ir^:\'

■ • !;> ■

OPPERVLAKKEN DIE DOOR EEN LINEAIRÈ
STRAtENCONGRUENTIE KUNNEN WORDEN
^ AFGEBEELD OP EEN PLAT VLAK

mB^fm

T

.. • r » ^ ;

E;

-i."-- i\' i\'r

r\'TV-\'y-y-

. -

y

■t- s--.;"-\';."?--: .

, - • »v. ,

I

4T

Ê ft^\' ■

J. i

OPPERVLAKKEN DIE DOOR EEN LINEAIRE
STRALENCONGRUENTIE KUNNEN WORDEN
AFGEBEELD OP EEN PLAT VLAK.

UN VERSITEITSBIBLIOTHEEK UTRECHT

3481 5229

OPPERVLAKKEN DIE DOOR EEN LINEAIRE
STRALENCONGRUENTIE KUNNEN WORDEN
AFGEBEELD OP EEN PLAT VLAK

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN
DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT.
OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS
Dr. A. NOORDTZIJ. HOOGLEER AAR IN
DE FACULTEIT DER GODGELEERDHEID.
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER
UNIVERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN
VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUUR-
KUNDE TE VERDEDIGEN OP MAANDAG
4 JULI 1927. DES NAMIDDAGS TE DRIE UUR.

DOOR

HÏNKE HYLKEMA

GEBOREN TE ZUTPHEN

DRUKKERIJ ZUIDAM - UTRECHT

bibliotheek der
rijksuniversiteit
UTRECHT.

■sammnmm m ^ziw ao HI

mbq mav \'^ov;.- v

jiHCi TAA!43a l\'Isa ^^Av Tiiusaa aKiîOJov . •.

\'îii^ù\'Aïmmmx m mom" tiam^\'^^y-^\' \'

m -zm m^i TI^süoah
. öAdvtAAM <io ax •

• .Ktni ti^a ;iT ^DAncrîMAvî ^aa .mi ?. .

Aua^A^YH w/m

fx -i-

a

«Ti.

%

. :. \'T-,- :

ma

Met groote vreugde grijp ik deze gelegenheid aan om U,
Hoogleeraren in de faculteit der Wis- en Natuurkunde, te
danken voor het vele goede dat ik gedurende mijne studie-
jaren van U mocht ontvangen.

In het bijzonder geldt dit U, Hooggeleerde DE VRIES,
Hooggeachte Promotor. Het is mij een groot voorrecht dat
ik U van het begin mijner studie af onder mijne leermeesters
heb mogen tellen, en dat gij nu ook mijn proefschrift met
uwe altijd beschikbare hulp en belangstelling hebt willen
leiden.

Als mathematica zij het mij vergund ook U, Hooggeleerde
Wolff, speciaal te danken voor de toewijding waarmee gij
ons hebt willen wegwijs maken in de door U gedoceerde
vakken; ik heb buitengewoon van Uw onderwijs genoten.

Ook Uwe lessen, Hooggeleerde Ornstein en NijLAND,
zullen, naast de persoonlijke belangstelling die ik van U
mocht ondervinden, mij steeds in dankbare herinnering blijven.

V ..

,U ma ann ss^b <lfit^ ^bguw/ aiooti-.

9J .shnu^Tuuia^î -«iV/ i^b îkiHtsjai oi
H^ibtîta sa^j^n sbnaiöb»^ ii Jßb sbsc^ »l?»vr j-skI n* -rtab
• - • .«.«»yntàV.Jno. S^bm- U aav n^ :^

■ "■î£:\'TîffV o?<\'î .U ifj» Jblsg >3i>:i\'-,.siîfî J^if m .

inib ïdjiJTOfv îoc-ij .H\'js (im «1 laH .fOlomo?H sîjitiô^^ji-ooH
j\'il.j\'^r;!?^ •j:/boo.lß ^ïd

, nm âihrüLic ir^ «jî!". ioo un, Mt vSffOm .ltd

U«. .V, -jït\'îî ÇinHj^rtugnalsd >"> -ihd bH-«« »»u

. • \' " ■■ ■ ■

JJ )ioo bimf^ï5v îiopt îsrii to elA

•rjfr..iS»,w ^fbffjirso! (ftxatH} ÎÊ^rj^-ji \'OW

U 500b ii^ )jj f!3:i4«aj «fi\'yv^-ïw etsliJw îd-M-: «rso

- ./j*»)o»r,Ff> «Jiwi-iboo -wiJ fî6\'/tbti v

Ü ««v xi sîb CrftiHfi/^f.\'iîftl sb l^fit .\'-.vllu.:

"\'■i . -f.- -n-

INHOUD

Blz.

Inleiding, litteratuur.............1

HOOFDSTUK I.

Oppervlakken van den graad n met (n—l)-voudig punt

(monoïden)................2

De Hyperboloide............7

De kubische monoïde...........9

Het oppervlak van Steiner.........14

HOOFDSTUK II.

Oppervlakken van den graad m n 1 met m-voudige

rechte en n-voudige rechte..........16

Het kubisch oppervlak..........21

HOOFDSTUK 111.

Oppervlakken van den graad n p 1 met n-voudige
kromme a\'i en p-voudige rechte ß welke a in (q—1)

punten snijdt...............27

Het kubisch oppervlak..........31

Het vierdegraadsoppervlak, n = \\ p = 2 q = 2 . . 31
Het vierdegraadsoppervlak. n = 2p=lq = 2. . 40
Het vierdegraadsoppervlak met twee dubbelrechten
n = 2p=M = 2............47

HOOFDSTUK IV.

Oppervlakken van den graad 2 n 1 met n-voudige

kubische ruimtekromme............52

Het kubisch oppervlak..........54

Het vijfdegraadsoppervlak.........54

\' ; ; \' ^ ^ , / : i ^UTSOTOOB •• . \' ■ -•

muq Jam « b^mi} nth. f?--- ■

■f-\'-\' /V . . :: . - . f - - \' . ïb^ftùv.ofn)

, . . sb/o.\'fyiïïKjvu i\'Ci

fï • • • . • / . •\' l\'-\'Oiatiri .fföv \'-ï\'iH . ■■

V. " ; :^ifctfCV-m "ï^ai Î -t n ii^iisj.!^ rrsii> ««v awliifil\'nr qqO

-Hi "■:

nf^ibijfîv.n Iq 4-î» WoTTf; B*)b n-tv \'t

; «j » aïlbw sJiiMi .a-j- » ^r.unod \\

• -ifc.- ... ... - .

\'t i t el\'p t-n^i I tt Jfiiv\'vï.qpf^abervyyh-.-J / JVH\'• . - 7J

MA. ... ■• oV- . .W^tv• 1 .i! ■\'I

" \' \' , ■ ■ • • . .. • "^-v Î

■ MrtïXHOOH-

; ( .

BTT

\'fST\' ■

INLEIDING.

Het doel van dit proefschrift is dc bewerking cn rang-
schikking van de gevallen waarin een oppervlak door middel
van een stralencongruentie [1, n] kan worden afgebeeld op
een plat vlak. Hierbij zijn te vermelden de mededeehngen
die voor verschillende van deze gevallen gedaan zijn door :
GUCCIA, Sur une classe de surfaces représentables point
par point sur un plan (Ass. française pour
l\'avancement des sciences, 1880).

MiNEO. Sopra una classe di superficie unicursali (Le
matematiche pure ed applicate, volume I, p. 220).
Sturm, Geometrische Verwandtschaften IV.
J. de Vries, Oppervlakken welke door een lineaire stralen-
congruentie op een vlak kunnen worden afge-
beeld (Versl. K. A. v. W., deel 25, p. 14H).

INDEELING.
De gevallen waarin een oppervlak door middel van een
stralencongruentie [1, n] kan worden afgebeeld op een plat
vlak, zijn in te deelen als volgt:

I. Oppervlakken van den graad n, a>n. met (n—l)-voudig
punt, dc monotden; de afbeelding geschiedt door de

stralen door den top.

II. Oppervlakken van den graad m n-\\- 1, <Im n \\,
met m-voudige rechte a en n-voudige rechte b; af-
beelding door de transversalen over a en b.

III. Oppervlakken van den graad n p 1, 0n p-M,
met n-voudige kromme a" van den graad q en p-voudige
rechte (i. welke « in (q--!) punten snijdt: afbeelding
door de transversalen over q en p.

IV. Oppervlakken van den graad 2n l. 02n -l-l, met
n-voudige kubische ruimtekromme a^; afbeelding door
de koorden.

HOOFDSTUK 1.

§ 1. In het algemeen heeft een straal door den top T
van de monoïde , buiten den top nog één punt met het
oppervlak gemeen, geeft dus van dat ééne punt een beeld
in zijn doorgang met een gegeven tafereel r. Alle punten
van het oppervlak tezamen leveren dus een afbeelding op r
door middel van oo^ stralen door T, een ster. Deze is een
bijzonder geval van een lineaire congruentie, namelijk een.
congruentie [1, 0].

Terwijl zoo in het algemeen een punt van ^^ één pro-
jecteerende lijn bezit, en wel zijn verbindingslijn met den
top, wordt T zelf afgebeeld door alle ribben van den
(n — l)\' graads raaklijnenkegel in T, en vindt zijn beeld der-
halve in den doorgang van dezen, xn—1.

Indien er uitzonderingspunten H in t zijn, die namelijk
niet één maar meer punten van 0a afbeelden, dan zal HT
meer dan n punten met het oppervlak gemeen hebben, dus
er op liggen. H beeldt dan alle punten van HT af, en een
bundel vlakken om een as a zal cen reeks doorsneden
leveren, waarvan de beelden alle door H gaan. Zoeken wij,
om tot de rechten door T op fpri gelegen te komen, dus de
gemeenschappelijke punten van die beeldkrommen.
a/cfce cn De afbeelding van een vlakke doorsnede c" geschiedt blijk-
baar door een kegel van den graad n; het beeld is dus een
c\'n. De beelden der oo\' doorsneden van den bundel vormen
ook een bundel: cen willekeurig punt X in r bepaalt één
punt P als origineel, P levert één vlak door a, dus één
doorsnede c" door P en één c\'n door X. Het aantal basis-
punten bedraagt n^ Hiertoe behooren n collineaire punten,
de beelden der n snijpunten van a met het oppervlak die
immers aan alle c" gemeen zijn. Dc overige n^—n basis-
punten zijn dan punten H, /loo/üpimfen der afbeelding, door-
gangen van evenzoovele rechten a^ op het oppervlak, wier
beelden zij zijn. Derhalve: de monoïde bevat n^—n rechten
door den top.

Dc projecties van dc oo^ vlakke krommen c" zijn dus
krommen c\'" door de nfn — l) hoofdpunten. Omgekeerd is
iedere c\'" door de hoofdpunten beeld van cen vlakke door-
snee. Immers, indien wij op onze c\'" 3 punten P\' Q\' R\'
aannemen, dan bepalen deze op het oppervlak P, Q en R.

door welk drietal een vlak. en hiermee een vlakke doorsnee
bepaald is. Het beeld van deze laatste zal een c\'n zijn door
de hoofdpunten en P\'.. Q\', R\'. en indien wij nu kunnen
aantoonen dat dit beeld met de c\'n waarvan we uitgingen
minstens V2 " (" 3) punten gemeen heeft, dan vallen die
twee samen en hebben wij het gestelde bewezen. Dus ge-
vraagd te bewijzen:

n(n-l) 3 ^ V2n(n 3)

of  6^0

of (n-2)(n-3) >0 .hetgeen inderdaad het
geval is, daar n. geheel getal, ^ 2 is.

§ 2. Uit het aantal. 3(n^l)^ nodale krommen van den
bundel in r kunnen wij de klasse van de monoïde aflezen.
Immers, een nodale c\'n zal in het algemeen het beeld zijn
van een nodale ^n. dus van een. in een raakvlak door a ge-
legen doorsnede. Echter zal vlak (aT) als doorsnede leveren
een ^n met in T een (n-/)-voudig punt. waarvan het beeld
is het samenstel van a\' (doorgang van vlak Ta door r)
en (doorgang van den raakkegel in T). Dit beeld

bevat n^l dubbelpunten, die niet op een raakvlak door
a wijzen.

Derhalve bedraagt dc klasse van de monoïde:
3(n-l)2- (n_l)=(n-l)(3n-4).

§ 3. Bijzonderheden van het oppervlak veroorzaken nu
ook bijzonderheden in den bundel (c\'n) in r.

Stel dat \'/\'n een rechte b bevat die niet door T gaat.
De vlakkenbundel om b levert nu doorsneden, die ontaard
zijn in b cn-l, terwijl in vlak (Tfe) de C"-! met haar
(n-l),voudig punt T blijkbaar uit (n-1) rechten door T
bestaat. Deze laatsten snijden de verschillende c\'n-1 niet;

alle andere rechten door T. n(n—l)—(n—l) = (n—l)^ in
aantal, doen dat wel en vormen in hunne doorgangen met
r de basispunten van den bundel (c\'"—\'). In dezen bundel
zijn3(n—2)^ nodale exemplaren; dus gaan nu door 15(n—2)^
vlakken, die ^P^ buiten b raken.

Stel dat ^Pn een k-voudige rechte rk door T bevat. De
vlakke doorsneden van den bundel hebben dan alle een
/c-voudig punt op r. In den doorgang R van r hebben dat
hunne beelden evenzeer; in R vallen dan basispunten
samen en het aantal overblijvende enkelvoudige rechten door
T bedraagt n^^n—R

Stel dat een torsale rechte t door T bevat met door-
gang T\'. De raaklijnen aan tvVee krommen uit den bundel,
in de snijpunten met t, liggen dan in één vlak, het langs t
aan het oppervlak rakende vlak. welks doorgang met r dan
gemeenschappelijke raaklijn is in T\' aan de twee c\'n van
den bundel in r. Deze laatste heeft nu twee samenvallende
basispunten; dan is er één bundclexemplaar dat in T\' cen
dubbelpunt heeft, en evenzoo één cn met een dubbelpunt op t.
Derhalve: op r ligt een dubbelpunt D van <!>».

