AFBEELDING VAN DE LIJNELEMENTEN
VAN EEN VLAK OP DEN COMPLEX DER
RAAKLIJNEN VAN EEN MONOÏDE

A. J. VAN DITMARSCH

bibliotheek db
rijksuniversitei
UTRECHT.

/

AFBEELDING VAN DE LIJNELEMENTEN VAN
EEN VLAK OP DEN COMPLEX DER RAAK-
LIJNEN VAN EEN MONOÏDE.

/.•\'. ■■t

y .

AFBEELDING VAN DE LIJNELEMENTEN
VAN EEN VLAK OP DEN COMPLEX DER
RAAKLIJNEN VAN EEN MONOIDE.

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN
DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT,
OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS
Dr. B. J. H. OVINK, HOOGLEERAAR IN DE
, quot;quot; FACULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBEGEER-
TE, VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER
UNIVERSITEIT, TEGEN DE BEDENKINGEN
VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUUR-
KUNDE TE VERDEDIGEN OP

MAANDAG 9 JULI 1928,
DES NAMIDDAGS TE 3 UUR

DOOR

ANTHONIE JOHANNES VAN DITMARSCH

^nbsp;GEBOREN TE UTRECHT

NAUTA lt;S Co.nbsp;-nbsp;ZUTPHEN

bibliotheek de.

RlJKSUNlVERSITer

u T R c H T.

If .i

.V . y. J, -y\'.

■ ynbsp;■\'••.;\' -\'V-,^-r-\'

ipai

. il ■

Aan mijn Ouders.

Bij het eindigen van mijn academische studie betuig ik
mijn oprechten dank aan U, Hoogleeraren in de Faculteit
der Wis- en Natuurkunde, voor het onderricht, hetivelk
ik van U heb mogen ontvangen.

Allereerst geldt mijn dank U, Hooggeleerde de Vries,
Hooggeachte Promotor^ voor de welwillendheid, die gij
bij het bewerken van dit proefschrift hebt betoond en voor
de moeite, die gij U voor mij hebt getroost. Ik gevoel mij
aan U zeer verplicht voor de vriendelijke en aanmoedigen-
de wijze, waarop gij mij, toen ik mij om hulp tot U
wendde, zijt tegemoet gekomen. Ook uw welverzorgde en
leerrijke colleges zal ik mij steeds dankbaar blijven
herinneren.

Ook jegens U, Hooggeleerde Ornstein, gevoel ik mij
zeer verplicht. Uw vriendelijke hulpvaardigheid, welke ik
bij mijn studie op het Physisch Laboratorium mocht ont-
vangen, zal ik nooit vergeten.

U, Zeergeleerde Burger, dank voor den vriendelijken
raad en bereidivillige hulp, welke ik van U nooit vergeefs
heb gevraagd.

O\' \'nbsp;\'

HOOFDSTUK I.

§ /. Definitie van de afbeelding. Om een afbeelding te
krijgen van de lijnelementen van een vlak a op de raaklijnen
van een monoide M van den graad n met (n—l)-voudig
punt O kunnen we als volgt te werk gaan.

Een lijnelement (P, l) van a bestaat uit een lijn l en een
punt P, die incident zijn. We noemen het snijpunt van Af
met de rechte, die P uit O projecteert, R.

Zij r de doorsnee van het raakvlak ^ in /? met het vlak,
dat l uit O projecteert, dan beschouwen we r als het beeld
van (P, l).

Is, omgekeerd, r een willekeurige raaklijn van Af, R het
raakpunt, l de doorsnee van a met het vlak (O, r), P de
projectie van R, dan is (P, l) het beeld van r.

§ 2. In het algemeen is de verwantschap omkeerbaar
eenduidig. Zijn n.1. P en / gegeven, dan bestaat er slechts
één verbindingsvlak (O, Z) en één verbindingsrechte OP
en ook in het algemeen één snijpunt van OP met M, omdat
M een monoïde is. Dus is R eenduidig bepaald; hierbij be-

hoort in het algemeen één raakvlak, dus is r eveneens een-
duidig bepaald.

Is omgekeerd r een gegeven raaklijn van M, R het raak-
punt, dan is er in het algemeen slechts één verbindingslijn
OR, als ook één verbindingsvlak (O, r).

We vinden dus in het algemeen één snijpunt van OR met
a en één snijlijn van (O, r) met a.

P is dus, evenals /, in het algemeen eenduidig bepaald.

Uitzonderingen. Op een monoïde van den graad n liggen
tl (n—1) (in het algemeen verschillende) rechten, die door
den top O gaan. De snijpunten van a met deze n {n—1)
rechten noemen we A,, A^............ An(n—1).

Wanneer P met een punt A samenvalt, dan ligt de ver-
bindingslijn OP (of OA) op het oppervlak M en het snij-
punt van OP met M is onbepaald; R kan dus elk willekeurig
punt van de rechte OA zijn en het raakvlak q een wille-
keurig vlak door OA.

We verkrijgen r als doorsnede van het vlak (O, /) met
een willekeurjg vlak door OA.

Het vlak (O, /) snijdt M volgens de rechte OA en een
kromme van den graad (n—1), die in O een (n—2)-voudig
punt heeft. Deze kromme cquot;quot;^ wordt door de lijn OA, be-
halve in het punt O, nog gesneden in het enkelvoudige punt R.

Denken we ons nu een bepaalde rechte / door A. Nadert
een punt P van / meer en meer tot het punt A, dan zal het
beeld op de monoïde meer en meer naderen tot het zooeven

genoemde punt R. Valt P met A samen, dan valt ten slotte
het beeld van P met R samen en elke rechte door R, die
cquot;-\' snijdt, is raaklijn van M en is als beeld te beschouwen
van het lijnelement (A, /) en omgekeerd wordt de geheele
waaier dier raaklijnen afgebeeld op (A, /).

Met den waaier om A komt dus een parabolische biline-
aire congruentie, [1, 1] overeen.

Wanneer P een punt van de kromme A:«-^ is volgens
welke a gesneden wordt door den raakkegel van O, dan zal
het overeenkomstige punt R met O samenvallen.

Indien nu elke rechte door O als (oneigenlijke) raaklijn
wordt beschouwd, is het raakvlak in O onbepaald en elke
willekeurige rechte door O in vlak (O, l) is als beeld van
het lijnelement (P, /) te nemen.

Elk punt van de kromme An-l is dus singulier.

