De Warmte-Beweging der Atomen
in een Kubisch Rooster en het
Debije-Effect

DOOR

P. DOORNENBAL

bibuotheek der
rijksuniversiteit

üTRECHTé

H. J. PARIS — AMSTERDAM

■ •gt;quot;; • ■■-■\'VV«:-

■feVrrfr-x:.

\'1

.....

Vf /V-Vti -

m

» «• quot; X ï- \' e 1. ^

• -Ä-

v-\'^UflSil

DE WARMTE-BEWEGING DER ATOMEN
IN EEN KUBISCH ROOSTER EN HET
DEBIJE-EFFECT

UNIVERSITEITSBIBLIOTHEEK UTRECHT

3969 3647

De Warmte-Beweging der Atomen
in een Kubisch Rooster en het
Debije-Effect

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN
GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUUR-
KUNDE AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE
UTRECHT OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNI-
FICUS Dr H. TH. OBBINK, HOOGLEERAAR IN
DE FACULTEIT VAN GODGELEERDHEID, VOL-
GENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DIER UNI-
VERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE
FACULTEIT DER V^^IS- EN NATUURKUNDE TE
VERDEDIGEN OP VRIJDAG 21 DECEMBER 1928
DES NAMIDDAGS TE 3 UUR

DOOR

PIETER DOORNENBAL

geboren te de bilt (u.)

H. J. PARIS

amsterdam mcmxxviii
bibliotheek der

rijksuniversiteit
UTRECHT.

ϕifSiquot;:\'

m

«i

AAN
MIJN VROUW

Het is voor mij een aangename taak, U, Hoogleeraren in de Fa-
culteit der Wis- en Natuurkunde mijn oprechte dank te kunnen
brengen voor het onderwijs, dat ik van U heb mogen ontvangen en
voor de welwillendheid, mij zoo dikwijls bewezen.

Inzonderheid U, Hooggeleerde Omstein, Hooggeachte Pro-
motor, ben ik zeer veel dank verschuldigd èn voor het zeer vele,
dat ik in de afgeloopen jaren van U leerde èn niet in het minst voor
de voortdurende steun, die ik bij de bewerking van dit proefschrift
van U mocht ondervinden. De vele uren, waarin gij mij met uw
raad bijstond, zal ik steeds dankbaar blijven gedenken.

INHOUD

Hoofdstuk I — Inleiding.......

1nbsp;- Interferentie van Röntgenstralen en warmtebcweging^Deb^^

2nbsp;- Andere theoretische onderzoekingen op dit gebied - Uitbrei-

ding en verbetering van de theorie van Debije

3nbsp;— Metingen van het „Debije-effectquot;

Hoofdstuk II — Beschrijving der Methode

Hoofdstuk III — Het Lineaire Rooster met Gelijke
Atomen ................

1nbsp;— Oplossing der bewegingsvergelijkingen en berekening der

energie...............

2nbsp;— Afleiding van de formule voor de waarschijnlijkheid . ! ! .

3nbsp;— Andere afleiding van dezelfde formule........]

4nbsp;— Invloed der warmtebeweging op de interferentie-verschiinse-

len..................

Noot bij formule (14), § 2..........

Hoofdstuk IV - Het Kubisch Rooster met Gelijke
Atomen.....

1nbsp;— De invoering van normaal-coördinaten........

2nbsp;— Afleiding van de formules voor de waarschijnlijkheid . .

3nbsp;— Berekening van M voor hooge temperaturen......

4nbsp;— Berekening van M voor lage temperaturen.....

5nbsp;— Benaderde formules voor M — Vergelijking van de gevonden

formule met die van Debije en Waller.........

Vergelijking met de experimenten.........\' \'

6nbsp;— Gewijzigde uitdrukking voor M bij het aannemen van een

nulpuntsenergie..............

7nbsp;— Invloed der randvoorwaarden....

Hoofdstuk V — Roosters met Verschillende Atomen

Hoofdstuk VI — Enkele Toepassingen van de Gevon-
den Formules...................

1nbsp;— Een dimensieformule voor de ultraroode eigenfrequenties .

2nbsp;— De temperatuur-afhankelijkheid van het electrisch\'geleidings-

vermogen....................

HOOFDSTUK I
Inleiding

1 — Interferentie van Röntgenstralen en warmtebeweging

(Debije)

In 1912 verscheen de eerste theoretische behandeling door von
Laue 1) van de interferentie van Röntgenstralen bij buiging door
kristallen, een door von Laue en zijn medewerkers Friedrich en
Knipping ontdekt verschijnsel 2). De invloed van de warmtebe-
weging der kristalatomen op de scherpte en intensiteit der op-
tredende interferentie-maxima wordt in deze behandeling nog
buiten beschouwing gelaten.

Door Debije is deze invloed van de temperatuur het eerst theo-
retisch onderzocht Experimenten met het doel de temperatuur-
invloed te bestudeeren waren nog niet uitgevoerd, zoodat het niet
mogelijk was de uitkomsten met het resultaat van metingen te
vergelijken.

Volgens de Braggsche opvatting zal het spectrum van de n^
orde, dat optreedt als een evenwijdige bundel Röntgenstralen
met golflengte X, die onder een invalshoek 9- ten opzichte van een
reeks evenwijdige netvlakken met afstand d invalt, beschouwd
mogen worden als te zijn ontstaan door terugkaatsing tegen deze
vlakken, als geldt:

2d sin ^ = nX .................. (1)

In de eerste verhandeUng van von Laue worden de atomen in
de netvlakken vastgelegd, waardoor de bijdragen van al deze
atomen tot het spectrum in phase zullen zijn. Door Debije wordt

\') M. V. Laue, Sitzungsber. d. Kgl. Bayer. Akad. d. Wiss. 303, 1912.

W. Friedrich, P. Knipping und M. v. Laue, Ann. d. Phys. 41, 971, 1913
en M. V. Laue, Ann. d. Phys. 41, 989, 1913.

Verh. der deutsch. Phys. Ges. XV, 678, 738 en 857, 1913.

nu nagegaan welke verandering de interferentie-maxima zullen
vertoonen ^s de atomen, tengevolge van de warmtebeweging,
z.ch over kleme afstanden uit het netvlak verplaatsen (een ve^
plaatsmg m het netvlak is van geen invloed). Bij deze berekening
worden de atomen als onafhankelijk van elkaar beschouwd, ter

Iltt.nbsp;qquot;\'\'3i-dastisehe kraeht aan zijn even-

wchtsstand gebonden wordt gedacht. Bovendien word aange-
nornen dat de temperatuur, waarbij de waaruemingen plaf^

r quot;nbsp;T quot;quot;nbsp;™ de aequipartitie

der energie mag worden afgezien.

Van een bepaalde configuratie der atomen wordt in een be-
paalde richting de intensiteit berekend, de verkregen intensiteit
wordt vermenigvuldigd met de waarschijnlijkheid voor het op-
treden van de beschouwde configuratie en door te sommeeren
over alle mogelijke configuraties wordt een waarde gevonden voor
de gemiddelde intensiteit in een bepaalde richting. De genoemde
waarschijnlijkheid wordt berekend volgens de Maxwell-Boltz
man\'sche verdeelingswet. Gevonden wordt dat de warmtebeweging
de intensiteit der maxima verzwakt doch de scherpte niet ver
ändert, terwijl een verstrooide straling optreedt, waarvan de
intensiteit maximaal is daar, waar de interferentie-intensiteit
het sterkst verzwakt is.

Door M. V. Laue is deze theorie uitgebreid voor roosters met
een meer-atomige basis i).

Een zeer belangrijke uitbreiding van de theorie geeft Debije in
zijn artikel „Interferenz von Röntgenstrahlen und Wärmebe-
wegungquot;, als hij de bovengenoemde beperkingen laat vallen 2)
Allereerst de zeker niet gerechtvaardigde onderstelling dat de
atomen als van elkaar onafhankelijk mogen beschouwd worden
De beweging, die een atoom onder invloed van de warmtebe-
weging uitvoert, wordt nu beschreven als een superpositie van
elastische golven, waarvan de trillingsgetallen uit het elastische
spectrum gevonden kunnen worden 3). Vervolgens wordt de
quantenhypothese van Planck bij de berekening ingevoerd. Het

M. V. Laue, Ann. d. Phys. 42, 1561, 1913.

P. Debye, Ann. d. Phys. 43, 49, 1914.
») Phys. Zeitschr. 13, 297, 1912 en 14, 15 en 65, 1913. Verder Born- Dy-
namik der Kristallgitter en Atomtheorie des festen Zustandes \'

al of niet bestaan van een nulpuntsenergie wordt in het midden
gelaten. De invloed van de warmtebeweging wordt berekend
voor beide gevaUen. Daar wij telkens op dit artikel zullen terug-
komen laat ik een kort overzicht van de berekening volgen:

Laat op een kubisch rooster, bestaande uit N atomen, een
vlakke primaire golf invallen met frequentie 6gt; en golflengte x
zoo, dat de voortplantingsrichting met een rechthoekig X-Y-Z
coördinatenstelsel richtingscosinus ß,,, y^ vormt. In een punt
op afstand r van de oorsprong van het coördinatenstelsel, in
een richting met richtingscosinus a, ß, y, kan de intensiteit ge-
durende een kleine tijd, groot ten opzichte van de trillingstijd
van de Röntgenstraal, klein ten opzichte van de tijd noodig
voor een merkbare verandering in de configuratie der atomen,
voorgesteld worden door:

n n

ix[(a-a„)(u-u\') (ß-ßj(v-v\') (y-yj(w-w\')]

... (2)

2tc

waarin x = —, terwijlnbsp;z^ de coördinaten van een wille-

a

keurig atoom voorstellen, wanneer er geen warmtebeweging
IS (dus x„ = la, = ma, z„ na) en u, v, w de com-
ponenten der verschuiving. A wordt onafhankelijk gesteld van
Po. To. a, p, y. Bovendien is de formule in zooverre gespe-
cialiseerd, dat alle atomen gelijk worden genomen. De tijd,
pdurende welke de gemiddelde intensiteit .wordt waargenomen,
IS groot t. o. v. de tijd, waarin de configuratie der atomen merk-
baar verandert. Een tweede bepaling van een middelwaarde
moet dus plaats vinden met betrekking tot de componenten der
verschuiving u, v, w. De gemiddelde waarde van de laatste fac-
tor van (2) kan bepaald worden, als de waarschijnlijkheid van
een willekeurige configuratie bekend is. Als deze gemiddelde
waarde voorgesteld wordt door e\'^, dan vinden we voor de gemid-
delde intensiteit:

n n

Ter berekening van e^ worden nu normaalcoördinaten inge-
voerd volgens Born en von Kdrmän, zoodat de potentiëele en
kinetische energie en u, v, w in deze coördinaten kunnen worden
uitgedrukt:

u =nbsp;............(4)

Debije stelt nu

Q\' =Q cos S Qquot; = Q sin S
waarin S onafhankelijk van de tijd is en onregelmatig wisselt
bij overgang van de eene naar de andere eigentrilling, waardoor
nu in verband met andere betrekkingen geschreven kan worden:

u = 5 Sk Qk Sik cos (ü — S)............ (4\')

waarin 0 = 19-}- mt|^ nx-

De potentiëele en kinetische energie kunnen geschreven worden
in de vorm

u,nbsp;1 ^nbsp;..........

De Qk worden door Debije als normaal-coördinaten beschouwd.

In bovenstaande uitdrukkingen heeft de eerste sommatie be-
trekking op de N punten van de phasenkubus (— tt lt; 9, x lt; n),
terwijl k = 1, 2, 3 gesteld moet worden, daar co^ voldoen moet
aan een vergelijking van de derde graad, die drie reëele wor-
tels heeft. (Zie Bom: Dynamik der Kristallgitter); tenslotte
stelt [JL de massa van het atoom voor.

Wordt nu in een 6N-dimensionale Q-P ruimte een volume
element

dR = dQidP,......dQ3NdP3N

aangenomen, dan kan de waarschijnlijkheid, dat het atomen-
systeem coördinaten en impulsen heeft, die aan dit element be-
antwoorden, gelijk gesteld worden aan

W d R

De invoering van de normaal-coördinaten levert de mogelijk-
heid W gelijk te stellen aan een produkt van factoren
__Wl.... W,.... W3N,

\') Voor V en w gelden natuurlijk dgl. uitdrukkingen.

waarbij W^ alleen afhangt van de twee bij elkaar behoorende
coördinaten Q, en P,. Daardoor wordt verkregen

equot; = 03 K^ en dus M = log K,.

K3 wordt berekend door gebruik te maken van de quanten-
hypothese van Planck in de oorspronkelijke vorm, wanneer
de nulpuntsenergie = O wordt gesteld, mèt nulpuntsenergie wordt
ter berekening van K, deze hypothese in de nieuwe vorm toe-
gepast. In de voor M afgeleide uitdrukking komt nu nog voor
de phasenconstante S. Om nu tot de definitieve uitdrukking voor
M te komen voert Debije een middelwaarde-bepaling uit t. o. v.
S, daarbij onderstellend dat de bewegingen van naast elkaar
gelegen atomen geheel van elkaar onafhankelijk zijn. Hij laat
dus zijn aanvankelijke onderstelling een oogenblik los. Door
H. Faxén is aangetoond dat deze inconsequentie niet noodig
IS. De door hem uitgevoerde berekeningen laten zien, dat in enkele
opzichten de uitkomsten van Debije wijziging ondergaan, in het
algemeen veranderen echter de resultaten niet.

De nu gevonden uitdrukking voor M is nog niet geschikt om
voor een experimenteele toetsing gebruikt te worden. Als ver-
eenvoudiging gevende veronderstelling voert Debije nu in, voor
een regulair kristal, dat de voortplantingssnelheid van de elas-
tische golven onafhankelijk is van het trillingsgetal. Door de
benaderings-rekening is het mogelijk voor M de volgende for-
mule op te stellen

_M =-551(1-cosnbsp;.......... (6)

geldig voor het geheele temperatuur-gebied. Hierin is 0 de karak-
teristieke temperatuur van het kristal, x = h en k zijn de con-
stanten van Planck en Boltzmann, Q- is de hoek tusschen de in-
valsrichting en de waarnemingsrichting Voor 0(x) wordt een
tabel gegeven.

Voor de twee gevallen T « 0 en T » 0 worden afzonderlijke
formules afgeleid, waaruit blijkt dat in het eerste geval de tem-
peratuurcoëfficient, die het Debije-effect bepaalt, evenredig is

\') H. Faxén, Ann. d. Phys. 54, 615, 1918.

\') S\' uit (1) is de helft van de hier optredende

met T\' en in het tweede geval met T. Tevens blijkt dat hier een
dergehjke wet geldt als bij de soortelijke warmte voor één-atomige

lichamen nl, dat het temperatuurverloop alléén afhangt van -.

Door gebruik te maken van de resultaten verkregen in deze theo-
rie gt;s het mogehjk m de uitdrukking voor M de elastische constan
ten te ontgaan, waardoor het mogelijk is het verloop der optre

ÏtLrven quot; quot;nbsp;-tingen

denquot;doorr\'\' ™ ™\'Pquot;quot;\'=energie moet (6) vervangen wor-

........

gestdltfdtfdoor-

A2

Jn. = ^ (Z e«L) ................

waarin

Imn 1\'m\'n\'nbsp;• • • (7\')

terwijl

Z = N(l-e^) .............

De dubbele sommatie L is dezelfde als die optreedt in de theo

TeZllr. r\'\' ^nbsp;inWferentie maW

bepaald. Uit de gegeven formules blijkt dat de scherpte der int^r-

ferentie-maxima niét (M is nl. onafhankelijk van 1, m n 1\' m\' n\')
de intensiteitsverdeeling in de ruimte wél wordt beïnvloed door
de warmtebeweging.nbsp;^

De interferentie-intensiteit neemt tengevolge van de warmte
bewepng exponentieel af en wel des te sneller naarmate de hoek
tusschen invals- en waarnemingsrichting grooter, de temperatuur
hooger en de golflengte kleiner is (M is steeds evenreL met
1 — cos

--j. De interferentie-intensiteit is steeds vergezeld van

een verstrooide intensiteit, die daar het intensiefste is waar de
interferentie-intensiteit het sterkst verzwakt is en omgekeerd.

