PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD
VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE
RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN
RECTOR-MAGNIFICUS Du. A. J. P. VAN DEN BROEK, HOOG-
LEERA AR IN DE FACUr.TEIT DER fJ E N E E S KUNDE,
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT,
TEGEN DE REDENKINCJEN VAN DE FACULTEIT DER
\\\\\'IS- EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN OP MAANDAG
11 FEBRUARI 1924, DES NAMIDDAGS TE 4 UUR

r^u j^j/.u m .u -iULii^^ i
rnrrnr^ f r jinnv^uii\'^mj^c« m VAm^
HWi i- \'Al -O/\'JfCtii//;^ tiï^i uiA^\'HHa^ ti

Het verschijneji van mijn jjroefschrift geeft mij de gelegen-
heid mijn dank te betuigen aan U, Hoogleraren in de Facul-
teit der IFjs- en NatnurTxunde, die door Uio onderwijs aan
mijn studie leiding hebt gegeven.

In de eerste plaats geldt mijn dank U, Hooggeleerde
Ornstein, Geachte Promotor. Uto vriendschappelike omgang
en hnljjvaardige belangstelling hebben mij de bewerking van
dit pi-oefschrift tot een waar genot gemaakt. iJe opbouwende
kritiek die Gij zo dikwijls wist ie geven, en de wijze waarop
Gij steeds mijn mening, ook al week die van de Uwe af,
toondet te waarderen, worden door mij meer op prijs gesteld
dan in deze weinige regels kan worden gezegd. Dat mijn
kontakt met Uw jyersoon en het door U geleide laboratorium
na de voltooiing van mijn proefschrift, in stede van tc ver-
minderen nog moge toenemen, is mijn oprechte wens.

U, Hooggeleerde JULIUS, ben ik dankbaar niet alleen voor
de voortreffelike kolleges waardoor Gij mij in mijn eerste
studiejaren in de beginselen der theoretiese natuurkunde hebt
ingewijd, maar vooral voor het voorrecht dat ik ruim een jaar
Uw assistent heb mogen zijn, waardoor ik voor venvaarloziug
van het experiment gespaard ben gebleven.

U, Hooggeleerde dk Vuiks, Niji.ani) en Wolff dank ik voor
de wijze waarop Gij voor de door U gcdoccerde vakken mijn
belangstelling wist op te icekken en gaande te houden.

Hoofdstuk 111. Do energie van aggregaten van elomentair-
magneetjes, die in eon nuigneties veld zijn

Hoofdstuk VIII. x\\umerieke resultaten in verband met de
gegevens aangaande ijzer, nikkel, kobalt,
raagnetiet en enige staalsoorten . n«
Hoofdstuk IX. Een en ander over dipoolnetten met
orthorhombiese en hexagonale symmetrie
m verband met de gegevens aangaande
pyrrhotine..........................................,09

De in de natuur voorkomende stoffen worden naar hunne
magnetiese eigenschappen ingedeeld in drie groepen: ferromag-
netiese, paramagnetiese en diamugnetiese stoffen. In dit proef-
schrift zal hoofdzakelik het ferromagnetisme worden beschouwd.
Ter inleiding volgt eeu overzicht over de bestaande theorieën
van het magnetisme.

Een molekulair-theoretiese beschouwing, waardoor zowel het
paramngnetisme als het diamagnetisme wordt verklaard, is het
eerst gegeven door Weber Naar hot voorbeeld van AMi\'iïre
neemt deze aan, dat in elk molokuul eloktriese kringstromon
voorkomen, die aanleiding geven tut een zeker moleku|air
magneties moment, on dio daardoor hot molekuul mot oen
magneetje vergelijkbaar maken.

Men moet zich nu voorstellen dat, wanneer er geen uitwendig
magneties veld aanwezig is, in para- on diamagnotieso lichamen
do magnetiese asson dor molokulon allo mogoliko riclitingon
hebben, en dat om dio rcdon van onigo waarneombaro magno-
tisatio geon sprako kan zijn. Brengt mon echter oon uitwendig
magneties veld aan, dan komt in deze toestand verandering, on
wol in verschillende zin naarmate do magnetieso asson dor
molokulon vaster of minder vast aan hunno richtingen go-
bondon zijn.

Denkt men zich dezo asson onboweoglik, dan zal hot aaubrongon
van eon magnotios veld gepaard gaan mot induktio-vorschijnsolon

m do molekulairstromen en dientengevolge aanleiding geven
tot een magnet.satie, waarvan de richting aan die van Lt veld
tegenpsteld ,s. Het beschouwde lichaam is dan diamagneties
Met paramagnetiese verschijnselen krijgt men te doen wanneer
de magnet,ese assen der molekulen hun richtingen min of meer
kunnen veranderen. Onder invloed van een uitwendig Zm
zullen dan deze richtingen tot de veldriehting gaan naderen
en wanneer dit in-voldoende male het geval is zal een
tisatie in de veldriehting moeten ontstaan

op het paramagnetisme betrekking hadden, d, w z met ver
waarlozing van de in de molekulairstromen optredende induktie
verschijnselen, door Maxweli. lt;) mathematfes ontwikkeld In
uitgebreid tot een theorie, die ook van de hoofdversch«llequot;
van het ferromagnetisme rekenschap eeeft Haa, ,,,quot;\'Jquot;\'®\'™
aangenomen dat or voor de magneHe! s van elk
slechts één richting is van stabiel evenwicht- nl^ivnbsp;\'

lUxwEL. aan dat er verschillende van 1e
dan komt men tot een mogelike verklaring van d voo fe?quot;\'
magnetiese lichamen kenmerkende magnetile i;st rese dZquot;:
men zich b.v. een lichaam, waarvan elk m.^lll. Tt\'-
velschillende richtingen van\' de mag et se s n Ibi ?
wicht is, dan krijgt men, door in ti, of I ^
voldoend sterk magneties\'veld m:nbsp;mequot;® quot;quot;

volgens weer tot nul laat afnemen, een toes3 „„ kquot; \'
uitwendig veld toch een merkbare magi rsat^ \' \'^
magnetiese assen der molekulen zuZ^ da n
standen hebben opgezocht, waarbii hunnelT •

De grondgedachte van de theorie van MAvw.r • ,
terug in een door J. A. Ewino onfJ ^^-^^well vindt men

dat in grote trekken dezelfde eigenschappen heeft als een ferro-
magneties lichaam. Ewing denkt zich kleine konstante lijn-
magneetjes in de ruimte gerangschikt in een kubies net. Hij
onderstelt deze magneetjes vrij draaibaar om hunne centra, zodat
op hunne rotaties alleen van invloed zijn de magnetiese krachten,
die ze op elkaar uitoefenen, en een uitwendig magneties veld.

Denkt men zich nu door een sterk veld alle magneetjes gericht
volgens één der hoofdrichtingen van het kubiese net, en laat
men daarna dit veld tot nul afnemen, dan zullen de magnetiese
assen de verkregen richting behouden: men krijgt op die manier
weer een blijvende magnetisatie zonder uitwendig veld.

Ewinq heeft nu door berekening nagegaan welke de meest
op de voorgrond tredende eigenschappen zijn van een aggregaat,
dat bestaat uit een groot aantal van de beschouwde kubiese
netten van magneetjes, en de resultaten vergeleken met de
experimentele gegevens aangaande ijzer. Hij is daarbij tenslotte
tot de konklusie gekomen, dat een behoorlike kwantitatieve
overeenstemming niet te bereiken valt en heeft daarom enige tijd
geleden z\'n gehele model opgegeven en vervangen door een
ander dat ecliter door z\'n grote ingewikkeldheid en willekeurig-
heid weinigen zal kunnen bevredigen.

Het is me gebleken dat in de beschouwingen van Ewing en
van enige anderen die zicli met dezelfde materie hebben
beziggehouden, verschillende onjuistlieden voorkomen. Het lag
dus voor do hand liet model aan een meer exakte nnitliematiese
behandeling te onderwerpen en na to gaan of hot inderdaad
wel zo verwerpelik is als Ewing zelf meent. In dit proefsclirift
zal worden aangetoond dat mot een model als dat van Ewing
een zeer grote versclieidenheid van verschijnselen kan worden
verklaard, en dat een dergelik model voor do verklaring van
wat tegenwoordig aangaande het ferromagnetisme bekend is,
voldoende kan worden geacht. Do met do warmteboweging
samenhangende molekulaire rotaties zijn niet in aanmerking
genomen, maar het vermoeden is gewettigd dat deze, zohing
mon met niet to hoge temperaturen te doen heeft, de verkregen
resultaten niet principieel zouden hebben gewijzigd.

de eigenschappen
stoffen. Een theorie vL hot para-
magnebsme is gegeven door Langevik i). Evenals MaxLli,
denkt deze zich een molekuul of atoom van een parLa.3e e
^of afe een vj^Vel konstant magneetje: hij onderstelt eAt d
magneetjes volkomen vrij draaibaar om hunne centra en laat de
magne iese krachten, die ze op eikaar uitoefenen, buiten beschou

bestaat, een u.twendig magneties veld, dan zullen de magnotTea
assen een ne.gjng vertonen zich naar dat veld te richifr dI

poratuur. Zijn resultaat is in behoorlijke overeensterm quot;quot;quot;
wat bgt; verschillendo Paramagnetiese^toffl: irlrge^mquot;
evenwel njn ook afwijkingen, speciaal bii ,Jnbsp;:

uitwendig veld „ok nog rekenin. „Irdt ^ \' quot;quot;quot;
krachten, die de magnfetjes op^Lrquot; ito^tn^e
deze krachten in aanmerkinrr tnnbsp;quot;quot;-quot;i^ienen. loneinde

veld door de resultante van dit veld en vanbsp;quot;
molekulair veld, dat hij voor elk marl rnbsp;quot; zogenaamd
de plaatselike magnetisatie,nbsp;«^^It met
van de mogelikheid van een b iifeü ^nbsp;rekensclmp
wendig veld, en krijgt wat betSt quot;nbsp;quot;it-
magnetisatie met de temperatuur in vil .\'linbsp;«P°»tane
bevredigende overeenstennninrme do
___ ^ ^ ^rnomingen. Ook do

sprong, die de soortelike warmte van ijzer maakt bij het Curie-
punt, d. i. de temperatuur (768° C.) waarboven geen spontane
magnetisatie meer optreedt, wordt door de theorie van Wkiss
kwalitatief en kwantitatief verklaard. Echter heeft de theorie
het bezwaar, dat het molekulaire veld van een stof als ijzer zo
geweldig sterk zou moeten zijn, dat men onmogelik kan aan-
nemen dat het van magnetiese aard is Ook de onderstelling
dat het van elektriese oorsprong zou zijn is door Weiss om
verschillende redenen verworpen: aan welke oorzaak het veld
dan wel zou moeten worden toegeschreven laat hij echter ge-
heel iri het midden.

Een ernstiger bezwaar nog tegen de theorie is dat zij voor
een stof als ijzer de voor omkering der spontane magnetisatie
nodige magnetiese kracht zeker duizend maal te groot geeft.
Men kan dus met het molekulaire veld de waargenomen ver-
schijnselen zelfs niet bij benadering beschrijven, en de slotsom
moet zijn, dat de theorie van Weiss om meer dan één reden
onbevredigend is.

De moeilikheden, waarmee men in deze theorie to doen heeft,
vinden alle hun oorsprong in het te sterke molekulaire veld,
dat nodig is om de met de warmtebeweging samenhangende
rotaties der magneetjes in toom to houden. Deze rotaties nu wor-
den behandeld volgens de voorschriften der klassieke mechanica.
Bij de studie van de soortelijke warmte der verschillende stoffen
is echter sedert een aantal jaren gebleken, dat in werkelikheid
deze rotaties een veel minder belangrijke rol spelen dan in de
statistiese mechanica wordt aangenomen: bij eenatomige gassen
kan men er geheel van afzien, en ook bij vaste stoffen worden
ze door Dehye 2) en Bokn en Von Karman s) niet in rekening
gebracht. Het ligt dus voor de hand ook bij do beschouwing
der (vaste) ferromagnetiese lichamen in eerste benadering van
de warm te rotaties af to zien on na to gaan of men op die wijze
kan komen tot een behoorliko verklaring van do verschijnselen,
die niot direkt met tle temperatuur samenhangen.

schrift te geven beschouwingen over het ferromagnetisme met
de mvioed van de temperatuur op de verschijnselen geen reke-
nmg wordt gehouden. Meer in het biezonder zal gelet worden
op het verband tussen de magnetiese eigenschappen en de door
de KoNTGEN-spektroskopie bekend geworden kristalstruktuur der
voornaamste ferromagnetiese stoffen. Wat de wijze van behande-
ling aangaat moge hierbij worden opgemerkt dat in afdeling A
(Hoofdstuk I-H) een aantal bekende theoretiese en experimen-
teele gegevens terwille van de volledigheid worden gerekapitu-
leerd. In afdeling B (Hoofdstuk HI-V) wordt op grond van
een eenvoudige onderstelling een fenomenologiese theorie van
het ferromagnetisme ontwikkeld: een zekere faktor 0 speelt in
deze theorie een voorname rol, en in hoofdstuk V wordt voor
een aantal ferromagnetiese stofifen de orde van grootte van deze
faktor uit experimentele gegevens afgeleid. Afdeling C (Hoofd-
stuk VI—IX) geeft dan een atomistiese theorie van het ferro-
magnetisme, waarin een grootheid blijkt op te treden die in vele
opzichten beantwoordt aan de in afdeling B ingevoerde faktor 0
De waarden die deze grootheid bij modellen als dat van Ewing
m verschillende gevallen kan aannemen worden tenslotte ver-
geleken met de in hoofdstuk V voor © gevonden waarden

De voor de theorie van het magnetisme fundamentele wet
van Coulomb formuleren we als volgt: twee puntvormige mag-
neetpolen, resp. van de sterkte m en in\', stoten elkaar op
afstand r af met een kracht van

In het algemeen moot men zich het magnetisme niet in
punten gekoncentreerd denken, maar kontinu verdeeld over
zekere volumina en oppervlakken. Onder do magnetiese kracht
in een punt P verstaat men nu de kracht die door de in de
ruimte aanwezige hoeveelheden magnetisme oj) een in P ge-
plaatste eenheidspoolquot; zou worden uitgeoefend. Blijkbaar kan
deze kracht H, bij gegeven verdeling van dit magnetisme, met
behulp van do wet van Coulomr voor elk punt P worden
berekend.

Het experiment leert dat in alle magnetiese lichamen of
delen van magnetiese lichamen de totale hoeveelheid mag-
netisme nul is. Denkt men zich nu de verdeling van een
magneties lichaam voortgezet tot men gekomen is aan de
samenstellende molekulen of atomen, dan ligt het voor de hand
deze te beschouwen als elementairmagneetjes met tegengestelde
poolladingen. Het lichaam wordt op die manier een aggregaat
van elementairmagneetjes, en men krijgt het veld van het
lichaam door de velden dezer magneetjes te superponeren.

Daar het door een gemagnetiseerd lichaam veroorzaakte veld
bepaald wordt door de wet van Coulomb kan het met behulp
van de formule

worden afgeleid uit een potentiaal Zoals bekend verkrijgt
men deze potentiaal door de bij de polen der elementair-
magneetjes behorende potentialen bij elknar te tellen.

Bevindt zich in een punt Q een lading van de sterkte m, dan
veroorzaakt deze in een punt P op afstand r een magnetiese
kracht in de richting QP van de grootte:

Het is nu niet moeilik de potentiaal te vinden van een
elementair-magneetje. Dit veld wordt n.l. veroorzaakt door twee
tegengesteld geladen polen, die een zekere afstand l van elkaar

verwijderd zijn. Uit fig. 2 ziet men dat voor de potentiaal mag
worden geschreven

Onder het (magneties) moment A van het magneetje verstaan
we de vektor van de grootte ml, die de richting heeft van de
uit de noordpool naar de zuidpool getrokken verbindingslijn.
Door de uitdrukking

van het centrum van het magneetje met P. Daar het skalaire
produkt van deze vektor met de vektor K gelijk is aan

waarmee voor de potentiaal van het magneetje een geschikte
uitdrukking is gevonden.

Het is van belang uitdrukkelijk op te merken, dat de formule
werd afgeleid in de onderstelling dat de afstand r groot is ten
opzichte van de afstand l der beide magneetpolen. Zij is alleen
streng wanneer de polen oneindig dicht bij elkaar liggen en
een zogenaamde dipool vormen.

De potentiaal van het veld van een aggregaat van elementair-
magneetjes vindt men door de potentialen der afzonderlike
exemplaren bijeen te voegen. Men kan dus in het algemeen,
met de aangewezen benadering natuurlik, schrijven:

Om met de verkregen formule de potentiaal ^ te bepalen
van het door een gemagnetiseerd lichaam veroorzaakte veld
zou men van alle samenstellende elementairmagneetjes de
juiste plaats moeten kennen, en richting en grootte van het
moment Verder heeft deze potentiaal nog het bezwaar, dat

hij binnen het Uchaam sterk en onregelmatig varieert en van
de toestand daar een beeld geeft dat veel gekorapHceerder is
dan aan de waarneembare feiten beantwoordt. Men is daarom
gewoon bij de diskussie van experimenten niet van elk der
elementair-magneetjes afzonderlik het moment A in aanmerking
te nemen, maar dit moment kontinu over de magnetiese lichamen
verdeeld te denken. Men kan dan in elk punt van het lichaam
een vektor M aangeven, de z.g. magnetisatie, die voorstelt het
magneties moment per volume-eenheid. Het totale moment der
in een volume-element c?t aanwezige elementair-magneetjes
moet men zich dan gegeven denken door het produkt M.dr.

die op ^p vóór heeft, dat ze niet afhangt van voor de waar-
neming onbereikbare grootheden. Het magnetiese veld

dat men eruit kan afleiden is buiten de magnetiese lichamen
vrijwel hetzelfde als het door do formule (1,2) bepaalde vehl H,
en binnen dio lichamen vertoont het een kontinuiteit, die in
overeenstemming is mot do resultaten der experimenteel uit-
voerbare metingen.

§ 6. De (jebnühelike voorstelling van de magnetiese poten-
tiaal en de magnetiese kracht als funkties van de
magnetisatie.

Sprekend van hot veld van eon lichaam met eon zokoro
magnetisatie M bedoelt mon in don regel hot veld, dat men
met behulp van do formule (1, 0) uit do potentiaalfunktie

Voor dezo uitdrukking kan, wanneer binnen do gomagneti-
soerdo lichamen de kompononton van M afgeleiden naar do
ruimtekoordinaton bezitten, goschroven worden:

waarbij door d(7 worden voorgesteld de elementen van de
grensoppervlakken der magnetiese lichamen, terwijl Mn de
komponent volgens de naar buiten gerichte normaal n is van
de magnetisatie aan die oppervlakken.

Door de formule (1, 7) te vergelijken met die voor de
potentiaal ip van een enkele pool van de strekte m ziet men
dat men zich het veld van een magneties lichaam veroorzaakt
kan denken door ladingen, die met een ruimtedichtheid — div M
en een vlaktedichtheid ii„ over die lichamen en hunne opper-
vlakken verdeeld zijn: de som dezer ladingen is, zoals verwacht
moest worden, gelijk aan nul, en wel krachtens de bekende
formule

§ 7. Differentiaalvergelijking en randvoorwaarde voor (p.
De magnetiese induktie.

welke laatste betrekking heeft op de grensvlakken der gemag-
netiseerde lichamen. De indices i en u geven daarbij nan of
bedoeld worden de differentiaal-quotienten binnen of buiten
deze lichamen.

Men noemt de vektor B de magnetiese induktie. Hij is van
belang bij de bepaling van de elektriese krachten, die optreden
wanneer van een of ander stelsel van lichaam de magnetiese
toestand verandert.

In het vervolg zal herhaaldelik nodig zijn de kennis van het
veld van een ellipsoide met homogene magnetisatie. Het is
daarom wenselik hier een paragraaf aan dit veld te wijden.

Laat a, b en c (agt;quot;6gt;c) de halve assen zijn van een ellip-
soide. Voor de vergelijking van het grensoppervlak kan men
dan schrijven:

Laat verder Mx, My en M. de volgens de koördinnatassen
ontbonden komponenten zijn van de naar richting en grootte
konstante magnetisatie M. Duiden we met (pi aan de magne-
tiese potentiaal binnen, met (Pn die buiten de ellipsoide, dan
volgt uit (1, 8) dat

terwijl men uit (1,5) gemakkelik kan afleideti dat in het on-
eindige cp nul moot worden, en dat nan het grensoppervlak der
ellipsoide moet gelden do gelijkheid:

doen worden gegeven door de formule (1, 7), die in dit speciale
geval overgaat in:

waarbij de integraal genomen moet worden over het oppervlak
van de ellipsoïde. De direkte bepaling van deze integraal is
echter nogal bezwaarlik, en men bereikt z\'n doel gemakkeliker
wanneer men uitgaat van enige oplossingen van de vergelijking
van Laplace (A = 0), die samenhangen met het bij de ellip-
soïde behorende stelsel van konfokale koördinaten.

voor elke waarde van 0 een tweedegraadsoppervlak voorstelt:
de verschillende oppervlakken hebben alle dezelfde brandpunten
en vormen dus een konfokaal stelsel. Door een gegeven punt
^{x,y,z) gaan van dit stelsel drie oppervlakken: aan degelijk-
heid (1, 16) wordt n.l. bij gegeven x, y, en ^ voldaan door drie
reële waarden van 6. Deze waarden, A, a\' en aquot;, blijken steeds
te voldoen aan de ongelijkheden:

en zijn niet anders dan de konfokale koordinaten van het
punt P. Ligt P op de gegeven ellipsoide, dan is blijkbaar A = 0.

De potentiaalfunkties lt;pi en (pa, die men met behulp van
deze koördinaten kan verkrijgen zijn nu:

waarin a = ^ j (a^ a) {b^ a) (c^ a) j, en waaruit we de
komponenten van de veldsterkte door differentiatie kunnen af-
leiden. Binnen de ellipsoïde is het magnetiese veld blijkbaar
homogeen en heeft men

de ontmagnetiseringskoëfficiënten genoemd worden. Daar n.1.
deze koëfficiënten positief zijn sluiten de vektoren M en B
steeds een stompe hoek in en zijn dus min of meer tegengesteld
gericht.

Wij zullen aantonen, dat de som der ontmagnetiseringskoëffi-
ciënten 1 is. Men heeft:

Heeft men te doen met een afgeplatte omwentelingsellipsoide,
dan heeft men te stellen a = b en krijgt men

ciënten volgens de assen der beschouwde omwentelingsellipsoiden
uitgedrukt als funkties van de excentriciteit. Men kan ze natuurlik
ook uitdrukken als funkties van de verhouding s van de assen
loodrecht op de omwentelingsas tot die as zelf. In de gratiese
voorstelling van fig. 3 vindt men de ontmagnetiseringskoëfïiciënt
als funktie van deze laatste grootheid.

Het magneties veld van een stationnaire stroom kan men be-
palen met behulp van de bekende wet van Biot en Savart. Past
men deze wet toe op een lange solenoide, dan blijkt binnen
deze solenoide een vrijwel homogeen veld te bestaan. In hoe-
verre de veldsterkte H in een op de as gelegen punt P afhangt
van de openingshoeken x^ en «j (zie fig. 4) kan men gemakkelik
aflezen uit de formule:

H = (cos 4- cos «2)»
waaruit tevens blijkt dat deze veldsterkte des te meer nadert

tot het bedrag j\'.c naarmate do solenoide langer is: met j
wordt bedoeld de z.g. stroom per cM., en met c do lichtsnellieid.
Wat de richting van H betreft kan gezegd worden dat deze
past bij die van do stroom. Daar de veldsterkte binnen oen lange
snlenoido alleen afhangt van de stroom per cM. kan zij langs
elektriese weg, b.v door elektrolyse, gemeten worden. Blijkbaar
is zulk een solenoide eon geschikt middel om een homogeen on
konstant magneties veld op to wekken.

