EEN BIJDRAGE TOT DE THEORIE
DER CYCLISCHE OPPERVLAKKEN

EN CONGRUENTIES.

EEN BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER CYCLISCHE
OPPERVLAKKEN EN CONGRUENTIES.

It -iej-ss

SSSl\'^.i.

. ■- - , _nbsp;î,; 1 OV-l

Vnbsp;. riii,

V, y \' \'•

-

■ kV aa^âililHIt:!:\':

» . r v.nbsp;■ -nbsp;\' - - ■-•.nbsp;.V \'

■m

m;\'

• ^

Een bijdrage tot de theorie dep Cyclisclie Oppervlakken

en Congruenties.

PROEFSCHR

TER VEKKIUJGING VAN DKN GRAAI) VAN

DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUND

AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT,

Ol\' GK/.AO VAN DEN KKCTOK-MAGNIFICUS

D^ B. J. KOUWER,

II(H)lt;iL«mHtR IK DK FlrKLTIlT IIKK (!lI»«l;lgt;Klisllll,

VOJ.GENS liESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVEK8ITEIT

TOiKN DK ItKltKNKINCKN VAN DK

iv\\cui;n^:it dkk wis- kn natuurkundig

ÏK VKRDKDIGKN

op Zaterdag 17 Januari 1914, des namiddags te 4 uur,

DOOR

WILLEM MACALESTER LOUP,

geboren te \'s-GRAVENHAGE.

DnikkeriJ .). VAN BOEKIIÜVKN, Utnicht.

m

m.

u\'

AAN MIJNK OUDERS.

Ti-r r-.-iX. \'.I „i-^yw... . i,-

H

V\'^v\'

t-

■ir

Hooggeleerde De Vries!

In de eerste plaats wensch ik ü te danken voor alles, wat ik van U geleerd heb.
Overtuigd van den invloed, dien goed ondenoijs op iemands vorming uitoefent, zoo behoef
ik U wel niet te zeggen^ hoezeer ik er van doordrongen hen, dat Uw voortreffelijke colleges
tot de wording van dit proefschrift hebben bijgedragen. In de tweede plaats dank ik U niet
minder voor de bereidwilligheid, die ik steeds van ü heb mogen ondervinden. Heeft deze
arbeid door omstandigheden, van mijn wil onafhankelijk, langer op zich laten wachten, dan
geioenscht is, zoo geef ik ü hicrb^ de vcrzekci\'ing, dat Uw aanmoediging niet weinig tot de
voltooiing daarvan heeft meegeioerkt.

Niet gaarne zou ik dit voorwoord willen afsluiten, zonder mij ook tot U gericht te
hebben. Hooggeleerde Kaptei.tn. Be wijze, waarop Gij de dikwijls netelige quaesties der
analyse uiteenzet, heeft steeds mijn bewondering gewekt. Ook al handelt dit onderwerp niet
direct over dat gedeelte der wiskunde, hetwelk Gij doceert, zoo ben ik mij toch volkomen van
den invloed bewust, dien Uw persoon en Uw leiding op mijn studie hebben uitgeoefend.

INLEIDING.

Het doel van dit proefschrift is, een bijdrage te leveren tot het onderzoek van stelsels
van 00^ cirkels in de ruimte van drie afmetingen, zoogenaamde cirkelcongruenties (ook wel
cgcliscJie congruenties geheeten). Tot nog toe heeft men zich bepaald tot de bestudeering
van een speciale congruentie, de normale cirkelcongruentie, d. w. z. men heeft zich
afgevraagd, aan welke voorwaarden een cirkelcongruentie moet voldoen, opdat er oo^ opper-
vlakken kunnen worden aangegeven, zoodanig, dat de normalen dier oppervlakken tevens
raaklijnen aan de cirkels zijn. Voor een gued begrip der zaak zullen we echter aan de
cirkelcongruenties de theorie der cirkeloppervlakken {cyclische oppervlakken) YoonxUviÏQn
Dat zijn dus oppervlakken, die door een stelsel van oo\' cirkels beschreven worden. In
tegenstelling met de congruenties zijn deze oppervlakken vrij uitvoerig onderzocht, en wel in
twee verhandelingen. De oudste is die van Enneper, getiteld: „Die cyklischcn Flächenquot; \').
In deze verhandeling gaat de schrijver uit van de parametervoorstelling van Gauss, berekent
(ie coëfliciönten E, F, G, L, M, N der twee grondvormen, geeft een indeeling dor opper-
vlakken. al naar gelang twee opeenvolgende cirkels geen punt, één enkel punt, ofwel
twee punten gemeen hebben, de methoden om deze oppervlakken te beschrijven, en staat
uitvoerig stil bij het cyclisch minimaaloppervlak. Het blijkt, dat in zijn formules twee
vormen optreden, die wij in het vervolg door S, en zullen voorstellen, en die, gelijk
aan nul gesteld, de snijpunten opleveren van twee karakteristieken met een bepaalden
cirkel. Houdt men n. 1. een bepaalden cirkel in het oog. dan levert S, = O de snijpunten
van de karakteristiek van het vlak, waarin de cirkel gelegen is, met dien cirkel, terwijl
S^ = O de snijpunten oplevert van dien cirkel met het machtvlak van twee bollen, waarop
twee opeenvolgende cirkels groote cirkels zijn. Wanneer wij liet cyclisch oppervlak als volgt
voorstellen:

:cz=if -f r («, cos t -f sin t) ,

y = gr {a, cos tb., sin t) \'.........(1)

2 = /i -f («3 ^os t sin t) I

waarin /quot;(s), g(8), h {s) de kromme der centra is, r (s) de straal van don cirkel, en
(a,, ffj, (t,, b^, b^) twee onderling loodrechte richtingen, die het vlak van den cirkel bepalen,
dan zijn de genoemde vormen lineaire functies van cos t en sin t. Enneper gaat deze vormen
stilzwijgend voorbij, eveneens haar diiferentiaalquotitnten naar s en t. Do eerste, die de

\') Zeitscliril\'L für .Matlifiiialik iiiitl 1\'liysik, 1800.

aandacht op deze vormen vestigde was Desmartres, in een verhandeling: „Sur les surfaces
d génératrice circulairequot; M. Tot uitgangspunt van dezen schrijver dient de kinematica. Hij
kiest n. 1. een stelsel van oo\' ruimtekrommen, één dier krommen in een bepaalden stand,
en gaat nu door middel van drie elementaire translaties en rotaties tot den naastvolgenden
stand over. Aldus verkrijgt hij zes formules tusschen de translatie- en rotatiecomponenten,
en past deze toe op het geval van een stelsel van oo\' cirkels. De beide grondvormen van
Gauss worden ook hier opgemaakt, en het is duidelijk, dat de formules van beide schrijvers
met eenig gecijfer gemakkelijk met elkander in overeenstemming te brengen zijn.

Daar uit het vervolg zal blijken, dat de theorie der cyclische oppervlakken en
congruenties neerkomt op een bespreking der vormen S^ en S^, zullen we in deze inleiding
de volgende vraag behandelen: Zijn er ook in het algemeene geval, dat men te doen heeft
met 00\' ruimtekrommen, vormen aan te geven, die een rol spelen, analoog aan die der
vormen S^ en S.^ ? Zijn hun dififerentiaalquotiënten naar de ingevoerde parameters eveneens
van belang, en kan men er een eenvoudige meetkundige beteekenis aan hechten?

Reeds van te voren is te verwachten, dat de vormen en haar eerste afgeleiden op zullen
treden in het lijnelement, de hoogere afgeleiden, Avanneer men zich met de kromming der
oppervlakken bezighoudt. Op de gestelde vraag dient bevestigend geantwoord te worden.
Daartoe gaan we uit van het volgende stelsel van oo\' ruimtekrommen:

cp {x, ij, s) = 0. ... (2)nbsp;i}gt; (x, ij, z, s) = 0 ... (3)

Door eliminatie van s vindt men het oppervlak, dat door deze ruimtekrommen beschreven
wordt We vragen in de eerste plaats naar de vergelijking van het raakvlak in eenig
punt (x, y, z) van dit oppervlak. Voor een bepaalde waarde s = s^ krijgt men de
vergelijking van een bepaalde beschrijvende kromme. De richtingscoëfficiënten gt;1, B, (7 van
de raaklijn in eenig punt F dier kromme, worden gevonden uit het stelsel vergelijkingen:

y

^ du i- ^ \'\'\'

dz = 0

dx ^

_ d (p d tp _ d lp d IK

~ ^ Z ? X

^ z x\' \' i) X

Door den parameter 5 als functie van {x, y, z) te beschouwen, bijv. snr (o (x, y, z)
kunnen we op het oppervlak een tweede kromme verkrijgen, die door P gaat De richtings-
coëüiciënten A\\ B\', C van de raaklijn aan deze kromme worden gegeven door de vergelijkingen:

d X -j-

dx

I ^ \'}\' ^ ^ \\ j I

d X

? X
ht
? y

d xft

^y

Yy

(i t}inbsp;Inbsp;\'d lp

Ty \' T7

\') Annalos de l\'Ecolo Normale Supérieure 3» Série, T. 11 1885.

Voor de grootheid A\' is te schrijven:
tp ? s

d tf/ ? S

0 2 ? y

^ 7\' I r ^ lt;r ^ s _ ö s ^ ^ ip
? S \' l ? y ? 2nbsp;jyl

terwijl voor de grootheden B\' en C analoge uitdrukkingen gelden. De vergelijking van
het raakvlak in P luidt nu:

.Y — x
A
A\'

of, met doorzichtige bekorting:

lt;gt; !ƒgt; s

y ? z .

We vermenigvuldigen de eerste kolom met ^ \'\'\' . de tweede met ^ \'\' , de derde met ^

dxnbsp;dy \'nbsp;}iz

en sommeeren. Daarna de kolommen respectievelijk met , \'\'\' , ^ en sommeeren

V X O y 2

wederom. Dan komt er:

l-(X-x)

= 0.

t^ lp [ (gt; (f ? tp
d 6\' y ? z

Zoodat men ten slotte voor de vergelijking van het raakvlak in het punt P{x, y. z)
de volgende uitdrukking vindt:

dip dip dip ^.rl n

ïTa;nbsp;........W

d X d S

Wanneer men een bepaalde kromme s = s^ in het oog houdt, dan blijkt uit deze
vergelijking, dat voor die punten, waarvoor | _ =0 is, het raakvlak aan het opper-
vlak, door de ruimtekrommen beschreven, samenvalt met het raakvlak aan het oppervlak
T (x, //, z, s^)=l 0. Een analoge eigenschap geldt voor de punten, waarvoornbsp;—O

is. In het bijzonder zullen die gevallen moeten worden nagegaan, waarvoor de kromme:

t (x, y, ^^ «i) = O,nbsp;ip (a;, ;//, 2, s,) = o

raakt aan. of een hooger contact vertoont met de oppervlakken:

= 0,

Verder blijkt uit vergelijking (4), dat hot raakvlak onbepaald wordt, wanneer men
gelijktijdig heeft:

= O

.......W

Aan deze beide vergelijkingen, die ona in het geval van een stelsel van 00\' cirkels juist

de genoemde vormen S, en S.^ leveren, is een eenvoudige meetkundige beteekenis te hechten
Gaan we uit van het stelsel vergelijkingen (2) en (3), en vragen we ons af, wanneer dit
stelsel een omhullende bezit: m. a w. wanneer is er een ruimtekromme aan te geven,
waaraan al de krommen van het stelsel raken? Onafhankelijk van s moet dan voldaan
zijn aan het stelsel vergelijkingen (2), (3), (5) en (6) \'). Deze kromme kunnen we
gevoeglijk de keerkromme noemen van het oppervlak dat door de ruimtekrommen gevormd
wordt. Uit de vergelijking (4) van het raakvlak blijkt, dat dit onbepaald wordt voor een
punt dezer kromme, en zij dus singuliere kromme op het oppervlak is Doch buitendien
heeft Darboux aangetoond, dat de steUing die Briot en Bouquet voor de regelvlakken
gegeven hebben n. 1, dat de afstand van twee opeenvolgende rechten van een ontwikkelbaar
oppervlak een kleine van de 3® orde is, haar analogon bezit in het algemeene geval van oo\'
ruimtekrommen. Beschouwt men n. 1. twee opeenvolgende krommen van het stelsel, dan
is de afstand van twee punten, respectievelijk op elk der krommen gelegen, steeds van
dezelfde orde. Bezit het stelsel echter een omhullende, dan is de afstand van twee punten
van twee opeenvolgende krommen, in de buurt van hun raakpunt met de omhullende, een
kleine van de 3® orde ten opzichte van den afstand van elke andere twee punten op die
opeenvolgende krommen aangenomen.

Niet alleen zullen echter de grootheden ^ en ^ een rol spelen, maar ook de diflfe-

V S V 8

rentiaalquotiënten van de 2® orde zoodra men n, 1. de kromming nagaat van de oppervlakken,
die door het stelsel ruimtekrommen gevormd worden. Ook aan deze differentiaalquotiënten
is een eenvoudige meetkundige beteekenis te hechten. Immers juist de karakteristieken
van een stelsel van oo\' oppervlakken leveren een stelsel ruimtekrommen, dat een omhullende
bezit ■■•). De vergelijking dier kromme wordt blijkbaar gevonden, door uit het stelsel:

= 0 . (2) ■ = • • ^^^ • •

X. if, z tQ lossen in functie van s. Zoo zullen de drie vergelijkingen:

y. z, s) = 0 . (3)nbsp;■ ■nbsp;• ■

de krommen leveren, waaraan de karakteristieken van het oppervlakkensteisel t/- (x, i/, z,s) = 0
raken. Deze krommen zullen echter slechts in bijzondere gevallen op het oppervlak der
ruimtekrommen gelegen zijn, en wel de eerstgenoemde kromme, wanneer onafhankelijk
van 8 voldaan wordt aan het stelsel vergelijkingen (2), (3), (5) en (7), de laatstgenoemde
kromme, als identiek aan het stelsel vergelijkingen (2), (3), (ü) en (8) voldaan wordt.

We passen deze algemeene beschouwingen toe op een stelsel van co» cirkels, gegeven
door de vergelijkingen:

=2(x--/V-r^ = 0..........(9)

V = («;—/■)= O............(10)

waarin (f, g, h) de middelpuntskromme voorstelt, r de straal van den cirkel, en (c,, c^, c^)
de richtingscosinus van de normaal op het vlak van den cirkel, in zijn centrum opgericht.

\') Picard Traité d\'Analyse, tome I, pag. 316.
5) Savants Etrangers, tomo XXVII, pag. 41.
\') Picard, 1. c. pag. 318.

De vergelijking van het raakvlak in eenig punt (x,y, z) van het oppervlak luidt: (zie verg. 4).

De vergelijking = O wordt in dit geval:

(\' 5

^r{x-n rr\' = 0..........(11)

Zij stelt het machtvlak voor van twee bollen, waarop twee opeenvolgende cirkels groote
cirkels zijn. De vergelijking ^^ = O wordt:

c S

2:c\'(x-r)~i\'cr = o..........(12)

Gecombineerd met vergelijking (10) levert zij de karakteristiek van het vlak, waarin
de cirkel gelegen is.

Elk dezer vlakken levert voor een bepaalde waarde s = s, met den, met die waarde
correspondeerenden, cirkel twee snijpunten. In de punten, waarin het platte vlak (11) den
cirkel snijdt, zal het raakvlak aan het cyclisch oppervlak samenvallen met het raakvlak
aan den bol, waarop de cirkel gelegen is, en dus evenwijdig loopen aan de as van den
cirkel. Daarentegen zal in de punten, waarin het vlak (12) den cirkel snijdt, het raakvlak
aan liet cyclisch oppervlak mot het vlak van den cirkel samenvallen. Van belang zijn
natuurlijk de bijzondere gevallen, waarin de karakteristieken niet meer twee verschillende
snijpunten met den cirkel leveren, doch in raaklijnen overgaan.

Het snijpunt der drie platte vlakken (10), (11) en (12) ligt in het algemeen niet op
den cirkel. Opdat dit het geval zij, zal de parameter s aan een zekere voorwaarde
moeten voldoen, welke gevonden wordt door x, y, z uit het stelsel vergelijkingen (9), (10),
(11) en (12) te elimineeren. Is de resulteerende veigelijking algebraïsch, dan leveren haar
wortels de kegelpunten van het cyclisch oppervlak. In de meeste gevallen zal do vergelijking
echter transcendent zijn. Wordt aan bedoelde vergelijking door alle waarden vali s voldaan,
dan heeft men niet meer met de meest algemeene soort cyclische oppervlakken te doen
Het stelsel cirkels bezit een omhullende, zij raken allo aan een bepaalde ruimtekromme.

Op (leze wijze nader op de theorie in te gaan. brengt echter zijn bezwaren mede.
De boven besproken difïerentiaalquotiönten zijn partieel, en do vergelijkingen der kromme
lijnen op het cyclisch oppei vlak worden door pnrtieele difforentiaalvergelijkingen gegeven.
Dit vermijdt men door do parametervoorstelling van Gauss. Met behulp van deze voor-
stelling zullen we dan ook do zoo juist uiteengezette beschouwingen vervolgen. Wo eindigen
deze inleiding met een kort overzicht der verkregen resultaten.

Hoofdstuk I, Cyclische Oppervlakken.

Hoofdstuk II, Cyclische Congruenties.

Overzicht van hoofdstuk L We hadden reeds gelegenheid op de analogie met de
regelvlakken te wijzen, konden n. 1. eon kromme aangeven, die dezelfde rol speelt als de
keerkromme bij de ontwikkelbaro oppervlakken. Dit feit voert ons terstond tot een
indeeling der cyclische oppervlakken. Als opi)ervlakken van do P soort kiezen wc die,
waarvoor twee opeenvolgende cirkels geen enkel punt gemeen hebben. Als oppervlakken
van de 2quot; soort kiezen we die oppervlakken, waarvoor twee opeenvolgende cirkels één punt
gemeen hebben, en derhalve alle aan een bepaalde ruimtekromme raken. Hebben twee

opeenvolgende cirkels twee punten gemeen, dan moeten, daar deze punten gelijke rol
spelen, de beschrijvende cirkels noodzakelijk aan twee ruimtekrommen raken, en heeft men
met de omhullende oo\' bollen te doen. Tot dezelfde indeeling geraakt men door een nadere
beschouwing van het snijpunt T der twee karakteristieken S^ en S^. Ligt het punt T
buiten of binnen den cirkel, dan heeft deze cirkel met den opvolgenden geen enkel punt
gemeen. Ligt het punt T op den cirkel, dan hebben twee opeenvolgende cirkels één punt
gemeen. Vallen de karakteristieken 5, en S^ samen, dan raakt de cirkel aan twee ruimte-
krommen. Ten slotte kunnen beide karakteristieken samenvallen met de raaklijn aan de
keerkromme, en wordt het cyclisch oppervlak door de osculatiecirkels der keerkromme
gevormd. Een belangrijke rol speelt de poollijn van het punt T ten opzichte van den cirkel.
Bij sommige vraagstukken worden onze vergelijkingen eenvoudiger, als we één der rich-
tingen, die het vlak van onzen cirkel bepalen (zie verg. 1) bijv. de richting (amp;, , h^)
loodrecht op genoemde poollijn kiezen, welke keuze, zooals blijken zal, steeds mogelijk is.
We bereiken hiermee, dat de snijpunten Q en Q\' van poollijn en cirkel op gelijken voet
behandeld worden. Bij de oppervlakken van de 1® soort zijn nu op eiken cirkel vier
belangrijke punten aan te geven. Vooreerst de punten Q en Q\'. In deze punten raakt de
cirkel n. 1. aan een kromtelijn van het oppervlak. Verder de snijpunten van den karakte-
ristiek S^ en den cirkel, in welke punten de cirkel aan een asymptotische lijn van het
oppervlak raakt. Wij kunnen hieraan toevoegen, dal de beide hoofdkromtestralen in de
punten Q en Q\' gemakkelijk te berekenen zijn , en dat, als een cyclisch oppervlak umbilicaal-
punten bezit, slechts deze punten als zoodanig kunnen optreden. Wanneer we het gedrag
van het raakvlak in de punten van eenzelfden beschrijvenden cirkel nagaan, dan is het
punt T als top van een stralenbundel te beschouwen, zoodanig, dat elke straal uit dien
bundel den cirkel in twee punten snijdt, waarvoor de raakvlakken elkaar in eenzelfde punt
der as ontmoeten Een wet, analoog aan die welke door Chasles voor de regel vlakken
gegeven is, is slechts in een enkel bijzonder geval aan te geven. Heeft men n.1. met opper-
vlakken van de 2® soort te doen, en is de keerkromme de ontwondene der centrale ki\'omme,
dan verandert voor een bepaalden beschrijvenden cirkel de tangens van den standhoek van
het raakvlak en het vlak van den cirkel rechtevenredig met de tangens van den hoek,
dien de verbindingslijn van centrum en raakpunt met een bepaalde, als oorsprong gekozen,
richting maakt.

