EENIGE SOHHATIEMETBODEN

j. G, VAN DE PUTTE

.BIBLIOTHEEK DER
RIJKSUNIVERSITEIT
V UTRECHT.

1 ■
\'X

•■..■•■■.■ti

• .nbsp;\' •• • J^. J •.! C -nbsp;. . • 1\'

\'và:nbsp;tu-

■ r\'!;

^ gt;
f Ç \' \'

i • I

EENIGE SOMMATIEMETHODEN

Eenige Sommatiemethoden

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN
NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-UNIVER-
SITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN
RECTOR-MAGNIFICUS Dr. B. J. H. OVINK.
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER
LETTEREN EN WIJSBEGEERTE. VOLGENS
BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVER-
SITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE
FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE
TE VERDEDIGEN OP MAANDAG 28 NO-
VEMBER 1927, DES NAMIDDAGS 4 UUR DOOR

JAN GERARDUS VAN DE PUTTE,

GEBOREN TE GOUDA.

□

electr. drukkerij ,de industriequot; j. van druten - utrecht

1W7

BIBLIOTHEEK DER

rijksuniversiteit

11 t r p r: h t.

AAN MIJN OUDERS
EN MIJN VROUW.

Si V-

M-if-.. ,

. • - . Ci\'. ^

De voltooiing van dit proefschrift biedt mij de gelegenheid
U, Hoogleeraren en Lectoren in de Faculteit der Wis- en
Natuurkunde dank te zeggen voor het genoten onderwijs en
voor hetgeen Gij tot mijn wetenschappelijke vorming hebt
bijgedragen.

Inzonderheid dank ik U, Flooggeleerde Wolff, voor de
bereidwilligheid, waarmee gij de taak van Promotor op U
genomen hebt en voor den grooten steun, die ik bij de
samenstelling van dit proefschrift van U mocht ondervinden.

i

t;: --:nbsp;j: •• \'^jl-fi -i

r

vr

mr-

m

 r.

T

M

r-

Inhoud.

Bladz.

Inleiding.................1

HOOFDSTUK l. cp Sommeerbaarlieid.......10

HOOFDSTUK II. Sommeerbaarheid («^J......18

HOOFDSTUK III. De Fourierreeks........22

HOOFDSTUK IV. De sommaliemethode van HAHDYenRiEsz 29

m.

- ■ ■■ i\'

i \' CKM;;

r ■i\'l/v - \' • ■

\' • • gt; ... ■ ■ quot;

%

—■ ■

INLEIDING.

Als men de ontwikkeling van de theorie der oneindige
reeksen nagaat, blijkt deze in drie hoofdtijdperken verdeeld
te kunnen worden.

Het eerste tijdvak heeft betrekking op den tijd vóór Abel
en Caugiiy. Practisch maakte men toen geen onderscheid
tusschen convergente en divergente reeksen, en gaf men zich
geen rekenschap van het al of niet geoorloofde van de be-
werkingen, die men op deze reeksen toepaste. Wel bemerkt
men hier en daar pogingen om een convergenliebewijs op te
stellen, zooals bij Leidniz (1646 -1716), den bibliothecaris en
historiograaf van den hertog van Hannover. Leibniz stelde
het convergentiecriterium voor alterneerende reeksen op, maar

aan den anderen kant schrijft hij 1 —14*1 .....= \'/a.

De groote mathematicus Leonhard Euler (1707—1783) is wel
een van dc merkwaardigste vertegenwoordigers van dit tijd-
vak. Niet alleen op het gebied van de theorie der oneindige
reeksen, maar ook op dat van andere onderdeelen der wis-
kunde voert hij bewerkingen uit, die volgens de opvatting
van den modernen mathematicus niet door den beugel kunnen.
Het eigenaardige feit, dat hij, niettegenstaande hij voortdurend
foutieve bewerkingen uitvoert, bijna altijd het juiste antwoord
vindt, d. w. z. het antwoord, dat men met de tegenwoordige
strenge en beter gefundeerde methoden krijgt, is wel een
bewijs van zijn niathematisch genie. Wel was Euler zich
er van bewust, dat hij met divergente reeksen werkte, maar
hij trachtte zich uit de moeilijkheid te redden, door een nieuw
sombegrip in te voeren. Hij tracht een functie f[x) te be-
palen, die in een reeks ontwikkeld, voor een bepaalde waarde
van X juist de divergente reeks oplevert. Als f{x) voor die
waarde van x beslaat en gelijk is aan S, dan noemt hij S

de „somquot; van de reeks. Een bezwaar, reeds door Nigolaas
Bernoulli tegen deze methode geopperd, is, dat verschillende
uitdrukkingen voor bijzondere waarden der veranderlijke,
dezelfde reeks kunnen leveren. Zoo vinden we bijv. de reeks
1 — 1 — .... door in de uitdrukking

j-qj^ = I ------, die voor | re |lt; 1 geldt, x = 1

te stellen en krijgen dus Ya = 1 — 1 ____ Maar eveneens

krijgen we, als we in de identiteit

I - x^ x\'^ - ^ ... plt;q en\\x\\lt;l,

X tot 1 laten naderen, tot uitkomstquot;^ =: 1 _ l -j--.. dus

elke willekeurige breuk.

Deze methode, zonder nadere preciseering, is dus te ver-
werpen, Een feit is \'t echter, dat gedurende een eeuw, deze
regel door vele wiskundigen werd toegepast en altijd tot juiste
uitkomsten leidde, terwijl de gevallen, waarin deze regel niet
opging, altijd voortkwamen uit speciaal geconstrueerde voor-
beelden. Men ging op deze wijze door, totdat Gauss, Abel
en Gaichy zich met deze oneindige reeksen gingen bezighouden.

Met het optreden van deze mannen begint in de Analyse
een geheel nieuw tijdperk. Zij stellen namelijk den eisch van
exacte behandeling der te bewijzen stellingen. Eigenschappen,
die voor een eindig aantal termen gelden, mogen maar niet
zonder meer op een oneindig aantal worden overgedragen.
Door Gauchy wordt een strenge definitie der convergentie
gegeven en door hem worden verschillende criteria opgesteld
en bewezen. Adel zegt van het werken met divergente reeksen,
dat men zich moest schamen er eenig bewijs mede te geven.
De divergente reeksen werden dus in de Analyse als contra-
bande beschouwd, in de Astronomie echter werden ze wel
gebruikt. Het handhaven van dezen strengen oisch was
oorzaak, dat het leveren der bewijzen van verschillende pro-
blemen zeer moeilijk werd.

De vraag is nu, of we ons van de knellende banden van den
convergentieeisch kunnen ontdoen. Dit is gelukt, door aan

het begrip „somquot; een uitbreiding te geven. We merken
daartoe op, dat een oneindige getallenreeks, in welken vorm
deze ook gegeven is, zonder meer geen beteekenis heeft, maar
dat deze bij definitie moet worden vastgesteld. Zoo definieert
men als „somquot; van een oneindig voortloopende convergente
reeks de limiet, waartoe de som van n termen, te be-
ginnen bij den eersten, nadert, als n voortdurend toeneemt.
Reeksen, waarbij deze limiet niet bestaat, noemt men diver-
gent. Niets verhindert ons echter een andere definitie van
som van een oneindige reeksquot; in te voeren. Daartoe geven
we de volgende bepaling: Zij gegeven een reeks rto (Ti • • •
Voer nu met de termen van deze reeks volkomen gedefinieerde
bewerkingen uit, indien deze als resultaat een getal s geven,
dan is bij definitie s de som van de reeks S«n; daarbij
eischen we, dat wanneer deze methode toegepast wordt op
convergente reeksen, het getal s gelijk zal zijn aan de som
van de reeks, genomen in de oude beteekenis van het woord.
Bovendien eischen we, dat de methode zóódanig is, dat als
S f^ii en X^n respectievelijk , sommeerbaarquot; zijn tot en B,
(cTn hn) sommeerbaar tot A-{- B is.
De methode lieeft alleen dan zin, wanneer er minstens óén
reeks bestaat, die niet volgens de oude, maar wel volgens
de nieuwe beteekenis sommeerbaar is.

Door FnoBENiüs (1880) en CiisAno zijn het eerst stappen in
deze richting gedaan.

.,nbsp;, Inbsp;t So Si ... Sn , ..,

Als Sn = «0 ... ffn en Sn =--------j_-7------, terwijl

it quot;j 1

limsn\' = s, dan wordt s gedefinieerd als .somquot; van de

n 00

reeks X^n.

Het is gemakkelijk in te zien, dat deze methode van som-
bepaling voor convergente reeksen dezelfde uilkomst geeft

II

als lim Ok. Toegepast op de reeks 1 — 1 —----geeft

n-gt;oo O

deze meliiode ais som Va- Als lim Sn\' beslaat en eindig is,
zegt men, dat de reeks sommeerbaar Ci is.

Heeft deze nieuwe somdefinitie voordeden boven de

oude? Ja; dit zullen we met enkele voorbeelden aantoonen.

Als 2 f\'ii = A en ^ba = B twee convergente reeksen
voorstellen, dan is de productreeks Z Cn = S («o èn • • a« bo)
altijd Cl sommeerbaar tot A B d. w. z.

n -gt;. 00 .nbsp;n l

waarbij = co c, = ao Bv at B,nbsp;a, Bo

V

en = Y bn.

O

»quot; = 11 gt;lt; = 11

Dus Z Cn = S (öTo .. B,)=Ao Bn-{-Ai Bn-i-\\-
»lt; = 0 r = 0

nbsp;U,= Z an).

ennbsp;i

»- = 0 « 1 v = 0 m 1nbsp;o w -f- 1

Daarnbsp;als oo ennbsp;begrensd is, nadert

de le term van het tweede lid tot O, terwijl de laatste tot
A B nadert, wegens de convergentie van X ö„.

Een analoog geval treedt op bij de Fourierreeksen.

Door») Fejér is bewezen, dat als f{x) integreerbaar is
voor O ^ X ^ 2 TT, en in een rechtsche en linksclie
limiet heeft, de Fourierreeks steeds Gi sommeerbaar is lot
^Ulfixo 0) fixo -0)]. (Zie pg. 22 van dit proefschrift).
Dus ook hier wordt na invoering van het nieuwe sombegrip
een veel eenvoudiger overzicht verkregen.

Door Césaro is deze methode verder uitgebreid

Hij stelt ao -f .... or„ = = sf en verder \'voor Ie gt; 1

(n l\\ _

\' ,nbsp;\' »J /i. vuai eii j I = -^-i

quot; Mnbsp;\\ Ji } n\\ k\\

is de reeks 2 a„ bij definitie Ck sommeerbaar lot S.

\') L. FfijÉR. Untersuchungen übor die Fourierachen Reihen. Malh
Annalen. Bd 58, S. 51. 1903.

Door volledige inductie is gemakkelijk in te zien, dat

\'k\'
\\k)

We merken op dat alsnbsp;1, sL ^ = ^V De methode

k

komt dus neer op het vergelijken van de rij Sn met de rij 1, 1,...
Door Hölder is de eerste methode anders uitgebreid.
Deze methode komt neer op \'t volgende:

Stel ao ... an = Sn ennbsp;=

« 1

Nadertnbsp;dan is de reeks J/p sommeerbaar tot 5.

Het is gelukt aan te toonen, dat deze 2 laatste methoden
aequivalent zijn, zoodat uit de Ck sommeerbaarheid volgt de
lik sommeerbaarheid en omgekeerd.^)

Men kan bewijzen, dat een noodzakelijke voorwaarde voor

de Ck sommeerbaarheid is, O als n-y oo.\'\')

Hierdoor wordt dus het gebied, waarin de Ck methode lot

een som voert, begrensd, d.w.z. reeksen, waarvoor ^ niet tol

O nadert, zijn niet Ck sommeerbaar.

Veel moeilijker is de volgende vraag: Alle convergente
reeksen zijn C^ sommeerbaar, waar ligt nu in de verzame-
ling van alle Ck sommeerbare reeksen de scheidslijn tusschen
convergente en divergente reeksen? Door IlAnDYquot;¹) is bewezen,
dat, als I»(7n I lt; 7i (K\'^O), de reeks alleen dan sommeer-
baar is, als VfTii convergeert.

Een andere methode bestaat hierin, dat, als gegeven is
ZcTn, men opschrijft = S «n Is nu de convergentie-
straal van deze reeks ^ 1 en lim f[x) = s, als a; langs de
reëele as van O tot 1 nadert, dan noemen we S «n ^ som-
meerbaar tot «somquot; s. Door Abel i) is reeds bewezen, dat,
als Z cTn = 6-, dus convergeert, lim f (x) = lim S «n ic«^ = s,

zoodat deze methode voor convergente reeksen de som
volgens de oude definitie geeft. Toegepast op de reeks
1 — 1 1--h----geeft deze methode als „somquot; V2.

Alle reeksen, die Ck sommeerbaar zijn, zijn ook A som-
meerbaar. 2) Het is niet moeilijk reeksen te maken, die wél
A sommeerbaar, maar voor geen enkele waarde van Jc som-
meerbaar Ck zijn.

1

Een voorbeeld levert hier de functie f{x}=e^ \'\'

J i = 1 j__1 inbsp;i__1__i

Nu is voor |a;|lt;l,nbsp;r= 1 _ ....

(_ l)n Xnbsp; . . . .

n\\

We mogen nu schrijven

f{x) = S an voor | a; | lt; 1.

met «„ = {- D- Vnbsp;

p = inbsp;n\\p\\nbsp;\'

Nu is

n\\p\\

= quot; ~ 11\'. _ (quot; 1)... (n p- 1) „p -1
{p-\\)\\n\\p\\nbsp;p\\{p-\\)\\ \'

Zij nu P vast, dannbsp;00, als «-gt;«); dit geldt

voor iedere p, dus de reeks is voor geen enkele waarde van
p, Cp sommeerbaar, echter is ze wel A sommeerbaar tot e^.

Men kan verder bewijzen, dat alsanlt;-, cgt;0, voorn^l

tx

00

en f{x)— S «n convergeert voor | |lt; 1, terwijl f{x) s,

n = 0

als X langs de reëele as van O 1 nadert, ook S «n = s, zoodat
de reeks alleen dan A sommeerbaar is, als ze convergeert.
Het bewijs van deze stelling is zeer ingewikkeld.

(Zie E. Landau. Darstellung und Begründing einiger neuerer
Ergebnisse der Funktionentheorie, pg. 45—5G).