Gaat r door O, dan is het vlak door O en r onbepaald
en wanneer R in O valt, is het bijbehoorende punt P een
punt van de kromme A:quot;-», zoodat het lijnelement (R, r)
afgebeeld wordt door (P, /) een willekeurige rechte / door
P, een willekeurig punt op Aquot;-!.

Voor de n(n_l) rechten OA, die op te vatten zijn als
1\'jnen r door O, ligt het punt R willekeurig hierop en zoo
R niet met O samenvalt, komt P in eenig punt A terecht.

§ 3. Het beeld van een waaier in « is een waaier van
raaklijnen.

Het beeld van de lijnelementen op een rechte / bestaat

uit de raaklijnen getrokken aan de kromme, waarin M ge-
sneden wordt het vlak (O, l).

We beschouwen een stelsel lijnelementen, waarvan P op
een rechte c ligt, terwijl l door een punt D gaat. Het punt
R doorloopt een kromme met (n—l)-voudig punt O n.1.
de doorsnee van M met het vlak (O, c), terwijl het vlak
(O, /) om de rechte OD draait. De lijnen r beschrijven dus
een regelvlak F, dat OD tot richtlijn heeft.

Om het aantal raakvlakken van M in punten van
te bepalen, die door een willekeurig punt gaan, merken we
op, dat dit aantal niet verandert, als we het punt in het
vlak van yquot; nemen; dat dit aantal dus gelijk is aan de
klasse van yquot;, welke 2 (n—1) bedraagt.

Controle: Het pooloppervlak van een willekeurig punt is
een monoïde M met (n—2)-voudig punt O. Dit snijdt
buiten O in n(n—1)—(n—l)(n—2)= 2(n—1) punten R.

Hieruit volgt, dat OD een 2 (n—l)-voudige richtlijn is,
want bij elk raakvlak, door een punt van OD behoort één vlak
(O, /). Verder ligt in elk vlak door OD nog slechts één be-
schrijvende van het regelvlak. Immers een willekeurig vlak 6
door OD snijdt c in één punt P, waarvan het beeld R op
ligt. Het in dit punt aangebrachte raakvlak q snijdt het
vlak 6 volgens een lijn r, die tot het regelvlak behoort.
Het regelvlak T heeft dus de graadnbsp;\\

2 (n—1)4-1= 2 n—1

De doorsnede van het regeloppervlak F met het vlak
(O, c) bestaat, behalve uit uit (n—1) raaklijnen in O

aan yquot;.

De raakkegel in den top O aan de monoïde, welke kegel
van den graad (n—1) is, wordt door de rechte c in (n—1)
punten gesneden en de lijnelementen, waarvoor deze snij-
punten de punten P zijn, hebben de bovengenoemde raak-
lijnen tot beeld.

§ 4. Zij gegeven een stelsel (X, n) van lijnelementen, waar-
van de punten P op een kromme van den graad n liggen
en de rechten l een kromme van de klasse A omhullen.

De kromme (P) wordt uit O geprojecteerd door een kegel
van den graad n, die M snijdt volgens een kromme van den
graad n n met een ti (n—l)-voudig punt in O.

Het pooloppervlak van een willekeurig punt X is van den
graad (n—1) en heeft in O een (n—2)-voudig punt, snijdt
dus de bovengenoemde kromme van den graad n ti, buiten
O, in (n—1)71— (n—2)(n—1) jt = 2(n—1) n punten. Dus
omhullen de raakvlakken g in de punten R dier kromme een
oppervlak van de klasse 2 (n—1)71.

Beschouw nu de verwantschap tusschen de punten IJ en
Z, welke twee bij elkaar behoorende vlakken q en (O, Z)
op een rechte u insnijden. Door Ij gaan 2 (n—1) Jt vlakken
Q, zoodat aan IJ evenzoovele punten Z zijn toegevoegd.

Door Z, dus door O Z, gaan X vlakken (O, Z). Elke co-
ïncidentie IJ = Z levert een op u gelegen snijpunt van g met

(O, l), dus een op u rustende raaklijn r. Bijgevolg is (In)
de afbeelding van een regelvlak van den graad
k -f 2 (n—1)

§ 5. Zij gegeven een nulstelsel N v) dan kan men
vragen naar de meetkundige plaats van de nulpunten der
stralen van een waaier om een punt A. Een willekeurige
rechte door A bevat buiten dit punt v nulpunten, maar A
zelf is voor fi stralen nulpunt, zoodat de graad van de meet-
kundige plaats, de z.g. nulkromme, van den graad ^^ v)
is met ^-voudig punt De lijnelementen in dien waaier
vormen dus een stelsel (\\, fi v)

Een nulstelsel N ((i, v) wordt afgebeeld door een stralen-
congruentie [r] van raaklijnen van M. We bepalen den veld-
graad (het aantal rechten in oen willekciirig vhk) cn den
stergraad (het aantal rechten door een punt).

Den stergraad bepalen we als volgt:

Is B een willekeurig punt van de ruimte, dan vormen de
raakpunten van de raaklijnen uit B een kromme lijn van den
graad n (n—1), die in O een (n—I)(n—2)-voudig punt
bezit en dus uit O op a geprojecteerd wordt in een kromme
lijn van den graad ,

n(n—1) — (n—l)(n—2) = 2(n—I).

Zij B\' de projectie van B uit O, dan beschouwen we de
nulkromme van B\', een kromme van den graad (ju 4- vj.
Deze heeft met de kromme van den graad 2(n—1) gemeen
2 (n—l)(ju v;punten; dit is ook het aantal lijnen van de

congruentie door B m.a.w. de stergraad van de congruentie.

We bepalen nu den veldgraad, d.i. het aantal stralen van
de congruentie in een willekeurig vlak V.

Die stralen moeten dus raaklijnen zijn aan de kromme
lijn, volgens welke V de monoïde snijdt. Het stelsel raaklijnen
van die doorsnijdingskromme beantwoordt aan een stelsel
lijnelementen in a, gevormd door de raaklijnen met raak-
punten van een kromme lijn van den n ^^ graad m.a.w. een
stelsel^n(n—l),n}. Dit stelsel heeft met het gegeven nul-
stelsel gemeen

fi n (n—1) V n lijnelementen \')
De afbeelding van een nulstelsel N (n, v) is dus een
congruentie [2(n—jj;/x n(n—1)-}- v n].

Een bilineair nulstelsel N (1, 1) wordt dus afgebeeld
door con congrnentie

[4 (n-1); n (n-1) n] = [4 (n-1), n^J
Zoo\'n nulstelsel heeft drie singuliere punten S,, S^ en
Sj-, daarmee komen overeen op de monoïde drie punten
R2 en Rg met bijbehoorende waaiers (r^), (r^), (r^),
zoodat R,, Rj en R^ singuliere punten van de congruentie zijn.