Bij de regelvlakken is het normalenoppervlak van een bepaalde beschrijvende lijn
een paraboloïde. Zoo kan men in ons geval vragen naar het normalenregelvlak van een
bepaalden beschrijvenden cirkel. Dit is een oppervlak van den 4®quot; graad. Van dit regelvlak
zijn gemakkelijk drie richtkrommen aan te geven: n. 1. de beschrijvende cirkel zelf, de as
van den cirkel, en een kegelsnee, die in een vlak loodrecht op de raaklijn aan de centrale
kromme gelegen is Heeft men met oppervlakken van de 2» soort te doen, dan ontaardt
deze kegelsnee in twee rechten, waarvan één als lichtkromme te verwerpen is.

Is het punt T een standvastig punt in de ruimte, dan heeft men met een anallag-
matisch oppervlak te doen. De differentiaalvergelijking der orthogonale trajectoriën der
cirkels is een vergelijking van Ricoati. Vier dezer trajectoriën snijden dus op een cirkel
een puntquadrupel van constante dubbel verhouding uit. In eenige bijzondere gevallen wordt
deze diffquot;erentiaalvergelijking zeer eenvoudig. Liggen de cirkels n.1 in de normaalvlakken
der centrale kromme, dan vindt men de orthogonale trajectoriën door middel van een
enkele quadratuur, en treedt alleen de torsie der centrale kromme onder het integraalteeken

op. Een ander geval, waarin de differentiaalvergelijking der orthogonale trajectoriën direct
geïntegreerd kan worden, is dat der oppervlakken van de 2® soort, waarvoor de keer-
kromme als ontwondene der centrale kromme optreedt. Wil men, dat de orthogonale trajec-
toriën der cirkels tevens een stelsel geodetische krommen vormen, dan moet het cyclisch
oppervlak aan de volgende voorwaarden voldoen: het vlak van den cirkel moet osculatievlak
der centrale kromme zijn, terwijl deze kromme zelf een constante torsie bezit, gelijk aan
den straal van den cirkel. Deze oppervlakken bezitten tevens de eigenschap, dat twee
opeenvolgende orthogonale trajectoriën op eiken beschrijven den cirkel een element insnijden,
gelijk aan het correspondeerend element der centrale kromme. De trajectoriën zelve
bezitten ook een constante torsie, die niet van kromme tot kromme verandert, en gelijk is
aan de torsie der centrale kromme. Ten slotte vragen we ons af, of de cirkels en hun
orthogonale trajectoriën een isotherm stelsel kunnen vormen. Als oplossing vinden we o. a.
de anallagmatische oppervlakken met isotrope focaalkromme. Men kan zich vervolgens
afvragen, of op eiken cirkel ook zoodanige punten te vinden zijn, dat de afstand tot den
volgenden cirkel een maximum of minimum bedraagt. De aaneenschakeling dezer punten
vormt dan een stelsel krommen op het oppervlak, strictie- en elongatielijnen geheeten.
Het blijkt, dat op eiken cirkel vier punten te vinden zijn, die aan de vraag voldoen. Zij
worden uitgesneden door een gelijkzijdige hyperbool, die door het centrum van den cirkel
gaat. Voor het geval de cirkels in de normaalvlakken der centrale kromme gelegen zijn,
ontaardt deze hyperbool in twee onderhng loodrechte lijnen, de karakteristiek Sj=0, en
een middellijn.

Behalve de gevallen, dat de cirkels in de normaalvlakken of de osculatievlakken der
centrale kromme gelegen zijn, is er nog een geval, dat vermelding verdient, en wel, dat
de cirkels in onderling evenwijdige vlakken gelegen zijn. In dat geval ontaardt do hyper-
bool eveneens en worden de strictie- en elongatielijnen door de karakteristiek S, =0, en
een middellijn loodrecht daarop, op het oppervlak uitgesneden. Onderstelt men tevens,
dat de centrale kromme vlak is, dan vormen de parameterkrommen, zooals wij ze in ver-
gelijking (1) hebben ingevoerd, een stelsel toegevoegde krommen. Tot deze groep van
oppervlakken komt men ook, wanneer men een onderzoek instelt naar het cyclisch minimaal-
oppervlak. De cirkels zijn in onderling evenwijdige vlakken gelegen, de centrale kromme
is vlak, en de coördinaten van een punt dier ki-onnne dubbelperiodieko functies van een
parameter. Bij een minimaaloppervlak is de som der hoofilkromtestralen in elk punt van
het oppervlak nul Meer algemeen kan men naar die ojipervlakken vragen, waarvoor de
gemiddelde kromming voor de punten van eenzelfden beschrijvenden cirkel constant is, maar
van cirkel tot cirkel varieert. Alleen een omwentelingsoppervlak voldoet aan de vraag.
Nemen we aan, dat de gemiddelde kromming over het geheele oppervlak constant is. dan
vindt men het kleinste omwentelingsoppervlak van gegeven volumen. Do nieridiaankromme
is de kromme, die door het brandpunt van eon ellips of hyj)erbool beschreven wordt,
wanneer deze, zonder te glijden, langs de as van omwenteling rolt. Stelt men ten slotte de
constante gelijk aan nul, dan heeft men weer te doen meteen mininiaaloppervlak, en vindt
als oplossing de catenoïde, het eenigo minimaaloppervlak, dat tevens omwentelingsoppervlak
is. Ook als men een onderzoek instelt naar de cyclische oppervlakken met constante totale
kromming, voorloopig aannemende, dat deze van cirkel tot cirkel varieert, vindt men, dat
alleen de omwentelingsoppervlakken aan de vraag voldoen. Bij speciale keuze der constante,
vindt men als nieridiaankromme de tractrix, waarvan het keerpunt op do omwentelingsas ligt.

Overzicht van hoofdstuk II. Bij de behandeling van de cyclische congruenties zoeken
we naar een analogie met de stralencongruenties. Door eiken cirkel der congruentie gaan
blijkbaar co\' cyclische oppervlakken, die elk een bepaalde kromme op het oppervlak der
centra (centraal oppervlak) insnpen. Zijn er nu onder deze oo\' oppervlakken ook opper-
vlakken van de 2« soort? Het blijkt, dat in elk punt van het centrale oppervlak vier
richtingen aan te geven zijn, zoodanig, dat zij als raaklijnen optreden aan centrale krom-
men, die bij oppervlakken van de 2e soort behooren. Kiest men op een bepaalden
beschrijvenden cirkel een punt, en construeert men in dit punt het raakvlak aan een der
cyclische oppervlakken, die door dezen cirkel gaan dan zal het raakvlak in het algemeen
een anderen stand innemen, naar mate men een ander cyclisch oppervlak door den cirkel
brengt. Men kan zich nu afvragen, of er op.eiken cirkel ook punten te vinden zijn —
focaalpunten — zoodanig, dat het raakvlak hetzelfde is voor alle cyclische oppervlakken,
die door dien cirkel te brengen zijn. Het blijkt, dat er op eiken cirkel vier punten gelegen
zijn, die aan de vraag voldoen. Voor de congruentie vormt het geheel dezer punten vier
oppervlakken, de focaaloppervlakken der congruentie geheeten. Aan deze focaalopper-
vlakken kan nog een andere meetkundige beteekenis gehecht worden. We zagen, dat de
congruentie op vier wijzen volgens oppervlakken van de 2quot; soort gerangschikt kan worden.
Vraagt men nu, waar op eiken cirkel de raakpunten met de keerkrommen gelegen zijn,
dan komt men terug tot de vier focaalpunten. Een focaaloppervlak is dus ook te
beschouwen als de meetkundige plaats van een stelsel keerkrommen, waaraan de cirkels der
congruentie noodzakelijk raken. We passen nu voor eiken cirkel dezelfde assendraaiïng
toe als boven bij de cyclische oppervlakken. Bij eiken cirkel behoort een bepaald punt T. J^én
der richtingen die het vlak van dien cirkel bepalen, bijv. de richtingnbsp;b^) kiezen

we loodrecht op de poollijn van het punt T. Het blijkt, dat deze keuze steeds mogelijk
is, en er op het centrale oppervlak twee stelsels krommen aangegeven kunnen worden,
zoodanig, dat, als we deze als centrale krommen van een cyclisch oppervlak kiezen, de
bedoelde assendraaiing voor deze oppervlakken plaats heeft gevondeji. Genoemde krommen
kiezen we als parameterkromnien op het centrale oppervlak. Hierdoor wordt verkregen,
dat er een eenvoudig analytisch kenmerk valt aan te geven voor het feit. dat de con-
gruentie op één wijze volgens cyclische oppervlakken gerangschikt kan worden, die als
omhullenden van een stelsel od\' bollen beschouwd kunnen worden.

We gaan de volgende speciale gevallen na:
1quot;. de cirkels liggen in de raakvlakken van het centrale oppervlak;
2®. de cirkels liggen in normaalvlakken van het centrale oppervlak.

Het eerste geval wordt nog onderverdeeld in :

a.nbsp;de cirkels bezitten een constanten straal;

b.nbsp;de congruentie is op één wijze volgens oniimllenden van co\'bollen te rangschikken.

Geval la. Daar de cirkels een constanten straal bezitten, zijn de oppervlakken van
de 2quot; soort kanaaloppervlakken. De kromtelijnen van het centrale oppervlak bepalen de
centrale krommen dezer kanaaloppervlakken. Treedt het punt P als centrinn van een
bepaalden cirkel der congruentie op. dan zijn de snijpunten van de raaklijnen aan de
kromtelijnen in het punt P met den cirkel, de focaalpunten van dien cirkel.

Geval Ib Het centrale oppervlak is noodzakelijk een ontwikkelbaar oppervlak. Ue
beschrijvende lijnen van dit oppervlak treden op als centrale krommen van cyclische
oppervlakken, die omhullenden van a\' bollen zijn.

De congruentie is aldus te construeeren. In elk raakvlak door een beschryvende lijn
construeert men een stelsel van oo\' cirkels, waarvan de centra op die rechte gelegen zijn. Een
dergelijk stelsel bezit steeds een omhullende. Men herhaalt de bewerking voor elk raakvlak.

De cirkelcongruentie, waarmee men zich tot nog toe bezig heeft gehouden, is de
normale congruentie. Men heeft zich n. 1. afgevraagd, aan welke voorwaarden een cirkel-
congruentie moet voldoen, opdat er ooi oppervlakken aangegeven kunnen worden, wier
normalen raaklijnen aan de cirkels zijn. Oppervlakken, die aan de vraag voldoen, worden
gevonden door integratie van een totale differentiaalvergelijking. Nu bezit de totale differen-
tiaalvergelijking een integrabiliteitsvoorwaarde. Wanneer deze voorwaarde niet identiek
vervuld wordt, zijn er hoogstens twee oppervlakken, die aan de vraag voldoen, waaruit
^de volgende, door RmAucouR gegeven, stelling volgt:

Wanneer men bij een cirkelcongruentie drie oppervlakken kan aangeven, wier normalen
raaklijnen dezer cirkels zijn, dan zijn er oneindig vele oppervlakken aan te geven, die deze
eigenschap bezitten.

De totale differentiaalvergelijking is om te werken tot een differentiaalvergelijking
van Riccati, waaruit de tweede stelling van Ribaucour volgt:

Wanneer er een stelsel vayi oo^ oppervlakken aan te geven is, wier normalen raaklijnen
aan een stelsel van oo- cirkels zijn, dan bepalen vier oppervlakken van dit stelsel op alle cirkels
een puntquadrupel met constante dubbelverhouding.

We onderzoeken nu, onder welke voorwaarden eenige der door ons beschouwde
congruenties normale congruenties zijn. Dan geldt als eerste stelling:

Construeert men in de oo^ raakvlakken van een willekeurig oppervlak een stelsel congruente
cirkels, waarvan de centra de raakpunten zijn, dan geldt als noodzakelijke en voldoende
voorwaarde opdat deze congruentie een normale congruentie zij, dat het centrale oppervlak
een pseudosphaerisch oppervlak is.

Tweede geval: de cirkels liggen in normaalvlakken van het centrale oppervlak. Dan
gelden de volgende stellingen:

]. Neemt men op een oppervlak een stelsel kromtelijnen {parameterkrommeji u = const.)
en constiueert men in de bij deze krommen behoorende hoofdnormaalvlakken cirkels, waarvan
de centra op die kromtelijnen liggen, dan zal de aldus ontstane congruentie een normale
congruentie zijn, wanneer men den straal van den cirkel evenredig aan den met het andere
hoofdnormaalvlak correspondeerenden hoofdkromtestraal kiest, er zorg voor dragende, dat de
verhoudingsfactor voor een en dezelfde jyarameterkromme constant is.

We kiezen op het centrale oppervlak een stelsel parameterkrommen, zooals wij ze in
bet begin van lt;lit overzicht gedefinieerd hebben, en vinden als tweede stelling:

11. Wanneer men in de normaalvlakken van een stelselparametei\'krommen {u = const.)
cirkels construeert, waiirvan de centra op deze krommen gelegen zijn, terwijl men tot straal
dezer cirkels telkenmale een der hoofdkromtestralen kiest, dan zal de aldus ontstane congruentie
een normale congruentie zijn.

HOOFDSTUK I.
Cyclische oppervlakken.

§ 1. Het raakvlak. In de ruimte van drie afmetingen kan men een cirkel op de
volgende wijze voorstellen:

^ = /quot; ^ («1 cos t -f- sin t) \\

U = g -r- r {a2 cos t 02 sin t) gt;.........

z = h r (a^ cos t ba sin t) )

Hierin zijn (/quot;, g, h) de coördinaten van het middelpunt, {a^, a^, a^) (bi, b^, b^) twee
onderling loodrechte, maar overigens geheel willekeurige richtingen, die het vlak van den
cirkel bepalen, terwijl r de straal van den cirkel is. Als nevenvoorwaarden gelden dus:

^ a2 =z 1, V ab — O, 2: b^=l.........(2)

Ten slotte stelt t den hoek voor, dien de voerstraal van het middelpunt naar eenig
punt van den omtrek met de richting (a^, a^, a^) maakt. Neemt men aan, dat bovengenoemde
grootheden functies van één parameter s zijn, dan heeft men te doen met een stelsel van
ooi cirkels, een cyclisch oppervlak. Een eerste vraag is nu naar de vergelijking van het
raakvlak in eenig punt (x,7j,z) van dit oppervlak. Zooals we in de inleiding gezien hebben,
mag hiervoor geschreven worden:

c\' {x-f)- V V _ /•) (A^ _ [-j^Y\' {x-f) r r\'\\ 2\' c (X- x) = 0. (2*)

Ons rest nog in deze vergelijkingen den parameter t in te voeren. Daartoe brengt
men in het stelsel vergelijkingen (1) de grootheden {f,g, h) naar het 1° lid, vermenigvuldigt
de vergelijkingen respectievelijk met g\', h\') daarna met (c\\, c^, c^) en telt op. Men vindt dan:
^r {x—f)-\\-rr\' = r{Zar cost ::Lhr 8int-{-r\')~r S,. ... (3)
In \'t oog houdend dat a c = O, ö c = O is, en dus acf v a\' c, en
2: b amp; = — 2: b\' G is vindt men:

c\' (a; — /■) — V c /■\' = — [r a\' c cos tv b\' c sin t) v c /■\'] = _ . . (4)
De vergelijking van het raakvlak luidt derhalve, na invoering van den parameter t:

2: {X — x) [(a cos tb sin t) S2 —c Si] = O.......

De grootheden S^ en S^ zijn hneaire functies van cos t en sin t. Substitueert men in S^ en S^:

2 wnbsp;, 1 —nbsp;/

^ = T T.2-\' ^ = ^tg 2 .......(ö)

dan correspondeeren met de twee waarden van lo, die aan de vergelijking:

{r\' — ^ a /■\') w\' 2 Zj /■\' r\' 4- V a /•\' — O
voldoen, de punten, waarin het machtvlak van twee bollen waarop twee opeenvolgende
cirkels groote cirkels zijn, den cirkel, waarvan we uitgingen, snijdt. Op gelijke wijze
correspondeeren met de wortels van de vergelijking:

c /•\' — )• Jl\' a\' c) wquot;\' 2 r V amp;\' c -f cf\' -\\.r ^ a\' c) = O

de punten, waarin de karakteristiek van het vlak van den cirkel dezen snijdt.

Om de beweging van het raakvlak na te gaan, als het raakpunt een beschrijvenden
cirkel doorloopt, zoeken we het snijpunt van het raakvlak met de as van den cirkel. Aan
een bepaald cyclisch oppervlak kunnen we een bepaald assenregelvlak toevoegen, met
vergelijkingen:

% — f u Cy, y — g u c^, z = h u c^.

We substitueeren nu de coördinaten van een punt der as, dat als snijpunt op zal
treden, in de vergelijking (5) van het raakvlak, en vinden:

.r(^a\'ccost-^^b\'csint)-\\-2:cf\'{2:cf\'— r:ï:a\'2zor2:b\'c-\\-cf\'-f-2,\'a\'c \' S^
2 a r cos t-\\- 2: bf sin ï) /•\' ~ \' (r\' — v a -j- 2 w ÏT/^\'quot;-}-quot;;-\' -f a/quot;\'nbsp;(7)

Ter loops merken we op, dat:

(8)

den standhoek tusschen het raakvlak en het vlak van den cirkel bepaalt.

Uit vergelijking (7) volgt, dat bij een bepaalde waarde van w één bepaalde waarde
van 11 behoort, maar omgekeerd, bij een bepaalde waarde van u een tweetal waarden van zo.
01 meetkundig: aan eiken cirkel kan een vlakkenbundel worden toegevoegd, met vergelijking:

r S^-j-zi S,=z O

of:

I V c\' (X — — r\\ — u [V r {X — O r 1 = 0.
üeze vlakkenbundel snijdt het
vlak van den cirkel volgens een stra-
lenbundel met top ^(zie lig. I}. Noemt
men de punten, waarin een straal den
cirkel snijdt, goconjugcorde punten,
dan heeft men de volgende stellingen:
Raakvlakken in geconjugeerde
punten van een bepaalden cirkel aan
het oppervlak aangebracht, snibden
de as in eenzelfde punt.

Raakvlakken, in die geconju-
geerde punten aangebracht, waarin
het machtvlak den cirkel snijdt,
(5, = O, nz=z 00) loopen evenwijdig

a«n de as. In de punten, waarin de karakteristiek (S^ = 0, = 0) den cirkel snijdt, vallen
ze samen met het vlak van den cirkel.

Tweemaal zal het voorkomen dat do geconjugeeide punten samenvallen. In dat geval

raakt een straal uit den stralenbundel aan den cirkel. De waarden van l, die hiermee

correspondeeren, de vertakkingspunten der functie, vindt men uit de vergelijking0.
Nu is:

dunbsp;^t \'^\' Vt

— r

dt- ■
Bedoelde vergelijking luidt derhalve:

..........

of uitgewerkt:

(rr\'h\'c~ZCf Zh f)cost-^{Ecf\'Zaf — rr\'Zo!c)sintr{Zaf\' Zh\'c—Zhf\'Za\'c) = O (10)
een lineaire betrekking in cos t en sin t, dus quadratisch in lo, waarvan de wortels de
poollijn van het punt T bepalen. Naar gelang :

.d~{rr\' Z b\'c—z Cf\' Z hf\'f -f {Z Cf\' Zaf- rr\' z a\' cf — r^ {Zaf\'Zh\'c — Zbf\' Z a\'cf ^ O (11)

zullen de snijpunten van poollijn en cirkel, reeël, samenvallend, of imaginair zijn. Voor
het geval z/z= O is, ligt het punt T op den cirkel. De vergelijkingennbsp;en S^=zQ

hebben een wortel gemeen. Uit vergelijking (7) blijkt, dat de waarde van u voor dit punt
onbepaald wordt, derhalve het raakvlak ook. Een dergelijk punt treedt dus als kegelpunt
van het oppervlak op. Is de vergelijking z/— O algebraïsch, dan levert zij de kegelpunten.
In de meeste gevallen zal de vergelijking echter transcendent zijn.
Geldt de betrekking:

Z a\' c _Z b\' c _ Zjf\'

Zaf\'~~ Zhf\'~ rr\'..........

dan moeten de karakteristieken en samenvallen, en is u constant. De normalen op
de raakvlakken, in de punten van eenzelfden cirkel, vormen een ontwikkelbaar oppervlak,
n. 1, een kegel. De cirkel zelf is kromtelijn op het cyclisch oppervlak.

Beschouwen we de doorsnee van twee geconjugeerde raakvlakken, dan steunt deze
eensdeels op de as van den cirkel, anderdeels op de poollijn van het punt T. Tusschen de
punten van deze rechten bestaat een (1:1) verwantschap; de doorsnee beschrijft dus een
hyperboloïde. Ligt het punt T in het oneindige, en gaat dus de poollijn door het centrum,
dan ontaardt de hyperboloïde in het dubbel te tellen platte vlak, dat door de middellijn
en de as van den cirkel gaat.

We kunnen hieraan het onderzoek verbinden naar de klasse van de meetkundige
plaats der vlakken, die het cyclisch oppervlak in de punten van een bepaalden beschrij venden
cirkel raken. Met behulp van de betrekkingen:

V (a; _nbsp;_ 0.

