WÉK\'.; ■ , ■ --\'v" ■ ■./■\'s; \' M - \'y.\'.Mlä

* \' groningen,

^jCilXz.\' ^ P, van ZWEEDBN,
1866,

Be vele sierlijke eigenschappen van de kegelmeden en hare
menigviddige toepassingen in de natuurwetenschappen maken hare
studie hoeijend en belangrijk. Zeer welkom was mij om die
reden, vooral met het oog op mijn academisch proefschrift, het
voorstel van den Hoogleeraar taït eees, ze nog uit een geheel
ander oogpunt te beschouwen en na te gaan, welke krommen
ontstonden door omkeering van de voerstralen der kegelsneden.
Ik ontveinsde mij echter de hemaren niet aan eene dergelijke
taak verbonden, daar er zoo weinig door de wiskundigen aan
gemerkt was. Het eenige toch, wat ik over dit onderwerp heb

kunnen vinden, was eene verhandeling van geometrischen aard van
DANDBLiK (Nouveaux Mémoires de 1\'Academie Eoyale des
sciences et belles-lettres de Bruxelles, Tom. IV, 1827). Het
onderlinge verband van de verschillende krommen, die alsdan mt-
staan, en hare opmerkelijke constructien deden mij evenwel spoedig
besluiten, deze studie te ondernemen. Hiervan bied ik den lezer
in de volgende bladzijden het resultaat aan.

Ur blijft mij nog een. aangename pligt te veruullen over. Ik
gevoel er behoefte aan U, Hoogleeraren der Wis- en Natuur-
kundige Faculteit, mijn innigen dank te betuigen voor de lessen,
die ik van U heb ontvangen, en de belangstelling, die Gij mij
steeds hebt betoond.

Bovenal hen ik aan U veel verpligt, Hoog OeacMe Promotor,
Hoog Geleerde buts baliot/ Uw onderwijs. Uwe welmeenende
raadgevingen, de bereidvaardigheid, waarmede Gij mij steeds, ook
bij het bewerken van dit proefschrift, hebt bijgestaan, het gijn
alle weldaden, die steeds eene dankbare herinnering bij mij leven-
dig zullen houden.

Ontvangt ook Gij Hoog Geleerde Heei-en tan rees en hoek
de bijzondere betuiging van mijne erkentelijkheid! Ofschmn ik
slechts korten tijd onder Uwe leiding heb kunnen doorbrengen, zal
toch de aangename indruk van Uw ondencijs en Uwe welwillend-
heid mij onveranderlijk bijblijven.

Ik kan niet eindigen, zonder ook U Hoog Geleerde Hee^-en
der Wis- en Natmirhindige Faculteit der Groninsche Hoogeschool
mijne dankbaarheid te betuigen. Weest verzekerd, dat ik nimmer
de weldaden zal vergeten, die Gij mij bewezen hebt!

Inzonderheid Gij, Hoog Geleerde Heer eemeeiïts, hebt mij
altijd met raad en daad in mijne studiën bijgestaan. Gij hebt tijd
noch moeite gespaard om mij lust en ijver voor de natuurweten-
schappen in te boezemen. Ontvang daarvoor mijnen welgemeenden
dank en blijf voortdurend voor mij, wat Gij zoo lang voor mij
geweest zijt!

ALGEMEESE TEEGEIIJKING DEE OMGEEEBRDE
KEGELSIiTEDEïr. BESCHOTIWISG VAN EEWIGE BIJZONDEEE
GETALLEN..............1,

andeee methoden tee teeiceijging tak db
omgbkeeede kegelsneden. tebband dee getobmde
keommen ondeeling en met de vooktbeengende 7.

Algemeene vergelijking der omgekeerde kegelsneden.
Beschouwing van eenige bijzondere gevallen.

§ 1. De algemeene vergelijking der kegelsneden is:
Ax\' -I- By^ Cxy Dx Ey 4- F = O . (1).

De vorm van deze wordt eenvoudiger door aan te nemen,
dat de coördinaat-assen evenwijdig zijn aan de hoofdassen der
kegelsnede. Het is duidelijk, dat alsdan de term in xy wegvalt,
waardoor men geraakt tot de uitdrukking:

Ax^ By^ 2Cx 2Dy E = o . (2).
In deze is de beteekenis der constanten blijkbaar eene andere,
dan in vergelijking (1).

Uit de vergelijking (2) laat zich. die in polaire coördi-
naten gemakkelijk afleiden, Is b. v. A (fig. 1) de oorsprong
van het stelsel, AX de as der abscissen, AT die der ordi-
naten en M eenig punt der kromme, dan wordt de verge-
lijking (2) door substitutie van

X = AM cos. MAX = r cos. qp
en y AM sin. MAX = r sin. g):
(A cos.-h B sin.^ 9) r^ 2 (C sin. f -f D sin. g)) r -i- E = 0 (3).

IS (a® eene willekeurige standvastige grootheid, de constante
van omheenng, zijnde), dan zal de vereeniging van al de pun-
ten M\' eene nieuwe kromme opleveren , welke wij omgekeerde
hgelsnede zullen noemen. Hare analytische uitdrukking in
polaire coördinaten wordt verkregen door in vergelijking (3)

cos. V -I- B sin. (Ceos.,p D sin.9) r\' -f- Er\'2 (4).
Van deze vergelijking kunnen wij wederom tot die in
legthoekige coördinaten terugkeeren door substitutie van

Wij dienen bij de beschouwing van deze vergelijking in
acht te nemen , dat er in den loop der bewerking tweemaal
eene vermenigvuldiging met den factor {x\'-i^f) heeft plaats
gehad, en dat zij dus behalve de kromme nog het punt
X ~ 0, y =: 0 in zich bevat.

§ 2. Ligt de oorsprong A (fig. ]) op de kegelsnede ,
zoo wordt E = 0, omdat alsdan x ~ 0 en y 0 aan de
vergelijking (2) moeten voldoen. De voorgaande bewerking

levert in dit geval voor de omgekeerde krommen eene ver-
gelijking van den derden graad. Deze hebben alle twee
asymptotische armen, hetgeen men gemakkelijk inziet door op
te merken, dat de oneindig digt bij A gelegene punten bij de
omkeering oneindig ver daarvan verwijderd worden.

Ligt de oorsprong niet op de kegelsnede, zoo heeft E
altijd eene zekere waarde. Uit vergelijking (4) blijkt tei-
stond, dat r\' dan niet oneindig groot tan worden, d, i.
deze krommen kunnen geene asymptotische armen hebben.
Men ziet dit bovendien uit de wijze van ontstaan van de om-
gekeerde kegelsneden aldus: de eindige voerstralen blijven
bij de omkeering eindig; de oneindig groote, zoo zij er
zijn, worden oneindig klein; oneindig kleine voerstralen heeft
de oorspronkelijke kromme volgens de onderstelling niet, dus
zal de omgekeerde ook geene oneindig groote kunnen hebben.

§ 3, Wanneer A~B is, zoo is de vergelijking (2)
die van den cirkel. De analytische uitdrukking van de om-
gekeerde kromme wordt dan, als wij Az=B—1 stellen,
a* -{- (Cx Dy) E (x\' y\'^) o.

§ 4. Onderstellen wij den oorsprong op de kromme
gelegen, d. i. Erro, en bovendien A-rzBrrl, zoo wordt
vergelijking (2j:

Wij besluiten hieruit: de omgekeerde eens cirkels, welks
oorsprong op de kromme gelegen is, is eene regte lijn.

De coördinaten van het middelpunt van den cirkel,
voorgesteld door vergelijking (1), zijn — Cenyrr: — D.
Hieruit volgt, dat de middellijn, die door den oorsprong
gaat, uitgedrukt wordt door:

waaruit terstond blijkt, dat de genoemde middellijn en de
omgekeerde loodregt op elkander staan.

Geometrisch kan men dit nog eenvoudiger aantoonen.
Zij PQ,\' (fig. 2) die middellijn, zoo volgt uit de symmetri-
sche ligging van de oorspronkelijke kromme ten opzigte van
PQ\' en de plaats van de pool, dat de omgekeerde symme-
trisch moet zijn ten opzigte van die middellijn en bovendien
eene regte is. Hieruit volgt onmiddellijk, dat de omge-
keerde en de genoemde middellijn loodregt op elkander staan.

§ 5. "Wederkeerig ontstaat uit de omkeering eener regte
lijn, als de pool daar buiten gelegen is, een cirkel, die door
de pool gaat en tot middellijn heeft de omgekeerde loodlijn ,
uit de pool op de regte neergelaten.

^eii\' cirkel voor, die klaarblijkelijk door de pool gaat. Uit
symmetrie van de regte ten opzigte van de uit de pool
haar neergelaten loodlijn wordt verder duidelijk, dat de
cirkel de omgekeerde loodlijn tot middellijn heeft, hetgeen
te bewijzen was.

§ 6. Uit het voorgaande volgt, dat elke raaklijn van
oorspronkelijke kromme bij de omkeering rakende cirkel
wordt van de omgekeerde kromme. Deze cirkel gaat door de
pool, terwijl zijn middelpunt gelegen is op de loodlijn, uit
^e pool op de raaklijn neergelaten.

Men heeft hierbij slechts in \'t oog te houden , dat de
raaklijn met de oorspronkelijke kromme twee oneindig digt bij
t^lkarider liggende punten gemeen heeft, die uit den aard der
zaak ook op de omgekeerde kromme en de omgekeerde raak-
^iji\' oneindig digt bij elkander komen te liggen, zoodat de
omgekeerde raaklijn rahnde cirkel aan de omgekeerde kromme
Wordt.

