PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN
GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUUR-
KUNDE AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE
UTRECHT OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNI-
FICUS Dr. B. J. H. OVINK HOOGLEERAAR IN
DE FACULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBE-
GEERTE VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT
DER UNIVERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN
VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUUR-
KUNDE TE VERDEDIGEN OP MAANDAG 27 FE-
, BRUARI 1928 DES NAMIDDAGS TE 3 UUR DOOR

Nu ik weldra den eindpaal mijner studie aan de Univer-
siteit zal hebben bereikt, gevoel ik mij gedrongen mijn
dank te brengen aan allen, wier onderricht ik gedurende die
jaren heb mogen genieten.

En wie kan onder die vele geleerden grootere aanspra-
ken op mijne dankbaarheid doen gelden dan gij, Dr. J. van
der Bilt? Toen ik het Zwolsche gymnasium had verlaten
en mijne studie aan deze Universiteit begon, hebt gij mij
eerst in de roeisport ingewijd en in staat gesteld om, als
heilzame verpoozing na ernstige studie, de schoonste streken
van ons schoone vaderland op onvergetelijke tochten te
leeren kennen. Maar tevens zijt gij mijn dux et auspex in mijn
wetenschappelijk werk geworden en gebleven; ondanks uwe
eigene vele en velerlei werkzaamheden hebt gij uw kostbaren
tijd, uw onuitputtelijk geduld en uwe onvergelijkelijke ars
docendi steeds te mijner beschikking gesteld, wanneer ik
met mijne moeilijkheden tot u kwam. Aldus hebt gij de
liefde voor de astronomie in mij gewekt en aangekweekt
en zijt gij het ten slotte geweest, die mij het onderwerp
van mijn proefschrift als geschikt voor mijne krachten hebt
aangewezen. Moge ik u met deze weinige woorden mijne er-
kentelijkheid betuigen voor alwat ik u verschuldigd ben in
mijn leven en werken!

U, Hooggeleerde Nijland, zeer geachte Promotor, zeg ik
dank voor de groote bereidwilligheid, waarmee gij van mijn
specimen hebt wülen kennisnemen: uwe scherpzinnige kritiek
is daaraan op vele plaatsen ten goede gekomen.

Dat ik, Hooggeleerde Ornstein, mijn werk aan uw oordeel
heb mogen onderwerpen, dat gij daaraan uw tijd en aan-
dacht hebt willen schenken en het door uwe waardevolle
aanvulHng hebt willen verrijken, zal ik steeds dankbaar
bhjven gedenken.

Dat ik in 1925/26 als assistente van de Ned. Eclipscommissie
heb mogen deelnemen aan de expeditie naar Sumatra en
daarbij onder uwe leerzame leiding, Hooggeleerde Moll en
Pannekoek, Zeergeleerde Van der Bilt en Minnaert,
wetenschappelijk werk heb mogen verrichten, zal ik steeds
op hoogen prijs blijven stellen.

Ten slotte breng ik mijn dank aan de professoren der Fa-
culteiten der Wis- en Natuurkunde te Utrecht en te Am-
sterdam voor hetgeen zij door hunne hooggewaardeerde
colleges tot mijne wetenschappelijke vorming hebben bijge-
dragen.

De beschouwingen, in dit proefschrift neergelegd, vinden
haar oorsprong in eene bestudeering van de lichtwisseling
der roode veranderlijke ster U (= V4) Cygni. Daarbij moes-
ten de helderheidsschattingen van een betrekkelijk groot
aantal waarnemers verwerkt worden tot materiaal voor een
homogene lichtkromme. De moeilijkheid deed zich daarbij
voor, dat de helderheidsindruk van een waarnemer afhanke-
lijk bleek van de opening van zijn kijker en dat de verschil-
lende waarnemers der, opvallend gekleurde, ster helderheids-
indrukken bleken te ontvangen, die onderling, tot een
volle grootteklasse toe, uiteenliepen.

Dit, overigens zeer bekende, verschijnsel wordt geacht te
zijn een uiting van den invloed van de kleur der ster op
den door haar opgewekten helderheidsindruk, een invloed,
die verschillend is voor verschillende oogen.

Het kwam ons daarom belangrijk voor te trachten een
verklaring voor dit verschijnsel te vinden door een onder-
zoek betreffende de wijze, waarop een door het oog ont-
vangen helderheidsindruk moet samenhangen met de energie
en- de kleur van het licht. Op het bestaan van een derge-
lijken samenhang werd het eerst gewezen in 1825 door
Purkinje in de volgende bewoordingen (I.e. blz. 109):
„Objectiv hat der Grad der Beleuchtung groszen Einfluss

\') J. Purkinje. Beobachtungen und Versuche zur Physiologie
der Sinne. Zweites Bändchen. Berlin 1825.

„auf die Intensität der Farbenqualität. Um sich davon
„recht lebendig zu überzeugen, nehme man vor Anbruch
„des Tages, wo es eben schwach zu dämmern beginnt, die
„Farben vor sich. Anfangs sieht man nur schwarz und grau.
„Gerade die lebhaftesten Farben, das Roth und das Grün
„erscheinen am schwärzesten. Das Gelb kann man von Rosen-
„roth lange nicht unterscheiden. Das Blau war mir zuerst
„bemerkbar. Die rothen Nüancen, die sonst beim Tageshchte
„am hellsten brennen, nämlich Carmin, Zinnober und
„Orange zeigen sich lange am dunkelsten, durchaus nicht
„im Verhältnisse ihrer mittleren Helligkeit. Das Grün er-
„scheint mehr bläulich, und eine gelbe Tinte entwickelt
„sich erst mit zunehmenden Tage.quot;

Uit de latere litteratuur is het ons duidelijk geworden,
dat de mededeehngen van Purkinje ertoe geleid hebben om
twee verschillende verschijnselen op zijn naam te stellen, nl:

r. een schemeringsverschijnsel, veróorzaakt door de
omstandigheid, dat bij zeer zwak licht de stajifjes van het
netvlies actief zijn, terwijl bij toenemende energie de kegels
deze functie gaan overnemen en kleurindrukken mogelijk
worden. De helderheidsindruk nu, dien de staafjes naar de
hersenen zenden, is een andere dan de indruk, dien de kegels
geven. Het feit dat dit verschil afhankelijk is van de ver-
deeling der lichtenergie over de verschillende golflengten, is
één verschijnsel waarop Purkinje de aandacht heeft ge-
vestigd.

In de meeste physiologische handboeken, verstaat men
onder den naam van „verschijnsel van Purkinjequot; uitslui-
tend het hierboven genoemde.

2°. een daglichtverschijnsel, hierin bestaande, dat de
helderheidsindruk van de verschillende kleuren op ver-

schillende wijze wisselt met de energie van het hcht. Dit
is o. i. het verschijnsel, dat Purkinje in den eersten zin van
zijn hierboven door ons aangehaalde woorden heeft aangeduid.
Het is later door een aantal onderzoekers, vooral door A.
König, omstreeks 1890 quantitatief onderzocht. F. Arge-
lander en J. A. C. Oudemans vestigden er omstreeks 1856
de aandacht der astronomen op. Zij constateerden nl., dat
een roode ster, in een bepaalden kijker even helder geschat
als een witte, zich in een kijker met een grootere opening
helderder voordoet. Dit verschijnsel wordt bij Müller i)
met den naam van Purkinje bestempeld. Het feit, dat een
waarnemer in staat is de kleur van een ster op te merken,
wijst erop, dat men hier te doen heeft met een functie der
kegels, zoodat wij dit verschijnsel hier ter plaatse en niet
sub 1. noemen. Hoe dit verschijnsel den astronomen op
onverwachte wijze parten kan spelen, is gebleken uit de
zonneparallaxbepaling met behulp van de planeet Mars
in 1924 aan de Kaapsche Sterrewacht 2).

In den loop van dit werk zullen wij met onder naam „ver-
schijnsel van Purkinjequot; steeds het sub 2. genoemde\'ver-
schijnsel bedoelen.

Wij zullen deze inleiding besluiten met een overzicht
van den inhoud der verschillende hoofdstukken.

Hoofdstuk I is gewijd aan de formuleering van het be-
grip „kleurquot;, waarna in hoofdstuk II getracht wordt een
formuleering te geven van den „helderheidsindrukquot;, die
bepaald wordt door de energie en de kleur van het licht.
In hoofdstuk III hebben wij gemeend een bespreking te

\') G. Mijller. Die Photometrie der Gestirne, blz. 10.
\') Zie hierover hoofdstuk V, blz. 87.

moeten geven van de onderzoekingen van Exner, omdat
deze het verschijnsel van PuRKiNjE, zooals wij het hebben
opgevat, niet aanvaardt. Wij meenen in staat te zijn de
argumenten voor zijne opvatting te ontzenuwen.

Tevens worden in dit hoofdstuk de reeds eerder genoemde
quantitatieve onderzoekingen van König behandeld. Het
blijkt dat zij de door ons, in het 2e hoofdstuk, gegeven for-
muleering van den helderheidsindruk bevestigen.

ScHRÖDiNGER heeft in 1920 een kleurenruimte opgebouwd,
waarin het verschijnsel van Purkinje buiten beschouwing
gelaten is. Wij hebben in hoofdstuk IV getracht dit onder-
zoek aan te vullen door aan zijn kleurenruimte een zoodanige
uitbreiding te geven, dat er voor het bewuste verschijnsel
wèl plaats is.

Ten slotte hebben wij in het laatste hoofdstuk den
invloed van het verschijnsel van Purkinje op de helder-
heidsschattingen van sterren nagegaan, en ook daarbij een
overeenstemming tusschen onze theorie en de praktijk
kunnen aantoonen.

Het is ons gebleken, dat bij verschillende onderzoekers
het woord helderheid een verschillende beteekenis heeft.
Daar, zonder een scherpe formuleering van de gebruikte
begrippen, verwarring en misverstand niet kunnen uit-
bhjven, hebben wij gemeend aan onze beschouwingen enkele
definities te moeten laten voorafgaan.

1nbsp;— De objectieve energie. Deze kan worden voor-
gesteld door de betrekking:

Hierin geeft s^ de energie aan, gelegen tusschen de golf-
lengten X en X -f dX. Deze energie kan objectief, met behulp
van physiëche instrumenten, gemeten worden.

2nbsp;— Werkzame energie en kleurindruk. De energie
£, die op het netvhes valt, wordt opgenomen door de hcht-
gevoelige elementj es, die zich hier bevinden en wel door
de kegels of de staafjes, naar gelang van de hoeveelheid
opvallende energie. Wat de kegels betreft, zullen wij
vasthouden aan de opvatting, dat daarin drie functies
werkzaam zijn, die de energie opnemen, en dat elke van
deze grondfuncties haar eigen grondkleurindruk naar de
hersenen zendt. De hoeveelheid energie, welke elke functie
opneemt, hangt af van de verdeeling der energie over de
verschillende golflengten. Wij hebben voor de, door de

drie functies opgenomen energie de benaming „werkzame
energiequot; ingevoerd i).

De verhouding van de drie hoeveelheden werkzame
energie bepaalt den „kleurindrukquot;, door het opvallende
licht gewekt.

3nbsp;— De helderheid. De kegels geven, met behulp
van de werkzame energie, een prikkel aan de vezels der
gezichtszenuw, die door de kegels in aantal verre worden
overtroffen. Men heeft tot dusverre geen onderscheid ge-
maakt tusschen dezen prikkel en de werkzame energie. Wij
hebben gemeend, terwille van een verklaring van het ver-
schijnsel van PüRKiNjE, tusschen de beide begrippen verschil
te moeten maken. Het eerstgenoemde (den prikkel) hebben wij
ook met den naam helderheid (h) van het licht aangeduid.

4nbsp;— De helderheidsindruk. Ten slotte ontstaat er in
de hersenen een helderheidsindruk (H). Deze volgt de wet
van Weber, die Fechner in het bijzonder voor het zien
heeft onderzocht. Deze wet zegt, dat een verandering van
den prikkel, gedeeld door den prikkel zelf, een maat is
voor de verandering van den indruk, d. w. z.:

De benamingen lichtintensiteit, lichtsterkte en lichtkracht zijn
vermeden op grond van de volgende overwegingen:

Het woord lichtintensiteit wordt in de litteratuur nu eens gebruikt
voor de „objectieve energiequot;, dan weer voor de „werkzame ener-
giequot; van een hoeveelheid licht, wat verwarrend werkt. De „werk-
zame energiequot; hadden wij gevoegelijk lichtsterkte of lichtkracht
kunnen noemen, ware het niet dat in de Sterrenkunde beide woorden
tevens voor andere begrippen worden gebezigd (de „Uchtsterktequot; van
een kijker en de „lichtkrachtquot; of „absolute-grootte\'-\' eener ster).

werkzame energie zullen uitwerken en daarna dat tusschen
de werkzame energie en de helderheid, zullen wij tot een ver-
band komen tusschen den helderheidsindruk H en de samen-
stelling van de objectieve energie s.

Het hierboven gezegde geldt voor de kegels. Zoodra de
energie ter plaatse zóó gering is geworden, dat er van het
onderscheiden van kleuren geen sprake meer is en de kegels
uitgeschakeld worden, nemen de staafjes hun taak over.
De lichtindruk, dien de hersenen hiervan krijgen, hangt
op een geheel andere wijze van de energieverdeeling e^ af.
Wij willen dezen indruk den schemeringsindruk noemen,
maar hem in ons werk verder buiten beschouwing laten.

Curiositeitshalve vermelden wij nog, dat door verschil-
lende schrijvers de vier, door ons gedefinieerde, grond-
begrippen achtereenvolgens met den naam helderheid be-
stempeld zijn:

Hillebrand noemt het door ons als schemerings-
indruk gedefiniëerde begrip: „de helderheid van het licht.quot;

Exner2) noemt het door ons als werkzame energie
gedefiniëerde begrip: „de helderheid van het licht.quot;

König 3) geeft aan de grootheid, die wij als „helder-
heidquot; aanduiden, eveneens den naam helderheid.

