:mm

■t

iipili

squot;

■ ^^

:

■

■ • ■■■■ V

5

1

/I

■ \'^r

/

. 1

■ V

/.O

■ OT. • ; if,,^\'

\' - • ■ \'.....

■■ - vé^\'\'nbsp;quot;rquot;quot;\'

i ; ; -v^V- v-A\'^S\' .nbsp;■■ ______ ......nbsp;: lawVi ■ : ■/■■■■•r-\'ji\'-«..

■-4; s

• fi.

. -M¹\'nbsp;I

- »•\'. ir-nbsp;. gt;

Xk.)

y -i ■

... \' • • . ■ ;

tMi -v-i\'-\'-MKi^^l-èi

1nbsp; v.

■p.

.1 ... ... ..U

^^ ■-\'S?« ■

-ijxjjï^/:nbsp;.....

\'. ■ - .1

«

ä

■ ■■\'.r.

S

.Ä- M

BESCHOUWINGEN

OVER

POLITIEKE REKENKUNDE.

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN ORAAD VAN
DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-
UNIVERSITEIT TE UTRECHT, NA MACHTIGING VAN DEN
RECTOR MAGNIFICUS Dr. A. A. NIJLAND, HOOGLEERAAR
IN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE, VOL-
GENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT DER
WIS- EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN OP VRIJ-
DAG 12 JULI 1912, \'S AVONDS TE HALF 8 UUR, DOOR

MARIUS VAN HAAFTEN,

GEBOREN TE DEVENTER.

JOH. ENSCHEDÉ EN ZONEN — HAARLEM.

\'-f ■■ A *-

o^um^m^ 3gt;fquot;-mjo^

km

■«v..

Aan mijne Ouders.

- iï^-L.....

- . Vf-:

; V ^\'...i.-•

ï

Van het voltooien van mijn proefschrift maak ik gaarne gebruik
om dank te brengen aan allen, jegens wie ik mij voor genoten
onderwijs of voorlicliting bij studie verplicht gevoel.

Ik wil hierbij aanvangen met U, Rector, Oud-Leeraren en Leeraren
van het Arnhemsch Gymnasium. In het bijzonder het voorrecht om
door U, die mij de klassieke letteren doceerdet, te zijn ingeleid in
de studie van schrijvers, waarvan de nadere bestudeering in latere
jaren voor mij van zooveel beteekenis is geAveest, is door mij steeds
op hoogen prijs gesteld, en ik gevoel des te meer behoefte om tc
dezer plaatse van mijn waardeering te getuigen, nu er stroomingen
bestaan om voor wis- en natuurkundigen de klassieke opleiding te
doen vervallen of althans de studie der oude talen te beperken.

Aan U allen, Oud-hoogleeraren en Hoogleeraren der Leidsche
philosofische faculteit, persoonlijk mijn groote erkentelijkheid te
betuigen, wil ik wegens de meerdere jaren, die ik reeds aan Uwe
leiding en voorlichting onttrokken ben, niet; doch Gij zult U,
naar ik vertrouw, wel verzekerd willen houden dat de herimiering
aan de uren, onder Uw gehoor doorgebracht, bij mij steeds levendig
zal blijven, en dat, al mag ik thans den scliijn aannemen van slechts
in het algemeen aan U allen te zamen te denken, de invloed van
Uwe bijzondere personen nog langen tijd, en van meerderen Uwer
voor immer, op mij zal nawerken.

Ten zeerste heb ik het betreurd. Hooggeleerde Kluyveu, dat Gij
U niet hebt kunneii vereenigen met mijn voornemen om een proef-
schrift te schrijven op het gebied der toegepaste wiskunde. Ik

meende echter mijn verlangen, om mij geheel te wijden aan den tak
van wetenschap, welks practische toepassing mijn werkkring mee-
bracht, om meer dan e\'én reden niet te mogen opofferen aan het
genoegen, dat ik mij had voorgesteld van de bewerking eener
dissertatie onder Uwe leiding. Ik stel het zeer op prijs, dat Gij
mij door Uwen welwillenden raad in staat hebt gesteld tot het be-
reiken van een doel, waarmee Gij persoonlijk niet instemdet.

Een bijzonder woord van dank tot U, Hooggeleerde Kapteyn.
Gij hebt er in toegestemd om mijn promotor te zijn, terwijl ik
noch van U persoonlijk, noch van de Utrechtsche Universiteit, een
leerling was. Ik waardeer dit des te meer, omdat ook voor U het
door mij gekozen onderwerp — hoezeer het mij zelf ook ter harte
gaat — weinig aantrekkelijks kon hebben. De welwillendheid, waar-
mede Gij mij tegemoet zijt gekomen, de belangstelling waarmede
Gij van mijn werk kennis hebt genomen, de hulpvaardigheid waar-
mede Gij mij voor een bepaalde kwestie een nieuwe oplossing aan
de hand hebt gedaan, het geduld waarmede Gij alle proeven hebt
doorgezien, en de vriendelijke bejegening welke ik in alle opzichten
van U mocht ondervinden, vormen te zamen voor mij een „Kapteynsche
Eeihe dritter Artquot;, waarvan de geldigheid mij niet beperkt is gebleken
tot een bepaald gebied, en waarvoor ik U niet minder dankbaar
ben dan de Wetenschap liet U is voor de beide reeksen yan de
eerste en van de tweede soort, welke Uwen naam reeds dragen.

Hooggeleerde Bolland! Het valt mij moeilijk om voor mijn ge-
voelens van erkentelijkheid jegens U de juiste woorden te vinden.
Uwe bezielende voordrachten brengen bij Uwe toehoorders niet alleen
een verheldering van denken en een verdieping van inzicht teweeg,
maar versterken bij hen ook den zin voor studie en de liefde voor
de wetenschap. De vele jaren, gedurende welke ik Uwe colleges
over verschillende wijsgeerige onderwerpen, eerst te Leiden, en
later te Amsterdam, gevolgd heb, maken dat ik mij ten aanzien
van mijn ontwikkeling aan U meer verplicht gevoel dan zich in
enkele zinnen laat uitdrukken.

Ik acht mij gelukkig. Hooggeleerde Oppenheim, Uwe interressante
en opgewekte colleges in het Nederlandsch Staatsrecht te hebben
mogen bijwonen. Zij hebben bij mij een belangstelling in het staat-

iii

kundige leven wakker geroepen, waarvoor ik, al moge zij zich uiten
in een andere richting dan de door U voorgestane, Uw steeds tot
eigen raadpleging der bronnen aansporend onderwijs grooten dank
schuldig ben.

■ Uwe colleges over bijzondere gedeelten der hoogere wiskunde,
gegeven aan de Amsterdarasche Universiteit, Zeergeleerde Euïgers,
zijn door mij evenzeer gewaardeerd om de onderwerpen, die daar-
voor door U Avaren gekozen, als om den vorm, waarin deze door
U werden voorgedragen.

Ook een woord van erkentelijkheid jegens U, Zeergeleerde Janse,
en U, Hooggeachte Mejuffrouw Landré, voor de door U in op-
dracht van de Vereeniging van Wiskundige Adviseurs gegeven
lessen in de Verzekeringswiskunde, welke mij een gewenschte leid-
draad waren bij de studie voor het examen van Gandidaat-Actuaris.
De wijze, waarop Gij een gehoor, wat uit personen van zoo hete-
rogene opleiding bestond, wist te boeien, heeft mij steeds met be-
wondering vervuld.

Ten slotte betuig ik mijn hartelijken dank aan mijn vader en
aan mijn meisje voor de hulp, verleend bij de bewerking der tafels
en het nazien der drukproeven mijner dissertatie.

•A

wr

. /PT-«nbsp;tts-îî\'\'» ■:«gt;s -^CR-r

ixm •-•r-irriiiild iri-r- \'\'iÉrt^ili-\'lji\'Ui.i.i , ; ■ ^ i)

■nbsp;C \'«M. ^ quot; ■

• V..
quot;SC

■. ■feifei^.Ti!¹.

1nbsp; . IK »\'iirf .«!•■ ,, • ..

(\'■\'i\' ■nbsp;\'V ; :

. hij...;

INHOUD.

Pag.

HOOFDSTUK I. Inleiding ...........1

HOOFDSTUK II. Eentepuncïies.........13

§ 1. Inleiding...............l-\'i

§ 2. Notatie eu Classificatie..........14

§ 3. Het dualisme van rente en disconto......21

§ 4. Afleiding van formules..........23

§ ö. Annuïteiten van lioogere orde........28

HOOFDSTUK III. Afgeleiden van annuïteiten en haue

toepassing voor benadering van den rentevoet. ...nbsp;33

§ 1. Inleiding...............33

§ 2. Afgeleiden van machtreeksen, welke in betrekking

staan tot hoogere annuiteiten.......36

§ 3. Afgeleiden van contante waarden van klimuiende

hoogere annuiteiten..........40

§ 4-, Afgeleiden van contante waarden van dalende hoogere

annuiteiten.............47

§ 5. Toepassing..............51

HOOFDSTUK IV. Koers en IIentk.........57

§ 1. Do grond vergelijkingen......., . .nbsp;57

§ 2. Oi)lossing der diderentievergelijkingen.....fil

§ 3. De diderentievergelijkingen als recuvsieformules be-
schouwd ..............09

§ 4. Lager-algebraische oplossing der grondvergelijking .nbsp;73

§ 5. Overzicht der resultaten..........82

§ f). Toepassing..............85

inhoud.

Pag.

HOOFDSTUK V. Het dualistisch veuband in de vekzeke-

uingswiskunde...............

§ 1. Afleiding van lijfrenteformules door letterverwisseling. 87
§ 2. Het dualistisch verband voor verzekeringen bij over-
lijden ...............93

HOOPDSTUK 71. Waardebepalingen........97

§ 1. Klimmende en dalende lijfrenten.......97

§ 2. Verzekering met afdalende premiën......100

§ 3. Slot................102

HOOFDSTUK VIL Renïeïafbls. . . . ...... . .109

§ 1. Toelichting.................109

§ 2. Tafel van .............113

n \'

§ 3. Tafel van -nbsp;...........127

tt

Aangehaalde Litteuatuur............141

Stellingen.................145

HOOFDSTUK I.

INLEIDING.

„Es gibt keine Mathematisclie Theorie der Versicherung im
„Allgemeinenquot;, zegt G. Boiii.man in zijn artikel „Lebensver^he-
rungs-Mathematikquot; in de Encjklopüdie der Mathematischen Wissen-
schaften \').

Dat de theorie der versciiillende takken van verzekering reeds in
den aanvang vrij sterk uiteenloopt, is in de eerste plaats te danken
aan de omstandigheid, dat bij de zaakverzekeringen het door den
verzekeraar verschuldigde bedrug niet van te voren\'geheel vaststaat,
doch afhankelijk wordt gesteld van do geleden schade, terwijl dit
bedrag bij de persoousverzekeringen (leven, ziekte, invaliditeit)
vooraf wordt bepaald, met dien verstande dat het somtijds een
functie kan zijn van den tijd, waaroj) de uitkeering plaats vindt. 2)
De mogelijkheid om meer in het bijzonder de categorie der per-
soonsverzekeringen in eenzelfde schema samen te vatten is hierdoor
niet uitgesloten. Volgens II. Broqgi kan een dergelijke samen-

P B. G. lEunNER, Leipzig 1900-1904. Erster Band, Zweiter Tlieil, p. 857.

\') Vgl. Encyclopédie des Sciences Mathéraatiqucs. Paris, GAUTiiiEUs-ViiXAns,\'
1911. ïoine I, Volume 4, Fascicule 4, p. 49^}, 494. Technique de l\'Assurance\'
sur la Vie. Exposé d\'après 1\'article allemand de g. Bohi.man, (Berlin), par u
POTERIN DU MoTEr., (Paris). Dit exposé bevat een inleiding over verzekering
in het algemeen, welke in de Duitsclie uitgave niet voorkomt. Den boven aan-
gehaalden zin van Boiii.man vindt men in de Fransche uitgave niet.

\') Versicherungsmathematik. Deutsche Ausgabe. B. g. ïeudneu leinzisr
1911. p. 7.

yattiug formeel zonder moeilijkheden worden uitgevoerd, is zij tot
dusverre nog niet beproefd, maar zou zij vermoedelijk ook weinig
practisch nut blijken op te leveren.

Het komt mij vóór, dat dit nut in deze uitspraak te laag wordt
aangeslagen, en als de bewuste samenvatting door mij niet wordt onder-
nomen, dan is het, omdat het reeds als een voldoende taak voor
dit proefschrift kan worden beschouwd om te doen zien, hoezeer
een goed besef van de éénheid van het waardebegrip in verschillende
gevallen zelfs op meer beperkt terrein van belang moet worden
geacht, afgezien nog van de wijze, waarop men deze eenheid in
samenvattende formules, tot uiting kan brengen.

Het nut, waarvan hier sprake was, zou mijns inziens gedeeltelijk
kunnen bestaan in een vergemakkelijking van de bestudeering der
verschillende takken van persoonsverzekering bij hen, voor wie het
gebruik van eenigszins ingewikkelde formules aan den aanvang hunner
studie weinig bezwaar oplevert en die zich door een afleiding der
formules voor bijzondere typen van persoonsverzekering uit een al-
gemeen schema meer bevredigd gevoelen dan door afzonderlijke studie
der verschillende typen na of naast elkaar.

Voor een ander deel zou het zijn nuttige zijde hebben, dat men
formules of eigenschappen, welke men voor eenvoudige vormen van
verzekering zonder moeite kan vinden, door de analogie in de sym-
bolen ook gemakkelijk op het spoor kan komen bij de meer inge-
wikkelde vormen.

In hoeverre er bij de samenvatting van alle persoonsverzekeringen
tot één schema van een dergelijk nut sprake kan wezen, willen wij
thans in het midden laten, om verder uitsluitend de aandacht te
vestigen op de mogelijkheid van een andere samenvatting, waarvan
het nut gemakkelijker is aan te toonen, namelijk die van de theorie
van rente en loterijen (wiskundige theorie van den geldhandel) met
de tlieorie der levensverzekering. Deze zou dan desgewenscht weer

\') De overeenkomst van sommige formules uit de theorie van renterekening
en van levensverzekering vormt het onderwerp van twee Actuarieele Nota\'s
door H. F. Landré. Archief voor de Verzekeringswelenschap, X (1909), p. 45,
en XI (1910), p. 132.

uitgebreid kunnen worden tot de andere takken van persoonsverzeke-
ring, zoodat rnen zou kunnen spreken van een gemeenschappelijken
wiskundigen grondslag der gelieele zoogenaamde politieke rekenkunde.

Laatstgenoemde kan men voor een dergelijken algemeenea opzet
definieeren als de wetenschap, welke zich in hoofdzaak bezighoudt
rnet het nagaan van de waardeverandering van geldsommen, gestort
door personen die geld in deposito geven, door koopers van obli-
gatiën, premieloten en loten, of wel door verzekeringnemers, wanneer
zooals hierbij steeds het geval is, de terugbetaling van die geld-
sommen aan zekere voorwaarden gebonden is, benevens met het
uitvoeren van berekeningen welke met deze kwesties in verband staan.

Deze definitie onderstelt ten aanzien van verzekeringen, dat men
m eersten aanleg niet vraagt naar de grootte van koopsommen of
F-emien, vereischt voor de uitkeering van de eenheid van verzekerd
bedrag, doch omgekeerd naar de grootte van het verzekerd bedrag
behoorende bij de eenheid van koopsom of premie; de koopsom van
een verzekering bij leven wordt dan bijvoorbeeld gevonden als de
reciproke waarde van de opbrengst eener tontine. Voor de reserve-
berekening onderstelt de definitie in beginsel het gebruik van de
retrospectieve methode.

Wanneer iemand een geldsom deponeert onder voorwaarde, dat

deze na verloop van n jaar met de, naar een vooraf aangegeven

rentevoet i, gekweekte rente zonder aftrek van kosten zal\\vorden

teruggegeven, dan verandert de waarde der tlt;tlt;nheid na n jaar in
(1 -f

) „Der Inhalt dessen, was wir als politische Arithmetik benennen, ist kein
„ganz gleichförmiger, wird auch nicht von allen, die sich damit beschäfti..en
„in gleicl.er Weise begrenzt. Als allen Aufgaben der politischen Arithnretik
„gemeinsam kan^ die Anwendung der Zinsrechnung bezeichnet werden, und
„zwar der einfachen und der zusammengesetzten Zinsrechnung, nicht verbunden
„oder verbunden mit Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnungquot;. M. Cantou
„Politische Arithmetik, oder die Arithmetik des läglichen Lebens.quot; Leipzig
B. G. Teuuner 1898, p. 1. Hoewd bij de geldloterijen de renle zeer op den
achtergrond treedt, zouden wij de overigens hoogst eenvoudige theorie daar-
vau ook nog ouder de politieke rekenkunde willen rangschikken. Cantor doet
dit alleen met do premieleeningen.

Stort van een aantal personen van x jarigen leeftijd ieder een
gulden, onder beding, dat de gezamenlijke inleg zonder berekening
van rente of kosten gelijkmatig verdeeld zal worden onder de^^-^,,
personen, die na n jaar nog in leven zijn, dan zal de waarde-eenheid
voor de overlevenden veranderd wezen in:

\'X

lx n

Geschiedt de inleg met inachtneming van rente en kosten, dan
klimt de waarde tot:

(1)........snbsp; ,

xnlnbsp;/

ix n

waarin C als onkostencoëfflcient een getal voorstelt, dat kleiner dan
één is. Duidt men namelijk den opslag voor kosten op de eenheid
van netto koopsom aan door c, dan is:

C =

l c-

Heeft de uitkeering alléén plaats aan de rechthebbenden van de
dx n personen, die wèl aan het einde van het n^^ jaar nog in leven
zijn, doch vervolgens in den loop van het {n -f- 1)®\'® jaar komen te
overlijden, dan klimt de waarde tot:

(•2).....

\'x n f^x n

Hierbij is ten aanzien der renteberekening ondersteld, dat de uit-
keeringen eerst aan het einde van het {n -f- jaar plaats vinden.

Door deeling van de gevonden uitdrukkingen op de eenheid ver-
krijgt men de bedragen, welke contant aanwezig moeten zijn opdat
onder bepaalde condities na verloop van tijd de eenheid kan worden
uitgekeerd, terwijl men vervolgens door sommatie het bedrag vinden
kan, dat contant noodig is voor het doen van een reeks opeenvol-
gende uitkeeringen (annuïteiten en lijfrenten) of wel van een enkele
uitkeering, waarbij het tijdsverloop, waarbinnen aan een bepaalde

voorwaarde voldaan moet zijn, zich over meerdere jaren uitstrekt
(verzekering bij overlijden).

Voert men op de gebruikelijke wijze voor de kans, dat een ic-
jarige na n jaar nog in leven is, nPx, en voor de kans dat een a;-
jarige binnen het jaar sterft q^ in, dan kan voor (2) geschreven
worden:

(3)..... \' ---

ilt;Px 1x n

Wij merken nu op, dat deze uitdrukking een zuiver product is
van factoren, welke ieder voor zich samenhangen met bepaalde
voorwaarden waaraan de uitkeering gebonden is, en die dus als oor-
zaken van de waardeverandering beschouwd kunnen worden, terwijl
men hetzelfde gemakkelijk aantoont voor de meer ingewikkelde,
mits enkelvoudige — dat is niet door sommatie ontstane — uit-
drukkingen, welke men vindt door het aantal voorwaarden, waaraan
voldaan moet worden, te vergrooten (b. v. verzekering op meer
hoofden).

Men kan dan vooreerst de vraag stellen of, en zoo ja, in hoeverre
deze voorstelling van waarde door een product zich aansluit bij het
waardebegrip uit de staathuishoudkunde, met andere woorden of
het mogelijk is om waarde in het algemeen zóódanig in product-
vorm uit te drukken, dat de waarde in de politieke rekenkunde als
een bijzonder geval daarvan kan worden opgevat.

Voor de beantwoording dezer vraag, welke als zijnde van niet
wiskundigen aard in dit ])roefschrift minder op haar plaats is, wordt
verwezen naar mijn „Korte Inleiding tot de Theorie der Waardequot;
in het Tijdschrift voor Wijsbegeerte \') en „De grondslagen der
politieke rekenkunde, II en 111quot; in „De Verzekeringsbodequot;,

Een tweede vraag, die zich thans voordoet is de volgende: In
hoeverre mogen nu deze oorzaken van waardeverandering, welker

\') Jaargang V, 1911, p. 371.
\') Jaargang 31, 1912, N°. 28 en 29.

invloe;! ia da afzonderlijke factoren van het product (3) tot uiting
komt, als gelijksoortig worden beschouwd?

Wanneer men de waardeverandering der eenheid aan een bepaalde
gebeurtenis toeschrijft, dan zal men de grootte der veranderde waarde
moeten uitdrukken door een product van twee factoren 7r en II,
waarvan II den invloed der gebeurtenis op zich zelf aanduidt, ter-
wijl V samenhangt met de waarschijnlijkheid van het optreden
daarvan. Dat nu de rente, waarvoor de bedoelde gebeurtenis bestaat
uit het toevoegen van een zeker kapitaal aan het stamkapitaal, be-
hoort tot de oorzaken waarvoor IF gelijk is aan de éénheid, terwijl
anders gewoonlijk juist H deze grootte heeft, verleent haar volstrekt
geen bijzonder karakter.

Men kan namelijk de tengevolge der levenskans in:

lx
lx -t- n

veranderde waarde-eenheid schrijven als een product der jaarlijksche
veranderingen:

m^H 1 ,
m = l l^x m

Evenzoo kan men de tengevolge der rente in (l i)\'\' veranderde
waarde-eenheid schrijven als een product der jaarlijksche veranderingen:

m = n ^ — l
m = 1 V

,rbij :

Het

is op de overeenkomst dezer vormen dat de invoering der
commutatieteekens \') berust, terwijl zij ook de analogie van vele
formules uit de rentetheorie en de verzekeringswiskunde mogelijk
maakt. Het feit, dat de jaarlijksche waardeveranderingen bij de rente
steeds gelijk blijven, geeft wel aanleiding tot het invoeren van be-

\') Les nombres de commutation Dx, Nx, ainsi que les nombres de commu-
tation Cx, Mx, ont été introduits par J. N. Tetens. Einleitung zur Berech-
nung der Leibrenten. I. Leipzig 1785 p. 88. (Encycl. des Sciences Math. 1911,
1. c. p. 524). De getallen wordendoor Tetens met andere letters aangeduid. Vgl.
ook E. CzuBER. Wahrscheinlichkeitsrechnung. II. Teubner. 1910. p. 244, noot.

kortingen bij berekeningen, waarin alleen van rente sprake is, doch
men kan niet zeggen dat hierdoor aan de rente als oorzaak van
waardeverandering een eigen karakter wordt verleend.

Er is echter nog een andere omstandigheid die hiervoor wèl zou
kunnen pleiten. Bij de beschouwing der politieke rekenkunde als
leer der verandering van geldswaarden zijn wij uitgegaan van een
bedrag, dat op het tegenwoordige oogenblik de grootte één heeft,
doch men kan uit een wiskundig oogpunt evengoed uitgaan van een
bedrag, waarvan alleen gegeven is dat de waarde ervan op een zeker
oogenblik in de toekomst één zal wezen. Het verschil in beide be-
schouwingswijzen is, dat men in het ééne geval met een positieven,
in het andere met een negatieven tijd werkt.

De eerste beschouwingswijze onderstelt dat dc rente van het kapitaal
ieder jaar opnieuw bij het kapitaal wordt gevoegd en dus steeds zelf
rentegevend wordt gemaakt, m. a, w. zij gaat uit van de zooge-
naamde Nutzungstheorie, dat is van de theorie die rente als tegen-
praestatio voor tijdelijken of altijddurenden kapitaaldienst opvat. De
tweede beschouwingswijze laat toe, dat men met E. vün Böiim
Bawerk \') rente voor agio van tegenwoordig boven toekomstig geld
houdt, daar het eerste, om redenen die hier niet ter zake dienen,
meer waard is dan het tweede, anders gezegd laat niet toe dat men
in de rente een oorzaak, maar wèl slechts een maat van waarde-
verandering ziet.

Door een aanhanger der agio-theorie, D*quot;. TI. Onnen, is in een
artikel, getiteld „Tlcntequot; bezwaar gemaakt tegen een ontwikkeling
van de wiskundige theorie der renterekening, welke uit zou gaan
van de formule:

waarbij a het aanvangskapitaal en i den rentevoet voorstelt.

Ditzelfde bezwaar zal zich voor de rente doen gevoelen bij een
meer algemeenc behandeling van de leer der verandering van gelds-

\') Vgl. bv. diens: Capital und Capitalzins. I Gescliiclite und Kritik der
Capitalzinstheorien. Innsbruck 1900 p. 313.

\') Tijdschrift voor Nijverheid en Landbouw in Nederlandsch-Indie. Dl.
LXXIII. Vgl. ook „De wiskundige theorie van den Geldhandelquot; van den-
zelfden schrijver, \'s Gravenhage. Geuu. Bemnkante. 1906.

waarden. Het zou ons, indien het geldig bleek, kunnen dwingen
om met uit te gaan van de waarde-eenheid in het heden, doch om
de waarde-eenheid in de toekomst tot grondslag der beschou^yingeu
te stellen. Technisch valt tegen deze methode niets in te brengen
en iii de verzekeringswiskunde wordt zij ook gewoonlijk toegepa\'^st,
maar het gebruik van het woord waardeverandering onderstelt bij
geldsommen nu eenmaal dat men uitgaat van een waarde in het
heden. Men kan namelijk wèl zeggen dat de waarde van een gulden,
waarvan de uitbetaling afhankelijk gesteld wordt van iemands iii
leven zijn, verandert in:

maar niet omgekeerd, dat de waarde van een gulden, die bij in leven
zijn op den leeftijd « wordt uitgekeerd, verandert in:

oe n

la. \'

Alleen uit een wiskundig oogpunt gaat iedere waarde in iedere andere
over, en is het teeken van den tijd onverschillig.

Een juist inzicht in de hier bedoelde, door D\'\'. Onnen aangeroerde,
kwestie vereisclit beschouwingen op economisch terrein, waarvoor een
mathematisch proefschrift de juiste plaats niet is. Het onderwerp is
door mij besproken in eenige artikelen, getiteld: „Ue strijd over
rentequot; i), „Is rente huur ?quot;, „De subjectief-objectieve, de sub-
jectieve en de objectieve waardeering der toekomstquot; en „De rente-
theorie van Von Böhm Ba werk.quot;

Het komt mij vóór, dat er tegen Von Böhm\'s Agiotheorie niet
weinig is in te brengen, maar in elk geval dient men in de politieke
rekenkunde niet uit het oog te verliezen dat zelfs een volgeling van
Vom Böhm, welke zijn theorie van het kapitaal in het algemeen
uitbreidt en mathematisch behandelt, namelijk Knut Wicksell,
speciaal van het geldkapitaal opmerkt: „Besonders bei der Frage

„des Gebrauchs des Geldes kann sich die Nutzungstheorie mit
„Erfolg durchführen lassen.quot; i) Deze theorie, welke rente beschouwt
als aan het stamkapitaal toegevoegde vergoeding voor bewezen
diensten, stelt de rente geheel op één lijn met andere oorzaken van
waardeverandering, zooals sterfte, uitlotingskansen, invaliditeit, etc.
Evengoed als bijvoorbeeld de waarde van een bij een verzekerings-
maatschappij voor een verzekering bij leven gestort bedrag veran-
dering ondergaat door het -overlijden van verzekerden, welke samen
de groep „verzekerden bij leven\'quot; vormen, — men denke hier aan
de tontine — wordt zij gewijzigd door toevoeging van rente aan
het aanwezige kapitaal.

Het is nu juist op de gelijksoortige werking der verschillende
oorzaken van waardeverandering, dat de mogelijkheid om de leer
van rente-, loterij- en verzekeringswezen samen te vatten onder één
gezichtspunt, namelijk als leer der verandering van geldswaarden, berust.

Zonder nu een dergelijke samenvatting in formules uit te werken,
zal hier thans onder meer worden aangetoond, dat een dergelijke
algemeenere beschouwingswijze haar practisch nut heeft in zooverre
zij het inzicht in het onderling verband van verschillende formules
vergemakkelijkt en het inslaan van omwegen bij het oplossen van
vraagstukken doet vermijden.

Boven is opgemerkt, dat waardeverandering in verband met be-
paalde gebeurtenissen een\'positieven tijd onderstelt, maar dat men
mathematisch gesproken ook latere waarden in vroegere kan doen
overgaan. Wij willen in het tweede hoofdstuk beide soorten van
waardeovergang in hun onderling verband beschouwen en ons daarbij
voorloopig beperken tot het geval, dat alleen de rente als oorzaak
van waardeverandering optreedt, zoodat het bewerkstelligen der over-
gangen respectievelijk de namen oprenten en disconteeren draagt.
Het zal dan blijken, dat men alle in de practijk der renterekening
voorkomende grootheden kan vinden door uit te gaan van de op-
gerente en van de gedisconteerde waarde der eenheid, deze o]) ver-

\') Ubsr Wert, Kapital und Rente nach den neueren nationalökonoinischen
Theorien, Jena 1893, p. 89.

schillende wijzen te sommeeren, eu zoonoodig van de gevonden
waarden de reciproke te nemen. Tasschen de twee aldus ontstane
groepen van grootheden kan nu een dualistisch verband worden
aangetoond, hetwelk de mogelijkheid opent om formules uit de
ééne groep door eenvoudige letterverwisseling om te zetten in die
van de andere. Herhaling der sommatie voert tot eenige nieuwe
symbolen, waarvan dat voor de dalende annuïteit {Da)n\\ en zijn
analogon voor de dalende tijdelijke lijfrentenbsp;groote practi-

sche bruikbaarheid zullen blijken te bezitten.

In het derde hoofdstuk worden de afgeleiden van de grootheden,
welke door één- en meervoudige sommatie van de opgerente en de
gedisconteerde waarde der eenheid ontstaan, en die, welke met deze
grootheden nauw verband houden, onderzocht in verband met hare
toepassing bij de benadering van den rentevoet, wanneer de waarde
der grootheid zelf en de tijd gegeven zijn. \')

Het vierde hoofdstuk doet zien tot welke omwegen men somtijds zijn
toevlucht zal nemen, wanneer men bij het bepalen van koersen van
aan uitloting onderhevige obligatien bij een gegeven nominalen en
reëelen rentevoet de gemeenschappelijke basis der politieke reken-
kunde uit het oog verliest. Terwijl deze koersbepaling in een overigens
ook in andere opzichten voor critiek vatbaar artikel, getiteld: „Het
bepalen der reëele rente van effectenquot; door D^ B. Tüiiksma,
geschiedde met behulp van de theorie der differentievergelijkingen,
gaf juist het besef van gelijksoortigheid der diverse vraagstukken,
welke op verandering van geldswaarden betrekking hebben, mij aan-
leiding om naar een lager-algebraische oplossing der kwestie te
zoeken. Deze bleek inderdaad mogelijk door toepassing van eenige
zeer eenvoudige bewerkingen, waarbij het in hoofdstuk II inge-
voerde symbool {]) goeden dienst bewees.

Het dualistisch verband, dat in het tweede hoofdstuk is aange-

Hoofdstuk II en III zijn reeds vroeger, onder denzelfden titel als thans,
opgenomen als artikelen in het Archief voor de Verzekeringswelenschap, XI.
(1910). p. 209. en p. 462. Zij onlergingen echter uitbreiding en wijziging,
dit laatste met name wat de notatie van s en s in hoofdstuk III betreft. Voor
hoofdstuk IV zie noot in § 1 aldaar.

\') Archief Verz. W. VIII. (1906). p. 1.

toond voor symbolen, welke de opgerente waarde der eenheid tot
grondslag hebben, aan den eenen kant, en die met de gedisconteerde
waarde-eenheid tot grondslag aan den anderen, moet nu krachtens
de bovenstaande overwegingen ook bestaan tusschen de correspon-
doerende symbolen uit de verzekeringswiskunde. Hoewel het bij ver-
gelijking der formules niet onmiddellijk in het oog springt, kan liet
tocli terstond gevonden worden door voorloopig in plaats van het

CO

00mnmtatieteeken Nx de sommatie 2 Dm te bezigen, gelijk in het

X

vierde hoofdstuk geschiedt. Hieruit volgt dan verder, dat men uit
iedere formule, waarin uitsluitend symbolen voorkomen welke op
rente en op levenskansen betrekking hebben, door eenvoudige letter-
verwisseling een analogon kan doen ontstaan, van welks geldigheid
men van te voren verzekerd is. Ditzelfde blijft ook in beginsel van
kracht wanneer andere oorzaken van waardeverandering, zooals bij-
voorbeeld de sterftekans, optreden. De letterverwisseling, welke men
m dit geval op de dan voorkomende commutatieteekens Ccc, Mx en R^;
moet toepassen, zijn echter, zooals voor de verzekering bij overlijden
wordt aangetoond, te ingewikkeld om eenig practisch nut op to leveren.
Een en ander vormt liet onderwerj) van het vijfde hoofdstuk.

Het bedoelde nut kan in het algemeen bestaan uit het geven van
meerdere bekendheid aan de slotwaarden, wat leiden kan tot ver-
mijding van het veel voorkomend gebruik der contante waarden, waar
dit niet de aangewezen weg is. Men dient in het oog te houden,
dat waardebepalingen voor een reeks van veranderlijke uitkeeringen
steeds het gemakkelijkst geschieden voor het tijdstip, waarvoor de
nitkecring het grootst is. Hoe men met dezen regel in de practijk
rekening kan liouden, wordt in het zesde hoofdstuk besproken.

In het zeveiule hoofdstuk volgen de voor de toepassing van de
resultaten van hoofdstuk IV gewenschte tafels van:

en

terwijl aan het slot de volledige titels van de aangehaalde boeken en
tijdschriftartikelen zijn opgegeven.

ïi

u.

atl^^JlJSM\' \'k.K^ö»^-nbsp;M\' Äi.

firä ifii^ i^, .^t\'M^h^i^ ^sifi iTt^nbsp;«lisfrt^i vskT^^iï^ \'

liir^-i^r .t^..^nbsp;^

r,nbsp;-it«. r

ü ■

-.t\' «v

HOOFDSTUK II.

Il E N T E - F U N ü TIE S.

§ 1, Inleiding.

Met den naam „rente-functiesquot; kan men in \'t algemeen functies
aanduiden van rente en tijd; wij zullen dezen naam hier meer in
\'t bijzonder bezigen voor die rente-functies, welke voor de practijk
der rente- en disconto-rekening gebezigd worden, derhalve voor de
contante en opgerente waarden van uitkeeringen ineens en van
periodieke uitkeeringen, beneveiis voor de reciproke waarden daarvan.

In het „Institute of Actuaries\' Textbookquot;, Part 1, van Ealph
Tüdhunteii \'), kan men op pagina 9 de opmerking vinden, dat dis-
couteeren en oprenten feitelijk op eenzelfde bewerking neerkomen,
terwijl op pagina 10 gezegd wordt, dat de theorie van samengesteld
disconto een noodzakelijk gevolg is van de theorie van samengcstelden
interest, l^oor van deze opmerkingen partij tc trekken, is het mogelijk
om met behulp van een geringe uitbreiding van de universeele
notatie een duidelijk overzicht van de verschillende rente-functies
en hare voriningsvvijzen te geven, hetgeen in § 2 zal geschieden.
In § 3 zal worden aangetoond, dat tusschen de eigenlijke rente-

\') Published by the Authority and under the Superintendence of the In-
stitute. London, Chaules and Emvm Layton, 1901,

Op het Tweede Internationale Congres voor VerzekeringswetenscLap
(Londen 1898) is de in Engeland gebruikelijke notatie als universeele aan-
genomen. Vgl. Bulletin du Comité permanent des Congres internationaux
d\'Actuaires, Bruxelles. Impr. Bruylant. 1901. N°. 5, p. 40, alwaar de notatie
in extenso te vinden is. De nota van Spkague, waarvan in het Bulletin
sprake is, (p. 48) werd door mij niet ingezien.

functies en de correspondeerende disconto-functies een dualistisch
verband bestaat, van welk verband dan in § 4 gebruik zal worden
gemaakt voor het afleiden van eenige der voornaamste formules,
üo\'k in het geval dat men niet wenscht over te gaan tot de zoo-
even genoemde uitbreiding der universeele notatie. § 5 zal handelen
over de bekende annuïteiten van hoogere orde, mede in verband met
de hier ingevoerde annuïteiten van hoogere klasse.

Gemakshalve zullen wij aannemen, dat bij periodieke uitkeeringen
de perioden van renteberekening en van uitkeering samen vallen
en gelijk zijn aan 1 jaar, \') terwijl wij de mogelijkheid, dat de tijd
oneindig groot wordt, uitsluiten.

§ 2. Notatie en Classificatie.
Volgens de universeele notatie is:

de waarde, die de eenheid, betaalbaar aan het slot van een ?/-jarig
tijdvak, heeft bij den aanvang van dat tijdvak;

a:7ï de waarde, die een gedurende w-jaar betaalbare annuïteit heeft
bij den aanvang der uitkeeringen;

a;;] de waarde, die een gedurende ?i-jaar betaalbare annuïteit heeft
één jaar voor den aanvang der uitkeeringen.

Tusschen deze drie grootheden bestaan de betrekkingen:

n—1nbsp;n

Onbsp;i

waarvoor wij zullen schrijven:

\') De aanname, dat de periode der renteberekening- deelbaar is op die der
uitkeeringen, brengt in het onderstaande geen essentiëele veranderingen te

weeg, daar zij neerkomt op de substitutie van 1 -f i door -fnbsp;waarin

j de nominale interest en m het quotiënt der perioden voorstelt.

A-^ wordt dan beschouwd als koopsom van een „Capital Redemption
Assurancequot;. Vgl. Textbook I, p. 131.

a;ïi = S\'nbsp;= S JTiTi-

Overeenkomstig hiermede noemen wij:

de waarde, die de eenheid, betaalbaar aan den aanvang van een
«-jarig tijdvak, heeft aan het slot van dat tijdvak;

Sn\\ de waarde, die een gedurende ?i-jaar betaalbare aunuïteit heeft
aan het slot der uitkeeringen;

de waarde, die een gedurende «-jaar betaalbare annuïteit heeft
één jaar na het slot der uitkeeringen.

Tusschen deze drie grootheden bestaan dan de met de boven-
staande correspondeerende betrekkingen:

= S\' «S^q, = 2 /Si^ï.

Deze notatie wijkt in zooverre van de universeele af, dat de laatste
slechts één symbool ^ kent, wat zij dan aanwendt voor S\'(I-f
Hiervoor wordt echter juist di\\t lettertype van ^ gebezigd, wat
overeenkomt met a, terwijl men het gebruik van s moest verwachten.

In het Bulletin voornoemd vindt men namelijk opgegeven \') :

= V v-\'\' . . .etc. . . fquot; = value of an annuity for

?t years certain.

1 (1 (1 i)^ -f. . . etc. . .-f (1 = the
amount of an annuity for n years certain.

Men heeft zich bij de keuze dezer symbolen blijkbaar uitsluitend
laten leiden door de practische overweging, dat in de practijk der
renterekening wel de post-, doch zelden de praenumerando annuiteit
voorkomt, voor welke laatste men dan ook in de universeele notatie
geen symbool viiult aangegeven. De geklommen waarde der uitkee-
ringen aan het einde der periode waarin de u uitkeeringen van «;7i
plaats vinden, is nu genoemd om in overeenstemming te komen
met het teeklt;gt;n maar hierdoor is bewerkt dat, terwijl n in
het aantal jaren aangeeft dat nog moet verloopen tot aan het oogen-

\') Bulletin N°. 5 p. 50.

bhk der katste uitkeering, deze zelfde .. in het correspondeerende
symbool ^„1 met, gelijk men zou verwachten, het aantal jaren voor
stelt dat verloopen is vanaf het oogenblik der eerste uitkeering Er
IS hierbij over het hoofd gezien dat, hetgeen hier amount genoemd
wordt, de waarde is op het oogenblik der laatste uitkeering van een
zekere reeks, en dat, beschouwd, deze amount volstrekt niet
verandert of men van de annuiteit «^Ti of wel van spreekt. Men

kan dus de amount S evengoed toevoegen aan de discount als

aan a;^, en dan is het toch rationeel om de toevoeging zóó te doen
geschieden, dat de formules zoo gelijkmatig mogelijk worden.
Volgens de universeele notatie zou men moeten schrijven:

n —1

Onbsp;1

n-inbsp;n

Onbsp;1

Wij zullen ons houden aan de boven ingevoerde teekens:

Anbsp;\'

O

n

\\

De enkelvoudige rentefuncties kunnen nu als volgt in twee groepen
worden verdeeld:

T . _ Inbsp;1

i. An\\, a„\\, —, a^i, —.

aH]

II.nbsp;sj;], ^r-

lt;$«1nbsp;Sn|

Het onderling- verband der beide groepen wordt weergegeven door:

J-L —
Sn\\

Aangezien de functies van de eerste groep uitsluitend betrek-
king hebben op waarden, berekend door disconteering naar den
aanvang van het tijdsverloop, waarover de uitkeeringen plaats
vinden, die der tweede groep op waarden, berekend door oprenting
naar het slot van dat tijdsverloop, kan men gevoegelijk de eerste
groep den naam van disconto- of aanvangs-functies, de tweede dien
van oprentings- of slot-functies geven. De aanvangs-functies hebben
dus tot symbolen de verschillende typen van de letter a, de Slot-
functies de typen der letter S \').
Uit:

= =

volgt terstond, dat alle hier genoemde functies vervat zijn in de
algemeene symbolen:

SOOj^n en

mits men slechts aannbsp;en fquot; de beteekenis z\'quot; en aan

de beteekenis toekent.

Is n^O, dan heeft men te doen met functies van de eerste
groep, terwijl n lt;C, O functies van de tweede groep oplevert; p
heeft hierbij de waarden — 1, O en 1.

De meest voor de hand liggende uitbreiding der groepen ver-
krijgt men, door/? achtereenvolgens alle geheele negatieve en posi-
tieve getallen te laten doorloopcn, waarbij wij dan aannemen, dat
het accent slechts op het eerste S-teeken van toepassing is. Daar
men voorlt;C O de reciproke functies verkrijgt van O, welke
verder niets bijzonders opleveren, zullen wij ons beperken tot het
bespreken van het geval O lt;C?) waarin cj een willekeurig groot
getal voorstelt.

\') Het gebruik van A en a is te danken aan het feit, dat zoowel Assu-
rance als annuity met deze letter beginnen; de invoering der letter s schijnt
evenwel toevallig te zijn geschied.

Wij zullen nu zeggen dat een functie, die ontstaat door een
iJ-voudige sommatie, behoort tot de klasse en stellen:

= {Dnbsp;s\'Cf) = {D a);^

De beteekenis der letters I en D hierin zal nader worden opge-
helderd.

Voor de slotgroep wordt:

Nu is:

= ^ ...........

zoodatnbsp;de opgerente waarde voorstelt van een annuïteit,

die met 1 begint, jaarlijks gedurende n jaar met 1 opklimt, en dus
met n eindigt. Daar hieraan volgens de universeele notatie (met
wijziging van « in s) het symbool (/s);^! toekomt, waarbij / Jncreasing
beduidt, terwijl het feit, dat de achtereenvolgende uitkeeringen gelijk
zijn aan de reeks der natuurlijke getallen, niet nader in het symbool
wordt uitgedrukt, kan men de hier ingevoerde notatie als een uit-
breiding van de universeele beschouwen, waarbij genoemd feit door
toevoeging van het cijfer 2\\ wordt aangegeven. Bedenkt men voorts,
dat de reeks der natuurlijke getallen dezelfde is als de reeks der
figuurlijke getallen van de tweede orde, mits men de eerste term,
die nul is, weglaat dan kan men zeggen dat in (/s);!]^ de Y\\
zoowel verband houdt met de klasse als met de orde der annuïteit.
In het algemeen zal men vinden, dat bij een jtj-voudig, herhaalde
sommatie, die per definitie een rente-functie van de klasse p op-
levert, de uitkeeringen gelijk zijn aan de achtereenvolgende termen

\') Vgl. Textbook I, p. 44.

van de reeks der figuurlijke getallen van de ordejö, mits men daarbij
de termen, die nul zijn, niet mederekent.

Dit alles gaat vrijwel onveranderd dóór, wanneer men s door s
vervangt. Men krijgt:

(^s)nl ü] = \'S^T^,
{I s)^ Ti = S\' — SjTi,

2 = fcq 2 ........... 1)

Yoert men echter in:

,_ / r \\__{.inbsp;f r \\___

An \\\\ {1 Sjnl jjI = g = Unbsp;gt;

{Is)n\\ p\\ =nbsp;=nbsp;Pi,

dan zijn deze nieuwe functies niet te beschouwen als te zijn ont-
staan door sommatie van Daar evenwel de uitkeeringen nog
steeds gelijk zijn aan de reeks van de figuurlijke getallen van de
orde p, afgezien van de termen nul, zullen wij deze annuïteiten
toch annuïteiten van de klasse p blijven noemen. De naam annuï-
teiten van de orde p blijft dan gereserveerd voor de ook in het
Textbook met dien naam aangeduide annuïteiten, waarbij de uit-
keeringen gelijk zijn aan de reeks van dc figuurlijke getallen van
de orde p, doch waarbij de termen, die nul zijn, wèl worden mede-
gerekend.

Voor de aanvangsgroep kan men een soortgelijke redeneering
volgen als voor de slotgroep is gebezigd.
Men heeft volgens de definitie:

(J) a)-;^r\\ = ^ Air\\ = (^JTl,

«)JÏ1 21 = 2 (2) = 2 «nl,

Z ajT] = M Jti (u — 1) J^l-i-............... 2nbsp;-f J;^.

2*

Eveuzoo:

(Zgt; öi =

{B ï\\ = Y,\' An\\— a;^,

= n nbsp;................ nbsp;

{T)a)~\\Y\\ ennbsp;stellen dus de gedisconteerde waarden vóór

van annuïteiten, die met n beginnen, jaarlijks gedurende n jaar met
n dalen en derhalve met 1 eindigen. Daar een klimmende annuïteit
in de universeele notatie wordt aangeduid door I, de eerste letter
van het woord Increasing, behoort de correspondeerende dalende
annuïteit, welke aldaar evenmin voorkomt als de dalende lijfrente
of de dalende verzekering, te worden gemerkt met J), de eerste
letter van het woord Diminishing.

Als algemeene functies heeft men:

en (Da)nipi,

terwijl:

-quot;n —1|

moet worden gesteld.

Het laatste tweetal

is niet te beschouwen als te zijn ontstaan
door sommatie van maar wordt, wegens het karakter der uit-
keeringen, toch tot de klasse p gerekend.

Wanneer wij de reciproque waarden der functies buiten beschouwing
laten en van de correspondeerende functies met a en a, s en 5
alleen die met a en s vermelden, dan krijgen wij als .aanvangs-
groep:

y^nh ^nl, {!) a)n\\, {Ia)^, {Dnbsp;[[a)^

en als slotgroep:

«■quot;Ï/TÏ, {Is)n\\, {D s)n\\, {Is)n\\ H \' pÏ\'

waarbij {1) a)7r\\,nbsp;(/-s)^ en (i) de schrijfwijze overeenkom-

stig de universeele notatie is voor:

(-ZV a)n\\ 2], {la)^ 2\\, {Ts)nl ^, (B ^.

§ 3. Het uualisme van rente en discoxto.

De bewerking disconteeren is dezelfde als de bewerking oprenten,
mits men daarin het teeken van den tijd omkeert, iets wat voor-
eerst neerkomt op een onderlinge verwisseling van de woorden
aanvang en slot \'). Verder zal een grootheid, die oors])ronkelijk
met den tijd toenam, met den tijd afnemen, wajineer men den laatste
in tegengestelde richting rekent, en omgekeerd. Daar nu de disconto-
of aanvangsgroep op dezelfde wijze uit An\\ is opgebouwd als de
oprentings- of slotgroep uit lt;5,71, kan men de definities van de ééne
groep verkrijgen uit die van de andere door onderlinge verwisseling
van de woorden disconteeren en oprenten, aanvang en slot, afnemen
en toenemen, van de letters 2) en I en van de verschillende letter-
typen a met de correspondeerende lettertypen s.

De gelijksoortigheid van beide groepen treedt nog duidelijker in
het licht, wanneer men bedenkt:

,___1

^quot;\'quot;(l-fOquot;

waarin i essentieel positief is, zoodat, als men de gevallen n = 0
en )i — cc uitzondert:

waarin g een groot positief getal voorstelt.

quot;Wij hebben nu uit y/77] op zuiver formeele wijze verscliillende
andere functies afgeleid, terwijl het niel moeilijk valt allerlei be-

\') Het spreekt vanzelf, dat de uitdrukking „één jaar vóór den aanvangquot;
bij de teeken verandering van den tijd overgaat in „één jaar ni het slotquot;, en
omgekeerd.

trekkingen tusschen die functies neer te schrijven. De grootte van
Jw\\ is bij dat alles echter van geen belang, en men kan het nu
louter als een kwestie van afspraak beschouwen om, wanneer de
grond-functie in het interval tusschen O en 1 ligt, de diverse
functies aan te duiden met de lettertypen a, doch om, wanneer zij
tusschen 1 en y ligt, de correspondeerende lettertypen s te bezigen.

Dat men:

doch:

stelde, vindt dan zijn verklaring hierin, dat men bij het omkeeren
van den tijd, dat is bij het verwisselen van de woorden slot en
aanvang, den naam opklimmende annuïteit blijft geven aan een
annuïteit, die yan den oorspronkelijken aanvang naar het oorspron-
kelijk slot toeneemt, zoodat de nieuwe annuïteit, ofschoon formeel
geheel gelijk aan de oude, met den naam dalende annuïteit be-
stempeld en door het symbool B gekenmerkt moet worden. Een
onmiddellijk gevolg van een en ander is, dat bij iedere betrek-
king tusschen functies van de ééne groep, een analoge betrekking
tusschen functies van de andere groep bestaat; beide betrekkingen
zijn door eenvoudige letterverwisseling uit elkaär af te leiden.

Heeft men een betrekking tusschen willekeurige rente-functies
van beide groepen, dan kan men deze eerst door middel van be-
trekkingen tusschen functies van één groep geheel uitschrijven
in Atti en SJ^, en vervolgens met behulp van

in An\\ bf \'S\'^q afzonderlijk. Neemt men nu van de laatst verkregen
vergelijking door onderlinge verwisseling van S en A het analogon,
past hierop toe:

Was de universeele notatie geheel gevolgd, dan zouden juist niet met
elkaar correspondeerende typen gebruikt moeten worden.

\'5\'HI = j;

op analoge wijze als eerst

is gebezigd, en voert men nu de analoge betrekkingen in van die,
welke gediend hebben om de oorspronkelijke vergelijking in JJ^ en
Sjij om te zetten, dan verkrijgt men vanzelf het analogon van de

oorspronkelijke betrekking.

Wij hebben dus de algemeene

Sielliuff: Iedere willekeurige betrekking tusschen rente-functies
heeft een analogon, dat men verkrijgt door onderlinge ver-
wisseling van de letters / en D, en van de lettertypen 5
met de correspondeerende lettertypen a.

Men kan bijvoorbeeld de in § 2 voorkomende formules aldus
paarsgewijze aan elkaar toevoegen:

Toepassing van de stelling op de linkerbetrekkingen geeft van-
zelf het rechter tweetal.

§ 4. Afleiding van formules.

VerrDenigvuldiging met J^^ geeft:

{[a)Tri =nbsp;{n^^T ïj — a^^.

Letterverwisseling geeft:

(^^ = —

Eij voortgezette sommatie moeten wij bedenken, dat men Z 1 = n,
als {n term van de figuurlijke getallen van de 2«!® orde \'),\'
kan voorstellen doornbsp;De vormingswijze der figuurlijke ge-

tallen, welke opgesloten ligt in de vergelijking:

geeft nu terstond:

m —n

zoodat:

\') Vgl. ïextbook I, p. 44.

\') De termen, die nul zijn, worden hierbij meegeteld, terwijl alle termen
van de eerste orde de waarde 1 hebben. De vergelijking luidt in woorden:
Iedere term van een bepaalde orde is gelijk aan de som van de voorafgaande
termen van de voorafgaandequot; orde.

{IsU 71 = sw =nbsp;= sc-^)nbsp;(1 - SH),

Daar bij de notatie tTir\\T\\ de termen die nul zijn, meegeteld
worden, heeft men ook:

(/«)7n?1 = \'^T]{Is) 7} \'S\'ïinbsp;.

Hieruit:

(1«) • • • •nbsp; nbsp;O

Het is duidelijk, dat men in deze vergelijking s vervangen mag
door s.

Letterverwisseling geeft:

(la) . . .nbsp;

Hierin mag a vervangen worden door a.
Yoor r = 2 vindt men de bijzondere gevallen:

(/ s)n\\ = (/ 5ÏÏ],
{D a)n\\ = {B aTTi-

*

Schrijft men de recursieformules (1 s) en (1 a) uit voor afdalende
waarden r, dan vindt men door optelling der resultaten:

P=1

p = r

{Da)n\\T\\= 2 {D
p=\\

\') Formules, die door letterverwisseling uit elkaar zijn te verkrijgen, zullen
met eenzelfde nummer, doch met verschillende letter worden aangeduid. De
correspondeerende a- en s-formule van een zelfde nummer zijn niet altijd beide
in den text opgenomen.

Hieruit:

(/a)^Ti^^i:nbsp;Fl \'i-,

p=i
p = r

p = i

Formeert men van de in het begin dezer § afgeleide betrek-
kmgen op de in § 2 aangegeven wijze nog de analogien, dan blijkt,
dat de vergelijkingen in practische bruikbaarheid somtijds onder-
doen voor de desbetreffende vergelijkingen, geschreven in de ge-
wijzigde universeele notatie.

Hoewel nu de symbolen A, S en ^ voor de bespreking van het
dualistisch verband tusschen de aanvangs- en slotgroep goede diensten
hebben bewezen, zullen wij thans tot de daarvoor gebruikelijke vor-
men V, 1 -f ^ en (1 -f {) s terugkeeren.

Het formeeren van analogiën komt nu neer op de onderlinge
verwisseling van:

V met 1 -f- i,

i met ——— = — 6?

1 ï

a met s (1 -f- i),
s met a,
1 met D.

Kortheidshalve zullen wij ons uitsluitend bepalen tot a en s
waarden. Men heeft:

(2^).....=

%

De wijziging, liier bedoeld, bestaat in de verandering van s in s en in de in-
voering van D,

Ten aanzien van s geschiedt de overgang uitsluitend ter vergelijking met
formules in andere boeken, doch niet omdat het gebruik van dit teeken naast
s door mij onnoodig wordt geoordeeld.

Door vermenigvuldiging met w\'» krijgt men de bekende formule:

(4«). . {Ia)ni =---önii- ^

Letterverwisseling geeft:
(4.) ....
waaruit door disconteering:

(3«)......=

Voorts door letterverwisseling uit (2s):
.......=

t

met behulp waarvan:

(5 ö)..... (/ aU = (n 1) «Ïïl-

Evenzoo:

(5.) ....nbsp; nbsp;=

welke formule zoowel door oprenting als door letterverwisseling uit
(5 a) kan verkregen worden.

Voortgezette sommatie van (2 levert op:

waaruit door letterverwisseling:

(6 a) . .nbsp;= nbsp;—nbsp;f^-

% 1

De som:

verandert niet door letterverwisseling, gevolgd door vermenigvul-
diging met V.nbsp;^

(5 a) en (5 s) zijn niet voor voortgezette sommatie vatbaar, daar
{la)^ en ps);7ï niet naar u sommeerbaar zijn. Wel kan sommatie
dezer symbolen naar r plaats vinden; deze leidt, gelijk boven reeds
is aangetoond, tot:

P = r

.....=

p=i

en de daarmee verwante betrekkingen.

Daar de grootheden {Da^, {la)^, (/s);^ en (/^s)^ in de practijk
voorkomen, moge er op gewezen worden, dat krachtens het vooraf-
gaande, tafels van {Da)Tr\\ en (/s)^ gewone somtafels van an\\ en van
s«| zijn, waaruit dan met behulp van (5a) en (5^) ook de waarden
van (7;s)i^ ennbsp;op eenvoudige wijze bepaald kunnen worden.

Aan de rente-functies van hoogere dan de tweede klasse kan even-
min practische waarde worden toegekend als aan die van hoogere
orde; zij stellen ons echter beter in staat om de in de practijk ge-
bruikte rentefuncties uit een algemeen gezichtspunt te beschouwen
en geven meer in \'t bijzonder antwoord op de vraag, wat men
heeft te verwachten, wanneer men de bewerking, die van een disconto-
tafel een annuïteiten-tafel maakt, weer op laatstgenoemde zelf toe-
past, en hiermede in dien zin doorgaat.

§ 5. Annuïteiten van iioogerk oiiue.

Een annuïteit van de orde r is een annuïteit, waarvan de achter-
eenvolgende uitkeeringen gelijk zijn aan de figuurlijke getallen van
de orde r, waarbij nu echter, in tegenstelling met de annuïteiten
van hoogere klasse, de getallen, die O zijn, mede in aanmerking
genomen moeten worden.

Een dergelijke sommatie levert voor annuïteiten van hoogere orde een
dadelijk ingaande annuïteit, waarvan iedere uitkeering gelijk is aan het
dubbele van de voorafgaande.
Vgl. Textbook I, p. 44.

Uit deze definitie volgt, wanneer men annuïteiten van lioogere
orde met [ ] aanduidt:

{9 a). . . . =
(10 .....=

waaruit door letterverwisseling, gevolgd door vermenigvuldiging met
V, weer twee analogien met D gevormd kunnen Avorden, te weten:

(10 a).....=

Voor (0 5) is te schrijven:

Volgens (10 is:

(/quot;s)u-r i| = [/s];TrrT| fitï] ,

zoodat:

[/s] ïTi?! = J [/sJlT^T^ —-rtK\\T\\-

Met gebruikmaking van de uit:
(11). . . . /ïïl 7] = ^TT^ F1
volgende betrekking:

\') Daar de eerste r — 1 termen van de figuurlijke getallen van de r«io orde

nul zijn, heeft een annuïteit van de »-do klasse altijd »--1 termen minder

dan de correspondeerende annuïteit van de »-de orde. Bovendien zal men hij
de omzetting van de aanvangswaarde van een klimmende annuïteit van de
j-do klasse in die van de correspondeerende van de »«io orde nog moeten dis-
conteeren over de r — 1 jaren, waarin de uitkeeringen van laatstgenoemde
de grootte O hehhen. Op de berekening van de slotwaarde van een klim-
mende annuïteit hebben eventueele begintermen, die nul zijn, geen invloed.
Bij dalende annuïteiten is de verhouding juist omgekeerd.

kan de uitdrukking voornbsp;worden omgezet in:

(12^). . . . [Is]n\\T\\ =

i

Hieruit door disconteering:
(13«) . . .

i

Deze betrekkingen zijn volkomen in overeenstemming met de
formules :

(14^) . .

i \'

(15«). . .nbsp;—

1/

welke als formule (40) en (41) in het Textbook voorkomen.

Dat zij voor r gt; 1 in elkaar overgaan is al aanstonds duidelijk.
Voor r = \\ geldt feitelijk geen der vier betrekkingen, daar zij
allen afgeleid zijn met behulp van (11), waaraan alleen beteekenis
gehecht kan worden indien r gt;gt; 1 is.
Daar:

F] = O voor r gt; 1,
zou het laatste tweetal geschreven moeten worden in de gedaante:

(16^).....=

{Vla) . . . .nbsp;=

i \'

met de conditie

\') Het Textbook kent alleen klimmende annuïteiten en stelt [/quot;aJ^Tï vóór
terwijl Us]^,-:! door s,-^^ wordt aangegeven. De s uit ïiet Text-
book is overal gewijzigd in s.
I, p. 46.

Nu is volgens (9 a) en (10 s):

Tl =nbsp;Tl =nbsp;Tl = I -nbsp;,

__1 —t;quot;

an\\T\\ = U(^\\n\\T\\ = {Ia)n\\ II — «»I — J—,

Uit:

volgt door disconteering:

{la)^ =

zoodat door (10«):

sïïi TT] =nbsp;= (/s);rTïT = (1 »

en door (9 a):

ö| = T;] = (1 -j- «quot;) (/ a)ir ï| ö] =

Hieruit blijkt, dat (12«), (13 a), (16 s) en (17 a) wel niet be-
hoeven door te gaan voor r—1, maar dit inderdaad toch doen, in
tegenstelling met de formules (14 5) en (15 a) uit het Textbook.

Todiiunteu zegt naar aanleiding van laatstgenoemde betrekkingen
slechts :

„It M-ill be observed that, in the derivation of s;;^ and from
„the general formulas, s;^ and öTTm are taken as 0, and that in
„the derivation of the amounts and present values of the annuities
„of orders higher than the first, the terms (1 -f i)quot; tT\\T\\ and tT\\T^
„vanish.quot;

Er wordt hier niet gewezen op hot ongeoorloofde van de substi-
tutie r — o, en daardoor wordt de schijn gewekt dat aan s-n]-^] en
fflT^lö] de beteekenis 0 noodzakelijkerwijze moet toekomen. De ver-
houding is echter zoo, dat Todhunter aan stïj en 77] volkomen
willekeurig een zekere waarde toekent, om daardoor de vormen voor

\') Ygl. § 2.
\') Textbook I, p. 47.

S71 en verkregen door de ongeoorloofde substitutie r = 1 in de
door hem gegeven algemeene uitdrukkingen, sluitend te maken

De onderstellingen:

S7II = ö ennbsp;= o

leiden in het Textbook sleehts d^ulrom niet tot tegenstrijdigheden
omdat deze grootheden er verder geen rol spelen, aangezien de
annuïteiten van hoogere orde er niet van den grond af zijn opge-
bouwd; de werkelijke beteekenis van bedoelde vormen komt daardL
met aan het licht. Wil men met deze beteekenis rekening houden

dan behoort men de vormen (14 en (1.5 a) te vervangen door (12
en (13 ö). 1)nbsp;nnbsp;V ;

Door letterverwisseling kan men geraken tot soortgelijke uitdruk-
kingen voor opgerente en gedisconteerde waarden van dalende
annuïteiten van hoogere orde, waarop mutatis mutandis al het
bovenstaande van toepassing blijft.

Todiiünïeu behandelt in zijn Textbook uitsluitend annuïteiten
van hoogere orde, en beschouwt de annuïteit (Ia)jri als iets, wat
geheel op zich zelf staat. Naar mijn meening zou het aanbeveling
verdienen om de annuïteiten van hoogere orde geheel te doen ver-
vallen en deze te vervangen door de annuïteiten van hoogere klasse,
waarvan de in de practijk niet zelden voorkomenden vormen en
bijzondere gevallen zijn.

) De onjuiste beschouwingswijze van ToDnuNTEU in Textbook 1 is des te
opmerkelijker, omdat, naar mij achteraf blijkt, in het driejaar vroeger (1898)
verschenen boek „The Theory of Financequot; door G. King, den schrijver van
ïextbook 11, de formules (16.) en (17 a) reeds voorkomen en aan s^^ en
«H ^ ook de goede beteekenis wordt toegekend. Toch is ook daar de\'substi-
tutie r = 1 niet juist behandeld.

\') 1. c. p. 41.

HOOFDSTUK III.

AFGELEIDEN YAN ANNUÏTEITEN EN HARE
TOEPASSING VOOR BENADERING VAN DEN RENTEVOET.

§ 1. Inleiding.

De algemeene beschouwingswijze van de waarde van een reeks
periodieke betalingen heeft in het tweede hoofdstuk geleid tot in-
voering der algemeene symbolen voor annuïteiten van hoogere klasse:

[na)^jr\\,nbsp;[l)s)n\\J\\,

waarmee correspondeeren de annuïteiten van hoogere orde:

\\_\'Da]n\\J\\,nbsp;[i^^lïïiH; M^IÏJÏÏ-

Hiernaast bestaan dan nog dergelijke symbolen, waarin de cur-
sieve lettertypen « en ^ door de niet cursieve a en s zijn vervangen.
Wij willen thans de afgeleiden van deze hoogere annuiteiten onder-
zoeken. Zij hebben vooreerst een theoretische belangwekkendheid,
die bijvoorbeeld tot uiting komt in de ook door Todiiunteu in zijn
Textbook \') opgenomen betrekking:

nbsp;—nbsp;.... etc.

welke met behulp van de reeks van Taylor wordt afgeleid. Hierin
stelt h een geringe afwijking van den rentevoet i voor.

De afgeleiden vinden echter ook een practische toejmssing.

Bij het oplossen van vraagstukken, die op de theorie der rente

\') I. p. 203. form. (14).

betrekking hebben, zal men namelijk somtijds moeten zoeken naar
een waarde van r, die voldoet aan de vergelijking:

D r) = k,

waarin n en Jc bekende constanten en r een onbekenden rentevoet
voorstelt, terwijl de aard van het onmogelijk maakt om r expliciet
in n en h uit te drukken.

Heeft men hierbij te doen met een bijzondere functie F, waarvan
de waarden voor verschillende bijdragen van n en r in tafels ver-
zameld zijn, of, zoo noodig, gemakkelijk verzameld kunnen worden,
dan kan men door middel dezer tafels steeds twee waarden r, en r^
zóódanig bepalen, dat:

Door interpolatie is hieruit een benaderde waarde van r te vinden.
Laat bijvoorbeeld gevraagd worden naar welken rentevoet men
een postnumerando annuiteit met 20 jarigen duur moet disconteeren,
opdat de contante waarde 14 zij. Men vindt nu met behulp eener
annuiteitentafel:

3,75 lt; r lt;C 0^3.5

Hieruit volgt bij benadering:

r = 3,5-f 0,25—

«201 3,5-«20|3,75

Als. een tweede voorbeeld stellen wij de vraag, naar welken rente-
voet men de gegeven premien eener spaarpensioenverzekering, welke
jaarlijks afnemen met p per eenheid van de bruto eerstejaarspremie F,
moet disconteeren, opdat het postnumerando pensioen van 1 in C over-
gaat. Onder spaarpensioenverzekering verstaan wij een verzekering,

\') Een dergelijke kwestie kan zich voordoen, wanneer aan een verzekeraar
in geval van concurrentie de vraag wordt gesteld of hij bereid is om voor een
bepaalde premie in afwijking van zijn tarief een bepaald pensioen te verze-
keren. Hij kan zich dan den eisch stellen dat do hier gezochte rentevoet,
waarnaar hij zich de premies gedisconteerd moet denken opdat het pensioen

gesloten ten behoeve van een x jarige, waardoor deze op den leeftijd
x-\\-n een pensioen zal genieten, terwijl gedurende den tijd van x
tot X -j- n geen rekening gehouden wordt met sterftekans, zoodat
volgens de formule de betaalde premien ten allen tijde kunnen
worden teruggegeven.

Het antwoord op de vraag wordt gegeven door de vergelijking:

a —J3 {Ia) ^THirj P = n\\a . C.

Hierin steltnbsp;vóór de netto koopsom van een pensioen ter

grootte één, vermeerderd met de contante waarde van den opslag
op de premien. Men heeft dus r te bepalen uit:

a i^^TÏ r —p {Ia) r = K,
waarin p eu K gegeven constanten zijn, en wel:

P

De oplossing kan nu ook weer gevonden worden door middel van
interpolatie, doch men kan deze methode niet volgen wanneer men
een grootere nauwkeurigheid wil bereiken dan mogelijk is met behulp
van de tafels waarover een ieder gewoonlijk beschikt. \')
Een tweede methode bestaat daarin, dat men stelt:

(1nbsp;)......F{n,r) = F{n,r,-^h) = L

Hierin moet r dan zoodanig gekozen worden, dat zoo goed mogelijk
voldaan wordt aan:

F{n,r) = F{n,r,).
Ontwikkeling van (1) volgens de reeks van Taylor:

p =00 J.p

(2nbsp;)...... nbsp;S

de vorgrooting C — 1 kan ondergaan, niet daalt beneden een zekere grens.
Met het stellen dezer vraag in theorie is geen pleidooi voor afwgking van
tarieven bedoeld.

\') Voor de berekening van {ra)-^ zie men Hoofdstuk 11, § 4, form. (4«).

waarin IP f [x) de p^\'\' afgeleide van f{x) naar a; voorstelt, geeft
als eerste benadering:

zoodat:

Meer nauwkeurige waarden van h verkrijgt men door de reeks
na den differentiaalterm af te breken. De te maken fout kan
geschat worden door op te merken, dat het verwaarloosde stuk
der reeks gelijk is aan:

waarbij:

igt;agt;o.

De berekening van h zal het gemakkelijkst kunnen geschieden,
wanneer de achtereenvolgende afgeleiden van F [n, ?•,) op een-
voudige wijze met F {n, i\\) zelf of met andere dergelijke functies
samenhangen.

In verband hiermede willen wij nagaan, in hoeverre deze samen-
hang bestaat voor de contante waarden van hoogere annuïteiten,
en den vorm bepalen, die de reeks van Taylor door substitutie
der gevonden uitdrukkingen in eenige bijzondere gevallen aan-
neemt.

Wij merken nog op, dat voor ? gt; 2 de hier volgende be-
schouwingen weinig practisch belang hebben, daar men in dat geval h
zou moeten bepalen door middel van hoogere machtsvcrgelijkingen
in h^ terwijl ons een andere benaderingswijze met voldoende nauw-
keurigheid ten dienste staat.

§ 2. Afgeleiden van machtreeksen, welke in betrekking
staan tot hoogere annuïteiten.

Bij hoogere annuïteiten wordt de grootte der uitkeeringen aan-
gewezen door de reeks der figuurlijke getallen van een zekere

orde. Meii verstaat hieronder, gelijk in het tweede hoofdstuk is
vermeld, getallen, die voldoen aan de betrekking:

s = (J — i

(3nbsp;).......^ \'/-^l \'

s = 1

waarbij tj\\q\\ de term van de (f\'\' orde aanduidt.

Iedere term van de reeks van de eerste orde is 1, terwijl
volgens (3) iedere term van de reeks van een willekeurige orde
gelijk is aan de som van de voorafgaande termen van de voor-
afgaande orde.
Men heeft:

= i,

\'71 =

— h-n T\\ ï-ib

^Pl\'/I-nbsp;(-Z—1)!

(4).nbsp;.nbsp;^i] = Q) = (^j — q)^nbsp;•

In (4) is de bekende schrijfwijze voor de binomiaal-

coëfliciënt iu de ontwikkeling van {a -f- Jils men de coëfllciënt
die I is, niet meerekent.
Voorts is:

(5.)........=nbsp;,

lt;«\'.....^r\').--

De binominaalooëfliciënten of liguurlijke getallen treden dus zoo-
wel bij herhaalde sommatie als bij herhaalde dKIerentatic van machten
van den veranderlijke op.

IJeeft men nu een machtreeks van de gedaante:

«.........Ji^)

en stelt men:

p=i q-.

dan verloopt deze reeks als volgt:

/lx n , n — l ^nbsp;1

( - ) =-H--— ■ ■ ■ etc.. . . —.

Wordt in het algemeen een ?»-voudige sommatie voorgesteld door
Z\'quot;, dan kan men met behulp van (3) en (7) voor:

schrijven:

(8) . . . —

\\xJn p = 1 Xt\'

zoodat krachtens (6):

(9)

I-eest men in (7) de termen van rechts naar links en stelt men:

(10)......f/ri^

dan wordt:
Algemeen:

(Tvnbsp;p=n/-----

i ) = X \'quot;I
xyn p = 1 xi\'

lt;

.....\'\'quot;\'(;),=„:,( »-1

waarbij te bedenken:

03)........

Nu geeft volgens (6) een wi-voudige dilFerentiatie van (10):

x\'iNnbsp;P = quot; /\'m 4- 11 — 7gt;\\ 1

of, als men n—/J 1 door vervangt en de grenzen omkeert:
Met behulp van (12) vindt men hieruit:

Volgens den regel van Leibnitz:

(KJ) . . . . . D\'! {u v)= \'z\'\' Dl\' u lyi -1\' V

heeft men nu:

KJunbsp;=nbsp;—1)!nbsp;\\xJn

of door (14):

(17)

Voor m = l wordt de tweede biiiominaalcoëfficiënt alleen niet
nul voor j} = m; de formule gaat dan behoorlijk in (14) over.
Uit (14) volgt nog:

of, als men stelt:
zoodat volgens (18):

(19). .nbsp; nbsp;

Voor = 1 gaat deze betrekking weer in (14) over.

§ 3. Afgeleiden van contante waarden van klimmende
iioogeue annuïteiten.

Onder een annuïteit van de klasse m verstaan wij een annuïteit,
waarvan de achtereenvolgende uitkeeringen gelijk zijn aan de
figuurlijke getallen van de orde m. Wij tellen hierbij de termen,
die nul zijn, wèl mee voor het bepalen der rangnummers van de
overige termen, doch kennen er verder geen invloed aan toe. Zoo
heeft een annuïteit van de klasse met een duur van n jaar u
termen, die de rangnummers m tot m -f n hebben.

Laat men in de vroeger \') afgedrukte tabel der figuurlijke ge-
tallen de termen, die nul zijn, geheel weg, en schuift men de
kolommen zoo ver mogelijk naar boven, dan krijgt men den

\') Hoofdstuk II, § 4.

Klügel, Mathem. mrterbuch, I, p. 310, gebruikt de tabel in dezen vorm
onder „Binomiaalcoëffieiëntenquot;, docb bezigt onder „Figurirte Zablenquot; den
driehoek van Pascal, door verdere invulling der rijen tot een rechthoek
vervormd, (II, p. 245).

bekenden driehoek van Pascal\'), waarin nu de correspondeerende
rijen en kolommen, dat wil zeggen getallen op telkens twee lijnen
evenwijdig aan de beide rechthoekzijden en even ver verwijderd
van het hoekpunt van den rechten hoek, gelijk zijn. Gewoonlijk
worden de rechthoekszijden als opstaande zijden geschreven.

Annuïteiten van hoogere klasse zijn dus te defniieeren als annuï-
teiten, waarvan de achtereenvolgende uitkeeringen aangewezen wor-
den door een rij of kolom uit den driehoek van Pascal. Dat wij
bij het aangeven van het nummer van een term steeds rekening
houden met de plaats, die zij in de oorspronkelijke opstelling (d.i.
voor de verschuiving) had, geschiedt om het verband te bewaren
met de annuïteiten van hoogere ordequot;). Hieronder worden annuï-

\') Traité du triangle arithmétique. Paris. 16G5. Zie ook: OuevresCompletes
de Blaise Pascal. Tome Troisième. Paris. Librairie Ilacliette. 1872. p. 213.
Voor meerdere getalwaarden zie men de boven in den noot aangehaalde
plaatsen bij Ki.üoel. Volgens de Ene. der Math. Wiss. I, 2, (p. 1077) komt een

tafel dor binomiaalcoëfflciënten tot ^oi^nbsp;Recueil des

Tables, Stockh., Astron. laktt.,. I (1880).

\') Textbook, I, p. 41. Ten aanzien van [/^rt]«! word in een noot van Hoofd-
stuk 2, § 3., de opmerking gemaakt, dat sommatie naar de orde der annuï-
teit een annuïteit oplevert, waarvan iedere uitkeering het dubbele is van do
voorafgaande. De oorzaak hiervan is, dat bij de resnlteerende annuïteit de
achtereenvolgende uitkeeringen gevormd worden door de sommen van de ge-
tallen, die zich in den driehoek van Pascal op de lijnen evenwijdig aan de
hypothcnusa bevinden, dat is dus aan de sommen van de binomiaalcoëfficiëntcn
in de ontwikkeling van {a b)lgt; voor do verschillende waarden van }gt;. De

leiten verstaan, waarvan de uitkeeringen dezelfde grootte hebben
als bij de annuïteiten van hoogere klasse, doch waarbij nu de uit-
keeringen van de groote nul denzelfden rol spelen als de overige
uitkeeringen.

Duidt men als voren de contante waarde eener klimmende annuïteit
aan door 1, die eener dalende door J), en onderscheidt men een
annuïteit van een bepaalde klasse van die der correspondeerende
orde door het gebruik van ( ) in plaats van [ ], dan is vooreerst:

p = n
p - n

Door de substitutie:

V

volgt hieruit

in verband met (8) en (II):
......

^^^^......=

Verder is : \')

[/ ^ = -1 (/ a),7ir;;r -i-| ,
U^ a\\n\\ ^ = {Dnbsp;;

zoodat:

(23) ....nbsp;=

Uit (18), (21) en (22) volgt:
• • • • •

eerste 101 uitkeeringen van een dergelijke annuïteit zijn te vinden bij V. A.
Vioi.EiNE, Nouvelles Tables pour les calculs d\'Intérêts. Paris 1832, p. 19. De
lOlo uitkeering, d.i. 2quot;°, vormt een getal van 31 cijfers.
\') Hoofdstuk II, § 4.

De boven gevonden vormen (17) en 19) voor de hoogere afge-
leiden van G en K wijzen in verband met (21) eu (24) aan, dat
de afgeleiden van {I a)n\\7gt;A ennbsp;eenvoudige wijze samen-

hangen met deze functies zelf. Een dergelijk verband bestaat niet
voor de afgeleiden van {O a)TArn\\ en

Volgens (17) en (21) heeft men:

Voor m — \\ wordt (25):

(26)nbsp;....nbsp;l)\'iq\\vi{Ia)n\\ip^\\.
Derhal ve:

Dan\\=^ — v{[a)n\\ \'),

Wijkt de rentevoet een klein bedrag h af van den rentevoet i,
dan wordt dus de reeks van Taylor (2):

(27)

7=0nbsp;i)=iH-qnbsp;\\iJi—py \\ q y

A\'^oor in = 1 bestaat de tweede som slechts uit den term p = ut,
zoodat:

(28)nbsp;. . .nbsp;{—v/gt;)\'i{Ia)w\\irTÏ\\,

./ = 0

wat met behulp van (22) om te zetten is in do bekende quot;■\') betrek-
king :

(29).nbsp;. ajr\\i h = air\\ — h [/ a],T TT T\\ [/ »JiT T] J\\ ■ ■ etc.. .
Uit (28) volgt als eerste benadering:

\') (ra);7i is (Ie gebruikelijke schrijfwijze voor
\') Vgl. § 1.

i a-JTi — V . h {1 ,

wat door middel van:

(30).....n

i \'

overgaat in de benaderingsforniule:

• • • ■ «Hl i h — an\\ — h —^-;-^

%

welke in den vorm (29) door Todhuntee op andere wijze is af-
geleid , terwijl zij overigens ook rechtstreeks voortvloeit uit de reeks
van Taylor en eenvoudige differentiatie van 0,7] 3).
Ter berekening van h kan men voor (31) schrijven:

(32nbsp;)......==

«)Ti — u \'fquot; ^

De substitutie vi = 1 in (25) geeft:

(33)nbsp;Dn (/ = (_ , ; J )nbsp;_ ^^nbsp;. ,

Derhalve :

D [la)^ = — ^ (2 [[a)^ — {[a)^] ,

\') Hoofdstuk II, § 4, form. (4a).

\') Textbook, I, p. 110.

Aldus bij E. D.VXIELE, „Sopra un caso particolare di determinazione del
tasso di una rendita certaquot; in Bollettino della Associazione Italiana per
rincremento della Seienza degli Attuari, 21. llaggio 1909, p. 3.

De aldaar in een noot gemaakte opmerking: „Naturalmente non solo la
prima, ma tutte Ie derivate successive di fn (i. e. aj^) saranno esprimibili
mediante la fn stcssaquot;, vormde mede de aanleiding tot dit algemeene onder-
zoek naar deze en dergelijke hoogere afgeleiden. De mogelijkheid, om alle
afgeleiden van a-j in zelf uit te drukken, blijkt uit (26) in verband met
de recursieformule (36), en zoo ten aanzien vannbsp;uit (33) en (36). Deze

uitdrukkingen leveren echter niets merkwaardigs op.

Voor = 2 gaat (27) over in:

(, = 0

waaruit men als eerste benadering vindt:

(35)nbsp;. .nbsp; nbsp;.

Ter herleiding van de voorkomende groothedennbsp;voor

ra gt; 2 kan men gebruik maken van de recursieformule:

(36)nbsp;. .nbsp;=
waaruit voor «2 = 3 volgt:

1 j;quot;

Hierin is volgens (4):

«(«4-1)

(37)nbsp;....nbsp;I J =

Formule (35) wordt nu:

(/«)»! ïTh\\ = [I^U — j (I — O quot; ~\'\'nbsp;!\'

(38) {la)n\\ i h = (/«)»! — 7 I (1 U\'^\'U —(« 1) \'!

Ter berekening van /i kan men hiervoor schrijven:
(39). . .nbsp; r

\') Hoofdstuk II, § 4, fonn. (G,s), vermenigvuldigd met u».

De overeenkomst, die deze formule vertoont met (32), zal in
zekeren zin bestaan tussclien alle waarden van h, die men vindt
door in (27) voor m ook waarden, grooter dan 2 te substitueeren.

Het is duidelijk, dat men (38) rechtstreeks kan vinden door-
middel van de reeks van Taylor en eenvoudige differentiatie
van {Ia)-;[y

Ten aanzien van de klimmende annuïteiten van hoogere orde
volgt uit (19) en (24):

Hieruit:

AMh =(-l)7(^ 1)!

zoodat:

De reeks van Taylor wordt:
(41)-^

1 = 0nbsp;\\ q y

Voor m = 1 gaat deze betrekking over in (2!)).
Dezelfde substitutie zet (40) om in:

(4.2). . . .

waaruit de bekende \') formule:

[lal, ^ =nbsp;on -1

teruggevonden wordt.

\') ïextbook, I, p. 203.

Voor m — l geeft (41) als eerste benadering:
(43) . . .nbsp; = —

waartoe men ook onmiddellijk geraakt door in de afgebroken reeks
van Taylor te substitueeren:

D \\_Ia\\n\\ iTTj = — m [/aj^ni »IT il

Deze betrekking vindt men door in (40)nbsp;te stellen.

Nu volgt uit de recursieformule:

in verband met (37):

r . .__a [/a],T ïj — ^

lia\\n i\\z\\ =---^------;

zoodat men voor (43) schrijven kan:

Ua\\n\\ i = — ^ S 2 M,T ti—w 1) •• j,

1 ^

(45) [/a];7| i = — | j 2 la]^ -u{n—l) t;quot; ^ |.
TTieruit:

§ Afgelkiden van contante waarden van dalende

hoogere annuïteiten.

In liet voorafgaande is het mogelijk gebleken om de reeks van
Taylor in betrekkelijk eenvoudigcn vorm te brengen voor de
contante waarden der gewone annuïteit en van de klimmende
annuïteiten van hoogere orde en van hoogere klasse, waaruit dan
bij gegeven contante waarden den onbekenden rentevoet benaderd
kan worden.

\') Textbook I, p. 202.

Hoofdstuk II, § 4, form. (1.3«)-

Bij het zoeken naar eene uitdrukking voor de hoogere afge-
leiden van de contante waarden van dalende annuïteiten van
hoogere orde of van hoogere klasse, die blijkens (20) en (23) in

verband staan met reeksen van gedaante 7/»» ^ stuiten wij

evenwel in (9) op een vorm, waaruit het verband
en zijn afgeleiden niet blijkt.nbsp;quot;

Men kan hier echter als volgt te werk gaan
Uit:

(47)nbsp;......nbsp;=nbsp;\')

1

en (16) volgt:

Een (m — 2)-voudige sommatie naar n geeft:

of, volgens de door {m — 2)-voudige sommatie van (47) te ver-
krijgen formule:

(48)nbsp;. . .

i \'

Krachtens (6) komt er:

Deze reductieformule zet de afgeleiden van dalende annuïteiten
van de klasse om in de annuïteiten zelf van gelijke klasse en

\') Hoofdstuk II, § 4, form. (3a),

in de afgeleiden van de annuïteiten van lagere klasse. Zij maakt
het evenwel niet mogelijk om de reeks van Taylou voor {Da)n\\m
in eenvoudigen vorm voor te stellen.
Voor m = l wordt:

[Igt;a)n\\ = An\\ —

daar immers de klasse eener annuïteit niets anders voorstelt dan
het aantal keeren, dat men naar n heeft gesommeerd.
Uit (49) volgt dus:

^_In»nbsp;« = ——« a

1

■Dfl^ =-—

(52). .

Voor «2 = 2 geeft (49):
-—IV

m { = (-r^ci! {J)a)n\\

^ ^ y (nbsp;k=\\

of, in verband met (42):
IV

Substitutie van (22) geeft:
\'\'—IV

S » /nbsp;t f. —^

\') Hoofdstuk II, § 2.

\') Men verwarre niet met {Da)-^.

\') d = iv.

Hieruit volgt luet behulp van (22):

(54)nbsp;. . .nbsp;— \\

t ^

wat ook onmiddellijk uit (47) of uit een eenvoudige sommatie van
(51) naar n voortvloeit.

Door middel van (47) en (30) is voor (54) te schrijven:

(55).nbsp;. . .nbsp;—

t

Sommatie naar n geeft:
of, volgens (48) en (54):

j {Ba)n\\ ^-^B {Ba)^\\,

welke betrekking men ook kan vinden door in (49) ^ = 1 en m — 3
te nemen.

Yoor 5 = 2 wordt (53):

of met behulp van (36):

(56)nbsp;=nbsp;—nbsp; ^ .

Dezelfde formule vindt men ook gemakkelijk door differentiatie
van (55) met in achtneming van (54).

Door middel van (30) en (47) kan men (56) omzetten in:

(57)nbsp;{Ba)ni = ^ 1) ^ - (3 - 2 .. 1 - n),

welke betrekking ook door rechtstreeksche differentiatie van (55)
ontstaat.

Daar de hoogere afgeleiden van {Da)n\\^\\ noch in het algemeene
geval — (49) —, noch voor m,= % — (53) —, een eenvoudige
gedaante verkregen, zullen wij hierbij volstaan met de vermelding
van de eerste benadering voor [I)a)n\\.

Volgens (2) en (54) vindt men:

h
i

zoodat:

/.q^ 7.nbsp;a)n\\—{Da)n\\i-^h
.....

Daar volgens (23) [Da^n^^^ slechts van {Bverschilt wat
het aantal termen, welke geen invloed hebben, aangaat, behoeft
deze grootheid niet afzonderlijkte worden besproken.

§ 5. Toepassing.

Het boven aangehaalde artikel van E. Daniele geeft gelegenheid
om door een voorbeeld aan te. toonen, hoezeer het bij de toepas-
sing der benaderingsformules noodig is om in het oog te houden,
dat de uitkomsten der benaderingen des te onnauwkeuriger worden,
naar mate h een grootere waarde heeft.

Het ter genoemder ])laatse gestelde probleem luidde namelijk,
overgezet in de gebruikelijke notatie: de reëele rente r te bepalen
van een reeks van n periodieke uitkeeringen, wanneer de rentevoet
gedurende de eerste v jaren i, en vervolgens bedraagt.

Men vindt terstond als oplossing:

(ö 0)......«üir = a7| i «^TZTj

De schrijver wenscht nu r expliciet in i, , n en v uit te drukken,
en stelt daartoe:

De afgebroken reeks van Taylor:

c-üi i h — ani-i-/iDani,
geeft in yerband met (60):

a^iij 4- ^ni

D an\\
of door (51):

(61)......h = --

an\\ — n

Voor de waarden:

i = 4,5, == 5, n = 10 en v = 4,
wordt gevonden:

/i = 0,1771.
r = ï -1-/, = 4,6771.

Nu levert (60) ojd:

«ïö] r = 7,8438,

terwijl men met behulp van een der aan het slot dezer paragraaf
te noemen tafels \') kan vinden:

aïö\\ 4,025 = 7,8643.
051014,75= 7,8163.

Stellen wij dus:

r = 4,625 h,

en nemen wij aan dat de rentevoet voor symbolen, waar deze niet
afzonderlijk vermeld is, 4,625 bedraagt, dan is:

= 4,625. —^^

waaruit:

h = 0,05318.
r = 4,67818.

\') Gebezigd is: V. Bakrlociier. Zinseszins — etc. — Rechnung. Ziirich
1885.

Neemt men:

r, =4,678

en stelt men voor een nauwkeuriger benadering:

r^ = 4,678 k,

dan is weer:
Men vindt:

7,8439 O,
i = 0,60477,
k = 0,00026
= 4,6783.

Maakt men gebruik van het feit, dat de complementaire loga-
rithmen van annuïteiten met gelijken duur, waarvan de rentevoet
telkens met ^/g ^/q klimt, vrijwel een meetkundige reeks vormen^),
dan vindt men door interpolatie eveneens:

r== 4,6783,

terwijl het resultaat van Daniele luidt:

r = 4,6771.

Neemt men aan, dat de waarde r.^ van r volkomen juist is, dan

\') Afgerond op vijf decimalen vindt men 7.84395.

Vgl. V. Baeri.ociier , 1. c. p. 25. Tafels van de logaritlimen van (1 -f i)quot;
en van de complementaire logaritlimen van a—^ tegen een rentevoet, die van
17, 7o tot 6% telkens met Va 7o opklimt, zijn in dit boek opgenomen. Zij
zijn ontleend aan: Fedor Tiiom\\n, „Theory of compound interest and annuities,
with logarithmic tables.quot; London, 1859. (Een Fransche uitgave, vertaald door
Bouchard, verscheen te Paris in 1878, terwijl er ook een ongedateerde afzon-
derlijke Fransche uitgave der tafels bestaat). De tafels komen verder voor in
W. Inwood. „Tables.quot; London, 25 th. Edition, 1899, en in H. Chari.on.
Théorie mathématique des opérations financières. 2° Edition, Paris 1878.

bevat de door interpolatie gevonden r een fout 0,0000. terwijl zich
in de r van Daniele een fout 0,0012 bevindt.

Hieruit blijkt vooreerst, dat de aangegeven wijze van interpo-
latie der complementaire logarithmen tot zeer bruikbare resultaten
voert; zoodat zij wegens hare beknoptheid de voorkeur boven de
beide andere methoden van berekening verdient, en tevens, dat de
methode van Daniele, in tegenstelling met de door den schrijver
uitgesproken meening \\) zich niet bijzonder voor practische toepas-
sing leent.

Zij brengt immers weliswaar de bewerking tot het naslaan van
tafels en tot een weinig omvangrijke berekening terug, doch op
een wijze, die slechts weinig eenvoudiger is dan die, waarop enkel-
voudige toepassing der reeks van Taylor hetzelfde doet, want de
weg, waarlangs laatstgenoemde methode leidde tot r= 4,67818, is
zeker niet veel langer dan die, welke Daniele voerde tot r = 4,6771.
Vergeleken met de door voortgezette benadering gevonden waarde
= 4,6783 vindt men als fouten respectievelijk 0,0001 en 0,0012,
zoodat, bij toepassing van de methode van Daniele, de nauwkeu-
righeid in het hier besproken geval geringer is, en, wanneer de
gezochte reëele rente ongeveer midden tusschen twee niet te dicht
bijeen liggende gegeven renten inligt, zelfs véél geringer moet zijn
dan de waarde, die door middel van (60) werd gevonden.

Als tafels van en v» welke dienen kunnen om de rente in
te sluiten tusschen twee grenzen, die uiet verder dan \'/g % uit-
eenliggen, komen, behalve de boven in .den noot genoemde van
Baeiilociier , Tiioman, Inwood en Charlon, in aanmerking \'):

W. H. Oakes. Tables of Compound Intrest 1877.

\') Lo scopo, come si vede, è modesto, ma ha in compenso un carattere
pratico e di attualitS., 1. c. p. 2.

\') Aggiungio che la formola, che ora andremo a trovare, è di calcolo
simplicissimo, renducendosi questo in huona parte a letture tahulare, 1. c. p. 2
\') Volledige titels in het overzicht der aangehaalde litteratuur.

W. M. J. Werker. Die zusammengesetzte Zinsen und Zeitrenten
oder Annuitätenrechnung II. Utrecht und Berlin 1893.

S. Spitzer. Tabellen für die Zinseszinsen und Eentenrechnung.
4« Ausgabe 1897.

A. Arnaudeau. Tables des intéréts composés, annuités et amor-
tissements pour les taux variant de dixièmes en dixièmes. Paris,
Gauthier—Villars 1906. i)

Is men bij de bepaling van r uit:

tevreden met gewone interpolatie tusschen de bovengenoemde gren-
zen , dan kan met vrucht gebruik maken van :

W. H. Oakes. Tables for finding the Intermediate Eates of
Interest in an Annuity—Certain, 1887.

Men past als gewoonlijk toe de interpolatieformule:

»• = « — (« — h) —--î

«ftlr, — «n|i

De tafel is ingericht voor ^ — = 0,125. Zij geeft de waarden
van a^i en van:

0,125

«iïji,-an\\i

van i = yo (^oor opklimming met \'/a % tot i — 10 %.

\') Vgl. Dr. J. r. Jansk. Boekbeschouwing. Archief Verz.W. IX, p. 79.

[Sr -

k

u

t

. „i . : \'V quot;\'-r-nbsp;-A r-n \'ïï^j y ■

H\'

gt;v.

iquot; ( -.4.i|

W

■ ^ Ji^

hoofdstuk iv.

KOERS EN RENTE.

§ 1. De Grondvergelijkingkn.

In Hoofdstuk I is opgemerkt, dat het uit het oog verliezen van
den gemeenschappelijken basis der politieke rekenkunde als leer der
verandering van geldswaarden aanleiding kan zijn tot het inslaan
van omwegen bij het oplossen van sommige vraagstukken, en werd
in verband daarmee gewezen op het artikel, getiteld „Het bepalen
der reëele rente van effectenquot;, door Dr. B. ïurksma. \') De
bedoelde kwestie wordt aldaar behandeld met behulp van differentie-
vergelijkingen, terwijl de op grond van de overeenkomst met de
bepaling der reserve uit de verzekeringswiskunde te verwachten lager-
algebraische oplossing niet alleen mogelijk, maar wegens hare kort-
heid ook verkieselijk zal blijken. Voor een critiek van de wijze,
waarop de oplossing door Dr. Turksma is uitgevoerd, wordt ver-
wezen naar mijn reeds vroeger verschenen artikel „Koers en Rente\'quot;
De oplossingen zullen thans in § 2 gegeven worden, zooals zij in
verband met de in laatstgenoemd artikel gemaakte opmerkingen komen
te luiden, terwijl in § 3 de in § iJ besproken differentie-vergelijkingen
op andere wijze worden behandeld. In § 4 volgt dan de lager-alge-

\') Archief Verz. W. VIII, (1906), p. 1.

Archief Verz.W. XI, (1910), p. 330. Aldaar was ten aanzien van s en s de
universeele notatie gevolgd. (Vgl. noot op p. 338.) Bedoelde critiek is hier ver-
vallen, terwijl het artikel werd omgewerkt en uitgebreid.

braische oplossing van de gestelde kwestie, terwijl het hoofdstuk met
een in § 5 uitgewerkt voorbeeld wordt besloten.

Onder de reëele rente r van een leening, gesloten tegen een
rentevoet i, verstaat men den rentevoet, waarnaar eene a pari uitge-
geven en a pari aflosbare leening van hetzelfde bedrag gesloten had
moeten worden, zoodanig, dat de naar dien rentevoet r gedisconteerde
waarde van rente en aflossingen der tweede leening gelijk zijn aan de
eveneens naar r gedisconteerde waarde van rente en aflossingen der
eerste leening, vermeerderd of verminderd met de contante waarde
van de winst of het verlies, aan de koers van uitgifte of aan de
aflossing verbonden.

Het bepalen van de reëele rente bij gegeven wijze van aflossing
en koers van uitgifte is te beschouwen als een bijzonder geval van
de vraag naar het algemeen verband tusschen bij elkaar behoorenden
koers en reëelen rentevoet, daar men zich de vergelijkingen, welke
dit verband uitdrukken, in beginsel zoowel naar den koers als naar
den rentevoet opgelost kan denken. Bij nadere beschouwing blijkt
zich echter de vorm der vergelijkingen tegen een expliciete oplossing
naar r te verzetten, terwijl oplossing naar den koers steeds mogelijk
is. Men vindt nu, zooals nader zal worden aangetoond,\') voor den
koers x uitdrukkingen welke, behalve constanten of een factor r,
slechts rentefuncties bevatten, waarvan de waarde voor diverse groot-
ten van r en n m tafels vereenigd zijn. Zoodoende kan de ge-
zochte grootheid r ingesloten worden tusschen twee waarden r, en
waarvoor geldt:

Xr,lt;.Xlt;C. Xr,.

Hierin is x de gegeven koers, terwijl Xr\' Xr^ de waarden voor-
stellen welke de uitdrukking x aanneemt, wanneer daarin r respec-
tievelijk door rj en r^ wordt vervangen. Op de in Hoofdstuk III
aangegeven wijze kan nu, hetzij door interpolatie, hetzij door toe-
passing van de reeks van Tayloii, een waarde van r benaderd worden.

Het bepalen van de reëele rente bij een gegeven koers wordt op
deze wijze in hoofdzaak gereduceerd tot het bepalen van den koers

\') Zie de formules (31), (32) en (33) in § 5 van dit Hoofdstuk.

\') Vgl. Hoofdstuk III, §5 en Hoofdstuk VII.

bij een gegeven reëelen rentevoet, zoodat wij ons alleen met dit
laatste vraagstuk zullen bezig houden.

Onder den koers x van een bedrag a, dat nog gedurende « jaar
moet uitstaan tegen een reëelen rentevoet r en een nominalen rente-
voet i, verstaan wij de naar r gedisconteerde contante waarde van
al hetgeen per nominale eenheid van het bedrag aan rente eu aflos-
sing zal worden ontvangen.

Noemt men de aflossing per eenheid in het m® jaar na het tijd-
stip der koersbepaling Um, en de rente per eenheid /,„, dan
wordt het verband tusschen koers en rente weergegeven door de
vergelijking:

Hierbij is ondersteld, dat het einde van een periode van rente-
betaling, waarvoor wij één jaar nemen, samenvalt met het tijdstip
der koersbepaling. \')

Wil men rekenen met den tijd q, die nog verloopen moet aleer
de leening in haar geheel is afgelost, dan moet men schrijven:

.ïi ÖT^\' ^^

of, als men n — q I door q vervangt, d.w.z. de termen der reeks
in omgekeerde volgorde leest:

. = T

Uq en Li stellen dan voor de bedragen, welke ])er nominale een-
heid van het nog uitstaand bedrag respectievelijk aan aflossing en
rente zullen worden betaald aan het einde van het jaar, waarvan het
begin q jaar verwijderd is van het tijdstip der laatste aflossing. De
bedragen der laatste aflossing en rentebetaling worden in dit geval
aangeduid door Z7, en I^, in het eerste door Un en Iw

\') Formule (1) komt in eenigszins anderen vorm vóór in het aangehaalde
artikel van Dr. Turksma, doch wordt aldaar voor het gehruik in de meeste
gevallen ongeschikt geoordeeld (p. 3 en 4).

Bij de lager-algebraisclie oplossing der gestelde kwestie wordt in
hoofdzaak alleen de eerste wijze van tijdsaanduiding gebezigd, zoodat
dan ook daarvoor formule (1) als de grondvergelijking is te be-
schouwen. De tweede wijze van tijdsaanduiding wordt toegepast bij
de oplossing door middel van differentie-vergelijkingen. De resultaten
worden in beide gevallen dezelfde, omdat de oplossingen slechts
functies zijn van den totalen duur n.

De grondvorm der differentie-vergelijkingen wordt als volgt afgeleid.

Laat op een tijdstip, n jaar vóór de laatste aflossing, het uitstaand
bedrag 1 en de koers wezen, dan is de waarde van het uit-
staand bedrag eveneensnbsp;Daar na één jaar een reëele rente r
gemaakt is, groeit deze waarde in dien tijd van F{n) aan tot (1 -f r).
F{n). De nominale rente bedraagt i, terwijl de grootte van het
uitgelote bedrag gelijk is aan de uitlotingskans van dat jaar, welke
wij door Un zullen voorstellen. Het bedrag, dat na de uitloting
nog uitstaat, is 1—terwijl de waarde daarvan wordt aange-
geven door:

(1 — un) F{n — 1).

Gelijkstelling der waarden aan het einde van het jaar levert op:
(2) . . . (I r) F{n) = i (1 — un) — 1).

De oplossing der grond vergelijkingen zal worden gegeven voor
drie leeningstypen, welke wij met de letters a, (3 en y aanduiden,
en wel:

ü. Leeningen, die ineens in haar geheel worden afgelost.

13. Leeningen, waarvan door uitloting telkens een gelijk gedeelte
van het oorspronkelijk bedrag wordt afgelost.

y. Annuiteits-leeningen met interest i, waarvan de aflossingen
gelijk zijn aan die van een annuiteits-leening met interest p, terwijl
de reëele rente r bedraagt.

Gelijkstelling van i en p geeft de gewone annuiteits-leening, welke
wij l zullen noemen, terwijl eindelijk ook nog p en r aan elkaar
gelijk gesteld kunnen worden.

§ 3. Oplossing der differentie-vergelijkingen.
In de grondvergelijking:

(а)nbsp;. . . (1 r) F{n) = iu,^ {1 — n„) F{n — 1)

heeft F{o) als koers van een contant betaalbaar bedrag de waarde
1; voor alle leeningstypen is de nitlotingskans «„ in het jaar van
de laatste uitloting eveneens 1, zoodat steeds geldt:

(3)......... =

Tot (3) kan men ook onafhankelijk van (2) besluiten door op te
merken, datnbsp;de waarde moet voorstellen van de eenheid, die

gedurende één jaar naar i wordt opgerent en vervolgens naar r wordt
gedisconteerd.

Om uit (a) den constanten term te verwijderen stelt men:
W.........Fin)=/(n)^-C,

en kiest C zóódanig, dat in de nieuwe vergelijking de som der con-
stanten nul wordt. Men vindt:

r

F{ii) moet dan opgelost worden met behulp van:

(5)........F{n) = /\\n) ^,

(б)nbsp;. . (1 r)An) = (I - u„)/{n - 1) «n (} - ^\'
(\')........ =

Leeningstype a.

De aflossing vindt in haar geheel plaats aan het einde van het
jaar, waarvan het begin 1 jaar van het afloopen der leening ver-
wijderd is, zoodat:

W/4 = O voor « 1,
Un — \\ voor = ].

Yoor n\'^l wordt (6):
(8).......=

Yoor 71— \\ geldt (7).
De algemeene oplossing van (8) is:

/(-) ^

(1 r)--
Uit (7) volgt dan:

1

.....

(1 r)quot;-
Leetdngstype /3.

Daar ieder jaar een gelijk gedeelte van het oorspronkelijke bedrag
Avordt afgelost, heeft men voor alle voorkomende waarden van n:

1

n

Formule (6) wordt na vermenigvuldiging met n\\
^^ (1 nbsp;= {n —

r

Ten einde deze vergelijking om te zetten in een met constante
coefRcienten stelt men:

nf{n) = (p («),
(10) .... =

r

Uit (7) volgt:

....... =

Voor:

Cp{n) = C

vindt men uit (10):

De algemeene oplossing van (10) zonder constanten is:
Cpin)--^

(1 r)«-

De algemeene oplossing van (10) wordt:
Uit (11) volgt:

1- 1

(1 rf} \'
1

. 1

(1 rT

r

1

\'nbsp;r n\\ T/nbsp;r

Leeuwgsiype y.

Is de aflossing gelijk aan die van een annuiteits-leening met den
interest p, dan moet de uitlotingskans afzonderlijk worden bepaald.

Daar bij een annuiteits-leening de vrijgevallen rente van iedere
voorafgaande aflossing gebezigd wordt voor de daaropvolgende aflos-
sing, vormen de aflossingen een meetkundige reeks met de reden
1 p- Is voor een zeker jaar, waarvan het begin jaar verwijderd
is van de laatste aflossing, de uitstaande schuld k, dan is de aflos-
sing voor dat jaar kUn, de overblijvende schuld gt;?;(1—en de

aflossing voor liet volgende jaar k{l — Ua-i Na deeling door k
heeft men dus:

(13nbsp;)....... {I - ^n)«n-i = {l p)Un.

Deeling door Un iin -1 en substitutie van :

lln

geeft :

(14nbsp;).....f{n)-{l p)An-l) = l.

Voor :

An)=C

wordt :

C = -i.

V

De algemeene oplossing van (14) zonder constante, d. i. van:

is:

De algemeene oplossing van (14) wordt:

An)=C, (1 ^pY-

c

P

Un =----

Substitutie in (6) geeft:

(1 T)f{n) = [l -nbsp;J An - 1)

p

(1 J»)

stel:

(15nbsp;).....

dan wordt:

(16)nbsp;. {l^r)(p{u) — cp{n-l)
Uit (7) en (15) volgt:

1 ?; i-

_ 1 -j- r . \'

De algemeene oplossing der vergelijking zonder tweede lid is:

a

(l r)quot;-

Een oplossing der geheele vergelijking is:

#0 =

(1 ;;)quot;•

Door substitutie in (16) Idijkt:

r — ~

\' T{r-py

zoodat:

p{r~i)

r{r — p)- (1nbsp;)n-

Met behulp van de waarde van lt;$(1) vindt men hieruit:

1- r — p

pir — i)

r{r — p) L(l io)» (l r)quot;J \'
p{r—i) [l pr FAnbsp;1 \\ Anbsp;1

LV (1 rW

De algemeene oplossing van (3) voor leeningstype y wordt dus
aangegeven door:

(17)

-P _ _

(1 -\\-pr

Leeningstype

Door p gelijk aan i te stellen vindt men uit (17) als algemeene
oplossing van (2) voor leeningstype $:

1

(18). . . . F{n)

Vergelijking (6) kan altijd op algemeene wijze worden behandeld,
wanneer slechts het quotient van telkens 2 achtereenvolgende aflos-
singen constant is. Stelt men namelijk voor de aflossingen:

Um-\\=-k Uni,
dan geldt voor de uitlotingskans:

Unnbsp;1nbsp;k—l

nnbsp;n — inbsp;7,n_ i \'

1nbsp;O

1 —Mnnbsp;—1nbsp;k
-= k-

k — 1 «„ _ 1 ■
Nu wordt (6) na deeling door k\'^ Uni

of, iu verband met (19):

.m ,,.

dan wordt:
(20). . . (1

Uit (7) volgt:

1 i i

k Li r rJ

De algemeene oplossing der vergelijking zonder tweede lid is:

Een bijzondere oplossing van (20) is:

waarin C^ bepaald wordt door:

(l r)(72—= 1—i,

r — «

r{l r — ky
De algemeene oplossing van (20) wordt:

(n) =-_L__

Hieruit met behulp van de gevonden waarde van (1):

=

1 1

r—i r1nbsp;1

Un.

De algemeene oplossing van (2) wordt:

n 1

(l r)quot;J

Yoor type a, waarbij geen uitlotingen plaats vinden, is k als
verhouding van twee grootheden met de waarde nul onbepaald, en
geldt de vergelijking dus niet.

Yoor type /3 zetten de substitutiën:

k=\\

het resultaat (21) om in (12), terwijl (21) voor de bij type y be-
hoorende substituties:

]C=1 J0

overgaat in (17).

Wij hebben hier het geval, dat het quotient van twee aflossingen
gelijk was aan een rentevoet p, vermeerderd met de eenheid, be-
schouwd als een bijzonder type van het geval, dat dit quotient
gelijk was aan een willekeurige constante h. Uit een formeel oogpunt
zijn echter beide gevallen volkomen aan elkaar gelijk, daar men
voor iedere constante k stellen mag:

mits men p hierin niet uitsluitend als een rentevoet, die uit den aard
der zaak steeds positief en niet zeer groot is, maar als een wille-
keurige constante beschouwt. Men kan ook zeggen dat van iedere

annuiteits-leening, waarvan het quotiënt van telkens twee opeen-
volgende aflossingen gelijk is aan een constante h, deze aflossingen
gelijk zijn aan die van een annuiteits-leening met den rentevoet
^— 1nbsp;mits men hierbij in het oog houdt dat deze rentevoet alle

positieve en negatieve waarden mag hebben en ook nul kan zijn.

Zóó beschouwd is niet alleen leeningstype maar ook type
een bijzonder geval van type y, namelijk het geval:

io = 0.

Voor deze waarde van p ziet men dan ook ten aanzien van (21)
door toepassing van den regel van Bernoulli de bovenstaande bij
type y behoorende substituties overgaan in die van type terwijl
dezelfde bewerking de oplossing (17) van type y omzet in de op-
lossing (12) van type B.

§ 3. De differentie-vergelijkingen als regürsieformules

beschouwd.

Men kan de in de vorige paragrafen voorkomende difierentie-
vergelijkingen ook oplossen door deze als recursie-formules te be-
schouwen. üe oplossingen krijgen dan een eenigszins andere gedaante.

Leeningstype a.
Door invoering van de gebruikelijke notatie:

1

gaat de grondvergelijking:

(2) . . . (1 -f r) F{n) = i (1 _ Un) F{n — 1)
voor type x na vermenigvuldiging met v over in:
Ilt;\\n) = iv\'\\-vF{n~\\).
Vervangt men hierin u door n~l, vermenigvuldigt men dan

opnieuw met y en past men deze bewerking bij herhaling op het
komende resultaat toe, dan vindt men:

V F{n — =nbsp;v^F{n — 2),

— 2) =nbsp;^nbsp;_ 3) ^

—nbsp;^m 1 ^m 1 _ ^ _ i) ^

Telt men deze n — 1 vergelijkingen op bij de uit (3) volgende
betrekking

dan komt er:

(22nbsp;)......= -f 2 S v\'^.

1

Leeningstype (o.

Voor type 0 wordt de grondvergelijking (2) na vermenigvuldi-
ging met nv:

nF{n) = niv-}-v-\\-v{}t — l)F{n — l).
Op de voor type ot, aangegeven wijze vindt men:
v{n — 1) F{n — 1) = (« _ 1) inbsp;_ 2) _ 9) ^

_ 2) — 2) = (n — 2) i v\' {n — 3) F{u — 3),

2t;quot;-2i/\'(2) =nbsp;-f v^-\'^ F{1).

Telt men deze n — l vergelijkingen \'op bij de uit (3) volgende
betrekking:

dan komt er:

m = nnbsp;n

n F{n) = i E [n — m1) vquot;quot;1. vquot;^,

wi = 1nbsp;1

1 r nnbsp;m = n

(23)...nbsp;F{n)=~nbsp; 2 S (^-^4-1)^»

«Linbsp;= 1

Leeningstype y.

De uitlotingskans Un wordt hier bepaald door:
........=

terwijl:

(14)...../(«) = (l ^)/(^^-l) l.

Nu wordt als boven:

(1 P)f{^ - 1) = (1 i\') - 2) (1 i.),
il-i-p)\\nn-2) = {l PY/{n — 3) {l p)\\
{l-^pynf{n-ngt;:) = (1 -\\-p)m if{n-m—]) (1

(1 =(1 p)quot;-v(i) (1 pr-^ •

Telt men deze n — 1 vergelijkingen op bij de uit (24) volgende
betrekking:

dan komt er:

m = n — i

/{n)= 2 (l i^)»quot;,

m = 0

1

(25)......=

S (1 p)quot;

m = 0

Voor type y gaat de grondvergelijking (2), wanneer men daarin
kortheidshalve de uitlotingskans voorloopig n„ blijft noemen en op
grond van § 2 onderstelt, dat voldaan wordt aan:

(19).....= =

Unnbsp;f^n — i

over in:

/\'lnbsp;I ® A I 1 — «n Mnbsp;1 \\

Stel:

dan is:

(26). . . . = = =

l-\\-r \\ M,

cp{n)=v(l ~) vicp{n-l),
vklt;p{n — =nbsp;—^ nbsp;_ 2)^

\\ Ufi —

^ _ _nbsp;A _|--p ^ _ 3) ^

vquot;^ k-^ (pin — m)= v»\' 1 kquot;\' (l --v\'quot; ^ ^Cp

\\nbsp;llfi — ni\'^

^n-2 J.n-1 0(^2) = t-n-lnbsp;-f — v^-i /E:«-! (J)(l) ,

Telt men deze n — 1 vergelijkingen op bij de uit (26) volgende
betrekking:

j;H-lnbsp;= ^n ln-\\ (^lnbsp;^

I m=nnbsp;^nbsp;: ^

Cp(n) = ~ X y)\'quot; PM 1-1----------),

K m=lnbsp;\\ tl_ „J ^ 1 /

(27). . .nbsp;-j--^-\\

Boven is opgemerkt, dat men type jS beschouwen mag als het
bijzonder geval van type y, waarvoor:

p=0.

Men ziet dan ook voor deze conditie (27) terstond in (23) over-
gaan, daar:

/y-im Uii, = , /jm k= 1.
p = 0nbsp;11\' p = O

(1 4nbsp; i —1 n — m-\\-\\

Lim-rrS—er;-^-=-

n

Voor:

_L___L_ quot;ÏVI ZX\'

, gt;,■(! )quot; \'■ = 1 VI

m = 1

1 ^

Nu is:

_ 1 r

» im = i\\14-ry r—n

1

r —p

(28) wordt:

1

r—pm = i{l^p)quot;^ L|(l jö)\'» (1 r)quot;

m=n nnbsp;m=n ,

S __L.__S ^

§ 4. Lager-algkbratsciib oplossing der grondvergelijkingen.

Wij gaan thans over tot de kvger-algebraische alleidiiig van de
bijzondere uitdrukkingen, die het verband tusschen koers en recele
rente weergeven. Het is hierbij eenvoudiger om den tijd te rekenen
vanaf het oogenblik der koersbepaling, zoodat het jaar der laatste
uitkeering wordt aangegeven door n.

In de in § 1 besproken formule:

(1) . . .
stelle men:

\') ])e schrijfwijze houdt verband met do later in te voeren universeele
notatie.

lm ^^ i J-m-

Jm is dan het bedrag, waarover in het m® jaar na het tijdstip
koersbepaling, rente wordt betaald.

Noem de contante waarde der aflossingen H, en de contante
waarde van de bedragen, waarover rente wordt uitgekeerd, K, dan is:

m = n TT

E= s _

m = n T

K -= T

terwijl (1) overgaat in:

(31)........x = II-\\-iK.

Geschieden oprenting en disconteering over denzelfden tijd tegen
denzelfden rentevoet, dan heff\'en zij elkander op; derhalve blijft dan
de contante waarde van een nominaal uitstaand bedrag ter grootte
éen onveranderd één, onverschillig hoe de toekomstige aflossing plaats
vinden moge.
Hieruit volgt:

(34)\').......

Eliminatie van H of X tusschen (31) en (34) geeft:
.......

(83)....... x=l {i-r)K.

Leeningstype u.

Hier is:

Uni -- ü voor
Um=\\ voor m — n,

O Een uitvoerige verificatie dezer vergelijking is te vinden bij C. L. Landué:
„Het afdoen van schuld door periodieke betalingenquot;. Archief Verz. W. VI.
(1903.) p. 270.

Jm — 1 j
1

1

m = n
K= 2

(31a)........An\\-\\-ian\\,

(32«).......

{33»)....... X l{i — r) an\\.

Leeningstype (3.

n

J m -

1 m = n quot;1

n rn = \\{l-\\- rf\'

1 n — m \\

A = — S —TT-;-r-

nm = \\ (1 r)\'quot;

De waarde:

K=-{])a)n\\

volgt onmiddellijk uit de overweging, dat K de contante waarde
voorstelt van ecji reeks bedragen, welke met 1 begint en vervolgens

steeds met — afneemt.
n

x = - an\\-\\-i {Ba)n\\

n

Leeningstype y.

De uitlotingskans u^ voor eenig jaar n wordt, onverscliillig of
men den tijd n rekent vanaf het oogenblik der koersbepaling of wel
tot aan het tijdstip van de laatste uitloting, als verhouding van
het in het n^ jaar uit te loten bedrag tot dat, hetwelk dan nog
totaal moet worden uitgeloot, bepaald door:

(35)........

m = n

S Ura
jji = 1

Daar nu bij iedere aflossing de rente van de vorige aflossing voor
schulddelging gebezigd wordt, vormen de achtereenvolgende aflos-
singen een meetkundige reeks met de reden 1p, zoodat:

m=nnbsp;m—n~l

X Ura=Un 2 (l-f^ö)quot;\',
m = 1nbsp;m = O

(^ö)....... =

2 {i pr

wi = 0

quot;Vergelijking van de afleiding dezer formule met die uit § 3 of
met die der overeenkomstige betrekking:

P

u„. —

uit § 2 doet zien, dat ook hier de lager-algebraische behandeling
de eenvoudigste is.

Door gebruik te maken van de in Hoofdstuk II ingevoerde notatie:

m = n — 1

Z (l r)quot;,
m = 0

kan men voor (25) schrijven:

1

S n|

waarbij het accent aanduidt, dat het symbool betrekking heeft op
den rentevoet p.

De bepaling van Un kan ook als volgt geschieden:
Daar bij een gegeven wijze van aflossing de uitlotingskans niet
van de grootte der schuld afhangt, kan men aannemen, dat het nog
uitstaand bedrag voor een gegeven tijdstip n jaar vd(5r de laatste
aflossing één is, zoodat:

m =n
»n = l

Hierdoor gaat (35) over in:

Un = Un-

Tot delging der schuld is nu aan rente en aflossing noodig een
jaarlijksche betaling van:

1

ö\'nl \'

waarbij het accent weer duidt op den rentevoet p. Daar de schuld 1 is,
bedraagt de rente in het jaarp, zoodat men voor de aflossing vindt:

(36)........

^ \'nbsp;a n|

en ook:

1

« n|

wat men gemakkelijk omzet in den boven gevonden vorm:

_ J_

- ! )

Sni

en in:

1 1

Un

an\\ (1 pr

Wij geven hier de bepaling der uitlotingskansen ter vergelijking
met de wijze van afleiding uit de §§ 51 en 3; de kennis daarvan is
echter voor de lager-algebraische afleiding van den koers, dat is dus
van de uitdrukkingen 11 e)i K geheel overbodig.

Bekent men den tijd vanaf het oogenblik der koersbepaling.

dan kan men, daar het eerste jaar na de koersbepaling gelijk is
aan het jaar voor de laatste aflossing, inplaats van (36) schrijven:

U,

Daar de achtereenvolgende aflossingen een meetkundige reeks vor-
men met de reden l-\\-p, wordt:

a n\\

ni = n TT

. = 1 (1

(37). . . . R = ^__2_

H

1 1

an\\r~p L(1 p)^ (1 rYA \'

j£_ 1- -^nInbsp;n\\

ciTi] p —r

— p

r—p L an
lt;7 = quot;nbsp;1 q = n

Z = ^ X {l pY-n-i.

q=mnbsp;Unj q = m

m = n T

K= s _

-n-l

Men kan aantoonen:

m = n r- ■] q = n

= 1

1_

= Al -f J J \'

zoodat in verband met (37):

n

(40).............K=Xlf,

mits men daarbij bedenkt, dat de factor:

an\\

iu H als constant beschouwd moet worden
Uit (38) en (40) volgt:

m=nnbsp;m=n

X An[— ^ A\'W\\

T,- _ ^ m = l_»H = l_

an\\nbsp;p-r

1 an\\-an\\

(4,1).......... K = ---!--,

an\\ p — r

(42)......... K= ^

r—p

De uitdrukkingen voor E m K kunnen in plaats van op de
hier gevolgde rechtstreeksche methode op veel kortere wijze door
eliminatie worden gevonden.

Yoor type y zijn de aflossingen, en dus ook de bedragen, waar-

\') Type y ging voor:
over in type (3. Nu is:

r- 1nbsp;1

Lim —r- = —.
p = 0«iïl n

Voor type /3 moet dus (40) ook doorgaan, wanneer men den factor ^ in
11 als constante beschouwt. Wij vonden dan ook:

m = n

nnbsp;n „j^i \'quot;I

Bij type ct is er geen constante factor en geldt (40) zonder meer:

n

= ^ ^ilü = «iïl-

over rente wordt uitgekeerd, gelijk aan de correspondeerende groot-
heden van een annuiteitsleening met een rentevoet p.

Daar de koers der leening volgens de in § 1 gegeven definitie
niet van de grootte van het nog uitstaand bedrag afhangt, kan dit
voor het oogenblik der koersbepaling op één gesteld worden. Een
dergelijke leening kan worden afbetaald door een jaarlijksche be-
taling van:

t 9

an\\

waarbij het accent weer aanduidt, dat de gebezigde rentevoet p is.
De contante waarde dezer betalingen, gedisconteerd naar den rente-
voet r, wordt vanzelf weergegeven door:

(43).............=

Volgens (31) is ook:

zoodat:

«nl

Wij vonden reeds:
(34)............B rK = l.

Eliminatie van iT of van Jï tusschen de laatste twee vergelij-
kingen leidt onmiddellijk tot de uitdrukkingen (39) en (42) voor
H en K.

De uitdrukkingen voor den koers worden:
(3I7).....ar

(32r). ... . = ^

r V ry r — p \\ a „] ^ /

(83r).......

Leeiiingstype

Door de substitutie:

p = i

gaat (337) terstond over in:

«ïTj

(44)..........

^ \'nbsp;ani

waarbij het dubbele accent op den rentevoet ? duidt.

De afleiding van (44) kan ook op dezelfde wijze plaats vinden
als boven bij (43) is geschied. quot;Wij wijzen er op, dat (44) dezelfde
formule is als (18) van § 2 en komen verder op leeningstype 5
niet terug.

Men kan bij type 7 ook nog substitueeren:

p = r.

Nu is:

dAn\\ .___

(4-5).......= D Z m A,n \\ = V (74,1.

t\' rnbsp;in — i

Door toepassing van den regel van Beunoulli vindt men dan
uit (38) en (41):

p = r
p — rnbsp;(h^l

11 volgt ook uit de overweging, dat de aflossingen een meetkun-
dige reeks vormen met de reden 1 -{- r, zoodat hun contante waarden
allen gelijk zijn aan die der eerste aflossing, dat is aan:

11 1

l r s^Ti «n I\'

71/

De som der contante waarden is dus vanzelf —

Voor den koers der leening vindt men:

x=—\\n^i (Zs)^],

1--

r j

r

1 I r

Wij merken nog op, dat men in (45) een middel heeft tot af-
leiding der formule voornbsp;De differentiatie kan namelijk ook
aldus Avorden uitgevoerd:

^ Ai\\-1 1/__ ^ gt;_N

--!-= -[ünl-n An i\\).

drnbsp;rnbsp;r \'nbsp;\'

Gelijkstelling der beide waarden van

_a»! — An\\

§ 6. Overzicht der resultaten.

Wij groepeeren nu de gevonden resultaten voor de typen a, [2
en y naar de hoofdformules (31), (32) en (33), daarbij lettende op
de definities:

(1 r)quot;

m —n

m = lnbsp;r

m=nq=mnbsp;m=nnbsp;m=n

s s = z (w — m -f-1)1-\'quot; = 2 = {Da)^.

m = l q = \\nbsp;}H=1nbsp;«1 = 1

Men heeft:

{a) x = Jn\\-\\- i an\\,

(/3) x = - an\\-\\- i {J)a)n[
^

■ O\'nl — ®n|\'

1--

r —J

Deze formules (x), (13) eu {y) komeu respectievelijk overeen met
de formules (22), (23) en (30) uit § 3, zoodat men volgens (31)
kan zeggen dat de oplossiugswijze, waarbij de differentie-vergelijkin-
gen als recursieformules worden gesommeerd, den koers beschouwt
als de som van de contante waarden der aflossingen en de contante
waarde der rente.

Voorts is:

W - = 7

r \\ rJr—p Lnbsp;.

Deze formules {x), {(S) en (7) komen respectievelijk overeen met
de formules (9), (12) en (17) uit § 2.
Uit:

n=otgt;lt;»n| r

waarbij het dubbele accent op den rentevoet i duidt, blijkt dat ^

de contante waarde is van een perpetuiteit of onallosbare leening,
gesloten tegen een rentevoet { en gedisconteerd naar een rentevoet r.

De formules (32) en de overeenkomstige uit § 2, welke laatsten
gevonden waren door gewone oplossing van differentie-vergelijkingen,
beschouwen derhalve den koers als de contante waarde der ailossin-

G*

gen //, vermeerderd met liet verschil van twee perpetuiteiten. De
beteekenis hiervan treedt het duidelijkst aan het licht in:

(32Ö;) ....
waar men aan:

^ ^ A

---An\\

r r

als het verschil van de dadelijk ingaande met de «-jaar uitgestelde perpe-
tuïteit terstond de met i vermenigvuldigde «-jarige annuïteit herkent.
Uit (31) en (32) volgt nog:

(46).........

r

Ten slotte vonden wij:

X (^ — r) K,
{a) x = l-\\-{i — r)a^,

(33) • (/3) x=\\ ^- [i-r){DaU,

{y) a; = 1

Terwijl de formules (31) en (32) zoowel uit de differentie-verge-
lijkingen als — langs korteren weg — uit de lager-algebraische
behandeling resulteeren, vindt men de formule (33) rechtstreeks
alleen volgens laatstgenoemde methode. Daar de vormen (33) zich
het meest voor practische toepassing leenen, mag men dit nog als
een bijzonder voordeel van bedoelde methode aanmerken, want, al
kan men achteraf gezien de vormen (31) en (32) gemakkelijk in
(33) omzetten, zoo zal men toch niet licht aan de algemeene mogelijk-
heid van een dergelijke omzetting denken, wanneer het resultaat
niet eerst van elders — dat is dus hier uit de lager-algebraische
oplossing — bekend is.

De vorm (33) beschouwt den koers als het uitgeleende bedrag
zelf, verminderd met een product, bestaande uit het verschil van
reëelen en nominalen rentevoet als ééne en de contante waarde K
der bedragen, waarover rente moet worden uitgekeerd, als andere
factor, waarbij K, hetzij rechtstreeks, hetzij door middel van (40)

of (46) uit 11 bepaald kan worden. De beteekenis hiervan blijkt het
best, wanneer men:

(33).......x^\\—{r — i)K

door redeneering afleidt.

Leent een persoon A aan B een bedrag 1 tegen een rentevoet i,
die lager is dan de reëele rentevoet r, dan ontvangt A aan rente
zekere bedragen, waarvan wij de contante waarde, gedisconteerd
naar den rentevoet r, I zullen noemen. Had A echter zijn geld
uitgeleend aan een derden persoon C tegen den reëelen rentevoet r,
dan zou hij aan rente bedragen ontvangen hebben, welker contante
waarde, gedisconteerd naar r, wij door R voorstellen.

Het in rekening brengen van een reëelen rentevoet komt nu neer
op de onderstelling, dat A zijn geld aan B ter leen gaf, terwijl hij
het aan C kon leenen, m. a. w. dat hij op het bedrag 1 een verlies
neemt, waarvan de contante waarde wordt aangegeven door li — I.
Alzoo:

ar = 1 — (/e — /).

Dezen vorm kan men in (33) omzetten door te bedenken dat I
en R als contante waarden der bedragen aan rente, die telkens
over het nog uitstaande gedeelte der leening moeten worden betaald,
producten zijn van den rentevoet i en den rentevoet r met de som
der contante waarden van de bedragen, waarover telkens rente ver-
schuldigd is.

§ 6. Toepassing.
J)e toepassing van de vormen (33) vereischt naast de bestaande
tafels van «ni het bezit van tafels van:

it

welke daarom hierachter zijn opgenomen. De eveneens hierbij gegeven
tafels van:

welker berekening noodig was als controle op dc tafels van:

\\ mn\\

maken, dat ook de vormen (31) en (32) gemakkelijk kunnen worden
aangewend.

Wenscht men bij het zoeken naar een reëelen rentevoet bij een
gegeven koers de grenzen der rente niet verder dan Vs pCt. uiteen
te houden, of bevat bij gezochten koers de gegeven reëele rente-
voet een oneven aantal achtste deelen, dan kunnen de tafels uit
Hoofdstuk YII niet gebezigd worden, doch is men aangewezen op
de tafels, genoemd in Hoofdstuk III § 5. In dit geval bezige men
voor type /3 niet (33/3), doch (32/3).

Ten slotte moge één voorbeeld worden uitgewerkt.

Er wordt een leening gesloten van ƒ 130,000 tegen 3.5 pCt.
\'sjaars. Gedurende de eerste 10 jaren wordt jaarlijks / 3000, ge-
durende de volgende 20 jaren jaarlijks ƒ 5000 afgelost. Men vraagt
den koers van uitgifte zoodanig te bepalen, dat een reëele rente
van 4 pCt. wordt gemaakt.

Splits de leening in twee andere, namelijk in één waarop jaar-
lijks gedurende 30 jaar ƒ 5000 wordt ontvangen, en één waarop
jaarlijks gedurende 10 jaar ƒ 2000 wordt terugbetaald. Men heeft
nu te doen met twee leeningen van type /3, zoodat volgens (33/3):

= 1 - 0,005 ^41^\'= 0,97639.

10

0,005 = 0,94705.
oO

De gezochte koers van uitgifte X wordt bepaald door:
13 X= 15^:30 — 2ario.
X = 0,94254.

De koers van uitgifte moet dus 94\'/4- procent bedragen.

hoofdstuk v.

HET DUALISTISCH VERBAND IN DE VERZEKERINGS-
WISKUNDE.

§ 1. Afleiding van lijfiiente-foiimules dooii letterverwisseling.

lu Hoofdstuk II werd gewezen op het feit, dat er tusschen rente-
functies van de algemeene gedaantenbsp;en de correspondeerende

disconto-functies S^, waarbij n alle niet negatieve geheele ge-
tallen kan doorloopen, een dualistisch verband bestaat, aangezien
men feitelijk slechts te doen heeft met twee verschillende schrijf-
wijzen van eenzelfde functie

voor de twee gevallen:

O en ult;C.O.

• Bij een tijdsverloop n met de eindpunten yl (aanvang) en S (slot),
waarbij de tijd in de richting van A naar S positief gerekend
wordt, krijgt de waarde-eenheid in den aanvang vl de waarde aS^
in het slot S, en omgekeerd de waarde-eenheid in het slot S dc
waarde A^ in den aanvang A.

De definitie van An\\ kan dus uit die van S^, of omgekeerd die
van S,T] uit die van Aa\\ worden afgeleid door onderlinge verwisse-
ling van de letters A en S en van de woorden aanvang en slot.

Ditzelfde blijft ook gelden voor de algemeene functies v(jgt;) yj-^
en Sj^, terwijl men bij de symbolen, welke voor de voorstelling

(lezer functies bij verschillende waarden van p gebezigd worden
indachtig moet zijn om steeds de overeenkomstige lettertypen a en s
in elkaar te doen overgaan, a wordt derhalve s, terwijl a veranderd
wordt in s, en omgekeerd.

Daar de verwisseling hierop neerkomt, dat het gekozen tijds-
interval in tegengestelde richting wordt doorloopen, terwijl een
klimmen in de eene richting een dalen in de andere beduidt, zal
men hierbij de begrippen klimmen en dalen en de correspondeerende
symbolen 1 (Increasing) en B (Diminishing) eveneens in elkaar
moeten doen overgaan.

De juistheid van het hier bedoelde beginsel hangt niet samen
met de omstandigheid, dat de waarde-verandèring voor iedere tijds-
eenheid dezelfde is, zoodat de toepassing volkomen geoorloofd blijft
wanneer behalve de rente ook de levenskans van een bepaald persoon
als oorzaak van waarde-verandering optreedt.

Hierbij zal ook de leeftijd van den persoon bij de aanvangs-
uitkeering vervangen moeten worden door die bij de slotuitkeering,
en omgekeerd, en zoo noodig de leeftijd den jaar vóór de aanvangs-
uitkeering door den leeftijd een jaar na de slotuitkeering, en omge-
keerd, tenzij die aanvangsleeftijden voorkomen als indices in lijf-
rente-symbolen, waar het gebruik nu eenmaal steeds opgave van
den aanvangsleeftijd verlangt.

Men kan van het bovenstaande gebruik maken voor het geven
van een overzichtelijke afleiding der 12 meest voor de hand liggende
lijfrente-formules.

Een jö-voudige sommatie van:

(1)........=

geeft:

m = n-\\ . ),( = n —1 71

(2nbsp;)..... SC\'\')

JH = 0nbsp;Bcc

waarbij algemeen:

• • • Onbsp;O Onbsp;0 0nbsp;10

p = 1 krijgt het liiikerlid van (2) als som van contante
waarden van uitkeeringen bij in leven zijn de beteekenis van con-
tante waarde eener praenumerando-lijfrente, zoodat volgens de ge-
bruikelijke notatie:

ni = n — i 1
(ß) ............Snbsp;— n\\,

^ \'nbsp;)n = 0

formule (2) overgaat in:

2 m = n - 1

(7nbsp;)............=nbsp;])x m-

^ \'nbsp;j^x m = o

Herhaling der sommatie in (6) geeft in verband met (5):
m = n - 1 . 1nbsp;= quot;

(8)nbsp;.... S ^^nbsp;2

^ \' \' „1 = 0 1\'! = 0

Hierin heeft het rechterlid als som van contante waarden van
praenumerando-lijfreuten met toenemenden duur de beteekenis vaii
contante waarde eener dalende lijfrente, beginnende met n en jaar-
lijks afnemende met 1.

Schrijven wij overeenkomstig de vroeger ingevoerde\' notatie voor

dalende annuiteiten:

in = n

(ü)....... ^ aa,.J]7] = (iya)a;ni,

dan wordt dus:

m = 11 — i

(10) ..........2nbsp;Jx ïr,\\ = {Igt;il)x n\\.

m = 0

Noemen wij den leeftijd bij de slotuitkecring y, dan is:

(11)........y — x = n—l.

Volgens (7) is dan:

\'x X

en volgens (6) en (10):

(13 a)......=

J-\'x x X

Daar tusschen alle llanvangs- en slotwaarden de betrekkinquot;-■

ö •

......=

bestaat, waarbij v het algemeene teeken is voor een variecrende
annuiteit, en niet verward moet worden met v, de 1 jaar gedis-
conteerde waarde der éénheid, volgt uit (13a):
......

JJlJ X X

Letterverwisseling in (12a), (18a) en (13s) geeft nu terstond:
.......

y

.......=

J^ij y y

...... {I^)xn\\ = ~lilhn.

l\'x y y

(12a) en (12s) kunnen evenals (15a) en (15 s) ook uit elkaar
worden afgeleid met behulji van (14).

Op de commutatieteekens N.\') en S mag de verwisseling van aan-
vangs- en slotleeftijd niei worden toegepast, daar zij in:

\') Volgens de universeele notatie behoort de iV vet te worden gedrukt, daar:

Dit is echter, o.a. naar het voorbeeld van Czuüek, (Wahrscheinlichkeits-
rechnung, Teubneu, 1910, II. p. 2M.) om typografische redenen nagelaten.
Op de wijzigingen, welke de universeele notatie m. i. ten aanzien der commu-
tatieteekens behoort te ondergaan, hoop ik bij een andere gelegenheid terug
te komen.

(16)........—

X

wèl het linker, doch niet het rechterlid onveranderd laat; om deze
reden kunnen genoemde teekens eerst thans worden ingevoerd.
Men heeft:

(17).....S = S T),n = Nx — Noo „,

Xnbsp;y

Hieruit:

y rnbsp;r—n — im = rnbsp;r=n — 1

\'L-Ll),n= 2 2nbsp;2 (iVo; —

XXnbsp;}• = O 7(1 = Onbsp;r = O

V r

(JS) . 2 2 = — 1 H

X X

Evenzoo =

X rnbsp;r = n — 1 tii = r

2 2 7gt;gt;,„= 2nbsp;2

y ynbsp;r = O )/i = 0

2 2nbsp;D,n = \'\' H\'-1 — iV^ \'O,

vunbsp;= quot;

(19) . . . Z2 = — -^x \'Sar n).
y u

Door (17), (18) en (19) gaan de tweetallen (12), (13) en (15)

over m:

(20 a)......---,

J-\'x

/LI A \\nbsp;„ —nbsp;-^aj u

(20 s).......Sxn\\ =

I^x n-i \'
(21a) . . .nbsp;=

(21s). . . .nbsp;=nbsp;

J^X n — 1

(22a). . . .nbsp;=nbsp;

(22s) ....nbsp; nbsp; quot;

J^x n - 1

De tellers hebben betrekking op de leeftijden der uitkeeringen
de noemers op de leeftijden voor de tijdstippen, waarop de waarde
berekend wordt.

Geschiedt de waardeberekeuing in de drie a-formules op een tijd-
stip, vallende één jaar védr de eerste uitkeering en neemt men aan
dat de leeftijd bij deze uitkeering .r 1 bedraagt, dan vindt men
onmiddellijk de correspondeerende «-formules door in de linkerleden
a in « te veranderen en in de tellers der rechterleden met 1 te
vermeerderen.

Geschiedt de waardeberekening in de drie s-formules op een tijd-
stip, vallende één jaar na de laatste uitkeering, en Iaat men zijn
beteekenis van leeftijd bij de eerste uitkeering behouden, dan vindt
men de correspondeerende ^-formules door in de linkerheden s in ^
te veranderen en in de noemers der rechterleden met 1 te ver-
meerderen.

\'x n

\' ^x 1nbsp; nbsp; n 2

Bx n

Tusschen correspondeerende a- en s-formuIes bestaat volgens (M)
het verband:

Dit verband vervalt evenwel bij correspondeerende a- en s-for-
mules, omdat in eerstgenoemden a; den leeftijd lien jaar vlt;5ür de

eerste uitkeering, in laatstgenoemden den leeftijd bij de eerste uit-
keering voorstelt,

§ 2. Het dualistisch verband voor verzekeringen bij overlijden.

Wij merken nu op, dat men in (1) het accent van op .. mag
overbrengen, mits men in den teller van het rechterlid J) door C
vervangt. Het is van te voren duidelijk, dat het dóórvoeren van
deze wijziging in de drie a-formules neerkomt op het vervangeti
van a door A, benevens het plaatsen van een accent op in de
linkerleden en op het 6ón plaats in het alphabet terugschuiven der
hoofdletters in de tellers der rechterleden.

Men vindt zoodoende voor de koopsommen der tijdelijke verzeke-
ringen bij overlijden:

^ Mx — ^^x n
(20 J) . . . Ax n\\=nbsp;\'

^ n Mx- J^x n_±i

{21 A) . . {/^A)xn\\=nbsp;jj^

[22 A) . . {[A)xn\\^--J)^

{20 A) en (21^) laten zich, evenals de correspondeerende formules
(20 a) en (21a), door directe sommatie afleiden:

. _(^X -f m

m I 1 -^x — r, )
J^X

^nbsp;,„ = n-lnbsp;Mx — Mx n

„, = 0nbsp;Dx

\'III —nnbsp;1 /nbsp;m = nnbsp;v.

(OA)l= ^ M = O\' - ^ quot;O •

Het rechterlid van deze vergelijking voert in verband met de
definitie:

00

Rx = 2 Mm ,

X

tot (21 A).

Uit de beteekenis der symbolen volgt vanzelf, analoog aan de
evenzeer voor lijfrenten geldende formule (5«) van Hoofdstuk II, § 4:

Uit deze betrekking leidt men (£2 A) gemakkelijk af.

Toepassing van letterverwisseling, juist zooals deze bij de lijf-
renten plaats kon vinden, is hier uitgesloten, omdat er tusschen de
aanvangs- en de slotwaarden der koopsommen geen dualistisch ver-
band kan worden aangetoond; de laatstgenoemden zijn namelijk allen
nul. Uoor te bedenken, dat de slotwaarden der lijfrenten de betee-
kenis^ hebben van retrospectieve reserve-formules per eenheid van
premie voor verzekeringen bij leven, kan men echter inzien dat
dit verband moet bestaan tusschen de contante waarde der eerste
n premiën P eener verzekering bij overlijden met m jarigen duur
en de retrospectieve reserve-formule, geldende een jaar na betaling
der n^ premie, of wel, als men de retrospectieve reserve per een-
heid van premie voorstelt door nS^^h tusschen laatstgenoemd
symbool en

Betaalt een o; jarige aan het begin van een jaar een premie P
op voorwaarde dat, indien hij in den loop van dat jaar overlijdt,
hem een kapitaal 1 wordt uitgekeerd, dan klimt P na n jaar tot:

Dx nK BJ\'

De eenheid van premie klimt dus tot:

waaruit:

Z [D^ r--) ■

-t-\'x n r = 0 \\nbsp;P y

Men komt ook tot deze betrekking door in het rechterlid van:

r = n — 1

2 7^ ,.

„ _ r = O

a^ n| = -=r--

JJ.nr

aanvangsleeftijd en bereikten leeftijd te verwisselen - wat den teller
onveranderd laat — en vervolgens in den teller D door:

te vervangen.

Daar deze omzettingen zich, ook al voert men geen hoogere
commutatieteekens dan D en G in, niet beperken tot de leeftijden,
kan men wel zeggen, dat het beginsel der letterverwisseling zijn
practische beteekenis verliest, zoodra er sprake is van uitkeeringen
bij overlijden; voor lijfrenten en verzekeringen bij leven kan men
er echter zeer wel gebruik van maken, terwijl de daardoor ontstane
meer algemeene bekendheid met de slotwaarden, waarvoor de offi-
cieele notatie ten aanzien van verzekeringen zelfs nog geen sym-
bolen aangeeft, allicht zal leiden tot vermijding van het nog vaak
voorkomend gebruik van contante waarden waar zvilks volstrekt niet
aangewezen is.

■ ^ . ...

iry..nbsp;.^fi

\'^fnbsp;■. ■ V . •nbsp;. ftj-i \'f

hoofdstuk vi.

WAARDEBEPALINGEN.

§ 1. K[JMMENDB en dalende lijfkenten.

Aan het einde van het vorige hoofdstuk werd de meening uitge-
sproken, dat meerdere bekendheid met de slotwaarden zou kunnen
leiden tot vermijding van het nog vaak voorkomend gebruik van
contante waarden, waar deze rekenwijze niet werkelijk de kortste
is. \') Zoo wordt bijvoorbeeld gewoonlijk de regel over het hoofd
gezien, dat men voor een reeks van geleidelijk veranderende uit-
keeringen de waarde het gemakkelijkst berekent Voor het tijdstip,
Avaarop de uitkeering het grootst is, daar zij dan gevonden kan
worden door sommatie van de waarden van niet uitgestelde gelijk-
blijvende uitkeeringen; de waarde op ieder ander tijdstip is hieruit
gemakkelijk af te leiden.

Hoewel voor dezen regel kennis der slotwaarden gewenscht is,
vereischt zijn toepassing toch niet steeds het gebruik daarvan, wan-
neer aanvangswaarden gezocht worden, aangezien bijvoorbeeld de

\') De overweging, dat contante waarden dikwijls gebezigd worden waar
het gebruik van slot- of aangegroeide waarden de voorkeur zou verdienen,
gaf onder meer L. J. Haumsen aanleiding tot liet publiceeren van een studie
„Berekeningen in de Levensverzekeringswiskunde op te bouwen uit het ver-
ledenquot;. (Batavia 1909). Dit boek wordt hier slechts volledigheidshalve, doch,
uitgezonderd dan wat de aanleiding tot de publicatie betreft, zonder verdere
instemming aangehaald. Vgl. Dr. G, J. D. Mounier. Boekbeschouwing. Archief
Verz. W. IX (1907), p. 5G0.

minder gemakkelijk berekenbare contante waarden van klimmende
uitkeeringen steeds met behulp van:

(1) .... =

of van de daaraan analoge formules, in contante waarden van dalende
uitkeeringen kunnen worden omgezet. Maar wat de regel wèl ver-
eischt, is de invoering van de tot dusverre nog niet gebruikelijke
symbolen voor de contante en geklommen Avaarden van dalende
annuiteiten en lijfrenten in de theorie van renterekening en levens-
verzekering.

Deze invoering heeft zoowel theoretische als practische voordeden.
Vragen wij bijvoorbeeld naar de afleiding voor de formule van {Ia)^jr\\.
Uit de vanzelf sprekende betrekking (1) volgt in verband met:\'

m = n

Wxn\\= S a^jiri,
m = 1

terstond:

{l^)xn\\ =---^-^L^i____

(/a)^ =nbsp;.

