VOLGENS BESLUIT VAN DE WIS- EN NATUURKUNDIGE FACULTEIT,
ter verkrijging van den graad van

By het eindigen myner academische loophaan is het my eene behoefte,
mijn hartelyhen dank te betuigen aan de Hoogleeraren der Wis- en Natuur-
kundige Faculteit, voor hun voortrefelijk onderwys en voor de belangstelling
die ih steeds van hunne zyde ondervond. Mogen zy my ook in het vervolg
hunne voorlichtingen en raadgevingen niet ontzeggen!

Inzonderheid gevoel ik my verplicht aan myn HooggeacUen Promotor,
Prof. Buys Ballot; voor de vriendschappelijke en welwillende huif, my
betoond hy het vervaardigen van dit proefschrift.

§ 3. s is onafhankelijk veranderlijke. Gewone punten, toppen en buigpunten. 23
§ 3. w is onafhankelijk veranderlijke. Gewone punten, toppen en keerpunten. 30

HOOFDSTUK IV, Over de voordeelen, welke de theorie der essentieele
vergelijkingen kan aanbrengen.

In 1835 werd door Professor H. Schröder een begin gemaakt met de uit-
gave van het mathematiscli gedeelte van Krause\'s nagelaten geschriften, waar-
van het eerste deel den titel voert: Novae tlieoriae Imearum mrvamm originariae
et vere scientificae s^pecimina quinque iwima. In hetzelfde jaar, doch eenige
maanden later, verscheen een werkje van Adolf Peters, getiteld: Neue Curven-
lehre; Grmidzüge einer UmgestaUmg der höheren Geometrie durch ihre ursprüng-
liche analytische Methode.

Geheel onafhankelijk van elkaar ^beoogden Krause en Peters hetzelfde doel,
namelijk het invoeren eener nieuwe coördinaten-methode in de analytische
geometrie, die als de „oorspronlelijlequot; moet worden beschouwd, omdat de
essentieele eigenschappen der krommequot; lijnen er aan ten grondslag liggen.

Hunne beschouwingswijze schijnt evenwel weinig ingang gevonden te hebben:
althans er zijn — voor zoo ver mij bekend is — geene pogingen in het werk
gesteld, deze theorie der kromme lijnen uit te breiden of op nieuw te ontwik-
kelen. Het behandelen van andere coördinaten-systemen, dan het rechtlijnige
en polaire, zoo als reeds in 1827 door Möbius in Der barycentrische Calcul,
en later door Plücker, Druckenmüller, S wellengreb el, e. a. geschied is, kan
niet als zoodanig beschouwd worden, omdat daarin niet hetzelfde gronddenk-
beeld ligt opgesloten, waarop de theorie van Krause en Peters steunt, name-
lijk: het vinden eener vergelijking, die de uitdrukking is van de essentieele
eigenschap der kromme lijn. Druckenmüller^s systeem rs i) is het eenige, dat
met hunne oorspronkelijke coördinaten-methode eenigzins kan worden vergeleken.

ï) Die üebertragungsprineipien der analytiselien Geometrie von Dr, N, Druckenmüller, Erster
Baad, Erste Abtheilung. Viertes Kapitel.

couflure i) liet oog gehad op de theorie van Krause en Peters, ofschoon zijne
formnlen voor den tromtestraal meer tot den vorm eener essentieele vergelijking
naderen, dan de vergelijkingen in één der coördinaten-stelsels van Plücker,
üruckenmüller, Swellengrebel, enz.

Mag men van elk coördinaten-stelsel de verwachting koesteren, dat de toe-
passing er van voor de theorie der kromme lijnen in eenig opzicht van nut
zal zijn, — zoo veel te meer is dit geoorloofd met betrekking tot eene theorie,
die op de karakteristieke eigenschap der kromme lijnen is gebouwd. Het is
daarom dat ik de theorie der essentieele vergelijkingen tot het onderwerp van
mijn academisch proefschrift gekozen heb. De gronddenkbeelden zijn aan de
werkjes van Krause en Peters ontleend; in hoe verre ik gemeend heb van hen
te moeten verschillen heb ik in het eerste Hoofdstuk aangewezen en gemotiveerd.

Bulletins de l\'Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique; 26me
Anne\'e, 3me Série, T. II, 1857.

Krause^s eerste verhandeling : „ P/oiï/^eowa generalisquot; is in twee deelen ge-
splitst. Het eerste gedeelte bevat eene wijsgeerige beschouwing van de ruimte,
de oppervlakte, de lijn en het punt, waarvan de resultaten in de volgende
definities liggen opgesloten:

„Linea est simplex extensio cum extensionis forma etiam simplici definita,
h. e. longitudo cum directiomquot; (§ 16).

„Bectitudo lineae posita est in directionis identitate, unitate, simplicitatequot;

„Lineae curvae essentiale proprium charaeteristicum atque exclusivum est
directionis internae continua alteratio s. mutatio.quot; (§18)

„Modus, quo linea curva directionem continuo mutat, apte vocabitur: cur-
vitudinis lex.quot; (§ 20)

In het tweede gedeelte; „de oppositione directionis quatenus ea in spatio,
superficie, linea, et in angulo plano occurritquot;, wordt de kromme lijn beschouwd
als de limiet van eene gebrokene lijn („polygonismusquot;), die ontstaat door eene
onbepaalde rechte lijn in verschillende punten om te buigen, zoodat zij in die
punten plotseling van richting verandert. Daar de rechte lijn zich ter weers-
zijden van elk punt in twee tegengestelde richtingen uitbreidt en daarenboven
elke buiging in tweeërlei zin kan plaats hebben, zoo heeft men: „modus
quatuor simplices constructionis polygonialis s. polygonismaticaequot;; door elk
dezer vier gevallen resp : met de drie anderen te combineeren, verkrijgt men :
„tria symptomata principalia characteristica, in formandis polygonismis recti-
lineis occurrentia, nempe flexmae in partem contrariant^ (buigpunten); „rever-

sionis, s. rostri aentiquot; (keerpunten) „et rostri adunciquot; (keerpunten van de
tweede soort, snavels) (§ 41). Gaat men nu over tot de limiet van den jool^-
gonismus, dan gelden deze beschouwingen de kromme lijnen.

Krause zondert nu den cirkel af van alle andere krommen („versicurvaéquot;),
als hebbende overal dezelfde kromte, en wijst er op, dat in elk punt eener
kromme lijn de kromte wordt aangegeven door een bepaalden cirkel, even als
de richting wordt bepaald door de raaklijn.

Noemt men l de lengte van den boog eener kromme van een bepaald punt
af, en w den hoek, dien de raaklijn maakt met eene bepaalde richting,
dan geeft eene vergelijking tusschen die veranderlijken het middel aan: ,, lineam
methodo analytico-geometrica, eaque originaria ac plane generali discntiendi.quot;
(§ 66)

In de tweede verhandeling: „Theoria originaria cirouUquot; worden de eigen-
schappen des cirkels afgeleid uit de vergelijking I — t w, terwijl in de derde
verhandeling: „de lineae curvae proprietatihis et symptomatilus generaliorihisquot;
gesproken wordt over den kromtecirkel en den kromtestraal, welke laatste ge-
vonden wordt door differentiatie van de vergelijking: I =z f (w); daardoor
verkrijgt men tevens de vergelijking van de evolunt der kromme, terwijl door
integratie de vergelijking der in voluut ontstaat.. Hiervan levert de vierde ver-
handeling eene toepassing op de involuut des cirkels, terwijl eindelijk de
vijfde verhandeling geheel gewijd is aan de kromme lijn, die door de vergelij-
king I ~ wordt uitgedrukt en door Krause „Antilogaquot; genoemd wordt:

„ quia ejus arcus et anguli sunt in ratione reciproca seu mnXcyiKui constitati.quot;

Aan de inleidende beschouwingen in het werkje van Peters ligt de volgende
hoofdgedachte ten grondslag. De gewone coördinaten-methoden leeren de eigen-
schappen kennen van het vlak, waarvan de kromme lijn de grens is, niet van
de kromme lijn zelve; het zijn eigenschappen, die de kromme lijn in betrekking
stellen tot andere lijnen of punten buiten haar, en dus relatief zijn ten op-
zichte der kromme, maar absoluut ten opzichte der vlakte-uitgebreidheid. Hoe
zal men een coördinaten-methode vinden, die onmiddellijk de absolute eigen-
schappen der kromme lijn leert kennen? Gelijk het ontstaan eener vlakte-

uitgebreidheid, door de beweging van een rechte, evenwijdig aan zich zelve,
langs eene andere rechte, of wel, door de draaiing eener rechte lijn om één
harer punten, den grondslag uitmaakt van het rechtlijnige of polaire coördinaten-
stelsel, dat van die vlakte-uitgebreidheid de absolute eigenschappen leert kennen,
zoo zal het ontdaan eener kromme lijn door de beweging van een punt de
basis moeten zijn van een coördinaten-stelsel, dat de absolute eigenschappen
dier lijn doet kennen. Het punt beeft daarbij eene voortgaande en eene
draaiende beweging: voortgang en draaiing zijn dus de elementen der kromme
lijn; het eerste wordt aangegeven door de lengte van den boog [i) van een
bepaald punt af, het tweede door den hoek (w) der raaklijn met eene bepaalde
richting.

Voor het overige verschilt de wijze, waarop Peters de bijzondere punten be-
schouwt en den kromtestraal en den kromtecirkel bepaalt, in den grond niet
van hetgeen men hieromtrent bij Krause vindt; alleen verdient het opmerking,
dat Peters als de uitdrukking der krommingswet beschouwt de vergelijking,
die verkregen wordt door differentiatie van w = ƒ (s), en niet deze vergelijking
zelve (zoo als Krause doet), daar het differentiaal-quotiënt ^ de grootte der
kromte aangeeft. (Yerg. § 23, N». 11, § 44 en § 47).

Behalve dat Peters meer verschillende kromme lijnen behandelt dan Krause,
is er nog één punt dat in zijne theorie uitvoeriger wordt behandeld, namelijk
de klassificatie der kromme lijnen naar hare absolute eigenschappen, dat is
1° naar den loop der kromme in het algemeen: of zij tot in het oneindige
voortloopt of niet, en welke bijzondere punten men aantreft; \'iP naar de wijze
waarop de kromte verandert; 3° naar het al of niet terugkeeren tot vroeger
doorloopene plaatsen (Eelbstledeckung, SelbstscJmeidung, SelhstherUhrimg, Selbst-
meidung) (§ 23). Toch is hetgeen hieromtrent pag. 83 en v.v. wordt gezegd,
niets meer dan een zeer oppervlakkige schets, die men in § 26 en 27 in haar
geheel overziet, onder dezen vorm:

De verdere verdeeling berust op de kromte:
I. Deze is overal even groot (cirkel).

II. Zij ondergaat eene continue verandering, waarbij men kan onderscheiden,
of zij van het aanvangspunt af:

Bij de groote overeenkomst in de wijzen, waarop hetzelfde onderwerp door
Krause en Peters wordt behandeld, zijn twee belangrijke punten van verschil,
die aanleiding geven tot eenige opmerkingen omtrent den vorm der vergelijking,
die het essentieele karakter eener kromme lijn uitdrukt (de essentieele verge-
lijking dier lijn), en de i;ol die zoodanige vergelijkingen in de analytische
geometrie kunnen vervullen.

1°. Krause beschouwt eene vergelijking tusschen den boog en den draaiings-
hoek als de uitdrukking der krommingswet en daarom van de essentieele eigen-
schap der kromme lijn, terwijl Peters eerst door differentiatie de krommings-
wet er uit afleidt. Is nu aan de eene zijde de bewering van Krause juist,
dat eene vergelijking de essentieele eigenschap eener kromme lijn zal aangeven,
wanneer zij de krommingswet uitdrukt; van den anderen kant zal men met
Peters moeten erkennen, dat die krommingswet uit eene vergelijking tusschen
den boog en den draaiings-hoek wordt afgeleid, niet onmiddellijk er door wordt

vrijen val der lichamen, die de doorloopen ruimte in functie van den tijd
aangeeft: x^^hgP\' de siielheidswet uitdrukt^ omdat die er door differentiatie
uit afgeleid wordt.

Daar Krause\'s meening het resultaat is van de in zijne „ Protheoria generalisquot;

ontwikkelde beschouwingen, zoo ontstaat de vraag, op welke wijze hij tot de
definitie van hrommingswet geraakt. Een nauwkeurig onderzoek betrekkelijk
den gang van zijne redeneering leidt tot de veronderstelling, dat daarin twee
begrippen niet genoeg onderscheiden zijn, die tot elkaar in dezelfde verhouding
staan als eene functie tot haar afgeleide, en dat hierin de grond moet gezocht
worden van het verschil in de opvattingen van Krause en Peters, betreffende
de beteekenis eener essentieele vergelijking. Tot nadere toelichting van deze
bewering mogen de volgende opmerkingen dienen.

en bedoelt daarmede waarschijnlijk hetzelfde, wat door deü Hoogleeraar Buijs
Ballot aldus wordt uitgedrukt:

„Op het begrip hoek steunt vorm, want die is bepaald door de wijze,
waarop men aan de grens van richting verandert.quot; i)

Had Krause dezelfde omschrijving gebruikt, en in het oog gehouden dat
vorm, in plaats van hetzelfde te zijn als ricUmg, het gevolg is van eene ver-
andering mn richting, dan zou hij in § 55 ook onderscheid gemaakt hebben
tusschen twee definities van „ curvitasquot;, die hij nu als identiek beschouwt.

„Curvitas est continua extensionis, quoad directionem cum longitudine
conjunctam, mutatio, sive curvitas est continua forrme extensionis
mutatio.quot;

Zoodra er sprake is van eene verandering van vorm, zoo moet in elk punt
de vorm een bepaalde zijn; deze vorm nu hangt af van de wijze, waarop de
richting verandert, dat is van de grootte der richtings-verandering in verhou-
ding tot de verandering in lengte. Dit komt overeen met de eerste definitie
van „cwrmtmquot;, alwaar dit woord derhalve de beteekenis heeft van Iromte,
terwijl dan de wijze waarop deze kromte verandert: „ continua formae extensionis
mutatioquot;, de gedaante van de kromme lijn in haar geheel bepaalt.

De wijze waarop Krause het woord „directioquot; in het Duitsch vertaalt:
Eichtung, Richtheit (§ 4), geeft aanleiding tot het vermoeden, of hij er soms

eene andere beteekenis aan gebecht wil hebben, dan die door ons woord ricli-
üng wordt uitgedrukt; namelijk deze: de mßze mn gericht te zijn, hetgeen men
gerichtheid zou kunnen noemen: dan zou het werkelijk hetzelfde beteekenen
als vorm. Zelfs wordt het op sommige plaatsen noodzakelijk de beteekenis van
„di/rectioquot; in dien geest te wijzigen, bijv.:

directioquot;, (de wijze waarop de samenstellende deelen ten opzichte van
elkaar gericht zijn: de inrichting) „per quam ad se ipsam refertur,
vocatur lineae forma propria (ihre Gestalt oder ]?orm); externa vero
directio ejus positio externa, seu positio (Lage) simpliciter vocaturquot;,
(de wijze waarop de lijn, ten opzichte van hetgeen zich buiten haar
bevindt, gelegen, gericht is).

„Curvitas ergo ipsa est directio continuo mutata, ergo etiam partium
lineae contiguarum inter se et ad curvam totam continuo varians
relatio seu habitudo, s. continuo varians positio.quot;

Dat het echter niet in de bedoeling van den schrijver ligt, uitsluitend deze
beteekenis aan het woord „directioquot; toe te kennen, blijkt onder anderen uit
§18, waar voor het eerst „directionis internae continua alteratio, s. mutatioquot;
de karakteristieke eigenschap der kromme lijn wordt genoemd, terwijl bijna
onmiddellijk daarop het volgende gezegd wordt:

„Cum lineae cujus vis, ideoque et liueae curvae, limes internus punctum
sit ; patet : lineam curvam in quovis puncto habere directionem unam
definitam et unicam; quae adeo exprimi potest per lineam rectam eam,
cujus et ipsius idem punctum limes internus sit, et quae habeat
eandem directionem internam unicam.quot;

De raaklijn toch heeft overal dezelfde richting als de kromme in het raak-
punt, terwijl de kromtecirkel overal denzelfden vorm (gerichtheid) heeft.

„modus, quo linea curva directionem continuo mutat, apte vocabitur
curvitudinis leadquot; (§ 20)
het woord „directioquot; beurtelings opvat in den zin van vorm en in dien van
richting, dan zal in het eerste geval de definitie van krommingswet juist zijn,
maar in strijd met de vergelijking, die Krause als de uitdrukking dier wet

beschouwt; terwijl er in het tweede geval overeenstemming is, wat dit laatste
betreft, maar mindere juistheid in de definitie zelve.

De onduidelijkheid der uitdrukking: „forma est directioquot;, heeft derhalve
eene begripsverwarring ten gevolge, die door de geheele „Protheoria generalisquot;
heen weer te vinden is: eerst in de definitie van „curvitasquot;, later in die van
„ curvitudinis lexquot;. Door de begrippen richting en vorm overal van elkaar te
scheiden, komt men tot hetzelfde resultaat als Peters: dat de krommingswet
eerst verkregen wordt door differentiatie van de vergelijking tusschen den boog

Dit kan echter geen grond opleveren tot de bewering dat deze vergelijking
de essentieele eigenschap der kromme lijn uitdrukt: want uit elke vergelijking
in coördinaten kan de krommingswet afgeleid worden, al vereischt dit ook
meer samengestelde bewerkingen.

Peters heeft dan ook een ander uitgangspunt, namelijk: de genetische bepaling
eener Jcromme lijn. Hoezeer deze in vele opzichten is aan te bevelen, — hier,
waar het om het wezen der kromme lijn te doen is, is het juist een vereischte
van de essentieele hefaling uit te gaan (vgl. Buijs Ballot, Beginselen en Gronden
der Meetkunde, bl. 23 en 24), en is het we^ „ gleichgültig, welche von beiden
Vorstellungs-arten man wähltquot; (Peters, pag. 21). Daarenboven is de bewering
dat de gewone coördinaten-methoden de eigenschappen der door de kromme
lijnen begrensde vlakken leeren kennen in strijd met de heerschende denkbeel-
den; immers, men beschouwt de vergelijking eener kromme in rechtlijnige of
polaire coördinaten als eene conditie, waaraan elk punt der kromme moet
voldoen, en dus de kromme lijn zelve als een meetkundige plaats; het niet
essentieele van zoodanige vergelijking is hierin gelegen, dat zij de plaats van
elk punt afzonderlijk ten opzichte van andere lijnen of punten bepaalt, en
dus slechts middellijh de betrekkelijke ligging der punten onderling, dat is
den vortn, het wezen der kromme lijn leert kennen.

