CtM-ljUjSf-

KENMERKENDE GETALLEN VAN
ALGEBRAÏSCHE OPPERVLAKKEN

BIBLIOTHEEK DER
RIJKSUNIVERSITEIT
UTRECHT.

B. VAN SLOOTEN

DisB*

Utrecht

1927

i \'S.

ji Ji

■ . ..y.nbsp;■

-f «r ^

fc??-:

( gt;

KENMERKENDE GETALLEN VAN ALGEBRAISCHE
OPPERVLAKKEN

UNIVERSITEITSBIBLIOTHEEK UTRECHT

3969 3696

Kenmerkende getallen ym algebraïsche opperylakken.

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN

Doctor in de Wis- en Natuurlmnde

aan de Rijks-Universiteit te Utrecht

OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS

Dr. B. J. H. OVINK

Hooglekraak in de Faculteit der Letteren en Wusbegrertb
volgens besluit van den senaat der universiteit

tegen de nKDKNKlNGEN van de

Faculteit der Wis- en Natuurkunde

TE VERDEDIGEN

Op Maandag 7 November 1927, des namiddags te 3 uur

door

bertha van slooten

geboren te Amersfoort.

bibliotheek der
rijksuniversiteit

UTRECHT.

Electr. drukkerij „de Industriequot; J. Van Dr\'jten — Utrecht

1927

Bii T .......... .....\' \'nbsp;, •

Aan mijn Moeder

r^mm

ir-v\'quot;

\'.im-

y . jt..- K6.

\'ii-

gt; 1 \'

V • y- ~ .

\'Jhfl■. • f»-tXpi:■--■-quot; • ; •
-- ...

■f- ;•

/.V

■.j^r

S.«

. gt; \' ■ \' ■ . \' *

. »I\'S*-.

Na een praktijk van een tiental jaren als leerares over te
gaan tot het samenstellen van een proefschrift, is een besluit,
dat van wijder strekking blijkt te zijn, dan men oppervlakkig
zou meenen. Mij tot dit besluit te hebben gebracht is Uw
werk. Zeergeleerde Bockwinkel, Ik stel er dan ook prijs op
U op deze plaats hiervoor mijn erkentelijkheid te betuigen,
alsook voor Uw bereidwilligheid mijn hulp en voorspraak te
zijn bij de Faculteit te Utrecht, met welke ik door mijn werk
zoo weinig contact meer had.

Ook U geldt mijn dank. Hoogleeraren en Oud-Hoogleeraren
in de Faculteit der Wis- en Natuurkunde, voor de wijze,
waarop U allen mij inzicht hebt gegeven in de vakken, die
steeds mijn bijzondere belangstelling hebben gehad.

Hooggeleerde de Vries, Hooggeachte Promotor, met groote
waardeering denk ik terug aan den tijd, dat ik Uw colleges
volgen mocht. Uw helderen en boeienden betoogtrant heb ik
als docente mij steeds als ideaal voor oogen gesteld.

Voor Uw steun en Uw belangstelling, mij betoond bij het
samenstellen van dit proefschrift, betuig ik U mijn oprechten
dank.

INLEIDING.

In de Verslagen der Koninklijke Akademie van Weten-
schappen te Amsterdam van 1905 verschenen van de hand
van Prof. Dr. Jan de Vries twee artikelen, resp. getiteld:
«Eenige kenmerkende getallen van een algebraïsch opper-
vlak» (Deel XllI, 2\'\' gedeelte, bl. 753) en «Over bundels
van algebraïsche oppervlakken» (Deel XIV, gedeelte, bl. 50).
Beide werden zeer beknopt gesteld en zijn daardoor niet
gemakkelijk te bestudeeren. Het leek dus zeer gewenseht
den inhoud ervan in een nieuwe publicatie, in casu dit
proefschrift, uitvoeriger te behandelen en nader toe te lichten.
Tegelijkertijd was het mogelijk in het artikel «Over bundels
van algebraïsche oppervlakken» een verbetering aan te
brengen van een paar conclusies, welke onjuist zijn, doordat
de schrijver enkele onderdeelen van deze verhandeling baseerde
op eenige foutief afgeleide formules (vgl. «Over lineaire
stelsels van algebraïsche vlakke krommen», Zittingsverslag
van 22 April 1905, Koninkl. Akad. v. Wetensch., Deel XIll,
2« gedeelte, bl. 748). Weliswaar zijn deze formules in een in
1906 verschenen artikel (Koninkl. Akad. v.Wetensch., Deel XIV,
2« gedeelte, bl. 844), door hem gecorrigeerd, doch tot een
herziening van zijn in «Over bundels van algebraïsche oi)per-
vlakken» getrokken conclusies is het toen niet gekomen.

Alvorens over te gaan tot de afleiding van eenige ken-
merkende getallen van een algebraïsch oppervlak, mogen
hier eenige bijzonderheden omtrent hoofdmaJclfjnen volgen,
daar deze in het volgende meermalen ter sprake zullen komen.

De algemeene gedaante der vergelijking van een algebraïsch
oppervlak van den nquot;^quot; graad is:

A-{-Bx Dz Ex\'\' Fxy Gxz-^

of bij invoering der poolcoördinaten:

A-\\- B p cos a G p cos (i D p cos 7
... = 0. (i)

Geeft men nu 5;, /3 en 7 een bepaalde waarde, d. i. be-
schouwt men de punten, die op de rechte l liggen, welke,
getrokken vanuit den oorsprong, met de drie assen resp. de
hoeken lt;z, /3 en 7 maakt, dan bepalen de n waarden van p,
die nu aan vergelijking (I) voldoen, de /j\'s van de snijpunten
van bovengenoemde lijn l met het oppervlak. Verplaatst
men nu het snijpunt der coördinatenassen naar het op het
oppervlak Ó\'\' gelegen punt 1, dan moet ^ = O voldoen, dus
moet de bekende term ontbreken.

De vergelijking van wordt nu dus:

J5 cos a C cos -f D ^ cos 7
i;/j2cos2a ... L^quot;cosquot;7 = 0.nbsp;(II)

Zal l

in A twee samenvallende punten met gemeen
hebben, dan moet vergelijking (II) voor de bij l behoorende
waarden van /? en 7 twee wortels = O hebben, dus
moet de vergelijking deelbaar zijn door p\\ zoodat ook de
termen van den eersten graad in p moeten wegvallen. De
bij l behoorende waarden van a, /3 en 7 moeten dus voldoen
aan de voorwaarde

Bcosa-\\- C cos Z) cos 7 = 0.

Door vermenigvuldiging met p gaat deze vergelijking over in

aan welke vergelijking dus de coördinaten van do punten
der raaklijn l moeten voldoen.

Wij zien dus, dat alle raaklijnen in A aan (pquot; liggen in
het platte vlak Bx \' Cy = O, het raaJcvlah in A aan (pquot;.

Op overeenkomstige wijze kan aangetoond worden, dat,
zal l in A nog een derde punt met cpquot; gemeen hebben, de
coördinaten van de punten van l bovendien moeten voldoen
aan de vergelijking

Ex--\\-Fxy-\\- Gxz-\\-Hy\'\'-\\-Iyz Jz\' = 0. (IlI)

l ligt dus in het raakvlak en op den door (III) voorge-
stelden tweedegraadskegel, met top in A. Deze kegel snijdt
het raakvlak volgens twee rechte lijnen, zoodat er twee
rechten zijn, die in A drie samenvallende punten met
gemeen hebben. Deze lijnen worden hoofdraaJchjnen genoemd.

Dat men door een punt A van cpquot; twee lijnen kan trekken,
die in A drie samenvallende punten met 0quot; gemeen hebben,
kan men ook als volgt afleiden. Het raakvlak in A snijdt
0quot; volgens een kromme, welke in A een dubbelpunt heeft.
Om dit in te zien heeft men slechts te bedenken, dat elJce
rechte lijn door A gaande en in het raakvlak liggend, in A
twee samenvallende punten met cpquot; en dus met de doorsnede
van het raakvlak met 0quot; gemeen heeft. Door dit dubbel-
punt A der doorsnede kan men twee lijnen trekken, nl. de
raaklijnen in A aan de beide door A gaande takken, die in
A drie samenvallende punten met die kromme en dus met
0quot; gemeen hebben. Dit zijn de bovengenoemde hoofdraak-
lijnen.

Wij zagen dus, dat de beide in A rakende hoofdraaklijnen,
ai en as, in het raakvlak liggen. Brengt men door één van
deze twee lijnen, bv. door ai, een ander vlak V, dan zal
V cpquot; snijden volgens een kromme, die in lt;4 een buigpunt
heeft. «1 heeft nl. in A drie samenvallende punten gemeen met
0quot;, dus ook met de doorsnede van F en 0quot;, en is dus voor
deze doorsnede buigraaklijn in A. Had ai in A drie punten
met de doorsnede gemeen als raaklijn aan een der lakken,
gaande door een dubbelpunt in A van de doorsnede, dan
zou ook cl^c andere rechte door A in V twee i)unten in A
met 0quot; gemeen hebben en V dus met het raakvlak samen-
vallen, hetgeen in strijd is met de onderstelling.

Zoo ook omgekeerd: Een buigraaklijn aan de doorsnede
van een plat vlak met 0quot; is hoofdraaklijn voor 0quot;, daar de
buigraaklijn in het buigpunt drie samenvallende punten met
de doorsnede en dus met 0quot; gemeen heeft. Het buigpunt
der doorsnede is raakpunt voor dc hoofdraaklijn van 0quot;.

HOOFDSTUK I.

Afleiding van eenige kenmerkende getallen
van een algebraïsch oppervlak

§ 1. Wanneer wij een oppervlak cpquot; snijden door een plat
vlak krijgen wij als doorsnede een kromme In elk
der punten A van deze trekken wij de beide hoofdraak-
lijnen ai en 02 van cpquot; en bekijken dan het door deze hoofd-
raaklijnen gevormde regelvlak A. ai en ai, beide op regelvlak
A liggend, hebben in A elk een punt met ccquot; gemeen, zoodat
A in J- twee punten met ccquot; gemeen heeft; ocquot; is dus dtibhél-
Tcromme van A. Een buigraaklijn aan is hoofdraaklijn
voor cpquot;, rakend in het buigpunt en ligt derhalve op A.
Daar zoo\'n buigraaklijn tevens in a ligt, vormt zij een deel
der doorsnede van a met A. «quot;bezit 3 — 2) buigpunten.
A en cc hebben dus gemeen 3n(n — 2) rechte lijnen en de
dubbel te tellen De doorsnede van A met een plat vlak
is dus van den graad 3n(n — 2) - - 2 w = n (3 n — 4), zoodat
A is een regelvlaJc van den graad n {3 n — 4).

ai en 02 hebben in A elk drie punten met cpquot; gemeen, dus
hebben A en cpquot; in A zes punten gemeen, zoodat aquot;, de
m.pl. der punten A, zes maal tot de doorsnede van A met cpquot;
behoort. De totale doorsnede van A met cpquot; is van den graad
nXn(3n — 4), zoodat deze beide oppervlakken, behalve
de zes maal te tellen nog een kromme van den graad

(3 w — 4) — 6 M gemeen hebben, welke gevormd wordt
door de snijpunten der op A gelegen hoofdraaklijnen met

1) Men vindt de bedoelde getallen in Salmon-Fiedler, «Analytische
GfüUJetrio des Khuhjoh», dritte Auflage, II, 644, en In ScifUUJCJtT,
«Kalkül der abzählenden Geometrie» p. 236.

Deze kromme heeft met a in de eerste plaats gemeen de
snijpunten der in x gelegen hoofdraaklijnen met 0quot;. Zoo\'n
hoofdraaklijn, buigraaklijn aan aquot;, heeft buiten het raak-
punt nog w — 3 punten met dus met cf)quot;, gemeen. De
3 w (« — 2) (w — 3) snijpunten van deze buigraaklijnen met
aquot; zijn de eenige snijpunten van in a, gelegen hoofdraaklijnen
a met Ó^. De overige snijpunten van lijnen a van A met
0quot; liggen dus op de hoofdraaklijnen a, die a snijden. Daar
Ä het eenige punt is, dat zoo\'n lijn a met a gemeen heeft,
moet het snijpunt van a en zal het in « liggen, samen-
vallen met het raakpunt A, m. a. w. deze hoofdraaklijn moet
in A vier samenvallende punten met gemeen hebben,
dus in A vierpuntige raaklijn aan zijn. Daar de m.pl.
van de snijpunten der hoofdraaklijnen a en (p^ met a
M- (3 11 — 4) — 6 « punten gemeen heeft, waarvan er
3 7% {n — 2) {n — 3) liggen in de snijpunten der in « gelegen
hoofdraaklijnen met (pquot;, zal het n^ (3 w — 4) — 6 n -f
— 3 « (n — 2) (n — 3) = «(11 m — 24) maal voorkomen, dat
een rechte a in een punt A van a vierpuntige raaklijn is.
De m.pl. van de raakpunten der vierpuntige raaklijnen van
(pquot;, de flecnodale lyn, heeft dus n{\\\\n — 24) punten met een
plat vlak Ä gemeen.

Hieruit volgt:

Be ßecnodalc lijn is een ruimtekromme van den graad
n {11 n — 24).

Heeft een rechte lijn l in een punt A van een oppervlak
vier punten met het oppervlak gemeen, dan ligt l geheel
op het oppervlak. A is dus een punt van een op het opper-
vlak gelegen rechte. Ook omgekeerd kan elk punt van een
op het oppervlak gelegen rechte opgevat worden als raakpunt
van een vierpuntige raaklijn. De m.pl. der raakpunten van
de vierpuntige raaklijnen wordt dus gevormd door de op het
oppervlak gelegen rechten. Deze m.pl., de flecnodale lyn,
is hier van den graad 3 (11 X 3 — 24) = 27, zoodat er op een
oppewlak van den derden graad 27 rechte lynen liggen.

schouwen het regelvlak B, gevormd door de hoofdraaklijnen,
welke in een punt B van ^ snijden. Zoo\'n punt 1? moet,
als punt van cpquot; en van /3, liggen op de doorsnede j3quot; van
cpquot; met Uit elk dezer punten i? kan men (»z^ 2) (« — 3)
hoofdraaklijnen aan cpquot; trekken (zie § 35), zoodat («quot; 2) (n—3)
lijnen van regelvlak B vlak j3 snijden in een bepaald punt
B van /3°. Deze /3quot; moet dus (n^ -(- 2) (n — 3) maal gerekend
worden bij de beschouwing der doorsnede van /3 met het
regelvlak B. Een in gelegen buigraaklijn amp; snijdt /3quot; in
n — 3 punten buiten het raakpunt. Elk van deze n — 3

punten jBi, B^.....i?„-3 kan opgevat worden als het punt

B van (3, waarin Cpquot; door deze buigraaklijn gesneden wordt.
b ligt dus op B als hoofdraaklijn, die 0quot; in punt Bi van /3
snijdt, maar ook als hoofdraaklijn, die in punt Bi van
/3 snijdt, enz. h behoort dus « — 3 maal tot de doorsnede
van B met /?. In (S liggen 3 7i {n — 2) buigraaklijnen.
De totale doorsnede van » met /3 is dus van den graad
n (w^ 2) (w—3) \'èn in—2) («—3) = n (n—l) (w—3)

Hieruit volgt:

Het regelvlak B is van den graad n{n — 1) {n —3)(,n^-4).