Voor T = O wordt M = O zoodat, wanneer nulpuntsenergie
met bestaat, het temperatuur-effect verdwijnt, terwijl in het
tegengestelde geval, zooals uit een numerieke discussie volgt, het
temperatuur-effect een zeker experimenteel te vinden bedrag
bereikt.

Door Lorentz is nog opgemerkt, dat men in werkelijkheid noch
met absoluut monochromatische straling nóch met één enkele
mvalsrichting werkt i). Bij het experiment zal men dus in een
bepaalde waarnemingsrichting energie van verschillende golf-
lengte en invalsrichting samenvatten. Voor de juiste intensiteits-
berekening zal dus een integratie over een golflengte-gebied en
over verschillende invalsrichtingen noodzakelijk zijn. De invloed
hiervan op de werkelijk waar te nemen intensiteit in een inter-
ferentie-punt wordt bepaald door de „Lorentzsche factorquot;

1 1 d2

= ^ • waarm hi, hj, hg de drie getallen zijn,

die de orde van het spectrum bepalen.

2 — Andere theoretische onderzoekingen op dit gebied —

Uitbreiding en verbetering van de theorie van Debije

Voordat Debije in zijn tweede pubUcatie de zooeven besproken
verbeteringen in zijn theorie invoerde, had ook Schrödinger het
probleem behandeld, eveneens omdat hij zich niet vereenigen
kon met de onderstelling dat de atomen hun bewegingen uitvoeren
onafhankelijk van elkaar Hij heeft behandeld het geval van een
lineair rooster, als dit bestaat uit gelijke atomen op gelijke af-
stand a, in de onderstelling, dat twee atomen een kracht op elkaar
uitoefenen, die gelijk nul is als hun afstand a bedraagt, evenredig
IS met de afstandsverandering en wel zóó, dat de kracht bij grootere
afstand dan a aantrekkend, bij kleinere afstand afstootend is.

Hij komt tot het resultaat, dat de buigingsbeelden met toe-
nemende temperatuur breeder worden en ongeveer symmetrisch,
dat de centrale intensiteit van het buigingsbeeld afneemt en dat

\') Zie het slot van het gec. artikel van Debye. Verder: j. Kern, Phys.
Zeitschr. 15, 136, 1914. M. v. Laue, Enz. d. Math. Wiss. V, 24; 471, 1915.

\') E. Schrödinger, Phys. Zeitschr. 15, 79, 1914.

de totale straling van één buigingsbeeld onafhankeHjk van de
temperatuur is^ Op de door Kern uitgeoefende kritiek^) en op
m telgnbsp;™ Schrödinger^) komen wij in hoofdstuk

Aan het werk van Debije is verder op verschillende punten
uitbreiding en verbetering gegeven door H. Faxén en I mUer
Behalve de reeds op blz. 5 genoemde publicatie van den eers en
verscheen een tweede publicatie 3). waarin hij vooral onderzot
de invloed van de temperatuur op de verstrooide straling

Waller heeft er op gewezen ^ dat de exponent van de functie
die de onafhankelijkheid van de temperatuur bepaalt (eTaoor
het dubbele van de waarde moet vervangen worden, ie Debl
hiervoor berekent. In (4\') zagen wij. dat de Q, door I^lbHe ak

tr2 n\'nbsp;oorspronke i\'r ot

traden Q, en Q,. met behulp van de onderstellingnbsp;^

Qk = Qk cos Sk Q\'; = Q^ sin Sk.

Zooals Waller opmerkte is het in strijd met de Bornsche ver-
gelijkingen, dat Debije onderstelt dat onregelmatig wsse

.nbsp;eigentrilling ovefgaat dI\'

Te^d . H . Tr\'quot;\'nbsp;^ niet plaat

heeft dat het aantal normaalcoördinaten 6N bedrLgt terwijl
het aantal vrijheidsgraden slechts 3N is, ontgaat hij door sleci
de helft van de phasenkubus te gebruiken. Hij bewijst n dat
als men ter verkrijging der normaalcoördinaten niet. zoLs Born
en von Kdrman, de loopende harmonische golven va; hetTooste\'
maar de daaraan beantwoordende staand! golven s^e genlS.
hngen beschouwt, alle staande golven van heL oneindige roCeÏ\'
reeds voor de , ^ x waarden van de halve phasenfubus vl
kregen worden. Dit heeft de genoemde verdubbeling van de exoo
nent tengevolge zooals ook in de volgende hoofdstukken blijken
zal Waller bewijst verder, dat men de berekeningswijze van
Debije bij consequente doorvoering kan blijven volgen als men
slechts de potentiëele en de kinetische energie op een bijzondere
wijze berekent. Hij vindt dan nl. voor de tijdgemiddelden van de

J. Kern, Phys. Zeitschr. 15, 337, 1914.
\') E. Schrödinger, Phys. Zeitschr. 15, 497, 1914.
•) H. Faxén, Zeitschr. f. Phys. 17, 266, 1923.
\') I. Waller, Zeitschr. f. Phys. 17, 398, 1923.

Potentiëele en de kinetische energie de helft van de door Debiie
aangegeven waarden, dus

InWnbsp;T =nbsp;Ql.

be V ^^^^^^ gedeelte van zijn dissertatie i) heeft WaUer zijn
rekeningen, in het voorgaande artikel uitgevoerd voor een
,, nvoudigquot; rooster, uitgebreid op een zoo algemeen mogelijk
ster. Alleen voor het kubische rooster kan hij komen tot voor
^ n expenmenteele toetsing bruikbare formules. Verder geeft hij.
eneens m het eerste gedeelte, berekeningen over de verstrooide

«nV,nbsp;steUingen, die hij afleidt, zullen we in dit proef-

i^cnntt nog ontmoeten.

^^^^^^nbsp;geleden met de bewerking van dit proef-

^^ ntt werd begonnen, waren, behalve de geciteerde dissertatie,
op de vorige blz. naar voren gebrachte studies gepubliceerd,
juist omdat tegen de grondgedachte, die aan het werk van Debije
de^ ^^ndslag ligt en die door alle navolgers van Debije is behou-
schquot;\'-f nbsp;aangevoerd kunnen worden, werd dit proef-

^nnit begonnen. In hoofdstuk II zal onze gedachtengang, die in
verdere hoofdstukken zal gevolgd worden, beschreven worden.

von^T ^nbsp;^^^^ verscheen een stuk van de hand van

^ n Laue waarin deze eveneens een andere berekeningswijze

van^d^^^\'-nbsp;debije ter berekening

sie hinbsp;eerst over een tijd, waarin de atomen zich

ti d H- ^^^^^^nbsp;oogenblikkelijke plaats bewegen, een

ato\' ^^^^ ^^^^ Röntgenperioden omvat en wel zóó, alsof de
^jmen stilstonden en daarna over een tijd (waarin de gemid-
^^ e intensiteit wordt waargenomen) groot t. o. v. de tijd.
ond^quot; ^^ configuratie der atomen een merkbare verandering
stanbsp;deze ongewone wijze van middelen, in twee

ber^rquot;-nbsp;von Laue bezwaren. Hij vervangt de

ere eningswijze van Debije door een meer aan de optica aange-

nal fnbsp;waarbij hij vindt dat in de secundaire straling

oorspronkelijke Röntgenfrequenties, een weinig ver-
^-£!^2f_frequenties optreden, een soort Doppler-effect dus. De

•J Mnbsp;Uppsala 1925.

) M. V. Laue. Ann. d. Phys. 81, 877, 1926.

uitkomsten voor de functie, die de temperatuur-afhankelijkheid
meet, blijven echter, zoowel wanneer hij de atomen als van elkaar
onafhankelijk beschouwt (le verhandeling van Debije), als wan-
neer hij ze als van elkaar afhankelijk opvat (2e verhandeling van
Debije), dezelfde als die Debije vond.

Waller heeft daarna aangetoond i), dat in de vroegere ver-
handelingen het Doppler-effect reeds in voldoende benadering
in aanmerking was genomen. In deze zelfde publicatie geeft hi\\
een uitbreiding omtrent zijn vroegere onderzoekingen omtrent
de verstrooide straling en toont aan, dat in sommige gevallen een
tamelijk belangrijke bijdrage tot de intensiteit van een spectraal-
lijn kan worden gegeven door verstrooide straling. Daar reeds von
Laue in het vorige artikel opmerkte, dat de slechte overeen-
stemming tusschen de berekening en het experiment wellicht een
gevolg is van het feit, dat steeds gewerkt wordt met een poten-
tiëele energie, quadratisch in de uitwijkingen, heeft Waller bij
een ééndimensionaal rooster onderzocht de invloed der 3e en 4e
graads termen. Men kan uit zijn beschouwing van het ééndimen-
sionale rooster de conclusie trekken, dat ook bij één-atomige
drie-dimensionale roosters de grootheid M termen van de 2e
graad in T moet bevatten, die zich bijzonder bij hoogere tempera-
turen doen gelden (vergelijk de hierna volgende experimenten
van James).

3 — Metingen van het „Debije-effectquot;

Wij zullen nu kort de weinige experimenteele onderzoekingen
over het temperatuur-effect nagaan. De eerste onderzoekingen
werden in 1914 door Bragg uitgevoerd, die als kristallen steen-
zout (NaCl) en sylvien (KCl) gebruikte In verschillende orden
en met verschillende vlakken werd de intensiteit van de gereflec-
teerde Rh.Ka straling bij 15° C en 370° C onderzocht met tot
resultaat, dat het effect van dezelfde orde was, als door Debije
berekend.

Backhurst heeft in meerdere orden bij verschillende kristallen
de reflectie van Mo-Ka straling tusschen 50° C en 900° C onder-

\') I. Waller, Ann. d. Phys. 83, 153, 1927.

\') W. H. Bragg, Phil. Magazine May 1914, 881.

o^t ) Hij vond geen goede overeenstemming met de theorie.
O y^JJ.nbsp;^^^^^ zijn de proeven van Collins met aluminium^).

^ hier worden resultaten gevonden afwijkende van de theorie
e^^Anno ^^^ onderzocht de buigingsbeelden bij 80° C, 310° C
^n 600 C voor de netvlakken (111), (100), (110) en (311) en vond
0nbsp;J^°07J80° voor de opvolgend genoemde vlakken 0,86;

volgens Debije grootere waarden nl. tus-
sclien 0,94 en 0,81 te verwachten zijn.

2nbsp;onderzocht») tusschen 19° C en 650° C de spectra van de

J\'nbsp;orde van het (100) vlak van NaCl, terwijl als straling

^ gebruikt Mo. Ka en het spectrum van de 3e orde van Rh-Ka
oor hetzelfde vlak, eveneens van NaCl. De experimenten laten

2ien, dat voor alle spectra M evenredig is met ^nbsp;De ver-

dere resultaten van James waren, dat in het geheele temperatuur-
de led voor alle spectra, M evenredig is met T^, terwijl de theorie
^en evenredigheid met T doet verwachten. De intensiteit daalt
us, als de temperatuur stijgt, sneller dan de theorie aangeeft.

y latere onderzoekingen«) heeft hij het onderzochte tempera-
lucM uitgebreid tot op 85° abs. (temperatuur van vloeibare
). Daar de experimenten van James de eenige zijn, die over
tall temperatuurgebied zijn uitgevoerd en tevens met kris-
j en, waarop de theorie van Debije met de meeste zekerheid
nag worden toegepast, zullen we deze in hoofdst. V, § 5 gebrui-
en tot toetsing van de theoretische uitkomsten.
^ ienslotte vermeld ik de proeven van Nies s). Deze vindt, dat
^ ® . ^®^^^otie-vermogen van de splijtvlakken van kalkspaat (kris-
^ iseert hexagonaal, de door Debije gegeven formules zijn strikt
genomen slechts geldig voor een „eenvoudigquot; kubisch kristal)
v ^■^quot;\'quot;^traling in de Ie orde, bij afkoeling van het kristal
an kamertemperatuur tot op de temperatuur van vloeibare lucht,
tTm^quot;^^ (2,0 ± 0,4) %. Dit beteekent een grootere tempera-
dan de theorie aangeeft, zelfs wanneer rekening

h Backhurst, Proc. Roy. Soc. of London (A), 102, 340, 1922.
,nbsp;Phys. Review 14, 152, 1924.

J R- W. James, Phil. Magaz., March 1925, blz. 585.
»!nbsp;Manchester Memoirs, 71 (1926—27), blz. 8.

) E- Nies. Ann. d. Phys. 79, 673, 1926.

wordt gehouden met de door Waller aangegeven verdubbeling
van M (de afwijking is natuurlijk nog grooter, wanneer de door
Debije gegeven waarde van M wordt gebruikt). In het algemeen
wijzen dus de onderzoekingen er op. dat de invloed van de tempe-
ratuur grooter is dan de theorie aangeeft.

HOOFDSTUK II

Beschrijving der methode

Om het rekenen eenvoudiger te maken en de overzichtelijkheid
e vergrooten wordt de berekening allereerst uitgevoerd voor een
en-dimensionaal rooster. Gegeven is een lijn op gelijke afstanden
ezet met atomen van gelijke massa. Wij denken ons de uiterste
atomen of vastgehouden, of wel vrij. We onderstellen, dat een atoom
oor quasi-elastische krachten aan de twee naburige atomen ge-
onden is. Van een willekeurig atoom met rangnummer 1 wordt
eerst berekend de kans dat, bij gegeven totale energie, dit atoom
een uitwijking heeft gelegen tusschen Uj en Uj duj of anders uit-
gedrukt: berekend wordt de fractie van een groote tijdsduur T (de
tyd gedurende welke we het atoom waarnemen), waarin dit atoom
zich bevindt tusschen Uj en Uj du„ afgezien van zijn snelheid
en eveneens bij gegeven totale energie.

I^e massa van het atoom wordt nu verdeeld („uitgesmeerdquot;) met
een dichtheid, die voor een bepaald lijnelement evenredig is met de
^oor dat lijnelement berekende waarschijnlijkheid. We laten nu een
vlakke bundel evenwijdige Röntgenstralen opvallen en vragen de
intensiteits-verdeeling der secundaire straling in dit vlak. Daar de
Waarneming over een lange tijd verloopt, zal de tijd, gedurende
Welke een bepaald atoom zich op een bepaald lijnelement bevindt,
eantwoorden aan de daarvoor berekende tijd. Het verdeelen van
e massa op de aangegeven wijze zal geoorloofd zijn, daar de totale
intensiteit, afkomstig van een zeker lijnelement, een sommatie is
\'^an de partieele intensiteiten.

Evenals bij de vroegere onderzoekingen zal ook hier de polarisa-
tie-factor onafhankelijk van de invals- en waarnemingsrichting ge-
steld worden. De uitkomsten kunnen nu vergeleken worden met die
van vroegere onderzoekingen (Schrödinger, Kern).
Een volgende stap zal zijn, dat de atomen van het lineaire rooster

verschillend worden genomen. Alle atomen met oneven rangnummer
en evenzoo alle atomen met even rangnummer zullen een onderling
gelijke massa bezitten. Ook hier wordt bij gegeven energie de kans
berekend op een bepaalde uitwijking. Het zal blijken, dat deze kans
onafhankelijk is van de massa van het atoom. Bij het optische pro
bleem zal het nu noodzakelijk zijn de atomen met verschillende massa
ook een ongelijke polarisatie-factor toe te kennen. We zullen een

door Waller geformuleerde stelling hier langs een andere weg terue

vinden.nbsp;° °

Daarna gaan we over tot het eenvoudig kubisch rooster, waarbij
alle atomen gelijke massa hebben. Ook hier wordt de verdeelings
functie voor de massa van een atoom gevonden door de kans te be
palen dat dit atoom, bij gegeven totale energie, componenten der
uitwijking heeft, die gelegen zijn tusschen:

Uimo en dui„„

Vimn en
Wton en dwi„„
waarbij 1, m, n de rangnummers van het atoom zijn. Het optische
probleem kan op dezelfde manier behandeld worden. De onder
stellingen bij deze berekening zullen dezelfde zijn, als die waar De
bije van uitgaat. De resultaten zullen worden vergeleken.

