METHODEN TER BEREKENING
VAN DE ZELFINPUCTIE VOOR
LANGE SOLENOÏDEN

m

V. .

ii.wS..

-.\'■\'Èc\'-k-

■ V A gt;

METHODEN TER BEREKENING VAN DE
ZELFINDUCTIE VOOR LANGE SOLENOÏDEN

\'S-GRAVENIIAGE - (lEBHs. J. amp; II. VAN LANGENIIUY.SKN - 1912

^nbsp;/yz

METHODEN TER BEREKENING
VAN DE ZELFINDUCTIE VOOR
:: LANGE SOLENOÏDEN ::

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN
GR/^AD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUUR-
KUNDE, AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE
UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNI-
EICUS Dh. A. A. NIJLAND, HOOGLEERAAR IN
DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE,
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER
UNIVERSITEIT TEGEN DE REDENKINGEN VAN
DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE
TE VERDEDIGEN OP ZATERDAG DEN 2;}sïen
MAART H)12, DES NAMIDDAGS TE 1 UUR, DOOR

FRANCISCUS LEONARDUS BERGANSIUS

GEROREN TE MAASTRICHT

bibliotheek der
rijksuniversiteit
utrecht.

I î ^ ^

ii^fmm^

Aan

de nagedachtenis van mijne ouders.

Bij hel voltooien van dit proefschrift betuig ik gaarne mijn dank aan U,
Hoogleeraren in de Wis- en Natuurkundige Faculteit, voor het ondenvijs dat ik
van U heb ontvangen.

In de eerste plaats richt ik mij daarbij tot U, Hooggeachte Promotor,
Hooggeleerde Julius. Voor do. aanmoedigende belangstelling, waarmede Gij den
voortgang van mijn werk hebt gevolgd, ben ik U ten zeerste dankbaar. Gedurende
de vele Jaren dat ik het voorrecht heb gehad als Uw a.s.si.stent werkzaam te zijn,
heb ik in zoo hooge mate de bewijzen van Uwe welwillendheid en hartelijke
belangstelling mogen ondervinden, dat het mij niet mogelijk is mijn dank daarvoor
onder woorden ie brengen. De Jaren in Uw Laboratorium doorgebracht zullen
.steeds een eerste plaats blijven innemen onder de herinneringen aan mijn verblijf
aan de Utrechtsche Hoogeschool.

Ook U Hooggeleerde Kaptki.in breng ik bij dezen een woord van dank vooi
de mij beloonde belangsleUing bij de .samenstelling van dil proefschrift, en voorde
welwillendheid, waarmede Gij mij den weg gewezen hebt tot de oplo.s.sing van
enkele daarbij voorgekomen moeilijkheden.

INHOUD.

Afleiding van de volledige vergelijking van Maxwell

Hoofdstuk II.

De coëfficiënt van zelfinductie voor een lange solenoïde met 6ene laag windingen 18
Hoofdstuk III.

De coëfficiënt van zelfinductie voor een lange solenoïde met vele draadlagen 36
Hoofdstuk IV.

Sommatiemethode voor de berekening van den coëfficiënt van zelfinductie
voor een .solenoïde met rechthoekige doorsnede van de windingsruimte. . öO

Methode van ........................

(\'.orrecte sommatiemethode .................^^^

Vergelijking van de correcte sommatiemethode met de formule van
Stefan (64), de formule (48) van Hoofdstuk III en de methode

van ..........................

Benaderingsformules ..................

Voorbeelden.....................

Hoofdstuk V.

78

Overzicht van de bereikte resultaten................

........80

.........................

........81

Aanhangsel ................

INLEIDING.

In een uitvoerige verhandeling in deel V van het «Bulletin of the Bureau
of Standards» hel)hen Edwaud B. Rosa en Louis (\'.ohkn een volledig overzicht
gegeven van de verschillende formules voor de berekening van de coëfficiënten
van onderlinge inductie en van zelfinductie voor alle in de praktijk voorkomende
gevallen, l)etrekking liebbendc op quasi stationnaire slroomen in ijzervrije stroom-
ketens. Aan het einde van de verhandeling geven zij een reeks voorbeelden voor
de toepassing van de verschillende formules en tevens een verzameling labellen,
die bij de toepassing van die formules nuttig of onmisbaar zijn.

Het streven is altijd daarop gericht zulke formules in een zoodanigen vorm
te brengen, dat de uitvoering van de berekening zoo eenvoudig mogelijk en levens
de bereikte resultaten zoo nauwkeurig mogelijk zijn. Vooral tracht men de nood-
zakelijkheid van het gel)ruik van speciale talels te beperken.

De nieestcn van deze formules bevatten meer of minder snel convcrgee-
rende reeksen en hebben een beperkte gcldigheici. Sommige zijn nauwkeurig voor
kleine, waarden van de daarin voorkomende veranderlijke grootheden, andere
juist voor (jvooie waarden. Slechts zeer weinige zijn algemeen geldig voor alle
waarden, die aan de veranderlijken kunnen gegeven worden.

Tot deze laatste soorl behoort de Ibrmule van Lohkn/. voor de zellhuluctie \')
van een .solenoïde mei 6ene laag windingen.

Zij luidt:

(1)

1) Korlhcidslialve wordt hier en in \'l vervol« de uildrukkin}^ «zcUliuluclie» gebezigd in
plaats van «coëfllcicnt vaii zellinduclic. De term «onderlinge inductie, is op dezellde wijze op

te vatten.

waarin

d = |/4rt2 /,2nbsp;a — straalnbsp;h = lengte

iV —geheel aantal windingen.
E en F zijn de complete elliptische integralen van de eerste en tweede
soort, waarvoor de modulus k = siny, terwijl

V 1

Deze formule is exact voor solenoïden van ell^e lengte, doch geldt streng
genomen alleen voor een hewikkeling van de solenoïde met oneindig dun melaal-
hand, waarvan de windingen volkomen aaneensluiten zonder electrisch contact
te maken. Evenzoo gelden de formules voor solenoïden met eindige rechthoekige
doorsnede van de wikkelruimle voor het denkbeeldig geval, dat deze ruimte
volkomen opgevuld is met windingen van een quadratischen of rechthoekigen
geleider, door oneindig dunne isoleering gescheiden. Om de werkelijke waarden
van de zelfinductie voor in de praktijk voorkomende windingen van meer of
minder zwaar geïsoleerden ronden draad te vinden, moeten op deze waarden, die
we in overeenstemming met de door Uosa gebezigde notaties met Ls en L„
zullen aanduiden, correcties toegepast worden, waarvoor in de I)oven genoemde
verhandeling de formules en de daarbij noodige tabellen worden gegeven.

De berekening volgens de formule van Louknz is tamelijk tijdroovend en
vereischt de beschikking over speciale lateis voor de logarithmen van E en F,
die door Legendhe berekend zijn en in deel II van zijn «Traité sur les Fonctions
elliptiques» zijn opgenomen. Deze tafel geeft de logarithmen in 12 decimalen voor
alle waarden van y van lot 00\', opklimmende met 0,1quot;, en met vermelding van
de eerste, tweede, derde, enz. verschillen.

Een uittreksel van deze tafel in acht decimalen voor alle waarden Ie
hcginnen met 15quot; is in de verhandeling van Rosa en Coiien opgenomen.

Terwijl nu voor de l)erckening van de onderlinge inductie voor de ver-
schillende voorkomende gevallen in den regel meer dan éen formule beschikbaar
is en dit ook het geval is voor de berekening van de zelfinductie voor koilc.

1) Hosa spreekt in het ceivstgenocindc geval van een «current sheet» in liet tweede geval
van «uniform distribution of current».

solenoïden, helzij deze van éen enkele laag windingen voorzien zijn, of uil een
groot aantal lagen ])estaan, blijkt hel probleem van de berekening van de
nauwkeurige waarde van de zeltinductie voor een lange solenoïde met éene laag
slechts door éen enkele ibrmule opgelost te zijn, n.1. door de bovengenoemde
Ibrmule (1) van Louenz. Voor de berekening van de zelfinductie voor een lange
solenoïde met vele draadlagen is geen enkele formule gegeven, die rechtstreeks
deze grootheid als functie van de afmetingen nauwkeurig voorstelt.

De eenige als nauwkeurig aangegeven oplossing van dil probleem wordt
in de bovengenoemde verhandeling als «Rosa\'s methode» in \'t kort bcschrevcu
en is uitvoeriger te vinden in Bur. of St. IV, 1169, Deze nielhode, die in Hoofdstuk IV
nader beschreven en uitvoerig besproken zal worden, is gebleken alleen dan
werkelijk nauwkeurig te zijn, als de diepte van de windingen zeer klein is
vergeleken met den gemiddelden straal.

Een benaderingslbrnuile voor dit geval is door Louis Coiien \') gegeven
in den volgenden vorm:

(2)nbsp;= Inm j ^ __ __ — ;

\\ [(/» -1)«,- (/»- 2) rt (//i - 3) a 3 ....] Va ^ - . a,

\\ quot; /

-1 [ni {mnbsp;{ni - 2) {m - 3) ^ (/n - 3) {m - 1) a,\'^^....]

8 n-

^vjj.,!.;,!;nbsp;n = aantal windingen per c^l.

ni = aantal lagen.
= gemiddelde straal.
I = lengte.

(ï a = afstand van twee opvolgende lagen.

(i^____enz. = straal eerste, Iweede,----enz. laag, van l)innen naar

i)uilen gerekend.

De twee laatste lerinen zijn door een vergissing in de alleiding foutief.
De juiste gedaante daarvan is als volgl:

1) Bulletin of the Hurcuu of Standards IV, 383, 1908.

U ,nbsp;. . ,nbsp;......... .. O ,

- ^ [m (m - 1) ai-2 (/ïi - 3) (m - 2) -f- (m - G) (m - 3) a,\' ■ ■. ■]

Deze formule is zeer onhandelbaar bij de Ijcrekeuiug als hel aanlal lagen
in vrij grool is en geeft bovendien slechts matig nauwkeurige resultaten. Volgens
opgave van Cohen bedraagt de fout voor een solenoïde, waarvan de lengte gelijk
is aan viermaal den straal, ongeveer een half procent, terwijl bij grootere lengte
dc nauwkeurigheid toeneemt.

Een bestudeering van de door Cohen gevolgde methode bij de afleiding
van bovengenoemde formule leidde mij eerst tot belangrijke vereenvoudiging
daarvan en ten slotte tot de volledige oplossing van het probleem, n.1. tot een
aan de hoogste eischen van nauwkeurigheid beantwoordende rechtstreeksche
formule voor de zelfinductie van een laiuje solenoïde mei eindige doorsnede van
de wikkelruimte, die voor de uitvoering van de berekening belangrijk eenvoudiger
is dan de benaderingsformule van Cohkn. Tevens leverde hel onderzoek ook nog
een zeer nauwkeurige formule voor de zellinduclie van een lamjc solenoïde met
éeiie laag windingen.

Voor de afleiding van de })eide nieuwe formules is gebruik gemaakt van dc
door Maxwell i) het eerst gegeven en later door llosA uilgel)rcidc vergelijking
voor de onderlinge inductie van twee even lange concentrische coaxiale cylinders.
Deze vergelijking is in den door Rosa 2) gegeven vorm:

M=l n^ n^a^ [/- 2 A «],

waarin

• _nbsp;n _ ^ 4. iil! _ \'lAll]

r= \']/ A^ -fnbsp;A = straal buitenste cylinder

a = straal ))innenste cylinder
/j=: aantal windingen per cM.
l = lengte.

1) Maxwell, Eleclricity and Magnetism II, g (578.
Bur. of St. V, 22, 1901).

De laatste term van « is door Rosa i) aan de afleiding toegevoegd.

Gedurende hel onderzoek bleek mij de groote wenschelijkheid, den volledigen
vorm voor de in deze vergelijking voorkomende reeks a te kennen.

Voor betrekkelijk korte cylinders heeft deze reeks, die slechts langzaam
convergeert, een vrij groolen invloed op de waarde van M, zoodat voor dat geval
de opgegeven drie termen volstrekt niet voldoende zijn om een groote nauw-
keurigheid bij de berekening te verkrijgen.

Maxwell zelf geeft slechts in hoofdtrekken aan op welke wijze hij zijn
vergelijking verkregen heeft. Wein.stein\' 2) heeft in zijn Duitsche bewerking van
Maxweli. de alleiding meer gedetailleerd gegeven. Deze alleiding beval verschillende
kleine onnauwkeurigheden en is daarbij nog in haar geheel foutief, doordat met
een verkeerd teeken l)egonnen wordt. Het resultaat is, dat aan het eind van de
ontwikkeling de reeks « met tegengesteld tecken, als boven is aangegeven, vermeld
wordt. Bij de substitutie in de uitdrukking voor M wordt deze teekenloul zonder
commentaar hersteld, zoodat de eiiulvergelijking overeenkomt mei vergelijking (3)
zonder den door Ro.sa berekenden term.

De ontwikkeling van Weinstein is daarbij zoo weinig overzichtelijk gegeven,
dal het zeer moeilijk is daaruit iels omtrent de verdere lernien van n Ie voor-
spellen. Alleen de wet voor de getallen-coëfiicienlen, die voor de ronde haken

slaan, heb ik reeds vroeger daaruit afgeleid, \\vaarbij dan de functies van y in

de ronde haken zoodanig hei leid moeten worden, dat de conslanle term daarvan

voor allen = 1 wordt.

Ten einde ook de wet voor deze functies op te sporen heb ik de geheele
alleiding op streng systenuilische wijze herhaald en door nog een term meer in
de ontwikkeling oj) Ie nemen, de wel voor deze functies ondubbelzinnig vaslgesteld.

In Hoofdstuk 1 woidl deze alleiding in haar geheel weergegeven.

Steil men in de vergelijking van Maxwell lt;i = A, dan levert dit als resultaal
de vergelijking voor de zellinduclie van een cylinder, die als uilgangspunl dient
voor de berekening van de zellinduclie van een solenoïde niet eene laag windingen
van ronden draad.

1) Hiir. of St. III, :{0rgt;, 1907.

-\') Wkinstein, Lchrbuch der Klccliicilal uiid des Magnclisinus von .1. C. Maxwe
II, 375, 1883.

:\') Verslagen Kon. Acad. v. Wclenscli. 19, pag. 1139, 25 llt;cbr. 1911.

J. G. Coffin \') geel\'t in een verliandeling, waarin hij de vervaardiging en
meting van den standaard van zelfinductie voor het «Bureau oiquot; Standards»
lieschrijft, ook een overzicht van de verschillende methoden om de berekening
uit te voeren. Hierbij noemt hij ook de vergelijking van Maxwell, waaraan
echter de door Rosa later afgeleide term ontbreekt.

Hij past de formule toe op de berekening van een solenoïde van 44 cM.
lengte en 27 cM. straal en vindt een fout van ongeveer éen procent in het
resultaat.

Hij besluit deze paragraaf naar aanleiding van dit resultaat met de volgende
conclusie: «The formula of this method does not converge very rapidly for coils
as short as those to which it had to be applied, so that the labor of extending
it, while not very great, was thought unwarranted.» Coffin heeft hierbij blijkbaar
niet gedacht aan de mogelijkheid, dat een volledige kennis van de reeks in de
vergelijking van Maxw^ell zou kunnen leiden tot een integratie van deze reeks
in een voor de praktijk van de berekening geschikten vorm.

Hoofdstuk H geeft een volledig overzicht van de wijze, waarop deze
integratie is uitgevoerd onder de ])eperkende voorwaarde, dat de lengte van de
solenoïde niet kleiner is dan de straal. Een vergelijkend onderzoek van de
daardoor verkregen formule en de formule van (\'offin voor korte solenoïden
met de voor iedere lengte geldige exacte formule van Louenz toont aan, dat
men deze laatste voor de praktijk van de berekening geheel door de twee
genoemde formules vervangen kan, zonder aan de allerhoogste eischen van
nauwkeurigheid te kort te doen.

Wordt de vergelijking van Maxwell zoowel naar a als naar A tusschen
twee bepaalde grenzen geïntegreerd, dan geelt het resultaat van deze integratie,
vermenigvuldigd met den factor 2, een formule voor de zellinduclie van een
solenoïde met rechthoekige doorsnede van de wikkelruimte. De integratiegrenzen
zijn dan de in- en uitwendige stralen van deze ruimte. De factor 2 ontslaat
doordat b.v. voor twee willekeurige elementaire cylinders p en q zoowel dc
onderlinge inductie van p op q als van q op p moet in rekening gebracht worden.

De wijze waaroj) de integratie voor dil geval is uitgevoerd, is analoog aan
de wijze waarop Louis Coiien de drie laatste termen van zijn benaderingsforniule

1) Bur. of St. II, 87, lÜÜG.

heeft afgeleid, met dit verschil, dat Louis Cohen zijn rekenwijze op een eindig
aantal lagen toepast en daarbij de lagen van binnen naar l)uiten telt, terwijl bij
de door mij gevolgde methode hel aanlal lagen oneindig grool aangenomen
wordt en de telling van buiten naar binnen plaats heeft.

Het groote voordeel van deze wijziging in de methode springt hij vergelijking
van de twee afleidingen onmiddellijk in hel oog, zooals in Hoofdsluk III,
waarin een uitvoerig overzicht van de afleiding gegeven wordt, nader zal
aangetoond worden.

In Hoofdsluk IV wordt l)esciHcven op welke wijze de zelfinductie voor een
solenoïde met rechthoekige doorsnede van de windingsruimte verkregen wordt,
volgens de reeds eerder op pag. 3 vermelde, door Rosa.^) ontworpen en beschreven
correctiemethodc, die door iiem met uilslckend succes is toegepast om de correctie
te berekenen, die aan de zelfinduclie van een solenoïde, waarvan de wiiulingen
uit aaneengesloten oneindig dun melaalband ])estaan, moei aangebracht worden
om de zelfinduclie Ie verkrijgen voor een solenoïde met éene laag windingen van
dunnen geïsolcerdcn ronden draad. Rij de locpassing van deze melhodc op een
solenoïde met een grool aantal lagen meent Rosa een even groote nauwkeurig-
heid van de resultaten Ie nu)gcn verwachten en bezigt hij zijn methode zelfs om
dc nauwkeurigheid van de fornuile van Stkkan voor korle solenoïden mei rechl-
hoekige doorsnede te toetsen.

Aanvankelijk in de meening verkeerende, dal de inelhodc van Rosa de
juiste waarde van dc zelfinduclie voor dit geval opleverde, heb ik daarvan gebruik
genuuikt om dc groolle van de afwijkingen bij de berekening volgens de door
mij afgeleide direcle fornuile van Hoofdstuk III te onderzoeken. Ik kwam daarbij
lol hel geheel onverwachte resiillaaf, dat deze afwijkingen steeds grooler werden
naarmate bij gelijke windingsdieple de lengle grooter genomen werd en ook
wanneer bij gelijUe lengle locneniende windingsdie[)lcn aangenomen werden. De
fouten waren veel groofcr dan uil het onfhrekcn van de bij de afleiding verwaar-
loosde lernien kon verklaard worden.

Na eenig zoeken vond ik de verklaring; hel bleek, dal de mefhode van
Ro.sa bij loenemende windingsdieple snel loencmende afwijkingen van de coi recte
waarden moei opleveren, terwijl bij een zelfde windingsdieple de fout eerst snel

gt;) Bur. or .St. II, 1(51, 19(K5.

•■!) Uur. of St. IV, y(J9, 11)08.

toeneemt met de lengte en daarna langzaam tot een bepaalde limiet nadert.

Een zeer uitvoerige berekening was noodig om, bij behoud van het som-
meeringsbeginsel, waarop de methode van Rosa berust, voor een paar aangenomen
waarden van de windingsdiepte (n.1. 1 en 2 cM. bij 10 cM. gemiddelden straal)
de tabellen voor de correctie-grootheid B af te leiden, die bij de berekening van
de correcte waarden van de zelfinductie voor solenoïden van de genoemde win-
dingsdiepten en verschillende lengten gebruikt moeten worden.

Deze tal)ellen zijn gebezigd om de nauwkeurigheid van de formule van
Hoofdstuk III voor verschillende lengten te onderzoeken en ook om de boven
besproken fouten van Rosa\'s methode te bepalen.

De resultaten van dit onderzoek zijn in eenige tabellen samengevat en
worden verder door graphi.sche voorstellingen toegelicht.

Wat de fout in Rosa\'s methode betreft ben ik erin geslaagd een eenvoudige
uitdrukking te vinden, die deze fout als functie van de lengte en van de win-
dingsdiepte met zoo groote benadering voorstelt, dat door het aanbrengen van de
volgens deze uitdrukking berekende waarde als correctie, resultaten verkregen
worden, die bijna volkomen overeenstemmen met de waarden, verkregen volgens
de strenge sommeeringsmethode en de daaraan gelijkwaardig gebleken complete
formule van Hoofdstuk IH.

Ten slotte wordt aangetoond, dat door de drie voornaamste termen van
de complete formule een benaderingsformule verkregen wordt van buitengewoon
eenvoudigen vorm, die voor zeer veie gevallen voldoende nauwkeurig is. Door
een uit de graphische voorstelling van dc foutenkromnien voor deze formule
empirisch geconstrueerden correctietcrm kan de nauwkeurigheid van deze benade-
ringsformule zoodanig verhoogd worden, dat ze voor niet tc korte solenoïden
aan voor dit geval redelijk te stellen eischen volkomen voldoet.

Een aantal voorbeelden worden behandeld om een vergelijkend overzicht
te geven van de nauwkeurigheid, die met de verschillende methoden bereikt
kan worden, terwijl een paar volledig uitgewerkte voorbeelden doen zien, chü
voor speciale gevallen de berekening volgens de nieuwe formules bijzonder
eenvoudig wordt.

Hoofdstuk V bevat een overzicht van de bereikte resullaten, lerwijl in
een aanhangsel eenige tabellen zijn opgenomen, waarin de voornaamste resultaten
van de in Hoofdstuk IV ])eschrcven berekening wortlen vermeld.

HOOFDSTUK I.

AFLEIDING VAN DE VOLLEDIGE VERGELIJKING VAN MAXWELL.

Gevraagd wordt de coëfficiënt van onderlinge inductie van twee even lange
concentrische coaxiale solenoïden. Beiden zijn voorzien van éene laag windingen,
waarvan het aantal voor de binnenste /Ji en voor de buitenste n^ per cM. bedraagt.

We onderstellen nu eerst dat de binnenste solenoïde naar heide zijden tot
in het oneindige verlengd is en dat door de windingen een stroom gaat van de
eenheid van sterkte, dan is de veldsterkte binnen deze solenoïde constant en
gegeven door de uitdrukking

De doorsnede van de solenoïde bedraagt na^, zoodat het geheele aanlal
krachtlijnen door deze doorsnede iii a^ bedraagt.

Dit aantal krachtlijnen doordringt ieder van de windingen van de buitenste
solenoïde, dus in \'t geheel n^ l windingen.

De coëfficiënt van onderlinge inductie wordt dus voor dit geval

(4)nbsp;M=4:7I^ iii n^a^ l.

Wordt nu de binnenste solenoïde even lang genomen als de buitenste, dan
wordt M kleiner ten gevolge van den demagnetiseerenden invloed van de uit-
einden. Deze einden kunnen beschouwd worden als magnetische vlakteladingen,
die een inductie teweegbrengen, waarvan de richting tegengesteld is aan de inductie-
werking van den stroom door de windingen van de binnenste solenoïde.

Noemen we de inductie van écu van de uiteinden van de binnenste sole-

)

noïde op de buitenste Q\' dan is duidelijk dat de gevraagde coëfficiënt van
onderlinge inductie gegeven is door de vergelijking

M = 4n^ IIInbsp;l — ^Q\'

Fig. 1.

/ quot;I \\ .r \'

\\0

/ I

De potentiaal in een punt P (q . 6), teweeggebracht door een vlakke cirkel-
vormige magnetische laag met dichtheid 1 en straal a, wordt gegeven door de
volgende uitdrukking \')

waarin de P\'s harmonische l)olfuncties zijn behoorende bij den hoek e (fig. 1).

Wc beschouwen een winding van de buitenste solenoïde op een afstand
r van hel punt O en construeeren van uit O met straal =nbsp;een

1) Thomson and Tait, Treali.sc on Natural Pliilosophy § 540, example II.

holoppervlak. De beschouwde winding ligt dus op dit boloppervlak, zoodat de

magnetische inductievloeiing door het door de winding begrensde deel daarvan

gelijk is aan de inductievloeiing door het vlak van de winding zelve. De radiale

d V

component van de magnetische kracht isnbsp;zoodat de inductievloeiing Q

door de beschouwde winding gegeven is door de uitdrukking

are. cos z/q
~ sin e d B,

d Onbsp;\'

of cos 6 = ^ stellende;

Q= ^Tre^

De geheele inductievloeiing door alle windingen van de buitenste solenoïde
wordt nu verkregen door de laatste uitdrukking met /i, n^ dz te vermenigvuldigen
en tusschen O en / te integreeren. De vlaktedichtheid van de nuignetische laag
is namelijk /?, en hel aantal windingen voor een Icngle-clcmcnt dz is n^dz.

We krijgen dus:

dV

dQ
o »\' i

De waarde van deze integraal moet dus uit de bovengenoemde uitdrukking

voor V afgeleid worden.

Daar voor de geheele buitenste solenoïde q^ a is, moeten wc gebruik maken

van dc tweede uitdrukking voor V.

Ten einde de wet van opvolging voor de termen van de in optredende
reeks te kunnen opsporen, moeten we bij de afleiding vooral zorgen geen her-
leidingen oi) de getallencoëfncicnteu toe te passen, die dc regelmaat in de
opvolging onherkenbaar zouden maken.

Voegen we aan de tweede uitdrukking voor V nog 2 termen toe, dan
wordt deze:

1.1.3.5.7^ ^ „
10 e®

naar q gedifferentieerd en met 2nq^ vermenigvuldigd geeft zij;

dV , Al Onbsp;1.3.5a6 , 1.3.5.7n» j, .

(9)nbsp;=

de Fs worden gegeven door de volgende uitdrukkingen:

5.7/, O ^ 2 . 1 ^ •

5.7j

7.9.11/ , „ 5 , , „ 3.5 , . LÜLlAl

1.3.5.7

^ • ßquot;quot; «• ÏCTS \' -quot; • rraTïs\'-\' \' -«MTräj-

We substitueeren deze waarden in bovenstaande uitdrukking (9) en voeren
de integratie naar fc uit, waar])ij we levens nog den ftictor «2 l)uiten de accoladen
brengen. We vinden dan:

.ooi 1 . 3 3 « V 1 3 1 \\ 4-

, 1.3.5 5.7 rtW 1 . „1 3 I 1 - ^ \\

1.3.5.7 7.9.11 g»^ / I , „1 5nbsp;1.5nbsp;l.\'ó.ö \\ .

-2T4T6-.-8- 27476-p- I quot; ^ \' ÏÏ ^ quot; ÜTÏÏ7.9.11

27riö--27¥^ iir^nbsp;Sl.13.15\'^ ^ 9.11.13.15\'V

We moeien nu in deze uitdrukking de grenzen invoeren. Voor fi = 1
worden alle tusschen ronde haken geplaatste functies = 0. We verdrijven de

breuken tusschen de ronde haken door te vermcnigvuhhgen niet den noemer van
den coëfficiënt van /t en brengen tevens ^ • • • enz. binnen de hal;en. We
vinden dan:

Qquot; Q\'
1.3.5.7 7.9.11 1

vrtquot; X

2.4.6.8 2.4.6 7.9.11
/ -7nbsp;, O rnbsp;, 1.3.5.7.9 9.11.13.15 1

x(ll. 13.15^-4.9.11.13^4^ 6.7.9.11^4-4.5.7.9^ 3.5.7^4)j.

Deze geheele uitdrukking moet nu met /?, /ï^ dz vermenigvuldigd en tus-
schen 0 en / geïntegreerd worden, om de waarde van Q\' (7) op te leveren.
We krijgen dus:

=nbsp;ƒ!, /ij a\'

• O

r\\ 1.3.5.7 7.9.11 1 ,
nbsp; nbsp;2.4.6.8 2.4. 6 -7.9.11 quot;

/ -7nbsp;O--,-\' ^ , 1.3.5.7.9 9.11.13.15 1

We moeien dus de volgende integralen bepalen:

dz____enz.

(?3

O

-3

^ dz____enz.

O

waarm

Door middel van de betrekking

A -n_ nz

zijn de integralen van de eerstgenoemde soort gemakkelijk te bepalen, terwijl alle
andere door partieele integratie tot de eerste soort teruggebracht kunnen
worden.

A

Schrijven we voor f{z) dz kortheidshalve 9 {fiz)), dan vinden we, als we
0

4

tevens ——--= x stellen, voor de in Q\' voorkomende integralen achtereenvolgens:

VA^

(13)

De wet voor de coëfficiënten in de verschillende groepen en het verband
tusschen de opvolgende groepen is zeer duidelijk, zoodat ook voor de volgende
niet behandelde termen van Q\' de daarin voorkomende integralen onmiddellijk
neergeschreven kunnen worden.

Wc moeten nu de waarden van deze integralen in de termen van Q\' (12)
substituceren en dan naar opklimmende machten van x rangschikken.

Als voorbeeld geef ik hier de berekening voor den voorlaatsten term.

5.7.9.11

9.11

op.

1.3.5 .- 5 \'
— ■■ gt; ^ /I
5. /

We herleiden dc oi)lrcdcnde functies van zoodanig, dat de bekende
term 1 wordt. Daardoor komen successievelijk huilen dc haken de gelallen-

coëfllcienlen:

1.3 1.3.5nbsp;1.3.5.7

en

7.9

Deze moeten als vierden factor toegevoegd worden aan de reeds uit drie
factoren bestaande coëfficiënten vóór de ronde haken in Q\' (12), zoodat deze
reeks nu na verwijdering van identieke factoren in de tellers en noemers als
volgt kan geschreven worden:

2.4.6.8.10\' 2.4.6.8 \'9.11.13.15\' 7.9nbsp;32768

Maxwell heeft zijn vergelijking gebracht in den vorm:
(14)nbsp;M = 4 7r2/li/ijO M^ —2^«)

vergelijkt men dezen vorm met (5) dan wordt dus:

_ Q\'

Voeren we de hierboven besproken substituties en herleidingen uit, dan

vinden we:

_1/-r A
~ 2 A

«2 /nbsp;\\

22.4

1^.3
22.42.6
12.32.5
22.42.62.8
12.32.52.7__

22.42.62.82.10 yl»

De wet voor de vorming van de gelallcncoëfficienten, die vóór de ronde
haken staan, behoeft geen nadere toelichting. De bouw van de functies van .t in
de ronde haken is ook gemakkelijk Ie volgen. Evenals bij dc uitdrukkingen voor

de bolfuncties, waaruit ze ontstaan zijn, treden hier weer de binomiaaleoëfficienten
op. Verder hebben in iedere functie de machten van x tot coëfficiënt een breuk
met gelijk aantal factoren in teller en noemer. Dit aantal is steeds éen minder
dan het ordegetal van de functie in de reeks.

De noemers zijn in iedere functie voor alle termen gelijk.

In iedere functie heeft de eerst voorkomende macht van x tot exponent
2 /2 1, en in den teller van den coëfficiënt n — 1 opvolgende even factoren, Ie
beginnen met 2. De laatst voorkomende macht van x heeft tot exponent 1/j — 1,
en in den teller van den coëfficiënt n — 1 opvolgende oneven factoren, tc beginnen
met 2/1 1.

De tellers van de daartusschen gelegen termen worden verkregen door

achtereenvolgens éen, twee---- enz. even factoren, steeds van voren af aan

beginnende, van den eersten coëfficiënt door een gelijk aantal van de oneven
factoren, ook van het begin af gerekend, van den laatsten coëfficiënt te vervangen.

Een blik op tic pag. 15 vermelde berekening voor den voorlaatsten term
van « doet zien, dat de in de tellers van de coëfficiënten voorkomende even
factoren ontstaan zijn uit de verschillen van twee oneven factoren uit de tellers
van de breuken waaruit ze door optelling afgeleid zijn.

Daar we nu met behulp van bovenstaande regels in staat zijn, van de
reeks « zooveel termen neer te schrijven als we verkiezen, stelt deze uitdrukking
de door Maxwell gegeven vergelijking volledig voor.

HOOFDSTUK II

DE COËFFICIËNT VAN ZELFINDUCTIE VOOR EEN LANGE SOLENOÏDE

iMET ÉENE LAAG WINDINGEN.

Stellen we in de vergelijking van Maxwell A = a en 121=11^=11, dan
gaat deze over in de vergelijking voor de zelfindnctie van een cylinder met n
windingen per cM.

De vergelijking wordt dan, als we tevens de waarde van « (16) in (14)
substitueeren:

jr —a-f-

1

a 1—

2.4

................

We deelen nu binnen de accoladen door «, zoodat wc daarvóór in plaats
van a2, «3 verkrijgen. Dus

Ls= 4 7I2 a3

T.4 (\'-\'-■)

.................

Deze vergelijking is in dezen vorm voor de berekening van zeer nauw-
keurige waarden van de zelfinductie niet te gebruiken, daar wegens de langzame
convergentie van de reeks een te groot aantal termen berekend zou moeten
worden. Alleen voor zeer lange solenoïden zou men met enkele termen kunnen
volstaan, maar dat geval heeft voor de praktijk weinig beteekenis.

Om dus formule (17) voor de berekening van coëfficiënten van zelfinductie
bruikbaar te maken, moeten we trachten een eenvoudige uitdrukking te vinden,
die zoo nauwkeurig mogelijk de som van de daarin voorkomende oneindig voort-
loopende reeks weergeeft.

Bij de vervaardiging en uitmeting van den zeer zorgvuldig bewerkten
standaard van zelfinductie voor het «Bureau of Standards» te Washington, is
de bij deze meting bereikte nauwkeurigheid door Coffin geschat op éen hon-
derdduizendste. Stellen we nu de grootste toelaatbare fout bij de berekening op
de helft van dit bedrag, dus op éen tweehonderdduizendste, dan is daarmede
aan de hoogste eischen voor de praktijk voldaan. De nauwkeurigheid van de in
dit Hoofdstuk af te leiden formule zal blijken nog aanmerkelijk grooter te zijn.

Noemen we kortheidshalve de reeks getallencoëfficienten vóór de ronde

haken c,, c^____c„ en de functies van x in de ronde haken y,, ij^----//„ dan

wordt de som van de reeks voorgesteld door:

11 = 00
v

Cn IJn,

n=l

waarvoor wc kunnen schrijven :

v c. l/„ = Cn 2; Cn {ijn — 1).

n=lnbsp;n=lnbsp;n=l

Voeren we dit in formule (17) in, dan wordt deze:
(18)nbsp;ƒ,,nbsp; nbsp; \'£ c„ {ijn- 1)

We l)eginnen met een eindigen vorm te zoeken voor

n = 00
SI — Cn .
n=l

1) Bur. of st. II, 93; 1906.

De algemeene term van deze reeks is:

_ 1. . .. ■ (2 — 3)-^ (2 n — 1)
~ 2.42.02.......(2 (2 n 2)\'

vervangen we hierin n door n — \\, dan krijgen we

_1.3-^ .52 ... (2 n —5P (2 n — \'ó)
~2 . 42 . ... (2 /J —2)2 2 n

hieruit volgt

- (2 /»-3)(2n-l)_ 4»2-8/» 3 ^

2/2(2/1 2) ~ 4/12-1-4/1nbsp;/j2 /i

De reeks S^ kan gebracht worden in den vorm van een hypergeometrische
reeks. De algemeene gedaante daarvan is:

V

(„, ft „ X)=1 quot;nbsp; .....

De algemeene term hiervan wordt:

_ «(« 1).....(« /i —l)/g(/g 1).....(4 /»-!) .

i.2..........(y /i-l)nbsp;\' \'

hierin n door 11 --1 vervangen geelt:

_«(« !).....(« /t -2)/g(/g 1).....(/? n - 2)

1.2.....(/J-l)y(r l).....

waaruit volgt:

iin _(a /t-l) {ß n- 1),^,

lln-lnbsp;

of, na herleiding,

/22 (« /S - 2) /t («-l) (/g-1)

(20)

Vergelijken we deze uitdrukking met (19), dan blijkt, dal ze daarin over-
gaat als we:

=nbsp;y-l = l en x= 1

stellen. Berekenen wc hieruit de waarden vannbsp;[gt; en dan vinden we:

rt = — 4quot;\'nbsp;y = 2.

De gezochte hypergeometrische reeks wordt dus:

/ 1 1nbsp;11 5

1 ^ \') 1 I _1 __=_____ — 1__S\'

Ü4 1024

Nu is in \'t algemeen: \')

dus voor dit geval

i\' ï)» fj gt; ^

daarnbsp;=

We krijgen dus ten .slolte:

(22)

Er blijft nu nog overnbsp;1) in een voor de berekening geschikten

Wc moeten daarvoor de functies i/,, J/a----enz. wal nader besludeeren.

Voor .r = 0 worden alle = terwijl voor x=l allen =0 worden en
de geheele formule (17) tot de ongerijmdheid L, = O voert. Dit wordt verklaard
door hel feit, dat bij de aileiding van de vergelijking van Maxwkll de laatste
integratie tusschen de grenzen ü en / is uitgevoerd. Nu is voorx-=l, / = (),
zoodal dan de intcgraliegrenzen samenvallen en daardoor de zooeven genoemde
ongerijmdheid ontslaat.

») Zie o.n. E. T. Whittakeh, A course of modern analysis, 241.

In flg. 2 zijn de functies i/,, y,---- tot ij-^ graphisch voorgesteld. Alle

krommen gaan door het punt xrzrl, i} = (), dat in de figuur niet is opgenomen,
en ook door hel puntnbsp;i/ = l.

Fig. 2.

0.5

.r = O

De gestippelde ordinaat verdeelt de hguur in twee deelen, waarvan hel
rechtsche betrekking heeft op korte solenoïden, het linksche op lange solenoïden.
Een solenoïde wordt hierbij gerekend tot de korte als /lt;l,2a, lolde

lange als / gt; 1, 2 a is.

De moliveering van deze indeeling zal aan hel einde van dil hoofdstuk

gegeven worden.

Het algemeen karakter van de opvolgende krommen komt hierop neer,
dat naarmate het rangnummer van de kromme hooger wordt, deze in het gebied
links van de stippellijn steeds kleinere afwijkingen van de lijn ij = l vertoont.
Daar we voor ons doel alleen de waarden van de y\'s in dit gebied noodig
hebben, kunnen we dus alle ij\'s, waarvan het rangnummer hooger is dan een
zeker getal p, gelijk 1 stellen, zoodat dan in bovengenoemde som alle elementen
waarvoor /i gt; is, O worden.

Met groote benadering hebben we dus

(23)nbsp;Cn {ijn - 1) = quot; ^\'\'cn {ijn - 1).

^ \'nbsp;71 = 1nbsp;1=1

Het voordeel van deze transformatie is, dat de tweede uitdrukking de som
van een eindig aantal termen voorstelt, zoodat we deze mogen verschikken,
zonder dat dit invloed heeft op de waarde van de som, terwijl de eerste uit-
drukking een oneindig voortloopende reeks voorstelt, waarbij wegens de afwisse-
lende teekens zulk een vcrschikking in \'t algemeen nicl geoorloofd is.

Uit de figuur blijkt, dat we niet zeer groot behoeven te nemen om bij
de berekening nauwkeurige resultaten te verkrijgen. Nemen we b.v. = 8 en
voeren de berekening uit, dan krijgen wc na optelling en rangschikking volgens
opklimmende machten van x een vorm van 15 termen, die alle oneven machten
van .T bevat te beginnen met en eindigeiule met .x\'quot;. Noemen wc deze i/gt;, dan is dus

11=8

(2\'1)nbsp;c„(i/„—1).

^ \'nbsp;II = 1

Bij dc berekening van dc verhouding van de opvolgende gctallencoëfli-
cienten in deze uitdrukking bleek nu, dat deze verhouding te beginnen met den
vierden term en voortgaande tot den elfden term nagenoeg constant is en ongeveer
2 bedraagt, oni vooj\' dc vier laatste termen zeer snel weer af te nemen.

Onder de vooropgestelde beperking, dat wc voor x geen grootcre waarden
dan O.Gl nemen, kunnen wc met zeer groote benadering voor de 15 termen
van tp de volgende uitdrukking van vier termen in de plaats stellen:

O Ifi\'lü -c«

(25)nbsp;= - 0.125 .T» O.Or.25 .r» - 0.1172

Dc laatste Icrin steil de som van een oneindig voortloopende meetkundige
reeks voor met rede — 1.96 en eersten term O.lGKi a:», mits voldaan is aan
de voorwaarde, dat 1.9G x^ lt; 1 is.

Wanneer we dezen term ontwikkelen dan blijkt, dat de zes eerste termen
van deze ontwikkeling zeer kleine verschillen opleveren met de correspondeerende
termen van ip. Hierop volgen drie termen met grootere afwijkingen, terwijl bij
de drie laatste termen de verschillen relatief zeer groot zijn.

In onderstaande tabel zijn de absolute waarden van de coëfficiënten van
lp en qp naast elkaar geplaatst en in de vierde kolom de verschillen aangegeven.
De vijfde kolom geeft de bij de coëfficiënten behoorende machten van x en het
teeken van den term.

Daar nu in het ongunstigste geval, n.1. voor a: = 0.64, de waarde van den

0.1646 , , ,nbsp;, ,nbsp;, , ,

term ^ ^ ^ qq slechts ongeveer V400 van den geheelen coëfficiënt van zelf-

inductie vertegenwoordigt, is het duidelijk dat het verschil (p—ip (in \'t bovenge-
noemde geval V260000 van L) steeds uiterst gering zal zijn, zoodat de vervanging
van lp door de veel kortere uitdrukking (jp volkomen verantwoord is.

Substitueeren we nu de gevonden waarden van S, en in vergelijking
(18), terwijl we nog

(26)nbsp;= (.r)
stellen, dan krijgen we ten slotte:

(27)nbsp;Anbsp;n-^ a^ L,(.a) —

.»TT/

waarin

= 1- 0.125.^3 -I- 0.0625..;-^ -0.1172.r\' F^if^

.r = — =---geldend voor O lt; .t lt; 0.61

\'\' Va^ / 2

of oogt;/gt;1.2a

8

= 0.81882636.

3

Deze formule geeft nu in eindigen gesloten vorm met zeer groole benadering
den coëfficiënt van zelfinductie voor alle solenoïïlcn, waarvan de lengte begrepen

is tusschen 1,2 a en 00.

De uitvoering van dc berekening volgens deze formule is uilcrst eenvoudig
cn vereischt, bij het gebruik van een tafel met zeven decimalen, in hel ongunstigslo
geval 30 j\\ 35 minuten, waarbij vooropgesteld is, dat men de logarithmcn van
dc in dc formule voorkomende constanten vooraf bepaald heeft. .

Voor dc berekening van de laatste drie termen van 7), {x) zijn vijf deci-
malen voldoende, die dus zonder inter|)olalic in dc tafel met zeven decimalen
gevonden kunnen worden.

Ten einde dc nauwkeurigheid van de met deze formule berekende waarden
te onderzoeken, heb ik deze vergeleken met de volgens dc volkomen exacte

») Om lalcr Ic vermelden reden zijn de conslnnlcn in den laalslcn term van (.r)
cenig.szin.s gcwijzi|{d.

formule van Lorenz berekende waarden. Ik heb hiervoor de formule van Lorenz
gebruikt in een door Rosa gewijzigden vorm n.1.:

(28)nbsp;Ls=aN-^Q

waarin

= tg y N = geheele aantal windingen.

is het argument ter bepahng van de zoogenaamde complete elliptische
integralen van de eerste en tweede soort E en F. 2)

Vervangen we in bovenstaande uitdrukking voor Q, door tg y dan
wordt deze:

O\'- = X11/1 ih - ïsH

Berekenen we nu dezelfde grootheid () = ^^^ uit formule (27), dan vinden
we na herleiding:

/ , . 8

(30)

Qn = n^ ig^

, = 1 - 0.125 0.062.1 .T» - 0.1172 .t\' -f r^

a . ••, , 2 a

nu IS .x = —rzzrzzii 1 terwijl tq y = -j-,
j/a2 nbsp;\'nbsp;\'

dus =nbsp;Dit in x gesubstitueerd en herleid geeft:

-- of-=|/l • ^

- Xnbsp;\' ig^y

1

tg\'y

1)nbsp;Bur. of St. V, 41; 1909.

