Een Afbeelding van dé Lijn-
elementen van èeri Monoïde
op de Punteiïruimte

vm \'\'

W. J. PONSEN

Diss«
Utrecht

1927

BIBLIOTHEEK DER
RIJKSUNIVERSITEIT
UTRECHT.

■ »«tv

.\'.f..

V-

\'■ï lt;

. ■■ :

y -y v-vv-

_ ■ ■■ï.ëS\'.f«»,

m

s - ^^ M

t . f \' \'

EEN AFBEELDING VAN DE LIJNELEMENTEN
VAN EEN MONOiDE OP DE PUNTENRUIMTE

EEN AFBEELDING VAN DE LIJNELEMENTEN
VAN EEN MONOiDE OP DE PUNTENRUIMTE

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN
NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-UNIVER-
SITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN
RECTOR MAGNIFICUS Dr. A. NOORDTZIJ,
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER
GODGELEERDHEID, VOLGENS BESLUIT
VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACUL-
TEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE TE
VERDEDIGEN OP MAANDAG 4 JULI 1927,
DES NAMIDDAGS 4 UUR, DOOR

WILLEiW JOHANNES PONSEN

GEBOREN TE DORDRECHT

□

ELECTR. DRUKKERIJ „DE INDUSTRIEquot; J. VAN DRUTEN - UTRECHT

1927

bibliotheek der

rijksuniversiteit
UTRECHT.

fe-

Aart-

gt;

.a

y.y

a j. • J\'

■s ■

-4À.-.:

AAN MIJN OUDERS.
AAN MIJN VROUW.

\'\'■vT\'^.-:

A

Sv^V--

■ - il

■ \\ • quot;s - !

■■■^.■ÄSäift:

■ . -.i

Bij het verschijnen van mijn proefschrift rust op mij
de aangename taak, mijn oprechten dank te betuigen
aan alle Hoogleeraren in de Faculteit der Wis- en
Natuurkunde, die tot mijn wetenschappelijke vorming
hebben bijgedragen.

Op de eerste plaats geldt deze dank U, Hooggeleerde
De Vries, Hooggeachte Promotor, voor de belangstelling
die Gij getoond hebt bij het tot stand komen van dit
proefschrift, maar meer nog voor Uwe colleges, waar
Gij met Uw logische, geestige betoogtrant mij geleerd
hebt, hoe men zijn leerlingen liefde voor de Wiskunde
kan bijbrengen.

Verder past mij een bizonder woord van dank aan
U, Hooggeleerde Heeren Nijland en Ornstein, voor
Uwe altijd leerzame colleges.

Ook U, Zeergeleerde Moll, ben ik dank verschuldigd
voor het onderwijs, dat ik van U genoten heb.

■.. I •, ■ •

I\'. ,

ff-.\'.-\'

INHOUD.

Bladz.

Inleiding..............................1

HOOFDSTUK I. De hyperboloïde......2

§ I. Uitzonderingselementen......2

§ II. Uitzonderingspnnten.......8

§ III. Stelsels van lijnelementen en hun beeldennbsp;4
§ IV. Stelsels van beelden met bijbelioorende

lijnelementen.........10

HOOFDSTUK II. De algemeene monoïde ....nbsp;14

§ I. Uitzonderingselementen......14

§ II. Uitzonderingspnnten.......15

§ III. Stelsels van lijnelementen en hun beeldennbsp;lü
§ IV. Stelsels van beelden met bijbelioorende

lijnelementen.........20

HOOFDSTUK III. De kubisclie monoïde ....nbsp;28

§ I. Uitzonderingselementen......28

§ II. Uitzonderingspunten . ......24

§ III. Stelsels van lijnelementen en hun beeldennbsp;25
§ IV. Stelsels van beelden met bijl)ehooi\'ende

lijnelementen.........20

t:

INLEIDING.

Het is als volgt mogelijk, de lijnelementen van een
monoïde af te beelden op de puntenriiimte.

Zij 0 een vast vlak, a een vaste rechte, O het (« — 1)-
voudige punt der monoïde Mquot;, P een punt van Mquot;,
r een raaklijn in P, dus e = (P, r) een lijnelement.

Zij R = {r,.cp), (X = {a,B), S het snijpunt van vlakje
met OP, dan kan S beschouwd worden als beeld van c.

Omgekeerd is P het snijpunt van SO met Mquot;, a={S, a),
s de snijlijn van a en cp. Het raakvlak in P aan Mquot;
snijdt s in een punt R, en nu is S het beeld van het
lijnelement, gevormd door F met PB.

Zoo is in \'t algemeen aan ieder lijnelement e één
punt S toegevoegd, terwijl omgekeerd aan het punt S
hetzelfde lijnelement e beantwoordt.

In het volgende wordt eerst de afbeelding van de
lijnelementen van een hyperbolo\'ide behandeld. Ieder
punt van een hyperboloïde is {n — l)-voudig, zoodat
een willekeurig punt als top O gebruikt wordt. Ver-
volgens wordt de afi)eelding van de lijnelementen van
een algemeene monoïde van den graad besproken,
terwijl de uitkomsten van dal onder;^oek ten slotte toe-
gepast worden op de kubisclie monoïde.

HOOFDSTUK I.

Afbeelding van de lijnelementcn van een hyper-
boloïde M^ op de punfenruimte.

§ I. Uitzonderingselementen. Er zijn lijnelementcn,
die ooi beelden hebben.

1.nbsp;Zij de doorsnede van (p en M^, P een punt
van (p^, r de raaklijn in F aan Het snijpunt i?
van r met (p is onbepaald, dus het vlak x door a ook.
Ieder punt van OP is dus te beschouwen als beeld
van het lijnelement (P, r).

2.nbsp;Zij lt;xo = (a, 0} en A^ de doorsnede van ccq en
]\\\'F. xo is vlak x voor alle lijnelementcn van A^. Als P
op A^ ligt, is het snijpunt van OP met «o onbepaald,
zoodat een lijnelement (P, r) van A^ alle punten van
OP tot beelden heeft.

3.nbsp;Zij Alt;p het snijpunt van a met lt;p. Voor iedere
raaklijn door li = Agt;p aan M^ is x onbepaald, zoodat
het beeld van een lijnelement, bestaande uit zoo\'n
raaklijn r en haar raakpunt P de heele rechte OP is.
Al die raaklijnen r vormen een kwadratischen kegel
met top A(f, de punten P liggen op een kegelsnede

in het poolvlak van A(p ten opzichte van M^, terwijl
de beelden van het stelsel (P, den kwadratischen
kegel {O^x^) vormen.

4.nbsp;Zij 0) het raakvlak in O aan o een raaklijn
in O, A(a het snijpunt van a met cc. Iedere straal o
van den waaier (O, w) is te beschouwen als verbindings-
lijn van O met zichzelf, zoodat het beeld van een lijn-
element (O, o) een rechte wordt als snijlijn van w met
het bij O behoorende vlak x. Alle lijnelementcn (O, o)

hebben dus tot beelden de stralen van den waaier

U«,

§ II. Uitzonderingspunten. Er zijn punten, die on-
eindig vele lijnelementen afbeelden.

1.nbsp;Een punt P van (J)Ms beeld van oo Mijnelementen,
ieder bestaande uit P en een raaklijn in P aan

2.nbsp;Een punt A van a is beeld van co ^ lijnelementen
(P, r), waarbij P het snijpunt is van AO met Mquot; en r
een willekeurige raaklijn in P aan Ml

3.nbsp;Door O gaan twee beschrijvenden o\\ en 02 van
M^ die (p resp. in Oi en O2 snijden. Oi is beeld van
001 lijnelementen (P, oi), waarbij P elk punt van oi
kan zijn. Zoo is O2 beeld van co\' lijnelementen (P, 02).