Men merke hierbij evenwel op, dat die raaklijnen, welke
^oor de pool gaan, raaklijnen aan de omgekeerde kromme
blijven.

§ 7. De osculerende cirkel der oorspronkelijke kromme
blijft in \'t algemeen cirkel en wordt osculerende cirkel der
omgekeerde kromme, hetgeen met inachtneming van het
bovenvermelde en het begrip van „osculerende cirkel" zonder
aeer wordt ingezien.

Opmerkelijk is het geval, waarin een der oorspronke-
lijke osculerende cirkels door de pool gaat, daar die in dat
bijzonder geval bij de omkeering eene regte lijn wordt. Met

betrekking tot de omgekeerde kromme is zij te beschouwen
als osculerende cirkel van oneindig grooten kromtestraal en
oneindig kleine kromming. De omgekeerde kromme heeft
alsdan een buigpunt. Dit laatste wordt meer duidelijk, als
men bedenkt, dat de kromtecirkel tevens raakt en snijdt.
De regte lijn , in welke zij bij de omkeering overgaat, moet
dus mede raken en snijden. Zij heeft een contact \'eener
hoogere orde. Er moet dus een buigpunt zijn.

Uit de enkele gevallen in het voorgaande bijgebragt,
blijkt reeds ten duidelijkste, dat de stand van de pool grooteii
invloed op den vorm der omgekeerde kegelsnede uitoefent.
De wijze van ontstaan der omgekeerde krommen duidt dit
ook reeds aan. Verder kan de stand der coÖrdinaat-assen
daarop volstrekt geen\' invloed hebben en is dus de vergelij-
king der kegelsneden met betrekking tot assen, die even-
wijdig zijn aan de hoofdassen , om hare meerdere eenvoudig-
heid boven die met den term in xy te veikiezen. Bovendien
leidt de eerstgenoemde tot eene minder ingewikkelde uit-
drukking voor de omgekeerde kegelsneden, dan de laatstge-
noemde zou doen. Wij zijn dus geregtigd vergelijking (2)
van § 1 als punt van uitgang vooi onze volgende algemeene
beschouwingen te nemen.

Andere methoden ter vöïkrijging van de omgekeerde kegel-
sneden. Verloand der gevormde krommen onderling
en met de voortlbrengende.

§ ]. De omgekeerde kegelsneden kunnen ook beschouwd
"ivorden als de aaneenpciiakeling vaii de voetpunten der lood-
lijnen , uit eenig punt op de raaklijnen eener kegelsnede
neergelaten. Het bewijs hiervan zullen wij laten volgen.
Uit de algemeene vergelijking der kegelsneden :

Ax\'^ By\'^ 2Cx 4- 2Dy E ~ o . . . (1)
"^olgt door eene eenvoudige transformatie deze :
^ (Ax -i- C)-^ -f- A (By -f- D)^ ABE — BC\'^ - AD\'^ = 0 (2)..
De vergelijking van de tangens in het punè (x,y) is:-

die der loodlijn uit de pool, welke wij in den oorsprong
het coördinaat-stelsel plaatsen, op haar neergelaten:
By -j- D

Door de eHminatie van x en y uit de vergelijkingen (ï),
(3) en (4) geraken wij tot de analytische uitdrukking voor de
vereeniging van de voetpmiten der loodlijnen. Gaan wij der-
halve hiertoe over.

terwijl men door substitutie van By D en y in vergelijking
(3) verkrijgt: b j ö

Uit deze formules en de vergelijking (6) verkrijgt men
na eenige herleidingen de uitdrukking:

± V/ Q (AY^ BX^) = (ABY^ ADY ABX^ BCX),
welke door verdrijving van het wortelteeken en eenige ver-
eenvoudigingen overgaat in de vergelijking:

AB (X^ 4- Y^ 2 (ADY BCX) (X\'^ Y^)
(AE - C^j Y^ (BE - D-=) X^ -f 2 CDXY = o (7).

Hieraan voldoen X=o en Y=:o. Dit laat zich daar-
door verklaren, dat er tijdens de bewerking de factor XY
is ingeslopen.

Wanneer wij deze uitkomst in verband beschouwen met
algemeene vergelijking der omgekeerde kegelsneden , zoo
zien wij, dat zij denzelfden vorm hebben, uitgenomen dat de
laatste den term in xy mist. Wij zijn evenwel in staat het
coördinaat-stelsel, met betrekking waartoe de vergelijking (7)
IS uitgedrukt, ten bedrage van eenigen hoek co te doen diaai-
jen. Deze neemt dan ten opzigte van het nieuwe stelsel
eenen anderen vorm aan, welke verkregen wordt door substi-
tutie van

Wel bevat de aldus getransformeerde vergelijking nog de
termen in (x^ ya)^, (x^ y^), y^, x^ en xy, maar
^en laatsten kunnen wij doen verdwijnen door over co zoo-
danig te beschikken, dat de coëfficiënt van xy nul wordt,
^\'ij is alsdan wel teruggebragt tot den vorm van de alge-
meene vergelijking der omgekeerde kegelsneden, maar zij is er
Volstrekt niet identisch mede, daar de constanten A, B, O enz.
iu beide op geheel verschillende wijze met elkak verbonden zijn.

Wij kunnen zelfs het bewijs leveren , dat het onmogelijk
is het punt waaruit de loodlijnen neergelaten worden,
zoodanig ten opzigte van de kegelsnede te plaatsen, dat beide
oiDgekeerden zamenvallen.

Te dien einde verplaatsen wij den oorsprong in het punt
(p, q). De vergelijking der kegelsnede wordt dan:
Ax\' i-By2 4- 2 (C Ap) x-f- 2 (D B q) y -f E Ap^ -4- Bq2 =0,
en die der omgekeerde, door neêrlating van loodlijnen verkregen,
AB(x2 4-y2)= 2 {A(D 4-Bq) y-I-B(0 Ap)x} y^)
{A(E Bq^) - (C2 2ACp)} {B (B Ap^) -

Uit deze kunnen wij den term in xy verdrijven door
het coördinaat-stelsel ten bedrage van eenen hoek co, welke
bepaald wordt door de vergelijking

te draaijen. Zal de vergelijking, die aldus te voorschijn
komt, identisch worden met die der regtstreeks omge-
keerden , zoo wordt hiertoe vereischt, dat de coëfficiën-
ten van de overeenkomstige termen in beiden gelijk worden.
Men ziet terstond in, dat het onmogelijk is hieraan te vol-
doen , daar men vier vergelijkingen zou verkrijgen met slechts
twee grootheden p en q, waarover men naar willekeur kan
beschikken. Zelfs door de constante van omkeering als be-
schikbaren factor te beschouwen, zou men niet tot identiteit
kunnen geraken.

Bij elke kegelsnede behooren derhalve, naarmate men
de methode van regtstreeksche omkeering of die van deze
§ toepast, karakteristiek verschillende omgekeerden. Boven-
dien geeft de eerstgenoemde methode voor elke oorspronke-
lijke kromme, terwijl de pool dezelfde blijft, oneindig vele
omgekeerden, de laatstgenoemde slechts ééne.

§ 2. De omhullende van de lijnen , die loodregt staan
op de voerstralen eener omgekeerde kegelsnede en door hunne
uiteinden gaan, is eene kegelsnede.

Zij om dit te bewijzen in fig. 3 P de pool, M eenig
punt der kegelsnede , M\' het uiteinde van den omgekeerden
voerstraal, M\'Q loodregt op M\'P, Zoeken wij nu de om-
hullende van al deze loodlijnen.

y — y\' = tg.qo (x —X\')
waarm y en s de loopende coördinaten, y
naten van M\' zijn en = L M\'PX is.

I^e vergelijking der loodlijnen M\'Q is derhalve:
y — y\' = — cot.ip (x -- X\') . .
Stellen wij PM\' = r\' , zoo is

Met PM^r vermenigvuldigende en in -"t oog houdende dat
r cos. g) — X, r sin. qp — y en rr\' ~ a^
IS, zoo wordt de vergelijking der loodlijn:

Al deze loodlijnen verschillen slechts door eene con-
stante of parameter, welke hare standen bepaalt. Immers
iQen gaat van de eene loodlijn tot de andere over door x en
y te doen variëren, en door de enkele inzage van de verge-
lijking der kegelsnede blijkt het terstond, dat x de eenige
onafhankelijk veranderlijke, en y functie van x is.

Volgens de algenieene methode vindt men de uitdruk-
king voor de omhullende door de willekeurige constante uit
oorspronkelijke vergelijking en hare afgeleide ten opzigte
^an den parameter te elimineren.

Het is evenwel in ons geval niet verkieselijk den alge-
^eenen regel te volgen ; want dan zouden wij uit de verge-
lijking (1) van de voorgaande § en (3) van deze § y moeten

elimineren. Deze bewerking voerde noodwendig wortelgroot-
heden in , de differentiatie werd daardoor meer omslagtig en
de verdere verwijdering van den parameter meer ingewikkeld.
Wij zuilen langs eenen korteren weg tot ons doel geraken door
de eliminatie van y later te bewerkstelligen en bij de diffe-
rentiatie y als functie van x mede te doen variëren. Hier-
door wordt de vergelijking (8):

Yerder hebben wij de vergelijking (1) der voorgaande
§, waaruit men door differentiatie verkrijgt:

Uit de drie laatst vermelde vergelijkingen en die der
kegelsnede elimineren wij nu x, y en ^^. Brengen wij deze

bewerking voor ^ ten uitvoer met behulp van de vergelij-
kingen (4) en (5), dan hebben wij:

(Ax -f. C) y\' — (By -I- D) X\' rz: o.
Verder schrijven wij de vergelijking (3) onder den

I^oor substitutie van deze waarden in de vergelijking
<ier kegelsnede, na haar in de volgende :
B (Ax C)^ -1- A (By -i- Dy- ABB — BC^ — AD^ iiz o
f\'etransformeerd te hebben, zal men tot resultaat verkrijgen:
(^Ja^BCx\'-f ADyO®

-5- 2 CD x\'y\' (AE — C=) y\'^ o . . . (6)
\'^oor de omhullende der loodlijnen wordt afgeleid.

