AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN
RECTOR-MAGNIFICUS Dr. H. TH. OBBINK, HOOOLEERAAR IN DE
FACULTEIT VAN GODGELEERDHEID, VOLGENS BESLUIT VAN DEN
SENAAT DER UNIVERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE
FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE, TE VERDEDIGEN OP
MAANDAG 1 JULI 1929, DES NAMIDDAGS TE 4 UUR

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De verschijning van dit proefschrift biedt
mij een welkome gelegenheid, U, Hoogleeraren In
de Faculteit der Wis- en Natuurkunde en Oud-
Hoogleeraar Korteweg aan de Oeni. Universiteit
te Amsterdam, mijn oprechten dank te betuigen
voor de lessen, die Ik van U mocht ontvangen.
Vooral geldt die dank U, Hooggeleerde Kramers,
hooggeachte promotor.

Gij hebt mij, hoewel Ik Uw leerling niet was, bij
voortduring Uw steun willen verkenen bij de studie
In de moderne Atoomtheorie.
Uw bemoedigende belangstelling en krachtige lei-
ding, die Gij bij de bewerking van dit proefschrift,
mij op zoo aangename wijze hebt geboden, zullen
mij steeds In dankbare herinnering blijven.
Gaarne betuig Ik nog mijn bijzondere erkentelijk-
heid aan Prof. Dr. A. F. Holleman, Redacteur
van „Archives Néerlandalses\'\\ die bereid was deze
studie In genoemd tijdschrift op te nemen.

■A--

So lange in der alten Quantentheorie die Betrachtungen an
ein mechanisches Bewegungsmodell mit seinen nicht-mechanisch
beschreibbaren Sprüngen geknüpft waren, besass die Intensitäts-
berechnung von Spektrallinien nur einen annäherenden Charakter.
Sie beruhte auf einer Anwendung des Bohrschen Korrespon-
denzprinzips. Die Unmöglichkeit auf dieses Prinzip eine genaue
Berechnung der Intensitäten zu gründen, hing aber eben mit der
Annahme zusammen, dass die stationären Zustände mechanisch
möglichen Bewegungszuständen entsprachen.

In der modernen Quantenmechanik, die als eine konsequente
quantitative Durchführung des Bohrschen Korrespondenzprinzips
angesehen werden darf, worin aber die klassisch-mechanische
Modellvorstellung verlassen wird, ist jedoch eine exakte Lösung
des Intensitätsproblems möglich. Im einfachen Fall des Wasser-
stoffatoms kann die absolute Intensität der Linien verschiedener
Spektralreihen, unter Vernachlässigung der relativistischen Fein-
struktur und der Spinkorrektion, das heisst der Korrektionen,
die nach der Goudsmit-Uhlenbeckschen Theorie des rotierenden
Elektrons angebracht werden müssen, exakt bestimmt werden.
Während SCIIRÖDINGER\') schon für einzelne Linien diese Berech-
nung hat durchgeführt, haben Pauli\'\') und Slack^) nach der
Methode von SCHRöDiNGER allgemeine Formeln gegeben für die

Lyman- und Balmerreihen; SUGIURA ebenso für die Paschen-
reihe, Epstein®) und Kuppers) für die höheren Serien.

Bei dem Wasserstoffatom ist das Kraftfeld, worin das Valenz-
Elektron sich bewegt, ein Coulombfeld, sodass die entsprechende
Wellengleichung exakt gelöst werden kann. Für Atome mit
mehreren Elektronen gilt dies nicht, und genau genommen hat
man es hier mit einem Mehrkörperproblem zu tun. In der alten
Theorie wurde schon angenommen, dass man ein Atom mit
mehreren Elektronen annäherungsweise so betrachten dürfte,
alsob jedes Elekton in einem Zentralfelde sich bewegt, dass von
dem Kern und den übrigen Elektronen erzeugt wird. Die ap-
proximative Gültigkeit dieser Annahme war ja gerechtfertigt
durch die Möglichkeit, jedem Elektron eine Haupt- und Neben-
quantenzahl beizulegen; hierauf beruhte wieder die Klassifikation
der optischen- und Röntgenspektra.

Es lag nun nahe diese Annahme auch beizubehalten, wenn
man sich auf dem Standpunkte der Quantenmechanik stellt. Die
Bewegung der Elektronen, und im besonderen diejenige der Va-
lenzelektronen, lässt sich annäherungsweise beschreiben durch
eine drei-dimensionale Schrödinger-gleichung, die einem gewissen
Zentralkraftfelde entspricht. Man darf annehmen, dass in dieser
Weise, jedenfalls annäherungsweise, die Intensität der Spektral-
linien, die den Sprüngen eines einzelnen Elektrons entsprechen,
berechnet werden kann. Es gelingt am besten, wenn das Atom
nur ein Valenzelektron besitzt. Die Komplikation der Wech-
selwirkung bei mehreren Valenz-elektronen, die nach der Theorie
von Heisenberg equivalent ist mit einem Resonanzproblem, tritt
in diesem Falle nicht auf.

Zunächst muss der Verlauf des effektiven Zentralfeldes des
Atoms, wofür die absolute Intensität des ausgestrahlten Lichtes
gesucht wird, bestimmt werden.

y. sugiura, Zs. f. Phys. 44, 190, \'27.
p. Epstein, Proc. Nat. Ac. 12, 633, \'26.
3) A, Kupper, Ann. d. Phys. 86, 511, \'28.

Hartree\') und Fues=) haben zum ersten Male, noch in der
Zeit, die der Entwicklung der neueren Quantenmechanik voran-
ging, eine Methode entwickelt zur Konstruktion eines den spek-
troskopischen Daten eines willkürlichen Atoms entsprechenden
Zentralkraftfeldes. Sie machten dazu die plausibele Annahme,
dass die effektiven Zentralkraftfelder, worin die verschiedenen
Elektrone sich bewegen, einander ungefähr gleich sind, wenn die
Anzahl der Elektronen jedenfalls nicht zu klein ist.

Diese Annahme macht es ja möglich das allen Elektronen
gemeinsame Kraftfeld mit ziemlich grosser Annäherung zu be-
stimmen. Sie hatten ein Kriterium für die Richtigkeit des Feldes
in der Forderung, dass die lonisierungsarbeit zur Entfernung eines
Elektrons aus einem bestimmten ?/i.-Zustande übereinstimmen
muss mit den empirischen Werten der Energieniveaus. Der Verlauf
des Kraftfeldes im Innern des Atoms folgt dann hauptsächlich
aus den Röntgen-niveaus, während die Termwerte der optischen
Spektren die bedeutendste Rolle spielen zur Bestimmung des
weiteren Verlaufs in der Peripherie des Atoms. Die Feinstruk-
tur, die zusammenhängt mit der Abweichung des Kraftfeldes
vom zentralen Charakter, wird hierbei in passender Weise ver-
nachlässigt.

In Übereinstimmung mit der damaligen Lage der Theorie,
benutzten FuES und PIartree die alten Phasen-integrale von

Phasenintegral des radialen Impulses den Wert {n — k)h.ti ist die
Hauptquantenzahl, k die azimuthale- oder Nebenquantenzahl.
Sie waren dadurch im Stande nach einer graphischen Methode
den Verlauf des Zentralkraftfeldes festzulegen.

Ungefähr 1925 zeigte sich immer deutlicher, dass sowohl für
die Energiewerte der Röntgenniveaus 3) wie für die optischen
Niveaus^) eine bessere Anpassung an die genannten Ouanten-
bedingungen erzielt wird, wenn das Impulsmoment den Wert

E. FUES, Zs.f. Phys. u, 364, \'22. 12, I, \'23. 13, 211. \'23. 21, 265, \'24.
3) G. Wentzel, Ann. Phys. 76, 803. \'25.

bekommt. sugiura und Urey \') haben diese neue Erkenntnis
benutzt zur Bestimmmung des Kraftfeldes einzelner Atome der
sechsten- und siebenten Periode des periodischen Systems. Es
ist ihnen gelungen nach der graphischen Methode die Anoma-
lien der genannten Perioden in Übereinstimmung mit der The-
orie von Bohr der seltsamen Erden zu erklären; im besonderen
konnten sie vorhersagen, dass in der siebenten Periode eine den
seltsamen Erden analoge Reihe zuerst bei der Atomnummer 95
anfangen wird.

In der modernen Quantenmechanik sind die Energieniveaus die
Eigenwerte der Schrödingerschen Wellengleichung und die Frage
erhebt sich, in wiefern den eben genannten halbzahligen Quan-
tenbedingungen Gültigkeit zukommt.

Tatsächlich hat Kramers\'\') gezeigt, dass man eine gute An-
näherung für die Eigenwerte der Wellengleichung eines Zentral-
problems, sowie es bei Atomen auftritt, bekommt, wenn das Prinzip
der halbzahligen Quantisierung der klassischen Phasenintegrale
zugrunde gelegt wird.

§ 3. Die Bestimmung der Stärke von Spektral-
linien mittels der Quantenmechanik.

Wenn einmal der Verlauf des Zentralfeldes bestimmt ist, so
kann die Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeiten mit Hilfe
der Wellentheorie von Schrödinger weiter durchgeführt werden.
Bekanntlich wird in der klassischen Theorie die pro Zeiteinheit
ausgestrahlte Energie eines Systems, dessen elektrisches Moment
eine harmonische Funktion der Zeit ist, bei Vernachlässigung
der Quadrupolstrahlung3) durch die Formel:

bestimmt, wenn C^, Cy und C die x,y und .s\'-Komponenten der
Amplitude des elektrischen Moments und v die Frequenz des
Oszillators bezeichnen.

H. A. Kramers, Zr. /. Phys. 3g, 828, \'26.
3) Rubinowicz. Zs. f. Phys. 53, 267, \'29.

In der Quantentheorie kann die Strahlung, die einem Uber-
gange eines Zustandes n nach einem Zustande vi entspricht,
durch drei karakteristische Amplituden, die in derselben Weise
die Ausstrahlung bestimmen, beschrieben werden. Die nähere
Untersuchung der Matrixvorstellung der Koordinaten und Funk-
tionen der Koordinaten hat gezeigt, dass diese Amplituden den
Gröszen zM 2 M quot; und 2 J/ quot; gleichgesetzt werden können.

ten der drei räumlichen Komponenten des elektrischen Moments
des Systems, die im Fall eines einzelnen Elektrons durch die mit
e, der Lading des Elektrons, multiplizierten Matrixkomponenten
der drei räumlichen Koordinaten bestimmt werden.

Die pro Sekunde durch ein Atom in der Form von Strahlung
mit einqr Frequenz v« ausgesandte Energie, wird also bestimmt
durch:

wenn A„„, den Einsteinsche Koeffizient für die Wahrscheinlich-
keit eines spontanen Emissionsüberganges vorstellt. Die ursprüng-
liche pseudo-klassische Argumentation, die zur Aufstellung dieser
Formel hat geführt, hat DiRAC\') ersetzt durch einen genaueren
quanten-mechanischen Beweis.

Die Matrixterme vT/^«, und ü/,;;, die zu einer bestimmten
Spektrallinie des Atoms gehören, können nun aus den dazu-
gehörigen Eigenfunktionen der Schrödingerschen Wellengleichung
durch Quadraturen berechnet werden. Diese Eigenfunktionen
lassen sich aber mit Hilfe graphischer oder numerischer Methoden
^us der bekannten Potentialkurve bestimmen.

Nachdem die Potentialfunktion V(r) mit gewisser Annäherung
bestimmt ist, sollen nämlich die Eigenfunktionen aus der Wellen-
gleichung :

- worin n, l und w b.z.w. die Haupt-, Neben- und magnetische
Quantenzahl bedeuten. P\'^{cosQ) ist eine Kugelfunktion, während
Rn,i der folgenden Diff. Gleichung genügt:

die, nach Abtrennung des Winkelbestandteiles^ aus der Difif.
Gleichung in hervorgeht.

sugiura\') hat auf dieser Grundlage die \'s für einige Linien
der Hauptserie des iVd:-Atoms berechnet. Er macht bei der
Lösung von (i) von dem Umstände Gebrauch, dass für grosse
Werte von r, dem Abstand des Valenzelektrons zum Kerne, das
Potentialfeld annäherend ein Coulombfeld ist. Die Difif, Gleichung (r)
wird in diesem Gebiet durch die Funktionen gelöst, die von
Whittaker als „confluent hypergeometric functionsquot; bezeichnet
sind. Die Lösung soll so gewählt werden, dass die Wellen-
funktion, in Ubereinstimmung mit den Grenzbedingungen, für
r^ c-^ null wird.

Für kleinere Werte von r betrachtet er jedesmal eine kurze
Strecke der Potentialkurve, die mit guter Annäherung durch:
b c

Wellengleichung mit Reihenentwicklungen. Wenn jedesmal auf
den guten Anschluss zwischen den in den verschiedenen Teil-
gebieten konstruierten Wellenfunktionen geachtet wird, so führt
dieser Prozess zuletzt zu einem bestimmten Verhalten der Eigen-
funktionen in der unmittelbaren Nähe von r = o. Wenn sich nun
herausstellt, dass die Wellenfunktion für r = o null ist, so ist
die zweite Grenzbedingung erfüllt und damit zugleich eine Kon-
trolle gegeben für die Richtigkeit der konstruierten Wellenfunktion.

Gleichzeitig mit den ^-Koeffizienten berechnet er die Stärke/
der Spektrallinie. Sie bestimmt das Verhältnis ihrer Dispersion
oder Absorption zu der Absorption oder Dispersion eines elas-
tisch und isotrop mit derselben Frequenz schwingenden Elektrons
nach der klassischen Theorie. Nach dem Gesetz von Thomas-
Kuhn gilt für ein System eines Elektrons in einem drei-dimen-

sionalen Kraftfelde für alle möglichen Übergänge aus einem
bestimmten Quantenzustande;

Aus den /-Werten der diskreten Terme der Hauptserie be-
rechnet sugiura noch, welcher Betrag dem kontinuierlichen
Teile des Absorptionsspektrums entspricht. sugiura hat mit
Recht den /-Werten der Absorptionslinien den negativen /-Wert
hinzugefügt, die zu der Sprungmöglichkeit vom 3, — Grund-
zustande dieser Reihe zu dem noch niedrigeren — Niveau des
Atomrumpfes gehört. Natürlich ist dieser Sprung im wirklichen
Atom nicht vorhanden; die Notwendigkeit des Sugiura\'schen
Verfahrens ist in einer neulich erschienenen Note von KrameRvS
und Kronig \') an der Hand des Pauli-prinzips näher untersucht,

Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist, in analoger Weise die
Übergangswahrscheinlichkeiten der yD — 2\'\'P und
Linien des ^rrt: -Spektrums zu berechnen. (Diese Bezeichnung ist den
Tabellen von Paschcn-Götze entnommen. Die Laufzahlen 3 und 2
stimmen überein mit den Werten 3 und 4 der Hauptquantenzahl).

Weil sich nur ein ValenzeJektron ausserhalb der abgeschlos-
senen Schalen des Atomrumpfes beiindet, können in derselben
Weise wie bei Na das Kraftfeld und die Übergangswahrschein-
lichkeiten berechnet werden. Im Falle zwei oder mehrerer Valenz-
elektronen würde die Wechselwirkung, nach der Resonanztheorie
Von Heisenberg =■), die Zerlegung in Terme verschiedener Multi-
Plizität bewirken, wodurch die Berechnung sich nicht so einfach
gestalten würde.

Die Bestimmung der Übergangswahrscheinlichkeiten der ge-
nannten Linien hat Interesse für astrophysikalische Probleme.

milne3) hat nämlich eine Erklärung gefunden für die An-
wesenheit der Ca-Wolken in den höheren Schichten der Chro-
mosphäre, in Anschluss an die bekannten Untersuchungen

Eddingtons über den Einfluss des Strahlungsdruckes auf den
Gleichgewichtszustand der Sterne. Er macht die Annahme, dass
sich dort nur einfach-ionisierte Ca-atome befinden, die in Gleich-
gewicht sind, indem der Strahlungsdruck gerade die Wirkung
der Gravitation aufhebt.

In seiner ersten Arbeit macht er die vereinfachende Annahme,
dass die aufeinanderfolgenden Prozesse von Lichtabsorption und
spontane Emission des Atoms, ausschliesslich zwischen dem
4,— und 4,—Zustande stattfinden, entsprechend dem ff-K-
Absorptionsdublett in dem Sonnenspektrum. In seinen Betrach-
tungen wird die Dublettaufspaltung zunächst vernachlässigt. Durch
die Absorption eines Lichtquants geht das Atom aus dem Grund-
zustande nach dem nächsthöheren 4, — Zustande und bekommt
dadurch einen von der Sonne abgewandten Impuls. Nach einiger
Zeit wird jedoch das Atom unter Aussendung von Licht der-
selben Frequenz wieder zurückfallen in den 4,— Zustand; jetzt
wird aufsneue Absorption stattfinden u.s.w. Die Impulsänderung,
die das Atom der spontanen Emission zufolge erleidet, ist im
Mittel null. Die induzierte Emission, die einen negativen Beitrag
zum Strahlungsdruck liefern würde, darf wegen der geringen
Anzahl von Atomen im 43-Zustande vernachlässigt werden.

Nennen wir jetzt die mittleren Verweilzeiten des Atoms im
4, — und 4, — Zustande t\' und t und vernachlässigen wir die Über-
gangszeit, so muss der Impuls, der von der Absorption eines
Lichtquants herrührt, dem Impuls, den das Atom unter dem
Einfluss der Gravitation beim freien Fall von t-I-t\' Sekunden
bekommt, gleichgesetzt werden. Die Zeitlängen t und t\' stehen
in Zusammenhang mit den A- und ^-Koeffizienten von Einstein,
so dass T eine Atomkonstante und t\' von der Strahlungsintensität
abhängig ist.

Unter der Annahme, dass die Strahlungsintensität der Photo-
sphäre in der unmittelbaren Nähe der H—K Linien diejenige ist
eines absolut-schwarzen Körpers von 6000°, kann auf Grund der
gemessenen relativen Intensitätin dem Zentrum der genannten
Absorptionslinien untersucht werden, welche die absolute Inten-

■) K. Schwarzschild, Berlin. Sitz. Ber., S. 1198, \'14; M. Minnaert,
B. A. N. 51, p. 78.

Nach der modernen Quantenmechanik ist es nicht notwendig
die Terminologie der Übergangszeit einzuführen. Diese braucht
erst in Frage zu kommen, wenn von Versuchen, wo die Energie
der einzelnen Atome gemessen wird, die Rede ist. Anstatt des-
sen darf man die Atome als teilweise sich in jedem der zwei
Zustände befindliche ansehen; der mittlere Strahlungsdruck und
die Schwankungen im Strahlungsdruck ergeben sich aber genau
nach denselben Formeln.

Mittels des Zusammenhanges, der wegen des postulierten Gleich-
gewichts zwischen der gemessenen residuellen Intensität der Ab-
sorptionslinie und T besteht, kann der Wert von —— be-
rechnet werden. Milne berechnet den Wert 0,6. io~®.

In der zweiten Arbeit wird gezeigt, weshalb das Gewicht des
Atoms in den höchsten Schichten der Chromosphäre vollständig
durch den Strahlungsdruck getragen wird. Er betrachtet dazu
den Gleichgewichtszustand in den aufeinander folgenden Schich-
ten eines vereinfachten Modells einernbsp;Chromosphäre und
zeigt, dass der Bruchteil der Masse, der durch den Druckgradient
getragen wird, auf grosser Höhe sich nach null nähern muss.
Wenn dieses nicht der Fall wäre, so würde eine sehr un-
wahrscheinliche Dichtigkeitsverteilung in der Chromosphäre die
Folge sein.

In der dritten Arbeit korrigiert er den gefundenen r-Wert, da
die statistischen Gewichte der verschiedenen Niveaus, die Dublett-
struktur der H-K-lÄmcn und die Sprungmöglichkeit vom 4,-
nach dem 33-Niveau unberücksichtigt geblieben waren. Wenn
nur die Gewichte in Betracht gezogen werden, so muss der
gefundene Wert von t mit drei multipliziert werden. Er gibt
an, dass die residuellen Intensitäten der H- und ^-Linien an-
näherend in umgekehrtem Verhältnis wie die Gewichte der
zugehörigen Komponenten der 43-Niveaus zu einander stehen
sollen. Eine neue Korrektion .von t wurde dadurch veranlasst.
Weil die experimentellen residuellen Intensitäten des Dubletts,
m Abweichung von seiner Berechnung, nur einen geringen Un-
terschied zeigen, wird diese Korrektion hinterlassen.

Niveau. Letzteres Niveau besitzt einen meta-stabilen Charakter,
weil kein direkter Übergang nach dem noch niedrigeren 4,-Niveau
stattfinden kann. Auf jeder Höhe der Chromosphäre wird jetzt
ein Teil der Atome aus dem 4,-Zustande nach dem 33-Zustande
hinübergehen können, entsprechend einer spontanen Emission
des /\'-Z^-Tripletts. Tatsächlich haben curtis und Burns \') diese
Linien in dem Chromosphäre-Spektrum der Sonne beobachtet.
Die Formel, die den Zusammenhang zwischen der residuellen
Intensität der H- und ^-Linien und der Lebensdauer x angibt,
wird jetzt nach Milne durch die neue Komplikation in dieser

wenn v\' und t\' sich auf den (4^—33)-Übergang beziehen. Die
Multiplett-struktur der Niveaus ist bei dieser Korrektion wieder
vernachlässigt.

der relativen Intensitäten der H-K- und ..T-Dubletts bestimmt
werden könnte, nicht bekannt ist, macht Milne zunächst die
Annahme, dass t\'ztt ist. Aus den bekannten Werten von v
und v\' folgt jetzt für t der Wert 2, 6.10-®. Wenn die Unsicher-
keit des Wertes von x und der Ergebnisse der Intensitätsmessung
des i^-ZsT-Dubletts beseitigt werden könnte, würde Milne den
Wert von t bis zu einem Prozent genau vorhersagen können.
Ein T-Wert, der etwas grösser ist als der mit der gemessenen
residuellen Intensität übereinstimmende Wert, würde nach seiner
Gleichgewichtstheorie einen Zusammensturz der Chromosphäre
zufolgehaben, während ein zu kleiner r-Wert eine ununterbrochene
Ausstössung von Clt;a: -atomen herbeiführt.

Die Messungen haben wahrscheinlich gemacht, dass letzteres
für die jungen Sterne der Fall sein muss. Es wird jedoch von
Milne diese Möglichkeit bei der Sonne abgelehnt, weil hier,
nach eventueller Ablösung einer gewissen (Tdi-Menge, im Laufe
der Zeit doch das Gleichgewicht in einer breiteren Chromosphäre
wiederhergestellt sein musste.

wird also einen Beitrag liefern können zu einer näheren kritischen
Betrachtung der Milne\'schen Theorie.

Das Prinzip, dass den Berechnungen von SüGlURA zu Grunde
liegt, wurde unverändert übernommen. Durch die halbzahlige
Quantenbedingung wird der Potentialverlauf bestimmt. Die Matrix-
komponenten der Amplitudo werden mittels der nach graphischen
Methoden bestimmten Wellenfunktionen berechnet, und diese
hängen wieder nach der Quantenmechanik in bekannter Weise
zusammen mit den / und A der betreffenden Spcktrallinien.

In verschiedener Hinsicht weicht jedoch die benutzte Nähe-
rungsmethode von der Methode von SUGIURA ab, während
ausserdem die Resultate noch durch weitere Berechnungen kon-
trolliert wurden.

In Kap. II wird das Zentralfeld im Ca -ion untersucht.
Zuerst wird nachgeprüft, inwiefern die Potentialkurve, die
der Näherungsformel von Fermi \') und ThOiMAS \') für die Poten-
tialfunktion eines beliebigen Atoms entspricht, mit der halb-
zahligen Quantenbedingung in Übereinstimmung ist. Die genannten
Autoren hatten diese Formel auf Grund statistischer Betrachtungen
für ein neutrales Atom aufgestellt. In guter Übereinstimmung
mit der Theorie von Bohr des periodischen Systems konnte
von Fermi festgestellt werden, für welche Atomzahlen die j,/,
und /-Elektronen nach einander in dem neutralen Atom zuerst
auftreten.

In einer andren Arbeit 3) ist es Fermi gelungen in befriedigender
Weise den allgemeinen Verlauf der Rydbergkorrektionen für
die j-Terme der Atome mit einem Valenzelektron zu bestimmen.

Im Falle von Ca stellt sich heraus, dass der Verlauf der
Fermi-Thomas Kurve in der Nähe des Ursprunges richtig ist. Das
Feld muss dort einen Coulombschen Charakter besitzen während
die Grösse der äusseren Abschirmung aus dem bekannten Werte

L. H, Thomas, Proc. Cambr. Phil. Soc. 23, 542, \'26.
3) E. Fermi, Zr. /. Ph. Bd. 49, 550, \'28.

des .^/-Röntgenniveaus bestimmt werden kann. Es zeigt sich,
dass der Verlauf der Fermikurve damit in guter Übereinstim-
mung ist. Da bei 67« , im Gegensatz zum neutralen Atom, für
grosse r-Werte wiederum ein Coulombfeld herrscht, das,von einer
Punktladung mit zwei Elementarladungen herrührt, haben wir,
nach Fermi\'s Vorgang, das Feld aufgebaut aus dem Fermi-
Thomas Feld für ein neutrales ^r-Atom und dem Coulombfeld
von zwei Elementarladungen.

Es zeigt sich, dass die aus dieser Kurve abgeleiteten Werte
der radialen Phasenintegrale für verschiedene Niveaus bedeutend
abweichen von den Werten, die nach der halbzahligen Quanten-
bedingung gefordert werden. Die Kurve ist deshalb derartig um-
gestaltet, dass sie so gut wie möglich den genannten Bedingun-
gen entspricht.

In Kap. III werden die Eigenfunktionen berechnet. In Abwei-
chung von der Methode von sugiura wird die Näherungsmethode
von Krämers \') benutzt, die in enger Verbindung steht mit einer
zugleicherzeit veröffentlichten allgemeinen Näherungsmethode
von Brillouin\') und Wentzel^). Kramers hat in seiner Ar-
beit allgemein gezeigt, dass für ein System mit einem Freiheits-
grade, wo die klassische Bewegung einen oszillatorischen Charakter
besitzt, die Energieniveaus mit grosser Annäherung bestimmt
werden können, indem das Phasenintegral der klassischen Theorie
halbzahligen Vielfachen von h gleichgesetzt wird. Der Beweis
wird geliefert durch die Aufstellung von Näherungsformeln für
die Schrödingerfunktion, die von derselben Art sind wie die von
Wentzel und Brillouin betrachteten Formeln. Diese Formeln
erlauben den Verlauf der Wellenfunktionen in den drei Gebieten,
die durch die zwei klassischen Umkehrpunkte der Bahnen des
Teilchen getrennt sind, in gewisser Annäherung zu bestimmen.
In den für jedes dieser Gebiete gültigen Ausdrücken der annäh-
ernden Wellenfunktion kommen noch unbestimmte Koeffizien-
ten vor. Durch nähere Betrachtung der Lösung der Diff. Gleichung
in der Nähe der Umkehrpunkte, kann diese Unbestimmtheit
aufgehoben werden.

Die sofortige Anwendung dieser Methode auf die Differential-
Gleichung, die sich auf das Zentralfeld im Atom bezieht, führt
jedoch zu Schwierigkeiten. Nennen wir r. und r, (r,lt;r,) die
Werte von r, die den j-Ausdruck in (i) null machen, so nimmt
Kramers an, dass seine allgemeinen Betrachtungen für Werte von
r in der Nähe des zweiten Umkehrpunktes (r—r,), hinreichend sind.

Bei Tauchbahnen, wie die 4,- und 4,-Bahnen des Ca -Atoms,
ergibt jedoch die Konstruktion der Wellenfunktion nach dieser
Methode für kleine r-Werte ein schlechtes Resultat. Kramers
zeigt aber, dass in der Nähe von r — o und dem ersten Umkehr-
punkte eine Besselfunktion in vielen Fällen den Verlauf der
Wellenfunktion richtig angibt.

Unsre Berechnungen zeigen, dass die Kramerssche Konstruktion
auch vorbei dem zweiten Umkehrpunkte nicht genügend genau
ist. Wir benutzen aber den Umstand, dass das Kraftfeld hier
praktisch einen Coulombschen Charakter besitzt, wodurch die
Diff. Gleichung (i) eine einfache Form annimmt und direkt inte-
grabel ist. Mittels einer asymptotischen Reihenentwicklung in
dem Gebiete grosser r-Werte, konnte jetzt eine bessere Annähe-
rung erreicht werden, während der Anschluss mit dem Verlauf
der Näherungsfunktion zwischen den Umkehrpunkten, mittels der
Sattelpunktmethode erhalten wurde.

In Kap. IV werden die Übergangswahrscheinlichkeiten berech-
net. Zur Berechnung der A\'s der //- K- und A-Linien wird es
genügen, nur die Matrixkomponenten zu betrachten, die den
Übergängen, wobei die magnetische Ouantenzahl in den Wert
null hat und nicht springt, entsprechen. Mittels der bekannten
Intensitätsformeln der Zeemanaufspaltungen, kann sodann leicht
der Wert von ƒ und A für die ganze Spektrallinie berechnet
werden.

Bei diesen Berechnungen ist die Dublettstruktur des d:a -spek-
trums vernachlässigt; die Berechtigung dieses Verfahrens folgt
aber sogleich aus der spektroskopischen Stabilität. Mittels der
Intensitätsformeln der Multiplettlinien von Kronig-HöNL kön-
nen die A und ƒ für jede Multiplettkomponente leicht berechnet
werden.

Nach der Quantenmechanik besteht ein einfaches Verhältnis
zwischen den Matrixkomponenten der Koordinaten des Elektrons

und den Matrix-komponenten seiner Geschwindigkeit und Be-
schleunigung. Wir untersuchen ob dieser Zusammenhang zurecht
besteht und erhalten so eine Kontrolle für die Richtigkeit der
durch unsre Berechnungen bestimmten Wellenfunktionen und des
Potentialfeldes. Die Matrixkomponenten der Geschwindigkeit und
der Beschleunigung können nämlich auch unabhängig von diesem
Zusammenhang berechnet werden.

Diese Grössen werden durch einfache Operatoren dargestellt
und die dazugehörigen Matrizen durch Quadraturen bestimmt.
Mit den Matrixkomponenten der Geschwindigkeit konnte die
Kontrolle durchgeführt werden und lieferte eine befriedigende
Übereinstimmung. Im Falle der Beschleunigung stellte sich heraus,
dass die Kontrolle illusorisch war, da sie eine viel genauere
Kenntnis des Potentialfeldes und der Wellenfunktion in der Nähe
des Kernes forderte als mit den benutzten Methoden erreicht
werden konnte.

Diese Werte beziehen sich auf die wie eine einzelne Linie
betrachteten H-K und vY-Multiplettlinien.

Diese Werte sind zu hoch verglichen mit den Resultaten der
Milne\'schen Arbeit, sodass nach unsren Rechnungen das Cal-
cium in den höchsten Schichten der Sonnenchromosphäre sich
nicht in Gleichgewicht befinden wird. Nach dem Erscheinen der
Milne\'schen Arbeit haben jedoch mehrere Autoren sich mit dem
Problem des Calciums in der Sonnenchromosphäre beschäftigt»).
WOLTJER ersetzt die Milne\'sche Untersuchung eines statischen
Gleichgewichts durch eine Untersuchung über das dynamische
Verhalten der Calcium-atmosphäre. Obgleich es ihm nicht gelingt
eine in allen Hinsichten befriedigende Theorie durchzuführen,
kommt er jedenfalls auf Grund der von uns berechneten Werte
zur Auffassung, dass ein fortwährender Strom von d:^z -Atomen
die Sonnenchromosphäre verlassen muss. Die Frage, ob diese

Dieses Resultat unserer Arbeit wurde in einer vorläufigen Mitteilung in
»Naturwissenschaftenquot; (17, i2i.\'2g) publiziert.

J. WoLTjER, B.A.N. 167, pg. 43, B.A.JV. 157, pg. 259. A. UnsöLD;
Z. f. Phys. 44, 793, \'27- 46, 765, \'29.

Ca-Mengen tatsächlich nicht mehr zur Sonne zurückkehren, ver-
mag er aber nicht mit Sicherheit zu beantworten.

Auf das schwierige astrophysikalische Problem der Q:-Wolken
in der Sonne sind wir in dieser Arbeit nicht weiter eingegangen.
Wir möchten nur bemerken, dass die Milne\'sche Behauptung,
man könne die Werte der H-K-Umtn bis auf ein Prozent aus
den Sonnenwahrnemungen bestimmen, sicherlich nicht ohne weitere
Untersuchung aufrecht erhalten werden kann.

KAPITEL II.
DIE POTENTIALFUNKTION.
§ I. Die Eigenfimktionen und Eigenwerte
in dem Zentralfelde eines Atoms.

Die Wellenfunktionen und Eigenwerte E der stationären
Zustände eines Massenteilchen der Masse m in einem Zentralfelde
mit der potentiellen Energie V{r) werden bei Vernachlässigung der
l^elativitäts- und Spinkorrektionen erhalten aus der Gleichung:

Wegen der Invarianz der Gleichung bei Drehung des Koor-
dinatensystems, müssen die Eigenfunktionen durch Lösungen der
Form: lt;sj—fi (;-) Yi (0, x) dargestellt werden können, r, 0 und x
sind Polkoordinaten.

bedeutet. Pi {cos 6) stellt eine Legendre\'sche Kugelfunktion dar.
m und l sind ganzzahlig und genügen den Beziehungen:/gt;;«gt;o.
d-mi sind willkürliche Koeffizienten.

Die Diff-Gleichung {4). der der radiale Teil der Wellenfunktion
genügt, ist gerade die Wellengleichung eines Massenteilchens, das
sich befindet in einem eindimensionalen Kraftfelde mit der poten-
tiellen Energie:

Nach der Wellenmechanik werden jetzt die Lösungen von (4)
betrachtet, die in dem Intervalle r — O-*- r — 00 eindeutig, kon-
tinuierlich und überall-endlich sind. Wenn das Kraftfeld ein
Coulombfeld ist, so existiert eine Anzahl diskreter Eigenwerte und
Eigenfunktionen für E o, während für E gt; o jedem JvWerte
eine Eigenfunktion entspricht.

Betrachten wir jetzt den allgemeinen Fall eines Zentralfeldes,
sowie es in einem willkürlichen Atom vorkommt. Für grosse

Atomrumpfes bezeichnet. In der unmittelbaren Nähe des Kernes
ist: V—---Va, weil hier die Feldstärke dargestellt wird

der Verlauf der Potentialfunktion von der Elektronenkonfiguration
des Atomrumpfes abhängig.

dargestellt, während die Ordinatwerte der Parallelen b, c, d, e
dem Werte: — 2 w E für einige Energieniveaus gleich sind. Durch
den Unterschied der Ordinatwerte der «-Kurve und einer der
Parallelen wird für das entsprechende Energieniveau der Verlauf
der 7-funktion (4) dargestellt.

Für Ec^o wird die _y-Funktion im allgemeinen zwei Null-
punkte und r, (r^C^r,) besitzen, sodass^ positiv ist zwischen
und r,. In der klassischen Mechanik stellen diese Werte den
minimalen b.z.w. maximalen Abstand des bewegenden Elektrons
vom Kerne vor, wenn das Kwadrat des Bahnimpulsmomentes
durch:

In fig. (II) ist der Verlauf skizziert einer Wellenfunktion, die
zu dem Energieniveau der Linie (d) in fig. (I) gehört. In der
Quantenmechanik geht nämlich aus dem Verhalten der ^-Funktion
hervor, dass für E lt;; o diskrete Eigenwerte existieren mit zuge-
hörigen Eigenfunktionen, die in dem ganzen r-Gebiete endlich

sind; für r ~ nähern sie sich exponentiell nach null, während
sie für r — O gleich null sind. (Dieses bleibt auch richtig für
/ o in Zusammenhang mit dem besonderen Verhalten der
Potentialfunktion in der Nähe des Ursprunges).

Für Werte von r zwischen den Nullpunkten der j-Funktion
besitzt die Wellenfunktion einen oszillatorischen Charakter, wofür
wir immer das Wort „cos-Charakterquot; gebrauchen werden. Die
Anzahl der Nullpunkte von R kann die Werte: o, 1,2---- an-
nehmen. Nennen wir diese Anzahl n—l—l, so bezeichnet n gerade
die Bohrsche Hauptquantenzahl, während die Nebenquantenzahl
k von Bohr immer gleich (/ i) ist.

Ein willkürlicher stationärer Zustand des Elektrons wird durch
das Symbol tik bezeichnet.

In fig. (II) ist der Verlauf der Wellenfunktion skizziert für eine
gerade Anzahl von Nullpunkten. Ist die Anzahl der Nullpunkte
ungerade, so ist das Zeichen der Wert der i?-Funktion für Werte
von r und von rgt; r^ verschieden.

Für E = o hat sich der zweite Nullpunkt in fig. (1) ins Unendliche
entfernt. Für E gt; o existiert für die ^-Funktion nur ein Nullpunkt.
Für jeden E-Wert existieren jetzt überall-endliche Lösungen, die
fürnbsp;einen oszillierenden Charakter besitzen. Diese Lösungen

entsprechen Zuständen, in welchen das Elektron frei ist; sie
bleiben für unser Problem ausser Betrachtung.

§ 2. Die halbzahlige Quantisierungsregel des radialen
Phasenintegrals in der Wellentnechanik.

Kramers 1. c. S. 4 hat gezeigt — auf den Beweis werden
wir nachher bei der näheren Betrachtung der Wellenfunktion
zurückkommen —, dass die diskreten Eigenwerte K lt; o mit
grosser Annäherung der Beziehung genügen:

wobei die Integration einmal hin und zurück zwischen den
Nullpunkten des Radikanden erstreckt wird. Die linke Seite stellt
gerade vor das radiale Phasenintegral der klassischen Mechanik
für ein Teilchen mit dem Impulsmomente: (/-f- §) K. In der älteren
Form der Quantentheorie genügte das Impulsmoment im Falle
der Zentralbewegungen der Quantenbedingung:

Während für das radiale Phasenintegral die Beziehung galt:
ƒnbsp;w (1-:- V{r)nbsp;k) h.

Es geht also aus der Gleichung {5) hervor, dass die Sommer-
feldsche Ouantisierungsregel annäherend richtige Resultate liefert,
wenn die ganzzahlige Quantisierung durch eine halbzahlige
Quantisierung ersetzt wird.

Wenn in der Atomtheorie von halbzahligen Quantenzahlen die
K.ede ist, kann sich dieses auf zwei verschiedene Sachen beziehen.

Erstens kommt es vor, wie in dem von uns betrachteten Fall,
wenn man mittels mechanischer Modelle die Eigenschaften der
von der Wellenmechanik beherrschten Atomstruktur anzunähern
versucht. Die durch die ganzen Zahlen n und / gekennzeichneten
stationären Zustände werden dann gefunden, indem man die
Phasenintegrale der alten Theorie halbzahligen Vielfachen von

Der zweite Fall der halbzahligen Quantisierung ist ein wesent-
licher Bestandteil der modernen Quantenmechanik, und tritt
^quot;f, wenn der Einfluss des rotierenden Elektrons in Betracht
genommen wird. Bei der Beschreibung der anomalen Zeeman-
aufspaltungen von Dublett-, Quartettspektra u.s.w. hatte Lande
schon entdeckt, dass die Klassifikation der Tcrme eine halbzahlige
magnetische Quantenzahl fordert. Diese Halbzahligkeit findet man
\'n der modernen Theorie des rotierenden Elektrons auch zurück.

Die halbzahlige Quantisierung wird jetzt benutzt um in
dem konkreten Fall von Ca^ das Potentialfeld des Atoms zu
bestimmen. Hierbei gelten dieselben Überlegungen wie die von
Urey und sugiura (I.c.S.4.u.6). Die Potentialfunktion muss der An-
forderung genügen, dass die der Spektroskopie entnommenen
L-Werte in die linke Seite von (5) substituiert, mit den richtigen
Werten von n und / an der rechten Seite von (5) übereinstimmen.
^ Nach der Theorie von Bohr des periodischen Systems der
Elemente ist der Atomrumpf von Ca-^ b.z.w. aufgebaut aus zwei i,,
zwei 2„ sechs 2,, zwei 3, und sechs 3,-Elektronen. Der Grund-

zustand des einmal ionisierten (ITa-Atoms ist der 4,-Zustand. Die
angeregten Zustände sind in der Reihenfolge wachsender Energie
die 33, 4^.....Zustände.

Die Spektrallinien (4. ^ 4,) und (33 ^ 4,) sind b.z.w. identisch
mit dem Fraunhoferschen //-iT-Dublett:

im Sonnenspektrum. Die Multiplettaufspaltung lassen wir vor-
läufig ausser Betracht.

Der direkte Ubergang 4, 33 kann nicht vorkommen, weil nur
Sprünge von um -fi oder — i möglich sind. Der 33-Zustand
ist ein meta-stabiler Zustand, gewissermassen vergleichbar mit
dem Grundzustande von Ca .

Während im Fall des Wasserstofifatoms immer ein höheres
Energieniveau zu einem grösseren Werte der Hauptquantenzahl
gehört, macht die angegebene Niveau-lage im C«-Atom darauf
zum ersten Male eine Ausnahme, wenn die Atome in der Reihe
wachsender Atomnummer betrachtet werden. BoHR hat bekannt-
lich gezeigt, dass dies eine Folge ist des Tauchbahncharakters
der Bahnen mit niedriger Nebenquantenzahl.

* Die Niveauaufspaltungen sind bei den folgenden Berechnungen
vernachlässigt. Die v-Werte der Komponenten sind durch einen
Mittelwert ersetzt.

Wenn V in solcher Weise konstruiert worden ist, dass diese
drei Niveau-Werte in die Gleichung (5) substituiert, das richtige
Resultat ergeben, so müssen automatisch auch die Energiewerte
der höheren ;u-Zustände dieser Gleichung genügen. Diese Ener-
giewerte werden nämlich für einen gegebenen /^-Wert mit grosser
Annäherung berechnet aus einer Rydberg-Formel:

worin der Quantumdefekt ausschliesslich von k abhängig ist.
Berechnet man andrerseits in der Wellenmechanik die Energie-
zustände der höheren «^-Niveaus mittels {5), so wird, weil V
ausserhalb des Atomrumpfes praktisch einen Coulombschen Cha-
rakter besitzt, auch aus der Theorie ein konstanter Quantum-
defekt in jeder Termreihe resultieren. Die Anpassung des Poten-
tialfeldes an die 4x, und 33-Niveaus wird also selbstverständlich
die Anpassung aller höheren S, P und Z^-Niveaus zufolge haben.
Eine Betrachtung der n^-, «j-Zustände u.s.vv. würde ohne Bedeu-
tung sein, weil diese zu sehr wasserstoffähnlich sind.

In § 2 Kap, I. wurde schon mitgeteilt, dass man zur näheren
l^estimmung des Potentialverlaufes in dem Atominnern die expe-
rimentell-bestimmten Röntgenniveaus benutzen kann. Hierbei
Wurde vorausgesetzt, dass die h\'nergie, die z.B. zur Entfernung
eines i,- oder 2a-Elektrons aus dem Atomrumpfe nötig ist, der
grossen Zahl der Elektronen zufolge praktisch denselben Wert
hat wie das Energieniveau eines in dem effektiven Potentialfelde
des Atoms bewegenden Extra i,-, oder 2,-Elektrons.

Die folgende Tabelle gibt die Grösse der für unser Problem
wichtigen Röntgen-niveaus an:

* Die Werte und Bezeichnung der Röntgenniveaus sind den
Tabellen von Siegbahn entnommen. Die umränderten Zahlwerte
sind durch Extrapolation erhalten und also weniger zuverlässig.
Gleichwie bei den optischen Niveaus, ist die vom Elektronen-
spin herrührende Aufspaltung {Lu und Ln, z. B.] vernachlässigt.
Diese Aufspaltung ist hier klein, sodass wir einfach den Mittel-
wert genommen haben.

Zur Bestimmung der mit den experimentellen Daten überein-
stimmenden Potentialfunktion wird die folgende Einheiten-Trans-
formation benutzt. Die neue Energie-Einheit ist die zu dem
Grundzustande des Wasserstofatoms gehörige lonisationsarbeit E^.
Aus dem alten Modelle des Wasserstoffatoms wird die Beziehung
erhalten:

den Radius der kreisförmigen Grundbahn des Elektrons vorstellt.
Die neue Längeneinheit ist a«. In den neuen Einheiten werden r,
—E und V{r) b.z.w. durch: p, e und v(p) bezeichnet. Zwischen
den alten und den neuen Einheiten gelten die Beziehungen:
(8)nbsp;r=pa,; E--zE,- V{r) = v{p)E,.

i p™. p - pquot; quot;(p)-
^max UnO Pfttin sind die zu den Umkehrpunkten der klassischen

Nach der Methode von Fues (I.c.S.3) wird jetzt die A-Grösse als
eine Funktion von p graphisch bestimmt.

In der Figur (III) sind die zu den l„ 2„ 3,,4i. 2., 3=» 33-Niveaus
gehörigen Parabeln in derselben Weise bezeichnet. Durch die
pquot;t;(p)-Kurve wird die bei unsren Berechnungen benutzte -p\'v(p)-
Funktion dargestellt, während der Verlauf dieser Funktion nach
der Fermi\'schen Theorie durch Fwird dargestellt. Die punktierten
Linien (20) und (2) entsprechen der - p\'z; (p)-Funktion im Fall
eines Coulombfeldes mit der Kernladungszahl (20) und (2).

Wenn in der Figur (III) die Funktion: ep\' (/ \'/«)\' für die
verschiedenen Niveaus durch die Parabeln und die Funktion
~p\'v(p) durch die Kurve p\'v(p) abgebildet sind, erhält man
aus der Differenz der genannten Funktionswerte für die ver-
schiedenen p-Werte die Abhängigkeit der ^-Funktion von p; sie
lässt sich aus der Figur sofort ablesen.

Als Fues und Hartree (l.c.S. 3) noch .mit ganzzahligen
Phasenintegralen rechneten, waren mit diesem Verfahren zur Be-
stimmung des Veriaufs der p^ 7;(p)-Funktion keine grossen Schwie-
rigkeiten verbunden. Da die radialen Phasenintegrale der Bahnen,
wofür «= k ist, den Wert null besassen, sollte die p\' 7/(p)-Kurve
die zu diesen Bahnen gehörigen Parabeln berühren.

Wenn man jedoch die halbzahlige Quantisicrungsregel (9) be-
nutzt, so wird die Aufgabe zur Bestimmung der p»f(p)-Kurvc
schwieriger.

Zur Erhaltung einer vorläufigen Einsicht in den Verlauf der
Potentialkurve, haben wir zuerst die Betrachtungen von H. Y.
Thomas und E. Fermi (l.c.S. i i) hinsichtlich der allgemeinen Form
des Potentialfeldes im Atominnern benutzt.

Thomas und Fermi betrachten den klassischen Phasenraum
mit den Koordinaten x, y, s, Px, py und der einem zentralen
Kraftfelde mit der potentielen Energie V entspricht, und be-

haupten, dass in dem Grundzustande eines neutralen Kernatoms
die Wahrscheinlichkeit ein Elektron in diesem Phasenraum
innerhalb der Fläche:

In jeder Phasenzelle der Grösse Ii\' sind also zwei Elektronen
enthalten. In der Sprache der Fermi-Statistik könnte man reden
von einem Elektronengase um den Kern in jenem Zustande
völliger Entartung, der bei dem absoluten Nullpunkte auftritt.

Die Anzahl der Elektronen, die nach dieser Behauptung durch-
schnittlich in einem Volumenelement dk in der Entfernung r
von dem Kerne enthalten sind, muss dann gleichgesetzt werden:

Es wird jetzt angenommen, dass die mittlere Ladungsdichte oquot;,
die man bekommt durch Multplikation des Faktors von dk in
dieser Formel mit der elektrischen Ladung e, mit der poten-
tiellen Energie Fdurch die Gleichung von Poisson zusammenhängt:

und die zu den verschiedenen Werten von .tr gehörigen (f-Werte
in einer Tabelle vereinigt.

Als Anwendung had Fermi in interessanter Weise nachgewiesen,
dass in diesem Zentralfelde die Elektrone mit kleinerem «- und

grösserem /(quot;-Werte eine lösere Bindung besitzen können als die
mit grösserem n- und kleinerem /^-Werte, entsprechend der
Bohrschen Erklärung der Anomalien im periodischen System.

Aus der Fermischen Theorie wird in befriedigender Weise
abgeleitet, für welche Atomnummer Bahnen eines bestimmten
?/^-Typus zum ersten Male auftreten.

Mit Rücksicht auf unser Problem suchen wir den Verlauf des
Kraftfeldes in einem zweifach-ionisierten Atom, das, im Gegensatz
zum Thomas-Fermischen Potentialfelde für grosse r-Werte
ein Coulombfeld ist, Nach der von Fermi in seiner zweiten
Arbeit\') benutzten Methode, addieren wir zur Bestimmung des
Kraftfeldes in unsrem Falle das thomas-fermi-Feld eines
neutralen Atoms mit der Kernladung i8 zu einem Coulombfelde,
das zwei Elementarladungen entspricht. Der Einwand liegt nahe,
dass das in dieser Weise konstruierte Zentralfeld für wachsende
r-Werte nicht schnell genug zu einem Coulombfelde zweier
Elementarladungen reduziert wird, da man bei einer grösseren
Kernladungszahl als i8 — in unsrem Falle 20 — erwarten wird,
dass die achtzehn Elektrone des Atomrumpfes näher um den
Kern gedrängt werden. Diese Erwartung wird auch durch die
weiteren Betrachtungen bestätigt.

Es scheint nicht möglich, auf dem Grunde der Fermischen
Betrachtungen die Theorie so zu verfeinern, dasz man imstande
wäre sofort einen allgemeinen Potentialverlauf für ionisierte Atome
zu konstruieren.

In der Figur (III) ist die so berechnete Potentialkurve, die wir
einfachkeitshalber die „Fermikurvequot; nennen werden, durch eine
punktierte Linie F angedeutet. Aus der Figur (III) lesen wir die
y4-Werte sofort ab.

Niveaus konstruiert und daraus mit dem Planimeter die Phasen-
integrale (9) bestimmt.

Aus der Tabelle geht hervor, dass die Fermi-kurve für grosse
\'■-Werte zu niedrig verläuft. Für kleine Werte kann das Ver-
halten dernbsp;Kurve in folgender Weise kontrolliert werden.
Das Potentialfeld ist hier praktisch ein Coulombfeld, das einer
Kernladungszahl entspricht; es gilt deshalb:

Durch die Einführung der Grösse C wird der äusseren Ab-
schirmung des /O-Röntgenniveaus Rechnung getragen. Nach der
Tabelle (i) ist = —297,5 während für die Energie eines
einzelnen Elektrons in einem Coulombfelde von zwanzig Elemen-
arladungen gilt: —400Eo- Der Unterschied kommt offenbar
auf Rechnung von C in (13), sodass dr= 102,5. Unsre p\'v(p)-
Kurve genügt also für kleine p-Werte der Gleichung:
p\'v(p) = -40 p 102,sp\\
Die Neigung der Tangente in dem Ursprünge, die durch den
linearen Bestandteil des rechten Gliedes dieser Gleichung bestimmt
wird, fällt eo ipso mit der Neigung der Fermikurve zusammen.
Wenn man auch den quadratischen Term 102,5 P\' berücksichtigt,
so ist der Anschluss an die Fermi-kurve bis ungefähr p —0.12
sehr befriedigend.

Der weitere Verlauf der •y(p)-Kurve wird jetzt
bestimmt, indem sie soviel höher als die Fermi-kurve
gezeichnet wird, dass sie der Bedingung (9) für die
verschiedenen Niveaus so gut wie möglich entspricht.
Wir haben uns zuletzt mit der gezeichneten p^v(p)-
Kurve begnügt, welche die folgenden Phaseninte-
grale liefert:

28
12-

II -

JO-
A

8-
7J

von Siegbahn angegebenen Wert 2,0 benutzt. Für
das entsprechende Phasenintegral wurde dann der
Wert 1,61 statt des theoretischen Wertes 1,5 be-
rechnet. Benutzen wir jedoch den ^-Wert dieses

Niveaus:nbsp;2,31, welcher den neueren Unter-

suchungen von Mulder entnommen ist, so be-
kommen wir
den in der Ta-
belle erwähn-
ten Wert 1,55,

\') Mulder,
Arch.Xéerl.ig2-j

r.p

grals in Tabelle (4) sind aus diesen Kurven
berechnet.

Aus praktischen Gründen sind die an-
gegebenen Ordinatwerte der 4,-Kurve in
Fig. VI zweimal zu klein genommen.

Hinsichtlich der ziemlich grossen Abweichung von dem theo-
retischen Wert beim Phasenintegral des i,-Niveaus, musz man
bedenken: erstens, dass die graphische Methode in diesem Falle
etwas ungenau ist; zweitens, dass die Regel der halbzahligen
Quantisierung hier aus theoretischen Gründen weniger genau sein
wird als für die meisten andren Niveaus.

Wir können aus dem Verlaufe der gewählten Potentialkurve
(Fig. III) eine Vorstellung bekommen der Ladungsverteilung im
Atomrumpfe. Wenn «r wieder die Ladungsdichte bezeichnet, so
ist die Ladung in der zu dem Intervalle (r -«- r dr) gehörigen
Kugelschale : a. r\' dr.
Da:

in Fig. (III) die Funktionswerte von p\' v{p) — (f (p), und berechnen
die Ladung der Kugelschale mittels der Formel:

Differenz; die Berechnung kann hier also keine grosse Genauig-
keit beanspruchen. Überhaupt hat das zweimalige Differentiieren
der graphischen Kurve notwendig zur Folge, dass wir in dieser
Weise nur eine ziemlich grobe Abschätzung der Ladungsverteilung
erhalten.

Kurve und der p-Achse in Fig. VII bestimmt wird. Wir erhalten
den Wert 22^, wahrend der richtige Wert 18^, die Gesamt-
ladung der Elektronenwolke ist. Die ziemlich grosse Abweichung
erklärt sich aus der groben Abschätzungsmethode.

Die Figur (VII) zeigt in auffallender Weise, wie die Ladung
in der Nähe des Kernes zusammengedrängt, ist. Wir sind auch
imstande die Richtigkeit davon zu bestätigen. Es ist nämlich

möglich, wie Hartree (l.c.S.3) zum erste Male gezeigt hat, noch
in andrer Weise die Ladungsverteilung des Atoms zu untersuchen.

Wir betrachten dazu für jedes der achtzehn Rumpf-elektrone
die Wellengleichung (2). Die F-Funktion sei das von uns kon-
struierte Potentialfeld und E erhält die Werte der dem betrach-
teten Elektron entsprechenden Röntgenniveaus (siehe die Tabele i).

Nach der Wellenmechanik, wird dann die Ladungsverteilung der
über den unendlichen Raum ausgedehnten Ladung des Elektrons
durch den Wahrscheinlichkeitswert:nbsp;bestimmt. sei die

zu dem betrachteten Energieniveau gehörige Eigenfunktion und
die komplex-konjugierte Funktion. Es gilt die Normierungs-
bedingung: f t]^\'}* dk—l-, e dk bestimmt die Ladungsdichte
eines Elektrons in einem Volumenelement dk. Wenn man jetzt
für jedes der Elektronen die Ladung, die einem bestimmten
Volumenelement entspricht, berechnet und diese Ladungen addiert,
so wird der Summenwert annäherend die Ladungsverteilung des
ganzen Atoms bestimmen.

Hartree hat darauf aufmerksam gemacht, dass diese Be-
trachtung zur Bestimmung der F-funktion angewandt werden
kann. Die F-funktion wird nämlich der Bedingung genügen
müssen, dass sie mit der in dieser Weise berechneten Ladungs-
verteilung mittels der Poissonschen Formel zusammenhängt.
Diese Hartree\'sche Methode zur Bestimmung der F-function ist
also eine Art quantenmechanischer Verfeinerung der Fermischen
Methode. Es sei noch hervorgehoben, dass Hartree bei seinen
Rechnungen darauf geachtet hat, dass ein Elektron nicht durch
das Zentralfeld seiner eignen ausgeschmierten Ladung beeinflusst
wird. Die Hartree\'sche Methode ist theoretisch näher von Gaunt
untersucht worden.»)

F\'ür unsern Fall wollen wir nun die Ladungsverteilung in der
Nähe des Kernes bestimmen. In diesem Gebiete wird der grösste
Ladungsbeitrag von den zwei ^/-Elektronen geliefert. In erster
Annnäherung darf man behaupten, dass sie sich in einem Cou-
lombfelde bewegen mit der Kernladungszahl 20. Nach der Wel-
lenmechanik wird also für das ^/-Elektron die Eigenfunktion die

Die Kurve, die die von den zwei Ä/-elektronen herrührende
Ladungsverteilung bestimmt, hat ein Maximum fürnbsp;des-

sen Wert ß = 22 entspricht. In der Nähe von p=:0,i werden
ausser den zwei /T-Elektronen hauptsächlich die zwei folgenden
^/-Elektronen einen Ladungsbeitrag liefern. Dieser Beitrag wird
jedoch nicht ein so steiles Maximum besitzen wie im Falle der
^-Elektronen, sodasz der zu p = o,i gehörige /3-Wert (37\'/,) in
der Tabelle wahrscheinlich zu gross sein wird. Der steile Ver-
lauf der /3-Kurve in der Nähe der Kerne ist durch diese Kon-
trolle immerhin plausibel gemacht,

KAPITEL III.
DIE WELLENFUNKTION.
§ I. Die angenäherte Lösung der Wellengleichung.

Betrachten wir zuerst ein System mit einem Freiheitsgrad, dem
die Wellengleichung:

entspricht und wo der Bereich der Variable r sich zunächst
von — cv nach -f cv erstreckt. Die Potentialfunktion sei von der
Art, dass ihr klassisch eine oszillatorische Bewegung des Massen-
punktes zwischen den Unikehrpunkten und r,, den Nullpunkten
von,;\', entspricht. Brillouin und Wentzel (1. c. S. 12) haben eine
Näherungsmethode zur Lösung dieser Diff. Gleichung entwickelt,
indem sie für die Lösung von (14) den Ansatz machten:

Wenn man in der Gleichung (14) R durch diesen Ausdruck
ersetzt und die Koeffizienten wachsender Potenzen von K null
stellt, findet man für6quot;o,5.____leicht die folgenden Ausdrücke:

In erster Annäherung bekommen wir also die zwei angenäherten
Partikularlösungen:

r^ ist ein den verschiedenen Fällen angemessener Anfangswert
für die Integration.

Die zwei Partikularlösungen in erster und zweiter Annäherung
können für reelle r-Werte reelle Funktionen darstellen. Im
Gebiete, wo y negativ ist, gilt:

Im Gebiete, wo_;j/ positiv ist, bekommt man nur durch geeignete
Kombination der zwei Partikularlösungen einen reellen Ausdruck:

Die Näherungslösungen der Gleichung (14) besitzen deshalb
in dem Gebiete ylt;o einen exponentiellen, in dem Gebiete jgt;o
einen Kosinuscharakter. Es folgt daraus, dass eine und dieselbe
Partikularlösung unserer linearen Diff. Gleichung in verschiedenen
Bereichen der Variable r im allgemeinen durch die verschiedenen
Näherungsausdrücke dargestellt werden muss. Dies hängt mit der
Tatsache zusammen, dass die Nullpunkte der ^/-Funktion singuläre
Stellen der Näherungsfunktion sind in dem Sinne, dass der
Näherungscharakter dieser Lösungen in der unmittelbaren Nähe
dieser Punkte verloren gegangen ist.

Die nähere Betrachtung der höheren als die zwei ersten Nähe-
rungsausdrücke zeigt ebenso, dass das Näherungsverfahren einen
asymptotischen Charakter besitzt: der Unterschied zwischen dem
zu einem gegebenen Werte r gehörigen wirklichen Funktions-
werte und dem Werte seiner Näherungsfunktion kann nicht durch
die sukzessiven Annäherungen verschwindend klein gemacht wer-
den. Angenommen, dass überhaupt eine genügende Annäherung
ausserhalb der unmittelbaren Umgebung der Nullpunkte erhalten

Wird, ist diejenige Lösung von (14), die die Schrödinger-Wellen-
funktion darstellen muss, in den Bereichennbsp;und r gt;
näherungsweise durch diejenige exponentielle Funktion (16) ge-
geben, welche sich für r-^- ± cvs nach null nähert; sonst wäre die
Bedingung der Überallendlichkeit nicht erfüllt. Dieselbe Funktion
wird jedoch zwischen den Nullpunkten durch (17) dargestellt,
und zwar mit ganz bestimmten Werten für B und jS, damit der
Anschluss an die exponentielle Funktion links von r^ und rechts
von r^ gesichert sei. Es zeigt sich, dass das so entstandene
Problem des Anschlusses unter ziemlich allgemeinen Voraussetz-
ungen gelöst werden kann.

^^enn in allen vier Gliedern die positive Wurzel gemeint
\'St. In den zwei letzten Gliedern von (i8) gilt das obere oder
untere Zeichen, je nachdem die Funktionswerte in r, und
gleichesquot; oder entgegengesetztes Vorzeichen haben. Ein allge-
^«einer Beweis für den Anschluss zwischen dem ersten und zweiten
Gliede von (i8) geben wir in dem nächsten Paragraphen.

Als Stokes mit einer Untersuchung über die Besselfunktionen
beschäftigt war, entdeckte er das nach ihm genannte Phänomen,
tlas folgendermassen beschrieben werden kann: die Konstanten,
^ie in der Darstellung einer analytischen Funktion mittels
asymptotischer Reihen enthalten sind, können in den verschiede-
nen Teilen der komplexen Ebene verschiedene Werte annehmen.\')
Wir beschränken uns auf den Fall einer linearen Diff. Gleichung

\') Vgl. zu den Ausführungen dieses und der folgenden Paragraphen:
«• Jeffries, London Math. Soc. (2), 23, 428, \'24.

zweiter Ordnung, deren Koeffizienten einfache analytische Funk-
tionen sind. In vielen Fällen kann die Lösung in der Form:
ƒ (r) ~ ^r, Ca geschrieben werden, wo i?, und R, zwei
asymptotische Reihen und r,, c, gewisse Konstanten sind. Es
stellt sich nun oft heraus, dass bei dem Übergange von einem
Teilgebiete der komplexen Ebene nach einem anderen, einer der
c-Werte sich plötzlich ändert, und zwar derjenige c-Wert, für
den die entsprechende i?-Funktion auf der Grenze zwischen den
Teilgebieten vernachlässigbar klein wird verglichen mit der
anderen i?-Funktion. Es ist ja klar, dass dies überhaupt die einzige
Weise ist, in der ein Sprung der c-Werte möglich ist, wenn die
R wirklich den Charakter annäherender Lösungen der Diff.
Gleichung besitzen. Auch sieht man, dass von einer scharfen
Trennung der Teilgebiete .schwierig die Rede sein kann.
Betrachten wir wieder die Diff. Gleichung:

wo y eine differentiierbare reelle Funktion von r ist, die zwei
reelle Nullpunkte erster Ordnung r, und r, (r, lt; r^) besitzt.
Zwischen den Nullpunkten ist y positiv, ausserhalb negativ. Die
allgemeine Lösung in einem Punkte r, wo | r — | nicht zu
klein ist, wird asymptotisch durch:

Die Lösung wird eine Schrödingersche Wellenfunktion darstellen,
wenn sie der Bedingung genügt, dass sie für reelle r-Werte reell
ist und ausserdem für r — dem Wert null anstrebt. Ange-
nommen, dass Vy für die reellen r-Werte r lt; 7\', positiv-imaginär
ist, so muss c■^ der Grenzbedingung gemäss für r — null sein.
Wir nehmen nun an, dass die^\'-Funktion in (19) auf der komplexen
r-Ebene innerhalb eines Kreises um den Mittelpunkt 7\\ mit dem
Radius R in genügender Annäherung durch eine analytische
Funktion approximiert werden kann, und zwar soll man R so
gross wählen, dass der Ausdruck (20), sowohl in der Umgebung
von r = r, -t- J?, wie r — r^ — R, eine gute Annäherung gibt,
während zugleicherzeit keine Singularitäten oder weitere Null-
punkte von y innerhalb des Kreises in der komplexen Ebene
vorkommen.

Betrachten wir (Fig. VIII) einen Übergang von P nach Q dem
Kreise k entlang. Da die ^-Funktion in dem Punkte P reell sein
muss, wird ein\'solcher f,-Wert angenommen, dass das Argument
vonnbsp;dort null ist. Das Argument von c^y\'l\'- wird bei der

Bewegung in der komplexen Ebene entlang k nach Q mit dem
Werte -f- i tt anwachsen, weil r. ein einfacher Nullpunkt der
J-Funktion ist. Da die
Schrödinger - Funktion
in lt;2 einen reellen
Wert annimmt, kann
Cr dort nicht mehr null
sein. Angenommen,
dass j-\'lquot; in Q reell ist,
so müssen die Koefficienten f. und r. in Q der Bedingung:
r, = genügen, wenn c,* den komplex-konjugicrten Wert von c-,

Irgendwo auf der Kurve muss jetzt das Stokes\'sche Phänomen
auftreten. Der Koefficient wird von null auf den Wert
springen in oder in der Nähe des Punktes 5 der /t-Kurve, wo

l\'unkte das Verhältnis der absoluten Werte des i. und 2/Gliedes
in (20) maximal ist.

VlII durch j dargestellt), die der Bedingung genügt, dass das
Verhältnis des Absolutwertes des ersten Gliedes der Lösung zu
dem des zweiten am schnellsten in der Richtung dieser Kurve
anwächst. Diese Kurve verlässt den Punkt r, unter dem Winkel

van NiesseN \') genau untersucht geworden.
Für die Lösung in Q wird also gefunden:

= 2. i |. y\'l\' cos j ^~ i quot;quot;r
\') K. F. Niessen. Ann. d. Phys. 85. 497- \'28-

Nachdrücklich muss nochmals betont werden, dass in diesen
Betrachtungen keine Annahmen über den ganzen Verlauf der
reellen ^-Funktion gemacht sind. Wir haben nur vorausgesetzt,
dass diese Funktion in einem bestimmten Bereiche um herum,
durch eine einfache analytische Funktion dargestellt werden kann.
Die vorangehenden Betrachtungen sind unverändert gültig für
den Anschluss des 3. und 4. Gliedes in (18). Nur haben wir
noch Rechnung damit zu halten, dass das Vorzeichen eventuell
verschieden ausfällt.

Die notwendige Identität des 2. und 3. Gliedes in (18), die
beide die Wellenfunktion zwischen den Umkehrpunkten darstellen,
liefert sofort das im zweiten Abschnitt benutzte Ergebnis, dass
die Eigenwerte der Wellengleichung durch halbzahlige Quanti-
sierung der Phasenintegrale gefunden werden können. In der Tat
erhalten wir aus der genannten Identität:

In dem 2. Gliede musz [ ] mit dem Minuszeichen versehen
werden, weil sonst keine Identität möglich ist.

Kramers hat den in § {2) bewiesenen Anschluss in einer etwas
andren und weniger allgemeinen Weise erhalten. Er ist jedoch
mit seinem Anschlussverfahren imstande den Verlauf der Wellen-
funktion auch in der nächsten Umgebung des Umkehrpunktes
annäherend zu bestimmen. Er macht die Annahme, dass die

^-Funktion in der Nähe eines Umkehrpunktes, z. B. in einem
genügend grossen Bereiche durch:
(22) ^ = =

wird sodann mittels eines Airy-Integrals gelöst, wo der Integra-
tionsweg in der komplexen Ebene der Integrationsvariabele so
gewählt ist, dass fürnbsp;R nach null nähert. Mittels der

Sattelpunktmethode kann dieses Integral in den. Bereichen
undnbsp;durch zwei verschiedene asymptotische Lösungen dar-

Die Argumente der exponentiellen- und Kosinus-Funktion
sind bzw. identisch mit den Argumenten in (16) und (17),
wenn das y aus (22) benutzt wirdnbsp;=nbsp;gesetzt wird.

Unter weniger allgemeinen Voraussetzungen ist also aufs neue
der Anschluss (18) erhalten. Ausserdem ist aber auch eine Dar-
stellung der Schrödinger-Funktion in und in der Nähe des Umkehr-
punktes erhalten, wie durch die folgende Reihe von anschliessenden
I\'unktionen näher erläutert wird:

anschliessen, damit die Grenzbedingung für r — ev erfüllt ist.
M. v. d. Held hat m numerisch berechnet. Seine Resultate
werden wir später benutzen.

Der Gebrauch dieser «-Funktion ist zulässig, wenn die Annähe-
rung (22) in einem genügend grossen Bereiche in der Nähe von
r — r^ benutzt werden darf. Für die praktische Konstruktion der
Wellenfunktion kann diese w-Funktion sogar für das ganze Intervall
— ~ lt; r lt; r, angewandt werden, weil für solche r-Werte in diesem
Intervall, wofür (22) nicht mehr gültig ist, die zugehörige Wellen-
funktion schon sehr klein ist.

Auf Grund genau analoger Betrachtungen in der Nähe des
zweiten Umkehrpunktes, darf ebenso in (18) zwischen dem 3.
und 4. Gliede die Funktion:

Das Verfahren, bei dem in der Nähe der Umkehrpunkte die
^-Funktion durch eine lineare Funktion ersetzt wird, ist sicher
nicht in allen Fällen gerechtfertigt. Ein Beispiel hierfür findet
Kramers bei dem Problem der Zentralbahnen. In § i Kapitel II
wurde schon erwähnt, dass dieses Problem zurückgeführt werden
kann auf ein Problem eines Freiheitsgrades, deren Schrödinger-
gleichung durch (4) wird dargestellt. Der Unterschied mit dem
in dem vorigen § diskutierten Fall ist zunächst, dass die variable r
jetzt nur den Wertbereich o lt; r lt; cv durchläuft. Jedoch zeigt sich
auch in diesem Fall, dass unser Näherungsverfahren, allerdings
mit Ausschluss der kleinsten /-Werte, in dem Intervall links des
ersten Umkehrpunktes gültig bleibt. Für sehr kleine r-Werte

in j/ vernachlässigt werden dürfen. Die zu diesem Intervall ge-
hörige exponentielle Funktion (18) verhält sich also in der Nähe

von r = o wie: r\'l^. r~ ^\'quot;\'quot;S sodass der Näherungsaus-
druck für r = o ungefähr in derselben Weise null wird wie
diejenige Fundamentallösung der Gleichung (4), die für r — O
nicht unendlich wird. Für /= i ist die Übereinstimmung noch
leidlich. Für / —o verhält sich jedoch der Näherungsausdruck
wie r\'L, da in der /-Funktion das Glied V{r) für kleine r-Werte
dominiert und die Potentialfunktion jetzt mit grosser Annäherung
einen Coulombschen Karakter besitzt, sodass:

Es stellt sich also heraus, dass für sehr kleine /-Werte - und
\' dieser Fall wird gerade in unsren folgenden Betrachtungen vor-
kommen — die Anwendung des Näherungsverfahrens (18) in
dem Intervall o lt; r lt; r, nicht erlaubt ist.

Kramers betont in seiner Arbeit, dass der Gebrauch der
w-Funktion in der Nähe von r = o und r — r, ebenfalls nicht
zulässig ist, weil die /-Kurve dort [jedenfalls für l^o] von r = o
bis etwas weiter als r — r, steil hinaufgeht und nachher wieder
steil abfällt, bevor die Wellenfunktion ihren oszillatorischen Cha-
rakter zu zeigen anfängt. [Besonders gilt dies für / i und / r= 2
bei den schweren Atomen]. Bei dem Gebrauch der w-Funktion
wird jedoch vorausgesetzt, dass die /-Funktion noch genügend
linear verläuft in dem Bereiche, wo der oszillatorische Charakter
der Wellenfunktion sich zuerst äussert. Für den Fall / —o wird
der Gebrauch der «-Funktion ganz hinfällig.

Zur Bestimmung des approximativen Verlaufs der Wellen-
funktion für kleine r-Werte, schlägt Kramers daher einen andren
Weg ein. Er macht darauf aufmerksam, dass die /-Funktion der
Formel (4) für kleines r mit grosser Annäherung durch :

dargestellt werden darf. Die einzige wichtige Vernachlässigung
\'St hierbei die Konstante der äusseren Abschirmung [siehe (13)].

Diese Näherungslösung kann für kleine /-Werte und auch für
/=o angewandt werden. Überdies gelingt es einen Anschluss
zwischen dieser Funktion und dem Kosinus-ausdruck (17) der
allgemeinen Näherungsmethode zu finden. Wenn wir von den
bei Jahnke-Embde gegebenen Formeln Gebrauch machen und
von den dort angegebenen asymptotischen Reihen Pp (;-) und
Qf, (r) [S. 90] nur das erste Glied berücksichtigen, können wir
für (27) schreiben:

Andrerseits leitet Krämers einen Näherungsausdruck ab für
die Kosinus-funktion (17) in dem Bereiche, wo die ^-Funktion
noch mit genügender Annäherung geschrieben werden kann:

—- — tt/ —ß

Kramers hat hieraus den Schluss gezogen, dass der Kosinus-
ausdruck (17) die Wellenfunktion annäherend bestimmt wenn die
_y-Funktion in (4) ersetzt wird durch:

Man könnte gegen dieses Verfahren einwenden, dass der Ersatz
von j\' durch j* nur für kleine r-Werte zulässig sein wird, und
dass sie für grosse r zu einem falschen Näherungsausdruck
führen wird. Dieses Bedenken ist jedoch nicht wesentlich, weil
für die grösseren r-Werte der numerische Wert des 3. Gliedes
der j-Funktion klein ist verglichen mit den Werten der zwei
ersten Glieder. Es ist daher zulässig, dass wir den weiteren
Verlauf der Wellenfunktion bis zum 2. Umkehrpunkte auch durch
den Kosinus-ausdruck mit 7* darstellen und für Werte rgt;r^ die
exponentielle Funktion in (18) benutzen, und zwar so, dass auch
hier j\' durch j\'* ersetzt wird. Da der Verlauf der j/-Funktion in
unsrem Zentralfeldproblem in der Umgebung des 2. Nullpunktes
\'\'a, weiter keine besonderen Züge aufweist, wird der Anschluss
der Kosinus-funktion an letztere Funktion genau analog sein zum
Anschluss, der durch die zwei letzten Glieder in (18) formuliert wird.

Wir erhalten so schliesslich analog der.Identität des 2. und 3.
Gliedes in (18):

führt. Eben auf diese Vorschrift war die Bestimmung der F-Funk-
tion des vorigen Kapitels gegründet.

§ 5. Ein neues Anschlussverfahren bei dem
2. Umkehrpunkte.
Kramers hatte angenommen, dass der Verlauf von y* in der
Nähe von r, genügend linear war, um zur Darstellung der Wel-
lenfunktion in der Nähe von r, und für den ganzen Bereich
lt; r lt; .-v, die in § 4 eingeführte «-Funktion zu benutzen,
ßei der tatsächlichen Berechnung der Eigenfunktionen im Fall
des Crt-Atoms zeigte sich aber, dass eine solche Annäherung
nicht die gewünschte Genauigkeit besass.

Zur genaueren Bestimmung der Wellenfunktion in diesem
Gebiete haben wir deshalb noch folgenden Weg eingeschlagen.
Aus der Figur (III) ersehen wir, dass die V(r) =nbsp;p\' v (p)

Kurve dort in grosser Annäherung eine gerade Linie darstellt,
sodass wir statt der annäherenden Diff. Gleichung:

beschreiben können, indem wir diejenige Lösung suchen, die für
0 cv. sich nach null nähert. Da p\' v {p) eine lineare Funktion
von p ist, nimmt ja die exakte Wellengleichung (4) in r die
Form (33) in p an.
Setzen wir:

[Über die Bedeutung von v (/;), e, u.s.w. siehe (8)].
Durch die Transformation:

Diese Diff. Gleichung (37) hat Whittakkr \') ausführlich unter-
•sucht. Er nennt sie die Diff. Gleichung der „confluent hyper-
geometric functionquot;; sie besitzt einen ausserwesentlich-singulären
Punkt für vj n: o und einen wesentlich-singulären Punkt für yj z:: cv.

Whitfaker benutzt eine andre Bezeichnung, die mit der
unsrigen zusammenhängt mittels: a\'— k\\ = m — Im Fall,
wo /\' und a\' [aquot;gt;/\' i] positiv-ganzzahlig sind, ist (37) gerade

die Schrödingersche Wellengleichung des Wasserstofif-atoms nach
Abtrennung des Winkelbestandteils.

Diejenige Partikularlösung, die für r-cv null ist, wird von
Whittaker die ,«-funktion genannt und kann für genügend
grosse r-Werte mittels einer asymptotischen Reihe dargestellt
werden. Sie lautet:

Sogar für r lt; r„ wo die Wellenfunktion ihren oszillatorischen
Charakter annimmt, liefert die Näherungsfunktion (39) noch
genügend genaue Werte, um den Anschluss an den Kosinus-
ausdruck zu gewahrleisten.

darstellen können, tritt noch die unbekannte Konstante a auf.
Wir können jedoch « theoretisch bestimmen. Unsere Methode
geht darauf hinaus, dass wir eine asymptotische Darstellung von
ermitteln, die ganz verschieden ist von (39), aber gerade
mit der asymptotischen Näherungsfunktion (17) zusammenfällt,

einen Ausdruck, der mit dem Koeffizient von in (33) denselben
Unterschied aufweist wie der durch (31) bestimmte Ausdruck

Die erwähnte Darstellung von R wird erhalten, indem wir die
sogenannte Sattelpunktmethode von Debye zur Berechnung des
La Place\'schen Integrals, wodurch R {r) dargestellt werden kann,
anwenden. Diese Darstellung durch ein La Place-Integral erhalten
wir folgendermassen:\')

e quot; f{s)d2z:zo,

Wir bestimmen f(z) so, dass der erste Klammerausdruck null
wird, und sorgen dafür, dass auch der zweite Klammerausdruck
an den Pmden des Integrationsweges null wird; in diesem Fall
wird (44) eine Lösung der Difif. Gleichung (43) darstellen. Wir
schreiben also:

Der Integrand besitzt also zwei Verzweigungspunkte im end-
lichen: s=±i. Der Integrationsweg, der, ausgehend von -cv,
um einen der beiden Verzweigungspunkte herumführt und dann
wieder nach zurückkehrt, macht den zweiten Klammerausdruck
von (45) null, vorausgesetzt, dass v) positiv ist. Damit ist eine
nicht-triviale Lösung von (37) erhalten. Der Integrationsweg wird,
in Übereinstimmung mit der Überallendlichkeitsbedingung der
Wellenfunktion, in der negativen Hälfte der .-Ebene um den
Verzweigungspunkt: = gewählt. Der Absolutwert des Inte-
grandes (46) wird alsdann fürnbsp;in allen Punkten des Inte-

grationsweges exponentiell dem Wert null anstreben und dasselbe
wird für die /^-funktion gelten.

Einerseits kann nun aus dem Integral (46) sofort m der von
Whittaker\') angegebenen Weise die asymptotische Reihe (39)
abgeleitet werden; andrerseits gelingt es mittels der sogenannten
Sattelpunktmethode, die zuerst von Debve auf physikalische
Probleme angewandt wurde, ihn durch einen asymptotischen Aus-
druck darzustellen, wclcher sofort den Anschluss an den Kosinus-
Ausdruck für die Wellcnfunktion innerhalb der Umkehrpunkte
edaubt. Die Idee der Sattelpunktmethode zur Berechnung be-
stimmter Integrale in der komplexen Ebene, ist folgende:

vorgelegt, wo der Verlauf des Absolutwertes des Integranden in
erster Näherung vom Faktor bestimmt wird. Man suche nun
den Integrationsweg so zu legen, dass R/i^), das heisst der
Realteil von/(r), und also auch der Absolutwert von diesem
Weg entlang, möglichst klein ist. Man erreicht dies in vielen
Fällen, indem man den Integrationsweg durch einen oder mehrere
Sattelpunkte der Funktion R/{s) hindurchlegt, das heisst, durch
solche Punkte wo R/{so) einen stationären Wert besitzt.
[^/{s) hat bekanntlich als Funktion der Punkte in der komplexen
Ebene kein absolutes Maximum oder Minimum]. Weiter soll man
dafür sorgen, dass der Integrationsweg auf beiden Seiten eines
Sattelpunktes immer in diejenige Richtung verläuft, wo R/{z)

am schnellsten abnimmt [Linie steilsten Abfalls]. Ist, wie in
unsrem Fall, der allgemeine Verlauf des Integrationsweges von
vornherein gegeben, so hängt es von der Form von f{z) ab,
durch welche Sattelpunkte der Integrationsweg zu legen ist. Die
Integration wird sodann annähernd vollführt, indemquot; man nur
die Werte des Integranden in der unmittelbaren Nähe der Sattel-
punkte in Betracht zieht, da nur diese einen merklichen Beitrag
zum gesuchten Integral liefern werden.

und die Linien steilsten Abfalls sind dadurch ausgezeichnet, dass
der Imaginärteil von f(z) ihnen entlang, konstant ist.

Der „Beitragquot; eines Sattelpunktes z^ zum Werte des bestimmten
Integrals (47) berechnen wir nun leicht wie folgt:

Es ist offenbar angenommen, dass infolge des Gliedes mit (xt—^To)\'
der Integrand der Linie steilsten Abfalls entlang so schnell ab-
nimmt, dass in erster Näherung die höheren Entwicklungsglieder
in /[js) und die Glieder, die bei der Entwicklung von ^(.3:) nach
Potenzen von — auftreten würden, vernachlässigt werden
dürfen. Das Vorzeichen in (48) hängt noch ab von der Richtung,
in der man durch den Sattelpunkt hindurchintegriert hat. Auf
die schwierigen Fragen, die mit der Grössenbestimmung des
Restgliedes zusammenhängen, und die wohl in jedem Falle einer
besonderen Untersuchung bedürfen, werden wir nicht weiter
eingehen.

Wenn wir jetzt die Sattelpunktmethode zur annäherenden
Berechnung von (46) anwenden, so erhebt sich die Frage nach
der Wahl von g(z) und /(s). Wir wollen untersuchen, zu welchen
Konsequenzen die folgende Wahl Anlass gibt:

Coura7it-Hliberty Methoden der Math. Phys. I, 435. G. N. Watson,
Theory of Bessel-Functions, S. 235.

zeigt an, wo die Sattelpunkte reell und verschieden, zusammen-
fallend oder komplex-konjugiert sind.

Die folgenden Betrachtungen beziehen sich auf den Fall, dem
^ig- (IX) entspricht, nämlich: (Z\' ^i\' e) ist reell positiv und
— reell negativ. In § 7 wird sich zeigen, dass dieser
Fall gerade dem 4,-Zustande des ^rlt;z -Atoms entspricht. Die
•ff-Werte der Schnittpunkte der punktierten Linien a, b und c

Sattelpunkte. Der Fall zusammenfallender Sattelpunkte (vgl. die
Punkte R und 5) ergibt sich für:

Nehmen wir an, dass die Wurzeln von (51) reell sind, und
bezeichnen wir sie mit n^ und yja (rj2gt;v),), so bestätigt man leicht,

dass es im Falle yj gt; vj,,
zwei reelle Sattelpunkte
zwischen — i und l
gibt, und zwar so, dass
die Linie steilsten Abfalls
durch den Sattelpunkt mit
dem kleineren Wert der
imaginären Achse parallel
gerichtet ist. In diesem
Fall soll der Integrationsweg durch diesen einen Sattelpunkt
gelegt werden, etwa in der Weise wie P^ig. (X) angibt.

Die ^-Werte der Sattelpunkte P und Q in Fig. (X) sind den
Punkten P und Q in Fig. (IX) entnommen. Der Ausdruck /(^r^)
im angenäherten Integral (48) wird hier also reell und wir haben
wieder eine Annäherung
in der Form eines expo-nbsp;p

Ist y}ilt;vjlt;y;„ so gibt
es zwei komplex-konju-
gierten Sattelpunkte und
der Integrationsweg wird
aus lt; Symmetriegründen
durch beide Punkte gehen,

Die .s-Werte der Punkte P und Q sind die Werte der kom-
plex-konjugierten Schnittpunkte einer zwischen a und d befind-
lichen punktierten Linie mit der /^-Kurve. Die genaue Form ist
für unsren Zweck belanglos. Zum angenäherten Wert unsres
Integrals (47) bekommen wir jetzt also die Summe zweier Aus-
drücke von der Form (48), und zwar so, dass die beiden Sum-
manden komplex-konjugiert sind. Zusammen liefern sie eben einen

Es liegt nun nahe zu versuchen, ob wir nicht einen Anschluss
an unsre alten Näherungsformeln (i6) und (17) bekommen, wenn
und (e) so gewählt werden, dass der quadratische Ausdruck

(51)nbsp;in -n, dessen Nullpunkte den Übergang vom exponentiellen
zum Kosinus-Charakter der Näherung beherrschen, gerade mit
dem quadratischen Ausdruck zusammenfällt, in den A (10) über-
geht, wenn wir dort für p\'vip) den Ausdruck (34) setzen. Das
\'quot;^\'hrt, nachdem p mittels (36) in v] ausgedrückt ist, zur Identität:

Substituieren wir diese Werte in (49), und berechnen wir den
^^eitrag (48) eines Sattelpunkts zum Werte des Integralausdrucks
(46) für R, so ergibt sich sogar genau denselben Ausdruck wie
^\\\'enn wir die Wentzel-Brillouinsche Näherungsformel (16) zur
annäherenden Bestimmung einer Partikularlösung der Gleichung
(37) heranziehen, wobei jedoch in der letzteren Gleichung /\'(/\' i)
durch (/\'nbsp;ersetzt wird. Die diesbezüglichen Rechnungen

Urlauben uns schliesslich den noch unbestimmten Koeffizienten
^(41) zu berechnen.

Die Berechnung von ^(46) mittels der Sattelpunktmethode
gestaltet sich folgendermassen:

Setzen wir (53), (54) und (55) in (48) ein, so findet man Rü-
den Beitrag eines Sattelpunkts zum Integral (46) nach einiger

Den Wert C berechneten wir, indem wir r, links und rechts
gleich VI, setzten. So erhalten wir:

Tatsächlich zeigt sich, dass der Näherungsausdruck (56) der
Wellenfunktion mittels der Sattelpunktmethode erhalten, ausser
einem konstanten Faktor, dem Wentzel-Brillouinschen Näherungs
ausdruck (57) identisch ist, während für ß wieder 17: gewählt
werden muss. Es bleibt noch übrig den Zusammenhang zwischen
(56) und (39) zu ermitteln. Die asymptotische Reihe (39) wird
in der folgenden Weise aus der komplexen Integraldarstellung
(46) der Wellenfunktion erhalten. Indem wir behaupten, dass der
Integrationsweg, ausgehend von — den Punkt s = —i im
positiven Sinne (entgegengesetzt der Richtung eines in dem
Punkte befestigten Urhzeigers) umkreist, und dann wieder nach
— cv zurückkehrt, so wird durch die Substitutionsformeln:
I = —^ und 2«, (46) in den Ausdruck:

transformiert, der mit der Whittakerschen Integraldarstellung
der M\\ ,„ Funktion equivalent ist, und aus dem die asymptotische

Reihe (39) erhalten wird durch Entwicklung von ( ^ ~ )
und gliedweise Integration. Nach einfacher Rechnung (vgl.

Whittaker, Modern Analysis 16.12. und 16.3.) wird der folgende
Zusammenhang erhalten:

die für grosse r-Werte gilt [vgl. 10, 34, 35, 36, 38, 55], wird
aus [56, 57, 59] der Anschluss:

Wir gehen jetzt daran, mit Hilfe der Formeln in den voran-
gehenden §§ dieses Kapitels, die Wellenfunktionen für den 4,,
4a, 33-Zustand tatsächlich zu konstruieren. Führen wir die
Bezeichnungen der Formeln (6, 7, 8, lo) ein, so nimmt die
Diff. Gleichung (14), nachdem 7 durch j* (31) ersetzt ist, in
Bezug auf die dimensionslose Variable p folgende Form an:

In Fig. (XII) sind die Wellenfunktionen der 4,, und 4,-
Niveau\'s durch die /^T-Kurve dargestellt. Mit Rücksicht auf die
Diskussion der Näherungsmethoden für kleine p-Werte, ist der
Verlauf der Wellenfunktionen in diesem Gebiete in fünffacher
Vergrösserung in der Figur (XIII) dargestellt. In der folgenden
Tabelle sind die durch numerische Berechnung erhaltenen Wellen-
funktionswerte vereinigt. Mit Hinsicht auf die geringere Genauig-
keit in der Berechnung sind die Funktionswerte des 33-Niveaus
nur in zwei Dezimale angegeben.

Betrachten wir zuerst den 4,-Zustand (« — ^,1— i), weil nur
für diesen Fall alle besprochenen Hilfsmittel zur graphischen
Konstruktion konsequent durchgeführt sind. Die Lage der Null-
punkte der Funktion yquot; (31), welche den Umkehrpunkten der
klassischen Bewegung bei halbzahliger Quantisierung entsprechen,
bestimmt sich aus Figur (III) zu:

Wir haben uns dabei von den bei WatSON gegebenen Tabellen
für und /. bedient, indem die bekannte Rekursionsformel:

Die Funktion B{p) ist in Fig. (XIII) mit {B) bezeichnet.
Darauf wurde die „Kosinus-funktionquot;:

graphisch bestimmt. Nach der Theorie wird sie zwischen den
Umkehrpunkten p. und p. annäherende Gültigkeit besitzen. Die
1^-unktionswerte von A werden sofort aus Fig. (III) abgelesen als
die Differenzen zwischen den Ordinaten der 4.-Parabel und p\'v(p)-

ankommt, is gegeben in Fig. (VI), welche in Kap. quot; b^i der
Diskussion des Phasenintcgrals (5) schon benutzt wurde. Das

Integral -]/Ääp wird dargestellt durch das Areal, das von
der i ]/gt;Kurve und der Abzissen-achse links des dem jewei-
lige/p-Wertc entsprechenden Ordinaten eingeschlossen ist, und
wurde für mehrere p-Wcrte mit dem Planimeter bestimmt.
Die Funktion Cp ist in iMg. (XII) und durch die Kurve (O

Sodann wurde die Funktion, welche durch die I^ormel (24)
dargestellt wird, zur angenäherten Berechnung der Wellenfunk-
tion in der Nähe vom zweiten Umkehrpunkte r, und für grössere
Werte von r benutzt. Zunächst soll diese Formel auf die dimen-
sionslose Variabele p bezogen werden, damit sofort der Anschluss
an C(p) (63) gesichert ist. Hierzu braucht man nur K= i zu set-
zen und a, durch eine Grösse (3, zu ersetzen, die dadurch defi-
liert ist, dass in der Nähe von p, die Formel:

Fig. (III) bestimmt. Für ß^ wurde so der Wert 0,11 gefunden.
Die Unsicherkeit im Werte ß^ hat wegen des kleinen gebrochenen
Exponenten in (64) nur einen geringen Einfluss auf die Werte
für Q(p), besonders im Bereiche, wo p etwas kleiner ist als p^.
Der Verlauf der Funktion (64) wurde sodann mittels der Tabelle
von v. d. Held (I.e. S.40) berechnet und ist in den Figuren
(XII und XIII) durch die Kurve ß dargestellt.

Was nun die Konstruktion der Wellenfunktion anbelangt, so
ist erstens aus der Figur ersichtlich, dass die .ß-Kurve sich für
p gt; pi nicht sehr nahe an die (T-Kurve anschmiegt, sondern
durchaus niedriger verläuft. Qualitativ entspricht dies der Er-
wartung, weil die Besselfunktion einer Lösung der Gleichung (26)
entspricht, wo für A Werte angenommen wurden (vgl. (25)), die
schon bei p = p, ziemlich viel grösser sind wie die tatsächlichen
^-Werte. Immerhin können wir noch mit ziemlich grosser Sicher-
heit eine glatte Funktionskurve konstruieren (vgl. die ausgezogene
Kurve K in der Figur), welche für p=pi einen Wendepunkt
besitzt, und welche die gesuchte Wellenfunktion approximiert.
Die Unsicherkeit der Funktionswerte in der Nähe von p — o,
fällt übrigens bei der späteren Berechnung der Matrixelemente
fast nicht ins Gewicht.nbsp;,

Aus der Figur sieht man, dass die C-Kurve und Q-Kurve
sich im Gebiete p lt; p^ ziemlich gut aneinanderschmiegen, sodass
der Konstruktion der Wellenfunktion hier scheinbar nichts im
Wege steht. Man sieht jedoch, dass die Wellenfunktion in der
Nähe von p^ und für Werte p gt; p2 beträchtliche Werte annimmt,
und es erhebt sich die Frage, in wiefern die i2-Function, die

auf der Annahme eines streng linearen Verlaufes von — ge-
gründet war, in diesem Gebiete die Wellenfunktion mit Hinsicht

auf die späteren Anwendungen genügend approximiert. Dies war
der Anlass dazu, die Berechnung in der Weise zu verfemern,
dass wir in diesem Gebiete die ^-Funktion durch eine quadra-
tische Funktion in p darstellen [vgl. (34)] quot;^d die Lösung der
so entstehenden Diff. Gleichung mittels der Whittakerschen
J^^-Funktion benutzen. Der Umstand, dass die p^z^(p)-Kurve mit
grosser Annäherung in dem erwähnten p-Bereiche eme gerade
Linie darstellt, stützt die Berechtigung dieses Verfahrens.

Wir können jetzt die Formeln der § 6 benutzen. Ks handelt
sich in erster Stelle darum, die Werte von b und c m der
Gleichung (33) zu finden. Aus Figur (III) wurde gefunden, dass
die gerade Linie welchenbsp;P ^ut approximiert,

dargestellt werden konnte. In unsrem Falle der 4,-Kurve konnten
b und c also berechnet werden aus [vgl. (34) (35)]:
ar^ ^p -I-. = -nbsp;3,8 p 1,36 - 1.2.

7 = 0,625; /\' = O,445; «\' = 2,380.
Aus (40) und (36) entnehmen wir nun, dass der Anschluss
zwischen der (f(p)-Funktion (63) und der Whittakerschen W-
I\'^unktion sich folgendermassen ergibt: ■

der obigen Werte für y, l\' und wurden die Werte der in (65)
definierten ^F^-funktion berechnet.

Obgleich (39) eine asymptotische Reihe ist, ergab sie genügend
genaue Werte etwa bis zum Werte p= 1,6 herab, wo die grösste

Wurzel der tf^-Funktion liegt. Die W-Kmve schliesst sich für
plt;p, viel besser an die (T-Kurve an wie die ß-Kurve. Im Gebiete
Pgt;Pj verläuft sie bedeutend höher und gibt hier sicherlich eine
bessere Darstellung der Wellenfunktion. So ist es schliesslich
gelungen die Wellenfunktion, welche durch die AT-Kurve dar-
gestellt wird, für alle p-Werte mit genügender Genauigkeit zu
konstruieren.

Die Wellenfunktion, die dem 4,-Zustande entspricht, ist der
Hauptsache nach nach demselben Schema konstruiert. Die Lage
der Nullpunkte der Funktion jv* (31), bestimmt sich aus Fig. (III) zu:
p, = 0,005 ; p.-4,64.

In den Figuren (XII) und (XIII) entsprechen wieder die ge-
strichelten B, C, ü und ^^F-Kurven den durch (62), (63), (64) und
(65) dargestellten Funktionen. Die B- und C-Kurvcn schliessen
schöner an einander an wie im Falle des 42-Zustandes. Bei der
Berechnung des in der IF-Funktion auftretenden Faktors a,
stössen wir aber auf eine Schwierigkeit. Es zeigte sich nämlich,
dass 7, /\' und a\' folgende Werte annehmen:

Der Umstand, dass (/\' \'/,) imaginär ist, hat zur Folge, dass
der Ausdruck für oc (41), der sich ergeben hat unter Annahme
/\' reell, nicht ohne weiteres anwendbar ist, und es wären noch
besondere Rechnungen zur Ermittelung dieser Grösse notwendig.
Auf die Berechnung der Reihe (39) hat dies jedoch keinen
Einfluss, da hier nur (/\' auftritt. Wir haben uns damit
begnügt, den Wert von (et) so zu wählen, dass graphisch ein
möglichst guter Anschluss zwischen der IV- und C-Funktion
hergestellt wurde.

Die Berechnung der Wellenfunktion, welche dem 33-Zustande
entspricht, konnte mittels des beim 4,- und 4a-Zustande gefolgten
Schemas, nicht mit so grosser Genauigkeit durchgeführt werden
wie in den zwei ersten Fällen. SUGlURA\'s \') Methode würde hier
natürlich bessere Resultate gegeben haben; sie ist aber mit viel
mehr Rechenaufwand verbunden. Die Funktion B(p) konnte kaum
mit Vertrauen benutzt werden, weil der erste Umkehrpunkt so
weit vom Kerne entfernt ist; auch die Cquot;-Funktion macht hier

auf weniger Genauigkeit Anspruch, weil die Wellenfunktion gar
keinen Nullpunkt zwischen p, und p, besitzt.

und pgt;p, noch weit von einem linearen Verlauf entfernt ist.
Die ^/-Funktion wird schliesslich auch keinen so guten Anschluss
an die C-Funktion gewähren, weil die p\'lt;o)-Kurve m der Um-
gebung vom zweiten Umkehrpunkt schon ziemlich viel von der
geraden Linie (vgl. Figur III) abweicht. Überdies führt auch
beim 33-Zustande die Berechnung von « auf Schwierigkeiten
Wegen des Umstandes, dass ^ die 33-Parabel nicht schneidet.
Es wird nämlich gefunden:

Zwar ist /\' hier reell; es nimmt aber der Faktor (a - /\' - \'/,),
der in (41) vorkommt, einen negativen Wert an, sodass auch
hier eine nähere Untersuchung zur theoretischen Ermittelung
von ^ erforderlich wäre. Wir haben uns damit begnügt, « so
^u Wählen, dass ein möglichst befriedigender Anschluss zmschen

Im Gebiete kleiner p-Werte haben wir ganz und gar auf den
Gebrauch der i? (p)-Funktion verzichtet und anstatt dessen die
ursprüngliche Brillouin-Wentzelsche Formel (16) für benu zt
olt;p lt;p.. Wir erhalten sodann die folgende Funktion (vgl. (18)):

Da die Wellenfunktion im betreffenden Gebiet relativ kleine
Werte annimmt, konnte sie dort mit genügender Genauigkeit
graphisch konstruiert werden (vgl. die ausgezogene A-Kurve).
Die in

diesem Kapitel konstruierte Wellenfunktionen genügen
noch nicht der Schrödingerschen Normierungsbedingung. In den
Berechnungen des folgenden Kapitels muss diesem Umstände
noch Rechnung getragen werden.

ÜBERGANGSWAHRSCHEINLICHKEITEN.
§ I. Formeln für die Heisenbergschen
Matrix-elemente,

Wenn und (p^ zwei nicht-normierte Wellenfunktionen sind,
die zwei stationären Zuständen eines Teilchens in einem drei-
dimensionalen Kraftfelde entsprechen, so ergibt sich nach Schrö-
dinger für die Matrix-komponenten einer Funktion ƒ der Koor-
dinaten und Impulse folgender Ausdruck:

dV ist dabei das Volumelement im drei-dimensionalen Raum
während ƒ derjenige Hermitesche Operator ist, welcher der
Funktion /entspricht. Wennnbsp;die Kartesischen Koordinaten

wenn und cp, zu verschiedenen Eigenwerten gehören; im
Falle von Entartung lassen sich die Eigenfunktionen so
wählen, dass die Gleichung (68) allgemein gilt. In diesem Fall
wird die Matrix, welche zur Hamiltonschen Energiefunktion
^^{PzP^P^qiqaq^ gehört, infolge der Schrödingerschen Glei-
chung: Hrs^i —Ei(^i[Ei—i-tev Eigenwert], zu einer Diagonal-
matrix [vgl. 66].

Von diesen Formeln werden wir später Gebrauch machen.
Im Falle eines Teilchens in einem Zentralfelde fuhrt man
Polarkoordinaten ein. und die Eigenfunktionen nehmen die horm:

Matrixkomponenten der Kartesischen Koordinaten berechnet wer-
den. Im I^ille eines Zentralfeldes folgt aus den Eigenschaften
der Kugelfunktionen in bekannter Weise, dass diese Komponen-
ten nur von null verschieden sein können für Übergänge, wo l
um eins springt und entweder unverändert bleibt oder um
eins springt. Bei einem gegebenen Sprunge:nbsp;4 ge-

nügt es offenbar nur den Fall zu betrachten, wo sowohl vor
wie nach dem Sprunge den Wert null besitzt, denn mittels der
Formeln von GOUDSMIT. KrONIG und HÖNL für die Intensitäten
der Zeemankomponenten. die sich bekanntlich-sofort durch An-
wendung von (73) ableiten lassen, sind damit auch die Matrix-
komponenten, die den andren ^«-Werten entsprechen, zu erhalten.

Das zweite Integral in (75) ist bekanntlich nur von null ver-
schieden, wenn /, —/jrz± i ist [Auswahlregel für die Azimuthaie
Quantenzahl]. Aus (71) und (72) entnehmen wir, dass die ge-
suchten Matrixkomponenten auch berechnet werden können, wenn
wir für / in (73) nicht sondern

Multiplikation mit einer Funktion der Koordinaten, welche, da
V nur von r abhängt, durch:

Die Ausdrücke, die man so für die Matrix-komponenten von
z bekommt, sind natürlich

wegen des Zurechtbestehens der
Schrödinger-Gleichung, identisch mit (75). Wir werden sie aber
später (vgl. § 3) als Kontrolle für unsere numerischen Berech-
nungen heranziehen.

S 2. Der Zusammenhang zwischen der Starke der
SpektralHnien und den
Matrixkomponenten der Raumkoordinaten.

In der ursprünglichen Matrixtheorie von Heisenberg wurden die
Matrixkomponenten q^^ der Kartesischen Koordinaten eingeführt
auf Grund der phenomenologischen Definition derden ausgesandten
Spektrallinien entsprechenden karakteristischen Amplituden, Die
einem tjbergang \\-*2 zugeordneten karakteristischen Amplituden
waren die den drei Raumrichtungen entsprechenden Amplituden
C„ C„ C3 eines harmonisch schwingenden Dipols, dessen Frequenz
und Schwingungsform mit der Frequenz und dem Polarisations-
zustande der ausgesandten Spektrallinie übereinstimmen und
dessen pro Zeiteinheit klassisch ausgestrahlten Energie der im
Mittel vom Atom in Zustand l ausgesandten Strahlungsenergie
der Frequenz v„ gleich ist. Handelt es sich um ein einzelnes
Elektron in einem drei-dimensionalen Kraftfelde, so hängen die
Matrixkomponenten q\\„nbsp;q\\. in folgender Weise mit den

^VO A^^ den Einstcinschen Koeffizient der spontanen Emission
darstellt (vgl. Kap. I, § 2). Nehmen wir an dass l 2 sich auf
einen Übergang zwischen nicht-entarteten Zuständen bezieht, so
gilt nach der Einsteinschen Theorie des Planckschen Strahlungs-
gesetzes:

die von einem Atom im Zustand 2 im Mittel pro Zeiteinheit
absorbierte Energie darstellt, wenn p (v) dv die Energiedichte
im Frequenzintervall v-^-v dv der als unpolarisiert und isotrop
verteilt gedachten elektromagnetischen Strahlung im Räume an
der Stelle des Atoms ist. Von DiRAC wurden, unter Heranziehung

der Quantelung der Hohlraumstrahlung, die Formeln (79) und
(80) aus quantenmechanischen Prinzipien abgeleitet; beiläufig
sei erwähnt, dass (79) nur gilt, wenn die Abmessungen des
Atoms klein sind verglichen mit der Wellenlänge des Lichtes.

Die von einem isotrop mit F\'requenz y schwingenden Elektron
klassisch pro Zeiteinheit absorbierte Energie beträgt nach planck:

Die Grösse / bezeichnet also das Verhältnis zwischen der
Absorptionsfähigkeit gegenüber Licht der Frequenz v„ eines
Atoms im Zustande 2 und eines isotropen harmonischen Elektrons
mit der Frequenz v„ nach der klassischen Elektronentheorie.
Vergleich von (79), (80) und (83) ergibt:

das reziproke der klassischen Abklingungszeit eines elastisch
gebundenen Elektrons ist.

Das in der Einleitung erwähnte Gesetz von Thom.\\.S—Kuhn
lässt sich mit Hilfe von (84) leicht aus den born—jordansciien
Vertauschungsrelationen:

ableiten. Unter Benützung von (71) gibt Gleichsetzung der Dia-
gonalelemente auf beiden Seiten von (86):

Summieren wir noch über k {k - 1,2,3)- so gibt Vergleich
mit (84) sofort: \'^jfji =1,

das heisst: die Summe der Absorptionsstärken aller Spektrallinien,
die Übergängen von einem Zustande i aus entsprechen, wobei
eine eventuelle kontinuierliche Absorption auch mitberücksichtigt
werden soll, ist gleich i. Dabei ist zu beachten, dass Übergängen,
die einer Emission entsprechen (vy, lt;o) einen negativen/-Wert
beizulegen ist, der Einsteinschen negativen Absorption oder indu-
zierten Emission entsprechend.

Für spätere Zwecke wollen wir noch angeben, was aus (84)
wird, wenn die Matrixkomponenten in dem Radius der ersten

Im Falle, wo die stationären Zustände entartet sind, so wie
es bei Anwendungen auf Zentralsysteme stets der Fall ist, ist
die totale Stärke einer ins Auge gefasstcn Absorptionslinie und
die effektive Einsteinsche Übergangs-Wahrscheinlichkeit leicht zu
finden, indem man .sich die Entartung durch ein schwaches
äusseres Feld ausgehoben denkt, sodass sowohl der Anfangs-
wie der Endzustand in Zustände mit gleichen statistischen Ge-
wichten aufgespalten sind. Es mögen sich die beiden Zustände
•n g^ b.z.w. g^ Zustände spalten. Für die totale Stärke des
Absorptionsübergangs 2-gt;i gilt da:

Wo die Summation über alle möglichen Übergänge von einem
niedrigeren nach einem höheren Zustande zu erstrecken ist.
Entsprechend gilt:

wo wiederum über alle Übergänge, die nach Aufhebung der
Entartung möglich geworden sind, summiert werden soll.

(89)nbsp;definierten Grössen und A,, tatsächlich unabhängig von
der Weise, in der die Entartung aufgehoben ist.

Mittels der Formel (75) lässt sich der ƒ- und A-Wert be-
rechnen, der zum Übergang: — — 0 gehört. Um mit Hilfe
von (88) und (89) die totale Stärke und den Einsteinkoeffizient
für eine Gesamtlinie n, /, 4 zu finden, benutzen wir noch die
Goudsmit-Kronigschen Formeln für die Intensitätsverteilung der
Komponenten des Zeemaneffektes. Für den Übergang /-gt;/— i gilt:

Um den Ausdruck: l,/.- in (88) auf diesen Fall anzuwenden,
soll nun über alle möglichen Kombinationen i von und m,
summiert werden. Für diese ergibt sich leicht aus (90):

Diese Formel gilt natürlich unabhängig davon, ob / dem
höheren oder dem niedrigeren Energiezustand entspricht. Im
Zustande l ist das statistische Gewicht gleich 2 / i, im Zustande
l — I gleich 2 / — I.

Für den Übergang 4,4i haben wir in (75) und (76) /, = i,
4 = 0 zu setzen. Das zweite Integral in (75) wird, wenn wir
noch cos ^ — 71 setzen :

für R\\{p) und (p) [in Tabelle 6, S.43. b. z. w. und
genannt] haben wir folgende Werte für diese Integrale gefunden.

indem die Integranden für eine Anzahl p-Werte numerisch be- •
rechnet und die Areale der so erhaltenen Kurven planimetrisch
bestimmt wurden:

Benutzen wir nun die Werte von (93) und (94). so wird aus
(75) und (76) erhalten:

In derselben Weise bcrcchncn wir die ;7-Matrixkomponentc
-nbsp;(75) (76) ist in diesem Fall: = i ;/, = 2. Das

(96)nbsp;J\'^\'u 1\\ (w) I\\ {n) =nbsp;(1-3 n\') du = - \'
Analog (94) gilt ebenso:

Es wird aus dem Verlauf der R\\ und A\'%-Kurven in
I\'ig- (XII) leicht gefolgert, dass die Teile in der Nähe des Kernes
den Wert der ;:-Matrixkomponenten in dieser Weise berechnet,
f^st nicht beeinflussen, sodass eine genaue Kenntnis der Wellen-
funktion für kleine p-Werte nicht notwendig ist.

Als Kontrolle für unsere Berechnungen werden wir nun die
--Matrixkomponenten mittels der Ausdrücke (77) und (78) noch
\'n andrer Weise bestimmen. Ersetzen wir zuerst a durch:

des Winkelbestandteiles in (73) denselben Wert ergibt wie bei
der vorigen Berechnung nach (75) [vgl. (93) und (96)]. Die Inte-
gration über r wird ebenfalls durch eine Integration über p ersetzt.
Vergleichen wir nun die nach dieser und nach der vorigen
Methode erhaltenen Ausdrücke für den p-Bestandteil in (73), so
muss die Gleichheit:

ist. Nach der graphischen Methode können nun die Integrale
in dem rechten Gliede von (98) in bekannter Weise bestimmt
werden, wo die (p (p)-Werte der Figur (III) entnommen sind.
Stellt sich heraus, dass die zwei Glieder von (98) wirklich überein-
stimmende Werte besitzen, so dürfen wir schliessen, dass die von
uns konstruierten Wellenfunktioncn dem geforderten Zusammen-
hang im Falle der betrachteten Spektrallinien genügen.

Es zeigte sich jedoch, dass die numerische Bestimmung des
linken GHedes in (98) Schwierigkeiten aufliefert. Für kleine

p-Werte ist nämlich der Unterschied von ^ und ^ klein ver-
glichen mit den Werten dieser zwei Grössen selbst, sodass diese
Kontrolle eine genaue Kenntnis des Verlaufs der 7?-Funktion in
der Nähe des Kernes fordert. Die Näherung mittels der Bessel-
funktion und der grobe Anschluss mit der Kos.-Funktion sind
aber für diesen Zweck nicht ausreichend. Wir haben uns bemüht
eine genauere Kenntnis der A\'-Funktion in diesem Gebiete zu
erlangen. Wir ersetzten den Ausdruck : p\' v (0) = - 40p, der der
Näherung mit der Besselfunktion entspricht, durch (13), worin
die Abschirmungskonstante: C- 102,5 ist, und fügten dann noch
ein Korrektionsglied in p\' dazu, damit ein möglichst guter
Anschluss an die p\' v (p)-Kurve in Fig. (III) erhalten wurde.

Wenn wir den so crlialtenen Ausdruck für v (p) in (33) sub-
stituieren, können wir die Diff. Gleichung in R mittels\'einer
konvergenten Reihenentwicklung exakt lösen. Eine genaue Wert-
bestimmung der in dieser Weise erhaltenen alternierenden Reihe
forderte langwierige Berechnungen, sodass wir diese Kontrolle-
methode nicht weiter durchgeführt haben.

einsetzen. Im Fall des 4,-4. Übergangs braucht man nur das
erste Glied des Ausdruckes (99) bctrachtcn, weil das zweite
Glied des Operators in (73) eingesetzt keinen Beitrag liefert,
wegen 4 = o. Die Integration des Winkelbestandteiles führt
daher zu demselben Ergebnis wie bei der Berechnung der Matrix-
komponenten mittels (75). Der Vergleich der radialen Bestand-
teile liefert die Gleichheit:

Der Wert des Integrales im rcchtcn Gliede ist in (94) gegeben,
Während die Tabelle (i): \'-^=0,116 ergibt. Zur numerischen
Bestimmung des linken Gliedes schreiben wir:

und berechnen die Integrale in gewöhnlicher Weise mit dem
Planimeter. In dem zweiten Integrale muss das Diff. Quotient

in einem ;ir-/-Diagram gegeben ist. Das gesuchte Integral rj\'c/.v
lässt sich jetzt sofort mit dem Planimeter bestimmen. Esquot; wird
für das linke Glied in (loo) der Wert - 2,03 gefunden, während
das rechte Glied den Wert: 0,116 X - 17,93 = -2,08 besitzt.
Pür die ^^-Matrixkomponente ergibt die Kontrollcrcchnung:

In analoger Weise ist im Fall des (4.-33) - Überganges die
kontrollerechnung durchgeführt. Das Endergebnis war:

gleichfalls in ziemlich guter Übereinstimmung mit dem Werte (97).
Für die weiteren Berechnungen benutzen wir die Mittelwerte :

Die Bcstinunung der totalen Stärke und der effektiven Ein-
steinschen Übergangswahrscheinlichkcit mittels der Werte (104)
stützt sich auf die Formeln in § 2 dieses Kapitels.

f00 = 0,2,6. Für die Gesamt-stärke wird mittels (88) und (91)
gefunden:nbsp;= 3-/oo = i,08, und:

Für die Bestimmung von Aoo aus (85) und (104), brauchen
wir den Wert der klassischen Abklingungszeitnbsp;Aus den

1 derselben Weise wird das Rechnungsverfahren für den 33
Übergang durchgeführt. Da hier:= 0,106 [vgl. Tabelle i.]

Der gefundene Wert:4, = 1,08 stimmt, der Grössenordnung
quot;ach, mit der Erwartung, nach Analogie mit den Alkalispcktren
quot;quot;d auf Grund des Summensatzes von Thoma.S-Kuiin, Min-
I^OWSKY\') hat bekanntlich aus Messungen des A^\'^z-Spektrums
auf einen /-Wert für die Ä^a D-Linie geschlossen, welcher sehr
quot;ahe an eins liegt, und Sugiuraquot;) konnte dieses Resultat theoretisch
est.ltigen. Er findet: /a, 3, = 0,973. Dass wir einen etwas
amp;»quot;o.sseren Wert als eins bekommen, trotzdem der Summensatz
I verlangt, rührt natürlich von den negativen /-Werten
i\'f die Übergänge 4. 3, und 4, 2, her, obgleich diese Über-
gänge wegen des Pauli-prinzips in einem Atom mit völlig besetzter

und /,-Schale nicht vorkommen können 3).
J^er besonders niedrige /-Wert für den (4, ^ 33)-Übergang
••quot;quot;\'irt teilweise davon her, dass das Gebiet, wo das 33-Elektron
S\'ch bewegt, schon ziemlich nahe am Kerne liegt verglichen
»»t dem 4,-Elektron (vgl. Fig. XII), ist aber hauptsächlich in
Umstände begründet, dass die Frequenz des 4, - 33 Über-
Sanges bedeutend kleiner ist als im Falle des 4, - 4, Überganges.
^ ei den bisherigen Rechnungen wurden die Multiplettauf-
^Paltungen der Linien vernachlässigt. Diese Aufspaltung rührt
^anntlich davon her, dass die Energieniveaus unseres Zentral-

systems für die Ij^o ist, sich infolge des Einflusses des Elek-
tronenspins je in zwei Niveaus aufspalten. Diese Niveaus sind
jeweils gekennzeichnet durch die zwei Werte der Ouantenzahl
des totalen Impulses:

Für /=:o tritt keine Aufspaltung auf und es gilt: j =\'j,. Da
die Aufspaltungen klein sind verglichen mit den Übergangs-
frequenzen, können wir mittels der bekannten Regeln für die
Intensitätsverhältnisse in Multipletts \') [oder, da wir es hier mit
einem Dublettspektrum zu tun haben, aus den Summenregeln
von Ornstein und Bürger \')] sofort die /- und y^-Werte für
die einzelnen Multiplettkomponenten angeben. Es gilt:

Es erübrigt sich noch ein Wort über den vermutlichen Fehler
in unseren Endresultaten zu sagen. Die gefolgte Methode stellt
uns nicht ohne weiteres im Stande eine einigermassen genaue
Fehlerabschätzung zu machen. Sie ist aber von der Art, dass
die Abweichungen in den Resultaten der zwei Rechnungsmethoden
der Matrixelemente wohl ein Mass für die Unsicherkeit geben.
Bei der starken (4^ — 4,)-Linie weichen diese Resultate ungefähr
2^/2 °/o von einander ab, und Squot;/« wäre hier also ein Mass für
die Unsicherkeit im Werte:nbsp;= 1,08. Bei der schwachen

R. de L. Kronig. Zs. f. Phys. 31. 885. \'25. H. Hönl. Zs. f. Phys.
31. 340. \'25.

») L. S. Ornstein u. H. C. Burger. Zs. f. Phys. 29. 241. \'24.
3) Vgl. Paschen—Götze. Seriengesetze der Linienspektren. S. 82.

42 33 Linie weiclien die zwei Werte für das .:r-MatrixeIenient
ungefähr 4 von einander ab, was wohl mit der relativ grossen
Unsicherkeit in der Konstruktion der Wellenfunktion für den
33-^nstand zusammenhängt. Für den bezüglichen /-Wert:
/33 -gt;-4i — 0,09 möchten wir also einen Pquot;quot;ehler von etwa 8 °[o als
möglich ansehen.

S 4- Die graphische Methode zur Bestimmung des Potentialfcldcs.quot;nbsp;21
§ 5- Die Näherungsmethode von Fermi zur Bestimmung des

In Ann. d. Phys. 80,45 5, \'26 is de formule (30), die Schrüdinger
in het geval van een ontaard probleem voor de gestoorde eigen-
functie in eerste benadering aangeeft, niet juist.

In Ann. d. Phys. 80,478, \'26 behandelt Sciirödinger het
Stark-effect met behulp van een storingsrekening in poolcoür-
dmaten. De normeeringsfactor(7i),die met de-/^-variable correspon-
deert, moet vervangen worden door een normeeringsfactor, die
met r correspondeert.

In het geval van ontaarde systemen, waarbij door storings-
invloeden de ontaarding geheel of gedeeltelijk wordt opgeheven,
moet de intensiteit in eerste benadering der komponenten, waarin
de spectraallijnen onder invloed der storing gesplitst worden,
uit dezelfde vergelijking bepaald worden als waaruit de energie
in tweede benadering wordt afgeleid.

Beschouwen wc een centraal probleem, waarvoor geldig zijn
de beperkingsregels van k en gt; {k kan slechts met ± 1,7 met o
en ± i springen), dan blijven deze beperkingsregels in het geval
van een storing van een inwendig magnetisch veld en na het
aanbrengen van de relativiteitscorrectie, ook in nulde cn eerste
benadering geldig, terwijl dit niet het geval is, wanneer een
uitwendig magnetisch veld wordt aangebracht (vlg. W. Heisenberg
en P. Jordan; Zs. f. phyg, 39.499. \'26).

De seculaire determinantvergelijking (4.1), die K. Darwin
(Proc. Roy. Soc. {Ä).nbsp;gt;27) bij de afleiding van het anomale

ZeemanefFect volgens de Schrödingermethode gebruikt, is dezelfde
als die, welke door W. Heisenberg en P. Jordan (Zs. f. Phys.
39,499, \'26) volgens de matrixmethode is a\'quot;geleid. De asym-
metrische vorm van de seculaire determinant van Darwin, die
eenvoudiger is dan de symmetrische determinant van Heisenberg-
jordan houdt verband met het feit, dat Darwin niet-genormeerdc
cigenfunctie\'s gebruikt.

De afleiding, die G. VVentzel (Zs. f. Phys. 37,518, \'26) met
behulp van zijn approximatiemethode van de Sommerfeldsche
phazenintcgralcn geeft, is onjuist. De correctie, die A. Sommerfeld
(Atombau und Spektrallinien, Band II, Kap. I, § 12) aanbrengt,
geeft geen wezenlijke verbetering.

. De manier waarop K. F. Niessen (Ann. d. Phys. 85, 497, \'28)
de zadelpuntmethode heeft toegepast om aan te tooncn, dat de
afleiding, die G. Wentzel (zie stelling 6) met zijn approximatic-,
methode van de Sommerfeldsche phazenintegralen geeft, onjuist
is, treft geen doel.

De bewering van Th. Reye in zijn ,,Dic Geometrie der Lagequot;
(le deel blz. 24 en inleidend voorbericht blz. VII), dat ,,das
Dualitätsprinzip in der Geometrie des Masses nicht überall zur
Geltung gebracht werden kannquot;, is onjuist.

De hypothesen, die E. Back en S, Goudsmit (Zs. f. Phys. 47,
174, \'28) ter verklaring van de hyperfijnstructuur van de spec-
traallijn (4722A°) van Bi aanvoeren, zijn in strijd met de door
hen verrichte intensiteitsmetingeh van die spectraallijn.

. I \'.

■ \'S

U -T
- v

	V (cm~\')	vIR (Mittelwert)*
4.		95719,2	0,873
		70305,7 70528,7	0,641
43		82008,7 82069,5	0,747

Niveau	Uk	yjR* (Mittelwert)
K Lj Lu) LJ	I,	297.5
2.	I32.5I 25.7
Ms Mn 1 Mui\\	3i 3. ! i	U-oSj 2.0

Niveau		Phasenintegral
II	0.5	0.46
	1-5	1.49
	0.5	0.56
3.	2-5	2.62
3.	i-S	1.94
33	0.5	1.18
4.	3,5	4.02
4.	2.5	3.01

Niveau.	1 n-l-%.	{ Phasenintegral.
Ix	1 0.5	0.52
	1-5	1-49
2,	0.5	0.51
3i	2.5	2.50
3. t	i-S	1-55
33 1	0.5	0.51
4i	3-5	3.49
4. i	2.5	2.50
Zuerst hatten	wir für das J///,	ƒƒƒ — Niveau den

p		! p	ß
0.05	25	0.8	8
0.1	37-5	I.O	7
0.2	28	1.2	5
0.4	14	1.8
0.6	10.5	2.4	2

p	^4.		■^33
0,016	0,013	0,001	0,00
0,040	0,190	0,079	0,01
0,08	0,071	0,205	0,04
0,16	— 0,226	0,317	0,12
0,24	-0,324	0,308	0,25
0,40	- 0,074	0,007	0,53
0,60	o,3S7	-0,390	0,74
0,80	0,543	-0,586	0,88
1,0	- 0,495	— 0,580	1,01
1,2	0,304	- 0,444	1,12
1.4	0,055	-0,258	1,20
1,6	-0,198	- 0,025	1,24
1.8	- 0,434	0,209	1,26
2,0	- 0,645	0,423	1,28
2,4	-0,956	0,803	1,21
2,8	-1,119	1,057	1,08
3.2	- 1,181	1,215	0,96
4,0	- 1.039	1,279	0,70
5.0	-0,750	1,1 IG	0,45
6,0	- 0,448	0,836	0,28
8,0	-0,135	0,368	0,11
10,0	-0,035	0,132	0,02

Übergang	1 liinAquot;. K.)	/	gt;1
	3968,63	3\' /ai-^ai —	0,36	i.	1,55.108
	3933,83	3- y4i-«-\'4i—	0,72	i.	1,55-10®
	8542,47		0,09		1,17.10\'
	8498,35		;0,015	t\'s.	0,13.10\'\'
	8662,5		: 0,07 5	i.	1,3.107

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quot;ä		)
-V---	A
c	r	q\\