We bespreken verder een sommatie methode ingevoerd
door Borel. \') Bij de vorige sommatiemethode hebben we
opgeschreven

=nbsp;voor|a;|lt; 1. Alsao ... «n = 5n, n = 0,l....

Nu kan f{x) ook geschreven worden als:

00

X Än

rw=V -

O

Bij die methode wordt dus de reeks Ssn.^quot; vergeleken
met de reeksnbsp;Bohel vergelijkt nu de reeksen

Z Sn ^ en X ^ en hij noemt een reeks sommeerbaar tot

som s als e~ * —r s, voor x-t\' co.
n\\

Nemen we weer als voorbeeld de reeks 1 — 1 H.......

Hier is si „ 1 = O en sj n = 1, (« = O, 1 ....), zoodat

Vnbsp;1 4_nbsp;— f \'T\'

-----quot;2

Dus lim

x-^oonbsp;-i

Voor de reeks I—2 3 — 4H______wordt

«0=1, si= — 1, S2n = («-1- 1), 1 = — (n 1),
__ « = 0,1,2....

\') E. Bouei.. Lccons sur los sérios divorgcntcs.

X , X^ ^ , ^nbsp;„ ^ 1

Daar deze reeks absoluut convergeert, mogen we de som
gelijk stellen aan

(lt;2.x ^X^

O Inbsp;r Inbsp;• • •

5!

1! \' 3!

/

X

_2 (g^ e-^) ^ (e\' — g-\') — (g^ — gquot;^) —

gx _ 2 A; e- ^ 3 e- ■

Dus lim 6

Ook deze sommaliemethode voldoet aan de voorwaarde,
dat ze, toegepast op een convergente reeks, de som van die
reeks als uitkomst geeft.

Is nl. 2cfn = s, dan kan bij gegeven £gt;0, iV zóó bepaald
worden, dat | Sn — s |lt; e, voor n ^ N.

Dan is

o? a;quot;

nbsp;r lt;C2£, voor ^ voldoend

O «1

groot.

Tijn twee reeksen E quot;n en S hn sommeerbaar tot A en B,
dan is ook oc^an-\\- (3\'Z bn sommeerbaar tot a A-\\- (S B.

Hierbij \'moet nog opgemerkt worden, dat uit de sommeer-
baarheid van de rij so, si, sz---- niet volgt die van de rij

Sj,

Hiervan is door Hardy een eenvoudig voorbeeld gegeven.

Beschouw de rij so, si, «2.... die ontstaat uit:

00

sin (e*) =2 Sn —7
n = 0 n!

Daar sin -»- O, als oo, is so, si... sommeerbaar tot 0.

DifTerentieeren we bovenstaande vergelijking, dan komt er:

00

cos (e^) = E Sn —

Daar cos(e*) niet tot een limiet nadert, als A:-^oo,is de
rij si,s2.... niet sommeerbaar.

In dit proefschrift worden in hoofdstuk I en II twee nieuwe
sommatiemethoden besproken. In hoofdstuk III worden enkele
stellingen betreffende de sommeerbaarheid van de Fourierreeks
afgeleid, waarna in hoofdstuk IV uitvoerig wordt ingegaan
op de sommatiemethode, die door Hardy en Riesz is ingevoerd,
en die, vooral op het gebied van de Dirichlet\'sche reeksen,
belangrijke resultaten heeft gegeven.

HOOFDSTUK I.

§ 1. Bepaling Ó Sommeerbaarheid.

We zullen in \'t volgende een algemeene sommatie-methode
bespreken.

00 11^
Zij gegeven ƒ = S cin convergent voor | | lt; ] en
00nbsp;O

= Aa met de eigenschappen: cp (x) convergeert

O

voor |;v|lt;l, ^ngt;0, An i\'gt;An en —^^--gt;■ 1 als «-gt;oo

^n l

= 2 Bn -a;quot;, S I ^111 convergent.

0{x)

Maak nu op f{x) cp(x)=Z Sn convergent voor |lt; 1
met Sn = oo A «1 ^11-1 .....-f rtn J-o.

O

Als L voor n-gt;-co, dan is bij definitie S f^n som-
An

meerbaar cp tot „somquot; L.

§2: -^H-O, als n-»- 00 en als tevens sommeerbaar cp
Ai\\

is tot „Lquot;.

We mogen zonder aan de algemeenheid te kort te doen
L = l nemen.

Bewijs: ƒ = S «n = Z S S„ voor | ^ |lt; 1,

dan is an = Bo Sn Bi Sn —inbsp;Bn So

, «n Bo Sn .......-i-Bn So

dus --------;-.

Annbsp;An

Nu is gegeven -gt; 1, dus als 5n = (I en) An, dan kan bij
An

gegeven £ gt; O, A; zóó bepaald worden, dat | £„ |lt; f voor n ^ Jc.

an _Bo J.11 ---- Bn .^lo ■

An An
, .Bo ^n £ii -----j- J^n - k ^k fk ---- Bn Aq eo

De eerste term is O, omdat S An S Pn ^^ = 1 voor | |lt; 1.
De modulus van den term is kleiner dan:

J?n - k 1 Ak - 1 f k - 1 ---- Pn Aq £0

An

An

n-k

f Au 2.1 P»\'

v = 0

lt;-^--h BI \'Z \\Br\\lt;N£ voor n voldoend

Aunbsp;r=n—k l

groot, wegens Angt;An-i en S | Pn | convergent, il/ismax.
van I Ak -1 fk -11,. .., I Ao £o I; dus -gt;■ 0.

§ 3: Als Sc^n sommeerbaar cp is tot som L, dan

L, als 1.
Bewijs: We stellen L=l.nbsp;=

S

f{x)cp{x) = ZSoX\'\'\', er is gegeven, datnbsp;L

Nu is Sn = Au(l fn). Kies bij gegeven f gt; O, A: zóó,
dat I fn I lt; £, voor n ^ k.

n . , , , £0 Ao fIA1 ... ■ fk -1 Ak -1 -nbsp;a Ak . ■.^

Dus IS/• W=1 ----ä« ai ^ ..

Daar E An divergeert, kan 3 zoo gekozen worden, dat
2 A„;*;quot;gt;- voor xgt;l—è.

n = 0nbsp;f

De modulus van den 2en term is dus kleiner dan ilf^, ter-
wijl die van den Sc» altijd kleiner is dan £, waaruit volgt
datnbsp;1, als x-* l.

§ 4. Als 2on convergeert en A lot som heeft, dan is
0

sommeerbaar 0 tot „somquot; A.
Bewijs: Als =nbsp;met de voorwaarden

A„ igt;A„gt;0 ennbsp;i,als »-»-oo,

An 1

ï) Hieruit blijkt, dat uit do y Rommccrbaarhcid do A ßoramcerbaarheid
volgt.

dan moeten we bewijzen, dat

A .

-gt;■ Ä, als n-gt;- 00.nbsp;(1)

An

ÖO All -f-----J- an AQ

Nu isnbsp;,nbsp;—

An

flo (An — An - l) (Cfo «l) (An - 1 — An - 2) . • . («O . . . «n) Ao ^g)

An

n

We kunnen, als we S «p = A fn stellen, bij gegeven f gt; O,

k zóó bepalen, dat | sn | voor n ^ k.
(2) is dan gelijk aan

. {An — An-l) (An-1 — An-ï) ---- Ao

£0 (An - An-l) -{- fl (An-1 -An -2) . . . fn Ao

An

De eerste term is gelijk aan A; de modulus van den
tweeden term is kleiner dan:
£0 I (An — An-l) -----f I gk-1 I (An-k 1 — An-lc) , An - k

Znbsp;■ ^^^

Als ilf het maximum is van | fo |,....,] £ic - i ], dan is de
modulus van (3) kleiner dan

,,An — An — k Inbsp;/,gt;

M-3--h £nbsp;(4)

An

„ , . An-k An-k An-k 1 An-1 , . ,
Nu nadert —— = ——.-- - -.....—-— tot 1,

An ^n-k 1 ^n-k 2nbsp;An

als n-*- CO {k vast), dus voor voldoend groote n is (4) kleiner
dan Ks.

§ 5. Zij gegeven X^n is sommeerbaar lt;p tol ,somquot; 1 en
^ (;v) V «n gt; ^ gt; O, «n lt; M;

dan is Sßn sommeerbaar 0ip tot ,somquot; 1.

Bewijs: r(.r) = Z «n en (.v) = Z An A„ i gt; An gt;O
en I^K 1.

X{X) = 0 {x) = Z An x^ :ZccnX^ = :P,
met Dn = CCQ An-\\- OCiAa-i-\\- OiiAn-iOinA^

Uit de voorwaardennbsp;en y, An divergent volgt,

dat ook \'Z.JDn divergent is.

/ {x) % W = S «nnbsp;(«O Zgt;n «1 igt;n -1 . • . Do)

Er moet nu bewezen worden, dat

aoZgt;n aiZ)n i nbsp;als x (1)

JJa

terwijl gegeven is, dat

ffo J-n ff 1 ^n -1 -----]- (IgAo ^ ^

yin

ofnbsp; nbsp; ----4quot; CTn = (I £n) An.

Geef £ gt; O en kies 1c zóó, dat voor n ^ ä;, | fk | lt;
(1) kan nu als volgt geschreven worden:

aoAn CCiAn-l C(2 An-\'2 - . • OCn AQ

^ «O (ao An 4- • ■ • quot;n Aq) «1 (ffo J.n - 1 . ■ ■ Cfn - 1 Ao) . ■ . «n («0 Ap) _
«O An «1 An— 1 «2 An -2 . . . «n Ao

_«o(l £n) An a:i (1 £n-l) An-1 . . ■ «n (1 £o) Ap _
ÄO An lt;Xl An-1 «2 An-2 . . . quot;1- «n Ap

/in£n ^lAn-lfn-l .. gt;-^n-ltA|{£k «n-k lAk-lgk-l .. a:nAofp_ ^ ^^^^^

«0 An «1 An- 1 . . . «n Ap
«p An . —kAk

il/n

lt;nbsp;- f- voor n voldoend groot,

ao An Ap

wegens «n lt; M en Ai cc; dus | Mnnbsp;\\)s.

De vorm (1) nadert dus tot 1, als n-^ co
Opmerking: De voorwaarde ocnlt;M kan vervangen worden

door de ruimere voorwaarde ————--► O,\') als «-gt;• oo.

ap -f- • . . -f- «n

\') Dczo voorwnnrdo is vanzelf vervuld, nis omtrent (J- dezelfde ondcr-
Plellingen gemaakt worden als in § 1 omtrent v. Want bij gegeven
e gt; O is n.. gt; (1 —«)«,, ! voor vgt;^k, derhalve

We kunnen dan bij gegeven k en s, k\' zoo bepalen dat
«C s voor n ^ k\', terwijl we n zoo groot

ocd... CCw
kunnen kiezen, dat n — A; -j- 1 ^ A;\'.
Dan is:

Xq A-a . .-}-Xn—kAu

Mn

° I ^ Xo An Xa Ao
|£k-l|A.k-lnbsp;Xn-k l_

«n - k -h 2

Aq «O • • . ^aJn-k a
wegens An !gt; An — i O en (Xn gt; 0.

Ao ao -f- . . . «n
\\Mn\\^e Ke = iK 1)£.
De vorm (1) nadert ook nu tot 1.

§ 6. De Ck sommeerbaarlieid is een bijzonder geval van de (p
sommeerbaarheid.

Nemsn ,ye lt;p W =nbsp; «\'j ^M . |lt; 1.

00

en = 2 «n dan is =

Onbsp;An

dan nadert dus ook het rechterlid tot die

limiet, en dit is juist de voorwaarde, waaraan de reeks

00

2 ön moet voldoen, opdat ze Ck sommeerbaar is. (Zie pg. 4 en 5).

§ 7. Als gegeven is =nbsp;en =

convergent voor

en 0 =nbsp;% = 2 met de voorwaarden

. I I .nbsp;O, als n co,i) Angt;yin-igt;0, 1,2 ...
Ao quot;T • • •T\'-^ln

„ I I „nbsp;O, als n co,\') Ungt;i^n-1gt;0, 1,2...
Ho ...-f- lgt;a

\') Aan deze voorwaarden wordt voldaan, als

An ^ Bn , ,„.

-gt;■ 1 en —^--gt; 1. (Zie noot vorige pag.;.

i^n 1

f is sommeerbaar (p tot F en ff is sommeerbaar % tot G,
dan is fff sommeerbaar (p z tot „somquot; FG.

Bewijs: Stel ƒ 0 = S Sn en ff X =
dan is gegeven, dat

Sanbsp;Tn „

F en G,
Aanbsp;xJn

terwijl bewezen moet worden, dat

-^FG, (1)

Ao Bn AlBn-l nbsp;AnBo

want de teller is gelijk aan den coëfficiënt van xquot; in fff Cp
Nu is -Sn = FAn (1 4 ^n) CU Tn = GBn{l Su)

Sn O, en -gt;• O, als n-*- co
Dus is (1) gelijk aan:
.-\'Io Ba quot;h Al Bn — 1 . . . /lo /^n , £n Ao i?n ---- fo An /?0

~ AoBn ...............AnBo AoBn A„Bo

. £n Aq Ba Ol fn- 1 /^n - 1 \'lquot; • • ■ ^n gP ^in Bp

AoBa-\\- ................... yin Po

We bewijzen nu, dat de 2c term -gt;• O, als ?ioo, dan volgt
uit symmetrieredenen, dat ook de 3° term -gt;■ 0.
Bij gegeven ^ gt; O kiezen we nu fc en k\' zóó,

flat I ^k |lt; ^ voor n ^ k ennbsp;lt; ^ voor n gt; k\'

^0 yto Jin . .-h^lc-l^\'llc-lJin-k l
AoB„ ........ Aa Bo

We kiezen n zóó groot, dat ook n — k-\\-\\ gt;/c\'. Dan is:

Ba ... Bo

, I - 1 I ^lk-1 i^n - k 1__gt; V

Ao Ba-k 1 ... Bo\'^ \'

zoodat I 2c term | lt; M l

De modulus van den term is kleiner dan:

[jojll I Aq__Pu__, , I ^k-1 fn-k 1 I Ak-l Bn-k 1

1 5 Mnbsp;.... Ag Bo

nbsp;\'\'AoB\'a-f.... AnBo\'

waar N de bovenste grens is van | ej, |, p = 1,2,.,.

Voor voldoend groote waarde van 11 is deze vorm dus
kleiner dan M^. Hieruit volgt, dat (1) nadert tot F G.

