NULSTELSELS IN HET
PLATTE VLAK

bibliotheek der

rijksuniversiteit
UTRECHT.

C, M, VAN DIEREN

^ V, ,1) \'

r lt;

j! •

■Mm

»

V

•O - r\' quot;quot;^ i? \' • • \'

^^ 1
: f quot;

........ .nbsp;A^jt .......... - . .

r.

NULSTELSELS IN HET PLATTE VLAK.

\\ ■

BIBLIOTHEEK UNIVERSITEIT UTRECHT

3148 281 7

NULSTELSELS IN HET
PLATTE VLAK

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN
DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT.
OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS
Dr. B. J. H. OVINK. HOOGLEERAAR IN DE
FACULTEIT DER LETTEREN EN WIJS-
BEGEERTE. VOLGENS BESLUIT VAN DEN
SENAAT DER UNIVERSITEIT TEGEN DE
BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT DER
WIS- EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN
OP MAANDAG 27 FEBRUARI 1928. DES
NAMIDDAGS TE VIER UUR. DOOR

CATHARINA MARIA VAN DIEREN

GEBOREN TE ARNHEM.

bibliotheek der
rijksuniversiteit
UTRECHT.

DRUKKERIJ ZUIDAM — UTRECHT

Tail Mi ■e.Ta.êa^jji^M;

\'rü.:mijTi^ n. kjï quot;nir ^f^ornrx?

Hóquot;nbsp;-ir

■ .t\'^\'H iy. . ■■ ■ ■■ .

J. V

AAN MIJN OUDERS,

: : .r ittlf ..

Bij het voltooien van dit proefschrift dank ik LI, Hoog-
leeraren in de faculteit der Wis- en Natuurkunde, voor het
onderwijs, dat ik van U mocht ontvangen.

Vooral dank ik U, Hooggeleerde DE VRIES, Hooggeachte
Promotor, voor het vele, dat ik van U mocht leeren en
voor de hooggewaardeerde hulp, die ik bij de bewerking
van dit proefschrift van U mocht ondervinden.

Hooggeleerde WOLFF. de persoonlijke belangstelling, die
ik, in het bijzonder tijdens mijne schooljaren en kort voor
het aanvangen van mijne academische studie, van U mocht
ondervinden, zal mij steeds in dankbare herinnering blijven.

(,

-ÇODIJnbsp;n-.v ■ p^ioctïo\'/ Vtii jiR. ■

H jccvnbsp;h îr;-;:;-»,;\' - f. r-^\'\'

70II ,\'■//•! .{\'^nbsp;\'

-P \'IftV Tti jHOnbsp;\\ itt* . C\', -nbsp;f«

i\'ïvjjl-r-o ïf.h-fnbsp;i 1 \' t o \'

\'üVUV Uv quot;: n- («ikTS\'.\'oqdDÄ\'railHmnbsp;MJ^i... : WlU.-- iV{/5.! • J- ^

î.^:,/ i.J Mf.v ^rjî.:nbsp;.• ^ jr-.:.; ( vn-vu

INLEIDING.

De aanleiding tot het schrijven van dit proefschrift is ge-
weest de kennisname van hetgeen door Dr. Jan de Vries
omtrent vlakke nulstelsels is bekend gemaakt in de na vermelde,
in de Verslagen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen
te Amsterdam gepubliceerde, mededeelingen:
1quot;. Vlakke lineaire nulstelsels. (XXI bl. 1070].
2\'\'. Lineaire nulstelsels in het platte vlak. (XXVI bl. 1485).
3quot;. Nulstelsels in het vlak. (XXVI bl. 1142).
4quot;. Twee nulstelsels, die door een net van kubische krommen

worden bepaald. (XXV bl. 954).
5quot;. Nulstelsels, welke door lineaire stelsels van vlakke al-
gebraïsche krommen worden bepaald. (XXVII bl. 948).

Na eenige inleidende, in hoofdstuk I van dit proefschrift
samengevatte, opmerkingen, worden in de hoofdstukken II,
III, IV en V achtereenvolgens behandeld:
1Niet-lineaire nulstelsels zonder singuliere punten en stralen,
(hoofdstuk II).

2Enkel- en meervoudig singuliere punten en stralen,
(hoofdstuk III).

3quot;. Nulstelsels (lineaire of niet-lineaire), die enkel- en meer-
voudig singuliere punten en stralen bezitten, (hoofd-
stukken IV en V).

Het zesde hoofdstuk is in hoofdzaak gewijd aan de sin-
guliere punten en stralen van lineaire nulstelsels en bevat

daar van een uitgewerkte toepassing op een nulstelscl, dat
door een bundel van algebraïsche krommen wordt bepaald.

Het laatste hoofdstuk is een uitbreiding van de vierde
der bovengenoemde mededeelingen, waarbij gebruik gemaakt
is van de door Dr. Jan de Vries in zijn mededeeling „Over
netten van algebraïsche krommenquot;, (Verslagen XIII bl. 708)
berekende klasse der kromme van Zeuthen. Een aantal der
in dit hoofdstuk afgeleide uitkomsten is, langs anderen weg,
door Dr. Jan de Vries gevonden in zijn mededeeling „Ken-
merkende getallen voor netten van algebraïsche krommenquot;.
(Verslagen XXIII bl. 862).

HOOFDSTUK I.

Bepaling van een nulstelseL Singulier punt.

Singuliere rechte. Lineaire nulstclsels.

§ 1. Onder een vlak nulstelsel N {n, m) verstaat men
een wcderkeerige verwantschap tusschen de punten en de
stralen van een vlak, waarbij aan elk punt worden toege-
voegd n nulstralen door dat punt, aan eiken straat m op
hem gelegen nulpunten.

Een nulstelsel {n, m) kan bepaald worden door de ver-
gelijkingen :

(1)nbsp;I Ux = Ui X, 4- U^ X2 U3 X3 = o,

(2)nbsp;i f (x, u) = axquot; u„quot; o.

Immers, kiezen wij een rechte (u) dan bepalen deze twee
vergelijkingen m op die rechte gelegen punten, haar snij-
punten met een kromme c™, van den graad m; kiezen wc
een punt (x) dan bepalen de twee vergelijkingen n door (x)
gaande stralen, de raaklijnen uit (x) aan een kromme Kn, van
de klasse n.

Een rechte is singulier, als al haar punten nulpunten zijn.
Een punt is singulier, als al de door het punt gaande stralen
nulstralen zijn.

§ 2. Is n of m een van beide (of beide) gelijk 1, dan
spreekt men van een lineair nulstelsel.

Voor m -^ l bepalen Ux = o en f (x, u)~ax Uaquot; = oeen
nulstelsel (n, 1), waarbij door een punt n nulstralen gaan,
op een rechte slechts één nulpunt ligt, het snijpunt van die
rechte met de rechte ax Uqquot; — o. Een rechte Ux = o zal

singulier zijn, als aan de vergelijkingen u^ == o en axU«quot;—o
onafhankelijk van Xk kan voldaan worden, dus als

~ O,

3 u«quot; , a, u,,quot;
of

a, Unquot;. u., - a, u,/. u, = o,

a^ Uuquot;. U;, - 3;, Uuquot;. U2 = O,

a-j Uaquot;. U| - a, u„quot;. ai = o.

Dc eerste twee van deze vergelijkingen geven (n 1)^ op-
lossingen. Hieronder zijn er n,die volgen uituj = o en a2 Uaquot; = o.
Deze voldoen niet aan de derde vergelijking. Voor de overige
(n 1)-^— n oplossingen geldt

en

. Dus ook

of 83 Uaquot;. u, = a, Uaquot;. U3.

U,nbsp;U3

Deze voldoen dus ook aan de derde vergelijking. Derhalve:
Een nulstelsel (n, 1) is in het bezit \'van n^ n 1 singu-
liere stralen.

Een nulstelsel (1. m) kan bepaald worden door de ver-
gelijkingen :

Ux = o en f (x, u) a*quot;quot; Uq = o. Iedere rechte draagt m
nulpunten, ieder punt slechts één nulstraal.
Een nulstelsel (1, m) is in het bezit van m^ m 1 singu-
liere punten.

HOOFDSTUK II.

Een nulstelsel (n, m) zonder
singuliere punten of rechten.

§ 1. Niet-lineaire nulstelsels behoeven geen singuliere
punten of singuliere stralen te bezitten.

Stellen we in het volgende, dat n en m beide gt; 1 en
dat geen singuliere punten of stralen aanwezig zijn.
Wentelt (u) om een vast punt (y), dan geldt steeds: Uy = 0.
De meetkundige plaats der op (u) gelegen nulpunten is dan
te vinden door eliminatie van Uk uit:
Ux = O, Uy = O, a*quot;\' Uaquot; = o.

Uit de eerste twee vergelijkingen volgt:

u.,

dc derde vergelijking overgaat in

ax\'quot; ( «1 (X2 Ya—Xa y^) «2 (^3 Yi - x, y^) «3 (xi Ya—X2 Yi)}quot;= o
of, als we den determinant | a x y [3 voorstellen door (a x y) in:
(1) a^quot;quot; (« X y)quot; = O.

Daar iedere straal door (y) deze kromme buiten (y) slechts
in m punten mag snijden, is (y) op deze kromme een n-
voudig punt, waarin de n nulstralen van (y) raaklijnen
zijn.

{y)n m ^^ meetkundige plaats der, op alle door een vast punt (y)
getrokken stralen gelegen, nulpunten is een kromme
de nulkromme van (y), met vergelijking
(1) axquot; (anbsp;O. Zij is van den graad n m, met een

n-voudig punt in (y).

Eveneens:

Doorloopt (x) een vaste rechte v, dan omhullen de nul-
stralen van (x) een kromme (t;)n m met vergelijking
(2) (a u 17)quot;° Uaquot; = O, van de klasse n m, die v tot m-voudige
raaklijn heeft.

§ 2. Uit een punt (X) vertrekken n nulstralen, de raak-
lijnen aan de aan (X) toegevoegde K„. Vallen er hiervan
twee samen, dan is (X) in het bezit van een dubbelen nul-
straal. Opdat twee raaklijnen samenvallen moet (X) op de
betrokken K„ gelegen zijn. De vergelijking van K„ is in
lijncoördinaten f (X, u) = o.

Deze zal in puntcoördinaten een vergelijking F (x, X) = o
hebben. Ligt (X) op deze K„, dan moet gelden F (X, X) = o.
Dus:

De meetkundige plaats der punten, die in het bezit zijn van
een dubbelen nulstraal, is een kromme (N^^,), met vergelijking
F (.V, x) = O.

Bij ieder punt (Xi van (Nn^^ behoort een dubbele nul-
straal.

De dubbele nulstralen zullen een kromme (nj) omhullen.

Beschouwen we alleen die K„ waarop het toegevoegde
punt (X) gelegen is, dus op (Nhj) gelegen punten (X). De
hierbij behoorende krommen K„ (als omhulden van rechten

beschouwd) kunnen tot singulariteiten dubbel- of keerpunten
hebben. Het kan dus voorkomen dat (X) met zoo\'n dubbel-
of keerpünt samenvalt.

Valt {X) met een dubbelpunt van K„ samen, dan heeft
Kn in (X) twee dubbelpuntsraakhjnen, die beide een dubbelen
nulstraal voor (A) vertegenwoordigen. Deze raken dus beide
aan de kromme (Hj). Tusschen (Nhz) en (n^) is een één-een-
duidige verwantschap. De dubbele nulstraal in een punt van
(Ndj) is een raaklijn aan (n^). Komen op bovengenoemde
wijze twee raaklijnen van (nj) in hetzelfde punt van (Nn2)
samen, dan moet dit punt dus een dubbelpunt op (N n.^) zijn.
Dus : Het aantal punten, dat in het bezit is van twee dub-
bele nulstralen, is het aantal dubbelpunten van

Valt (A) met een keerpunt van zijn toegevoegde K^ samen,
dan heeft K„ in (X) één keerpuntsraaklijn, die de samenval-
ling van twee dubbelpuntsraaklijnen is. Het punt (X) is dan
ook op (Noj) een keerpunt. Het bevat dan een drievoudigen
nulstraal.

Het aantal punten, dat in het bezit is van een drievoudigen
nulstraal, is het aantal keerpunten van (Nn„).

Op een rechte (U) liggen m nulpunten, de snijpunten van
(U) met de aan (U) toegevoegde cquot;\'. Vallen twee nul-
punten samen dan is de rechte raaklijn aan deze cquot;\\ De
vergelijking van Cquot; in puntcoördinaten is f (x, U) = o. In
lijncoördinaten heeft c™ een vergelijking F\' (u, U) = o. Op-
dat (U) aan cquot; raakt, moet dus gelden F\' (U, U) = o.

De rechten, die een dubbel nulpunt bevatten, omhullen
dus een kromme (nwa) ni^t vergelijking F\' (u, u) = o.

Iedere raaklijn (U) van (nw,) bevat een dubbel nulpunt.

De dubbele nulpunten zullen op een kromme (Nj) liggen,

Beschouwen we alleen dc cquot;, waarvan de bijbehoorende
rechte (U) aan cquot; raakt. Deze cquot; (als meetkundige plaats
van punten beschouwd) kan tot singulariteiten dubbeltaak\'
lijnen en stationaire raaklijnen hebben. Het kan voorkomen
dat (U) met zoo\'n dubbelraaklijn of stationaire raaklijn
samenvalt.

Valt {U) met een dubbelraaklijn van cquot; samen, dan liggen
er op (U) twee dubbele nulpunten, die beide op (Nj) liggen.
Bij deze beide punten van (Ng) behoort dezelfde nulstraal
(U), die raaklijn aan \'\'nN2) is. Tusschen (N2) en (hno) is een
één-eenduidige verwantschap. De nulstraal, waarop een punt
van (N2) dubbel nulpunt is, is een raaklijn van (nwa).

Heeft een raaklijn aan (nN2) twee dubbele nulpunten met
(N2) gemeen, dan moet ze dubbelraaklijn van (nN2) zijn.

Valt {U) met een stationaire raaklijn van cquot; samen, dan
ligt er op (U) een drievoudig nulpunt, dat ook op (N2) ligt.
De daarbij behoorende nulstraal is dan stationaire raaklijn
van (nN2)- Dus: Het aantal stralen, dat in het bezit is van
twee dubbele nulpunten, is het aantal dubbelraaklijnen
van (nuz)-

Het aantal stralen, dat in het bezit is van een drievoudig
nulpunt, is het aantal stationaire raaklijnen van {nu2)-

§ 3. De nulkromme (P)n m van een punt P is van den
graad n 1 m en heeft in P een n-voudig punt. De klasse
van (P)n m is dus m^ 2 nm—m. Uit P vertrekken dus
m^ 2nm —m—2 n = (2 n m) (m—1) raaklijnen aan deze
nulkromme. Op deze stralen zijn twee nulpunten samenge-
vallen. Derhalve:

De klasse van de omhulde der stralen met dubbel nulpunt
(riNs) is (2n m) (m - /),

En eveneens:

De graad van de meetkundige plaats (A/nj) der punten,
die in het bezit zijn van een dubbelen nulstraal is
{2m n){n-l).

§ 4. De bij twee willekeurige rechten v en ugt; behoorende
krommen

{v)n4 m - ^ (a U v)quot; Uaquot; = O en
(w)n m~= {a U w)quot;\' Ufïquot; = o

hebben (n m)^ gemeenschappelijke raaklijnen, waartoe echter
behooren de n nulstralen van het punt vw.

Dus zijn er (n mY— n stralen, die een nulpunt op ieder
van twee gegeven rechten werpen. Hieruit volgt weer:
Wanneer een punt N een rechte v doorloopt, zullen de
overige nulpunten der bij het punt N behoorende nulstralen
op een kromme van den graad (n mY— n liggen. Deze
kromme zal enkelvoudige punten bezitten in de op v gelegen
dubbele nulpunten cn (m—l)-voudige punten in de m nul-
punten van V.

En verder:

Er zijn (n mY—m punten, die een nulstraal zenden door
ieder van twee gegeven punten. Wanneer een nulstraal n
een waaier (P) beschrijft, zullen de overige nulstralen der op
n gelegen nulpunten een kromme van de klasse (n mY—m
omhullen, die de door P gaande dubbele nulstralen tot enkel-
voudige raaklijnen zal hebben en de n nulstralen van P tot
{n — l)-voudige raaklijnen.

§ 5. Denken we aan een vaste rechte a. Een punt P
op a bevat n nulstralen.. Op ieder dier nulstralen liggen nog
m — 1 (in het algemeen niet met P samenvallende) nulpunten
Qi . . . . Qm-l. We gaan in een waaier (M) aan een
straal p = M P toevoegen eiken straal q M Q;,, waarbij

P altijd op a gelegen is én Q;, op een der nulstralen van
P nulpunt is. Aan een waaierstraal p zijn toegevoegd n(m—1)
stralen q. Beschouwen we nu een waaierstraal als een
straal q. Er zijn (n m)^—n nulstralen, die een nulpunt op
a en een op q werpen. Dus aan q zijn (n m)^ - n stralen
p toegevoegd. Het aantal coïncidenties is dus n(ni-l)
(n m)^—n. De nulkromme van M snijdt a in n m punten.
Door M gaan dus n m stralen, die een nulpunt op a be-
vatten en ieder nog m—1 andere nulpunten Q. Hierdoor
ontstaan (n m) (m.-1) coïncidenties. Er blijven dan nog
over n^ 2nm - n m coïncidenties, die ontstaan als een
punt Q met een punt P samenvalt, dus als op a een dubbel
nulpunt ligt. Dus:

De graad van de meetkundige plaats der dubbele nul-
punten, de coïncidentiekromme {N2), is n^ 2 n m — n f m.

En eveneens:

De dubbele nulstralen omhullen een kromme (oj) van de
klasse m^ -1- 2nm — m 1 n.