Dc omgekeerde redenecring gaat ook op: als een
dubbelpunt D bevat, is DT torsale rechte. Of algemeen:
heeft een p-voudig punt, D, dan is TD een (p—l)-voudig
torsale rechte. We zouden dit weer kunnen aantoonen nis
boven door middel van (p—1) gemcenschnppelljke raaklijnen
In den bundel van beeldkrommen, maar ook als volgt direct:
een vlak .-r door TD = / geeft als doorsnee met een
kromme /c", die met / (n —1 f p) punten gemeen heeft, dus
ontaard is in lk^—K welke kromme A"—^ T tot (n—2)-
voudig punt, D tot (p—l)-voudig punt bezit. A«—1 zal dan
weer ontaard zijn in / An-2 (T"-3 Dp-2), p > 2 onder-

steld, enz. Zoo zullen zóóveel, x, rechten zijn afgevallen, dat
n—x ^ p—X n—X—1

graad van k aantal snijpunten aantal snijpunten
(/, k) in D. (/. k) in T.

of JC ^ p—1
X — p of X — p—

Indien x = p, dan zou k^-p niet door D gaan, evenmin l
ergens anders buiten T snijden, daar dit een (pl)-voudig
punt voor het oppervlak zou beteekenen, hetgeen niet on-
dersteld is. l zou dan slechts (n—p—1) punten met /cn-p ge-
meen hebben, wat onmogelijk is. Derhalve is x = p — 1. Daar
nu / met - P 1 alleen T" — P — 2 en D gemeen heeft, is
ons vlak ji geen raakvlak, waaruit blijkt dat de (p — 1) rechten
TD geen gewone beschrijvenden maar torsalen zijn, hetgeen
te bewijzen was.

Daar de beeldkrommen c\'n nu (p—1) gemeenschappelijke
raaklijnen hebben in T\', blijven er nog slechts n(n —I) —
p(p—1) basispunten over als doorgangen van enkelvoudige
rechten door T.

Nemen wij p = n — 1, dan heeft \'/^n twee toppen, T, en Tj,
en heet dimonoïde. T,T2 is (n—2)-voud[g torsaal, cn een
vlak door TjTj geeft als restdoorsnee een kegelsnede door
T, en Tj. Verder zijn nog n(n—1) —(n—1) (n—2) = 2(n—1)
enkelvoudige rechten door T, aanwezig, en 2(n -1) door Tj.

Bij een trimonoïde, met toppen T,, T2, T3, zijn er drie
(n—2)-voudige torsale rechten. Het vlak T, To T3 geeft
dan als restdoorsnee een kromme van den graad n—3(n—2)
= 6-2n. Daar 6—2n ^ O moet n ^ 3. Afgezien van het
geval n«=2 waar de toppen enkelvoudige punten worden,
is een trimonoïde dus een kubisch oppervlak. Het zelfde geldt
voor een quadrimonóïde.

§ 4. Keeren wij terug tot de gewone monoïde <Z>n en
vragen eens naar hare krommen, die aan gegeven beeld-
figuren zijn toegevoegd. Daartoe hebben wij in het algemeen
slechts zoo\'n beeldfiguur uit T terug te projecteeren op het
oppervlak, d.i. de snijfiguur te bepalen van den projectee-
renden kegel met

Nemen wij b.v. een willekeurige rechte in r. De pro-
jecteerende kegel is het vlak (Tl\') en snijdt als oorspronke-
lijke figuur op de monoïde uit een vlakke kromme cn met
(n-1) voudig punt in T. Anders wordt het, als het beeld
door een hoofdpunt gaat. Voor een punt H, namelijk is het
snijpunt van H, T met 0n onbepaald; we kunnen dan dus
alleen concludeeren dat het origineel een punt van a, bezit.
Intusschen heeft dit tengevolge dat de bovengenoemde snij-
figuur met de lijn a, bevat, zoodat de graad van het
eigenlijke origineel, d.i. de figuur op <Pa die noodig en vol-
doende is om de gegeven beeldfiguur door H, te geven,
één lager is geworden. Wij zullen hiervan geen voorbeelden
geven bij het oppervlak 0n in \'t algemeen, maar ons nu
bepalen tot speciale waarden van n.

§ 5. Zij n = 2, dan is onze monoïde een hijperboloïdc.
Hare twee regelscharen noemen we (a) en {b). De projectie
geschiedt nu uit een willekeurig punt T op het oppervlak,
daar elk punt er van (n 1)-voudig is.

De doorgangen A\' cn B\' van de twee beschrijvenden
a, en 6, door T leveren de twee hoofdpunten. Daar alle
beschrijvenden van de regelschaar {b) a, snijden, gaan hare
beelden alle door A\' en vormen daar een waaier. Evenzoo
is de projectie van dc regelschaar (a) de waaier door B\'.

Een vlakke doorsnee geeft als beeld een kegelsnede c\'^
door de twee hoofdpunten A\' cn B\'; cn omgekeerd: een

kegelsnede door A\' en B\' moet geprojecteerd zijn door
een quadratischen kegel, die met de hyperboloïde behalve
de rechten aj en 6, nog een kegelsnede gemeen heeft, waar-
van dus het beeld is.

on Om de afbeelding van een ruimtekromme pn op de hyper-

boloïde te beschouwen dienen wij te weten hoevele punten
Qti gemeen heeft met de a-lijnen en met de 6-lijnen. Heeft
zij b.v. « snijpunten met een a-rechte aj^ dan heeft zij er
(n — a) met iedere 6-rechte, daar een vlak (aj b^) in n
punten van de monoïde snijdt, d.i. in n punten op a| en
gelegen. Hieruit volgt weer dat het aantal snijpunten van
pn met iedere a-rechte a bedraagt.

Stel nu, dat de p" niet door T gaat; dan is n — n-\\-(i,
waar a en zijn de aantallen snijpunten buiten T met
respectievelijk een a cn een b lijn. De projecteerencie nc graads-
kegel zal dan in t een kromme c\'n uitsnijden, die u maal
door A\', /5 maal door B\' gaat. En omgekeerd levert de
projecteerende kegel van een c\'n met a-voudig punt A\' en fi-
voudig punt B\', zóó dat a /? = n, als snijflguur met dc
hyperboloïde een pn als boven beschreven.

Stel echter eens dat pn x-maal door T gaat, cn a en ft .snij-
punten met de a- en fc-lijnen buiten T heeft; dus n = <i-\\- fi 2x.
De X punten T van pn zullen geprojecteerd worden door
de X raaklijnen in T aan de kromme; deze zijn .v stralen
van den waaier T in vlak (aj 6,). Dc bceldkromme c\' heeft
dan buiten A\' en B\' nog x snijpunten S met de lijn A\'B\',
en haar graad is a ^ fi x — n—x. In het bijzondere geval
dat één der raaklijnen in T aan pn de lijn a, is, valt één
der punten S in A\' en één der a snijpunten (pn aj in T.
Er gaan dan evenzeer a takken van c\'P doorA\',
maar één van de takken heeft A\'B\' tot raaklijn.

Omgekeerd, gaat een kromme jn t a maal
door A\', ft maal door B\' en snijdt zij A\'B\' daarbuiten nog
in X punten, dan is zij het beeld van een j?« 2.vdie
X maal door T gaat en buiten T nog a punten met iedere
a-lijn, punten met iedere 6-lijn gemeen heeft. Is c\' een
willekeurige rechte, dan is a = o, p ~ o, a = 1, en het origineel
dus een kegelsnede.

Evenzoo is een willekeurige kegelsnede in r het beeld van
een t)^, die in T een dubbelpunt bezit.

We zien dus dat op de hyperboloïde krommen van eiken
graad mogelijk zijn; n = a in het eenvoudigste geval,
uit welke betrekking wij voor iedere gegeven n minstens
één stel waarden (a,kunnen vinden, zóó dat c\'« /^het
beeld is van een ^m. Echter kunnen wij n — 7 b.v. splitsen
in « = 4, p — 3 of in a = 5. 2. in welke twee gevallen
wij ruimtekrommen op d > hyperboloïde krijgen, die weliswaar
van denzelfden graad zijn, maar verschillend ten opzichte
van haar aantal schijnbare dubbelpunten. Dc eerste namelijk
heeft er /i = 72 • • 3 \'/j • 3 ■ 2 = 9. het aantal dubbelpun-
ten dat gelijkwaardig is met één viervoudig en één drievoudig
punt; de tweede \'/s • 5.4 "V2.2.1 = 11. Voor een willekeurige
waarde van h zullen uit de formule h =• \'/j I) \'/j fi{p—])
dan ook niet steeds twee geheele waarden voor n en p ge-
vonden kunnen worden, zoodat wel krommen van iederen
graad, maar niet van iedere /j-waarde op dc hyperboloïde
zullen voorkomen.

§ 6. Nemen wij thans n — 3. dc kiibischc monoïde.
In verband met het algemeen geval zien we dan: cr liggen
zes rechten ak door T op die door dc zes hoofdpunten
M worden afgebeeld. Het vlak door Jk en ai snijdt \'P"^ nog

volgens een derde rechte, Cy\\, die niet door T gaat, en
beeldt deze fki in zijn doorgang Hk Hi met r af. Het aantal

combinaties kl bedraagt ^ = 15, zoodat wij vinden: De

kubische monoïde bevat 15 rechten die niet door T gaan.
Vlakke c^ De oo ^ vlakke doorsneden c^ hebben kubische krommen
door de 6 hoofdpunten tot beelden, en omgekeerd is ^Ike
kubische kromme van den complex, door de 6 Hk bepaald,
het beeld van een vlakke doorsnee. Tot de C^ door de zes
punten H behoort de driezijde (H, Hj, H3 H4, Hg H^);
daar zij de drie rechten Cjj, C34, ^55 afbeeldt, liggen deze in
één vlak, een drievoudig raakvlak aan de monoïde. Deze
heeft er zoo 15. Immers, één zijde van een driezijde p q r,

door de zes punten H, kan gekozen worden op ^ — 15

4.3

wijzen, daarbij de 2e zijde op -j-^ = 6 manieren; echter

kunnen drie verschillende keuzen van de eerste zijde voeren
tot een zelfde driezijde, terwijl elk van die drie weer twee
wegen opent naar eenzelfde exemplaar bij de keuze van de
tweede zijde. Ieder is dus zes maal geteld en het totaal

aantal drievoudige raakvlakken bedraagt = 15.

O

Nemen wij eens een rechte l\' in r. Zij is het beeld van
de nodale c^, die het vlak (/\' T) op uitsnijdt. Gaat /\'
door H,, dan bestaat de doorsnede uit dc rechte aj en een
kegelsnede door T die a, snijdt.

Gaan we uit van een willekeurige c\'^ in r, en passen
wij een andere methode toe om het origineel te vinden,
n.1. de snijding met een door de hoofdpunten cn met
den doorgang h^ van den raakkegel in T. De eerste
snijding levert zes gemeenschappelijke punten, de tweede
vier, waaruit blijkt dat onze c\'^ een kromme afbeeldt,

die met een vlakke doorsnee zes punten gemeen heeft en
volgens vier verschillende raakribben door den top T heen-
gaat. Deze kromme is dus een met viervoudig punt T.
De doorsnede van den projecteerenden quadratischen kegel
met fp^ zou ons dezelfde q^ geleverd hebben.

Laat men echter c\'^ door Hj gaan, dan leidt ons dit niet
tot de conclusie van een gemeenschappelijk punt van en
cx. maar van een snijding van deze beide krommen met a,
in verschillende punten. Voor de gemeenschappelijke punten
van c^ en cx hebben we dus slechts te letten op de snijpunten
der beelden buiten dc hoofdpunten. Dit zijn er vijf, terwijl
c\'^ buiten Hj nog maar drie punten met gemeen heeft.
Derhalve is het origineel een met een drievoudig punt
in T, rustend op a,.

Evenzoo geeft een c\'^ door H, en Hj een over a, en
32 met dubbelpunt T.

Ook geeft een c\'^ door H,, Hj, H3 een q^ over a,, aj, aj,
door T gaand en een c\'^ door H,, Hj, Hj. H4 een erover
a,. aj, aj, a^\', deze laatste kegelsnede is in cen vlak door
f56 gelegen, omdat Hg H(, c\'^ in twee punten buiten de
hoofdpunten snijdt, dus f56 koorde is van

We zagen de afbeelding van een door T op drie a-
lijnen rustend. Stel nu dat q"^ niet door den top gaat; uit
T is dan één koorde van q"^ te trekken, welke, daar zij vier
punten met \'P^ gemeen heeft, op de monoïde ligt. Wij
kunnen haar a, noemen, zoodat de projectie van een
dubbelpunt krijgt in H,. Of zij ook nog andere hoofdpunten
zal bevatten, of dus nog andere a-rechtcn zal snijden, is
gemakkelijk na te gaan. Immers, snijding met ccn door
de hoofdpunten zal buiten deze laatsten drie snijpunten moeten
leveren als beelden van de drie gemeenschappelijke punten

{c^ 0^}\', derhalve zes snijpunten in Hk waarvan twee al
in Hl zijn gelegen. Wij zien dus dat een q^ op die
niet door T gaat, een a-rechte, b.v. a^, tot koorde zal
hebben, op aj, a^, a^, a^ éénmaal zal rusten, niet zal snij-
den. Wat betreft de rechten Cj^j, heeft c\',2 = H, Hj al drie
punten met de beeldkromme gemeen in de twee hoofdpunten,
er buiten dus geen meer; q^ zal dus C,2 niet snijden, en
evenmin r,3, r^^; daarentegen ^23, Tj.,, Cjs- ^34. ^35. Q5.
éénmaal, en ^26- ^36« ^46- ^50 tweemaal.

Dat er altijd krommen die niet door T gaan, op
gevonden kunnen worden, blijkt als we omgekeerd te werk
gaan: neem een q\'^ in r aan, met dubbelpunt H,, door
H2, H3, H4. H5, waarmee slechts zeven punten bepaald zijn.
Zij snijdt een c\'^, door de hoofdpunten, buiten déze laatste
driemaal, is dus het beeld van een ruimtekromme Aan-
gezien deze geen trisecanten kan bezitten, kan zij ook niet
uit één harer punten als nodale kromme geprojecteerd wor-
den; het dubbelpunt in H, wijst er dus op dat n^ niet door
T gaat.

£?"> Algemeen: afbeelding van een pm die x maal door T gaat

en de rechten ai in nog «k punten snijdt, geeft eenp\'m —x;
want de projecteerende kegel is van den graad rn—x, omdat
een vlak door den top nog slechts zoovele punten met pm
gemeen heeft. Snijding van p\'m—x met cen door de hoofd-
punten geeft 3(m—x) snijpunten, verdeeld in rn buiten de
hoofdpunten en er in, zoodat 3(rn - A\') ~ m -V/k. Ter
controle snijden wij p\' ook nog met y.^, hetgeen geeft
2{m _ a:) = a: -f- In beide gevallen vinden wij

2 m — 3x = -iVik.