4.nbsp;Een i)unt Ui van oi is beeld van een stelsel
(P, r) van lijnelementen, waarbij de punten P de rechte
oi beschrijven, terwijl de raaklijnen r rusten op oi en
op de snijlijn van 0 met a = (t7i,a), een kwadratische
regelschaar Ui^ vormende. Ui^ doorsnijdt M^ volgens oi
(2 maal geteld) en twee lijnen van de regelschaar,
waartoe 02 behoort; deze gaan door de snijpunten van
a. met

Zoo beantwoordt aan ieder punt van 02 een regel-
schaar U2^.

5.nbsp;Zij P een punt van de in § 1, 3 genoemde kegel-
snede «l liij het stelsel lijnelementen (P, r), bestaande
uit P en alle raaklijnen in P aan behoort één
vlak a, dit stelsel heeft dus één punt 8 tot beeld. De
punten S, die men verkrijgt als P zich langs ver-
plaatst, vormen een ruimtekromme, waarvan de graad
als volgt bepaald wordt.

Zij / een rechte door A^p in (p. Door ƒ kan men 2
raakvlakken aan M^ aanbrengen, r met raakpunt F en
tt\' met raakpunt P\'. Het vlak (a,/) bevat dus 2 punten
S en S\' als beelden van de waaiers van lijnelementen
(F,7r) en (7^\', tt\'). Van den kegelnbsp;rusten 2 be-

schrijvenden op a, zoodat a 2 punten S bevat, die

ieder het beeld zijn van een waaier van lijnelementen
(P, tt). Aangezien een willekeurig vlak (a, ƒ) 4 punten
van de m. p. van S bevat, vormen de punten S een
ruimtekromme van den 4®quot; graad, s-quot;^.

6. Het punt O is hoofdpunt van de afbeelding, en
beeld van een co - stelsel lijnelementen (P, r) waarbij ieder
punt P van M^ éénmaal in aanmerking komt. De raak-
lijnen r vormen een congruentie, met RP als richtopper-
vlak en de snijlijn So van ao en (p als richtlijn. Het is
dus een congruentie [2, 2].

§ III. Stelsels van lijnelementen en hun heelden.

1. Een waaier (P, r) van lijnelementen heeft tot
beeld de punten van OP. Eén van die lijnelementen
zal dus O tot beeld hebben. Laat men P zich ver-
plaatsen langs een beschrijvende n van M^ en be-
schouwt men het stelsel (P, r) van alle lijnelementen
die O tot beeld hebben, dan vormt het stelsel raak-
lijnen (r) een kwadratische regelschaar R^ die beschouwd
kan worden als het voortbrengsel van twee projectieve
vlakkenbundels, die n en so = («o, lt;p) tot assen
hebben.

R2 snijdt (p volgens so en de raaklijn aan in het
snijpunt van n met cp.

R^ snijdt IVP volgens ri (2 maal geteld) en de be-
schrijvenden van de regelschaar (1-2), die gaan door de
snijpunten van so en RP.

Op deze wijze correspondeert met iedere beschrijvende
n van een regelschaar R^-. Alleen voor de twee
lijnen n, die gaan door de snijpunten van so en M\'^
ontaardt R\'\'^ in de bewuste ri zelf, die dan co^ maal
geteld moet worden, en de waaier van raaklijnen in
het vlak (so, n).

Zoo is ook aan iedere beschrijvende r^ van de andere
regelschaar van M^ een R^ toegevoegd, terwijl alle
regelscharen R^\' samen de in § II, 6 besproken congru-
entie [2, 2] vormen.

2. Alle lijnelementen, die een beschrijvende n van
RP tot drager hebben, bepalen hetzelfde vlak ^i;, zoodat
hun beelden een rechte vormen, die de snijlijn is
van het vlak (O, ri) met het vlak oc door a en het
snijpunt R\\ van n met (p. (O, n) snijdt R\'P volgens n
en de beschrijvende 02 door O van de schaar (rz).
Het vlak si; snijdt in i?i en nog een punt jRi\', waar-
door een beschrijvende ri\' van de schaar (ri) gaat. De
lijnelementen waarvan n\' drager is, hebben tot beelden
de punten van een rechte hi\\ die in hetzelfde vlak x
ligt als hl. hl en hi\' moeten\'elkaar op 02 snijden. Dit
snijpunt is beeld van:

le één lijnelement bestaande uit het snijpunt van n
en 02, met n als drager.

2e één lijnelement bestaande uit het snijpunt van ri
en 02, met vi\' als drager.

3e 001 lijnelementen, waarvan de punten zich op 02
bevinden, terwijl de dragers een kwadratische regelschaar
02^ vormen, als beschreven in § II, 4.

Ieder vlak« bevat 2 rechten hicnhi\', die 02 in een-
zelfde punt en « in 2 verschillende punten snijden. Het
stelsel {hl) vormt dus een kubisch regelvlak Bi^ met
02 als dubbele en a als enkele richtlijn.

Bi^ snijdt (p volgens d)\'^ en de rechte A/pO^, als O2 het
snijpunt van 02 en 0 is.

Bi^ snijdt M\'^ volgens 02 (2-maal geteld), en de twee
beschrijvenden ai\'enaiquot; van de schaar (n), die gaan
door de snijpunten A\'en Aquot; van n met Mquot;.

Er zijn twee raaklijnen door Aqi aan Ieder vlak
door zoo\'n raaklijn en « levert maar één rechte hi,
hetgeen dan klaarblijkelijk een torsale rechte van Bi^ is.

Zoo correspondeert met de schaar (;\'2) van M^ een
kubisch regelvlak B»^ met Oi als dubbele en a als
enkele richtlijn. Elk punt van B«® is dan beeld van
een lijnelement (P, n) waarbij P een punt van M\'^ en
n de beschrijvende van de schaar {r^) is, die door P gaat.

Het vlak «o bevat van Bi^ de rechte rt en de rechten,

die O verbinden met de snijpunten van «o en als
beelden van de beschrijvenden der (ri)-schaar door die
punten, «o bevat van dezelfde lijnen, de twee laatste
thans te beschouwen als beelden van de beschrijvenden
der (7*2)-schaar door de snijpunten van ao en
De doorsnijding van Bi®enB2® bestaat uit:
le a.

2e de lijnen, die O verbinden met de snijpunten van
«O en cp\'l \'

4e (Je 4® graads-ruimtekromme lt;7^, die in § II, 5
genoemd is. Deze kromme moet o.a. gaan door het
snijpunt van ai\' en azquot; en door dat van 02\'en aiquot;. Dat
deze kromme werkelijk er* moet zijn, blijkt uit het volgende:
Een willekeurig punt S van die kromme is beeld
van 2 lijnelementen {P, n) en P, 1-2), waarbij P het
snijpunt is van SO met M^ n en n de beschrijvenden
door P zijn. Dit kan alleen als n en vz hetzelfde vlak «
hebben, maar dan is S ook beeld van 00\' lijnelementen
bestaande uit P en een raaklijn in P aan M^ die ook
datzelfde vlak « bepalen. Ieder raakvlak aan M^, dat
hierbij in beschouwing komt, bevat één raaklijn door
Alt;p. Al deze raaklijnen vormen den raakkegel niet
top Alt;p, terwijl de raakpunten P op de in § II, 5 ge-
noemde kegelsnede liggen. De verzameling der
punten S moet dus wel a-\'^ zijn.