§ 6. De dubbele nulpunten liggen op de kromme (NjV
Op iederen nulstraal met dubbel nulpunt liggen nog m—2
andere nulpunten. Deze zullen ook op een meetkundige
plaats, de complementaire kromme, liggen. Hiervan bepalen
we den graad als volgt:

Denk weer aan een vaste rechte a. Een punt P op a be-
vat n nulstralen, die alle nog m - 1 (in het algemeen niet
met P samenvallende) nulpunten Q, . . . Qm—1 bevatten.
Wc voegen nu in een waaier (M) aan een straal lt;7, = M QA
een straal q» = M Q^ toe {fi 4=nbsp;omgekeerd. Dit doen

we voor ieder punt P van a. Beschouwen we een waaier-
straal door M als straal q^. Er zijn dan (n m)^—n nul-
stralen, die op ieder der twee vaste rechten q, en a een

nulpunt werpen. Ieder dier stralen bevat nog m—2 overige
nulpunten, die met M verbonden de aari toegevoegde
stralen g^ leveren,

Het kenmerkende getal van deze involutorische verwant-
schap is dus

(m — 2) [ (n m)^—n } en het aantal coïncidenties (Qi = ^2)
is dus 2 (m—2) {(n m)^-n]. De nulkromme van M snijdt
a in n f m punten R^. Iedere straal M Rk bevat (m—1) (m—2)
paren Q,, Qo en vertegenwoordigt dus (m—1) (m—2) coïn-
cidenties. Trekken we dus (n m) (m—I) (m—2) coïncidenties
af van het totale aantal, dan blijven er over
(m—2) (m^ 3nm m 2 n^— n) coïncidenties, die ontstaan
door het samenvallen van twee nulpunten op een straal, die
op een vaste rechte a een derde nulpunt werpt. Dit getal
is de graad van de complementaire kromme. Dus:

De meetkundige plaats der groepen van (m—2) nulpunten
gelegen op nulstralen, die een dubbel nulpunt bezitten, is
een kromme, waarvan de graad is
{m—2)(m^ 3nm m-i-2n^—n).

Eveneens:

De groepen van (n-2) nulstralen, die bij de punten be-
hooren, welke verder nog in het bezit zijn van een dubbelen
nulstraal, omhullen een kromme, waarvan de klasse is
(n—2) (n^ 3 nm m).

§ 7. Als volgt kunnen wc nu het aantal stralen met twee
dubbele nulpunten afleiden. We voegen in een waaier (M)
involutorisch aan elkaar toe de stralen i?, en naar de
enkelvoudige nulpunten N, der nulstralen met een dubbel
nulpunt N2. Een straal bevat (m—2) (m^ 3 nm m 2 n- - n)
punten Nj. Bij ieder punt Nj behoort een nulstraal met
dubbel nulpunt. Op ieder dier nulstralen liggen verder nog

m—3 enkelvoudige nulpunten. Dus is het kenmerkende getal
van deze verwantschap (m—2) (m—3) (m^ 3 nm m 2 n^ — n).
Het aantal coïncidenties is

2 (m—2) (m-3) (m^ 3 nm m Iri^—n). Door M gaan
(2n m)(m—1) stralen met dubbel nulpunt (II § Op ieder
dier stralen liggen m—2 enkelvoudige nulpunten. Deze stralen
veroorzaken dus een aantal coïncidenties gelijk aan
(m—2) (m—3) (2n m) (m—1). Trekken we dit aantal van
het totale aantal coïncidenties af, dan blijven er over
(m—2) (m—3) {(2n m)^ 3m| coïncidenties. De helft hier-
van is het aantal stralen met twee dubbele nulpunten. Dus:
In een nulstdsel {n,m) zijn

\'/„ {m- 2) {m—3) [(2n my 3m] stralen met twee dub-
bele nulpunten.

Hieruit volgt tevens:

Het aantal dubbelraaklijnen van (nN2) is

V2 {m-2) {m-3\\ ( {2n mY \\-3m].

In een nulstelsel {n. m) zijn
V2 (n—2) (n—J) [{2m ny 3n] punten met twee dubbele
nulstralen.

Het aantal dubbelpunten van (N\'^-i) is

\'/An-2) (n-3) [{2mny 3n\\.

§ 8. Het aantal stralen met drievoudig nulpunt vinden
we door de volgende verwantschap. In een waaier (M)
voegen we aan de stralen p, die M verbinden met dubbele
nulpunten Nj op nulstralen nNg toe de stralen q. die M ver-
binden met de overige op denzelfden nulstraal gelegen nul-
punten N,. Een straal p snijdt (Nj) in (n^ 2nm—n m)
punten Ng, die ieder een nulstraal geven met m—2 punten N,.
Dus is het eerste kenmerkende getal (m—2) 2nm—n m).

Een straal q snijdt de complementaire kromme in
(m—2) (m^ 3nm m 2n^-n) punten Nj. Door ieder punt
N, gaat een nulstraal, waarop een dubbel nulpunt Nj ge-
legen is. Dus het tweede kenmerkende getal is
(m—2) (m^ 3nm m 2n^—n). Het aantal coïncidenties is
(m - 2) (3 n^ 5 n m m^ 2 m — 2 n).

Door M gaan (2 n m) (m—1) stralen met dubbel nulpunt.
Op ieder dier stralen ligt een punt Nj en m — 2 punten N,.
Hierdoor ontstaat een aantal coïncidenties gelijk aan
(m —2) (2n m) (m —1). Er blijven dan nog over
(m—2) (3 n\'^ 5nm h m^ 2m—2n—2nm 2n —m^ m)=:
3(m—2)(n^ nm m) coïncidenties. Dit aantal coïncidenties,
ontstaan door het samenvallen van een punt N, met een
punt Nj, geeft ons het aantal stralen met drievoudig nul-
punt. Dus:

In een nulstelsel (n, m) zijn 3 {m—2) (n\'^ nm m) stralen
met drievoudig nulpunt.

Tevens:

Het aantal stationaire raaklijnen van {n^i) is
3{m~2) {n^ nm m).

In een nulstelsel (n, m) zijn 3{n—2) {m^ nm n) punten
met een drievoudigen nulstraal.

Het aantal keerpunten van (Nn^) is 3{n — 2) (m^ nm n).

§ 9. In een waaier (M) voegen we aan de stralen p = M N
de stralen q = M N\' toe, waarbij N en N\' nulpunten op
een zelfden nulstraal zijn en N nulpunt op p is. De m nul-
punten van een straal p bezitten ieder nog n -1 andere
nulstralen, elk met m—1 nulpunten N\'. Aan een straal p
zijn dus m(n—l)(m—1) stralen q toegevoegd. De overige
nulpunten der nulstralen, die alle een nulpunt op een straal

H

q werpen, liggen op een kromme van den graac^ (n m)^—n
(II § 4). Deze kromme en de nulkromme van M hebben
(n m) { m m)^ - n [ gemeenschappelijke punten, waartoe
de n(m - 1) niet in M gelegen nulpunten der n nulstralen
van M behooren, alsmede de m nulpunten van q, die en-
kelvoudige punten van (M)n \'quot; en (m- l)-voudige punten
van de eerste kromme zijn.

Dan blijven er nog (n m) { (n m)^—(n m — 1) } ge-
meenschappelijke punten over. Dit moeten punten zijn, die
een nulstraal door M zenden, terwijl een van hun overige
nulstralen een nulpunt op q werpt. Aan een straal q zijn dus
(n m) [ (n mj^ --(n m—1) { stralen p toegevoegd. Van de
m(n—1) (m- 1) (n m) {(n m)^—(n m—1)} coïncidenties
der verwantschap worden er (m—1) (m^ 2nm—m n) ver-
oorzaakt door de m^ -2nm—m n door M gaande dubbele
nulstralen nj, daar deze leder één nulpunt bezitten, dat twee
nulstralen door M zendt en dus ieder m--ï paren N, N\'
bevatten. Het aantal, n^ 3n^m 2nm^—n^—2nm 2n m,
der overige coïncidenties is het aantal der door M gaande
stralen, waarop een dubbel nulpunt enkelvoudig nulpunt is.
Derhalve:

De klasse van de omhulde der nulstralen, waarop een
dubbel nulpunt enkelvoudig nulpunt is, is

n^ 3n^m 2nm\'^—n^—2nm 2n m.

De nulpunten, die een dubbelen nulstraal tot enkelvoudigen
nulstraal bezitten, zijn gelegen op een kromme van den graad
m\'^ Snm^ 2n^m—m^—2nm 2m n.

§ 10. \'Het aantal gemeenschappelijke punten van de nul-
kromme (P)n ni en (Ng) is (n m) (n^4-2nm—n m). Dit
aantal is gelijk aan

(2n m) (m —1) -t- fn\'\' an^m 2nm2—n^—2nm 2n m).

Noodzakelijkerwijs moeten beide krommen dus één punt ge-
meen hebben in ieder der (2n m) (m -1) dubbele nulpunten
der door P gaande stralen hnï en, zooals te verwachten
was, één punt in ieder der

n^ 3n^m 2nm^—n^—2nm-I-2n m dubbele nulpunten, die
enkelvoudige nulpunten zijn op een door P gaanden straal
(11 § 9).

Het aantal gemeenschappelijké punten van (P)n-f-m en
(N oj) is (n m) (2m-I n) (n—1). Dit aantal is gelijk aan
2(m^ 2nm—m n) (n—2) (n^ 3nm n 2m^—m).
In verband met II § 5 en § 6 volgt hieruit dat beide krommen
tivee punten gemeen hebben in de punten N quot;2. die den dub-
belen nulstraal door P zenden, en één in dc punten N^j, die
een enkelvoudigen nulstraal door P zenden.
De kromme (A/Ho) zal in ieder van haar punten geraakt worden
door de nulkrommen van alle punten van den dubbelen
nulstraal, die bij het beschouwde punt van (A/n^,) behoort.

De raaklijnen van de omhulde (hnü) zullen in hun raak-
punt met (nN2) tevens raaklijn zijn van alle krommen (p)n m,
behoorende bij stralen p, die door het op den beschouwden
straal n^ gelegen dubbele nulpunt gaan.

§ 11. Het kan voorkomen, dat een punt op twee niet
samenvallende nulstralen dubbel nulpunt is. Dan heeft de
kromme {N2) in dat punt een dubbelpunt. We zullen zoo\'n
punt aanduiden met N2Vallen de beide nulstralen, waar-
op het punt dubbel nulpunt is, samen, dan heeft (iVj) in
dat punt een keerpunt. We zullen een dergelijk punt voor-
stellen door

En eveneens zullen we met nj^-\'^ een nulstraal aanduiden.

die van twee van zijn nulpunten dubbele nulstraal, dus
dubbelraaklijn van («2) is. terwijl dubbele nulstraal van
twee samengevallen nulpunten en dus stationaire raaklijn
van (n2) is.

Beschouwen we een verwantschap tusschen de waaier-
stralen p = M N] en q = M Niwaarbij N, een punt N quot;2
is en N,\' een der overige nulpunten van den bij N, be-
hoorenden dubbelen nulstraal. Daar de meetkundige plaats
(Nig) van den graad (2m n) (n—1) is en op iederen dub-
belen nulstraal m — 1 nulpunten liggen, waarvan n2 een
enkelvoudige nulstraal is, zijn aan een straal p dus
(m - 1) (2m f n) (n - 1) stralen q toegevoegd. De punten, die
een dubbelen nulstraal tot enkelvoudigen nulstraal hebben,
liggen op een kromme van den graad

m^-f 3nm^ 2n^ m—m^—2nm 2m n en dit is tevens het
aantal stralen p, dat aan een straal q wordt toegevoegd (II § 9).
De m^ 2nm —m n door M gaande dubbele nulstralen
bevatten m—l paren N,, N,\' en veroorzaken dus
(m - 1) (m^ 2nm—m n) coïncidenties. De overige
3n^m 3nm^—n^—4nm—m^ 3n 3m coïncidenties geven
ons het aantal dubbele nulstralen, die in het punt N^a een
dubbel nulpunt bezitten. Dat het gevonden aantal in zich
zelf duaal is, is in overeenstemming met het feit, dat iedere
straal één punt bevat.

Het aantal stralen nj^^ {tevens stationaire raaklijnen van
(n,)) is 3n^m 3nm\'^—n\'^—4nm—m^ 3n 3m.

Het aantal puntennbsp;{tevens keerpunten van (Nj)) is

3n^m 3nw}— 3n 3m.

De keerpunten van (N^) zijn gelegen op de stationaire
raaklijnen van («2).

We voegen in een waaier (M) aan elkaar toe de stralen
p = M N2 en q = M N,, waarbij N] een der overige nul-
punten is van een nulstraai, waarop het dubbele nulpunt N2
enkelvoudig nulpunt is. Een straal p snijdt (N2) in
n2 2nm —n m punten N2. die ieder op n—1 nulstralen
enkelvoudig nulpunt zijn. Ieder dier nulstralen bevat m—l
nulpunten N,. Aan een straal p zijn dus
(m—1) (n—1) (n^ 2nm—n m) stralen q toegevoegd. De
overige nulpunten van de stralen, die een nulpunt op een
straal q werpen, liggen op een kromme van den graad
(n 4 m)^—n (II § 4), die met de meetkundige plaats der dub-
bele nulpunten (n^ 2nm—n m) {(n m)^—n } puhten ge-
meen heeft. Daar dit dubbele nulpunten zijn, waarvan een
nulstraai een nulpunt op q werpt, behooren hiertoe (II § 6)
(m—2) (m^ 3nm m 4- 2n^—n) dubbels nulpunten, waarvan
de straal nN2 een nulpunt op q werpt en n^ 2nm—n m
op q gelegen dubbele nulpunten. De overigenbsp;^

(n^ 2nm — n m) | (n m)-—n }
—(m—2) (m^ 3nm m 2n^—n)—(n^ 2nm—n m) gemeen-
schappelijke punten zijn dubbele nulpunten, die enkelvoudige
nulpunten zijn op nulstralen, welke tevens een nulpunt op q
werpen. Tevens is hun aantal gelijk aan het getal, dat aan-
geeft, hoeveel stralen p aan een straal q zijn toegevoegd.
Van de n^ Sn^m yn^m^ 2nm3-3n\'-9n2m-3nm2 ón^
6nm—2n 2m coïncidenties der verwantschap worden er
(m—1) (n^ 3n^m 2nm^—n^ - 2nm 2n m) geleverd door
de door M gaande stralen, waarop een dubbel nulpunt en-
kelvoudig nulpunt is (II § 9), die ieder m—l paren N2 N,
bevatten. Dan blijven er nog

n^ 4n^m nbsp;2n^-5n^m nm^ 5n^ 2nm—m^ 3m

coïncidenties over, die ontstaan als een punt op twee nul-
stralen dubbel nulpunt is. waarbij de mogelijkheid bestaat.

dat deze twee nulstralen zijn samengevallen. Het aantal
punten (N2quot;-° Njquot;^) is de helft van dit aantal coïncidenties.

Het aantal punten (Ni\'\'-quot; N^quot;^) [tevens singuliere punten
van (No) ] is

2nm -m^ 3m).

Het aantal stralen (njquot;^\' [tevenssinguliere raaklijnen
van («2)] is y.iimquot; 4nm^ nbsp; n^ m

2nm —n^ 3n).

Daar het aantal punten N2quot;^ en stralen no^^ reeds in het
begin van deze § is afgeleid, kan door aftrekking het aan-
tal punten Naquot; quot; en het aantal stralennbsp;gevonden
worden.

§ 12. Het aantal gemeenschappelijke punten van (Nhj)
en (N2) is (2m n) (n-1) (n^ 2nm - n m) =

(1)nbsp;n^ 4n^ m 4n^ m^—2n\'\'—5n^ m—2nm^ n^ nm—2m^.
Deze moeten gelegen zijn:

1». in dc

(2)nbsp;3n2m 3nm2-n2-4nm-m2 3n 3m punten N2quot;2(II§ 11).
2°. in punten N2, die op een dubbelen nulstraal enkelvoudig
nulpunt zijn. Als volgt bepalen we het aantal dezer punten.
Denk aan een vaste rechte /. Een dubbel nulpunt N2 zendt
n — 1 nulstralen uit, waarop Nj enkelvoudig nulpunt is. Deze
nulstralen snijden I in n—1 punten P, ... Pn—I. We voegen
in een involutorische verwantschap aan een punt Pk de
overige n — 2 tot dezelfde groep behoorende punten toe.
Het kenmerkende getal van deze verwantschap is

(n—2) (n3 3n2m 2nm2—n2-2nm 2n m) (II § 9). Het
aantal coïncidenties is hiervan het dubbele. De n^ 2nm—n m
op / gelegen punten N2 veroorzaken

(n—1) (n—2) (n^ 2nm—n m) coïncidenties. Het dan nog

overblijvende aantal coïncidenties is het door ons gezochte
aantal punten Ng in het bezit van een dubbelen nulstraal\'
waarop N2 enkelvoudig nulpunt is. We vinden:

I nlt; 4n3m 4n2nbsp;In^ m-Snm^ 9nm

) — 6n—6m.
We zien nu:

De som van tweemaal het aantal (2) en het aantal (3) is
het aantal (1). Hieruit volgt, dat (iVnj) en (N2) in de eerste
soort snijpunten [de keerpunten van (/V2)] ^twe punten,
in de.\' tweede soort snijpunten slechts één punt .gemeen
hebben.

HOOFDSTUK III.

Singuliere punten en stralen.

§ 1. Wij zullen onder 5k een k-voudig singulier punt ver-
staan, waarmee bedoeld wordt dat Sk op eiken straal k nul-
punten vervangt.

Eveneens nemen we aan dat Sr een r-voudig singuliere
straal is, als s, voor elk van zijn punten r samengevallen
nulstralen vertegenwoordigt. Gaan we eerst na of de nul--
kromme van een punt Sk ook van den graad n m is. De
nulstralen van de op een rechte v gelegen punten omhullen
de kromme {v)n m. Uit Sk kan men n m raaklijnen aan
(v)n m trekken, die v in n m punten snijden. Er zijn in
den waaier (Sk) dus n m stralen, die een nulpunt op v
werpen.

De nulkromme van Sk is dus van den graad n m. Daar
iedere straal door Sk slechts m—k nulpunten buiten Sk be-
vat, moet 5k op (5k)n \'n een {n -i- k)-voudig punt zijn.

En eveneens zullen de nulstralen van de punten van den
singulieren straal s, een kromme (s;)n m van de klasse n m
omhullen, die Sr fot (n r)-voudige raaklijn heeft.

§ 2. Een nulstelsel (n, m) wordt voorgesteld door de twee
vergelijkingen:

(1)nbsp;Ux — Uj X, U2 X2 ug X3 = o,

(2)nbsp;f(x, u) = a.quot;Ua° = o.

De nulkromme van een punt (y) heeft tot vergelijking :

(3)nbsp;axquot; (a xyy — o of

(4)nbsp;Bxquot;quot; {a, (x2 Ys-x, Yi) «2 (X3 y)-xi Ya) «3 (xi Y2-X2 Yi))- = O.
Stel (y) is het punt O3. De nulkromme van O-j is dan

(5)nbsp;ax™ (oi Xo—«2 X])quot; = o, een kromme met in O3 een n-
voudig punt.

