en de punten Q in [i op«^. De overeenkomstige punten
P\' zullen nu in cc op een kromme van den 4®" graad
oc\'* liggen, terwijl de punten Q\' op de lijn c, die immers
het beeld is van c^, zullen liggen. De beeldstralen P\'
liggen nu dus steeds in en daar de puntenreeks P\'
op projectief is met de puntenreeks Q\' op c, zullen
dus de stralen P\' Q\' in oc een kromme van de ö" klasse
omhullen.

§ 14. Wanneer we het beeld van een/mcaiVe« .s/ra/e«-

complex gaan zoeken, verwachten we natuurlijk als beeld
ook een verzameling van oc^ rechten, dus weer een
complex, te zullen vinden. Wat is nu de graad van dien
beeldcomplex?

We vonden dat een waaier afgebeeld wordt door een
regelvlak {t\')*-, wanneer we dus nagaan hoeveel stralen
onze complex gemeen heeft met een dan weten
we ook hoeveel stralen van den complex hun beeld in
één waaier hebben, waardoor ons dus de graad van
den beeldcomplex gegeven wordt. Nu zal het aantal
gemeenschappelijke stralen van een lineairen complex

en een regelschaar niet veranderen als we den complex
vervangen door een axialen lineairen complex, met as d.
In dat geval zullen dan 4 stralen van een regelvlak
rusten op de as d van den complex; dus 4 stralen van
den complex hebben hun beeld in één waaier. We
vinden dus dat het beeld van een willekeurigen lineairen
complex een complex van den graad is.

Wanneer we het beeld van een lineairen axialen com-
plex nader gaan bekijken, vallen er verschillende bijzonder-
heden op te merken.

Tot den axialen complex zal behooren de geheele [1, 1]
waarvan de richtlijnen zijn de as d van den complex
en de snijlijn c van de vlakken « en In het algemeen
is het beeld van een [1,1] een [10,8], maar die [10,8]
zal hier uiteenvallen. Tot deze [1,1] immers behoort
de geheele waaier in vlak a die daar tot top heeft het
snijpunt D« van d met x en het beeld van eiken waaier
*in X is een congruentie [5,4]. Evenzoo bevat de [1,1]
een waaier in /3 die dus ook afgebeeld wordt door een
[5,4]. Deze beide waaiers snijden elkaar volgens dc
puntenreeks op c, de beide congruenties [5,4] hebben
dus gemeen hel regelvlak {t\'Y met richtlijnen c^ en dat
het beeld is van alle lijnen die c snijden. Bovendien
zijn alle stralen van de [1, 1], die niet in of/9 liggen,
toch lijnen die c snijden en dus afgebeeld worden door
dat regelvlak (^V met richtlijnen c« en c^.

Deze [1, 1] wordt dus afgebeeld door 2 congruenties
[5, 4], waarbij de stralen van hel regelvlak (<\')\' singuliere
stralen van het beeld zijn, daar elke straal van deze
{t\'Y een geheelen waaier uit den complex afbeeldt.

Ook behoort tot den axialen complex een bilineaire
congruentie met richtlijnen d en «i. Het beeld van
deze [1,1] moet weer een [10,8] zijn, waarover het
volgende valt op te merken.

Ook nu behoort tot de [1, 1] een waaier in x met
top Bot die dus wordt afgebeeld door een [5, 4]; verder

bevat (3 één straal t van deze [1, 1 ] die getransformeerd
wordt in een kegel met top Ai, die in (3 tot richtlijn
heeft de kegelsnede t\'^ die het beeld is van dien straal t.
Ten slotte behoort tot dit beeld de geheele ster ^i.
Immers een straal t[ door Ai snijdt /3 in een punt S\\
dat het beeld is van een punt S van /3, en de straal
tl uit S over «i en d heeft den straal t\\ door ^li tot
beeld.

Het punt Al is dus een hoofdpunt van den beeld-
complex. Daar elke axiale complex G congruenties [1,1]
bevat met richtlijnen d en ot [d en Ik) zal elke beeld-
complex de 3 punten Ak en de 3 punten Bk tot
hoofdpunten hebben.

Elke straal in vlak a wordt getransformeerd in een
kegel die door de as d van den complex in 2 punten
gesneden wordt, dus elke straal van vlak a kan beschouwd
worden als het beeld van 2 stralen van den complex;
dan is dus vlak a een dubbel te tellen hoofdvlak van den
beeldcomplex

Hetzelfde geldt natuurlijk voor vlak /3.

Verder bevat do complex nog den waaier ^li (rf), deze
zal vlak /3 snijden volgens een lijn L Hel beeld van
dien waaier zal dus zijn een verzameling stralen die
allo in X de lijn ai snijden, en in (3 een kegelsnede l"\'.
Daar ieder punt van ai verbonden met ieder punt van
l\'^ het beeld is van een straal van den waaier Ai d,
zal deze verzameling een congruentie met richtlijnen ai
en l"^ moeten zijn, waarvan we de kenmerkende getallen
kunnen bepalen. Een willekeurig vlak snijdt ai in één
punt, r® in 2 punten, de veldgraad is dus 2. Projec-
teeren we ai uit een willekeurig punt van de ruimte
op vlak (3, dan zal de projectie van ai daar l\'^ in
2 punten snijden; door een willekeurig punt van de
ruimte gaan dus ook 2 stralen, de stergraad is derhalve
ook 2. Het blijkt dus een congruentie [2,2] te zijn.
Deze congruentie heeft weer als singulier vlok het vlak

want l\'^ zal ook c in 2 punten en S\'^ snijden, en de
verbindingslijnen van S[ en met de punten van ai
behooren alle tot de [2, 2]. Singuliere punten zijn natuur-
lijk alle punten van de richtlijnen ai en l\'^.

Daar dit alles geldt zoowel voor de 3 waaiers Ai
als voor de 3 waaiers Bi [d] die de complex bevat,
zullen tot den beeldcomplex 6 dergelijke congruenties
[2,2] behooren.