2)nbsp;Zie Inleiding pag. 2.

Rosa heeft voor een aantal waarden van Ig y van 0.2 tot 4.0 de grootheid
Ql berekend en in een tabel vereenigd, die hieronder is weergegeven.

Door nn de in deze lal)el opgegeven waarden van tg y in C?« (.quot;10) te sub-
stitueeren, en de verkregen waarde van Qn niet de in de tabel gegeven Qi^ te
vergelijken, kon ik een oordeel krijgen over de nauwkeurigheid van de door mij
afgeleide Formule, en de grenzen bepalen binnen welke aan de gestelde eischen
van nauwkeurigheid voldaan werd.

Bij dc uitvoering stuitte ik echter op twee bezwaren. Een van deze bezwaren
i)eslond hierin, dat voor de zeer lange solenoïden, waarvoor ik een overeen-
steniniing in acht cijfers verwachtte, de waarden van Qi, in de tabel slechts in
zes cijfers gegeven zijn. Het tweede, niet minder groote bezwaar was, dat de
waarden van Q,, in de boven weergegeven tabel niet vrij van fouten bleken tc
zijn. Reeds de eerst opgegeven waarde voor /ƒ/;- = 0.20, C^/. ==3.(33210 is foutief cn
moet zijn-=3.()3238. Deze fout is ruim 1000 nmal grooter dan hel verschil
lusschen de waarden van Ql en Qn voor dit geval bedraagt.

Ik heb nu, om den juisten vorm van de kromme te l)epalen, die tie ver-
schillen als functie van de relatieve lengte voorstelt, voor een vijftiental waarden
van /, begrepen tusschen / = « en /=10a, de berekening volgens de heide formules

1) Bur. of St. V, 114; 1909.

uitgevoerd in 10 decimalen, daarbij gebruik makende van den Thesaurus Loga-
rithmorum van Vega en voor de logarithmen van E en F van de bovenaan-
gehaalde oorspronkelijke tafels van Legendre.

Ten einde deze toch reeds tamelijk tijdroovende berekeningen niet noodeloos
gecompliceerd te maken, heb ik voor het argument zoodanige waarden gekozen,
dat de logarithmen van tg-y, E en F zonder interpolatierekening aan de genoemde
tafels ontleend konden worden.

Dat deze maatregel een belangrijke tijdbesparing meebracht, kan het best
geïllustreerd worden door de opgave van een stel bij elkaar behoorende waarden
van Ig tg y, Ig E en Ig F met de in de tafels daarbij gegeven verschillen.

Voor y = 6\'óA\'\' vinden we n.1.

Igtgy = 0.300 3680 295 D\' = 525 916 Dquot; = 40

Ig E = 0.071 447 108 316nbsp;Ig F = 0.353 357 874 771

D\' — — 346 919 479nbsp;D\' = 610 682 568

Dquot; = — 83 631nbsp;Dquot; =z 2 070 386

4 235nbsp;Dquot;\'= ^ 11359

Voor deze waarde van y is tgy=\\.^^l en /= 1.0015 a.

Had ik hiervoor in overeenstemming met de tabel van Rosa igy =
dus / = « willen nemen, dan zou, eerst voor dc bepaling van en daarna voor
de logarithmen van E en F, een zeer tijdroovende interpolatierekening noodig
geweest zijn.

Een overzicht van de resultaten van deze berekening geeft tabel I van het
Aanhangsel. De waarden van en zijn zoover ingekort, dat de verschillen door
getallen van 2 cijfers worden aangegeven. Hel gaandeweg korter worden van de
getallen in de derde en vierde kolom geeft een duidelijk beeld van de verminde-
rende nauwkeurigheid bij het afnemen van dc relatieve lengte, terwijl het zeer
snelle stijgen van de vier laatste getallen in dc vijfde kolom, die de afwijkingen
in milliocnstc deelen van Ql uitgedrukt aangeven, erop wijst, dal de formule (27),
voor solenoïden waarvan de lengte minder dan 1.2 a bedraagt, niet meer aan de
gestelde eischen van hooge nauwkeurigheid voldoet.

De lijn van lig. 3 geeft de in de laatste kolom van de tabel opgegeven
afwijkingen weer voor de waarden van l=lA(i tot /=1.8a.

29
Fig. 3.

-I

l.Onbsp;1.2nbsp;1,4

/il Foulcnkroiiinic voor dc formule (27),

„ „ „ (31) met Iwec rcckslcrnicn,

n\'-i

C

Dc lijii C gecfl dc verschillen weer, die de berekening volgens do formule
van Coffin \') voor korte solenoïden met de werkelijke waarden oplevert.
De formule van Coffin luidt aldus :

= irraN-^ j % quot; T 32 T t) quot;

ÏM iïf Vquot;-^ T - yi 13107-2 ^ T - rm) -

nr I.K /nbsp;I\'ll \\ ^

35nbsp;S « _ iill \\

lïïMaölnbsp;b m\'

b = lengte, N = totaal aantal windingen.

1) Bur. of St. II, 113; 190G cn V, 39; im

•-•) In deze formule cn ook in \'t vcrvolK heeft dcnbsp;afkorting h(j dc bclcckcnis van
«natuurlijke logarithme». Dc gewone logarithme zal als Ig worden aangeduid, terwijl clg dc
zoogenaamde complementaire logarithme voorstelt.

Deze formule is een uitbreiding van de formule van Rayleigh en Niven
die overeenkomt met den eersten regel van (30a).

Uit de figuur is nu duidelijk, dat ongeveer bij l = \\2a de grens gelegen is,
waarbij men van de formule van Coffin voor korte solenoïden moet overgaan
op formule (27) voor lange solenoïden om steeds de grootst mogelijke nauw-
keurigheid te bereiken.

Hierop berust de in het begin van dit hoofdstuk vermelde indeeling in
korte en lange solenoïden.

Door een kleine wijziging van den laatsten term van lt;]Pi(.r), che ik kortheids-
halve den reeksterm zal noemen, en het toevoegen van een tweeden dergelijken
reeksterm, kan de nauwkeurigheid nog aanmerkelijk verhoogd worden, zonder
dat de berekening daardoor noemenswaard meer tijd vordert, daar de logarithmen
voor dc berekening van dezen term reeds in de voorafgaande lierckening voorkomen.
Tevens wordt met deze wijziging liereikt, dat de grens voor den overgang van
de korle op de lange solenoïden leruggel)rachl wordt van l — \\2a tol l — a.

De aldus gewijzigde vorm van dc formule wordt:

(31)

/nbsp;1nbsp;- , . 0.1(168.7;« 0.0883

(.^) = --0.125.r3 -}-0.0C,25a;= -0.11/2.\'.^ -f j

Hiermede berekend zijn de grootste afwijkingen voor /) 1.02 a kh-iner (hui
een niillioenste, terwijl voor / = a de afwijking nog slechts 1.8 millioenslcn
bedraagt en voor nog kortere solenoïden zeer snel toeneemt.

Dc conslanlcn 0.1(568, 0.0883 en 1.998 voorkomende in de twee laatste
termen van lt;j, (uj (31) zijn volgens de methode van de kleinste kwadraten bepaald.
Dit is ook het geval met de conslanlcn 0.1683 en 2.0()1 uil den laatsten term
van (27). Het vrij groote aantal volgens dc formule van Lohenz zeer nauwkeurig
berekende waarden van Q, voor het gebied waarin dc ver.schillen het grootst zijn,
n.1. van / = a tot / = 1.8a, verschafte de gegevens, om de aanvankelijk uil de
gedaante van iigt; door schatting verkregen en in (25) vermelde waarden van deze
constanten door het aanbrengen van corrcclies zoodanig te veri)clcren, dat de som
van de kwadraten van dc overblijvende afwijkingen minimum werd.

») Bur. of St. V, 39; 1909.

De lijn B^ fig. 3 geeft de afwijkingen weer voor de formule (31) met twee
reekstermen, terwijl B^\' de verschillen weergeeft als men in (31) den tweeden
reeksterm weglaat. Zoodra /gt;1.45a is, heeft het weglaten van dezen term geen
merkbaren invloed op de nauwkeurigheid.

Voor solenoïden waarvoor / lt; 0.8 a is geeft de formule van Coffin en voor
solenoïden waarvoor /gt;1.8a is geven zoowel formule (27) als formule (31) uit-
komsten, die minder dan een tienmillioenste van de werkelijke waarde verschillen.

De lijnen B^ en C snijden elkaar in het punt waarvoor / = ± 1.02a, terwijl
volgens de figuur de afwijking negatief is en minder dan 6en millioenste bedraagt.

Ik heb voor de waarde /=1.02a de grootheid Q volgens de drie formules
berekend en daarvoor gevonden :

Volgens (le formule van Lorenz . ... Q = 20.525 2(50

(31) . ... Q = 20.525 25()
»nbsp;» » Coffin . ... Q = 20.525 251

Uit deze waarden blijkt, dal het snijpunt van de twee krommen werkelijk
zeer dicht bij het punt / = L02a en iets links daarvan gelegen moet zijn.

Ten slolte volgen hier de volledige berekeningen voor dezelfde solenoïdc
volgens de drie formules. Ik heb daarvoor genomen de afdeelingen 1 2 van den
grooten standaard van zelünductie van het «Bureau of Standards» le Washington.

De aiinetingen daarvan zijn f/— 27,0802 cM., = / = 32,0912 cM. terwijl
volgens opgave van Iv B. Bosa\') de waarde van L, 0.112 722 henry bedraagt.

gt;) Hur. of St. II, 172; 1900.

Vooraf bepaalde logarithmen :nbsp;= 0-622 0886, c Ig 3600 = 6.44370 - 10.

2a = 1.7337781
Ig 4 ö\'^ = 3.467 5562
Ig 8 a3 = 5.201 3343
Igb = 1.514 4309quot;
/ff = 3.028 8618

lg2a = 1.733 7781
c/ff ft = 8.485 5691—10

/ff/ff y = 0.219 3472

/ff = 3.602 4250quot;
/ff d = 1.801 2125
/ff4o2 —62 = 3.2708964quot;
/ff iV = 2.673 9420*
/ff iV2 = 5.347 8840

4 a2 = 2934.649quot;
/gt;2 = 1068.715quot;

(/2 = 4003.364

/ff/ff 7 = 0.219 3472
/ff/ff 58quot; 53\'20quot; = 205

267

7 = 580 53\'25quot;.61quot;
= 58.80 325quot;.61

= 58.89045quot;

4 a- = 2934.649
/»2 = 1068.715

4 o3 _ /,2 = 1865.934

D1quot; = 47.6
2 67

= 5.61

47.6

/ff 325.61 = 2.51270*
clg 3600 = 6.44370-10

8.95640
h = 0.09045*

voor 58.8quot;

/ff F = 0.32733041*
4 7565

voor ylgF= 0.3278 060G

l-A\'

= 0.048

k = 0.9045

Al = 52595
— 8

/ff 52587 = 4.72089*
/ff k = 9.95640-10

4.67729 . . 47565*

voor 58.80

/ff Ti = 0.0872 4764*
- 3 0658

voor ylgE = 0.0869 4100

/ff F = 0.327 8001
/ff rf = 1.801 2125
/ff /»2 = 3.028 8618

5.157 8804

143nbsp;840.23quot;

144nbsp;228.14

288 068.37
8 «3 = 158 977.05quot;

129 091.32= U

/ff il = 0.0869411
/fff/ = 1.8012125
/ff (4n2- /)2) = 3.2708904

5.159 0500
144 228.14**

4.48655 . . - 30658*

IgU = 5.110 8970**

/ffy = 0.622 0886

/ffiV2 = 5.347 8840
c/ff/gt;2 = 6.971 1382-10

IgLs = 8.0520078
L, = 0.112 7218** hcnry

Volgens formule (31),
Gegeven: «=27.0862, / = 32.6912, N = M2.
Vooraf bepaalde logarilhmen en constante:
/r/0.125 ==9.096 9100 — 10 /f7 0.1668 = 9.222 20—10
Ig 0.0625 = 8.795 88 - 10 Ig 0.0883 = 8.945 96 — 10
/(/0.1172 = 9.068 93 —10 /(/1.99cS =0.300 60

/f^a = 1.432 7481**
Ig a2 = 2.865 4962
03 = 4.2982443
Ig l = 1.514 430Î)**
/f7 f2 = 3.028 8618
= 3.255 8456**

1.627 9228
8.567 2519-10

lg — = 0.195 1747
^ .r

9.804 8253-10
9.600 6500-10

9.414 4759- 10
9.609 65 -10

/lt;7.r5 = 9.024 13 -10
9.609 65 -10

8.633 78 -10
9.(509 65 -10

8.243 43 -10
= 8.048 25 -10

; 6.291 ()8 -10

a2= 733.6623* *
= 1068.7147**

7-\' = 1802.3770
pos. Icrmeii
7 = 1.567 3816**

Ig 0.0625 = 8.795 88-10
/(7 0^ = 9.02413-10

7.82001
0.006 6070*

/y0.1668 = 9.222 20-10
/f7 .r» = 8.243 43-10
= 9.74153-10

^ôTfe-io
0.001 6112*

1.567 3816
O.OWi 6070
0.001 6112

1.575 5998
- 0.886 3419

0.680 2579 = P

neg. termen
/ff0.125 = 9.096 9100-10
/(7.T3 = 9.414 4759-10

8.511 3859-10
— 0.032 4628* *

/flr0.1172 = 9.068 93-10
= 8.633 78-10

7.702 71-10
-0.0050432*

/7 0.0883 = 8.9460-10
/f/.ri3 = 6.2917-10
c Ig p = 9.7415-10

4.9792-10
-0.0000095*

lift

- 0.848 8264
0.0324628
0.0050432
0.0000095

-0.8863419

/lt;71.098 = 0.300 60 ,
= 9.()01) 65-10

9.910 25-10
0.813 3*
1 1.998 .r-i= 1.813 3 = /J
c Ig p = 9.741 53-10*

!g N = 2.673 9420*
/lt;7iY-\' = 5.317 8810

/ƒƒ/\' = 9.838 3818-10**
Ig-l 7|2 = 1.596 3597
Ig N- = 5.347 8840
quot;/(/«3 = 4.298 2443
c Ig P = 6.971 1382-10

Ig Ls = 8.052 0080

Ls = 0J12 7218** henry.

Volgens de formule van Coffin (30a).
Gegeven: a = 27.0862, Zjr= 32.6912, N = 472.
Vooraf bepaalde logarithmen en constanten:

Ig 471— 1.099 2099

Ig-^ = 8.494 8500 - 10nbsp;= 5.882 49 - 10 clg mod = 0.362 2157

TTL - 6.989 70-10nbsp;4.921 41 - 10

1024

lga = 1.432 7481**
Ig 8 = 0.903 0900

= 8.485 5691 — 10

Ig Sajb = 0.821 4072

9.914 5585**
0.362 2157

0.276 7742
1.891 3600**

1.391 3600
: 2.141 36
: 1.224 69

1.891 36
0.908 33

= 0.983 03

1.891 36
1.02619

= 0.86517

pos. termen.

lg{pnbsp;= 0.330 mT*

1/32 = 8.494 8500—10
/f/72 = 0.163 3656

8.988 9053 - 10
0.097 4777**

/i/(/gt;-|^) = 9.992 57- 10*

Ig 10/217 = 5.882 49- 10
Ig 70 = 0.49010

6.365 IG - 10
0.000 2318*

_ 1 = 1.391 3600

0.097 4777
0.000 2318

1.489 0695
- 0.0025701

1.486 4991

neg. termen.
2

0.088 03*

/(/1/1024 = 6.989 70-10
Ig (f = 0.326 73

7.404 46 — 10
-0.0025378*

10*

U] 35/2Ï2 = 4.921 11-10
Ig lt;f = 0.6.\')3 16

5.512 97- 10
- 0.000 0326*

0.002 :)378.
0.000 0326

-0.002 5701

Igb = 1.514 4309**
clga = 8.567 2519 - 10

Igb!a = Igq =0.0816828
Ig f/2 = 0.163 3656
lgq^ = 0.326 73
Ig gC = 0.490 10
/gr 7\'^ = O 653 46

IgN =2.673 9420*
Ig iY-i = 5.347 8840

/f/ 1.486 1991 = 0.1721646**
Uj\\n = 1.099 20lt;.M)
Iga = 1.432 7481
Ig iV» = 5.347 8840

UjU = 8.052 00()6

U =am7^15** henry,

In deze berekeningen zijn alle getallen, waarvoor het gebruik van een
lalel vereischt werd. door éen of twee sterretjes aangegeven. Eén sterretje beteekent,
dat het getal onmiddellijk uit de tafel verkregen is, twee sterretjes, dat bij het
gebruik van de tafel een interpolatieberekening noodig was. Uit het aantal
getallen, dat op deze wijze gemerkt is, kan men ongeveer den voor iedere bereke-
ning vereischten tijd berekenen, hoewel daarbij natuurlijk ook dc aard van de uit
te voeren bewerkingen in aanmerking moet genomen worden.

Het eenvoudigst zijn de bewerkingen bij dc berekening volgens de in dit
Hoofdstuk afgeleide formule (31), daar deze zich hoofdzakelijk bepalen tot
optellen, vermenigvuldigen met of ileelen door 2, terwijl nergens in de berekening
bijzondere aandacht gevorderd wordt.

De formule van Coffin is ook nog zeer gemakkelijk in de toepassing,
hoewel de omzetting van gewone in natuurlijke logarithmen daarbij al meer
aandacht en dus meer tijd van den rekenaar in beslag neemt.

De formule van Lohknz is verreweg het meest tijdroovend, zoowel door
het grootcre aantal malen, dat het gebruik van een tafel noodig is, als door den
aard van de uit te voeren bewerkingen. Vooral de intcrpolatieberekeningen mei
eerste cn Iwecde verschillen voor dc bepaling van Ig E en /«/F zijn lastig en
tijdroovend.

HOOFDSTUK III.

DE COËFFICIËNT VAN ZELFINDUCTIE VOOR EEN LANGE SOLENOÏDE

MET VELE DRAADLAGEN.

De coëfficiënt van zelfinductie voor een solenoïde met rechthoekige door-
snede van dc windingsruimte, wordt gevonden door de uitdrukking voor de
onderlinge inductie van twee elementen daarvan tweemaal over deze ruimte te
integreeren.

Als elementen van de solenoïde beschouwen we cylindervlakken waarvoor
de onderlinge inductie door de vergelijking van Maxwell gegeven is.

Deze vergelijking wordt, wanneer we ons voorloopig tot drie termen van
de reeks beperken en de breuken herleiden :

la*/.nbsp;. 5 aC^AT ,nbsp;... A^^

Voor de notaties raadplege men lig. 1, pag. 10.

Fig. 4.

/i

\'li,

a\\

Het aantal lagen dat op de solenoïde is aangebracht bedragehet aantal
windingen per cM. ii. Dc beteekenis van de verdere te bezigen letters is in lig. A
aangegeven.

We denken ons nu ieder van de iiii lagen onderverdeeld in een oneindig
grool aantal lagen, zoodat we dus in \'t geheelnbsp;lagen verkrijgen.

We stellen nu kortheidshalve:

(33)nbsp;iimi=m.

Den straal van de buitenste laag «i cn den afstand van twee opeenvolgende
lagen öa noemende, worden de stralen van deze lagen dus achtereenvolgens:

ttj — da
a^ =ai — 2 da

(34)

= — — 1)^«-

Noemen we nu de onderlinge inductie van twee willekeurige lagen mei
stralen en a,j, Mpq, dan wordt de zellinduclie van de solenoïde gegeven door

de vergelijking:

(35)nbsp;=

Door de vergrooling van hel aantal lagen in de verhouding van 1 tot
zou de zelünduclie /t^ nuud te groot worden. Daarom moet het resultaat van de
integratie door /i^ gedeeld worden om de zellinduclie voor het eindig aantal /»i

lagen Ie verkrijgen.

We vervangen in (32) A door Up cn a door en stellen in plaats van de

getallen coënieienlen -1, ^ en ^ kortheidshalve c„ c, en C3.

Verder laten we om hel overzicht gemakkelijker te maken de termen,

waarin machten van j voorkomen voorloopig weg. We krijgen dan

.....—quot; *

Mj,^ = 4 n^ (h\'

We geven nu aan (] achtereenvolgens dc waarden 1, 2, 3 .... m, en aan/) dc
waarden 1 2.... lt;1 en subslilueeren de boven (34) gegeven waarden van dc
stralen in dc uitdrukking tusschen de vierkante haken. We ontwikkelen den
worlclvorm en voeren voor de drie laalste Ici inen de deeling uit, waarbij we om

dezelfde reden, als zooeven voor de termen met de machten van is opgemerkt,

voorloopig alleen de termen met de eerste macht van da behouden.

Stellen we nu nog ter bekorting VaV^ = r dan vinden we voor de
termen van de te bepalen som (35) achtereenvolgens:

— O,

=

M =

3.3

IM

(30)

M =

=

M =

1.5

M =

3.3

=
=

M =

3,S

2(

. l

— 1

-1nbsp; 1

_Inbsp;-f2

_inbsp;-fS

«;{!-! -1 1

_1 3
-1 4

1 -5
1 -4
1 -3

1nbsp;-8

1nbsp;-7

1nbsp;-6

1nbsp;-5

1nbsp;-4

1 - 8
1 - 5
1 - 2

1 —16
1 -13

1nbsp;—10

1nbsp;- 7
1-4

1 —12

1 - 7 }
1 - 2 }

1nbsp;—24

1nbsp;-19 }

1nbsp;—14
1-9
1-4

enz.

Daar hel ])ii hel opmaken van bovenstaand schema nilsluitend te doen is,
om de wetten voor de optredende getallencoëfncicnlen vast le stellen, zijn ter
bevordering van de duidelijkheid van af de derde groep alleen deze coëflicienlen

vermeld en is vóór de accoladen de gemeenschappelijke factor inquot;^ ii^ door een
aanhalingsteeken vervangen. Verder zijn de factoren c,, c^ en c^ aan het hoofd
van het schema geplaatst l)oven de kolommen waarin ze als gemeenschappelijken
factor voorkomen.

De wetten voor de getallenreeksen, zoowel in verticale als in horizontale
richting, zijn zeer duidelijk, zoodat onmiddellijk aan te geven is hoe de coëffi-
ciënten voor de niet behandelde termen van de reeks uit jNIaxwell\'s vergelijking
zullen luiden.

De optelling van de in het schema opgenomen termen levert als resultaat:

— [5 a.i\'^ 15 30 «4- 50 a^^ -f ... ] c., óa -
_nbsp;21 a,\'^ 42 (U - 70 • • • ] c, öa j.

Dc vier termen waarin óa voorkomt kuimen tot Ccn term vereenigd
worden door dc factoren 3, 5 en 7 van de drie laatste reeksen naar den tweeden
factor van den term over te brengen. We krijgen dan
(37)

a (5 10 • • • ] {óa-^p— 6(1 [3c,-h 5c., -f 7 c,]) |.

Vergelijkt men deze uitdrukking met de formule van Cohen, [Inleiding (2)]
dan ziet men tlal de tweede en derde term van deze laatste, wat den vorm
betreft, veel ovcreenkoiust vertoonen met de eerste en tweede term van (37). Het
verschil is hoofdzakelijk gelegen in de coëfficiënten in de reeksen tusschen de
vierkante haken. In de formule van Cohen zijn dat functies van /«, terwijl in
(37) deze coëflicienten eenvoudige getallen zijn. Gaat men de alleiding van Cohen
nauwkeurig na, dan blijkt, dat daarin grootheden van den vorm
naar opklimmende machten van Ja ontwikkeld zijn, terwijl mda grooler kan
zijn dan «. en limnbsp;= zoodat voor een groot aantal gevallen divei-

geerende reeksen ontslaan.

Bij de door mij gevolgde methode zijn uitdrukkingen van den vorm
(öi—möd)-\'^ naar opkhmmende machten van da ontwikkeld, terwijl möa
steeds kleiner dan a, en lim mda/ai = 1 is, zoodat dus alleen in dit grensgeval,
waarbij de windingsdiepte gelijk is aan den uitwendigen straal, de reeksen
divergent zouden worden.

De oneindig voortloopende reeksen in de vierkante haken moeten nu
gesommeerd worden. We vervangen daartoe «.,, 0.5 .. enz. door hunne waarden
Oj—öa, öo—2öa.. enz. en krijgen dan b.v. voor de eerste reeks:

2a2= 20^2 _nbsp;Sa _{_nbsp;2da\'\'

3032^80,2 _nbsp;12rt,(ïrt nbsp;12óa^

4042—nbsp;_nbsp;24a,drt nbsp;36da2

5052—50^2 _nbsp;40rti(ïrt nbsp;80drt2

=nbsp;— 2 m (m — l)a,Öa m (ni — 1)2 óa^

De onder elkaar staande coëfficiënten van rt,®, a, lt;J« en óa^ vormen
rekenkundige reeksen van de 1®\'% 2\'\'® en orde.

De algemeene uitdrukking voor de som van ni termen van een rekenkun-
dige reeks van de /i\'\'® orde is:

(39)nbsp;= m /j —A, - j ;273 - \' • • • •

m I

nijni — 1)^.. (m — n)

quot; 1.2. ....T/i 1)

waarin de eerste term van de reeks, Ai, A» •••• A;i de eerste termen van de
verschilreeksen en n hel ordegelal van de reeks voorstellen.

Na optelling van de termen van (38) krijgen we dus een uitdrukking van
den vorm:

m

V;;i «„,2 = Pa^ ^ — (V/ R da\\
1

waarin P, Q en R gemakkelijk te bepalen functies van m zijn, die gevonden
worden door in (39) de, uit de onder elkaar staande getallein-eeksen van (38) af
te leiden, waarden van Ai, A2 enz. te substitueeren.

Daar nu m = 00 is hel duidelijk, dal van de functies P, Q cn ƒ?, dus van
de reeks S,,,, alleen de term met den hoogslen exponent behoeft bepaald te worden.

Deze term is:

1.2.... (72 1)

We behoeven dus van de getallenreeksen alleen het ordegetal en de waarde
van het constante verschil te bepalen.

Voor den term met óa^ b.v. geeft deze bepaling: •

Op dezelfde wijze vinden we:

We laten nu voor hel vervolg den index van a, weg, daar klaarblijkelijk a, =«.
De reeks in den eersten term van (37) wordl dus:

nV

öa^.

Nu is inô(i = Rc — Ri = i\'

Dit invoerende en de breuken verdrijvende krijgen we:

[6 ;„2 „a _ 8 m2 fl / 3 m^/i].

We brengen nu m\'^ aquot;- buiten de haken: ,

« \' n^

Stellen we nu nog-^-=?, dan vinden we ten slotte:

m

liassen we dezelfde bewerking toe op dc reeks «in den tweeden term\'Van
(37). dan vinden we daarvoor:nbsp;\'\' \'

12 i).

We substitueeren nu deze uitdrukkingen (40) en (41) in (87), daarbij in den
tweeden term éen factor m naar het tweede deel daarvan overbrengende, waar-
door öa in t overgaat en vinden dan:

y n^ in\' I [6 - 8 8 (r- a [1 - .S,])

Hierin is

=Ci C2 C3 ----Cn,

S2 = 3 Cl 5 C2 7 C3 9 c, .... (2 /I 4- 1) c„.

In Hoofdstuk H pag. 21 hebben we gezien dat

Op dezelfde wijze kan nu aangetoond worden dat

S» = 1 — ^, dus \\—S^=7

gt;71

We deelen nu binnen de accoladen door a, waardoor in den tweeden

term de iactor ^^ = v optreedt, en substitueeren tevens de boven aangegeven

waarden voor 1nbsp;en 1 — ^Sg.

Substituceren we dan in (85). dan vinden we als we weer y = x stellen,

= 7,2 m. 2 «^ [[6 - 8 (gt; ( -1;)

1

4- [10 — 15 (gt; ()

Stellen we in deze vergelijking (» = 0 dus i = () en //»,=!, dan moet ze
overgaan in de vergelijking voor de zellinductie van een solenoïde met óene
laag. We krijgen dannbsp;;

/I 8 \\

=nbsp;— — T-

\\X ÓTtJ

Vergelijken we deze met formule (27) van Hoofdstuk II, dan zien we dat
ze daarin overgaat, als we tusschen de haken nog de in het vorige hoofdstuk

met (f aangeduide functie van x invoegen of, wat op \'t zelfde neei-komt, door

(;r) vervangen.

Daar voor dit geval de eischen van nauwkeurigheid niet zoo lioog be-
hoeven gesteld te worden, kunnen we hier met de uitdrukking van «jp, (x) met
écu reeksterm volstaan. Om later tc vermelden reden is de teller van den rceks-
tcrm een weinig gewijzigd, nl.

„, W = I - ü.125 Ü.0Ü25...\' - ü.1172 nbsp;.

Tot ditzelfde resultaat zouden we gekomen zijn, als we dc tot nu toe ver-
waarloosde termen

-c, -pr-, 4c2nbsp;-nbsp;enz.

op dezelfde wijze in de ontwikkehng hadden opgenomen.

Hel is duidelijk, dat de ontwikkeling van deze termen ook bijdragen levert
met Sa, die dus in den tweeden term moeten opgenomen worden, zoodat in dien

term tusschen de ronde haken, behalve de constante een functie van x moet

optreden waarvan dc eerste term — x is. Daar de tweede term van (42) altijd
klein zal zijn vergeleken bij den eersten, kunnen we hiervoor met de ontwikkeling
van de hoven opgegeven 3 termen ruimschoots volstaan.

Als voorbeeld moge hier de ontwikkeling van den term —pj- wal uitvoe-
riger behandeld worden.

Voeren we weer de indices p cn 7 in, dan wordt deze lerm

3\'

iVap\' l\')
nu is:

rt, — (7—1) (ï«,
a,,= a, — (/;—1) Sa,

zoodal we na subslilutic en herleiding, waarbij we de termen met Sa^ vcrwaar-
loozen, de volgende uitdrukking verkrijgen:

Stellen we nu —l)ai da = ii, dan wordt de tweede factor:

_ 3
2

■ Nu is •

(1

dus

2 r®

of, de waarde van ii subslitueerende,nbsp;\'

... i. ^

deze uitdrukking mei den eersten factor vermenigvuldigd geeft:nbsp;lt;

ySnbsp;p3nbsp;\'pinbsp;\'

We krijgen dus ten slotte, als wc termen mei da\'^ en boogere machten
van da\'verwaa\'rloozen:

7-3 r\'nbsp;rVnbsp;. \'

Evenzoo de twee andere opgenoemde termen ontwikkelende, vinden we:

/

g* A^ _«JL _2[p 2q — \'ó]ai\'- óa , 5(/gt; —l)aj7da

r»nbsp;r»nbsp;r®nbsp;.nbsp;r\'

. ,nbsp;a^ dj\' 4[p 7 —2]ai^da , 7(p —l)a,oda

ƒ.7 —

Geveiv we nii in deze uitdrukkingen aan q de waarden 1.2.. m, en aan
p de waardeu 1 .2... dan krijgen we het volgende schema, analoog aan het
op pag. 38 gegeven schema voor de hoofdtermen.

— 5 c.

1.1nbsp;I {^r

1

- 1 . —^ da

\'nbsp;\' 1nbsp;la

M.

1.3

M

2.3

„ «3^1 1-4

3.3

M.

1.4

„nbsp;-3

„ «/[ !-5

3.4

M.

4.4

We voegen nu alle termen waarin óa voorkomt bij elkaar en vervangen\'
daarbij ~ door ar. Voeren wc dan weer met de daarbij optredende reeksen de
boven beschreven herleidingen uit en substitueeren voor c^ en Cj de getallen-
waarden daarvan, nl. — en dan vinden we voor de som van al deze termen :

Schrijven we nu den van n afhankelijken tweeden term van de verge-
lijking 012) in den vorm

(44)nbsp; nbsp;
dan wordt

(0=) - I - I -f I - ^ .

Bij de ontwikkeling zijn nu ook de termen met óa^ afgeleid voor den
vorm onder het wortelteeken in vergelijking (32), voor de hoofdtermen van dc

reeks, en voor den term—c, , .

Als resultaat vinden we voor de som van deze termen

(45)nbsp;4 m^\' aK 1 [15 - 24 ? 10 e^] ^ - ^^^nbsp; S,
S;, = Cl 6 Ca 15 C;j 28 C4 ... /! (2n — 1) c«.

Substitueeren we hierin de getallenwaarden van Cj, c.^ .. enz. dan krijgen wc:
(46)nbsp; nbsp; nbsp;

Deze reeks blijkt nu voor een oneindig groot aantal termen divergent te
zijn, zoodat we daarvoor geen som kunnen bepalen.

De verklaring van het optreden van deze divcrgeerende reeks moet ge-
zocht worden in het verschikken . van termen in reeksen met afwisselende
teekens, die niet absoluut convergent zijn.

Noemen we de hoofdlermen van de reeks a, die in de elementen van den

integraal L„ voorkomen, gerangschikt volgens hunne grootte, iii, ii^, »3----enz.

dan komt de hier gevolgde integratiemethode hierop neer, dat we eerst ieder van
de grootheden 11 in een convergeerende reeks naar opklimmende machten van
óa ontwikkeld hehhen en ter bepaling van 211 alle termen met o, öa en
telkens tot éen term vereenigd hebben.

Schematisch voorgesteld wordt dit dus:

ih — ci.i a — C2.1 óa nbsp;C3.1

ii2 = ci.2 a — C2.2 óa nbsp;C3.2

z/3 = ci.3 a — C2.3 óa nbsp;C3.3

lln = Ci.n a — C2.,i Ótt C3.,,

Xnbsp;00nbsp;00nbsp;00 Aq2

V— V a —C2.„ óa cs.« —-----

11nbsp;1nbsp;1 a

Deze wijze van sommeeren is alleen geoorloofd, als alle termen positief
zijn. Bij afwisselende teekens is het zeer goed mogelijk, dat een of meer
van dc reeksen, gevormd door de vertikaal onder elkaar staande coëfficiënten,

00

divergent is. In het hier behandelde geval blijkt nunbsp;divergent te zijn.

We kuimen nu toch de som van de reeks quot;1 1/3 113 ____enz. met

voor de praktijk voldoende nauwkeurigheid bepalen, door de reeks waarvan we
uitgegaan zijn hij een bepaalden term af te breken, zoodat dan ook S.^ een
eindig aantal termen bevat.

Nemen we van de oorspronkelijke reeks uit de vergelijking van Maxwell
de 100 eerste termen, dan bedraagt de som van de overige termen in het
ongunstigste geval (nl. voor een solenoïde waarvan de lengte gelijk is aan
den straal) ongeveer éen vijftigduizendste van de geheele waarde van de zelf-
inductie, zoodat deze verwaarloozing op het resultaat geen merkbaren invloed
zal hebben.

We moeten dus de som van de 100 eerste termen van dc reeks S3 bepalen.

De algemeene term van deze reeks kan herleid worden tot de volgende
gedaante: , .nbsp;■

2n!
n! 11!

Door middel van de formule van Stirling voor n! nl.:

/j/ ijn e-quot; j/2a:/l l ^-f

Vin 2(12/2)2 j\'

kan de limiet van w„ gemakkelijk bepaald worden. We vinden daarvoor •

n

71 (/, l)(4/ï i)\'

Deze uitdrukking geeft reeds voor kleine waarden van n een zeer scherpe
benadering. Voor /i^ 5 b.v. bedraagt de fout slechts éen duizendste van de
werkelijke waarde.\'

We berekenen nu de vier eerste boven (46) opgegeven termen direkt
verder den vijfden tot den tienden term met behulp van de uitdrukking voor
lim lln (47). Ten slotte wordt van 10 tot 30 iedere vijfde term en van 30 tot 100
iedere tiende term berekend. Door deze laatste waarden op niet te kleine schaal
graphisch uit te zetten, kunnen we de som van deze termen met voldoende
nauwkeurigheid bepalen. We vinden op deze wijze:

\' S3 (ioo) = 1,26.

t

Voegen we nu de nieuw gevonden termen (44) en (45) in vergelijking (42j
en brengen we den factor Vi.«j quot;i den derden term naar het tweede hd van dien
term, dan krijgen we len slotte als formule voor den coëfficiënt van zelfinductie
voor een solenoïde met rechthoekige doorsnede van de windingsruimte:

2

Lu = -^n^ /i^ nii \'^ a^ Cl

waarin: (zie fig. 4, pag. 36)

a = straal van het buitenoppervlak met inbegrip van de isoleering,
71 = aantal windingen per cM., mi= aantal lagen,
f = windingsdiepte, / = lengte, a^ = gemiddelde straal,

Ci= 6— 84. 3^2,
1 1 . . 1 15 , , 0.1594i»9

8 \' 16nbsp;128 \' 1 2.061a;-quot;

De beteekenis van den term /(^o) zal in het volgende hoofdstuk nader
toegelicht worden.

HOOFDSTUK IV.

SOMMATIEMETHODE VOOR DE BEREKENING VAN DEN COËFFICIËNT
VAN ZELFINDUCTIE VOOR EEN SOLENOÏDE MET RECHTHOEKIGE
DOORSNEDE VAN DE WINDINGSRUIMTE.

Ten einde de nauwkeurigheid van de in Hoofdstuk III afgeleide formule
te kunnen toetsen, en den invloed van de bij de ontwikkehng verwaarloosde
termen te bepalen, moeten we volgens een andere onafhankelijke methode de
waarde van La trachten te vinden. De zekerste weg in alle dergelijke gevallen is
de zoogenaamde sommatiemethode, die bij een correcte toepassing de meest
betrouwbare waarden voor de zelfinductie oplevert.
De algemeene formule voor deze methode is:

(49)nbsp;= Li 2 [ (/2 - 1) ilfi (n - 2) M2 . . . . _, 1.

L,i is de zelfinductie van een solenoïde met éene laag van n windingen.
Li stelt voor de zelfinductie van een enkele winding, Mi, M2, il/3. . .. enz.
stellen voor de onderlinge inducties van twee windingen, waarvan de onderlinge

afstand gelijk is aan 1, 2, 3----enz. maal den afstand van twee opeenvolgende

windingen.

Alvorens tot de beschrijving van deze methode over te gaan, wil ik eerst
eenige nieuw in te voeren notaties en verkortingen bespreken, waarvan in dit
Hoofdstuk herhaaldelijk gebruik gemaakt zal worden.
Ingevoerd worden de volgende notaties:

Lr, LJquot;, Liquot;, • .. • L;T = zelfinductie van een solenoïde, voorzien van 1, 2
3----n aaneensluitende windingen van oneindig dun ihetaalband van 1 cM. breedte.

MT, M2, Mï----M^= onderlinge inductie van twee zulke windingen,

waarvan de onderlinge afstand 1, 2, 3.... cM. bedraagt.

lP, L?, L?. ... = zelfinductie van een solenoïde met éene laag aan-
eensluitende windingen, waarvan de doorsnede gevormd wordt door een quadraat
van 1 cM. zijde.

mP, M?, mP----mP= onderlinge inductie van twee zulke windingen,

waarvan de onderlinge afstand 1, 2, 3.. .. n cM. bedraagt.

Kortheidshalve zal in deze gevallen respectievelijk van «handvormige
windingen» en «quadratische windingen» gesproken worden.

Als standaardwaarde voor den straal a« is aangenomen 10 cM. Voor de
quadraüsche windingen is daarmede de gemiddelde straal bedoeld.

Beschouwen we nu een solenoïde, bestaande uit n\' quadratische windingen
en passen de sommatie formule (49) toe, dan krijgen we:

Lu = L,? = n\'lP 2 {{n\' - 1) mP -f {n\' -2)mP .... .

Berekenen we dus de grootheden lP , mP , mP ... enz. en substitueeren
deze waarden in (50), dan kunnen we de waarde van L„ met groote nauwkeurig-
heid bepalen, daar voor de berekening van al deze grootheden zeer nauwkeurige
formules zijn afgeleid. Het is duidelijk, dat de toepassing van deze methode in
dezen vorm voor groote waarden van 7j\' zeer tijdroovend wordt en dus voor
het hier behandelde geval, waarvoor n\' steeds vrij groot is, niet bruikbaar is.

Rosa O heeft de sommatiemethode voor dit geval in een voor de toepassing
zeer gemakkelijken vorm gebracht, en daar ik het principe van zijn methode
geheel heb overgenomen, zal ik beginnen met zijn methode te beschrijven.

METHODE VAN ROSA.

Rosa berekent eerst de zelfinductie van een solenoïde, bestaande uit n\'
handvormige windingen (fig. 5), waarvan de straal gelijk is aan den gemiddelden

1) Bur. of St. IV, 369; 1908.

%

straal öq van de solenoïde met windingsdiepte t en ii\' = ~ quadratische win-
dingen (fig. 6).

De zelfinductie van deze laatste Lu en van de eerste L, noemende, berekent
hij de correctie om van Lj op Lu te komen, zoodat

(51)nbsp;L„ Ls - Al L,
waaruit volgt:

Al L — Ls — Lu.

Passen we nu zoowel op Ls als op Lu de sommatieformule (49) toe, dan
krijgen we:

L, = n\' Lr 2 { (n\' - 1) MT (/»\' - 2)ilfr ...nbsp;],

Lu = /i\'L,° 2{(/2\' - l)Mi°H-(n\' - 2)M2° ...

Deze twee uitdrukkingen van elkaar afgetrokken geeft, als we il/f —
M2 — M? = A2... enz. stellen,

(52)nbsp;Al L = 71\' (Lf - Li°) 2 { (72\' - 1) Al (71\' - 2) A2 ... -f An-
Rosa brengt nu de correctie in den vorm :

(53)nbsp;AiL = 47, a^n\'{A B),

waarin A betrekking heeft op het verschil in de zelfinducties en B op de
verschillen in de onderlinge inducties.

Vergelijken we nu (52) en (53) met elkaar, dan volgt daaruit:

LT - Lt

47rao \'

O _ 2

^ -17

waarin :

_ Al _ Mr-M[

=

4 TT «O 4 TT «O \'

M2 — Mt

4: TT a,

enz.

Voor de berekening van A wordt gebruik gemaakt van de formules van
Rayleigh en Niven en van Weinstein.
Volgens de eerste formule is

Li = 4 nr Oo j log

en volgens de formule van Weinstein:

(58)nbsp;L? = 47rao|%^-L1949 ^(/o(7^ 0.8777)

Substitueeren we deze waarden in (54) dan vinden we na herleiding:
A = 0.6949

96 a 2

Hierin is b de breedte van de handvormige winding en dus tevens de zijde
van het quadraat voor de quadratische winding, en a^ de gemiddelde straal.

Voor de berekening van den correetieterm B is het noodig, de door (56)

gedefinieerde waarden van öj, ög,----enz. te kennen. Voor de bepaling van deze

grootheden, die zeer snel afnemen, heeft Rosa gebruik gemaakt van het door
Maxwell ingevoerde beginsel van den Geometrisch Gemiddelden Afstand.

1)nbsp;Tabel V van het Aanhangsel geeft voor eenige waarden van b/üQ dc daarbij behoorende
waarden van A.

2)nbsp;Maxwell II, § 693.

Een paar voorbeelden kunnen de beteekenis van dit begrip duidelijk maken.

a.)nbsp;Trekt men uit een punt P, gelegen buiten een lijn van bepaalde lengte,
lijnen naar alle punten van deze lijn en noemt men deze afstanden achtereen-
volgens dl, d.2----dn, dan is de Geometrisch Gemiddelde Afstand i? van het punt

P tot de beschouwde lijn gedefinieerd door de volgende vergelijking:

(60)nbsp;R =nbsp;----dn voor n = cc,

waaruit volgt:

1

log ^^ = — Y dn.

b.)nbsp;Laat men het punt P een tweede lijn van bepaalde lengte doorloopen,
dan stelt de door (60) bepaalde grootheid de G. G. A. van de twee beschouwde
lijnen voor. n is dan het geheele aantal van de mogelijke puntenparen.

c.)nbsp;Ligt het punt P op de gegeven lijn en laat men het tevens de geheele
lijn doorloopen, dan stelt (60) de G. G. A. van de lijn tot zichzelf voor.

Zonder verdere toelichting is nu wel duidelijk, dat men op analoge wijze
komt tot de G. G. A. van een punt tot een vlakke figuur, van twee vlakke figuren
tot elkaar, en van een vlakke figuur tot zichzelf.

Het bovengenoemde beginsel van den G. G. A. bij de berekening van coëffi-
ciënten van onderlinge inductie en van zelfinductie komt nu op het volgende neer
Vervangen we in een uitdrukking voor de onderlinge inductie van twee lijnvormige
cirkels, die een functie van den straal en den ouderlingen afstand d is, dezen
afstand door den G. G. A. van twee vlakke figuren, dan stelt het resultaat van
deze substitutie de onderlinge inductie voor van twee cirkelvormige ringen, waarvan
de doorsneden gevormd worden door deze vlakke figuren. Daarbij wordt ver-
ondersteld, dat de stroom gelijkmatig over deze doorsneden verdeeld is. Voert
men den G. G. A. van een figuur tot zichzelf in, dan ontstaat daardoor de ver-
gelijking voor de zelfinductie van een ring, waarvan deze figuur de doorsnede is.
Het hier beschreven beginsel is alleen streng geldig voor rechtlijnige geleiders, en
mag op cirkelvormige ringen alleen toegepast worden, als de afmetingen van de
doorsneden zeer klein zijn vergeleken bij den gemiddelden straal.

Volgens een door Maxwell i) gegeven vergelijking is de onderhnge inductie

1) Bur. of St. V, 10; 1909.

van twee op een kleinen afstand cl van elkaar gelegen cirkels met straal a bij
benadering:

M=4:7va \\log^ — 2l.

Noemen we de G. G. A. van twee in eikaars verlengde gelegen lijnen van
1 cM. lengte, waarvan de gemiddelde afstand d is, RJ en evenzoo van twee op
onderlingen afstand d gelegen qnadraten met zijde van 1 cM. dan krijgen we
bij toepassing van het boven beschreven beginsel:

= 4 TT a I log — — 2
( RI

□nbsp;i 8a )

Md =4:7ra^\\log -Q — 2[.

( ^«rf )

Substitueeren we deze waarden in (56) dan krijgen we na herleiding:

=

in

Iii

enz.

Is de zijde van de quadraten en evenzoo de lengte van de lijnen in plaats
van 1 cM. t cM., dan worden de G. G. A. respectievelijk R? t en RJ t. De ver-
houding van deze twee grootheden is dus onafhankelijk van f, zoodat dus ook
de uit de natuurlijke logarithmen van deze verhoudingen (de ö\'s) berekende
correctieterm B onafhankelijk van t en een zuivere functie van n\' is.

Dc fout in Rosa\'s methode is nu hierin gelegen, dat alleen in rekening
gebracht wordt de invloed van de windingsdiepte op de waarde van den
correctieterm A, doch dat de correctieterm B voor alle windingsdiepten bij gelijk
aantal windingen als constant wordt aangenomen, terwijl bij een correcte bereke-
ning van deze B blijkt, dat zelfs voor matige waarden van de windingsdiepte
(b.v. 1 cM. bij 10 cM. gemiddelden straal) de invloed daarvan op dc waarde
van B vrij aanzienlijk is en den wel in rekening gebrachten invloed op A
verre overtreft.

CORRECTE SOMMATIEMETHODE.

Willen we dus de sommatiemethode volgens het door Rosa aangegeven
schema op correcte wijze toepassen, dan moet de correctieterm B volgens strenge
formules voor bepaalde waarden van de windingsdiepte berekend worden.

Ik zal hier nu een overzicht geven van de berekeningen die hiervoor
noodig waren, en van de daarbij gebruikte formules.

Om de waarden vannbsp;.... d,. (56) te bepalen, die voor de berekening

van den tabel voor B noodig zijn, moeten we kennen:

il/r, Mr, Mf...

Mn , en
M?.

De eerste reeks grootheden zijn bepaald volgens een methode die uit de
sommatieformule is afgeleid. Passen we deze formule achtereenvolgens toe op
solenoïden van O, 1, 2, 3.... enz. cM. lengte, die dus uit evenveel handvormige
ringen bestaan als door de lengte wordt aangegeven, en maken we van de
aldus verkregen uitdrukkingen de eerste en tweede verschilreeksen op, dan blijkt
de tweede verschilreeks juist de gezochte grootheden op te leveren, vermenig-
vuldigd met den factor 2.

Het onderstaande schema kan dit duidelijk maken:

IK neü nu voor aiie geneeie waaraen van f = i loi l = cM. deze zelf-
inducties zeer nauwkeurig berekend. Voor 1 = 1 tot / = 10 is gebruik gemaakt
van de formule van Goffin (30a) en voor / = 11 tot / =: 25 van de formule (31)

met twee reekstermen, waarbij door middel van een in de ordinaatrichting sterk
vergroote foutenkromme de noodige correcties zijn aangebracht.

Door nu van deze getallen behalve de eerste en tweede, ook de hoogere
verschilreeksen op te maken, kon deze berekening op eventueele fouten scherp
gecontroleerd worden. Van af de tweede verschilreeks zijn al deze reeksen, wat
de absolute waarden betreft, van boven naar beneden afdalend. Een betrekkelijk
kleine fout in een van de getallen van de eerste kolom, kan nu de regelmaat in
de hoogere verschilreeksen verstoren. Hoe kleiner deze fout is, des te hooger zal
de orde van de reeks zijn, waarin de invloed van deze fout op in \'t oog loopende

wijze zichtbaar wordt.

In onderstaand schema is weergegeven, hoe zich de invloed van de ver-
hooging van een van de getallen in de eerste kolom met eene eenheid van de
laatste decimaal, in de opvolgende kolommen van de verschilreeksen, voortplant,

Daar nu gezorgd is, door het aanbrengen van de kleinst mogelijke wijzi-
gingen in de getallen van de eerste kolom, dat tot en met de achtste verschilreeks
geen in \'l oog loopende onregelmatigheden vertoont, is uit bovenstaand schema
gemakkelijk op te maken, dat de overblijvende fouten slechts zeer gering kunnen
zijn. Een van de waarden uit de eerste kolom, nl. die voor l = 20 cM. is volgens
de formule van Lorenz, die hij uitzondering voor dit speciale geval zeer eenvoudig
wordt, berekend. Bij het aanbrengen van de hier genoemde kleine veranderingen
is deze waarde voor / = 20 cM. onveranderd gelaten, evenals dc zeven eerste
waarden, die volgens de formule van Coffin tot in de laatste decimaal nauw-
keurig zijn.

Daar nu voor de berekening van de cï\'s niet de waarden van de grootheden
MT, M-r,... enz. zelt; doch deze grootheden gedeeld door 4 Tra« vereischt werden,
zijn ook bij de hoven beschreven berekening niet de waarden van Lquot; doch de\'

waarden vannbsp;bepaald.

In tabel II zijn deze waarden in de tweede kolom opgegeven, zooals deze
berekening ze na het aanbrengen van de besproken kleine correcties heeft opge-
leverd. Ik acht deze waarden van 1 tot 25 tot in de laatste decimaal vertrouwbaar,

zoodat de uit\'de tweede verschillen afgeleide waarden vannbsp;^^^

4 7rartnbsp;.....

zeker lot in de vijfde decimaal nauwkeurig zijn.

Deze waarden zijn in de derde kolom aangegeven.

Voor de berekening van de grootheden

;nbsp;iTtüf, 4 7rrto

zijn verschillende methoden gebezigd, die voor ieder van de aangegeven gevallen,
de grootste waarborg van nauwkeurigheid aanbieden.

De eerste en verreweg dc grootste is berekend uil dc zelfinducties van éen
enkele winding en een solenoïde van twee windingen.
We hebben nl.:

waaruit volgt:

2

□ .

Li is berekend volgens de boven genoemde formule van Weinstein (58),
lP ia berekend volgens dc formule van Stefan \'), die aldus luidt:

a = straal,nbsp;b — lengte,nbsp;c = dicple,

iV = geheel aantal windingen.

1) Bur. of SI. V, 47; 1909,

r/i en zijn constanten, die door Stefan voor verschillende waarden in
label gebracht zijn. Het argument waarvoor de waarden in deze tabel gelden,
cb

is de verhouding -y- of —, zoodanig gekozen, dat deze verhouding kleiner dan

\'nbsp;cl

1 is. Voor het hier behandelde geval is y = ^\'nbsp;^^^ waarden van

i/i en ij^ respectievelijk: . ^

f/i = 0.79600,nbsp;1/2 = 0.3066.

De waarden -ï^— totnbsp;zijn berekend volgens een door Rosa n

4 Tl a Onbsp;-i TT U Onbsp;quot;nbsp;\'

afgeleide formule, nl.

(65)nbsp;\' waarm

Hierin stelt il/quot; de onderlinge inductie voor van de centrale cirkels, d den
ouderlingen afstand van de quadratische ringen, b de zijde van het quadraat.
iV is het geheele aanlal windingen; voor hel beschouwde geval is dit = 1.

Deze formule geeft zeer nauwkeurige waarden, wanneer de afstand d niet
grooter is dan de straal, met uitzondering van het geval, dat de ringen in
contact zijn.

De grootheden ^1/3quot;,... enz., die voor de toepassing van formule (65)
moeien bepaald worden, zijn berekend volgens dc exacte formule van Maxwell •\')
voor de onderlinge inductie van twee cirkels:

(66)nbsp;M = 1 ^ VA a - A-) F - § | ;

A en (i zijn de stralen en d is de afstand van de middelpunten, terwijl

— ■nbsp;---= sm y,nbsp;,

ViA ay d^nbsp;\\ .

F en E zijn de reeds meer vermelde elliptische integralen.

1)nbsp;Deze label is als tabel VI in hei Aanhangsel opgenomen.

2)nbsp;Bur. of SL V, 18; 1909.nbsp;• \'nbsp;\'
Bur. of St. V, Ü; 1909. •

De waarden van de uitdrukking

Mnbsp;f / 2 \\ V

-^VAanbsp;J k

VAa

zijn in tabeP) gebracht voor alle waarden van ;\' = 60\' tot ;\' = 89quot;54\', opkhm-
mende met tiende graden.

Door interpolatie in deze tafel voor de verschillende berekende waarden
van r werden onmiddellijk de voor de berekening vereischte grootheden ver-

, Ma» M3O

kregen, nl. 1——, -i——,----enz.

^ \' 4 7rao érta^

Voor de afstanden rf = 2 tot 10 cM. zijn nu ook de waarden van
AM-P AMP ^^^ AmPo

4 7rao \' 4 7rao\' \' \' \' inttf,

volgens formule (65) berekend.

Door optelling van de correspondeerende waarden uit de twee laatst
vermelde berekeningen werden nu verkregen:

M? M? . j^t M?o

4 TT Oo \' 4 TT Oo \' ■ \' \' 47r«o \'
De waarden daarvan zijn in kolom 4 van tabel II vermeld.

Voor waarden van d grooter dan a^ zijn de onderlinge inducties van de
quadratische ringen berekend volgens de methode van Lyle 2).

Deze methode komt hierop neer, dat de onderlinge inductie van twee
quadratische ringen verkregen wordt, door in een uitdrukking voor de onderlinge
inductie van twee cirkels, in plaats van den gemiddelden straal 0«, een gewijzigden
straal in te voeren, die gegeven wordt door de vergelijking:

(67)nbsp;,nbsp;=

waarin b de zijde van het quadraat voorstelt.

1) Maxwell, II, 317.

Bur. of St. V, 110; 1909.
-O Phil. Mag., 3, 310; 1902; Bur. of St. V, 16; 1909.

Daar de tabel van Maxwell ons voor dit geval reeds, spoedig in den
steek laat, is voor de berekening van de onderlinge inductie van twee cirkels op
grooteren afstand gebruik gemaakt van de formule van Nagaoka i).
Deze luidt:

^irtVAa^ATtq!^ (1 c)

e =nbsp;9 - 12 ^/i». . . ,

\\ j- Ifi I

2 \' quot; V 2

i-Vw

k\' =

\\ Vk\'

V{A

Voor gelijke cirkels wordt dit, als we 4 tt a naar het eerste lid overbrengen :

z= Unq (1 e)
na (.

(68)

\\ — Vk\'

l/4a2

Deze formule is zeer gemakkelijk voor de berekening, daar voor groote
waarden van den afstand f/, « zeer klein is en de reeks q zoo sterk convergeert,
dal alleen de eerste term behoeft berekend te worden.

Is b.v. a = 10 cM. d = 20 cM. dan is:

I = 0.043 2395, 2 \' = 0.000 0003, f = 0.000 0104.

Door nu in (68) de waarde van den door (67) gedefinieerden aequivalenlen

1) Phil. Mag., 6, 19; 1903; Bur. of St. V, 8; 1909.

In Bur. of St. ontbreekt de factor 2 in den tweeden term van q.

straal te substitueeren en aan d achtereenvojgens de waarden 11, 12,____enz. te

geven, zijn berekend de grootheden:

47rao \'nbsp;\' \' \' \' \'

die eveneens in kolom 4 van tabel II te vinden zijn.

Kolom 5 geeft de waarden van de ó\'s, die uit de getallen in de kolommen
3 en 4 door aftrekking verkregen zijn.

De wijze, waarop nu uit deze d\'s de tabel voor den correetieterm B is
afgeleid, wordt door onderstaand schema duidelijk gemaakt.

B n

2Ö, =0.23918

1.13436 : 5 = 0.22687 5
enz.

Op dezelfde wijze, als hierboven voor de windingsdiepte 1 cM. beschreven
is, zijn nu ook de waarden van de 5\'s voor de windingsdiepte 2 cM. en denzelfden
gemiddelden straal van 10 cM. berekend en is ook daaruit een tabel voor B
afgeleid. De door Rosa berekende waarden van de d\'s en B gelden voor de
windingsdiepte 0.

Tabel III geeft een overzicht van de waarden van de ó\'s voor de drie
gevallen, terwijl Tabel IV de daaruit berekende waarden van B eveneens voor
de drie gevallen bevat. De waarden van B voor Qo — 01 en ^»o = 0.2 zijn lot
4 decimalen afgekort, om ze direct vergelijkbaar te maken met de door Rosa
berekende waarden.

