ASYMPTOTISCHE ONTWIKKELING VAN
HOLOMORFE FUNCTIES IN
EEN HALFVLAK

BIBLIOTHEEK DER

rijksuniversiteit

UTRECHT.

A. VAN HASELEN

Jé\'

■si,\'

\'im -:-. kiiî^fe: •

\'■y-l-ltri ■^■.itfW-

. y.V • •

■ • -V\'.t./.-l:

■ ■

\'f.\'i\'\'-\'

■ I.

ASYMPTOTISCHE ONTWIKKELING VAN
HOLOMORFE FUNCTIES IN EEN HALFVLAK

^ f ^n,

ikSM

ASYMPTOTISCHE ONTWIKKELING
VAN HOLOMORFE FUNCTIES
IN EEN HALFVLAK

ACADEMISCH PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN
DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT,
OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS
Dr. H. TH. OBBINK. HOGGLEERAAR IN DE
FACULTEIT DER GODGELEERDHEID. VOL-
GENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER
UNIVERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN
VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUUR-
KUNDE TE VERDEDIGEN OP MAANDAG
27 MEI 1929 DES NAMIDDAGS 4 UUR. DOOR

ALBERTUS VAN HASELEN

GEBOREN TE LOOSDRECHT

BIBLIOTHEEK DER
RIJKSUNIVERSITEIT
UTRECHT.

P. NOORDHOFF — 1929 — GRONINGEN

feC^.^J ^ 4 A î^K 33 ^H1

AAN MIJN OUDERS

■ - - F- • v-ï»^\'.f\'

Aan het eind van myn Academische studie gekomen zy
het mij vergund, een woord van welgemeenden dank te
richten tot U, Hoogleeraren in de Faculteit der Wis- en
Natuurkunde, wier leiding ik steeds hoog heb gewaardeerd.

Ten allen tyde zal ik het op prys stellen, dat U btj my
die belangstelling hebt weten op te wekken, die zoozeer
noodig is om een studie tot een vruchtbare en aangename
te maken.

Hooggeleerde De Vries, die thans een welverdiende rust
mag genieten, ook U wil ik myn groote erkentelykheid
uitspreken voor het vele, wat ik van U heb mogen leeren.
Steeds zal de aangename wijze, waarop U Uw lessen voor-
droeg, in myn herinnering blyven.

Hooggeleerde Wolff, hooggeachte promotor, door Uw
boeiende lessen aangemoedigd, was het my een behoefte te
trachten, myn Academische studiën met het schrijven van
een proefschrift te voltooien. Dank zij de bijzonder vriende-
lijke wijze, waarop U my steeds by de samenstelling hiervan
hebt willen ter zyde staan, is my dit ook werkelijk mogen
gelukken. Steeds zal ik met groote dankbaarheid gedenken,
wat U gedurende myn studie en speciaal dit laatste jaar
voor my hebt gedaan.

INHOUD.

Inleiding

Tnbsp;Bladz.

Hoofdstuk I.

Algemeene eigenschappen van functies w = 11 vi v^n
z=^x-\\-yi, holomorf voor .j:gt;0 en waarvoor agt;O is 2

Hoofdstuk II.
De functies van de klasse met gegeven asymptotische
ontwikkeling in het oneindige........

Hoofdstuk III.
Onderzoek naar het al of niet bepaald zijn van een
functie der klasse door de gegeven asymptotische
ontwikkeling. Algemeene uitdrukking voor die functies 26

INLEIDING.

In dit proefschrift wordt een door R. Nevanlinna in 1922
gepubliceerd onderzoek naar holomorfe functies met gegeven
asymptotische ontwikkeling vereenvoudigd. Dit was in de
eerste plaats mogelijk, doordat gebruik gemaakt kon worden
van een verder strekkend theorema dan Julia\'s stelling, die
Nevanlinna bij zijn onderzoek gebruikt.

Dit theorema is door J. Wolff in 1926 gepubliceerd, en
wordt hier in § 7 uitgesproken.

In de tweede plaats kon voor de uniciteit van de oplossing
als noodige en voldoende voorwaarde de divergentie van
één enkele reeks, in plaats van die van twee reeksen,
worden gevonden.

In de derde plaats kon de algemeene gedaante der ge-
vraagde functies op vluggere wijze worden vastgesteld dan
in Nevanlinna\'s werk.

Kettingbreukontwikkeling schijnt de natuurlijke voorstel-
ling te zijn van functies, die in het rechterhalfvlak holomorf
zijn en welker reëel deel positief is. (Zie ook een mede-
deeling van Denjoy in de C. R. van Jan. 1929).

HOOFDSTUK I.

Algemeene eigenschappen van functies w = a vi van
z = x yif holomorf voor x gt; O en waarvoor 0 gt; O Is.

§ 1. De eerste eigenschap, die we van de functies van
bovengenoemde klasse willen behandelen, is de volgende:
Wanneer w = f{z) een functie is, die tot onze klasse

behoort, dan nadert - tot een positieve limiet of tot nul,

als z langs de reëele as tot 00 nadert.

Dit is een directe toepassing van het volgende theorema
van ScHWARTZ, dat we bekend onderstellen.
Als w een functie van onze klasse is, dan is

w — Wi

z-z\\

W — Wi

waarinnbsp;, . ^

w == a vi =f{z) =f{x -]riy)

Ui v^i = M) = /(Xi iyi)

w\'i = — «1 Vii

z\'i = —Xi yii.

Het gelijkteeken treedt dan en dan alleen op, als w een
lineaire functie van z is. Beschouwen we dit geval afzonderlijk,
dan hebben we alleen rekening te houden met het lt; teeken.

Passen we deze stelling nu toe voor het geval, dat 2 en Zi
beiden op de reëele as gelegen zijn, zoodat we ze mogen
schrijven als x en Xi- Dan moet

I W — I ^ X — Xi

\\w — w\'i \\ X Xi
wanneer we veronderstellen dat xgt; x^ is.

Uit het feit, dat:

w — Wi

•Of - ^jyJ

IZLffi^fZlfi
ü «1 ;c -j- jci

Deze zelfde betrekking geldt ook, wanneer we 2 punten
z en z^ kiezen op een willekeurige lijn, die // aan de reëele
as loopt.

Uit bovenstaande betrekking volgt nu wegens het positief
zijn van de beide noemers, dat:

2xu^ gt; 2xiïi

of:

•— gt; — wanneer xgt; x. is.

xi x

^ daalt dus monotoon op iedere lijn // aan de reëele as.

Daar nu ^ altijd positief is moet deze tot een limiet naderen,

die positief of nul moet zijn.

Dat deze limiet ook werkelijk nul kan zijn, zien we aan
de functie w = z« die tot onze klasse behoort.

Gaan we bij deze functie de limiet van ^ opmaken, als

j: op de reëele as tot w nadert, dan vinden we hiervoor

I- x^i ^

lim — =0.