Dan bevat elke" complex ook nog de 8 waaiers Z)^ (rf)
(resp. Ek [d)). (Met Bk en Ek worden weer bedoeld
de coïncidentiepunten van de quadratische involuties in
de vlakken x en /3.) De waaier Dk (t^) snijdt vlak /3
volgens een lijn m, die daar getransformeerd wordt in
een kegelsnede m\'^. Die waaier Bk {d) zal dus afgebeeld
worden door een kegel Bk {ni\'^) én door den kegel die
het beeld is van den straal van Bk (rf) in a. Wij vinden
dus dat tot den beeldcomplex U\'t^ nog 8 quadratische
kegels behooren, nl. 4 kegels met top Bk en 4 kegels
met top Ek. Daar de complexkegel van een punt van
den vierden graad is, zal hij voor Bk ontaarden in
Bk{in^^) en het dubbel te tellen vlak a.

§ 15. Voor het bepalen van de stralen, die de beelden
van 2 stralenvelden [/w] en [pt\'] gemeenschappelijk hebben,
kunnen we zeggen: het beeld van een veld wordt
een congruentie [4,4], evenals het beeld van veld
we verwachten dus 16 16 = 32 gemeenschappelijke
stralen.

Tot deze gemeenschappelijke stralen behoort natuurlijk
in de eerste plaats het beeld van den straal volgens
welken de vlakken ^ en /x\' elkaar snijden.

Zij nu p de snijlijn van jj. en «, q de snijlijn van fx
en /3, verder r de snijlijn van a en a, s ten slotte van
\'xfM en /3. We weten dal p en 7 getransformeerd worden
n de kegelsneden p"^ en q\'^ die singuliere krommen
zijn voor de [4, 4] die het beeld is van fx, evenals r"^

en de beelden van r en 5, richtkrommen zullen zijn
voor de [4, 4] die fx\' afbeeldt.

In vlak cc zullen p\'^ en r\'^ elkaar in 4 punten snijden,
hiertoe behooren de 3 punten Ak, waardoor immers
zoowel p\'^ als r\'" moet gaan, en nog één punt Sa.
Evenzoo zullen in vlak (i ook en s\'^ elkaar behalve
in de 3 punten Bk nog in een 4" punt S,3 snijden. Uit
elk der 3 punten Ak én uit Sa kunnen we dus 4 stralen
trekken, nl. naar de 3 punten Bk én naar S^^, deze
16 stralen behooren zoowel tot de congruentie met
richtlijnen p\'^ en q\'^ als tot de congruentie met richt-
lijnen r\'^ en s\'^, ze zullen dus tol de gezochte gemeen-
schappelijke stralen behooren.

Nu zal echter Sa het beeld moeten zijn van het snij-
punt van p en r in vlak a, evenals homoloog zal
moeten zijn met hel snijpunt van q en s in |S.

De straal S« S/j, die tot deze lü stralen behoort, is.
dus het al genoemde beeld van de snijlijn van de beide
vlakken [x en /x\'. De stralen Ak Bi, Ak 5:, Bk 6« zijn
ieder het beeld van 2 verschillende slralen, waarvan de
eene tot de andere tot [/x\'] behoort.

Nu is de snijlijn c een viervoudige straal, zoowel in
het beeld van [/z] als in hel beeld van [//\'] en telt dus voor
4X4 = IG gemeenschappelijke stralen, maar dan hebben
we juist de 32 doorsnijdingsslralen die we verwachtten.

§ IG. Wat hebben nu het beeld van een ster [M]
en een ster [M\'] gemeenschappelijk?

Als beeld van een ster [71/] vonden we een congruentie
[G, 4] waarvan cc en [i singuliere vlakken zijn. Tot deze
[G, 4] behoort steeds het regelvlak met richtlijnen c* en cp
dal het beeld is van den waaier ilf (c). Ook bevat deze
[6,4] steeds 12 singuliere punten, want de G punten
Ak{Ih) zijn toppen van kegels die in hun geiieel tolde
[6,4] behooren, terwijl de 6 stralen MAk{MBk) afge-
beeld worden door waaiers.

Dezelfde beschouwing geldt ook voor het beeld van
de ster [J/\']; daar ook deze ster een waaier J/\'(c) bevat
behoort het regelvlak met richtlijnen cf en ook tot
haar beeld.

De beelden van 2 sterren [M] en hebben dus
oneindig veel ^stralen, nl. het geheele regelvlak met richt-
lijnen Ca en c^, gemeenschappelijk.

Verder hebben ze nog gemeen den straal die homoloog
is met de verbindingslijn der toppen, MM\'; terwijl c
in beide beelden een viervoudige lijn is, dus voor 16
gemeenschappelijke stralen telt. Voor beide beelden is
Al de top van een quadratischen kegel die tot de [6, 4]
behoort; de beide kegels met Ai tot top hebben 4 stralen
gemeenschappelijk, waaronder de 3 stralen Ai Bk. Dit
geldt voor de 3 hoofdpunten Ak en zoo vinden we dus
12 gemeenschappelijke stralen. De hoofdpunten 74 zijn
ook toppen van kegels die in hun geheel tot de [6, 4]
behooren, en ook uit ieder punt Bk vertrekken 4 stralen
die het beeld zijn zoowel van een straal uit [^V] als
van een straal uit [M\']; we tellen dan echter de stralen
Bi Al dubbel. Wij vinden dus nog slechts 3 nieuwe
gemeenschappelijke stralen, nl, de stralen t\' die uit elk
punt Bk vertrekken naar hel 4« snijpunt dat de heide
kegelsneden, behalve de 3 punten Ak, in vlak a nog
hebben.

Behalve het regelvlak dat de beelden van de beide
sterren gemeenschappelijk hebben, kunnen we hier dus
nog 1 -}- 16 15 == 32 gemeenschappelijke stralen aan-
wijzen.

§ 17, Hoe vinden we de stralen die gemeenschappelijk
zijn aan het beeld van een ster [A7] en dat van een
stralen veld [^aj?

Voor beiden zijn « en /i singuliere vlakken; de stralen/,
die in « het beeld vormen van stralen uit de ster [il/],
omhullen daar een kromme van de 5o klasse, echter

zóó dat elke waaier met top op c één straal t\' bevat,
terwijl c een viervoudige straal t\' is. De stralen t\' in a
die homoloog zijn met stralen van [f^] vormen er
2 waaiers met toppen op c, waarbij echter elke straal t\'
een dubbel te tellen beeldstraal bleek te zijn, en ook
nu is c zelf een viermaal te tellen beeldstraal.

De snijlijn c telt dus voor 16 stralen die gemeen-
schappelijk zijn zoowel aan het beeld van [/!/] als aan
dat van [f^].