Bx

De gewoonlijk gegeven afleiding dezer formule is, hoewel mis-
schien schijnbaar eenvoudiger, inderdaad toch gekunstelder. Men
vindt bijvoorbeeld bij E. Czubeu:\')

„Die auf n Jahre abgekürzte, mit 1 beginnende und jährlich uni
„1 steigende Eente auf das Leben {x) werde mit (/a).« ^ bezeichnet;
„zunächst ergibt sich für sie der Ausdruck:

(iaU n = ^nbsp; 2 .....^ Dx n-i

„mit hilfe der Kolumnen N und 8 läszt aber der Zähler eine ein-,
„fächere Berechnung zu; es ist nähmlich:

\') Wahrscheinlichkeitsrechnung, IT. (B. G. Teudner. 1910). p. 249.

..... =

..... = i —Nx n,

nx n-\\ = Nx n-\\~ Nx n

„die Summen der linken Seiten ergibt den Zäliler, die der reell-
sten ist: .

Sx — Sx^n~n Nx n;

„mithin hat man:

(/a), ^ =nbsp;

De ontbinding van den teller is wel eenvoudig, maar zij ligt in
den gedachtengang van Czübeu en andere leerboeken in het minst
niet voor de hand, terwijl bij de eerste wijze van afleiding der
formule de beschouwing van {B^),-^ als som van gelijkblijvende
lijfrenten geheel overeenkomt met de wijze waarop dit symbool is
ingevoerd.\')

De practische voordeelen, aan de invoering van {B2)xn\\ verbon-
den, zijn vrij belangrijk, want niet alleen voor het afleiden der
formule van (/a).^,^,, maar ook bij het uitvoeren van becijferingen
waarin klimmende lijfrenten voorkomen, kannbsp;goeden dienst

bewijzen, daar de berekening van een tafel van (/a)^ ^ veel meer
arbeid kost dan het samenstellen van een tafel van {Bix)xn\\, terwijl
invoering van laatstgenoemde grootheid de betrokken formule niet
veel ingewikkelder maakt. Wij zullen dit laten zien voor de bereke-
nmg van premiën met zoogenaamd gegarandeerd klimmend dividend,
of, juister gezegd, van afdalende premiën, in de onderstelling, dat
men — gelijk de practijk dit somtijds eischt — een geheel tarief
van dergelijke premiën heeft samen te stellen. Voor enkele afzon-
derlijke gevallen loont het samenstellen van een aparte tafel, hoe
eenvoudig deze ook zij, vanzelf de moeite niet.

O Vgl. Hoofdstuk V, § 1, form. (9).

§ 2. Verzekeringen met afdalende premiën.

Wanneer een verzekering, waarbij de duur der premiebetaling
beperkt is, zeggen wij bijvoorbeeld een gemengde verzekering, ge-
sloten is op voorwaarde dat de premie P gedurende vijfjaar constant
zal blijven, om vervolgens ieder jaar te verminderen met een zeker
percentage, bijvoorbeeld 3 procent, van alle betaalde premiën, dan
vindt men zonder eenige berekening, door te stellen:

.........0.03 P = p,

en door de koopsom te beschouwen als de contante waarde der te
ontvangen premiën:

Axn\\ — Pamp;x n\\—p {Ia)x ^ -f- p {Ia)x 4].

Deeling door P geeft in verband met (1) voor de contante waarde
der veranderlijke lijfrente:

(3). .nbsp;= —0.03nbsp;0.03(7«), 4].

Stelt men de contante waarde eener dalende praenumerando lijf-

rente voor door:

.......=

dan is, daar men een klimmende lijfrente kan beschouwen als het

verschil van een gelijkblijvende en een dalende:
^^^.....=

Stelt men in (3):

dan is K voor denzelfden leeftijd bij verschillenden duur een con-
stante, die het gemakkelijkst bepaald wordt met behulp van de uit
(5) volgende betrekking:

(ö)......A\'=0.03[5a,ö|-(/;a).^].

(3) gaat thans over in:

(7) . (va).r^ = (l—0.03«) a^^-1-0.03 (Ai)a; 771 A\'.

Maakt men nu door eenvoudige optelling een gewone somtafel
van a.xm\\, dan blijkt uit (4) dat men hieruit iedere waarde van
{Da.)a;n\\ terstond kan aflezen; zij doet dus volgens (6) tevens dienst
voor de bepaling van K.

De juistheid der somtafel kan desgewenscht onafhankelijk van
de optelling gecontroleerd worden door uitsluitend voor de hoogste
waarde van n de berekening uit te voeren naar de uit (4) volgende
formule:

»! = n
^X lil = 1

(8) . . . . = ^

JJx

Deze somtafels, welker vervaardiging vooral met een zelfschrij-
vende optelmachine

zeer snel verloopt, hebben onder meer het
voordeel, dat zij bruikbaar blijven wanneer het aantal jaren gedu-
rende hetwelk men de premie contant wenscht te houden, verandert;
het

is alleen de waarde van K, die in dit geval een wijziging
ondergaat. Ook deze nieuwe waarde van K wordt met behulp der
tafels gemakkelijk gevonden.

De gezochte premie is het quotiënt van Jxn\\ en (va)^;^^ uit (7).

Voor de berekening der renten met klim menden leeftijd en dalen-
den duur, gelijk men deze voor de reserve noodig heeft, bedenke
men, dat de premie na een ;«-jarig bestaan der verzekering V—mp
bedraagt, mits m niet kleiner zij dan 5; voor de volgende jaren
wordt zij P — mp —p, P — mp — , P — mp — 2gt;p, enz.

Voor de contante waarde der lijfrente na het w-jarig bestaan
vindt men derhalve onder de voorwaarde ?/igt;5, door de contante
waarde der premiën in (2) met weglating van p{Ia)xi^\\ door P te
deelen:

(9)nbsp;mMxn] = (1 — 0.03 m) üx m TT^ — 0.03nbsp;n-m-iU
of met behul]) van (5):

(10)nbsp;m(va),; „I = (1 — 0.03 ?i) ax m 0.03 iDa)x ,nW^.

Is ..lt; 5 dan moet hierbij nog rekening worden gehouden met
het fei , dat de premie gedurende de eerste vijf verzekerin.^sjaren
constant blijft. Zoo zal voornbsp;het reehter lid vermeerderd

moeten worden met de contante waarde der 5 - 2 = 3 gedeelteliike

•.. 2« 3« 4 önbsp;° . J

premien -f, ^,en dat is dus met:

2 A\' = 0.03 [2 a., 2 ^^
of algemeen met:

= 0.03 [max 5=7)71 (M.

Hiervoor kan met behulp van (.5) weer geschreven worden:
(11) . . =

Door vergelijking van (6) en (11) blijkt, dat men uit A\'
vindt door op de daarin voorkomende lijfrenten de leeftijdsverhoo-
gmg en duurvermindering toe te passen, terwijl de duur 5,
welke er als losse factor in voorkomt, onveranderd blijft. Ditzelfde
geldt blijkens (7) en (10) ook voor de uitdrukkingen .(va).^ en
(va),^; hierbij is het de losse factor welke niet verandert

De algemeene formule der rente na «.-jarig bestaan der verzeke-
ring wordt derhalve:

(12) 4va).,-^ = (1-0.03,

De substitutie «^gt;5 in (11) doet „,/r vanzelf nul worden, daar
algemeen:

n-tn\\ = {Ba)^nbsp;= O

voor m^u.

§ 3. Slot.

De in § 1 vermelde regel, dat voor een reeks van geleidelijk
veranderende uitkeeringen de waarde het gemakkelijkst bepaald wordt
voor het tijdstip waarop de uitkeering het grootst is, geldt natuur-
lijk evenzeer voor het meer eenvoudige geval, dat de uitkeeringen
gedurende een zekeren tijd constant zijn, daarna sprongsgewijze
veranderen om vervolgens constant te blijven. Zij wordt ook hier

dikwijls verwaarloosd. Bij de bepaling van de contante waarde eener
uitgestelde lijfrente, waar dus de waarde gevonden moet worden
voor een oogenblik waarop de uitkeeringen nog de grootte nul
hebben, ziet men door toepassing van:

m I n ^x ^x m n | ^x m \\ j

den regel gewoonlijk wel in acht nemen. Anders is het echter ge-
steld bij kwesties van iets ingewikkelder aard.

Nemen wij bijvoorbeeld het volgende vraagstuk, opgegeven door
de Commissie uit de Vereeniging van Wiskundige Adviseurs, belast
met het examineeren van hen, die in lüll den titel van Candidaat-
Actuaris wilden verwerven.

Een vereeniging heeft een schuld van ƒ 10.000, die zij als volgt
in 20 jaren moet terugbetalen: gedurende de eerste 10 jaren betaalt
zij een postnumerando annuïteit, die half zoo groot is, als die,
welke zij gedurende de laatste 10 jaren betaalt,

Hoe groot is die annuïteit gedurende de eerste 10 jaren?
Rentevoet \'1. pCt.

Loff 1.04 = 0.0170333.

De Commissie publiceert\') zelf als de oplossing, welke zij voor
de juiste houdt, de volgende:

„Zij de anniiïteit\' der eerste 10 jaren x, dan kan ter bepaling
„van X de volgende vergelijking worden opgesteld:

(13)

10000=-—_

1 -i-(1 -t--(i -t-(1 ,;). 11--(1

Berekeiiiug.

10 log (1 i) = 0.17033nbsp;(i ^

20 log (] i) = 0.34067nbsp;(i 4. iyo ^ g\'^g^ J\'

3.6713
2. —

noemer 1.6713

% 10000 e = 2.60206
20 log (1 = 0.34067

1.6713 = 9.77695—10

logx= 2.71968
;{■= 524.42

2 1048.84.quot;

Al mag men den candidaat-actuaris op een e.xamen een dergelijke
wijze van oplossen niet als onjuist aanrekenen, zoo behoort zij
rn. i. toch om twee redenen door den actuaris vermeden te
woi\'den.

In de eerste plaats omdat de gebruikelijke symbolen niet zijn
gebezigd. De oplossing had namelijk terstond neergeschreven kunnen
worden in den vorm:

(15)...... 10000 =

In de practijk zou men nu x becijferen met behulp van een
tafel van aw\\ en van v\'\'; maar ook al wil men op een examen
ten behoeve van het onderzoek naar de cijfervaardigheid van den
examinandus zoodanige tafels niet ter beschikking stellen, dan
behoort de oplossing toch niet gegeven te worden in den vorm

(13),nbsp;maar in den vorm (15). Daarna kan men haar zoo noodig in

(14)nbsp;omzetten.

De oi)lossing (13) is zuiver algebraisch en kan geleverd worden
door iemand, die nooit actuarieel onderwijs heeft genoten. De taak
vau dit laatste is juist om annuïteiten, uitgestelde annuïteiten, lijf-
renten, en aTidere grootheden, waarvan men de waarden in tafels
kan vinden, terstond als zoodanig te doen herkennen en zonder

bemiddeling van reeksen in symbolen te doen neerschrijven.\') De
leerling in de algebra mag de oplossing (13) geven, doch de actuaris
behoort onmiddellijk de quot;oplossing (15) te zien, en mag zich eerst
daarna bedenken dat deze, als de omstandigheden dit eischen, in
de vormen (13) of (14) kan worden omgezet.

De tweede reden waarom de oplossing der Commissie, en even-
zeer de in (15) gegevene, mij niet aanbevelenswaardig schijnt, is
dat zij den regel, dat waardebejialingen gewoonlijk het best geschie-
den naar de zijde van de grootste uitkeering, niet in acht neemt.
De met inachtneming hiervan neergeschreven betrekking:

(16)...... 10000 w-21 = x{s-m-\\ ^löl),

geeft het resultaat:

= 524,3!)

met minder becijfering dtin (15).

Men bedenke, dat vele leerboeken over renterekening en o. a.
ook de algemeen verspreide „Nederlandsche Almanak voor Levens-
„verzekeringquot;, niet alleen tafels van v\'^, vquot;quot;\' en an\\, maar ook van
Sn\\ bevatten. Beschikt men, gelijk in Textbook I, niet over een
tafel van s„], doch wel over een van s;ri (aldaar genoemd), dan
schrijve men voor (16):

10000 t;-20 = ii.(s20| siöi).

In het hier besproken vraagstuk is de becijfering volgens (16)
slechts daiirom korter dan die volgens (15), omdat de schuld een
rond getal is en er dus in het linkerlid van (16) geen vermenig-
vuldiging belioeft plaats te vinden.

Heeft het bedrag der schuld geen ronden vorm, dan zijn de be-
werkingen voor dit geval in lengte gelijk, maar bij een iets inge-
wikkelder gedaante van het vraagstuk is men met formule (16) steeds

\') Zelfs in vele nieuwere leerboeken wordt dit m. i. te veel uit bet oog
verloren. Men zie b.v. de behandeling der renterekening in de laatste uitgave
van: C. L. Landué. Mathematisch-Technische Kapitel zur Lebensversicherung.
Jena. 1911.

\') Samengesteld door W. Gosleu. Uitgaaf boekdrukkerij v/h. Qebu. Bingeu.

in het voordeel. Neemt bijvoorbeeld de annuïteit, waarmede de schuld
gedelgd wordt, gedurende de laatste jaren nog eenmaal op dezelfde
wijze in grootte toe, dan vermeerdert dit de bewerking in (15)
met een vermenigvuldiging en een optelling, doch in (16) slechts
met een enkele optelling.

Beter is het nog, om den bedoelden regel voor waardebepalingen
toe te passen volgens dé boven \') genoemde methode, dat is hier
door gebruikmaking van:

m|«n| — am n\\-«/nh

10000 = 2a? —nbsp;• - .

10000

= —— = 521-,39.

Z «201 —ßfo]

Voor het thans behandelde geval zijn de verschillen in gemakke-
lijkheid der becijfering volgens de onderscheiden methoden van
oplossing slechts gering, zoodat de hieraan gewijde bespreking over-
bodig schijnt, doch bij ingewikkelder vraagstukken treedt het belang
eener goede methode veel sterker op den voorgrond.

Ea het is ten slotte toch juist het zoeken naar de eenvoudigste
methode van oplossing, waar het in de politieke rekenkunde eigen-
lijk om gaat. De- voorkomende problemen zijn zelden van zóó
ingewikkelden aard, dat .hij, die slechts een oppervlakkige studie
van de politieke rekenkunde heeft gemaakt, er geen oplossing voor
zal weten te geven, zij het dan ook ten koste van veel gecijfer,
en daardoor ook met veel kans op fouten. Maar wat de voort-
gezette studie .kan leeren, dat is het als van nature geyen van de
oplossing, die zelf met het geringst aantal algebraische bewerkingen
gevonden kan worden, en welker berekening in verband met de
beschikbare tafels en andere rekenmiddelen het minste gecijfer kost
en daardoor de grootste kans biedt op een juist resultaat.

Dat ter vergemakkelijking van het bereiken van dit doel de
invoering eener universeele notatie van zeer groot belang is geweest,

\') p. 103.

behoeft wel geen betoog; aan te toonen, dat zij nog wijziging en
aanvulling behoeft, is almede een doel geweest, dat ik mij bij het
samenstellen van mijn proefschrift voor oogen heb gesteld.

De uitspraak „Les Mathématiques, c\'est Tart de donner le juste
„nom aux justes chosesquot;, die, naar ik meen, aan Poincaeé te
danken is, geldt niet in meerdere mate voor de zuivere wiskunde
dan voor de toegepaste; en, al zal de actuaris moeilijk kunnen
instemmen met de door dezen schrijver geuite zinsnede: „Les seuls
„faits mathématiques dignes de retenir notre attention et suscepti-
„bles d\'être utiles, sont ceux qui peuvent nous faire connaître une
„loi mathématiquequot;, zoo zal toch ook hij zich bij de opstelling
en bewerking zijner formules zooveel mogelijk moeten laten leiden
door „Ie sentiment de la beauté mathématique, de l\'harmonie des
„nombres et des formesquot;, dat in de zuivere wiskunde zulk een
groote rol speelt.

Vgl. hiervoor „Science ct Methodequot;. Paris. Flammarion. 1909. p. 140.
\') Ibid. p. 58. Curs, van mij.
\') Ibid. p. 57.

te\'-

•nbsp;r -it:;}

îr

hoofdstuk vii.

IIENTETAPELS.

§ 1. Toelichting.

Uit het in Hoofdstuk IV ter sprake gebrachte artikel van
Dr. B. TüiiKSMA \') blijkt, dat de in genoemd hoofdstuk behandelde
uitdrukkingen voor den koers van effecten bij gegeven uitlotings-
wijze, reëelen en nominalen rentevoet, aan een practische behoefte
voldoen. De schrijver heeft dan ook aan zijn artikel tafels toege-
voegd van de waarden van drie verschillende vormen, welke een
rol speelden in de door hem gevonden uitdrukkingen. Deze laatsten
kunnen echter worden omgezet in de in Hoofdstuk IV voorkomende
eenvoudiger vormen.

De toepassing van de het meest voor de practijk geschikte for-
mules maakt naast de bestaande tafels van:

I

ajTi en —
ajT]

het bezit van een tafel van:

I

gewenscht, welke daarom hierachter wordt gegeven.

\') „Het bepalen der reëele rente van effectenquot;. Archief Verz. W. VIII.
(190G). p. 1.

Zie hierover: „Koers en Rentequot;. Archief Verz. W. XI. (1910). p. 344.
\') Hoofdstuk IV. § 5, form. (33).

De bewerking is geschied door de waarden a^, afgerond op 7
decimalen, naar ^ te sommeeren en de gevonden sommen door de
correspondeerende waarden van ^ te deelen. De waarden van zijn
hierbij^ door omstandigheden ontleend aan drie verschillende tafels,
namelijk die van Baeelocher, Peeeire en Werker »).

Ter contrôle van de gevonden somtafel zijn de waarden van (Z)a)-i
voor « = 25, 50, 75 en 100 ook berekend met behulp van:

n — a^i

De uitkomst raag met de waarden van (Da)jri, gevonden volgens
de eerste methode, slechts een gering verschil in de laatste deci-
malen opleveren,

De controle van de in 5 decimalen gegeven tafel van:

is geschied, door de waarden dezer grootheid ook te berekenen vol-
gens de formule:

\') Voor volledige titels zie „Aangehaalde litteratuur.quot;

Oorspronkelijk werd alleen Baehlociier gebezigd, waarin voor de tafel van
a-^ de rentevoet tusschen 2 en 5 procent met J procent opklimt. Een later
genomen besluit om binnen deze grenzen den rentevoet met J procent te doen
stijgen, maakte het gebruik van een andere tafel noodzakelijk, waarvoor
Pereire gekozen werd. Hierin bleek echter de rentevoet 4\'/, en 4\'/, te ont-
breken.nbsp;\'

\') Bij deze contrôle kwamen in de tafel van Baerlociier voor a-i - aldaar
genoteerd {i) - , de volgende drukfouten aan het licht: quot;

Voornbsp;= 100, (p. 157) staat 42,0983516 in plaats van 43,0983516

Voor i = 4\'/, n = 38, (p. 166) staat 17,0499902 in plaats van 18,0499902*

Voor i = n.= 62, (p. 169) staat 18,0288340 in plaats van 19,0288340.

Met h3t oog op de hier gevonden fouten zijn de aan Baerlociier ontleende
waarden van voor n = 25, 50, 75 en 100, welke voor contrôle van de
tafel vannbsp;gebezigd zijn, vergeleken met correspondeerende waarden uit

de tafel van Pereire, en accoord bevonden.

111
1 — - arn

- {B a)ni =-r--,

nnbsp;\'nbsp;i

waarbij:

1

-«771
11

in 7 decimalen genomen is.

Dat de uitkomsten van beide methoden in de vijfde decimaal een
verschil van 1 mogen vertoonen, blijkt reeds terstond uit de
becijfering voor = 3 en i = 0,01. Het verschil is nimmer grooter
dan 1.

De voor deze contrulerekening benoodigde tafel van:

1

is na afronding op 5 decimalen mede afgedrukt, daar zij dienst
kan doen om de volgens form. (,\'33 /3) verrichte koersbepalingen
gemakkelijk met behulp van form. (32/3) te controleeren, terwijl zij
ook bij vraagstukken van anderen aard somtijds toepassing kan
vinden. Door haar gebruik als controlemiddel voor de berekening van:

is zij tegelijk zelf gecontroleerd, daar wegens de deeling door i een
fout in de eerste tafel zich maal vergroot in de daaruit berekende
tafel der dalende annuïteiten zal voordoen. Voor een rentevoet,
inliggende tusschen 1% en 7%, varieert i-^ van 100 tot 14.

»4 V

quot;\'jiïfeWï»

i

■ï \'it

• i?-\'^\' ------------

■f -

§ 2.
TAFEL VAN:
1

n \'