J j.^^nbsp;^

1*» rtquot; ■»nbsp;- «i- «vsiv W

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN
GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUUR-
KUNDE AAN DE RIJKS UNIVERSITEIT TE
UTRECHT. OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAG-
NIFICUS Dr H. TH. OBBINK, HOOGLEERAAR IN
DE FACULTEIT DER GODGELEERDHEID, VOL-
GENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVER-
SITEIT, TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE
FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE TE
VERDEDIGEN OP MAANDAG G MEI DES NAMID-
DAGS TE DRIE UUR DOOR

Bij de voltooiing van dit proefschrift is het mij een aan-
gename taak U, Hoogleeraren in de Faculteit der Wis- en
Natuurkunde aan de Rijksuniversiteit te Groningen dank
te zeggen voor het onderwijs, dat ik van U heb ontvangen.

Uwe boeiende en levendige colleges, Hooggeleerde Barrau,
zullen bij mij steeds in dankbare herinnering blijven,

U, Hooggeleerde Wolff, Hooggeachte Promotor betuig ik
in \'t bijzonder mijn erkentelijkheid voor de groote wel-
willendheid en warme belangstelling die ik steeds van U
heb mogen ondervinden.

HOOFDSTUK V
Toepassing van Residuels op de Complexe Functie-
theorie ....................53

Onder een verzameling van punten verstaan wij een veel-
heid van punten in onderling verband, onverschillig welk.
Indien wij 1 punt hebben noemen wij dit per definitie ook
een „verzamelingquot;. Bij vele stellingen zal het noodig zijn de
toevoeging te maken: „als de verzameling bestaatquot;. Om dit
te vermijden verklaren we per definitie de uitdrukking: „de
verzameling bestaat nietquot; en „de verzameling is leegquot; iden-
tiek.

Indien een verzameling k^ deel uitmaakt van een andere
verzameling Ag, schrijven we dit als Aj Ag of Ag Aj.

Onder een lineair interval (ab) verstaan we alle punten van
een lijn, die t. o. v.die lijn als coördinaatas en een punt O als
nulpunt tot coördinaten x hebben, die voldoen aan a lt; x lt; b.
Onder een twee-dimensionaal interval (abajbj) verstaan we
alle punten, die ten opzichte van een twee-dimensionaal
assenstelsel tot coördinaten hebben x^ en Xg, die voldoen aan
aj lt; Xi lt; bi en ag lt; Xg lt; bg. Evenzoo kan een n-dimen-
sionaal interval gedefinieerd \'worden.

Een punt P heet inwendig punt van een verzameling A,
als er een interval bestaat, dat P bevat en een deel is van A.

Onder een omgeving van P verstaan we iedere verzameUng
U, die alleen uit inwendige punten bestaat en die P bevat.

Een doorsnede van twee verzamelingen A en B noemen we
de verzameling van punten, die zoowel in A als in B liggen,
en we schrijven dit D = AB.

Onder de vereeniging van twee verzamelingen A en B ver-
staan we de verzameling van punten, die, óf tot A óf tot B
óf tot beiden behooren, en we schrijven dit V = A -{- B.

Een belangrijk begrip in de leer der punt verzamelingen is
dat van verdichtingsfunt. We noemen een punt P verdich-
tingspunt van een verzameling, indien iedere omgeving van
dat punt minstens één van P verschillend punt der ver-
zameling bevat.

Hieruit volgt, dat iedere omgeving van dat punt een on-
eindig aantal punten van de verzameling bevat. Dus een
eindige verzameling kan geen verdichtingspunt hebben.

Opdat een punt verdichtingspunt zij, is niet noodzakelijk,
blijkens de definitie, dat het punt tot de verzameling behoort.

Heeft een verzameling de eigenschap, dat al zijn verdich-
tingspunten punten van de verzameling zijn, zoo heet ze
gesloten.

Is ieder punt van een verzameling verdichtingspunt, dan
heet de verzameHng dicht in zichzelf.

Een puntverzameling heet o-pen, als ieder punt van de ver-
zameling inwendig punt van de verzameling is.

Onder het complement A\' van een verzameling A verstaan
we de verzameling van alle punten van de ruimte, die niet
tot A hooren. Het complement A\' van een open verzameHng
A is, in het geval ze niet leeg is, gesloten, want een verdich-
tingspunt P van het complement kan niet tot A hooren, daar
er dan een interval te vinden was, dat P bevat en geheel
binnen A ligt.

Evenzoo is te bewijzen, dat het complement A\' van een
gesloten verzameHng A, in het geval, dat ze niet leeg is.

open is; immers als P een punt is van A\', dan hoort P niet
tot A en vanwege de geslotenheid van A, kan P geen ver-
dichtingspunt van A zijn.

Onder de grens van een puntverzameling A verstaat men
de doorsnede van de vereeniging van A met zijn verdich-
tingspunten en de vereeniging van A\' met zijn verdichtings-
punten of (A -f Ha) (A\' -f Ha\') als H voorstelt de verzame-
ling van verdichtingspunten.

Onder een n-dimensionaal segment verstaan we een n-
dimensionaal interval vermeerderd met zijn grens.

Een verzameling A heet niet dicht in een segment, indien
ieder segment, dat een deel is van het oorspronkelijke seg-
ment, een segment bevat, dat geen punt van A bevat.

Een verzameling A heet dicht in een segment, indien ieder
segment, dat een deel is van het oorspronkelijk segment,
punten van A bevat.

Een verzameling dicht in zichzelf, behoeft niet dicht te
zijn in een segment, b.v. de perfecte verzameling, gedefinieerd
door Cantor, door het segment O — I in drie gelijke deelen
te verdeelen en de punten binnen het middelste segment
weg te laten. Bij de twee overblijvende segmenten van de
drie gelijke deelen weer de punten binnen het middelste
segment weg te laten, enz.

Indien A een willekeurige puntverzameling is en P een punt
der ruimte, dan verstaan we onder de afstand van P tot A
de onderste grens van de afstanden van P tot een willekeurig
punt van A,

Onder de afstand van twee verzamelingen A en B ver-
staan we de onderste grens van de afstand van P tot Q, als

Twee verzamelingen heeten van dezelfde machtigheid, als
men aan ieder element van de eene 1 element en ook maar
één van de andere toevoegen kan.

Hebben we een aftelbaar oneindige rij van puntverzame-
lingen A^Ag. . . ., dan verstaan we onder de limes superior
van A de doorsnede V1V2V3 .... Vk ... waarin Vk = Ak-f-
Ak i -f- Ak 2 4- • • • •

Onder de limes inferior van A verstaan we de vereeniging
Dj-f-Da-f-D3-]-. • • • 4-^k-f-• • • waarin Dk de door-
snede Ak Ak i Ak 2----is.

Een oneindig voortloopende rij van puntverzamelingen
heeft per definitie een limiet, als limes superior A = limes
inferior A.

Stelling 1 — De vereeniging van eindig of aftelbaar on-
eindig veel open puntverzamelingen is weer een open punt-
verzameling.

Zij Al, Ag,... . An,.... een aftelbare rij open puntver-
zamelingen.
Zij A = Al -f Ag.... -I- An ... .

Neem een willekeurig punt P van A. P is een punt van
minstens één van de A\'s, b.v. Ak. Om P is een omgeving te
construeeren, die alleen punten van Ak bevat, dus alleen
punten van A. Bijgevolg is P een inwendig punt van A.
Dus A is een open puntverzameling.

Stelling 2 — De vereeniging van een eindig aantal gesloten
puntverzamelingen is weer een gesloten puntverzameling.

Zij Al, Ag,. . . . Ak een rij van k gesloten punt verzamelingen.
Zij A - Al 4-Ag. . . . 4-Ak.

Zij P een verdichtingspunt van A. De bewering is, dat P
hoort tot A. Iedere omgeving van P bevat oneindig veel
punten van A, dus oneindig veel punten van minstens één
van de Ak\'s.

De vereeniging van aftelbaar oneindig vele gesloten ver-
zamelingen behoeft niet gesloten te zijn, b.v. de punten der
ruimte met rationale coördinaten vormen een niet gesloten
puntverzameling, hoewel ze te beschouwen zijn als de ver-
eeniging van aftelbaar oneindig veel gesloten verzamelingen,
ieder uit één punt bestaande.

Stelling 3 — De doorsnede van een eindig of aftelbaar on-
eindig aantal gesloten verzamelingen is weer gesloten of leeg.

Zij Aj, Ag, ... . An, .... een rij van aftelbaar oneindig veel
gesloten verzamelingen.

De bewering is: D is gesloten. Stel P een verdichtingspunt
van D. Iedere omgeving van P bevat een van P verschillend
punt van D, dus een punt van Ak,k = 1, 2, 3, ... . Dus P
is een verdichtingspunt van Ak, bijgevolg P hoort tot Ak,
onverschillig wat k is. Dus P D.

Gevolg: De grens van een puntverzameling A is blijkens
de bepaling de doorsnede van twee gesloten verzamelingen.
Dus volgens de hierboven genoemde stelling is de grens van
een puntverzameling een gesloten verzameling.

(Voor bewijs zie o.a. Carathéodory: Vorlesungen über
reelle Funktionen, blz. 45 en 46).

Overdekkingsstelling van Borel: Indien aan ieder
punt P van een begrensde afgesloten puntverzameling A
een bepaalde omgeving Qv is toegewezen, dan kan men steeds
een eindig aantal van deze omgevingen Q-p-^, üp^, . . . Qp^.
uitkiezen, zoodat ieder punt van A in minstens één van die
omgevingen ligt.

Overdekkingsstelling van Lindelof: Indien aan ieder
punt P van een willekeurige puntverzameling A een be-
paalde omgeving Üp is toegewezen, dan is er een hoogstens
aftelbare rij van de omgevingen Qp^^, Üp^, .... üp^ .... uit
te kiezen, zoodat ieder punt van A in minstens één van die
omgevingen ligt.

Stelling 4 —Zij Aj^, A^, .... A^, ... . een aftelbare rijniet
leege, gesloten funtv er zamelingen, zoodanig dat A-^ y A^ y A^
. ... en zij Al begrensd, dan is D {A-^A^ . ... Arv...) ^ 0.

Was D = O, dan was aan ieder punt P van A^ een kleinste
getal kp toe te voegen, zoodat P niet hoort tot Akp, dus P
hoort tot het complement van Akp, dat we aan zullen duiden
door A\'kp. A\'kp is open, omdat Akp gesloten is.