Z c(x — f) = 0.
is de vergelijking van het raakvlak (2*) herleidbaar tot de gedaante:

I V {x-f)- Zcf\'\\ \\Z{x-f) (X-f) - r^l -f [Zf {x-f)-\\- rr\'| v ^ (X~f) = 0.
Combineert men deze vergelijking

met de twee bovenstaande betrekkingen dan blijkt
dat door eenig punt (Z, Y, Z) vier raakvlakken gaan, die hun raakpunten op een
beschrij venden cirkel hebben. Het stelsel van oo\' vlakken vormt dus een ontwikkelbaar
biquadratisch oppervlak. Daar het raakvlak in de snijpunten van den cirkel met de karakte-
ristiek aS, = O met het vlak van den cirkel samenvalt, treedt dit vlak als dubbelvlak op

§ 2. Het normalenregelvlak van een bepaalden beschrijve7iden cirkel. Wanneer we
een bepaalden beschrijvenden cirkel in het oog vatten kunnen we het centrum gevoeglijk
als coördinatenoorsprong kiezen, de richting {a^, a^, «3) als X as, de richting (öj, b^, Ö3)
als Tas, de richting (Cj, C2. ^3) als Z Deze keuze brengt de volgende substituties mede:

(/■, g, h) is te vervangen door (O, O, 0)

(1,0,0)

(Öi, amp;2, Ö3) ...nbsp;.nbsp;„ (0, 1, ü)

(Ci, Ca, C3) „nbsp;„nbsp;„ (O, O, 1).

Daar de vergelijking van het raakvlak in eenig punt {x, y, z):
2: {X — X) |(a cos t-{-b sin t) — c = O
luidt, zoo wordt de normaal op het raakvlak in dat punt gegeven door:

x—x_____ _nbsp;—_

(ai cos t -f sin t) S^ — c^ Si ~ (a« cos t -j- sin t] S^ — c, S^ (Og cos t -f b^ sin t) S.^ - c^ Si\'
Bij de speciale keuze van ons assenstelsel worden deze vergelijkingen eenvoudiger, terwijl
tevens de coördinaten (x, y, z) van het steunpunt te vervangen zijn door {rcost, rsint, 0).
De vergelijkingen der normaal luiden nu:

X — r cos t _ 7/j— r sin t_ 2;

S. coVt~\' ~ ~S.~s~{n t ~ — Si........

Dus is:

:v cos t -l- // sin t — r_ 2 S.y

1nbsp;s;

waaruit:

Si (.\'C cos t -}- y sin ^ — r) -j- 2 »ba = 0

of:

(2\' a f\' cos ^ -f- ö/\' sin t-\\-r\') {x cost-]-y sint — r)-\\^z(r 2\'a\' ccost-\\- r b\'csin t -[- c/\') = ü.
Om de vergelijking van het normalenregelvlak te vinden, moet de grootheid t uit deze

vergelijking geëlimineerd worden. Daar voor elk punt der normaal geldt, dat tlt;jt = ^

X

zoo mag:

CCnbsp;V/

cos tz=. ^ .nbsp;, sin t = ^ y. ^

gesteld worden. Na substitutie vindt men:

Fr a\'c-4-?///fAnbsp;^

of:

Of ten slotte:

De normalen vormen dus een oppervlak van den 4«quot; graad. Meetkundig is gemakkelijk
in te zien, dat de doorsnee met het vlak van den cirkel een O» oplevert, die ontaardt in
lien cirkel en twee aanvullende rechten. Immers, komt het raakpunt in het vlak =
^^ liggen, dan wordt 00, en loopt het raakvlak evenwijdig aan de as. De normalen

in de snijpunten van het vlak S, = 0 met den cirkel liggen alzoo in het vlak van den cirkel.
Noemen wij de punten, waarin die normalen den cirkel ten tweeden male ontmoeten, i^en N\'.

De as van den cirkel is eveneens op het oppervlak gelegen. Substitueert men n. L
x = 0, y = 0 dan wordt aan bovenstaande vergelijking voldaan. Het is duidelijk, dat de as
dubbelrechte op het oppervlak is. Immers: raakvlakken in geconjugeerde punten snijden
de as in hetzelfde punt, en derhalve ook de normalen, in de steunpunten dier raakvlakken
opgericht. De cirkel en de as zijn alzoo tot richtkrommen van het regelvlak te kiezen.
Nu is er nog een derde richtkromme aan te geven, en wel de dubbelkegelsnee, die
verkregen wordt door de snijding van de hyperboloïde:

r\'(x^ i/\')r 2 (x a\'c-i-ij h\' c) — r {x Z a f\' ^ y 2: b f\') = O
en het vlak:

V=x2:: af\' y 2:bf\'-[-z:^ Cf\'~rr\' = 0......

Omtrent dit platte vlak merken we op, dat zijn stand eenvoudig is aan te geven De
coëfficiënten 2: af\', zbf\' m 2: cf\' zijn n. 1. de cosinus van de hoeken, die de raaklijn aan
de centrale kromme met de drie richtingen (a,, Ö3), (amp;„ b,, b,) en (c,, c«) maakt.
Deze hjn treedt dus als de normaal op bovengenoemd vlak op. Het vlak loopt derhalve
evenwijdig aan het vlak S, = O, en gaat door de punten N en N\'. Immers het vlak S^z=0

snijdt van de ^ as een stuk: — ^ af, terwijl het vlak V een stuk 4-— i

^ 2: af\'h\'

van de Z as afsnijdt. De vlakken liggen dus symmetrisch ten opzichte van het middelpunt
van den cirkel. Desmartres merkt op, dat van deze dubbelkegelsnee vijf punten gemakkelijk
geconstrueerd kunnen worden. Het vlak 8^ = 0 snijdt den cirkel n. 1. in twee punten wier
normalen evenwijdig aan de as loopen. Waar deze normalen het vlak 7 ontmoeten vindt
men twee punten der dubbelkegelsnee. Verder de punten N en N\'ten slotte het\'punt
waar de as van den cirkel het vlak V snijdt. Door de drie genoemde richtkrommen is het
regelvlak volkomen bepaald. Een serie kegelsneden, die op het oppervlak gelegen is, wordt
nog als volgt gevonden.

Normalen, die bij de steunpunten van geconjugeerde raakvlakken behooren, snijden
de as in eenzelfde punt. Brengt men een vlak door twee dezer normalen, dan is de aan-
vullende kromme een kegelsnee.

Bijzondere gevallen:

1«. l^af\' = 0, 2^br = 0 d. w. z. de cirkels liggen in de normaalvlakken der
centrale kromme. De vergelijking der hyperboloïde luidt:

(x^ y^) -4- r z {X a\' cy 2: b\' c) = 0.

Die van het platte vlak F:

z2cf\' — rr\' = Q
waaruit blijkt, dat de dubbelkegelsnee in dit geval in een cirkel overgaat.

2«.nbsp;d. w. z. dat de cirkels in raakvlakken der centrale kromme gelegen

zijn, terwijl tevens r constant is.nbsp;.

De hyperboloïde ontaardt in twee platte vlakken:

^ = ^......(1)nbsp;O . . . (2)

terwijl de vergelijking van het platte vlak V\\

x2:af\' yzbf\' = {)..............

luidt. De doorsnee van de vlakken (2) en (3) is de Z as, die als tweevoudige rechte op
het normalenoppervlak optreedt, terwijl de doorsnee der vlakken (1) en (3) in dit geval de
karakteristiek S^ is, die thans in haar geheel op het normalenoppervlak ligt.

§ 3. Draaiing der richtingen, die het vlak van den cirkel bepalen. Omtrent de
richtingen (öi, a^, O3) en (öj, b^, b^) die
het vlak van den cirkel bepalen, hebben
we ondersteld, dat ze loodrecht op elkaar
staan. Overigens zijn ze willekeurig in
het vlak van den cirkel aangenomen.
We kunnen nu een vereenvoudiging in
onze formules aanbrengen, door één dier
richtingen bijv. b^. b^) zoodanig te
kiezen, dat zij loodrecht op de poollijn
van het punt T staat. Zij halveert der-
halve den hoek, dien de beide raaklijnen
uit T aan den cirkel vormen, waardoor
de raakpunten Q en Q\' op gelijken voet
behandeld worden. Laten de nieuwe rich-
tingen aangeduid worden door («i, «2, «3)
en (A, §3) en onderstellen wij, dat
wij daartoe de oude richtingen over een
hoek moeten draaien (zie fig. II). Dan
zijn de grootheden («1, «2, «3) en (|Si. (52, ^3)
voorloopig onbekende grootheden, die

echter bekend zullen zijn, zoodra de hoek ip bekend is. Een punt van hetoppervlak.dat
vroeger aangeduid werd, door:

x = f-\\-r («1 cos t -j- bi sin t) 1

?/ = r («2 cos t -I- b^ sinnbsp;........(1)

z= h-\\- r («a cos t -f amp;3 sin t) !

wordt thans gegeven door het stelsel vergelijkingen:

X z=. f r \\ ux cos {t — xfi) 4- sin (t — t/i) |

■gt;/ = lt;/\'-{- r [«2 cos {t — tfgt;) — •/\')]

z — h-j-r [«3 cos (t — i/lt;) -f |?3 sin {t —

Dit eischt:

ai = «1 cos I/» — ffi sin i/»nbsp;,

tti = «2 cos I/\' — 2 \'/\'nbsp;[

aj = as cos tp — fis sin vnbsp;)

bi — fii cos ifi -{- «1 sin i//nbsp;j

b. = fin cos i(f «2 ^ï» V\'nbsp;I

bs = fis cos •/lt; «3 sin vnbsp;\'

«1 = a^ cos lp bs sin i/i
«2 = Oa cos Ijl -[- ^2 sin v-
«3 = as cos lp bs sin ip

fii = — «1 sin I/» --}- cos 1/;
(?2 = — sin I/» -f- ^2 cos tp
§3 = — «3 sin lp bs cos y»

Derhalve:

1\' fi f\' = 2 a f\' sin lp — 1\' b f\' cos i/»
2\' (}\' c = a\' c sin i|» — 2: b\' c cos ifgt;

Daar de hoeken in de punten Q en Q\' gelijken sinus bezitten, doch het teeken van
den cosinus tegengesteld is, zal, na de draaiing, de coëfficiënt van cos ^n vergelijking (10)
moeten verdwenen. Dit vereischt:

rr\'2 /i\'c —= 0.........(16)

Om tg te vinden, moet men de grootheden c en Z (i f\', met behulp van het
stelsel vergelijkingen (15) uitdrukken in de grootheden, die in het stelsel vergelijkingen (1)
optreden. Daardoor gaat vergeliiking (16) over in:

r r\' {Z a\' c sm ,/, — z h\' c cos tp) — Z c /\' (Z a f\' sin ip — Z b f\' cos ip) — O
(r r\' Zb\' c-Ze f\' Z b f\') cos ip — (r r\' Z a\' c - Z c f\' Z a f\') sin xp=zO-

dus is:

r r\' Zh\' c — Z c /\' b f

..........(17)

rr\' a\' c— Z cf\' Z a /\'

waaruit blijkt, dat er steeds een hoek gevonden kan worden, zoodanig, dat de poollijn
van het punt T loodrecht op de richting (6,, Ö3) staat. Wanneer we een evenredigheids-
factor 9 invoeren, is betrekking (16) als volgt te schrijven:

ZJ^c _ Z cj\' _

r r\'

zft\'

waardoor de vormen en overgaan in:

= Z uf\' cos t-\\- Z ^f\' sin t -f- y\'
= r Z u\' c cos t r (Z ^ /\' sin t-\\-r\') ......

Bijzonder geval iiaar aanleiding van vergelijking (18). Is Z cJ\' ni. a. w. liggen
de cirkels in de raakvlakken der centrale kromme, dan geldt:

öf rr\' — O d. w. z. de cirkels worden beschreven met constanten straal. Jn dat
geval is tg ip onbepaald, hetgeen hieruit te verklaren is, dat de beide karakteristieken S
en door het middelpunt van den cirkel gaan, dit punt optreedt als punt 2\\ en derhalve
de poollijn in het oneindige ligt;

öf Z (i\'c = 0. De tangens van den draaiingshoek wordt thans gevonden uit verge-
lijking (15):

a\' c sin n, ~ Z b\' c cos ip ~ 0
Z a\' c

Vergelijking (10) die de poollijn van het punt T
bepaalt, gaat na (ie draaiing over in:

r 2- « r — ^ u\' c) (V li f\' -I- sin t) — 0

of:

-i\' f\' -f r\' sin t = . . . (20)
Het zal tot geen verwarring aanleiding geven,
wanneer wo, in plaats van de ürieksche letters]
dezelfde letters als vroeger invoeren, (kiarbij in liet

oog houdend, dat de zoo juist besproken draaiing
uitgevoenl is.

§ 4, Voorwaarden voor een anaUagmatisch oppervlak. Zij t (zie fig. III) een straal
uit den stralenbundel met top T; de punten M en M\' zijn dan een paar geconjugeerde
punten; de normalen op de raakvlakken, in deze punten aan het cyclisch oppervlak aange-
bracht, ontmoeten de as in eenzelfde punt K. Nemen we K M =

als straal van een

sin «

bol, dan heeft deze in de punten M en M\' een dubbel contact met het oppervlak. Daar
het punt T eensdeels in het machtvlak van twee opeenvolgende bollen — waarop de
cirkel C en de naastvolgende cirkel groote cirkels zijn — gelegen is, anderdeels op de
karakteristiek van het vlak van den cirkel, zoo zal dit punt het centrum van een bol zijn,
die alle dubbelrakende bollen, die door een dezer beschrijvende cirkels gaan, orthogonaal
snijdt. Is het punt T stationair, dan moet het het centrum van een bol zijn, die drie
opeenvolgende stelsels dubbelrakende bollen orthogonaal snijdt. Is het punt T een vast
punt in de ruimte, dan zal het oppervlak anaUagmatisch zijn, T het centrum van den bol,
die als directrix optreedt, terwijl de deferens een regelvlak is.

We zullen nu de analytische voorwaarden trachten te vinden, waarvoor T een in de
ruimte standvastig punt is. We vatten de zaak algemeen aan, denken ons in de ruimte
een vast assenstelsel O^, X^, Yi, Z^ (zie flg. IV), en een beweeglijk assenstelsel 0. X, r, Z.
Een willekeurig punt P denken we ons voorloopig vast verbonden met het beweeglijk
assenstelsel. Ten opzichte van dit assenstelsel heeft het de coördinaten {x, y, z), ten
opzichte van het vaste de coördinaten (rCj, z^). De coördinaten van den oorsprong O zijn
(a^o. Z/o, ^o)- De richtingscosinus van de
beweeglijke assen ten opzichte van de
vaste, lezen we af uit de volgende tabel:nbsp;^

De verschillende coördinaten zijn nu door de volgende betrekkingen met elkaar verbonden:

.7;, =Xo-{-a^x-^ bi yCl z \\

yi^yo ci.x-j-b^y-\\-C2Z l........(21)

Zi = Zoa^ X-]-ba yc^ z )

De, in het beweeglijk stelsel optredende, grootheden denkon wo ons functies van één
paranieter s. Om de veranderingen in de coördinaten van eenig punt na te gaan, als het
stelsel zich beweegt, difterentieeren wo bovenstaande betrekkingen naar s. Differentiatie
naar s door een accent aangevende, verkrijgt men:

Xi r= Xo a! X -f- b\\ y -f c\'i 3

y\\ = //ó «3 X-{■ b\'i y c. z .........(22)

3\\ =. Zq a^ X y z

We zullen echter alle veranderingen trachten terug te brengen tot veranderingen ten
opzichte van het beweeglijke assenstelsel. Blijkbaar gelden de volgende betrekkingen:

^ = «1 4- ttg i/i «3
1/ = \\ x\\ -I- amp;2 y\\ -f Ö3 z{
z\' — Cl Xx Ca C3

Uit dit stelsel elimineeren we de grootheden x\\, /i, door middel van het stelsel
vergelijkingen (22):

= «1 icó «1 X a^h\\y a^ c\'i z -f- a^ y^ -(- a^ d^ x a^h\'^y ^ a^ Cg z -f

4- 03 4 «3 «3 ^ «3 ?/ «3 Cs 2........(23)

Analoge uitdrukkingen gelden voor y\' en z\'.
In het oog houdend, dat:

^ «2 _ 1nbsp;2nbsp;2quot; c2 — 1

is:

2: aa\' = 0nbsp;2: bb\' = Onbsp;2: c c\'= O

Onderstellen we, dat de oorsprong O een ruimtekromme

Xo=f(s) ijo = g{s)nbsp;Zo = h{s)

beschrijft, dan gaat verg. (23) over in:

X\' z= 2: a f\' -{-y 2: ab\' — z 2: a\' c j

Op gelijke wijze: y\' — b f\' — x2:ab\' — z2:Vc .......(24.)

z\' = 2: c f X 2: a\' c y 2\' c

Onderstellen we nu, dat het punt P een eigen beweging ten opzichte van het
assenstelsel O, X, Y, Z heeft, en geven we de veranderingen der coördinaten ten opzichte
van dit assenstelsel door middel van dx, dy, dz aan, de totale verplaatsingen door middel
van Sx, lt;iy, dz, dan zal deze resulteerende verplaatsing als volgt voor te stellen zijn:

1) X = d X (2 a f\' y 2\' a b\' — z 2^ a\' c) ds

i) y = d y {2^ b f\' — X 2- a b\' — z 2\' b\' c) d s .....(25)

(gt; z = d z (2- c f\' X 2\' a\' c y 2: b\' c) d s

Na deze inleidende beschouwing kunnen we de voorwaarden nagaan, waarvoor bij
een cyclisch oppervlak het punt T een vast punt in de ruimte is. De coördinaten van het
punt T vinden we uit de vergelijkingen:

X 2: af\' y 2\'b r -h r r\' = O
x2:a\'c-{-y 2: b\'c-\\^2:cf\' = Q

of, als we ons de draaiing uitgevoerd denken, die bewerkstelligt, dat de richting (öj, b^, b^}
loodrecht op de poollijn van het punt T staat, uit:

x2:ar-{-y2:br-{-rr\'=zO
X 2- a\' c-{-y ip 2\'bf\' q, r r\'= O
De gezochte coördinaten zijn derhalve:

= ........(26)

Opdat T een vast punt zij, zal:

(Jni = 0, 37/ = O,nbsp;.........(27)

moeten zijn. Substitutie van (26) in (25) geeft, in verband met (27), de volgende voor-
waarden:

^f^r^ ah\'= 0..........(28)

d-snbsp;= ..............(29)

..........(30)

De laatste betrekking is per se vervuld, zie vergelijking ,16). De tweede betrekking
schrijven we aldus:

rr\' d r t-\' _
2\' b ~f\' d s 2: Vf

Geïntegreerd:

k\'

of:

T O- = r- -f- k^-

Uit deze laatste betrekking blijkt, dat Thet middelpunt is van een bol, die alle bollen,
die het oppervlak dubbel aanraken, en hun centra op het assenregelvlak hebben, orthogonaal
snijdt. De grootheid k is de straal van den bol, die bij de anallagmatische oppervlakken
als directrix optreedt.

§ 5. Nadere bescliouiving der voofrwaarde A z=l 0. De vergelijking J = O is tevens
de voorwaarde, dat het stelsel van coi cirkels een omhullende bezit, d. w. z. dat er een
ruimtekromme aan te geven is, waaraan de ooi exemplaren raken. Wanneer men — de
(luaestie zoo algemeen mogelijk aanvattende — uitgaat van een stelsel van oo^ ruimtekrommen:

x = f{s, t), !/ = g{s, t), z = h (5, t)

dan vormen deze een oppervlak. Een kromme lijn op dit oppervlak wordt gevonden door
een functionaal verband te leggen tusschen de parameters, bijv. t — m (s).

De richtingscoëinciönten van de raaklijn aan zoo\'n kromme, die de rol van omhullende
moet spelen, worden gegeven door:

De richtingscoëfliciönten van ile raaklijn a

an een der voortbrengende krommen van

het stelsel, zijn:

? tnbsp;ofnbsp;d t

Opdat beide krommen elkander raken, moot de betrekking gelden:

dx — dy ~~ dz \' ft ~ gt ~ ht......

Elimineert men uit deze betrekking den parameter t, dan moet — wil het stelsel een
omhullende bezitten — de komende vergelijking in s identiek vervuld worden. Zooals we
in de inleiding gezien hebben, kunnen we, naar

analogie met de regelvlakken, do gevonden
1^\'i\'omme gevoeglijk keerkromme van het oppervlak noemen, dat door do ruimtekrommen
gevormd wordt.

Werken we vergelijking (31) voor ons stelsel van coi cirkels uit, dan komt er:

f\' -\\-r {a\\ cos t-\\-h\\sint)-\\-r\'{a^cost^\\si7it) _ g\'-f r (aa cost-f sint)-\\-r\'(a^cost h^sint)
r (amp;i cos t — sin t)nbsp;_ -nbsp;^^^ ^ _ ^^ ^

_ hf -\\-r {Oj cos t -f- 63 sin t) -{- r\' {a^ cos t -f- 63 sin t) _^

r (63 cos t — «3 sin t)
of:

/■\' ^ («1 cos t 4- amp;i sin t) -1quot; r\' («j cos t -j- sin t) — Ir {h^ cos t — a^ sin t) = 0.
g\' -\\-r («2 cos t -f- sin t) («2 (^os t -j- b^ sin t) — Ir {b^ cos t — a^ sin t) = 0.
h\' -\\~r (as cos t sin t) r\' («3 cos t amp;3 sin t) — X r (Ö3 cos t — a^ sin t) = 0.