00 x

We zien dus, dat we hier wel degelijk het geval, dat de
limiet nul is, in onze beschouwingen moeten opnemen.

§ 2. We willen nu aantoonen dat ^ op iedere lijn // reëele

as tot eenzelfde limiet nadert, als z langs zoo\'n lijn tot
00 nadert.

Bewijzen we daartoe, dat de limieten, die tot stand komen
op de reëele as en op de lijn y = b, dezelfde zijn.

De cirkel, gaande door 2:0 = ^0 Ó\'o en ten opzichte
waarvan z\\ = — iy^ het beeld is van 2:1 = ^:1 iy^,
nadert tot de lijn ;c = jvq, als z^ langs de lijn y := b ioi
00 nadert.

We weten nu dat:

Daar nu ook

Zq— Zi
Zo — z\'i

Stellen we nu dat de bovengenoemde cirkel de lijn 3; = 6
in het punt A; = Xo-a; y = b snijdt, dan kunnen we
bovenstaande vergelijking schrijven in den vorm:

Ui — UQ ^ Xx — XQ-h a
ül uq xi xq — a

Uitgewerkt levert dit wegens het positief zijn van beide
noemers:

UiXQ lt; Uia -I- UQXI

Dan volgt hieruit dus

want als xq tot 00 nadert, nadert a tot nul.

Daar deze betrekking voor iedere xq geldt, zal dus ook:

Hm^iliml».

Op dezelfde manier bewijzen we:
lim

dus moeten beide limieten aan elkaar gelijk zijn, wat we
wilden aantoonen.
Dat dit bij de functie w^z^ ook klopt is direct duidelijk.

§ 3. Uit het Theorema van Schwartz kunnen we nu
laten volgen:

In een willekeurig punt van het rechterhalfvlak zal

|/(e)nbsp;zijn.

Het theorema van Schwartz zegt n.1.

waarin w\'=f{z\') en w = a vi = f{z) =f{x yi).
Maar dan moet ook

w\' — w 2u

zijn. (1)

z\' — z-\\-2x

Wanneer we nu z\' tot z laten naderen, zullen beide leden
van deze ongelijkheid tot een limiet naderen.

Het le lid nadert tot \\f\'{z) \\ en het 2e Hd nadert tot-.

We zien dus dat:

(2)

In dit geval volgt uit onze redeneering niet, dat het uit-
gesloten is, dat in vergelijking (2) het gelijkteeken optreedt
bij functies die niet lineair zijn.

In vergelijking (1) treedt alleen het gelijkteeken op wanneer
we met een lineaire functie te doen hebben. Maar we kunnen
hieruit niet laten volgen dat in verg. (2) het gelijkteeken

alleen optreedt bij lineaire functies, daar we deze uit een
limietovergang verkrijgen.

§ 4. In § 1 hebben we bewezen, dat — tot een limiet

nadert, als x op een lijn // aan de reëele as tot oo nadert.
Zij / deze limiet.

Gaan we nu de functie g{z) = 5 ti=f(z) — Iz bekijken.

Deze functie heeft de eigenschap, dat —O als z langs

de reëele as tot oo nadert. Verder moet s overal positief of

nul zijn. We weten n.1. volgens § 2 dat ^ monotoon dalend

•V

tot / nadert, als x op de reëele as tot oo nadert, dus dat

x

Voor iedere x van de reëele as is nu

u^lx.

Wanneer ti ergens gelijk is aan lx, moeten we met een
lineaire functie te doen hebben en moet dus

g[z) = Iz

zijn, op hoogstens een constante na met reëel deel grooter
of gelijk aan nul. Sluiten we voorloopig het geval:

/(z) = /z c

uit dan weten we dat s overal positief moet zijn.
Onze functie g{z) behoort dus tot de klasse.

De functie g{z) moet nu een dekpunt van iteratie hebben
in het rechterhalfvlak dat ook op de Y-as mag liggen.

Het punt 00 kan geen dekpunt zijn, want wanneer het
punt 00 een dekpunt was, zou het beeld van een punt van
het Z-vlak, gelegen op de lijn x = xq, moeten liggen binnen
het gedeelte van het W-vlak, rechts van de lijn ü =

Maar dan zou ook ^ ^ 1 moeten zijn. In dit geval zou

echter ^im ^ nooit nul kunnen zijn, daar deze betrekking

voor iedere xq zou moeten gelden.

Stellen we nu, dat x^ (y^ het dekpunt van iteratie van
onze functie g{z) is.

(Dit dekpunt mag ook op de Y-as gelegen zijn, dus x^
mag ook nul zijn.)

We weten dan dat, wanneer gelegen is op de lijn
y = yi, het punt g{z) moet liggen binnen een cirkel, die
door 2 en iy^ gaat en den afstand van beide punten, zijnde
x, tot middellijn heeft mits x voldoend groot is.

Hieruit volgt nu:

Het gelijkteeken geldt weer dan en dan alleen als g{z)
een lineaire functie van z is.

Nu moet dus ook:

z—yii ^ x\'

Nadert 2: tot 00 langs de lijn y = y^, dan zal dus ook
volgens het voorgaande:

§ 5. Om nu iets meer van ^(2) te kunnen zeggen, willen
we eerst nog de volgende hulpstelling aantoonen:

Wanneer f{z) begrensd en holomorf is binnen een gebied
G, begrensd door de lijnen y = ax, y ^ bx en den cirkel
met O tot middelpunt en r tot straal en op de lijn y = cx
in dat gebied geheel binnen dien hoek gelegen, nadert/(z)
tot een limiet /, als 2 tot O nadert, dan zal, wanneer z op
een lijn, binnen dien hoek gelegen, tot O nadert, de functie

f{z) tot / naderen. Deze stelling is afkomstig van Montel.

Ze geldt ook als in het W-vlak een gebied is aan te
wijzen waarin geen waarden van fiz) liggen. De functie is
dan namelijk begrensd op den bol.

Voor het bewijs van deze stelling gebruiken we de vol-
gende uitbreiding van de groote jtelling van Weierstrass.

Wanneer in een gebied een rij begrensde holomorfe func-
ties gegeven is, die in een zich in het inwendige van het
gebied verdichtende puntverzameling tot een limiet nadert,
zal de functierij in ieder punt van het gebied tot een limiet
naderen, terwijl de grensfunctie weer holomorf is in dat
gebied.

Hiermee bewijzen we bovengenoemde stelling als volgt:

Trekken we binnen den hoek de lijnen y = dxQ.ny = ex
zoodanig dat

a lt;d lt;c lt;e lt;b.

Trekken we nog 2 cirkels met stralen r-^ en rj zoodanig
dat Tl lt; Tj lt; r.

