OTer Differentialen yan gebroken orde
en liaar gebruik Mj de
afleiding van bepaalde integralen.

• -.pi/; - ■ • ■

Over Differentialen van gebroken orde en haar gebruik
bii de afleiding van bepaalde integralen.

Dues. Ut^cMnbsp;/tat

!■ ■

Over Differentialen van gebroken orde en kar gelrnik
Mj de afleiding van liepaalde integralen.

PROEFSCHR

ter verkrijging van den graad van

DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUND

aan de Rijks-Universiteit te Utrecht

na machtiging van den rector-maqnificüs

D^. C. H. H. SPRONCK

Uooglecraar In de Faculteit der Gencoskundo

VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT

tegen de bedenkingen van de

faculteit der wis- en natuurkunde

te verdedigen

op Vrijdag 8 Juli 1904, des namiddags te 2 uren

door

JOHANNES GEORGE RUTGERS

geboren te \'s-HERTOGENBOSCH.

BIBLIOTHEEK DEK
RUKSUNIVERC. i CIT
----UTRECHT.

Typ. J. VAN BOEKHOVEN, Utrecht.

«rï

quot;•a:

■Té

ISS

^AN MIJNE PUDERS.

M

Aan alle Uoogleeraren in de Faculteit der IFw- en Natuurkunde, ivier onderwijs ik genoten
heb, breng ik bij hel einde van mijne studie aan de Universiteit mijn dank.

In H bijzonder geldt dit U, Hooggeleerde W. Kapteijn, Hooggeachte Promotor! Uwe voor-
treffelijke colleges zullen bij mij in dankbare herinnering blijven, en niet minder de belangstelling
en bereidwilligheid, die ik steeds van U ondervond.

Ook aan U, Hooggeleerde J. de Vries en Hooggeleerde W. H. Julius, voel ik mij voor Uw
onderricht ten zeerste vei-plicht.

Voor 7 deel, dal Gij, ZeerGeleerde S. L. van Oss, hebl bijgedragen lot mijne welenschappelijkc
vonning, betuig ik U mijne erkentelijkheid.

INLEIDING.

Dc ccrslc, die cenc iiiigcbi\'cide theorie gaf over difiercntialen van gebroken orde, was Liouyille
in 1832 (Journal de rEcole Poiylcchniquc l. XIII en XV, Crelle\'s .louriial Bd. XI cn XII).
Uitgaande van de definitie:

Dl cquot;quot; = cquot;quot; = YCquot;nbsp;= m^. equot;*\',

d x^nbsp;Jnbsp;\'

waarin | cn m geheel willekenrige grootheden zijn, ontwikkelt liij dc algemeene formule:

= .........(.1)

waarhij | lt; O cn f (x) = An Cquot;quot;«\', terwijl alle gt; O, zoodat f (x) = O voor x= oc; ingeval
I cn 7)i„ complex zijn, hebben «l|c voorwaarden betrekking op de rcëeie gedeelten. Zooals hij zelf
hierbij opmerklc, stelt deze formule ons in slaat vele bepaalde integralen af tc leiden; evenwel
heeft hij er nooit zoodanige toepassingen van gegeven. Dit is gedaan door mijn vader in zijne
di.lt;?scrtalie: «Over dinbrentialen van gebroken orde cn haar gebruik bij dc alleiding van bepaalde
integralen» (Leiden 1870). \'t Was hierdoor, dal mijn aandacht op dit onderwerp werd gove.stigd.

Om namelijk in (A) waarden voor het eerste lid le vinden, moet men de functie f{x) cei-st
ontwikkelen zoo mogelijk in reeksen van cxponentieelen, waarna de deniiilie rcchlslrccks kan
worden toegepast. Met behulp zijner definitie vond Liouyille echter ook de algemeene uitdrukking:

\' xquot; ~ nbsp;............^^^

waarbij m gt; O cn w -f $ gt; ^^ overigens m cn J vvillekeiuig zijn. \'t Is dus ook voldoende

om f(x) te ontwikkelen naar opklinnnende machten van —, len einde onder loepas.^ing van(l)

eveneens waarden voor het eci-ste lid van (A) tc vinden.

Sinds die theorie van Liouvili.e zijn vele verhandelingen over (liflerenlialen van gebroken orde
verschenen. Voordat ik deze echter leerde kennen, was \'t mij gelukt, uitgaande van eene andere
definitie dan die van liioiiviLLH, eene nieuwe Ibrnnile le vinden, die zich er oök toe leent vele
bepaalde inl(igralen af le leiden. Hoewel mij nu naderhand bleek, dat cenc soorlgclijko formule
direct als speciaal geval is tc verkrijgen uit reeds algemcener opgezelle beschonwingen over

1

differentialen van gebroken orde, meende ik toch tot \'t geven van de afleiding dier formule en
hare toepassingen over te kunnen gaan, omdat:

1». er nog een wezenlijk verschil optreedt tusschen de voorwaarden, waaronder die formules
zijn te bezigen, — en

zulke toepassingen van die formule, voor zoover mij bekend, nog niet zijn gegeven.
Voor het doel, dat ik mij voor oogen stelde, is \'t derhalve voldoende alleen die verhandelingen
hier te bespreken, welke daar \'t nauwste mede samenhangen. Dit is geschied in het «Historisch
overzicht», terwijl ik mijne eigen ontwikkelingen heb verdeeld over de twee daarop volgende
hoofdstukken. In het eerste daarvan is, behoudens enkele opmerkingen ten aanzien van het
gekozen uitgangspunt, de formule afgeleid, die een verband aangeeft tusschen die differentialen
van gebroken orde en de bepaalde integralen, en zijn met het oog op deze formule van een
beperkt aantal van functies de gewenschte differentialen van gebroken orde ontwikkeld; in het
tweede hoofdstuk zijn met behulp van meerbedoelde formule de waarden van verscheidene
bepaalde integralen afgeleid.

Historisch overzicht.

\'1. In de dissertatie van Dr. K. Rocnow over: «Der Differentialquolient zu beliebigem Index»
(Halle 1885) .vindt men een «Uebersicht neber die bisherige Entwickelnng dieser Theorie und
ansfnerhiiche Darstellung der reellen Diilerentiation zu beliebigem reellem Index.» In dal overzicht
ontbreekt er echter te veel aan kritische beschouwing dan dal men daarheen zou kunnen verwijzen.
Zonder meer worden er resultaten van verschillende schrijvers in medegedeeld, die onderling veel
overeenkomst verloonen, en dns oogenschijnlijk alle op juiste wijze zijn afgeleid; toch zijn er
enkele onbetrouwbaar te noemen, waarop wij de aandacht willen vesligen..

2.nbsp;Wanneer men het begrip «dilTerentialen van gebroken orde» bij definitie wil vastleggen,
zal men dit naluui-lijk zóó trachten le doen, dal daaruit voor geheele orde resnllaten verkregen
worden, die overeenstemmen met de gewone analyse, \'lis hierom reeds duidelijk, dal er
verschillende uilgangspunten mogelijk zijn.

3.nbsp;Zoo kan men uit eene verhandeling van Euler («Gommentarii Acail. Petrop. Y. 1730—\'3)),
die gedeeltelijk door Lioiivii.uc is ovci-genomen in Crelle\'s .lournal Bd. XI |). 1(1—19, de volgende
definitie van hem opstellen:

waarbij de r-functies in de plaats gesteld zijn voor hare bekende bepaalde integralen, zoodal
als voorwaarden hierbij moeien gelden: /t gt; — i cn /t — t ) _ ; | js dus nog niet geheel
willekeurig aan tc nemen. Ten deele is dan ook slechts waar, wal Liouvii.le dienaangaande
o|)merkl: «que scs raisonnemenis ont quelque chose de vague et incompicl».

h. Hierom stelde Liouvii.i.k zijne reeds genoemde dcfinilie op:

cquot;quot; = . ............(I)

waarbij $ nu wv.\\ willekeurig is. Maar op de algemeenheid, die Liodvm.lk er aan toekende,
mag ze evemnin aanspraak maken, daar eene willekeurige funclie nu cersl godillerentieerd kan
worden, wanneer ze te ontwikkelen is in rcek.sen van cxponentieelen.

Zijne definitie loepas.senlt;le op de beide leden der bekende vei^elijking:

1nbsp;I

.rquot; Tïiü) ia (quot;quot;\'quot;quot;quot;\'du, waarin m gt; O en .r gt; O,

vindt hij:

dus een eindige waarde, mits m | gt; 0. Dezelfde uitdrukking verkrijgt hij, wanneer a? lt; 0,
door dan namelijk uit te gaan van eene andere soortgelijke integraal, zoodat (1) in \'t algemeen
te gebruiken is voor m} O en m I gt; 0. Niet geoorloofd is \'t, wat Liouville doet en Bochow
blijkbaar goedkeurt, eene algemeenere beleekenis aan de P-functies in (2) toe te kennen,
namelijk die, welke voortvloeit uit de volgende definitie van Gauss:

Deze uitdrukking wordt slechts oneindig voor alle negatieve geheele waarden van c, met
inbegrip van nul, terwijl de F-functies, voorkomende in (2), oneindig worden voor alle negatieve
waarden harer argumenten, omdat ze daar de plaats vervullen van hare overeenkomstige bepaalde
integralen.

5. Bij het zoeken naar Dlsinmx en Dlcosm x begaat Liouville eene onnauwkeurigheid.
Hij vindt:

j*nbsp;vr Inbsp;fcnbsp;■nbsp;vr

D; sin mx = m^ sin m xnbsp;en Di cos m x = m^ cos Im?,a; -j- | . . (3)

en merkt nu op, dat verandering van m in — m geell:

Dl sin mx — — (— m)? sin ^ ^--a; , en Dl cos m x = (— m)^ cos

wat voor | niet geheel met de vooi^aande uitdrukkingen in strijd is. Niettemin accepteert
hij beide waarden en voegt er als verklaring aan toe, dat men (3) of (A) moet gebruiken, naar-
gelang sin m X en cos mx le beschouwen zijn als de limiet (» = 0) van equot;\' sin mx, equot;\' cos m x
of van e—^\'^sium x, e-quot;\' cos mx. In de dissertatie van mijn vader wordt slechts aan (.3) vast-
gehouden, maar geeischt m )gt; O (zie pag. 24—25). Met evenveel recht zou men evenwel kunnen
eischen mlt;0, zoodat de moeielijkheid daarmede niet is opgeheven.

Liouville gaat als volgt le werk:

ƒ)! sin m X = Dl -^quot;-pquot; =nbsp;lt;- quot;quot;gt;\',

en daar:

if = c\'^T en (— iy = c-\'^t ,

substitueert iiij:

(imy — m^ c\'^^ en (— i tny = m^ c-\'^t ,
waarna hij komt lol (3). Wanneer hij gesubstitueerd had:

(i my = (— my C-\' f T en (— i my = (— w)f cMt ,
zou hij lol (/p) gevoerd zijn. Tot zoodanige substituties heeft hij echter niel het recht. Evenals zijne
definitie dezelfde is voor een positieven of negatieven coëfficiënt van x, zoo zal ook voor Dl sin m x
eene uitdrukking gevonden moeten worden, die dezelfde blijft bij verandering van m in — m-,
bij hare afleiding zal men dus alleen zoodanige substituties mogen uitvoeren, die op zichzelf reeds

geene verandering ondergaan, wanneer men m door — m vervangt. Men handele dan ook als volgt:

üUinmx =nbsp;—_ L Li« ^ ï_ e - ^« \' f -

^ hnbsp;w I

1 (

cos (m X — Ig i ni) -}- i sin (jn x — i^lg i m) —

— cos (m Ig — i )n) i sin (iu xnbsp;i^ Ig — i m) | =

= -l- sin re — i i — Ig — i m) sin i (Ig i mnbsp;Ig ■— i m)
i \\ Ji ) z

-f- sin \\mx — i\'-^Qo ^ — h — ^ quot;O ^^^ ^ ih ^ ^^^ h — ^ quot;O =

mx — i {Ig i m — Ig — i m)

Hierin kan men nog nemen:

Ig lm — Ig — i m == Ig i -y Ig ni — Ig i — Ig — m = Ig m — Ig — m
Ig i m Ig — i m = Ig i Ig m Ig — i tg m = Ig m?,
waardoor men ten slotte vindt:

D; sin m x = («r)2 sin m x — i-,^ (Ig tn — Ig — 7n)
Op gelijke wijze leidt men af:

± fc
Dl cos m X = (?/?-) 3 cos m x — {Ig m — Ig — m)

6. De waarden, die men volgens (1) voor Dlf{x) vindt, zijn niet de meest algemeene.
Wanneer | = — a — negatief geheel, moet aan die bijzondere waarde volgens dc integraalrekening

a-l

worden toegevoegd: «p (x) = c,„ om tot dc algemeene le komen. Liouville hcell dan ook

M = O

bij de ontwikkeling zijner theorie twee hoofdstukken gewijd aan die coniplemenlaire functie «j. (.f),
ingeval | willekeurig is (Zie Journal de TKcole Poiylcchniquc t. XIII p. 9/i—100, en Crelle\'s
Journal Dd. XI, p. 1—10), waarin bij langs twee verschillende wegen lot denzelfden uilkomst
wordt gevoerd, dal namelijk de complementaire functie, ingeval ? niel geheel is, cenc geheele
algebraïsche functie is van een onbepaald, doch eindig aantal termen, — dus:

q, (x) = Co Cl X CiX^nbsp;C„,

We zullen aantoonen, dal dit resultaat, hoewel langs twee geheel van elkaar verschillende
wegen in volkomen overeenstemming met elkaar verkregen, tooli fout is.