Onderstellen we nu, dat O3 een k~voadig singulier punt
is, dan moet, volgens III § 1, O3 op deze nulkromme een
(n A:)-voudig punt zijn. De vergelijking van deze nulkromme
moet dan als hoogste macht van Xg bevatten XaH-k.
Dus vergelijking (5) moet van den vorm zijn

(6)nbsp;3x11-k (b, X, b2 X2)\'\' (oi X2 —aj X,)quot; =z o.

Dit nulstelsel moet dus oorspronkelijk bepaald zijn door
de twee vergelijkingen:

(7)nbsp;Ux = U, X, U2 X2 U3 X3 = o,nbsp;^

(8)nbsp;f (x, u) = axM-k (bl x, b2 x^)\'\' u« quot; = o.

Gaan we nu na, wat de vergelijking van de nulkromme van
een willekeurig punt (y) in dit nulstelsel wordt. Daar-
voor geldt:

quot;l Yl U2 Y2 U3 Ya = O,
Ui Xi U2 X2 Ui X3 = O,

ax-n - k (bl x, b2 Xi)^ u„quot; = O.
Door eliminatie van Uk vinden we voor de vergelijking
van deze nulkromme ax^—k (b, x, b2 X2)\'\' (a x y)quot; = o. (9)

Uit deze vergelijking blijkt dat deze nulkromme in het
algemeen in het k-voudig singuliere punt O3 een k-voudig
punt heeft.

De coëfficiënt van Xgm n - k in vergelijking (9) gelijk nul
gesteld, bepaalt den raaklijnencomplex van de nulkromme
in O3. Deze coëfficiënt is van den vorm:
agm—k (bj Xi bj X2)quot;\' («2 y, —«1 y2)quot; en is dus een homogene
functie van den graad n in y, en yj, die niet van yg

afhangt. Alleen nalkcommen van punten, die op eenzelfde
door O3 gaande rechte liggen, hebben in O3 dezelfde
k raaklijnen. Dus :

In een k-voudig singulier punt heeft de nulkromme van dit
punt zelf een (n k)-voudig punt.

De overige nulkrommen hebben alle het k-voudig singuliere
punt tot k-voudig punt, terwijl nulkrommen van punten, die
op eenzelfde, door 5k gaande rechte gelegen zijn, in Sk de-
zelfde raaklijnen hebben.

En eveneeens:

De kromme (sjn m, behoorende bij een r-¥oadig singuliere
rechte, heeft die rechte tot (m r)-voudige raaklijn.

De krommen (f)n m, behoorende bij alle\'pverige rechten v,
hebben s^ tot r-voudige raaklijn, terwijl twee krommen
(y)n m en (y\')n m alleen dan s, in dezelfde punten raken,
als de bijbehoorende rechten v en y\' de rechte Sr in het-
zelfde punt snijden.

Voor k—l vinden wc dus een nulkromme (5,)quot; quot;\' met
in S, een (n l)-voudig punt; de overige nulkrommen hebben
in S, een enkelvoudig punt.

Voor r = 1 is Si van {s,)n m een (m l)-voudige raaklijn
en van dc overige krommen (v)n m een enkelvoudige
raaklijn.

§ 3. Daar we uit S^ n m raaklijnen aan de omhulde
(v)n m kunnen trekken, bestaan er dus n m nulstralen met
één nulpunt op v en k samengevallen nulpunten in Sk. Als
k~ m, dan zijn deze rechten singulier.

In een nulstelsel (n. m) kan een m-voudig singulier punt

dus slechts bestaan als gemeenschappelijk punt van n ;n
door dit punt gaande singuliere rechten.

Eveneens kan in een nulstelsel (n, m) een n-voudig singu-
liere rechte slechts bestaan, als er op deze rechte tevens
n m singuliere punten gelegen zijn.

HOOFDSTUK IV.

Een nulstclsel (n. m) met één k-voudig singulier
punt Sk en één r-voudig singuliere rechte Sr.

§ 1.nbsp;De nulkromme van een willekeurig punt P heeft in P

(zie II § 3) een n-voudig punt en in Sk een /c-voudig punt. Dus gaan
er door P (n m) (n m —1)—n (n—1)—k (k —1)—2n =
(2n m) (m—1)—k(k—1) raaklijnen aan (P)n m, die niet in
P raken. Dus de kromme {nu-^ is van de klasse
{2n m] {m-l)-k {k-1).

Eveneens:

De graad van (N^i)

(2m n) (n~l)—r (r—i).

Tevens blijkt, dat enkelvoudig singuliere punten of stralen
noch de klasse van (hnz). noch den graad van (Nbj) ver-
minderen.

§ 2.nbsp;De bij twee willekeurige rechten v en w behoorende

(zie II § 4) krommen (v)n-f m en (w)n m hebben (n m)^ gemeenschappelijke
raaklijnen, waartoe behooren de n nulstralen van het snijpunt
van V en w. Maar beide krommen hebben Sr tot r-voudige
raaklijn en zullen met Sr in het algemeen niet dezelfde raak-
punten hebben. Dus is Sr van deze beide krommen een
r^-voudig gemeenschappelijke raaklijn. Er blijven dus nog
over (n m)^—n—r^ gemeenschappelijke raaklijnen van (v)n m
en (w)n m. Dus:

Er zijn (n inY—n—r^ stralen, die een nulpunt op ieder
van twee gegeven rechten werpen.

En hieruit volgt:

Wanneer een punt N een rechte v doorloopt, zullen de
overige nulpunten der bij het punt N behoorende nulstralen
op een kromme van den graad (n mY—n—r^ liggen, die
in de op v gelegen dubbele nulpunten enkelvoudige punten
bezit en {m—l)-voudige punten in de m nulpunten van v.
Daar er n m nulstralen zijn, die een nulpunt op v werpen
en k samengevallen nulpunten in het singuliere punt Sk be-
zitten, zal deze kromme Sk tot {n m) k-voudig punt
hebben.

Eveneens:

Er zijn {n my—m—k^ punten, die een nulstraal zenden
door ieder van twee gegeven punten.

Wanneer een nulstraal n een waaier (P) beschrijft, zullen
de overige nulstralen der op n gelegen nulpunten een kromme
van de klasse (n mY—m—k^ omhullen. Deze kromme zal
de door P gaande dubbele nulstralen tot enkelvoudige raak-
lijnen hebben; ze zal de n nulstralen van P tot (n - l)-voudige
raaklijnen bezitten en de singuliere rechte s, tot (n m) r-
voudige raaklijn.

§ 3. Beschouwen we dezelfde verwantschap als in II § 5, mits
a nÏQt door 5k gaat. Een straal p geeft n(m-l) stralen q.
Er zijn (n m)^—n—r^ nulstralen met een nulpunt op a en
een op een waaierstraal q Dus een straal q geeft
(n m)^—n--r^ stralen p. Het aantal coïncidenties is dus
n(m—1) 4-(n m)2 —n—r^. De nulkromme van M snijdt a
in n-f-m punten, waardoor (n m) (m — 1) coïncidenties ont-
staan. We vinden zoo:
De graad van (Nz) is n^ 2nm—n m—r^.

En de klasse van (nj) is

m^ 2nm — m n — P.

§ 4. Beschouwen we dezelfde verwantschap als in II § 6, mits
(zie II §6) weer a niet door Sk gaat. Als we een waaierstraal als. straal
qi beschouwen, dan zijn er (n m)^ —n—r- nulstralen met
een nulpunt op Qi en een op a. Ieder dier nulstralen bevat
nog m—2 nulpunten. Het kenmerkend getal van de ver-
wantschap is dus (m—2) {(n m)^-n-r^ gt; en het aantal
coïncidenties is 2(m—2) ( (n m)^ - n - r^ De door M
gaande waaierstralen met nulpunt op a veroorzaken weer
(n m) (m—1) (m—2) coïncidenties. De nulkromme van het
punt Sk snijdt a in n m punten. Er zijn dus n m nul-
stralen met een nulpunt op a en met k samengevallen nul-
punten in Sk. (De overige nulpunten van deze n m nul-
stralen kunnen gescheiden nulpunten zijn, daar a willekeurig
te kiezen is.) De waaieistraal MSk vertegenwoordigt dus
(n m) k(k—1) coïncidenties van een straal q, met een
straal We vinden voor het resteerende aantal coïnci-
denties :

2(m—2) [ (n mj\'-n-r^ } - (n m) (m—1) (m-2)-(n .m)
k(k-l)=

(m—2)(m\'\'\' 3nm m 2n^~n) - 2(m-2)r^-(n -F m) k(k-l).

De graad van de complementaire kromme is

{m—2) (m^ 3nm m 2n^-n)-2{m—2)r\'-(n m) k{k -1).

De klasse van de duaal daaraan toegevoegde kromme is
{n-2) {n\'- 3nm n 2m^- m)—2 {n-2)k^-(n m) r{r—l).

§ 5. Beschouwen we dezelfde verwantschap als in II § 7. Een
(zie II § 7) straal q, bevat (m—2) (m^ 3nm -f m. 2n2—n)—2 (m—2)r2
— (n m)k(k—1) punten Nj gelegen op een straal met een

dubbel nulpunt. Op ieder dier stralen liggen nog m — 3 overige
nulpunten. Dus is het kenmerkende getal van deze verwant-
^ schap (m—3) ■ (m-2) (m^ 3nm m

(n m) k(k—l)j en het dubbele hiervan is het aantal coïn-
cidenties. Door M gaan (2n-f m) (m—1)—k (k—1) stralen
nN2. die ieder m—2 enkelvoudige nulpunten dragen en waar-
door een aantal coïncidenties gelijk aan
(m—2) (m-3) [ (2n m) (m-l)-k (k—l)} ontstaat. Er blijft
dus een aantal coïncidenties over gelijk aan (m—2) (m - 3)
(4n2 4nm m^ -r 3 m-4r2)-(m-3) (2n m 2) k(k - 1).
De helft hiervan is het aantal stralen met twee dubbele nul-
punten. Dus:nbsp;,

Het aantal stralen met twee dubbele nulpunten is
% (m - 2) {m-3} ( (2n mf nbsp;j - (m-3) (2n

m 2)k(k-l).

Het aantal punten, dat in het bezit is van twee dubbele
nulstralen, is

V2(n~2) (n-3) [ (2m n)^ 3n~4k\'\'}-y2 (n—3) (2m\'l-
n 2) r(r—;).

§ 6.nbsp;Beschouwen we dezelfde verwantschap als in II § 8. Een

straal p snijdt (Nj) in n^ 2nm—n m—r^ punten Na, die
ieder een straal nN2 geven, waarop m—2 punten N,. Dus
is het eerste kenmerkende getal (m—2) (n^ 2nm —n m—r^).
Een straal q snijdt de complementaire kromme in (m—2)
(m2 3nm m 2n2—n—2r^)—(n m) k(k-l) punten Ni.
Door ieder punt N, gaat een nulstraai nN2 met dubbel nul-
punt. Dus is het tweede kenmerkende getal
(m-2) (m^ -h 3nm m 2n2-n-2r2)-(n m) k(k-l).
Door M gaan (2n m) (m—1) —k(k—1) stralen nN2 met
ieder een punt Nj en m — 2 punten Nj. Hierdoor wordt een

aantal coïncidenties veroorzaakt gelijk aan
(m-2) j(2n m) (m—1)—k(k—1) }. Trekt men dit af van
de som der beide kenmerkende getallen, dan vindt men:
Het aantal stralen met drievoudig nulpunt is

3 (m-2) (n^ nm m-r^)-{n 2) k{k-l).

Het aantal punten met drievoudigen nulstraal is
3 (n—2) (m^ nm n- k^)—{m 2) r(r—/).

Opmerking: Tot het bovenstaande aantal stralen met
drievoudig nulpunt kunnen stralen behooren, die een enkel-
voudig- of tweevoudig singulier punt tot drievoudig nulpunt
hebben. Is A: = 2, dan is dit het geval met de n 2 stralen,
die in Sj aan (Sojn m raken.

Evenzoo zullen, als r = 2, tot het aantal punten met drie-
voudigen nulstraal behooren de m 2 punten, waarin S2 aan
(s2)n m raakt.

§ 7, Beschouwen we dezelfde verwantschap als in II § 9. Aan
(zie II § 9) een straal p zijn weer m (n—1) (m—1) stralen q toegevoegd.

De overige nulpunten der nulstralen, die alle een nulpunt
op een straal q werpen, liggen op een kromme van den
graad (n m)^-n—r^ (IV § 2). Deze kromme en de nul-
kromme van M hebben (n m) ((n 4-m)^ —n—r^ ] punten ge-
meen, waartoe de n(m-l) niet in M gelegen nulpunten
der n nulstralen van M behooren en de m nulpunten van q,
die enkelvoudige punten van (M)n \'n en (m —l)-voudige
punten van de eerste kromme zijn. Bovendien liggen er
(n m)k^ gemeenschappelijke punten in het punt S^, dat op
(M)n ni een /c-voudig en op de eerste kromme een (n m)
A-voudig punt is.

Ten slotte vinden we dus (n m) {(n m)^—n - r^ j—n

(tn— 1)—m (n—1) —(n = (n m) {(n m)^—(n m—1) —
(k^ r^) } gemeenschappelijke punten, hetgeen punten moeten
zijn, die een nulstraal door M zenden, terwijl een van hun
overige nulstralen een nulpunt op q werpt.

Tevens is (n m) {(n m)^—(n m—1)—(k^ r^) j het aan-
tal stralen p, die aan een straal q zijn toegevoegd. De
m^ 2nm —m n—k^ door M gaande dubbele nulstralen ver-
oorzaken (m-1) (m^ 2nm—m n—k^) der coïncidenties.
Het aantal,

n^ 3n^m 2nm^—n^— 2nm 2n — m— (n l)k^—(n m) r^,
der overige coïncidenties is het aantal der door M gaande
stralen, waarop een dubbel nulpunt enkelvoudig nulpunt is.

De klasse van de omhulde der nulstralen, waarop een
dubbel nulpunt enkelvoudig nulpunt is, is
n^ 3ri^m 2nm^—n^--2nm 2n m—(n l)k^—(n m) r^.

De nulpunten, die een dubbelen nulstraal tot enkelvoudigen
nulstraal hebben, liggen op een kromme van den graad
m^ Snm^ 2n^m—m^—2nm 2m n—(m 7) r^—{n m)k^.

§ 8.nbsp;Het aantal gemeenschappelijke punten van (P)n m en (N»)

is (n m) (n2 2nm-n m-r2).

Hiervoor kunnen we schrijven:
((2n m) (m—l)-k (k-1)} {n^ nbsp; 2nm2- n^—2nm

2n m-(n I)k2-(n m)r2| k ((n 2)k-l}.

Beide krommen hebben slechts één punt gemeen in ieder
der (2n m) (m —l)-k(k —1) dubbele nulpunten der door
P gaande stralen unj en ook slechts één punt in ieder der
n^ Sn^m 2nm^—n^—2nm 2n m—(n l)k^—(n m) r^
dubbele nulpunten, die enkelvoudig nulpunt zijn op een
door P gaanden straal (II § 10). De overige k {(n 2)k —1 j
gemeenschappelijke punten moeten in Sk vallen. Daar (P)n m

in Sk een fc-voudig punt heeft, volgt hieruit:-

De meetkundige plaats (N2) der dubbele nulpunten heeft
het k\'voudig singuliere punt tot ((n 4-2) k—1 \\-voudigpunt.

De omhulde (hj) der dubbele nulstralen zal de r-voudig
singuliere rechte tot [ (m 2) r~l yvoudige raaklijn bezitten.

Het aantal gemeenschappelijke punten van (P)n m en (N quot;2)
is (n m) {(2m n)(n—1)—r (r—l)j. Hiervoor kunnen we
schrijven 2(m^ 2nm—m n - k^) ( (n—2) (n^ 3nm n
2m2-m)-2(n-2)k^-(n m)r(r-l) [ k ] 2(n-l)k j. Ver-
gelijken we dit met IV § 3 en § 4 en II § 10, dan volgt
hieruit, dat de 2(m^ 2nm —m n—k^) gemeenschappelijke
punten gelegen zijn in de punten Nn2, die den dubbelen
nulstraal door P zenden, de (n—2) (n^ 3nm n 2m^—m) —
2(n—2)k^—(n m) r(r— 1) gemeenschappelijke punten in de
punten N ri^, die een enkelvoudigen nulstraal door P zenden
en de overige k [ 2(n—l)k j dus in Sk. Daar (P)n m in 8\'=
een Ar-voudig punt heeft, volgt hieruit:

De meetkundige plaats (^quot;2) der punten, die in het be-
zit zijn van een dubbelen nulstraal, heef t het k-voudig singu-
liere punt tot [2 n~l)kyvoudig punt.

De omhulde (nN2) der stralen met dubbel nulpunt heeft
de r-voudig singuliere rechte tot { 2(m~l) r yvoudige raaklijn.

§nbsp;Ten einde het aantal stralen af te leiden, maken we

(ziell§ll) gebruik van dezelfde verwantschap als in II § 11. Aan een
straal p zijn (m — 1) j (n—1) (2m .n)—r(r—l) j stralen q toe-
gevoegd. Aan een straal q zijn

m^ 3nm- 2n^m—m^—2nm n 2m -(m l)r^-(n m)k4
stralen p toegevoegd (IV § 7). De m^ 2nm—m n—F door
M gaande dubbele nulstralen bevatten m-1 paren N,, Nj\'

en veroorzaken dus (m—1) (m^ 2nm--m n~k-)coïncidenties.
Dat (Nn2) in een Arrvoudig singulier punt een j2(n —l)k;-
voudig punt heeft (IV § 8), moeten we opvatten alsof k, in
Sk samenvallende, punten ieder in het bezit zijn van 2(n—1)
dubbele nulstralen» Dan zijn er op ieder dier dubbele nul-
stralen Va k(k—1) paren n,, nj\' in Sk vereenigd. In het
geheel geldt het punt Sk dus voor 2(n —1). y2k(k—1) paren
nj, n,\' en het levert dus (n-llk(k—1) coïncidenties. Dan
blijft er nog een aantal coïncidenties over groot (m —1)
((n—l) (2m n)—r(r-l)} m^ anm^\' f 2n-m —m^—2nm n
2m —(m l)r^—(n m)k^—(m —1) (m^ 2nm—m n—k^)—
(n—l)k (k - 1) = 3n^m nbsp;- 4nm—m^ 3n 3m —2m r^

(m —1) r—2nk^ (n—1) k. Dit aantal blijkt weer in zich
zelf duaal te zijn.

Het aantal stralen n./\'^ {tevens stationaire raaklijnen van
{n^, die niet singulier zijn] is

Sn^m - n^—4nm-m^ 3n 3m — 2m r^ {m—1} r—
2nk\' {n-l)k.