In fig, 8 zijn de waarden van de d\'s op zeer groote schaal weergegeven,
waarbij naarmate van de windingsdiepte de eerste 5, 7, of 9 waarden huiten de
grenzen van de figuur vallen.

Uit deze lijnen blijkt nu, dat voor qq =0 alle ó\'s positief zijn, zoodat de

geheele kromme boven de abscis-as gelegen is en asymptotisch daartoe nadert.
De (J\'s voor = 0,1 en q^ = 0,2 daarentegen worden voorbij een zekere waarde
van u negatief, zoodal deze kromme lijnen voor een deel aan de negalieve zijde
van tle abscis-as gelegen zijn en eveneens asymptolisch daartoe naderen.

Voor de windingsdiepte 2 cM. is de abscis n« van het snijpunt ongeveer
9.5, terwijl voor de windingsdiepte 1 cM. deze abscis ongeveer 19 bedraagt. Het
product van deze twee grootheden, nl. t n^, blijkt dus voor deze kromme lijnen
nagenoeg constant te zijn. De beteekenis hiervan is, dat voor een onderlingen
afstand, die 1,9 maal den gemiddelden straal bedraagt, de onderhnge inductie
van twee handvormige windingen even groot is als de onderlinge inductie van

twee quadratische windingen, onafhankelijk van de verhouding —, mits de zijde van

het quadraat gelijk is aan de breedte van de handvormige winding.

Voor afstanden kleiner dan 1,9 is de onderhnge inductie van de hand-
vormige windingen grooter, voor afstanden grooter dan 1,9 a^, kleiner dan voor
de quadratische windingen.

Het is nu ook wel dadelijk in te zien, dat bij de berekening van den
correctieterm B volgens het pag. 62 gegeven schema voor de drie besproken
gevallen, de resultaten van deze berekening, m. a. w. de drie tabellen voor B, vrij
groote verschillen moeten opleveren, die met het toenemen van n grooter worden
en daarbij tot een bepaalde limiet naderen, daar de waarde van B zelf voor
oneindig groote n tot een bepaalde limiet nadert, voorgesteld door de vergelijking:

n= 00

B_ = 2 2: Sn.

n = l

VERGELIJKING VAN DE CORRECTE SOMMATIEMETHODE MET DE FORMULE
VAN STEFAN (64), DE FORMULE (48) VAN HOOFDSTUK III
EN DE METHODE VAN ROSA.

De tabellen II en IV bevatten nu alle gegevens, om voor de windings-
diepte 1 cM. en den gemiddelden straal 10 cM., de nauwkeurige waarde van L„
te bepalen voor alle in tabel II opgegeven lengten. Ook voor andere waarden
van de windingsdiepte kunnen deze tabellen gebruikt worden. De getallen in de
tweede kolom van tabel II moeten dan door gedeeld worden. Voor een
windingsdiepte, waarvoor de waarde van B niet rechtstreeks in tabel IV te vinden
is, moet in horizontale richting geïnterpoleerd worden, met inachtneming van het
tweede verschil dat daarvoor als constant wordt aangenomen. Ook een extra-
polatie voor waarden van g^, grooter dan 0.2 zal, indien deze niet te ver gaat,
aan de nauwkeurigheid van de resultaten geen schade doen.

Vergelijken we nu met de op deze wijze verkregen waarden, die we als
volkomen correct zullen beschouwen en met Luc zullen aanduiden, de resultaten

die bij de berekening volgens de formnle van Stefan (64), de methode van Rosa
en de formule (48) van Hoofdstuk III verkregen worden, dan kunnen we uit de
gevonden verschillen de foutenkrommen voor deze drie gevallen afleiden.

Ten einde deze berekening voor de formule (48) zoo eenvoudig mogelijk
te maken, is deze op de volgende wijze getransformeerd:

Ln=(tgt;Xx)-C

waarm :

Ktnbsp;c x^

terwijl de in O (re) voorkomende coëfficiënten en de constante C bepaald worden
door de volgende uitdrukkingen:

r - K ^ K

Cl -quot;5quot;

Cs —nbsp;— ^a

Cs —

— ÏÖQ^l

128

_7
64

-aA

Cr =0.1594 K^

8 SK

30

terwijl :

= 11^ mi^ a3 (10 — 15 Ç 6 Q^) Q,
2

K^zzz-^n\'^n^ m^s a3 (15-24ç 10Ç2)Ç2,

Alle onder (70) genoemde grootheden, die als coëfficiënten en als constante
in formule (69) voorkomen, zijn alleen afhankelijk van den straal, de windings-
diepte, het aantal windingen per cM. en het aantal lagen, en onafhankelijk van

9

de lengte. Voor een bepaald stel aangenomen waarden van de opgenoemde
grootheden (a, t, n, in^) zijn het dus constanten, waardoor de berekening voor
\'crschillende lengten alleen neerkomt op de berekening van x en de verschillende
machten daarvan en substitutie van deze waarden in (69).

Vooral voor lange solenoïden wordt deze berekening zeer eenvoudig, daar
dan de hoogere machten van a:, of geheel verwaarloosd kunnen worden, of
slechts zeer kleine termen opleveren, waarvoor men dus bij de berekening met
drie- of vierdecimalige logarithmen volstaan kan.

De beteekenis van den in Hoofdstuk III niet nader gedefmieerden term
/(go) in formule (48), die in (70) in de constante C voorkomt is nu deze, dat
daardoor de invloed van alle bij de afleiding van formule (48) verwaarloosde
hoogere machten van 6a voorgesteld wordt. Gaat men de ontwikkeling na en
beschouwt men den vorm van formule (48) nader, dan is duidelijk dat achter
de opgegeven drie termen tusschen de accoladen zouden moeten volgen, termen
van de gedaante:

anz.,

waarin C4, Cg,... enz. functies van q zijn analoog aan Cj, Cg en C3.

(a:), (x)... enz. zijn zuivere functies van x, terwijl p^, p^ .., enz. con-
stanten voorstellen.

Gaat men nu de opeenvolgende functies gp^ (x), (pa (o:)... enz. na, dan blijkt dat
deze functies, vooral voor lange solenoïden met uitzondering van g., (a;) zeer klein
zijn, en, vergeleken hij de constanten in de correspondeerende termen, steeds meer
op den achtergrond treden, zoodat de kleinere termen voor lange solenoïden alleen
van Q afhangen en dus voor een bepaalde aangenomen waarde van q constant zijn.

Bij de berekening van JLii volgens formule (48), voor verschillende lengten
bij 1 cM. windingsdiepte, en vergelijking van de verkregen waarden met de
correcte waarden, die uit de tabellen II en IV werden berekend, bleek nu, dat
de verschillen voor alle waarden van de lengte, grooter dan 20 cM. praktisch

constant waren. Dit constante ver.schil bedroeg 34.9. Door nu voor f{Q^) in (48)

2

een zoodanige waarde aan te nemen, dal n^ n^ lUi^ a^ [{q^^) = Si.9 werd,

kon voor alle solenoïden van meer dan 20 cM. lengte nagenoeg volmaakte over-
eenstemming verkregen worden en bleken ook de fouten voor solenoïden tusschen
10 en 20 cM. nog zeer gering te zijn.

Ook voor de windingsdiepte 2 cM. kon nu berekend worden, welke waarde
aan f {qo) toegekend moest worden om een even goede overeenstemming te
verkrijgen.

De twee aldus gevonden waarden van /(^o) zijn nu:

voor = 0-1nbsp;f(Qo) = - 0.00458,

„nbsp;= -0.01284.

Daar nu voor Co=0, ook /\'(^o) = 0 wordt, beschikken we over drie
waarden van deze functie, waarbij de veranderlijke ^o met gelijke intervallen
toeneemt en kunnen we dus voor andere, tusschen de opgenoemde gelegen
waarden van qq een eenvoudige interpolatierekening toepassen, waarbij dan het
tweede verschil constant aangenomen wordt. Dit is de reden, waarom in (48)
deze kleine term op deze wijze en niet als /((») is voorgesteld. De intervallen
zouden dan niet gelijk zijn, waardoor de mogelijkheid voor een eenvoudige
interpolatie vervalt.

De resultaten van de berekeningen ter bepaling van dc foutenkrommen voor
de drie op pag. 65 vermelde methoden voor (gt;(,=0.1 zijn in fig. 9 graphisch voor-
gesteld.

Fig. 9.

-l

\'ja.-Onbsp;quot;gt;

S Foutenkroniine voor dc formule van Stefan voor p^^ = 0.1

geeft aan op welke wijze, bij de berekening volgens Rosa\'s methode, de berekende
waarden van de werkelijke waarden afwijken.

De lijnen B en S snijden elkaar in een punt waarvoor /=:0.9ao, terwijl
de gemeenschappelijke fout voor die lengte éen tweeduizendste bedraagt.

Daar men nu de afmetingen van een solenoïde met vele draadlagen door
allerlei oorzaken toch niet met zeer groote nauwkeurigheid kan bepalen, behoeven
ook bij de berekening voor dit geval niet zulke hooge eischen aan de nauw-
keurigheid gesteld te worden.

De formule van Stefan (64) voor l lt; 0.9 a« en formule (48) of (69) voor
/gt;0.9 geven voor dit geval voldoende nauwkeurigheid. Ook de methode van
Rosa zou voor de windingsdiepte van 1 cM. nog voldoende nauwkeurig zijn.
Nu blijkt echter voor grootere windingsdiepten bij gelijke lengte de fout van
Rosa\'s methode evenredig met het quadraat van de windingsdiepte toe te nemen,
zoodat voor grootere waarden daarvan deze methode voor nauwkeurige berekening
niet te gebruiken is.

Ik ben erin geslaagd de fout van Rosa\'s methode, die dus een functie

blijkt te zijn van de relatieve lengte — en de windingsdieptenbsp;door een

vrij eenvoudige empirische vergelijking voor te stellen.

Noemen we de waarde van Lu volgens Rosa\'s methode Lur en de correcte
waarde en stellen we:

(70)nbsp;Luo=Lur (H-4

dan wordt s met zeer groote benadering voorgesteld door de volgende uitdrukking:

—— ir: 810 e ^, waarm:
Qo

0.53 0.48 —.

«ö

Hieruit volgt:

(71)nbsp;iog^ = G,m7--.

Onderstaande tabeP) geeft voor (gt;o=r0.1, een vergelijkend overzicht van
de werkelijke en de volgens (71) berekende waarden van s voor verschillende

waarden van —. De werkelijke waarden zijn door middel van tabel IV bepaald

«O

en worden door de lijn R van fig. 9 voorgesteld.

De overeenstemming voor de windingsdiepte 2 clVTi zal blijken uit de
straks te geven voorbeelden.

BENADERINGSFORMULES.

De nauwkeurigheid van de in dit Hoofdstuk besproken methoden is veel
grooter dan in de experimenteele praktijk voor dit geval als regel verlangd zal
worden. Het is daarom wenschelijk ook nog te kunnen beschikken over een
benaderingsformule, die bij den grootst mogelijken eenvoud van vorm, toch een
redelijke nauwkeurigheid bij de berekening oplevert. Een formule die aan deze

1) Tabel VII van het Aanhangsel geeft voor een aantal verschillende waarden van
po en //«O tic daarbij behoorende waarden van s.

eischen voldoet, wordt verkregen door van formule (48) alleen den eersten term
te nemen en daarin van cpi (x) de drie laatste termen te verwaarloozen.

Deze benaderingsformule kan in den volgenden zeer eenvoudigen vorm
geschreven worden:

(72)nbsp;waarin:

n^ m^^ a^ (6 — 8 3(gt;2).
Voor de notaties zie pag. 49.

Voor e = 0 en mi = 1 krijgen we hieruit de benaderingsformule voor L , dus

waarin :

Kl =471:2 «3

Ook voor deze twee formules zijn door vergelijking met L^ de fouten-
krommen bepaald, waarbij voor formule (72) de berekening voor de beide waarden
van de windingsdiepte, nl. 1 en 2 cM. is uitgevoerd.

In fig. 10 zijn deze drie foutenkrommen voor alle waarden van l/a^ tot 3.0
voorgesteld. Uit deze lijnen blijkt, dat voor / gt; 1.5 a^ deze formules een zeer goede
benadering geven en wel des te beter naarmate t kleiner is. Voor /lt; 1.5 a^ zijn de
grootere waarden van t in \'t voordeel. Zelfs voor de zeer korte solenoïden, waarvan
de lengte begrepen is tusschen 0.5 a^ en üq blijven de fouten beneden 2 procent.

Vergelijkt men formule (72) met de in de Inleiding genoemde formule van
Louis Cohen (2), dan behoeft het wel geen nader betoog, dat formule (72) in alle
opzichten de voorkeur verdient. De nauwkeurigheid van (72) blijkt daarbij ook
aanmerkelijk grooter te zijn dan die van de formule van Cohen. Voor een winding.s-
diepte van 1 cM. en een gemiddelden straal van 10 cM., waarbij vijf lagen van
vijf windingen per cM. aangenomen werden, bleek dc fout van laatstgenoemde
formule voor een lengte van 10 cM., 12 maal grooter te zijn dan de fout van
formule (72); voor 20 en 40 cM. lengte zijn deze fouten respectievelijk nog 4 en
3 maal grooter. Voor deze berekening zijn de twee laatste termen van (2) in

hunne (pag. 4) opgegeven ware gedaanten gebezigd. De foutieve vormen flatteeren
de resultaten voor de langere solenoïden, terwijl voor de korte de fouten grooter
worden Voor l = 1.5 a^ gaat de foutenkromme voor de formule van Cohen

Fig. 10.

I Foutenkromme voor formule (73)

IInbsp;„ „ „ „ (72) t = 1 cM.

IIInbsp;„ „ „ „ (72) / = 2 „

in zeer steile richting door de abscis-as. Geteekend op de schaal van lig. 9 zou
deze lijn voor / = «o een hoogte moeten hebben van 57 cM. hoven de as, om
voor l = 2ao tot 11 cM. onder de as te dalen, en na het bereiken van een
minimum bij ongeveer 2.5 (Iq vrij scherp om te buigen en daarna langzamer tot
de as terug te keeren.

Evenals bij de methode van Rosa heb ik ook voor de in fig 10. voor-
gestelde fouten-krommen een eenvoudige empirische vergelijking opgesteld, die de
drie lijnen met vrij groote benadering voorstelt voor de waarden van / grooter
dan Ofl.

Noemen we de fout van formule (72), in deelen van uitgedrukt, /?,
dan wordt deze empirische vergelijking:

^ = (0.0095 - 0.024 1/^) ^ -f.

waarin: / = 0.024 0.0016 fs — —

\\ «oJ

De benaderingsformule met correctieterm wordt dus:

^ = (0.0095 - 0.024) ^ ^ ,

r — 0.024 0.0016 fs - —\'

«0/

Fig. 11.

-5