3. Zij [j, een willekeurig vlak, w zijn snijlijn met (p
en /x® de kegelsnede, volgens welke fx M\'\'\' snijdt. Zij
(P, r) het stelsel lijnelementen, dat ontstaat als P langs
beweegt en r steeds aan raakt. Ieder i)unt B
van ??i levert een vlak « = (a, E), behoorende bij 2 lijn-
elementen (P, r) en (P\', r\'), als r en r\' de raaklijnen
door K aan [z^ voorstellen. De beelden S van [P, r)
en S\' van [P\',r\') liggen in a. De kegel (O,/.t\'\'\') snijdt a
in 2 punten, zoodat 2 lijnelementen van (jt} hun beeld
op a hebben. Daar in een willekeurig vlak a 4 beeld-

punten liggen, is het beeld van het stelsel (P, r) van
lijnelementen in het vlak [u, een ruimtekromme van den
4quot;quot; graad, p^.

De snijpunten van p^ met M^ zijn:
1°. de snijpunten van fx^ en lt;p,
2°. de raakpunten op de raaklijnen door A^ aan [u,\'^
(2 maal raakt cx aan [x^).

3®. een dubbelpunt in O; het vlak «o bevat O als
beeld van 2 lijnelementen, want ook door het snijpunt
van ao en m gaan 2 raaklijnen aan fx^.
4°. één punt op oi en één op 02.
p* raakt (p in de snijpunten van en (p.
p* heeft dus a tot koorde, O tot dubbelpunt en (p
tot dubbelraakvlak.

Als het vlak /u, bizondere standen inneemt, kan het
gebeuren dat p\'^ ontaardt.

Als [j.quot;^ door O gaat, ontaardt p^ in een rechte en
een vlakke kubische kromme. Zij nl. 0 de raaklijn in
O aan Ba het snijpunt van 0 en (p, co het raakvlak
in O aan RP, Jf„ het snijpunt van a en w dan wordt
als beeld van (O, 0) gevonden de rechtenbsp;(volgens

§ I, 4). Wat de overige elementen van fx^ betreft, een
punt B van m geeft het aanzijn aan een vlak « = (a, B)
dat f^ volgens Afji doorsnijdt. Door B gaan twee
raaklijnen aan met raakpunten P\' en Pquot;. De beelden
van deze lijnelementen zijn de snijpunten van OP\' en
OPquot; met AjiJi. Er onstaat dus een verwantschap (2, 1)
tusschen de stralen der waaiers (A^t, en (O, fz). Het
voortbrengsel ilaarvan is een vlakke kubische kromme,
die 2 maal door O en 1 maal door /Ijj gaat, als beeld
van de lijnelementen van f^^.

Als /.i de rechte a bevat, dan is het vlak voor
alle lijnelementen van Een element (P, r) van ft\'^
heeft dan P tot beeld. Laat P\' en P\' de raakpunten
zijn op de raaklijnen p\' en p\' uit A^ aan /.i^. De lijn-
elementen (P\',i/) en [P\'\\p) hebben dan de rechten
OP\' en OPquot; tot beelden, p^ is nu ontaard in een

kegelsnede en 2, haar snijdende, rechten door O.

4. Zij M de pool van het vlak (jt, ten opzichte van
M^ De ribben van den kegel {M, raken dan aan
M^ in de punten van De beelden van het aldus
verkregen stelsel van oo\' lijnelementen vormen een ¥
graads-ruimtekromme, r*, met koorde a en dubbelpunt
O. Immers, de kegel (If, ix\') snijdt op cp een kegel-
snede f4i in, die door een willekeurig vlak door a in
2 punten gesneden wordt, zoodat dit vlak het vlak is
voor 2 lijnelementen van het stelsel. Bovendien rusten
twee beschrijvenden van den kegel (O, fx\') opa, zoodat
een willekeurig vlak ^ vür beeldpunten van lijnelementen
van het stelsel bevat.

De snijpunten van r^ met RP zijn:

1®. de snijpunten van ^^ en cp.

2°. de snijpunten van ^^ het vlak (a, M).

30. een dubbelpunt in O; er rusten twee raaklijnen
door 31 aan AP op de lijn ^o = (c^o, cp).

4quot;. één punt op oi en één op 02.

Zij /Lio de centrale projectie van uit O op cp; de
vier snijpunten van (xl en ui zijn de snijpunten van
rquot;\' en cp.

Als [j.\' door O gaat, ontaardt de kegel (O,/.i^) in twee
waaiers (O, [x) en (O, cc). 310 raakt in O aan M\'. Zij
R het snijpunt van 310 en 0, dan is elk punt van
A^R te beschouwen als beeld van het lijnelement
(0,310). Een willekeurig vlak x door a bepaalt één
straal van den waaier [A^, fx), terwijl zijn snijlijn met
4gt; in twee punten snijdt. « behoort dus bij\'twee lijn-
elementen {P\\p\') en {F\\pquot;) van het stelsel. Als de
genoemde waaierstraal door Afi OP\' en OPquot; resp. in
dan zijn T\'enTquot; beelden van (7^\',^/)
en {Pquot;,pquot;). Er bestaat dus weer een verwantschap (2, 1)
tusschen dc stralen van den waaier {A^, fx) en die van
den waaier (O, fx), en het voortbrengsel daarvan, de
m. p. der punten T, is een vlakke kubisclie kromme,

die 2 maal door\' O en 1 maal door A^i gaat. r^ is dus
nu ontaard in een rechte en een vlakke kubische kromme.

Als fx de rechte a bevat, is geen ontaarding van r^
te constateeren.

5.nbsp;In \'t algemeen zal een ruimtekromme van den
4®quot; graad gevonden worden als beeld van een enkel-
voudig oneindig stelsel van lijnelementen (P, r), zoodanig
gekozen dat de m. p. van P een kegelsnede van IP is,
terwijl de m. p. van r op c£) een kegelsnede insnijdt.
Immers, dan zal een willekeurig vlak door a het vlak
a zijn voor 2 lijnelementen uit het stelsel, terwijl de
kegel met top O en richtlijn {Pï^ a in 2 punten snijdt.
Als m. p. van r kan b.v. een der regelscharen van M\'\'^
dienen.

6.nbsp;Als fx aan AP raakt, ontaardt fx^ in een lijnen-
paar wi, m2, terwijl de pool M van [x in het snijpunt
van mi en m^ komt. De in 3 en 4 genoemde stelsels
van lijnelementen zijn identiek geworden, en bestaan uit:

de lijnelementen, waarvan tm drager is. Deze
hebben een rechte h van Dr\' tot beeld (§ III, 2).

2°. de lijnelementen, waarvan vh drager is. Deze
hebben een rechte b^ van H«^ tot beeld,
het stelsel [M, vi), als in een willekeurige raaklijn
in M aan M \' is. Deze waaier moet dubbel geteld
worden, en heeft 310 tol beeld.

7.nbsp;Zij ^ß r een op gelegen ruimtekromme, die
de beschrijvenden van de .schaar (ri) in ß punten snijdt,
en die van de schaar (rz) in y punten. Ken willekeurig
raakvlak aan RP snijdt dan in /3 7 punten.
Projecteert men ^ centraal uit een willekeurig punt
van op een willekeurig vlak, dan ontstaat iii dat
vlak een kromme van den graad ß r met een ß-
voudig en een 7-voudig punt. De klasse van deze
kronnne, en dus ook die van Sß r, is derhalve

(/3 r) r -1) - 2 !\' /2 /3 (/3 -1) r (r -1) i =

= 2 y. Dit getal geeft dus den graad aan van het
raaklijnenregelvlak van Si^ r.