Het aantal puntennbsp;{tevens keerpunten van (Nj)- die

niet singulier zijn) is

3n^m 3nm^—n\'^—4nm—m^ 3n 3m—2mr- (m—1) r—
2nk^ n - l)k.

De tweede in II § 11 gebruikte verwantschap zal ons ook
nu weer het aantal punten (N2\'\'\'quot; N,quot;^) geven. Aan een
straal p zijn (n—1) (m—1) (n^ 2nm —n m- r^) stralen q
toegevoegd. De overige nulpunten der stralen, die een nul-
punt op een straal q werpen, liggen op een kromme van
den graad (n m)^—n—r^ (IV § 2). Van de
(n^ 2 nm—n m—(n m)^—n—r^ j punten, die deze
kromme gemeen heeft met de kromme {N2) zijn er (m—2)

(m^ 3nm m 2n^—n)—2(m - 2) r^—(n m) k(k —1) gelegen
in punten No, waarvan de straal nN2 een enkelvoudig nul-
punt op q werpt (IV § 4); n^ 2nm —n m—r^ liggen erin
de op q gelegen dubbele nulpunten en (n m)k {(n 2) k—1 }
liggen er in Sk (IV § 2 en § 8). De overige gemeenschappelijke
punten van deze beide krommen zijn dubbele nulpunten, die
enkelvoudig nulpunt zijn op een nulstraai, welke tevens een
nulpunt op q werpt. Het aantal van deze punten is dus het
getal, dat aangeeft hoeveel stralen p er aan een straal q zijn
toegevoegd. Het aantal coïncidenties der verwantschap is:
(n—1) (m—1) (n^ 2nm—n m—r^) (n^ 2nm—n m - r^)
I (n m)^—n—r^ | —(m—2) (m^ 3nm m 2n^—n) 2 (m—2)
r^ (n m)k (k-1)—(n^ 2nm—n m—r-)—(n m) k
[ (n 2)k—1 J. De n3 3n2m 2nm-—n^—2nm 2n m-
(n l)k^—(n m)r^ door M gaande stralen, waarop een
dubbel nulpunt enkelvoudig nulpunt is (IV § 7). bevatten
ieder m—l paren N2. Nt en leveren dus (m—l) {n^ 3n^m
2nm^—n\'— 2nm 2n m—(n l)k^- (n m)r^ coïncidenties.
Er blijft dan nog een aantal coïncidenties over gelijk aan
n\'\' 4n3m 4n^m^ — 2n^—5n^m nm^ 5n^ 2nm — m^ 3m
(-2n2-4nm 2n m-4)r2 (r^) X {t^)-{n 1)^ k^

Het aantal punten {N^quot;\'quot; N^quot;^) is
V2 {nbsp; nbsp;- 2n^ - 5n^m nm^ 2nm—m\'

3m {-2n^-4nm 2n m-4) r\' (r^) X (r2)-(n If k^}.
Door aftrekken kan men het aantal punten No° quot; vinden.
Bovendien stelt bovenstaande uitkomst het aantal tweevoudige
punten van (N2) voor, waarvan er dan 3n^m 3nm^—n^—
4nm—3n 3m-2m r^ (m—l)r-2nk2 (n-l)k in
keerpunten liggen. Zooals reeds is afgeleid zal (N2) nog in
het fcivoudig singuliere punt een { (n 2) k—1) j-youc/ip
punt bezitten.

Het aantal stralen ^ is
V2 I nbsp;4n^m}—2m\'^—5nm^ n^m Sm^ lnm—n^

3n {—2m^-4nm 2m n-4)k^ (k^) X {k^)-(m ly
waarvan men het reeds bekende aantal stralennbsp;moet

aftrekken, om het aantal stralennbsp;te vinden.

Bovenstaande uitkomst is tevens het aantal tweevoudige
raaklijnen van (hj), waarvan er echter 3n2m 3nm2-n^-
4nm-m2 3n 3m—2mr2 (m-1) r-2n k^ (n-l)k
stationaire raaklijnen zijn, terwijl (hj) nog de r-voudig singu-
liere rechte tot |(m 2) r-1 ]-voudige raaklijn heeft.

Opmerking:

De in dit hoofdstuk afgeleide uitkomsten mogen niet
toegepast worden op nulstelsels, waarbij k = m ol r = n is.
[ III § 3. De nulkromme van het punt Sn, bestaat uit n m
singuliere rechten. In de in IV § 4 gebruikte verwantschap
zal de waaierstraal M S^ dus niet (n m) m (m - 1) coïncidenties
vertegenwoordigen. ]

HOOFDSTUK V.

Ëcn nulstelscl (n, m) met meerdere singuliere punten

en stralen.

§ 1. Denicen we aan een nulstelsel (n, m) met a, enkel-
voudig singuliere punten, a^ tweevoudig singuliere punten ....,
Ok fc-voudig singuliere punten en ßi enkelvoudig singuliere

rechten, ß.^ tweevoudig singuliere rechten.....ßr r-voudig

singuliere rechten.

Met dezelfde methoden, die in IV gevolgd zijn, kan dan
gevonden worden:

De klasse van (nN2) is (2n m) (m-1)-l^ak k (k—1).
De graad van (Nn2)is (2m n) (n—l)—I,ß, r(r-l).

De graad van (Nj) is n^ 2nm—n m—Sr^.

De klasse van (nj) is m^ 2nm—m n—E ot P.

De graad van de complementaire kromme is
(m-2) (m^ 3nm m 2n^~n)-2 {m—2) 2ß, r2-(n m)

Sak k(k-l).

De klasse van de duaal daaraan toegevoegde kromme is
(n—2) (n^ 3nm n 2m2-m)—2 (n-2) 2quot;cfk k^—(n m)

S/S, r(r-l).

«

Het aantal stralen met twee dubbele nulpunten is
V, (m-2) (m-3) 1 (2n m)^ 3m-4 S r^\'nbsp;(m-3)

(2n m 2)2ak k(k—1).

Het aantal punten met twee dubbele nulstralen is
V2 (n-2) (n-3) { (2m n)^ 3n-4 ^ a^ F }- V2 (n-3)
(2m n 2) S/?, r(r-l).

Het aantal stralen met drievoudig nulpunt is

3(m-2) (n^ nm m-S/;, r^Mn 2) S a^ k(k-l).
Het aantal punten met drievoudigen nulstraal is

3(n-2) (m2 nm n-Saa\')-(m 2) I. fi, r (r-1).

De klasse van de omhulde der nulstralen, waarop een dubbel
nulpunt enkelvoudig nulpunt is, is

n^ 3n^m 2nm2-n^—2nm 2n m—(n 1) S a^k^—(n m)

S fi.

De nulpunten, die een dubbelen nulstraal tot enkelvoudigen
nulstraal hebben, liggen op een kromme van den graad
m^ 3nm^ 2n-m—m^—2nm 2m n—(m 1) S fi^r\'^-
(n m) 2 «k k^

Het aantal stralen n^^^ en het aantal punten Njquot;^ is
3n2m 3nm2—n^—4nm-m2 3n 3m—2m S /J^r^ (m—1)
r-2n Sakk2 (n—l)S akk.

Het aantal punten (N^quot;\' ° Ng»^) is
V2 1 n^ 4n3m nbsp; nm^ 5nV 2nm—

m2 3m (—2n2—4nm 2n m—4) /S, r^ (L\'^ff, r^) x

■ Het aantal stralen (nj^\' ^ tia^^) is

V2 I mquot;* 4nm^ 4n^m^—2m^—5nm^ n^m 5m^ 2nm —n^
3n (—2m2—4nm 2m n -4) S a^ k^ (2 a^ k^) X
(2 «k F)-(m l)^ SA\'r^l.

Gaan we, evenals in IV § 8 geschied is, het aantal ge-
meenschappelijke punten van (P)quot; m en (Nj) bepalen, dan

vinden we, dat er hiervan S a^k {(n 2) k —1 [ in de sin-
guliere punten moeten vallen. Onderstellen we, dat (Na) in
een fc-voudig singulier punt een Xk-voudig punt heeft, dan
moet dus

2 akk [ (n 2) k-1 ) = k Xk of
E ak^k { (n 2) k-l-Xk\'} = o.

Daar deze lineaire betrekking in a^ geldt, onverschillig
welke waarde n heeft, volgt hieruit k ((n 2)k—1—Xk} = o.
Dus Xk = (n 2) k - 1.

(N2) heeft in ieder k-voudig singulier punt een {(n 2) k—1 j-
voudig punt.

(no) heeft iedere r-voudig singuliere rechte tot {(m 2) r—1},
voudige raaklijn.

En op dezelfde wijze kan afgeleid worden: (N^j) heeft
in ieder k-voudig singulier punt een { 2 (n-1) k ]-voudig
punt.

(nN2) heeft iedere r-voudig singuliere rechte tot { 2(m—1) r}-
voudige raaklijn.

§ 2. Wc zullen nu nog afleiden, hoe vaak de com-
plementaire kromme door ieder singulier punt gaat. De
gemeenschappelijke punten van een nulkromme (P)n m en
de complementaire kromme, waarvan het aantal (n m)
(m—2) (m^ -f 3nm m -f- 2n^—n)—2 (n m) (m-2) 2 r^—
(n m)2 Sokk (k-1) is. zullen gelegen zijn:
1®. In de singuliere punten. Onderstellen we. dat de com-
plementaire kromme in een fc-voudig singulier punt een IJk-
voudig punt heeft, dan is het aantal in singuliere punten
gelegen snijpunten S afkijk.

2°. In de m-2 enkelvoudige nulpunten der door P gaande
stralen nN2. Dit aantal snijpunten is dus

(m-2; {(2n m) (m-l)-2 aj, k (k—1)

3quot;. In, op niet door P gaande stralen nN2 gelegen, enkel-
voudige nulpunten, die een nulstraai door P zenden. Dit
aantal moeten we nog afleiden. Beschouwen we een ver-
wantschap tusschen de stralen qfj =MN en q2 = MN\' van
een waaier (M), waarbij N en N\' nulpunten van eenzelfden
zoodanigen nulstraai zijn, dat een zijner overige m—2 nul-
punten een anderen nulstraai door M zendt. Volgens IV § 7
behooren bij een straal q^ (n m) j (n m)^—(n m—1)—
(gt;- at k^ S fit punten, die een nulstraai door M zenden
en een anderen nulstraai bezitten, waarop een nulpunt N
ligt, dat tevens op qi is gelegen. Deze laatste nulstraai be-
zit verder nog m—2 nulpunten N\'. Het kenmerkende getal
van de verwantschap is dus

(m-2) (n m) {(n m)^-(n m-1)-(2 a^k\' gt;:r^)} en
het aantal coïncidenties is hiervan het dubbele.

De n nulstralen van M vormen n (n—1) paren nulstralen.
waarop de m—1 niet in M gelegen nulpunten (m—1) (m—2)
paren N, N\' vormen. Het aantal der hierdoor veroorzaakte
coïncidenties is n(n —1) (m — l) (m—2). De
m2 2nm—m n—Eokk^ door M gaande dubbele nulstralen
bevatten ieder m — l nulpunten, die den dubbelen nulstraai
slechts tot enkelvoudigen nulstraai hebben. Ieder dier dub-
bele nulstralen bevat dus (m—l) (m—2) paren N, N\'. Het
hierdoor veroorzaakte aantal coïncidenties is
(m— 1) (m —2) (m^ 2nm—m n—S aj, k^). (M)n m en (SÏ)n m
hebben (n m)^ gemeenschappelijke punten, waarvan er
(n k)k in Sk vallen, (ok—l)k- in de overige ^-voudig sin-
guliere punten. Za^ (f =[= A:) in de overige singuliere punten
enm —/c in de niet in Sk gelegen nulpunten der rechte MSk.
De overige (n m)^—nk—m k—^\'ok k^ gemeenschappelijke
punten zijn punten, die een nulstraai door M en een nul-
straal door Sk zenden. Op dezen laatsten nulstraai geldt Sk

voor k(k—1) paren N. N\'. Het singuliere punt Sk veroor-
zaakt dus een aantal coïncidenties gelijk aan

1nbsp;(n m)^—nk—m k— S Ok k^} k (k — 1). Alle singuliere punten
veroorzaken tezamen een aantal coïncidenties gelijk aan
(n m)^ S ak k(k-l)-n S Ok k^ (k—l)-m «k k (k-1)
2-ak k^k-1 ak F X 2 ak k (k - 1).

De overige coïncidenties kunnen slechts ontstaan als op
een niet door M gaanden straal nN2 een enkelvoudig nul-
punt ligt, dat een nulstraal door M zendt. Het aantal dier
coïncidenties is

2nbsp;(m-2) (n m) !(n m)2-(n 4-m-l)-(gt;: «kk^ S r2)|-n
(n-l)(m-l)(m—2)-(m—l)(m-2) (m- 2nm—m n-X Ok
k^)- (n m)2 Sakk (k—1) n S «k k^ (k-1) m S a^k
(k-l)-2akk2 (k-1) ^Okk\'\' X 2\'akk(k—1) en dit is
tevens het gezochte aantal snijpunten.

Wij vinden dus de gelijkheid:
(n m) (m—2) (m^ 3nm m 2n2—n) - 2 (m—2) (n m)
r2-(n m)2 2akk(k—l) = 2\'akkljk (m-2) { (2n m)
(m-1)-2 ak k (k— 1) ] 2 (m-2)(n m) {(n m)2-(n m-1)
nbsp;}-n(n-l) (m-1) (m-2)-(m-l) (m-2)

(m2 2nm—m n—2ttkk2)—(n m)2 2okk(k-l) n 2 ak k^\'
(k-l) m2akk(k-l)-2akk2(k—l) 2akk2x2«kk(k-l),
waaruit men kan afleiden:

2 Ok k Ijk = 2 ok k^ { m^\' 2nm—m-2n-2n k—2k —2 ak k
(k-1)} 2akk(k-l) (nk 3k-2). (Sk)quot; \'quot; heeft in Sk een
(n /c)-voudig punt, in alle overige A:-voudig singuliere punten
een A:-voudig punt en in alle i-voudig singuliere punten
(i k) een i-voudig punt. De klasse van (Sk)quot; n\' is dus
m^-l;2nm—m-2nk—2akk(k—1). Door Sk gaan dus
m^ 2nm—m—2nk-Eakk(k—1)—2 (n k) raaklijnen aan
(Sk)n m, die deze kromme niet in Sk raken. Op ieder dier
raaklijnen ligt één dubbel nulpunt, terwijl k der overige

nulpunten in Sk samenvallen. Deze dubbele nulpunten ver-
oorzaken, dat de complementaire kromme reeds met
k { m2 2nm—m—2n—2nk—2k—2\'afck(k—1)} takken door
Sk gaat en daar we ondersteld hebben, dat de complementaire
kromme in Sk een IJk-voudig punt heeft, kunnen wc dus
IJk = k {m2 2nm-m-2n-2nk-2k—^ok k (k-1) } Zk
stellen. Dan is

^-okk^ {m=\' 2nm-m-2n-2nk—2k-2\'akk(k- 1) j ^^akk
Zk = -^«k k^ I m^ 2nm—m —2n—2nk—2k — 2 Ok k (k—1)|
2-akk(k-l) (nk 3k-2). Dus ZokkZk^^akk (k-1) (nk
3k-2) of ^ak[k{(k-l) (nk 3k—2)-Zk j ] = o. Daar
deze lineaire betrekking in ak geldt, onverschillig welke
waarde n heeft, volgt hieruit:
Zk = (k-1) (nk 3k—2). Dus:
De complementaire kromme gaat met
{ m^ 2nm-m—2n—2nk—2k—2ak k (k—1) j k (k—l)(nk
3k~2) takken door een k-voudig singulier punt.

De duaal aan de complementaire kromme toegevoegde
kromme heeft een r-voudig singuliere rechte tot { n- 2nm—
n-2m-2m r-2r-27, r (r—i) } r (r—i) (mr 3r—2)-
voudige raaklijn.

HOOFDSTUK VI.

Lineaire nulstelsels.

§ 1. De in hoofdstuk V gevonden uitkomsten kunnen
ook toegepast worden op de nulstelsels, die n of m een
van beide, of allebei gelijk aan 1 hebben, mits rekening ge-
houden wordt met het steeds aanwezig zijn van m\'- m 1
singuliere punten bij een nulstelsel (1, m) en van n^ n 1
singuliere stralen bij een nulstelsel (n, 1) (I § 2). Hieronder
worden enkelvoudig singuliere punten en stralen verstaan.
Ofschoon bij ieder nulstelsel oo ^ nulkrommen behooren,
vormen deze alleen in een nulstelsel (1, m) een net, want
door twee willekeurige punten P en Q gaat dan slechts één
nulkromme; de daarbij behoorende waaiertop is het snijpunt
van dc bij P en Q behoorende nulstralen.

Tot de m^ 2m 1 gemeenschappelijke punten van twee
nulkrommen (P)l m en (Q)l m behooren de m nulpunten
van P Q. De overige m^ m 1 gemeenschappelijke punten
zijn m^ m 1 singuliere punten, daar ze meer dan één nul-
straal bezitten. De singuliere punten zijn dus tevens basis-
punten van het net der nulkrommen,

We gaan nu opsporen met hoeveel men het aantal enkel-
voudig singuliere punten moet verminderen, als een nul-
stelsel (1, m) in het bezit is van een A:-voudig singulier punt.
Beschouwen we het nulstelsel (1, m), dat bepaald wordt door
de vergelijkingen:

(1)nbsp;ul:=o,

(2)nbsp;a^m-k (bl xi ba Xa)quot;^ u„ = o

en dat dus O3 tot ^:-voudig singulier punt heeft. De coör-
dinaten van een singulier punt moeten onafhankelijk van
Uk aan de vergelijkingen (1) en (2) voldoen. Dus moet
gelden :

Xlnbsp;,nbsp;X2

«1 agt;-k (bj x, b2 X2)\'\' , «2 3x11—k (b, X, ba Xj)\'\'

X2nbsp;tnbsp;X3

«2 a^m-k (b, X| bi X,)\'\' , «3 a^m-k (b, X, bj Xj)*^
X3nbsp;,nbsp;X,

«3 a^ra-k (b, X, hi X2)\'\' , «1 axM-k (b, x, ba Xo)\'\'

of

(3a) a^ axquot;i-k (b, Xi b2 Xo)^ x, - Oj agt;-k(bi Xj ba X2)^ X2 = o,
(4a) «3 a^ra-k (b, Xi ba Xa)^ Xj—«2ax\'n-k(bi x, b2 x»)\'\'. X3 = o.
(5a) a, axm-k(b] Xi b2X2)\'\'. X3—a3ax\'n-k(b, X, b2 X2)\'\'. x, =0.
De eerste twee van deze vergelijkingen geven gezamenlijk
(m l)-^ oplossingen, waaronder m oplossingen volgend uit
X2 = O en 02 axin-k (bj x, bj X;)\'\' --- o. De (m 1 moverige
gemeenschappelijke oplossingen van de vergelijkingen (3a)
en (4a) voldoen niet aan Xo — o en aan 03 axH—k (bj x, b2 X2)\'\'=o.
Voor deze oplossingen geldt dus

«1 ax^-k (bi X| b2X2)\'^ ^ «2 ax quot;quot;-k (b, x, h^ X;)quot;^
X,nbsp;X2

«3 a.^m-k (b, Xl b2 X2)\'\'.
X3

Dus voldoen deze oplossingen ook aan vergelijking (5a).
Maar bij de gemeenschappelijke oplossingen van (3a) en (4a),
volgend uit X2 = o en 02 ax™—k (b, Xi bz — o, zijn er
nog k, waarvoor x, = o en X2 = o. Ook deze voldoen aan
(5a). We vinden dus in het geheel (m 1)^—m k gemeen-
schappelijke oplossingen van de vergelijkingen (3a) en (4a),
die ook aan de vergelijking (5a) voldoen. Daar vergelijking
(3a) een kromme voorstelt met in O3 een (^ l)-voudig punt

cn vergelijking (4a) een kromme met O^ tot fc-voudig punt,
geldt O3 voor k (k 1) gemeenschappelijke punten dezer
beide krommen, die ook op de kromme liggen, welke voor-
gesteld wordt door vergelijking (5a). Het aantal niet in O3
gelegen gemeenschappelijke punten der door (3a), (4a) en (5a)
voorgestelde krommen is dus

(m l)2-m k—k(k—l) = m2 m 1—F. Dus heeft het
nulstelscl nog m^ m 1—k^ enkelvoudig singuliere punten.