Dus aan ieder punt P van Aj is een omgeving A\'kp toe te
voegen, waarin Akp niet doordringt. Daar Ai begrensden
gesloten is, is volgens de overdekkingsstelling van Borel Ai
door een eindig aantal van dergelijke omgevingen te over-
dekken. Dus men kan eindig veel getallen kikg.... km vin-
den, zoodat ieder punt van Aj in minstens één van
A\'kjA\'k,.... A\'k^ ligt. Zij k de grootste van de indices kjkg
.... km, dan is Ak een deel van ieder van de verzamelingen
Ak,Ak,----Ak omdat Aj Ag Ag____

A\'k bevat dus ieder van de puntverzamelingen A\'k,A\'kj
.... A\'k^ en dus ook A^ zelf. Dus A^. Ak moet nul zijn,
wat in tegenspraak is met het gegevene, dat Ak niet leeg en
een deel van A^ is.

Stelling 5 — Iedere perfecte verzameling E heeft de mach-
tigheid van het continuum.

De stelling is duidelijk, als E een interval bevat. Dus we
kunnen ons beperken tot het geval, dat E geen interval
bevat, m. a. w. dat E nergens dicht is.

Voor het geval, dat E niet begrensd is, gaat dezelfde be-
wijsvoering door voor een begrensd deel van E.

Zij M een punt van het segment, niet hoorende tot E. Daar
E perfect is, is M geen verdichtingspunt van E, dus zijn er
intervallen, die M bevatten en waarbinnen geen punt van
E hgt.

Men kan om ieder punt van het segment, niet hoorende
tot E een zoodanig interval construeeren. Twee intervallen
kunnen geen uiteinde gemeenschappelijk hebben, want dan
was dat punt een geïsoleerd punt van E, wat onmogelijk is.
Twee intervallen kunnen geen deel gemeen hebben, want
dan was het grootste interval, wat mogelijk is, niet gekozen.

We beweren nu, dat een perfecte verzameling E niet dicht
in een segment, tot complement heeft met betrekking tot
dat segment een aftelbare oneindige verzameling van inter-
vallen, die geen uiteinde gemeen hebben.

Er kunnen geen eindig aantal zijn, want dan zou E geen
niet dichte verzameling kunnen zijn. Het aantal intervallen

waarvan de lengte gt; 1 is eindig, omdat de intervallen geen
deel gemeen hebben. Het aantal intervallen, waarvan de
lengte lt; 1 en gt; % is eindig, om dezelfde reden. Indien we
zoo voort gaan, komt ieder interval voor; dus het comple-
ment van E ten opzichte van het segment is een aftelbaar
oneindig aantal intervallen. Men noemt de intervallen con-
tigu aan E.

2 — E is niet aftelbaar. Zij Pj een punt van E. Kies een
interval I, dat P^ bevat. We zullen nu bewijzen, dat IE al
onaf telbaar is.

Construeer om Pg een segment ï^ zoodanig, dat Pj niet
hoort tot dat segment I^. Binnen het segment is een interval
Ii te kiezen, Pg bevattend, dat dezelfde eigenschap heeft.
Pg is als punt van E een verdichtingspunt, dus in I^ liggen
een aftelbaar oneindig aantal punten van E. Er is bijgevolg
een punt met de kleinste index. Zij Pn^ dat punt (we noemen
nu Pg : Pn.).

Om Piij is een segment Ig te kiezen, dat ligt in I^ en waar
Pg = Pm buiten ligt. Binnen dat segment is weer een inter-
val Ig te kiezen met dezelfde eigenschap. We gaan door, zoo-
dat Pnj. steeds het punt is met de kleinste index, dat in Ik
ligt.

We beweren nu, dat de index nk gt; k.
Het is waar voor k = 1, immers % = 2 gt; 1.
Stel de bewering is waar voor k, dus iik gt; k.
Aan te toonen is nu, dat nk i gt; k 1.
Uit nk gt; k volgt nk ^ k 1.

De begrensde aftelbare puntverzameling PmPng • • • • Pnj. • •
heeft dus een verdichtingspunt H I,

Iedere omgeving van H bevat een punt van Ik i dus
zeker van ïk i dat verschilt van Pk, dus H is verdichtings-
punt van punten hoorende tot Ik i dus H Ik i i Ik.

H Ik of Pk i Ik wat onmogelijk is, daar nk gt; k en Pnj^
het eerste element van Ik is. Dus EI is niet aftelbaar; dus
E is niet aftelbaar.

3 — Rangschikken we de intervallen contigu aan E in een
rij dj^, Ó2, .... dn ... .

Zij A en B de eindpunten van E (eventueel van een deel
van E). We zullen nu de perfecte verzameling afbeelden op
de punten van het segment O — 1.

Met A laten we correspondeeren het punt O, met B het
punt 1, met de twee uiteinden van het punt met de
twee uiteinden van 62 het punt V4 of al naar gelang ó^ ligt
tusschen A en 6, of tusschen en B. Enz. Met een ón corres-
pondeert een punt van het segment O — 1 en omgekeerd.

Het aantal punten van E, die eindpunten zijn van inter-
vallen contigu aan E is aftelbaar. Zooals onder (2) gebleken
is, is de perfecte verzameling niet aftelbaar. Zij M een punt
van E dat geen eindpunt van een interval contigu aan E is,
dan is er een aftelbare rij van intervallen contigu aan E aan
te wijzen éni, ^n,. . . . zoodat M hun limiet is. Met de rij
lt;5n,, (5nj. . . . correspondeert een aftelbare rij van punten van

O — 1, die een verdichtingspunt y hebben. We laten nu y
correspondeeren met M. Op deze manier correspondeert met
ieder punt van E één punt van O — 1.

Omgekeerd kiezen we van O — 1 een punt met tot coör-
dinaat ^ dan correspondeeren daarmee twee eindpunten

van een interval contigu aan E. Kiezen we een ander punt
van O — 1, dan is dat punt op te vatten, als verdichtings-
punt van een aftelbare rij punten met tot coördinaten

dus daarmee correspondeert een aftelbare rij van intervallen
contigu aan E, die weer een limietpunt M hebben dat hoort
tot E, want M is verdichtingspunt van eindpunten van die
intervallen contigu aan E en E is gesloten.
Dus E heeft de continue machtigheid.

Een verzameling E heet van de maat O, als alle punten
van E tot intervallen behooren, waarvan de som der lengten,
oppervlakten enz. kleiner is dan e, waarbij e ieder wille-
keurig getal gt; O voorstelt.

Een verzameling E van de maat O heet regulier, als ze ge-
definieerd kan worden op de volgende manier:

Zij Al, Ag, .... An,... . een rij van een aftelbaar oneindig
aantal punten. An hoort tot omgevingen .... ...
waarbijnbsp;terwijl lim. = An. Van Q\\ Q^^----

. . . . vormen de lengten (resp. oppervlakten, inhouden
enz. naar gelang het aantal dimensies) een convergente reeks
voor iedere h.

Als Eh de verzamehng van punten voorstelt, hoo-
rende tot minstens één van de (n= 1, 2, 3. . . .) dan
verstaan we onder de reguliere verzameling E de doorsnede
D (El. Eg. Eg . . . .).

E. Borel is de eerste geweest, die in zijn „Leçons sur la
théorie des fonctionsquot;, blz. 44 op deze verzamelingen heeft
gewezen. Hij beschouwt t. a. p. de intervallen met tot eind-
punten

El bevat Eg en in het algemeen En bevat En i.
Men beschouwt nu de verzameling E bestaande uit de
punten, die hoeren tot iedere En (n = 1, 2, 3, . . . .).

We kunnen echter aantoonen, dat E de machtigheid van
het continuum bezit. Daarvoor is voldoende te bewijzen,
dat E nog een verzameling punten bevat, die de continue
machtigheid heeft. Die punten zijn de punten met tot coör-
dinaten de getallen van Liouville gedefinieerd door

zoodanig, dat voor iedere waarde van n er een oneindig aan-
tal waarden 2 zijn, die voldoen aan de ongelijkheid. Nemen

we een punt met coördinaat f. Krachtens de definitie zijn
er dus oneindig veel waarden q, waarvoor

Op deze manier kan bewezen worden, dat ieder getal |
tot En hoort, onverschillig welke n.

Het blijkt dus, dat de reguliere verzameling, die tot fun-
damentaalpunten heeft de punten met rationale coördinaten
van het segment O — 1 en tot intervallen de bovengenoemde,
de continue machtigheid bezit.

De vraag rijst nu, of de reguliere verzameling, die dezelfde
fundamentaalpunten heeft als de bovengenoemde, maar
waarbij we de lengten van de intervallen om ieder punt op
een andere manier tot O laten naderen ook de continue mach-
tigheid bezit.

Dit is inderdaad het geval, zooals Borel aantoont door
middel van de theorie van de monotone functies (zie „Leçons
sur les fonctions Monogènes, blz. 83—86).

Indien de fundamentaalfunten van een reguliere verzameling
dicht zijn in een interval, heeft de verzameling de machtigheid
van het continuum.

Borel geeft daarvan in „Leçons sur les fonctions Monogènesquot;
blz. 94—124 een zeer uitvoerig bewijs, eerst voor het platte
vlak, daarna voor de ruimte.

Zij En een verzameling van segmenten, twee aan twee
buiten elkaar gelegen (n = 1, 2, 3, . . . .). Binnen ieder seg-
ment van En hggen 2 segmenten van En i.

Bewijs — 1 De doorsnede is niet leeg; want nemen we één
van de segmenten S^, waaruit Ej bestaat. Zij Sg een segment
van Eg zoodanig dat Sj y Sg. Op deze wijze voortgaande
krijgen we Sj Sg S3----

2nbsp;— De doorsnede D is dicht in zichzelf, m. a. w. ieder
punt van D is verdichtingspunt van punten van D. Zij Q
een punt van D, Q een willekeurige omgeving om Q.

Q hoort tot En, onverschillig welke n, dus Q hoort tot
segmenten, die steeds in lengte afnemen en tot O naderen.
Er is bijgevolg een En, zóó dat één van zijn segmenten bin-
nen Q ligt.

Dat segment bevat weer twee segmenten van En i. Beide
segmenten bevatten minstens één punt van D (volgens de
stelling genoemd onder 1 van dit bewijs) dus Q D — Q is
niet leeg.

Want de doorsnede van aftelbaar oneindig veel gesloten
verzamelingen is weer een gesloten verzameling volgens In-
leiding stelling 3.

De stelling: „Indien de fundamentaalpunten van een re-
guliere verzameling dicht zijn in een interval, heeft de ver-
zameling de machtigheid van het continuumquot;, wordt nu als
volgt bewezen:

Noemen we de reguliere verzameling E, haar fundamen-
taalpunten Aj, Ag, Ag, . . . de omgevingen om An:
(h = 1, 2, 3, . . . .) voor iedere n.