In § 1 vonden wij dat A een regelvlak is van den graad
w (3 w — 4) en dus snijdt volgens een kromme van den
graad n^ (3 n — 4), tot welke doorsnede a,quot; zes nmal behoort.
Behalve ocquot; hebben A en cpquot; derhalve nog gemeen een kromme
van den graad n^ (3 n — 4) — 6 « = n (3 n^ — ^kn — G). Deze
kromme snijdt vlak jS in n (3 n^ — 4 w — 0) punten. Zoo\'n
snijpunt is, als punt van A, een punt van een hoofdraaklijn r,
die haar osculatiepunt in vlak a heeft en is, als i)unt van cpquot;
en /3, het in /3 gelegen snijpunt van deze hoofdraaklijn met
cpquot;. r osculeert dus Cpquot; in een punt A van x en snijdt cpquot;
in een punt B van (3. Er zijn n (3 n^ — 4 » — 6) lijnen r.
Beweegt B zich dus langs /3quot;, dan heeft de m.pl. van de
osculatiepunten der het regelvlak B vormende hoofdraaklijnen
n (3 m\'\'\' — 4 w — 6) punten met vlak « gemeen, zoodat het
osculatiepunt een kromme van den graad n (3 n^ — 4 w — G)
doorloopt. In zoo\'n osculatiepunt heeft B drie punten met

gemeen, zoodat de door de osculatiepunten gevormde
kromme drie maal behoort lot de doorsnede van B met 0°.
Uit een punt B van (Squot; kan men {n^- 2) {n — 3) hoofdraak-
lijnen aan 4gt;quot; trekken. Door B gaan dus («^ 2) {n — 3)
rechten van B, die elk in B één punt met gemeen hebben,
li heeft dus in B (n- 2) (w — 3) punten met (pquot; gemeen.

Tot de doorsnede van B met behoort, behalve de drie maal
te tellen m.pl. der osculatiepunten en de (nquot; 2) (n — 3)
maal te tellen kromme (3quot;, ook nog de m.pl. (B\') der punten
B\', die de Jï vormende hoofdraaklijnen nog met cpquot; gemeen
hebben buiten het osculatiepunt en het op /3quot; gelegen snij-
punt met cp°.

(n — 1) (n - 3) (n 4) — 3n (3 n\' — 4 « — 6)
- n (n\' 2) (n — 3) = n(n- 2) (n — 4) 5 w 3).

Bus (B\') is van den graad n {n — 2) n — 4) {ii^ 5 n-\\- 3).

§ 3. Een hoofdraaklijn die cpquot; snijdt in een punt B
van |3, heeft buiten B en het osculatiepunt A nog « — 4
punten B\' met Óquot; gemeen.

Ter bepaling van het aantal malen dat A samenvalt met
een der n — 4 bij behoorende punten B\\ worden de
puntenparen (A, B\') uit een rechte l geprojecteerd, d. i. wy
brengen vlakken door l, resp. gaande door de verschillende
punten A en B\'. Wij voegen nu aan het vlak door l en een
punt A. toe de n — 4 vlakken door l, resp. gaande door de
n — 4 bij A behoorende punten B\'.

In een willekeurig vlak V door l liggen n (3 n\' — 4 « — 6)
punten A, daar de m.pl. van een kromme is van den graad
n (3 n^ — 4 M — (5). Hij elk van deze punten A behooren
n — 4 punten B\\ zoodat aan dit vlak V toegevoegd zijn
{n — 4) 11 (3 n^ — A n — 6) vlakken door Z, resp. gaande door
de verschillende punten B\\ behoorend bij de in V liggende
punten A.

In een willekeurig vlak W door l liggen n [n — 2) {n — 4)
(n^ 5 « 3) punten B\\ daar {B\') een kromme is van den
graad n {n — 2) (w — 4) (w^ 5 3). Bij elk punt B\' be-
hoort één punt A, zoodat aan elk vlak W zijn toegevoegd

n{n — 2) (w — 4) (w® 5 w 3) vlakken door l, resp. gaande
door de punten A, behoorend bij de in W liggende pun-
ten B\'.

De vlakken door l worden derhalve gerangschikt in een ver-
wantschap met kenmerkende getallen n{n — 4) (3 — 4 w — 6)
en n [n — 2) {n — 4) (w^ 5 3), zoodat het aantal coïn-
cidenties n (n — 4) (3 n^ — 4 « — 6) w (w — 2) {n — 4)
(»- 5 w -j- 3) bedraagt.

Nu is het regelvlak B van den graad n {n — 1) (w — 3) (n 4)
en wordt dus door l in n {n — 1) {n — 3) in -f 4) punten ge-
sneden. Er rusten derhalve n {n — 1) (« — 3) (» 4) lijnen
b op l. Het vlak door l en zoo\'n hoofdraaklijn bevat het
osculatiepunt A van deze hoofdraaklijn, alsook de « — 4 bij
dit punt behoorende punten B\'. Dit vlak, opgevat als het
vlak door l en A, valt dus samen met de «— 4 vlakken
door l, resp. gaande door de w — 4 bij A behoorende punten
B\' en levert derhalve een (w — 4)voudige coïncidentie.
Aangezien er n {n — 1) {n — 3) (m -j- 4i lijnen b op l rusten,
zijn er n {n — 1) {n — 3) {n -1- 4) van deze (n — 4)voudige
coïncidenties.

Beschouwen wij nu van de het regelvlak li vormende
hoofdraaklijnen b, die lijnen, welke niet op l rusten, dus
de lijnen b, die het vlak door A en l snijden, dan zal B\'
in het algemeen buiten het vlak door A en l liggen. Voor
een coïncidentie moet B\' in A vallen, zoodat b dus in A
vier samenvallende punten met Cpquot; gemeen heeft en derhalve
een z.g. vierpuntige raaklijn is.

Aangezien er buiten de (n — 4)voudige coïncidenties nog
n (3 - 4 « - 6) {n - 4) w (« - 2) {n — 4) {ir -f 5 M -f 3)
— n (71 — 1) (n — 3) {n -f 4) (71 - 4) = 2 « {71 - 4)
— 12) coïncidenties zijn, liggen er ook 2 « — 4)
(3 n\'^ w — 12) vierpuntige raaklijnen van 0quot; op het regel-
vlak li. Elk van deze lijnen snijdt, als lijn van li, het
oppervlak 0quot; in een punt van /3. In het platte vlak i\'i liggen
dus 2 n (w — 4) (3 -j- w — 12) snijpunten van cpquot; met haar
vierpuntige raaklijnen.

Hieruit volgt:

De m.pl. van de snijpunten van met zijn vierpuntige
raaTclijnen is een Tcromme van den graad

2 n {n — 4){3n^ n — 12).

§ 4. In § 1 vonden wij, dat de m.pl. der punten, waar
Oquot; een vierpuntige raaklijn heeft, een kromme is van den
graad n{l\\ jz — 24). Deze kromme behoort vier maal tot de
doorsnede van met het door de vierpuntige raaklijnen
gevormde regelvlak, aangezien een vierpuntige raaklijn in het
raakpunt vier punten met gemeen heeft.

De verdere doorsnede wordt gevormd door de m.pl. der
snijpunten van óquot; met zijn vierpuntige raaklijnen, volgens §3
een kromme van den graad 2 n (n — 4) (3 n\'^ « — 12).

De graad van de totale doorsnede van cpquot; en het door de
vierpuntige raaklijnen gevormde regelvlak, en dus ook het
product der graden van deze oppervlakken, is derhalve
gelijk aan

4n(iln- 24) 2 n (n - 4) (3 « - 12) =
2 n\' (n — 3) (3 n — 2).

Hieruit volgt:

J^et regelvlaJc gevormd door de vierpuntige raaklijnen is
van den graad

2 n {n — 3) (3 n ~ 2).

Voor n = \'6 wordt 2 n {n — 3) (3 n — 2) gelijk aan nul;
heeft dan ook geen vierpuntige raaklijnen buiten de 27
op hot oppervlak gelegen rechten, die geen regelvlak vormen.

n — 4 punten G toegevoegd. Aan het vlak V zijn dus
(n — 4) n (11 n — 24} vlakken toegevoegd, nl. de vlakken
door l en de punten G, toegevoegd aan de in V liggende
punten i^.

In een vlak W door l liggen 2 n (n — 4) (3 w^ « — 12)
punten G, daar de m.pl. van G een kromme is van den
graad 2 n (n — 4) (3 w — 12). Bij elk punt G behoort
één punt F. Dus aan W zijn 2 n [n — 4) (3 n^ n — 12)
vlakken toegevoegd, nl. de vlakken door l en de punten F,
toegevoegd aan de in W liggende punten G.

De vlakken door l worden dus gerangschikt in een ver-
wantschap met kenmerkende getallen n [11 n — 24) (w — 4) en
2 n [n — 4) (3 w — 12), zoodat het aantal coïncidenties
bedraagt

w (11 w - 24) [n _ 4) 2 w (« — 4) (3 w — 12) =
n [n - 4) (6 13 « - 48).

In het vlak door l en een vierpuntige raaklijn, 6.\\qI snijdt,
liggen F en elk der n — 4 aan F toegevoegde punten G.
Het vlak door F en l valt dus samen met elk der n — 4
vlakken door l en een dezer punten G. Een dergelijke
vierpuntige raaklijn levert dus een [n — 4)voudige coïn-
cidentie.

Daar het regelvlak, gevormd door de vierpuntige raak-
lijnen, van den graad 2 n (n — 3) (3,n — 2) is, snijdt l
dit oppervlak in 2 n(n — 3) (3 n — 2) punten, zoodat er
2 n(n — 3) (3 n — 2) vierpuntige raaklijnen op l rusten.

Deze leveren dus 2 n (n — 3) (3 n — 2) van die (n — 4)
voudige coïncidenties.

De overige n (n — 4) (O Ji^ 13 n — 48) — 2 n {n — 3)
(3 w — 2) (« — 4) of 5 n [n — 4) (7 n -- 12) coïncidenties zijn
afkomstig van coïncidenties F= G. Zal nl., in geval de
vierpuntige raaklijn ƒ de rechte l niet snydt, het vlak door
l en F samenvallen met het vlak door l en een der aan F
toegevoegde punten G, dan moet G wel met samenvallen.

Blijkbaar is ƒ nu vyjpuntige raallyn.

Het oppervlak (pquot; hezit dus 5 n (n — 4) (7 n —12) vyfpun-
tige raaJclynen.

§ 6. Beschouwen wij nu weer het regelvlak B, gevormd
door de hoofdraaklijnen die in punten B van het vlak
ß snijden (zie § 2). Behalve het osculatiepunt A en het
snijpunt B heeft zoo\'n hoofdraaklijn met cpquot; nog n — 4 punten
B\' gemeen. Volgens § 2 is de m.pl. (B\') van B\' een kromme
van den graad n (n — 2) (n — 4) (nquot; 5 « 3), zoodat er
n [n — 2) [n — 4) W 5 « 3) punten B\' in het vlak /3 liggen.

Beschouwen wij nu eerst de in ß liggende lijnen dus
de buigraaklijnen der doorsnede /Squot; van met ß. Zoo\'n
buigraaklijn h heeft met en dus ook met buiten het
buigpunt nog n — S punten gemeen. Wanneer men één van
deze punten als een punt B\' beschouwt, kan elk der n — 4
andere punten als het in ß gelegen snijpunt B van h met
Pquot; beschouwd worden. Elk van deze n — 3 snijpunten moet
dus n — 4 maal in rekening gebracht worden. De snijpunten
van deze buigraaklijn met ßquot; vertegenwoordigen derhalve
{n — 3) (n — 4) der in ß gelegen punten B\'.

Pquot; bezit 3 n {n — 2) buigraaklijnen, zoodat het aantal der
in ß gelegen punten B\', geleverd door B vormende hoofd-
raaklijnen, die ß snijden, bedraagt

« in - 2) {n — 4) {n\' 5 w 3) - 3 {n - 2) {n - 3) {n - 4) =
n{n~ 2){n - 4) (ji^ 2 « 12).

Het moet dus n (n — 2) (n — 4) (n\' 2 n -i- 12) maal voor-
komen, dut voor een hoofdraaklijn, die ß snijdt, één der
punten B\' in ß ligt en dus samenvalt met B. h raakt nu
blijkbaar cpquot; in B.

Als lijn van B osculeert h bovendien 0quot;.

Er zijn dus n {n — 2) (n - 4) (?r 2 « 12) hoofdraak-
lijnen, die fflquot; in een punt B van (i raken.

Een dergelijke lijn, die in het raakpunt B twee samen-
vallende punten en in het osculatiepunt yl r/r/e samenvallende
punten met cpquot; gemeen lieeft, noemen wij een raaklijn

De m.pl. der raakpunten van deze raaklijnen ti,3 heeft
met ß n (n — 2) {n — 4) {n- -f 2 « 12) punten gemeen.

Hieruit volgt:

Be }\'aak}nmten der raaklijnen t2,s vormen een kromme van
den graad n (n — 2) (n — 4) (n^ -f- 2 n -}- 12).

§ 7. Wanneer wij snijden met een derde vlak 7,
krijgen wij als doorsnede een kromme 7°. Wij beschouwen
nu het regelvlak C, gevormd door de dubbelraaklijnen c van
óquot;, die één van haar raakpunten in een punt C der door-
snede 7quot; hebben.

Uit C kan men [n — 3) (w -f- 2) lijnen c trekken (zie § 36),
die elk in C een punt met 7 gemeen hebben. C en 7
hebben in G dus [n — 3) (w 2) punten gemeen, zoodat
7° {n — 3) (w 2) maal tot de doorsnede van C en 7 behoort.

Van de in 7 gelegen lijnen c liggen beide raakpunten
Cl en Gi in 7. c ligt nu op C als dubbelraaklijn aan (pquot;quot;
met één der raakpunten in het punt Gi van 7 en ook als
dubbelraaklijn van 0quot; met één der raakpunten in het punt
C2 van 7. c behoort dus blijkbaar twee maal tot de door-
snede van G met 7. Daar het aantal der dubbelraaklijnen
van 7quot;, dus ook der in 7 gelegen lijnen c, jn{n — 2)
{n — 3) (n -f- 3) bedraagt, is de graad van deze doorsnede
n (n —3) (w 2) n (n - 2) (n — 3) (n 3) = m {n - 3)
{n^ 2n — 4), welk getal tevens den graad van O aangeeft.

Zal van een niet in 7 liggende lijn c ook het tweede raak-
punt G\' in 7 liggen, dan moeten G\' en C samenvallen;
c is nu blijkbaar vierpuntige raaklijn in C. Er liggen m (11 w — 24)
punten C=C\' in 7, aangezien de m.pl. der raakpunten van
de vierpuntige raaklijnen volgens § 1 een kromme van den
graad n{nn - 24) is en 7 dus in n {11 n - 24) punten snijdt.

Het aantal in 7\' gelegen punten G\' bedraagt derhalve
n (n ~ 2) in — 3) (« 3) «(11 «—24) = n {n^ - 2n^ 2 n — 6),
zoodat {G\') een kromme is van den graad n (w®~2 n^-\\-2n~ 6).\'

c). Behalve het in 7 liggende raakpunt G en het tweede
raakpunt G\' heeft een lijn c nog met gemeen w — 4 snij-
punten S. Beschouwen wij nu weer eerst een in 7 gelegen
lijn c, die 7quot; raakt in Oi en C2 en snijdt in « — 4 punten T.
T is nu een punt S, als snijpunt van met een dubbel-
raaklijn, waarvan het eene raakpunt in het punt Gi van 7
ligt en ook als snijpunt van met een dubbelraaklijn,
waarvan het eene raakpunt in het punt C2 van 7 ligt. T
vertegenwoordigt dus twee punten S\\ op elke dubbelraaklijn
van 7quot; liggen «-4 punten 2\'; aan 7quot; kan menY»(w-2)
{n ~ 3) {n -f- 3) dubbelraaklijnen trekken. De snijpunten van
7quot; met haar dubbelraaklijnen vertegenwoordigen derhalve
- n {n — 2) {n - 3) ( 3) (« - 4) X 2 punten

De in 7 liggende lijnen c leveren n {n — 2) {n — 3) 3)
(n — 4) in 7 liggende punten S.

Zal van een lijn c, welke 7 snydt in G, een punt in 7
liggen, dan moet dit punt S samenvallen met het punt G,
zoodat c nu in C drie samenvallende punten met gemeen
heeft. Als lijn van C raakt zij 0quot; bovendien in een punt
G\'-, e is dus een lijn waarvan het raakpunt in G\' en
het osculatiepunt in G ligt.

