..teratie van

.i^ationale Functies

DOOR

G. CAMPAGNE

U. J. PARIS
AMSTERDAM MCMXXIX

aquot;

.nbsp;\' t\'r

■ig

^v\'i-jt\' -

r-\'i.l ■

■•yV-^y.

1 \' ;

■ \' ■

i\'i , - ,

. ■nbsp;;nbsp;.-a\'..\'nbsp;. •

...

v.:.-;

.....

V . . --.\'f.-.v,. : ^ V, •.•,,■•«.

- .• ■ / :

^^^ CT

ITERATIE VAN
RATIONALE FUNCTIES

universiteitsbibliotheek utrecht

3969 4132

Iteratie van
Rationale Functies

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD
VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN
DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT OP GEZAG
VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS Dr A. A. PULLE,
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER WIS- EN
NATUURKUNDE, VOLGENS BESLUIT VAN DEN SE-
NAAT DIER UNIVERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN
VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE
TE VERDEDIGEN OP MAANDAG 9 DECEMBER 1929
DES NAMIDDAGS TE 4 UUR

DOOR

GORNELIS CAMPAGNE

GEBOREN TE TIEL

BIBLiOlHtEK DEK
RIJKoUMIVERSMutT
UTRECHT.

H. J. PARIS
AMSTERDAM — MCMXXIX

■ j-\'-i
•tS-.

AAN MIJN OUDERS
AAN MIJN VROUW

Bij het beëindigen mijner Academische studie is het mij een
aangename taak U, Hoogleeraren en Lectoren in de Faculteit
der Wis- en Natuurkunde, dank te zeggen voor hetgeen Gij tot
mijn wetenschappelijke vorming hebt bijgedragen.

Hooggeleerde Emeritus De Vries, Uw colleges in de Hoogere
Meetkunde heb ik steeds zeer gewaardeerd. Het is mij een be-
hoefte U mijn dank voor Uw onderricht te betuigen.

Hooggeleerde Wolff, hooggeachte Promotor, met groote er-
kentelijkheid zal ik steeds de wijze, waarop Gij ons. Uw leer-
lingen, inwijddet in de methoden der Hoogere Analyse, blijven
gedenken. Ten zeerste stel ik Uw daadwerkelijke hulp, die ik bij
het samenstellen van dit proefschrift heb mogen ondervinden,
op prijs.

INHOUD
hoofdstuk i

Bldz.

iteratie in de omgeving van een regelmatig limiet-
punt en in de omgevingen van de elementen van
een cyclische limietgroep.............. 1

§ 1 Inleiding — De voorbeelden 9» (z) = z« en 9? (z) = § 2 De

noodige en voldoende voorwaarden voor het optreden van een
regelmatig limietpunt — § 3 Cyclische limietgroepen — § 4 De
functie B (z) — § ö De functionaalvergelij kingen van Schroeder
en Abel — § 6 De functie p (z) — Afleiding van de functionaal-
vergelij kmg, waarvan /J (z) een der oplossingen is.
Literatuuropgave.

• hoofdstuk ii

INLEIDENDE BESCHOUWINGEN OVER DE VERZAMELING E\'
— ITERATIE IN DE OMGEVING VAN EEN TOT DE VER-
ZAMELING E\' BEHOOREND PUNT.............U

§ 8 Existentiebewijs voor de verzameling E bij iteratie van een
wiUekeurige rationale functie 9» (z) — § 9 De „suites normalesquot;
van Montel — § 10 Iteratie in de omgeving van een punt van E
^ § 11 Eigenschapen van de punten, die tot de verzameling E
Oehooren — § 12 De structuur van E\' — § 13 Nadere beschouwing
van de gebieden, waarin geen punten van E\' gelegen zijn.
•Literatuuropgave,

hoofdstuk iii

onmiddellijk EN TOTAAL CONVERGENTIEGEBIED VAN
EEN REGELMATIG LIMIETPUNT — ITERATIE IN DE OM-
GEVING VAN EEN PUNT x. WAARVOOR GELDT (x) = x,
I (x) I = 1 _ BESTUDEERING VAN DE CONVERGENTIE

VAN DEELRIJEN VAN DE RIJ (n = 1, 2.....) IN DE

«^iiBIEDEN WAAR DEZE RIJ NORMAAL IS........69

beschouwing van het onmiddellijke convergentie-
geoied van een regelmatig limietpunt en van de onmiddellijke
convergentiegebieden van punten deel uitmakende van een cy-
cusche hmietgroep voor het geval, dat deze gebieden enkelvoudig
^menhangend zijn — § 16 Opmerkingen omtrent het totaal aan-

rai punten x waarvoor (x) = x, | (x) | ^ 1 (n = 1, 2.....)

Iteratie in de omgeving van punten x waarvoor (*) =

I (x) I = 1 — § 16 Opmerkingen omtrent de limietfuncties,
waartoe deelrijen van de rij qgt;a{z) (n = 1, 2, ... .) in gebieden
waar deze rij normaal is, gelijkmatig convergeeren, wanneer deze
limietfuncties constanten zijn — § 17 Het onmiddellijke conver-
gentiegebied van een regelmatig limieipunt voor het geval, dat
dit gebied meervoudig samenhangend is — § 18 Het totale con-
vergentiegebied van een regelmatig limietpunt voor het geval, dat
het onmiddellijke convergentiegebied enkelvoudig samenhangend
is en slechts een deel is van het totale convergentiegebied.
Literatuuropgave.

hoofdstuk iv

ITERATIE VAN EENIGE KWADRATISCHE RATIONALE FUNC-
TIES ............................108

§ 19 Eerste voorbeeld, waarbij twee regelmatige limietpunten
optreden — § 20 Tweede voorbeeld, waarbij één regelmatig limiet-
punt optreedt — § 21 Derde voorbeeld, waarbij een cyclische limiet-
groep van de tweede orde optreedt — § 22 Vierde voorbeeld, waarbij
E\' = complexe vlak.

HOOFDSTUK I

iteratie in de omgeving van een regelmatig
limietpunt en in de omgevingen van de elemen-
ten van een cyclische limietgroep.

§ 1 — INLEIDING — DE VOORBEELDEN lt;p (z) = Z® EN ÇJ (z) = ~

Definitie — Itereeren is het herhaald toepassen eener zelfde
functionale bewerking op een (of meer) complexe onafhankelijk
veranderlijke(n) of op een (of meerdere) punt (en) in het com-
plexe vlak (complexe ruimte); met dien verstande, dat de n«

functionale bewerking (n = 2, 3,____) uitgevoerd wordt op de

bij de n—1« functionale bewerking verkregen functie van die
complexe onafhankelijk veranderlijke(n), respectievelijk op het
(de) bij de n — 1« functionale bewerking verkregen punt(en).

Beperking — We zullen ons in dit proefschrift uitsluitend
bezighouden met de iteratie van rationale functies van één com-
plexe onafliankelijk veranderlijke z.
Aanduiding — Ik stel

(Z), Zj = ÇJ (zi),----- Zn = (Zn-l).

De functies Zj, Zj, Zg,----- Zn,____zijn rationale functies van

2. willen wij deze functies in z uitdrukken dan schrijven we:

Zi = 95 (z), Z2 = [9, (z)] = (z),
Z3 = 9\'[9\' {\'P(2)n = 9\'[9\'2 (Z)] = 9\'3 (z).

In \'t algemeen

Zn = 9\'(Zn-i) ^ (z^-^) = 9)3 (Zn-3) = .... = 9)« (z).

De functie is door eenmalige-, de functie z^ door tweemalige-
en de functie Zn is door n-malige iteratie verkregen.

Voorts zuUen we in het onderstaande een complex getal en
het punt dat door dat getal in het complexe vlak bepaald wordt
met dezelfde letter aanduiden.

Het begrip consequent — Zij a een wiUekeurig punt in het com-
plexe vlak, dus a een wiUekeurig complex getal, dan krijg ik na
eenmalige iteratie het punt a^, waarbij ci = 9» (a); na tweemalige
iteratie het punt a^., waarbij a^^ cp (aj of wat het zelfde is
Qj = (a); na n-malige iteratie on, waarbij óa = yn (a).

ai is de consequent van de eerste orde van a, zoo noemen we
Qa de consequent van de n^ orde van a.

Het aantal consequenten van de n« orde (n = 1, 2....) van
een punt bij iteratie met rationale functies is constant gelijk aan

een.

Mogelijk is dat an met a of met zekere ai samenvalt, hierop
komen we later terug.

Het begrip antecedent — Als = lt;p (z), dan is z = v (zi), waar-
bij de algebraïsche functie v de inverse functie van (p is.

is een der antecedenten van de eerste orde van /3 als ^-i^yC/J),
d. w. z. ^ = 9gt; (iS-i); zoo is een der antecedenten van de twee-
de orde van als /ï_2 = V (^-1) = iP)-

De antecedenten van de n« orde van /? zijn de punten waarvoor
hun aantal is, als teller en noemer van ip poly-
nomen van de graad k zijn, in \'t algemeen gelijk aan k«.

Beschouwen we nu allereerst de verzameling {a\\) bestaande
uit de successievelijke consequenten van a en definieeren we
de mogelijke wijzen van convergentie dezer oneindige puntver-
zameling.

Definities

a — Regelmatige convergentie — Een oneindige aftelbare punt-
verzameHng (a,) convergeert regelmatig tot een punt x, indien
met ieder wiUekeurig klein gekozen positief getal c een getal N.
correspondeert, zoodanig dat voor iedere p gt; N,

1 ap — X I lt; c is.

b _ Onregelmatige convergentie — Heeft de oneindige aftel-
bare puntverzameUng (oi) de eigenschap dat er minstens één p
bestaat grooter dan N, hoe groot N ook zij, waarvoor geldt

I Op — X I lt; hoe klein e ook gekozen is, doch geldt niet voor
«icrjj p gt; N |ap — X I lt; e («-gt;0), dan noemen we de ver-
zameling (ai) onregelmatig convergent tot x.
c — Oneigenlijke convergentie — Is vanaf zekere n

Qn = an i = Qa t =----= On p =----(p OO),

of is

lt;p (on) = on l, lt;p (cn l) = an 2,----- f (on p-i) = on

waarbij p eindig is, dan noemen we de puntverzameling (ai) on-
eigenlijk convergent. Het oneigenlijke convergentiepunt is dan
öf Qn óf de oneigenlijke convergentie punten zijn

«Ini Qn I,.....On p—1.

Eerste Voorbeeld
Zij 9, (z) = z».

Dan is lim Zn = lim (Zn—i)\' = lim 2®*.

n-vflo . n-gt;-wnbsp;n-gt;«»

Voor z = refli wordt lim Zn = lim r^\'e«\'«,

n-».« n-gt;»

dus voor r gt; 1 is lim Zn = cx),
en voor r lt; 1 is lim Zn = 0.

n-gt;ao

De consequenten van ieder punt a binnen den eenheidscirkel
naderen regelmatig tot O, terwijl de consequenten van ieder punt
a buiten den eenheidscirkel gelegen regelmatig tot 00 convergeeren,
de punten O en 00 zijn echter uitzonderingspunten.

Men heeft n.1.:

(p (0) = O, 9J (00) = 00.

Hieruit volgt: het punt O is oneigenlijk convergentiepunt
voor de consequenten van O, evenzoo is het punt 00 (van den
complexen bol) oneigenlijk convergentiepunt voor de conse-
quenten van 00.

Is daarentegen r = 1, dan is | zi | = 1 (i = 1, 2.. .), m. a. w.
^ie consequenten van een punt a. waarbij |a | = I, liggen op
den eenheidscirkel.

We moeten nu twee gevallen onderscheiden:

1°0 is onderling meetbaar met 2?!,
2° 0 is onderling onmeetbaar met 2n.

Ie geval — r = 1, 0=^2«. (p en q onderling ondeelbaar

positief geheel en p lt; q)-

De consequenten van a (a = e\'^\'-^i) convergeeren in dit geval

oneigenlijk tot een of meerdere punt (en) /5 (/5 = e52«i, waarbij r
een der waarden O, 1, ... q — eventueel eenige dezer waar-
den aanneemt).

2e geval _ r = 1, ö = a onderling onmeetbaar met 2n.

Ik voer hier en wel uitsluitend in dit voorbeeld een gewijzigde
notatie in, die de behandeling overzichtelijker maakt.

Het punt, waarvoor z = e^«, noem ik a; dat waarvoor z =e2ai

noem ik 2a, enz.

Bij iteratie krijg ik dus, uitgaande van a, de oneindige aftel-
bare puntverzameling

a, ^ 2^,----

Deze verzamelingnbsp;bezit op den eenheidscirkel ten min-

ste één verdichtingspunt, aangezien men geen twee verschil-
lende geheele getallen n\' en n\' zoo kan bepalen dat aan de be-
trekking 2o\'a = 2ii\'a (mod 2n) voldaan wordt.

Zij A een verdichtingspunt. Nu is, alsduaal ontwikkeld
wordt:

^ = 0, qc5.C3....Ck....Ck p..-Ck p q.....Waarbij Ci = O of 1.

(Mocht ^ = ^ e en d geheel, e lt; 2d, dan is

Cd l = Cd 2 =.... = 0).
Er is nu een punt an, (an, = 2quot;ia), waarvoor

^ = O, qc2----CkCi^ea----(mod 1).

Zn

Evenzoo is er een punt Ën. (an, = 2°\'a). waarvoor

= O, qcj----Ck----Ck p ----(mod I)

en een punt an, (an, = 2n.a), waarvoor
^ - n

2n — quot;\'C1C2----Ck----Ck p----Ck p q/ii/lt;2;*3----(mod 1)

enz.

Hierbij is

quot;2 quot;i 1 öf ng na 1, enz.

Immers was

= nj 1, ng = na 4- 1,----- ni = ni_i -f 1,____enz.,

dan zou Cl = Ca = C3 = . ... dus

Sn, = an, = an, = .. .. (mod 2?!), wat onmogelijk is
omdat a onderling onmeetbaar met 2n is.

De puntverzameling a,nbsp;----kan dus nooit regelmatig

tot een punt of oneigenlijk tot een of meerdere punten conver-
geeren.

Ik beschouw nu de punten 2a^, 2quot;a^,_____ deze punten

tnbsp;tot de verzameling en convergeeren regelmatig

De verzameling (2ia) convergeert dus onregehnatig tot 2A.
Algemeen: Indien de verzameling zich in A verdicht,
dan verdij deze verzameling zich in ieder punt van de ver-
zamehng (2iA) en in de verdichtingspunten dezer laatstgenoemde
verzameling, zoo deze voorkomen.

De verzameling (M) kan a priori zijn
1 eindig,

oneindig, maar niet = cirkel,
»1 , = cirkel.

Door cijfervoorbeelden zullen we aantoonen dat de bovenge-
noemde gevallen zich werkelijk voordoen.

^ Cijfervoorbeeld 1 ~ Voor het eerste geval nemen we A zoo-
^nig, dat A meetbaar is met en a kiezen we zoo, dat de ver-

zameHng (lüT) zich uitsluitend in A en de consequenten van A

verdicht.nbsp;_

Bij deze ondersteUingen krijg ik: de verzameHng {2ia) ver^t
zich onregehnatig in ieder punt van de eindige verzameUng (2iA)
en in geen enkel ander punt.

Zij ^ = 0,111 bijvoorbeeld.

^nbsp;nnbsp;n p

^kandanzijn = 0,A,;i...,.iiclll 00....0 111 00.... 0...
2n

In de duale ontwikkeling van moeten voorkomen n. n P.

n p q ... opeenvolgende nuUen voorafgegaan door 3 op-
eenvolgende eenen, n, p. q.....zijn wiUekeurige geheele ge-
tallen. terwijl de cijfergroep • • • • ^^ totaal willekeurig is,
k moet echter eindig zijn.

De verzameling verdicht zich dan uitsluitend in

A, ^ = 0,11 (mod d).nbsp;= 0,1 (mod 1)),

en in ^k. het punt -f 1 van het complexe vlak.

Cijfervoorbeeld 2 - a wordt zoo gekozen dat de__ verzameling
zich uitsluitend in A. de consequenten van A en de ver-
dichtingspunten dezer consequenten verdicht.nbsp;^

Voorts kiezen we A zóó, dat in de duale ontwikkeUng van-^

niet iedere eindige cijfergroep oneindig vaak voorkomt De ver-
zameling (2ÏS) kan zich dan niet in ieder punt van den cirkel

verdichten.nbsp;^

De duale ontwikkeling van ^ maak ik als volgt:

ik neem de groep 10, de volgende groep verkrijg ik door 1 te
vervangen door O en O door 1, deze groep wordt achter de eerste
geplaatst, ik verkrijg dus 1001. nu wordt op deze groep dezelfde
constructie toegepast als op mijn eerste groep, er ontstaat dan:
1001 0110. Deze constructie herhalen we oneindig vaak en ik

stel nu:

^ = 0, 1001 0110 0110 1001 ....
a kies ik zoo dat

k k k
^ = O, x^xo — ;ip 10 O.... 010010.... O looi oi lo o\'l^o....

Bij de duale ontwikkeling van ^ wordt dus een willekeurige

Zn

eindige groep van p cijfers O of 1 gevolgd door de eerste 2 cijfers
van de duale ontwikkeling van hierop volgen k (eindig) nul-

len, daarop de eerste 4 cijfers van de ontwikkeling van ^ enz.

Zn

Onmiddellijk is in te zien dat de verzameling zich niet
in ieder punt van den cirkel kan verdichten. In de duale ontwik-
keling van — komt bijvoorbeeld de groep 111 niet voor, de ver-
Zn •

T-.b

zameling (2»a) kan zich dus in =0,111) niet verdichten.

Zn

Cijfervoorbeeld 3 — Komt echter iedere eindige cijfergroep in

de duale ontwikkeling van ^ oneindig vaak voor, dan verdicht

Zji

de verzameling (2ÏA) en dientengevolge de verzameling
zich in ieder punt van den cirkel.

Immers zij b een willekeurig punt op den cirkel en zij

^ = O, CiCj----Ck----

baarbij k een willekeurig natuuriijk getal is.
De ontwikkeling ^=0, eic^ej.... bevat de cijfergroep

qc,----Ck

onemdig vaak.
Zij nu

«ra == Cl, Cm l = Cj, . . . Crn k—1 =Ck.

dan is

= 0. CxCa----Ck em k .... (mod 1).

Zrt

De verzamelingnbsp;verdicht zich dus onregehnatig in b en

daar b willekeurig was, verdicht ze zich overal op den cirkel.

De verzameling (2ia) verdicht zich dan eveneens overal op
den cirkel waaruit volgt dat ook in de duale ontwikkeling van

— iedere eindige cijfergroep oneindig vaak moet voorkomen.

A

Ik construeer de duale ontwikkehng van ^ als volgt, de eerste

groep in m\'n duale ontwikkeling bevat achter elkaar geplaatst
alle ondergroepen bestaande uit een cijfer, waarbij ik aan de
nul den voorrang geef, ik krijg dan 01, mijn tweede groep bevat
achter elkaar geplaatst alle ondergroepen (2^) bestaande uit twee
cijfers, waarbij als eerste ondergroep te nemen is O gevolgd door
de eerste ondergroep van mijn eerste groep, als tweede ondergroep
O gevolgd door de tweede ondergroep van de eerste groep en als
derde respectievelijk vierde ondergroep 1 gevolgd door de eerste
respectievehjk tweede ondergroep van de eerste groep. Op de-
zelfde wijze construeeren we de 3e, 4®,----- k«,----groep.

Deze groepen worden in volgorde van constructie achter elkaar

geplaatst, en ik kies nu A zóó, dat

I IInbsp;III__

— = 0.01 oooTï^ ÓÓo00101001 Tioo loi ilo iiT—

2n

a kan nu bijvoorbeeld zoo gekozen worden, dat

Inbsp;IInbsp;III

= O, Al . . . . AkOl .... £p 0001 10 II V1V2 . . . . Vq........

Zn

waarbij de groepen X, e, v----willekeurige eindige cijfergroepen

zijn.

Conclusie — Is r = 1, Ö = a onderling onmeetbaar met 2n,
dan convergeert de verzameling van de consequenten van a bij
iteratie van lt;p (z) = z^ onregelmatig

óf tot een eindige op den eenheidscirkel gelegen verzameling

{¥Ry,nbsp;_

óf tot een oneindige verzameling (2iA) en de verdichtingspun-

ten van deze verzamel^, waarbij echter niet ieder punt van
Sorrt-^\'\'quot;^\'quot;\'^^^nbsp;^^ verdichtingspunten van

óf tot ieder punt van den eenheidscirkel.

Opmerking— De maat van de verzameling (5^) bestaande uit
ae punten x (x onderl. onmeetb. met 2?r). waarvan de conse-
quenten onregelmatig naderen tot ieder punt van den eenheids-
cirkel, is 2^.

Bewijs — Nemen we het interval 0—1. Ieder punt Y van dit
interval wordt bepaald door een getal y O ^ y 1. Wij schrij-
ven y in het tientaUig stelsel.
De verzameling der punten Y, waarbij in de ontwikkeling van
e correspondeerende getallen y een bepaald cijfer bijv. 7 niet
00 vaak voorkomt, heeft de maat nul.

Immers, de verzameling der punten Y, waarbij 7 in de corres-
pondeerende getallen y op de eerste plaats na de komma voor-
komt, heeft de maat (n.1. 0,7 ^ x lt; 0,8).
De complement verzameling heeft dus de maat
De verzameling (Y), waarbij 7 niet op de eerste en niet op de
eede plaats achter de komma in de ontwikkeling der correspon-
aeerende y\'s voorkomt, heeft de maat

y ais achter de komma voor, dan heeft de correspondeerende
^-verzameling de maat (W)P.
Hieruit volgt:

De verzameling der punten Y, waarbij in de correspondee-
de maft^ nuT ^ ^^^^nbsp;«quot;eindig vaak voorkomt, heeft

^^venzoo heeft de verzameling der punten Z in het interval

ontnbsp;correspondeerende getaUcn z O z ^ 1 duaal

in 2 .nbsp;^^ eroep .... X, {X, = O oi \\)

quot; die ontwikkeling niet voorkomt, de maat nul.

m dit in te zien schrijven we de getaUen z als volgt:

2p ^ 28p^ 2ap ^----

Het grondtal is 2p en ailt;2p-i.

Dezelfde redeneering van daareven geeft nu:

De verzameüng (Z), waarbij in de duale ontwikkeling van de
correspondeerende getaUen z een wiUekeurige groep van p cijfers
O of 1 niet oneindig vaak voorkomt, heeft de maat nul.

Bij iedere groep van p cijfers is er dus een volle dikte Ep van
Z, waarbij in de duale ontwikkeling van de correspondeerende z
die groep oneindig vaak voorkomt. Er zijn slechts 2p groepen
van p cijfers.

Beschouwen we de doorsnede van 2p volle dikten dan krijgen
we:

Bij gegeven p is er een volle dikte Fp van Z, waarbij in de ont-
wikkeling van de correspondeerende z iedere groep van p cijfers
oneindig vaak voorkomt.

Door snijding van de voUe dikten Fj, Fj,... . (aftelbaar) krijgen

we:

Er is een volle dikte V van Z, waarbij in de duale ontwikkeling
van de correspondeerende z, elke cijfergroep oneindig vaak voor-
komt.

Dit toegepast op den eenheidscirkel in ons voorbeeld geeft:

De verzameling Va der punten a, waarvan de consequenten
onregelmatig naderen tot een eindige verzameling (2iA), heeft
de maat nul.

De verzameling Vs\' der punten a, waarvan de consequenten
onregelmatig naderen tot ^ oneindige \\^zameling (2iA) en de
verdichtingspunten van (2iA), waarbij (2iA) verzameling ver-
dichtingspunten =/= cirkel, heeft de maat nul.

De verzameling Va\' der punten a, waarvan de consequenten
tot ieder punt van den cirkel onregelmatig naderen, heeft de
maat 27i.

Tweede Voorbeeld
lt;f (Z) = -a-

=nbsp;= = k\' • • •. en lim Zn = Hm z(-«)\'.

We splitsen deze functierij in tweeën, n.1. in de rij
(z2n) n = 1, 2, 3 ...

/

en de rij

(z2n l) n = 0. 1. 2,....

Zij a=re®\' , r 1, dan convergeert de verzameling (an) onregel-
matig tot d en \'t punt oo.

Voor r gt; I convergeert de verzameling (a2n) regelmatig tot
het punt oo, terwijl de verzameling (agn i) regelmatig tot O con-
vergeert.

Voor r lt; 1 heeft het omgekeerde plaats.

Voorts is 9? (0) = oo, tp^ (0) = 0, epa (0) = oo, ____ enz., en

9 (oo) = O, 9J2 (00) = 00, 9gt;3 (00) = O,----enz.

De consequenten van O van oneven orde vallen samen in het
punt 00 (van den complexen bol), die van even orde vallen samen
met O. Zoo vallen de consequenten van 00 van oneven orde samen
met O, van even orde samen met 00.

Is r= 1, dan blijft ai steeds op den eenheidscirkel.

We onderscheiden ook hier twee gevallen,
ö = a, onderling meetbaar met 2n.

De verzameling a, 4a, 16a, .... 22na,. .. ., bestaande uit de
consequenten van a van even orde, nadert oneigenlijk tot een ein-
dig aantal op den eenheidscirkel gelegen punten.

De verzamelingnbsp;—8a,_____ — 22n ïa,____, bestaande

uit de consequenten van a van oneven orde, nadert eveneens on-
eigenlijk tot een eindig aantal op den eenheidscirkel gelegen pun-
ten.

De verzameling, bestaande uit alle consequenten van een wil-
lekeurig punt a, op den eenheidscirkel gelegen, a onderling meet-
baar met 2n, nadert dus oneigenlijk tot een eindig aantal op den
eenheidscirkel gelegen punten.

2® Voor r = 1, 0 = a, onderling onmeetbaar met 2n herhalen
^e de in het eerste voorbeeld gedane redeneering nu echter toe-
ggpast zoowel op de verzameling (28na) als op de verzameling
(—28n ia) en krijgen dan:

De verzameling a, —.... nadert onregelmatig
öf tot ieder punt van een eindige verzameling;

» „ „ „ „ oneindige „ , die echter niet
ieder punt van den eenheidscirkel bevat;
öf tot ieder punt van den eenheidscirkel.

De bij het eerste voorbeeld gemaakte maattheoretische opmer-
king is ook hier van toepassing.

§ 2 — de noodige en voldoende voorwaarden voor het op-
treden van een regelmatig limietpunt

Definitie — Ik noem x regebnatig limietpunt, indien er een om-
geving ß van x bestaat, zoodanig dat de consequenten van ie-
dere z-{ Q regelmatig naderen tot x.

Bewering — Indien x in \'t eindige gelegen regelmatig Hmiet-
punt is, dan moet
1° (p (x) = x,
2° I lt;p\' (x) 1 lt; 1 zijn.

Bewijs — le voorwaarde — Uit de regelmatige convergentie
van de consequenten van iedere z •{ Q volgt, dat lt;p (z) in een om-
geving Q\' van x {Q\' ^ Ü) holomorf moet zijn.