Zijn eerste bewijs stennl op een voorafgegcven theorema, dat zegt, dat elke geheele algebraïsche
ftmclienbsp;ontwikkeld kan worden in eene reeks van exponcnlieelen ^(»„cquot;quot;«\', waarin alle

exponenlen oneindig klein zijn, — en omgekeerd. De volgende beschouwing overluigl ons
gemakkelijk van dc juistheid hiervan. Wc welen:

, dus xquot;quot; = lim

hetgeen na ontwikkeling volgens hel binomium van Newton in den teller gecll cenc reeks van

exponenlieelen met oneindig kleine exponenten, alleen wanneer. 711 positief geheel en eindig is.
Zoo m niet positief geiieel is, geldt bovendien die ontwikkeling niet meer bij de limiet h = 0.
Indien «i = O, kunnen we schrijven voor Co = Co lini équot;.

A = 0

Om nu le komen lot de complementaire functie (p{x) merkt Liouville op, dat men aan de
bijzondere waarde volgens (1) voor Dl f (x) kan toevoegen zoodanige functie qgt;{x), die verdwijnt
door toepassing van de tegenovergestelde bewerking, dus waarvoor geldt: DJ^cp{x)= = O,
of anders uitgedrukt: elke functie q, (x) = Dl yj (x), indien xp (x) = 0. Ten einde op xp{x) de
definitie toe te kunnen passen, moet ze bestaan uit een som van exponenlieelen, b. v.:

xp (x) = Hm (e\'quot;— e-^\') 0.

A = 0

Liouville gaal uit van:
i

neemt ^ — , en vindt dan:

1nbsp;1nbsp;___

D, xp {x) = Co hm h 2-^^-L = Co hm-^-^ = -!-^-1 Co - = {x).

Uitgaande van eene andere functie rp{x) = 0 vindt hij op soortgelijke wijze: q\'(x)=Co -f ci x, enz.
waarna hij ten slotte liet besluit trekt, dat qgt; (x) = vnbsp;zoo | niet geheel is.

OT = 0

Waarin Liouville\'s fout schuilt, wordt duidelijk, na hetgeen wc hebben opgemerkt bij liet
bepalen der waarden van Dlsinmx cn Dlcosmx volgens (1). Blijkens de opmerkingen, die
wij daarbij maakten, moet men ook nu als volgl handelen:

1nbsp;r

dJ V/ (x) = Co Urn hi\'quot;\'\'nbsp;= -g- lim L^^ _nbsp;j

h = 0nbsp;\'i II\'nbsp;-i A = 0 Inbsp;I \'

\'J

daar lim h — Ig — h) = O, — terwijl de bewerking van L. neerkomt op:

A = O ^

lim i- (Ig h — lg — h) = lim ^ (Ig h — Igh — lg— I) = _ 4- - I,

h = O ^nbsp;u

wat geenszins te rechtvaardigen is. Ilij verliest uit \'toog, dal bij de limiet/« cn — A gelijktijdig
nul worden; verschil in toeken beslaat dan niel meer. Met even weinig recht had hij kunnen nemen:

lim^ ik — \\^lg — h~lg — li) = -f -t Ig —

Zonder deze gekunstelde methode van L. venier le vervolgen cn hare onjuistheid aan tc loonen,
zullen we er ons liever dadelijk van overUiigcii, dal algemeen (.r) = 0, wanneer ? ^ 0.
De cisch was le voldoen aan: Dr^ qgt; (x) = O, dus moet al vast: lt;p (x) =nbsp;waardooi- de

voorwaarde wordt: ^ ii„ Cquot;\'quot; = 0. Dit brengt in de eerste plaats al met zich mee, dat de
exponenten w?„ oneindig klein moeien zijn.

Maar volgens hel op de vorige bladzijde genoemde theorema van Liouvii.lk moet dan .j. (.-b)

zijn eene geheele algebraïsche functie, dus q. (x) = 5nbsp;„„ „q,, ^vaarde van m

n = 0,1..

zal blijken af te hangen van Tol hel opsporen diernbsp;voorwaarde kunnen wij nu ook twee
wegen inslaan.

Ten eerste komen wc door de subslilutie:

ph X _ n — h.znbsp;mnbsp;m

x = lim -—ä-7- tol:a)(a;)=nbsp;(a,. -f

A = Onbsp;2 /inbsp;« = O, 1 ..nbsp;Ä = O » = O, 1 . .

waarin de coëlficienlen a in hunne noemers h bevallen, hoogstens tol de macht m, zoodat aan:

( )
Dr^ f (x) = Um ^ «» {n h)-^ rt_„ (— n h)-^ c-quot;*\' = O

A = O n = O, 1 ..

door geen enkele waarde van n voldaan wordt, zoo ? ^ O, en door alle waarden van « lt; — J,
zoo I lt; 0. Wc vinden dus niet alleen, dal (}gt;(«;) = O, wanneer 1^0, — maar levens, dal

m

q, (x) = ïnbsp;waarin m het eersle geheele getal voorstelt lt; — wanneer | lt; 0.

n = o, 1 . .

Tol dilzclldc resultaat worden wc gevoerd door gebruik le maken van (2). Dit toepassende op

m

q, (x) = V Cu af krijgen we als voorwaarde:

Kn daar dc r-funclics liierbij in de plaats staan voor hare overeenkomstige l)cpaalde integralen,
zal hieraan, voor alle waarden van a;, slechts voldaan kunnen worden, wanneer gelijktijdig
r {—n — I) eindig en r (—m) = oo, dus wanneer — J gt; « ^ 0. We zien hieruit voor
den dag treden, dal geen enkele waarde van n voldoet, zoonbsp;terwijl tc nemen is

« = 0,-1,2... enz., mits lt; — |, zoo ^ lt; 0.

Hel tweede bewijs, dal Liouville geeft van zijne complementaire functie, berust ook op dc
toepassing van (2), waarin hij echter, zooals we reeds opmerkten, ten onrechte aan de P-lunctics
eene algcmecnerc beleekenis hecll toegekend, die maakt, dat aan:

D:^ ^ {x) =nbsp;c»«;« = V ^^nbsp; t = O,

bij I niet geheel, voldaan wordt, door alle positieve geheele waarden van u, met inbegrip van
nul, daar dan r (— u) = oo en r (— n — eindig is. In die foutieve onderstelling vindt hij

m

weernbsp;^ CnJfy waarin m willekeurig is.

H = O, 1 ..

7. Kcne andere onnauwkeurigheid begaat L. bij het volgende. Hij neemt:

, I I—c\'V
= hm-j-= — hm -,-,

A = Onbsp;quot;nbsp;A = O \'t

naargelang m» grooter of kleiner is dan nul, in dc nitdinikking:

= ƒ); V A„equot;\'n\' = vnbsp;. ,„1

cn oniwikkcll volgens het binomium van Nkwton:

( I _ c-«..* )ï (/i gt; O cn m, gt; 0), cn (1 — t\'%»)? {h gt; O cn m, lt; 0).
i\\a substitutie vindt hij dan, ingeval:

1nbsp;\\ I,)

5 (-nbsp;I,)

/»,lt;0: fix) = {~yihn

* = Onbsp;h^

Deze uitdrukkingen stemmen, voor | geheel, volkomen met de gewone analyse overeen; de
oneindig- voorlloopende reeksen worden dan polynomia. Door deze overeenkomst zou men er
allicht toe geneigd zijn te onderstellen, dat Liouville\'s definitie toch weer wel algemeenheid
bezit. Men merke evenwel op, dat dc genoemde ontwikkehngen volgens het binomi.im van
Newton slechts gelden zoolang Agt;0; in de nilgevoerde ontwikkelingen mag men niet overgaan
tol de limiet == O, wanneer § niet geheel is, zoodal zulke algemeene formules dan ook werkelijk
niel af te leiden zijn uit de definitie (1) van Liouville.

8. Zal de aard der functie in \'t midden gelaten worden, dan moet men voor zijne definilie
ook zoodanig uitgangspunt kiezen.

Zoo Ireft men aan in Riemann\'s Gesammelte Werke (von II. Weüer und R. Dedekind, 1807)
een «Versuch einer allgemeinen AuiTassung der Integration und IJiflcrenllation)) (p. SS\\—MA),
dal dagteekenl van Januari 1847. Zelf heeft Riemann die verhandeling- nooit gepubliceerd, omdat
hij zich later blijkbaar niet meer mei de daarin uilgesproken meeningen heeft kunnen vereenigen.
Toch worden zijne resultaten wel eens door anderen aangehaald, alsof ze volkomen juist en op
volkomen juiste wijze zijn afgeleid, om welke reden wij hel niet overbodig achten hier aan te
toonen, waar Riemann in zijne afleiding dwaalt.

Hij vestigt er den aandacht op, dal in de ontwikkeling van Taylor:

nbsp;.........(G)

de diirerentiaalquolienten optreden als coGmdenten van behoudens een factor— Naar

pl

analogie hiervan laat hij nu de diflerenlialen van gebroken orde: D^-^^fix), waarin p geheel
en « een echte breuk is, als coëfficiënten van - optreden in de algemeene onlwikkeling:

f{x-]- h) = ^ . V(^) . h^^-........(7)

waarin de factoren , zoodanige waarden moeten hebben, dal ze voor « = O overeenslemmcn
met die, welke voorkomen in onlwikkeling (G). Voordal Riemann tot dc bepaling dier factoren
oveirgaal, deelt hij \'l een en ander mede over omwikkelingen van vorm (7) cn protesteert daarbij
zeer «gegen das Verdammungsurtheil, welches man den divei^^irenden Reiiicn gesprochen hal»,
en wel op grond van het volgende resultaal, dat hij vindt:

— p — i).....

waarin /) geheel, « gebroken en f^ niel negatief geheel is. Onder veelvuldige locpassing van (8)

vindt hij len slotte: ^-V-f« = ^^ ^^, en komt h,j lot resultaten, die door hunne

overeenkomst met die van anderen oogenschijnlijk betrouw])aar zijn. De afleiding van formule (8)
mag men evenwel niel voor jnisl verklaren. Riemann komt daar loc door zich hel volgcn.lc
probleem le stellen: ^ le ontwikkelen h, eene dnbbcloneindige reeks naar opklinnncn.le machten
van x~b, wier cxponcnlen niel geheel zijn en telkens 1 verschillen. Hij tracht «lus in:

p = — agt;

de constanten k en « nog nader te bepalen.

Aan dezen opzei van hel vraagsluk is de onmogelijkheid al vooraf in le zien. Na eenige juiste
herleidingen vindt hij echter:

J Onbsp;1 {fi-jr l)

en merkt hij hierbij nog uitdrukkelijk op, dal dit slechts geldt zoolang gt;;)-!-«gt; — \'1.
Toch voegt hij er onmiddellijk aan toe: «es lässt sich aber auf alle Werthc von fi und «

ausdehnen, wenn man das r einer negativen Zahl als durch das Gesetz: F (») = ^ r (m1)

aus den positiven abgeleitet delinirt» (de veranderde notatic is ook hierin dooi^evoerd), zoodat
hij zonder eenige voorwaarde vindt:

— lU^-P-cc __^ O_

quot; \' quot;nbsp;• r (/gt; « 1) r (^t -;,-« 1)\'

waarna hij komt tol (8). Aan deze uitdrukking moet evenwel verbonden blijven de voorwaarde
,«gt;;) «gt; — 1, omdat de F-functies in de plaats slaan van hare overeenkomslige bepaalde
integralen cn alzoo aan dal lecken geene algemeenere beleekenis mag worden toegekend; zoodra
hare ai^umentcn nul of negatief zijn, vertegenwoordigen ze oneindig groote waarden.
9. Van de resultaten van Riemann\'s onderzoekingen willen we nog noemen:

= T^jl - V (O «Pï.......(0)

O»

waarin: -jf = Aquot;» . \\- , ? lt; O en /quot;(/) continu is tusschen de grenzen k cn x.

H = 1 ^ V ^ ~r U

=nbsp; n........(iO)

ZOO n niet negalief geheel is; (10) leidt hij af uit (9) door Ic nemen A-= O cn —
men ziet dan echter dadelijk in, dat moei optreden de voorwaarde ,(t gt;— 1.

Moe weinig waarde we blijkens \'t voorgaande aan (9) ook kunnen toekennen, willen wc loch
bij dal resultaat nog eenige oogcnblikkcn slilslaan.

Aan de grens h is een groote willekeur verbonden. Men neme slechts k zóó, dat eene bepaalde
functie /\'(O tusschen de grenzen k en x continu blijll. Voor k zal men dus altijd verschillende
waarden kunnen kiezen, b. v. Ai cn A\'s. Als verschil der beide bepaalde integralen, die men
hierdoor in (0) verkrijgt, vindl men dan:

.........(11)

terwijl /■(/) continu zal zijn tusschen de grenzen Ai cn Ao. Neemt men nu in (8):

fi = — $ — 1, « = O, b = x en x — b = — (,
en vervangt men p door n, dan komt men tot:

• —«) 1) (1-)

iielgcen 1{ikm.\\nn subslilucerl in (II), waardoor dit wordt van de gedaante ./j en waarmee hij
«lan lieell aangetoond, dal men in (9) voor k alle mogelijke waarden kan kiezen, mils /quot;(/)
slechts continu is tusschen A eu x. Die substitutie van Uikmann nu, vooi^esleld door (12),

komt overeen met eene ontwikkeling- volgens het binomium van Newton, en is daarom in den
aangegeven vorm slechts geldig, wanneer t ( x. lilijkens (I I) varieert t van In lot /.-j, welke
grenzen afhangen van de conlinuiteil der functie / (/), — en terwijl x variabel is, kan men dus
onmogelijk aannemen x grooter of kleiner dan t. Ingeval 1} x zou men in (-l i) moeten
subslilueeren:

waardoor (II) geenszins meer is van de gedaante

Men ziet liier derhalve uit, hoe weinig betrouwbaar ook Riemann\'s resultaten zijn. Neemt
men ten slotte in (9): h = x, dan vindt men de vreemde uitdrukking: Dl f (x) =91, welke
ook niet kan bijdragen tot verhooging van het inzicht in de differentialen van gebroken orde,
zooals Riemann die gedefinieerd wilde zien.