§ 6. We kunnen omgekeerd nagaan wat in het vlak a
overeenkomt met een gegeven stelsel van raaklijnen der
monoïde.

Zie G. Schaake. Afbeeldingen van figuren op de punten eener
lineaire ruimte. Acad. proefschrift 1922. Blz. 10.

2) Vgl. Dr. Jan de Vries: Vlakke lineaire nulstelsels. Verslagen
Kon. Acad. van Wetenschappen XXI pag. 1070.

Bijv: De omhullingskegd met top B is de afbeelding
van een bepaald stelsel lijnelementen fn a . De raakpunten
van de raaklijnen door B liggen op een kromme lijn, die
de doorsnede is van M met het pooloppervlak van B. t. o. z.
van M. Dit pooloppervlak is een monoïde van den graad
(n—1) met (n—2)-voudig punt in O. De doorsnede is dus
een ruimtekromme van den graad n(n—1) met een
(n—1) (n—2)-voudig punt in O.

De projectie van deze kromme uit O op het vlak a
is van den graad

n (n^l) — (n—1) (n—2) = 2 n—2
Elk vlak door O heeft buiten dit punt met de aanrakings-
kromme (2n—2) punten gefneen.

De punten P van het stelsel lijnelementen in a moeten

op deze kromme k2n-2 van den graad (2n—2) liggen;
De lijnen l moeten door een vast punt van a gaan, n.1. door
de

projectie B\' van B. De omhullingskegel met top B is
dus de afbeelding van een stelsel | 1, 2n—2

De kromme lijn A:2n-2 heeft met de kromme Aquot; volgens
welke a door M gesneden wordt 2 n (n—l) punten gemeen.

De vraag is nu met welke raakpunten R van raaklijnen
aan de monoïde, komen deze snijpunten overeen.

De aanrakingskromme van den kegel uit B en de monoïde
zal door a in n(n—1) punten gesneden worden, die op de
doorsnee van a met de monoïde liggen. Deze n (n—1) pun-
ten behooren tot de 2n (n—1) snijpunten. De overige hiervan
moeten nu zulke punten zijn, die hun overeenkomende

«

punten R \' op bovengenoemde ruimtekromme van den
n(n—l)sten graad hebben, terwijl zij de projectiés van R
uit O zijn. De projecteerende stralen hebben dus met de
monoïde ^ (n—/) nbsp;= (n O punten gemeen\'

liggen dus geheel op Mquot; .

Het zijn dus de n(n—1) rechten op Mquot;, die door O gaan.

De 2n(n—1) snijpunten\'zijn dus eensdeels de n(n—1)
punten volgens welke a gesneden wordt door de aanrakings- .
kromme van den kegel uit B, andersdeels de n(n—1) door-
gangspunten van de n( n—1) rechten door O op M.

Controle: De raakvlakken in de punten van een rechte OAj^
vormen een bundel. Eén raakvlak gaat dus door B. Op elke
rechte OA^ rust dus een raaklijn aan M, die door B gaat.
De aanrakingskromme van kegel en monoïde snijdt dus de
n(n—I) rechten door O; de projectie van deze kromme
gaat dus door de punten A,............ An(n—i)-

De monoïde wordt door a gesneden in een kromme van
den n«quot; graad kquot;. Het aantal raakvlakken van M in punten
van kquot;, dat door B gaat, is gelijk aan de klasse van kquot;
welke n(n—1) bedraagt (zie ook § 3). Door B gaan dus
n(n—1) raaklijnen aan M die deze op kquot; raken.

Hiermee zijn ook de 2 n(n—1) snijpunten op kquot; verant-
woord.

Als B de rechte ù doorloopt, vormen de overeenkomstige
beschrijvenden van de raakkegels een congruentie. Den ster-
graad bepalen we op de volgende manier.

De lijnen, die door een punt X gaan, liggen in het vlak
(X, b) en raken aan de kromme lijn van graad n volgens welke
dit vlak de monoïde snijdt. Het aantal bedraagt n(n—1).

Om den veldgraad te bepalen, gaan we als volgt te werk.
De lijnen, die in een willekeurig vlak ^ liggen, moeten
raaklijnen zijn aan de kromme lijn, volgens welke i de mo-
noïde snijdt en bovendien door het punt b) gaan.

Hun aantal bedraagt dus ook n(n—1). We hebben dus
te doen met een congruentie [n(n—1), n(n—1)] en deze
heeft b tot richtlijn.

De aanrakingskrommen op de monoïde vormen een
bundel, want om de kromme lijnen te bepalen, die gaan
door een willekeurig punt op M, behoeft men slechts in dit
punt het raakvlak aan te brengen en te doorsnijden met b,
wat één snijpunt, dus één omhullingskegel, geeft.

Dus vormen hun projecties een bundel krommen van den
graad 2(n—l) met 4{n—iy basispunten.

Deze bestaan uit de n(n—1) doorgangspunten van a
met de rechten op de monoïde door O en de projecties der
raakpunten van de (n—1)(3 n—4) raakvlakken door ö^).

Door een punt P in a gaat een rechte /, want in het bij P
behoorende punt R is één raaklijn, die op b rust.

Omgekeerd gaan we na, hoeveel punten P bij een wille-
keurige rechte l behooren. Dit aantal is gelijk aan de klasse

De klasse van een monoïde van den graad n is (n—l)(3n—4).
Zie b.v. G. van Beek. Acad. proefschrift 1907. Over iVtonoïden blz. 26.

van de kromme, volgens welke de monoïde wordt gesneden
door het vlak (O, l). Deze kromme is van den n^quot; graad
en heeft O als (n—l)-voudig punt. De klasse is dus
V = n(n—I) — (n—l)(n—2) = 2(n—1)

We krijgen dus een nulstelselnbsp;2(n—1) J.

Welke zijn de singuliere nulpunten van dit nulstelsel?

Singuliere nulpunten zijn de 4(n—1)^ basispunten, want,
indien het punt P met een dergelijk punt samenvalt, gaan
hierdoor oneindig veel lijnen /, die de projecties zijn van
evenzooveel raaklijnen r in het basispunt R van den bundel
krommen op M.

Verder snijdt b de monoïde in n punten, waarvan de pro-
jecties ook singuliere nulpunten zijn, omdat in die snijpunten
alle raaklijnen op b rusten.