§ 8. Als Sffn sommeerbaar cp isnbsp;(1)

en 4) = 2 An met de voorwaarden An gt; An-igt; O

n=l,2... en =nbsp;(2)
vn een getallenrij met de eigenschappen

An Vn O, als n-^ co ennbsp;(3)

ZAn\\vnJBo-{- Vn iBi-h \\ convcrgent,nbsp;(4)

terwijl ook S « I Pn | convergent is,nbsp;(5)
dan is S «n Vu convergent en heeft tot som

ESn(VnBo-\\-Vn iBl -r ....),nbsp;(6)

waar /Sn = «n Ao -----j- aoAn.

Bewijs: In § 2 pg. 10 hebben we reeds gevonden, dat
an = BoSn-h Bi Sn-l BnSo.

Nu is:

CTO J^O ... ön ï^ii = (Bo So) Vo (ÖO Si J?1 So) ...
-f (Bo Sn .. Bn So) Vn = So (yo Bo-\\-vi BiVn Bn)
Si {vi Bo...Vn Bn-i) ... Sn (f.i Bo) (7)

Nu convergeert de reeks (4), dus bij gegeven £gt;0, kan
Ni zoo bepaald worden, dat
Ni P

2 An I fn i?o ... I lt; voor iedere ^ 1.

N,

° lt; 31, voor iedere waarde van n; (8)

Maar uit (I) volgt, dat
dus is

Ni p

2 I Sn I I tJn /^o . •. I lt; ^^ f voor iedere ^ 1,

Ni

zoodat dus ook dc reeks (G) convergeert.

Daar An Vn O, kunnen we N^ zóó kiezen, dat

I AnVnKf, voor

AlsIAnt)n| lt;£,dan is ook | AtVn|lt;f, voor k^n wegens (1)

Neem nu .V gt; Ni en iVgt; iS^a, dan vinden we, met behulp
van (7)

CD

^ SniVn Bo Vn i Bi ----) — E «n t^n =

Onbsp;O

...) . . .)

We zullen bewijzen, dat de modulus van dit verschil kleiner
is dan een constant aantal malen s.

Volgens (8) is | Sn | lt;il/J.n voor iedere n.

Dus I verschil |lt; il/s id I ^N J •••)

wegens 1 v^ pl lt;P^^ klt;N

1 verschil\\lt;M e[\\Bi\\-\\-B2\\ • ■.

i^l1 1) I I 1) I 21 • • •]

lt;M£y,n\\Bn\\-\\- M£ = ]{£.

O

Dus Sr^^nbsp;4- inbsp;als iV-^oo.

HOOFDSTUK H.

§ 9. Bepaling sommccrbaarhcid («kn).

Zij gegeven de reeks ci C2 Ca • • •nbsp;(1)

en een dubbelrij met de volgende eigenschappen
1quot;.nbsp;ngt;0

2°. «k n ^ «k 1,„, ^ — y, V 1 ..., V onafhankelijk van n.

^knquot;*quot; O, voor k-^ cc voor iedere vaste n.
4°. «kn-»- 1, voor n-^ cc voor iedere vaste k.
We noemen de reeks ci ca ... sommeerbaar («tn)»

als ............(2)

voor iedere n convergeert en de som Sn van deze reeks voor
w-gt;-Go een limiet S heeft. S noemen we de »somquot; van de
reeks (1).

§ 10. Als nbsp;convergeert en tot som S heeft,

dan is de reeks ook sommeerbaar tot som S.
Bewijs: Zij £gt;0, kies k zóó, dat

2 nbsp;1,2,3...

De reeks (2), § 9 convergeert. Immers

Uk l.n^k-f 1 • = l Ci inbsp;—J 4-

(Ck i C^ i) K 2.n - \'^k S.n) • • •

(^k 1 • • • nbsp;K V-l.n — «k v.n) -f

lt;k llK l.n-«k 2.n) k l ^^k 2lK 2,n —\'^k 3.n) •••
I ^k 1 • • • ^k J^k v.n nbsp;voor iedere v,

omdat ak.n = «k i,n-

Dus = , Cj „ Cj ... Ck ö £ M, I Ö |lt; 1.
Dit geldt voor iedere n, dus:

lim = c, Cj ... Cj, ö £ ilf

Hiermede is het gevraagde bewezen.

§ 11. Als (1) sommeerbaar («^.J is tot „somquot; S, dan is
C2 C3 ____som meerbaarnbsp;tot S — ci.

Bewijs:

00 00 00 \'
= — Cl; dus lim S^\' = S — ci.

n-t-co

Op dezelfde manier kunnen we bewijzen, dat

Cp 1 Cp 2 ----sommeerbaar is («k p, n) tot

-S — (ci C2 -f-... Cp),
waarin p vast is en ^1.

§ 12. Als (1) sommeerbaar (a^J is tot som 5, dan is

Co Cl C2 ____sommeerbaarnbsp;tot co S, (A; ^ 1)

conbsp;co

Bewijs: Sn\' = S «k - l.n \'^k - l = -^O.. ^o S «kn «^k =
k=l k=l

= «On \'\'o 5.1

lim Sn\' = C0-h S.

n-fOO

§ 13. Toepassing op enkele voorheelden.

Zij gegeven de reeks:

1-1 1-1 .... (1)

Neem „ = —^r ; «k n voldoet aan de gestelde voor-

waarden. De reeks (1) is nu (a^J sommeerbaar tot V», want

9 - »nbsp;I \'\' _ J-nbsp;(O)

Do reeks (2) convergeert voor iedere waarde van n. Immers
de reeks is oscilleerend en de termen naderen monotoon tot 0.

We zullen nu bewijzen, dat lim Sn = V2. Daartoe schrijven
we Sn als volgt: quot;

O _nbsp;^^___I__n___L

dus

« j__,nbsp;^ O ^_1nbsp;I

nbsp; — lt;Snlt; 7—-7—rr» 1 6X2 • • •

(« 2)2 ^ (n 4)^ ^ •\' • • ^ quot;quot; ^ (n 1)^ \' (n 3)^
en dan is zeker:

03nbsp;00

2nbsp;J^of

n 2nbsp;n—1nbsp;\'

waaruit direct volgt lim ;5n = Va-

n-gt;oo

Dezelfde limiet vinden we ook, als we stellen

en «kn = O, als m ^ A; 1, ^ = 1, 2----

Ook nu is weer «tn =\'^k i.n quot;^tnquot;^nbsp;n-^ 00

«k n O, als /c 00

De reeks convergeert weer voor iedere waarde van n.
Neem eerst n = dan is

_lcfl-lg2-\\-lg3 - ... (y(2p-1)
igi^P i)

Nu isnbsp;_

_ (2?j)l2p _ ]
—nbsp;22pnbsp;K ^

{p\\ cv ;jP e-P 1/2 Tp).
waaruit volgt, dat lim S,^

p- -00 \'

Verder is 9 - ^^^^ _nbsp;quot; t) - (2 P - 2) ..1

verder is 1 - (2^ 4-2)nbsp;

De eerste lerm nadert tot 1, de 2« lot V2, als Gc,dus
ooknbsp;limSg

P^co ^^

§ 14. Het is verder gemakkelijk in te zien, dat alle reeksen
die A sommeerbaar zijn, (en dan zeker ook alle Ck sommeer-
baar) ook (iSjjj^J sommeerbaar zijn.

Zij Cl C2Cs-{-____ een reeks, die A sommeerbaar is,

d. w. z, S CuX^ convergeert voornbsp;terwijl de door

de reeks voorgestelde functie f[x) tot een limiet nadert, als
langs de reëele as tot 1 nadert.

Neem nunbsp;(1 — ; «kn voldoet aan de gestelde

11

voorwaarden.

00nbsp;/ i\\k

Dan is S c. 1 — -

1nbsp;\\ n\'

Daar ƒ1--
\\

tot dezelfde limiet.

HOOFDSTUK III.

§ 15. De Fourier reeks.

Zooals reeds in de inleiding medegedeeld is, is door Fejér
bewezen, dat de Fourierreeks van een integreerbare functie,
die de eigenschap heeft, dat in een punt ^o van \'t interval
O — 2 f{Xo 0) en f{xQ — 0) bestaan, steeds sommeerbaar
C, is tot V2[/\'(\'\'^o 0) /-(^o —0)] = 5. (zie pg. 4).
Het bewijs kan als volgt gegeven worden:
oc

Zij: V2 Oo 2 («n cos « in sin .^o) de Fourier reeks

n = l

voor het punt Xo,

p = n

en Sa {xo) — V2 öo E (ffp cos px^-^h^ sin p Xq),
p = i

n

dan is Sn (^0) = - \'A [/-(^o 2 /-(ato - 2 0]nbsp;n=0,I,2,..

^ ^nbsp;Sin t

Nu moet bewezen worden, dat

--gt; s, als n-^ 00.

nnbsp;\'

So Si ... Sn-l

11

= t f V. 2 O - 2 lt;)] gLn\' 3in3i ... sin(2n-l)j

quot; ^nbsp;sm t

Nu is sin lt; sin 3 lt; .. sin (2 7ï — 1) lt; = [sin^^ (sin^ 2lt; — sin®0 ...

Sin t

sinquot; nt — sin^ (» - 1) = ^^^^^

sm t

nnbsp;* öJH

„ , . /quot;quot;äsin^ nt j, TTnbsp;,

Verder is | . dt = n-, want
} sm^tnbsp;2

sin^ nt _ (quot;ï /sin t , sir

J sinUnbsp;l^sin^\'^si

nnbsp;ft \\

sin (2 n — 1) Anbsp;tt
---— ^ dt = n

sin t

Dus

_
n

= — f\' I[fi^o 20 f{xo - 2 t)]-s ! ^

ilTT Jnbsp;SI

Het rechterlid nadert tot O, als n-^co.
Want stellen we [fixo 2 lt;) ƒ (^o — 2 lt;)] - s = 0 (lt;),
dan nadert lt;p(t) tot O, als i-^0.

We kunnen dus bij gegeven £gt;0, zóó kiezen, dat

I 0 (lt;) |lt; £ voornbsp;en | 0 (f) |lt; il/ voor ^ ^ lt; ^ |

So 5\'i ... -S\'„-i

. 2 il/\' .nbsp;M\'

= £ H--lt; 2 £ voor n gt;-

« Tnbsp;?r e

§ 16. We kunnen de vorige stelling als volgt uitbreiden.
Zij «1,.., «iii. • een rij positieve, monotoon afnemende
getallen, zoodanig dat ^ccn divergeert; dan nadert

cco So (Xo)CCn Sn jXo) ^^^ ^^ _nbsp;o) f{Xo - 0)]

«O ..... «n

So ..■ «1x80 =

,nbsp;„J V/«osin/ ... ansin(2»H-1)lt; ,

r{xo 2t)-i-rixo-2t) X----------------— ------

Hieruit volgt:

n

2 , sin ^ ---- «D sin (2 n \\)t ^^

sin t

«0 So • • • «n lt;5nnbsp;I

_ ^ \' ^_

«0 . . . «nnbsp;«O ■ ____ «n

waarbij 0 (t) = \'/2 [ƒ (^o 2 /quot;(^o - 2 0] - s,
immers:

TT J^nbsp;sm ^

jgnbsp; sin (2 n-\\-\\)t _

sin t

_ oio sin\'\' t (sin^ 2 t — sin^ Q -f . ■ • »xn (sin^ (n 1) lt; — sin^ nt)

sin^ t

sin^^

De teller is gt;0, wegens «kgt;ak igt;0.
Kies nu è bij gegeven e gt; O zóó, dat | 0 (lt;) |lt; f voor O^t^S.

Verder is | (p W |lt; 31 voor S^t^^.

Dan is:

OCo So . . . CCn Sn

f^ (cco - cci) sin^ lt; (ccn-i-ccn) sin^ nt «n sin\'-\' (n 1) lt; ,

lt;

Oio nbsp;Xn

ó (t) Inbsp; nbsp; l)t ,,

ttJnbsp;__Sin\'-\'^nbsp;\'\'\'

d -------------

«O . . . ^fn

1nbsp; nbsp;— ^2) ... nUn-l-^n) (n n«n

«O . . . -j- «n

nbsp;- ^i) -\\-(oc,—cc2) ...-\\-iccn-i — CCn) «„

T sin^ ^nbsp;_ ^ ^^

_ ^ocd-\\r ai...ocn , 2 M__oconbsp;^^ ^

^ «0 . . . «nnbsp;JT sin^ ^ «0 • • . -f- «n

voor n voldoend groot, wegens S^n divergent.

§ 17. Als «0, «1,.. . een rij positieve, monotoon toenemende
getallen voorstelt, dan nadert

cKnSo ... ccoSn ^^ ^^J^gnbsp;O, als n 00

«O • • • «Qnbsp;«0 i- . . . i- «n

Bewijs:

j_«n /Sq -f • • • »a^O Sn _ g _

«O • • • «n

n

2 r^ ,. «nsin^-j----- «0 sin (2 n 1)^ ^^^

ttJ sin ^
__o___________

«O • • . «n

n

^^^^-(lt;.o ... «n)sin^^

I 7 I lt; ^ ^ ^ («n — «n-l) 2 joCg-l — CCn-i) nbsp;11 {xi — aSp) (» l)a:o

— TT \'2nbsp;«O . • ■ «n

, 2 il/ («n — lt;a:n-l) («n-l — OCn-i) . . . (j^l — lt;Xo) \'Xp

t: sin^ 5nbsp;«o • • •

wegens iZk-f i gt; «t.

, ^ 1 ^ ^ «n 4- . • . ■ 2iUnbsp;^n ^ O ,

\' \' — «O . . . «n TT sin^ ^ «*o • • •

voor n voldoend groot.

§ 18. Als «O, «1,..- een rij posilieve getallen voorstelt,
waarvoor geldt, dat IS I «n-t — «n | convergeert en lim «n gt;0
en eindig, \') dan nadert

«0 So . . . «n Sn . .nbsp;a„ So 4- . . . «O

quot; ---------,------tot s en eveneens-1-,-tots.