In vlak a bevat elk der beide waaiers, die daar tot
het beeld van [/i^] behooren, dus ook één straal die
homoloog is met een straal vun [M], Daar deze echter
als beeldstralen van [fjt,] dubbel geteld moeten worden,
hebben we dus in vlak « 4 van de gezochte gemeen-
schappelijke stralen; hetzelfde geldt natuurlijk voorvlak
/3, ook daar vinden we 4 gemeenschappelijke beeld-
stralen.

Het beeld van [i^] snijdt de vlakken « en volgens
de belde kegelsneden p\'^ en de richtkrommen van
de congruentie [4, 4], die [fJt] afbeeldt.

Het regelvlak met richtlijnen Ca en c^g dat tot het beeld
van de ster [vU] behoort zal in het algemeen geen stralen
gemeenschappelijk hebben met die congruentie [4, 4].

Letten we eens op den kegel met top Ai die behoort
tot het beeld [6, 4] van de ster. Deze kegel znl vlak (3
snijden volgens een kegelsnede r\'^ die de kegelsnede
behalve in de 3 punten Bjt nog in een 4o punt S^ zal
snijden. Uit Ai gaan dus 4 stralen die tot do gezochte
gemeenschappelijke stralen behooren.

Dit geldt weer voor elk der 3 punten A, en zoo
krijgen we hier 12 gemeenschappelijke stralen.

Wanneer we evenzoo redeneeren uitgaande van do
punten Bk dan vinden we ook hier dat uit elk punt
Bk 4 gemeenschappelijke stralen vertrokken, maar dan
tellen we de Ü stralen Bk Ai =Ai Bk dubbel; uit ieder
punt Bk gaat dus nog slechts één straal, nl. de straal

naar het 4® snijpunt van de kegelsneden met

Wij vinden dus nog 15 van de gemeenschappelijke stralen

uit de punten Ak{Bk).

In vlak « snijden cl en p\'^ elkaar, behalve in de
3 punten yl,, nog in een 4-^ punt C^ evenals in (3 cl
en behalve de punten Bk nog een punt gemeen
zullen hebben. Ook de lijn C], zal tot de gemeen-
schappelijke stralen behooren; zij is nl. voor [M] het
beeld van den straal die 31 verbindt met het snijpunt C
van ^ en c, terwijl C^ c\'^ voor [fx] het beeld is van
den geheelen waaier met top 6\'.

Zoo vinden wij dus 16 8 154 1 = 40 stralen
die gemeenschappelijk zijn aan de beelden van een ster
[J/] en een stralenveld

Daar nu het beeld van een ster [M] een congruentie
[6, 4] is, en [fx] afgebeeld wordt door een congruentie
[4, 4] mochten we ook 24 16 = 40 gemeenschappelijke
stralen verwachten.

§ 18. Op dezelfde manier kunnen we hel beeld van
een bilineaire congruentie [1,1] met dat van een stralen-
veld [fx] combineeren.

Wij vonden voor het beeld van de [1,1] een con-
gruentie [10,8]; het beeld van [/x] is natuurlijk weer
een congruentie [4, 4]. Zoowel voor de [10, 8] als voor
de [4,4] zijn cc en (3 singuliere vlakken; de stralen der
[10,8] in a omhullen daar een kromme van de O® klasse,
echter zóó dat c een 8vondige raaklijn van deze kromme
is, en iedere waaier met top op c dus nog slechts één
straal van de [10, 8] beval. De heide waaiers in die
daar tot het beeld van [fx] behooren, bevallen dus elk
één straal van de [10,8], die echter, daar alle stralen
in « voor de congruentie [4,4] dubbel geleld moeten
worden, samen voor 4 van de gezochte gemeenschap-
pelijke stralen tellen. In de vlakken oc en ^ liggen dus
8 gemeenschappelijke stralen.

De lijn c is een Svoiidige straal van [10, 8] en 4voudig
voor de [4, 4], vertegenwoordigt dus 32 gemeenschap-
pelijke stralen.

Tot de [in,8] behooren nog 6 kegels van den 4en
graad met toppen Ak {B^). De kegel Ak snijdt vlak (3
volgens een kromme en deze p\'-^ snijdt de vol-
gens welke de [4,4] vlak (3 snijdt, in 8 punten. De
3 hoofdpunten Bk, die dubbelpunten zijn voor de p\'*
tellen hierbij voor 6 snijpunten, bovendien zijn er dan
nog 2 enkelvoudige snijpunten Si en S2. Uit elk punt
Ak vertrekken dus 3 dubbel te tellen gemeenschappelijke
stralen én nog 2 enkelvoudige, uit de 3 punten Ak dus
samen 24 gemeenschappelijke stralen. Uit de 3 punten
Bk zouden we dus ook 24 gemeenschappelijke stralen
vinden, dan tellen we echter de stralen Bk At, die elk
nog wel dubbel tellen, tweemaal; uit de punten Z?*.. ver-
trekken dus nog slechts ü stralen behalve de 18 stralen
die we al geteld hebben.

Van de [1,1] ligt ook één straal in [,Lt]; het beeld
van dezen straal hebben de [10,8] en de [4, 4] natuurlijk
ook gemeen, evenals het beeld van den straal die de
[1,1] door het snijpunt C van c en /x zendt.

Nu hebben wij dus 8 -f 32 -f 24 -f- 6 2 = 72 ge-
meenschappelijke stralen, juist zooveel als wij bij de
doorsnijding van een [10,8] met een [4,4] in het alge-
meen mochten verwachten.

§ 19. Gombineeren we do beelden van 2 bilineaire
congruenties, dan worden beide getransformeerd in con-
gruenties [10,8]. Tot deze congruenties behoort echter
het regelvlak (f\')* met richtlijnen c® en cj zoodat de
beide beelden oneindig veel gemeenschappelijke stralen
hebben.

Voor beide beelden is de snijlijn c een 8voudige
straal; deze telt dus al voor G4 gemeenschappelijke
stralen, terwijl de 6 punten Ak(Bk) toppen zijn van

4e graadskegels die tot de [10, 8] behooren. De kegel
met top Al uit het beeld van de eerste [1, 1] snijdt (3
volgens p\'*, de kegel Ai die tot de tweede [1, 1] be-
hoort, snijdt (3 volgens tr\'^ Nu snijden p\'* en elkaar, be-
halve in de 3 dubbelpunten fit dus nog in 10 enkelvoudige
punten; uit Ai vertrekken derhalve, behalve de3 dubbel
te tellen gemeenschappelijke stralen Ai Bk, nog 10 enkel-
voudige; totaal dus uit de 3 punten Ai 3 X 6 30 = 48
gemeenschappelijke stralen. Van de 48 gemeenschap-
pelijke stralen uit de punten Bk hebben we dan echter
de 18 stralen Bi-Ai weer dubbel geteld; uit de punten
Bk vertrekken dan nog 30 gemeenschappelijke stralen.