Verder moet lim zk = x en lim zr i = x voor iedere z-{ Q,
k-)-«nbsp;k-gt;=o

of daar (p (zk) = Zk i, moet lim lt;p (zk) = x.

k-x»

En aangezien (f (z) holomorf is in Q\'. is dus cp (x) = x.
2e voorwaarde — Zij Teen cirkel met x tot middelpunt en geheel
in q\' gelegen en zij q (de straal van dezen cirkel) voldoend klein

gekozen, dan is als

\\z — x\\^Q |zn — x|lt;|z — x|(n voldoend groot).

lt;pn (z) — x ^^^ ^^^ ^^ ^^^ kleiner dan 1 is.
z — x

Men heeft nu in JT (cirkel r heeft een straal q\' gt; q, is con-
centrisch met r en geheel in Q\' gelegen)

fn (z) = lt;Pn (x) (Z —x) cpa\' (x)nbsp;9\'n\' (x) -{-... .

waarbij

Waaruit volgt dat

Maar (p^\' (x) = {9j\'(x)}n,

dus 1 9\' (x) I lt; 1. q. e. d.

Bewering — Is het punt oneindig (van den complexen bol)
regelmatig limietpunt, dan moet voldaan zijn aan

1° 9 (00) =00.
2° |9,\'(oo)lgt;l.
Bewijs — Ie voorwaarde — Wij stellen

, 1,1,., I

. en z k i

Als Zk-gt;oo, dan nadert z\'k tot 0.

Hieruit volgt in verband met het voorgaande

f (0) = O dus lt;p (00) = c».
2e voorwaarde — Daar O regelmatig limietpunt is bij iteratie
van f (z\'), moet | f\' (0) |lt; 1 zijn.
Nu is

dz

In de omgeving van z\' = O heeft men 9

ö (0) Ti: 0 en 6 (z\') holomorf, waarbij dus ondersteld wordt dat

\'\' ^p) in z\' = O een pool van de me orde heeft.
Nu is

^ VzVz\'« Z\'n^ l ^ Z\'ni......

Voor m = 1. z\' = O heeft men (00) = ö (0).
Voorts is e (0) =

\\z / t\' — 0

Uit I f\' (0) ] lt; 1 volgt dus

|9\'(c»)|gt;l.

Voor m gt; 1 is f\' (0) = O en is dus altijd aan de 2e voorwaarde
voldaan.

Dat de hierboven afgeleide voorwaarden voor het optreden van
een regelmatig limietpunt noodig en voldoende zijn, toonen we
als volgt aan:

Bewering — Indien (p (x) = x, ] (x) ] lt; 1, dan is x mid-
delpunt van een cirkel Cx, waarbinnen de consequenten van
iedere z Cx regelmatig tot x naderen, x is dan een regehnatig
limietpunt.

Bewijs — lt;p (z) is holomorf in een cirkel C\'x met x tot mid-
delpunt.

Men heeft dus in C\'x

lt;p{z) = lt;p (x) (z —x) Cf\' (x) (z —x)« A (z).

l (z) is eveneens holomorf in C\'x en zij nu A het maximum
van 1 A (z) I op den rand van C\'x, dan is wegens

Zi—
z — x

overal binnen C\'x

Zi —X

= .p\'(x) (z-x)A(z)

, , lt; |qp\'(x) 1 |z-xl.A......(1)

Zij C\'x de cirkel met x tot middelpunt en straal

1 -1 (X) I
A

Beschouw ik nu de cirkel Cx, die met C\'x samenvalt als rcquot;, lt; rc\\
of met C\'x samenvalt indien requot;, lt; rc\', is, dan volgt uit (1), dat
overal inCx |zi — x|lt;k|z — xj 0lt;klt;l.

Dus 1 Zn — X 1 lt; k«» I z — X I

of lim Zn = X-

n-gt;«gt;

Deze convergentie geschiedt regelmatig, x is dus een regelmatig
limietpunt.

De regelmatige limietpunten bij iteratie van een functie qp (z)
zijn dus de wortels f van de vergelijking lt;p (z) — z = 0. waar-
voor I 9\' (f) I lt; 1 is. Iedere f is middelpunt van een cirkel Q
waarbinnen de consequenten van iedere z Cf regelmatig tot f
naderen.

Na toepassing van het bovenstaande op de behandelde voor-
beelden cp (z) = z® en qp (z) = ^ krijgen we in overeenstemming
met het in § I meegedeelde, dat er bij iteratie van 9 (z) = z« twee
regelmatige limietpunten (O en 00) en bij iteratie van 9 (z) = \\
geen regelmatige limietpunten optreden.

§ 3 — cyclische limietgroepen

Ik noem de vergelijking qpp (z) = z de vergelijking Ep.

Voorts zeg ik dat x tot Ep behoort, indien x een wortel van
Ep is, terwijl voor iedere q lt; p ^q (x) x is.

beweringen — a — Is x een wortel van Ep, dan is x eveneens
een wortel van Ekp.

Om dit in te zien behoeven we slechts beide leden der gelijk-
^ei^d 9p (x) = X (k — 1) p maal te itereeren.

ö Is X een wortel van Ep, dan zijn x^, x,,_____ Xp_i even-
eens wortels van Ep.

Men heeft n.l. lt;pp (x) = x; na eenmalige iteratie verkrijgt men
Tp i (x) = ^ (x) of 9p (xj = xj, enz.

c — Behoort x tot Ep, dan behooren de p — 1 wortels x^......

eveneens tot Ep.

Stel Xi behoort tot Eq q lt; p. dan moet wegens (a) en (b) p = nq.

an permuteert de substitutie 9 (z) de groep x^, x......... waar-

uit volgt dat:

xq = x,q =----= xnq = x.

derst^°id ^^^^^^ voldoen, aan (x) = x, wat tegen het on-

Samenvattende krijgen we dus nu:

De wortels, die tot de index p behooren, verdeelen zich in groe-
pen van p wortels, die cyclisch gepermuteerd worden door de
substitutie gp(z).

We passen het bovenstaande toe op een geval van onregel-
matige convergentie. Daartoe stellen we:

De verzameling (ai) convergeert onregehnatig tot x (in \'t ein-
dige gelegen), echter zóó, dat de deelverzameling

a, ap, a^p .. . a.p.....regelmatig tot x convergeert voor

iedere aÜ, waarbij Q een omgeving van x is.

Hiervoor is noodig dat
1° g,p (x) = x,nbsp;.nbsp;J •

2° I y\'p (x) I lt; I, immers we houden ons nu bezig met de ite-
ratie van 9p (z), waarbij x regelmatig limietpunt is.
Stel X behoort tot Ep. dan moet p = a^.
Nu is

^ |(Pp (z) I 1 = If\' i^) • f\' (\'^i) • • • •

dz

dus wegens 1 (p\'p (x) 1 lt; 1 is eveneens 1 (x) 1 lt; 1, waaruit volgt
dat de verzameling

a. Of,, a^p.....regelmatig tot x convergeert voor iedere a -( iJ.

We onderstellen verder dat geen der getallen Xj, Xj.....x„_i,

00 is, cp (z) is dan holomorf in een omgeving Q\' van x, van Xj,
van Xg enz.

\'We beschouwen nu de verzameling a^,nbsp;02/4 1,----

Deze verzameling convergeert regelmatig tot x^.
Men heeft n.1.:

De elementen van de verzameling uj, ap x.----zijn de conse-
quenten van de eerste orde van de elementen van de verzame-
ling a, a^, aj^,_____ welke regelmatig tot x convergeert. De ver-
zameling a„ ap^i.....moet dan regelmatig tot x^ (x^ = lt;p (x))

convergeeren, aangezien qgt; (z) ü\' conform afbeeldt op een zekere
omgeving van Xj, dus een regelmatig convergente verzameling
in Q\' overvoert in een eveneens regelmatig convergente verza-
meling.

Voor iedere a ■{ Q geldt dus dat

Xo, ...Xju—i behooren tot Ep, bovendien is daar
9\'V(x)=lt;p\' (X) lt;p\' (x,)....lt;p\' (xgt;_i)

of (x) = (xi) = . . . . = yV (x/^-i)-

^ok hieruit volgt dat de 2e voorwaarde | lt;p\'p (xi) ] lt; 1 inder-
daad vervuld is, immers | lt;f V (x) | is kleiner dan een.

In het bovenstaande is dus bewezen, mede in verband met het
afgeleide in § 2:

Bewering — Indien x = Xo behoort tot E^, terwijl bovendien

I ^ (x) .... 9,\'nbsp;I lt; 1 is, dan is XI (i = O, I......fi— I)

middelpunt van een cirkel Ci, waarbinnen de consequenten van
le ere z {z ^ Q) bij iteratie van lt;pft (z) regelmatig tot xi naderen.

6 groep X, Xj, .... Xft—i wordt een cyclische limietgroep ge-
noemd. Het aantal elementen van de groep bepaalt de orde.

Maakt het punt 00 deel uit van de cyclische limietgroep, is
ijvoorbeeld Xh = 00, dan moet | Xh il, waarbij Xh i = ?(oo),
oegrensd zijn.

Bovendien is (p (z) in de omgeving van Xh_i meromorf.

^ejvoorwaarden worden in dit geval;

- (xi) i = O, 1......^ — 1, doch I (xi) I lt; 1 geldt

aUeen als i^h is. Voor i = h wordt de 2e voorwaarde

kV(oo) |gt; 1.

Passen we het bovenstaande toe op het voorbeeld lt;p (z) =i,

dan volgt hieruit dat de punten O en c» de elementen zijn van
een cyclische limietgroep van de 2e orde.

§ 4 — DE FUNCTIE B (z)

Bewering — Indien O regelmatig limietpunt is, en®\' (0) 9!: O,
dan stelt de functienbsp;^ ^ fT ,

p-f® l?\' (UjJP

in Co een holomorfe functie voor. die O tot enkelvoudig nulpunt

heeft.

Bewijs — In Co is:

= (0). (1 ö Mz).
z, = z,lt;p\' (0). (1 öiMzi),

zp = zp_i lt;f\' (0). (1 öp-i Mzp_i),
waarbij M een positieve constante onafhankelijk van z is en waarbij

löi Ilt;1.

Nu is in Co:

I Zn| lt; k^l z I, O lt; k lt; 1. en we krijgen.
zi = zqgt;\' (0). (1 öMz),
zj = Zilt;f\' (0). (1 öi\'Mkz).
............ löi\'llt;l-

Hieruit volgt

_ z (1 fl Mz) (1 öi\' Mkz) ... (1 ö\'p_i MkP-iz).

Laten we nu p tot oo naderen, dan krijgen we:
Wegens de gelijkmatige convergentie der reeks 2quot; | a\'niMk=»z |
convergeert het oneindige product il (1 ö\'^^Mk-z) en nadert

^p overal in Co (behalve in O) tot een van nul verschiUende
[(p\'(0)]P
eindige limiet.

Stellen we voorts B (z) = lim ^mv ^^^ ^^^^^

lijkmatige convergentie tevens dat B (z) in Co holomorf is.
Het punt O is enkelvoudig nulpunt van B (z).

Indien x, in \'t eindige gelegen, regelmatig Umietpunt is. en
(x) O, dan is in Cx

de functie B (z) = lim ^ ^ holomorf,

p-voe [ç,\'(x)]P

waarbij x enkelvoudig nulpunt van B (z) is.
Dezelfde redeneering van daareven doet dit inzien.
Uok het volgende is gemakkelijk in te zien:
Indien \'t punt oo regelmatig limietpunt is en \\qgt;\' (oo) | eindig,
aan is in (op den complexen bol) de functie

B{z)=Hmij?lM}Pholomorf.

P- -00 Zp

Bewering^ Het oneindige product jl^i stelt in C,

(.Hx) = x, U\'(x) |lt;1. ^\'{x):jtO)
een holomorfe functie voor, die gelijk is aan B\' (z).
Bewijs — In Cx is

(z) = (x) (z-x) Ç,\' (X) nbsp;(x) . .. .

dus

9\' (2) = ggt;\' (x) (z —x) (x) ... .
ofnbsp;qgt;\' (z) ,

ennbsp;_ , /

gt;p\'{x) ~~ \' (zi-i — x) 0i_iN = I (z — x) ki-3ô\'i_iN,

waarbij N een positieve constante is onafhankelijk van z (in C,)
produit ^ I I I 0\'p I kleiner dan één zijn. Het oneindige

veSnfi^ ®\'pNkP (z —x) j stelt dan wegens de gelijkmatige con-

funSrnbsp;-^lö\'p NkP(z-x) I in Cx een holomorfe

\'nbsp;voor. immers O lt; k lt; 1.

Nu isnbsp;± lt;Pp (z) — Xnbsp;lt;p\' [yi (z)]

dz [„\'(x)JP jf^ ç,\'(x) •

I^e limietovergang (p-.cx)) die hier geoorioofd is geeft:

,,nbsp;i-o ^ W

Voor z = X. is B\' (z) = 1.

§ 5 - DE FüNCTIONAALVERGELIJKINGEN VAN SCHROEDER EN ABEL

Zij X regelmatig limietpunt en (x) ^ 0. dan is in C.
Bij limietovergang (p-oo) krijgen we

B (z) is dientengevolge in C. een oplossing van de functionaal-

een constante is.

In ons geval hebben we dus als oplossmg

S{z) = B (z). c = 9 (x).

Deze oplossing duiden we symbolisch a- me^B .\'Wl-
Zij n een geheel positief of negatief getal, dan is

|[B(z)]n, [lt;p\'W\\
eveneens een oplossing van (S); zoo ook t B (.), (x)!, -ar-

va\'is), die op deze manier uit (B (z), f (x) 1
af te Utozi^, kunnen dus voorgesteld worden door

Voor n gt; O zijn deze oplossingen h^omorf in C., terwijl voor
quot; ^nbsp;^^^^nbsp;^e orde

van de pool van de betreffende oplossmg.

r;- C \'SX^ c:tn oplosslg is va„ ae lunctionaalver-
gelijking van Schroeder, kunnen we als volgt mz.en.

,. w (ooi]\'\'

B (z) = lim

p- eo

Dan is B (z) = 9\' (00) B{9 (z) j of

B}9(z)| = -^B(z).

« W )nbsp;9\' ^00) ^ \'

In dit geval voldoet B (z) aan (S) als

Bewering — Iedere oplossing van (S), die in Cx holomorf of
nieromorf is. kan voorgesteld worden door

|a[B(z)]n, [9\'(x)]n}

Beivijs — (voor \'t holomorfe geval).

Uit (S) volgt S|9i(z)j =ci5\'(z)............(I)

Voor z = X krijgen we (1 — d) S{x) = 0.
Hieruit volgt óf c = 1 óf 5 (x) = 0.

Nu is in C* lim 91 (z) = x en aangezien de functie S in Cx
holomorf ondersteld werd. is

lim ^j9i(z)} =£\'(x)..........(2)

Voor c= 1, volgt uit (1) en (2)

S{z) = S (x) = constant.

^Conclusie: iedere holomorfe oplossing van de vergelijking (S)
oet m x nul zijn. immers c = 1 is uitgesloten, blijft dus alleen

over5(x) = o.

Ik stel nu S (z) = (z —x)n (z), (z) is holomorf in Cx en

(x) 7!: 0.

tem^l^,quot;^^\'quot;nbsp;= (z- x)n c (z).......(3)

vtnbsp;f ^^ = [9^ (z) - x]n 0 [9 (z)].......(4)

(3) en (4) leiden we af dat

9 (z) — xln

.nbsp;0[9(z)] = c(P(z)......(5)

Laten we nu z tot x naderen, dan geeft (5)

W W == c.

Dan is [lt;p (z) — x]« [lt;p (z)] = ilt;p\' (x)]\'^ (z)
ennbsp;Wi (z) — x]n 0[ipi{z)] = [lt;p\' (x)(z)

En voor i-gt;oo (deze Umietovergang is hier geoorloofd) krij-
gen we

[B (z)]^ (x) = (z). q. e. d.
Wordt S (z) in Cx meromorf ondersteld, dan geeft een analoog
bewijs, dat ook in dit geval

r (z) = a {B (z)|° (ö = constant), met dit verschil dat nu n

geheel en negatief is.

De functionaalvergelijking van Abel is

E\\(p{z)\\ = (z) 1, waarbij S een onbekende functie is.

Neemt men de logarithme van beide leden van de vergelijking
van Schroeder en deelt men daarna door Ig c, dan verkrijgt men
de vergelijking van Abel.

Hieruit volgt dat de vergelijking van Abel in Cx
(^(x)=x, |9\'\'(x) |lt;1.

geen holomorfe of meromorfe oplossingen heeft.

Een der oplossingen van de vergelijking van Abel in Cx is

IgB(z).

deze oplossing heeft in x een logarithmisch

^ \' Ig 9\'\'{x)\'
punt.

Algemeene oplossing van de vergelijkingen Van Schroeder en
Abel in de omgeving van een regelmatig limietpunt.

Het quotiënt van twee oplossingen van (S), of het verschil van
twee oplossingen van (A), is een oplossing van de functionaal-
vergelijking

S\\lt;p [z]) = S (z)..........(I)

Indien nu X (z) de algemeene oplossing van (I) is, dan zijn
de algemeene oplossingen van de vergelijkingen (S) en (A) respec-
tievelijk B (z). X (z) en b (z) X (z).
Stellen we nu X (z) = |b (z) |. dan is

X{7.{z)| =i3[b{9gt;(z)|]=i3{b{z) l}.

En aangezien X j,, (z)} = X (z), is |b (z) -f I} = ö |b (z) j.
Hieruit volgt dat de functie ü iedere willekeurige periodieke
functie kan zijn met de eenheid tot periode.

Zie voor een mooie toepassing hiervan de publicatie van Koe-
nigs sub 2 vermeld in het literatuuriijstje aan het eind van dit

Hoofdstuk.

§ 6 DE FUNCTIE ^ (Z) — AFLEIDING VAN DE FUNCTIONAAL-
VERGELIJKING, WAARVAN (z) EEN DER OPLOSSINGEN IS

In de hieraan voorafgaande §§ hebben we ons bezig gehouden
j^et de limietfuncties, die in de omgeving van een regelmatig
nnuetpunt x (^^\'(x) 0) respectievelijk in de omgeving van het
limietpunt oo (|9gt;\'(oo)| eindig) optreden.
Wij stellen nu dat voor het regelmatige limietpunt x geldt
9\'(x) = O, respectievelijk voor het regelmatige limietpunt oo
•P M = 00 en zullen in deze § de limietfuncties, die bij déze
ondersteUingen optreden, behandelen.

Zij O regelmatig limietpunt, dan is dus tp (0) = 0. Voorts on-
derstel ik

(0) = ^^ (0) =____= ,, (m-l) (0) = 0, qgt; (m) (Q) rjfc Q.

In Co heeft men dan:

of zooals §4 aangeeft:

O lt;k lt; 1

(1 -f d\'^i MkP-iz), M is

In het algemeen: Zp = z^^-^

een constante onafhankelijk van z en | Ö\'i | lt; 1.
Hieruit volgt dat:

m!

Zp . Zp—1 . . . .Zi
[Zp_i .... Z^ya

(0)

en bij limietovergang p-gt;C30
Zp.......Zi

lim

^ = zm fl\'i Mkiz).

i-o

Het oneindige product quot;h (I ö\'iMkiz) convergeert in Co

i-=o

gelijkmatig en stelt dus in Co een holomorfe functie voor.

ie 09

^(z) = z™ n (1 ö\'iMk»z) is dus in Co holomorf.

i — o

We krijgen nu:

ml

(0)

waarbij (z) het analogon is van B (z).
Voorts is

Zp l . Zp----Zi

[Zp......zi]«^

m!

^(m)(0) ,,(«quot;) (Oj jg-lz)}quot;»-\'

en als p CX)

ml

of

A (z) is dus een oplossing van de functionaalvergelijking
m!

Op te merken valt dat voor n = O (S\') in (S) overgaat.

Is in plaats van O, x regelmatig limietpunt
(x) = x. (x) = (x) = . . . = ^(m-l) (x) = O, (x) 0)
dan krijgen we

(^-P — x)......(zi — x)

^ (z) =lim 77-;-;-rrr-

p-gt;» [(zp-1—x)...(zi—x)p

waarbij ^ (z) in c, holomorf is.
In de omgeving van oo, oo regelmatig limietpunt

^ (oo) = oo. lt;p\' (oo) = (oo) = .... = y(m-l) (oo) =
-00. UH (oo)| eindig),
heeft men

[zp-i ». •. ZiP

/3(z) = lim

P-VOD Zp

waarbij ^(z) in C, holomorf is.
En aangezien

voldoet ook hier fi (z) aan de functionaalvergelijking
- l9\'(z)j =c {?.(z)jn5(z)....(S\')

en n = — m 1.

Bewering — Iedere holomorfe of meromorfe oplossing van (S\')
kan voorgesteld worden door a {^(z)}\'\'.
Is n gt; O, dan is de oplossing holomorf.
Voor n lt; O, is de oplossing meromorf.
Bewijs — (voor het holomorfe geval).

We steUen: O is regelmatig limietpunt, dus

^ (0) = O, (0) = (0) = .... (0) = O, (0) rf. 0.

Uit S{lt;p{z)} =c {9(z)}n£\'(z)....(S\')

volgt S \\qgt;i (z)) = ci llt;f (Z)} (Z)-nbsp;.nbsp;, .

Aangezien voor z = O, (z) = O en q-i (z) = 0.nbsp;geeft denbsp;laat-
ste vergelijking S (0) = 0. „ ^ / xnbsp;•
Ik stel nu 5* (z) = zQ ^ (z), waarbij ^ {0) Onbsp;en ^ (z)nbsp;mCo

holomorf is en krijg dan

{9(z)}qlt;rgt; |9(z)j =c |qp(z)hzq4gt;(z)
ofnbsp;\\ =c {^(zlh-\'ïz^ï^Cz)............^^^

Voorts is 9 (z) = zm 0 (z), ö (0) =nbsp;^ O en 0 (z) in Co ho-

lomorf.

Substitueeren we dit in (1). dan moet

. ( m!

m(n —q) q = Oenc =

Voor een holomorfe oplossing is dus

q = mr en n = (m — l)r (r geheel en positief).
Vergelijking (1) wordt:

of Zi\' 0 (Zj) = czquot;^ (z)
Ook is Za\' (Z2) = czi®\' 4gt; (zi).
En in \'t algemeen

z\'p (zp) = cz~ X ^ (Zp-l).

Dus

I Zp . . . . Zi}r (Zp) = CPZIW. Zi«^ .... z-x ^ (z)

CP

Zp

[Zp_l .. . . zj

lm

«f (Zp) = 0 (z) .

Nu is, aangezien (z) in Co holomorf ondersteld is,
lim 0 (zp) = 0 (0) = a.

p- agt;

Hieruit volgt: nadert p tot oo, dan geeft (2)
a {i5(z)|r= =\'(z).h.t.b.w.

Algemeene oplossing van de vergelijking (S\') in de omgeving
van een regehnatig limietpunt.

Het quotiënt, van 2 oplossingen van

^ \\cp{z)\\ =c {9.(z)|n5\'(z)....(S\')
voldoet aan de functionaalvergelijking

•2* \\lt;PW =-H\'{Z)..........(I)

Deze laatste functionaalvergelijking heeft in de omgeving
an een regelmatig limietpunt noch holomorfe noch meromorfe
opiossmgen, immers uit (I) volgt

{^yi (z) j = r (z) en hieruit als i oo, dat in de omgeving
an dat regelmatige limietpunt S (z) = comstant eindig of on-
mdig IS, al naar gelang S (z) holomorf of meromorf in het regel-
quot;latige limietpunt ondersteld is.

lj nu X (z) de algemeene oplossing van (I), dan is de algemeene
«Plossmg van (S\') (z) . X (z).

Op te merken is, dat in dit geval {rp\' (x) = O, x is het regel-
natige h^tpunt) X (z) niet gelijk te stellen is aani? |b(z)|,
b (z) m de omgeving van x niet bestaat.

^^^ ^^^ bovenstaande op het eerste voorbeeld
SP (z) = z» dus 9(0) = O, ff\' (0) = 0. ff \' (0) = 2.

In de omgeving van O moet dus optreden de holomorfe functie
/3 (z), die een oplossing is van de functionaalvergelijking

In \'t algemeen was

m! )P Zp......2i

/3 (z) = lim

9,(in)(0)j [Zp_i . . . Zj]®\'

p-gt;»

In dit geval is dus

Zp

^ (z) = lim

\'p^« {Zp_i...Zi}»

en daar

Zp = z*p-i, Zj^i = z\'p_2, enz.....

is ^ (z) = z2.

In de buurt van oo hebben we, aangezien

(p (oo) = 00. lt;p\' (oo) = 00
(oo) = 2,

de functionaalvergelijking
en als oplossing

g^oo) )P [Zp-l

^ (z) = lim

ml j

De algemeene oplossing in de omgeving van O is z». X (z).
en in de omgeving van oo X (z). waarbij X (z) een wiUekeurige

functie is die voldoet aan X (z^) = X (z).

Bijvoorbeeld kan X (z) zijn sin Plg «Ig z. waarbij voor de loga-
rithme steeds de hoofdwaarde genomen moet worden, terwijl
we als w een complex getal voorstelt

Plg w als volgt definieeren
Plg w = Plg I w I -1- i en waarbij p voldoet aan p-quot; = 2,

§ 7 — OPLOSSING VAN DE FUNCTIONAALVERGELIJKING VAN SCHROE-
DER IN DE OMGEVINGEN VAN DE ELEMENTEN Xi VAN EEN CYCLISCHE
LIMIETGROEP, zoo DEZE ELEMENTEN IN HET EINDIGE GELEGEN
ZIJN EN INDIEN (Xi) ^ O, WAARBIJ /i DE ORDE VAN DE GROEP IS

In § 3 is afgeleid dat iedere xi, behoorende tot een cyclische
limietgroep, middelpunt van een cirkel Ci is, waarin

I (z) — Xi I lt; k I z — Xi I
1 «P/^p (z) —Xi I lt; kP| z —Xi I, O lt; k lt; 1,
als n de orde van de groep voorstelt.

We kunnen nu een met Ci concentrischen en in Ci liggenden
respectievelijk er mee samenvallenden cirkel C\'i zoo bepalen dat
voor iedere z^ Cf

Zj in Ci i, Za in Ci a,. .in Ci /«_i gelegen is
Zij tp\' (xi) = dan is

\'P f (*0 = lt;p\' (Xi). 9)\' (xi i)----tp\' {xi ,,_i) = ai. aj i----ai /._i.

Of daar voor zekere index i l Xi i = Xo, Xi i j-i = x^, enz.
is (xi) = ao ai.... ai.... = a.

Aangezien we hier te doen hebben met een cyclische limiet-
groep moet I a I lt; 1 zijn.

Egt;e functie B, (z) = lim ^^p (^) -xi ^^^ ^^ ^^^ ^^

p-gt;lt;xnbsp;ap

lomorfe functie voor. die in Ci een oplossing is van de functio-
naalvergelijking Änbsp;=c5\'(z), waarbij 5\'(z) = Bi(z) en
c == a, immers Bi {(z) j = a Bi (z).

Is nu z ^ C\'i en j lt; dan is
Zj ^ C\'i j.

De functie Bi j {.pj (z) j is nu in C\'i holomorf. waarbij
Bi j (z)I = lim -r^pWi

p-^00nbsp;aP

voorts is in Ci\'

P-V» \'P/4p(z) —Xi

lt;Pi jzwlnbsp;dyj (z)

= lim -- i::: —

= ai j—1. ai i—2----ai.