Dimonoïdc § 7. Nemen we het bijzondere geval dat een dimo-
noïde is. met toppen T, en Tj. Door elk van deze beide

gaan dan nog 3.2 — 2.1=4 rechten behalve de torsale t
die de toppen verbindt, zoodat het aantal hoofdpunten tot
vijf gereduceerd is. Zijn a^. 34. a-^, a^ de rechten door T,.
63. 64, 65, die door Tj; het vlak (f 33) bevat dan. daar
de doorsnee in Tj een dubbelpunt moet bezitten, in de
doorsnede nog een rechte door Tj. b.v. b^. Evenzoo mogen
elkaar snijden a^ en 64. 35 en 65. a^ en b(y, terwijl de pro-
jectie uit T] moge geschieden.

We vinden dan in den doorgang H,2 van t tevens hare
afbeelding, in H3. H4. H5. H(, de beelden van a^, a^, a^, a^,
terwijl projectie van 63, 64, b^, b(, de doorgangen geeft van
de vlakken {ta^), (t a^) enz.; derhalve H12 H3, H|2 H4, enz.
De raaklijn r,2 in H,2 aan de raaklijnenkegelsncde is de
projectie van de lijn r. restdoorsnee met de monoïde van
het raakvlak door t; cn tenslotte is H3 H4 het beeld van
C34, restdoorsnee van vlak (03 34), H3 H^ van C35, enz.

Het is duidelijk dat 65 cn het vlak (33 34) in twee
punten van C34 doorboren, zoodat deze laatste de snijlijn
is van vlak (a^ 34) met vlak (b^ b(,). Evenzoo de overige ri,i.

Van de vijftien driezijden door de basispunten zijn hier.
met de twee in H12 samengevallen basispunten, slechts negen
overgebleven, waarvan drie nog drievoudige raakvlakken
afbeelden, de overige 6 tweevoudige. Immers beschouw de
driezijde H,2 H3. H,2 H4. H5 Hf,; zij beeldt de vlakke
doorsnee 63 b^ C50 af. van wier drie hoekpunten twee als
raakpunt dienst doen, terwijl het derde het dubbelpunt T2 is.

\'^"nonoïdc § 8. Bij een trimonoïde vinden we door eiken top bulten
de twee torsalen nog 3 . 2—2 .2.1=2 rechten, 35 en a^
door T,. b^ cn bf, door T2. f5 en C^ door T3, terwijl het
aantal hoofdpunten, evenals het aantal rechten door T,,

vier bedraagt. Vlak (ag fjz) geeft als restdoorsnee een rechte
door Tjj zij dit 65. Dan liggen a^. t,^. h ook weer com-
planair, enz. Wij krijgen dan als beeld van

^12 -^ HI2

^13 -H34

^23 HJ2 H34

as en a^ -Hg en H^

fcg en -> Hg H,2 en H^ H,2

en Cö -> Ha H34 en H^ H34

% -H5 Hö

waar ^50 de restdoorsnee van vlak (aj ag) is. Verder is er
nog (isG die het paar {br„ b^) tot volledige vlakke doorsnee
aanvult. Haar beeld moet zijn de raaklijn in H34 aan de
raaklijnenkegelsnede, die immers met Hja H^, en H12 H« de
totale doorsnee van vlak (b^ b^) met de monoïde afbeeldt.
Deze raaklijn is echter tevens projectie van de rechte r volgens
welke het raakvlak door fu het oppervlak nog snijdt, en
inderdaad is deze rechte identiek met /Jgo. Want t^i heeft
met vlak (^5 b^) één punt der monoïde gemeen, een punt
van ftif. aangezien zij noch bc, noch bc snijdt; vormt dan
met ti3 een vlak, in hun snijpunt rakend aan de monoïde,
dan echter langs dc geheele torsale f,3 rakend, waarmee de
genoemde identiciteit aangetoond is.

Quadri\' Bij een quadrimonoïde M^ gaan door de toppen geen
monoïde f^chten behalve de drie torsalen. We hebben hier nog
maar drie hoofdpunten overgehouden en vinden gemakkelijk
als boven de verschillende afbeeldingen.

§ 9. Voor n = 4 vermelden wij het bijzonder geval
van het oppervlak van Steiner, de vierdegraadsmonoïde
met drie dubbelrechten door den top S. Dan is S dus triplanair

punt, daar een kubische raaklijnenkegel alleen drie dubbel-
rechten kan bevatten wanneer hij ontaard is.

De vlakke doorsneden hebben tot beelden rationale c\'*,
wier drie dubbelpunten gelegen zijn in de doorgangen D,, D.^, D3
der dubbelrechten.

Niet iedere c\'* door de 3 hoofdpunten Dk is hier echter
het beeld van een vlakke c^. Want in Dk zijn negen be-
palende punten gelegen, waarmee dus oo^ èxemplaren be-
paald zijn. Idiervan beelden oo^ de vlakke doorsneden af;
de overigen ruimtekrommen q^ die de dubbelrechten tot
koorden hebben.

Een bundel vlakke doorsneden om een as a levert behalve
de drie punten Dk nog vier collineaire basispunten K, de
beelden der snijpunten van a met het oppervlak. Voor het
bepalen van de klasse van hebben wij noodig het aantal
c\'* in den bundel die ontaard zijn in twee kegelsneden, daar
het raakvlak aan de doorsnee nog een vierde dubbelpunt,
het raakpunt, als eisch oplegt, leder der twee c\'^ der ont-
aarde figuur moet door D,, Dj, D3 en twee punten K gaan;
het aantal combinaties twee aan twee der punten K bedraagt
zes en het aantal kegelsnedenparen dus drie. Hieruit volgt:
de klasse van is drie.

HOOFDSTUK II.

§ 1, Een oppervlak n 1 met m-voudige rechte a
en n-voudige rechte b kan afgebeeld worden op een plat
vlak r door de bilineaire congruentie der transversalen over
a en b, daar dezen in het algemeen behalve de snijpunten
met a en b nog slechts één punt P met het oppervlak ge-
meen hebben. De doorgang P\' door r van de transversaal
uit P is dan beeld van P. We noemen dus projecteerende
lijn van P de lijn die behalve dit punt nog m punten met
het oppervlak op a en n op fc gemeen heeft. Voor P op a
wordt dit een raaklijn in P aan het oppervlak die op b rust,
daar er dan (m 1) gemeenschappelijke punten in P gelegen
zijn. Evenzoo voor een punt van b.

Zij A* doorgang van a door r, B* van b.
Vlakke Willen we het beeld van een vlakke doorsnee cni " 1
doorsnee moeken, dan bedenken we dat de projecteerende lijnen een
regelvlak vormen met richtkrommen cm n l, aenb. Het
beeld c\' zal zeker door A* en B* gaan, daar uit deze twee
punten als behoorende tot de richtlijnen één of meer be-
schrijvenden vertrekken, wier doorgangen zij dan vormen.
Om te zien hoe vaak zij zoo een punt van c projecteeren,
hoe vaak dus c\' door A* en B* zal gaan, zoeken wij den
graad .van het regelvlak en de veelvoudigheid der richt-
lijnen.

In het vlak van de doorsnee ligt als eenige op a en b
rustende rechte de verbindingslijn van de doorgangen A en

0m n l

B van a en b, die cm n -f 1 in één punt buiten A en B
snijdt. Slechts bij dit ééne punt behoort A B als beschrijvende
van het regelvlak. Want om A b.v. af te beelden hebben
we als projecteerende lijn noodig een raaklijn in A aan het
oppervlak; elk der m raakvlakken in A bevat één raaklijn
die op b rust en derhalve projecteerende van A is, en tot
die m behoort niet de lijn AB in een willekeurige vlakke
doorsnee door A. Evenzoo voor B. Daar nu AB enkel-
voudige beschrijvende van het regelvlak is en cm n 1
enkelvoudige richtlijn, is de graad van het regelvlak m n 2;
dit is tevens de graad van de beeldkromme.

Verder zien we dat b den kegel, die cm -(- n -}" 1 uit een
punt X van a projecteert, in m -f 1 punten buiten B snijdt.
Ieder van die m 1 geeft, verbonden met X, een beschrij-
vende van het regelvlak. zoodat a (rn l) voudigc richtlijn
is. Evenzoo is 6 (n l)-voudige richtlijn en derhalve is de
beeldkromme van c™ n 1 een c\'m n 2 (A*m 1, B*n 1).

§ 2. De snijding van twee zulke beeldkrommen brengt
ons, evenals bij de monoïden, op de rechten van het opper-
vlak: een projecteerende lijn, die met twee vlakke door-
sneden twee verschillende punten gemeen heeft, ligt op het
oppervlak. Singuliere punten, hoofdpunten der afbeelding,
zijn hier echter niet alleen de voetpunten Hk dier rechten,
maar ook de doorgangen door t van a en b, namelijk A*
en B*. Immers, vlak (B*a) snijdt\'/»m n 1 nog in een kromme
1. waarvan alle punten in B* worden afgebeeld. Evenzoo
is A* beeld van een /cm l. Een gaan door B* van de beeld-
figuur beteekent dus slechts voor het origineel een ontmoe-
ting met k^ K en twee krommen, wier beelden elkaar in
B* snijden, zullen in het algemeen twee verschillende punten
van k^ 1 bevatten wier projecteerende lijnen ook verschillend

2

zijn en niet op het oppervlak liggen. De berekening voor
p, het aantal rechten op ^m n l wordt dan aldus:
(m n 2)2 = m n 1 (m 1)^ (n 1)^ p.
Waaruit volgt p = 2 m n m n

Het oppervlak bevat dus 2mn m n \\ rechten, die op
a en b rusten.

Wij noemen deze rechten /ik. waar A; = O .... (p — 1).
Nog dient gewezen te worden op de rechte A*B* als
singulariteit: zij is in haar geheel de afbeelding van het
ééne snijpunt D dat A*B* met het oppervlak oplevert buiten
A* en B*.

Rechte a § 3. Het beeld van a krijgen we blijkbaar door het
regelvlak der rechten die 0m n l in punten van a aan-
raken. Daar elk der m raakvlakken in zoo\'n punt één raak-
lijn, op b rustend, geeft, is a m-voudige richtlijn. Verder be-
vat een vlak n door a (n 1) beschrijvenden van het regelvlak;
de restdoorsnee met <?m n l is namelijk een kromme/cn 1,
die a in n 1 punten snijdt, en de beschrijvenden zijn de
verbindingslijnen dier snijpunten met den doorgang B| van
b door 71. We vinden dus voor den graad van het regelvlak
het getal m n 1 en zien tevens dat door een willekeurig
punt Bl van b (n 1) beschrijvenden gaan, zoodat t (n 1)-
voudige richtlijn is. Bedenken wc nog dat a de p rechten
op het oppervlak snijdt, dan is duidelijk dat het beeld a van
a is een kromme am n l (A*ra, B*n 1, p Hk).

Rechte b Evenzoo is het beeld van 6 een ^m n 1 (A*ni 1, B*n, p Hk).

Contrôle: Snijding van a en ß moet alleen in de hoofd-
punten gemeenschappelijke punten geven, daar a en b niets
gemeen hebben, maar beide de p rechten en de boven-
genoemde restkrommen 1 en Am l snijden; b snijdt

namelijk An 1 in het n-voudige punt B* en A® 1 in m 4-1
punten; analoog a.

De contrôle geeft dan:

(m n 1)2 = (2 m n m n 1) m (m 1) n( n 1).

hetgeen inderdaad juist is.

§ 4. Om te zien welke krommen op ons oppervlak kunnen
voorkomen, beschouwen wij in r een willekeurige kromme
c\'r. Evenals bij de monoïden kunnen wij ook hier in het
algemeen terugprojecteeren om het origineel te vinden, het-
geen als projecteerende figuur hier het regelvlak levert der
lijnen, die op a, b en c\' rusten en de figuur op het opper-
vlak afbeelden die noodig en voldoende is om c\'r tot beeld
te geven. Wij dienen echter te bedenken dat niet alleen,
evenals bij de monoïden, de p rechten tot de doorsnee van
regelvlak en oppervlak kunnen behooren (namelijk als c\'r door
de punten Hk gaat) zonder dat zij van het origineel deel
uitmaken, maar dat dit met de richtlijnen a en 6 van het
regelvlak altijd het geval is. Immers, een willekeurige kromme
in t. c\'\', zal in het algemeen tot projecteerende lijnen geen
raaklijnen aan het oppervlak in punten van a of b leveren,
dus zal a ol b ook niet tot het origineel behooren ofschoon
zij wel deel uitmaakt van de doorsnee.

Van onze willekeurige c\'r vormen de projecteerende lijnen
een regelvlak van den graad 2 r; t bevat namelijk behalve de
enkelvoudige richtlijn c\'r de rechte A*B*, die voor elk van haar
r snijpunten met c\'"" beschrijvende, alzoo r-voudige beschrij-
vende is. Verder is a r-voudige richtlijn : vlak (A b), waar A
een willekeurig punt van a is, snijdt c\'r in r punten, waaruit
evenzoovele beschrijvenden over b naar A gaan. Evenzoo
is b r-voudige richtlijn. Derhalve is het origineel een ruimte-
kromme van den graad 2 r (m n 1)—rm—rn = r(m n 2)

Zij rust in r(m n 1) punten op a, zooals blijkt uit de
r{m n l) gemeenschappelijke punten van c\'^ met a, terwijl
zij in D, het eenige snijpunt van A*B* met ^ buiten A* en
B*. een r-voudig punt bezit vanwege de r snijpunten van
A*B* met c\'r.

Gaat c\'r door A*, dan beteekent dit voor de ruimtekromme
een snijpunt met Aim l, voor ons regelvlak dus één be-
schrijvende door A*. A*B* is dan ook niet als beschrijvende
door het punt A* te rekenen, is derhalve (r—l)-voudige
beschrijvende, zoodat de graad van het regelvlak wordt
r r—l=2r—1. Zoeken wij nu het aantal beschrijvenden,
uit een willekeurig punt B van b, dan mogen we hiertoe
ook niet BA* rekenen, zoodat vlak (Ba) ons brengt tot
slechts (r—1) beschrijvenden, n.l. behoorende bij de (r—1)
snijpunten met c\'r buiten A*. Wanneer c\'r a-maal gaat door A*
geeft dit dus een vermindering van de veelvoudigheid van richt-
lijn b met a. In het algemeen krijgen we dan als graad van
de ruimtekromme wier beeld c\'r a-maal door A*, ^-maal door
B*, 4-niaal door het hoofdpunt Hk gaat,

(2 r - a /9) (m n 1) - m (r - /5) _ n (r _ a) _ r^
= r (m n 2) - a (m 1) _ ^ (a 1) -
welke ruimtekromme dan 4 maal op /ik rust.