Zoo kunnen we dus bij de beelden van 2 bilineaire
congruenties, behalve het geheele regelvlak {t\'Y, nog
64-f 48 30= 142 gemeenschappelijke stralen aanwijzen,

§ 20. Ten slotte gaan we nog eens na wat de beelden
van lineaire axiale complexen met assen di en do ge-
meenschappelijk zullen hebben.

De beide complexen doorsnijden elkaar volgens een
[1,1] met richtlijnen di en d2. Tot het gemeenschap-
pelijk beeld behoort dus de [10,8] die het beeld is van
deze [1, 1]. Verder behooren tot beide beelden de
6 sterren met toppen Ai {Bi), wat dus 6 maal een [1,0]
voor de doorsnijding geeft. Het vlak x is een dubbel
te tellen hoofdvlak voor belde j^\'IS dit telt dus bij de
doorsnijding voor een [O, 4], evenals vlak (3.

Wij krijgen dus dat de beide beelden gemeenschap-
pelijk hebben: [10,8] [6, 0] -}- [0,8] = [16,1G], juist wat
we voor de doorsnijding van twee complexen U\'ook
mochten verwachten.

Wij kunnen een aantal gemeenschappelijke stralen
aanwijzen.

Tol beide beeldcomplexen behoort al weer het biqua-
dratisch regelvlak {t\'Y met richtlijnen c®, c^; dit regel-
vlak behoort echter al tot de [10, 8], De [10, 8] is immers

het beeld van de [1, 1] met richtlijnen (h en en tot
deze [1,1] behoort de regelschaar met richtlijnen rfi, c?»
en c waarvan het regelvlak (i\')\'* het beeld is.

Beide complexen hebben een waaier in vlak maar
de lijn in die deze waaiers gemeen hebben, is de
verbindingslijn van de snijpunten van de beide assen
der complexen met vlak a, dus een lijn die behoort tot
de [1, 1] met assen di en di, en de [10, 8] die het beeld
is van deze [1, 1] telden we al in haar gelieel mee.

Hetzelfde geldt voor de beide waaiers, die de com-
plexen in vlak /3 hebben, terwijl de stralen, die de beelden
dezer waaiers verder nog gemeen hebben, alle op het
regelvlak met richtlijnen 4 en cj, liggen.

Tot elk beeld behooren 6 congruenties [2,2].

Nemen we uit den complex met as rfi den waaier Ai (rfi),
uit den complex rfa den waaier Ai (rfg), dan hebben de
beide beelden de richtlijn a, in « gemeenschappelijk,
terwijl de kegelsneden l\'^ en Q in /3 elkaar in 4 punten
zullen snijden; de beelden van deze beide waaiers vli ((/,)
en Al (f/2) hebben dus 4 waaiers gemeenschappelijk.
Daar dit geval zich driemaal voordoet voor waaiers
yh (d) en driemaal voor waaiers Ih (d) hebben de beide
beeldcomplexen K\'t^ dus 24 waaiers gemeenschappelijk.
Bedenken we echter dat en Q in beide door de
3 punten Ih gaan, dan behooren 3 van de 4 waaiers
welke de beelden van .li (rfi) cn Ai (f^z) gemeen hebben
tot de sterren met top ö^\' en brachten we die stralen
dus al in rekening. Er rest alleen nog hot snijpunt S\'
van en l\'^ dat homoloog is met het snijpunt S van
h en h en S\' is de top van een waaier die de beide
heeldcomplexen |<\'t\' gemeenschappelijk hebben. Deze
waaier behoort tot de [10,8] die de [I, 1] mot richtlijnen
dl en di afbeeldt. Immers de lijn die het snijpunt S
van h en in verbindt met Ai is een straal zoowel
van don waaier ^li (rfi) als van den waaier .li {di), maar
is dan tevens een lijn die di en di snijdt.

De waaiers At (di) en A2 {di) snijden /3 volgens h en
nn; l\'l en m\'^ snijden elliaar behalve in de 3 punten Bk
nog in één punl dal het beeld is van het snijpunt van
U en W2; maar in « snijden ai en 02 elkaar in A^, de
gemeenschappelijke straal behoort dus tot de ster [J3],
is dus geen nieuwe straal der doorsnede.

De heide beeldcomplexen j^jj^ en bezitten een
quadratischen kegel met top Di; deze beide kegels zullen
/3 snijden volgens kegelsneden die behalve de 3 punten
Bk nog één snijpunt S\' gemeen hebben. Dit snijpunt S\'
is homoloog met het punt S waarin de doorgangen van
de waaiers Z>i {dx) en Di {di) elkaar in /3 snijden, de
straal S\' Di is dus het beeld van den straal die uit l)i
de beide assen di en di snijdt. S\' Di behoort tot de
[10,8] die de [1,1] met richtlijnen di en di afbeeldt.

HOOFDSTUK II.

De transformatie bepaald door twee involuties van
de tweede soort.

§ 1. We denken ons nu in "vlak « zoowel als in
vlak /3 een quadratische involutorische transformatie van
de tweede soort, waarbij dus oneindig veel coïncidentie-
punten optreden die alle op een kegelsnede liggen. De
hoofdpunten in a. noemen we weer -^li, A^ en Aa; de
coïncidenties liggen op een kegelsnede /f« die in Ai en
Ai raakt aan «2 en «i. In vlak /3 zijn de hoofdpunten
weer Bi, Bi, Bs, de coïncidentiekegelsnede k^ raakt in
Bi en Bi aan bi en bi.

Ook nu zullen een paar homologe stralen t en t\'
elkaar in het algemeen kruisen. Daar hier echter P
en P\' op één lijn liggen met As evenals Q\' en Q met
Ba, zal, waimeer t en t\' elkaar snijden, dus in één vlak
liggen, dat vlak ook de punten As en Bs bevatten; of
anders gezegd: een vlak, dal één paar aan elkaar toe-
gevoegde slralen bevat, zal et en /3 snijden volgens 2 lijnen
p en q, die door As en Bs gaan. Hier vormen echter
de punten op de lynen door A3 (/is) een involutie, en
zal dus een vlak dat één paar toegevoegde slralen be-
vat, 00* vele paren slralen bevatten, want ieder pnnt
van de lijn p door As verbonden met ieder punt van
de lijn 7 door Bs zal correspondeeren met een straal t\'
in hetzelfde vlak.