De m.pl. (gt;S) van S heeft dus behalve de bovengenoemde
n (« - 2) {n - 3) {n 3) (n - 4) punten S nog met 7 gemeen
de in 7 gelegen osculatiepunten der raaklijnen ti,s, zoodat
het aantal van deze osculatiepunten en dus ook de graad
der m.pl. van de osculatiepunten gelijk is aan den graad
van iS) — n {n - 2) {n - 3) {n 3) (n - 4).
d). Volgens § 7 is C een oppervlak van den graad n (n — 3)

{n^ 2 w — 4). De doorsnede van C met 0quot; is derhalve
van den graad n^ [n — 3) (w\' 2 w — 4). Tot deze doorsnede
behoort volgens a) de 2 (n - 3) {n 2) maal te tellen kromme
volgens b) de dubbel te tellen kromme (C) en volgens c)
de kromme [S). welke laatste dus is van den graad
_ 3) („2 2 „ _ 4) - 2 n - 3) [n 2) — 2n
[n^ — 2n^^2n — 6) = n {n — 4) (ii^nbsp;— 6).

n{n — 4)nbsp;_ 4 6) — n («-2) (n-\'ó) (« 3) («—4) =

n {n - 4) (3 5 « - 24).

Hieruit volgt (zie § 8 c):

De m.pl. van de osculatiepunten der hoofdraaJdijnen h.s is
een kromme van den graad n(n — 4) (3 n^ 5n — 84).

§ 9. Ter bepaling van den graad van het door de lijnen
U,s gevormde regelvlak, projecteeren wij de osculatiepunten
A en de raakpunten B uit een rechte l en voegen aan een
punt A toe het met A op één raaklijn ti,3 gelegen punt B.

In een vlak V door l liggen n {n — 4) (3 n\' 5 w — 24)
punten A, daar volgens § 8 de m.pl. (A) dezer punten
van den graad n {n — 4) (3 nquot;quot; 5 w — 24) is. Aan elk punt
A is één punt B toegevoegd. Aan vlak V zijn derhalve
toegevoegd n in — 4)(3 n^ -\\-bn — 24) vlakken door l, resp.
gaande door de punten B\\ behoorend bij de in V gelegen
punten A.

In een vlak W door l liggen n [n — 2) [n — 4) («^ -f 2 « 12)
raakpunten B, daar volgens § 0 de m.pl. [B] dezer punten
van den graad n (n — 2) (» — 4) (n^ 2 w 12) is. Aan elk
punt B is één punt A toegevoegd, dus aan vlak W zijn
toegevoegd n (n — 2) (w — 4) {n^ 2 «. 12) vlakken door /,
resp. gaande door de punten A, behoorend bij de in W
liggende punten B.

De vlakken door l worden derhalve gerangschikt in een ver-
wantschap met kenmerkende getallen n [n — 4)(3n^i-bn - 24)
en n [n — 2) {n — 4) 2 « 12), zoodat het aantal coïn-
cidenties bedraagt n [n — 4) (3 l 5 ^^ _ 24) n [n — 2)
{n — A), (w2 4- 2 « 12), m. a. w. het komt n (n — 4)
(3 5 w - 24) -f n (n -2) (« - 4) (w^ 2 w 12) maal

voor, dat een vlak V door l samenvalt met het vlak door l
en een punt B, toegevoegd aan een der in V liggende
punten A.

Zal een lijn ti,3, welke l kruist, een coïncidentie leveren,
dan moeten A en B wel samenvallen; ^2,3 is nu blijkbaar
vyfpuntige raaklijn in het punt A = B.

Er zijn 5 n {n — 4) (7 n — 12) vijfpuntige raaklijnen (zie § 5),
zoodat de l kruisende lijnen t%z bn{7i — 4) (7 w— 12) coïn-
cidenties leveren.

De overige n {n — 4) (3 -[- 5 « — 24) -f- {n — 2) (w — 4)
(«2 -f 2 12) — 5 n (n — 4) (7 n — 12) coïncidenties zijn
dus afkomstig van l snijdende lijnen ^2,3.

Iedere lijn f%3, welke l snijdt, levert een coïncidentie, daar
de vlakken door Z, resp. gaande door het punt A en het
imnt B, samenvallen.

Het aantal der op l rustende lijnen bedraagt derhalve
n {n - 4) (3 n^ -f 5 « - 24) n {n - 2) (n - 4) (n^ 2 n 12)
_ 5 „ („ _ 4) (7 n - 12) = « {n - 3) (n — 4) («^ 6 n - 4),
welk getal tevens aangeeft het aantal snijpunten van de rechte
l met het door de lijnen ij, 3 gevormde regelvlak.

Hieruit volgt:

De lynen ta,3 vormen een regelvlak van den graad
. n (?i - 3) {n — 4) (n\' 6 n — 4).

kan worden als een óquot; resp. in de punten Si, S2... Sn-i
van ^ snijdende dubbelraaklijn, vertegenwoordigt d n —4
lijnen van D en behoort dus n — 4 maal tot de doorsnede
van D metnbsp;^

Het aantal dubbelraaklijnen van bedraagt n (n — 2)
(«-3) (n-f3).

De doorsnede van D met ^ is derhalve van den graad
Ln{n-3) («--4) (n^ n 2) { « («-2) («-3) X
(w 3) (« — 4) = n {n - 1) [n 2) (n - 3) (n — 4).

Hieruit volgt:

De diibhelraaUijnen, welhe (pquot; snijden in een punt van vlak
vormen een regelvlak D van den graad n (n — 1) (n 2)
(n -3) (n — 4).

§ 11. In § 7 sneden wij (pquot;quot; met een vlak 7 en beschouwden
toen het regelvlak C, gevormd door de dubbelraaklijnen, die
een van haar raakpunten in een punt C van vlak 7 hadden.

Wij vonden in § 8, dat de punten S, welke C met cp°
gemeen heeft buiten de raakpunten, een kromme van den
graad n (n — 4) (n^ -j- n^ — 4 n — 6) vormen.

Er zijn dus n (n — 4) n^ — 4 n — 6) dubbelraaklijnen,
die een van haar raakpunten G in een vlak 7 en een van
haar snijpunten S in een willekeurig-plat vlak, bijv. in het
bovengenoemde vlak hebben. Anders gezegd: er zijn
„ (n _ 4) (^3 .j. __ 4 „ _ 6) lijnen van regelvlak I), die een
van haar raakpunten G in een vlak 7 hebben. De m.pl. van
de raakpunten C der D vormende lijnen is derhalve een
kromme van den graad n {n — 4) (»^ «2 — 4 n — 6). In C
hebben 1) cn (pquot; twee punten gemeen, zoodat deze kromme
twee maal tot de doorsnede van J) met Cpquot; behoort.

Tot deze doorsnede behoort ook de ^ (n — 3) (n — 4)
(ji2-|-n 2) maal te tellen kromme uit elk punt 7) van
vertrekken volgens § 37 immers y (» — 3) (n — 4) (n^ -f « 2)
lijnen d.

Ten slotte hebben D en nog gemeen de buiten ^ gelegen
snijpunten D\'.

Daar D een regelvlak is van den graad n (n — l)(n -f 2)

[n _ 3) [n — 4), snijdt D het oppervlak volgens een kromme
van den graad n^ (n — 1) (n 2) {n — 3) (n — 4), zoodat de
graad van de door de punten B\' gevormde kromme {B\')
bedraagt n^ (n—l) (« 2) {n - 3) — 4) - 2 n (n — 4)
_lw(n-3) (n —4) (n2 « 2) =
I n (« - 2) (n - 4) (« - 5) (2 5 n 3). {D\') heeft der-
halve \\ n {n - 2) (71 — 4) (n - 5) (2 n^ 5 n 3) punten met
vlak ^ gemeen.

Een ïn S liggende lijn d van 1) snijdt in — 4 punten,
Bl, D2.. . Ba-i, buiten de raakpunten. Het punt Bi is een
punt B\' voor d, achtereenvolgens opgevat als een dubbelraak-
lijn die resp. snijdt in een der n — 5 overige punten,
B2, B3... Bn-i, welke punten dus achtereenvolgens opgevat
worden als het punt B. Hieruit blijkt dat Bi n — b der in
3 gelegen punten B\' vertegenwoordigt. De n — 4 punten
Dl, Bi. ..Br, ^ vertegenwoordigen derhalve (n — 4) (n — 5)
snijpunten van {B\') met S.

Aangezien men j n (n — 2) (n — 3) {n 3) dubbelraak-
lijnen aan kan trekken, liggen er y «(n —2) (n —3)
(n 3) (n — 4) (n — 5) snijpunten van [B\') met S op deze
dubbelraaklijnen.

Zal een punt B\' van een 3 snydende lijn c van D in ^
liggen, dan moet B\' met B samenvallen; d raakt nu 0quot; in
B = B\' en is dus een dj-ievoudige raaklijn van 0quot;.

Wij vonden, dat er van de j n {n — 2) [n — 4) {n — 5)
(2n2 5n-t-3) snijpunten van (D\') met 3 ^n{n — 2)
{n — 3) (« 3) (n — 4) (n — 5) op de dubbelraaklijnen van 0quot;
lagen. Elk der overige j n (n — 2) (n — 4) (n — 5) (n^-f 5 »i 12)
snijpunten is raakpunt van een drievoudige raaklyn. De m.pl,
van de raakpunten der drievoudige raaklijnen heeft derhalve
^«(n —2) (jj —4) (»1 — 5) («2 5« 12) punten meteen
plat vlak ^ gemeen.

Hieruit volgt:

Be raakinmten der drievoudige raaklijnen van 0quot; vormen
een kromme van den graad

\\n(n- 2) (n - 4) (n 5) (n\'\' 5 n 12).

§ 12. Elke rechte d van regelvlak D raakt óquot; in twee
punten C, snijdt in een punt D van B en heeft bovendien
nog n — 6 punten D\' met gemeen.

Aangezien het aantal combinaties van n — 5 grootheden
twee aan twee (n — 5) [n — 6) bedraagt, kan men deze
w — 5 punten in y (« — 5) {n - 6) paren D\', Dquot; rang-
schikken. Wij projecteeren deze puntenparen nu uit een rechte Z-

In een willekeurig vlak door l liggennbsp;— 2) (n — 4)

(» — 5) (2 5 n : 3) punten D\', aangezien volgens § 11
de m.pl. (D\') van D\' een kromme is van den graad

n {n — 2) (n — 4) [n — 5) (2 5 ^ 3). Bij elk punt D\'
behooren n — 6 punten Dquot;, zoodat aan het vlak a\' zijn
toegevoegd y quot; — 2) {n — 4) (n — 5) (2 -f- 5 w -f- 3) (n — 6)
vlakken aquot; door l, resp. gaande door de verschillende punten
Zgt;quot;, welke toegevoegd zijn aan de in a\' gelegen punten Zgt;\'.

Elk der punten JD\' kan ook opgevat worden als een punt
Dquot; en omgekeerd, zoodat de m.pl. (Dquot;) van Dquot; eveneens
een kromme is van den graad 4 n [n — 2) [n — 4) [n — 5)
(2 -f 5 71-i-3). In een willekeurig vlak aquot; door l liggen
dus Y n [n — 2) (» - 4) (n - 5) (2 n^ 5 « 3) punten J)quot;.
Bij elk punt Dquot; behooren n — 6 punten D\', zoodat aan het
vlak aquot; zijn toegevoegd y n [n — 2) (n — 4) (71 — 5)
(2 J!^ 5 -f 3) (n — G) vlakken a\' door l, resp. gaande door
de verschillende punten D\', welke zijn toegevoegd aan de
in aquot; gelegen punten Bquot;.

De vlakken door l worden derhalve gerangschikt in een
verwantschap met de kenmerkende getallen n [n - 2)
in - 4) (n - 5) (n - 6) (2 «2 ^ 5 3) en j n (n - 2)
(n _ 4) (n _ 5) (n — 6) (2 5 « 3), zoodat het aantal
coïncidenties n (n — 2) (« — 4) («i— 5) (n — 6) (2 n^ 5 ?i 3)
bedraagt.

Wij beschouwen eerst weer een lijn d van D, welke l snydt,
dus met l in één plat vlak a ligt.

Flet vlak a\' door l en een der « — 5 op rf gelegen punten
D\' valt samen met elk der ?i — 6 vlakken door Z, resp.
gaande door de n — 6 aan D\' toegevoegde punten Dquot;, daar
elk van deze vlakken samenvalt met vlak a\'. Dit punt D\'

geeft dus aanleiding tot ?i — 6, de «— 5 op c gelegen
punten D\' tot {n — 5) (n — 6) coïncidenties a\' = aquot;. Van elke
lijn d, welke l snijdt, zijn derhalve (n — 5) (n — 6) coïnci-
denties afkomstig.

D is een regelvlak van den graad n (n — 1) (n 2) (n — 3)
(n ~ 4), zoodat l D snijdt in n (n - 1) (n 2) {n — 3) (w — 4)
punten, m. a. w. er rusten n (n — 1) (n 4- 2) (n — 3) (n — 4)
lijnen d van D op l.

Deze lijnen geven aanleiding tot

n {n — 1) (n 2) (n — 3) (n - 4) (n - 5) (ji - 6)
coïncidenties.

Het aantal coïncidenties, afkomstig van lijnen d van P, welke
l Jcrutsen, bedraagt derhalve n {n — 2) (n — 4) (n — 5) (n — 6)
(2 5 n 3) — w [71 - 1) (n 2) — 3) [n - 4) (n — 5)
(„ _ 6) = n (n - 4) (n — 5) (n ~ 6) (n^ -f- 3 n^ — 2 « — 12).

Zal voor een lijn d, welke l kruist, het vlak door l en een
punt D\' samenvallen met het vlak door l en een punt üquot;,
dan moeten D\' en Dquot; wel samenvallen; het punt D\'=
is dus blijkbaar raakpunt van een drievoudige raaklijn.

Een drievoudige raaklijn, rakend in Di, Ih en kan
men zich ontslaan denken uit de dubbelraaklijn, rakend in
Dl en /gt;2, door samenvalling van een punt D\' en een punt
Dquot; tot Ih, maar ook uil de dubbelraaklijn, rakend in Di
en Da, door samenvalling van een punt D\' en een punt Dquot;
tot Di of uit de dubbelraaklijn, rakend in Di en Da, door samen-
valling van een punt D\' en Dquot; tol Di. Een drievoudige
raaklijn geeft dus blijkbaar aanleiding tot drie coïncidenties.

Daar het aantal coïncidenties, afkomstig van op I) ge-
legen lijnen d, welke l kruisen, n (?i — 4) {« — 5) (n — 6)
(n^ 3 w^ — 2 ?i — 12) bedraagt, liggen er op 1) y ?i (n — 4)
(n — 5) (n — 6) -j- 3 n^ — 2 n — 12) drievoudige raaklijnen,
m. a. w. Y »i (« — \'i\') (n - 5) (?» - 6) (n\' -f 3 n\' -2n— 12)
drievoudige raaklijnen snijden (p° in een punt D van 5.

Hieruit volgt:

De m.pl. (D) der snypunten D van oppervlah (pquot; met zyn
drievoudige raaklynen is een kromme van den graad
■1 n (n - 4) (n - 5) (n — 6) (n^ 8 n\'\' — 2n — 12).

§ 13. Beschouwen wij nu de doorsnede van (pquot; met het
door de drievoudige raaklijnen e gevormde regelvlak (e).

De m.pl. (CO van de raakpunten C der drievoudige raak-
lijnen van cp\'^ is volgens § 11 een kromme van den graad
y n (n — 2) (n — 4) (n — 5) (n^ -f 5 n 12). In elk punt van
deze kromme hebben cpquot; en (e) twee punten gemeen, zoodat
(C) twee maal in rekening gebracht moet worden.

De m.pl. (D) der snijpunten van cpquot; met zijn drievoudige
raaklijnen is volgens § 12 een kromme van den graad
jn(n — 4) (n — 5) (n — 6) (n^ -hSn^ — Ën— 12).

De graad der doorsnede van 0quot; met (e) is derhalve
n (n —2)(jï —4) (n —5) (n2 5n 12) -i-jn(n — 4) (n —5)
(« — 6) («3 3 «2 — 2« —12) = ln2(n —3)(w —4)(n—5)
(n2 3 w — 2).

Hieruit volgt;

De drievoudige raaTclijnen van vormen een regelvlak van
den graad

^n(n — 3)(n — 4)(n — 5){n\'^ 3n — 2). ^

§ 14. Evenals in § 1 snijden wij nu het oppervlak 0quot;
met een plat vlak « en trekken in elk punt A der door-
snede de beide hoofdraaklijnen, ai en a2.