Om de invloed der bijzondere voorwaarden aan de rand te de-
monstreeren zullen daarna voor hetzelfde rooster formules voor de
waarschijnlijkheid worden afgeleid bij bepaalde randvoorwaarden
en onderstellingen omtrent de krachten die op een atoom werken

Ook voor twee-atomige kristallen van het regulaire systeem kan
de berekening op dezelfde manier uitgevoerd worden en evenals
voor éen-dimensionale twee-atomige kristallen kan bewezen worden
dat de kans, dat een atoom een bepaalde uitwijking heeft, onafhan-
kelijk is van de massa.

Opgemerkt kan nog worden, dat formules gevonden zijn die ons
in staat stellen de gemiddelde uitwijking van een atoom te\'bepalen
als functie van temperatuur en elastische grootheden.
Lindemann heeft een dimensie-formule voor de ultra-roode

\') Dezelfde onderstellingen als van M. Bom u. Th v Kdrmän in Ph
Zeitschr. 13. 297, 1912.

quot;) F. Lindemann, Phys. Zeitschr. 11, 609, 1910.

«gen-frequenties opgesteld, die een verband geeft tusschen deze
requentie en de smelttemperatuur, door aan te nemen dat het smel-
jn dan begmt, als de amplituden der trillingen zoo groot geworden
m, dat naast elkaar liggende atomen botsen. Wij kunnen dan
onze mtkomsten vergelijken met die van Lindemann.

lenslotte zullen we de hier afgeleide formules gebruiken om de
emperatuurafhankelijkheid van het geleidingsvermogen van me-
talen te berekenen op dezelfde manier als Houston dit uitgevoerd
eelt 1). Deze maakt gebruik van de door Debije gegeven uitdruk-
king, zooals die gecorrigeerd is door WaUer.

\') W. V. Houston, Zeitschr. f. Phys. 48, 449, 1928.

HOOFDSTUK III
Het lineaire rooster met gelijke atomen

Oplossing der bewegingsvergelijkingen en berekening

van de energie

Gegeven is een lijn bezet met N 2 atomen op gelijke afstand a.
waarvan de uiterste atomen worden vastgehouden. Gevraagd wordt
de kans dat, wanneer de atomen door quasi-elastische krachten
aan elkaar gebonden zijn en de totale energie gegeven is het l«^«
atoom een uitwijking heeft, die gelegen is tusschen u, en u, du
Onderstellen we, dat de atomen met rangnummer O en N -f ï
worden vastgehouden, dan krijgen we het volgende stelsel van be-
wegingsvergelijkingen :

müi = a (Ua — u^) — « (u^ — uj

ü, = « (u,^, — Uj) — a (ui — u,_,) .......... (8)

quot;n = « K i — Un) — a (un — Un_i)

mu

mu

quot;o = UN , = O

Aan dit stelsel van vergelijkingen kan voldaan worden door

Ui = Uje\'^^

Substitueeren we deze waarde voor u^ in (8), dan zal daardoor een

stelsel vergelijkingen ontstaan ter bepahng van Ui____U . U

Zal dit stelsel oplossingen bezitten, die van nul verschiUend zijn dan
is het noodig, dat de determinant van de coëfficiënten verd^^jnt
waardoor een graadsvergelijking in v^ bepaald is. SteUen we de n
reëele wortels voor door v^ ... v^ ... dan vinden we als alge-
meene oplossing:

u, = A, Ui, cos (v,t P3)

waarin A^ en p^ constanten zijn die alleen afhangen van het nummer
s der triUing.

Zooals bekend verondersteld mag worden vindt men door voor
een oogenblik over te gaan op het continu probleem (de aan beide
uiteinden vastgeklemde snaar) dat:

O 4anbsp;9nbsp;7ts

= m ™ 2\'* = nTT\'\'=\'...........

en eveneens dat de genormaliseerde eigenfuncties zijn:
tt l/ 2 . itts

=nbsp;n t..............c\')

zoodat de algemeene oplossing de vorm aanneemt:

= p \\nbsp;sin ^ cos (v^t pj .... (10)

De oplossing (10) kan als de algemeene oplossing beschouwd wor-
tel daar de 2N constanten A,.... A,.... A^, p,.... ...... p^

Depalen zijn, wanneer van de N bewegelijke atomen op t = O ge-
geven zijn de grootte der uitwijkingen en snelheden.

Dezelfde resultaten kunnen ook verkregen worden door direkt in de be-
egingsvergelijking van het l^e atoom

oplossingnbsp;^ quot; ~ ~ ~

UI = Ae\'tv\' i?)

6 substitueeren en v en lt;p zóó te bepalen, dat aan de bewegingsvergelijking
wordt voldaan, dus

— mv2 = a (eT equot;? — 2)

2 4a 9
v\' = — sin^ -.
m 2

Herhaalt zich een uitwijking na N 1 punten dan is dus (N -f- 1) 9 = 2jt
«quot;(N I)a = xendus9=^.

^ X

le ^^nbsp;golflengte is de golflengte van de „grondtoonquot; van de tril-

roo tnbsp;vastgehouden eindpunten X. = (N 1) 2a. Daar het

oos er met N bewegende atomen N vrijheidsgraden bezit, zal dus algemeen

cp —

zijn [s = 1. .... N].
We vinden dus oplossing (10) terug.

De totale energie van het rooster, samengesteld uit de potentieele
en de kinetische energie, wordt voorgesteld door:
e = V T =

= 2nbsp;- ui-i)\' («1 1 —

m

2 •••• .

Stellen we nu in (10) A, cos (v3t pj = Q^ dan wordt

sin^^nbsp;.....(10\')

l/ 2nbsp;itts ^ .

Gemakkelijk bewijst men nu dat:
-f

........... (11)

2 — Afleiding van de formule voor de waarschijnlijkheid

Wij komen nu tot het probleem de in hfdst. II genoemde waar-
schijnlijkheid te bepalen, dat bij gegeven energie e, de volgende on-
gelijkheid bestaat:

2sU.3QSlt;U, dui.............. (12)

afgezien van de snelheden der atomen en de uitwijkingen der overige
atomen.

Wanneer we in een 2N-dimensionale ruimte Q^____Q^____Q^^^

qi----ós----Qn opvatten als coördinaten, dan is (11) de verge-
lijking van het 2N-dimensionale analogon van een ellipsoïde. Deze
vergelijking brengen we op de vorm:

...... ........

2s ^nbsp;^ ^ ^ ^ ^nbsp;^ 2e ~ ^.....

mvjnbsp;mv^ mnbsp;m

De vergelijkingen U^, Q^ = u, en U,3 Q^ = Uj duj stellen
(2N — 1) dimensionale analoga van vlakken voor, in de „nor-
maal vormquot; geschreven, want:

.... u

Ujs = — ^^^ ^dus

2nbsp;. itts

sm2 - = 1.

y — V

Ws N 1 Ws N 4- 1
Voluit geschreven luiden dus de vergelijkingen:

ITTnbsp;. ITÜ N

sin —

Qi .nbsp;. ^

.................... (II)

2

ITTnbsp;. ITT N

.......... qn wnljll = dui •••• (11\')

De gevraagde waarschijnlijkheid wordt gevonden als quotiënt
yan de oppervlakte van de 2N-dimensionale elliptische schil door
(II) en (IF) uit (I) gesneden en de oppervlakte van de 2N-dimensi-
onale ellipsoïde (I).

Dit wordt hieronder nader toegelicht.

Wanneer we echter de beperking invoeren dat de temperatuur zóó
^oog is, dat van afwijkingen van de aequipartitie der energie mag
afgezien worden — Schrödinger, met wiens uitkomsten voor het
lineaire rooster we de onze willen vergelijken, maakt dezelfde on-
derstelling — dan kunnen we de waarschijnlijkheid gemakkelijker
berekenen door aan de energie een kleine speling ds toe te laten,
(als we later onze berekening bij het kubische rooster ook willen
Uitstrekken tot lage temperaturen zullen we voorzichtiger te werk
dienen te gaan! zie hfdst. IV).

We bepalen nu de inhoud Ij van het 2N-dimensionale ringvor-
mige lichaam begrensd door (II), (IF) en de 2N-dimensionale ellip-
soïden (I) en (F). De vergelijking, die de 2N-dimensionale ellipsoïde
(I\') voorstelt, volgt uit (I) door s te vervangen door e de. Vervol-
gens bepalen we de inhoud Ig van het 2N-dimensionale schilvor-
mige lichaam, begrensd door de ellipsoïden (I) en (F).

De kans, dat het atoom met rangnummer 1 een uitwijking heeft,
die gelegen is tusschen u, en u, duj, wordt dan weergegeven door

(13)

Dat (13) de te bepalen waarschijnlijkheid voorstelt volgt hieruit,
dat volgens (12) de coördinaten Q^.... Q^.... Q^ zoodanige
waarden moeten hebben, dat het phasenpunt gelegen is tusschen de
(2N—1) dimensionale uitgebreidheden („vlakkenquot;) (II) en (II\')
en daar bovendien de energie van het systeem ligt tusschen e en
e de (een willekeurig kleine toename ds is mogelijk, temperatuur
hoog!) moet het phasenpunt eveneens gelegen zijn tusschen de 2N-
dimensionale ellipsoïden (I) en (I\'). Denken we ons nu de phasen-
punten met constante dichtheid verdeeld tusschen de energie-vlak-
ken (I) en (F), terwijl in de geheele verdere phasenruimte de dicht-
heid = O is, dan volgt hieruit de juistheid van (13), daar de waar-
schijnlijkheid hier wordt weergegeven door de inhoudsverhouding
der gebieden, die het phasenpunt bestrijken mag — wanneer vol-
daan is aan (12) — en die het phasenpunt bestrijken kan.

Ter berekening van Ii bepalen we eerst de inhoud I van het
lichaam, dat door (I) uit (II) wordt gesneden en dus begrensd wordt
door een (2N— 1) dimensionale ellipsoïde en daarna de toename

/dl

hiervan ~ de als s met de toeneemt.
\\de /

In een noot aan het einde van dit hoofdstuk zal bewezen worden,
aat de inhoud van het stuk, dat door de ellipsoïde

a? ^

In

Uit de (N — 1) dimensionale uitgebreidheid

...... «s Xs ...... «n Xn = P

wordt gesneden, welk stuk begrensd wordt door een (N—1)-
imensionale ellipsoïde, een inhoud heeft, die gegeven wordt door:
N—1

N—1

-\'l-P\') 2

K2/

TT

quot;daarin a^----a^----afj de richtingscosinus van de normaal en

P de lengte van de loodlijn uit O op de (N — 1) dimensionale uit-
gebreid voorstellen en

=nbsp;.... «fal •. •. «^a^......(14\').

Volgens (14) vinden we dus voor de inhoud van het stuk door
^I) uit (II) gesneden:

2N—1

2N — 1

7t

1 =

K

daarin volgens (14\')
sin

Ka

2 • xt~7~;—\' omdat: aj.,,
s mv| N 1nbsp;^^^

Substitueeren we de waarde van v| uit (9) in de gevonden
baarde voor K^, dan geeft dit:

. „ Itts
sm2 --

7ts

sm\'\'

2(N 1)

Nu is gemakkelijk te bewijzen, dat

7rs

TCS

2(N 1)

= COS (21—1)

2(N 1)

2(N 1)
----cos

ns

2(N I)-

Voeren we dit in de voorgaande formule in, dan krijgt deze

de vorm:

(21—1) TTS
cos-^-r^-- .... cos

a(N 1)

2(N 1) ■nbsp;■ -quot;2(N r)

Hierin treden op sommaties van de vorm cos^

2(N 1)

en van de vorm V 2 cos — cos ^^ waarin k Pn V\'

2(N 1) 2(N 1)\'nbsp;^ ^

oneven getallen zijn en k k\'.
xr •nbsp;, kTTS N

Nu is cos2nbsp;en omdat er uit (15) 1 somma-

ties over de quadraten voortkomen, leveren deze in totaal een bii-

N

drage, die gelijk is aan: 1. —.
Verder is
^ 2 cos

cos

2(N 1) quot;quot;quot; 2(N -f 1) ^ ~ ^^ quadrateering

ontstaan in (15): [(1—l)-f (l_2) ...... l] = ii(i_i)

dubbele producten. De bijdrage dezer dubbele producten is dus
gelijk aan: — 11(1 — 1).

Deze resultaten samenvattend, vinden we dus voor K^ de vol-
gende waarde:

Substitueerën we deze waarde in de uit (14) gevonden uitdruk-
king voor I, dan gaat deze over in:

2N — 1

2e

1(N 1—1)

(N l)a
2N—1

\' /

waarbij de hier ingevoerde grootheden Z^ en Zg, die e niet bevat-
ten, gevonden worden door vergelijking met de vorige regel.

Volgens de aangegeven methode bepalen we nu de toename van
I als e met de toeneemt dus.

dl 2N — 1

— de = - Zi e

denbsp;2

Tenslotte vinden we dus:

2N

I - ^Ijizlv

= -r- ZiE

2N —3

2

e

2N—3

2 de duj.

Om de in (13) optredende Ig te vinden, berekenen we eerst de
inhoud r van het lichaam, dat begrensd wordt door de ellipsoïde
(I) volgens de bekende formule.

2N

2n

na3

\'2N 2\\ 1

Waarin TI a^ het product van de halve assen voorstelt. Toepas-
1

sing van deze formule geeft:

2N

/2\\N N 1

f2N 2\\ \\m/ j Y

waaruit I, gevonden wordt door de toename te berekenen van
I als e met ds toeneemt

-Nnbsp;^ 1

71

I2 = — de — -, _

de r(N 1) \\mj

De gevonden waarden voor I, en 1, substitueeren we in (13)
terwijl voor Z, en Z, de oorspronkelijke waarden weer in de plaats
gesteld worden. We vinden dan:
2N_I

—=r-nbsp;«(N i)

\'2N 1\\ 2N ■ ~f 5---=

-

7l(N l

r(N l) 2N—1-|/ a(N l)

2el(N I — 1)

Deze formule kunnen we in een veel eenvoudiger vorm brengen
wanneer we bedenken, dat het aantal atomen N van het rooster
zéér groot is, zoodat we

2N —3

li «(N 1) 1

l 2el(N l_l)quot;i/

door logarithmische ontwikkeling op de vorm

2N —3 a(N l)

e 2 2el(N-M_l)quot;^

kunnen brengen, terwijl we tevens, ook vanwege de zéér groote
waarde van N de factor

r(N i)

\'2N I

kunnen vereenvoudigen door toepassing van de formule van
Stirling:

-i

r(N 1)

m

schreven kan worden e^, c
lim

N-^00 \\

Voeren we deze benaderde waarden in, dan vinden we

2N-3 «(N 1) ■

2 • 2d(N 1—1) \' du,

of eveneens omdat N een zéér groot getal is:

a(N 1)2

a(N 1)2

e 2d{N 1-1) \' du,

2el(N 1—1)
h

W = ^ enbsp;du,

(16)

h, = (N 1)

2£l(N 1—1)\'

Dat de benaderingen tot een goede orde zijn uitgevoerd moge
Wijken uit het feit. dat

hfuf

du, = 1.

—

(16) blijkt, dat voor een bepaald rooster, met een gegeven
energie, de kans op een bepaalde uitwijking alleen afhangt van
et rangnummer van het atoom. Om te zien welke atomen het
sterkst om hun evenwichtsstand trillen, bepalen we het gemid-
delde quadraat van de uitwijking:

00 _112,,2

fe

—hfnf.
Je ^ \' du,

— 00

1 _el(N 1 —1)
a(N 1)2 \'

Waarmede dus uf als functie van 1 bepaald is. Deze functie heeft

een maximum-waarde voor 1 = ^ ^ \\ waaruit dus blijkt, dat

Voor het middelste atoom het grootst is, naar de randen af-
neemt, terwijl voor 1 = 0 en 1 = N 1, dus voor de beide
Uiterste atomen, u^ = O, zooals te verwachten was.