Men zietj dat zij eene kegelsnede voorstelt en in ver-
gelijking (7) van § 1 overgaat door substitutie van a^ y^.

Ter opheldering kiezen wij het voorbeeld van den cirkel,
voorgesteld door de vergelijking:

De uitdrukking van de omhullende voor het geval dezer
regte vinden wij door substitutie van

De omhullende is dus eene parabola.
Aanmerking. TJit deze § volgt, dat de omgekeerde
kegelsneden kunnen beschouwd worden als de geometrische
plaatsen van de voetpunten der loodlijnen uit een zelfde
Piiüt op de raaklijnen eener kegelsnede neergelaten. Deze

kegelsnede immers is de omhullende van de loodlijnen, op
de omgekeerde voerstralen opgerigt en door hunne uiteinden
gaande, en die loodlijnen zijn de raaklijnen der omhullende
kegelsnede.

In verband hiermede stellen wij ons de oplossing der
volgende vraag voor. Gegeven zijnde eene omgekeerde kegel-
snede, vraagt men naar de ligging van de pool en den aard
van die kegelsnede, welke de eigenschap heeft, dat de ver-
eeniging van de voetpunten van de uit de pool op hare
raaklijnen neergelaten loodlijnen de gegevene kromme op-
levert.

Om tot dit doel te geraken, dienen wij ons te herinne-
ren, dat de vergelijking (6) en die der regtstreeks omge-
keerde de bij elkander behoorende krommen voorstellen. Wij
hebben de gegevene aan vergelijking (5) van § 1 van Hoofd-
stuk I te toetsen en de coëfficiënten van de overeenkomstige
termen gelijk te stellen. Dit geeft ons een voldoend aantal
vergelijkingen om de constanten A, B, C enz, te bepalen.
Door deze eindelijk te substituéren in vergelijking (6) wordt
het voorgestelde doel bereikt.

De geometrische beteekenis van deze geeft een eenvoudig
middel aan de hand om voor elk punt M (fig. 4) eener kegel-
snede het overeenkomstige punt N der omhullende, volgens
deze § ontstaan, te vinden. Dit punt toch ligt vooreerst op
de loodlijn door vergelijking (8) voorgesteld, d. i. volgens
fig. 4 op M\'N, en ten tweede op de lijn door vergelij-
king (4) voorgesteld, d. i. op de loodlijn uit de pool op de
raaklijn MQ in het punt M neergelaten en is dus het door-

snijdmgspunt dezer beide lijnen. Men heeft derhalve slechts
uit de pool P op de raaklijn MQ eene loodlijn PN\' neêr
te laten en deze te verlengen , tot zij de loodlijn M\'N
snijdt. Het snijpunt N is het gezochte punt.

In het voorbijgaan merken wij nog op , dat de gelijk-
vormige regthoekige driehoeken PMN\' en PNM\' geven :
PN. PN\' == PM. PM\' — a2.
Hieruit volgt onmiddellijk, dat PN de omgekeerde van
loodlijn PN\' is.

§ 3. Stellen wij ons thans voor de omhullende te
zoeken van de cirkels, beschreven op de voerstralen eener
^elsnede, die van een willekeurig punt als pool uitgaan, en
voerstralen als middellijnen hebbende.
Daar al deze cirkels door de pool gaan, kunnen zij
analytisch voorgesteld worden door de vergelijking:

x^—2bx 4- y2—"2cy 0 . . . (1),
daarin b en c de coördinaten van het middelpunt zijn.

Om de betrekking, die tusschen b en c bestaat te vm-
^en , nemen wij onze toevlugt tot de polaire vergelijking der

(A cos.2 (p B sin.2 q,) r^ 4- 2 (C cos. 9 4- D sin. qp) r 4- E = o (2).
Door in aanmerking te nemen, dat telkens r — 2r\' is,
r\' de voerstraal van het middelpunt voorstelt, geeft de
substitutie van r = 2r\' in vergelijking (2) de volgende uit-

^ (A cos,=^ 9 4- B sin.2 q)) r\'^ -1- 4 (C cos. g) 4- D sin. cp) r\' 4- E = 0
^\'oor de geometrische plaatsen der middelpunten.

Overgaande tot het regthoekige coördinaat-stelsel verkrij-
gen wij voor de betrekking tusschen b en c de vergelijking:

4 Ab2 4 Bc2 4 Cb 4 4 Dc >^ E = o . , (3).
Lossen wij hieruit c op, dan hebben wij:

Het zoeken van de omhullende vereischt de differentiatie
van deze vergelijking ten opzigte van b.

Om de constante b uit de beide laatste vergelijkingen te
elimineren, zullen wij ze aldus schrijven:

^ _ Ex (xHy^) Dxy - Cy\'^
"2 (Ay \'^ -h B^^
^e substitutie van deze waarde in de vergelijking (4)
ë^eft na een tal van herleidingen, waarmede wij den lezer
lastig zullen vallen, voor de omhullende der cirkels de
^»■alytische uitdrukking:

Ook aan de vergelijking (7) wordt voldaan door x ^ o
y r:r o te stellen, daar er in den loop der bewerking eene
vermenigvuldiging met den factor xy heeft plaats gevonden.

^ . ^ f^et voorafgaande stelt ons in staat een geome-
\'isch bewijs te geven van de stelling in § 3 bevat. Wij
dit bewijs hier des te eerder bij, omdat het ons bij
S\'oote eenvoudigheid te gelijk gelegenheid geeft om op het
Verband van het vroeger behandelde te wijzen.
^ J^\'ij M (fig. 4) eenig punt eener kegelsnede, MQ de
^^ ija in M en N\' het overeenkomstige punt der omge-
e kromme, volgens § 1 ontstaan, en laten verder M\'
^ ^ punten van de omgekeerden van de respectieve krom^

men M en N\' zijn. Elke raaklijn MQ van de oorspronkelijke
kegelsnede wordt bij de omkeering rakende cirkel der omge-
keerde kromme en wel in het punt M\'. Deze cirkels gaan
bovendien alle door de pool en hebben tot middellijnen de
omgekeerde loodlijnen PN uit P op MQ neergelaten. De
omgekeerde kromme M\' is dus de omhullende van al de
cirkels op de omgekeerde voerstralen van de kromme N\' als
middellijnen beschreven. Deze omgekeerde voerstralen be-
palen echter juist de kegelsnede N. Hiermede is onze stel-
ling op nieuw bewezen.

Ook uit deze bewijsvoering ziet men onmiddellijk, dat men
door toepassing van de methode door neêrlating van loodlijnen
en van die door omhulling op dezelfde kegelsnede, een bepaald
punt als pool genomen zijnde, tot dezelfde omgekeerden geraakt.

Bij iedere kegelsnede behooren alzoo twee omgekeerden,
de eene ontstaan door regtstreeksche omkeering, de andere
door neêrlating van loodlijnen op de raaklijnen der oorspron-
kelijke kromme. Die beiden hebben onderling dit verband,
dat de regtstreeks omgekeerde van de tweede door neêrlating
van loodlijnen op hare raaklijnen de eerste doet te voorschijn
komen. Bovendien is deze kromme de omhullende van de
cirkels, welke de voerstralen van de regtstreeks omgekeerde
der tweede tot middellijnen hebben.

Aanmerking. Wil men volgens de in deze § betoogde
stelling de constructie eener omgekeerde kegelsnede ten uit-
voer brengen, dan ligt zij onmiddellijk voor de hand. Het
zal evenwel verkieselijk zijn haar aldus te wijzigen: men neme
het dubbele van eiken voerstraal als middellijn, waardoor het
middelpunt van eiken cirkel op de kegelsnede zelve te liggen

komt. Alsdan worden echter alle voerstralen van de omge-
keerde kromme het dubbel van hetgeen zij werkelijk behooren
te zijn, zoodat men ze later moet halveren. Deze wijze van
constructie heeft natuurlijk dit voordeel, dat de punten der
onihullende aldus met grootere naauwkeurigheid kunnen be-
paald worden.

§ 5. Twee bundels van regten, wier anharmonische
\'erhoudinggjj ten opzigte van de twee paren regten

Ax By 4- O ± (A\'x 4- B\'y C\') = o
A"x 4- B"y -i-O\'±}i (A\'"x B"\'y C") r: o,

^■ aarm f^. alle waarden kan aannemen, terwijl met gelijke
^^aarden van ^ homologe stralen overeenstemmen. Door elimi-
natie van uit beide vergelijkingen verkrijgen wij de uit-
•^i\'ukking

Deze is van den tweeden graad en stelt eene kegel-
voor, welke door de polen der bundels gaat.
Op

gelijksoortige wijze kan men de homologe punten,
Senoraen op twee homographisch verdeelde lijnen, die men als
assen der x en der y kan beschouwen, voorstellen door de

Deze is de voorstelling eener kegelsnede, welke de
"beide assen raakt. Deze stellingen nu, die langs analytischen
weg gevonden zijn , zijn dezelfde, welke C h a s 1 e s in zijn
Traité des Sections Coniqnes voorgedragen heeft als de om-
gekeerde van die , welke hij tot grondslagen voor zijne be-
schouwingen genomen heeft. Zij zijn door hem aldus uitge-
drukt :

De kromme, welke ontstaat door de vereeniging van de
snijpunten van de homologe stralen van twee homographische
bundels, is eene kegelsnede, die door de middelpunten der
beide bundels gaat.