Ieder k-voudig singulier punt vermindert het aantal enkel-
voudig singuliere punten van een algemeen nulstelsel (1. m)
met k^: iedere r-voudig singuliere rechte vermindert het
aantal enkelvoudig singuliere rechten van een algemeen nul-
stelsel (n, 1) met r^.

§ 2. In III § 2 is aangetoond, dat nulkrommen, behoorende
bij punten, die op eenzelfde door Sk gaande rechte gelegen
zijn, in S* dezelfde k raaklijnen hebben. Is het singuliere
punt een enkelvoudig singulier punt, dan hebben alle nul-
krommen dit punt tot enkelvoudig punt, terwijl nulkrommen
van punten, die gelegen zijn op eenzelfde door S^ gaande
rechte, in dit punt dezelfde raaklijn hebben. We zullen nu
aantoonen, dat er lineaire nulstelscls kunnen bestaan, waar-
bij nulkrommen van op eenzelfde door S, gaande rechte
gelegen punten alle deze rechte tot raaklijn hebben. Het
zal dan blijken, dat het singuliere punt, ofschoon het een
enkelvoudig punt op een willekeurige nulkromme is, een
tweevoudig singulier punt is.

(1)nbsp;Ux = o en

(2)nbsp;ax«quot;-! (b, X, b2 X2) Ua = O

bepalen een nulstelscl (1, m) met O3 tot enkelvoudig singulier
punt. De nulkromme van een punt IJ heeft tot vergelijking

(3)nbsp;(biXi bgXa) (axy) = o en is dus een kromme

met O3 tot enkelvoudig punt. De nulkromme van O3 wordt
voorgesteld door

(4)nbsp;axquot;—1 (b, X] bj X2) (öj X2—a2X,) = o. Ze heeft dus in
O3 een dubbelpunt. We kunnen vergelijking (3) ook
als volgt schrijven:

(3a) ax^-l (b, x, hz Xj) { X3 (oj y, —a, y^) Xj (a, ya—«3 y,)
X, (03 yj—«2 yg) J = O, waaruit blijkt, dat de raaklijn
van deze kromme in O3 tot vergelijking heeft:

(5)nbsp;ao (02 yi—«1 ya) (b, Xi b2 Xj) = o, waarbij

(6)nbsp;ax™—1 — ao Xa«! -1 (a\' x\' 32 Xj) Xam—2 -1-... . gesteld is.
Vergelijking (5) schrijven we in den vorm

(5a) ao b, («2 y,—Oj y2) x, Bq bj («2 Yi—«i Ya) ^2 = o. De ver-
gelijking van de rechte O3 IJ is:

(7)nbsp;Y2X,—YiX2 = O.

We zien nu, dat vergelijking (5a) in den vorm (7) over-
gaat als

(8)nbsp;ag bi 02 — O, ao 62 «1 = o ^o quot;1 = «2- Dan
moeten in vergelijking (2) de termen in Xsin—l x^ Uj en Xjm—1 X2U,
ontbreken, terwijl de termen in Xa™—1 x, Uj enxgm-lxjuj
dezelfde coëfficiënt moeten hebben. Het nulstelsel is dan
nog een (1, m). De nulkrommen, behoorende bij alle op
eenzelfde door O3 gaande rechte gelegen punten, hebben
alle dan O3 nog tot enkelvoudig punt, maar alle hebben ze
met die rechte twee samengevallen punten in O3 gemeen.
Op alle door O3 gaande stralen is O3 dus niet een enkel-
voudig maar een tweevoudig nulpunt. Dus is O3 een twee-
voudig singulier punt. We zullen een dergelijk tweevoudig
singulier punt in het vervolg aanduiden met S2* en een
nulstelsel, dat singuliere punten S2* bezit, met N* (1, m).
De vergelijking (4) der nulkromme van O3 kan vollediger
geschreven worden als

(4a) [ ao Xaffl—1 (a^ x, a2 X2) X3m-2 .....} (bi x, bj X2)

(«1 X2—«2 X,) =: O of

(4b) aobiai Xj X2X3m-l - Bq b2 «2 x, Xo Xam-l —a^ b, OjXi^Xam—1
ao bj ai Xjin-l (a, x, a^ x,) (bj x, b2 x^) (a, X2—«2 x,)

X3™ quot;2 -f . . .. = O.

Voeren we de, in de vergelijkingen (8) gevonden, be-
trekkingen in (4b) in, dan vinden we, dat de termen met
Xjm—1 alle wegvallen. De vergelijking van de nulkromme
van O3 is dus:

(4c) (ai X, 83 X2) (bl X, b2 Xo) (a, X2—02 x^) Xjm—2 ... = o.

De nulkromme van het tweevoudig singuliere punt O3 = 5^*
heeft dus dit punt tot drievoudig punt.

Sporen we nu nog het aantal der enkelvoudig singuliere
punten op. Hun aantal is het aantal, niet door O3 voorge-
stelde, gemeenschappelijke oplossingen der drie vergelijkingen:

(9)nbsp;«2 ax™—1 (b, Xi bj X2). Xi —Oi ax™-! (bi Xi bï x^). Xj = o,

(10)nbsp;03 ax^-l (bl Xi b2 xo). X2—«2 3x1quot;-! (bl Xi bz X2). X3 = o,

(11)nbsp;oi ax™—1 (bl Xi b2 X2). X3—03 3x11-1 (bl Xi bj Xj). Xi = o.
De eerste twee vergelijkingen geven (m 1 gemeen-
schappelijke oplossingen, waaronder m oplossingen, vol-
gend uit

X2 = o en «2 ax™—\' (bi Xi bo X2) ~ o of uit

X2 = O en [als we de vergelijkingen (8) in rekening brengen]
ag b2 «2 Xo Xa®—14- «2 (ai Xi X2) (bi Xj b2 Xj) X3m—2 ... = o.
Daar de tweede van deze vergelijkingen een kromme voor-
stelt, die in O3 een enkelvoudig punt heeft met Xo = 0 tot
raaklijn, vertegenwoordigt O3 twee van deze m oplossingen.
Deze twee oplossingen voldoen ook aan vergelijking (11),
de overige m—2 oplossingen niet. Verder geven de verge-
lijkingen (9) en (10) nog (m 1)^—m oplossingen, die vol-
doen aan

a, ax»quot; - \' (bi Xl ba X;) = «2 ax»quot;—\' (b, Xi bg Vg) ^
X,nbsp;X2

«3 ax^-l (bi Xl b2 xz)

X3

en die dus ook aan vergelijking (11) voldoen. Van de (m 1)^
gemeenschappelijke oplossingen der vergelijkingen (9) en (10)
voldoen er dus m^ 2m 1 —m 2 = m^ m 3 ook aan
vergelijking (11). Als we de vergelijkingen (8) in rekening
brengen, gaan de vergelijkingen (9) en (10) over in
(9a) ( oj (a, X, 32 X2) (bi Xi bj X2). Xi—Oi (ai Xi 82 x.,)

(b, Xl bi X2) Xa } Xaii - 2 ----==0,

(10a) — ao b2 a^ X2 X3m { (bq b, «3 Xi a« bj «j Xj) Xj—«2 (a, Xi

a2 Xo) (bi X, b2 X2) } X3m—1 ----

(9a) is de vergelijking van een kromme met in O3 een drie-
voudig punt en in O3 heeft die kromme de rechte X2 = o
niet tot raaklijn. (10a) stelt een kromme voor met O3 tot
enkelvoudig punt en in dat punt X2 = o tot raaklijn. Van
de gemeenschappelijke punten der door (9a) en (10a) voor-
gestelde krommen liggen er dus 3 in o3, zoodat er m^ m 3
—3 of m^ m, niet in O3 gelegen, gemeenschappelijke punten
dezer krommen moeten bestaan, die tevens punten van de
door (11) voorgestelde kromme zijn. Dus bezit dit nulstelsel
m^ m enkelvoudig singulieve punten.

We zien, dat dit nulstelsel in de volgende twee opzichten
niet aan de eerder gevonden regels voldoet:
r. Alle nulkrommen hebben in het tweevoudig singuliere
punt S2* een enkelvoudig punt, behalve die van het singu-
liere punt S2* zelf, die dit punt tot drievoudig punt heeft.

21 Het aantal enkelvoudig singuliere punten wordt door
het bestaan van dit tweevoudig singuliere punt niet met vier
maar slechts met één verminderd.

En eveneens zal bij de nalstelsels (n, 1) het aantal enkel-
voudig singuliere rechten slechts één minder zijn, als er een
tweevoudig singuliere rechte S2* is, die enkelvoudige raaklijn
van alle krommen (p)n l is, maar zoodanig, dat krommen
(p)a \\, behoorende bij door eenzelfde punt van Sj* gaande
rechten, in dit gemeenschappelijke punt van p en Sj* aan
S2* raken.

§ 3. Op een N* (1. m) mogen de in V gevonden uit-
komsten niet toegepast worden, daar de nulkrommen in S2*
geèn dubbelpunt hebben.

Denken we aan een N* (1, m) met a tweevoudig singu-
liere punten S2* en m^ m 1 — a enkelvoudig singuliere
punten Si.

De nulkrommen hebben dus geen meervoudige punten.
Door een punt P gaan (1 m) m—2 = (m 2) (m—1) raak-
lijnen, die de nulkromme van P niet in P raken. Hiertoe
behooren a rechten P So*. Dus;

De klasse van de omhulde (hns) is {m 2) {m—1)—a.

De graad van de kromme (N«), die niet van de singuliere
punten afhangt, is 1 2m—1 m = 3m.

Gebruiken we dezelfde verwantschap als in IV § 4, dan
is daarvan het kenmerkend getal

(m—2) { (1 m)2—1 ) = m (m—2) (m 2). Het .aantal coïnci-
denties is 2m (m—2) (m 2). De door M gaande waaier-
stralen met nulpunt op a veroorzaken (m 1) (m —l)(m—2)
coïncidenties. Het aantal (m—2) (m^ 4m l) der overige
coïncidenties is het aantal op a gelegen punten, die enkel-
voudig nulpunt op een nulstraal nN2 zijn. (82*)! quot; snijdt a
in 1 m punten. Ieder van deze punten is enkelvoudig nul-

punt op een straal hn^ (Nj = Sa*). Daar er a punten Sj* zijn,
volgt hieruit:

De graad van de complementaire kromme is
(m-2) (m2 4m l)—(m l)a.

Gebruiken we dezelfde verwantschap als in IV § 5, dan
is daarvan het kenmerkende getal (m—3) maal het getal,
dat den graad van de complementaire kromme aangeeft.
De door M gaande stralen nN2 geven een aantal coïncidenties
gelijk aan (m—2) (m—3) maal het getal, dat dc klasse van
(nNz) aangeeft. Het aantal overblijvende coïncidenties is
2(m-3) (m-2) (m^ 4m l)-2a (m 1) (m-3)-(m-2)
(m-3) (m 2) (m-l) a(m-2) (m-3)=(m-3) {(m-2)
(m2 7m 4)—(m 4)a}.

Het aantal stralen met twee dubbele nulpunten is
V2 (m-3) { (m-2) (m^ 7m 4)-(m 4)a}.

De verwantschap, die in IV § 6 gebruikt is,, heeft tot
eerste kenmerkende getal (m—2) maal het getal, dat den
graad van (N,) aangeeft. Het tweede kenmerkende getal is
gelijk aan het getal, dat den graad van de complementaire
kromme aangeeft. De door M gaande stralen nN2 veroor-
zaken een aantal coïncidenties gelijk aan (m—2) maal het
getal, dat den graad van (nN2) aangeeft. Het aantal stralen
met drievoudig nulpunt is dus 3m(m - 2) 4- (m—2) (m^ 4- 4m 1)
-a(m l)-(m-2) (m 4-2) (m-1) a (m-2) = 3 {(m-2)
(2m4-l) —«}. Hierbij zijn echter stralen, waarop het drie-
voudig nulpunt in een punt S2* valt, want daar Sj* een
drievoudig punt op (S2*)I ni is, gaan er door ieder punt S^*
drie nulstralen [de drie raaklijnen aan (Sj*)l m], die in S*
drie samengevallen nulpunten bezitten. Er zijn dus 3 a nul-
stralen, die een punt S,* tot drievoudig nulpunt bezitten.

Het aantal stralen met drievoudig, niet singulier, nulpunt is
3 {(m-2).{2m 1)-2 a].

Het aantal gemeenschappelijke punten van (Nj) en een
nulkromme (P)l m is 3m (m 1). Hiervoor kunnen we
schrijven: {(m 2) (m-1)—a [, 2 (m^ m 1—a) 3a.

De (m 2) (m-1)—a gemeenschappelijke punten zijn ge-
legen in de, op de door P gaande stralen nN2 gelegen dub-
bele nulpunten. De 2 (m^ m 1 —a) gemeenschappelijke
punten liggen in de m^ m 1 —a enkelvoudig singuliere
punten, die volgens IV § 8 dubbelpunten van (Nj) zijn. De
3a gemeenschappelijke punten moeten dus in de a punten
Si* vallen. Daar deze punten enkelvoudige punten van
(P)l m zijn, volgt hieruit:

De meetkundige plaats (iVo) heeft in ieder punt S.* een
drievoudig punt.

§ 4. Het volgende nulstelsel is een N* (1, m). Aan iedere
rechte worden als nulpunten toegevoegd de punten, waarin
die rechte twee samengevallen punten gemeen heeft met een
tot een gegeven bundel (Cquot;) behoorende kromme. Een wil-
lekeurige rechte wordt door de bundelkrommen in de groepen
van een I„ gesneden. Daar deze L 2(n —1) coïncidenties
heeft, liggen er op een rechte 2(n—1)\' nulpunten.

Een willekeurig punt P bezit slechts één nulstraal, de
raaklijn in P aan de door P gaande bundelkromme. Het
nulstelsel is dus een N (1, 2n—2). Het aantal singuliere
punten moet dus gelijkwaardig zijn met 4n\'-6n-\\-3 enkel-
voudig singuliere punten.

In den bundel zijn 3(n—1)- krommen in het bezit van
een dubbelpunt. Door een dubbelpunt D gaat slechts de
nodale kromme, maar alle door D gaande stralen hebben

in D met deze kromme twee punten gemeen. Op iederen
door D gaanden straal is D dus nulpunt. In de. door den
bundel (Cquot;) op een door D gaande rechte, gevormde I„ ver-
tegenwoordigt D slechts één dubbelpunt. Dus is D enkel-
voudig singulier.

Beschouwen we een rechte door een basispunt B. Alle
bundelkrommen snijden deze rechte in B en in groepen van
n—1 punten, die een In-1 vormen met 2n—4 coïncidenties.
Als we B niet meetellen, liggen er op een rechte slechts
2n—4 nulpunten. B telt dus op de beschouwde rechte voor
twee nulpunten. Dit is met alle door B gaande rechten het
geval. B is dus tweevoudig singulier.

Het nulstelsel bezit dus 3(n- If enkelvoudig singuliere
punten, gelegen in de dubbelpunten der nodale krommen en
n^ tweevoudig singuliere punten, gelegen in de basispunten
van den bundel.

Nu is echter 3 (n—1)2 n^ = 4n2-6n 3 en dit is juist het
aantal enkelvoudig singuliere punten, waarmee het totale
aantal singuliere punten gelijkwaardig moet zijn. Dit doet
reeds vermoeden, dat de basispunten punten So* zullen zijn.

Alle stralen van een waaier (P) zullen aan bundelkrommen
raken. De nulkromme van P is de meetkundige plaats van
de raakpunten; de nulstraai van P is de raaklijn in P aan
die nulkromme. Hieruit volgt, dat de nulkromme van P de-
zelfde kromme is. als de poolkromme van P ten opzichte
van den bundel (Cquot;). Het is bekend, dat de poolkromme
van een willekeurig punt P enkelvoudige punten heeft in de
dubbelpunten D en in de basispunten B. maar dat alle pool-
krommen van. op een door een basispunt B gaande rechte
gelegen, punten in B aan die rechte raken en dat de pool-
kromme van B ia B een drievoudig punt heeft.

Het blijkt dus, dat de basispunten geheel voldoen aan

de eischen aan een punt S2* gesteld. Dus:

Het nulstelsel N* (1. 2n-2) heeft 3(n—1)= punten Si en
n^ punten S2*.

Passen we er nu de in § 3 afgeleide uitkomsten op toe,
dan vinden we:

De klasse van de omhulde (nwa) is 3n(n—2). Een straal
nNg is een stationaire raaklijn van een Cquot;. Dus:

De stationaire raaklijnen der krommen van een bundel (C°)
omhullen een kromme van de klasse 3n(n—2).

Voor den graad van (NJ vinden we 6(n- 1). (Nj) is de
inflexiekromme van den bundel. De graad van de inflexie-
kromme is dus 6{n- 1).