Hieruit vloeit dan tevens voort, dat eene vergelijking tusschen den boog en
den draaiingshoek evenmin eene essentieele kan heeten: het eenige onderscheid
tusschen zoodanige vergelijking en ééne in andere coördinaten is hierin gelegen
dat het aanvangspunt en de aanvangsrichting aan de kromme lijn zelve ontleend
zijn (ofschoon dit voor de aanvangsrichting niet eens een vereischte is); overi-
gens is het weder de plaats van elk punt, die door de vergelijking wordt

aangegeven, niet de betrekkelijke ligging der op elkaar volgende punten. Hoe-
danig men eene vergelijking kan vinden, die de kromme lijn niet als meetkun-
dige plaats, maar als mathematischen vorm leert kennen, onmiddellijk uitdruk-
kende de wijze waarop de lijn gekromd is: hare geJcromdheid, zullen wij in de
volgende § nader onderzoeken.

30. Een tweede punt van verschil tusschen Krause en Peters betreft de
toepassing der essentieele vergelijkingen in de analytische Meetkunde, Beiden
spreken het uit, dat deze er de eerste plaats behooren in te nemen, maar
Peters heeft daarbij vooral het oog op eene rangschikking der krommen naar
den vorm, terwijl Krause zich meer bepaald ten doel stelt al de eigenschappen
eener kromme lijn uit hare essentieele vergelijking af te leiden.

Ten einde te beslissen welke plaats de theorie der essentieele vergelijkingen
in de analytische Meetkunde behoort in te nemen, zal men moeten onderzoeken
welke voordeden zij oplevert. In het algemeen heeft elk coördinaten-stelsel
zijne eigenaardige voordeden: elke vergelijking eener kromme lijn is de alge-
braïsche uitdrukking van eene eigenschap dier kromme, en geeft aanleiding
tot het vinden van andere eigenschappen, die uit eene vergelijking in andere
coördinaten minder gemakkelijk te voorschijn treden. Dit zal dus ook het geval
zijn met de essentieele vergelijkingen; het kan evenwel eerst door eene veel-
zijdige toepassing worden beslist, in hoe verre hare theorie in dit opzicht
kan wedijveren met andere coördinaten-methoden. Dat zij dezen den voorrang
zal betwisten is echter niet waarschijnlijk, daar in het algemeen die eigen-
schappen der kromme lijnen, waardoor deze in betrekking worden gesteld tot
andere lijnen of punten buiten haar — en die derhalve uit andere vergelijkingen
gemakkelijker blijken —, in de toepassing de meeste waarde hebben.

In een ander opzicht staat de theorie der essentieele vergelijkingen boven
andere coördinaten-methoden. Wanneer men onderzoekt hoedanig een zelfde
eigenschap bij verschillende krommen gewijzigd is, dan komt men van zelf tot
eene rangschikking, tot een systeem. Hiertoe kan elke eigenschap dienen, en
men zal alzoo een oneindig aantal van zoodanige systemen kunnen vormen.
Gelijk bij elke systematisatie kan men ook hier spreken van een natmrlijk
en een kunstmatig systeem, naar gelang al dan niet de karakteristieke eigenschap
den grondslag der verdeeling uitmaakt. Daar nu eene essentieele vergelijking
— zal zij dien naam met recht dragen — de karakteristieke eigenschap der

kromme lijn mpet uitdrukken, zoo zal zij de eenige basis kunnen zijn van eene
natumlijJce verdeeling der kromme lijnen.nbsp;^

Het is daarom, dat ik gemeend beb de theorie van Krause eri Peters, ge-
wijzigd overeenkomstig de gemaakte opmerkingen omtrent den vorm der essen-
tieele vergelijkingen zelve, in de eerste plaats te moeten beschouwen met het
oog op eene systematiek der kromme lijnen, daarbij het voetspoor volgende
dat door Peters in zijne boven aangehaalde schets is aangewezen; om daarna
door een paar voorbeelden aan te toonen aan welke zijden het veld der weten-
schap door de toepassing dier theorie wellicht kan worden uitgebreid.

Het begrip reoU steunt op de voorstelling van eene bepaalde richting. Zoodra
eene lijn de minste afw^him^g van richting vertoont, noemt men haar niet meer
em rechte lijn. De karakteristieke eigenschap der rechte lijn is dus deze: dat
de richting tusschen elk willekeurig paar harer punten altijd dezelfde is.

Daartegenover staat het begrip Icrom, waarbij de voorstelling eener konstante
richting is uitgesloten: elk paar punten wijst in het algemeen een andere
richting aan dan een ander paar punten. De essentieele eigenschap der
Iromme lijn is dan hierin gelegen, dat van drie op elkaar volgende punten,
de richting der beide eerste eene andere is dan die van de twee laatste
punten. Hoe grooter de afwijking van richting van drie op elkaar volgende
punten is, in des te sterker mate treedt de eigenschap der gelr oudheid op,
— des te grooter is de hromte op die plaats der kromme lijn.

Alleen die kromme lijnen kunnen aan eene mathematische beschouwing on-
derworpen worden, waarbij eene bepaalde wet heerscht, volgens welke elk punt
ten opzichte der aangrenzende punten gelegen is; die wet bepaalt den vorm
der lijn; de algebraïsche uitdrukking dier wet is hare essentieele vergelijking.
Is nu de betrekkelijke ligging van eenig drietal op elkaar volgende punten,
dat is de kromte op die plaats der lijn, bekend, dan zal de ligging van een
volgend punt bepaald zijn door de afwijking in richting van dit punt ten op-
zichte van de beide voorgaande, d. \'i. door de kromte die van deze afwijking
het gevolg is. Yolgens het zoo even opgemerkte is de ligging van een vierde
punt ten opzichte van de drie voorgaande overal naar dezelfde wet bepaald;

deze wet zal dus worden uitgedrukt door eene vergelijking die voor elke waarde
der kromte de onmiddellijk volgende waarde der kromte, of wel de hoegrootheid
harer verandering leert kennen. Noemt men in het algemeen de kromte Ic en
de hoegrootheid harer verandering d, dan zijn dit de veranderlijken eener
essentieele vergelijking.

Men kan de grootheden h d door twee anderen vervangen, die eene
geometrische beteekenis hebben, zoodat het mogelijk wordt eene kromme lijn
door middel van hare essentieele vergelijking te construeeren. Daartoe leiden
de volgende beschouwingen.

Door middel van Krause\'s theorie der polygonismen is het gemakkelijk te
bewijzen dat een polygonismus, waarvan alle zijden en alle buigingshoeken
gelijk zijn, tot limiet heeft de cirkellijn. In zoodanige polygonismus is 1°. de
betrekkelijke ligging van elk drietal op elkaar volgende hoekpunten dezelfde,
en 30. de verhouding tusschen de som van een willekeurig aantal buigings-
hoeken en de som van de overeenkomstige zijden konstant. Past men dit toe
op den cirkel, dan verkrijgt men deze bekende eigenschappen: 1° de kromte
van den cirkel is konstant en de verhouding tusschen den hoek van twee
raaklijnen en den boog tusschen de raakpunten is konstant.

Aan deze verhouding is de kromte evenredig; want in dezelfde reden waarin
zij grooter of kleiner wordt, neemt de afwijkingshoek van drie op elkaar vol-
gende punten — d. i. de kromte — toe of af. Noemt men derhalve een wil-
lekeurigen boog s en den overeenkomstigen hoek y, dan is

De factor a hangt af van de eenheid van kromte; nemende daarvoor de
kromte van den cirkel, die met de lengte-eenheid als straal beschreven is, zoo
wordt:

zoodat de eenlieid, waarin w wordt uitgedrukt, de hoek is, overeenkomende
met een boog, gelijk r, dat is een hoek van 57°, 2957...., zoo wordt verg:
(1) eenvoudig:

Yan verschillende cirkels is derhalve de kromte omgekeerd evenredig met
den straal, en daar deze alle mogelijke waarden kan hebben, zoo kan men ook
elke bepaalde kromte door een bepaalden cirkel voorstellen. Voor ^ =: O ont-
staat de rechte lijn, terwijl voor eene oneindig groote waarde der kromte, de
cirkel tot een punt wordt gereduceerd.

Men kan derhalve de betrekkelijke ligging van drie op elkaar volgende punten
eener willekeurige kromme lijn, dat is hare kromte op die plaats, aangeven
door een bepaalden cirkel; deze heet dan Jcromtecirlcel, zijnnbsp;hrondestraal,

De kromtecirkel heeft drie punten met de kromme gemeen. Noemt men het
verschil tusschen de richting van het eerste paar punten en die van het tweede
en derde punt, m. a. w. den hoek van twee op elkaar volgende raaklijnen:
dw, en het boogelement: ds, dan is, omdat dw en d,s aan de kromme en den
kromtecirkel gemeen zijn:

dp is het boogelement der kromme, die de meetkundige plaats is van de
krommingsmiddelpunten, en waaraan men den naam van evolmf gegeven hedt
De kromtestralen der kromme zijn raaklijnen aan deze evoluut, en maken den
zelfden hoek als de raaklijnen in de overeenkomstige punten der kromme,
omdat zij er loodrecht op staan. De kromtestraal der evoluut, dien wij in navol-
ging van Krause zullen noemen, is derhalve gelijk zoodat men heeft:

Deze uitdrukking geeft de aangroeiing der kromte aan voor een verschil
n richting, gelijk dugt;. Door te substitueeren:

hetgeen de aangroeiing der kromte aangeeft voor een boog ds. Al naar gelang
men de verandering der kromte verlangt te kennen voor gelijke richtings-
verschillen dw of voor gelijke bogen ds, d. i. naar gelang men w of 5 als
onafhankelijk veranderlijke kiest, zal men het differentiaalquotient ~ = —ti

of ^ = — ^ gebruiken. Beiden geven de verandering d^r kromte: d aan
in functie van p en

Yan de grootheden p en geeft dus de eerste de kromte zelve aan,
terwijl de hoegrootheid harer verandering afhangt vannbsp;Zij leeren de

betrekkelijke ligging van vier op elkaar volgende punten kennen, hetgeen dan
ook den grondslag uitmaakt van de wijze waarop eene kromme lijn uit hare
vergelijking: f{p, = O kan geconstrueerd worden. Begint men namelijk
met eenige waarde van p, dan kan men daarmede als straal den kromtecirkel

zoo zijn drie punten der kromme bekend. Door dit boogje klein genoeg te
nemen, kan men de fout die ontstaat, door de kromme te beschouwen als
samengesteld uit cirkelboogjes, zoo klein maken als men verkiest. Loodrecht
op den kromtestraal, in het krommingsmiddelpunt, komt dan de kromtestraal
der evolunt:nbsp;waarmede men eveneens een cirkelboog beschrijft. Trekt

men nu uit het volgende punt der kromme aan dezen cirkelboog een raaklijn,
zoo is deze een volgende kromtestraal, het raakpunt een volgend krommings-
middelpunt. Uit de vergelijking blijkt dan de waarde van , correspon-
deer en de met deze nieuwe waarde van p, waarmede men op dezelfde wijze
handelt. In plaats van gelijke cirkelboogjes te nemen kan men natuurlijk ook
den hoek van twee op elkaar volgende kromtestralen telkens even groot nemen.
Practisch is de volgende constructie te verkiezen. Men berekent uit de ver-
gelijking voor verschillende waarden van p, liefst met gelijke verschillen op-
klimmende of afdalende, de overeenkomstige waarden van p_j, meet op twee
rechten, die loodrecht op elkaar staan, van haar snijpunt uit, dat krommings-
middelpunt is der kromme, één paar correspondeerende waarden af, en beschrijft
lüet als straal een öirkelboogje, dat eene lengte heeft gelijk aan het

verschil van twee op elkaar volgende waarden van p, waardoor een tweede
krommingsmiddelpunt geconstrueerd is. Op de raaklijn in dit punt wordt de
volgende waarde van p afgemeten en op den straal de correspondeerende waarde
vannbsp;waarmede nu op nieuw een cirkelboogje wordt beschreven. De

aldus verkregene punten der kromme (de uiteinden der p\'s) kunnen door cir-
kelbogen vereenigd worden uit de krommingsmiddelpunten met de verschillende
kromtestralen beschreven. Op deze wijze verkrijgt men door ééne constructie:
de kromme lijn zelve, haar evoluut en de evoluut van deze, dat is de tweede
evoluut der kromme, hetgeen dit voordeel heeft, dat men eene voorstelling
heeft van de wijze waarop de kromte in den loop der kromme lijn verandert.

Wij mogen alzoo eene vergelijking tusschen p en eene essentieele ver-
gelijking noemen, omdat zij de wet uitdrukt, volgens welke elk viertal op
elkaar volgende punten ten opzichte van elkaar gelegen zijn.
Er doen zich nu twee vragen voor:

van k te combineeren met verschillende waarden van één der differentiaal-
dk dh

quotienten — en —, die de hoegrootheid der verandering van kromte aange-
ven, en te onderzoeken, welke waarden van p en daarmede correspon-
deeren, ten einde de vormen te kunnen construeeren en ze voor elke kromme
lijn uit hare essentieele vergelijking: f{p, = O te kunnen bepalen.

Ten einde de tweede vraag te beantwoorden, bedenke men, dat door inte-
gratie van de differentiaal-vergelijking:

ontstaat, die de waarden van p, en dus ook van k, in de verschillende pun-
ten der kromme lijn leert kennen. Zij geeft de continue verandering der
kromte aan in eene kromme lijn, waarin de betrekkelijke ligging van elk viertal
punten bepaald wordt door de wet, die in de fiinctie/(p, = O is uit-

gedrukt, en. die men nu in haar geheel doorloopt, de plaats van elk punt
bepalende door een coördinaat w.

welke vergelijking verkregen wordt, door in /(p, p_i) = O voor te sub-
tueeren:«^. De vergelijkingen (1) en (2) zullen derhalve tot grondslag
moeten dienen bij de beantwoording der tweede vraag.

Alvorens op den aangeduiden weg den vorm eener kromme lijn nader te
beschouwen wenschen wij voor een oogenblik terug te komen op het in de
inleiding gezegde omtrent andere coördinaten-systemen, die aan de theorie
der essentieele vergelijkingen verwant zijn.

Dit geldt in de eerste plaats Druckenmüller\'s systeem rs i). Ofschoon de
vergelijkingen in dat systeem niet vergeleken kunnen worden met de essentieele
vergelijkingen, zoo kan men toch het beginsel, dat er aan ten grondslag ligt
beschouwen als een meer algemeenen vorm van de zoo even ontwikkelde denk-
beelden. Druckenmüller beschouwt daarbij namelijk eene kromme lijn als de
omhullende van alle cirkels, die bepaald worden door de verschillende standen
van één cirkel, wiens middelpunt zich beweegt langs eene bepaalde kromme,
die den naam van as draagt, en wiens straal tegelijkertijd eene continue verandering
ondergaat. Hierin nu is opgesloten het geval, dat de kromme, waarlangs het middel-
punt des cirkels zich beweegt de evoluut is der kromme lijn die men beschouwt.

Yerder dan in beginsel is echter de vergelijking niet door te voeren, daar
Druckenmüller als coördinaten aanneemt de lengte s van den boog der as en
den straal r des bewegelijken cirkels; daardoor wordt de vergelijking van de
in voluut der as\'.

Die üebertragungsprineipien der analytischen Geometrie, von Dr. N. Druckenmüller, Erste
Abtheilung, viertes Kapitel.

dinaat s werd ingevoerd de straal van den cirkel, waarvan de evoluut weder
de omliullende is, en wiens middelpunt zich. beweegt langs een kromme, die
weder evoluut is van deze. Daardoor verliest echter Druckenmüller\'s systeem
zijn eigenaardig karakter, weshalve wij ons bij deze korte aanwijzing bepalen,
om eenigzins uitvoeriger de beschouwingswijze van Lamarle na te gaan, daar
deze in de volgende Hoofdstukken enkele malen zal worden toegepast.

De theorie van Lamarle is daardoor gekarakteriseerd dat de differentialen
en differentiaal-quotienten vervangen zijn door snelheden en verhoudingen van
snelheden i). Lamarle^s definitie eener kromme lijn is deze: „La courbe est
la trace d\'un point qui se meut sur une droite mobile, le point glissant sur
la droite, et la droite tournant autour du pointquot;, terwijl hij zich in de op
bladz. 2 aangehaalde verhandeling in de Bulletins de VAcadémie JR. de Belgiqiœ
ten doel stelt: „une courbe étant définie géométriquement, déterminer pour
un point quelconque de cette courbe le rayon et le centre du cercle osculateur.quot;

De kromtestraal is de verhouding tusschen de snelheid v, waarmede het punt
zich langs de rechte beweegt en de draaiings-snelheid w van deze; het komt
er dus op aan die verhouding uit de gegeven conditie te vinden.

Daartoe moet men eerst trachten de richting te bepalen van de snelheid v,
en daar het slechts op de verhouding der snelheden aankomt, en het geheel
onverschillig is, hoe groot de absolute snelheden zijn, zoo kan men door een
willekeurig stuk op de rechte die deze richting aanwijst de snelheid v voor-
stellen. Tevens is nu de richting van de normaal bekend, waarop zich het
krommingsmiddelpunt moet bevinden. Al naar den aard der conditiën zal
men nu verschillende wegen moeten inslaan om dit laatste nader te bepalen.
Daarbij is het dikwijls gemakkelijk zich het ontstaan der kromme lijn voor te
stellen door de beweging van een bepaald punt der rechte, terwijl deze in hare
eigene richting voortschuift en tevens om dat punt draait; het voortbrengende
punt verplaatst zich dan niet op de rechte zelve. Denkt men zich daarbij nog,
dat het geheele vlak, waarin de beweging plaats grijpt, door de rechte in hare
beweging wordt medegenomen, dan zal op elk oogenblik dat vlak draaien om
een bepaald punt [centre instantané de rotation), dat niets anders is dan het
krommingsmiddelpunt der kromme. Daar nu bij zoodanige beweging elk punt

\') Verg. Exposé Géométrique du Calcul différentiel et intégral, par Ernest Lamarle.

van liet vlak eene snelheid heeft, waarvan de richting loodrecht is op de lijn,
die dat punt met het krommingsmiddelpunt vereenigt, zoo zal omgekeerd dit
laatste punt gevonden kunnen worden, wanneer de richting der snelheden van
twee punten in het vlak bekend is.

De hoeksnelheid is op elk oogenblik voor alle punten dezelfde en gelijk
aan de snelheid, waarmede de bewegende rechte om het voortbrengende punt
draait. Dit in aanmerking nemende kan men licht aantoonen dat de snelheid
van elk punt dier rechte ontbonden kan worden in twee composanten, waarvan
de ééne gericht is langs de bewegende rechte en gelijk is aan de snelheid
waarmede deze in hare richting voortschuift, terwijl de andere loodrecht daarop
staat en eene waarde heeft, die gevonden wordt door de hoeksnelheid te ver-
menigvuldigen met den afstand tusschen het punt dat men beschouwt en het
voortbrengende punt. Hieruit volgt eene methode om de snelheid te vinden
van het snijpunt van twee bewegende rechten, wanneer de composante lood-
recht op elk dier rechten bekend is. Men richt namelijk in het snijpunt op
beide rechten loodlijnen op, wier lengten zich verhouden als de gegeven snel-
heden, en plaatst op het uiteinde van elk dezer weder een loodlijn; dan zal
de rechte lijn, die het gegeven punt vereenigt met het snijpunt dezer loodlijnen
in richting en grootte de gezochte snelheid voorstellen.