De omhullende van de regten, die de homologe punten
van twee homographische verdeelingen van twee lijnen verbin-
den , is eene kegelsnede, welke die twee regten raakt.

Maken wij van deze gebruik ter opsporing van een
paar constructien voor onze omgekeerde krommen.

Laten volgens de eerste stelling (fig. 5) O (A, B, C...)
en 0\'(A, B, C...) twee homographische bundels, A, B, C
enz. de snijpunten der homologe stralen en dus punten eener

H den bundel O (A, B, C. . .), vormen eenen homographischen
bundel met de eveneens door P gaande middellijnen van de
^"kels, die behooren bij den tweeden omgekeerden bundel.

> > c\', d\' enz., waarin de lijnen, die PO en PO\' regt-
^loekig midden door deelen, de stralen der respectieve bun-
•^f^ls snijden , als middelpunten beschrijve men cirkels, waar-
van de eersten PO en de laatsten PO\' tot koorde hebben,
zullen de snijpunten van die cirkels, welker middelpunten
\'^P homologe stralen gelegen zijn, punten eener omgekeerde
kegelsnede zijn.

Om tot eene constructie te geraken door middel van
^^ tweede stelling keeren wij (fig. 7) om. Hierin stellen
en O\'A\' twee lijnen voor, w\'aarop a, b, c enz., en a\',
^ \' c\' enz, homologe punten zijn, terwijl P de pool is. Bij
omkeering worden OA en O\'A\' twee cirkels, gaande door
de lijnen, welke de pool met de homologe punten ver-
biüden, blijven twee homographische bundels vormen, en
welke de homologe punten vereenigen, worden cirkels.

welke door de pool gaan en door de piinten, waarin twee
homologe stralen b. v. Pa en Pa\' de omgekeerde lijnen
OA en 0\'A\' snijden. Wij besluiten hieruit tot deze con-
struciie.

Men beschrijve twee elkander snijdende cirkels en trekke
uit een der snijpunten in elk van deze eenen bundel van
lijnen, zoodanig, dat de anharmonische verhoudingen van den
eenen gelijk zijn aan die van den anderen. Door de op
elkander volgende snijpunten van de homologe stralen met de
beide cirkels legge men verder eene reeks van cirkels, welke
alle door de pool gaan, dan zal de omhullende van deze
eene omgekeerde kegelsnede zijn.

Uit het weinige, door ons in deze § bijgebragt, zal
men zonder twijfel reeds vermoeden , dat men langs geome-
trischen weg tot eene menigte constructien voor onze krom-
men kan geraken. Wij achten het daarom overbodig de
stellingen van Newton, Maclaurin en anderen, zooals
men ze in bovengenoemd werk van Chasles vindt, hier op
gelijke wijze te behandelen.

§ 6. Daar de leer der kegelsneden in de natuurkun-
dige wetenschappen zulk eene ruime toepassing vindt, schijnt
het ons niet ondoelmatig er op te wijzen , dat ook onze
omgekeerde krommen bij physische beschouwingen van dienst
kunnen zijn. Tot staving hiervan willen wij de volgende
stelling bijbrengen.

De omhullende van al de cirkels , welke door een
lichtgevend punt gaan en welker middelpunten op eene
kegelsnede gelegen zijn, is de regthoekige trajectoria van de
door de terugkaatsende kromme teruggekaatste stralen.

Nemen wij om dit te bewijzen op de terugkaatsende
kegelsnede (fig. 8) twee punten M en M\'. Zij verder P de
pool, M\'MS een secans en laten PNP\' en PP\'N\' de cirkels
, uit M en M\' , als middelpunten met de stralen MP en
M\'P beschreven. De beide punten , waarin zij elkander
®"ijiien, zijn dan P en P\', terwijl zij van de omhullende twee
punten N en N\' bevatten. De secans M\'MS staat volgens
•ie constructie loodregt op PP\' en L PM\'S is — L-P\'M\'S.
Hoe kleiner de afstand van de punten M\' en M wordt, des
meer naderen ook de punten N\' en P\' tot N , terwijl
toch onophoudelijk de hoeken PM\'S en P\'M\'S gelijk blijven.

den overgang van de secans M\'MS in de raaklijn in het
punt M vallen de punten N\' en P\' met N zamen. Wij
besluiten hieruit, dat de hoeken , welke PM en NM met de
i\'aakhjn in M maken, gelijk zijn, zoodat NM kan beschouwd
^^\'oi\'den als de rigting van den straal , die in het punt M
^-eruggekaatst en van het lichtgevend punt P uitgegaan is.
Mn is de ^^^ ^gjj p^sj gj^ jg (Jus loodregt op

•Ie omhullende in het punt N. Deze staat derhalve loodregt
op de rigting der teruggekaatste stralen en is om die reden
regthoekige trajectoria van de laatsten.
Wanneer wij ons hierbij herinneren , dat de catacaustica
of brandlijn der gereflecteerde stralen de omhullende is van
•Ie teruggekaatste stralen , zoo zien wij gemakkelijk in , hoe
onze omhullende of trajectoria met de catacaustica zamen
kangt. Zij verhouden zich als ontwikkelende en ontwikkelde.
Immers MN is de normaal der trajectoria in het punt N en
te gelijk als rigting van den teruggekaatsten straal raaklijn

bewezen , scheen het ons verkieselijk haar hier alleen in be-
trekking tot de kegelsneden te beschouwen. Daar de analy-
tische beschouwingen der causticae dikwijls zeer ingewikkeld
zijn , zal men met behulp van het hier behandelde soms
langs een\' meer eenvoudigen weg hetzelfde doel kunnen be-
reiken.

kunnen thans overgaan tot de behandeling van de
afzonderlijke omgekeerde kegelsneden. Voor eene geregelde
oordragt is het echter noodzakelijk eerst eene klassificatie
^^ Vormen. Werpen vpij om daartoe te geraken een\' terug-
op het voorafgaande. Wij hebben gezien, dat de om-
o^keerde krommen langs verschillende wegen konden ontstaan.
® onderscheidene wijzen van wording waren :

die door regtstreeksche omkeering,
„ „ neêrlating van loodlijnen,
„ „ omhulling,
en e de op de leer der anharmonische

Elk van deze zou ons tot ons doel kunnen leiden. Im-
"^ers wij zouden de vraag kunnen stellen: welke omgekeerde
kegelsneden behooren bij de ellips, de hyperbola enz., als de
pool in eenig punt van het vlak der kegelsnede gelegen is
men de methode van regtstreeksche omkeering toepast ?

Hetzelfde zou men kunnen doen ten opzigte van ieder der
overige methoden. Wij dienen ons hierbij evenwel te herin-
neren , dat de tweede en derde methode telkens dezelfde
groepen van omgekeerden te voorschijn brengen.

Wij achten het echter verkieselijk een\' geheel anderen weg
in te slaan. Wij zullen alle kegelsneden in ééne vergelijking
met betrekking tot een\' bepaalden oorsprong zamenvatten.
Door regtstreeksche omkeering komen wij alsdan tot eene
bepaalde groep van omgekeerden. Door vervolgens den oor-
sprong te verplaatsen komen wij op gelijksoortige wijze tot
de voorstelling van andere groepen van omgekeerden.

COS. qp en g^g^ ^jgQ ^ ^^^ ^^ grootte gelijk, maar in teeken
verschillend zijn , vinden wij gemakkelijk voor de vergelijking
(-) de uitdrukking:

Deze vergelijking leidt ons tot eene eenvoudige con-
structie voor onze omgekeerden. Wanneer men namelijk (fig. 9)
eene Hj^ pQ _ ^^ ^^^^^^ ^^ daarop als middellijn eenen
ciïkel beschrijft, zijn de koorden (PU. PT, PV enz.), uit P
getrokken, gelijk aan n cos. 9, als 9 de hoeken voorstelt,
"^elke de koorden met PQ, maken. De uiteinden eener lijn van
lengte m, ter weerszijden van T, U, T enz. op de koor-
en hare verlengden uitgezet, bepalen de omgekeerde

De conchoïde van Nicomedes wordt op gelijksoortige
^^yze geconstrueerd, met dit onderscheid echter, dat bij haar
^^ Tegte lijn dezelfde dienst doet, als de cirkel bij onze om-
gekeerden. \'Yan daar voor dezen de naam circulaire con-
\'^\'loïden.

§ 2. Dat de omgekeerden, welker pool in het brand-
P^^iit gelegen is , circulaire conchoïden zijn, kan men boven-
^ien bewijzen met behulp van deze eigenschap der kegelsneden :
verhouding van de afstanden .van elk punt eener kegel-
®nede tot het brandpunt en de directrix is eene standvastige

c (fig. 10) het brandpunt eener kegelsnede, ae de
^ireetris, b eenig punt der kromme en bd de loodlijn uit
ae neergelaten , zoo hebben wij:

Is nu a het snijpunt van den verlengden voerstraal cb
met de directrix, dan verkrijgen wij uit vergelijking (1),
L dba =r (jp stellende :

Daar s" als voerstraal van de omgekeerde directrix
gelijk is aan het product van den omgekeerden afstand van het
brandpunt tot de directrix met cos, g,, zal s\' — s" eene
constante grootheid zijn. Dit laatste leidt onmiddellijk tot de
in § 1 vermelde constructie.