Laat gegeven zijn oen stroomkring zonder eigen olektronioto-
rieso krachten, on laat d(T oen element zyn van een oppervlak i:,

van het aantal door de kring omvatte magnetiese induktielijnen
speelt dan de rol van een elektromotoriese kracht en men heeft,
als i en de in rationale eenheden uitgedrukte stroomsterkte
en weerstand in de keten zijn:

waarbij het minteken aanduidt dat de stroom niet past bij de
richting waarin het aantal induktielijnen toeneemt. Neemt dus
in zeker tijdsverloop het aantal door de stroomkring omvatte
induktielijnen toe van

dan stroomt daarbij door elke doorsnee van de kring een hoe-
veelheid elektriciteit

Laat een omwentelingsellipsoide geplaatst zijn in een mag-
neties veld van de sterkte H, dat de richting heeft van de
omwentelingsas, en neem aan dat in diezelfde richting een
(positieve of negatieve) magnetisatie M bestaat. De veldsterkte H
binnen de ellipsoide vindt men dan door H te verminderen met
de ontmagnetiserende kracht AM\', A is hierin de ontmagni-
seringskoëfficiënt van de ellipsoide volgens de omwentelingsas.
Dus:

Men is nu gewoon de magnetisatie niet te beschouwen als
funktie van het uitwendige veld H, maar van liet inwendige
veld H, omdat het verband met H in veel mindere mate afliangt
van de gedaante der ellipsoide. Zelfs wordt in vele gevallen
aangenomen dat do gedaante van do ellipsoide op dit verband
in het geheel geen invloed heeft Echter zal in het vervolg
blijken dat dezo opvatting noch door do experimentele gegevens,
noch door theoretiese overwegingen gerechtvaardigd wordt.

Om uit een door het experiment gegeven jy-H-kromme do
korresponderontio il/-/^-krommo af to leiden kan men gebrnik
maken van oen door Raylkigii aangegeven konstruktie. Trekt
men in eon /U-H-diagram door de oorsprong de rechte mot
richtingskoëfficiënt A\'^ (zie fig. 5), dan beantwoordt aan eon
punt P met abscis PR = 11 en ordinaat PQ = ^IjT oen ont-
magnotisorondo kracht A M, die gegeven wordt door de lengte
Van KS. Dus wordt do inwendige veldsterkte H==ll — AM

voorgesteld door de lengte van SP en krijgt men uit een uit
punten P bestaande M-B-kromme de korresponderende, uit
punten F bestaande, ilf-Mromme door de afstanden PP\' gelijk

Een homogeen gemagnetiseer-
de staaf geeft, in tegenstelling
met een ellipsoïde, een inhomo-
geen ontmagnetiserend veld:
strikt genomen kan daar dus
van een bepaalde ontmagnetise-
ringskoëfficiënt geen sprake zijn.
Wanneer echter de staaf lang
genoeg is is de inhomogeniteit
van ondergeschikt belang en kan men, door het ontmagneti-
serende veld met behulp van een geschikt gekozen koëfficiënt
te benaderen, eenzelfde behandelingswijze toepassen als bij een
ellipsoide.

De voornaamste methoden ter bepaling van de magnetisatie
van staven en, eventueel, langgerekte ellipsoïden zijn de mag-
netometer-methode en de balUstiese methode. Zoals bekend wordt
met de magnetometer de veldsterkte ter plaatse van een gesus-
pendeerde magneetnaald vergeleken met de sterkte van een
bekend richtveld. Met de ballistiese methode daarentegen meet
men veranderingen van het aantal induktielijnen, dat door een
elektriese keten wordt omvat: het is de in de formule (1, 22)
voorkomende grootheid h, die met een ballistiese galvanometer
gemeten wordt.

M
Rlt;	^-—fsf-	--f
		H
	0

Fig. B.

Zowel in de magnetometriese als in de ballistiese methode
kunnen talrijke variaties worden aangebracht. Maast deze twee
zijn er nog andere, minder direkte methoden ter bepaling van
M, die men behandeld vindt in verschillende leerboeken *).

De experimentele gegevens over de magnetisatie van deze
stoffen zijn voor een groot deel vastgelegd in een aantal
krommen, waarin M en H als ordinaten en abscissen zijn uit-
gezet. In de meeste gevallen hebben deze krommen betrekking
op staven en ellipsoiden waarop men, uitgaande van de normale,
niet-magnetiese toestand, een steeds sterker worden veld H laat
werken in de richting van de as. Na de sterkte van dit veld
zo hoog mogelik te hebben opgevoerd laat men het langzaam
tot nul afnemen en vervolgens zo sterk mogelik negatief worden.

om het ten slotte weer zo veel mogelik te doen toenemen.
Brengt men het verband, dat bij zulk een proces tussen M en
H bestaat, in diagram, dan krijgt men eon kromme van hot
type als in fig. 6 wordt weergegeven, on door op dezo kromme
do konstrukte van Rayleigii toe to passen komt men tot oon
7l/-//-kromme, die in hoofdtrekkon lietzoifdo uiterlik heoft,
maar in kwantitatief opziclit minder van do gedaante van de
ellipsoide of van do staaf afhankolik is. Een krommo als in
fig. 6 is aangegeven wordt bij het beschreven proces doorlopen
in de zin OABCDEFGB.

Zoals uit dezo figuur blijkt noemt M eerst evenredig met H
toe, om vervolgens sneller on daarna weer langzamer toe to
nomen. Tenslotte nadert M bij het toenemen van H asymptoties

tot de verzadigingsinagnetisatie Mq. In vele gevallen beschouwt
men de gedaante der „aanloopkrommequot; OAB als het meest
karakteristieke van een ferromagnetiese stof: naarmate het
begin dezer kromme steiler is noemt men dan de stof sterker
ferromagneties.

Zolang ilf en H evenredig zijn is het magnetiseringsproces
omkeerbaar: de faktor k = M:H is de zogenaamde initiaal-
susceptibiliteit. Heeft H eenmaal een zekere waarde overschreden,
en laat men daarna deze grootheid weer tot nul afnemen, dan
neemt M daarbij niet tot nul af, maar houdt een zekere posi-
tieve waarde

Laat men nu het veld H, na het eerst zo sterk mogelik te
hebben gemaakt, tot nul afnemen, dan wordt de waarde, die M
daarbij krijgt, gegeven door de afstand OC: men noemt deze
waarde de remanente magnetisatie. Om deze magnetisatie te
doen verdwijnen is een negatief veld nodig van de sterkte OD,
welk veld men aanduidt met de naam van koërcitiefkracht.
Door het veld nog sterker negatief te maken kan men M laten
naderen tot —Mq-, laat men daarna H weer toenemen, dan
komt men tot de lijn EFGC, die ten opzichte van de oorsprong
het spiegelbeeld is van de lijn EGDE. De lus BCDEFGB noemt

men een hysteresis-lus; zij laat
zien in welke mate de magneti-
satie bij de veranderingen in het
veld achterblijft.

Men kan de staaf in z\'n nor-
male toestand terugbrengen door
H tussen steeds nauwer wor-
dende grenzen te laten oscilleren ;
men krijgt op die wijze een reeks
van steeds kleiner wordende
hysteresislussen, die tenslotte in
^^ ^nbsp;de oorsprong worden samenge-

In fig. 7 stelt de dikgetrokken lijn een deel van een M-H-
kromme voor, dat men zou verkrijgen wanneer H gestadig
toenam. Laat men echter, in het punt D gekomen, deze veld-
sterkte met een klein bedrag f afnemen, om haar vervolgens
weer te laten toenemen, dan heeft men, wanneer £ klein genoeg
is, te doen met een omkeerbaar proces. Neemt men e wat

De figuren 9 — 12 geven hysteresiskrommen voor draden van
week en gehard ijzer, voor een
zeer harde straaldraad, een
nikkeldraad, en een stang van
kobalt. Al deze krommen zijn
ontleend aan het werk van Ewing:
„Magnetic induction in iron and
other metals, New York 1894quot;,
maar op een schaal van rationale
eenheden getransformeerd.

De magnetiese eigenschappen
van de verschillende ijzer- en
staalsoorten hangen, behalve van
hun medianiese en thermiese
voorbehandeling, sterk af van
hun koolstofgehalte,quot; en zijn bovendien zeer gevoelig voor de aan-
wezigheid van enige procenten mangaan, nikkel, wolfraam, en
andere metalen. Intussen kan worden opgemerkt, dat alleen bij

gietijzer de verzadigingsmagnetisatie zeer sterk afwijkt van de
5500 rationale eenheden. Verder gaat dikwijls een grote koör-
citiefkracht gepaard met een kleine remanente magnetisatie.

Wat de mengsels van ijzer en koolstof betreft heeft men door
mikroskopies onderzoek kunnen nagaan in welke vorm de kool-

stof bij verschillende koncentraties in de mengsels optreedt.
Door fig. 13 2) ^-ordt in grote trekken het resultaat van dit
onderzoek aangegeven.

1) Ontleend aan Müller-Pouillct\'s Lehrbuch der Physik, Brannschweiir 1914
Bd. IV, S. 733.

Voorts moet vermeld worden, dat met behulp der Röntgkn-
spektroskopie is uitgemaakt, dat ijzer kristalliseert in een geeen-

treerd kubies net met netkonstante d = 2,83 x 10quot;® oM.
Bovendien is door Wkstgren onderzocht de kristalstruktuur van

nikkelstaal on vnn mangaanstaal: in beido gevallen werden
vlak-gecentrecrd-kuhicso netton gevonden, en wel mot netkon-
stanten lt;/ = 3,58 x lOquot;« cM. on ^^=3,61 x 10quot;» cM.

Bij de metalen nikkel en kobalt zijn door Hull gevonden
vlak-gecentreerd-knbiese netten, resp. met d = 3,540 x 10~® cM.
en d = 3,554 x IQ-» cM.

In verband hiermee moet worden opgemerkt dat de verschil-
lende staalsoorten beslist moeiliker magnetiseerbaar zijn dan
ijzer. Bij ijzer heeft men voor initiaal-susceptibiliteit wel gevonden
de waarde 182 (Ewing, p. 119) en voor de maximum-suscepti-
biliteit de waarde 3000 (Ewing, p. 82), terwijl bij sommige
staalsoorten waarden als 50 en 115 (fig. 10) voorkomen. Men
krijgt in het algemeen de indruk dat een sterke magnetiseer-

baarheid in vele gevallen samengaat met het voorkomen van
gecentreerd-kubiese kristalnetten: ook naar aanleiding van § 6
zal dit worden opgemerkt.

Voor de initiaal-susceptibiliteit van de metalen nikkel en kobalt
vindt men bij Ewing (pp. 91 en 92) de waarden 40 en 75.

Tenslotte nog een woord over de invloed van de gedaante
van magnetiseerbare lichamen op hunne magnetiese eigenschappen.
In de aan Ewing ontleende figuur 14 vindt men /l/-H-krommen
{M uitgezet als funktie van het uittoendige veld H), betrekking
hebbende op een weekijzeren staaf met een lengte van 200 maal
de middellijn, van de helft van diezelfde staaf, en van het
vierde deel ervan. Om M te vinden als funktie van het inwen-

dige veld H moet men de konstruktie van Rayleigh toepassen:
met het oog hierop zijn door de oorsprong de OA, OB en OC
getrokken. De ili-^^T-krommen die men verkrijgt zijn in grote
trekken dezelfde: volkomen identiek zijn ze echter niet, hetgeen
b.v. daaruit blijkt dat de bij H = 0 behorende magnetisaties voor
de drie staven verschillend zijn.

In verband hiermee is van belang het door J. J. Thomson
en H. F. Newall ontdekte feit dat een ijzeren staaf, wanneer
hij in twee stukken is gesneden, die na zorgvuldig polijsten
weer met elkaar in aanraking worden gebracht, veel moeiliker
te magnetiseeren is dan de staaf in z\'n oorspronkelijke toestand.
Het verschil is zo groot dat het bezwaarlik kan worden toege-
schreven aan een luchtlaag tussen de tegen elkaar geplaatste
uiteinden en er moet dus naar een andere verklaring van
het verschijnsel worden gezocht.

Met behulp van de in de draadloze telegrafie gebruikelike
trioden-versterkers is door Barkiiauskn oen verschijnsel ge-

vonden dat enig inzicht geeft in het mechanisme van het mag-
netiseringsproces. Een ijzeren staaf werd daartoe door hem ge-
plaatst in een kleine solenoide, die met een triode-versterker
verbonden was. Wanneer nu een kleine permanente magneet
geleidehk in de nabijheid van de staaf werd gebracht kon in
een met de versterker verbonden telefoon een ritselend geluid
worden waargenomen, dat moest worden toegeschreven aan een
niet geleidelik, maar sprongsgewijs veranderen van de magne-
tisatie van de verschillende delen van de staaf.

De proeven van Barkhausen zijn herhaald en uitgebreid door
van der Pol Deze heeft een draad van week ijzer van 1 mM.
diameter eerst onderzocht met een nauw aansluitende, en later
met een wijde solenoide van 24 mM. diameter. In het eerste
geval bleek het geluid iets sterker te zijn dan in het laatste;
het verschil was echter gering en de gevolgtrekking kon dus
worden gemaakt dat voor elke sprong van de magnetisatie niet
een enkel ijzerkristal verantwoordelik mag worden gesteld, maar
alleen een groep van kristallen waarvan de afmeting in de
lengterichting van de draad vele malen groter is dan de afme-
tingen loodrecht op die richting. Had men n.1. te doen met een
enkel kristal met in alle richtingen ongeveer dezelfde afmetin-
gen, dan zouden de van dit kristal uitgaande induktielijnen
zeker geheel binnen de wijde solenoide moeten verlopen en dus
geen stroomstoot kunnen opwekken.

Wordt de permanente magneet verwijderd, dan neemt de
magnetisatie van de staaf af, hetgeen met het bekende geluid
in de telefoon gepaard gaat. Dit geluid wordt wederom hoorbaar
wanneer men langs mechaniese weg, b.v. door de draad enige
malen te rekken, de nog overgebleven remanente magnetisatie
doet verdwijnen. Is deze eenmaal verdwenen, dan treedt bij
verder rekken het geluid niet meer op.

Echter krijgt men het geluid weer te horen wanneer men de
draad heen en weer buigt: ook een niet to voren gemagneti-
seerde draad geeft trouwens bij ombuigen het geluid, en het
gelukt niet door herhaald ombuigen de intensiteit ervan to doen
afnemen. Men mag dus de konklusio trekken, dat ook in de
niet-magnetiese toestand enige kristallen of kristalgroepen ge-

magnetiseerd zijn, en dat men deze magnetisatie door buigen
veel meer dan door rekken kan beïnvloeden.

Minder intens dan bij ijzer, maar overigens op dezelfde wijze,
treedt het geluid op bij kobalt. Nikkel gedraagt zich anders:
bij dit metaal hoort men niet zozeer een geritsel als wel een aantal
gescheiden tikken. Het meest intense geluid werd waargenomen
bij een draad van nikkelstaal: de optredende induktiestoten
konden bij deze stof ook galvanometries worden geregistreerd.
Zelfs was het mogelik in een il/-Z?-kromme de aard der diskon-
tinuiteiten van M aan te geven. Men ziet in fig. 15 hoe bij het

toenemen van H de magnetisatie telkens enige tijd konstant
blijft om dan plotseling eerst met een sprong en daarna gelei-
delik toe te nemen, en ten slotte weer enige tijd konstant te
blijven. Uit de volgende figuur ziet men dat, wanneer H eerst
is toegenomen, en vervolgens een weinig afneemt om daarna
nogmaals toe te nemen, do magnetisatie in hot tweemaal door-
lopen stuk der magnetisatiokromme geen sprongen vertoont.

Uit do grootte der galvanomotoruitslagon on het aantal op-
tredende sprongen kon als voorlopig resultaat worden afgeleid
dat bij nikkelstaal de diameter der langgerekte kristalgroopen
moet zijn van de orde van 0,05 mM.

In de figuren 17 on 18, resp. voorstellende hystoresis-lusson
van do genoemde draad van nikkelstaal on van eon ijzerdraad
zyn do intervallen AB on CD aangegeven, waar diskontinuiteiten
optreden.

Teneinde een idee te krijgen van de lengte van de groepen
van kristallen, die gelijktijdig hun magnetisatie veranderen, zijn
door van der Pol om de draad van nikkeistaai twee kleine

verschuifbare klosjes aangebracht, die elk met een galvanometer
waren verbonden. Lagen de klosjes dicht naast elkaar, dan gaven

natuurlik de beide galvanometers dezelfde diskontinuiten aan.
Men kon echter de grootste sprongen ook dan nog in heide

De eigenschappen van de ferromagnetiese kristallen zijn in
hoofdzaak onderzocht door Weiss. Van zijn resultaten geven
we een korte samenvatting.

Dit mineraal (Fog OJ komt in betrekkelijk grote kristallen
(Oktaeders en dodekaeders) in de natuur voor. Wkiss heeft ge-
ëxperimenteerd met prisma\'s en met platte schijfjes.

a. Prooven met prisma\'s. Uit drie prisma\'s word een onkel
langgerekt prisma gevormd, dat geklemd werd tussen twee
magnetiseerbare weekijzeren staven. Het middelste der drie
prisma\'s werd dan volgens de ballistiese metliode onderzocht.
Het uitwendige veld H had de richting van de as van dit
prisma, en daar voor deze as steeds een symmetrieas van het
kristal word genomen kon verwacht worden dat do magnetisatie
doze zelfde ricliting zou hebben. Van do ontmagnetiserende

kracht kon dan worden afgezien, en H kon met het inwendige
veld H worden geïdentificeerd.

De resultaten der metingen zijn in fig. 19 samengevat. In de
normale toestand is magnetiet niet magneties. Laat men er
echter een magneties veld H op werken dat men vervolgens
weer tot nul laat afnemen, dan blijft van de verkregen magne-
tisatie Af een fraktie üir als remanente magnetisatie achter. In
de krommen B, T en Q zijn nu M en H tegen elkaar uit-
gezet; de krommen hebben resp. betrekking op prisma\'s die

gesneden zijn volgens een binaire, een ternaire en een quater-
naire as. De krommen B\', T\' en Q\' geven voor die gevallen

Üpmerkelik is dat de kromme
Q geen horizontale, maar een
enigszins hellende asymptoot
schijnt te hebben

b. Proeven met schijfjes. Zes
schijfjes werden onderzocht, allo
van 20 mM. diameter en 0,3 mM.
dikte: twee gesneden volgens
kubusvlakken, twee volgens dode-
kaedervlakken, en twee volgens
oktaedervlakken. De scliijfjes
werden om hun omwentelings-
assen rondgedraaid in een konstant veld H loodrecht op die

assen; in verschillende standen werden daarbij de kompo-
nenten van M volgens en loodrecht op de veldrichting ballisties
gemeten. Fig. 20 geeft de resultaten voor een volgens kubus-
vlakken gesneden schijfje, bij een uitwendig veld van 100
rationale eenheden. De buitenste lijn geeft de komponenten
van M volgens, de binnenste die loodrecht op de richting van
H, als funktie van die richting.

Van dit mineraal is de chemiese samenstelling niet met zeker-
heid bekend. Men heeft voorgesteld de formules Fe^Sg, FcgSg,
FegSjo en dergelike. Behalve sommige uit Morro Velho (Brazilië)
afkomstige exemplaren hebben de kristallen een bladerige struk-
tuur en vertonen in magneties opzicht allerlei anomalieën.

Alleen de eigenschappen van het z.g. normale pyrrhotine
zullen hier besproken worden. De op deze eigenschappen betrek-
king hebbende proeven werden genomen volgens de ballistiese
methode, en ook door meting van de grootte der koppels, die
in bepaalde omstandigheden op uit de kristallen gesneden schijf-
jes en bolletjes werden uitgeoefend.

Weiss kon de resultaten zijner metingen pas ontwarren toen
hij ontdekt bad dat de hexagonaal uitziende pyrrhotine-kristallen
schijnen te bestaan uit drie orthorhombiese kristallen, die in zekere
zin mot elkaar zijn vergroeid. Deze vergroeiing heeft zó plaats, dat
een bepaalde as voor de drie kristallen dezelfde richting heeft;
volgons de gomoonschappolike richting dezer drie assen kan eon
pyrrhotino-kristal niet noemenswaard gemagnetiseerd worden.
Do standen dor drie kristalion zijn verder zodanig, dat zo in
elkaar overgaan bij wenteling om do genoemde as over hoeken
van 120°.

De drie kristallen zijn geenszins golijkelik vertegenwoordigd;
o.a. worden door Weiss gevonden do verhoudingen 100:00,1 : 1G,9;
100: 4,7 : 3,1; 100 : 3 : 0. Enkelvoudige orthorhombiese kristallen
komen blijkbaar niet voor.

Do magnotiese eigenschai)pen van hot enkelvoudige ortho-
rhombiese kristal moeten dus uit dio van twee- on drievoudige

kristallen worden afgeleid. In eerste benadering kan men daarbij
van de hysterese afzien. Zij OZ de as volgens welke een kristal
geen merkbare magnetisatie kan aannemen. Van de beide andere

assen is er één, volgens welke het kristal zeer gemakkelik kan
worden gemagnetiseerd; we duiden deze as aan met OX. Vol-
gens de derde as OY kost het magnetiseren wat meer moeite.

Het vlak XOY wordt door Weiss het magnetiese vlak van het
kristal genoemd. Laat men een veld van bepaalde sterkte in
dit vlak ronddraaien, dan behoort natuurlik bij elke richting
van dit veld een bepaalde magnetisatie. In fig. \'21 wordt voor

volgens Weiss is deze breuk tennaastebij konstant en heeft
de waarde 12,4. De afwijkingen blijken groter naarmate men
met zw^akkere velden te doen heeft. Voor de verzadigings-
magnetisatie werd gemiddeld gevonden de waarde van 167
rationale eenheden.

richting konstant was, en de veldsterkte van nul toenam tot
een grote waarde. De kromnio 1 lieeft betrokking op de ricli-
ting OX, do kromme II op do richting OY. Volgens Weiss is
het zeer aannomelik dat ook liet geringste inwendige veld in de
richting OX tot verzadigingsinagnetisatie aanleiding zou geven
wanneer men maar mot volkomen gave kristallen to doen had.

De susceptibiliteit in do richting OZ is zeer gering en hoogstens
394x10-6, terwijl zo in do richting OY nog 810 xlOquot;* bedrangt.
Aangaando do remanontio merkt Wkiss op, lt;hit do oxperimentolo
Icromme van fig. 24, die betrekking heeft op de richting OX,

er na toepassing van de konstructie van Raylbigh vermoedelijk
zou hebben uitgezien als fig. 25, wanneer de kristallen, waarmee
geëxperimenteerd werd, gaaf waren geweest.

In § 3 is gebleken dat de eigenschappen van ijzer en staal
o.a. zeer sterk afhangen van het koolstofgehalte. Nog merk-
waardiger zijn in dit opzicht de door Heussler \') ontdekte en
naar hem genoemde legeringen, waarvan mangaan het hoofd-
bestanddeel is. Deze legeringen, die voor het overige paramag-
netiese en diamagnetiese metalen bevatten als aluminium, koper
en tin, vertonen sterk ferromagnetiese eigenschappen. Dat deze
eigenschappen in hoge mate van de samenstelling der legeringen
moeten afhangen is duidelik: ook de thermiese en mechanie.se
behandeling hebben echter, evenals bij ijzer en stnal, grote
invloed.

Teneinde omtrent de legeringen van Heussler iets naders te
weten te komen heeft J. F. T. Young met behulp van de
methoden der RÖNTGEN-spektro.skopio de kristalstruktuur van
enige dezer legeringen bepaald. Bovendien heeft hij getracht do
struktuur te vinden van zuiver mangaan, wat eciitor niot ge-
lukt is. De diffraktie-figuur van dit motaal is zeer ingewikkeld
en wijst erop dat men hier niot te doen kan hebben met

kristallen uit het regulaire systeem. Aluminium bleek, in over-
eenstemming met resultaten van Hull en anderen, te bestaan
uit vlak-gecentreerd-kubiese kristalnetten, met netkonstante
d = 4,05 X 10-8 cM., terwijl koper een dergelik resultaat gaf,
met d = 3,60 x lOquot;» cM.