Door middel van deze beschouwingen vindt Lamarle onder anderen eene
constructie en eene formule voor den kromtestraal der kegelsneden: voor de
ellips en de hyperbei, uit de conditie dat de kromme lijn ontstaat door de
beweging van het snijpunt van twee rechten (de voerstralen), die om twee vaste
punten (de brandpunten) draaien, zoodanig dat de som of het verschil van
de afstanden van dat snijpunt tot elk der vaste punten konstant is; en voor
de parabel uit de conditie, dat zij de meetkundige plaats is van de snijpunten
van twee rechten, waarvan de ééne om een vast punt draait, terwijl de andere
langs een vaste rechte (de richtlijn) schuift, waarop zij loodrecht staat, in dier
voege, dat de afstanden van dat snijpunt tot het vaste punt en de vaste rechte
steeds gelijk zijn.

geeft voor de ellips en de hyperbei den kromtestraal p in functie van de voer-
stralen r en r\', en hun hal ven hoek h; zij gaat voor de parabel over in:

Wanneer men de veranderlijken r, r\' en ö vervangt door den koek iv, dien
de raaklijn maakt met eene vaste richting, dan ontstaat eene vergelijking van
den vorm:

Deze substitutie is gemakkelijk te verrichten. Ook de meeste andere voor-
beelden, waarmede Lamarle zijne theorie toelicht, laten zich op deze wijze
behandelen, zoodat hierdoor de weg wordt aangewezen om de essentieele
vergelijking eener kromme lijn onmiddellijk uit de gegevene condities op te
maken; want, kan men een geometrisch verband vinden tusschen de grootheden,
die in de formules van Lamarle voorkomen en ééne der veranderlijken w, s,
dan is het ook mogelijk door middel van dezelfde methode zonder dezen omweg
tot de essentieele vergelijkingen te geraken. Wij zullen hiervan later een paar
voorbeelden geven.

Dikwijls kan men even gemakkelijk hetzelfde doel bereiken door gebruik te
maken van de leer der limieten; althans, het zal altyd mogelijk zijn, daar
men slechts de beprippen melleid en differentiaal behoeft te verwisselen om
de eene methode in de andere om te zetten. Lamarle\'s theorie heeft echter
twee voordeelen: vooreerst vloeit er overal, waar zij wordt toegepast, eene con-
structie voor het krommingsmiddelpunt uit voort; maar ten tweede worden
de moeilijkheden vermeden, die eigen zijn aan het invoeren van oneindig kleine

inbsp;de grootte der kromte en van hare verandering aldaar, dat is door de waarde

Inbsp;yan I en van — of —. Beide grootheden kunnen alle mogelijke waarden hebben,

Inbsp;zoodat het aantal van zoodanige vormen oneindig groot is. Het speciüceeren

finbsp;^ezer vormen zal knnnen geschieden door m de eer^iSe ^j/aßi^s te onderscheiden,

lo. eene eindige waarde heeft;
2«, gelijk nul is;
3°. oneindig groot is,
i\'j\'tnbsp;hetgeen overeen komt met:

inbsp;Verder kan men onderzoeken, welken invloed het op den vorm hebben zal,
1 . , dh . dk

1°. eene eindige waarde heeft;
2quot;. oneindig klein is;
3°. oneindig groot is;

linbsp;Het eerste geeft een toe- of afnemen der kromte te kennen, naar gelang i/^

positief of negatief is; er blijkt tevens uit, dat Ic ook voor en na het punt,
\' i,nbsp;dat men beschouwt, toeneemt of afneemt, omdat eene continu veranderende groot-

I\'nbsp;heid geene eindige positieve of negatieve waarde bekomt, zonder onmiddellijk

iinbsp;daarvóór en daarna evenzeer eene eindige positieve of negatieve waarde te
,1(1

oneindig is: daarbij zal men nog moeten onderscheiden of het al dan niet van teeken

verandert. In elk geval beteekent: ^ ^ gelijk \'fiul, dat het verschil tus-
schen twee op elkaar volgende waarden van It hoogstens eene oneindig kleine
grootheid van de tweede orde is, = ^ dwnbsp;\' ^^^ verschil

eene eindige grootheid is; maar verandert dh daarbij van teeken, dan is de
kromte aan de ééne zijde van het punt dat men beschouwt toenemende, aan
de andere zijde afnemende of omgekeerd, met andere woorden h bereikt in dat
punt een maximum of minimum waarde.

Is h in eenig punt nul of oneindig, en heeft daarbij het differentiaal-quotient
eene eindige waarde, zoo verandert de kromte aldaar van teeken. De geome-
trische beteekenis hiervan is duidelijk, wanneer men bedenkt, dat eene lijn
naar tweeërlei zijden gekromd kan zijn. Denkt men zich nu in het punt,
waar 1 nul of oneindig is, de raaklijn, dan zal, wanneer de kromte van teeken
verandert, de kromme aan weerskanten van dat punt aan verschillende zijden
van die raaklijn liggen, — of ook: de kromtestraal zal aan verschillende
zijden van de kromme lijn gelegen zijn.

Men kan naar verkiezing de verandering der kromte aangeven door — of
dk ^ , , , ,

—. In het eerste geval beschouwt men de aangroeiing der kromte voor een
bepaald boogje ds, in het tweede geval voor een bepaald richtings-verschil
dat is, men neemt achtereenvolgens s en w als onafhankelijk veranderlijke aan.
Deze twee gevallen geven aanleiding tot twee voorstellingen omtrent de wijze,
waarop de op elkaar volgende punten eener kromme lijn naast elkaar gelegen
zijn, die vooral duidelijk uitkomen wanneer men de beschouwingswijze van
Lamarle invoert (bladz. 17). Wordt namelijk ds konstant verondersteld, dan
denkt men zich het punt in eene gelijkmatige beweging in ééne richting langs
de rechte, terwijl de draaiing van deze met verschillende snelheid en in ver-
schillenden zin plaats kan hebben. Is daarentegen w de onafhankelijk veran-
derlijke, dan draait zich de rechte met konstante snelheid in dezelfde richting
om, terwijl de beweging van het punt langs de rechte in beide richtingen en
met veranderlijke snelheid kan geschieden.

Door van elk dezer voorstellingen afzonderlijk uit te gaan bij het combi-
neeren der straks genoemde waarden der kromte met die van de hoegrootheid
harer verandering, kan de vraag, tot welke vormen de betrekkelijke ligging

van vier op elkaar volgende punten eener kromme lijn aanleiding kan geven,
volledig beantwoord worden. Zoekt men daarbij telkens de overeenkomstige
waarden van p ennbsp;dan volgt daaruit van zelf een middel om te onder-

zoeken of de wet, volgens welke elk viertal op elkaar volgende punten van
zekere kromme lijn ten opzichte van elkaar gelegen zijn, toelaat dat deze of
gene vorm zich ergens in den loop dier kromme zal vertoon(?n: men heeft
slechts te zien of de waarden van p en , die voor het aanwezig zijn van
dien vorm vereischt worden, aan de vergelijking ƒ (p, p_Jz=zO voldoen.

(zie bladz. 13) naar gelang men 5 of «t» als onafhankelijk veranderlijke aanneemt.

Het teeken van /c bepaalt, aan welke zijde van de kromme lijn de kromte-
straal gelegen is. Is s de onafhankelijk veranderlijke, dan wordt ds veronder-
steld niet van teeken te veranderen; het teeken van i hangt dan samen met
dat van dw, omdat Jc = -j- is. Hieromtrent zullen wij deze bepaling maken:

dw is \'positief, wanneer men bij den overgang van een punt op het volgende
rechts om, negatief, als men liAiks om moet draaien; of •— wat op hetzelfde
neerkomt —: is dw positief, zoo ligt de kromtestraal reelits van de kromme,
is dw negatief, zoo ligt hij linies; hierbij wordt natuurlijk verondersteld dat
men zich, bij het doorloopen der kromme lijn, voorwaarts beweegt. Is w de
onafhankelijk veranderlijke, zoo heeft h hetzelfde teeken als ds. Yeronderstelt
men, dat de draaiing steeds rechtsom plaats heeft, en wil men wederom dat
Ic positief zij, als de kromtestraal rechts gelegen is bij eene voorwaartsche
beweging, zoo volgt hieruit van zelf, dat ds positief moet genomen worden,
wanneer men zich voorwaarts moet bewegen om van eenig punt in een volgend

ili^ii

De vormen die hieruit voortvloeien zijn voorgesteld door de figuren 1—13,
waarin overal de dikste lijn in het punt h den vorm vertoont waarop de figuur
betrekking heeft, terwijl a een punt is dat daarvoor, c een punt dat verder
op gelegen is, zoodat de kromme in de richting a i c doorloopen wordt. De
dunnere lijn is de eerste evoluut, de gestippelde de tweede evoluut.

1) — heeft eene eindige waarde. Ook deze waarde kan altijd positief veron-
dersteld worden, want is — negatief, — dat is: de kromte afnemende — zoo
kan men de kromme om de normaal rondwentelen, waardoor h hetzelfde
teeken behoudt, maar in plaats van afnemende toenemende, en dus posi-
tief wordt, p is dan afnemende; heeft, blijkens de formule:

deren vorm overgaat; immers, wanneer slechts één dezer veranderlijken in
eenig punt O of oo is, zoo heeft zij daarvóór en daarna eene eindige waarde.
Het zijn dus de gewone punten waartoe deze vorm behoort.

a) Zonder verandering van teeken. Ook liier kan liet teeken steeds positief
verondersteld worden, daar door omwenteling om de normaal liet teeken kan
veranderd worden. wordt evenzeer nul en behoudt daarbij het negatieve
teeken: de evoluut heeft derhalve een top (zie verder) j de kromme zelve ver-
toont een vorm, die tot èjd gewone punten gerekend wordt, omdat het beloop
der kromme lijn er niet op eene in het oog springende wijze door gewijzigd
wordt; het onderscheid tusschen dezen vorm en de gewone punten van zoo
even is evenwel essentieel, daar de kromte hier twee opeenvolgende waarden
heeft, die gelijk zijn, of althans hoogstens een verschil opleveren dat een on-
eindig kleine grootheid van de tweede orde is (Pig. 2).

V) Met verandering van teeken. Het is hier noodzakelijk te onderscheiden
of de verandering van positief in negatief dan wel omgekeerd plaats heeft, daar

eene omwenteling om de normaal geene verandering in teeken van — ten
gevolge heeft; hetgeen men licht inziet, als men bedenkt dat na de omwente-
ling eene toeneming van h in afneming is overgegaan en omgekeerd, terwijl

u) wordt van positief negatief. De kromte neemt toe tot op zekere
hoogte en neemt daarna weer af: zij bereikt een maximum; p bereikt een mini-
mum; is eerst negatief, wordt nul en daarna positief. Het overeenkomstige
punt der evoluut is een keerpunt (bladz. 31), terwijl de vorm der kromme zelve
overeenkomt met de toppen der kegelsneden en daarom in het algemeen een

— wordt van negatief positief. De kromte bereikt een minimum,
p een maximum,nbsp;is successievelijk positief, nul en negatief. De evoluut

heeft dus weder een keerpunt, terwijl de vorm der kromme weder een top is
(Fig. 4).

a) Zonder verandering van teeken. Veronderstelt men wederom dat —
positief blijft, dan is p.j negatief en wordt oneindig tegelijk metnbsp;De

li n

kromme heeft een geiwon pmt (Fig. 5), dat echter daardoor gekenmerkt is,
dat twee op elkaar volgende waarden van h of van p een eindig verschil op-
leveren. Het overeenkomstige punt der evoluut is een iop waarin de kromte O is.

h) Met verandering van teelen. Om dezelfde reden als bij 2) moet men
hier twee gevallen onderscheiden:

^ wordt van positief negatief. De kromte neemt tot op zeker punt
toe en neemt daarna weer af: l bereikt een maximum, p een minimum. Ue
vorm is dus een top (Pig. 6), die onderscheiden is van Eig. 4, door dat hier
het verschil tusschen twee op elkaar volgende waarden van Tt eene eindige groot-
heid is, terwijl dit in het andere geval een oneindig kleine grootheid van een
hoogere orde was. Dit is in de figuur daaraan zichtbaar, dat in het keerpunt
van de evoluut, hetwelk weder naar de kromme is toegekeerd, de kromtestraal

tusschen twee op elkaar volgende kromtestralen is eindig. In het keerpunt
der evoluut, dat van de kromme is afgekeerd, is de kromtestraal oneindig
groot (Pig. 7).

1) ^ leeft een eindige waarde, die weder positief kan verondersteld worden.
I is dus toenemende zoowel vóór als na het punt waar zij nul is; dat is, zij
is eerst negatief, daarna positief: de beide deelen der kromme, aan weerszijden
van het punt waar = O is, zijn aan verschillende zijden van de raaklijn
gelegen. Daardoor ontstaat een Uigpunt (Pig. 8); p is successievelijk negatief,
oneindig, positief; positief, oneindig, negatief. Het punt der evoluut,
waar p_j = » is, ligt echter zelf in het oneindige, daar dit punt het krom-
mingsmiddelpunt der kromme is en de kromtestraal hier oneindig groot is;
deze kromtestraal is derhalve asymptoot der evoluut. Men, kan hieruit tevens
afleiden, dat in het algemeen, wanneer de kromtestraal in eenig punt der
kromme oneindig groot is, de kromtestraal der evoluut tegelijk oneindig is.

a) Zonder verandering van teelten. Dit geval verschilt alleen daardoor
van het vorige, dat de formule

onbepaald laat, zoodat hier drie gevallen zouden kunnen worden onder-
scheiden: namelijk dat p^^ nul, eindig en oneindig is; echter is het uit het
zoo even opgemerkte duidelijk, dat hier alleen oneindig kan zijn, zoodat
er nu geen verschil meer bestaat.

è) Met verandering van teelen. De kromte\' bereikt een maximum of
minimum waarde; daar evenwel deze waarde n%l is, zoo zal men alleen het
geval behoeven na te gaan waarin een minimum bereikt wordt; immers, is= O
een maximum, zoodat zij daarvoor en daarna negatief is, zoo wordt, door om-
wenteling der figuur om de raaklijn, Tc positief en dus = O een maximum.
P wordt oneindig, evenzeer zonder verandering van teeken, hetgeen dus als
maximum moet beschouwd worden. De vorm die hierdoor ontstaat (Pig. 9) is
een top, die als een bijzonder geval van Fig. 7 kan worden aangezien. is
oneindig in het overeenkomstige punt der evoluut, en deze heeft de kromte-
straal der kromme tot asymptoot; het keerpunt van de evoluut in Fig. 7 is
dus hier in het oneindige gelegen.

a) Zonder verandering mn teelen. Jc is successievelijk negatief, O, posi-
tief en p negatief, oneindig, positief, terwijl evenzeer door oo heen van
teeken verandert. Het huigpnnt, dat hierdoor ontstaat, verschilt niet van het
in 1) verkregene (Fig. 8).

l) Met verandering van teelen, waarbij, om dezelfde reden als bij U
niet in aanmerking behoeft te komen het geval dat ^ = O als een maximum
moet worden beschouwd. Even als d^dr is de vorm een top waarin p oneindig
IS, terwijl door oneindig heen van teeken verandert (Fig. 9).

eindig en blijft daarna toenemen, hetgeen beteekent dat zij door oo heen van
teeken verandert. /gt; verandert dus door O heen van teeken, evenals ook
gelijk blijkt uit:

quot;h-

Hierdoor ontstaat een luigpunt (Pig. 10) dat essentieel verschilt van het
bnigpunt in Tig. 8: de kromtestraal is er nul in plaats van oneindig, terwijl
het overeenkomstige punt der evoluut ook een buigpunt is met een oneindig
groote kromte. In figuur 8 ligt het overeenkomstige punt der evoluut in het
oneindige; dewijl echter daarbij door co heen van teeken verandert, kan
men dat punt als een buigpunt in het oneindige beschouwen.nbsp;\\

3) Met verandermg van teelen. De kromte is successievelijk of: positief, qo ,
positief, bf: negatief, oo , negatief; in beide gevallen kanco als een maxi-
mum of p = O als een minimum worden beschouwd. De kromme heeft een
tof (Pig. 11), die als een bijzonder geval van Tig. 3 aangezien kan worden.

d) Zonder verandering van teelcen. Tt verandert door co , p door O heen van tee-
ken • p == —JL ^ is onbepaald, maar moet van teeken veranderen; dit kan
dus zoowel door nul als door c» heen plaats hebben. Het eerste geval geeft
hetzelfde buigpunt als in Tig. 10, het tweede echter levert een, nieuwen vorm
(Tig. 12), waarbij in het buigpunt der evoluut de kromtestraal oneindig groot is.

h) Met verandering van teehen. k = is een maximum, p =: O een mini-
mum. Ook hier wordt

zoodat de verandering van teeken kan plaats hebben door O heen als wanneer
Tig. 11 ontstaat, of door qo heen, waardoor men den vorm. verkrijgt, die in
Tig. 13 is voorgesteld; in het keerpunt der evoluut is hier de kromtestraal
oneindig groot: het is dus een bijzonder geval van Tig. 6.

De volgende tabel geeft van deze gevallen een overzicht. Yan drie naast
elkaar geplaatste teekens heeft het middelste betrekking op het punt dat men
beschouwt (in de figuren: het punt h) het eerste op de daarvóór gelegene
punten (aj, het derde op de volgende punten (cj.

Wanneer men zich voorstelt, dat een punt zich met konstante snelheid langs
eene rechte beweegt, welke telkens om dat bewegende punt draait met eene ver-
anderlijke snelheid, dan kan de kromme lijn die daardoor ontstaat de volgende
vormen vertoonen:

Waarin het verschil tusschen twee op elkaar volgende waarden van h kan zijn:
a) eene oneindig kleine grootheid van de eerste orde: is eindig. Fig. 1 •
ß) eene oneindig kleine grootheid van eene hoogere orde: = 0. Fig. 2.
y) eene eindige grootheid: — cc. Fig. 5.

\\a) Met een eindige maximum waarde van p, waarbij het verschil tusschen
twee op elkaar volgende waarden kan zijn:

a) eene oneindige kleine grootheid van eene hoogere orde: = 0. Fig. 4.
ß) eene eindige grootheid: = ^^E-
1 b) Met p = 00 als maximum: p_i = oo. Fig- 9.

3«) Met eene eindige minimum waarde van p, waarbij het verschil tusschen
twee op elkaar volgende waarden kan zijn:

ß) eene eindige grootheid: = cc. Fig. 6.
3 5) Met p = O als minimum, waarbij de onmiddellijk volgende waarde kan zijn:
c) eene oneindig kleine grootheid van hoogere orde: = 0. Fig. 11.
ß) eene eindige grootheid: p_i = oo. Fig. 13.

eene oneindig kleine grootheid van hoogere orde: p_, = 0. Fig. 10.
ß) eene eindige grootheid: p_i =

nu aan - geven en met de drie waarden van Tc eombineeren. „ en, worden
gevonden uit:nbsp;\'

De vormen, die daardoor verkregen zullen worden en die nog niet voor-
kwamen, zijn in de figuren 14-17 voorgesteld op dezelfde wijze als dit inde
vorige § is geschied.

