mm

c^. Ij K ly\'

ONDERZOEK VAN EENIGE BILINEAIRE
CONGRUENTIES VAN KUBISCHE
RUIMTEKROMMEN DOOR EENE
AFBEELDING OP HET
PUNTENVELD

M. P. HOESTRA

^\'Utrecht

19 2 a

bibliotheek der
rijksuniversiteit

^ quot; rf -li- TÉa

ONDERZOEK VAN EENIGE BILINEAIRE CONQRUENTIES
VAN KUBISCHE RUIMTEKROMMEN DOOR EENE
AFBEELDING OP HET PUNTENVELD

■ ^ --t

Onderzoek van eenige bilineaire congruenties van
kubische ruimtekrommen door eene afbeelding op

het puntenveld.

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN

Doctor in de Wis- en Natuurkunde

aan de Rijks-Universiteit te Utrecht

OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS

Dr. B. J. H. OVINK

Hoogleeraar in de Faculteit der Letteren en Wijsbegeerte

volgens besluit van den senaat der universiteit

tegen de bedenkingen van de

Faculteit der Wis- en Natuurkunde

te verdedigen

Op Maandag 5 Maart 1928, des namiddags 4 uur

door

HENDRIK PIETER HOESTRA

geboren te Biervliet.

Electr. drukkerij „de Industriequot; J. Van Druten — Utrecht

1928

BIBLIOTHEEK DER

rijksuniversiteit
UTRECHT.

\'l\' t.i

■. PA«

fer

^iV.v-

■ H

• quot;J

.f

:

AAN DE NAGEDACHTENIS MIJNER MOEDER

■ 4 ■
: \' :

Aan het einde mijner akademische studie gekomen zij het
mij vergund, een woord van groote erkentelijkheid te richten
tot U, Hoogleeraren in de Faculteit der Wis- en Natuurkunde,
wier colleges ik het voorrecht gehad heb, te genieten.

In de eerste plaats geldt mijn dank U, Hooggeleerde Wolff,
die mij door Uwe heldere voordracht steeds hebt weten te
boeien.

Ook U, Hooggeleerde Nijland, zal ik steeds dankbaar
blijven voor wat gij tot mijne wetenschappelijke vorming
hebt bijgedragen.

Hooggeleerde Kramers, wil ook gij mijn dank aanvaarden
voor hel vele, dat ik van U heb geleerd.

Ten slotte moge ik U, Hooggeleerde De Vries, hooggeachte
promotor, mijn oprechten dank betuigen voor Uw zeer tot
verruiming van mijn wiskundigen blik geleid hebbend onder-
wijs en voor de groote welwillendheid, waarmede gij mij bij
de samenstelling van dit proefschrift hebt ter zijde gestaan.

SS

INHOUD.

Bladz.

Inleiding................ j

HOOFDSTUK l.
De eerste algemeene congruentie van Veneroni ... 3

HOOFDSTUK II.

Eerste bijzondere geval van de eerste algemeene con-
gruentie van Veneroni.............

HOOFDSTUK III.

Tweede bijzondere geval van de eerste algemeene con-
gruentie van Veneroni.............

HOOFDSTUK IV.
De congruentie van Reye...........45

HOOFDSTUK V.
De congruentie van Stuyvaert.........58

HOOFDSTUK VI.
Slotwoord ... ............74.

Stellingen................78

, ■■ ■.Qumi^ît

y... fi
rvj.\'\'-\'

V s

■Mi

I

.Kv

INLEIDING.

Onder eene congruentie van hubische ruimteJcrommen verstaat
men een tweevoudig oneindig stelsel van ruimtekrommen van
den derden graad. Het getal, dat aangeeft, hoeveel exem-
plaren van het stelsel door een gegeven punt gaan, heet de
orde der congruentie; dat, hetwelk aangeeft, hoeveel exem-
plaren een gegeven rechte lijn tot koorde hebben, noemt
men de Uasse der congruentie.

Zijn van eene congruentie de orde en de klasse beide één,
m. a. w. gaat er door een willekeurig punt slechts één kromme
p^ en is een willekeurige rechte maar van één exemplaar
koorde, dan heet de congruentie Ulineair. Eene zoodanige
congruentie zullen we aanduiden door het teeken [p^].

Onder hoofd- of basispunten eener congruentie verstaat
men punten, die op alle exemplaren der congruentie gelegen
zijn. Een hoofdpunt draagt dus oo^ krommen p^.

De verbindingslijn van twee hoofdpunten der congruentie
heet hoofdhoorde. Een hoofdkoorde wordt dus door elke
kromme p^ der congruentie in twee vaste punten gesneden.

In de volgende hoofdstukken zullen eenige bilineaire con-
gruenties van kubische ruimtekrommen aan een onderzoek
onderworpen worden en wel door eene afbeelding op het
platte vlaTc. Eene zoodanige afbeelding is slechts dan mogelijk,
indien twee op vaste rechten gekozen punten slechts ééne
kromme p^ bepalen; elke kromme wordt dan in het algemeen
door één punt van het genoemde platte vlak vertegenwoordigd
en omgekeerd: elk punt van het vlak is in het algemeen
beeld van ééne kromme p^. Een punt in de afbeelding,
hetwelk het beeld is van co ^ krommen p^ der [/j^], heet een
singulier punt.

Een lijn in de afbeelding, van welke co^ punten één
enkele kromme p\'^ der [|5®J vertegenwoordigen, heet een
singuliere lijn.

Het zal nu blijken, dat een dergelijke afbeelding één aan
één een helder licht werpt op vele eigenschappen der con-
gruenties van kubische ruimtekrommen, tot welker bespreking
wij thans overgaan.

HOOFDSTUK I.

Dc eerste algemeene congruentie van VenERONI.

§ 1. Wij willen eens twee bundels quadratische opper-
vlakken beschouwen, aangeduid door (Of) ennbsp;De basis-
figuur van den eersten bundel wordt gevormd door de
kubische ruimtekromme irf en één harer koorden b, die van
den tweeden bundel door de kubische ruimtekromme en
dezelfde rechte b, die ook koorde van a^ is.

Elk oppervlak geeft nu met elk oppervlak lt;J»| eene
doorsnede, die bestaat uit de rechte h en nog eene kubische
ruimtekromme /j^. De beide bundels bepalen zoo oo^ krommen
p^ en brengen dus een [p^] voort. Naar den wiskundige,
die haar het eerst heeft aangewezen, wordt zij de eerste
algemeene congruentie van VENERONI genoemd.

De congruentie is hilineair.

Immers: door een willekeurig punt P gaat één oppervlak
en één oppervlak dus één p^, welke met de rechte b
de doorsnede dezer beide oppervlakken vormt. Verder snijden
de beide bundels (^Jf) en (lt;1^2) op eene willekeurige rechte l
twee quadratische involuties in, welke involuties een gemeen-
schappelijk paar hebben. Dit puntenpaar behoort zoowel
tot een oppervlak als tot een oppervlak dus tot de
snijkromme dezer twee oppervlakken, welke bestaat uit de
rechte b en eene kromme p^ der congruentie, die dus de
rechte l tot koorde heeft.

Uit het bovenstaande volgt onmiddellijk, dat eene kromme /j®
der congruentie elk oppervlak waarop ze niet ligt, in
geen andere punten kan snijden, dan welke gelegen zijn op
de basisfiguur van den bundel, waartoe behoort. Van
de ses snijpunten van eene kromme p^ met liggen er twee

op de rechte zoodat dus lt;rf en 4nbsp;kromme /j^

der congruentie in vier punten gesneden worden.

§ 2. Om eene afbeelding O dezer congruentie op het
puntenveld tot stand te brengen, denken we ons een plat
vlak a gegeven, dat we als tafereel of beeldvlak aannemen.
Verder kiezen we op de basiskromme «rf een punt Ci en op
de basiskromme 4 een punt C2. De raaklijn n aan 4 in
Cl snijde het vlak a in P, de raaklijn r2 aan 4 in C2 snijde

in Q, Elk oppervlak heeft in Ci een bepaald raakvlak,
dat « snijdt volgens een rechte p door P en elk oppervlak
heeft in C2 een bepaald raakvlak, dat « snijdt volgens
een rechte q door Q.

Wij beschouwen nu de op deze wijze verkregen rechteni?,
als de afbeeldingen der oppervlakken «ïgt;f en de rechten q als
de afbeeldingen der oppervlakken lt;1gt;|. Het snijpunt van een
lijn p en een lijn q aanvaarden we verder als het beeld van
die kromme p^ der congruentie, welke met de rechte h de
doorsnede van de door p m q vertegenwoordigde opper-
vlakken lt;fgt;f en vormt. Maar ook omgekeerd: elk punt van
het beeldvlak a, bepaalt een straal van den waaier {p) en
een straal van den waaier (q), dus een vlak (p, n), waaraan
een oppervlak in Ci raakt en een vlak (q, n), waaraan
een oppervlak in O2 raakt. Deze twee oppervlakken be-
palen één kromme p^ der congruentie; de afbeelding is dus
één aan één, op enkele uitzonderingen na. Er is één kromme
p^, die afgebeeld wordt door ieder punt van de rechte ro, die
de toppen P en Q der beide waaiers verbindt; ro is dus een
singuliere rechte van de afbeelding.

De waaiertoppen P en Q zijn singuliere punten van de
afbeelding, want zij zijn de beelden van 00^ krommen p\'^ en

\') Door den heer Dr. Q. Schaake werd reeds de congruentie der
kubische ruimtekrommen, die door vier gegeven punten gaan en twee
gegeven rechten snijden, met behulp van de hier gebruikte afbeelding
onderzocht. De resultaten van dit onderzoek verschenen in het verslag
van de. gewone vergadering der Afdeeling Natuurkunde, Deel XXXV,
3, van de Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.

wel is P het beeld van de oo\' krommen p^, die gelegen zijn
op dat oppervlak lt;Igt;| hetwelk door den straal QP wordt ver-
tegenwoordigd en Q het beeld van de oo^ krommen p^, die
liggen op dat oppervlak waarvan de straal PQ het beeld
is. Het zijn nu juist deze beide oppervlakken, welke de boven-
bedoelde door alle punten van ro afgebeelde kromme p^ bepalen.

§ 3. Onderzoeken we eens, welke figuur in het beeldvlak
a het beeld is van het oppervlak, gevormd door alle krommen
p\'^ der congruentie, die gaan door een vast punt B van de
gemeenschappelijke basisrechte 6. Er gaan door B oo^ krom-
men p^, die ieder met h de doorsnede vormen van een opper-
vlak met het oppervlak dat in B raakt. Het punt
B is dan dubbelpunt hunner doorsnede, zoodat het kubische
bestanddeel hiervan door B moet gaan. Daar er oci paren
elkaar in B rakende oppervlakken en zijn, zijn er ook
Go^ krommen die door B gaan.

Voegen we nu aan elk oppervlak lt;Igt;f dat oppervlak toe,
hetwelk in B raakt, dan ontstaat een projectiviteit, of ver-
wantschap (1,1) tusschen de exemplaren der beide bundels
quadratische oppervlakken, dus ook tusschen de stralen der
beide waaiers (i?) en (g). Het voortbrengsel dezer waaiers
is eene Tcegelsnede c^, welke dus het beeld is van het opper-
vlak, gevormd door alle krommen p^ der congruentie, die door
een vast punt B van b gaan. Deze kegelsnede gaat door de
punten P en Q, zoodat we haar kunnen voorstellen door

iPQ).

De krommen p^ der congruentie, welke op een gegeven
rechte l rusten, vormen een oppervlak, waarvan we de af-
beelding op het tafereel zullen bepalen.

Een willekeurig oppervlak snijdt l in twee punten. Deze
twee punten bepalen twee oppervlakken welker doorsneden
met twee krommen p^ bepalen, die op l rusten. Evenzoo
behoort bij een willekeurig oppervlak 4)| een tweetal opper-
vlakken welker doorsneden met twee op de rechte l
rustende krommen p^ bepalen. De oppervlakken der beide
bundels zijn hierdoor gerangschikt in eene verwantschap (2,2),

dus ook hunne beeldrechten in het tafereel, dat zijn de stralen
der beide waaiers {p) en (g). Hun voortbrengsel is dus een
Jcromme van den vierden graad, A^, welke P en Q tot dubbel-
punten heeft. Wij kunnen haar voorstellen door A^ (P\'^Q^^).

§ 4. Met behulp van deze uitkomst kunnen we nu den
graad van het oppervlak F bepalen, waarop alle krommen
p^ gelegen zijn, die door een vast punt B van de rechte b
gaan. Het beeld van dat oppervlak is de reeds gevonden
kegelsnede c^ (PQ). Nu snijden c® (PQ) en A^ iP\'Q\'\') elkaar
in 2X4=8 punten. Van deze acht punten vallen er twee in
P en twee in Q, dus hebben de beide beeldkrommen vier
niet-sin gulier e punten gemeen. Dat beteekent, dat op een ge-
geven rechte l vier krommen van het oppervlak F rusten.
Bit oppervlah is dus van den vierden graad en kan door F^
voorgesteld worden.

Tevens kunnen we den graad bepalen van het oppervlak
A, beschreven door de krommen p^, welke de gegeven rechte
l snijden. Daartoe bepalen we het aantal krommen /j®, die
op A gelegen zijn en een willekeurige rechte l\' snijden. Bij
l\' behoort een oppervlak A\', met als beeld eene kromme
imHP\'QV. De krommen A-^ [P\'Q^) ensnijden elkaar
in 4X4=16 punten. Van deze 16 punten vallen er vier in
P en vier in Q, dus hebben de beide beeldkrommen acht niet-
singuliere punten gemeen. Dat wil dus zeggen, dat er acht
krommen p^ zijn, die op A liggen en de rechte l\' snijden;
l\' snijdt A dus in acht quot;punten, zoodat A een oppervlah van
den achtsten graad is, en door A® kan worden aangeduid.

Ook volgt hieruit, dat er acht hrommen p^ van de congruentie
zyn, die op twee gegeven rechten l en l\' rusten.

Er is één kromme p\\, die de rechte l tot koorde heeft;
hieruit volgt, dat de beeldkromme A^ iP^Q\'\'^) van het opper-
vlak A® een derde dubbelpunt heeft in het beeld van p\\. De
kromme A^ is dus rationaal.

§ 5, Wij willen nog even nagaan, wat de beteekenis is
van de ligging der singuliere punten op de beeldfiguren en

welke gevolgtrekkingen we mogen maken, als twee beeldfi-
guren elkander in een singulier punt snijden.

Beschouwen we eens twee stralen p\\ en van den waaier
(p). Dat de waaiertop P op pi ligt, beteekent, dat P het
beeld is van die kromme p^ der congruentie, welke het door
den straalafgebeelde oppervlak met het door den straal
QP van den waaier fgj afgebeelde oppervlak lt;Igt;| gemeen heeft.
Dat P op den straal pz ligt heeft een overeenkomstige be-
teekenis, met dit onderscheid, dat P, als punt van p^ be-
schouwd, een andere kromme p^ vertegenwoordigt.

Als dus twee beeldkrommen elkaar in een singulier punt
snijden, mogen we daaruit niet besluiten tot het gemeen-
schappelijk bezit van een kromme p^ der congruentie der
door deze beeldkrommen vertegenwoordigde oppervlakken.
Het is nu duidelijk, dat bij de onderzoekingen in § 4 de
snijpunten der beeldfiguren, die in P en Q vielen, buiten
beschouwing moesten blijven, waar gevraagd werd naar het
aantal gemeensehappelijJce hrommen der congruentie van twee
oppervlakken.

Bij de in de volgende hoofdstukken te behandelen con-
gruenties van kubische ruimtekrommen zullen we kennis
maken met andere singuliere punten dan waaiertoppen van
stralen, die oppervlakken afbeelden. Dergelijke punten zijn
eveneens de beelden van co^ krommen p^ der congruentie.
Ook op deze is van toepassing, wat van de punten P en Q
is gezegd, namelijk dat uit de snijding van twee beeldkrommen
in zoo\'n punt niet mag besloten worden tot het gemeen-
schappelijk bezit van een kromme der congruentie der door
die krommen afgebeelde oppervlakken. Ook hier is alleen
de gevolgtrekking juist, dat op elk dezer oppervlakken één
der 00 ^ in dat singuliere punt afgebeelde krommen der con-
gruentie gelegen is. Ligt een hier bedoeld singulier punt
k-voudig op eene beeldkromme, dan bevat het toegevoegde
oppervlak ook Jc der oo\' in dat punt afgebeelde krommen
der congruentie.

§ 6. We willen eens nagaan, hoe de basisrechte h en de

basiskrommen trf en ^ oP ^e oppervlakken T* en A.® ge-
legen zijn.

De beeldkromme c^ (P Q) van het oppervlak T^ snijdt de
beeldkromme dHP Q) van het oppervlak AS dat gevormd
wordt door alle krommen p^ der [/s®], die door een vast
punt D van de basisrechte b gaan in 2 niet-singuliere punten.
De oppervlakken T^ en A^ hebben dus twee krommen p^
der [p^] gemeen.

Ook volgt hieruit, dat door een willekeurig punt van de
basisrechte b twee krommen p^ van het oppervlak F* gaan.
De rechte h is dus een dubbelrechte op

Door een willekeurig punt S\\ van de basiskromme ö-f gaat
één oppervlaknbsp;waaraan in het punt JB van de basis-

rechte b door één oppervlak geraakt wordt, hetwelk met
het oppervlak lt;ïgt;| één kromme p^ der [p^] voortbrengt. Het
punt Si draagt dus één kromme p^ van het oppervlak

Evenzoo draagt een willekeurig punt Sz van de basis-
kromme lt;4 maar één kromme p^ van het oppervlak F\'^.

De basiskrommen a-f en ö-| zijn dus enkelvoudige Icrommen
op FS

Twee oppervlakken F^ en A^, behoorende bij de punten
B D van 6, hebben dus gemeen: de twee krommen p^
der [/jM, die door beide punten gedragen worden, de beide
basiskrommen «rf en a-| en de dubbelrechte b. De doorsnede
dezer oppervlakken is dus van den graad

2X3 2X3 2X2 = 16.

Het is gemakkelijk te zeggen, welke stralen i? en g de
raaUynen in P en Q aan de kegelsnede c^ zijn. Elke straal
p snijdt in twee punten, van welke P er één is. Valt
nu het tweede snijpunt ook in P, dan raaU die straal in P
aan c^. Het punt P vertegenwoordigt dan die kromme p^
van F^ welke tot de doorsnede behoort van het door den
straal Q P van den waaier iq) afgebeelde oppervlak met
het oppervlak dat in B het genoemde oppervlak 4gt;| aanraakt.

Een overeenkomstige redeneering geldt voor den in Q aan
c^ rakenden straal van den waaier {q).

De beeldkromme A^ (P^ Q\'^) van het oppervlak A® snijdt

de beeldkromme c^ (P Q) van het oppervlak F^ in 4 X 2 = 8
punten, waarvan vier in P en vallen, dus ook vier niet-
singulier zijn. Door een willekeurig punt B van de basis-
rechte h gaan dus vier krommen p^ der congruentie, die ook
op het oppervlak A.® gelegen zijn. Hieruit volgt, dat h een
viervoudige rechte op A® is.

Door een willekeurig punt Si van de basiskromme of gaat
één oppervlak dat door de rechte l in twee punten ge-
sneden wordt. Deze twee punten bepalen twee oppervlakken
die met het door Si bepaalde oppervlak lt;Egt;| twee krommen p^
der [p^] voortbrengen, die op l rusten. Door Si gaan dus
twee krommen p^ van het oppervlak A®, zoodat de basis-
kromme ö-^ duhhelJcromnie op A® is.

Op dezelfde manier kunnen we beredeneeren, dat de basis-
kromme öquot;! duMelkromme op A® is.

Twee oppervlakken A®, behoorende bij de rechten l en l\'
hebben gemeen: de acht krommen p^ der [/j®], die op beide
rechten rusten. Ook hebben ze gemeen de beide dubbel-
krommen lt;s\\ en lt;r| en de viervoudige basisrechte h. De door-
snede van twee zoodanige oppervlakken is dus van den graad
8X3 2X4X3 4X4:=: 64.

§ 7. We willen thans gaan onderzoeken, welk oppervlak
ü gevormd wordt door de krommen p\'^ der congruentie, die
aan een gegeven vlak 0 raken. Daartoe bepalen we de
figuur in het beeldvlak door welke het gezochte oppervlak
wordt vertegenwoordigd.

Beschouwen we eens een willekeurig oppervlak dit
snijdt het vlak 0 volgens eene kegelsnede welke gaat
door het doorgangspunt van de basisrechte b en door de
drie doorgangspunten van de basiskromme af met 0. Elk
oppervlak snijdt 0 volgens een kegelsnede h% welke ook
gaat door het doorgangspunt van de basisrechte b met 0
en nog door de drie doorgangspunten van de basiskromme
lt;4 met 0. De kegelsneden hl vormen in 0 een bundel {h^ met
als basispunten deze laatstgenoemde vier doorgangspunten.
Zij snijden op de vaste kegelsnede ]c\\, die met alle exem-

plaren van den bundel het snijpunt van de rechte h met
het vlak cp en nog drie veranderlijke punten gemeen
heeft, een kubische involutie r in. Deze heeft vzer dubbel-
punten, waaruit volgt, dat het vier keer voorkomt, dat de
kegelsnede kf geraaU wordt door een exemplaar van den
bundel ih^.

Een oppervlak flgt;| van den tweeden bundel snijdt het in
den aanhef van deze § genoemde oppervlak volgens de
rechte h en een kromme der congruentie. Deze kromme
p^ snijdt dus het gegeven vlak 0 in de snijpunten der vaste
kegelsnede kf met de kegelsnede 1% welke de doorsnede is
van dit oppervlak, (Igt;| met (p. De involutie P wordt dus ook
op /cl ingesneden door alle krommen p^ van Telkens als
nu hl door een exemplaar van den bundel (Jq) geraakt wordt,
raakt de hjbehoorende kromme p^ aan cp. Dit laatste heeft dus
vier keer plaats. Er zijn dus vier oppervlakken die met
het gegeven oppervlak 4gt;f een aan het gegeven vlak cp rakende
kromme p^ der congruentie voortbrengen.