Men heeft dus voor iedere z ^ C\'i en voor iedere j lt;

Bi j {(z) i = ai. a i i . ;.. ai j_i Bi (z).
Voor i = 1 krijgt men

Bi i}ip{z)} =aiBi{z), terwijl voor j =/x de zooeven ge-
noemde betrekking

Bi {«^/x (z) I = a Bi (z) weer te voorschijn komt.

Een functie f (z), die in Co met Bo (z), in Cj met Bj (z),-----

in Cft-i met Bf^i (z) samenvalt, bezit dus de eigenschap dat

f in C\'i (i = 0, 1...... /\' — 1) constant is. Voor Co is

f (z)

deze constante a«. voor C\'i a^,.....voorCV-i is deze constante

1.

\' Aangezien deze constante van cirkel tot cirkel varieert is f (z)
geen eigenlijke oplossing van de vergelijking van Schroeder.

Voor het vinden dezer oplossing zoeken wij eerst de algemeene
uitdrukking van een functie ^^ (z) holomorf of meromorf in alle
punten van de groep en die in iederen cirkel Q\' de eigenschap

bezit dat —= constant, waarbij de constante van cirkel

tot cirkel verandert.

Zij nu Ci\' een cirkel, concentrisch met C\'i en binnen C\'i gele-
gen, respectievelijk er mee samenvallend, zoodanig dat als
z ^\'c\'i, zi in C\'i i, Z2 in C\'i 2.....z^i in C\'i /i_i gelegen is.

Nu moet in C\'i:

Hieruit volgtnbsp;= io .. .. X^-,.

Ook isnbsp;lol,....

En ten slotte a {T^ip (z)| = {AoAj ....nbsp;(z).

Iedere functie S (z), die de eigenschap bezit dat quot;nbsp;~

constant in iederen cirkel C\'i is dus een oplossing van de ver-
gelijking Ä (z)| =c5\'(z).

Alle holomorfe of meromorfe oplossingen dezer functionaal- *
vergelijking kunnen worden voorgesteld door {ai [Bi (z)]«, a«^},
waarbij ai een willekeurige constante en n willekeurig geheel
positief of negatief is.

Hieruit volgt dat de gezochte functie in C\'o samen moet vallen
met ao jBo(z)}\'\'., in\'Cj\' met oj {Bi{z)|ni,----- en in CV-i met

Terwijl lol,----= a«»» = a^i =----=

Dus no = n^ = .... = n^*—i = n.

S (z) heeft dientengevolge alle elementen van de groep tot
nulpunten of polen van dezelfde orde.

Verder is

Bi i {y(z)}

Qi l

Bi (z)

Bi i {9)(z)| =aiBi(z)

ai

A. = ^ a.n
ai

We zijn nu in staat de algemeene holomorfe of meromorfe
oplossing van de vergelijking van Schroeder in de omgevingen
van de elementen van de groep te geven.

Hiertoe is voldoende de constanten a zóó te bepalen dat

Ao = Al = .... = A/i_i = A.

Daarvoor is noodig dat:

Terwijl A/* = a^ a;----a^^-i = a«.

De gemeenschappelijke factor «o in de betrekkingen tusschen
de ai\'s kan gelijk een gesteld worden, want het handhaven van
ao komt neer op het vermenigvuldigen van ^ (z) met een con-
stanten factor.nbsp;. , i. u j
Ook kunnen we n gelijk aan een stellen, aangezien het hand-
haven van n 1 neerkomt op het in de nd£ macht verheffen van

Nemen we nu voor Jl een der wortels van

= a

en noemen we B (z) een functie, die
in Co\' met Bo (z) samenvalt,

„ C/ .. ^Bi(z) „ .

.............. »

!»•.....

C:nbsp;-^- Bi(z)

» ^ inbsp;quot; ao aj. . . . ai_i \'

en in CV-i .. —-1-^^^ quot;

a© ai, . .. a^_2

Deze functie B (z) is holomorf in de omgeving van ieder element
van de groep en voldoet aan de functionaalvergelijking van
Schroeder:

\\lt;p (z)j = c5\'(z) want
B {9.(z)} =iB(z).
En aangezien ^ determinaties heeft zijn er /i functies B (z).

Noemen we deze functies oB (z). iB(z)......(z), dan

is de algemeene holomorfe of meromorfe oplossing van de ver-
gelijking van Schroeder voor te stellen door

Ook hiervan geeft Koenigs in zijn publicatie (sub 2 van het
literatuurlijstje) een toepassing.

GERAADPLEEGDE LITERATUUR VOOR HOOFDSTÜK I

1.nbsp;Koenigs. Recherches sur les substitutions uiiiformes. Bulletin des Scien-
ces Mathématiques et Astronomiques. Première Partie. 1883.

2.nbsp;Koenigs. Recherches sur les intégrales de certaines équations fonction-
nelles.

Annales scientifiques de l\'école normale supérieure. Tome premier, 1884.

3.nbsp;Koenigs. Nouvelles recherches sur les équations fonctionnelles.
Annales scientifiques de l\'école normale supérieure. Tome deuxième.
1885.

4.nbsp;Schroeder. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Glei-
chungen.

Mathematische Annalen. Band II.

5.nbsp;Schroeder. Über iterirte Functionen.
Mathematische Annalen. Band III.

HOOFDSTUK II

INLEIDENDE BESCHOUWINGEN OVER DE VERZAME-
LING E\' — ITERATIE IN DE OMGEVING VAN EEN TOT
DE VERZAMELING E\' BEHOOREND PUNT.

§ 8 _ EXISTENTIEBEWIJS VOOR DE VERZAMELING E BIJ ITERATIE

VAN EEN WILLEKEURIGE RATIONALE FUNCTIE 93(2)

Aanduiding — Ik noem x een primitieve wortel van En indien

X tot En behoort (zie §3).

De verzameling van primitieve wortels x van de vergelijkingen
9Jn (z) = z (n = 1, 2, ....). waarvoor | ^»n\' (x) | gt; 1, noem ik

de verzameling E.

Bij iedere rarionale functie lt;p[z) behoort dus een verzame-
ling E.

Bewering — Het is onmogelijk de rationale functie lt;p (z) zóó
te kiezen, dat de daarbij behoorende verzameling E leeg is. Hier-
bij wordt lt;p (z) niet lineair ondersteld.

Bewijs — Zi = 99 (z) = Q-^\'

Ik onderstel dat P en Q polynomen zijn van denzelfden graad.
(Mocht dit niet het geval zijn, dan past men op Zj en z eenzelfde
homografische substitutie toe). Zij deze graad k, (k gt; 1).

Voorts onderstel ik dat de vergelijking 9? (z) — z = O de enkel-
voudige wortels Xi, Xg, ... Xk i heeft.

Voor het geval dat er meervoudige wortels optreden bewijzen
we het beweerde afzonderlijk.

De vergelijking P (z) —zQ (z) = O, heeft dus de enkelvoudige
wortels Xi, X2,----Xk i. die in het eindige gelegen zijn aan-
gezien P (z) en Q (z) polynomen van denzelfden graad zijn.

Zij nu Q (z) = aozk -}-,...
dan is als R (z) = P (z) — zQ (z).

R (z) = — aozi\' i ____

ff\' (xO =nbsp;= 1 nbsp;,

fR\\\' _ R\' (xi)

Q (Xi)\'

Q (z) zk .... i-y-i Ai
Buitendien is ^^ =nbsp; .. = quot; f, 7=1^

waarbijnbsp;=

i=k l

ennbsp;^ Ai = 1,

i.-M-iQ(xi) i-k i 1
\' ifi R\'(xi)- ifi ff\'(xi)-l--^-

ff\' (xi) bepaalt in het complexe vlak een zeker punt dat ik Mi

noem. Evenzoo bepaaltnbsp;een punt, dat ik met Ni aan-

duiden zal.

De betrekking ff\' (x,) = Inbsp;g^eft dus een (1, 1) corres-

pondentie van de punten Ni met de punten Mi.
Hieruit volgt:

Is I ff\' (xi) I lt; I, dan ligt Ni in het halfvlak
R. D. van z lt; — i;
is daarentegen | ff\' (xi) | gt; 1, dan ligt Ni in het halfvlak
R. D. van z gt; —■ J.

Uit de betrekkingnbsp;— 1 volgt dat de reëele dee-

len van de k -f 1 getallen g»!^ tot gemiddelde waarde heb-
ben — —!— en daar k gt; 1 ondersteld is, moet minstens een
k-f 1

der punten Ni in het halfvlak R. D. van z gt; -1 ge^gen zijn,
waaruit volgt dat er minstens één x is waarvoor geldt

1 g»\' (X) 1 gt; 1.
De verzameling E is dus niet leeg.

Bovendien volgt uit het bovenstaande dat het mogehjk is dat
alle punten Ni in het halfvlak R. D. van z gt; -1 gelegen zijn.
In dit geval zijn er dus geen regelmatige limietpunten.

Bewering - De verzameUng E bevat oneindig veel punten.
B^\'s - Zij X een dubbelpunt van 9 (z). dus een punt waar
^ (x) = x, dan is in de omgeving van x

^(z) = x (z-x).\'(x) a(z-x)q ....(a^O)

en .n{z) = x (z-x)[,.\'(x)]n ab\'(x)]n-i {1 b (x)]^-
(x)P«^-) ...... nbsp;(z-x). .. . .

4- a r®\' (x)lii-M 1 • • • • 1 — • • • •

it (X)™1. dan is x een nulpunt van dezelfde orde van

^ (z) _ z als van lt;pn (z) — z.

Ook voor (x) = 1 geldt dit, immers dan is

g,(z) —z = a(z —x)q ----

(Pn(z) —z = na{z —x)q ----

Is (x) een primitieve wortel van wr = 1 (r gt;1) en is n geen
veelvoud van r, dan is x eveneens een enkelvoudige wortel van

\'ItUTef f ^^^^^^^^^^^ van r en x enkelvoudige wortel van
de eerste vergelijking, dan is x tenminste q-voudige^
de tweede vergelijking, juist q-voudige wortel als [lt;p (x jq - i,
rrrals q - 1 een veelvoud van r is en meervoudige wortel
van hoogere orde dan q als q - 1 geen veelvoud van r is.

Als n een priemgetal is verschiUend van r. dan zijn dus de wor-
tels van 9 (z) - z = O wortels van .a (z) - z = O van dezelfde

quot;De wo^^^^^^^ van de laatste vergelijking, die niet tot de eerste
behooren en wier aantal is k^ - k vormennbsp;cycles van de

ne orde (zie §3).

We steUen nu cp\' (xi) 9!: 1 (i = 1, 2, ...k 1) en zij verder
n een priemgetal verschillend van r.

Voorts kiezen we n zóó dat het punt oneindig geen deel uitmaakt
van een van de cycles van de n® orde. Bij deze onderstelling geldt

dus voor iedere cycle yi, y^.....Yn, lt;p\'n (yp) = constant t (p = 1,

2,_____ n), met dien verstande dat de constante t in \'t algemeen

van cycle tot cycle zal veranderen.

Indien nu geen der constanten t gelijk aan één is, verkrijgt
men na de beschouwingen over de vergelijking g? (z) — z = O
aan het begin dezer § gedaan toegepast te hebben op de verge-
lijking lt;pq{z) — z = 0:

kn—k

n 1nbsp;k 1nbsp;1

fnbsp;f (X,)]—■ \'=

, kn — k ,

De eerste sommatie wordt uitgestrekt over de —-— cycles,

de tweede sommatie heeft betrekking op de k -f- 1 dubbelpun-
ten Xi van cp (z) dus tevens van lt;pn (z).

Duid ik met q (a) het reëele deel van een complex getal a aan
dan volgt uit de laatste vergelijking:
k°—k

k 1 / 1 \\
waarbij £ g ((xi)]n — 1 ^^^^^^^ aangezien

IT. \' (b-(x)V-l) = ® \' \' ^ ^

1 iïgt;\' (x) I = 1 deze limiet gelijk is aan — A en voor 1(x) | lt; 1, — 1
wordt.
Wc krijgen dus

Was nu voor iedere t 11 | lt; 1, dan verkreeg men, aangezien
bij deze onderstelling

dus

|jn_k

~ l 1 \\ kn —k ■

Hieruit zou volgen:

—k

wat onmogelijk is, daar lim —5— ~

n-nOO ^

Men heeft dus:

Aangezien er oneindig veel priemgetallen n zijn (eventueel
verschiUend van r en zoo noodig verschillend van een index n\',
indien het punt oneindig deel uitmaakt van een cycle van de
orde n\' ) en voor n voldoend groot niet voldaan wordt aan

lt; A, zijn er oneindig veel cycles waar de bijbehoorende

11 1 ^ 1 is, vooropgesteld dat de wortels van 9 (z) — z = O

enkelvoudig zijn.

Daar echter, zooals in § 15 bewezen wordt, het aantal cycles
waarbij 11 | = 1 eindig is, heeft men:

Zijn de wortels van 9 (z) — z = O enkelvoudig, dan bestaat de
verzameling E uit oneindig veel punten.

Ten slotte behoeft de beperkende onderstelling omtrent de
wortels van 9 (z) — z = O niet gemaakt te worden, we zullen
dus algemeen bewijzen dat: de bij iteratie van een willekeurige
rationale functie 9 (z) (k gt; 1) behoorende verzameling E uit on-
eindig veel punten bestaat.

We stellen de coëfficiënten van (p{z) eerst willekeurig.
Men heeft dan:

n 1 k 1nbsp;1

quot;f t— f (..)].-! ■=« •

k 1 1
f

Hieruit verkrijgt men, als
k°—k

nnbsp;1nbsp;k 1nbsp;1

n 2 T-; 2 §n [«p\' (xi)] 1 —- = O ... . (a)

1 ^ * • 1nbsp;n

Deze vergelijking blijft gelden als voor zekere waarden van i
lt;p\'{xi) = 1 wordt, aangezien

Uit (a) volgt
kn—k

n / I \\ k 1nbsp;I

nf e (rzrr) f Sih W (Xi)] 1 - - = 0.
k 1

Hierbij is 2 q |/5a (xi) ]} begrensd, aangezien
1

lim Q {/?a [lt;p\' (x)]} = O, als I ff\' (x) I gt; 1 is,

terwijl voor | ff\' (x) | = 1 of | ff\' (x) | lt; 1 deze limiet — | res-
pectievelijk — 1 wordt.

Dezelfde redeneering van daareven geeft dus, dat er ook in dit
geval oneindig veel cycles zijn, waar de bijbehoorende 11 | ^ 1 is.

De bij ff(z) (kgt; 1) behoorende verzameling E bestaat dus
uit oneindig veel elementen.

Opmerking — De iteratie van lineaire functies (z) kunnen we
terugbrengen tot de herhaalde toepassing
óf van een loxodromische transformatie Zj = Az, A = he^i

h^t 1,

óf van een hyperbolische transformatie Zj = Az, h ^^ 1, a = O,
öf „ „ elliptischenbsp;„nbsp;Zj = Az, h = I, a 0.

6f „ „ parabolischenbsp;„nbsp;Zj = z -f B.

In het Ie en 2e geval bestaat de verzameling E uitsluitend uit
het punt O, respectievelijk oo, al naar gelang h grooter of klei-
ner dan een is.

In het 3e en 4e geval is E leeg.

§ 9 — de „suites normalesquot; van montel

Bij de verdere beschouwingen zullen we van eenige door Montel
afgeleide stellingen omtrent „suites normalesquot; van holomorfe
of meromorfe functies gebruik maken.

We geven deze stellingen met bewijs hieronder weer.

Aanduiding — Is in hetgeen volgt sprake van een gebied D,
dan moet hieronder verstaan worden een samenhangend gebied
begrensd door een of meer enkelvoudige krommen, d. w. z. krom-
men zonder dubbelpunt en zoodanig dat de functies

X = f (t), y = g (t) (t parameter),

die de coördinaten van de kromme bepalen afgeleiden van de
eerste orde bezitten, die continu zijn.

Met holomorf, meromorf, enz., „inquot; D, wordt bedoeld holomorf,
meromorf, enz., in het open gebied D, dus holomorf, meromorf,
enz. in en op den rand van ieder gebied Dj, dat met zijn rand
geheel in D gelegen is.

Voorts zeggen we dat een rij functies normaal is in een punt x,
indien de rij in een cirkel met x tot middelpunt normaal is.

Een rij functies, normaal in een gebied D, is normaal in ieder
punt x D en omgekeerd: een rij, die in ieder punt ■{ D normaal
is, is normaal in D.

Definitie — Een oneindige rij functies nvi^) (n = 1, 2, ....)
holomorf (of meromorf) in een gebied D is een „suite normalequot;
in D, indien uit iedere willekeurige oneindige deelrij

Dj\'P (z), otV (z), n,lt;f (z),----

een tweede oneindige deelrij

n\'i\'P (z), n\'.q? (z), n\\(p (z),-----

zóó gekozen kan worden, dat deze laatste deelrij overal in D
gelijkmatig convergeert, hetzij tot een holomorfe (of meromorfe)
functie, hetzij tot een constante, die oneindig mag zijn.

Bewering — Een oneindige rij functies n(p (z), holomorf in D,
terwijl bovendien voor iedere z D | n?? (z) | lt; M is voor iedere n,
is een „suite normalequot; in D.

Bewijs — Zij O middelpunt van een cirkel Cr met straal R
en zij D het gebied (O bevattend) dat Cr tot grens heeft.

Zij voorts Dl D het gebied dat door Cp {q lt; R) begrensd
wordt en waarbij Cg concentrisch is met Cr.
In Cp is dus voor iedere n:

M

nlt;p (z) = nao 4- °aiZ^ ---- napZP ----, met I nap ( lt; -p.

Tevens is, als

nRp (z) = nap izP i .....

I nRp (z) I lt;nbsp;dus I nRp(z) | lt; e (e willekeurig klein)

K

als p voldoend groot is. Deze laatste betrekking is onafhankelijk
van n.

Beschouwen we de coëfficiëntenverzameling quot;ap. Het is nu mo-
gelijk een rij indices nj, .... (nj lt; na lt; nj lt; . . . .) zóó te
bepalen, dat de rij quot;lap, quot;lap, .... een enkele limiet heeft, die ik
met Ap aanduid.
Men heeft n.1.:

I quot;ao I lt; M. Zij Ao een der lunieten, dan bestaat er een rij.
«lao, ii\'iao, quot;quot;«ao,_____ die uitsluitend tot Ao convergeert.

Ik beschouw nu de rij quot;laj.n\'iai, quot;quot;ai,----Hierbij is [\'^quot;quot;«ail lt;

Dus bestaat er een rij quot;lai, quot;jai, «\'lai, Qquot;«ai...... die tot een limiet

convergeert, welke ik Ai noem.

Op dezelfde wijze kan men uit de suite quot;laj, quot;«aj, \'^\'»aa, \'^quot;•aj,----

een deelrij quot;laj, quot;laa, quot;\'»aa, ^quot;»aa,_____ distilleeren, die tot de

limiet Aj convergeert.
Aldus voortgaande krijgt men:
Het is mogelijk een rij indices nj.....nq, ....

(ni lt; na----lt; nq lt;----)

te bepalen, zoodat de rij oiap, n»ap, D,ap, .. . Qqap, . . . voor
q oo uitsluitend tot Ap convergeert en wel voor iedere waarde
van p.
Ik stel nu

cp (z) = Ao Aiz Agz^ .... ApZP . . . .

Hierbij convergeert de reeks Ao AjZ AgZ^ -f-----overal

in Dl en wel gelijkmatig, immers

I ApZP Ap izP i ---- Ap hZP b I =

= lim I öqapZP n,ap izP i -f- .... nlt;,ap hZP h | ^ 2e,

q-gt;oo

en dit heeft plaats voor iedere p gt; Po (voldoend groot) en voor
iedere waarde van h.

Dus als Rp (z) = Ap izP i ----, dan is | Rp(z) | ^ 2e voor

iedere p gt; po.

(f){z) stelt dus in Di een holomorfe functie voor, en daar

Ap (p = 0. 1, ....)

onafhankelijk van q is, is lt;p (z) ook in D holomorf.

De functierij (z), n.lt;P (z),----(z),----heeft in D tot

limiet lt;p (z) en convergeert in Di gelijkmatig tot «p (z), immers:

Zij n-tSp (z) = nlt;iao quot;\'aiZ ---- quot;«apz?.

€nnbsp;Sp (z) = Ao AjZ ---- ApZP.

Voor p gt; Po nadert i^oSp (z) in D\' regelmatig tot Sp (z), want
de coëfficiënten van het eerste polynoom hebben decorrespon-
deerende coëfficiënten van het tweede polynoom tot limiet. Mits
q groot genoeg is, is dus

I Sp (z) — °lt;iSp (z) \\ lt;e voor iedere z ■{ Dj.

En aangezien | Rp (z) — nlt;.Rp(z) |lt; | Rp (z) | [n^Rp (z) | lt; 3c
voor p gt; Po, volgt uit (p (z) = Sp (z) Rp (z)
en (z) = °\'gt;Sp(z) n\'iRp(z)

I gj (z) — (z) I lt; 4e overal in Dj. (q groot genoeg onder-
steld).

Zooals vanzelf spreekt kan men dezelfde redeneering van daar-
even herhalen voor iedere oneindige suite, die een deelrij is van
de oorspronkelijke.

De rij nqp (z) is dus in Dj een „suite normalequot;.

Beschouwen we nu de gebieden D^, D„,nbsp;----- begrensd

door de concentrische cirkels Cp, Cq\', Cqquot;,----- waarbij

e lt; e\' lt; equot;____lt; terwijl lim gW = R.

n-gt;eo

In ieder van deze gebieden (en op den rand) is de rij nlt;p (z) nor-
maal, hieruit volgt dat de rij nlt;p(z} in het open gebied D een „suite
normalequot; is.

Wordt het gebied D door een of meer krommen begrensd, dan
beschouwen we ook hier een oneindig aantal gebieden D\', Dquot;,
D\'quot;...... waarbij D\' -( D\' { D\'quot;____^ D terwijl lim D(n)=D.

Il-gt;00

We kunnen dit op de volgende manier verwezenlijken.

We laten het middelpunt van een cirkel met straal d de om-
trek van D beschrijven. Het gebied, dat we overhouden als we
D verminderen met het gebied dat tot D behoort en dat tevens
door het binnengebied van de cirkels Ca beschreven wordt, noe-
men wc D\'.

Ieder punt van het gesloten gebied D\' maken we tot middel-
punt van een cirkel, waarin en op den rand waarvan de functies
af (z) holomorf zijn. Volgens de overdekkingsstelling van Borel,
kunnen wc D\' overdekken door een eindig aantal cirkels. Zij dit
aantal k.

Indien F^, F^, F^, .... A de bedoelde cirkels zijn, dan bestaat
er een rij jV (z), «V (z)...... nV (z),----genomen uit de oor-
spronkelijke rij, die in Tjgelijkmatig convergeert tot een holomorfe
limietfunctie.

Uit de suite iV (z), aV (z)...... nV (z),----- kan ik een rij

iV (z), aV (z),_____ nV (z),----lichten, die in F. gelijkmatig

convergeert, zooals vanzelf spreekt convergeert deze rij eveneens
in Tl.

Aldus voortgaande vind ik een rijnbsp;a^lt;p(z),----gelijk-

matig convergeerende in D\'.

We laten nu d varieeren en wel zoo dat

«5 gt; (Jj gt; lt;$2----gt; ()n lim (5n = 0.

n-^oo

We krijgen dan de hiermede correspondeerende gebieden
D\', Dquot;, D\'quot;, ....

Uit de rij (z) kan men nu een rij ^\'9? (z) lichten, die in D \'
gelijkmatig convergeert tot een holomorfe limietfunctie, hieruit
een rij lquot; overal in en op den rand van D\'quot; convergeerende,
enz.

De rij \\(p{z), \\\'q}{z), Yrp{z), .... convergeert dus in het
open gebied D tot een holomorfe functie, de rij 09? (z) is dus nor-
maal in D.

Bewering — Een oneindige rij functies nlt;p (z), holomorf in D,
is normaal in D, indien er een waarde a bestaat zoodanig dat
voor iedere z D en voor iedere waarde van n |nqp (z) — a | gt;
waarbij rj een natuurlijk getal is.

Bewijs — De functie ng (z) =—- is holomorf in D.

n9? (z) — a

Voorts is I ng (z) I lt; ^ voor iedere z D en iedere waarde
van n.

Volgens de voorgaande stelling bestaat er dus een rij
l\'g (Z)» 2\'g (Z).----n\'g (z),-----

die in D regelmatig convergeert tot een holomorfe functie G (z).

In D is ng (z) ijt O, dus G (z) 7!: O tenzij G (z) = 0.

Immers stel G (b) = O, b ^ D.

Er is dan een cirkel Cb met b tot middelpunt en waarbinnen
b het eenige nulpunt van G (z) = O is, zij b nulpunt van de m«
orde.

Op Cb heeft | G (z) | een minimum gt; 0.

Voorts is op Cb | n\'g (z) — G (z) [ lt; £, als n\' voldoend groot is.
Zij A\' = ^ — £, voor £ klein genoeg is X\' gt; 0.

Beschrijft z Cb, dan moet w = G (z) een kromme beschrijven
die geheel buiten cirkel Ci\' (O middelpunt en straal X\') gelegen
is, het argimient van w = G (z) verandert hierbij met 2nm.

nW = n\'g (z) beschrijft dan eveneens een kromme geheel buiten
Cl\' gelegen, aangezien op Cb | n\'g (z) — G (z) | lt; £ is. Het ar-
gument van nW = n\'g (z) verandert dus ook met 2;mi, m. a. w.

in Cb worden de functies n-g (z) vanaf een zekere n\' m-maal nul,
hetgeen onmogelijk is, aangezien in D ng (z) ^ O is.
In D is dus G (z) O tenzij G (z) = 0.

Men heeft nu (z) = a -f .

n g [Zj

dus als G (z) ^ O

lim Q\'ip (z) = a r^ = ^ (z) holomorf in D.

Is G (z) = O dan is 0 {z)=oo.

De rij ny (z) is dus in D normaal.
•

Bewering — Een oneindige rij functies ult;p (z), holomorf in D,
waarbij twee waarden a en b door de functies der rij in D niet
aangenomen worden, is normaal in D.

Bewijs — (z) a, n-P (z) b voor z D, n = 1, 2, 3----

en a b.

I. p. V. a en b kunnen we de waarden O en 1 nemen, we kun-
nen n.1. i. p. V. de functies nlt;p (z) de in D holomorfe functies

-^-beschouwen.

b — a

Zonder aan de algemeenheid te kort te doen, mag ik dus stellen

a = 0, b= 1.

We zullen nu gebruik maken van de modulaire functie

/ X K (z)

waarbij

1 1

du

Met behulp van de modulaire functie, die alleen de punten O, 1,
en 00 tot singuliere punten heeft, kunnen wc het geheele complexe
vlak behoudens de punten O, 1, en oo conform afbeelden op het
gebied binnen A\'AOBB\' in het )/-vlak.

Deze figuur wordt begrensd door de lijn 4- oo. i //reëele as
de beide halve cirkelbogen en de lijn — i, cx) eveneens // reëele
as, en is geheel gelegen in dat deel van het j;-vlak, waarvoor het
reëele deel van t} grooter dan nul is. Construeeren we het beeld
van deze figuur t. o. v. een van de zijden dan ontstaat een nieuwe
figuur, die eveneens het beeld is van het geheele z-vlak behoudens
de punten O, I en oo.