Hierbij zullen dezelfde vormen optreden als in de vorige §. Wij zullen
daarom de verschillende gevallen slechts in \'t kort aangeven. Verandert ^
niet van teeken, dan ontstaan gewone jptmten en wel: Pig. 1, als - eindt^
blijft, en dus ook eene eindige waarde heeft; Fig. 2, als ^ en gelijk
O zijn; Mg. 5 als ^ en oneindig zijn. Verandert | vaf teeken! ^an
ontstaan^%;j,«, waarin de kromte een maximum of minimum bereikt, naar
gelang - van positief negatief of van negatief positief wordt en waarin
nul of oneindig is, naar mate deze verandering van teeken door nul of door
oneindig plaats heeft (Fig. 3, 4, 6 en 7).

negatief positief: de kromme ligt dus, aan weerszijden van het punt waar
O is, aan verschillende zijden van de raaklijn; maar daar ^ ig^ en
dw verondersteld wordt niet van teeken te veranderen, zoo moet dit mei ds
het geval zijn. Hierdoor ontstaat een heeTp%mt (Fig. 14). Uit

volgt dat de kromtestraal in het overeenkomstige punt der evoluut oneindig is
2)

a) Zonder verandermg van teeJcen. Dit levert denzelfden vorm op. De
Wule = - ^ ^ geeft wel geene bepaalde waarde aan voor maar

yfi^\'

h) Met verandermg van teeken. Daar Ic hierbij niet van teeken verandert,
maar de waarde nul bereikt als minimum, zoo verandert ook ds niet van
teeken, en men verkrijgt denzelfden vorm als in het overeenkomstige geval van
de vorige §, namelijk een top. (Fig. 9).

a) Zonder verandering van teeken. Geeft wederom T?ig. 14.
è) Met verandermg van teehen.nbsp;is, een minimum en dus de vorm

2)^nbsp;heeft eene eindige waarde. Het teeken van k is eerst en daarna —.
\' Sw

Op dezelfde wijze als bij H. 1) is geschied, kan men aantoonen, dat deze vorm
een keerpunt is, dat nu evenwel verschilt van hetgeen aldaar gevonden werd,

a) Zonder verandering van teeken. Dezelfde vorm : Eig. 15.
l) Met verandering van teehen. Dit geeft den top die in Tig. 11 is voor-
gesteld.

ö) Zonder verandering vam, teehen. Bij het keerpunt, dat hierdoor ver-
kregen wordt, kunnen drie gevallen onderscheiden worden. Uit

vloeit namelijk voort, dat allerlei waarden kan hebben, daar hij niet van
teeken verandert. Men kan dus hebben: p_i = O (Tig. 15), p_i == eindig
(Tig. 16) of = 00 (Tig. 17).

l) Met verandering van teehen. Dit geval levert reeds vroeger verkregene
toppen op, namelijk Tig. 11, wanneer p_i door nul heen van teeken veran-
dert, en Tig. 13, wanneer dit door oneindig heen plaats heeft.

Op dezelfde wijze als in de vorige § zijn deze gevallen in de volgende tabel
bij elkaar gebracht.

Het valt spoedig in het oog in welk opzicht deze tabel van de vorige ver-
schilt : overal waar daar Buigpunten ontstonden, verkrijgt men hier Keerpunten;
de gewone punten en Top)pen vindt men op dezelfde wijze weer. De oorzaak
hiervan is licht in te zien; zoowel in gewone pnnten als in toppen behouden
ihv en ds beiden hunne teekens, terwijl in een buigpunt dw van teeken ver-
andert, in een keerpunt ds; neemt men dus één van deze differentialen steeds
positief, dan zal men ook slechts één van deze twee vormen kunnen verkrijgen.

Beweegt zich derhalve een ])unt met veranderlijke snelheid langs eene rechte,
die met konstante snelheid om dat punt draait, zoo kan de kromme lijn- die
daardoor ontstaat, gewone punten, toppen en keerpunten hebben. Bij de drie
vormen der vorige § (bladz. 29) komt dus nog:

Er is één keerpunt dat niet correspondeert met een buigpunt, namelijk
Fig. 16, alwaar — successievelijk: -{-, co, _[_ is voor k =: x); men verkrijgt
hier = g; hetgeen tot drie gevallen aanleiding geeft: eindig, nul en
oneindig, terwijl, voor —: -i-, oo, -j- en k ~ , van teeken verandert en
daardoor geene eindige waarde kan hebben.

Men zou uit de resultaten, in deze en de vorige § verkregen, het gevolg kunnen
trekken, dat de vorm eener kromme lijn afhankelijk is van de onafhankelijk
veranderlijke die men zich verkiest; daar dit echter eene ongerijmde veronder-
stelling is, doet zich de vraag voor, op welke wijze men zich het ontstaan
van een keerpunt moet voorstellen, wanneer s onafhankelijk veranderlijke is,
en van een buigpunt, als w onafhankelijk veranderlijke is. De beantwoording
dezer vraag leidt tevens tot de zoogenaamde keerpunten van de tweede soort
of snavels, gelijk in de volgende § nader zal . blijken.

quot;Wanneer de kromte eene continue verandering ondergaat tot op zeker punt,
maar voor een volgend punt eene onbestaanbare waarde zou verkrijgen, dan
houdt de kromme lijn in dat punt plotseling op: voor een volgend punt be-
staat geene kromte en dus ook geene kromme lijn. Stelt men nu in het al-
gemeen eenige waarde van h voor door:

waarin c één der coördinaten s, w voorstelt, dan zal Jc imaginair worden als
fcj negatief wordt. Heeft deze verandering van teeken plaats door nul heen,
dan zal de laatste waarde van k gelijk y fej zijn; verandert echter ,), fcJ door
oneindig heen van teeken, dan wordt ook k = cc. Merkt men op, dat de ver-
gelijking waarin de kromme lijn:

zoo blijkt, dat deze, ofschoon eene andere reeks van waarden voor k opleve-
rende, met dezelfde waarde van k eindigt. Dit ]eidt er toe de beide krommen
tot één geheel te vereenigen, door ze in dat punt in elkaar te doen overgaan.

Deze redeneering schijnt wellicht overbodig, daar men in de gewone coördi-
naten-methoden nooit anders handelt; evenwel is däär het geval eenigzins
anders. Bepaalt men zich tot het rechtlijnig stelsel, dan heeft men uit eene
vergelijking van den vorm:

voor elke waarde van w twee waarden van y, zoodat men terstond twee takken
verkrijgt, die van zelve in elkaar overgaan, wanneer ^ («) nul of oneindig
wordt. Dit heeft met eene vergelijking

niet plaats, daar men voor een zelfde waarde van 5 of w, dat is voor een
zelfde punt der kromme lijn, geen twee waarden van k kan hebben; het zijn
hier twee krommen:

die men desverliezende in elkaar kan doen overgaan, en dan als ééne kromme
lijn met twee takken kan beschouwen.

Bij het onderzoek naar de verschillende vormen, die het vereenigingspunt
van twee zoodanige takken kan opleveren, zal het blijken dat, in geval ^ de
onafhankelijk veranderlijke is, leerpunten en snavels optreden, als w daarvoor
wordt aangenomen, buigpunten en snavels. De keerpunten en buigpunten zijn
dezelfde die reeds gevonden zijn. De snavels zijn door de figuren 18—23
voorgesteld; daarin is het vereenigingspunt door b, de voorafgaande punten
in de twee takken door a en d aangewezen.

ens.

Denkt men zich in het vereenigings-punt de raaklijn, zoo liggen de takken
aan verschillende zijden van deze. In dat punt zal h slechts nul of oneindig
kunnen zijn. Want had h eene eindige waarde, dan zou de kromme lijn dis-
continu zijn bij den overgang van den éénen tak op den anderen, wegens het
verschil in teeken van k, hetgeen niet het geval is voor z= O en k — on.
Hieruit volgt onmiddellijk, dat dk in de twee takken verschillende teekens moet
hebben. Is s onafhankelijk veranderlijke, zoodat dw in den éénen tak -f. en
in den anderen — is, dan ontstaan keerpunten, en wel:
1) voornbsp;Kg. 14.

Neemt men w als onafhankelijk veranderlijke aan, en wordt dus dw in beide
takken positief verondersteld, terwijl ds verschillende teekens heeft, dan ver-
krijgt men buigpunten:

2)nbsp;voor \'A — co : Pig. 10 als = 0, Pig. 12 als — qo is.
kan p_j niet zijn, daar de formule,

Hierbij zijn de twee takken op dezelfde wijze ten opzichte van de raaklijn
in het vereeuigingspunt gelegen, hetgeen ten gevolge heeft dat de kromme
aldaar den vorm van een snavel vertoont, k kan steeds positief verondersteld
worden, daar de kromme altijd zoodanig geplaatst en doorloopen kan worden,
dat dtv en ds beiden positief zijn. Men kan nu de volgende gevallen onder-
scheiden :

1) ^ ^ ^ is in heide taMen positief. De kromte neemt derhalve in beide
takken toe. Gaat men, bij het doorloopen der kromme, van den éénen tak op
den anderen over, zoo is dus de waarde van Jc in dat punt een maximum, en
die van p een minimum. Die maximum waarde van Jc kan eindig zijn of
oneindig.

a)nbsp;Jc heeft in het vereenigingspunt eene eindige positieve waarde. De formulen :

verkrijgt denzelfden vorm of s als onafhankelijk veranderlijke wordt aangenomen,

hetgeen afhangt van de waarde van of ^ in dat punt. In elk geval is
de vorm van de evoluut eveneens een snavel, die met de punt naar de kromme
is toegekeerd. In Pig. 18 is p_j eindig genomen; voor het geval dat on-
eindig of nul is, verkrijgt de evoluut de vormen die de kromme heeft in de
figuren 19 en 20,

b)nbsp;Jc is in Jiet vereenigingspunt oneindig, p is nul; kan weder eindig,
nul en oneindig zijn. De snavel van de evoluut reikt nu tot aan de kromme:
het is slechts een bijzonder geval van den zoo even gevonden vorm, (Pig, 20,
waar weder p_, eindig is verondersteld).

^^ S £ ^^ ^^^^^ tallen negatief. De kromte neemt af en bereikt in
liet vereenigingspunt een minimum waarde, die eindig of nul kan zijn.

d) l is in het vereenigingspunt eindig positief, p verkrijgt eene eindige
maximum waarde. p_j is in beide takken positief, en kan in liet vereenigings-
punt eindig, nul en oneindig zijn. Zoowel voor s als voor w als onafhankelijk
veranderlijke verkrijgt men Fig. 21, waarin de waarde van eindig is ver-
ondersteld, en die van de vorige snavels onderscheiden is, doordat de snavel
van de evoluut van de kromme is afgekeerd.

è) l is in het vereenigingspunt nul. p is oneindig en daarom ook
(bladz. 25). Beschouwt men de beide asymptotische takken der evoluut als in
het oneindige samenvallende, en noemt men dit een snavel in het oneindige,
dan wordt deze vorm (Fig. 19) een bijzonder geval van Fig. 21.

neemt in den eenen tak toe, en in den anderen af. Bij den overgang heeft men
derhalve eene voortdurende toeneming of afneming, naar gelang men de kromme
in de eene of in de andere richting doorloopt. Hieruit volgt dat de kromte
in het vereenigingspunt slechts eene eindige waarde kan hebben; want was zij
nul of oneindig, dan zou zij van teeken moeten veranderen; hetgeen veronder-
steld wordt niet plaats te hebben.

blijkt, dat p_j verschillende teekens heeft. Deze verandering van teeken kan
plaats hebben door oneindig heen (Fig. 22) of door O heen (Fig. 23). In elk
geval is het overeenkomstige punt der evoluut een buigpunt.

De volgende tabel geeft van deze gevallen een overzicht. De waarden van
P en p_j in de twee takken zijn boven elkaar geplaatst, die in het ver-
eenigingspunt daarachter.

Beschouwt men derhalve twee op deze wijze gecombineerde takken als ééne
kromme, waarin de kromte eene continue verandering ondergaat bij den over-
gang van den eenen tak op den anderen, dan komt bij de vier opgenoemde
vormen nog:

1 a) Met een eindige maximum waarde van p, waarbij het verschil tusschen
twee op elkaar volgende waarden kan zijn:

ct) een oneindig kleine grootheid van de eerste orde: p_j is eindig Fig. 21.
ß) eene oneindig kleine grootheid van hoogere orde: = 0.

«) een oneindig kleine grootheid van de eerste orde: is eindig. Fig. 18.
0) een oneindig kleine grootheid van hoogere orde: = 0.
y) een eindige grootheid: =. co.
2è) Met p = O als minimum, waarbij de eerstvolgende waarde kan zijn:

«) een oneindig kleine grootheid van de eerste orde: p_^ =. eindig. Fig. 20.
|3) een oneindig kleine grootheid van hoogere orde:\'p_j = 0.
y) een eindige grootheid: p_j = oo.
3) p passeert eene eindige waarde, waarbij het verschil tusschen twee op
elkaar volgende w^aarden kan zijn:

Cl) een oneindig kleine grootheid van hoogere orde: = 0. Fig. 22.
(3) een eindige grootheid: = oo. Fig. 23.

Wanneer men in eenig punt eener kromme lijn de raaklijn en de normaal
trekt, en het gedeelte der kromme, dat aan de ééne zijde van dat punt gelegen
is, om een dezer lijnen omslaat, terwijl het overige gedeelte niet van plaats
verandert, zoo gaat de vorm die de kromme in dat punt heeft in een anderen
over. Door eene omvouwing om de normaal zullen gewone punten en toppen
overgaan in snavels, en luigpunten in keerpunten en omgekeerd, terwijl eene
omvouwing om de raaklijn gewone punten en toppen tot buigpunten en keerpunten
tot snavels vervormt en omgekeerd, Niet altijd echter zullen de vormen die
daardoor ontstaan denkbaar zijn in eene continue kromme lijn; daar toch in
het om de normaal omgeslagen gedeelte het teeken van dk en daarmede dat
vannbsp;en in het om de raaklijn omgeslagen deel het teeken van k of van

p veranderd is, zoo zal slechts dan aan dat vereischte voldaan worden, wanneer
p_j of p in het punt dat men beschouwt nul of oneindig is: — p_^ wanneer
de omwenteling om de normaal geschiedt, p wanneer zij om de raaklijn plaats
heeft. Want heeft in het eene geval p_j, in het andere p, een eindige waarde,
en dus ter weerszijden van het punt hetzelfde teeken, dan ontstaat er discon-

tinuiteit na de omvouwing wegens liet verschil in teeken dat daarvan het ge-
volg is. Dit zal bijv. het geval zijn wanneer men de fig. 1—7, 18, 21, 22
en 23 om de raaklijn en de fig. 1, 16, 18, 20 en 21 om de normaal in
het punt b omslaat, waardoor geene vormen optreden, die in eene continue
kromme lijn kunnen voorkomen. Daarentegen verandert:

bB .

a «

o rö

fia-. 16 l„ fig. 20 als daarin / eindig is

fig. 17

ffq

gt;
/

CD
CD

oo is 7

fig.
fig.
fiff.

if fig. 18 als daarin p_i = O is
n fig. 31 als daarin — O is

// fig. 33

fig.

\'TIS

fig.
Wg.
fig.

Door deze opmerking, die tevens dienen kan om de resultaten der vorige §§
te verifieeren, kan men gemakkelijk vinden, welke waarden van p en moeten
voldoen aan eene vergelijking:

als de kromme, waarin elk viertal punten volgens die wet ten opzichte van
elkaar gelegen zijn, dezen of genen vorm zal vertoonen. Immers er blijkt uit,
dat — behoudens de gevallen dat p en p_j beiden eindig zijn — het verschil
tusschen gewone punten of toppen en snavels, alsmede tusschen buigpunten en
leerpimten enkel en alleen gelegen is in het al of niet veranderen van teeken
van p_j, terwijl eene verandering van teeken van p de buigpunten van de toppen
en de keerpunten van de snavels onderscheidt. Geeft men nu door te

dit wel het geval is, dan wordt elke vorm op de volgende wijze gekarakteriseerd:

= O is
= co is

Buigpunten.

Keerpunten.

P
P-1 -

P-i 4-4-

(ƒ)

De gevallen {a) en (/), [i) en [e) zijn niet terstond van elkaar te onder-
scheiden. Merkt men evenwel op dat p in ih) en {ƒ) een maximum of minimum-
waarde bereikt, in [a] en (e) niet, dan is het duidelijk dat men daarin een
voldoend kriterium lieeft, om deze vormen te onderkennen. Om te bepalen
tot welke soort de vorm behoort, heeft men slechts de volgende gevallen na
te gaan:

In geval p en beiden eindig zijn heeft de kromme in dat punt een der
vormen: fig. 1, fig. 18 of fig. 21. Deze zijn hierdoor onderscheiden, dat in
den snavel fig. 21 p een maximum heeft, in fig. 18 een minimum, terwijl in
fig. 1 p een eindige waarde passeert.