We vermenigvuldigen deze vergelijkingen respectievelijk met (a^ cos t 4-bi sin t),
(a2 cos tb^ sin t), {us cos tb^ sin t), daarna met Cj, Cg, C3, en tellen vervolgens op.
Dan komt er:

Si = 2: a f\' cos t-\\- Zbf\' sin t-{-r\' — O
Sz = r {Z a\' c cos tZ b\' c sin t)-^ Z cf =Q

waaruit blijkt, dat de voorwaarde (31) te vervangen is door de vergelijkingen

S^ z=z 0. We elimineeren uit deze vergelijkingen de grootheden cos t en sin t, door oplossen

en quadrateeren:

cos tnbsp;sin tnbsp;1

2 af\' Zb f\'

Z a\' c Zb\' c

■■ Z c f\' Z a\' c

De komende vergelijking in s luidt dan:
(r r\' Zb\' c — Z c f\' Z b ff (Z af\' Z cf\' — rr\' Z a\' cf = r\'- {Z af\' Zb\' c- Z bf\' z a\' cf
zijnde de vergelijking J —0.

. Gebruikt men de vergelijkingen S^qh S^, zooals ze na de assendraaiing worden, en
stelt men in bovenstaande vergelijkingen Z cf\' = »j. r r\' en z b\' c = qi Z b f\', dan gaat het
kenmerk J = O over in :

r2 ((p 2- a f\' — Z a\' cf [(2 b ff — r\'^ = 0.

Zooals we weldra zullen zien, moet de eerste factor 7^0 zijn, daar anders de vormen
Si en S2 op een factor na gelijk zouden zijn, in welk geval de karakteristieken samenvallen,
de cirkel noodzakelijk aan twee ruimtekrommen raakt, en men te doen heeft met de
omhullende van oo^ bollen.

§ 6. Indeeling der cyclische oppervlakken. Bovenstaande beschouwing geeft ons aan-
leiding tot een indeeling der cyclische oppervlakken. Als oppervlakken van de.1® soort
kiezen we die oppervlakken, waarvoor twee opeenvolgende cirkels geen punt gemeen
hebben, of beter uitgedrukt, waarvoor de afstand van twee punten, op twee opeenvolgende
cirkels gelegen, steeds van dezelfde orde is. Als oppervlakken van de 2® soort kiezen we
die, waarvoor het stelsel cirkels een omhullende bezit. Zij kunnen op de volgende, door
Enneper aangegeven, wijze worden voortgebracht. Men neemt op een regelvlak een ortho-
gonale trajectorie der beschrijvende lijnen, en brengt in eenig punt dier kromme het raakvlak
aan het oppervlak aan. Vervolgens beschrijft men in het raakvlak een cirkel, waarvan
een raaklijn met de raaklijn aan de orthogonale trajectorie samenvalt. Het centrum van

den cirkel laat men een, van te voren aangegeven, kromme op het regelvlak doorloopen.
Het stelsel van ooi cirkels, dat aldus gevormd wordt, levert het gezochte oppervlak.

De oppervlakken, waarvoor de doorsneden van de vlakken Sj en S^ met het vlak
van den cirkel samenvallen, zullen we als oppervlakken van de 3® soort kiezen. Vergelijking (7)
leert ons, dat het stuk, hetwelk het raakvlak van de as afsnijdt, voor een bepaalde
waarde van s constant is. De raakvlakken, in de punten van een bepaalden beschrij venden
cirkel, vormen derhalve een kegel. De normalen op de raakvlakken eveneens, en de cirkel
is kromtelijn op het oppervlak. Het vlak van den cirkel valt samen met het machtvlak
van twee opeenvolgende bollen. Het cychsch oppervlak is dus te beschouwen als de
omhullende van coi bollen. De cirkel raakt voortdurend aan twee richtkrommen In een
bijzonder geval kunnen deze twee richtkrommen samenvallen, en dus tevens de doorsneden
van de vlakken Sj en S^ met de raaklijn aan de keerkromme. Men heeft dan met de
osculatiecirkels van een bepaalde ruimtekromme te doen.

Aan deze uiteenzetting kunnen we een meetkundige beschouwing vastknoopen De
indeeling kan n.1. aan do hand van nevenstaande iiguren geschieden. Ligt het snijpunt T
der karakteristieken Sj en Sa buiten den cirkel, dan heeft men te doen met de oppervlakken
van de 1« soort. Ligt het punt T op den cirkel, dan bezit het stelsel cirkels een omhul-
lende : de oppervlakken zijn van de 2° soort. Vallen do karakteristieken S^ en S^ samen,
dan spelen de punten T en T dezelfde rol, en moet de cirkel noodzakelijk aan twee ruimte-
krommen raken. Het cyclisch oppervlak is als de omhullende van co^ bollen te beschouwen,
is dus oppervlak van de 3quot; soort. Ten slotte kunnen de karakteristieken met do raaklijn
aan den cirkel samenvallen (fig. Yllb). Het oppervlak wordt dan door de osculatiecirkels
van de keerkromme gevormd.

§ 7. Amhjtische voorstelling van de oppcrvlakhcn van de 2« soort. De ruimtekromme,
waaraan de cirkels raken, stellen we voor door:

x^u is), y=iv{8), z=z w is);

den hoek dien de voerstraal T Q (zie lig. VIII) met de rat\\klijn in T maakt, door lt;p. Uit
den rechthockigen driehoek r g 7 volgt, dat 2\'(;) = 2 r Projecteert men den voerstraal
TQ op de richtingennbsp;Ö3) en Tli (u\', v\', w\'), die het vlak van den cirkel bepalen,

dan zijn deze projecties respectievelijk:

2 r h^ sin^ (j., 2 r amp;2 sin- ^ , 2 r i^g sm- q.
2 sin (f. cos (jf\', 2 rv\' sin qp cos , 2 r w\' sin q\' cos q.
De coördinaten van eenig punt van het oppervlak luiden nu:

X = u -f- 2 r sin q- (u\' cos q- -)- b^ sin q,) j
y = V 2 ?• sin q\' {v\' cos q -j- amp;2 sin q) . (32)
Z — iO-j- 2 ?• sin q {lo\' cos q -]-- amp;3 sin q) \'

met de voorwaarden :

2\' bu\'—-O, 2 c m\' = O . . . (33)

waarin (c^, Cg. c^) evenals vroeger de richtingscosinus
van de normaal op het vlak van den cirkel zijn.

Onze eerste vraag is naar de vormen S^ en
Evenals in § 1 beschouwen we den cirkel als doorsnee
van een bol met een plat vlak. Ter vereenvoudiging
van onze berekeningen voeren we de centrale kromme

in, waarvan de coördinaten met die der keerkromme, als volgt, samenhangen:

f=u-\\-rby, g — V Ar- )• b^^ li — lo r b^ . . ... .

Naar s differentieerend:

f\' — u\' r -f r\' b^. g\' — V\' ^ r b\'. r\' b^, h\' =z lo\' r -f- r\' b^.

Sj = 2 f\' (x — f)4- r f = 2 {u\' r b\' -f- r\' b) {x — u — r b) -j- r f =

=1 f\' {x — u —2 r sin q 12 f\' u\' cos qi -}- - b f\' sin q]
— ~ 2\' amp; (x — 7c)nbsp;=nbsp;2 r sin q \\ c\' 21\' cos qi 2\' b c\' sin q |

Daar:

2 amp; u\'=i — 2\' c uquot; en 2\' bc\' = — 2- b\' c
vinden we ten slotte voor den vorm

~ 2 r sin q |2 c W\' cos q -(- 2 c b\' sin (p j.

In verband met formule (35) kunnen we aan de, in bovenstaande vormen, optredende
coëfTiciënten een nadere beteekenis hechten. Door sonimatie, na geschikte vermenigvuldiging,
vinden we n. 1. de volgende l)etrekkingen:

2 u\' f\' — 2 u\'^ r 2 // ?(\' — 1 — r 2 b uquot; =:z cos «

2 h r = r\'

2: c f\' —r 2: eb\'nbsp;z=z cos y

Nu vormen de drie richtingen («\', v\', w\') (b^, b^, b^) (c,, c^, c^) de assen van een
rechthoekig assenstelsel. Drie van de vier coëfficiënten dei\' voimen «Sj en S» blijken de
richtingscnsinus der hoeken te zijn, die de i\'aaklijn aan de middelpuntskromme met de asseii
van genoemd triëder maakt. Dus cos- u -f cos- -j- cos^ ■/ = 1. Aan den 4cn coëfficiënt
is als volgt een beteekenis te hechten. De grootheden (c,, c,, Cg) zijn de lichtingscosiims
van de normaal op het raakvlak, aan het regelvlak met beschrijvende lijnen (/gt;,, bz, b,)
Noemen we w den hoek, dien de richtingen (c,. Cj, C3) en (/quot;, gquot;, hquot;) met elkaar maken
dan leert het theorema van Meusnier:

V c—— 1

Qy \'

welke laatste grootheid de kromming der normaaldoorsnede voorstelt. De vormen en S^

Si =■ 2 si7l Cf, [cos u cos COS ß sm cp]
r

cos (jf. -{- cos y sin cp

L PN

Uit het vervolg zal echter blijken, dat onze substituties het eenvoudigst uitgevoerd
worden, wanneer we, in plaats van den hoek qp, den hoek t invoeren, dien we tot nog
toe bezigden. Tusschen de hoeken cp en t bestaat de betrekking: 2 = 90 ^ (zie flg. VIII).
Derhalve:

cos 2 (p = — sint of: 1 — 2 sm^ — — sin t en dus 2 (j^ m 1 -j- sin t.
» Verder:

sin 2 cp = cos t.

Daardoor gaat het stelsel (38) over in:

Si = cos « cos ? -1- cos (5 (1 sin t) )
S^ = k cos t-^cos •/ sin t) j

QN J

Bijzonder geval, cos a = 0 (zie verg. 37). De raaklijn aan de keerkromme en die der

middelpuntskromme kruisen, elkaar loodrecht; 2nbsp;Daar we den hoek tusschen de

normaal (Cj, c^, Cg) op het raakvlak en de hoofdnormaal der keerkromme w gesteld hebben,

is V ö = quot;quot;, waarin « de kromtestraal der keerkromme is. Richt men in het krom-
,\'t

mingsmiddelpunt een loodlijn op de hoofdnormaal op, dan ontmoet deze de richting {bi, b^, b^)
in het geodetisch kromtecentrum. Derhalve (gt;g sin w = p, waarin de geodetische kromte-
straal isM.

, , ,, sin m 1 1
In ons geval heeft men nu 2 b n\' ——— =i——— m. a. w.

(\'nbsp;\'ignbsp;I

lt;gt;9 = r;

de straal van ilen cirkel is dus voortdurend gelijk aan den geodetischen kromtestraal.

Is tevens het regelvlak der lynen {bi b^, b^) ontwikkelbaar, dan verdwynt de determinant:

I f\\ 9\\ h\'
\\ hl, b^, b^
i h\\, b\'i,

of wel 2\' c y = O, dus ook cos / = 0. Do raaklijn aan do middelpuntskromme, valt samen
met do richting b^, b^) d. w. z. de normalen der keerkromme zijn raaklijnen aan de
centrale kromme. In dit geval is cos = 1 (zie 37) Dus: r = s. Do straal van den cirkel
is voortdurend gelijk aan do booglengte van den oorsprong van bogen afgerekend. De keer-
kromme is derhalve de ontwondene van de centrale, kromme. De vergelijkingen der
karakteristieken luiden in dit geval:

Si=l sin t
,nbsp;Si = k cos t

De karakteristiek valt samen met de raaklijn aan de keerkromme, de karakte-
ristiek Si treedt als middellijn op.

\') Vkssiot, I/ïcons do Góomótrio supóriouro, pag. 52.

§ 8. Het raakvlak bij oppervlakken van de 2\' soort. Alles wat in § 1 omtrent het
raakvlak in eenig punt van een beschrijvenden cirkel gezegd is, kan hier mutatis rautandis
herhaald worden. Voor den tangens van den standhoek f van het raakvlak en het vlak
van den cirkel, geldt: (zie verg. 8):

tgt — ___CQg a cos Cf,QOS fi SlU qp _ COS a -{-COS fi tg lt;p

Sinbsp;k COS COS •/ sin ~~ k cos y tgnbsp;\' \' ^^^^

In het bijzonder geval van § 7, waarvoor de keerkromme de ontwondene der centrale
kromme is, vinden we:

ig( = —~tgcp

in welke vergelijking een stelling uitgedrukt ligt, analoog aan die van Chasles bij de regel-
vlakken. Wanneer n.1. het raakpunt den beschrijvenden cirkel doorloopt, verandert^\'de
tangens van den standhoek van het raakvlak en het vlak van den cirkel evenredig met
den tangens van den hoek, dien de voerstraal met de raaklijn TR maakt (zie fig. VIU).
Uit vergelijking (40) blijkt, dat de standhoek constant is, als:

cos a cos 8 „

~k~ ~ of cos u cos y — kcos fi —O.......

In dat geval vallen de karakteristieken samen, en heeft men dus te doen met de
oppervlakken van de 3® soort.

Een belangrijke opmerking is nog te maken omtrent het normalamp;nregelvlak van een
bepaalden beschrijvenden cirkel. Wij hebben bij de oppervlakken van de P soort gezien,
dat er drie richtkrommen aangegeven kunnen worden n.1, de cirkel, de as van den cirkel
en een dubbelkegelsnee. Wij zullen thans aantoonen, dat de dubbelkegelsnee bij de opper-
vlakken van de 2« soort ontaardt. Daartoe knoopen we vast aan vergelijking (13):

^ ^ y ^^^^ ^ — _— ^

de vergelijking van het normalenregelvlak, en substitueeren voor S^ en S^ stelsel (39).
Dit levert:

(x cos t 4- y sin t — ;•) [cos « cos t -}- cos fi (1 -f sin t)J -j-zfk cos t 4- cos ;\'(!-!- sin 0| = 0.
Evenals vroeger, vervangen we:

^nbsp;, ___ y

y\'

Vx^\' 4- y^- ^ \' . ^ Vx^\' f- ^ ^ \'

of:

vx--\\-y-nbsp;—

vinden wij ten slotte als eind vergelijking:

4- y^) \\x cos u j^y cos fiz cos y - r cos (i^ — [cos fi (x^ ^ y^-) ^ 2 (k x-{-y cos y) —

— r { X cos u y cos = 0.

De dubbelkegelsnee wordt gevonden als doorsnee van het platte vlak V met de
hyperboloïde H:

7 =x cos tt y C08 ^ z cos Y — r cos — ^..........(42)

E = (rr^nbsp;cos ^ z {k Xy cos ■/) — r (x cos a y cos = 0.

De laatste vergelijking is met behulp van de eerste te vervangen door:
i/ = (a;2 -f y^) cos (i z (k xy cos y) -f r {z cos y — r cos j?)
= {x^ — co»^^z[kx-^{y^r)cosY]=0......(43)

We ehmineeren uit de vergelijkingen (42) en (43), en vinden op deze wijze de
projectie der dubbelkegelsnee op het AT vlak:

__ X cos a {y — r) cos §

cos y

Invulling in vergelijking (43) levert:

r\') c^ i - ^nbsp;^ \'•) - = O,

(X, _nbsp;^ _ k ^ cos « (,y-r) CCS n _ ^ ^^ ^ „ _ _nbsp;^ ^ ^^

x^ cos ^ cos y — k X^ cos (t — k X (y — r) cos ^ — ^ (2/ cos a cos y — 0.
Deze vergelijking is te splitsen in rc = O, en

(cos /? cos y — k cos cc) X — {k cos [i cos u cos y) y -\\-r {k cos ^ — cos u cos y) = 0.

De eerste factor is te verwerpen, de tweede factor levert de projectie van de rechte
lijn, die in dit geval als 3^ richtkromme van het normalenregelvlak optreedt.

§ 9. Het lynelcmenl. Aangaande den eersten grondvorm, die het quadraat van het
lijnelement aangeeft, n. I.:

= 2Fdsdt Gdt^

zullen we de volgende quaesties behandelen:
I. Berekening der grootheden E, F en G. Deze diiikken we uit in S^ en S^ en hun

differentiaalquotiénten naar s en
II. bespreking van den vorm 11- = E G — F^\'.

Ui. de differentiaalvergelijking der orthogonale trajectoriën der cirkels;

IV.nbsp;bepaling der strictie- en elongatielijnen van een cyclisch oppervlak, dat z^n kromme
lijnen, waarvan do punten een kleinsten of grootsten afstand tusschen twee opeen-
volgende cirkels aangeven;

V.nbsp;bespreking der oppervlakken, waarvoor de orthogonale trajectoriën der cirkels tevens
geodetische lijnen zijn;

VI. behandeling der isocyclische oppervlakken, dat zijn oppervlakken, waarvoor de cirkels
en hun orthogonale trajectoriën een isotherm stelsel vormen.

Ad I.

Xs=:r r {a\'i cos t b\\ sin t) f («i cos t by sin t), zie verg. (1).
xl = V /•\' r^ i-^\' cos^ t2 Z a\' b\' sin t cos t-\\- Z h\'^- sin^ r (2 a\' f\' cos t -f
-j- V h\' f\' sin t) -1 2 r\' (2 a f\' cos tZ h f\' sin t)......(44)

Deze vorm is om te werken tot:

-r ab\'

d t

Bij de gelijkstelling houden we de volgende betrekkingen in het oog:

= {2 a ff (2 b ry {2: cfy........(46)

Om de tweede betrekking te vinden, voeren we, ter bekorting, de vectorschrijfwijze in, n.1.

voor (ai, «3, «3), Si voor Ö2, amp;3), (E^ voor (q, c^, Cg).
Daar de afgeleide van een eenheidsvector loodrecht op dien vector staat, ligt 51\' in
het vlak der vectoren en 61, S\' in het vlak der vectoren SI, en 6j. Elk dezer afgeleiden
ontbinden we in het vlak, waarin ze gelegen zijn:

r = nbsp;= ........(47)

Door vectorieele vermenigvuldiging der eerste vergelijking met daarna met 61
vindt men:

i? = 2 a\'nbsp;= 2 a\' c.

De tweede vergelijking vermenigvuldigen we eerst met , daarna met (5j. Dit levert:

tti=z2: ab\' = —2: a\'b, e — 2\'b\'c.
Vervolgens verheffen we de vergelijkingen (47) in het quadraat. Dan komt er:
2- a\'^ =nbsp;= (V a\' bf -f (2 a\' cf.

2\'b\'^— «2 4- f2 _ (V lY (V c)2.

Ten slotte vermenigvuldigen we de vergelijkingen (47) vectorieel:

2\'a\' b\'= f y z= 2: a\' c 2: b\' c.
Dit leidt tot de volgende betrekking:
2 a\' 2 cos212: a\' b\' sin tcost-^ 2: b\'^ si?i^ t = (2 a\' cf cos^ t-{-2 2\'a\' c 2\'b\'c sin tcost-^

(2 b\' c)2 sm2 ^ (2 a bj-.........(48)

Een derde betrekking, die we meermalen zullen gebruiken, wordt gevonden door het
stelsel vergelijkingen (47) te combineeren met:

Tv\'nbsp;.u 23, r 6,

waarin:

). = 2:af% ^ = 2-br, , = 2-cr.

Door vectorieele vermenigvuldiging vinden we:

2 0\' f\' —nbsp;— — V 2 amp; /•\' 2 a\' c 2: c f\'

2: b\' f\' = u L t , = 2: ab\' 2: af\' 2: b\' c 2: Cf\'.....(^\'J)

Nu is:

= (2\' a f\' cos f 2; b f\' sin t -f r\'f = (2\' a ff cos^ t{2: b ff
-f- 2 2 a f 2 b f sin t cos t2 r\' (2 a f cos t2: b f sin t).
= [r (2 a\' c cos t-\\- 2: b\' c sin O -iquot; c ff — r^ (2 a\' cf cosquot;^ t -f r^ (2 b\' cf sin^-1 -f-
(2 c ff 2 r2 2 a\' c 2 b\' c sin t cos t2 r 2: c f (2 a\' c cos t-{- 2 b\' c sin t).

- r 2\' a\' b\'J = [2 0 f cos t - 2: a f sin t-r 2\' a b\'f = (2 b f f cos^ t (2 a ff si^i^ t
(2 a b\'f — 2 2: a f 2: b f sin t cos t — 2 r 2: a b\' (2 b f cos t ~ 2: a f sin t).

De gelijkheid der vormen (44) en (45) is thans, met behulp van de betrekkingen (47),
(48) en (49), zonder meer duidelijk.
Resumeerend hebben wij:

— r 2: a h\'

F= 2: x^ xt.

=Z r ir -f r (a\' cos t b\' sin t) r\' {a cos t -j- b sin {h cos t — a sin t).
= r [2; b f\' cos t — 2: af\' sin t — r 2: a b\'\\.
^ \'Si ,, ,,,

= r[-^l-r2ab\')......................(51)

rcf = r2 2 {b cost —a sin ty =
Derhalve:

f? Si

— r2:ab\'

(\' t

Ad ir.

R^ = EG — F^z=z (5? S]).
Ter berekening van dezen vorm, gebruiken we het stelsel vergelijkingen (19):

{2:bf\'f-{2:afy — r^{:::a\'c)^]sinH^22:bf\'{2:arJ^iyr^2:a\'c)sintcost-{.

■^2i-\'{2:af\'-\\-(f 7-2 2 a\' c) cos f 2 ö /•\' (1 -f ^ /-Sj sin ^ -f- r\' 2 (] ,,,2 r«) -f (2\' a ff -f- 7-2 (2 a\' cf (54)

Het is van belang aangaande deze uitdrukking, die zoowel in den eersten, als in den
tweeden grondvorm optreedt, de volgende vragen te stellen:

a.nbsp;Wanneer is zij te herleiden tot een volkomen quadraat {I cos t -j- /lt; sin t r)^?

b.nbsp;AVanneer zal zij overgaan in een lineaire uitdrukking in sint en cosi?

Suh a. Opdat de gelijkheid:

= (X cos t 4- II sin t 4- /\')2
besta, moet aan do volgende voorwaarden voldaan worden:

(1 lt;r rquot;) b ff - (2- a ff — 7-2 (V a\' cf = —
2:bf{2:af-{-ivr^2:a\'c)nbsp;.

1-\' (2- a f 4- (, 7-2 V a\' c)nbsp;=l r. .

r\'2-bf{l-\\-r\'\'-\')nbsp;=ur. .

2 (1 4- ,, 2 r-^) -I- (V a ff 4- 7-2 (V a\' c)2nbsp;=

Wo maken het gedurig product der uitdrukkingen (2), (3) en (4) op:
A2 a2 ,.2 = ?-\'2 (V b ff (2 a f 4- 2 a\' c)2 (1 4. ,,2 ^2)
,, , = 2 b f (2 a f r\' 2 a\' c) Kl 4- r\\
Deze uitdrukking deelen we respectievelijk door (2), (3) en (4), en vinden:

Substitutie dezer grootheden in betrekking (5) levert:

1(2 rt ff r-^ (2- c)2| (1 -f .,,2 r^.) ^ (V af J^ ,, ,-2 v ^f
(2\' a\' c — lt;1 2 a ff = 0.

Substitutie in betrekking (1) levert hetzelfde op. De beteekenis van deze voorwaarde
IS, dat de karakteristieken samenvallen. Dit geval sluiten we uit. Zullen we met opper-
vlakken van de P soort te doen hebben, dan is de eenige mogelijkheid = O d. w. z.:

Z af\'= 2: a\'c...........(55)

De betrekkingen (1) tot (5) gaan nu over in:

ƒ.2 (1 r2) [(2 b ry — r^ (jr cY\\

i\'^r\' Zb f\' (1 qj2 r^)
quot;\' = (1 (f2 r\') [r\'^ -f 7-2 (z a\' cf\\.

Sluiten we het geval van samenvallen der karakteristieken uit, dan levert de tweede
vergelijking ons als eenige oplossing:

II = r\'Vl q.^ r\\ = Z b f\'Vl-j-rK,
terwijl de P en 3® vergelijking als nieuwe voorwaarde meebrengen:

■ r^^~{Zbf\'y = -r^(j:a\'cy .........(55)

De vergelijkingen der karakteristieken luiden nu:

Si~Za f\' cos t-^Zbf\' sin t r\'

\'S\'2 = — cost^q)r Zbf\' sint-^qgt;rr\' \'......

aSi ^ = (1 -f- r2) {r\' sin tZ b ff.......... (58)

Het blijkt, dat de uitdrukking, op een \'factor na, gelijk is aan het quadraat van een
vorm, die, gelijk aan nul gesteld, de poollijn van het punt T aangeeft. Het eerste lid van
vergeiping (56) is^ de grootheid zl (zie vergelijking 11), waarin te substitueeren is
Z c f ^ r r\', Zb\' c = q, z b f, in het onderhavige geval essentieel negatief. Dan zijn
de punten QquQ\', de snijpunten van poollijn en cirkel imaginair, ligt de poollijn dus buiten
den cirkel, en het punt T binnen den cirkel. Desmartbes noemt deze oppervlakken, cyclische
oppervlakken met isotrope focaalkromme. Deze naam is aldus te rechtvaardigen. Wij
zetten van uit het centrum op de normaal twee stukken af, respectievelijk -f- r i enr L
Deze punten zijn door Laguerre {Sur l\'emploi des imaginaires dans l\'espace de focaal-
punten van den cirkel genoemd. We zullen aantoonen, dat deze punten in ons geval een
mmimaalkromme op het assenregelvlak beschrijven. Vooraf gaan we na, waarin, bij
machtname der voorwaarden (55) en (56), de uitdrukking :nbsp;\' \'

{Z a ff -f (V b ff {Z c ff == 1
overgaat.nbsp;\' / 1 v / / 1 v / /

r]p2 r* (V a\' cf -f (V b ff if 7-2 r\'^=l

rj2 r2 [(V Jy f\'^2 _nbsp;( V ^ fj ,^,2 yi y\'\'\' = \\

..............

Om de vergelijking der focaalkromme op het assenregelvlak te vinden, substitueeren we
voor u in de betrekkingen:

x=f-{-uCi, y = 9 UC2, z=h-\\-uc^
de grootheid ri, en maken vervolgens het lijnelement dezer kromme op:

_ V (r-]-^gt; (/ i c)2
________= ^fquot; - r^ ^ — f^-]-2irZc\'fJ^2ir\'Zcf.....

\') Journal de Liouvillo, 2e série t i, 1872.

%

Ten einde de grootlieden, die in deze uitdrulvkingen optreden, te kunnen vervangen
door grootheden, die in de vormen Syen S^ optreden, nemen we wederom onzen toevlucht
tot vectoren. Daar (Si eenheidsvector is, ligt de vector (S\' in het vlak der vectoren 5li en öj. Dus:

= ...........(61)

Door vectorieele vermenigvuldiging, eerst met , daarna met Sij, vinden we:

1nbsp;—2 acf, 7] = 2: hc\'.

Quadrateering der formule (61) levert:

—^2-1-,/i —(va(/)3-f (vamp;f/j^.......(62;

— (2\' a\' c)2 4- {2: h\' Cf

Evenals vroeger — l Sli Si r Gj stellende, vinden wij :

V d — fi ^ = a r « 4- 2\' ö r ö c\'

= — (-T a 2^ a\' c 2- amp; /■\' 2\' 6\' c) . . . . (63)

Met behulp van de betrekkingen (62) en (63) gaat formule (60) over in:
1 — [(V a\' c)2 (2\' ö\' c)2] — r\'^ — 2 i r {2: a r a\' c 2^ b r ^^ b\' c)nbsp;7-

_ 1 _ (V amp; ff — (2^ b ff — 2ir [— .p (2\' a\' cf (2- b fj] 2 i rp r
^ 1 _ (1 4- r^) (2\' b ff — 2ir [(j: r\'^] 2 i «r rr\'^
=nbsp;r^) {2:brf

= O; (zie vergelijking 59),
waarmee aangetoond is, dat het lijnelement der focaalkromme verdwijnt, en deze dus
minimaalkromme op het assenregelvlak is.

Opmerking naar aanleiding van de focaalpunten. Wij hebben gezien, dat elk punt
der as te beschouwen is als het centrum van een dubbelrakenden bol. De raakpunten van
den bol en het cyclisch oppervlak worden gegeven door de snijpunten van den cirkel met
een straal uit den stralenbundel met top T. Om de stralen te vinden, die met de focaal-
punten correspondeeren, heeft men in vergelijking (7) voor u te substitueerennbsp;en
— ri. Do gezochte stralen zijn dus:

4- i Sa = O, en Si — i Sa = 0.

Met de twee paren geconjugeerde punten, die deze stralen op den cirkel insnijden, corres-
pondeeren twee nulbollen, die den cirkel ondubbelzinnig bepalen. Dit is het uitgangspunt
van Laguerre.

Sub b. Opdat de vorm Sj 4- S^ overgaat in een lineaire betrekking tusschen cos t en
sint, moeten de volgende twee betrekkingen bestaan. (Zie vergelyking 54).

(1 4_ r») (2 b ff - (2 ft ff - (2- cf = O

2nbsp;b f (2 « r -f T - c) = 0.

Bepalen we ons tot reeöle oppervlakken, dan eischt de laatste betrekking:

V a 4_ r^ 2V c = 0.

Do eerste betrekking gaat hierdoor over in:

r\'^ 1(2\' b ff - r-^ (2\' a\' (0:1 = O........(ö4)

Om (Ie beteekenis van deze betrekkingen na te gaan, beschouwen we wederom hot

assenregelvlak:nbsp;,nbsp;, ,nbsp;■ ■

2/ = i? « «-\'2, zz=h-{-u tv

Het strictiepunt der as wordt gevonden, door u op te lossen uit de vergelijking:

M 2 C\'S -f- V c\' /\' — O 1).

Vergelijking (63) leert ons :

cf f\' — — (2- a\' c 2 a f\' Zh\' cZh f).
In het oog houdend, dat:

af\' —nbsp;a\' c

h\' C = cp h f\'

mag voor bovenstaande betrekking geschreven worden:

C /■\' = 9 [{^ b ff — (2 a\' cf] = 0. Zie vergelijking (64).

Vergelijking (65) levert nu u=:0, hetgeen ons leert, dat voor alle cyclische opper-
vlakken, waarvoor H^ een lineaire functie is van sint en cast, de centrale kromme strictielijn
op het assenregelvlak is.

Ad m

Wij beschouwen een willekeurige kromme op het cychsch oppervlak. De richtings-
coëfflciënten der raaklijn, in eenig punt dier kromme, worden gegeven door:

De richtingscoëfficiënten van de raaklijn aan den cirkel, die door dat punt gaat, door:

è X d y d z

Tf\' Tf\' Ti\'

Wanneer de eerstgenoemde kromme als orthogonale trajectorie van den cirkel optreedt,
geldt de betrekking:

fd X , , (gt; X r ^ X

2 ^ ds ^ , dt , - — O,
Fds-j-Gdt = 0.

ds-^rdtz=0.........(6(5)

r - ^ f\' cos t — 2: a f sin t — r 2: ab\' = O.......(gy)

We merken terstond op, dat in de differentiaalvergelijking (66) wel de grootheid aS
doch S^ niet optreedt, d. w. z. dat de richting (q, Cg, 63) — de normaiil van de platte
vlakken, waarin de cirkels gelegen zijn — bij dit vraagstuk geen rol speelt. Dit is oen
speciaal geval van een bekende stelling«?\'). Bepaalt men n. 1. de orthogonale trajectoriën van
een stelsel vlakke krommen, willekeurig in de ruimte aangenomen, dan blijkt, dat in de
differentiaalvergelijking de kromming van de keerkromme der 00^ platte vlakken wel doch
de torsie niet optreedt. Ontwikkelt men derhalve het ontwikkelbare oppervlak op een plat
vlak, dan is de vraag naar de orthogonale trajectoriën van het gegeven stelsel terug te

\') Zie byv. Vessiot 1. c. pag. 100.

ï) Zie bijv. Tissekand—Painlevk, Recuoil d\'exordces etc. Pag. 411 en vlg.

brengen tot het bepalen van de orthogonale trajectoriën van een stelsel krommen, die alle
in hetzelfde platte vlak gelegen zijn.

Voor het geval het stelsel krommen uit 00^ cirkels bestaat, zijn de orthogonale trajec-
toriën te bepalen uit een differentiaalvergelijking van Ricoati. In de ruimte derhalve eveneens.
Dit is gemakkelijk te veriflëeren, door in vergelijking (67) te substitueeren:

tnbsp;. , Vnbsp;2nbsp;—

waardoor deze vergelijking overgaat in:nbsp;gt;

d w
ds

of:

2 r ^ = (2 amp;/■\' r 2 a h\') w^ 2 w Z af\' (r Z ah\' — Z b f), . . . (68)
d s

een differentiaalvergelijking van Rigcati, waaruit de bekende stelling volgt, dat vier orthogonale
trajectoriën een cirkel volgens een puntquadrupel met constante dubbelverhouding snijden.

Bijzondere gevallen.

P. Zaf\' = 0, Zhf\'-=Q d. w. z. de cirkels zijn in de normaalvlakken der middel-
puntskromme gelegen. De richting (c^, Cg, c^) der as valt dus samen met g\\ h\'). De
differentiaalvergelijking der orthogonale trajectoriën wordt in dit geval zeer eenvoudig. Zij
luidt n. 1. (zie 67),

, - ab\'
ds

en dus:

t = I Z ah\' ds............(69)

Als nieuw assenstelsel voeren we het triëder van Skrret in, en ontbinden de rich-
tingen (fli, 03) en (h^, b^, hs), volgens de hoofdnormaal (h^, Ji^, h^) en de binormaal
{Piy Vquot;^ Pi) ^ler middelpuntskromme. Noemen we den hoek tusschen de richtingen («i, a^, 03)
en (/lt;iquot; /ia, Ag) w, dan gelden de volgende betrekkingen:

rtj = /il cos ü) ^ Pi sin (u, «a = K w sin w, 03 = h^ cos w ^3 sin co
bi = —hl sin ü) 4quot; Pi cos ca, hn — — h^ sin w p^ cos w, 63 == h^ sin co -f-p^ cos ca

1quot; A

a\\ = h\\ cos (O -f P\\ sin ca -f- {Pi cos w — /i, sin co) co\'= —^ cos w ^ sin cü-{-{picosw—hi sin ca) co\'

b\\ =: _ h\\ sin co -j- ih cos co — (/ii cos (o-j-Pi sin ca)ca\'= — -f • ^ w cosca — (/i, COS co -f- Pi sin w) (o\'
waaruit volgt:

2\' a\' r = -- COS co en 2 h\' c ~ sin co.

Vervolgens stellen we ons do vriuig: over welken hoek ./» moeten de richtingen
{Oi, ao, «3) en (6,, b^, /^s) gedraaid worden, om de draaiing, in § 3 bedoeld, te bewerk-
stelligen? Daar na de draaiing Z (if\' = O is, moot volgens (18) 2c eveneens nul zijn.
Volgens (15) is:

2 b\' c .
tfl va\'r\'^^^quot;

dus:

ifi = fi»

waarmee aangetoond is, dat, na de draaiing, de richtingen, die het vlak van den cirkel
bepalen, respectievelijk met de hoofdnormaal en de binormaal der centrale krommesamen-
vallen :

«1 = K1 = «3 = K-
fiz=Pz-

Z oc fi\' = Z hp\' =

waardoor vergelijking (69) overgaat in:

De torsiestraal der centrale kromme berekend zijnde, worden de orthogonale trajec-
toriën in dit geval door een enkele quadratuur gevonden.
De vergelijkingen der karakteristieken luiden:

(70)

2quot;.nbsp;= en tevens r constant, d. w. z. dat de cirkels in de raakvlakken der

centrale kromme gelegen zijn. We kiezen de richting (a^, a^, a^ langs (/quot;\', g\', h\') en
ontbinden de richtingen (amp;i, h^, h^) en (c^, c^, c^) weer langs de hoofdnormaal en binormaal
der centrale kromme, terwijl w den hoek voorstelt, dien de richting (cj, Cg, Cj) met de
hoofdnormaal maakt:

zz: h^ sin ilt;} — py cos w enz. c^ = /ij cos w A
We berekenen de coëfficiënten der karakteristieken S^ en S^:

2: a\' c = /■quot; (/lt;! cos (O Pi sin w) = cos ta

Qii sin O) — p\\ cos (o) -f- (hl cos w -f sin co) w\'J (hi cos w -j- Pi sin w)

— -f- — sin (a — y cos tü -j- {hl cos w Pi sin w) (hi cos w -f- pj sin ü))\\ (71)

1

1

2:ab\' = — 2: a\'b = — fquot; ilii sin co — p^ cos co) =--si7i co.

Voor het geval w = O is, d. w. z. dat de cirkels in de rectifleeerende vlakken der
centrale kromme gelegen zijn, luidt de differentiaalvergelijking der orthogonale trajoctoriön:

dl

= sin t

_d s

r

d s

^ f

tU-y = er

Om na te gaan, hoe de difFerentiaalvergehjking der orthogonale trajectoriën voor
oppervlakken van de 2\' soort luidt, knoopen we aan bij betrekking (66):

^ S

= cos cos t — cos a sin t=.r\' cos t — {I — r b uquot;) sin t. (Zie 37).

De grootheid 2 a b\' gaat thans over in:

2 u\' b\' = —2: b uquot;.
Men vindt derhalve voor de differentiaalvergelijking:

[r\' cos t — (l — r 2: b uquot;) sint — r 2: b uquot;] ds-f-rrf^ — 0. . . , (72)

of:

= — r\' cos t-\\-{l — r 2 b uquot;) sin t — r 2\'b u\'

2 r = — r\' (1 — -f 2 (1 — r 2 b uquot;) — r 2\' b uquot; (1 w^)

CL S

2 r ^ — {r\' - r 2 b uquot;) xr- 2 {I — r 2:b uquot;) %o — {r\' ^ r 2: buquot;) . . (73)
d 8

Voor § 7, bijzonder geval, gaat (72) over in:

(1 cos d s s d ^ = 0.

De variabelen zijn te scheiden, en de differentiaalvergelijking der orthogonale trajec-
toriën is direct te integreeren:

d t _ d s

1 cos ^nbsp;s

tg -^ = — 1 s.

Uit deze vergelijking moeten cos t en sin t bepaald worden, en daarna gesubstitueerd
in verg. (1).

De differentiaalvergelijking (73) gaat over in een lineaire, wanneer de coëfficiënt van
ic^ verdwijnt. Dus:

r\' — r2\'huquot;z=0,
r\' 1

— = . (Zie § 7, bijz. geval).

\' Vgnbsp;\'

Wanneer de keerkromme gegeven is, en men don straal van den cirkel priori
zoodanig kiest, dat aan bovenstaande betrekking voldaan is, d. w. z.:

J Qg

dan gaat (73) over in de volgende hneaire differentiaalvergelijking:

dw 1 - r\'

- _nbsp;w

dsnbsp;r

en dus:

Wordt ten slotte het cyclisch oppervlak door de osculatiecirkels der keerkromme

gevormd, m. a. w. is r = p, 6 uquot; = — dan luidt de differentiaalvergelijking der orthogonale
trajectoriën :

■ __

d s

Zij is te integreeren voor het geval p = s, d. \\v. z. dat de kromtestraal steeds gelijk
is aan de booglengte, van den oorsprong van bogen afgerekend. Men vindt thans het
volgende functionaal verband tusschen de parameters s en

w = tg = 1 s.

Daar de cirkels zelf, in het laatste geval, een stelsel kromtelijnen vormen, vormen de
orthogonale trajectoriën het andere stelsel.

Ad IV.

Aan het vraagstuk der orthogonale trajectoriën knoopen we dat der strictie- en
elongatielijnen vast.

Gaan we uit van twee, willekeurig in de ruimte aangenomen, cirkels, dan kunnen
we een onderzoek instellen naar die punten, wier afstand een maximum of minimum bedraagt.
Het zal blijken, dat er op eiken cirkel vier punten aan te geven zijn, die aan de vraag
voldoen. Op het cyclisch oppervlak levert de aaneenschakeHng dezer punten vier krommen,
strictie- en elongatielijnen geheeten. We zullen de zaak algemeen aanvatten en onderstellen,
dat een oppervlak:

x — f{sA), y = g{s,t), zz=h{8,t)

beschreven wordt door oo^ lijnen s = const. We nemen twee dier lijnen s = 5=«,.
Kiezen we nu op de eerste kromme voor t een waarde t^, en op de tweede kromme een
waarde 1 = dan zijn daarmee op die krommen respectievelijk twee punten I\\ en P^
bepaald. De afstand d dier punten wordt gevonden uit de formule:

= (Xi — x^y.

Opdat deze afstand een maximum of minimum bedraagt, moet gelijktijdig aan de
volgende voorwaarden voldaan worden:

lÉL-o

of:

waaruit blijkt, dat de verbindingslijn der punten Pj en Pg zoowel loodrecht staat op de
raaklijn in het punt P^, als op die in het punt P^. Gaan we tot de limiet over, d. w. z.
nemen we twee kromme lijnen, die zeer weinig van stand verschillen, dan wordt Pj P„
een element van een geodetische kromme, en zal voor bedoelde punten moeten gelden dat
daar ter plaatse de geodetische kromming der orthogonale trajectorie gelijk aan nul is.
Heeft men op een oppervlak een.willekeurig stelsel parameterkrommen s = const., t = const.
aangenomen, en is verder (jp (s, t) =z const. een stelsel kromme lijnen op dat oppervlak, dan

wordt de geodetische kromming in eenig punt van zoo\'n kromme gegeven door de formule \'):

Fp-E\'^
ds dt

(f)

l^J

Is het stelsel krommen = const. niet door een vergelijking in eindigen vorm gegeven,
maar, zooals in ons geval, door een differentiaalvergelijking, n. 1. die der orthogonale
trajectoriën :

F d s G dt = 0.

waaruit volgt:

. ^\'y -p. r

dan gaat bovenstaande vorm over in:

F^ —EG

_________________ _ — _ 1nbsp;G — F^

Q,j dt VË G2 — 2 F^G G \'H dtnbsp;y^Q \'

De punten worden dus in ons geval gekarakteriseerd door denbsp;vergelijking-
en de vergelijking der strictie- en elongatielijnen luidt:

dt dt

Na uitwerking vinden wij:

(2 a r cos t 2- b r sin t -f- r\') (2 h f\' cos t — Z a f\' sin t) --f- /• {r 2 a\' c co6quot; t
■f r 2 b\' c sin / 2 c f\') (2 b\' r ros t — Z a\' c sin /) = O . . . .

We substitueeren evenals vroeger (zie § 2):

Xnbsp;. . _ IJ

cos t =

waardoor bovenstaande vergelyking overgaat in:

{X 2 af\' // 2 \' -f ;•\') {x 2 6/\' — // 2 af\') {x 2 a\' c -U y 2 b\' c -[- 2 cf\') (x 2 b\' c ~ y 2 a\' c) = O
(Ie vergelijking van een gelijkzijdige hyperbool, die door het middelpunt van den cirkel gaat.
Do vier strictiepiinton zijn dus de snijpunten van deze hyperbool met den cirkel. Twee
dezer punten zijn steeds reëel.

Bijzondere yevallmi. 1quot;. De cirkels liggen in tie normaalvlakken der centrale kromme
a /■\' = 0, 2 b f\' = 0. De vier bedoelde punten worden uitgesneden door de karakteristiek

^ O

•^2 = 0, en een lijn door het centrum, loodrecht daarop, \'-—2 = 0.

2quot;. 2a\'c = 0 en 2//6- = (). Daar:

(2 a\' (•)\' 4- b\' c)3 = 2 6-\'= (Zie verg. 62)
moet, bij dezo onderstelling, do richting ((-i, f«, rg) constant zijn. De cirkels liggen dus

Cf. BiANcm, Vorlesuiigon über DifVorontialgeomotrie pag. 148, od. luiu.

in onderling evenwijdige vlakken. In dat geval ontaardt de hyperbool in de volgende
twee rechten: de karakteristiek -Sj O, en een loodlijn daarop, door het centrum van
? S

den cirkel, ~ = 0.

c\' t

Ad V.

In verband met deze quaestie doet zich de volgende vraag voor: aan welke voor-
waarden moet het oppervlak voldoen, opdat de orthogonale trajectoriën der cirkels tevens
geodetische lijnen zijn. Dan zal aan vergelijking (74:) onafhankelijk van de waarde van t
voldaan moeten worden.

(2; af\'cost^Zhf\' -sin t -f- r\') {Zhf cos t —2 a f\' sin t)-\\-r {r a\' c cos t-\\-r 2 h\' c sin t -f

c f\') (2 h\' c cos t — 2\' a\' c sin t) = 0.
Deze vergelijking is van den vorm:

A sin^ t -{- B sin t cos t G cos t D sin t E =. 0.
Derhalve is te voldoen aan:

A=zB=:C=B = E=0,

of:

2quot; a /\' 2 /■\' -{- 2\' a\' 6- 2quot; y 6\' = O...........(1)

(2 b ff — (2- a ff — 7-2 (2 a\' cf -f- rquot;- il\'b\' cf = ().....(2)

?\' l\'b f -^rl\' cf 1\'b\' c = O.........(3)

— r\' 2: a f — r 1- c f 1- a\' c z=: O.........(4)

Aan de laatste twee voorwaarden is 0. a. op de volgende wijze te voldoen: = O,
2:cf=zO. We gebruiken nu de formules (71). Dan eischt de eerste betrekking

(wanneer we ons tot reëele oppervlakken bepalen): 2 a\'c; — —= 0. Dus w =

d. w. z: dat de cirkels in de osculatievlakken der centrale kromme gelegen zijn. Nu is

2: b\' c =--De tweede betrekking levert

~ 1 72 = O of T = ± r = const.

Vanbsp;Resumeerend: het vlak van den cirkel

is osculatievlak der centrale kromme. Het
fT^nbsp;van den cirkel heschriéfl een

^f^^Z^^PfJy^nbsp;met constante torsie, gelijk aan

lnbsp;^nbsp;den straal van den cirkel.

quot;^f^ ^ \\nbsp;vergelijkingen der karakteristieken

(Jnbsp;^i = cost, Si = ~ sin t. (75)

Deze zeer eenvoudige uitdrukkingen
voor de karakteristieken leveren ons nog
j,.nbsp;eenige belangrijke eigenschappen voor dit

cyclisch oppervlak. Substitueeren we n. 1.
de gevonden uitdrukkingen in vergelijking (8), dan vinden we:

tg u — tg t.

Beschouwen we fig. IX, waarin PV de raakhjn aan de orthogonale trajectorie is,
dan blijkt uit bovenstaande betrekking, dat de hoek. dien deze raaklijn met den voerstraal
OP maakt, voortdurend gelijk is aan den hoek, dien laatstgenoemde voerstraal met de
vaste richting (a,, a-g, Oa) insluit.

We beschouwen een element d l van een bepaalde orthogonale trajectorie. In formule
(53) kunnen v^q F =0 stellen, terwijl de term met dt- eveneens vervalt, omdat t niet
verandert, wanneer we ons in de richting P V voortbewegen. -[- ^Sf^ = 1 zijnde, vinden we:

= Qf dl = ds.

Stelling: Het element, dat twee opeenvolgende beschrijvende cirkels op eenzelfde orthogonale

trajectorie uitsnijden, is gelijk aan het correspondeerende element der centrale kromme.

P V raaklijn zijnde aan de orthogonale trajectorie, zoo is P i? binormaal dier kromme.
Immers de orthogonale trajectorie is in ons geval tevens geodetische kromme, en het vlak
V P R treedt als raakvlak aan het cychsch oppervlak op.

De richtingscosinus der raaklijn P V zijn : cos^ /, sin t cos t, sin t.

Die der binormaalnbsp;P R : sin t, cos t, 0.

Die der hoofdnormaalnbsp;P ü : sin / cos t, si?i^ t, — cos t.

We zullen nu de torsie der orthogonale trajectorie gaan berekenen, moeten hierbij
echter in het oog houden, dat bovenstaande richtingscosinus betrekking hebben op een
beweeglijk assenstelsel. Wanneer we in het algemeen te doen hebben met drie richtings-
cosinus A, B. C, dan kunnen we, op dezelfde wijze als in § 4, aantoonen, dat de totale
veranderingen, die deze cosinus ondergaan, gevonden worden uit het volgende stelsel
vergelijkingen :

,) A = d A-{-{B ab\' — C 2 a\' c) d s.

S B = d B - {A ab\' -^G 2 b\' o) d s.

Ö C = dG -{-(A a\' c-\\- B 2-b\' c)d s.

De torsie der trajectorie 2\' stellende, en alles, wat op de trajectorie betrekking heeft,
met index tr aangevende, zoo levert ons een der formules van Skrrkt :

— J_

r

waaruit blijkt, dat do torsie der trajectorie gelijk is aan de torsie dor centrale kromme,
een eigenschap, die reeds door Ln-: gevonden is. Men heeft, derhalve de volgende

Stelling: Elke orthogonale trajcctorie bezit een constante torsie, die niet van trajectorie tot
trajectorie verandert. Zij is gelijk aan de torsie dei\' centrale kromme.

Een andere wijze, om aan hot stelsel voorwaarden (1) tot (4) te voldoen, is, r\'
onderstellende.

2:af\'=zO, 2:bf\' = (d en dus 2: cf\'= 1.

Verder:

2a\'r = 0. 2\'b\'c = 0.

Daar:

(2\'a\'cy--{-i2^b\'aYz=2\'c\'\\

brengen de laatste twee voorwaarden mede, dat de richting (r,, ^3) constant is. De
cirkels liggen dus in onderling evenwijdige vlakken. De eerste drie voorwaarden eischen
nu, dat de centra op een rechte lijn gelegen zijn. We hebben derhalve met omwetitelings-
oppervlakken te doen. De vergelijkingen der karakteristieken luiden :

Si = r\', 8^ = 1...........(76)

Ad VI.

We stellen een onderzoek in naar die cyclische oppervlakken. die door de cirkels en
hun orthogonale trajectoriën in oneindig kleine vierkantjes verdeeld worden. De hiervoor
noodzakelijke en voldoende voorwaarde is, dat de differentiaalvergelijking der orthogonale
trajectoriën een integreerenden factor bezit. Opdat de differentiaalvergelijking:

F cl s-^Gdt = 0

een integreerenden factor ^ bezit, waarin f, =f(s), zal de volgende betrekking moeten
gelden:

F uG
\'\' H

dtnbsp;? s

Na uitwerking:

Wnbsp;~nbsp;H^

of:

\'quot;^JJ-\'\'^\' cM-^^^snbsp;......(77)

welke vergelijking, ter vermijding van wortelvormen, na vermenigvuldiging met H, ook in
de volgende gedaante gebracht kan worden :

.....

Wanneer men in deze vergelijking de karakteristieken Sj en in hun meest
\' algemeenen vorm substitueert, is zij oogenschijnlijk van den 3«quot;quot; graad iiimv/ensm/. We
zullen echter aantoonen, dat de eindvergelijking aldus voorgesteld kan worden:

A hin^ t 4- B ,ün t coh t C\' mi t 4- l) ros / -f A\' = O.....

Uitdrukkingen van den 3«quot; graad treden blijkbaar alleen in de eerste twee termen
van vergelijking (78) op. Vervangen we ro-vV door (1 — sin-t), dan behoeven we alleen
te letten op de coëfficiënten van siri^ t en sin\'^ t coh t.

Uit den eersten term volgt als coëlliciënt van .vin\'/: (Zie verg 51 en 54):

- r [ü 4- 2 (V h f\'f - (2- a ff — r^ (2- a\' cf 1 2\' /gt;/\' f ^ « /\' /\' (2quot; a /\' 4.,, v a\' c);

als coëdiciënt van dn^ t ros t:

-nbsp;r [(14- / (-i- fgt; ff - «rr - r\'nbsp;«r - 2 gt;■ 1gt; rf (2 a f 4.,,, ,-2 v

Vermenigvuldiging met f levert als bijdrage tot de termen met siu^ f;

-nbsp;r [(1 4- (V ^ _ ^ V „ f\'^\', _ ,.2 ^ Vnbsp;r 2- a f Ibf (v,, v.

tot de termen met sin-1 cos t:

— r [(1 2 r^) (V b ff — (V a ff — r (2: a\' cf] Z af— (2 b ff (2nbsp;r\' 2 a\' c).

Na aftrekking vallen de termen van den 3®° graad weg. Aan de eindvergelijking (79)
moet nu, onafhankelijk van t, voldaan worden. Dit eischt:

A = B=:G= D=l E=0.
We passen deze theorie pp de cyclische oppervlakken met isotrope focaalkromme toe
(cf. verg. 58):

H=zi- Vl-i-iigt;- r^ (r\' sin ^ 2 ö f)

—nbsp;t2: bf)= sin t 4- r (zie verg. (59)).

— r {2: b f cos t — l\'a f sin t — r 2: a b\')

dF

{2: a f cos t2: bf sin t).

d t

Na substitutie in verg. (77) vinden we:

(2 a f cos t 2 b f sin t) — .« r (2 b f cos t — 2\' a f sin t —

sin ( (2 J ;;) ,„ r» (^A ,

De termen met sinquot; t en sint cos t verdwijnen. De eindvergelijking is van den vorm:

A cos t -4- B sin t C=0.
A=0 levert als eerste voorwaarde:

- f, r 2 a f .. r 2 a b\' J = O

of:

2 a f 2: b f — r r\' 2\' a b\' = O
B = 0 levert als tweeile voorwaarde:

r r\'nbsp;r r\'

0 = 0 levert als derde voorwaarde :

2 r r\'

2,rr\' r--=0, ot --= - .

l,iz= — l r^ -f lc

(3quot;)

Hierdoor gaat de 2e voorwaarde over in:

,.,-2\'bf = 0.

De eerste en tweede voorwaarde zijn dezelfde als vergelijking (28) en (29). Dit leidt
tot de volgende:

Stelling: De cyclische oppervlakken met isotrope focaalkromme, waarop cle cirkels en hun
orthogonale trajectoriën een isotherm stelsel vormen, zijn noodzakelijk anallagmatische oppervlakken.

§ 10. Aangaande den ticeeden grondvorm:

Lds^ 2 Mdsdt ^ N d t^-
zullen we de volgende quaesties behandelen:
I, berekening der grootheden L, M en N. Deze drukken we uit in de karakteristieken

Si en /Sg, en hun differentiaalquotiënten naar s en
11. bespreking van de vierkantsvergelijking der hoofdkromtestralen;

III.nbsp;opmerking aangaande de kromtelijnen;

IV.nbsp;opmerking aangaande de asymptotische lijnen.

Ad I.

Bij definitie is:

waarin en n de richtingscosinus der normaal zijn:

l = ~ [(rti cos t hl sin t) S^ — SJ (zie verg. 5)

r
H

r

IT

L =nbsp;= ^ [{a cos t h sin tjS^ — c Sf,| \\r r (aquot; cos t hquot; sin 0 2 (a\' cos t

b\' sin t) rquot; (a cos t h sin t)] = \\r (2 a fquot; cos t h fquot; sin t rquot;) S^ —

— r- (2 a\'2 cos21 -ir 2 2: a\' h\' sin t cos t 2quot; h\'^ sin^ —2 rr\' (2 a\' c cos t 2 // c sin t) Si —
— r2 (V fl// c cos t 2 c sin t) i- r 2\' c /quot;quot;} -S, |......(80)

Het is te verwachten, dat bij uitwerking van deze formule de afgeleiden van .S, en aSj
naar s zullen optreden.

Deze afgeleiden zullen we in de eerste plaats berekenen:

Si = 2: af\' cos t 2: h f\' sin t r\'

= 2: a fquot; ros t 2\'h fquot; sin t 2\' a\' f\' cos t 2 b\' f\' sin t rquot;.

De eerste term van vergelijking (80) is om te werken tot:
r (2 a fquot; cos t 2: h fquot; sin t rquot;) S, = r S^ - r (2 a\' f\' ros t 2 h\' f\' dn t) S,.

Deze uitdrukking vervormen wij met behulp van de vergelijkingen (49):

^ S

r (afquot; cos t -j- 2-b fquot; sin t !•quot;) = r .S; — r 2 c f\' (2 a\' r cos t 2 // r- nin t) S^

r 2 a b\' (—2\' af\' sin t b f\' ros t) =
=zr S^ ^^ — r 2: c f\' (2 a\' c cos t 2 b\' c sin t) r 2 « //nbsp;c ^ /8ix

S2 = r (2\' a\' c cos t 2 b\' c sin t) 2 c f\'.
Sf

= r\' (2 a\' c cos t 2: b\' c sin t) r (2 a\' t\' ros t 2: b\' cf sin t) r (2 aquot; r ros t

2 hquot; c sin t) 2 if f\' 2 c fquot;.

De laatste term van vergelijking (80) gaat nu over in:

— \\rquot;- (2: aquot; c cos t hquot; c sin t) r c fquot;] Si = — r S^

\' ■nbsp;c\' S

r r\' (1\' a\' c cos t h\' c sin t) Sj r- (Jf a\' c\' cos t Z h\' r\' sin t) S^ r c\' Sy. (82)
Teneinde deze uitdrukking te vervormen, berekenen we:nbsp;2: b\' c\' en memo-

reeren f\' (verg. (63)).

nbsp;I......

S\'rrr « f (i^ ( • • I
C Si .........(61)

Derhalve:

2: a\' = fi V = - ^ - ^ = 2: a b\' 2: b\' c
V b\' c\' = u t = ^ab\'2:arf —— 2:a b\' 2^ a\' c
2: a\' = — {2: af\' :2 a\' c-^ 21 b f\' 2: b\' c).

Zoodat vergelijking (82) te vervangen is door:

— [7-2 {2: aquot; ccost-\\- 2: bquot; c sin t) r 2: c fquot;] Si = — r S^ ^^^

r\' {2\' a\' c cos t 2\' b\' c sin t) S, r 2: a b\' — {2: a f\'2\'a\'c 2\'b f\' - b\' c) S^. (83)
De uitdrukkingen (81) en (83) substitueeren we in (80). Dan komt er:

1

L =

H

2 a\' b\' sin t cos t 2: b\'^ sin^ t) S^ — r r\' {2: a\' c cos t b\' c sin t) S, — r c f\' (2\' a\' c ros t

V b\' c sin t) S, — r (2\' a f\' 2quot; a\' c2: b f\' 2\' b\'c) S^.....(84)

De 4quot; en 5® term van deze vergelijking nemen we samen:

—nbsp;(2- a\' c cos t 2quot; b\' csin t) {r S^ 2 r; f\' S^) z= — r (2 a\' c cos t 2: b\' c sin t) —

— {2: af\' cos t 2: b f\' sin t)] S^ (S^ — r (2\' a\' c cos f -i-\' b\' r sin 0} =
= — r (2\' a\' c cos t 2\' b\' c sin t) {Sl SD r (2\' a\' c cos t 2\'b\' c sin t) (2 a f\' cos t
4- 2- b f\' sin t) Sl r- (2 a\' c cos t2\' b\' c sin tf S^.....(85)

Nu is:

/• (2 a\' c ros t 2\' b\' r sin t) (2\' a f\' ros t 2: b f sin t) S, =
= r\\2: af\' 2\' a\' r rosquot;^ l 2: b f\' 2\' b\' c sin^ t (2 a\' c 2\' h f\' 2\' b\' r 2\' af\') sin t ros i] S, =
= r I (2-a f\' 2\'a\'c-^ 2\' b f\' 2\'b\' r) — 2 a f\' 2 a\' c sin^ i (2 a\' c 2\' b f\' 2\' b\' c 2 af\') sin t cos t —

— 2:hf\'2:h\'rros\'^t\\Si =
= r (2 a f\' 2\' a\' c 2\' b f\' 2 b\' c) — r (2\' b\' r cos t — 2\'a\' c sin t) (2\' b f\' ros t — 2 af\' sin t) Sy =z

n,nbsp;Cl ^ St i) So

= r (2 a f\' 2 a\' c- 2 b f\' lt;•) - r S^ ^ ^ f.

Iliei-door gaat vergelijking (85) over in:

—nbsp;a\' r ros l 2\' b\' c sin t) {r\' 2\' r/\'= - r (2- a\' r ros t 2 b\' c sin t) {Sl S^)

S ? S

r (2 a f\' 2- a\' r 2quot; b f\' 2\'b\' r) S^ - r S^nbsp; r= (2quot; a\' c ros i 2\' b\' r sin t)^

Deze uitdrukkingen substitueeren we in vergelijking (84), zoodat we ten slotte, met
inachtname van vergelijking (48) vinden:

Voor de grootheden M en N vinden we eenvoudiger uitdrukkingen:

T

M = Z lXst = -j^ Z \\(a cost -{-h sin 1)82 — c S^, r (b\' cos t — a\' sin t) r\' {b cost — a sin i)] =

= [rZab\' 8,2 —r {Z b\'c cos t — Z a\'csint) = ~ rZab\' 8^ — 8^ (87)

ƒ■nbsp;v2

N = Z l Xtt = ^ Z[{acost b sin t) 8^ — c 8^, — r {a cos t b sin t)] = — -^82. (88)

Ad 11.

De vierkantsvergehjking der hoofd kromtestralen in eenig punt van het cyclisch opper-
vlak luidt:

\\ E — L Onbsp;F— Mo

\\f—Mqnbsp;a — No

Met behulp van de juist berekende waarden, kunnen we deze vergelijking onder de
volgende gedaante brengen:

We onderzoeken het gedrag van deze vergelijking in de snijpunten van de poollijn
van het punt T met den cirkel, de punten Q en Q\'. Die punten worden gegeven door
de volgende betrekking:

d 82 ^ d Si _^

Vergelijking (90) gaat nu over in:
F-Lo

= O

of:

De determinant bevat een factor
dus gevonden uit de vergelijking:

{E-L,2)-
idSi

— r Z a b\'

dt

1 -g S2 . Een der hoofdkromtestralen wordt
...........(91)

1 -j-fS,) =0.

^nbsp;V-nbsp;1/

—: — r Z ah\'

dt

-rl\'a yj\' aS^ - (Sl Sl) (S._ - 2 r f\')

— r S2 2 a b\'

(Sf .S-5) (S2 - 2 c-n r aS, - --

(\'0nbsp;(16

ii(sf s!)

(S{ s!) (S2 - 2- rn r ^^^ - aS^

v lt;\' onbsp;i

We moeten nu onderscheid maken tusschen de hoofdkromtestralen in het punt Q en
die in het punt Q\\ Bij de keuze, die we gedaan hebben, omtrent de richtingen (a,. «3)
.en (bi, h) bezitten de hoeken, die met die punten correspondeeren, gelijken sinus,
doch is het toeken van den cosinus verschillend.

Voor Q substitueeren we:

Z-bf\' , Vrquot;\' — (2 b f f

t=z-----/ , COSt—nbsp;^ \' \' .

sm

Voor (/ substitueeren we:
sin

We kunnen ons bepalen tot het geval:

r\'-^ — (2 b D- gt; 0.

Ia — (2^ 0 dan heeft men of te doen met oppervlakken Van do tweede
soort, öf met het geval, dat do punten Q en Q\' imaginair zijn.