Bovendien zijn nog singulier de projecties van de (n—1)
punten, waarin de raakkegel van O gesneden wordt door
de rechte h. Immers, uit elk snijpunt van b met dien kegel
zijn oneindig veel raaklijnen te trekken aan de monoïde,
rustend op b, die geprojecteerd evenveel lijnen l opleveren
door de projectie van zulk een snijpunt.

Hiermede zijn dus de 4 (n—l 2 (n—l) -f 1 singuliere
punten van het nulstelsel 1, 2 (n—1) j gevonden^).

§ 7. Lineair nulstelsel in a. Hierbij is aan elk punt P één
rechte / toegevoegd en omgekeerd is elke rechte l aan ni
punten P toegewezen.

Zie Dr. Jan de Vries: Verslagen Kon. Acad. v. Wetenschappen,

t.a.p.

Hiermee komt overeen een congruentie van raaklijnen van
M, waarvan er in elk punt R van M één raakt, terwijl er
m aan een vlakke doorsnee door O raken.

De stergraad van die congruentie is 2 (m 1) (n—l),
want neemt men een willekeurig punt S, dan is het pool-
oppervlak van S van den graad (n—1) en heeft een (n—2)-
voudig punt in O, dus wordt de aanrakingskromme gepro-
jecteerd in een kromme lijn van den graad

n (n—l) — (n—l (n—2) = 2 (n—l)
Deze snijdt de nulkromme, die behoort bij de projectie S\'
van S in 2 (m -[- 1) (n—1) punten en met elk snijpunt
komt een straal van de congruentie door S overeen.

De stergraad is dus 2 (m -f 1) (n—l). De veldgraad
is n (n—ƒ) -f- mn. Dezen bepalen we als volgt:

Een willekeurig vlak snijdt de monoïde in een n« graads-
kromme K, die uit O op a wordt geprojecteerd in een
kromme kquot;.

Het stelsel raaklijnen der kromme K beantwoordt aan een
stelsel lijnelementen in a, gevormd door de raaklijnen met
raakpunten van kquot; m.a.w. een stelsel |n(n—1), n}. Dit stel-
sel heeft met het nulstelsel N(l, m} gemeen n(n—1) -f mn
lijnelementen.

De afbeelding van het nulstelsel is dus een congruentie
[2 (m 1) (n—l); n (n—l) mn]

HOOFDSTUK H.

BIJZONDERE GEVALLEN.

§ 1. Bijzondere gevallen van de in Hoofdstuk I algemeen
behandelde afbeelding zijn o.a. de volgende:

1)nbsp;O ligt in het eindige, terwijl twee van de rechten
op Mquot; door O isotrope rechten zijn en a evenwijdig is aan
het vlak door die twee rechten.

2)nbsp;O ligt in het eindige, terwijl twee van de rechten
op Mquot; door O samengevallen zijn en a evenwijdig is aan
het vlak door die twee rechten.

3)nbsp;O ligt in het oneindige, terwijl twee van de rechten
op Mquot; door O in V\'\'gg^n en reëel en verschillend zijn,
of samengevallen, of verschillend en imaginair.

Voor n = 2 krijgt men als bijzondere gevallen te be-
schouwen den bol, den kegel, den cylinder, de paraboloïde.

We zullen ons hierbij echter alleen tot den bol beperken
en slechts zulke vraagstukken bespreken, die om hun aan-
schouwelijk of elementair karakter de opmerkzaamheid ver-
dienen.

In het bijzonder zullen we het volgende vraagstuk be-
schouwen. De raaklijnen van M, die nog aan twee enkel-
voudige voorwaarden voldoen, vormen een regelschaar van
raaklijnen r van M, die in a afgebeeld wordt door een stel-
sel van oo\' lijnelementen (P, /).

Wat is de meetkundige plaats van de punten P, alsmede
de omhullende van de lijnen /?

De bol.

§ 2. Zij O de Noordpool, a het raakvlak in de Zuidpool
Z, dan is P de stereografische projectie van R.

Het beeld van een waaier in a is een waaier van raak-
lijnen in R. Hierbij doet zich de bijzonderheid voor, dat de
hoek tusschen twee lijnelementen in P gelijk is aan den hoek
tusschen de afbeeldende raaklijnen.

De lijnelementen van een rechte in a, waarbij P op deze
ligt en l er mee samenvalt, worden afgebeeld door de raak-
lijnen aan den cirkel (R) op M, die door O gaat.

De lijnelementen van een cirkel, waarbij P op dien cirkel
ligt en / in P hieraan raakt, worden afgebeeld door de raak-
lijnen aan den cirkel (R) op M, die de stereografische pro-
jectie is van dien cirkel in a.

De lijnelementen, gevo/md door de punten P met bijbe-
hoorende stralen van een cirkel in a, worden afgebeeld door
de beschrijvenden van den omhullingskegel, die M aanraakt
volgens (R). Immers, indien Q het middelpunt is van dien
cirkel in a, dan moeten de afbeeldende raaklijnen liggen

in vlakken door O Q; O Q dus snijden en M volgens (R)
aanraken.

Twee lijnelementen in a, die tot een cirkel behooren,
waarbij P op dien cirkel ligt en / in P hieraan raakt, worden
afgebeeld door twee elkaar snijdende (of in één vlak liggen-
de) raaklijnen van M, en omgekeerd.

Twee zulke lijnelementen zullen we kortweg concyklisch
noemen, zoodat met twee concyklische lijnelementen twee
elkaar snijdende raaklijnen van M overeenkomen, en om-
gekeerd.

Behooren nu de lijnelementen bij cirkels van een para-
bolischen cirkelbundel (hierbij zijn de basispunten samen-
gevallen) dan verkrijgen we het volgende:

Elke cirkel van den bundel geeft als afbeelding een cirkel
(R) op M, terwijl al deze cirkels (R) de raaklijn r^ gemeen
hebben, die met het gemeenschappelijk lijnelement van het
basispunt overeenkomt.

Alle lijnelementen van cirkels van een parabolischen cirkel-
bundel zijn dus de afbeeldingen van alle raaklijnen aan M,
die een vaste raaklijn snijden. Zij vormen een congruentie
[2, 2] met richtlijn r^; r^ is voor deze congruentie [2, 2]
meetkundige plaats van singuliere punten, daar door elk
punt N van deze rechte oneindig veel lijnen der congruentie
gaan, die den omhullingskegel van N vormen.

§ 3. Beschouwen we nu alle lijnelementen behoorende
tot cirkels van een willekeurigen cirkelbundel.