De snijpunten Ti en T2, resp. van ai en «2, met een plat
vlak (T worden met een in cr gelegen p\'unt S verbonden en
de stralen S Ti =si en S T^^ Si aan elkaar toegevoegd.

Het door de lijnen a gevormde regelvlak is volgens § 1
een oppervlak van den graad n (3 n — 4) en snijdt lt;t dus
volgens een kromme van den graad n (3 n — 4). Hieruit volgt
dat er n (3 n — 4) lijnen a rusten op eiken straal s; een
straal s snijdt nl. deze kromme in n (3 n — 4) punten T.
Vatten wij elk punt T op als een punt dan is aan elk
punt T\\ toegevoegd één punt Ï2, nl. het snijpunt met tr
der hoofdraaklijn 02, waarvan het raakpunt samenvalt met
dat der ff in Ti snijdende hoofdraaklijn ai. \'Aan dezen straal
s zijn dus n(3n — 4) stralen sz toegevoegd.

■) In Salmon-Fiedler staat op bl. 638 n* 3 m 2 in plaats van
n\' 3 n — 2.

a\\ en 02 zijn verwisselbaar, zoodat wij hier een sym-
metrische verwantschap krijgen, met kenmerkend getal
n (3 n — 4).

Plet aantal coïncidenties bedraagt derhalve 2 n (3 n — 4).

Wanneer de snijpunten T\' en Tquot; van «r met twee lijnen
a en aquot;, welke een gemeenschappelijk raakpunt A hebben,
met S op één rechte lijn s liggen, ontstaat een dubbele coïn-
cidentie. Vat men nl. a op als ai en dus aquot; als 02, dan
valt Si = 8 Tquot; langs si = S T\'; vat men evenwel aquot; op als
ai en dus a\' als «2, dan valt eveneens Si = S T\' langs si = S Tquot;.
De lijn s vertegenwoordigt dus twee coïncidenties.

S ligt nu als punt van T T \' in het vlak door a en aquot;,
dus in het raakvlak aan cpquot;, rakend in het snijpunt A van
a\' en aquot;. Laatstgenoemd vlak is dus één der raakvlakken
aan cpquot;, welke door S gaan. De raakpunten der raakvlakken
uit S aan cpquot; liggen op cpquot; en op het eerste pooloppervlak van
A t. 0. v. cpquot;; zij vormen derhalve een kromme van den graad
n(n — 1), welke kromme het vlak oc. in « (vt — 1) punten A
snijdt. Het zal dus n {n — 1) maal voorkomen, dat T\' en Tquot;
met /S op één lijn liggen, zoodat deze groep blijkbaar n (n—1)
dubbel te tellen coïncidenties bevat.

Beschouwen wij nu de snijpunten A van aquot; met de snij-
lijn der vlakken oc en a-. De lijnen a en aquot;, welke door
zoo\'n snijpunt gaan, snijden tr in hetzelfde punt A = T\' ^ Tquot;,
zoodat de verbindingslijnen van S, resp. met T\' en Tquot;,
samenvallen. Ook hier krijgt men dus een coïncidentie.

Vat men a op als ai en dus S T\' als si, dan valt Si = S Tquot;
samen met 5i = -S T\'. Vat men evenwel aquot; op als a\\ en
dus S Tquot; als si, dan valt eveneens Si^ST\' met\'Si = S T\'\'
samen. Ook een aldus ontstane coïncidentie moet derhalve
twee maal in rekening gebracht worden.

Aangezien «quot; de snijlijn der vlakken « en a- in n punten
A snijdt, bevat deze groep n dubbel te tellen coïnci-
denties.

De overige coïncidenties zijn afkomstig van in oc gelegen
paraholiscliG punten, d. i. van in oc gelegen punten A, waar
de beide hoofdraaklijnen samenvallen. Vallen nl. ai en 02

samen, dan zullen zij a in hetzelfde punt snijden, zoodat de
verbindingslijn van 5 met het snijpunt van ai en «r samen-
valt met de verbindingslijn van S met het snijpunt van «2
en (T. Ook nu ontstaat dus blijkbaar een coïncidentie.

Wij vonden, dat het totale aantal der coïncidenties = S2
211 (3 n — 4) bedraagt; dus is het aantal der coïnciden-
ties, geleverd door de in a gelegen parabolische punten
2 n (3 n — 4) — 2 oi [n — 1) — 2 « = 4 w {n — 2).

In a liggen derhalve 4n[n — 2) parabolische punten van
cl)quot;, zoodat de m.pl. der parabolische punten van met
een plat vlak 4 n [n — 2) snijpunten heeft.

Hieruit volgt:

Be m.pl. der parabolische punten van (pquot;, de spinodale Ujn,
is een kromme van den graad 4 n(n — 2).

§ 15. Den graad der spinodale lijn kan men ook als
volgt afleiden.

Volgens § 35 is in het punt Y buigraaklijn aan het
oppervlak wanneer de coördinaten van Y en .^voldoen
aan de vergelijkingen

=0

Het raakvlak in Y, voorgesteld door ~ ^ = O, raakt
in Y aan elk pooloppervlak van Y t. o. v. dus ook aan
cty ~ ^ of = 0. De doorsnede van a^ - ^ a^ == O en aJJquot; ® af = O,
welke als doorsnede van een plat vlak met een tweede-
graadsoppervlak van den tweeden graad\'is, heeft dus in Y
een dubbelpunt en is derhalve ontaard in twee elkaar snijdende
lijnen, de hoofdraaklijnen in Y aan cj)quot;.

Zal Y een parabolisch punt zijn, m. a. w. zullen de beide
hoofdraaklijnen in Y samenvallen, dan moet het raakvlak
= 0 twee samenvallende rechten meta5;~®rtf = 0
gemeen hebben, zoodat laatstgenoemd oppervlak een kegel
zijn moet.

yj

j- ȕ_y =

■ Tnbsp;-

yi

Z/ki^k als

Voor een parabolisch punt Y moet dus H f^iZf^z^ — O
een kegel zijn.

Nu is dit oppervlak een kegel als

|AiL = 0 is.

Elke factor f^, van een term dezer determinant is van den
graad « — 2 in de coördinaten van F, zoodat het door de
vergelijking |/ki|=0 voorgestelde oppervlak, het z.g. oiyper-
vlah van Hesse, van den graad 4 (n — 2) is; dit oppervlak
is blijkbaar de m.pl. der punten, waarvan het tweedegraads
pooloppervlak t. o. v. cj5quot; een kegel is.

De op het oppervlak van Hesse gelegen punten van cpquot;
zijn de parabolische punten van cpquot;; het oppervlak van Hesse
snijdt cpquot; derhalve volgens de spinodale lijn.

Hieruit volgt:

Dc spinodale lyn is een Tcromme van den graad 4 n(n — 2).

HOOFDSTUK II.

Over bundels van algebraïsche oppervlakken.

§ 16. Den bundel [Fquot;) van oppervlakken F^ van den w®quot;
graad, die gaan door de doorsnede lt;t der oppervlakken a^ = O
en b° = O, kan men voorstellen door de vergelijking:

a^ ^ = 0.

Wij snijden nu het exemplaar aquot; H- = O van den
bundel met de lijn Y Z, aangegeven door = p z^.

De n waarden van p, die beantwoorden aan de snijpunten,
moeten voldoen aan de vergelijking:

\\ai (ijlpnbsp; üi iiji p ^-4)!®

Al \\h iyi ^i) ... (2/4 ^4)!quot; = O

of («y p a,r Al (amp;y p = O
of «n „ „n- 1 ^ ^^nbsp;a--......

Al n » ^ nbsp;= (I)

Kiezen wij nu Y in het op (T gelegen punt S, dan ligt Y
zoowel op al = O als op h^ = O, zoodat a\'^; = O en h\'^ = 0.

Vergelijking (I) gaat derhalve, bij rangschikking naar de
opklimmende machten van p, over in

««r V «z ^ K-\'p

Zal YZ het oppervlak aj; A^ = O in Y=S raken,
dan moet (1) twee wortels p = 0 hebben, zoodat ook dc

termen van den eersten graad in p moeten ontbreken. Hiertoe
is noodig, dat voldaan is aan

nbsp;(H)

(I) heeft drie wortels p = Q, m. a. w. YZ zal in Y drie
samenvallende punten met a^ == O gemeen hebben,
wanneer bovendien

=nbsp;(III)

Zal dus rZ in het punt Y=S van a- hoofdraaklijn zijn
aan een exemplaar a^ Ai = O van {Fquot;), dan moet
Oy = O, = O, terwijl Ai zoowel aan vergelijking (II) als aan
vergelijking (III) moet voldoen.

De vergelijkingen (II) en (IK) hebben een gemeenschap-
pelijken wortel, als voldaan wordt aan de voorwaarde

= 0

ofnbsp;fl» -1 i;;aJl — aquot;^-^ hquot;^-1 _ Qnbsp;(JV)

In dc onderstelling dat == O en = O, is (IV) dus de
vergelijking van de m.pl. der hoofdraaklijnen, in het punt
Y=S van a- rakend aan de verschillende exemplaren van
den bundel.

Hieruit volgt:

Be hoofdraaUijnen in punten der lasisTcromme vormen een
congruentie van de orde n^ (2 n — 3).

De in een vast 2mnt Y=S van tr rakende hoofdraaklijnen
vormen een kubisch kegelvlak, aangezien vergelijking (IV)
van den derden graad in de coördinaten van Z is. Dit kegel-
vlak snijdt dus een plat vlak F door den top S volgens 3 rechte
lijnen, m. a. w. in V liggen 3 in rakende hoofdraaklijnen.

Een willekeurig plat vlak W heeft met lt;t n^ punten gemeen
en gaat dus door n^ punten S van a. In elk van deze punten
S kan men 3 in TF gelegen hoofdraaklijnen trekken, zoodat
er in TF X 3 in een punt S rakende hoofdraaklijnen liggen.

Onder de Masse eener stralencongruentie verstaat men het
aantal stralen, gelegen in een willekeurig plat vlak.

Hieruit volgt:

Be hoofdraaUijnen in punten der hasishromme vormen een
congruentie, waarvan de Masse 3 n^ bedraagt.

2 » — 1 in de coördinaten van X, zoodat de poolkromme 11
van Y t.o.v. den bundel een kromme is van den graad 2n — 1;
de klasse van ü bedraagt derhalve (2 n — 1) (2 n — 2)—
4 nquot; — 6 n 2. Door elk punt van F, dus ook door Y,
gaat een exemplaar van den bundel; Y ligt derhalve op 11,
zoodat men uit Y 4 n^ — O n raaklijnen aan TI kan trekken.

Raakt een uit Y getrokken rechte r de poolkromme 11 in
het punt X, dan is r voor de door X gaande kromme cquot;
raaklijn met twee in X samenvallende raakpunten, m. a. w.
buigraaklijn in X.

De verbindingslijn van Y met een der basispunten van
(c°) raakt eveneens aan 11.

Om dit aan te toonen kiezen wij O3 in het basispunt B
en als coördinatenassen xi = 0 en 3^2=0 de raaklijnen in jB
aan twee krommen cquot;. Wij kunnen nu den bundel voor-
stellen door de vergelijking:

[x, nbsp; ...) A (a^jo^r\' nbsp;• • •) = O,

waarin «t^ en v^ homogene functies van den jfquot; graad van
Xi en X2 zijn. Eliminatie van A uit deze vergelijking cn de
vergelijking (yj ~ M- • •.) A (y^ - ^ -f ...) = O geeft

= 0

ofnbsp;K 2/2 - 2/1-^2)\'iquot; O,

de vergelijking der poolkromme van Y t. 0. v. den bundel.
De term van den graad 2 — 1 in .\'-s ontbreekt, zoodat 11
door O3 = li gaat, terwijl .«1 y» - t/i •\'^2 = O de vergelijking
is der raaklijn in O3 aan 11. .Vi ?/« — 7/1 = O stelt tevens
de lijn Y Os voor, zoodat Y O3 = Y li in O3 = B raakt aan n.

De raaklijnen uil Y aan 11 kan men dus in twee groepen
verdeden. Do eerste groep bevat de buigraaklijnen uit Y
aan de exemplaren van (cquot;), de tweede groej) de n^ verbin-
dingslijnen van Y met dc basispunten van den bundel.

Aangezien het totale aantal der raaklijnen uit Y aan U
4 _ 6 bedraagt, gaan er dus ^n^ —6 n — n^ = 3 « (n—2)
buigraaklijnen aan krommen c° door Y. Even zoovele door
F gaande hoofdraaklijnen van {Fquot;) liggen^ in het vlak V.

Onder den graad van een stralencomplex verstaat men het
aantal stralen in een willekeurigen waaier.

Hieruit volgt:

De hoofdraaUynen van (Fquot;) vormen een stralencomplex van
den graad 3n(n — 2).

§ 19. In § 16 zagen wij, dat Y Z \'m het punt r=6\'der
basiskromme s van a^ A = O hoofdraaklijn is aan het
exemplaar a\\ Ai = O, wanneer ai en de coördinaten
van r en Z voldoen aan de vergelijkingen = O, = O,

«r\' ^r\' ^^=^ ^yquot;\' ^r\' =^ an).

r Z is vierpuntige raaklijn in F, wanneer Y Z \'m Y vier
samenvallende punten met a° Aj == O gemeen heeft,
m. a. w. wanneer vergelijking (I) van § 16 vier wortels p = 0
heeft. Dit is het geval als M en de coördinaten van FenZ
bovendien voldoen aan de vergelijking

a\'^-^al ^b^^-Hl^O.nbsp;(IV)

De in een punt F van ff rakende vierpuntige raaklijnen
liggen dus op de kegelvlakken:

= 0nbsp;(V)

ennbsp;(VI)

die resp. van den graad drie en vier in de coördinaten van
Z zijn en dus 12 gemeenschappelijke ribben hebben.

Een van deze gemeenschappelijke ribben is de raaklijn s
in F aan «r, welke raaklijn voorgesteld wordt door de ver-
gelijkingnbsp;=0 en hyH^^O. Dat dit in het algemeen
geen in F rakende wcrpuntige raaklijn is, blijkt uit de volgende
beschouwing. Door elk willekeurig punt P gaat één oppervlak
Fquot;. Kiest men dit punt P op de in F rakende raaklijn s aan er,
dan snijdt s in het algemeen dit oppervlak Fquot; in P en
raakt F\'\\ evenals elk ander oppervlak Fquot;, in F. Nadert
P nu onbepaald lot F, dan zullen P en F eindelijk samen-

vallen en zal s in Y=P drie samenvallende punten met
dit oppervlak Fquot; gemeen hebben, m. a. w. voor dit oppervlak
in Y (fn\'epuntige raaklijn zijn.

De overige 11 gemeenschappelijke ribben vertegenwoordigen
de in Y rakende vierpuntige raaklijnen.

Y is derhalve raakpunt van 11 vierpuntige raaklijnen.

In de onderstelling dat a\'^; = 0 en = O, m. a. w. dat Y
op (T ligt, stellen de vergelijkingen (V) en (VI) dus voor de
figuur, die gevormd wordt door het raaklijnenoppervlak (s)
van (T en het regelvlak ri der vierpuntige raaklijnen, die
hun raakpunt op tr hebben.

Deze figuur snijden wij nu met de rechte —nbsp;0.

De coördinaten Zj en der snijpunten moeten nu voldoen
aan de vergelijkingen

- Hp 2 ^^nbsp;^^ f,^

-nbsp;ia, z, a^ z^V (^ ^^ h^ z^) = O
en ap ^^^ ^^ _[_ ^^ ^^ ^ ^

—nbsp; a^ z^? {b, z, b, z,) = O,

dus ook aan

a\'; - - 2 (fl, z,) [b\\ z\\ 2 b, b, z, z, bi zl]
— op Hp \' [«f z1 2 a, «2 al (b, z, b^ z^) = O
en api («j ^^ a^z^) -f ... 4
- a;; - Hp\' [«? ... «3 (i^ ^^ z^) = 0.