Op deze wijze vindt men, welke vormen eenige kromme lijn opleveren Ttan-,
nog niet, of men ze bij het doorloopen der lijn werkelijk zal aantrefi^en. Even
als namelijk in fig. 8, 9 en 19 het buigpunt, het keerpunt en de snavel der
evoluut in het oneindige verschoven is, terwijl in fig. 14 hetzelfde kan gezegd
worden van een top, zoo kan dit ook plaats hebben in de kromme lijn zelve
zonder dat het uit de verg: /(p, = O blijkt. Ten einde hierover te oor-
deelen is het noodig de vergelijkingen

p = f (s) en p = (io)
te raadplegen; ligt namelijk het bedoelde punt in het oneindige, dan is min-
stens een der coördinaten s, w, oneindig voor de waarde die p in dat punt
heeft. In dat geval kan men echter niet spreken van een vorm die op eene
lepaalde plaats wordt aangetroffen, — veel meer heeft men te doen met de
wijze waarop de kromme lijn verloopt, met den vorm, dien zij in haar geheel
vertoont; hetgeen het onderwerp zal uitmaken van het volgende Hoofdstuk. Alleen
zij hier opgemerkt, dat men somtijds uit de vergelijking ƒ (p, p_j) = O reeds
kan besluiten dat de kromme lijn punten in het oneindige heeft. Eeeds vroeger
is namelijk opgemerkt dat, wanneer in eenig punt p — oo is, ook p_j = oo

moet zijn; blijkt het echter uit de vergelijking dat er punten zijn waarin
p = oo gecombineerd is met eene eindige waarde van of met = O,
dan kunnen die punten ook niet in een eindig gedeelte der kromme lijn liggen:
Inbsp;deze is, gelijk later blyken zal, in dat geval spiraalvormig, terwp haar evo-

Het zal na het opgemerkte niet noodig zijn in bijzonderheden te treden
omtrent de wijze, waarop men uit de vergelijkingen

p =: f (s) en p = (w)
tot het aanwezig zijn van dezen of genen vorm in een eindig deel der kromme
lijn besluiten kan. Wordt p voor eenige waarde van s imaginair, dan heeft
de kromme aldaar een keerpunt of een snavel naar gelang p in de twee takken
al of niet verschillende teekens heeft. Op dezelfde wijze geeft het imaginair
worden van p voor eenige waarde van w een buigpunt of een snavel aan.
Verandert p bij het grooter worden van den coördinaat van teeken, zoo wijst
dit in de eerste vergelijking op een buigpunt, in de tweede op een keerpunt.
Toppen worden aangeduid door maximum of minimum waarden van p. Tot
nadere bepaling der vormen dient deels de vergelijking zelve — voor zoo ver
het de vraag geldt of p door O of door oo van teeken verandert — deels de
differentiaal-vergelijking:

wanneer het de waarde van p^^ geldt; daartoe kan men de eerste dezer verge-
lijkingen onder dezen vorm schrijven:

Men kan in het bepalen der vormen, die eene kromme lijn op eene be-
paalde plaats kan vertoonen, verder gaan door ook op de tweede differentiaal-
, d^k d^h ^ ^ ^
quotienten ~ en en daarmede op den kromtestraal der tweede evoluut:

te letten. Sommige gevallen zijn echter niet voor eene verdere beperking
vatbaar, namelijk die, waarbij p of oneindig is, omdat alsdan de kromte-
stralen van alle volgende evoluten van zelf oneindig worden. Anderen laten
slechts twee onderscheidingen toe, bijv. de buigpunten waarin p en p_j gelijk

nul zijn; het overeenkomstige punt der tweede evoluut is dan ook een buig-
punt en zal slechts O of oo kunnen zijn. Wij zullen hierover evenwel niet
in bijzonderheden treden, daar zoodanige verschillen in den vorm der kromme
des te minder zichtbaar worden, naarmate men het specificeeren verder voortzet.

Uit de wijze waarop het teeken van p afhangt van de teekens van ds en
dw, kan men, in verband met de formule: =nbsp;betrekkelijke ligging

opmaken van de kromtestralen p en wanneer deze gelijke of ongelijke tee-
kens hebben. Het onderzoek hieromtrent geeft den volgenden regel aan:

Wanneer men zich langs den hromtestraal p leweegt van het punt der hromme
naar het hrommingsmiddelpnnt, zoo zal ^^^ hetzelfde teeken hellen als p,
wanneer men rechts. Ut omgekeerde wanneer men links moet draaien
om Of den hromtestraal p_j over te gaan.

Eene vergelijking, die de wet uitdrukt, volgens welke de kromte verandert,
zal in het algemeen willekeurige konstanten bevatten. Door verschillende
waarden aan die konstanten te geven, verkrijgt men kromme lijnen, die wel
allen aan dezelfde algemeene wet voldoen, maar daarom niet gelijkvormig be-
hoeven te zijn. In dat geval zal men de verschillende vormen achtereenvolgens
verkrijgen, door de konstante te laten variëeren.

Maar ook kan zich het geval voordoen, dat eene konstante geen invloed
uitoefent op den vorm, maar alleen op de grootte der kromme, de afmetingen.
Het is niet moeielijk na te gaan, hoedanig in het laatste geval de konstante
moet voorkomen; terwijl een paar algemeene regels te geven zijn omtrent den
aard van den invloed eener konstante op den vorm.

Gaat men uit van de algemeen bekende waarheid, dat twee figuren gelijk-
vormig zijn, wanneer die lijnen in de éene figuur, waardoor deze volkomen
bepaald wordt, in eene konstante verhouding staan tot de overeenkomstige
lijnen in de andere, zoo is het duidelijk, dat twee krommen gelijkvormig zul-
len zijn, wanneer alle p\'s en in de ééne kromme even veel malen grooter
of kleiner zijn dan diezelfde grootheden in de andere, — want eene kromme
lijn is bepaald door hare kromtestralen, en door die van haar evoluut. Het
behoeft geen nader betoog, dat in gelijkvormige krommen de hoeken van ge-
lijkstandige kromtestralen gelijk, en de bogen tusschen de punten, waartoe zij
behooren, evenredig zijn. Wanneer men derhalve van eene kromme lijn alle
f\'s en in dezelfde reden grooter of kleiner maakt, dan verkrijgt men eene
kromme, die met de eerste gelijkvormig is, — hetgeen bovendien duidelijk

is, wanneer men bedenkt, dat bet bij de constructie eener lijn naar eenige
vergelijking ƒ (p, p_i) = O gelieel onverschillig is, welke lengte-eenheid men
aanneemt voor de afmetingen der kromtestralen; het grooter of kleiner maken
dier lengte-eenheid nu heeft eenvoudig ten gevolge, dat alle lijnen indezelfde
verhouding grooter of kleiner worden.

Hieruit nu vloeit het volgende voort: wanneer eene vergelijking tusschen
p en p_i eene konstante bevat, die als factor voorkomt van p en p_i of althans,
door eenige algebraïsche bewerking, als zoodanig kan optreden, dan zullen
alle krommen, naar die vergelijking geconstrueerd, maar met verschillende
waarden der konstante, gelijkvormig zijn.

Elke konstante, die niet als factor van p en voorkomt, zal aanleiding
geven tot krommen van -verschillenden vorm; want dan worden, door verschil-
lende waarden der konstante, niet alle /s en in dezelfde reden vergroot
of verkleind.

Heeft men eene vergelijking tusschen p en w, dan is de zaak niet altijd
zoo eenvoudig. Wel is elke konstante factor van p zonder invloed op den
vorm der kromme, maar niet altijd is het omgekeerde waar, dat namelijk elke
andere konstante er wel op influenceert. Zoodanige vergelijking toch bevat in
het algemeen altijd ééne konstante, die met het wezen der kromme niets te
maken heeft, namelijk die, welke aangeeft vanwaar men de hoeken begint te
tellen. Nu kunnen zich twee gevallen voordoen:

lo. Eene konstante a verdwijnt, wanneer men w — w\' « stelt, voor
eenige waarde van Alsdan is het zeker, dat het geven van verschillende
waarden aan a eenvoudig ten gevolge heeft het verdraaien der oorspronkelijke

2o. Eene konstante a verdwijnt niet door die substitutie, maar toch veran-
dert de oorspronkelijke richting, door er verschillende waarden aan te geven.
In dat geval worden dus niet alleen alle hoeken met een zelfden hoek ver-
meerderd of verminderd, maar er geschiedt meer, en men zal eerst dan kun-
nen te weten komen, of die konstante op den vorm der kromme influenceert,
wanneer men telkens, bij het veranderen van hare waarde, de hoeken tot
dezelfde hoofdrichting in betrekking stelt, of — wat op hetzelfde neerkomt—
wanneer men den invloed van a op de hoofdrichting elimineert door, in plaats
van eenige waarde van w, het verschil tusschen twee waarden van w in te

voeren. Blijkt het, dat voor eenig verschil j, het veranderen van « hetzelfde
resultaat oplevert als het veranderen der lengte-eenheid, dan is hierdoor be-
wezen, dat de konstante geen invloed uitoefent op den vorm der kromme.
Tot toelichting hiervan diene het volgende voorbeeld.
In de vergelijking

is a een konstante, die niet als factor van p alleen kan voorkomen; toch oefent
zij geen invloed uit op den vorm der kromme; want, daar voor een hoek w\'

op elkaar:

lengte-eenheid veranderen — om al de krommen te verkrijgen, die de verge-
lijking kan opleveren.

Men verkrijgt hetzelfde resultaat spoediger, door middel van de differentiaal-
vergelijking. Uit

Op dergelijke wijze kan men handelen met eene vergelijking tusschen ^ en
w. Alleen moet men dan drie punten nemen, waarvoor de bogen

Door eHminatie van s en w is tevens de invloed der konstanten geëlimineerd,
die den oorsprong aangeven. De vergelijking van zoo even

dw ^

waaruit wederom blijkt dat, door aan a verschillende waarden te geven, de
lengten der bogen evenredig toe- of afnemen, terwijl de hoeken onveranderd
blijven.

Eindelijk: wanneer de vergelijking gegeven is tusschen p en s, zoo elimi-
neert men s tusschen:

p =/ {s, d)
en p\' =y s, a)
en ziet of de konstante als factor van p en 5 beiden voorkomt. Dezelfde
kromme tot voorbeeld nemende, zal men, om de vergelijking tusschen p en s
te verkrijgen, w moeten elimineeren tusschen:

Afgezien van de konstanten, die den oorsprong bepalen, zal ook in de ver-
gelijking tusschen p en ^ en p en^ elke konstante, die op eene andere
wijze voorkomt dan de zoo even besprokene, op den vorm der kromme influ-
enceeren. Want dan kan men niet dezelfde reeks van krommen verkrijgen
door eene eenvoudige verandering der lengte-eenheid, als die wordt opgeleverd
door verschillende waarden aan die konstante te geven.
In het algemeen zijn geene regels te geven omtrent den aard dier influentie.

Echter zijn er twee gevallen , die aan eene algemeene beschouwing onderworpen
kunnen worden.

a) als factor mn p_;. Zij a die konstante, zoo is de vergelijking, die
men kan veronderstellen ten opzichte van opgelost te zijn:

De reeks van krommen, die men verkrijgt door aan a verschillende waarden
te geven, zal klaarblijkelijk dezelfde zijn, als die, welke ontstaat wanneer men
van één der krommen, in de vergelijking opgesloten, alle p./^ in dezelfde
reden grooter of kleiner maakt, daarbij de pV latende zoo als zij zijn. Nu is
het duidelijk, dat, wanneer in twee opeenvolgende punten ^ en ^ (Eig, 24, «
en b) p dezelfde waarde behoudt, het verschil dp hetzelfde blijft en dus

das wordt dw ^ maal kleiner, als A maal grooter wordt. Men zal dus
hetzelfde resultaat verkrijgen, wanneer men in de vergelijking

Hieruit kan men licht nagaan wat de invloed der konstante a zal zijn: de
kromme zal namelijk over het geheel meer of minder gebogen zijn.

b) Als factor van p. Zal p in twee op elkaar volgende punten a, maal
grooter worden, dan moet ook het verschil dp evenveel maal grooter worden;
dus (Fig. 25, « en 5):

Blijft dus even groot, dan zal dw, tegelijk met p, a maal grooter worden.
In de vergelijking tusschen p en w moet men dus xp en aw voor p en w
schrijven.

Tolgens het straks betoogde zullen deze krommen gelijkvormig zijn met
die, welke in de vergelijking

opgesloten zijn. Wat den vorm aangaat heeft dus zoodanige konstante den-
zelfden invloed als die, waarvan bij a sprake was.
2°. Eene konstante a komt zoodanig in de vergelijking

Men zal blijkbaar de verschillende krommen verkrijgen, wanneer men alle
p\'s even veel langer of korter maakt, en beschouwt men de kromme als evo-
luut, dan is het verschil eenvoudig daarin gelegen, dat men de ontwikkeling
in een ander punt van de evoluut begint.

Men kan niet in het algemeen aangeven, van welken aard de wijzigingen
zijn, die de vorm der kromme daardoor in haar geheel ondergaat. Daarentegen
blijkt uit de figuren 1—23 gemakkelijk, welke wijzigingen het verkorten van
den kromtestraal in elk punt afzonderlijk teweeg brengt. Wij zullen dit in
het kort nagaan.

Fig. 1, 2 en 6. Wanneer in de punten b p steeds kleiner wordt gedacht,
tot hij eindelijk O wordt, dan ontstaan daardoor resp. de figuren 16, 15 en
17. Wordt p negatief, zoo ontstaan wederom gewone punten, doch de kromte
is van teeken veranderd. Het keerpunt der figuren 16, 15 en 17 scliuift
daarbij van de linker- naar de rechterzijde op.

Fig. 3 gaat, door fig. 11 heen, over in fig. 4 en fig. 6 door fig. 13 in
fig. 7 en omgekeerd.

In fig. 8, 9, 14 en 19 is in het punt b p = cc, deze vormen zullen dus
zoo blijven.

Hieruit vloeit dus voort: 1. Een gewoon punt kan een keerpunt worden;
een keerpunt wordt een gewoon punt.

2.nbsp;Een top blijft een top, maar kan van maximum minimum worden en
omgekeerd.

4.nbsp;Buigpunten worden snavels; snavels hunnen buigpunten worden, wanneer
het overeenkomstige punt der evoluut een buigpunt is.

Tn de hoofdzaak komen deze beschouwingen overeen met hetgeen Peters zegt
omtrent: „die Metamorphose der Gestaltquot; (Pag. 52—54). Hij spreekt evenwel
nog over eene verandering der hoeks-eenheid, — iets, waarvan in onze be-
schouwing geen sprake kan zijn, daar reeds in Hoofdstuk I de hoekseenheid

Wilde men de hoekseenlieid veranderen, bijv. ^ malen kleiner maken, dan
zou niet meer = | -aar = of = ± zijn. Hieruit blijkt dat
het veranderen der hoekseenheid hetzelfde resultaat oplevert als te schrijven
voor dit volgt dan ook uit het straks besprokene: dat, wanneer men
in eene kromme alle p^/s even veel malen grooter maakt, elke waarde van
in dezelfde reden kleiner wordt, hetgeen op hetzelfde neêrkomt, als wanneer
elke w in eene zooveel maal kleinere eenheid wordt uitgedrukt.

Het veranderen der hoekseenheid bij Peters wordt dus terug gebracht op
het invoeren eener konstante, wier invloed op den vorm der kromme wij in\'t
algemeen hebben aangegeven. Wij zouden dus hiermede kunnen volstaan, ware
het niet dat Peters tot een resultaat komt, dat met onze beschouwingen strijdt.
Als voorbeeld, hoe men onderzoekt of de verandering der hoekseenheid invloed
uitoefent op den vorm, gebruikt hij de vergelijking der parabel

Verandert men hierin de hoekseenheid, of - wat op hetzelfde neerkomt -
schrijft men /iw voor w, zoodat men heeft:

van een bepaalden hoek dezelfde blijft, in welke eenheid deze ook is uitgedrukt.
Bedenkt men echter dat — \\ —

vorm. Zij is eenvoudiger dan die in deze § ontwikkeld is, maar niet zoo
algemeen toepasselijk.

Peters onderzoekt of de verkonding der kromten h en h\' in twee punten
der kromme al dan niet afhankelijk is van de konstante. Dit is slechts dan
in het algemeen van toepassing, wanneer men de kromte heeft uitgedrukt in
functie van het verschil der hoeken of der bogen in de twee punten om redenen
die bladz. 45 zijn aangevoerd. De voorbeelden, die Peters geeft, zijn zoodanig,
dat de waarde der konstante geen invloed heeft op de richting van waar men
de hoeken begint te tellen. Past men echter de methode van Peters toe op
de straks genoemde vergelijking:

zoo blijkt het, dat zij daarvoor ongeschikt is. Is namelijk voor een hoek w
de kromtestraal p, voor een hoek w\'p\', en in

zoodat de krommen alleen dan gelijkvormig zouden zijn als de konstanten
gelijk zijn. Wij zagen evenwel dat men bij eene behoorlijke in acht neming
van den invloed der konstante op de oorspronkelijke richting tot een ander
resultaat komt.

zoodanig is dat, van eenige positieve of negatieve waarde van c af, de coör-
dinaat tot -j- 00 of — 00 kan aangroeien zonder dat p onbestaanbaar wordt,
dan kan men twee gevallen onderscheiden, die den grondslag zullen uitmaken

vau eene nadere beschouwing beiretkelijk de verschillende vormen, die eene
kromme lijn kan hebben.

Stelt men namelijk in de vergelijking (1) c = oo, dan zal elke term, die
een algebraïsche, exponentiëele of logarithmische functie van c is, overgaan in
00, O of ^, in welk laatste geval de waarde volgens de bekende methoden
kan gevonden worden. Omgekeerde goniometrische functies, die — in de ver-
onderstelling dat de coördinaat tot oo kan aangroeien — slechts onder zeer
beperkende voorwaarden kunnen voorkomen, zullen steeds eene bepaalde waarde
verkrijgen. Wel zullen in het algemeen alle bogen, die %nn verschillen, aan
dezelfde goniometrische functie voldoen, maar het kan nooit twijfelachtig zijn,
welke van deze waarden men nemen moet, daar het altijd uit de voorafgaande
waarden der functie blijkt, hoe groot n is.

Anders is het in vele gevallen gelegen met termen, goniometrische functies
bevatten, waarvan het argument wederom een functie van c is. Wordt dit
laatste oo voor c = oo, dan zal de goniometrische functie zelve niet tot eene
bepaalde waarde naderen; want, hoe groot het argument ook wordt, steeds
blijft de goniometrische functie oscilleeren tusschen de haar eigene grenswaarden.
Wordt het argument O of eindig, dan verkrijgt ook de functie eene bepaalde
waarde. Heeft eindelijk de goniometrische functie tot coëfficiënt een andere
functie van c, dan zal ook die tevens overgaan in oo, O, | of in eene zui-
vere goniometrische functie van c.

Hieruit volgt dat, indien de vergelijking niets dan goniometrische functies
bevat, zij geene verandering zal ondergaan, voor c = co, — tenzij het argu-
ment der goniometrische functie zelf eindig of nul wordt. Dit geval zullen wij
vooralsnog buiten rekening laten, ten einde er straks op terug te komen.

1°. De functie f{c) wordt, voor c = oo, oneindig, nul, eindig of gaat
over in eene goniometrische functie;

De geometrische beteekenis hiervan is deze: wanneer de vergelijking eener
kromme lijn voor c oo van gedaante verandert, dan zal de vorm der
kromme, bij het onbepaald toenemen van den coördinaat, meer en meer na-
deren tot den vorm, die alsdan door de vergelijking wordt aangegeven; de
lijn, die dien vorm heeft, heet asymptoot der kromme; deze laatste kan be-

schouwd worden als in het oneindige met haar asymptoot samen te vallen.
Hieruit vloeit onmiddellijk voort, dat de evoluut der kromme onbepaald nadert
tot den vorm van de evoluut der asymptoot, zoodat in het algemeen de evo-
luut van de asymptoot eener kromme de asymptoot van hare evoluut is.

Verandert, voor c = cc, de gedaante der vergelijking niet, dan heeft dit
ook geen plaats met de kromme. Uit de omstandigheid, dat zoodanige verge-
lijking alléén goniometrische functies kan bevatten, is het dan ook duidelijk
dat bij eene voortdurende toename van c dezelfde reeks van waarden voor p
terugkeert, telkens, wanneer het argament met vermeerderd is i).

Wij zullen de krommen, die, voor één der coördinaten s oi w gelijk oo,
eene lijn asymptotisch naderen, asy^nptotisch noemen ten opzichte van den
coördinaat, waarvoor dit geschiedt; terwijl de krommen, die telkens dezelfde
waarden voor de kromte opleveren, in het algemeen periodisch zullen heeten
ten opzichte van den coördinaat, waarvoor die periodiciteit plaats heeft.