3 — Andere afleiding van dezelfde formule

Een andere berekeningswijze om tot hetzelfde resultaat te
komen als m (16) zullen we in het kort aangeven, zonder de be-
rekeningen in zijn geheel weer te geven.

Wij kunnen om de genoemde waarschijnlijkheid te vinden ook
bepalen

ih

O

waar t gebonden is door de voorwaarde:

ui - dui lt; A, cos (v,t Ps) lt; u, du, .... (17)

waarmee de fractie van de tijd T berekend wordt, waarin het
atoom met rangnummer 1 een uitwijking heeft gelegen tusschen
Uj — dUj en u, -f- duj.

Om bovengenoemde integraal te bepalen maken we gebruik
van de bekende integraal:

00

2 /quot;sinoo

- / - cos kamp;) dw =0 voor k gt; 1 k lt; — 1

TT J (O

O

= 1 „ k = ± 1
= 1 » — I lt; klt; 1.
Uit voorwaarde (17) volgt:

2 lt; u,-f-dui, waarbij dus begrijpelijkerwijze S staat voor

S3A3U13 cos (v^t -f P3).

Dus

2-Ui ^ ,nbsp;S —u,

\'\' eveneens-— gt; _ 1 uit de andere voor-

waarde.

Hieruit volgt:

00

2 /quot; sin O) 2 — u,

- ƒ - cos —-co dto = 1

n J cinbsp;duj

O

wanneer voldaan is aan (17). terwijl voor alle andere waarden
van S — d. w. z. als het atoom zich bevindt buiten het gewenschte

gebied — de integraal gelijk is aan nul. Voor de fractie van de
^ange tijd T, die we willen berekenen vinden we dus:

1 J

W. - r Hf r quot;nbsp;^sAsUisCOS Kt Ps) — Ui

^\'^A — z; / dt / - COSnbsp;-;- co dco.

A j j (Onbsp;dui

Onbsp;O

De waarschijnlijkheid wordt genoteerd als W^, omdat het de

Waarschijnlijkheid is bij een gegeven stel waarden A^----A^----A^.

Het zal belangrijker zijn — en in overeenstemming met de
UI de vorige paragraaf gegeven afleiding — de waarschijnlijkheid
te bepalen voor waarden van Aj____A^----A^, die alleen gebon-
den zijn door de eisch, dat de energie een constante gegeven waarde
heeft.

Volgens (11) is
Nu is

Qs = A, cos (v^t Ps) dus Qs = — As V, sin (v,t Ps)
en dus

m

Laten we nu aan de energie evenals in de vorige paragraaf
een speling toe van de, dan zal dus voor W kunnen geschreven
Worden:

\'\'Sv;^ Af = e -f de

WA.dA,....dA3....dA^

W =nbsp;_

\'\'Sv;^ Af = e de

dAj .... dA.----dA^

Sv;^ Af == e

Daar de uitwerking hiervan ongeveer langs dezelfde weg

Verloopt als in § 2, vermelden we alleen het resultaat, dat ook hier

alleen in deze vorm bereikt wordt, door gebruik te maken van

de eigenschap, dat N een zeer groot getal is. We vinden

2h, -h? uf
W == —— enbsp;dui

yn

Waarin de letters dezelfde beteekenis hebben als in (16).

Dat hier een waarde voor de waarschijnlijkheid W gevonden
Wordt, tweemaal zoo groot als de in (16) gegeven waarde, is een

gevolg daarvan, dat het interval waarin het atoom moet liggen
tweemaal zoo groot is genomen, er is immers bepaald de waar-
schijnlijkheid dat het atoom een uitwijking heeft gelegen tusschen
u,- du, en ^ -f du„ terwijl bij de afleiding van (16) werd be-
paald de waarschijnlijkheid, dat de uitwijking is gelegen tusschen
u, en Uj duj.

4 - Invloed der warmtebeweging op de interferentie-
verschijnselen.

In de Y-richting wordt het „kristalquot; gedurende lange tijd
bestraald met Röntgenstraling, waarvan de golflengte X is

Wij willen nu de intensiteitsverdeeling bepalen in het X-Y-vlak
Daartoe berekenen we de gemiddelde intensiteit gedurende de
tijd van waarneming (= tijd van bestraling) in een wülekeurig
punt P, waarvan de afstand tot de oorsprong groot is t.ov de
lengte van de atomenrij. (zie fig. 2.).

fY

De massa m van het llt;ie atoom wordt verdeeld met een dichtheid
bepaald door (16) (zie hoofdst. II). Op het lijnelement du, bedraagt
dus de aanwezige massa :

mhi -hfuf

du,.

-y/n

00

f mhi -h^iui^

/ ^^ ^nbsp;noodzakelijk is.

— 00

quot;^oor de amplitudo der straling in P opgewekt door de massa
Van het genoemde element kunnen we schrijven:

A\' mhi — hfuf ixct — ixr ,ix^(la Ui),

e e e/ ^ ^nbsp;du, =

A hl —hfuf ixct —ixr ixcosa-(la u,) ,

\'e e enbsp;^ quot; du,.

Waarin

R = r —Ï(la u0

f u,\\2

-— 1 t.o.v. 1 is verwaarloosd

Verder is x = en c de lichtsnelheid. Zooals reeds eerder is

opgemerkt, wordt A onafhankelijk van de invals-en waarnemings-
nchting genomen.

Voor de amphtudo van de door het geheele „kristalquot; in P teweeg-
gebrachte straling vinden we dus,

ixct ^ r h. —hfuf ixcos^(la-f-Ui) ,

- 00

^ De gezochte gemiddelde intensiteit vinden we hieruit door met
® toegevoegd complexe waarde te vermenigvuldigen:

r2 ii-\'i Wl\'jj -/TCnbsp;Vn

- 00

ixcos^(l—r)a ixcos^(u,—u,,) , ,
• enbsp;^ \' enbsp;^ ^nbsp;dujduj,

Ter vergelijking met de door Debije in (3) gegeven formule
mengen we de voor gevonden uitdrukking in de vorm:
Aa ^ ^ ixcos^(l —l\')a M

\') E. Schrödinger l.c., blz. 80.
\') 1- c. blz. 53.

Alleen als Uj, = Uj of, wat hetzelfde beteekent, als 1 = 1\', wordt

Vquot; hl — hfuf , quot;

- 00

Voor 17^1\':

00

/quot;pi^cosa-u, hl —hfui^
-jenbsp;. ^ e^ gt; duix

O)

— i X cos a- Uj, hl, — hf, uf, ^
enbsp;— e \' \' duj, =

\\/tv

K^COS^d-

quot;1 1quot;
Lhf quot;^hf,. _

= e
cos2 Q- 2e

[(1 1\') (N 1)-(12 1\'2)j
P 1\'2

1 1\'

N 1

Voeren we nu voor de energie e de waarde NkT in — wat dus
m zich sluit, dat de uitkomsten alleen beteekenis hebben voor
zóó hooge temperaturen, dat we van een afwijking van de aequi-
partitie der energie af kunnen zien — dan kunnen we, als we, met

het oog op de groote waarde van N, voor ^^^^^ i schrijven,

M

e op de vorm brengen:
kT

M — — x^cos^a-
e = e 2a

1 1\'

en dus

kT

— M = — x2 cos2
2a

als 1 1\' en M = O voor I = 1\'.

Kern heeft in zijn kritiek op het werk van Schrödinger,
eens voor het geval van vaste randpunten, voor M afgeleid i):

kT

— M = — cos2 d-

2x

N -fl J

^e vinden dus, evenals Schrödinger-Kern, dat de factor, die
Voor een interfereerend tweetal atomen de afhankelijkheid van de
emperatuur meet, afhankelijk is van de indices der atomen, in
egenstelling met Debije, waar juist gevonden wordt, dat M onaf-
ankelij k is van de indices. Later komen we hierop terug.
Zooals uit de uitdrukking en(17) en (17\') blijkt, vinden we, dat
^e afhankelijkheid van de indices anders is. Hierover enkele op-
merkingen.

In de uitdrukking, die Kern geeft, is de factor M voor een be-
Paald atomen-paar, bij constante waarde van |1 —l\'l, steeds
ezelfde d.w.z. verschillende tweetallen van atomen leveren dezelfde
J rage tot de intensiteit, onverschillig waar ze gelegen zijn.
n is het duidelijk dat de invloed van de temperatuur des te

grooter is naarmate |M| grooter en dus e^ kleiner is 2).

Gemakkelijk is te bewijzen dat uit (17) volgt, dat |M| des te
grooter is, bij vastgehouden |1 — l\'i, naarmate zoowel 1 als 1\' minder
van ^ 1

2— verschillen (dat N I even wordt genomen heeft

natuurlijk geen wezenlijke beteekenis). Om een bepaald voor-
beeld te geven (fig. 3).

N i

lt;

Nl3nbsp;N 1

anbsp;2 ^P

Fig. 3

gemakkelijk blijkt.

) L c. blz. 341. Bij Kern bestaat de atomenrij uit N punten. In zijn for-
Vtt^\'^^^ ook N — 1 op de plaats waar hier N -f- 1 geschreven is.
gro t ^^nbsp;^^nbsp;^nbsp;^^^nbsp;grooter worden van | M | een

er gedeelte van de interferentie-intensiteit wordt omgezet in ver-
strooide straUng.

Hoe meer nu het tweetal atomen, waarvan de indices 2p ver-
schillen, naar de rand toe wordt genomen, des te kleiner wordt
|M|.

Dat een interfereerend paar atomen op een bepaalde afstand
gelegen, in de buurt van het middelste atoom, meer gestoord
wordt door de warmtebeweging dan een atomenpaar, waarvan de
indices hetzelfde verschil hebben, in de buurt van de rand, is
physisch wel duidelijk, daar toch, zooals uit de waarde voor ü^

—nbsp;N 4- I

op blz. 25 bleek, uf voor l^-j- een maximum heeft d.w.z.

de in het midden gelegen atomen hebben een sterkere warmtebe-
weging dan die aan de rand.

In zijn antwoord op de kritiek door Kern uitgeoefend, maakt
Schrödinger de opmerking dat het resultaat, dat de verzwak-
kingsfactor voor één atomen-paar e^ (hier dus voor M de waarde
(17\') te nemen) weer toeneemt, als de afstand der atomen de halve
lengte der atomenrij overschrijdt (|M| wordt dan weer kleiner),
physisch „unsinnigquot; is, dat nl. verder gelegen punten weer „beter
interfereerenquot; zouden. Volgens Schrödinger komt dit resitaat
tot stand, doordat het uitgangspunt, vaste randpunten, niet is te
realiseeren.

De waarde van de opmerking uit de laatste zin daargelaten,
geeft de waarde |M| uit (17) een uitkomst, die physisch heel begrij-
pelijk is.

Beschouwen we een atoom links van het middelste gelegen
/i N-fl\\

V 2nbsp;berekenen we de waarde van |M|, wanneer we

dit atoom combineeren met een atoom rechts daarvan gelegen.
Laten we nu 1\' toenemen, dan groeit |M| zóó lang tot het middelste

atoom bereikt is(l\' =nbsp;^^arna neemt, als 1\' steeds ^ ^ ^

\\nbsp;z ]nbsp;2

meer overtreft, |M| weer af.

r.c. noot op blz. 500.

Dat volgens (17\') de atomen a en b het „slechtst interfereerenquot;,
at dus atomen, hetzij hnks, hetzij rechts van b, met a gecombi-
neerd meer tot de intensiteit bijdragen is onverklaarbaar. (Zie fig. 4).

Onbsp;a N l c b N l

z

♦---------------------^

Fig. 4

Volgens (17) echter heeft de overgang van „slechter tot beter
interfereerenquot; plaats bij het middelste atoom. Dat nu a en c siech-
er dan a en b interfereeren niettegenstaande de kleinere afstand is

e Verklaren doordat de warmtebeweging op c meer invloed heeft
dan op b.

Tenslotte moge als contrôle op de berekening vermeld worden,
^at (zie fig. 5):

t\' ^ Nn-fNn-f N t
2

Fig. 5

M (1,1\') = M (N -I- 1 — 1, N -1- 1 —1\')
^at zonder meer duidelijk is.
Stellen wenbsp;xa cos ^ = p

kT

- x2 cos2 ^ = Y

2anbsp;^

2 2
^an is de uitdrukking voor de gemiddelde intensiteit in een bepaalde

richting 1).

, n 1 n 1

\'quot;-2- —nbsp;N-f-1

ce)

-ïi±Jnbsp; (N -j- 2) —

(het even-zijn van N -f 1 heeft natuurlijk geen wezenlijke betee-
kenis),

\') Het \' bij de sommaties beteekent, dat L = L\' uitgesloten wordt.

Voeren we geen speciale randvoorwaarden in, dan wordt door
L ^ L\'

ïrrr quot;quot; ïmquot;^ ° ^^^^

n 1 n 1

2 quot;quot;2quot;nbsp;N 4- 1

2 (N 2):^ (18\')

n 1 n 1nbsp;^

2 2

Evenals Debije vinden we dus nu dat de verzwakkingsfactor
onafhankelijk is van de indices van het interfereerende atomenpaar
Tevens blijkt dat (18\') alleen streng geldig is voor een over-
eindige afstand bestraald oneindig lineair kristal. Wordt een kristal
over de geheele lengte bestraald dan hebben de randvoorwaarden
op de te verwachten intensiteit, zooals blijkt uit (18) en (18\'),
een wezenlijke invloed.

Langs andere weg komen we dus tot dezelfde conclusie als
Kern i).

Hoewel de hier gevolgde methode in hoofdzaak hetzelfde resul-
taat geeft als de berekening van Schrödinger-Kern, die de door
Debije aangegeven weg volgen blijkt zij toch de fijnere details
beter weer te geven.

In het volgende hoofdstuk zullen we dan ook bij lage tempera-
turen een meer wezenlijk verschil vinden met de theorie van Debije.

Noot bij formule (14), § 2.

We gaan er thans toe over de op pg. 21 ingevoerde formule (14) te bewijzen.
Gevraagd wordt de inhoud te bepalen van het stuk, dat de ellipsoïde

nbsp;.............. W

snijdt uit de (n— 1) dimensionale uitgebreidheid

aiXi -f----- agXg ---- «nXn = pnbsp;(H)

Dit stuk wordt begrensd door een (n — 1) dimensionale ellipsoïde Door
de transformatie x, = a,?, .... x« = ag^« ... . x^ = an?n gaan deze ver-
gelijkingen over in:

.... ^s^ .... = 1nbsp;(i\')

ennbsp;aiai^i .... agag^s .... «nan^n = p

gt;) 1. c. blz. 342.
«) l.c. blz. ,80.

(I) is de vergelijking van het n-dimensionale analogon van een bol. De
weede vergelijking brengen we op de „normaalvormquot; door elke term
te deelen door

K = V^sas\'as\'
zoodat deze vergelijking, wanneer we

stellen de vorm aanneemt:

.... Ps5a .... Pn^n = Pnbsp;(H\')

daarin Pi .... pg .... pjj de richtingscosinus van de normaal op (II\')

voorstellen.

Voor de inhoud van de (n—1) dimensionale bol door (I\') uit (11\')
gesneden vinden we:

n— 1nbsp;_ ,

I\' = —--(1 — Pquot;)

2

Voor de inhoud van het stuk door (I) uit (II) gesneden

baarbij de factor S bepaald wordt door de wijze waarop het volume-element
getransformeerd wordt door de overgang van coördinaten x op coördinaten
Om het nieuwe volume-element te vinden maken we gebruik van bekende
rmules . We zullen ons doel eveneens bereiken, wanneer we S berekenen
voor het geval het „vlakquot; (II) evenwijdig aan zichzelf verplaatst wordt naar
e Oorsprong van het coördinatenstelsel, daar een translatie van het ^-coör-
inatenstelsel het volume-element onveranderd laat.
Voor de inhoud

van het stuk door de ellipsoïde (I) uit

«iXx 4- .... -h agXg ---- anXn = Onbsp;(III)

gesneden, vinden we dus, door in de voor I gevonden waarde p = O te

steUen.

n— 1

r

\') Vergelijk bijv.: L. S. Ornstein, Toepassing der Statistische Mechanica
quot;v^an Gibbs op moleculair-theoretische vraagstukken. Diss. Leiden 1908, pg.
^ e.V. De hier gegeven berekening is analoog met de daar uitgevoerde.