Snijding met de beelden van a en b geeft ons nog het
aantal snijpunten der ruimtekromme met deze twee lijnen.

Dit resultaat is eenvoudiger te verkrijgen door snijding
met een vlakke doorsnee. In t geeft dat r (m n 2) snij-
punten, waarvan degenen die in de hoofdpunten liggen weer
niet de< afbeelding zijn van snijpunten in het origineel. We
vinden dan onmiddellijk buiten de hoofdpunten het aantal
r{m n 2) - a (m 1) - (n 1) — -TA, als graad der ruimte-
kromme.

!o § 5. De afbeelding wordt eenigszins vereenvoudigd door
X te leggen door één der rechten hk, ho bijvoorbeeld, ho wordt
dan A*B*, terwijl er verder nog 2m n m n andere trans-
versalen over a en b op Cpm n l liggen.

Daar ho tot het regelvlak van den graad m n 2 behoort
dat een vlakke doorsnee cm n 1 afbeeldt, wordt de rest
van de doorsnee van het regelvlak met r, het beeld van
cm n 1 dus, gevormd door een kromme c\'^i n 1 met een
m-voudig punt A* en n-voudig punt B* en gaande door de
2 m n m n overige hoofdpunten.

Ook het beeld van a wordt eenvoudiger: een kromme
van den graad (m n), die (m — l)-maal door A*. n-maal
door B* en éénmaal door de andere hoofdpunten gaat.
Analoog voor b.

§ 6. Nemen wij als voorbeeld van deze afbeelding het
geval m= 1, n= 1. het kubisch oppervlak.

Het is bekend dat dit 27 rechten bevat. Dezen kunnen
elkaar niet allen snijden, want: zij \'/, m) een paar snijdenden,
dan ligt in haar vlak nog een derde rechte, n. Denken wij
ons nu door / nog zoo\'n drievoudig raakvlak dat behalve l
nog m\' en n\' moge bevatten, dan zal m\' de rechte m moeten
kruisen of haar snijden op /. Dit laatste zou een kegelpunt
voor het oppervlak beteekenen, buiten de onderstelling. Dus
kruisen m en m\' elkaar,
^e 27 Zij (fcp 62) een stel kruisende rechten op dan kan
\'\'echten de afbeelding geschieden door de transversalen over deze
twee. Stellen wij nu in het voorheen gevonden aantal
rechten m=l, rt=l, dan vinden wij het getal 5, van welk
vijftal, op bi en b^ rustend, wij ons één in het tafereel
denken: wij noemen deze laatste Cjj. De andere vier noemen
wij 83, 34, ay a^, met doorgangen en beelden H3, H4, H5, Hg.

De doorgang van beeldt de rechte a, af, restdoorsnee
van vlak (qj b^ met het oppervlak; de doorgang van b^
analoog een rechte 82. Wij kunnen nu deze doorgangspunten
H, en H2 noemen in aansluiting aan de andere punten H
die rechten afbeelden. Van de 27 rechten hebben wij zoo
al zeven in de beeldfiguur teruggevonden, zes in de punten
Hfc en als zevende C12, waarvan ieder punt wordt afgebeeld
in de geheele qj. Nu de overige twintig. Waartoe leidt ons
in het tafereel b.v. de lijn öj ? Uit het algemeene geval, waar
deze lijn a heette, volgt terstond, voor m en n= 1, dat het
beeld een kegelsnede zal zijn, gaande door Hj, H3, H4, Hj, H^.
Evenzoo leidt tot de kegelsnede (H, H3 H4 H5 Hg).

We vragen ons af of ook de kegelsneden bepaald door
vijf andere hoofdpunten een dergelijke beteekenis hebben.
Daartoe bedenken we eerst dat een vlakke doorsnee, volgens
het algemeen geval, in t een c\'^ levert door de zes punten
Hk . Deze wordt door elk der genoemde kegelsneden in vijf
hoofdpunten gesneden, dus in nog één punt daarbuiten,
zoodat alle zes kegelsneden door vijf punten Hk inderdaad
rechten voorstellen.

We hebben nu nog veertien lijnen thuis te brengen, en
vinden die afgebeeld in de verbindingslijnen Hk Hi . Immers,
ook dezen hebben buiten de hoofdpunten nog slechts één
punt met c\'^ gemeen. De combinatie A/ is op 15

manieren mogelijk, doch daar wij Hj H2 = Cja al gerekend
hadden, vinden we hier inderdaad de veertien overige
rechten Cki.

We vonden dus:

6 ai.....ae afgebeeld door H,.....H^

kegelsneden (H2H3H4H5H6) enz.
15 Ckl ,f .. H, H,

Uit de beeldfiguur lezen we dat elkaar kruisen:

au en ai. \' k en hy au en ^k : dat ak en elkaar snijden. Ook
snijdt Cki de rechten ók, bx, ak. a\\, zoodat zij de doorsnee is
der vlakken (ak^*! ) en (ai b^), en tevens de rechten Cpq.
waaruit volgt dat de c-lijnen drie aan drie in vijftien drie-
voudige raakvlakken liggen.

De a- en Ó-lijnen, twaalf in getal, vormen een bisextupel

[l^XXXX\'^f^\'} georiënteerd is, dat alleen twee

elementen uit verschillende rij én verschillende kolom elkaar
snijden. Daar. zooals gemakkelijk is na te gaan. elke der
27 rechten tien andere snijdt en dus zestien kruist, zijn er
\' paren kruisende lijnen, zooals (a,, 6,) er één is. Bij
elk stel behoort slechts één bisextupel. Want van a, en b^,
boven elkaar gezet, uitgaande kunnen wij geen 6-lijnen in
de bovenste rij krijgen, daar nooit zes a\'s en 6\'s door
elkaar onderling kruisend kunnen zijn, en ook geen c-lijnen,
daar deze de index 1 zouden moeten bezitten om b^ te snijden
en die zouden moeten missen om a, te kruisen. Het ééne,
bij (ap/\'i) behoorende bisextupel behoort echter evenzeer bij

27 16

ieder stel (ak, zoodat wij in het geheel vinden -2^ = 36
bisextupels.

§ 7. Gaan wij na deze indeeling der 27 rechten eens
na hoe verschillende krommen op het oppervlak op t worden
afgebeeld.

Nemen wij in r een willekeurige rechte /\'. Zij snijdt een
c\'^ door de hoofdpunten in drie punten buiten Hk. is dus
het beeld van een q^ op het oppervlak. Daar verder de
kegelsneden (Hj Hj H3 H4 Hj) enz. elk twee snijpunten met
leveren, de rechten Hk H| één snijpunt, heeft de q^ de zes
Zz-Iijnen tot bisecanten, de c-lijnen tot unisecanten, terwijl zij,
daar l\' niet door de punten Hk gaat, de a-rechten niet snijdt.
Bij een andere afbeelding van het kubisch oppervlak

zullen we zien dat iedere q^ op ^^ zes der 27 rechten, zij
het dan ook niet het zestal Z\'-Iijnen, tot bisecanten heeft.
Dat er inderdaad zulke krommen q^ op zijn, die andere
dan de 6-lijnen tot koorden hebben, blijkt dadelijk als wij
bij de afbeelding van twee andere kruisende rechten uitgaan
en r weer leggen door één der op gelegen transversalen
over dit tweetal. Iedere rechte in dit nieuwe tafereel is
dan beeld van een die behalve de twee gegeven kruisende
rechten nog vier andere tot koorden heeft; waarmee het ge-
stelde aangetoond is.

Deze laatste q^ zal echter in ons oorspronkelijk tafereel
niet als rechte afgebeeld worden. Hoe dan wel? Dat zal
van de oriëntatie t.o.v. de verschillende lijnen afhangen, van
het feit welk zestal hare bisecanten zijn. Wij willen daarom
nu verband zoeken tusschen den graad r van haar beeld-
kromme en het aantal snijpunten, at, met de lijnen at b.v.
Snijden wij daartoe de beeldkromme met het beeld van een
vlakke doorsnee, dan is

SrrzrS ^-ßak
of ^-fiakzzzSCr-1) 1)
Verder vinden wij uit het feit dat ruimtekromme en beeld
wegens de (1,1) afbeelding hetzelfde geslacht hebben

V2 (3-l)(3-2)-/i= V2(r - l)(r-2)- Vz-S\'.akCak- 1)

waar de laatste term voorstelt het aantal dubbelpunten dat
gelijkwaardig is "met de ok-voudige punten der beeldkromme,
en /i = aantal schijnbare dubbelpunten der ruimtekromme.
Voor cen q^ is h=l, zoodat

r^ — 3 f 2 = _ 2ak
of, in verband met 1)

= 2)
Aan de betrekkingen 1) en 2) moet voldaan zijn bij de
afbeelding van een q^ op het kubisch oppervlak. Daar deze

hoogstens bisecanten kan hebben is a^ ^ 2, r^ _ 1 ^ 24,
r ^ 5. Het beeld is dus hoogstens een c\'®. Wij zullen
nagaan of de gevallen r = 5, 4,... 1, inderdaad alle kunnen
voldoen aan 1) en 2) bij eenige rangschikking van at.
r = 5. Dan zou moeten zijn ^\'^Ok^r; 24 = 44-4 4 4 4 4
als eenige mogelijke verdeeling der zes quadraten. Dat
wil zeggen: indien het mogelijk Fs een q^ door eene\'\'
af te beelden in ons aangenomen tafereel, dan moet q^
de zes a-lijnen tot koorden hebben, c\'® de hoofdpunten
alle tot dubbelpunten; c\'® (6 Hk^) dus. Maken wij nu de
som 2\'ak op, dan komt ook formule 1) uit; zoodat in-
derdaad zoo\'n c\'® beeld van een q"^ op het oppervlak
is. De ligging der andere rechten, t.o.v. volgt uit
snijding van hare beelden met c\'\'. In het overzicht
hieronder is zij voor elke r-waarde aangegeven,
r = 4 =15 = 4 4 4 1 1 1. 3 der a-lijnen zijn
koorden, 3 unisecanten. ^\'ok = 9= 3(r—1). Het beeld
is c\'" (H.^H^^Ha^H^ H, He).
r = 3 2\'6ak2 = 8 = 4 4 0 0 0-r0.

2-0^ = 4 ^ 3(r—l). Dus zóón q^ bestaat niet op \'P^.
2; = 8 = 4 M I 1 1 1 0. Eén a-koorde, 4 a-uni-
secanten, 1 a-nulsecante. ^\'ak = 6 = 3 (r—1). Het beeld
is c\'3 (H,2H2 Ha H^ HJ.

r = 2 J\'6ak2 = 3=l l l 0 0 0.

2\'ak = 3 = 3 (r—1). 3 a-unisecanten, 3 a-nulsecanten.
Het beeld is c\'^ (H, Hj H3).

2"\'ak=0. 6 a-nulsecanten.

Ieder dezer r-waarden vertegenwoordigt bij bepaalde in-
deeling der a-lijnen een stelsel van oo^ krommen q^ op
zooals blijkt uit het aantal bepalende punten der beeld-
krommen, in de hoofdpunten gelegen: dit is telkens twee

minder dan benoodigd is voor het bepalen van één kromme c\'.
Echter kan bij r = 4 bv., het drietal a-lijnen dat als koorde
dienst doet op ^= 20 manieren gekozen worden, zoodat
er 20 stelsels van deze q^ zijn. Analoog voor r = 3 enz.

Overzicht der krommen q^ op

In het geheel 72

De twee zestallen koorden en nulsecanten van elk stelsel
vormen een bisextupel. Ieder bisextupel hoort bij 2 stelsels,
zoodat wij hier weer het getal 36 terugvinden

HOOFDSTUK III.

§ 1. De afbeelding van een $n p l met n-voudige
kromme a\'\' en p-voudige rechte /S die a"\' (q—l)-maal snijdt,
geschiedt door de rechten die in verschillende punten op
a en ^ rusten, in dier voege dat de projecteerende lijn van
een punt P is de lijn die behalve P nog n punten op a en
nog p op met het oppervlak gemeen heeft. Voor P op
a of /5 wordt zij raaklijn.

Deze projecteerende lijnen vormen een congruentie (1,9):
door een willekeurig punt P is het vlak (P^) te\'leggen dat
met a buiten nog slechts één punt U gemeen heeft, zoo-
dat PU de eenige projecteerende lijn is door P; een wille-
keurig vlak snijdt /3 in een punt V, a in q punten, die.
verbonden met V, q projecteerende lijnen geven.

Singuliere punten in r van deze (1,1) afbeelding zijn weer,
behalve de voetpunten der op het oppervlak nog te vinden
rechten, de q doorgangen van a"!, Ak*. en de doorgang B*
van /3, welke alle beelden zijn van oo \' punten op het opper-
vlak.

^\'a/cjce § 2. Zij cn p 1 een vlakke doorsnee die in F, a in
doorsnee de q punten Gk moge snijden. De projecteerende figuur is
het regelvlak der rechten die in twee verschillende punten
op a en /3 en tevens op c rusten en dit snijpunt met c af-
beelden. Gaan wij den graad en de veelvuldigheid der richt-
lijnen na. Uit een punt A van a wordt c centraal geprojecteerd

volgens een kegel van den graad n p 1, die ft in (n 1)
punten buiten c snijdt. Deze (n 1) geven, verbonden met
A, evenzoovele beschrijvenden van ons regelvlak, het punt
F daarentegen niet. Want dan zou A F het punt F moeten
afbeelden; maar als punt van ft wordt F afgebeeld door p
raaklijnen aan $n p l, n.l. in elk der p raakvlakken in F
door de raaklijn die op a rust; en voor een willekeurig punt
A op a zal in het algemeen A F niet tot die p raaklijnen
behooren; a is derhalve (n l)-voudige richtlijn. Evenzoo
vinden we dat richtlijn ft (p <?)-voudig is: de c projectee-
rende kegel, met top B op ft, snijdt a in

q {n p l)-q n-p{q-\\) = (p q)
punten buiten ft en c, die elk een beschrijvende leveren. De
punten Gk tellen weer niet mee, om dezelfde reden als boven F;
de punten A] ... Aq_, waarin ft de kromme a"! snijdt even-
min, daar ft dan projecteerende lijn zou moeten wezen van F;
voor een willekeurige vlakke doorsnee nu zijn de projectee-
rende lijnen van haar snijpunt met ft de p raaklijnen, boven
reeds genoemd, waartoe in het algemeen ft niet behoort. Dus
ft is (p ^)-voudige richtlijn. Merken wij nog op dat in het
vlak van c de punten Gk, verbonden met F, q beschrijvenden
leveren, projecteerende lijnen van hun eenig snijpunt met c
buiten a en ft, dan volgt voor den graad van het regelvlak dat
cn p 1 afbeeldt het getal n p <7 1, en het beeld is een
c\'n p q 1 {qk*n \\, B*P q).