§ 3. De polaire vergelijking der circulaire conchoïden
laat zich gemakkelijk in het regthoekige coördinaat-stelsel
overbrengen door substitutie van

Laten wij deze vergelijking in verband beschouwen met
de algemeene uitdrukking der omgekeerde kegelsneden, welke
beschouwd kunnen worden als ontstaan door toepassing van
de methode door neêrlating van loodlijnen op de krommen

^oor vergelijking (6) van § 2 van het voorgaande Hoofdstuk
oorgesteld. In deze en de algemeene vergelijking der omge-
en komen dezelfde constanten voor, zoodat de oplossing
de vraag voor de hand ligt: welke is de kegelsnede,
aarbij volgens de methode door neêrlating van loodlijnen
® circulaire conchoïden behooren.

yY __ 9nx (x^ y^) _ (m^ _ n^) x^ — m\'^ y^ = o (2),
^^ stellen de coëfficiënten van de termen van deze gelijk aan
^ Jan de overeenkomstige der vergelijking :
(x^ 2a^ (Cx Dy) (x^ y^) a^ (Ax^ By^) = o (3).
verkrijgen alsdan:

De substitutie van deze waarden van A, B, C en D
^^ de vergelijking (6) van § 2 van Hoofdstuk II geeft :

x\'^ y^ — 2nx — (m^ — n\') = o . . . (4).
Deze uitdrukking stelt eenen cirkel voor, weshalve wij
deze eigenschap besluiten : de aaneenschakeling van de
oetpunten der loodlijnen, uit eenig punt van het vlak eens
op zijne raaklijnen neergelaten, is eene circulaire con-

•Aanmerking. Langs geometrischen weg kan men op eene
^voudige wijze aantoonen, dat de in deze § opgeslotene
obstructie dezelfde krommen oplevert, als de in § 1 vermelde.

Zij QüS (fig. de cirkel voorgesteld door vergelijking
^^ f de pool en Q het middelpunt, dan is PQ = n en
\' m en beschrijven wij verder op PQ als middellijn den

cirlccl OQ,U. Yan de loodlijn PT, uit P op de raaklijn in S
neergelaten, wordt door den cirkel OQU een stuk UT = m
afgesneden. Door de neêrlating der loodlijn PT en door een
stuk UT r:r m op het verlengde van PU uit te zetten wordt
derhalve hetzelfde punt T bepaald.

§ 4. De identiteit van de vergelijkingen, die de krom-
men , verkregen door de methode door neêrlating van lood-
lijnen en die door omhulling, voorstellen, leidt onmiddellijk tot
de analoge stelling: de omhullende van de cirkels, beschreven
op de voerstralen eens cirkels als middellijnen, is eene circu-
laire conchoïde.

§ 5. Uit de analytische geometrie is het bekend, dat
de vereeniging van de voetpunten der loodlijnen, uit het brand-
punt op de raaklijnen eener ellips of hyperbola neergelaten,
eenen cirkel en, op die eener parabola neêrgelaten, eene regte
lijn geeft. (*)

Laten wij ons die cirkels bij de ellips en de hyperbola
voorstellen. Bij de omkeering worden deze beide krommen
hare omgekeerden, en tevens zijn zij de omhullenden van
hare omgekeerde raaklijnen, welke cirkels zijn, beschreven op

(*) De vergelijking (7) van § 1 vaa het voorgaande Hoofdstuk bevat
deze eigenschap a!s een bijzonder geval in zich. Immers zoo wij den oor-
sprong ia het brandpunt plaatsen, hebben wij voor de kegelsneden de uit-
drukking :

(1 —■ e^) s2 _[. y2 2pe X — p2 =r O ,
weshalve in dit geval die van de omgekeerde krommen, ontstaan door neêr-
lating van loodlijnen, wordt:

Deze stelt in \'t algemeen een\' cirkel voor; voor de, parabola echter is
6 = 1, weshalve zij alsdan de uitdrukking eener regte wordt.

de omgekeerde afstanden van het brandpunt tot de raaklijnen
der kegelsneden als middellijnen. De cirkels blijven bij de
oakeeïing cirkels en hebben tot voerstralen de pas vermelde
middellijnen. Dezelfde redenering is toepasselijk op de para-
noia, omdat daarbij de regte lijn bij de omkeering in eenen
eirkel overgaat. In elk geval zijn wij dus geregtigd te be-
sluiten tot de stelling in de voorgaande § vermeld.

§ 6. De quadratuur van onze krommen laat zich ge-
\'Tiakkelijk ten uitvoer brengen door de integratie van de for-

^^ I = ^ m^ (p -f I n^(j) - -mnsin.q)-{-in\'sin. qocos.qp C.
I^e grenzen gelijk O en ^ stellende, verkrijgen wij
de helft van den inhoud:

1 = 1 (n\' 2m2) ,r.
merken hierbij op, dat deze halve inhoud voor de
^^gekeerde hyperbola (fig. 14) uit twee stukken (CDE en
, ter weerszijde van CE gelegen, bestaat.

§ "7. De rectificatie der circulaire conchoïden geschiedt
^let zoo gemakkelijk. Wij verkrijgen hier voor de lengte
^^ formule:

■waarin a en b van m en n afhankelijke constanten zijn.
Men ziet, dat deze integratie niet dan door ontwikkeling in
eene reeks ten uitvoer gebragt kan worden.

§ 8. Naar gelarig m >■ = of ■< n is , zal de circu.
laire conchoïde eene omgekeerde ellips , parabola of hyperbola
zijn. (*) Laat ons thans nagaan , hoe men bij de constructie
door neêrlating van loodlijnen en bij die door omhalling de
pool ten opzigte van den cirkel moet plaatsen om deze ver-
schillende krommen te verkrijgen.

De omgekeerden , in vergelijking (1) van § 3 bevat, kun-
nen , zoo als gebleken is , beschouwd worden als ontstaan te
zijn door neêrlating van loodlijnen op de raaklijnen der cir-
kels , door vergelijking (4) . van § \'ó voorgesteld. Brengen
wij deze nu onder den vorm:

(x ~ n)\' -{- y\' =
zoo zien wij onmiddellijk, dat men de omgekeerde ellips ,
parabola of hyperbola verkrijgt door de pool achtereenvolgens
binnen, op of buiten den omtrek des cirkels te plaatsen.

^ § Wij zullen onze algemeene beschouwingen beslui-
er ttet een onderzoek in het werk te stellen naar de bij-
^ondere punten onzer krommen. Gaan wij eerst na, of zij
^»^igpunten hebben.

^ oneindig Heine grootheid zijnde, in teeken verschillen,
^^aar fie beschouwing van de vergelijking in het regthoekige

nemi!!^^^^^ ^^Se^eifie van y ten opzigte van x, met inacht-
veraiiT ""^\'^elijking (1); in functie van de onafhankelijk
an, erhjke cp uitdrukken. Te dien einde hebben wij in ver-
(2) te substitueren:
= dr cos. <p r sin. dq^,
^J = dr sin. (f, r cos. q, df,
^^ ^ d2r cos. (jp — 2 dr dgp sin. q> x cos. <p dq>^,
y — d^r sin. 9 -H 2 dr dy cos. q> — r sin. q> dw\',
"^-^oor wij verkrijg.

p V sin. qp (2e cos. qp 4- 1)
Bij onderzoek blijkt, dat bij de waarden van cp, welke
den noemer nul maken, geene buigpunten behooren. Wij
hebben dus slechts na te gaan , of dit wèl het geval is voor
die waarden van 9, welke den teller nul maken. Hieraan
wordt voldaan door

Daar cos. 9 < 1 en >— 1 moet zijn , zullen de grenzen van
e 1 en ^ zijn, en zullen dus die omgekeerde ellipsen alleen,
wier excentriciteit grooter dan ^ is, buigpunten kunnen op-
leveren. Onderzoeken wij nu vergelijking (4) verder door

Wij zien, dat de teller van teeken verwisselt met h,
terwijl de noemer hetzelfde teeken behoudt. De bedoelde om-

^ 10. De vergelijking in het regthoekige stelsel,
^ (x, y) — (x2 4- y2 Iix)2 _ 1^2 y2) = q (1),
ons een geschikt uitgangspunt tot het zoeken van de
veelvoudige punten. Het bestaan van deze vereischt, dat

en y — o:

dx dy = (2x — u) 4y = o,
d2p

dy2

Deze wortelgrootheid is bestaanbaar voor de omgekeerde
parabola en hyperbola, weshalve deze ieder een veelvoudig
punt hebben. Bij de eerstgenoemde kromme echter wordt dit

nul zijn. Hieruit volgt, dat de gemeenschappelijke raaklijn
met de as der x zamenvalt.

§ 11. Geven wij ten slotte nog eenige opmerkingen
over de omgekeerde parabola. Zij is dezelfde kromme, die
door C a s t i 11 i a n i {F/iü. trans. 1741) Cardioïde genoemd is
en die door Cramer [Analyse des lignes courbes) beschouwd
is als eene epicycloïde, van welke de voortbrengende en de
rigtende cirkel denzelfden straal hebben. Hiervan laten wij
het betoog volgen.

Laat DPS (fig. 15) de cirkel zijn, die over den cirkel
NCP rolt, en het punt P, gelegen op de verbindingslijn van
de beide middelpunten, het beschrijvende punt. Is nu D\'RM
een stand van DPS op een gegeven oogenblik en M daarop
de plaats van P, dan zal de lijn PM, die den cirkel CPN
in N snijdt, evenwijdig zijn aan de lijn CD\', welke de beide
middelpunten vereenigt. Hieruit volgt klaarblijkelijk, dat MN
gelijk is aan de middellijn van ieder der genoemde cirkels.
De epicycloïde, door de punten M bepaald, is dus niets anders,
dan de omgekeerde parabola.