Op dezelfde manier kunnen we beredeneeren, dat er vier
oppervlakken in den bundel (^f) gevonden worden, die
met een gegeven oppervlak een aan cp rakende kromme
p^ der congruentie voortbrengen.

De oppervlakken der beide bundels (^I\'^) en worden
dus op deze wijze gerangschikt in een verwantschap (4,4),
dus ook hunne beeldrechten in het tafereel, dat zijn de stralen
der beide waaiers (i?) en (q). Het voortbrengsel dezer waaiers
is dus eene kromme van den achtsten graad, A®, welke F en
g tot viervoudige punten heeft, en dus voorgesteld kan worden
door A® (F^Q^). Deze kromme is dus het beeld van het
oppervlak ü.

Om den graad van het oppervlak fL te bepalen, gaan we
nu onderzoeken, hoeveel krommen p^ van ü op een gegeven
rechte Z rusten, m.a.w. hoeveel krommen p^ tot de doorsnede
der oppervlakken ü en A® behooren. De beeldkrommen,
ennbsp;dezer oppervlakken snijden elkaar in

8X4=32 punten, waarvan er 2X4 X2=16 in de singuliere
punten F en Q vallen. De beeldkrommen hebben dus 16

niet-singuliere punten gemeen, dus zijn er ook 16 krommen
p^ van de congruentie, die op liggen en tevens op l rusten.
De rechte l snijdt het oppervlak fl dus in 16 punten, zoodat
dit een oppervlah van den zestienden graad, is.

De beeldkrommennbsp;en (j.^iP^Q\'^) van de opper-

vlakken n en 11\', behoorende bij twee vlakken (p en (p\',
snijden elkaar in 8 X 8=64 punten, waarvan er 2 X 4 X 4= 32
in P en vallen, dus ook 32 niet-singulier zijn. Hieruit
volgt, dat er 32 hrommen p^ der congruentie zijn, die aan twee
gegeven vlahhen lt;p en 0\' raken.

De beeldkrommen c^{P()) en Q^) van T^ en snpen
elkaar in 16—8 = 8 niet singuliere punten. Er gaan dus door
elk punt van b acht krommen p^, die tevens op fl\'quot; liggen;
b is dus een achtvoudige rechte op dit oppervlak.

Omdat door een willekeurig punt Si van de basiskromme lt;t\\
één oppervlak gaat, waaraan vier oppervlakken zijn
toegevoegd, die met ^Pj eene door Si gaande en aan O
rakende kromme p^ der [/j®] voortbrengen, is a-f een viervoudige
hromme op het oppervlak

Evenzoo ligt de basiskromme viervoudig op

Twee oppervlakken behoorende bij de vlakken (p en
Ó\' hebben dus gemeen: de twee en dertig krommen p^ der
die beide vlakken aanraken, de beide viervoudige krommen
(t\\ en cr| en de achtvoudige rechte h. De doorsnede van twee
zoodanige oppervlakken is dus van den graad

32 X 3 4-2X 16 X3 8X8 = 256.

§ 8. Onder een ontaarde huUsche ruimtehromme verstaat
men eene figuur, die samengesteld is uit bestanddeelen,
waarvan de som der graadgetallen eveneens drie is, terwijl
de figuur in haar geheel het geslacht nul heeft, evenals eene
enkelvoudige ruimtekromme van den derden graad. Men
kan dus ook zeggen, dat de naam ontaarde kubische ruimte-
kromme slechts toekomt aan figuren van den derden graad,
welke door een gegeven punt maar ééne koorde zenden.

Uit bovenstaande bepaling volgt, dat er twee soorten van
ontaarde kubische ruimtekrommen zijn.

In de eerste plaats behooren er de figuren toe, die bestaan
uit een hegelsnede en een daarop rustende, niet in het vlak
dier kegelsnede gelegen, rechte. Inderdaad kunnen we door
een gegeven punt maar ééne koorde naar deze figuur trekken.

De verbindingslijn van het gegeven punt met het steunpunt
van rechte en kegelsnede telt niet als koorde mee.

In de tweede plaats treden als ontaarde kubische ruimte-
krommen op de figuren, die bestaan uit twee hruisende rechten
gesneden door een derde, van welke figuren de stergraad van
de congruentie harer koorden ook één bedraagt.

Volledigheidshalve willen we nog even vermelden, dat het
geslacht p van een uit twee bestanddeelen van de geslachten
pi en p2 samengestelde ruimtekromme uitgedrukt wordt door
de betrekking:

p=p\\ j?2 5— 1,
waarin 5 het aantal snijpunten der samenstellende krommen
beteekent. Eene kegelsnede en eene rechte, die de kegelsnede
niet snijdt, vormen dus samen een figuur, die het virtueele
geslacht heeft, zooals men dat uitdrukt, van

0 0 0-1 = — !.
Eene dergelijke figuur kan dus niet gerekend worden tot de
ontaarde kubische ruimtekrommen. Dat een willekeurig vlak
haar in drie punten snijdt, legt dus hier geen gewicht in de schaal.

§ 9. Wij beschouwen thans eerst het geval, dat twee opper-
vlakken en elkander snijden volgens de rechte eene
kegelsnede en eene rechte d, die op rust en met haar
eene ontaarde figuur p^ vormt. Het is nu noodzakelijk, dat
zoowel als d door h gesneden worden. Maar ook de beide
basiskrommen 4 en 4 snijden deze ontaarde figuur p\'. Op
liggen drie punten van en drie punten van 4 terwijl
de rechte d door 4 en 4 in één punt gesneden wordt. In
elk vlak door h ligt buiten deze rechte h één snijpunt met
4 en één snijpunt met 4, dus één rechte d, die b in een
punt Q snijdt. Aan dit vlak raakt in Q één oppervlak
en ook één oppervlak lt;^gt;1 Deze twee oppervlakken hebben
eene doorsnede, die bestaat uit de rechten b en d — want

d is van elk der oppervlakken de tweede beschrijvende lijn
van het raakvlak in Q — Qn dus nog een kegelsnede al
Wentelt nu dit vlak om de rechte dan beschrijven de ont-
aarde figuren een oppervlak bestaande uit twee andere
oppervlakken, B, dat door de rechten d, en A, dat door de
Icegelsneden c^ afzonderlijk beschreven wordt.

Van het oppervlak W willen we nu de afbeelding op het
tafereel en met behulp dezer afbeelding den graad bepalen,
en daarna langs een anderen weg de graadgetallen van S*
en A.

We beginnen met het oppervlak beschouwd als één
enkel oppervlak, dat voortgebracht wordt door alle uit een
kegelsnede c^ en een daarop steunende rechte d samengestelde
krommen p^. We kiezen nu een willekeurig oppervlak
en vragen naar het aantal rechten d, die op het oppervlak
gelegen zijn. Het zijn er vier, want elke rechte d moet
behalve op h en lt;t\\ rusten op (r|, omdat ze het lineaire be-
standdeel is van de ontaarde kromme die door twee
oppervlakken, lt;igt;l en wordt voortgebracht. Nu snijdt
het oppervlak in zes punten, waarvan er twee op h liggen.
Door elk der vier andere punten gaat ééne beschrijvende
van die op h rust, dus ééne rechte d. Op liggen dus
vier rechten d. Er zijn dus vier oppervlakken die met
het gegeven oppervlak eene rechte d gemeen hebben.
Evenzoo zijn er vier oppervlakken die met een gegeven
oppervlak een rechte d gemeen hebben. Voegen we nu
aan elk oppervlaknbsp;de vier oppervlakkennbsp;toe,

welke er een rechte d mee gemeen hebben, dan worden de
oppervlakken der beide bundels gerangschikt in eene ver-
wantschap (4, 4), dus ook hunne beeldrechten in het tafereel.
De stralen der beide waaiers (i?) en iq), gerangschikt in een
verwantschap (4, 4), brengen eene kromme van den achtsten
graad, r®, voort, welke kromme de waaiertoppen P en Q
tot viervoudige punten heeft. Deze kromme r® iP\' Q\') is dus
het beeld van het oppervlak

Om nu den graad van het oppervlak ^ te bepalen, gaan
we onderzoeken, in hoeveel punten ^ door een willekeurige

rechte I gesneden wordt. We herinneren ons, dat de kromme
(p2 gïs) het beeld is van het oppervlak A.®, welk oppervlak
beschreven werd door alle krommen p^ van de congruentie,
die op een gegeven rechte l rusten. De krommen A^ (P^ Q^) en
78 {pi gi) snijden elkaar in 4 X 8 = 32 punten, waarvan er
16 in P en vallen, dus 32 — 16 = 16 buiten de singuliere
punten. Er zijn dus 16 krommen p^, in dit geval ontaarde
krommen /5^ die op een gegeven rechte l rusten en tevens
op \'F liggen, waaruit volgt, dat de rechte l het oppervlak ^
in 16 punten snijdt, zoodat dit een oppervlal van den zestienden
graad, is.

De basisrechte h is een achtvoudige rechte en de basis-
krommen 4 en (tI zijn viervoudige hrommen op

De achtvoudigheid van de basisrechte h en de viervoudig-
heid der krommen en tr^ op het oppervlak kan op
dezelfde manier aangetoond worden, als aan het slot van
§ 7 is gedaan voor het oppervlak

Het is niet mogelijk, om met behulp der hier behandelde
afbeelding de graadgetallen der oppervlakken 3- en A te be-
palen, aangezien wij alleen krommen p\'^ hebben doen vertegen-
woordigen door punten in het tafereel en geen rechten en
kegelsneden afzonderlijk. Volledigheidshalve willen we echter
die getallen toch berekenen, en wel door den graad van 3-
uit te vorsehen.

Beschouwen we eens een willekeurig vlak ß door h. Van
het oppervlak ligt daarin h en één rechte d, namelijk de
verbindingslijn van de niet op h gelegen snijpunten van (t\\ en
4 met ß. De kegels, die a\\ en uit het snijpunt van h met
d projecteeren, hebben negen ribben gemeen, waarvan er vier
langs h vallen. De andere vijf zijn dus rechten d, waaruit
volgt, dat amp; vyfvoudige rechte van het regelvlak ^ is. Het
vlak ß geeft dus met ^ eene doorsnede van den zesden graad,
zoodat zes de graad van 5 is, en dus tien de graad van A.

Het oppervlak bestaat dus uit een regelvlak en een
oppervlak

Daär h vijfvoudig op is, is ze drievoudig op A^quot;.
Door een punt van (r\\ en de rechte h is een vlak bepaald;

dit vlak snijdt (r| in drie punten, waarvan er twee op l liggen.
De verbindingslijn van het derde snijpunt van (t^ met dat vlak
en het op gekozen punt is een rechte d. Door een punt
van fl-f en dus ook van a-| gaat bijgevolg maar één rechte d,
zoodat de basiskrommen lt;rf en dl enkelvoudige hrommen op
zijn en dus drievoudige hromynen op A\'

. 10

§ 10. Vervolgens willen we het geval nagaan, dat twee
oppervlakken en elkander snijden volgens vier rechten,
l, ai, «2 en c. Deze vier rechten moeten zoodanig ten op-
zichte van elkaar gelegen zijn, dat twee ervan elhander hruisen
en door de beide andere gesneden worden. Stel dat 6 en c
elkander kruisen, dan worden ze door ai en aa beide gesneden.
De ontaarde kromme p\'^ bestaat dan uit de beide kruisende
rechten ai en a2, die gesneden worden door de rechte c. De
basiskrommen ö-f en a-| hebben b tot koorde, dus ook c,
terwijl ze elk op ai en a^ één snijpunt hebben. De rechte
c is dus gemeenschappelijke hoorde van o^ en s-^ Nu hebben
twee kubische ruimtekrommen tien gemeenschappelijke koor-
den; behalve amp; hebben cf en 4 er dus negen, zoodat qv negen
figuren p^ zyn, die uit drie rechten bestaan.

HOOFDSTUK II.

Eerste bijzondere geval van de eerste algemeene
congruentie van VENERONI»

§ 1 Als bijzonder geval van de twee bundels quadratische
oppervlahJcen van hoofdstuk I willen we nu eens twee bundels
quadratische Icegels, aangeduid door ennbsp;beschouwen.

Laat daartoe gegeven zijn vier punten Ai, A2, J-s, Ai en
twee rechten, ci door Ai en C2 door A2. Als basisfiguur
van den bundel {Kl) kiezen we de vier rechten Ax A^, Ax As,
Al Ai en cx en als basisfiguur van den bundel de vier

rechten A^Ax, A2A3, A^Ai en C2.

De beide bundels hebben de basisribbe Ax A^ gemeen,
zoodat ze een bilineaire congruentie [/j^] voortbrengen, voor
het bewijs waarvan wij naar het vorige hoofdstuk verwijzen.

§ 2. We zullen beginnen met van deze congruentie eene
afbeelding op het platte vlak tot stand te brengen.

Een punt van de basisribbe ci van den bundel (Xf)
draagt één kegel Kl dus coi krommen der congruentie,
alle gelegen op den kegel ^^en met de gemeenschappelijke
basisribbe Ax I2 de doorsneden vormend van K^ met de

exemplaren van den bundel (K^).

Evenzoo draagt een punt van de basisribbe C2 van den
bundel (ZD één kegel Kl dus Qo^ krommen p\' der [p\'l
quot; Door twee punten Cx en C2 van de basisribben cx en C2
gaat dus één kromme / der [p% namelijk die kromme
welke met Ai A2 de doorsnede vormt van den door Cx be-
paalden kegel Kl en den door C2 bepaalden kegel Kl
Worden nu de puntenreeksen {Cx) en (C2) in projectief ver-
band gebracht met de stralenwaaiers (p) en {q), gelegen in

een plat vlak dat we als tafereel of beeldvlak kiezen, dan
wordt elke kromme p^ der [p^] afgebeeld in een punt van a,
terwijl omgekeerd elk punt van snijpunt is van één straal
p en één straal g, dus één punt Ci op d en één punt C2 op C2,
dus één kegel Kl en één kegel K^, dus één kromme p^ der
[p^] bepaalt, althans in het algemeen. Er is één punt Bi
op Cl, waaraan is toegevoegd de lijn P Q, die de toppen P
en Q der waaiers (i?) en (9) verbindt. De 00^ krommen
welke door Bi gaan, hebben alle hun beeld in Q. Evenzoo
is er één punt B2 op C2, dat tot beeld heeft de lijn Q P, nu
dus beschouwd als straal van den waaier (q). De 00 ^
krommen p^, welke door B2 gaan, hebben alle hun beeld in P.

Het exemplaar van de congruentie, dat door Bi en B2
gaat, wordt afgebeeld in elk punt van de lijn P Q.

We kunnen deze afbeelding ook zoo beschouwen, dat elke
straal p van den waaier (p) een kegel en elke straal q
van den waaier (q) een kegel K^ vertegenwoordigt. Het
snijpunt dezer stralen beeldt dan die kromme p^ der [/j^] af,
welke met Ai Au de doorsnede dier beide kegels vormt.

De punten P en Q zijn singuliere punten in de afbeelding.
Zij vertegenwoordigen elk coi krommen /j® der congruentie.

§ 3. Allereerst gaan we nu onderzoeken, welke de beelden
zijn van de ontaarde figuren die zijn samengesteld uit
een rechte d en eene kegelsnede cl die op d rust en tevens
van die, welke uit drie rechten bestaan. Wij onderscheiden
negen groepen ontaarde figuren p^.

Groep I. We brengen een vlak door Au Ai en Aa, dat
we (pi zullen noemen. De transversaal di door Ai over ci
en C2 moge (Pi in Di snijden. Nu vormt di met elke kegel-
snede cl gelegen in 4)4 en gaande door de punten A2,13
en Di een ontaarde figuur p\'. In (pi ligt een bundel (c^) met
de genoemde vier punten als basispunten, zoodat tot deze
groep ooi ontaarde figuren p\'^ der [p^] behooren.

De rechte di snijdt ci in S\', en C2 in T\'. Het punt S\'
heeft tot beeld een straal p, het punt T\' een straal q. Het
snijpunt Si dezer twee stralen is dus het beeld van alle

ontaarde kromnaen p^, die tot deze eerste groep behooren;
het is dus een singulier punt van de afbeelding.

Tot den bundel kegelsneden in 04 behooren drie ontaarde
kegelsneden, welke ieder met de rechte di een uit drie
rechten bestaande figuur p^ der [/j^] vormen.

Groep II. We brengen een vlak (pa door A^, Az en Ai.
De transversaal ds door As over ci en C2 moge (pe in Da
snijden. De punten Ai, Ai, A^ en Da zijn nu de basispunten
van een in (pa gelegen bundel (c^), waarvan elk exemplaar
met ds een ontaarde figuur p^ der vormt. Ook hier
vinden we dus ooi ontaarde figuren p^.

De bundel (c®) bezit drie in twee rechten ontaarde kegel-
sneden; we vinden dus ook hier drie ontaarde figuren p^,
die uit drie rechten bestaan.

De rechte da rust in twee vaste punten, Squot; en Tquot; op
Cl en C2, Het snijpunt Sa van de stralen in het tafereel
die aan deze punten Squot; en Tquot; toegevoegd zijn, is dus het
beeld van alle tot deze groep behoorende ontaarde figuren p^
der [z»®]. Ook Sa is dus een singulier punt van de afbeelding.

Groep III. We brengen een vlak (pz door Ai, Aa en Ai,
welk vlak de rechte C2 in S2 moge snijden. Het lineaire
bestanddeel van elke tot deze groep behoorende ontaarde
figuur moet door A2 gaan en op ci rusten. Aan eiken
straal d2 van den waaier (Az, ci), welke straal cp2 in Dg
moge snijden, is de kegelsnede c^ in (p2 door Ai, As, Ai, S2
en Di toegevoegd; zij vormt met d2 een ontaarde figuur p^.
Deze kegelsneden vormen in cpa een bundel met basispunten
Al, As, Ai en S2.

Het komt driemaal voor, dat een kegelsnede van dezen
bundel ontaardt in twee rechten, die met dt een ontaarde
figuur vormen, die uit drie rechten bestaat.

-Het vaste punt Sz en C2, waardoor alle ontaarde figuren
p^ dezer groep gaan, heeft tot beeld een lijn qz in x. De
veranderlijke snijpunten der lijnen di met ci hebben tot
beelden de stralen van den waaier ip), door welke qz ge-
sneden wordt in de beeldpunten der co^ tot deze groep be-
hoorende ontaarde figuren p^. De beeldfiguur dezer 00^ ont-

aarde krommen p^ is dus de straal q^ van den waaier (g).

Ch-oep IV. We brengen een vlak (pi door As, As en Ai,
welk vlak door de rechte ci in Si gesneden moge worden.
Het lineaire bestanddeel van elke tot deze groep behoorende
ontaarde figuur p^ moet door Ai gaan en op C2 rusten. Aan
eiken straal di van den waaier {Ai, cg), welke straal (pi in
Dl moge snijden, is dus een kegelsnede c\'^ in cpi door Ai,
Az, Ai, Sl en JDi toegevoegd, die met di een ontaarde
figuur vormt. Deze kegelsneden vormen in 0i een bundel
met basispunten A2, Ai, Ai en Si.

Het komt driemaal voor, dat een kegelsnede van dezen
bundel ontaardt in twee rechten, die met di een ontaarde
figuur p^ vormen, die uit drie rechten bestaat.

Het vaste punt Si van ci, waardoor alle ontaarde figuren
p^ dezer groep gaan, heeft tot beeld een lijn pi in a.. De
veranderlijke snijpunten der lijnen di met C2 hebben tot
beelden de stralen van den waaier [q), door welke pi ge-
sneden wordt in de beeldpunten der 001 tot deze groep be-
hoorende ontaarde figuren p^. De beeldfiguur dezer 00 ^
ontaarde krommen p^ is dus de straal pi van den waaier {p).

Groep V. We brengen een vlak (pu door de rechte ci
en het punt As. Dit vlak wordt door C2 in Tquot; gesneden,
want de rechte door As en dit snijpunt rust tevens op ci
en is dus de in groep II opgetreden transversaal ds.

Het lineaire bestanddeel der tot deze groep behoorende
ontaarde figuren p\'^ is de rechte dsi, die A2 en Ai verbindt.
Zij moge (pa in Da snijden.

De punten Ai, As, Tquot; en B^i in (pa zijn nu de basis-
punten van een bundel (c^), waarvan elk exemplaar met de
rechte du een ontaarde figuur p^ vormt. Hiervan zijn er
dus col.

Tot den genoemden kegelsnedenbundel behooren drie uit
twee rechten samengestelde kegelsneden. Er zijn dus drie
tot deze groep behoorende figuren p^, die uit drie rechten
bestaan.

Het punt Tquot; op C2, waardoor alle ontaarde figuren dezer
groep gaan, heeft tot beeld een lijn q-n van den waaier (g).

Dit is echter dezelfde straal, die reeds in groep II is opge-
treden; hij bevat dus het singuliere punt lt;53. De veranderlijke
punten, door de exemplaren van den bundel (c^) op ci in-
gesneden, hebben tot beelden alle stralen van den waaier {p)
Hieruit volgt, dat de beeldfiguur der 00^ tot deze groep be-
hoorende ontaarde figuren p\'^ de straal q^i is.

Groep VI. We brengen een vlak 023 door de rechte ci
en het punt Ai. Dit vlak wordt door C2 in T\' gesneden,
want de rechte door A4 en dit snijpunt rust tevens op Ci
en is dus de in groep I opgetreden transversaal di.

Het lineaire bestanddeel der tot deze groep behoorende
ontaarde figuren p^ is de rechte (Z23, die A^ en Aü verbindt.
Zij moge (p23 in JDza snijden.

De punten Ai, Ai, T\' en As in 023 zijn nu de basis-
punten van een bundel kegelsneden, waarvan elk exemplaar
met de rechte dzz een ontaarde figuur p^ vormt. Hiervan
zijn er dus ooi.

Tot den genoemden kegelsnedenbundel behooren drie uit
twee rechten samengestelde kegelsneden. Er zijn dus drie
tot deze groep behoorende figuren p^, die uit drie rechten
bestaan.