Zij Ak een fundamentaalpunt van E. Ak ligt binnen een
omgeving ü \\ hoorende tot Ei. Binnen ü\\ is een segment a^
te kiezen, zoodanig dat Ak ^ Oj. Daar de fundamentaal-
punten overal dicht liggen, kunnen we binnen o^ twee fun-
damentaalpunten kiezen, die we zullen noemen Aki en Akg.
Daar lim. ßj^ = An, onverschillig welke n, zijn er binnen

Oj 2 omgevingen, hoorende tot eenzelfde En te bepalen, die
buiten elkaar liggen. Binnen de twee gekozen omgevingen
liggen twee segmenten Ogi en Ogg.

De voorwaarden van de hulpstelling zijn vervuld: de door-
snede bevat een perfect deel of de reguliere verzameling be-
vat een perfect deel.

Volgens de stelling: iedere perfecte verzameling heeft de
machtigheid van het continuum (zie Inleiding, stelling 5)
heeft dus de reguliere verzameling E, waarvan de fundamen-
taalpunten dicht liggen op O — 1 de continue machtigheid.

Daar in bovenstaande bewijzen geen gebruik is gemaakt
van een bijzonderheid zich voordoende in een bepaalde Rn
gelden ze dus voor iedere Rn (n = 1, 2, 3,. . ..).

Een inwendige grensverzameling is de
doorsnede van aftelbaar oneindig veel open puntverzame-
lingen, waarbij we mogen aannemen, dat ieder de volgende
bevat:

snede van aftelbaar oneindig veel open punt verzamelingen,
dus een inwendige grensverzamelirig, die in dit geval perfect
is, n.1. het segment O — 1.

Stelling 1 — Iedere of en puntv er zameling ü is een inwen-
dige grensverzameling; ze is immers te beschouwen, als de
doorsnede van aftelbaar oneindig veel gelijke verzamelingen Q,

Stelling 2 — De punten met irrationale coördinaten van het
segment O — 1 vormen een inwendige grensver zameling.

Noem alle punten van het interval O — 1. Zij r^ het
eerste punt verkregen bij nummering van de aftelbaar on-
eindig vele punten met rationale coördinaten van het seg-
ment O — 1.

r^ verdeelt üj^ in 2 open deelen, waarvan de vereeniging Q^
weer open is (zie stelling 1 uit de inleiding).

Zij rg het tweede punt verkregen bij de nummering, r^ ver-
deelt ßg ii^ deelen, waarvan de vereeniging, die weer open is,
ü^ genoemd zal worden. Indien zoo wordt voort gegaan,
wordt ieder rationaal punt bij een bepaalde n buiten Qa i
gehouden.

De doorsnede D {Qj^. Q^. ... Qn - ■ ■ •) bevat alle punten
met irrationale coördinaten, terwijl ze de rationale punten
niet bevat.

D is als doorsnede van aftelbaar vele open puntverzame-
lingen een inwendige grensverzameling.

Stelling 3 — Een geïsoleerde Muntverzameling is een in-
wendige grensverzameling.

Onder een geïsoleerde verzameling E verstaan we een ver-
zameling van punten, zoodanig dat om ieder punt P een
omgeving ßp geconstrueerd kan worden, zoodanig dat

Dus daar aan ieder punt een bepaalde omgeving toege-
wezen kan worden is het mogelijk, volgens de overdekkings-
stelling van Lindelof (zie Inleiding, blz. 6) een aftelbaar
aantal omgevingen te kiezen, zoodat

of A = Pi 4- Pg -f P3 -f- . . . .
m. a. w. iedere geïsoleerde verzameling is aftelbaar oneindig
of eindig.

Dat een geïsoleerde verzameling E een inwendige grens-
verzameling is, blijkt door ieder punt Pn te beschouwen,
als de limiet van een aftelbaar oneindig aantal omgevingen
^h\' ^n----alle gelegen binnen Qp^.

Eh (h = 1, 2, 3, . . . .) is volgens stelling 1 uit de Inleiding
een open puntverzameling. E = D (Ei, Eg. . .. En. . ..); dus
de geïsoleerde verzamehng E is een inwendige grensver-
zameling.

Immers de in de definitie van reguliere verzameling ge-
noemde Eh is de vereeniging van aftelbaar veel open punt-
verzamelingen, dus Eh is open. Eh i hoort tot E^.

Een reguhere verzameling is de doorsnede van aftelbaar
oneindig veel open punt verzamelingen, waarbij ieder de
volgende bevat. Dus een reguliere verzamehng is een in-
wendige grensverzameling.

Zij A de gesloten verzameling. Om ieder punt P ^ A als
middelpunt leggen we een open puntverzameling: cirkel,
bol, enz. ai naar gelang het aantal dimensies met straal q.

De vereeniging van alle cirkels, bollen enz. om alle punten
P A met straal q noemen we U (A, q).

U (A, q) is een open puntverzameling. (Volgens de over-
dekkingsstelling van Lindelof en Stelling 1 uit de Inleiding).

Nu is A = U (A, 1) . U (A, 1/2) • U (A, 1/3) • • • want een
punt P ^ A hoort tot ieder van de U (A, q), dus tot hun
doorsnede.

Immers Q kan zijn een middelpunt van de gekozen cir-
kels, bollen, enz. dus dan hoort Q zeker tot A.

Indien Q geen middelpunt is, kiezen we Q als middelpunt
van een cirkel, bol, enz. Cj met straal I.

Daar Q ^ U (A, 1) is er minstens één middelpunt van een
cirkel, bol, enz. van U (A, 1) met straal 1 gelegen binnen
Cl,- dus minstens één punt van A.

Evenzoo kunnen we Q als middelpunt kiezen van een
cirkel, bol, enz. Cg met straal Daar Q U (A, is er
dus minstens één middelpunt van één van de cirkels, bollen,
enz. van U (A, gelegen binnen Cg. Dus ligt er behalve Q
nog een punt van A binnen Cg. Dit geldt voor iedere n, dus Q
is verdichtingspunt van A, A is gesloten, dus Q A.

Stelling 6 — Een aftelhare puntverzameling, die geen deel
heeft dat dicht in zichzelf is, is een inwendige grensverzameling.

ook door Hobson Beiden maken echter gebruik van de
transfiniete ordinaalgetallen.

1nbsp;—Als Ej, Eg,... . inwendige grensverzamelingen zijn, als
verder iedere Ek deel is van een open verzameling Qk, ter-
wijl de ük twee aan twee geen punten gemeen hebben, dan
is ook de vereeniging E^ -}- Eg -(-... . een inwendige grens-
verzameling.

waarmee we bedoelen, dat Ek de verzameling is van de pun-
ten, die in ßki liggen, voor iedere i. De Qki zijn open punt-
verzamelingen, waarvan we mogen veronderstellen, dat ze
allen in Qk liggen.

-f ßgi -f ....) (ßig i^gg 4- ....)... .
bevat Ej Eg -f . . . . maar geen punt daarbuiten, daar
ßkiß j = O, voor k 1, Hiermee is de hulpstelling bewezen,

2nbsp;— We zeggen, dat een puntverzameling E inwendige
grensverzameling in een punt P is, als er een dat punt be-
vattende open puntverzameling bestaat, zoodat het daarin
gelegen deel van E een inwendige grensverzameling is. Dat
geldt dan ook voor het deel van E gelegen in een willekeurige
open puntverzameling, die deel is van de genoemde.

3nbsp;— Als een aftelbare puntverzameling E inwendige grens-
verzameling is in ieder van haar punten, dan is E een in-
wendige grensverzameling,

Om Pk als middelpunt leggen we een interval (vierkant,
kubus, enz. al naar het aantal dimensies van de ruimte,
waarin E gegeven is) zoodat Elk een inwendige grensver-
zameling is, waarbij wij zorgen, dat de rand van Ik geen
punt van E bevat, hetgeen wegens de aftelbaarheid van
E mogelijk is.

Met Ik bedoelen we het open interval, door Ik zullen we
het afgeslotene aanduiden, door een accent het complement
van een verzameling. Nu is

4 — Zij E aftelbaar en geen inwendige grensverzameling.
Dan is volgens no. 3 de verzameling D van de punten E,
waarin E niet inwendige grensverzameling is, niet leeg. Zij
P een punt van D en I een interval met P tot middelpunt. EI
is volgens no. 2 geen inwendige grensverzameling, dus even-
min EI —P. Want was EI — P een inwendige grensver-
zameling, dan zou daar P ook te beschouwen is, als de door-
snede van aftelbaar oneindig veel open punt verzamelingen,
ook de vereeniging EI — P en P een inwendige grensver-
zamehng zijn. (zie de hieronder blz. 23 bewezen stelling 9)
wat onmogelijk is.

Dus EI — P bevat volgens no. 3 een punt Q, waarin EI — P
niet inwendige grensverzameling is, dus E is ook niet inwen-
dige grensverzameling in Q, zoodat Q in D ligt. Hieruit
volgt, dat D dicht in zichzelf is en daaruit de te bewijzen
stelUng.

Stelling 7 — Indien Pj, P^, P^, ■ • • • ^nz. voorstellen een
aftelbare verzameling van gesloten verzamelingen, dan is het
complement een inwendige grensverzameling.

Volgens de stelling 2 uit de Inleiding is de vereeniging van
een eindig aantal gesloten verzamelingen gesloten

Dus Qn is gesloten voor iedere n. Het complement is de
doorsnede van aftelbaar oneindig veel open puntverzame-
lingen, is dus een inwendige grensverzameling.

Gevolg: Het complement van iedere aftelbare verzameling is
een inwendige grensverzameling.

Als toepassing moge hier vermeld worden, dat de punten
met irrationale coördinaten van het segment O — I een in-
wendige grens verzamehng vormen. Immers de punten met
rationale coördinaten van het segment O — 1 vormen een
aftelbare verzameling van gesloten verzamelingen, ieder uit
één punt bestaande. Zie ook stelling 2, blz. 17, waar een
ander bewijs gegeven is.

Stelling 8 — De doorsnede van een eindig of een aftelbaar
oneindig aantal inwendige grensverzamelingen is weer een in-
wendige grensverzameling.

Enz,, waarin Umn voor iedere m en n een open puntver-
zameling voorstelt. We beweren nu:

Want een punt hoorende tot D (Uj . Ug . . . .) hoort tot Un
voor iedere n, dus tot Umn voor iedere m en n, dus tot

Umn voor iedere m en n, dus tot Un voor iedere n, bijgevolg
tot D (Ui. Ua. . . .).