We gaan nu in het gebied G\', begrensd door de lijnen
y = dx en y = ex en de cirkels r^ en r^ de volgende
functierij definieeren:

Deze rij heeft de eigenschap, dat zij in ieder punt van
de lijn y = cx tot een limiet nadert, die voor alle punten
dezelfde is. Dan zal de grensfunctie van deze rij holomorf
moeten zijn en dus een constante zijn.

Maar dit wil niet anders zeggen, dan dat /(z) op iedere
lijn door O gelegen tusschen y = dx eny = ex tot dezelfde
limiet l nadert.

Daar nvL d tn e willekeurig tusschen a tn b gekozen
zijn, volgt hieruit dus dadelijk, dat onze functie tot l nadert,

wanneer z langs een willekeurigen straal eindigende in O
en gelegen tusschen a en 6 tot O nadert.

Deze stelling geldt ook voor iedere kromme lijn, ein-
digende in O en die geheel gelegen is in het deel van G
begrensd door de lijnen y = {d e)x en y = {e —
waarin e positief en lt; — d) is.

In het gebied G\' heeft onze functierij namelijk weer een
limiet l in ieder punt van een oneindige puntverzameling,
die zich minstens in een inwendig punt verdicht.

De grensfunctie moet dus weer holomorf zijn en is daarom
gelijk aan l.

§ 6. In § 4 hebben we bewezen, dat de functie (p{z)
nadert tot nul, als z langs de lijn y=yi tot oneindig nadert.

We kunnen nu met behulp van de in § 5 bewezen stel-
ling aantoonen, dat (p{z) O als z tot oo nadert langs een
willekeurigen halfstraal /j, geheel binnen het rechter half-
vlak gelegen en niet // Oy.

Bewijzen we deze stelling eerst voor het geval, dat de
lijn li vertrekt van het punt z = iyi.

In dit geval kunnen we 2 lijnen /j en 4 trekken, gelegen
binnen het rechter halfvlak, vertrekkende van het punt
z = iyi en een hoek 95 vormende waarbinnen de lijnen li
en 3/ =gt;gt;1 gelegen zijn.

Beschouwen we nu een gebied G\'^ begrensd door de
lijnen /g en /g en een cirkel met z = iyi tot middelpunt,

dan kunnen we dit gebied door de transformatie w = —^-r—

z-iyi

afbeelden op het door ons in § 5 genoemde gebied G.

De in § 5 afgeleide stelling leert ons nu, dat als z
langs een i willekeurige lijn, die door z = yi binnen Gquot;
wordt getrokken, tot 00 nadert, onze functie lt;p{z) tot nul
nadert.

Daar namelijk het argument van z — iyi gelegen is binnen

een hoek qXn, zal er een gebied van het W-vlak zijn
in de omgeving van de negatieve reëele as, waarin geen
waarden van (p{z) gelegen zijn, en mogen we dus Montel
toepassen.

De uitbreiding, die we aan deze stelling gegeven hebben,
zegt ons verder, dat ditzelfde gebeurt langs iedere lijn geheel
binnen Gquot; gelegen, mits die lijn niet evenwijdig aan de ]
rechten /g en ^ getrokken wordt.

Daar we nu echter geheel vrij zijn in de keuze van de
lijnen en ^ komen we ten slotte tot de stelling:
De functie cp{z) nadert langs iedere lijn, die met deX-as

een hoek maakt gelegen tusschen — -J £ en -J — e, tot

nul, hoe klein we s die positief moet zijn ook kiezen, als
z langs die lijn tot oo nadert.

§ 7. In § 3 hebben we aangetoond:
In een punt z van het rechter halfvlak is voor iedere
functie f{z) van onze klasse:

Passen we dit toe op onze functie (p(z) dan zal daar bij

deze functie volgens § 6: — tot nul nadert, ook 1|—gt;gt; O

als z op de in diezelfde § genoemde manier tot oo nadert.
Gaan we nu onze functie g{z) weer bekijken. Daar vast
is in de uitdrukking voor q){z) in § 4, weten we dus:

ll^ O als 2: —gt; 00
z

dusnbsp;I ^{z) I —O als z —^ 00.

De functie g{z) hebben we in § 4 gedefinieerd als f{z) — Iz.
Daar nu ^^ en g\'(z) naderen tot nul als z tot 00 nadert.

zullen ook ® en f{z) naderen tot / als z tot oo nadert.
z

De stelling, die we in het voorgaande afgeleid hebben,
kunnen we als volgt formuleeren. Zij f{z) een functie van
onze klasse, dan zullen, wanneer we z op de in § 6 aan-
geduide manier tot oo laten naderen, de grootheden

f{z) en allen tot dezelfde reëele limiet naderen, die

positief of nul moet zijn, terwijl ~ monotoon dalend tot

X

die limiet nadert, als x op een lijn evenwijdig aan de reëele
as tot oo nadert. (Zie over deze dingen het artikel van
J. Wolff in de Ac. d. Sciences van 13 Sept. 1926).

§ 8. We willen dit hoofdstuk besluiten met het bewijs
van de stelling:

Zij f(z) een functie van onze klasse met de eigenschap,
dat zf{z) tot nul nadert als z langs een lijn, gelegen bin-
nen het rechter halfvlak tot oo nadert. Dan moet/(z) iden-
tiek nul zijn.

Volgens het gegeven is het reëele deel van /(z) grooter
of gelijk aan nul. Dan zal ook het reëele deel van ^
grooter of gelijk aan nul zijn.

Immers, om uit het punt w - f{z) het punt ^ af te
leiden moeten we het argument van /(z) van teeken om-
keeren en komt het dus ook weer tusschen — en
Nu zal volgens onze onderstelling

00 alsz-.oo.

Stellen we even voor door u vi, dan zal volgens
J{z)

^ 7 nu — monotoon dalend tot 00 naderen als x op een
^ x

of andere lijn // reëele as tot 00 nadert.

Dan moet ti overal 00 zijn en dus f{z) = O wat we aan
wilden toonen.

HOOFDSTUK II.

De functies van de klasse met een gegeven
asymptotische ontwikkeling in het oneindige.

§ 9. Gaan we over tot het onderzoek van de functies,
die de volgende eigenschappen bezitten.

10. De functie w = f{z) behoort tot de door ons be-
schouwde klasse.

20. We kunnen voor iedere n onze functie voorstellen
door de asymptotische ontwikkeling:

^ — «O 2 Z^ Z^ ^ quot;nbsp;z^n^ ^In

of door

^ - «O -r z z\'^ z^ --------^ z2n-l

waarin de a\'s zuiver imaginair en de /S\'s reëel zijn, terwijl
e{z) binnen iederen hoek

71 .nbsp;71

— ^ a lt; argz lt; quot;2 — °

aan den eisch moet voldoen, dat

lim finiz) = 0 en lim C2n-i(z) = O

2—00nbsp;z=oo

als a gelegen is tusschen O en

We zien dadelijk dat we onze functies hierdoor een
zwaren eisch opleggen, daar de functie z^, die we in het

vorige hoofdstuk al eens ontmoetten, niet op een dergelijke
manier in een reeks te ontwikkelen is.