Het punt T\' op C2, waardoor alle ontaarde figuren dezer
groep gaan, heeft tot beeld een lijn g2s van den waaier (?).
Dit is echter dezelfde straal, die reeds in groep I is opge-
treden; zij bevat dus het singuliere punt Si. De verander-
lijke punten, door de exemplaren van den bundel (c^) op ci
ingesneden, hebben tot beelden.alle stralen van den waaier
{p). Hieruit volgt, dat de beeldfiguur der 001 tot deze groep
behoorende ontaarde figuren p^ de straal q^t is.

Groep VIL We brengen een vlak (pu door de rechte C2
en het punt Asgt; Dit vlak wordt door ci in Squot; gesneden,
want de rechte door As en dit snijpunt rust tevens op C2
en is dus de in groep II opgetreden transversaal ds.

Het lineaire bestanddeel der tot deze groep behoorende
ontaarde figuren p^ is de rechte du, die Ai en Ai verbindt.
Zij moge cpu in Du snijden.

De punten Az, As, Squot; en Du in (pu zijn de basispunten

van een kegelsnedenbundel (c®), waarvan elk exemplaar met
de rechte dn een ontaarde figuur p^ vormt. Hiervan zijn
er dus ooi

Tot den genoemden kegelsnedenbundel behooren drie uit
twee rechten samengestelde kegelsneden. Er zijn dus drie
tot deze groep behoorende figuren p^, die uit drie rechten
bestaan.

Het punt 8quot; op ci, waardoor alle ontaarde figuren dezer
groep gaan, heeft tot beeld een lijn pu van den waaier {p).
Dit is echter dezelfde straal, die reeds in groep II is opge-
treden; zij bevat dus het singuliere punt Ss. De verander-
lijke punten, door de exemplaren van den bundel (c^) op ca
ingesneden, hebben tot beelden alle stralen van den waaier
(q). Hieruit volgt, dat de beeldfiguur der oo^ tot deze groep
behoorende ontaarde figuren p^ de straal pn is.

Groep VIII. We brengen een vlak (pis door de rechte Ci
en het punt Ai. Dit vlak wordt door a in S\' gesneden,
want de rechte door Ai en dit snijpunt rust tevens op C2
en is dus de in groep I opgetreden transversaal di.

Het lineaire bestanddeel der tot deze groep behoorende
ontaarde figuren p^ is de rechte dis, die Ai en As verbindt.
Zij moge (pis in Dis snijden.

De punten A2, Ai, S\' en Dis in (pis zijn nu de basispunten
van een bundel kegelsneden waarvan elk exemplaar met
de rechte dis een ontaarde figuur p^ vormt. Hiervan zijn
er dus ooi

Tot den genoemden kegelsnedenbundel behooren drie uit
twee rechten samengestelde kegelsneden. Er zijn dus drie tot
deze groep behoorende figuren p^, die uit drie rechten bestaan.

Het punt S\' op ci, waardoor alle ontaarde figuren dezer
groep gaan, heeft tot beeld een lijn pis van den waaier (2)).
Dit is echter dezelfde straal, die reeds in groep I is opge-
treden; zij bevat dus het singuliere puntDe veranderlijke
punten, door de exemplaren van den bundel (c^) op C2 in-
gesneden, hebben tot beelden alle stralen van den waaier (q).
Hieruit volgt, dat de beeldfiguur der 00^ tot deze groep be-
hoorende ontaarde figuren p^ de straal pis is.

Groep IX. We beschouwen een willekeurig vlak door
de rechte As Ai. Dit vlak wordt gesneden door de rechten
Cl en Ca en ook door het lineaire bestanddeel, dat nood-
zakelijk in deze groep optreedt: de rechte dn = Ai A2,
Noemen we de snijpunten dezer drie rechten met 0x2 achtereen-
volgens Cl, C2 en Zgt;i2, dan ligt er in (pi2 één kegelsnede c^
die door du tot een ontaarde kromme p^ wordt aangevuld.
Wentelt nu (piz om de rechte As A4, dan beschrijven de
kegelsneden, waarvan er in elk vlak 0i2 één ligt, het qua-
dratisch oppervlak, bepaald door ci, C2, As, Ai en een punt
van di2. Dit quadratisch oppervlak is dus tevens de meet-
kundige plaats der ontaarde krommen p^ dezer groep. Er
zijn er cc\\

Komt het punt Ai in het vlak (p2 te liggen, dan treffen
we een exemplaar van groep III aan. De kegelsnede raakt
dan in Ai aan den doorgang van het vlak AzCi. In den
stand, waarin het punt A2 in 0i valt, vinden we een exem-
plaar terug van groep IV. De kegelsnede raakt dan in A2
aan den doorgang van het vlak Ai C2. Deze twee exemplaren
ƒ3® bestaan elk uit een kegelsnede en de rechte di2.

Tot de groep IX behooren twee figuren p^, die uit drie
rechten zijn samengesteld.

Ten eerste vormt di2 met de transversaal ds door As over
Cl en C2 en de transversaal door Ai over dn en ds een in
drie rechten uiteengevallen kromme p^ der congruentie.

In de tweede plaats wordt een zoodanige ontaarde figuur
p^ gevormd door lt;^12, de transversaal di door over ci en C2
en de transversaal door A3 over di2 en di.

De beide laatste ontaarde figuren hebben we reeds achter-
eenvolgens in groep II en in groep I ontmoet.

We moeten nu nog onderzoeken, door welke figuur de
co\'i ontaarde krommen p^ dezer groep in het tafereel worden
vertegenwoordigd. De puntenreeksen (Ci) en (C2), die door
het wentelende vlak cpn op de rechten ci en ra worden in-
gesneden, zijn projectief, daar een willekeurig punt op ci
één vlak cpi2 bepaalt, dus één punt op ca en omgekeerd.
De stralen der beide waaiers (p) en (q) in a worden dus

ook in eene verwantschap (1, 1) gerangschikt; hun voort-
brengsel is eene kegelsnede tr^ die door P en Q gaat, maar
ook door de beide singuliere punten Ss en Si, omdat de
groep IX een exemplaar gemeen heeft met groep II en één
met groep I, namelijk in beide gevallen een uit drie rechten
bestaande figuur We kunnen deze kegelsnede dus voor-
stellen door (P Q Ss Si).

Hiermee zijn alle ontaarde figuren p^, die tot deze con-
gruentie behooren, aangewezen.

§ 4. Ons eerste doel zal nu zijn, na te gaan hoeveel uit
drie rechte bestaande figuren p^ deze congruentie bevat.

Tellen we de tot de negen in § 3 behandelde groepen
behoorende gevonden uit drie rechten bestaande figuren p^
samen, dan vinden we het getal 26. Dit is echter niet het
gezochte aantal. De ontworpen afbeelding zal uitwijzen, dat
we ze alle dubbel hebben geteld: er zyn er slechts dertien.

Het buiten P vallende snijpunt van den straal pt, die de
figuren van groep IV afbeeldt, met de kegelsnede tr^, die de
exemplaren van groep IX vertegenwoordigt, is het beeld van
de aan de groepen IV en IX gemeenschappelijke ontaarde
figuur, die uit een rechte en een kegelsnede bestaat, waarop
reeds gewezen werd.

Het buiten Q vallende snijpunt van den straal die de
figuren van groep III afbeeldt, met de kegelsnede a-^ is het
beeld van de aan de groepen III en IX gemeenschappelijke
ontaarde figuur, die uit een rechte en een kegelsnede bestaat;
deze werd ook reeds vermeld.

Andere dan deze twee niet uit drie rechten bestaande
ontaarde figuren p^ kunnen de negen groepen niet gemeen
hebben. De overige snijpunten der beeldfiguren onderling,
die gelegen zijn buiten de singuliere punten P en Q, wijzen
op het gemeenschappelijk bezit van uit drie rechten samen-
gestelde ontaarde figuren p^ der door die beeldfiguren ver-
tegenwoordigde groepen.

Het singuliere punt Sa ligt op de rechten pu en $24 en
op de kegelsnede ö-^. In Ss worden dus drie uit drie rechten

bestaande ontaarde krommen p^ afgebeeld, die bij de ver-
melding van het getal 26 dubbel geteld zijn.

Ook het singuliere punt Si vertegenwoordigt drie dubbel
getelde exemplaren wegens zijn ligging op de rechten pis en
j23 en op de kegelsnede a-^

Eindelijk vertegenwoordigen de snijpunten der lijnenparen
pi en qz, pi en 523, pi en qa, fiz en ^2, pu en 72, piamp; en qa
en Pu en 323 elk nog één dubbel geteld exemplaar.

We vinden met behulp der afbeelding dus derfden dubbel
gestelde exemplaren en daar er 26 geteld waren, zonder op
de gelijkheid te letten, bevat deze congruentie juist dertien
uit drie rechten bestaande figuren p^.

§ 5. Wij willen nu met behulp der afbeelding onderzoeken,
welk oppervlak gevormd wordt door alle krommen p^ der
congruentie, die op een gegeven rechte l rusten.

Door een punt Gi van de basisrechte ci gaan 001 krommen
p^ der [^a®], alle gelegen op den kegel K^ die door dit punt
Cl is bepaald. Deze kegel wordt door de rechte l in twee
punten gesneden. Deze twee punten bepalen elk een kegel
K\\, die met den kegel Kl een kromme p^ van de [/j®]
voortbrengt, die door Gi gaat en op l rust, terwijl deze
krommen p^ op de basisrechte C2 elk een punt bepalen.
Aan het punt Gi op ci zijn op deze wijze twee punten van
C2 toegevoegd.

Omgekeerd gaan door een punt Gt van C2 ook oo ^ krommen
p^ der [/3®], alle gelegen op den door C2 bepaalden kegel K\\,
die door l ook in twee punten gesneden wordt. Deze punten
bepalen weer twee kegels Kl, deze kegels twee krommen
der [/j^] en deze krommen snijden op ci twee aldus aan
Gi toegevoegde punten in.

De puntenreeksen (ft) en (C2) op ci en cz worden op deze
wijze in eene verwantschap (2, 2) gerangschikt, dus ook hunne
beeldrechten in het tafereel. Het voortbrengsel der beide
waaiers (p) en (g) is dus eene Jcromme van den vierden graad,
welke de waaiertoppen P en ^ tot dubbelpunten heeft.
In het vlak cpi ligt één kegelsnede, die op Z rust evenals

in het vlak (ps. De singuliere punten Si en Ss, welke de
ontaarde figuren p^ van groep I en groep II vertegenwoor-
digen, liggen dus ook op Al We kunnen deze kromme dus
voorstellen door (F^ Q^ Ss Si). Ook kan hier reeds op-
gemerkt worden, dat de kromme A^ die blijkbaar rationaal
moet zijn, haar derde dubbelpunt heeft in het beeldpunt van
die kromme p^ der congruentie, welke de gegeven rechte l
tot koorde heeft.

De kromme A^ (P^ Sä Sd is dus het beeld van het opper-
vlak A, dat de meetkundige plaats is van alle krommen p^
der congruentie, die op een gegeven rechte l rusten. We
willen nu van A den graad bepalen, door te onderzoeken,
in hoeveel punten een tweede rechte l\' dit oppervlak snijdt.

Het beeld van het oppervlak, dat gevormd wordt door
alle krommen p^ der [p^], die op l\' rusten, is een kromme
/ci^ {F\' ^^ Sa Si). Deze kromme snijdt Aquot; (P\' Q^ Sa Si) in
4X 4 =16 punten. Van deze vallen er2 X 2 X 2 2 X 1 = 10
in de vier singuliere punten, dus zes daarbuiten. Dit be-
teekent, dat er zes krommen p^ zijn, die zoowel op l als
op l\' rusten, dus dat het oppervlak A door de rechte l\' in
zes punten gesneden wordt. Het is dus een oppervlaJc van
den zesden graad, AJ\'.

Utt bovenstaande redeneering volgt tevens, dat de con-
gruentie zes hrommen p^ bevat, die op twee gegeven rechten

1nbsp;en l\' rusten.

Met behulp der afbeelding kunnen we ook nagaan, welke
rechte lijnen op het oppervlak A® gelegen zijn.

De krommen A\'\' (P^ Q\'^ Sa Si) en tr\'\'\' (P Q Sa Si) snijden elkaar
in 4X2 = 8 punten. Hiervan vallen er 4 in P en ^ en

2nbsp;in Sa en Si] dus ze hebben twee niet-singuliere punten
gemeen, waaruit volgt, dat er twee tot groep IX behoorende
ontaarde figuren p^ op A® liggen, dat wil dus zeggen twee
kegelsneden dezer groep, zoodat di2 duhhelrechte is.

Omdat door elk punt van ci en ook van ce twee krommen
p^ der gaan, die op l rusten, zijn ook ci en C2 duhhel-
rechten op A®.

De rechten d^i, dza, du en dia zijn enkelvoudige rechten

op A^ omdat x^ (P^ Q^ Ss Si) de stralen q2i, qzs, pu en pis
buiten de singuliere punten elk in één punt snijdt.

De rechten di en da liggen enJcelvoudig op A®, omdat A^
(P2 Q^ S3 Si) de punten Si en Ss bevat.

Verder bevat A® van elk der beide waaiers (li C2) en
{A2 Cl) twee stralen, omdat A4 (P^ Q^ Sa Si) de beeldrechteni^i
en elk in twee punten buiten de singuliere punten snijdt.

Eindelijk ligt de rechte l op A®.

De kromme p^, van welke l koorde is, is dubhelJcromme op A®.

Op het oppervlak A® liggen dus drie dubhelrechten, elf
enkelvoudige rechten, en één dubbelkromme p^. Hieruit volgt,
dat er op A® ook gelegen zijn twaalf kegelsneden, waarvan er
tien met elk der enkelvoudige rechten — de rechte l niet
medegerekend — en twee met de dubbelrechte dn ontaarde
figuren p^ vormen.

Ter controleering van den graad van de doorsnede van twee
oppervlakken A®, behoorende bij de rechten l en l\', kunnen
we opmerken, dat ze gemeen hebben: de zes krommen p\'^,
die op l en op l\' rusten, de drie dubbelrechten en zes van
de enkelvoudige rechten. De twee maal twee stralen der beide
waaiers {A\\ C2) en {A2 ci) verschillen namelijk bij verschillende
oppervlakken A. De doorsnede van twee zoodanige opper-
vlakken is dus van den graad

6X3 3X4-f6 = 36.

Uit het bezit van twee niet-singuliere snijpunten der krommen
0-2 (P Q Sa Si) en A^ {P\' Q\' Sa Si) blijkt opnieuw, dat de meet-
kundige plaats der in groep IX optredende kegelsneden een
quadratisch oppervlak is: l snijdt dit blijkbaar in iwee punten,

§ 6. We willen liu gaan onderzoeken, welk oppervlak
gevormd wordt door alle krommen p^ der congruentie, die
aan een gegeven vlak (p raken.

Door een punt Ci van de basisrechte ci gaan 00 ^ krommen
p^ der [p\\ gelegen op den door dit punt Ci bepaalden kegel
Z|. Een willekeurig vlak cp snijdt dezen kegel volgens een
kegelsnede kl, welke gaat door de doorgangspunten van de
basisrechten c-i, dn, (^23 en d2i met cp. Een willekeurige kegel

Zf snijdt ó volgens een kegelsnede h\\, die gaat door de door-
gangspunten van de basisrechten ci, da, du en du met 0.
Het snijpunt van di2 met cp hebben de kegelsneden dus gemeen.

De kegels Kf en snijden elkaar volgens de rechte dis
en een kromme p^ der [p% die het vlak cp snijdt in de drie
niet op di2 gelegen snijpunten van de kegelsneden kf en h\\.

De kegelsneden T^^, in (p bepaald door alle kegels Kf, vormen
een bundel met als basispunten de vier genoemde doorgangs-
punten van de rechten ci, di2, dis en du met (p, waarvan di2
dus tevens hl snijdt. De drie andere snijpunten van een
kegelsnede hl met de vaste kegelsnede h\\ zijn veranderlijk;
de exemplaren van den bundel (^J) bepalen dus op h^ een
kubische involutie P. Deze heeft vier dubbelpunten; het komt
dus vier keer voor, dat de kegelsnede h\\ geraaht wordt door
een exemplaar van den bundel

Telkens echter als één der kegelsneden van den bundel
UP de vaste kegelsnede h\\ raakt, raakt de kromme p^ der
die met di2 de doorsnede vormt van den gegeven kegel
Kl met den kegel iTf, welker snijkromme h\\ met cp aan hl
raakt, aan het vlak cp. Dit laatste heeft dus vier keer plaats.
Er zijn dus vier kegels Kf, die met den gegeven kegel kI
een aan het gegeven vlak cp rakende kromme p^ der [/j®]
voortbrengen.

Deze vier aan cp rakende krommen p^ bepalen op de basis-
rechte C2 vier punten, welke dus aan het op ci gekozen punt
Cl zijn toegevoegd.

Op dezelfde manier kunnen we beredeneeren, dat er vier
kegels in den bundel (Kl) gevonden worden, die met een
gegeven kegel Kf een aan cp rakende kromme p^ der
voortbrengen, dus dat er op de basisrechte ci vier punten zijn,
die in dit verband aan een op cs gegeven punt Ca zijn toegevoegd.

De puntenreeksen (Ci) en (C2) op ci en C2 worden dus op
deze wijze gerangschikt in eene verwantschap (4, 4) dus ook
hunne beeldrechten in het tafereel, de stralen der beide waaiers
(p) en (g). De beide waaiers brengen dus een kromme van
den achtsten graad, cp®, voort, welke kromme de waaiertoppen
■P en ^ tot viervoudige punten heeft.

Twee exemplaren van den bundel kegelsneden, in het vlak
cpi gelegen, raken aan de snijlijn van het gegeven vlak (p
met cp4, dus aan cpi. Evenzoo liggen er in het vlak cps twee
aan lt;p rakende kegelsneden. Van elk der groepen I en II be-
hooren dus twee ontaarde figuren p^ tot de gezochte, zoodat de
punten Si en S3 dubhélfunten van de kromme Cp^ zijn. We
kunnen deze dus aanduiden met cp^ (P^ Q^ /S|).

De gevonden kromme ($1® (P* Q*nbsp;is dus het beeld van

het oppervlak 4gt;, dat gevormd wordt door alle krommen p^
der [p^], die aan een gegeven vlak cp raken. Van dit opper-
vlak willen we nu den graad bepalen.

Daartoe bepalen we het aantal niet-singuliere snijpunten
der krommen cp^ (P\' Q\' SI Sf) en A\'\' (P^ Q\' Sa Si). Dit aantal
bedraagt 8 X 4 — 2 X 4 X 2 - 2 X 2 X 1 === 12, hetgeen be-
teekent, dat er twaalf krommen p^ zijn, die zoowel aan een
gegeven vlak cp raken als op een gegeven rechte l rusten.
Het oppervlak 4gt; wordt dus door l in twaalf punten gesneden;
het is dus een oppervlak van den twaalfden graad,

Dp beeldkrommen cj)® (P^ ^^nbsp;en t/;® (P^nbsp;van

twee oppervlakken en behoorende bij de vlakken
Ó en 1//, snijden elkaar in 8X8—2X4X4—2X2X2 = 24
niet-singuliere punten. Hieruit leiden wij af, dat er vier en
twintig krommen p^ der zijn, die aan twee gegeven vlakken
cp en \\p, raken.

Op dezelfde wijze als dat geschied is voor het oppervlak
A^ willen we onderzoeken, welke rechten er op het opper-
vlak gelegen zijn.

De krommen cp^ iP\'Q^ ^^ S^^ en lt;T^{PQSaSi) hebben
8 X 2 = 16 punten gemeen, waarvan er2X4-|-2X2=:12
singulier zijn. De vier niet-singuliere punten wijzen op vier
ontaarde figuren p^ van groep IX, die op het oppervlak
liggen, dat wil zeggen vier kegelsneden en de rechte dn
viervoudig.

Omdat door elk punt van ci en ook van c^ vier aan cp
rakende krommen /j® der [/s®] gaan, zijn de rechten ci en 02
op viervoudige rechten.

Omdat de kromme cp^ (P^ Q^ Sj de singuliere punten

en Si tot dubbelpunten heeft en de stralen pi3, pu, q^s
en 524 elk in twee niet-singuliere punten snijdt, zijn ds, di,
dn, d\\i, diz en d2i dubhelrechten van

Wegens de vier niet-singuliere snijpunten van (P^ Q^ S^ ^Sf)
met Pi en met liggen er op (P^^ vier stralen van elk der
waaiers {Ai C2) en (A2 ci).

Op het oppervlak ^^^ liggen dus drie viervoudige rechten,
zes dubbelrechfen en acht enkelvoudige rechten. Er liggen dus
ook op vier en twintig kegelsneden, waarvan er acht met
elk der enkelvoudige rechten, twaalf met elk der dubhel-
rechten en vier met de viervoudige rechte 6^12 ontaarde figuren
vormen.nbsp;\\

Ter controleering van den graad van de doorsnede van
twee oppervlakken behoorende bij de vlakken cp en lt;p\',
kunnen we opmerken, dat ze gemeen hebben: de vier en
twintig krommen p^, die zoowel aan (p als aan cp\' raken,
drie viervoudige en zes dubhelrechten. Voor den graad van
de doorsnede van twee zoodanige oppervlakken vinden we dus:
24X3 3X16 6X4 = 144.

HOOFDSTUK III.