Twee zulke krommen, c\\ en c\'j, hebben buiten A* en B*
(n p 5  (n 1)^—(p q)^ gemeenschappelijke punten.

Hiertoe behooren nog de (n p 1) beelden der snijpunten
van c, en Cj, terwijl de overigen rechten op het oppervlak,
rustend op a en ft, afbeelden. Derhalve:

Het aantal rechten bedraagt s = n^ 2pn n p q^n^q.

Hare voetpunten geven s hoofdpunten Hk.

Nemen we q=\\, dan vinden we het aantal in hoofdstuk II
gevonden.

Verder is uit deze formule te lezen dat voor n = 1 het
aantal rechten op aznft rustend onafhankelijk van q is. Een
oppervlak cP p 2 met p-voudige rechte heeft er 3 p 2.

§ 3. Zoeken wij het beeld van ft, dan is de projecteerende
figuur het regelvlak der raaklijnen in punten van Om na
te gaan hoevele beschrijvenden van dit regelvlak uit een
willekeurig punt B van ft vertrekken, bedenken we dat in
elk der p raakvlakken in B al vast één raaklijn ligt die op
a rust, n.1. B Qk. als Qk (fc = 1 ... p) het eenige snijpunt van
zoo\'n raakvlak met a buiten is. De p raaklijnen zijn de
projecteerende lijnen van het punt B; ft zelf echter is ook
raaklijn aan het oppervlak en rust ook op a ; kan zij niet
ook beschrijvende van het regelvlak zijn, dus een punt van
ft, zij het dan niet B. projecteeren ? In dat geval moet er voor
een vlak n, wentelend om ft, een stand zijn waarin ook zijn
laatste snijpunt met aopft is terechtgekomen, en dat geschiedt
inderdaad voor (q—1) standen. Terwijl .t gewoonlijk als rest-
doorsnee geeft een cn l met n-voudig punt Q en (n i 1)

snijpunten X, Y, Z .... met ft, zoodat QX, QY.....respectievelijk

de punten X. Y.... afbeelden, ligt in deze (<?-l) gevallen Q
op ft, zoodat van X, Y, Z.... cr n in Q zijn gevallen en nog
slechts één, Y b.v., er buiten ligt. De projecteerende lijnen
van X. Z, .... zijn nu de n raaklijnen aan cn 1 in Q. terwijl
ft van Y dc projecteerende lijn, alzoo beschrijvende van het
regelvlak is. Daar ieder punt van ft snijpunt is van richtlijn
en beschrijvende, is tt raakvlak langs de geheele ft. We zien
dus dat ft torsale rechte op het regelvlak is, en wel (q-l)-
voudig torsale, derhalve 1) voudige richtlijn.

Voor den graad van het regelvlak volgt dan meteen, daar
QX, QY, .... (n 1) beschrijvenden vormen in n, het getal
p q_l4-n l= p «ï n. Ook is duidelijk dat uit een
punt Q van a (n 1) beschrijvenden vertrekken, zoodat a
(n l)-voudige richdijn is en het beeld van ^ luidt:
|3\'n p q (^An 1, Bp q 1. 5 Hk )

Contrôle: voor het aantal gemeenschappelijke punten van

met c\'n P q 1 vinden we buiten A*. B* en Hk :
(n p ç l) {Ti p q)-g {n iy-ip q){p q-l)-n^-2 p n-n-p-q n^q=p
hetgeen inderdaad het aantal snijpunten van en c is.

a<J § 4. Het regelvlak dat a\'\' afbeeldt, heeft a tot n-voudige

richtlijn: elk der n raakvlakken in een punt A van a snijdt
/S in een punt dat verbonden met A een beschrijvende geeft.

Stel het aantal beschrijvenden uit een punt B van ^isy,
of wel stel § is y-voudige richdijn. Een vlak door bevat
als restdoorsnee met het oppervlak, zooals we reeds zagen,
een met n-voudig punt Q op a. In de n raaklijnen

in Q bezit het vlak n beschrijvenden van het regelvlak dat
a afbeeldt, zoodat de graad hiervan is: y n, en het beeld
van a een a\'v " (^ A*n, B**, s Hk). Combinatie met c\'n p q 1
levert:

(n p q l) {y n) = q n{n \\) y {p q) s q n
waaruit volgt, na invulling van de waarde voor s,

y=p q.

Zoo wordt het beeld van c een a\'n p q (9 A*n, B*P q, s Hk).

c\'r in X § 5. Zij nu c\'r een kromme in r die Ok maal door Hk gaat,
a* maal door de q punten A*, maal door B*. dan wordt
de graad der ruimtekromme die zij afbeeldt gegeven door
de vergelijking

r(n-i-A\' 9 l) = 9 a* (n 1) (/t; ç) m

welke uit snijding van c\'r met het beeld van een vlakke
doorsnee volgt.

Combinatie met de beelden van a"? en ^ geeft ons even-
zoo het aantal snijpunten van deze twee lijnen met de
ruimtekromme.

§ 6. Beschouwen wij nu het geval van een kubisch
q=3 oppervlak met enkelvoudige kubische kromme en enkel-
voudige rechte, koorde der kromme. Dus n = 1, p =z 1, q = 3.
De kubische kromme moge er één zijn die de zes a-lijnen
van tot koorden heeft, en zij dan a, degene, waarop
alle projecteerende lijnen moeten rusten. Tot deze laatsten
behooren vijf rechten van n.1. cik, k = 2 ... 6. Hare
doorgangen Hk zijn 5 hoofdpunten.

Uit het algemeene geval lezen wij nu verder af dat het
beeld van een vlakke c^ is een c\'^ Aj*^ B*" 5 Hk).
a, levert in het tafereel een a^ (A,*2 Aï*^ Aj^^ 5 h,^)
en een r^ (A/" Aj* A,\'^ B^^ 5 Hk).

Combineeren wij ter controle r® met a^, dan moeten wij
twee snijpunten vinden buiten de hoofdpunten.

Nu is 25 = 3.2 4.3 5 A\', waaruit x = 2.

§ 7. Stel nu n=l, p = 2, q = 2; dit is dus het geval van
4e-graadsoppervlak met een enkelvoudige kegelsnede
en een dubbelrechte die de kegelsnede in één punt snijdt.
Wij behoeven nu slechts uit te gaan van het met de
dubbelrechte d, en kunnen aantoonen dat er dan altijd kegel-
sneden op liggen, die d in één punt snijden en dat elk
dezer op 8 rechten van het oppervlak rust. Daartoe be-
schouwen we eerst de verschillende vlakken om d en hunne
restdoorsneden met kegelsneden, en we willen nagaan
voor hoevele van die vlakken die kegelsnede uit een lijnen-

paar bestaat. Telkens wanneer dit het geval is ligt het
centrum op en wij hebben dus het aantal snijpunten te
zoeken van ons oppervlak met de meetkundige plaats dier
centra, ; allereerst dus den graad dezer meetkundige plaats,
het aantal centra dat vlak V" bevat namelijk.

Zij 7ï een vlak door d dat als restdoorsnee met een
parabool geeft, en zij de vlakke doorsnee van met
De parabool moet dan twee samenvallende punten met yj*
gemeen hebben, waarin tevens haar centrum gelegen is; en
de gemeenschappelijke raaklijn, doorsnee van vlak n met V®,
zal ook het oneindig verre punt D°° van d moeten bevatten,
d.i. dubbelpunt van y}*. Omgekeerd wijst iedere raaklijn, uit
D® aan y* te trekken, op een parabool als restdoorsnee
in één van de vlakken om d, dit is op een centrum in .
En aangezien uit D°° zoo 4.3 — 6 = 6 raaklijnen te trekken
zijn, snijdt /t V°° in 6 punten en is haar graad 6. Van dc
zes punten die zij met ieder vlak om d gemeen heeft, ligt
er altijd maar één buiten d, dus vijf er op. Letten wij nu
op de gemeenschappelijke punten van /u^ met ^P*. dan zijn
er van de 24 zes in V°° gelegen en 5 X 2 op cf. Deze laatsten
kunnen niet dienst doen als dubbelpunten van lijnenparen,
daar zij dan tevens viervoudige punten voor het oppervlak
zouden beteekenen, zoodat er slechts acht overblijven.
Derhalve:

Er zijn acht lijnenparen op het oppervlak in vlakken om d
gelegen.

Zal er nu een kegelsnede ó, bestaan op in één punt X
rustend op d, dan zal het vlak door nog een kegelsnede
ój, door X gaande, als restdoorsnee, geven. De acht lijnen-
paren (ak, b^) zullen deze twee kegelsneden moeten ontmoeten,
en, aangezien geen twee snijdende rechten op d en ó kunnen

rusten, brengt a^ als snijlijn van ój noodzakelijk mee K
als snijlijn van ój,- zoodat (5, en d^ elk acht der rechten
at, bk ontmoeten, 8 kruisenden.

Wij zien dus dat als een kegelsnede <5, te vinden is op
in één punt rustend op d, dan heeft zij acht kruisenden
der rechten ak, b^ tot unisecanten; en omgekeerd als een
kegelsnede bestaat in één punt d snijdend en welke die acht
rechten tot unisecanten heeft, dan heeft zij tien punten met
het oppervlak gemeen en ligt er dus op. Wij kiezen nu dus
uit av,b\\ acht kruisenden uit en willen nagaan of het mogelyk
is, een te vinden die één punt met d gemeen heeft en
verder op dat achttal rust, of liever op zeven er van, daar
<52 dan reeds negen punten met fp* gemeen heeft, dus er op
hgt en noodzakelijk, volgens het bovenstaande, een achtste
rechte tot secante bezit.

Beginnen wij eens met drie rechten ak. en beschouwen de
meetkundige plaats M der kegelsneden door twee gegeven
punten P en Q. rustend op de drie akJ PQ zij /. Tot deze
kegelsneden behooren de twee lijnenparen /c, en /c2. waar
Cl en Cj de transversalen van /. «,.32.33 zijn. Op de meet-
kundige plaats is / dus dubbelrechte, terwijl in elk vlak door
/ nog één kegelsnede door P en Q ligt. De graad van M
is dus vier, cn daar iedere rechte door P. cn evenzoo door
Q. daar drie punten van M bevat, zijn P en Q twee drie-
voudige punten. We vinden dus een dimonoïde, met
toppen P cn Q. n^ snijdt deze D^ in vier punten, zoodat
vier kegelsneden door P en Q op aj. 32. a^, a^ rusten.

Laten we nu Q over / loopen, dan zal de enkelvoudige
oneindigheid van kegelsneden die daarbij behoort een opper-
vlak vormen dat / viervoudig bevat, en. daar in een vlak
door / nog slechts één exemplaar gelegen is, n.1. dat bepaald
is door P en de vier snijpunten met 3i, 32. ag, 34, zal de graad

van het oppervlak zes zijn. Er zijn dus zes kegelsneden
door P die l tot koorde hebben en op a,. aj. ag, 34, a^. rusten.

Door P nu ook loopend te nemen over l vinden we een
oppervlak van den graad acht als meetkundige plaats der
kegelsneden die op a,. a2.33, a,. a^. rusten en / tot koorde hebben.
Is er een rechte d, die de 5 rechten a snijdt, dan treft zij
dit oppervlak in nog drie punten daarbuiten, zoodat er in
drie vlakken door / een kegelsnede ligt die in verschillende
punten ^k en d snijdt. Het oppervlak omhuld door alle
vlakken, die elk zulk een c^ bevatten, is dus van de klasse

drie; wij noemen het

Zij 2*2 evenzoo omhuld door vlakken met kegelsneden,
rustend opd,ai, 32-33, a^,ao. en 2*3 door die op d. a^, aj, 33,34, a;,
dan zullen in het algemeen in een gemeenschappelijk raak-
vlak de drie c^, die achtereenvolgens bij cn ^3 be-
hooren, samenvallen, omdat zij de vijf snijpunten met d.
3,. 32, 33, 34 gemeen hebben. En in die ééne gemeenschappelijke
kegelsnede vinden wij dan één zooals we zoeken, n.1. een
die d,a,. 32, 33. 34. 35. 96.^7 snijdt. De vraag is dus nu:
hoeveel gemeenschappelijke raakvlakken bezitten en

Beter echter kunnen we het duale geval nemen; een
kegelsnede heeft tot duale figuur een kegel en in plaats van
vinden wij dus de meetkundige plaats S, der punten,
waaruit een quadratische kegel gaat die in zes van zijn
raakvlakken respectievelijk de rechten cf, a,, 02, 33, 34, aj be-
vat. Haar graad is drie. Analoog S^ en S3, en wij zoeken
nu het aantal snijpunten van deze drie. Uit zoo\'n snijpunt
n.1. gaat één quadratische kegel behoorend bij S,, één bij S^,
één bij S3, welke drie kegels vijf raakvlakken gemeen heb-
ben, dus samenvallen tot zoo\'n kegel als we zochten. Echter
moeten we bedenken dat cf, aj, 32, ^3, 34 en dus ook de tweede
transversaal f over 3,. 32, 33, 34, op alle drii: de opper-

vlakken gelegen zijn. Immers: met een willekeurig punt Y
van a. bepalen 3.2,33,3^.35 en cf 5 vlakken als raakvlakken
van den quadratischen kegel uit Y die aan de eischen voor
S, voldoet. Y ligt dus op Sj, qp evenzoo alle punten van a,.
terwijl t.o.v. $2 en S3 hetzelfde geldt.