Het onderzoek betrof nu twee legeringen van de metalen
Mn, Al en Cu, van ongeveer dezelfde samenstelling. De voor-
behandeling was niet bekend: de magnetiese eigenschappen
waren echter zeer verschillend.

In de sterkst ferromagnetiese legering, waarin de verzadiging
het gemakkelikst bereikt werd, bleken twee soorten van kris-
tallen aanwezig te zijn, en wel een gecentreerd kubies net met
rf = 2,98 x 10quot;® cM., en een vlak-gecentreerd kubies net met
(/ = 3,70 x 10quot;® cM. De andere legering vertoonde alleen het
vlak-gecentreerde net. Van de netten der zuivere metalen Mn,
Al en Cu werd geen spoor gevonden. Evenals in § 3 blijkt
dus ook hier een sterke nuignetiseerbaarheid samen te gaan met
het voorkomen van een gecentreerd kubies net.

Daar bij ijzer de met de temperatuur samenhangende ver-
schijnselen zeer ingewikkeld zijn beschouwen we eerst fig. 26,

O Door F. Aükkhach {.Moderne Stagnelih, S. 110) outleend na» Hopkikson,
Tram. Roy. Soc., 1889.

metaal hangt af van de temperatuur, en men kan nagaan hoe
bij gegeven veldsterkte de magnetisatie zich als funktie van de
temperatuur gedraagt. In de figuur zijn voor verschillende
veldsterkten krommen getekend, die dit verband weergeven. Bij
temperaturen boven 310° C. blijkt ook bij niet al te zwakke
velden geen magnetisatie meer aanwezig te zijn: men is gewoon
deze temperatuur het CuRiE-punt te noemen, üpmerkelik is dat
bij zwakke velden de magnetisatie bij stijgende temperatuur
eerst toeneemt, om daarna pas te gaan afnemen.

De bij ijzer optredende verschijnselen zijn ingewikkelder, zoals
uit fig. 27^) blijkt. In de .eerste plaats is de ligging van het
CüRiE-punt minder scherp aan te geven. Opmerkeliker is echter
dat, wanneer men ijzer ver boven dit punt (± 768° C.) verhit,
het bij 1270° C. plotseling weer beter magnetiseerbaar wordt.

Blijkbaar ontstaat bij deze temperatuur oen nieuwe modifikatie
van het metaal: gewoonlik wordt deze aangeduid met Fo y. In
de niet-magneti.seerbare toestand spreekt men dan van Fo ß, on
in de normale toestand, bij temperaturen beneden 768°, van Fe «
De eigenschappen van Fox en Fe/3 verschillen van elkaar in
vele opzichten. Zo zijn b.v. de soortelike wärmten geheel onge-
lijk. Weiss heeft ondersteld, dat al deze verschillen gevolg zijn
van het verschil in magnetiese eigenschappen, en dat men

eigenlik van verschillende modifikaties niet mag spreken. Op
grond van de door hem gegeven theorie van het ferromagnetisme
berekent hij dan ook een sprong in de soortelike warmte, die
in behoorlike overeenstemming is met de resultaten van enige
zijner proeven.

Op grond van de in dit proefschrift te geven theorie kan hu
een dergelike overeenstemming niet worden verwacht. Volgens
deze theorie moeten dus Fe« en Fe/3 wel verschillende modifi-
katies zijn, een opvatting, waar trouwens geen enkel positief
gegeven tegen schijnt te pleiten.

Wat remanentie en koërcitiefkracht aangaat merken we op,
dat deze bij toename der temperatuur blijken af te nemen.

De energrie van aargrregaten van elementair-majjneetjes,
die in een magrneties veld zijn greplaatst.

§ 1. De energie van een enkel elementair-magneetje ten
opzichte van het iLitwendige veld.

In de inleiding werd aangekondigd, dat op de basis van
het indertijd door Ewing ontworpen model een theorie van
het ferromagnetisme zou worden ontwikkeld. Men moet zich
volgens zulk een theorie natuurlik voorstellen, dat er in ferro-
magnetiese stoffen atomen, atoomgroepen, of wel delen van
atomen voorkomen, die met vrij draaibare en nagenoeg kon-
stante magneetjes vergelijkbaar zijn. Dus ligt het voor de hand
aggregaten van zulke magneetjes te beschouwen, en de magne-
tiese eigenschappen dezer aggregaten op te sporen. In hoeverre
de hiermee te verkrijgen resultaten ook kunnen dienen voor
de verklaring van para- en diamagnetiese verschijnselen moet
dan achteraf worden nagegaan.

Lmit het te beschouwen aggregaat zich bevinden in een
gegeven uitwendig veld van de sterkte H. De energie van een
enkel magneetje D kan dan worden opgevat als de som van
de energie ten opzichte van dit veld, en van de energie ten
opzichte van het vehl van de overige magneetjes K van het
aggregaat. We stellen door ^ voor de potentiaal van het uit-
wendip veld, door die van het veld ,ler magneetjes R. In
he algemeen zullen alle grootheden, die op de magneetjes R
betrekking hebben, van akcenten worden voorz.ien. We nemen
aan, dat zich geen magnetiese stoffen tot in het oneindige uit-

strekken; uit de potentiaal-definities (1,3) en (1,4) volgt dan,
dat in het oneindige \\Ij en \\p\' beide nul worden van de orde
r-i, wanneer r de afstand is tot een vast punt O.

De energie van D ten opzichte van het uitwendige veld
definiëren we nu als de arbeid, die door dit veld wordt verricht
wanneer het magneetje van z\'n plaats naar het oneindige wordt
gebracht. Is P de plaats van de noordpool, Q die van de zuid-
pool, l de afstand der polen, rn de poolsterkte, en A het magne-
ties moment, dan mogen we voor deze arbeid schrijven:

§ 2. De energie van het magneetje D ten opzichte van
de magneetjes R van het aggregaat.

Met elk der magneetjes R korrespondeert eon bepaalde poten-
tiaalfnnktie. De som dezer funkties is do potentiaalfunktie dio
WO hebbon genoemd. Brengen we nu het magneetje D van
z\'n plaats nnar het oneindige, dan verricht hot veld van do
magneetjes R daarbij een arbeid

Ilot magnootjo D on do magneetjes R hebbon dan ten op-
zichte van olkaar oen potontielo energie fj. Van dezo onorgio
kennen wo do helft too aan D, on do rest aan de magnootjes R.
In totaal vertegenwoordigt dan hot mognootjo D eon enorgio-
bodrag

Teneinde do uitdrukking ^A-grad vorder uit te werken
denken wo ons aggregaat door een kloino om D geslagen bol

met straal p verdeeld in twee delen, die voor resp. de bij-
dragen xf^\'i en ii\'i leveren. De bijdrage -^\'j, afkomstig van het
buiten de bol gelegen deel van het aggregaat, kan, in over-
eenstemming met de formule (1,5), geschreven worden in de
gedaante

alsof buiten die bol het magneties moment kontinu over de
ruimte was verdeeld. Een dergelike formule toe te passen op
de bijdrage -^z\', is natuurlik niet geoorloofd: men kan echter
wel stellen

en achteraf nagaan welke waarde men aan de korrektieterm A
zal moeten geven. In verband met (1, 5) heeft men dan

De uitdrukking (3, 4) voor e moet gesommeerd worden over
alle magneetjes van het aggregaat. Bij deze sommatie maken we
gebruik van liet feit dat de magnetisatie Al zó gedefinieerd is,

dezelfde waarde heeft als de over dat volume genomen som Sa.
Voor de totale energie van het aggregaat mag dus worden
geschreven:

Aangaande de -uitdrukking M- grad A willen we nu onder-
stellen, dat ze alleen afhangt van de magnetisatie M. Ze zal
dan noodzakelik een even funktie van die magnetisatie moeten
zijn, en de eenvoudigste onderstelling die we kunnen maken is
wel die, dat we ervoor mogen schrijven 0 Mquot;^, waarbij de
koëfficiënt 0 niet afhangt van M. Men heeft dan:

en het is deze formule, die ons als grondslag zal dienen voor de
te ontwikkelen fenomenologiese theorie van het ferromagnetisme^).
Heeft men te doen met een anisotroop lichaam, dan zal men
de laatste term moeten vervangen door een term van de gedaante :

Het is van belang hierbij nog op te merken dat men in
deze laatste termen desgewenst ook nog energiebedragen opge-
nomen kan denken van niet-magnetiese aard.

De konstante 0 zal natuurlik van de .struktuur van een
ferromagneties lichaam afhankelik zijn, en dus niet voor al deze
lichamen dezelfde waarde hebben. Wil men een dergelike waarde
tlieoreties afleiden, dan moet men omtrent deze struktuur be-
paalde onderstellingen maken: in de afdeling C wordt voor een
aantal gevallen 0 bepaald.

Teneinde uit do formule (3, 5) de bekende relatie van Maxwell
M = MH H\') - kH
te kunnen afleiden schrijven we eerst do integraal jM\'H\'.dT in
een andere gedaante. Men heeft:

1) Eeu analoge nitdrukking doet dienst als uitgangspunt voor de tlieorie
der dielektrica die voorkomt bij Hklmholtz, Vorte$ungen, Bd. IV, § 62.

Do beschouwingen, die Lokkntz (Throry of electrom, § 117) geeft b^ de
afleiding van de bewegingsvergelijkingen vnn een elektron binnen een ge-
polariseerd lichaam, berusten in de grond op hetzelfde beginsel: door Gans
{Gótt. Nachr., Math. P/ij/»ifc. KL, 1910) is van deze beschouwingen trouwens
reeds gebruik gemankt by het opstellen van een theorie van het ferromag-
netisme, die evenwel verschillende willekeurige en onnodig geapeclaliseerde
onderstelliiigen bevat.

in welke uitdrukkingen door dr worden voorgesteld de elementen
van een volume V, waarvan het grensoppervlak S verdeeld is
in elementen dlt;7. Laat men nu dit volume naar alle kanten
groter worden, zodat S in het oneindige verdwijnt, dan vervalt
de oppervlakte-integraal, en men houdt over de formule:

of, omdat de integrand van de oppervlakte integraal in het
oneindige nul wordt van de orde

waarbij natuurlik, evenals in de formule (3,7), de integralen
genomen moeten worden over de gehele ruimte.

We willen nu nagaan aan welke voorwaarde magnetisatie M
voldoet wanneer de door (3,5) gegeven energie E van ons aggre-
gaat een extreme waarde heeft bereikt. Teneinde de extreem-
voorwaarde te vinden schrijven we voor de energie:

wat: in verband met (3,7) en (3,8) geoorloofd is. In deze for-
mule moet nu, omdat met veranderingen van Al veranderingen
van vp\' gepaard gaan, behalve deze M ook cp\' gevarieerd worden.
De variatie van cp\' geeft echter:

hetgeen gelijk is aan nul omdat de oppervlakte-integraal weer
wegvalt, en omdat AtJ)\' gelijk is aan div M. We behoeven dus
alleen rekening te houden met de variatie van M en vinden:

-t- JsAI • grad lt;?)\'. rfr =ƒ 5 Jf. (OAJ - H — ƒ/\'). rfr - lim ƒ cp\'. . (/lt;r.

waarmee do betrekking van Maxwell gevonden is. In het
volgende hoofdstuk zal echter blijken dat hol extreem niot
noodzakolik oon minimum is: mot enige voorbeelden zal worden
aangetoond dat het, althans wanneer 0 en x negatief zijn, zoor
goed eon maximum kan wezon.

Dat er niettemin steeds een toestand bestaat, waarbij E zo
klein mogelik is, vindt z\'n oorzaak daarin dat de absolute
waarde van de magnetisatie M. niet groter kan worden dan de
verzadigingsmagnetisatie, de magnetisatie die optreedt wanneer
alle magneetjes dezelfde richting hebben. Met deze omstandig-
heid werd bij de diskussie van de variatie van E geeii rekening
gehouden.

Past men de beschouwing, die leidde tot de formule (3, 11),
toe op het geval waarbij de laatste term van (3, 5) door de
uitdrukking (3, 6) vervangen is, het geval dus van een anisotroop
aggregaat, dan blijkt H het skalaire produkt te zijn van M en
de tensor, waarvan de koëfficiënten .., ©gg,.. de kompo-
nenten zijn.

In het vorige hoofdstuk is gebleken, dat in een aggregaat van
magneetjes, waarvan de energie gegeven wordt door een uit-
drukking van de gedaante (3, o), de magnetisatie in een bepaald
punt ten nauwste samenhangt met het daar ter plaatse aan-
wezige magnetiese veld. We kunnen uit dit feit konkluderen
dat in een aggregaat, hetwelk begrensd wordt door een ellipsoide
en dat geplaatst is in een homogeen uitwendig veld, de
magnetisatie homogeen zal zijn. In hoofdstuk I is n.l. ge-
bleken dat in dat geval ook het door het aggregaat binnen
de ellipsoide veroorzaakte veld H\' homogeen is: denken we ons
dit veld op het homogene uitwendige veld H gesuperponeerd,
dan krijgen we binnen de ellipsoide weer een homogeen veld
//=II ^\', dat juist tot homogene magnetisatie aanleiding
moet geven.

We willen de homogene magnetisatie van het aggregaat aan-
geven door M, de energie per cAP door E. Uit de formule
(3, 5) volgt don:

We zagen in hoofdstuk I, dat het veld H\' op eenvoudige
wijze samenhangt met de magnetisatie i\\f binnen onze ellipsoide.
Kiezen we de assen van dit lichaam tot koördinaatassen, en zijn
A, B, C do ontmagnetiseringskoëfficiënten, dan heeft men:

Substitueren we dit in (4, 1), dan vinden we:
E^ - M\'B. Ml ^ {B Q) Ml ^ {C ©) Ml

Heeft men te doen met een anisotroop aggregaat, en wil men
de laatste term van (3, 5) door de uitdrukking (3, 6) vervangen,
dan krijgt men de formule

Door echter het assenstelsel op geschikte wijze te draaien
kunnen we deze formule tot de gedaante (4, 4) terugbrengen.
Nemen we dus deze laatste formule als uitgangspunt, dan be-
handelen we tegelijkertijd isotrope en anisotrope aggregaten:
het gedrag der isotrope aggregaten is in geen enkel opzicht
eenvoudiger dan dat der anisotrope.

Zijn de assen van anisotropie dezelfde als de assen van de
ellipsoide, dan is geen draaiing van het assenstelsel nodig en
heeft men op de oorspronkelike assen al dadelik:

§ 3. Over de toestand zonder uitxoenduj veld. Geen mag-
netisatie of magnetiese verzadiging.

Zijn A, B, C alle positief, dan is blijkbaar E zo klein mogolik
wanneer M = 0. In dat geval is er dus, zolang H = O, geen
magnetisatie.

Anders wordt de zaak, wanneer de koëfficiënten A, B, C niet
alle positief zijn. Is b.v.

dan is E kleiner naarmate il/J groter is. Daar alleen rekening
behoeft te worden gehouden met de voorwaarde

waarin Mq de verzadigingsmagnetisatie voorstelt, komt men ge-
makkelik tot de konklusie, dat E zo klein mogelik is wanneer

We zien hier dus bij afwezigheid van een magneties veld H
steeds een spontane magnetisatie van de grootte Mq optreden
in een der beide a; richtingen. In de volgende paragrafen zal
blijken dat deze spontane magnetisatie nauw samenhangt met
magnetiese hysterèse-vei-schijnselen.

§ 4. Nadere beschouwing van het geval O lt; A lt; B ^ C.
Het uitwendige veld werkt in de richting, die koTres-
pondeert met de koëfficiënt A.

Wanneer het uitwendige veld werkt in de «-richting is
Hy = H. = O, en mogen we voor (4, 4) schrijven :

terwijl aan do stabiliteitsvoorwaardo gt; ^ automaties is
voldaan. Aan do ovenwichtsvoorwaarde kan blykbaar niet
worden voldaan wainieer

zijn en moeten we bij het opstellen der evenwichtsvoorwaarden
rekening houden met de ongelijkheid:

Door een onbepaalde koëfficiënt A in te voeren kunnen we
voor deze evenwichtsvoorwaarden schrijven:

uit welke gelijkheden drie verschillende evenwichtstoestanden
kunnen worden afgeleid. Van deze toestanden blijkt echter

De toestand = i» «labiel wanneer AMolt;ïi: tot
deze voorwaarde voert n.1. de ongelijkheid gt; O omdat
UI^ lt;. 0. Op dezelfde wijze kan men inzien, dat de toestand
= — stabiel is wanneer — A ü/q gt; H.
Men komt dus tenslotte tot het resultaat dat = — ü/q wanneer

en dat = Mq wanneer A ü/q lt; H. Het verband tussen M
en H wordt dus weergegeven door de in fig. 28 getekende
grafiek.

§ 5. Het geval A lt; O, met het uitwendige veld in de
richting der spontane magnetisatie.

Dit geval verschilt van het voorgaande daarin, dat aan de
stabiliteitsvoorwaardenbsp;nooit voldaan kan zijn. We

Om na te gaan wanneer de toestand = stabiel is
schrijven we, voorzover die in aanmerking komt, de totale
variatie van E op:

De hierdoor gegeven ^E moet positief zijn wanneer en UTy
voldoen aan de voorwaarde

De uiterste waarden, die {hMy)^ nu bij gegeven (negatieve)
^Mx kan aannemen worden blijkbaar gegeven door:.

eerste voorwaarde is blijkbaar het meestomvattend wanneer
B gt; 0, de tweede wanneer B lt; 0.
Laat nu H van een grote positieve tot een grote negatieve

waarde afnemen, dan kan men gemakkelik inzien dat M^ = Mf^ zal
blijven totdat B.= A.3Iq indien B gt; O, en totdat H = (A —B)ifo
indien B lt; 0. Op die ogenblikken verandert de magnetisatie
van teken en krijgt men Mx = — -^^o-nbsp;^^^^ daarna H weer

toenemen, dan keert de magnetisatie voor de tweede maal om wan-
neer H= —Ai/o indien Bgt; O, en wanneer H = — (A — B) iJfo

indien B lt; 0. Maakt men dus van het verband tussen M en H
grafiese voorstellingen, dan krijgt men de hysterese-rechthoeken
der figuren 29 en 30. De magnetiese krachten — A Mf^, resp.
_ (A — B) Mq, die nodig zijn om de magnetisatie van teken
te doen veranderen, kan men de koërcitiefkrachten noemen van
de beschouwde aggregaten.

§ 6. Eet al of niet optreden van magnetiese hysterese
afhankelik van de vorm van het aggregaat. De on-
toereikendheid van de beschouwingsioijze met behulp
van de ontmagnetiserende kracht.

We hebben in de beide voorgaande paragrafen gezien, dat
het al of niet optreden van hysterese-verschijnselon bij het door
ons beschouwde aggregaat afhangt van het teken van A. Vol-
gens (5, 3) is echter:

waarin de konstante 0 afhangt van de hoedanigheid van liet
aggregaat, de ontmagnetiseringskoëfficiënt A daarentegen alleen

van de vorm van het begrenzende oppervlak. Of het aggregaat
al dan niet hysterese zal vertonen hangt dus ten dele van de
gedaante van dit oppervlak af.

Teneinde na te gaan in hoeverre met deze afhankelikheid
rekening dient te worden gehouden merken we op, dat de ont-
magnetiseringskoëfficiënten niet negatief kunnen zijn en boven-
dien voldoen aan de betrekkingnbsp;Dus is in
verband met de gemaakte onderstelling A ^ B ^ C :

We kunnen hieruit afleiden dat, wanneer e gt; O, geen hysterese
kan optreden. In dat geval is n.1. steeds ^ 4- © = A gt; 0. Om-
gekeerd zal er steeds, hysterese zijn wanneer 0 lt; —omdat
uit deze ongelijkheid volgt: A lt; 0. Het optreden van hysterese
is echter dubieus wanneer — | lt; © lt; O, en hangt in dat geval
af

van de gedaante van het aggregaat. We komen dus tot de
konklusie dat het aggregaat nooit hysterese vertoont wanneer
© gt; O, altijd hysterese vertoont wanneer 0 lt; — en hysterese
kan vertonen wanneer O gt; © gt; —

We beschouwen het laatste, meest interessante geval, en gaan
na op welke punten de gebruikelike beschouwing met behulp
van de ontmagnetiserende kracht hier verkeerde resultaten
levert. Men moet bij deze beschouwingswijze M niet opvatten
als funktie van het uitwendige veld II, maar van het inwendige
veld H dat men verkrijgt door van H de ontmagnetiserende
kracht A M af te trekken en dat dus gegeven wordt door de
formule

Transformeert men de in de figuren 28—30 gegeven
krommen in ;l/-//-kronimen, dan krijgt men de figuren 31—33^
waaruit ton duidelikste blijkt, dat het gedrag van M volstrekt
niet door dat van // bei)aald wordt. Gaat men b.v. uit van de
door het punt P in fig. 31 aangegeven toestand, en laat mon H toe-
nemen, dan kan daarbij M evengoed afnemen als konstant blijven :
men weet n.1. niet langs welke tak van de iV-//-kromme men
moot bewegen. In de bedoelde toestand H te laten afnemen is
blijkbaar ten enenmale onmogelik : men kan dus ook bezwaarlik
H beschouwen als een geschikte onafhankolik-veranderlike. Het

is verder duidelik, dat de gebruikelike beschouwingswijze met
behulp van de ontmagnetiserende kracht nooit aanleiding zal

kunnen geven tot de onderscheiding van twee verschillende
mogelike gevallen, en men zal dus moeten besluiten, dat het

onwaarschijnlik is dat in de praktijk deze be.scbouwingswijze
steeds tot korrekte resuhaten zou voeren, en dat ze dus meer
dan tot dusverre aan het experiment dient te worden getoetst.

§ 7. De diamagnetiese verschijnselen kunnen op grond
van de gemaakte onderstellingen niet vwrden ver-
klaard.

Zoals reeds eerder is opgemerkt noemt men een stof diamag-
neties, wanneer de door de formule (3,10) gedefinieerde suscep-
tibiliteit K negatief is. De volstrekte waarde van x is voor al deze
stoffen zeer klein, het grootst bij bismuth waar x = — 18 x 10~®.

Dtuir in de door ons gegeven beschouwingen het produkt x©
gelijk is aan 1 zouden deze ertoe moeten leiden in de bekende
diamagnetiese stoffen aan de koëfficiënten © zeer grote negatieve
waarden toe te kennen. We zagen echter dat dergelike waarden
van 0 met een permanente magnetiese verzadigingstoestand
gepaard zouden moeten gaan, geheel in tegenstelling met wat
in werkelikheid wordt waargenomen. Voor een verklaring der
diamagnetiese verschijnselen zijn dus de gemaakte onderstellingen
volkomen ongeschikt: zulk een verklaring zal in een geheel
andere richting moeten worden gezocht.

§ 8. Enige opmerkingen in verband met het door IFem
ondei\'zochte pyrrhotinekristal.

De beschouwingen van § 6 zijn op anisotrope lichamen niet
onveranderd van toepassing. De ongelijkheid O g ^ | behoeft
hier niet te gelden, en in het algemeen zal het lichaam in de

ene richting wèl hysterese kunnen vertonen, terwijl het dat in
een andere richting niet doet. Men kan dus zeer goed begrijpen,
dat een anisotroop kristal als het door Weiss onderzochte pyr-
rhotine een dergelik gedrag vertoont.

In hoofdstuk II werd reeds meegedeeld, dat volgens Weiss
dit kristal orthorhombies is. Het behoort dan tot dezelfde sym-
metrieklasse als het door ons beschouwde aggregaat, waarvoor
de formule (4,4) werd afgeleid. Dus ligt het voor de hand na
te gaan, in hoeverre de eigenschappen van pyrrthotine met be-
hulp van die formule kunnen worden beschreven.