Dus de doorsnede D (Ui. Ug. . . . Un. . . .) van een aftel-
baar oneindig aantal inwendige grensverzamelingen, is weer
een inwendige grensverzameling.

Stelling 9 — De vereeniging van een eindig aantal inwendige
grensverzamelingen is weer een inwendige grensverzameling.

Wij geven een bewijs voor de vereeniging van twee in-
wendige grensverzamelingen.

Zij U = Ui. Ug. . . . Un. . . . waarin Un voor iedere n een
open puntverzameling is.

Zij V = Vi. Va. . . . Vn . . . . waarin Vn voor iedere n een
open puntverzameling is.

(Ui-fVi) (Ug Vg).... (Un4-Vn).... dus als door-
snede van aftelbaar veel open puntverzamelingen, want

(Ul Vl).(U2-^V,)....(U^-^Vn)....
hoorend, ligt in Un -f- Vn voor iedere n, dus óf in Uk voor
oneindig veel k\'s óf in Vk voor oneindig veel k\'s óf in beide
voor oneindig veel k\'s. Dus punt P ligt in U óf in V óf hoort
tot beide verzamelingen U en V.

Gevolg: Een inwendige grensverzameling, vermeerderd met
een eindig aantal punten, is weer een inwendige grensverzame-
ling.

Immers een eindig aantal punten vormen een geïsoleerde
verzameling, dus een inwendige grensverzameling. Hun

Tot slot zullen we een hulpstelling aantoonen,
noodzakelijk voor een in het volgende hoofdstuk te bewijzen
stelling.

Zij verder EQk een inwendige grensverzameling voor
k = 1, 2, 3,----en Q = lim. Qk.

1nbsp;— Zonder de algemeenheid te schaden, kunnen we Qk
vervangen door Uk waarin Uk een open of leege deelver-
zameling is van Qk.

de grens van Qk hebben (e is een willekeurig getal gt; 0).
We zullen de grens van Qk : Fk noemen en die van

Uk:/lk,k= 1, 2, 3. . . .
Fk en_Jk zijn gesloten (zie Inleiding, stelling 3, gevolg).

Zij P een punt van Jk, dan ligt P op een afstand van r
van Tk, dus op een afstand grooter of gelijk aan | van Fu i,

dus zeker verder dan j^j van Tk i m. a. w. P ^ Uk i
of A ^ Uk i.
Bijgevolg Ük ^ Uk i.

3nbsp;— Naarmate k grooter is, wordt de afstand tusschen de
grenzen van Ük en Uk kleiner dan één van te voren te geven
bedrag.

Eßk is een inwendige grensverzameling, dus ook de door-
snede van Eßk en Uk dat is EUk is een inwendige grens-
verzameling.

U\'k is een open puntverzameling, dus een inwendige grens,
verzamehng en EUk i eveneens, dus EUk i Ü\'k is ook
een inwendige grensverzameling.

De open verzamelingen U^, U^Ü\'^, UgÜ\'^ enz. hebben twee
aan twee geen punt gemeen, dus volgens de onder 1 van
stelling 6, blz. 20 bewezen stelling is EU^ 1 EUk i Ü\'k

Het derde lid EUk i A is ook een inwendige grens-
verzameling, onverschillig wat k is.

enz. hebben twee aan twee geen punt gemeen,
want Uk Uk i, dus Jk Uk i, dus ieder punt van Ak is
een inwendig punt van Uk i.

De vereeniging van 2 inwendige grensverzamelingen is
weer een inwendige grensverzameling.

Dus Eß is een inwendige grensverzameling; waarmee de
hulpstelUng is aangetoond.

We zullen in dit hoofdstuk een noodzakelijke
en voldoende voorwaarde afleiden, dat een
gegeven puntverzameling een inwendige
grensverzameling is.

Bewijs: We geven het bewijs voor 2 afmetingen; het is
echter geldig voor alle afmetingen.

Zij P een punt van E. Er is dus krachtens het gegevene
een gebied, waartoe P hoort en waarin E inwendige grens-
verzameling is.

Gp kan als volgt geconstrueerd worden. Verdeel het platte
vlak door middel van twee stel evenwijdige lijnen, die onder-
ling loodrecht staan, in vierkanten, waarvan de lengten der
zijden a cM. is.

a is zoo te kiezen, dat er een gebied, P bevattend, te vin-
den is, bestaande uit zulke vierkanten en waarbinnen E in-
wendige grensverzameling is. Zij G (a) het grootste gebied
met de eigenschap, dat E . G (a) inwendige grensverzame-
ling is.

Nemen we lijnen evenwijdig aan de vorige lijnen, zoodat
vierkanten ontstaan met tot lengten der zijden % a cM. Er
zijn gebieden te vinden, P bevattend, bestaande uit de vier-
kanten met zijden ^ a en waarbinnen E inwendige grens-
verzameling is.

Zij G(%a) het grootste gebied met de eigenschap, dat
E . G (34 a) inwendige grensverzameling is. Op deze manier

Gp kan geen punt van E op zijn grens hebben, want een
punt van E is middelpunt van een interval I, zoodat E . I
inwendige grensverzameling is.

Volgens de in het vorige hoofdstuk afgeleide hulpstelling
is E . Gp inwendige grensverzameling.

De vereeniging Gp-|- E . I zou dus weer een inwendige
grensverzameling zijn, dus zou Gp vergroot kunnen worden,
wat onmogelijk is, bijgevolg Gp heeft op zijn grens geen
punt van E.

Bij ieder punt P van E bestaat een Gp: dus volgens de over-
dekkingssteUing van Lindelof kunnen we schrijven:

Met Gp^ bedoelen we het afgesloten gebied; door een accent
duiden we het complement van een verzameling aan.

Op de grens van kan geen punt van E liggen, dus Q
ligt niet op de grens van E . dus Q ^ E .
Eveneens Q E . enz.
0 hoort nu tot E . Gp . G\'p . G\'p ____

Dus ieder punt van E hoort tot minstens één van de ter-
men van het 2e lid van (2).

We kunnen verder aantoonen, dat de termen van (2) on-
derling geen punt gemeenschappelijk hebben, immers zou
een punt R hooren tot E . Gp . G\'p G\'p ____en tot

De termen van (2) zijn inwendige grensverzamelingen;
E . Gpi is een inwendige grensverzameling, E . Gpg eveneens,
G\'pi is een open puntverzameling, dus een inwendige grens-
verzameling, bijgevolg is ook E . Gpg. G\'pi een inwendige
grensverzameling.

Aan de voorwaarden van de onder (1) blz. 20 genoemde
stelling is voldaan, daar de open verzamelingen

twee aan twee geen punt gemeen hebben. Dus hiermee is
bewezen, dat als E inwendige grensverzamehng is in ieder
van haar punten E een inwendige grensverzameling is.

Omgekeerd, indien E een inwendige grensverzameling is,
dan is E inwendige grensverzameling in ieder van haar
punten.

Iedere open puntverzamehng is een inwendige grensver-
zamehng; de doorsnede van twee inwendige grensverzame-
hngen is weer een inwendige grensverzamehng, dus E , is
een inwendige grensverzamehng, dus E is inwendige grens-
verzamehng in P.

Hiermee is dus bewezen, dat een noodzakelijke en voldoende
voorwaarde, dat E een inwendige grensverzameling is, is dat E
inwendige grensverzameling is in ieder van haar punten.

Zij E een lineaire puntverzameling, geen interval bevattend,.
Zij E inwendige grensverzameling in ieder van haar punten.

Bewijs: Om ieder punt P van E brengen we een interval lp.
waarin E inwendige grensverzameling is, terwijl de eind-
punten niet in E hggen. Het laatste is mogelijk, doordat ge-
geven is, dat E geen interval bevat.

Met lp bedoelen we het open interval, met ïphet afge-
sloten, en door een accent duiden we het complement van
een verzameling aan.

We moeten aantoonen, dat ieder punt van E in één van
de termen van (2) voorkomt.

Is n gelijk aan 1, dan hoort Q tot E . Ip^ dus Q komt voor
in één van de termen van de reeks (2).

Hoort Q niet tot E . Ip^ dan is er onder de E . I p^, waartoe
Q hoort, een nummer aan te wijzen, dat het kleinste is,
dus Q hoort tot E . lp en niet tot E . Ipj ^ etc.

Op de grens van lp ^ ^ kan geen punt van E liggen, dus Q
ligt niet op de grens van E .nbsp;dus Q E .

Dus ieder punt van E hoort tot minstens één van de ter-
men van het 2e lid van (2).

We kunnen verder aantoonen, dat de termen van (2)
onderling geen punt gemeenschappelijk hebben; immers zou
een punt R hooren tot E . lp . I\'p .ï\'p .... en

De termen van (2) zijn inwendige grensverzamelingen.
E . Ipi is een inwendige grensverzameling, E . Ipg eveneens
ï\'pi is een open puntverzameling, dus een inwendige grens-
verzameling, bijgevolg is ook E . Ipg. I\'pi een inwendige
grensverzameling.

Aan de voorwaarden van de onder (1), blz. 20 genoemde
stelling is voldaan, dus hiermee is bewezen, dat als E in-
wendige grensverzameUng is in ieder van haar punten en
geen interval bevat, E een inwendige grensverzameling is.

We laten nu de voorwaarde, dat E geen interval bevat,
vallen en bewijzen dezelfde stelling.

Zij E een lineaire puntverzameling en inwendige grens-
verzameling in ieder van haar punten.

„Een verzameling van gescheiden gelegen gebieden kan
hoogstens aftelbaar zijnquot; uit hoogstens aftelbaar oneindig
veel intervallen. Daar de vereeniging van aftelbaar oneindig
veel open puntverzamelingen weer open is, (zie Inleiding,
blz. 4) is Q een open puntverzameling, dus ü is een inwen-
dige grensverzameling.

e bevat geen interval. We toonen aan, dat e in ieder van
haar punten inwendige grensverzameling is van e.

E is inwendige grensverzameling in P, dus er is een inter-
val lp zoodat E . Il inwendige grensverzameling is.

E . lp is een inwendige grensverzameling; Q\' is gesloten,
dus ook een inwendige grensverzameling.

De doorsnede ü\' .E .lp ook, dus e . lp is een inwendige
grensverzameling. Bijgevolg e is inwendige grensverzameling
in ieder van haar punten, e bevat geen interval, derhalve e
is een inwendige grensverzameling.

Dus E is te beschouwen, als de vereeniging van twee in-
wendige grensverzamelingen, dus volgens stelling 9, blz. 23
een inwendige grensverzameling.

