CONVEXE FUNCTIES

m

bibliotheek der

rijksuniversiteit
utrecht.

< t

f

n

1- > ■ ■ . ■

/ \'

s ^

, / li \'

J. a-ti:.
• ■ \'\'\'l\'i -

«lasûfêi»^
iiÄiiliiiiiiÄ

... ........

\'V^ Ó-W.

km-"

■ V-W-

. . ■ . ■•■ ^ v ; --X. ^ ; : ■ .

-,-, .\'v v\'

\'•■■mm
mm

■ m^w^t

r. <

V . ■ ■•>;

j-, t.

,44

. /

m 5

. -lei\'\' -

CONVEXE FUNCTIES

CONVEXE FUNCTIES.

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS-
EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-
UNIVERSITEIT TE UTRECHT. OP GEZAG
VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS DR. A.
NOORDTZIJ, HOOGLEERAAR IN DE FA-
CULTEIT DER GODGELEERDHEID. VOOR
DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUUR-
KUNDE TE VERDEDIGEN OP MAANDAG
14 FEBRUARI 1927, DES NAMIDDAGS TE
4 UUR. DOOR

JOHANNES HOEKSTRA.

GEBOREN TE BREDA.

bibliotheek der
RIJKSUNIVERSITEIT
V T R E C H T.

AAN MIJN OUDERS

3

De gunstige gelegenheid, die mij het verschijnen van
dit proefschrift biedt, grijp ik aan om een woord van
diepgevoelde dankbaarheid uit te spreken.

In de eerste plaats aan U, Hooggeleerde WOLFF,
Hooggeachte Promotor, voor de hulp en voorlichting
mij bij het samenstellen van dit proefschrift zoo wel-
willend verstrekt.

Wees er van overtuigd, dat de liefde voor de Analyse,
die Gij door Uwe heldere en hoogstaande colleges bij
mij wist op te wekken, van groote invloed is geweest
op de keuze van mijn studierichting.

Hooggeleerde DE VRIES, als een buitengewoon
voorrecht zal ik het steeds blijven waardeeren, dat ik
gedurende vijf jaren Uw leerling mocht wezen.

Ten slotte een woord van erkentelijkheid aan U
Hooggeleerde Heeren ORNSTEIN en NIJLAND, wier
lessen ik het voorrecht had te mogen volgen.

...... — K-7f ■ .-.J\'ia

jjf^\'ïîHSçi^oH .li \'iT.^\'- - sL fï| " ,

\'>» ■ - ■. ■ -■ \' - ■

^Jf«\' Of-V ^W

■■ri^ isb .fWTKidl^iîfîw fék ii;., \'

trfm\'J! wU iw ^fctwrr-\'^.

♦y fe^^jîh.îhîrîsi^? ««v bioow -^rm. nnob^ üvT.

INHOUD.

HOOFDSTUK 1.

Convexe en concave functies. Voorbeelden.
Eerste eigenschappen. 1

HOOFDSTUK II.

De convexe functie in het bijzonder. Begrensd-
heid. Continuïteit. 13

HOOFDSTUK III.

Afgeleiden. Verband tusschen monotone en
convexe functies. Aanvulling en uitbreiding
van hoofdstuk II. 36

HOOFDSTUK IV.

Functies samengesteld uit convexe, concave,
lineaire functies. Functies van twee of meer
veranderlijken. 48

HOOFDSTUK V.

Convexe en concave functies gegeven op
een verzameling van reëele getallen. 57

Litteratuur. 77

«t

\'^^M^mm^rw onm ■ .

■ a y^immœn

, ■ ■ Î "-ar V / \' -

ïi-»- V

. ■ Iq ^jiN?*

• .V y^a\'p^iHooH

\'jo nrv\'^\'". iv.v/^\'.^v \'V^-/

."ïüüïeïoJjiJ

HOOFDSTUK L

Convexe en Concave functies. Voorbeelden»
Eerste eigenschappen.

§ 1. Definitie convexe functie.

Als op een interval {a, b) voor iedere a<^x<^b een een-
waardige en reëele functie f{x) van de reëele veranderlijke :c
gedefinieerd is, zoodat voor elke twee punten .Vj en .Vj waarvoor
tegelijk

C^b en a atj <C

geldt, voldaan wordt aan

r(Xi a:2\\ . f{Xi) -f fix^)
t —;;- < —^---

«^an noemen we f{x) convex op het interval (a, b).

ïs de functie gegeven op het segment {a. b) d. w. z. met
inbegrip van de punten a en b dan worden in de definitie alleen
de eerste twee ongelijkheden veranderd in

a a:, <1 b en a at^

Als in het bijzonder overal op {a. b) dus voor elk paar {x^, .Vj)
= teeken geldt, dan noemen we de functie lineair op (a, b).

§ 2. Definitie concave functie.

Als op een interval (a, b) voor iedere a < x < 6 een een-
^aardige en reëele functie f {x) van de reëele veranderlijke

gedefinieerd is. zoodat voor elke twee punten en waarvoor
tegelijk

a<JC, en a<X2<b

geldt voldaan wordt aan

j ^ fM

dan noemen we f{x) concaaf op het interval (a, b).

Voor f{x) gegeven op het segment (a, b) geldt dezelfde op-
merking als in § 1.

§ 3. Verband.

Uit de §§ 1 en 2 volgt onmiddellijk, dat lineaire functies te
beschouwen zijn als gemeenschappeHjke grensgevallen van convexe
en concave functies.

Is f{x) convex op (a, b) dan is volgens def. 1

2 f < fix.) fM.

of:

- 2 ƒ> - fU) - fM-

Stelt men nu ^^ (x) = — f(x), dan wordt:

> ^^ (^l) f (J^l).

en is volgens def. 2. 9 (jc) concaaf op (a, b).

Omgekeerd als f{x) concaaf is. zal <p(x) = - f(x) convex
zijn. Uit een eigenschap der convexe functies vloeit dus onmid-
dellijk een analoge eigenschap der concave functies voort.

Dit zal een reden zijn, waarom we ons dikwijls tot de convexe
functies zullen beperken.

§ 4. Stelling,

De som van n convexe of lineaire functies is een convexe functie
als minstens één hunner convex is.

Geg.: f^. {x) is convex of lineair voor k = 2...... n op (a, b).

Voor minstens één waarde ^ = A",. (1 < A-, < n) is (jc) convex.

n

Te bew.: F {x) =

is convex op (a, b).

Bewijs: Volgens def. 1 is:

2

waarbij het <[ teeken voor de waarde(n) k = k^ geldt.
Gesommeerd:

n , n n

ol

2  F{x,),

waaruit volgens def. 1 de convexiteit van F {x) op (a. b) volgt.
§ 5. Stelling.

Als f (x) convex is op {a, b) en c > O constant, dan is
^ {x) = c . f (x) convex op (a, b).
Bewijs: Volgens def. 1 is:

2 ƒ(;,,)

Dus:

2 Cf

Waaruit volgens det. I dc convexiteit van F {x) volgt.
Analoog bewijst men:

^Is f{x) convex is op {a, b) en O constant, dan is F{x)
c ■ f {x) concaaf op {a, b).
^Is f {x) concaaf is op (a. fc) en c > O constant, dan is F (x)
• W concaaf op (a, b).

f{x) concaaf is op (a, b) en c < O constant, dan is F {x)
^-fix) convex op (a, b).

§ 6. Voorbeelden.

f{x) — x^ is convex in ieder interval.
Volgens def. 1 moet dan:

of
of

0<(x, - x,Y.

Aan dit laatste is voor reëele x steeds voldaan, waaruit de
convexiteit van f{x) = x^ volgt.

2. [{x) — a-{- b X, a en b constant, is lineair in ieder interval.
Volgens def. 1 of def. 2 is hier:

^ lab x^ a -i- b

2 ^---^------ = {a b x^) {a i- b x^).

3. f{x) = a-^bx-\\-cx^\', a, b en c constant, is convex of
concaaf al naar mate c ^ O of O is.

Dit volgt direct uit de stellingen § 4 en § 5.

4. f(x) = is lineair in ieder interval dat j:=0 niet bevat,
anders convex.

n

5. f(x) = ^^ .| x — x^J j, alle c, ^ O, is lineair in ieder interval

1.= 1

dat geen der argumenten x,, Xj......x^ bevat, anders convex.

§ 7. De functie

L x>0.p>\\.
Gaan we uit van het bekende quotient:

^{if- = a"- \' a"-^ 6 ...... a"-" b"-\' ..........fc""\'.

Stel a > 6 > 0. Het rechter lid is dan <p. maar >p. 6\'\'"\',
We hebben dan de ongelijkheid:

p. a"-\', (a - 6) > a" - 6" > p. (a _ b).

Neemt men nu twee argumenten x en y, zoodat

x>y>0 ,

en

x-^y

<x

a — X
dan volgt hieruit:

x y^p

JC"-

2 .

of

(1)

dan wordt (1):

AT"" y-" > 2

. 2 \\P

>2 - , - =2

Volgens def. 1 is dus x ^ convex voor
Voer in (1) de substituties uit:

Vp

y^y

dan wordt (1):

J/>2(

of:

2

Volgens def. 2 is dus ^ concaaf voor a:> O . 0<p<l.
Uit (2) volgt:

iJ^y" ^ 4-y- ixy)\'" > y\'"

is nog waar voor p= 1. Dus volgens def. 1 is a"\'\' convex

voorx>0 . 0<p<l.

Deze vier stellingen geven nu het middel om voor elke waarde
van p tot de convexiteit of concaviteit van x^ te besluiten.
Namelijk:

yf is convex voor x>0 en p<0 volgens stelling 2 en 4.
x^ is concaaf voor x>0 en 0<p<l volgens stelling 3.
x^ is lineair voor a:>0 en p = 1 volgens def. 1.
x\'\' is convex voor x>0 en p> 1 volgens stelling 1.

§ 8. De functie a b x^.

Volgens de def. 1 en 2 moeten we onderzoeken de ongelijkheid

_ _ > t/ 1x4-UV

U.^-bx^ / a 6

Stel nu

a>0 en

Quadrateeren geeft

of

ab {x - i/)^ = O

Dus zal y a i- b xj convex zijn voor a > O en 6 > 0. Is echter
ab<C,0 en blijft het binomium onder het V teeken > O, dan is de
functie concaaf.

§ 9. De exponentieele cn logarithmische functies.

We zullen aantoonen dat de functie e" convex is in ieder
interval. Stel dat dit zoo is, dan moet

e" 4- e^" > 2 e^

of

c X c y

cx , CU ~ 2 2

e e"^ 2 e . e

of

cv

cx , cy 2 2

Cf cy cy \' cx

2 2 2 2

e . e e e

Het is bekend, dat de som van een positieve breuk en haar
omgekeerde minstens 2 is. Dus is f{x) = e" convex en wel in
ieder interval.

De functie f{x) = log x is concaaf in het interval (O, co).
De ongelijkheid

log X -f log y < 2 log ^^^

is geliikwaardig met

xy<\'

Omdat ;c>0 , y^O , volgt deze weer uit

O <{x-yr,

waaruit de concaviteit volgt.

§ 10. Is f{x) eindig, continu en differentieerbaar tot en met de
tweede orde, is het dus een „gewone" functie, dan geeft de
reeksontwikkeling van Taylor een eenvoudig kenmerk voor de
convexiteit of concaviteit.

Neemt men n.l. de argumenten x — h, x, en at Zï, dan is:

2

fix -h) = f{x)-hf\' ix) ^riX2)\'
x<^xf<lx h cn X— h<^Xj<Cx.

f{x -h) fix h)-2 fix) = h\' f "{x\'),
waarbij x - h <^x\' <Cx h.

Stelt men nu x — h x^ x h = Xy dus at = ^ ; brengt men

def. 1 en 2 op de vorm

dan volgt uit

ƒ u,) ƒ w - 2 ƒ (fL^) =r V).

fix) convex is als f" W > o, concaaf als f"{x) < o.