Projecteeren we de involutie op p uil een willekeurig
punt M van het vlak {p, q) op q, dan zal de nieuwe
Involutie met de involuÜe op q één paar gemeenschap-

pelijk hebben; dus door een willekeurig punt M van
het vlak gaat één paar stralen t, t\'.

Daar nu p k^ in 2 punten snijdt, evenals q zal
elk vlak (p, q) 4 dubbelstralen K,„ K„ bevatten.

Een punt K,„ in dat vlak is de top van een waaier
van aan elkaar toegevoegde stralen, d. w. z. aan eiken
straal uit dien waaier is een andere straal uit dienzelfden
waaier toegevoegd. Immers: de verbindingslijn t van
K,n met een punt van q geeft telkens een lijn t\' die
vlak a. weer in Km snijdt.

Anders gezegd: die vier waaiers met top K zijn in
involutie.

Nemen we nu een willekeurig punt M en trekken we
hierdoor een lijn P Q, dan zal P\' Q\' in het algemeen
niet door M gaan. De rechte, die M verbindt met P\\
zal vlak /3 snijden in een punt R\'. Wanneer R\' samen-
valt met Q\' in (3 hebben we 2 correspondeerende stralen
die elkaar in 31 snijden. We moeten dus de verwant-
schap tusschen R\' en Q\' beschouwen.

Doorloopt R\' een rechte r\' in (3, dus M R\' een waaier,
dan doorloopt P\' in x ook een rechte l\\ dus P een
kegelsnede V^ om de 3 hoofdpunten Ak. De kegel M {l^)
snijdt /3 volgens een kegelsnede p^ waarop Q ligt; het
punt Q\' beschrijft dan een/j\'^ De verwantschap tusschen
de punten R\' en Q\' is dus een (1,4), er moeten dan
6 cohicidenties U\' = Q\' zijn. Een willekeurig punt M
zal dus ü stralenparen t\' dragen. Echter beteekent
elk paar stralen t, t\' die elkaar in M snijden weer dat
het geheele vlak {t, t\') de vlakken oc en (3 snijdt volgens
2 lijnen door As en iis, dus dat door dat punt M een vlak
gaal dat co^ vele paren stralen t,t\' bevat. Door M
zelf gaat hiervan echter slechts dat eene stralenpaar t, t\'
dat het vlak bepaalt.

Door een willekeurig punt M van de ruimte gaan dus
6 stralenparen t,t\\ tevens echter ook G vlakken, die
GO ^ vele stralenparen dragen.

§ 2. Met het punt Ai correspondeert nu de Hjn «2;
in ß wordt het punt Bt afgebeeld door de hjn 62. De
straal Ai Bi wordt dus nu omgezet in de bilinmire
congruentie met richtlijnen «2 en ^2; Ai Bi zelf behoort
dus ook nogeens tot het beeld, is dus een dubbehtraal.

We vinden hier dus 4 singuliere stralen. Ai Bi, Ai B2,
A2 Bi en .\'I2 Bi, die dubbelstralen zijn, maar wier beeld
bovendien een bilineaire congruentie is. De overige
5 stralen AkBi zijn geen dubbelstralen; ze worden echter
wel afgebeeld door een bilineaire congruentie, zijn dus
singulier.

Een straal die Ai verbindt met een punt van 62 heeft
tot beeld alle stralen uit den waaier met top Bi en
richtlijn 02; hierbij is weer Ai Bi dubbellijn. Evenzoo
bestaat de waaier met top Ai en richtlijn bi geheel uit
stralen die alle beschouwd kunnen worden als beelden
van één straal uit den waaier Jii (aj).

Evenals in het eerste geval vinden we dus hier 18
waaiers die geheel uit singuliere stralen beslaan, terwijl
ze 2 aan 2 verwisselbaar aan elkaar zijn toegevoegd.

§ 3. Geheel anders wordt hel nu echter als we op
de coïncidenties gaan lellen en dus gaan zoeken hoeveel
dubbelstralen er zijn.

Snijdt een straal t vlak « in een punt op dan
snijdt de homologe straal t\' vlak x in dalzelfde punt,
evenals alle stralen van den quadratischen complex,
die ß volgens kß snijdt, getransformeerd worden in stralen
die ß in datzelfde punt op kß snijilen. De dubbelstralen
blijken nu een congruentie [4, 4] le vormen. Daar nl.
in « alle punten van de kegelsnede ^^ coïncidenties zijn,
evenals in ß alle punten van kß, zal ieder punt van
verbonden met elk willekeurig punt van /t^, een
dubbelstraal |even. Een willekeurig vlak im snijdt zoo-
wel kj^ als kß in 2 punten, dus een willekeurig vlak /x
bevat 4 dubbelstralen. Projecteeren we kß uit een wille-

keurig punt M op vlak x, dan zal de projectie van k"^
daar in 4 punten snijden, dus door 3/zullen 4 stralen
gaan die zoowel k,^ als k^ snijden, dus 4 dubbelstralen.

Het blijkt dus dat de dubbelstralen een congruentie
[4, 4] vormen met richtlijnen A;^ en k^.

Wij kunnen deze congruentie ook nog anders vinden.
Wij zagen dat alle stralen van den complex die
vlak X op k-a snijden, afgebeeld worden door andere
stralen tot dienzelfden complex behoorend, evenals de
complex i^P die (S volgens k^ snijdt in zichzelf getrans-
formeerd wordt. De [4,4] die deze beide complexen
Ifp gemeen moeten hebben, en die dus een congruentie
[4, 4] met richtlijnen k^ en k^ is, moet dus uit stralen
bestaan wier beelden ook tot beide complexen behooren;
zij moeten dus alle dubbelstralen zijn.

§ 4. De snijlijn c van de vlakken x en (3 snijdt zoo-
wel als k^^ in 2 punten, c is dus een viervoudige
dubbeUtraal. De snijlijn c wordt in vlak x afgebeeld
door een kegelsnede c® die gaat door de 3 |)unten Ak
én door de beide snijpunten van c met evenzoo
wordt c in vlak (3 in een kegelsnede omgezet.