Nu vallen echter voor een punt P van één dier zes lijnen
de kegels respectievelijk behoorend tot S,, S^ en S3 niet
samen tot een gezochten, daar zij slechts vier raakvlakken
gemeen hebben. Wij hebben dus de gemeenschappelijke
punten van S,. S2 en S3 buiten a,. aj, 33, a„ d en t op
te zoeken. S, snijdt dan S^ daarbuiten nog in een q^ welke
negen punten met S3 gemeen heeft. Hoevele van deze
negen liggen nu op a, b.v. ? Leggen wij een vlak door
aj , dan snijdt dit op S, en Sj elk nog een kegelsnede uit.
Drie van de vier snijpunten dier kegelsneden zijn de door-
gangen van aj, 33 en 04, het vierde moet een punt van jj^
zijn, zoodat de overige twee snijpunten van q^ met het vlak
op a, moeten gelegen zijn. Evenzoo zijn a^» en 34 koor-
den van en van bovengenoemde negen gemeenschappe-
lijke punten liggen dus acht op ak , slechts één er buiten;
zoodat wij tenslotte één kegel vinden die in acht van zijn
raakvlakken de lijnen aj, aj, 33, 3^, 3y 3(,, 3j, d bevat. Of duaal:
er is één kegelsnede die in acht van hare punten de rechten
a,, a2, as, 34, «5, flö. a^, d ontmoet. Zij snijdt dan noodzakelij-
kerwijs als achtste rechte /ig of ftg.

Aangezien uit de zestien rechten ak. ^^k op 128 manieren
een stel van zeven kruisenden te vinden is, zijn er 128 van
die kegelsneden\', zij zijn twee aan twee gelegen in 64 drie-
voudige rsakvlakken, waarbij het 4e snijpunt der twee c^
als dubbelpunt, de doorgang van d is.

Dat getal 128 vinden we aldus: de eerste rechte kunnen

we op 16 wijzen kiezen, daarna de tweede op 14 wijzen,
de derde op 12, enz. Het aantal zeventallen zou dan zijn

16. 14......4. Maar elk zevental, aangevuld door de

noodzakelijke achtste tot achttal, kan door acht verschillende
keuzen van No. 1 veroorzaakt zijn, daarna nog door zeven
keuzen van No. 2, enz., zoodat het juiste aantal kegelsneden is
16. 14.....4

= 128.

8. 7.

§ 8. Nu de afbeelding zelf door de congruentie (1, 2)
der transversalen over d en ó. d moge i snijden in D*,
d in A* en B*. Zij verder Do het snijpunt {d. ó).

Vlakke c* Een vlak, X\' dat een c^ uitsnijdt op het oppervlak,
bevat van het regelvlak dat deze c^ afbeeldt twee
beschrijvende lijnen, de verbindingslijnen der twee doorgangen
van d^ met den doorgang van d. De graad van het projec-
teerende regelvlak en van de projectie wordt dus al vast
zes. Verder heeft de kegel die ó^ uit een punt van d projecteert,
met c* 8 punten gemeen, waarvan twee in D, twee in A
en B, als D, A en B zijn de doorgangen van d en ó. Er
blijven dus van de acht vier over, die vier beschrijvenden uit
het punt van d bepalen, zoodat deze viervoudige richtlijn is.

Een punt van d^ levert evenzoo twee beschrijvenden, waar-
uit volgt dat ó^ als dubbele richtlijn optreedt en het beeld
van onze vlakke doorsnee wordt: c\'\'\'(D*^ A*^ B*^).

Snijding van twee zulke c\'^ brengt ons tot de acht rechten
aic op het oppervlak, die, naar we al wisten, op <5 en ei
rusten. Hare doorgangen, Hk, door r zijn hare beelden,
hoofdpunten der afbeelding evenals D*, A*, B*.

Voor een punt B van by vinden we als projecteerende

lijn BT, als T het punt (öa,) is; de verschillende punten van
ö, leveren zoo den waaier T in het vlak (a, 6,) en de door-
gang door r van dit vlak. D* H,. is dan ^»eeW van 6,. Even-
zoo D* Hk van b^.

Dubbel- 5 9. Voor afbeelding van d treedt weer het regelvlak
\'\'echte d. jg^ raaklijnen in punten van d op. ö blijkt dubbele richtlijn
te zijn: een punt S van d bepaalt met d een vlak dat nog
een kegelsnede uitsnijdt; de twee snijpunten van deze laatste
met d geven met S verbonden de twee beschrijvenden uit S.

Zoo geeft ieder vlak door d twee beschrijvenden f. Eén
stand echter brengt S op d in Dp, en in dien stand valt f,
langs d, terwijl t^ raaklijn is aan de restkegelsnede; d geldt
dus als enkelvoudig beschrijvende. De twee raakvlakken in
een punt D van de dubbelrechte aan het oppervlak bevatten
buiten deze elk nog één ribbe van kegel (D, d), hetgeen
twee beschrijvenden uit D beteekent. Dus is d drievoudige
richtlijn, en de graad van het regelvlak vijf. Zoo vinden we
voor het beeld van d een kromme d\'^ (D*3, A*^. 8 Hk).

§ 10. Bij de afbeelding van <) zien we: in een punt Z
van <i is één raakvlak aan te brengen; dit geeft met d één
snijpunt, dus één beschrijvende door Z van het regelvlak
dat de kegelsnede afbeeldt; f) is enkelvoudige richtlijn. In
haar vlak ligt als restdoorsnee nog een kegelsnede door
Dy, het snijpunt van de dubbelrechte met d. Dq verbonden
met de drie overige snijpunten dier twee kegelsneden geeft
drie beschrijvenden. waaruit voor den graad van het regel-
vlak het getal vijf volgt.

Een vlak .t door de dubbelrechte bevat slechts één be-
schrijvende: het snijdt in nog één punt buiten Dq, waar
het raakvlak in de snijlijn met 7t de beschrijvende levert.

Derhalve is d viervoudige richtlijn en het beeld van ó een

(D*^ A*. B*. 8 Hk).

§ 11. Door nu het aantal snijpunten te bepalen in r met
de beelden van d, d en c^ kunnen wij van verschillende
figuren in het tafereel het origineel leeren kennen. Zoo is
Rechte in r in het algemeen een rechte in r het beeld van een q^ die d
vijfmaal en d vijfmaal snijdt, terwijl twee zulke krommen
slechts één punt gemeen hebben.

Een rechte door D* echter heeft nog slechts twee punten
met c\'ö gemeen buiten de hoofdpunten en eveneens met d\'
twee. beeldt dus een c^ af die d tot koorde heeft. Zoo cor-
respondeert de waaier om D* met de restdoorsneden van
vlakken om d.

Ook zien we hier terug dat de acht verbindingslijnen
D* Hk acht rechten afbeelden, die alle de dubbelrechte snij-
den, doch d niet, n.1. de acht fc-lijnen.
c\'m in T In het algemeen: stel in t gegeven een c\'m. ak maal door
Hk gaand, /?*-maal door A* en B*, >\'*-maal door D*, en
zij deze het beeld van een q^ die de rechten ak dan in Ok
punten snijdt, d in ß punten en d in y. dan wordt het ver-
band tusschen die verschillende grootheden aangegeven door

de vergelijkingen

6 m = 4yM-4/?* 2\'ak n
5 m = ß
5 m = 3y* \'iß* Zay Y
waaruit n, ß en y zijn te bepalen.

§ 12. Wij zagen dat een vlakke c^ afgebeeld wordt in
een c\'®\' Leggen wij omgekeerd in x een c\'^ viermaal door
D*. tweemaal door elk der punten A* en B* en tevens door
de acht punten Hk . dan is zij het beeld van een vlakke

doorsnee. Immers, in de hoofdpunten liggen dan

V2. 4.5 2. % 2. 3 8 = 24
bepalende punten voor de nemen wij er nog drie aan,
P\', Q\' en R\', dan leveren dezen ons P, Q en R op het
oppervlak, wier verbindingsvlak een C* uitsnijdt die haar
beeld k\'^ ook door de 24 bepalende punten en P\'. Q\', R\' laat
gaan. De 27 genoemde punten zijn echter voldoende om
cen zesdegraadskromme te bepalen, er kunnen geen twee
verschillende exemplaren doorgaan ; dus c\'^ = k\'^, waarmee
het gestelde bewezen is.

Iedere c\'® (D*^ A*^. B*^. 8 HO is dus beeld van ccn
vlakke c\\ Stel nu dat in r de c\'^ is ontaard in 2 krommen
c\'3 (D*l A*, B*, 4 Hk). Dezen zijn natuurlijk afbeeldingen van
twee kegelsneden op het oppervlak, in één vlak gelegen, die
elkaar o.a. op d snijden. Het aantal dier complanaire twee-
tallen bedraagt evenveel als het aantal combinaties van vier
punten Hk die wij uit de acht maken kunnen, gedeeld door
twee, dus 35. Snijding met het beeld van «5 doet ons zien
dat elk dezer kegelsneden in slechts één punt rust op ó.

Stel c\'^ is samengesteld uit c\'^ (D*^ A*. B*, 6 Hk) en
c\'2 (D^ A*. B*, 2 Hk). Deze c\'^ en c\'^ snijden beide, buiten de
hoofdpunten, nog twee punten uit op een willekeurige c\'^
door de hoofdpunten, zoodat ook zij wijzen op een vlakke
doorsnede die uit twee kegelsneden bestaat. Het aantal van
deze complanaire tweetallen is het aantal combinaties twee
aan twee der zes H-punten, dus 28. Van elk tweetal rust
de ééne in twee punten, de andere niet op d; want c\'^x»^\'\'
geeft 20 snijpunten alle in de hoofdpunten gelegen;en
geeft er tien, waarvan acht in de hoofdpunten.

§ 13. Wij willen nu geraken tot het geval n = 2, p —1, q = 2,
\'«=2/7=1 derhalve tot een vierdegraadsoppervlak met dubbele

kegelsnede ó welke door een enkelvoudige rechte op het
oppervlak eenmaal gesneden wordt. We gaan daartoe uit
van het met dubbele kegelsnede. Om één of meer rechten
te vinden van die op S rusten, beschouwen we twee
vlakke doorsneden, z^ en yj* en vervolgens het regelvlak
M der rechten die in verschillende punten deze beide en d
snijden. Zijn D^ en D2 de dubbelpunten van doorgangen
van d^ dus, en D3 en D4 die van Wanneer we nu uit
een punt P van ó de beide vlakke doorsneden centraal
projecteeren, snijden de zoo gevormde vierdegraadskegels
elkaar volgens zestien ribben, waarvan vier het punt P ver-
binden met de vier snijpunten van x* cn V^*- Er blijven
dus nog twaalf over die x* en rp* in verschillende punten
treffen en dus als beschrijvenden van ons regelvlak dienst
doen; waaruit volgt dat d op dit laatste twaalfvoudige
richtlijn is. Evenzoo zien we dat door een punt Q van tp*
van den quadratischen en den vierdegraadskegel die respec-
tievelijk ó en X* projecteeren. acht gemeenschappelijke ribben
gaan, waarvan Q Dj cn Q D^ niet aan de eischen voor
beschrijvende van het regelvlak voldoen. Zij zijn beide dubbel
te tellen ribben, zoodat er nog slechts vier andere door Q
gaan en y)\\ evenals x*\' viervoudige richdijn is. Denken wij
ons nu in het vlak van x* vier doorgangen van tp* ver-
bonden met D, en Dj. dan rusten deze acht rechten al op
en d, terwijl elk daarbuiten nog een vierde snijpunt heeft
met X*- Deze acht zijn dus beschrijvenden van M en de
graad daarvan is 8 4 X 4 = 24.

We snijden M nu met een derde vlakke doorsnee, niet
behoorende tot den bundel (x.rp) en vinden van de 96 ge-
meenschappelijke punten 4X8 gelegen in de snijpunten

met j/ en en 2 X 2 X 12 in de dubbelpunten Dj en D^
van (p*. De overige zestien liggen buiten de richtlijnen van
het regelvlak. zij bepalen dus zestien beschrijvenden van M
die óók nog op (p* rusten, derhalve vijf punten met ge-
meen hebben dus er op liggen.

bevat 16 rechten die de dubbele kegelsnede snijden.

§ 14. Kiezen wij nu één dier zestien uit, a», dan is af
te beelden op een plat vlak r door middel van de congru-
entie (1,2) der rechten, die <5 en a, in verschillende punten
snijden. Hoofdpunten daarbij zijn al vast Dj*, D„* en A*,
doorgangen door r van ó en a,.

Beginnen wij met een vlakke die a, in A», ó in de
dubbelpunten D, en Dg moge treffen. De projecteerende
lijnen vormen een regelvlak N met richtlijnen ó, a, cn c*.
Een punt D op <5 bepaalt met a, een vlak dat c* in vier
punten, o.a. A,, snijdt; A» D beeldt echter niet het punt
Ax af maar haar vierde snijpunt met fJ>*, buiten c* gelegen.
Zij doet dus geen dienst als beschrijvende van N en uit D
vertrekken drie beschrijvenden, ó is drievoudige richtlijn.

De vierdegraadskegel, die c^ centraal uit een punt A van
a, projecteert, snijdt den quadratischen kegel (A,ö) volgens acht
ribben; hiertoe behooren A D,

en A Dj dubbel en a^ enkel,
welk drietal geen punten van c* afbeeldt, zoodat slechts drie
uit A vertrekkende beschrijvenden overblijven en ook a, drie-
voudige richtlijn blijkt. Verder bevat het vlak van c* de twee
beschrijvenden A, Di en A* Do, zoodat de graad van N zes
wordt en het beeld van c* een c\'^ (D/3, D./»,

\' 16

§ 15. Twee zulke beeldkrommen hebben buiten Dj*, Dj*
échten negen punten gemeen, waarvan vier met de snij-

punten der twee vlakke doorsneden correspondeeren en de
overige vijf als nieuwe hoofdpunten optreden, doorgangen
en beelden van vijf rechten 6k van 0K Wij noemen ze Bk.
De rechten h. ö in één punt ontmoetend, behooren tot de
bovengenoemde zestien.

Uit het bovenstaande blijkt: Van de zestien rechten op
0* die ó in één punt snijden, wordt ieder door vijf andere

dier zestien gesneden.

Bij onze afbeelding over a« zijn de vijf Wijnen degenen
die door een punt worden afgebeeld. De projectie van a, zelf
zullen wij straks behandelen. Blijven nog over tien rechten,
die wij voorloopig Cx zullen noemen.