Op deze wijze voortgaande kunnen we het geheele r] halfvlak
fj gt; O overdekken door gelijksoortige figuren als A\'AOBB\', ont-
staan door spiegeling t. o. v. de rechte zijden en deze rechte zijden
tot gemeenschappelijke grens hebbend en door gebieden begrensd
door cirkelbogen ontstaan door spiegeling t. o. v. de cirkelzijden.
Deze laatste beelden verdichten zich in elk punt van de imagi-
naire as. De modulaire functie is meerwaardig. Is Zo O, I en
OO, dan is tj (zo) in ieder beeld van het z-vlak een volkomen
bepaald punt; kiezen we een dezer punten en beschrijft z uit-
gaande van Zo een gesloten kromme om O of 1 in het z-vlak, dan
beschrijft j; een kromme, die het gekozen punt verbindt met het
homologe, gelegen in die afbeelding van het z-vlak, die naburig
is met de afbeelding waarin tj (zo) gekozen is en die uit deze laatste
ontstaan kan door spiegeling t. o. v. een der zijden. Welke zijde
men moet nemen is afhankelijk van de keuze van de door z be-
schreven weg in het z-vlak.
Noemen we de figuur A\'AOBB\' de fundementale figuur.
Beschouwen we nu de functies ng (z) = tj | n9 (z) | en met

conditie dat voor een zeker punt z© D ng (zo) (n = 1, 2,____)

in A\'AOBB\' gekozen wordt.

De functies ng (z) (n = 1, 2, ....) zijn eenwaardig; immers
een functie element van kg (z) is in het enkelvoudig samenhangend
gebied D overal voortzetbaar, dus ontstaat er door alle voort-
zettingen de in D eenwaardige holomorfe functie kg (z).

Aangezien voor iedere z ^ D ng (z) in het ^-vlak gelegen is waar
het reëele deel van j; gt; O is, is de rij ng (z) in D een „suite normalequot;.

Veronderstellen we nu dat de getallen n9 (zo) (n = 1, 2,____)

voor Zo D andere limieten hebben dan O, 1 of oo.

Er bestaat dan een rij ^gi (z), ^-q) (z),----- waarvoor

lim n\'lt;P (zo) = a, {a^O, ^ en oo).

n\'-gt;co

Uit de rij n\'g (z) kan men een rij nquot;g (z) lichten die in D gelijk-
matig convergeert tot de limietfunctie G (z), die eindig is aan-
gezien G (zo) = 1] (a) eindig is.

Bovendien is G (z) in D holomorf, als men aan de modulaire
functie alleen de fundementaalwaarden toekent.

Zij Dl een gesloten gebied binnen D, dan is de conforme afbeel-
ding van Dj (met behulp van G (z)) geheel gelegen in het rechter
halfvlak van het ï;-vlak.

De grenskromme van deze afbeelding heeft met de imagi-
naire as geen punten gemeen.

Beschrijft nu z\' het »^-vlak. De functie X = A (z\'), waarbij A
de inverse functie van de modulaire functie z\' = (X) is, is in
het rechter halfvlak van het i;-vlak holomorf en heeft de imagi-
naire as tot coupure.

Nu is n \'9 (z) = ^ I n-g (z)} cn aangezien lim n-g (z) = G (z),

nquot;-gt;.oo

holomorf in Dj, convergeert de rij n-quot;? (z) gelijkmatig tot een in
en op den rand van Dj holomorfe functie (z) = A {G (z) |.
^ (z) is dus holomorf in D en neemt daar noch de waarde O, noch
1 aan.

We stellen nu dat de getallen nlt;P (zo) geen andere limiet dan O, 1
of oo toelaten. Zij een der limietwaarden 1, dan bestaat er een rij
D\'lt;p (zo) die uitsluitend tot I convergeert.

Stel n\'f (z) =nbsp;waarbij aan de logarithme de

hoofdwaarde toegekend wordt.

De functies n\'f (z) zijn in D eenwaardig, daar X = wv (z) in het
X-vlak geen gesloten kromme om O kan beschrijven welken weg
z in D ook aflegt.

Voorts is voor iedere n\' n\'f (z) O en rjt 1 voor iedere z ^ D,
immers lgn\'9 (z) ^ — 27iï en 27ri, terwijl Hm^n\'f (zo) = h

Volgens het voorgaande bestaat er dus een rij nquot;f (z) die in ieder
gebied Dj -( D en op den rand van Dj tot een eindige Umiet-
functie F (z) gelijkmatig convergeert, waarbij dus F (z) holomorf
in D is.

De rij n-lt;P (z) heeft dus in D de holomorfe limiet
^ (z) =

Waar echter ^ (zo) = 1 moet ^ (z) = 1 zijn,
Is in plaats van 1 nul de eenige limiet van een rij n.lt;P (zo), dan
heeft een daaruit te lichten rij van functies 1 — (z) in D de
limiet 1, de limietfunctie lt;P (z), die bij de functies n-«p(z) optreedt
is dan = 0.nbsp;\'

Is de eenige limiet oo, dan beschouwen we een rijnbsp;die

gelijkmatig in D tot O convergeert.

De rij ^quot;(p (z) convergeert in dit geval overal in D gelijkmatig
tót OO. De rij nlt;p (z) is dus normaal in D, q. e. d.

Bewering — Een oneindige rij functies n^ (z) (n = 1, 2----),

meromorf in D, waarbij drie waarden a, b, en c door de functies
der rij in D niet aangenomen worden, is normaal in D,

[Stelt lt;P{z) de limietfunctie voor waartoe een rij meromorfe
functies (z) regelmatig convergeert in een gebied D dan moet
voor iedere z D en voor iedere n\' gt; N (voldoend groot)

óf ln.lt;p(z) —\'P(z) I lt;«
1 1

lt; e zijn,

n\'V (Z) (Z)
(P{z) is dan in D meromorf].

Bewijs — Beschouwen we de rij holomorfe functies

deze rij is normaal in D aangezien de functies der rij in D de waar-
den ^— en —^— uitsluiten,
b — a c — a

Er bestaat dus een rij n\'g (z), die in D gelijkmatig convergeert
tot een limietfunctie G (z), die overal in D oneindig kan zijn.

Is G (z) in D niet constant, dan is G (z) daar holomorf en bezit
in D geen of een eindig aantal nulpunten.

Voor iedere z D, niet samenvallende met een eventueel nul-
punt van G (z) convergeert de rij n-\'P (z) gelijkmatig tot de limiet-
functie fp (z) = a Q^-

Voor ieder nulpunt nadert n-g (z) (n\'-gt;oo) gelijkmatig tot O,
o\'(p (z) nadert daar dus als n\' -gt; oo gelijkmatig tot oo.

Is G (z) = 00, dan is fp(z) = a, terwijl voor G (z) = O, de rij
n\'lt;p(z} in D gelijkmatig tot 1\'(z)=oo nadert.
De rij alt;P (z) is dus in D normaal.

§ 10 — ITERATIE IN DE OMGEVING VAN EEN PUNT VAN E

Onderstellen we dat O tot E behoort, zij

lt;Pn(0) = 0, l9n\'(0) |gt; 1.

Aangezien het volgende betoog voor iedere waarde, die n aan kan
nemen, geldt, mits men als n ^fc 1 is i. p. v. de iteratie van lt;p (z),
die van lt;pa (z) beschouwt, stellen we eenvoudigheidshalve n = 1.
In een voldoend kleine omgeving van O is:

zi = ip (z) = aiZ a^z\' -----

waarbij | ai | gt; I is.

Onder de antecedenten van de eerste orde van Zi is er slechts
één, die voor Zj = O eveneens nul is.

De tak van de functie y (zj) inverse van 9 (z), die voor Zi = O
de waarde nul aanneemt is in de omgeving van O een holomorfe
functie van Zj, men heeft daar:

z = i zi ojzj^ -f-

Er bestaat dan volgens § 2 een cirkel Q met middelpunt O,
zoodanig dat, indien t^ dezen cirkel beschrijft z een kromme C
doorloopt, die geheel binnen Cj gelegen is.

Ook het omgekeerde is waar: Beschrijft z een cirkel Pmet vol-
doend kleinen straal en O tot middelpunt dan doorloopt Zj een
kromme Tj die geheel buiten T gelegen is.

Verstaan we nu onder Di de gebieden, die door de krommen
Fi begrensd worden en O als inwendig punt bevatten,
(z) transformeert D in Dj, D^ in Da, enz.

Dl is de geïtereerde van de eerste orde van D, Dg de geïtereerde

van de tweede orde van D, enz.

De gebieden Di zijn evenals D enkelvoudig samenhangend;

terwijl D ^ Di Dg____■{ Dn, waaronder verstaan moet worden

dat ieder blad van het in het algemeen meerbladige gebied D^
(Riemannsch oppervlak) geheel gelegen is (incl. rand) in een
blad van het Riemannsche oppervlak Di i.

Duidelijk is dat het zooeven afgeleide blijft doorgaan als men
i. p. V. het cirkelgebied D een willekeurig voldoend klein gebied,
dat O als inwendig punt bevat, neemt.

Bewering — In iedere omgeving Q\' van een punt x ^ E wordt
iedere waarde, uitgezonderd ten hoogste twee waarden, door
de functies der rij qPn (z) aangenomen, hierbij wordt „ooquot; als

waardequot; meegeteld, m. a. w. de gebieden Dn ontstaan door
iteratie van een voldoend klein gebied D, dat x als inwendig punt
bevat, overdekken op den duur (bij toenemende n) het geheele
complexe vlak, met uitzondering van ten hoogste twee punten.

Bewijs — Zij cp (x) = x, | qp\' (x) 1 gt; 1.

Geldt voor x 9n (x) = x, | qp\'n (X) 1 gt; 1 dan beschouwen we
de iteratie van 9n (z) i. p. v. qgt; (z), de bewijsvoering is ovengens
geheel analoog.

Onderstellen we nu dat drie verschillende waarden door geen
der functies lt;fn (z) in Q\' aangenomen worden.

De rij in Q\' in het algemeen meromorfe functies (fa (z) is dan

volgens § 9 in dat gebied normaal.

Een rij lt;pat (z), (Pn, (z), . •. • convergeert dientengevolge in
Q\' gelijkmatig tot een meromorfe functie ^ (z), die echter in
een voldoend kleine omgeving Q van x holomorf is, aangezien

functies g?ni (z) daar holomorf zijn wegens gjni (x) = x. alle
I (x) I moet dan in Q begrensd zijn. Dit laatste echter is
onmogelijk: lim gj\'ni(x) = lim [g?\' (x)]nr= oo.

ni 00nbsp;m 00

Conclusie: De rij gpn (z) is in geen enkel punt van E normaal,
dus ten hoogste twee waarden worden door de functies lt;pn (z)
in de bedoelde omgevingen niet aangenomen.

Er zijn dus slechts drie gevallen mogelijk:
r Twee verschillende waarden worden door de functies cpn (z)
in iedere omgeving van een punt van E (dus in iedere omgeving
van elk punt van E) niet aangenomen, m. a. w. itereert men een
omgeving van een punt van E dan overdekt lim Dn het geheele

n 00

complexe vlak met uitzondering van twee punten, waarbij onder
Dn verstaan moet worden het gebied dat men verkrijgt door
n-malige iteratie van de oorspronkelijke omgeving met behulp
van de functie (pi (z) als voor het bedoelde punt x van E geldt

(Pi (x) = x.

2° Slechts één waarde wordt door de functies qgt;a. (z) in iedere
omgeving van een punt van E (dus in ieder punt van E) niet
aangenomen, m. a. w. lim Dn overdekt het geheele complexe vlak

n -gt;■ «O

uitgezonderd één punt.

3° Alle waarden worden door de functies in de sub I en 2 be-
doelde omgevingen aangenomen; lim Dn overdekt het geheele

n «

complexe vlak.

Ie geval — Bestaan er twee niet samenvallende uitzonderings-
punten dan moet öf wel ieder samenvallen met zijn eigen ante-
cedenten óf wel ieder van hen valt samen met al de antecedenten
van de eerste orde van het andere punt.

Zijn aj en aj de beide uitzonderingspunten, dan is:
óf aj = (ai), lt;p\' (a,) = g,quot; (a^) = ... = ggt;(k-i)(ai) = 0,(a^ ^ O,
aa = V (aj), lt;p\' (a^) = (a^) = ... = 9gt;(k-i)(aj) = O, (a,) ^t 0.
öf a^ = g, (aO,(aj) = (a,) = .., = 9)(k-i)(ai) = O, (a,) 0,
ai = (a,), lt;p\' (a,) = q,quot; (a^) = ... = lt;p(i\'-i)(a,) = O, qgt;W (a,) 7!: 0.

Past men een lineaire substitutie toe die aj overvoert in O, aj
in oo dan is

öf Z, = AZk, öf Zi = immers in het eerste geval moeten

j.

alle k antecedenten van O met O en alle k antecedenten van het
punt 00 met 00 samenvaUen, dus Z^ (Z). d. i. de functie die na trans-
formatie van zi (z) = ff (z) ontstaat, moet een polynoom van de
ke graad zijn. die O tot k-voudig nulpunt heeft dus Z^ =

In het tweede geval vallen de k antecedenten van O met het
punt 00 en de k antecedenten van 00 met O samen. Zj (Z) heeft
dus in O een k-voudige pool en aangezien alle antecedenten van

O met het punt 00 samenvallen moet dus Z^ =

2e geval — In dit geval bestaat er slechts één punt a waar alle
antecedenten van de eerste orde (dus dan van iedere orde) mee

samen vallen.

De k wortels van ff (z) = a zijn allen = a.

Men heeft dannbsp;„ v , v n

, ^ , (a). ff\' (a) = ff\' (a) = . . . . = (a) = 0. ff (k) a) O-

Een lineaire substitutie, die a in 00 overvoert, transformeert

q, (z) dan in een polynoom.

3e geval — Indien ff (z) door een lineaire substitutie nöch in

een polynoom nöch in Zj = ^ getransformeerd kan worden.

dan bestaat er een index i zoodanig dat ffj (z) voor iedere j ^ i
in ieder gebied D dat een punt van E bevat alle waarden aanneemt
m. a. w. Dj overdekt het geheele complexe vlak.

Opmerking — De uitzonderingspunten. die bij iteratie op kun-
nen treden, behooren niet tot de verzameling E.

§ 11 — EIGENSCHAPPEN VAN DE PUNTEN, DIE TOT DE VERZAMELING

E BEHOOREN

Bewijzen we eerst de volgende bewering:

Zij in een gebied D een rationale functie ff (z) gegeven en wèl

zoodanig dat het beeld van D, dat is dus de geïtereerde van de
eerste orde Dj (een in het algemeen meerbladig Riemannsch op-
pervlak) in een van zijn bladen D geheel (incl. rand) bevat, dan
moet in D een punt x gelegen zijn, waarvoor geldt

g,(x) = x, Ig^\'(x) Igt; 1.

Bewijs — We beelden Dj conform af op een cirkel | Z | = 1
in het Z-vlak. Het beeld van D met behulp van deze conforme
afbeelding verkregen ligt dan geheel binnen dezen cirkel | Z | = 1
en is een enkelvoudig samenhangend, eenbladig gebied.

Er bestaat een (1, 1) correspondentie tusschen de punten van
de kromme C, grens van D, met de punten van grens van Dj.
Evenzoo correspondeeren de punten van Pj d. i. cirkel | Z | = 1
eenduidig met de punten van F (grens van het beeld van D in het
Z-vlak). Ook het omgekeerde is waar.

Ten slotte bestaat er tusschen de punten van Ci en jTj, en van
C en r eveneens deze eenduidige verwantschap.

Is Zj het beeld van Zj en Z het beeld van z dan is Zj = »P (Z)
een holomorfe functie van Z in {T), d. i. het gebied dat doorT
begrensd wordt en geheel binnen den eenheidscirkel van het Z-vlak
(met O tot middelpunt) gelegen is.

(Met iedere Z binnen (P) of op de kromme F correspondeert een
Zi binnen of op den eenheidscirkel jTj en omgekeerd, voorts is deze
afbeelding conform).

Beschrijft Z F dan verandert het argument van fP (Z) — Z met 2n,

Men heeft n.1.:

Het gebied (F) ligt binnen een cirkel (e) (straal g lt; 1 en middel-
punt O). Zij 26 de hoek gevormd door de beide raaklijnen vanuit
een punt van aan cirkel q en de verbindingslijn van O met het
beschouwde punt van F^^ de bissectrice van 26, dan is

Voorts geldt voor een punt Z\' van F cn het correspondeerende
punt Z/ van A =

arg. Zj\' — ö lt; arg. {7^\' — Z\') lt; arg. Z/ 6, waarbij we on-
der het argument van Z\' resp. Z^\' verstaan de hoek, die de pos.
X-as met de lijn OZ resp. OZj\' maakt.

Beschrijft Z uitgaande van Z\' F in positieven zin (het gebied

(P) aan den linkerkant houdend) dan vermeerdert het arg. van
Zj met 271. Uit de bovenstaande ongelijkheid volgt dat ook het
arg. van Zi — Z met 2n moet toenemen. (Deze ongelijkheid blijft n.l.
gelden als onder de argen van de achtereenvolgens beschreven
punten van TenV^ verstaan wordt de argen, die door continue
voortzetting uit de arge» van Z\' en Zj\' ontstaan).

^ (Z)_Z = O heeft binnen -T dus één wortel. Door een lineaire

substitutie, die -Tj op haar plaats laat, kunnen we dezen wortel
in O overvoeren.

We steUen nu ® (0) = 0.

De tak van de functie Z= W{Z^ (inverse van®), waarvoor
O = «fr (0), is een holomorfe functie van Zj binnen r^ en men heeft

ï/(0) = O, I ï\'(Zi) I lt; 1 voor I Zi 1 1 en

T{Z,) = Zi W\' (0) If (0)

ry(Zi) dZi
j—z^

271

A
\'f\'(O)

gt; 1.

Vervolgens is:

dzi _ dzi dZi dZ
dTquot; dZ^ ^

In het punt Z = O, beeld van z = x waarvoor geldt q» (x) = x,
heeft men:

^ = omdat Zi = OvoorZ = 0.
dZj dZ

Bijgevolg is

k\'(x) != 1*\'(0) 1gt; 1. q.e.d.

Eigenschappen van de punten van E.

r Ieder punt E is limietpunt van de verzameling bestaande
uit de successievelijke antecedenten van ieder punt van het com-
plexe vlak met uitzondering van ten hoogste twee punten waar-
van alle antecedenten samenvallen. (Ie of Ile geval vorige §).

Bewijs — Zij X E. Duidelijk is dat de antecedenten van een
willekeurig punt y.niet tot E behoorend, tot een der limietpun-
ten X hebben; immers de rij gsn (z) neemt in iedere omgeving van
X iedere waarde, behalve ten hoogste twee uitzonderingswaarden,
aan. En aangezien y geen uitzonderingspunt is, is dus x een
der limietpunten van de antecedentenverzameling van y.

Is daarentegen y ^ E, y = q?n (y), dan weten we dat slechts
één antecedent van de n® orde van y met y samenvalt, y heeft
dus oneindig veel niet met y coïncideerende antecedenten, die
dus X volgens het voorgaande tot een der limietpunten hebben.

Valt y met x samen dan blijft bovenstaande redeneering op-
gaan, hieruit volgt:

Ieder punt van E is een der limietpunten zijner eigen antece-
denten.

2° Ieder punt van E is limietpunt van punten van E, m. a. w.
de verzameling E is dicht in zich zelf.

Bewijs — Een omgeving iJvan x (x -{ E), willekeurig gekozen,
bezit steeds, hoe klein zij ook is, een antecedent van x, die niet
met x samenvalt. Zij x—m deze antecedent.

Zij verder zl—m een gebied zoodanig dat

X—m -{ m

terwijl A—m het punt x niet bevat.

Voorts onderstel ik dat in Q noch in A—m een eventueel uit-
zonderingspunt gelegen is.

Het gebied A, ontstaan door m-malige iteratie van A—m, bevat x.

Itereeren we nu A n-maal, hierbij kan n zoo groot gekozen
Worden dat A—m geheel (incl. rand) in een van de bladen van
^n [An zal in het algemeen meerbladig zijn) gelegen is.

Dit is mogelijk aangezien A x bevat en Aa dus op den duur
(bij toenemende n) ieder punt van het complexe vlak (behoudens
de eventueele uitzonderingspunten) overdekt.

9;m a{z) transfonneert dus het gebiednbsp;in een gebied Jn

(in het algemeen een Riemannsch oppervlak) zoodanig dat
(incl. rand) geheel binnen een blad van ^n gelegen is.

moet dan een punt y bevatten waarvoor geldt:

^pm n(y) = y. k\'m nCy) Igt; 1.

Aangezien willekeurig is verdichten zich de punten van E in x,

dus in ieder punt van E.

Ook hieruit volgt dat de verzameUng E uit onemdig veel ele-
menten bestaat.

Noemen we E\' de afgeleide verzameUng van E. dan heeft men:
a-E^E\'.

h — Iedere antecedent van een punt van E behoort tot E .
Bewijs — In iedere J-m (zie sub 2° van deze§), een wiUekeurige
omgeving van x_m (x ^ E). Ugt een punt dat tot E behoort.
Men heeft dus öf x_m behoort tot E en dus tot E\',

öf x_m is limietpunt van punten van E en dus x_m ■{ E\'.

c — E\' is perfect.

Bewijs _ E\' = E -1- F waarbij F de verzameUng van de limiet-
punten van E is die niet tot E behooren.
Dus Equot; = E\' -I- F\'.

Is y een punt van F\', dan verdichten zich daar de punten van
F, dus ook de punten van E, m. a. w. y, -{ E\', dus Equot; = E\', waar-
uit volgt dat E\' perfect is.

d — Ieder punt x van de perfecte verzameUng E\' is limietpunt
van punten van E, hieruit volgt dat iedere omgeving Q van x steeds
een of meerdere punt (en) van E bevat m. a. w. lim Qa overdekt

het geheele complexe vlak met uitzondering van ten hoogste twee
punten.

e — AUe consequenten en aUe antecedenten van een punt van

E\' behooren tot E\'.

De antecedentenverzameUng van ieder punt van E\' is in E\'

overal dicht.

Bewijs — Zij X -{ E\' en Xj geen punt van E\'. Er bestaat dan een
omgeving Q van Xi waarin geen punten van E\' gelegen zijn.

Beschouwen we nu die antecedent Q—i (van Q) waarin x ge-
legen is. Q—i bevat oneindig veel punten van E. De consequenten
van de eerste orde van deze punten liggen in en behooren tot
E, aangezien ieder punt van E (behoudens de punten, waarvoor
q) (x) = X, 1 9\' (x) I gt; 1) tot een cyclische groep behoort, waarbij,
als n de orde van de groep is, ffn\'(xi) constant is. Hieruit volgt
dat er geen omgeving van x\'i bestaat waarin geen punten van E
gelegen zijn. m. a. w. Xj •{ E\'.

Zij X E\' en x_i geen punt van E\'. Zij A een omgeving van x_i
waarin geen punten van E\' gelegen zijn. A^ bevat x en dienten-
gevolge oneindig veel punten van E. De antecedenten van de
eerste orde van deze punten die in A gelegen zijn behooren tot
E\', immers alle antecedenten van een punt van E behooren tot E\'.
In iedere omgeving van x—1 liggen dus punten van E\'. Dus x_i ^ E\'.

Dat de antecedentenverzameling van x E\' in E\' overal dicht
is, volgt uit het feit dat ieder punt van E\' limietpunt is van de

antecedenten van x.
/ — De rij qgt;{z), ^2(2)......----in geen van de

punten van E\' normaal.

Bewijs — Zij X E, dan hebben we gezien (§ 10) dat de rij

lt;Pa (z) in X niet normaal is.

Is X -{ E\' en geen punt van E, dan is x limietpunt van punten
van E en is de rij lt;rn (z) in x eveneens niet normaal, (zie definitie
normaal in een punt onder „aanduidingquot; § 9).

Opmerking — Heeft x de eigenschap, dat de geïtereerden fl,
van een willekeurige omgeving Q van x (hoe klein deze omgeving
ook gekozen is) vanaf zekere index io (voldoend groot) het geheele
complexe vlak overdekken met uitzondering van ten hoogste
twee punten, dan behoort x tot E\'.

Bewijs — Aangezien x limietpunt is van antecedenten van alle
punten van E, dus van punten die tot E\' behooren, is omdat E\'
perfect is, x een punt van E\'.

§ 12 — de structuur van e\'

Bewering — De verzameling E\' heeft dezelfde structuur in ieder
gebied, dat punten van E\' bevat.

Bewijs — Itereert men een omgeving Q van een punt van E\'.

De verzameling E\' is gesloten en, op den complexen bol be-
schouwd, begrensd. Het is dus mogelijk een index io te bepalen
zoodanig dat in Qi^ de geheele verzameling E\' gelegen is. Zij E\'^
de verzameling van die punten van E\' die in Q gelegen zijn.

De geheele verzameling E\' bestaat dan uit de geïtereerden
van de io^^ orde van de punten van E\'^.

Is nu de verzameling E\'^ overal discontinu dan moet de geheele
verzameling E\' overal discontinu zijn.

Is Efl lineair continu dan is ook E\' lineair continu.

Hieruit volgt; weet men a priori dat E\' in een bepaald gedeelte
een zekere structuur heeft, dan is deze structuur dezelfde voor
de geheele verzameling E\'.

Het is dus onmogelijk dat E\' in een gedeelte Hneair continu
en in een ander gedeelte overal discontinu is. Niet uitgesloten
echter is dat er in ieder gebied, hoe klein ook gekozen, dat punten
van E\' bevat, punten van E\' bestaan waartusschen E\' „bien
enchaînéquot; is en andere punten van E\' waartusschen E\' „mal en-
chaînéquot; is.

Bewering — Bezit de verzameling E\' inwendige punten dan is
E\' = complexe vlak.

Bewijs — Zij Q een omgeving van een punt P zoodanig dat
alle punten •{ Û punten van E\' zijn.

Zij voorts A een gebied waarin geen punten van E\' gelegen
zijn. De antecedenten van een punt van A behooren niet tot E\',
verdichten zich echter in ieder punt van E\', voorzoover het ge-
kozen punt geen uitzonderingspunt is.

Q moet dus punten bevatten die niet tot E\' behooren wat in
strijd is met onze onderstelling.

E\' moet dus identiek zijn met het complexe vlak.

Voorts zij opgemerkt dat er in dit geval (E\' = complexe vlak)
geen uitzonderingspunten. zijn.

Behandelen we nu achtereenvolgens drie voorbeelden. In het
eerste voorbeeld is E\' perfect overal discontinu, in het tweede
continu lineair en in het derde voorbeeld is E\' = complexe vlak.

Ie Voorbeeld (ontleend aan Fatou) — Zij cp (z) = z^ 5.

Het punt oneindig is het eenige regelmatige limietpunt. De
wortels van g? (z)—z — 0 zijn n.1. punten van E\'. Men heeft,
als a en de wortels zijn

l iL/19 ^ 1—i|/19
a =-2-\' ^ = -2-

dus

|lt;p\'(a)|gt;lenl9,\' (/3) | gt; I.

Voor I z I ^ 3 convergeert de rij z, z^, . . ., Zn, .. .. regelmatig
tot oneindig.