Volgens één der drie kristallografiese assen is pyrrhotine zeer
moeilik te magnetiseren. Kiest men deze richting tot e-as, dan
is duidelijk dat we zullen moeten aannemen, dat de koëfficiënt
C zeer groot is: reeds met een kleine waarde van M\\ korres-
pondeert dan een belangrijke bijdrage tot de energie E. Door
Weiss zijn voornamelijk onderzocht de gevallen, waarbij het
magnetiese veld H loodrecht staat op de richting van moeilike
magnetisatie en dus gelegen is in het a;-y-vlak. In die gevallen
is Hl = O en M^ = O en kan men voor (4, 4) schrijven

Deze uitdrukking voor E zal nu nader onderzocht moeten
worden; we onderstellen daarbij weer A lt; B en behandelen
achtereenvolgens de gevallen A gt; O en A lt; 0.

Daar O lt; A lt; B is aan de stabiliteitsvoorwaardo E gt; O
steeds voldaan. Zolang dus

bepaalde toestand verzekerd. Zijn echter H^, en H,^ van dien
aard, dat we bij de toepassing van deze formules met de voor-
waarde (4,12) in botsing zouden komen, dan inoeten we in
aanmerking nemen dat

zal moeten zijn, en we kunnen dan met invoering van een
onbepaalde koëfficiënt A voor de evenwichtsvoorwaarden schrijven

Wanneer de magnetisatie volstrekt gebonden was aan de voor-
waarde (4,14) zou de stabiliteitsvoorwaarde luiden

en dit brengt mee dat de werkelike stabiliteitsvoorwaarde scherper
moet zijn. Zijn b. v. Mx en My beide positief, dan kunnen IM^
en ^My tegelijkertijd negatief zijn, en aan de voorwaarde Sj ^ gt; O
kan dan alleen voldaan zijn wanneer

Dat dezo voorwaarde voor stabiliteit ook voldoende is kan
men zonder veel moeite inzien. Blijkbaar moeten H^; en Hy
steeds dezelfde tekens hebben als Mx en My.

Wo gaan nu na wat hot vorlooj) zal zijn van do magnetisatie,
wanneer eon konstiuit veld ronddraait in hot magnetiese vlak.
Gedeeltelik golden d.ui do formules (4, 13), waaruit men, omdat
H^ -f IIJ - H», kan afleiden

Tokent men nu in hot z-y-vlak de meetkundige plaats van
de eindpunten van de bij een bepaaldo veldsterkte H behorondo
vektoren M, dan blijkt deze to bestaan uit liet deel van de

ellips (4,18), dat gelegen is binnen de cirkel (4,14), en voor
het overige uit die cirkel zelf, gelijk in fig. 34 is aangegeven.
Werkelik vertoont deze figuur grote analogie met de doorWKiss
gegeven fig. 21.

Tekenen we de figuur voor verschillende veldsterkten, dan
krijgen we steeds dezelfde cirkel, terwijl de ellipsen blijkbaar
gelijkvormig zijn. Neemt men H zeer klein, dan vallen deze
ellipsen geheel binnen de cirkel en wordt bij geen enkele veld-
riehting magnetiese verzadiging bereikt.

nagenoeg konstant is (zie hoofdstuk II, § 5): hij geeft van dit
feit een theoretiese verklaring die in de grond veel heeft van
de hier gegevene. Zeker is dus dat het door ons beschouwde
aggregaat eigenschappen heeft die in zekere zin analoog zijn
aan \'die van pyrrhotine.

We kunnen in dit geval al dadelik opmerken, dat aan de
voorwaardenbsp;nimmer kan zijn voldaan. Dus is het

aggregaat steeds verzadigd gemagnetiseerd en gelden de even-
wichtsvoorwaarden (4,15):

is hier echter niet noodzakelijk minder scherp dan de voorwaarde
(4,17); dit hangt af van het teken van de koëfficiënt B. We
krijgen daardoor twee verschillende gévallen to onderscheiden,
korresponderend met B gt; O en B lt; 0.

Teneinde deze gevallen gelijktijdig te onderzoeken gaan we
uit van de zonder uitwendig veld stabiele evenwichtstoestand,
waarin 3/3. = .l/^, en denken in de y-richting een veld aan-
gebracht, dat we van nul tot een zekere grote waardo laten
aangroeien. Wanneer dit veld zo sterk is geworden dat de
magnoti.satie do y-richting heeft gekregen is My^M^ en hebben
WO volgens (4, 15):

Blykbaar wordt door deze formule het zwakste veld gogevei\\
dat de toestand, waarbij My=MQ, stabiel kan maken; dus heeft
a do kleinste waarde, die voldoot aan (4, 17) en (4,21), d.w.z
de waarde — A. Men heeft derhalve:

Gaan we nu weer uit van de toestand zonder veld, waarbij
= maar laten nu het veld van nul aangroeien in de
de negatieve a;-richting, dan is op het ogenblik dat de magne-
tisatie van teken zal gaan omkeren

Het is nu niet moeilik na te gaan hoe het verloop van de
magnetisatie zal zijn wanneer we uitgaan van de toestand,
waarbij M^^Mq, met een veld in de positieve a;-richting, en
we dit veld in het ar-7/-vlak tegen de wijzers van het uurwerk
in laten ronddraaien.

a.nbsp;Is H lt; B — A, dan schommelt de magnetisatie om de
positieve a;-as, zonder ooit het eerste en het vierde
kwadrant te verlaten.

b.nbsp;Is B — A lt; H, dan volgt de magnetisatie het veld in
die zin, dat beider richtingen zich steeds in hetzelfde
kwadrant bevinden. Deze richtingen passeren gelijktijdig
de koördinaatassen.

b.nbsp;Is — A lt; H lt; B — A, dan bereikt H de y-richting
zonder dat ook de magnetisatie die richting aanneemt.
Draait echter H verder door naar de negatieve x-richting,
dan komt er een ogenblik, waarop de magnetisatie abrupt
van het eerste naar het tweede kwadrant overslaat om,
wanneer H de negatieve a;-richting heeft bereikt, die-
zelfde richting te hebben aangenomen.

c.nbsp;Is B — A lt; H, dan heeft men hetzelfde als in het vorige
geval onder b.

De hier behandelde gevallen, waarbij A lt; O, blijken nogal
aanmerkelik van het geval, waarbij A gt; O te verschillen. Het
geval Agt;0 vertoont verreweg de meeste analogie met de ver-
schijnselen, die door Weiss bij pyrrhotine zijn waargenomen.
Echter vinden we daarbij in onze beschouwingen geen spoor van
hysterese. Enige hiermee samenhangende kwesties zullen in
hoofdstuk IX worden besproken.

§ 1. Inleidende opmerkingen over het mechanisme van
het magnetiseringsproces bij ijzer, nikkel en kobalt.

Bij de bespreking van het efifekt van Barkhausen, in hoofd-
stuk H, § 4, is gebleken, dat bij de magnetisering en ontmag-
netisering van ijzer, nikkel en kobalt de magnetisatie telkens
sprongsgewijs verandert, en dat de sprongen moeten worden
toegeschreven aan het gelijktijdig plotseling van richting ver-
anderen van gehele groepen van elementair-magneetjes. Deze in
magneties opzicht cohaerente groepen bleken in vele gevallen
langgerekt van vorm te zijn, met de lange as in de richting
van de magnetisatie: we willen aantonen dat men dit laatste
feit ook op zuiver theoretiese gronden kan verwachten.

Beschouw daartoe een zeer lange ijzeren cylinder, waarin de
ontmagnetiserende kracht kan worden verwaarloosd. Volgens de
as van deze cylinder werkt een uitwendig magneties veld H,
dat met een magnetisatie M in diezelfde richting samenhangt.
Zij G in dit stuk ijzer een cohaerente groep van elementair-
magneetjes. Tot op zekere hoogte zal de gedaante van zulk een
groep benaderd kunnen worden door die van een ellipsoide.
Buiten deze ellipsoide bevinden zich dan andere groepen van
magneetjes, die in de door G ingenomen ruimte een zeker
magneties veld veroorzaken.

We gaan na wat de sterkte H\' is van dit veld voor het geval
dat een der assen van de ellipsoide de richting heeft van de
magnetisatie (zie fig. 35). De ontmagnetiseringskoëfiiciënt volgens
deze as stellen we voor door A. Denken we ons dan het ijzer
homogeen magneties, maar de ruimte, waarbinnen zich de

groep G bevindt, ledig, dan zal het veld binnen die ruimte een
bedrag A M sterker zijn dan het uitwendige veld H, dus :

Beschouw nu in verband biermee de in fig. 18 weergegeven
hysteresiskromme voor een weekijzeren draad. Is onder invloed
van een sterk veld de magnetisatie nagenoeg verzadigd geworden,
en laat men in die toestand H tot nul afnemen, dan neemt de\'
magnetisatie daarbij niet meer af dan van 5400 tot 3800 een-
heden, en op het ogenblik dat iï = O is geworden heeft men

eenheden afgenomen wanneer // de waarde van —1,2 een-
heden heeft bereikt. Op dit ogenbHk is blijkbaar

en het is duidelik dat do magnetisatie van do groep G alleen
dan van riciiting veranderd kan zijn wanneer dit bedrag H\'
negatief is, dus:

Hot is duidelik dat voor sommige groepen G do koöfiiciënt A
groter, voor do meeste echter kleiner moot zijn dan het bedrag
0,0007. Om in verband hiermee enig idee to krijgen van do
vorm dor groepen merken we op, dat een omwentelingsellipsoide

volgens de as een ontraagnetiseringskoëfficiënt 0,0007 heeft wan-
neer de assenverhouding ongeveer is als 1: 70. We moeten dus
aannemen, dat een groep van cohaerente elementairmagneetjes
een groot aantal kristallen omvat, die een lange rij vormen in
de richting van de magnetisatie. De verhouding 1 : 70 van de
diameter tot de lengte is in verband met enige door van der Pol
gegeven getallen volstrekt niet onaannemelik groot. Deze toch
komt voor nikkel tot gemiddelden van 0,05 mM. en 7 cM., wat
een verhouding geeft van 1: 1400.

§ 2. Over de cohaerente groepen van elementair-magneet] es
en hunne magnetiese eigenschappen.

Nu gebleken is dat in een ferromagneties metaal de cohae-
rente groepen van magneetjes zeer langgerekt van vorm zijn, en
dus wel moeten bestaan uit een groot aantal elementairkristallen,
ligt het voor de hand na te gaan in hoeverre men kan ver-
wachten, dat deze groepen vergelijkbaar zijn met de ellipsoïden,
waaróver in het vorige hoofdstuk werd gesproken. We willen
bij de bespreking van deze vraag uitgaan van de onderstelling,
dat de elementair-kristallen, op zichzelf beschouwd, in hunne
magnetiese eigenschappen met deze ellipsoïden overeenkomst
vertonen, en dat de in hoofdstuk III, § 3, ingevoerde koëfficiënt
0 voor de verschillende kristallen van eenzelfde metaal dezelfde
waarde heeft.

We beschouwen eerst twee identieke omwentelingsellipsoiden,
met ontmagnetiseringskoëfficiënt A in de richting van de om-
wentelingsas, B in de richtingen loodrecht daarop. Neem aan,
dat de assen in eikaars verlengde liggen (fig. 36), en zij v het

Om de wederkerige energie op eenvoudige wijze te kunnen
uitdrukken nemen we aan, dat de afstand r der centra groot is
ten opzichte van de afmetingen der ellipsoiden. De komponenten
van het bij benadering homogene veld, dat door de eerste
ellipsoide ter plaatse van de tweede wordt veroorzaakt zijn dan

Neem nu aan dat een uitwendig veld H werkt in de richting
van de a:-as. Wanneer we dit veld eerst een grote positieve
waarde geven, en vervolgens op willekeurige wijze af- en toe
laten nemen zullen zich de beide ellipsoiden op dezelfde wijze
moeten gedragen en wel zal steeds

moeten zijn : uit de fonnule voor E^j blijkt n.l. gemakkelik dat
Miy en M^y zeker niet hetzelfde teken zullen hebben, en M^.
en M2t evenmin. Voor de energie per cM^ mag dus geschreven
worden

welke formule naar de vorm geheel vergelijkbaar is met de
formule, die in hoofdstuk IV, §g 4 en 5, als uitgangspunt diende.
Naar analogie met het daar gevondene kunnen we zeggen dat,
wanneer

De ellipsoiden vertonen, elk voor zich genomen, in het geval
A lt; B hysterese wanneer A lt; O, Nu is, wanneer A lt; B, zeker
voldaan aan (5, 4), en wanneer dan bovendien nog

is het duidelik dat, terwijl het stelsel van twee ellipsoiden wèl
hysterese vertoont, dit met elk dezer lichamen afzonderlik niet
het geval zal zijn.

We kunnen uit de hiermee verkregen resultaten konkluderen
dat het beschouwde stelsel van twee ellipsoiden, wat magnetiese
eigenschappen betreft, geheel vergelijkbaar is met een enkele
langgerekte ellipsoide. Het al of niet optreden van hysterese is
daarbij geheel afhankelik van de afstand der beide lichamen
en het is zeer goed mogelik dat do ellipsoiden, elk op zichzelf
genomen, geen hysterese vertonen, terwijl het stelsel dat wel
doet. Dit resultaat is begrijpelik omdat do beide ellipsoiden
elkaar als het ware vasthouden.

voor het al of niet optreden van deze hysterese van beslissende
invloed kan zijn willen we nog aan een ander voorbeeld toe-
lichten. Laat de lichamen weer parallel georienteerd zijn, en
wel zo, dat de verbindingslijn der centra (die we tot ?/-as kiezen,
zie fig. 37) loodrecht staat op de richting van de ontmagneti-

zodat de ellipsoiden, elk op zichzelf genomen, hystèrese vertonen,
en beschouw de toestand, waarbij

quot;\\Vo willen laten zien, dat deze toestand zeer goed instabiel
kan zijn en dat dus bij het stelsel volstrekt geen hysterese aan-
wezig hoeft te wezen. De sterkte van het door de eerste ellipsoide
voroorzimkto veld ter plaatse van de tweede ellipsoide is, wan-
neer r weer do afstand is van do centra

-^_3/,gt;(A-B)il/o of A -^-I3lt;0 indien B lt; 0.
Dat aan deze voorwaarden volstrekt niet voldaan behoeft te

zijn is duidelik. Men ziet bovendien gemakkelik in, dat voor
stabiliteit verder noodzakelik, en tevens voldoende is, dat de
energie van het stelsel in de toestand, waarbij = is,
kleiner zij dan in de toestand waarbij My = Mq. Daar de waarden
dezer energieën resp. bedragen

en de stabiliteit van de toestand, waarbij Mx = Mq, is dus blijk-
baar verzekerd wanneer

Het gedrag van het hiermee beschouwde stelsel is in zoverre
ingewikkeld, dat zich niet minder dan vier stabiele evenwichts-
toestanden kunnen voordoen, n.1. de toestanden waarbij M^ = Mq,
Mx = — Mq, M\'ix = ™et Mix = — Mq, en Mix = — Mq met
Mix = Mq. Met een enkele ellipsoide is het stelsel dus slechts
ten dele vergelijkbaar. •

Beschouwden we tot dusver stelsels van quot;twee identieke ellip-
soiden\', we willen tans nagaan waartoe we komen wanneer we
de onderstelling van deze identiteit laten vallen.

Laat b.v. de ellipsoiden gelijkvormig zijn, maar niet kongruent.
De ontmagnetiseringskoëfficiënten zijn in dat geval voor de
beide lichamen nog gelijk, maar de volumina v^ en v^ ver-
schillen, Plaatsen Ave de lichamen weer met de lange assen in
eikaars verlengde, en is r weer de afstand der centra, dan
mogen we voor de energie schrijven:

E = I A B (M?, -i- Ml)\\ - ^ {2M,x M-^ - M,y M.^y - M,, M^^ -f
-y 1 A W-L 4- B [Mly 4- Mi) { - II (y, Mix v^M2x)...... (5, G)

We nemen aan dat de eerste ellipsoide het grootst is en kunnen
dan de volgende gevallen ondersclieiden;

In dit geval vertonen de ellipsoiden, op zichzelf genomen,
hysterese. Het stelsel zal dan ook hysterese vertonen, en wel
zal de- magnetisatie in de a;-richting van positief naar negatief
overslaan wanneer het op de eerste ellipsoide werkende veld
kleiner-wordt üan het tegengestelde van de koërcitiefkracht
dier ellipsoide. Daar voor de sterkte van dit veld mag worden
geschreven: •

Dat de\'tweede ellipsoide van magnetisatierichting zal omkeren
zodra de eerste daarmee begint volgt daaruit, dat het veld ter
plaatse van de tweede ellipsoide zwakker is dan het tegengestelde
van de koërcitiefkracht, zodra de verandering in de eerste
ellipsoide heeft plaats gehad.

vertonen in dit geval, op zichzelf genomen
geen hysterese. Gemakkelik. is na te gaan wanneer ook het
stelsel geen hysterese zal vertonen. Laat men H van een zeer
grote waarde afnemen, dan zal, wanneer er geen hysterese is
het -eerst de magnetisatie in de grootste ellipsoide geleidelik
gaan afnemen. Deze afname begint op het ogenblik dat de
veldsterkte binnen deze ellipsoide,

Neemt H verder af, dan zal, zolang de tweede ellipsoide ver-
zadigd gemagnetiseerd blijft, de magnetisatie van de eerste
ellipsoide gegeven worden door:

Wanneer deze uitdrukking aan AMq gelijk geworden is zal
ook in de tweede ellipsoide de magnetisatie gaan afnemen: op
dit ogenblik is blijkbaar

en voor nog kleinere H kan de evenwichtstoestand gemakkelik
bepaald worden op grond van de uitdrukking (5,6) voor de
energie. Van deze uitdrukkingen hebben we blijkbaar alleen
nodig de bestanddelen, die afhangen van Mix en dus

Een toestand, waarbij de volstrekte waarden van Mix on M^v
beide van Mq verschillen, kan dus alleen stabiel zijn wanneer

In de formule (5, 9) is dan het rechterlid po.sitief, en hetzelfde
kan gezegd worden van do grenswaarde van II :

kan nu gemakkelik in figuur worden gebracht. Zet men het
totale magnetiese moment uit tegen de magnetiese kracht H,
dan vindt men een gebroken lijn met 4 knikken, (fig. 38).

de door de formule (5, 9) voor H gegeven waarde is dan nega-
tief, en wanneer bij het afnemen H deze waarde wordt bereikt
zal de magnetisatie van do tweede ellipsoide plotseling van
teken veranderen en negatief verzadigd worden. Ook de magne-
tisatie van do eerste ellipsoide, die de waarde

had, zal daarbij overslaan naar de negatieve waarde tegengesteld
aan die, welke behoorde bij het tegengesteld gerichte veld van

totale magnetiese moment in teekening te kunnen brengen (fig. 39)
resumeren we de volgende resultaten:

Een karakteristiek geval, dat bij benadering kan worden
behandeld, is dat van een keten van identieke omwentelings-
ellipsoiden, die met de assen in eikaars verlengde liggen. Denken
we ons voor het gemak deze keten oneindig lang, dan zal de
afstand van een bepaalde ellipsoide tot de overige ellipsoiden
bedragen r, 2r, enz., wanneer r de lange as der lichamen voor-
stelt (fig. 40).

dan is f de assenverhouding, en zijn dus de ellipsoiden lang-
gerekt indien f lt; O, afgeplat indien f gt; 1, en geldt de formule

benadering geeft ziet men in wanneer men opmerkt dat zij voor
£ = 00, d. w. z. wanneer de keten van ellipsoiden in een oneindig
lange cylinder is overgegaan, zou moeten leiden tot een koër-
citiefkracht — ©A/q: in de formule komt 0 in het gelieel
niet voor, en de eruit voortvloeiende koërcitiefkracht is on-
eindig groot. De eerste formule daarentegen is minder ver-
werpelik en is b.v. voor 0gt;—0,1 vermoedelik wel te gebruiken
zolang fgt;l. Men kan nu uit het onderstaande tabelletje zien
in hoeverre een keten van identieke ellipsoiden meer hysterese
vertoont dan elk der ellipsoiden afzonderlik, en in welke mate
deze hysterese achterstaat bij die van een oneindig lango cylinder.
Stelt men do koërciefkracht voor door Hg, dan bedraagt voor
elk der ellipsoiden afzonderlik == - (yi ©) en voor
een oneindig lange cylinder Hc = —@Mq. In de tabel wordt
met Hc bedoeld de koërcitiefkracht voor de koten van ellip-
soiden.

§ 5. Bepaling van de orde van grootte van enige kori-
stanten bij ijzer, staal, nikkel en kobalt.

We zagen dat reeds bij de magnetisatiekroramen van stelsels
van twee ellipsoiden van een grote verscheidenheid kan worden
gesproken. Dat in werkelikheid bij een stof als ijzer een nog
veel groter verscheidenheid wordt aangetroffen kan dus niet
verwonderen, en evenmin dat bewerkingen als uitgloeien, tem-
peren en uitrekken op het magneties gedrag van dit metaal van
beslissende invloed zijn. Dat n.l. door deze bewerkingen de
samenhang der elementairkristallen sterk kan veranderen ligt
voor de hand, en dat bijmengels van koolstof, wolfraam, en
dergelike eenzelfde effekt kunnen hebben kan evenmin verbazen.

We willen tans nagaan hoe we ons het magnetiseringsproces
van de metalen ijzer, nikkel en kobalt hebben voor te stollen.
Reeds vroeger werd opgemerkt, dat een aantal langgerekte aggre-
gaten van elementairkristallen, met de assen in do richting van
de magnetisatie, als oenheden moeten worden opgevat: do mag-
netiese toestanden van de verschillende kristalletjes van zulk een
aggregaat hangen tgn nauwste met elkaar samen. Het ligt voor
do hand do eigonschappon dezer aggregaten te vergelijken met
die van do langgereksto ollii)Soiden, waarvan in het vorige hoofd-
stuk sprake was. Het gedrag van deze ellipsoiden werd bepaald
door do waarde van een konstante

waarvan do beido bestanddelen respektiovelik afhingen van de
gedaante van liet lichaam en van do aard van do stof waaruit
l»ot wjLs samengestold. Het al of niet optreden van hysterese
liing af van het negatief of positief zijn van A.

We denken ons nu de te beschouwen langgerekte aggregaten
verdeeld in een groep inèt en een groep zonder hysterese, en
stellen ons voor, dat de inagnetisatiekroramen dezer groepen ten
ruwste benaderd worden door de figuren 28 en 29. De konstante
A denken we ons echter niet als som van twee, maar van drie
bestanddelen:nbsp;^nbsp;-

! ■ ■quot; • \' ■•
waarvan A alleen afhangt van de vorm van het aggregaat, 0

We willen nu nagaan in hoeverre we uit bekende magnetisatie-
krommen kunnen besluiten tot de orde van grootte der konstanten
A, A, Q en

We gebruiken als uitgangspunt de aan van der Pol ont-
leende en in fig. 18 weergegeven hysteresiskromme. Bij de
teruglopende tak dezer kromme zien we, dat de magnetisatie
sterk afneemt wanneer H afneemt van 1,5 tot - 0,7 eenheden.
Van diskontinue sprongen der magnetisatie is hierbij nog niet
te merken, en we moeten dus aannemen dat hier de verandering
van magnetisatie is toe te schrijven aan de aanwezigheid van
kristal-aggregaten, die een magnetisatiekromme hebbon als in
fig. 28 wordt aangegeven. Deze aggregaten moeten tamelik lang-
gerekt zijn omdat anders de sterke magnetisatie der omgeving
de oorspronkelik bestaande verzadiging in stand zou houdon.
Hadden we te doen met oneindig lange cylinders, dan zou de
magnetisatie der omgeving in het geheel geen invloed hebben.
Wanneer de verzadigiiigsmagnetisatio van zulk oen cylinder
5400 eenheden bedraagt, en deze magnetisatie begint af te nomon
bij een veld H van 1,5 eenheden, dan moet ©4-3 de waarde
1,5:5400 = 0,00028 hebben. Beschouwen wo in\'plaats van een

cylinder een langgerekte ellipsoide met ontmagnetiseringskoëffi-
eiënt A, dan is op het ogenblik dat de magnetisatie begint af
te nemen

en wanneer men stelt B == 1,5 enquot;^ Af == 4300 = 0,8\'Mq leidt
men hieruit af:

zodat men mag aannemen dat de maximale waarde van 0 -f §
van de orde is van 0,0003. ■

Diskontinniteiten in de magnetisatie beginnen op te treden
wanneer H^ kleiner wordt dan — 0,7 eenheden. Voor deze dis-
kontinuiteiten moeten verantwoordelik worden gesteld kristal-
aggregaten met magnetisatiekromnien

van het in fig. 29 weer-
gegeven type. Bij een inwendig veld H=- 0,7 zullen plotseling
die aggregaten van magnetisatierichting veranderen waarvoor,

en door in deze formule de getalwaarden H = 0,7 en A/ = 3000 =
0,0 A/q te substitueren vinden we:

waaruit volgt dat gezegd mag wohlen dat voor de aggregaten,
die\' het eerst diskontinniteiten veroorzaken, de positieve groot-
heid — (0 5) niet groter kan zijn dan van do orde van
ongeveer 0,0003.