Tweede bijzondere geval van de eerste algemeene
congruentie van VenERONL

§ 1. Denken wij ons thans gegeven drie punten J.2, J.3
en drie rechten ci, C2, b, waarvan ci door Ai en ca doorga
gaat en beschouwen wij eens alle kubische ruimtekrommen
p^, die door de drie gegeven punten Ai, A2 en A3 gaan, de
gegeven rechten ci en ca nog eens snijden en de rechte b
tot koorde hebben. Deze krommen p^ vormen eene Ulineaire
congruentie, waarvan wij zullen bewijzen, dat zij als een
bijzonder geval van de in hoofdstuk I behandelde kan be-
schouwd worden. Noemen wij de transversalen door A3
over Cl en h, door A3 over ca en h, door Ai over ca en b
en door A2 over ci en h achtereenvolgens di3, d23, d2i en
di2, dan vormen de vierzijden ci, b, dn, dis en ca, b, d2i, d23
de bases van twee bundels quadratische oppervlakken
ennbsp;Elk oppervlak geeft nu met elk oppervlak

eene doorsnede, die bestaat uit de rechte h en een kubische
ruimtekromme, die gaat door de punten Ai, A2, A3 en die
de rechte b, dus ook de rechten ci en ca, tot koorde heeft.
De beide bundels brengen dus inderdaad de bovenbedoelde
[p^] voort, waarmee tevens is aangetoond, dat ze bilineair is.

§ 2. We zullen weer beginnen met van deze congruentie
eene afbeelding op het platte vlak tot stand te brengen.

Door een punt van de basisribbe ci van den bundel (4gt;f)
gaat één oppervlak dus draagt dit punt 00 ^ krommen p^
der congruentie, alle gelegen op dit oppervlak 4gt;| en met de
gemeenschappelijke basisribbe b de doorsneden vormend van
4gt;2 met de exemplaren van den bundel

Evenzoo draagt een punt van de basisribbe cz van den
bundel i^l) één oppervlak cpf, dus co^ krommender [p^].

Door twee punten Ci en Gz van de basisribben en C2
gaat dus één kromme p^ der [/j®], namelijk die kromme p\\
welke met b de doorsnede vormt van het door Ci bepaalde
oppervlak en het door C2 bepaalde oppervlak Worden
nu de puntenreeksen (Ci) en (Cs) in projectief verband ge-
bracht met de stralen van twee waaiers [p) en (q), gelegen
in een plat vlak dat we als beeldvlak of tafereel kiezen,
dan wordt elke kromme /j® der [/^^J afgebeeld in een punt
van cc: het snijpunt der aan de punten Ci en (72vancienc2
toegevoegde stralen p en q, terwijl omgekeerd elk punt van
snijpunt is van één straal p en één straal q, dus één punt
Cl op Cl en één punt C2 op C2, dus één oppervlak en
één oppervlak dus één kromme p^ der [/j®] bepaalt,
althans in het algemeen. Er is één punt Bi op ci, waaraan
is toegevoegd de lijn P Q, die de toppen P en ^ der waaiers
[p) en iq) verbindt. De co^ krommen p^, welke door Bx
gaan, hebben alle hun beeld in Q. Evenzoo is er één punt
Bi op C2, dat tot beeld heeft de lijn QP, nu beschouwd als
straal van den waaier iq). De 00 ^ krommen /j®, welke door
Bi gaan, hebben alle hun beeld in P.

Het exemplaar van de congruentie, dal door Bi en B2
gaat, wordt afgebeeld in elk punt van de lijn P Q.

De punten P qïi Q zijn singuliere punten in de afbeelding.
Zij vertegenwoordigen elk 00 ^ krommen p^ der congruentie.

§ 3. Ons eerste werk zal zijn, te onderzoeken, welke de
beelden zijn van de ontaarde figuren /j®, die zijn samengesteld
uit een rechte d en eene kegelsnede c^,- die op d rust en
tevens van die, welke uit drie rechten bestaan. Wij onder-
scheiden acht groepen dergelijke ontaarde figuren p^.

Groep I. Wij brengen een vlak (po door Ai, A2 en Aa.
De gemeenschappelijke basisribbe b moge dit vlak in Bo
snijden. Eene ontaarde figuur p-^ bestaat uit een kegelsnede
^^ in cpo en een transversaal van de rechten ci, 02 en b, die
op c^ rust. De punten Ai, A2, As en i?o zijn de basispunten

van een bundel kegelsneden (c^). De transversalen van ci,
C2 en amp; vormen een hyperboloïde, die 0o volgens eene kegel-
snede h^ snijdt, welke gaat door Ai, A2 en Bo en dus ieder
exemplaar van den bundel (c^) nog in een vierde punt
snijdt; aan elke kegelsnede c^ van den bundel is één door
dit vierde snijpunt met hquot; gaande transversaal t van ci, C2
en h toegevoegd, die met c^ een ontaarde figuur p^ der
vormt, maar ook omgekeerd: elke transversaal t van ci, d
en h bepaalt in (po een punt, waardoor één exemplaar van
den bundel (c^) gaat, die t tot een ontaarde figuur p^ aan-
vult. Deze groep telt dus co^ uit een kegelsnede en een
rechte bestaande figuren p^.

Tot den kegelsnedenbundel behooren drie ontaarde krommen
c^ dus tot deze groep drie uit drie rechten samengestelde
figuren p^.

De ontaarde figuren p^ en wel de lineaire bestanddeelen
daarvan bepalen op ci en C2 twee projectieve puntenreeksen.
De stralen der waaiers ip) en iq), die deze reeksen in het
tafereel afbeelden, zijn dus ook projectief; hun voortbrengsel
is dus eene kegelsnede cr^, zoodat deze de beeldfiguur is van
alle tot deze groep behoorende ontaarde figuren p^ der [,0®].

Groep II. Wij brengen een vlak 0s door de rechte b en
het punt As. De rechte ci moge dit vlak in Di, de rechte
Cs in D2 snijden.

Het lineaire bestanddeel der tot deze groep behoorende
ontaarde figuren p^ is de rechte Ai A2, welker snijpunt met
cps we Da zullen noemen.

In (pa ligt een bundel kegelsneden (c^) met basispunten Ja,
Dl, D2 en Di. Elk exemplaar van dezen bundel vormt met
de rechte da = Ai A2 een ontaarde figuur p^, zoodat er 001
ontaarde figuren p^ tot deze groep behooren.
- Daar in den bundel (c^) drie uit twee rechten bestaande
krommen c^ voorkomen zijn er ook drie uit drie rechten
bestaande figuren p^ in deze groep.

Het punt Dl op ci heeft tot beeld een straal p in a, het
punt D2 op C2 een straal q. Het snijpunt S dezer twee
stralen beeldt dus alle ontaarde figuren p^ dezer groep

af en is mitsdien een singulier punt van de afbeelding.

Eén der uit drie rechten bestaande ontaarde figuren bezit
tot bestanddeel de rechte Dy Bz in ($3, die dus tevens op h
rust. Deze figuur komt dus ook in groep I voor, zoodat het
punt S op de kegelsnede ligt. Daar deze ook door de
punten P en ^ gaat kunnen we haar voorstellen door
(PQS).

Groep III. We brengen een vlak lt;$2 door de rechte ci en
en het punt Aa. De rechte C2 moge dit vlak in U2, de rechte
b in -Si snijden. In Ó2 ligt een bundel kegelsneden (c\'O met
basispunten Au Aa, U2 en Si. Elk exemplaar van dezen
bundel bepaalt een straal van den waaier (A2 b), die er op
rust en er een ontaarde figuur p\'^ mee vormt. Er zijn dus 00 ^
uit een kegelsnede en een rechte bestaande figuren p^ in
deze groep.

In den bundel (c^) komen drie ontaarde kegelsneden voor,
dus vinden we ook drie uit drie rechten samengestelde ont-
aarde krommen /j® in deze groep.

Het punt U2 op C2 draagt alle figuren p^, terwijl door elk
punt van a een kegelsnede, dus een ontaarde figuur /j® gaat.
Het beeld van U2 is een straal qi van den waaier (j); het
beeld van alle punten van ci is de waaier (p), dus het beeld
van de oo^ ontaarde figuren p^ dezer groep is de straal qi.

Groep IV. We brengen een vlak cpi door de rechte ca en
het punt Aa. Dit vlak moge door de rechte Ci in Ui en
door de rechte b in S2 gesneden worden.

In cpi ligt een bundel kegelsneden (c®) met basispunten
Az, Aa, Ui en Elk exemplaar van dezen bundel bepaalt
een straal van den waaier Ui b), die er op rust en er een
ontaarde figuur p^ mee vormt. Er zijn dus co^ uit een
kegelsnede en een rechte bestaande figuren p^ in deze groep.

In den bundel (r;®) komen drie ontaarde kegelsneden voor,
dus vinden we ook drie uit drie rechten samengestelde ont-
aarde figuren p^ in deze groep.

Het punt Ui op ci draagt alle figuren p^, terwijl door elk
punt op C2 een kegelsnede, dus een ontaarde figuur p^ gaat.
Het beeld van Ui is een straal pi van den waaier {p) ; het

beeld van alle punten van ct is de waaier (g\'), dus het beeld
van de oo^ ontaarde figuren f dezer groep is de straal pi.

Groep V. We brengen een vlak (p2i, door de rechte C2 en
het punt Ji. De rechte 6 moge (p2i in JB2 snijden.

Het lineaire bestanddeel der ontaarde figuren p^ dezer groep
is de transversaal dia door J3 over ci en b, welke het vlak
021 in C2 moge snijden.

In 021 ligt een bundel kegelsneden (c^) met basispunten
Al, A2, B2 en O2. Elk exemplaar van dezen bundel wordt
door di3 tot een ontaarde figuur p^ aangevuld. Er zijn er
dus 00 ^

Wegens de drie uit twee rechten bestaande kegelsneden,
die tot den bundel (c^) behooren, komen er ook drie uit drie
rechten gevormde ontaarde figuren p^ in deze groep voor.

De figuren dezer groep gaan alle door het vaste punt Di
op de rechte ci terwijl door elk punt van de rechte C2 een
exemplaar gaat. Hieruit volgt, dat alle figuren dezer groep
afgebeeld worden in den straal p2, welke het beeld is van
het punt Dl op ci.

Groep VI. We brengen een vlak 0i2 door de rechte ci
en het punt A2. De rechte b moge 0i2 in Bi snijden.

Het lineaire bestanddeel der ontaarde figuren p^ dezer groep
is de transversaal d23 door Ag over C2 en b, welke het vlak
012 in Cl moge snijden.

In 012 ligt een bundel kegelsneden (c^) met basispunten
Al, A2, Bi en Cu Elk exemplaar van dezen bundel wordt
door dzs tot een ontaarde figuur p^ aangevuld. Er zijn er
dus 00^

Wegens de drie uit twee rechten bestaande kegelsneden,
die tot den bundel (c\'0 behooren, komen er ook drie uit drie
rechten gevormde ontaarde figuren p^ in deze groep voor.

De figuren dezer groep gaan alle door het vaste punt D2
op de rechte C2, terwijl door elk punt van de rechte ci een
exemplaar gaat. Hieruit volgt, dat alle figuren dezer groep
afgebeeld worden in den straal ^2, welke het beeld is van
het punt D2 op 02.

Groep VIL We beschouwen den vlakkenbundel (^ig) door

de punten Ai en A3. De rechte C2 moge de exemplaren van
dezen bundel in het veranderlijke punt Y2, de rechte b in
het veranderlijke punt Z2 snijden.

Het lineaire bestanddeel der ontaarde figuren p^ dezer groep
is de transversaal di2 door A2 over ci en b. Zij trad reeds
op in groep VI, waar zij b in Bi sneed. Noemen we verder
T2 haar snijpunt met ci en X2 haar veranderlijk snijpunt
met de exemplaren van (^la).

In elk vlak (pis ligt nu één kegelsnede door de vijf
punten Ai, As, X2, Y2 en Z2 bepaald. Er zijn dus gqi ont-
aarde figuren p^ in deze groep.

Er is één transversaal door Ai over C2 en b en één trans-
versaal door As over deze eerste transversaal en di2, welk
drietal rechten een tot deze groep behoorende ontaarde figuur
p^ vormt. Verwisselen we de rollen van Ai en As, dan
vinden we nog zoo\'n figuur. Tot deze groep behooren dus
twee uit drie rechten bestaande ontaarde figuren p^.

Het punt Ts op ci draagt alle figuren dezer groep, terwijl
door elk punt van de rechte C2 een exemplaar gaat. Hieruit
volgt, dat alle figuren dezer groep afgebeeld worden in den
straal welke het beeld is van het punt T2 op ci.

Groep VIII. We beschouwen den vlakkenbundel (^23) door
de punten A2 en As. De rechte ci moge de exemplaren van
dezen bundel in het veranderlijke punt Fi, de rechte b in
het veranderlijke punt Zi snijden.

Het lineaire bestanddeel der ontaarde figuren p^ dezer
groep is de transversaal dii door Ai over ca en b. Zij trad
reeds op in groep V, waar zij b in B2 sneed. Noemen we
verder Ti haar snijpunt met ca en Xi haar veranderlijk
snijpunt met de exemplaren van {(p2s).

In elk vlak (p2s Hgt nu één kegelsnede door de vijf
punten A2, As, Xi, Yi en Zi bepaald. Er zijn dus 001 ont-
aarde figuren /j® in deze groep.

Er is één transversaal door A2 over ci en b en één trans-
versaal door As over deze eerste transversaal en d2i, welk
drietal rechten een tot deze groep behoorende ontaarde figuur
p^ vormt. Verwisselen we de rollen van A2 en As, dan

vinden we nog zoo\'n figuur. Tot deze groep behooren dus
tvsree uit drie rechten bestaande ontaarde figuren p^.

Het punt Tl op cz draagt alle figuren dezer groep, terwijl
door elk punt van de rechte ci een exemplaar gaat. Hieruit
volgt, dat alle figuren dezer groep afgebeeld worden in den
straal welke het beeld is van het punt Ti op cz.

Hiermee zijn alle ontaarde figuren p\'^, die tot deze con-
gruentie behooren, aangewezen.

§ 4. We willen nu nagaan, hoeveel uit de drie rechten
bestaande figuren p^ deze congruentie bevat.

Tellen we de tot de acht in § 3 behandelde groepen ge-
vonden uit drie rechten bestaande figuren p^ samen, dan
vinden we het getal 22. Dit is echter niet het gezochte
aantal. De ontworpen afbeelding zal ook hier uitwijzen, dat
we ze alle dubbel hebben geteld: er zyn er slechts elf.

Het wentelende vlak in groep VII komt eenmaal in den
stand Al Ai As en eenmaal in den stand ci Jg. Hieruit volgt,
dat het niet-singuliere snijpunt van fs met de kegelsnede cr^
en dat met den straal qi wijzen op een aan de groepen VII
en I en ook een aan de groepen VII en Hl gemeenschappelijk
exemplaar, dat uit een kegelsnede en een rechte bestaat.

Het wentelende vlak in groep VIII komt eenmaal in den
stand Al A^As en eenmaal in den stand 02^3. Hieruit volgt,
dat het niet-singuliere snijpunt in de afbeelding van qs met
de kegelsnede (t^ en dat met den straal pi wijzen op een aan
de groepen VIII en I en ook een aan de groepen VIII en IV
gemeenschappelijk exemplaar, dat uit een kegelsnede en een
rechte bestaat.

Andere dan deze vier niet uit drie rechten bestaande ont-
aarde figuren p^ kunnen de acht groepen niet gemeen hebben.
De overige snijpunten der beeldfiguren onderling, die gelegen
zijn buiten de singuliere punten P en Q, wijzen dus op het
gemeenschappelijk bezit van uit drie rechten samengestelde
ontaarde figuren p^ der door die beeldfiguren vertegenwoor-
digde groepen.

Het singuliere punt 8 ligt op de kegelsnede de rechte
fi en de rechte qz. In S worden dus drie uit drie rechten

bestaande figuren p^ afgebeeld, die bij de vermelding van
het getal 22 dubbel geteld zijn.

De snijpunten der lijnenparen pi en qi, pi en p2 en qi,
Pi en qs, ps en ps en qa en ook de snijpunten der stralen
pi en met de kegelsnede (t^ vertegenwoordigen elk één
dubbel geteld exemplaar.

We vinden met behulp der afbeelding dus elf dubbel ge-
telde exemplaren en daar er 22 geteld waren, zonder op de
gelijkheid te letten, bevat deze congruentie juist elf uit drie
rechten bestaande figuren p°.

§ 5. Als eerste toepassing van de ontworpen afbeelding
willen we eens onderzoeken, welke figuur in het beeldvlak a
het oppervlak vertegenwoordigt, dat gevormd wordt door alle
krommen p^ der congruentie, die door een vast punt B van
de gemeenschappelijke basisrechte h gaan. Er gaan door B 001
krommen p^, die ieder met b de doorsnede vormen van een
oppervlak met het oppervlak dat in B raakt. Het
punt B is dan dubbelpunt hunner doorsnede, zoodat het
kubische bestanddeel hiervan door B moet gaan. Er zijn
00 1 paren elkaar in B rakende oppervlakken en 4gt;|, dus
ook 001 krommen p^, die door B gaan.

Door een punt Ci van de basisrechte ci en het punt B
van b gaat één kromme p^ der want Ci bepaalt één
oppervlak lt;fgt;| dat in B maar door één oppervlak 4)® geraakt
wordt. Deze kromme bepaalt op de basisrechte 02 één punt.

Evenzoo gaat door een punt C2 van cz en het punt B
van b maar één kromme p\' der die op a één punt
bepaalt.

Aan elk punt van ci is op die wijze één punt van C2 toe-
gevoegd en omgekeerd. De puntenreeksen (Cj) en {G2) zijn
dus projectief, dus ook de overeenkomstige waaiers in
Het voortbrengsel van de waaiers {p) en (3) is dus eene kegel-
snede gaande door de waaiertoppen P en Q.

In het vlak cps ligt één kegelsnede, die door B gaat, dus
die met de rechte ds een door dit punt gaande figuur p^
vormt. Hieruit volgt, dat het singuliere punt S op ligt.

De kromme (P Q S) is dus het beeld van het oppervlak,
dat gevormd virordt door alle krommen p^ der die door
een vast punt B van amp; gaan.

Een nader onderzoek van dit oppervlak kan hier nog niet
plaats hebben. Het zal geschieden in § 7.

§ 6. Het onderzoek naar het oppervlak, dat gevormd
wordt door alle krommen p^ der congruentie, die op een
gegeven rechte l rusten, is nu aan de beurt.

Door een punt Ci van de basisrechte ci gaan oo ^ krommen
p^ der alle gelegen op het oppervlak dat door dit
punt Cl is bepaald. Dit oppervlak wordt door de rechte l
in twee punten gesneden. Deze twee punten bepalen elk
een oppervlak dat met het oppervlak een kromme p^
van de [p^ voortbrengt, die door Ci gaat en op l rust,
terwijl deze krommen p^ op de basisrechte C2 elk een punt
bepalen. Aan het punt Ci op ci zijn op deze wijze twee
punten van c^ toegevoegd.

Omgekeerd gaan door een punt Cs van C2 ook 001 krommen
p^ der alle gelegen op het door C2 bepaalde oppervlak
4gt;f, dat door l ook weer in twee punten gesneden wordt.
Deze punten bepalen weer twee oppervlakken deze opper-
vlakken twee krommen p^ der [p^] en deze krommen snijden
op Cl twee aldus aan C2 toegevoegde punten in.

De puntenreeksen (Ci) en (Ci) op ci en c^ worden op deze
wijze in eene verwantschap (2, 2) gerangschikt, dus ook hunne
beeldrechten in het tafereel.. Het voortbrengsel der beide
waaiers (jo) en (q) is dus een kromme van den vierden graad,
aS welke de waaiertoppen P en Q tot dubbelpunten heeft.

In het vlak 03 ligt één kegelsnede, die op l rust, dus ligt
het singuliere punt S op A^ Deze rationale kromme kunnen
we dus voorstellen door Aquot;\' (P^ Q^ S).

Zij heeft haar derde dubbelpunt in het beeldpunt van die
kromme p^ der congruentie, welke de gegeven rechte l tot
koorde heeft.

De kromme A^ (P^ Q^ S) is dus het beeld van het opper-
vlak A, dat gevormd wordt door alle krommen p^ der [/j^],

die op een gegeven lijn l rusten. We willen nu van A den
graad bepalen, door na te gaan, in hoeveel punten een tweede
rechte l\' dit oppervlak snijdt.

Het beeld van het oppervlak, dat gevormd wordt door alle
krommen p^ der [p^], die op l\' rusten, is een kromme (P^ Q^ 8).
Deze kromme snijdt Aquot;* {P\'^ Q^ 8) in 4X4 = 16 punten. Van
deze vallen er 2X2X2 1X1 = 9 in de drie singuliere
punten, dus zeven daarbuiten. Dit beteekent, dat er zeven
krommen p^ zijn, die zoowel op l als op l\' rusten, dus dat
het oppervlak A door de rechte l\' in zeven punten gesneden
wordt. Het is dus een oppervlak van den zevenden graad, AJ.

We hebben hier tevens gevonden, dat de congruentie zeven
krommen p^ bevat, die op üvee gegeven rechten l en l\' rusten.

Met behulp der afbeelding kunnen we ook nagaan, welke
rechten er op het oppervlak A\'\' gelegen zijn.

De krommen Aquot;^ (P^ Q^ S) en (P Q 8) snijden elkaar in
4X2 = 8 punten, waarvan er 2 2 1 = 5 in de singu-
liere punten vallen, dus drie daarbuiten, waaruit volgt, dat
er drie tot groep I behoorende ontaarde figuren op A^
liggen, dat wil dus zeggen drie kegelsneden en drie trans-
versalen van Cl, C2 en h.

Het singuliere punt 8 ligt op A^ (P^ Qquot;^ 8), dus ligt de rechte
ds enkelvoudig op A^.

De stralen pz en q^ worden elk door Aquot;* (P^ g« 8) in één
niet-singulier punt gesneden. Hieruit besluiten wij, dat de
rechten dn en dzs ook enkelvoudig op AJ liggen.

De stralen pi en qi worden elk door A^ (P^ Q^ 8) in twee
niet-singuliere punten gesneden. Hieruit leiden wij af, dat
op A^ van elk der waaiers Ui h) en (As h) twee stralen liggen.

Omdat door elk punt van ci en ook van C2 twee krommen
P^ der [jfl®] gaan, die op l rusten, zijn ci en C2 dublelrechten
op Al

Omdat de stralen ps en qs ieder door A^ (P^ Q^ 8) in twee
niet-singuliere punten gesneden worden, zijn de rechten diz
en dii duhhelrechten op A\'\'.