Beschouwt men nu de lijnelementen van ^i^ r, dan
blijkt dat door een willekeurige rechte door A,p 2/3 7
raakvlakken aan ^ aan te brengen zijn, dat dus het
vlak door die rechte en a het vlak cx is voor 2/3 7
lijnelementen van Bovendien snijdt a den kegel
met top O en richtkromme ^t\' r in /3 f- 7 punten, zoodat
/3 -f r lijnelementen van het stelsel hun beeld op a
hebben. De. beeldkromme O van dit stelsel heeft dus
lot graad 2 /3 7 /3 7. Ook ^e,, is « voor 2/87 lijn-
elementen, die dan O tot beeld hebben, zoodat ö in O
een 2 j3 7-voudig punt heeft, en a in /3 7 punten
snijdt.

In het bizonder, als 5 van den graad is, wordt
het stelsel lijnelementen van ^ afgebeeld op een kromme
met 4-voudig punt in O en a als trisecante.

Als /S — 7 = 1 genomen worden, krijgt men het geval,
dat onder 3 in deze paragraaf behandeld is.

§ IV. Stelsels van heelden met hijbehoorende lijn-
elementen.

1. Een willekeurige rechte l) der ruimte is beeld
van een stelsel [P, r) van lijnelementen, waarbij de
m. p. der punten P een kegelsnede fS\'^ is, die door het
vlak (S = {b, O) op wordt ingesneden. De raaklijnen r
van dit stelsel vormen een regelvlak, waarvan de graad
als volgt bepaald wordt:

De rechte h snijdt de in § III, 2 genoemde regelvlakken
Bi^ en 62^, ieder in 3 punten. Het komt dus G-maal
voor, dat een r van het stelsel samenvalt met een be-
schrijvende van Ml Verder raken de lijnen r de hyper-
boloïde M^ in de punten van /S^, zoodat deze kegelsnede
bij de doorsnijding van het regelvlak met M\'^ dubbel
geteld moet worden. Deze doorsnijding bestaat nu uit
6 rechten en 2 X is dus van den graad 10, zoodat

het gezochte regelvlak van den ö\'^pquot; graad is, en B^
genoemd zal worden.

Het vlak /3 bevat als beeld van de lijnelementen
van (3^ een kubische kromme (§ III, 3). h snijdt 7=»
in 3 punten Ci, C2 en Cs. Als nu OCi, OC2 en OC3
/3- resp. in de punten i?i, B2 en Ba snijden, dan zullen
de raaklijnen in Bi, B2 en 83 aan (3\'^ tot B® behooren.
Deze drie raaklijnen vormen met de doorsnede van
B^ en (3..

Het vlak ó snijdt B^ volgens de raaklijnen aan
in de snijpunten van met/3, en een kubische kromme,
die o. a. gaat door de 6 punten van ingesneden
door de 6 beschrijvenden die B^ en M^ gemeen hebben.

Bizondere standen van h:

a) Als h door O gaat, snijdt zij RP in nog een punt
P, en is nu beeld van de lijnelementen (P, r) waarbij r
iedere raaklijn in P aan M^ kan voorstellen. De rechte
snijdt in O zoowel oi als 02. O, beschouwd als punt
van oi, is dan beeld van een stelsel, waarvan de raak-
lijnen een kwadratische regelschaar Ui^ vormen, als
genoemd in § II, 4. Voor Ö beschouwd als punt van
02 valt hetzelfde op te merken. Deze twee kwadratische
regelscharen vormen met den waaier [F, r) het thans
ontaarde regelvlak H®.

h) h ligt in (p. De regelvlakken Bi^ en B2® uit
§ III, 2 hebben 0. a. (p^ gemeen, en bezitten ieder nog
een rechte in (p. Een willekeurige rechte b in 0 snijdt
Hlquot;\' en dus samen in 4 punten, waarvan er 2,
en 7\'2, op liggen. Deze punten zijn ieder beeld
van een stelsel van co\' lijnelementen (P\'i, r) resp. (J\'2, r),
waarvan de dragers r een waaier vormen in het raak-
vlak in Fi resp. Pa aan RP (§ II, 1). Voor een rechte
in cp valt H® dus uiteen in een kubiscli regelvlak en
twee waaiers.

c) b is een rechte van j\\P. Laat h samenvallen met
een rechte van de schaar {n). Een punt P van h is
dan beeld van een lijnelement (P, ?•) waarbij r een van

de raaklijnen in P aan M^ is. Verplaatst men P langs
dan vormen de r\'s van dit stelsel een kwadratische
regelschaar Ri^, die beschouwd kan worden als voort-
brengsel van twee projectieve vlakkenbundels met assen a
en h. Ri^ en M^ snijden elkaar volgens h (2 maal
geteld) en de op a rustende beschrijvenden van M^ az\'
en C2quot;. Het snijpunt Pi van amp; en cp is weer beeld van
een waaier. Het snijpunt van h en 02 is beeld van
kwadratische regelschaarnbsp;Daarmee is de bij deze b

behoorende B^ compleet. • ■

2. Voor een rechte b\', die samenvalt met een be-
schrijvende van de schaar (5-2) vindt men een dergelijk
stel van twee kwadratische regelscharen R22, Ui^ en
een waaier met top Pa in het raakvlak in P2 aan M^.
Een ontaarde kegelsnede van RP is dus beeld van een
stelsel van 00 ^ lijnelementen, waarvan de dragers een
figuur van den 10\'^en graad vormen.

Een willekeurige kegelsnede (3^ Van IVP is beeld van
een stelsel {F, r), waarbij de punten P op de kegel-
snede /32 liggen, terwijl de raaklijnen r een regelvlak
vormen, waarvan te verwachten is, dat het van den
graad 10 zal zijn. Het blijkt te ontaarden. Immers,
de snijpunten Ih en P2 van en cp zijn singulier, en
ieder beeld van een waaier van lijnelementen. Het
snijpunt van /S^ en oi is beeld van een kwadratische
regelschaar Ui^ dat van /S^ en 02 is beeld van een Ua^.
Blijft dus over een regelvlak van den 4equot; graad, dat
de overige punten van /S^ tot beelden heeft. Dit blijkt
ook nog uit de volgende redeneering:

Behalve de snijpunten van /S^ met (p, oi en 0» heeft
met ieder van de kubisclie regelvlakken Br\' en B2^
nog 2 punten gemeen, n.1. die op Bi^ liggen op ai\' en
en aiquot;, die op B2® liggen op «2\' en «2quot;. Het komt dus
vier maal voor, dat een beschrijvende van het gezochte
regelvlak samenvalt met een rechte van Ml Bovendien
raken het regelvlak en RP elkaar in de punten van /Squot;,

zoodat deze kegelsnede bij de doorsnijding dubbel geteld
moet worden. Aangezien de doorsnede met ]\\F van den
graad 8 is, moet het bewuste regelvlak van den
graad zijn.

3. De punten van een willekeurig vlak ^ zijn beelden
van Gc^ lijnelementen (P, r), zoodanig dat bij ieder punt
F van één r behoort. De raaklijnen r van dit stelsel
vormen een congruentie [4, 4]. Immers de kronnne r^
uit § III, 4 snijdt ^ in 4 punten, die ieder het beeld
zijn van een lijnelement, waarvan de raaklijn door het
aldaar genoemde punt M gaat. De stergraad van de
congruentie is dus vier. Eveneens snijdt de kromme pquot;^
uit § 111, 3 ^ in 4 punten, die ieder het beeld zijn van
een lijnelement van de t.a.p. genoemde kegelsnede
De veldgraad der congruentie is dus ook vier.

liet vlak ^ bevat 9 singuliere punten:

1°. het snijpunt met a is het beeld van een waaier.