De asymptoot\'eener asymptotische kromnie is, blijkens het voorgaande, een
cirkel of een periodische kromme. Wanneer toch de vergelijking

voor c z=z lt;x overgaat in /gt; = oo, p = O of p = een konstante a, dan kan
men ze altijd beschouwen als de vergelijking van een cirkel, wiens straal oc,
0 of « is. Gaat daarentegen de vergelijking over in eene andere, die alleen
goniometrische functiën bevat, dan is de asymptoot een periodische kromme.

Wanneer de vergelijking eener asymptotische kromme goniometrische functies
bevat, zoo is het beginsel der periodiciteit aanwezig, en dit zal zich op de
eene of andere wijze in den vorm der kromme moeten openbaren; het duide-
lijkst zal dit geschieden, wanneer de asymptoot een periodische kromme is:
deze laatste levert dezelfde reeks van waarden op voor p, wanneer het argu-

Er is ééne kromme lijn, die steeds dezelfde reeks van waarden oplevert voor p, en toch niet
door eene vergelijking in goniometrische fiincties wordt voorgesteld: namelijk de cirJcel p a.
Daar echter de coördinaat geheel ontbreekt, — omdat p altijd dezelfde waarde heeft, — en er dus
van eene verandering van kromte geen sprake is, kan men deze lijn even als de rechte van de te
bespreken vormen uitsluiten.

ment met vermeerderd wordtj de reeksen van waarden, die p in de oor-
spronkelijke kromme verkrijgt voor eene vermeerdering van het argument ge-
lijk aannbsp;zullen dus ook, voor zeer groote waarden van c, reeds eene
groote overeenkomst doen zien; en men zal c zoo groot kunnen nemen, dat
de waarden van p in twee punten, waarvoor het argument der goniometrische
functie een verschil oplevert van 2t, zoo weinig van elkaar verschillen als
men verkiest. Het behoeft wel geen nader betoog, dat het noodzakelijk gevolg
hiervan is, dat twee zoodanige reeksen voor een deel dezelfde waarden van p
zullen opleveren; dit nu kan niet plaats hebben zonder dat p maximum of
minimum waarden heeft, of wel door O of co heen van teeken verandert. Elke
kromme derhalve, die eene periodische kromme tot asymptoot heeft, bezit een
oneindig aantal toppen, keerpunten of buigpunten.

Is de asymptoot geen periodische kromme, zoo zal het van den aard der
goniometrische functie en de wijze waarop zij voorkomt afhangen, of hare
periodiciteit zich op zulk eene in het oog vallende wijze in den vorm der
kromme openbaart. Het kan namelijk gebeuren, dat, van eenige waarde van
c af, de aangroeiing van p, voor zoo ver zij afkomstig is van de niet gonio-
metrische termen, altijd grooter is dan de negatieve aangroeiing, die de
goniometrische functies in hare periode van afneming kunnen opleveren;
dan zal p steeds groeiende blijven, en de kromme zal, even als in vergelij-
kingen zonder goniometrische termen, van eenig punt af geene toppen, keer-
punten of buigpunten kunnen hebben.

a. De kromme vermeerdert of vermindert van een bepaald punt af voort-
durend hare kromte, en heeft tot asymptoot een cirkel, wiens straal nul, eindig
of oneindig zijn kan. De vergelijking han goniometrische functies bevatten.

h. De kromme lieeft een oneindig aantal toppen, keerpunten of buigpun-
ten, en kan een cirkel of een periodische kromme tot asymptoot hebben. De
vergelijking moet goniometrische functies bevatten.

Wij zullen in het bijzonder nagaan het geval, dat de asymptoot een cirkel
is. De waarde waartoe p nadert, d. i. den straal van dien cirkel, zullen wij
altijd a noemen, steeds in het oog houdende, dat a even goed nul en oneindig
als eindig kan zijn.

Het zal bij dit onderzoek noodig zijn te onderscheiden of w dan wel s de
coördinaat is, ten opzichte waarvan de kromme asymptotisch is.

I. f wordt gelijk a voor ä — co. Is « eindig, zoo moet ook w = oz zijn;
want was voor s (X), w bijv. gelijk y, dan zou men in die richting eene
rechte kunnen trekken, waarmede de kromme voor s = oo samenviel, of
waaraan zij althans parallel liep; maar dan was ook p = oc, hetgeen met de
onderstelling strijdt. Het middelpunt van den cirkel p = « is een asympto-
tisch punt van de evoluut, hetgeen ook daaruit blijkt, dat voor p ~ a, dp
en dusnbsp;= O wordt; verder heeft men dan ook ^ i — O enz. •

Is ö — O, zoo gelden dezelfde opmerkingen: alleen de cirkel is een punt gewor-
den , zoodat de kromme en al hare evoluten hetzelfde punt tot asymptoot hebben.

Yoor a = 00 kan w eene eindige waarde ^ hebben; is dit het geval, zoo
zal men in die richting eene rechte lijn kunnen trekken; deze is of loopt pa-
rallel met de rechte, die alsdan asymptoot is, en als een cirkel met oneindig
grooten straal kan beschouwd worden. De evoluut nadert meer en meer tot
de richting, die loodrecht is op de asymptoot der kromme. .Is echter voor
a =z cc ook w — oc, zoo draait de kromme spiraalvormig rond, en daar de
kromtestraal hoe langer hoe grooter wordt, breidt zij zich steeds verder uit;
de asymptoot is een cirkel, wiens omtrek in het oneindige ligt. Het verschil
tusschen deze twee gevallen van asjmptotisme — dat namelijk, voor s ~ ctj

en p = oo, w tot eene eindige waarde of tot c» nadert — is derhalve hierin
gelegen, dat in het eerste geval het middelpunt van den cirkel, wiens straal oo
is, in het oneindige ligt, terwijl in het tweede geval de omtrek oneindig ver
weg gelegen is. In het eerste geval ligt het snijpunt der stralen in het on-
eindige, d. i. de stralen loopen parallel, en de omtrek wordt een rechte;
in het tweede geval snijden de stralen elkaar, maar de omtrek ligt in het on-
eindige. De asymptoot van de evoluut is ook in dit laatste geval het mid-
delpunt; echter is de plaats van dat punt geheel onbepaald, daar het vlak,
waarvan de omtrek de grens zou moeten uitmaken, geene grenzen heeft. Men
kan zich dus voorstellen, dat het middelpunt zich beweegt en eene kromme
lijn doet ontstaan: deze moet als de asymptoot der evoluut beschouwd worden.
Deze gevallen worden het duidelijkst toegelicht, wanneer men de verander-
lijken p en w resp. als ordinaten en abscissen beschouwt in een rechthoekig
coördinaten-stelsel. Wordt namelijk de ordinaat p oneindig voor eene eindige
waarde © van de abscis w, dan wordt ookoneindig; maar worden de co-

zijn, maar ook periodisch, d. i. de kromme (in het rechtlijnig coördinaten-
stelsel) gaat met kronkelingen in eene bepaalde richting tot in het oneindige
voort. Past men dit toe, dan heeft men de volgende gevallen:
p = 00 voor w y : p_j = GO

0; de asymptoot der evoluut is een punt.
oo; de evoluut verkeert in hetzelfde geval als de
kromme.

Dit laatste zal bijv. het geval zijn, wanneer men de involuut beschouwt van
eene geslotene kromme, waarin geen keerpunten, buigpunten of snavels voor-
komen. Die involuut zal namelijk tot asymptoot hebben een cirkel, wiens
omtrek in het oneindige ligt, terwijl het middelpunt gedacht moet worden
langs de geslotene kromme zich te bewegen; deze laatste echter is eene peri-
odische kromme, want bij het voortdurend aangroeien van s en w keert telkens
dezelfde vorm terug; zij heeft dus geen asymptoot, of ook, zij is haar eigen
asymptoot; want voor « en w gelijk oo valt zij met zich zelve samen.

IT, p a voor w = oo. Is. « eineiig of oneindig zoo moet ook s cxgt;
worden; want was s = o-, zoo zou de asymptoot een punt moeten zijn, en dus
p = O, — hetgeen met de onderstelling strijdt. Dit levert derhalve dezelfde
gevallen op als die zoo even besproken zijn.

Is a — 0 zoo kan 5 een eindige waarde lt;r naderen: de asymptoot is een
punt, waarom de kromme zich spiraalsgewijze draait.

Wanneer eene kromme lijn tot asymptoot heeft een rechte, zoodat voor
p = GO, w = f is, of een punt, waarbij, voor p = O, s := lt;r is, zoo kan in
het eerste geval w gt; y, in het tweede ^ gt; o- nog bestaanbare waarden voor p
opleveren. Het gedeelte der kromme, dat daardoor ontstaat, zal dezelfde rich-
ting of hetzelfde punt tot asymptoot hebben, waarmede dus de beide takken
in het oneindige samenvallen. Al naar gelang p zijn teeken behoudt of niet,
zal men, in het geval dat de asymptoot een rechte is, een vorm verkrijgen
analoog met een top of een keerpunt; evenzoo ontstaan, in de onderstelling
dat bij een asymptotisch punt p bestaanbaar blijft voor s gt; lt;r, vormen die
analoog zijn met toppen en buigpunten. Wordt p imaginair, zoo kan men in
het eerste geval de vormen vergelijken met buigpunten of snavels, in het
tweede met keerpunten of snavels, naar gelang p in beide takken verschillende
teekens heeft of niet. Men kan hiermede overeenkomstig zoodanige vormen
in de meeste gevallen werkelijk als toppen, keerpunten, buigpunten of snavels
in het oneindige beschouwen.

eener asymptotische kromme ftc voor c, zoo Imi deze konstante invloed uit-
oefenen op den vorm der kromme, wanneer geene goniometrische functiën
voorkomen; zij zal dit doen wanneer deze wel aanwezig zijn. Die invloed is
alsdan van denzelfden aard als bij de periodische krommen; wij verwijzen dus
naar hetgeen hierover in de volgende § voorkomt.

Wanneer de vergelijking
alléén goniometrische functies bevat zoo is de kromme periodisch, d. i. dezelfde

waarden van p keer en terug voor eene vermeerdering van het argument gelijk
als n een willekeurig geheel getal is. Noemt men in het algemeen het
argument $ (c), dan zal dus

dezelfde als die p heeft tusschen ^ 2 {nl) tt en ^-\\- 2 {n-{-2) vr. Elk
gedeelte der kromme, waarin p deze geheele reeks van waarden doorloopt, zal
eene periode genoemd worden; het verschil tusschen de waarden van c, die het
argument gelijk 2n-r en ^ 2 [n l) tt maken: de duur dier periode.

Noemt men dat verschil y, dan zal de duur eener periode gevonden wor-
den door uit de vergelijking

(c) — 4» (c — y) = 23-
y op te lossen. Komen meerdere goniometrische functiën voor met verschillende
argumenten, die niet tot een zelfde argument kunnen herleid worden, zoo zal
blijkbaar y gevonden worden door het kleinste gemeene veelvoud te nemen
van de getallen, die voor elk dier functies den duur der periode aangeven.

Men kan nu onderscheiden de gevallen:
a) y is konstant.
l) y is eene functie van c.

In het eerste geval zijn de perioden in alle opzichten identisch; want door
differentiatie van

komt er: = af\' {ac è). Voor eene vermeerdering gelijk van c is
dus zoowel de kromte als de verandering der kromte ten opzichte van den
coördinaat dezelfde, welke waarde n, ook heeft. De evoluut van zoodanige
kromme is derhalve eene periodische kromme van dezelfde soort.

Is daarentegen 7 = y (c), zoo zullen de perioden niet identisch zijn, omdat
haar duur verschilt. Dit kan tot zeer gecompliceerde vormen aanleiding geven:
immers, het hangt van de functie y = y (c) af van welken aard de periodici-
teit is; deze kan namelijk zelve asymptotisch of periodisch zijn, naar gelang
y, voor c = cc, tot een limiet nadert of niet; en in beide deze gevallen kan
men dezelfde onderscheidingen maken, als bij de krommen zelve. Is y asymp-
totisch, en nadert zij tot co, 0 of eene konstante, zoo zullen, bij een onbe-
paald toenemen van c, de perioden bf steeds grooter worden, zoodat elke vol-
gende perioden langer is dan de voorgaande, terwijl eindelijk een oneindig
groote periode ontstaat; — of wel, zij zullen zich voortdurend als het ware
samentrekken, totdat ten slotte de periode tot een punt wordt gereduceerd; —■
of eindelijk, zij zullen meer en meer gelijk worden aan de periode der kromme,
waarvoor y de konstante waarde heeft, die me haar limiet is. Nadert y tot
een goniometrische functie, zoo nadert de kromme lijn tot een andere lijn,
waarvoor dezelfde waarden van y periodisch terug keeren.

Wanneer y periodisch is, zoo kan ook hier het argument der goniometrische
functie al of niet van den vorm

zijn. Noemt men y\' de waarde van c waarvoor y wederom dezelfde reeks van
waarden verkrijgt, dan is het duidelijk, dat voor c = y ook dezelfde reeks
van waarden voor p weder zullen te voorschijn komen, en op dezelfde wijze
op elkaar volgen, zoodat de deelen der kromme tusschen lt;gt;(lt;?)•— $ (c — y\')
en $ (c — y\') — $ (c — 2y\') gelegen weder identisch zijn. Zoodanige periodici-
teit kan als van de tweede orde beschouwd worden, en het is duidelijk dat
men op deze wijze tot in het oneindige kan voortgaan; is toch y\'niet konstant
maar een functie van c, dan kan zij aan hetzelfde onderzoek onderworpen
worden, als zoo even y.

In het zoo even behandelde geval, — dat namelijk niet gelijk ac b is,
is nu tevens opgesloten het geval dat $ tot O of tot een eindige waarde na-

dert voor c = ao, hetgeen wij voorloopig hadden terzijde gezet (pag. 58).
Immers, — noemt men a de waarde waartoe $ nadert —, dan zal van af
eenige waarde « « de goniometrische functie steeds toe- of afnemende blij-
ven, naderende tot hare waarde voor $ = als limiet; de laatste periode is
dus oneindig groot, en derhalve zal voor c = oo ook y = co zijn. Hiervan
levert de vergelijking

ZOO keeren niet. meer dezelfde waarden van p periodisch terug, maar nadert p
onbepaald tot O en wordt dus steeds kleiner.

Gelijk bij de asymptotische krommen de invloed van goniometrische functies
op den vorm der lijn, zich als periodiciteit openbaart, zoo openbaart zich —
blijkens het voorgaande — in periodische krommen de invloed van algebraïsche
functies als asymptotisms; en ofschoon in het eerste geval de periodiciteit, en
(vooral) in het laatste geval het asymptotisme in sterke mate op den voorgrond
kan treden, zoo bestaat er toch altijd dit essentieel verschil, dat eene asymp-
totische kromme nooit uit deelen bestaat, waarin de kromte dezelfde reeks van
waarden doorloopt, terwijl dit bij eene periodische altijd het geval is. Als
een eigenlijke overgang zou zoodanige periodische kromme aangezien kunnen
worden, waarbij de goniometrische functie van zekere waarde van c af tot een
konstante of tot nul nadert; want, hoewel dit deel der kromme in verband
met het overige gedeelte als een oneindig lange periode moet beschouwd wor-
den, zoo kan de omstandigheid, dat p, van eene bepaalde waarde van c af,
voortdurend toe- of afneemt zonder een spoor van periodiciteit te vertoonen,
aanleiding geven om de kromme asymptotisch te noemen.

Let men op de uitersten der twee vormen, zoo zal men een onvermengd
asymptotisme vinden bij krommen, wier vergelijkingen geen enkele goniome-
trische functie bevatten, terwijl in de zuiver periodische krommen het argu-
ment der goniometrische functies van den vorm ac h is.

In het algemeen kan men omtrent periodische krommen nog het volgende
opmerken, hetgeen zonder betoog gemakkelijk wordt ingezien.

Elke periode heeft minstens twee bijzondere punten, hetzij toppen, keer-
punten of buigpunten, waaronder wij ook rekenen de gevallen, dat deze pun-
ten in het oneindige liggen. Heeft dit laatste plaats, zoo heeft elke periode
één of meer rechten of punten tot asymptoten, al naar gelang w of s de coör-
dinaat is, ten opzichte waarvan de kromme periodisch is; en dan zal de kromme
ten opzichte van den anderen coördinaat asymptotisch zijn, omdat voor een
oneindig groote waarde van dezen p = (x of = O wordt. Hieruit blijkt dat
eene kromme lijn asymptotisch kan zijn ten opzichte van één coördinaat, en
periodisch ten opzichte van den anderen: het is dan een periodische kromme,
waarvan elke periode asymptotisch is.

Wij zullen in het bijzonder die periodische vormen nagaan, waarbij het ar-
gument der goniometrische functie van den vorm ac b is. Hierbij is het
wederom noodig te onderscheiden of w dan wel ä de coördinaat is, ten opzichte
waarvan de periodiciteit plaats heeft.

Er kunnen twee oorzaken ziju, waardoor de vergelijking in ä niet periodisch is:

In het eerste geval toch zal voor die waarde van w, waarvoor p = oo is,
ook 5 cc zijn, zoodat uit de vergelijking in ^ moet blijken, dat bij een
onbepaald aangroeien van 5, p tot oo nadert.

In het tweede geval zal, in het keerpunt, s eene grenswaarde hebben, die niet
overschreden kan worden, zonder dat p onbestaanbaar wordt; maar, daar p in
het keerpunt van teeken verandert, zoo zal er nog een keerpunt moeten aan-
wezig zijn, wil p eenmaal dezelfde waarde met hetzelfde teeken weerkrijgen.
Dit vereischt een tweede grenswaarde van s; de vergelijking in s zal dus — met
inachtneming van hetgeen in Hoofdstuk II (§ 4) gezegd is omtrent de wijze
waarop men zich het ontstaan van keerpunten kon voorstellen —- eene kromme
lijn opleveren met een keerpunt, die niets anders is, dan ééne periode van
de kromme, zoo als de vergelijking in w haar aangeeft. De grenswaarden van
« kunnen beiden of een van beiden lt;x zijn, d. w. z. dat s niet door oo heen
van teeken kan veranderen, zonder p imaginair te maken.

Heeft daarentegen de kromme geene toppen in het oneindige en evenmin
keerpunten, dan zal zoowel de vergelijking in s als die in w eene periodische
kromme opleveren; want dan moet de vergelijking in s de kromme lijn in
haar geheel geven, daar s onbepaald aangroeit, zonder dat p eenige waarde
asymptotisch nadert of imaginair wordt. Omgekeerd zal elke kromme, wier
vergelijkingen in s en in w beide periodisch zijn geene der genoemde punten
kunnen hebben; want was er een asymptotisch punt, zoodat voor s — a,
p = Q werd, dan zou w = oo moeten zijn en de kromme zou ten opzichte
van lü asymptotisch zijn; en was er een asymptotische rechte, zoodat voor
w — f, p = XI werd, zoo zou zij het ten opzichte van s wezen. Dat zij geene
keerpunten kan hebben, volgt onmiddellijk daaruit, dat s verondersteld wordt
onbepaald te kunnen aangroeien.