Bekijken we eerst de voorwaarden waaraan de a„ en /5„
moeten voldoen, om een dergelijke functie op te leveren.

Daar cq zuiver imaginair is, mag ~ positief of negatief

zijn. Een verandering van qq heeft namelijk een verschuiving
van het W-vlak in de richting van de imaginaire as ten
gevolge. En dit is een afbeelding die het rechter halfvlak
invariant laat.

We zullen nu aantoonen dat /J^ positief moet zijn. De
functie -tt^-is een functie, die tot onze klasse behoort.

Volgens een voorgaande stelling (§ 7) zal nu ^

z{f{z) - ao}

naderen tot een positieve limiet als we z tot oo laten naderen.
Bedenken we nu, dat we f{z) kunnen schrijven als:

«0 7 ^ .... ^

dan zien we, dat ... -r moet naderen totals z tot

^UKZ) — Ooinbsp;Pl

00 nadert.

Hieruit volgt dus, dat positief moet zijn, daar -J-

Pi

positief is.

O

We zien hier ook dat «o-f-^ een functie is, die aan de

gestelde voorwaarden voldoet, als /ffj positief is.

Verder zullen, wanneer /5i = O is, alle volgende a\'s en /5\'s
nul moeten zijn, daar dan z{f{z) — ao) tot O nadert, wanneer
z tot 00 nadert.

Maar dan moet f{z) — aQ=0 zijn of moet f{z) = aQ zijn (§ 8).
Alle volgende a\'s en /3\'s moeten dus nul zijn in dat geval.

§ 10. Om iets van de volgende a\'s en ^\'s te kunnen
zeggen gaannbsp;in een kettingbreuk ontwikkelen. Hiertoe

schrijven we op:

Pn ,e2n-i{z)\\

[znbsp;----\' 22/1-1

Werken we dit uit, dan krijgen we iets van den vorm:

C2n-3

2:2/1-3

waarin Aj en alle a\'„ zuiver imaginairnbsp;en Bj en alle p\'n
reëel moeten zijn, terwijl Bj positief is.

We willen het rekenwerk dat we voornbsp;het bewijs hiervan

noodig hebben, uitvoeren voor het gevalnbsp;« = 2 en merken
dan op, dat het algemeene geval op een dergelijke manier
te behandelen is.

Schrijven we op

[z^z^^z^^z^l [zl l^^Az y^ ^j
dan zien we, dat we hiervoor kunnen schrijven:

ai , Bn .

i

Noemen we een grootheid A even o (^j als ^ O als

2-»-co, dan zien we bij uitwerken, dat we dezen vorm
kunnen schrijven als:

daar alle termen, die de factor z^ in den noemer hebben, te

1 \\

schrijven zijn als o We kunnen dus de uitkomst schrij-
ven in den vorm:

Bj^z Al —-i—
waarin Bi = ^nbsp;=

ßi^\'

Hierin is Bi positief, want is positief en Ai zuiver
imaginair, want ai is zuiver imaginair en ß^^ reëel.

ß\'i wordt weer reëel, daar de a„ hierin weer tot een even
macht verheven voorkomen. Voor het algemeene geval dat
we aan het begin van deze paragraaf opschreven, kunnen
we nu op dezelfde manier ook aantoonen, dat alle a„ in
deze ontwikkeling zuiver imaginair zijn, daar de a„ in iederen
term, die optreedt, wanneer we een a\' in de a„ en ß„ uit-
drukken, tot een oneven macht verheven voorkomen, terwijl
bij de ß\' deze alleen met even machten voorkomen, zoodat
de ß\'n hierin reëel moeten zijn.

We gaan nu f{z) in een kettingbreuk ontwikkelen in het
geval dat f(z) te schrijven is als:

Hiertoe schrijven we:

= M^öo -17 z2 73 -^j

Hiervoor kunnen we volgens het voorgaande schrijven:

= 4

Hierin is Bi positief en Ai zuiver imaginair. Dat Bi
positief moet zijn, volgt ook uit het feit dat Bi reëel moet
zijn en dat, daar (p{z){= a iv} tot onze klasse moet be-
hooren, ^ monotoon dalend tot een positieve limiet moet

naderen als z tot oo nadert. Deze limiet is in ons geval B^,
dus moet Bi positief zijn.

Daar nu Aj zuiver imaginair is, en — monotoon dalend

tot Bi nadert, moet ooknbsp;tot onze functieklasse

z z

behooren en kunnen we deze dus schrijven als:

1

BzZ 02(z)

waarin om bovengenoemde reden Bg positief is en O
als z-*- co.

We krijgen dus in dit geval voor f{z) de kettingbreuk-
ontwikkeling:

Hierin zijn Aq, Aj, Bi en Bg functies van oq, qj, ß^ en ß^.
De B\'s zijn hierin positief en de A\'s zuiver imaginair, terwijl
02{z) een functie is, die tot onze klasse behoort.
Op dezelfde manier kunnen we ook

quot;O ^ 2 ^22 ^----^

in een kettingbreuk ontwikkelen en vinden dan hiervoor:
/(2) = Ao _nbsp;/-^-^^ (1)

B„2 On{z)

waarin om bovengenoemde redenen alle B\'s positief en
alle A\'s imaginair moeten zijn, terwijl On{z) een functie van

onze klasse is.

De eisch waaraan alle a„ en ßn van onze asymptotische
ontwikkeling moeten voldoen is nu, dat alle A„ die we
volgens het bekende rekenvoorschrift uit de a„ en be-
rekenen zuiver imaginair moeten zijn en alle B„ positief
moeten zijn.

We zien hier tevens, dat, wanneer we een kettingbreuk
van bovenstaanden vorm opschrijven, waarin we voor o„{z)
nul invullen, en de A„ en B„ aan de bekende voorwaarden
voldoen, we een functie van de klasse krijgen, die aan den
eisch voldoet, dat hij een asymptotische ontwikkeling toe-

e(z)

laat, eindigende met

§ 11. Uit de formule (1) van § 10 zien we, dat er meer-
dere functies te vinden zijn, die bij ontwikkeling in een
kettingbreuk met n schakels dezelfde A\'s en B\'s opleveren
als f{z).

Omtrent den samenhang van al deze functies kunnen we

de volgende stelling bewijzen:

Zij w = f{z) een functie van de door ons beschouwde
klasse, die bovengenoemde kettingbreukontwikkeling toelaat,
dan valt de waarde Wq, die de functie in een gegeven punt
z = Zo van het rechter halfvlak aanneemt, binnen of op den
omtrek van een cirkel C„ waarvan de middellijn door de
Al en de B/, die in de kettingbreukontwikkeling voorkomen,

volkomen bepaald wordt.