Immers | Zj | ^ I z — 5^4.

Het gebied G met grenskromme cirkel C, (middelpunt O en
straal 3), en waarin het punt oneindig gelegen is bevat al zijn con-
sequentgebieden en bovendien de kritieke punten oo en 5 van
de functie ygt; (z) = [/^{z — 5) inverse functie van (p (z).

Zoekèn wij nu de successievelijke antecedenten van het gebied G.

Zijn z_i = y{z — 5) en —z_i = — [/\'{z — 5) de beide an-
tecedenten van z (onder [/^{z — 5) verstaan we de pos. wortel
van z — 5 en onder —\\/^{z — 5) de neg. wortel van z — 5), dan
beschrijven deze antecedenten als z C doorloopt ieder een gesloten
kromme C_i en —C_i, aangezien C als grens van G beschouwd
de beide kritieke punten bevat.

De consequenten van ieder punt z waarvoor | z | = 3 naderen
regelmatig tot oneindig. Hieruit volgt dat de krommen C_i
en —C_i geheel in het cirkelgebied C gelegen zijn en met C geen
punten gemeen hebben. C_ien—C_i hebben geen dubbelpunten,
daar C een enkelvoudige kromme is. Zij kunnen elkaar niet snijden
aangezien i cn -~z_i inverse functies zijn van een zelfde uni-
forme functie, terwijl op C geen enkel kritiek punt van ygt; (z) ge-
legen is.

Voorts liggen beide krommen geheel buiten elkaar.

(Onder het binnengebied van i, bijv, versta ik het gebied
dat door C_i begrensd wordt en tevens geheel in het cirkelgebied
C gelegen is).

De functie f (z) = [/\'{z — 5) is holomorf in het cirkelgebied
C en op C. Zij z\' een punt in dat cirkelgebied gelegen. Zij z\'_i = f (z\'),
dan is f (z\') in C_i gelegen, het argument van f (z) — f (z\') ver-

ändert n.1. met 2jz als z C doorloopt. Dus met een punt z\' binnen
C correspondeert een punt binnen C_i en omgekeerd.

Het binnengebied van C_i is dus conform en eenduidig op het
cirkelgebied C afgebeeld.

Op analoge wijze kunnen wij inzien dat ook het binnengebied
van -C—i conform en eenduidig afgebeeld is op het cirkelge-
bied C.

De krommen C_i en -C_i liggen nu buiten elkaar, want
lag X in het binnengebied van C_i en op —C_i dan zou 97 (x)
tegelijk binnen het cirkelgebied C als op C gelegen zijn.

De positieve antecedenten van de eerste orde van ieder punt
z ■{ G liggen in het buitengebied van Cl_i. Zoo bevat het buiten-
gebied van —C—1 alle negatieve antecedenten van de eerste orde
van alle punten z G.

Doorloopt z C dan beschrijft ieder der vier antecedenten van
de tweede orde van z een gesloten kromme, die we achtereen-
volgens aanduiden met C_2, —C_2, quot;quot; 0—2, en--C_2.

Hierbij moet onder H--verstaan worden dat eerst de posi-
tieve antecedent van de eerste orde van een punt z genomen is
en vervolgens van deze antecedent de negatieve antecedent van
de eerste orde. (Wat onder „positievequot; of „negatievequot; antecedent
in dit voorbeeld verstaan moet worden is duidelijk).

We zien nu onmiddellijk in, na hetgeen hierboven medegedeeld
is omtrent de antecedenten van de eerste orde van C, dat de krom-
men C_2 en —C_2 geen dubbelpunten hebben en geheel buiten
elkaar gelegen zijn in het binnengebied van C_i. Hetzelfde
geldt voor — C_2 en —C_2 t. o. v. -C_i.

Door herhaalde antecedeering van C verkrijgen we dus achter-
eenvolgens 2, 22, 2^, .. .2°, ... . gesloten krommen. Deze krom-
men trekken zich samen en in iedere kromme liggen twee krom-
men als antecedenten van de eerste orde van de beschouwde
kromme. Het gebied G heeft tot antecedent van de eerste orde
het samenhangend gebied van het complexe vlak dat G bevat
en begrensd wordt door C_i en —C_i.

Het antecedentgebied van de tweede orde van G bevat het
antecedentgebied van de eerste orde en wordt begrensd door de
krommen C_2, ~C_2, ~ C_2 en —-C_2. Het antecedent-
gebied van de ne orde ligt in het antecedentgebied van de n 1«

orde en bevat het antecedentgebied van de n — le orde.

We zullen nu het volgende bewijzen:

Nadert n tot oneindig dan is de verzameling van de punten,
die tot geen der zooeven beschouwde antecedentgebieden behoo-
ren, perfect, overal discontinu.

Voor 1 z I ^ 1 is (z) ^ 4. De krommen C_i liggen dus in den
ring begrensd door de cirkels | z | = 1 en | z ] = 3. Voor ieder
punt z in den ring gelegen geldt | 9?\' (z) | = | 2z | gt; 2.

Hieruit volgt dat de lengten van de krommen C_a (als n nadert
tot oneindig) tot nul naderen. Immers tusschen de differentialen
van de bogen van een kromme C—n en van haar consequent van
de eerste orde bestaat de betrekking

do-.(n-l) = dlt;T_n I (p\' (z) I (z op c_n)

dus

do—n lt; ^do—(n-1).

Tusschen de lengten van de krommen C_n en C_(n—i) bestaat
dezelfde relatie

1-n lt; ^ l-(a-l)

ofnbsp;L_n lt; dus lim L-n == 0.

Beschouw ik nu het binnengebied van een kromme O—n (C—n
bestaat in totaal uit 2° krommen O-n) en neem ik hiervan achter-
eenvolgens de positieve antecedenten. Het p^o antecedentgebied
bevat het p 1®, enz. Geen dezer gebieden is leeg. Hieruit volgt
dat ze een gemeenschappelijk punt moeten hebben.

De verzameling, bestaande uit de gemeenschappelijke punten
die ik verkrijg door alle mogelijke antecedentgebieden te beschou-
wen van de gebieden binnen alle C—n noem ik c.

Deze is perfect cn overal discontinu.

1° t is gesloten. Zij x limietpunt van een rij punten a, /3, y,----

die tot 6 behooren.

Zou X geen punt van e zijn, dan zou voor een zekere waarde
van n x buiten de binnengebieden van iedere C«_n gelegen zijn.

Is h de kleinste afstand van x tot C—n dan zou de afstand van x
tot ieder van de punten a, ____minstens h moeten zijn, aan-
gezien de punten a, ____in het binnengebied van C—n gelegen

zijn. m. a. w. e is gesloten.

2° e is perfect, a, een punt van e zijnde, ligt in het binnen-
gebied van een kromme Ci_n.

Dit gebied bevat twee verschillende krommen tot C—(n i) be-
hoorende. a moet dus in het binnengebied van een van de beide
krommen liggen, stel in het binnengebied van C\'_(n i). In het
binnengebied van de andere kromme €quot;—(0 1) ligt minstens een
punt /3 van s.

De afstand afi is kleiner dan de diameter q van C»—n, welke
laatste tot nul nadert voor n voldoend groot.

3° e is overal discontinu. Ieder tweetal punten a en /5 van £
kan men aldus insluiten:

Er bestaat een index n zoodanig dat de diameter van iedere
kromme O—n kleiner is dan de halve afstand a/5. a en p kunnen
dan niet in een zelfde binnengebied van een van de krommen
0_n liggen, m. a. w. ligt a in het binnengebied van C\'_n dan ligt

in het binnengebied van bijv. C—n. Hieruit volgt dat iedere
polygoon, die a met /S verbindt en waarvan de hoekpunten tot de
verzameling e behooren, een zijde heeft waarvan de lengte ten-
minste gelijk is aan de kortste afstand van twee krommen vanC_n-

Aangezien a en /J een willekeurig gekozen tweetal punten is,
moet E overal discontinu zijn.

Ieder punt van e is limietpunt van de antecedenten van ieder
punt van het vlak, met uitzondering van de antecedenten van het
punt oneindig. De consequenten van een omgeving van ieder
punt e overdekken op den duur het geheele vlak behalve het
punt oneindig. Hieruit volgt e = E\'.

(Zie de opmerking in § 11).

We hebben hier een voorbeeld van het tweede geval van § 10,
waarbij het punt oneindig het eenige uitzonderingspunt is.

2e Voorbeeld — lt;p (z) — z^ (zie ook § 1).

De wortels van qgt;a (z) — z = O waarvoor j tp\'n (z) | gt; I is
(n = 1, 2, . . . .) liggen overal dicht op den cirkel | z | = 1.

Hieruit volgt dat de verzameling E\' = cirkel | z | = 1.

O en het punt oneindig zijn hier de beide uitzonderingspunten
bedoeld in het eerste geval van § 10; de antecedenten van alle
overige punten hebben tot limietpunten ieder punt van den cir-
kel |z I = 1.

3e Voorbeeld (ontleend aan Lattès) — Zij z = p (u) (p-functie
van Weierstrass)

en Zj = p (2u), waarbij ga = 4, gg = O gesteld wordt.

Nu is aangezien:

p(2u)-f2p(u) = jj^jj\',

. p\'\'(u) = 6 |p(u)j = -èga
ennbsp;{p\'(u)|2 = 4 {p(u)j3-gap(u)-g3

i Z(Z2— 1)\'

Met een punt in het u-vlak, waarvoor 2nu = u (op de periode
na), correspondeert een wortel x van cpa{z) — z = 0, waarvoor
geldt lt;p\'n (x) = 2n.

X behoort dan tot de verzameling E.

Aangezien gj = 4, ga = O is het periodenparallelogram van de
p-functie een vierkant.

Zij 2co de reëele periode.

De voorwaarde 2nu = u (op de periode na) geeft als

u = V iw:

(2n_i)v = 2ka)

(2n_ 1) w = 2k\'co. Ik kies u in het eerste perioden vierkant.

Stel v = 2co;i,nbsp;1,

w = 2©^, O^A lt; 1.

Alle punten u, waarbij de correspondeerende waarden A en
in het tweetallig stelsel geschreven een periodieke ontwikkeling
hebben met een periode van n cijfers O of 1 en waarbij de perio-
dieke ontwikkeling onmiddellijk na de komma begint, voldoen
aan 2nu = u op de periode na.

Deze punten liggen overal dicht in het perioden vierkant. De
correspondeerende wortels x (x •{ E) liggen dus overal dicht in
het geheele complexe z-vlak. M. a. w. E\' = complexe vlak.

Opmerking — Bij dit voorbeeld kunnen we ook als volgt rede-
neeren:

z = p (u), Zj = p (2u) en p (2u) = {p (u) |.

Zij Uo een van de waarden die met Zo correspondeert. Met een
omgeving G van Zo correspondeert een omgeving G\' van Uo; voor
n voldoend groot bevat (G\', vermenigvuldigd met 2^, vanuit
O) een periodenparallelogram, m, a. w. beschrijft z G dan door-
loopt (Pa (z) = p (2nz) het geheele vlak.

Zo is dus een punt van E\' en aangezien Zo willekeurig is, is E\' =
complexe vlak.

§ 13 — NADERE BESCHOUWING VAN DE GEBIEDEN, WAARIN GEEN
PUNTEN VAN E\' GELEGEN ZIJN

Bewering — Ieder regelmatig limietpunt en ieder punt deel
uitmakende van een cyclische limietgroep is middelpunt van een
cirkel waarbinnen E\' leeg is.

Bewijs — Zij x een regelmatig limietpunt, dan bestaat er een
cirkel C waarbinnen en op den rand waarvan voor iedere z geldt
I Zj — X I lt; |z — X |, m. a. w. beschrijft z Cdan doorloopt Zj
een kromme Cj die geheel binnen C gelegen is. Itereert men dus
het gebied D met grens C en x bevattend eenmaal, dan verkrijgt
men een gebied Dj, dat met grens (Cj) geheel binnen D gelegen is.

Zoo ligt Dn consequent van de n« orde van D geheel (incl. grens)
binnen Dn—1 en bevat Dn i.

Mocht Dn meerbladig zijn dan ligt ieder blad van Dn met grens
geheel binnen een blad van Dn—1.

De argumentsverandering van z — Zn (n = 1, 2, 3,____) is dus

steeds 2ji als z C doorloopt.

De vergelijkingen z — ^n (z) = O (n = 1, 2, 3,____) hebben

in C dus slechts den wortel x.

In C bevinden zich dientengevolge geen punten van E m. a. w.
E\' is in C leeg.

Maakt x deel uit van een cyclische limietgroep, dan is x en
ieder ander punt van de groep middelpunt van een cirkel Ci waar-
binnen en op den rand waarvan | Zp — Xi | lt; |z — Xi |, waar-

bij p de orde van de groep en xi ieder element van de groep voor-
stelt.

Vervolgens kiezen we Ci zoo klein dat ze onderling geen punten
gemeen hebben.

Doorloopt zC (de cirkel met x tot middelpunt) dan beschrijven

Zj, Zj,----- Zp—i krommen, die geheel buiten het cirkelgebied C

gelegen zijn respectievelijk in de omgevingen van Xj, Xg,____Xp_i.

De argumentsverandering van z — (pa (z) als z C doorloopt is
nul als n geen veelvoud van p is.

Is daarentegen n een veelvoud van p dan is deze arguments-
verandering gelijk aan 27t.

De vergelijkingen ^\'n (z) — z = O (n = 1, 2,____) hebben dus

geen wortel in C tenzij n een veelvoud van p is.

In het laatste geval is x de eenige wortel, waaruit volgt dat
E\' in C leeg is.

Bewering — Beschrijft z een gebied D, waarin geen punten van
E\' gelegen zijn, dan veranderen de limietpunten van de conse-
quenten van z analytisch met z.

Bewijs — Bevat D geen punten van E\' dan zijn in iedere Dq,
geïtereerde van D van de ne orde, geen punten van E\' gelegen
m. a. w. geen der functies van de rij g?i (z), (z). 93 (z) .... neemt
in D de waarden y aan waarbij y ieder punt van E\' is. Hieruit
volgt dat de rij (p^ (z), va (z),____in D normaal is.

Zij gjn, (z), q3n, (z),----een oneindige suite gelicht uit de rij

(z), 92 (z),----en overal in D gelijkmatig convergeerende tot

de meromorfe functie f (z), respectievelijk een constante.

De consequenten Zn„ Zn.,----van z hebben dan een limiet-
punt waarbij i = f (z).

Beschrijft z D dan is het mogelijk dat X constant blijft (eindig
of oneindig), maar is dit niet het geval, dan verandert A analy-
tisch met z, d. w. z. 1 (z) is een meromorfe functie van z in D.

Convergeert de rij ^n, (z), vr, (z)____in D gelijkmatig tot de

meromorfe functie f (z) dan convergeert de rij

9n. l (Z), 9n, l (z),----

gelijkmatig tot de in D meromorfe functie 9 | f (z)}.

Algemeen: de rij 9n, i (z), Vn. i (z),----convergeert in D

gelijkmatig tot de meromorfe functie lt;pi j f (z) j.

De gedragswijze van de rij 93a (z) is dus door de convergentie-
wijze van een oneindige deelrij volkomen bepaald.

Hieruit volgt in verband met het voorgaande dat de limietpun-
ten van de consequenten van z -( D analytisch afhankeUjkzijn
van z.

Aan een punt P, niet tot E\' behoorende. kan men toevoegen de
verzameling bestaande uit alle punten die daar niet toe behooren
en die met P verbonden kunnen worden door enkelvoudige krom-
men, waarbij alle punten van de krommen geen punten van E\' zijn.

We verkrijgen op deze wijze een gebied R waarvan de grens
uitsluitend bestaat uit punten van E\'.

E\' verdeelt dus het complexe vlak in twee of meer gebieden
als E\' lineair continu is.

Is E\' perfect overal discontinu dan is R het geheele complexe
vlak behoudens de punten, die tot E\' behooren.

Bewering — Convergeert de rij gjn (z) in een gebied D, gelegen
in een deelgebied van R, gelijkmatig tot f (z), dan convergeert
deze rij tot f (z) gelijkmatig in het geheele beschouwde gebied R.

Bewijs — We kunnen zonder aan de algemeenheid tc kort te
doen onderstellen dat de polen van 9 (z) punten van E\' zijn.

[Door een homographie kan men n.1. een willekeurig punt
Q E\' omzetten in het punt oneindig. Alle polen van de nieuwe
functie ? (z) zijn dan punten van E\'].

De functies (p\\ (z) zijn dus in R holomorf, terwijl de rij in R nor-
maal is.

Bij deze gegevens is f (z) in D holomorf.

Convergeerde de rij «Pn (z) in R niet gelijkmatig tot f (z), dan
heeft deze rij in x (x R en buiten D gelegen) minstens twee
verschillende limieten A en B.

Er bestond dan, aangezien de rij lt;fn (z) in R normaal is, een
deelrij Sj uit de rij lt;fn\'(z) gelicht, die in R gelijkmatig conver-
geerde tot de holomorfe functie f^ (z), (fi (x) = A).

Evenzoo bestond er een suite Sj, die in R tot de holomorfe
functie U (z) gelijkmatig convergeerde, (fj (x) = B).

In D vallen de beide functies fj (z) en fj (z) samen met f (z).
waaruit volgt dat fj (z) met fj (z) overal in R samen moet vallen.

Daar bovendien de functies (pa (z) in R geen singulariteiten hebben,
moet fj (z) = f (z) holomorf in R.

Convergeert i. p. v. de rij qpa (z) een deelrij (pm (z), gjn, (z), ....
in een gebied D R gelijkmatig tot f (z), dan behoeft men slechts
de redeneering van daareven te herhalen om in te zien dat deze
deelrij in het geheele gebied R gelijkmatig tot f(z) on vergeert.

Men heeft dus: De perfecte verzameling E\' begrenst de ver-
schillende convergentie gebieden van het complexe vlak bij ite-
ratie van q) (z); in ieder samenhangend gebied dat E\' tot grens
heeft is de wijze van convergentie van iedere oneindige suite die
men uit de rij lt;pn (z) kan lichten in de omgevingen van twee wille-
keurige niet samenvallende punten van zoo\'n gebied geheel de-
zelfde.

Zij X een regelmatig limietpunt, dan naderen de consequenten
van iedere punt z gelegen in of op den rand van een cirkel C met
middelpunt x en voldoend kleinen straal regelmatig tot x. In en
op C nadert dus de rij tpn (z) gelijkmatig tot x. Het cirkelgebied
C ligt inclusief rand geheel binnen het gebied Rx dat bij x behoort.
De rij qgt;a (z) nadert dus in Rx gelijkmatig tot x, m. a. w. de con-
sequenten van ieder punt z Rx naderen regelmatig tot x.

Rx wordt nu het onmiddellijke convergentie gebied van x ge-
noemd, onmiddellijk omdat Rx samenhangend is d. w. z. begrensd
Wordt door een of meer krommen zonder dubbelpunt cn (öf) door
punten eener perfecte overal di.scontinue verzameling.

Onder het totale convergentiegebied van een regelmatig limiet-
Punt X wordt verstaan de som van de gebieden waarin de conse-
quenten van ieder punt z tot een van die gebieden behoorend, uit-
sluitend X tot limietpunt hebben.

Het totale convergentiegebied bevat dus het onmiddellijke of
Valt er mee samen.

Zonder eenige moeilijkheid is het bovenstaande uit te breiden
Voor het geval dat x een der elementen is van een cyclische limiet-
groep.

Opmerking — Weet men a priori dat E\' overal discontinu is dan
Volgt hieruit dat er slechts ëdn regelmatig limietpunt kan bestaan.
Het regelmatige limietpunt heeft dan tot onmiddellijk = totaal

convergentiegebied het geheele complexe vlak behoudens de
punten van E\'.

Weet men omgekeerd dat er twee verschillende regehnatige
limietpunten zijn of dat er een cycUsche limietgroep bestaat, dan
moet E\' lineair continu zijn en het vlak in twee of meer verschil-
lende gebieden verdeelen.

geraadpleegde LITERATUUR VOOR HOOFDSTUK ii

1.nbsp;Montel. Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe.

2.nbsp;Montel. Sur les familles de fonctions analytiques, qui admettent des
valeurs exceptionnelles dans un domaine.

Annales scientifiques de l\'Ecole normale supérieure. Tome XXIX,
1912.

3.nbsp;Montel. Sur les familles normales de fonctions analytiques.
Annales scientifiques de l\'Ecole normale supérieure. Tome XXXIII,
1916.

4.nbsp;Gaston Julia. Mémoire sur l\'itération des fonctions rationnelles. Journal
de Mathématiques pures et appliquées. Tome IV, 1918.

5.nbsp;Lattès. Note des Comptes rendus (7 janvier 1918).

6.nbsp;P. Fatou. Sur les équations fonctionnelles. Bulletin de la Société Mathé-
matique de Françe.

1919 en 1920.

HOOFDSTUK III

ONMIDDELLIJK EN TOTAAL CONVERGENTIEGEBIED

VAN EEN REGELMATIG LIMIETPUNT.
ITERATIE IN DE OMGEVING VAN EEN PUNT x, WAAR-
VOOR GELDT lt;pn (X) = X, I (p\'n (X) I = L
BESTUDEERING VAN DE CONVERGENTIE VAN DEEL-

RIJEN VAN DE RIJ (z) (n = 1, 2.....) IN DE GEBIEDEN

WAAR DEZE RIJ NORMAAL IS.

§ 14 — NADERE BESCHOUWING VAN HET ONMIDDELLIJKE CONVER-
GENTIEGEBIED VAN EEN REGELMATIG LIMIETPUNT EN VAN DE ON-
MIDDELLIJKE CONVERGENTIEGEBIEDEN VAN PUNTEN DEEL UIT-
MAKENDE VAN EEN CYCLISCHE LIMIETGROEP VOOR HET GEVAL, DAT
DEZE GEBIEDEN ENKELVOUDIG SAMENHANGEND ZIJN

Bewering — Het onmiddellijke convergentiegebied van een
regelmatig limietpunt x bevat tenminste één kritiek punt van
dien tak van (z), inverse van cp (z), waarvoor rp (x) = x.

Bewijs — Zij O regelmatig limietpunt en 97\' (0) ^ 0. (Was
93\' (0) = O, dan zou O kritiek punt van den bedoelden tak van
V(z) zijn).

Beschrijft z den Koenigschen cirkel C (dus een cirkel met middel-
punt O, waarbinnen de consequenten van ieder punt z regel-
matig tot O naderen) en noemen we z—1 de antecedent van z,
die voor z = O nul wordt, dan doorloopt z_i een enkelvoudige
kromme C—1, die in zijn binnengebied, dat we met (C_i) zullen
aanduiden, het cirkelgebied bevat. C en C—1 hebben geen punten
gemeen. Evenzoo doorloopt z~2 een kromme C—2 waarbij

(C_l) ^ (C_2).

De gebieden (C_n) zijn enkelvoudig samenhangend en bestaan
ieder voor zich uit een enkel blad, indien geen dezer gebieden een
kritiek punt van den bedoelden tak van \\p (z) bevat.

Nu is als R = lim (C_n), het gebied R. het onmiddeUijke

n -gt;- cc

convergentiegebied van O, (zie ook de opmerking eenige blz.
verder) bij de gemaakte onderstelling een enkelvoudig samen-
hangend gebied waarbij met ieder punt z R een punt z_i R
correspondeert en omgekeerd met ieder punt z R correspon-
deert een consequent eveneens in R gelegen.

Beelden we nu R conform af op het binnengebied y van den
eenheidscirkel | Z | = 1 van het Z-vlak.

[Dat dit mogelijk is kunnen we als volgt inzien:
Zij fn (Z) een functie die het gebied binnen | Z | = 1 conform
op (C—n) afbeeldt. De gebieden (C_n) naderen als n oo

regelmatig tot R, m. a. w. de rij fn (Z) n = 1, 2,----moet in het

binnengebied van | Z | = 1 normaal zijn; er bestaat dus een on-
eindige deelrij fp (Z) die binnen | Z | = 1 gelijkmatig tot een hmiet-
functie f (Z) nadert. Deze functie f (Z) is in het cirkelgebied ana-
lytisch en beeldt dit gebied conform op R af].

Door fn (0) = O en f\'n (0) (n = 1, 2,----) reëel te stellen ver-
krijgt men f (0) = O, f\' (0) reëel.

De oorsprongen en de positieve richtingen van de reëele assen
correspondeeren dus met elkaar.

Met ieder punt Z -{y correspondeert een punt z R en om-
gekeerd.

Aangezien een punt z R slechts één antecedent van de eerste
orde heeft die in R gelegen is en de consequent van de eerste
orde van z R eveneens in R ligt, heeft men:

met een punt 1 \\y correspondeert één punt Zj y door mid-
del van de substituties

f (Z) = z, lt;p (z) = Zi en f_i {Zy) = Zj, waarbij f_i (z), in-
verse van f (z), de functie is die R conform op y afbeeldt.

Evenzoo correspondeert met een punt Z y één punt Z_i ■{ y
na toepassing van

f (Z) = z, Vo (z)\'= en f_i (i_i) = Z_i.

De substituties Zj = «p (z) en z_i = Vo (z) in het z-vlak wor-
den dus overgevoerd in de binnen y eenduidige holomorfe sub-
stituties

Zi = «f (Z), Z_i = !F(Z). («\'inverse van 4»).

De functies fP en ¥ voeren y in zichzelf over, bovendien is

4» (0) = 0.
Hieruit volgt Zj = Ze% of

dZj

= 1.

dZ

Z - O

en dus zou | 9?\' (0) [ = 1, hetgeen onmogelijk is aangezien O regel-
matig limietpunt is.

Het onmiddellijke convergentiegebied van een regehnatig
limietpunt x bevat dus ten minste één kritiek punt van dien tak
van xp (z) (inverse van lt;p (z)), waarvoor xp (x) = x.

Een kritiek punt van tp (z) is consequent van de eerste orde
van een punt waar cp\' (z) = 0. In het totale convergentiegebied
van een regelmatig limietpunt ligt dus tenminste één punt waar

q,\' (z) = 0.

Het onmiddellijke convergentiegebied van een regelmatig limiet-
punt — Het is nu met behulp van het voorgaande mogelijk het
onmiddellijke convergentiegebied van een regelmatig limietpunt
nader te bestudeeren.

We denken ons daartoe het Riemannsche oppervlak X van \\p (z)
bestaande uit k boven elkaar gelegen bladen, beantwoordende
aan de k takken van yj (z), en vertakt in de kritieke punten van
deze functie.

Voorts stellen we de straal van den Kocnigschen cirkel C zóó
klein dat in C geen kritieke punten gelegen zijn, terwijl we in
het regelmatig limietpunt O lt;p\' (0) ^ O onderstellen.

De punten van X waarvan de projecties op C gelegen zijn lig-
gen op k boven elkaar gelegen gelijke cirkels C (i = 1, 2, . . . ., k).
Doorloopt z de verschillende cirkelgebieden dan beschrijft z_i k

gebieden (iC_i) (i= 1. 2......k), ieder begrensd door de bij-

behoorende kromme iC_i. We kunnen natuurlijk evengoed zeg-
gen:

Beschrijft z het cirkelgebied (C) dan beschrijven de k ante-
cedenten van de eerste orde van z de gebieden

(iC_i) (i= 1. 2......k).