•Voor de aggregaten, die het laatst een plotselinge verandering
van magnetisatie vertonen, behoeft deze orde van grootte geen
andere te zijn. Men heeft hier n.l.

dichter of minder dicht bij de 0,00035 ligt. Blijkbaar wijst dus
de magnetisatiekrorame van de beschouwde ijzerdraad erop, dat
voor de meest op de voorgrond tredende langgerekte kristal-
aggregaten de volstrekte waarde van de grootheid 0 S hoog-
stens is van de orde van 0,0004.

Op nikkeistaai heeft betrekking de aan van der Pol ont-
leende figuur 17. De verzadigingsmagnetisatie bedraagt hier
ongeveer 3500 eenheden, en wanneer het uitwendige veld af-
neemt van 15 eenheden tot nul is de afname der magnetisatie
tamelik regelmatig. Diskontinue sprongen beginnen op te treden
bij een veld van — 0,7 eenheden. Voor — (© -f 3) voert dit tot
een maximale waarde van 0,7 :8500 = 0,0002, en daar de dis-
kontinuiteiten ophouden bij een veld van — 3,8 eenheden is
het niet nodig dat we — (0 -f 5) groter onderstellen dan van
de orde van 3,8 : 3500 = 0,0011.

De magnetisatiekrommen der verschillende staalsoorten ver-
tonen een grote verscheidenheid: in sommige gevallen wijken
ze zozeer af van het normale type dat men ze met de reeds
beschouwde krommen onmogelik kan vergelijken. Zo is het bij
de kromme van fig. 10 niet mogelik door een analogie-redene-
ring aan te geven in welk gebied de magnetisatie haar diskon-
tinuiteiten zal moeten vertonen. Wel kan men als zeker aannemen
dat het punt van de teruglopende tak, waarvoor M = O is, tot
dit gebied zal behoren. Daar de koërcitiefkracht 12,8 eenheden
bedraagt en de verzadigingsmagnetisatie zeker niet groter is dan
4000 eenheden vinden we voor de grootheid - (0 3) een
orde van grootte van 12,8:4000 = 0,0032. Grotere waarden
voor deze grootheid dan ongeveer 0,004 zijn ter verklaring van
de eigenschappen der verschillende staalsoorten vermoedelik
met nodig. De koërcitiefkracht van wolfraamstaai is n.1. onge-
veer even groot als die van de liier beschouwde staalsoort, en
nog grotere koërcitiefkrachten zijn niet waargenomen.

De figuur H, betrekking hebbende op een nikkeldraad, geeft
een verzadigingsmagnetisatie aan van 1500 eonhedon bij een

koërcitiefkracht van 2,25 eenheden. De orde van grootte van
— (B S) kan dus geschat worden op 2,25 : 1500 = 0,0015.

Voor kobalt vindt men mt fig. 12 voor deze grootheid de
orde van grootte 3,5 : 2900 = 0,0012.

We kunnen, met het oog op de gemakkelikheid waarmee
week ijzer kan worden gemagnetiseerd, zonder bezwaar aan-
nemen, dat in een verzadigd gemagnetiseerde, lange staaf van
dit metaal nagenoeg alle elementairkristallen in de richting der
magnetisatie verzadigd magneties zijn. We zijn tot de konklusie
gekomen, dat onder deze omstandigheden er langgerekte reeksen
van elementairkristallen zijn, langgerekt in de richting der mag-
netisatie, die in zekere zin als zelfstandige aggregaten kunnen
worden beschouwd en waarin bij het negatief worden van het
uitwendige veld alle delen gelijktijdig en in onderling verband
het teken hunner magnetisatie veranderen. Dat de vorming van
dergelike ketens ook werkelik kan worden verwacht ziet men
aan de in de §§ 2 en 3 behandelde voorbeelden, waarbij twee
met de lange assen in eikaars verlengde liggende ellipsoiden in
magnetisch opzicht een zeer uitgesproken samenhang bleken te
kunnen vertonen. Wanneer we trouwens het veld beschouwen,
dat op een binnen een stuk ijzer liggend elementairkristal werkt
tengevolge van de magnetisiitie dor omgevende kristallen is het
wel duidelik, dat het magneties gedrag van dat kristal in hoofd-
i\'-aak samenhang zal moeten vertonen met de naburen, die er
een rij mee vormen in de richting van de magnetisatie.

Beschouw nu do in fig. 9 weergegeven magnetisatiekrommen
voor een weke en een door uitrekking geharde ijzerdraad.
Blijkbaar wordt hot weke ijzer veel gennikkeliker gemagneti-
«eerd en ontmagnetiseerd dan hot geharde, ^ren kan dit feit
begrijpelijk maken door de zeer plausibele onderstelling, dat in
^veek ijzer do elementairkrisUillen a priori een vee geringere
««unenhang hebben dan in het geharde metaal. Hierdoor zal m
hot eerste geval do vorming van .sanienn gnbsp;,

\'.ich uitsluitend naar het uitwemlige veld en naar de magneti-
««Uio richten, gemakkeliker plaats hebben dan in het tweede ;
iquot; bet eersti geval zullen zodoende meer knsUillen .leel uit-

maken van de aggregaten, die aan de hysterese en het ge-
makkehk magnetiseerbaar zijn meewerken, dan in het tweede,
terwijl in dit tweede geval de aggregaten, die zich wèl naar de
magnetisatie en het uitwendig veld richten, en waarin dus de
door deze oorzaken in het leven geroepen samenhang door een
mechaniese samenhang wordt gesteund, een sterke hysterese
moeten bezitten en daardoor tot een grotere koërcitiefkracht
aanleiding kunnen geven. We willen verder op deze kwestie
niet ingaan omdat we daardoor te veel in gissingen zouden
moeten vervallen.

Van belang is echter nog de opmerking, dat het in hoofdstuk II,
§ 3, besproken effekt van Thomson en Newall op grond van
onze hypothesen op zeer aannemelike wijze kan worden ver-
klaard. Verdeelt men n.1. een ijzeren staaf in twee stukken,
dan wordt daarbij zonder twijfel de oorspronkelik aanwezige
samenhang tussen verschillende elementair-kristallen verbroken,
en dat dit van invloed kan zijn op de magnetiese eigenschappen
spreekt vanzelf.

In hoofdstuk II, § 3, werd opgemerkt, dat het begin van het
magnetiserings^Droces omkeerbaar is; wanneer men op een niet-
magneties stuk ijzer een veld laat werken gaat er pas hysterese
optreden wanneer de sterkte van dit veld een bepaald bedrag
heeft overschreden. We moeten ons dus voorstellen, dat niet
onmiddellik tussen de verschillende kristallen de samenhang
aanwezig is, die tot hysterese aanleiding geeft. Wel mag men
aannemen, dat de vorming der hiervoor nodige aggregaten zeer
spoedig begint, en dat in een eenmaal gevormd aggregraat do
samenstellende kristalletjes reeds bij zwakke uitwendige velden
de magnetiese verzadiging nabij komen Het ontstaan van do

1) In tegenstelling hiermee gaat Ewino {Phil. May. Vol. 1922, p. 493)
nit van de onderstelling dat ook in niet gemagnetiseerd yzer alle kristallen
magneties ver^digd zyn: naar buiten wordt echter van magnetisatie pas
iets merkbaar wanneer door een uitwendig veld voor een aantal van deze
kristallen de richting der magnetisatie is veranderd. Op grond van deze
voorstelling komt nu Ewino in konflikt met experimentele gegevens, en dit
konflikt heeft hein er toe geleid z\'n model te verwer{)en en door een ander,

definitieve samenhang zal men zich n.l. zo moeten denken dat
eerst onder invloed van het uitwendige veld een kleine magne-
tisatie ontstaat, en dat dan de kristallen, die het meest door
dit veld zijn beïnvloed, op hun naburen een magnetiserende
werking gaan uitoefenen; waardoor na enige tijd de magnetisatie
sneller gaat toenemen dan aanvankelik het geval was. Dat zich
daarbij cohaerente ketens zullen vormen in de richting der
magnetisatie is duidelik, en verder is op ongedwongen wijze
verklaard waarom de eerste helft van de aanloopkromme van
een ferromagneties metaal de gedaante heeft, die b.v. door
fig. 6 wordt aangegeven.

De initiaal-susceptibiliteit varieert voor ijzer en verschillende
staalsoorten tussen 185 en 50, bedraagt voor nikkel ongeveer 40,
en voor kobalt 75. We kunnen deze getallen in verband brengen
met de grootheden A en 0 voor de tans individueel te be-
schouwen elementairkristallen, waaruit de genoemde metalen zijn
opgebouwd. \'Ketens van deze kristallen hebben zich in het
beginstadium der magnetisering natuurlik nog niet in noemens-
waard aantal gevormd en voorzover ze reeds aanwezig zijn in de
niet-magnetiese toestand is er geen voorkeur-richting voor hunne
assen, en zal dus van de invloed van een zeer zwak veld in
eerste benadering kunnen worden verwaarloosd. Is nu f de
fraktio van de kristallen die wèl op zulk een veld reageeren, en
M do gemiddelde magnetisatie dier kristallen, dan is de magne-
tisatie van het aggregaat

minder bevredigeod en veel gekompliceerder te vervangen (Ewino, loc. clt.)
De bedoelde moeiHkheid is de volgende:

„Het is bekend dat by liet magnetiseringsproces, zolang dit omkeerbaar
is, de magnetisatie hoogstens 1% bedraagt van de verzadigingsmagnetisatie.
Reeds wanneer deze geringe magnetisatie is bereikt zouden dus kristallen
van magnetisatierichting moeten gaan veranderen. Ewinq, die uitgaat van
magneetjes met eindige lengte, vindt nu dat dit alleen mogelik is wannècr
de lengte van deze magneetjes niet to klein is in vorgelyking met liun
onderlinge afstand. Deze voorwaarde leidt echter tot do konsekwentie dat
de magnetiese velden, dio nodig zouden z\\ju om dan in de kristallen ecu
ricbtingsverondering in de magnetisatie teweeg te brengen, veel sterker
zyn dan aan do werkelikheid beantwoordtquot;.

Het ia duidelik dat op do in dit proefschrift ontwikkelde theorie dit
bezwaar geen vat lieoft.

Is nu voor een dezer laatste kristallen A de ontmagnetiserings-
koëfficiënt in de richting der magnetisatie, dan bevindt het zich
krachtens de magnetisatie van de omgeving in een veld van
de sterkte

in welke formule A een gemiddelde voorstelt van de ont-
magnetiseringskoëfficiënten A, terwijl A = 2 0. Uit de ge-
vonden gelijkheden kan nu worden afgeleid

welke formule een schatting geeft voor £ zodra A, 0 en de
initiaalsusceptibiliteit bekend zijn.

§ 1. Over het gedrag van dipoolnetten met kubiese sym-
metrie in magnetiese velden.

Wil men zich op grond van het met de RöNTGEN-spektroskopie
verkregen inzicht in de bouw der ferromagnetiese metalen en
in verband met de in de inleiding besproken hypothese van
Ewing een beeld vormen van het mechanisme der verschijnselen,
die men bij deze metalen kan waarnemen, dan zal men moeten
aannemen dat in ieder atoom een vrij draaibaar magneetje
met konstant moment aanwezig is, of wel dat elk atoom in z\'n
geheel als een zodanig magneetje kan worden beschouwd. In
ieder geval zal men dus liebben na te gaan hoe zich in konstante
en langzaam veranderlike magnetiese velden stelsels van mag-
neetjes zullen gedragen, die gerangschikt zijn in kubiese, gecen-
treerd-kubiese of vlak-gecentreerd-kubiese netten.

We denken ons daartoe binnen een ellipsoide een stelsel van
vrij draaibare magneetjes, die geplaatst zijn in de rooster-
punten van een of ander net met kubiese symmetrie. Do afme-
tingen dezer magneetjes onderstellen we zó klein ten opzichte
van de netkonstante d dat we ze als dipolen mogen beschouwen:
do orientatie van het net ten opzichte van de ellipsoide is
willekeurig.

Laat nu volgens een der ossen van de ellipsoide een magne-
ties veld van do sterkte Ha, werken: de richting van dit veld
nemen we tot «-richting. Wanneer Ha, zeer groot is zullen

natuurlik alle dipolen volgens de x-as gericht zijn. Laat men
echter in deze toestand 14 afnemen, dan zal er een ogenblik
komen, waarop dit ophoudt het geval te zijn. Is op dit ogenblik
H^, negatief, dan ligt het voor de hand aan te nemen dat zich
plotseling alle dipolen gaan richten volgens de negatieve a;-as:
is evenwel H^ nog positief, dan moet met verschillende mogelik-
heden rekening worden gehouden. In \'de eerste plaats kan men
zich voorstellen, dat alle dipolen op gelijke wijze van richting
zullen veranderen: het is echter even goed denkbaar dat ze
zich in verschillende groepen splitsen, zodanig dat van elke
groep de dipolen dezelfde richting hebben, maar aan verschil-
lende groepen verschillende richtingen beantwoorden.

Natuurlik zal de wijze, waarop de dipolen in groepen worden
ingedeeld, ten nauwste samenhangen met de struktuur van het
net, en dus in ieder geval een zekere regelmaat moeten ver-
tonen. Het ligt voor de hand daarbij aan te nemen, dat de
groepen onderling gelijkwaardig zijn, en dus b.v. alle een gelijk
aantal dipolen zullen herbergen. Teneinde een idee te krijgen
van de soort van groepindelingen, die men kan verwachten,
beschouwen we eerst eens een vlak rechthoekig net en nemen
aan dat in de binnen een bepaalde cirkel C gelegen rooster-
punten magnetiese dipolen zijn geplaatst, alle met hetzelfde
moment, die in het vlak vrij kunnen ronddraaien. Het is
duidelik, dat het hiermee verkregen stelsel de kleinst mogelike
energie heeft wanneer de dipolen zich ongeveer hebben inge-
steld zoals dat in fig. 41 wordt aangegeven.

Laten we nu in horizontale richting een steeds sterker
wordend magneties veld H werken, dan zullen de dipolen hoe
langer hoe meer de richting van dat veld gaan aannemen
en zich ten slotte geheel in deze richting instellen. Neemt in
deze toestand het veld weer af, dan is het duidelik dat, afge-
zien van een mogelike verwisseling van de beide richtingen
loodrecht op de veldrichting, in omgekeerde volgorde dezelfde
reeks van toestanden zal worden doorlopen als bij het toenemen
van het veld gebeurde.

Ue dipolen van het stelsel splitsen zich dus bij afname van
het veld werkelik in twee gelijkwaardige groepen. Om dezo
groepen te karakteriseren merken wo op dat do dipolen kunnen
worden ingedeeld in do op do evenwijdige lijnon b, c, enz.,
gelegen rijen. Elke groep bevat de helft van dezo rijen, on wel

behoren steeds de dichtst bij elkaar gelegen rijen tot verschil-
lende groepen. Wanneer het uitwendige veld nul is hebben de
dipolen van de ene groep alle dezelfde richting, evenwijdig aan
de genoemde lijnen, terwijl de richting van de dipolen van de
andere groep daaraan tegengesteld is.

Het ligt nu voor de hand te onderstellen dat zich analoge
verschijnselen zullen voordoen wanneer dipolen gerangschikt zijn
in de roosterpunten van een ruimtenet, dat door een ellipsoide
wordt begrensd. Laat b.v. gegeven zijn, dat een dergelik stelsel

.van dipolen door oen uitweiulig veld in do richting van do
langste as verzadigd gemagnetiseerd is, en dat deze nnignotisatio
niet gehandhaafd blijft wanneer men het veld langzaam tot
nul laat afnemen. Men is (hm zeker geneigd aan to nemen, dat
do (lii)olen zich ten slotte instellen oj) zodanige wijzo, dat do
eksemplaren, dio gelegen zijn op een aan een bepaaldo
symmetrie-as van het net evenwijdige lijn, alle eenzelfde rich-
ting zullon hebben evenwijdig aan dio as, maar dat daarbij
de oj) twee naburige lijnen gelogen dipolen grote kans lopon
tegengesteld gericht to zijn, terwijl in ieder geval do boido

Het is duidelik dat op deze wijze de dipolen, die eenzelfde
richting hebben, een reeks van evenwijdige netvlakken zullen
vullen. Men krijgt dus twee reeksen van netvlakken, die na-
tuurlik ook onderling evenwijdig zijn, en wel zal de toestand
zó zijn, dat in twee naburige netvlakken gelegen dipolen tegen-
gesteld gericht zijn. De groepindelingen, waarmee men te doen
krijgt, ontstaan dus wanneer men een reeks van evenwijdige
netvlakken beschouwt, en deze beurtelings voegt bij de ene en
de andere groep.

We keren nu terug tot ons stelsel van dipolen en beschouwen
het proces, dat zich afspeelt wanneer een sterk veld langzamer-
hand tot nul afneemt. We zagen, dat daarbij tenslotte een in-
deling in twee groepen ontstaat van de zojuist besproken soort.
Het ligt nu zeker voor de hand te onderstellen, dat deze
indeling zich gaat aftekenen zodra de aanvankelik verzadigde
magnetisatie begint af te nemen, en dat b.v. niet eerst een
andere indeVmg onlstaaY, die pas ^ater in de definitieve indeVing
overgaat. Wanneer deze onderstelling juist is zijn de beschouwde
ïndeJingen in twee groepen de enige, waarmee we rekening
hebben te houden.

De opvatting, dat men zich inderdaad tot de behandeling van
deze indelingen mag beperken, komt ook tot uiting in een
publikatie van Obnstrin en Zkrnike die handelt over het-
zelfde onderwerp. Het beginsel van de in deze afdeling te geven
theorie is aan deze publikatie ontleend en wordt er aan enige
eenvoudige biezondere gevallen toegelicht. In dit proefschrift
zullen de berekeningen algemener worden opgezet, en daardoor
tamelik veel ingewikkelder worden. We zullen ons ook niet
bepalen tot het geval, waarbij het uitwendige veld de richting
heeft van een der assen van do reeds beschouwde ellipsoide,
maar de richting van dit veld willekeurig onderstellen.

Beschouw de ellipsoide van zoeven, wiuirbinnen magnetiese
dipolen geplaatst zijn in de roosterpunten van een net met

kubiese symmetrie. De dipolen denken we op regelmatige wijze
verdeeld in twee groepen I en II: voor de eerste groep zijn
Zi de richtingscosinussen van het magnetiese moment,
voor de tweede x^, (3^,

Stel nu dat een dipool D van groep I zich onafhankelik van
de rest R van die groep kan bewegen, en laat ccq,nbsp;de

cosinussen zijn voor D. Voor de wederkerige energie van D en
van groep II kan dan gemakkelik een geschikte uitdrukking
worden opgeschreven.

Denk daartoe de dipolen van groep II een ogenblik door een-
heidspolen vervangen, en laat V de potentiaal zijn van het door
deze polen veroorzaakte veld. De potentiaal van het veld van
de dipolen van groep II is dan

in welke uitdrukking p bet moment der dipolen voorstelt. De
Vot^tvUeWnbsp;\\a\\\\ D m \\e\\d bedraagt:

en voor de wederkerige energie van D en R (de overige dipolen
der eerste groep) kan, wanneer men een tweede potentiaalfunktie
U invoert, op analoge wijze gesclireven worden:

zodat allereerst bepaald moeten worden de tweede afgeleiden van
de funkties (7 cn V ter plaatse van de dipool D.

die de wederkerige energie aangeeft van D enerzijds en de
groepen R en II anderzijds wanneer deze laatste beide de rich-
ting {x^, (S^, liebben. Teneinde de in dezo uitdrukking
voorkomende tweede dilFerentiaalquotienten te bepalen denken
we on.s het net van dipolen ook buiten de ellipsoide voortgezet,
maar daar ter i)laatse door een met konstante dichtheid over de
ruimte verdeeld magneties moment geneutraliseerd. Wanneer

we aannemen dat op een volume w® één dipool voorkomt moet
natuurlik de dichtheid van dit moment bedragen — p«-^
eenheden.

Voor de energie van de dipool D in het hiermee verkregen
magnetiese veld schrijven we:

Merkbare afwijkingen van deze formules treden alleen op in
de onmiddelike nabijheid van het oppervlak van de elHpsoide^):

1) Van de graad der benadering krijgt men een idee wanneer men van
de O}) blz. 97 voorkomende formales voor

in het (S, ilt;)-vlak genomen over het gebied binnen het eerste kwadrant,
dat gelegen is bulten een met straal \'/s om de oorsprong getrokken cirkel.
Door invoering van poolkoördinaten vindt men voor deze integraal:

de formules zijn dus voor bijna alle dipolen van het stelsel
bruikbaar en geven derhalve voor de totale energie een be-
trouwbare benadering. Eerst moeten nu de grootheden

waarmee men te doen krijgt wanneer men zich de homogene
magnetisatie met dichtheid —p co-^ ook binnen de ellipsoide
voortgezet denkt en vervolgens de aan de binnen de ellipsoide

Stel nu dat voor een punt P, op afstand r van een vlak a- gelegen, de
tweede afgeleiden moeten worden bepaald van de potentiaal van een stelsel
in lt;r gelegen eenheidspolen, waarvan er per oppervlak w* één voorkomt.
De uitdrukking

geeft dan een schatting van de fout, die gemaakt wordt wanneer men do
lading homogeen verdeeld denkt over een lang met dikte «». Do fouten, die
men by de toepassing van de formules (6,8) maakt wanneer : de afstand
is van D tot het oppervlak van de ellipsoide, kunnen nu begroot worden op

Stelt men hierin n = 8, dan krygt men reeds \' -, zodat do benadering
meer dan voldoende is.

te vinden beschouwen we een deel S van de ruimte, dat op
aanmerkelike afstand van D is gelegen. Binnen dit volume
bevinden zich een aantal magnetiese dipolen en verder een
homogene magnetisatie, waardoor deze dipolen zoveel mogelik
worden geneutraliseerd: de bijdragen van het volume S tot de
opgeschreven grootheden stellen we voor door:

Blijkbaar zijn deze grootheden de tweede afgeleiden van de
potentiaalfunktie w\' van de ladingsverdeling, die men verkrijgt
door de dipolen te vervangen door eenheidspolen en de magne-
tisatie door een homogene lading met dichtheid — w-®. Is R de
afstand van D tot een punt van S, dan is w\' van de orde van
SR-^, en zijn de tweede afgeleiden dezer funktie van de orde
vannbsp;deze afgeleiden kunnen dus zonder bezwaar over de

Voor volumina S, die D niet bevatten, is ter plaatse van
die dipool voldaan aan de vergelijking van Laplack atü\' = O,
terwijl voor het volume dat D bevat, tengevolge van de aan-
wezigheid der homogene lading, geldt: Am;\'= w-3. Bij het
sommeren over alle volumina vindt men dus:
32 vr\'nbsp;IV\'nbsp;3

1) Merk op, dat de som der funkties to\' divergeert en mon dus niet mag
schryven: tV\' = Sitgt;\'.

koördinaatassen kiezen mogen we op grond van symmetrie-
overwegingen schrijven:

Het is gemakkelik in te zien dat, wanneer deze formules op
één assenstelsel gelden, ze voor elk assenstelsel juist moeten
zijn. Dus kunnen we verder zonder bezwaar gebruik maken
van het stelsel dat door de assen van de ellipsoide wordt bepaald.
De waarden van de grootheden

ten opzichte van deze assen zijn nu gemakkelik te bepalen.
Wanneer n.l. A, B en C de ontmagnetiseringskoëfficiënten zijn
volgens deze assen zijn de komponenten van het ontmagneti-
serende veld der homogene magnetisatie:

We komen derhalve tot het resultaat, dat tor plaatse van de
dipool D gelden de formules

en wanneer we daarnaast nog een homogeen kwadratiese funktie S
definieren door de voorwaarden

De invoering van de funkties S en T geeft enig voordeel
omdat T alleen afhangt van de gedaante der beschouwde ellip-
soide en S alleen van de bouw van het net van dipolen.