Meetkundig beschouwd zegt de definitie van convexe functie,
dat de ordinaat of de functiewaarde van het punt dat midden
tusschen x, en JC2 hgt, niet grooter is dan de halve som der
functiewaarden in die 2 punten of dat de functiewaarde in het
midden niet boven de lijn uitkomt, die de functiewaarden in de

uiteinden verbindt.

Uit de differentiaalrekenmg is ook bekend dat het positief zijn
van de tweede afgeleide een waarborg is, dat de kromme, die
de functie voorstelt, haar bolle zijde keert naar de x-as, gezien
vanuit de negatieve y-as,

In de gevallen van de in deze § beschouwde „gewone" functies
krijgen onze begrippen convex en concaaf de beteekenis, die men
er gewoonlijk aan geeft.

Nemen we de functie ƒ (x) = sin x.
Voor

2k^<x<C(2ki l)\'^ (fc = 0,l,2......)

is — sin x<^0, dus de functie concaaf; voor

(2/t—l)^<x<2fcT 1.2......)

is — sin x>0, dus de functie convex.

§ 11. Definitie bovenste grens en onderste grens.

1. Een verzameling reëele getallen j a | heeft een eindige bo-
venste grens G, als voor e gegeven en willekeurig klein positief:

1\' geen der getallen ) a | grooter is dan G ^ ,

2\' minstens één getal uit ) a | te vinden is grooter dan G — e,

Is daarentegen voor ieder getal N positief een a te vinden grooter
dan N. dan zegt men : De bovenste grens der getallen ) ^ ( is

2. Een verzamehng reëele getallen ) a | heeft een eindige on-
derste grens g, als voor e gegeven en willekeurig klein positief:

1\' geen der getallen kleiner is dan g — e,

2\' minstens één getal uit j a j te vinden is kleiner dan g

Is daarentegen voor ieder getal n negatief een a te vinden kleiner
dan n, dan zegt men: de onderste grens der getallen | a | is — co-

§ 12. Stelling.

Is f{x) convex op het segment (a, b) en naar boven begrensd,
dan is het grootste der getallen f{a) en f{b) bovenste grens op
{a,b).

Zonder aan de al-
gemeenheid te kort te
doen mogen we stellen
m>f{a).

Stel dat de bovenste
grens G\'<^f(b) is.

Noem
f{b) - G\' =

f{b) overschrijdt dan
G\' y=G\'-Fe. het-
geen in strijd is met
def. § 11 - 1.

Stel de bovenste
grens G">f{b).

Noem

G" - f(b) =

Dan is er een punt «, waarvoor

Wegens de convexiteit van f{x) geldt voor « — a^ b — a in
het punt «,, gegeven dooc

« — «i —b — a (fig. 1)

de ongelijkheid

-/•(6) = 2S ƒ(«)  ƒ(6).

Of

hetgeen in strijd is met de definitie van bovenste grens §11 — 1.
Als n — a<^b — a, dan zoeken we a^, zoodat

a== a — a

Dan i

en zoo teruggebracht tot het vorige geval.

Is juist n — a—b — a, dan wordt aj = a cn zou

m>m.

In de 3 gevallen komen we dus in strijd met de onderstelling
dat G" de bovenste grens is. Dus is de bovenste grens — f{b).

§ 13. Stelling 1.

ƒ5 f(x) convex op het segment (a,b) en naar bo.en begrensd,
dan is voor iedere a<x<b voldaan aan

fix)-fia) /

Meetkundig beschouwd beteekent deze stelling, dat de functie-
waarden op het segment (a. 6) gelegen zijn niet boven de rechte

tusschen de punten [a. f(a)] en [fc. f ((>)]■
^nder aL de algemeenheid te kort te doen kunnen we de

fix) als volgt transformeeren:

Stel

x=a x\' ib — a),
dan wordt ia, b) vervangen door (0,1).

Stel

en vervang dan x" weer door x. , ^ nx

dL is te bewijzen dat voor O < x < 1. fix) <x ƒ (1) = c x.(c>0)
Bewijzen we de stelling eerst voor de duale punten met argu-
menten

^ a < 2" en geheel positief.

X =

2"

Uit def. 1 volgt
Verder

fi-^)<if(o) im<TC.

en

Onderstel voor « = 1.2.......(« — 1)

Bewijzen we dan deze ongelijkheid voor
Als a = 2 n, dan is

Als a = 2 n 4" 1 , dan is volgens de convexiteit

2n 2\\

2« /

n -f 1 I 2n l

2"-

Stel nu X ^ ^ en

[{x)yxc.
Volgens dc stelling § 12 is zeker

c>f{x).

Noem

f{x) = xc-\\r li-

Op (0,1) is er een x\' waarvoor

(fig. 2)

c

a

Neem een interval (?,,=j) met eindpunten van den vorm —
zoodat

Neem dan het duale punt /\'i op , h). Dan is

Als nu 72 zoo ligt dat

I - ri I == I - X I , dan is
f N > 2 ƒ (x) - ƒ (r,) > 2 X c 2 /? - r2c = 2 (x c /?- c) c.

Kies nu het duale punt n op (-u -"2). Dan is

f{r3)<r^c<h c.

Als nu yi zoo ligt dat

! r2 — r3 I = U4 - 1 , dan is
ƒ (r,) > 2 ({72) - [ N > 4 (x c - ^^2 c) c^ c.

Door de sluitrede van n op (n 1):

ƒ (r2„) > 2" (x c /3 - c) ?2 c > 2" (x c ^ - f2 c).

Voor welke waarde van n zal nu:

f{r2n)>cl

Dan moet

2" {xc ft - ^2C)y c of

^^-X^s-of

\'^xc p — S2C

\\ log A
n>

log 2

Vanaf zekere eindige n zal dan f {r2„) > c hetgeen in strijd is met
de stelling § 12,

De hierboven bewezen stelling zegt dus, dat de begrensdheid
naar boven voor een convexe functie, gegeven op het segment
(a, b). voldoende is om te maken, dat de functiewaarden niet
boven de lijn / = ) a, f {a) —b, f {b) ( uitkomen,

Dc begrensdheid naar boven is echter ook noodig. Want
liggen de functiewaarden nergens boven /, dan is de functie naar
boven begrensd of als de functie niet naar boven begrensd is,
dan moet ergens de functiewaarde boven / komen.
Eindelijk volgt uit de stelling nog:

_ Stelling 2.

Is f (x) convex op het segment (a. b) en komt de functiewaarde
in één punt van {a, b) boven de lijn ) a, f (a) — b, f {b)
uit, dan is f (x) niet naar boven begrensd.

HOOFDSTUK IL

De convexe functie in het bijzonder» Begrensdheid.

Continuiteit.

§ 14. Stelling.

Is [ (a:) convex op het segment (a, b), dan is voor alle punten
r. die {a, b) in rationale stukken verdeelen

f{r)<9= Max)f{a)enf{b)\\ .

Bewijs: Neem op (a, b) .v,, Xy .V3, x^ willekeurig.
Dan is volgens def. 1

JC, JC2 A-j x^\'

4

< -\\f(x,) i fix,) 4- 4 ƒ

Stel deze formule geldt voor 2"" punten. Wij zullen dan aan-
toonen. dat hij ook voor 2"* \' punten geldt.
Zeker is

.V,-" I

«m

en volgens def. 1 is dit

-V 1

1 C 1

2m I

We krijgen dus de algemeene formule, geldend voor m > O
geheel :

jm

jm

1

i:

^ = 1

V = 1

Stel nu n > 0 geheel en < 2". Kies dan

X.

, = 2

Dan wordt (1) :
2\'"f

2- " n ^

, = i

II

2\'"f

" „ = 1 V = l " .\' = 1

(2)

i; = l " — 1

Deze formule geldt dus voor n willekeurige punten, x, van
(a, b) en zegt dat de functiewaarde voor het gemiddelde van die
n\' punten hoogstens gelijk is aan het gemiddelde der n functie-
waarden.

Om tot het bewijs van de stelling te komen, zullen we eerst
een kleine transformatie uitvoeren.

Stel X = a x\' (b - a)

Dan is voor x\' = O , x = a
en voor x\' = 1 , x = b.

Vervang dan x\' weer door x.

De rationale deelpunten van het interval (O, 1) hebben dan
rationale coordinaten

m
n

m en n geheel: 0<^m n.
Substitueer nu in (2):

= =0
n —\' m

X

n — m 1

Dan gaat (2) over in :
Is g het maximum van f (0) en f (1) dan
§ 15. Stelling.

Is f{x) convex op het segment (a, b), dan is voor alle punten
r, die {a, b) in rationale stukken verdeelen

f(r)-f{a) ^ f{b)-f ja)
r — a b — a

Door een eenvoudige lineaire transformatie kunnen we het
segment {a. b) door (O, 1) vervangen en ƒ (0) = O doen worden.
(Zie § 13). Dan is te bewijzen, voor

x = r=—. 0<p<f/ . pen<7geheel,
R

c.

q

Stel eens f

Dan zou volgens def. 1

_1_

En

of

Volgens de def. 1 kan men schrijven

..........

\\ <7 \\ a r a

Zoo voortgaande komt men tot

>- c

en

ni)>c,

hetgeen tegen het onderstelde is.

Opmerkingen.

L Voor naar boven begrensde functies vallen de stellingen van
de §§ 14 en 15 onder die van de §§ 12 en 13.

In het algemeen kan men dus zeggen, dat de grafische voor-
stelling van een convexe functie overal dicht (n.1. in de rationale
deelpunten) niet boven de rechte

\\a,f{a) - h.f(b)i komt.

2. De ongelijkheid (1) geldt in het algemeen voor 3 punten
gegeven door de argumenten

—o"^\' y < y)-

De definitie der convexiteit geeft namelijk

\'X y\\

-fW f{y)-f

- < -

x y

y —

In woorden: De richtingscoëfFicienten van de zijden van een
convexe polygoon, wier zijden zich als gelijke stukken op (a, b)
projecteeren, nemen monotoon naar rechts toe.

§ 16. Stelling.

Is f{x) convex op het segment (a, b) dan is ze op de verzamC\'-
ling der rationale deelpunten r van (a, b) continu.

Bewijs: De overal dichte verzameling r geeft aanleiding tot
f{r). een deelfunctie van f{x). Stel a = O, b=\\. (Zie § 14).

Zij r rationaal, O r 1, verder n ^ 2 en geheel. Kies een
rationaal getal h, zoodat r±nh nog in (O, 1) ligt.

Gebruik nu formule § 14 — (2) en stel:

x, = r ± n h, x^ — x.—......= x — r.

1 z j n

Dan wordt

nr±h) <1- f(r±nh)  fir)

n n

of tegelijk

( f[r h) - fir) < fir nh)-f{r)

n

fir) - fir - h)>

n

Wegens de convexiteit van fix) is

fir h)-fir)>fir)-fir-h).

Dus

n n

Maar r.h,r±nh zijn rationaal. Dus volgens stelling §14
fir - nh) en fir nh) < ^ = Max. j ƒ (0), ƒ (1)

Dus

tW^ Cfir) _ fir _ h)<fir h) - fir)< . . .

Neem r vast. Laat n onbegrensd toenemen en h overeenkomstig
naderen tot O, dan is

lim jf(r±/,)_f(r)j=0,
h — 0

als h door de rationale deelpunten tot O nadert.
§ 17. Stelling.

Is fix) convex op het segment (0. 1) en O <r< 1 een rationaal
deelpnnt, dan is de deelfunctie f{r) op [Q. \\) naar onderen begrensd.
Bewijs:

We gebruiken de grondformule (2) van § H en stellen

Dan wordt " \'\'

t {n-\\)\\

nf

<fir) {n-l)f{i),
-fii)] f{i)

of

f{r)>-n

Volgens de stelling van § 15 is f{x) voor x = i ten opzichte
van de rationale punten continu. Dus is er een ^ > 0. zoodat
wanneer ? rationaal en | ? | < s, ook

1

1

-fi^ <1

Q. E. D.

§ 18. Stelling.