2quot;. de snijpunten met (p\'^ zijn, ieder, beeld van een
waaier.

3quot;. de snijpunten met oi en 02 zijn, ieder, beeld van
een kwadratische regelschaar.

4\'\'. de snijpunten met lt;7\' (§ 11, 5) zijn, ieder, beeld
van een waaier.

Als ^ door O gaat, zullen dc krommen p^ en r\\ die
ieder een dubbelpunt in O hebben, 3 buiten O nog
slechts in 2 punten snijden. De punten van ^ zijn dan
beelden van een stelsel van lijnelementen, waarvan de
raaklijnen een congruentie [2, 2] vormen. Bovendien
is O zelf beeld van een stelsel, waarvan de raaklijnen
een congruentie [2, 2] vormen (§ II, ü).

HOOFDSTUK II.

Afbeelding van de lijnelementen van een algemeenc
monoïde Mquot; op de puntenruimte.

§ I. Uitzonderingselementen.

1.nbsp;Zij de doorsnede van cp met de algemeene
monoïde van den graad n, Mquot;. Ieder lijnelement (F, r)
van (pquot; heeft dan alle punten van PO tot beeld.

2.nbsp;Zij cco = (a, O), en Aquot; de doorsnede van «o en
Mquot;; aquot; heeft in O een (n—l)-voudig punt, zoodat een
rechte door O Xquot; nog in één punt snijdt. Een lijn-
element (P, r) van V heeft ieder punt van OP tot beeld.

3.nbsp;«O bevat n — 1 raaklijnen in O aan aquot;, dus aan Mquot;.
Voor ieder van deze lijnelementen (O, r) is «o het vlak a.
Als verbindingslijn van O met O is te beschouwen elke
beschrijvende van den raakkegelnbsp;in O aan Mquot;.
De doorsnede van Kquot;quot; ^ met «o bestaat uit de n — 1
juist genoemde raaklijnen, die dus.samen de afbeelding
vormen van elk van die raaklijnen afzonderlijk.

4.nbsp;Iedere andere raaklijn r in O vormt met O een
lijnelement (O, r) dat tot beeld heeft elk punt van een
vlakke kromme kquot;-^, te verkrijgen als de doorsnede
van het bij dat lijnelement behoorende vlak « met den
raakkegel K« -1 in O.

5.nbsp;Voor elke raaklijn uit Alt;p aan Mquot; is a onbepaald.
Zij r zoo\'n raaklijn en P het raakpunt, dan is ieder
punt van OP beeld van het lijnelement {P, r). Het
le pooloppervlak van A(p ten opzichte van Mquot; is een
monoïdenbsp;met top O. Hun doorsnede, d. i. de
m. p. van de raakpunten P op alle raaklijnen r uit
A^ aan Mquot;, is dus een kromme «»(»-D met O als

(n — l)in — 2)-voudig punt. Het stelsel lijnelementen,
waarvan de raaklijnen door A^ gaan, heeft dus tot
beeld een kegel K^^»-!) met top O en richtkromme

§ II. Uitzonderingspunten.

1.nbsp;Een willekeurig punt F van cpquot; is beeld van oc\'
lijnelementen, ieder bestaande uit F en een raaklijn in
F aan Mquot;.

2.nbsp;Een willekeurig punt A van a is beeld van go\'
lijnelementen, ieder bestaande uit het snijpunt L van
OA met Mquot; en een raaklijn in L aan Mquot;.

3.nbsp;Het in § I, 4 genoemde vlak lt;x behoort bij n — 1
raaklijnen in O aan Mquot;, zoodat ieder punt van xquot;\'^
beeld is van n — 1 lijnelementen.

4.nbsp;Zij P een punt van de in § I, 5 genoemde kromme

raaklijnen r in F aan Mquot; leveren hetzelfde
vlak a, zoodat het stelsel (P, r) één punt S tot beeld
heeft. De punten S vormen een ruimtekromme, waar-
van de graad als volgt bepaald wordt:

Zij f een rechte in Cp door Aqy. De klasse van een
algenieene monoïde is {n—1)(3«—4), zoodat men
door f [n — 1) (3 n—4) raakvlakken aan Mquot; kan brengen.
Het vlak {a,f) is dus cc voor {n — 1)(3« —4) stelsels
(P, r). Van den kegelnbsp;die O tot top en

tot richtkronnne heeft, rusten 2 {n — 1) beschrijvenden
op a. In een willekeurig vlak door a liggen dus

[n — 1) (3 n - 4) 2 [n — 1) = {n — 1) (3 n — 2)
punten lt;9, zoodat de m. p. van S een ruimtekromme

- l)(3«-2)

5.nbsp;Een monoïde Mquot; bevat n {n — 1) rechten oa door
den top O. Alle lijnelementen, waarvan zoo\'n rechte
O/, drager is, hebben het snijpunt Oji- van Ok en 0 tot
beeld.

6.nbsp;Een willekeurig punt U van Ok is beeld van oo\'
lijnelementen, zoodanig dat bij ieder punt van Ok één
raaklijn behoort. Deze raaklijnen rusten alle op de

snijlijn s van het vlak cc = iU,a) met 0, en bepalen op
die snijlijn en op Ok twee projectieve puntenreeksen,
vormen dus een kwadratische regelschaar U^.

7. O is hoofdpunt der afbeelding. Bij ieder punt P
van Mquot; is een raaklijn r te vinden, zoodat O beeld is
van (P, r). De raaklijnen r uit het aldus verkregen
stelsel vormen een congruentie, waarvan Mquot; richtopper-
vlak en 5 = (lt;a;o, 0) richtlijn is. De omhullingskegel van
een willekeurig punt Q der ruimte is van den graad
n(n—Ij, zoodat door Q n(n—1) raaklijnen gaan, die
op s rusten. Een willekeurig vlak | der ruimte snijdt
s in een punt X en Mquot; volgens een kromme iquot;. Door
X kunnen n (n — 1) raaklijnen aan ^^ in f getrokken
worden. Hieruit volgt, dat de raaklijnen van het stelsel
lijnelementen, dat O tot beeld heeft, een congruentie
[n {n — 1), n [n — 1)] vormen.

§ ,111. Stelsels van lijnelementen met hun heelden.

1. Zij ^^ de doorsnede van een willekeurig vlak ^
met Mquot;, en d de snijlijn van ^ met 0. Uit een punt I)
van d kunnen n(n—1) raaklijnen aan ^^ getrokken
worden; het vlak (a, D) is dus het vlak « voor «(«—1)
lijnelementen van 3quot;. Bovendien rusten van den kegel
met top O en richtkromme n beschrijvenden op a,
zoodat een willekeurig vlak x n (n — 1) = n^ punten
bevat, die ieder het beeld zijn van een lijnelement van
Squot;. Het beeld v.an het stelsel lijnelementen van Mquot; in
een willekeurig vlak is dus een ruimtekromme p van
den graad n\'i De snijpunten van p met Mquot; zijn:

1quot;. de n snijpunten van en 0.

2°. n(n — 1) punten op want het gebeurt« (» — 1)
maal dat een vlak x aan raakt.

3quot;. n (n — 1)^ punten in O. Het vlak ito snijdt d in
een punt D, waardoor n (n — 1) raaklijnen aan èquot;
gaan, die alle O tot beeld hebben; gaat dus
met n(n—1) takken door O.