De basispunten P, en P2 worden afgebeeld door de pun-
ten R, en R2 op M, door welke alle cirkels (R) gaan, die
de beelden zijn van de cirkels van den bundel. De cirkels
(R) liggen dus in een vlakkenbundel met as RjRg

De lijnelementen van een willekeurigen cirkelbundel komen
overeen met alle raaklijnen aan M, die een vaste rechte
snijden. Zij vormen een congruentie [2, 2] met richtlijn R, Rj.
De veldgraad is 2, daar elk willekeurig vlak de vaste rechte
in een punt snijdt, waaruit 2 raaklijnen aan de doorsnee met
den bol te trekken zijn en de stergraad is eveneens 2, omdat
door een willekeurig punt en de vaste rechte een vlak is te
brengen, hetwelk den bol volgens een cirkel doorsnijdt, waar-
aan twee raaklijnen te trekken zijn die door het willekeurige
punt gaan.

Indien we te doen hebben met lijnelementen behoorende
bij cirkels van een cirkelbundel die puntcirkels, dus imaginaire
basispunten heeft, dan worden de cirkels in a, op M afge-
beeld als een stelsel cirkels, waarvan de vlakken een vlakken-
bundel vormen, waarvan de as den bol niet treft. De raak-
lijnen aan dit stelsel cirkels zullen allen deze, buiten den
bol liggende, as snijden, zoodat de lijnelementen van een
dergelijken cirkelbundel overeenkomen met alle raaklijnen
aan M, die een buiten M liggende vaste lijn p snijden. Ook
zij vormen een congruentie [2, 2] met as p.

§ 4. Onderzoeken we nu de afbeelding van de gemeen-
schappelijke lijnelementen van twee cirkelbundels.

Alle lijnelementen van den éénen cirkelbundel worden af-
gebeeld door de raaklijnen aan M, die de vaste rechte a
snijden; de lijnelementen van den anderen cirkelbundel door
de raaklijnen aan M, die de vaste rechte b snijden.

De raaklijnen, die tegelijk de beide rechten a èn b snijden
komen overeen met de gemeenschappellijke lijnelementen
van de cirkelbundels. Deze raaklijnen vormen een regel-
oppervlak van den graad, waarvan a en b dubbele richt-
lijnen zijn, hetgeen als volgt blijkt.

»

Beschrijft men uit een willekeurig punt van de richtlijn
a den omhullingskegel aan den bol, dan wordt deze door
de andere richtlijn ö in 2 punten gesneden, waardoor een
beschrijvende van het regelvlak gaat. Door elk punt van a
gaan dus twee beschrijvenden; eveneens door elk punt van b.

Een vlak door ü snijdt den bol M volgens een cirkel en
de richtlijn b snijdt dit vlak in een punt, waaruit twee raak-
lijnen aan den doorsnijdingscirkel zijn te trekken. In het.
vlak door a liggen dus, behalve de dubbelrechte a, twee
beschrijvenden van het regelvlak, hetwelk dus van den 4^quot;
graad is.

Om de meetkundige plaats van het raakpunt /? te be-
palen, gaan we als volgt te werk:

We denken ons een vlak lt;J, door de as a aangebracht;
het vlak d snijdt den bol in een cirkel C, gaande door A,
en Aj. Het vlak d snijdt de as b in een punt Q, waaruit
twee raaklijnen Q R, en Q Rg aan C zijn te trekken, die
dan ook op a rusten. De punten R, enR^ behooren dus tot

de meetkundige plaats, maar ook A, en A^, want in ieder
van deze punten is een raakvlak aan den bol aan te brengen,
dat de as b respectievelijk in de punten Sj en Sg snijdt;
Sj Aj en Sj Aj zijn dus raaklijnen aan den bol, die op a en b
steunen. In het vlak 6 liggen dus 4 punten van de meet-
kundige plaats (R), welke dus een ruimtekromme van den
4en graad zal zijn. Deze kromme q * zal uit O geprojecteerd
geven de meetkundige plaats der punten P, die eveneens
van den 4^quot; graad zal zijn.\'

De meetkundige plaats P is ook aldus te vinden.

Op eiken cirkel a van den eenen bundel (a) bepaalt de
andere bundel een involutie P; de dubbelpunten zijn
raakpunten P. Door het basispunt A\', gaat één cirkel /?;
er is één cirkel a die hem in A\', raakt, dus is A\', een punt
der meetkundige plaats. Evenzoo A^.

Schijnbaar bevat elke cirkel a dus 4 punten der meet-
kundige plaats. Maar de cirkelpunten in het oneindige zijn
dubbelpunten der meetkundige plaats, dus bevat cirkel a
8 punten der meetkundige plaats en men vindt dus voor
deze een kromme van den 4®quot; graad.

§ 5. Van de in de voorgaande paragraaf behandelde
soort regelvlakken willen we enkele bespreken:

le. De eene richtlijn a staat loodrecht op a, de andere,
b, is de oneindig verre rechte l» van a. Het oppervlak, dat
ontstaat is de rechte bolconoïde.

Snijdt de lijn a den bol in de punten A, en \\ en de groote

cirkel door O, A, en A2 den equator in de punten E, enE^ ,
dan zijn de projecties A\'J en A^ harmonisch gescheiden
door de projecties E\', en E^. A^ en A^ zijn de basis-
punten van een cirkelbundel, overeenkomende met de cirkels
op M in den vlakkenbundel met as a.

E\'i E^ is een middellijn van den cirkel, die de projectie
is van den equator. Volgens een bekende eigenschap worden
alle cirkels met basispunten A\', en A^ rechthoekig gesneden
door den cirkel met middellijn E\', Ejj de projectie van den
equator.

De vlakken, gaande door /«van a, snijden den bol M
volgens een stelsel cirkels evenwijdig met a^ die in pro-
jectie opleveren een bundel concentrische cirkels met Z als
middelpunt.

Een vlak door a en een vlak door b snijden elkaar volgens
een rechte, die raaklijn zal zijn, als de twee cirkels op quot;den
bol elkaar zullen raken of ook de projecties hiervan in a.

Een raakpunt in a bevindt zich op den lijn, die Z ver-
bindt met het middelpunt van een cirkel door A\', A^.

De meetkundige plaats der punten (P) zal dus de meet-
kundige plaats zijn der snijpunten van overeenkomstige
exemplaren van een waaier en een cirkelbundel, die projectief
aan elkaar zijn toegevoegd. De waaier zal op een wille-
keurige rechte ƒ een puntenreeks insnijden, waarvan elk punt
overeenkomt met twee snijpunten van den bijbehoorenden
cirkel. Op de rechte ƒ hebben we dus een verwantschap
(1,2), welke drie coïncidenties heeft. De meetkundige plaats

der punten (P) is dus een kromme van den 3®quot; graad.