Is f{x) convex op het segment (O, 1), dan is zij op het deel-
segment \'\'/^r^l -(\'5 è^) op de verzameling der rationale
deelpunten gelijkmatig continu.
Bewijs:

Volgens de stelling § 15 is f{r) op (O, 1) continu.
Volgens de stelling § 16 is f{r) op (O, 1)> u.
We moeten aantoonen, dat bij gegeven \'\' ^ O er één

. = . {.1, r,) > O
is, dat voor elke r, en r^ rationale deelpunten en

\'"l - \'\'2 I < "

voldaan is aan

We gebruiken nu de formule §15 — (1). Dan is

^^ < f{r) - f{r - h) < ƒ (r -f- /,) - f(r) < ^

fir h)-f{r)

(Hierbij moet r ± nh nog in (0. 1) liggen. Vergelijk § 15.)
Kies nu n ^ 2 zoodat

g — u

Maar r, en r^ liggen in het interval

en is nu:

-f n (fj - r,) < r, n [r^ - r,) < 1 — n (r^ — r,)
— n e ^ r, n {r^ — r,) 1 — Vn s
0<r, n (r,-r,)<l

De formule

I f{r h)-f{r) |<\'^

hebben afgeleid passen we nu toe voor

r = r, en /i = r2 — r^.

Dat geeft

Q. E. D.

§ 19. StcUing.

Is f{x) convex op het segment (a. b) en niet naar boven èe-
grensd, dan is ze in geen deelsegment naar boven begrensd.
Bewijs:

Stel eens f{x) begrensd op een deelsegment («, dus voor
a<«<x</5<6.

f{x)<g.
Max. \\g,f{a),f{b)\\ = G.

X T\'

-^--4

a

(i è

Bij elke X van (a. b) behoort een x\' van {a.^) zoodat x een
rationaal deelpunt is van (a. x\') respectieflijk {x\', b). (fig. 3)

Om een bepaalde rekenwijze aan te geven, kunnen we als
volgt te werk gaan:

Hoe klein (a, p) is, steeds is er een n > O geheel zoodat

Verdeel dan {a,x) in 2n gelijke deelen en zet die voort tot
het eerste deelpunt, dat in («./S) valt. Dat deelpunt zij dan jc\'.

Ligt X in b) dan verdeelt men vanuit b naar a.

Nu gebruiken we de stelling van § H.

ƒ (x) < Max. S f(a). f{x\') j , resp. Max.) f{x\') . f{b) (.

Dus steeds

f{x)<G.

Maar dan zou f{x) op (a, b) begrensd zijn hetgeen in strijd is
met de onderstelling.

§ 20. Stelling.

Is f{x) convex op (a, b) en niet naar beneden begrensd, dan is
ze in geen deelinterval naar beneden begrensd.
Bewijs :

Stel dat op het deelinterval (-z. (i) de functie begrensd was. Dus
voor

Vervang ƒ (x) door f[x) — ƒ(«). Dan wordt

Is f[x) op (a,/S) begrensd, dan is ze het op (/J,;-) niet.
Kies n^ 2, geheel, zoodat

r-\'^<in{[i - a).

In {^i.y) is er een ? te vinden, waarvoor

fi^Xnu.

We gebruiken nu de formule § 14 — (2).

Stel X, =X2=... = =

Dan is

(n-l)«-f-c

f

Maar
Dus

Ook is

De ongelijkheid

(n - 1) « T

aanname, dat f{x)^u is op («, f^).

§ 21. Stelling.

Is f(x) convex op {a, b) en naar boven begrensd, dan is ze er
ook naar beneden begrensd.
Bewijs:

Stel dat op {a, b), f{x)<^g volgens het gegevene.
Was f{x) niet naar onderen begrensd, dan was voor

a 6 ,

X =

- 9

Nu is echter wegens de convexiteit (def. § 1):

a 6

/z 4- ƒ

a b\\

- /i >2/-,
2 / — \' \\ 2

en dit volgens (1)

a b

f

2

Dit strijdt met de aanname f{x) <^g.

§ 22. Stelling.

Is f{x) convex op (a. b) en niet naar beneden begrensd, dan
is ze ook niet naar boven begrensd.

Bewijs:

Volgens de stelling van § 19 zou de onderstelling van wel
naar boven begrensd zijn voeren tot tevens naar onderen begrensd
zijn, hetgeen in strijd is met het gegevene.

Opmerkingen.

1. We zullen aantoonen dat in § 18 het weglaten van een
eindpunt de geheele stelling kan te niet doen.
Nemen we de functie

x

voor

0<x<l.

Deze is convex volgens de stelling van § 7 — (4.)

Maar de functie is ook onbegrensd op het interval (O, 1). Toch

is ze begrensd in ieder deelinterval

De stelling gaat dus alleen door voor functies gegeven op cen
segment.

2. Uit de stellingen van de §§ 18--21 volgt nog dat de waarden

fix) =± co,

niet in geïsoleerde inwendige punten van (a, i>) kunnen voorkomen.
Is er één waarde • of — co, dan is overal dicht op (a, b) die
waarde te vinden.

Meetkundig zijn deze stellingen direct in te zien als men de
punten met functiewaarden ± co spiegelt om punten met eindige
functiewaarden.

De punten a en b maken hierop een uitzondering. De functie
kan bijv. voor a<^x<C.b eindig convex zijn en in x = a en
X = oo zonder aan de convexiteit afbreuk te doen.

3. Maken we nu een voorbeeld van een convexe functie die
in a en in fc eindig is en op (a, b) overal dicht

Daartoe splitsen we de getallen van (a, b) in 2 klassen (p) en
(q) met de eigenschap, dat de klasse (p) door spiegeling tegen
ieder getal van {q) overgaat in de klasse (q). Verder zullen a en b
bij (p) behooren.

We hebben dus het volgende schema :

X. X,

p p p

q p (I

q q q

p q q

Is de verdeeling klaar, dan stellen we

f{p) = Q en =

Nemen we b.v. (p) = de rationale deelpunten van (a, b)
(q) = de irrationale deelpunten van (a, b).

Volgens het schema zijn er dan 4 gevallen voor de functiewaarden

Hieruit volgt, dat volgens def. 1 de functie convex is.

§ 23. Definitie Onderste Grensfunctie.

Zij f(x) op (a, b) naar onderen begrensd.
Dus voor

fix)>a.

Een punt ? van (a. b) heeft een omgeving

waarvoor geldt:

De waarde m is dan de onderste grens van f(x) op — \'K f \'?)
en hangt natuurlijk van de keuze van ? en af. Daarom is op het
zelfde interval voor iedere - > O ook één punt minstens waarvoor

(def. §11 -2.)

Neem vast. Laat 0. Dan zal m rJ) niet kleiner worden,
m. a. w. monotoon stijgen, maar altijd <ƒ(--) blijven. Dus con-
vergeert m (>-,\'\') tot een limiet m (?).

Voor gegeven is nu m de onderste grens van f{x) in de
buurt van

De functie m (?) bij veranderlijke ^ is de onderste grensfunctie
van f{x).

§ 24. Stelling.

De onderste grensfunctie m {x) van een naar onderen begrensde
convexe functie is een continue convexe functie.
Bewijs der convexiteit van m (x)

Zijn Cl en ?2 willekeurige argumenten in het gedefinieerde interval
van f{x). Zij ^>0 willekeurig. Volgens de definitie van onderste
grens (§11 — 2) bestaat er een

zoodat voor

X —

f(x)>m

©

I

Kies x^ en x^ (fig. 4) zoo dat

<en ƒ (x,) < m (,-,) Y .

Dus

Xi X2 

en

Pas (1) toe op
dan

füli
\\ 2

Maar volgens de convexiteit is

^ ^ — 2

Hieruit volgt

i 2r~i 2

\\ 2 2

Dit geldt voor alle£>0. Dus

waarmee de convexiteit van m (x) is bewezen.

Beivt/s van de continniteit van m {x), uitgezonderd voor de eind-
punten van het segment (a, b).

It

3Ci X ^x X

Om ieder inwendig punt van (a. b) kan men een interval
leggen, (x,. x^) zoodat I een rationaal deelpunt van {x , x) is (fig 5 )
Beschouwen we nu de deelfunctie m {r) van de con4xe functie
m{x). Volgens de stelling § ) 5 is m (r) op de inwendige rationale
deelpunten van (x,. x^) continu.

Er is dus een ^ > O, zoodat voor

^ — I <C ^ en binnen (x,. x^)

mir) - m

In dit geval mogen we schrijven

m(r)<m(^)-f

want een deelverzameling kan zeker geen kleinere onderste grens
hebben dan de verzameling, dus m (r) > m (--).
Verder beweren we nu dat voor

m(x)<m(c)-f-\'>\\

Daartoe moeten we laten zien, dat in ieder interval om x een
punt X ligt, waar

Want dan moet ook

Zeker ligt in iedere omgeving van a: een rationaal deelpunt van
{:c,, x^ dat ook nog in

r —

ligt en waarvoor dus

In de omgeving van r, ook nog in de omgeving van x ligt er
dus een punt x, waarvoor

fW<m{r)

Maar dan is ook

Dus in een omgeving van ^ is:

m (j^) < ni (i)
Er is echter ook een omgeving van waarvoor

(def. ond. grens)

Dus daar is ook

m{x)>m (c) - y >m(f)-\'J.

Dus is m (x) continu voor de inwendige punten van (a, b).

Bewijs van de continuiteit van m {x) in b.
In het interval fc — is (fig. 6)

f{x)>m{b)- —

m (x) ^m{b) — \'l
L

—\' I I

I\' I

In dat interval ligt ook een punt Xi waar:

dus

m(x,)<m(&)
Maar m (x) is continu in x, dus in een interval 5 om Xj:
m (x) - m (x,) I < ~

of

m (x) < m (Xj) ^ ^ _j_

Bij ieder punt x tusschen Xj en b behoort nu een x\' in 5,
zoodat X een rationaal deelpunt van (x\',b) is. (Zie § 19).
We gebruiken nu de stelling van § 14.

m (x) < Max. j m (x\'), m (è) j < m (b)

In het interval ^ is dus:

m (x) y m{b) —

en m (xX m {b) \'K

Dus m (x) is continu in b.

Analoog wordt de continuiteit in a bewezen.

§ 25. Stelling.

Komt de functie f{x). die convex is op het segment (a, b) in
minstens één inwendig punt van (a, b) niet overeen met haar
onderste grensfunctie, dan is ze niet naar boven begrensd.
Bewijs:

Zij voor X = >, ƒ (x) ^ m (x). (a C^ b).

Stel ƒ(;) _ m(7) = p>0. •

We zullen aantoonen, dat ergens op (a, b), f{x) ^ g is.
Kies n^O geheel zoodat:

(" - 1) (\') > (g gegeven)

Men kan op (a, b) een waarde x = ^ — h vinden, dat

nog in (a, b) ligt en tevens

Dus

Omdat echter
is dus

of

We gebruiken nu formule §14 — 2, en wel:

= =.....= = ^ - = - ■l)h.

Dan i

n ƒ(?) < (n - 1) 

e (n - 1) h\\ > n j ƒ(,\') - -h)( - h).

-h)- m <

§ 26. Definitie half continu naar boven, half continu naar
bene\'den.

Volgens de definitie van de onderste grens m (x) in een punt
X {§ 23) kunnen we zeggen:

De onderste grens van f{x) in een punt x is de bovenste grens
van de onderste grenzen van functiewaarden in intervallen om x.

Een functie heet half continu naar beneden in een punt x als
daar de functiewaarde samenvalt met de onderste grens, als dus

f{x) = m{x).

Is f{x) voor alle a<^x<^b half continu naar beneden, dan
zegt men dat f{x) half continu naar beneden is in het interval (a, b).
Geheel overeenkomstig zijn de volgende definities:
De bovenste grens van f{x) in een punt x is de onderste grens
van de bovenste grenzen van functiewaarden in intervallen om x.

Een functie heet half continu naar boven in een punt x als
daar de functiewaarde samenvalt met de bovenste grens, als dus

f(x) = M(x).

Voor

m(x) = /-(x) = M(x)

is de functie continu in het punt x.

Nu kunnen we de stelhng van §25 ook als volgt formuleeren:
Is f{x) convex op het interval (a. b) en naar boven begrensd,
dan is f[x) in dat interval half continu naar beneden.
Was n.1. in een punt

f{x)i-m{x)

dan zou f{x) niet naar boven begrensd kunnen zijn.
§ 27. Stelling 1.