De gelijknamige machten van z, bij elkaar nemend krijgt men

F

Qz\\z, Rz,zl Szl=:0
en (0°—nbsp;b,) z\\

F

Q\' R- zlzl S\' z,4-\\- T\' =

Zullen deze vergelijkingen een gemeenschappelijken wortel
zi, 02 hebben, dan moet voldaan zijn aan:

P Onbsp;O O P\' Onbsp;O

Q Pnbsp;O O Q\' P\'nbsp;O

■R Q P O R\' Q\'nbsp;P\'

S Rnbsp;Q P S\' R\'nbsp;Q\' =0.nbsp;(Vil)

O Snbsp;R Q T\' S\'nbsp;R\'

O Onbsp;S R O T\'nbsp;S\'

O Onbsp;O O Onbsp;T\'

P, Q, R en S zijn elk van den graad 2n — 3, P\', Q\', R\',
S\' en T\' van den graad 2 « — 4 in de coördinaten van Y.
Het door vergelijking VII voorgestelde oppervlak is derhalve
van den graad 4 (2 n — 3) 3 (2 n — 4) = 2 (7 n — 12). Op
dit oppervlak en op a moeten liggen de punten Y der lijnen
Y Z van de door n en is) gevormde figuur, welke de rechte
2-3 = 0,04 = 0 snijden, zoodat 2n^ {7n — 12) lijnen FZvan
deze figuur de lijn 03 == O, 04 == O snijden; m. a. w. het aantal
snijpunten der bedoelde figuur met de rechte 03 = O, 04 = O
bedraagt 2 n^ (7 n — 12).

Wij snijden vervolgens het raaklijnenoppervlak (») met
de lijn 03 = O, 04 = 0.

In de onderstelling dat a^ = O, fcquot; = O, wordt (s) voorgesteld
doornbsp;= 0 ennbsp;= welke vergelijkingen voor

03 = O en 04 = O overgaan in:

Eliminatie van en z^ geeft de vergelijking:

= 0,

welke vergelijking van den graad 2n —2 in de coördinaten
van Y is. Het door deze vergelijking voorgestelde oppervlak
heeft derhalve n^ (2 n — 2) snijpunten met o-, zoodat het
raaklijnenoppervlak (5) de lijn 03 = O, «4 = O in 2 n^ (n — 1)

punten snijdt. De door n en (s) gevormde figuur heeft
2 n\'^ (7 n — 12) snijpunten met de bedoelde rechte. Hieruit
volgt, dat Ta een oppervlak is van den graad 2 n^ (7 n — 12) —

2 (n—l) = 2 71\' (6 n —11).

Be vierpuntige raaklijnen, ivaarvan de raakpunten op de
hasiskromme a liggen, vormen een regelvlak van den graad
2 n\' (6 n —11), waarop c elfvoudig is.

§ 20. Beschouwen wij nu een bundel kubische opper-
vlakken, {F\'^).

Een vierpuntige raaklijn l van F\\ met raakpunt S^ op «r
ligt geheel op dit oppervlak F\\ en snijdt een ander exemplaar
in 3 punten S^, S^, S^, die als punten van F\\ en van
Fl op (7 moeten liggen. Iedere rechte l van r^ is derhalve
een trisecante van s-. Ook omgekeerd is iedere trisecante
van lt;7 een rechte van r^. Immers door elk punt der ruimte,
dus ook door een willekeurig punt P der trisecante, gaat
één F^. Met dit oppervlak F® heeft de trisecante vier punten
gemeen, nl. P en haar drie snijpunten met tr. De trisecante
ligt derhalve op en is o. a. in elk van haar drie snijpunten
met ff vierpuntige raaklijn voor dit oppervlak, dus blykbaar
een drie maal te tellen lijn van n.

Wij zien dus, dat n hier overgaat in het drie maal te tellen
regelvlak, dat gevormd wordt door de trisecanten van lt;r.

Ter bepaling van den graad van het laatstgenoemde regel-
vlak projecteeren wij ff uit een punt O en krijgen dan een
projectie ffi, waarvan de graad eveneens 9 en dus de klasse
9 (9 — 1) — 2 (i! bedraagt. Het aantal der raaklijnen aan ff,
rustend op een willekeurige rechte p door O, is gelijk aan het
aantal der raaklijnen, die men uit het snijpunt vanj) met het
projectievlak aan ffi kan trekken, m.a.w. de graad van het raak-
lijnenoppervlak van ff is gelijk aan de klasse van a-i. Volgens
§ 19 is het raaklijnenoppervlak (i?) der basiskromme t van
een bundel (Fquot;) van den graad 2 n^ (n — 1), zoodat de graad
van het raaklijnenoppervlak der basiskromme ff van [F^)
en dus ook de klasse der projectie ari 2X3® (3 -— 1) = 36
bedraagt.

Hieruit volgt: 12 —2(1 = m of (Z = 18.

Men kan dus uit een willekeurig punt O 18 bisecanten
van (T trekken.

Kiezen wij nu het punt O op dan krijgen wij als pro-
jectie een kromme waarvan het geslacht gelijk is aan dat
van ö-i en dus ^ (9 — 1) (9 — 2) — 18 = 10 bedraagt, tra is
een kromme van den graad 8. Uit g= 10= y (8—1) (8—2) — 5
volgt nu, dat (x^ 11 dubbelpunten bezit. Door het punt O
van ö- kan men derhalve 11 trisecanten van o-trekken, zoodat
ö- een elfvoudige kromme is op het door de trisecanten
gevormde regelvlak.

Bepalen wij nu de doorsnede van een F^ met het regel-
vlak der trisecanten van «r.

Hiertoe behooren, behalve de elf maal te tellen kromme «r,
de op F^ gelegen rechten q. q snijdt nl. een ander
exemplaar F^ in drie punten, die als punten der beide
oppervlakken F^ op ff liggen; q is dus blijkbaar een trisecante
van ff. Het aantal der op F^ gelegen rechten bedraagt
(volgens § 1) 27. De bedoelde doorsnede is derhalve van
den graad 11 X 9 27 = 126. Hieruit volgt, dat het regel-
vlak der trisecanten van cr een oppervlak is van den graad
126 : 3 = 42 en dat de graad van n dus 3 X 42 = 126
bedraagt. Dit is in overeenstemming met het in § 19 ge-
vonden getal 2nM6n—11), daar [2 nM6« — 11)]^^3= 126.

door de rechten, gelegen op de exemplaren van(i\'®), d.w.z.
de trisecanten van «r. Elke rechte van een F^ is nl. voor dat
oppervlak vierpuntige raaklijn, terwijl elk punt der lijn als
raakpunt gekozen kan worden. Het oppervlak der trisecanten
is van den graad 42, hetgeen in overeenstemming is met
het feit, dat [2 (11 n — 12)] = 42.

n = 3

§ 22. Volgens § 18 is de stralencomplex der hoofdraak-
lijnen van een bundel [Fquot;) van den graad 3 n (n — 2), m. a. w.
het aantal stralen in een willekeurigen waaier bedraagt
3 n [n — 2). Uit een punt Z van vlak V kan men dus
3 n (« —- 2) in V gelegen hoofdraaklijnen trekken.

Zal het raakpunt van een door Z gaande hoofdraaklijn
evenals Z in V liggen, dan moet de hoofdraaklijn geheel
in V of het raakpunt in Z liggen.

Behalve de raakpunten van bovengenoemde 3 n (n — 2)
hoofdraaklijnen heeft de m.pl. van de raakpunten der door
Z gaande hoofdraaklijnen nog met V gemeen de raakpunten
der beide hoofdraaklijnen, di« men in Z aan het door Z
gaande oppervlak kan trekken.

De bedoelde m.pl. (F) is derhalve een kromme van den graad

3 n in - 2) 2.

Daar clk vlak door Z in Z twee punten met (P) gemeen
heeft — nl. dc raakpunten der hoofdraaklijnen inZ aan het door
Z gaande oppervlak Fquot; —, heeft de m.pl. der raakpunten
van de hoofdraaklijnen, gaande door Z, een dubbelpunt in Z.

Elke lioofdraaklijn snijdt het door haar geosculeerde
oppervlak Fquot; nog in n — 3 punten Q.

Zal een punt Q van een door Z gaande hoofdraaklijn
evenals Z in V liggen, dan moet de rechte Q Z geheel in
V liggen of Q moet met Z samenvallen.

De m.pl. der punten Q, gelegen op door Z gaande hoofd-
raaklijnen, heeft dus met V gemeen de snijpunten van elk
der 3 u (n — 2) door Z gaande cn in V gelegen hoofdraak-
lijnen met het door haar geosculeerde oppervlak, alsook de
in Z gelegen punten Q.

Volgens § 35 kan men uit Z {n^ 2) (n — 3) hoofdraaklijnen
aan het door Z gaande oppervlak Fquot; trekken; voor elk van
deze hoofdraaklijnen is Z een punt Q.

In Z liggen dus (n^ 2) (n — 3) punten Q.

De m.pl. der punten Q, gelegen op door Z gaande hoofd-
raaklijnen, snijdt V derhalve in 3 tï (n — 2) (n — 3)
{n^ 2) (n — 3) punten, zoodat deze m.pl. een kromme is
van den graad

3 n (n — 2) (n — 3) {n\' 2) {n - 3) =
2 (w — 3) (n — 1) (2 n - 1).

Vallen van een hoofdraaklijn ts het raakpunt P en een
der snijpunten Q met het geosculeerde oppervlak samen, dan
is de lijn PQ vierpuntige raaklijn in P^Q.

Ter bepaling van het aantal dezer coïncidenties projec-
teeren wij de puntenparen P, Q uit een rechte l en gebruiken
dan de bekende formule

s=p-\\- q — g.

Aangezien de m.pl. der raakpunten P van door Z gaande
hoofdraaklijnen een kromme is van den graad 3 n (n — 2) -1- 2,
liggen in een willekeurig vlak V door l 3 n {n — 2) •■}- 2
punten P. Aan elk punt P zijn « — 3 punten Q toegevoegd,
zoodat aan V zijn toegevoegd i3 n (n — 2) 2| (n — 3)
vlakken door l, resp. gaande door de punten Q, welke toe-
gevoegd zijn aan de in V gelegen punten P; m. a. w.
p = (3 „2 - 6 n 2) (n — 3).

In een willekeurig vlak W door l liggen 2 (n — 3) (n — 1)
(2 71— 1) punten Q; de m.pl. van Q is nl. een kromme van
den graad 2 (n — 3) (n — 1) (2 n — 1). Daar aan een punt Q
één punt P is toegevoegd, beantwoorden aan vlak W
2 (n — 3) (m -— 1) (2 n — 1) vlakken door l, resp. gaande door
de punten P, die toegevoegd zijn aan de in W gelegen
punten Q; m.a.w.

q = 2 (n - 3) (n - 1) (2 n - 1).

Zal het vlak door l en een punt P samenvallen met het
vlak door l en een der bij P behoorende punten Q, dan moet
P Q met l in één plat vlak liggen of P en Q moeten samenvallen.

Het kegelvlak, dat gevormd wordt door de hoofdraaklijnen,
die door Z gaan, is van den graad 3 n [n — 2), zoodat l dit
oppervlak in 3 n {n — 2) punten snijdt. Er rusten derhalve
3 n (n — 2) door Z gaande hoofdraaklijnen op l.

Elk der vlakken door l, resp. gaande door de punten
Qi, Qi,... Qn-3 van een dezer hoofdraaklijnen, valt samen
met het vlak door l en P, welk vlak dus een {n — 3)voudige
coïncidentie vertegenwoordigt.

De 3 n {n — 2) door Z gaande hoofdraaklijnen, die rusten
op l. leveren dus blijkbaar 3 n (ti — 2) van deze (n — 3jvoudige
coïncidenties, m. a. w.

^ = 3(,i — 2) (fl — 3).

Elk der overige p -h Q — ff coïncidenties is ontstaan door
het samenvallen van een punt P met één der bijbehoorende
punten Q.

Er gaan dus

(3 n\' - 6 n 2) (n — 3) -1- 2 (« - 3) (n - 1) (2 n - 1 -)
3 n (« — 2) (n — 3) = 2 (2 n\' — 3 7i 2) (n — 3)
vierpuntige raaklijnen door een willekeurig punt Z, m. a. w.

Dc vierpuntige raahlynen van een hundel (F\'*) vormen een
congrtientie van de orde 2 (n — 3) (2 n\' — 5 n 2).

De doorsneden van een bundel van oppervlakken, {!\'quot;), met
een plat vlak V vormen een bundel van krommen, (c°).

Heeft een Fquot; een in F gelegen vierpuntige raaklijn, rakend
in P, dan is dit punt P een undulatiepunt der doorsnede
cquot; van Fquot; met F; do raaklijn hoeft nl. in P vier punten
met en dus met gemeen.

Het aantal der in V gelogen vierpuntige raaklijnen is
derhalve gelijk aan hot aantal undulatieinmton van den
bundel (cquot;), welk aantal, volgens § 25, (5 (n — 3) (3 n — 2)
bedraagt.

Wij zien dus:

Dc vierpuntige raaJclynen van een bundel (Fquot;) vormen een
congruentie van dc klasse

6 (n — 3) (3 n — 2).

§ 23 Wanneer wij in een basispunt B aan elke kromme

van een bundel de raaklijn trekken, dan krijgen Avij een
raaklijnenbundel, die projectief verwant is met den bundel
der krommen; aan elke kromme is toegevoegd de in B aan
die kromme rakende raaklijn.

Een willekeurige rechte l snijdt een gquot;quot; in n punten,
Tl, T-2 ... Tv, en de in B aan deze kromme rakende rechte
in een punt S. De snijpunten van (cquot;) met l vormen een
involutie van den graad n; aan elke groep der involutie is
één punt S toegevoegd. Wij kiezen voor beide stelsels op
l hetzelfde nulpunt. Noemen wij de coördinaten der snij-
punten T van l met de krommen en de coördinaten van
de snijpunten S van l met de raaklijnen in By, dan krijgen
wij de vergelijking:

(aa;°4 h x—^...D y ^{a xquot;nbsp; 0 = 0.

Valt nu S met één der bijbehoorende punten T samen,
m. a. w. is y gelijk aan één der bijbehoorende waarden van
X, dan voldoet x = y aan de vergelijking:

^ Jia;quot; ... iv = 0,

welke vergelijking van den graad « 1 in x is. Het zal
dus n 1 maal voorkomen, dat een gquot;quot; haar raaklijn in B
snijdt in een punt van l.

Hieruit volgt:

De snijpunten der krommen van den bundel (cquot;) met haar
raaklijnen in een basispunt B vormen een kromme van den
graad n 1.

Valt l samen met een raaklijn in B aan een cquot;, dan snijdt
l deze cquot; nog in n — 2 punten T. Buiten B heeft l met

^ dus nog 11 — 2 punten gemeen, zoodat er drie snijpunten
van l met ^ in B liggen en B een drievoudig punt van
cquot; ^ is. Aangezien er dus drie punten T in B met het
bijbehoorende raakpunt samenvallen, zijn er drie krommen,

\') Zie „Over lineaire stelsels van algebraïsche vlakke krommenquot; (Zittings-
verslag van 22 April 1905, Kon. Akademie v. VVetensch., Deel XIII,
2e gedeelte, bl. 750) en „Sitzungsberichte der Akad. in Wien LXI, 86.

die hun raaklijn in B tevens snijden in I?; m. a. w. drie
krommen van den bundel hebben in B een buigpunt.

De verbindingslijn van B met een punt P van ^ is
raaklijn in B aan de door P gaande

Een raaklijn r uit B aan ^ raakt derhalve in B aan
de kromme, die gaat door het raakpunt A. r raakt in A
aan S d. i. in A liggen twee samenvallende snijpunten
van r met de door A gaande zoodat r ook in A aan de
bedoelde raakt, r is dus een dubbelraaklijn, waarvan
één der raakpunten in B ligt.

Het aantal der raaklijnen, die men uit het drievoudige
punt B van \' aan cquot; ^ kan trekken, bedraagt (n -f 1) n
— 6 - 6 = (n 4) (n - 3).
Hieruit volgt:

(n 4) (n — 3) dubbelraaklijnen hebben een harer raak-
punten in B.