Een c, heeft tot projecteerende figuur een regelvlak met
enkelvoudige richtlijnen ó. a, en c,. Een vlak door c, bevat
één beschrijvende, zoodat de graad van het afbeeldende
regelvlak twee wordt, het beeld van dus een c\'^ gaande
door D/ en A*,. Echter moet deze c\'^ als zijnde

projectie van een rechte, slechts één punt met het beeld
van een vlakke doorsnee gemeen hebben, buiten de hoofd-
punten. Vergelijken wij daarom de c\'^ met een
c\'^ (Dl*^ D3*\\ Ax*^ 5 Bk), dan liggen negen gemeenschap-
pelijke punten in Dg* en A«*; er moeten dus nog twee
in Bk gelegen zijn, en bijgevolg moet c. twee lijnen b^
snijden en tot beeld hebben c\'^ (D,*, D/, AA Bk, B|). We
noemen haar nu Cki: de tien rechten Cki geven zoo de tien
kegelsneden pu.

Ter verdere oriëntatie, wat de zestien rechten betreft,
merken wij nog op dat twee rechten c elkaar snijden als
beide indices verschillend zijn. daar dan hare beelden p in
de hoofdpunten slechts drie gemeenschappelijke punten be-

zitten. We kunnen ons nu de volgende indeeling in twee
biquadrupels voorstellen:

bl bi bs C45 bi c,5 C25 C35

^13 ^12 ^x 65 C,4 Coi C34

waarvan alleen twee elementen die in verschillende kolom

én verschillende rij staan elkaar snijden.

We kunnen zoo tien paren biquadrupels samenstellen.

Want: de keuze van a, kan op zestien manieren geschieden.

Daarna de keuze van drie, haar en ó snijdende rechten

5.4

(hier fc,, b^ en 63) op y-^—10 manieren. Dan is het achttal
bepaald, doch elk der acht elementen, als uitgangspunt ge-
nomen, zou ons op één wijze tot hetzelfde stel gevoerd
hebben, zoodat we —y- = 20 biquadrupels vinden, verdeeld
in tien tweetallen.

Denken wij in dit verband even aan de 27 rechten van
het kubisch oppervlak, waarvan ieder door zestien andere
gekruist wordt, dan vinden wij nauwkeurige overeenkomst
door de zestien op te schrijven die daar b^ kruisen, en in
het hierboven gevonden biquadrupel x te vervangen door 6.

§ 16. Wij hebben nog niet bepaald de afbeeldingen van
en a,.

Voor a, hebben wij noodig het regelvlak der raaklijnen
in punten van a« , rustend op Een vlak n door a, snijdt
ó in nog één punt S, het oppervlak in nog een kromme c^
die in S een dubbelpunt heeft en a, in drie punten snijdt,
één doorgang van T, cn twee raakpunten R. Deze laatste
twee, verbonden met S, geven twee beschrijvenden, afbeel-
dende lijnen respectievelijk van R, en R^; n bevat er dus
twee en blijkt dubbele richtlijn te zijn. Voor één stand
van Jt echter valt S in T, het snijpunt van a, cn (5; in dat
geval heeft de c^ twee samenvallende snijpunten met a^ in

T = S = R,, terwijl het derde snijpunt Rj met S verbonden
nu ax geeft als afbeeldende lijn Uit een punt A van a, gaan
dus als beschrijvenden a, zelf en de ééne raaklijn in A die
op d rust, zoodat a» dubbele richtlijn is en haar beeld wordt
een a\',^ D/^ A,*\', 5 B^).

Wij merken nog op dat in den stand van n, waarin
ax beschrijvende is geworden, de lijnen TS en R, S als
dubbelpuntsraaklijnen optreden, terwijl a„ als verbindende
twee nu samenvallende punten van verschillende takken der
c^. een gewone snijlijn blijft. T, als punt van a», wordt
blijkbaar geprojecteerd door één der dubbelpuntsraaklijnen
T Rj, terwijl het als punt van (3 nog een afbeeldende lijn
moet bezitten: de andere dubbelpuntsraaklijn T S. We kunnen
dit dadelijk gebruiken bij de afbeelding van d die nu aan
de beurt komt.

De projecteerende lijnen van d vormen het regelvlak der
raaklijnen in punten dier kegelsnede die a, snijden. We
zoeken allereerst de veelvuldigheid der richtlijn a, en stellen
derhalve de vraag: hoevele ribben van den kegel (A,<3),
waar A willekeurig op a* is genomen, zijn raaklijnen aan
het oppervlak in haar ontmoetingspunt met «H Bedenken we
dat deze kegel met gemeen heeft ö dubbel, a» enkel, en
dus verder nog een dan is duidelijk dat een willekeurige
kegelribbe A X haar vierde snijpunt met <P* op moet
hebben. Zij dit Y. Voor die kegelribben nu, waarvoor X = Y,
wordt AX raaklijn in X, en daar q^ drie punten bezit op
d zal dit driemaal het geval zijn; zoodat uit A al vast drie
beschrijvenden van het regelvlak vertrekken. Kan echter
ax zelf ook niet beschrijvende worden, n.l. van het eenige
punt dat zij met gemeen heeft, T? Neen, dit gaat niet,
daar wil straks zagen dat T afgebeeld wordt door de twee

daar genoemde dubbelpuntsraaklijnen, terwijl a, als beschrij-
vende van een ander punt optreedt.

Een willekeurig vlak door a^ bevat nu behalve deze
drievoudige richtlijn de twee dubbelpuntsraaklijnen in S als
beschrijvenden, terwijl wij hieruit meteen zien dat ô dub-
bele richtlijn is. Volgt dus voor het beeld van <5 een
ó\'s (D,*2. A/3, 5 Bk).

Controle: Snijdt men deze ô\'^ met a,\'-* dan vindt men 19
snijpunten in de hoofdpunten, dus één er buiten; dit is het
beeld van het snijpunt [ô, a*).

§ 17. Nu eenmaal de beelden van ô, d en een vlakke
doorsnee bepaald zijn, kunnen wij deze weer gebruiken bij
het zoeken naar andere krommen op het oppervlak. Nemen
we b.v. in r een c\'^ (Dj*. Dj*. A/), dan wordt deze buiten
de hoofdpunten nog driemaal gesneden door het beeld van
een vlakke c*. is dus projectie van een Combinatie met
en ax\'* toont dat deze driemaal () ontmoet, tweemaal
a,; verder elke C\\,\\ tweemaal en de overige rechten niet.

Laten wij echter c\'"^ ook gaan door B, b.v., dan is
het origineel een kegelsnede x^ die in twee punten,
a« en in één punt snijdt, en tevens de rechten fn voor
ft en / 1. Het vlak dier snijdt nog volgens een
tweede kegelsnede. P. wier beeld met de c\'^ waarvan wij
uitgingen een (D, Dj*^ Ax*^ 5 Bk) moet vormen, der-
halve een c"« (D,*^ D^*^ K*\'. B,. B,, B^, B,) is. Zij moet met

twee dubbelpunten vormen, waarin (i haar vlak doorboort,
heeft dus die twee punten met ö gemeen; daarentegen niets
met a», die immers haar vlak al in een punt van treft.
Verder snijdt zij ^2» ^h\' en de rechten cu.

Omgekeerd is ook iedere c* als boven beeld van een X^.

Er zijn er zoo oo\' bepaald door de punten D/^Dj^^Ax*^
B2... B5. en ook 00\' kegelsneden >«2 door Di*. D2*, A,*, B^
Terwijl zooeven vergeleken werden een en die complanair
waren, kunnen wij t.o.v. een -willekeurige dezer en een
willekeurige besluiten dat zij nog twee punten gemeen
hebben: in de hoofdpunten hebben hare beelden er slechts
zes. Eén wordt blijkbaar gevormd door het lijnenpaar
(C23. C45), want de projecties dezer twee rechten, en
vormen juist samen een c\'\' (D/^, Dj*^ Bo .. . B5). Haar
vult ook een tot vierdegraadsdoorsnee aan en evenzoo

(C24.\'^35) en (^25\'^34)-

Tenslotte vinden wij nog kegelsneden o op \'P* door een door-
snede te maken met b.v. vlak (r^s, 6,). Het snijpunt [Cuby)
moge U heeten. Daar reeds door Dj*. Dg*. A,*, Bj, Bjgaat.
wordt de projectie van deze o-kegelsnede die /t^i^ tot c\'^
moet aanvullen een c" A/^. Bj. B3. B^. B5).

Dat ook Bj hierin genoemd moet worden blijkt aldus:

0 snijdt C12 en b, in vier punten, waarvan G en L
de doorgangen van f5, dus dubbelpunten van <P* voorstellen,
terwijl F en K evenals U raakpunten zijn. Door G b.v.
loopen twee bladen van fP\\ waarvan het ééne door 6, gaat.
het andere door o. Het raakvlak in G aan het eerste blad
zal dus een raaklijn, op a* rustend, bevatten, die G als
punt van fc, projecteert, terwijl een raaklijn in het andere
raakvlak G als punt van o projecteert. Derhalve zal in

1 het punt G zich niet als gemeenschappelijk punt van 6,
en a voordoen. Wél K daarentegen, daar dit enkel-
voudig op het oppervlak is; zoodat het beeld van a één-
maal door B, moet gaan en de projectie van de geheele
vlakke doorsnee in dit bijzondere geval dus een dubbelpunt
B, bezit.

Evenzoo zal moeten blijken dat /^jj slechts in één punt

het beeld van a ontmoet buiten de hoofdpunten, n.1. in de
projectie van F. Dit klopt inderdaad: A,*.B,. Bj)

heeft van haar acht gemeenschappelijke punten met de
(Di*2, Da*^ Bi, B3. B4. B5) zeven gelegen in de
hoofdpunten.

§ I8. Veronderstellen wij nu als bijzonder geval van een
oppervlak 0« met dubbele kegelsnede dat deze laatste ont-
aard is tot twee dubbelrechten, d^ en d«.

Gaan wij in denzelfden trant door van het algemeene
geval, dan zou dit dubbel lijnenpaar als ééne richtlijn van
de beeldende congruentie moeten dienst doen, terwijl de
tweede een rechte a, moet zijn, rustend op d^ of do. Stel
a, snijdt d^ in het punt T. Ieder punt van levert nu
evenals ginds één vlak door a„ hetwelk de dubbelkegel-
sncde buiten T in nog één punt treft, n.1. één van J,. We
zien dus dat de afbeeldende figuur wordt de congruentie
[1,1] der transversalen over J, en a,, en wc zouden de af-
beelding van dit oppervlak ook hebben kunnen beschouwen
als bijzonder geval van het in hoofdstuk II behandelde.

Om aan te toonen dat er inderdaad zoo\'n rechte a* die
di snijdt op te vinden is, laten we een vlak om d^
wentelen en beschouwen het stelsel van co > kegelsneden k^
dat zich daarbij vormt als rcstdoorsneden met het oppervlak.
In de formule r -\\-<) = 2q welke bij zulke stelsels dienst doet,
is r, het aantal k^ rustend op een gegeven rechte, en q, het
aantal k^ rakend aan een gegeven vlak, gemakkelijk te be-
palen : een willekeurige rechte snijdt 0\' in vier punten buiten
d.2, waarvan ieder een vlakke doorsnee door cf^ bepaalt en
dus een kegelsnede k^ die het bevat. Derhalve is r = 4. Verder
geeft een willekeurig vlak tot doorsnee een c^ met twee dubbel-
punten D, cn D.J respectievelijk op c^, en dz\', raaklijnen in dit vlak

aan eenige kegelsnede zullen op cfz moeten rusten, dus door
Dg gaan en C^ aanraken. Daar het aantal raaklijnen aan een
vlakke kromme uit een dubbelpunt in het algemeen n(n—l) —6
bedraagt, terwijl ieder ander dubbelpunt dit aantal nog met
twee vermindert, vinden we hier p = 4. Zoodat volgt voor
het aantal lijnenparen : ^ = 4. In vier vlakken om d^ is de
kegelsnede ontaard in een lijnenpaar (ak , «k ), k= 2, 3,4.
Evenzoo zijn er acht rechten bk , ßk paarsgewijs gelegen in
vier vlakken om dj ; samen 16 rechten.

§ 19. We nemen nu aj als tweede richtlijn der congruen-
tie, als a, dus, en de afbeelding geschiedt verder gewoon.
Noemen we Dj*. Dj* en A,*, de doorgangen van cf,, c/2 en
a, door het tafereel. Zij zijn alle drie hootdpunten: D,* beeldt
alle punten der C^ af volgens welke vlak (D,*a,)het opper-
vlak nog snijdt, D2* de punten van c/2 en A,* de c^ die
restdoorsnee is van vlak (Ai*c/i).

Vlakke c^ Een vlakke c^ wordt nu geprojecteerd door een regelvlak
van den graad vijf; haar vlak bezit n.l., als D,, D2 en A,
de snijpunten zijn met dy. d., en a,, in D, A, zijn eenige
beschrijvende. Wij vinden nu weer op dezelfde wijze als
vroeger dat ö\'i drievoudige richtlijn is, a, tweevoudige,
terwijl d2 twee verschillende punten van c* bevat, n.l. de
twee op verschillende takken gelegen punten Dj. Het beeld
der C\' wordt dus een c"\' [D^^ D2*\\ A,*^).

Twee dier c\'^ hebben buiten de hoofdpunten en de beelden
harer\'vier snijpunten om nog vier gemeenschappelijke punten
B,,B2, 63,84, de projecties van vier der rechten welke we
al gelegen wisten in vlakken om cf,. We noemen ze 6,, /jj,
63, b^-. de met hen complanaire rechten zijn dan ßi,ßj,,ß^.fi^.
We zien dus dat een willekeurige der bovengevonden zestien
rechten vijf andere er van snijdt.

^e 16 De afbeelding der a-, b-, a- en ^-lijnen wordt als volgt:
rechten ^^ wordt geprojecteerd door het regelvlak der raaklijnen in
punten van a,. rustend op c/,; uit een punt P van a, ver-
trekt slechts één beschrijvende, n.1. de eenige raaklijn in P
die dl ontmoet; verder bevat een vlak n door a, nog een
vlakke c^ met dubbelpunt die drie snijpunten met a,

levert, twee raakpunten R, en R^ en één dubbelpunt D\'j
van de vierdegraadsdoorsnee. R, D\', en Rj D,\' zijn de
twee in n gelegen beschrijvenden van het regelvlak, dat dus
den graad drie heeft, terwijl tevens blijkt dat d^ dubbele
richtlijn is. Het is duidelijk dat de projectie van a, dan zal
zijn een aV (D/^. D/, A,\\4Bk).