Is f{x) convex op (a, b) en naar boven begrensd, dan is ze
continu binnen (a, b).
Bewijs:

Volgens de stelling § 21 is f{x) op (a, naar beneden begrensd
en heeft dus een onderste grensfunctie, die begrensd is op (a. b).

Volgens de stelling § 25 of § 26 is f{x) in het inwendige van
(a, b) met m (x) identisch.

Volgens de stelling § 24 is m (x) in dit geval een continue
convexe functie, maar hier is voor

a<x<b.

m (x) = fix),

dus f{x) continu op het inwendige van (a, b).

Opmerking 1. We zien dus bij een convexe functie, dat de
begrensdheid naar boven voldoende is voor de continuiteit.

Noodzakelijk is die begrensdheid niet als de lunctie op een
interval is gegeven, zooals uit het voorbeeld van § 22. Opm. 1
blijkt. Is de functie op een segment gegeven, dan is natuurlijk
de begrensdheid noodzakelijk voor de continuiteit.

We hebben dus

Stelling 2.

De noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor de continuiteit
van een convexe functie op het segment (a. b) is het naar boven
begrensd zijn.

Hieruit volgt weer, dat een discontinue convexe functie niet
naar boven begrensd kan zijn. Het is ook daarom dat we in § 22
Opm. 3 een discontinue convexe lunctie zochten onder die met
functiewaarden co.

Stelling 3.

Is f{x) convex op het segment {a, b) en naar boven begrensd,
dan is f{x) daar half continu naar boven.

Bewijs:

Voor het interval (a, b) is de stelling reeds bewezen door stel-
ling 1.

Stel nu b.v. in a:

f{a)>U{a).

Dit kan niet, want dan zou f {a) zelf de bovenste grens zijn.

Stel dan

/•(a)<M(a).

Dan zou er een reeks van punten zijn, met de voorwaarde, als

« —> a,

n

dan

Uit de definitie van convexiteit volgen nu voor de argumenten

a. a « a 2«........, a -f p-^. (p> O, geheel)

de betrekkingen

ƒ (a 2 «) > 2 f{a «) ^ ƒ (a) = f{a) 2 j ƒ (a «) ^ ƒ (a) j.
/■(a 3«)>3f(a «)-2f(a)-/-(a) 3jf(a «)^ f(a)j.

f(a p O) > p /-(a «) - (p _ 1) ƒ(a) = ƒ (a) p) ƒ(a «) - f(a)
Is /^n het aantal geheelen van de breuk

b^a

«n — a

dan zou dus
f\\a K - a) (>f(a) -f j /•(«„) - /"(a) (.

Als

n -j- co,

dan

/^n 4 CO,

en

wegens

ƒ(«„)_ƒ(a).^ M(a)-ƒ(a)>0.
Dan zou dus f(x) niet naar boven begrensd zijn. Dus moet

M(a) = /-(a)

zijn.

Het bewijs der stelling voor het punt b is geheel analoog.
Opmerking 2.

Is f{x) convex op het segment (a, b) en naar onderen begrensd
dan behoeft niet f(a) — m (a) te zijn.
Men neme slechts het voorbeeld:

f(x) = 0. als a<x<6.

f(a) = l

m=i.

We zien hier de convexe functie op het segment (a, b), terwijl
^ m (a) = O

en

f(a)=l

en f(x)

naar onderen begrensd is.

§ 28. Stelling.

Is f{x) convex op (a, b) en is f{x) niet identiek met m (x) in
het inwendige van (a, b). dan is de functiewaardenverzameling
overal dicht op het interval: onderste grens tot •4-c>j.
Bewijs:
We stellen

a<c<fc

en

We zullen aantoonen: Voor elke > O is er een x, zoodat

X

f{x)~y>

Volgens de stelling van § 24 is m [x) continu. Er is dus een
zoodat voor

X —

>m{x).

We kunnen ons tot de \'^\'s bepalen, die kleiner zijn dan

Min. (

Dan is voor

Volgens de stelling van § 25 is f{x) niet naar boven begrensd,
omdat ze op het inwendige van (a, b) niet met m (x) identisch is.
Volgens de stelling

van § 10 geldt hetzelfde voor het interval

X

We kunnen dus x^ zoo kiezen, dat

en

Kies verder x^ zoodat

c - |<
/(x^Xv-\'K

Dit kan omdat voor j x - f j voor de onderste grens geldt

en in willekeurige nabijheid van de onderste grens functiewaarden
liggen.

©
-^-

CL X\' X, U \\ ^

*Men kan nu x\' en op (a. b) zoo kiezen, dat Xj en jc^
inwendige rationale deelpunten van het interval (x\', x") zijn. (fig. 7)

Volgens de stelling van § 18 is er dan een continue functie
F (x), die met f{x) in de rationeele deelpunten van {x\', x") samen-
valt, dus ook in x^ en x^.

Deze F (x) is voor x^ grooter dan en voor Xj kleiner dan

— \'K Zij neemt in een tusschenpun^x dus de waarde >/ aan en
in voldoende kleine omgeving van x. waarden die minder dan
van ft verschillen, (continuiteit!)

In die omgeving liggen ook rationale deelpunten van {x\'.x"),
waar F (x) = f{x) is.

Dus zijn er zeker tusschen x, en Xj, d. w. z. in

lx—\'? <C\'\'

punten waar

is. . Q. E. D.

§ 29. Stelling.

Is f{x) convex op (a, b) en niet naar onderen begrensd, dan
is de functiewaardenverzameling overal dicht ophetvak{- oo ,-\\-c<i).

Bewijs :

Volgens de stelling van § 22 is f{x) niet naar boven begrensd
op (a, b).

Is dus a > b en V willekeurig, dan is bij gegeven ^ O
de functie f{x) op

X — <r

niet naar boven en niet naar beneden begrensd volgens de stel-
lingen van de §§ 19 -20.

Men kan dus x, en x^ vinden, zoodat

en

en tegelijk

- —

en

Maken we nu dezelfde redeneering als in § 28 vanaf het teeken
. dan kan men ook hier aantoonen, dat f{x) tusschen x, en x,
dus op

ix - ?

een waarde tusschen v —en moet aannemen.

HOOFDSTUK IIL

Afgeleiden. Verband tusschen monotone en convexe

functies»

Aanvulling en uitbreiding van hoofdstuk II.

§ 30. De stelling l van § 27, welke in het vorige hoofdstuk
gevonden is door bestudeering van de onderste grenslunctie, kan
ook direct worden afgeleid uit de formule .(2) van § 14.
Stel dus:

^ ^......

\\ " , " \\ >

Als

n>m, X, =^2 =.....=  , =.....= x = x,

dan is

f{x m ƒ (a: n ^ f{x\\

of

/•(x n.?) -

n ~~ m

Vervang o door — en stel

a<^x — n rj X no<^b,

dan is

f{x)-f{x-mê)y f{x)-fix-
^ m n

Uit de convexiteit volgt

f{x ms)- f{x)>f{x) -f(x-m ,5).

Dus

fi^n - f{x) ^f(x m c?) - f{x) ^ f{x) -f{x-mê)^ f(x) -f{x-n^ ^^^
n — m f" "

Onderstellen we /"(a:) begrensd naar boven,

fix)<U.

stel

m = 1,

dan gaat (1) over in:

n "

Laat nu rJ O, tegelijk n —» co, zoodat

a ± nó<^b

blijft. Dan is

lim. \\f{x-\\-.j)-f{x)\\^0.

Voor de punten a en 6 bestaan de grenswaarden

lim. f{x) en lim. f{x).
X = a^ x = b~

Volgens de convexiteit kan de functiewaarde in elk dier punten
niet kleiner zijn dan genoemde limiet.

Geheel analoog komt men tot de volgende
Stelling. Is f{x) concaaf en naar beneden begrensd op het
interval (a, b), dan is ze op het interval (a. b) continu.

Een lineaire functie is dus continu als ze óf naar boven óf naar
beneden begrensd is. Volgens de opmerking 1 van § 15 en de
daarmee analoge voor concave functies, komt een lineaire functie
overal dicht op de rechte ] a. f{a) - b. f{b) j. Maar de functie is
continu, dus wordt een begrensde lineaire functie door een rechte
lijn voorgesteld.

§ 31. Stelling 1.

Is f{x) convex op het interval (a. b) en naar boven begrensd,
dan heeft ze in elk punt een rechter- en een linker afgeleide.
Tevens geldt

fl{x)-f^{x)>0.
Bewijs. Substitueer in de formule § 30 — (l), — in plaats van
stel «^>0, dan:

n n

Laat nu
als

Dan is

--T^J

Men ziet dat bij afnemende het differentiequotient

f{x -f - f{x)

nooit groeit en dat het niet kleiner kan worden dan

f{x) - f{x - ^V)
d\'

voor willekeurig. Dus

hm.   . f{x)-f{x-\'y)

rJ = 4- O ^ <y

Ieder rechter differentiequotient is eindig vanwege de begrensd-
heid van f{x). De rechter afgeleide als limiet van niet toenemende
eindige differentiequotienten is dus <C
Analoog is

hm. ƒ - - ^ f{x n~f{x)
= -jl O \'J\'

Ieder linker differentiequotient is eindig, neemt niet af bij af-
nemende <\\ en is hoogstens gelijk aan een rechter differentiequotient
voor dezelfde waarde van x. Dus is

- C<5<L<R< C>D.

Verder zullen we aantoonen, dat L en R monotoon niet af-
nemende functies zijn bij toenemende x.
Beschouw twee argumenten x^ en jcj,

x,

Maak de differentiequotienten

-fix,) ^^ fix, \'^)-fix2)

In verband met Opm. 2 § 15 mogen we zeggen, dat het eerste
quotiënt hoogstens gelijk is aan het tweede. Gebruiken we in
beide dezelfde dan is bij de limiet ook

Analoog vinden we dat

f\'_ix.)< f\'jx,).

Als we nu bedenken

Een monotone functie heeft hoogstens aftelbaar veel

discontinuiteitspunten;

2\'. Is in een punt a: één der afgeleiden continu, dan zijn ze
het allen en hebben dezelfde waarde zoodat de functie daar dus
differentieerbaar is;

dan hebben we de stelling:

Stelling 2.

De rechter- en linker afgeleide van een convexe naar boven
begrensde functie zijn eindige monotone functies, die hoogstens
in aftelbaar veel punten verschillen.

§ 32. Stelling 1.

Een naar boven begrensde convexe functie is gelijk aan de
integraal van een eindige monotone ßnctie.

De rechter afgeleide van een convexe functie is als monotone
functie Riemann integreerbaar.

Stel nu

j f\'_^ix) = Fix) , a<x<b.

a

Volgens de eigenschappen der integralen zal de rechter afge-
leide van F{x) gelijk zijn aan

welke waarde eindig is voora<A:<6. De functies F en ƒ
hebben daar dus overal dezelfde eindige rechter afgeleide. Dus
F-/" heeft daar overal nul tot rechter afgeleide, derhalve isF—f
constant voor a<x<6. Omdat nu voor

x = a
F - ƒ = O,

is zal ook

F — f=Q voor

SteUing 2.

De integraal van een eindige monotone functie is een {continue)
convexe functie van de bovenste grens.
Neem de argumenten

X, , X2 , —2—

Dan hebben we afs f{x) de bedoelde monotone functie is:

f{x)dx =

Uit de monotonie van f{x) volgt echter:

„ -f" Xj

-f" •\'^l

Dus

waaruit volgt dat de j een convexe functie van x is.

Uit de twee laatste stellingen volgt dus de identiteit van
continue convexe functies en integralen van monotone functies.

Zij f{x) een functie op (a, b) met een eindige monotone rechter
afgeleide ƒ {x).
Dan heeft de functie

X

m-j\'f\'^ix)

f

nul tot rechter afgeleide in alle continuiteitspunten van f^ . dus
overal uitgezonderd hoogstens in aftelbaar veel punten, terwijl de
rechter afgeleide nergens ± co is. De functie is dus constant.
Derhalve is f{x) convex volgens stelling 2.