Iedere open puntverzameUng is een inwendige grensver-
zameling; de doorsnede van twee inwendige grensverzame-
lingen is weer een inwendige grensverzameling, dus E. Q is
een inwendige grensverzameling, dus E is inwendige grens-
verzameling in P.

Hiermee is dus voor het lineaire geval bewezen, dat een nood-
zakelijke en voldoende voorwaarde, dat E een inwendige grens-
verzameling is, is dat E inwendige grensverzameling is in ieder
van haar punten.

Immers in het lineaire geval is van een verzameling E
eerst weg te laten de intervalverzameling, (die ook leeg kan
zijn) waarna rest een verzameling e, waarin geen interval
voorkomt. Om ieder punt van e is een interval te kiezen,
zoodanig dat de eindpunten niet tot e hooren.

Leggen we b.v. om een punt P een vierkant, kubus, enz. al
naar gelang het aantal dimensies, dan is het niet zonder
meer mogelijk er steeds voor te zorgen, dat de grens van het
vierkant eventueel kubus enz. geen punt van de verzameling
bevat, b.v. de verzameling van punten van een kromme lijn
gaande door P.

Als een puntverzameling E geen inwendige grensverza-
meling is, dan is de verzameling D van de punten, waarin E
niet inwendige grensverzameling is, niet leeg.

Zij P een punt van D en I een interval P bevattend, E . I
is dus geen inwendige grensverzameling.

Dus evenmin E . I — P; want was E . I — P een inwendige
grensverzameling, dan zou, daar P beschouwd kan worden
als de doorsnede van aftelbaar oneindig veel open punt-
verzamelingen, ook de vereenigingvanE.I — PenPeenin-
wendige grensverzamehng zijn (volgens stelling 9, blz. 23).
Dit is onmogelijk, dus EI — P is geen inwendige grens-
verzameling.

Bijgevolg is er een punt Q te vinden, zoodanig dat E . I — P
geen inwendige grensverzameling is in Q.

Ook E is niet inwendige grensverzameling in Q, want
was E wel inwendige grensverzameling in Q, dan zou er een
omgeving O zijn, Q bevattend, zoodanig dat E . O inwendige
grensverzameling is. P hoort niet tot E . O, want dan was
er om P een omgeving, zoodat de punten van E daarin ge-
legen een inwendige grensverzameling vormden.

Was E . O inwendige grensverzameling, dan ook de door-
snede van (E . O, I) of van (E . O, E . I) of (daar P niet
hoort tot E . O) van (E . O, E . I — P), hetgeen in strijd
is met het feit, dat E . I — P geen inwendige grensver-
zameling is in Q. Daar E dus niet inwendige grensver-
zameling is in Q, hoort Q tot D.

Hieruit volgt, dat de verzameling D dicht in zichzelf is.
We krijgen de volgende stelling:

De punten van E, waarin E niet inwendige grensverzameling
is, vormen een verzameling dicht in zichzelf.

Bijgevolg is iedere verzameling E te splitsen in een in-
wendige grensverzameling I en een deel D dicht in zichzelf.

Een verzameling E, die geen inwendige grensverzameling is,
kan door toevoeging van de verdichtingspunten van D die niet

Immers een gesloten verzameling is een inwendige grens-
verzameling (zie stelling 5, blz. 18) en de vereeniging van
twee inwendige grensverzamelingen is weer een inwendige
grensverzameling (zie stelling 9, blz. 23).

Hiermee is dus weer bewezen een stelling van Young,
waarvan Brouwer in Proceedings Amsterdam, deel 18, pag.
48 en 49 een bewijs gegeven heeft door middel van de trans-
finiete ordinaal-getaUen.

Zij f (P) een functie van de coördinaten van een punt in
een ruimte met willekeurig aantal afmetingen.

Stelling: De punten, waar f continu is, vormen een inwen-
dige grensverzameling.

Bewijs 1): f is continu in P, als er bij iedere e gt; o een om-
geving Up te vinden is, die P bevat, zoodanig dat voor ieder
willekeurig puntenpaar x en y van Up geldt | f (x) — f (y) | lt;c

Zij C (1) de verzameling van punten P, die een omgeving
Up hebben, zoodanig dat voor ieder puntenpaar x en y
van Up geldt |f (x)—f (y) | lt; 1.

C (I) is open, want ieder punt P ^ C (1) hoort tot een
omgeving Up waarin | f (x) — f (y) | lt; 1.

Ieder punt Q van Up hoort tot C (1), want Q hoort tot
een Uq die een deel vormt van Up waarvoor dus ook
|f(x)-f(y) |lt;1.

Dus ieder punt van C (1) is een inwendig punt van C (1)
m. a. w. C (1) is een open puntverzameling.

die een omgeving Up hebben, zoodanig dat voor ieder punten-
paar x en y van Up geldt

Dan is C = C (1) . C (i) . C (1) .... C ^ij . . . . dus een in-
wendige grensverzameling.

Immers bij een punt Q hoorende tot C is een omgeving Un
te kiezen, waarin voor ieder willekeurig puntenpaar x en y

Omgekeerd ieder punt R hoorende tot C (1) . C . C (V3)
____heeft een omgeving Un, waarin voor ieder willekeurig

Dus f is continu in R m. a. w. R C.
Young heeft laten zien, dat bij iedere inwendige grens-
verzameling E, die men op een lineair interval geeft, een functie
in dat interval behoort, die continu is in ieder punt van E en
discontinu in ieder ander punt.

Door Wolff is hiervan een eenvoudig bewijs gegeven,
dat onmiddellijk geldig is voor ruimten met willekeurig
aantal afmetingen.

1 — Gegeven moge dus zijn een puntverzameling E als
doorsnee van aftelbaar veel open puntverzamelingen Ür,,
waarbij Qn x deel, (niet noodzakelijk echt deel) van Qn is.\'

We definieeren f (P) voor ieder punt der ruimte als volgt-
ten eerste f (P) = O, als P in E ligt. Zij nu P een punt, dat
niet in E ligt, np de kleinste waarde van n, waarvoor het
punt P niet bevat.

waarin y) (P) de functie is, die in ieder punt der ruimte,
waarvan alle coördinaten rationaal zijn, gelijk is aan 1, in
ieder ander punt der ruimte gelijk is aan — I.

We kunnen zeggen, dat (1) ook doorgaat voor de punten
van E, als we daar np = oo denken.

2 - Wij zullen nu aantoonen, dat f (P) continu is in de
punten van E en discontinu daarbuiten.

Is £ een willekeurig positief getal, dan kunnen we het
natuurlijke getal v zoodanig kiezen dat

Daar P in Qv ligt en Qv open is, bestaat er een omgeving
U van P, die ook in Qv ligt. Voor ieder punt Q van U is
derhalve nQ gt; v zoodat wegens (1) en (2)

Nemen we nu P in het complement van E. Als P niet op
de grens van Q^^ ligt, heeft P een omgeving U, die geen
punt met Qn^ gemeen heeft en in i^n^-i ligt, of buiten Q^.

Daar de punten, waar f positief is, zoowel als die waar f
negatief is, overal dicht op U liggen, is de schommeling
van f in P gelijk aan 2 | f (P) |.

Als echter P op de grens van Qn^ ligt, bevat iedere om-
geving U van P een deel van Qa^. Voor ieder punt Q van dat
deel is ng gt; np, dus

Daar nu de punten Q waarvoor de ongelijkheid (3) geldt,
zich in P verdichten, is P een discontinuïteitspunt van f.

Een inwendige grensverzameling is, óf leeg, óf een aftel-
bare verzameling zonder deel dicht in zichzelf, óf heeft een
perfect gedeelte en bezit dan dientengevolge de continue
machtigheid. (Voor bewijs zie Carathéodory „Vorlesungen
über Reelle Funktionen, blz. 69).

Ie. De functie bezit geen continuïteit s-
punten. We kunnen zoo\'n functie totaal discontinu noe-
men b.v. de functie van Dirichlet gedefinieerd op het seg-
ment O — 1 als volgt: De functie is O in de punten met irra-
tionale coördinaten, 1 in de punten met rationale coördi-
naten.

2e. De functie bezit een hoogstens af-
telbare verzameling van continu ïteits-
punten. Deze verzameling kan volgens de bovenge-
noemde stelling van Carathéodory geen deel bevatten dicht
in zichzelf. Dus de punten met rationale coördinaten van een
segment kunnen niet uitsluitend continuïteitspunten zijn.

We definieeren op het segment 0—1 een perfecte ver-
zameling E, die nergens dicht is op O — 1. Er is nu (zie pag. 7)
een aftelbare verzameling van intervaUen contigu aan E.

De functie zij nu gelijk aan 2 in ieder punt van E; in ieder
irrationaal punt van een interval contigu aan E gelijk aan
de coördinaat van het punt, en in ieder rationaal punt van
een interval contigu aan E gelijk aan de waarde van de
coördinaat van het midden van het betreffende interval.

Deze functie is discontinu in de punten van E; immers zij
P een punt hoorende tot E. In ieder interval om P ligt een
interval contigu aan E, waarin de functie hoogstens 1 is,
dus P is een discontinuïteitspunt van de functie.

De punten, hoorende tot intervallen contigu aan E, kunnen
in 2 soorten verdeeld worden, n.1. die punten, die het midden
van de bedoelde intervallen zijn en diegene, die het niet zijn.
In de laatste punten is de functie discontinu; immers zij Q
één van die punten met irrationale coördinaat; f (Q) = coör-
dinaat van Q. In ieder interval om Q liggen rationale
punten, waar de functie gelijk is aan de coördinaat van het
midden van de contigu, waarin Q ligt.

Is Q\' een punt met rationale coördinaat, dan is er een
vast bedrag e gt; O te bepalen, zoodanig dat in ieder inter-
val om Q\' punten met irrationale coördinaten liggen, waar
de functie meer dan e van f (Q\') verschilt. Dus Q en Q\'
zijn discontinuïteitspunten.

De middens van de bedoelde intervallen vormen conti-
nuïteitspunten. Immers de onderste grens van de bovenste
grenzen van de functie in intervallen, het midden van een
contigu bevattend, is gelijk aan de functie in het midden,
dus de functie is in het midden half continu naar boven.\'
Evenzoo is de bovenste grens van de onderste grenzen van

de functie in intervallen, het midden bevattend, gelijk aan
de functie in het midden, dus de functie is in het midden half
continu naar beneden.

Bijgevolg: De functie is continu in de middens van de
intervallen contigu aan E.