Dezelfde inhoud bepalen we nu langs een andere weg, zonder over te gaan
op ^-coördinaten.

De inhoud van het stuk door (I) uit (III) gesneden wordt gegeven door:

n— 1

7t ~2

als Q het product der halve assen voorstelt van de (n — 1) dimensionale
ellipsoïde, die het bedoelde stuk begrenst.

De inhoud van een parallelopipedum op halve toegevoegde middellijnen
van de ellipsoïde (I) beschreven is ten eerste gelijk aan a^ x .. ag .. X an,
doch ook gelijk aan de inhoud van een parallelopipedum op halve
toegevoegde middellijnen der (n_— 1) dimensionale ellipsoïde beschreven —
waarvan de inhoud juist het product Q is — vermenigvuldigd met de lood-
lijn 1 uit het snijpunt van de aan (III) toegevoegde middellijn met (I), op
(III) neergelaten.

Dus ai----ag----^n = IQ.

Wanneer men de coördinaten van het punt, waar de aan (III) toegevoegde
middellijn (I) snijdt, x,----Xg----Xn noemt, heeft men

Xl = xai^ai----Xs = Tas^as----Xn = Tan^an

omdat de vergelijkingen van de genoemde middellijn gegeven worden door:

Xn

ai\'a,nbsp;ag^agnbsp;an\'an\'

De grootheid t is dus te bepalen uit:

T» [ai\'ai» .... «s^ag» .... 4- a„«a„\'] = 1

omdat de coördinaten van het snijpunt moeten voldoen aan de vergelijking
van de ellipsoïde (I).

Hieruit blijkt dus dat t =

K

Stelt men de lengte van de aan- (III) toegevoegde halve middellijn voor
door p en de hoek tusschen de normaal op (III) en deze middellijn voor door
lt;p, dan heeft men voor 1 de betrekking.

1 = p cos q»

De richtingscosinus van de normaal op (III) zijn a, .... «g .... «n, van de

toegevoegde middelüjn - .... .... ^ ofnbsp;^ ^

P P P Kp •••• Kp •••• Kp ■

Men vindt voor cos 9:

ai^ai» -I- .... ag\'ag\'\' . ... an^^an\' K» K

cos (p =

Kpnbsp;Kp

waaruit blijkt dat 1 = K en dus

ai----ag

Q =

K

We vinden dus beide waarden voor Iquot; aan elkaar gelijkstellende,
n—1nbsp;n—1

ai----ag----an n 2

/n 1

ai .... ag

S =

K

Voor de gevraagde inhoud dus,

n— 1nbsp;n— 1

2 ai....ag....a„

K

waarin P = ^^ en K» = a^ai» .... ag^ag» .... an\'an».

HOOFDSTUK IV
Het kubisch rooster met gelijke atomen

Naar aanleiding van de uitkomsten van het vorige hoofdstuk
zou het voor de hand liggen nu voor het drie-dimensionaal kristal,
eveneens voor bepaalde randvoorwaarden, de intensiteitsbereke-
ning uit te voeren.

De formules worden dan echter zóó gecompliceerd, dat dan
alleen voor de atomen uit het midden van het kristal de somma-
ties uit te voeren zijn. Voor die atomen kunnen echter even goed
— vgl. (18) en (18\') — de uitkomsten afgeleid worden zonder
speciale randvoorwaarden in te voeren.

We zullen daarom in hfdst. IV, om onze berekeningswijze met
die van Debije te vergelijken, van dezelfde onderstellingen —
waaronder „geen randvoorwaardenquot; — als deze uitgaan.

Aan het eind van dit hoofdstuk zullen we dan een kort over-
zicht van de uitkomsten geven, die we vonden bij bepaalde rand-
voorwaarden.

\' — De invoering van normaal-coördinaten

De ondersteUingen, waarvan wij uitgaan, zijn op een enkele
uitzondering na dezelfde als die van Debije. Wij beperken ons
nl. direct tot een kristal van het regulaire systeem, daar toch
ook Debije, wil hij uitdrukkingen geven, die voor een experi-
menteele toetsing bruikbaar zijn. tenslotte zijn uitkomsten tot
dit systeem beperken moet.

Wij beschouwen dus een ..eenvoudigquot; kubisch rooster met N
atomen van massa m bezet.

Zooals reeds eerder is vermeld worden normaal-coördinaten
ingevoerd volgens Born en von Kdrmdn, met de verbetering het
eerst door Waller beschreven.

Beschouwt men in plaats van het eindige kristal een oneindige
uitgebreidheid, dan kan iedere staande golf als eigentrilling be-
schouwd worden. Deze staande golf wordt gedefinieerd door de

Phasenvlakken

li = lep mtl¹ nx = const.
Wij kunnen dan schrijven:

u = 3t cos e^quot;^

V = S3 cos ii e^quot;^^................ (19)

nrnbsp;/-k

w = © cos 12 e

„ . _ icot
u = sm ü e

v=93sinne^quot;^ .............. (19\')

~ .nbsp;icüt

w = © sm £2 e

A^ F93 E(£ = mo)2 51

F3t 4- BS8 -t- De = mto^ 93............ (20)

E3Ï DS8 -}- = mco2 (£
Deze en nog eenige volgende formules vindt men in het artikel
quot;^an Debije. Wij geven ze hier eenvoudigheidshalve weer.

A----F zijn periodieke functies van 9, ip en x- Voor kleine

Waarden van 9, en dus voor golven, waarvan de golflengte
groot is ten opzichte van de atoomafstand, zijn deze grootheden
quot;^oor het regulaire systeem

A = x^)-}

C = a[cnx\' 0,4(9\' nbsp;(20\')

D = a(c,, C44HX ............ ^ \'

E = a(ci2 -f C44)x9
F = a(ci2 c«)9!|gt;.
^u. Ci2 en C44 zijn de tot dit kristalsysteem hoorende elastische
constanten, terwijl a de atoomafstand is.

.. F als gegeven beschouwd worden, dan is aan (20)

1nbsp; Wij namen de notatie van Debije over. De beteekenis der grootheden
• • • • F is dezelfde als die van S, .... T„ blz. 71.

slechts te voldoen, als aan een vergelijking van de 3lt;ie graad
voldoet, die drie pos. wortels co^, heeft. Bij elk van deze
wortels behooren gelijktijdig bepaalde verhoudingen 31 : §8 : g,
zoodat een multiplicatieve constante voor elk geval kan vast-
gesteld worden. Over deze constante wordt zóó beschikt dat:
^ = ^

.................. (21)

ei = i

geldig voor elk willekeurig trillingsgetal.
We voeren nu in de eigenfuncties:

U\' = 8ï cos nnbsp;Uquot; = 21 sin Q

V\' - 35 cos anbsp;Vquot; = S3 sin Q

W\' = e cos ünbsp;Wquot; = e sin Q

Volgens Born en von Karman is dan:

J^Jff d9 d^ dx (QLUL QK)

u =

~nbsp;dx (QX QLX)

waarin k = 1, 2, 3.

Qk en Qk die zekere functies van (p, en x zijn, worden door
Debije als de gezochte normaal-coördinaten beschouwd. De inte-
gratie moet uitgestrekt worden over de verschillende mogelijke
phasen d. w. z. voor elk der grootheden cp, en / van — tt tot tt.
De uitdrukkingen (22) zijn des te nauwkeuriger naarmate N
grooter is.

Debije brengt deze uitdrukkingen in een iets afwijkende vorm,
die wegens de groote waarde van N, daarmee identiek kunnen
beschouwd worden. De nieuwe uitdrukkingen laten beter het
bestaan van 3N vrijheidsgraden zien.

In een 9, x coördinaten-systeem wordt een phasenkubus
door vlakken^ evenwijdig aan de coördinaten vlakken verdeeld in
N gelijke elementen. Ieder tripel

kan b.v. beschouwd worden als te behooren bij het middelpunt
van dit element.

In plaats van een integratie over de phasenkubus treedt nu
een sommatie over deze N punten van de phasenkubus.
Dus:

...................................... (23)

Voor de energie vinden we:

........... (24gt;

Zooals nu uit (23) blijkt krijgen we op deze manier 6N nor-
niaal-coördinaten, terwijl het kristal 3N vrijheidsgraden heeft.

■^^n ieder punt cp, 4», X beantwoordt een punt — cp, — — x-
palier toont nu aan, dat, als de phasenkubus door een vlak door
et punt cp = = = O wordt gehalveerd, tengevolge van de

betrekkingen:

\'p, x) == (p, —4), — x)
4\'. x) = ?tk(-cp, — -x)

X) =nbsp;-X) .......... (25)

X) =nbsp;— X)

Qk(9. x) = Qk(—9. —i»\' — x)
Qk (9\' x) = — Qk (— 9\' — x)
^e waarden Q^ en Q^\' van de ééne helft, waarvan het totaal-
aantal 3N is, bepaald worden door de waarden van deze groot-
heden voor de andere helft.
In plaats van (23) en (24) treden dus nu op:

u = 25\' SkCQuUL QkU\',:)
..................................... (23\')

en

T =nbsp; ............^ ^

waarin dus 5\' een sommatie beteekent over de 5 punten van

de halve phasenkubus.
Debije brengt a. h .w door de substitutie

Qk = Qk cos S q;: = Qj, sin S
het aantal normaal-coördinaten op 3N terug. Wij rekenen echter
verder met (23\') en (24\') en voeren dus deze substitutie niet uit.

Tenslotte vermelden we nog, dat behalve de betrekkingen (21)
ook geldig zijn:

St? 21^ = i

= ..............(21\')

N

= L

terwijl verder:

Sa ©10:2 = O
SlaSïg-f $82S33 e2(Ï3 = 0 .......... (21quot;)

en ook:

2ti 352 -f Sta «3 = O

83x6:1 «82 «36:3 = O .......... (21quot;\')

ei2ti 6:2212 ^3913 = 0
zijn, zooals dat bij de transformatie van twee coördinaten-syste-
men aangetoond wordt.

2 — Afleiding van de formules voor de waarschijnlijkheid

Om nu de waarschijnlijkheid te vinden, dat de u-component
der uitwijking van het atoom met indices 1, m en n gelegen is
tusschen u en u du passen we de vroegere methode toe W^e
verwijzen daartoe naar hoofdstuk III, § 2.

u = 2S\'S. (QLU\'k QTO

of. als wij de waarden voor U^ en U^\' invoeren (zie blz. 40)

u = 2 5\' Sk Stk (QL cos Q Q\'; sin ü) ...... (26)

Vatten we dus in een óN-dimensionale ruimte Q^, Qt\', Qk,
ük als coördinaten op dan stelt dus (26) de vergelijking van een
..vlakquot; voor.

In de normaalvorm geschreven:

z^^L.-z. ...... ^^^^

Waarin dus

Z = 5\' 4(51« 212) (cos2 ü sin2 Q) =

Volgens (21\') en in het oog houdend, dat de halve phasenkubus.

Waarover de sommatie uitgestrekt wordt, - punten bevat.

2

De „energie-ellipsoïdequot; heeft tot vergelijking:

(cos2 n sin2 Ü)

4zm

k (jico^Z®

aZ2 ^^

Waarin nu 5 beteekent de sommatie over de N punten der geheele
phasenkubus. Dat deze som het dubbele is van de met een accent
genoteerde sommatie volgt uit (25).
We vinden dus:

6N—1

sLj

IF}

volgens (14), waarin

fX^^kcoê

en verder s^^ P het product der halve assen van de energie-ellip-
soïde is.

6N—1nbsp;6N—3

6N —3

TT ■

_ ^ du
\' ~ ds Z ~„/6N -f 1\\ 2

Voor de inhoud der ellipsoïde krijgen we:

3N

71

r =

r(3N 1)

3N

dl\'

lo = — de =

de r(3N l)
Voor de gezochte waarschijnlijkheid W« vinden we nu:

3 /nbsp;3N—?

W _Ii_ 1 r(3N l) 3N-1 e_2 \\_^

quot; I, V^r(3N i)- 3N •3N—1\' Li

c

Op dezelfde manier als in hoofdstuk III kunnen we bewijzen,
dat voor N zéér groot dit in de vorm gebracht kan worden:

hl -hi^u^nbsp;/3N

enbsp;du waarm h^ =

eLi\'

Stellen we nu 5 quot;1 = ^^n is dus

2nbsp;SJI- 2

— - b /_. = ~ Sl en dus

hl — hi^u^

W =

a/tc

Op dezelfde manier vinden wij voor de waarschijnlijkheden dat
de V- en de w-component der uitwijking gelegen zijn tusschen
V en V dv en w en w dw

V^tnbsp;. r 2£S2 \'nbsp;Wk

V-^nbsp;2SS3nbsp;\'^k«!

Substitueert men nu de waarden A____F uit (20\') in de ver-
gelijkingen (20) dan hebben deze de eigenschap 1°. dat ze niet
veranderen als 9, vj; en x en % 33, en 6 tegelijkertijd cyclisch wor-
den verwisseld; 2°. dat de determinant van het systeem bij cycli-
sche verwisseling van 9, (p en x onveranderd blijft. Op dezelfde
banier als Debije i) kunnen we hieruit afleiden dat

Si = Sa = Sg = s\'

zoodat dus

3 (s. sa s3) = inbsp;-^^- = a-n^lk^-

Hieruit volgt weer dat

h, = hj = hg =

waarin s = 5 quot;quot;inbsp;......

Voor de waarschijnlijkheid, dat een atoom een uitwijking heeft,
Waarvan de componenten gelegen zijn tusschen

u en u du; v en v -f- dv; w en w dw
Vinden we nu

— e ^nbsp;Mududw---- (28).

hieruit volgt dus, dat bij het niet invoeren van bepaalde rand-
voorwaarden, de kans op een zekere uitwijking voor elk atoom
ezelfde waarde heeft. vSmeren we nu de massa van het atoom
Uit met een door (28) bepaalde dichtheid, dan zal dus die uit-
sinering voor elk atoom met dezelfde dichtheidsverdeeling moeten
plaats vinden.

\') 1- c. blz. 74.

Wij zuUen zien dat het gevolg hiervan is, dat de grootheid M
onafhankelijk is van de indices van de „interfereerende atomen\' .
Bij het hneaire rooster met vaste randatomen bleek toch, dat uit
het feit, dat de kans op een bepaalde uitwijking afhankelijk is
van het rangnummer van het atoom — en dus ook de verdeehng
van de massa van het atoom van atoom tot atoom verschillend
is — volgde, dat M wél van die indices afhankelijk is.

Tenslotte wijs ik er op, dat uit de afleiding van (28) noodzake-
lijk volgt, dat deze formule alleen zal mogen gebruikt worden
om de invloed van de warmte-beweging op de interferentie der
Röntgenstralen na te gaan voor zóó hooge temperaturen dat
van een afwijking van de aequipartitie der energie mag worden
afgezien. Bij de afleiding — zie hoofdstuk III — hebben we nl.
de energie een kleine aangroeiing de laten ondergaan. Wanneer
de bovengenoemde voorwaarde niet meer vervuld is en we dus
bij lage temperaturen de invloed der warmtebeweging wiUen
bestudeeren, zal het niet meer geoorloofd zijn, volgens de theorie
der quanta, aan de energie een willekeurig kleine aangroeiing te
geven. Voor dat geval zullen we dan ook, door gebruik te maken
van de theorie der quanta, een aan (28) beantwoordende formule
afleiden, nu geldig voor lage temperaturen.

3 — Berekening van M voor hooge temperaturen

Voor de onderstellingen, waarvan we uitgaan, verwijs ik naar de
inleiding, waar in hoofdtrekken de weg geschetst is, die Debije
volgde.

De massa van elk atoom wordt uitgesmeerd, zoodat een volume-
element du dv dw een massa

[^(^jenbsp;^dudvdw

bevat.