«0 • • • «nnbsp;«0 . . . -h «n

\') lim an eindig, volgt uit: an ^ | «n — «n - l | ... | a, — a^ | o,

Bewijs:
OCqSoA- . . . Xn Sn

«0 . . . Än

_2 n , ■ «O sin ^ .. ■ aj, sin (2 n \\)t
\'~7rJnbsp;(xo-h . .. xn) sint

(xq —xi) sin® t -j- . . . -j- (xn -1 — xn) sin^ nt «n sin® (n 1) ^

(«0 . •. \'^n) sin® t

\\xo—Xi \\ .. n\\xn-{ — Xa\\ (»1 ] )«„

Xo . . . Xa

«0 — «1 I H- I — «2 I . . . I «n - 1 -Xn\\-\\-

«O . . . «n

Hier hebben (p {t), s, ^ en M dezeUde beteekenis als in § 16.
Daar «n tot een positieve eindige limiet x nadert, is

«O . . . «n-

X, zoodat dus voor voldoend groote n
«0 . . . «n gt; V2 « (quot; 1).

g \\ iXg — Xi \\ . , n \\ Xn - i — x„ \\ [n -{- \\) Xq

I 4 I «O — I I «1 — ^2 I . . . I lt;Xn- 1 — Än I «n

;r sin® ^

2£

^ — I I «O — «I I . . . 4- Un - 1 — «n I «n (

X

4 M I «0 — «1 I I «1 - «2 I . . ■ I «n - 1 — flTn I flin

quot;^Tsin®5nbsp;«(n 1)

Daar E I «n - 1 — «n I convergeert en lim «n = «, is voor
voldoend groote n bovenstaande vorm kleiner dan Ks.

,, «n So . . . «0 Sn

b) --T---T---s =

«0 . . . «n

[xn — xn-\\) sin® t{xi — Xq) siu® nt xg sin® (n 4- O ^ ^^
(äo ... Xd) sin® t

, 1 e TT I «n — iXn — 1 I . . . n I — lt;a:o I (?t 1) «o

T 2nbsp;OCo -i- . . . Xa

, 2 31 I Xn — dn-i I • • . Ul — -aio I «O

TT sin^ Snbsp;Xq . . Xa

\\xn -«n - 1 I -f- . . . n Ui - «O I Qt 1) «O

«(«-r 1)

, 4 M \\xn — «n - 1 I ■ ■ • -4quot; I «1 — 1^:0 I 4- «0

quot;^s-sin^^nbsp;«(n l)

lt;C — H «n — «n - 1 I 4quot; . . . I «1 — «0 I «0 !

I 4 31 I «n — an - 1 I 4quot; • • • 4quot; I \'^ii — «O I 4- «O ^ jri
T ^nbsp;(n 4- 1)nbsp;^

voor n voldoend groot.

§ 19. Opmerkingen. Gaan we het bewijs, gegeven onder
a) nog eens na, dan zien we, dat de voorwaarden waaraan
de «n\'s moeien voldoen, opdat \'t gestelde o) juist is, aan-
merkelijk verruimd kunnen worden.

Immers, voor het bewijs is voldoende, dat

k = n

k\\x

k = l

S «k .nbsp;X «k

k=0 k=:0

k = n

g l «k-1 —«kl
en ---f) voor n voldoend groot.

k = 0

Dan is (1) pg. 2G kleiner dan Ks voor n voldoend groot.

Aan deze voorwaarden voldoet bijv. ^n = (« 4- l^, p ge-
heel en ^ 0.

Dan is

J___ _2 1_^_ ^

lt;jnbsp;O

^ /¥i ^ Mz »P -f ... M^ .

(Ml,..il/p 2, N onafhankelijk van «.)

j__

)pnbsp;^II. I i\\p

voor 71 voldoend groot.

§ 20. Voorbeelden: Uit § IG pg. 23 volgt, dat
^ ^nbsp;_j_ Sn 1

1 1 ....

als « 00

^ ^ ^nbsp;(Sn 4- 1

Of --^—J^^-— \'/2 S /• (^0 0) -F / (^0 - 0)!

Uit § 17 pg. 25 volgt, dat:

lg{n-\\- 1)!---^ \' / 0) f{Xo — 0) i

want /fquot;,. O, als n-t- cc
l(j{n!)

Eveneens \'^quot;t-Jfi^?\' 1 O, - O,,

(;) geheel ^0)
Uit de opmerking onder § 19 pg. 27 volgt, dat ook

nbsp;\\YSn

tot dezelfde limiet nadert.

l 2P ... (n l)P
♦

HOOFDSTUK IV.

De sommatiemethode van Hardy en Riesz.

§ 21. Bepaling. Zij gegeven de reeks ci -f- ... , en
een rij niet-negatieve getallen Ai, A2,. An, ..., met de voor-
waarden An igt;An, An-gt;-oo, als ?i-gt;-oo. Zij Verder li,l2,...
In,... een rij getallen, waarvoor geldt: ^n = « = 1, 2,...

Wij definieeren nu de 2 volgende functies:
C;. (r) = Zcn en C, W =

d. w. z. voor gegeven waarde van r, resp. t, moeten van de
reeks 2 Cn de eerste n termen genomen worden, waarbij n
bepaald wordt door de betrekking

An \'T ^ An 1, resp.
1. Cx (r) en C^ [t) zijn dus functies met een af-
telbaar aantal discontinuiteitspunten.

Stel nu 01 (o)) = V _ An)quot; c„ en Cf (ir) = 2 - Cn,

)cgt;0

terwijl Cj (cc) = Cx (w) en C® {w) = Ci (jt^).

Men noemt de reeks 2 Cn sommeerbaar (A y), resp. [l k) tol
„somquot; C, als

Cfnbsp;CT (jf) ^ ,

resj). ____ C, als w, resp. w co
u\'\'nbsp;wx

De vormen ^^ ^^^ en ^ noemt men typische gemid-
delden van de orde a, van de 1« en 2e soort.

§ 22. Voorstelling van (Tj (u) en Cf (w) door middel van
een bepaalde integraal.

Cj (o,) = (o, _ Alf Cl (o; - Asf C2 . . . f (o) - A„ Cn =
= Cl ! (« — Al)\'\' — (o; - x^f i (ci Co) i (c; — A2)\'\' - (o; — A3)\'\' i . ..
. . . (ci . . . Cn) (OJ — An)\'\' =

= Cl J\\cv -TfdT-j-(ci C2) z l^cv — rf-\'dr-l-...
(ci -h . . . . Cn) a (a - rf-\' dr =

fCxir) {cc-T)\'\'-\'dT = z fCiir) [CO-T)\'\'-\' dr

0

want Cx (r) = O, voor O ^ r ^ Ai.

ƒ0)

Cl (O (IV -t)quot;\'^ dt, want h = ^ 1.

1

§ 23. Bijzondere gevallen. Neemnbsp;en A„ = n. Dan is

1nbsp;P = n

Gx (co) = 2 (o) - p) Cp. Nemen we u = n, dan icomt er
p = i
n lt; co^n l

cl(n) = iyi~-p)ci^=Ci ... Cn-i,

^nbsp;waar Cp = ci ... q,

dusnbsp; nbsp;Cn-i

nnbsp;nnbsp;\'

waaruit volgt, dat de sommeerbaarheid («, 1) overeenkomt
met de Ci sommeerbaarheid, (zie pg. 3).
Voornbsp;en cd = an vinden we

1

Cx (AJ = z (An - Ap) Cp = (A2 - Al) Cl (A3 - A2) Ca . . . (An - An _ 1) Cn _ 1
• ^nnbsp;Al (A2 — Ai) . . . (An — An- 1)

De gedeeltelijke sommen Cp zijn hier van gewichten
voorzien.

(flioo)

§ 24. Definities: Als Aii=«, noemt men —_ een

arithmetisch gemiddelde;

is An = Ig n, dus L = n, dan noemt

(f, (cc) Cl itv)
men —- een -logarithmisch gemiddelde, - is dan

OJ«nbsp;toquot;

weer een arithmetisch gemiddelde.

§ 25. We toonen nu aan, dat de (A k) sommatiemethode,
toegepast op een convergente reeks met som A, eveneens A
tot som geeft.
Bewijs: Zij de gegeven reeks ai «2 «s ...
Dan is

0,-« ylj (c) z= cc-quot; K A;^ (r) {cc -nbsp;r.

O

Daar A = cc-\'\' x j A{w — r)\'^ ~ ^ d t, is
b

A _ cc-\'^A\'; (c) =nbsp;{t) | (« - r)\'\'quot;\' d r.

O

Nu kan bij gegeven egt;0, zoodanig bepaald worden,
dat —^lA(r)|lt;f voor r ^terwijl \\A — Ax{t)\\lt;^M
voor r ^ 0. Zij w gt; p, dan is

lA- cc-quot; A^(,cc)\\lt;cc-gt;\'znbsp;— (r) [ (w - rf quot; \' rf r-f

0

-l-fa;-\'\';^ j\'Uco - t)quot; \' \' d r lt; M j 1 _ - j f.

O

0)1 gt; P kan nu zóó bepaald worden, dat voor o ^ w,

-P

JU )

{ \\ cc

jA — cc-quot; A^ (w) |lt; 2 f, voor cc ^ cci.

§ 26. .Als sommeerbaar (A k) is tot som A en

^ha is sommeerbaar (A z) tot som B, dan is
S ipcta ±qfgt;a) sommeerbaar [Xa) tot som pA ± qB.

Bewijs:

Volgens \'t gegeven is

ƒ conbsp;_ .

Aji^ (t) (ci) — t)quot; d.T = A en

limnbsp;rBxir)nbsp;== B.

M-^OOnbsp;J

co-^ co

O

Hieruit volgt direct:
Wmio-\'^K r\\pAAr) ± g B^ ir) \\ (a — r)quot;-^ dr = p A ± q B

§ 27. Sommeerbaarheid (Ig n, 1).

00

Een reeks Scu is alleen dan sommeerbaar {Ign, 1) tot som

n = 1

C, als -^-J^^-C,nbsp;(1)

en omgekeerd, waar Cn = Ci ... c„.

Bewijs: We veronderstellen eerst, dat (1) gegeven is; we
moeten dan bewijzen, dat:

{a — lg\\)ci-{-{u—lg^)c2-\\r...-\\-{u — Ig n) Cn

u

en Ig n ^ Ig (n 1)
Nu kan liet te bewijzene (2) geschreven worden als:
{lg^-lgl)Ci-\\-{l!/^—lg^)C2 ... {cc-lgn)Cnc^Cagt; (3)

Uit (1) volgt: Ci l-C2 ....-{--Cn = {C en)lgn{4)

Jtnbsp;\'

Avaar bij gegeven e gt; O, k zóó bepaald kan worden, dal voor

« ^ A-, f £n I lt;

Uit (4) volgt:

-jjj C„ 1 = (C l) /^r (« -fl) - (C/ £n) =
11 \\

l\\

= Glg 1 H---h fn 1 (n 1) — fn Ign.

V /

Dus C„4i = (n l)C/5\'(n--Wfn i(« nbsp; nbsp;l)Zlt;7n.

\\

Nu is

\\n 2 n^j

en dus

Substitueeren we nu achtereenvolgens de 3 termen van (5)
voor alle waarden van p\'^n in \'t linkerlid van (3).
Substitutie van alle Cs in (3) geeft: Ccc.

Substitutie van alle G geeft:

Do modulus hiervan is kleiner dan

22 • • • ^i) = «

Substitutie van de laatste termen in (3) geeft:

{lg^-lg\\)Gi 2 {82 Ig\'i-ei lgi)ilgS-ig^)
3 (£8 ^^ 3 - £2 Ig 2) (/(/ 4 - 3) .. . -1- n 1 £n Ign — £„ _ i (n — 1) | (w - Ign)=

= O (w) - £2 2 I 3 (^lt;7 4 - ^flf 3) - 2 (/5f 3 - ^i/ 2) I - ....
• fn -1 (n — 1) [n (w - Ign) — (n — 1) 1 Ign — (« — 1) | ] n £n Ign {co — Ign).
De modulus van dezen vorm is kleiner dan:

n-l (nbsp;1 \\nbsp;/nbsp;1\\ )

^w |som(A;-2)termen| £ Z lgp]{p ^)lg 1 rqTT -P^^ ^ «

prak \\nbsp;\\ P \\ ^nbsp;\\ Pt

£ Ign, want:nbsp;(8)

— voor p ^ 1, immers
\\ Pj

( 1\\ \'
de afgeleide van fig 4- -j is Ig

voor p ^ 1.

, i _ \' gt;0,

v) p \\

Bovendien is nlgn (w — lg7}) lt; nlgn | Ig j lt; ^ = Ign.
Verder is 1)-}-nbsp;_ Z^r ij lt; (p 1) X

1

\\p-\\-l 2 (p 1)^ \' 3 (p 1)

— 1

De modulus van (8) is dus kleiner dan:

n-l J

£ w e\' w £ (« — 1) Z fquot; w lt; il/ f w.

p = k p

Uit (6), (7), (9) volgt dus, dat (3) Cw is.
Om omgekeerd te bewijzen, dat uit (3), (4) volgt, kunnen
we opmerken, dat (2) geldt voor alle w, die voldoen aan
Ig n lt;i u ^ Ig [711). We nemen nu o} = lg{n-]- 1);
dan kunnen we schrijven:
[Ig ^ - Ig l) Cl-h... {lg {71Ign) Cn = (C £„ ,) (n 1).

I fn |lt;! f voor 71 ^ k.
Dus (Ig (n 1) — Ign) C„ = ((7 1) /fif (n 1) - (C £„) lg7i.

r —r^ gquot; 1 (y 1) — Cn Ign
lg{n \\)-lgn \'

Substitutie van den Ion term van (10) in 4 geeft:
C V2 ••• - C. Dit is aequivalent met Clgn. (11)

De 2e term geeft:
£2 Ig 2 — f) Zff 1 j. e^lg 3
lg^-lg\\ quot; lg 3

1__

lg 2 - Ig 1

I , 1 £n 1 Iff (quot; -f 1) — fn Ign __
lg2nbsp;lg(n l)-lgn ~

1

i__j I en ilg{n {)

- l)-lgn{ n\\i......

De modulus van (12) is kleiner dan:

1

p = n — 1nbsp;/

\\ som {k — \\) termen \\s Ig [p i) ) - /

, lg{n l)

-r s—7-r\\

nlg 1 -

-p/^ll i^

iP 1) (l ^i) Pnbsp;X (P 1)

2

lt;

p p 1 r
p lp 2
Dus de modulus van (13) is kleiner dan:

n-l j

T p

Uit (11) en (14) volgt de juistheid van (4).