Ook de rechte l ligt op A^, terwijl de kromme p^, van
welke l koorde is, dubbelkromme is op A\'\'.

De rechte h verdient afzonderlijke vermelding. Zij is namelijk
een drievoudige rechte op A\'^. Immers de krommen A^ (P^ Q^ S)
en ß^iFQS) snijden elkaar in 8 — 2 — 2 — 1 = 3 niet-
singuliere punten, hetgeen beteekent, dat er drie krommen
p^ der congruentie zijn, die door een Mrillekeurig punt B van
h gaan en tevens op l rusten. Maar het beteekent nog meer;
er volgt uit, dat alle krommen p^ der [p% die door een ge-
geven punt B van b gaan, op een Jcubisch oppervlak zijn
gelegen.

Op A\'\' liggen dus vier duhbelrechten, elf enkelvoudige rechten,
één dubbelkromme p^ en één drievoudige rechte. Ook liggen
op A^ veertien kegelsneden, v^^aarvan er tien met elk der
enkelvoudige rechten — de rechte l niet medegerekend —
en vier met de beide duhbelrechten dn en dn ontaarde
figuren /j® vormen.

Ter controleering van den graad van de doorsnede van
tv^ree oppervlakken A^ behoorende bij de rechten l en l\',
kunnen vire opmerken, dat ze gemeen hebben: de zeven
krommen p^, die op l en l\' rusten, drie enkelvoudige rechten,
namelijk dz, dn en dzz, de vier duhbelrechten en de drie-
voudige rechte b. Hunne doorsnede is dus van den graad
7X3 3Xl 4X4-f 9 = 49.

Uit het bezit van twee niet-singuliere snijpunten van de
kromme A^ (P^ Q^ S) en elk der beide stralen pz en gs volgt,
dat de meetkundige plaats der in groep VII en ook die der
in groep VIII optredende kegelsneden een quadratisch opper-
vlak is: l snijdt dit blijkbaar in twee punten.

§ 7. Het in § 6 gevonden kubisch oppervlak, dat we B^
zullen noemen willen we nog even aan een kort onderzoek
onderwerpen.

-Het beeld van het oppervlak, gevormd door alle krommen
p^ der die door een gegeven punt D van b gaan, is een
kegelsnede (P Q S). Deze snijdt ß\' (P Q S) in 4 punten,
waarvan er maar één niet-singulier is. Hieruit blijkt opnieuw,\'
dat door twee op b gegeven punten B en I) slechts één
kromme p^ der [/j^] gaat en tevens, dat b een enkelvoudige

rechte op B^ is, evenals en cg, zooals uit de beschouwingen
in § 5 volgt.

De beeldkromme {P Q S) snijdt de stralen pz, qs, p, en g,
elk in één niet-singulier punt; de rechten di2 en dzi liggen
dus ook op B\\ alsmede van elk der waaiers Ui h) en U2 b)
één straal.

Uit de ligging van het singuliere punt S op ^^ {P Q S)
volgt, dat ook ds op B^ ligt, terwijl het eenige niet-singuliere
snijpunt der krommen (3^ (P Q 8) en «r^ (p q verraadt, dat
W één transversaal van ci, C2 en h bezit.

Op het oppervlak B^ liggen dus negen enkelvoudige rechten
en zes kegelsneden, welke de afbeelding ons veroorlooft, te
ontdekken.

Twee oppervlakken P®, behoorende bij de punten B en
B\\ hebben gemeen: de kromme /j®, die door B en B\' gaat
en de zes enkelvoudige rechten b, a, a, ds, di2 en dn.
Hunne doorsnede is dus van den graad

1X3 6X1 = 9.

§ 8. We willen er thans toe overgaan, te onderzoeken,
welk oppervlak gevormd wordt door alle krommen p^ der
congruentie, die aan een gegeven vlak (p raken.

Door een punt Ci van de basisrechte Ci gaan oo ^ krommen
p^ der [/j®], alle gelegen op het door dit punt Ci bepaalde
oppervlak Een willekeurig vlak 0 snijdt dit oppervlak
volgens een kegelsnede hl, welke gaat door de doorgangs-
punten van de basisrechten cg, b, dzi en d^s met 0. Een
willekeurig oppervlak snijdt 0 volgens een kegelsnede
die gaat door de doorgangspunten van de basisrechten
Cl, bi, di2 en dia met 0. Het snijpunt van b met 0 hebben
de kegelsneden dus gemeen.

De oppervlakken en lt;Pl snijden elkaar volgens de rechte
^ en een kromme p^ der [/j®], die het vlak 0 snijdt in de
drie niet op b gelegen snijpunten van de kegelsneden hf en /(;|.
De kegelsneden hf, in 0 bepaald door alle oppervlakken
01, vormen een bundel met als basispunten de vier genoemde
doorgangspunten van de rechten ci, b, dn en dia met 0,

waarvan b dus tevens h\\ snijdt. De drie andere snijpunten
van een kegelsnede lc\\ met de vaste kegelsnede zijn ver-
anderlijk; de exemplaren van den bundel bepalen dus
op ]c\\ een kubische involutie P. Deze heeft vier dubbel-
punten; het komt dus vier keer voor, dat de kegelsnede lc\\
geraakt wordt door een exemplaar van den bundel (^p.

Telkens echter als één der kegelsneden van den bundel
(^f) de vaste kegelsnede raakt, raakt de kromme p^ der
[p^], die met b de doorsnede vormt van het gegeven opper-
vlak met het oppervlak welker snijkromme met 0
aan raakt, aan het vlak 0. Dit laatste heeft dus vier
keer plaats. Er zijn dus vier oppervlakken die met het
gegeven oppervlak lt;lgt;l een aan het gegeven vlak 0 rakende
kromme p^ der [p^] voortbrengen.

Deze vier aan 0 rakende krommen p^ bepalen op de basis-
rechte C2 vier punten, welke dus aan het op ci gekozen punt
Cl zijn toegevoegd.

Op dezelfde manier kunnen we beredeneeren, dat er vier
oppervlakken in den bundel (lt;Igt;|) gevonden worden, die
met een gegeven oppervlak lt;lgt;f een aan 0 rakende kromme p^
der voortbrengen, dus dat er op de basisrechte ci vier
punten zijn, die in dit verband aan een op cz gegeven punt
C2 zijn toegevoegd.

De puntenreeksen (Ci) en (C2) op ci en ca worden dus op
deze wijze gerangschikt in eene verwantschap (4, 4) dus ook
hunne beeldrechten in het tafereel, de stralen der beide
waaiers (p) en (lt;?). De beide waaiers brengen dus eene kromme
van den achtsten graad, voort, welke kromme de waaier-
toppen P en Q tot viervoudige punten heeft.

Twee exemplaren van den bundel kegelsneden, in het vlak
03 gelegen, raken aan de snijlijn van het gegeven vlak 0
met 03, dus aan 03. Van groep II behooren dus twee ont-
aarde figuren p\' tot de gezochte, zoodat het punt S dubbel-
punt van de kromme 7® is. We kunnen deze dus aanduiden
met 78 (P* Q^ S\').

Deze kromme nu is het beeld van het oppervlak T, dat
gevormd wordt door alle krommen p^ der [/j^], die aan een

gegeven vlak 0 raken. Van dit oppervlak T willen we nu
den graad bepalen.

Daartoe bepalen we het aantal niet-singuliere snijpunten
der krommen (P\' Q\' S\') en Aquot; (P\' Q^ S). Dit aantal bedraagt
8X4-2X4X2-2X1 = 14, hetgeen beteekent, dat
er 14 krommen zijn, die zoowel aan een gegeven vlak cp
raken als op een gegeven rechte l rusten. Het oppervlak T
wordt dus door l in veertien punten gesneden; het is dus
een oppervlak van den veertienden graad,

De beeldkrommen (P^ Q\' S\') en ^^ (pi Qi g\') van twee
oppervlakken T^^ en A\'^ behoorende bij de vlakken 0 en
snijden elkaar in 8X8 — 2X4X4 — 2X2 = 28 niet-
singuliere punten. Hieruit leiden wij af, dat er acht en
twintig krommen p^ der [p^] zijn, die aan twee gegeven vlakken,
lt;p en \\p, raken.

Ons rest nu nog het onderzoek naar de rechten en kegel-
sneden, die op het oppervlak gelegen zijn.

De krommen 78 (p4 Qi s^) en tr^ (P Q S) hebben 8X2 = 16
punten gemeen, waarvan er 2 X 4 -f 2 = 10 singulier zijn.
De zes niet-singuliere punten wijzen op zes ontaarde figuren
f® van groep I, die op T^^ liggen, dat wil zeggen zes kegel-
sneden en zes transversalén van ci, cs en b.

Het singuliere punt S is dubbelpunt van (P^ Q^ S^), dus
is da dubbelrechte op T^S

De stralen p^ en worden elk door (pi Qi squot;) in vier
niet-singuliere punten gesneden. Hieruit volgt, dat op F\'^
van elk der waaiers (Ai b) en {Az b) vier stralen liggen.

De stralen p2 en lt;72 worden elk door r® (P^ Q^ S^) in twee
niet-singuliere punten gesneden, waaruit we besluiten, dat

en dii duhhelrechten op F^^ zijn.
^ Omdat door elk punt van en ook van d vier krommen
P der gaan, die aan (p raken, zijn ci en C2 viervoudige
rechten op T^K

Omdat de stralen ps en g^ ieder door (P^ Q^ S^) in vier
niet-singuliere punten gesneden worden, zijn de rechten di2
en dii viervoudige rechten op F^^.
Ook de rechte b ligt op F\'^ en wel zesvoudig. Immers

de krommen y« (P^ Q^ S^) en ß^ (P Q S) snijden elkaar in
16 — 2X4 — 2 = 6 niet-singuliere punten, hetgeen beteekent,
dat er zes krommen p^ der zijn, die door een willekeurig
punt B van b gaan en tevens aan cp raken. Daar er nu
door elh punt van b zes aan (p rakende krommen p^ gaan,
is b zesvoudige rechte op F^^

Op r^^ liggen dus veertien enhelvoudige rechten, drie duhbel-
rechten, vier viervoudige rechten en één zesvoudige rechte.

Verder liggen er op F\'^ acht en twintig kegelsneden, wdiOv-
van er veertien met elk der enkelvoudige rechten, zes met
de drie duhbelrechten en acht met de beide viervoudige
rechten dn en lt;^21 ontaarde figuren p^ vormen.

Ter controleering van den graad van de doorsnede van
twee oppervlakken behoorende bij de vlakken 0 en 0\',
kunnen we opmerken, dat ze gemeen hebben: de acht en
twintig krommen p^, die aan 0 en 0\' raken, de drie duhbel-
rechten, de vier viervoudige rechten en de zesvoudige rechte b.
Hunne doorsnede is dus van den graad

28X3 3X4 4X 16 36 = 196.

HOOFDSTUK IV.

Dc congruentie van Reye,

§ 1. Eene kubische ruimtekromme is bepaald door zes
willekeurig in de ruimte gegeven punten. Liggen er vier
van de zes punten in één plat vlak, dan ontaardt de kromme
in een kegelsnede door die vier punten en het doorgangs-
punt van de verbindingslijn der beide andere punten met
dat vlak en deze rechte. Liggen viff van de zes gegeven
punten in één vlak, dan vormt elke rechte, die door het
zesde punt gaat en op de kegelsnede rust, die door de vijf
andere punten is bepaald, met die kegelsnede een ontaarde
kubische ruimtekromme. Er gaan dan oo^ figuren door de
zes gegeven punten. De meetkundige plaats der lineaire
bestanddeelen is de quadratische kegel met dat zesde punt
tot top en de genoemde kegelsnede tot richtkromme.

Door w^/gegeven punten gaan oo2 kubische ruimtekrommen;
deze vormen dus eene congruentie. Immers door een wille-
keurig zesde punt gaat één kromme. Op die kromme liggen
go\' punten en daar de ruimte uit 00^ punten bestaat, gaan
er door die vijf gegeven punten 00^:001 = 002 kubische
ruimtekrommen.

Wij zullen nu de congruentie van REYE, welke bestaat
liit alle kubische ruimtekrommen die door vijf gegeven
punten gaan, beschouwen als voortbrengsel van twee bundels
quadratische kegels en

Noemen we de vijf gegeven punten Äi, Ä2, Äs, Äi, A.5
en kiezen we als basisribben van den bundel (K^) de rechten
Ä2, Al As, At Ai en Ai As en als basisribben van den
bundel (iC|) de rechten Jb Ai, As As, A2 Ai en Ai Aamp;, dan
is de doorsnede van eiken kegel Kj, met eiken kegel Kl

samengesteld uit de gemeenschappelijke basisribbe Ai A2 der
beide bundels en eene kubische ruimtekromme, die door de
vijf gegeven punten gaat. De beide bundels quadratische kegels
brengen dus de congruentie van Reye voort, die dus ook
als een bijzonder geval van de eerste algemeene congruentie
van Veneroni beschouwd kan worden en bijgevolg hüineair is.

Ook hier geldt de waarheid, dat een kromme p^ der con-
gruentie eiken kegel waarop ze niet ligt, in geen andere
punten kan snijden, dan welke gelegen zijn op de basisfiguur
van den bundel, waartoe K^ behoort; een zoodanige kromme
p^ snijdt dus K^ in de vijf punten Ai, A^, Aamp;, Ai en I5,
het snijpunt, dat in den top valt, dubbel tellend.

§ 2. We willen van de congruentie van Reuk een af-
beelding op het puntenveld ontwerpen.

We kiezen twee vaste rechten ci en d. De kegels Kf
van den bundel (Zf) snijden op ci eene quadratische involutie If
in en de exemplaren van den bundel [K^ bepalen op C2 eene
quadratische involutie J|.

We nemen vervolgens een plat vlak « aan en brengen nu
de puntenparen van de involutie I\\ op ci in projectief ver-
band met de stralen van een waaier ip) met top P in het
vlak X.

Evenzoo leggen wij een projectief verband tusschen de
puntenparen van de involutie op C2 en de stralen van een
waaier (g) met top Q in

Een kegel K\\ en een kegel Kl brengen één kromme p^
der congruentie voort; de kegel K^ snijdt ci in een punten-
paar van de Ij, de kegel Kl snijdt C2 in een puntenpaar
van de Ij. Het snijpunt der stralen p en q, welke aan deze
twee puntenparen zijn toegevoegd, aanvaarden wij nu als beeld
van de door deze twee kegels Kj en Kj voortgebrachte
kromme p^ der [p^].

Deze afbeelding is één aan één. Elke kromme f® bepaalt
in « één punt, maar ook omgekeerd bepaalt elk punt in het
vlak.« één straal p en één straal g, dus één puntenpaar van
de II op Cl en één puntenpaar van de 7® op C2, dus één

kegel van elk der bundels, dus één kromme p^ van de con-
gruentie.

Er is één kromme p^ van de [/j®], die afgebeeld wordt door
ieder punt van de rechte ro, die de toppen P en Q der
beide waaiers verbindt.

De waaiertoppen P en Q zijn singuliere punten van de
afbeelding, want zij zijn de beelden van 00^ krommen
der [p%nbsp;^

P is het beeld van die 00 ^ krommen die gelegen zijn op
den kegel Kl, welke door den straal QP van den waaier
(?) wordt afgebeeld en Q is het beeld van die ooi krommen
die gelegen zijn op den door den straal P Q van den
waaier (p) afgebeelden kegel K^ Het zijn nu juist deze
beide kegels, welke de bovenbedoelde door alle punten van
\'quot;0 afgebeelde kromme p^ voortbrengen.

§ 3. We willen nu eerst weer onderzoeken, welke de
beelden zijn van de ontaarde figuren p^, die zijn samengesteld
quot;it een rechte d en eene kegelsnede t-^ die op d rust, als-
quot;^ede van die, welke uit drie rechten bestaan. Wij onder-
scheiden tien groepen ontaarde figuren p^.

Ontaarde figuren p^ kunnen dan en dan alleen in deze
congruentie voorkomen, als één der kegels K\\ of Kl ontaardt
in twee platte vlakken of als beide kegels dit doen, daar
twee niet-ontaarde kegels één en ook maar één beschrijvende
gemeen hebben. Een hier voorkomende kegel kan op drie
nianieren ontaarden.

De vlakken, waarin een kegel ontaarden kan, moeten door
^en top gaan. In den bundel (iTf) komen dus als ontaarde
«egels voor de vlakkenparen Ai Az A3 en Ai Ai A5, Ai A2 At
^nbsp;A5 en ten derde Ai A2 A5 en Ai As Ai. In den

öundel (Ki) komen als ontaarde kegels voor de vlakkenparen
2 Al As en A2 Ai J5, Az At Ai en A2 As A5 en ten derde

Ai As en Az As Ai.
Ontaardt slechts één der beide kegels in een vlakkenpaar,
^ IS hun voortbrengsel een uit een rechte d en een kegel-
snede c^ bestaande figuur p\'^; doen ze het beide, dan brengen

ze een uit drie rechten samengestelde figuur p^ voort of oo*
ontaarde figuren p^, waaronder drie uit drie rechten bestaande.
Dit laatste geval doet zich voor, als de vlakkenparen, waarin
twee kegels uiteen vallen, een gemeenschappelijk exemplaar
hebben. Het aantal vlakken, waarin bij deze congruentie
kegelsneden, als bestanddeelen van door de punten Ai, A2, As,
Ai en Aö gaande figuren p\\ kunnen liggen, bedraagt 0% = 10,
waarmee het aantal van tien groepen ontaarde figuren p^ is
verklaard. We zullen ze nu gaan bespreken.

Groep I. Wij beschouwen het vlak Ai A2 As. Ter be-
korting zullen we het vlak A^ A^ door en de rechte
Ay. Al door aanduiden. Het vlak Ai A2 As noemen we
dus 0123.

De rechte di^ moge 0123 in het punt Bin snijden. In 0i23
ligt een bundel kegelsneden (c^) met basispunten Ai, A2, As
en Bi5, waarvan elk exemplaar met de rechte di^ een ont-
aarde figuur p^ vormt. Er zijn dus 00 ^ ontaarde figuren p^
in deze groep.

De bundel (c^) bezit drie ontaarde kegelsneden. Er zijn
dus drie uit drie rechten bestaande figuren p^ in deze groep.

De figuren dezer groep worden voortgebracht door twee,
elk in twee vlakken uiteengevallen, kegels: 0i23, Öus en 02i3,
0245. Ze worden dus alle afgebeeld in één enkel punt, Si,
het snijpunt der beeldstralen p en q van de puntenparen
der involuties II en Ij, op ci en C2 door de vlakkenparen
ingesneden. Si is dus een singulier punt van de afbeelding.

Groep II. Wij beschouwen het vlak 0i24. De rechte dsb
moge dit in het punt Bsh snijden. In pm ligt een bundel kegel-
sneden (c®) met basispunten Ai, A2, Ai en Bss, waarvan elk
exemplaar met de rechte ds5 een ontaarde figuur p^ vormt.
Er zijn dus 00* ontaarde figuren p\'^ in deze groep.

De bundel (c^) bevat drie ontaarde kegelsneden. Er zijn
dus drie uit drie rechten bestaande figuren p^ in deze groep.

De figuren dezer groep worden voortgebracht door twee, elk
in twee vlakken uiteengevallen, kegels: 0i24, 0i35 en 02i4, 02S5.
Ze worden dus, evenals die van groep I, afgebeeld in een punt
82, hetwelk dus ook een singulier punt van de afbeelding is.

Groep III. Wij beschouwen het vlak 0i25. De rechte d-a
moge dit in het punt Ba snijden. In 0i25 ligt een bundel
kegelsneden (c^) met basispunten Ai, Az, en i?34, waarvan
elk exemplaar met de rechte dzi een ontaarde figuur p\'^ vormt.
Er zijn dus 001 ontaarde figuren p^ in deze groep.

De bundel (c^) bevat drie ontaarde kegelsneden. Er zijn
dus drie uit drie rechten bestaande figuren p^ in deze groep.

De figuren dezer groep worden voortgebracht door twee,
elk in twee vlakken uiteengevallen, kegels: 4)125, 0134 en 02i5,
0234. Ze worden dus afgebeeld in een punt .Ss, eveneens
een singulief)- punt van de afbeelding.

Groep IV. Wij beschouwen het vlak 0i34. De rechte 0(25
moge dit in het punt Bif, snijden. In 0,34 ligt een bundel
kegelsneden {c\'^) met basispunten Ai, As, Ai en B25, waar-
van elk exemplaar met de rechte c?25 een ontaarde figuur p^
vormt. Er zijn dus 00^ ontaarde figuren in deze groep.

De bundel (c^) bevat drie ontaarde kegelsneden. Er zijn
dus drie uit drie rechten bestaande figuren p^ in deze groep.

De figuren dezer groep worden voortgebracht door één, in
twee vlakken uiteengevallen, kegel Kf: 0i34, 0i25 en alle
kegels van den bundel {Kquot;^. Dat vlakkenpaar bepaalt op ci
een puntenpaar van de involutie 1% dat tot beeld heeft een
straal van den waaier {p). Deze straal is dusquot;het beeld
van alle ontaarde figuren p^ dezer groep.

Op den straal pi ligt het punt Ss omdat het vlakkenpaar
^134 , 0125 reeds in groep III optrad, zoodat één der exem-
plaren van groep III ook in groep IV voorkomt.

Groep V. Wij beschouwen het vlak 0i35. De rechte lt;^24
«loge dit in het punt Ba snijden. In 0i35 ligt een bundel
kegelsneden (c^) met basispunten Ai, As, A^ en P24, waarvan
elk exemplaar met de rechte dn een ontaarde figuur p^ vormt.
Er zijn dus c»i ontaarde figuren p^ in deze groep.

De bundel (c^) bevat drie ontaarde kegelsneden. Er zijn
dus drie uit drie rechten bestaande figuren /j® in deze groep.

De figuren dezer groep worden voortgebracht door één, in
twee vlakken uiteengevallen, kegel K\\ \\ 0i85, 0i24 en alle kegels
^^•n den bundel {K^^. Het beeld van alle ontaarde figuren

dezer groep is dus een straal ph van den waaier [p).