§ 3. De definitiëvè uitdrukking \'voor dè energie van het
beschouwde stelsel van dipolen.

Geef de dipool D weer de richting van de groep II, stel dus
«o = «igt; enz., dan hebben alle dipolen van.groep I weer dezelfde
frichting. Neem verder aan dat de verdeling, in groepen zodanig
is dat, wanneer voor D,een willekeurige dipool van de groep
gekozen wordt, de tweede afgeleiden van do funktie steeds
dezelfde wjuirden hebben: met de funkties U en V is dat dan
ook het geval en in hoofdstuk VIII /al blijken, dat do hiermee

gestelde beperking bij geen der te geven toepassingen tot moeilik-
heden aanleiding geeft.

en van dit bedrag moet aan D zelf de helft worden toegekend.
Daar op een volume 2«\' één dipool van groep I voorkomt
bedraagt de eigen energie van deze groep per cÄP.:

zodat voor de wederkerige energie der beide groepen per cAP.
in rekening moet worden gebracht het bedrag

wanneer wo van een dijwol D\' van groep II waren uitgegaan.
Hieruit volgt direkt dat voor de eigen energie per cAP. van
groej) II, nimr analogie mot do uitdrukking voor E^, mag
worden geschreven:

Daar steeds tweede afgeleiden bedoeld worden ter plaatse
van do dipool D kan hot argument (D) verder zonder bezwaar

Bij hot opmaken van do totale energie por cAP. van hot
dipolenstelsoi moet tenslotte nog in rekening worden gebracht
do energie ton opzichte van een uitwendig magneties veld.

Is H de intensiteit van dit veld, en zijn x, /3, y de richtings-
cosinussen, dan geeft dit een bijdrage

De in § 2 ingevoerde potentiaalfunktie V heeft betrekking op
het veld, dat veroorzaakt wordt door eenheidspolen, die zich
bevinden ter plaatse van de dipolen van groep 11. Bij de te
geven toepassingen blijken nu alleen groepindelingen in aan-
merking te komen waarbij deze dipolen gerangschikt zijn in
de roosterpunten van een enkel orthorhombies net, of van twee
zulke netten: natuurlik strekken deze netten zich niet uit
buiten de ellipsoide, die het aggregaat van dipolen begrenst.

De kennis van het veld, dat veroorzaakt wordt door een-
heidspolen, die zich binnen dezo ellipsoide bevinden en daar
gerangschikt zijn in de roosterpunten van een orthorhombies
net, is dus voor ons van belang. We hebben echter van dit
veld alleen de tweede afgeleiden van do potentiaalfunktie nodig
in punten binnen de ellipsoide.

Teneinde deze tweede afgeleiden te bepalen denken we ons
het orthorhombiese net weer buiten do ellipsoide voortgezet.

maar daar ter plaatse geneutraliseerd door een homogene ruimte-
lading, waarvan we de dichtheid door —p willen voorstellen.
Deze homogene lading beschouwen we als de superpositie van
een homogene lading met dichtheid p binnen de ellipsoide, en
van de ladingsverdeling die van de oorspronkelike alleen daarin
verschilt dat de homogene lading ook binnen de ellipsoide is
doorgedrongen. De potentiaal van deze lading binnen de ellipsoide
stellen we voor door — V.

Van een potentiaal der zich tot in het oneindige uitstrek-
kende ladingen kan niet worden gesproken omdat deze niet
eindig zou zijn. We verdelen daarom de ruimte in lagen en
maken voor de binnen elke laag gelegen ladingen de potentiaal-
funktie v\' op, om tenslotte de gelijknamige tweede afgeleiden
dezer funkties te sommeren. We stellen dan

en maken verder gebruik van de aan de formules (6, 3) analoge
benaderi n gsformules

de ribben zijn van een olomentair-parallolepipidum van hot
orthorhombiese net. Kiezen we oen roosterpunt lot oorsprong, en
do hoofdrichtingen van het net tot koördinaatassen, dan kunnen
wo do koordinaten van do roostorpunton voorstellen door

De methode is ontleend aan eon pablikatte van L. S. Ornstein en
F. Zbrnikk (Verslagen K.A. »V. Amtterdum, deel XXVII, 1918, p. 896) en aan een
van E. MADKLüsa (Physik. Zs., 1918, S. 524): op het divergeren der potentiaal-
funktie V\' wordt echter In deze publikatles niet gelet. Zie voor litterotaur:
M. Born, Alomiheorie des fetten Zustandet, 2e Aufl. 1923, S. 714, n, s. w.

We verdelen nu de ruimte in lagen door de evenwijdige vlak-
ken, die tot vergelijkingen hebben

z=±ic, s=±ic, e=±fc,..
en beschouwen de potentiaal v\' van de ladingen tusschen de
vlakken

Daar de homogene lading niet periodiek is in a; en y en de
puntladingen dat wel zijn, kan de funktie Zqq alleen afhangen
van de homogene lading binnen de laag, terwijl de andere
funkties alleen met de puntladingen te maken hebben.

Daar het ons alleen om tweede afgeleiden te doen is, is de
funktie zelf verder van geen belang. Wat de funkties Z,„„ aan-
gaat kunnen wé opmerken dat voor z=\\=0 voldaan moet zijn
aan de vergelijking van Laplace:

Bij de gevonden potentiaalfunktie behoort nu in het vlak ? = Q
een ladingsverdeling, die gegeven wordt door de uitdrukking

en door de in het probleem gegeven ladingsverdeling aan deze
uitdrukking gelijk te stellen vindt men, op de voor de bepaling
van FouRiKR-koëfficiënten gebruikelike wijze, dat voor m pé O
en 71 jzé O geldt:

terwijl voor m = 0 of ii = 0 slechts de helft van dit bedrag
moet worden genomen. Afgezien hiervan vinden we dus:

terwijl ook do gemengde diflerontiaalquotienten gemakkelik
kunnen worden opgeschreven.

üe analoge uitdrukkingen voor do andere lagen kunnen
hieruit direkt worden afgeleid: door vervolgens do tweede afge-
ioidon muir x bij elkaar to teilen vindon wo:

Voor de gemengde afgeleiden vindt men sommen met termen,
waarin sinussen voorkomen.

Bij het gebruik dezer formules moet natuurlik steeds in het
oog worden gehouden dat de termen met m = 0 of n = 0
slechts voor de helft in rekening moeten worden gebracht,
terwül de term met m = Ji = O ontbreekt.

vinden zijn nog nodig de tweede afgeleiden van de funktie Vquot;,
de potentiaal van een binnen onze ellipsoide aanwezige homogene
lading met konstante dichtheid —{abc)-K

Zijn weder A, B en C de ontmagnetiseringskoëfficiënten voor
dit lichaam, dan zijn de tweede afgeleiden van V in de rich-
tingen der assen:

terwijl de gemengde difTerentiaalquotiënten gelijk zijn aan nul.
De afgeleiden in andere richtingen kunnen hieruit gemakkelik ge-
vonden worden, en door ze af te trekken van de uitdrukkingen voor

vinden we de gezochte tweede afgeleiden van de funktie V.
Deze voldoen aan de gelijkheid:
327

Wil men nagaan hoe zich in een gegeven magneties veld de
dipolen der in het vorige hoofdstuk beschouwde stelsels zullen
instellen, dan zal men moeten onderzoeken wanneer, bij een
gegeven indeling in groepen, de door de formule (6,13) be-
paalde energie E een minimum-waarde bereikt, en men zal
vervolgens de grootte der minimum-waarden, die aan verschil-
lende groepindelingen beantwoorden, moeten vergelijken.

We schrijven allereerst op de extreem-voorwaarden voor E
l^ij gegeven groepindeling. Hierbij moet rekening worden ge-
houden met de identiteiten:

Door onbepaalde koëfficiënten en x^ in te voeren kunnen
we de extreem-voorwaarden schrijven in de gedaante:

Naast deze extreem-voorwaarden .moeten nog minimum-
voorwaarden of, fysies gesproken, stabiliteitsvoonvaarden in aan-
merking worden genomen. Alvorens ons met de stabiliteit bezig
te houden willen we echter nagaan of wel voldaan is aan een
ander stel voor de hand liggende evenwichtsvoorwaarden, en
onderzoeken tot welke stabiliteitsvoorwaarden deze nieuwe voor-
waarden aanleiding geven.

Onderstel dat bij een gegeven groepindehng in een bepaalde
toestand aan de evenwichts-voorwaarden voldaan is, en dat aan
die toestand een minimum van de funktie E beantwoordt. Een
dergelike toestand kan alleen een fysies werkelike evenwichts-
toestand zijn wanneer de energie toeneemt zodra we een of
andere dipool van richting laten veranderen en daarbij de overige
dipolen vasthouden. Om na te gaan of deze voorwaarde vervuld
is bepalen we de energie Eq van een dipool D ten opzichte
van alle overige dipolen. Stel dat D weer behoort tot groep T,
dan is de wederkerige energie van D en van de rest R van
die groep:

— pR (««0 /3/3o 4- y^o)
en in totaal vindt men, wanneer men de funkties T en S
invoert:

Door nu een onbepaalde koëfficiënt Kq in te voeren kunnen
we, in verband met de voorwaarde

Aan deze gelijkheden eii aan de voorwaarde (7,3) is nu
werkelik voldaan wanneer Xq = «„ enz., en wanneer, gelijk we
ondersteld hebben, de gelijkheden (7,1) en (7,2) van kracht
zijn. Men heeft blijkbaar: XQ = X^.

De bij de evenwichtsvoorwaarden (7, 4) behorende stabiliteits-
voorwaarden vindt men door de eis te stellen dat bij de mogelike
variaties van x^, ^q de funktie Eq in tweede benadering zal
toenemen. Daar Eq in deze veranderliken lineair is geldt in
elke benadering:

Do voorwaarde SE^ ^ O voert dus eenvoudig tot Xo gt; O, en
WO mogon konkludoron dat voor stabiliteit van ons stolsel van
dipolen nodig is dat

We hebben nu voor verschillendo gevallen na te gaan wan-
neer dezo kwadratiese vorm positief is. Do algemene theorie dor
kwadratiese vormen is daarbij niet bruikbaar omdat de ver-
anderliken van elkaar afhankolik zijn. AVo diskussiëron daarom
elk hiezonder geval afzonderlik, behandelen daarbij eerst een
eenvoudig geval, waarbij alles kan worden doorgerekend, en
gaan daarna tot meer ingewikkelde gevallen over.

In dit geval zijn alle ontmagnetiseringskoëfficiënten gelijk
aan ^ en is dus de door (6, 8) gedefinieerde funktie T identiek
nul. Dus is

Kiezen we de koördinaatassen zo, dat de gemengde difïeren-
tiaalquotienten nul worden, dan gaat dit over in

Neem nu aan dat het uitwendige veld werkt in do a;-richting.
In dat geval is ß = 7 = 0, en 11« = H^. Wanneer H^ zeer

We vragen ons nu af tot welk bedrag we H^ kunnen laten
afnemen voordat deze toestand instabiel wordt. Variatie van L
geeft blijkbaar de voorwaarde:

De variaties 3/3^, 3?\',, enz. zijn niet onafhankelik van
elkaar: door 3^, en Sy, is b.v. 3«, bepaald. Voor zover, het
termen betreft van de eerste orde heeft men hierbij

en daar in de beschouwde toestand = 1 is en jS^ = = O
heeft men in eerste benadering = 0. Evenzo is in eerste
benadering Ix^ = O, en voor de stabiliteitsvoorwaarde mag dus
geschreven worden:

Daar de termen met Sß\'s en 3y\'s van elkaar gescheiden voor-
komen mag deze ongelijkheid worden vervangen door

minder scherp dan de reeds gevonden voorwaarde x gt; 0. Is dit
echter niet het geval, en is de kleinste van de twee, b.v. het
quotiënt naar y, negatief, dan geven de opgeschreven voor-
waarden :

Het is nu niet moeilik aan te tonen, dat bij elke indelings-
wijze der dipolen minstens één indeling kan worden aangegeven,
waarbij

De funktio V voldoot nl. aan do vergelijking van Laplack,
en wanneer bij een bepaalde indeling het opgeschreven diileren-
tiaalquotient niot reeds negatief is kan men er toch steeds door
pornmtatie der assen een indeling uit afleiden waarvoor dit wel
het geval is: alleen het geval waarbij alle tweede afgeleiden
nul zijn vormt eon onbelangrijke uitzondering.

Laat men nu inderdaad Ha; van een of andere grote waardo
tot nul afnemen, dan zal do toestand, waarbij = «2 « 1 is,
instabiel worden op het ogenblik dat voor oen of andere in-
deling der dipolen aan de voorwaarde (7, 11) niet meer voldaan
is: op dit ogenblik gaan zich do dipolen in do aan deze indeling
beantwoordende groepen splitsen, en uit de stabiliteitsvoorwaardo

blijkt dat daarbij in de eerste plaats ß, en ß^ zullen gaan ver-
anderen. Op grond van symmetrie-overwegingen kan worden
vermoed dat steeds zullen gelden de gelijkheden

en inderdaad blijkt op deze wijze aan de voorwaarden (7, 8) te
kunnen worden voldaan. Men vindt:

Voor een sterk negatief veld is natuurlik = «g = — 1 en
zijn alle dipolen volgens dit veld gericht. Merk nu op dat

de verzadigingsmagnetisatie moet zijn van het dipolenstelsel, en
dat in het beschouwde geval

de magnetisatie is in de richting van de tc-as. Het gevonden
resultaat kan dus geschreven worden in de gedaante:

en de grafiese voorstelling, waarin AJ^ tegen Ha- is uitgezet,
heeft dezelfde gedaante als de in hoofdstuk IV verkregen
fig. 28.

Wanneer we het veld H ten opzichte van het aggregaat van
dipolen een willekeurige richting geven kunnen de hier ver-
richte berekeningen alleen numeriek doorgevoerd worden. Kiezen
we de x-as in de veldriehting, dan hebben de evenwichtsvoor-
waarden niet meer de gedaante (7, 8), maar luiden:

2«3		— «2)
p2	K	- «2);
p2 2w3		«2);
en
^P\'\' 1 2«3 1

d2 V

S2F

Wanneer H^ zeer groot is zal natuurlik alleen de toestand,
waarbij «^ = «2=1 stabiel zijn: we willen nagaan tot welk
bedrag H^ kan afnemen voordat deze toestand instabiel wordt.

waarbij reeds in aanmerking is genomen dat men in de termen
van de tweede orde mag stellen Ix^ = Ix^ = 0. De stabiliteits-
voorwaarde

voert nu weer tot de voorwaarden (7, 10), en daar wederom in
do te onderzoeken toestand

Neemt dus Ha, van een zeer grote waarde tot nul af, dan
wordt de toestand waarbijnbsp;1 instabiel op het ogenblik

dat voor een of andere indeling der dipolen aan deze voor-
waarde niet meer voldaan is. De dipolen gaan iich dan naar
\'hun richting splitsen in de aan deze indeling beantwoordende
groepen, en wanneer H^ = O is geworden zijn de richtingen
dezer groepen juist tegengesteld.

Teneinde dit laatste aan te tonen kiezen we de assen zo, dat
de gemengde difFerentiaalquotienten van V wegvallen. De ver-
gelijkingen (7,15) gaan dan over in de gelijkheden (7,8) en
wanneer we hierin H = O stellen komen we tot:

De hiermee korresponderende ovenwichtstoestaiiden willen
we onderzoeken op hun stabiliteit. In do toestan.1 met «, = 1 is

Bovendien moet echter voldaan zijn aan de voorwaarde (7, 9;,
die door de voorwaarden (7,10) kan worden vervangen. Sub-
stitueren we hierin de voor x gevonden waarde, dan komt er:

Wanneer —^ en beide positief zijn geven deze ongelijk-
heden niets nieuws. Is echter van de twee er één, b.v. de
eerste (ze kunnen niet beide mèt negatief zijn) negatief,
dan vinden we:

een der toestanden optreden, waarbij de dipoolindeling van dien
aard is, dat een der genoemde quotienten do kleinste waarde

Ofsclioon we niet, zoals in het vorige geval, alles hebben
doorgerekend, kunnen we wel vermoeden dat bij langzaam af-
nemen van IIa;nbsp;positieve tot een grote negatieve
waardo hot volgende zal plaats hebben:

„Aanvankelik heeft mon do toestand, waarbij lt;*,= äj = 1.
Na verloop van tyd zullen zich echter de dipolón gaan splitsen
in do groepen die korresponderon met de verdeling waarvoor,

is geworden en de magnetisatie in de x-richting zal dan met H^,
tot nul afnemen om tegelijk met Ha; negatief te worden. Voor

Bij benadering wordt blijkbaar dit gedrag weergegeven door
de bij het vorige geval behorende figuur 28: alleen zal de rechte
door de oorsprong enigszins gebogen zijn. Verder moet worden

opgemerkt dat de waarde van voor de verschillende rich-
tingen, die het magneties veld ten opzichte van het dipoolnet
kan hebben, niet steeds dezelfde zal zijn. In hoofdtrekken blijkt
echter het gedrag der hier beschouwde netten te zijn zoals men*
op grond van de in afdeling B uitgewerkte fenomenologiese theorie
had kunnen verwachten: zolang we te doen hebben met een
bolvormige begrenzing is er van hysterese weer geen sprake.

§ 5. Over de mogelikheid van hysterese bij een aggregaat,
dat de vorm heeft van een ellipsoide.

Bij de in hoofdstuk IV beschomvde aggregaten bleek bet
optreden van magnetiese hysterese steeds samen te gaan met
het voorkomen van verzadigingsmagnetisatie bij uitwendig veld
nul. Deze verzadigingsmagnetisatie had steeds de richting van
de langste as der ellipsoiden.

Natuurlik kan iets dergeliks ook tans worden verwacht. Dus
ligt het voor de hand na te gaan onder welke voorwaarden do
toestand, waarbij = = 1 is, stabiel zal zijn. V^oor x-as
kiezen we daarbij de lange as van do ellipsoide dio ons dipolen-
stelsel begrenst.
Substitueren we in do evenwichtsvoorwaarden (7, 2)

en dit moet in de stabiliteitsvoorwaarde worden gesubstitueerd.
In de kwadratiese uitdrukking voor mag w^eer = = O
worden gesteld, en verder is liet geschikt de assen zo te kiezen dat

Voor de stabiliteitsvoorwaarde kan dan worden geschreven
welke ongelijkheid kan worden vervangen door:

4w3 3^2

quot;g 32^

gt; 2

4«3 3//2

Om van do betekenis dezer weinig overzichteliko voorwaarden
eon idee to krygon beschouwen we hot biezondere geval, waarbij

dit geval doet zich b.v. steeds voor waniieer men met een om-
wentelingsellipsoide te doen heeft. De stabiliteitsvoorwaarden
gaan dan over in:

Aan deze ongelijkheden kan nooit voor alle in aanmerking
komende indelingen der dipolen voldaan zijn wanneer niet A
de kleinste is der drie ontmagnetiseringskoëfficiënten. Was b.v.
B lt; A, dan zou aan de voorwaarde

niet voldaan zijn. Is echter A lt; B en ^ «c C, dan behoeven
we alleen te letten op indelingen waarbij 5f de afgeleide naar
y, óf die naar z, of beide negatief zijn, en hebben we dus
alleen rekening te houden met de ongelijkheden:

Of, en zo ja, in hoeverre aan deze voorwaarden voor het
optreden van magnetiese hysterese voldaan kan zijn hangt
natuurlik af van de waarden der tweede afgeleiden van de
funktie F, die in het volgend hoofdstuk zullen worden berekend.
Daarbij zal blijken, dat geen hysterese zal optreden wanneer
de beschouwde dipolen gerangschikt zijn in een gewoon kubies
net, maar dat dit bij plaatsing in een gecentreerd- of vlak-
gecentreerd-kubies net wel het geval is.

Men kan, mede op grond van de in hoofdstuk IV verkregen
resultaten, verwachten, dat bij de beschouwde aggregaten oen

toestand, waarbij de beide dipoolgroepen tegengesteld gericht
zijn, zonder uitwendig veld .niet stabiel kan zijn wanneer in
die omstandigheden een toestand met verzadigingsmagnetisatie
ook stabiel is.

Voor een eenvoudig geval willen we aantonen dat deze ver-
wachting juist is. Stel daartoe in de evenwichtsvoorwaarden (7, 2):

Kiezen we nu ons assenstelsel zo, dat de gemengde difFeren-
tiaalquotienten van S verdwijnen, dan vinden we drie gelijk-
waardige evenwichtstoestanden, waarvan we de toestand met
«1 = 1 op stabiliteit willen onderzoeken. Men heeft in deze
toestand:

Neem nu ter vereenvoudiging aan dat de assen van de
ellipsoide, waardoor het aggregaat wordt begrensd, dezelfde zijn
als de koördinaatassen. De gemengde afgeleiden van de funktie
T zijn dan nul, en hetzelfde is het geval met die van de funkties
U

en V. De stabiliteitsvoorwnarden (7, 18) kunnen dan onver-
anderd worden overgenomen, en men vindt, door voor k de uit-
drukking (7, 22) te substitueren:

\' Op gelijke wijze als naar aanleiding van de ongelijkheden
(7. 19) vindt men nu dat voor stabiliteit noodzakelik is dat voor

Laat op de langgerekte ellipsoide van de vorige paragraaf in
de richting van de lange as een uitwendig veld werken van de
sterkte Hj;. Wanneer H^; groot is hebben natuurlik alle dipolen
de richting van dit veld en is dus = 1, Hebben we te
doen met een geval waarin hysterese optreedt, dan .zal bij af-
name van Ha; deze toestand gehandhaafd blijven totdat de ge-
noemde grootheid een zekere negatieve waarde heeft bereikt.
Op dit ogenblik zal de magnetisatie plotseling omkeren en de
toestand intreden waarbij = «2 =

De vraag is nu tot welk bedrag men het veld kan laten
afnemen vóór deze verandering plaats heeft. Voor «^=«2 = 1
leiden we uit de evenwichtsvoorwaarden (7, 2) af:

dan kunnen we weer de voorwaarden (7,18) gebruiken, waar-
voor tans moet worden geschreven:

Het komt er dus blijkbaar maar op aan na te gaan welke
de grootste waarde is die de uitdrukking

voor de verschillende indelingen der dipolen kan aannemen.
Is voor deze indeling

Dit geval is geheel te vergelijken met het in hoofdstuk IV
behandelde geval, dat door fig. 30 wordt toegelicht. Aan fig. 29
beantwoordt dan het geval dat zich voordoet wanneer voor de
kritieke indeling

is. Men heeft dan de stabiliteitsvoorwaarde
• Ux _ a» Fnbsp;1 —3^1 ^ ^ d^S 1

negatief is. In dat geval is er van hysterese geen sprake on
neemt eonvoudig do magnetisatie af van Mq tot O wanneer I4
van do lt;loor (7, 27) gegeven waarde tot nul afneemt. Het gedrag
van hot aggregaat wordt dan tennaastebij weergegeven door lig. 28.

§ 7. Vergelijking van de in dit hoofdstuk behandelde
aggregaten met de in hoofdstuk IV beschouwde.