Een willekeurige lijn die c snijdt in een punt P wordt

dus weer een lijn die een punt 1\\ van c„ verbindt met
\' 2

een punt P^ van c^. Evenals in het eerste geval wordt
dus de ster [P] afgebeeld door één straal t\'. Ook nu
wordt dus de lineaire axiale complex met as c omgezet
in een regelvlak [t\'Y met richtlijnen c^ en c^.

Dit regelvlak beslaat echter weer uit hoofdstralen;
want, evenals vroeger, correspondeert immers met eiken
straal van {t\'Y een ster [P] waarvan het centrum Peen
punt op c is.

De stralen, die een willekeurig punt van Ca met een punt
van C(i verbinden, zullen tot beelden hebben de lijn c
zelf; dus ook nu is c weer een hoofdstraal waaraan toe-
gevoegd is de congruentie [4,4] met richtlijnen c® en c^.

Van deze congruentie [4,4] zijn a en (3 singuliere
vlakken. Immers cj zal c in 2 punten »Si en <^2 snijden,
en van den waaier met Si {Sz) tot top en gelegen in
vlak a zullen alle stralen c\\ in 2 punten snijden; dus
al die waaierstralen zullen dubbel te tellen stralen van
de [4,4] zijn. De vlakken « en (ï bevatten elk 2 derge-
lijke waaiers.

Alle punten van de richtkrommen c^ en c^ zijn natuurlijk
singuliere punfen.

Eigenlijk is c zelf een straal die behoort tot elke ster
[P] met top P op c. Wij vonden dat de geheele ster
[P] afgebeeld wordt door één straal van het regel-
vlak (ty met richtlijnen c\\ en cl\\ maar we zien hier
dat het volledige beeld van die ster [7-»] bestaat uit den
hoofdstraal t\' én de congruentie [4,4] die c afbeeldt.

§ 5. Verbinden we As met een willekeurig punt
van kp, dan blijft bij de transformatie dat punt onver-
anderd, maar .^Is wordt afgebeeld door de lijn as. Alle
stralen van den kegel As (k^) zijn dus singulier en corres-
pondeeren met een waaier, die zijn top op k^ heeft, en
vlak <x volgens as snijdt. Evenzoo zijn natuurlijk alle
stralen van den kegel Bs singulier.

De kegel As(kfi) wordt dus getransformeerd in een
verzameling slralen die vlak « volgens de rechte ffg,
vlak /3 volgens de kegelsnede k^ snijdt.

Een willekeurig vlak ^ snijdt as in één punl, de
kegelsnede k^ in 2 punten, bevat dus 2 stralen van
deze verzameling. Projecteeren we ag uit een willekeurig
punt AJ op vlak dan zal de projectie van as daar
in 2 punten snijden; door M gaan dus 2 stralen van
het beeld van den kegel. Het blijkt dus dat de kegels
Asikjs) en Bs(kJ getransformeerd worden in con-
gruenties [2,2].

Als we Ai verbinden met een punl van k^, dan zijn
die verbindingslijnen altijd dubbelstralen, evenals alle

stralen, die Az met een punt van k^ verbinden; maar
behalve met zichzelf zijn deze stralen ook telkens nog
homoloog met een waaier die weer zijn top op k^j heeft
en vlak x volgens 02 (ai) snijdt. Daar dit natuurlijk
evenzoo geldt voor de beide kegels Bi (k^) en Bi {k^
krijgen we hier dus ook nog 6 kegels die geheel uit
singuliere stralen beslaan.

§ 6. Een lijn tg, in x wordt, evenals vroeger, getrans-
formeerd in een quadratische kegelschaar met top op c^
en die vlak x snijdt volgens de kegelsnede die in x
het beeld van den straal t^ is.

Iedere lijn zoowel in vlak x als in vlak is dus weer
singulier, terwijl ook nu een waaier in vlak x met top
P op c getransformeerd wordt in een ster waarvan het
centrum is het punt P\' op c^, dat in vlak /3 het beeld
van P is.

Hel beeld van het stralenveld in x is ook nu weer

2

de quadratische complex met richtlijn cj, evenals ook
de complex met richtlijn c^ alle stralen in vlak j3
afbeeldt.

Evenmin komt er verandering als we het beeld zoeken
van een waaier in x met een willekeurigen top T.
Immers elke straal t van dien waaier zal wel kjj, in
2 punten snijden, die dan dus ook punten van hel beeld
zullen zijn, maar daar elke straal A;® in 2 andere
punten snijdt, beteekent dit niels bijzonders voor de
afbeelding van den waaier die dus een congruentie [5,4] is.

§ 7. Elk willekeurig vlak jx bevat 4 dubbelstralen
daar de doorgangen p{=fjix) en q{= fji, /3) kl en
elk in 2 punten zullen snijden.

De doorgang p wordt in vlak x getransformeerd in
een kegelsnede p"\' die met k^ dezelfde punten gemeen
moet hebben als p, evenals in vlak (3 de kegelsnede q\'^,
die daar het beeld is van q, ook in dezelfde punten

snijdt als q. Daar p\'- en q\'^ verder ook geen snijpunten
met p en q kunnen hebben, bevat vlak (j, van zijn beeld
ook niets anders dan die 4 dubbelstralen.

Geheel dezelfde redeneering als in het eerste geval
geeft ook hier voor het beeld van een willekeurig vlak [z
een congruentie [4,4], waarvan p"^ en q\'^ singuliere
krommen zijn, en x en (i singuliere vlakken, waarin de
stralen t\' telkens 2 waaiers vormen die geheel uit dubbel
te tellen stralen beslaan. Daar tot een willekeurigen
waaier in [x de dubbelstralen in het algemeen niet zullen
behooren, wordt het beeld van een waaier weer de
biquadratische regelschaar met richtlijnen p\'^ en q\'\\

§ 8. Wanneer we gaan onderzoeken wal het beeld
wordt van een ster [il/], dan zien we dat dit ook weer
een congruentie [G, 4] wordt.

We vonden immers dat ook bij deze transformatie in
het algemeen G stralen hun beeld door een willekeurig
punt zenden, terwijl ook nu een willekeurig vlak /i* een
congruentie [4,4] wordt, die dus 4 stralen door den
top M zendt; omgekeerd hebben dan die 4 stralen uit
[3/] hun beeld in een willekeurig vlak

Tot elke ster zullen 4 dubbelstralen behooren, nl. de
4 stralen die de congruentie [4,4] der dubbelstralen
door [iV] zendt.