Omgekeerd heeft iedere naar boven begrensde convexe functie
een eindige monotone rechter afgeleide; we hebben dus:

Stelling 3.

De noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor een naar boven
begrensde functie om convex te zijn op een interval (a, b) is het
bezitten van een eindige monotone rechter afgeleide.

Opmerking. In stelling 3 mag rechter afgeleide door linker
afgeleide worden vervangen.

§ 33. Stelling 1.

Als een eindige convexe functie op een nog zoo klein interval
naar boven begrensd is, is ze op ieder interval binnen het gegeven
segment (a, b) naar boven begrensd.

Stel voor

f{x)<M.

Neem een argument x
willekeurig buiten («,
bijvoorbeeld rechts van

Neem nu x\', zoodat

Dan bevat («, p) een punt «\' zoodat x\' een rationaal deelpunt
van («\', x) is.

Gebruiken we nu de stelling van § 15, dan kunnen we zeggen
dat f(x\') niet boven de lijn

)\'/ƒ(«\') - x,f(x}f

hgt dus zeker niet boven de lijn

j «\'.M — X f(x) (.

of de lijn

- x,f(x)^^ = BP.

Hieruit volgt dat f(x) op (iKx) naar boven begrensd is, hoe
dicht X ook bij b ligt.

Analoog voor een punt y op (y,«), hoe dicht y ook bij a ligt.

Opmerking. Is gegeven, dat f{a) en f{b) eindig zijn, dan mo-
gen we nemen

x = b en y = a.

Dan is f{x) op het segment (a, b) naar boven begrensd. Deze
uitkomst is dan ook geheel in overeenstemming met de stelling
van § 19, welke eveneens f{a) en f{b) eindig onderstelde.

De stelling 1 van § 27 kunnen we dus nu als volgt uitbreiden:

Stelling 2,

Is f{x) convex en eindig op het segment (a, b) en op een
nog zoo klein interval naar boven begrensd, dan is ze continu
op het interval (a, b).

§ 34. Stelling 1.

Is f(x) convex en eindig op het segment {a, b) en op een nog
zoo klein interval naar boven begrensd, dan heeft ze binnen
(a, b) overal eindige afgeleide getallen.

O, p, PI f\\x\' XX"

Volgens § 33 stelling 2 is f{x) continu binnen (a, b). Neem
een punt x, zoodat

a<x<b.
Neem 2 punten p en q zoodat

a<P<x<q<b.
Leg om de punten p en q segmenten I en J zoodat

a < Pi < P < P2 < ^ en x< q, < q < Qj <

De rechten van ^ = {x,f{x)) naar de eindpunten der ordinaten op
I hebben twee extreme standen / en L. die kunnen samenvallen
(nl. als f{x) Hneair is op I en P juist op de rechte ligt die de
functie op I voorstelt). Analoog r en R voor J.
Kies x\' zoodat

P2<X\' <X,

dan bevat I een punt zoodat x\' een rationaal deelpunt is van
i^.x). Volgens de steUing van § 15. ligt f{x\') niet boven de lijn

dus zeker niet boven L.

Verder bevat J een punt v, zoodat x een rationaal deelpunt is
van {x\\ rj). Dus ligt f{x\') niet onder de lijn R\', het vedengde van R.
Evenzoo kies x" zoodat

dan bewijzen we op de zelfde manier, dat f{x") niet boven R en
niet onder U. het verlengde van L, ligt.

Dus heeft de functie eindige afgeleide getallen voor alle punten
van het interval (a, b).

Opmerking. De bewezen stelling kunnen we vergelijken met die
van de §§31 en 33. We mogen dan zeggen, dat zelfs in ieder
punt X van het interval

L = / en R = r

wordt als de punten p en q tot x naderen. Immers de functie heeft
zelfs overal een rechter en linker afgeleide.
We hebben dan:

Stelling. 2.

Is f{x) convex en eindig op het segment (a, b) en op een nog
zoo klein interval naar boven begrensd, dan is ze differentieer-
baar overal behalve misschien in aftelbaar veel punten.

§ 35. Stelling 1.

Is f{x) convex op het segment (a, b), continu en eindig op het
interval {a, b), dan heeft f{x) een eindige onderste grens op het
segment (a, b).

Was namelijk de onderste grens — co, dan moest die wegens
de continuiteit bereikt worden in a of in b.
Onderstel in b. Neem Xq willekeurig, dan is :

2 <f{xo) f{x),

of

2 ƒ --f{xo)<f{x).

Dan was

Hm. hm. f{x).

\' x=b

Het linker lid is eindig. Dus was het rechter lid ook > -
waarmee de stelling is bewezen.
Geheel analoog bewijst men:

Stelling 2.

Is fix) concaaf op het segment (a, b), continu en eindig op het
interval (a. b), dan heeft f{x) een eindige bovenste grens op het

segment (a, b). „

Verder volgt nu uit de stellingen van § 27 - 1 en § 35 1,
dat een naar boven begrensde convexe functie ook naar onderen
begrensd is, hetgeen we reeds in § 21 afgeleid hebben.
We hebben ook:

Stelling 3.

Als een convexe eindige functie op een nog zoo klein interval
naar boven begrensd is, is ze naar beide zijden begrensd op ieder

segment binnen [a, b).

Dit volgt onmiddellijk uit de stellingen § 33 - 1 en § 21.

§ 36. Stelling.

Is f{x) convex en continu en neemt ze in drie punten
X waarden aan waarvoor de gelijkheden

fix,) - fix,) _ f(x^ - fiX2) _ ;
- -

gelden, dan is ze op het segment (Xj X3) lineair.
Beschouw de lineaire functie

Fix) = fix,)-{-Hx- X,).
Volgens de stelling van § 13 - 1 zal voor

voldaan zijn aan

fix)<-Bix).

Neem 2 punten: x^- h en Xj < ^»Cs-
Dan moet

fix,-h) f{X2 h)>2fix,)

zijn. Maar

Fix,-h) Fix, h) = 2F ix,) = 2 f ix,).

dus

fix, h)yFix, h).
Maar f (x) is ook op het segment (x^, x^) convex, dus daar geldt

fix, h)<Fix, h).
Voor het segment (x,, Xj) is dus voldaan aan

fix) = Fix).

Buiten het segment (Xj, X3) moeten de functiewaarden van f (x)
grooter zijn dan (of gelijk zijn aan) die van F (x). Op (x,, x^ geldt dus

fix)<Fix) en ƒ (x) > F (x).

dus is fix) lineair op het geheele segment (Xj^ Xj).

Opmerkingen. Meetkundig beschouwd zegt de stelling dat de
grafische voorstelling van een continue convexe functie, die 3
punten met een rechte lijn gemeen heeft, er tusschen de uiterste
punten mee samenvalt.

Men ziet direct in dat deze stelling ook voor een continue
concave functie geldt,

Is fix) convex en overal ^ een lineaire functie F (x), en neemt
ze in X, en x^ de waarden F (x,) en F (Xj) aan, dan is ze op
(x,, X2) lineair.

Is fix) concaaf en overal ^ een lineaire functie F (x), en neemt
ze in X, en Xj de waarden F (x,) en F (X2) aan. dan is ze op
(x,, Xj) lineair,

§ 37. Stelling 1.

Een monotoon toenemende id, w. 2. niet afnemende) eindige
convexe functie is in ieder punt rechts continu.
Uit de convexiteit volgt:

2 fix ~)<fix) fix h) ih > 0)

of

2)f{x ^)-f{x)\\<f{x h)-f{x).

h

Vervang h door -—

of

4Sjix ^)^f{x)\\< f{x fix).

Door de sluitrede van m op m 1 vinden we:

f\\y A: 4- ^m- j - fix.)< 2-

Daar fix) monotoon toeneemt is voor elke ">0
fix \'^-fix)>0.

Dus

lim. { i^ ) - O-

m = c<3 (

Geheel op dezelfde wijze ziet men in:
Stelling. 2.

Een monotoon toenemende eindige concave functie is in ieder
punt links continu.
Stelling. 3.

Een monotoon afnemende eindige convexe functie is in ieder
punt links continu.
Stelling 4.

Een monotoon afnemende eindige concave functie is in ieder
punt rechts continu.

Opmerking. In stelling 1 volgt uit de eindigheid en de mono-
tonie. dat fix) begrensd is op ieder interval van het gegeven
segment (a. b) en kunnen we door gebruik te maken van de stel-
lingen van § 33 direct tot de continuiteit binnen (a. b) besluiten,
dus zeker tot de continuiteit naar rechts in ieder punt binnen (a, b).

HOOFDSTUK IV.

Functies samengesteld uit convexe, concave,
lineaire functies.

Functies van twee of meer veranderlijken.

§ 38. Stelling.

Als fix) convex is in het interval (a, b) en niet afnemend als
X toeneemt; als 9 {x) convex is in zeker interval (n. i\'i), terwijl haar
waardenvoorraad ligt in het interval (a. b), dan is f\\ <p (;c) ( ook
convex op (a, b).

Bewijs. Uit

2 / 2
volgt in verband met de monotonie van ƒ:

en in verband met de convexiteit van ƒ:

Voorbeeld. Neem f{x) = e". Deze functie is volgens § 9 convex
in ieder interval. Neem voor 9 (x) een willekeurige eindige convexe
functie.

Dan is <

convex in ieder interval.

Andere gevallen worden op dezelfde manier bewezen en geven
aanleiding tot het volgende schema:

f(x) <s{x) f\\<P{x)l

convex toenemend convex convex

concaaf afnemend convex concaaf

convex afnemend concaaf convex

concaaf toenemend concaaf concaaf

Als f{x) en <p{x) inverse functies zijn, dan krijgen we:

f{x) \'Pix)

convex toenemend concaaf toenemend

convex afnemend convex afnemend

concaaf afnemend concaaf afnemend

Voorbeeld. Neem f{x) = Ig x. Deze functie is volgens § 9
concaaf op (O,

Neem voor f {x) een willekeurige positieve eindige concave functie.
Dan is

F{x) = lg<f(x)

concaaf op (O, oa).

§ 39. Producten van Convexe en Concave functies.

We onderstellen f{x) en g {x) beide convex op eenzelfde interval
(a, b). Voor

a jcj 6 en a Xj 6

geldt dan:

^(^L^j en ^

Onderstel nu f en g niet negatief op (a. b). Dan is:

fixr }g{Xi)-\\- fix,) g ix,) f{x,)g (x,) f{x,) g (x,)

We zullen afkorten en schrijven

f{xi) = fi .f{x2) = f2> enz.
Onderstel nog fen g tegelijk niet afnemend bij toenemende x. Dus voor

is tegelijk

f2>f\\ eri 92 >9i-

ot

T (/"i m /2 ^2) > T (/l /2 ^i)-
Tel bij beide leden het linker lid op, dan is

i (ƒ, 92) > i (/■, ^(292 h 92 f2 9,)-
We zien dus dat

 /^I  fUl) fix^) 9 {X2)

De convexiteit van de functie f .g is hiermede bewezen.
Analoog het bewijs als f en g afnemend (niet toenemend) zijn.

We laten nu een overzicht volgen van de verschillende geval-
len. die zich hierbij kunnen voordoen.

1\' f en g tegelijk toenemend of afnemend.

f

convex positief
negatief

concaaf

convex positief
negatief
concaaf positief
„ negatief
lineair

9

convex positief
concaaf

negatief
lineair positief

„ negatie!

f

convex positief
„ negatief
concaaf positief
convex

„ negatief
concaaf positief
„ negatief
lineair

9

concaaf negatief
convex

concaaf positief
lineair negatief
,, „
„ positief

De n" macht van een concave negatieve functie is convex of
concaaf al naarmate de functie even of oneven is.

Opmerking. Voor niet genoemde gevallen behoort de functie
onderzocht te worden, x^ en x-^ zijn positief convex. Hun product
is lineair.

§ 40. Definitie convexe functie voor meerdere verander"
lijken.

We beschouwen een eenwaardige reëele functie van n reëele

veranderlijken x, y, z,.......... Het punt met de coördinaten

Xy yy z^........noemen we X,.