4°. n{n— 1) punten op de rechten Oi, op iedere

rechte één. Iedere Ok snijdt ^ in één punt; de
raaklijn in dat snijpunt aan hoort thuis in een
onder § II, 6 genoemde kwadratische regelschaar
U^ heeft dus één punt van Ok tot beeld.
Ter controle zij opgemerkt:

n 11 (n — 1) « (n —1)\' n (n — 1} =
Als het vlak ^ bizondere standen inneemt, kan het
gebeuren dat p ontaardt.

a) S levât a. Uit het punt Atp kunnen n [n — 1) raak-
lijnen hquot; getrokken worden, zoodat voor n [n — 1) lijn-
elementen van het vlak « onbepaald wordt. Deze
hebben dus ieder tot beeld de rechte die O met hun
raakpunt verbindt. Voor de overige lijnelementen van
is 5 het vlak a, zoodat die elementen tot beeld-
kromme hebben, p ontaardt in dit geval in n {n — 1)
rechten door O en de vlakke kromme Squot;.

h) S gaat door 0. êquot; heeft in O dan een (n — l)-voudig
punt. Zij r een van de n — 1 raaklijnen in O aan
en ll = (r,0). Het beeld van (O, r) is dan een vlakke
kromme kquot;-\', door den raakkegel Kquot;quot;\' van O op het
vlak a = (a, R) ingesneden. De klasse van is nu
n {n — 1) — (« — 1) {n — 2) = 2 [n — 1). Door een wille-
keurig punt B van d gaan nu 2{n — 1) raaklijnen aan
5quot;, zoodat cc = (a, 7)) dienst doet voor 2 {n — 1) lijn-
elementen van Als beeld van de lijnelementen van
vindt men nu het voortbrengsel van de verwantschap
tusschen de stralen der waaiersnbsp;en (O, 5). Aan-

gezien dit een verwantschap \\2[n—1), 1| is, wordt het
voortbrengsel een kromme van den graad 2 {n—1)-|-
l = 2n — 1. p is nu ontaard in n — 1 vlakke
krommenbsp;en een vlakke kromme /j^quot;quot;\'.

c) f) hv.vat een rechte Ok. ontaardt dan in o*- en een
kromme met (w — 2)-voudig punt in O. De lijnele-
menten, waarvan Ok drager is, hebben het snijpunt Ok van
Ok en 0 tot beeld. Alleen het element (C»,oa) heeft lol beeld
een vlakke kromme sdquot;quot;zooals genoemd in § I, 4. Het-
zelfde valt op te merken voor de — 2 lijnelementen {O, r)

als r een raaklijn in O aannbsp;voorstelt. Door een

willekeurig punt D van d kunnen 2 in — 2) raaklijnen
aan ~ ^ getrokken worden. Het beeld van ~ wordt
dus een kromme van den graad 2(w — 2) 1 = 2w — 3,
verkregen op de in b) beschreven wijze, oa en
snijden elkaar buiten O nog in een punt P. De oo^
lijnelementen, die ontstaan door P te combineeren met
alle raaklijnen in P aan Mquot;, moeten ook geacht worden
te behooren tot de lijnelementen van en wel ieder
2 maal geteld. Als beeld van dezen waaier vindt men
dus de punten van Ok 2 maal geteld, p is nu ont-
aard in n — 1 vlakke krommen zquot;* ~een vlakke
kromme pquot;^quot; ~ ^ en 2 maal ok.

d)nbsp;ó bevat 2 rechten Ok en oi. Squot; is nu uiteengevallen
in Ok, oi en een kromme ~\' met {n — 3)-voudig punt
in O. Op geheel analoge wijze vindt men nu:

1°. De lijnelementen van Ok hebben Ok tot beeld, die
van oi Oi.

2°. De lijnelementen iO,0k), {O, oi) en (O,/•), als r
een van de n — 3 raaklijnen in O aan èquot; ~ ^ is,
hebben ieder een kromme tot beeld.

3quot;. De beeldpunten van de overige lijnelementen van
^«-2 vormen een vlakke kromme

4°. De snijpunten P en Q van 0.4 en o^ met be-
hooren ieder bij een waaier van raaklijnen, die
tot beeld hebben de punten van ot resp. oi,
ieder 2 maal geteld.

e)nbsp;S raakt M» in D. heeft nu D als dubbelpunt.
Daardoor wordt de klasse van n [n — 1) — 2 =

— n—2. Een willekeurig vlak door a is nu het vlak oc
voor — n — 2 lijnelementen van terwijl de kegel
(O, hquot;) a in 11 punten snijdt. Het beeld van ^^ wordt
nu een ruimtekromme van den graad — ^^ — 2 -}- « =
= — 2. Zij r een willekeurige straal van den waaier
(D, dan moet OU als beeld van het stelsel van 001
lijnelementen (D, r) dubbel geteld worden.

2. Zij h een hoofdraaklijn van Mquot;, die Mquot; in H 3-
puntig aanraakt. De hoofdraaklijnen van een monoïde
vormen een congruentie [3 {n — 1) {n — 2), 3 n {n — 2)].
Het beeld van het stelsel {H, h) is een oppervlak, waar-
van de graad als volgt bepaald wordt:

Een willekeurig vlak a door a snijdt (p volgens een
rechte ƒ. Alle hoofdraaklijnen, waarbij dit vlak « be-
hoort, moeten ƒ snijden en vormen dus een axiaal
regelvlak uit de congruentie, dat tot graad heeft
3 in — 1) (« — 2) 3 « (n — 2) = 3{n — 2) (2 « — 1).
De m. p. der punten H op de rechten h van dit
axiaal regelvlak is een ruimtekromme, die (p snijdt
IMn de 3n(n — 2) buigpunten van (pquot;,
2quot; in de n snijpunten van ƒ en\'0quot;, maar ieder van
deze laatste punten is II voor 2 rechten h\'van het
regelvlak. De kromme (11) is dus van den graad
3 n (n — 2} 2n — n (3 n — 4)
gg^g^i- jjj jjgt^ algemeen niet door O, omdat
alleen de nin — i) rechten Ok als eigenlijke hoofdraak-
lijnen te beschouwen zijn, en deze rusten in het alge-
meen niet op ƒ. De kegel met top O en richtkromme
2al dus op a een krommenbsp;insnij-

den die beeld is van alle rechten /i, die op ƒ rusten.
Bovendien is ieder punt A van a beeld van co\' lijn-
elementen, waarvan de raaklijnen een waaier vormen
om het snijpunt L van OA en Mquot; (§ II, 2). Hieronder
bevinden zich twee hoofdraaklijnen; ais dus een dubbel-
rechte op het beeldoppervlak. De congruentie der hoofd-
raaklijnen heeft dus tot beeld een oppervlak S van den
graad n (3 « — 4) -f- 2, omdat dit de graad is van de
doorsnijding van S met een willekeurig vlak x.

Een willekeurige rechte door O, die Mquot; in H snijdt,
bevat 2 punten, in \'t algemeen buiten O, die beelden
zijn van (ƒ/, /t,) en (//, ih) als 1h cn ih de hoofdraak-
lijnen in II voorstellen. Daaruit volgt dat OH en S
in O «(3w —4) gemeenschappelijke punten hebben.
S heeft dus in O een n (3 n — 4)-voudig punt.

3. Zij Q een willekeurig punt der ruimte. Alle
raaklijnen uit Q aan Mquot; vormen een kegel van den
graad n {n — 1), met QO als {n — 1) {n — 2)-voudige
rechte. Immers, de raakpunten P op deze raaklijnen
vormen een krommenbsp;met Oals(«—i){n — 2)-

voudig punt. Hieruit volgt dat de kegel (O, van den
graad n {n — 1) — (« — 1) [n — 2} = 2 (n — l) is, zoodat
2 (w — 1) beschrijvenden op a rusten. De kegel (Q, tt)
snijdt (p volgens een kromme van den graad n {n — 1),
zoodat een willekeurig vlak door a het vlak is voor
n [n — t) lijnelementen van het stelsel (P, r). Als beeld
van dit stelsel vindt men dus een ruimtekromme r van
den graad 2 {n — 1) w (w — 1) = (w — 1) (n 2).