De ASTRONOMEN Spreken van „de helderheidquot; van een
ster en bedoelen daarmede, wat wij „helderheidsindrukquot;
genoemd hebben.

\') F. Hillebrand, Über die spezifische Helligkeit der Farben.
Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften in Wien. 98
in. 19 (1889).

Het is duidelijk, dat dergelijke verschillende opvattingen
van eenzelfde woord „helderheidquot; tot verwarring en misver-
stand aanleiding hebben moeten geven.

Wij willen aan de formuleering der grondbegrippen nog
de volgende opmerkingen toevoegen:

1nbsp;— De objectieve energie s^ kunnen wij, zooals reeds
gezegd is, met een bolometer of thermozuil meten.

2nbsp;— Indien het oog van twee, op verschillende wijze
verkregen, lichtmengsels, gelijkheid constateert, zoowel wat
kleur als wat helderheidsindruk betreft, dan zijn de drie
gedeelten, waaruit de werkzame energie is opgebouwd voor
de beide mengsels gehjk. Van het onderzoek over mengsels
kunnen wij dus iets leeren over de werkzame energie. De uit-
komst daarvan geldt echter alleen voor het oog van den waar-
nemer.

3nbsp;— Indien men van twee verschillend gekleurde licht-
soorten de energie zóó verandert, dat ze een gelijke helder-
heidsindruk maakt, dan hebben die beide lichtsoorten
een geüjke H en zijn dus ontstaan uit een even grooten
prikkel h. Onderzoekingen omtrent dergehjke verschijnselen
leeren dus iets over het verband tusschen de energie en de
helderheid van het Hcht. Dit verband is eveneens afhanke-
lijk van het oog van den waarnemer.

4nbsp;— Tenslotte wordt door de astronomen direct het ver-
schil in helderheidsindruk van twee sterren geschat. Dit ver
schil is in hooge mate afhankelijk van het oog van den
waarnemer.

Wanneer een hoeveelheid lichtenergie het oog treft, krijgt
de waarnemer van dat licht een bepaalden helderheids- en
een bepaalden kleurindruk. Deze indrukken worden bepaald
door de verdeeling der objectieve energie over de verschil-
lende golflengten.

Het is gebleken, dat iedere kleur verkregen kan worden
als een mengsel van drie elementaire kleuren Hieruit
heeft men afgeleid, dat het menschelijke oog drieërlei orga-
nen bevat, die elk, als ze door licht geprikkeld worden,
een zekeren grondkleur-indruk naar de hersenen zenden. De
verhouding van die drie hoeveelheden grondkleur bepaalt
dan den totalen kleurindruk.

Het onderscheid tusschen de begrippen elementaire kleür
en grondkleur kan dus als volgt gedefinieerd worden: het
eerste begrip is aan de praktijk ontleend, het tweede ont-
staat pas bij het opbouwen van een theorie over het opnemen
van lichtprikkels door het oog.

Als organen voor het zien noemden wij reeds„de kegelsquot;en „de
staafjesquot;. Is de hoeveelheid licht ter plaatse voldoende groot,
dan gebruiken wij daar de kegels, terwijl de staafjes geen
dienst doen. Zelfs het beeld van een lichtbron, zóó klein,
dat slechts één kegeltje (2 tot 4 [ji) getroffen wordt, kan nog

in verschillende kleuren gezien worden. Daaruit bhjkt, dat
in ieder kegeltje de drie soorten organen die de verschillende
grondkleurindrukken opwekken, werkzaam zijn. Bij kleu-
renblinden, dichromaten, resp. monochromaten, denkt men
zich één, resp. twee der soorten organen afwezig. Er zijn
ook monochromaten, die de kegels geheel missen en dus
uitsluitend met de staafjes zien.

Bij toenemende verzwakking van het licht komt er een
oogenblik, waarop de kegels geen indruk meer kunnen door-
zenden. Dan komen de veel gevoeliger staafjes in werking,
welke niet in staat zijn tot het maken van een kleurenonder-
scheid.

Om nu een theorie op te bouwen over de wijze waarop
het oog de prikkels ten gevolge van de hchtenergie ontvangt,
kan men zich voorstellen, dat iedere kegel drie resonatoren
bevat, elk met een eigen trillingsgetal en een zekere dem-
ping. Het opvallende licht brengt hen in trilling en zij zen-
den ieder een grondkleurindnik naar de hersenen.

Verder onderstellen wij, dat de energie, waarmede de
resonatoren zijn gaan medetrillen, een maat is voor de sterkte
van den grondkleurindruk, die naar de hersenen gezon-
den wordt. Deze energie is een zeker gedeelte van de op-
vallende energie en wij hebben haar den naam „werkzame
energiequot; gegeven i). De verhouding van de hoeveelheden
werkzame energie der drie soorten resonatoren bepaalt den
kleurindruk van het opvallende licht.

De energie, waarmede de resonatoren gaan medetrillen
hangt af van hun eigen-frequentie, Vr, vg, vb, en van hun
dempingscoëfficiënten Sg, Sb, waarbij met de indices

r, g en b de resonatoren, die een rooden, resp. groenen en
blauwen kleurindruk naar de hersenen zenden, aangeduid
zijn. Vervolgens is deze afhankelijk van de frequentie v
en de energie e^ van het opvallende licht, en van een moge-
lijke selectieve absorptie in het oog, zoodat de energie e^
hierdoor verminderd wordt tot o^e^.

Indien wij de energie, waarmede de „roodequot; resonator
trilt, pe noemen en de beide andere hoeveelheden werk-
zame energie resp. ye en ^e, waarin s de totale opvallende
energie voorstelt, dan leert de berekening i):

ten. Dit hebben Aigner i) en Exner 2), onafhankelijk van
elkaar gedaan, zij het voor een ietwat andere formule®); het
verschil is echter gering, zoodat hun onderzoekingen hier
overgenomen kunnen worden. Zij komen hierop neer, dat
nagegaan wordt, of de „grondkleurkrommenquot; van König
het verloop van de werkzame energie kunnen voorstellen
voor bepaalde waarden van de eigen-frequenties en de dem-
pingscoëfficiënten. Hierbij is de transmissie-coëfficiënt, o^,
gelijk aan één aangenomen.

Het resultaat is voor de roode en de groene kromme
tamelijk bevredigend terwijl de blauwe kromme van König te
onzeker was om daaruit eenige conlusies te mogen trekken.

en maken nog de opmerking, dat wellicht een betere overeen-
stemming tusschen de door deze getallen bepaalde resonantie
krommen en de krommen van König zou kunnen gevonden
worden, indien men de absorptie in het oog als functie van
de golflengte kende. De absorptie is er wellicht ook voor
aansprakelijk, dat het oog, zelfs van de grootste hoeveelheid
ultraviolet of infrarood geen lichtindruk kan krijgen.

1) F. Aigner, Zur Resonanz-tlieorie des Farbensehens. Sitz. Ber.
Akad. Wiss. Wien lla, 131, 299 (1922).

F. M. Exner, Versuch einer Theorie des Farbensehens. Sitz.
Ber. Akad. Wiss. Wien lla, 131, 615 (1922).

») Het schijnt ons mogelijk, dat hierbij niet in aanmerking is ge-
nomen, dat de amplitude van de kracht tengevolge van de electro-
magnetische lichttrillingen evenredig is met de frequentie.

Het tweede maximum van rood in het gebied dér korte
golflengten zou men misschien door het aannemen van een
tweede eigen-frequentie der „roodequot; resonatoren kunnen
verklaren. Het berekenen van de grondkleurkrommen van
König uit de elementaire-kleurkrommen is echter te on-
zeker om deze eigen-frequentie met eenige nauwkeurigheid
daaruit te kunnen berekenen.

Wij zullen in dit hoofdstuk onderzoeken, hoe de in de
hersenen ontvangen helderheidsindruk H, afhangt van de
drie hoeveelheden werkzame energie,

1 — Tot dusverre heeft men steeds de verandering van
den helderheidsindruk H ten gevolge van een verandering
van de energie e van het licht evenredig gesteld aan het
procentueele bedrag van deze verandering, dit is dus het
quotiënt van de verandering en de waarde van de energie.

De evenredigheidsfactor D is een maat voor de gevoelig-
heid van den helderheidsindruk voor een bepaalde energie-
verandering. De integratieconstante d is de z.g. drempel-
waarde voor de energie. Indien nl. e = d is geworden, is
H = O. Wordt de energie nog kleiner, zoodat e lt; d, dan
zijn de kegels niet meer in staat van deze energie iets op

te nemen; zij blijven in rust, de helderheidsindruk H blijft
nul. Wel beginnen de staafjes hier nu te functionneeren,
doch met den indruk, dien zij naar de hersenen zenden,
hebben wij ons niet verder bezig gehouden.

Deze formuleering is echter niet voldoende om van de,
het eerst door Purkinje opgemerkte en later door König
quantitatief onderzochte bijzonderheid, dat de verandering
van den helderheidsindruk afhankelijk is van de kleur,
rekenschap te geven. Wij willen (3) dus opvatten als een
eerste benadering en trachten een nauwkeuriger formulee-
ring te vinden.

2 — Zooals wij reeds op blz. 6 opmerkten, hebben wij
gedaan dit door onderscheid te maken tusschen den prik-
kel h en de werkzame energie i.

Vatten wij den prikkel op als de som van de drie afzon-
derlijke prikkels, tengevolge van de drie soorten werk-
zame energie, dus

dan komt de sub 1. genoemde opvatting daarop neer, dat
zoowel de prikkel, als de werkzame energie, evenredig met
de objectieve energie zouden zijn. De procentueele verande-

De procentueele verandering van iederen
prikkel is evenredig aan die van de objectieve
energie.

waarin p, y en ß afhankelijk Tan de energie zouden zijn. onder
de oogen gezien. In deze onderstelling zou de resonantie-theorie
door een andere vervangen moeten worden. Zij is echter niet houd-
baar, omdat König (zie blz. 30) opgemerkt heeft, dat de door
hem opgestelde kleurvergelijkingen onafhankelijk waren van energie-
verandering. en omdat ook Exner de constantheid van p v en ß
heeft bevestigd, daar zijn „Weiszwertquot; (zie blz. 35) onafhankeHik
van de energie bleek te zijn.

begrijpelijk is, dat de sub 1. genoemde formuleering van
dH in eerste benadering is ontstaan. Naar analogie van
D, kan men de grootheden R, G en B opvatten als een maat
voor de, voor energieveranderingen der drie grondkleuren
verschillende, gevoeligheid van het oog.
Uit (6) volgt:

Aangezien de prikkel hr alleen veroorzaakt wordt door de
roode werkzame energie pe, en aangezien de eenheid, waarin
de energie uitgedrukt wordt, door de machtsverheffing
van essentieel belang is geworden, steUen wij de integratie-

—nbsp;quot;m-*,

ßquot; 1

Wij hebben hier de eenheid eq voor de drie werkzame
energiehoeveelheden dezelfde genomen. Indien het later,
bij toetsing aan de experimenten, noodig zou blijken daar-
voor verschillende waarden aan te nemen, kan dit altijd

nog geschieden; tot dusverre hebben wij daartoe echter
geen aanleiding gevonden.
Met

bhjkt dus, volgens (4) en (5), de uitdrukking voor den hel-
derheidsindruk H te worden:

Opdat ook in het gebied der zeer zwakke energie, waarvan
de kegels nauweHjks meer in staat zijn, een indruk naar de
hersenen te zenden, deze formule bruikbaar blijve, moeten
wij een kleine wijziging aanbrengen.

A		( S]	/
p —	:	T--	*
			\\

dezelfde orde als p is geworden, begint deze term zijn invloed
te doen gelden en wordt de kleur van het licht veranderlijk
met de energie. Is ten slotte de energie zóó klein geworden,

hiervan een rooden grondldeurindruk naar de hersenen te
zenden. Dezelfde redeneering geldt voor groen en blauw. Wij
noemen r, g en b drempelwaarden van de roode groene en
blauwe werkzame energie.

r g r b.
dan zal er, bij verzwakking der energie, een oogenblik komen,
waarop de groene en de blauwe werkzame energie onder
de drempelwaarde zijn gezonken en de roode nog niet.

In dit geval is het dus mogelijk een zuiveren, hoewel zeer
zwakken grondkleurindruk te krijgen. Van deze mogelijkheid
heeft Exner (zie hoofdstuk III) partij getrokken.

Ten slotte verdwijnt de kleurindruk geheel als de energie de
laatste drempelwaarde

Wij wiUen nog terloops opmerken, dat men dus nooit
kan spreken over de drempelwaarde van een zekere kleur,
daar iedere lichtsoort ten slotte, tot één van de drie grond-
kleuren geworden, onder de bijbehoorende drempelwaarde
zinkt. Alleen als het hcht zoodanig is samengesteld, dat

dan worden de drie opbouwende deelen gelijktijdig „unter-
schwelHgquot; en verdwijnt het licht, zonder van kleur te zijn
veranderd. Dit is gebleken een eigenschap van wit licht
te zijn 1). In het derde hoofdstuk zal ook nog op een geheel
andere wijze bhjken, dat voor wit Hcht

Kortheidshalve zullen wij in het vervolg formule (8)
blijven gebruiken, maar wij wijzen er met nadruk op dat
deze in het gebied der zeer zwakke energie door (8*) moet
vervangen worden.

Wij vragen ons nu af, of formule (8) inderdaad in staat
is, quahtatief rekenschap te geven van het verschijnsel
van Purkinje. Dit is als volgt te formuleeeren: hebben
twee verschiUend gekleurde lichten dezelfde helderheid, dan
veroorzaakt eenzelfde procentueele vergrooting der energie
een grootere helderheidsvermeerdering voor het licht, dat
meer rood bevat.