Het aantal intervallen contigu aan E is aftelbaar (zie
blz. 7) dus er zijn een aftelbaar aantal continuïteitspunten.
De continuïteitspunten liggen nergens dicht op O — 1, want
in een interval, contigu aan E, is een interval te beschrijven,
waarin geen continuïteitspunt van de functie ligt. Ieder
continuïteitspunt is een geïsoleerd punt, dus de verzameling
van continuïteitspunten bevat geen deel dicht in zichzelf.

3e. De verzameling van continuïteits-
punten is van de machtigheid van het
continuum.

a. Ieder punt van een gebied is continuïteitspunt van de
functie: de functie heet continu in dat gebied.

h. de continuïteitspunten zijn nergens dicht in een gebied.
De functie heet dan punctueel continu in dat gebied.

Zij P een perfecte, nergens dichte, verzameling in het
segment O — 1; de waarde der functie in ieder punt van
P zij 0.

De verzameling van intervallen contigu aan P bevat irra-
tionale en rationale punten. In de irrationale punten zij de
functie eveneens 0. In de rationale punten zij de functie
gelijk aan de afstand van het punt tot één van de twee uit-
einden van het interval contigu aan P, waarin het punt
gelegen is, en wel gelijk aan de kleinste van de twee. In ieder
punt p van P is de functie continu, want voor ieder positie-

getal £ is om p een interval te construeeren, zoodanig dat
voor ieder punt q in dat interval | f (q) — f (p) ( lt; e.

De rationale en irrationale punten van de intervallen
contigu aan P zijn discontinuïteitspunten; zij Q een dergelijk
punt.

Q hoort tot een interval I geheel gelegen binnen een in-
terval contigu aan P. In dat interval I liggen zoowel rationale
als irrationale punten. Dus Q is een discontinuïteitspunt
van de functie.

De continuïteitspunten van de gedefinieerde functie vor-
men dus een op O — I nergens dichte perfecte verzameling,
die de continue machtigheid bezit.

c. De continuïteitspunten zijn overal dicht in een gebied,
terwijl er punten zijn, waar de functie niet continu is. We
noemen deze functie punctueel discontinu in dat gebied.

Als voorbeeld van een punctueel discontinue functie kan
genoemd worden de door Baire gedefinieerde functie op
het segment O — 1.

positief getal, zoodanig dat ^ lt; We kunnen dan een
interval kiezen, dat A bevat en geen enkel punt^, als

Dus de functie is continu in A; de continuïteitspunten
vormen een overal dichte verzameling op O — 1.

We kunnen nu aantoonen, dat de discontinuïteitspunten
van een eindige punctueel discontinue functie, gedefinieerd
op een segment, een verzameling van de eerste categorie
vormen, bestaande uit gesloten verzamelingen.

Onder een verzameling van de eerste categorie, gedefini-
eerd op een puntverzameling E verstaan we de vereeniging
van een aftelbaar oneindig aantal op E nergens dichte ver-
zamelingen. Zij f de eindige punctueel discontinue functie
gedefinieerd op het segment PQ.

Zij (X) de schommeling van de functie in een punt A van het
segment PQ, waaronder we verstaan het verschil tusschen
de bovenste en onderste limesfunctie, mits beiden eindig
zijn, in het punt A.

Onder de bovenste limesfunctie in het punt A verstaan
we de onderste grens van de bovenste grenzen van de functie
in omgevingen, die A bevatten. Evenzoo verstaan we onder
de onderste limesfunctie in het punt A de bovenste grens
van de onderste grenzen van de functie in omgevingen, die
A bevatten.

Zij Gj de verzameling van punten, waar f een schomme-
ling O) ^ 1 heeft. Gj is een gesloten verzameling. Zij Aq een

verdichtingspunt van punten A^, Ag, A3, .... An ... . in
ieder, waarvan ogt; (An) (n = 1, 2, 3, ... .).

Daar in ieder interval om A^ punten An voorkomen,
waar co (An) ^ 1, is dus de bovenste grens van co in ieder
interval om Aq ^ 1.

Dus ook de onderste grens van de bovenste grenzen van co
in intervallen om Aq ^ 1. Daar co een half continue functie
is naar boven i), is de onderste grens van de bovenste grenzen
van co in omgevingen, die A^ bevatten, gelijk aan co (Ao)
dus ook co (Aq) = 1.

Eveneens is de verzameling Gg van punten, waar f een
schommeling heeft co ^ ^ een gesloten verzameling.

Gn (n = 1, 2, 3 . . . .) is nergens dicht op PQ, want was Gn
dicht in een interval hoorende tot PQ, dan zou, daar Gn
gesloten is, ieder punt van het interval tot Gn hooren, wat
onmogelijk is, daar de continuïteitspunten (dus co = 0)
overal dicht op PQ liggen.

De verzameling van discontinuïteitspunten van f is de
vereeniging van Gj -f- 4- • • • • ^n -i- • • • • waarin Gn voor
n = 1, 2, 3, enz. een gesloten niet dichte verzameling voor-
stelt op PQ; dus de verzameling van discontinuïteitspunten
van een eindige punctueel discontinue functie gedefinieerd op
een segment PQ is een verzameling van de eerste categorie met
betrekking tot PQ, bestaande uit gesloten verzamelingen.

Deze stelling kan ook afgeleid worden met behulp van het
begrip r e s i d u e 1.

Een residuel is de doorsnede van open puntverzamelingen,
waarvan ieder overal dicht ligt in een interval M.

Een residuel is dus een inwendige grensverzameling. Het
omgekeerde is niet altijd waar; wel kunnen we bewijzen de
volgende stelling:

Een inwendige grensverzameling, die hoort tot een interval M
en overal dicht is in dat interval M, is een residuel.

En is voor iedere n overal dicht op M; immers was dit niet
het geval, dan was er een interval aan te wijzen, hoorende
tot M, waarin geen punt van En voorkomt, dus geen punt
van E.

(De in hoofdstuk I behandeld^e Borelsche verzamelingen
zijn allen blijkbaar residuels).

De continuïteitspunten van een eindige punctueel discontinue
junctie vormen dus een residuel; immers ze vormen een overal
dicht liggende inwendige grensverzameling.

Het complement van een residuel ten opzichte van een
segment PQ is een verzameling van de eerste categorie met
betrekking tot PQ, bestaande uit gesloten verzamelingen.

Dus de discontinuïteitspunten van een eindige punctueel
discontinue functie vormen een verzameling van de eerste
categorie bestaande uit gesloten verzamelingen.

Het voorgaande gaat onveranderd door, indien het seg-
ment PQ vervangen wordt door een perfecte verzameling.

Baire heeft in „Leçons sur les Fonctions discontinuesquot;,
blz. 124 een noodzakelijke en voldoende voorwaarde afgeleid.

dat een functie limiet is van continue functies. Die voor-
waarde is, dat de functie punctueel discontinu is op iedere
perfecte verzameling.

Deze stelling kan in verband met het voorgaande ook als
volgt geformuleerd worden: De continuïteitspunten van een
eindige functie, die limiet is van continue functies vormen een
residuel met betrekking tot iedere perfecte verzameling, terwijl
de discontinuïteitspunten een verzameling van de eerste
categorie vormen met betrekking tot iedere perfecte ver-
zameling

We hebben dus gezien, dat de continuïteitspunten van een
reëele functie een inwendige grensverzameling vormen. Ech-
ter niet alleen de continuïteitspunten van een reëele functie
vormen een inwendige grensverzamehng, het kan ook zijn,
dat de halfcontinuïteitspunten b.v. naar boven van een
functie een inwendige grensverzameling vormen, b.v. de
functie, die 1 is in de irrationale punten van het segment
O — 1 en O is in de rationale punten is half continu naar
boven in de irrationale punten, die zooals bekend is (zie
blz. 17) een inwendige grensverzameling vormen.

Niet altijd vormen de half-continuïteitspunten naar boven
een inwendige grensverzameling, b.v. de functie die O is in de
irrationale punten van het segment O — I en 1 is in de rati-
onale punten, is half continu naar boven in de rationale
punten, die echter geen inwendige grensverzamehng vormen.

Hoewel de continuïteitspunten van een reëele functie een
inwendige grensverzamehng vormen, behoeft niet iedere ver-
zamehng, die een deel der continuïteitspunten bevat, een
inwendige grensverzamehng te zijn. Wel geldt de volgende
steUing.

Een naar boven half continue functie, gedefinieerd op een
segment, is continu in de punten, waar de functie gelijk is aan
de onderste grens van de functie op het segment, en deze punten
vormen wel een inwendige grensverzameling.

Zij f een reëele functie half continu naar boven op het
segment A. Zij g de onderste grens van f op A.

De bewering is, dat de punten waar f = g continuïteits-
punten van de functie zijn.

In iedere omgeving Ü van Xo is dan de onderste grens van
f (x, ö) = g I f, A}, dus ook de bovenste grens van de on-
derste grenzen in omgevingen, die Xo bevatten is g | f, A j.
Dus de functie is in x^ half continu naar beneden en krach-
tens het gegevene half continu naar boven, dus de punten,
waar f = g zijn continuïteitspunten van de functie.

Deze punten nu vormen een inwendige grensverzameling,
hetgeen als volgt aangetoond kan worden:

Daar de functie half continu naar boven in P is, is er een
omgeving Q, P bevattend, te vinden, zoodanig dat de bo-
venste grens van de functie in ^ f (P) en lt; g -f- 1, dus de
waarde van de functie voor ieder punt x, hoorende tot Q,
is lt; g 1.

f lt; g Tl open, n = I, 2, 3 . . . . Noemen we C de ver-
zameling van punten, waar f = g, dan is
C = C(l).C(i/2).C(V3)....

C is bijgevolg een inwendige grensverzameling en we heb-
ben dus nu bewezen de stelling: Bij een naar boven half
continue functie, gedefinieerd op een segment, vormen de
punten, waar de functie gelijk is aan de onderste grens van
de waarden der functie op het segment, een inwendige grens-
verzameling.

Evenzoo kan aangetoond worden: Bij een naar onderen
half continue functie, gedefinieerd op een segment, vormen
de punten, waar de functie gelijk is aan de bovenste grens
van de waarden der functie op het segment, een inwendige
grensverzameling.

De verzameling van punten, waarin de rechterhovenajgeleide
van een eindige en continue functie, gedefinieerd op een segment,
gelijk is aan -{- oo is een inwendige grensverzameling .

Bewijs: 1. Zij R (x) de rechterbovenafgeleide van f (x) in
het punt x: a ^ X ^ b.

voor k = 1, 2, 3 . . . . terwijl hk voorstelt één van de termen
van een aftelbare rij positieve getallen h^, hg, hg,. . . ,, die
overal dicht liggen in het interval O lt; h lt; d.