De n {n — 1) [n 2) snijpunten van r en Mquot; zijn als
volgt verdeeld:

1°. de 01 {n — 1) punten vannbsp;in cp;

2®. de n(n — l} punten van quot;\'Mn het vlak (a, Q);

3quot;quot; n (n — 1)2 punten in O; er rusten n {n — 1) raak-
lijnen door Q op de rechte so = («o, (p).

4°. n (n — 1) punten op de rechten ot, op iedere
rechte één.

§ IV. Stelsels van heelden met hijhehoorende lijnele-
menten.

1. De punten van een willekeurige rechte h der
ruimte zijn beeld van een stelsel lijnelementen {P, ?•),
zoodanig dat de m. p. der punten P dc kromme is,
volgens welke het vlak (0,h) en Mquot; elkaar snijden.
De raaklijnen r vormen een regelvlak, waarvan de graad
bepaald wordt door na te gaan, wat de doorsnede met
(i is. Tot die doorsnede behoort in de eerste plaats.

In § II, Ib bleek, dat de lijnelementen vantot beelden

hebben de punten van een vlakke, in /3 gelegen, kromme
van den graad 2n—1. Daar deze h in 2n — 1 punten
snijdt, bevat ^ nog 2 n — 1 rechten van het regelvlak.
Dit is dus van den graad n 2 n — 1 = 3 n ~ 1, en
zal genoemd worden

Als h bizondere standen inneemt, kan het gebeuren
dat B®quot;-\' ontaardt.

d) h rust op a. Zijn snijpunt Ab met a is dan beeld
van een stelsel lijnelementen, ieder bestaande uit het
snijpunt L van OAb met Mquot; en een raaklijn in L aan
Mquot;. B^quot; ~\' ontaardt dan in een waaier en een B^quot; ~ ^

h) b in 0. Ieder van de n snijpunten F van b met
0quot; is dan beeld van c»\' lijnelementen, ieder bestaande
uit J^ en een raaklijn in F aan Mquot;, zoodatnbsp;in

dit geval ontaardt in n waaiers en een regelvlak B^quot;quot;\'.

2.nbsp;Zij ^ een willekeurig vlak, dat Mquot; volgens een
kromme snijdt. De punten van zijn beelden van
een stelsel (P, r), waarbij ^^ de m. p. van P is, terwijl
de raaklijnen r een regelvlak D vormen, dat met ^ in
de eerste plaats gemeen heeft.\' Verder blijkt uit § II,
1 dat de lijnelementen van tot beelden hebben de
punten van een ruimtekromme p, die ^ in n\'^ punten
snijdt, alle op gelegen. Hiervan moeten de n snij-
punten van met 0, die singulier zijn, en dadelijk af-
zonderlijk genoemd worden, afgetrokken worden. Het
regelvlak D bevat dus — n beschrijvenden, die in ^
gelegen zijn. De graad van D is dus n^ — n n = nquot;^.
Daarbij komt, dat ieder van de snijpunten van ^ en 0
singulier is, en beeld van cc\' lijnelementen, waarvan
de raaklijnen een waaier vormen. Bovendien snijdt
ieder van de n (« — 1). rechten Ok in één punt, dat
beeld is van oo\' lijnelementen, waarvan de raaklijnen
een kwadratische regelschaar U^ vormen. Bij D voegen
zich dus n waaiers en n {n — 1) kwadratische regel-
scharen.

3.nbsp;De punten van een ^yillekeurig^vlak (S zijn beelden
van een stelsel (P, r), zoodanig dat aan ieder punt P
van Mquot; één raaklijn r is toegevoegd; deze raaklijnen
vormen een congruentie.

Alle raaklijnen uit een Avillekeurig punt Q aan Mquot;

hebben tot beeld de punten van een ruimtekromme
die |3 in {n — \\){n-\\-2) punten snijdt. Dus
{n — 1) [n 2) raaklijnen door een willekeurig punt
hebben hun beeld in /3.

De lijnelementen van een willekeurige vlakke door-
snede Squot; hebben tot beelden de punten van een ruimte-
kromme p die /3 in n^ punten snijdt. Dus in een
willekeurig vlak liggen n^ lijnelementen van Mquot;, die hun
beelden in hebben.

Het bovengenoemde stelsel van raaklijnen r vormt
dus een congruentie [hi — 1) (w 2), n^].

Als [i door O gaat, valt deze congruentie uiteen in
twee andere.

Zoowelnbsp;als p hebben in O eenn{n—l)-

voudig punt, en snijden dus ^ buiten O nog in
n {n — 1) (w 2) — 1T {n — l) = 2{n — 1), respectievelijk
n^ — n{n—1) = « punten. Terwijl O zelf beeld is
van een congruentie [n [n — 1), n (n — 1)], behoort bij de
overige punten van f^ dus een congruentie [2 («—1), w].

HOOFDSTUK HI.

Afbeelding van de lijnelementen van een kubische
monoïde M® op de puntenruimte.

Als toepassing worden hier de resultaten vastgelegd
voor een kubisch oppervlak M® met een kegelpunt O.
Dit oppervlak bevat 6 rechten Ok door den top O,
terwijl ieder vlak door 2 van die rechten oi en o,» ÄP
nog volgens een buiten O gelegen rechte pu» snijdt. RP
bevat dus 15 rechten plm •

§ I. Uitzonderingselementen.

1.nbsp;Voor een lijnelement (P, r) van de doorsnede
van cp en IVF is het snijpunt met (p onbepaald, dus het
vlak a ook. Het beeld van (P, r) is dus de punten-
reeks op OF.

2.nbsp;Zij de doorsnede van RP met het vlak «o =
= (a, O). «O is « voor ieder lijnelement (L, l) van en het
snijpunt van «o en OL is onbepaald. Het beeld van (L, l)
is dus de puntenreeks OL.

3.nbsp;«O bevat 2 raaklijnen h en l-j in O aan a®. Als
verbindingslijn van O met zichzelf moet beschouwd
worden iedere beschrijvende van den raakkegel K^ in
O aan Ml K^ snijdt «o volgens h en I2. Als beeld van
(O, h) moet dus ieder punt van h en h beschouwd worden;
als beeld van (O, k) eveneens.

4.nbsp;Iedere andere raaklijn r in O aan M® vormt met
O een lijnelement (O, r) dat tot beeld heeft elk punt
van een kegelsnede door het bij die raaklijn be-
hoorende vlak a op K^ ingesneden.

5.nbsp;Voor elke raaklijn r uit A(p aan M\' is « onbe-

paald. Als F het raakpunt op r is, dan is ieder punt
van OF beeld van (P, r). De m. p. van P is een ruimte-
kromme met dubbelpunt in O, als doorsnede van M®
met het pooloppervlak van Alt;p ten opzichte van M®. De
kegel (O, a») is dus van den 4®quot; graad.

§ 11. Uitzoncleringsimnten.

1.nbsp;Ieder punt F van (p\' is beeld van co\' lijnelementen
(P, r), waarbij r een wallekeurige raaklijn in F aan ]\\F is.