Hierbij is gereflecteerd zonlicht bij een zonshoogte van onge-
veer 36° bij definitie wit genoemd.

Op analoge wijze blijkt R gt; G te moeten zijn, om van
het verschijnsel van Purkinje qualitatief rekenschap te kun-
nen geven.

Om na te gaan of (8) dit ook quantitatief kan, willen
wij de uitdrukking voor H in een anderen vorm brengen.
Wij zullen trachten ze te ontwikkelen naar machten van
de logarithme van de energie.

Daar wij hebben aangenomen dat p ^^ ^ weinig van
de eenheid verschillen, stellen wij deze factoren voor door

dan kunnen wij de uitdrukking voor den helderheidsindruk
H als volgt ontwikkelen:

en noemen wij ten slotte

r/nbsp;g

\\
	Ig-
/ \\ ^0/

de derde machten van 9, ^ en (]; reeds zoo klein waren, dat
de termen waarin zij voorkwamen verwaarloosd mochten
worden. De vraag of welhcht nog hoogere machten dan de
tweede behooren te worden medegenomen, hebben wij in
hoofdstuk III onderzocht. Bij het toetsen van onze theorie
aan de waarnemingen is gebleken, dat men bij de tweede
machten van 9, x en mag blijven staan, om rekenschap
van de werkelijkheid te kunnen geven.

stemming met formule (8*) de formule (12) den helderheids-
indruk H nauwkeuriger kan weergeven, indien de beteekenis
van «H, @ en «8 is:

Korte bespreking van enkele onderzoekingen van
König en Exner; toetsing aan het experiment.

In dit hoofdstuk zullen wij in het kort het ontstaan en
de beteekenis der „grondkleurkrommenquot; van König behan-
delen. Hierna zullen wij de onderzoekingen van Exner
bespreken en aantoonen dat Exner door een verkeerde
interpretatie van zijn eigen uitkomsten tot een onjuiste
opvatting omtrent het verschijnsel van Purkinje werd
geleid. Ten slotte zullen de metingen van König over het
verschijnsel van Purkinje beschreven worden en zal onze
theorie getoetst worden aan de door hem verkregen uit-
komsten.

Het ligt niet in onze bedoeling een volledig overzicht
van König\'s onderzoekingen te geven. Wij willen slechts
in het kort mededeelen, op welke onderstellingen zijn grond-
kleurkrommen berusten. Deze toch hebben dienst gedaan
bij de ontwikkehngen van hoofdstuk I en zullen ook verder
gebruikt worden.

A. König, Die Grundempfindungen in normalen und anomalen
Farbensystemen. Gesammelte Abhandlungen XXI. Leipzig, 1903.

men zich alle kleuren opgebouwd kan denken uit drie elemen-
taire^) kleuren. Benoemt men de hoekpunten van een
gelijkzijdigen driehoek met deze drie kleuren, dan stelt ieder
punt binnen den driehoek een kleur voor. De verhouding
van de afstanden van dat punt tot de drie zijden van den
driehoek geven daarbij de verhouding aan, waarin men de
drie elementaire kleuren moet mengen om de aangeduide
kleur te krijgen. De eenheden, waarin de drie elementaire
kleuren gemeten worden, zijn zoo gekozen, dat wit, het hcht,
dat bij een zonshoogte van ongeveer 36° door een bewolkten
hemel wordt gereflecteerd, door het zwaartepunt wordt voor-
gesteld. Alle punten op een lijn door het zwaartepunt, aan den-
zelfde kant hiervan gelegen, zijn van dezelfde nuance, echter
in mindere verzadiging, naarmate ze dichter bij wit liggen.
Alle punten op deze zelfde lijn, aan den anderen kant van
het zwaartepunt gelegen, zijn complementair aan de eerst-
genoemde punten; d. w. z. in de goede verhouding gemengd,
vormen zij wit. Een mengsel van twee kleuren vindt men uit
een zwaartepuntsconstructie. AUe bestaande kleuren moeten
door punten binnen den driehoek voorgesteld kunnen wor-
den. Het continue spectrum van zonlicht kan voorgesteld
worden door een lijn, als in Fig. 1 is aangegeven. De
volgende overwegingen leiden daartoe:

1nbsp;— De spectraalgebieden, waarin y gt; 655ti(ien lt;430(^[x
is, leveren elk, voor zoover zichtbaar, slechts één kleur-
indruk van verschillende sterkte. De. genoemde golflengten
kunnen dus gevoegelijk, als „elementaire kleurenquot;, twee
der hoekpunten van den driehoek vormen, R en V.

den, 655 {jifx—630 ptfji en 430 (xji,—475 [/.(jl, van kleuren, die,
gemengd met de aangrenzende elementaire kleur, alle daar-
tusschen liggende spectraalkleuren kunnen leveren. Deze
gebieden bestaan dus uit mengsels van deze elementaire
kleur met een derde elementaire kleur G en wel voor beide
genoemde gebieden dezelfde, daar er anders vier elementaire
kleuren zouden zijn, hetgeen tot nu toe nog niet noodig be-
vonden is. Deze gebieden moeten dus worden voorgesteld
door stukken van de zijde RG en VG.

3 — In het geheele gebied, gelegen in de sub 2. besproken
gebieden, is het mengsel van twee spectraalkleuren altijd
minder verzadigd, dan de daartusschen gelegen spectraal-
kleur van dezelfde nuance. De punten, die de spectraal-
kleuren van dit middengebied vertegenwoordigen, liggen
dus op een kromme, die haar holle zijde naar het zwaarte-
punt gekeerd houdt, en wel zoo, dat alle spectraalkleuren,
in de goede verhouding gemengd, samen wit vormen.

De ruimte tusschen G en de spectraalkromme bevat geen
kleurpunten, daar kleuren, meer verzadigd dan de spectraal-
kleuren niet voorkomen.

Hij maakte daartoe den kleurindruk van een mengsel van
twee spectraalkleuren, Xj en Xj, gehjk aan dien van een
mengsel van twee andere spectraalkleuren, X en X\'. Als de
energie in het spectrum van de golflengte X door Lx wordt
voorgesteld en a, b en c mengingscoëfficiënten zijn, krijgt
hij kleur vergelijkingen van den vorm:

gelden deze vergelijkingen ook voor ieder van de elementaire
kleuren afzonderlijk, zoodat:

bRx, = Rx cR,,
aGx, bG,,^ = Gj, cG,,,
bV,^ = V, cV,,
waarin R,^ de hoeveelheid elementair rood, G,^ de hoeveelheid
elementair groen en V^ de hoeveelheid elementair violet is,
waaruit de spectraalkleur X opgebouwd kan gedacht worden.

De waarden van R^, G^ en V^, afgezet tegen X, vormen dan
de drie elementaire kleurkrommen. Hun verhouding bepaalt
de plaats in den kleurendriehoek.

Het berekenen van de groene elementaire-kleurkromme is
het eenvoudigste. Indien men n.1. mengsels maakt uit
Xi^655(x[x met Xg eenerzijds en X\' = 430|ji(x met X ander-
zijds, dan gaat de kleurvergelijking, daar
Gxi = 0 en G,^, = O

Op deze wijze is men in staat de waarde voor iedere Gx uit
te drukken in Gx^ als eenheid.

In de praktijk is de zaak evenwel niet zóó eenvoudig. De
gelijkheid van twee mengsels toch kan alleen dan scherp
beoordeeld worden, wanneer zij van een tamelijk groote ver-
zadiging zijn. Men moet dus mengsels maken van kleuren
die niet te veel van elkaar verschillen en daartoe is het noodig
andere waarden voor Xj en X\' te kiezen. Gx^ en G^\' zijn dan
niet nul en moeten uit voorloopige metingen volgens boven-
staande methode, benaderd worden. Hiermede berekent
König dan een elementaire-kleurkromme in eerste benadering;
deze levert het materiaal voor een tweede benadering en zoo
verder, totdat een nieuwe benadering geen verandering meer
geeft.

Het berekenen van de roode elementaire-kleurkromme
brengt meer moeilijkheden met zich, daar het roode deel
van het spectrum niet besloten ligt tusschen twee gedeelten,
die geen rood bevatten.

Het is daarom noodig direct met een eerste benadering
voor Rxj te beginnen; deze vindt König uit complemen-
taire kleurmetingen. Denkt hij zich n.1. de drie elementaire-
kleurkrommen zóó geteekend, dat ze denzelfden inhoud
hebben, waardoor de eenheden waarin Rx, Gx en Vx resp.
uitgedrukt worden, zoo gekozen zijn, dat voor het witte
licht

Rw = Gw = Vw,
dan is de complementaire kleur van het elementaire violet
het licht van de golflengte, waarvoor

König teekent nu, als eerste benadering, een R-kromme
van denzelfden inhoud als de G-kromme, die bij X = 720(jL[i.

en bij X = 430{i[^ de waarde nul nadert en door het gevonden
snijpunt met de G-kromme gaat. Hiermede werkt hij weer
op dezelfde wijze voort als bij de G-kromme. en benadert
steeds beter de gezochte kromme, tot een verdere benadering
geen verandering meer brengt.

Ook voor de V-kromme volgt König een dergelijk proces.
Daar in het gebied der grootere golflengten de kleurverge-
lijkingen zeer ongevoehg bleken voor toevoeging van violet
licht, kan deze kromme niet met dezelfde zekerheid getrokken
worden.

Als eindresultaat, verkreeg König na veel tijdroovend
rekenwerk drie elementaire-kleurkrommen, uitgedrukt in onbe-
kende eenheden, welker verhouding zóó gekozen was, dat
de inhouden der krommen aan elkaar gelijk waren, dus

Deze arbeid bracht tevens het door ons in hoofdstuk II
aangehaalde feit aan het licht, dat de door König opgestelde
kleurvergelijkingen onafhankelijk zijn van de totale Ucht-
energie van het spectrum. Hierbij moeten verblindend groote
energie en zeer geringe hoeveelheid energie (in de buurt van
de drempelwaarden) uitgesloten worden.

De conclusie, die König uit bovenstaande resultaten kon
trekken, n.1. dat inderdaad drie elementaire kleuren noodig
en voldoende zijn om er alle bestaande kleuren uit op te bou-

wen, berusten geheel op experimenteele onderzoekingen,
zonder dat er eenige theorie aan ten grondslag gelegd is.

Om nu over te gaan van de elementaire kleuren naar de
theoretische grondkleuren, heeft König verband tusschen
deze beide gezocht. Hij heeft zulk een verband gevonden,
uitgaande van de onderstelling, dat de twee grondkleur-
krommen van dichromaten identiek moeten zijn aan twee
van de drie grondkleurkrommen der trichromaten. Identiek
moet cum grano salis worden opgevat, daar ieder oog kleine
persoonlijke afwijkingen vertoont ten opzichte van een ge-
middelde kromme.

Hij stelt dus iedere elementaire kleur voor door een ho-
mogene lineaire functie van de drie grondkleuren en bepaalt
de coëfficiënten uit bovengenoemde onderstelling; zoo goed
en zoo kwaad als dit ging, daar deze voorwaarde niet vol-
doende was om alle coëfficiënten te leveren.

Hiermede construeert König nu de drie grondkleurkrommen
in het zonnespectrum. Zie Fig. II.

waaruit licht van een zekere golflengte X opgebouwd kan
worden gedacht, dus de drie hoeveelheden werkzame energie,
die dat licht in ons oog opwekt. In onze notatie geven dus dé
ordinaten de waarden van

Nu is uit onderzoekingen van Exner i) gebleken, dat de
aldus door König gekozen eenheden zich verhouden als de
drempelwaarden r, g en b.

De grondkleuren zelf kunnen als volgt gekarakteriseerd
worden: het grondrood is complementair aan X = 497 (xfx,
het grondgroen ligt, in onverzadigden toestand, bij X = 505 fjijx,
het grondblauw ligt, in bijna verzadigden toestand, bij
X - 470 (Zfx.

Uit de verhouding van de bij iedere golflengte behoorende
drie ordinaten kan men nu, in een driehoek, die de drie
grondkleuren tot hoekpunten heeft, de kromme, die het
spectrum van zonlicht karakteriseert, construeeren.

F. Exner heeft getracht de keuze van de hierboven
besproken grondkleuren van König te toetsen aan uitkomsten,
te verkrijgen volgens een, van die van König volkomen on-
afhankelijke, methode. Deze berust op het „verschijnsel van
Bezold-BrÜckequot;, dat men als volgt kan beschrijven. Wan-
neer men een spectrum steeds zwakker maakt, komt er een
oogenblik, waarop van de groote verscheidenheid der kleuren
slechts drie kleuren zijn overgebleven, n.1. rood, groen en blauw.
Deze hebben zich over een steeds grooter gedeelte van het
spectrum uitgebreid, en grenzen ten slotte aan elkaar. Dit
verschijnsel wordt begrijpelijk, indien men veronderstelt,
dat in het roode gedeelte de blauwe en groene bestand-
deelen, waaruit, met het rood, de kleur van de beschouwde
golflengten was opgebouwd, onder de drempelwaarde zijn
gezonken. Alleen het grondrood is overgebleven; en evenzoo
in de andere gedeelten grondgroen en grondblauw.

De golflengten der grenzen tusschen de verschillende ge-
bieden konden door Exner met vrij groote nauwkeurigheid
bepaald worden. Zij bleken zóó nabij overeen te komen met
de snijpunten der door König bepaalde grondkleurkrommen,
dat men, gezien de onzekerheid der bepalingen, de overeen-
stemming als volkomen mag beschouwen.

Exner concludeerde hieruit, dat de ondersteUing, die König
gemaakt heeft om de grondkleuren uit de elementaire kleuren
te bepalen, de juiste is geweest.