Voor het aantal stralen met twee dubbele nulpunten vinden
we 3(2n-5) (n^—n^-ón 4).

Het aantal stralen, die twee maal stationaire raaklijn van
een bundelkromme zijn, is 3(2n — 5) {n^—n^—6n 4}.

Het aantal stralen met drievoudig, niet singulier, nulpunt
is 6(3n-2) (n-3).
Het aantal krommen met een undulatiepunt is dus

6(3n-2) {n-3).
(N2) heeft in de punten S^* drievoudige punten en dubbel-
punten in de punten Sj (VI § 3 en V § 1). De meervoudige
punten van (Nj) kunnen in een nulstelsel (1, m) slechts in
singuliere punten gelegen zijn, want een meervoudig punt
van (N2) moet dubbel nulpunt op meer dan één nulstraal
zijn. Hieruit volgt:

De singuliere punten van de inflexiekromme zijn n^ drie-
voudige punten in de basispunten en 3{n—lY dubbelpunten

in de dubbelpunten der nodale bundelkrommen.
lt;

In het nulstelsel N* (1, 2n^—2) bevat een rechte, die twee
punten Sj* verbindt, vier nulpunten; een rechte, die een

punt S2* verbindt met een punt Sj, bevat drie nulpunten.
Daar m 2n—2 even is, zijn deze rechten singulier als m = 2,
dus als n 2. Elke rechte heeft dan tot nulpunten haar
raakpunten met twee kegelsneden van een bundel. Het nul-
stelsel is dan een N* (1, 2). De vier basispunten van den
kegelsnedenbundel zijn punten S2*; de drie dubbelpunten
der ontaarde bundelkrommen zijn punten Si. Daar op een
verbindingslijn van twee basispunten steeds een dubbelpunt
ligt, zijn er zes singuliere rechten, de zes verbindingslijnen
der vier punten S2*, dus de zes zijden van een volledigen
vierhoek.

HOOFDSTUK VII.

Nulstclsels, die door netten van algebraïsche krommen
bepaald worden.

§ 1. We beschouwen een algemeen net [O] en veronder-
stellen, dat n gt; 3. Denken we aan een willekeurige rechte a.
Een punt P van a is basispunt van een tot [C»] behoorenden
bundel (Cquot;). In dezen bundel is in het algemeen slechts één
kromme aanwezig, die in P aan a raakt en dus a nog in
n — 2 punten Q snijdt. We voegen in een verwantschap de
punten Q aan P toe. Bij ieder punt P behooren n—2 punten
Q. Beschouwen we nu een punt Q. Dit is basispunt van
een bundel (Cquot;), die alle met a nog n—1, niet in Q gelegen
punten gemeen hebben. Deze punten bepalen op a een In—1,
met 2n —4 coïncidenties. Derhalve zijn aan ieder punt Q
2n—4 punten P toegevoegd. De verwantschap tusschen de
punten P en Q heeft 3n - 6 coïncidenties. Dus is a in 3n—6
punten I stationaire raaklijn van een netkromme. We voegen
in een nulstelsel deze punten I aan a als nulpunten toe.
Daar in den bundel, die I tot basispunt heeft, drie krommen
voorkomen, waarop I buigpunt is (de inflexiekromme van
een bundel heeft een basispunt tot drievoudig punt, VI § 4),
is I in het bezit van drie nulstralen. Het nulstelsel is dus
een N (3, 3n—6). Daar in een algemeen net [Cquot;] als n gt; 3
geen figuren voorkomen samengesteld uit een rechte en een
Cn-1 en we bovendien onderstellen, dat het net [C°] geen
basispunten heeft, zal het nulstelsel geen singuliere stralen
of singuliere punten bezitten. We kunnen op dit nulstelsel

dus de regels toepassen, die in hoofdstuk II zijn afgeleid.

We vinden dan:

De klasse van nN2 is 3n(3n - 7).

De graad van (Nna) is 6(2n—3).

De graad van (N.,) is 3(7n—1 2).

De klasse van (uj) is 3(3n=-7n 3).

De graad van de complementaire kromme is

3(3n-8) (3n2-2n-3).
Het aantal stralen met twee dubbele nulpunten is

quot;/a (n 2)(n-l)(n-3)(3n-8).
Het aantal stralen met drievoudig nulpunt is 9(3n—8) (4n —5).
Punten met twee dubbele nulstralen kunnen niet voorkomen.
Het aantal punten met een drievoudigen nulstraai is
9(3n2-9n 7).

Dc klasse van de omhulde der nulstralen, waarop een
dubbel nulpunt enkelvoudig nulpunt is, is 6(9n-—2 5n 18).
Het aantal punten Njquot;^ en het aantal stralen nj^^ is

18(n-2) (4n-5).
Het aantal punten (N2quot;\'quot; N2quot;^) is 3(5 7n2—1 9 2n 1 6 8).
Het aantal stralennbsp; is

72(n-l) (n-2) (9n2-15n-l).

§ 2. Een dubbel nulpunt kan een undulatiepunt U van
een netkromme zijn; op de vierpuntige raaklijn u, die deze
kromme in het punt U bezit, zijn twee nulpunten in LI ver-
eenigd. Tot de meetkundige plaats (N^) behoort dus de meet-
kundige plaats (U) der undulatiepunten en tot de omhulde
der stralen (nN2) zal dc omhulde (u) der vierpuntige raaklijnen
behooren. We kunnen als volgt bewijzen, dat ook in de
dubbelpunten D der nodale krommen uit het net [Cquot;] één
straal een dubbel nulpunt bezit en dat deze straal de basis~

raaklijn t is, behoorende bij den door D bepaalden bundel (Cquot;).

In het begin van de vorige § is er opgewezen, dat de
krommen van het net [Cquot;] op een willekeurige rechte a een
verwantschap [2n-4, n—2] bepalen tusschen de punten P,
waarin netkrommen met de rechte a twee samengevallen
punten gemeen hebben en de overige n—2 punten Q, die
ieder dier krommen nog met de rechte gemeen heeft. Is de
beschouwde rechte een basisraaklijn t van een tot het net
behoorenden bundel en is D het op t gelegen dubbele basis-
punt, dan is nog aan een punt P, dat niet in D gelegen is,
een groep van n-2 punten Q toegevoegd. Aan een niet
in D gelegen punt Q zijn nog 2n - 4 punten P toegevoegd.
Daar de door Q bepaalde bundel (Cquot;) in het algemeen slechts
één exemplaar door D zendt en alle door D gaande krom-
men in D twee samengevallen punten met t gemeen hebben,
zal altijd een der tot eenzelfde groep behoorende punten P
in D liggen. Projecteeren we nu de punten P door middel
van een waaier (O]), de punten Q door middel van een
waaier (O2), dan zijn ook de stralen Oj P en O2 Q door
middel van een verwantschap, de verwantschap I, aan el-
kaar toegevoegd. Bepalen we den graad van de kromme V,
die de meetkundige plaats is van de snijpunten der aan
elkaar toegevoegde stralen uit beide waaiers.

Op een straal O2 Q liggen 2n—4 punten van V in de
snijpunten van O2 Q met de aan O2 Q toegevoegde stralen
Oi P. O2 is een (n —2)-voudig punt van V, want de n—2
stralen O2 Q, die aan den door O2 gaanden straal O, P
zijn toegevoegd, zullen dezen straal in Oo snijden. De graad
van de kromme V is dus 2n—4 n—2 =z3n—6. Daar echter
D tot^alle groepen van punten P behoort, zal op iederen
straal van den waaier (O^) één punt van de kromme V ge-
legen zijn in het snijpunt van dien straal met Oj D. De

geheele rechte O, D maakt dus deel uit van V en V zal
dus bestaan uit O, D en een kromme V\\ waarvan de graad
3 n—7 is. Deze kromme V\' is de meetkundige plaats van
de snijpunten der stralen O2 Q van den waaier (O2) met de
in een verwantschap, de verwantschap II, aan deze stralen
toegevoegde groepen van 2n—5 stralen Oj P, die we ver-
krijgen door uit de tot dusver beschouwde groepen van
2n—4 stralen O, P één maal den straal O, D te verwijderen.
Beschouwen we in deze verwantschap den straal O2 Q = 02 D.
D is dubbel basispunt van een bundel (Cquot;); de krommen
van dezen bundel hebben alle met t nog n—2 niet in D
gelegen punten gemeen, die op t een In—2 vormen, die
2n - 6 coïncidenties bezit. Dus gaan er door D 2n—6 net-
krommen, die, behalve in D, nog in een ander punt twee
samengevallen punten met t gemeen hebben. De aan Oj D
toegevoegde groep stralen O, P bevat dus 2n—6 niet door
D gaande stralen. Daar de groep uit 2n—5 stralen moet
bestaan, zal de straal 0| D er dus nog toe moeten behooren.
Op den straal Oj D zal dus in D één punt van de kromme
V\' liggen. De kromme V\' snijdt of raakt t dus in D en
snijdt in het eerste geval t verder nog in 3n —8 punten, in
het tweede geval in 3n-9 punten. Dit zijn de niet in D
gelegen punten, waarin t stationaire raaklijn van een net-
kromme is en dus nulpunten van t. Daar het aantal op t
gelegen nulpunten 3n-6 moet zijn, moet D in het eerste
geval dus een dubbel nulpunt zijn en t de daarbij behoorende.
straal hnj ; in het tweede geval is D een drievoudig nulpunt
met t tot straal nua-

§ 3. De meetkundige plaats (N^) der dubbele nulpunten,
die van den graad 2In—36 is, bestaat dus uit:
1quot;. de kromme A van Jacobi, waarvan de graad 3(n—l) is,

2^ de meetkundige plaats {U} der undulatiepunten, waarvan
de graad dus 3(6n—ll) is.

De dubbelpuntsraaklijnen d der nodale netkcommen, die
een kromme van de klasse 3{n—l)(2n—3) omhullen (kromme
van Zeuthen), behooren tot de stralen, waarop een dubbel
nulpunt enkelvoudig nulpunt is en die een kromme van dc
klasse 54n^—150n 108 omhullen. Hieruit volgt, dat de
stralen, die stationaire raaklijn van een kromme Cquot; zijn in
een punt, waarin een andere netkromme een undulatiepunt
bezit, een kromme omhulllen van de klasse

54n2—150n 108—6n2 I5n—9 == 48n^—135n 99.

De nulkromme van een punt P is van den graad 3n—3.
Ze heeft met de kromme (U) 9(n —1) (6n —11) punten ge-
meen, waartoe er 48n2—135n 99 behooren, die, als undu-
latiepunt van een netkromme, de vierpuntige raaklijn niet
door P zenden. Er blijven dus

54n2-153n 99-48n^ 135n-99 = 6n(n—3) punten over,
die, als undulatiepunt van een netkromme, de vierpuntige
raaklijn wel door P zenden.

De omhulde (u) der vierpuntige raaklijnen is van de
klasse 6n{n—-3).

En daar de stralen nN2. die een kromme van de klasse
3n(3n—7) omhullen, basisraaklijnen of vierpuntige raaklijnen
zijn, volgt hieruit:

De omhulde (t) der basisraaklijnen is van de klasse

3n{n—l).

§ 4. In VII § 1 is voor den graad van de complementaire
krommee gevonden 3(3n—8) (3n^—2n—3). In een nulstelsel
N (n, m), zonder singuliere punten of rechten, kan men den
graad van de complementaire kromme ook als volgt bepalen:

Als p een willekeurige rechte is, dan is het aantal ge-
meenschappelijke raaklijnen van (p)n Ki en de kromme (uns)
het product van de getallen, die de klasse van beide krommen
bepalen. Dit aantal is dus ook het aantal stralen nws. die
een nulpunt op p werpen. Tot dit aantal behooren er eenige,
die een dubbel nulpunt op p werpen; het aantal hiervan is
de graad van (Nj). Deze stralen moeten als gemeenschappelijke
raaklijnen van (p)n m en (nN2) tv/ee maal geteld worden
(II § 10). Trekt men hun aantal dus twee maal af van het
eerste aantal, dan blijft er over het aantal stralen unj, die
een enkelvoudig nulpunt op p werpen en dit geeft ons
tevens den graad van de complementaire kromme. Bij een
bepaalde meetkundige plaats (Nj) behoort dus een complemen-
taire kromme, waarvan de graad is:

(n m) X (klasse van (nNi) 2 x { graad van (N2) }.
De meetkundige plaats (N2) van het nulstelsel N(3, 3n~6)
bestaat uit:

zl [graad 3(n—1)],
waarbij behoort als (nNa)
(t) [klasse 3n(n—1)].

(U) [graad 3(6n-ll)],
waarbij behoort als (nN2)
(u) [klasse 6n (n-3)].

Passen we op (U) en (u) bovenstaanden regel toe voor het
vinden van den graad der complementaire kromme, dan
vinden we 3(6n^—24n- 6n 22). A en (t) geven volgens
denzelfden regel 3(n—1) (3n2-3n—2).

Bij {U) behoort een complementaire kromme, waarvan de
graad 3{6n^~24n^ 6n 22) is en bij zl een complementaire
kromme, waarvan de graad 3{n—l) (3n^—jfj - 2) is.

[De som van deze twee getallen is 3(3n—8)(3n^ —2n—3),
de graad van de complementaire kromme, zooals die in
VII § 1 is afgeleid.]

§ 5. Een volkomen overeenkomstige berekening als in
II § 7 is uitgevoerd voor het algemeene nulstelsel N (n, tn)
zonder singuliere punten of rechten, kunnen we nu toe-
passen op:

1quot;. (U), (u) en de complementaire kromme van (U),
2quot;. A, (t) en de complementaire kromme van zl.
We vinden achtereenvolgens voor de aantallen coïncidenties:
1°. 6(6n=—24n2 6n 22)(3n - 9)-(3n- 8) (3n-9)6n(n-3) =

18{n-l) (n—3) (3n\'- 4n - 22),
2quot;. 6(n-l) (3n2-3n-2) (3n-9)-(3n - 8) (3n-9) 3n(n-l)=
9(n-l) (n-3) (3n^ 2n- 4).

[De som van deze aantallen is 27 (n 2) (n—1) (n-3)
(3n-8), zie VII § 1.]

§ 6. De berekening, zooals die geschied is in II § 8
voeren we uit met:

1quot;. (U), (u) en de complementaire kromme van (U),
2°. A, (t) en de complementaire kromme van A.
We vinden dan voor de aantallen coïncidenties:
1quot;. (3n-8) 3(6n-ll) 3(6n3-24n2 6n 22)—6n (n—3)

(3n- 8) = 3(7n -22) {4n-5),
2quot;. (3n-8)3(n- l) 3(n—l)(3n2-3n-2)-3n(n—l)(3n-8)=
6(n-l) (4n—5).

[De som van deze aantallen is 9(3n-8) (4n —5), zie VII § 1.]

§ 7. We gaan het totale aantal punten N^quot;^ splitsen in
het aantal op (U) gelegen punten Nzquot;^ en het aantal op
A gelegen punten Naquot;^

Uit een punt Nj = [/ vertrekt een nulstraal nwa = « en
nog twee nulstralen n, waarop U een enkelvoudig nulpunt
is. We voegen in een verwantschap aan het punt P, waarin
u een willekeurige rechte l snijdt, de beide punten Q toe,
waarin de nulstralen n de rechte / snijden. [De aan deze

verwantschap duaal toegevoegde is in II § 11 gebruikt om
het aantal stralen af te leiden.] Daar de klasse der om-
hulde (u) 6n(n—3) is, zijn aan een punt P 12n(n—3) punten
Q toegevoegd. Uit een punt Q vertrekken 48n^—135n 99
stralen, waarop een punt U enkelvoudig nulpunt is (VII § 3).
Dus zijn aan een punt Q 48n^—135n 99 punten P toege-
voegd. Van de 60n^—171n 99 coïncidenties vallen er
6(6n—11) in de 3(6n-ll) op l gelegen punten U. Dan
blijven er nog 60n^-207n 165 coïncidenties over. Dus:
1quot;. Het aantal door op (U) gelegen puntennbsp;veroor-

zaakte coïncidenties is 3{5n — ll) (4n—5).
Voeren we dezelfde berekening uit met de op /J gelegen
punten N2 = D, de basisraaklijn en de twee dubbelpunts-
raaklijnen, dan vinden we 6n(n—1) 3(n—1) (2n—3) —
6(n-l) = 3(n-l) (4n-5).
2°. Het aantal door op A gelegen punten veroorzaakte

coïncidenties is 3{n — l) {4n—5).
De som van deze aantallen is 18(n—2) (4n—5), zie VII § I.]

§ 8. Op overeenkomstige wijze, als in II § 11 is geschied,
gaan we het aantal op (U) gelegen punten (Njquot;\'- Njquot;^) be-
palen. Aan een straal p zijn 2(3n—7) 3(6n—11) stralen q
toegevoegd. Beschouwen we een straal q. De overige nul-
punten van de stralen, die alle een nulpunt op q werpen,
liggen op een kromme van den graad (3n—3)^—3 = 9n^—
I8n 6, die met (U) 3(6n—11) (Qn^-lSn ó) punten ge-
meen heeft, waarvan 3(6n^—24n2 6n 22) gelegen zijn in
punten U, waarvan de straal u een nulpunt op q werpt
(VII § 4) en 3(6n —II) in de op q gelegen punten U. Dus
zijn aan een straal q toegevoegd 3(48n3—183n2 222n—77)
stralen p. Verminderen we het aantal coïncidenties met
(3n-7) (48n2—135n 99), het aantal coïncidenties veroor-

zaakt door de door M gaande stralen, waarop een punt U
enkelvoudig nulpunt is (VII § 3), dan vinden we:
1°. Het aantal door op {U) gelegen punten (Niquot;-quot; N,/^)
veroorzaakte coïncidenties is 6{50n^—17In 154\\.
Gaan we op overeenkomstige wijze te werk met A en
(t), dan vinden we:

2(3n—7) 3(n-l) 3(n-l) (Qn^—18n 6)—3(n- 1)
3n - 2)—3 (n -1 )-(3n-7) 3(n-1) (2n—3)=42 (n-1) (n-2).
2°. Het aantal door op A gelegen puntennbsp;

veroorzaakte coïncidenties is 42{n—l) (n—2).
[De som van deze aantallen is 3(114n^—384n 336),
zie VII § 1.]