Voor R kan met voldoende nauwkeurigheid worden geschreven,

R = r — [a(xo u) p (yo -I- v) -f- Y (z« w)]

daar de afstand van het punt P tot het kristal groot en bovendien
het kristal zelf klein gedacht worden (zie fig. 6).

val w ^^nbsp;van de straling in P opgewekt door de massa

net genoemde volume-element kunnen we schrijven:

i\'g-ixr ixct /hynbsp;

rnbsp;®nbsp;enbsp;dudvdw X

X e\'\'\'nbsp;(Xo u) -f (p —(3J (y^ -f v) (y—yJ (z„-f w)]

daarin x, = la. y^ =nbsp;= na.

De amplitudo van de door het geheele kristal in P gebrachte
stralmg wordt dus:

A .

- e -i^^r p ixct Y fffl^Y --h^ (u^ -f v^ -f w^)

\' tJjJ\\V-J\'nbsp;^ dudvdw X

— co

X e\'\'^ — aj (x„ -f u) (ß —ßj (y„ v) -f (y—Yo) (Zo w)]
daarin dus A\'jx = A gesteld is.

het kiistquot;^!^^^^^nbsp;uitgestrekt worden over alle atomen van

We^h-nbsp;intensiteit in het punt P, die we zoeken, vinden

vuldigen^^ ^^^ ^^ toegevoegd complexe waarde te vermenig-

^nbsp;quot;dudu.x

\' (29)

y-Knbsp;^^ enbsp;enbsp;uw uwi x

X enbsp;«o) (x,-x;) -h (ß_ßj (y„_y;) (Y_Yo) (zo-z;)].

Vergelijken we nu de uitdrukkingen voor Jm uit (29) en (3),
dan zien we, dat we ook (29) in de vorm (3) kunnen brengen, als
we stellen:

e« = ff/fff ^^ ^ -y u^^ ^ -h^uf ^nbsp;(u-u.)

— OO

h _h2v2 h —h^v? ix(ß —ßjv —Vi)^ J
X -— enbsp;—e ^ enbsp;dv dvi

yTTnbsp;yv:

h —h2w2 h —h^W? ijt(y_y )(w—Wl) , ,
X — enbsp;— e ^enbsp;dwdwi-

•v/ttnbsp;y-n:

Alleen als u, v, w en Ui, Vi, Wi op hetzelfde atoom betrekking

hebben, dus als

1 = li, m = mi, n = ni,
is e^ = 1 en dus M = 0.
M

Bij de berekening van e stellen we dus

00

/hnbsp;—h^u® ix(a — aju

— 00

j V^nbsp;j V\'ï

Onbsp;- 03

Stellen we nu in de laatste integraal u = — u\' en laten we
het accent tegelijkertijd weg dan wordt de gezochte integraal

J V^nbsp;j

Onbsp;O

conbsp;_x^ (g — V.X

f h —h2u2nbsp;, , ,nbsp;Tï^i

= 2 / —Tquot; enbsp;cos X (a — aJ u du = e

J V^

O

We vinden dus:

M -nbsp;- «o)^ (P - Po)^ (Y - Yo)^]

e = e ^^

en dus

- M = ~J(oc - (p - (y - =
Waarin a- evenals bij Debije de hoek is tusschen de in vals- en waar-

nemingsrichting.

Substitueeren we nu de waarde voor h^ uit (27) dan is

=-(1—cos^gt;)s5gt;

Zooals reeds aan het slot van de vorige § is opgemerkt zullen we
uitkomst alleen mogen toepassen voor hooge temperaturen,
hoog, dat we mogen schrijven:

s = 3NkT.

en dus

Om nu onze uitkomst met die van Debije te vergelijken passen
^e dezelfde benaderingsrekening toe.

In de eerste plaats vervangen we de sommatie over de N punten
quot;^an de phasenkubus door een integratie over die kubus, dus

c V 1=— fTlv ^^ ^^

^Z.\'kto« (271)» j jj Wk 0)2

— 7U

Deelen van de phasenkubus met groote waarde voor Wk leveren
deze integraal geen noemenswaardige bijdrage. We kimnen
^ns dus beperken tot lange golven (lt;p, ij;, x klein 1), waarvoor juist
e elastische coëfficiënten in (20) gegeven zijn.
De voortplantingssnelheid van die golven is onafhankelijk van
«et trilUngsgetal. dus

27Cgk

Verder zijn, als p, q, r de richtingscosinus zijn van de normaal
op het vlak van constante phase

p2 q2 r2 = 1
ennbsp;27ranbsp;2Tcanbsp;27ra

Als nieuwe variabelen worden ingevoerd i)

hcok ^ ïfk ^ ^

27ikT XkT ~ ^
en twee coördinaten van de bol p^ qs 1-2 _ |

Voor de grootte van het volume-element in de nieuwe phase-
ruimte wordt gevonden:

/27rkT\\ 3

hgk /

en dus wordt

^nbsp;J \\ hgk / /27rkTy^;

\\

N ka3 0 r^ dü

47^2 h

De integratie naar ^ had dus plaats van O tot x = ®, een waarde,

die beantwoordt aan de maximale waarde van het trillingsgetal
voor de grens van het elastische spectrum.

Uitnbsp;5 volgt dus 0 = !^quot;.

2TckTnbsp;27rk

^^ . /V^ dQ /I 2 \\

Nu is ƒ= 47rl—nbsp;als we de benadering nog een

J ëknbsp;^ 61 Dt /

stap verder doorvoeren en ook de voortplantingssnelheid onaf-
hankelijk van de voortplantingsrichting stellen, dus

Nk0a3 /I 2 ^

s = ---1—

Tch \\g3^g3

») Voor de meer uitgebreide behandeling verwijzen we naar het artikel
van Debije.

Verder is volgens een, eveneens door Debije gegeven, be-
trekking

V /I 2\\
Voeren we hierin de waarde voor dan vinden

we:

1 ^ 2 _ 9 Nh3

gi g? ~ 47r k3 03 V\'

Hieruit volgt dus:

9 N^a^h^ 9Nh2

s =

4tc2 k2 02 V 47^2 k2 02
omdat V = Na3.

Voeren we deze waarde in (30) in, dan krijgen we dus tenslotte
voor M de volgende uitdrukking:

3 x2h2

—nbsp;M =--— (1 — cos 9-) T.......... (31)

27C2 [Xk02 ^nbsp;^nbsp;^ \'

terwijl Debije geeft:

3 x2h2

—nbsp;M = — . —— (1 — cos amp;) T.

4712nbsp;^nbsp;^

2 ^i^i^it blijkt dus, dat wij bij hooge temperaturen op de factor
na, waarover wij al eerder spraken, dezelfde uitkomst voor de
emperatuurfunctie vinden als Debije.

e uitdrukkingen voor de intensiteit, die wij in de inleiding
gaven in (7) (yn ^^ /y-x blijven dezelfde met voor M de waarde
mt (31). \' \' \' ^ ^ \' ^

^ ~~~ Berekening van M voor lage temperaturen

^e gaan ook hier uit van (23\') en (24\'):

u = 25\'S,, (Q; cos Q Ql sin Q)nbsp;(II)

= = f^S\'S. 0)2 (Q;^ Q\',\'2) 5\'S, (Q;2 Q\';^)nbsp;(I)

en

u -f- du = 2 5\'Sk % (Q; cos n Qk sin Q). (11\')

. Evenals op blz. 20 in het eendimensionale geval (vergelijk fig. 1)
de gevraagde waarschijnlijkheid het quotiënt van de oppervlakte

van de 6 N-dimensionale elliptische schil door (II) en (H\') uit (I)
gesneden en de oppervlakte van de 6N-dimensionale ellipsoïde (I).

Voor het geval, dat de temperatuur hoog is, hebben we de
berekening vereenvoudigd door aan de energie een kleine speling
ds toe te laten en dan i.p.v. een verhouding van oppervlakken,
een verhouding van inhouden berekend. Deze weg kunnen we nu
niet inslaan. We zullen dus gedwongen zijn de verhouding der ge-
noemde oppervlakken te berekenen en voor de energie de uitdruk-
king te gebruiken, die de theorie der quanta daarvoor geeft.

Behalve het voordeel, dat de gezochte waarschijnlijkheid nu
ook voor lage temperaturen kan gevonden worden, heeft deze
berekening waarde, daar ze ons een controle aan de hand doet op
de vroegere berekening, als we T (de temperatuur) in de gevonden
uitdrukking groot nemen.

Om nu de verhouding der oppervlakten te bepalen stellen we
zoodat

U = 5\' Vnbsp;cos Q. P\',;sin Q)

of in de normaalvorm:

l ^ ^^^ quot;
ennbsp;= 5\' ^ (K cos Q P;: sin Ù) (B\')

waarin

OiS

De energie-ellipsoïde is dus nu getransformeerd in een 6N-dimen-
sionaal boloppervlak met straal De verhouding der oppervlak-
ken is door deze transformatie natuurlijk niet veranderd. Dat
deze verhouding de gezochte waarschijnlijkheid voorstelt blijkt,
evenals op pg. 20, daar i.p.v. de constante ruimtedichtheid in dé
elleptische schil nu optreedt een constante oppervlakte-dichtheid,
omdat het energie-oppervlak een 6N-dimensionaal boloppervlak is.

SteUen we dus W\' = ^ dan is = het oppervlak van de 6N

dimensionale „bolschijfquot; uit de „bolquot; gesneden door (B) en (B\')
h = het oppervlak van de „bolquot; (A).

Nu is 1):

imf^ \'nbsp;6N-3 ,

Tnbsp;6N-1

Waarbij de beteekenis

der grootheden blijkt uit fig. 7.

^it (B) en (B\') volgt dat h =
vinden dus:

W\' =nbsp;r(3N 1) 1nbsp;^

6N ■ r (3N \'}) f(ïj —2 quot;Z quot;

Nu blijkt uit de fig. dat

rj = Vr2 —p2

en dus

I r(3N l) 1

^ l —
r \' Z

6N • r(3N i) Vtt

le P. h. Schoute, Mehrdimensionale Geometrie II. no. 95, 103 en 104.

Nu is volgens (B): p = ^ en

Lj

k COvnbsp;\'^Ir ll\\t

volgens (27) en voorgaande formules.
Verder is r = (-V

Vj

Voor groote waarden van N vinden we nu:

3Na

/w^y 1 —^3Nu2

W\' =

of:

Vt^nbsp;\' 1 / 2£s

Zooals vereischt is geven (27) en (32) dezelfde uitkomst.
Voor s moeten we de door de theorie der quanta gegeven uit-
drukking gebruiken, dus

ZshtOs
27r

lt;0

- = het trillingsgetal per sec.
2tz

Zg is een geheel positief getal (O ingesloten), s loopt van 1 tot 3N,
daar het aantal eigenfrequenties van het rooster 3N bedraagt. De
sommatie is dus hier eenigszins anders genoteerd dan in de voor-
gaande formules.

De berekening van W\' is uitgevoerd bij vaste waarde van s,
d.w.z. bij een gegeven (vastgehouden) stel waarden:

Zl . . . . Zg . . . . Zgjj

Dit is echter niet de waarschijnlijkheid, die we zoeken, waarom
we dan ook W\' geschreven hebben. De kans dat de energie e is sa-
mengesteld uit Zl quanta ^----z^quanta— ____ Zg^ quanta

2tznbsp;2n

htOsN
27C

wordt gegeven door:

—

; Zshcos
27rkT

-................

^ 5 S

— 2js-

^ e 27rkT

Waarin een sommatie voorstelt over alle mogelijke combinaties
van z-waarden (o ingesloten). Vermenigvuldigen we nu W\' (32)
niet de uitdrukking (33) en sommeeren we dit product over alle
niogelijke combinaties der z-waarden, dan vinden we hiermee de
gezochte waarschijnlijkheid, dus

9N2tjiu2/^nbsp;^ Zghcog

— 2s-

27tkT

e 2TckT

In de eerste plaats bewijs ik dat vervuld is de voorwaarde

Y du = 1.

— 00

Stellen wenbsp;dan is

■iquot;quot;quot;\' V.TT

271

z. hlt;0.

— Ss

V-^Jnbsp;\\ 2fs

rz

^ ZshtO,
^ s s

VTTnbsp;Z3 hWg

ils

L.

Gaan we nu over tot de berekening van M, dan blijkt uit (29)

^nmiddelüjk, dat

du du,
Eerst berekenen we

M

R= ƒ

- 00

Omdat volgens (34) W„ = kunnen we voor de gezochte
integraal schrijven (vgl. ook blz. 48):

co r

=ƒW, e^\'\' (quot;quot; — ^o) u ^ g —ix (a- a,) u

O

00

= 2 ƒ W„ 2 cos X (a —aj u du.

Stellen we nu
3N

\\2 si,

waarin f dezelfde beteekenis heeft als boven, dan is

J V^ —x(a — ajx

dx gt; e cos -^e

_g

_ 27rkT

Verwisselen we integratie en sommatie, dan is

\'27ckT

27rkT

xquot; (g—_ z^hto^

^^ 18N2,xnbsp;\' 271 ^ \'27rkT

___z__

Stellen we nu tenslottenbsp;= p^ dan vinden

V ^shco

Vnbsp;27tkT

z

z

P (ZlWi ---- Z, 0)3 ---- ZaN 6)3N)

00

Sr. enbsp;x 2\' e~~ Pnbsp; ---- Z3 CO3 ---- ZgNtOsN)

z te strekken over alle mogelijke combinaties der z-waarden:

Daar e^P^^quot;^ = _^_ is dus H = n_^_

bassen we dit toe ter berekening van R dan krijgen we:
h

St ^^nbsp;^^^^^ .. Z3amp;)3 .... Z3N

Vnbsp;27rkTnbsp;\' L*\'!quot;\'! 1 • • Inbsp;I • • • • Z3N

R

Vnbsp;ÄTnbsp;...... Z^tO^ ...... Z3N 0)3N]

\'nbsp;hco3

,nbsp;27rkT

1-enbsp;/

®

Omdat ook ƒquot; enbsp;du^ = R en de andere
- 00

integralen uit (35) op dezelfde wijze berekend kunnen worden, vin-
den we tenslotte:

hfa)snbsp;/nbsp;hojj \\

.1 « 27ckTnbsp;lnbsp;27rkT,

M _nbsp;\\l—enbsp;jnbsp;\\1—enbsp;j

/

_ ^ 27ckT I

yl-enbsp;y

waarinnbsp;x^ (ß — ßJ 2nbsp;^Mï — Yo)\'

Hieruit vinden we:

-M=2y.lgi-!-^-X \\-!-X

^^nbsp;nto«nbsp;ho).

enbsp;27rkTnbsp;jnbsp;27rkT

ho)« ,

(1 P3kT)

27rkT

X-r..............(36)

nto.

l_e 2:rkT

Voor de nu volgende vereenvoudigingen van (36), zoowel voor
lage als hooge temperaturen, is het noodig te onderzoeken de grootte-
orde van pikT, pgkT, pgkT. We bewijzen, dat deze drie grootheden,
zelfs voor T groot, klein zijn t. o. v. 1.

We schatten daartoe allereerst pik.

(g —gj\'^ ^^ ^nbsp;{lt;^ — 0^0)^ 9Nh2

^^nbsp;18N2(ji ®nbsp;■ ISNSfx ■ 47r2k2 02 \'

(rieblz.51).

2X2k(X 02N \'

Bij de

experimenten over het „Debije-effectquot; is nog al eens gebruik
gemaakt van de K^^ Mo-lijn, waarvan de golflengte ongeveer
t X 10-7 c.M. bedraagt. Wij stellen X = 10quot;® om aan de veilige kant
te blijven. Voor NACl en KCl is [i ongeveer S.IO-^^ gr, 0 ongeveer
K. Substitueeren we verder voor h en k resp. 6,41.10-quot; en
1.34.10-16 dan vinden we

(g —_ 3,4 (g —gp)\'
2. 10-16. 1,34. 10-ifi. 5.10-23.9. lO^Nnbsp;10^ N \'

^aaruit dus blijkt dat p^k zéér klein is t. o. v. 1, zelfs in die mate
ook voor groote waarden van T, klein t.o.v. 1 blijft.

Hetzelfde geldt dus van pakT en pjkT.