Een straal l door een basispunt li snijdt elk der krommen
cquot; in n — 1 buiten B gelegen punten, zoodat op l een involutie
van den graad «— 1 ontstaat. Aangezien deze involutie
2 in — 2) dubbelpunten heeft, raken er buiten B 2 (n •— 2)
krommen aan l. Elk van deze 2 in — 2) krommen snijdt

1nbsp;nog in n — 3 punten; één snijpunt ligt nl. in het basispunt
B en twee in het raakpunt A. Op l liggen derhalve buiten B

2nbsp;in — 2) in — 3) punten S der satellietkromme iS) van B.
Ligt een der punten 8 in B, dan heeft de betrokken c°

ook in B twee punten met l gemeen, m. a. w. l raakt behalve
in A ook in B aan cquot;; l is nu blijkbaar een dubbelraaklijn
van cquot;, terwijl één der raakpunten in B ligt. Aangezien
(« 4) in — 3) dubbelraaklijnen een van haar raakpunten in
B hebben, is Ji een in 4) in — 3)voudig punt S.

Wij zien dus, dat l en iS) in B in -{- 4) in — 3) punten en
buiten B 2 in — 2) (?i — 3) punten gemeen hebben; het totale
aantal der snijpunten van l met iS) bedraagt derhalve
in 4) in - 3) 2 (n - 2) in — 3) = 3 « (n — 3).
Hieruit volgt:

De satellietkromme (5) van B is van den graad 3 n in — 3).

Aangezien aan een rechte l door B 2 (» - 2) krommen cquot;
raken, liggen op l buiten B 2 (n — 2) raakpunten A. De
poolkromme is van den graad 2 n — 1, zoodat het aantal
der in B gelegen snijpunten van l met de poolkromme
bedraagt 2 n — 1 — 2 (n — 2) = 3, m. a. w.

B is een drievoudig punt der poolkromme van B.

Aangezien het basispunt B een {n 4) (« — 3)voudig punt
van zijn satellietkromme en een drievoudig punt van zijn
poolkromme is, vallen 3 (n 4) (n - 3) der snijpunten van

deze krommen in B.nbsp;(O

De verbindingslijn l van B met een ander basispunt B\'
van den bundel snijdt een kromme cquot; buiten B en B\' nog
in n — 2 punten. De snijpunten van l met de krommen vormen
dus een involutie van den graad n — 2. Daar deze involutie
2 (n — 3) dubbelpunten bezit, raken 2 (n — 3) krommen aan
B B\'. Elk van deze krommen werpt een punt S in B\', zoodat
B\' een 2 (n — 3)voudig punt der satellietkromme van B is.

Volgens § 18 raakt B B\' in B\' aan de poolkromme van B.

In elk der overige n^ — 1 basispunten B\' liggen dus

2nbsp;(ji — 3) der snijpunten van de poolkromme en de satelliet-
kromme van B.nbsp;(^ï)

Een door B gaande buigraaklijn raakt volgens § 18 in het
buigpunt aan de poolkromme van B. Daar ook de satelliet-
kromme van B in het buigpunt raakt aan deze buigraaklijn,
hebben poolkromme en satellietkromme van B in het buigpunt

twee punten gemeen.

Door een willekeurig punt P kan men volgens § 18

3nbsp;n (j? — 2) buigraaklijnen aan exemplaren van den bundel
trekken. Valt P in B dan moet dit aantal met 9 verminderd
worden; elk der drie in B rakende buigraaklijnen moet nl.
drie maal in rekening gebracht worden.

2\\3n (n —2) —9! der snijpunten van poolkromme met
satellietkromme van B vallen derhalve in de buigpunten der
buigraaklijnen, die door B gaan.nbsp;(Hl)

Dat een buigraaklijn in B drie maal in rekening gebracht
moet worden, ziet men gemakkelijk in bij de beschouwing
van een bundel (c®).

tlit een willekeurig punt kan men 3 X 3 (3 — 2) = 9 buig-
raaklijnen aan krommen c® van den bundel trekken. Een
door een basispunt B gaande buigraaklijn l moet haar buig-
punt R in B hebben; viel R buiten B, dan had l vier
punten gemeen met de c^, waarvoor zij buigraaklijn is, nl.
drie punten in R en één punt in B, hetgeen onmogelijk is.
Door B gaan dus slechts de 3 buigraaklijnen, die hun buig-
punt in B hebben, zoodat zij blijkbaar elk drie maal geteld
moeten worden.

De overige snijpunten van poolkromme met satellietkromme
van B liggen in de raakpunten Q der door B gaande dubbel-
raaklijnen.

Vat men nl. dc dubbelraaklijn op als een raaklijn in (Ji ((^a),
dan kan men zich het tweede raakpunt Qz (Qi) ontstaan denken
door het samenvallen van twee punten S. De satellietkromme
raakt de dubbelraaklijn dus zoowel in Qi als in Q^. Daar
de poolkromme eveneens door en Qi gaat, hebben pool-
kromme en satellietkromme in Qi en in Q2 een punt gemeen.

Elk der raakpunten van de door B gaande dubbelraaklijnen
vertegenwoordigt dus blijkbaar een snijpunt van poolkromme
en satellietkromme van B.

Nu zijn poolkromme en satellietkromme van B resp. van
den graad 2 n — 1 en 3 «(w — 3), zoodat het totale aantal
der snijpunten 3 n [n — 3) (2 n — 1) bedraagt.

Van deze gemeenschappelijke punten liggen er volgens (1)
3 (n 4) {n — 3) in B, volgens (11) 2 (« — 3) («^ — 1) in de
overige basispunten en volgens (III) 2 |3 n (n — 2) — 9| in de
buigpunten der door B gaande buigraaklijnen.

De overige snijpunten liggen in de raakpunten der dubbel-
raaklijnen, die men uit B kan trekken, zoodat het aantal
van deze raakpunten bedraagt

3 n (m - 3) (2 n - 1) — 3 (n 4) (« - 3) — 2 (n — 3) (n« - 1)
— 2 13 n (n - 2) - 9| = 4 (n - 3) (n - 4) (n 1).

Aan de krommen van den bundel kan men derhalve uit B
2 (n — 3) (n — 4) {n 1) dubbelraaklijnen trekken, waarvan
geen der beide raakpunten in B valt.

§ 24. Volgens § 23 hebben {n 4) (n — 3) dubbel-
raaklijnen van den bundel (cquot;) harer raakpunten in het
basispunt B; de m.pl. (D) van de raakpunten D der dubbel-
raaklijnen gaat dus blijkbaar {n 4) {n — 3)maal door B,
m. a. w. B is een (n -f 4) (n — 3)voudig punt van (D).

Aan een willekeurige kromme cquot; kan men « (n -- 2) (n^ —9)
dubbelraaklijnen trekken; op elk van deze dubbelraaklijnen
liggen 2 punten D.

heeft derhalve met (D) buiten de basispunten n {n — 2)
(„2 _ 9) en in de basispunten n^ X (« 4) (u — 3) punten
gemeen. Het totale aantal der snijpunten van cquot; met (D)
bedraagt dus

n in - 2) in\' — 9) -f w^ (« 4) {n - 3) =
« (« - 3) (2 n\' 5 n - 6).

Hieruit volgt:

(D) is een kromme van den graad (?i — 3) (2 n^ 5 « — 6).

Elke dubbelraaklijn snijdt de betrokken kromme cquot; nog in
n — 4 punten W, terwijl men aan cquot; 7 n (n - 2) (n^ — 9)
dubbelraaklijnen kan trekken.

Door een basispunt B gaan 2 {n — 3) (n - 4) (n 1)
dubbelraaklijnen, waarvan geen der raakpunten in B ligt.
Voor elk van deze lijnen is B een punt W, zoodat B een
2 (n — 3) (n — 4) (n Dvoudig punt is van de m.pl. (W) der

snijpunten W.nbsp;,

cquot; heeft derhalve met (PF) buiten de basispunten —
(n^ _ 9) (n — 4) en in de basispunten n^ X 2 (n — 3) (?i — 4)
(n -f- 1) punten gemeen, zoodat het totale aantal der snij-
punten van cquot; met iW) bedraagt

{ n (n - 2) (n - 4) (n\' - 9) 2 n\' (n - 3) (n - 4) (/i 1) =
in (n-3)(n-4)(5n^-f 5n-6).

Hieruit volgt:

(W) is een kromme van den graad

l {n - 3) in- 4) (5 n\' 5 n - 6).

Valt voor een dubbelraaklijn r een der n — 4 punten W
samen met een der beide raakpunten D, bijv. met Di, dan
is r buigraaklijn in het punt Z)i = W en raakt bovendien
de betrokken cquot; in Do, m. a. w. r is een raaklijn h.s
(zie § 6).

Ter bepaling van het aantal der raaklijnen ti,3 van den
bundel verbinden wij de punten J) en W met een in het
vlak van den bundel gelegen punt M \').

Aan de verbindingslijn tl van M met een punt D voegen
wij nu toe de n — 4 verbindingslijnen tv van 31 resp. met
de verschillende snijpunten TF van de in D rakende dubbel-
raaklijn met de betrokken cquot;.

Aangezien (D) een kromme is van den graad {n — 3)
(2 n® 5 n — 6), snijdt een willekeurige straal d door M de
m.pl. {!)) in (n — 3) (2 Ji^ 5 vi - 6) punten I). Bij elk van
deze punten 1) behooren Ji — 4 punten W, zoodat aan
straal d zijn toegevoegd (n — 3) (2 n^ 5 « — 6) (n — 4)
stralen tv.

Daar (TH een kromme is van den graad j (n — 3) (n — 4)
(5 n\'\'^ 5 « — 6) snijdt een willekeurige straal tv door 31 de
m.pl. (TH in (n — 3) (n — 4) (5 nquot; -f- 5 n — 6) punten. Bij
elk punt \\V behooren twee punten I), zoodat aan straal w
zijn toegevoegd (n — 3) (n — 4) (5 n^ 5 n -— (gt;) stralen d.

De stralen door 31 worden dus blijkbaar gerangschikt in
een verwantschap met de kenmerkende getallen

(n - 3) (n - 4) (2 5 n - 0) cn (/i - 3) (n — 4) (5 »i^ 5 » — 6).

Het aantal der coïncidenties bedraagt derhalve

(n - 3) (n — 4) (2 jr 5 - (gt;) (n - 3) (n - 4) (5 n^ 5 n — (5)=
(n — 3) (n - 4) (7 n\' 10 n - 12).

Deze coïncidenties kunnen lot twee groepen gebracht
worden.

Do door Dr. .1. nu Viuks govolgdo nißthodo op bl. 751 van Deel
XIII der Verslagen van do Kon. Akademie van Wctensch. is gecorrigeerd
op bl, 843 van Deel XIV der genoemde Verslagen.

Eerste groep.

Gaat de dubbelraaklijn r door M, dan valt elk der ver-
bindingslijnen van M resp. met de verschillende bij het eene
raakpunt Di behoorende punten W samen met de verbin-
dingslijn van M met Du De n — 4 stralen w, welke toe-
gevoegd zijn aan de verbindingslijn van M met het andere
raakpunt Dz, vallen eveneens samen met de lijn 3ID2.

Deze dubbelraaklijn vertegenwoordigt dus 2 (« — 4) coïn-
cidenties.

Aangezien door M 2n (n — 2) (n — 3) dubbelraaklijnen aan
krommen van den bundel getrokken kunnen worden, leveren
de door M gaande dubbelraaklijnen

4 n {11 — 2) (n — 3) (n — 4) coïncidenties.

Tweede groep.

Gaat de dubbelraaklijn niet door If, dan kan een straal
d alleen dan samenvallen met een der aan hem toegevoegde
stralen iv, wanneer een raakpunt D samenvalt met een der
daaraan toegevoegde snijpunten W.

Het aantal der tot deze groep behoorende coïncidenties

bedraagt

_ 3) _ 4) (7 w^ -flO « -12) - 4 n (n—2) (n - 3) (n — 4) =
3 (n — 3) (n - 4) (w^ 6 « - 4).

Het aantal da\' rechten, toelke met een Jcromme van den
hundel (cquot;quot;) een tiveepuntige en tevens een driepuntige aanraking
hehhen, bedraagt derhalve

3(n —3)(n — 4) (n\'6n - 4).

n — 3 punten V gesneden. De 3 n (u — 2) buigraaklijnen van
leveren derhalve 3 n {n — 2) {n — 3) op gelegen punten F.
Uit een basispunt kan men 3 (w — 3) [n 1) buigraaklijnen
aan de krommen van den bundel trekken (zie § 23); voor
elk van deze buigraaklijnen is het basispunt een punt V,
zoodat (F) met 3 {n — 3) [n 1) takken door B gaat.

Wij vinden dus, dat het aantal snijpunten van met (T()
bedraagt

3 n (n — 2) {n — 3) X 3 (w — 3) (» 1),
zoodat (F) een kromme is van den graad

3 (w — 2) [n — 3) 3 w [n - 3) {n 1) =

3 {n — 3) in\' 2 » — 2).nbsp;(II)

Nu verbinden wij elk buigpunt I door een straal i en elk
punt F door een straal v met een punt O, gelegen in het
vlak van den bundel.

Daar, volgens (I), (I) een kromme is van den graad 6 (n — 1),
snijdt elke straal van den ontstanen waaier de kromme (J)
in (3 (n — 1) punten 1. Aan elk van deze snijpunten zijn
n — 3 punten V toegevoegd, zoodat bij eiken straal van den
waaier, opgevat als een lijn t, C (n — 1) (n — 3) stralen v
behooren.

Volgens (II) is (F) een kromme van den graad 3 (?i — 3)
(n^ 2 w — 2), zoodat elke straal van den waaier de kromme
(F) in 3 (n — 3) (n^ 2 « — 2) punten F snijdt. Daar aan
elk punt F één punt I is toegevoegd, behooren bij eiken
straal, opgevat als een lijn v, 3 in — 3) in- 2 « — 2) stralen i.

De stralen van den waaier met top O worden derhalve
gerangschikt in een verwantschap met de kenmerkende ge-
tallen O in - 1) in — 3) en 3 (« - 3) («« 2n — 2), zoodat
het aantal coïncidenties bedraagt

(5 („ _ 1) in - 3) 3 (n - 3) in\' 2 « - 2).
Gaat een buigraaklijn door O, dan valt do verbindingslijn
01 van O met hot op deze,buigraaklijn gelogen punt/samen
met elk der n — 3 verbindingslijnen van O met de bij I
behoorende punten F. Deze buigraaklijn vertegenwoordigt
derhalve n — 3 coïncidentie-stralen.

Daar men uit O 3n{n — 2) buigraaklijnen aan krommen
van den bundel kan trekken, leveren de door O gaande buis-
raaklijnen 3 n {n — 2) van deze [n — 3) voudige coïncidenties.

De overige 6 (w - 1) (« - 3) 3 [n — 3) 2 — 2) -
3 «(w — 2) (w — 3) coïncidenties zijn afkomstig van coïnci-
denties ƒ = F.

Het aantal undulatiepunten dei- Jcrommen van een bundel
bedraagt derhalve

G(n — 3) (3 n - 2) i).

§ 26. De hoofdraaklijnen t^, gaande door een willekeurig
punt vormen een kegelvlak van den graad 3 —2) (zie§18).
Elke beschrijvende lijn van dit kegelvlak heeft met het be-
trokken oppervlak, behalve het buigpunt, nog n — 3 punten
Q gemeen. De m.pl. van deze punten Q is volgens § 22
een kromme van den graad 2 {n — 3) (w — 1) (2 w — 1).
Wij voegen nu aan een punt Q toe de w — 4 punten Q\\
welke de door Q gaande buigraaklijn, buiten het buigpunt
en het punt Q, nog met het geosculeerde oppervlak gemeen
heeft en projecteeren de puntenparen {Q, Q\') uit een rechte l.

In een willekeurig vlak ([ door l liggen 2 (« — 3) (w — 1)
(2 w — 1) punten Q. Aan elk van deze punten Q zijn w — 4
punten Q\' toegevoegd, dus bij elk vlak q behooren 2(n —3)
in — 1) (2 w — 1) (w — 4) vlakken q door l, resp. gaande door
de punten Q\', welke toegevoegd zijn aan de in vlak q ge-
legen punten Q.