§ 28. Bepaling Dlrichlet\'sche reeksen.
Onder een Dirichlet\'sche reeks van het type wordt ver-
staan de reeks 2 «„equot;\'^quot;\', waarin s = ff \\- it de complexe

veranderlijke is en de A„\'s reêele getallen zijn, die voldoen
aan de voorwaarden ^ 1 gt; A„ gt; O, voor = 1, 2 ,.. en
cc, als, «-»-00.

Voor \\ = l9n, gaat de reeks over in een gewone Diri-
clilet\'sche reeks. Stellen we = dan gaat de reeks over

co

in de reeks X «n\'

§ 29. Als Xnbsp;sommeerbaar(i ic) is lot „somquot; f{s\\ dan is

\'nbsp;ra _

1: o„ l\'\'\' sommeerbaar (i;.«) tot „somquot; g (s) =/\'(s)—X a„ quot;
» 1

en X f^n —^ sommeerbaar (q. j:) lot »somquot;

™ \' K J

met = ^ en =

Bewijs: a) Stellen we ^ = dan is
gj •. • 1 • • sommeerbaar (l a) tot, somquot; /quot; (.s)
en Cj ... nbsp;sommeerbaar {I a) lot „somquot;

Cl ... c^, volgens § 25, pg. 31.
Volgens § 26, pg. 32 is dus
o nbsp; o nbsp;sommeerbaar {1 z) tot „somquot;

fis) - (c, .. . c„)

dus ook —^^--- -gt;■ ƒ (s) — S «„ L gt; als w^ co.

tv\'lt;nbsp;1

00 00

b) Daar 2 a^K^ ^n (P\'^) sommeerbaar is tot ^r (s),

m 1nbsp;m 1

nadert

1 1 (\'f - PiT ••• «„, n n (Jf -

ioigis);nbsp;

lOX

dus ook

I — s

1 1 1 Pi) - Pi\\quot; . . . n Cn 1 Pj)nbsp;P^l\'\' ^

i^v-i-prnbsp;quot;

als p^ lt; w nbsp; i en w-*cß

Nu is

quot;m 1 ]lO — ipi — Px)
tv\'\'

— 8

1 ^^ - (7^2 - P.) I\'\' nnbsp;h^-O\'n-Pl) r

m 1

tCX

tv pYa^ 1 ïm 1 I Pl) - Pi i\'\' • • • n C „ K\'f - ^^nl\'\'.

(tv p.r

Dit nadert tot , ^(s), als iv-*\' cc.

§ 30. Definitie sommeerbaarheid van een integraal.

00

Zij gegeven de integraal ƒ c {x) dx en een positieve continue,

monotoon toenemende functie A (?lt;), met de voorwaarden
A (m) -gt;-00 als M 00 en A (0) = 0.

Bij de definitie van sommeerbaarheid van reeksen is
Cx (r) = Cj ... waarbij n de grootste waarde van de
indices van de rij A^, A^... is, waarvoor nog geldt \\Kr\\

/D

c (x) dx, waarbij n de grootste

0

waarde van de veranderlijke is, waarvoor nog geldt A (?i) ^ r.
Verder definieeren we

(O
O

Nadert o)-quot; C^ (co) tot een limiet C, als a)-gt;-Go, dan is bij
definitie j c (x) dx sommeerbaar (A ;«) tot C.

O

Een analoge definitie kan voor (l le) sommeerbaarheid ge-
geven worden.

§ 31. Bepalingen en hulpstellingen.

Voordat we met de theorie voortgaan, zullen we eerst
eenige definities geven en enkele hulpstellingen bewijzen, die
voor het vervolg van belang zijn.

Onder [m] verslaan we het geheele positieve of negatieve
getal, dat voldoet aan de ongelijkheid:
[m] ^ m lt; [m] 1.

y

Onder £ƒ(«) verstaan we de som van alle waarden van

f{n) waarvoor x^n^y (« geheel).

pnbsp;q

Verder stellen we A [p) = S A (/) • (z) = ^

dus A ip .q) = A iq) -A{p-\\) en A (1 . p) = A ip),
waarbij deze notatie ook voor andere letters dan a gebruikt
zal worden. Ten slotte A a„ = a„ — ^ i-

Hulpstelling 1. Is g{or) een willekeurige functie van x,

qnbsp;v=:q-l

dan is S o^ g {v) = ^ A ip, y)Ag (y)-f A (p . q) g (q).
pnbsp;r = p

Deze stelling is eigenlijk niet anders dan een andere in-
kleeding van een bekend theorema van Abel.

Het bewijs is zeer eenvoudig,
q

Ea^ g(y) = apg(p) ap^^ g(p-j- 1) a^g (g) =

nbsp; =

Hulpstelling 2. Als s = s- i ^ en a- gt; O dan i

= \'ZA(p,y)Ag(,) A(p, q)g(q).

V = p

e quot; — e

Hidpstelling 3. Als f{x) een positieve integreerbare functie

van X is, J f{x) dx divergent en g [x) = o | f{x) j,
ü

dan is / g{x)dx = olf f (x) dx\\ of anders geschreven:

f\\ (r)dx = o( [\'fdx).
Onbsp;VA\' /

Bewijs: Zij de bovenste grens van -jr voor x^/c;

fjj -gt;■ O, als k-^ co.

Dan is

fffdx [gdx f s^fdx
ƒ fdx I fdx ƒ fdx

Onbsp;Önbsp;O

daar k willekeurig is.

Hulpstelling 4. Als fix) en (/(x) twee integreerbare functies
van X zijn en f{x) Ax^\\ g{x) to BxP, als ic -gt;■ go,
(«gt;—1, (Sgt;—1), dan is

kix)=ff{t)gix-t)dt^^AB

Bewijs: Stel f{x) = 1 a;« ^ [x) en g (x) — BxP^gy (x)-

dus fi (x) = O {xquot;quot;) en gi (x) = o
Substitueeren we deze vormen in de gegeven integraal, dan
kan deze geschreven worden als een som van vier Integralen.
Een er van is:

X

\\Axquot;\'B{x — tfdt. Stel t = nx, dan is deze integraal

O

gelijk aan:
ABx^\'-f^-\'^fu^H- vf du = AB
Een tweede integraal is bijv.

X

ff,{t)B{x-tfdt
\'o

Kies e gt; O en bepaal ..ri zóó, dat | A (O |lt; f voor t ^ Xi
en \\fi {/)|lt;il/ voor tlt;x,.
Dan is

ff,{t)B{x-tfdt\\^\\B\\\\p\\fi{f){x^-t)\'^ dt e ft^{x-tfdt
Onbsp;Lonbsp;X,

{x-tfdt-heOix\'\'

^IME^J ^-ix-^Xif-\'\' jnbsp; (1)

Nu is

X j

Dus (1) kan geschreven worden als:

nbsp;=nbsp;omdat « 1gt;0 en

dusnbsp;=

De beide andere integralen zijn eveneens van den vorm
Hulpstelling 5. Als j« gt; O, /agt;0, dan is

terwijl een analoge betrekking voornbsp;opgesteld kan

worden.

Bewijs: Cl it) = -^f Ci (r) {t - r)quot; quot; ^ d r, dus
b

= n^rlrn,!] -\'f -~\' ^^ (-) -

Het integratiegebied wordt gevormd door den driehoek met
zijden t = T, t = 0 en t = u.

We mogen de integratievolgorde omkeeren en krijgen dan:

Onbsp;r

Stellen we t — r = {u — r) u, waaruit volgt w — ^ = — r) (1 — w),
dan wordt bovenstaande integraal:

dt fa -

r(.)r(^) nbsp;dr-c \' («).

We kunnen dit bewijs ook geven, door uit te gaan van

de reeks voor (f), nml.
= .....

fel it) (co - tf -\'dt= f\'\\t - A ƒ (c - tf

K ^

ƒ (Onbsp;rw

Xn

c, (c - a/ C, (c - A/ nbsp;{c-xf

Hierbij is telkens in den integrand ^ — a^, = (co — A^,) u
gesteld.

liet eerste bewijs kan op volkomen dezelfde wijze voor
sonnneerbaarheid van integralen gegeven worden.

HulpsteUing 6. Als gt; O, lt; 1 en ix ^ dan is
^

Bewijs: ^^ = J, ^ quot; ~ \'nbsp;^n lt; ^ ^ .

0 dt lt;

ƒ«nbsp;ro)

(Ook hier is weer ^ — Ap = (w — Ap) m gesteld.)
Nemen we in \'t bijzonder fx = zlt;Cl, dan komt er

4 M = O, M = rï^lV^ fnbsp;- O- quot; =

^ stajif ƒ_ «

ZTT Onbsp;dt

Hulpstelling 7. Als c„ reëel is, O ^ ^ w en O J« ^ I,
dan is

Onbsp;O^t^f}

Is z = 1, dan komt er:
I A 0,) I = I ƒ\' C;. (O I = I C\\ I g Max I cl (t) I,

Onbsp;ü^t^j;

zoodat de stelling voor z = 1 bewezen is.

We kunnen dus nu je lt; 1 veronderstellen en dan voor
Cx (t) de formule uit de vorige stelling substitueeren. Dan is

\\nbsp;i dr

sjnj^ P d ^ ƒ % -tf-ht-r)-\'\'

TT quot;O dr

, met g (r) =nbsp;f\' (co - tf-^t - r)quot; dt.

z

isnbsp;=nbsp;

Tï ^
X

• /*0gt;
sinxTï f A« — 1 /.nbsp;,,
_ _/ (o) — O [t— r) dt.

TT

V

stellen we in de eerste integraal t — r = (w — r) dan
vinden we

, (,) =nbsp;[\\i _ uf-\'u-\'\'du - ^ Tic. - (^ - rr\'\'dt.

T *\'

V

Is nunbsp;dan is (i —0lt;;dlt;l,

waaruit volgt, dat g(r) een monotoon dalende functie van r
is. We kunnen dus de tweede middenwaarde stelling toe-
passen en vinden dan:

= 1(7(0)nbsp;ült;flt;gt;i

ofnbsp;iMax | Cj (O i.

Opm. Wordt de integraal niet over hel interval O — ij,
maar over het interval — gt;)\' (w ]gt; gt;)\' gt; tj) genomen, dan
kunnen we opschrijven:

n\'

rjnbsp;O

^ 2 Max I Cl (t) |.

§ 32. We leiden in deze § een resultaat af, dat veel
overeenkomst heeft met een analoge stelling betreffende de
sommeerbaarheid volgens Césaro. Is een reeks sommeerbaar
Cj^, dan is ze het ook G^.,, als k\' gt; k. Zoo geldt ook hier
de stelling:

Alsnbsp;sommeerbaar (a z) is tot som C, dan is zij het

ook tot som G, als k\'^z\'^O.

Bewijs: Uit het gegeven volgt, dat

fCO

Cxnbsp;dt = cc~\'\' C^xico)-^ C, alsciH-oo;

O

dusnbsp;Cj (w) .-V Co;\'\'. (1)

Stellen we nu z\' = k-{- fx, fx\'^0 en passen we Imlp-
stelling 5 toe, dan vinden we:

Volgens (1) en hulpstelling 4 is nu

r 1) Vil.) Sm. 4-1 ^ - 1 1]quot;

Opmerkingen:

1.nbsp;In \'t bijzonder is dus elke convergente reeks sommeer-
baar (a z) voor alle gt; 0.

2.nbsp;Ook deze stelling gaat zonder eenige verandering door
voor sommeerbaarheid van integralen.

3.nbsp;Een analoge stelling kan voor (Ik) sommeerbaarheid
worden afgeleid.

§ 33. Als Cl {co)= O (/ voor pgt; O, zgt;0, dan is

(co) = O quot;) voor iedere O O, ^gt;0.

Bewijs:

t-?quot;quot;M = r{: T)rf ^W- quot;quot;~\'

Uit \'1 gegeven volgt, dat | C] (() |lt; J//\'voor(gt;0.(il/gt;0)

voor u voldoend groot, waaruit het gevraagde volgt.

§ 34. Uit de (la) sommeerbaarheid volgt de (Kh) sommeer-
baarheid.

Als Z c^ sommeerbaar {I z) is tot ,somquot; C, (/„ = e^quot; ), dan
is deze ook sommeerbaar (a x) tot dezelfde som.

Bewijs:

We veronderstellen c„ reëel en (7=0. We doen hierbij
niet aan de algemeenheid te kort, omdat, wanneer complex
is, de stelling voor het reëele en imaginaire deel bewezen
kan worden en wanneer C O is, de eerste term veranderd
kan worden in c, — C. Deze reeks geeft dan gesommeerd O
lot som.

Daar quot;Ec^ila) sommeerbaar is, nadert

~ Cl (O (»f -nbsp;(ft tot o, als ff; 00. (1)

Cx (r) (o) - r)\'\'quot;^ (i r O, als agt; 00.nbsp;(2)

We stellen cc = lgio en r = lgf, dan is.

(ïquot;) = Gx [1g = Cj .. waarbij n bepaald wordt
door de ongelijkheidnbsp;of

Dus {r)=C,{t).

Voeren we de substitutie in (2) uit, dan gaat deze over in:

{Igtv)-

Nu moet bewezen worden, dat (3) nadert tot O, als jf-gt; oo,
dus, dat

f C^{f){lgw-lgtr-\' j = o{lgwr.nbsp;(4)

Stel eerst k geheel.

Uit OrW = |/\'-\'pf S ennbsp;volgt, dat

Gaan we nu (4), maal partieel integreeren, dan krijgen we:

{Igw-lgtf^^ i \' quot; ^ , d \\ [Igw-lgtf

ilgw—lgt)

t

Alle geïntegreerde termen zijn O, aan de grenzen 1 en w
behalve de laatste. Deze is echter van de orde 0 [IgwY.
Immers:

[Igtv-lgtf-\'

t

termen met [Igw —Igt) als factor.

■) Want C*quot; (1) = 0, omdat /, ^ 1 is.

Het geïntegreeide stuk wordt dus:
qquot; (w)

--J-= O (1) = O (Wquot; •nbsp;(6)

/C

De integraal, die overblijft, is op een constante factor na,
gelijk aan:

\\dt ( t

[IffW — Ifft)

Werken we [Iffw — Ifft)\'* ^ uit en voeren we daarna de
differentiaties uit, dan krijgt elke term den factor --j en

verder factoren Igw en Ifft, waarvan de som van de expo-
nenten ^ — 1 is; dus

(1)\' 1nbsp;1nbsp;2A,,.,, ((,„.)quot; m\', (8)

met V — l, fx\'^O, v\'^0

Bij substitutie van (8) in (7) splitst deze integraal zich in
een som van integralen. Een er van is:

(9)

Daar «)= o ftquot;), is C^ W \'^f, = » j M 1 .

t

00 ^

Omdat ƒ dt divergeert, is volgens hulpstelling 3,
1 \'

pg. 38, (9) gelijk aan:

^oilgwf. (10)

De modulus van (7) is dus kleiner dan £ {If/w)quot;, voor to vol-
doend groot, waarmee de stelling bewezen is voor % geheel.