Overeenkomstig ons vroeger gemeld plan van behande-
^^^g zfc-llen wij thans overgaan tot de beschouwing der krom-

3 die door omkeering der kegelsneden ontstaan, als de
pool in het middelpunt geplaatst is. Hierbij kan uit den
^^^d der zaak slechts sprake zijn van de omgekeerde ellips en
Vperbola.

In de eerste plaats merken wij hierbij op, dat de waar-
^en x — o en y — o hieraan voldoen. Dit punt is de pool

zelve en kan, daar geene van de voerstralen der ellips bij
omkeering nul wordt, onmogelijk aan de omgekeerde van deze
eigen zijn. Dit laat zich daaruit verklaren, gelijk wij vroe-
ger gezien hebben , dat reeds in vergelijking (2) een factor
is ingevoerd, welke zich eveneens in vergelijking
(4) bevindt. Deze wordt daardoor te algemeen en bevat be-
halve de twee omgekeerden nog een geïsoleerd punt voor de
omgekeerde ellips. Voor het geval van de omgekeerde hyper-
bola is de vergelijking geheel juist; want het middelpunt
moet een punt der omgekeerde kromme zijn ten gevolge van
het omkeeren van de oneindige voerstralen der oorspronkelijke.

Vervolgens blijkt zoowel uit vergelijking (4) als ook uit
de ligging van de coördinaat-assen in de oorspronkelijke
krommen, dat de omgekeerden symmetrisch moeten zijn ten
opzigte van de assen der x en der y.

§ 2. Welke zijn nu de kegelsneden, die door de me-
thode door neêrlating van loodlijnen de omgekeerde ellips en
hyperbola geven ?

Op overeenkomstige wijze als in § 3 van Hoofdstuk III
te werk gaande vinden wij, dat in de meer vermelde ver-
gelijking,

De krommen , voorgesteld door de vergelijking (3) van
de voorgaande § en de laatstvermelde dezer §, hebben het-
zelfde middelpunt en ook dezelfde rigting der assen, terwijl
\'Ie grootte van deze in \'t algemeen verschilt, zooals uit de

Opmerkelijk is het, dat , wanneer de vergelijkingen (3)
v^n § 1 en (2) van deze § twee hyperbola\'s voorstellen, hare
asymptoten hoeken met de assen maken, die elkanders com-
plementen zijn. Immers wij hebben voor de asymptoten van
de beide krommen de uitdrukkingen :

§ 3. Wanneer k ~ — B is , is de oorspronkelijke
"kromme eene gelijkzijdige hyperbola. De omgekeerden zijn in
" geval begrepen in de vergelijking:

Deze kromme ontstaat dus uit de gelijkzijdige hyperbola
oor regtstreeksche omkeering en, daar voor A — B verge-
^ijking (2) der voorgaande § ook eene gelijkzijdige hyperbola
Voorstelt, tevens door neêrlating van loodlijnen. De pool is
hierbij in het middelpunt geplaatst.

§ 4. Ten gevolge van de identiteit van de formules,
gevonden door de methode door neêrlating van loodlijnen en
die van omhulling , moet deze gelijksoortige uitkomsten leveren.
Zonder de daarvoor gegevene bewijsvoering voor ons bijzonder
geval te herhalen, mogen wij besluiten , dat, als het middel-
punt de pool is, de omhullende van de cirkels, beschreven op
de voerstralen eener ellips of hyperbola als middellijnen, eene
omgekeerde ellips of hyperbola is, en dat voor de gelijkzijdige
hyperbola de omhullende de gewone lemniscaat is.

Hieraan wordt voldaan door x=:::o en yzizo te stellen.
Deze waarden van x en y substituerende in

Vperbola daarentegen hebben A en B verschillende teekens,
weshalve alleen de omgekeerde hyperbola een veelvoudig punt
heeft.

\'ïen opzigte van de asymptoten volgt hieruit verder
> dat zij raaklijnen zijn aan de omgekeerde kromme,
^it blijkt onmiddellijk daaruit, dat de waarde van de tangens
(O dezelfde is, als die van de tangens van den hoek der
asymptoten met de as der x.

§ 6. Yoor de quadratuur maken wij ook hier gebruik
^an de polaire vergelijking. Deze is :

a^ (A cos.®g) -}_ B sin.^cp) -f Er^ — o.
Ter bepaling van den inhoud hebben wij dus de formule

§ 1. De krommen, welke door de omkeering eener
kegelsnede ontstaan, welk punt van den omtrek ook de
pool zij, zijn zoo vele in getal en leiden daarbij tot zulke
ingewikkelde vergelijkingen, dat ons bestek niet toelaat ze
afzonderlijk te behandelen. Daarom beperken wij de beschou-
wingen over deze tot slechts twee gevallen. Vooreerst zul-
len wij de pool in den top der kegelsnede plaatsen en ver-
volgens op eenig punt van den omtrek eener gelijkzijdige
hyperbola.

Nemen wij te dien einde de vergelijking der kegelsnede
in het regthoekige coördinaat-stelsel voor den top als oorsprong ,

welke de ellips , parabola of hyperbola voorstelt, naar mate
n positief, nul of negatief is.

2mx (x^ y^) = a\' (n x\' y\') • • • •
Stellen wij hierin n — o, zoo neemt zij den volgenden
^«m aan:

^eze is de vergelijking van de cissoïde van Diodes,
"Weshalve wij de krommen begrepen in vergelijking (4) cissoï-
zullen noemen en wel elliptische , parabolische of hyper-
bolische, naar mate zij door omkeering van de ellips enz,
ontstaan zijn. Deze drie soorten van omgekeeiden zijn voor-
gesteld door fig, 16 , 17 en 18.

eene lijn BK loodregt op AB. Vereenigt men nu A met
^enig punt K van de lijn BK, zoo is:

Aanmerking. Deze methode is volstrekt algemeen en
bevat dus ook eene constructie voor de cissoïde van Diodes
in zich.

Diodes zelf gaf voor deze de volgende: op eene willekeu-
rige lijn AB (fig. 20) als middellijn beschrijve men eenen cirkel
ACB en trekke eene lijn CC\', loodregt op AB en gaande door
het middelpunt. Ter weerszijden van het snijpunt C van
deze met den cirkelomtrek zette men gelijke bogen CD en
CE uit. Eindelijk trekke men de koorden AD, AE en de
loodlijnen DD\', EE\'- dan zullen de snijpunten P en Q van
dezen en hare verlengden punten der cissoïde zijn.

Wij kunnen niet nalaten nog de geniale constructie, die
Newton {AriÜ. nniv, de aequaüomm construcüone lineari,

P- 231) gegeven heeft, te vermelden. Hij laat dezelfde cis-
soide dopr eene beweging ontstaan.

Zij AB (fig. 21) eene regte lijn en MP eene onbepaalde
loodlijn, gaande door het midden M van AB. Men neme op
bet verlengde van BA een punt C, zoodanig, dat MC — AB
^^^ een beweegbare regte hoek, waarvan PG ~ AB is.
IJ de beweging beschrijft het midden H van EG de cissoïde.
Wij

kunnen volstaan met de beschrijving van beide con-
\'tructiën, daar de vergelijking der kromme zich uit beide ge-
makkelijk laat vinden en dezelfde blijkt te zijn, als de reeds
vermelde van de omgekeerde parabola.

^ § Gaan wij thans na, van welken aard de omhul-
^ e van de lijnen is, die loodregt staan op de voerstralen
^^ cissoïde en door hunne uiteinden gaan.

A==n,B = l,Ci= —menD = E = o,
Weshalve wij voor de vergelijking (1) de uitdrukking
^jj na^ — 2a^ m X — m^y^ = o,

De as der parabola is dus in tegengestelde rigting van
die der oorspronkelijke kegelsnede gelegen. Tevens ziet men,
dat de pool binnen, op of buiten de parabola gelegen is, naar
mate de omgekeerde kromme de elliptische, de parabolische
of hyperbolische cissoïde is.

Bij de circulaire conchoïden en de lemniscaten hebben
wij reeds opgemerkt, dat de methode door omhulling tot de-
zelfde uitkomst leidt, als die door neêrlating van loodlijnen,
ilet is om die reden overbodig in ons bijzonder geval weder-
om in eene bewijsvoering van dezelfde stelling te treden.

§ 4. De cissoïden hebben, daar de pool op den omtrek
gelegen is, twee in \'t oneindige voortloopende takken en kun-
nen dus asymptoten hebben. Stellen wij daarom in dit op-
zigt een onderzoek in het werk op vergelijking (4) van § 1.

De homogeniteit van elk harer leden valt terstond in
het oog. Zij laat zich dus brengen onder den vorm:

is, hebben wij slechts de constanten k en 1 te bepalen met
behulp van de vergelijking (1).

I)e lengte van den kromtestraal eener kegelsnede wordt
t algemeen uitgedrukt door de formule:

\'^ij zien hieruit, dat de omgekeerde middellijn van den
kromtecirkel in den top gelijk is aan den afstand van de pool
tot de vermelde asymptoot.

Aanmerking. Langs analytischen weg kan men op eene
eenvoudige wijze aantoonen , dat ook deze omgekeerden bijzon-
dere punten hebben. Het blijkt bij onderzoek, dat de hyper-
bohsche cissoïde een veelvoudig punt en de parabolische een
keerpunt heeft.