Omdat Q en Q\' verwisselbaar zijn, krijgt men een
symmetrische verwantschap; het kenmerkend getal dezer
verwantschap is 2 {n — 3) in — 1) (2 n — 1) (w — 4), zoodat het
aantal coïncidenties 4(w — 3) (« — 1) (2 n — 1) (n — 4) bedraagt.

Wanneer het vlak q door l en Q samenvalt met het
vlak q\' door l en een der aan Q toegevoegde punten Q\\
liggen l, Q en Q\' in één plat vlak, zoodat, in het algemeen,
de rechte Q Q\' de rechte l snijdt. Elke rechte Q Q\' gaat

1) De door Dr. J. de Vries gevolgde methode op bl. 752 van Deel
XIII der Verslagen van de Kon. Akademie v. Wetensch. is gecorrigeerd
op bl. 844 van Deel XIV dezer Verslagen.

door het punt Z \\ Q Q\'Z is nu dus een der buigraaklijnen,
die door Z gaan en op l rusten. Het vlak q door l en een
der fi — 3 op Q Q\'Z gelegen punten Q valt samen met elk
der vlakken door l, resp. gaande door de n — 4 bij Q be-
hoorende punten Q\'. Een dergelijke rechte ts vertegenwoordigt
derhalve een (n — 3) (n — 4)voudige coïncidentie.

Aangezien het kegelvlak, dat gevormd wordt door de rechten
welke door Z gaan, van den graad 3 n (n — 2) is, snijdt
l dit kegelvlak in 3 n {n — 2) punten. 3 n {n — 2) der door
Z gaande hoofdraaklijnen rusten derhalve op l.

Hieruit volgt:

De hoofdraaklijnen door het punt Z, die rusten op de
rechte Z, leveren 3n [n — 2) {n — 3) [n — 4) coïncidenties

Zal het vlak g door l en Q samenvallen met het vlak q
door l en een der aan Q toegevoegde punten Q\', terwijl
Q Q\' de rechte l niet snijdt, dan moeten Q en Q\' samen-
vallen.

Het aantal coïncidenties Q = Q\' bedraagt derhalve:
4 in — 3) in — 1) (2 n — 1) (n — 4) — 3 n (n — 2) (n — 3) (n - 4) =
in — 3) in - 4) (5 n~ — G » 4),

zoodat er in — 3) (n — 4) (5 n^ — 6 w 4) raaklijnen ^3,2 door
het punt Z gaan.

Hieruit volgt:

Dc raaklyncn tz.a aan de oppervlahlcen van een bundel (Fquot;)
vonnen een congruentie van de orde

(n - 3) (n - 4) (5 n^ ~Gn-{- 4).

Wij vinden dus, dat het aantal in F gelegen raaklijnen ia, 3
van (Fquot;) gelijk is aan het aantal raaklijnen h.H van den
bundel (cquot;), welke gevormd wordt door de doorsneden der
oppervlakken Fquot; met F. Volgens § 24 is laatstgenoemd
aantal gelijk aan 3 (« - 3) (n - 4) (n\' 6 n — 4).

Hieruit volgt:

Be raaUijnen h, 3 aan de oppervlaTcken van een bundel (Fquot;)
vormen een congruentie van de Masse

3 (n - 3) (n - 4) (n^ G n — 4).

§ 28. Beschouwen wij nu de hoofdraaklijnen in een punt S
der basiskromme lt;7 van den bundel (-F°) aan de oppervlakken Fquot;.

Deze rechten ts vormen volgens § 17 een kubisch kegel-
vlak. In een willekeurig vlak V door S liggen derhalve drie
hoofdraaklijnen ta, die haar osculatiepunt in S hebben. Elk
van deze rechten ta snijdt het door haar geosculeerde opper-
vlak nog in « — 3 punten Q.

S is raakpunt van elf vierpuntige raaklijnen (zie § 19),
dus elf punten Q liggen in S, m. a. w. S is een elfvoudig
punt der m.pl. (Q) van de punten Q.

Hieruit volgt:

Het aantal snijpunten van met V bedraagt 3 (n — 3)
^ ^^ _nbsp;2, zoodat (lt;?) een kromme is van den graad

3 « 2.

Wij voegen nu aan een punt Q toe de w — 4 buiten het
buigpunt en het punt Q gelegen snijpunten (?\' van S Q met
het betrokken oppervlak en projecteeren de puntenparen
((?, Q\') uit een rechte l.

In een willekeurig vlak q door l liggen 3 « -H 2 punten Q,
daar (Q) een kromme is van den graad 3 n 2. Aan elk
punt Q zijn n — 4 punten Q\' toegevoegd, zoodat bij vlak q
behooren (3 n 2) (n - 4) vlakken q\' door l, resp. gaande
door de punten Q\', die toegevoegd zijn aan de in q gelegen
punten Q.

Deze\' symmetrische verwantschap heeft dus het kenmerkend
getal (3 n 2) {n — 4), zoodat het aantal coïncidenties
2 (3 n 2) {n — 4) bedraagt.

De rechte l snijdt bovengenoemd kubisch oppervlak in drie
punten. Op l rusten dus drie der hoofdraaklijnen in S. Elk
van deze hoofdraaklijnen levert een (n — 3) (?i — 4)voudige
coïncidentie, daar het vlak door l en een der n — 3 punten
Q, gelegen op een l snijdende rechte samenvalt met elk
der vlakken door l, resp. gaande door de n — 4 aan Q
toegevoegde punten Q\'.

De overige 2 (3 n 2) (n — 4) — 3 (n — 3) ()i — 4) coïnci-
denties zijn afkomstig van coïncidenties Q = Q\'. Het aantal
der in een punt S van de basiskromme o- ftsculeerende raak-
lijnen bedraagt dus

2 (3^1 2) [n —4) - 3 (n - 3) (n -4) = (n - 4) (3m 13), m.a.w.

het oppervlak (Ps), gevormd door de osculatiepunten J?8
der raaklijnen van {F°), gaat met (n — 4) (3 ji 13)
bladen door c.

§ 29. Om den graad van (JJs) te bepalen, beschouwen wij
de doorsnede van (Eb) met een oppervlak Fquot; van den bundel.

Volgens § 8 vormen de osculatiepunten der hoofdraaklijnen
ti.z van Fquot; een kromme van den graad n{n — A) (3n^ 5n —24).

Behalve deze kromme hebben [lia) en Fquot; nog gemeen de
(n — 4) (3 n 13)maal te tellen basiskromme o-, zoodat de
doorsnede van (iïs) met Fquot; een kromme is van den graad

n (n - 4) (3 ir 5 — 24) n\' (n - 4) (3 n 13) =
6 n (n — 1) (n — 4) (n 4).

Hieruit volgt:

Be osculatiepunten der IvoofdraaUijnen ti,s van (Fquot;) vormen
een oppervlak van den graad

(5 (n — 1) (n - 4) (n 4).

punten met aquot; en dus met elk oppervlak Fquot; gemeen. De
snijpunten van 5 met de oppervlakken Fquot; vormen derhalve
een involutie van den graad n — 2.

Vallen twee der n — 2 buiten S gelegen snijpunten van s
met Fquot;, nl. Si en S2, samen, dan raakt s in het punt = S2
aan Fquot; ] aangezien s in 5 aan «r en dus aan elk oppervlak
Fquot; raakt, is 5 voor dit oppervlak Fquot; een dubbelraaklijn,
waarvan een der raakpunten in S ligt.

De involutie van den graad 71 — 2 heeft 2 (n — 3) dubbel-
punten, dus komt het 2 (n — 3)maal voor, dat twee buiten
S gelegen snijpunten van s met een der oppervlakken F\'\'
samenvallen; 5 is dus voor 2 (n — 3) oppervlakken een dubbel-
raaklijn, waarvan een der raakpunten in S ligt, m. a. w. s is
een 2 (n — 3)maal te tellen lijn van het oppervlak (d).

Het raakvlak F in iS aan een der oppervlakken Fquot; van
den bundel snijdt Fquot; volgens een kromme cquot;, die in S een
dubbelpunt heeft (zie de inleiding).

Een dubbelraaklijn d aan Fquot; zal, als raaklijn in S aan Fquot;,
in dit raakvlak F liggen en daar d Fquot; nog in een tweede
punt raakt, is d een raaklijn uit S aan de doorsnede cquot;.

Het dubbelpunt S van cquot; verlaagt de klasse van cquot; met
twee, zoodat men uit een willekeurig punt P van F «(n — 1) — 2
raaklijnen aan cquot; kan trekken. Ligt P in het dubbelpunt S,
dan moet dit aantal nog met vier verminderd worden, zoodat
men uit S n (n — 1) — O raaklijnen aan cquot;, of wel dubbel-
raaklijnen aan i^quot;, kan trekken; iedere rechte in F door S
raakt nl. in S aan F° als lijn door S van het raakvlak in
S aan

In het vlak F door 5 liggen derhalve n{n— 1) — 0 dubbel-
raaklijnen d en bovendien de 2 (/t — 3)maal als dubbelraaklijn
d te tellen rechte 5; 5 ligt nl. als raaklijn in S aan de op
F\'\' gelegen kromme «r in hel raakvlak in S aan Fquot;.

De graad der doorsnede van F met hel kegelvlak (d)

bedraagt dus

(„ _ 1) _ G 2 (n — 3) = (« - 3) (n 4).

Hieruit volgt:

Het kegelvlak (rf), gevormd door de dubbelraaklijnen d

vannbsp;waarvan een der raakpunten in het punt S der

basiskromme tr ligt, is van den graad

in - 3) (n 4).

§ 31. Het kegelvlak (fZ) snijdt dus een willekeurig vlak
W door S volgens (/lt; — 3) {n -f 4) lijnen d, die elk het
betrokken oppervlak, behalve in S, nog in een tweede punt,
2?2, raken.

In W liggen, behalve deze {n — 3) {n 4) punten Bi,
nog de in S gelegen punten Bo.

Wanneer voor een dubbelraaklijn d het tweede raakpunt,
J?2, eveneens in S ligt, dan heeft d in S met het betrokken
oppervlak vier samenvallende punten gemeen, m. a. w. r is
voor dit oppervlak Fquot; een vierpuntige raaklijn in S.

Volgens § 19 hebben elf vierpuntige raaklijnen ti haar
raakpunt in een punt S der basiskromme a- van een bundel
(7^°), zoodat S een elfvoudig punt E2 is.

In W liggen derhalve (n — 3) {n 4) 11 punten i?2.

Hieruit volgt:

De m.pl. (7?2) der tweede raakpunten Bz is een kronune
van den graad m — 1.

Hieruit volgt:

De m.pl. (F) is een kromme van den graad
(n - 4) (n\' 4n-{-l).

§ 83. Valt een der punten V samen met het tweede
raakpunt Bz, dan heeft cZ in S en i?2 resp. 2 en 3 punten
met het betrokken oppervlak gemeen, m. a. w. d is een raak-
lijn waarvan het raakpunt in S ligt.

Ter bepaling van het aantal coïncidenties Rz = V, voegen
wij aan een punt Rz tóe de met Ri op een dubbelraaklijn
d gelegen punten V en projecteeren de puntenparen {Rz, V)
uit een rechte 1.

In een willekeurig vlak a door l liggen {n — 4) -f 4 n 1)
punten V, daar (F) een kromme is van den graad (n — 4)
[n^ 4 1). Aan elk dezer punten F is één punt Ri
toegevoegd, zoodat bij hetvlaka behooren (n — 4) (n2 4?i l)
vlakken door Z, resp. gaande door de verschillende punten
i?2, welke toegevoegd zijn aan de in « gelegen punten F.

Het eene kenmerkende getal der verwantschap, waarin de
vlakken door l gerangschikt worden door de verwantschap
{Ri F), is dus

{n — 4) («2 4 n 1).

In een vlak (5 door l liggen n^ n — 1 punten Ri, daar
de m.pl. (jRz) een kromme is van den graad n^ »t — 1.
Aan elk punt Ri zijn n — 4 punten F toegevoegd, zoodat
bij vlak ti behooren (n — 4) (n^ n — 1) vlakken door l,
resp. gaande door de verschillende punten F, die toegevoegd
zijn aan de in (i gelegen punten i?2.

Voor het tweede kenmerkende getal der verwantschap,
waarin de vlakken door l gerangschikt worden, vinden wij dus
(n - 4) in\' n - 1).

Hieruit volgt:

Het aantal coïncidenties bedraagt:

(„ _ 4) {n\' 4- 4 „ -f- 1) (n — 4) {n\' n — 1).

Daar het kegelvlak, dat gevormd wordt door de dub-
belraaklijnen d, van den graad (n — 3) (n 4) is, snijdt l

dit kegelvlak in (« — 3) (w -f- 4) punten, d. w. z. er rusten
{n — 3) (w 4) rechten d op l. Elk dezer (n — 3) (n 4)
dubbelraaklijnen vertegenwoordigt een (n 4)voudige coïnci-
dentie. Het vlak door l en het op een l snijdende lijn d gelegen
punt i?2 valt nl. samen met elk der w — 4 vlakken door l, resp.
gaande door de verschillende aan Bz toegevoegde punten F.

De overige O? — 4) (n\' 4 n 1) (n — 4) (n® -f- « _ i) _
(n — 3) (n -f- 4) (n — 4) coïncidenties zijn afkomstig van coïn-
cidenties R=V.

Hieruit volgt:

Het aantal raaklijnen ^2,3, waarvan het raakpunt in Sligt,
bedraagt:

(n _ 4) (n^ 4 « 1) (n - 4) (n® n - 1) - (n -3)
{n 4) (n — 4) = (n — 4) (n^ 4 n 12).

In vallen derhalve {n — 4) (n^ 4 ?i -f 12) raakpunten
R van raaklijnen ^2,3 samen, zoodat (t een (n—4) 12)
maal te tellen kromme van het door genoemde raakpunten
gevormde oppervlak [R) is.

Ter bepaling van den graad van {R) beschouwen wij de
doorsnede van dit oppervlak met een oppervlak

Volgens § 6 vormen de raakpunten R der raaklijnen t%n
van een oppervlak Fquot; een kromme van den graad
n (n — 2) (n — 4) 2 71 12).

Behalve deze kromme hebben Fquot; en (R) nog gemeen de
(« — 4) («^ -f n 12)maal te tellen basiskromme a-.

De graad der doorsnede van Fquot; met {R) bedraagt derhalve
n (n - 2) (n - 4) (n\' 2 « 12) n\' (n - 4) («\'■\' 4« 12) =
2 n (ft — 4) (n» -f 2 10 71 — 12).

Hieruit volgt:

Bc raakpunten der raaklijnen t3,3 van een hundel (F¹)
vormen een oppervlak van den graad

2 (n ~ 4) (n^ 5 71® 10 n — 12).

1nbsp;waarvan het osculatiepunt ligt in het punt S der basiskromme lt;r.

Volgens § 16 is de raaklijn s in S aan (t een ribbe van
dit kegelvlak.

Een willekeurig vlak V snijdt het kubisch kegelvlak volgens
een kromme c^ De rechte s snijdt F, als lijn van het kegel-
vlak, in een punt P van deze doorsnede c®. Aangezien de
klasse van c^ 3 X 2 bedraagt, kan men uit het op c® gelegen
punt P 3X2 — 2 of 4 raaklijnen r aan c® trekken. Het
vlak door SP en r is raakvlak aan het kegelvlak, zoodat
men door s vier raakvlakken aan het kegelvlak kan leggen.

De rechte s is als raaklijn aan «r raaklijn voor elk opper-
vlak F\'\' en ligt dus in elk der raakvlakken in S, resp. aan
de verschillende oppervlakken Eén der beide beschrijvende
lijnen q van het kegelvlak, welke behalve s gelegen zijn in
een vlak W, gaande door s, bepaalt aan welk oppervlak
het vlak W raakvlak is. De tweede in TF gelegen lijn q is
de andere hoofdraaklijn in S aan het oppervlak F°, waar-
voor W raakvlak is.

Vallen de beide hoofdraaklijnen q samen, zooals dit bij
een raakvlak door s aan het kegelvlak het geval is, dan
heeft het betrokken oppervlak in S een parabolisch jnint.

Daar men door s vier raakvlakken aan het kegelvlak kan
aanbrengen, is S voor vier oppervlakken een parabolisch
punt, zoodat de basiskromme a- een viervoudige kromme is op
de m.pl. der parabolische punten van den bundel {F°).