Op den straal ph ligt het punt /S2, omdat het vlakkenpaar
0135, 0124 reeds in groep II optrad, zoodat deze vijfde groep
één exemplaar gemeen heeft met groep II.

Groep VI. We beschouwen het vlak 0i45. De rechte diz
moge dit in het punt P23 snijden. In 0i45 ligt een bundel
kegelsneden (c^) met basispuntennbsp;As en i?23, waarvan

elk exemplaar met de rechte d^s een ontaarde figuur p^ vormt.
Er zijn dus ooi ontaarde figuren p^ in deze groep.

De bundel (c®) bevat drie ontaarde kegelsneden. Er zijn dus
drie uit drie rechten bestaande figuren p^ in deze groep.

De figuren dezer groep worden voortgebracht door één, in
twee vlakken uiteengevallen, kegel E^: (pu5, 0i23 en alle kegels
van den bundel (Z^^). Het beeld van alle ontaarde figuren
p^ dezer groep is dus een straal pg van den waaier (p).

Op den straal pe ligt het punt Si, omdat het vlakkenpaar
0145, 0123 reeds in groep I optrad. De groepen I en VI
hebben dus een gemeenschappelijk exemplaar.

Groepen VII, VIII en IX. Verwisselen we in de groepen
IV, V en VI de punten Ai en Ai, dan krijgen we achtereen-
volgens de groepen VII, VIII en IX. Maar verwisseling der
punten Ai en Az beteekent verwisseling van de rollen, die
de kegels der beide bundels spelen bij de voortbrenging der
ontaarde figuren p^ der [/j®].

Bij de groepen IV, V en VI vonden we als beeldfiguren
der tot die groepen behoorende ontaarde figuren p^ drie stralen
van den waaier (p), elk gaande door een punt S.

De figuren der groepen VII, VIO en IX worden dus afge-
beeld door drie stralen van den waaier (q), ook elk gaande
door een punt S.

We noemen de beeldrechten van deze groepen achtereen-
volgens q7, qs en ^9. Het punt S3 ligt op qj, S2 op qs en
Sl op qa, omdat de groepen III en VII, II en VIII en ook I
en IX een gemeenschappelijke ontaarde figuur p^ bezitten.

Groep X. We beschouwen het vlak 0345. De rechte dn
moge dit in het punt Bn snijden. In 0345 ligt een bundel
kegelsneden (c\') met basispunten As, Ai, A^ en ^12, waarvan

elk exemplaar met de rechte dn een ontaarde figuur p^ vormt.
Er zijn dus 00^ ontaarde figuren p^ in deze groep.

De bundel (c®) bevat drie ontaarde kegelsneden. Er zijn
dus drie uit drie rechten bestaande figuren p\'^ in deze
groep.

De figuren dezer groep hebben alle als lineair bestand-
deel de gemeenschappelijke basisribbe dn der beide bundels
{K^^ en {K^, terwijl het quadratische bestanddeel gelegen is
in het vlak (psib, dat nooit deel kan uitmaken van een ont-
aarden kegel. Om dus een figuur van deze samenstelling
voort te brengen, moeten twee kegels, één van den bundel
(Kf) en één van den bundel (Kl), elkaar langs die gemeen-
schappelijke basisribbe dn aanraken. Hunne doorsnede bestaat
dan namelijk uit die basisribbe dn, dubbel geteld en eene
kegelsnede in het vlak cpsiö, gaande door de punten As, Ai,
Aö en Bn en in Bn tot raaklijn hebbende de snijlijn van
het gemeenschappelijk raakvlak der beide kegels langs dn
met het vlak (psib-

De aldus aan elkaar toegevoegde kegels der beide bundels
(Kf) en (El) rangschikken de puntenparen der involuties
II en • 7| op Cl en C2 in eene verwantschap (1, 1), dus ook
hunne beeldrechten in het tafereel a; Het voortbrengsel der
beide waaiers (jj) en (q) is dus een kegelsnede gaande
door de waaiertoppen P en Q. Zij is het beeld van alle
tot deze groep behoorende ontaarde figuren p^ der [/j®].

Ontaardt één der kegels K\\ in twee vlakken, dan moet de
toegevoegde kegel K\\ het ook doen. Deze twee ontaarde
kegels raken elkaar echter slechts dan langs de basisribbe
lt;^12, als ze het vlak door die basisribbe dn tot gemeenschap-
pelijk bestanddeel hebben. Dit is op drie manieren mogelijk.
Ze kunnen gemeenschappelijk hebben het vlak (pna^cpus,
het vlak cpn4 = cp2ii of het vlak d)i25 = 02i5.

De drie tot deze groep behoorende door de drie paar in
twee vlakken uiteengevallen kegels voortgebrachte uit drie
rechten bestaande figuren p^ der [/?quot;] zijn reeds opgetreden
in de groepen I, II en III en wel kwam in elk dezer groepen
één dezer exemplaren voor. Hieruit volgt, dat de punten

Si, 82 en Sa op de kegelsnede liggen. We kunnen deze
dus voorstellen door (P Q Si S2 Sa).

De afbeelding telt dus vijf singuliere punten: P, Q, 81, 82 en
Sa, welke de beelden zijn van 00 * krommen p\'^ der congruentie.

Hiermee zijn alle tot de congruentie van Reye behoorende
ontaarde figuren p^ aangewezen.

§ 4. We gaan nu eerst weer onderzoeken, hoeveel uit
drie rechten bestaande figuren p^ deze congruentie bevat.

Tellen we de tot de tien in § 3 behandelde groepen be-
hoorende gevonden uit drie rechten bestaande figuren p^
samen, dan vinden we het getal 30, want elk groep bezit
er drie. Er zijn echter geen 30 verschillende dergelijke figuren.
De afbeelding leert ons, dat we ze alle dubbel geteld hebben:
er zyn er slechts vyftien.

Wat zich bij de in de vorige hoofdstukken behandelde
congruenties niet heeft voorgedaan is, dat de snijpunten der
beeldfiguren uitsluitend uit drie rechten bestaande figuren p^
vertegenwoordigen, welke aan de verschillende groepen ge-
meenschappelijk toebehooren. In de tien groepen kunnen
geen gelijke niet-ontaarde kegelsneden voorkomen, omdat geen
enkele groep een vlak, waarin zoo\'n niet ontaarde kegelsnede
zou kunnen liggen, met een andere groep deelt. In de af-
beelding hebben we dus eenvoudig de snijpunten der beeld-
figuren onderling te tellen, rekening houdende met de beteekenis
der singuliere punten.

In het singuliere punt S: snijden elkaar de rechten p« en ga
en de kegelsnede a-l Het purit Si vertegenwoordigt dus tó
uit drie rechten bestaande figuren p\\ Hetzelfde geldt voor
de singuliere punten 82 en Sa.

Er zijn verder in de figuur nog aanwezig niet-singuliere
snijpunten van beeldrechten, namelijk van de stralen p^ en
28, Pi en 29, p, en q^, p, en q,, en en p, en «g. Deze
vertegenwoordigen elk één uit drie rechten bestaande figuur

De congruentie van Reye bevat dus totaal

3X3 6X1 = 15

uit drie rechten bestaande figuren p^.

§ 5. Wij willen nu een onderzoek instellen naar het
oppervlak, dat gevormd wordt door alle krommen p^ dezer
congruentie, die op een gegeven rechte l rusten.

Een puntenpaar van de involutie If op de rechte ci bepaalt
één kegel Kj. Deze snijdt de gegeven rechte l in twee
punten. Door elk dezer beide punten gaat één kegel Kl die
met de eerstgenoemde kegel K^ een kromme p^ der [p^]
voortbrengt, die op l rust.

De twee kegels Kl bepalen op de rechte cz twee punten-
paren van de involutie J|, die op deze wijze aan het punten-
paar der Jf, dat Kf op ci bepaalt, zijn toegevoegd.

Evenzoo snijdt een gegeven kegel Kl op de rechte ca een
puntenpaar der involutie in, waaraan twee puntenparen
der If op Cl zijn toegevoegd, die daarop ingesneden worden
door de twee kegels welke ieder gaan door één der
beide snijpunten van de rechte l met den kegel Kl.

De puntenparen der involuties If en op ci en cz worden
op deze wijze gerangschikt in eene verwantschap (2, 2) dus
ook is dit het geval met hunne beelden in tafereel cc. Het
voortbrengsel der beide waaiers (p) en (q) is dus eene Jcromme
^«w den vierden graad, A\'^, die de waaiertoppen P Qn Q tot
dubbelpunten heeft.

In het vlak (pizs ligt één kegelsnede, die op ? rust; evenzoo
bezit de bundel (c^) in het vlak (piz4 en die, welke in het
vlak 0125 ligt, een exemplaar, dat op l rust. Van elk der
Sloepen I, II en III behoort dus één ontaarde figuur /j® tot
de hier beschouwde. De singuliere punten St, Sz en Sa liggen
dus op de kromme A\'*. Deze kunnen we dus voorstellen
door Aquot; (P2 Q2 s, Sz Sa). Zij is het beeld van het oppervlak A,
gevormd door alle krommen p^ der [/j®], die op de gegeven
bjn l rusten.

We zullen nu van dit oppervlak A den graad bepalen,
^oor te onderzoeken, in hoeveel punten een willekeurige
rechte l\' het snijdt.

I^e krommen /j® der [p\\ die op de rechte l\' rusten, vormen
^^^ oppervlak A\', dat afgebeeld wordt door eene kromme
Q\'St Sz Sa). Deze kromme snijdt xUP\'Q\'St Sz Sa)

in 4X4 = 16 punten, waarvan er 2X2X2 3X1X1 = 11
in de singuliere punten vallen, dus vijf er buiten. Vijf krommen
/j® van het oppervlak A. liggen dus tevens op het oppervlak
A\', dat wil zeggen rusten tevens op l\'. De rechte l\' snijdt
het oppervlak A dus in vijf punten, zoodat het een oppervlak
van den vijfden graad, A^, is.

Ook beteekent het bezit van vijf niet-singuliere snijpunten
der beide beeldkrommen A^ en [jJ^, dat er vijf krommen p^
der [p^] zijn, die op twee gegeven rechten l en V rusten.

Er is één kromme p^ der die de rechte l tot koorde
heeft. De kromme x\'^ (P^ Qquot;^ 8i S^ Ss) heeft in het beeldpunt
dezer kromme p^ een dubbelpunt. Zij bezit dus drie dubbel-
punten en is derhalve rationaal.

Met behulp van de afbeelding kunnen we nu ook weer
vinden, welke rechte lijnen er op het oppervlak A® liggen.

De kromme A^ (P^ Q\'^ Si S2 Ss) snijdt de kegelsnede
(P C» amp; 63) in 4 X 2 - 2 X 2 - 3 X 1 = 1 niet-singulier

punt.

Zij gaat door de singuliere punten Si, S2 en Ss en snijdt
elk der zes stralen pi,p5,ps,q7,q8enq0 in één niet-singulier
punt.

Uit een en ander leiden wij af, dat van elk der tien groepen
ontaarde figuren p^ één exemplaar op het oppervlak A^ is
gelegen.

Dit oppervlak bezit dus de tien hoofdsoorden der [p^] als
enkelvoudige rechten en tien kegelsneden, elk gelegen in één
der tien in de groepen ontaarde figuren p\'^ optredende vlak-
ken, die met deze hoofdkoorden ontaarde figuren p^ der [p^]
vormen.

Eindelijk ligt op A^ de rechte l, terwijl de kromme p\\ die l
tot koorde heeft, dubbelkromme op dit oppervlak is.
- Twee oppervlakken A®, behoorende bij de rechten l en l\'
hebben gemeen: de vijf krommen p^, die op beide rechten
rusten en de tien hoofdkoorden der congruentie. Hunne
doorsnede is dus van den graad

5X3 10X1 = 25.

§ 6. De krommen p^ der congruentie, die aan een gegeven
vlak (p raken, vormen een oppervlak, waarvan we door
middel eener afbeelding den graad willen bepalen.

Een puntenpaar der involutie If op ci draagt één kegel
Kl Deze snijdt een gegeven vlak cp volgens een kegel-
snede cf, die gaat door de doorgangspunten van de basis-
ribben di2, dn, dii en dif, van den bundel {K^ met cp.

Een kegel K^ snijdt het vlak cp volgens eene kegelsnede c|, die
door de doorgangspunten van de basisribben dn, dza, du en d^^
van den bundel (£quot;!) met (p gaat.

We noemen het doorgangspunt van de basisribbe dzi = dn,
dat op beide kegelsneden ligt, J).

De twee kegels Kf en brengen een kromme p^ der
congruentie voort, die het vlak cp snijdt in de drie buiten D
vallende snijpunten der beide kegelsneden cf en c|

De kegels van den bundel (K^) bepalen in het vlak cp een
bundel kegelsneden (c|), waarvan dus elk exemplaar de kegel-
snede cf behalve in D, nog snijdt in drie buiten D vallende
punten. Alleen die kegel K^, die den kegel K\\ langs de
gemeenschappelijke basisribbe dn aanraakt, snijdt cp volgens
een in 2) aan cf rakende kegelsnede c|, zoodat in dit ééne
geval één der drie bedoelde snijpunten in D valt. Maar dan
gaat door D ook de voortgebrachte kromme p^ der [/j®] ; deze
is dan echter noodzakelijkerwijze ontaard in de rechte dn
en de kegelsnede c^ gelegen in het vlak 0345 en bepaald
door de punten Aa, Ai, At en de beide snijpunten B\' en
Bquot; van de kegelsnede cf met 0346.

De bundel kegelsneden (c|) snijdt dus op de vaste kegel-
snede cf eene kubische involutie P in. Deze heeft vier
dubbelpunten; het komt dus vier maal voor, dat de kegelsnede cf
geraakt wordt door een exemplaar van den bundel (c®). \')

Telkens echter als dit gebeurt, raakt ook de bijbehoorende
kromme p^ der [p^] aan het vlak cp. Op den kegel Kf liggen
dus vier aan 0 rakende krommen /j® der [/j®], welke uit den
kegel Kf gesneden worden door vier kegels van den bundel

De punten D\' en Dquot; zijn blijkbaar de aan Zgt; toegevoegde punten der
I\' op cj.

[K\'^. Deze vier kegels K\\ bepalen op de rechte C2 vier
puntenparen der involutie J|, welke aldus aan het door den
kegel K\\ op ci bepaalde puntenpaar der I\\ zijn toegevoegd.

Op dezelfde manier kunnen we beredeneeren, dat op een
gegeven kegel K\\ vier krommen p^ der gelegen zijn, die
aan het vlak (p raken. De kegel Kl bepaalt op de rechte C2
één puntenpaar der involutie I^] de vier kegels K^, die uit
den kegel Kl de vier aan 0 rakende krommen p^ der
snijden, bepalen op c\\ vier puntenparen der I^, welke aan
het zoo juist genoemde puntenpaar der II op d zijn toegevoegd.

De puntenparen der involuties en op ci en C2 worden
op deze wijze gerangschikt in eene verwantschap (4,4), dus
zal dit ook het geval zijn met hunne beeldrechten in het
tafereel a. Het voortbrengsel der beide waaiers (jj) en iq)
is dus een Jcromme van den achtsten graad, die de waaier-
toppen P en Q tot viervoudige punten heeft.

De vlakken Ó123, (pi24 en $125 worden ieder door het vlak 0
volgens eene rechte lijn gesneden. Van elk der bundels kegel-
sneden, die in de genoemde vlakken gelegen zijn, raken twee
exemplaren aan die snijlijn met (p, dus aan O; deze twee
exemplaren zijn bestanddeelen van krommen p^ der zoodat
van elk der groepen I, II en III twee ontaarde figuren p^ tot
de aan 0 rakende behooren. Hieruit volgt, dat de singuliere
punten Si, S2 en Ss dubbelpunten van zijn. We kunnen
deze dus aanduiden door (P^ Q^ S^ -S® 8l). Zij is het beeld
van het oppervlak A, dat beschreven wordt door alle krommen
p^ der congruentie, die aan het gegeven vlak (p raken.

We gaan nu van dit oppervlak A den graad bepalen, door
te onderzoeken, in hoeveel punten een willekeurige rechte l
het snijdt.

De beeldkrommen (P^ Q* Sf Si 5®) en (P^ Q^ S, S. SJ
snijden elkaar in 8X4-2X4X2-3X2X1 = 10 niet-
singuliere punten. Dat beteekent, dat er tien krommen^er
[p\'l zijn, die zoowel aan een gegeven vlak cp raken als op
een gegeven rechte l rusten. Het oppervlak A wordt dus
door een willekeurige rechte l in tien punten gesneden. Het
IS derhalve een oppervlak van den tienden graad, A\'».

De beeldkrommen ^^ (i^ Q^ S^ en (P* Q* Sf Si 5|),
van twee oppervlakken A^l behoorende bij de vlakken 0 en
«A, snijden elkaar in 64 — 2X4X4 — 3X2X2 = 20 niet-
singuliere punten. JEr zyn dus twintig Icrommen p^ der con-
gruentie, die aan twee gegeven vlaJcJcen ó en xp raken.

Op dezelfde wijze, als dat bij het oppervlak heeft plaats
gehad, kunnen we ook voor het oppervlak A\'» met behulp der

afbeelding uitmaken, welke rechten er op liggen.

De kromme ^^ (p.nbsp;^j) ^^^^ ^^ kegelsnede

\'^\'{PqSiSzSa) in 8X2-2X4-3X2 = 2 niet-singu-
liere punten.

Zij heeft de singuliere punten St, S2 en S3 tot dubbelpunten
en snijdt elk der zes stralen pi, pe, qi, qs en q^ in twee
niet-singuliere punten.

Uit het bovenstaande besluiten wij, dat van elk der tien
groepen ontaarde figuren /»Hwee exemplaren op het oppervlak
gelegen zijn.

Dit oppervlak bezit dus de tien hoofdkoorden der [/j®] als
dubhelrechten en tivintig kegelsneden, paarsgewijze gelegen in
de tien in de groepen ontaarde figuren/j® optredende vlakken
en met deze hoofdkoorden ontaarde figuren p^ der [/j®] vormend.

Twee oppervlakken A^l behoorende bij de vlakken 0 en 0\',
hebben gemeen: de 20 krommen die beide vlakken aan-
ï\'aken en de tien hoofdkoorden der congruentie als dubhel-
rechten. De doorsnede van twee zoodanige oppervlakken is
dus van den graad

20 X 3 -f- 10 X 4 = 100.

HOOFDSTUK V.

Dc congrucntic van Stuyvaert.

§ 1. Wij denken ons ten slotte gegeven twee punten Ai
en A2 en drie rechten 61, bs en h en beschouwen alle kubische
ruimtekrommen, die door Jj en gaan en bi, bs en amp;3 tot
koorden hebben. Wij zullen bewijzen, dat deze kubische
ruimtekrommen eene bilineaire congruentie vormen, welke
voortgebracht kan worden door twee bundels quadratische
oppervlakken, welke wij weer zullen aangeven door en (4gt;|).

Noemen wij daartoe de transversalen door Ji over bi en
amp;2, door Al over bi en bs, door A2 over bi en 62 en door
A2 over bi en ba achtereenvolgens d23, d22, dia en dn, dan
vormen de vierzijden bi, 62, dss, dn en bi, ba, d22, dn de
bases van twee bundels quadratische oppervlakken (^f) en
Elk oppervlak geeft met elk oppervlak eene
doorsnede, die bestaat uit de rechte bi en eene kubische
ruimtekromme, die gaat door de punten Ai en A2 en die
de rechte bi en dus ook de rechten amp;2 en bs tot koorden
heeft. De beide bundels brengen dus blijkbaar de boven-
bedoelde congruentie voort, welke ook nu weer bilineair is
en den naam congruentie van STUYVAERT draagt.

We zullen de transversalen door A^ over bz en ha en door
A2 over bi en ba achtereenvolgens noemen d2\\ en dn. Zij
spelen een rol bij de ontaarde figuren p^.
quot; Hoewel aan de rechte bi bij de samenstelling der beide
bundels quadratische oppervlakken eene bijzondere taak is
opgedragen — zij is gemeenschappehjJce basisribbe, terwijl de
rechten bi en bs elk maar tot de basisfiguur van één der
beide bundels behooren — is zij toch gelijkwaardig met de
rechten bi en bs. Wat dan ook in dit hoofdstuk ten aanzien

van één der drie rechten h bewezen wordt, geldt voor alle
drie. Wij zouden dezelfde congruentie verkregen hebben,
als we de rollen der rechten h en h of hi en h hadden
verwisseld.

Een kromme p^ der [p^] snijdt ieder oppervlak 4)2, waarop
ze niet ligt, in geen andere punten, dan die, welke gelegen
zijn op de basisfiguur van den bundel, waartoe ^^ behoort.
Hieruit volgt, dat de transversalen door Ai en ook die door
Ai over twee der rechten l door geen enkele kromme /j®, die
niet ontaard is, buiten de punten Ai en Ai gesneden worden.
Deze transversalen, die toch wel degelijk op de oppervlakken
en gelegen zijn, komen dus voor als bestanddeelen
van ontaarde figuren p^ der [p®].

§ 2. We zullen van de congruentie van Stuyvaert eene
afbeelding op het puntenveld ontwerpen, op overeenkomstige
wijze, als is geschied bij de congruentie van Reye.

Inplaats echter van twee vaste rechten aan te nemen, zooals
in hoofdstuk IV gedaan is, hebben we er hier reeds de he-
schilcking over: we gebruiken de rechten hi en hz voor ons doel.

De oppervlakken van deri bundel (4gt;f) snijden op de
rechte Iz eene quadratische involutie I\\ in en de exemplaren
van den bundel bepalen op 62 eene quadratische in-
volutie

We nemen vervolgens weer een plat vlak a aan en brengen
nu de puntenparen van de involutie I\\ op 63 in projectief
verband met de stralen van een waaier ip) met top P in het
vlak

Evenzoo leggen wij een projectief verband tusschen de
puntenparen van de involutie J2 op hi en de stralen van een
waaier (?) met top Q in a:.