§ 5. Over de quadratuur zullen wij kort zijn en alleen
de cissoïde van Diodes in dit opzigt beschouwen. Deze
berekening is weinig ingewikkeld en geeft voor den inhoud
eene uitdrukking , welke in een opmerkelijk verband staat met
den inhoud van den cirkel, dien wij gebezigd hebben bij de
constructie van de cissoïden {§ 2).

oy(px-x^)-
Den eersten term zullen wij niet integreren. Hij stelt
in ons geval blijkbaar het halve cirkelsegment ADE voor. De
tweede term laat zich door ontbinding uitdrukken, als volgt:

Jet dubbele van dezen inhoud stelt de vlakteuitgebreid-
^^ voor,^ die begrepen is tusschen de cissoïde en de asym-
ADb\' ^^ ^^ ^^^ drievoud van den inhoud van den cirkel

het \' ^^ 18), naar mate de pool geplaatst was in
Geeft^^^""^^""^\' in het middelpunt of in een der toppen.
^^ men aan de pool eiken stand in het beloop van
tea ^^ liet brandpunt en het middelpunt, zoo moe-

^^ opeenvolgende overgangsvormen te voorschijn komen.
^^ n wij uit van de conchoïde. Bij deze omvatten de beide
alkander. Hoe meer de pool tot den top nadert,
^lijkb^ worden de beide knoopen. Er is evenwel

aar verschil in de wijze van verandering van beide. De
^o^li van den verstverwijderden tak der hyperbola
^^ en alle kleiner , de kleinste knoop zal derhalve in alle
Wel^^^^ ^^ ^uitgestrektheid toenemen. De grootste knoop,
^^ ontstaat door omkeering van den naastbijgelegen tak,
^^ g zich in een geheel anderen zin, daar sommige voerstralen
Van^^ die, welke op de punten in de omgeving

en alle overige kleiner. Het noodwendig gevolg hiervan is,
dat deze knoop uitgerekt wordt in de rigting van de as.
Wanneer wij met de verplaatsing van de pool oneindig digt
bij den top gekomen zijn , wordt de buitenste knoop oneindig
lang. Zoodra de pool met den top zamenvalt, opent hij zich, en
wij zien de niet gesloten cissoïde ontstaan. Verschuiven wij de
pool nog verder naar het middelpunt, zoo zal de niet gesloten
tak der cissoïde zich onmiddellijk weer beginnen te sluiten,
maar in tegengestelden zin komen te liggen. Deze knoop wordt
nu steeds korter, terwijl de straks vermelde binnenste knoop
in grootte toeneemt. Voor het middelpunt als pool worden
beide knoopen gelijk, daar beide takken van de hyperbola
symmetriek ten opzigte van dit punt gelegen zijn.

Tot gelijksoortige opmerkingen geeft de onderlinge ver-
gelijking van de krommen, die ontstaan door omkeering van
de ellips, aanleiding, als de pool alle punten van de hoofdas
doorloopt van het brandpunt af tot den top. Voor het brand-
punt als pool is de omgekeerde eene circulaire conchoïde,
gelijk wij gezien hebben. Deze is gesloten en als het ware
ingedrukt aan die zijde, welke naar den verst verwijderden
top ziet. Bij de verplaatsing van de pool naar den naastbij
gelegenen top blijft dit bestaan, terwijl dit gedeelte te gelijk
den top nadert. Het tegenovergestelde deel der conchoïde
wordt bij de verschuiving al meer en meer uitgerekt. Zoodra
de pool op een oneindig kleinen afstand van den top gekomen
is, wordt de as op een oneindig grooten afstand door de
kromme gesneden. Op het oogenblik van den overgang in
den top scheidt de kromme zich plotseling in twee in \'t on-
eindige voortloopende takken, en de elliptische cissoïde treedt
te voorschijn. Als de pool buiten den top komt op het ver-

gde van de as, worden die beide takken als het ware om-
en sluiten zij zich weder.

eens ^^ ^^^ voorafgaande achten wij het overbodig nog
passen ^^\'ïeuering op de omgekeerde parabola\'s toe te

en gaan derhalve over tot de beschouwing van de
^gekeerde gelijkzijdige hyperbola.

in ^ Alle bestaan zij uit een knoop en twee
üeze^^^"^^^^^^\'^^^ ^^^ ^^ oneindige voortloopende takken.

4k(C Dk) 2D (1 k\')
De bestaanbare waarden voor k en 1 zijn dus :
_C a\'^(D^--C^)

§ 8. "Wanneer wij de redenering, die wij in § 2
van Hoofdstuk II gegeven hebben, hier gaan toepassen, vin-
den wij voor de omhullende van de loodlijnen, op de voer-
stralen eener focale opgerigt en door hunne uiteinden gaande,
de vergelijking:

Deze is de uitdrukking eener parabola , hetwelk men
inziet door op te merken, dat het product der coëfficiën-
ten van x\'\' en y\' juist het vierkant is van den halven coëfficiënt
van xy. Het valt niet zoo terstond in het oog, hoe de
parabola ten opzigte van de pool geplaatst is. Het is even-
wel van belang dit te weten. Gaan wij derhalve na, of de
pool buiten, binnen of op de kromme gelegen is. De raak-
lijnen , die door de pool gaan , geven ons een geschikt mid-
del aan de hand om hierover te beslissen. De coördinaten
van de raakpunten toch wijzen dit als van zelf aan. Vindt
men, dat de waarden van x en y voor beide raakpunten be-
staanbaar zijn, zoo ligt de pool buiten de parabola, verkrijgt
men onbestaanbare waarden, dan ligt zij er binnen. Bestaat
er eindelijk slechts een raakpunt, dan ligt zij op den omtrek.

iijn voorstellen, die door de pool gaat, en beschouwen
IJ haar ter bepaling van de coördinaten van het raakpunt
^^ verband met de vergelijking (1), zoo verkrijgen wij:

a\' 2a2 (C _Dp)x (D — Cp)^- x^ = o.
d lU^ waarden van x, die hierin opgesloten zijn, worden
in gg^g^j vergelijking (2) eene raaklijn voorstelt,
^^«dan moet derhalve

-cjr zijn twee raaklijnen , weshalve de pool buiten de
P abola gelegen is. Buitendien maakt elk der beide raak-
een hoek van 45» met de as der x; zij staan der-
het^^ op elkander. Daar dit alleen plaats heeft, als

» waaruit de raaklijnen getrokken worden, op de
ectrix ligt , is ook de pool steeds daarop gelegen. De

^\'t dezen verkrijgt men voor de ordinaten der raakpunten i
^^ yzib±l/(b2-2pa).

stand der parabola blijft echter nog onbepaald wegens de twee
willekeurige constanten C en D.

Wij mogen uit het voorgaande tot deze stelling besluiten:
wanneer men uit eenig punt van de directrix eener parabola
loodlijnen neerlaat op hare raaklijnen, dan liggen de voet-
punten der loodlijnen op eene focale.

In het bijzondere geval, dat de pool het doorsnijdings-
punt is van de as en de directrix, wordt de focale de
hyperbolische cissoïde.

§ 9. De gevondene formules geven ons geene gemakkelijk
uitvoerbare constructie aan de hand. In dit opzigt zijn zij dus
niet belangrijk voor ons. De toepassing van de beginsels van om-
keering zal ons daartoe langs een meer eenvoudigen weg leiden.

Wij nemen tot grondslag de volgende constructie der
gelijkzijdige hyperbola: men deele de lijn PP\' (fig. 24) door
de lijn KAL regthoekig midden door en trekke eene lijn
FG, die met PP\' eenen willekeurigen hoek maakt. Uit eenig
punt K van KAL beschrijve men verder met KP als straal
eenen cirkel PQP\' en late uit K eene loodlijn KM op PG
neer. De punten M en M\', waarin zij en haar verlengde
den omtrek snijden, behooren tot eene gelijkzijdige hyperbola ,
waarvan PP\' eene middellijn, FG eene raaklijn in het punt
P en A het middelpunt is (¹).

Stellen wij (fig. 24) PP\'—2a en dus AP~a en AKrrc, daa vrordt
de cirkel PQP\' door de vergelijking

Wij keereii nu, het punt P als pool beschouwende, de
^\'ersclüllende deelen van fig. U om en nemen daarbij PP\'
constante van omkeering aan. Het punt P\' blijft op
plaats en de cirkel PQP\' wordt eene regte lijn , gaande
^oor P\' e.ji het omgekeerde punt Q. De loodlijn KM wordt
cirkel, die door P gaat en de omgekeerde halve koorde
^^ tot middellijn of de omgekeerde koorde PQ tot straal
Het omgekeerde punt van Q is derhalve het middel-
Pint van dezen cirkel. Deze opmerkingen zijn voldoende om
eene constructie (PP\' steeds gelijk de constante van om-
sijnde) te verschaffen. Zij komt hierop neer: men
"eme op PQ (fig. 25) een willekeurig punt Q, beschrijve
^^\'■\'iit als middelpunt een cirkel PMM\' met PQ als straal en
^"■^kke door de punten P\' en Q eene lijn P\'M, De snijpunten
M\' zullen punten der focale zijn.
Men kan hierbij het beschrijven van den cirkel PMM\' ver-
^y\'len. Het is voldoende door P\' en elk punt Q van FG
onbepaalde lijn P\'M te trekken en daarop van Q af
S^lyke stukken QM, QM\' = PQ uit te zetteu.