De waaier M{c) wordt afgebeeld door hel regelvlak
met richtlijnen c« en cj en bevat in het algemeen
geen dubbelstralen.

Daar de kegel met top M en richtlijn c^ gewoonlijk
geen dubbelstralen zal bevallen, zal bij de afbeelding
daarvan zich niets bijzonders voordoen en zal deze
geheele kegel getransformeerd worden naar vlak x waar
de stralen t\' weer een kronmie van de 5o klasse zullen
omhullen met c als viervoudige raaklijn.

Tot de ster [M] behoort nu ook de kegel die

vlak X volgens een kegelsnede [jt,- snijdt. Bij de trans-

formatie blijven alle punten van k^ op hun plaats; maar
[jt? in Oi wordt daar omgezet in een [x\'* met dubbelpunten
in de 3 hoofdpunten J.?, en natuurlijk moet jx\'* ook
gaan door de 4 snijpunten van /x^ met k^; Daar dus
een hoofdpunt Ak het beeld is van 2 punten van fx^
zullen door de 3 punten Ak twee beeldstralen gaan.

De doorsnee van het beeld van dezen kegel M {kg) met

vlak oc zal nu bestaan uit en de 2 rechten die de

• • 2
snijpunten van Ic^ met e, als punten van x beschouwd,

met hun homologe punten verbinden. De doorsnee van

het beeld met vlak /3 bestaat uit en de 4 rechten

die. de snijpunten P\\ van en c met de overeenkomstige

punten Q\'^ op k^ verbinden." Het beeld van den kegel

is dus een regelschaar van den 6«\'^ graad. Dit

regelvlak bevat een dubbelkromme die vlak /3 in 10

punten snijdt; één straal P\' Q\' wordt nl. gesneden door
\' t f 2
de 3 andere stralen P^ Ql en bovendien snijdt P\'Q\' k^

nog in een punt behalve in Q\'. Rekenen we echter

dat elk der 4 stralen Fj^ Q\'^ 4 dubbelpunten draagt, dan

lellen we de 6 hoekpunten van de volledige vierzijde

der stralen PlQ\'f, dubbel, er zijn dus IG —G=10

dubbelpunten.

De kegel M{k^) wordt dus getransformeerd in een
regelschaar van den G®" graad met een dubbelkromme
van den 10®" graad.

Dezelfde redeneering opgezet voor den kegel M {kl)
geeft ook daar als beeld een regelvlak van den 6®" graad
met een dubbelkromme van den 10®" graad.

Evenals in het eerste geval zijn de 6 punten At {Ih)
singuliere punten van deze [G, 4], en eveneens krijgen
wij ook nu nog G singuliere punten als we de beelden
gaan zoeken van de stralen M Ak {M Ih) daar Ak Uh)
bij de transformatie ieder een geheele lijn a (/>) tot
beeld hebben.

Een ster met top Ak {Ih) bestaat weer geheel uit
singuliere stralen en de beeldstralen vormen samen den

axialen complex waarvan de as is de lijn die Ak{Bk)
afbeeldt.

Nemen we als top van de ster een punt il/op yt®
dan blijft bij de transformatie de top onveranderd, en
wordt de ster dus in zichzelf getransformeerd. Tot haar
beeld behoort evenwel nog de kegel M {k^^),
die geheel uit dubbelstralen bestaat.

§ 9. Beschouwen wij een willekeurige [1, 1], dan zal
die [1, 1] met de [4,4] der dubbelstralen 8 stralen ge-
meen hebben, dus het beeld van de [1,1] bevat die
8 dubbelstralen. Elk punt van k^ik^fs) draagt één straal
der [1,1] die haar beeld dus in dat Punt op kl snijdt,
maar verder krijgen we hier niets bijzonders.

Evenals in het eerste geval zal een congruentie [1, 1]
getransformeerd worden in een [10,8], met en als
singuliere vlakken, waarin de beeldstralen t\' een kromme
van de 9° klasse omhullen en c een 8-voudige raak-
lijn is.

De singuliere punten zijn ook dezelfde als in het eerste
geval, en ook nu behoort het regelvlak (/\')« met richt-
lijnen Ca en c^ tot het beeld,

§ 10. Een willekeurige quadratische regelschaar, die
vlak « snijdt volgens een kegelsnede en vlak ^ volgens
een kegelsnede zal in het algemeen geen dubbelstralen
bevatten; dus de afbeelding zal zich hier in niets onder-
scheiden van die in hel eerste geval.

§ II. Beschouwen we oen lineairen compIe.\\ met
as (I dan zal die, daar ook nu evenals vroeger een wille-
keurige waaier getransformeerd wordt in een regelvlak
{t\')\\ weer afgebeeld worden door een complex U\'j\'*.

Door elk - punt van de as gaan nu 4 dubbelstralen
die dus in zichzelf getransformeerd worden.

Nemen we uit den complex de stralen die rusten op

d en kg^ dan vormen die een congruentie [2, 2] evenals
de stralen die rusten op d en k^. Deze beide con-
gruenties [2, 2] zullen 8 stralen gemeenschappelijk hebben.
Deze 8 stralen zijn ook nog dubbelstralen, zij verbinden
immers een punt van k\\ met een punt van

Wij vinden dus dat tot den complex !2 dubbelstralen
behooren. Verder komt de afbeelding van den complex
geheel overeen met het beeld van den complex dat we
in het eerste geval kregen.

HOOFDSTUK III.

De transformatie bepjiald door twee ongelijksoortige
inyohities.

Ten slotte kunnen we ons nog denken dat de vlakken
« en /)\' ongelijksoortige involutorische transformaties be-
vatten, zoodat bijv. in vlak x de transformatie van de
eerste soort is, dus met 4 coïncidentiepunten Bk, in
vlak ft van de tweede soort, dus met oneindig vele dek-
punten die alle op de kegelsnede k\'^ liggen.

Ook nu zullen 2 homologe stralen t en t\' elkaar als
regel niet snijden; is dit wel het geval dan zal het
vlak t,t\' de vlakken « en ft snijden volgens 2 lijnen,
zóó dat q(=^ij,) bevat het punlenpaar Q,Q\' én Bz,
dus weer oneindig vele involutorische puntenparen draagt,
terwijl vlak x gesneden wordt volgens een willekeurige
lijn p waarop alleen het involutorische puntenpaar P, P\'
ligt. Als dus twee stralen t en t\' elkaar snijden, dan
bevat het vlak oneindig vele involutorische

stralcnparen, nl. de stralen van de beide waaiers, waar-
van P en P\' de toppen zijn, zijn involutorisch aan elkaar
toegevoegd.