§ 9. Gaan we de uitkomsten der § § 5, 6, 7, 8 thans met
elkaar in verband brengen en er de beteekenis van opsporen.
Daar de kromme van Jacobi van een net zonder basispunten
geen dubbel- of keerpunten bezit, kunnen de op A gelegen
punten N^quot;^ en Noquot; quot; slechts gelegen zijn in de gemeen-
schappelijke punten van A en (U). Een der twee nulstralen,
waarop het punt dubbel nulpunt is, is dan een basisraaklijn,
de andere is een vierpuntige raaklijn. Hieruit volgt, dat
ieder der op A gelegen punten tevens een der in § 7
(P) berekende coïncidenties veroorzaakt. Het aantal der in
§ 7 (2°) berekende coïncidenties is gelijk aan het op A ge-
legen aantal punten Njquot;^. Daar deze zelfde punten ook ieder
een coïncidentie bijdragen tot het in § 7 (1quot;) berekende aan-
tal coïncidenties, zal het overige aantal der in § 7 (1quot;) be-
rekende coïncidenties veroorzaakt worden door de op (U)
gelegen punten Ngquot;^, waarbij beide nulstralen, waarop U
dubbel nulpunt is, vierpuntige raaklijnen zijn. Ieder
dier punten veroorzaakt één van deze coïncidenties. We
vinden dus;

Het aantal punten, waarin twee netkrommen een undulatie-
punt bezitten met dezelfde vierpuntige raaklijn, is
6(2n-5) (4n-5).

§ 10. Het aantal op A gelegen punten Niquot;^ is 3{n—l)
{4n—5). Deze, en ook de op A gelegen punten Njquot;\'quot;, dragen
ieder slechts één coïncidentie bij tot het in § 8 (2°) be-
rekende aantal coïncidenties, daar slechts een der beide nul-
stralen, waarop het punt dubbel nulpunt is, een basisraak-
lijn is. Het in § 8 (2°) afgeleide aantal coïncidenties is ge-
lijk aan het op A gelegen aantal punten (Naquot;\' ° Naquot;^). Door
aftrekking vinden we:

Het aantal op A gelegen punten N^^\'quot; is 3(n—1) (lOn—23).

Zoo\'n punt moet een dubbelpunt van een netkromme
zijn, waarbij één der dubbelpuntsraaklijnen een vierpuntige
raaklijn (oneigenlijk) vertegenwoordigt. Zoo\'n punt is een
flecnodaalpunt. Het aantal krommen in het net, die een
flecnodaalpunt bezitten, is 3{n—l) (Wn—23).

§ II. Gaan we nu na, hoe het in § 8 (1quot;) afgeleide aan-
tal coïncidenties ontstaat. Ieder op (U) gelegen punt Naquot;^
waarvan de samengevallen nulstralen beide vierpuntige raak-
lijnen zijn, zal twee dezer coïncidenties veroorzaken. Dit
aantal coïncidenties is dus 12(2n—5) (4n—5). Ieder op zl ge-
legen punt Na-^ zoowel als ieder op A gelegen punt Naquot;-quot;,
zal één dezer coïncidenties veroorzaken, daar deze beide
soorten punten slechts één vierpuntige raaklijn bezitten.
Hierdoor ontstaan dus 3(n-l) (4n-5) 3(n—1) (lOn—23)
coïncidenties. De overige coïncidenties worden (telkens twee
tegelijk) veroorzaakt door op (U) gelegen punten Naquot; quot;,
waarbij de beide nulstralen, waarop ü dubbel nulpunt is,
vierpuntige raaklijnen zijn.

Het aantal dier punten is dus Va { lOOn^—342n 308—
4(2n-5) (4n-5)—(n—1) (4n-5)—(n—1) (lOn—23) } =
27{3n2—10n 10).

Het aantal punten, waarin twee netkrommen een undulatie-
punt bezitten met verschillende vierpuntige raaklijnen, is

27(3n^-10n 10).
En dus: De undulatiepunten der krommen van een net [Cquot;]
zijn gelegen op een kromme van den graad 3{6n—11) met
27{3n^—10n 10) dubbelpunten en 6{2n—5) {4n-5) keer-
punten.

§ 12. Bij de 3(n—1) (4n—5) op A gelegen punten N/^
moet de basisraaklijn met één der dubbelpuntsraaklijnen zijn
samengevallen. Zoo\'n punt is dan basispunt van een, in het
net begrepen, bundel (C°), waarvan alle krommen in dit
basispunt drie punten met elkaar gemeen hebben. Het punt
is dan een drievoudig basispunt. Dus:

Het net bezit 3{n—l){4n—5) bundels, waarvan de krommen
elkaar osculeeren. Voor het totale aantal der volgens § 7
door punten Njquot;^ veroorzaakte coïncidenties hebben we
18(n-2) (4n—5) gevonden, welk aantal tevens het totale
aantal punten Naquot;^ moet zijn (II § 11). Dit aantal hebben
we gesplitst in 6(2n—5) (4n—5) op (U) gelegen punten
Naquot;^ en 3(n—1) (4n—5) op (U) en A gelegen punten Nj\'^
die in het totale aantal twee maal begrepen zijn. Daar deze
punten ieder twee coïncidenties veroorzaken en ieder punt
Njquot;^ slechts aanleiding tot één coïncidentie geeft, volgt hier-
uit, dat deze punten drievoudige nulpunten moeten zijn.
lt;

§ 13. De gemeenschappelijke punten van ó en (U) kunnen
slechts gelegen zijn in de 3(n—1) (4n—5) op A gelegen
punten Ngquot;^ en de 3(n—1) (lOn—23) op A gelegen punten

Naquot;\'quot;. Het aantal gemeenschappelijke punten van A en (U)
is 3{n—1) 3(6n—11), waarvoor we kunnen schrijven:
2X3(n-l) (4n-5) 3(n-l) (lOn—23).

De flecnodale punten zijn dus snijpunten van A en (U);
de drievoudige basispunten zijn raakpunten van A en (U).
In deze 3{n — l) {4n—5) drievoudige basispunten hebben A
en (U) dus 6(n -1) {4n—5) punten gemeen.

§ 14. Beschouwen we nu het in § 6 (2°) afgeleide aantal
coïncidenties. Daar de basisraaklijn t altijd in het dubbelpunt D
stationaire raaklijn van een netkromme is, zal, als op t in D
een drievoudig nulpunt gelegen is, f in D vierpuntige raaklijn
van een netkromme zijn. Maar dan is D tevens een undula-
tiepunt van een netkromme. Het aantal in § 6 (2°) berekende
coïncidenties is dus tevens begrepen in het in §6(1quot;) afgeleide
aantal coïncidenties. Hieruit volgt, dat 15(n-4) (4n—5) coïn-
cidenties veroorzaakt worden door op (U) gelegen punten,
die drievoudig nulpunt op een nulstraal u zijn. Dit zijn punten,
waarin een netkromme een vijfpuntige raaklijn heeft. Dus:
In het net komen 15(n—4) {4n—5) krommen voor met een
vijfpuntige raaklijn.

De, bij de 6(n—1) (4n-5) in § 6 (2«) afgeleide coïncidenties
behoorende, drievoudige nulpunten moeten als punten van
A en als punten van (U) beschouwd worden; zij behooren
tot de gemeenschappelijke punten van beide krommen en
zijn als zoodanig dus dubbelpunten van de meetkundige
plaats (N2) en moeten derhalve punten zijn, die op twee
nulstralen drievoudig nulpunt zijn. Het zijn dus gemeen-
schappelijke punten van A en (U), die zelfs twee samenge-
vallen nulstralen uitzenden (de basisraaklijn is tevens de
vierpuntige raaklijn). Op deze beide samengevallen nulstralen
is het punt dan een drievoudig nulpunt. De coïncidenties

zullen dus veroorzaakt worden door de 3(n-1) (4n —5) drie-
voudige basispunten, waarvan we reeds weten, dat ze de
op A en (U) gelegen punten Ngquot;^ zijn. Voor het totale aan-
tal stralen met drievoudig nulpunt is gevonden 9(3n—8)
(4n—5). Hiervoor kunnen we schrijven:
15(n—4) (4n—5) 4X3(n-l) (4n-5). Dit zijn de vijf-
puntige raaklijnen en de dubbele nulstralen der drievoudige
basispunten. Ieder drievoudig basispunt levert dus vier coïn-
cidenties van het totale aantal. Inderdaad zal een drievoudig
basispunt, als punt van A beschouwd, op twee samenge-
vallen nulstralen drievoudig nulpunt zijn en dus twee coïn-
cidenties leveren; als punt van (U) beschouwd levert het
nogmaals op twee samengevallen nulstralen twee coïncidenties.

§ 15. Beschouwen we nu nog de uitkomsten van § 5.
De in § 5 (2°) gevonden uitkomst levert het aantal malen,
dat op een basisraaklijn t een tweede dubbel nulpunt ge-
legen is. Is dit tweede dubbel nulpunt een dubbel basispunt
met den beschouwden straal t tot basisraaklijn, dan geeft
deze basisraaklijn aanleiding tot twee coïncidenties; is het
tweede dubbel nulpunt een undulatiepunt met t tot vier-
puntige raaklijn, dan geeft de basisraaklijn slechts aanleiding
tot één der in § 5 (2°) afgeleide coïncidenties. De beteekenis
van dit aantal coïncidenties is dus;

De som van tweemaal het aantal basisraaklijnen t, die in
twee dubbele basispunten basisraaklijn zijn en het aantal
basisraaklijnen, die in een niet in D gelegen punt U vier-
puntige raaklijn van een netkromme zijn, is gelijk aan
9(n-l) (n-3) (Jn^ 2n-4).

En* de beteekenis van het in § 5 (1®) afgeleide aantal
coïncidenties is;

De som van tweemaal het aantal vierpuntige raaklijnen u,

die tivee netkrommen in een undulatiepunt raken en het aan-
tal vierpuntige raaklijnen, die bovendien in een niet in LI
gelegen punt D basisraaklijn zijn, is

18(n-l) (n-3) (3n^-4n-22).

We kunnen het aantal basisraaklijnen, die in een niet in
D gelegen punt ü vierpuntige raaklijn zijn, als volgt afleiden.
In II § 2 is er op gewezen, dat de stralen met drievoudig
nulpunt stationaire raaklijnen van de omhulde (uNa) zijn.
De 15(n—4) (4n—5) vijfpuntige raaklijnen van netkrommen
zullen stationaire raaklijnen van de omhulde (u) zijn. De
bij de 3(n—l) {4n-5) drievoudige basispunten behoorende
tweevoudige nulstralen zijn ieder in het bezit van een drie-
voudig nulpunt en zijn dus stationaire raaklijnen van de om-
hulden (u) en (t). De krommen (t) en (u) hebben
3n(n—1) 6n(n—3) = ISn^ (n—1) (n—3) raaklijnen gemeen,
waartoe de bovengenoemde 3(n—l) (4n—5) gemeenschappelijke
stationaire raaklijnen behooren, die we viermaal moeten tellen.
Dan blijven er nog 6(n-l) (3n^—Pn^—8n 10) gemeen-
schappelijke raaklijnen over. Dit zijn basisraaklijnen, die in
een niet in D gelegen punt vierpuntige raaklijn van een
netkromme zijn. Met dit aantal moeten we dus de beide
in § 5 afgeleide aantallen verminderen. Na deeling door
twee vinden we dan :

Het aantal basisraaklijnen, die in twee dubbelpunten basis-
raaklijn zijn, is 3/2 (n—l) {3n^-3n^—14n 16).

Het aantal vierpuntige raaklijnen, die twee netkrommen
in een undulatiepunt raken, is

3(n—l) (6n^—30n^-22n 188).

De basisraaklijnen omhullen dus een kromme van de klasse
3n(n-l) met y2{n-l){3n\'—3n^—14n-hl6)dubbelraaklijnen
en 3(n—1) (4n—5 stationaire raaklijnen.

De vierpuntige raaklijnen omhullen een kromme van de
klasse 6n{n-3) met 3(n—l) (6n^-30n^-22n 188) dubbel-
raaklijnen en 9(2n—7) {4n—S) stationaire raaklijnen.

§ 16. In VII § 1 is nog de graad van de meetkundige
plaats (N nj) afgeleid en het aantal punten met drievoudigen
nulstraal. In verband met II § 8 vinden we:

De punten, die de eigenschap hebben, dat twee nulstralen
zijn samengevallen, liggen op een kromme van den graad
6{2n—3), die 9(3n^—9n 7) keerpunten en geen dubbel-
punten bezit.

Volgens VII § 1 omhullen de dubbele nulstralen een kromme
van de klasse 3(3n2-7n 3). De stralen nj^\'^ zijn hiervan
de dubbelraaklijnen. de stralen nj^^ de stationaire raaklijnen.
In VII § 1 is voor het totale aantal stralen (n2^\' ^ ge-
vonden % (n—1) (n—2) (9n2—15n—1) en voor hét totale
aantal stralen n^^^: 18(n-2) (4n-5).

Het totale aantal stralennbsp;is dus

(n--2) ( (n-1 )(9n2-15n-l)-4(4n-5)}=7, (n-2) (9n3-
27), terwijl de 18(n—2) (4n—5) stralennbsp;ge-

vormd worden door 6(2n—5) (4n—5) stralen [de stralen,
die in een undulatiepunt vierpuntige raaklijn van twee net-
krommen zijn] en 3{n—lgt; {4n—5) stralennbsp;die ieder
twee stralen nj^^ vervangen en dus vierpuntige raaklijnen
van de omhulde der dubbele nulstralen zullen zijn. We
vinden dus:

De dubbele nulstralen omhullen een kromme van de klasse
3{3n\'--7n 3) met (n-2) (9n^-24n^-2n 21) dubbel-
raaklijnen, 6(2n-5) (4n-5) stationaire raaklijnen en 3{n—l)
(4n - 5) vierpuntige raaklijnen.

§ 17. De meetkundige plaatsen (Nn2) en /J hebben
18(n—1) (2n—3) punten gemeen, waartoe de3(n—l)(4n—5)
drievoudige basispunten behooren, die punten Njquot;^ zijn en
dubbel geteld moeten worden, omdat ze drievoudig nulpunt
op den dubbelen nulstraal zijn. De overige 12(n—1) (n — 2)
gemeenschappelijke punten zijn dubbelpunten van netkrommen,
die dubbel nulpunt op een enkelvoudigen nulstraal zijn en
waarbij de dubbele nulstraal ontstaan is door het samen-
vallen van twee dubbelpuntsraaklijnen. Het zijn dus keer-
punten van netkrommen.

In een net zijn 12(n—1) (n—2) krommen met een keerpunt.

(Nnz) en (U) hebben 18(2n-3) (6n—11) punten gemeen,
waartoe de 6(2n—5) (4n—5) op (U) gelegen punten be-
hooren, waarin twee netkrommen dezelfde vierpuntige raak-
lijn bezitten en de 3(n—1) (4n—5) drievoudige basispunten,
ieder, evenals de eerstgenoemde gemeenschappelijke punten,
weer tweemaal te tellen.

De overige 6{16n^—21n -f 44) gemeenschappelijke punten
zijn punten, die undulatiepunt van een netkromme zijn,
terwijl twee andere netkrommen in dit punt dezelfde stationaire
raaklijn bezitten.

§ 18. We hebben in VII § 1 ondersteld, dat n lt; 3. Gaan
we nu nog het geval n = 3 beschouwen. De graad van de
meetkundige plaats der dubbele nulpunten zal, als er geen
singuliere rechten aanwezig zijn, 3(7n—12) = 27 zijn. De
graad van de kromme van Jacobi is zes. Daar een rechte,
die vier punten met een C\' gemeen heeft, een bestanddeel
van die kromme vormt, zal de meetkundige plaats der un-
dulatiepunten, waarvan de graad 27—6 = 21 is, nu vervangen
worden door 21 enkelvoudig singuliere rechten s. We hebben

dus een nulstelsel N {3,3) met 21 enkelvoudig singuliere
rechten s. We vinden dan (volgens V § 1):
De klasse van (nN2) is 18.
De graad van (Nnj) is 18.
De graad van (Nj) is 6.
De klasse van (nj) is 27.

Het aantal stralen met drievoudig nulpunt is nul.

Het aantal punten met drievoudigen nulstraal is 63.

De klasse van de omhulde der nulstralen, waarop een
dubbel nulpunt enkelvoudig nulpunt is, is 18.

Het aantal punten Nzquot;^ en het aantal stralen is 42.

§ 19. Daar de meetkundige plaats der dubbele nulpunten
slechts door A gevormd wordt, zullen alle stralen nN2 basis-
raaklijnen zijn. Dus:

De basisraaklijnen van een net [O] omhullen een kromme
van de klasse 18.

Daar de klasse van de omhulde der nulstralen, waarop
een dubbel nulpunt enkelvoudig nulpunt is, 18 is, vinden we:
De dubbelpuntsraaklijnen omhullen een kromme van de
klasse 18{kromme van Zeuthen).

§ 20. De kromme van Jacobi bezit geen dubbel- of keer-
punten. Derhalve kunnen de op A gelegen punten slechts
punten zijn, waarin de dubbele nulstraal ontstaan is door
samenvallen van een basisraaklijn met een singuliere rechte.
Er zijn op A dus 42 punten gelegen, die als punten Nzquot;^
een\' singuliere rechte tot tweevoudigen nulstraal bezitten.
Daar\' deze punten verder nog slechts één enkelvoudigen
nulstraal hebben, moet in zulk een punt een netkromme in
het bezit zijn van een dubbelpunt, waarvan de singuliere

rechte een dubbelpuntsraaklijn en tevens de hasisraaklijn van
den door dit punt bepaalden, tot het net behoorenden, bundel
is. Zulk een punt is dan van dezen bundel een drievoudig
basispunt.

In het net zijn dus 42 bundels, waarvan de krommen el-
kaar in een basispunt osculeeren.

§ 21. Berekenen we, volgens de tweede in IV § 9 en
V § 1 gebruikte verwantschap, het aantal coïncidenties door
punten (Naquot;*quot; Naquot;^) veroorzaakt, dan vinden we daarvoor
42. Deze coïncidenties kunnen slechts veroorzaakt worden
door het op een nulstraai samenvallen van twee nulpunten
in een punt, dat reeds dubbel nulpunt op een anderen nul-
straal is, waarbij deze laatste nulstraai niet singulier mag
zijn. (Bij het bepalen der kenmerkende getallen van de ge-
bruikte verwantschap zijn we, zooals uit IV § 9 blijkt, uit-
gegaan van dubbele nulpunten, waarbij de er bij behoorende
straal nN2 niet singulier is; immers voor den graad van (N2)
is n^ 2nm—n m —r^ gebruikt.) De tweede nulstraai, waarop
het punt dubbel nulpunt is, kan dus echter wel singulier
zijn en zal, daar de kromme van Jacobi slechts enkelvoudige
punten bezit, zelfs singulier moeten zijn. De 42 drievoudige
basispunten zullen tot de 42 coïncidenties geen enkele bij-
dragen, daar ze slechts een singuliere rechte tot dubbelen
nulstraai bezitten. De coïncidenties worden dus veroorzaakt
door 42 op A gelegen punten Ngquot;\'quot;. waarbij de eene nul-
straal ntf2 singulier is en de andere niet. Hierbij zal de niet-
singuliere nulstraai nN2 de basisraaklijn zijn. De singuliere
rechte is een der dubbelpuntsraaklijnen van de netkromme,
die in ^2quot; ° een dubbelpunt heeft.