In deze § behandelen we eerst het geval « = 1. Destel-
ling wordt dan:
Zij w =f{z) een holomorfe functie in het rechter halfvlak,

die te schrijven is als:

7 —

waarin de grootheden de ons bekende beteekenis hebben; dan

zal als Zq een punt van het rechter halfvlak is,
binnen een cirkel liggen, die de lijn x = O aanraakt in het

punt ao en die ^ tot middellijn heeft.

Om dit te bewijzen merken we op, dat we /(z) kunnen
schrijven in den vorm

=

z r)[z)

waarin

Pi «1(2)

Nu behoort z t]{z) tot onze functieklasse, daar dit gelijk
is aan

ßi

Maar dan ligt ook i?(z) in het rechter halfvlak, wat we
al eenige malen gezien hebben.
In het punt Zq ligt daarom z r]{z) rechts van de lijn

O

zo-i-^»?(zo)nbsp;straal heeft

ßi

^ en de imaginaire as in O aanraakt.
Maar dan ligt /(z) binnen een cirkel, die de imaginaire

as in ao aanraakt en tot straal heeft A wat we wilden aan
toonen.nbsp;®

Zij a zuiver imaginair.

O

De functienbsp;beeldt, zooals we gemakkelijk in-

zien, de lijn x = Xq ai op den cirkel Q, zoodat in dit geval
met het punt Zq een punt van den cirkelomtrek Q cor-
respondeert.

Omgekeerd weten we ook dat, wanneer/(zq) op den cirkel-

omtrek valt, onze functie f{z) den bovenstaanden vorm
moet hebben.

§ 12. We zullen nu de in § 11 genoemde stelling be-
wijzen.

Hiertoe gaan we aantoonen, dat het punt/(zq) hgt binnen
een cirkel Cj, waarvan de middellijn en de ligging afhan-
kelijk zijn van Aq, Ai, Bj en Ba-
We weten:

Az) = Ao -1---^-.

Uit de vorige § weten we, dat Ajnbsp;o^iz^)

is binnen een cirkel, die de imaginaire as in het punt Ai
aanraakt en die tot middellijn heeft

Nu ligtnbsp; nbsp;binnen een cirkel G die

-i- tot middellijn heeft en de lijn a; = Bi^o aanraakt in
B2X0

het punt Xq Al.

Daar „u —^ binnen den door ons gevonden cirkel
/(2o) — Ao

C2 ligt, moet ook /{zq) binnen een zeer bepaalden cirkel
liggen, waarvan middellijn en ligging te bepalen zijn uit

de gegeven A\'s en B\'s.

De cirkel Q raakt de lijn x = Bi^o, dus moet ook de
cirkel C2 raken aan den cirkel Q, wat direct uit de con-
structie van onze Cs volgt. Het punt f{Zo) komt weer dèn
en dan alleen op den rand van Cg te liggen als f(z) te
schrijven is als

/(z) = Ao4--^-1--

B^F Ts

Op geheel dezelfde manier bewijzen we de stelling, die
in § 11 genoemd is.

De C„ hebben zooals uit het voorafgaande volgt, de
eigenschap, dat cirkel C„ den cirkel C„_i aanraakt. Verder
moet de cirkel C„ geheel binnen den cirkel C«_i gelegen zijn.

§ 13. We gaan nu over tot het beantwoorden van de vraag:
Wat is de noodzakelijke en voldoende voorwaarde, waar-
aan de a„ en /5„ moeten voldoen, om een functie te leveren,
die tot onze klasse behoort en waarbij voor iedere n een
asymptotische ontwikkeling van genoemden vorm te geven is?
In het voorafgaande hebben we aangetoond:
Een noodzakelijke voorwaarde waaraan de a„ en ßn moeten
voldoen is, dat alle A„ van de kettingbreukontwikkeling
zuiver imaginair en alle B„ positief moeten zijn.

Wanneer één van de B„ nul wordt, zullen alle volgende
A\'s en B\'s nul moeten zijn en hebben we dus met een
rationale functie te doen.

We willen nu aantoonen, dat we hier werkelijk ook met
een voldoende voorwaarde te doen hebben.

Daartoe gaan we de kettingbreukontwikkeling nader be-
kijken. Met een asymptotische ontwikkeling eindigende met

^quot;in-f^ correspondeert de kettingbreuk:
z

/(2) = Ao -1-

B1Z A1 --L

BnZ-hOn{z)

We gaan nu de volgende functierij bekijken:

1

^
B„z-f A„

We merken op dat iedere functie van deze rij gelegen
is binnen het rechterhalfvlak. Dan is er volgens Vitali een
deelrij te maken, die in het rechterhalfvlak convergeert tot
een holomorfe functie /(z).

We willen nu aantoonen, dat deze functie werkelijk aan
alle gestelde eischen voldoet. In de eerste plaats ligt deze
functie binnen het rechterhalfvlak, daar iedere functie van
de rij binnen het rechterhalfvlak gelegen is.

Rest ons nog aan te toonen, dat onze functie werkelijk
asymptotisch te ontwikkelen is. Hiertoe bewijzen we de
volgende hulpstelling:

Als voor een zekere n geldt:

/(z) = Ao -^-r

Bi^ Ai B^iqPA^

BnZ On{z)

dan kunnen we voor iedere konvooi f{z) een asymptotische
ontwikkeling geven van den vorm:

f(z) = ao ^ . . . . ^

Om deze stelling te bewijzen merken we op dat we

1

BnZ 0„(Z)

schrijven kunnen als o„_i(z), waarin On-iiz) tegelijk met
On{z) een functie van de klasse is. We kunnen dus onze
kettingbreuk schrijven in den vorm:

A^) = ^

Bkz 0k(z)

waarin Ok{z) weer een functie van de klasse is.

Door nu het rekenwerk van § 10 in omgekeerde volgorde
uit te voeren, vinden we voor onze kettingbreuk de genoemde
asymptotische ontwikkeling.

§ 14. Met deze stelling bewijzen we nu de in § 13
aangekondigde stelling als volgt: Zij f{z) de limiet van een
uit fn{z) gedistilleerde deelrij.

Uit de constructie van de rij /„(z) volgt dan dat we f{z)
kunnen schrijven als een convergente kettingbreuk

(«Pi, (P2, . \' • .)

waarin de lt;p„ fragmenten zijn van de kettingbreuk, waarvan
we uitgingen.

(Ter voorkoming van misverstand zij hier opgemerkt, dat
we met deze schrijfwijze bedoelen, dat we, wanneer we de
schakels van de kettingbreuk, die in ^^ voorkomen, opge-
schreven hebben, die van 9^2 moeten laten volgen, daarna
die van 993 enz.)

We kunnen nu wegens de convergentie van de rij

fn{z) = («Pl, lt;P2...... (Pn)

voor f{z) schrijven:

= {lt;Pu lt;P2,.....lt;Pn 0„{z))

waarin o„{z) een functie van de klasse is.