Voorbeeld. We onderstellen, dat de cirkels in de normaalvlakken der centrale kromme
gelegen zijn, en dat we de, in I5 3 besproken, draaiing toegepast hebben. In 8 9 III (bijzonder
geval 1».) hebben we gezien, dat dan de richtingen (a„ Oj. a^) en (/»,. b^, b^) samenvallen
met de hoofdnormaal en binormaal der centrale kronmie. We nemen buitendien aan, dat
do straal van den cirkel voortdurend gelijk genomen wordt aan den, met het centrum
correspondeerenden, kromtestraal der centrale kronune. De formules (70) z^jn thans te
gebruiken in den volgenden vorm:

.S\'i = .s; = ros ^ 1.

Voor het punt Q substitueeren wo:

Voor het punt (/ substitueeren we:

dn / = O. ros t = — 1.

(J-

S,z=r\'.
S., = 2.

/ƒ2 _ , 2 (,.\'2 _}. 4).

r l/r\'^ 4.
_ _ r (, \'2 4) -I- 4

Om ons tot een concreet geval te bepalen, onderstellen we, dat de kromtestraal van
de centrale kromme in elk punt gelijk is aan de booglengte, van den oorsprong van bogen
afgerekend, dus ,, r= r = s. Dan geldt:

\'Ji=--^ s Vö.

Q2 =-?-= — s 1/ 5.

ümbilicmlpunten. Voor umbilicaalpunten geldt:

De voorwaarde F N — G M=:0 levert bij uitwerking:

— r Z ah\'

dt

of:

Onbsp;(.\'dSi _

^^ dt -^\'Tt

........(93)

waaruit blijkt, dat bij een cycUsch oppervlak slechts de punten Q en Q\' als umbilicaal-
punten kunnen optreden.

Een tweede voorwaarde, waaraan voldaan moet worden, vindt men uit de vergelijking:

E M — FL = 0,

welke tweede voorwaarde ook gevonden kan worden, door in het oog te houden, dat
Pi = (\'2 1 of:

1nbsp;Si Si

s.

{Si Si) (S, - V c D -f [S, - S, ^^

Na uitwerking:

(Sf .S-) -cr-r k - \'S, ^^^

lt;\' 6\' (\' 8

Wanneer we deze vergelijking toepassen op bovenstaand voorbeeld, vinden we als
oplossing 5 = 0. Immers:

«1 = (jg dus, 5 iXö = O, of s = O.

waaruit blijkt, dat voor dit oppervlak het punt Q, in den oorsprong van bogen, umbilicaal-
punt is.

Gemiddelde en totale kromming. Na uitwerking, luidt de vierkantsvergelijking (80)-

{L N — M^) (E N ^ G L F M) E G — F^=z 0.
We beschouwen achtereenvolgens de gemiddelde kromming:

1 , l__2 F M— E N - G L

«1 ^nbsp;m

L N —jn

Voor ininimaaloppervlakken geldt:

E N Gnbsp;FM=0

of:

— r ah\'

It

r- — r 2: ah

te zamen nemende, verkrijgen wij :

TT - y/. vi - - 0. (96)

Deze vergelijking is van den vorm:

A sin^ t B sin^ t cos t G siii^ t D sin t cos t E sin t F cos t G = 0. (97)

Zij zal vervuld moeten worden, onafhankelijk van de waarde, die men aan t geeft.
Dit eischt:

A=B=C = D = E=F=G=zO.

A = 0. Termen met sin^ t kunnen alleen uit den eersten term van vergelijking (96)
voortkomen. Wanneer wij cos^ t door (1 — sin\'^ t) vervangen, vinden wij voor den
coëfficiënt A:

2cyr:^bf\' [(1 V r\') hf\'f - (2 a/quot;)\' - «\' cf] - 4 r a\' r 2\' hf ^.\'af g, v
Deze uitdrukking bevat als factor 2 b f\'. De eerste voorwaarde luidt derhalve:

.............(98)

Deze voorwaarde in het oog houdend, schrijven wij het begin van vergelijking (96)
als volgt:

{— [(2- a f\'Y r^ (2\' a\' cf\\ sinquot;nbsp;(2\' a f\' r- 2\' a\' c) cos t ..] {2 r 2\' 0\' c c-os t. ,.).

De coëfficiënt van sin\'-t cost bevat als factor 2\'a\'c-. Als tweede voorwaarde geldt:

= .............(99) \'

Na invoering dezer twee voorwaarden luidt vergelijking (96):

[— (2\' a f\'f sin^ t 27-\' 2 a f\' cos t rquot;- (1 ^ r^) (2\' a f\'Y\\ 2: c f\' — (2\' « f\' sin t
r 2- a b\') r r\' 2 a f\' sin t /• « /\'\' cos t r\') ^ ^ 2 r f - 2\' rf\' | ^^^ 2quot; „ f, ^^^ ^nbsp;_ ^^

Hieruit blijkt, dat de coëfficiënten C en D bij de gemaakte onderstellingen van zelf
verdwijnen. Opdat E = 0 is, vinden we als derde voorwaarde:

2\' ah\'= O

F= O of:

2 r\' 2: ar ^ Cf\' - r 2\' cf\' ^^ 2: a f\' r 2: a f\' ^^ 2\' ^ ^

— 2\'cr ^af\'

2 rr\' .

-2\'cr -~2:af\' \'

Integratie levert:

dlr^ Z Cf\' = dl 2: af\'

T^Zcf\'^k^Zaf\'..........(101)

Een tweede integraal wordt gevonden uit de laatste voorwaarde G = 0, of:

[r\' 2 (2; c f\'f (V a f\'Y\\ Zcf\' ~rrquot; :lt;:cf\' ^ r r\'~ 2: cf\' = 0.

c S

Door middel van vergelijking (101) elimineeren we de grootheid 2 a f\'. Dan luidt
bovenstaande vorai:

[r\'2 (2\'cf\'y (2:cf\'f] - Cf\' - r rquot; 2 cf\' /• r\' v c/\' ^ 0.

^nbsp;c s

In plaats van s kiezen we den straal r als onafhankelijk veranderlijke. Men verkrijgt dan:
(V 6- ff 2- c /\' (2 c ff rnbsp;= 0.

Om deze vergelijking te integreeren, beschouwen we (2 c ff als een functie van rquot;^.
Dit levert ons:

1 PJ (2 6\' ff (2 c ff ^ - 0.

Stel:

Dan gaat bovenstaande vergelijking over in:

q ^

Deze differentiaalvergelijking is terug te brengen tot een lineaire
De integraal luidt:

1 ^-ef^\'c-je-ffl^. ^ \'

f\' — l i i ] ^^ (Z - (c = a^ stellende)

k* \' q .

derhalve in onderling evenwijdige vlakken. Daar de richting {b^, b.. b^) in het vlak der
richtingen (aj, a^, a^) en (q, r., (3) gelegen is, geldt:

(2 a b\'f (2 c by = 2

Beide termen in het eerste lid dezer vergelijking gelijk nul zijnde (zie verg. 100), zoo
moet ook de richting (öi, öj, b^) constant zijn, en derhalve de richting («i, a,. ^3), lood-
recht op deze beide, eveneens. De richting (Cj, c^, Cs) kiezen we als Z as, (a^, a^, a^)
als X as, (amp;i, Ö2 5 ^3) al® Y as; dan moet, b f\' = O zijnde, het centrum van den cirkel
een vlakke kromme in het X Z vlak beschrijven. Vergelijking (102) gaat bij deze aanname
over in: ¹

_nbsp;r-dr

^ — Y^i^iZTaP- k* rquot;- — k^

terwijl de eerste integraal (101) ons levert:

rH r

dx =

Vr* — a^ kquot; r^ — k^\'

Deze laatste twee vergelijkingen geven de differentiaalvergelijking der centrale kromme.
De coördinaten van een punt dier kromme zijn dubbelperiodieke functies van den parameter 1\'.
De vergelijkingen der karakteristieken luiden:

Si 2\' «r cos ^ r, S. — 2:cr........(103)

Het hier besproken oppervlak is het minimaaloppervlak van Riemann i).

We hadden bovenstaand vraagstuk iets algenieener kunnen aanvatten, n. l. kunnen
vragen naar die cyclische oppervlakken, waarvoor de gemiddelde kromming, langs een
beschrijvenden cirkel constant = A; is, maar van cirkel tot cirkel varieert. Blijkbaar zal
de betrekking:

2FM—EN- GL = kH-^ .
wederom voor alle waarden van t vervuld moeten zijn. Na uitwerking luidt bovenstaande
vergelijking:

(sf (2 - „T) c^\' - «-) («. -\'lü(10«

Het tweede lid dezer vergelijking doet ons terstond zien, dat alleen een oplossing te
zoeken is onder de cyclische oppervlakken, waarvoor H een rationale functie van cos l en
sint is, m. a. w. onder de cyclische oppervlakken met isotrope focaalkronnne. Dus:

H-i = r- (1 r^) t 1\'b fy

= (l «r V1 q-~r\' {r\' sin t 2 bf\'f.

Men substitueert nu in vergelijking (10-1) voor en S^ de formules (57), vervangt
in do komende uitdrukking cos» t door (1 — sinH), en vindt een uitdrukking in cost en sint,
analoog aan (97). De coöfllciönten van deze uitdrukking moeten alle gelijk aan nul gesteld
worden. Op deze wijze to werk gaande, vindt men, onder de oppervlakken van de 1« soort
geen enkel bestaanbaar oppervlak, dat aan de vraag voldoet. Daar H rationaal in cost
en sint moet zyn, zal alleen de omhullende van ooi i^oUgi^ qq^ oplossing leveren. In dit

1nbsp; Cf. Riemann, Qos. Worko, Pag. 8-29 on vlg.

geval is echter een der hoofdkromtestralen, wanneer men zich langs een beschrij venden
cirkel beweegt, constant, n. 1. gelijk aan den straal van den cirkel. Daar de som der hoofd-
kromtestralen volgens onderstelling, constant is, zal de andere hoofdkromtestraal vooreen
bepaalden, beschrijvenden cirkel eveneens constant moeten zijn. Daaruit volgt, dat alleen
de omwentelingsoppervlakken aan de vraag zullen voldoen. We kunnen direct substitueeren:

Si = 7-\', =r 1 (zie 76).

Vergelijking (104) gaat nu over in:

(,•\'2 1 ^ _ r rquot; = rk(l r\'^) ]/l y\'a
^___r r\'\'nbsp;_

We vermenigvuldigen deze vergelijking in haar geheel met r:

r r\'

(1nbsp;r\'

Vl

d r

rquot;2.

1

i r il

rquot;2.

of:

— krdr
= fkrdr.

Deze vergelijking verheffen we in \'tquadraat:

7-2

krdr

1 r\'2

We voeren nu, in plaats van s, den straal r als onafhankelijk veranderiyke, 2 als
afhankelijk veranderlijke in.
Dus:

_ _1_ _ dz

rquot;

dr
d 8

Daardoor gaat onze differentiaalvergelijking over in:

m

j krd

\\dr
I krdr

Y \'\'-{Ikrdr^

waarmee de differentiaalvergelijking der meridiaankromme gevonden is

We kunnen ons vraagstuk iets specialiseeren, door te onderstellen, dut A; een absolute
constante is, d. w. z. dat de gemiddelde kromming thans niet meer van cirkel tot cirkel
varieert, maar over het geheele oppervlak constant ia. Vergelijking (105) gaat dan over in-

V ^ a?- r- — (r2 ö»)®

waarin we de grootheid k = gesteld hebben. Men vindt hier het kleinste omwentehngs-

oppervlak van gegeven volumen. De meridiaankromme is de kromme, die door het brand-
punt van een ellips of hyperbool beschreven wordt, wanneer deze, zonder te glijden, langs
de Z as rolt i).

Is ten slotte k = dan heeft men weer met een minimaaloppervlak te doen, en
gaat vergelijking (105) over in:

cl z ___c_

d r\' ~ Yr^^d^

c dr

c-a r — Vr^—c^ __ -lizJL

--e c

z — anbsp;s — a

e ~ \'c g - c -

de vergelijking der kettinglijn. Het beschreven oppervlak is de mtenoïde, het eenige
minimaaloppervlak, dat tevens omwentelingsoppervlak is.

Onderzoek der cyclische oppervlakken met constante totale kromming. Het product
(Ier hoofdkromtestralen steUen we ^^ voorloopig aannemende, dat dit product van cirkel
tot cirkel varieert. Dan zal de vergelijking:

LN—Mquot;-=zkE^...........(lOö)

wederom voor alle waarden van t vervuld moeten zijn.

r a h\'

«D - ^cn r - ^ \'l»h \'It ■

- r S, 2 a /gt; j [S, ^^ ^ - Sl ^^
iioodat vergelijking (10(5) overgaat in:

(S? Sl) (S, - r.n r .s^ (s^ -nbsp; nbsp;- quot; \'\'1

— s

Om een oplossing te vinden, zouden we deze vergelijking wederom moeten rang-
schikken naar machten van ro. t en .sm t, en iu de verkregen eindvergelijking do coCmciënten
elk afzonderlijk gelijk aan nul moeten stellen. Wij komen dan tot de conclusie, dat geen
enkel reëel oppervlak aan de vraag voldoet, uitgezonderd de omwentelingsopporvlakken.

•derhalve substitueeren we:nbsp;_ Sj — 1,

gt;) «ERKET-liAUNACK, 1. C. 111 § 755 on § 8«Jü.

waardoor we voor vergelijking (107) de volgende differentiaalvergelijking vinden:

— r rquot; = A; (1 r\'^f

— 2 r\'

- = 2krr\'

(1

welke differentiaalvergelijking geïntegreerd moet worden. Zoolang we de grootheid k nog
als functie van s beschouwen, valt omtrent deze vergelijking mets te zeggen. Onder-
stellen we echter, dat k een absolute constante is, dus niet meer van cirkel tot cirkel
verandert, dan is vergelijking (108) te integreeren. Men vindt n.L:

1

= kdr^

1
1

1 r

We voeren, evenals boven, den straal r als onafhankelijk veranderlijke, s als
afhankelijk veranderlijke in:

= k c)

c)\'

Onderstelt men k negatief = — en kiest men c zoodanig, dat:

k c = — m^ c=l

dan gaat bovenstaande vergelijking over in :

.l^^drVi —m^ r^- _nbsp;^r___mrdj

»ITrlTnr\'m^^ -j/i _ ^2-

m r

Integratie geeft:

_ 1 ^ l/l — r2 — 1nbsp;—

m r

Voor m positief is dit de vergelijking der tractrix, die haar keerpunt in

r = — — heeft i).
mnbsp;\'

Ad ni.

De differentiaalvergelijking der kromtelijnen luidt:

We drukken den laatsten term dezer vergelijking in de karakteristieken en haar
afgeleiden uit:

- r 2 a igt;\') - (r 2 a 1/ S, - ^^

Hl
? t

\') Sebbet—Habnack 1. c. § 756.

Hieruit blijkt, dat, wanneer men de richtingen der kromtelijnen in de punten Q en Q\'
bepaalt, voor welke punten de uitdrukkingnbsp;—nbsp;verdwijnt, de differentiaal-

vergelijking een factor cl s bevat, en één der richtingen derhalve gegeven wordt door
s = const., hetgeen er op wijst, dat elke cirkel in de punten Q en Q\' aan een kromtelijn raakt.

Speciaal geval, waarin de integratie der differentiaalvergelijking uit te voeren is. We
onderstellen, dat we met een cyclisch oppervlak te doen hebben, waiirvoor de orthogonale
trajectoriën der cirkels een stelsel geodetische krommen zijn (zie § 9, V) De differentiaal-
vergelijking dezer krommen luidt dan :

d Wnbsp;Tnbsp;, nnbsp;T , .

(zie verg. 68)

2 , - — _ JLnbsp; 2 w —

d s Qnbsp;Q

cl 10 1nbsp;, 1 „ 1

d s ^ fjnbsp;T ó O

(109)

Wij hebben gezien, dat de centrale kromme constante torsie bezit; we nemen aan,
dat zij tevens constante kromming bezit, m. a. w. we kiezen tot centrale kromme, de
gewone schroeflijn. De uitdrukking in het tweede lid van bovenstaande vergelijking,
bevat nu constante coëliiciënten. De wortels der vergelijking :

1nbsp;w^—J^w

2nbsp;Onbsp;Tnbsp;Z Q
ici _ \'\' 2ü 1 = O

T

te weten:

,, Kr - _ p - Kc- -

= -......- ^-------- , lOi— - ^

zijn particuliere integralen der RicoATi\'sche differentiaalvergelijking.

Twee particuliere integralen bekend zijnde, zoo wordt de bepaling der orthogonale
trajectoriën tot een enkele quadratuur teruggebracht. Stel n. 1.

w = io, H----

V

«lan gaat vergelijking (109) over in:
1

1 ... , . 1 L, ^ 1

1

2«

1

1 dy __
ds~ 2

V V

Daar een integraal van vergelijking (109) is, mag hiervoor geschreven worden:

_ _1 dti ___ _ 1 ^
if d snbsp;t\' \'/ 2 (, ;y2 X

d II _ [Wi__l \\ . 1

d s ~ 11\'

Stel:

, 1
ïüo = U\'i -\\---

\'Jo

dan zal een integraal zijn van vergelijking (110). We stellen nu:

V = Vo ;

dan is:

d rj_d ijq d amp;

d s d s d s\'

Derhalve:

iVo \'0 2quot;

Daar 7jo een integraal is van vergelijking (110), mag voor bovenstaande vorm
geschreven worden:

do-_fWi_ 1

d s Vnbsp;r

O.

Nu is:
en dus:

Vf\' — t\'
= e fr

-r

W — tOi
1

- = e-rr- - —

w — w

W — Wj =--------

-4--

2

10 z=z

t

Hiermede is en dus ook tgals een functie van 5 gevonden. Om nu de verge-
lijking der orthogonale trajectoriën in eindigen vorm neer te kunnen scln-ijven dienen uit
bovenstaande uiUJrukking cos t en sint afzonderlijk bepaald te worden en daarna gesub-
stitueerd in de vergelijkingen van het cyclisch oppervlak (stelsel 1) Do cirkels en de
aldus gevonden krommen kiezen we tot parameterkromnien. Daar de orthogonale trajectoriën
in ons geval tevens geodetische krommen zijn, geldt: i;=l,nbsp;Daar S — coat

.t.\' - - oivt / IG JQ •nbsp;^nbsp;\'

6*2 — sin t is, is:

G = r% L = sin t, M=r

De differentiaalvergelijking der kromtelijnen luidt thans:
01: \'

dt = ±

waarmee de kromtelijnen van dit cyclisclt oppervlak bepaald zijn.

53
Ad IV.

Op een willekeurig oppervlak worden toegevoegde richtingen gegeven door de differen-
tiaalvergelijking :

LdsSs-^M{ds6t-^iisdt) NdtÜt = Q.

Aan welke voorwaarde moet voldaan worden, opdat de parameter krommen een toegevoegd
stelsel vormen? De cirkels zelve zijn de parameterkrommen s = const. Wanneer we
veranderingen, die op de cirkels betrekking hebben, met d aangeven, dan worden, de aan
de cirkels toegevoegde krommen, gevonden uit de differentiaalvergelijking:

M ^ s N t = 0.

Opdat de parameterkrommen t — const, met de cirkels een toegevoegd stelsel vormen,
zal men moeten hebben:

— J- I r V a h\' {r a\' c cos t lt;j|. r b f\' sin t -{- (p r r\')
H

— r (2- a r cos ^ ö r sin t r\') (— a\' c sin t q, b f\' cos t}\\.
De voorwaarde = O is aldus te schrijven:

amp; r (V a\' r (T -i\'quot; « n ^ f\' - ^ \'\'\' ^^ ^ ^ \' c

Tvr^«\'O\'quot; -nbsp;\'\'\'\'\'\'^ \'\'-quot;\'\'\'

A\'in deze uitdrukking zal voor alle waarden van t voldaan moeten worden. Opdat
men met oppervlakken van de eerste soort te doen hebbe, zullen de volgende voorwaarden

vervuld moeten zijn:

Deze voorwaarden zijn dezelfde als (Ü8), (99) en (100), die we bij het minimaal-
oppervlak van Riemann aantroffen. De cirkels liggen dus in onderiing evenwijdige vlakken,
en ,1e centrale kromme is vlak. Terioops merken we op, dat de differentiaalvergelijking
der orthogonale trajectoriën der cirkels door een enkele quadratuur geïntegreerd kan worden.

2ij luidt:

/^i =1- af\' sin t.
d s

sin t r

Voor oe„ willekeurig oppervluk worden do «,,jmplotM,e lijnen gegeven door de
■Hflerentiaulvergeliiking: ^ ^ ^ ^ ,, , „ a i N dl^ =

D„ar voor de cyclischo oppervlakken ^^ ii is. geldt ,1e volgende stelling:
In de pmilen, mmrin (te karaklmdick S, = O den eirkelnbsp;makt deze aan em

«quot;ijmi\'tolisclie lijn van het oppervlak.

HOOFDSTUK IL

Cyclische Congruenties.