Ter bepaling van den graad van deze m.pl. beschouwen
wij de doorsnede van bedoelde m.pl. met een oppervlak F\'\'.

Volgens § 14 vormen de op een oppervlak Fquot; gelegen
parabolische punten een kromme van den graad 4 n (n — 2).
Behalve deze kromme heeft de m.pl. der parabolische punten
van den bundel (Fquot;) met nog gemeen de vier maal te
tellen kromme lt;r, zoodat de graad van de doorsnede bedraagt:
4 n (n — 2) 4 = 8 71 (n — 1).

Hieruit volgt:

Be jiarabolische punten der oppervlakken van een bnndel
(Fquot;) vormen een oppervlak van den graad

8(n — l).

HOOFDSTUK III.

Afleiding van enkele der gebruikte formules.

§ 35. Bepaling van het aantal der huigraallijnen, die men
uit een punt Z aan het oppervlak cpquot; kan trelcken.

Snijdt men het oppervlak lt; = O met de rechte lijn Y Z,
voorgesteld door de vergelijkingen ) = A ya ^ ^^

! X3 =nbsp;IJl, Zi\'

moeten de A en ^ van elk der n snijpunten voldoen aan de
vergelijking

l«i {^yi-\\r Zi) «2 (-^2/2 /c^ Z2) «3 (a7/3 /X Zi)

a.i (a y.i ^ ^4)1quot; = O of (A fiy fjt, ajn = O of

A-^ « A» - V «r ^^TW^~\' ^\' ^^ ~ •

nbsp;=nbsp;(I)

Zal de lijn Y Z het oppervlak in Y snijden, dan ligt Y
op het oppervlak, dus a^ = O, zoodat de vergelijking gedeeld
kan worden door f^ en daardoor overgaat in:

« Aquot;-^nbsp;-t-nbsp;A«-V af .. .

.., lt; = 0.nbsp;(II)

Kik der stellen A en [m, welke aan (II) voldoen, beantwoordt
aan één der buiten T gelegen snijpunten van Fj^metaquot; = 0.

Zal Y Z het oppervlak in Y raken, dan moet één der
bovengenoemde snijpunten in Y vallen, dus moet aan (II)
voldaan worden door ^4 = 0, zoodat nu

\'y quot;z

of, daar n =}= O is, a° = Wanneer men nu ook nog
door [X deelt, gaat (lï) over in:

An - 2 «p 2 . . . ^n - 2 ^n _ 0. (III)

Zal Y Z buigraaklijn in Y zijn, dan moet bovendien
= hetgeen op overeenkomstige wijze aangetoond
kan worden.

Dus Y Z is buigraaklijn in F, als

=0

Kiest men nu een bepaald punt Z, van waaruit men de
buigraaklijnen Z Y aan het oppervlak trekt, dan moeten de
raakpunten Y liggen op de oppervlakken a° = 0, a^\'^ = O
en fly ~ ^ ~ O, welke oppervlakken resp. van den graad
n, n — 1 en n — 2 in de coördinaten van Y zijn en dus
n (n — 1) (n — 2) snijpunten hebben.

Ut\'t het punt ZTcan men dus n(n — l)(n — 2) huigraaUijnen
aan het oppervlak trekken.

Kiest men het punt Z op het oppervlak, dan moet elk der
hoofdraaklijnen aan het oppervlak met het raakpunt in Z
drie maal in rekening gebracht worden, dus

uit een op het oppervlak gelegen punt Z kan men n(n — 1)
(n ~ 2) — 6 — (n^ 2) (n — 3) huigraaklijnen trekken.

Dat elk der hoofdraaklijnen, rakend in het punt Z, drie
maal gerekend moet worden, ziet men gemakkelijk als volgt in.

Voor 71 = 3 heeft elke hoofdraaklijn door een op ge-
legen punt Z haar raakpunt in Z, daar zij anders meer dan
drie punten met het derdegraads oppervlak gemeen zou
hebben. Het aantal hoofdraaklijnen met raakpunt in Z
bedraagt 2, terwijl men uit een buiten (p^ gelegen punt
3 X 2 X 1 of 6 hoofdraaklijnen aan cp\'\' kan trekken. De
2 hoofdraaklijnen, rakend in Z, vertegenwoordigen dus 6
door Z gaande hoofdraaklijnen, zoodat zij elk drie maal
geteld moeten worden.

§ 36. Bepaling van het aantal der duhhelraaEijnen aan (p\',
waarvan een der raakpunten in het imnt C van 0quot; ligt.

Alle lijnen, die 0quot; in G raken, liggen in het raakvlak V
in G aan 0quot;. Dit raakvlak snijdt volgens een kromme
die in G een dubbelpunt heeft. Zal de in G rakende lijn
c 0quot; nog in een tweede punt raken, dan moet c een uit G
getrokken raaklijn aan pquot; zijn. Zij moet nl. nog in een
tweede punt G\' twee samenvallende punten met 0quot; en dus,
als lijn van F, met pquot; gemeen hebben. Aangezien pquot; in G
een dubbelpunt heeft is de klasse van pquot; gelijk aan n (n — 1) — 2.

Men kan door G twee raaklijnen trekken, die pquot; in G
raken, nl. één aan elk der door het dubbelpunt gaande
takken. Daar een dergelijke raaklijn in (7 drie samenvallende
punten met pquot;, en dus met 0quot;, gemeen heeft, is zij hoofd-
raaklijn voor 0quot; met raakpunt in 0, en derhalve geen in G
rakende dubbelraaklijn. Deze raaklijnen moeten dubbel
geteld worden, daar zij ontstaan zijn door het samenvallen
van twee raaklijnen, als gevolg van het tot de kromme naderen
van een punt P tot G,

Men kan dus uit G n (n — l) — 2— 2X2 = (n — 3) (n -f 2)
raaklijnen aan pquot; trekken, zoodat ook (n — 3) (n 2) dub-
belraaklijnen een van haar raakpunten in G hebben.

Uit een 2)unt G van een oppervlak 0quot; kan men dus (n —3)
(n 3) duUelraaklünen aan 0quot; trekken, die een van haar
raakpunten in G hebben.

§ 37. Bepaling van het aantal der dubbelraaklynen, die men
uit een punt Z aan een oppervlak 0quot; kan trekken.

Een plat vlak F door den top Z van het kegelvlak O,
dat gevormd wordt door de raaklijnen r, getrokken uit een
punt aan een oppervlak 0quot;, snijdt 0quot; volgens een kromme
cquot;. Aangezien men uit het punt Z n (n — 1) raaklijnen aan
de kromme cquot; kan trekken en elk dezer raaklijnen in het
raakpunt twee samenvallende punten met cquot; en dus ook met
0quot; gemeen heeft, m. a. w. een lijn r is, snijdt het vlak V
het omhullingskegelvlak volgens n (n — 1) rechten r.

Hieruit volgt:

De raaklijnen, getrokken uit een punt Z aan een opper-
vlak Cpquot;, vormen

een kegelvlak O van den graad n (n — 1).

Onder de Hasse van een oppervlak cpquot; verstaat men het
aantal raakvlakken aan cpquot;, gaande door een willekeurige
rechte A B.

Wanneer een vlak W door A B cpquot;quot; raakt in het punt C,
ligt C op op het eerste pooloppervlak van A t. o. v.
als raakpunt der raaklijn A C uit A aan cpquot;, alsook op het
eerste pooloppervlak van B t. o. v. cpquot; als raakpunt der raaklijn
B C uit B aan cpquot;, welke oppervlakken resp. van den graad
n^n—l en n—i zijn en dus n{n — iy snijpunten hebben.
Door A B kan men derhalve n {n — 1)^ raakvlakken aan 0quot;
leggen, m. a. w.

de klasse van cpquot; bedraagt n (n — 1)^

Ook door de rechte Z Y, gaande door den top Z van het
omhullingskegelvlak O, zal men dus n (n — 1)^ raakvlakken
aan cpquot; kunnen leggen. Daar elk raakvlak door Z Y aan cpquot;
tevens raakvlak aan het kegelvlak O is en ook omgekeerd
een raakvlak door Z Y aan O raakt aan cpquot;, gaan door Z Y
even zooveel raakvlakken aan O, waaruit volgt, dat ook
het kegelvlak O is een oppervlak van de klasse n (n — 1)^

Wij snijden O nu met een vlak U, gaande door het punt
Y, en krijgen dan als doorsnede een kronunenbsp;aan-

gezien O een oppervlak is van den graad n (« — 1).

Een raakvlak door YZ aan O snijdt 1/ volgens een raak-
lijn uit Taan de doorsnedenbsp;terwijl ook een raaklijn
uit r aan dc snijlijn is van 1/ met een raakvlak
door rz aan O, zoodat het aantal der raaklijnen, die men
uit r aan kan trekken, overeenstemt met het aantal
der raakvlakken aan O, gaande door YZ. Laatstgcnoeind
aantal bedraagt n (n — 1)\'^ dus

dc klasse der doorsnedenbsp;is gelijk aan n(« —1)®.

Door een beschrijvende lijn r van het kegelvlak O gaat

in het algemeen één raakvlak aan cpquot;, nl. het raakvlak in
het raakpunt ü van r. Dit vlak raakt tevens aan het
kegelvlak O.

Is r dubbelraaklijn voor 0quot;, rakend in de punten J?i en B2,
dan gaan door r twee raakvlakken aan cpquot;, resp. rakend in
Bl en R2. Deze raakvlakken zijn ook raakvlakken voor het
kegelvlak O, zoodat O blijkbaar met twee bladen door r gaat,
m. a. w. r is dubbelribbe voor het omhullingskegelvlak. De
beide raakvlakken door r snijden vlak U volgens twee raak-
lijnen aannbsp;die elkaar snijden in het snijpunt I) van
r met U, zoodat «quot;(quot;-D in B een dubbelpunt bezit.

Wij zien dus, dat elke dubbelraaklijn uit Z aan Oquot; dub-
belribbe voor het omhullingskegelvlak is, welke dubbelribbe
weer een dubbelpunt der doorsnede «quot;(quot;-D levert.

Het aantal der dubbelraaklijnen, die men uit Z aan 0quot;
kan trekken, stemt dus blijkbaar overeen met hel aantal der
dubbelpunten van

Is r een der door Z gaande hoofdraaklijnen aan 0quot;, dan
kan men zich r uil een dubbelraaklijn ontstaan denken door
hel samenvallen der raakpunten Bi en B-i. Door r gaan mi
twee samenvallende raakvlakken aan cpquot;, en dus ook aan
het kegelvlak O, zoodal O door r gaal met twee bladen, die
een gemeenschappelijk raakvlak hebben, m. a. w. r is een
keerribbe van hel omhullingskegelvlak. Deze beide samen-
vallende raakvlakken snijden vlak U volgens twee samen-
vallende raaklijnen aan de doorsnedenbsp;in het snijpunt
K van r mot U, m. a. w. heeft in K een keerjmnt.

Elke hoofdraaklijn aan 0quot;, gaande door Z, is blijkbaar
een keerribbe van het omhullingskegelvlak, welke keerribbe
weer een keerpunt der doorsnedenbsp;levert.

Hel aantal der door Z gaande hoofdraaklijnen stemt dus
blijkbaar overeen met hel aantal der keerpunten van

Volgens § 35 kan men uil een punt Z n {n — I) {n — 2)
hoofdraaklijnen aan een oppervlak 0quot; trekken jnbsp;bezit

derhalve n (n — 1) (n — 2) keerpunten.

Aangezien dc klasse eener kronnno door oen dubbelpunt
mef twee cn door een keerpunt met drie verlaagd wordt.

is de klasse der doorsnedenbsp;gelijk aan n{n — i)

\\n (n — 1) — li — 3 « (n — 1) (n — 2) — 2 maal het aantal
dubbelpunten van

Daar wij reeds gevonden hebben, datnbsp;^^ een kromme

is van de klasse n (n — 1)^ krijgen wij de vergelijking:
n („ _ 1)2 = n {n - 1) \\n {n _ 1) _ Ij _ 3 n {n — 1) {n - 2)
— 2 maal het aantal dubbelpunten van

Het aantal dubbelpunten vannbsp;bedraagt derhalve

I [n {n-1) \\n (n - 1) - 11 - 3 u (n — 1) {n - 2) - n (n-1)^] =
^n {n-l) (n-2)(n-3).

Nu is het aantal dubbelraaklijnen aan (pquot;, gaande door
het punt Z, gelijk aan het aantal dubbelpunten

Hieruit volgt:

Boor het punt Z gaan -jnCn — l) (n — 2) (n — 3) dubbel-
raaldynen aan het oppervlah cpquot;.

Beschouwen wij nu het geval, dat het punt Z ligt op het
oppervlak cp°.

Volgens § 36 kan men uit Z (n — 3) (n 2) dubbelraak-
lijnen aan 0quot; trekken, die een van haar raakpunten in Z
hebben. Elk van deze dubbelraaklijnen vervangt twee der
dubbelraaklijnen, die door een niet op cpquot; gelegen punt gaan.

Dit ziet men gemakkelijk in, wanneer men «= 4 stelt.
Ligt punt Z op 0\\ dan moet van elk der door Z gaande
dubbelraaklijnen een der raakpunten in Z liggen, daar zij
anders meer dan vier punten met het vierdegraadsoppervlak
gemeen zou hebben. Het aantal der dubbelraaklijnen, die
cpquot; in Z raken, bedraagt (4 — 3) (4 2) = 6. Deze 6 dub-
belraaklijnen moeten dus alle door Z gaande dubbelraaklijnen
vertegenwoordigen.

Het aantal dubbelraaklijnen aan 0\\ gaande door een buiten
0\' gelegen punt, bedraagt -^X4X3X2X1 = 12.

Hieruit volgt, dat elk der bovengenoemde 6 dubbelraaklijnen
dubbel gételd moet worden.

Door een buiten het oppervlak cpquot; gelegen punt kan men
j « (n—1) (« — 2) (n—3) dubbelraaklijnen aan 0quot; trekken.

Elk der (n - 3) (n 2) dubbelraaklijnen, waarvan een der
raakpunten in Z ligt, moet twee maal in rekening gebracht
worden bij de beschouwing der door Zgaande dubbelraaklijnen
Hieruit volgt:

Het aantal der duhhelraaUijnen, gaande door een op cpquot; gelegen
ptint Z en waarvan geen der raaJcpunten in Z ligt, bedraagt

{n (« — 1) (n _ 2) (n - 3) - 2 (n - 3) (n -f 2) =
I (w - 3) (n — 4) («2 -f n -I- 2).

öCiSTïS

Stellingen.

Stellingen.

Het is onmogelijk de oppervlakken en inhouden van figuren
op juiste wijze elementair te behandelen.nbsp;°

II.

De gebruikelijke behandeling van integralen over gebieden
(van een vlak) is onjuist en noodeloos lastig.

III.

De conclusie: «In een puntenreeks zijn c/^e involuties van
den tweeden graad» is onjuist.

J. A. Bakkau. Analytische Meetkunde, Deel I bl. 84.

IV.

De stelling van Stewart behoort meer op den voorgrond
gesteld te worden dan gewoonlijk geschiedt.

V.

Bij de beschrijving van flitsspectra, opgenomen met de
prisma-camera, verdient het aanbeveling de sterkte der flits-
boogjes op le geven voor ccniije punten langs den omtrek.

VI.

De besluiten van Eskeland over de intensiteitsverhoudingen

der componenten van het kwiktriplel 2p — 2s zijn niet vol-
doende door zijn proeven geslaafd,
rhys. Z. 28. 89. 1927.

VIL

De inhoud van het artikel van Wynn-\'Williams «An in-
vestigation into the Theory of the Three Point Gap» is niet

in overeenstemming met den titel.

Phil. Mag. Feb. 1926. Vol. L 2. p. 353.

VIII.

Ten onrechte meent Crommelin, dat door Jan van Musschen-
BROEK geen luchtpompen met scheeve cylinder vervaardigd

zijn.

Physica. 7. 176. 1927.

» Ï

:

•i

\' .v-^r..

\'\'^Smrn

WM;

.■\'m

\'i.y

• 1nbsp;. . •nbsp;\'I •

• / - y.:

y ■ ■