Het gebied G waarin de functie /"(X) gedefinieerd wordt moet de
volgende eigenschap hebben: Behooren

P = (x,y .z,.....)

V p p \'

en

Q = ......)

tot G, dan moet R ook tot G behooren als haar coördinaten
voldoen aan

X — x^ y — y z — z

P _ V P

^o - J/n - Va ^o " ^a

P q ^p Z\'q P q

Meetkundig: Als de punten P en Q tot het gebied G behooren,
dan behoort het segment P Q der n— dimensionale ruimte er ook
toe. Het gebied wordt dan convex genoemd.

X -f- X

We kunnen nu ook hier spreken van het punt \' dat

midden tusschen X, en Xj ligt. Dan is

I/, -fl/2

2 \\ 2 2 2
De convexiteit van G is voldoende om te waarborgen, dat f(X)

^ bepaald is, als ze het in X, en Xj is.

2

We noemen nu de functie ƒ (X) in het convexe gebied G convex,
als

Voorbeeld.

f{x, y) = y^^-f y\\

is convex voor positieve waarden van x en y. Er is te bewijzen

^^ x] y\\ 1 xl yl

of

(x, x^Y (y, < ^2\' y\' 2 y y2) (^2 4. y2)
welke ongelijkheid na eenige herleiding wordt

O < ^2 UiY

waaraan voldaan is.

Verder volgt nog uit de definitie, dat een convexe functie van
n veranderlijken ook convex is voor iedere veranderlijke als men
de (n — 1) overige constant neemt.

§ 41. Stelling 1.

Als f{z) convex is in het interval (a, b) en niet afnemend als
z toeneemt: als f [x. y) convex is in een convex gebied G. terwijl
haar waardevoorraad ligt in het interval {a,b), dan is

convex m G.
Bewijs. Uit

12*2)— 2

volgt in verband met de monotonie van f:

<f

2 2

en in verband met de convexiteit van f:

f y,). (Xj. y^)

f

waaruit de convexiteit van de functie (x, y)| volgt.
Andere gevallen worden op dezelfde manier bewezen en geven
aanleiding tot het schema:

<p{x,y) f{z) f)\'P{x.y)\\

convex convex toenemend convex

concaaf afnemend concaaf

concaaf „ toenemend convex

„ convex afnemend concaaf

Stelling 2.

Als fix) en g (x) beide convex zijn op (a, b) met eindige bovenste
grenzen Lf. Lg] en eindige onderste grenzen If, lg: als F (u, v)
convex is [en zoowel bij constante u een niet afnemende functie
van V, als bij constante v een niet afnemende functie van u, in
het interval

lf<u<Lf, lg<v<:lg,

dan is de functie

^\\fix),gix)\\

convex op ia, b).

Bewijs. Uit de convexiteit van f en g volgt

Jx, H- xA ^ ƒ (x.) fix,) 9{x,)^-gix^)

^[—ÏT\')— 2 2 2

Dit in verband met de monotonie en de convexiteit van F geeft

i\\f{xy) f{x2)\\, \\ \\g{xi)

<i

waaruit de convexiteit van F \\fix), g (x) \\ volgt.

Andere gevallen worden op dezelfde manier bewezen en geven
aanleiding tot het volgende schema:
fix) g ix) F (u, y) bij toen. u bij toen. v F (ƒ, g)

convex convex convex toenemend toenemend convex

concaaf .. .. afnemend

concaaf convex concaaf „ .. concaaf

§ 42. Stelling.

Als fix) een convexe continue functie is op een intervali de
n getallen

Xy. x,......

behooren tot dat interval en alle

......a„>0

doch overigens willekeurig, dan is

■L

V=1

Bewijs. Stel

n = n^ n2

alle nO>0 en geheel.
We gebruiken nu de formule (2) van § 14, welke dan wordt

fl±(n,x, .... n^xJl< )-{-....nJixJl

Stel

Laat
zoodat

lim. ~ \' = "* —

n a
Hieruit volgt

a, .... a^ _ ,

lim.—ïi = 1 —
n

a a

Omdat /"(a:) continu is mogen we nu schrijven

^ ajix;

< =

waaruit de formule (1) volgt.

§ 43.

Het is duidelijk, dat de stelling van § 42 ook voor concave en
lineaire functies geldt, mits we in de formule (1) het teeken
door > resp. = vervangen.

Passen we de stelling toe op het geval

f{x) = \\ogx,

welke functie volgens § 9 concaaf is. We krijgen dan

n n

----

v—i v—l

of

...... ^

....... a„

Dit is een generalisatie van de eigenschap van het meetkundig

gemiddelde.

Stel maar

^.=^2 =......

n=2

dan vereenvoudigt zich de formule tot

> y X,
2 —

of voor n = 4

4___

xg x, ^ y Xj
4

1 \' "2

§ 44.

Passen we de stelling van § 42 toe op het geval van de
convexe functie

en > O, geheel),
vervang verder door dan krijgen we

P g p q P q

ia,  " ^ a, ..... __

Va, -h....... aj — a, ...... a„

Breng beide leden tot de p\' macht, dan krijgt men na herleiding
Stel nu

n = 2 .

P q

92/

Trek de (p qY wortel en vermenigvuldig met

(P q)! " (^Y
pi q\\ -[xj\'

dan gaat de ongelijkheid over in :

Geef p en q alle waarden >0 die voldoen aan

p q = m (m geheel);

sommeer de zoo verkregen vormen, trek de machts wortel,
deel door 2 dan komt er:

Dan is volgens def. § 40 de functie

m

f{x,y) =

convex voor m^ geheel.

HOOFDSTUK V,

Convexe en Concave functies gegeven op een
verzameling van reëele getallen.

§ 45. Definitiën.

Neem een verzameling E van reëele getallen en een reken-
voorschrift, waardoor aan ieder getal x van E een getal y wordt
toegevoegd. Het rekenvoorschrift zij zoo gekozen, dat de verkre-
gen functie y = f{x) reëel eindig en eenwaardig is.

Neem een rechthoekig assenstelsel en beeld E af als punten op
de X-as. Met een punt x van de X-as, dat tot E behoort, zal
dan één punt {x, y) correspondeeren. De verzameling der punten
(x, y) die met E correspondeeren, noemen we de grafische
voorstelling der functie.

De meetkundige definitie van convexe funtie wordt nu:
De functie y —f{x) heet convex op de verzameling E van punten
der X-as, als alle punten van de grafische voorstelling 2\' met
abcissen begrepen tusschen twee punten x, en x^ van E, niet
boven de rechte | (x,, t/,) — (Xj, j/jj hggen, gezien vanuit de
negatieve Y-as.

Is dus

< <

en

A = (x,,i/,) , B = (x2,y2) , C = {xyy^

dan zal B niet boven A C liggen (t.o.v. de — Y-as) als A, B. C
punten zijn van de grafische voorstelling van een convexe functie.

De vergelijking van de lijn AC is:

- Ui , ,
y - J/i = -• [x - x^).

y, — y.

y2~ yx< --• (-^2 - ^i)

X3 -

zijn of

de functie y = f{x) is convex op E, als voor x,, Xj. X3 behoo-
rend tot E en

voldaan is aan

i/i I

>0

ï

De determinantenongelijkheid is gelijkwaardig met elk der vol-
gende 3 ongelijkheden, die dus eveneens als definitie voor een
convexe functie kunnen dienen :

......(2)

......(3)

X2 - Xj X3 - Xj / ......

De functie y=f(x) heet concaaf op E, als alle punten van -
met abcissen begrepen tusschen twee punten x, en Xj van E, niet
beneden de rechte j (x, , y,) — (xj , y^) j liggen, gezien vanuit de
negatieve y-as.

In de ongelijkheden (1), (2), (3) en (4) wordt dan het teeken >
door ^ vervangen en omgekeerd. ^

De functie y =f{x) heet lineair op E, als alle punten van -
met abcissen begrepen tusschen twee punten x, en X2 van E, op
de rechte j (x., y,) - (x2 , yj) ( liggen.

In de ongelijkheden (1), (2), (3) en (4) worden dan de teekens >
of door het = teeken vervangen.

Opmerking. Evenals in § 3 kan men lineaire functies beschou-
wen als gemeenschappelijke grensgevallen van convexe en concave
functies. Als f{x) convex, concaaf, lineair is dan zal (x) = — ƒ (x)
respectieflijk concaaf, convex, linear zijn, hetgeen uit de teeken-
verandering der vier ongelijkheden direct volgt.

§ 46. Is f{x) convex op E en behooren x^.xz, x^ tot E zoodat

dan geldt de ongelijkheid (2) van §45, die we als volgt kunnen
schrijven :

i/3 — yi >

^ X — X,

Als nu

As{x, .1/,) . B = {x,,y,) , C = (x3,i/3).
dan is de vergelijking van de rechte A B.

— i/i

y — ==

JC.) x*

We zien dus : Als f (x) convex is op E, zullen alle punten van
1 met abcissen niet begrepen tusschen en Xj van E, niet liggen
beneden de rechte | (x,, y,) — (x^, y,) < (gezien vanuit de negatieve
y-as).

Neem nu nog de punten p en q van E, zoodat

Stel P = |p. f{p)\\
en Q =; q, f{q (.
Volgens de def. van
convexe functie § 45
moet P niet boven
AB liggen (fig. 10)
en volgens het juist
afgeleide niet onder
^ BC\', het verlengde
p q Xj van BC.

P ligt dus niet buiten de hoek ABC\' en evenzoo ligt Q niet
buiten de hoek C B A\'.

Nemen we 4 punten van E, zoodat

a<6<c<d.

enz. dan liggen alle punten van 2\' met
abcissen tusschen b en c niet
buiten de driehoek begrensd
door AB, BC, CD. (fig. 11).
Men heeft nog:

Zijn A,.... P..... Z punten van

I, dan liggen alle punten van
2\' met abcissen begrepen tus-
schen die van A en Z, niet
boven de polygoon A,... P,... Z.

Is a de onderste grens en b de bovenste grens van E en be-
hooren a en 6 tot E ( zijn a en b dus minimum en maximum),
dan liggen alle punten van 2\' niet boven de rechte A B.

§ 47. Stelling. Is f{x) convex op E en is de functie constant
of toenemend bij toenemende x tot en met een waarde x — b,
dan kan ze voor waarden x ^ b niet afnemend zijn bij toene-
mende x.

Stel voor

a<è<c

f{^)<f{b) en f{b)yf{c).
f{b)-f{a)>Q en /■(c)-/^(6)<0
f{b) - f{a) > fic) - f{b).
m - fja) > f(c) - f{b)

b — a c — b \'

hetgeen in strijd is met de definitie (4) van § 45.

Analoog bewijst men, dat een convexe functie niet eerst toe-
nemend en dan constant of afnemend kan zijn bij toenemende x.
Een convexe functie kan in de volgende gevallen verkeeren :
le toenemend,
2e afnemend,

3e afnemend, dan toenemend,
4c constant, dan toenemend,
5e afnemend, dan constant,
6e afnemend, dan constant, dan toenemend,
bij toenemende waarden van x.

§ 48. Stel f{x) convex op E. Neem a. b, c, d, e op E zoodat:

a<:b<c<d<e.

In verband met de ongelijkheden (2), (3), (4) van § 45 kunnen
we dan schrijven:

f{c)-f ja) ^fjc) - fjb) .f{d) - f ic) ^HfWM.....(5).

c - a — c - b ~ d - c — e-c
Maak nu differentiequotienten R (c, h). zoodat alle c h tot
E behooren (h ^ 0).

D/ M Hc Z^) - fic) _f(c) - fjc h)

R{c.h) =-----^

Volgens (5) is dan R (c, h) een niet afnemende functie van h,
als h toeneemt, bij gegeven constante c.
Maar als c ci, zal

R (c, h) ^R (c„ c h - c) < R (ci. h).

Dus is R (c. h) ook een niet afnemende functie van c. als c toe-
neemt, bij gegeven constante h. .