Het voortbrengsel van die beide waaiers in ^ zal een
kegelsnede zijn die q snijdt in de. beide coïncidentie-
punten K op q, d. w. z. in dezelfde punten Ki en Ki
waarin q ook /^J snijdt. Met P7fi is nl. homoloog P\'/u;
dus dubbelstralen bevat zoo\'n vlak in het algemeen
niet. Dubbelstralen kan een vlak alleen bovatten als p
in vlak x toevallig door een der 4 coïncidentiepunten
Dk gaat.

§ 2. Wanneer we het puntenveld [P] in a op /3
projecteeren uit een willekeurig centrum M, dan kunnen
we ook nu weer als volgt redeneeren.

Laten we M P een waaier doorloopen, dus P een
rechte l in a, dan doorloopt in /3 een rechte m. Deze
lijn m wordt getransformeerd in een kegelsnede ni\'^ door
de 3 hoofdpunten Bk. De kegel snijdt vlak a

volgens een willekeurige kegelsnede r\'^ waarop dus P\'
moet liggen. Deze r\'^ in x wordt getransformeerd in
een r^ door de 3 punten Ak.

Tusschen de punten P op en de punten R op r^
bestaat dus een verwantschap (1,4), waarbij dus 6 coïn-
cidenties optreden. In geval van een coïncidentie
P = R zullen PQenR\' Q\' (= P\' Q\') elkaar in M snijden.

In een willekeurig punt in de ruimte snijden elkaar
dus ook nu weer 6 involutorische stralenparen t en
maar dat beteekent dan ook weer dat door zoo\'n punt
6 vlakken gaan die 2 projectieve waaiers bevatten.

§ 3. De dubbelstralen vormen nu samen de 4 kegels
Dk (4).

De quadratische complex met richtlijn k^ wordt in
zichzelf getransformeerd, evenals elke der 4 sterren [ Dk\\
bij transformatie iezelfde ster terug geeft.

Evenals in het eerste geval hebben we hier 9 singuliere
stralen Ak Bi die getransformeerd worden in bilineaire
congruenties; en 18 waaiers Ak{bi), Bk{ai), die 2 aan
2 involutorisch aan elkaar zijn toegevoegd.

Een straal Bk Bi wordt getransformeerd in een waaier

Bkibi), we hebben zoo dus singuliere straten die door

waaiers worden afgebeeld. Elke straal die een punt Ak

2

verbindt met een willekeurig punt K van k^ wordt af-
gebeeld door een waaier K[ak). Wij hebben dus ook
nog 3 kegels Akik}) die geheel uit singxdiere stralen
beslaan, daar elke straal uit zoo\'n kegel homoloog is
met een waaier.

Daar Jc^ de lijn c in 2 punten snijdt, zal vlak «
8 dubbelstralen bevatten. Daarentegen liggen in vlak ^
geen dubbelstralen, in dat geval moet op c een der
punten Dk liggen, wat in het algemeen niet het geval is.

§ 4. Beschouwen we een willekeurig vlak (x, of een
ster [A/], of een bilineaire congruentie [1, 1], dan zullen
die in het algemeen geen dubbelstralen bevatten. Hun
afbeelding zal zich in niets onderscheiden van die in het
eerste geval, waarbij zoowel in vlak x als in vlak ^ een
quadratische involutie van de eerste soort lag.

e.i

\' x.rJaïv ÏR^ J^fàî«? -âtî^Mf^q 2 . ni i uîitl: nL iük<J
■ ■wh^A^y.n ■ ï^-

^\'Hïyl . .ii-iMjiViwï jiKiJïiliKjkl^üï- üïfSmö\'^\'R -\'k^fk/ rA »«ib

.( of-fi^ \'S: iiiïv l>^)V/ooi; iidimi-?/.^InTn^j at- i fj

.fUWrfK\'r; . ■-••Ù ...

Af ^füi-^:"

. i

■ i J-

i ... \'-.v. . ■ ■

^ \' . , \' ■ \'r-,\'^\'\' {\'-ï/M .ti.- ■ ■

. ■ .. vt ■ " \' ■ ; ^ ..

r , : \' ■ • " f;i il\'sF?^"

é

\' ijS^fa«*^;.-\' «iit«\' ;

J*..\' - i

Stellingen.

I.

Hel bewijs dat K. Doehlemann geeft voor de eigen-
schap, dal op een algemeen kubisch oppervlak 27 rechte
lijnen liggen, is onvolledig.

Karl Doehi.emann. Geomctrischo Transformationen. Doel II
blz. 303.

II.

Ten onrechte vindt P. H. Sciioute bij het bepalen
van de beide hoeken van 2 vlakken eener Ih, die boven-
dien in een Ih gelegen zijn, behalve den stereomelrischen
hoek nog een rechten hoek.

P. H. ScnouTE. Dio lineaire Riiurao. Dool I blz. 75.

III.

De wijze waarop W. F. Meyer een getal voorstelt
door een eindige fundamentaal reeks is in strijd met de
bepalingen voor de grondbewerkingen met fundamenlaal-
reeksen.

W. F. Meykr. Differential- und Integralrechnung. Deel I
blz. 326.

IV.

De grondbeginselen der klassieke Mechanica zijn even
moeilijk te begrijpen als die van de Quantentheorie.

V.

Bij energie of absorptiemetingen met behulp van een
monochromator en thermozuil (of photocel) moeten de
spleten van de monochromator een, uit den aard van
het probleem te bepalen, onderling gelijke wijdte hebben.

VI.

Bij de intensiteitsmetingen met de Lummer Gehrcke-
plaat is door interpolatie uit de intensiteitsverdeelingen
in de verschillende orden een intensiteitsverdeeling
overeenkomend met hooger oplossend vermogen te vinden.

VII.

De bepaling van de spectrale intensiteitsverdeeling,
in het zichtbaar en ultraviolet, geschiedt het best en
het eenvoudigst met ballonwaarnemingen.

VIII.

Dat de zoogen. Laboratoriumuren voor Natuur- en
Scheikunde niet meer gehonoreerd worden, is tegenover
de betrokken leeraren onbillijk.