Willen we nu bewijzen, dat voor f{z) de asymptotische
ontwikkeling

„ A.ÊÏ 4. 4. JL^imiz)

geldt, dan breken we de kettingbreukontwikkeling voor
/{z) zoodanig af, dat de volledig uitgeschreven kettingbreuk
meer dan 2m schakels heeft.

De hulpstelling van § 13 zegt ons dan direct, dat f(z)
op de genoemde manier asymptotisch te ontwikkelen is.

Resumeerende geven nu de volgende stellingen het ver-
band tusschen kettingbreuk en asymptotische ontwikkeling.

10. Iedere functie van onze klasse die we asymptotisch
kunnen ontwikkelen, is voor iedere n te schrijven als een
kettingbreuk van n schakels, waarbij de laatste schakel te
schrijven is als B„z o„(2:). o„{z) is hierin een functie van
de klasse. Verder is deze functie als een convergente ket-
tingbreuk te schrijven.

2°. Voor iedere functie, die als een convergente ketting-
breuk te schrijven is, kunnen we een asymptotische ont-
wikkeling geven, wanneer deze functie tot onze klasse
behoort.

§ 15. Tot slot van dit hoofdstuk willen we nog laten
zien, dat iedere functie van onze klasse, die door een
asymptotische ontwikkeling voorgesteld wordt, in het in
§ 9 genoemde gebied, door deze asymptotische ontwikkeling
voor te stellen is rechts van de lijn x = ty welke positieve
waarde we ook voor t kiezen.

Hiertoe toonen we aan

O als z 00

z

terwijl z altijd rechts blijft van de lijn x = e. Uit onze
asymptotische ontwikkeling volgde de kettingbreuk:

waarin

Oi(z) een functie van onze klasse is.

De breuk =——is begrensd rechts van de lijn j:x=c,
BiZ Oi(z)

daar het reëele deel van den noemer in ieder geval grooter
dan Bje is, waarin Bi gt; O is.

nadert dus tot nul als z, rechts blijvende van de lijn

x = e, tot 00 nadert.

Kijken we nu naar de kettingbreukontwikkeling in § 10
opgeschreven.
Dan zal On{z) te schrijven zijn als

Volgens het voorgaande zal nu ^^ tot nul naderen, als

z tot 00 nadert, rechts blijvende van de lijn jc = e. Maar
dan zal uit de manier, waarop we van kettingbreukont-
wikkeling tot asymptotische ontwikkeling kwamen (§ 13),
volgen dat de asymptotische ontwikkeling ook geldt rechts
van x= E, wat we wilden aantoonen.

HOOFDSTUK III.

Onderzoek naar het al of niet bepaald zijn van een functie
der klasse door de gegeven asymptotische
ontwikkeling. Algemeene uitdrukking
voor die functies.

§ 16. In het voorafgaande (§ 12) hebben we aangetoond
dat, wanneer een functie gegeven is door een asymptotische
ontwikkeling

_L -Lnbsp;-I- 4-

= 9 ä ^

de waarde, die deze functie in een punt Zq aanneemt, ligt
binnen een cirkel C„, waarvan de straal rn afhankelijk is van
de a\'s, /3\'s en Zq.

Wanneer nu r„ in Zq tot nul nadert als n tot co nadert,
zal in dit punt de asymptotische ontwikkeling één enkele
waarde voor /(Zq) bepalen. ^

Gebeurt dit nu in een puntverzameling, die zich in een
inwendig punt van ons gebied verdicht, dan zal er slechts
één holomorfe functie zijn, die tot onze klasse behoort en
die we op de bovengenoemde manier asymptotisch kunnen
ontwikkelen.

We willen nu eerst den straal r„ van den cirkel C„ be-
rekenen.

Hiertoe schrijven we voor de kettingbreuk
(Ao, Al BiZ, .. .., A„ -f- B„z)
even ^^^ en drukken dan uit in de eerste n P\'s en Q\'s

van de kettingbreuk, die op hun beurt weer in de a\'s, yS\'s
en Zo zijn uit te drukken.

Om r„ werkelijk te berekenen gaan we de kettingbreuk-
ontwikkeling nader bezien.
We hebben in § 10 gevonden:

fM ^ Pn-l(z) (An B„Z Onjz)) -f Pn.,(z)
^^ ^ Qn-x{z) (An BnZ 4- On(z)) -f Q«.!^\'

Hierin schrijven we volgens bovenstaanden afspraak P„(z)
voor Pn-\\(z) (An B„z) -1- Pn~2(z) en vinden dan

f(z) = Onjz) Pn-i(z)
^^ \' Qn{z)-hOn{z)Qn-i{z)

waarin On(z) weer in het rechterhalfvlak ligt.

Gaan we nu kijken, binnen welken cirkel /(zq) komt
te liggen.

De polinomen Pn(zQ) enz. zijn constanten, daar Zq vast
is, waarom we in het vervolg hiervoor alleen P„ enz. zullen
schrijven.

On(zo) kan een willekeurig punt van het rechterhalfvlak
zijn, waarom we hiervoor even z schrijven.
Dan wordt

De straal van den cirkel r„, waarbinnen /(zq) moet liggen,
vinden we nu, wanneer we berekenen op welken cirkel /(z),
als functie van z beschouwd, het rechterhalfvlak afbeeldt.
Immers, bij ieder punt z van het rechterhalfvlak hoort een
voor/(zq) mogelijke waarde, die uit formule (1) te berekenen is.

Hiertoe berekenen we den straal r„ van den cirkel waarop
(1) de lijn x=0 afbeeldt. Daartoe schrijven we

Pn-l , _1

Qn-I Q«-l(Qn-lZ-f Q„)

en merken dan op dat /■„ de straal van den cirkel is, waarop
de functie

= ^ ^ , r^ X de lijn j: = O afbeeldt.

Hiertoe merken we op dat, wanneer z de lijn jc = 0 door-
loopt, Qrt-i2 Q/i een lijn doorloopt, die een hoek met de
imaginaire as maakt, gelijk aan arg Q„_i.

De afstand van de lijn Q.n-\\Z Q„ tot O wordt dus

1 Q„ I cos arg (Q„_i - Q„)
en dus wordt de afstand van de lijn Q„_i(Q„_iz Q„) tot
O nu gelijk aan

I Q« 11 Q«-i I cos arg (Q„_i — Q„).

Maar dit is gelijk aan het Reëele Deel van Q„Q«_i
waarbij we onder Qn-i de toegevoegd complexe van Q„_i
verstaan.

De middellijn van den cirkel die we zoeken, wordt
dus gegeven door de formule:
1

= RD{Q„Q„_i).

2r„

Gaan we nu kijken, hoe ^ samenhangt met ~—.

Zfnnbsp;^\'n—l

Daartoe schrijven we:

^ = RDQ„Q„_i = RD[{(A„ B„z)Q„_, Q„-2)Q;_I] =
= RD{(A„ -I- Bnz) I Ql-i I Q^2Q«-i} =
= B„x I Ql-i I RDQ„_,Q„_2.