Stel nu 0lt;zlt;i\\.

Uit § 32, pg. 44 volgt, dat de reeks E sommeerbaar {l, 1) is

tot „somquot; O, immers 1gt;k; dns tv (7,nbsp;als

We kunnen dan bij gegeven £gt;0,nbsp;zóó kiezen,

dat (0|lt;£^ voor t ^ w^ {w^ vast).
We nemen nu tv\'^^iv^; dan is (4) te schrijven als

w. ^
2

Daar tv^ vast is, is | (7, (f) | lt; K voor t ^ Dus:

K {Igw - Igw^fquot; dtlt;K tv, [Ujw - lgw,f quot;\' = o [IgivT,

^nbsp;wegens k — 1 0.

w

xc^

ioV — 1

tonbsp;toinbsp;

2

10

L \' dt\\ t

Jf — 1

ici

f- (i)

ƒ\'nbsp;i (Igw - Iglf - ^ - (1 _ {Igxo - Igtf - 2 I dt.

tVi

t\'

JA

— 1 1 1

£
— 2

«-1

{Igw — Igt)
t

Iflnbsp;tCi

— 1 I . I nnbsp;/Onbsp;— 1 I —

lt;Ms e O {Igwf - \' £ i o {IgwY o ((^m\')\'\' quot; M = o [Igu^^.

Passen we op de 3e integraal de middenwaarde stelling
toe, dan komt er:

73 = - ƒ C, (lt;) {Igw - Igtf ^ dt. ^lt;V2lt; tv.

Nu neemt —^^ monotoon af, als t monotoon toeneemt
w — t

,,, .nbsp;d Igw - Igt — - -

van 1 tot 10, immers -t- --7-=-----—7--^--

dt w — tnbsp;(w — ty

^^^ _ A

omdat Igio — lgt = lg 1

t

neemt monotoon toe, omdat z — 1 lt;0;

en lim

t-^w

\\ — t }nbsp;W — tnbsp;1

%0 — t _ (w — _1_-1

w I ^nbsp;• ^

lim -^^-^—L = —i

« -gt;■ wnbsp;W — tnbsp;W^-

dt =

w J 1nbsp;\\ w — t /

tc
s

f\'c,(()(w-tr-\'^dt. (\'Ilt;V1lt;V2lt;W.]

W\\W - Va /nbsp;inbsp;\\ ^nbsp;/

ƒ (lo-tr

Volgens de opmerking bij hulpstelling 7, pg. 43,

is nunbsp;1 I g 2 \'\' - Max | Cquot; (t) \\ .

Omdat C^ {t) = o is dus voor voldoend groote w

Ihl^-iv-quot; O {w\'\') = O {Igwr.
Hiermee is dus de stelling ook voor O lt;lt; 1 bewezen.
§ 35. Bijzondere gevallen.

Nemen we = dan is x^ = lgn; we kunnen dan de
vorige stelling als volgt formuleeren:
Als

een reeks sommeerbaar is met behulp van arithmetische
gemiddelden, dan is ze het ook met behulp van logarithmische
(zie pg. 31).

We zien dus, dat de sommatiemethode met behulp van
logarithmische gemiddelden die met de arithmetische omvat.
Evenzoo volgt uit de (Ign.x) sommeerbaarheid de {Iglgn.z)
sommeerbaarheid. We kunnen algemeen zeggen, dat als
een logarithmische functie van n is, de sommatiemethode des
te omvangrijker wordt, naarmate A„ minder snel toeneemt.

oo

§ 36. Alsnbsp;sommeerbaar {kk) is tot „somquot; C en

1

A

\'n quot;f* 1nbsp;^^

— gt;wj gt;l, dan is Sc^ convergent met som C.

nnbsp;1

Bewijs: Uit § 32, pg. 44 volgt, dat het voldoende is, z
geheel te nemen.

Uit het gegeven volgt, dat

= S , Cp(a.-A )\'\' = (? O,quot;-1-0(0,quot;). (1)
lt; « ^ 1

We verdeelen het interval A„, in z gelijke deelen l

en substitueeren voor oj in (1) opvolgend A^, A^ .A^ z l,
waar nl-K i — K-

We krijgen zoodoende a 1 vergelijkingen. Van de 1)
getallen, die onder elkaar komen te staan, maken we het
J4® verschil op.

Nu is \'t ji® verschil van de rij

nbsp;.....V-^I-K^Y

gelijk aan z! c^

Verder is o (a„-r i^ly = /nbsp;^ x)

en O (a„ ly — O (a„ if = O (a„ ^ i)\'\'. en [z^ lt; k.

Maken we dus het ji® verschil van deze (j« 1) vergelijkingen
op, dan krijgen we:

dus Sc =0 quot; \'

1 P

\' An l V /

Daar --------.r- = o

nadert Èc^-^ C, als n-* cc.

Opm. Aan deze voorwaarde voldoet bijv. A„ = equot;.

Als dus een reeks sommeerbaar (equot;, k) is, dan is ze con-
vergent en een niet-convergente reeks is dus ook niet-som-
meerbaar (equot;, a).

§ 37. We leiden nu een theorema betreffende de {I k)
sommeerbaarheid af.

conbsp;— ^n *

Als (ï„ sommeerbaar {I k) is, dan is S «„ e =
= 2 «n \'n sommeerbaar {I k) voor | arg s | ^ a lt; tot

±/J f Aquot; (1)1-\'-quot;-\'^ dt, behalve voor s = o.
1 (« 1) 1 {s)J^ 1

Bewijs: Als =nbsp;is, dan is:

i^r =ZA(p)Al/;quot;(tv-i^r!

-W

A in) - ly = -jnbsp;Uo - tr IdL (1)

1nbsp;(t Cnbsp;\'

(Zie hulpstelling 1, pg. 38).
We stellen geheel en Z a^ sommeerbaar (/%) tot 0; dan

is Al iw) = O {w%

We gaan (1) jd maal partieel integreeren. Alle geïntegreerde
termen op één na zijn O, wegens ^ 1. O
De overblijvende is

^rnbsp;\' = ö gelijkmatig voor | arg .s | ^ «lt;|-

Vermenigvuldigen we de integraal, die overblijft met

lor

dan moet de limiet bepaald worden van:

C—n^\' l rnbsp; ^

w

als w-gt;- cc.

y = x — 1

Substitueeren we den eersten term van (3) in (2) dan
komt er:

------Jnbsp;dt.

De integraal bestaat voor oo en o-gt; 0. De limiet
is dan:

Vergelijk ook pg. 46.

We moeten nu nog bewijzen, dat

ƒ10

1

als IVco, voor | argnbsp;en y^y, — 1,

Ji

We veronderstellen eerst jS (s) = s- ^ j4 1; dan is | s I
begrensd, wegens | or^r s | ^ « lt; | en dus

Is nu iv^ zóó gekozen, dat
I Aj\' (O llt; £ — 1)quot; voor t ^ tvi gt; 1 en heeft men verder
i Al (i) llt;M(i - 1)quot; voornbsp;dan is:

P(t -1)\'\' ^ - y -1 rf^ it - y £ ƒ\'V -quot; -

1nbsp;Wj

fW

1 1
omdat {t— ir lt; tquot; ennbsp;1 voor 1.

Dus Inbsp; ^ MK\'-^^^ nbsp;£ k\'-^\'

K — Ynbsp;y, — 5\'

Voor w voldoend groot is dus |/i |lt;iV£.
Stel nu 7(!(s) = lt;rgt;;i 1.
Dan is \\

Dusnbsp; nbsp;X

r M(t-ir t-^-\'-^dt-hs f V - Dquot; t\'
1 1

= rT ^ f\' (t-irt-\'\'-\'-\' dt=

—a—y—l

Nu is

lt; = l

t = tüj

/ 1 i 1 t=\\

/ 1nbsp; 1 Inbsp;rw,

Er treden bij het partieel integreeren geen logarithmische
termen op, omdat wegens (}■gt;« 1,

— Ö- — — 1 —7 -fji — 1 ^ — 2.
De geïntegreerde termen zijn alle O voor de grens ^=1,
en voor de grens t = wi zijn ze kleiner dan
[G constant) omdat

r -i-nbsp;—-Awi-iT-\'wr\'\'-

(ir 7) . .. (ö- 7 — v) \'

. X—V X—V — a — y v ^nbsp;x — y

ff IVinbsp;lt; Cv tVi ^

voor wi voldoend groot en ~\'\' w~ quot; lt; lt; O voor «r gt; O
De integraal van (5) wordt:

/ Inbsp; 1 1

(ff-t-r) iii (.nbsp;

( I IsX l

(öquot; 1quot; 7 )

Daar . -j--r cv 1 is en geen enkele factor van

((T 7).,, (a- -f 7 — «)

den noemer nul is, voornbsp;(3-gt;}c-f 1, is dus ook deze integraal
kleiner dan een bepaalde constante D. Dus h lt; L ~
L constant.

Hetzelfde kan voor denbsp;grens t — w worden aangetoond.
Ten slotte is dus:

I /i |lt; 10-(secnbsp;1 i ML lOi\'\'-^ ^eL\'to^\'-^zzz
voor 10 voldoend groot.

Stel nu O lt;lt; 1 en A = 0. Dusnbsp;= o («/).

We gaan weer uit van den vorm (1):

ƒquot;\' d

A,{Oj^\\r\'{w-tr\\dt.nbsp;(1)

1

Nu is r\' = w~\' (r\' — id~\\ dus:

rw

1
r!

-xc-*){w-ir\\dt. (6)

1

De eerste term van (6) is

A^ {tv) = O (1), gelijkmatig voor | arg s j g « lt;
Voor den lerm kunnen we schrijven:

t = tv

-tv-^Al (t)^nbsp;-OM

-f
t = l

dt

nbsp;At (t)nbsp;{tv - Oquot; ! dt. (7)

1

De geïntegreerde term is O, omdat A, (l) = 0 en
lin, (r \'-tvquot;) {tvnbsp;= limnbsp;\' {tv - tY=0.

Nu is \'t^{t-\'-iv-\'){w-tY\\=s{s \\)t-\'-\\xv--tr^

{w-if -

De 2e term van (7) splitst zich dus in 3 integralen /i, h
en h.

U = s{s \\)iv-\'\'\\quot;\' A\\{t)t-\'-\'\'{w-tfdt. (8)

Daar A, (O = o (t), wegens O lt; lt; 1 (§ 32, pg. 44), con-
vergeert de integraal

1 2

A^nbsp;du, tot een limiet I, als w-^ cc.

1

Dus deze integraal is zeker [ly) sommeerbaar tot dezelfde
som, d. w. z.

/w

I{t){w — tf-\'^ dt = l

. — j

/tonbsp;ft

{w — tf-\'^dt a\' (m) uquot;-^ du = I
■ ~ 1 1 \'

Door omkeering van de integratievolgorde vinden we:
rtv

I=Vimugt;-\'\' A] (m)nbsp;{w - u)quot; du.

Hieruit volgt, dat de limiet van (8) voor cc gelijk is
aan

i\' = s(s l)/ A\\{t)t-\'-\'\'dt.
1

Volgens hulpstelling 5, pg. 40 is nu

W=lt; ^ -w=ƒ\' ^r (»)«-«)-\' rf«.

Substitueeren we dit, dan krijgen we:

1nbsp;u

Na substitutie van u = vt, (u is de nieuwe veranderlijke),
vinden we, dat:

J ^ .nbsp;= -rF-Fl)-----•

Dus:

00 •
1\' s (s 1) r s 1) [ . ,

r (k s 1) r°°/ \\ -s—x-ij

Nu moet nog bewezen worden, dat I2 en I3 tot O naderen,
als ti) 00.

/w

Alit) r\'-\' {w-ty-Ut.

1

Kies bij gegeven f gt; O, wi zóó,

voor t^wi.

Verder is | aJ (O | ^ - O voor ^ ^ l.
Dan is:

-JVi

I 72 I g 2 tf-\'\' ö- sec « I j M{t - \\) t\'quot; -{tv - Oquot; ~ ^ dt

u\\

I ƒ2 i ^ 2nbsp;sec « | {tv - wxY -^crj 31{t - l) f-quot;\'^ dt |-

/wnbsp;,

omdatnbsp;KK voor t ^ tt^i, a- gt; O en k — 1 lt; O is.

Nu is ^r f\'\'\\t-\\)t-\'\'-Ut = -{wy-{)xür\'\' ^
1

ƒtO^

t- quot; dt lt; Ofi - 1) quot; - 1lt; 2 U^.

1

Dus I 72 |lt; 4.sec « - ~ ^ ^ 2 f Kw- sec « (if - xv^Y.
Voor w voldoend groot, is lI^lC^Ne.

/w

1

Nu is volgens hulpstelling 2, pg. 38:

I r\'- = I - I ^ sec« I e-- g-quot;\'««\'1 =
= sec « {t~ quot; — w~ dus

1

,nbsp;iv- «sec cc.eTtnbsp;_ - i ^t.

Jnbsp;10 — t ^ \'

W,

Nu is ^ quot; — w \'\'lt;1, voor t^xox en crgt;0 en
t-^\' — iv-^ .

-^^_^- is een monotoon afnemende functie van t,

waarvan de limiet voor t w gelijk is aannbsp;\\ want

de teller van de afgeleide naar t is gelijk aan

— —nbsp;Deze islt;0, want uit

—nbsp;volgt

\\ A ^nbsp;iO

a- 1 lt; ö- - - . Als we - = A; stellen (k ^ 1), dan

i \\i/ t

moeten we dus bewijzen, dat [k — l) (x\'^ \\ — k~ ° is.
Dit volgt uit:(^-- \\)(rgt;(rlgkgt;l — e\'= \\ — k--

/jc,

(t-

2nbsp;tv-lnbsp;:c

ic \\ w

Als co, dan--gt;- O, waaruit volgt, dat | ƒ3 lt; iV\' £

to

voor (rgt;0.

00

Is 2 On sommeerbaar {I n) tot A %n A =]= O, dan kunnen

1

we de reeks

—nbsp;A. ai ... (ï„ ----beschouwen.