Verder zullen we noodig hebben de eigenschap dat ook «i

2-n:

1. 2, 3) is.

De grootste waarde bereikt dit getal als we voor tOg de grootste
Waarde, dus substitueeren.

\'max

hco.,

27Znbsp;2TZ

evenals p^kT.

^e bewijzen nu allereerst, dat, als we in (36) T» 0 stellen, de
Vroeger gevonden uitdrukking voor M terug wordt gevonden.

I^e grootste waarde vannbsp;isnbsp;=

27rkT 27rkT T

Volgens de ondersteUing is dus ^^ « 1.

271 kT

En omdat ook i^^L^E i (zie boven) kunnen we schrijven:

271

hc^snbsp;htOs Plnbsp;htOsnbsp;htOs p2nbsp;hcdsnbsp;hto^pa

-M = 2V 27tkTquot;^quot;2^nbsp;27ckT 27r

®nbsp;hwgnbsp;\'nbsp;hcosnbsp;\'nbsp;hcog

27rkTnbsp;27rkTnbsp;27rkT

= 2 S, Ig (1 p^kT) (1 -f p^kT) (1 p3kT) =

= 2.3N (pxkT p^kT pgkT).

omdat als PpkT«l voor Ig (1 p^kT) geschreven kan worden
PpkT.

We vinden dus

-M = 6NkT (pi p, p3) =

= Ï8Ï^ -^^o)\' fp - Po)^ (ï- =
3

Zooals ook in (31) werd gevonden.

We beschouwen nu het andere uiterste geval, dus T«0 en
stellen daartoe in (36)

hfOg

zoodat:

Evenals m de voorgaande berekening kunnen we schrijven:
= 2 V Ig ^^-l SpikT e^-l ;p,kTnbsp;_

Omdat voor ^ gt; o. --lt; 1 en omdat p^kT « l is dus ook

e^—1

^ppkT ;
-p-« 1 en dus

e^—1

somm r ^ ^ bruikbare uitdrukking te krijgen, voeren we de
^matie uit op dezelfde manier als Debije. (Zie ook blz. 49 e.v.).
e Vervangen dus de sommatie door een integratie en voeren

^i^^we veranderlijken i. p. v.nbsp;^ en twee coör-

diriDfnbsp;27rkl

\'uaten van de eenheidsbol

p2 q2 ra= I.

klein^-nbsp;d® phasenkubus, waarvoor

Phasenk knbsp;bijdragen tot M leveren en deelen van de

gen is fnbsp;quot;s groot is, niet noemenswaardig bijdra-

\' te danken aan de Plancksche functie in de noemer.

vinden nu

-- M == Jli^ , _nbsp;/27ükT\\3 fnbsp;r^Q

De ■nbsp;°

® integratie kan uitgestrekt worden tot oo, omdat de bovenste

grens x = ®

y voor 1 « 0, zeer groot is en de integrand klein (zie

boven)

de theorie der soortelijke warmte is bekend i), dat

= flk503 waarin p =

Verder is /nbsp;^^

J ^nrf Js ® gegeven op blz. 51.
en V. KarmAn, Phys. Zeitschr. 14, blz. 15, 1913.

zoodat

= ........

terwijl Debije geeft:

1 x^h^

=nbsp;........ (38\')

5 — Benaderde formules voor M—vergelijking van de ge-
vonden formule met die van Debije en Waller — Ver-
gelijking met de experimenten

Op blz. 49 vonden wij voor M de volgende uitdrukking:

— M = e (I — cos 5 V — ■ (39)

9[xN2 \'

Voor hooge temperaturen berekenden wij — M door e = 3 NkT
te stellen, voor lage temperaturen gaven we een afzonderlijke af-
leiding, waarvan het resultaat is uitgedrukt in (37).

Bedenken we nu dat de theorie der quanta geeft, dat van een
lineaire oscillator de gemiddelde energie per vrijheidsgraad gegeven
wordt door:

ho)

hvnbsp;271

hvnbsp;ho)

kT , 27rkT ,
e — I e — 1

dan is voor de totale energie van N gekoppelde massapunten met
3N eigentrillingen te schrijven :

hlt;Ok

271

(40)

h(o

27ckT ,
e — 1

De in de vorige paragraaf gegeven afleiding kan dus als bewijs
beschouwd worden voor de stelling, dat (39) juist is voor het ge-

1) In (40) is dus afgezien van de toevoeging van Einsteinsche termen. Zie
M. Born: Atomtheorie des festen Zustandes pg. 647.

eele temperatuurgebied, immers volgt (37) onmiddellijk uit (39)
^ oor voor de energie de waarde uit (40) te substitueeren (dat de
ommaties verschillend worden genoteerd zal geen verwarring kun-
nen geven, in (37) loopt s van 1 tot 3N).
Wij kunnen nu voor M een benaderings-formule opstellen, geldig
oor het geheele temperatuurgebied. In de eerste plaats benaderen

^^^nbsp;door de op blz. 51 daarvoor aangegeven waarde, in de

tweede plaats schrijven we de energie als een integraal naar

Waarbij de integratie uitgestrekt wordt van o tot x = |, door op

dezelfde veranderlijken over te gaan als op blz. 61.
^ij vinden dan

9x.2h2nbsp;1 f e dl

^^\'xj H......

O

De beide extreme gevallen T « 0, T » 0 zijn hierin besloten.
De integratie is dan uit te strekken

— M =

van O 00.

TC

J e?—1 15\'

O

Substitueeren we dit dan vinden we (38) terug.

X

m-i

Nu vinden we (31) terug.
^ntwikk^J^quot;^quot;^ nu evenals Debije voor beide gevallen M in een reeks

a. Voor kleine waarden van x maken we gebruik van de be-
trekking

i.2n

et_inbsp;2 ^^ \' 2n)!

n = 1nbsp;^ \'

waarin Bn de getallen van Bernoulli zijn.

^\'-66\'

42\'

^ , Bl

— 1 x^r \\ 2^2! ^ 4! ^ ^

0

1nbsp;1

3x 8 60 5040
b. Voor groote waarden van x.

p = l O

p=l Onbsp;X

px \' p2x2 ■ p3x3 ■ p4x«

In de eerste ontwikkeling bereikt men reeds door de eerste vier
termen te nemen een fout minder dan 1 % van x = O tot x = 2, in
de laatste ontwikkeling is voor dezelfde nauwkeurigheid van x = co
tot X = 2 het in acht nemen van 3 termen der sommatie voldoende

O

\'-I

1

Stellen we nu —
x^

Born, Atomtheorie des festen Zustandes, pg. 645.
Zie P. Debije, Ann. der Physik 39, 789, 1912.

M = ——(1 — cos d) T (x)

2712 (xk0

3x 8 60

5040

1 3 3 3

— e

2x 4x2 4x3 sxquot;
voor groote waarden van x (42)

3x 3x2 9x3 ^27x*

de ^ ^^ verschillende, theoretisch gevonden, waarden voor—M,
elV debije, de door WaUer en de hier berekende waarde, met
^ar te vergelijken, schrijven we (42) nog iets anders.

e maken gebruik van de Braggsche betrekking (1), voeren in
27tnbsp;A

quot;^en (X = —, waarin A het atoomgewicht is en N het ge-

van Avogadro, en substitueeren i) h = 6,41 . 10-2\', ^^
10-16 en N = 6,2. 1023

(Debije)
(WaUer)

(dit proefschrift)

Het zal dus wenschelijk zijn om een goed overzicht te krij-

4)(x) 2agt;(x) , ^ .nbsp;I T

gen -, - en 6. T(x) uit te zetten tegen - = -. In fig-

XXnbsp;X 0

lt;Igt;(x)nbsp;1nbsp;1

8 zijn- en 6 T(x) uitgezet van - = O tot - = 4* in fie 9

Xnbsp;Xnbsp;X \'nbsp;^

1 ^ , 1 , 2(I)(x)
van - = O tot - = 1: —^ en 6 T(x).

X

Volledigheidshalve laat ik de tabellen volgen, waarmee deze
krommen bepaald zijn. De tabel voor —^ is ontleend aan het

X

artikel van Debije, die voor 6 T(x) is berekend met behulp van
(42).

T
0

^nbsp;^^^ ^^ afgeleide functie, evenals

stpm ^^-i Waller berekende, beter met de experimenten overeen-
^^^Wan die van Debije.

altijdnbsp;van de temperatuur is nl. experimenteel

Uitnbsp;bevonden dan uit de theorie van Debije volgt.

^ blijkt, dat al van lage temperaturen af de Wallersche

functienbsp;\'nbsp;temperaturen af de Wallersche

^olgt dT ^^^^ afgeleide ongeveer evenwijdig loopen. Hieruit
de invl H^quot; ^^^ temperatuurgebied, waar dit het geval is, beide
oed der warmtebeweging even goed zullen weergeven,

daar toch steeds intensiteits-verhoudingen gemeten worden, die
bepaald worden door het verschil van de exponenten der expo-
nentiëele functie.

Zooals uit de inleiding bleek zijn de eenige experimenten over
een groot temperatuurgebied, waarbij kristallen gebruikt zijn,
die een directe vergelijking met de theorie veroorloven, die van
James, omdat deze met NaCl werkte.

In fig. 10 zijn overgenomen de door James gegeven curven^).

Uitgezet zijn tegen elkaar de absolute temperatuur en \'

,sin ■9-1/

Pt

vgl. (42) — en — de intensiteits-
Pi

verhouding bij T° abs. en 290° abs. (kamertemperatuur).

De getrokken lijn is door James experimenteel gevonden, de
met D en W aangegeven curven zijn de theoretische, uit de theorie
van Debije en Waller volgend.

O\' 100 100300400300 «00 700 800 900
Absolute Temperatuur T

Fig. 10

Met behulp van (42) zijn eveneens de theoretisch te verwach-
ten intensiteits-verhoudingen berekend, de berekende punten zijn
aangegeven door cirkeltjes (de curve is niet getrokken om de over-
zichtelijkheid niet te schaden).

Het blijkt dus, dat in het onderzochte temperatuurgebied (42)
de experimenten iets beter weergeeft, hoewel de verschillen met

de door Waller berekende curve — zooals al uit fig. 9 te verwach-
ten was — buitengewoon klein zijn.

Of dus (42) dan wel de Wallersche functie de invloed der warmte-
beweging beter weergeeft, zal alleen uitgemaakt kunnen worden
door experimenten bij nog lager temperaturen.

6 — Gewijzigde uitdrukking voor M bij het aannemen van
een nulpuntsenergie

De tot nu toe uitgevoerde berekeningen gaan uit van de onder-
stelling, dat de nulpuntsenergie = O is. De wijziging, die de uit-
drukking voor M ondergaat bij de tegengestelde onderstelling
is uit (39) direct af te lezen, nl.

O-cos«.) Ae......(43)

als we in (39) voornbsp;\\ de op blz. 51 berekende waarde

invoeren.

Daar de nulpuntsenergie voor de frequentie wk het bedrag
, huk

i .- heeft is dus

2tz

hcok h

A e = 5gt;nbsp;= — 3Nto

-^Wk 471 471

Waarin w het arithmetische gemiddelde van alle frequenties voor-
stelt i), zoodat

_ A M =nbsp;(1 -cos ........(43\')

871:3 (ik202 \\nbsp;\'nbsp;^ \'

Een ruwe schatting van co levert:

quot;max

1 f 9Nw2 ^nbsp;37Tk0

O) = — ƒ —- 6)d(0 =

3N J coLxnbsp;4 2h

Deze schatting geeft dan:

9nbsp;x^h^

terwijl Debije geeft

7 — Invloed der randvoorwaarden

Wij willen in deze paragraaf in het kort de weg aangeven waar-
langs WIJ, bij bepaalde randvoorwaarden, formeel tot de odIos
smg van het probleem - het bepalen van de meermalen genoemde
waarschijnlijkheden — komen.

Het kristal bestaat uit (N 2)3 atomen op gelijke afstand a,
zoodat O lt; m lt; N 1.

De krachten die op een atoom werken, worden vastgelegd
door de volgende onderstellingen i):nbsp;^

a) de krachten zijn uit te drukken als lineaire functies van de
mtwykmgen der nabunge atomen (zes atomen op afstand a en
twaalf atomen op afstand av\'2).

ö) de symmetrie van het regulair systeem moet bewaard blijven

c) bij de overgang tot oneindig kleine atoom-afstand fa i 0)quot;

moeten de bewegingsvergelijkingen overgaan in de gewone ela ^

tische differentiaal-vergelijkingen van kubische kristallen

Als gemengde randvoorwaarden gelden dan: het nul worden

aan de oppervlakte van de normaalverschuivingen en de tan-
gentiëele spanningen 2).nbsp;5 ue tan

Aan deze onderstellingen wordt voldaan door:

m üimn = a(ui i^ ^ „ m, n — 2 Ui_ „i, n)

P(ui, n nbsp;n Ui, ^^ Ui^ „ n-i-4ui, „)

(44)nbsp;n_i_4ui in n)

Ui_i, m i, n nbsp;n^inbsp;^nbsp;4-

Y(vi i, m i, n m-i, n —vj j^

Wi i, m. n i nbsp;„»^ n-i —Wi i^ „ n-i —nli).

De twee andere bewegingsvergelijkingen verkrijgt men uit (44)
als men u cyclisch vervangt door v en w en als men eveneens dé

indices cyclisch verschuift.
—--- ♦

\') Zie Born en von Kdrmdn, Phys. Zeitschr. 13, 297, 1912
\') R. Ortvay Ann. d. Phys. 42, 745, 1913.

In (44) is

a

2y = 2 C44).

Aan (44) kunnen we, met het oog op de te vervullen rand-
voorwaarden, voldoen door:

ui^ m, n = U sin Itp cos mtp cos nx e\'\'
vi^ m, n = V cos l(p sin m^i cos nx e\'\'
Wi^ m n = W cos I9 COS mtj; sin nx e*quot;*

Substitueeren we deze oplossingen in de bewegingsvergelijkin-
gen (44) dan ontstaan een drietal vergelijkingen ter bepaling van
U, V en W, die alleen van nul verschillende oplossingen bezit-
ten, als:

X. — mco2nbsp;T(9,nbsp;T(9, X)

9)nbsp;9, x) — mwanbsp;x)nbsp;=0

T(x. 9)nbsp;T(x,nbsp;S(x, 9) —mw2

of eenvoudiger geschreven:

Sl —nbsp;T3nbsp;T2

Tgnbsp;S2 —mco2nbsp;Tlnbsp;=0 .... (45)

T2nbsp;Tlnbsp;Sg — mco2

waarin S{cp, x) = S, = 2a(l — cos 9) 2^(2 — cos x — cos

-cos 9 cos X-cos 9 cos

T(9. = T(t|;, 9) = Tg = 4y sin 9 sin ij;.

S2, Sg, Tl, Ta ontstaan hieruit door cyclische verwisseling van
quot;P\' X-

De oplossing van deze derde-graadsvergelijking in co^, waaruit
dan to2 gevonden wordt als functie van 9, en x is zeer gecom-
pliceerd. Zooals echter de berekening zal laten zien is voor het
bepalen van de waarschijnlijkheid deze oplossing niet noodig,
omdat we kunnen volstaan met de elementair-symmetrische func-
ties van de wortels van deze vergelijking. Stellen we

7csnbsp;,nbsp;7is\'nbsp;ttsquot;

N l ^ N 1 ^ N I
en een bepaalde combinatie der s-waarden a, dan geeft iedere com-

binatie 3 wortels voor o)^ uit (45), die we aangeven door (uit-
gesloten wordt s = s\' = squot; = 0).