Een oppervlak «Pf en een oppervlak 4gt;| brengen één kromme
p^ der congruentie voort; het oppervlak snijdt hz in een
puntenpaar der I\\, het oppervlak snijdt 62 in een punten-
paar der

Het snijpunt der stralen p en q, welke aan deze twee
puntenparen zijn toegevoegd, aanvaarden wij nu als beeld

van de door deze twee oppervlakken en voortgebrachte
kromme der [/j®].

Deze afbeelding is één aan één. Elke kromme p^ bepaalt
in a één punt, maar ook omgekeerd bepaalt elk punt in het
vlak oi één straal p en één straal q, dus één puntenpaar van
de Jf op amp;3 en één puntenpaar van de J| op amp;2, dus één
oppervlak van elk der bundels, dus één kromme p^ van de
congruentie.

Er is één kromme p^ van de [/j®], die afgebeeld wordt door
ieder punt van de rechte ro, die de toppen Pen Q der beide
waaiers verbindt.

De waaiertoppen P en Q zijn singuliere punten van de
afbeelding, want zij zijn de beelden van oo • krommen p^ der
[p% P is het beeld van die oo^ krommen p^, die gelegen
zijn op het oppervlak hetwelk door den straal QP van
den waaier (g) wordt afgebeeld en Q is het beeld van die
co 1 krommen p\\ die liggen op het door den straal P Q van
den waaier {p) afgebeelde oppervlak Het zijn nu juist
deze beide oppervlakken, welke de bovenbedoelde door alle
punten van ro afgebeelde kromme p^ voortbrengen.

§ 3. Allereerst gaan we nu weer onderzoeken, hoe de
ontaarde figuren p^ dezer congruentie, die zijn samengesteld
uit een rechte d en een kegelsnede die op d rust, alsmede
die, welke uit drie rechten bestaan, in het tafereel« worden
afgebeeld.

De ontaarde figuren p^ van deze [^3] nullen door ons in
zeven groepen ondergebracht worden.

Groep I. We brengen een vlak cpu door de rechte bi en
het punt Al. De rechten b^ en bs en de transversaal dn
mogen dit vlak achtereenvolgens snijden in de punten Hz,
\'Fs en Dn. De steunpunten van dn op bo en ba noemen
we Bz en Ba.

In cpn ligt een bundel kegelsneden {c\') met basispunten
Al, Ei, Fa en Dn, waarvan elk exemplaar met de rechte
dn een ontaarde figuur p^ der vormt. Er zijn er dus
00^ in deze groep.

Wegens de drie ontaarde kegelsneden, die tot den bundel
(c^) behooren, bezit deze groep drie uit drie rechten bestaande
ontaarde figuren p^ der [/j®].

Alle figuren p^ dezer groep snijden h zoowel als 63 in een
vast puntenpaar der door die rechten gedragen involuties.
Ze worden dus alle afgebeeld in het snijpunt Si van een
straal p en een straal q.

Het punt Si is dus een singulier punt van de afbeelding.
Groep II. We brengen een vlak (pn door de rechte bi en
het punt A2. De rechten hz en èg en de transversaal lt;^21
mogen dit vlak achtereenvolgens snijden in de punten Gz,
Ez en Dzi. De steunpunten van dn op b^ en bz noemen
we Ci en Cz.

In (p2i ligt een bundel kegelsneden (c\'^) met basispunten
G2, Ez en Dn, waarvan elk exemplaar met de rechte dn
een ontaarde figuur p^ der vormt. Er zijn er dus 00\' in
deze groep.

Wegens de drie ontaarde kegelsneden, die tot den bundel
(c ) behooren, bezit deze groep drie uit drie rechten bestaande
ontaarde figuren p^ der

Alle figuren p^ dezer groep snijden bz zoowel als 63 in
een vast puntenpaar der door deze rechten gedragen invo-
uties. Ze worden dus alle afgebeeld in het snijpunt S2 van
6en straal p en een straal q.
Het punt S2 is dus een singulier punt van de afbeelding.
Groep III. We brengen een vlak (pn door het punt Ai
en de rechte 62. De rechte bi en de transversaal dn mogen
1 vlak achtereenvolgens snijden in de punten Hi en D12;
ƒ rechte bz snijdt het in het punt Cz. Het steunpunt van
12 op bi noemen we Ei-, dat van dn op bz is het punt
^ n 012 ligt een bundel kegelsneden (c^) met basispunten
^h Hl, C3 en 7Ji2, waarvan elk exemplaar met de.rechte
, een ontaarde figuur p^ der [/gt;®J vormt. Er zijn er dus 00 ^
deze groep.

Wegens de drie tot den bundel (c^) behoorende ontaarde
gelsneden, bezit deze groep drie uit drie rechten bestaande
ontaarde figuren p^ der [/;«].

Alle figuren dezer groep snijden de rechte h^ in de twee
vaste punten C3 en TJa, welk paar der op hs gelegen If ook
door alle exemplaren van groep II op deze rechte werd in-
gesneden. Het beeld van dit puntenpaar der Jf is de straal
p, die reeds in groep II optrad en dien we ps zullen noemen.

De figuren dezer groep snijden op de rechte amp;2 de involutie
II in. Het beeld van de tot deze groep behoorende figuren
is dus de straal ps, op welken het singuliere punt S2 is
gelegen.

Groep IV. We brengen een vlak 022 door het punt Ai
en de rechte amp;2. De rechte bi en de transversaal d^i mogen
dit vlak achtereenvolgens snijden in de punten Gi en Da]
de rechte h snijdt het in het punt Bs. Het steunpunt van
da op noemen we Fi; dat van da op h is het punt Fs.

In 022 ligt een bundel kegelsneden (c^) met basispunten
Ai, Gi, Bs en Da, waarvan elk exemplaar met de rechte
dii een ontaarde figuur p^ der [p^] vormt. Er zijn er dus
ooi jjj deze groep.

Wegens de drie tot den bundel (c^) behoorende ontaarde
kegelsneden, bezit deze groep drie uit drie rechten bestaande
ontaarde figuren p^ der [/j^].

Alle figuren dezer groep snijden de rechte in de twee
vaste punten Bs en Fs, welk paar der op ds gelegen Ij ook
door alle exemplaren van groep I op deze rechte werd in-
gesneden. Het beeld van dit puntenpaar der Jf is de straal
p. die reeds in groep I optrad en dien we zullen noemen.

De figuren dezer groep snijden op de rechte bi de involutie
II in. Het beeld van de tot deze groep behoorende figuren
p^ is dus de straal pi, op welken het singuliere punt Si is
gelegen.

Groep V. We brengen een vlak 0i3 door het punt Ai en
de rechte bs. De rechte 61 en de transversaal dis mogen dit
vlak achtereenvolgens snijden in de punten Fi en Dis ; de
rechte bi snijdt het in het punt Ci. Het steunpunt van dis
op bi noemen we Gi; dat van dis op bi is het punt Gi.

In 013 ligt een bundel kegelsneden (c^) met basispunten Ai,
Fi, Ci en Dis, waarvan elk exemplaar met de rechte dis

een ontaarde figuur p^ der [/j®] vormt. Er zijn er dus ooi in
deze groep.

Wegens de drie tot den bundel {g^) behoorende ontaarde
kegelsneden bezit deze groep drie uit drie rechten bestaande
ontaarde figuren p\'^ der [p^].

Alle figuren dezer groep snijden de rechte hz in de twee
vaste punten Cz en Gz, welk paar der op hz gelegen 7| ook
door alle exemplaren van groep II op deze rechte werd in-
gesneden. Het beeld van dit puntenpaar der Jf is de straal q,
die reeds in groep II optrad en dien we q^ zullen noemen.

^De figuren dezer groep snijden op de rechte ha de involutie
^r in. Het beeld van de tot deze groep behoorende figuren
P IS dus de straal qs, op welken het singuliere punt S2 is
gelegen.

Groep VI. We brengen een vlak (pza door het punt Az en
de rechte ha. De rechte hi en de transversaal dia mogen dit
vlak achtereenvolgens snijden in de punten Ei en Dza; de
rechte hz snijdt het in het punt Bz. Het steunpunt van dza
op hl noemen we Hi-, dat van dza op hz is het punt Hz.

In 023 ligt\'een bundel kegelsneden (c^) met basispunten
Bz en Bza, waarvan elk exemplaar met de rechte dza
een ontaarde figuur p^ der [/j®] vormt. Er zijn er dus 001 in
deze groep.

Wegens de drie tot den bundel (c^) behoorende ontaarde
egelsneden bezit deze groep drie uit drie rechten bestaande
ontaarde figuren p^ der

Alle figuren dezer groep snijden de rechte hz in de twee
^aste punten Bz en Hz, welk paar der op hz gelegen /| ook
oor alle exemplaren van groep I op deze rechte werd in-
gesneden. Het beeld van dit puntenpaar der is de straal q,
^e reeds in groep I optrad en dien we g-e zullen noemen.
^^ e figuren dezer groep snijden op de rechte ba de involutie

in- Het beeld van de tot deze groep behoorende figuren

P dus de straal 05, op welken het singuliere punt Si is
gelegen.

^^Öroe^) VII. We beschouwen den vlakkenbundel (0) door

punten Ai en Az. In elk vlak 0 ligt een kegelsnede c^

gaande door de punten A en en de doorgangspunten der
drie basisribben bi, amp;2 en h met (p.

De transversalen van bi, bz en ba liggen op eene Hyper-
boloide die door (p gesneden wordt volgens eene kegel-
snede die de kegelsnede c\'\' snijdt in de drie genoemde
doorgangspunten en nog een vierde punt, door hetwelk één
transversaal over bi, bi en ès gaat, die met c^ een ontaarde
figuur p^ vormt.

Bij elk vlak Ó van den bundel (ó) behoort dus één ont-
aarde figuur p^ der Deze groep telt er dus 00

Liggen twee van de drie snijpunten van de rechten èi, 62
en bz met een vlak p collineair met A-i of met J2, dan ont-
aardt de in dat vlak cp gelegen kegelsnede in een lijnenpaar,
zoodat dan de bijbehoorende figuur p^ uit drie rechten is
samengesteld.

Daar dit geval zich zes maal voordoet, namelijk telkens,
als een vlak cp gaat door één der zes rechten dn, dzi, di2,
d22, di3 en d23, m. a. w. samenvalt met één der in de zes
voorafgaande groepen optredende vlakken, bezit deze groep
al minstens zes ontaarde figuren p\'\'^ der [p^], die uit drie rechten
zijn samengesteld.

We kunnen hieruit nu reeds besluiten, dat de beeldfiguur
van de exemplaren dezer groep door de singuliere punten
Si en S2 moet gaan.

Zijn de drie snijpunten van de rechten bi, 62 en 63 met
een vlak cp collineair, dan ontaardt de in dat vlak lt;p gelegen
kegelsnede in een lijnenpaar, dat bestaat uit de rechte Ji Az
en de verbindingslijn van de drie snijpunten der rechten
b met cp. Het lineaire bestanddeel buiten het vlak cp, dat
met dit lijnenpaar een uit drie rechten bestaande figuur p^
der vormt, is dan de tweede transversaal, die de vier
lijnen Ai A2, bi, bz en èg bezitten.

Het komt dus weliswaar tweemaal voor, dat de snijpunten van
de rechten 61, bz en ^s met een vlak c/) collineair zijn, maar we
vinden in beide gevallen dezelfde ontaarde figuur p^ der [/s^].

Deze zeyende groep bezit dus zeven uit drie rechten be-
staande figuren p^ der [/j^].

Ons rest nu nog, na te gaan, door welke figuur in het
tafereel de exemplaren dezer groep afgebeeld worden.

Door een puntenpaar Ki, Kz van de involutie If op èg
gaan twee ontaarde figuren p^. Immers: het vlak agt; kan
door het punt Ai gaan; dan gaat het lineaire bestanddeel
door het punt A2, maar ook het omgekeerde kan zich voor-
doen. Deze twee figuren p^ snijden op de rechte h^ twee
puntenparen der 7| in.

Aan elk puntenpaar der I\\ op 63 zijn op deze wijze twee
puntenparen der II op hi toegevoegd, maar ook omgekeerd
zijn aan een gegeven puntenpaar der op 62 twee punten-
paren der rl op hz toegevoegd.

De puntenparen der beide involuties I\\ en 7® op hz en hz
worden hierdoor gerangschikt in eene verwantschap (2,2)
dus ook hunne beeldrechten in het tafereel a. Deze, dat
zijn de stralen der beide waaiers {p) en {q), brengen dus eene
kromme van den vierden graad, voort, welke derhalve het
beeld is van de tot deze groep behoorende ontaarde figuren
p^ der congruentie. Zij heeft de waaiertoppen P en Q tot
dubbelpunten en gaat, zooals reeds is opgemerkt, door de
singuliere punten ;Si en S2. We kunnen haar dus aanduiden
met cr^ (P2 Q^ Si Sz).

De meetkundige plaats 2 dezer ontaarde figuren p^ is een
oppervlak van den zesden graad, zooals we in § 6 zullen
bewijzen met behulp van de afbeelding van het oppervlak,
dat gevormd wordt door alle krommen p^ der die op
een gegeven rechte l rusten.

Die meetkundige plaats bestaat echter uit twee oppervlakken:
dat, hetwelk door de kegelsneden cl gelegen in de vlakken
0, wordt beschreven en dat, hetwelk de transversalen der
rechten bi, hz en bz vormen.

Het eerste is een dimonoïde van den vierden graad, A^,
omdat in een willekeurig vlak 0 een kegelsnede c^ en de
rechte Ai Az, die dubbel geteld moet worden, liggen en het
tweede is de reeds genoemde hyperboloïde 3-^.

§ 4. Met behulp der in het tafereel « ontstane beeld-

figuren willen we nu eerst weer uitvorschen, hoeveel uit drie
rechten bestaande ontaarde figuren p^ de congruentie van
Stuyvaert bezit.

Tellen we de in de zeven groepen gevonden uit drie rechten
bestaande ontaarde figuren p^ samen, dan vinden we het getal
25. De afbeelding zal ons doen zien, dat dit niet het ge-
zochte aantal is: er zyn er slechts dertien.

In het tafereel a aanschouwen we de volgende figuren:
de singuliere punten Si en Sa, de stralen pz en gs door S2,
de stralen pi en ge door S\\ en de kromme van den vierden
graad a-^ (P\'^ Q^ Si die elk der stralen ps, pi, Qb en g« in
één niet-singulier punt snijdt. We noemen deze snijpunten
achtereenvolgens P3, Pi, Qö en Eindelijk snijden de stralen
p» en ge elkander in een punt Bss en de stralen pi en gs
elkander in een punt P45.

Daar de zeven groepen ontaarde figuren geen vlakken,
waarin kegelsneden gelegen zijn als bestanddeelen van figuren
p^, gemeen hebben, vertegenwoordigen de snijpunten der
beeldfiguren onderling slechts aan de groepen gemeenschap-
pelijke exemplaren, die uit drie rechten bestaan.

Door elk der beide singuliere punten Si en S2 gaan drie
beeldfiguren. Deze punten vertegenwoordigen dus elk drie
dubbelgetelde exemplaren. De vier punten P en de beide
punten R wijzen ieder op één dubbel getelde figuur zoodat
de geheele afbeelding ons leert, dat er ttvaalf dubbelgetelde
figuren p^ in het getal 25 zijn opgesloten. De congruentie
van Stuyvaert bevat dus dertien uit drie rechten samen-
gestelde ontaarde figuren p^.

Het beeldpunt van de niet dubbelgetelde figuur p\'^, die uit
drie rechten bestaat, ligt ergens op de beeldkromme ir*, want
van de zeven dergelijke figuren van groep VII vallen er zes
quot;ónder de dubbelgetelde. De figuur p^, bestaande uit de rechte
Al Az en de beide transversalen van de rechten Ai A2, bi, 62 enès
komt slechts eenmaal voor.

§ 5. Alle krommen p^ der [p% die gaan door een vast
punt B op de gemeenschappelijke basisrechte 61 der beide

bundels en vormen een oppervlak, waarvan we de
afbeelding op het tafereel willen bepalen.

Door een punt B van de rechte bi gaan co^ krommen p^
der voortgebracht door de co» paren elkander in B
rakende oppervlakken en 4gt;|.

Door een puntenpaar der involutie I\\ op bs gaat één opper-
vlak dit oppervlak wordt in i? door slechts één oppervlak
geraakt. Dit aan in B rakende oppervlak bepaalt
op de rechte bz een puntenpaar van de involutie II, welk
puntenpaar we aan dat op ba toevoegen.

Evenzoo bepaalt een puntenpaar der II op b^ één opper-
vlak waaraan in B door slechts één oppervlak geraakt
wordt. Dit laatste oppervlak bepaalt op de rechte ba een
puntenpaar van de If, hetwelk aldus aan dat op 62 is toe-
gevoegd.

De puntenparen der involuties en 7| op ba en bz worden
hierdoor met elkander in projectief verband gebracht, dus ook
de stralen der waaiers (p) en {q) door welke ze afgebeeld
worden. De beide waaiers brengen dus eene kegelsnede
voort, die door de waaiertoppen F en Q gaat.

Door het gegeven punt B van bi gaat één kegelsnede van
den bundel (c\') in het vlak cpn door Ai en bi, dus één figuur
P\'^ van groep I en ook één kegelsnede van den bundel (c\'\'^)
in het vlak cpzi door A2 en bi, dus één figuurvan groep II.
De kegelsnede ß\'\' gaat dus ook door de beide singuliere punten
en S2. Wij kunnen haar voorstellen door ß\'^ (P Q Si S2).

Deze kromme is nu het beeld van het oppervlak, dat ge-
vormd wordt door alle krommen p^ der [a\'\'], die door een
gegeven punt B van bi gaan.

Dit oppervlak zal nader onderzocht worden in § 7.

§ 6. De krommen p\'\' der die op een gegeven rechte
^ rusten, beschrijven een oppervlak; naar dit oppervlak willen
we nu eerst een onderzoek instellen.

Een puntenpaar van de involutie op de rechte ba bepaalt
één oppervlak Dit oppervlak snijdt de gegeven rechte l
•n twee punten. Door elk dezer beide punten gaat één

Oppervlak «f»^, dat met het eerstgenoemde oppervlak een
kromme p^ der voortbrengt, die op l rust.

De twee oppervlakken bepalen op de rechte h twee
puntenparen van de involutie die op deze wijze aan het
puntenpaar der Jf, dat Of op h insnijdt, zijn toegevoegd.

Evenzoo snijdt een gegeven oppervlak op de rechte
een puntenpaar der involutie in, waaraan twee puntenparen
der Jf op ba zijn toegevoegd, die daarop ingesneden worden
door de twee oppervlakken 4gt;f, welke elk gaan door één der
beide snijpunten van de rechte l met het oppervlak

De puntenparen der involuties Jf en I\\ op ba en h^ worden
hierdoor gerangschikt in eene verwantschap (2, 2), dus heeft
dit ook plaats met de stralen der beide waaiers {p) en (g-),
welke ze in het tafereel afbeelden. Deze waaiers brengen
dus een Jcromme mn den vierden graad, voort, die de
waaiertoppen P en $ tot dubbelpunten heeft.

In het vlak (pn ligt één kegelsnede, die op Z rust; evenzoo
bezit de bundel (c^) in het vlak 02i één exemplaar, dat op Z
rust. Van elk der groepen I en II rust dus één ontaarde
figuur p^ op l. De kromme A^ gaat dus door de beide singuliere
punten Si en Sz. Zij kan derhalve voorgesteld worden door
aMP\' Q\'SiS2).

Deze kromme nu is het beeld van het door alle op l rus-
tende krommen p^ der [p^] gevormde oppervlak, dat we A
zullen noemen en waarvan we den graad willen bepalen,
door het aantal zijner snijpunten met een willekeurige rechte
l\' te berekenen.

De krommen p^ der [/j®], die op de rechte l\' rusten, vormen
een oppervlak A\', dat afgebeeld wordt door een kromme
fj!,^ (P^ Q^ Si Si). Deze kromme snijdt A\'\' (P^ /Si in 4 X 4 = 16
punten. Van deze vallen er 4 in P, 4 in Q, 1 in Si en 1 in /S2,
quot;dus tien in de singuliere punten. De beide krommen hebben
dus zes niet-singuliere snijpunten. Dat beteekent, dat er zes
krommen van het oppervlak A zijn, die tevens op /\'rusten;
deze rechte snijdt A dus in zes punten; het is derhalve
een oppervlak van den zesden graad, A^.

Uit het gevonden aantal van zes niet-singuliere snijpunten

der beide beeldkrommen A^ en [x^ leiden wij tevens af, dat
de congruentie zes Icrommen bevat, die op twee gegeven rechten
I en V rusten.

Er is één kromme pj der [p^], die de rechte l tot koorde
heeft. De kromme A^ heeft in het beeldpunt dezer kromme
pI een derde dubbelpunt. Zij is dus rationaal.

De rechte lijnen, die op het oppervlak A® gelegen zijn,
kunnen uit de beeldfiguren in het tafereel worden gevonden.

De kromme A\'^ (P-\' Q\'^ Si S2) snijdt de kegelsnede ß^P Q Si S2)
in 8 — 2X2 — 2X1 = 2 niet-singuliere punten. Er gaan
dus door elk punt van hi, dus ook van bz en 63 wegens de
gelijkwaardigheid der drie lijnen b, twee krommen p^ van
het oppervlak Al De lijnen bi, bz en ba zijn dus dubhel-
rechten op A®.

De kromme A\'* (P^ Q\'^ Si Sz) gaat door de beide singuliere
punten Si en Sz en snijdt elk der stralen pz, pi, q^ en q^
in één niet-singulier punt. Hieruit volgt, dat de rechten dn,
^21. diz, dzz, dn en dza enMvoudig op Aquot; liggen.

De kromme A^ (P\' Q-\' Si Sz) snijdt de kromme {P\' Qquot;^ Si Sz)
in 16 — 2X4 — 2X1 = 6 niet-singuliere punten. Wij
hesluiten hieruit, dat op het oppervlak A® zes transversalen
over de drie rechten bi, bz en bz gelegen zijn. i)

De rechte l ligt ook op A^ terwijl de kromme p^, die l
tot koorde heeft, dubbelkromme op A*\' is.