Deze kromme lijn zal door Z gaan en tot symmetrieas
hebben de lijn, die Z verbindt met het snijpunt (a, a)J

Wanneer de as a den bol M snijdt, zal de meetkundige
plaats (P) bestaan uit een ovaal en een serpentine, hetgeen
veroorzaakt wordt doordat er tusschen de punten A, en
een gedeelte van den bol zich bevindt, waar geen rakende
cirkels mogelijk zijn.

Indien de as den bol M raakt, zal de kromme (P) een
dubbelpunt hebben en als a geen punt met M gemeen heeft,
dan zal de meetkundige plaats (P) een enkele serpentine zijn.

§ 6. De omhullende van de lijnen / is als volgt te karak-
teriseeren. Op eiken straal door Z liggen twee punten n.1.
P, en Pjj en de raaklijnen /, en in P^ en P^ behooren bij
een cirkel c, die door de basispunten A | en A^ gaat.

Elke cirkel c van dien bundel snijdt de stereografische
projectie van den equator loodrecht, zoodat dus geldt
Z P, X Z Pj = 4 Rquot;

(2/? is de straal van de projectie van den equator).

Hieruit volgt, dat P, en P^ harmonisch gescheiden zijn
door de stereografische projectie van den equator, zoodat
de twee lijnen l niets anders zijn dan de poollijnen ten op-
zichte van dien cirkel der punten P. En daar de kromme
(P) van den derden graad is, zal de omhullende van de
lijnen /, de poolfiguur van de meetkundige plaats (P), van

de derde klasse zijn. In het algemeen is ze van den graad 6,
in het geval de cirkelbundel parabolisch is, is ze van den
vierden graad. Immers, in dit geval heeft de kromme (P)
een dubbelpunt; de duale figuur moet dus een dubbelraaklijn
hebben, hetgeen de graad met 2 vermindert.

Opmerking: Alle raaklijnen aan den bol, die drie vaste
rechten snijden, zijn 4 in getal. De raaklijnen, die twee vaste
rechten snijden, vormen, zooals uit het voorgaande is ge-
bleken, een regelvlak van den 4^quot; graad. Dit regelvlak zal
door de derde vaste rechte (richtlijn) gesneden worden in
4 punten. Er zijn dus 4 raaklijnen, die drie vaste rechten
snijden.

De doorsnijdingen met den bol van de drie vlakkenbundels
met deze 3 richtlijnen tot as, zullen als beeld in a geven drie
cirkelbundels. Het aantal lijnelementen, dat nu gemeenschap-
pelijk tot cirkels van de drie cirkelbundels behooren, bedraagt
dus eveneens 4.

Er zijn dus 4 lijnen, die tegelijk raaklijnen zijn resp. voor
e\'en cirkel uit jstequot;, 2en gn S^n bundel.

HOOFDSTUK III.

KUBISCHE MONOibEN.

§ 1. Hierbij kunnen zich vier soorten voordoen. Naar
het aantal dubbelpunten onderscheidt men: de enkelvoudige
monoïde met één dubbelpunt; de dimonoïde, de trimono-
ide en de quadrimonoïde respectievelijk met 2, 3 en 4 dubbel-
punten. Hiervan zullen we bespreken de enkelvoudige mo-
noïde. Het aantal rechten door den top bedraagt zes. Zulk
een monoïde moet echter nog andere rechten buiten het
dubbelpunt O bevatten. De 6 rechten door den top kunnen
op 15 manieren twee aan twee gecombineerd worden en elk
vlak, door een tweetal dezer rechten aangebracht, snijdt de
monoïde nog volgens een rechte buiten O, zoodat er op een
dergelijk kubisch oppervlak 15 rechten buiten het dubbel-
punt liggen.

Noemen we de rechten door O respectievelijk a,, a^- • •
en de rechte buiten O in het vlak (a,^, a,) c^, (k en / 1,...6).

Een rechte buiten O op de monoïde kan slechts twee
lijnen snijden, bij voorbeeld de rechte c^ ^, liggende in
(ag, a^), kan geen der overige rechten a,j snijden, daar an-
ders het vlak door O en Cg^, meer dan drie rechten met

het kubisch oppervlak gemeen zou hebben. De rechte c^

zal echter wel c^^ en c^g snijden.nbsp;^ -

De projecties uit O van de \'rechten a^ zijn de 6 punten .

A\'. Indien nu van het lijnelement (P, Z) in a, het punt P
k ,
samenvalt met een punt A^ dan zal het beeld R hiervan

schijnbaar een willekeurig punt van\' de rechten a^ zijn en r

dan doorsnee van het vlak (O, l) met een willekeurig vlak

door fljj.

Het vlak (O, /) snijdt echter de monoïde volgens een
kegelsnede a^ en de lijn a^ en deze hebben, behalve O,
een punt R gemeen.

Elke rechte door R, die a^ snijdt, is raaklijk van de mo-
noïde en is als beeld te beschouwen van het lijnelement

(a;,/).

Omgekeerd wordt de geheele waaier van de raaklijnen in

R afgebeeld op (A^,/.)

Met den waaier om A\'^ komt dus een parabolische, bili-
neaire congruentie [1, 1] met richtlijln a^ overeen.

Is P een punt van de lijn A\', en 1= A|, dan ligt. ,^
het punt R op de rechte c^i en r= .

Indien P een punt is van de kegelsnede m\'^, volgens welke
a gesneden wordt door den raakkegel van O, dan zal het
beeld R met O samenvallen. Het raakvlak aan den raakkegel ,
van O in dit punt is dan onbepaald en r is dus een wille-
keurige van de rechten door O in het vlak (O, Z). Ieder
punt van is dus singulier. Omgekeerd is elke raaklijn
door O singulier (zie § 2, Hoofdstuk 1).

§ 2. Een stelsel van lijnelementen, waarvan P op een
rechte c ligt, terwijl / door .een vast punt D gaat, geeft als

, meetkundige plaats der punten R een nodale kromme c®, de
»

doorsnede van de monoïde met (O, c). Het vlak (O, /)
draait om de rechte O D, de lijnen r zullen dus een regelvlak
beschrijven, dat O D tot richtlijn heeft en waarvan de graad
5 is, zooals uit § 3 van Hoofdstuk 1 blijkt.