F. Exner, Über die Grundempfindungen im Young-Helmholtz-
schen Farbensystem. Sitzungs-Berichte der Akademie der Wissen-
schaften in Wien. III. 857. (1902).

In onze notatie kunnen wij het verschijnsel van Bezold-
Brücke als volgt beschrijven.

volgens dezelfde redeneering, bij verzwakking van de energie,
een oogenblik, waarop men alleen het grondgroen ziet.
De grens tusschen beide gebieden is de golflengte, waar

Nu Exner heeft gevonden, dat deze grenspunten de-
zelfde zijn als de snijpunten van de grondkleur-krommen van
König, heeft deze dus blijkbaar de verhouding van de eenhe-
den, waarin de hoeveelheden grondkleur uitgedrukt worden,
gekozen als die van r, g en b.

De verhouding van de drie ordinaten in de grondkleur-
krommen geeft dus voor iedere golflengte de verhouding

Bij zijn onderzoek betreffende de helderheid van verschil-
lende kleuren heeft Exner een grootheid bepaald, die
eigen bleek aan iedere bepaalde kleur en die hij „Weisz-
wertquot; of helderheid noemde. Aangezien wij in de vorige
hoofdstukken het begrip helderheid geformuleerd hebben (zie
verg. (8) ) is het van belang na te gaan of wij onder het woord
helderheid hetzelfde verstaan als Exner en zoo niet, welke
beteekenis dan gehecht moet worden aan de, door hem inge-
voerde, grootheid.

„Wurde eine Steigerung der Helligkeit durch einen Sector-
„winkel a der Zusatz-farbe hervorgebracht, so kann dieselbe
„Helligkeitssteigerung auch durch einen Weiszsector vom
„Winkel ß erreicht werden; der Quotient ß/a ist das, was
„wir die Helligkeit, oder den Weiszwert der Zusatzfarbe
„nennen.quot;

gt;) F. Exner, Einige Versuche und Bemerkungen zur Farbenlehre.
Sitzungs-Berichte der Akad. der Wiss. in Wien. IIa. 127. 1829. (1918)

vraag. Dit moeten wij trachten te vinden door de methode
volgens welke hij de waarde van den „Weiszwertquot; voor de
verschillende kleuren bepaald heeft, na te gaan.

Volgens de meeste onderzoekers is een directe helderheids-
vergelijking van twee verschillende kleuren zeer bezwaar-
lijk, zoo niet onmogelijk, uit te voeren Ook Exner is deze
meening toegedaan en heeft daarom een methode ontwik-
keld, waarbij deze moeihjkheid ontweken wordt.

Hij maakt hiertoe twee mengsels van de te onderzoeken
kleur met wit, zoodat ze onderhng slechts weinig verschillen
en wel alleen in verzadiging en hij bepaalt polarimetrisch in
welke verhouding de hchtenergie van het mengsel, dat den
grootsten helderheidsindruk maakt, verzwakt moet wor-
den, opdat beide mengsels ononderscheidbaar zijn geworden.
Essentieel hierbij is dus, dat hij beide mengsels zoo weinig
verschillend neemt, dat het steeds mogelijk is, door een energie-
verandering alleen, het verschil voor het oog op te heffen.

Exner bedient zich bij zijn proeven van gekleurde papieren,
zooals die door het instituut van Hering zijn uitgegeven,
en plakt deze op een, bij tal van optische onderzoekingen ge-
bruikte, kleurenschijf. Dit is een schijf, waarop het gekleur-
de en het witte papier in sectoren van de gewenschte ver-
houding geplakt worden. Door de schijf te verdeelen in concen-
trische ringen, kan men op dezelfde schijf een aantal ver-
schillende mengsels samenstellen. De schijf wordt nu in zulk
een snelle rotatie gebracht, dat men de kleuren niet meer
afzonderhjk kan onderscheiden, maar slechts mengsels ziet.

waarin W voorstelt het aantal graden van den witten sector,
en F dat van den gekleurden sector, terwijl

Indien nu x, de Weiszwert van de onderzochte kleur,
de verhouding van de helderheid van één graad van den ge-
kleurden sector tot één graad van den witten is, dan stelt

Exner vergelijkt beide mengsels in zijn Polarimeter.
De energieverhouding van de beide velden hierin, wordt
door draaiing van een oculair met nicol over een hoek a
in reden van tg^ a veranderd. Hij bepaalt nu den hoek a zoo,
dat beide mengsels ononderscheidbaar zijn geworden.
En op het oogenblik waarop Exner

stelt, stelt hij dus een helderheidsverhouding a priori identiek
aan een energieverhouding.

Indien hij later het bestaan van het verschijnsel van
Purkinje loochent, aangezien hem gebleken is, dat de hel-
derheid evenredig met de energie verloopt, dan hebben wij
hier op de plaats gewezen, waar hij deze evenredigheid bij
definitie reeds in zijn beschouwingen heeft neergelegd.

Nu wij aangetoond hebben, dat Exner met den Weiszwert
uit verg. (14) bepaald, niet de helderheid meet, zooals wij

deze gedefinieerd en geformuleerd hebben, vragen wij ons af,
wat dan wel de beteekenis van dezen Weiszwert kan zijn.

Wij noemen de energie, waarmede de schijf per graad
bestraald wordt, s. Laat het witte papier hiervan zooveel
reflecteeren, dat de werkzame energie in de drie resonatoren
ten gevolge van één graad wit

De volgens de beide vergelijkingen (15) en (16) samenge-
stelde werkzame energieën geven dus aan het oog lichtin-
drukken, die noch in kleur noch in helderheid van elkaar
te onderscheiden zijn.

pi = P2; Yi = T2; ßi = ßa; Pi Yi ßi = P2 Y2 ß«
zijn. Dit is echter niet het geval, daar Exner van twee verschil-

lende mengsels is uitgegaan. Hij moet dus op één van die
vier gelijkheden hebben ingesteld. Welke van die vier is
echter niet uit te maken, daar ze, als maar klein ge-
noeg is, alle vier aanleiding geven tot waarden van tg\'^a,
die onderling weinig verschillen. Dit blijkt, wanneer wij tg^a

vier verschillende beteekenissen, die men aan x kan toeken-
nen, waarden aan tg^a, waarvan de verschillen binnen
de waarnemingsonzekerheid liggen.

Om voor de hand liggende redenen zal men aan de vierde
gelijkheid de voorkeur geven. Uit zijn latere onderzoekin-
gen zal deze keuze blijken de goede te zijn geweest

Substitueeren wij dus in pi 4- Ti Pi = P2 Ta P2 ^^
waarden uit verg. (15) en (16) en berekenen dan de waarde
van x volgens (14), dan blijkt, dat

Uit Exners methode om den Weiszwert te bepalen, volgt
dus dat daaraan de volgende beteekenis moet worden gehecht :

De Weiszwert van een kleur is de ver-
houding van de werkzame energie van
één graad van die kleur tot die van één
graad wit.

In het onderzoek, waarop wij boven doelden, is op fraaie
wijze door Exner van de invoering van het begrip Weisz-
wert gebruik gemaakt 2). Hij bepaalt hiermede de verhou-
Zie blz. 43.

•) F. Exner, Zur Kenntnis der Grundempfindungen im Helmholtz-
schen Farbensystem. Sitz. Ber. der Ak. der Wiss. Wien. lla 129. 27.
(1920).

ding van de hoeveelheden grondrood, grondgroen en grond-
blauw waaruit men wit licht opgebouwd kan denken.

Hij stelt, op de kleurenschijf, uit een mengsel van rood,
groen en blauw, welke kleuren zóó gekozen zijn, dat ze aUeen
door geringere verzadiging van de grondkleuren verschillen,
wit licht samen. Ter vergehjking maakt hij wit van dezelfde
helderheid uit een mengsel van zwart en wit papier. Hij vindt
de benoodigde verhouding dus in graden van de sectoren,
die hij met de verschillende gekleurde papieren moet be-
plakken.

Deze verhouding is echter niet de verhouding van de drie
grondkleuren, die in wit aanwezig zijn, daar ieder van de
gebruikte kleuren, in een zekere onbekende verhouding, wit
bevat. Om deze hoeveelheden wit te meten, vergeleek
hij in een spectrophotometer voor iedere golflengte de hoe-
veelheid energie die door een even groot oppervlak van het
gekleurde en van het witte papier werd teruggekaatst.
Met behulp van deze energieverhouding kon Exner uit de
door König opgestelde grondkleurkrommen voor wit licht
de grondkleurkrommen voor de kleur, die hij onderzocht,
opmaken. Aangezien de gekozen kleuren alleen door gerin-
gere verzadiging afweken van de grondkleur, moesten twee
dier inhouden onderhng gelijk en kleiner dan de derde zijn.
Het drievoud van dien kleinsten inhoud, gedeeld door den
totalen inhoud van de grondkleurkrommen van wit licht,
geeft dan de verhouding, waarin de onderzochte kleur wit
bevat.

Exner vermenigvuldigt nu elk van deze drie waarden
met het aantal graden van den hoek waarbij hij de kleuren
tot wit gemengd heeft, en vindt daarmede, op grond van zijn
eigen definitie, de verhouding van de helderheid der drie
grondkleuren, die samen wit vormen.

Om deze uitkomst te contróleeren, werden de grondkleur-
krommen van König zóó geteekend, dat hare inhouden
bovenstaande verhouding hadden. Voor eenige golflengten
werden nu de drie ordinaten bij elkaar opgeteld. Deze som
moet in een constante verhouding staan tot den Weiszwert
van het licht van de beschouwde golflengte. Dit bleek inder-
daad binnen de grenzen der waarnemingsfouten het geval
te zijn. Wel moest Exner, om goede overeenstemming te
verkrijgen, de krommen van König iets veranderen, maar dit
is begrijpelijk, daar deze voor het oog van König gelden,
terwijl de Weiszwert-bepalingen der verschillende golflengten
met Exner\'s oog waren geschied.

Dit resultaat geeft vertrouwen in de gebruikte methode
om den Weiszwert te bepalen, welke methode ons, in ver-
band met hetgeen wij op blz. 39 opmerkten, tamelijk onge-
voelig scheen.

Wij zullen er nu toe overgaan, dit onderzoek van Exner
te beoordeelen aan de hand van onze notaties en de door
ons veranderde beteekenis van het begrip Weiszwert.

De inhouden van de drie grondkleurkrommen, die hij
voor de onderzochte kleur F opmaakte, verhouden zich
(zie blz. 32) als

wert, dus de werkzame energie van de hoeveelheid grond-
rood, die één graad van de onderzochte kleur bevat, in ver-
houding tot de werkzame energie van één graad wit papier.

de hoeveelheid blauwe werkzame energie, die te samen met
de berekende hoeveelheid roode werkzame energie wit vormen.

Wij hebben bij het genoemde onderzoek eenigszins uit-
voerig stilgestaan omdat, behalve dat de verkregen resultaten
van belang zijn, dit er bovendien op wijst, dat van de op
blz. 39 genoemde vier interpretaties van het begrip Weisz-
wert de door ons gekozene de eenige mogelijke is. Hadden
wij n.1. Exner\'s Weiszwert als

willen interpreteeren, hetgeen in verband met de wel verkon-
digde^ meening, dat de helderheidsindruk in hoofdzaak door
het roodgehalte in een kleur veroorzaakt wordt, denkbaar
ware geweest, dan zou de Weiszwert voor het grondgroen en
het grondblauw nul hebben moeten zijn, welke waarde door
Exner niet gevonden is.

Aangezien Exner den Weiszwert ook den naam helderheid
gaf en hij voor den Weiszwert eener kleur een waarde vond
onafhankelijk van de energie, waarbij deze bepaald werd,
concludeerde hij hieruit, dat de helderheid eener kleur niet
verandert met de energie en dat dus het verschijnsel van
Purkinje, zooals wij dat sub 2 (blz. 2) genoemd hebben,
niet aanwezig is. De uitkomsten van König, die wèl op een
dergelijke afhankelijkheid wezen, schuift hij op rekening van
de Brillanzquot; der kleur, welke een-juiste schatting van de
helderheid van verschillende kleuren zou beletten.

Dit komt ons voor slechts woordenspel te zijn. Immers,
of men aan een hoeveelheid lichtenergie van zekere kleur
een constante grootheid, (die men met den naam helderheid
bestempelt), plus een grootheid („Brillanzquot;), die met de ener-
gie verandert, toekent, dan wel of men deze beide grootheden
samen helderheid noemt, (die dan wèl varieert met de
energie) komt in het wezen van de zaak op hetzelfde neer.

Ook langs een meer directen weg tracht Exner nog het
bestaan van het verschijnsel van Purkinje na te vorschen.
Deze methode berust waarschijnlijk op een vergissing.

Hij stelt daartoe op een kleurenschijf een mengsel van
rood en 360—9° zwart samen en een tweede mengsel
van rood en 360—zwart. Bovendien maakt hij het
verschil tusschen beide mengsels grooter, door ze met ver-
schillende, bekende, hoeveelheden energie, Sj en Sg, te be-

\') F. Exner. Zur Kenntnis des Purkinje\'schen Phenomens. Sitz.
Ber. Ak. Wiss. Wien. IIa, 128, 71 (1919).

stralen. De hoeveelheden lichtenergie, die het oog van beide
mengsels opvangt, verhouden zich dus als

Volgens het verschijnsel van Purkinje is bij dezelfde
energievermeerdering de helderheidstoename voor rood an-
ders dan voor blauw. De helderheid is dus niet evenredig met
de energie, zoodat de helderheidsverhouding dier beide

nu na te gaan of deze ongelijkheid al dan niet bestaat, wil
Exner deze helderheidsverhouding meten, maar hij gebruikt
hiervoor zijn Polarimeter, waarin hij slechts energiever-
houdingen meten kan. Dat hij hierbij dezelfde waarden
vindt, bewijst niets omtrent het al of niet bestaan van het
verschijnsel van Purkinje.