Het oppervlak Aquot; bezit dus drie dubhelrechten, dertien
^\'^^Icclvoudige rechten en één dubbelkromme p^.

Verder liggen er op A® tivaalf kegelsneden, die elk met één
^er twaalf enkelvoudige rechten — de rechte l niet mede-
gerekend — eene ontaarde figuur p^ vormen.

Twee oppervlakken A^ behoorende bij de rechten l en l\',
hebben gemeen: de zes krommen p^ der [/j®], die op beide
rechten rusten, de drie dubhelrechten en de zes enkelvoudige
rechten d. Hunne doorsnede is dus van den graad
_______ 6X3 3X4 6X1 = 36.

Ook putten we hieruit het bewijs, dat de meetkundige plaats der
•staarde figuren vamp;n groep VII door de rechte l in xes punten ge-
leden wordt en dus een oppervlak van den xesden graad, 2quot;®, is.

§ 7. Het oppervlak, dat gevormd wordt door alle krommen
p^ der [/j^], die door een vast punt B van hi gaan, heeft tot
beeld de in § 5 gevonden kegelsnede (P Q Si S2).

Deze kegelsnede snijdt de kromme A^ (P^ Q\'^ Si S2) in twee
niet-singuliere punten, hetgeen zeggen wil, dat de rechte l
twee krommen p^ van het door ß^ afgebeelde oppervlak draagt.
Zij snijdt dit oppervlak dus in twee punten; de door P gaande
krommen p\'^ der [p\'\'^] liggen dus op een quadratisch oppervlah B\'\\

Het oppervlak gevormd door alle krommen p^ der
die door een vast punt G van hi gaan, heeft tot beeld eene
kegelsnede iP Q Ä S2). De beeldkrommen ß^ (P Q Si S2)
en 7^ (P Q Sl S2) snijden elkaar in vier punten, die alle
singulier zijn.

Wij leiden hieruit af, dat er door twee willekeurige punten
van de rechte bi geen enhele kromme p^ der gaat.

Ook volgt hieruit, dat alle krommen p^ der [,3^], die door
B gaan, de rechte bi in een vast tweede punt B\' snijden.

Deze uitkomst behoeft ons echter niet te verwonderen,
als we ons de gelijkwaardigheid der drie rechten h herinneren.
Door een gegeven punt Ki van hz gaat één oppervlak dat
02 in een tweede punt Z2 snijdt. De punten Ki en K2 vormen
een paar van de involutie Door een punt Ki van bz gaan
dus ook GO 1 krommen p^ der alle gelegen op een opper-
vlak en ook alle gaande door een ander vast punt K2 van hz.

Het oppervlak B^ is echter geen exemplaar van één der
beide bundels en (ttgt;2). Dit blijkt ten eerste al uit het
feit, dat zijn beeld een hegelpiede is en geen straal van één
der beide waaiers (p) en ($). Bovendien ligt de rechte bi
er niet op: het oppervlak snijdt deze rechte in de twee vaste
punten, welke alle op gelegen krommen p^ der [p®] dragen.

Op B\' liggen de rechten ig en bs, omdat door elh punt
van Ó2 en ook van bs één kromme p^ gaat, die ook door B
gedragen wordt.

De kegelsnede ß\' (P Q Si S2) snijdt de kromme (F\' Q\' Si S2)
in twee niet-singuliere punten. Op B\' liggen dus twee trans-
vergalen over èi, b^, en ^3.

Daar verder de kegelsnede ß\' (P q Si S2) door de beide

singuliere punten en S2 gaat, liggen de rechten dn en
«^21 op B^.

Eindelijk liggen op B^ vier kegelsneden, die met deze twee
laatstgenoemde rechten en de beide transversalen over 61,
1)2 en h vier ontaarde figuren p^ der [p^] vormen.

Twee oppervlakken B^ en F^ behoorende bij de punten B
en C van h hebben gemeen: de beide basisrechten 62 en
ha en hunne transversalen dn en d2i door A2 en Ai.

De doorsnede van twee zoodanige oppervlakken, die van
den vierden graad is, bestaat dus uit deze vier rechten.

§ 8. Ten slotte willen wij nog onderzoeken, welk opper-
vlak gevormd wordt door alle krommen p^ der die een
gegeven vlak 0 aanraken.

Een puntenpaar der involutie If op ha draagt één opper-
vlak Dit oppervlak snijdt een gegeven vlak cp volgens
eene kegelsnede cp®, die gaat door de doorgangspunten van
de basisrechten hi, hz, dia en (^23 van den bundel met cp.

Een oppervlak snijdt het vlak (tgt; volgens eene kegel-
snede 01, die gaat door de doorgangspunten van de basis-
rechten hl, hs, di2 en (^22 van den bundel met cp.

We noemen het doorgangspunt van de basisrechte fci, dat
op beide kegelsneden ligt, B.

De twee oppervlakken en brengen eene kromme p^
^er [p^] voort, die het vlak (p snijdt in de drie buiten B
vallende snijpunten der beide kegelsneden 0f en 0^.

De oppervlakken van den bundel bepalen in het vlak
^ een bundel kegelsneden (0®), waarvan dus elk exemplaar
^e kegelsnede 0f behalve in B, nog snijdt in drie buiten D
vallende punten, behoudens één exemplaar, dat in D aan 0]
raakt, voor de beschouwing van welke aangelegenheid wij
herwijzen naar hoofdstuk IV, § 6.

De bundel kegelsneden (01) snijdt dus op de vaste kegel-
snede cp2 eene kubische involutie P in. Deze heeft vier dubbel-
punten ; het komt dus vier maal voor, dat de kegelsnede cpf
fferaaht wordt door een exemplaar van den bundel (cp^).

Telkens echter als dit gebeurt, raakt ook de bijbehoorende

kromme p^ der [p^] aan het vlak cp. Op het oppervlak 4)®
liggen dus vier aan (p rakende krommen p^ der [^^J, welke
uit het oppervlak gesneden worden door vier oppervlakken
van den bundel (4gt;|). Deze vier oppervlakken bepalen op
de rechte bz vier puntenparen der involutie If, welke aldus
aan het door het oppervlak op 63 bepaalde puntenpaar
der If zijn toegevoegd.

Op dezelfde manier kunnen we beredeneeren, dat op een
gegeven oppervlak ^ vier krommen p\' der [p-q gelegen zijn,
die aan het vlak (p raken. Het oppervlak bepaalt op de
rechte bz één puntenpaar der involutie P,; de vier oppervlakken
O, die uit het oppervlak lt;igt;l de vier aan 0 rakende krommen
p der [p J snijden, bepalen op ha vier puntenparen der P
welke aan het zoo juist genoemde puntenpaar der P op L
zijn toegevoegd.nbsp;^

De puntenparen der involuties /f en /«op Sa enfc worden
hierdoor gerangschikt in eene verwantschap (4 4) dus heeft
d,t ook plaats met de stralen der beide waaiers (p) en (j) in
het beeldvlak welke deze puntenparen vertegenwoord,gen

Z„ brengen dus een h-cmme van den mUoteu graad. voort,

n , tf Tquot;\'quot;quot;quot;\'™ «quot;quot;quot;»odige punten heeft.
De vlakken lt;f,„ enlt;p.. worden ieder door hel vlak volgens
eene rechte hjn gesneden. Van elk der bundels kegelsneden,
d.e m de genoemde vlakken gelegen zijn, raken twee exem^
p aren aan d^ smjlgn met lt;p, dus aan 0; deze twee exem-
plaren zgt;jn bestanddeelen van krommen der [,»] zoodat
van elk der groepen f en II twee ontaarde figuren gt; tot de
aan $ rakende behooren. Hieruit volgt, dat de staguliere

oppervlak n, ,at .esehrevt

der [/], die aan het gegeven vlak 0 raken

We gaan nu van dit oppervlak n den graad bepalen
Daartoe onderzoeken we weer, in hoeveel punten een w lle\'
keurige rechte l het snijdt.nbsp;^

De beeldkrommen t® (pi m ^nbsp;4nbsp;-j

elkaar in 8 X 4 - 2 X 4 X 2-1 2 V 2 v

^A^Al — 12 niet-singu-

liere punten. Dat beteekent, dat er twaalf krommen p^ der
[p^] zijn, die zoowel aan een gegeven vlak (p raken als op
een gegeven rechte l rusten. Het oppervlak n wordt dus
door een willekeurige rechte Hn twaalf punten gesneden. Het
is derhalve een oppervlak van den twaalfden graad, n^l

De beeldkrommen ^r® (P^ Q^ Sf SD en r® (P^ g^ Sf SD\' van
twee oppervlakken behoorende bij de vlakken (p en
snijden elkaar in 64 —2X4X4—2X2X2 = 24 niet-
singuliere punten. M\' zijn dus vier en twintig krommen p^
der congruentie, die twee gegeven vlakken 0 en aanraken.

De beeldfiguren in het tafereel a wijzen ons ook nu weer
aan, welke rechten er op het oppervlak 11liggen.

De kromme t® (P» Q^ S\\ Sl) snijdt de kegelsnede ß\' (P Q Si Sz)
m 8X2 — 2X4 — 2X2 = 4 niet-singuliere punten. Door
elk punt van de rechte hi, dus ook van bi en van bamp; gaan
dus vier krommen p^, die op ü\'® üggen. De drie rechten
bz en bz zijn dus viervoudige rechten op IT\'^.
De kromme ^r® {P\' Q\' Sf Sl) heeft de singuliere punten Si
Sz tot dubbelpunten; zij snijdt de vier stralengs en qe
in twee niet-singuliere punten en heeft met de kromme
quot;quot; (P\'Q\'SiSz) gemeen 8X4 — 2X4X2-2X2X1 = 12
niet-singuliere punten.
Wij leiden uit een en ander af, dat de zes rechten (^21,
\'2, dzz, diz en dzz dubbelrechten op zijn en dat op dit
oppervlak twaalf transversalen over bi, bz en bz liggen.

Op het oppervlak 11 ^^ üggen dus drie viervoudige rechten,
^es dubhelrechten en twaalf enkelvoudige rechten.

erder zijn op 11gelegen vier en twintig kegelsneden,
waarvan er twaalf met de zes dubbelrechten en twaalf met de
waalf enkelvoudige rechten ontaarde figuren p^ der vormen.

er controleering van den graad van de doorsnede van
^^ee oppervlakken IV, behoorende bij de vlakken 0 en 0\',
nen we opmerken, dat ze gemeen hebben: de vier en
d^H^\'^ brommen p^ der die beide vlakken aanraken,
6 drie viervoudige rechten b en de zes dubbelrechten d.

e doorsnede van twee zoodanige oppervlakken is dus van
quot; graad 24 X 3 3 X 16 6 X 4= 144.

HOOFDSTUK VI.

Slotwoord,

§ 1. De onderzoekingen, die in de voorgaande hoofdstukken
plaats gehad hebben, zijn voor uitbreiding vatbaar.

Wij kunnen bijvoorbeeld vragen naar den graad van het
oppervlak A, dat gevormd wordt door alle krommen der
[p\'l die op eene gegeven kegelsnede d\' rusten. We zullen
dit vraagstuk oplossen voor één der door ons behandelde
congruenties en kiezen daarvoor het eerste bijzondere geval
van de eerste algemeene congruentie van Veneroni, besproken
in hoofdstuk II.

Door een punt Ci van de rechte ci gaan oo i krommen p^
der gelegen op den kegel die door dit punt Ci is
bepaald. Deze kegel wordt door de kegelsnede d\' in vier
punten gesneden. Deze vier punten bepalen elk een kegel
Kl, die met den kegel K^ eene kromme p^ der [p\'] voort-
brengt, die door Ci gaat en op d\'\' rust, terwijl deze vier
krommen p\' op de rechte ca elk een punt bepalen. Aan
Ci op Ci zijn in dit verband dus vier punten van ca toegevoegd.

Evenzoo is het duidelijk, dat door een punt C2 van Ca vier
krommen p\' der [^»j ^^^^^ ^^ ^^^^^^ ^^ ^^ ^^

aldus aan C2 toegevoegde punten bepalen.

De puntenreeksen (Ci) en (Ca) op cj en ca worden nu ge-
rangschikt m eene verwantschap (4,4). Het voortbrengsel der
waaiers (p) en (q), die de puntenreeksen (C,) en (Ca) af-
beelden, is dus eene Jcromme van den achtsten graad
die de waaiertoppen P en ^ tot viervoudige punten heeft,
en de singuliere punten en tot dubbelpunten, omdat
er in elk^ der vlakken 03 en twee kegelsneden liggen,
die op d\' rusten, daar d\'^ elk dezer beide vlakken in twee

punten snijdt. Van elk der groepen I en II behooren dus
twee exemplaren tot de hier beschouwde. We kunnen het
beeld van het oppervlak A dus aanduiden door (P^ Q^ Sj Sj),
De krommen (P^ Q\' 6|) en A^ (P^ Q\'^ S, S,) snijden elkaar
in 8X4 — 2X4X2 — 2X2X1 = 12 niet-singuliere
punten. De rechte l ontmoet dus twaalf op d\'^ rustende
krommen p^ der [/j^]; zij snijdt het oppervlak A dus in twaalf
punten, dus is dit een oppervlak van den tivaalfden graad,
We besluiten hieruit tevens tot de volgende waarheid:
De congruentie bevat twaalf krommen p^, die rusten op
een gegeven rechte l en een gegeven kegelsnede d\'.

De krommen SHPV^ISD en (p^ (P^ Q^ S^ S^) en ook de
krommen è^P\'Q^^Sl} en e^P^Q^SjSl), welke laatste het
beeld is van het oppervlak, gevormd door alle krommen p^
der [^3], die op een gegeven kegelsnede s\'^ rusten, snijden
elkaar in 8X8 — 2X4X4 — 2X2X2 = 24 niet-singuliere
punten.
Wij leiden hieruit af:

1°. dat er vier en tivintig krommen p^ der zy7i, die
^P een gegeven kegelsnede rusten en aan een gegeven vlak
1\'aken;

2quot;. dat er vier cn twintig krommen p^ der [^j^] zijn, die
op twee gegeven kegelsneden rusten.

De krommenbsp;heeft de singuliere punten

S^ tot dubbelpunten, snijdt elk der stralen 72 en pi in
Vier niet-singuliere punten, elk der stralen q^i., qn, pu en pis

twee niet-singuliere punten en de kegelsnede (P
in 8X2 — 2X4—2X2 = 4 niet-singuliere punten. Eindelijk
gaan er door elk punt van ci en ook van cz vier krommen
P^ van A12.

Uit het bovenstaande volgt, dat op het oppervlak A^^ ge-
®gen zijn: drie viervoudige rechten, Ci, Ci en (^12; zes dubbel-
wachten, da, di, da, dia, du en dia en vier stralen van elk der
Waaiers (Ai ci) en (Ai Ci), dat zijn dus acht enkelvoudige
\'^Gchten.

Op A\'^ liggen behalve «Z^ vier en twintig kegelsneden, waarvan
acht met elk der enkelvoudige rechten, twaalf met elk

der duhbelrechten en vier met de viervoudige rechte dn
ontaarde figuren p^ der [/j»] vormen. Bij de behandeling van
het oppervlak A ^ dat gevormd wordt door alle krommen p^
der die op een gegeven rechte l rusten en dat afgebeeld
wordt door de kromme A^ (P^nbsp;hebben we opgemerkt,

dat er één kromme p\\ der [/j^] is, die Hot ^oort^e heeft. Deze
kromme p\\ is dientengevolge dubbelkromme op A^ en haar
beeld in het tafereel is dubbelpunt van A^

Ten aanzien van het oppervlak A^^ kunnen we nu vragen
naar het aantal krommen p\' der [p% die de kegelsnede d^
tweemaal snijden. Dit aantal bedraagt zeven.

Immers: de kromme ^^ (P^nbsp;is rationaal- zij bezit

dus 1/2X7X6 = 21 dubbelpunten. De beide viervoudige
punten P en Ö zijn elk gelijkwaardig met ^\'2 X 4 X 3 = 6
dubbelpunten, zoodat ^^ behalve P, Q, S, en S, nog 21 - 2 X
X 6 —2X1=7 dubbelpunten heeft. Deze kunnen niet
anders zijn dan beelden van krommen p^ der [p\'l die de
kegelsnede d^ tweemaal snijden.

Deze zeven krommen der [p^] zijn dubhelkrommen op het
oppervlak A\'l De doorsnede van twee oppervlakken A\'2
behoorende bij de kegelsneden d^ en ^2 bestaat uit: de vier
en twintig krommen ^^ ^er ^ie op beide kegelsneden
rusten de drie viervoudige rechten en de zes duhbelrechten.
Zij IS dus van den graad

24 X 3 3X 16 6 X 4= 144.
§ 2 Zoo algemeen mogelijk gesteld luidt het vraagstuk nu:

Welk oppervlak wordt gevormd door alle krommen der
lp J, die op een gegeven kromme ^c^p rusten?

We kunnen hieraan de voor de hand liggende vraag toe-
voegen :nbsp;^

.. Hoeveel krommen bevat de f^®], die rusten op twee ge-
geven krommen /^p en /u\'^?nbsp;^ e

Om de eerste vraag te beantwoorden behoeft het geen
verder betoog, dat de puntenreeksen (C,) en (G) op c, en «
gerangschikt worden in eene verwantschap (2^ 2p), zoodat
het voortbrengsel hunner beeldstralen een hvmme van im

graad 4p, is, met P en ^ tot 2?j-voudige punten.

Daar de vlakken 03 en door de kromme /otP elk in p
punten gesneden worden, zijn de singuliere punten SgenSi
i?-voudige punten van de kromme tt-\'p. Deze kan dus voor-
gesteld worden door ^^p (P^p ^^p

Evenzoo zal het oppervlak, dat gevormd wordt door
alle krommen der die op een gegeven kromme pfl
rusten, afgebeeld worden door eene kromme (P^ï S^ S^).

De krommen x*? (P^p ^^p ^ en xHP^ Q\'^ Sa Sè snijden
elkaar in 16 p punten. Hiervan vallen er 4 in P, 4 p in
Q, p in ^3 en p in \'S\'^, dus huiten de singuliere punten.
De rechte l ontmoet dus 6 p krommen van het oppervlak
n, dat door de op (m^ rustende krommen p^ der [/j^] gevormd
Wordt; dit is dus een oppervlak van den graad 6p.

De tweede vraag kan nu ook gemakkelijk beantwoord
Worden.

De krommen z^f (P^p Q^ p S^ -Sp) en (P^i S^ si) snijden
elkaar in 16^ q punten, waarvan er 10jj q in, dus 6^? q
dutten de singuliere punten vallen.

Er zijn dus 6 p q krommen p^ der congruentie, die op twee
gegeven krommen ^p en fjt,\'^ rusten.
Stellen we p — q—i^ dan vinden we naar behooren het
hoofdstuk II gevonden getal zes voor het aantal krommen
P der die op twee gegeven rechten rusten.
Hiermede willen we onze beschouwingen beëindigen.

Stellingen.

Volgens Dr. J. de Vries bevat de [0^], die in zijn proef-
schrift, getiteld: Bilineaire congruenties van kubische
ruimtekrommen, als eerste bijzondere geval van de eerste
algemeene congruentie van Veneroni behandeld wordt,
24 figuren, die uit drie rechten bestaan. Dit is foutief; het
moet zijn 13.

2.

E. Borel: Leçons sur les fonctions entières.

Op blz. 38 bovenaan staat vast:

P^iz)-^ F{2), voor m-^00,

unjform op ieder gesloten, eindig gebied.

Op blz. 40 onderaan heeft hij pas bewezen:

£ I ^^^ Prn t F\' iz), voor m 00.

Dit bewijs is overbodig, wegens eene fundamenteele stelling
van Weierstrass.

3.

S. Chessin zegt in zijn werk: On the analytical theory
Of circular functions, op blz. 288:

Als fiz), hebbende eene reëele periode, in \'teene uiteinde
van een fundamentaalstrook eene bepaalde waarde aanneemt,
dan doet zij dat ook in het andere uiteinde.

Dat is foutief; de functie ƒ = sin (c^\') stelt de onjuist-
heid der bewering duidelijk in het licht.

79
4.

De bewering van Durége in zijn Elemente der Theorie
der Functionen, Einleitung, blz. 11, dat Jetzt allgemdn angenom-
men wird, dat voor a gt; O en amp; gt; O het product — a — 6
gelijk is aan \\/a h, is onjuist.

5.

De bestudeering van de uiteenzetting van het begrip be-
paalde integraal, gegeven door Prof. Dr. Hk. de Vries in
zijn Leerboek der Differentiaal- en Integraalrekening,
deel I § 48, kan leiden tot verwarring.

6.

De definitie van convergent oneindig product, gegeven in
het in Stelling 5 genoemde werk, deel I § 83, is niet scherp.

7.

De afleiding van de formule voor den slingertijd, gegeven
het in Stelling 5 genoemde werk, deel I § 76, blz. 343,

^evat eene leemte. De schrijver vindt voor ^ een vierkants-

Wortel en kiest zonder eenige verklaring den positieven,

^^^wijl juist negatief is; door bij de hierop volgende

integratie de grenzen verkeerd te plaatsen, wordt toch het
goede eindresultaat verkregen.

Het verdient geen aanbeveling, bij het onderwijs in de
^®chauica op de H.B.S. de Infinitesimaalrekening toe te

passen.

80
9.

Er is veel voor te zeggen, het leerplan der Gymnasia in
dier voege te wijzigen, dat ^-leerlingen niet alleen in de
5e klasse, maar ook in de 6« klasse onderwijs ontvangen in
de Kosmografie en hierin worden geëxamineerd.

10.

Van de Waarschijnlijkheidsrekening zijn zelfs de begin-
selen te moeielijk voor Gymnasiaal en Middelbaar onderwijs.

f k-

■•f

é::

u..

... ■

Vïquot;nbsp;* .t ^

in~r gt; JW

; J^Ä