Een dezer gebieden bijv. (C—i) bevat het cirkelgebied (C);
(^C—i) en de overige k— 1 gebieden liggen buiten elkaar en heb-
ben onderling geen gemeenschappelijke grenspunten.

Voor den opbouw van het onmiddellijke convergentiegebied
R van O kan ik nu deze overige k — 1 gebieden buiten beschou-
wing laten. (Zie de opmerking in deze §).

Bevat (^C_i) geen kritieke punten van v (z) dan kunnen we
de voor (C) gedane redeneering op (^C_i) toepassen. Immers
het totaalgebied van X, bevattende de punten van X waarvan de
projecties in (^C_i) gelegen zijn, bestaat uit k volkomen gelijke
boven elkaar gelegen gebieden; doorloopt z ieder bedoeld ge-
bied dan beschrijft z_i k gebieden (\'C—2). Het gebied (^C—2)
heeft met de overige k — 1 gebieden geen punten gemeèn en be-
vat (^C_i). Hierbij zijn de gebieden (K:_i), {K-2) verkregen
door toepassing van z_i, dus van dien tak van xfi (z), die in O nul
is, op het cirkelgebied (C).

Op bovenomschreven wijze voortgaande verkrijgen we de ge-
bieden (iC_3), (^C_4), enz., waarbij

(1C_2) ^ (^C_3) ^ (gt;C_4).

Tenslotte ontstaat een gebied (^C_*) dat tenminste één vertak-
kingspunt van X bevat, waarbij t de kleinste index is waarvoor
dit plaats vindt.

Zij T dit vertakkingspunt en zijn in (^C_t) geen verdere ver-
takkingspunten gelegen, dan moet T kritiek punt voor dien tak
van y (z) zijn, die in O nul is. In het tegengestelde geval n.1. zou
de tak van y/ (z), die in O nul is, in (\'C—i) holomorf zijn (we kunnen
n.1. onderstellen dat het punt 00 een punt van E\' is). M, a. w.
(IC—(» !)) zou dan evenals (\'C_t) een enkelvoudig samenhangend
gebied zijn, waarbij met ieder punt z ^ (^C—t) één antecedent
van de eerste orde z_i (^C—(t i)) zou correspondeeren

[(»C_0 -{ (lC_(r l))].

Zouden dus in de gebieden (^C—n) n = t, t 1,----slechts

kritieke punten van t/^ (z) gelegen zijn, die voor den tak van 1/» (z),
die in O nul is, niet kritiek zijn, dan zou met ieder punt z in het
onmiddellijke convergentiegebied R van O gelegen

[R = lim (^C-n)],

cd

slechts één antecedent van de eerste orde z_i R correspon-
deeren en dus R geen kritiek punt bevatten van den bedoelden
tak van v (z).

We denken ons nu in T de bladen 1,2,.....a (a ^ k) van i

vertakt.

Het totaalgebied van X. bevattende de punten van A waarvan
de projecties in (^C_t) gelegen zijn, bestaat

r uit een enkelvoudig samenhangend gebied bestaande uit
a boven elkaar gelegen volkomen gelijke gebieden, die zich uit-
strekken respectievelijk over gedeelten van de bladen 1, 2, . . .., a
van X en vertakt zijn in T. Dit gebied dat, ik (C—t) noem, wordt
begrensd door een enkele kromme.

2° (als a lt; k) uit een of meerdere gebieden gelegen in de bla-
den a 4- 1, a 2, . . . ., k, die we voor den opbouw van R buiten
beschouwing kunnen laten.

Beschrijft z (C—t) dan doorloopt z_i een enkelvoudig samen-
hangend eenbladig gebied, begrensd door een kromme\'C_(r i).
Hierbij is (\'C-t) -( (»C_(t.M)).

We kunnen ook als volgt redeneeren:

Doorloopt z eenmaal \'C_t dan beschrijven a van de antece-
denten van z (d.z. z-i en de a — 1 antecedenten van de eerste
orde van z die met l—i op een cycle vormen) de kromme

Met ieder punt z ■{ (^C—») correspondeeren a antecedenten van
de eerste orde, die in (gt;C_(t i)) gelegen zijn.

We denken ons nu dat (»C_(r i)) behalve T geen verdere kri-
tieke punten van y (z) bevat, waarbij we echter het geval dat
(K:_(t i)) kritieke punten bevat waarin eenige der bladen

a 1, a 2......k

van X vertakt zijn niet behoeven uit te sluiten. _

We verkrijgen hier op analoge wijze een gebied (C_(r i)), dat
zich a-voudig overdekt, begrensd wordt door een enkele kromme,

en waarin alle punten van de bladen 1,2,----- a van X gelegen

zijn, waarvan de projecties binnen (gt;C_(f i) liggen. De punten

van X gelegen in de bladen a 1, a 2,----- k waarvan de

projecties in (»C_(t i) gelegen zijn kunnen weer buiten beschou-
wing blijven.

Doorloopt z (C_(r4.i) dan beschrijft z_i een enkelvoudig samen-
hangend eenbladig gebied (iC_(r 2), waarbij

We maken nu de onderstelling dat de gebieden

(lC_(r n) n = 3. 4......

die we op bovenomschreven wijze kunnen vinden uitsluitend
T als vertakkingspunt hebben (het geval dat deze gebieden kri-
tieke punten van xp (z) bevatten die eenige der bladen

a I, a-f2, k

van X vertakken behoeven we ook hier niet uit te sluiten).

In dat geval is R = lim (^C-n) een enkelvoudig samenhangend

n-gt;-oo

eenbladig gebied, dat O bevat.

Met ieder punt z R correspondeeren a antecedenten van de
eerste orde eveneens in R gelegen. Ieder punt van R is met O
door een enkelvoudige kromme te verbinden; de consequenten
van ieder punt van zoo\'n kromme naderen regelmatig tot O.

We hebben hier een voldoende voorwaarde, waaronder R enkel-
voudig samenhangend is, afgeleid. Zooals § 17 leert is deze voor-
waarde ook noodig, met dien verstande dat het a — I voudige
vertakkingspunt T wel gesplitst mag zijn in meerdere vertakkings-
punten van verschillende orde echter moet deze splitsing zóó zijn
dat de totale orde van die vertakkingspunten a — 1 is en dat
door die vertakkingspunten a bladen van X verbonden worden.

Opmerking — Dat het gebied R op boven omschreven wijze
verkregen inderdaad het onmiddellijke convergentiegebied van
O is, kunnen we als volgt inzien:

1° ieder punt a R voldoet aan de voorwaarde dat het met
O door een enkelvoudige kromme verbonden kan worden waarbij
de consequenten van ieder punt van de kromme regelmatig tot O
naderen; immers voor ieder punt a bestaat een index ^ zoodanig dat

a ^ (IC-,).

2° ieder punt y? buiten R gelegen, waarvoor geldt lim tpa {§) = O,

n-KOB

behoort niet tot het onmiddellijke convergentiegebied van O.

Bewijzen we daartoe eerst dat ieder punt van de grens van
R tot E\' behoort.

Het is duidelijk dat de consequenten van een punt van de grens
van R niet tot O naderen.

Zij P een grenspunt van R. De functierij (p{z), (pziz),.....

is in P niet normaal, aangezien deze rij in het andere geval nor-
maal zou zijn in een cirkel y met P tot middelpunt.

Waar nu de functierij in het deelgebied van y dat tevens tot R
behoort regelmatig tot nul nadert, zou de rij in het geheele cirkel-
gebied y regelmatig tot nul moeten naderen, hetgeen onmogelijk
^s, daar dit in P niet plaats vindt. De functierij is dus in P niet
normaal, dus behoort P tot E\', aangezien bij herhaalde iteratie
van het cirkelgebied y op den duur het geheele complexe vlak met
uitzondering van ten hoogste twee punten (zie § 10) overdekt
Wordt.

De grens van R bestaat dus uitsluitend uit punten van E\'.

Ligt /3 buiten R, dan is het dus onmogelijk, p met O door een
enkelvoudige kromme tc verbinden, zonder de grens van R tc
snijden.

M. a. w. de consequenten van ten minste dén punt van zoo\'n
enkelvoudige kromme naderen niet tot O, /3 kan dus niet tot het
onmiddellijke convergentiegebied van O behooren.

Bovendien komt nu naar voren dat het inderdaad juist is voor
den opbouw van R de gebieden bevattende de punten van X gc-

legen in de bladen a 1, a -f 2......k en waarvan de projecties

binnen (C), (\'C_,)......(\'C-t), (\'C_(r4-i)) .....enz., gelegen

^Un, buiten beschouwing te laten. Immers beschrijft zeen dergelijk
Sebied, dan doorloopt z_i een gebied dat buiten R gelegen is en
^^t dus niet tot het onmiddellijke convergentiegebied van O

behoort.

Ook de gebieden bevattende de punten van gelegen in de
Iaden 2, 3,.....a en waarvan de projecties binnen

(C), (\'C-i)......(\'C-(,-i)

§£!S6en zijn hebben we buiten beschouwing gelaten. Waar echter
v^-i) deze gebieden bevat, zijn ze vanzelf bij den opbouw inaan-
ïnerking genomen.

Onmiddellijke convergentiegebieden van f unten deel uitmakende
van een cyclische limietgroep — Zijn x, Xj, . ..nbsp;de puntén

van de groep.

Beschouwen we de iteratie van (p^ (z) dan is ieder punt Xi regel-
matig limietpunt m. a. w. het onmiddellijke convergentiegebied
Ri van Xi bij iteratie van (z) = het onmiddellijke (onregel-
matige) convergentiegebied van Xi bij iteratie van tp (z); „on-
regelmatigquot; omdat de consequenten van een punt z Ri on-
regelmatig tot ieder punt van de groep naderen, „onmiddellijkquot;
omdat ieder punt z Ri met Xi door een enkelvoudige geheel
in Ri gelegen kromme verbonden kan worden zoodat de conse-
quenten van ieder punt van de kromme onregelmatig tot ieder
punt van de groep naderen. In ieder gebied Ri moet minstens één
kritiek punt van dien tak van (z). inverse van (z), gelegen
zijn waarvoor y^i (xi) = Xi.

We onderstellen dat R slechts één kritiek punt van den be-
doelden tak bevat. R is dan enkelvoudig samenhangend en met
ieder punt z R correspondeeren minstens twee antecedenten
van de fx^^ orde eveneens in R gelegen.

Op analoge wijze als dit voor een regelmatig limietpunt van
lt;p (z) gedaan is kunnen we de ontstaanswijze van R op het Rie-
mannsch oppervlak van (z) bestudeeren. Vervolgens ziet
men gemakkelijk in dat de gebieden Rj, Rg, .. ..,nbsp;ver-

kregen kunnen worden door R één-, twee-, . .... /x— 1 maal te
itereeren.

Hieruit volgt dat de gebieden Ri evenals R enkelvoudig samen-
hangend zijn en ieder slechts één kritiek punt van den te beschou-
wen tak van t//^ (z) bevat.

De verzameling van de consequenten van ieder punt z gelegen
in een van de gebieden Ri ligt geheel in het totaalgebied

R Ri 4- Ra . . .. R^-i

(de gebieden Ri hebben geen gemeenschappelijke inwendige
punten); met dien verstande: ligt z in Ri, dan bevat

Ri i Zj, Ri 2 Za, enz.

S 15 — OPMERKINGEN OMTRENT HET TOTAAL AANTAL PUNTEN X
WAARVOOR 9gt;a (x)= X. 1 ^\'n (x) 1 1 (N = 1, 2. . . . .) - ITERATIE
IN DE OMGEVING VAN PUNTEN X WAARVOOR

lt;pn (X) = X. 1 (p\'n (X) I = 1
Bewering — Het aantal cyclische ümietgroepen is eindig en

ten hoogste gelijk aan 2 (k — 1).

Bewijs — De kritieke punten van (z), inverse
zijn de kritieke punten van rp (z) met hun consequenten van

de eerste, tweede, .....orde.

Men heeft n.1.:nbsp;,

Is Y een kritiek punt van if (z) dan heeft de vergelijkmg lt;p (z) = y

twee samenvallende wortels.

Evenzoo: is / een kritiek punt van (z) dan heeft de verge-
lijking (z) =/ twee samenvallende wortels.

In deze laatste vergelijking heeft men slechts dkn twee gelijke
wortels als dit bij een van de vergelijkingen

(x) = /.
lt;p (z) = X het geval is.

Hieruit volgt: ieder kritiek punt van rp^ (z) is óf kritiek punt
van v.-i (z) öf consequent van de /x- 1« orde van een kritiek
punt van v (z). Bovendien volgt uit het bovenstaande dat de
consequent van de 1« orde van ieder kritiek punt van (z)

kritiek punt van i/»^ (z) is.

Passen we nu het voorgaande toe op yj^-i (z). dan verkrijgt
men: ieder kritiek punt van Vk_i(z) is óf kritiekpunt van VV-«
óf consequent van de - 2« orde van een kritiek punt van V (z).

enz.nbsp;.. , , 1

Conclusie — De kritieke punten van xp^(z) zijn de kritieke

punten van V» (z) met hun consequenten van de eerste-, tweede-,

----- /i — 1« orde.

Beschouwen we nu het totale (onregelmatige) convergentiegebied
van een cyclische limietgroep, waaronder we verstaan de som van
alle gebieden bevattende alle punten waarvan de consequenten
onregelmatig (en uitsluitend) tot de punten van de groep naderen
Dit totaalgebied bevat tenminste édn kritiek punt van rp (z)
immers in ieder onmiddellijk (onregelmatig) convergentiegebied
van een punt van de groep ligt minstens één kritiek punt van
xp^ (z) (/i stelt de orde van de groep voor).

Ieder kritiek punt van xp (z) is consequent van de eerste orde
van een punt waar 93\' (z) = 0.

Het totaalgebied bevat dus minstens één punt waar lt;p\' (z) = 0.
Hieruit volgt dat aan iedere cyclische limietgrcep minstens één
punt waar lt;p\' (z) = O gekoppeld is. De consequenten van dat
punt convergeeren onregelmatig tot ieder punt van de groep.

Nu is het aantal punten waar 9?\' (z) = O 2 (k — I), alzoo is het
aantal cyclische limietgroepen ten hoogste 2 (k — 1) en dienten-
gevolge is het aantal punten x waarvoor

9)n (x) = x, I 97\'n (x) I lt; 1, (n = 1, 2,----) eindig.

Bij het verdere betoog maken we gebruik van een door Prof.
Wolff bewezen bewering, welke we hieronder in extenso weer-
geven. (zie literatuurlijstje aan het eind van dit Hfdstuk).

Bewering — Is voor | z | lt; 1 93 (z) holomorf en | 9? (z) | lt; 1,
en is bovendien (p (z) niet lineair, dan is voor ieder punt z binnen
den eenheidscirkel
óf lim lt;pn (z) = a, waarbij a een zeker punt binnen den een-

heidscirkel is
óf lim I 9Jn (z) I = 1.

n-gt;oo

Bewijs — Bestaat er een punt a waarvoor 93 (a) = a, dan geldt
voor ieder punt z (| z | lt; 1) Hm 9Jn (z) = a. Immers voor a = O

n-gt;-co

volgt dit onmiddellijk uit \\(p{z) \\ lt;\\z\\, terwijl de bewering
voor a na lineaire transformatie direct wordt ingezien.
Is echter overal 97 (z) ^ z, dan is ook

(n= 1, 2.....).

Stel (pv. (a) = a. a en (p (a) zijn dan twee verschillende wortels
van (fk (z) = z.

Wegens | 93k (z) | lt; 1 en volgens het bovenstaande is dan voor
ieder punt z binnen den eenheidscirkel

lim lt;pkn (z) = a èn lim 93kn (z) = 95(0).

n 00nbsp;\'nbsp;n 00

Waar nu de functierij 9? (z), (p^ (z),____binnen | z | = 1 nor-
maal is, is het onmogelijk dat eenzelfde deelrij twee limietfuncties
heeft, m. a. w. voor ieder punt z (| z | lt; 1) zijn de punten

9\'(z), 9\'2(z).....

verschillend.

We stellen nu dat de rij a, lt;p (a), 953 (a)----het punt ß, \\ ß \\ lt; ],

tot een der verdichtingspunten heeft en bewijzen in het onder-
staande dat een binnen den eenheidscirkel gelegen verdichtings-
punt bij de onderstelling lt;p{z)^z {|z|lt;l) onmogehjk kan
optreden.

Er bestaat dan een oneindige rij (v) zoodat de puntverzame-
ling 9?v (a) het punt ß tot eenig Hmietpunt heeft.

Aangezien de functies qPn (z) gelijkmatig begrensd zijn, heeft
men bij gegeven £ gt; O in een cirkel y met |3 tot middelpunt en
straal lt; t voor ieder puntenpaar z en z\' binnen y gelegen:

I ^n (z) — lt;pvL (z\') I lt; « voor iedere waarde van n.
Zijn 9?, (a) en 97/ (a) twee punten binnen y en zij v\' gt;\'y, dan is

I 9?/-, I9?, (a)| — I = I (a) — («) I lt; 2c.

Voorts is, daar 99, (a) in y gelegen is:
I 9Jy\'_, (/5) — 99,\'-V 19\'. (a) j lt; £,

en

I (a) — i? I lt; É.

Dus isnbsp;(|3) —/3| lt;4£.

M. a. w. ß is een der verdichtingspunten van de verzameling
quot;Piß), fi iß)gt;.....want 9?n (/3) ^^ (n = 1, 2.....) en e is wille-
keurig.

Er bestaat dus een oneindig rij {ft) zoodat de puntverzameling
iß) het punt ß tot eenig limietpunt heeft.
Aangezien de rij holomorfe functies lt;pr (z) in den eenheidscirkel
gelijkmatig begrensd, dus normaal is, kan men uit de rij (p^ (z)
een oneindige deelrij (pg (z) lichten zoodanig dat deze deelrij bin-
nen den eenheidscirkel tot een holomorfe limietfunctie gelijk-
matig convergeert.

Daar lt;pe (ß) - ß nadert (pg \\lt;p(ß)\\ — (p\\lt;pe iß) I tot 97 (ß) en
evenzoo nadert

lt;Pq \\niß)\\ =9\'k Ivcd\')! tot lt;pk{ß) (k= 1, 2.....).

Dus is f (z) = z in de puntverzameling lt;pk{ß) (k= 1, 2,----),

die zich in ß verdicht, dientengevolge valt f (z) overal met z sa-
men, dus voor ieder punt z binnen den eenheidscirkcl geldt

lt;pe (z) -»- z.

Is z\' z dan is ook lt;p (z\') ^ tp (z) aangezien in het tegengestelde
geval tpQ (z\') = fpQ (z) hetgeen onmogelijk is daar

qgt;Q (z\') -)- z\' en q)Q (z) -gt; z.

Voorts neemt 9? (z) iedere waarde binnen den eenheidscirkel
aan. Zou n.1. overal binnen den eenheidscirkel

9\'(z)7ta (|a| lt; 1)
dan is daar eveneens cpq (z) ^ a.

Wepns de gelijkmatige convergentie van «pß (z) tot z en (z)
tot één binnen | z [ = 1 heeft men dus als T een cirkel is, die ge-
heel binnen j z | = 1 gelegen is, en a tot middelpunt heeft;

(z) dz f dz ^ /

Hieruit zou echter volgen dat lt;pg (z) = a een wortel binnen
r bezit, hetgeen in tegenspraak is met onze onderstelling.

(p (z) en de inverse functie van lt;p (z) beelden dus het cirkelgebied
eenduidig op zichzelf af; lt;p (z) moet dus lineair zijn.

Is 97 (z) niet lineair dan nadert | (pn (z) | voor ieder punt z bin-
nen I z I = 1 tot één.

Iteratie in de omgeving van een punt x, waarvoor
lt;Pn (x) = x, (p\'n (x) = ca2j»i

iP en q onderling ondeelbaar, geheel, en p lt; q)We gaan nu over
tot de bestudeering van de iteratie in de omgeving van een punt x,

waarvoor 9.« (x) = x. lt;pr,\' (x) =nbsp;om daarna een opmerking

omtrent het totaal aantal dezer punten te maken als n alle moge-
lijke waarden mag aannemen.

Het is voldoende een punt x te beschouwen waarvoor
lt;Pa (x) = X, 9)\'n(x) = 1,

immers is lt;pa. (x) = x, 9gt;\'n (x) = éi^quot;^ dan is
9\'nq(x). = X, 9j\'nq(x) = 1.

Voorts stellen we eenvoudigheidshalve n = 1, terwijl we
O in X geplaatst denken.

Zij dus in de omgeving van O

Zi = lt;p (z) = z a^z/^ . . . , O, ^ ^ 2.

Beschouwen we nu een blad van de rozet r^» = a° cos nö; waar-
bij de symmetrieas van dat blad een hoek a met de positieve
reëele as maakt.

We zullen nu trachten waarden voor n, a en a zoodanig te vin-
den dat als z = reUö a) dit blad beschrijft, z^ binnen dit blad blijft
en slechts op den rand ervan (in O) komt voor z = 0.
De rand van dit blad {F) is gedefinieerd door:

pniö p—niÖ

zn = rne^Ufl a) = aneoi(9 a)-Z-

2

ofnbsp;zn —yeni(29 lt;\').

Is z\' het toegevoegd complexe punt van z, dan is

Zênbsp;^

waarbijnbsp;-2^5 ^\'^In\'

Dus is de vergelijking van T [d. i. de omtrek van (F)]

aquot;e—a^e n\'® .
znz\'n----zquot;--^-z\' 0.

Zij a positief en oneindig klein en zij

an e-nio anequot;\'® ,

d = Zi^Z jH----z^n--- z\'^n

dan volgt uit

Zi = z a^zM -f ....

dusnbsp;z^n == ZQ nbsp;-f-____

ennbsp;Zi\' = z\' aVzM 4-____

dusnbsp;Zi\'o = z\'n naVz\'n H-i ____

d = znz\'n nbsp;1

--z 1-jr-Z»

2

a°e—
2~

ang—nia

5 = nzn f—ia„

2

angnia

z^ —

waarbij de niet geschreven termen machten van a hebben die
grooter zijn dan 2n /i — 1.

Het teeken van d is dus voor ieder punt z op JT gehjk aan het
teeken van

ang—nia

ói =nbsp;1 a^

nz\'n M—la\'.

Voor n = /i — 1 verkrijgt men:

2

aüg—nia

an

dj = nr ne2nHe ®) a^ye—ngt;(2fl a)

annbsp;on

= nr2°eni«a, — nr^n a\'f*—en\'quot;.

Is nu a^t = ge\'*quot; dus a\'^ = gequot;\'quot;
dan wordt

= nr^n^a« cos(na v).
Geven we a een dusdanige waarde dat

JTnbsp;3

^ lt; no v lt; (mod 2n),

dan verkrijgt men:

Beschrijft zTdan is het teeken van d steeds negatief, Zj ligt
dus steeds binnen F behalve voor z = O waar z^ — O is. (z^ ligt
steeds binnen blad {F) van de rozet en niet in een ander blad
omdat Zi van z een oneindig kleine grootheid in de macht /x ^ 2
verschilt).

Ieder punt z binnen (r) ligt nu op den omtrek van een blad
{F\') van een rozet gedifinieerd door r« = a^quot; cos nfl (aj lt; a)
Waarvan de symmetrieas met die van (F) samenvalt.

Zij a gt; aigt; a, gt;----en (F), (F\'), {Fquot;),----de correspon-
deerende bladen van de overeenkomstige rozetten, dan bezitten
alle bladen de eigenschap dat de consequent van de eerste orde
Van een punt z op den omtrek van zoo\'n blad gelegen binnen
dat blad ligt, met uitzondering van z = O waarvoor Zj = 0.

Passen we nu de door Prof. Wolff bewezen bewering toe, dan
verkrijgen we, in verband met het feit dat voor ieder punt z bin-
nen (F) gelegen geldt lt;p (z) z, dat de consequenten van ieder
punt z binnen (F) tot den rand van {F) moeten naderen, maar

dan is lim 97,, (z) = O aangezien de convergentie tot ieder ander
n-gt;c»

randpunt uitgesloten is.

De consequenten van ieder punt z van r* (z ^ 0) naderen even-
eens tot O.

Uit de ongelijkheid ^ lt; na v lt; -y (mod 2«) en n = ^ — 1

Volgt dat de richting ä willekeurig genomen kan worden in
1 = n gelijke hoeken ieder groot ^ en regelmatig om O ge-
plaatst.

Met iederen aldus gedefinieerden hoek a correspondeert een a
(voldoend klein) van een te definieeren rozet waarbinnen de con-
sequenten van z regelmatig tot O naderen (men neme steeds de
grootste a die voldoet).

Neemt a alle toegelaten waarden aan, dan zal door (P) een ge-
bied A „opgeveegdquot; worden dat in de omgeving van O bestaat
uit n = fx — 1 gebieden die regelmatig om O geplaatst zijn en
geen gemeenschappelijke inwendige —, noch grenspunten hebben
behoudens het punt O dat grenspunt is van ieder gebied.

De raaklijnen aan J in O zijn de bissectrices van de hoeken, die
de door de symmetrie-as van (F) beschreven hoeken scheiden.

Het punt O is limietpunt van de consequenten van ieder punt

z^A.

Zooals men gemakkelijk inziet is de rij (z), gjg (z), • • • • in ieder
gebied d, dat geheel binnen A gelegen is, normaal.

Aangezien deze rij tot nul nadert, bestaat er een oneindige rij
indices (v) zoodat lt;pr (z) in d gelijkmatig tot nul nadert.

Is (z) de tak van if (z) inverse van (p (z), die in O nul is, dan
heeft men in de omgeving van O

z= (z) = — a/xZi^* -----

en men verkrijgt na toepassing van het voorgaande een met A
analoog gebied A\' waarbij de symmetrie-as van de voor den op-
bouw van A\' te definieeren bladen van rozetten de hoeken be-
schrijft waarvan de raaklijnen aan J in O de bissectrices zijn.

Het gebied A\' komt eveneens in O met n = /x —■ 1 toppen te-
samen terwijl de raaklijnen aan A\' in O de bissectrices zijn van
de door de symmetrie-as van {F) (voor de verkrijging van J) be-
schreven hoeken.

De gebieden A en A\' hebben in de omgeving van O 2n gemeen-
schappelijke gebieden.

De antecedenten, beantwoordende aan de tak vo (z) van ygt; (z)
van ieder punt z ^ A\' naderen tot O. De bedoelde takken van de

functies v (z) (n = 1, 2,----) zijn in ieder gebied d\' (lt;5\' -{ A\')

normaal.

Er bestaat voorts een oneindige rij indices (v\') zoodat yty (z)
(uitsluitend betrekking hebbende op de takken, die in O nul zijn)
in d\' gelijkmatig tot nul convergeert.

Bij de opmerking omtrent het totaal aantal dezer punten

X ( 93n(x) = X, lt;p\'n(x) =6«

zullen we voorts gebruik maken van de volgende

Bewering — De takken van de functies vn (z) (vn (z) inverse

van (z)) n = 1, 2,____zijn normaal in ieder deel van het vlak

dat geen kritieke punten van die takken bevat.

Bewijs — Zij D een gebied waarin de takken van de functies
Vn(z) (n= 1, 2,____) eenwaardig zijn.