§10. Wanneer men (fig. 24) aan de cirkels PQP\' enz.
\'jnen trekt evenwijdig aan PG, dan zijn de raakpunten

^ij erkennen hierin de gelijkzijdige hyperbola met betrekking tot een
^ Sthoekig stelsel, welks oorsprong met het middelpunt zamenvalt. Buiten-
gaat zij door de punten P en P\', want x rrdt a en y — o voldoen

klaarblijkelijk punten van de gelijkzijdige hyperbola. Dit in
acht nemende kan men tot eene andere hoewel niet zoo ge-
makkelijk uitvoerbare constructie voor de focale geraken. Gaan
wij even na, wat er zoo al ontstaat bij de omkeering van de
verschillende deelen dezer figuur. De raaklijnen worden cir-
kels, die door de pool P gaan en welker middelpunten gelegen
zijn op de loodlijn uit P op vermelde raaklijnen neergelaten.
De cirkels PQP\' worden raaklijnen aan de zoo even genoemde
cirkels en wel in de omgekeerde punten van M, M\' enz. Dit
geeft aanleiding tot deze constructie.

Zij P (fig. 26) een willekeurig punt, PQR enz. eene
reeks van cirkels en KL de lijn der midd^elpunten. Wanneer
wij nu uit het punt P\' raaklijnen trekken aan de cirkels
PQE enz., dan zal de vereeniging van de raakpunten de
focale opleveren.

Men neme eenen regten kegel (fig. 27), waarvan ZZ de
as en KK en LL twee tegenover elkander liggende generatrices
zijn. Door een willekeurig punt A van eene der beide laat-
ste legge men eene reeks van vlakken loodregt op het vlak
der drie genoemde lij nen. De doorsneden van deze met het
kegelvlak zijn achtereenvolgens een cirkel, eene ellips, eene
parabola en eene hyperbola, welker hoofdassen AC, AMM\' enz.
gelegen zijn in het vlak der lijnen KK en LL. De lijn BM,
evenwijdig aan KK getrokken door het middelpunt B, bevat
de middelpunten der verschillende kegelsneden , welker brand-
punten op afstanden BM enz. ter weerszijden van de punten
M op de hoofdassen gelegen zijn. De aaneenschakeling van

deze brandpunten bepaalt eene kromme, die doorQuetelet
focale genoemd is en dezelfde is, als de omgekeerde gelijk-
tijdige hyperbola.

§ 1. Aan het einde van onze taak gekomen zullen wij
nog even van een zeer algemeen standpunt uit ons onderwerp
overzien. Wij zullen daarbij gelegenheid hebben de belang-
rijkste uitkomsten van ons onderzoek, die in de verschillende
Hoofdstukken verspreid liggen, terug te vinden, terwijl wij
tevens nog melding zullen maken van eene wijze van wording
der omgekeerde kegelsneden, welke veel overeenkomst heeft
met die der circulaire conchoïden.

In het voorgaande hebben wij de woorden pool en oor-
sprong als van dezelfde beteekenis steeds door elkander heen
gebruikt. Wij hadden daartoe het regt, daar wij werkelijk
oorsprong en pool van omkeering lieten zamenvallen. In het
volgende zal dit echter niet altijd plaats vinden en hebben wij
beiden dus scherp te onderscheiden.

Gaan wij, na dit weinige voorop gesteld te hebben , tot
het meest algemeene geval van omkeering over, waarbij eenig
punt (p,q) als pool genomen wordt.

uitgangspunt. Door hierin x door x\' p en y door
^ q te vervangen verkrijgen wij :

Ax\'^ 2 (C Ap) X\' 2(D Bq) y\' E Ap^-f-Bq-^ = o (2),
• de uitdrukking eener kegelsnede met betrekking tot een
^ se , dat evenwijdig aan het oude verplaatst is en welks
oorsprong p eu q tot coördinaten heeft.

omgekeerde van deze heeft, als wij den nieuwen
orsproiig als pool beschouwen, tot vergelijking:

6 tot het oude stelsel teruggebragt door substitutie van
^^ X —• p en y\' — y — q wordt:

I^eze laatste vergelijking eindelijk is de meest algemeene
oorstelling van de omgekeerden van de kegelsneden, in de
^^i\'gelijking (1) begrepen, daar het punt (p, q) als pool van
omkeering genomen is.
Het ligt

voor de hand , dat de methode door neêrlating
v^Q loodlijnen en die door omhulling eveneens tot dergelijke
®eer algemeene vergelijkingen zouden kunnen leiden.

§ 2. Uit de vergelijking (4) der voorgaande § kannen
die der circulaire conchoïden , der lemniscaten , der cis-
soïden en der focale terug vinden. Wij moeten alsdan over
P q zoodanig beschikken , dat de pool achtereenvolgens in
brandpunt, in het middelpunt, in den top der kegelsnede
eenig punt der gelijkzijdige hyperbola komt te liggen,

en den oorsprong eveneens met deze punten laten zamenvallen.
Brengen wij deze bewerking voor een paar gevallen ten uitvoer.

Deze waarden in vergelijking (4) van § 1 substituerende
vinden wij, in aanmerking nemende dat voor het middelpunt
als oorsprong C D z= o wordt:

AB A^ "" B
zijn, te substitueren en den oorsprong nu met den top te
laten zamenvallen, neemt genoemde algemeene vergelijking den
volgenden vorm aan:

§ 3. De leer der anharmonische verhoudingen, waarop
wij vroeger een tweetal constructiën gegrond hebben, geeft
ons een middel aan de hand om te doen zien, dat het eigen-
aardige van de wijze van ontstaan der circulaire conchoïden
voor een deel ook toekomt aan alle omgekeerde kegelsneden;
zelfs hebben wij hier slechts op eene zuiver harmonische ver-
houding te letten.

Laat om dit te bewijzen adb (fig, 28) eene kegelsnede ,
het punt P de pool en de lijn Pb, die door de pool gaat,
eenige snijlijn zijn. De punten c, die harmonisch geconjugeerd
zijn met P ten opzigte van de snijpunten a en b , bepalen

D2 En D
--j en---

® poollijn steeds het arithmetisch midden is van de beide
^ erstraien der omgekeerde kegelsnede, welke ook de stand
^ ^Pool moge zijn. Om deze reden kan men alle omge-
gelijksoortige wijze als de circulaire conchoïden

^ ^ I^e polaire vergelijking der omgekeerde kegelsneden leidt
® dezelfde uitkomst. Immers deze is:

omgekeerde poollijn van den oorsprong voorstelt en dus eenen
Cirkel, welke door de pool gaat (pool en oorsprong vallen
ler weder zamen), zoo zien wij terstond, dat de vergelijkingen
) en (4) dezer § tot dezelfde gevolgtrekking leiden.

ondoelmatig oordeelen alle omgekeerde kegelsneden circulaire
conchoïden te noemen.

§ 4. Wanneer wij den oorsprong in het brandpunt plaatsen
en de excentriciteit en den parameter door e en p voorstel-
len , wordt de vergelijking van den pas vermelden cirkel:

Wij zien dus hier weder de vroeger vermelde constructie
van de circulaire conchoïden te voorschijn komen.

Is de oorsprong in het middelpunt geplaatst, zoo is
C = D = 0 , weshalve in dit geval de vergelijking (5) van
§ 3 den oorsprong voorstelt. Zet men dus ter weerszijden van dit
punt stukken uit, welker waarden bepaald worden door het
tweede lid van de vergelijking (4) der voorgaande §, zoo
ontstaan de lemniscaten, welke, gelijk reeds vroeger gebleken
is, symmetrisch zijn ten opzigte van den oorsprong.

Bij de cissoïden en de focale kan geen sprake zijn
van de toepassing dezer constructie, daar hare poollijnen,
als raaklijnen in de pool, bij omkeering overgaan in cirkels
van oneindig grooten straal.

Ten onregte zegt dtjhamel (Eléments de calcul infînité-
2de ed. Tom. 1. n". 247.): „Lorsque la concavité ee

consequent, passer par zéro ou 1\' infini; les points, où
opère ce changement, se nomment points d\' inflexion. .

infini, il faudra s\' assurer, s\'il change de signe en
passant par cette valeur."

Te regt zegt dueSge (Elemente der Theorie der Euncti-
einer complexen veränderlichen Grösse): „Die Ansicht
\'^on der Unmöglichkeit der imaginären Grössen ist eigentlich
^on einem Verkennen des Wesens der negativen, gebrochenen
irrationalen Grössen ausgegangen."

In de proefondervindelijke electriciteitsleer behoort aan
het woord spanning geene andere beteekenis gegeven te wor-
den, dan die van potentiaal in de wiskundige theorie.

De geleiding van een galvanischen stroom door een zamen-
gesteld vocht gaat steeds van electroljse vergezeld.

De getalswaarden, verkregen voor de weerstanden, die
de zamengestelde vochten aan den galvanischen stroom bieden,
verdienen geen vertrouwen.

Men behoort de temperatuur niet te bepalen naar gelijke
vermeerdering, maar naar gelijke verhouding van volumina.

Bij de berekening van de eclipsen, door de ouden waar-
genomen, moet wel degelijk gelet worden op de verschülende
oorzaken, welke de lengte van den dag wijzigen.

geiiaamd ««pii

lan^ 1 algemeen dalen van den Neder-

^^^dsehen bodem aan t.

Als desmfecteermiddel moet men chlorkalk boven zwavel-
^^^^-yzeroxydul «tellen.

^et lager worden van onze zeekleibezinkingen geeft hoe-
3gt om een al^
aan te nemen.

Fiö 18.

/	f
h/
/	Fig.21.
gr/ b "

	\\ J
\\
L