\'10, L, SoiiNKE komt in zijne verhandeling «Ueber den Zusammenhang hypergeomelrische
Heihen mit höheren Diflerentialquolienlen und vielfaclien Integrale» (Progr, des Friedricli-Collegiums
zu Königsberg i, Pr, 1867) tot de twee definities:

waarin | en /t willekeurig zijn, dus aan de T-funclies de meest algemeene beleekenis is toegekend.
Op algemeene geldigheid kunnen deze definities, evenmin als die van Liouville, aanspraak

geheel, en volgens de tweede bij ^nbsp;■

/t — I pos.nbsp;/t — I — I pos.

waarden verkrijgt, die onafhankelijk zijn van ^ en x.

De laatste uitdrukking komt overeen met een resultaat van Liouville (mits /tlt;0); de eerste,

die daar als \'l ware t(^enover staat, was ook juist mijn uitgangspunt, waartoe ik gevoerd werd,

toen mij bleek, dat uil de definitie van Liouville geene algemeene uitdrukking was af te leiden

voor dIxi\', wanneer /t gt; 0. Süiinke heeft echter met behulp dier definities geen formules

afgeleid, die tol \'t vinden van bepaalde integralen zouden kunnen (iienen.

I I. Een belangrijken slap deed Grünwalü dooi- het invoeren van grenzen bij de dilïerentialen

van gebroken orde, waardoor eene algemeene theorie mogelijk gemaakt wordt, («lieber begrenzte

Dcrivalionen und deren Anwendung», Zeitschrift für .Mathematik und Physik. Leipzig, IUI. XII, I8G7).

De aard der functie onaangetast latende, onderzoekl hij de uitdrukking:

........ ■ •

waarin x, h en | willekeurig zijn. Voor | geheel steil (l/t) de gewone dincrentiaalquoticntcn
voor. Bij I niel geheel laat Gin\'inwaln de reeks in \'l oneindige doorloopen (»? = cc), waardoor
(x — mh) eene bepaalde waarde u verki-ijgt, die in \'t algemeen eindig is. Hij toont nu aan,
dat bijnbsp;de uitdrukking (Li) eene bepaalde eindige functie is van x, u en f,

indien x — 11 eindig is en f {x) in \'t geheele rechtlijnige gebied van x=\\i lol x = x eindig en

continu verloopt. Na eenige eigenscliappen van (14.) te hebben bewezen, konil hij er toe onder
de genoemde voorwaarden uitdrukking (14) te noemen: Dl f
Ten slotte vindl hij het volgende resultaat:

üifix)-: = ^ /f - f (O ^it......(15)

waarbij als voorwaarden optreden: rccci gedeelte van —1, x — ii eindig en /quot;(/) eindig
en continu tusschen u en x,

12.nbsp;Verder in hunne beschouwingen gaan nog Most (Zeitschrift für Mathematik und Physik.
XVI, 1871), Schimpf (Progr. des Gynin. zu Bochum, 1885) cn von Sciiüwen (Progr. des Gynm.
zu Strasburg, Westpr., Ostern 1881 und 82). Zij kiezen zoodanige uilgangspnntcn, dat de
integralen, die men voor Dl f = l in dc plaats kan stellen eene grootere geldigheid verkrijgen,
en dus ook dooi^an voor 5 gt; — 1; men moet ze dan evenwel niet langs eene rechte lijn
uitstrekken, maar langs eene kromme, die een punt x insluit.

\'t Is ons echter niet tc doen om ccnc zoo algemeen mogelijke theorie over differentialen van
gebroken orde, waarom wc van eene bespreking dier verhandelingen kunnen afzien. Alleen
willen wij nog wijzen op hel resultaat van Bochow:

......(10)

waarbij nu als voorwaarden gelden: | (reëel) lt;0 cn f Q) eindig cn continu tusschen dc grenzen
u en X. Ten aanzien van de rcëelc waarden van | is deze uitdrukking dus algcmeencr dan die
van Grün wa ld.

13.nbsp;We gaan thans over lol het geven van onze eigen bcschouwingcn over dilTcrcnlialcn van
gebroken orde, waarhij van den aanvang af meer \'loog gericht was op haar gebruik hij dc
allciding van bepaalde integralen. In den loop daarvan zullen wij gelegenheid vinden de bestaande
verschilpunten mei de formules van GiuInwald cn Bochow uiteen tc zetten.

HOOFDSTUK L

1.nbsp;Zooals we reeds opmerkten, nemen we als uitgangspunt aan dc volgende definilie voor
differentialen van gebroken orde:

waarin | geheel willekeurig is cn aan dc r-lunclies de belcekenis zij toegekend, die voortvloeit
uil de volgende difinilie van Gauss:

r (t) = hm -7;j—i-r--. \\ . U\'.

Deze uitdrukking wordt slechts oneindig voor alle negatieve geheele waarden van het argument : ,
mei inbegrip van nul,

2.nbsp;Op de volgende wijze overtuigl men er zich gemakkelijk van, dal met dc vooropgestelde
definitie voor | positier cn negatief geheel uitkomsten verkregen worden, die ook dc gewone
differentiaal- cn integraalrekening opleveren.

Onderstellen we hel geval: » ^ O, dan zal bij ? = « = positief geheel:

en bij I = — a = negatief geheel:

U^ X -jxnbsp; nbsp; nbsp;quot;(» !)(»-{-2)...(»-fa)\'

Ingeval lt; O kunnen wc nemen n — — m (m gt; 0), en zal dan bij $ positief of negatief geheel:

-r(~m —— ^sin(—m-{-\\)7t \' F {m)

onder locpassing der eigenschap: r (:) r (I — z) =nbsp;, welke geldt voor alle waarden van :.

En daar voor ? gciiccl: sin (— m — | 1) 71 = (— 1)? sin (— m I) jr,

voor I geheel: Dl x-= (— I )f

iS

Wanneer dus | = a = positief geheel, vinden we:
Dlar-\'quot; = (— 1 ynbsp;x-«\'-quot; = (— \'\\y m (m 1) . . . (w — a 1) -«,

en wanneer J = — a = negatief geheel, komt er:

n-« ^-m _ quot;f ,1 ^a _ /_ ^ (gt;quot;nbsp;„ „ _( ly.l? quot;\' quot;___

JJ, X — jx axnbsp;V ^ ^^^^^nbsp;_ ^^^^ _ ^^^^ _ 02) _ , _

Indien w geheel is, krijgen we, zoo a ^ ?h, in dit laatste geval eene afwijking, want de integraal-
rekening leert ons, dat dan:

afnbsp;(_ ^V —1nbsp;fl —m 1/-nbsp;(_ —1nbsp;a — mr

3.nbsp;We hadden reeds gelegenheid le constateeren, dal deze definitie niet algemeen geldt,
omdat ze ons, zoo ? niel geheel is, in den steek laat, wanneer n of » — | negatief geheel is.
Bovendien kunnen we volgens de aangenomen definitie alleen die functies naar x diiïerentieercn,
welke bestaan uil een som van een zeker aantal machten van x, of in een zoodanige som of
convergente oneindig voortloopende reeks zijn te ontwikkelen. Zoodra hierbij negatieve geheele
machten van x optreden, worden alle dilTercnlialen blijkens de definitie oneindig groot, zoodat
we genoodzaakt zijn zulke functies al direct van behandeling uit te sluiten.

4.nbsp;Zij f(x) = ^a„x\'\' eene functie, die aan de gestelde voorwaarden voldoet, dan is dus:

=nbsp;.........(O

Dit is echlcr niel de eenige waarde, die men daarvoor kan vinden. Wanneer ^ = — a =

negatief geheel, leert de integi-aalrckening ons reeds, dat men aan de waarde in (I) nog moet

« — 1

toevoegen de complementaire functie 9 {x) = ^ c„ om tot de algemeene waai\'de van

m = 0

DTquot; f (x) = quot;1 f (x) dxquot; te komen; men voegt dus aan de bijzondere waarde volgens (I) toe

cenc funclienbsp;die door «-malige dillerenliatie verdwijnt.

WMl men derhalve bij willekeurige $ de algemeene waarde van Dl f (x) vinden, dan zal men
aan het tweede lid van (I) moeten toevoegen de mcesl algemeene tnldrukking van i]gt;(x), die
voldoet aan den eisch: DJ^ (jgt; (x) = 0. Dit sluit onmiddellijk in zich, dat die complementaire
functie moet beslaan uil eene reeks van machten van x; we worden dus gevoerd tot de vraag,
voor welke waarden van m voldaan wordt aan dc betrekking:

de functie «p (x) zal dan bestaan uit cenc reeks van die machten m van x met willekeurige
constanle coëfficiënten.

Wanneer | geheel is, zullen de resultaten weer overeenstennnen met de gewone analyse. Zoo
zal bij I = = positief geheel door geen enkele waarde van m voldaan kunnen worden aan
de voorwaarde:

^m a

r(m i) ____

r(m a i) ~ (m 1) (m 2) . . • (m «)

voor alle waarden van x. Hierbij is dus, zooals gewenscht wordt, g- (x) = 0.
Is I = — a= negatief geheel, dan moet voldaan worden aan:

f , = m (m - 1) . . . (m - a 1) = O
r (m — a -f 1)

voor alle waarden van x, wat plaats heeft, wanneer m = O, i, . . . a — i. De comple-

a —1

menlaire functie is bij a-malige integratie ook werkelijk: qgt; (x) = 1

m — O

Bij I niet geheel zal nu: ^^^^^^nbsp; ^ = 0 voor alle waarden van wanneer

p ^ I i) = ^, dus wanneer m = — ^ — waarbij « = 1,2... enz. In dit algemeene
val krijgen we derhalve voor de complc
Als resultaat hebben we dus gevonden:

O

-i-i

,„ = 0nbsp;, zoo I

m = 0

hetgeen we als volgl kunnen samenvallen:

5. Om tot de formule le komen, die een verband aangeeft tusschen bepaalde integralen en

onze onbepaalde integralen van gebroken orde, gaan we uit van de bekende vergelijking van Eulku:
ƒ;, _. = ƒ; «- -)■..=

welke geldt voor willekeurige | en u, wier rei-ele gedeelten rcspeclievelijk lt; O en gt; — 1 zijn.
Door vermenigvuldiging van de leden dezer vergelijking meinbsp;krijgen we bij sommatie

over n:

J Onbsp;\'\' ^

en wanneer nu: ^a„x\'\' = f(x), herleidt dit zich blijkens (I) lol:

^Ye hebben hierbij in \'loog le houden, dal /quot;(a;) = fl,wnarbij alle » gt; — \' - K
en voor 1)1 f (a;) genomen moet worden de bijzondere waarde uit (1).

C. Sukslilueeren we in de eerste integraal van (yl) als nieuwe veranderlijke: l = xz, dan

krijgen we:

f = r......(IH)

welk resultaat we nu gemakkelijk kunnen vergelijken met de formule van Ghünwald en llociiow,

d5

waarin wc stellen: k = O; deze wordt dan:

Dlfixy-o = r^J^- fiOdt.

waarbij volgens de alleiding van Grünwald als voorwaarde geldt: reëel gedeelte van | ^ — 1, en
volgens die van Docnow: | reëel lt;0, terwijl bij beiden geeisclil wordt, dal /quot;(/) eindig cn continu is
tusschen dc grenzen O en a;, zoodal zij mogen subslitueeren: f (x) = ^ a„xquot;, mits alle n ^ 0.
Onder deze voorwaarden is dan ook onze Dl f (x) = D; f (xY^Zo, hetgeen gemakkelijk is in te
zien; maar \'t is juist te danken aan \'t invoeren van onbegrensde (onbepaalde) difiercntialen van
gebroken orde, dat onze formule (III) iets uitgebreider is dan die van Guünwald cn Bocnow;
wij mogen daarin namelijk subslitueeren: f (x) = a„ xquot;, waarbij alle » gt; — 1, terwijl \'t rcëele
gedeelte van | kleiner moet zijn dan nul. Die uitbreiding is niet van belang ontbloot bij de
toepassingen, die wij er van zullen maken, namelijk het opsporen van bepaalde integralen.

Grünwald en Bocnow hebben niet opgemerkt, dal hunne formule gebruikt kan worden voor
\'l afleiden van bepaalde integralen. Bij de enkele toepassingen, die zij ervan geven, bepalen zij
zich lol hel vinden van diflcrentialcn van gebroken orde van zoodanige functies, die, gesubslilueeril
in de bepaalde integraal, toelaten deze op eenvoudige wijze uit te drukken, üal \'l mogelijk is
van geheele reeksen van functies voor Dlf{x) waarden tc vinden, onafhankelijk van die bepaalde
integraal, hebben zij niet ingezien; zij hadden zich daartoe slechts tc bepalen lol f (x) = ^ a„ xquot;,
(mitsnbsp;na gevonden tc hebben met behulp hunner fornuile eene uitdrukking voor

Dlx^ii^O).