§ 22. De 6 X 21 gemeenschappelijke punten van J met

de 21 singuliere rechten moeten gelegen zijn in dc 42 drie-
voudige basispunten, die op A punten Njquot;^ zijn, en in de
42 punten N2quot; quot;. Op iedere singuliere rechte liggen twee
dubbelpunten, die snijpunten zijn van de rechte met de
kegelsnede, waarmee ze een tot het net behoorende kromme
vormt. In deze punten is de, bij den door zoo\'n punt be-
paalden bundel behoorende, basisraaklijn niet de singuliere
rechte. In de overige op een singuliere rechte s gelegen punten
van A moet de singuliere rechte wel de basisraaklijn zijn,
daar, als dit niet het geval was, de ontaarde netkromme,
waarvan s een bestanddeel uitmaakt, niet tivee samengevallen
punten met de basisraaklijn gemeen zou hebben. We zien
dus nu:

De 42 op A gelegen punten Naquot; quot; zijn gelegen op 21
singuliere rechten in de 21 X 2 dubbelpunten van de door
een singuliere rechte en een kegelsnede gevormde netkrommen.
Hierbij is de basisraaklijn niet de singuliere rechte. De 42
op A gelegen punten Nzquot;^ zijn gelegen op 21 singuliere
rechten in de 21 X 2 drievoudige basispunten. Hierbij is de
basisraaklijn tevens de singuliere rechte. Als gemeenschappelijke
punten van A en een singuliere rechte moeten deze punten
tweemaal geteld worden. Dus zal A iedere singuliere rechte
in deze punten raken.

De 21 singuliere rechten zijn dubbelraaklijnen van de
kromme van Jacobi. De zes gemeenschappelijke punten van
de kromme van Jacobi en een singuliere rechte zijn dus:
twee enkelvoudige snijpunten in de twee dubbelpunten van
de door de rechte bepaalde ontaarde netkromme en twee
raakpunten in de twee op de rechte gelegen drievoudige
basispunten.

§ 23. Volgens IV § 8 en V § 1 zouden we vinden, dat

de omhulde der basisraaklijnen, dat is de omhulde (nN2),
iedere singuliere rechte tot viervoudige raaklijn heeft. Dit zou
dan beteekenen, dat iedere singuliere rechte in vier van haar
punten basisraaklijn is. Daar ze echter slechts in twee punten
basisraaklijn is (in de drievoudige basispunten), kan ze slechts
in twee punten een raaklijn van (nN2) zijn. In die punten is
ze dan een stationaire raaklijn. Daar er geen stralen met
twee dubbele nulpunten en geen stralen met drievoudig nul-
punt zijn, vinden we dus:

De basisraaklijnen omhullen een kromme van de klasse 18,
die de 21 singuliere rechten, ieder in twee punten, tot sta-
tionaire raaklijnen heeft.

§ 24. In VII § 18 is nog de graad van (Nnj) en het
aantal punten met drievoudigen nulstraal afgeleid. Daaruit
volgt: De punten, die de eigenschap hebben, dat twee nul-
stralen zijn samengevallen, liggen op een kromme van den
graad 18 met 63 keerpunten en geen dubbelpunten.

De dubbele nulstralen omhullen een kromme van de
klasse 27. Deze kromme zal, volgens IV § 8 en V § 1, iedere
singuliere rechte tot viervoudige raaklijn bezitten. Daar
iedere singuliere rechte slechts van twee drievoudige basis-
punten een dubbele nulstraal is, kan ze (nj) slechts in twee
punten raken en moet ze in die punten een stationaire raak-
lijn van (nj) zijn.

Bij de berekening van het aantal stralen (n2\'^\' ^ n^N^)
vinden we 294 coïncidenties der gebruikte verwantschap.
Deze coïncidenties ontstaan als een der overige nulstralen
van een nulpunt, dat een dubbelen nulstraal tot enkelvoudigen
nulstraal heeft, met dezen dubbelen nulstraal is samenge-
vallen. Hierbij kan deze dubbele nulstraal wel een singuliere

rechte zijn, want de enkelvoudig singuliere rechten zijn ieder
van twee drievoudige basispunten dubbele nulstraal. Ieder
drievoudig basispunt veroorzaakt twee coïncidenties. De
overige 210 coïncidenties moeten geleverd worden door
105 stralen nj\'^ \'^. Deze stralen moeten dubbelraaklijnen van
de omhulde (nj) zijn.

De dubbele nulstralen omhullen een kromme van de klasse
27 met 105 niet-singuliere dubbelraaklijnen en met de
21 singuliere rechten, ieder in twee punten, tot stationaire
raaklijnen.

Het aantal gemeenschappelijke punten van (Nnj) en is
6X18=108. Hiertoe behooren de 42 drievoudige basis-
punten, die dubbel geteld moeten worden, daar zoo\'n punt
als dubbel nulpunt op s, den dubbelen nulstraal, beschouwd
kan worden. De overige 24 gemeenschappelijke punteii zijn
punten, die dubbel nulpunt op een enkelvoudigen nulstraal
zijn en waarbij de dubbele nulstraal is ontstaan door het
samenvallen van twee dubbelpuntsraaklijnen. Dus:

In het net zijn 24 krommen met een keerpunt.

§ 25. Het net [C^] van kubische krommen geeft nog aan-
leiding tot een ander nulstelsel. De netkrommen bepalen op
een willekeurige rechte een involutie Is^ van den derden
graad en den tweeden rang, die een. neutraal puntenpaar
bezit, dus twee punten, die met elk punt van de rechte een
groep der I3- vormen en die dus twee basispunten vormen
van een in het net [C^] begrepen bundel. Deze basispunten
B voegen we aan de rechte als nulpunten toe. Daar een
willekeurig punt B slechts één bundel (C^) bepaalt, • worden
aan B als nulstralen toegevoegd de acht rechten b, die B
met de overige basispunten van den door B bepaalden

bundel verbinden. Het nulstelsel is dus een N (8, 2). Als
we onderstellen, dat het net ■ [C^] geen basispunten bezit,
zal N (8, 2) geen singuliere punten hebben. De meetkundige
plaats der dubbele nulpunten in dit nulstelsel is de kromme
van Jacobi; de omhulde der stralen nN2 is de omhulde der
basisraaklijnen. De 21 rechten, die tot de ontaarde net-
krommen behooren. zullen singuliere rechten zijn. Daar we.
als we geen singuliere rechten in rekening brengen, voor
den graad van (Nj) 90 vinden, volgt hieruit, dat de singuliere
rechten ieder tweevoudig singulier moeten zijn. Dan wordt
de graad van (Nj): 90-21 X 4 = 6 (de graad van de kromme
van Jacobi).

Voor de klasse van (uns) vinden we 18. Dit is weer de
klasse van de omhulde der basisraaklijnen.

Voor de klasse van de omhulde der nulstralen. waarop
een dubbel nulpunt enkelvoudig nulpunt is, vinden we 18.
de klasse van de omhulde der dubbelpuntsraaklijnen (de
kromme van Zeuthen).

Verder vinden we;

De stralen iij omhullen een kromme van de klasse 42;
dc stralen, waarop een dubbel nulpunt enkelvoudig nulpunt
is, omhullen ook een kromme van de klasse 42. Deze over-
eenkomst in klasse is geen toeval, daar. zooals we zullen
zien. de beide krommen samenvallen. Als een basispunt 3
in het bezit is van een dubbelen nulstraai na, dan moeten
er op n2 nog twee basispunten van den door B bepaalden
bundel liggen. Daar slechts op een singuliere, rechte drie
niet samenvallende basispunten van eenzelfden bundel kunnen
liggen, moeten twee van dc drie op n2 gelegen basispunten
zijn samengevallen tot een dubbel basispunt, waarbij echter
nj niet de basisraaklijn kan zijn, daar ook in dit geval nj
een singuliere rechte zou zijn. En dubbele nulstraai is dus

een verbindingslijn van een der zeven aan een dubbel basis-
punt toegevoegde enkelvoudige basispunten met het bijbe-
hoorende dubbele basispunt. Het is dus tevens een straal,
waarop een dubbel nulpunt enkelvoudig nulpunt is. Dus:
De verbindingingslijnen van een dubbel basispunt met de
zeven er aan toegevoegde enkelvoudige basispunten omhullen
een kromme van de klasse 42.

Voor het aantal punten met drievoudigen nulstraal vinden
we 336. Tot de drievoudige nulstralen kunnen singuliere
rechten behooren, die, daar ze voor ieder harer punten twee
nulstralen vertegenwoordigen, dus punten kunnen bevatten,
die de singuliere rechte tot drievoudigen nulstraal hebben.
Op een drievoudigen nulstraal moeten fier basispunten liggen,
waarvan er minstens twee moeten samenvallen. Vallen op
een drievoudigen nulstraal twee basispunten samen, dan is
de drievoudige nulstraal een singuliere rechte, die van de
twee, tot de groep van vier behoorende niet samengevallen
basispunten een drievoudige nulstraal is. Dit is het geval
met twee enkelvoudige op een singuliere rechte gelegen
basispunten, die behooren bij een bundel, waarvan twee
basispunten zijn samengevallen in een op de singuliere rechte
gelegen dubbelpunt van de ontaarde kromme, waarvan de
singuhere rechte een bestanddeel is. Op iedere singuliere
rechte liggen vier dergelijke punten. Dus is ze van vier
harer punten een drievoudige nulstraal. De 21 singuliere
rechten tellen dus voor 84 stralen na. De overige 252 drie-
voudige nulstralen moeten stralen zijn, waarop drie nul-
punten zijn samengevallen tot een drievoudig basispunt.
Aan ieder dier drievoudige basispunten zijn zes tot denzelfden
bundel behoorende basispunten toegevoegd, die ieder één
drievoudigen nulstraal bezitten.

Voor het aantal drievoudige basispunten vinden we dus
weer 42.

Voor den graad van (Nn^) vinden wc 42. Deze kromme
heeft de punten met niet-singuliercn, drievoudigen nulstraal
tot keerpunten. Dat zijn de 42 zestallen van basispunten, die
aan de drievoudige basispunten zijn toegevoegd.

Voor het aantal punten met twee dubbele nulstralen
vinden we 1050. Het aantal coïncidenties der bij de be-
rekening gebruikte verwantschap is dus 2100.

Als een nulpunt in het bezit is van twee dubbele nul-
stralen, dan is het een der vijf enkelvoudige basispunten
van een bundel, die twee dubbele basispunten bezit. In ieder
der twee dubbele basispunten komen vijf van deze dubbele
nulstralen samen. Noemen we de enkelvoudige basispunten
B], B2, B3, B4, B5, de dubbele basispunten B^, 7 en Bg,,,.
Beschouwen we den nulstraal Bj 7 als een dubbelen nul-
straal van zijn nulpunt B,, dan worden in de bij de be-
rekening gebruikte verwantschap aan dezen straal toegevoegd
de nulstralen, die B, verbinden met Bj, B3. B4, B5, B« en Bq.
Het samenvallen van de nulstralen Bi B« en Bj B, levert
een coïncidentie, waarmee echter tevens het samenvallen der
twee basispunten Bg en B,j gepaard gaat. Als gevolg daar-
van ontstaan de coïncidenties der stralen B^ Bg met Bj Bg,
B3 Bg met B3 Ba, B4 Bg met B4 B, en B5 Bg met E, B,,. Uit-
gaande van den nulstraal B, Bc.y vinden wc dus vijf coïn-
cidenties. Eveneens zullen de overige vier in Be,? samen-
komende dubbele nulstralen ieder vijf coïncidenties leveren.
In het geheel leveren twee bij elkaar behoorende dubbele
basispunten dus 25 coïncidenties. Het totale aantal 2100
coïncidenties wordt dus veroorzaakt door 84 paren van
dubbele basispunten. Het net bevat dus 84 bundels, waarvan
de krommen elkaar in twee basispunten raken.

De 84 vijftallen van enkelvoudige basispunten, die aan
deze paren gekoppelde dubbele basispunten zijn toegevoegd,
zijn dubbelpunten van (Nn2)- Derhalve:

De zeventallen van basispunten, die aan de dubbele basis-
punten zijn toegevoegd, liggen op een kromme (Nna) van
den graad 42, met 252 keerpunten [in de aan de drievoudige
basispunten toegevoegde enkelvoudige basispunten] en 420
dubbelpunten [in de aan de paren van gekoppelde basis-
punten toegevoegde enkelvoudige basispunten].

1

Voor het aantal punten Ngquot;^ en stralen ng^^ vinden we 84.
Deze worden vertegenwoordigd door de 21 X 4 punten, die
een singuliere rechte tot drievoudigen nulstraal hebben.

Gaan we het aantal punten (Njquot;\'quot; Nzquot;^) opsporen, dan
vinden we 42 coïncidenties der gebruikte verwantschap.
Op iedere singuliere rechte liggen twee dubbelpunten van
de ontaarde netkromme, waartoe de rechte behoort. Deze
punten zijn dubbel nulpunt op de niet met de singuliere
rechte samenvallende basisraaklijn en zijn verder nog in het
bezit van een nulstraal, de singuliere rechte, die geheel uit
nulpunten bestaat. Het zijn dus punten Ngquot; quot;, waarbij één
der nulstralen nN2 niet singulier is (zie VII § 21). Ieder dier
punten veroorzaakt echter slechts één coïncidentie. De 42 punten
Nzn.n zijn dus gelegen in de 21 X 2 dubbelpunten der ont-
aarde krommen.

Voor het aantal coïncidenties, geleverd door stralen
(ng^\' vinden we 504. Hiervan wordt een gedeelte
veroorzaakt door de 84 paren gekoppelde dubbele basis-
punten. De verbindingslijn van twee bij elkaar behoorende
dubbele basispunten is dubbele nulstraal van de beide dubbele

basispunten. Ieder der twee in eenzelfde dubbel basispunt
gelegen basispunten zal met de beide in het andere dubbele
basispunt gelegen basispunten een coïncidentie leveren. Ieder
paar dubbele basispunten veroorzaakt dus vier coïncidenties.
Zoo vinden we er dus reeds 336. De overige 168 coïncidenties
worden geleverd door de 21 X 4, bij de dubbelpunten der
ontaarde netkrommen behoorende. op een singuliere rechte
gelegen, enkelvoudige basispunten. De vier, op een zelfde
singuliere rechte gelegen, enkelvoudige basispunten kunnen
we ieder als een dubbel nulpunt beschouwen, terwijl zij allen
de singuliere rechte tot drievoudigen nulstraai hebben. Iedere
singuliere rechte levert dus acht van deze coïncidenties.

• \' f ■ lt;

■..iv-i-d.\'-

if\';::?-vj-\'Na

STELLINGEN.

I.

Een nulstelsel (n, o) is in het bezit van een oneindig aantal
singuliere rechten, de raaklijnen van een kromme der klasse
n; een nulstelsel (o, m) bezit een oneindig aantal singuliere
punten, die op een kromme van den graad m gelegen zijn.

II.

Er zijn voorbeelden aan te wijzen van niet-lineaire nul-
stelsels, waarbij de meervoudig singuliere punten eigenschappen
bezitten, overeenkomende met die van de singuliere punten S2*.

(Diss. VI § 2.)

III.

Bij de bepaling der klasse van de omhulde der harmonische
poollijnen is door Dr. Jan de Vries niet opgemerkt, dat in
ieder der punten Dh twee takken der kromme aan de
beide takken der kromme t\'^ raken.

(Jan de Vries. „De quadrupelinvolutie der
cotangentiale punten van een kublschen
bundelquot;. K. A. v. W, XXII, hl. 1385.)

IV.

Door Dr. Jan de Vries is bij de bepaling der klasse van
de omhulde der raaklijnen inquot;de keerpunten van den complex
over het hoofd gezien, dat de krommen (D)p en (D)q ook
de 6(n—1)^ kritische punten gemeen hebben.

(Jan de Vries. „Kenmerkende getallen voor
een drievoudig oneindig stelsel algebraïsche
vlakke krommenquot;. K. A. V. W. XXIII, bl. 907.)

De door Dr. Jan de Vries in zijne mededeeling „Over
lineaire stelsels van algebraïsche vlakke krommenquot; (K. A. v. W,
XIII. bl. 751 § 5) bepaalde aantallen t4 en tg, 2 zijn tc groot.

VI.

Het is niet geoorloofd een punt te beschouwen als een
cirkel, waarvan de straal ntll is.

•Vil.

De afleiding van \'E. Goursat der -noodzakelijke en vol-
doende voorwaarde voor het lineair afhankélijk zijn \'van n
functie\'s y, (x), yj (x)...... yn (x) is niet volledig.

(E. Goursat. „Cours d\'Analyse Mathématique.quot;

T.III. p. 424. Siêm. .édltionO

VIII.

\'Ten \'onrechte beweert J. Bertrand, dat de oplossing van
het in „Calcul des ProbabiUtésquot;, § 29 p. 30, gestelde vraag-
stuk gevonden moet worden door toepassing van den regel
der samengestelde waarschijnlijkheid.

IX.

Het bepalen der brekende hoeken van eenige achter en
.tegen c elkaar geplaatste ^.prisma\'s jnet gegeven brekingsindices
door de voorwaarden, dat dc \'lichtstraal, die met minimum-
deviatie het stelsel verlaat, in ieder prisma de hierbij be-
hoorende kleinste afwijking zal vertoonen, is slechts mogelijk,
indien het aantal prisma\'s oneven is en hun\'brekingsaan-
wijzers aan zekere voorwaarden voldoen.

;x.

Bij het \'Middélbaar- en Voorbereidend Hooger Onderwijs
\\worden Jie ileerlingen iniet voldoende geoefend in zelfcritiek.

: -mmi\'

ämm

:: ■■ fÉ0M\'

m\'

■ \'V quot; .

\'fâitï\': \'i.-\'i\'-^\' ,

..\'■\'ei

- \' \' - t

gt; J- \\

• \' y lt; ^ \' ,

V \'î /.t^:\'^

J

iHiw

-1,

»

J

mm

s--!«\' ; \' -

\' • V- - \'l^.^^\'r^-s\'-\'-V

: Sinbsp;•