Als we voor D een punt Aj^ kiezen, gaat het regelvlak over
in het samenstel van een regelvlak van den graad plus
de raakkegel van O. De lijn O D is voor dit kubisch regelvlak
een tweevoudige richtlijn.

Onderzoeken we nu het beeld van de lijnelementen,
waarvan P de kegelsnede c\'^ in a doorloopt en / in P hieraan
raakt, die dus een stelsel (2, 2) vormen in a.

De kegelsnede c\'^snijdt co\'2 4 maal en een c\'3, die door
de punten Aj^ gaat, 6 maal; zelf is ze dus beeld van de pun-
ten R eener zesden graadsruimtekromme g®, die in O een vier-
voudig punt bezit, de meetkundige plaats (R) is dus een p\'.

De meetkundige plaats der lijnen r zal bestaan uit de raak-
lijnen van de monoïde in de punten van q^ en aan deze rakend.

Den graad van het regelvlak bepalen we uit het aantal
snijpunten van een willekeurige lijn met dit regelvlak.

Een vlak door een willekeurige lijn p snijdt de q\' in 6
punten S,, Sg . . . Sg, die een involutie bepalen. Het aantal
coïncidenties bedraagt 10, d.w.z. er zijn 10 raaklijnen aan
die op p «rusten; p snijdt dus 10 lijnen van het regelvlak,
hetwelk dus van den 10®quot; graad is.

Gaat de kegelsnede c\'2 door een der punten» A\'^ dan is
de meetkundige plaats der punten A een e® (aangevuld door
ajj), die in O een drievoudig punt heeft en de meetkundige
plaats der raaklijnen r zal bestaan uit een regelvlak van den
Ssten graad en het dubbel te tellen vlak (a^, ï), waarbij Z
door A^ gaat.nbsp;.nbsp;\' •

Zoo zal het stelsel lijnelementen van een kegelsnede c\'ï^
gaande door 2 punten Aj^, als beeld een kromme (R) van
den graad geven met dubbelpunt in O, welke bovendien
nog twee rechten a^ snijdt en als regelvlak van raaklijnen
r een van den zesden graad en twee dubbel te tellen vlakken.

Gaat de kegelsnede c\'2 door 3 punten Aj^ dan verkrijgen
we als kromme (R) een g® door O, aangevuld door 3 rech-
ten aj^ waarop q ^ rust, terwijl het regelvlak (r) van den 4^quot;
graad wordt.

Wanneer ten slotte de kegelsnede c\'2 genomen wordt door
4 punten A\'^, gaat de kromme (R) over in een kegelsnede
qquot;quot;, die bijvoorbeeld op a,, a^, en a^ rust, terwijl c^g er
koorde van is, daar de kegelsnede c\'2 de rechte A\' A\'

9 O

buiten de punten A en Ag tweemaal snijdt. De kegelsnede
Q^ ligt dus in het vlak door c^g.

Het regelvlak (r) wordt van den tweeden graad; waarbij
4 dubbel te tellen vlakken behooren.

§ 3. Omgekeerd willen we nu nagaan, wat in a overeen-
komt met een gegeven stelsel van raaklijnen aan de monoïde.
De raaklijnen door een punt B vormen den omhullingskegel
van B; deze is van den zesden graad, gaat door O en raakt

de monoïde volgens een zesden graadsruimtekromme g®,
die een dubbelpunt in O heeft.

De kromme (P) zal dus een graadskromme zijn en de
lijnen l, de beelden van de raaklijnen r door B, zullen door
de projectie B\' van B gaan. Het beeld is dus een stelsel (1,4).

Doorloopt B de rechte b, dan vormen de overeenkomstige
beschrijvenden van de raakkegels een congruentie [6, 6] met
b tot richtlijn (Zie § 6 Hoofdstuk 1).

De aanrakingskrommen op de monoïde vormen een bundel
krommen e®, die in O een dubbelpunt hebben. De projecties
dezer krommen vormen in « een bundel 4^ graadskrommen
met 16 basispunten.

Deze zijn de 6 punten A\'^ en de 10 projecties van de raak-
punten van de 10 raakvlakken door b.

Door een punt P in a gaat één rechte l en bij een wille-
keurige l behooren 4 punten P. Het beeld van de raaklijnen-
congruentie [6, 6] is dus een nulstelsel N(l, 4).

Singuliere punten zijn de 16 basispunten; de 3 projecties
van de snijpunten van b met de kubische monoïde en de pro-
jecties van de twee snijpunten van b met den raakkegel van
O, in het geheel dus 21, hetgeen het aantal singuliere punten
van een nulstelsel N(l, 4) is.

Het stelsel raaklijnen aan een e\' op de kubische monoïde,
welke kromme niet door O gaat, geeft als beeld voor de
kromme (P) een kubische kromme c\'^. Daar door ieder punt
van de ruimte een koorde te trekken is van een kubische
ruimtekromme, gaat door O één koorde van gquot;, welke dan

met de monoïde 4 punten gemeen heeft; er dus geheel op
ligt. Stel, dat dit de rechte a, is; de kromme (P) gaat dan
door A\', en heeft daar een dubbelpunt. Elk vlak snijdt de
kubische monoïde in een derde graadskromme k®, die in 3
punten dep® snijdt. De kromme (P), c\'3, zal een willekeurige
k\'3 door A\', driemaal buiten de punten moeten snijden,
dus 6 maal in de punten A^. Hieruit volgt, dat c\'^, behalve
door Aj, nog door 4 andere punten Aj^ zal gaan, bijvoorbeeld
doorA^, Ag, A^, Ag en dat dus a,. 3, a^ en a^ snijdt;
slechts ag niet.

De rechten c^^, Cjj, c,5 kunnen evenmin snijden,
daar anders het vlak (a,, a^) bijv. in dat geval 4 punten
met e» gemeen zou hebben, wat onmogelijk is.

De kromme (f rust op c^, c^^, c^^, c^, c^^ en c^g^
daar een vlak (a^, 83) bijv. 2 snijpunten met q^ heeft op a^
en 83; het 3e snijpunt van e® moet liggen op-de restdoorsnee
van het vlak met de monoïde d.i. op de rechte C23.

De rechten c^g, Cjg, c^g en c^g zijn koorden, daar bijv.
het vlak (aj ag) 3 punten met gemeen heeft, waarvan
een op a^nbsp;overigen moeten dan op c^g liggen,

welke rechte dus koorde is.

De raaklijnen der monoïde in punten van e® vormen een
congruentie.