We zien evenwel, dal dc toepassingen, die van onze formule gemaakt kimnen worden, veel
talrijker zijn, daar wij mogen subslitueeren: f {x) = lanX\\ waarbij gt; — quot;1, quot;i- w. zoodamgc
functies, waarvoor geldt lim {x f (x)} = 0. Onder de locpassingen, die wij zullen geven,

x = 0

geldt bij vele functies bovendien: Urn f{x) — co, van welke GnüNWALn cn Bocnow zich niel

1 = 0

mogen bedienen.

7. Eene algcmccncrc uitdrukking dan {A) krijgen wc door daarin tc subslitueeren: z —
cn vervangen wc ? door — p, dan komt cr, zoo gt; ^ ^

£ yr - 1 _ yry - 1 f ,/r) ^ y = y,gt;r -I f (.j _ yr)] y = ^^^^ \'J fnbsp;.

Ten overvloede moge hierbij nog gcwozcn worden op dc voorwaarden:
gt; O cn liw {x f{x)} = O, terwijl Tf{x) dxv == f(x) bepaald moet worden volgens (I).
Kcne eenvoudige toepassing vindl men al dadelijk in de substitutie: / (.f) == (7 gt; (O,
waardoor men krijgt,nbsp;x^-\' (I a:\'\' ==nbsp;:

dus voor V = 1 lt;le bekende integraal van Kulkh.

iS. Op deze wijze kan men vclc bepaalde? inlcgi-alcn allcidcn; men bchocfl slechts uil Ic gaan
van lunclies, die ontwikkeld kunnen worden naar hot theorema van Maclahuin, cn tc subslitueeren:

\'f f (.)nbsp;é = S ^nbsp;, ^ .... (gt;V)

waarbij gt; O en « gt; — 1.

In bet algemeen zal bij willekeurige p het tweede lid van (IV) niet te sommeeren zijn, en
verkrijgt men dus eene eindige uitdrukking daarvoor, wanneer die oneindig voprtloopende reeks
convei^eert, wat meestal alleen het geval is voor

Waar het noodig is, zullen wij ons echter bepalen tot die bijzondere waarden van ji, die
toelaten het tweede lid van (IV) wel te sommeeren; we hebben dan levens hel voordeel gekregen,
dal de voorwaarde lt; i, waaronder (IV) zou gelden, vervalt, hetgeen door de volgende over-
wegingen duidelijk is le maken.

Veronderstellen we, dal eene bepaalde functie f (x) ontwikkeld kan worden naar Maclaurin,
zoodal: f Qv) = 1 a„ a^ (n gt; — i), onder de voorwaarde voor convergentie: x{\\, dan zal de
reeks in \'l tweede lid van:

\'ffCx) dxP - V -nbsp;. i

ook convergeeren voor x (i, zoo p gt; 0. We nemen nu aan, dat die reeks le sommeeren is
en le schrijven in den eindigen vorm F{x), dan geldt reeds voor alle waarden van xi\\\\

\'Jf{x) dxf = F(x).

Maar nu in deze betrekking in \'l geheel geen oneindige reeksen meer optreden, en we dus in die
reeksontwikkelingen slechts het hulpmiddel hebben le zien, waarmede we van f{x) komen op F{x), zal:

\'\'jf{x)dxP = F{x),a\\s identiteit voor de oneindig vele waarden van x^i, nu ook gelden voor

alle waarden van x. Wanl is p positief geheel, dan wordt met behulp van de integraalrekening,
zonder gebruik te maken van reeksontwikkelingen, hetzelfde resultaal verkregen als mol onze
definilie, zooals we in den aanvang van dit hoofdstuk hebben laten zien; en hoewel de
gebruikte reeksen slechts mogen convei-gceren voor x(i , zal in dal geval die betrekking loch
gelden voor alle waarden van oe, — maar dan ook bij geheel willekeurige waarden van gt; O,
omdat die krachlens onze definitie op ééne lijn slaan met dc positieve geheele.
Nemen wc als voorbeeld:

f W -nbsp;- Vnbsp;^ ~ V r {p 1) r {n -i- i)\' \'

dan krijgen wc onder toepassing van (IV):

\'jf«quot; -=y =rö^) f -=zTO • =•

welk resultaat nu, zoo p positief geheel is, ook verkregen wordt met behulp van dc gewone
analyse, zonder gebruik le maken van die recksonlwikkclingcn, en dan geldt voor alle waarden
van x; om genoemde reden zal dit dan ook \'l geval zijn bij willekeurige gt; 0.

9. Gaan wc thans over lol hel vinden van diircrenlialcn van gebroken orde van verschillende
functies van x, dan bepalen wc ons slechts, met \'toog op formule (U), waarmede we in hel

volgende hoofdstuk vele bepaalde integralen zullen afleiden, tot die functies, welke daarin te
substitueeren zijn, dus waarvoor geldt: tim {xf{x)} = 0, terwijl we in Dl f (x) slechts nemen

x = 0

1 = — p en pyO, en wel die bijzondere waarden van p, waarvoor het tweede lid van (IV)
is le sommeeren.

00nbsp;frquot; i — 2

f{x) = X^-\'- Ig (1 q: a^) = _ V (± 1)-.nbsp;(q gt; 0),

1nbsp;\'f

en wanneer nu:

1». p = a i , q = b \'2, vindt men, in de onderstelling, dal | = O, 1, 2 . . . enz.

^ ƒ x^ Ig ( Inbsp; ^ =

r(»-|-/; 1) * ^
r(«-f a-{-/;-|-2) n
r(/;4-l) * ^

n

wnbsp;„n 4- « » 4-1

NV IV.__±___.

r((i-f-/gt;-|-2) • n ^„Xom\\{a — my.{h-\\-m-j-i)\'n-\\-b-{-m\\
Hiervoor is het volgende te .schrijven:

2°. = lt;r -f 1, (f = hnbsp;Dit geeft ile volgende herleiding:

1

V (±, )H .... ........

J \\

quot;! (quot; — quot;\')! (/\' -!-— i) » -I- — J,

, , 1 \' ®nbsp;r*nbsp;quot;nbsp;(_IVquot; )•« — »•nbsp;uD

\' 3 V (4-))»:!_ 1 V ------_v—i^. ji___V /a-

\'\'-f/\'-f-y

2oodal wij hierdoor krijgen:

yx-^ l(j (4 — i =

O 2 n 4

ff 1 /• , 3

^nbsp;ril

„hni\\{a-m)! (2 2 m - 4 ) (

1.3nbsp;J_nbsp;00nbsp;2

Tj(\'1 re) = - ^ (± 4)»

dus:

q r —

\\_rnbsp;1nbsp;2 (__

s/a; 3 /lt;7 (4 a;) t/a;2 =-—^l/l a; —4

1

1 r 1nbsp;Xnbsp;00nbsp;^nbsp;9 ]

T/T CUnbsp;= _ ^ (± 1).nbsp;. _ = -

dus:

= 9 = 1. dan:

Irnbsp;^

2/ a;-^ 1(1 (4 — a;) Ja; 3 =

_ ^ r (n)nbsp;___\'

\' rnbsp;^ « Tnbsp;\' 12 . T

if l(j (4 — x) d xi\' =---^ (arcsin {/x)-.....(XI)

, , , 4 , 4 j/a; quot;a^ ï-i
A = — ^ - \'f/-= ^ iizn-A

fi {x) = lt;/rc/y = v (_ i).

dan kunnen we deze samenvallen onder:
waardoor we krijgen onder loepassing van (IV):

T ƒ d xquot; - 1V\'nbsp; x\'^ P^quot;-

We bepalen ons nu tot de bijzondere gevallen:
i». p = a , q = b , dan komt er:

= l(±iy\'

r

= :L(±\\y

2

dns:

(XII)

■ - - - - - _r(b)

I X^-^ ardtj X/x ^ ^^^ x« * (irc/f; j/a;

anbsp;fM — mnbsp;(nbsp;i w—inbsp;\'»\'quot;■^Si r

2quot;. = (t -j- 1, 7 = 6 -f 1, geeft:

a 1/•

I f(x) ^ =

.^H n » 1

Yn -hl «=0!(rt — w)!(2 2)» I) /j 4- -f 1

• Y \\ \\/X , ...

— .r)-!- gt; —

r

/ d? 2 ftrc/^/ j/ X . dx\' ^ =

xf-

1

1nbsp;3

3quot;. p =nbsp;q = dm:

^ rf« —fl —4quot;)

../i

— a

2

2 (± 1)quot;nbsp;- ^ •!)quot; -pTI

l

2 J

»/I

«

(\'1 ^ —i)»- ^

2r

i 1
/pO. j) = , (jf = Men krijgt dan:

I »/I

r

Xquot;

r (« •!) 2;i l~-nbsp;1-/1\'2/i r

dus:

fZTjTï • =

•m

ifx-^ arclg x . dx^ =nbsp;iV^ ]/\'• • • • • (X\'X)

12. Zij f {x) = Ifj (1 iXa:), dan krijgen we, daar:

1 — l/ïquot;

Jx\'-i Ig (1 l/x) dx\' = -t 7nbsp;quot;quot; ^^ 4quot; 7r^Tpl

Indien nu:

r. p = a-\\-\\, 7 = 6 1, komt er volgens (VII) en (XIV), zoo men in (VII) b door 1 vervangt:

\'\'^Jx\'-ilg (1 yx) . \' =

4- 2 V _

,„ = 0 ?»1(« —»0K2 ^2 m
00 „ _ ^ \'1

P = 1 = Y\' volgens (XI) en (XVIII):

\'^Ix-Ug (I ]/^x) .dx\'^= ^/J uresin l/quot;«--

Jnbsp;\\/xnbsp;^ ^

X

13. Zij f(x) = .c\' 3 Ig (1 — ]/x), dan krijgen we, daar:

Ig (1 - \\/^x) = Ig (1 ~x) — Ig (1 -}- \\/^x):

\'J-e\'-i Ig (1 — dxr = \'\'j x^\'i Ig (1 - x) dxquot; - \'j x\'-\'f Ig (\\ dx^.
Is nu weer:

1p = q = b-]- \\, dan komt er volgens (VII) en (X.\\), zoo men in (VII) b door h -f- I vervangt-

quot;^y.r Ig (1 — \\/^x) ^ =

2 V

2quot;. = , ^ 2 \' volgens (XI) en (XXI):

1

-I\'nbsp;\'nbsp;l jnbsp;A-nbsp;I

8j Ig (1 —\\/x). dxquot;\' =--arcsin \\/ x----- ^ (arcsin l/\'x)^ (XXIII)

I «/I

1A. Zij: f{x) = 2 a;» Ig (1 1/\'1 .r) = 2 x\' Ig
dan:

2 1 , ® rquot;

m = 0

ni\\{a-\\-b — m)\\

^(a f\' l

fl é ^_1)quot;

\' (7 (i — -ï--) ^ ^ „ /«!(rt /;-m)!(2m l)

_ (arcsin jXa;)quot; _ 4quot;/^

7 3 »/i « 4 \'

r

J xy^x ~ m ^nbsp;• r (n i) • » 4

^iv^:^__rfilv^

2jV2» 4 l2jr n \'

4

^ Ig

\\/xnbsp;4 —]/x • X

arcsin \\/x_ 4quot;/^ » »-t

- - ^ 2

46. Zij: fi{x) = x\'-\'

]/ï x

dan kunnen wc deze samenvatten, en krijgen we:

f3

.2\'J

n 4-Y a »-l

r

anbsp;y 2 a i —1 /_ IVn 1/r* — \'quot;\'

2/J 4 „Lnbsp;4—m)!(2m-|-quot;l)« i

dus:

h — m--

»1 (^ti

,„ = 0 ml (a-\\-(, — i—m)l (2 w H- 1)

(t)

Jnbsp;l2jnbsp;dx\'

4 — m —
Xnbsp;3

« = 0 W ! {lt;1 h — l — m)l (2 w -f 1)

A^ —1nbsp;00

\'17. Zij:nbsp;f{x) =nbsp;= 1 (±nbsp;gt; 0),

dan:

We onderscheiden hierbij de volgende gevallen:
r — p — q is positief geheel (of nul), negatief geheel cn niel geheel.

In het eerste geval llt;an p elk willekeurig getal vooi-stcllen, terwijl we in dc andere gevallen
lot bijzondere waarden van p, q cn r moeten overgaan, wil men het tweede lid van bovenstaande
betrekking kunnen sommecren. Zij:

i O. r = p q li, dan krijgt men:

p,

2°. = -I- 1 , 7 = -I- 1, r = c 4- 1 , t(M-wijl c^a-}- Ir.

quot;\'^\'f ^nbsp; nbsp;r(n-i-b-hl) ^

r(c nbsp;^ »0\' i)... (n nbsp;=

1 1

3». = , 7 == \'\' -H IJ-\' = \'\' \'ci-wijl c ^ A — I, da,,;

1nbsp;Oö

1

2

r(« i)

1 «/I

T

r (c 4) dof
1

r

d\' i

\\ j

40. = rt -f- _, ^ = t -1 ^ = c 5 lei\'wijl c^a ^b, dan:

rju b-^i)nbsp; A _

r j^c 4- -Ij r (n 1) r a 4)

hl]

Onbsp;00

iynbsp;quot; ^^ ^ V _:_ V (\' 1V\'-\'» __

dus:

.(XXXII)

(XXXIII)

Wanneer r — — 7 niet geheel is, kunnen we nog de volgende gevallen onderscheiden:

5quot;. ;gt; = « !, ^y = 6 4- r =nbsp;dan: .

n M- ir

^ --(-tl)

— i 4- c

(quot; t) (quot; 4) • • • lquot; quot; T.