Omgekeerd leidt men uit (5) direct de betrekkingen (2), (3), (4)
van § 45 af die tot de definitie van convexe functie voeren.
We hebben dus de volgende

Stelling. De noodzakelijke en voldoende voorwaarde, dat y = fix)
convex is op E. is dat R (c, h) een niet afnemende functie is van h.
als h toeneemt en c constant is, en een niet afnemende functie
van c, als c toeneemt en h constant is.

§ 49. Stelling. Is f (x) convex op E en m een verdichtings-
punt van E, dan heeft f{x) een limiet als x m Behoort m
tot E dan is

f(m) = lim. tix).

x—^ m

behalve misschien als m het minimum [maximum) van E is en
f{x) niet toeneemt (niet afneemt) bij toenemende x.

Bewijs. Volgens het afgeleide in § 47 is er een omgeving van
m links en rechts, waar f{x) monotoon is. Dus bestaan

lim. f{x) = /\'I en lim. f{x) = l\'-,.

x = m— jc=m

Stel /\', > !\'■,. Dan is er een omgeving links van m. waar de

functiewaarden grooter zijn dan
de functiewaarden van een
omgeving rechts van m. Dan
zal volgens § 47 ƒ (x) afnemend
moeten zijn in voldoend kleine
omgevingen links en rechts om
m.

Neem a C^ m, dan is f{a) ^

(fig. 12)

Stel verder

a Cp m ^-^ A = ja./-(a)j. enz.

Dan ligt M, onder AM, en

wel op een afstand

"" < /\'., - = M, M,.

Neem b\'^m, zoodat:

b — m< cos , I f{b) — | < sin <f,

hetgeen mogelijk is, daar de limiet is van /"(x) als x-^m^.
De lijn A B snijdt de lijn y = i\'y in een punt met abcis x = c.

Neem P, zoodat

c<p<m,

dus

f{p)>\'\\-

Dan ligt P boven A B hetgeen in strijd is met de convexiteit van

m.

Analoog toont men aan dat ook/\',<^ onmogelijk is.
Noem nu

= = i\'

Stel m niet het maximum of het minimum van E.
Neem

Trek AM en B M. Eveneens de rechten
y = f(m)±c. >o)

Projecteer de segmenten van A M en B M tot de snijpunten met
de twee rechten evenwijdig aan de X as op de X as. üan zal
voor X in die projectie gelegen, voldaan zijn aan

f{x)-nm) < =

of

lim. f{x) = f{m).
x — tn

Stel eindelijk m het maximum of minimum van E. Dan kan met
Want als

s < !>■ - f{m)

is. dan bestaat er een
T > O, zoodat voor

a — m

ook

De rechte MA snijdt dan de lijn

y — — ^

<C.c<im ot m<C.c<ia

is.

Neem p tusschen c en m. Dan zal

f{p)>"-\' zijn

of P boven AM liggen, hetgeen tegen de convexiteit is.
Wel kan ƒ (m) > lim f{x) zijn.

x — m

We hebben dus:

Alle verdichtingspanten van E die tot E behooren zijn conti-
nuiteitspunten van fix), behalve misschien het maximum en het

minimum van E.

Is fix) niet afnemend, dan zal het minimum m van E een con-

tinuiteitspunt zijn, immers

fim)<\\imfix)

en

fim)>\\imfix)

zijn beide onmogelijk.

Is f{x) niet toanemend, dan zal het maximum m van E een
continuiteitspunt zijn.

§ 50. Stelling.

Is f{x) convex op E. dan is hoogstens alleen in de onderste
grens x, en de bovenste grens x^ van E

lim. [{x) = f co,
lim. ƒ (x) = co.

Bewijs. Volgens de definitie van § 45 is {{x) eindig op E. Uit
lim. f{x) = co

X ^ m

volgt dus, dat m niet tot E behoort.
Stel

Neem a en fc ter weerszijden van m. Dan moet ook volgens de
definitie van § 45 overal op (a, b) de functie niet boven AB komen,
dus kan ook de limiet voor x = m niet co zijn
Stel

en

lim f{x) = — co.

x—m

Uit het besprokene van § 46 volgt dat overal op (p, q) de functie-
waarden niet beneden het verlengde van AP en BQ komen; dus
kan de limiet voor x = m niet — co zijn.
Stel

m — X2

en

lim f{x) = — co.

Neem p en q zoodat
dan is volgens § 47

De rechte PQ zal niet evenwijdig aan x—m zijn, maar haar in
een punt snijden met ordinaat k. Neem r, zoodat

q<r<m

en bovendien

firXk.

R ligt dan beneden PQ hetgeen m strijd is met de convexiteit.
Analoog vinden we, dat voor m = x,,
lim. f{x) = — co

X — Xi

onmogelijk is.

§ 51.

Zij f{x) convex op E en m een verdichtingspunt van E.
Neem de punten

........m /i„....... (/i,>0)

alle tot E behoorend, terwijl

lim/i =0.

n

n = co

Maak de differentiequotienten

R(fn,/!,). R(r7i./i2).......RK/iJ......

Volgens § 48 is deze rij niet toenemend. Ze nadert echter ook
tot een limiet, als tn niet de onderste grens van E is. Is namelijk

a<C.m,

dan zullen alle

R(m, hj

niet kleiner zijn dan

K lm, a — m) -----------

a — m

Alleen als m de onderste grens van E is, kan de rechter afgeleide
daar — co zijn.

We komen dan tot de volgende

Stelling 1.

In alle continuiteitspunten van E zijn de rechter- en linker-
afgeleide der convexe functie f{x) eindig, behalve misschien in
de onderste grens van E, waar de rechter afgeleide — co, en in de
bovenste grens van E, ivaar de linker afgeleide co kan zijn.

In verband met § 48 volgt nog, dat bij bestaan der afgeleiden

is.

Voor lineaire functies volgt uit de constantheid van het differentie-
quotient dat

f\'_ (x) = f\'^ (x) = f\' ix).
Nemen we nu 2 punten m en n, zoodat

Dan is

OmXf\'jm) en f\'jn) <

Maar

f\' H< n^iz^LH = rH -fjn)^ (^j

 n — m m — n ~

Dus

Stelling 2.

Is f{x) convex op E, dan voldoen de afgeleiden voor zoover
zij bestaan, aan de ongelijkheden

f\'_{m)<l\'^{m)<f\'_(n)<f\'^{n)

als

m n.

De definitie der convexiteit § 45 (1) laat zich op den vorm
brengen:

\' X - h. f{x- h). 1 :

X , f{x) . 1 I >0.
\' x-^k, f{x k). 1 i

als

/z>0, fc>0,

en

X — h, X, X k

^ punten van E zijn.

Of

fixXfix- h)-\\- ^ ^f{x k)-f{x-h)(.
ft ft

of

kfix-h)-\\-hf{x k) -{hA- k)f{x)>0...........(1).

Uit het voorgaande volgt nu de

Stelling 3.

Is f{x) reeel, eindig en eenwaardig op E, terwijl ze voldoet
aan de ongelijkheid (i), dan zal ze een rechter- of linker afgeleide
hebben in die verdichtingspunten van E, die tot E behooren en
in wier omgeving rechts of links de punten van E zich verdichten.

§ 52.

Gaan we nu aan de verzameling E bijzondere voorwaarden
opleggen, dan zullen de afgeleide eigenschappen blijven doorgaan,
maar eveneens in bijzondere eigenschappen overgaan,

Is E perfekt en f(x) convex op E, dan is volgens § 49 ieder
punt van E continuiteitspunt voor f {x), van minstens één kant.
hoogstens de onderste en bovenste grens van E uitgezonderd.

Is E een interval dan is elk punt van E naar beide zijden
continuiteitspunt voor f(x).

Is E perfekt dan is volgens § 51 in ieder punt van E de functie
afleidbaar aan minstens één kant, behalve misschien in de grenzen.

Is E een interval dan is er in elk punt van E een rechter- en
linker afgeleide.

§ 53. Stelling.

Is f(x) convex op de perfekte verzameling E. zijn de afgeleiden
in elk punt waar ze bestaan aan elkaar gelijk, dan is f\' {x)
continu in E.

Bewijs. Neem m in E. Stel in elke omgeving rechts van m,
punten van E. Toon aan, dat

lim.r (n) = r (m).
n = m

Neem /i > O en m /i in E. Dan zal

f(m ft) - fH yf\'{rn)
h

zijn. Stel

<P (x) = firn) {x- m) ^^ \' - fix).

Dan is <F (x) op (m, m h) niet negatief. Er is verder een punt
w in de omgeving, waarvan de bovenste grens van f{x) gelijk is
aan de bovenste grens van <f (x) op {m. m h).
Nu is

e (m) = 0.

Er is een n zoodat

v" (n) < f {w)
(n - w)-;--f{w) - f(n)<CO

f{m h)- f{m) ^ f{w)-f{n)
h tv — n

m-zM >r{n)>nm)

IV - n

h

Maar volgens definitie is

lim.  _ ^^^

h = 0

Dus

lim. r{n) = r im),
n = m

§ 54. Stelling.

Is f{x) convex op E, met eindige grenzen a en b, dan is er
steeds een functie V (x) te maken, die op E met f{x) identiek is
en op het interval {a, b) eindig, continu en convex,

Is E dicht in het interval (a, b) dan is f{x) continu in alle
punten van (a, b) die tot E behooren volgens § 49. Noem E\' het
complement van E in (a, b). Dan is ieder punt x van E\' ver-
dichtingspunt van E.

Maak {x) = f{x) als x tot E behoort en

x — x

als X tot E\' behoort. Dan is <P (x) continu en eindig binnen (a, b).
Stel

Pi <qv

p2<x±h<

alle punten van E, zoodat

lim. p^ = lim. q^ = lim. = x.

n — co n = co n =

Dan ligt f (x ± j beneden P„ waaruit de convexiteit van
^«(x) volgt volgens de definide van § 45.
Is E eindig, dan is <f (x) = f{x) op E en

9{x)=^f{p) ^ ]f{q)-fip)\\

q~p

in de punten x tusschen 2 opvolgende punten p en q van E.
De grafische voorstelling van f (x) is dan een convexe polygoon.
Is E willekeurig, dan stellen we:

in alle punten van E;

<p (x) = lim. ƒ (x)
x = X

als X een verdichtingspunt van E is, dat er niet toe behoort;

als X niet tot E behoort en ligt tusschen 2 opvolgende punten
p en q van de verzameling jE verdichtingspunten van Ej.

§ 55. Vergelijking der twee definitien der convexiteit.

De definitien, welke in § 1 en § 45 van een convexe functie
gegeven zijn, zullen blijken gelijkwaardig te worden in een bij-
zonder geval. Geven we hieronder een overzicht:

Definitie 1:

f{x) reëel, eenwaardig, op een interval (segment) gegeven is
convex als voor x en y in het interval (segment) voldaan wordt
aan:

(x y\\

f{x)4-ny)>2f
Definitie 2.

f{x) reëel, een waardig, eindig, op een verzameling E gegeven
is convex als voor

X, X ft h, X h

behoorend tot E,

0<^y<l, ;i>0,

voldaan wordt aan:

f{x éy h)< fix) ^ \\f{x -\\-h)- f{x)l

Deze ongelijkheid leidt men direct af uit de formule § 45 — (2).
Terwijl volgens def, 1 uit het bestaan van f{x) en f(y) ook het

bestaan van f —volgt, is dit volgens def, 2 afhankelijk van
\\ /
de keuze van E.

Def, 1 is minder beperkend dan def, 2 daar zij volgens de
stelling van § 15. aan de rationale deelpunten van (a, b) oplegt
de functiewaarden beneden de lijn AB of er op te houden, terwijl
dit door def, 2 aan alle punten van (a, b) wordt opgelegd.

Daarentegen is def, 2 weer algemeener, daar ze spreekt van
een willekeurige E, en def, 1 het over een bijzondere E heeft.

Eindelijk behoeven de convexe functies volgens def, 1 niet naar
boven begrensd te zijn, terwijl ze dit volgens def. 2 wel zijn.

Stelling*

Def 1 en def. 2 zijn gelijkwaardig als f{x) gegeven is opeen
interval en continu is.