Teneinde de verkregen resultaten zo te kunnen formuleren
dat de analogie met het in hoofdstuk IV gevondene duidelik
naar voren komt denken we ons een aggregaat van dipolen
dat begrensd wordt een langgerekte omwentelingsellipsoide, en
stellen de ontmagnetiseringskoëfficiënt volgens de lange as voor
door A. Men heeft dan:

Kies nu de lange as tot ar-as en ga na bij welke dipool-
indeling en welke 2/-richting de uitdrukking

Is A gt; O, dan wordt het gedrag van het dipolenstelsel ongeveer
weergegeven door fig. 28; alleen zal de rechte door de oorsprong
in de regel een weinig gekromd zijn.

het grootst is. Is B gt; O, dan is de tweede hot grootst en is
fig. 29 van. toepassing; is daarentegen B lt; O, dan geldt do
figuur 30.

De tans beschouwde stelsels van dipolen gedragen zich dus
analoog aan de in hoofdstuk IV behandelde aggregaten. De
uitdrukking

speelt daarbij de rol van de koëfficiënt 0: de waarde van deze
uitdrukking hangt alleen af van de struktuur van het aggregaat
en niet van de gedaante der begrenzende elhpsoide.

In het volgend hoofdstuk zullen de waarden berekend worden
die de genoemde uitdrukking beeft bij verschillende netten met
kubiese symmetrie, en vervolgens zullen deze waarden worden
vergeleken met de waarden die in hoofdstuk V, op grond van
experimentele gegevens, in verschillende gevallen voor 0 werden
gevonden.

Numerieke resultaten in verband met de
gegrevens aangaande ijzer, nikkel, kobalt, magnetiet en
enige staalsoorten.

In hoofdstuk VI dachten we ons magnetiese dipolen geplaatst
in de roosterpunten van netten met kubiese symmetrie. We
stelden ons voor dat deze dipolen op regelmatige wijze waren
ingedeeld in twee even talrijke groepen, en we beschouwden
bij elke indeling een viertal funkties {U, V, S en T), w^aarvan
de tweede afgeleiden naar de ruimtekoördinaten van biezonder
belang bleken te zijn. Met de bepaling van de voornaamste
dezer tweede afgeleiden willen we ons tans bezighouden, en we
behandelen daarbij achtereenvolgens de groepindelingen die bij
kubiese, gecentreerd-kubiese, en vlak-gecentreerd-kubiese netten
bij het onderzoek naar evenwicht en stabiliteit op de voorgrond
treden.

Is d de netkonstante van een kubies net, dan kunnen we
voor de koördinaten der roosterpunten schrijven:

Deze punten kunnen op verschillende wijzen in geschikte
gelijkwaardige groepen ingedeeld worden: de indelingen zijn
echter voor een deel equivalent, en de voor ons doel belang-
rijke kunnen worden teruggebracht tot de volgende typen:

Bij deze indeling vormen blijkbaar beide groepen een ortho-
rhombies net met d, d en ld tot ribben der elementairparallelepipida.
Elk punt van groep I ligt in het midden van een opstaande
ribbe van een elementairparallelepipidum van groep II, Willen
we dus met behulp van de in hoofdstuk VI, § 4 gegeven for-
mules de tweede afgeleiden van de funktie S bepalen, dan
moeten we stellen:

en wanneer we in de vergelijkingen (6, 8) tot (6, 10) de koördi-
naten x, y, z vervangen door ? vinden we gemakkelik

Door nu tot de koördinaten x, y, z terug te keren en gebruik
te maken van do formules (6,21) vindt men:

Teneinde deze indeling beter te kunnen overzien wentelen
we de koördinaatassen over een lioek van 45° om de ^-as waar-
door we krijgen:

Beide groepen \'vormen blijkbaar een orthorbombies net met
als ribben der elementairparallelepipida lt;Z|/2, d\\/1 en d. Elk
punt van groep I ligt in het midden van het grondvlak van
een elementairparallelepipidum van groep II. Men vindt weer:

en door in de formules (6, 21) a; en a met ^•en c om te wisselen
en te substitueren: \'

Op grond van de gelijkwaardigheid der drie assenrichtingen
kan bij deze indeling al dadelik worden opgemerkt dat

Van de elementairkubus, waarvan (O, O, 0), (d, O, 0), (O, d, 0)
en (O, O, d) vier hoekpunten zijn, behoren n.l. tot groep II de
netpunten {d, O, 0), (O, d, 0), (O, O, d) en {d, d, d), en elk dezer
netpunten maakt deel uit van een kubies net met netkonstante
2d dat geheel tot die groep behoort. Een punt D van groep I
ligt ten opzichte van elk der drie eerste kubiese netten in het
midden van een ribbe van een elementairkubus, en ten opzichte van
het vierde net in het centrum van een kubus. Uit de formules
(6,21), en in het laatste geval op grond van symmetrie-over-
wegingen, kan men nu gemakkelik afleiden dat onder deze omstan-

Is d = 2s de netkonstante van een gecentreerd-kubies net,
dan is = en voor de koördinaten der roosterpunten mag
geschreven worden

waarin Z, 7«, n alle drie oneven of alle drie even getallen moeten
zijn. Achtereenvolgens zullen weer drie typen van indelingen
besproken worden.

a. I (Z, w, n even) en II (Z, m, n oneven).
Beide groepen vormen in dit geval een kubies net met net-
konstante d = 2s. Elk punt D van groep I ligt in het centrum

	1 3	1 3 \'	2«3	32^ ^y-èz
	1	1	2w3	32.9
51/2	3 quot;	3 \'	\'èz\'^X
3^2	1 3 ~	1 3 \'	2^8	32 6- dzdy

We wentelen het koördinatenstelsel weer over een hoek van
45° om de ^^-as en maken gebruik van de formules (8, 3).
Stellen we dan

Het is duidelik dat m\' — l\' - m bij gegeven l\' zowel even
als oneven kan zijn: dit hangt af van het even of oneven
zijn van n. De groep II kan dus worden gesplitst in de onder-
groepen

die beide orthorhombiese netten vormen met als ribben der
elementairparallelepipida d\\/2, d\\/2, en d. Een punt D van
groep I ligt ten opzichte van de ene ondergroep in het midden
van het grondvlak van een elementairparallelepipidum, en ten
opzichte van de andere ondergroep in het midden van een
zijvlak loodrecht op de ?y\'-richting. Teneinde nu voor de bij-

snel konvergerende reeksen te verkrijgen verwisselen we in de
formules (0, 21) de koördinaten j; en ^ en substitueren eerst

2^3		= 0
	dydz
2«3	d\'^S
= 0
dzdx
2w3	d^s	= 0.
	dy

de verkregen uitdrukkingen te substitueren en de in het resul-
taat voorkomende sommaties uit te voeren vindt men tenslotte:

Deze indeling is blijkbaar identiek met de onder a. behandelde
en voert dus niet tot iets nieuws.

Schrijven we voor de netkonstante weer rf = 2s, dan is rf^ =
en de koordinaten der roosterpunten zijn

Blijkbaar is deze indeling dezelfde als de indeling die ge-
karakteriseerd wordt door:

Dus behoeft de eerste indeling niet afzonderlik te worden
behandeld. We wentelen het koördinatenstelsel weer over een
45® om de ^-as en maken gebruik van de formules (8,3) en
(8, 4). De koördinaten der netpunten worden dan

Blijkbaar vormen beide groepen een orthorhombies net niet
als ribben der elementairparallelepipida s\\/2, .s |/ 2 en 2 s.
Men heeft in de formules (6, 21) te stellen

Van de elementairkubus, waarvan (O, O, 0), {d, O, 0), (O, d, 0)
en (O, O, d) vier hoekpunten zijn behoren tot groep II de net-
punten (0,s,s),nbsp;(2s,0,0), (0,2.s,0), (0,0,2s) en
(2s, 2s, 2s). Elk dezer netpunten maakt deel uit van een kubies
net met netkonstante 2d dat geheel tot groep II behoort. Een
punt D van groep I ligt ten opzichte van de eerste zes dezer
netten in een zijvlak van een elementairkubus, en ten opzichte
van het zevende net in het centrum van zulk een kubus.
Uit de formules (6, 21), en in het laatste geval op grond van
symmetrie-overwegingen, kan men nu weer afleiden dat alle

d^S	1	1
3x2	3 ~	3 \'
32 6\'	1	1
37/2	3 ~	3 \'
32 6\'	1	1
3^2	3	3 \'

We denken ons, volgens het in hoofdstuk VII, § 7, gegeven
voorschrift, een kubies net van magnetiese dipolen, dat begrensd
wordt door een langgerekte omwentelingsellipsoide. De waarde
van de grootheid 0 moet dan als volgt bepaald worden:

„Men kiest de lange as van de eUipsoide tot a;-as en gaat na
bij welke groepindeling en bij welke keuze van de y-as de
uitdrukking

de grootst mogelike waarde beeft Deze grootste waarde is vol-
gens (7, 28) de 0 voor de gegeven a;-ricbting.quot;

Wö willen © bepalen voor de tweetallige, de drietallige cn
de viertallige assen van het kubiese net; de bij deze richtingen
behorende waarden vati die grootheid stellen we voor door
©2, ©3 en ©4

tweetallige as als a:-as en de viertallige as loodrecht daarop als
y-as, dan zien we uit (8, 6) dat er een groepindeling moet zijn
waarvoor de uitdrukking (8,17) de waarde -i-8,00 heeft: dat
een grotere waarde niet kan voorkomen volgt uit de formules
(8,2), (8,6) en (8,7) onmiddelik en men heeft dus:

De bepaling van ©3 is iets ingewikkelder. Natuurlik hebben
we daarbij alleen te letten op de formules (8,2) en (8,6): de
formule (8, 7) kan n.1. niet anders geven dan © = — dus de
kleinste waarde die ooit mogelik is Voor de aan de andere
formules beantwoordende groepindelingen bestaat blijkbaar steeds
symmetrie ten opzichte van een viertallige as: de richtingen
loodrecht op die as zijn gelijkwaardig.

Kies nu een of andere drietallige as tot x-richting. Om na
te gaan welke de grootste waarde is voor de uitdrukking (8, 17),
die een groepindeling als de aan de formules (8, 6) beantwoor-
dende kan leveren, beschouwen we in verband met deze formules
de invariante uitdrukking

en transformeren deze op een assenstelsel (x, y, z) dat de ge-
kozen drietallige as tot ai-as heeft. Nemen we aan dat deze as
met de x\', y\' en «\'-assen scherpe hoeken maakt, dan kunnen
we voor ï/-as kiezen de oude ^\'-as, waardoor tevens de ^-as is
vastgelegd. De transformatie-formules zijn:

Verwisselen we nu de y- en de ^■-richting met elkaar, dan
krijgt de uitdrukking (8, 17) blijkbaar de grootste waarde die
bij de gegeven ir-richting mogelik is, n.1. 5,83. Dat een groep-
indeling als de aan de formules (8,2) beantwoordende geen

Kiezen we een viertallige as tot a?-richting, dan vinden we lood-
recht daarop twee andere viertallige assen. Nemen we een dier
richtingen voor ^/-richting, dan bestaat er zeker een groepindeling
waarvoor de uitdrukking (8, 17) de grootste waarde heeft die
bij enige x-richting mogelik is, n. 1. 8,00. Dus hebben we:

§ 6. De waarden van 0 bij een gecentreerd kubies en een
vlak-gecentreerd ktibies net.

Uit de formules (8, 12) zien we dat bij een gecentreerd kubies
net de uitdrukking (8, 17) de grootst mogelike waarde krijgt
wanneer voor y-richting genomen wordt een tweetallige as en
wanneer een daarbij passende groepindeling wordt gekozen : deze
grootste waarde is — 0,0172. Daar loodrecht op elke tweetallige,
drietallige of viertallige as minstens één tweetallige as wordt
gevonden, die als y-richting dienst kan doen, geldt bij deze
netten:

wordt gevonden bij een x-richting die in één vlak ligt met
twee naburige twee- en viertallige assen en met deze richtingen
hoeken maakt van 9° en 36°.

Bij een vlak-gecentreerd kubies net kunnen we op grond van
de formules (8, 15) gemakkelik inzien dat

kan uit de in §-5 vermelde getallen de susceptibiliteit worden
afgeleid van een kubies net van magnetiese dipolen. Men heeft
in de richtingen der twee-, drie- en viertallige assen respec-
tievelik:

Zoals bekend is worden susceptibiliteiten van deze grootte bij
geen enkele paramagnetiese stof gevonden: de grootste waarden
treft men aan bij vaste zuurstof met x = 53 x 10quot;quot;^ en bij man-
gaan met « = 9,9 x lO-^ i). Van biezonder belang is dit echter
niet omdat een enkelvoudige stof, die in een gewoon kubies net
kristalliseert, tot dusverre niet is gevonden.

Opmerkelik is evenwel dat we bij het regulaire kubiese net
in verschillende richtingen aanmerkelik verschillende susceptibi-
liteiten vinden en er dus in magneties opzicht geen sprake is
van isotropie, In verband met de door Wbiss voor magnetiet
gevonden figuur 20 pleit dit voor de bruikbaarheid der theorie.

Daar weekijzer kristalliseert in een gecentreerd kubies net
zou volgens de gegeven theorie gemiddeld

moeten zijn. Deze waarde is in bevredigende overeenstemming
met^ wat in hoofdstuk V, § 5, op grond van experimentele ge-
gevens werd\'afgeleid. In deze paragraaf werd n.l. een positieve
grootheid 5 ingevoerd, die in verband stond met d^ samenhang\'
van de kristallen waaruit de in,het metaal voorkomende lang-
gerekte ketens zijn samengesteld, en de som van deze 5 en de
grootheid\' 0 bleek voor de meest op \'dé \'voörgron\'d tredende

ketens zowel positief als negatief te kunnen zijn. De ketens met
negatieve 0 5 gaven aanleiding tot de hysterese verschijnse-
len, en voor deze ketens bleek de genoemde som niet kleiner
te zijn dan ongeveer — 0,0004. De theoretiese waarde van 0
leidt dus tot

Ook de beschouwing van de initiaal-susceptibiliteit volgens
de in hoofdstuk V, § 7, gegeven methode voert tot een bevre-
digend resultaat. Stelt men de waarde dezer grootheid op 150,
dan geeft de formule (5, 11):

en hieraan kan men met geschikte waarden voor ^ en t vol-
doen. Neemt men b.v. bolvormige elementairkristallen, dus
A = 0,33, dan vindt men f = 0,92.

Nikkel en kobalt kristalliseren in vlak-gecentreerd-kubiese
netten en dus heeft men volgens de theorie:

In hoofdstuk V, § 5, wordt de kleinste waarde van 0 5 bij
nikkel geschat op — 0,0015 en bij kobalt op — 0,0012. De kleinste
waarden van 5 zouden dus begroot moeten worden op 0,1785 en
0,1788, welke getallen weer aannemelik zijn.

In hoofdstuk V, § 5, is gebleken dat ter verklaring van de
eigenschappen der verschillende staalsoorten men 0 5 nooit

kleiner hoeft te onderstellen dan ongeveer — 0,004. Daar de
0\'s voor gecentreerd- en vlak-gecentreerd-kubiese netten beide
kleiner zijn dan dit bedrag zou men zich beide netten als bouw-
stof voor deze staalsoorten kunnen denken. Men kan hiertegen
echter het bezwaar maken dat de gecentreerd-kubiese netten al
te kleine B\'s zouden vereisen.

Aan dit bezwaar nu wordt tegemoet gekomen door wat de
RÖNTGEN-spektroskopie heeft geleerd aangaande de struktuur van
nikkel- en mangaanstaal. Beide staalsoorten kristalliseeren in
vlak-gecentreerd-kubiese netten, en het blijkt dus dat het kristal-
net van het hoofdbestanddeel ijzer zeer gevoelig is voor bij-
mengsels van andere stoffen. Wellicht is dus de onderstelling
gewettigd dat de staalsoorten met hun krachtige hysterese voor
een groot deel bestaan uit vlak-gecentreerd-kubiese kristalnetten,
en dat deze het zijn die de hysterese veroorzaken. Natuurlik
zal door RöNTGEN-onderzoek moeten worden uitgemaakt in hoe-
verre deze onderstelling waarheid bevat.

Wanneer men in verband met de gegeven theorieën een ver-
klaring wil geven van de verschijnselen, die door Weiss bij
magnetiet zijn waargenomen, stuit men op een moeilikheid. Al-
vorens deze moeiUkheid te bespreken rekapituleren we in het
kort hoe Weiss de in fig. 19 samengevatte resultaten heeft ver-
kregen. In hoofdstuk II werd reeds opgemerkt dat hij daarbij
gebruik maakte van de ballistiese methode. De proeven waren
zo ingericht, dat om het middelste van de drie stukken,
waaruit een lang niagnetiet-prisma was samengesteld, twee van
elkaar onafhankelike windingen waren aangebracht, waarvan de
wijdste zoveel wijder was dan de nauwste, dat tussen deze twee
enige ruimte open bleef. Wanneer dan het magneties veld in
de omgeving dezer windingen in voldoende mate homogeen is
mag men aannemen dat dit veld in de ruimte tussen de win-
dingen even sterk is als binnen het middenstuk van het prisma.
Door nu de windingen afwisselend parallel en tegen elkaar in
te schakelen en dan telkens het uitwendige veld te wijzigen kon
Weiss zowel het inwendige veld als de magnetisatie ballisties
bepalen.

Men ziet dat in fig. 19 de magnetisatiekromme voor de vier-
tallige as sterk van de andere krommen verschilt. Deze afwijking
schijnt op de basis van onze theorie, en van elke andere theorie
trouwens, volkomen raadselachtig. Het vermoeden is echter wel
gewettigd dat men hier met een abnormaliteit te doen heeft,
die b.v. bij volkomen gave en zuivere kristallen nooit zou
kunnen optreden. Neemt men dit in aanmerking, dan krijgt
men de indruk dat voor de twee-, drie- en viertallige assen de
grootheid 0 tennaastebij dezelfde positieve waarde heeft, en wel
ongeveer 0,01: zolang namelik de verzadigingsmagnetisatie niet
bereikt is, is volgens de gegeven theorie:

Een positieve waarde van 0 sluit echter volgens die theorie
de mogelikheid van hysterese ten enenmale uit, en men komt
dus in konflikt met de in fig. 19 voorkomende krommen, die
op de remanente magnetisatie betrekking hebben.

Teneinde aan het hiermee geformuleerde bezwaar tegemoet
te komen kan men opmerken dat bij de opstelling van Wbiss
het magnetietprisma feitelik niet alleen, maar te zamen met de
aan de uiteinden aansluitende stukken weekijzer aan de werking
van een uitwendig veld wordt blootgesteld. Dat een stelsel
waarin op deze Avijze weekijzer is opgenomen enige hysterese
vertoont, is volgens onze theorie geenszins verwerpelik, ook al
is bij magnetiet alléén van remanentie geen sprake. Het be-
hoeft van dit standpunt ook niet te verwonderen dat niettegen-
staande de waargenomen hysterese het door Wkiss onderzochte
magnetiet in de normale toestand geen magnetisatie heeft.

Men zou tegen deze opvatting het bezwaar kunnen maken
dat magnetiet toch de bouwstof is van de reeds in de oudheid
bekende natuurlike magneten: echter zijn deze magneetstenen
in den regel verre van zuiver, en worden zo steeds in een ijzer-
houdende omgeving aangetroflen, zodat verontreinigingen met
ijzer een zeer voorname rol moeten spelen.

Dat de uit fig. 20 blijkende anisotropie van magnetiet met
onze theorie niet in strijd is werd reeds in § 7 opgemerkt.

kristal één enkele soort van elementairmagneetjes op de voor-
grond treedt, die in een kubies, gecentreerd kubies of vlak-ge-
centreerd kubies net gerangschikt zijn; Het is echter zeer goed
mogelik dat men b.v. twee soorten van elementairmagneetjes
heeft, met verschillende magnetische momenten, en dat elk dezer
soorten in zulk een net gerangschikt is. De gebruikelike che-
miese formule FeCFeOgja wijst zelfs enigszins in die richting.

Ben en ander over dipoolnetten met crtliorhombiese
en hexajiToiiale symmetrie, in verband met de sregfevens
aangaande pyrrhotine.

§ 1. Uitbreiding der in hoofdstuk VI gegeven beschou-
wingen tot netten met orthorhombiese symmetrie.

De beschouwingen van hoofdstuk VI gelden voor netten met
kubiese symmetrie: om ze tot gevallen van orthorhombiese sym-
metrie uit te breiden kan men zich echter in beginsel bepalen
tot het aanbrengen van een wijziging in de formules (6, 5), en
in verband daarmee in de formules (6, 7) en (6,8). De wijzi-
gingen zijn weinig ingrijpend en laten het karakter der be-
doelde formules geheel onveranderd.

waarbij L M N = 1. Men moet echter in het oog houden
dat dit nieuwe stel vergelijkingen niet meer voor elk assen-
stelsel geldt, maar alleen voor een stelsel waarvan de assen
tevens de boofdrichtingen zijn van het orthorhombiese net. De
formules (6, 6) zullen natuurlik in het algemeen gelden op een
ander assenstelsel: men kan echter steeds oen derde assenstelsel
aangeven, waarop vergelijkingen gelden die met de gelijkheden
(6, 7) in zoverre overeenstemmen dat men heeft

Zijn de assen van de ellipsoide, waardoor ons stelsel van
dipolen begrensd wordt, tevens hoofdrichtingen van het ortho-
rhombiese net, dan zijn de bedoelde drie assenstelsels identiek)
en heeft men in plaats van de gelijkheden (6, 7):

Een kenmerkend verschil met de in hoofdstuk VI gegeven
beschouwingen is nu wel het feit dat tans deze funktie, behalve

De grootheden L, M en N hangen samen met de ladings-
verdeling die men verkrijgt door het te beschouwen net van
dipolen tot in het oneindige voortgezet te denken, daarna alle
dipolen door eenheidspolen te vervangen, vervolgens deze polen
door een homogene lading met dichtheid —u-^ te neutraliseren,
en ten slotte een der eenheidspolen weg te nemen. De genoemde
grootheden hebben betrekking op de omgeving van het punt D,
waar zich deze eenheidspool oorsponkelik bevond.

De verkregen ladingsverdeling heeft in deze omgeving geen
eindige potentiaal: van tweede afgeleiden der potentiaalfunktie
kan dus niet worden gesproken. Tot grootheden die dezelfde
betekenis hebben als deze tweede afgeleiden komt men echter
als volgt:

de binnen elk deel aanwezige ladingen in de omgeving van D
een eindige potentiaal hebben: de tweede afgeleiden der ver-
schillende potentiaalfunkties naar een bepaalde ruimtekoördinaat
(voor koördinaasassen nemen we de hoofdrichtingen van het
orthorhombiese net) sommeert men vervolgens over de gehele
ruimte.quot;

Men verkrijgt 0{; deze wijze grootheden die de plaats der
tweede afgeleiden naar x, y en z van de potentiaalfunktie der
totale ladingsverdeling, in de omgeving van D, op geschikte wijze
kunnen vervullen, en de drie waarden die men voor het punt D
zelf vindt zijn bij definitie:

Merk nu op dat men elk net met orthorhombiese symmetrie,
b.v. een gecentreerd orthorhombies net, kan beschouwen als de
superpositie van een aantal enkelvoudige orthorhombiese netten.
Ook de te beschouwen ladingsverdeling kan dan opgevat wor-
den als de superpositie van een aantal ladingsverdelingcn, die
elk korresponderon met een enkelvoudig orthorhombies net.
Het net waartoe D behoort mist blijkbaar één eenheidspool: de
andere netten zijn echter volledig, en voor deze netten kunnen
dus de bijdragen tot L, M en N berekend worden met behulp
van do in hoofdstuk TV, § 4, voorkomende formules.

De bepaling van de bijdragen van het eerste net is blijkbaar
hetzelfde probleem als de bepaling van de grootheden L, M en N
zelf voor een enkelvoudig orthorhombies net: we kunnen ons
dus tot de behandeling van dit laatste geval beperken. Met het
aangeven van een methode ter berekening van L kan daarbij
worden volstaan, omdat L, M en N volkomen gelijkwaardig zijn.