(J x)

i ... . .

0°. p = q = h ï, r = c \\ , dan:

arcxinh\'^xnbsp;„ , i

-L /\'

3 / .T\'

-nbsp;- .(XXXVII)

\'18. Indien we bescliouwen de Bes.selsclie Innclie:

waarin x willekeurig is, en nemen:

f (x) = .tTnbsp;= V -nbsp;__

volgl als voorwaanie, waaraan wij de Cunclie willen lalen voldoen: \'l reëele gedeelle van
— I, olquot;: r negalief gelieel. Zij:

Ili (,\') gt; — I, «lan :

= — « = negalief gelieel, dan:

;_.(!/,.0./..\' , = ?nbsp;(-J)-

Jnbsp;r 2\'quot;-/• OH-1)/•(quot;-« (, 2)

=nbsp;■ (XXX,X)

Ilt;). Zoo kunnen we mei hohulp van de liypergeomelrisol.e reeks ook eenige belangrijke
bel rekkingen alleiden.

We kutmen deze .schrijven in den volgenden vorm:

Nemen we nu:

dan volgt:
dan wordl:

j ^^^^ ■nbsp; nbsp;-r{8y ycc),{uyo) . (xli)

20. Deze voorbeelden ter bepaling van integralen van gebroken orde volgens onze voorop-
gestelde definitie, willen we niet met andere vermeerderen. Op gelijke wijze kan men de
differentialen van gebroken orde van verscheidene functies afleiden, heigeen echter het doel van
onze beschouwingen niel is. Bovendien hebben we ons slechts bepaald tot fimclies, die voldoen
aan: Ihn {x f (a^)} = 0.

x = 0

Nog zij opgemerkt, voordat we overgaan lol hel volgende hoofdstuk, dat aan deze bijzondere
waarden der ontwikkelde integralen van gebroken orde moei worden toegevoegd dc complementaire

®nbsp;c

functie: qgt;{x)— 2 ^ ^ ^^^ _ ^^nbsp;(zie II: | = —/)), zoo men de algemeene waarden

wil kennen. Wij hebben haar opzettelijk overal weggelaten, omdat hel gebruik, dal wij van die
inlegralen van gebroken orde maken, .slechts die bijzondere waarden vordert.

HOOFDSTUK 11.

1. Na (le onhvikkelingen in het vorige hoofdstuk kunnen we nu van vele bepaalde integralen
hare waarden berekenen, waartoe, zooals we reeds opmerkten, Ibrmule (B) ons in staal stelt.
Wanneer wc hiervan voorbeelden liebbcn laten zien, zullen we in {B) nieuwe vci-anderlijkcn
invoeren, waardoor we komen op formules, waarin de bepaalde integraal andere grenzen heen,,
zoodal we door substitutie van verschillende functies f (x) ook daaruit nieuwe reeksen van\'
bepaalde inlegralen kunnen afleiden.

De uitkomsten, die wc verkregen hebben, komen voor een deel overeen met die, welke
vermeld staan in dc «Nouvelles Tables d\'inlcgralcs dcfinies)) par Biehkns de Haan (1807); deze
zijn aangegeven door \'i. tccken ; voor een gering deel wijken ze er van af, cn wel die,\'welke
gekenmerkt zijn door \'l tccken *; de overige niet-gcmcrldc geven de waarden aan van bepaalde
integralen, die cr niet in voorkomen.

2. Wanneer wc dus allereerst in formule:

subslitueeren: f (x) = xquot;-^ tg {I en in dc verschillende gevallen, genoemd onder N». 10
van het vorige hoofdstuk, dc onbepaalde integraal in het, rcchtcrlid van (B) vervangen door hare
bijbchoorendc waarde, krijgen wc, zoo wc nemen xnbsp;volgens dc betrekkingen, vooi^csteld

door (V) tol (XI), rcspcctievclijk dc volgende vergelijkingen:

(1 _ gry fy (, _nbsp;,, _ ƒ^ nbsp;_nbsp;^^^ ^^ __ ^^^ ^^^ ^^^^ ^^ ^^ ^

r(a 41 )ƒ-(/gt;-I- i) f ,nbsp;/_ ,y /X\'H-1)nbsp;,,-=(» « 1)

r(«-l-l)r[/;-i
_______-i/ori —

rr

y - O -r - m — IJnbsp;p -f m — j.

a 6 i

p^, (j, (1 , f)d,j = Inbsp;/j (1 h: P» ± / yO rf!/ = ^\'.\'/ Ül^iiV .

^ Onbsp;\'nbsp;i/ O

Door bijzondere waarden voor a, b, p en r te kiezen, kunnen uil deze vergelijkingen eene
menigle bepaalde integralen gevonden worden, waarvan we enkele voorbeelden zullen laten zien.

Stelt men in («i) en (as): a = i), r = 1 , in {ai) en (a*): a O, 2, in (as) en (as):
r = 2, in («7): r —\'2 q, dan gaan deze over in:

ƒ ]nbsp;Ig (1 _ p^ ƒ) dg = £ g (I _ gj-^ Ig (] _ f f)nbsp;=

_ {p\'»-\' \\)lg (1 p) 4- {p\'quot;-\' - \'\\)lg (1 - p)

»-1

f yH^-i) ig (1 nbsp;dg = r y (1 _nbsp;Ig (1 pquot;^ _nbsp;=

■\'Onbsp;J^nbsp;y \\ — if

(_iy i.2nbsp;1-1 , „s. i ,

ƒ;,, , ^^ =ƒ; (1, ±nbsp;=„,, iü/is?, (0).

ƒ; (1 -nbsp;jTïTT-ty, = ƒ„\'nbsp;(1 - f !/quot;);/ = -1 \'„ (\')

Repaall men zich nu lot = I, dan krijgt men hieruit de volgende integralen:

r ig (1 - ._. - r .\'/

.... (12)

=nbsp;........ (13)

. . . (U).
.......(.5).

In (lt;T,) lol (a,) kan men aan « nog alle geheele waarden toekennen, waardoor nien tol vele
andere mtegialen komt; wij hebben on.s slecht.s bepaald tot n = 0.

We knnnen nog opmerken, dal de som der integralen in (8) cn (0) ons voert lol (10), zoo
b even is; wanneer = 2 c 1 = oneven, ontstaat:

^ \' 2(0 1) 7 quot;TT.....

welk resultaat wc ook rechtstreeks vckrijgcn uil (a,) door hierin te nemen: „ = O, y, = | , = 2.

3. Dc substitutie: A = Ignbsp;i„ dc eerste integraal van lornmic (/i) levert in

dc gevallen, gcnocn.d onder Nquot;. II van hel eerste hoofdstuk, volgens dc hclrckkin-^cn (Xll)
(XIV), (XVI) cn (XVIII), zoo n.cn neemt: . = en = 2 dc volgende integralen:

rnbsp;_ f, 1 ±jgt;jr , _ r (n -I- I) r (/,) H-/,

/quot;gt;nbsp;I I n ,11nbsp;(quot; I)

-2 7 /\'ld

r(a _l) •nbsp; „

\'Inbsp;^ „ ■ • C\'j)

Jo i-nr \' gyr^Tji^i = 7 .........(/gt;.)

Stelt men in (br) cn (b,) : r, = O, 7 = 1, i„ (/,,) nchicrcenvolgcns a = O en rr = I, ,lan
gaan deze algemeene vergelijkingen over in dc bijzondere:

r Innbsp;-1 . Inbsp;\'

ruj; pii\\.nbsp;=Ji-(1nbsp;.... (20)

jo ^ \\ — pir y^i —fl VI

= . (21)

Wanneer men in deze laatste integralen neemt p = \\ , gaan ze over in:

W^e kunnen nog opmerken, dat (18) en (19) ook verkregen worden door (1) van (2) af te
trekken; op gelijke wijze volgen (22) en (23) uit (8) en (9).

h. Indien in formule (/i) genomen wordt: =nbsp;krijgt men, onder

substitutie van: x = p\' en r=:2, volgens (XIII), (XY), (XYII)nbsp;en (XIX), de volgende vier
integralen:

r s-1 (1 _ ,fy archjp ,j . d,/^ 1\'y-\'^ ^l — ,/y-\' nrclg p j/r^ . dy =

J Onbsp;.\'O

r - irY nrclg py.dy=[\\r^\'\' ^{ï - yj arclg pnbsp;-y4M= =

O Jonbsp;]/ l — ;/»

arclg /)-{-( I )* \' ^nbsp;„ wM (u - m)l (2 -f 2 m i)

f gt;1 (1 — .\'/\')quot; (^rclg py . ^—- = f arclg p |/ l — y^. dy =
J Onbsp;y i — y^ J O

n/l

— (f

T

Oquot;

O

2 (2 a -f -1) i

Bepalen wij ons iu (ci) cn (co) tot a — O eu /\' = 1,nbsp;in (c.i) tol a = O en a = 1 , dan
volgen hieruit voor dc eerste integralen:

=nbsp;. . (27)

i7r!z f quot;quot;quot;JI\'quot; ■gt;\'a = z^i\\/y !••■-i)......(28)

=nbsp;. . . (29)

_»nbsp;_ s

5. Zoo krijgen we bij dc substitutiën: f(x) = x\'\' \'2 hj (lnbsp;jXx) en f{x) = 3 tg (1 —y^x)

in de eerste integraal van formule (B), wanneer men stelt: x == jf- en r == 2 volgens de
betrekkingen (XX) lot (XXIII):

nnbsp;

(1 _ n vO.=-12 J ^^^ ^

fo ^^ ^ • ^ ]/ ï z-yV =nbsp;P- \'^Tj pf ■ • • W

rinbsp;r (a-f I)r 4-

(., _.---r--^ C -

( /f7 (1 - ?/0.nbsp;quot;quot; ~nbsp;- ^nbsp;. • . OM*

O/i) en 0/3) zijn voor n = O slechls bijzondere gevallen van (2) en (1); (d,) en (,U) gaan voor
p = \\ over in:

r c • = • / \'(gt; - \'/\').________- ^ r-jh

•\'0nbsp;.\'/I/l—.\'0nbsp;^ ^

De som van (di) en (lt;/ ) geeft ons (7) terug.

G. Wanneer men in de eei-sle integraal van formule (li) substiluoert: f{x) =I,j(\\
krijg! men volgens (XXIV) en (XXV) dc vergelijkingen:

/■■nbsp;(., _ Ml IXT^). ^^ :(quot; t) C\'

__r, 1 1 Ar

r,/r^. ^u^^ j)

quot; 2) dquot; I \'\'(ï

0nbsp;J// -j- l

llieniii zijn weer vele bepaalde integralen le berekenen.

Nemen wij slerlils: u = ü, // = (), en .r = p\\ gt;• = 2, dan ontslaan:

II\' Uj (1 -f 1/ 1-W) -pfnbsp;Inbsp;)/,(.,nbsp;,

ly (-1 ]/i-\\-ff) .nbsp;= 2 ^ Ig (i p\') y arclg p. . (33)

Voor p = \\ gaan deze over in:

=nbsp;ƒ/!/(gt;nbsp;= i nbsp;(35)

^, , (arcsin l/^xYnbsp;„nbsp;• ,

7.nbsp;Ingeval we in formule (B) nemen: f (x) = --,nbsp;, x = p- en r = 2, vmden we

xy X

volgens (XXVI) de integralen:

=ƒ.quot;nbsp;=i I e quot;gt; e -quot;gt; I

welke voor p = I overgaan in:

......

8.nbsp;De substitutie: A (x) = x\'-\'nbsp;in formule (B) geeft blijkens (XXVII), zoo p =

[/ \\ — X

Stellen we hierin achtereenvolgens = Onbsp;en ^ = I, terwijl we na uitwerking nemen:
X = p^ en r = 2, dan komt er:

r^ .nbsp;n—y^ydynbsp;nnbsp;-.. , .. .,nbsp;jr^dy

r\' • rnbsp;1/-1 o i «7,2nbsp;(ly

/ arcsm p y .nbsp;--------——= / arrcos ]/ \\ — p- jr y . ^ ^ \'\' \'\' „ ^ =

„nbsp;„nbsp;/I0/2nbsp;a (_,1V« 11-2m —3nbsp;C)nbsp;,,3nbsp;m „2 »nbsp;j m

Nemen we in de eerste integraal van (f/i) achtereenvolgens: « = O, = 1 , in die van (f/j):
rt = O, dan volgen :

f^ ■nbsp;dynbsp;quot; ; \' -I-nbsp;/cn\\

i.nbsp;■ „ - (i-irü\'rT\'U-l,.....

£ arcm, .]/• ^ = |(1 I\') h (1 v) - I\') hl (1 -)\')!• (■)«)

ƒ„\' • I/O-JHI-^V) - .....