Bepalen we nu ^ dan kunnen we uit deze formule
zr^

direct s— opschrijven.
Zfn

Hiertoe bekijken we

/(Zq) ligt nu binnen een cirkel waarvan de middellijn
gegeven wordt door:

Dit volgt uit het feit, dat A^ zuiver imaginair is.
Maar nu is | Qi(Zo) I = 1 zoodat we kunnen schrijven:

^ = BiXo I Q?(zo) I .

Ook is ^ = 0.

We vinden dus voor rn de betrekking:

^ = BiXo I Q?(zo) I B2X0 I Q^(2o) I ....

B„Xo I Ql{Zo)\\.

Zooals we in § 12 reeds opmerkten, komt/(Zq) dèn en
dèn alleen op den omtrek van onzen cirkel Cn te liggen,
wanneer o„{z) een constante is.

§ 17. Uit dit alles volgt nu:

Wanneer de reeks, die we voor ~ vonden, divergeert in

in een puntverzameling, die zich in een inwendig punt van
het rechterhalfvlak verdicht, zal, daar alle termen positief
zijn, /-„ tot nul naderen in die puntenverzameling, en onze
asymptotische ontwikkeling in die punten één enkele functie-
waarde bepalen.

Daar nu een holomorfe functie volkomen bepaald is door
de waarden, die zij in zoo\'n puntenverzameling aanneemt,
zal er slechts één holomorfe functie zijn die we door de
genoemde asymptotische ontwikkeling kunnen voorstellen
en die tot onze klasse behoort.

We willen nu het omgekeerde ook aantoonen:

Convergeert de reeks in een punt van het rechterhalfvlak,
dan bepaalt de asymptotische ontwikkeling meer dan een
functie van onze klasse.

Hiertoe veronderstellen we, dat de reeks convergeert in Zq.

Dan nadert in dat punt rn tot een eindige limiet r.

Vullen we nu in de kettingbreukontwikkeling:

f{z) = (Ao, Al Bjz, . . . ., A„ o„(2))

voor On{z) eens — kn in, dan ligt volgens het voorgaande
de zoo gedefinieerde functie /„(z) in het punt Zq op den
cirkelomtrek C„, waarvan r„ de straal is.

Deze rij heeft volgens Vitali een deelrij /„\'(z), die tot een
holomorfe functie convergeert.

Vervolgens gaan we een andere deelrij fniz^) construeeren,
door voor o„(z) een zoodanig zuiver imaginair getal te
kiezen, datnbsp;juist diametraal tegenover /n\'(zo) komt

te liggen op C„.

Dan kunnen we uit de rij fn\' zoodanige rangnummers y
kiezen, dat de rij fy{z) tot een holomorfe functie convergeert.

Bekijken we nu fyiz) en f\'y{z).

Deze reeksen convergeeren beiden tot een holomorfe
functie. Ze kunnen nooit tot dezelfde holomorfe functie
convergeeren, daar altijd

\\fy{zo)-fy{zo) I = 2rygt;2r.

Er wordt dus in dit geval meer dan een functie van de
klasse door de asymptotische ontwikkeling bepaald.

§ 18. Nu we gezien hebben, onder welke voorwaarden
ons probleem meer dan één oplossing toelaat, willen we
nog zien, hoe we in dit geval de algemeene oplossing kun-
nen voorstellen.

Dit vraagstuk kunnen we ook als volgt formuleeren:

Welke zijn de functies van onze klasse, die voor iedere
n gelijk zijn aan:

Qn{z) Qn-x{z)On(^ ^^^
en de n^^ en de (/z —

Qn Q„-.

naderende breuk van de door ons gevonden convergente
kettingbreukontwikkeling zijn en On{z) een functie van onze
klasse is.

Kiezen we eerst een vaste z {= Zq).
Dan kunnen we volgens Osgood uit (1) een deelrij f^
maken, zoodanig dat

voor iedere f van het rechter halfvlak convergeert.

Hiertoe moeten we voor o„(z) de functie z kiezen, die
we, om verwarring te voorkomen, als f geschreven hebben.
Kiezen we nu een aftelbaar oneindige puntverzameling

Zq, Zl----z„----die zich minstens in één inwendig punt

van het rechter halfvlak verdicht, dan kunnen we een deelrij
/ van Y maken zoodanig dat:

convergeert tot een holomorfe functie.

Hieruit maken we een deelrij die dezelfde eigenschap
heeft in het punt z^, hieruit dan een y\'quot; enz.

We krijgen op deze manier een dubbel oneindig schema
van functies.

Daar de y\' rij een deelrij is van de y rij convergeert
ook de rij

Met de diagonaalmethode kunnen we nu een deelrij (/)
van holomorfe functies maken, zoodanig dat deze rij

Pjz) Pi-i{zMz)
Qi{z) Qi-i{z)lt;p{z)

overal convergeert, voor iedere vaste lt;p{z), die we in deze
rij willen invullen, als (p{z) een functie van de klasse is.

Om dit aan te toonen gaan we als volgt te werk.

In de punten Zq, z^----z«. . . . heeft lt;p(z) achtereen-
volgens de waarden lt;p{zo), lt;p{zi), .... 9?(z„).... Nu zal,
als we in de deelrij y voor de C de waarde 95(^0) invullen,
de rij y in Zq convergeeren. Daar de rij y\' een deelrij is van
de rij y zal, wanneer we voor f in het punt Zq invullen 95(2:0)
en in het punt Zi invullen 93(21), de rij y\' in de punten Zq
en 2i convergeeren.

Nu is de rij / vanaf de 2«^® term een deelrij van de rij /
en zal deze dus ook in de punten Zq en z^ convergeeren.

Zoo verder redeneerend zien we, dat onze diagonaalrij in
ieder punt van onze puntverzameling z„ convergeert.

De grensfunctie van deze rij is dus holomorf. Verder
zien we aan de constructie, dat voor iedere Q van onze
klasse onze diagenaalrij convergeert tot een holomorfe functie.

Ook is onze grensfunctie door de gegeven asymptotische
ontwikkeling voor te stellen, daar deze een grensfunctie is
van een deelrij uit de /z-rij.

§ 19. Omgekeerd willen we aantoonen dat iedere functie
van onze klasse als limiet van een dergelijke /-rij te schrijven
is. Construeeren we daartoe voor een willekeurige f{z) van
de klasse een rij (/) die f{z) tot limiet heeft.