Het pooloppervlak van een willekeurig punt X is een opper-
vlak van den tweeden graad, dat met q^ 6 snijpunten geeft.

De raakvlakken in de punten van q \' aan de monoïde
omhullen dus een oppervlak van de 6e klasse.

Door elk punt gaan derhalve 6 raaklijnen van M®, die op de
rusten; de stergraad is dus 6.

Elk willekeurig vlak ó snijdt de p Mn 3 punten. De raak-
vlakken in deze punten aan de monoïde aangebracht, leve-
ren drie snijlijnen r in S, waaruit volgt, dat de veldgraad 3
is. De congruentie is voor te stellen door [6, 3].

De afbeelding is van dien aard, dat elke willekeurige
rechte / in a de afbeelding is van 3 rechten r der congruentie
en dat in het algemeen een punt P in a geen overeenkom-
stig punt R op e® heeft, daar P op c\'^moet liggen.

Wanneer de p® door het punt O gaat is de projectie in a

een kegelsnede c\'2^ die co\'^ in den doorgang O^ der rechte
«

snijdt, welke q quot; in O aanraakt. De kegelsnede c\'^ wordt
verder nog in drie andere punten door co\'^ gesneden, welke
de projecties zijn van 3 punten, die tegelijk op g® en op
den raakkegel van O liggen, dus punten zijn van drie rechten
a. Hieruit volgt, dat g® op drie dezer rechten steunt, bij-
voorbeeld op a,, a^, en a^.

Met een c\'3 heeft c\'2 nog drie punten buiten de punten
Aj. Ag en A^ gemeen n.1. S\',, S^, S3, die de beelden
zijn van de punten, die de vlakke c® op p® insnijdt.

De congruentie van raaklijnen in de punten van zulk een
e\' is voor te stellen door [4, 3]. Immers het pooloppervlak
van een willekeurig punt is van den tweeden graad en snijdt
de gS buiten O, in 3X2 — 2 = 4 punten. Door elk punt
gaan dus 4 raaklijnen van M®, die op e ® rusten. De ster-
graad is dus 4. De veldgraad is 3, zooals een bewijs, als
bovenstaand, doet zien.

§ 4. Beschouwen we nu het stelsel raaklijnen van M®,
die deze in de punten van een m ® graadsruimtekromme
pni raken, welke a maal door den top O gaat en de lijnen
a,j in a^ punten snijdt.

De meetkundige plaats (P) zal een kromme van den graad
(m—a) zijn. Elk vlak snijdt de p® in m punten en elk der
rechten a^ ^ zoodat de projectie van de doorsnee van het
vlak met M® een k\'^ zal zijn, die met (P) gemeen zal heb-
ben (m -f- ) punten.

6 k

We krijgen dus 3 (m — o) = m-|-2\'a

6 k

In A\'jj heeft de kromme (P) een Oj^ voudig punt. Met

den doorgang van den raakkegel van O,co\'2, heeft ze buiten ,

A\' apunten gemeen, dus is ook 2(m — ») = a4-2\'a ,

6 k

wat identiek is met de boven genoemde voorwaarde.

Is a= o, hetgeen dus zeggen wil, dat e*quot; niet door • O
gaat, dan moet 2 m = ^a^ Voor de kubische kromme q^
zagen we in het voorgaande, dat deze ook 6 punten met dc
rechten a^ gemeen heeft.

Wanneer h het aantal schijnbare dubbelpunten vani Qm
is, dan heeft equot; h rechten tot koorden.

De raaklijnen van M® in de punten van vormen een
congruentie, waarvan de stergraad bedraagt 2 m — a
en de veldgraad m, dus een congruentie [2 m — a , m]
Een willekeurige rechte / in a is het beeld van m rechten
r, daar het vlak (O, /) ^m in (m — a) punten buiten O
snijdt en in a punten, die daar samenvallen.

: -il,

■nbsp;*nbsp;.nbsp;•nbsp;■nbsp;.nbsp;I

STELLINGEN.

1.

Ten onrechte beweert Dr. M. N. van der Bijl: „De stralen
van een complex van hoogeren graad kunnen niet volgens
een (1, 1) toegevoegd worden aan de punten der ruimte
door middel van een afbeelding, waarbij elke straal zijn
beeldpunt bevat en waarbij het afbeeldingsvoorschrift op
niet-complexstralen toepasselijk is.quot;

Dergelijke afbeeldingen zijn voor bijzondere complexen
van hoogeren graad zeer wel mogelijk.

M. N. V. d. Bijl. Acad. proefschrift 1926. Utrecht. Stelling 2.

2.

De uitdrukkingen, die Reye vindt voor het aantal punten
en stralen van een plat vlak en in de ruimte, hebben, be-
halve wat haar graad in n betreft, geen beteekenis.

Dr. Til. Reye. Die Geometrie der I.age. 5e Aufl. Blz. 19.

3.

Het bewijs, door Dr. Fred. Schuh en Dr. j. G. Rutgers

gegeven voor de convergentie van de integraal
00

f(x) sin X dx, waarbij f(x) voor x gt; o positief en

O

monotoon onbepaald dalend, is onvolledig.

Dr. Fred. Schut en Dr. J. G. Rutgers. Compendium der Hoogere
Wiskunde. 3e deel, blz. 127, § 34.

De namen orthohelium en parahelium zijn .ondoelmatig
en dienen door een betere nomenclatuur vervangen te
w^orden.

5.

De kleurenleer van Ostwald heeft niet de minste physische
beteekenis.

6.

Bij de behandeling der vergelijkingen dient scherp op
den voorgrond te worden gezet, dat een vergelijking niet
is een bewering, doch een vraag. Daarom dienen de vraag-
stukken met zoogenaamde „ingekleedequot; vergelijkingen voor-
af te gaan.

7.

De elementaire mechanica is een uitstekend hulpmiddel
om den leerlingen een goed gebruik der reeds behandelde
wiskunde te leeren.

8.

Het onderwijzen van de allereerste beginselen der hoogere
wiskunde moge te verdedigen zijn voor de ß leerlingen
onzer gymnasia, het heeft geen nut voor vele leerlingen der
H.B.S. 5.

t

•rnbsp;t.»

A amp;

\\

■ ■ .

■Z\'I tv
..-v-\'î\'/^\'

•i ■ rtv t..

Sivnbsp;cr;- : \'V-.^-

-../■■y-nbsp;. îJi-. •■

* »

- .gt; \'

% *-

, t

Ml

V;: V -v^ ;v\\ . -

\'.U-\'r,

• V •\' gt;
■ ijpiquot;: