Diss.
Utrecht

1929

l f.quot;
- k

■ • .\'^--i\'.\'.j \' ■

■■Mmiml

mm

■V\'

^.Mm

RADIALE RANDLIMIETEN

VAN HOLOMORFE FUNCTIES
PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN
DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT.
OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS
DR. H. TH. OBBINK, HOOGLEERAAR IN DE
FACULTEIT DER GODGELEERDHEID, VOL-
GENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER
UNIVERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN
VAN DE FACULTEIT DER V^IS- EN NATUUR-
KUNDE TE VERDEDIGEN OP
MAANDAG 6 MEI 1929,
DES NAMIDDAGS TE 4 UUR.

DOOR

WILLEM ANTONIUS MARIA BURGERS

GEBOREN TE NIJMEGEN

bibliotheek DcH

RUKSUNlVEIvöiTülT

Ü t p e C H T,
N.V. CENTRALE DRUKKERI) - NIJMEGEN

-

IC V.^;.

Glan mijn Ouders

llY-^tr

-satei.\'-^\'T^

Bij de voltooiing van mijn academische studies voel ik me gedrongen
een woord van oprecht gemeenden dank te richten tot U, Hoogleeraren
in de Faculteit der Wis- en Natuurkunde, die tot mijn academische
vorming hebben bijgedragen:

tot U, Hooggeleerde DE VRIES, voor Uw colleges die U steeds
zoo aangenaam wist in te kleeden;

tot U, Hooggeleerde ORNSTEIN, voor Uw leiding en gereede
hulpvaardigheid bij mijn practisch werk op Uw Laboratorium, waarbij
ik tevens meen te mogen insluiten U, Hooggeleerde MOLL;

tot U, Hooggeleerde KRAMERS, voor de liefhebberij, die U wist
op te wekken voor de moderne Theoretische Natuurkunde;

tot U, Hooggeleerde NIJLAND, voor het inzicht, dat U op zoo
aangename wijze wist te geven in de problemen der Astronomie.

Tenslotte mijn zeer bijzonderen dank aan U, Hooggeleerde WOLFF,
hooggeachte promotor.

Uw colleges, waar U steeds de moeilijkheden zoo smakelijk wist
te belichten en op te lossen, zullen me steeds een aangename her-
innering zijn.

Weest overtuigd van mijn blijvende erkentelijkheid voor Uw
belangelooze hulpvaardigheid en welwillende leiding, die ik bij de
samenstelling van dit proefschrift van U mocht ondervinden.

- \' . • ■ vir?:nbsp;; •:•■,; •,w^^fe^a^ÄM»

■ap\'nbsp;-VC?\'.■

-^if

_ __• • _nbsp;\'nbsp;•nbsp;•nbsp;- /.\'v./

, ..nbsp;. -pHS ^mf-i\'U\'!

■ \'gt;■■■■ 1 .nbsp;. quot;quot;vnbsp;.J.

■■ \' Vgt;

s®-. ■nbsp;\'\'

INHOUD.

Pag.

INLEIDING....................9

HOOFDSTUK I.

De stellingen van Fatou en Riess............13

HOOFDSTUK II.

De functie van Fatou................20

HOOFDSTUK III.

Constructies van functies die in gegeven concentrische ringen tot
oneindig naderen, alsmede functies, die op volle maat de radiale
limiet oneindig hebben...............24

HOOFDSTUK IV.

Constructies van functies, die op volle maat de radiale limiet nul
hebben.....................35

HOOFDSTUK V.

Uitbreidingen op meervoudig samenhangende gebieden .... 45

. . uéi^ ttfiv ïlïoiiii? îKÎ^^^;:

.71

im t^ t^üm üb 1\' klnbsp;r^t »im^ \'J

y \' ■ ; Àquot;

.V ^JtèmoQ^

INLEIDING.

De belangrijkheid van de kennis der randwaarden van functies, die
holomorf zijn in een zeker gebied, wordt wel sterk in \'t licht gesteld
door het probleem van Dirichlet, dat thans voor het binnengebied
van een willekeurige jordansche kromme is opgelost.
Dit probleem luidt als volgt:

— Construeer een functie, harmonisch binnen een willekeurig
gesloten contour r, zonder dubbelpunten, die op die contour voor-
geschreven continue waarden aanneemt. —

Daar nu de oplossing voor den
cirkel werd uitgedrukt door de
integraal van Poisson
2n

l /* 1 ^
O

waarin u{qgt;) de waarden voor-
stelt, die u{z) moet aannemen
op den rand C en r en p, groot-
heden in fig. 1 aangegeven, kon
dit probleem gelijkwaardig ge-
formuleerd worden als volgt:

— Kan men een enkelvoudig
samenhangend gebied O, be-
grensd door een willekeurigen, gesloten contour r, zonder dubbel-
punten, conform afbeelden op een cirkel? —

Het bevestigend antwoord levert daarom een belangrijke vereen-
voudiging op bij de studie van holomorfe functies, daar men zich nu,
zonder aan de algemeenheid te kort te doen, mag beperken tot functies

holomorf in een cirkel.

Doch ook de integraalstelling van Cauchy laat ons zien, hoe be-
langrijk de rol is, die de randwaarden spelen bij holomorfe functies.
Deze stelling luidt n.1.nbsp;^^^^^ ^^

r

waarbij deze Riemann-integraal moet genomen worden in de positieve

richting langs den contour r. Deze stelling drukt dus uit. dat de
waarden in het gebied G bepaald worden door de waarden op den
rand. Wanneer we nu nog even in herinnering mogen brengen het
voortzettingstheorema van Schwaß en de stelling, dat als een holomorfe
functie nul is in een puntverzameling. die zich verdicht in een m-
wendig punt van zijn holomorfie-gebied, die functie identiek nul is.
dan komen we onmiddellijk tot de volgende belangrijke stelhngen:

I _ Als twee functies Aiz) en Mz), holomorf in den cirkel C. op
den rand van C dezelfde waarden aannemen, dan zijn ze identiek

of anders uitgedrukt:
- Als f(z). holomorf in den cirkel C. op den rand van C de waarde

nul aanneemt, dan is /(z) = O —
en dit geldt dus natuurlijk ook, als we den cirkel vervangen door

een willekeurig enkelvoudig samenhangend gebied.

n.^\'^Ak/(z). holomorf in den cirkel C, op een willekeurigen boog

van den rand nul is. dan is ƒ = 0.
De randwaarden zijn dus criteria voor uniciteitsproblemen.
Deze stellingen waren echter al in denbsp;eeuw bekend.

De ontwikkeling van de theorie der puntverzamelingen. wayb.j
E. Boren een nieuw maatbegrip ontwierp, een maatbegrip veel alge-
meener dan dat van Jordan, alsmede de daarop door H. Lebesgue )
ontwikkelde integraalrekening, hebben aan deze stellingen belangrijke

uitbreidingen gegeven.nbsp;, .

Ter onderscheiding van Riemann-integralen spreekt men van Lebesgue-
integralen. Aangezien echter elke Riemann-integreerbare functie, ook
Lebigue integreerbaar is en dan dezelfde waarde geeft, willen we
afspreken, dat we steeds de Lebesgue-integraal bedoelen. De diffe-
rentiaal. die bij deze integraalrekening geen zin heeft, willen we echter
aanhouden, om de integratievariable aan te geven.

in verband hiermede is nu ook van groot belang de studie van
Fatoü in de Acta Mathematica, tome 30. getiteld: „Séries tngonomé-
triques et séries de Taylorquot; over het gedrag van de integraal van
Poisson, als men die integraal opvat als Lebesgue-mtegraal.
Fatou komt daarin tot de volgende conclusies:

1) Zie Boret: Leçons sur la théorie fonctions.
0 Zie Annali dl Mathematica 1902 „Intégrale, longueur. Alre\'.
C. van Os, Moderne Integraalrekening.

I,nbsp;— Als «(1, (p) begrensd en sommeerbaar is, stelt

2n

O

een harmonische functie voor, die op een volle (p-maat een bepaalde
waarde aanneemt als het punt {q, q) nadert tot den rand langs een
willekeurigen weg, mits deze niet in het eindpunt aan den rand raakt. —

II.nbsp;— Als ü((p) sommeerbaar en niet begrensd is, dan nadert op
volle maat u{q, 0) tot een bepaalde limiet als e-^ 1.

Ook in het z.g. voortzettingsprobleem spelen de randlimieten een
voorname rol. Hadamard onderzocht dit aan de hand van de coëffi-
ciënten van de Taylorontwikkeling der functie. Als typisch voorbeeld

van „Hadamard\'s Lückensatzquot; geven we:

00

/i = 0

f{x) is holomorf in den eenheidscirkel en in geen grooteren. De vraag
is nu, zijn er misschien punten van den omtrek, waar de functie over
den \'eenheidscirkel heen voortzetbaar is? Men bedoelt hiermee: kan
men een functie vinden vW p f(x), die in een deelgebied van den
cirkel samenvalt met f{x), maar ook nog holomorf is in een gebied,

dat een deel van den rand van C bevat?

00

Beschouw nu onze functie: ^ x«!en trek een rationale straal d.w.z.

O

een straal met een argument a = p en geheel en onderling

ondeelbaar.nbsp;x = pe ^

q — 1nbsp;00

n = lnbsp;n = q

Het eerste deel is begrensd, het tweede deel kunnen we als volgt

schrijven: o«\' ...•gt;(?quot;
waarin A willekeurig.
Maar dit is grooter dan gt;4 1 als p 1.

Dus op een overal dichte -p-verzameling is de randlimiet 00, waarmee

tegelijk de onmogelijkheid van de voortzetting is aangetoond.

* ♦

*

We willen ons bij de randlimieten beperken tot de waarden O en oo.
Door een kleine redactie-wijziging kan men dan gemakkelijk de analoge
stellingen afleiden voor eindige waarden.
Achtereenvolgens willen we dan bespreken in hoofdstuk I:
de stellingen van Fatou en Riess.

In hoofdstuk 11: de functie van Fatou, die ook verder een belangrijke
rol speelt.

Daarna levert hoofdstuk 111 ons de behandeling van het door Fatou
gestelde probleem, zooals dit door Lusin en Priwaloff is uitgewerkt.

Deze constructie wordt dan vervangen door een andere, die zijn
uitbreiding vindt in hoofdstuk IV en daar de constructie van Lusin

aanmerkelijk vereenvoudigt.

In hoofdstuk V tenslotte eenige uitbreidingen op meervoudig samen-
hangende gebieden.

HOOFDSTUK I.

§ 1. De stelling van Fatou.

Zij gegeven een functie holomorf in een cirkel om den oorsprong
met straal R. Onderstellen we voorloopig niet anders dan | vW I lt; Af-
stel z = Rx v(z) = yj (Rx) = (p (x)

f{x) is dan holomorf in den eenheidscirkel

I ƒ W KI.

De stelling van Fatou luidt nu:
Op een volle maat bestaat de radiale limiet naar den rand.

We onderzoeken n.1.

z

F(z) = jf{t)dt als z een punt in den cirkel of een punt

O

van den omtrek C is.

De integraal bestaat op het gesloten interval (O — z), omdat op het
open vak de functie gelijkmatig begrensd is. Wélke waarde we ƒ (O
toekennen op den rand C, doet aan de waarde van F(z) niets af.
We weten nu echter wel dat:

z

Inbsp;I f 1/(0 \\dt^\\z-z\'\\,\\z\\lt;l

if 1ilt; 1

Fiz) is dus continu in den cirkel | z | ^ 1.
Neem nu 2 randpunten o en ß. Daar van f{x) op den rand niets
bekend is, moeten we als volgt te werk gaan: Stel on-^ 1 als n-^co

FiOna) - FjQnß)

Qn{a-ß)

F(a) - Fjß)
a-ß

lt; 1 dus tot de limiet overgaande

1

F{z) heeft dus voor | x | 1 een begrensd dlfferentiequotient.
F{z) is continu voor ] x 1 1.

Op den rand kunnen we F{z) opvatten als functie van (p:G{(p).
G(lt;p) heeft een begrensd dlfferentiequotient. We willen nu weten, of

er misschien punten van den rand zijn, waar de afgeleide bestaat.
Denk eerst G{lt;p) reëel.nbsp;, a a nt ^

Zij Ri(p) de rechterbovenafgeleide

en r((p) de rechterbenedenafgeleide d.w.z. hm

R{lt;p) en rilt;p) zijn sommeerbaar, want ze zijn begrensd en limieten
van sommeerbare functies.

Na deze, we zouden haast zeggen: mislukte differentiatie, be-

lt;p

schouwen wenbsp;■gt;p(9gt;)=f dt

a

rp(lt;p) is absoluut continu, d.w.z. als men het ggt; interval verdeelt
in een willekeurig aantal vakken, twee aan twee buiten elkaar gelegen,
en de som neemt van de variatie van w in die vakken, dan is die
som kleiner dan een voorafgegeven getal egt;0. als de som van de

vakken maar klein genoeg is.
Nu is R{lt;p) op een volle maat approximatief continu, d.w.z. dat

de verzameling punten g/, waarvoor geldt:

R(qgt;) - B lt; RW) lt; R{lt;P s)\\nlt;p de dikte 1 heeft.

In die volle maat geldt nu: y)\'{(p) = Rifp)-

De rechterbovenafgeleide van:

_ is nu op volle maat: 0.

Maar óók: Giqgt;) - vi\'P) is absoluut continu. Maar dan is G(lt;p) - v(«r)
constant op het heele vak.

G((p) — ip{(p) = G(a) — v(a) = G(a)
G(9gt;) = G(a).

Op een volle maat geldt dus: = G\'(lt;p) = Rif) = rif) m.a.w.
Gilt;p) is op een volle maat difïerentiëerbaar.

Resumeerend:

Als fiz) holomorf is voor | z |lt; 1, begrensd is voor \\z\\lt;\\,

dan geldt: F\'iz)-fiz) binnen den cirkel.

Op volle maat van den rand bestaat F\'ilt;p).
*nbsp;z

Fiz) = ƒ fit)dt.

F{z) =nbsp;Op den rand:nbsp;= £/(l, lt;p) iT(l, qgt;) = G{lt;fgt;)

AF

lt; 1 dus:
AU

en

Alt;p^ Alt;p

dus op volle maat bestaan: ^ en dus ook G\'{(p).

Om nu verder te komen gaan we de hulp inroepen van de integraal
van Poisson.
U en V zijn harmonisch, dus geldt:

2ji

1 /* 1 ^
uiQ, =nbsp;u{i,lt;p)dlt;p

O

2Jl

2Jt

= — f -—dlt;p en we schenken onze aandacht aan die

O

volle g)-maat waar G\'(g)) bestaat. Zij /I een punt daarvan. G\'{A) = A

dan is | A | 1.

f{z) = F\'{z). Nemen we z op OA. Nu
mogen we in den cirkel in willekeurige
richting differentifieren. We doen dit
echter niet langs den straal, om de typi-
sche uitdrukking (l — e^) te. behouden.
We differentlëeren daarom loodrecht
op OA

♦A.nbsp;dF(^__dF

dz

«V

enbsp;Q dB

waarin 0 het argument van A is.

f{z)=:F\'(z) =

e ^ Q de

2n

ƒ ^ G(lt;p)dlt;p

de differentiatie q constant, r niet, zoodat men zonder meer krijgt:

2JI

O

Dus:

— lö-t-TJ\' /

G(y)(l -o2)siny ^^

O

Voor het gemak nemen we arg gt;4 = 0, dus G\'(0) = A

lim G(lt;p)-G(0) , . , lim G((p)-G(0)_ ,

y ^-\'^Aen dus ooknbsp;sin y = ge-

geven c gt; O, kunnen we om A een boog ap leggen zóó, dat daarop
geldt: G(lt;p) = G(0) A sin «p -}- ö.e.?), waarbij dan | 0 | lt; 1.

Dit gebruiken we nu op den minorboog aP in de formule:
=-^---dë-

f

n J r^

over den majorboog

, £_La.

2jiq deJ r^ ^

over den minorboog

Schatten we den eersten term, onderzoeken we meteen of lim
bestaat.nbsp;Q 1

-(e f)\'

Nu den tweeden term. Daar vullen we voor G(ggt;) de formule in,
die we afleidden. Zoo krijgen we:

0

^Gi0) = 0

a

ß

n

Maar nu is psing? harmonisch, n.1. de loodlijn op OA.
De differentiatie levert dus X.
Tenslotte nog

1 re .6 .(p(\\—Q^)s\\n v
-j-^-dlt;p

OTer den minorboog

ß

Nu is steeds r | sin v | lt; | gj |, dus

ß

0-e\')

dqgt;

Maar

i 2 sings ^.
want - —- lt; 1

jinbsp;n qp ^

n.

FIg. 3.nbsp;2gt;

Vullen we dit in, dan krijgen we:
ß

® • i T • —~ dlt;p jJ —3— dqgt;=e-.

Maar dan hebben we aangetoond, dat er in A een radiale limiet is.

Als dus f(z) holomorf is en | f(z) | begrensd In den eenheids-
cirkel, dan bestaat op volle maat de radiale limiet naar den rand.

2

In 1916 vonden de Gebr. Riess de volgende uitbreiding:
Een bepaalde limiet bestaat slechts op een stralenverzameling
met maat nul.

We leiden dan eerst even de volgende betrekking af:

log I /(O) 1 li ƒ log I ƒ I onderstellend

Q

dat /(O) ^ O, f(z) holomorf voor \\z\\lt; R,qlt;R.
Het gelijkteeken geldt als /(z)^0 in cirkel q, dan immers is

log I /(O) I harmonisch.

Stel dus fiz) heeft in den cirkel R de nulpunten:
a„...Om zóó dat: O lt; | a, | ^ | az | ^ | 03 | .... I a„_, 1 ^ 1 a„ 1 .

Let op de nulpunten binnen q. (Kies g zóó, dat op 0 géén nul-
punten liggen.) Stel het zijn: a,,... a^ geteld volgens hun moduli.

--, -r is dan holomorf

^^ \' ~ (z — ai) ....{z — ak)
voor I z |lt; i? en ^ O in de punten a,,... ak.
Dus geldt:nbsp;knbsp;^

log |9\'(0)|=log|/(0)l-^lognbsp;log \\cp\\dlt;p =

/ = 1nbsp;Q

k

pnbsp;i=l G

Maar J log \\ z - an \\ d(p = J log r dep = 2n log (? d.i. n.1. de logarith-

0nbsp;Q

mische potentiaal veroorzaakt door een massa-verdeelmg op den
cirkelomtrek. Binnen den cirkel is die potentiaal constant.
k

logl/(0)lnbsp;\\a,\\-^^jlOg\\z-an\\dlt;p

Q

1 f

Of log I /(O) | = ^log I ai I -Äloge ^j log 1 ƒ I d?)

/=1nbsp;Q

Maarnbsp;| Qn I lt; e

log I a„ |lt; log () en dus

log

Q

Stel nu dat de limiet O op positieve maat bestaat. In de verzameling
E, /.lE gt; O, is de radiale limiet van ƒ (z): 0. Dan is er een verzameling
lt; E,\') t-iE^ gt; O, waarop gelijkmatige convergentie tot nul is.

Zij

Geef e gt;0, willekeurig, en bepaal N zóó dat als n AT, geldt:
\\fiz)\\lt;eopE\\

log l/(0)l^^/log |/|dlt;P ^/log \\f\\dlt;p
£1 (£1)\'
als (£\')\' het complement is van EK

Nu is ^ ƒ log \\f\\d(plt; log M want \\f\\lt;M.

Dus geldt: log I /(O) \\-logM^^f\\og\\f\\dlt;p

\' £1

-A^-t^E^ log-j

/I gt;0

A^ixE\' log|

en vinden we aldus de contradictie dat /t£\' -r -0.

log ^ e O

We kunnen de stelling van Riess dus als volgt inkleeden:
Als fiz) holomorf is voor | z |lt; 1 en 1 f{z) |lt; iW en de radiale
limiet naar den rand op positieve maat nul is, dan is /(z) = 0.

1) Zie Egoroff: Comptes Rendues 1911, tome 152, p. 244—246.

HOOFDSTUK II.

§ 1. Bij het onderzoek van Fatou naar het gedrag van de integraal
van Poisson, als deze integraal opgevat wordt als Lebesgue integraal,
construeerde hij een functie, harmonisch en positief in den eenheids-
cirkel, die tot 00 nadert op een perfecte verzameling met maat nul.

We willen deze functie hier bespreken, daar we er onmiddellijk
toepassingen van kunnen maken op holomorfe functies.

Geef op een willekeurig segment AB een perfecte puntverzamellng
P, met maat nul. Zooals bekend, is deze puntverzameling niet aftelbaar
en is zijn complement opgebouwd te denken uit aftelbaar vele, twee
aan twee buiten elkaar gelegen intervallen ö„, de z.g. „intervalles
contigusquot; van Baire.*)

Op het segment 6« construeeren we nu een sommeerbare, continue
functie, die positief is en waaraan we in P de waarde °° zullen
toekennen.

Beschouw n.1.nbsp;(p{x) = g?n(x) in an bn

= 00 in P.

We zorgen nu dat

bn

10. ^ ƒ (pn{x)dx convergeert,
quot; = • On

20. lim. min ç)„(x) = oo, dan is ggt;(x) óók

n —gt; 00

sommeerbaar en continu.

Zij de lengte van anbn \' Sn

bn

ƒ qgt;n(x)dx = s„3gt;„ -{- oppervl. geharc. gebied.

On

Nu kunnen we zorgen dat yn-*- oo terwijl toch

00

convergeert, (zie Borel: Leçons sur les

A

Fig. 4. series à termes positifs) daar ^ Sn convergeert.

geheel in de hand, zoodat we dus voor de convergentie van de som
van die gebieden gemakkelijk kunnen zorgen.

Dat continu is in het complement van P ten opzichte van
AB is duidelijk. Onderzoeken we nog even of dit ook geldt voor
X in P.

Zij dan Xi,.... x« .... een puntverzameling die convergeert naar
een punt van P.

Dan moeten óf x,.....x„ .... punten van P zijn, en dan is

lim lt;p(x„) = (p{Xn) = 00 = (p(x)

n — agt;

Óf alle Xn zijn punten van P\' dus in intervallen anbn- Hier moeten
we nog onderscheiden: P. de nummers van die intervallen zijn
begrensd, maar dan moet Xn naderen tot een randpunt en ook dan
is lim 9gt;(xn)= oo; 2«. die rangnummers zijn niet begrensd, maar

n = oo

dan is lim g?(Xn) gt;= Hm min (p(Xn) = -f- oo.

n = 00nbsp;n — agt;

We beschouwen nu

271

1 —

als gp(x) de bovengeconstrueerde functie is.

6) is harmonisch en positief in den eenheidscirkel. Onder-
zoeken we de eventueele limiet van F{r, ö) als (r, 6) nadert tot een

punt (1, ©o) van P.

/(Go) = 4quot; 00. Om 00 is een om-
geving waar f{Q) gt; Af
Af gt; O en willekeurig.

ß

1

(p(u) du -f

H-è/

ß

1-02

Hiervan onderzoeken we de limiet als
(o, 6) (1, 60). Het tweede deel
nadert dan tot O, want r gt; /r, dus geldt:

2n

ßnbsp;O

sommeerbaar.

1_«a

du lt; . G, want lt;p(u) is

Voor het eerste deel geldt:

^ /quot;Lui!nbsp;^/f^-o^.

anbsp;anbsp;O

over den majorboognbsp;^ ^ \'

Als (e, 6) dus dicht genoeg bij (1, 60) is, is deze uitkomst grooter dan

M

In 00 is de limiet dus 00, onverschillig op welke manier (q, 0)
tot (1, ©o) nadert, m.a.w. de tweedimensionale limiet is oneindig.

§ 2. Zij nu G(r, 0) harmonisch in den eenheidscirkel, geconjugeerd
aan F(r, 0)

(p(z) = F{r, 0) i G(r, 0) is dan holomorf
voor I 2 I lt; 1, RD(piz)gt;0.

Als I 2 I 1 in de perfecte puntverzameling P, fiP = O, dan
nadert RD(p{z) 00.

— (p{z)

Beschouw bovendien e , holomorf van | z [ lt; 1
e nadert tot O als z P.

§ 3. Aan het eind van zijn artikel vraagt Fatou:

— „On pourrait même se demander s\'il ne serait pas possible
d\'obtenir une fonction analytique définie par exemple par une serie
de Taylor à rayon de convergence fini, et non continuable, qui
prenne la valeur zéro en tous les points du cercle de convergence
suivant les rayons qui y aboutissent. Nous pouvons seulement affirmer
que si une telle fonction existe elle n\'est pas bornée à l\'interleur du
cercle et même qu\'elle peut s\'approcher autant que l\'ont veut de
toute valeur donnée à l\'avancequot;. —

Dat bij een begrensde holomorfe functie, de radiale limiet nul zou
bestaan op het heele segment (O, 2.-i), zonder dat die functie indentiek
nul zou zijn, is reeds weerlegd in het eerste hoofdstuk, door de stelling
van de Gebr. Riess.

In een artikel van N. Lusin en J. Priwaloff getiteld : „Sur l\'unicité
et la multiplicité des fonctions analytiquesquot; in de Annales scientifiques
de l\'Ecole Normale Supérieure 1925 tome 42, wordt deze vraag onder
de oogen gezien.

In Chap. II § 14 vindt men:

Gegeven op \\ z \\ =z\\ een verzameling M van punten A, jitAfgt;0.
Stel f(z), holomorf voor | z | lt; 1, heeft de randlimiet nul, als
z-^ A langs willekeurigen weg, die in zijn eindpunt niet raakt
aan | z | = 1. Dan volgt ƒ (z) = 0.

Bovendien construeert men in Chap. IV, §§ 33, 34 een functie
Q(z), holomorf voor | z | lt; 1, die op volle maat de radiale
limiet nul heeft.

Q(z) is niet identiek 0.

Alvorens tot de bespreking van die functie over te gaan, willen
we eerst even een functie beschouwen, die in datzelfde artikel voor-
komt: Chap. I, §3.

We willen die constructie dan vervangen door een andere, die
eenvoudiger is, maar bovendien, zooals nog blijken zal, zich meer
leent tot uitbreiding.

HOOFDSTUK III.

§ 1. We gaan nu bespreken de constructie van een functie /(z),
holomorf voor | 2 |lt; 1.

I ƒ(z) I nadert uniform tot oneindig, als z tot den rand nadert in
concentrische ringen.

Beschouw n.1.

00

^\'nfln

nz=0

^n, nn geheel, lim A« = lim fi„=ioo

n = txgt;nbsp;71 = 00

, ....

0lt;Holt; fiilt; f^....lt;tinlt; Hn l ....

(1)nbsp;....nbsp;=nbsp; nbsp;als we onder

i

w(z) verstaan

nz=0

n

(2)nbsp;....nbsp;Voor I z |lt; 1 geldt: | (z) |nbsp;A, en

lt; = 0

n

(3)....

I qgt;{z) I (1 -nbsp;) -Z^Xi

^ n • fin

Maar (1 — stijgt monotoon met m tot

(4)nbsp;.... waaruit volgt dat op den duur: (1—gt;y. terwijl ook

.

1 « i « 1

Hn\'

= i (I

lt; An -f J (p^) ^^nbsp;gebruik makend van de

ongelijkheden (4) pag. 24.
Kies nu b.v. A„ = aquot;, neem ffn gt; 5

en An = n! Men ziet dat deze getallen aan
de gestelde eischen voldoen.

De ongelijkheden gaan dan over in:

nt

(5) in (7) ....nbsp; nbsp;=

flquot; aquot; — 1 - /1 1 \\ flquot;

mits z ligt in den ring:

1 V

a. nJ

\\ . jit/j 1

(6) in (8) ....

1

mits I z |lt; 1 -

2a.nl

00

□O

Ongelijkheid (8) laat ons direct zien dat = ^ aquot; zquot;^«

holomorf is voor | z | lt; 1,
Letten we nu speciaal op het geval dat

Ml

00nbsp;00

2i

gt;

^12 2quot;^ 12

Maar dan is lim | g9(z) | =00.

n = oo

Hiermede is die functie dus geconstrueerd. In § 4 van Chap. 1,
behandelen Lusin en Priwaloff de radiale limiet langs een straal met

2

argument: k . jj-^nbsp;k geheel, n vast.

Die radiale limiet is oneindig.

Een opmerking vooraf. De nullen van zoo\'n functie moeten elk
punt van | z i = 1 tot verdichtingspunt hebben. Anders zou er een
punt a van den omtrek zijn in welks omgeving j holomorf was.
Maar dan zou men twee stralen OA en OB kunnen trekken, met eind-
punten A en B, die in de buurt van a liggen, waaropnbsp;0,

1 ^
terwijl ook y O op cirkelbogen, met middelpunt O, die tusschen

OA

en OB loopen. Waaruit onmiddellijk volgt dat = O zou zijn.

De nullen van deze functie liggen dus in de ringen:

1__^ i_ 1

\' 0:2 ,. gt; *

2??„.ti„\'nbsp; 1 . /tl/i I

00

Beschouw nunbsp;t (2) = lt;p « -1 (z) -f ^ z \'

v = n

2kn;nbsp;,, .

z — \\z\\enbsp;?.vznbsp;= ;.y\\ z\\ \' e

Maar als v ^ « dan isnbsp;geheel en geldt:

fin • ^-n

.nbsp;. Hv , , , fi-v Vnbsp;.. „ ,

/.V znbsp;= \\ z \\nbsp;en zijn alle termen

dus positief.

I ^ W I ^ £ I . I•- gt; ;.„ u Inbsp;,,

v = nnbsp;i; = 0nbsp;v = 0

Dus geldt voor z in den ring lt; (1 — —), l {

(nbsp;/tn . Hn J

üquot;

I \'P(z) I gt; 12 volgens (7) pagina 25.
En nadert dus langs zoo\'n straal \\(p{z)\\ tot oneindig.

§ 2. Vooreerst willen we nu deze constructie vervangen door een
andere die eenvoudiger is.
We geven in den eenheidscirkel de concentrische cirkels met stralen
0lt;r,lt;R^lt;r2lt;....rklt;Rklt;rk \\ ....-1

k = ao

Bij elke k bepalen we dan de getallen Ak en tik zóó, dat

.nbsp;tik ^ \\nbsp;A n^knbsp;O

Akfk lt;-j-2 en AkRk = 3

Dit is voor elke k mogelijk, want de combinatie van die twee
voorwaarden geeft

fk fik 1

lt; waaruit tik. Met behulp

tik

van tik en Ak Rk =3 vinden we dan Ak.

Irt/.

(1 — AkX ).

= I

De eerste vraag is natuurlijk: Stelt dit oo-product in den eenheids-
cirkel een holomorfe functie voor?

Daartoe onderzoeken we of voor: | x | 0 lt; 1

00

I Ak xquot;quot; I gelijkmatig convergeert.

k=\\

Er is echter een rangnummer k te kiezen zoodanig dat 0 lt; r*,
want lim rk= 1.

Jk = QO

Dan geldt dus na dat rangnummer:

00

rik.

f{z) = (l — AkX ) stelt dus in den eenheidscirkel

een holomorfe functie voor. Hoewel nu de suite (r,, p,) geheel
willekeurig was, kunnen we nu het volgende reeds afleiden:

Beschouwnbsp;/?plt;|x|lt;rp i

Zij k

Dus |l _ I gt; 2 en tenslotte I R (1 - | gt; 2quot;
ZijAgt;p.

I xquot;\'llt; A.r,\'\'\'lt; 1

Dus I nnbsp;gt; r

k=p i

terwijl C ónafhankelijk is van p.
In den ring: (Rp, rp i) geldt dus:

l/(x)|gt;C.2\'\'

Lim |/(x)|=Qo,

P = oo

Deze functie nadert dus in ringen uniform tot oneindig.

De nulpunten van deze functie volgen uit:

Ik 1

nk X i Rk

=Tlt; en óók:

ofik

De nulpunten liggen dus in de ringen (r,, Rk). Ze verdichten zich
natuuri.)k naar den omtrek \\z\\ = L Zij nu a, een woriel van

Atx = 1. Om de wortels a* leggen we cirkels met stralen -i-

tik^\'

Beschouw nunbsp;Uquot; — 1 | als | x — 1 | = —

L . njn-l) 1 2lt;pi

2!

-e —

, 1 ntpi

1 —

Nu is

21/j2

nin

M

I xquot; — 1 I gt; —--^ gt; waarin M onafhankelijk van n.

Dit passen we toe op ons oo-product.

A tik . Tik

Ak ak —AkX

We gaan nu de suite (rk, Rk) eenigszins specialiseeren en kiezen
J_nbsp;1

Deze n is verder nog geheel willekeurig.

^ 3^2 voorwaarde voor rik.
Kies Tik co l^.

Dan geldt voor de stralen van de cirkels om de nulpunten:

Er is nu een rangnummer k te kiezen, zóó groot, dat na dat nummer

die cirkels liggen in de ringen (Rk-uRk i) want ric — Rk-i =

1 1 1

2k-\\ , 2k(2k—\\) ,, 2k(2k—l) ,
= Hnbsp;(finbsp;1) co ^nbsp;— 1 =

. En we zien dus dat

y*

= 0.

\'lm .

»=00 {rk — Rk-\\)
In den ring (Rk -1, r* _ i) geldt op den rand, dat overal

|/(2)|gt;2*-i.^.C. Dus ook In den heelen ring.

In het overblijvende gebied d.i. den cirkel min de cirkels om de
nulpunten ak, nadert f{z) dus tot oneindig, uniform voor | z | 1.

Na zeker rangnummer k liggen al deze cirkels buiten elkaar. In
eiken ring {rk, ta i) vindt men er kK

00 00 00
k—lnbsp;kz=\\nbsp;k = \\

Dus convergeert ook de som der hoeken, waaronder we die cirkels
zien. Kies een zoo hoog rangnummer N, dat de som van de hoeken
waaronder we de cirkels zien met rangnummer 5= A^, lt; e als e gt; O,
een willekeurig vooraf gegeven getal is. Neem dan een straal uit de
verzameling met maat (2ji — e) bestaande uit stralen buiten die
sectoren gelegen.

Deze straal wordt slechts door hoogstens eindig vele cirkels ge-
sneden en dus geldt:

Op een stralenverzameling met maat (2ji — c), is de radiale
limiet oneindig.

Of daar e willekeurig was:

Op een volle maat is de radiale limiet oneindig.

In het reeds genoemde artikel van Lusin en Priwaloff wordt in
Chap. II, § 15, de volgende stelling bewezen:

Als een functie holomorf is voor | 2 | lt; 1, en tot een bepaalde
tweedimensionale limiet nadert, die -}- 00 is, op een puntverza-
meling M van den rand, ^t M gt; O, dan is die functie = 00.

Deze stelling doet ons nu ook de volgende eigenschap begrijpen:

Geef een willekeurig complex getal B.

f(z) = B heeft dan binnen eiken sector met top O, oneindig
veel wortels.

Deze stelling drukt dus uit, dat van een bepaalde randlimiet op

positieve maat geen sprake kan zijn.
Het bewijs is eenvoudig,
r\'cy^ Stel f(z) - B^O in den sector OPQ,
^ voorbij den boog CD. In PQ DC geldt dan:
f(z)-B^O.

= /(z) — s holomorf.

Op volle stralenmaat is de radiale limiet

limiet van /(z):oo, dus die van 99(2): 0. Dan is lt;p{z) echter over
den rand heen voortzetbaar en zou dus volgen = 0.
Die voortzetbaarheid kan men als volgt even inzien:

^^ \' 2nlJ t — z jn-.oonbsp;t — z

amßm DCamnbsp;o.mßm DCam

als lim O Om = OP en am ßm een cirkelboog is waarop \\f\\ gt; e^

m = co

lim Cm =

m = co

Dan mogen we gerust onderstellen dat langs OR en OQ de radiale
limiet van | ƒ | : -}- c» is

Omnbsp;Cnbsp;ßmnbsp;ßm

ƒ cp(t)dt ^ ƒ lt;pit)dt j- v{t)dt ^ ƒ lt;pit)dt

2ni

^nbsp;am

Gaan we nu tot de limiet over dan wordt de 4« term nu!, de tweede
blijft dezelfde functie van z.
De drie eerste termen zijn overal holomorf buiten de integratieweg.

8 3. Beschouwen we de functie van § 2, hoofdstuk III, die in
gegeven concentrische ringen (Rk, fk 1) tot oneindig nadert.
We willen aantoonen, dat we door een goede keuze der (r*, Rk)

suite, de groei van die functie met 1 —j-^- willekeurig in de hand

I 2 I

hebben.
Anders uitgedrukt:

Zij V (1 —fzT^ willekeurige, positieve monotoon groeiende
functie van | 2 | .
We beweren dan, dat we de (rjt, Rk) suite zóó kunnen kiezen, dat

lim

Om dat in te zien beschouwen we v (1--j-^) op het vak (0,1).

Op de V-as, zoeken we de geheele getallen 1, 2, 3.... /i.... op en
noemen de daarbij behoorende abscissen resp. R2, R3, R4.... Rn i....
De getallen r,, Tz, ra.... kiezen we dan volgens constructievoorschrift
willekeurig tusschen de Rk in.

Beschouw nu /?p ss | 2 | ^ /p 1 gt; /?p 1

Dan geldt: v (1 -nbsp;v(/?p i)=p.

Dus lim -:-^ lim

VO-JTJ)
waarmede deze eigenschap is aangetoond.

§ 4. Beschouw nog eens op het vak (O, 1) een willekeurige
monotoon stijgende functie v (1 — quot;j^T^quot;

Beschouw tegelijkertijd v\' (1 — t4tquot;)« is (1 —r^) gt; 0.
We teekenen nu de punten ei, 62» es •••• Gn zóó gekozen dat

Op elk vak (gk, pa i) onderzoeken we nu v\' (1 —i—r).

I ^ I

Onderstellen we y eindig, dan is er een geheel getal te vinden:
Ek zóó gekozen dat Ek gt; (1 — J^y)

gt; Ar 1, voor I z I
We verdeelen dan het interval (gk-uok i) in Ek gelijke deelen.
Als dit is uitgevoerd voor alle A:, A: = 1, 2, 3 ...., dan noemen we de
zoo verkregen deelpunten: /?,, R2, .Rs Rn ....

Daarna kiezen we de rk, /?* -1 lt; r* lt; 7?^ b.v. rk = -Y i^k — Rk-1).
Bij deze suite (r* Rk) bepalen we nu op de bekende wijze Ak en
njt en tenslotte de functie

Aangezien het nummer van de p\'\'^ ring altijd grooter is dan de
waarden die v aanneemt in dat vak, geldt voor deze functie natuurlijk

óók, dat ze sneller groeit dan de functie v (1 —fzj^quot;
Nu gaan we om de nulpunten cirkels leggen met stralen:

In den ring (/?»,/?* 1) geldt dan

k-i

f I gt;nbsp;als q vast is.

^W) ~ W^\' rk = Rk — Bk

Alle ek gt; O . lim e/t = O .

k = aa

, Rk — 6k , 1
nk log —p;— = log

Rk

lognbsp;log 3^2 _ log3fc2

tnbsp;Inbsp;cifc

1- ^^

2Rk

Bk

n log
Dus rik —^-

e/t

Qk — Qk-{

Bk = -^{Rk-Rk-x) =

2Ek

Qk

Maar ygt; (ok) -vgt;(ok-i) =nbsp;^\' als _ i e

1 =-ipf (ö)

QkQk-l ^ \'

Waaruit dus volgt dat p^ — pt _ i oo ^
en Ejt o3 ^ en tenslotte:

tik ^ El? log 3A:2

Maar door de keuze der /?„.... /?it.... geldt steeds in elk vak, dat
het nummer van den ring óök grooter is dan de waarden die v\' in
dat vak kan aannemen.

In het gebied {Rk -Rk x) buiten de cirkels yk om de nulpunten
geldt dus:

Ek

2 Q

I ƒ I gt; lognbsp;^^^^^nbsp;tot de

conclusie, dat in het gebied j | z | lt; 1 min de cirkels vk j onze functie
uniform tot oneindig nadert.

We leidden vroeger reeds af (pag. 30) dat in eiken sector, elke
willekeurige waarde oneindig vaak moest worden aangenomen. Deze
waarden verdichten zich dus naar de nullen en liggen op den duur
in de cirkels vk.

De afstand van twee naburige nulpunten in denzelfden ring, gedraagt
2ji

zich op den duur als —.

rik

Op den duur liggen dus de cirkels van denzelfden ring buiten
elkaar.

Rjc — Rk-ico-^. D.W.Z. de afstand van twee nulpunten uit twee

1 1 1
naburige ringen gedraagt zich als Maar ^ css ^j^r^i^ppp»

zullen op den duur alle cirkels n buiten elkaar liggen. Bovendien
volgt uit deze schatting dat de som van de hoeken waaronder we
die cirkels vanuit O zien convergeert.
Onze conclusie is dus:nbsp;^

Geef een willekeurige functie: v (1 —jTJ^*

Men kan de (Rk, rk) suite zóó kiezen, dat de bij die suite
hoorende functie

GOnbsp;flk\\

f{z)z=T^(\\—AkZ ) op volle maat

de radiale limiet oneindig heeft, terwijl zelfs:

m nz): v(l - - ^

UI

HOOFDSTUK IV.

§ 1. We willen nu overgaan tot de constructie van de functie
genoemd in hoofdstuk II, pag. 23.

Daartoe gaan we in den eenheidscirkel de volgende naaldengroep
construeeren. We verdeelen den omtrek | z | = 1 in 60 gelijke deelen.

In elk deelpunt trekken we een straal

met lengte y. De totale lengte van

die stralen is dan 30.

Vervolgens verdeelen we elk vak
weer in 60 deelen. In elk deelpunt

zij de lengte van den straal y. Al deze

stralen hebben dan de totale lengte:

60 X 59X-J. Zoo gaan we steeds

door. Algemeen dus: Verdeel de 60

2n

vakken met lengtenbsp;in 60 gelijke deelen. Richt in elk deelpunt

een straal op met lengte Het is duidelijk dat de lengten van dit

aftelbaar aantal naalden een reeks vormen die divergeert.

Beschouwen we nu een punt Ni van | z | = 1, dat niet samenvalt
met een deelpunt. Dan moet elke weg, die in dat punt eindigt en
geheel gelegen is In het gebied G: j j z | 1 min die naaldengroep
in dat punt raken aan den straal OM. Immers, bij zoo\'n punt ver-
dichten zich naalduiteinden. Stel nu eens dat we die eindpunten

verbonden met Af. Voor eiken n geldt dan tga lt;

60«-I

Nu gaan we dit gebied ö afbeelden op den cirkel | u |
z = (p(ü) de afbeeldingsfunctie

95 (u) is continu voor ) u | 1

7..nbsp;n i\'P ..nbsp;10

Zij: z = Re , z\\] u = Qe

ilt;Pnbsp;i 8

Re =fl5(ee ) log (p(u) = log

— i log (r(u) = lt;lgt; — i log R

e) = 0) — 0 is harmonisch in | u | lt; 1, als verschil van
twee harmonische functies, continu voor | ü | 1.

(00. 0o) = hmnbsp;--dg. -

fn—^ 1 nnbsp;2n

óA

In die volle maat heeft dan ^ een twee-

dim. limiet (Fatou: Séries trig. et séries de
Taylor).

Aan A{q, 0) zij Bio, 0) geconjugeerd.
dB

Aan ^ is dan op volle maat ^ toegevoegd.

M.a.w. De functie Q(u) = A (e, 0) i Bio, 0) heeft op volle maat
van 1 u I = 1, een afgeleide, mits u nadert tot den rand volgens
wegen die niet in hun eindpunt aan den cirkelomtrek raken.
ß(u) = /loggj(«)-l-nogu

(P(U)

ß(u) = /log

(p{u) = ue

uie

De afgeleide lt;p\'(u) heeft dus op een volle maat van | u | = 1
een tweedimensionale limiet, mits de weg in het eindpunt niet

raakt aan den omtrek.

Nu kan de limiet nul, hoogstens op een verzameling van de maat nul
bestaan. Is dat n.1. niet het geval, dan zou volgens hoofdstuk II, § 3,

Dan kunnen we dus zeggen:

Bij deze afbeelding blijft de hoekvastheid nog op een volle
maat van den rand bewaard.

Bovendien volgt nu echter:

De omtrek | z | = 1, correspondeert met een perfecte punt-
verzameling van de maat nul.

Immers stel /i P gt; O, dan zou de doorsnede van P met de volle
maat, waar lt;p\'(u) bestaat en niet nul is, niet leeg zijn. Beschouw dan

een punt van die doorsnede. Aangezien daar de hoek bij een afbeelding
onveranderd blijft, correspondeeren met twee wegen in | « | lt;1, die
in dat punt elkaar onder een positieven hoek snijden, twee wegen
in G, die elkaar in het eindpunt onder positieven hoek snijden, in
strijd met hetgeen afgeleid werd op pag. 35.

We kunnen zelfs zeggen: Het beeld P van | 2 | = 1, moet vallen
in de vereeniging der twee verzamelingen: waar lt;p\'{u) niet bestaat,
en waar 99\' (u) = 0.

We beschouwen nu in I u | 1 de functie van Fatou, die we
besproken hebben in hoofdstuk II, § 1. Zij P de perfecte punt-
verzameling, waarin F{u) de tweedimensionale limiet -f- 00 heeft.

RD F{u) gt; O

Beschouw nu: ^{z) = F [(p{z)]. lt;P{z) is holomorf voor alle punten
z in G.

RD lt;f (2) gt; O en heeft de tweedimensionale limiet 00 als | 2 I 1.

We brengen nu een stelsel cirkels aan om O met stralen Rk\'.

Ylt;/?,lt;/?2lt;/?3lt;....

lim Rn

n = oo

Deze cirkels snijden uit de naaldengroep een aftelbaar aantal naald-
segmenten. Zij die groep
aangegeven door

(52, lt;53....
Onderzoeken we nu

dn

Kniz) is holomorf buiten
dn. We bedoelen hier de
integraal genomen aan
weerszijden

van (5/j.

De

waardengroep aan die
kanten is natuurlijk con-
tinu-opeenvolgend.

Wanneer we nu be-
schouwen

dn

blijkt die functie ook holomorf te zijn op dn. Daarvoor is het voldoende

aan te toonen dat voor alle x, en X2 geldt:

HO tf?

«5/.

_ 1 rp2(2)rfz f^,(z)dz r\'P2{z)dz f^Az)dzl ^
2jif Li 2—X2 Z — X2 j z — Xi j z — Xi

_ 1 . f

-~2jiilJ Z-X2

Z — Xi
anbsp;a

als $1(2) en $2(2) de waarden voorstellen die $(2) aan het linker-
respectievelijk rechternaaldsegment aanneemt.

Beschouw nu

Zrt/ J z-x, — 2ni LJ Z-Xt

PBAEDCFnbsp;B

Dnbsp;^

f^(z)dz , flt;p(z)dz, f^{z)dz^ -1nbsp;.

Cnbsp;BCfB

Evenzoo vindt men

dz

a

En dus volgt:

0

anbsp;a

Vullen we dit in, dan zien we dus dat aan I Is voldaan.

Nu construeeren we om de naaldsegmenten kleine gebieden X„.
Zoo hoort /in bij ó«. Deze constructie is als volgt. Noem het uiteinde
van ó„, het dichtste bij O: On. Zij het voetpunt van de naald op
\\z\\ = \\:b„.

Leg om Qn een cirkel met straal g\'nt om bn een cirkel met straal

o\'n en trek de twee uitwendige raak-
lijnen. Door deze vier lijnen is dan
Xn bepaald, n.l. het gebied begrensd

^^^^-p\'nbsp;cirkel om a« tot aan de

P ( \' ^ \' \'nbsp;snijpunten met de twee raaklijnen,

O v^-quot; /nbsp;door de twee raaklijnen tot aan hun

snijpunten met I 2 I = 1 en door
dat deel van I 21 = 1, gelegen
tusschen die twee snijpunten in
(zie figuur 12).

00nbsp;00

Bovendien onderstellen we dat ^ Q\'n en ^ e\'n convergeeren.

Nu is Kn (2) = ƒnbsp;buiten A„ en dus in

lt;5n

[ I 21 = 1 min X„ ] gelijkmatig te benaderen door een polynoom pnW.
Zorg dus voor alle n, dat

lt; bulten Z„ en binnen | z | = 1.

00

L(z) = ^ /Cn(z) — P/I (2) is dan holomorf binnen | z | = l

I

en buiten alle A„.
Tenslotte beschouwen we:

00
1

Bewering: (ü(z) is holomorf voor | z | lt; 1.

Neem een willekeurig punt 2 van G. Op den duur ligt dit punt
buiten alle Xn, daar de punten a„ zich verdichten naar | z | = 1. Na
dat rangnummer Af geldt dus

00

2[Kn{z)—pn(z)] holomorf
Mnbsp;^

terwijl ook:nbsp;— p„(2) ] holomorf is als eindige som van

1

holomorfe functies.

Dus ook c)(z) holomorf in G.

Neem nu z op óm. We zonderen dan Km(2)—pm(2) af en vinden:

00

lt;o(2) = 0(2) - Km(2) Pm(2) - [ Kn(2) - Pn (z) ]

l

Maar ^(z) — Kn{z) is holomorf op dm evenals pm(z)

en i:\'[Kn(z) -Pniz)].
Dus ook tj(2).nbsp;\'

00

Opm. Met 2\'{Kn(z) —Pn(z)] bedoelen we: n doorloopt alle
1

waarden van 1 — oo behalve m.

De som van de hoeken waaronder we de cirkels q\'„ en zien,

00 00

convergeeren, daar 2 g\'n en 2 g\'n convergeeren.
1 1

Dus zijn de A„, na zeker rangnummer, opgeborgen in een sector-
verzameling met maat lt; e als e gt; O, willekeurig is. Men kan dus een
stralenverzameling vinden met maat gt; — e opgebouwd uit stralen
die hoogstens door eindig vele Xn wordt gesneden. Na het hoogste
rangnummer van die In, die zoo\'n straal OA snijdt, geldt dat OA

geheel buiten 2\' Xn ligt. In dit gebied is L(z) begrensd. /?D0(2)gt;O,

nadert echter tot oo.

Dus m(2) 00 als I 2 I 1.
Op een volle stralenmaat is dus de radiale limiet oneindig.
We kunnen nu nog iets beweren over die volle maat. De naald-
eindpunten zijn n.1. aftelbaar. Daar 2 q^ convergeert en elke naald

aftelbaar veel 6t bevat, zal op den duur
dat deel van de contour Xn, dat samen-
^ valt met | 2 | = 1, een maat hebben

lt; ^ als £gt;0, willekeung is, evenals p.

Nummer nu de naaldeindpunten en be-
schouw de vereeniging van (p^n q^n) als

Fig- 13.nbsp;^^ (pi^nQ^n) lt; Yn\' P\'quot; ^oort bij eind-

punt n en contour Xn, k zoo gekozen dat n (pi^n q^n) lt; ^

c/lt;0 en vast.
Die vereeniging noemen we £/.

Nu laten we e,- O, Voor een punt van de volle maat, waarop
de radiale limiet oneindig is geldt dan, dat het behoort tot:

E=i[E, .E2.... Ei.Ei x ....y = E^gt;^Ei\'Jr--- Ei\' -{-E\'i x ....

Maar daar de naaldeindpunten overal dicht liggen is Ei nergens dicht.

E is dus opgebouwd uit aftelbaar vele nergens dichte puntver
zamelingen; E is z.g. van de 1« categorie.\')

§ 2. Beschouwen we nu

- aiz)

Qiz) = e

£2(z) is holomorf voor | 2 | lt; | . Op volle 2.i-maat is de radiale
limiet voor | z | —gt;1, nul.

De verzameling is van de categorie.

§ 3. Het is nu betrekkelijk eenvoudig om met behulp van de ons
bekende functies, tot een functie te komen die in een positieve maat
tot nul nadert, waarbij die puntverzameling van de 2« categorie is.
We volgen de methode van Lusin in § 35 van Chap. IV.

S2i{z) is holomorf voor \\ z \\ lt;. 1,
^1(2) —gt; O als z radiaal nadert tot | 2 | = 1, — «arg z 0. Dan
moeten we alleen op het beeld van den naaldengroep onder de X-as
de funtie F(u) van Fatou tot 00 laten naderen (zie pag. 37)
12,(2) eindige limiet als | 2 | 1 boven de X-as.

Construeer nu een funtie ^2(2), een functie van Fatou, die zijn
kritische verzameling heeft boven de X-as in | 2 | = 1. Deze verza-
meling £2 is van de 2^ categorie.

77(2) = 12,(2). 122(2) nadert dan tot nul in £, -}- £2.

Maar £, -f £2 is dan van de 2« categorie.

§ 4. Met behulp van de constructie, aangegeven in § 2 van Hoofd-
stuk III, kunnen we nu de in §§ 1 en 2 van Hoofdstuk IV behandelde
constructie van Lusin en Priwaloff vervangen door een andere die
veel eenvoudiger is.

We kozen op pag. 29:

1 1

2k d 2ar-|-1 . . . ,
rk = , Rk = n O lt; /I lt; 1

Met de eischen:

AkRkquot;\'\' = 3 vonden we dan dat

\') Een verzameling heet van de 2« categorie, als zijn complement van
de Ie categorie is.

f{z) = I f {\\— AkZ op volle maat tot oneindig nadert en even-
eens uniform in het gebied, dat overblijft als we om de nullen cirkels

leggen met straal

Nu vormen de hoeken,
waaronder we die cir-
kels zien, vanuit O een
convergente reeks.

Beschouw de k-de
ring, (a, Rk), waarin
de fik nulpunten met
hun cirkels yk. Vanuit
O trekken we aan al
die cirkels raaklijnen,
die we verlengen tot
ze \\z\\ = l snijden.

Zij Gk het gebied
begrensd door een lijn
gk opgebouwd uit: de
deelen van de omtrek-
ken der cirkels n, gelegen tusschen de raakpunten, aan den kant
van O, de raaklijnen, tusschen het raakpunt en het snijpunt ervan
met I z I = 1 en het gedeelte van den omtrek van I z | = 1 gelegen
tusschen twee opeenvolgende raaklijnen van twee verschillende cirkels
yk (zie figuur 14).

In Gk is log (1 — Ak z^\'^) een holomorfe functie. Er is dus een
polynoom te vinden: Pk (z) zóó dat

I.....

alle 2 van Gk

Pk (2) = Uk (2) -I- i Vk (2)
Uk (2) is in het heele eindige vlak harmonisch.

00

u(z) = ^ Uk (2)nbsp;convergeert uniform

k = l

voor I zj lt;p lt; 1.

Want er is een rangnummer te kiezen zóó hoog dat na dat rang-
nummer z buiten alle Gk ligt.

Dan geldt:

log I 1 — Ak I — Uk (z)

terwijl eveneens op den duur jz |lt; r*: en dus

2nk

lt;Akrk H--2--r—^4-pT-----

— k^-V

Dan convergeert II dus uniform in den eenheidscirkel d.w.z.
u(z) is harmonisch voor 1 z|lt; 1.

Vanwege de convergentie van de reeks der hoeken waaronder we
de cirkels yk zien, volgt, dat er een volle stralenmaat is van stralen
die slechts door hoogstens eindig vele gk worden gesneden.
Dan ligt zoo\'n straal op den duur dus in alle Gk en dan geldt:
00 k — 1 00

* = 1 * = 1 k = k
Het eerste deel is begrensd op den straal OA. Voor het 2de deel geldt:

2uk(z) = 2log \\ \\-Akzquot;\'\\-{-e
k = k k = k

als I e |lt; 1.

00nbsp;Hk

Maar voor z-^ A heeft men 2* log I 1 | gt;4* z | =

k=\\

= log I ƒ I CX3, dus moet
00

lim ^ log I 1 — zn* I = 00.

Izl =

00

Maar dan volgt: 2uk{z)-► -{-oo.

Zij nu v{z) de functie geconjugeerd aan ü(z).

Voor:nbsp;-\\u{z) iv(z) j

e

geldt dan, dat op volle maat de radiale limiet nul is.

§ 5. Zij ƒ (2) holomorf voor | z |lt; 1.
Stel f(z) O op een volle «p-maat: E.

Dan moet E de vereeniging zijn van een aftelbaar aantal
nergens dichte verzamelingen z.g. van de categorie van Baire.

Om dit aan te toonen beschouwen we de open gs-verzameling:
En (M) waarop:

—nbsp;M willekeurig.

Als k een willekeurig getal is dan noemen we

c»

Fk (Af) = 2 Ek (M)

k = k

Fk (M) is natuurlijk open, maar ook overal dicht, want anders zou
er een boog AB zijn te vinden waarin geen Ev (M) meer doordringt
voor V ^ k. Dat interval bevat dan twee stralen van E, stralen waarop
de radiale limiet nul is: OC en OD.

Maar dan is in den sector OCDO, f(z) begrensd terwijl op positieve
maat de radiale limiet nul is, wat een contradictie is volgens de
stelling van Riess.

Dus is Fk open en overal dicht.
El = ïïïn En (M) = Fi . Fi. F3____Fk... is dus de doorsnede van

n — cx)

overal dichte open puntverzamelingen.
Beschouw nu M,, M2,----Affcnbsp;0.

£ = £, £2 £■3 ....nbsp;Ei=\\mEn{Mi)

n= 00

(£)\'==(£,4-£2 £3 ..0-(f2 £34-£4 ...).(£3 £44-£54-...)....
want £jfc gt;= £fc I.

Maar dan is (£)\' de doorsnede van overal dichte open punt-
verzamelingen, dus £ zelf de vereeniging van aftelbaar vele nergens
dichte verzamelingen, dus van de 1® categorie.

§ 6. Ten slotte vindt men in het artikel van Lusin en Priwaloff
nog de volgende stelling (§ 38 Chap. IV):

Zij £ een puntverzameling die op zekere boog AB van de 2« categorie
is, en op elke portie van AB een positieve maat heeft.

Zij f{z) holomorf voor | z | lt; 1.

Als nu de radiale limiet van /(z), voor | 2 | ^ 1 op £, nul (of 00)
is, dan is ƒ (2) = O (resp. = 00),

Het bewijs van deze stelling ligt opgesloten in dat van § 5. Immers
daarin kunnen we de onderstelling: „/-gt;0 als z radiaal nadert
tot 1 2 I = 1 op volle maatquot; vervangen door: „f-^0 als 2 radiaal
nadert tot | 2 | = 1 op positieve maat van een «jp-interval AB, overal
dicht op ABquot;.

HOOFDSTUK V.

§ 1. We willen nu nog eenige uitbreidingen geven op meervoudig
samenhangende gebieden. Geef in den eenheidscirkel een eindig aantal

cirkels met middelpunten
ak en stralen Qk. Noem de
daarbij hoorende cirkel-
omtrekken yk. Zij f(z) een
functie die op volle maat
een radiale limiet oneindig
heeft alsnbsp;l

Qk

z —ak\\
d.w.z. voor \\ z — ak\\ ïgt; Qk
Beschouw dan
Fig. 15.nbsp;fiz).Mz).f2{z)....

....fk(z) = G{z)

dan is G(2) holomorf voor | z | gt;1, tenminste als z buiten de
cirkels n ligt.

Stel z nadert radiaal tot yk. In de buurt van yk is f(z). fx(z)....

fk- i(z) holomorf dus begrensd.
Maar | | oo. Dus | G(z) | nadert tot oneindig als z radiaal
nadert tot den rand van het gebied gevormd door [ | z | lt;1 min de
cirkels y^.]

§ 2. Beschouw nogmaals het gebied, geconstrueerd volgens § 1.
Zij nu g(z) een functie die op volle maat de radiale limiet hul heeft.

ak

is dan holomorf buiten yk en binnen | 2 | = 1.

kzzp

Ook nu geldt dus dat F(z) = ] \\fkiz) holomorf is in het gebied

[ I 2 |lt; 1 min de cirkels 7k ] en op volle maat de radiale limiet
nul heeft.

§ 3. Beschouw den eenheidscirkel en geef daarin een geïsoleerde

puntverzameling a,, 02, — ........

Geef bij elke ajt een getal Qk zóó dat de cirkels om ak met Qk als
straal binnen | z | = 1 en buiten elkaar vallen.
00

Zij 2J \\ Ak\\ een convergente getallenrij.
k=i

H{z) = 3:Ak .fkiz) als fkiz) =/(j^)
k = lnbsp;i ak

en ƒ (2) holomorf is voor | 2 |lt; 1, terwijl jim^ |/(2)|=oo op

volle maat.

Neem nu eens een willekeurige cirkelschijf y in het gebied;
J 2 I lt; 1 min de cirkels yk ]
Dan is er een grootere cirkel / concentrisch met r, die óók in G
ligt. Zij d de afstand van die twee cirkelomtrekken.

Dan zijn echter alle fk(z) op dien cirkelschijf gelijkmatig begrensd,

want lim ^ = 0.

k = ai a

Bijgevolg stelt H{z) een holomorfe functie voor in G.

Wanneer we nu een bepaalde n uitkiezen, dan is er een y\'k gt; n

00

die buiten alle andere yjt valt. Op yk stelt dan H{z) = 2\' Ak fk(z)

k=\\

een holomorfe functie voor terwijl lim \\fk{z) | =-|-qo.

I z I ejt

M.a.w. H(z) heeft op volle maat de radiale limiet oneindig als 2
radiaal nadert tot den rand van G.

§ 4. Beschouw nogmaals het gebied G van § 3.

Geef de stralen e„ .............. Zij ƒ(2) een functie, die holomorf

is voor I 2 I lt; 1 en op volle maat de radiale limiet nul heeft. Stel

00

bovendiennbsp;en 2 Qk convergent.

k = \\

Dan beschouwen we

H(z)

H(z) is iiolomorf in G. Immers, op een cirkelsctiijf, geheel in G
gelegen geldt evenals in §3, dat:

Qk

lt; waarin d weer vast is.

Z—ak

Dan gedraagt —^p— zich voor groote Ä als 1 M Qk, waarin M

onafhankelijk is van k. En dan convergeert dat oneindig product
overal in G.

Aangezien de radiale limiet van één factor nul is bij elke Yk en
het oneindig product der andere factoren een holomorfe functie is in
de omgeving van dien cirkel, volgt voor H{z), dat de radiale limiet

naar den rand van G op volle maat nul is.

* *

*

Zonder meer is niet duidelijk of een dergelijk resultaat voor geheele
functies bestaat. Men bevindt zich in het gebied der geheele functies
in geheel andere omstandigheden dan bij functies die in een cirkel
holomorf zijn.

We kunnen dat direct door een sprekend voorbeeld duidelijk maken.
Zoo zijn er n.1. geheele functies die voor r-^oo bij elk constant
gehouden argument tot nul naderen\'), terwijl de eenige functie holomorf
voor I X I lt; 1, die voor ieder constant argument van een nog zoo
klein interval tot nul nadert voor 1, de functie is die =0.
Wilde men de hierboven ontwikkelde methode uitbreiden tot geheele

functies, dan zou men moeten weten dat . uniform benaderd kan

worden door een geheele functie in ieder oneindig gebied, bepaald
door een cirkel om het punt 1 en de twee raaklijnen vanuit O aan
dien cirkel onbepaald verlengd.

We willen volstaan met te zeggen dat zulks mogelijk Is door als
geheele functie te kiezen:

00

y ïni ,gt;0.
k

Over dit soort functies vindt men een bespreking in E. Lindelöf:
Le calcul des Résidus.

Toch vindt men zich hier voor eigenaardige moeilijkheden geplaatst,
daar nu het gebied, waar de uniforme benadering niet geldt, ook

O Zie E. Lindelöf: Le Calcul des Résidus, pag. 122.

oneindig groot is. In dat gebied zal die geheele functie dus, mits men
geen voorzorgen neemt, roet in het eten kunnen werpen en men moet
dan ook eerst aantoonen, dat de constructie met de {rk Rk) suite,
toegepast op geheele functies, ons in staat stelt te bereiken dat als,
voor r^oo, (de groei van v geheel willekeurig te
bepalen) een volgens het voorschrift van § 2 Hoofdstuk III gecon-
strueerde geheele functie g{x)=g{ré^^) bij goede keuze der suite
(r*, Rk) de eigenschap heeft dat

I ƒ(*) I [ v(r)nbsp; 00 op een volle maat.

En het feit, dat de groei van %gt; geheel naar willekeur is te bepalen,
stelt ons dan in staat de bovengenoemde uitbreiding te geven voor
geheele functies.

Dit onderzoek valt echter buiten de lijn der dissertatie, zoodat we
ons meer tot deze kennisgeving willen bepalen.

STELLINGEN

I.

In het artikel van N. Lusin en J. Priwaloff, getiteld : Sur l\'unicité
et la multiplicité des fonctions analytiques Annales scientifiques
de l\'Ecole Normale superieur 1925, tome 42, worden de schat-
tingen op pag. 170 en 171 onjuist gebruikt.

II.

In hetzelfde artikel zijn de bewijzen op pag. 146 en 152 vaag.

III.

Het begrip singuliere integraal wordt bij de behandeling van
de differentiaal-vergelijkingen dikwijls niet juist gesteld.

IV.

Met behulp van de constructie aangegeven in § 2 van
hoofdstuk III van dit proefschrift, kan men geheele functies
construeeren van willekeurig hoog geslacht, zelfs van oneindig
geslacht, die op volle maat de radiale limiet oneindig hebben.

V.

Spreken van Ie en 2e categorie van Baire bij puntverzamelingen
kan verwarring stichten.

VI.

Populaire geschriften als „Calculus made easyquot; en „Le calcul
intégral et attrayantquot; stichten kwaad.

Het afbeelden van congruenties op oppervlakken heeft in veel
gevallen geen nut.

VIII.

Bij vlakke rationale krommen kunnen alleen dèn alle singuliere
punten keerpunten zijn als n ^ 4.

Bij niet-rationale krommen moet voor:

en voor ngt;6nbsp;p ^ !(„ _ 2) (n - 3) als p het

geslacht van die kromme voorstelt.

IX.

Een juiste doorvoering van het c.g.s. stelsel laat in vele leer-
boeken der Physica te wenschen over.

X.

De definitie van specifieke weerstand, zooals die o.a. gegeven
wordt in Grimsehl deel II pag. 130, is niet logisch.

XI.

De afleiding in Berlrand; Calcul des Probabitités op pag. 91
is onjuist.

A

û-rt^^Ànbsp;tiàv\';

. • -A

M/.

...

f O

•■•Sv\'

I f

.h.

\'t.,

H î.

i-r .S^l.quot;

v\'^nbsp;v\':\'quot;nbsp;-nbsp;..-■v^rTv^ïv\'quot;-\',K -y--.:.,nbsp;: .

■■NV\'- ^

m

• V ■

. .\'.•.nbsp;•\' Nri \' - ■ quot; gt;\'/■^t;\'

ƒ

■ - ■

-

••c-quot; »

wV.-.iSXi

\'■\'ïï

w», . \'

s -KVî