Hiermede gelooven wij voldoende aangetoond te heb-
ben, dat op deze gronden het verschijnsel van Purkinje
niet ontkend mag worden en gaan wij over tot de onder-
zoekingen van anderen over dit verschijnsel.

König heeft in 1891 metingen over het verschijnsel
van Purkinje gepubliceerd. Wij zullen in dit hoofdstuk
nagaan of zijn resultaten overeenstemmen met wat uit de
door ons opgestelde theorie verwacht mocht worden. Ingeval

A. König. Ueber den Helligkeitswerth der Spectralfarben bei
verschiedener absoluter Intensität. Ges. Abh. zur Physiol. Optik. XX.
Leipzig. 1903.

van overeenstemming zullen wij trachten uit de genoemde
metingen eenige getallenwaarden voor de door ons inge-
voerde grootheden te verkrijgen.

Wij moeten daartoe aanvangen met een kort overzicht
van König\'s methode van onderzoek.

Hij koos in een gasHchtspectrum, verkregen met een spleet
van bepaalde breedte, de helderheid van het golflengtegebied
535 fifx als vergelijkingsobject en onderzocht, met behulp van
een tweede spectrum, welke spleetbreedte hij voor andere
gebieden moest instellen, om daarvan eenzelfden helderheids-
indruk te krijgen. Dit is buitengewoon lastig te constateeren
en pas na veel oefening verkrijgt men eenige zekerheid in
de schattingen. Waar een verandering van de spleetbreedte
alleen niet meer gebruikt mocht worden, daar anders het
onderzochte Hcht niet meer voldoende monochromatisch zou
zijn, heeft hij andere middelen gebezigd, om de energie meet-
baar te versterken, en daarna deze veranderingen omgerekend
tot de theoretische spleetbreedten, waaruit ze konden worden
beschouwd te zijn ontstaan. Wij zullen de bijzonderheden van
deze werkwijze in het midden laten en ook het door hem
gebruikte toestel niet beschrijven, daar dit in zijn eigen pu-
bHcatie uitvoerig is geschied. Genoeg zij het te vermelden,
dat hij er in slaagde een reeks „gelijkwaardige spleetbreedtenquot;\'
te verkrijgen voor verschiUende golflengten. Hij herhaalde
deze metingen telkens bij een andere energie van 535

In tabel I geven wij eenige van zijn uitkomsten. In de ko-
lommen 2—9 vindt men, telkens voor een andere energie
van 535 [ijx, de gelijkwaardige spleetbreedte Sx voor de ver-
schillende golflengtegebieden aangegeven.

De energie van 535 [i[ji in geval A, welke wij met ea aan-
duiden, was zóó klein dat er bijna geen kleuren meer in het
spectrum te onderscheiden waren. De energie van 535 (xji. in
geval B is X e^ en die voor de gevallen C—H resp. 2®, 2^quot;,
212, 2quot;, 216 en maal ea-

In deze getallenwaarden is het verschijnsel van Purkinje
duidelijk aanwezig. Het zou n.1. doen verwachten, dat de ge-
bieden, die meer grondrood bevatten dan 535[jl(ji., bij een ver-
grooting van de energie sneller helderder worden dan 535(ji.|j.
en dus een telkens kleinere spleetbreedte noodig hebben
voor een gelijken helderheidsindruk, en dat voor de gebieden
met een kleinere roodresonantie dan 535fji[i,, de benoodigde
spleetbreedte steeds grooter zou zijn.

De in de drie bovenste rijen afdalende, in de drie onderste
rijen opklimmende getallen in de tabel van König bevestigen
deze verwachting.

Deze getallenwaarden gelden nu voor het speciale geval
van een gaslichtspectrum, met bepaalde dispersie verkregen.

Om ze hiervan onafhankehjk te maken moeten wij ze zoodanig
reduceeren, dat over het geheele spectrum de eenheid van
spleetbreedte eenzelfde hoeveelheid energie vertegenwoordigt.
König heeft de energieverdeehng in het door hem gebruikte
spectrum medegedeeld (zie tabel II), waardoor wij gelegen-
heid hadden de „gelijkwaardige spleetbreedtenquot; sx tot ge-
lijkwaardige energiehoeveelhedenquot; px, om te rekenen. Wij
hebben deze uitgedrukt in e^ als eenheid en de logarithmen
hiervan in tabel III gegeven.

Hiermede hebben wij alle gegevens verzameld, om onze
theorie te kunnen toetsen aan het experiment.

Daartoe vragen wij ons af, welk verband er, volgens de door
ons in het tweede hoofdstuk ontwikkelde theorie, moet
bestaan tusschen de „gelijkwaardige energiehoeveelheden,quot;
dat wil zeggen, tusschen de energiehoeveelheden ex der ver-
schillende golflengtegebieden, die denzelfden helderheids-
indruk Hx = H535 geven.

Hierin zijn, zooals wij zagen, L, M en N functies van de
kleur van het licht, en van de kleine grootheden 9, x en t};,
die verband houden met de gevoeligheid van het oog voor
de drie grondkleuren. De coëfficiënt N, die de tweede mach-
ten van 9, X en bevat, is reeds een zeer klein getal en voor-
dat wij de reeksontwikkeling verder voortzetten, willen
wij eerst nagaan of de boven gegeven formuleering wellicht
reeds voldoende rekenschap van de uitkomsten van König
kan geven.

en verder Briggsche logarithmen invoeren, log e = m noe-
mend, dan gaat (19) over in

Daar, zooals uit de beteekenis van N in (11) blijkt, de coëf-
ficiënten A en C positief zijn, is (23) de vergelijking van een
hyperbool, waarvan het middelpunt tot coördinaten heeft:

Daar A en D alleen afhankelijk zijn van de kleur van 535[x[jl
en dus constant zijn, bepalen de vergelijkingen (23) voor
de verschiUende golflengten een stelsel hyperbolen, welker
middelpunten en toppen op de lijn

In Fig. III en IV hebben wij de, aan Tabel III ontleende,
coördinaten ^ en r; tegen elkaar afgezet. Het bleek inderdaad
mogelijk, door de zoo verkregen punten hyperbolen, vol-
doende aan de boven gevonden eischen, te trekken.

Hiermede is dus aangetoond, dat de uitkomsten van de
proeven van König de door ons in het tweede hoofdstuk ont-

wikkelde theorie bevestigen en tevens dat een ontwikke-
Hng tot en met de tweede machten van 9, x en t}; noodig
en voldoende is.

Om tusschen de punten van König telkens zoo goed moge-
lijk een hyperbool te leggen, trokken wij er eerst op \'t oog een
kromme door. Hieraan werden vier, ongeveer aequidistante
punten ontleend, en hunne coördinaten in verg. (23) ingevoerd
om daarvan de constanten te berekenen. Door telkens de
kromme, die wij er op het oog door getrokken hadden, een
weinig te varieeren, hebben wij ten slotte een stel hyper-
bolen verkregen, waarvan de middelpunten dezelfden abscis
hebben. Daar ook dit nog op verschillende manieren te
bewerkstelligen was, hebben wij ten slotte een keuze moeten
doen en zijn wij gekomen tot de in Tabel IV aangegeven
waarden voor de constanten.

In Fig. III en IV hebben wij de hyperbolen geteekend, die
met behulp van de gevonden coëfficiënten berekend zijn.

De reeksontwikkeling (12) bldz. 23 leidt dus tot overeen-
stemming met de experimenten. Daar de formuleering vaii
het begrip helderheid in het 2de hoofdstuk op plausibele over-
wegingen berust, meenen wij te mogen aannemen, dat voor
iedere golflengte en iedere door König gebruikte energie
voldaan is aan de voorwaarde (13)

Hoewel het niet mogelijk is, uit deze voorwaarde de groot-
heden N535 en g te bepalen, stelt zij ons toch in staat daarvoor
plausibele waarden aan te geven.

Wij kunnen voor g een bepaalde waarde aannemen en
voor een bepaalde golflengte berekenen welke waarden Ngsg
moet hebben, opdat de vorm (25) gelijk aan 1 en — 1 wordt.
Probeeren wij deze gelijk — 1 te maken, dan bhjkt, dat dit
niet mogelijk is voor reëele waarden van N535. Wij behoeven
dus alleen een gelijkstelling aan 1 verder te onderzoeken en
bepalen de waarden N535 bij eenige onderstellingen voor g. Voor
iedere golflengte van Tabel IV vinden wij een kromme, die
de bij elkaar behoorende waarden van g en N535 geeft. Wij
geven de krommen voor de beide uiterste golflengten, 430ti[i,
en eSOmi. De mogelijke waarden van N535 liggen blijkbaar
binnen het gedeelte van het vlak, dat door de krommen
van alle golflengten omsloten wordt.

Hoe kleiner g is, voor een des te grooter energie-gebied geldt
de voorwaarde (25).

Wij hebben, om een denkbeeld van de grootheden L, M en
N te kunnen krijgen, voor N535 de aanvankelijk constante

bovenste grens 0.063 aangenomen en voor de keuze van g
verder het volgende overwogen. Uit (22) volgt

moet bestaan, kwam bij het afzetten van hun waarden uit
Tabel IV op verrassende wijze tot uiting, zie Fig. VI,
hetgeen bewijst dat wij terecht de waarden van onze coëffi-
ciënten aan (22) ontleend hebben.

Wij verwachten voor M^ en N^ een zeer verschillend ver-
loop, blijkens hun beteekenis in (11). Indien wij g kiezen
tusschen —8.60 en — 10,00, verkrijgen wij een M^-kromme,

In eerste benadering is Mx= 1. Wij verwachten dus nu
waarden voor M^, om de waarde één gegroepeerd.

Met de gevonden waarden voor g en N535 hebben wij uit
Tabel IV en uit (22) de grootheden Nx, Mx en L535—Lx be-
rekend en in tabel V weergegeven.

De waarden Mx verschillen weinig van de eenheid, en
zijn inderdaad voor de lange golflengten het grootst. De
waarden Nx zijn van een lagere orde dan de waarden Mx— 1,
zooals (22) deed verwachten.

Als controle hebben wij getracht, althans in eerste bena-
dering, een, van het bovenstaande onafhankelijke schatting
van de grootheid Lggg—Lx te verkrijgen. Wij hebben deze
L\'636—L\'x genoemd, en als volgt berekend.
Volgens (11) is

Uit de ordinaten van de grondkleurkrommen van König
(blz. 31), vermenigvuldigd met de coëfficiënten van Exner,
zie (18) en gereduceerd op gelijke energie voor alle golfleng-
ten 1), kunnen wij de waarden van p, y en p berekenen, uit-
gedrukt in een onbekende eenheid. De waarden voor L\'ggg_L\'x,

die hieruit volgde, hebben wij in de laatste kolom van Tabel V
gegeven. De overeenstemming is bevredigend; zij is beter
dan wanneer wij voor g de waarde —8.60 hadden aange-
nomen en de afwijking is in de richting, die men verwachten
kan. Dit geeft ons vertrouwen in de gemaakte onderstellingen.

Al geeft tabel V dus niet de juiste waarden voor de door
ons in het tweede hoofdstuk ingevoerde coëfficiënten, zoo
mogen wij toch wel concludeeren, dat ze zeer plausibel zijn.

2nbsp;— tabel V geeft zeer plausibele waar-
den voor de door ons ingevoerde groot-
heden,

\') gcbniiktcn hiertoe dc door F. Aignkr gegeven cncrgievcrdee-
ling in the zonncspcctrum. Sit*. lier. Akad. Wim. Wicn. Ila 131 304
T»M IV.

1 ij kingen van König zijn betrouwbaar,
een dergel ij ke heterochrome vergel ij king
is dus mogelijk^) en de helderheid van
een kleur is een mathematisch definieer-
baar begrip 2).

Schrödinger 1) heeft een niet-Eudidische kleurenmeet-
kunde ontwikkeld, zoodanig dat de lengte en de richting
der vectoren een maat zijn voor den helderheidsindruk en de
kleur van een door de coördinaten bepaalde lichtsoort. Hij
legt er sterk den nadruk op, dat hij bij den opbouw hiervan
geen rekening gehouden heeft met het verschijnsel van Pur-
kinje. Daar onze theorie zich juist bezig houdt met de
formuleering van dat verschijnsel, kwam het ons gewenscht
voor, de „Farbenmetrikquot; van Schrödinger in overeenstem-
ming met onze werkhypothese uit te breiden.

Een kort overzicht van de wijze, waarop Schrödinger
zijn kleurenmeetkunde opbouwt, is daartoe noodzakelijk.

Hij merkt allereerst op, dat de kleuren gebleken zijn een
verzameHng te vormen, waarin de begrippen gelijkheid, op-
telling en vermenigvuldiging met een getal ondubbelzinnig
gedefinieerd zijn, en dat bij normale oogen de verzameling
van kleurpunten drie-dimensionaal is. Al deze eigenschappen
zijn aangetoond door proeven, die berustén op het consta-
teeren van gehjkheid van kleurenmengsels. (Vergelijk b.v.
König\'s onderzoekingen blz. 30). Schrödinger neemt als
coördinaat-assen de drie grondkleuren van König (zie het

•) E. SCHRÜDINGER, Grundlinien einer Theorie der Farbenmetrik
im Tagessehen. Annalen der Physik. 63 397, 427, 481 (1920).

derde hoofdst. blz. 31) en drukt de coördinaten (xiXgXg)
in dezelfde eenheden uit, als deze, zoodat de coördinaten van
wit licht zich verhouden als 1 : 1 : 1. Het licht van iedere
golflengte in het spectrum van zonlicht wordt voorgesteld
door een punt in de kleurenruimte, waarvan de coördinaten
door König bepaald zijn.

Wij wijzen er terloops op, dat deze coördinaten in onze
notatie evenredig zijn aan de waarden der drie werkzame
energiehoeveelheden, en in zoodanige eenheden zijn uitge-
drukt, dat

Ware deze kleurenruimte Euclidisch en werd dus de
lengte van den vector gemeten als de wortel uit de som van
de quadraten der coördinaten, dan zou de lengte van den vec-
tor, dus de helderheidsindruk, tweemaal zoo groot worden, als
men de coördinaten, dus de energie van het licht, tweemaal
vergrootte. Dit is echter niet in overeenstemming met de
waarneming, daar de helderheidsindruk logarithmisch toe-
neemt met de energie. De kleurenruimte is dus niet-Euclidisch.
ScHRÖDiNGER tracht nu een kleurenruimte op te bouwen,
die aan deze voorwaarde wèl voldoet.

Volgens Riem ann is de meetkunde voor een driedimensionale
puntenverzameling geheel vastgelegd door de coëfficiënten ajk
in de uitdrukking voor het lijnelement ds:

aik = Schrödinger tracht nu deze functies zoodanig
te kiezen, dat zij rekenschap geven van de eigenschappen van
den helderheidsindruk van het licht.

1 — Indien men alleen de energie van het Hcht van een
zekere kleur verandert, krijgt men wel een anderen helder-
heids-, doch geen anderen kleur-indruk. Dit wil in de taal der
kleurenruimte zeggen, dat, als men een kleurpunt (x^ x^ x,)
in de richting, bepaald door

laat bewegen, de kleur dezelfde blijft. De kleur wordt
dus bepaald door de richting van den vector.

Indien men daarentegen het kleurpunt in een richting
die in Riemannschen zin loodrecht op genoemde richting
staat, laat bewegen, dus over het vlakte-element

dan kan men dit als een zuivere kleurverandering opvatten
waarbij de helderheid constant blijft.

Indien men het kleurpunt van de plaats, die het nu bereikt
heeft, weer langs het daarbij behoorende vlakje van con-
stante helderheid laat gaan en zoo verder, dan beweegt het
zich langs een weg van constante helderheid. Wil het begrip
helderheid bestaansrecht hebben, dan moet dit kleurpunt
na eenige omzwervingen altijd weer in het uitgangspunt terug
kunnen komen. Er moet dus een oppervlak van constante
helderheid bestaan, m. a. w. het Hnker Hd van verg. (28)

De vergelijking h = constant stelt het oppervlak van con-
stante helderheid voor, dat Schrödinger met den naam „iso-
lychnequot; bestempelt.

De integreerbaarheid van (29) legt aan de coëfficiënten
ajk zekere voorwaarden op, en het is de vraag of hieraan vol-
daan wordt, of m. a. w. het begrip helderheid der praktijk een
mathematisch definieerbaar begrip is. Om dit te onderzoeken
zou men de coëfficiënten ai, voor ieder kleurpunt proefonder-
vindelijk moeten bepalen en dan nagaan of zij aan de gestelde
voorwaarden voldoen. Een zoodanig uitgebreid onderzoek
is echter ondoenlijk. Daarom heeft Schrödinger, uit een
beperkt aantal proeven dienaangaande, het bestaan van een
mathematisch definieerbaar begrip „helderheidquot; als vast-
staand aangenomen 1). Hij wijst er echter nadrukkeüjk op,
dat dit een conditio sine qua non is.

2 — Hij tracht nu op grond van verschillende overwegin-
gen aan de coëfficiënten ajk den waarschijnlijksten vorm
te geven, en gaat daarna na of deze aldus verkregen voor-

steUing in overeenstemming met de ervaring is. Wij zullen
de overwegingen, die tot dit doel leiden, in een vorm geven,
die van dien van Schrödinger eenigszins afwijkt.

3 _ Vervolgens houdt hij rekening met het volgende er-
varingsfeit. Uit de onderzoekingen van Exner (Zie blz. 33)
en anderen leidt hij af, dat de helderheid, althans in eerste
benadering, een additieve eigenschap der kleuren moet zijn.
zoodat, als men uit een aantal even heldere kleuren meng-
sels van die kleuren twee aan twee maakt, deze mengsels
onderling weer even helder zijn. Daar Schrödinger, zooals
reeds gezegd, het verschijnsel van Purkinje niet in zijn be-
schouwingen opneemt, heeft hij de helderheidsopvatting
van Exner aan zijn beschouwingen ten grondslag gelegd en
dus h voorgesteld door

Schrödinger denkt in het vervolg de coördinaten uit
gedrukt in zoodanige eenheden, dat de verhouding van de

drie coördinaten, die wit licht representeeren, gelijk wordt
aan de door Exner gevondene en noemt aj xj, ag xg en ag xj
in zijn verdere werk x^ x^ en Xg.

Daar de door Exner gevonden verhouding die van r : g : b
is, verhouden in onze notatie de nieuwe coördinaten zich als
ps : ye : ^s.

1nbsp;UAlquot;

= - y —nbsp;32)

^ ^ Xi

4 — Het is nog noodig rekenschap te geven van de wet van
Fechner. Deze luidt: de verandering van den helderheids-
indruk is evenredig aan de procentueele verandering van den
prikkel.

Verwaarloost men, zooals ScHRÖDiNGER doet, het verschijn-
sel van Purkinje, dan is (ziej blz. 15) de prikkel evenredig
aan de energie en hun beider procentueele verandering dus
dezelfde.

Hierbij denken wij ds in een zoodanige eenheid gemeten,
dat de evenredigheidsfactor één is.
Daar in dat geval (zie (32))

Het verschil tusschen twee kleuren, K en C, die niet on-
eindig weinig van elkaar verschillen, wordt gemeten door

Herinneren wij ons nu, dat König (zie blz. 46) de ener-
gie van een golflengte X zoo regelde, dat de helderheidsin-
druk gelijk was geworden aan dien van een zekere hoeveelheid
energie van golflengte 535 (xfi, dan kunnen wij dit moeilijk
anders opvatten dan als een instelling op „grootste overeen-
stemmingquot; van die beide kleuren. In de kleurenruimte wordt het
licht van 535 [xja voorgesteld door een punt K, dat van X
door een punt C; dit laatste punt wordt langs zijn vector
voortbewogen, tot het op „kortsten afstandquot; van K is geko-
men. Schrödinger stelde de vraag of het punt C zich in deze

positie nu ook op de isolychne door K bevindt; m. a. w. of
in zijn kleurenruimte een instelling op grootste over-
eenstemming inderdaad een instelling op g e 1 ij k e
helderheid is.

Wij kunnen dit probleem als volgt stellen:
Tusschen twee punten K en C is de afstand

Langs welke kromme moet s geïntegreerd worden en waar
moet het punt C liggen, opdat s minimum zij ?

Dit probleem, dat tot het gebied der variatie-rekening
behoort, zullen wij behandelen volgens een methode, die
formeel van die van Schrödinger afwijkt. Zij zal ons later
in staat stellen het probleem zóó uit te breiden, dat van
het verschijnsel van Purkinje rekenschap gegeven kan
worden.

Deze afstand is minimum langs een kromme, die be-
paald wordt door de twee vergelijkingen van Euler:

Door uit (39) en (40) H te elimineeren, vinden wij een
verband tusschen ^ en lt;p:

De constanten Ci en Cj zijn bepaald, doordat dit oppervlak
de punten C en K moet bevatten.

Deelt men teller en noemer van de breuk onder het inte-
graalteeken door COS29, dan wordt deze een functie van tg 9
alleen en integreerbaar:

In onze oorspronkelijke coördinaten blijkt de geodetische
hjn, d. i. de kromme waarlangs de afstand s minimum is,
voorgesteld te worden door de vergehjkingen:

De constanten Ci Cg Cg C4 zijn functies van de coördinaten
van K en C, door welke de geodetische hjn moet gaan.
Voeren wij ten slotte de volgende coördinaten in:

De (X Y Z) ruimte is blijkbaar Euclidisch; derhalve is de
afstand s tusschen twee punten K en C bepaald door:

Voor het invoeren van de minimum-voorwaarde voor s be-
denken wij, dat C zich beweegt langs den vector

Immers ook de waarden Cj en Cg zijn functies van de ver-
houding van de coördinaten van K en C.
De afstand s is dus minimum als

Inderdaad blijkt dus, dat in de door Schrödinger ont-
worpen kleurenruimte een kleurpunt C dat langs zijn vector
bewogen wordt, den kortsten afstand tot een
vast kleurpunt K bereikt, wanneer het op de isolychne
door dat punt gekomen is.
Anders gezegd:

Indien men, door energie-verandering van een kleur C,
deze instelt op grootste overeenstemming met

een bepaalde kleur K, dan heeft men g e l ij k e h e l der-
heid voor beide kleuren verkregen.

Hiermede hebben wij den eenvoudigen vorm van een
kleurenruimte behandeld, zooals deze door Schrödinger op
gesteld is. Wij moeten erbij opmerken, dat alle ruimten,
die men door homogene lineaire transformatie uit deze bijzon-
dere ruimte (ajk = O voor i ^ k) kan verkrijgen, eveneens
aan deze, voor een kleurenruimte gestelde, eischen voldoen.

Wij zullen nu, in aansluiting aan het bovenstaande, een
kleurenruimte trachten op te bouwen op de door ons, in het
tweede hoofdstuk, afgeleide helderheidsfunctie, welke in
tegenstelling met die van Schrödinger wél van het ver-
schijnsel van Purkinje rekenschap geeft.

Ook hierin zullen noodzakelijkerwijze kortste afstand en
geüjke helderheid identieke begrippen moeten zijn. Immers,
König heeft al zijn instellingen gemaakt op grootste
overeenstemming tusschen twee verschillende kleu-
ren, d. i. op kortsten afstand tusschen hun
kleurpunten. En juist om het verschijnsel van Purkinje,
dat zich in deze metingen openbaart, te kunnen verklaren,
hebben wij een andere uitdrukking voor de helderheid
gezocht. Wij hebben dus a priori hierin een identiteit van beide
begrippen voorop gesteld en in een eventueel op te bouwen
kleurenruimte moet deze identiteit aanwezig zijn.

2nbsp;— De onderstelling sub 2 gemaakt, kunnen wij hier niet
overnemen. Wij vervangen deze door de bovengenoemde iden-
titeitsvoor waar de .

dan kunnen wij de uitdrukking voor de helderheid, die zooals
in het 2e en 3e hoofdstuk gebleken is, rekenschap geeft van
het verschijnsel van Purkinje, aldus formuleeren:

Pk Xk = pi (a^i xi ak2 X2 4- a^g Xg) voor x = 1, 2, 3
Wij kunnen hieruit auk oplossen en deze in dsquot; substitueeren.

4 — Weer houden wij rekening met de op blz. 65 genoemde
wet van Fechner, waarin nu echter de prikkel niet evenredig

aan de energie mag genomen worden (vergelijk blz. 16).
Dit leidt dus tot de voorwaarde, dat voor

Wij maken nu de opmerking, dat aan de genoemde idénti-
teitsvoorwaarde voldaan is, als de geodetische hjn in deze
kleurenruimte wordt voorgesteld door

(1 02^)

V 1 -f Ci^ Ca®

In dat geval toch kan men geheel dezelfde redeneering als
die van blz. 70 volgen.

Om na te gaan of inderdaad, voor bepaalde waarden van
ai2. ai3, a23, de door (44*) bepaalde kromme een geodetische

lijn in de door ons besproken kleurenruimte kan zijn, moeten
wij het lijnelement berekenen, waaruit deze geodetische lijn
volgt.

Hieruit zou n.1., volgens geheel dezelfde redeneering als
die van blz. 7 e.v., vergelijking (44*) volgen.

waarin i de werkzame energie en h de helderheid of de prikkel
voorstelt (zie de hoofdstukken I en II).

Indien wij dézen vorm voor het lijnelement vergelijken met
(32*), nadat de waarde van (x uit (33*) daarin is ingevoerd.

dan blijkt deze laatste in (34*) over te gaan, als de coëfficiën-
ten aik de volgende beteekenis hebben:

De ruimte, waarin (44*) de vergehjking voor de geodetische
lijn voorstelt, voldoet dus aan alle voorwaarden, die men aan
een kleurenruimte moet steUen. Bovendien is het duidehjk,
dat andere ruimten, die door een affine transformatie der
coördinaten uit deze afgeleid kunnen worden, niet aan alle
gestelde voorwaarden voldoen. Dan zou niet meer (zie blz. 70)

De kleurenruimte, bepaald door het üjnelement (39*),
heeft boven die van Schrödinger twee voordeelen,

2nbsp;— Zij laat geen vrijheid in de keuze der coördinaatassen
toe. Dit laatste is een voordeel omdat wij ook in de keuze
der grondkleuren geen vrijheid bezitten.

Tot slot zullen wij de kleurenruimte ophouwen in een meer al-
gemeenen zin dan waarin Schrödinger ons deze gegeven heeft.

1nbsp;— Wij denken ons een ruimte met coördinaten x^ Xg X3,
waarin het üjnelement wordt voorgesteld door

2nbsp;— De eerste voorwaarde, waaraan wij het vectorveld 2B
moeten onderwerpen, is, dat de vectoren een potentiaal h,
dien wij helderheid noemen, bezitten. Zoodat, langs een ge-
sloten kromme,

3 — De tweede voorwaarde, die wij aan de ruimte opleggen
is. dat de wet van Fechner moet gelden. D. w. z. langs een
lijnelement met componenten

Met behulp van deze voorwaarden kunnen wij het hjnele-
ment schrijven als een functie van de helderheid h, en van
de drie, nog onbekende, coëfficiënten a^^, a^g, ag^.

Hiertoe drukken wij, met behulp van (46), de coëfficiënten
agj, a33 in de genoemde grootheden uit:

en substitueeren deze, nadat de waarde van \\i uit (47) is inge-
voerd, in ds^. Wij vinden dan:

3 / x„

L d -M

2 \\ X3 /

4 — De laatste voorwaarde, die wij aan het lijnelement willen
opleggen, is de volgende. Indien een punt Ki vast is en een
punt Kg zich beweegt langs zijn vector, dan moet de kortste
afstand KiKg bereikt zijn, als Kg gekomen is in het punt,
waar de potentiaal h dezelfde is als in Kj.

dsa = dHquot; -f fi (y, z) dy2 4- f^ (y, z) dy dz f3 (y, z) dz^ (49)
waarinnbsp;y =nbsp;H = functie van h.

langs de kromme geïntegreerd, die s minimum maakt. Dit
probleem der variatierekening wordt, zooals wij reeds zagen,
opgelost met behulp van de vergelijkingen van Euler. De
bewuste kromme, de geodetische hjn, wordt bepaald door:
ÖF d J)F

Wij kunnen hieruit den vorm van de vergehjking der geo-
detische hjn vinden, zonder dat wij den vorm der functies
f en H kennen.

Substitueeren wij deze functie voor F in vergelijking II,
dan ontstaat een differentiaal vergelijking, die leidt tot een
verband tusschen y en z:

ƒ Vfdz-Y(y, z)
dan wordt de geodetische lijn dus voorgesteld door de ver-
gelijkingen

Dit is een -rechte lijn in de (H, Y, Z) ruimte, welke laatste
dus EucHdisch is. De afstand Kj Kg is gegeven door

Beweegt Kg zich langs zijn vector, dus langs y = const.
z = const. dus langs de lijn

Aan de gestelde voorwaarde is dus voldaan als het lijnele-
ment van den vorm (49) is. Dit legt aan de coëfficiënten ajg,

waarin G een functie van de verhoudingen der coördinaten
voorstelt. G^^, G^a en G31 moeten door cychsche verwisseling
der coördinaten uit elkaar te verkrijgen zijn. Bovendien
moet

moet zijn. Een analoge uitdrukking vinden wij voor G23 en
G31. Hierin stellen gi^ functies van de verhouding der coördina-
ten voor, door cyclische verwisseling uit elkaar te verkrijgen,
waarbij gi2 = g2i, is. De coëfficiënten b en c zijn constanten.
Met het lijnelement

/rlh\\2 ,

ds2=

hebben wij nu een kleurenruimte bepaald, waarin de helder-
heidsfunctie nog in het midden is gelaten, en waarin wij de
keuze van de functies g en de factoren b en c nog in onze
hand hebben.

Deze onderstelhng leidt tot de door Schrödinger ont-
worpen en tevens tot de door ons uitgebreide kleurenruimte.

Ook voor de helderheid kunnen wij een „eenvoudigheids-
onderstellingquot; maken.

Drukken wij n.1. uit (46*) de waarden voor a^, a.22 en agg
in de functie h uit met behulp van (51) dan blijkt:

Als eenvoudigste onderstelling voor een helderheidsfunctie
kunnen wij aannemen dat

Uit analoge redeneeringen voor agg bij x^ = O, X3 = o
en voor agg bij Xj = o, Xg = O volgt dan

Deze helderheidsfunctie is gebleken niet volkomen reken-
schap te kunnen geven van de experimenten. Het verschijn-
sel van Purkinje n.1. kon hiermede niet verklaard worden.

In het voorgaande hoofdstuk is gebleken, dat deze helder-
heidsfunctie goed aan de praktijk voldoet. De exponenten p
behooren weinig van één te verschillen.

In het midden der vorige eeuw werd, onder aanmoediging
en leiding van Argelander, de waarneming van verander-
hjke sterren krachtig ter hand genomen. In den loop der
jaren traden daarbij verschillende physiologische fouten-
bronnen aan het licht. Hagen heeft hieraan in zijn bekende
werk „Die veränderhchen Sternequot; een afzonderlijk hoofd-
stuk gewijd. Door physiologische oorzaken ontstaan de vol-
gende fouten:

1nbsp;— de uurhoek-fout. Een geschat helderheidsver-
schil tusschen twee sterren hangt af van den hoek tusschen
de verbindingslijn en die der oogen.

2nbsp;— de afstand-fout. Het helderheids verschil kan
des te nauwkeuriger geschat worden, naarmate de sterren
dichter bij elkaar gezien worden.

3nbsp;— de interval-fout. De som van de geschatte
helderheidsverschillen tusschen de sterren a en b, en b en c
is meestal grooter dan het direct geschatte verschil tusschen
a en c.

4nbsp;— d e helderheids-fout. Bij het schatten van hel-
derheidsverschillen gebruikt men het kleinste nog zichtbare
verschil als eenheid. Argelander noemde deze (natuurlijk

subjectieve) eenheid een „Stufequot;, een woord, dat wij in na-
volging van vele waarnemers hier over zullen nemen. De
helderheidsfout nu bestaat hierin, dat een bepaalde energie-
verhouding van twee heldere sterren wordt geschat als een
grooter aantal Stufen dan dezelfde verhouding van twee
zwakke sterren.

5 — d e k 1 e u r-f o u t. In 1856 vestigde Oudemans i) op
dit verschijnsel in de volgende bewoordingen de aandacht:

„Etwas Eigenthümliches muss ich schon hier mittheilen,
„das wahrscheinHch auch bereits andern Beobachtern auf-
„gefallen ist, nämUch die verschiedene Helligkeit, welche
„die farbigen Sterne zu haben scheinen, je nachdem man
„sie durch stärkere oder schwächere Fernröhren sieht. Dies
„war besonders auffallend bei dem so rothen Stern T

opening der Leidsche Sterrewacht overtrof voor Oudemans
de helderheid die, welke de ster in vergelijking met een witte
ster in den zoeker bezat, soms met meer dan een grootte-
klasse.

Argelander, Schönfeld en andere nauwgezette waarne-
mers maakten spoedig opmerkingen van dienzelfden aard.
Het verschijnsel was geen ander, dan dat waarop Purkinje,
ongeveer 30 jaar te voren gewezen had maar dat zijn
weg nog niet gevonden had in de astronomische litteratuur.

Het behoeft nauwelijks betoog, dat dit verschijnsel van
Purkinje het verkrijgen van homogene uitkomsten van hel-

J. A. C. OuDEMANS. Zweijaehrige Beobachtungen der meisten
jetzt bekannten veraenderhchen Sternfe. Abh. der math.-phys. Classe
der Königl. Nieded. Akad. von Wissenschaften.
Zie de noot op blz. 1.

derheidsschattingen van sterren in den weg staat. Het eenige,
wat objectief is, zijn de energie van het door den kijker opge-
vangen hcht en hare, met de temperatuur daarvan samen-
hangende, verdeehng over de verschillende golflengten. Wij
kunnen in den regel echter hierover slechts een oordeel krijgen
door middel van ons oog. Daar de gevoeligheid daarvan niet
dezelfde is voor alle kleuren, en deze afhankelijkheid weder
wisselt met de hoeveelheid energie, en zich ook daarbij weder
het subject van den waarnemer openbaart, kan het niet anders
of het bedoelde verschijnsel moet tot groote verwikkehngen
voeren. Vandaar dan ook, dat de lichtwisseling eener gekleur-
de veranderlijke ster, die door een aantal waarnemers met
kijkers van verschillende openingen is waargenomen, zoogoed
als nooit door een homogene lichtkromme kan worden weer-
gegeven.

Hoe het verschijnsel van Purkinje ongemerkt in de waar-
nemingen kan binnensluipen en daardoor den astronomen par-
ten spelen, moge nog blijken uit het volgende.

In 1924 heeft men aan de Kaapsche sterrewacht de zonne-
parallax trachten te vinden uit heliometer-waarnemingen
van de planeet Mars omtrent het tijdstip van hare opposi-
tie Daarbij werden schermen van metaalgaas van drie
verschillende dikten gebruikt, om het, door de eene objec-
tiefhelft geleverde, beeld van Mars zoodanig te verzwak-
ken, dat het door de andere objectiefhelft geleverde beeld
eener ster zonder bezwaar in het middelpunt der Mars-
schijf gebracht kon worden. De verschillende dikten van

H. Spencer Jones and J. Halm. Determination of the Solar
Parallax from observations of Mars secured at the Royal Observatory,
Cape of Good Hope, near the opposition of 1924. II. Heliometer obser-
vations. Monthly Notices R. A. S. LXXXV, 845 (1925).

de schermen waren noodig, omdat de helderheid der verge-
lijkingssterren wisselde van de 6de tot de 8ste grootteklasse.

De waarnemingen leverden een zooveel kleinere waarde
voor de zonne-parallax dan de door dezelfde waarnemers
photographisch bepaalde, dat men er aanleiding in vond te
gaan zoeken naar de eene of andere stelselmatige fout, waar
mede de metingen konden zijn aangedaan. Men heeft deze
inderdaad gevonden. Door de kleurschifting in onzen damp-
kring is het beeld der planeet uitgerekt tot een klein spec-
trum met het blauwe einde naar het zenith gekeerd. De
waarnemer beschouwt het voor hem helderste gedeelte hier-
van als de plaats van de planeet. De door het gebruik der
schermen veroorzaakte energievermindering deed den hel-
derheidsindruk van het roode gedeelte van het spectrum
meer afnemen dan dien van het blauwe gedeelte, zoodat het
punt van maximalen helderheidsindruk, en dus de schijnbare
plaats van de planeet naar het blauwe gedeelte, dus naar
het zenith verschoven werd. De gemeten zenithsafstand
werd daardoor te klein, wat een te kleine waarde voor de
parallax ten gevolge had. De fout was niet meer te herstellen
en het met moeite verkregen waarnemingsmateriaal moest
v/orden ter zijde gelegd.

De sub 1—3 genoemde physiologische fouten passen
niet in het kader van ons onderzoek. De beide laatstgenoemde
echter blijken logisch uit de helderheidsopvatting te volgen,
die wij in het tweede hoofdstuk ontwikkelden, en in het
derde hoofdstuk bevestigd vonden.

uitgedrukte helderheidsverschil over wil
gaan op het verschil in grootteklassen, dat
volgens definitie een maat is voor de energieverhouding.

Schat een waarnemer het verschil in helderheidsindruk tus-
schen twee gehjkgekleurde sterren, a en b.

Deze is een functie van de energie der beschouwde sterren
en wordt kleiner als men haar bepaalt uit helderder sterren.
Dit is in overeenstemming met de ervaring. Fetlaar

heeft in zijn „Contribution to the theory of echpsing binariesquot;^)
de Stufenwaarde van Nijland voor verschillende helderheids-
intervaUen bepaald. Hij vindt hiervoor het volgende:

Om te zien ïn hoeverre dit verioop zich aan formule (55)
aanpast, schrijven wij hiervoor

Uit de door König voor de lichtsterkte van opgegeven
eenheid en het door ons in het derde hoofdstuk bepaalde

Vergelijking (56) geeft dan aanleiding tot vijf vergelijkingen,
in de onbekenden

Daar gemiddeld de Stufenwaarde als O\'quot;! mag worden
aangenomen, maken wij de plausibele ondersteUing, dat

Beide deze waarden zijn van dezelfde orde van grootte
als die welke wij in het derde hoofdstuk vonden (zie tabel V),
een resultaat, dat tot voldoening stemt.

De Stufenwaarde s is blijkens (55) ook des te kleiner naar-
mate men met een grooteren kijker waarneemt; bovendien
is zij afhankelijk van M en N, dus van het oog van den waar-
nemer en van de kleur der sterren. Natuurlijk zijn de sterren
waaruit de Stufenwaarde voor verschillende grootteklassen
wordt afgeleid, niet alle gelijk gekleurd. Maar aangezien in
de praktijk deze waarde voor een bepaald helderheidsinter-
val verkregen wordt als gemiddelde uitkomst, en daarna
meestal nog door graphische vereffening wordt aangepast
aan die, welke voor andere intervallen geldt, kan zij geacht
worden voor een gemiddelde kleur bepaald te zijn en kan
formule (55), zooals ook gebleken is, toch een denkbeeld
geven van het verloop der Stufenwaarde met de energie.

Alvorens te onderzoeken hoe deze uitdrukking van de
opening van den kijker afhangt, moeten wij het volgende
bedenken. Zooals reeds op blz. 24 gezegd is, komt er bij
zwakker worden der energie een oogenblik, waarop de groot-
heden L, M en N niet meer als onafhankelijk van de energie
mogen beschouwd worden. Bij sterren waarvan de kleur het
dichtste een grondkleur nadert, dus bij roode sterren, treedt
dit verschijnsel het eerste op, en nooit bij sterren, die licht
van dezelfde kleur als zonlicht uitzenden, (zie blz. 20).

Wij beschouwen eerst de formule (57) in het energiegebied,
waarin L, M en N constant zijn.

Indien de waarnemer ditzelfde helderheidsverschil schat
in een kijker met een objectief van q x grooter oppervlak,
dan schat hij

De reductieterm, (Ha — Hb)q — (Ha — Hb), waarmede
de waarnemingen met den kleinsten kijker op den grootsten
gereduceerd worden, is dus afhankelijk van de kleur en de
energie der beide sterren en verandert quadratisch met de
logarithme van de kijker-opening.

Is a een veranderlijke ster, dan zet men gewoonlijk den
reductieterm af tegen de waarden (Ha — Hb). Het verband
tusschen beide moet volgens bovenstaande gegevens para-
bohsch zijn.

Dit stelt een parabool voor, waarvan de as evenwijdig
loopt aan de X-as en die open is aan den kant van grootere
X, dus grootere helderheid van de veranderlijke.