De met haar complanaire rechte a, heeft al hare projec-
teerende lijnen gelegen in vlak (a, d^), in een waaier gerang-
schikt wiens top op dj ligt. In t geeft dit als beeld van Oi
de rechte D2* A/.

Voor de overige a-lijnen vinden we kegelsneden in r: hare
projecteerende figuren zijn hyperboloïden. Die voor aj b.v.
heeft met behalve de drie richtlijnen cn cfj nog een figuur
van den tweeden graad, twee rechten, gemeen; daar dezen
o.a. op dl rusten moeten het 6-lijnen zijn, b.v. 63 en 64. aj
ontmoet dus deze 6-lijnen, de anderen niet en haar beeld
wordt de c\'\' (D/. D/, B3, B4).

Evenzoo levert a^ de c\'^ (D,*, D^*. A,*, B^, B4).
Evenzoo geeft 34 de c\'^ (D,*. Dj*. B^, B3).
Voor de a-lijnen vinden we eveneens kegelsneden: de
hyperboloïde met richtlijnen d,, ai en aj b.v. heeft met
nog twee rechten gemeen, twee fc-lijnen ; en wel, daar aj
door 63 en b^ gesneden wordt, moet dit aj-snijdend tweetal
, zijn. Het beeld van »2 is dus de c\'^ (D, Dj*, Aj B,, B^)
Evenzoo van (h de c\'^ (D,*, Dj*, A,*. Bj. B3).
Ejn van «4 de c\'^ (D,*, Dj*, A,*. B,, B4).

De ö-lijnen geven de B-punten in t, terwijl de y^-rechten
weer worden afgebeeld door een waaier in vlak/Skcfj, wiens
doorgang Bk D, het beeld vormt.

Door combinatie der beelden van al deze lijnen is nu te
verifleeren dat ieder vijf andere snijdt, en na te gaan welke
dat zijn.

Dubbel" § 20. Bepalen we nog het beeld van d,. De raaklijnen ,
rechte d^ punten er van, voor zoover ze a, snijden, vormen een
regelvlak van den graad vier; want de twee raakvlakken
in een punt D/ leveren elk één beschrijvende, terwijl een
vlak (p door d^ nog een kegelsnede als restdoorsnee bevat,
wier twee snijpunten met c/p verbonden met den doorgang
van 3], twee beschrijvenden in (p leveren, d^ en a, blijken
beide dubbele richtlijnen te zijn, terwijl c/2 twee punten van
(p* op verschillende bladen gelegen, met di gemeen heeft.
Als beeld vinden we dus een d,\' (D/2, D,*^ 4 Bk).

Kegel\' § 21. Beschouwen wij nu eens een dubbelraakvlak aan

sneden oppervlak volgens twee kegelsneden r^ en s^

snijdt. Zij r^ degene die a, ontmoet. De eenige beschrijvende
van het r^ afbeeldende regelvlak, die in het dubbelraakvlak
gelegen kan zijn, zou de doorgangen van aj en d^ moeten
verbinden; doch deze rechte beeldt niet een punt van r^ af,
maar haar tweede snijpunt Q met Derhalve is het regel-
vlak van den graad twee; het heeft aj en d, tot enkel-
voudige richtlijnen, terwijl c/2 en elkaar in één punt snijden.
Ook heeft het met buiten de richdijnen nog één fe-rechte,
fcj bijvoorbeeld, gemeen, zoodat het beeld van r^ wordt een
(D/,D2\\A,*,B,).

Hieruit volgt meteen voor het beeld van de aanvullende
s^: c\'3 D2*. A,*, B2. B3, B,^.

Ook heeft ieder der oo\' c\'^ (D,*. D2*. Aj*. B,) een kegel-
snede r^ op (P* tot origineel en eveneens heeft 200 iedere
c\'3 D2*. Al*. B2, B3. B4) een s^. Uit het tweetal vrije snij-
punten van deze twee beelden blijkt dat een r^ niet alleen haar
bijbchoorcnde s^ snijdt buiten de dubbelpunten, n.1. in de
twee raakpunten, maar tevens elke s^; en omgekeerd iedere
s^ elke r^. Vergelijken wij verder de afbeeldingen der zestien
rechten met die der kegelsneden r^ en dan vinden we

dat elke r^ gesneden wordt door j J ^^ ^^^^^^ ^^^

I P2 P3 Pi
elke s^ gesneden wordt door ! "4.

Evenals dc bundel (D/, D/, Ai*, Bj) ons een stelsel
dubbelraakvlakkcn leverde, doet dat iedere bundel
c\'^ (D|*. Da*, Al*, Bk). Er zijn dus vier van die stelsels
dubbelraakvlakkcn.

HOOFDSTUK IV.

§ 1. De afbeelding van het oppervlak 02n l met
n-voudige kubische ruimtekromme a^ geschiedt door de
congruentie [1,3] der koorden over o^. Zijn de doorgangen
der kromme door t A,*, Aj* en A3*, dan vormen dezen
al een drietal hoofdpunten; A,* beeldt af de doorsnede van
den quadratischen kegel, die uit A^* centraal projecteert,
met 02n l, derhalve een kromme van den graad
2 {2n 1) — 3 n — n 2. Evenzoo A2* en A3*.

Vlakke Zij nu weer c2n l een vlakke doorsnee die a^ in Aj*,
doorsnee gn A3* snijdt. Het regelvlak dat haar afbeeldt heeft in
het vlak der doorsnede behalve c 2 n 1 nog drie beschrijvenden
hggen, Ak*Ai*, en is dus van den graad 2 n 4. Verder
snijdt de quadratische kegel, die a^ uit één harer punten A
projecteert, l in 4n 2 punten, waaronder 3 n in de
doorgangen (a^, c2n l), die verbonden met A geen be-
schrijvenden van het regelvlak leveren. Derhalve is a^ (n 2)-
voudige richdijn en het beeld der vlakke doorsnee een

c\'2n 4 (3 An 2).

Het aantal snijpunten van twee zulke krommen c\'2n 4
buiten de hoofdpunten bedraagt (2 n 4)^ - 3 (n 2)1 waar-
onder dan nog de 2 n 1 beelden der gemeenschappelijke
punten van de twee vlakke doorsneden. Er blijven dus nog
n^ 2 n 3 in r over als doorgangen Hk en projecties van
evenzoovele rechten ak op het oppervlak, koorJen van a^
Wij noemen dit aantal m.

Het oppervlak bevat n^ 2n 3 rechten die koorden
van a^ zijn.

§ 2. Het regelvlak B dat afbeeldt, dat gevormd wordt
diis door de koorden van a^ die het oppervlak in één van
hare steunpunten aanraken, moge o^ tot y-voudige richtlijn
hebben. Nu kan een koorde het regelvlak alleen treffen op
a\'; want indien ze dat b.v. deed in een punt P er buiten,
dan ging door P een beschrijvende van B, d.i. een koorde
die raaklijn is; dus een tweede koorde, hetgeen bij een
onmogelijk is. Hieruit volgt, aangezien i/-voudig is, dat
de graad van het regelvlak 2 y bedraagt; en daar ieder der
m rechten twee punten van a^ bevat, zal het beeld van deze
laatste worden een c\'^y {3A*y,mH\\). Combinatie met de
projectie eener vlakke doorsnee, waarbij 3 n gemeenschappelijke
punten in het origineel optreden, geeft dan de vergelijking:

{2 n 4)2 y = 3 (n 2, y 2 (n^ ^ 2 n 3) 3 n
waaruit volgt y = 2n 3. Het beeld a^ is dus een
«Mn 6 (3 A*2n 3, mW).

§ 3. Van a» is nog de volgende bijzonderheid te vermelden:

Nemen wij een punt R aan op n\', dan behooren daarbij
n punten S waarin de n raakvlakken in R de kromme nog
snijden. Eveneens gaan door S n koorden die in S raken.
Daar verder het regelvlak dat afbeeldt deze kromme zelf
tot (2 n 3)-voudige richtlijn heeft, gaan van S in het ge-
heel 2 n 3 koorden uit die in één harer steunpunten
raken; n hiervan hebben haar raakpunt in S gelegen, dus
n 3 hebben het in het andere steunpunt. Beschouwen wij
nu de verwantschap tusschen twee punten S die aan een
zelfde punt R zijn toegevoegd, dan brengt ons een punt
S tot n 3 punten R, en elk dezer tot (n—1) andere punten S;

zoodat het kenmerkend getal van deze involutorische ver-
wantschap is (n—1) {n 3). Het aantal coïncidenties,
2 (n - 1) (n 3), levert ons het aantal punten R waar twee raak-
vlakken samenvallen, d.i. het aantal cuspidaalpunten van a^.

c\'r in t § 4. Bepalen wij nog het origineel van een kromme c\'r in r,
die Ok* maal door Ak* gaat en a^ maal door Hk. Het aantal
harer snijpunten met het beeld eener vlakke doorsnee bedraagt
buiten de hoofdpunten r (2 n 4)—(n 2) 2\'ak*—2\'ak

of (n 2) (2r-2\'ak*)-2\'ak
en dit is tevens de graad m der kromme pn^ waarvan c\'r het
beeld is.

Snijding met a\'4n 6 toont aan dat met a\' gemeen
heeft (2 n 3) (2 r — 2\'ak*) — 2 2\'ak punten.

03 § 5. Nemen we het bijzonder geval n=l, dan komen

n = l terecht bij het kubisch oppervlak met enkelvoudige

kubische kromme. Een vlakke doorsnee geeft ons in r een
c\'^ (3 A*3, 6 Hk), en er zijn zes rechten op het oppervlak,
die koorden vormen van de Wij vinden hier dus het
resultaat waarop wij boven doelden, n.l. dat iedere kubische
ruimtekromme op een 2es van diens rechten tot koorden
heeft. Zij vormen een sextupel van kruisenden als daar be-
schreven, terwijl bleek dat altijd een ander sextupel als
nulsecanten optreedt en de overige vijftien rechten als uni-
secanten.

§ 6. n = 2 geeft een met dubbelkromme (P, waarop
elf koorden h van deze laatste gelegen zijn.

De beelden der vlakke doorsneden zijn t\'® (3 11 Hk);
de projectie van a^ een (3 A*^ 11 Hk^).

In T bepalen de drie punten A* met Hi een bundel kegel-

sneden, waarvan elk exemplaar nog drie vrije snijpunten
heeft met een c\'®. Zij beelden dus een bundel ruimtekrommen
Q^ af. Daar zij verder met c\'h (3 1 fHk®) nog vijf vrije
snijpunten hebben, rust elke q^ van den bundel in vijf punten

op a^

Tot den bundel kegelsneden behooren ook tien C^ (3 A*, Hj, Hk).
Voor dezen is de bijbehoorende q^ uiteengevallen in (ftk. £?\').
k 4= 1- Daar hk koorde van a\' is, heeft q^ nog drie punten
met a^ gemeen.

Evenzoo vinden wij tien q^ afgebeeld door C^ (3 A* Hj Hk),
k 2, enz.; in het geheel ^^^ = 55 kegelsneden q^ op

Daar c^ (3 A* Hk H,) en c^ (3 A* Hp H ^ )alleen dan een
punt buiten de hoofdpunten gemeen hebben als k en l
p of snijdt ieder der 55 q^ 36 andere, n.1. zooveel als het
aantal combinaties pq bedraagt uit negen indices.

Sr \'■"■■<\' ^ BÉ. \' \'\' \' \' \'■■ -

^ \' warjîÂïiiat;

.-^iöÏtkco - -«f^t^tJ^lttv: «iJsbosjiijMé^. îitrv ■ tCf.^M^ji^\'^.\'r .»fwàriifâ mJnu\'x^t^, .

Vï-ijo-\'^\'-\'r:-.\'\' f V- \' T \'- \'\' \' ■\'•■.i\'it. ."n^am^ti

V \' . gH \'A f) r.vbniv ooinav.^®.-,

b:- - \' nfife, , TLiH\'AtV\'i o» (:H~ii\'À is^at

pr . Ut .wÄni» hf \'-yt^e "»SN^WJ lï^txt • ..

r^-\' » .Ä^vibtr} ttóe^ îki JLif.iiïbvf ﻣtjBnl(joio3

\' \' i Ji!? he. KAÙr.SCft î-^asa- --WVU vt\'Sl^ii i»\';

• m iï-rn w-\'é^x\'.rfcsb. ■ • " ■ - ••

■T .. vrî .:r ■\'.y* tVL::-\'- t^ orr-- : -i-k. ■

■r^.\'d^\'{\'a > ii:».. ; \' -trJ -- r.

s- \' _ \'V . , ■ . ^m.-

IdSjis

.I:>briudizbi! iVjo ni

^ r T»

I.

Het bewijs van W. van der Woude dat een eikromme
een ëlHps is, \'wanneer zij aan zekere gestelde voorwaarden
voldoet, is onvolledig.

Nieuw Arch. voor Wisk. Deel XIV. 4e stuk.

II.

Het bewijs van G. Schaake van zijne uitbreiding der
stelling van Poncelet is overbodig.

Nieuw Arch. voor Wlsk. XV, Ie stuk.

III.

De Methode van Gauss voor de numerieke berekening
van bepaalde integralen laat zich met vrucht uitbreiden tot
gevallen, waar de integrand bezwaarlijk door polynomia
kan worden benaderd.

IV.

Bij het beoordeelen van het normaal-zijn van een statis-
tische frequentieverdeeling (Yk = frequentie van de klasse

n

met bovenste grens Xk. k = I.....n, Yi = N) make

men bij voorkeur gebruik van het kenmerk, dat de punten

1

-ï» 1 k \\

(xk, Zk) ^Zk bepaald uit V „
collineair moeten zijn.

De transversalen van twee onderling loodrechte lijnelementen
kunnen niet de stralen zijn van een astigmatischen lichtbundel.

VI.

Ten onrechte spreekt Zernike van een „natuurlijke grens"
van de stroomsterkte die mêt "eènT galvanometer gemeten
kan worden.

VÏI.

Het karakter .van de lichtwisseling der Mira-veranderlijken
is onbekend. .,

-U-U... ;

/ - ;;
i •. 1.

\' .■■va;- ^ -"•»\'K-

■ ■ - .■."■i"-\'v;.;"-

■ >

>■ \'Vi

"■ > ->

•.rjk\'vti;.

■1\'

»j. » . s» i.

• ■ " * 4\'

, ♦ " \' v \'.

4 :

•M

A» • -

KWJ-ti-v-«: