\'GYER EEN ËLGEREEN feMIDDELDE#

# ^

.f sj\' DISnbsp;■BE/|rOÜTv;XA,v^ET

/ ■ r^nbsp;^.....- 7 - - r r- quot; \' X

mm.

mm

V. ; . (.

•v •

OVER EEN ALGEMEEN GEMIDDELDE

EN DE

NTEGRALEN DIE SAMENHANGEN MET DE FOUTENWET

\'van het

MEETKUNDIG GEMIDDELDE.

,. ; A

-■tit

S\' ^

ver een Aloeffleeii ßemääeUe en Je Inteöraleii Ji

saMlianfleii met Je Foiiteawet m liet leetaJifl SemleUe

PRO EFSCHRIF

TE8 VEBKBIJ8WI} VAK DEN BJAAt ÏAS

OCTOR IN DE WIS- EN NATÜURKUND

AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT

NA MACHTIGING VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS
DR. A. A. W. HUBRECHT

HOOÖLEERAAR IN DE FACULTEIT DER WIS- EK NATUURKUNDE

volgens besluit van den senaat der universiteit

TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN

op Woensdag 18 December 1901

des namiddags te 4 uren

door

PAUL IWAN HELWIG

geboren te Enkhuizen

BIBLIOTHEEK DER

F^IJKSUNIVERSITEIT
UTRECHT.

amsterdam
delsman amp; nolthenius
1901

: ■ ■ ■

■ \' ■■ M

t.

■ ■■

\\ r

tllU

Ölcm m^^ne-n ^^adez

en

aan S^a^edacÂtems m^^namp;z 3fCoedez.

I , .

, V

•t :nbsp;-M ■

■■ Jï:;

-5
■ -i ■

Bij het besluit mijner studie aan de Universiteit gevoel ik behoefte
hier openlijk wijnen dank uit te spreken aan allen., die hebben bijgedragen tot
het bereiken van dit doel.

Niet het minst gevoel ik mij aan U verplicht, Hooggeleerde
W. Kapteijn, Hooggeschatte Promotor! TJtv belangwekkend onderricht heeft
mij veel liefde voor Uw wetenschap gegeven.

Hooggeleerde Y. A. Julius, Hooggeleerde D. J. Korteweg en
Zeergeleerde W, van Loghem, de herinnering aan Utve persoonlijkheden en
lessen vervult mij steeds met groote dankbaarheid.

Amsterdam, Dec. 1901.

INHOUD.

Bladz.

Inleiding......................

EERSTE AFDEELING.
Het gemiddelde in het algemeen............... 2.

TWEEDE AFDEELING.
Over de integraal der foutenwet van het meetkundig

gemiddelde en hare verwanten.

Eerste Hoofdstuk...................-24.

Tweede Hoofdstuk....................48.

INLEIDING.

De navolgende onderzoekingen danken haar ontstaan aan eene aesthetische theorie
door mij in 1897 gepubliceerd waarin ik getracht heb duidelijk te maken dat men,
aannemende dat in den menschelijken geest uit het ervaringsmateriaal onbewust gemiddel-
den worden gevormd en aannemende dat deze gemiddelden schoonheidsmaxima voorstellen,
ook inderdaad , verscheidene aesthetische verschijnselen kan verklaren. Ik werd toen
natuurlijk ook geleid tot de vraag, welke mathematische gedaante dat gemiddelde zou
kunnen aannemen en voerde argumenten aan, die de keuze op het meetkundig gemiddelde
deden vallen. Vergelijking met erkende feiten en proeven bewees dat deze keuze voldeed.
Toch kan ik thans, ook naar aanleiding van eene belangrijke opmerking van Prof. V. A,
Julius, omtrent de wijze waarop ik destijds tot het meetkundig gemiddelde besloot, niet
meer beweren dat die wijze mij bevredigt en heb dan ook uitgezien naar eene andere.
Men vindt haar vermeld in § 9 van dit proefschrift.

De studie van het meetkundig gemiddelde voerde mij daarna tot een onderzoek
naar de eigenschappen van gemiddelden in het algemeen, waarvan ik eenige hoofdzaken,
vooral voor zoover zij samenhangen met de speciale foutenwet, die ieder gemiddelde met
zich meesleept, in dit geschrift zal vooropstellen. Medegaande met den gedachtengang,
die Gauss tot de opstelling zijner arithmetische foutenwet voerde, kan men toch ook, eens
in het bezit zijnde van eene uitdrukking voor een algemeen gemiddelde, zich de vraag
stellen, welke gedaante de foutenwet heeft, als men uitgaat van de onderstelling dat het
algemeen gemiddelde van een stel gemeten of experimenteel bepaalde waarden eener
grootheid de meeste kans heeft de juiste waarde dier grootheid weer te geven. Zoo sleept
het meetkundig gemiddelde ook zijn eigen foutenwet mede, die in de taal mijner aesthe-
tische opvattingen overgebracht, de kans aanwijst, dat een gegeven lid eener naar haar
schoonheid beoordeelde rij objecten van éen veranderlijke, het schoonste vertegenwoordigt.

P. I. Helvig. Eine Theorie des Schonen. Amsterdam. Delsman en Nolthenius, 1897.

inleiding.

Natuurlijk hangt de kans om eene aesthetische fout binnen gegeven grenzen te maken
daarmede onmiddellijk samen en de mathematische uitdrukking ervan, een bepaalde inte-
graal zijnde, bracht mij ongedwongen tot het onderzoek van de bepaalde integraal

lx

dz, die ik aan het hoofd van dit geschift heb gesteld. De opvallende gedaante

van de oneindige dubbelreeks waarvan zij het symbool is, beloofde reeds op het eerste
gezicht een betrekkelijk ruimen oogst van bepaalde integralen op te leveren en voerde mij
tot een stel reducties in dit j)roefschrift vermeld.

Ik hoop, dat het mij gelukken zal te doen zien dat deze integraal weder een dier
mathematische middelpunten voorstelt, waaruit tal van verwanten hun oorsprong nemen.
Dat eene psychologische onderzoeking de eerste aanleiding tot het vinden dier groote hoe-
veelheid bepaalde integralen geweest is, moge een bewijs zijn voor den inwendigen samen-
hang der wetenschappen en een welkom argument voor allen, die de nuttigheid der wis-
kunde voor de wijsbegeerte en der wijsbegeerte voor de wiskunde bepleiten.

EERSTE AFDEELING.

HET GEMIDDELDE IN HET ALGEMEEN.

§ 1. Zoodra het wenschelijk of noodzakelijk is om in plaats van een rij speciaal-
waarden

.nbsp;f{x.,) F{x,).....

van eene functie F(x) slechts éen enkele waardenbsp;te beschouwen, omdat men óf de

n waarden der functie van f {xi) tot en met F {x,) niet tegelijk kan gebruiken óf geen
reden heeft om de eene speciaalwaarde F{xp) wel en eene andere F {Xq) niet te kiezen,
dan kan men zich van een nieuwe functiewaardenbsp;bedienen en deze op de volgende

wijze definieeren:

nF{x„) = F{Xy) ^ F{x.^ . . . . , F{x,) . . . . . . . (1)

In deze definitie ligt de gedachte opgesloten dat F (x^) die waarde van F (x) is, die voor
F{x^), -^(a^\'a) tot en met F{x,) in de plaats gesteld zijnde, hun som niet wijzigt.

Noemt men het gemiddelde mn de soort F(x) van de waarden Xi, x.^, ... . x^
der variabele x dan is dus volgens het axioma der algebra het gemiddelde onafhan-
kelijk van de volgorde, waarin a;,, x.,, . . . . tot den bouw van dat gemiddelde hebben
meegewerkt.

Het gemiddelde van een rij ^functies van x, bijv. vannbsp;(p (x.,) .... (p (x,,) en

weder van de soort F (a;) kan echter op twee wijzen worden opgevat. Vooreerst bepaald

doornbsp;\'

nF(p„^ (a;) = F(p (x,) Ftp {x.^) .... Fep {x,) . .......(2).

Maar ook kan men zeggen dat 95 (a;) dan ,een gemiddelde waarde van de soort F {x) zal
aannemen wanneer .t = uit (1) daarin gesubstitueerd wordt.

Dit komt nu hierop neer dat men in y = cp (x) in het eerste geval de y als onaf-
hankelijk variabele beschouwt en haar een gemiddelde waarde Iaat aannemen en in het
tweede geval met x alzoo handelt. Men krijgt zoo twee waarden voor het gemiddelde
van de soort F {x) van een functie cp {x) van éen variabele, die in het algemeen verschil-
lend zijn.

In mijne Theorie des Schönen voert deze opmerking tot de oplossing van de vraag:
hoe een rechte van gegeven lengte op het schoonst in twee deelen kan verdeeld worden.
Men vindt twee oplossingen: 1quot;. De lijn wordt door midden gedeeld en 2°. de lijn wordt
in twee ongelijke stukken gedeeld in een verhouding zeer nabij die der gulden snede
gelegen.

Uit de gegeven definitie volgt nu ook direct, dat het rekenkundig, het meetkundig,
het kwadratisch\'), het harmonisch gemiddelde van , ... respectievelijk zijn van de
1

soort: cc; lx; cc~;--

01/

§ 2. Wat de geschiedenis van het onderzoek naar de eigenschappen van gemid-
delden betreft, is het bekend, dat vooral de begeerte om rationeele grondslagen te vinden
voor de Gauss\'sche foutenwet en de daartoe noodige pogingen om het plausibele van de
hypothese van het rekenkundig gemiddelde op den voorgrond te doen treden, aanleiding
waren tot verscheidene nasporingen vooral van Lagrange, Laplace, Schiapaiielli, de
Morgan, Ferrero en anderen, welke allen in het voortreffelijk boek van Czuber^) uit-
voerig besproken en met zeer volledige litteratuur-opgaven zijn voorzien.

Men gaat gewoonlijk bij genoemde onderzoekingen zóo te werk, dat men het
gemiddelde van eenige waargenomen grootheden l,, h... k als een functie ƒ (Z,, k-.. L)
definieert en van ƒ eischt dat zij in betrekking totnbsp;k symmetrisch zij, eenwaardig

en continu tusschen de uiterste waarden der waargenomennbsp;k verioope en voor

= = ... = ln=l zich tot de waarde ƒ = I reduceere.

Afgezien van het feit dat het begrip van „gemiddelde eener bepaalde soorfquot;, waar-
van het voordeel ons spoedig zal blijken, hierin niet optreedt, heeft deze definitie m. i.
nog het nadeel van te wijd te zijn, daar ook bijv. functies van den Yovm f{hl,, hh,
hl ...) er aan kunnen voldoen, waarin onderiinge betrekkingen tusschen de waargenomen
groothedennbsp;als nieuwe variabelen optreden, wat met de absolute onafhankelijk-

heid van k...ln strijdig is, of minstens genomen moeilijk kan verwacht worden.

Ik besloot ook daarom tot de definities in (1) en (2) met opname van het sooHbegrip.

Dat men met de definitie (1) die ik vooropstelde ook o.a. het zeer belangrijke resul-
taat, waartoe Ferrero kwam, gemakkelijker en strenger kan bereiken, moge de volgende
uiteenzetting bewijzen.

•) Zie Hertz. Principien der Mechanik. Leipzig. Barth. 4894. § 28.

2) czüher. Theorie der Beobachtungsfehler. Leipzig. Teubher. 1891. Vergelijk ook Jahresbe-
richt d. Deutsch. Math. Vereinig. Leipzig. 1899.

§ 3. Ferrero heeft getracht aan te toonen, dat hoe minder de resultaten der waar-
neming van een grootheid van elkaar afwijken, ook des te enger alle gemiddelden daaruit
opgebouwd zich om het rekenkundig gemiddelde ervan scharen en dat dus de keuze van het
rekenkundigquot; gemiddelde des te meer gemotiveerd is naarmate de waarnemingen beter zijn.
Om dit nu uit onze definitie (1) te bewijzen, stellen wij, aannemende dat de waarden van
Xi, X2, . . . x„ onderling en elk weinig van a verschillen, in

voor Xi = a , .v^ = a ö^, . ... x„ = a d„. Dan is

n.^ixn.) = F{a 5,) 4- ^(a 4- ^2) . . . . f{a -f lt;5«)
of, ontwikkeling volgens het theorema van Taylor mogelijk veronderstellend:

nF{x,.) = nf{a) [ó]/-quot;\' (a) ^^^^ fquot; (a) nbsp;(«)-]-....

waarin de gebruikelijke notatie [ó^] = -H . . . . -f- is ingevoerd.

Voeren wij het symbool ^ in volgens deze definitie Fr{a) — a, dan is dus

= / j.-(a) L^rCa) nbsp; -^^-\'quot;(a)

Onderstellen wij weer de ontwikkeling mogelijk, dan is dus:

o;. = fF{a) («) nbsp;(«) ...) L\'^io) F\' (a) ^ Fquot; (a) .. .Jfquot; F{a)

of

= a ^F{a)F\'F{a) ^^^Fquot; {a)F\'F{a)nbsp;(«)]■\'£quot; .F(a) termen van 3- en hooger graad in (

Nu is FF{a) = a, dus F\'F {a) . F\' (a) = 1 en Fquot; F {a) . F\' {af F\'F (o) . Fquot; (a) = 0.
Dus dit invoerend en opmerkend, dat na -f [ó] = [x] is, vinden wij, termen van 3®° en hooger
graad in ö verwaarloozend:

2 U n\' ) F\' {a).........

Hieruit blijkt reeds, dat elk gemiddelde opgevat kan worden als opgebouwd uit het
rekenkundig gemiddelde en uit grootheden onder meer ook afhankelijk van de soort F{x)
van het gemiddelde.

Wijken nu de waarnemingen in \'t geheel niet van elkaar af, dan is dus ö, = 62 =
. . . . = = (5 en derhalve [ó] nd en [Ó\'-] = wó^ en [df =nbsp;Dit levert in (3)

gesubstitueerd x^ =

n

Wijken de waarnemingen wel onderling af, dan zullen zij des te meer elkaar nabij

komen naarmate in A = ,,, f =nbsp;^ ^ de .\'s dichter tot de eenheid na-

deren. Dan is dns ook =nbsp;=nbsp;en =nbsp;en dit in (3) gesub-

stitueerd geeft:nbsp;rnbsp;r 2n r rquot; fn\\

Naarmate echter de e\'s meer tot de eenheid naderen, wordt de factor

nader tot nul gebracht, waarmee de stelling bewezen is.

Fekrero koos voor a het rekenkundig gemiddelde. Daardoor werd [ó] = O en

[^2] ^ = O en wordt onze formule

M _ IIS^) = M ,

n 2n F\' (a) n 2n F\' (a)

en zoo vond Ferreronbsp;^nbsp;(Q —R), waarinnbsp;^^------^q en

van de functie ƒ , k, • • • • U lt;iie hij als gemiddelde

beschouwt. Na aangetoond te hebben dat (Q-K)n nooit een functie toenemende met
71 is, leidde hij daaruit zijn stelling af.

Daar hij echter a = stelt, noemt hij dus dan de waarnemingen nauwkeuriger

en dus de ó\'s kleiner naarmate die waarnemingen minder van hun rekenkundig midden
afwijken en dit is ter motiveering van het rekenkundig gemiddelde eene petitio principii.

Onze formule (3) heeft nog een ander voordeel boven die van Ferrero, dat de
soort van gemiddelde er expliciet in voorkomt en dus elke gegeven soort direct naar haar
afwijking van het arithmetisch midden kan beoordeeld worden. Zoo is voor

^(a) a^ dusnbsp;= i ; - («) = «nbsp;= « ^nbsp;-nbsp;- - V

Dit ter rechtvaardiging van onze invoering van het soortbegrip bij gemiddelden.

§ 4. Zoolang men te doen heeft met een discontinue rij (p(.r,),nbsp;• • • \'

zal het gemiddelde van de soort F{xy bepaald moeten worden doornbsp;uit (2) of door

cp uit (i) te berekenen.nbsp;\'nbsp;. , i

Dit wordt anders zoodra men reden of recht heeft om aan te nemen dat ook

andere functiewaarden lt;p (x, A.r),nbsp; nbsp;(^-a A.r) enz. evenzeer geacht moeten

worden tot de gegeven functierij te behooren.

Dit zal bijv. het geval zijn als men de gemiddelde waarde eener kinetische energie
tusschen twee uitersten wil bepalen en alle tusschengelegen waarden in aanmerking
komen.

Dit is ook O. a. het geval als men het schoonheidsmaximum volgens genoemde
opvatting wil bepalen uit alle verhoudingen tusschen gegeven grenzen.

Zoodra dergelijke gevallen zich voordoen, zullen wij spreken van een continu ge-
middelde, in tegenstelling met die uit (1) of (2), die wij voortaan discontinue gemiddelden
noemen.

De vormverandering, die het gemiddelde dan ondergaat, vinden wij aldus:
Zij gegeven 93 (x) als continu veranderende functie, r (x) als soort en moge x van Xj
tot X2 continu verloopen, dan zal, als Ax tot nul en als n tot gelijktijdige limiet 00 nadert:

nf(pm (x) — Fep (x,) F(p {x^ -f- A.r) F(p (x^ 2Are) . . . . (a;, [w — 1] Aa;).

F{x) moet dus ook zoodanig zijn dat f(p{x) voor geen dezer waarden discontinu of co
wordt; evenzoo cp (aquot;). Dan is dus

1 („_!) Ar

rcpm (a?) == ^ 2nbsp;Flt;p {x).
1 AiP

Daar Xi -{- {n — 1) Ax = X2 is — = --- ,nbsp;zoodat bij limietovergang wij vinden:

n X2 ~~ x^ -f- Ax

1 C^*

r(p,„ (x) = ---- \\ ^(p{x)dx.........(5)

XiJ

n

Zoo is dus ook

F {Xm) =--/ F (a;) dx,

iTa — XiJ

zoodat als wij weer FF (x) = x stellen ,

/•\'znbsp;\\1nbsp;/ 1

F{x) dx] en 99« (a;) = F ^ ------/ F(p (ar) dx

Jlnbsp;— ^ij

■tlnbsp;\'1

Het continu gemiddelde zal over \'t algemeen meer voeren tot theoretische waarden,
omdat men zich daarin heeft losgemaakt van de toevalligheden, die tot het ontstaan der
discontinue functierij aanleiding kunnen zijn. Toch is het continu gemiddelde slechts een
specialisatie van het discontinue.

§ 5. Daar (pm(x) en (p{Xm) in het algemeen verschillend zijn, zullen zij toch in be-
paalde gevallen kunnen samenvallen. Dan is 93« (a?) = cp (ar,„) en wij willen onderzoeken
wanneer dat het geval is. Beginnen wij met het geval dat a-, en x^ de twee eenige speciaal-
waarden van x zijn, dan is dus

F(p (a;,) fep {x^

(pm (iP) = F

en wij hebben dus hieruit de gedaanten van (p{x) op te sporen.

Om deze functionaalvergelijking op te lossen, differentieeren wij haar achtereenvolgens

partieel naar rr, en a-2 en ter bekortmg --^--- = a en------^-----— ° steiiena,

vinden wij vooreerst

F\'(a) . F\'lt;p{x,) . qgt;\'{x,) = cp\'Fih) . F\'{h) . F\'[x,)

en ten tweede

F\' (a) . f V fe) . lt;p\' (0-2) = cp\'F{h) . F\' {b) . F\' (x.,).
Deelen wij beide gelijkheden op elkaar, dan is na kleine omzetting:
F\' (f (x,) . y\' (x,) _ F\'tpjx,) .

Nu zijn a-, en x^ volkomen onafhankelijk van elkaar, zoodat aan deze betrekking niet
anders kan voldaan worden dan door

_ constante =

F\'{x)

te stellen.

Daaruit volgtnbsp;= c^F\'{x) of F(p{x) = CiF{x) c^, waarin C2 weer eene con-

OjjC

stante is.

Hiermee is dusnbsp;Flc^F(x) c.] bepaald en blijkt af te hangen van de soort F{x).

Dat deze waarde nu algemeen aan (p,n{x) = 99voldoet, is direct te zien, want dan is

_ ^F(p(x,)-^....:i-F(p{x„) ^^CjFjx,) .C, . • • ■ c,F{x„) c, _

(Pm{x) = F

n

=nbsp; C2] = (p{Xr,).

Maar ook geldt deze waarde bij het continu gemiddelde, want ook dan is:

■ =nbsp;rFcp(x)dx = L-Yynbsp; =

X^ - Jnbsp;X2nbsp;J

—^— rF{x)dx -j- c^nbsp; cj = (p {x,n)\'

Jnbsp;Jnbsp;.

■Uit deze twee bewijzen lezen wij echter ook een eigenschap van de soort F(^x) af en

wef deze:nbsp;quot;nbsp;.

Het gemiddelde van een functie (p{x) van de soort Fix) is gelijk aan het gemiddelde
van fp ix) van de soort c^F{x) C2. Het gemiddelde is dus lineair invariant in zijn soort.

§ 6. Wij zagen, dat het continu gemiddelde van de soort F{x) van een functie q}{x)
de twee vormen (p,,{x) en (j;^) kan aannemen. lt;p,,{x) =nbsp;F(p(x)dx^ «n (p(x,^)

wordt hieruit door het bizonder geval 99 (x) = x berekend. Alleen als lt;p (x) = F[c^f{x) -f cJ
is, vallen zij samen.

Wij zullen nu voor 93,„(a?) het algemeen symbool

M

•i ./

invoeren en spreken daarbij af, dat dan steeds dezelfde soort Fix) beschouwd wordt.

Wil men ook andere soorten (x) en /quot;„ (x) invoeren, dan moet men zich van verschil-
lende lettersoorten van M bedienen, zoodat dezelfde M steeds op dezelfde soort van gemiddelde
wijst. Wij kunnen nu deze eigenschappen vermelden:

I.nbsp;M 99 (a;) = M 99 (a;). Dit is direct in te zien.

X,nbsp;ax^ l

II.nbsp;M lt;p (ax-{-b) = M (p(x), als a en b constanten. zijn.

Xinbsp;axi i

Bewijs:nbsp; 6) =nbsp;quot;quot; \'\'= ^((o^ iF^aï^T^)/\'quot;^\'\'««

stelt men ax b = y, dan is adx — dy en derhalve

/Inbsp;ro^ü i \\ ax^ b

My (« i) = nbsp; Wd!/)

/ff. -I-^

«ïi S

1nbsp;a i

1nbsp;a o

Bijzonder geval a-, = O X2 = l geeft Mlt;p(ax -h b) = M(p(x), waaruit voor b = .T a4-b = x

0nbsp;inbsp;112

1nbsp;■nbsp;Ij

volgt M 99{(a:2 — x^)x-\\-x^ \\ =M93(a;). Men kan dus de grenzen tot O en 1 reduceeren

O

III. (x.,—x{)fU,p(x) = {a — x,)F\'k(p{x) (6 — a)/M .... -f (g —p)F\'klt;p{x)Moc2 — q)FiAcp(x)

«nbsp;Vnbsp;q

als a, è,nbsp;q constant zijn.

Bewijs:

(x^ — x{)FM(p(x) = / F(p(x)dv =1^1 / ... / / jF(p(x)dx =

anbsp;Pi

■= (a — a-,) FM(p(x) (b — a)FMlt;p(x) • • • (x, —q)FM(p(a:).

Xinbsp;anbsp;y

Door deze eigenschap kan dus een gemiddelde gesplitst worden.

Bijzondere gevallen.
= x. — h = \\{x^ — x,). Derhalve is, door — deelend:

3/^M w (x) = rM(p (x) -^M 9? {x) .FM [x).

Zoo is ooknbsp;2^Mlt;p{x) = fUlt;p(x) ^Mcpix).

Door bijzondere eigenschappen van de soort ^ kunnen deze formules nog geheel

andere gedaanten aannemen.

\' In het algemeen lezen wij er ook nog deze eigenschap uit af:
Het continu gemiddelde van lt;p(x) van de soort m is vervormbaar tot het discontinu

gemiddelde van dezelfde soort ^(x) voor die speciaalwaarden van Mjp(x), die men verkrijgt
door de (n 1) waarden van p te bepalen uit:

2°. Dit belangrijk geval doet zich voor als « = 5 is. Dan is

{x. — x.) FM (p{x) ■--= (a -X,) .FM (p{x) ix., — a) .FM(p{x)
r», FM cf{x) — {x^ — a) FM cp{x) = x, FM (p{x) — {x, — a) FM cp{x).

ï,nbsp;anbsp;J-inbsp;quot;

yj (x) = xJ^M lt;p{x) — (x — a) FM (pix), dan staat er dus

De functie y^ix) heeft dus vooreerst de eigenschap, dat zij voor argumenten gelijk aan
de grenzen van het gemiddelde M(p(x) dezelfde waarde aanneemt.

Zij heeft echter meer eigenschappen. Differentieeren wij y^{x) naar rr, dan is:

CCnbsp;^nbsp;d ^

yj\'-{x) = fMlt;pix) — -^M (p {x) — — fll(p{x).

«a

Nu is:

F(p(x)-^fM(pix)

a

Substitueeren wij dit, dan is dus:

,p\'{x) = rM(pix) — f(p{x).

*

Wij lezen hieruit onmiddellijk af, dat ip{x) dan maximaal, minimaal of stationnair

Xj

wordt, als (p{x) haar gemiddelde waarde M99 (a;) aanneemt.

De bepaling, die wij van gt;(a;) gaven, onderstelt blijkbaar, dat het gemiddelde als con-
stante wordt beschouwd. Dit zal in de meeste gevallen geoorloofd zijn, omdat juist dan een
gemiddelde waarde eener functie verlangd wordt, wanneer men zich los wil maken van de
speciale waarden, die de functie kan aannemen.
Wij kunnen dus dit theorema uitspreken:

Bij elke soort van gemiddelde van een functie (p {x) laat zich een functie ip (x) constru-
eeren, die maximaal, minimaal of stationnair wordt, zoodra (p{x) de constant gemiddelda
waarde, bij die soort behoorende, aanneemt.

Het is echter ook direct duidelijk, dat ip(x) niet de eenige functie is, die aan dien
eisch voldoet. Immers en cp {ip{x)) bijv. zullen er ook aan voldoen en bovendien treedt
in yj^x) nog de willekeurige constante a op.

Het is mijn voornemen om later de mechanische beteekenis van dit theorema nader
te onderzoeken.

De functie ip{x) heeft echter nog een derde eigenschap:

Gesteld, wij weten twee speciaalwaarden Xi en Xj zóó te kiezen dat:

wat steeds binnen perken mogelijk zal zijn, dan zal.dus:

Xi /quot;M (p (x) — (Xi — a) t M cp (x) = .-iJg/\'M 9? (x) — (Xy — a) r M lt;p (x)

Xinbsp;anbsp;Xinbsp;a

of:

3-2nbsp;I^anbsp;^.r^

{Xi — (p (.-r) = j f(p{x) dx -f j fep {x) dx =j fep (x) dx.

Derhalve:

M(p{x)=M(p{x).

Tlnbsp;.Tj

Wij zien dus, dat het gemiddelde van de soort f{x) van een functie ep{x) niet verandert,
wanneer het bepaald wordt tusschen die paren van grenzen Xi en xj, die besloten liggen in
de vergelijking:

yj (Xi) = ip {Xj).

Het gemiddelde blijkt dus in dien zin onafhankelijk te zijn van gegeven grenzen en
blijft dezelfde waarde behouden, als men de grenzen vervangt door een willekeurig stel waar-
den Xi en Xj mits zij voldoen aan laatstgenoemde betrekking. Tevoren heb ik gezegd, dat dit
binnen perken mogelijk zou zijn en dat is nu duidelijk. Immers geeft men bijv. Xi dan zal
het niet altijd mogelijk zijn uit y){Xi) = ygt;{Xj) een bijbehoorende Xj te bepalen. Is f(p(x) con-

tinu en eindig, dan is dit binnen de uiterste grenzen a;, en x^ steeds mogelijk. Hiermede is
nu ook nader gemotiveerd, waarom het gemiddelde dikwijls als constant mag beschouwd
worden; het is reeds onafhankelijk van een bepaald grenzenpaar. Wij zullen in het vervolg
nog een kenmerkende eigenschap van ip{x) leeren kennen. Wegens het belang, dat %p{x) voor
het gemiddelde heeft, stel ik voor haar de grensfunctie te noemen.

Enkele voorbeelden mogen de gedaante dezer grensfunctie yj {x) nader -verduidelijken.

Wij kiezen (p{x) — x.

Continu gemiddelde.
Xm = i (ä;, x.^

x\\ = i (xl xf)

1

Xm = —

X^ X\'i

lx.— lx

X\'^in —

iV^ Vx.^

— \\2

Xm —

2

— equot;^

OCo

Grensfunctie.

yj (x) = {2XX„,nbsp;«2)

yj(x) = jj {Bxx\\ — a;® a^)

=\'(-quot;-)\' Mi:

00

xp[x)= ---lx-{-la

Xni

X

yjix) =

X

X

Vx Va

21^ X

y) (x) — xe^\'» — equot;

§ 7. Wij gaan thans over tot een stelling, die ons de karakteristieke functionaal-
vergelijkingen der onderscheidene soorten van gemiddelden zal aanbrengen.

Ter vereenvoudiging nemen wij (p{x) = x als functie, waarvan het gemiddelde van de
soort F{x) zal bepaald worden en deelen het aantal pw der speciaalwaarden o;,,, x^.^, ... Xi„;
X21, x^.^ ... Xin\', Xpi, Xp^, .. . Xpn der variable x inp-groepen, elk van n speciaalwaarden
en bepalen van elke groep het gemiddelde. Dan is

nfix^u) =nbsp; nbsp; ....... fix^n)

nfix-im) = f{x.gt;.x) nbsp; ....... -^fe»)

= F{Xp{) -fnbsp; .......

Daaruit volgt, als we elk gemiddelde Xin, als functie zijner toebehoorende speciaal-
waarden van X beschouwen:

Xlm == f(Xii , X12 . , . Xin) = £ -- ^^^nbsp;^^^ -nbsp;~~~

/6

= ƒ , . .. = r- quot; fe\' ..... fj\'^,.)

nnbsp;,

Xnbsp;a;nbsp;Xnbsp; nbsp; .....

Th

Bewerken wij nu deze vergelijkingen met F, dan vinden wij na optelling en deeling
door p

pnbsp;~n

Pnbsp;Pnbsp;quot; p

_ r(X,n\'l) nbsp; ---- J^\'iX,,,\'»)

n

waarin dus m op de groepen van n, en m\' op de groepen van |)-leden betrekking heeft.

Derhalve isnbsp;= f{xm\'m)m

waarin de indices op dezelfde groepeering doelen.

Met bewerkende, vinden wij

f^Xm\'mJm\' ^^ {^Xm\'tii^iii\'

Hier staat dus: Bij gegeven soort is het gemiddelde van p gemiddelden elk van
n speciaalwaarden van x gelijk aan het gemiddelde van n gemiddelden elk van p speciaal-
waarden van x, mits men ze uit dezelfde pn speciaalwaarden opbouwt.

\'Om hieruit nu de functionaalvergelijkingen van de verschillende soorten van gemiddelden
af te leiden moeten wij elke soort afzonderlijk behandelen. Wij zullen de gebruikelijkste
soorten kiezen.

f(x) — X, het rekenkundig gemiddelde.

AVij stellen a;,, = 2xi X21 = 2x2 ... = ; x^2 =nbsp;— ^y^... Xn2 — 2y„, dan is

2/1 2/2 ---- yn

Xtm — Xi -fquot; 2/1 X2m — ^2 1/2......— 4quot; yii\'

Nu is dus t = nbsp;als in (1) n = 2 en p = n wordt gesteld.

^nbsp;Th

Stellen wij derhalve rCm-, =f{xii, X2i,----enz. dan is dus

f(xi, X2,nbsp;fivi, y2,.....Vn) = f{xt , rca 2/2, .... a?« -f 2/»)

Het is wenschelijk om dit functioneel verband de functionaal vergelijking van het
rekenkundig gemiddelde te noemen. Gewoonlijk\') noemt men f(xi X2 a, ... -f a) =

1) CzTJBER. Theorie der Beobachtungsfehler. Leipzig. Teubner. 189L

= f(xi, X2 x„) a aldus, welke vergelijking direct uit de voorgaande volgt, als men
y^ = = ... = = a stelt.

= lx, het meetkundig gemiddelde.
Wij stellen a;,, = a;? Xy^ = -^21 = x.^2 = yl ■ .. ■ x„y = xl Xni = yl; dan is

2 [ 12
- lx. 4- lx.. 4- .... lx., lXm\'1 = -

^ n

IVi nbsp; hjn

n

= Ixi ly^ Ix.^M = Ix.^, ly-i......Ixn^ = Ix^ hn-

IXn^\'xnbsp;^ 4- ^.\'gam ......-i- J^ig in (1) ïi = 2 en p = n wordt gekozen.

2

In dit geval is dus lf{x^, iCa ... Xn) Ifiyi, 2/2 • • • 2/«) = Ui^iyi» •\'»2Ï/2, • ■ • ^«y«)nbsp;of

ƒ (37, , . . . Xn) . ƒ (2/, , 2/2 . • • yn) = fiXiyi , X2y2 , • . . .-K«?/»)-
Wij zullen deze betrekking de functionaalvergelijking van het meetkundig gemiddelde
noemen.

Stellen wij

Zn

dan isnbsp;ƒ (x,, 0:2... • ƒ

en stellen wij ic, =nbsp;= x^ y« = 1 dan is ƒ (a;„ ... a^«). ƒ

Combineeren wij beide eigenschappen, dan is dus

ƒ , ; • • • _ ƒ /i^i^ ^
ƒ (^i ) Zj , ... Z«)

Wij leiden uit deze betrekkingen ook onmiddellijk af, dat het meetkundig gemiddelde
van een product gelijk is aan het product der meetkundige gemiddelden; bovendien de
overeenkomstige eigenschaj) voor het quotient.

Voor yi = y-i = ... = y« = a, krijgen wij a/(a?,, x^ ... Xn) = f(axi, ax.^, ... axn) ook

e.ene bekende eigenschap.

/quot;{x) = —, het harmonisch gemiddelde.
X

Wij stellen = x^^ = 2y, x^, = ■ x^^ = ^y^ •-- x^ = a:„2 = 2y„ dan is

Derhalve is

2nbsp;OGin\'%

als in (1) n = 2 en p = n wordt gesteld.

is enz., vinden wij

Vi

X2y2nbsp;\\ ^ X^\'i X,n\'2 _ fjOCl , x^. . .Xn) . f {ij^ , IJ-j . . . IJ,)

\' \' \' \' \' Xn yj Xm\'1 nbsp;f{Xi , X^ ... Xn)

\\Xi 2/i\' 2/2\' oDn-r y,J x,n\'i -t- X„e2 ] , X2. . . x„) ^ j {y^, y^... y„)
Wij kunnen deze betrekking de functionaalvergelijking van het harmonisch gemiddelde

noemen.

«a:« \\ _ afjxi, x^ . . . x,) ^
\' a x,J a /(a;,, x.^.. .x,)

Het afleiden van de functionaalvergelijkingen van andere gemiddelden laten wij aan
den lezer over.

Het spreekt nu van zelf, dat men dan eerst streng genomen het recht heeft om van
eene functionaalvergelijking van een gemiddelde van bepaalde soort te spreken* indien die
functionaalvergelijking alleen reeds voldoende is om de soort van gemiddelde er ondubbelzinnig
uit af te leiden en het bleek mij, dat een functionaalvergelijking eerst dan aan dien eisch kan
voldoen, als er minstens 2 onafhankelijk variabelen in optreden.

Functionaalvergelijkingen als deze:

J{x) a = /(x a); af{x) = f(ax)] f

waarin f{x) ter bekorting voor f{xi, x-^ ... x„) is geschreven, leveren nooit uitsluitend functies,
die gelijk zijn aan de soort van gemiddelde, waarbij zij behooren. Dat een functionaal-
vergelijking met 2 onafhankelijk variabelen dit wel doet, moge het volgende betoog voor die
van het meetkundig gemiddelde aantoonen. Wegens het belang voor mijne aesthetische
theorie kies ik juist dit geval.

Laat dus gegeven zijn de functionaalvergelijkingnbsp;van het meetkundig ge-

middelde, dan is het dus de vraag of wij kunnen aantoonen, dat /(ic) = c lx c^ de alge-
meenste soortvorm is van het gemiddelde, dat tot deze functioneele eigenschap voert.
Wij moeten F(x) zoo voorstellen met twee constanten, omdat het gemiddelde van een lineaire
functie van de soort, gelijk is aan dat van de soort zelve, wat wij tevoren reeds aantoonden.
Het komt er dus op aan om f{x) te bepalen uit deze functionaalvergelijking:

F{xi) -f ... r{x.)

Bepalen wij ons tot

dan is, als wij ter bekorting

^ C-^C^.) ^{■r^}\'] = h

partieel differentieerend naar Xy

r{a)F\'

_1 -nbsp;rn

~ m\' 2 \'..........^ ^

/ M A = ^IM
\\y2l2y2nbsp;2

naar
naar y^

Deelen wij (1) door (2) en (3) door (4)

2 ......^^^

........

f\' • y2^\' {y2) = {^2). (^1).

Was F\' {x) = O of /quot;(a;) = constant, dan wordt hieraan voldaan en men zou dit met
sommige Duitschers de „trivialequot; oplossing kunnen noemen. Sluiten wij dit geval uit, dan
wordt a«,n deze vergelijking algemeen voldaan door te stellen

X F\' (x) = constant = c.

Door = = 2/2 = O te stellen, blijkt dit ook direct. Wij vinden derhalve

F(x) = clx ^-c^.

Door toepassing op de algemeene vergelijking blijkt zij te voldoen en daarmee is het
bewijs geleverd.

§ 8. Wij moeten nu nog een en ander vermelden van gemiddelden van functies van
twee onafhankelijk variabelen van gegeven soort.

Zij gegeven een functie lt;p{x,y), waarvan wp speciaalwaarden 99 (a;,, 99 (a-2,
(p {xi, y^ enz. bekend zijn, dan kan men daaruit een gemiddelde van de soort F (z) op
deze wijze opbouwen:

npf(p„,{jc, y) = r(p{x,, y^) nbsp; ......... f(p{x„, ij,)

Fep (.r,, y.^) fep {,c.„ 2/2) ......... Fnbsp;

.......... .. ..........

^(p C^i ,yp) nbsp; ......... Fep {x„, ijp).

Dit gemiddelde ep,,, (x, y) moet weer nauwkeurig onderscheiden worden van den vorm
fpiXra, ym), dlcn mcu verkrijgt door in (p{x,y) voor de onafhankelijk variabelen hun gemid-
delden van de soort F {z) te substitueeren.

Wil men het gemiddelde van alle waarden, die ep{x^ y) doorloopt tusschen de
grenzen .r, en x.^. voor x en tusschen y^ en y.^, voor y bepalen, dan vindt men analoog met § 4

np Fep,n {X, y)nbsp;Snbsp;rep{x,y).

y = V\\nbsp;^ = .Pi

Daar 2/2 = (i? — 1) A ?/ x^ — (n — 1) A x en dus

1 _ At/nbsp;Ax

~ tj-i — yi Ay \' sc^ — Xi-f Ax\'

vindt men bij limietovergang

Wij stellen nu weer symbolisch M 97 (.r, y) == f ----

Vi.^1nbsp;H2/2nbsp;-^2)./ J

■ Vi quot;1

afsprekende dat men met dezelfde M ook steeds dezelfde soort aanwijst.

Wij kunnen nu deze herleiding maken, daar de grenzen constant zijn:

1 r\'ji r 1 r-Hnbsp;1 py^ \'\'\'2nbsp;, y«

FÜep {x, ij) =--/ dy -----— / F(p{x, y)dc .=nbsp;/ ^M ep (.t, xj) dy = FM M lt;p (x, y)

of

yi.^Tinbsp;ïi

wanneer wij dit zóo opvatten dat eerst in M.q)(x, y) de y constant wordt gehouden en daarna

van het resultaat met veranderlijke y het gemiddelde van de soort F tusschen de grenzen
?/, en 2/2 wordt bepaald.

.quot;s-I-jnbsp;?/2nbsp;7/2

Wij besluiten nu ook dat M ep{x,y) = MM«?5(.r,?/) ==

Vvitinbsp;y\\ -finbsp;y\\

Geheel analoog met de bewijzen bij functies van een variabele vinden wij hier
,\'/j.-rjnbsp;v^\'ix , ^ •-\'i\'^i , ,

I.nbsp;M cp{x,tj) = yL(p{x,y) = U(p{x, y) M 99(3-,«/).

y-i^inbsp;yigt;Hnbsp;y^^^

II.nbsp;U(p(ax b, a\'y 6\'j = M M {x,a\'y nbsp;Ucp {x,y).

a\' hnbsp;i\'^fi

(a — x,) [y., — h\')Mlt;p ix,y) {h — a) {a\' —nbsp;(p {x,y) {h-a) {b\' - a\')FM(p{x,y) -f

-u (6 _ a) (y^ — b-\') M rp {x,y) -f {x, - b) {a\' - y,) /m {x,y) {x^ — b) {b\' — a\') fUj {x,y) -f

juTj. V*^ J\'/ / inbsp;/ Vnbsp;if 1/ ---^

Het bewijs wordt met gebruikmaking van III § 6 geleverd.

Men zou hier nu ook een functie analoog met de grensfunctie bij een variabele ver-
wachten. Zij bestaat hier echter in het algemeen niet. Zonder twijfel kan men analoog
met y){x) bij éen variabele, hier een functie yix,y) zoo definieeren dat

tp {x,y) = xy\'!A(p(x,y) — {x — a){y — b) .FM 99 {x, y)

en men vindt dan dat

^ yy) ^^ - xMlt;pix,y) - ix-a)fÜlt;pix,y)
CXnbsp;bnbsp;^y

en dat

oa; oy

Maar dit voert, in tegenstelling met y}{x), tot de eigenschap, dat ^ ^J^y^^ = ö is

als (p(x,y) de gemiddelde waarde M.lt;p{x,y) aanneemt. Ook correspondeerende eigen-

schappen aangaande de grenzen heeft deze functie niet.

Men kan echter den anderen weg gaan. Ook (p (x^; yJ kan. als gemiddelde van

(p{x,y) worden beschouwd. Is nu ^p (x) de grensfunctie van Xm = ^x en y){y) de grens-
functie van y,n — M^, beiden van de soort f-{x), dan kan men de functie

(p{}i}{x), rpiy)\']

construeeren en deze heeft weer de eigenschap van maximaal, minimaal of stationnair te
worden als de veranderlijken erin constant gemiddelde waarden aannemen. Immers, dan iff

= rp\' . xp\'(x) en — m\' . yt\'iy) en deze worden beide nul voor x = cc^ en y — ymgt;
dxnbsp;dy

Er is slechts éen geval, waarin een dergelijke eigenschap ook bestaat bij (pm{x,y) en
wel natuurlijk dit, dat (pAx,y) = (pl,x^,ym) is. Wij zullen daartoe nog nagdan, welke
gedaante 99 {x^ y) dan eigen is.

§ 9. Zij dus gegeven, dat (pm{x,y) = cpix^y ym) is, dan zullen wij de gedaante van
q}{x, tj) hieruit bepalen, uitgaande van het discontinu gemiddelde van (p{x, y) voor z,, x^, yu y-i
als speciaalwaarden bij f{z) als soort. Dan moet dus

F(p{xi,iji) Fcp{Xi,y2) F(pyi) fçgt;{X2, y2)

Ter bekorting stellen wij het argument van F in het eerste lid gelijk a ennbsp;= h.

Wij differentieeren nu de vergelijking partieel naar x^ en vinden

F(p{xu y^) F(p{x^, y^

en partieel naar x^

^ [

F(p{x,2, yi) 4- F(p{x2, y.^

Deelen wij ze op elkaar, dan is na omzetting:

F(p {x^, 2/1) ftp C^i, 2/2)

F{x,)

Daar nu x^ en evenals de en y^ geheel onafhankelijk zijn, volgt hieruit, als k^
een absolute constante voorstelt, dat

f(p{x,y\\) y2)

Differentieerden wij evenzoo partieel naar en naar y^, dan is voor k, als absolute
constante

flt;p{xuy) 4-

Integreeren wij beide vergelijkingen, dan is met inachtneming Tan den vorm ter
bepaling der constanten:

F(p {X, y,) F(p {X, //,) = h F{x) -f ƒ, {y,) ƒ, {«/.,) -f en.....,(1)

fv i^v y) 2/) = K^^y) h ......(2)

waarin de /\'s en Fs willekeurige functies en absolute constanten voorstellen.

Wij differentieeren de eerste dezer twee vergelijkingen eerst partieel naar en dan
partieel naar dan is na deeling der resultaten op elkaar:

Daaruit volgt echter weer Fep {x, y) = kj^ {y) h ƒ3 (a:) waarin de ^\'s en ƒ\'s den
zelfden zin als boven hebben. Ter bepaling der vorm van de /\'s krijgen wij dus uit (1) en (2)

K ƒ. iy^) ƒ. (^2) K = KL (2/.) hf, (y^) 2/3

k^Fiy) Ux,) = ^hfxiy)nbsp; ^K\'

Dusnbsp;=/3(a;) k, en qF{if) = hj,{ij) K zoodat, als P, Q, R absolute constanten

zijn, wij vinden Fep{x, y) = VF{x) Q,F{y) R waaruit volgt dat

Deze functie voldoet nu ook in \'t algemeen aan het discontinu gemiddelde en ook
aan het continu gemiddelde. Dit laatste zullen wij nog laten zien:
Dan is derhalve

y-i—yi.

V\\

FFMx QFMy n

Voorsmeer variabelen zal deze functie natuurlijk zijn:

Qfx, y, z, u) = F[_FF{x) Q,F(y) RFiz) 8F{u) T].
Nemen wij als voorbeeld F(x) = lx, dan is F{x) = e-, zoodat wij bij het meetkundig
gemiddelde vinden y) ^nbsp;= kx^yquot;^.

Hieruit blijkt, dat ook de functie - er onder thuis behoort, een feit, dat voor mijne

y

aesthetische theorie van gewicht is. Immers, waar de menschelijke geest bij uitstek geschikt
is om proporties te onthouden, is de verwachting gewettigd dat, indien inderdaad aesthetische
maxima gemiddelden zijn, ook gemiddelden van verhoudingen zullen gevormd worden.

Bovendien mag men het als psychologisch noodzakelijk beschouwen, dat schoonste verhou-
dingen uit verhoudingen van schoonste leden bestaan, omdat men in het tegenovergestellt;,le
geval stellig met geen aesthetisch maximum of wil men maximum, maximorum te doen heeft.
Hieruit volgt echter onmiddellijk, dat de soort van het gemiddelde, die men naar d.eze
opvattingen verwachten kan, gebonden moet zijn aan deze functioneele eigenschap:
lx \\ Mr (x)

M.- =nbsp;waarin M.- het gemiddelde van de soort J^{x) voorstelt. In § 7 heb ik

bewezen, dat alleen het meetkundig gemiddelde hieraan voldoet, waarmede nu tevens de
gronden zijn uiteengezet, waarop ik thans de keuze van het meetkundig gemiddelde in
mijne schoonheidstheorie zou willen rechtvaardigen

§ iO. Wij zullen nu, aan het einde onzer algemeene beschouwingen genaderd zijnde,

nog eene eigenschap der grensfunctie meedeelen en daarmede tevens de eigenaardige positie,
die zij ten opzichte van het gemiddelde waarbij zij behoort bekleedt, in het licht kunnen
stellen.

Wij kunnen toch, indien F{x) de soort van het gemiddelde en rp{x) de grensfunctie
van de functie x, waarvan het gemiddelde wordt gevormd, voorstellen, deze eigenschap
uitspreken: De foutenwet. d.i. de kans om de grootheid a; te vinden of te kiezen, wanneer
de gemiddelde x^ van de soort f(x) de grootste kans om gevonden of gekozen te worden
moet geacht worden te bezitten, wordt uitgedrukt door de functie

waarin k eene constante is.

Alvorens tot het bewijs hiervan over te gaan is het niet ondienstig om op te merken
dat, waar de foutenwet van Gauss haar ontstaan dankt aan de behoefte om uit een gegeven
stel metingen van éen grootheid die waarde van haar op te sporen of uit te kiezen, die op
de meest rationeele gronden mag verwacht worden, dit toch een betrekkelijk zeer speciaal
geval is van het algemeenere probleem, waarin het vervat is.

Immers dezelfde behoefte, die tot de kennis van het gemiddelde uit een rij speciaal-

Avaarden a-,, Xi,\'____, x,, der variabele x drijft, sleept steeds deze vraag mede: Welke

plaats nemen dan die speciaalwaarden ten aanzien van dat gemiddelde in? Men behoeft
in het geheel niet aan een fout of afwijking te denken; reeds het feit dat uit die speciaal-
waarden, hetzij zij eindig of Oneindig in aantal zijn, een gemiddelde is opgebouwd, ontlokt
de vraag, hierboven gesteld.

Zonder twijfel kan dit probleem als het zoeken naar de foutenwet, die bij de gegeveii

\') Verge), hiermede: P. I. Hel^vki. Die combinatoriseh-aestlietiselie Function und die fornieln der sym-
bolischen Logik.nbsp;. Archiv für systemat. Philosophie Band IV. Heft-4.

soort van gemiddelde hoort, behandeld worden en zullen wij het ook aldus aanvatten; maar
dit is meer een hulpmiddel dan essentieel voor de vraag. Al blijft ook de mathematische
behandeling volmaakt onveranderd, wenschelijk is het om voor oogen te houden, dat deze
kwestie door hare algemeenere beteekenis ook algemeenere waarde heeft.

Overgaande tot het bewijs der stelling, denken wij ons, dat elke speciaalwaarde een
bepaalde kans heeft om als gemiddelde te worden beschouwd; dan zal voor het gemiddelde
zelf als speciaalwaarde beschouwd, die kans natuürlijk maximaal zijn. Elke speciaalwaarde
cPi wijkt echter voor een bedrag f; = r» — van het gemiddelde af en de bedoelde kans
\'staat derhalve gelijk met de kans om een afwijking te maken ofte vinden. Beschouwen
wij in navolging van Gauss deze kans als functie der afwijking, dan zal dus als d =\'9 {x^ - x)
die functie is, ook aan de bekende Gauss\'sche conditie

— . = 0 . . . . (1)
— ü — a-2)nbsp;^—

zoodanig moeten voldaan worden, dat daarin het gemiddelde van a- van de soort
voorstelt en dus tegelijkertijd

— /^(x.) - fix^) .... fM - r{Xn) = O is.....(2)

De afleiding van betrekking (1), hoewel soms niet onberispelijk, is in elk leerboek
over foutenrekening te vinden en kunnen wij hier bekend veronderstellen.

Gevraagd wordt nu om door middel van (1) en (2) de te bepalen.

Stellen wijnbsp;= ƒ (o;. — x) dan moeten wij bij de verdere bewerking als

constante beschouwen, wat

op gronden bij de behandeling der grensfunctie aangegeven,

geoorloofd is.

DifCerentieeren wij nu (1) en (2) dan is

f{xr.-x,)dx2 .... nbsp;= O en

f\' (x^) dx, \'f (x2)dx2^---- (Xn) dX,, = 0. ,

Daar de X,,X2 enz. onafhankelijk zijn, kan hieraan niet anders voldaan worden dan als

f\'(x,. — x) = kP{x)

waarin k constante is. Wij vatten dan tevens re als continu variabel op. Integreerend is

J{x„, — x) -nbsp;— = h,F{x) h.

Nu kan de constante h uit (2) met behulp van (1) bepaald worden en is h^ — h^^ipc^)
zoodat als wij weer integreeren gevonden wordt:

als wij de integratie-constante in den ondergrens der bepaalde integraal opnemen.
Nu is de grensfunctie van x van de soort /quot;{x) volgens § 6

xp(x) = xfM.x — {x — a)FMx = xF{x,n) — / f{x)dx

Xjnbsp;anbsp;J

a

zoodat wij na substitutie vinden:

als wij — k^ = k stellen, waarmede de stelling bewezen is.

Daar reeds in yj{x) de willekeurige constante a zit, heeft de foutenwet dus in het
algemeen 2 constanten. De kennis der grensfunctie voert dus onmiddellijk tot die der
foutenwet.

Het is nu, evenals bij de Gauss\'sche foutenwet, ook evenzoo in te zien, dat de kans
op een afwijking, die inligt tusschen O en | wordt voorgesteld door

/r

waarin men de constante a ook voor het integraalteeken kan plaatsen.

Hiermede eindigen wij onze algemeene beschouwingen over gemiddelden om ons in
liet tweede deeb te wijden aan de speciale behandeling van de integraal der foutenwet be-
hoorende bij het meetkundig gemiddelde.

mmm afdeeling.

OVER DE INTEGRAAL DER FOUTENWET VAN HET MEETKUNDIG
GEMIDDELDE EN HARE VERWANTEN.

EERSTE HOOFDSTUK.

§ 11. Wij vonden in § 6 voor de grensfunctie van a; van de soort Jx de uitdrukking

Daardoor neemt de foutenwet in dit.geval volgens § 10 deze gedaante aan:

Xm-1

= Jc^ stellen

Xm —

Wij stellen óns voor om deze foutenwet met de Gauss\'sche foutenwet te vergelijken
eu ontwikkelen daartoe (1) volgens de reeks van Maclaukin naar opklimmende machten
v£|,n zoodat

en vinden achtereenvolgens door differentiatie en door daarna | = O te stellen

Xm
Xm

i •

ê{0)

^(1) ^k^erh\'^m

Hierin is f de afwijking of fout, die bij elke foutenrekening een kleine grootheid is,
zoodat bijv. derde en hoogere machten van | buiten beschouwing kunnen blijven, daar
anders de waarnemingen te onnauwkeurig zijn. Voert men echter deze verwaarloozing in,
dan laat zichnbsp;.

schrijven en blijkt dus deze foutenwet de gedaapte der Gauss\'sche foutenwet aan te nemen.
Waar het nu oppervlakkig beschouwd wenschelijk scheen om de geheele foutenrekening
volgens deze foutenwet om te rekenen, bevrijdt ons deze opmerking van een taak, die
anders aanzienlijke moeilijkheden zou opleveren. Wenscht men wel hoogere machten dan
in rekening te brengen, dan kan deze opmerking wel geen dienst meer doen, maar
verliest de foutenrekening ook haar rationeelen zin.

§ 12. Zoo ongewenscht al ê(i) als uitgangspunt eener nieuwe foutenrekening is, zoo
eigenaardig zijn daartegenover de eigenschappen die

\\ Hxm - 1)

heeft, wanneer men haar uit een zuiver mathematisch oogpunt gaat beschouwen.

Stellen wij, — ^ = x x„t — =a;, x^ — ^2 = % exm=^c en geven wij de waarde

die de integraal heeft tusschen de grenzen a;, • en x^, symbolisch weer door—V(c, Z;, 0),
waarin de nul later begrijpelijk zal worden\', dan is

Voor alle eindige bepaalde waarden van ar is eindig als c en ^ ook eindig zijn
en bovendien c niet nul bij negatieven exponent, welk geval (c = 0) uit den aard der zaak
niet voorkomt, dan is ook bij cc = O (-) =1. Want gelijk men weet is (a:% = o = 1.

\\X/ } X = 0

Wij kunnen dus veilig zonder nader onderzoek deze vervorming toepassen:

Yic,k,0)=nbsp;dx— -] dx = V(c,k,0) — V(c,k,0).

Jnbsp;J V-Inbsp;onbsp;o

Unbsp;ü ■ - , ;

\' -;v\' Stelten wij x = x-iV in de eerste en x.^x^v in de tweede dezer integralen, dan is

ix^v

J

.0nbsp;. ,nbsp;o

Hieruit blijkt, dat elke V(c,A.oj zich steeds laat rèdüceeren tot een verschil, waarin

I

steeds integralen van den vorm V (a, h, 0) optreden. Wij laten nu in het symbool V (a, 6, 0)

Onbsp;,nbsp;O

in het vervolg de grenzen weg en houden ons verdér bezig met

V(a,amp;,0) =

Wij gaan deze integraal bepalen door middel van reeksontwikkeling na vooraf x =
te hebben gesteld. Dsin is dx = —e-\'dt ennbsp;\'\'\'

Y{a,nbsp;e-\'dt=j aquot;-\' e-\'

O

= ƒ equot;\'

dt.

Voeren wij de vermenigvuldiging dezer twee absoluut convergeerende reeksen uit, dan
ontstaan er voortdurend gamma-functies van de gedaante

P nnbsp;_

zoodat wij vinden:

blanbsp;4- b 4-nbsp;4-nbsp;54 7^(5)nbsp;A

5W /m , . z:(2) , h^ A3) \' r(4) , b^ r(5)

2 ! V 3 ^ a-2 quot;tquot; öT --r o f -^r- -rr

3! Qi 4!

bHlaf /ra)nbsp;r(3) 63

3! [ inbsp; 2! 63nbsp;

de regel is duidelijk.nbsp;\'nbsp;e

Door r(n) = (w — 1)! in te ,:v;oeren vinden wij ten slotte:

% U , b h\'^ 63 \'f,i

\' nbsp; 3-. 43 ^-t-....) Vl^ T^ nbsp;

en ontmoeten hier een dubbel oneindige reeks van zeer bizondere gedaante en uitgesproken
regelmaat.nbsp;.nbsp;■

De convergentie dezer dubbelreeks is gemakkelijk te bewijzen. Stellen wij daartoe

waarin n ^ O is, dan wordt

en kunnen wij beginnen met de convergentie der reeks Xn{b). De term üp van x„{6) is

M1 -

dus Limnbsp;Limnbsp;= Lim —

bé^nbsp;T •nbsp;b . \\ . ., s „ ,, , .

= Lim ^^nbsp;= Limnbsp;= O voor elke emdige, bepaalde 6.

Alle ic-reeksen zijn dus convergent, en het is zelfs gemakkelijk om een waarde te
bepalen, die stellig grooter is dan Xn {b). Daar n steeds positief wordt gedacht, is

/ ^ , , h\' _ _6^ - quot; ■ quot; \\

ni-1\'^ {n l){n 2) (« l)(n-f 2)(w 3)T (^^ l)(«r^2)(^^ 3)^ 4) ••\'7

dus a fortiori isnbsp;. \'nbsp;\' quot;\'

,nbsp;\' 7,3nbsp;b*nbsp;\\

X.{h) lt;nbsp;(b J^ 2 172 TT^-O- ••\'•)

Derhalve isnbsp;;

Deze waardegrens bewijst nu tevens de convergentie der reeks V(a, 6, 0), want nu is

,, 0) lt;nbsp;-1) nbsp;-1)nbsp; j^gnbsp; ....

of equot;quot; invoerend, die convergent als a niet nul en a en amp; eindig zijn, vinden wij

V(a, 6, 0)lt;

waarmede de convergentie van V(a, b, 0) verzekerd is voor elke a, die niet nul is en elke
a en b die eindig zijn. Ook als a en b complexe getallen zijn, levert V(a,amp;,0) convergee-

rende reeksen op.

§.]3. Wij beginnen nu met eenige eigenschappen der Xn{b) functies. Wij stelden

= • • • •

Wij vermenigvuldigen deze reeks met b en differentieeren naar b wat geoorloofd is.
Dan is

Tnbsp;lH 1nbsp;J» 2nbsp;5« 3

i-nbsp;ir 2 OT ÖT i? =

of uitgeschreven

bx\'Ab) = b\'\' Xn i{b) — Xu{b)..........(1)

Deze eigenschap zal ons in \'t vervolg herhaaldelijk van dienst zijn; wij vergenoegen
er ons echter niet mede, maar vervuldigen weer met b en differentieeren dan naar b. Dan is

4 b i b^nib) = ^ = ^^^^

db donbsp;quot;O

Stellen wij nu de bewerking b^^ symbolisch door 6D voor , dan staat er dus in 1)

[6D] bxn{b) = bx„ i{b)
en in de volgende formule

[6DTto„(6) = (n 1)6quot; ^ amp;quot; \'

Zoo is ook

= (n nbsp; (« 2)6quot; ^ hxn ,{b),

zoodat in het algemeen

[bDl^-Jx^Cft) = (n {n . . . .
p — Ifh^ r-^ (ïi p —nbsp; nbsp;........(2)

In deze formule leeren wij dusnbsp;uitdrukken in de Xn{h) en p afgeleiden.

Zoo is ook

lbD\']\'\'bx,ib) = {p-\\~lY-Hp ^-f-(p-\\-2Y-quot;\'bp ^-\\-____

{n p —nbsp; (n p — l)6« /\'-i b^ p bx,, pib).

Wij kunnen uit deze en de vorige formule Xn p{^) en de gemeenschappelijke termen
elimineeren en houden dan een betrekking over tusschen de O\'\'quot; tot p\'^^ afgeleide van x„(b)
en de O\'\'® tot ïiquot;!® afgeleide van Xp(b). Alleen in het geval dat p = O is, levert de eliminatie
niets nieuws. Toch is dit geval belangrijk en wij zullen het daarom wat meer van naderbij
bezien. Voor p = O vinden wij

lbI)-]\'\'bxo{b) = b b^ 4- 3«-=^ .... (w — 2fb\'-^ (n — 1)bquot;-\' bquot;bx„{b) . . (3)

Hierdoor wordt dus Xn{b) uitgedrukt in Xo{b) en n achtereenvolgende afgeleiden ervan.
Dit is van groot voordeel bij de berekening, want

b b^
Xo{b) = 1 ^ -r gö • • • •

en alle afgeleiden leveren termen op, waarin de breuken ^ steeds met geheele getallen

worden vermenigvuldigd. Deze breuken ^ kunnen eens voorgoed berekend worden en

onnoodig is het dan om zich te begeven in tabellen van wat eerst wenschelijk scheen.

Ik heb daarom de waarde van ^ voor eenige geheele waardennbsp;van n tot in 10 deci-
malen nauwkeurig uitgerekend: Ter controle laat ik nquot; voorafgaan:

1^ = 1 ; 2^ = 4 ; 3» = 27 ; 4^= 256 ;nbsp;5^ = 3125 ;

= 46656 ; 7\' = 823548 ; = 16777216 ; 9\'\' = 387420489 ;nbsp;10\'quot; = 10000000000.

_ 1nbsp;= 0,0000214335 ____

= 0,25nbsp;yr = 0,0000012143 ____

= 0,0370370370 ....nbsp;= 0,0000000597 ....

^ = 0,00890625 _ , .• .nbsp;.. j -^-0,0000000026 ----

= 0,00032nbsp;= 0,0000000001

De stip op een einddecimaal wijst aan, dat het cijfer met 1 verhoogd is, omdat het
volgende hooger dan 4 was.nbsp;\'

Wij zien nu ook door optelling, dat —1,291284977,

§ 14. Was door middel van de formule

• IhUflxQ {b)=^h 2»-2 3»-3 53 .... _ 2)^nbsp;{n — 1) 4- hxn {b) = (p (n)

waarVan wij het tweede lid ter bekorting 99(n) stellen, de mogelijkheid gegeven om Xn(b)
lineair uit te drukken in x^ih) en haar afgeleiden; omgekeerd verschaft ons déze betrekking
het middel omnbsp;lineair uit te drukken in x^ib), iC, (6), .... tot Xn{lgt;). Wij hebben

immers de volgende n 4- 1 lineaire vergelijkingen:

[iD]«nbsp; nbsp;,._. ., (71 — 2)2(71—1)0quot;-1 6quot;

[iD]quot;-! hxo {h) = h nbsp;3«-4 53 ^ _ _ _ 2)nbsp;j«-! hxn-x{h)nbsp;= (n — 1)

nbsp;=9\'(3)

[6D] hxo{h)=h hx,{h)nbsp;i; .nbsp;■nbsp;•nbsp;=9^(1)

[bBJ bxo{b) = bx^{b)nbsp;=9^(0)

Wenschen wij nu hieruit x„ib), x\'^ib), x\\{b), . . .nbsp;op te lossen, dan is het nood-

zakelijk om de leden links van het gelijkteeken nader uit te werken. Het beste is om

inductief te werk te gaan en te beginnen met de eenvoudigsten. Wij vinden dan

: Ajinbsp;. 1 _ . •

[bTgt;Jbséii)) = b\'xquot;oib)-j-Sb^x\'oib)-\\-bXo{b}

[bDJbxo {b) = (b) nbsp;{b) nbsp;(b) 15b\'x\'„ (amp;) br^{b)

IbDJbxoib) = \'¥\'x\\ (ö) nbsp; nbsp;4- 90b^x\\ib) nbsp; bx^{b) enz.

In het algemeene geval [amp;D]\'\'amp;a;o (amp;) hebben wij derhalve een n-term. te verwachten
van dezen vormr

. .nbsp;ih) =nbsp;(b) (2,nbsp;(b) 4- (3, n)nbsp;(b) ..... .

-F (w — 1, n) {b) 4- {n, n) b^x\'o (b) 4- bx^ (amp;)

waarin wij de coefficienten door (p, n) = de p^^ coefficient van de w^« differentiatie [èD],
weergeven.

Déze coefficienten blijken\'nu op de\'volgende wijze samen te hangen,\'die zeer regel-
matig wordt indien wij door (1, w) niet de coefficient van,:den eersten term, die toch steeds
de eenheid is, voorstellen, maar (1, n) = of gelijk aan h;et ordegetal der differentiatie.
[iD]quot;, stellen. Hierdoor wordt;:nbsp;, quot; •nbsp;\' ,

{l,n) = n ■nbsp;... :. , .

(2, w) = w-f\'(2, ïi—i) = 1)

(4,7i) = (9i-2)(3,n-l) (4,n-l)\' . . .nbsp;(i)

(5, n) = (ïi—3) (4, n—1) (5, n—1) enz.

en algemeen

{p,n) = in—p 2){p — l,n — l)-\\-{2),n—l)nbsp;2lt;p^n l

Bovendien zijn de betrekkingen (n -f 1, n) = 1 en (n, n) = 2{n — l,n — 1) -f 1 van gemak,
\'(jönstrueeren wij nu met behulp hiervan en analoog met den driehoek van Pascal bij
de binomiaalcoefficienten de coefficienten dan zijn zij aldus te plaatsen:

Wij kunnen dus alle coëfficiënten bepalen en kunnen ze dus algemeen bekend achten.
Wij krijgen dan de bx^h), b^\'x\'db), .... x^^quot;\'){h) op te lossen uit deze ïi I vergelijkingen:

(2, n) h-xo^-^^{b) -f (3, n)nbsp; ... 4- (n — 1, w) ¥x^quot;{b) (n, n) bx^ih) = cp{n)

(6) (2, — 1) 6»-...

_ 2, n — 1)amp;V(^) {n — l,n — l^b-^x\'^ib) 4- bx^ib) = cp(n —l)

bWih) (2, 2)6Vo(6) hx,{b) = cp{2) ■
b\'^x\'oib) bxo{b) = (pil)
bxoib) = (p{0)

Waarin

g^in) = bx^ib) -nbsp; (n -nbsp; . . • nbsp;

De oplossing geschiedt natuurlijk het regelmatigst door middel van determinanten en
elkenbsp;wordt dan gelijk aan het quotient van twee determinanten.. De determinant

in den noemer is voor allenbsp;dezelfde en gelijk aan:

1 (2, n) (3, ïi) .... (n — 1, n)nbsp;{n, n)nbsp;1

O 1 (2,ïi—1) (ïi —2,n —1) (w —l,n —1) 1
0 0 1 . (ïi —3,n —2) (ïi —2,n-2) 1

= 1 ... 2)

want haar waarde is gelijk aan het product der diagonaaltermen. Wij vinden dus

9.(3) (2,3) (3,3) 1

9.(2)
9.(0)

en algemeen

cpin)

9?(n —1)

6» VH^) =

9.(2)

(3, n) .... (n — 1, n)

O
O
O

: Terloops zij nog opgemerkt dat de coefficienten (p,n) verscheidène eigenaardige eigen-
schappen hebben, die door middel der récurrente betrekkingen 1) en den determinant 2)
■ afleidbaar \' zijn. Zoo is (1,1) (2, 2) (3, 3) .... (^-1, ^ - 1), = ^ (n, ri) - ;
wij laten dit echter rusten.

• § 15. • Dè herleidingen in de vorige § volbracht, krijgen üog\'een gehfeel andere betee-
kenis indien wij teruggaan tot de oorspronkelijke reeks

nl

Stellen wij a = 1, dan is dus

J X\'h !

xjfi) laat zich dus door een bepaalde integraal voorstellen.

Differentieeren wij V(a, è, 0) partieel naar a, dan is na vermenigvuldiging met a

Stellen wij a = 1, dan is

bx—l

dx = Xy(b).

Differentieeren wij 3) weer partieel naar a, dan is na vermenigvuldiging met a

i/a \\

a-b^jnbsp;dx = x.Ab) lax,ih) x,{b) x,{b)

Voor a = 1 is dus

/ 1

AVij zouden zoo voort kunnen gaan, maar kunnen ook direct generaliseeren. Wij
stellen dan

/ a »

Y{a,b,n) = a\'\'b\'\'l

en vinden partieel naar a differentieerend en daarna met a vermenigvuldigend

Derhalve is

, (ic^y

waaruit volgt voor a = l

ƒ1, 1 ,lx—n

(_j dx = xn{b)nbsp;wgt;0.......(5)

De a;„(6)-functies zijn dus allen bepaalde integralen.

\' 1 / gt; il

/ JL \\

DifFerentieeren wij de functie x^ih) = (— dx naar b, dan is

J . ^ /

O

O

en nog eens, dan is

ƒ 1/1 \\bx-S/ 1 \\2

(v) [yh

DifFerentieeren wij n-maal achtereen, dan is

dx..........(6)

Wij zien dus, dat ook alle a:olt;»)(5)-functies bepaalde integralen zijn en dat derhalve de
bepaalde integralen Xn{b) en xé^\'Kb) volgens de determinanten in § 14 behandeld, samen-
hangen.

Ten slotte moet ik er, om misvatting te voorkomen, nog eens uitdrukkelijk op wijzen,
dat in al onze formules de n een positief geheel getal voorstelde, in tegenstelling met a en
b, die wij alle eindige waarden toekennen, behalve a = 0. Het geval, dat n geen geheel
getal is, zullen wij hier niet behandelen.

§ 16. Alvorens tot de speciale behandeling van V(a,nbsp;waarvan V(a, 0) een

bizonder geval is, over te gaan, schijnt het mij niet ondienstig om het behandelde eens te
beschouwen uit het oogpunt van de theorie der voortbrengende functie van Laplace\').
Daardoor zullen de besproken integralen weer in een ander licht verschijnen.
Wij splitsen daartoe de functie uit § 15, n.1.

cpin) = cp(n, b) = bxnib) b\'\' (n- Dbquot;-^ (n -nbsp; .... nbsp; ^I^-^b^ b

in deze twee

lt;p{n, b) = bx„(b) 4- b)

zoodat

t/;(n, amp;) == 5» (n —nbsp; (n —nbsp;4- .... nbsp; nbsp; ^

en vangen aan met de bepaling van de voortbrengende functie van ip{n, b), die wij voor-
stellen doornbsp;__

= ......1)

gt;) Laplace. Mém. de Paris 1779 en Calcul des Probabilités. Liv I.

en welke functie derhalve de eigenaardigheid heeft, dat w(n, b) de coëfficiënt is van — in de

nl

ontwikkeling van ƒ b) volgens opklimmende machten van t.

De bepaling van f{t, b) eischt de kennis van een functioneel verband, waaraan b)
voldoet en dit wordt gemakkelijk op de volgende wijze gevonden.

Wij difFerentieeren yj{n, b) partieel naar b en vermenigvuldigen met b. Dan is

^ = — — 2f b--\' -f...... 2quot;-» b.

Nu is

xp{n l,h)^ (n — (w —nbsp; ...... 3«-2 ¥ b.

Derhalve is

b ^^ — 1, b) -fnbsp;rrr O n = O of positief geheel .... (2)
Met behulp van deze betrekking is f{t, b) bepaalbaar. Immers

Jïi^, _ j,nbsp;, 7, Ml, . , , öv;(2, b) r-nbsp;b) tquot;

èb ■•••
= - ......

bequot;^ = b bH ■

n!

Tellen wij deze drie vergelijkingen op, dan worden alle coefficienten van tp nul en
vinden wij ter bepaling van f{t,b)

= 0..........3,

Deze lineaire partieele differentiaalvergelijking wordt opgelost door het stel simultane
differentiaalvergelijkingen

db _ dt _ df
T ~ —1 ~ \'

Daaruit volgt c, = lt; waarvoor wij liever de gelijkwaardige c^ — equot;\' = be^ schrijven,
en —df = em of daar e\' ^nbsp;— df = c\\

r /1

Dusnbsp;c,— f = jnbsp;...........4)

Nu is C3 = yXc^, als % een willekeurige functie voorstelt, de oplossing van 3); maar

daar C3 onder het integraalteeken zit, zou eerst de integratie naar b uitgevoerd moeten
worden, eer men daarin C3 = mag substitueeren, want anders zou b in C3 meewerken
aan de integratie. Wij handelen daarom beter aldus, dat wij vooreerst in 4) de c^ in den
grens p van een bepaalde integraal opnemen, zoodat

IJ

\\~bl

wordt en wij aan de algemeenheid nog geen afbreuk hebben gedaan; en ten tweede door

fp

fii,nbsp;(f, ^ d.v

• j \\ /
b

te schrijven, nu veilig c, = be\' onder het integraalteeken kunnen brengen. Wij krijgen dus
als algemeene integraal van (3)

.............

waarin f(be\') een willekeurige functie van be\' voorstelt. Het belang dezer handelwijze zal
ons spoedig duidelijk worden. Wij vervormen 5) nu nog een weinig en stellen a; = by.
Daardoor wordt

{^py

y /

Uit 1) volgt nu in verband met deze waarde voor fit, b) dat

ot \\

Jt- jnbsp;\\ y

1

Daar echter/(«, 6) in 1) een particuliere integraal is van 6) moet /quot;(fte\') in 7) reeds
een speciale waarde hebben aangenomen, die wij nog moeten bepalen.

Wij gaan daartoe over tot de bepaling van de voortbrengende functie b) van (p(n,b),
zoodat evenals in 1)

(8)

waarin (p {n, b) als hxn{b) er in reeksvorm in wordt uitgeschreven, d^eze gedaante heeft:

«p (ïi, b) = b 4- 4- .... 4- (n -1) ö-i 4- ^^ ^^^ . . • • \'

Hieruit volgt echter dat

h ^^ = amp; -f____ Ol —nbsp; «6«

do

5» 2nbsp;5« 3

Derhalve is

het functioneel verband, dat ons weer tot de bepaling van ■amp;{t,h) dienen kan. Immers

. h) , 0(^(0, b)nbsp;b) M2gt; b)nbsp;^^{n, b) t»

en

^ _ ^ (1, J) _ ^ (2, h)t -cpCè,h)^nbsp;(p(n 1, b)

Tellen wij beide betrekkingen op, dan volgt eruit, dat

Daaruit volgt weer

db__ dt _ dê
X ~ —ï ~ quot;F ■

Derhalve ê = Ci t lb — C2, waarvoor wij liever schrijven Cg = e\'^ = beK
De oplossing der lineaire partieele differentiaalvergelijking is dus als x een willekeurige

functie isnbsp;=

Daaruit volgt, dat

Ter bepaling van de particuliere waarde, die x in 8 heeft, lezen we aldaar, dat voor i = 0

ê{0,b) = lt;p{0,b).

In ons geval is dus

of

Xibe^) = cp{0,be%

Uit § 14 is te zien, dat 99 (O, b) = (^(0) = bxo{b) is.
Zoodat wij ten slotte vinden, dat

ê {t, b) = be\' % {be\') = be\' ƒ\' (^^dx = be\'Y{l, be\', 0).

0

Eens in het bezit van de voortbrengende functie van 99 (n, b) volgt nu weer onmiddellijk

dat

(p (n, b) = b

Om nu tot de volledige kennis van de voortbrengende functie van yj {n, b) te geraken,
merken wij eerst op dat als wij in (4) van § 15 voor a = e\' stellen, dan

V (e\', b, n) = x„ (b) -j- ib)t n;„ 2 (b) ^, (b) 3-, ......

Derhalve is V (e\', b, n) de voortbrengende functie van x„.^.p{b) en Y{ei, b, 0) de voort-
brengende functie van Xn{b). Zoodat

ccn{b) =

Daar nu tp (n, b) = lt;p (n, b) — bxquot; (b) vinden wij derhalve ter bepaling van F{be\') dat
als wij door b deelen

öiquot; l J ^ X / j ^ V /

Stellen wij in de eerste integraal rechtsnbsp;dan is dx = ^ en vinden wij

t = 0

Vergelijken wij het eerste en het laatste lid dan is dus in ons particulier geval
/quot;(JeO = e^ De voortbrengende functie van fp{n,b) is dus volledig

ƒ«\' , pt hx.

en

xp {n, b)=h

Men kan deze voortbrengende functies als sommen van functie-reeksen gaan behandelen
en door t onderscheidene waarden te geven nog allerlei betrekkingen afleiden. Wij laten
dit echter rusten en zullen alleen nog een enkel woord zeggen over de symbolische bewer-
king der gevonden uitdrukkingen.

Wij vonden voor (p{n, h)=hnbsp;60«, 0))

en kunnen deze waarde gesubstitueerd denken in de determinanten van § 14. Schrijven
wij voor de bewerking het symbool D^ dan is volgens den symbolischen regelnbsp;= e«\'

(D, -h aYf{t)

lt;p(n, b) = b [D\'Üe^Yd, K 0))].=o =nbsp; 1)»V(1, he^, 0)],=o - 1)«V(1, be\\

Dit substitueerend in de determinanten zouden wij slechts identiteiten krijgen.

AVerkt men echter in

lt;p{n, b) = b[I)\\{e%ibe\'))l^o
de Xo{be\') uit volgens de reeks, dan is

• \' • • ~ . . . .

4quot; \'nbsp;\' nquot; \' (w-}- i)» i

en wordt q){n,b) door den symbolischen regel ygt;(Dt)e\'\'^

(p(n, b) = b

et -I-nbsp; nbsp;____ nbsp;-f J^ ^nbsp;

w nbsp;\' (ïl 2)2

en hier vinden wij dan onze oorspronkelijke definitie van (p{n, h) terug.

§ 17. Wij verlaten nu voorloopig de beschouwing van = V(l, h n) en wenden

.-1 n \\hx-nnbsp;/l„\\2

ons tot V(a, h, n) =nbsp;dx = x„(b) lax„ i(b) ^ ____waarin n ^ O

Ü

en geheel is.

Er bestaat nu ooknbsp;hier een grootheid die stellig grooter is dan V(a, b, n). In § 12

vonden wij dat x„(b)lt;nbsp;—1). Daaruit volgt dat

V(a, n) lt; e\'bquot;-^ (l bla ^ ....)- (l

Derhalve is

V(a, b, n) lt;nbsp;—1),

De convergentie van V(a, b, n) is dus verzekerd voor elke a die niet nul is en elke a
en b die eindig en bepaald zijn.

Wat de eigenschappen van V((i, n) betreft, zoo vonden wij reeds in § 15 dat

öV((i, TT, 7 , .

= V(a,6,ïL l)...........

Differentieeren wij V(a, h, w) partieel naar h en vermenigvuldigen met h dan is

h ^^ = hxW lahx\'n^^ih) ^nbsp; . . . .

Voeren wij hierin de bekende betrekking uit § 14

hXn{h) = h- Xn l{h) — Xn{h)

dan is

ft ^ ft„ _ -
do

U^\'quot;-\' -nbsp; = V(a, n 1) - V(a, b, n)

L!

Derhalve is

= ...... 2)

db ...

Elimineeren wij uit 1) en 2) V(a, b, n 1) dan is

h —\\ --— Cl X 7

V(a, b, n) = .......

■quot; \' • 00

Van deze lineaire partieele differentiaal vergelijking is V(a, b, n) derhalve een parti-
culiere integraal.

Lossen wij deze vergelijking weer volgens de handelwijze ■ in § 16 uiteengezet op dan

is dusnbsp;\'

db da dY

ft —a a^bquot;—Y
Daaruit volgt vooreerst dat aamp; = c, is en ten tweede dat

waaruit weer volgt dat

rt « .

Derhalve is

Y(a, b, 7i) = aquot; ^bquot; x\', . dx

a

de algèmeene integraal van (3) waarin ƒ een willekeurige functie is.

Stellen wii — — y, dan is a; = — en dx = —^ du en wordt

^nbsp;ynbsp;y^

- dy.

„ \\y\'

f(ah)

De particuliere waarde van J{ah) in ons geval is dus j{ab) — co.

§ 18. Difeerentieeren wij de vergelijkingnbsp;h, n)=Y{a, n 4- 1) partieel naar a
en vermenigvuldigen wij met a, dan is

/ ö

r\' ® ^nbsp; = ^ 2).

Bewerken wij deze vergelijking weer met a^, dan is

(quot;\'Ir. quot;

Nog eens opereerend met a^- vinden wij

enz.

Wij zien hier de coefficienten in § 14 besproken weer optreden en kunnen dus, als

wij a™ door aD« voorstellen, algemeen schrijven
oa

[a DJquot; Yia, b, n) = V(a, b,n p)= K D^ 1) a^-\' D^-^ 4- (3, p -1) a^quot;® Dp\' 4-.....

—l)aDJ V(a, b,n).

Wij lezen hieruit, dat Y{a, b, n 4- p) uit te drukken is in p achtereenvolgende afgeleiden
van V(a, b, n) naar a.

Verwisselen wij p en n met elkaar, wat alleen geoorloofd is als n een geheel getal
is, dan is

[aDJ^V(a, b, p) [aDJpV(a, b, n)
Stellen wij = dan is

[aD«gt;V(a, 6, 0) = V(a, w)

Elimineeren wij uit de volgende p vergelijkingen de eerste tot p^\'\' afgeleide naar a
van V(a, n), dan volgt uit

(2,p—D/-\' (3,p—1)«^-•.. nbsp;l)aW aDJV(a,nbsp;h,n p)

[nbsp;aP-\'B/-^ (2,p—2)a^- •. ■ (i?—2,p—2)a2Da2-j-aD J(Va, b,n)=Y{a, b,n p -1)

[-nbsp;aW (2,2) aW aDJV(a,5,w)=V(a,amp;,n 3)

j-nbsp;aW aDJV(a, n) = V(a, w -f 2)

dat de determinant die als noemer optreedt denzelfden vorm heeft als die in § 14 (2) en gelijk
is aan de eenheid. Voorts is dusnbsp;,

Y{a, b,n S) (2,2)1
V(a,amp;,n 2) 1 1
Yia,b,n 1) O 1

enz. tot en met

Y(a,b,n p) i2,p — l)....ip — 2,p — l){p — l,p—l) 1
Y{a,b,n-hp — l) 1nbsp;(2;-2,p-2) 1

V(a,6,n 3)nbsp;Ónbsp;1 (2,2) 1

V(a,6,n 2)nbsp;Onbsp;0 11

Y{a,b,n 1)nbsp;Onbsp;0 0nbsp;1

Hiermee is dus de p^quot; afgeleidenbsp;naarnbsp;a van Y{a,h,n) uitgedrukt in functie van
V(a, w 1) tot en met V(a, ö, w

§ 19. Beschouwen wij nu de vergelijkingnbsp;= Y{a,b,n l)—Y{a,h,n)

dan kunnen wij deze ook aldus schrijven:

\\pj)i:\\hY{a,b,n) = a\'h\'\' ^ hYia, h,n l)

wanneer wij de operatie ^ door Di voorstellen.

Bewerken wij deze vergelijking weer met amp;Ds, dan is
[bTgt;öJb Y{a, b, n) =nbsp; b Y{a, b, n 2) en zoo is ook

[amp;D6]^amp;V (a, b, n) = [ÖD[ÖD bY{a, 6, n 3).

Na p-voudige operatie vinden wij dus
[amp;DJ/\'6V(a, ö, n) = [ÖD... nbsp; nbsp;öV(a, b, n p) = lt;P {p, b).

V

Hier lezen wij, dat V(a, b,n p) ook uit te drukken is in p achtereenvolgende afge-
leiden van Y(a, b,.n) naar b.
Stellen wij

[öDJf-ia^ö-\' i [amp;DJquot;- ... nbsp; = W{p, b)

en ontwikkelen wij de operatie

[amp;D«]/\' = bpBh (2, p —nbsp;1 . . . (p — 1, _ ^ ftD,,

dan is, daar

n) = nbsp;ö, n) \'

dus, volgens-den-regel van Leibnitz

«) = [hPJ)h (2,jpnbsp; ... (p— i, p _ öDJöV(a, n) =

== 1 nbsp;l)-]bPW-\' lip -1) (2, p -1) (3, p —nbsp; ...

[2(io—1) nbsp;b, n).

Passen wij hierop de recurrente betrekkingen uit (1) § 14 toe, dan wordt dit:

[ÖD J^öVCa, b, n) = [ör ^D^^ {2,p)bpDiP-^ nbsp;-f... (p,p)b^Do 6] V(a, b, n) =

= ¥(p,b) bVia,b,n p).
Zoo is ook

[ÖD Jp-^Wla, b, n) =nbsp; (2, p - Ip\'-\'W-^ ... (p _ i, p _ b, n) =

= ¥(p -!,amp;) öV(a, b,n p-l)

[öDd^öV («, b, 71) = [nbsp; (2,2)b^Do ö] V(a, b, n) = b) bY{a, b, n 2)

Um bY (a, b,n) = [nbsp;b\'Do b] Y{a, b, n) = b) bY{a, b,n-{-l)

[bWbY {a, b, n) = [nbsp;-nbsp;b] V(a, b, n) = W(0, b) ftV(a, b, n)

Lossen wij hieruit Y(a,h,n) en hare p achtereenvolgende afgeleiden naar ft op, dan is
de determinant in den noemer weer gelijk aan de eenheid en voorts is

ï^a, ft) ftV(a, ö, w 1) 1

hY{a, b, n) = bY(a, b, n), daar ¥{0, b) = O Y{a, b, n) =

no, b) bY{a, b, n) 1

Hiermede is dus de p\'^^ afgeleide naar b van V {a, b, n) uitgedrukt in functie van
V (a, fe, n) tot en met Y(a, b, n p).

§ 20, De voortbrengende functies van ^(p^b), Y(a,b,n p) ennbsp;zijn weer

gemakkelijk te vinden. Zij

e{t, b) = lt;P{0,nbsp; ..... nbsp; ......

de voortbrengende functie van 0{p,b), dan is, daar

ö) = [bDiybYia, b, n), [öD,] 0{p, b) = [bDo]quot; \'bYia, b, n) = fp(p h b).

Derhalve

b-^^ip, b) — (Igt;ip hb) = 0.

Daaruit volgt dus, dat

Deze vergelijking komt overeen met de partieele differentiaal-vergelijking voor \'amp;{t,b)
in § 16, zoodat ook hier 6{t,b) = X{be^) waarin X een willekeurige functie voorstelt.
Daaruit volgt echter, dat d{0,b) = Xib).

Om den vorm van Xib) in dit geval te bepalen, merken wij op, dat

0(0, b) = ^{0, b) = bYia, b, n).

Dus

X{b) = amp;V(a, ö, n)

en derhalve vinden wij

e{t,b) = be\'Yia,be\\n),

waaruit volgt dat

quot;ÓP

e\'V(a, n)

Zij, ten tweede, de voortbrengende functie van Y(a,b,n p).
N(a, b, O = V(a, w) V(a, b,n l)t V(a, b,n 2) ^ ... . Y{a,b,n p) ....

dan is daar V(cï, b, ti) = (b) 4- laxn i (ö) 4- ^^ x„ 2 (b) ....

N (a, b, t) = Xn ib) 4- hxn i (b) 4- Xn 2 (amp;) 4-....

2!

4- t\\xn \\ (amp;) 4- laxn^^ib) 4- rc„ 3(amp;) 4- ....]

[■^quot; 2 (ö) 4- laxn i ib) 4-nbsp;Xn i ib) 4- ....] 4- enz.
Dus, daar de reeksen absoluut convergent zijn,

N(a, b, t) = ö, w) 4- la V(e\', ^ 4- i) nbsp;V(e\', ^ 4- 2). . . .
Voeren wij de integralen

V(e\', b, n) = e\'^bquot;J

in, dan wordt

. iW ie\'

J \\x] {nbsp;2! ^ 31

Derhalve is

N (a, b, t) equot;\'bquot;j (^j quot;a^^\'dx = c^\'a^b\'^

Daaruit volgt, dat

lt;=0

Zij, ten slotte, de voortbrengende functie van b) gelijk aan

rit, b) = «/^(O, b) 4- WH, b)t 4- !F(2, i)^4-......4- amp;) ^^ 4-

Wip, b) ^ lt;Pip, b) - b V(a, b,n p)
Fit, b)=eit, 6)-6N(a, 6, t).

—quot;nbsp;quot;1/ ai \\

Fit,b) bei / aquot;b\'\'e\'\'\' - dy — ba\'\'b\'\'e\'quot; 1 ~

J \\ylnbsp;J \\xj

Stelt men «/ == dan is dy en wordt
cnbsp;c

f{t, h) =.-.nbsp;quot;dx = hYiaet, b, n).

.1 \\x Inbsp;1

Daaruit volgt dus, dat

np, h) = b

Wij zien dus, dat de verschillende voortbrengende functies, die wij behandelden, zich

allen tot Y-functies laten herleiden.

§ 21. Er zijn nog eenige formules, die soms nuttig kunnen zijn bij de numerische
berekening van waarden van Y{a,b,n) indien a,benn in getalwaarden gegeven zijn.
Vooreerst is

\\ hx—n

\\ X j

O

Derhalve is

V(ac, h, n) = Y{a, b, n) IcYia, b,n-\\-l) -ffb,n 2) ^^^ V(a, b, w 3)
welke formule ook direct uit de voortbrengende functie van Y{a, b, n p) is neer te schrijven.

Daar Y[a c, b,n) = Y{a

V(a4-c, b, n) =Yia, b, n) ^^^^ V(a, b, ^

Ontwikkelt men Y(a c, h,n) volgens het theorema van Taylor, dan is

Hierin kan men de determinanten uit § 18 gesubstitueerd denken en daardoor op
andere wijze Yia c, ö, n) herleiden tot een functie van V(a, ft, n), V(a, n 1) enz.
Eveneens door middel van Taylor\'s theorema vindt men

=nbsp; nbsp; ^^^^^nbsp;• • (3)

waarin men ook de determinanten uit § 19 geplaatst kan denken.

. I

(.2

(ö c) = xnib) cx\'Ab) f • • ■ •
volgt hieruit door a = 1 te stellen.

AVerkt men V(a, h c,n) in de integraal uit, dan is

V(a, amp; c, w) = a\\b cJ\'

/ n \\

\\ xJ 8!

stellen wij

\'dx, dan is, daarnbsp;=

V(a, b c,n)= a-{b c)quot; b, n, 0) caX(a, b,nbsp;ö, n, 2)

Stellen wij m = dan is dus ^^^nbsp;de voortbrengende functie van b, n, p)

naar p.

Zoo blijkt het ons dus, dat zoowel V(a c, 6, n) als V(a, b c,n) als V(a, b, n p) zich
laten opbouwen uit V(a, b, n) en afgeleiden.

Y(a,b,n) zelve wordt opgebouwd uit x„{b) = Yil,b,n) volgens (4) § 15.

x.ib) is dan weer door middel van (3) § 13 uit x,{b) = Y{1, b,0) en afgeleiden te be-
palen, zoodat al onze ontwikkelingen beschouwd kunnen worden als te steunen op de
fundamenteele integraal

stelt men bx = y dan krijgt men dezen uit een mnemotechnisch oogpunt misschien
verkieslijker vorm

J = ^ ......-^quot;^oib).

O

Als tweeden grondvorm vonden wij dan Y(a, b,n), die als een resultaat van de com-
binatie der reeks

™4

^ = l ^ ......

»

met Xo{b) en hare afgeleiden kan worden beschouwd.

Zoowel .ro(amp;) als amp; zijn absoluut convergent, waardoor ons hun onderlinge verwerking
mogelijk werd.

Wij zullen nu in het tweede hoofdstuk dezer afdeeling eenige integralen bespreken,
die met V(a, n) verwant zijn of er toe kunnen worden teruggebracht.

TWEEDE II O O F D S T U K.

§ 22. De eerste integraal, waarvan wij zullen aantoonen dat zij in functie van
V-functies kan uitgedrukt worden, hebben wij reeds in de vorige § ontmoet en stelden haar
voor door

..........(1)

O

}} en n positief geheel of nul.

Wij gaan haar partieel integreeren. Dan is

\\a X

of

in p l)X{a, b, n,p) = a\'-\'\'-Hlay abX(a, w l,p)nbsp;ö, n l,p—D —aW(a, b,

Dus

abX(a, 6, n, p 1) = a\'\'-quot;-p{la)igt; cMia, n 1,2?)—(n p l)2(a, w,p) pk{a, h, n -j-l,p — l) (2)
Hierdoor kunnen wij de l met p-{-l verlagen tot een uitdrukking, waarin slechts A\'s
met p en p — 1 voorkomen. Zoo is voor

p = 3 aW(a, h, n, 4) = a^-^-Hlaf ab^a, n 1,3) — (n 4) 2 (a, b, n, 3) 3A(a, ö, w 1, 2)
p = 2 abX{a, b,n, 3) = a^-\'^-^ilaf nbsp;w 1,2) — (n 3) A (a, b,n, 2) 2A(a, ö, n 1, 1)

p = 1 abXia, b,n, 2) = (la) abX{a, b, n l, 1) — (w 2)X{a, 6, ti, 1) X{a, ö, w -p 1,0)
= 0 abX(a,b,nJ) = a\'\'-\'\' -\\-abX{a,b,n^-L,0) — {n-^l)X{a,b,n,0)
Yici b n)

Daar X{a, b, n, 0) = —— is, vinden wij dus

Ct O

an ^iU ^Xia, b, n,l) = V(a, w 1) — (w 1 j Via, b, n).

enz.

De X ia, b, n, p) is dus uit te drukken in functie van V (a, b,n-\\- p) tot en met V ia, b, n).

Differentieeren wij k{a,\'b,n,p) partieel naar a, dan is

{bx —n—p)

öa

Derhalve is

;nbsp;^nbsp;^^ n-\\-\\,p) — {n p)A{a, b, n,p) -f pi{a,nbsp;.

X

DifFerentieeren wij ö, w, p) partieel naar 6, dan is

\'dX (g, b, 71, p) _
^b

Substitueeren wij 3) en 4) in 2), dan is na kleine omzetting

= I (a, b, n, p) — {laf .

Dit is de lineaire partieele difFerentiaal-vergelijkmg, waaraan l{a, b, n,p) voldoet en die,
als zij op de wijze in § 16 aangegeven wordt geïntegreerd, tot algemeene integraal heeft:

xb—n—r

b,n, p) =

waarin f(ab) een willekeurige functie voorstelt, die dus in ons particulier geval gelijk oo is.

Zij L (g, b, n, t) = l (a, b, w, 0) 4- («, b, n,l)t X (a, b, w, 2) ~ b, n, 3) , 4-____

3!

de voortbrengende functie van l{a,b,n,p) naar p, dan vonden wij reeds in de vorio-© § dat

_g ^

waaruit volgt, dat

V(g,ö

Cl

^tP {ab ty

Wat de convergentie van de reeks lj{a,b,n,t) aangaat, die bij de vorige voortbren-
gende functies niet besproken behoefde te worden, daar zij bestonden uit termen, die V-functies

waren, vermenigvuldigd met — en die dus convergeerden daar V(g, ö,nbsp;— 1), zoo

kunnen wij hier het volgende opmerken.

Daar in Ha, b,n,p) =J\\^f quot;(f ^^ (quot;^f quot; (f-^^Jeindigencontinuzijn

O

ix—n

tusschen O en 1 enf—i voor £c = O tot a? = 1 overgaat van 1 als n = O of O als J^gt;0
\\xj

tot ft\'-quot; zonder teekenwijziging, is

W , Xnbsp;VY\'

Dus

Derhalve is

a^ê

Dus

T . .nbsp;/nbsp;ö, w) r. , ^^ , a ,nbsp;La\\\\ m\'

3!a\'

of

L (a, b, w, t) lt;

De convergentie van L (a, b, w, t) is dus verzekerd.

J. Ten tweede zullen wij een integraal bespreken, die wij voorstellen door

p en n geheel en pos. of nul . . . (1)

De eenvoudigste reductie is deze

^ ia, b, n,p)= {a bx^-\'^ {a bx)
j

u

Dus

JU ia, b, n, p) = aju {a, b,n,p—l) -j- abjuia, b,n-\\-2,p — 1).
Wij vinden derhalve voor

p = \'3nbsp;}x{a, b, n, 3) = a^ia, b, w, 2)nbsp;b,n l, 2)

p = 2nbsp;/Ji{a,b, n, 2) = aju{a, b, n, 1) ab/xia, amp;, w 1,1)

p=lnbsp;jtt(a, b, n, 1) = afi{a, h, n, 0)nbsp;h, n 1,0)

AT • f 1 m

Nu IS fi{a, b, n, 0) = —^^^—

Dus

W\'hofiia, b, n, 1) = dV{a, b, n) V(a, ö, n 1)

aquot;bquot;iu{a, b, n, 2) = a2V(a, b, n) 2aV (a, b, w 1) V(a, n 2) enz.

DifFerentieeren wij ju(a,b,n,p) partieel naar a, dan is

\'èjuja, b, _ f^
ba

1 r

= Pjuia, b, n,p—\\) — / (a -f bx)P [a^ bx — n — a)
a f

=Pfi(a, b, n, p—1) ~ ju{a, b,n,p l) — ju(a, b, n, p).

Cvnbsp;a

Derhalve is

-=nbsp;]) — nbsp;.... (3)

Hierdoor reduceeren wij ju met ^-f-1 tot jii\'s en afgeleide naar a met p en tot^ met p—ï.
Voor p = 2 anbsp;^^ = 2afi{a, b, n, 1) — (w a) ^ (a, b, n, 2) -i-\'/.i(a, b, n, 3)

bu(a,b,n,\\)nbsp;r 1

r p=l a-= b,n,0)— (n a)ju(a,b,n,l)-\\~/i(a,ö,n,

p = 0 geeft anbsp;^^ ö, n, 1) — (w a)(a, b, n, 0)

Wij herleiden op deze wijze pia, b, n, p) tot tot en met O\'\'® afgeleiden naar a van
V(a, b, n). Differentieeren wij partieel naar b, dan is

= ƒ\'^to nbsp; f\\a nbsp;± 4.

Onbsp;5

— nbsp;..... (4)

Ounbsp;Jnbsp;X Jnbsp;X

ü

Wij zien hierin een nieuwe integraal verschijnen, die wij echter ook kunnen elimineeren
door middel der betrekking, die wij vinden door de volgende partieele integratie.

1 /•!nbsp;/ n y-^-quot;

ju(a,b,n,p) = jl (a bx/-\\—) d(a bx) =

ó

^ - (io— 1)
dx—j [a-^bxy

— ip— l)ju(a, b, n,p— 1) -f

n 1 ofxyß.o.n — i,p) 1 , ,nbsp;..

fiia, b, n,p) -nbsp;ö, w-1,p) - -nbsp;^^-^ ^^^P-\')

als wij (3) invoeren en in aanmerking nemen dat als n = 0 is, liet lid tusschen vierkante
haken moet worden toegevoegd. Hieruit volgt dat als wij n-1 door n vervangen

, \'d/i{a,b,n,p) _

■(n-:{-l)/u(a,b,n,p) abiu{a,b,n l,p—1). . (o)

n l=:0

Om de partieele differentiaal-vergelijking te krijgen, waaraanö, voldoet, inte-
greeren wij partieel op deze wijze

» 1nbsp;1nbsp;Inbsp;n

—pjnbsp;J dx

1nbsp;, \\1ix—n_1 I rt \\nbsp;1nbsp;( d —quot; Ct

-pflia, b, n,p) apjuia, b, n,p — D-f

^{a,b,n,p l)-{a-}-n)fx{a,b,n,p)-ab nbsp;l^dx.

Substitueeren wij hierin 3), 4) en 5), dan is

(6)

Daar wij n steeds positief geheel denken, kan het lid tusschen vierkante haken in dit
geval wegblijven. Stellen wij de voortbrengende functie van ju{a,b,n,p) voor door

12

M(a, b, n, t) = ju{a, b, n, 0) ju{a, b, n, l)t -1- pia,nbsp;----

dan is blijkbaar

M(a, b, n, t)= f (—^^^ quot;dx
Jnbsp;\\X/

Zoodat

fx{a, b, n,p) =

Dus a fortiori

yb — ll

fi(a, b, n, p) lt; (a by -(c^ — 1). .

Derhalve is

M (a, b, w, t) lt; (e^ — 1) (l (a 5) f (a hf ^\' (a bf

Dus

M (a, w, O lt; a^-»

24. Wij gaan nu over tot eenige belangrijke substituties.

ft»

Xn ih) = öquot; / - dx = —----r-------^____

Dus b = ia stellend

S^-OTnbsp;- V- (i ï] -(i ap-s s^ -....

O

Nu is

axA ^sin (a^cZ-\'j

\\ X!nbsp;\\ Xj

Derhalve is

n l (w 3)3(n of (^ 7)7 .....

en

/•Vsin(axl^-]dx = - —4- ______

Vermenigvuldigt men elk met a en stelt men ax = 1/, dan krijgen zij deze gedaante

a\\ , ____ _

De convergentie is evident.

Daar cos {ix) = chx en sin {ix) = ishx vinden wij door in (1) en (2) a = ibte stellen

n 1 quot;(« 3)3 In bf ^7)

J \\nbsp;in 2)2 (n 4)^ (w 6)« ^ 8)« ......

Stellen wij ter bekorting

) dx = c„(a) en f xquot; sin

dan kunnen wij schrijven

x„(ia) = (ia)quot;[c„(a) isn(a)] .... .......(6)

Nu volgt uit de grondbetrekking der .-c-functies l)x\'„ (0) = bquot; (b) —Xnib) uit § 13, 1) dat

iax\'n {ia) = (ia)quot; x„ i [ia) — o;,, (ia).

Differentieeren wij 6) naar a, dan is na vermenigvuldiging met a
iax\'„ (ia) = n {ia)quot; [c„ (a) is„(a)] {iay[ac\'„{a) ias\'Sa)\'].

Substitueeren wij deze betrekking en 6) in de vorige formule, dan vinden wij na
scheiding der complexe grootheden

(n 1) c„ (a) ac\'„ {a) = l — asn i {a).........0)

ennbsp;{n 1)5,, {a) as\'„ {a) = (a)...............(8)

Deze betrekkingen stellen ons in staat om c„ i(a) uit te drukken in s„{a) en afgeleide
en om Sn i(a) uit te drukken in c„(a) en afgeleide. Wij kunnen natuurlijk ook deze betrek-
kingen weer zoo gaan bewerken als wij vroeger met xM deden en zoo tot uitdrukkingen
komen voor c„ ,,(rt) en Sn p{a). Wij laten dit echter aan den lezer over. Alleen willen wij
nog opmerken, dat, daar

cquot;\'n{a)= ƒ sin

O

derhalve voor p = 1, 2, 3 .. ..

/•Inbsp;/li

= (—l)p /nbsp;sin axl —

Jnbsp;XI

O

Zoo ook is

s\'n{a) =nbsp;laxl^^ l-^ dx; squot;r,{a) = —nbsp;sin

= —nbsp;cos (axlnbsp;;nbsp;=nbsp;sin [axl^

Onbsp;O

Derhalve is voor = 1,2,3 ... .

= (—nbsp;cos laxl^^ flnbsp;ennbsp;= {-l)p f x\'quot;^quot;\'quot; sin {axl^^ \\l ^) \'dx. (10)

Jnbsp;\\ X \\ X jnbsp;.

Stellen wij ter bekorting

dx = c;,{a) en I x^sh axl- dx = %{a)
Jnbsp;X]

dan is c„{ia) = Z{a) en Sn{ia) = i%{a), dus c\\,{ia) = — icl{a) en (ia) = (a) (11)
Stellen wij derhalve in (7) en (8) voor a in de plaats ia, dan vinden wij

(w 1)^, ia) a9„ (a) = 1 as^^i (a)..........(12)

(n 1)amp; (a) 4- as\'n(a) = acil i(a)............(13)

Differentieeren wij de betrekkingen 11) herhaalde malen naar a, dan is voorp=l, 2,3...
cJ\'p-i)(ta) = (- ; c,/\'\'quot; (üt) = (— (a); =
=nbsp;=nbsp;.........(14)

Stellen wij nu in de formules sub 9) en 10) voor a in de plaats ia en passen deze
formules 14) toe, dan wordt met inachtneming der bekende relaties cos {ix)=chx en sin {ix) = isJix
en, wil men, van ch\'{x) = sli{x) en sh\'{x) = ch{x).

Jnbsp;\\ X j\\ X)

■„(2/\'-i)(a) =nbsp;ch(axl ^ j {l^\'nbsp;x\'^^^Pshiaxl-^

nvnbsp;n

Werkt men in plaats van met den hyperbolischen sinus en cosinus liever met de
expliciete e^-functies chx = \\{e e-\') en shx—\\{f — e-\') wat misschien hier niet onge-
wenscht is, dan heeft men eenvoudig in de genoemde formules te substitueeren

= ^ 4- xquot;quot;) en sh I — j = ^ {x-quot;^—x\'quot;\')

\\ X,

waardoor de integralen eene iets eenvoudiger gedaante aannemen.
Resumeerende blijkt ons dus, dat naast

b^ b^ b* b\'^
bXoib) =04-^4-^4-44 ^ ----=

gesteld mogen worden

r* I b\\nbsp;b^ b^ h\'\'

bCo(b)=J cosnbsp;=nbsp;• • • •

0

en

bsoib),^ smnbsp;

En tevens

J\' I b\\ h^ h^
bi]ib) = f ch j dx = b -33 .. -3, .....

b^

XI

als fundamenteele formules, waaruitnbsp;\'c\\ Ab),nbsp;en afgeleiden kunnen

worden bepaald.nbsp;, , . .

M^) _ f\'l^f-\'dx - ^ —^ --^ ..........(1)

gaan toepassen, is 6 = e\'^quot;. Dan wordt

n 1 (n, 2)\'^ (n 3)3

of

cos vJ , co3%pnbsp;/ ^nnbsp;2«;^ sin 3y

e\'quot;«» J \\x/
0

1 . cos 05 , cos 2o9 , cos Bep
dx =nbsp; nbsp; 77—W , ^u ■ • • • ^^^

ïi 1 nbsp;(n éy

_ sinnbsp;sin2y sin 39? sin4y

De beide reeksen convergeeren weer absoluut, omdat als wij in plaats van cosJ395 en
sin pep overal de eenheid zetten, wij reeds twee absoluut convergeerende reeksen krijgen.
Stellen wijnbsp;dan is wegens cos (iip) = chip en sin {iip) = iship

, _ 1 , . Chy)nbsp;1

- ^ nbsp;in Sf ^

,nbsp;shyj , sh2ip

Stellen wij ter bekorting

\'1/ j yrcos^—« r

xl sin (p

X

dx = Xn {(p) en ƒ

dan vinden wij de recurrente betrekkingen door op te merken dat

^nbsp;ixAv)\']......... ■ (7)

ennbsp;= nbsp;— flj^e\'^j volgens 1) § 13, zoodatnbsp;=nbsp;(9,)

^-inxn{(p)] — tquot;\'lt;P\\jx\\,{(p)~x\'A(p)\'] door differentiatie van 7) naar 9?. Substitueeren wij dit
en 7) in 1) § 13, dan is na scheiding der complexe grootheden

(« 1; Xn {(p) x\'n (9?) = l cos 99 Xa-i-i {(f) — sin 93 (cp)......(8)

ennbsp;(n 1) 4 (9?) — {(p) = sin 99 4 i ilt;p) cos 95nbsp;........(9)

Vermenigvuldigt men 8) met cos 99 en 9j met sin 95 en telt men op, dan is

[(W 1) Xn (99) x\'„ {(p)\\ cos rpnbsp;l)Xn {(p) — x\'n (95)] sin 9? = cos 9? X,»^! (9?) . (10)

Vermenigvuldigt men 8) met — sin cp en 9) met cos cp en telt men op, dan is

[(n 1) Xn {(p) — Xn {lt;P)] cos cp - [{n 1) Xn [cp) x\'n {(p)] sin cp = Xn^^ (cp) — sin 9gt; . (11)
Verheffen wij lO) en 11) in het kwadraat en tellen wij dan op, dan is

l[7l \\)Xn{lt;p) x\'n{(p)\'Y {.{n^- \\}Xn{v) — Xn{lt;p)y:^ 1 f 2 COS 994, i(9)) — 2 siu (pXn l{cp) ^-X\\^i{cp)-ir^\'nM
Door middel van 10) en 11) zijn wij dus in staat om Xn^i{cp) en ^» 1(95) te bepalen in
functie van Xn{cp), Xn{^) en afgeleiden. Daarmede is dan tevens het middel gegeven om
Xn^f{cp) en Xn^Av) te bepalen.
Stelt men ter bekorting

\'nbsp;xchlt;l) — n

/ W ) ch \\xl—shcp ^dx = x,icp) Qxv jnbsp;sh xl-^shcp dx~ Xniv),

6 ó

dan is daar

Xn (ïV) — (9;)nbsp;en Xn{icp) = iXn{cp)

en dus door differentiatie naar cp blijkt, dat

x\'n {iep) — — ix\'n {(p) en x\'n {i(p) = x\'» {cp)
derhalve uit 8) en 9) te zien als wij daarin üp voor 99 in de plaats stellen, dat

{n 1) Xn {(p) x\'n (93) = 1 Chcp:r,, 1 {(p) 5%).r„ i (9;)...... (12)

Xnbsp;Anbsp;pnbsp;^

■ {n l)k{(p) TA,{(p)==shcpTn i{(p)-j-ch(px„.^i{(p) ....... (13)

Vermenigvuldigen wij 12) met ch(p en 13) met shqgt;, dan is, daar di;\'{ff^) — sh\\(p) = 1, na aftrekking
Vermenigvuldigen wij 12) met ~ en 13) met clicp, dan is optellend

Door deze twee formules kunnen wij k i{lt;p) en x„ i(lt;p) in functie van x„(lt;p) en x„{cp)
on afgeleiden bepalen en daardoor ook x„ p{(p) en

§ 26. Het ligt voor de hand om op de integralen

\\x cosé—»

rT l \\n 2)2 ^ {n . 3)« (n 4)^

en

de bewerking van Fourier toe te passen. Wij vermenigvuldigen (1) met cos mep en (2)
met sin mxp en integreeren tusschen O en tt naar Dan is na optelling

0 0

Wij kunnen dit nu ook zoo schrijven

mep — xl^ sin 99

Noemen wij ter bekorting

(a;) — Lj^\'e\' \'tgt; cos (mep — X sin ep) dep
0

dan staat er dus

(4)

Irquot;\' 1 rquot;nbsp;.nbsp;■ / • XJ 1 ^^

en-nbsp;sin mep . sm(x sin ep) dep =

^Jnbsp;■nbsp;0nbsp;■

Zoodat door optelling blijkt, dat

-Inbsp;cos [m?? — sin 99] H,« (.r) =—J voor m positief geheel. . . . (5)

0

Daar m in ons geval steeds positief geheel is gedacht, vinden wij dus, dat

..........(6)

ó

Door X — C-\' te stellen, vinden wij hier een bekende formule uit de theorie der
gamma-functies terug.

Het schijnt mij echter van gewicht om eens uitvoeriger stil te staan bij de integraal
H„i(./;), vooral met het oog op het geval, waarin m niet geheel is, maar als willekeurige
veranderlijke parameter wordt beschouwd. Het bleek mij , dat dan eenige eigenschappen
aan het licht komen, die der moeite waard zijn om te vermelden.

§ 27. Om onze beschouwing van H^« (.r) zoo volledig mogelijk te maken, verbinden wij

1 r^

H,„ (./•) = - / ^ cos [m99 — sin 95] . \'.......(1)

0

bij onze bewerkingen met

1nbsp;r^

K,„ (x) = -nbsp;sin [nup — x sin ^]d(p........(2)

0

Differentieeren wij elk der integralen naar x, dan is

71 H!„ {x) = ƒ \'I\' [cos (pcos{m(p — x sin 99) -f sin rp sin {mfp — x sin 9;)] d(p =
0

quot; tt

_ / gxcos^ cos [(m — 1) 99 — sin 99] (^99 = 71 H,„ _ 1 (x-).
ó

71 Kin{x) ƒ lt;!gt; [cos (f sin {m(p — x sin 99) — sin 97 cos (m99 — x sin 97)] d(p =
0

_ ƒ quot;gr cos 0 sin — 1) ^ — a; sin 99] ^99 =nbsp;(x).

Dus

H,; (x) = H,„_i (x)nbsp;en K;; (x) = (x).....(3) en (4)

Ten tweede bepalen wij

0nbsp;0

Integreeren wij partieel, dan is

O

= -én Ir

Dus

(,t) = —^ sin (mji) ^ H,„_i (a;)

TOjinbsp;iH

en

K- w=- S ^ s ....... •

Denken wij ons 3) en 4) erin geplaatst, dan vinden wij de differentiaal-vergelijkingen,
waarvan H,„(a;) ennbsp;particuliere integralen zijn, zoodat dus

.......(7)

.......(8)

Wij kunnen deze differentiaal-vergelijkingen door middel van reeksen gaan integreeren.

Zij

^mix) = ao -f a^x . • • • anX\'\' -f- • ■ ■ •

dan is

m ^m mnbsp;m

Dus
m—1

a,x

m

1 sinwTT

en a, =---^^-

\'nbsp;m —1 n

mn

1 sin mn

2!(m-2) n

x\'

Is m positief geheel, dan zou deze reeks een nader onderzoek vereischen, maar voor

dit geval is reeds langs anderen weg bepaald dat H,„ [x) — ^,

Wat de convergentie vannbsp;aangaat, waarin de teekens alleen afhangen van

m als X positief is, zoo is dan

Lim = Lim

„=«gt; Unnbsp;(w l)(m—w—1)

voor elke eindige en bepaalde x en m.

Wij zouden nu K,n{x) ook door een reeks kunnen integreeren, maar maken ter afwis-
seling liever gebruik van de volgende formule, die wij aldus afleiden.

Vermenigvuldigen wij R,n{x) met cos (myr) en K„,(x) met sin(m7r), dan is optellend

cos (niTi) H» (x) sin (rnjz) K,n{x) = --ƒ cos [mji — mlt;p sin drp uit 1) en 2).

O

Stellen wij 7i — (p=^iigt;, dan is d(p = — dip cos(p = -- cos ip en sin lt;p = sin ip.
Derhalve

cos {mn) sin {mn) K™ {x) = -~j «^os v cos Imip a; sin xp\'] dtp = H,„ (- x).

ö

Derhalve is

cos {mn) H,„ {x) sin {mn) {x) = H,« (— a-)........(10)

Om direct nog de bijbehoorende betrekking af te leiden, vermenigvuldigen wij H,„ (x)
met sin {mn) en K,n{x) met cos {mn) en trekken de laatste van de eerste af. Dan is

sin {tnn) {x) — cos {mn) {x)=— e^ ^ sin \\inn ~ mep x sin cp\'] dep.

O

stellen wij weer n — cp = ip, dan is

sin {mjt)Iigt;n (x) — cos {mn) K,„ {x) — ~nbsp;sin [myj x sin xp] dip = K,„ (— x).

b

Derhalve is

sin {mn) H„ (a?) — cos {mn) K,„ (x) = K,„ (— x)........(11)

Wij lezen dus uit betrekking 10), dat

K,„ {x) =nbsp;— cot {mn) II„,{x).

Sin mn

Dus

cos {mn)

m ^ m-1 \' 2!(m-2) \' 3l{m-3)

X

2!(m-2) 3!(w-3)

Ltnbsp;l cos(m7r) ^ ^ 1 - cos (mn) ^^nbsp;(-l)p cos (mn)

nl (m—n)n

1 fquot;

Ho (x) — Ho (— x) = ~ t\' cos {x sin (p) dep.......(14)

O

en

_1 rw

Ko(a\') = ^Ko(—a;) — —— / cos ^ sin (x sin (p) d(p . .

O

Nu is bekend \') dat

^cos (.rsin.^) ^ 1 ^ nbsp; nbsp; . . . .

3!

^xcos^ sin {x sin (p) = —

1 \' 2! \' 3!
Substitueeren wij dit in 14) en 15) en integreeren, dan vinden wij

ho(a;) = ho(-a;) = l.....

en

»77nbsp;/quot;TTnbsp;I* w

— Ko(.r) = Ko(— x)— / sin (pd(p -^r-j— / sin 2(pd(p — / sin \'Swdw . . . .

^ ./nbsp;A\\ 71 Jnbsp;61 71 J

3 . 31quot; 5.5! quot;^7.7!

Dus

— 2

shx = K_i {x) K_i (- .r). (18)

quot;quot;31^ 5! quot;^7!

Door middel van de reeks 131 kunnen wij K,„(a-) bepalen, behalve wanneer m een
positief geheel getal is. Wij maken dan gebruik van de betrekking 6) maar willen eerst
het verband bepalen tusschen H„.(a:) en H,„(—a;) en tusschen K^a;) en K™(—a;).
Nu is

1 /\'quot; 1 f\'^
H\'«(— x)—~ e- -quot;«O\'\'!\' cos {mep a- sin 99) dq) = — / e\'^ os ^ cos (m7T — mip x sin xp) dy)

als wij (p = 71 — ip stellen.

Nu is dit als m een geheel getal is, gelijk aan

H^(—ip) = cos {m7i) ƒ V®quot;\' \'I\' cos [mip — x sin ip] dip = (- l)\'»H,;,(a;).
0

Dus

H„, (— a;) = (— 1)™ H™(a;) m geheel getal......(19)

X7l

1) Uit de ontwikkeling van exe^\'P.

. Zoo is

1 f^ 1 (quot;quot;
K,„ =nbsp;quot;^sin (mep a; sin (p)d(p = ~ j «^o»^ sin [nm-(mip~x sin ip)]dyj

\'o .nbsp;O

zoodat als 7n een geheel getal is

1nbsp;r

K,„( —x) = —^ cos {mn) / ^^ sin {mtp -xsiny))dip = {—

ó

Dus

K,„(—a;) = (— l)\'» inbsp;m geheel getal .

Wij hadden dit ook direct uit 10) en 11) kunnen aflezen.
Als 771 een geheel getal is, levert 6) ons deze betrekking

Dus voor

mevennbsp;= _nbsp;........(21)

en voor

771 oneven K^{x) = ^^ ^

mn 771

Nu kennen wij uit 17) Ko(^)gt; want daar vinden wij

3.31 quot;^5.51 TTTT

zoodat uit 22) volgt, dat

Uit 21) volgt

X\'

3:3! 5.5! 7.7!

ji

Zoo is volgens 18)

_2

K_] (a;) =-shx

xn

en volgens 22)

Vr / \\ 2shx 2chx

Z_2 (a;) =-5---