De verhouding der amplitudo-factoren wordt gegeven door

waarm

Sa —mcoif^

Tl

T3

Tanbsp;T,

Over de constante A wordt zóó beschikt, dat

2

^^aii^a ë^a Wa) =

.N -f 1
2

N -}- 1

Stellen we nu tenslotte cos t pj^^^) = P,
en fk\'cT gk\'a Va = Pk\'c;

dan wordt i)

2 Yl,

^Imn —

.N-l- 1
• 2

Vimn =

itts mtcs\'

k sin, —- cos —-cos

N 1 N 1

itüS , mus\'
\'^cos —-- sm —-- cos

nTtsquot; h,

cos

N 1 N-M N-}-lpk,

Voor de energie wordt gevonden:

De gezochte waarschijnlijkheden kunnen nu op geheel overeen-
komstige wijze als in de vorige gevallen bepaald worden. We vin-
den dat de waarschijnlijkheid, dat het atoom met rangnummers 1,
m en n een u-component der uitwijking heeft, gelegen tusschen

\') Voor de aanpassing aan bepaalde aanvangsvoorwaarden kunnen we
naast de genormaliseerde eigenfuncties de constanten A^^j behouden.

en nbsp;gelijk is aan

Wl = — enbsp;dui ; hl =--- / —

■\\/tznbsp;4nbsp;£1-1

ittsnbsp;nfitts\'

uttsquot;

met Li = ^a ^

N 1 N 1 quot;quot; N 1

Voor de overeenkomstige waarschijnlijkheid voor de v- en de
W-component der uitwijkingen vinden we dergelijke uitdrukkingen
met

itts . „ mtirs\' „ nttsquot;
2-sm2._ . . cos2-

N 1 N 1 N 1

cos2

N ]

Stellen we met weglating van a:

JL

quot;k Pk

■ sm-\'

N 1quot;quot; N r

^ hi
H = gt; k-li-.

\'nbsp;^ Pl

gk

— = Pk.
Pk Pk

definitie der p^:

nbsp;k=l, 2, 3..........(A)

terwijl bewezen kan worden

aioca ßißa Y1Y2 = O

«i«3 ßißa YiY3 = Onbsp;(B)

aaas ßaßa YaYs = Onbsp;, , ,

Evenals bij de transformatie van twee coördmatenstelsels volgen

dan zien we dat dezelfde vergelijking ook optreedt bij de assen-
bepaling van de ellipsoïde:

Sl

Stellen we de wortels van bovenstaande vergelijking to®
dan is de vergelijking van^e ellipsoïde op het assenstelsel\'door de
hoofdassen gevormd (X, Y, Z),

Stellen we de richtingscosinus der X-as met het X Y Z stelsel
voor door («^ y,) van de Y-as door («, p, y,) en van de É-as door
(«aPsTs) — Zie fig. 11 — dan geldt:

of au : Pk : Yk = fk : gk : hk.

Aan de betrekkingen, die er tusschen de richtings-cosinus moeten
bestaan, wordt voldaan door (A) t/m (D).

z

We bepalen nu het oppervlak door de ellipsoïde (47) gesneden
uit het vlak X = O, dus het oppervlak van de eUips voorgesteld
door de vergelijking

mnbsp;mnbsp;m

Als we dit door O voorstellen is
O =

VS2S3-T2

Ditzelfde oppervlak kan nog anders bepaald worden. De ellip-
soïde kunnen we ons nl. gegeven denken door (47\') en dan even-
eens snijden met x = O en het oppervlak der doorsnede bepalen
met (14) en (14\') blz. 21.

We vinden dan (daar p = O — het vlak x = O bevat de oor-
sprong van het X Y Z ^elsel — en omdat lt;Xi, ag, «3 de richtings-
cosinus der X-as in het X Y Z stelsel zijn)

1

K2

= F en dus
1

O =

ooi CO2 0)3 VF

Gebruik makende van de reeds afgeleide waarde voor O blijkt dus

1nbsp;S2S3-T2

0)2 0)2 0)2

Tenslotte kunnen de frequenties uit deze uitdrukking ver-
dreven worden, omdat

T3 T,

Sa
Tx
Sx T3
T3 S2

Tx

T2 Tj S3

Voor G en H worden dan de determinanten in de teller resp.

Als controle op de uitgevoerde berekening moge nog aange-
voerd worden dat door optelling blijkt, dat

F G H = -^ -,

0)2 0)2 0)2

Wat ook onmiddellijk blijkt door optelHng van deze grootheden,
zooals ze gegeven zijn op blz. 73.

Daar S^---- Tg gegeven functies van 9, tj; en x zijn, zijn dus

nu Li, La en L3 als sommaties over s, s\' en squot; (of integraties over
9, en x) gevonden en hiermee dus formeel volgens (46) en (46\')
de gezochte waarschijnlijkheden.

Tenslotte wijs ik er op, dat in (46) m uit de uidrukking voor
hl wegvalt, wanneer hierin de voor Li berekende waarde wordt
gesubstitueerd; de gevonden waarschijnlijkheid is dus onafhanke-
lijk van de massa der atomen.

HOOFDSTUK V
Roosters met verschillende atomen

We passen nu dezelfde berekeningswijze, die in de vorige hoofd-
stukken is gevolgd, toe op een lineair rooster, dat bestaat uit
2N 4- 2 atomen op gelijke afstand a, waarvan de uiterste atomen
(indices O en 2N 1) vastgehouden gedacht worden; de atomen
met een even rangnummer hebben een massa m, die met oneven
rangnummer massa [i. Een atoom is aan de naburige atomen
gebonden door quasi-elastische krachten, zoodat we als bewe-
gingsvergelijkingen voor de atomen met rangnummer 21 en 21 -f- 1
krijgen:

müji = a (Uji i U2i_i — 2ui)
(i. Ü21 1 = a (U21 2 U21 —2u2i ,)

Daar de oplossing dezer vergelijkingen, de berekening van de
energie en het berekenen der gevraagde waarschijnlijkheden geheel
verloopt als de vroegere berekeningen deelen wij alleen de resul-
taten hiervan mee.

De waarschijnlijkheden dat de atomen met indices 21 en 21 -f 1
uitwijkingen hebben gelegen tusschen Uji en Uji duji resp.
% ienu2i i du2i , zijn:

Wji = enbsp;duai

yiz

h2i = (2N l)]/,

2e. 21 (2N 1—21)

WTnbsp;^21 1 ^ J j,,

en W21 1 = —7— enbsp;auji i

■y/TZ

2e(21-M) {2N-1- 1—(21 1)}

Vergelijken we deze uitkomsten met (16) blz. 25 dan blijkt dus,
dat de gevonden waarschijnlijkheden door dezelfde uitdrukking
gegeven worden, als wanneer de lijn met alleen gelijke atomen bezet
was, m.a.w. de berekende waarschijnlijkheden zijn onafhankelijk
van de massa van het atoom.

Gaan we nu voor dit rooster de invloed der warmtebeweging na
op de intensiteit, dan kan dus voor beide atoomsoorten met één
verdeelingsfunctie voor de massa volstaan worden.

Hieruit volgt — vgl. hoofdst. HI, § 4 — dat de functie, die de
invloed van de warmtebeweging op de intensiteit meet, voor
beide atoomsoorten dezelfde is i).

Ik heb deze berekeningen ook uitgevoerd voor een regulair twee-
atomig kristal, dat is opgebouwd uit twee vlak gecentreerde roos-
ters, waarvan de elementair-kubi met gelijke ribbe zoo in elkaar
geschoven zijn, dat alle atomen gelijke afstand van elkaar hebben.
Hierdoor ontstaat een nieuw kubisch rooster, waarvan de ribbe
de helft is van die van de elementair-kubus.

Atomen, waarvan 1 m n een even getal is, hebben massa
m, die, waarvoor 1 -f m n een oneven getal is, hebben massa ii.

Omtrent de krachten, die op een atoom werken, zijn dezelfde
onderstellingen gemaakt als in hoofdstuk IV, § 7.

Uit de uitgevoerde berekening bleek, dat de resultaten dezelfde
zijn als voor een lineair rooster met verschülende atomen.

Vgl. diss. I Waller, blz. 30.

HOOFDSTUK VI

Enkele toepassingen van de gevonden formules

1 — Een dimensie-formule voor de ultra-roode eigenfre-
quenties

Uit onze in (27) en (28) gegeven uitdrukkingen kunnen we een
dimensie-formule opstellen voor de ultra-roode eigenfrequentie,
die in hoofdzaak overeenstemt met de door Lindemann gegevene

In (28) vonden we de waarschijnlijkheid dat een atoom een uit-
wijking heeft, waarvan de componenten gelegen zijn tusschen u
en u du enz. Hieruit bepalen we de waarschijnlijkheid, dat het
atoom een uitwijking heeft, gelegen tusschen r en r -f dr, onver-
schillig welke waarden de componenten hebben. Hiervoor vinden
we, door het invoeren van poolcoördinaten:

ynj

h \\3 _h2r2 ^ ^^
—r^nbsp;471 r^ dr.

W\'^J

Lindemann neemt aan, dat het smelten dan intreedt, wanneer
de amplitudo\'s der trillingen zóó groot zijn geworden, dat naburige
atomen botsen.

Stellen we de afstand van twee atoommiddelpunten a en de af-
stand van de oppervlakken der atomen (resp. werkingssferen)

pa, dan moet dus elk der atomen een uitwijking — krijgen, opdat

Zê

deze oppervlakken elkaar raken. Uit de afgeleide formule vinden

we voor de waarschijnlijkste waarde der uitwijking r^ =
__ h

\') 1. c. blz. 610.

Stellen we deze waarde gelijk aan —, dan wordt hiermee de

mogelijkheid gegeven de gezochte dimensie-formule op te stellen.
Voeren we in (27) de voor s berekende waarde in en stellen we
s = 3NkT, dan is:

/ 6Tsh2

MVV.

k

waarin M het atoomgewicht, V het atoomvolume en N het
Loschmidtsche getal voorstellen i).

Daarnbsp;= 0 is dus

= — VóR

, Tip

MV\'/quot;\'

daar tevens Nk vervangen is door de absolute gasconstante R.
Lindemann geeft

V = -Î- VlR^

\'maxnbsp;V

MV\'/\'quot;

Stellen we evenals Lindemann p constant dan kunnen beide for-
mules dus in de vorm geschreven worden:

Ts

MV\'l\'\'

De hier berekende constante is ^/3 maal zoo groot als de door
Lindemann bepaalde.
De onderstelling dat juist de waarschijnlijkste uitwijking gelijk is
pa

aan — is vrij willekeurig.

JLé

Men zou nu juist omgekeerd te werk kunnen gaan en uit de
bekende (gevonden) waarde voor de ultraroode eigenfrequentie
kunnen bepalen, bij welke gemiddelde uitwijking der atomen het
smelten plaats vindt.

h is hier de constante van Planck en heeft dus een andere beteekenis
dan h uit de formule op de vorige blz. ; in e = 3 NkT is N het aantal atomen
van het kristal.

2 — De temperatuur-afhankelijkheid van het electrisch
geleidingsvermogen

In het op blz. 15 geciteerde artikel heeft Houston laten zien hoe
het mogelijk is de temperatuur-afhankelijkheid van het electrisch
geleidingsvermogen af te leiden uit de golf-mechanica van Schrö-
dinger.

Volgens deze theorie toch kan een electron als golf worden opge-
vat. De verstrooiing der electronen tegen de ionen van de geleider
moet dan berekend worden zooals men de verstrooiing van Röntgen-
stralen berekent, die door een kristal gebogen worden.

Wanneer Houston zich beperkt tot niet al te hooge temperaturen,
kan hij, door gebruik te maken van de door Debije opgestelde uit-
drukking (met de correctie van Waller) voor de buiging der Rönt-
genstraling aan het enkele ion, bewijzen dat:

Waarin

1 f ^e^

W de weerstand is en ® (x) = -- / -d^ .............. I

x\'^J e^ — 1

O

In dit proefschrift is die verstrooiings-factor ook bepaald en wij
komen dus, langs overigens dezelfde weg, tot het resultaat, dat:

^T(x)

waarin

1 } Be^

.............. quot;

O

Om deze uitkomsten met elkaar te vergelijken, geven we hier-
onder de tabel weer door Houston berekend, aangevuld, in de
laatste kolom, met de volgens II te verwachten waarden.

In deze tabel voor goud is de weerstand bij 0° C = 1 gesteld en
de weerstand bij T° abs. dus berekend met

w = J^iïL

T T (0,615)
daar voor goud 0 = 168° abs. is.

Het verloop is dus volgens H eenigszins anders. Terwijl Houston
bij 20° eerst een ruim tweemaal te groote waarde vindt en bij 68°
e. v. weer een te kleine waarde, die bij hoogere temperaturen tot
het goede bedrag nadert, vinden we met II bij 20° een ruim twee-
maal te kleine waarde, die bij hoogere temperaturen in een te groote
waarde overgaat. De afwijking volgens II heeft dus een meer regel-
matig karakter, we vinden nl. over het geheele temperatuurgebied
een te sterke afhankelijkheid van de temperatuur. Dat bij hoogere
temperaturen afwijkingen gaan optreden, is niet te verwonderen.

In de eerste plaats is het resultaat gevonden met de beperking
dat het alleen voor niet te hooge temperaturen geldig is en in de
tweede plaats vonden we ook bij de verstrooiing van Röntgen-stralen,
dat bij hooge temperaturen de theoretische uitkomst niet meer in
overeenstemming is met die van het experiment.

STELLINGEN

I

Bij de verschillende berekeningen over de invloed van de warmte-
beweging op de intensiteit der door kristallen verstrooide Röntgen-
straling wordt uitgegaan van onderstellingen, die de geldigheid van
de theorie tot een klein gebied beperken.

II

In dezelfde theorie zijn, wanneer men niet rekent met de voor-
waarden voor de begrenzingsvlakken, de onderstellingen gedeel-
telijk met elkaar in strijd.

III

Ten onrechte worden door von Laue de experimenten van An-
gerer niet vermeld, wanneer hij zegt: „Een absolute energie-meting
bij Röntgenstralen bezitten wij „überhauptquot; nog niet.quot;

M. V. Laue, Art. XI (blz. 256) in „Ergebnisse der exakten Natur-
wissenschaftenquot;. (1922).
E. Angerer, Ann. d. Phys. 21, 1906, blz. 86.

IV

De opvatting van Schrödinger omtrent de electronenstoot leidt
tot verschillende moeilijkheden.

E. Schrödinger, Ann. d. Phys. 83, 1927, blz. 956.

V

De wijze, waarop door St. MohoroviCié critiek wordt gevoerd
tegen de Relativiteits-theorie van Einstein, verdient de sterkste
afkeuring.

St. Mohoroviöié, „Optik bewegter Körperquot;, Art. in E. Gehrcke,
Handbuch der physikalischen Optik. Bd. II (Zweite Hälfte, Zweiter
Teil).

^ ^

- ■. ..

De door Nijhoff gemaakte opmerking geldt eveneens de af-
leiding in § 451 van J. H. Jeans „The Mathematical Theory of Elec-
tricity and Magnetism.quot;

F. W. Nijhoff. Dissertatie Utrecht 1927.

VII

Op blz. 57 van R. Courant und D. Hilbert „Methoden der Mathe-
matischen Physik Iquot; (1924) komt voor:

2(X , / I cos X , cos 2X cos 3Xnbsp;\\

ehnbsp;-shnbsp; nbsp;....j,

alsnbsp;— Ti; lt; X lt; 7t.

Deze ontwikkeling is ook geldig als x = ± 71: en geeft dan de Eu-
lersche betrekking:

Inbsp;Tra — I ,nbsp;TC

gt; n -——- = —---h

j.

[Vgl. F. Frenet „Recueil d\'Exercises sur le calcul infinitésimalquot;

00nbsp;00

(1917), blz. 430, n°. 656, waar S vervangen moet worden door S

VIII

Het bewijs van het theorema der samengestelde functie in Hk. de
Vries „Leerboek der differentiaal- en integraalrekening en van de
theorie der differentiaalvergehjkingenquot; (1919), blz. 24, is niet vol-
ledig.

IX

Het is onjuist, dat de zwakke Fraunhoferlijnen in diepe lagen

zouden ontstaan.

St. John, Astrophys. Journ. Vol. XL, 1914, blz. 356.

X

De critiek van J. Bertrand in § 126 (blz. 156) van zijn „Calcul des
Probabilitésquot; (le of 2e ed.) is niet juist.

ar- ^

\'s ■

■•■■■a.

. ^ ^ mi:

BT\'

■

■V-W\',\',-»\',\';

ÜSISÄ^®