—nbsp;is sommeerbaar (Zjc) tot O, dus de reeks
— ^ . 1 ~ \' ai /i~ ^ .... is sommeerbaar (l z) tot:

waar A\'l (t) = - A (i - if Z ap (t - Ipf = -A(t-lf aquot; (f).

Verder is gemakkelijk in te zien, dat de reeks A, O, O.....

sommeerbaar {Iz) is tot „somquot; A en dat de som kan worden
voorgesteld door:

\'quot;\'ts . H- 0, zooals

uit de substitutie / = - blijkt.

u

Tellen we de 2 reeksen bij elkaar op dan vinden we, dat

co

X a„ \' sommeerbaar (l z) is tot:

f Wnbsp;- ^ df, gelijkmatig voor

|args|^«lt;| en s=(-0.

ao

Op dezelfde wijze kan aangetoond worden, dat als X a„

sommeerbaar (/ z) is voor lt;r = j3, de reeks gelijkmatig sommeer-
baar is tot:

voor arg I s — (3 I ^ « lt; |enniet (/) =

Irn lt; «^\'m l

—P s

§ 38. Als Z e sommeerbaar of eindig (l n) is voor

s = (3, dan is | /(s) | = o U gelijkmatig voor cr ^ /3 £gt;|3-

£ vast.

Bewijs: We mogen /3=0 veronderstellen; dan volgt uit
§ 37, pg. 51, dat

voor ö- ^ £ en gelijkmatig voor I arg 5 | ^ « lt; -J.

oo

Daar E «n sommeerbaar of eindig {I z) is, is | A^ (t) I lt; ilf
voor /^ 1.

Kies V zóó, dat j t-quot;-\'^ dtlt;Z voor (t ^ f, en splits

V

fis)

in twee integralen Ii en resp. met grenzen 1 en v
V en oc.

Tjs z) , ---- .nbsp; nbsp;d

\\ii\\^o\\tnA\';iy)\\v-\'-gt;\' o\\t\\-f t-quot;-- ^A\'^ü) dt=

Eveneens:

§ 39. Hulpstellmg. Als cgt;0, ^gt;0, dan is:

c —)00nbsp;^ •nbsp;gt; /nbsp;\\nbsp;/

= 0, alsült;l.

Bewijs: We stellen: (1 — wf =z Z Bquot;

r = 0

Deze reeks convergeert gelijkmatig op het segment 0 — 1
wegens j« gt; 0.

We mogen deze reeks term voor term integreeren,
dus is:

U 1 s) jnbsp;i=oJnbsp;O

s »•

c ioo

vquot; (is

= v-quot;, als vgt; 1.

C —100

Beschouw den rechthoek gevormd door de verbindingslijnen
van de punten

Aic-iK); B{c-\\-iR); G R-h Ui) en D{-R-iR). {Rgt;2r)

De functie heeft 1 pool, nml. s = — r. Het residu is t)-quot;quot;.
De modulus van de integraal langs BC is kleiner dan:

vlt;\'

i_r

IttJ.

1 C^ Onbsp;v\'^

— J j^da- ^ 2 R Igv ^ ^ ^^ voldoend groot.

Evenzoo is:

.-U-iU

dtlt;

^ 1 „ 2.-»

Ook do integraal langs DAO, als iZoo, zoodat dus bij
de limiet overblijft:

-—: ƒ —T— ds = V ^
2 TT tJ . 5 r

C— 100

fc ioo

Is vlt;l, dan is ttquot;^ / —— rfs = 0; dit kunnen we

c —100

op ongeveer dezelfde wijze inzien door te nemen den recht-
hoek met hoekpunten: A (c - i li); P (c ^ P); C{R iR)
en l){—R—.iii). De functie is holomorf binnen dezen
rechthoek, de integraal langs den contour genomen, is dus O,
en wegens lt; 1, nadert ze langs BC, CD en BA tot 0.

Nu is: •

• c ioo

r{z i)rjs)nbsp;i f

langs den integratieweg | =: mogen de integratie en
sommatie verwisseld worden, dus:

Bquot;nbsp;00

c-ioo S rnbsp;r = 0 r

1 --

V

, als t) gt; 1
= 0, als t;lt;l.

co

§40. Als Sön iquot;\'sommeerbaar is tot r{s) voor
s = /3, en cgt;0, cgt;/3, dan is

w

lm lt; W lt; /m 1

00

Bewijs: Ondernbsp;=fis) zullen we verstaan, dat

\\ \'nbsp;/(lx)

co

S «„ l~ * sommeerbaar (Z fc) is tot f (»).

Dus w a„ = „V(») ennbsp;a. _ = 2 „„

Volgens § 29, pg, 35, is nu ook:

m

=g{s),

\\m 1nbsp;/(p «)

metnbsp;

Volgens § 37, pg. 59 is:

/ä ,nbsp;. l u s — /3-t- i; /

, 1 quot; Al.) r(. i)r(s-/3) / .

en eveneens

li quot; quot;nbsp;\'\' r 1)r(s-/3) J ^•

waar a\'f («) = J.\'f(i/) voornbsp;

^«=Bro^i ƒlt;»\'«- ^ ^ -quot; -\'

alles voor arg | s — /3 | ^ « lt; ^
en D, («) = AT (») - «T («) = inbsp;(quot; - ^n)quot;.

We zullen nu aantoonen, dat

ds = 0.

We kiezen daartoe als integratieweg de zijden van den
rechthoek A/JC/J met hoekpunten A (c — i ii (c

De integraal over dezen rechthoek is O, omdat de functie
holomorf is, binnen en op den contour.
We schatten eerst de integraal langs CD.

Nu isnbsp;=

/nbsp;^ \\ » ß

Daar Z %nbsp;sommeerbaar {q.y) is (zie pg. 36), is
dus

(u) =nbsp;O {hx\\ dus I Z^r (quot;) I ^ 1^ ^^^

\\g{R it)\\^ tv^ O {RV\'I 1)quot;^«- ^ ^ - - 1 rf« =

Im l

/ \\R

O (Bf.

1 /

,, rH-inXs) ^

R -iR

voor R voldoend groot, wegens
We schatten nu de integraal langs BG.

In

\\m l quot;quot; quot; /(p.x) Vm I/ ( m 1 quot;

j^] h{s), met = — p,.

Vm 1 /

quot;m 1 y

(Zie § 29, pg. 36).
Volgens § 38, pg. 60 is h (s) = o | lt; j-\' i gelijkmatig voor

verder is J^y^ir^ = OU quot;
r (k 1 -I- s)

Hieruit volgt:
^R

\\a

R\'\'^\' M R-\'-U ff lt;Ke, wegens tv lt; Z,

c \\ m 1 /

Evenzoo nadert de integraal langs DA tot O, zoodat we
ten slotte vinden:

rc ioo

C-IX

Uit § 39, pg. 60 volgt dus:

§ 41. Uitbreiding.

Op analoge wijze kunnen we afleiden:

mits c gt; (To en c gt; /3 is.

Het is mogelijk, dat de functie ƒ(«), die holomorf is voor
(rgt;/3, over de lijn !r = /3 analytisch kan worden voortgezet,
zoodat dus f{s) holomorf is voor «r^^i waar rlt;ß
is. Voldoet f[s) bovendien nog aan de voorwaarde, dat
/•(s) = 0 I lt; ^ gelijkmatig voor lt;r ^ y f gt; (1), dan is ook

£ - Lrnbsp;f («) r(.-|-i s)

want passen we het theorema van Gauchy toe op den recht-
hoek ABGD gevormd door de hoekpp. A — t B), B (ê i R),
C(c ti?), D{c — iR), dan volgt uit de onderstelling (1), dat
de integralen langs BC en DA tot O naderen, als R-* 00,
zoodat dus

ƒ c i 00 ƒ J i 00
c —ioo J — 100

Eveneens is dan ook:

^ «n - = 277- J n^ nT TT-^«-;)quot;

mits ^gt;0-0 en

co

§ 42. We veronderstellen nu, dat de reeks Z quot;n K som-
meerbaar {I z) is voor ff gt; /3 voor voldoend groote waarden
van X, zoodat dus de „som\'functie f{s) holoniorf is voor
ff ]gt; ß. We kunnen nu de vraag stellen aan welke voor-
waarden de functie /quot;(s), indien deze over de lijn lt;7 = ß een
analytische voortzetting bezit, nog moet voldoen, opdat de

co _

reeksnbsp;ook voor waarden van ff lt; /3 nog sommeerbaar

zij. Bij dat onderzoek worden dus, in tegenstelling met het
voorafgaande, eigenschappen van de reeks afgeleid uit die
van de aSom\'ïunctie.

00

§ 43. Alsnbsp;\' sommeerbaar {Ik) is voor ffgt;/3 en

f{s) is holomorf voor ff gt; r, waar r lt; jS, (dus f{s) is voort-

zetbaar over de lijn ff = |3), en (s) = O | ^ l\'\'\' gelijkmatig voor

00

(J- ^ 7 -f- £ gt; r, J«\' gt; O, dan is E \' sommeerbaar {I a) voor
ff 7quot;, mits K k\' is.

Bewijs: Uit het gegeven volgt, dat we p (geheel) zóó groot
kunnen kiezen, dat de reeks {l.z p) sommeerbaar is voor ffgt;/3
ennbsp;daar f{s) = O ^ | is dus zeker f{s) =o| ^ I^\' p

voor ff ^ 7 f{s) voldoet dus aan alle in § 41 genoemde
voorwaarden, zoodat:

1nbsp; i)r{s-so)

.. \'Zaj^^{W -g -J^.j f (S) r(, p i^^

mits ö gt; ffo gt; 7.

We kunnen dit ook alsvolgt schrijven:
^nbsp;/nbsp; 1nbsp;l)r(s-so)

ó-ilt;Xgt;

We gaan nu beide leden naar w differentieeren. De diffe-
rentiatie onder het integraalteeken is geoorloofd, omdat de
integraal gelijkmatig en absoluut convergeert voor alle p ^ O

nnmers f{s)=0\\ti en p-^^yjfiiq:nbsp;- O | lt; |

Voeren we de differentiatie uit, dan komt er:

S — im

ofnbsp;- ^.j

i —ic30

Deze formule heeft denzelfden vorm als bovenstaande,
alleen is p vervangen door p — 1.

Na p differentiaties (die alle geoorloofd zijn) vinden we
tenslotte:

(ï - iOJ

Kies nu Vigt; r zóó. dat (Tq — 1 lt; lt; ö-q lt; ^ en integreer
J_nbsp;langs den rechthoek

ABCD met hoekpunten A {vi — i R),nbsp;R), C9 i R)

en D (3 - i R).

De integrand heeft binnen den contour 1 pool, namelijk
s = so. Het residu is daar:

s V r(K4-l)r(s — So)nbsp;s

lim ^s - so) ƒ (s)nbsp; nbsp;\'o = ƒ (so).

Schatten we nu eerst weer de integraal langs BG.

Daar ns)=OUr en ^ ^^ ^ ^ ^ _ - 0 I ^ I ,

Tn] ^(«^nTfl s-So)

n iR ^

lt;mI
f

voor R voldoend groot, wegens k\' lt;

Hetzelfde geldt voor de integraal langs AD.
De modulus van de integraal langs AB is

r (« 1 s - So)

1} - iR

r 1) r (i^ ^ - so)
r(« 1

Deze integraal bestaat, als B-i-cc, dus de modulus is
kleiner dan J/j ~
We vinden dus

ƒ (,o) = Ofi - 2 ó\'£ ^ ƒ\'

( —1 00

MKI.
\\0\'\\lt;1.

lU

=nbsp; s to-quot; 2 aj-\'^ito-ljquot;.

L lt;tolt;i,

Daar lt; a-o, nadert to

00

lim to-\'\'XaJn\'o(tv-lf = f(so), d.w.z.

w-fOOnbsp;1nbsp;1

is sommeerbaar (Iz) tot „somquot; f(so).
§ 43. HET VERMENIGVULDIGEN VAN REEKSEN.

00

Als gegeven zijn twee reeksen Za^ en 2 ^n»

00

op verschillende manieren de productreeks Z c^ van deze

00

twee reeksen definieeren. Men kan de reeksen X en

O °

00 ^

Z formeel met elkaar vermenigvuldigen, (d. w. z. eiken

O

term van de eene reeks met eiken term van de andere) en
dan de coëfficiënt van gelijk aan stellen.

00

Bekend is, dat als de 3 reeksen convergeeren en 2 «„ = A;

O

00nbsp;co

^ b = B en Zc = O, AB = G is, \'t is namelijk gemak-

0nbsp;O

CZ3

kelijk te bewijzen, dat de reeks steeds Cx sommeerbaar

00

is tot AB (zie inleiding pag. 4); convergeert nu Xc^, dan

zal de som eveneens voorgesteld worden door A B.

00 00

In plaats van uit te gaan van de reeksen E en S
kan men ook de volgende reeksen opschrijven:

A

n

^n.

vermenigvuldigen, de termen a^ b^ rangschikken naar de op-
klimmende grootte van -^„^ [J.^, en deze reeks als productreeks
definieeren. Men noemt deze dan het Direchlet\'sche product
van de reeksen A en B van het type

conbsp;co

§ 44. Als E^n S^n absoluut convergeeren, dan zal

00

ook de reeks absoluut convergeeren; in dit geval toch is

de volgorde van de termen a^ b^ onverschillig.

Evenals bij de andere definitie van vermenigvuldiging geldt

ook hier de stelling:

00 00
Als E a„ = A. absoluut convergeert en E convergeert, dan

00

is Z convergent en gelijk aan A B, wa_arbij de termen

K gerangschikt zijn, dat in de reeks S a^ b^ na
«m\' \'^n- komt, als gt; (A^ H. 00 en fi^ oo).

Bewijs: De termen, waarvoor = -}-nemen

we bij elkaar en beschouwen we als één term. We zullen

verder eerst B=0 stellen. We moeten dan bewijzen, dat de
oo

som van de reeks E c„ = E (^n. ^n = O Is.

00

Uit do absolute convergentie van V a^ en B = O, volgt,

dat bij gegeven f^O, j) zóó bepaald kan worden, dat
p qnbsp;P i^nbsp;n= I 9

E\\aJlt;s en iZbJKe voor
p lnbsp;Onbsp;\' — w, 1,....

00, alsnbsp;deze reeksen formeel met elkaar

We nemen nu van de reeks S v termen a^ b^ en stellen
de som voor door C^; v kan zóó groot gekozen worden, dat
in de som voorkomt de termnbsp;dan komen zeker voor de

termen a^^ b^^, als pilt;ip en p2 lt; p, omdat

Nemen we in Cy alle termen bij elkaar die de factor «i, de*fac-
tor «2 enz. gemeen hebben, dan kan Cp worden voorgesteld door:
C, =ai (èi 62 f y-f
«2
ap (61 ... èp ... ... Om (61 .. b^J.

Wegens Ai lt;^2 lt; Aais j/i... gt; j/2gt; .. gt; Vp gt; .. Vj^ en Vp ^ p,
terwijl verder vi gt;2 .., ^m —

Dus:

C, Keilaj ivllaj , waar iV=Max|i6j; m=1,2,...

I Cy\\lt;eA-{\'Ne = s{N-\\-A).

Als nu co, dan nadert ook 00 en Cy-gt;0.

Is B =1= O, dan zal de som van de reeks (61 — B) -f
62 4- ... = O zijn, dus:

C; = a, (61 ... -f ... -f «M (61 4-... -f by^)
-(ai-f
volgens \'t zooeven bewezene,

zoodat ai (61 ---- byj -f ... a^ (61 ... by^^ A B,

als V-*- cc.

00

§ 45. We kunnen algemeen bewijzen: AlsSOn sommeer-

00nbsp;00

baar (a «) is tot Aen^b^ {fjt, (S) lot B, dan is S Cp = a^ b^ som-
meerbaar (v 7) tot C en C= A B, met y = a(3 \\ en
waarbij de reeks bestaat uit de getallen A^ gerang-
schikt in toenemende grootte.

Bewijs:

(«) = £ (c - Aƒ, lij (c) =zbjc- f,/
en =

We weten, dat:

(u) = aj Al (r) (« —nbsp;dr c^ A (f- en

O

\' B^^ (cc) = 131\'\' B^^ {T){u^-rf-^dT^B J, wegens (a «),

O

resp. (/^ (3) sommeerbaarheid.

We zullen een analoge formule voor C^ (co) opstellen.
Nu is Cl (cc) = S (co - - IX J.

Beschouw de integraal J^ A^ (r) B^^ (w ~ r) d r.nbsp;(1)

O

De term a^ komt in Aj (r) voor, zoodra r gt; A^^^ en de

O

term in B^^ (a — r), zoodra w — r gt; /^n oi r lt;i u — [x^.
In (1) komt de term a^ b^ dus voor met den coëlTiciSnt

(2)

Stellen we hierin r — = (cv — x^ — /xj u,
dan is w — r — = w — — — (w — A^ — fxj ii =

= — ■\'^m ~ f^n^ (1 — «)•

De integraal (2) gaat dan over in:
Hieruit zien we dat:

O

Uit iiulpstelling 4, pg. 39, volgt nu direct, dat
Cl (w) AB c/, waarmee het gevraagde bewezen is.
Nemen we in \'t bijzonder « = (3 = 0, dan is 7=1.
De productreeks is dan sommeerbaar (v, 1) tot AB en in
\'t geval, dat deze bovendien convergeert tot C, is C=AB.

§ 46. Als andere toepassing van het vermenigvuldigen
van reeksen met toepassing van de Dirichlet\'sche regel, geven
we nu nog, eenigszins gewijzigd, de door Landau bewezen
stelling:

Als gegeven zijn 4 getallen r, r\' en p\' met de voor-
waarden r ^ O, r\' ^ O, r r\' gt; O, /j r ^ en /?\' r\' ^

ca anbsp;co h^

en de reeksennbsp;en E^/ convergeeren,nbsp;(1)

1 m^ 1 n^

terwijl E —en E —absoluut convergeeren, (2)
1 m^ ^ 1 n^ ^

dan convergeert E ^ voor s ^ ^-V -\'

Cp = E «m K- Hier is dus A^ = Ig m, = Ig n.

mn — p

p r\' p\' T T t\'nbsp;t

Bewijs: We stellen -—-=nbsp;= ^

r rnbsp;r-f-r

^ nnbsp;oo (l^

r rnbsp;1 wrnbsp;1 wr

Hieruit volgt, dat en niet beide tegelijk O kunnen zijn,
we mogen dus O veronderstellen. Bovendien is vj\' = l.

nu is E — = E -7t7 . m\'

* 1 Inbsp;M

^^p r-co^ 1_JP_1 lt; -f^f--(3)

wegens p r ~ u\'^0 en (2).

Eveneens ? ^ x^-P\'-^\'nbsp;^^^

Nu kan bij gegeven fgt;0, .v zóó bepaald worden, dat
I — A |lt;voor « ^ .t;.

\') BeDdiconti di Palermo vol. 24, 1907, pg. Ill en v.v.

cc a^

üan is: S — = Snbsp;—

m = X 1 m^ m = X 1 m Pnbsp;m = X 1

Anbsp;\\ 1nbsp;1 )

want « — = — _ \\ _lt; = O-

r 7quot;\'

quot;ranbsp;K

Stellen we —- = «m — —/^n» ^^^ isquot; dus:

co

nco

c

lt;. CO—P (5) en eveneens

X *

Nu isS^nbsp;«ra ?nbsp;Enbsp;E

waarbij de eerste term van het lid van (7) een verkorte

-f... /3„)metn =

We vergelijken nu (7) met den vorm:
[cquot;\']nbsp;00nbsp;00nbsp;[ciquot;]nbsp;[lt;!quot;\']

Deze vorm nadert lotl:«,„ X £ i3„, als go, voor Ji\'^ 0.

We trekken nu (8) van (7) af en bewijzen, dat het verschil
tot O nadert, als j-»- oo. Dit verschil is:

ÏS^ . 1 S /3„ - i I i -ra . % K quot;f -ra X Snbsp;X Ê^n.

M li]nbsp;[ql

Nu is Znbsp;=nbsp;Enbsp;(10)

^ ^ ^ ^ [/ l] \'
We zien dit het gemakkelijkst in, met behulp van fig. 1.
Zij AB de kromme, met de vergelijking 7nn==q; voor het
punt P (m, n) is dus mn lt; q.
ö

i, ^ A.

Nu is Z /3„ . S «nii de som van alle x^ ß^ waarvoor geldt,
dat \'t punt (m, n) binnen of op ODEFGO ligt.

Dit gebied kan gesplitst worden in ODEKO en EFGKE,

Het eerste gebied levert X «n X Ê /^n\'nbsp;tweede

qnbsp;lm J

2 \'^bi\' ZPd\'nbsp;geval, dat q\'\'\' geheel is, moeten

[Z i]

de punten op EK alleen tot het eerste gebied gerekend
worden.

Door toepassing van (10) kunnen we (9) als volgt schrijven:

) M

E - X

1 1

Als VI ennbsp;zijn, dan is (11) gelijk aan

[qquot;\']nbsp;C«nbsp;[qquot;]

- E«^. E ß^- E ßq

m

en

Voor voldoend groote q zijn [qquot;] en [{\'\'\'] gt; -n,

wegens (5) en (ü).

Uit (3) en (4) volgt verder, dat de modulus van (12)

kleiner is dan:

[qV]

£ E

[qquot;\'J I

^__?_ y \' quot; \' J___ï_ v_!-JLL/

lt; 2 il/e, omdat ii\' (w — p — r) (w — /) = O en ook

Hieruit volgt, dat

f ip^ii^ïïxiAals?-«\'.

Y i?« T m^ Tnbsp;^

Als vi\' = 0, kan het bewijs op dezelfde wijze gegeven
worden. Enkele uitdrukkingen vereenvoudigen zich dan.

§ 47. Zij gegeven twee rijen positieve, monotoon toe-
nemende getallen A^, Ag,... ; fx^, fc^,...; (a^-^ cc; cc,

30

als 11-^ cc) en twee convergente reeksen 2 «10=^., (1) en

^m «m

lt;Zen

A.„ —nbsp;1

mnbsp;m — 1

voor alle waarden van m en n ^ 2. Maakt men nu alle mogelijke
combinaties A^^ H\'nnbsp;rangschikt men deze in toene-

mende grootte in een rij vi, vi,... ., co, dan convergeert

waar icnbsp;\') (4)

Bewijs: We voeren 3 voor ^ O, y^O, z\'^O continue,
monotoon toenemende functies A {.v), fx (y) en v (2) in, met de
voorwaarden

^ (»quot;) = -^m\' = ^ ip) = \'\'p en A (a;) = ^ (?/) = O voor

= ij = 0.

Als we nu opschrijven

=nbsp;(5)

dan stelt deze vergelijking voor iedere waarde van z een
kromme voor. Beschouw de kromme ^ fu, (//) = v (p),
p constant en geheel (fig. 2); voor een puntnbsp;op de

kromme geldt dus A (.^i) ^ (y,) = v (p) en voor een punt
(f, vj) binnen het gebied begrensd door de kromme en de
coördinaatassen is (?) (w) lt; v ip)-

Kies nu xz en y2 zóó, dat ^ («2) = (7/2) = v (}»),nbsp;(6)

dus jot (ya) = ^ (•ï\'a) = 0.

Verder kiezen we iCi en i/i zóó, dat ^ («1) = /^ (//i) = V2 v (p). (7)
^ en ij kiezen we respectievelijk tusschen en \'Vz, yi en y2,
zóó, dat

A (?) = A (.^2) - KI®, resp. iM ivi) = IX [yz) - l^fTöi). (8)
Hieruit volgt, dat limnbsp;1, dus ook limnbsp;= 1

x^ 00 A (f)nbsp;Xj -gt;■ co A (.^2)

ennbsp;A (.«2) — A (?) -)• 00, als oc.nbsp;(9)

Daar A (.rj) = 1/2 A (.^2), is

A (?) - A = \'/2 A (.ra) - KA (?) = A (.^2)

l^kiA-i).

Dit nadert tot 00, als .^2-»- 00. (10)
Hetzelfde geldt voor de functie [jt, {y).
Tenslotte bepalen we vi\' en ?\' zóó, dat

A(?)nbsp;= en

Sommeeren we Z nu over de 5 gearceerde gebieden,
dan komt er:
Pnbsp;[M fy.1nbsp;[\';]

0 (12)
m = [f 1]

waar m^ en n^ voldoen aan de betrekkingen:
fx (n) 4- A (mj = v{p) en
a (m) fx {71J = u lp).
Uit (13) volgt, datnbsp;en

Nu is A = =nbsp;=

I £ji I lt; « voor M ^ M\'.

Evenzoo B = f = Ë | |lt; ^ voor N^ N\'.

We kunnen nu p zóó groot kiezen, dat [.t^i 1] ^ ilf\' en
2 (.vs) — X = V (p) — A {i) = pi, (n^) zóó groot is, dat

^ N\' en dus zeker
^^m = voor [I] ^ m.
Dan is de 4o term van (12) gelijk aan

[I]

(15)

[x. l]nbsp;

waar | |lt; f.

Nu is wegens (3)

m , , [f]

[==1 1]nbsp; II

Daarnbsp;is, is

Dus de modulus van (15) is kleiner dan ^Bs eKllt;j2.
Eenzelfde schatting kan geschieden voor den 2en term
van (12).

Schatten we nu den 5«quot; term van (12).
Alsnbsp; nbsp;.....

\' [Mnbsp;[M

dan is : ;Znbsp; ■ • • ^n )

CKiKZ

[f l] \'^mnbsp;^-l^J

wegens T^quot;^ I-

Hetzelfde geldt voor den 3en term, zoodat tenslotte
p hl tgt;\'i]
1nbsp;m=l n=l

dus Zc=AB.
1

. 7-r

ifÄÄ

i

m

■f
, à

\'.X

■

■i

\' ■ i- ■H^\'.quot;

^ ..

O.

Stellingen.

Stellingen.

I.

De voorwaarde —--gt;■ 1, als n-»- oo, op pag. 10 van dit

n 1

proefschrift kan vervangen worden door de voorwaarde

Anbsp;A

—— vanaf een gegeven n.

A A i

II.

Bij het bewijs, dat Landau van stelling 142 geeft in „Theorie
der Zahlen nnd der Idealenquot;, is verzuimd de functie F {in)
voor toenemende waarden van m te onderzoeken.

III.

De stelling onder § 8 van „De beginselen der congruentiënquot;
van G. Schouten is zonder nadere beperking niet juist.

IV.

Het bewijs, dat G. H. IIahdy geeft op pag. 17G—178 van
Proc. Lond. Math. Soc. ser. 2. vol. 12. 1912 is onvolledig.

V.

In zijn „Leçons sur les fonctions de variables réellesquot; geeft
E. Borel op pag. 6G een onjuiste definitie van de functie

VI.

De afleiding van de eigenschappen van de elementen van
een drievlakshoek, die S. W. F. Margadant geeft op pag. 171
van het Bijv. v. h. Nieuw-Tijdschrift voor Wisk. 3o jaargang,
is foutief.

VII.

Een propaedeutische Meetkundecursus voor leerlingen, zooals
voorgesteld door Mevr. T. Ehrenfest-Afanassjeewa, is niet
aan te bevelen.

Wat kan en moet het Meetkunde-onderwijs aan een niet-wiskundige
geven.

VIII.

Bij het bepalen van lijnbreedten met den interferometer
van Fabry en Pebot is de dikte van de zilverlaag, waarbij
de grootste nauwkeurigheid verkregen wordt, een functie van
den totalen duur van het onderzoek.

Deze uitspraak laat zich generaliseeren.

IX.

Voor astronomen is de bestudeering der Relativiteitstheorie
gewenscht.

X.

De conclusie, die J. Bertrand in „Galcul des Probabilitésquot;
op pag. 28 uit vraagstuk 15 trekt, is onjuist.

J. Bertrand. «Calcu! des ProbabilitiJs», 2« ed.

XI.

Toepassingen van het theorema van Bayes, waarbij de waar-
schijnlijkheden a priori onbekend zijn, hebben in \'t algemeen
weinig beteekenis.

XII.

De theorie over de oorzaken van de cirkelvormige gedaante
van de maankraters, gegeven door K. de Boer, is niet over-
tuigend.

Astr. Nachr. Bd. 223, pg. 178.

iilSiiïliïliiaiii»

c.

• . \' t\' -Xl-

..................

^ fa:,

. frVV ,

■fi»-;:

.v\'nbsp;A.

quot;

• • . . ... - .■■ , ■■. . \'!•.■■. . . .......... ■ . ■ . \' .

. l.:?;\': . , ; ;; ■

Äi
mêâ