Een dergelijk verloop hebben wij inderdaad kunnen con-
stateeren in waarnemingen, welke Prof. Nijland zoo vrien-
delijk was te onzer beschikking te stellen. R Camelopar-
dalis, een veranderlijke

van de kleur 2°.6, naar de schaal
van OsTHOFF, is meermalen in den refractor van 261 mm.
opening en diens zoeker van 74 mm. gelijktijdig geschat. De

gegevens, die wij hiervan kregen, waren uitgedrukt in Stufen,
vermenigvuldigd met een zekere constante en gereduceerd
op een photometrische schaal. De waarnemer noemt het
product een aantal grootteklassen. Indien dit werkelijk
grootteklassen waren, zouden de verschillen tusschen de
waarnemingen met de twee kijkers nul moeten zijn. Om
misverstand te vermijden, hebben wij deze benaming hier
niet gebruikt en de getallen onbenoemd gelaten.

Wij hebben de verschillen tusschen beide schattingen ge-
groepeerd naar de helderheid van de veranderhjke in den
zoeker, in gebieden telkens met 0.50 opkhmmend, en voor
ieder van die groepen een gemiddelde waarde opgemaakt.

Wij noemen den helderheidsindruk in den zoeker Z dien
in den refractor R, en geven de uitkomsten in Tabel VII en
Fig. VII (1).

Zooals men ziet, kan men door de gevonden punten zeer
goed een parabool trekken, die aan de bovengenoemde
eischen voldoet. Alleen de reductie behoorende bij 8.28
valt er buiten. Wij vermoedden, dat dit geweten kon worden
aan een gekleurde vergelijkingsster. Bij navraag dienaan-

Fig. VII. Reductiekrommen van waarnemingen
met een 74 mm. op die met een 261 mm. refractor.

gaande deelde de waarnemer ons mede, dat hij inderdaad
in dat gebied de veranderlijke vergeleken had met een ster
van ongeveer dezelfde kleur (2=.0). Het bedoelde punt moet
dus bij het trekken van de kromme buiten beschouwing bhj ven.

In de tweede plaats willen wij nagaan, welken vorm de
reductiekromme zal verkrijgen bij een zóó roode ster, dat
voor haar één of twee der grondkleuren onder de drempel-
waarde zijn gezonken of op het punt zijn dit te doen. In dit
geval nadert bij het zwakker worden der ster de grootheid
M tot haar grootste waarde R, terwijl N zoo goed als nul is.

Het verschil tusschen de schattingen in den eersten kijker
en in dien met Vq maal grootere opening, mag men dus schrij-
ven als:

waarin de energie van de veranderhjke niet meer expliciet
voorkomt, doch alleen impliciet in de waarde van Ma. Wij
kunnen over het verloop van Y niet in bijzonderheden tre-
den, doch merken alleen op dat, daar Ma grooter wordt bij
afname der energie, de waarde van Y, in tegensteUing met
wat wij zooeven gevonden hebben, bij het zwakker worden
der veranderlijke toeneemt. De waarnemingen van Nijland
van S Cephei (9\'\'.3) bevestigen deze uitkomst. Zie Tabel VIII
en Fig. VII (2).

Bij de sterren, waarvan de kleur tusschen die der beide
besprokene inligt, zullen beide effecten elkaar nagenoeg op-
heffen. Een voorbeeld hiervan vinden wij in R Aquilae
(5M). Zie Tabel IX en Fig. VII (3).

Ook hier is de afwijkende reductie bij 8.86 het gevolg van
een eenigszins gekleurde vergelijkingsster (2®.5).

B — Het geval van twee verschillende waarne-
mers met kijkers van verschillende opening.

Het is, jammer genoeg, noodzakelijk om bij het bewerken
van een veranderlijke de waarnemingen van verschillende
waarnemers met verschillende kijkers te combineeren. Hier-
toe moet men alle waarnemingen op die van één waarnemer
reduceeren.

Het spreekt vanzelf, dat ook voor dit geval de reductie-
kromme een parabool moet zijn. De richting van de as van
deze parabool wordt bepaald door

zooals men gemakkelijk kan nagaan. Met den index 1 is hier
de waarnemer aangeduid, die op den waarnemer 2 gereduceerd
wordt.

Als voorbeeld geven wij twee der reductiekrommen, die
wij bij het bewerken van de hchtkromme van de veranderlijke

U Cygni (8\'=) berekend hebben. De eerste geeft de reductie
van de waarnemingen van van der Bilt met een 4quot;.5
refractor, op die van de Roy, met een 8quot; reflector, de tweede
die van de Roy op die van Markwick, met een 8quot;.5 reflector.
Zie Tabel X en Fig. VIII (1) en (2).

Fig. VIII (1) geeft de eerstgenoemde reductiekromme,
waarin wij voor de abscis en ordinaat een verschillende schaal
gebruikt hebben. Duiden wij de waarden in kolom B aan
met X, die in kolom R —B met Y, dan wordt het eerste
gedeelte van de reductiekromme voorgesteld door de parabool

Het laatste gedeelte is hier niet in opgenomen. Dit heeft
zijn reden in het op blz. 92 genoemde verschijnsel,
dat, wanneer de energie een zekere drempelwaarde bereikt
heeft, de grootheden L, M en N niet meer constant blijven.
Blijkbaar treedt dit hier op even voordat de helderheids-
indruk, aangeduid met 9.00, bereikt is.

De afwijking van de parabool begint hier bij zwakkere
energie van de veranderlijke, daar Markwick en de Roy
beiden een kijker van groote opening gebruiken.

Wij meenen in het bovenstaande te hebben aangetoond,
dat het beschikbare waarnemingsmateriaal onze theorie
bevestigt.

Uit al deze beschouwingen is nu wel afdoende gebleken,
dat de helderheidsschattingen met het oog een zeer persoon-
\'lijk karakter dragen en dat het zeer wenschelijk is, de
energie-verhouding van twee sterren objectief te kunnen meten.

Met een photometer kan men de energie eener ster
alleen dan in een objectieve maat uitdrukken als men in staat
is de kleur van de kunstmatige ster gelijk te maken aan die
van de te meten ster. In een photometer verzwakt men n.1.
de energie der kunstmatige ster k op meetbare wijze (cos^a),
totdat deze denzelfden helderheidsindruk maakt, als de te
vergelijken ster a. Men maakt dus

functie hiervan en van andere grootheden, waarin het kleur-
verschil en een persoonhjk element een rol spelen.

Was men dus in staat de kleur van een kunstmatige ster
gelijk te maken aan die van elke werkelijke ster, dan zouden,
wegens hun objectieve karakter, metingen der energiever-
houding met een photometer verre te verkiezen zijn boven
het schatten van verschillen in helderheidsindruk met het
oog. Tot nu toe zijn echter de pogingen hiertoe mislukt.

Wij willen derhalve dit hoofdstuk besluiten met de op-
merking, dat alleen van directe metingen van de
energie eener ster met behulp van een thermozuil ob-
jectieve uitkomsten te verwachten zijn. In deze richting heeft
men de laatste jaren aan verschillende sterrewachten reeds
goede vorderingen gemaakt.

Blz. 6 noot regel 1 v. o. de woorden „of absolute groottequot;
te schrappen.
7 regel 12 v. o. voor „de vierquot; lees „vier derquot;.
„ 12 regel 12 v. b. voor „conlusiesquot; lees „conclusiesquot;.
„ 15 regel 13 v. b. voor „gedaan ditquot; lees „dit gedaanquot;.

naast (3. Wanneer echter de energie steeds grooter
wordt, komt er een oogenbhk waarop de term ^

begint mede te tellen. De toenemende energie
krijgt ten slotte waarden, waarbij nu p ten op-
zichte

van — verwaarloosd kan worden; evenzoo
y ten opzichte van ^ en p ten opzichte van

Deze verhouding stelt, zooals wij op blz. 35 zuUen
zien, wit voor. Daar wij ons niet met zeer groote
energiehoeveelheden hebben bezig gehouden, heb-
ben wij in onze verdere beschouwingen de tweede

Bij zeer zwakke energie worden de grootheden
L, M en N dus veranderlijk met deze.

30 regel 1 v. b. voor: X = 430 [xpi lees: X = 475 iiyL.
39 regel 3 v. b. voor: echter lees: nu nog.

53 regel 10 v. o. voor: is lees: blijft onder de waarde,
55 De bovenste kromme M^ geldt voor g=: — 12.00,
de onderste voor g = — 8.60.

is dus de energie van 535 gelegen tusschen
die van de gevallen B en C (zie Tabel III).
69 regel 4 v. b. den exponent van den noemer te ver-
vangen door 3/2.

regel 3 v. o. voor: (15) met (14) lees: (40) met (41).
76 regel 6 v. o. voor: (39*) lees: (34*).
82 de formule (52) moet luiden:

90 regel 6 v. o. voor: 10.00 lees: 4.34.

96 regel 14 v. b. voor (Ha — Hb)q lees (Ha — Hb)q.

IK)

• (-^^Jnbsp;/ ^ .ist .t. d \' • d\'^

De in de praktijk gebruikte „grotteklassequot; is een andere
eenheid dan de, als zoodanig, gedefinieerde.

Het is niet waarschijnlijk, dat Pulfrich met den stereo-
spectraal-photometer de helderheid van verschillend gekleurde
Velden meet.

De meening van ten Bruggencate, dat de stand van het
aequatorvlak van een bolvormige sterrenhoop niet samenhangt
met den afstand tot het melkwegvlak, is niet gereclitvaar-
digd.

De afplatting der aard-ellipsoïde kan niet uitsluitend uit
graadmetingen gevonden worden.

De door Ising bedoelde natuurlijke grens voor de gevoelig-
heid van een galvanometer, is in beginsel voor overschrijding
vatbaar.

Het is, ook in het spectrum van een onrustige lichtbron,
mogelijk de verhouding van lijnintensiteiten direct te meten.

In de opstelling van Gallisot en Bellemin voor het bestu-
deeren der scintiUatie kan men het bi-prisma met voordeel
vervangen door een scherm.

dhr	de
hp -	e
dhg	ds
h. -	s
dhb	de
hb ~	e

	fpe\\
		1
		f\'
	I
hb = \|	(t\'
		1

Papier	Mengver- houding	Weisz- wert	Verhou- ding wit	Verschil	Product v/d 2e en 5e kolom
rood......	127°.1	0.420	0.287	0.133	16.90
groen.....	193°.6	0.450	0.384	0.066	12.78
blauw .....	39°.2	0.120	0.110	0.010	0.39

	A	B	C	D	F	F	G	H
650	87.57	13.86	5.978	1.948	0.991	0.667	0.547	0.420
605	8.600	4.291	2.073	0.869	0.451	0.321	0.289	0.274
555	1.232	1.069	1.037	0.876	0.702	0.621	0.603	0.590
535	1.000	1.000	1.000	1.000	1.000	1.000	1.000	1.000
490	2.996	3.057	3.332	4.934	7.971	8.91	9.53	10.06
470	6.486	7.220	7.748	11.033	20.71	22.95	26.65
430	115.4	85.90	119.2	137.9	150.8

	650	605	555	535	490	470	430
	8.88	3.99	1.48	1.00	0.370	0.251	0.114

	A	B	C	D	E	F	G	H
650	2.89	3.29	4.13	4.25	4.56	4.99	5.50	5.99
605	1.53	2.44	3.33	3.55	3.87	4.32	4.88	5.46
555	0.26	1.41	2.59	3.12	3.63	4.18	4.77	5.36
535	0.00	1.20	2.41	3.01	3.61	4.21	4.82	5.42
490	0.04	1.26	2.50	3.27	4.08	4.73	5.36	5.99
470	0.21	1.46	2.70	3.45	4.23	4.97	5.64
430	1.12	2.19	3.54	4.21	4.85

	C	2E	F
X	A	A	A
650	0.43	11.75	37.58
605	0.79	7.80	17.00
555	1.09	3.55	1.45
535	1.00	3.50	0.00
490	0.75	3.50	0.17
470	0.67	3.22	0.70
430	0.85	1.80	2.50

X	Nx	Mx	L535 Lx	T \' _T -\'-\'535 A
650	0.027	1.12	2.05	1.69
605	0.050	1.06	1.12	0.33
555	0.069	0.94	— 0.11	— 0.13
535	0.063	0.88	0.00	0.00
490	0.047	0.73	0.81	1.86
470	0.043	0.66	1.30	2.33
430	0.054	0.67	1.96	2.84

1	ah		X2		X3
	axj	— ai2		ai3	—
[JtXi	Xi		Xi
1	ah		Xi		X3
	axg	a2i		— a23	—
(XX2	X2		X2
1	ah		Xi		X2
	0x3	— agi	—	a32	—
{JLX3		X3		X3

	1 -dh	öh	1
9-12	~ h2 öxi■	0x2
	1 öh	öh	I
^23	~ h2 ÖX2■	ÖX3
	1 öh	öh	1
aai	~ h2 ÖX3■	c)Xi	Xx^

z	R —Z
8,28	^,11
8,71	—0,28
9,21	—0,24
9,75	—0,21
10,24	-0,11
10,63	—0,07

z	R —Z	Z	R —Z
8,77	0,80	8,79	0,23
9,32	—1,02	9,27	0,41
9,74	—1,07	9,67	0,45
10,29	—1,21	10,20	0,37
10,71	—1,18	10,70	0,39
11,05	—1,26	11,19	0,35

B	R —B	R	M —R
6,93	0,67	7,77	—0,20
7,26	0,46	8,18	—0,50
7,74	0,32	8,64	0,72
8,23	0,25	9,25	—0,95
8,80	0,23	10,40	—1,09
9,62	0,18
10,58	0,17

v									/	A	gt;- i 605
								/			X-35i
							/	^—		/—
							/
					lt;	y	1/
				0	y.	/
				V
			gt;	/
	y
		/
/

•i-
						/			/	r
						/	A
					/	/		r
				/	/		/
			—A	/
			/
		/	//	//
	/	//	y
		7
	y
\\ c\\r\\

m	s\')
3.6	0.083
5.9	0.092
8.0	0.099
10.5	0.107
11.3	0.110

	\'-iNb
\\ So /		\\ Eq /