In het complexe vlak bestaat tenminste één punt a waarvoor
9? (a) = a en dat geen uitzonderingspunt is in den zin van § 10
zoodat a ten minste een antecedent van de eerste orde a_i en een
antecedent van de tweede orde a—s heeft die noch met a noch
onderling samenvallen. (Zooals van zelf spreekt wordt (p (z) niet
lineair ondersteld).

Men heeft voor n ^ 2 tpn (o—i) = a, waarbij «—i een der pun-
ten a—2, a_i of a is.

Ligt a niet in D dan nemen de takken van y» (z) (n ^ 2) de
Waarden o—i in D niet aan, immers gold voor

/S (/? ^ D) Vk m = a_i,

dan zou (k ^ 2) 9?k (a—i) = /? = a, hetgeen onmogelijk is.

De takken van de functies vn (z) zijn dan in D normaal.

Is a D, dan bestaat er óf een dubbelpunt, niet uitzonderings-
punt, a\' (a\' = cp (a\'), a\' ^ a) óf een cycle van de tweede orde
(y. Yi) (y en geen uitzonderingspunten) en een antecedent y_i
Van y die noch met y noch met y, samenvalt.

Ligt in het eerste geval a\' niet in D, dan redeneert men als bo-
ven, terwijl ook in het tweede geval dezelfde bewijsvoering opgaat
als de cycle (y, y^) niet in D gelegen is, met dit verschil dat dan
ook voor n = 1 de waarden y, yi en y_i door de functies vn (z)
in D niet aangenomen worden. Bevat D alle dubbelpunten en alle
cycles van de tweede orde, dan liggen in D óf minstens twee dubbel-
punten (niet uitzonderingspunten) óf een dubbelpunt en een
cycle van de tweede orde waarbij het dubbelpunt en de elementen
Van de cycle geen uitzonderingspunten zijn.

We bedekken nu D door een eindig aantal gebieden en wèl zoo-
danig dat ieder deelgebied slechts één van de bovengenoemde

punten bevat, terwijl het met minstens één van de andere deelge-
bieden een gemeenschappelijk gebied heeft.

In ieder deelgebied zijn de takken van de functies ym (z)
dus normaal. Hieruit volgt (door analytische voortzetting) dat
de functierij xfgt;a (z) in D normaal is.

m

Bewering — Ieder punt x, waarvoor geldt

Pg^j

(X) = X, (pn\' (X) = ei ,

behoort tot E\' en is limietpunt van consequenten of consequent
van ten minste een kritiek punt van dien tak van xf/a (z) waar-
voor xfgt;a (x) = X, moet dus, hetzij limietpunt van consequenten,
hetzij consequent zijn van ten minste een punt waar (p\' (z) = 0.

Bewijs — Zooals men gemakkelijk inziet is het voldoende de
gestelde bewering te bewijzen voor een punt O waarvoor

lt;p(0) = 0, cp\' (0)= 1.

Behoorde O niet tot E\' dan zou de rij cpn (z) in een omgeving
ü van O normaal zijn.

Zij convergeert in deelgebieden van ü tot nul, dus zou de rij in
het geheele gebied Q gelijkmatig tot nul convergeeren.
Men kreeg dus in O lim q)n (0) = O

n-gt;oo

en ook

lim lt;pn (0) = O, in strijd met ipn\' (0) = 1 (n = 1, 2,____). Dus

n-gt;oo

O ^ E\'.

Vervolgens heeft men:

Was O geen hmietpunt van consequenten of geen consequent
van een kritiek punt van yf (z), dan was de rij ygt;n (z) in ü normaal,
dus zou lim t//n\' (0) = O zijn (zelfde reden als boven waarom

n-v®

lim qPn\' (0) = O zou zijn), terwijl i/;^\' (0) = 1 (n = 1, 2,____).

Iteratie in de omgeving van een punt x, waarvoor cpn {x) — x,
cpn\' (x) = e»®, ö ond. onmeetbaar met 2n — Bij het verdere betoog om-
trent de iteratie in de omgeving van een punt x

(9Jn (X) = X, 9gt;n\' (X) = e«9)

zullen we gebruik maken van eenige beweringen, welke we hier-
onder met bewijs laten volgen.

Bewering — Is P een gesloten verzameling en is geen enkel
punt van P limietpunt van consequenten van een niet tot de ver-
zameling E\' behoorend punt, dan naderen de antecedenten van
de orde n (n = 1,2,....) van een punt van P regehnatig tot E\'.

Bewijs — In het tegenovergestelde geval bestond er een onein-
dige rij geheele getallen

ij lt; ;i2 lt; I3----lt; An lt;----

en een oneindige deelverzameling

iff 2^» • • • •» nf». • ..

van P zoodanig dat de afstand van de punten

jZ, 2Z. • • • nZ, . . . . ilt;Plü. I nZ} = nf)

tot E\' grooter dan r (r gt; 0) was.

Onderstellen we dat het punt oneindig een punt van E\' is, dan
zijn de punten nZ in het eindige gelegen, hebben dus ten minste
één limietpunt oZ buiten E\'.
Er bestaat dan een oneindige deelrij

i\'z, 2\'Z, . ..., „z, .... van (nz), die regehnatig tot ©z conver-
geert.

Vervolgens is de rij (z) normaal in een cirkel C met middel-
punt oZ en straal r. Er is dus een oneindige deelrij «p;^, (z), die in C
gelijkmatig convergeert tot de holomorfe functie \'P (z).

Zij f/\' (oz) = 0$, dan naderen de punten n\'f = (n\'z) regel-
matig tot of, waarbij of P. of behoort dus niet tot E\'.
Nu is

of = lim (oz), d. w. z.

00

of is limietpunt van de consequenten van het punt oZ, dat niet
tot E\' behoort, hetgeen in strijd is met onze onderstelling.

Bewering — Verdeelt de verzameling van de limietpunten van
de consequenten van de kritieke punten van t/; (z) het complexe
vlak niet in twee of meerdere gebieden dan kunnen de limiet-
functies, waartoe oneindige deelrijen van (p (z), (p^ (z), . , . ., (in

gebieden, waarin deze rij normaal is) gelijkmatig convergeeren,
slechts constanten zijn.

Bewijs ~ We geven het bewijs in drie gedeelten en wel als volgf
sub a bestudeeren we de convergentie van deelrijen van de
nj 9?n(z) tot niet constante limietfuncties;

sub b maken we een opmerking omtrent de convergentie van de
takken van de functies Vn (z), als de rij (z) niet constante li-
mietfuncties heeft;

sub c geven we het eigenlijke bewijs.

« - Zij in een gebied D de rij (z) (n = I, 2.....) normaal

en convergeert de nj (z). (z), .... in D tot de niet con-
stante functie f (z).

Zij voorts het punt oneindig een punt van E\', dan ligt het ge-
bied D m het eindige en dan is de functie f (z) in D holomorf.

Is Zo ^ D en f (z^) = f, dan nemen alle functies (z) vanaf
zekeren rang in de buurt van z» de waarde f aan. (Zie het in § 9
gegeven bewijs voor de tweede bewering).

Men heeft dus: Beschrijft z het gebied D dan doorloopt y = f (z)
een in het eindige gelegen gebied D\' dat geen punten van E\' als
mwendjge punten bevat.

In D\' zyn dus de functies 9gt;n (z) (n = 1, 2.....) normaal, in

het bijzonder is dientengevolge de oneindige deelrij ®a — „ ^v^
normaal, zoodat men uit deze laatste deelrij een deeh^\'^an lich-
ten die tot de m D holomorfe functie g (y) gelijkmatig convergeert.
Stel 9)aa i —an (y) = gan (y), dan heeft men
lim (y) = g(y).

n-gt;oo

waarbij de rij indexrij /J„ een deelrij van de rij cn is
Zij voorts (z) = dan is

Eh (Z^n) = Zh V

Vanaf zekeren rang ligt in D\' en voor n gt; n\' (n\' voldoend
groot) is

I g^» (Zft.) — g (z^J I lt;

Bovendien is

(z^n) — g (y) I lt; « voor n gt; n\'
(n\' voldoend groot)

I gp, — g (y) I lt; 2e voor n gt; n\'

en n gt; n\'.

Hieruit volgt g (y) = y,

We verkrijgen dientengevolge:

Heeft de functierij (pa (z) in D, begrensd door de verzameling E\',
(in ieder deelgebied van een gebied begrensd door E\' is de con-

vergentiewijze van de rij lt;p (z), (p^ (z),----dezelfde, dus we mogen

onderstellen dat D door E\' begrensd wordt) tenminste één niet
constante limietfunctie, dan bestaat er een gebied D\' (eveneens
begrensd door E\') dat consequentgebied van D is en waarbinnen

de functierij lt;pn{z) (n = I, 2,----) een limietfunctie heeft die

gelijk aan z is.

Maar dan liggen niet alle consequentgebieden Dn (n = 1,2,____)

van D buiten elkaar, aangezien er een oneindige rij consequent-
gebieden Dn\' van D\' (dus van D) bestaat, die tot D\' nadert.

Men kan dientengevolge een index h vinden (we kiezen de
kleinste, die voldoet) zoodanig dat Dh\' = D\', m. a. w. lt;pi, (z)
voert D\' in zichzelf over.

Zij (ph (z) = T (z) en is t (z) de inverse functie van T (z), dan
heeft ieder punt z -{D\' slechts één antecedent van de eerste orde
t (z) die in D\' gelegen is.

Convergeeren de functies T;„(z) in D\' n.1. gelijkmatig tot z
dan is het mogelijk de indices zóó te kiezen dat de functies
Tl„-i (z), die in D\' normaal zijn, gelijkmatig tot een functie
h(z) convergeeren.

Bezat het punt z { D\' in D\' twee verschillende antecedenten
van de eerste orde z_i en z\'_i, dan was

(z_i) = [T (z_i)] = (z).
Tji»(z\'-i) = Ti„_i(z).

Hieruit zou volgen na limietovergang (n-»-oo)
z_i = h (z) en z\'_i = h (z)

hetgeen onmogelijk is aangezien h (z) in D\' eenwaardig is.

b — Zooals men onmiddellijk inziet heeft de rij takken van

Vn(z) (n= I, 2.....)

in D\' niet constante limietfuncties, immers ieder punt f ^ D\'
is een van de limietpunten van zijn eigen antecedenten.

Inderdaad: er bestaat een rij functies lt;pa^{z) [n = 2,____),

die in D\' gelijkmatig nadert tot de limietfunctie z (die dus in f
de waarde f aanneemt). De functies (pa^ (z) nemen dientengevolge
allen in een cirkel met middelpunt f en straal willekeurig klein
de waarde f aan, mits ón voldoend groot is. M. a. w. f is een van
de limietpunten van zijn eigen antecedenten.

Een deelrij van de rij takken van t/zn (z) heeft dus in D\' de limiet-
functie z.

c — Beschouwen we nu een punt f\' dat in een niet met D\' sa-
menvallend antecedentgebied van D\' gelegen is. We verbinden
voorts f (een punt van D\') met f\' door een polygoon zoodanig
dat geen enkel punt van deze polygoon kritiek punt. consequent
van een kritiek punt of limietpunt van consequenten van kri-
tieke punten van i// (z) is. (Dit is altijd mogelijk zoolang de ver-
zameling van de limietpunten van consequenten en van de con-
sequenten het complexe vlak niet in twee of meerdere gebieden
verdeelt).

De polygoon H\' ligt dus in een gebied waarin de takken van de
functies Vn (z) normaal zijn.

Zooals we gezien hebben naderen in een omgeving van f zekere
oneindige deelrijen van de takken van Vn (z) tot niet constante
limietfuncties.

^ In de omgeving van f\' is dit niet het geval, immers aangezien
geen limietpunt kan zijn van consequenten van niet tot E\'
behoorende punten, naderen de antecedenten van f\' regelmatig
tot E\' (zie voorlaatste bewering); dus tot een verzameling
zonder inwendige punten.

De limietfuncties van de takken van t//« (z) kunnen in de buurt
van f\' dus slechts constanten zijn (de punten van E\').

De functies tp\'a (z) kunnen dus in de gebieden waar deze rij
normaal is slechts dan niet constante limietfuncties hebben als
de verzameling van de limietpunten van consequenten en van
de consequenten van kritieke punten van xp {z) het complexe
vlak in twee of meerdere gebieden verdeelt.

Bewering — Behoort het punt x (x) = x. (pr,\' (x) = ei®, ö

ond. onmeetbaar met 2n) niet tot de verzameling E\', is dus de functie-
rij (p (z), lt;p2 (z), .... in een voldoend kleine omgeving ü van x
normaal, dan kunnen de limietfuncties, waartoe oneindige deel-
rijen van de rij lt;pn (z) (n = 1, 2, . . . .) in ü gelijkmatig conver-
geeren, geen constanten zijn.

Bewijs — Het is voldoende de gestelde bewering te bewijzen
voor het punt O, waarvoor geldt (p (0) = O, 9?\' (0) = e»9 ö ond. on-
meetbaar met 2n.

In een geheel in Si gelegen cirkel met O tot middelpunt is

9? (z) = zi9 -----

dusnbsp;lt;pn (z) = zequot;\'« . . . .

Hierbij is 9?« (0) = O, | 9,\'n (0) 1 = 1 n = 1, 2.....

De functies 93 (z), q)^ (z), .... zijn in Si holomorf; zou een on-
eindige deelrij «Pn» (z) in Si gelijkmatig tot een constante naderen,
dan moet wegens het bovenstaande deze constante nul zijn.

Maar dan zou lim qgt;\'n\' (z) = O, hetgeen onvereenigbaar is met

n\'-»-oo

|qPn\' (0)1= 1 (n= 1.2.....).

We zijn nu in staat het volgende te bewijzen:

Bewering — Verdeelt de verzameling van consequenten en van
limietpunten van consequenten van de kritieke punten van \\p{z)
het complexe vlak niet in twee of meerdere gebieden, dan behoort
ieder punt x waarvoor (pn (x) = x, 9»\',» (x) = e»« (Ö ond. onmeet-
baar met 2n) tot E\' cn is consequent of limietpunt van conse-
quenten van ten minste ëén kritiek punt van dien tak van v;,i (z),
waarvoor rpn (x) = x, moet dus hetzij consequent hetzij limiet-
punt van consequenten zijn van ten minste één punt z waarvoor

lt;p\' (z) = 0.

Bewijs — 1° Zij 9? (0) = O, cp\' (0) = e^®, 6 ond. onmeetbaar met
2ji, dan behoort O tot de verzameling E\', hetgeen onmiddellijk
volgt uit de laatste cn de voorlaatste bewezen bewering.

2° Zij O nóch consequent nóch limietpunt van consequenten
van een punt z waar 97\' (z) = O, dan zijn in een voldoend kleinen
cirkel (C) met middelpunt O de functies t/^n (z) (n = 1, 2, .. . .)
normaal.

Beschouwen we nu den tak van v» (z), den tak van t/;^ (z), enz.

waarvoor (0) = O, t/Zg (0) = 0.----enz. (aangezien in O (p\' (0) O,

heeft iedere functie t//n (z) een tak waarvoor tpn. (0) = 0).

Deze takken zijn in (C) holomorf en normaal en kunnen in (C)
slechts niet constante limietfuncties hebben. (Het bewijs dat we
voor de rij (p (z), lt;p^ (z).----gegeven hebben is ook hier van toe-
passing).

Voorts kan op dezelfde wijze, als dit voor de functies
lt;pn{z) (n= 1, 2......)

gedaan is, het volgende bewezen worden:

Zij D een gebied waarbinnen de functies rfia (z) normaal zijn,
dan is het onmogelijk dat oneindige deelrijen van takken van
Vn (z) (n = 1, 2,----) tot niet constante functies gelijkmatig con-
vergeeren, tenzij de verzameling van consequenten en van limiet-
punten van consequenten van de kritieke punten van xp (z) het
complexe vlak in twee of meerdere gebieden verdeelt. Men heeft
n.1.:

Zij het punt oneindig een kritiek punt van xp (z) (door een ho-
mografische substitutie is dat altijd te bereiken) dan zijn in D
de takken van V/^ (z) (n = I, 2.....) holomorf.

Zij voorts X een punt waarvoor xp (X) =A, lt;p\' (A) O, dan
beschouwen we slechts dien tak van Vn (z) (n = 1, 2.....) waar-
voor v;n(A) = A (n = 1, 2,____).

Deze rij takken is in D normaal en we verkrijgen ook hier op
dezelfde wijze als daareven een gebied D\' dat evenals D in het
eindige gelegen moet zijn en waarbinnen geen kritieke punten
noch consequenten van kritieke punten gelegen zijn.

Immers was ^ ^ D\' een kritiek punt van bijv. tp (z), dan zou
in D in strijd met onze onderstelling een punt z moeten liggen
dat consequent van f, dus consequent van een kritiek punt was.

In D\' zijn de takken van V\'n (z) (n = I, 2.....) dus eveneens

normaal.

Hieruit volgt naar analogie van het bewijs voor de functies
lt;pn (z) dat er ook in dit geval een index h moet bestaan (de klein-
ste. die voldoet), zoodat de bedoelde tak van 4\'h(z) het gebied
D\' in zichzelf overvoert. Maar dan zou de functie lt;pb (z) het ge-
bied D\' eveneens invariant laten en dus zou de rij

«Pnh (z) (n = 1, 2, . .. .)

in D\' niet constante limietfuncties moeten hebben, hetgeen bij
de gemaakte onderstelling onmogelijk is.

De limietfuncties van ^n (z) (n = I, 2, ... .) moeten dienten-
gevolge bij de gemaakte onderstelling in de gebieden waar deze
rij normaal is, constanten zijn.

Passen we het bovenstaande toe op ons geval, dan volgt hier-
uit dat O hetzij consequent, hetzij limietpunt van consequenten
is van tenminste één kritiek punt van den tak van ^ (z), die in
O nul is.

Conclusie — Verdeelt de verzameling van consequenten of van
limietpunten van consequenten van kritieke punten van v (z)
het complexe vlak niet in twee of meerdere gebieden, dan is ieder
punt X, waarvoor lt;pn (x) = x, | 9Jn\' (x) | ^ 1 (n = 1, 2, . . . .)
limietpunt van consequenten of consequent van een punt waar-
voor 9?\' (z) = 0.

Aangezien x tot de cycle x, X|, . . , ., Xn—i behoort, kan het
aantal cycles (pn (xi) = Xi, | lt;pn\'(xi) | 1 hoogstens 2 (k—1)
zijn.

Inderdaad: Naderen de consequenten van a {lt;p\' (a) = 0) tot
de punten Xi {lt;pn (xi) = Xi, ] (pn (Xj) | 1) dan kunnen deze con-
sequenten geen enkel ander punt y (y ^ Xi) tot limietpunt heb-
ben.

Men heeft n.1.: lim a,i = (xi) (i = O, 1, . . . ., n — 1).

n-gt;ao

Er bestaat dus een oneindige deelverzameling

Op, Op q, Op q r» ....

die uitsluitend tot Xq = x convergeert.

ap i, op q i, öp q r i.---- nadert dus uitsluitend tot

xi{xi = lt;p(x)),

en de verzameling

ap n, flp q n, ap q r n.....nadert uitsluitend tot x.

De verzameling (an) heeft dus slechts de limietpunten
X, Xj...... Xn—1.

Aangezien het aantal punten a (lt;p\' (a) = 0) 2 (k — 1) is, is
het aantal cycles g)n(xi) = Xi, ] gjn\' (xi) | ^ 1 hoogstens 2 (k — 1).

Ieder punt x waarvoor qgt;n (x) = x, lt;p\'n (x) = ei« (Ö o. onmeet-
baar met 2n) behoort dus óf tot E\' en is dan limietpunt van con-
sequenten of consequent van een kritiek punt van i// (z), óf be-
hoort niet tot E\'. In het laatste geval zijn de takken van de functies
yfn (z) in de buurt van x normaal, terwijl de verzameling van de
consequenten en limietpunten van consequenten van de kritieke
punten van ip (z) het complexe vlak dan in twee of meerdere
gebieden moet verdeden.

We zullen nu het bewijs geven dat ook in het algemeene geval
het aantal punten x, waarvoor (jn (x) = x, | lt;f\'n (x) | ^ 1, steeds
eindig is.

Bewijzen we daartoe eerst de volgende.

Bewering — Zij gegeven n functies (i)(p (t) (i = 1, 2,----- n),

holomorf in een omgeving Q van to en liggen de punten

(i)qp(to) (i= 1. 2......n)

op een gesloten enkelvoudige kromme T, dan bestaat er een punt
to-\\- At -{Q {At oneindig klein) zoodanig dat ten minste de
helft van het aantal punten (ov (to t) binnen (F) gelegen is.

(Onder het binnengebied van F moet verstaan worden het
enkelvoudige gebied, dat door T begrensd wordt en dat het punt
oneindig niet bevat).

Bewijs — We onderstellen geen der n functies constant. Men
heeft nu in een kleinen cirkel met to tot middelpunt en geheel
binnen fl gelegen:

(,)9(t)-(i)9(to) = ki(t-to)P\' ....

{n)lt;P (t) — m (to) = k„ (t — to)P • -f ....

ki ^ 0. De straal van den cirkel kiezen wc zóó klein dat ^
niét geschreven termen van de tweede leden van de vergelijking^
t. o, v. de wèl geschreven termen verwaarloosd mogen wor
We kunnen nu pi als volgt schrijven:
pi = 2\'gt;^Ai, waarbij Al oneven cn ni ^ O is.

Vereenigen we verder de functies, waarvan de bijbehoorende
machten ni van 2 gelijk zijn, in één groep.

Een van de op deze wijze ontstane groepen correspondeert met
de hoogste macht van 2 die optreedt; zij deze macht q.

Vervolgens kiezen we Jt (J t oneindig klein) willekeurig,
doch zoodanig dat geen van de punten (i)«) (to ^ t) tangentiaal
met r gelegen is, m. a. w. voor geen enkele waarde van i gaat
de raaklijn aan F in (i,tp (tg) door (i)ggt; (t« t), hetgeen altijd
niogelijk is aangezien n eindig is. En daar J t oneindig klein
ondersteld is, liggen de punten (i)gj (to At) óf binnen óf bui-
ten (F).

Wordt nu aan de gestelde voorwaarde door het willekeurig
gekozen punt to J t niet voldaan, dan vermenigvuldig ik
^ t met e^\', waarbij

9 =nbsp; .....

terwijl de a\'s ttul of eefi zijn. Ik verkrijg dus het punt

to J t.e^.

Beschouwen we nu de functies {i\')lt;p (t) waarvan de correspon-
^eerende macht van 2 q is.

oor deze functies wordt het argument van

^nbsp;(to J t) — (i\')?gt; (to)

ermeerderd met 2\'»Ai\'v dus met nul of (mod 2n) al naar ge-
^ kiezen nu aq zóó dat minstens de helft van de punten

(!•)«) (to t. 09quot;)

B(2h ^^ l\'-ggcn.

corr^nbsp;vervolgens de functiesnbsp;waarvan de

^oortomcn\'^^\'^^quot;^^nbsp;^nbsp;zulke functies

argument van

quot;\'^^erdert nu met

Geeft men aan aq_i eerst de waarde nul daarna de waarde een, dan
worden de punten, die voor de waarde nul binnen (F) liggen bui-
ten (F) gebracht en omgekeerd,

We kiezen aq_i zóó dat minstens de helft van de punten

(to ^t.e-Pi)

binnen (F) Hggen.

Door de waarden aq, aq_i, . . . enz. op geschikte wijze te
kiezen, kan men er dus voor zorgen dat minstens de helft van de
punten (i)?) (t Ai.eV^) binnen {F) liggen.

(Mochten enkele punten (i)9? (to t. ev\'y) tangentiaal met F
komen te liggen, dan kan men door het argument van A t oneindig
weinig te veranderen er zorg voor dragen dat dit niet meer kan
voorkomen).

Geven we nu het eigenlijke bewijs voor de bewering dat het
aantal punten x, waarvoor lt;pa. (x) = x, | gjn\' (x) I ^ 1 (n = 1,
2, . . . .) steeds eindig is.

Bewijs — Zij x een punt waarvoor (pn (x) = x, gin\' (x) = e»®
(0 ond. meetb. of onmeetb. met 2jt, doch ^ 0).

We onderstellen dat alle punten x, waarvoor het bovenstaande
geldt, in het eindige gelegen zijn.

(Door een homografie, die een punt van E in het punt oneindig
transformeert, kan men dat steeds bereiken).

Zij t een willekeurige complexe veranderlijke, zoodanig dat

lt;p{z, to)=gj(z)

en (p (z, t) een rationale functie van z en t is en t. o. v. z van
den graad k.

De wortel van de vergelijking fp (z, t) = gjn (z, t) — z == O, die
de waarde x aanneemt voor t = to, is holomorf in de buurt van
to omdat

(^)t-t =s(to)-l7tO.[s(to) = e\'\'i].

Met dezen wortel x (t) correspondeert een cyclische groep van
de orde n

X (t), Xi (t) = lt;pi\\x (t), t|.....Xn-l (t) = qPn-l {x (t), tj

waarbij ^^n (z, t) [ = s (t) in de buurt van to een holomorf®

ÖZnbsp;z = xi(t)

functie van t is.
Voorts is I s (to) [ = 1.

Veronderstellen we nu dat we bij iteratie van lt;p{z) X cycles
verkrijgen waarvoor

=eiör(t=l,2......X).

az z = X

Hierbij stelt i de orde van iedere cycle voor, die tot de beschouw-
de X cycles behoort en x ieder punt van iedere cycle.

Door de invoering van de parameter t ontstaan dan X holo-
morfe functies Sr (t) in de buurt van to.

[Door de parameter t in g? (z) op geschikte wijze in te voeren,
kan men voorkomen dat zekere functies s^ (t) constanten zijn.
Is

ao a^z ---- akzk

\'\' ^^^ -bo biz . . . . bkZk

dan voldoet bijvoorbeeld
/ .. aot a,tz .... aic-itzk-i -j- 11 (ak — 1) t} zK

\'\' ^^ - 1 -f- (bo— 1) t -f b,tz .... bktzk.

I is ak = O of bo = O, dan verander ik ap of bq (ap ^ O, bq ^ 0)
op de voor ak en bo aangegeven wijze}.
Dan is: lt;p{z, 1) = g? (z)

en lt;p (z, 0) = zk (ev.-^ als aj = aj =----= ak = 0).

Duidelijk is dat bij een dergelijke invoering van t de functies
ST(t) nooit constant kunnen zijn, aangezien bij de iteratie van

z/i of (in = 2, 3,_____ k) de bovenbedoelde cycles waarvoor

I s I = I niet voorkomen].

We hebben dus X holomorfe niet constante functies Sr (t), ho-
lomorf in de buurt van to, terwijl de punten St (to) op den een-
heidscirkel (O middelpunt) van het vlak w = s (t) gelegen zijn.

7

Het is nu mogelijk volgens de vorige bewering t in een voldoend

kleine omgeving van to zoodanig te varieeren dat minstens -

2

punten Sr (to -f J t) binnen den eenheidscirkel gelegen zijn.

De substitutie [z | gj (z, to J t)] heeft dan minstens ^ cy-
clische limietgroepen.

Aangezien het aantal cyclische limietgroepen ^2(k—1) is
moet dus X begrensd zijn, m. a. w. het aantal punten x waarvoor

9gt;n (x) = X, (Pa\' (x) = eifl , (n = 1, 2,____, 0:^0)

is eindig.