Deze laalsl(! integraal volgl ook als verschil van (37) en (38). Di; tweede integralen van
(ƒ/!) en {(ji) gaan voor a = i, p — \\ over in:

. . . (/fO) ; £ y arrcos y . dy = f.....(41

9. In de eerste integraal van (B) gesubstitueerd: ^ (a:) =nbsp;^^^^ oeell

V \\ nbsp;®

volgens (XXYIII), zoo we slechts nemen: = O cn h = cn stellen: x = jf-, r = 2:

r i\'j (}gt; V 4- Kr W).nbsp;_

- 2^ = O ^-^HT^T^rr^i-^^öT^^nbsp;I ^^ ^\' T \' ^

r Ir, (P!,-^nbsp;.nbsp;=___^^ -L .

Anbsp;K(I _ If) (I -I-nbsp;,f) 2 (2 a 1) 1 if

ja/ïnbsp;quot; —2ra —3 ,nbsp;Jlquot;nbsp;wnbsp;quot;nbsp;I

r»lt;\'f^-ri^^

Bepalen we ons lol: « = O en a = \\ in (/„), lol « = O in (h), ,lan gaan ze over in:

/; (r./ VTTVJ-).nbsp;. ^ = ^ _nbsp;^ .

i; („, Krw). po^ljjf^ = (. . . (4/0

wetke laatste integraal weer is \'t verschil van (42) en (43).
Dc waarden dezer integralen voor p — 1 volgen vanzelf.
10. Wanneer we in Ibrmidc:

/■\'!,\' -\' (I -;/\')\' - ir) \'I!, = C;/quot; - 7 (I -;/\')!.(u =nbsp;gt; ii). («)

(ffl — 1

snbstitnccrcn: f (x) =nbsp;cci-sle geval, genoemd onder Nquot;. 17

van hel vorige hoofdstuk, aamicmcn r = /, ,/ krijo-eu wc volgens (XXIX) dc vergelijking:

f.V^d \'In = rnbsp;_ /\' (p) r (,/) X

llcl icrhtcrlid ontwikkeld volgens hel Ihcorcma van Lkiiinitz gccH:

daf (i Tnbsp;H-ol » jr/ar

\' d xquot; (I T ;T)f ~ ^^ \' (1 gt; «\'

zoo kunnen wc voor (/.) schrijven, wanneer wc stellen: .c ==

Jo (/T.V//^) ? nbsp;./n

/\' 7 quot; — I
(f — »

Kenc menigte integralen kunnen hieruit worden afgeleid,
(laan wc over lol dc substitutie: ,,4-7=1, ,|.,„ „...ftdi als voorwaarde op: ()lt;/»lt;!, daar
p en 7 door ons grooter dan nul gccischt worden. Voorts is: r (p) r (\\ — p) = ^ coscc p n,
zoodal (/.i) vooi- 7=1— p cn r — I overgaat in:

n i dy 1nbsp;d

=| (± o-(«-«gt;i [(: )j^^ -(^-j,(olt;lt;D . (ß)*

1nbsp;i

terwijl uit de 1® integraal van (/ü) volgt voor: a = O, p =nbsp;q =^ r = 2, ^ = \'1:

dy

r^ 1 __dy__ _

Jo i syquot;\' Kl — yquot; ~ 2

r .Fm........

üit (45) zijn nu vele integralen te vinden door aan x en l willekeurige waarden toe te kennen,
aan a positief geheele met inbegrip van nul, en aan p die, welke voldoen aan O lt;/) lt; 1.
Wanneer we in (A\'i) stellen: p = q = c, wordt de 1® integraal:

wil a — n

Nemen we echter: p q = h ^ \\ en r = 1, dan volgt, daar:
r {b ~p) = (1 — ;))\'/! r(1 — p) en F (p) F (1 — p) = n cosec p n, onder de voorwaarde
7 gt; O, dus: -1 :

C V\'-\'\' _\'innbsp;jl—pY/\\7tcosecpnnbsp; , 1

Voorts geven de volgende substituties in de 1® integraal van (A\'i):

2e. p = b-i- l, q = c r = l = s = pquot;^
aanleiding tot de volgende integralen:

a
\\ji)

Ten slotte geeft de substitutie: p = b —, q = c -ly, r = 1 nog:

y\'O—yydy _

, nbsp;\' »] _ a — n }

Uil (47) tot (51) zijnnbsp;nu weer vele integralen te berekenen, door aan tr, h en f; verschillende

waarden toe te kennen.nbsp;Knkele voorbeelden zullen wc; hiervan geven.

Stel in (49): b = {),nbsp;en achlereenvolgens: c = O, a = O en = 1 , voorts c = \\ , n — O,
dan volgen hieruit:

nnbsp;^ Jnbsp;nnbsp;ydy__

Jo V( \\ - yquot;\')(\\ xv^h\' ^nbsp;\' Jo V(l

I -I 7iryf ~ ^^(I PY

fa Vct -

Slel in (51): h = O, c = O, dan volgt:

f^nbsp;\'1nbsp;dj/nbsp;TTnbsp;nnbsp;r ■«

i. (TWW^\' vw^)=? \')quot; -quot;)\' lÜJ W (, h) ■

En hieruit volgt voor a = O:

__^

i sy ■nbsp;VfïïTi).......

11. Op gelijke wijze kunnen wc bij de substitutie:nbsp;in dc eerste integraal van

formule (B) de gevallen behandelen, waarbij r~p — q uegatief geheel is. Wc krijgen dan
allereerst, na vervanging der onbepaalde integralen in het rechterlid door hare waarden volgens
(XXX) lot (XXXIII), achtereenvolgens dc vergelijkingen:

lo ■ (-1 -xiry^^nbsp;\' rr{c i)dx\' „.^0 m!(a 6_c-m)! jnbsp;^ (±1)«— (O

r

Door verschillende waarden aan (r, h, c, en r loc le kennen, kan men hieruit weer vele
inlegralen berekenen. We zullen ons slechls lol de volgende voorbeelden l)ei)alcn.
1quot;. Stel in (m) achtereenvolgens:

= I , = O, r == 2, .r = 7; h = 2, c = (), = _

dan volgen:

r .\'/- _lt;/,\'/ __ TT

.\'0 (1 TTf)\' Ki - ƒ - quot;^27/

TV

rnbsp;quot; ( a . 2

Jo O :flTr) • vr:^ =nbsp;\'/ - 2 -f ^^

2». Stel in (») cn (p): r = 2,nbsp;on achtereenvolgens: /» = (), c = «; j, c = a~\\-],

dan volgen:

!/ (1 — n\'Y dj,

- (1 - v\' Wquot; quot;-\' 27r M-1 I I _nbsp;- -

f\' _.V C — .\'/\')quot; ƒ/nbsp;(— I )«nbsp;—1nbsp;„2

jo (l -Py/^TT^nbsp;^

.1 ,/S (1-dl/________ ( 1nbsp;2 „ I , ,

/•lnbsp;(—jV l ( \\ 2a lnbsp;quot;nbsp;a — }l

Jonbsp;=nbsp;irfP-- nbsp;.(62)

_1

12.nbsp;Ten slotte krijgen we bij de substitutie: f (x) = ..nbsp;nog de gevallen, waarin

U

r—p — q niet geheel is; volgens de betrekkingen (XXXIV) tot (XXXVII) geven deze aanleiding
tot de vei^elijkingen:

nbsp; d^nbsp;i i, 1 -{-Vxnbsp;.\'K- T j (.s

Jonbsp; ^ rr[c i)dx\'^Zo m\\(a-m)lnbsp;o

Jo (inbsp;-(- J)nbsp;Jt.^i^ü^ ^arclyVx- 1 (-D^-^j-O

n y^^ r-i^ynbsp;2 d\'nbsp;\\ arcsin Vxnbsp;„ i

Jonbsp; ^nbsp; nbsp;/ VTT^--■\'l-(\')

We zien, dal ook deze vergelijkingen toelaten vele bepaalde integralen te berekenen.
Stel in (s) en (/): c = O, r = -I, x = dan volgen:

P_dy__2 arcsin pnbsp;1 «-12quot;/-

Jo (i\' O • • •

Op gelijke wijze kunnen we uil de andere vergelijkingen bijzondere waarden aan a, b, c, r en x
toekennen; de waarden dier integralen zijn dan gemakkelijk le vinden.

13.nbsp;Eenige belangrijke formules vindt men, wanneer men in de eerste integraal van formule

Vnbsp;_

(B) substitueert: f (x) = xi IAVx). Vervangt men daarna x door x- cn neemt men r = %
dan krijgt men volgens (XXXVIII) en (XXXIX):

ƒ;.nbsp;..=u,.. (.), f i; (;) gt; 11 ]

Stellen we y = coSif, dan kunnen we voor deze integralen ook het volgende schrijven,
daar voor « geheel: ƒ_« (z) = (— 1)« (z):

X

ï fY

\')quot; r (q I) J O ^^nbsp;\' \' \' t =

(_ 1)»

— ƒ ^, — quot;V^_LU_ « V^^- «eMcei»nbsp;.....

vnbsp;...nbsp;•nbsp;inbsp;inbsp;mfnbsp;^ \' * \\l\' / y - \' j

Stelt men in (65): r =--n = n--J-, dan vindt men, daarnbsp;—

op eenvoudige wijze de beliende nildrukkin\'^:

~ c„-i K- rTTTT-f I\'nbsp;\'i) quot; rfT. (quot;) gt; - 4r) ■ (07)

w V n 1 W —Vnbsp;-I j

Formule (65) komt in denzelfden vorm voor in \'l «Handbuch der Theorie der Cylinderlunc-
tionen» von Pr. Niels Nielsen (p. 181; 1004), cn is \'l, cersl gegeven door Sonine (Maihcm.
Annalen Bd. IG, p. 30; 1880). Kan o 1 daarin slechts waarden hebben gt; — I, _ i„
(60) daarentegen kan (.-« 1 alle waarden vertegenwoordigen, zoodal men met behulp van
(07) lot ecnc uitdrukking kan komen voor h (4 (nu geheel willekeurig), waarin ccnc dubbele
integraal optreedt. Om haar in dc eenvoudigste gedaante tc krijgen, zullen wc eerst de integralen
van (66) cn (07) door \'t invoeren van nieuwe veranderlijken andere grenzen geven.
Stel in (60): p = A 1, cn neem als nieuwe veranderlijke: !, = xcosq^, dan krijgt

men na ccnige herleiding:

■« pos. geheel

0 n\\r{n-{-l-\\-{y[l{{X)} — u}

terwijl dc substitutie: n = a, x==!, cn cos = -i- i,, (07) ons voert lot:

I fynbsp;I

quot; --r~~ :, V / (//- —nbsp;cos z . iiz.

Vervangen wc dus in dc vooi-aandc integraal (,,) door dc/.c waarde, dan vindl men:
~~ 2A —3. H/s. /\'(;.-}-„) --\'f!/(;,\' —nbsp;cos z dz

3 N -f A

i;nbsp;\'nbsp;gt; — «, en « pos. geheel).... (08)

Hierin kunnen wc nu aan « .steeds zoodamgc waarden geven, dal /?(?.)gt;_«

14. Ten slotic resten ons nog dc betrekkingen (XI.) cn (XU), waarvan webgebruik kunnen
maken; wc komen dan tot micgralcn, waarbij .Ic hypci-gcomctri..ch.! reeks onder hel inlcgraal-
tccken voorkomt. Stellen wc in de eerste integraal van formule (li): r == 1, en vervangen wc
xji door ƒ/, dan gaal zc over in:nbsp;\'\'

[(!/)lt;! !/^r(p)quot;ff (/,gt;0),

cn nemen wc nu achtereenvolgens: f (x) = x^-^ F (« (} ii x), en f (x) = F {Ü (i y x),
dan krijgen wc blijkens dc genoemde betrekkingen:

(V)

Steil men in (.t;): = «. dan volgl, daar: F (« (} « ,,) = . * -

i^tz^pzi „,nbsp;p gt; „ gt; O

Indien in (y) en (z) niet aan de genoemde voorwaarden wordt voldaan, maar respectievelijk aan:
ôgt;|5gt;0 en / gt;(3gt;0, behoellt men in die vei^elijkingen slechts « en |5 onderling le verwisselen.

\'15. We hebben ons lot nu toe hoofdzakelijk beziggehouden met het berekenen van integralen
met grenzen O en 1. We kunnen komen tol integralen met andere grenzen door in de integralen
van formule (B) nieuwe veranderlijken aan le nemen. Stelt men daarin r = 1, dan gaat ze over in :

f\\i-yy-\'f(xy)dy^l\\jp-^f{x(i-y)}dy = ^à \'Jf(x)dœP, (pyO).

Substitueert men nu: y =nbsp;dan krijgt men de formule:

\'I z

Çœ ^pr — 1nbsp;rœnbsp;— 1nbsp;fXZ\'\'

Jo (1 ^ ^ITT^J\'^^\'^./o (1

Ijr_^r

De willekeurige grenzen s en l kiijgl men door de substitutie: y = Tr--waardoor men

L S

komt op:

dz =

■s^J

Hieruit leidt men af:
\'10. Voor .9 = 0:

dz = £ zr-^ (ir - zry-l f^ Jz = [^J ^ Jf (x) dx^. {E)

Voor: r = \\, s = — \\ m l = \\:

\\

Vervangt men in formule {li): y door—, dan onlstaal:
terwijl in diezelfde formule de subslilutie: y — geeft:

(1 -nbsp;f(xe-\'\')dz e-p\'\'\'f{x{\\—e-\'\')} dz=nbsp;^ f{x)dxp

16. Het spreekt vanzelf, dal we met deze vei-schillende formules niel alle subsliluties voor
f(x) zullen herhalen, die we in lormule (//) hebben uilgevocrd. Tot eenige voorbeelden zullen
wij ons bepalen om slechts aan te toonen, hoe gemakkelijk ook deze nieuwe formules ons in
staat stellen vele bepaalde integralen le vinden.