Voor iedere n is f{z) te schrijven als:

Pnjz) nbsp;onjz)

dus is zeker /(z) voor iedere l te schrijven als

Daar nu alle functies o,(z) gelegen zijn in het rechter-
halfvlak, kunnen we uit de rij (/) een deelrij {g) maken,
zoodanig dat Og(z) tot een holomorfe functie o(z) convergeert.
Nu is voor iedere q

\' Q,(z) -H Q,-i{z)o,{zy
Maar volgens het voorgaande nadert ook de rij

P,(z) -f P,-i(z)o(z)
Q,(z) Q,-i(z)o(z)

tot een holomorfe functie F(z).
Er blijft ons nu nog over, aan te toonen dat/(z) = F(z).
Nemen we daartoe een punt Zq vast aan in het rechter-
halfvlak.
We weten dan dat

P/(Zo) P/-i(Zo)f

een in het rechterhalfvlak gelegen holomorfe functie van i is.

Hieruit volgt nu wegens de gelijke continuïteit (continuité
égale) van onze functies, dat we bij iedere c een c\' kunnen
vinden, zoodanig dat:

P^(go) Plt;l-l(.Zo)0,iZo) P^(Zo) -{- Py_i(Zo)o(Zo)

QM nbsp;Qg{Zo) Q?-i(2o)o(ro)

als I o^(zo) — o{zq) I lt; é\'.

Maar nu zal bij iedere e\' te vinden zijn een E zoodanig
dat I Ogizo) — o{zo) I lt; fi\' als ^ gt; E.
We zien dus: Er is bij iedere e een E zoodat

Wegens de gelijke continuïteit van onze holomorfe func-
ties is er nu bij iedere e te vinden een E zoodanig dat:

3

lt;e

als ^ gt; E is, voor iedere Zq liggende in een gebied, dat
geheel binnen het rechterhalfvlak gelegen is.
iVlaar dit zegt nu:

fiz) = F{z)
wat we wilden aantoonen.

§ 20. We kunnen nu hieruit direct de algemeene uit-
drukking opschrijven voor de functies, die ons vraagstuk
oplossen.

p /y\'V

Uit de vorige paragraaf volgt dat de rij tot een limiet
nadert. Noemen we deze limiet A(z). ^
Evenzoo zalnbsp;tot een limiet ^(z) naderen.

Verder zal voor een ^ gt; O ook
Pijz) kP,-x{z)

naderen tot een limiet q{z).
De rijen P;(2) en A(z)Q,(z) hebben nu dezelfde limiet.
We schrijven dit nu als volgt:

Ook is:nbsp;P/_i(z) ^ /i(2)Q,_i(2).

Hieruit volgt:

PKz) -f kPi-i{z) ^ A(z)Q/(z) -f kfi{z)Qi-i{z).

We weten:

P^z) kPt.iiz) ~ e(2)Q/(z)

Hieruit volgt:

X{z)Qi{z)-\\-kM(z)Qi-iiz)

e(z)Q/(z) -f ke{z)Qi-i(z)

Maar dan moet ook

Hieruit volgt nu:

Yiiz)e{z) - Xjz)
Qtiz) kfiiz) - kQ{z)yt{z)\'

Maar dan zal ook

Om te laten zien dat deze limietfunctie holomorf is moeten
we nog laten zien, dat

Dit volgt uit het feit dat /i(z) een grensfunctie is van de
rij (1) overeenstemmende met A = oo en X(z) overeenstemt
met A = 0.

Volgens het voorgaande zijn deze functies niet aan
elkaar gelijk.

Nu moet ook de rijnbsp;tot een limietfunctie c(z)

naderen want

P,(z). Q,_,(z) y(zy

Verder nadert ooknbsp;tot een limiet a(z).

Pi(z)

Ook nadert ^^ tot een limiet ó(z).

Volgens het voorafgaande is /(z) nu te schrijven als

Maar dan is ook

m = lim

P,(z) ^ quot;W

Daar nu de g\'rij een deelrij is van de /rij kunnen we
deze limiet direct opschrijven:

_ 1 c(z)y(z)
b{z) a{z)lt;p{z)-

We hebben hier nu de algemeene gedaante van de functie
ƒ gevonden. We krijgen de geheele verzameling door r alle
functies der klasse te laten doorloopen.

Hiermee willen we onze beschouwingen beëindigen.

Voor de toepassing van de eigenschappen van deze
functieklasse op het momentenprobleem van Stieltjes zie
men het artikel van R. Nevanlinna: Asymptotische Entwick-
lungen beschränkter Funktionen und das Stieltjesche Mo-
mentenproblem.

STELLINGEN.

I.

Een gevolg van de stelling van Fatou is:
Iedere holomorfe functie, begrensd binnen den eenheids-
cirkel is een integraal van Lebesgue, over den eenheids-
cirkel berekend.

II.

Een uitbreiding hiervan is de stelling:

Een begrensde functie, holomorf in het rechterhalfvlak,

die van positieve orde ten opzichte van ^ tot nul nadert,

kan geschreven worden als integraal van Lebesoue over de
imaginaire as.

lil.

Wanneer f{x) Riemann integreerbaar en ^^(.v) absoluut

b

continu en monotoon is op een interval ab, dan is jfdq),

a

opgevat als stieltjes-integraal, gelijk aan de Lebesoue
integraal jf(p\'.

IV.

Als fix) Riemann integreerbaar en positief is, terwijl lt;p{x)
monotoon stijgend is op een interval ab dan is de Lebesoue

integraal jf(p\' kleiner of gelijk aan de STiELTJES-integraalj/a^.

De som, die voorkomt in prijsvraag 4 (van 1929) van het
Wiskundig Genootschap, kan dikwijls met voordeel als een
STiELTJES-integraal geschreven worden.

VI.

Het is niet mogelijk, op middelbare scholen een strenge
behandeling van de oppervlakkentheorie te geven.

VII.

De behandeling van wortelvormen kan op middelbare
scholen niet streng gemaakt worden.

VIII.

De verzameling van de Transfinite getallen bestaat niet.

IX.

De logica is een hoofdstuk der wiskunde.

X.

Het is zeer moeilijk om meetkundig een algemeene defi-
nitie van een irreductibele ruimtekromme te geven.

XI.

Het is verkeerd, de Cosmografie als examenvak van het
programma der Hoogere Burgerscholen af te voeren, daar
hierdoor de behandeling van de populaire astronomie ge-
makkelijk in het gedrang kan geraken.

XII.

Het verdient aanbeveling, dat op de middelbare scholen
de hoofdzaken van de radiotelefonie als een belangrijk deel
der natuurkunde behandeld worden.

-j y

. .

^ ;

.• VS.»

\\

. v.

■\'i\'^

. u.

■■ n,:

■ ■ r :f -, ■

vrjr,nbsp;. li

,nbsp;•.,quot;.nbsp;\'.\'ii-.-\'. ;V-lt; .y.\'- ■ »gt;»\'i-nbsp;-y :-\'T \' \'

■.• •.■ fi

i, • rT - quot; :

■ . r.

- gt;■ \' r r* \'

/

\'?\'.. \' :nbsp;^ vi\'\'quot;quot;quot;\'-».\' .V\'Vquot;-

\'- \'••rfv.- -nbsp;• • ■ V

....