Er is dus in het interval O lt; h lt; 1 een h\' te bepalen,
zoodanig dat M — f (x) ^ waarbij M lt; cx3.

Het is dus mogelijk een omgeving om h\' te bepalen, zoo-
danig dat voor ieder punt van deze omgeving
f(x h)-f(x), ^^
h

voor O lt; hk lt; 1, gelijk aan 00.
Omgekeerd als v^ (x, 1) = 00 dan is ook R (x) = -}- 00.
In een punt x, waarin v (x, 1) = -f- 00 moet voor
O lt; /? lt; 1 ook V (x, /9) = -f 00.

Immers van een eindige en continue functie, gedefinieerd
op een begrensde afgesloten puntverzameling, is de bovenste
grens op die verzameling een eindig getal

Zij G de bovenste grens van | f | op ab dan is voor /5 ^ h lt; 1
f(x-Hi)-f(x) ^ 2G ^^^ ^^^

Daar voor M ieder willekeurig getal gekozen kan worden,
is rp (x, /?) = 00.
Daar i/lt; (x, /5) = -f oo voor O lt; /S lt; 1 is dus steeds de

2 — We zullen nu aantoonen, dat y [x,]) half continu is
naar onderen.
V (xq, 1) kan niet —oo zijn, want f (x) is eindig.
Is tp (xq, 1) gt; —00, dan kan er een getal X gekozen wor-
den, zoodanig dat y (Xq, 1) gt; A.

Q om xo, zoodanig ^at ~ ^ ^^^ gt; X voor x ^ Q.
1) Carathéodory: Vorlesungen über reelle Funktionen, blz. 139.

Daar ygt; {x, 1) voor ieder punt x de bovenste grens is van
hkquot;^^quot;quot;^ (O lt; hk lt; 1) is v (x. 1) gt; gt;1 voor x ^ q.

De onderste grens van y (x, 1) voor x ^ is dus ^ k voor
iedere X lt; ip (xq, 1).

De bovenste grens van de onderste grenzen van ip {x, 1)
voor x, hoorende tot omgevingen, waartoe xo hoort, is dus

Daar de onderste grens van (x, 1) voor omgevingen,
die Xq bevatten, nooit grooter kan zijn dan ip (xq, 1) is de
bovenste grens van de onderste grenzen van i/; (x, 1) voor
omgevingen, die Xq bevatten, gelijk aan V (xq. O- m. a. w.
xp {x, 1) is in het punt x^ half continu naar onderen.

Daar V (x, 1) half continu is naar onderen, is ip (Xg, 1) de
bovenste grens van de onderste grenzen van ip (x, 1) in om-
gevingen, die Xq bevatten. Er is dus een omgeving ü om Xq,
waarin de onderste grens van i/; (x, 1) gt; k.

Voor een punt x\' •{ ü is ip (x\', 1) gt; k, of Xq is een inwenij
dig punt van Ak. m. a. w. Ak is een open puntverzameling.

4. De verzameling A van de punten, waar R (x) = -[- oo
is identiek met de verzameling van de punten, waar
tp (x, l) = -f 00 (zie no. 1).

Op dezelfde manier kan aangetoond worden: De verza-
meling van punten, waarvan de linkerbovenafgeleide van een

eindige en continue functie gedefinieerd op een segment ab
gelijk is aan -j- co is een inwendige grensverzameling.

We kunnen alles aldus samenvatten:
De verzamelingen, waarin één van de
bovenafgeleiden van een eindige en con-
tinue functie, gedefinieerd op een seg-
ment, gel ij k is aan co, of één van de be-
nedenafgeleiden gel ij k is aan — oo, zijn
inwendige grensverzamelingen.

Lusin en Priwaloff i) hehhen een functie gemaakt, holomorf
voor I 2 I lt; i en die op een verzameling E van stralen met
(p-maat 2n de radiale limiet O vertoont voor | ^ | i.

Verdeel den cirkelomtrek | z | = 1 in 60 gelijke deelen en
trek door ieder verdeelingspunt een stuk van de straal met
lengte 14.

We verdeelen ieder van die 60 deelen weer in 60 gelijke
deelen en trekken door de nieuwe verdeelingspunten stukken
van stralen met lengten Va- Enz.

Z is nu de kromme, gevormd door | z | = 1 en door alle
boven beschreven segmenten op de stralen, die we naalden
zullen noemen.

Z is een Jordansche kromme, want Z is te beschouwen als
het één-éënduidig en continue beeld van een cirkelomtrek W.

Deze {1 ; 1 j correspondentie kan op de volgende manier
worden tot stand gebracht.

Met de naalden ter lengte van % laten we correspondeeren
60 intervallen op de cirkelomtrek buiten elkaar gelegen.

Met de naalden ter lengte van ^/g laten we correspondeeren
hetzelfde aantal intervallen allen geheel buiten elkaar en
buiten de eerst gekozen intervallen op de cirkelomtrek W
gelegen enz.

Met de punten | z | = 1 correspondeert dan een perfecte
nergens dichte verzameling op de cirkelomtrek W.

De kromme Z, zijnde een Jordansche kromme verdeelt
het platte vlak in twee gebieden i). Het gebied G, door de
kromme Z ingesloten, is een enkelvoudig samenhangend ge-
bied, want iedere gesloten kromme gelegen in G sluit slechts
punten van G in.

Volgens een fundamenteele stelling uit de leer der con-
forme afbeeldingen kan een enkelvoudig samenhangend ge-
bied G op het gebied binnen een cirkel één-éénduidig en con-
form afgebeeld worden.

Zij u = q (z) de functie, die deze conforme afbeelding geeft
van het gebied G door de kromme Z ingesloten op de punten
binnen de cirkel | u | lt; 1.

Daar Z een Jordansche kromme is, is de afbeelding ook
aan de rand eenduidig en continu, volgens een stelling een-
voudig bewezen o. a. door Lindelof 2).

De kromme Z is dus in continue {1 ; 1 } correspondentie
te brengen met de cirkelomtrek | u | = 1. Met de naalden
ter lengte van correspondeeren dus weer intervallen geheel
buiten elkaar gelegen; met de naalden ter lengte van Vs
correspondeeren dus weer intervallen geheel buiten elkaar en

1)nbsp;Zie b.v. een nieuw bewijs bij Denjoy: Kon. Acad. v. Weten-
schappen Amsterdam, Deel 27, blz. 146—151.

buiten de vorige intervallen gelegen, enz. Met de cirkel-
omtrek I z I = 1 een perfecte verzameling van de maat O
op I u I = 1, die we A noemen.

2 —Op de cirkelomtrek | u | = 1 construeeren we een functie
qgt; (u) volgens een methode van Fatou Zij anbn een interval
contigu aan de perfecte nergens dichte verzameling A op de
cirkelomtrek | u | = 1 terwijl lim. anbn = O,

In dat interval construeeren we een continue positieve
functie lt;pn (u), die -f oo wordt in de uiteinden van anbn en
Lebesgue-inte^eerbaar is tusschen an en bn en in ieder in-
terval anbn een minimum bereikt.

We kunnen nu aantoonen, dat de functie lt;p (u) continu is
op de cirkelomtrek | u | = 1:

Deze definitie geldt ook voor punten, waarin de functie
-f 00 wordt, mits we-foo— (-foo) = Oen-}-oo — a = -foo
stellen (a een eindig getal zijnde).

Ie geval: Vanaf een zeker n ligt Un in een contigu. Het
rangnummer daarvan blijft eindig; u\' is dan het eindpunt
van een contigu, dus hm. lt;p (un) = oo; of het rangnummer
daarvan nadert tot oo en daar het minimum van (fa (u)
nadert tot -}- oo, als n nadert tot -f- oo, is dus ook in dit
geval lim. 95 (un) = -f- 00.

2e geval: Voor 00 veel waarden van n ligt Un in A. Voor
die nummers is lim. 93 (un) = -f- 00.

^Jo 1 -2r cos
waarin r en de poolcoördinaten zijn van punten gelegen
binnen | u | = 1, 93 (u) de in (2) geconstrueerde functie.

Er kan aangetoond worden, dat F (r, ■amp;) een positieve har-
monische functie voorstelt binnen de cirkel en dat F (r, 1?)
nadert tot -f 00, als een punt binnen de cirkel nadert tot een
punt van A op de cirkelomtrek i).

Beschouwen we de met F (r, geconjugeerde functie
^ (r, ê) die voorgesteld kan worden door

De functie f (u) = F (r, i«? (r, is regulier binnen
de cirkel | u | = 1, want krachtens het geconjugeerd zijn

zakelijke en voldoende voorwaarde is, dat f (u) regulier is
binnen de cirkel | u | = 1. f (u) wordt nooit O binnen de
cirkelomtrek, omdat F (r, positief blijft en f (u) nadert
tot oo in de punten van A.

4nbsp;—We transformeeren de binnen de cirkelomtrek (u| = 1
geconstrueerde holomorfe functie door middel van de in (1)
vastgestelde conforme afbeelding op het gebied binnen de
kromme Z.

De getransformeerde functie P (z) = f (q (z)) is holomorf
in het gebied ingesloten door de kromme Z, het reëele ge-
deelte blijft positief en nadert tot -j- oo, als | z | nadert
tot 1.

We beschrijven binnen de cirkelomtrek [ z | = 1 concen-
trische cirkels met stralen Rj, Rj, . . . . Rn, .... zoodanig
dat Ri lt; Rg lt; Rg----en lim. Rn = 1 terwijl R^ gt; i/^. De

uiteinden van de naalden, die de kromme Z vormen, worden
gerekend niet tot de cirkelomtrekken te hooren.

De cirkelomtrekken verdeelen iedere naald in een aftel-
baar aantal deelen. Noemen we de deelen van de k^e naald

5nbsp;— We construeeren nu een functie w (z) holomorf voor
I z I lt; 1 en zoodanig dat ca (z) de radiale limiet -f co ver-

toont voor een verzameling van de 93-maat 2jr. (z = re^\'i).
Daartoe beschouwen we

K^ (z) is overal holomorf uitgezonderd op zelf.
Volgens een stelling van Runge kan men een polynoom

heeft 2 uiteinden. Zij an datgene, dat het dichtst bij
het middelpunt van | z | = 1 ligt. Zij C\'n een cirkel met
straal e\'n en middelpunt an, Cquot;n een cirkel met straal ^quot;n
en tot middelpunt het snijpunt van het verlengde van da
met de cirkelomtrek | z | = 1.