Wanneer wc in formule (C) substiteeeren: f (x) = x^-quot; ly {\\ —x), en alleen die waarden
aan p en 7 toekennen, die in hel vorige hoofdstuk aanleiding gaven lol dc betrekkingen (IX),
(X) en (XI), krijgen we, zoo in de eerste twee uitdrukkingen gesteld wordt: 1—x==p-, r = 2,
en in de derde: x — 1 = p-, r = 2, de volgende integralen:

.....(CO)

• \'1 ~Jo l • 1 nbsp;.

dznbsp;/\'«, \\—p=2quot;- dz

Jo ^--T\'f • VFTï ^Jonbsp;• TFrvP == ~ - ■

Vervangen we hierin p door q, en trekken we de komende integralen van deze af, dan volgen:

Jo q^ z^- -./„ ^Tf^ =nbsp;......(72)

rianbsp;-ii- _nbsp;dznbsp;, -I

p. z^ — p- dz _ f\'^. 1 —nbsp;d\'

Jo ^ z\' - q\' • Vz^i ~Jonbsp;• TpT^nbsp;- py •

Neemt men hierin: \\ en 7 = O, dan krijgt men:

75);

en

r». 22 _ I (i^nbsp;.

—__quot;nbsp;,quot;n\\

Kr ? - T • • • •

Voert men dezelfde substituties uit in formule (ƒ)), dan krijgt men voor r= \\ de integralen:

J/0nbsp;\'Viz^^W^\' J/\'J—jzz,-—(IA

JJ\'J t-S \' V{z-S){l-Z) -J, TZTs-• ) = 2 . tq ^^V

r\' {\\-x)t-s-\\-xz _ih___n t~J\\ ~x)s~xz dznbsp;2

Kn (laar:

dz

volgt uit (tfa):

(„,), (m) m («,) gna.1 vooi- x = l-s en x = 1 res|icclicvclijk over in:

. (S3)

Voor X = 1 gaat («i) over in:

Nemen we in deze vergelijkingen: 5 — 0, dan komen we op inlegralen, die ook reclilslreeks
kunnen verkregen worden, onder dezelfde subslilulies vooi\' f (x), uil formule (E).

Wanneer men die subslilulies uilvoerl in de Iweede integraal van formule (//), en neemt:
X = i , krijgt men de volgende inlegralen:

17. waanneer men in de tweede integraal van formule (E) en in de eerste integraal van

1 V^x

Ibrmule (G) substitueert: fi (x) = x^ 2 Ig-r7=\'nbsp;quot;^^n zich bepaalt tol die waarden

1 — V X

van p en q, welke ons voeiden lot de betrekkingen (XVI) en CXVIII), vindt men, zoo r = 2
en X = p~:

1 -kquot;/!

— a-;

(I -rf i-i

= ........

-

fquot;^ , z p dznbsp;.

j, \' = quot; i\'........

Uil ((5i) en ((Ja) kan men nu weer vele integralen alleiden door verschillende waarden aan a
(pos. geheel of nul) en ]gt; (willekeurig) toe te kennen.

18. Zoo volgen uil de substitutie: fo(x) — x^ - rtrdf/in de tweede integraal der fornuiles
(C) en {E) en in de eerste integraal van formule (G), in verband met de betrekkingen (XVII)

en (XIX), wanneer men neemt r = 2, en iu (C): x = p-, in {E): x = p~ l-, in x —Jfi\'

H/\\

pznbsp;(l Znbsp;__TT

IJ2 \'^(/-H^H-r).....(IK))^

H/1

ƒ. Vri:gt;-=2gt;i,(i ^i\'r \'-^n-ir ■—PTI^

=nbsp;......(IM)

H/l

|«/1

- _ _ ^ I ^
* • 1 y- .nbsp;: - (,, lij

i9. Door in de tweede integraal van formule (E) te nemen: f {x) x\'-T ig (\\ ±Vx),
= a-\\-i, r = en x = vindt men voltrens fXX^ en fXXTh wpnmhinpp.-.i•

volgens (XX) en (XXII) gecombineerd:

2 J

m «2 » 1

2/i \'l

En daar:

komt cr na sommatie:

r(a \'i)r

2r

Voor (1 = 0 krijgt men hieruit:
rtnbsp;/2« i

\\ ^ H Q 11 1 )

Had men voor dc substitutie genomen: f {x) = .p-i i,j (j nbsp;_nbsp;^ cn .r =

dan volgde volgens (XXI) cn (XXIII) gecombineerd:
f\' \'\'\'

Jo \'\'\'nbsp;•nbsp;= ±nbsp;t - {nrawi ly.....(U)

Warmee- men heide genoemde suhstitulies uitvoert, in dc ccrsie integraal van Ibrnudc (g),
terwijl ?\' = 2, x — p^, komt men tot:

(« H- ^

/quot;quot;AyÜËJ.\'nbsp;4- ^nbsp;.nbsp;I

./, : \'nbsp;== 2nbsp;- Tnbsp;.....

Uil (1)3) volgt voor (1 = 0:

. . . / / \\ (itrcshi x)~nbsp;I

20. Dcnbsp;=nbsp;\' , =nbsp;.

formule (C), /oo j; = 1 :

:)=,/1 =nbsp;^ = W./ 2.....

(97)

in de tweede integraal van formule {E), zoo x = p® :
f^arcsmpz)\'.nbsp;- quot; \'

en in de eerete integraal van formule (G), zoo x —

V / -

ƒ quot; {arccosec p zfnbsp;= ^^ \\{p l\'J (P quot;i)P ig P ^ (P -(P -(99)

-1

21, Wanneer we eindelijk nog substilueeren: f (x) = _^y^g^^ formule (C), krijgen

we volgens (XXIX), na herleiding volgens hel theorema van Leibnitz, zoo: r = \\ , en \\ — x = l:
fquot;nbsp;-\\-zYdz

Na substitutie in de eerste integraal van formule (D) komt er, zoo r = i en x =

J, {g-\\-/iz)p 9 \'\' r{p q-\\-a)-{h-\\-gsy(h gl)P \'\'o ^quot;UJl a — nnbsp;[h gs]-^\'^

Hieruit volgt voor .y = O :

r(p)r(q)nbsp;r«-j p ? «-1] .„/i(pt

^ nbsp;rip-^q a)\' nbsp;^•InJl a — nnbsp;[hj

)rmule (F) volgl,

i

(1nbsp;—zy-uiz

{{g // 2 k) (g - /O z}quot; \' quot;nbsp;to A 2 k) - (g - h) z

1_ r(p)r{q)

a) O ^ \' Vquot;J

nbsp;-f ky • r(?gt; 7 4-

lerwijl we mei behulp van de eerste integraal van formule (G) krijgen, zoo
r^nbsp;1 r{p) r(q) °nbsp; nbsp;X (n)

Ji (/, c — 9 nbsp; nbsp;r(p 7 a) O ^nbsp;U /I n — n )\' {h—gj \' ^ \'\'

Kennen we nu in deze vergelijkingen (fi) lot (f^) aan jt en 7 verschillende waarden l0(!, dan
krijgen we weer vele bepaalde inlegralen, zooals wc reeds hebben aangetoond mei vei-gelijking (Ai),
We zullen dit hier dus niel herhalen. Voor « = 0 krijgen we hieruit:

dz _nbsp;z^-^ dz ^ r (p) r (7)

Jo {t-hz)\'-^quot;quot; Jonbsp; \'nbsp;

f\' (z — sy--\' {I — zy-^ dz ^ (i — s)p \'\'-^ r (p) r (g)
J,nbsp;/i2)P ?nbsp;• r(/, 7)

r {! — zy-^ dz ^ IP I-quot;^ r (y^ /\' (7)
Jo {g hzy i ~ hl {h giy \' :r ( p 7).....

ri J1nbsp;(1 - c)quot; - ^ (1 i-^y-\'dznbsp;1nbsp;r{p)r{q)

f-nbsp;1 np)r{q)

J, {hz -gy ^ - l,P(h-gy \' rip q)......

22. Nu blijft ons nog over aan le loonen,.lioc men, met behulp van formule (li), koml lol
inlegralen van goniometrischc functies, genomen lu.sschen de grenzen O en-^-, en O en .

AS

Stellen we daartoe in formule (D) achtereenvolgens: y = tg z, y = sin z en y = sin z,
dan krijgt men:

tt

\' sin\'-1 2 z . (1 -- sin\' 2 zy-^ f {x sin\' 2 z) cos ^z.dz =

tr

= sinP\'-\'^z.fixi] ~sin\'2z)}cos^z.dz=^-^\'\'lf{x)dxP. . . (L)

fj sin\'-^z. (I -sin\'zy f(xsin\'z)cosz . dz=j\' sinP\'-^z . f{x{l-sin\'z)} cosz .dz^^^Jf{x)dxP. (M)

23. Subslitueeren we nu in formule (K): f (x) = x^-quot;^ l,j (J x), dan vinden we in verband
met de betrekkingen: (V) tot (XI) — waaruit levens de bijzondere waarden voortvloeien, die we
achtereenvolgens aan p en q moeten toekennen —, terwijl we ons bepalen tot a = 0:

[b 4-i) rx

zich bij de laatsle twee bepaalt tot het onderste teeken, dan vindt men hieruit na eenige herleiding
de volgende integralen:

. (106)

Stelt men daarentegen in de tweede integralen van (Ci), (gg), (^g), (Cs) en (Cy):
terwijl men zich bij (Cs) en (Ce) nu bepaalt tot het bovenste teeken, dan volgen:

f* , ,nbsp;tgT-\'^zdznbsp;n^

Jonbsp;......

Door deze voorbeelden zij weer genoegzaam aangetoond, dat de vergelijkingen (Ci) lot (C?)
toelaten vele bepaalde integralen te vinden.

24. Voeren we dezelfde substitutie: f {x) = afl-^ l(j (1 x) uit in formule {M), dan krijgen
we volgens de reeds genoemde betrekkingen, zoo we nemen: r = 2 cn x = p^:

jrnbsp;nr

j kl —pquot;nbsp;• ^ zcoszdz= P 1(J (\'1 — pquot; cos^ z) . coA-^\' i J sin z dz —

J Onbsp;J O

=a(t 1)-\')cnbsp;T! ■ • • ■ (\'■)

/ Qo P\' 2) • ^ ^ Z COS z d z = j \' Ig {] — p^ cos\'^ z) . cos» * ^ i sin zdz —

J Onbsp;J O

=nbsp;li\'\'quot;\'-\' ■\')\'] \'f C nbsp;(- ■ (V\')

*nbsp;T

= (21,—iy?^. |(inbsp;/;/(! -/O-s\'S\'g\'^quot;^-,!.«

—nbsp;T

I \' (1 P^ sin^ z) . ^-- z cos z dz = [ ^ ^ü — P\' cos- z) . cos-»- = : j (/ j =

•\'Onbsp;*nbsp;O

-nbsp;2L

r gt;\'\'\'sfe = \'O (1 T P-- ■-) =quot;nbsp;I)..

— ^

Ook

uit deze vei^elijkingen kan men weer vele andere bepaalde integralen afleiden

Stelt men in (y{), (7/s), (j/s), {ije) en (t/7): = I , terwijl men zicii bij (7/5) en (»/e) bepaalt
tot bet bovenste teeken, dan vindt men:

xnbsp;t

/ ^ Ig cos z . ^ z cos z dz = P /y sin z . cüaquot;» 1 c sin - d- = —
Jonbsp;J 0 \'nbsp;quot; quot;

xnbsp;tt

j^\' tg co.1 z . sinquot;-\' : cos dz = j\' l,j sm z . co.\'?\'-\'-z sin z ilz =nbsp;| l\'J 2—\'ï;\'

C quot;quot; -\'-Ér-^ r \'\'j ™ .......

\' Onbsp;sin ^ Jonbsp;cos^ znbsp;2

— 1
r Ig cos z . dz=: f^ Ig sin z.dz— - -T- In 2

J Onbsp;J Onbsp;^ .......

r l, cosnbsp;sin

JOnbsp;iinz Jo ^nbsp;cos znbsp;8......

Neemt men in (114) en (115) achtereenvolgens 6 = 0 en 6 = 1, dan volgen:

/ ®nbsp;/g cos z . sin \'ïgt;zdz^\\^lq sin z . sin 2 : f^ =___L

Jonbsp;Jo \'nbsp;quot;nbsp;8 \' \' \' \'

xnbsp;*

f\'snbsp;,nbsp;cos z , ri\' . o/,,..

Ig cos z . «m® z cos z d z — Ig sin z . cos» r .v/« zdz =__

jj Ig cos z . cos zdz— Ig sin z . sin s s = 2 — I

25. Wanneer wc in formule (/.) subslitueeren: fi (x) = x\'-l Iqnbsp;cn aan n en q

.... \' ^ —

dc waarden toekennen, dio aanleiding gaven lot de betrekkingen (XII), (XIY), (XVI) en (XVIII),

vinden wc, zoo we stellen o? = 1 en r = 2, en ons bij de eei-stc twee ])epalen tot /r = O, na
eenigc herleidingen achtereenvolgens:

Jo •\'cosz-\\-sniznbsp;^nbsp;Jo ^ \'\'nbsp;} lt;-2n i-

n . cos z — sin z . ,,,,

*

m

cos z — sin z

. cos^ quot;22 sin ^z(lz =

cos z sm z

\'TT

fUrjtgz. sin^\'^ 2 2 er« % zdz = {-[)quot;

TT

r^ . cosz — sin z d z _ f / fnbsp;__

Jo ^ cosz-i-sin z \' sin ^z Jo \'\' ^ \' cos\'iz

8

cos z sin

Stel in de tweede integraal van (124): i = O, dan komt er:

lglgz.sin^.zdz = -^lg\'i......