Bewijs:

Stel f{x) continu op het interval {a,b) cn convex volgens def. 1.
Dan zal voor

en «. X, /ï rationale deelpunten van (a, b) de functiewaarden f{x)
niet gelegen zijn boven de rechte

Deze deelfunctie f {r) is dan convex volgens def. 2.
Ze is echter ook continu op de rationale punten. Maak nu een
functie f {x), die met f{r) samenvalt op de rationale punten en
op de andere punten voldoet aan

<p{x)= lim. f{r).
r = JC

Dan is f (x) convex op (a. b) volgens def. 2, hetgeen uit § 54
volgt. Maar c (x) kan niet verschillen van f(x) omdat ze met/"(x)
samenvalt in een dichte verzameling en evenals f{x) continu is.

Stel fix) convex op het interval (a, b) volgens def. 2. Volgens
§ 52 is ze dan in ieder punt van (a. b) continu.
Stel nu

fi h = y — X,

dan geeft def. 2

\\ 2 /

waarmee de gelijkwaardigheid der twee definitiën voor het geval
van continue functies bewezen is.

Opmerking. In § 27 is reeds gewezen, dat het geven van dc
begrensdheid naar boven een convexe functie continu maakt.
Dit is geheel in overeenstemming met § 52, daar reeds in def. 2
de begrensdheid op ieder segment gegeven is. Daarom vonden
we in dit hoofdstuk alleen continue convexe functies op een interval.

§ 56. Voorbeelden.

1 De functie

fix)

is convex op de verzameling E der getallen tusschen O en 1 van
de omgekeerden der geheele positieve getallen.

f{x) is eindig op E, maar niet naar boven begrensd.
Neem 3 opvolgende waarden van x:

p l^P^P-1\'

Nu is

/(-^U(p I)! = (p-1)! (P- 1)!(P- 1) (P-1)!P^
\\p 1/

\\y /

Dus

P 1/ __(p - ])!p2

P-f-l

en

\\P/_-(p-l)!(p_ 1)

= _ (p _ 1)! (p _ 1)2 p.

P-1

- (p - 1) ! (p - l)2p > - (p _ 1)! p3 (p

dus is f{x) convex volgens de ongelijkheid (4) van § 45.

2. Is f (x) de functie van Dirichlet, f{x) = O voor de rationale
punten, f{x) = 1 voor de irrationale punten, dan zal

, (A = constant)

voor X rationaal geen beteekenis hebben. Volgens def. 1 (§ 55)
is <p{x) dus niet convex; volgens def. 2 is ze zelfs lineair op de
irrationale punten.
3. Stel

f w

waarbij ƒ (x) de functie van Dirichlet voorstelt en ii (x) een convexe
functie volgens def. 1 of 2.

Dan heeft <P (x) geen beteekenis voor de rationale punten, terwijl
ze op E als irrationale punten convex is volgens def. 2.

§ 57. Nog een voorbeeld van een convexe functie.

Gegeven:

^^2......C.......c.>0.

co

^ c„ = A (eindig).

p= 1

at,, ........JC.......... alle X. reëel en tusschen 2 eindige

12 V t

waarden a en b.
Te bew.:

co

p=i

is convex op (a, b) volgens def. 2. (§ 55) (dus ook volgens def. 1).
Bewijs, Neem

a<P<q<r<b.

Dan bestaat (a. b) uit 4 intervallen: (a, p), {p, q), (q. r), (r, b).
f(x) vervalt dan in 4 deelen, die we zullen noemen

r\', r, r. r.

Volgens § 45 — (4) is dan te bewijzen:

fig) - fip) ^ fir) -fiq)

q — p

of

J = (r - q) ]fiq) - f{p) \\-{q-p)\\ f{r) - f{q) j < 0.

Nu is:

q-x^ -
3

=   cJp-q) H^ cJP-q).

En:

fir) -fiq) = ir-q) ir-q) (rf-q -2 x ) ^ (q-r).

Dus:

J = (r _ (P 4- q-2 x) H- (r-q) l^\\(P-q) -(q-P) (r - q)

J = j 2p(r-q)2^\\-2(r-q)l^\\ ^ | { 2 (q-p^V r (q-p) l^li

Het eerste verschil tusschen | | is O, omdat p iedere van
(p. q) is.

Het tweede verschil tusschen j ^ is omdat alle x^ van (q, r)

kleiner dan of gelijk zijn aan r. Dus -i 0.
Bepalen we de afgeleiden in een punt x = x^.

en

als ^^ c. c^) bestaat uit alle termen c, met indices kleiner

dan die van x^ (resp. grooter). Dus:

Voor ï van (a, b) ^ is :

Stel ^ zn ^ ^ x^, en f; duidt met

^c., ^c., J^c,

de sommen aan met waarden van c^ respectieflijk kleiner dan
tusschen en en grooter dan dan is:

r w =

Dus:

r i^)>r w

en

f\'

De toename van f\' (x) op het interval (>/, >) is dus gelijk aan
de som van dc sprongen in de discontinuiteitspunten op {r/, >).

§ 58. Is f{x) convex op (a, b) en is voor elke x op (a, b)
dan noemen we de functie een „gewone" functie.

Volgens de stelling 2 van § 31 zijn er hoogstens aftelbaar veel
punten x^, waar

IS.

Stel

Maak evenals in § 57 de convexe functie

co

\' X - - X.

v=\\

Dan zijn ƒ\' [x) en <P\' (x) niet afnemende functies bij toenemende x
en in de punten x^ discontinu met gelijke sprong.
Voor

a<:-<b

zal de toename van a tot van f\' (x) minstens gelijk zijn aan de
toename van a tot van (x). omdat de toename van <P x
bestaat uit de som der sprongen van a tot ^ en die van f W
behalve die som nog andere toenamen kan hebben, omdat f{x)

niet stuksgewijze lineair is.

Dus is ƒ (x) — v\' (x) een continue niet afnemende functie bij
toenemende x dus f{x) - (x) een gewone convexe functie.
We hebben dus de
Stelling :

Van een gegeven convexe functie kan men steeds een convexe
functie aftrekken zoodat er een gewone convexe functie overblijft.

§ 59. Een continue convexe functie is volgens § 31 gekarak-
teriseerd door het niet afnemend en continu zijn op een aftelbare

verzameling na van de afgeleide.

Stel dat f{x) eindig is öp (a. b) en afgeleiden heeft tot en met
de n" orde. Zij ƒ (x) niet afnemend en continu op een aftelbare

verzameling na. Dan is ƒ - W convex.

(x) heeft al of niet een minimum al naar mate f (x)

van teeken verandert op (a, b) of niet.

Is ƒ - \' (x) niet afnemend, dan zal ƒ - 2) (x) convex zijn.
Is ƒ - » (x) niet toenemend, dan zal ƒ " 2) (x) concaaf zijn.

Heeft /■ f" - \') (x) een minimum voor x — d, dan is f^" - ^^ (at)
concaaf in (a, d), convex in {d, b), met een maximum in (a, d)
en een minimum in (d, b) als /■("-\') een nulwaarde t^i heeft in
(a, d) en een nulwaarde in {d, b).

Dus maximaal heeft ƒ (" - 2) op (a, b) 3 intervallen van ver-
schillende monotonie.

In \'t algemeen krijgen we dan:

Heeft f {x) afgeleiden tot en met de n^ orde; is (a.) continu
hoogstens op een aftelbare verzameling na, dan kan f (at) op
(a, b) worden verdeeld in n deelen, die afwisselend convex en
concaaf zijn en in (n -f- 1) deelen van tegengestelde monotonie.

Dit aantal zal verminderd worden als ƒ - O (jc) niet haar
maximaal aantal wortels (i 1) heeft op (a, b), d. w. z, als in
1 punt 2 of meer wortels van verschillende afgeleiden samenvallen.

LITTERATUUR.

}. L. W. V. JENSEN. Sur les fonctions convexes et les inégalités
entre les valeurs moyennes.
Acta Mathematica. 30. (1906).

F. SIBIRANI. Intorno alle funzioni convesse.

Rendiconti del Reale Istituto Lombardo di scienze
e lettere. 40 (1907).

F. BERNSTEIN und G. DOETSCH. Zur Theorie der Kon-
vexen Funktionen.

Mathematische Annalen. 76. (1915).

L. GALVANI. Sülle funzioni convessi di una o due variabili.

Rendiconti del Circolo matematico di Palermo.
41. (1916).

H. BLUMBERG. On convex functions.

Transactions of the American Mathematical Society.
20. (1919).

.....

. ■ \'.O uv ViBrzvmü M

• : - ir^V -ï\'^iswwA

It"

, ■. \' ■ . zm-\'M. ■ . J\'

ä-v A:

STELLINGEN.

STELLINGEN.

De stelling van § 42 kan worden opgevat als een eigenschap
van het zwaartepunt van een stelsel van n stoffelijke punten met
positieve massa, die gelegen zijn in de hoekpunten van een con-
vexe polygoon.

Iedere discontinue oplossing der iunctionaalvergelijking

f{x-\\-y)=f{x) f (y)

is niet-meetbaar.

3.

De stelling van O. BLUMENTHAL (Jahresber. der Deutschen
Math. Ver. Band 16. 1907. blz. 108),

Voor geheele transcendente functiën is de uitdrukking

d Ig M

een toenemende functie van r. leidt onmiddellijk tot de convexiteit
van Ig. M ten opzichte van Ig. r en kan uitgebreid worden voor
iedere holomorfe functie.

De bewering van FATOU (Acta Mathematica Band 30. 1906.
bl. 395),

Als q„ een rij geheele getallen is waarvoor

q-. 1 > 2.q„ ,

X irrationaal,

q« Qn •

»

dan neemt — niet af, niet toe bij toenemende n, is onjuist.

qn t qn

3.

De definitie van verdichtingspunt, die Dr. F. SCHUH geeft in
Lessen over de Hoogere Algebra in toepassing 389 is te verkiezen
boven die van blz. 286 en die van toepassing 396.

e.

De bewering van Dr. J. G, RUTGERS (Inleiding Anal. Meet-
kunde deel 1. blz. 292), dat door isogonale transformatie een
rechte die door een hoekpunt van den coordinatendriehoek, gaat,
overgaat in een rechte door hetzellde hoekpunt, is onjuist.

T.

De opvatting van Dr. J. G. RUTGERS (Inleiding Anal. Meet-
kunde deel 1, bl. 16), dat een getallenpaar, waarvan een ot twee
der getallen imaginair is, geen punt van het vlak kan voorstellen,
is niet aan te bevelen.

S-

In tegenstelling met STURM (Liniengeometrie Band 1 bl. 51)
kan een kubisch regelvlak door middel van een projectieve ver-
wantschap worden verkregen zonder daarbij van de richtlijnen
gebruik te maken.

Q.

De stelling, dat de twee krachten van een koppel niet door
een enkele kracht zijn te vervangen, wordt door PLANCK (Ein-
führung in die allgemeine Mechanik II Teil. 1 Kap.) niet vol-
doende bewezen.

10.

Er is veel voor te zeggen de Mechanica op de H. B. S. niet
als alzonderlijk leervak maar als onderdeel van de Natuurkunde
te behandelen.

11.

De foutenwet van GAUSZ wordt door het toetsen aan de
waarnemingen voldoende bewezen.

I . - : .\'f!? .tS^l .-M J bsb\' -^hruU

■■ . -v : ■ . ■ ■ ^ - — ;

:..\' UiJ .\'\'î\'^f .u.f.r-^:^ \'Vdi .iC\'l J\'\' J ■•i.uiA

>\' .-îiJv iui>y

i\'-v i ■ ;■• T\'^rn --njibHn\'iîy:\'! iiî

r^■■^\'i\' -iu\'.\'crK-f-,!/\' TrïT"—

" ■ ■ - ■ \' ■ ..li^jttm

À.\' -■■\'■\'U j ! v? ^r-^t.. id.\':.-:,: ^^ v.\' : \'\'f

-, . • ... ■ ^^ ; . \\

■ ui Ji .r: \' ^.r-i^^vt hr- \'/

\'s

\' b of-h n-i -\': ■ ■

; t

"SS

M

\'t

s ,

^ >

^^ \' é