§ 1. FocaMpunteyi en focaaloppervlakken. Wanneer we het algemeene geval beschouwen,
en uitgaan van het stelsel vergelijkingen:

cp {x. ij, z, u, v) = 0 ... (1)nbsp;{X, ij, z, u, v) = 0. ... (2)

dan . stelt voor een bepaalde waarde van u en v zoowel de eerste. als de tweede verge-
lijking een oppervlak voor. De doorsnee dezer twee oppervlakken is een ruimtekromme.
Daar elk der parameters u en v oo^ waarden kan bezitten, heeft men met een tweevoudige
oneindigheid van ruimtekrommen te doen, een zoogenaamde congruentie. Legt men een
functionaal verband tusschen de parameters ii en v, bijv.:

u=:cü{s), n — i is)
dan licht men uit de tweevoudige oneindigheid der ruimtekrommen een enkelvoudige
oneindigheid, derhalve een oppervlak der congruentie. Houdt men een bepaalde ruimte-
kromme in het oog, dan kunnen er door deze kromme oo^ oppervlakken gebracht worden,
al naarmate men een ander functionaal verband tusschen de parametei\'s kiest. Onze eerste
vraag is naar de vergelijking van het raakvlak in eenig punt P{x, y, z) aan een bepaald
oppervlak, dat door een bepaalde ruimtekromme gebracht is. Bedoelde vergelijking luidt:

Zij kan terstond worden afgeleid uit hoofdstuk 1, (verg. 4), door elk differentiaalquotiönt
van den vorm qg door (Qu d u d v) te vervangen. Brengt men haar in de gedaante:

lt;p d Ifl

2 (X- X)

, d X d V

dan blijkt ten duidelijkste, dat het raakvlak in het punt P varieert, al naar mate men een
ander functionaal verband legt tusschen de parameters, en dus een ander oppervlak door
de bepaalde ruimtekromme brengt. De vraag rijst nu, of het niet mogelijk is, zoodanige
punten op de ruimtekromme te vinden, dat het raakvlak in zoo\'n punt hetzelfde is voor
alle oppervlakken, die door de ruimtekromme te brengen zijn. Dan zal vergelijking (3)

ct It

onafhankelijk moeten zijn van . , hetgeen vereischt:

Ci V

een betrekking tusschen de parameters ii en v, die een oppervlak voorstelt. Combineeren
wij deze vergelijking met de vergelijkingen (1) en (2), dan zal de, door deze laatste ver-
gelijkingen voorgestelde, ruimtekromme het oppervlak (4) in het algemeen in een eindig
aantal punten snijden, die de eigenschap bezitten, dat het raakvlak, in die punten aange-
bracht, hetzelfde is voor alle oppervlakken, welke door de ruimtekromme te brengen zijn.
Deze punten heeten focaalpunten.

Bovenstaande uiteenzetting zullen we op een stelsel van oo^ cirkels toepassen, gegeven
door de vergelijkingen:

- (x — f f - r^\' = 0...........(5)

±-c(x — f) =0...........(6)

waarin (/quot;, g, h), r, (r,, c^, Ca) thans functies van twee parameters n en v zijn. Het
oppervlak:

x = f{ii,v), g = g{u,v), z = h{u,v)

het zoogenaamde centrale oppervlak, treedt als meetkundige plaats van de middelpunten
der cirkels op. Voor een bepaalde waarde van u en v heeft men met een bepaalden cirkel
te doen. Legt men een functionaal verband tusschen de parameters u en v:

U = cü(s), V=:y_{s)...........(7)

dan licht men een stelsel oo^ cirkels uit de congruentie, derhalve een cyclisch oppervlak.
Houdt men een bepaalden cirkel in het oog, dan zal men door dezen cirkel 00^ cyclische
oppervlakken kunnen brengen, die verschillen, naar gelang men een ander functionaal
verband (7) kiest. De vergelijking van het raakvlak in eenig punt P van een, door een
bepaalden cirkel gebracht, cyclisch oppervlak, wordt gegeven door vergelijking (8), waarin:

^ = 2 A. {x-f)^ r r,,, J J = V (X -f) r r,

^ = 2 (x - f)- 2: c /;.,nbsp;^ vnbsp;_ f) _ v , ^^

—---,,nbsp;j^y

Opdat nu het raakvlak hetzelfde is voor alle cyclische oppervlakken, die door dien
beschrijvenden cirkel gebracht kunnen worden, moet aan vergelijking (4) voldaan worden,
derhalve aan:

fu r _ /; (X - f) r
V c,. {X — f) — 2 6- f, V (.-c - /•) _ V c /;......

Voor een bepaalde waarde van u en v zal gelijktijdig aan de vergeiykingen (5), ((5)
en (9) voldaan moeten worden. Nu stelt do laatste vergelijking een hyperboloïde voor.
De doorsnee met het platte vlak ((gt;) levert eon kegelsneo. die den cirkel, waarvan wo
uitgingen, in 4 punten snijdt, wy komen dus tot de volgende stelling:

Op eiken cirkel van een cirkelcongrueniie liggen vier punten, focaalpunten geheeten. die
de eigenschap bezitten, dat het daar ter plaatse aangebrachte raakvlak hetzelfde is voor alle
cyclische nppervhikken, die door dien cirkel te brengen zijn.

Evenals in het vorig hoofdstuk kiezen we, in plaats van het stolsel vergelijkingen
(5) en (0), liever de parametervoorstelling van Gauss:

X = f-{- r (flf, cos t bi sin t)

y=zg-\\- r (n^ cos t /»j sin t) .........(10)

z — h r (03 cos t -f ba sin t)

waarin thans (f, g, A), r, (flj. a^, a^). (b^, b^, b^) functies van de parameters ti en v zijn.
Op dezelfde wijze, als we toen tot de vormen S^ en S^ gekomen zijn, voert ons thans het
stelsel vergelijkingen (8) tot de volgende vormen:

S,quot; = V a ^ cos t b sin t r,.,nbsp;Sl = af^ cos / amp; sin t r,

S2quot; = r (2\' a^ccost Zb^c sin t) -Tc/;,, Sl=r {2: a, ccost b, c sin nbsp;^^^^

De vergelijking (3) van het raakvlak gaat nu over in:

- - [(«1 t bi sin t) {Si du Sl d v)\\ (X - x) [r^ (S^ du S\'d v)] = O (12)
terwijl de voorwaarde (4) luidt:

sr S[

(18)

of:

a cQg t bf^ sin t ij,___af„ cost b ^ sin t r^

r (V a„ c cos t Z b,, c sin t) c /•„ ~nbsp;r (2: a, c cos t 2: b,c sin i\' c quot;/;

Substitueeren we in deze vergelijking:

2 lünbsp;,nbsp;l—w^ ^ t

(15)

dan gaat zij over in:

(r,, - aru) ic^ 2 r V b U w 2\' «/„) _ {^r - ^^nbsp;2:hf,w ^(r 4- ^\'af)

(- cf, - r V a, O w^ 2r b,, c 10 -f (2quot; r 2quot; c) (2\' r.f, - a, c) w^ 2 r v b, c lo (2^7; rquot;2 c)

eeji vierdemachtsvergelijking in lo, die ons wederom de vier focaalpunten levert Het
raakvlak in een focaalpunt heet focmlvlak. Om de vergelijking der vier focaalvlakken te
vinden, die bij een bepaalden cirkel behooren, moet men de wortels der vierdemachtsver-
gelijking in vergelijking (15) substitueeren, vindt op deze wijze vier stellen waanlen voor sint
en cost, en voegt deze in de vergelijking (12) van het raakvlak.

De tweevoudige oneindigheid der cirkels voert ook tot een tweevoudig oneindig a;mt\'il
focaalpunten. De meetkundige plaats dezer punten is gemakkelijk neer te schrijven Evenals
bij de bepaling der focaalvlakken, lost men de vierdemachtsvergelijking in ïc\'op onsubsd
tueert het daarmee correspondeerend stelsel waarden voor sin l en co.v / in het stelsel
vergelijkingen (10). In de buurt van den cirkel, waarvan we uitgingen, zal lt;leze meetkundiirc
plaats uit vier verschillende bladen bestaan. Zij heet het focualoppervluk der congruent^\'
Wij hebben gezien, dat door een bepaalden cirkel cyclische oppervlakken gebracht
kunnen worden. Een tweede vraag, die ons zal bezighouden, is de volgende- /iin or onder
deze cyclische oppervlakken ook oppervlakken van de .soort? Hot \\ ,
wordt ons gegeven door hoofdstuk 1 ^ 5. Op analoge wijze re.leneerend, als daarrll To\'
vmden wij, dat aan de volgende twee betrekkingen voldaan moot worden:

Sl\' d u Sl do=z()

Si d u S\'i dv=zO

(2- « /„ t 2-b /„ sin t -f- .„) d u (V ,, ^ V ^

\\ r (2- . . 4- 2- . O . /„ I . ,(V ,, , , ^nbsp;^^ ^^^^^ ^^ ^

welke vergelijkingen in de volgende gedaanté\'gebracht kmmen worden-

(^-lt;\'f..du -af^dv)cost {2bf^du 2bf,dv)sint (rcln4.r ; . m

Elimineert men uit deze twee vergelijkingen de grootheden sin t en cos i, op dezelfde
wijze, als we dit in genoemde paragraaf gedaan hebben, dan vindt men de volgende

vierdemachtsvergelijking in :

(1/ V

r{2:nacdu 2:a^cdv) r{2:cb,,du -cb^dv) \' r(2:aucdu 2\\f^cdv) cf^du cf^dv

(17)

/.» - -- 1 — « , „ w V.

d IC

d IC

Lost men deze vergelijking naar op, dan vindt men vier lineaire differentiaalver-
gelijkingen, welke ons, na integratie, vier vergelijkingen leveren, van den vorm:

u = (ffc (v) const. = 1, 2, 3, 4)........(18)

Substitueert men deze betrekkingen, die een functionaal verband tussciien de para-
meters leggen, in de vergelijkingen der congruentie (10), dan zullen de aldus verkregen
cyclische oppervlakken noodzakelijk oppervlakken van de 2° soort zijn. Derhalve geldt de
volgende

Stelling: Onder de 00^ cijclische oppervlakken, die door een bejmalden cirkel van een
cirkelcongruentie gebracht kunnen worden, zijn vier oppervlakken van de 2* soort. Elke
cirkelcongnientie is dus op vier wijzen volgens oppervkikken van de 2\' soort te rangschikken.

Substitueert men hot door (18) gegeven functionaal verband in de vergelijking van
liet centrale oppervlak:

.r z=f{u, v). n = U (H, w), = h (u, v),

lt;lan verkrijgt men 4 x oo\'nbsp;ruimtekronimon, die als centrale krommen optreden van opper-
vlakken van (Ie 2° soort. gt;Men kan dus ook zeggen: in elk punt van hot centrale opper-
vlak zijn vier richtingennbsp;aan to geven, die als raaklynen aan centrale krommen van
oppervlakken van de 2\'\' soort ontreden. Nu hebben wij onder onnervl-ikkon v-m

^^ soort zoodanige cyclische oppei
bepaalde ruimtekromme raken. Jlel

gt;quot;et (lio ruimtekronune te vragen. .......

\'ie grootheden du en dv elimineeren: wij vinden dan:

lt;lezelfdo vorgelilking als vergelijking (13), waaruit biykt, dat do focaalpunten tevens als
makpunten optreden mot de keerkronnnon van do oppervlakken van de 2° soort, waarin
\'odero cirkolcongrucntie gerangschikt kan worden.

8 quot; Draaiing der rirhlingen, die het vlak van den cirkel bepalen. Alvorens over to
gaan tot eon beschouwing van de vierdemachtsvergelijking dor focaalpunten, en van die,
^velko ons in .Ie congruentie de oppervlakken van de 2° soort levert, passen we voor eiken
^••kel ,lo assendraaiing toe. lt;lie wo in hoof.lstuk ] 8 3 besproken hebben, kiezen dus de richting
(\'V /O zoodanig dat zo loodrec-ht op de poollijn van het punt 2\'staat. Daartoe .lenken
^vc ons eersi oen functionaal verband « = ..0^). ^ = X tnsschen de parameters u en ..
^Ve krijgen dan met een cyclisch oppervlak to doen, waarvan de vergeh.,kmgen in twee

parameters s en t uitgedrukt zijn, en kunnen nu de redeneeringen van genoemde paragraa,f
iierhalen, waarbij we elk differentiaalquotiënt van den vorm door (q^ cl u q„ d v) te
vervangen hebben. De tangens van den hoek, waarover de richtingen, die het vlak van
den cirkel bepalen, gedraaid moeten worden, is derhalve gegeven door de vergelijking:

irr,,du-\\-rr^dv) {Zh^cdu i: Kcdv) —jZ c f^du nbsp;v) {2:b f^duf^dv)

{rr,,du rr^dv){y:aucdu 2:a^cdv)—{2:cf,^du 2: c f^dv) {2: a f,,dti y a f^dv)
_ A du^ B du dv G dv^

~ A\' du^ B\'dunbsp;..................(19)

waarin:

Uit vergelijking (19) blijkt, dat de assendraaiing overbodig is, wanneer men. den
teller of den noemer van de breuk gelijk aan nul kiest, dus wanneer bijv. :

A du^ B du dv C dv^ z= O.........(20)

d zt

Deze vergelijking levert in het algemeen twee verschillende waarden voor j—:

Ct 7)

du / .dunbsp;.

Integreert men deze differentiaalvergelijkingen:

= j\'w^(u,v)dv Ci, u=z f W2 (w, v) dv Cg,

dan vindt men, na substitutie in de vergelijkingen van het centrale oppervlak, op dit
oppervlak twee stelsels krommen, waarvan de punten, wanneer men zich langs een
dusdanige kromme voortbeweegt, als centra van cirkels optreden, waarvoor de richting
{pi, b^, b^) loodrecht op de poollijp van het punt T staat. Deze stelsels krommen kiezen we
als parameterkrommen. Voor de differentiaalvergelijking (20) eischt dit: ^ = 0 en C= O, of:

l\'cfunbsp;^cf, _

-nbsp;-nbsp;rr, - 2: bf,--\'......

Met behulp van deze betrekkingen gaan de vormen en over in:

S\'i = r f2 ccost ). 2 b f^ sin t l r«!.

Sl=zr [2\' Cl O c cos t u 2 b f, sin t n r, ].

De vergelijking, die de focaalpunten levert, luidt thans:

2\' a fu cos t 2\' b /quot;«sin t -f r„ _2 f/„ c cos t /. (2 b sin t r«)

2- af, cost -f 2\' b f, sin t ^ r, ~ 2 a, c cos t (2 b f, sint r,) \' \'

terwijl de vergelijking, die ons de oppervlakken van de 2® soort levert, verkregen wordt
door cos t en sin t te elimineeren uit het stelsel:

(2\' a fy,du af, d v) cos t (2 b ^ d u 2 b f, d v) sin t d u -{■ r,d v =z O ^
(2- Uu cdu -]- a,cd v) cos t (/. 2 b f, du 2\' bf, d v) sin t (A d « -f u r, dv)z=0.
welke eliminatie ons de volgende vergelijking levert:

^ l\'afudu 2: af,dv r,,du r,dv 2 2:bfudu-ir2bf,dv r,,du r,dv ^^

Ir^du ur,dv \'Hbf,du ii2:bf,dv Ir^^duur,dv ~
_\\2: af^^du 2: af,dv 2:hfndu 2:bf,dv 2
~ 2: du 2: a,cdv I :^bf^duu 2:hf,dv\\.....

We beschouwen in liet bijzonder het geval:

^^ tl q).

Bij deze onderstelling gaat vergelijking (23) over in:

[(qr Z af^ — Z c) cl u (9 2 a f^ — v ^r^ c) d vf [(2 b U du ^ Z b f^ d vf —

— du r,,d vf] = 0..........(24)

waaruit blijkt, dat twee wortels van de vierdeinachtsvergelijking samenvallen. Deze dubbel
te tellen wortel voert ons tot de differentiaalvergelijking:

(q Z a fu — Z üu c) d u (q, Z a — Z a, c) d V = O.....(25)

Zij legt, na integratie, een functionaal verband tusschen de parameters u en v,
waarvan wij de beteekenis willen nagaan. Daartoe brengen wij haar in de volgende gedaante:

Z a^c du Znbsp;_

2- a U d M ZafTdV —

Uit vergelijking (21) kan men afleiden:

Zc hu du Z c b„ d V _ 2\' r d u_ Z cf^dv _
2 bf, du Zbf„dv~~ Vr^d u quot; r dv

waarbij wij voor u die functie van v kiezen, welke ons door de differentiaalvergelijking (25)
gegeven wordt. Derhalve geldt de evenredigheid:

1\' Uucdu Z a^cdv c d u Z c b^ d v _ 2^/;, d « 2 c f,dv__
2 a fu du 1\' a f^ d v 2 b /quot;„ d u 2 b fvdv~ r r^d u ^r 9\\ d v ~

of:

2 a\' ^ _ c __ 2 r /■\' __

Zar — ±-br~rr\' —

Dit is juist de conditie, dat de karakteristieken S, en S^ samenvallen; waaruit blijkt,
dat er op het centrale oppervlak één stelsel kronnnen te kiezen is, gegeven door de
differentiaalvergelijking (25), zoodanig, dat, wanneer men deze als centrale kronnnen van
cyclische oppervlakken kiest, de congruentie in oogt; cyclische oppervlakken gerangschikt wordt,
die als de omhullenden van oc^ bollen beschouwd kunnen worden. De vergel\\jkingen dezer
omhullenden zelve vindt men, door het functionaal verband, dat de integraal van verge-
lijking (25) ons levert, in de vergelijkingen (10) der congruentie te substitueeren. Behalve
den dubbel te tellen wortel, levert vergelijking (24) twee enkelvoudige wortels, die ons tot
de volgende differentiaalvergelijkingen leiden:

(2 h /„ Vu) d u (2 b /; 7v) dv = 0

en

(2 b fu — r„) d u H- (2 b f, — r,) .iv=z\\}.

De integralen dezer beide vergelijkingen leveren ons, na substitutie in do vergeiykingen
dor congruentie, de oppervlakken van de 2° soort, waarin do congruentie gerangschikt kan
worden.

llesumeorenil, kunnen wo zoggen, dat lid geval ), = ,, ons leert, dat elke cirkelcoii-
gruentie bij deze onderstelling op één wijze volgens omhidlenden van lt;xi bollen, doch op twee
wijzen volgens njclische oppervlakken met een keerkromme gerangschikt kan worden.

Wat de vergelijking der focaalpunten betreft, deze luidt bij de onderstelling ?. = ,i = f:
2 a /;, ros t -j- Z b ^ sin l _ 2 a„ r ros t q, (2 b sin t r„)
2 a /; ros t - \'\' fv sin t r^ 2 a, c ros t (2 b /; sin t r^)

3

Zij bevat als factor: cos t. Met den wortel cos t = en dus t =

2 \' 2

pondeeren twee der focaalpunten. Bij de keuze, die we omtrent de richting (ö,, h^, h^) gedaan
hebben, zal juist deze richtmg de gevonden focaalpunten op den cirkel insnijden (zie fig. 11).
De beide andere focaalpunten worden gevonden uit de vergelijking:

Z a fu cos t Z h fu sin i _ ip Z-a f^ — Z g,, c

Z a f^ cos t Z h f^ sin t nbsp;q. Z a — Z a„ c \'

welke betrekking lineair is in sin t en cos t, en dus quadratisch in w.

§ 3. Nader verhand met het centrale oppervlak. De boven verkregen resultaten winnen
aan overzichtelijkheid, wanneer we een nauwer verband leggen tusschen de congruentie
en het centrale oppervlak, door n. 1. de coSlficienten der vormen en S^ in de coëfficiënten
der twee grondvormen van Gauss uit te drukken.

Onderstellen we, dat een willekeurig oppervlak voorgesteld wordt door:

x = f{u,v), y — g{u,v), z = h{u,v)
dan zullen we een stel formules memoreeren, dat een verband legt tusschen de partieel
afgeleiden van de tweede orde ,nbsp;en die van de eerste ordenbsp;^ ^ en

lt;\' a (• li, (\' Mnbsp;i^U i^U igt; M

yi\' D vnbsp;voeren we de volgende notaties in

- I/e • - VE \' = VE

^ n ynbsp;1 , \\

IZ-G

terwijl:

= =

de richtingscosinus der normaal zijn. Dan gelden de volgende condities:

V X3 = 0nbsp;Vnbsp;= O

We zullen

nu betrekkingen trachten te vinden van den vorm ■

=nbsp; VX3

?nbsp; nbsp; y Y,

?

(gt; u

Hierin moeten de coëfficiënten «, rf, - en ^ ^ „ h^v^i.^« i ,nbsp;.

\' / en f, ,, IJ beiekend worden. Daartoe

gt;) Deze formules komen te pas bij hot bewiis dnf H« vAr»,

beschouwen we eerst het eerste drietal vergelijkingen, vermenigvuldigen die respectievelijk
met (Zj, Zi, Zi), daarna met {X^, Ta, Z^), ten slotte metnbsp;Fg, Z^) en tellen

vervolgens op:

v ^ O ^ « (5 2 X, = « ^ ^

C U

f

^ ^ « 2 X, (3 = «nbsp; (i

c u

V v:nbsp;..

Cgt; U