2.nbsp;Ieder punt A van a is beeld van 00^ lijnele-
menten (L, r), waarbij L het snijpunt van OA enMMs
en r een willekeurige raaklijn in L aan Ml

3.nbsp;Het in § I, 4 genoemde vlak a behoort bij 2 raak-
lijnen in O aan zoodat ieder punt van den kegel
K^ beeld is van 2 lijnelementen (O, r).

4.nbsp;Het raakvlak in elk punt P van (zie § I, 5)
snijdt (p volgens een rechte / door Agj, zoodat bij alle
raaklijnen in P aan RP hetzelfde vlak a behoort. Het
snijpunt S van OP met « is dus beeld van co\' lijn-
elementen (F, r) waarvan de raaklijnen r een waaier
om P vormen.

Door ƒ gaan 10 raakvlakken aan RP, zoodat het vlak
(a,/) 10 punten S bevat. Bovendien snijdt de kegel
K^ —nbsp;a in 4 punten. De punten S vormen dus

een ruimtekromme cr^^

5.nbsp;Het snijpunt Oa van (p met een rechte oa; is beeld
van de cc\' lijnelementen, waarvan oa- drager is.

6.nbsp;Een willekeurig punt U van Ok is beeld van cc\'-
lijnelementen {F, u) waarbij P willekeurig op Ok ge-
nomen kan worden, en u één van de raaklijnen in F
aan is. De lijnen ti snijden op de snijlijn s van
ix= {U, a) met (p en op ok twee projectieve punten-
reeksen in, vormen dus een kwadratische regelschaar ü^.

7.nbsp;O, als hoofdpunt, is beeld van een stelsel (P, r),
waarbij ieder punt P van M\' eenmaal voorkomt, terwijl
bij iedere P één r behoort. De r\'s vormen een con-
gruentie (6, 6).

§ III. Stelsels van lijnelementen met hun heelden.

1. De lijnelementen van M^ gelegen in een wille-
keurig vlak Z, hebben tot beeld een ruimtekromme p^
met een 6-voudig punt in O, en a als trisecante.

Bizondere standen van 5 :

a)nbsp;Z bevat a. Het stelsel (P, r) in h bevat 6 raaklijnen Atp,
die ieder een rechte door O tot beeld hebben. De overige
lijnelementen hebben de punten van zelf tot beeld.

b)nbsp;Z raakt aan ]\\P. De doorsnede krijgt dan in het
raakpunt B een dubbelpunt. Als beeld van vindt
men nu een ruimtekromme pquot;^, en verder OD, 2 maal
geteld als beeld van den waaier (J), Z).

e) Z gaat door O. Nu krijgt een dubbelpunt in O.
Als d\\ en di de dubbelpuntsraaklijnen zijn, hebben
{O, dl) en {0,d2) ieder een kegelsnede tot beeld, door K^
op het bij ieder van die lijnelementen behoorende vlak
ci ingesneden. De rest van heeft tot beeld een in ^
gelegen vlakke kromme

d)nbsp;5 bevat een rechte ot. De restdoorsnede is dan een
kegelsnede door O. Alle elementen, waarvan Ok drager
is, hebben het snijpunt Ok van oa en 0 tot beeld ; alleen
(O,0k) heeft tot beeld een kegelsnede als genoemd
in § I, 4, evenzoo de raaklijn in O aan Het beeld
van is een vlakke p\'^. In het snijpunt D van Ok en

raakt ^ aan Ml Het beeld van den waaier (D, Z) is
de rechte ot, 2 maal geteld.

e)nbsp;B drievoudig raakvlak. De doorsnede met RP ont-
aardt dan in 8 rechten. Daarbij zijn twee gevallen te
onderscheiden.

x) S gaat door O. ^^ bestaat dan uit de rechten Ok,
oi en jiki- Het beeld van ot is Oi-, dat van oi is Oi. Het
beeld van pki is een rechte als snijlijn van het vlak
{0,2ni) met het bij 2)ki behoorende vlak a. Het beeld
van {0,oji), evenals dat van {0,oi), is een kegelsnede
Zij Pk het snijpunt van Ok en Pi ilat van oi en pa-i.
De waaiers {Pi-, en (P/, hebben dan resp. de rechten
OPi en OP}, ieder dubbel geleld, tot beeld.

ß) 5 gaat niet door O. P bestaat dan uit 3 rechten
Pki, zoodanig dat de indices van 1 tot 6 ieder éénmaal
voorkomen. Iedere rechte pki heeft tot beeld een rechte,
die snijlijn is van het vlak (O, p«) met het bij pki be-
hoorende vlak X. Als P, QenR de snijpunten zijn der
drie rechten pAi onderling, dan zijn de rechten OP, OQ
en OR ieder dubbel te tellen als beelden van de
waaiers (P, S), {Q, en (P, è).

2.nbsp;Zij P een punt van M^, r een willekeurige raak-
lijn in P. Het stelsel (P, r) heeft dan de puntenreeks
OP tot beeld.

3.nbsp;De hoofdraaklijnen h vormen een congruentie
(6,9). Zij H op iedere h het raakpunt, dan is het beeld
van het stelsel {H,h) een oppervlak Squot; met dubbel-
rechte a en een 15-voudig punt in O.

4.nbsp;Alle raaklijnen r uit een willekeurig punt Q der
ruimte raken ]VP in de punten P van een ruimtekromme

met een dubbelpunt in O. Het stelsel (P, r) heeft
tot beeld een ruimtekromme r^quot; met een 6-voudig punt
in O en a als quadrisecante.

§ IV. Stelsels van heelden met hijhehooreiide lijnele-
menten.

1. De punten van een rechte h zijn beelden van een
stelsel (P, r). De punten P vormen de doorsnede ß^
van en het vlak ß = [l, O). De rechten r vormen
een regelvlak ß®.

Als h in cp ligt, ontaardt B® in 3 waaiers van raak-
lijnen, die de snijpunten van b en cp\'tot toppen hebben,
en een BI

Als 6 op a rust, in het punt At, ontaardt B® in een
waaier met als top het snijpunt van OAb en M®, en
een B\'^.

2.nbsp;De punten van een vlakke doorsnede zijn
beelden van een stelsel (P, r). De m. p. van P is ^^
de raaklijnen r vormen een regelvlak D^.

3.nbsp;De punten van een willekeurig vlak (3 zijn de
beelden van co ^ lijnelementen (P, r). Bij iedere Pvan

behoort één r. Het stelsel (r) vormt een congruentie
(10, 9). Als (3 door O gaat, valt deze uiteen in een bij
O behoorende congruentie (6, 6) en een congruentie (4, 3).

...

\'■i r • \'

...

f^,, mm\'

■ i,

i .

Stellingen.

. (V.

Stellingen.

I.

Een trimonoïde en een quadrimonoïde kunnen zonder
ontaarding alleen bestaan voor den graad 3.

II.

In een Nederlandsche verhandeling over het onmeetbare
getal is het gebruik van het woord «fundamentaalreeks»
te verkiezen boven dat van het woord «fundamentaalrij».
[Dr. F. ScHUH, Hot Getalbegrip, Hoofdstuk III.]

III.

De kennis van de meer-dimensionale meetkunde en
van de niet-euclidische meetkunden is voor den physicus
gewenscht.

IV.

De relativiteitstheorie heeft voorloopig alleen weten-
schappelijk belang.

V.

Het is van groot belang, zoowel voor het onderwijs
als voor de maatschappij, de H. B. S. niet zonder meer
open te stellen voor iedereen, die «met vrucht» lager
onderwijs genoten heeft

82
VI.

Het is wenschelijk, bij de opleiding van den mathe-
maticus eenige aandacht te schenken aan de geschiedenis
der Wiskunde.

\'d

.H

\\