Zij de convexe contour gevormd: Ie door een gedeelte
van C\'n; 2e door de gemeenschappelijke raaklijnen aan C\'n
en Cquot;n doorgetrokken tot aan hun snijpunt met de cirkel-
omtrek I z I = 1; 3e het gedeelte van de cirkelomtrek |z | = 1
gelegen geheel binnen Cquot;n. e\'n en q\'\'^ kiezen we zóó dat
^n ^n ^n i\' quot;^^^r vaste k, onverschillig welke n. Verder

Van de functie P (z) — KJ^ (z), die holomorf is in G kan
aangetoond worden, dat ze ook holomorf is op

Zij Zi en Zg twee veranderlijke punten, aan weerszijden
van de coupure ój^ en zoo dicht als men wil bij een punt
I van dl.

als a en voorstellen de uiteinden van en Pj en Pg de
waarden van P (f) aan weerszijden van dl.

Daar Zj en Zg tot elkaar naderen, is de som van deze in-
tegralen zoo weinig als men wil, verschillend van ƒ —^— df,

De functie P (z) — (z) neemt op aan weerszijden
dezelfde waarden aan, is dus een holomorfe functie op
We formeeren nu de functie co (z) = P (z) — L (z), waarin
L(z) =nbsp;(z)-pS(z)).

L (z) convergeert gelijkmatig in een gebied Gj buiten
alle k = I, 2, 3 . . . . en geheel in G gelegen. Want zij z
een willekeurig punt in Gj, dan is vanaf een van z onafhan-
kelijk getal n iedere term

Dus L (z) convergeert gelijkmatig in G^ (Criterium voor
gelijkmatige convergentie, Osgood, blz. 96).

Voor ieder gebied G\' binnen G gelegen is een van z on-
afhankelijk getal n\' aan te wijzen, zoodat G\' ligt buiten
alle k = 1, 2, 3 . . . .

Dus volgens een stelling van Weierstrass (Osgood, blz. 303)
stelt L (z) een in G holomorfe functie voor, bijgevolg co (z)
is een in G holomorfe functie.

bestaat uit functies, die allen holomorf zijn op d^ en die
een gelijkmatige convergente reeks vormen; dus stelt 2quot;
een op d^ holomorfe functie voor.

6 - We zullen nu aantoonen, dat op een verzameling van
stralen met gj-maat 27i de radiale limiet van co (z) voor z 1
gelijk is aan oo.

Er zijn punten P op de omtrek | z | = 1 aan te geven,
zoodanig dat OP slechts een eindig aantal contouren AJ^
snijdt. (O is het middelpunt van de cirkel | z | = 1). Dus
als z is op OP, zijn de moduli van alle termen van L (z)

De bewering is nu, dat de tp-maat van stralen OP gelijk
is aan 27t, hetgeen als volgt aangetoond kan worden.

Om ieder eindpunt Q van een naald, gelegen op de cirkel-
omtrek kan een interval op de cirkelomtrek beschreven
worden, waarbinnen alleen punten liggen, waarvan de bij-
behoorende stralen minstens de bij de naald hoorende Aj
snijden.

Eveneens een interval \\ waarbinnen alleen punten liggen
waarvan de bijbehoorende stralen minstens X^ snijden.

In het algemeen: Er is een interval In om Q te beschrijven,
waarbinnen alleen punten liggen, waarvan de bijbehoorende
stralen minstens An snijden.

Dus de verzameling van punten gelegen op de cirkel-
omtrek I z 1 = 1, waarvan de bijbehoorende stralen allen
oneindig veel contouren Xn snijden is een inwendige grens-
verzameling, die dicht is op de cirkelomtrek, dus een resi-
duel E\'.

De punten van | z [ = 1 niet hoorende tot het genoemde
residuel, zijn punten, die verbonden met het middelpunt
stralen geven, die slechts een eindig aantal contouren ka
snijden. De 9J-maat van de verzameling E van deze stralen
is dus 2n.

De functie co (z) is dus een holomorfe functie binnen de
cirkel | z | = 1, naderend tot -f oo, als z nadert langs de
stralen tot een punt van de genoemde verzameling E, terwijl
O) (z) eindig blijft, als z nadert tot een punt van het residuel
E\'.

7 — De functie e—«gt;(z) is dan een holomorfe functie binnen
de cirkel | z | = I, die nadert tot O, als z nadert langs de
stralen tot een punt van de bovengenoemde verzameling
E met 93-maat 271.

Hiermede is dus aangetoond het be-
staan van een functie, die holomorf is
binnen de cirkel |z|=l en op een ver-
zameling E van stralen met lt;p-m a a t Iti de
radiale limiet O vertoont.

Dat het complement van de verzameling E ten opzichte
van de cirkelomtrek een residuel is, is een bijzonder geval
van de volgende stelling:

Zij f {z) een functie holomorf voor \\ z \\ lt; 1.
Op een verzameling E van stralen met cp-maat 27t is
lim, f (re?\'i) = 0.

De bewering is, dat het complement van E ten opzichte van
de cirkelomtrek een residuel is.

van (p waarvoor

positief getal zijnde.
Zij iEn = Hm.

n=in

Men kan bewijzen, dat Hm overal dicht is voor iedere m,
want was Hm niet overal dicht, dan zou

naar boven begrensd zijn opr=l — —,n = m, m-fl ....
lt;p\' lt; (p lt; lt;pquot;, (p\' en (pquot; vast.

Daar E de maat 27i heeft, mag worden aangenomen dat
9?\' en 9?quot; tot E behooren.

OA en OB met argumenten 9?\' en 93quot;, dus op sector OAB.
Dus f (z) is holomorf en begrensd op sector OAB en heeft
op een positieve maat van boog AB de radiale lim. 0.

Uit de hieronder genoemde stelling van Fatou-Riess volgt,
dat f (z) dan identiek nul moet zijn voor | z | lt; 1. Daar
dit niet het geval is, is Hm overal dicht.
Zij lim. Hm = Am of Am = lim. sup En.

Iedere waarde van agt;, hoorende tot En hoort tot een inter-
val met dezelfde eigenschap, tengevolge van het holomorf

zijn der functie. En is open. Hm is de vereeniging van aftel-
baar veel open puntverzamelingen, dus zelf open.

Am = Hl. Hg. . . . Hm.... is dus de doorsnede van af-
telbaar veel open puntverzamelingen, dus Am is een inwen-
dige grensverzameling en daar Hi, Hg, enz. overal dicht
zijn, is Am een residuel. Het complement van E is de door-
snede van Am. Ai/,m . Ai/^m----Ai/nm----dus de door

snede van aftelbaar veel residuels, bijgevolg het complement
van de verzamehng E van (p\'s, waarvoor lim. f (revi) = O is
een residuel.

De hierboven genoemde stelling van Fatou-Riess is door
Wolff 1) zeer eenvoudig bewezen.

Fatou\'s stelling: „a/s f {z) holomorf en begrensd is voor
\\z \\ c. 1 dan bestaat Urn. f [qevi) behalve misschen voor waarden

van (p, welker verzameling de maat nul heeftquot; is door de Gebr.
Riess als volgt gecompleteerd (Congres Stokholm 1916): „is
a een willekeurig getal, dan is deze limiet slechts voor een (p-ver-
zameling van de maat nul gelijk aan aquot;.

Dit resultaat wordt door Wolff afgeleid zonder van Lebesgue
integralen gebruik te maken.

tot de limes inferior van En voor n oo.
Dus de maat van de verzameling jdier waarden is hoog-
C

Gevolg: Als f (z) holomorf en begrensd is in een cirkelsecior
AOB en op een positieve tnaai van boog AB de radiale limiet
nul heeft, dan is f {z) identiek nul.

Bewijs: Zij AOB een cirkelsector gelegen in het z-vlak
(z = ge?\'») begrensd door OA {cp = 0) en OB (9? = a) en de
boog AB van de cirkel | z | = 1 (O ^ a).

We trachten nu AOB conform af te beelden op een cirkel
I t I = 1 van een t-vlak.

Immers met punt O van het z-vlak correspondeert het
punt O\' met tot coördinaten r = \\, xp = 0.

Loopt z van O naar A, dan loopt u van O\' naar -f oo.
Loopt z van O naar B, dan loopt u van O\' naar de oor-
sprong van het u-vlak.

Dus als p van O y^n gaat, dan loopt lt;p van a naar O
langs boog BA.
De transformatie v = u^ transformeert de hoek ingesloten

1 -fZg

,1 — z V

Met de verzameling van punten met positieve maat op
boog AB correspondeert een verzameling van punten met
positieve ,maat op 11 | = 1,

Dus de holomorfe en begrensde functie cp (t) heeft op een
verzameling van punten met positieve maat de radiale limiet
nul.

Uit de stelhng van Fatou-Riess volgt, dat de verzameling
van punten, waarvoor de radiale limiet nul is, hoogstens de
maat nul heeft.

Naast de definitie van een leege verzameling dient men
ook „verzameling uit 1 punt bestaandequot; te definieeren.

De afleiding door Osgood van de coëfficiënten van een
reeks, waarin een harmonische functie binnen een ring kan
ontwikkeld worden, is foutief.
Zie Osgood: „Lehrbuch der Funktionentheoriequot;, pag. 661.

De op blz. 393 van Carathéodory „Vorlesungen über Reelle
Funktionenquot;, afgeleide steUing moet luiden:

Is een functie f (P) op een meetbare puntverzameling E
meetbaar en daar aequivalent met een functie Q (P), dan is
Q (P) eveneens meetbaar op E, mits Q (P) op E gedefinieerd is.

Het bewijs van de stelling van Dini voorkomende in Cour-
sât: „Cours d\'Analysequot; deel III, blz. 453, kan vereenvoudigd
worden.

De door Mohrmann (Math. Ann., 79, 1919) gegeven clas-
sificatie der lijnenquadrupels berust op een onjuiste grond-
slag.

De driehoeksmeetkunde is de studie van de invarianten
van 4 punten uit het complexe vlak, waarbij één der punten
een bijzondere plaats inneemt ten opzichte van de 3 anderen.

Zie Klein: „Elementarmathematik vom höheren Stand-
punkte ausquot; deel II, blz. 322.

De eisch, die door Hjelmslev aan zijn: „Axioma\'squot; gesteld
wordt, is onhoudbaar.

Het onderwijs in de Mechanica dient niet in het leer-
vak Natuurkunde te worden opgenomen.

Zie Pierre Duhem: „La Théorie physique, son objet et sa
structurequot;, 2e Edition, pag. 23 en 24.

	1 quot;l	.)
1--	e9\'i gt; — a
		S

	lt;ioi	f-2
q	q\'	q