Denkt men zich de overeenkomstige punten van elk paar aan elkander
sluitende perioden door rechte lijnen vereenigd, zoo zullen — wegens de
identiteit der perioden — al deze lijnen even groot zijn, en overal gelijke
hoeken maken; deelt men deze hoeken midden door, zoo snijden de deellijnen
elkaar in één punt, dat het middelpunt is van den cirkel, die door al deze
overeenkomstige punten gaat.

Eene geslotene kromme is eene periodische kromme, waarbij van eenige pe-
riode af alle volgende perioden op de voorgaanden vallen. Voor het punt dat
op het beginpunt der eerste periode valt, zal natuurlijk w — n x 360o moe-
ten zijn, als n een geheel getal beteekent; dit zullen wij n omgangen noemen;
dus beteekent de uitdrukking.\' er zijn vijf perioden in drie om,gangen, dat de
zesde periode wederom op de eerste valt, en dat alsdan w = 3 x 860quot; is.

Uit het straks opgemerkte vloeit voort, dat de middelpuntshoek van den
veelhoek, die door de overeenkomstige punten gevormd wordt, gelijk is aan
den hoek der normalen in die punten; deze hoek geeft dus den duur der pe-
riode , y, in graden aan, zoo als die uit de vergelijking in w gevonden wordt,
wordt. Veronderstelt men nu dat er « perioden in ß omgangen zijn, dan zal
a X y = (3 X 360 moeten zijn, of:

en hieruit zal men a en ß vinden door de eenvoudigste geheele getallen te
zoeken, die tot elkaar in dezelfde reden staan als 360 tot y.

Wanneer 7 ten oiozichte van 360quot; onmeetbaar is, zoo zal de kromme zlcli
nooit sluiten; daar men echter aan x en ß successievelijk zoodanige waarden

kens, wanneer het aantal perioden gedeeld door het aantal omgangen, gelijk
is aan één dezer naderende breuken, de eerst volgende periode dichter bij de
allereerste periode geschoven zijn, terwijl de afwijking beurtelings aan de eene
en aan de andere zijde zal plaats hebben. Men kan daarom zoodanige krom-
men beschouwen als gesloten na een oneindig aantal omgangen.

Anders is het gelegen wanneer y — n, x 360 is, n een geheel getal zijnde;
dan kan de kromme gesloten zijn of niet. Is namelijk het verschil in richting
tusschen de normalen in de overeenkomstige punten van twee aan elkaar slui-
tende perioden een veelvoud van 360°, dan loopen ze parallel. De cirkel-
omtrek , waarop de overeenkomstige punten liggen, wordt eene rechte, wanneer
de overeenkomstige punten van twee aan elkaar sluitende periodèn niet in
elkaar vallen, en een punt, wanneer dit wel plaats heeft; in het eerste geval
liggen de perioden allen in ééne richting naast elkaar, zoodat de kromme zich
nooit sluiten kan; in het tweede geval liggen alle perioden op elkaar: de
kromme sluit zich met ééne periode in n omgangen. Wij zullen in de vol-
gende § in een voorbeeld doen zien, hoe dit onderscheiden kan worden in
de vergelijking.

Eene afzonderlijke beschouwing vereischt nog het geval dat y = x 180,
en n oneven is; alsdan heeft men twee perioden in n omgangen en de normalen
in overeenkomstige punten loopen wederom parallel. Evenwel kan dit niet anders
dan bij geslotene krommen plaats hebben, want trekt men de rechte lijn, die
twee overeenkomstige punten p en q^ (Fig. 26) vereenigt, zoo moet deze met
die, welke q^ met het overeenkomstige punt p\' der derde periode vereenigt,
180quot; maken; dus ligt dat punt op pq, maar in-tegengestelde richting als
waarin q ten opzichte van p gelegen is; omdat verder de perioden kongruent
zijn, pq — qp\', en valt het punt p\' weder in het punt p zelf: de derde
periode bedekt dus de eerste.

Uit h\'et voorgaande blijkt dat elke kromme, waarvan de duur eener periode
niet gelijk n x 360quot; is, gesloten moet zijn, terwijl voor y — « x 360« de
kromme gesloten Tcan zijn.

is, zoo is het duidelijk, dat men, door aan de konstante a verschillende
waarden te geven, den duur der periode verandert, en wel in dier voege, dat
men « perioden in aß omgangen verkrijgt in plaats van in ß omgangen. Daar
de konstante a op dezelfde wijze voorkomt als de vroeger gebruikte factor fi
(als factor van w), zoo is hiermede tevens het antwoord gegèven op de vraag,
van welken aard de invloed van dien factor is op de thans besprokene perio-
dische krommen.

Daar a altijd zoodanig kan gekozen worden, dat y niet gelijk n x 360quot; is,
zoo kan men van elke niet gesloten kromme, die periodisch is ten opzichte
van w, eene geslotene maken.

Hier valt alleen het geval te bespreken, dat de kromme niet periodisch is
ten opzichte van w. Dit kan weder veroorzaakt worden, door dat de kromme
toppen heeft in het oneindige — dus hier asymptotische punten met een
eindige waarde van « —, of wel buigpunten; hetgeen op dezelfde wijze wordt
aangetoond, als pag. 62 met betrekking tot asymptotische rechten en keerpunten.

Trekt men in zoodanige kromme de normalen in de overeenkomstige pun-
ten, zoo zullen deze bf allen in elkaar vallen, — als wanneer de kromme
lijn gesloten is — bf parallel loopen, zoodat de perioden allen in ééne rich-
ting naast elkaar liggen. Immers de vergelijking in w is niet periodisch: zij
geeft slechts den vorm aan van ééne periode j sluit men dus deze krommen
aan elkaar aan, dan zullen de gelijke waarden van p door dezelfde waarden
van w worden geleverd, zoodat het verschil in richting der normalen in
overeenkomstige punten altijd nul is. Voert men in de vergelijking in s den
factor ^ in, zoo heeft dit hetzelfde resultaat, als wanneer men dit doet in de
vergelijking in w; maar daardoor zal alleen de duur der periode (d. i. hier
de lengte van den boog) veranderd worden en daarmede de vorm der perio-
den, niet hare betrekkelijke ligging; zoodat men deze periodische krommen
niet zoodanige metamorphose kan doen ondergaan als die, welke ten opzichte
van w periodisch zijn.

In § 2 veronderstelden wij dat in de verg. p=if{c), c van eene bepaalde
waarde af tot oo of — oo kan aangroeien, zonder dat p onbestaanbaar
wordt. Is dit eobter niet het geval, d. i. heeft c zoowel bij eene positieve als
bij eene negatieve toename grenswaarden, die niet kunnen overschreden wor-
den, zonder p imaginair te maken, dan heeft de kromme aldaar een keerpunt,
een buigpunt of een snavel, al naar gelang in dat punt:

1°. s een grenswaarde heeft, terwijl w blijft toenemen,
w een grenswaarde heeft, terwijl s blijft toenemen,

De beide eerste gevallen zijn in het tot nu toe behandelde vervat, voor zoo
ver w of 5 niet slechts door het keerpunt of buigpunt heen, maar ook verder
tot in het oneindige kan aangroeien; het is dus alleen noodig nog een enkel
woord te zeggen over krommen, waarbij beide coördinaten 5 en w grenswaar-
den hebben, zoo bij eene positieve als bij eene negatieve toeneming.

In het punt, waar s die waarde heeft, is een keerpunt; waar w zijn maximum
bereikt, een buigpunt; terwijl, wanneer die twee waarden van s en w het-
zelfde punt der kromme aangeven, de combinatie van keerpunt en buigpunt
aldaar een snavel doet ontstaan.

a) Tusschen de grenswaarden « en ß van e kan p een oneindig aantal
verschillende reeksen van waarden hebben; dan levert de vergelijking even zoo
vele verschillende krommen op, die echter allen aan elkaar sluiten in keer-
punten, buigpunten of snavels. Men zal dan kunnen trachten een limiet te
vinden, waartoe die reeks van waarden nadert, en deze als den asymptoot der
kromme beschouwen, zoodat deze alsdan tot de asymptotische gerekend kan
worden.

è) Er is een beperkt aantal reeksen van waarden voor p. Alsdan behoort
de kromme lijn tot de periodische; want even als bij periodische lijnen met
enkel keerpunten de vergelijking in s, — of met enkel buigpunten, die in
w, — slechts ééne periode aangeeft, die, tot in het oneindige herhaald, de
kromme in haar geheel oplevert, zoo zal men ook hier, analoog daarmede.

die reeksen van waarden van p onophoudelijk in dezelfde orde naast elkaar
kunnen plaatsen, en daardoor eene periodische kromme verkrijgen.

Het is duidelijk dat bij deze krommen, even als bij de periodische krom-
men met buigpunten, de duur der periode ten opzichte van w gelijk O is,
zoodat de factor /a alleen op den vorm van elke periode kan influenceeren.

Omtrent den aard der vergelijkingen van deze krommen valt nog op te
merken, dat de omgekeerde goniometrische functies èg sin, c en bg cos c hierbij
een groote rol zullen spelen, daar, tusschen de grenswaarden — 1 en 1
van c, de functie een oneindig aantal reeksen van waardeu verkrijgen kan.

Naar aanleiding van het in de vorige §§ ontwikkelde zullen wij thans de
verschillende vormen in geregelde volgorde rangschikken en hier en daar door
voorbeelden toelichten. Daarbij zullen wij afzonderlijk behandelen:

De kromtestraal p moet steeds positief of negatief zijn. Elk maximum of
minimum correspondeert met een top.

a) Hare hromte vermeerdert of vermindert van een bepaald punt uit voort-
durend, zoodat de asymptoot altijd een cirkel is, wiens straal oneindig, eindig
of nul kan zijn. De eenvoudigste vormen zullen die zijn, waarbij geen spoor
van periodiciteit bestaat, zoodat beide vergelijkingen

p = y (w) en p r= (s)
vrij zijn van goniometrische functies. Tot deze krommen behooren de eigen-
lijke spiralen, waaronder wel de eenvoudigste voorgesteld worden door expo-
nentiëele functies, omdat deze krommen kunnen opleveren, die zelfs geen

enkelen top hebben, hetgeen bij algebraïsche functies nooit het geval kan zijn.

Als voorbeeld noemen wij in de eerste plaats de gewone logarithmische spi-
raal (de „ logarithmica spiralis longitudinarisquot; van Krause. Pag. 28) waarvan
de vergelijking is:

Deze kan als de eenvoudigste asymptotische kromme beschouwd worden, daar
in elk punt de kromte gelijk is aan de verandering van kromte. Immers men heeft

waaruit blijkt, dat de vorm der kromme verandert voor verschillende waarden
van pi. De vergelijking in 5 is

Nam men deze tot grondslag, dan zou men de kromme een buigpunt in het
oneindige kunnen toekennen; terwijl namelijk s door nul heen van teeken ver-
andert — dus toenemende blijft — verandert ook p van teeken; in dat punt
is echter w = — oc. De beide takken worden dan voorgesteld door de vergelijking

stelt eene kromme voor, die aan de eene zijde tot een rechte nadert, — voor
.9 = 00 is p=oo enw=::0 — aan de andere zijde tot een punt — voor
s ~ — ooisp— Oenw=: — oo.

als n een even getal of een breuk met even teller is. Integreert men (I),
zoo komt:

Het punt, waarin p = O is, is een top; voor w — oo en ^ oo is ook
p = 00, dus is de asymptoot een cirkel met oneindig grooten straal. Door
n diiferentiatien verkrijgt men, als ti een geheel getal is:

Is a lt; 1, zoo is voor ^=00,20=00 en p = 00, voor lt;s = O, w = O
en p = 0. De kromme heeft een top en twee takken, die beiden een cirkel
met oneindigen straal tot asymptoot hebben. Is gt; 1, zoo is voor 5 = 00,
p = 00 maar = O, en voor w — 4-oo,p = 0 ens — 0; de eene
asymptoot wordt dan een rechte en de andere een punt. Zoowel w als s ver-
anderen door O heen van teeken, d. i. blijven toe- of afnemen; hetgeen nog
duidelijker wordt wanneer men den oorsprong verlegt en de hoofdrichting ver-
andert door 10 =z f — w\' en 5 ~ (T — te stellen. Alsdan heeft de kromme
voor w\' = y en voor / = «r toppen, die in het oneindige liggen, want p = x
is een maximum, p = O een minimum.

Voorbeelden van krommen, die sporen van periodiciteit vertoonen, zonder
dat dit blijkt uit een telkens terugkeeren van toppen leveren 0. a. de ver-
gelijkingen :

Bij de asymptotische krommen met keerpunten geven wij een voorbeeld en
teekening van eene kromme lijn, die tot in het oneindige keerpunten heeft,
en daarenboven eene periodische kromme tot asymptoot heeft: wij zullen das
hier niet verder over zoodanige vormen uitweiden.

2)nbsp;De Icromme is periodisch ten opzichte van één coördinaat, niet periodisch
ten opzichte van den anderen.

Daar de kromme verondersteld wordt geene keerpunten te hebben, zoo kan
dit geval slechts dan voorkomen, wanneer zij toppen in het oneindige heeft, zoo-
dat de vergelijking in den anderen coördinaat slechts ééne periode geeft als eene
asymptotische kromme. Wij bepalen ons tot het geven van twee voorbeelden:

De eerste kromme heeft tot verg: in «: p = 1 -f- ; p is gelijk 1, telkens
1 — 1 . ,

ais to — —^— !T IS, als wanneer 5 =:: O is; p = oo voor w — nvc en 5 = oo.
De verg: (2) geeft

p = 0. De eerste kromme heeft in elke periode een rechte tot asymptoot,
de tweede een punt.

a) Be duur der periode (y) is veranderlyk. Het is duidelijk dat y veran-
derlijk moet zijn zoowel ten opzichte van s als van w, want, daar de vorm
der kromme door ééne der vergelijkingen

p = y {w), p = (ä)
volkomen bepaald is, zoo moet het al of niet identisch zijn der perioden nit
beide vergelijkingen blijken. Bij de krommen met keerpunten zullen wij van
deze soort van periodiciteit een voorbeeld geven.

ö) y is Tconstani. Het argument der goniometrische functie is van den
vorm: ac -\\-h. Wij geven hiervan een uitvoerig voorbeeld, vooral ook met
het oog op den invloed van den factor n op den vorm van deze soort van
kromme lijnen.
De vergelijking

bevat, gelijk straks blijken zal, de involuten der epicycloïde, cycloïde en hy-
pocycloïde, wanneer men deze krommen begint te ontwikkelen in het punt
waar de kromtestraal nul is;\' dit laatste blijkt wanneer men de verg: (1) dif-
ferentiëert; men verkrijgt:

Daar namelijk de goniometrische functie in het kwadraat voorkomt, keeren
dezelfde waarden voor p reeds terug, wanneer het argument met s- vermeer-
derd wordt.

zoodat er twee perioden in één omgang zijn, en derhalve de kromme gesloten
is. Haar evoluut:

Eig. 37 stelt de kromme voor; de dunnere lijn is de eerste evoluut, de
gestreepte lijn de tweede evoluut, terwijl de cirkels, door wier beweging men
zich het ontstaan der eerste evoluut kan denken, door gestippelde lijnen zijn
aangegeven.

dus ééne periode in één omgang; het is de vraag of deze kromme gesloten
zal zijn of niet. Dit kan reeds daardoor beslist worden, dat er slechts één
maximum en één minimum van p is in elke periode. Daar toch elk maximum
of minimum met een keerpunt van de evoluut correspondeert, en het ondenk-
baar is, dat eene geslotene kromme, zonder buigpunten en snavels, twee keer-
punten heeft in één omgang, zoo is het duidelijk dat geene kromme met ééne
periode in één omgang gesloten kan zijn, wanneer zij in elke periode slechts
twee toppen heeft. Wij zullen echter de vraag algemeener stellen en zoeken
of de kromme zich al dan niet sluiten kan met ééne periode in n omgangen,
dus voor y=nbsp;Alsdan wordt de vergelijking (1):

Denkt men zich bij eene geslotene kromme de raaklijn en de normaal in
het beginpunt der periode, zoo is het duidelijk dat de algebraïsche som der
projectiën van alle boogelementen op elk dier rechten gelijk nul zal zijn. De
projectie van ds op de raaklijn is ds cos w en die op de normaal ds sin w, of
omdat ds = p dw is:

P cos w dw en p sin w dw.
Is het nu de vraag of eene kromme zich na « omgangen, dus voor

zijn. In ons voorbeeld behoeft alleen het eerste onderzocht te worden, want
daar p op dezelfde wijze verandert tusschen w — (i en w=- nv, als tusschen
w z=.n7t en w = maar in omgekeerden zin, zoo is de kromme symmetrisch
ten opzichte van de normaal in het toppunt; de som der projectiën op deze
. normaal is dus reeds van zelf gelijk nul; en, daar de richtingen O en mt
180° verschillen, zoo loopt die rechte parallel met de normaal in het begin-
punt; dus is ook de som der projectiën op die rechte, dat is

dat is

cos w dw

Deze waarde geeft natuurlijk den afstand aan tusschen twee overeenkomstige
punten in naast elkaar liggende perioden. Het negatieve teeken geeft te kennen
dat de richting, waarin die punten ten opzichte van elkaar gelegen zijn, tegen-
gesteld is aan die welke de raaklijn heeft in het beginpunt.

Fig. 28 stelt deze kromme voor; zij is in voluut van de cycloïde. Fig. 29
stelt het geval voor dat ^^ — 2 is; de evoluut wordt hier epicycloïde.

Men kan zich de vraag stellen welke waarde (a moet hebben, om de kromme
aan zeker vereischte te laten voldoen, bijv. dat de toppen van alle perioden
door één punt gaan. Ten einde dit te onderzoeken, bedenke men, dat het
alleen dan plaats kan hebben, wanneer het toppunt gelegen is in de normaal
van het beginpunt; immers, ter weerszijden van die normaal zijn de perioden

volkomen symmetrisch gelegen; valt dus het toppunt van de eene periode er
buiten aan de ééne zijde, dan is het toppunt van de andere periode aan de
andere zijde gelegen, zoodat het ondenkbaar is dat de toppen samenvallen
wanneer zij niet op de normaal in het beginpunt liggen.

Hieruit vloeit voort dat de projectie op de raaklijn, van het deel der kromme,
dat tusschen het beginpunt en het toppunt ligt, gelijk nul moet zijn, of,
daar in dit laatste punt w — \\ y ~ — is:

waarbij de kromme lijn ééne periode heeft in een geheel aantal omgangen. Maar
ook zal de vergelijking nul zijn voor

p =: sinquot;^ ^ y 2 . w.
De verhouding tusschen het aantal perioden en het correspondeerende aantal
omgangen is hier onmeetbaar; dus zal deze kromme, die door Tig. 30 wordt
voorgesteld, zich eerst na een oneindig aantal omgangen kunnen sluiten.
Men vindt gemakkelijk

d. i. de afstand tusschen het beginpunt en den top langs de normaal, of de
straal van den cirkel, binnen vrelken de bewegelijke cirkel rollen moet, om
de hypocycloïde voort te brengen, die de evoluut is van onze kromme lijn.