Men kan aan de waarde der integralen in (125) een anderen vorm geven, die voor de berekening
gemakkelijker is. Men heeft n.1.:

1

n — a — g

v

4(2a .-l)7nbsp;8 V r(« l) ~ 8 r{a—n-\\-\\)\'

1

.2j

0 ^nbsp;— n)

f\' l)

« I)r(2a-|- I)\'

zoodat (125) wordl:

. cos^\' 2 z sin ^zdz =

cos z sm

X

=nbsp;^ • quot; 2 : CO.S 2 2 r/ j = — 2^ ° -«

a i]r(2a l)

Wanneer wc in de eerste integraal van formule (A\') suh.stituecrcn: ß (x) = arclg
en aan p en q die waarden toekennen, die aanleiding geven tot de betrekkingen (XIII), (XY),
(XYII) en (XIX), krijgen we, zoo wc ons ook hier bij de eerste twee bepalen tot n = 0 cn
voorts stellen x = 1 cn r = 2:

. . (.,28)

5 (- 1/ ^ (7 2 (- -ly ^Tnbsp;. (129)

1 n

^ . .nbsp;r n

r i sin zcosquot;iznbsp;.nbsp;„ jnbsp;anbsp;—«— q

dz

sin zTvbTz = i ^^ ........

Nemen we in (128) en (129) respeclievelijli: = 1 o en in (130): « = O en a = 1,
dan koml er:

sin z , _1

20. In de eerste integraal van Ibrmule {M) acluereenvolgens gesubslilueerd: f{x) = ^quot;quot;I^Yjf
. ix-nbsp;.t; Vx

/ N »1 orcsin V X „nbsp;,,

en fnbsp;^ g^eH ons blijkens (XXYl) en (XXVII), zoo we nemen: = 1 en

= 2, de volgende inlegralen:

Jv =

en

»1 /1 1\'^-\'«

1-1/^

1 ••
.» — m----

- „ I (n -{- /, __nbsp;[\'f/ ( I — A-) ^

r = 1

De vergelijking (,\'0 laat weer loe vele bepaal,Ie inlegralen Ie vinden. Zoo krijgt men bij .le
subslilulies: . = 0. = 0; . = O, = | ; „ = ,, _ ^ en . = I. = I ari.tereenvolgens:

en

ir

r z sin 2 s dz =
.\'0 4 \'

27. Subslilueeren we ten slolle weer: =nbsp;n n i •

•nbsp;/ vv (i^^r\' waarbij we ons alleen zullen bezig-

liou.len met I.et oei-sle geval, genoemd onder nquot;. 17 van l.ei cm-sIc hoordsluk. waarin -] ,/ quot;
dan vinden we met i)el.ulp van de eer.sle integraal vau Ibrmule (A\') blijkens .1.« betrekking (XXIX)!
zoo we hierin het iheorenia van hvAmm hebben toegepast, de volgende vergelijking:

Stellen \\Ve hierin achtereenvolgens r — i en r = 2, dan volgen:

r^ sini-^zcos^zjcosz — sinzy-\'^dz_ r(p)r(q) ^ z iv/ m

Jo ,{cosz xsinzy -! \'^nbsp; 7 nbsp;U.

_______xquot;

Hieruit zijn vele bepaalde integralen af le leiden door aan x, p en q verschillende willekeurige
positieve waarden toe le kennen.

Zoo volgt uit {\'fi) bij het onderste teeken voor x = X:

Stelt men hierin q = a \\ , en vervangt men 2 z door z, dan vindt men na eenige herleiding:

i)«/i. (m)

We kunnen een eenvoudigere uitdrukking voor de waarde van deze integraal vinden. De
gevonden waarde laat zich namelijk als volgt schrijven:

l O

dlj=

V (- •!)quot; 2

M = 0

r{u a-\\-p l) Jo ^ ^^nbsp;=nbsp;^^

nnbsp;i-uY r^nbsp;\\ n V ,nbsp;

= r-\'ii-yy^quot; l-L^\\dgt;/= yp-\\i-fydy=l y.-\\i-yyd!;=—--y-J

J Onbsp;ynbsp;Jnbsp;J Onbsp;J Onbsp;n T\' \\ P I t

« S 1

zoodat:

ƒnbsp; ^ zcosP-\'^ zdz=i--. . (142«)

2/■(« ! O

Nemen we achtereenvolgens: p = -{- 1 en = 26 2, dan krijgen we:
ÜLnbsp;quot;quot;

/quot; 3nbsp;Qo/S ^4/3nbsp;/«quot;öquot;nbsp;Ja/l

Voeren we dezelfde substitutie uil in formule (M), terwijl r = 2, lt;lan komen we op de
vergelijking:

v»nbsp;tt

2 sin^f-\'^zco.^P-^ zdz __ f a xin^r-\'^ z cofri-^ z dz

Jo

n — n J \' ^^nbsp; 9 • vv

Hieruit volgt voor p q = \\ :

T

coUff-\'^zdz _ f\'^nbsp;_ncosecpn

Stellen we daarentegen in de eerste integraal van (?.): 1quot;.nbsp;j, x = p-;

i

2quot;. p z=b \\ , 7 = f -f x = p~, dan krijgen we bij hel bovenste teeken achtereenvolgens:

n. —11 ynbsp;^ 1

V a — n

/ . . . . -1 \\

2 sin-\'zcos-^ ^zdz

O K( 1 —ifsin- :)2« 2«4- 2\' 3 -i« 4 c1/2 quot;iXrpr^sTaTqri

\' \'nbsp;quot; \\ a — n

mi deze twee vergelijkingen kan men weer vele bepaalde integralen afleiden. Stelt men in

beide achtereenvolgens: a = O met = O, c = ü; ft = O, c = 1; // = 1, c = ü; en == -1

met 6 = 0, c = O, dan vindt men:

.lin z dz

STELLINGEN.

Al
u

M

w

I

L I N G E N.

Dc (loor mij gevonden nildrnkking voor de Hesseisclie funclie (IloofdsUik 11, p. 37, vei-g. (68)):

X

(—■!)quot;nbsp;f\'ix-—iflY \'-l rynbsp;«-1^—\'Jquot; ir

waarin l allc recele, imaginaire en complexe waarden kan verlegenwoordigen, en « (pos. geheel) gt;
\'l reëele gedeelle van (—?.), — is algemcener dan de lol nu loc bekende uildrukkingen,
waarbij h {(o) in den vorm van eene bepaalde inlegi-aal slaal geschreven.

II.

n zijne verhandeling: «Ueber die Anwendung der DilVerenlialquolienlen mil beliebigem Index
Inlegriren von Dinerenlialgleichungen» (ZeilschriH für Mathemalik und Physik Lcipzig
, p. 197) beween Most len onrechie: .... «dass die von Lioiiviixe als Ausgangspunkl

fvx

gewiihUe Gleichung: -j^— . cquot;\' mVhl algemeingillig genug isl, nm als Ddinilion brauchbar

zu sein, wie ja deun auch Liouville bei Hehandlung der Funklion c^\'-f c;-quot;\'auf Widersprüche
geslossen isl».

III.

De door Liouville langs Iwce geheel van elkaar verschillende wegen afgeleide uildrukking vooi\'
zijne complemenlaire funclie (Journal de l\'Kcole Poiylcchniquc l. XIII p. 9/«—106; Crelle\'s
Journal Hd. M P- 1 — 10) is niel juisl (zie diss. p. 5—7).

IV.

Als definilic voor dillerenlialcn van gebroken orde is hel nilgangspnnt van Hiemann (Gesannnclle
Wcrke, von Wkrer und Dedekind, 1867, p. 332) niel le gebruiken.

In de «Oeuvres Complètes de N. H. Abels t. I (paij^ Sylow et S. Lie ^881) vindt men de
afleiding van een «valeur de l\'expression q. (œ y V— 1) qp — yV—i)ygt; (pag. 18—21),
aangegeven door eene dubbele integraal. In de «Notes» (t. II) schrija Sylow dienaangaande:
«Comme l\'a remarqué M. Bertrand (Annali di matematica pura ed applicata, série 1, t. I), les
formules du numéro 2 sont inexactes, l\'intégrale double qui exprimerait qp (a; ?/K—1)
^ q)(p — y V^^^) étant évidemment nulle».

Voegt men echter aan die dubbele integraal toe den eisch: y}0, die blijkens de afleiding van
Abel optreedt, dan kan die dubbele integraal ook oneindig groote waarden vertegenwoordigen,
zooals juist plaats heeft bij de eenige toepassing, die Abel van zijne formule geeft, en waardoor
hij komt tot:

De bepaalde integraal hierin is oneindig groot.

De fout in Abel\'s afleiding schuilt in de volgende aanname:

De waarde van deze integraal is oneindig groot.

VI.

Bergbohm maakt bij zijne «Neue Integralionsmethoden» (1892 en \'93) gebruik van logarithmcn
met een oneindig kleine grootheid lol grondtal en neemt daarbij len onrechte aan, dal de
natuurlijke logarilhme van oneindig kleine grootheden eindig is.

Zijne ontwikkelingen blijven evenwel volkomen juist, wanneer men in plaats van een oneindig
kleine grootheid een eindig getal, verschillend van c, als basis der logarithmen aanneemt.

VII.

In zijne «Neue Inlegrationsmelhoden» (1892, p. 17) zegl Bergbohm: «Bekanntlich werden
alle Diflerentiale aus folgender Fundamentalgleichung f (x dx^ — f (x) = d f{x) gewonnen» —
in de onderstelling namelijk, dal men de hoogere machten van dx verwaarloost ten opzichte
van de eerste macht.

Dit uitgangspunt maakt, dal zijne methode slechls toepasselijk is op die functies ƒ (a;), waarvoor
f(x-\\-dx) ontwikkeld kan worden naar opklinnnende maehlen van dx volgens iiel theorema
van Taylor.

Vin.

Volledigheidslialve moei in de verhandeling van Prof. Dr. .1. de Vriës over «Orthogonale
Comitanten» (Verslagen der Koninkl. Acad. van Wetensch. le Amsterdam VIIl, 1900, p. 5GG)
nog vermeld worden de meetkundige beleekenis van hel verdwijnen van den sinnillanen

O

invariant:

Deze is, dat hel stralenpaar, aangewezen door al = O (fl= 0) harmonisch gelegen is met de
stralen, die loodrecht staan op het stralenpaar fl—0 (4 = 0).

IX.

De voorstelling der 600-cel door strinr.uam is aanschouwelijker dan hel model van Scin.egei..
(Zie van Dr. S. L. van Oss: «Das regelmässige Scchshunderlzell und seine selbstdeckenden
Hewegungen». Verhandelingen der Koninkl. Acad. van Wetensch. le Amsterdam VII, 1899).

X.

II. von IIelmholtz zegt in zijne «Vorlesungen über thcorelische Physik» (IM. I. p. 1,3; 1898)
ten onrechte: «Ks giebl viele newegungserscheimmgen, die sich am einfachsten beschreiben
lassen, wenn man zu gewi.ssen Zeilpunklen ün.sletigkeitcn der Dillerentialquotienten der Geschwin-
digkeiten annimmt.»

De kromme, die de versnelling van een stollelijk punl als functie van den lijd weei-geeir,
moet, evenals het geval is bij de snelheid, eene vloeiende, continu-verloopende lijn zijn, waarin
geen hoekpunten optreden.

XI.

iiij proefneming over kleurgewaarwordingen begaat men een principiëelen fout, wamieer men
den collimatorspleel van den speclroscoop verwijdt lot verhooging der lichtslerkle. (Zie o. a.
over de verplaatsing dei- neulrale: van heu Weijue\'s «Methodisch onderzoek der kleurslelsels
van kleurblinden». Proefschrill. Utrecht, 1882).

XII.

Het bewijs, dat Neiinst geeft van de tweede hoofdwet der mechanische warmlelheorie (Theore-
li.sche Chemie, p. 15—23; 1898), is niel volledig.

XIH.

De PLUcKEHsche meetkunde, waarbij de rechte lijn als ruimle-elenient wordt aangenomen, is
eene meetkunde van vier afmetingen.

XIV.nbsp;c4

In hunne «Theorie des Kreisels» (1897) hadden Klein en Sommerfeld zich liever moeien
bedienen van een rechlsch in plaats van een linksch assenkruis van coördinaten.

XV.

Wanneer men de theorie der kleurenei^ieën (II. von IIelmholtz: Physiol. Optik.; 1896) in
verband wil brengen met de resultaten van psychologisch onderzoek (Ebbinghaus: Grundziige der
Psychologie I; 1902), moet men noodzakelijk de intensiteit als factor invoeren, hetgeen kan geschieden
door gebruikmaking van een drie-assenkruis.

XVI.

De afleiding van stereometrische stellingen uil de meetkunde der ruimte van vier afmetingen
heeft volkomen bewijskracht.

XVII.

Hel is gewenscht de golflengte van hel licht als eenheid van lengte in le voeren.

t * ^ -1 , • t .