Kies D tot oorsprong van het te gebruiken koördinatenstelsel,
on laat a, h on c de ribben zijn van een elementairparallele-
]nj)idum. Do koördinaten der eenheidspolen zijn dan:

de ruimte in lagen van de dikte c. De lagen onder en boven
de laag, waarbinnen zich D bevindt, leveren dan tot L de
bijdrage

welke uitdrukking men vindt door voor het hier te beschouwen
geval een formule af te leiden als (6, 21), en in die formule
te stellen x — y — z = 0: ook tans moeten echter de termen,
waarbij w = O of n = 0, slechts voor de helft in rekening
moeten worden gebracht, terwijl de term met m = n = O ge-
heel ontbreekt

De bepaling van de bijdrage van de laag waarbinnen zich D
bevindt vraagt een afzonderlike beschouwing. Van de homogene
lading binnen deze laag kan daarbij worden afgezien, omdat
deze op L geen invloed kan hebben. Blijven dus over de een-
heidspolen met de koördinaten

Van deze eenheidspolen beschouwen we eerst de exemplaren
waarvoor a een bepaalde, van nul verschillende waarde heeft:
blijkbaar liggen deze op een lijn evenwijdig aan de a;-as. We
kunnen ze gerust door een homogeen over de lijn verdeelde
lading met lijndichtheid — aquot;^ geneutraliseerd denken, omdat
een dergelike lading op L geen invloed heeft. Is nu ?• de af-
stand van een punt der ruimte tot de beschouwde lijn, dan
kunnen we de potentiaal van de op deze lijn aanwezige ladingen
voorstellen door een PouRiEU-reeks van de gedaante \')

Buiten de lijn moet deze potentiaal voldoen aan de verge-
lijking van Laplace: stellen we de eis dat elke term aan deze
vergelijking zal voldoen, dan vinden we dat de funktie/„(r)
moet voldoen aan de differentiaalvergelijking

de bekende BESSEL\'se differentiaalvergelijking van de orde nul.
Van deze vergelijking zijn voor ons doel alleen bruikbaar op-
lossingen die voor oneindig groot argument zo sterk naar nul
konvergeren dat ook de reeks (9,5) voor alle waarden van x
naar nul konvérgeert. De enige oplossing die aan deze voor-
waarde voldoet is de door Hankel ingevoerde funktie

waarin y de konstante van Euler voorstelt. In de omgeving
van de beschouwde lijn heeft men dus:

Daar deze ladingsdichtheid bekend is kunnen de konstanten
Cu als FouRiKR-koëfïiciënten bepaald worden. De aanwezigheid

der homogene lading heeft tengevolge dat in de reeks de kon-
stante term ontbreekt. Overigens heeft deze lading geen invloed,
en men vindt:

en voor de bijdrage tot L van de in het vlak 2\' = O gelegen
puntladingen die zich buiten de x-as bevinden komen we dus tot
de uitdrukking:

Om tenslotte de bijdrage te vinden van de op de x-as gelegen
eenheidspolen merken we op, dat op deze lijn de tweede afge-
leide naar x van de potentiaalfunkte dezer polen gegeven Avordt
door de uitdrukking

die voor x == O gelijk is aan
TT V a^ ^ (2a)3 ^ \'-J— ffaA^ ^ 23 ^ 3» ^ • • 7

Tellen we nu tenslotte de gevonden bijdragen bij elkaar, dan
vinden we als eindresultaat:

waarbij in aanmerking moet worden genomen dat in de eerste
reeks bepaalde termen slechts voor de helft in rekening moeten
worden gebracht.

§ 3. Vergelijking van de magnetiese eigenschappen van
dipoolnetten met orthorhombiese symmetrie met die
van enige in hoofdstuk IV behandelde aggregaten,
en met die van pyrrhotine.

quot;We gaan bij onze beschouwingen uit van de formules (6,12)
en (6,13). Nemen we aan dat de ellipsoide, waardoor het te be-
schouwen dipoolnet begrensd wordt, de hoofdrichtingen van dit
net tot assen heeft, dan zijn de gemengde dilferentiaalquotienten
van de funktie T alle gelijk aan nul. Verder ligt het voor de
hand te onderstellen, dat voor de in aanmerking komende in-
delingen der dipolen in twee gelijkwaardige groepen ook de
gemengde afgeleiden van do funktie S verdwijnen: in de for-
mules (6,12) en (0,13) kunnen dan alle termen met gemengde
dififerentiaalquotienten worden weggelaten, terwijl we zonder
deze vereenvoudigende onderstelling te doen zouden krijgen
met allerlei asymmetrieën, waarvan volgens Wkiss altans bij
het normale pyrrhotine geen sprake is.

De uitdrukking voor de som van de eerste en de tweede
variatie der energie gaat verder over in:

We willen nu een geval beschouwen, dat zoveel mogehk over-
eenstaat met het in hoofdstuk IV, § 9, behandelde. Het daar
beschouwde aggregaat had geen hysterese, en de susceptibiliteit
in de .e-richting werd uiterst gering ondersteld. Iets dergeliks
krijgen we ook tans wanneer we aannemen dat in (9,13) de
32 s

hetgeen natuurlik meebrengt dat negatief is. In de normale
toestand, zonder uitwendig magneties veld heeft men dan:

7i = l en 72 = — 1,
of omgekeerd, en deze toestand is ook nog stabiel wanneer in

de ^--richting een magneties veld werkt waarvan de sterkte H
voldoet aan de voorwaarden

men ziet dit zonder moeite in wanneer men bedenkt dat men
in de voorwaarde S Ë* gt; O de variaties Sy, en nnl mag
stellen. Een niet al te sterk veld in de ^-richting veroorzaakt
dus generlei magnetisatie, en we mogen zeggen dat voor zulk
een veld de susceptibiliteit nul is.

De toestand, waarbij «, = «2=1, is stabiel wanneer in de
x-ricbting een veld werkt waarvan de sterkte H voldoet aan
de ongelijkheid

geeft de voorwaarde aan waaraan een veld H volgens de y-as
moet voldoen om in die richting magnetiese verzadiging te
veroorzaken. Neemt men nu in aanmerking dat de verzadigings-
magnetisatie

welke formules blijkbaar uitbreidingen zijn van de gelijkheid
(7, 28). Daar in de 2\'-richting de susceptibiliteit nul is zou men
verder kunnen stellen: .

Men kan nu verder aantonen dat de figuur 34, die betrekking
heett op de verschijnselen die zich voordoen wanneer een kon-
stant veld in hetnbsp;ronddraait, geheel ongewijzigd kan
worden overgenomen: de overeenstemming met het in hoofd-
stuk IV, § 9, behandelde geval mag dus volkomen worden
genoemd. Intussen moet het voorbehoud worden gemaakt dat
stilzwijgend is aangenomen, dat het steeds één en dezelfde
dipoohndeling is waarop bij de bepaling van evenwicht en
stabiliteit moet worden gelet.

Wat getalwaarden betreft lijkt het zeer wel mogelijk dat met
de door Weiss aangaande pyrrhotine verstrekte gegevens over-
eenstemming te bereiken is; de kwestie van de remanentie en
van de verschilpunten tussen de figuren 21 en 34 schakelen
we daarbij voorlopig uit. Volgens de gegevens van fig. 23 zou
men moeten hebben

grootste van deze afgeleiden zijn. Het is wel duidelik dat aan
deze voorwaarden op verschillende manieren kan worden vol-
daan, en dat men er bovendien nog voor kan zorgen dat de
waarde van

zo groot is dat de ongelijkheid (9,16) aan de kleinheid van H
geen hoge eisen stelt: zonder dit laatste zou met een betrekkelik
zwak veld toch nog een magnetisatie in de ^ richting kunnen
worden teweeggebracht.

Algemeeen gesproken lijkt het dus wel mogelik de eigen-
schappen van pyrrhotine op grond van de gegeven theorie te
verklaren. Op enige biezonderheden zal in de volgende i)aragraaf
nog worden ingegaan.

§ 4. Opmerkingen over dipoolnetten met hexagonale sym-
metrie, in verhand met de symmetrie van het pijr-
rhotine-kristal.

In hoofdstuk II, § 5, werd opgemerkt dat Wkiss op grond
van z\'n magnetiese metingen tot de konklusie is gekomen, dat
de hexagona al uitziende pyrrhotine-kristallen als regel bestaan
uit drie orthorhombiese kristallen, die zodanig met elkaar zijn
vergroeid dat een bepaalde as voor alle drie dezelfde richting
heeft, terwijl voor het overige de standen der kristallen zodanig
zijn, dat ze in elkaar overgaan bij wenteling om de genoemde
as over hoeken van 120°. We zullen in het volgende met een
voorbeeld laten zien, dat een dergelike konklusie op de basis
der in dit proefschrift gegeven beschouwingen niet gerecht-
vaardigd is.

Beschouw daartoe een enkelvoudig hexagonaal net van di])olen.
De roosterpunten in een netvlak loodrecht op de hexagonale
as zijn dan gerangschikt zoals fig. 42 dat aangeeft. Men ziet
uit deze figuur hoe de rooster-
punten in twee gelijkwaardige
groepen kunnen worden inge-
deeld, die elk een enkelvoudig
orthorhombies net vormen. Ba-
seert men nu op deze groepin-
deling een diskussie van de mag-
netiese eigenschappen, dan komt
men noodzakelik tot resultaten,
die volkomen vergelijkbaar zijn
met wat voor netten met ortho-
rhombiese symmetrie werd ge-
vonden. Men ziet echter gemakkelik in dat er twee dipool-
indelingen kunnen worden aangegeven, die met de beschouwde
indeling gelijkwaardig zijn en daaruit kunnen worden afgeleid
door wenteling om de hexagonale as over hoeken van 120°.
Fysies kan er nu natuurlik voor geen dezer indelingen enige
voorkeur zijn, en men kan dus, wat de magnetiese eigenschappen
aangaat, evengoed symmetrie verwachten ten opzichte van de
hoofdrichtingen die behoren bij de orthorhombiese netten dor
ene groepindeling als ten opzichte van de hoofdrichtingen die
aan een andere groepindeling beantwoorden. Blijkbaar behoort

bij elke indeling de hexagonale as tot de hoofdrichtingen, terwijl
verder twee gelijksoortige hoofdrichtingen steeds een hoek met
elkaar maken van 120°.

Al wat Weiss over de symmetrie van pyrrhotine meedeelt is
in verband met deze beschouwing volkomen begrijpelik. Daar
door hem verschillende anomalieën worden toegeschreven aan
onvoldoende homogeniteit der onderzochte kristallen is het niet
gewaagd te onderstellen dat voor verschillende delen dezer
kristallen verschillende groepindelingen zullen domineeren. Het
is echter zeer natuurlik dat daarbij de ene indehng meer voor-
komt dan de andere, en men vindt dus een ongedwongen ver-
klaring voor het zo sterk uiteenlopen der iu hoofdstuk II
genoemde verhoudingen, die aangeven in welke mate de drie
orthorhombiese kristallen, waaruit pyrrhotine zou zijn samen-
gesteld, vertegenwoordigd zijn. We mogen dus wel zeggen dat
pyrrhotine waarschijnlik een kristal is met hexagonale sym-
metrie, en dat van een vergroeiing van drie orthorhombiese
kristallen geen sprake is.

Wat nu de remanentie betreft kan worden opgemerkt dat
men zich zou kunnen voorstellen dat in een pyrrhotine-kristal
langgerekte naalden voorkomen die behoorlik homogeen zijn en
van de toestand in de omgevende kristalstof tot op zekere
hoogte onafhankelik. In zulk een naald zou overal dezelfde
groepindeling kunnen domineren, en hij zou hysterese kunnen
vertonen ook wanneer daarvan in meer normale gevallen geen
sprake is.

Ook voor het overige kaïi men een aantal ondergeschikte
verschillen tussen theorie en experiment op rekening schuiven
van de inhomogeniteit der door Weiss onderzochte kristallen.
Dat de waarde van de breuk

niet geheel konstant is, en dat de afwijkingen groter zijn naar-
mate men met zwakkere velden te doen heeft, beantwoordt b.v.
geheel aan wat men in verband met deze inhomogeniteit zou
verwachten.

We hebben ons in de loop der gegeven beschouwingen een
voorstelling gevormd van het mechanisme van het magneti-
seringsproces bij metalen als ijzer en nikkel. Volgens deze
voorstelling komen in de genoemde metalen — ook in de niet-
magnetiese toestand — langgerekte ketens van elementairkristallen
voor, die in bun magnetiese eigenschappen cohaerent zijn, en
daardoor in de richting van de assen der ketens nagenoeg ver-
zadigd zijn gemagnetiseerd. Daar echter deze assen alle mogelike
richtingen kunnen hebben is naar buiten van enige magnetisatie

Laat men nu op het metaal een zwak uitwendig veld werken,
dan zullen de kristallen, die van de genoemde ketens deel uit-
maken, hierop in mindere mate reageren dan de kristallen, die
hun individualiteit hebben behouden: do waarde van do initiaal-
susceptibiliteit zal dus in hoofdzaak van deze laatste kristallen
moeten afhangen. We vonden in hoofdstuk VIII, §§ 8 en 9,
dat bij week ijzer ongeveer 92 % der kristallen tot deze groep
behoort, tegen ongeveer 42 % bij nikkel. Dus is bij het ijzer in
de niet-magnetiese toestand slechts 8 % der kristallen tot ketens
verenigd, en bij nikkel niet minder dan 58%.

Van dit grote verschil kan een eenvoudige verklaring ge-
geven worden. IJzerkristallen moeten n.1. volgens de gegeven
theorie beschouwd worden als gecentreerd-kubiese netton van
magnetiese dipolen, en voor deze netten werd gevonden

Zal nu een door een omwentelingsellipsoido begrensd net van
deze soort hysterese vertonen, dan moet

d. w. z. de ellipsoide moet zó langgerekt zijn dat (zie fig. 3) de
assenverliouding s voldoet aan:

Bij nikkel daarentegen, waar men met een vlak-gecentreerd-
kubies net te doen heeft, vindt men de voorwaarde

zodat men hier veel minder langgerekte ellipsoiden nodig heeft.
Het is duidelik dat hieruit volgt dat in ijzer een kristalketen,
die hysterese vertoont, veel meer langgerekt zal moeten zijn
dan bij nikkel nodig is, en dat dus de kans op de vorming van
zulke ketens bij nikkel veel groter is.

We kunnen verder opmerken, dat de bij nikkel voorkomende
ketens gemiddeld ook sterker hysterese zullen vertonen dan die
bij ijzer. Dit feit is van belang voor het verdere verloop van het
magnetiseringsproces. Laat men n.l. het uitwendige veld sterker
worden, dan zullen op den duur alleen die ketens intakt kunnen
blijven, wier magnetisatie de richting heeft van het uitwendige
veld. De andere ketens moeten vroeg of laat verbroken worden,
en hun samenhang zal daarbij plaats maken voor een samen-
hang, die zich hoofdzakelik richt naar het uitwendige veld.
Het is nu duidelijk dat bij ijzer voor het verbreken der ketens
een minder sterk veld nodig zal zijn dan bij nikkel, en men
kan hierin de oorzaak zien van het feit dat het eerste metaal
een steilere aanloopkromme bezit. .

We willen deze opmerking nog in verband brengen met een
in de figuren 26 en 27 aangegeven temperatuur-effekt. Vooral
in fig, 26, die op nikkel betrekking heeft, ziet men duidelik,
dat de invloed van een zwak veld op de magnetisatie bij toe-
nemende temperatuur eerst toeneemt, en eerst in de buurt van
het CuEiE-punt geringer gaat worden. Om dit verschijnsel te
verklaren moeten we ons rekenschap geven van de invloed van
de temperatuur op de elementairmagneetjes. Tot dusverre werd
deze invloed op grond van een in de inleiding genoemde over-
weging niet in aanmerking genomen; dat men er bij hogere

temperaturen wèl rekening mee moet houden bewijst echter het
bestaan van bet CuRiE-punt.

Omtrent de invloed van de temperatuur op de elementair-
magneetjes kan intussen weinig met zekerheid worden gezegd.
Men kan alleen als vaststaand aannemen dat er warmte-rotaties
zijn, die levendiger worden naarmate de temperatuur hoger wordt.
Op grond van dit feit kan het gesignaleerde temperatuur-efFekt
begrijpelik worden gemaakt. We zagen n.1. dat bij de magne-
tisering van nikkel de samenhang van een groot aantal ketens
van elementairkristallen verbroken moet worden: dat dit nu
gemaklceliker geschiedt naarmate de elementairmagneetjes in
levendiger beweging zijn is duidelik. Wordt de beweging echter
te levendig, dan is voor het verbreken van de genoemde samen-
hang in het geheel geen veld meer nodig; er is dan van de
vorming van ketens geen sprake meer en alle magnetisatie is
verdwenen zodra er geen uitwendig veld meer werkt, kortom,
het CuRiE-punt is overschreden.

Dat bij ijzer het beschouwde etfekt veel minder op de voor-
grond treedt kan verklaard worden uit het feit, dat hier veel
minder ketens voorkomen. Bij de kristallen magnetiet en pyr-
rhotine, die een grote mate van homogeniteit bezitten, is het
verschijnsel natuurliK in het geheel niet te verwachten.

Ten slotte nog enige opmerkingen over de mogelijkheid van
een verklaring van de eigenschappen van de legeringen van
Heusslrr. Het beslissende bestanddeel van deze legeringen is
mangaan. Van dit metaal is het kristalnet tot dusverre niet
gevonden: volgens Young (zie pag. 36) is de dilFraktiefiguur
van het röntgen-licbt te ingewikkeld voor een net met kubiese
symmetrie. Men kan echter wel zeggen, dat het mangaanatoom
een magneties moment heeft. Weiss en Kamerlingii Onnks
hebben ii.l. bij zuiver mangaan, dat eerst in poedervorm was
gebracht, en vervolgens bijeengesmolten, een sterke magnetiseer-
baarheid gevonden, en volgens Seckelson 2) is de magnetiseer-
baarheid van galvanies neergeslagen mangaan ongeveer het
dertigste deel van die van ijzer.

Men stelle zich nu voor een legering van mangaan met één
of meer metalen, waarvan de atomen geen of nagenoeg geen

magneties moment bezitten In zulk een legering kunnen kristal-
len van mangaan en de andere metalen gescbeiden voorkomen |
het is echter ook mogelik dat men kristallen vindt, waarin
zowel mangaanatomen als \'andere atomen vertegenwoordigd zijn.
Volgens de gegeven theorie hangt in het laatste geval het al
of niet optreden van ferromagnetiese verschijnselen eenvoudig
af van de wijze, waarop in zulk een kristal de mangaanatomen
zijn gerangschikt. Bevinden ze zich in de roosterpunten van een
kubies net, dan krijgt men al een betrekkelik grote magneti-
seerbaarheid, maar geen hysterese; bij een gecentreerd kubies
net is de magnetiseerbaarheid groter en is er enige kans op
hysterese, terwijl men bij een vlak-gecentreerd kubies net van
hysterese wel zeker kan zijn.

Natuurlik zijn deze opmerkingen meer bedoeld als verklarings-
mogelijkheid dan als verklaring; essentieel is alleen dat de
magnetiese eigenschappen geheel afhangen van de aard der
netten, waarin de magnetiese atomen zijn gerangschikt, en dat
hierop de stoffen, waaruit de legering is samengesteld, van be-
slissende invloed zijn is vanzelfsprekend. De invloed van bij-
mengsels van kool en dergelike stoffen op de magnetiese eigen-
schappen van ijzer kan op soortgelijke wijze worden verklaard,
en men ziet gemakkelik in dat deze verklaringswijze in over-
eenstemming is met de voorstelling, die fig, 13 geeft van de
samenstelling van mengsels van ijzer en kool.

Voor de elektriese en magnetiese energie per cM®. geeft de
klassieke elektrodynamica de uitdrukkingen \\E\'D en ^H\'B,
waarin E, D, H en B voorstellen elektriese kracht, diëlektriese
verplaatsing, magnetiese kracht en magnetiese induktie. Deze
energiebedragen kunnen zeer goed van andere dan elektriese,
resp. magnetiese aard zijn.

wordt door Jkans (Electricity and ALagnetism, §§ 448, 470 en 471)
foutief afgeleid, en wel alleen voor een klasse van lichamen
waarvoor zij niet geldt.

Eon magneties veld dat de eigenschappen heeft, die door
Gans (Gött. Nachr., A/ath. Ph. KI, 1910, S. 97J worden toe-
gekend aan het door hem in zijn theorie van het forromagne-
tismo ingevoerde molekulaire veld, is onbestaanbaar.

Elke op de klassieke statistiese mechanica gebaseerde theorie
van het ferromagnetisme geeft kwantitatief onjuiste resultaten.

De bezwaren die Bokel (Journal de Physique, 1913) opwerpt
tegen de methoden der statistiese mechanica, en in het biezonder
tegen het gebruik van de stelling van Liouville, zijn ongegrond.

Von Seeliger heeft opgemerkt dat de onderstelhng volgens
welke het heelal gelijkmatig met materie zou zijn gevuld, in
strijd is met de gravitatiewetten van Newton.

De onderstelling is echter niet in strijd met de gravitatie-
wetten, die uit de vergelijking van Poisson kunnen worden
afgeleid.

Volgens de wetten der kinetiese gastheorie kan de door J. C.
Kapteyn in een opstel van 1921 (Physica, 1921, p. 352) aan
het grote sterrestelsel toegeschreven bewegingstoestand niet sta-
tionnair zijn. Het is dus inkonsequent deze wetten, voorzover
ze op stationnaire toestanden betrekking hebben, bij de diskussie
van de genoemde bewegingstoestand toe te passen.

De paradox van St.-Petersburg bevat niets paradoxaals: voor
de opvatting dat „espérance mathématiquequot; de waarde zou aan-
geven van een kans op winst of verlies is n.1. geen gegronde
reden.

Ten onrechte geeft Cahatheodory in zijn „Vorlesungen über
reëlle Funktionenquot; de indruk dat het mogelijk is de theorie der
getallen op bevredigende wijze te ontwikkelen door de stelling
„Elke verzamehng van getallen heeft een bovenste grensquot; als
axioma in te voeren.

d/	yv
^yk /
	JZ h f
e

	Verzadigings- magnetisatie.	Remanente magnetisatie.	Koërcitief- kracht.
Elektrolyties ijzer ....	6100	3230	0,795
Gegloeid zuiver ijzer . . .	—	3460	0,73
Dynamostaai......	6070	2850	0,41
id. gegloeid . . .	6000	3120	0,12
i Houtskoolijzer......	5980	3150	0,30
Staal .........	5590	3660	4,7
id. gehard......	5030	2100	14,8
Gietijzer........	4640	1440	3,2

		/y-//
		//\'SS

		7/^7
		m?

/V
Y 1 1 1 1 1 1 /		T
1 1 1 1 1 1 t	-A/y	H

d« Wquot;	A	d^ Wquot; B	Wquot; c
ix^	«8 \'
	d^ Wquot;		= 0.

£	H,: Mq	-{A Q)	— 0
0,002	— 0,0000232	— 0	— 0,000024 — 0	— 0
0,02	- 0,00132	— 0	- 0,0014 \' — 0	id.
0,1	- 0,018	— 0	- 0,02 - 0	id.
0,5	— 0,165	— 0	— 0,17 -0	id.
1,0	— 0,18	— 0	— 0,33 — 0	id.
00	0,000	— 0	—	id.

32t;\'	8;r2	11 in n	g—Äin»i\|i\|	I	27nnx
3x2 —	a^	f^mn		a
32ü\'	8n-2	V V	7i2 e-Amn\|ï\|		2xmx
	ab^	m tl	knm		a
32y\' 3^2	1 abc	2	V V k e m n	— hmn	M cos




L
i
JJ
\\	iç-
	\\
	\\


	/
	/	Per//el
/
/



- 17

	Q\'
V-T\' 1		B\'


/
r ■■ 1			/
		/	/n

	/
/