Waar nu het aantal punten x waarvoor

Pn (x) = X, I (x) I lt; 1

ofnbsp;9\'n (x) = X, gjn\' (x) = 1 (n = 1, 2, . , . .)

eindig is, volgt hieruit algemeen dat het aantal punten x waar-
voor gjn (x) = X, I 9Jn\' (x) | ^ 1 eindig moet zijn,

§ 16 — OPMERKINGEN OMTRENT DE LIMIETFUNCTIES, WAARTOE

DEELRIJEN VAN DE RIJ ff)« (z) (N = 1, 2,----) IN GEBIEDEN WAAR

DEZE RIJ NORMAAL IS, GELIJKMATIG CONVERGEEREN, WANNEER
DEZE LIMIETFUNCTIES CONSTANTEN ZIJN

Bewering — Ieder punt a, dat limietpunt is van consequenten
van een gebied van het vlak, behoort tot de verzameling van de
limietpunten van de consequenten van kritieke punten van v (z).

Bewijs — Zij D het gebied waarvan consequenten tot a naderen,
a is dus de limiet waartoe een oneindige rij (px^, (z) in D gelijk-
matig convergeert. Is a noch consequent noch limietpunt van
consequenten van een (of meerdere) kritiek(e) punt(en) van V (z),
dan zijn de functies xpr, (z) in een cirkel y met a tot middelpunt
normaal. Deze cirkel bevat de consequentgebieden Di van D
vanaf zekeren rang.nbsp;\'

Zij f D, dan liggen de punten voor iedere p gt; po in het
cirkelgebied (y).
Zij ook \\ D en f\' 7!: f.

Beschrijft z een enkelvoudige kromme, die de punten f en
verbindt en geheel binnen D gelegen is, dan doorloopt (z)
een enkelvoudige kromme geheel binnen (y) gelegen waardoor de
punten fip en li^ verbonden worden en omgekeerd: beschrijft
2 ^Apf\'ip dan doorloopt een bepaalde tak van ipx^ (z) den weg

De takken van de functies ipi (z) (p = 1, 2, . . . .) als boven
gedefinieerd zijn in (y) normaal. Er bestaat dus een deelrij xpft^ (z)
^^^ Vip (z)\' die in (y) gelijkmatig convergeert tot de constante c.

De functies xpf*^ (z) nemen de waarde | aan m punten f/ip die
regelmatig tot a naderen.

Men heeft dus f = c, doch evenzoo f\' = c, dus moet a of con-
sequent of limietpunt van consequenten van een (of meer) kri-
tiek(e) punt(en) van rp (z) zijn.

Is a consequent van een kritiek punt zonder limietpunt van
consequenten van een (of meer) kritiek(e) punt(en) te zijn, dan
behooren alle antecedenten van a vanaf zekere orde h noch tot
de verzameling van consequenten noch tot de verzameling van
limietpunten van consequenten van kritieke punten.

pe gebieden D;tp—h liggen voor p gt; po binnen cirkels met
lîîiddelpunten de punten a_h en willekeurig kleine stralen.

Een van de punten a_h is limietpunt van consequentgebieden
Van D en moet dus tot de verzameling van consequenten of tot
de verzameling van limietpuntèn van consequenten van kritieke
punten behooren.

a kan dus geen consequent van een kritiek punt zijn zonder
dat de verzameling van consequenten van kritieke punten zich
daar verdicht, h. t. b. w.

Bewering — Is de verzameling bestaande uit de limietpunten
Van consequenten van de kritieke punten van rp (z) eindig, dan
liebben de functies çjn (z) (n = 1, 2, ... .), in de gebieden waar
^ij T\'a (z) normaal is, geen andere limieten dan constanten x
(eindig in aantal) waarvoor geldt çjn (x) = x, | gjn\' (x) | 1.

(n kan hierbij ieder natuurlijk getal zijn). De punten x waarvoor
\'\'n (X) = X, g?„\' (x) = ei® (ö O. onmeetbaar met 2n), die eventueel
Voorkomen behooren dan tot de verzameling E\'.

Bewijs — Is de verzameling van de limietpunten van de con-
sequenten van de kritieke punten van rp (z) eindig, dan geldt voor

7*

ieder limietpunt a: lt;pn (a) = a, waarbij n ieder natuurlijk getal
kan zijn.

Zij n.1. f een kritiek punt van ip (z) en a een limietpunt van
consequenten van dan is er een oneindige indexrij Ap zoodat

lim lip = a

p—gt;-co

Voorts is dan

lim lip i = 9\'(a),

p-gt;a)

lim lip 2 = (P2 (a), enz.

p-)-00

De verzameling a, q) (a), lt;P2 (a), .... behoort tot de verzameling
van de limietpunten van de consequenten van de kritieke punten
van tfj (z) en is dientengevolge eindig. Er bestaat dus een index q
en een index i zoodat (ai) = ai.
Men heeft dientengevolge

fjp i = ai

p-gt;-lt;»\'

ennbsp;lim j q = ai.

p-^oo

Duid ik nu den tak van vi (z), waarvoor vi (ai) = a, aan met

Vi (z)

dan is

lim Vi (^Ap i q) = lim f^p q = a
p-*® p-gt;00

dusnbsp;(pq (a) = a.

We zullen nu bewijzen dat het bij de gemaakte onderstelling
omtrent het aantal limietpunten onmogelijk is, dat de consequenten
van een gebied tot een punt x (g^q (x) = x) naderen waarvoor

|9\'q\'(x)|gt;l.
Hiertoe bewijzen we het volgende:

Hebben de consequenten van een punt z, dat geen antecedent
van a is, tot limietpunt het punt a, waarvoor

9gt;(a) = a, |9)\'(a) I gt; 1,

dan bezitten liie consequenten oneindig veel limietpunten.

De verzameling van de limietpunten verdicht zich in a.
Bewijs — Alle consequenten van z zijn verschillend.
(Was dit n.1. niet het geval dan zou z antecedent van een punt y
2ijn waarvoor tpn (y) = y, maar dan moest wegens de convergentie
van consequenten van z tot o y = d en zou z antecedent van a
zijn in strijd met onze onderstelling.

Aangezien 9? (z) in de buurt van « holomorf is, bestaat er een
cirkel C met a tot middelpunt en straal r zoodanig dat voor ieder
punt z ^ (C) geldt |zi — a|lt;k|z — a], k eindig en gt; 1.

Voorts onderstellen we r zoo klein dat er buiten het cirkelge-
bied (C) een limietpunt (3 van de consequenten van z existeert.
Deze onderstelling is gewettigd, immers naderden de consequenten
Van z uitsluitend tot a, dan zou | (a) | ^ 1 moeten zijn.

Zij 0 lt; e lt; - en Za een consequent van z zoodanig dat

Aangezien | /3 — a | gt; p zijn er consequenten van Za die buiten
bet cirkel gebied (e) liggen.

I z^ zi — a I gt; e en |nbsp;— a | iS e dan is

—«I

Het punt ligt dus in den ring (q. kg).

na de eerste consequent van z waarvoor

I zA\' — a I lt; e-

(Daar a limietpunt is van consequenten van z moet er steeds
200\'n consequent zijn).

^r bestaat dus een consequent z;i-, van z^ die evenals zi. „ in
quot;ng (e, ke) gelegen is,
^ P deze wijze verkrijgen we in den ring (q, kg) een oneindige
^^rzameling niet samenvallende punten

ZA4./,.nbsp;-----

^je hetzij op den omtrek van den ring hetzij erbinnen ten minste
^^verdichtingspunt hebben.

oor aan g achtereenvolgens de waarden

r r £
k\' k2.....k^\'

te geven, verkrijgt men een reeks zich tot a samentrekkende ringen
terwijl in eiken ring een limietpunt van consequenten van z ge-
legen is. a is dus limietpunt van de limietpunten van consequenten
van een punt z.

Is dus de verzameling van limietpunten van de consequenten
van kritieke punten van tp (z) eindig, dan hebben de functies

9gt;n{z) (n = 1, 2,----)

in de gebieden waar deze rij normaal is, geen andere limieten dan
constanten x, waarvoor geldt lt;pn (x) = x, | (fn (x) | ^ 1 (n kan
hierbij ieder natuurlijk getal zijn).

§ 17 — HET ONMIDDELLIJKE CONVERGENTIEGEBIED VAN EEN REGEL-
MATIG LIMIETPUNT VOOR HET GEVAL, DAT DIT GEBIED MEERVOUDIG

SAMENHANGEND IS

Bewering — Is het onmiddellijke convergentiegebied van een
regehnatig limietpunt meervoudig samenhangend dan is de orde
van samenhang oneindig.

Bewijs — Zij O regehnatig limietpunt.

De noodige en voldoende voorwaarde, dat het onmiddellijke
convergentiegebied R van O meervoudig samenhangend is, is dat
de gebieden (C_i), die we in § 14 ingevoerd hebben, vanaf zekeren
rang meervoudig samenhangend zijn.

We denken ons nu dat in het gebied (^C-i) twee kritieke punten
P en Q van yt (z) gelegen zijn en wel zoodanig dat in P de bladen

1,2,____p. P 1 van A en in Q de bladen p, p -f 1,...., p q

vertakt zijn (p q ^ k).

Zooals vanzelf spreekt bevat {^C_i) den cirkel (C) om O waar-
van we bij de bewijsvoering in § 14 uitgingen, terwijl voorts opge-
merkt dient te worden dat P kritiek punt van dien tak van tp (z)
is waarvoor %p (0) = 0.

Het totaalgebied bevattende alle punten van X, liggende in
de bladen. 1, 2, . ..., p -f q en waarvan de projecties binnen
(»C—r) gelegen zijn, is tweevoudig samenhangend en wordt begrensd
door twee gesloten krommen F en F\'.

Hierbij ligt F geheel in de bladen 1, 2, . . . p van X, terwijl
F\' in de bladen p 1, . . . p q gelegen is.

Iedere weg, die op X een punt van F met een punt van F\' ver-
bindt, bevat dus noodzakelijk punten die noch op F noch op F\'
gelegen zijn.

Het (de) gebied(en) bevattende de punten vanA, gelegen in de
bladen p q 1, . . . ., k (als p q lt; k is) waarvan de pro-
jecties in (^C—t) liggen, kunnen we voor het verdere betoog buiten
beschouwing laten.

Beschrijft z de krommenbsp;en gaat men uit van een deter-

minatie van yj (z) beantwoordende aan een van de eerste p bladen
Van X, dan worden de p determinaties, die overeenkomen met
deze eerste p bladen, opnbsp;gepermuteerd. Evenzoo worden

de q determinaties van tp (z), correspondeerende met de bladen

P l,p 2,.....P q van X, op ^C—r gepermuteerd, terwijl

bet onmogelijk is zoolang z op blijft van een van de p deter-
minaties van xp (z) op een van de q determinaties te komen.

Gaat men echter uit van een punt van ^C—i met een van de
P determinaties van xp (z) dan kan men met iedere voorafgekozen
determinatie, die tot een van de q determinaties van xp (z) behoort,
in dat punt terugkomen door het punt z een op geschikte wijze
gekozen weg binnen (^C_t) te laten beschrijven.

Onderstellen we nu (en dit is algemeen) dat ieder blad van X
quot;ïet het volgende verbonden is door dén enkele vcrtakkingslijn,
dan volgt hieruit, mede in verband met het feit dat deze vertak-
kingslijnen tusschen de eindpunten in zekere mate willekeurig
gekozen kunnen worden en aangezien de twee extreme punten
^^ Q) van de vcrtakkingslijn, die het pe met het p 1® blad
Verbindt, binnen (C—t) gelegen zijn, dat we deze vcrtakkingslijn
geheel binnen (C—r) gelegen mogen denken. Hierbij is (C—r) het
tweevoudig samenhangend gebied, dat alle punten van de bladen
• • • •. p, p -f 1, . . . ., p q van X bevat, waarvan de pro-
jecties binnen (\'C_t) gelegen zijn.

l^et gebied (^C—(i i)) d. i. het antecedentgebied van de eerste
Orde van (^C—t) waarin laatstgenoemd gebied gelege_n is, wordt
egrensd door evenveel krommen als het gebied (C_r) grens-
krommen heeft.

In ons geval wordt (JC_(i i)) begrensd door twee verschillende

krommen die geen van beiden de in (^C_t) gelegen vertakkings-
lijn, die het p® met het p 1® blad van A verbindt, snijden. Zoo-
als direct is in te zien hebben deze grenspunten geen gemeen-
schappelijke punten.

Duiden we het samenstel van deze grenskrommen met iC_(t4-i)
aan.

Het totaalgebied bevattende de punten van A, gelegen in de
bladen 1, 2,. . .p q en waarvan de projecties binnen (^C—(r i))
gelegen zijn, is een meervoudig samenhangend gebied, dat be-
grensd wordt door minstens 2^ krommen en juist 2^ als (iC_(i i))
geen verdere vertakkingspunten bevat (vertakkingspunten die
bladen van A verbinden niet behoorende tot de p q eerste bla-
den van A kunnen hierbij buiten beschouwing bhjven).

Men heeft n.1.: beschrijft z een van de grenskrommen van

en maakt de gekozen tak van xp (z) deel uit van een van de p de-
terminaties, dan verandert de gekozen determinatie slechts met
een van die p determinaties, echter nooit met een van de q deter-
minaties.

(C_(T i)) heeft dus een eerste grenskromme waarvan de pro-
jectie samenvalt met de beschouwde grenskromme van (^C—(r i))
en die gelegen is in de eerste p bladen van A, en een tweede grens-
kromme gelegen in de q volgende bladen waarvan de projectie
eveneens samenvalt met de beschouwde grenskromme van

(iC_(T i) heeft minstens twee grenskrommen, (C_(i4.i)) dus
minstens 2^,

Hieruit volgt dat ook (iC_(t 2)) minstens 2= grenskrommen
dus (C_(t 2)) minstens 2® grenskrommen heeft, enz.

Het onmiddellijke convergentiegebied R van O heeft dienten-
gevolge de orde van samenhang oneindig.

^18 — HET TOTALE CONVERGENTIEGEBIED VAN EEN REGELMATIG
LIMIETPUNT VOOR HET GEVAL, DAT HET ONMIDDELLIJKE CONVER-
•GENTIEGEBIED ENKELVOUDIG SAMENHANGEND IS EN SLECHTS EEN
DEEL IS VAN HET TOTALE CONVERGENTIEGEBIED

Het onmiddellijke convergentiegebied R van een regelmatig
limietpunt is alleen dan tevens totaal convergentiegebied indien
de gebieden (C_r) (zie § 14 en 17) zich vanaf zekeren rang over
alle bladen van X uitstrekken, m, a. w. gaat men uit van een
willekeurig punt z (^C_r) met een willekeurige determinatie
Van tp (z) dan bestaan er binnen (^C—t) gesloten door z gaande
krommen zoodanig dat men in z met iedere vooraf gekozen deter-
minatie van V (z) terug kan komen door z de daartoe ge-eigende
kromme te laten beschrijven. Het onmiddellijke convergentie-
gebied bevat dan in het algemeen k — 1 kritieke punten van
^ (z). (Zijn de kritieke punten van ^ (z) enkelvoudig, dan moet
^ k — 1 kritieke punten bevatten; zijn er echter meervoudige
kritieke punten dan moet het aantal kritieke punten dat binnen
^ gelegen is tellen voor k — 1 enkelvoudige kritieke punten).

Duidelijk is dat voor k = 2 het onmiddellijk convergentie-
gebied van ieder regelmatig limietpunt samenvalt met het totale

convergentiegebied.

Zijn er echter voor k gt; 2 meer dan twee regehnatige limiet-
punten dan kan er slechts één regelmatig limietpunt zijn, waar-
Voor R samenvalt met het totale convergentiegebied, omdat het
aantal kritieke punten 2 (k — 1) is.

Ophouw van het totale convergentiegebied D van ccfi regelmatig
^^mietpunt indien het onmiddellijke convergentiegebied R mkelvondig
^^^nenhangend is

Duiden we de antecedent van de eerste orde van z, die het
regelmatige limietpunt tot dubbelpunt heeft, aan met z—i.

Het totaalgebied bevattende de punten X waarvan de projecties
binnen R gelegen zijn bestaat uit:

een enkelvoudig samenhangend gebied, dat we met S zul-
aanduiden. Dit gebied moet aangezien in R minstens één
kritiek punt van v(z) gelegen is, zich uitstrekken over ten minste

twee bladen van X en is enkelvoudig samenhangend wegens de
in de §§ 14 en 17 uiteengezette redenen. Beschrijft z S dan door-
loopt z_i het enkelvoudige eenbladige gebied R.

2° Waar D ^ R ondersteld wordt, is er een of zijn er eenige
antecedenten van de eerste orde van z (z R) die niet in R ge-
legen zijn, m. a. w. het gebied S strekt zich niet uit over alle k
bladen van X. Er is dus één of er zijn meerdere bladen van X waar-
in gebieden liggen waarvan de punten zich binnen R projecteeren.

Beschrijft z dit (deze) gebied(en), dat (die) dus niet met S
vertakt kunnen zijn, dan doorloopt z_i een of meer enkelvoudige
gebieden R—i, die samenhangend en éénbladig zijn en noch met
R noch onder elkaar (zoo er meerdere zijn) gemeenschappelijke
inwendige punten hebben.

Anders gezegd: Doorloopt z R dan beschrijven z_i en de ante-
cedenten van de eerste orde die zich in R met z_i permuteeren
eveneens het gebied R, de overige antecedenten van de eerste
orde beschrijven de gebieden R_i.

Zijn er bijv. a antecedenten die zich in R met z—i niet per-
muteeren en liggen in R geen vertakkingspunten van de met
deze a antecedenten correspondeerende bladen, dan bestaan de
gebieden R_i uit a eenbladige, enkelvoudig samenhangende ge-
bieden, die noch met R noch onder elkaar inwendige punten ge-
meen hebben.

Beschrijft z ieder tot R_i behoorend gebied dan doorloopen
de antecedenten van de eerste orde een zeker aantal samenhan-
gende eenbladige gebieden R_2.

Duidelijk is dat de gebieden R_2 noch onder elkaar noch met
een gebied van R—i noch met R gemeenschappelijke inwendige
punten kunnen hebben.

Doorloopt z het gebied R dan beschrijven de antecedenten van de
tweede orde van z R, 9ï_i en 9Ï-2. (Alle gebieden R_i tezamen
heb ik ter verkorting 9l-i genoemd).

We kunnen de voor R_i gedane redeneering op R_2 toepassen,
enz. en verkrijgen dan:

D = R 4- 3ï_i -I- 9Ï-2 .....dus een oneindig aantal gebieden,

twee aan twee geen gemeenschappelijke inwendige punten be-
zittend, en ieder voor zich bestaande uit een samenhangend een-
bladig gebied.

De grens van D, d. i. de verzameling E\' is hierbij lineair con-
tinu en verdeelt het complexe vlak in een oneindig aantal gebieden.

Opmerking I — Is het onmiddeUijke convergentiegebied van een
regelmatig limietpunt meervoudig samenhangend, dan geldt voor
ieder ander regehnatig limietpunt D^R.

Bewijs — We hebben in § 17 gezien dat het onmiddellijke con-
vergentiegebied van een regelmatig limietpunt alleen dàn meer-
voudig samenhangend kan zijn als er een gebied (C—r) bestaat
zoodanig dat ten minste één van de ^ertakkingslijnen, die bladen
van (C_r) verbindt, geheel binnen (C—r) gelegen is.

Existeert er nu een tweede regelmatig limietpunt dan kunnen
We ook voor dit punt het onmiddellijke convergentiegebied op de
§ 14 aangegeven wijze opbouwen.

Duiden we de hierbij optredende krommen aan met
r, T-i,nbsp;enz.

Aangezien geen van de gebieden (F) met (^C—t) gemeenschap-
pelijke inwendige punten heeft, is het onmogehjk dat alle deter-
minaties vanv(z) op een van de krommen F een cycle vormen,
a. w. het totale convergentiegebied van dit tweede regelmatige
limietpunt valt niet met het onmiddellijke samen en bestaat dus
uit oneindig veel gebieden.

Opmerking II — Voorts volgt onmiddellijk uit het bovenstaande:
geldt voor een regelmatig limietpunt D = R, dan is het onmid-
dellijke convergentiegebied van ieder ander regelmatig limietpunt
enkelvoudig samenhangend.

GERAADPLEEGDE LITERATUUR VOOR HOOFDSTUK III

J. Wolff. Über die Itcration derjenigen in einem Gebiete regulären
Functionen, deren Werte dem Gebiete angehüren.
Mathematische Zeitschrift. I3nd 2G.

Gaston Julia. Sur quelques problèmes relatifs à l\'itération des fractions
rationnelles.

Comptes Rendus, t 108, p. 147.

• Gaston Julia. Sur des problèmes concernant l\'itération des fractions
rationnelles.

Comptes Rendus t IGO, p. 153.

Voorts de aan den voet van Hoofdstuk II vermelde „mémoiresquot; van
Julia en Fatou.

HOOFDSTUK IV

ITERATIE VAN EENIGE KWADRATISCHE RATIONALE

FUNCTIES.

§ 19 — EERSTE VOORBEELD, WAARBIJ TWEE REGELMATIGE LIMIET-
PUNTEN OPTREDEN

Inleiding — Bij een rationale functie van de k® graad is het aan-
tal regehnatige limietpunten ten hoogste k.

Immers heeft de vergelijking 9, (z) = z k 1 enkelvoudige
wortels, en dit geval behoeven we. aUeen te beschouwen, want
treden er meervoudige wortels op, dan spreekt het bovenstaande
vanzelf, dan is minstens een dezer wortels een punt van E zooals

we in § 8 gezien hebben.

Bij iteratie van kwadratische rationale functies kunnen er dus
ten hoogste twee regelmatige limietpunten optreden.

We zuUen nu in dit Hoofdstuk voor het geval k = 2 achtereen-
volgens vier voorbeelden behandelen; daarbij komen in het eerste
voorbeeld twee, in het tweede één, in het derde geen regehnatige
limietpunten voor, terwijl ten slotte in §21 een voorbeeld gecon-
strueerd wordt, waarbij de correspondeerende verzameling E\' =
complexe vlak.

Behandeling — In de literatuur vindt men meestal de-functie
lt;p (z) a priori gegeven; wij zullen eenigszins gewijzigd te werk gaan

en wel als volgt:

Men heeft zooals § 8 aangeeft

ö _ p (z) = R (z) zQ (z)

Q (z) _ k 1 _J_ Q(xi)

^ - ÏMijquot; f z-xi R\'(xi)

f R^

Uit bovenstaand stel vergelijkingen volgt, dat het mogelijk is
de onbekende functie 95 (z) te bepalen als gegeven zijn
1° de k 1 punten Xi,

2° de waarde van lt;p\' (z) in k van deze punten.
Voorbeeld — De drie wortels van tp {z) = z zijn

Xi = 1, X2 = — 1, X3 = 0.

Voorts stel ik:

aj^i)- 1 inbsp;=nbsp;dan is

_ _ 1 1,

Dus I (X,) 1 lt; 1 en I 97\' (x^) | lt; 1, x^ en x^ zijn dientengevolge
de regelmatige hmietpunten.

We hebben voorts

I-J-dus

R(z) 7 z —Xi R\'(Xi)

Q(z)__

iTfF)- jz-i ^ Z I zj

ofnbsp;OM = 2iz - 1

R (z)nbsp;z» — z

Verder is P (z) = R (z) zQ (z) = 2iz2 — 2z

De kritieke punten van v (z) (inverse van tp (z)) zijn de conse-
quenten van de eerste orde van de punten z waar cp\' (z) = 0.

lt;p\' (z) = O geeft:
(— z2 2iz2 — 1) (4iz — 2) — (2iz2 — 2z) (—2z 2i) = 0.

Zijn en Ij de wortels van de laatste vergelijking, dan is

en de kritieke punten van V (z) zijn

Voorts weten we (§ 15) dat ieder punt x waarvoor

(X) = X, I ifn\' (X) I ^ 1

limietpunt is van consequenten van een punt waar tp\' (z) = O,
mits de verzameling van de consequenten en limietpunten van
consequenten van kritieke punten van tp (z) het vlak niet in twee
of meerdere gebieden verdeelt.

Aangezien er bij dit voorbeeld twee regelmatige limietpunten
optreden en het aantal kritieke punten van yj (z) eveneens twee
bedraagt is het uitgesloten dat er behalve x^ en Xg verdere pun-
ten X {lt;pn (x) = X, I (p\'n (x) I lt; 1) of punten y

(9\'n (y) = ygt; 19\'n (y) | = i)

voorkomen.

De verzameling van de limietpunten van de consequenten van
ii en Aa bestaat uit Xi en Xo (§ 16); hieruit volgt dat iedere onein-
dige deelrij van lt;pn (z) (n = 1, 2,.....). in de gebieden waar deze

rij normaal is, slechts gelijkmatig tot x^ = 1 of tot Xj = — 1
kan convergeeren.

Alle consequenten van een punt van de imaginaire as liggen op

deze as; de rij lt;pa{z) {n = \\,2.----) is dus in ieder punt van de as

niet normaal, m. a. w. ieder punt van de imaginaire as behoort
tot de verzameling E\'.

Waar echter ook alle antecedenten van een punt van de ima-
ginaire as op deze as liggen moet E\' = imaginaire as.

(In E\' is de verzameling van de antecedenten van ieder punt

van E\' overal dicht; E\' kan dientengevolge geen punten buiten de

imaginaire as bevatten).

Het rechter halfvlak is dan onmiddellijks totaal convergentie
gebied van Xi = 1. Het linker halfvlak speelt dezelfde rol voor

Men heeft n.1.; in een voldoend kleinen cirkel C met middelpunt
Xi = 1 naderen de consequenten van ieder punt z ^ (C) regehnatig

tot xi = 1. Waar nu de rij (z) (n = 1. 2.....) voor ieder punt

z (R.D. van z gt; 0) normaal is (E\' = imag. as), moeten de conse-
quenten van ieder punt z van het rechter halfvlak regehnatig
tot Xi = 1 convergeeren.

Het onmiddellijke convergentiegebied van een regelmatig
limietpunt valt alleen dan samen met het totale convergentie-
gebied indien in dit eerstgenoemde gebied k — 1 kritieke punten

van xf) (z) gelegen zijn (§ 18).

Deze voorwaarde is voor het geval k = 2 steeds vervuld, m. a. w.
het rechter halfvlak = totaal convergentiegebied van Xi= 1.

Dezelfde bewijsvoering van daareven geldt voor het Imker-
halfvlak t. O. V. Xj = — 1 •

opmerking — Dit voorbeeld is toegankelijk voor een eenvou-
digere behandeling. Men heeft n.1.:

\'\' = -z^ 2iz~= ~ z-i(lnbsp;z-i(l-H/2)

Hieruit volgt:nbsp;_

De consequent van de eerste orde van het rechter halfvlak -
rechter halfvlak en de consequent van de eerste orde van het Unker

halfvlak = linker halfvlak.

Bovendien is 9 (1) = I en (- 1) = - 1. dus voor het rechter-
halfvlak is 1 de iteratielimiet en voor het linker halfvlak is dit —1.

§ 20 — TWEEDE VOORBEELD, WAARDIJ ÉÉN REGELMATIG LIMIET-
PUNT OPTREEDT

We onderstellen dat de drie wortels van 9» (z) = z zijn
Xi = 0, X2= 1 en X3 = —1.