Past men deze metamorphose van den vorm toe op de ellips, waarvan de
vergelijking is:

(p^sin^w ■ • q^cos^w) quot;
door fiw voor w te schrijven, dan verkrijgt men krommen als die, welke door
Pig. 31 en 83 worden voorgesteld. In Pig. 31 is j« = |, de duur der pe-
riode is dus I iT = 388°, zoodat er 5 perioden in 4 omgangen zijn. In Eig.
33 is /ü — l, hetgeen overeenkomt met eene periode in een omgang.

1) Be kromme is asymptotisch ten opzichte mn heide coördinaten,
a) Be kromme vermeerdert of vermindert van een iepaald punt uit voortdu-
rend hare kromte. De eenvoudigste vormen zijn die, waar de kromme twee
takken heeft, die zich in een keerpunt of buigpunt vereenigen. Peters geeft
van dit laatste een voorbeeld in de verg: w ~ as^ (Pag. 184. Pig. 31 van
Peters). De vergelijkingen, waardoor p in functie van s m w wordt uit-
gedrukt, zijn:

Andere voorbeelden zijn de involuten van den cirkel, wanneer men niet
telkens de ontwinding begint in het punt waar de kromtestraal O is.

è) Be kromme heeft een oneindig aantal hyzondere punten, — hetzij top-
pen, keerpunten of buigpunten.
De kromme door de verg:

voorgesteld, heeft bijv. een oneindig aantal keerpunten (Fig. 33). Voor w = O
is f = os, terwijl uit:

blijkt, dat alsdan ook s — ~ oc is; voor w lt;0 wordt p negatief, dus heeft
de kromme lijn een keerpunt in het oneindige. Wanneer nu w grooter wordt
zullen er telkens tusschen w = ^n^r en w = l)^- twee waarden
van w liggen, waardoor p = Q wordt. Deze twee waarden zullen een verschil
opleveren, dat steeds kleiner is dan sr, maar, bij het onbepaald aangroeien
van w, meer en meer tot jr nadert. Daarbij nadert de kromme tot den vorm,
die door de vergelijking

wordt voorgesteld, dat is de vergelijking der cycloïde: deze is dus haar
asymptoot.

2) Be hromme is periodisch. Dit kan slechts het geval zijn ten opzichte van
één der coördinaten; want, daar de kromme keerpunten of buigpunten heeft,
zoo moet de andere coördinaat grenswaarden hebben. Is zulk een grenswaarde
00 — d. i. kan de coördinaat niet door oo heen van teeken veranderen —
dan ligt het keerpunt of buigpunt in het oneindige.
d) Periodiciteit ten opzichte van w.

«) y is een functie van w. Fig. 3é stelt zoodanige kromme lijn voor.
De vergelijking waarnaar deze lijn geconstrueerd is, is:

— — y)^ = 2!T,

Het is licht in te zien, dat deze uitdrukking aan het doel zal beantwoor-
den, wanneer men voor positieve waarden van w het onderste teeken gebruikt,
voor negatieve het bovenste; in dit laatste geval wordt ook y negatief, daar
altijd

Voor lt; 2t wordt y imamp;ginair, waaruit blijkt dat er geene geheele po-
sitieve of negatieve perioden meer bestaan voor waarden van «f die kleiner
zijn dan y 27r, zoodat de eerste periode gelijk J/quot;^is. Hoe grooter wordt,
des te kleiner wordt y, want des te minder wordt het verschil tusschen tv en

V wquot;^ — I-K. Yoor w — Cf^ wordt y — O, hetgeen ook blijkt, als men de
formule voor y onder dezen vorm brengt:

In de figuur is abc de eerste periode, voor w positief, cd het eerste gedeelte
der tweede periode. Negatieve waarden van w leveren blijkbaar een gedeelte
der kromme lijn op, dat identisch is met het gedeelte, waarin w positief is.
Daar p niet van teeken verandert, als w nul passeert, zoo is p z= O aldaar
een minimum, en dus het overeenkomstige punt der kromme lijn een top.

(3) y is konstant. Tot de eenvoudigste krommen van deze soort behoort
de cycloïde, waarvan de vergelijking is

Stelt men (iw voor w, dan ontstaan de epi- en hypocycloïde, naar gelang
kleiner of grooter dan 1 is. Wij zullen hiervan het bewijs leveren, door de
vergelijking

Zij (Fig. 35) P een punt der kromme, PE de richting der raaklijn, PN de
richting der normaal in dat puat, OX de hoofdrichting, zoodat ZEQX^w is.

Neemt men nu OX als richting der x-as en OY, loodrecht daarop, als
richting der y-as aaU; zoo is

1 ^ ƒ

Stelt men den oorsprong zoodanig, dat de konstanten nul zijn, dan moet
voor w — Q

hetgeen de bekende vergelijkingen zijn der epicycloïde. Dat de ingevoerde
konstanten a en alsmede de veranderlijke 6 werkelijk die beteekenis hebben,
welke zij in deze vergelijkingen behooren te hebben, is gemakkelijk te verifi-
eeren. Vooreerst zal y~~Tgt;nbsp;waarde van voor w—O, gelijk a

moeten zijn: door eliminatie van h uit (1) en (2) verkrijgt men dan ook:
,nbsp;Is verder in figuur 36 wederom PR de raaklijn, PN de nor-

maal in het punt P der kromme, dan is L COX = ö. Noemt men L OEP : y
zoo is, gelijk bekend is:

Eenvoudiger is het om uit te gaan van de uitdrukking die Lamarle i) geeft
voor den kromtestraal der epicycloïde:

waarin m z= ^ is en r de afstand van het raakpunt des cirkels tot het punt
der kromme, — in figuur 36: PN. Men heeft nu terstond:

voor 1^ = 1, a= cc, dat is de vaste cirkel wordt een rechte. Yoor lt; 1
heeft men de epicycloïde; voor f, gt; I de hypocycloïde. In dit laatste geval
worden namelijk a en fi negatief, en de vergelijkingen in rechtlijnige coördi-
naten gaan over in:

De eerste evoluten der krommen in de Fig. 27, 28, 29 en 30 stellen de
gevallen voor, dat = 2, 1, i en j/T is.

Door de hoofdrichting om een hoek van - 90° te verdraaien, zoodat
= - 90» ~ w\' wordt, gaat deze vergelijking over in:

waaruit blijkt, dat de evoluten van al deze krommen gelijkvormig zijn aan de
krommen zelve; hetzelfde geldt natuurlijk van alle volgende evoluten.
Beschouwt men de kromme

dan zal men andere vormen kunnen verkrijgen door de ontwinding in andere
punten te beginnen, d. i. door p — a in plaats van p te stellen, en a te
laten varieeren. Onder die vormen zullen dan de krommen moeten voorkomen,
die pag. 71 e. v. behandeld zijn. De verg. wordt door die substitutie

Is a positiet, maar lt; 1, zoo zal p in de beide toppen van elke periode
niet meer — 1 en 1 zijn, maar — 1 -f- « en 1 Het eerste maximum
wordt dan kleiner en het tweede grooter. Hiermede gaat gepaard eene ver-
schuiving van de twee keerpunten naar elkaar toe; want deze ontstaan nu in
punten, waarvoor sin uw = — a is, dat is voor (aw n^ea en (f-w—
1) TT — Ä, als sin a — a is, en a. ^ 90°; terwijl, voor a = O, in deze
punten uw = nu en (iw =. {n 1) ir was; het verschil tusschen de waarden
van w was dus t en wordt nu t — 2«. Hoe grooter nu a wordt, des te
grooter wordt ook a. en des te kleiner t — 2«. Wordt a — \\, dan is x=.\\7r\'
de keerpunten verdwijnen en worden vervangen door een top waar p de mini-
mum waarde van nul bereikt. De vergelijking wordt dan

Verdraait men wederom de hoofdrichting, door (iw = [iW — 90° te stellen,
zoo komt:

hetgeen de vergelijking is van pag. 71, behalve dat | jk in plaats van fj. staat,
hetgeen zijn oorsprong daarin heeft; dat hier de duur der periode = —
gesteld werd, en ginds = —.

Wordt ö! gt; 1, zoo blijven de toppen als zoodanig bestaan, maar de waarden
van p worden aldaar steeds grooter.

Is «lt;1, maar negatief, zoo ontstaan dezelfde vormen, hetgeen terstond
blijkt, wanneer men a — — è stelt, en fiW ~ ^tt — jttw\'; daardoor gaat zij
over in deze:

plaats naar elkaar toe, zoodat het gedeelte der kromme waarin p positief is
kleiner wordt, en verdwijnt voor è = 1 oï a ~ — 1.

De parabel is een voorbeeld van een kromme met keerpunten in het onein-
dige. Haar vergelijking is:

h) Periodiciteit-ten opzichte van s. Hierbij kan weer onderscheiden worden:
«) y is een functie vaa s.
ß) y is konstant.

Wij bepalen ons tot een paar opmerkingen omtrent het laatste geval.
Het argument der goniometrische functie is van den vorm as -f- è. Het
invoeren van den factor ft zal alleen ten gevolge hebben eene verandering van
den vorm der perioden, niet een verschil in hare betrekkelijke ligging onder-
ling, daar in alle perioden dezelfde waarde van p wordt opgeleverd door ab-
soluut gelijke waarden van w, derhalve vallen bf alle perioden op elkaar, bf
ze liggen in ééne richting naast elkander, hetgeen daardoor kan worden on-
derscheiden of

4-180O en — 180o.
Tot deze vormen kan de liyperbel gebracht worden, als een periodische
kromme met buigpunten in het oneindige. De verg,:

J/ {p\'icos\'^w — q\'^sin\'^\'wy
geeft slechts eene periode aan: w toch kan de waarden

niet overschrijden, zonder dat p onbestaanbaar wordt; voor die grenswaarden
is p 00, en daartusschen behoudt p zijn teeken. In de vergelijking zijn
evenwel twee krommen opgesloten, die identisch zijn; de teekens van p ver-
schillen, dus geschiedt de vereeniging dier takken door een buigpunt, dat
echter in het oneindige ligt.

a) Die waarhy één der coördinaten of heiden tot in het oneindige Tcan aan-
groeien. De eenvoudigste vormen zijn die, waar twee oneindige takken door
een snavel verbonden zijn, of ook die, welke een keerpunt en een buigpunt
hebben, ter weerszijden waarvan zich een oneindige tak bevindt.

W) De zoodanigen waarhij w en s heiden grenswaarden hehhen, waartusschen ^ een
oneindig aantal verschillende reeksen van waarden kan hébhen. De limiet waartoe
die reeksen naderen is de asymptoot. Een voorbeeld hiervan is de involuut
van de kromme die in Eig. 37 is afgebeeld: de lijn abed. Door integratie van

Laat men de konstante weg, zoo begint men de kromme te ontwinden in
één der toppen a, alwaar w O is. De verschillende reeksen van waarden,
die p kan verkrijgen tusschen w z= — - en w =nbsp;bevatten hoe langer hoe

grootere waarden, zoodat p gezegd kan worden onbepaald te groeien: de rechte
lijn is hier dus de vorm waartoe de kromme asymptotisch nadert.

2) Periodische krommen. Deze ontstaan wanneer beide coördinaten grens-
waarden hebben, maar slechts een beperkt aantal reeksen van waarden voor p
opleveren. Peters geeft er een voorbeeld van (Pag. 194). De vergelijking
waarvan hij uitgaat is s = )/w—

Uit (2) en (3) blijkt dat p onbestaanbaar wordt voor w gt; 1 en lt;; O, en
voor ^ gt; i en — x. Voor de grenswaarden van w is p = oo, voor die van
éf is p r=: 0; het zijn dus verschillende plaatsen der kromme. Vergelijking (1) geeft
eene periodische kromme, waarvan elke periode door buigpunten begrensd is,
terwijl voor w = x een keerpunt ontstaat, omdat p alsdan van teeken verandert
door O heen, terwijl w aangroeit. Verg. (3) geeft dezelfde kromme; maar nu
zijn de grenzen der perioden de keerpunten, terwijl s m O een buigpunt geeft,
omdat p aldaar door oo heen van teeken verandert, terwijl s aangroeit. Schrijft
men in (2) (tw voor w, zoo verkrijgt men andere krommen die allen periodisch
zullen zijn en allen de perioden in ééne richting naast elkaar zullen hebben.
Peters geeft drie voorbeelden, waar ^ =: - , — en i is.

OVER DE VOORDEELEN WELKE DE THEORIE VAN DE ESSENTIEELE VERGELIJKINGEN
DER KROMME LIJNEN KAN AANBRENGEN.

In het Eerste Hoofdstuk is er op gewezen, dat elk coördinaten-stelsel zijn
eigenaardige voordeelen heeft. Elke vergelijking toch eener kromme lijn, in
welk systeem ook, is de uitdrukking van eene eigenschap dier lijn, die in elk
ander systeem minder eenvoudig wordt uitgedrukt, terwijl het altijd hoogst-
waarschijnlijk is, dat ook andere eigenschappen eenvoudiger uitgedrukt, en
dus gemakkelijker gevonden zullen worden. Men zie bijv. slechts wat een
stelsel van coördinaten als dat, wat in Der larycentriscJie Calcul ten groude
ligt, in de handen van een Möbius voor sommige krommen kan opleveren;
welke toepassingen Swellengrebel van zijne negen coördinaten-stelsels doet zien,
en hoe Druckenmüller, in Bie JJebertragungsprincipièn, zich de coördinaten-
systemen van het punt, de rechte lijn en den cirkel ten nutte maakt voor de
theorie der poollijnen en poolfiguren.

Buitendien zal aan elk coördinaten-stelsel een zekere mate van geschiktheid
verbonden zijn, om de vergelijking eener kromme lijn op te maken, wanneer
de conditie, waaraan elk harer punten moet voldoen, onder zekeren vorm ge-
geven is.

Wij zullen thans kortelijk nagaan, van welken aard de voordeelen zijn, die
de essentiëele vergelijkingen kunnen aanbieden.

De eigenschap, die door de essentiëele vergelijking eener kromme lijn wordt
uitgedrukt, heeft betrekking op hare kromming, ~ haren vorm, afgescheiden
van hare verhouding tot andere lijnen of punten, \'t Is daarom dat zoodanige
vergelijkingen de voorkeur verdienen boven anderen, wanneer men alleen den

vorm op het oog heeft, en dat alleen zy den grondslag kunnen uitmaken van
een systeem van mathematische vormen. „Das wissenschaftliche Verfahren
würde sein, die allgemeinen Formen der Functionen auf zu suchen, welche
die verschiedenen geforderten Haupteigenschaften besitzen, und nachdem so auf
umgekehrte Weise die Functionen gewonnen, diese an die Spitze zu stellen.quot;
(Peters, pag. 92).

Het natuurlijk gevolg daarvan is, dat de essentiëele vergelijking eener kromme
lijn het gemakkelijkst uit eenige conditie is op te maken, wanneer deze alleen
op den vorm der lijn betrekking heeft, niet op de betrekkelijke ligging ten
opzichte van andere punten of lijnen buiten haar. Dit zal bijv. het geval zijn,
wanneer gevraagd wordt naar den weg, dien een punt zal doorloopen, dat
zich volgens eene bepaalde wet beweegt. Hierbij zal de beschouwingswijze van
Lamarle in de meeste gevallen van groot gemak zijn. Beschouwt men name-
lijk het bewegende punt als gelegen op eene rechte, die in hare eigene rich-
ting voortschuift, en tevens om dat punt draait, dan zal het veelal niet moei-
lijk vallen, de verhouding tusschen de snelheden, waarmede die twee be-
wegingen plaats hebben, uit te drukken in eene functie van een der coördi-
naten s, w, of ook de betrekking te vinden tusschen p en d. i. tusschen
de snelheid van het bewegende punt en die van het krommingsmiddelpunt,
beiden in verhouding tot de draaiingssnelheid, die dezelfde is voor de raaklijn
als voor de normaal.

In het Eerste Hoofdstuk (§ 5) is aangewezen, hoe men daarbij te werk
moet gaan; terwijl tevens werd opgemerkt, dat de vergelijkingen, die door
Lamarle worden gegeven, meestal zonder veel moeite in essentiëele vergelij-
kingen kunnen veranderd worden. Dit is reeds in het vorige Hoofdstuk (^ 6)
gebleken betrekkelijk de vergelijking der epicycloïde. In de volgende § zul-
len wij hetzelfde doen met de vergelijkingen der kegelsneden, en daarbij door
een paar voorbeelden doen zien, op welke wijze men de essentiëele vergelijking^
eener kromme lijn onmiddellijk uit eene gegevene conditie kan vinden.

De eigenschappen, die men uit de essentiëele vergelijking eener kromme
lijn kan leeren kennen, zullen voornamelijk betrekking hebben op de kromte-
stralen. Daar men echter door achtereenvolgende differentiatiën van eene ver-
gelijking

de Tergelijkingen verkrijgt van de evoluten der kromme, en door achtereen-
volgende integraties de vergelijkingen der involuten, zoo is het duidelijk, dat
men ook van deze krommen gemakkelijk verschillende eigenschappen zal vin-
den, betreffende hare kromtestralen.

Ten einde hiervan een voorbeeld te geven, zullen wij nog eene afzonderlijke
§ wijden aan de involuten van den cirTcel, vooral ook met het oog op het ver-
band, dat er bestaat tusschen de eigenschappen dezer krommen en de eigen-
schappen der hoogere-machts-vergelijkingen.

VOORBEELDEN WAARIN DE ESSENTIEELE VERGELIJKING DER KROMME ONMIDDELLIJK
UIT EENE GEGEVENE CONDITIE WORDT OPGEMAAKT.

De vergelijking der ellips, zoo als Lamarle die vindt uit de conditie, dat
de som der voerstralen konstant is, is deze:

als r en r\' de voerstralen zijn, en y hun halve hoek is. Men kan deze ver-
gelijking op de volgende wijze overbrengen in den vorm, waarin zij door
Krause [Praefatio, Pag. X) wordt opgegeven.
Noemt men (Fig. 39):
a de groote as,

l den parameter, d. i. den dubbelen voerstraal, die loodrecht op/\' staat.
w den hoek, dien de normaal maakt met de groote as, dan heeft men, in
aanmerking nemende dat ff\' = V a {a — 5) is, de vergelijkingen:

t\' : sin {w f) — ^ a {a — b) sin
r : sin {w — f) =zy a {a — b) : sin 2y
•Elimineert men tusschen deze drie en (1): r, r\' en y, zoo komt:

hetgeen dezelfde vergelijking is, die Krause opgeeft, en die ook uit de verge-
lijking in rechtlijnige coördinaten wordt gevonden.

Op dezelfde wijze kan men handelen ten opzichte van de hyperbei en parabel.
Men kan de vergelijking der ellips ook opmaken uit de eigenschap, dat zij

uit den cirkel ontstaat, als men daarin alle koorden, die aan eene zelfde
middellijn evenwijdig loopen in dezelfde reden verkort of verlengt; welk
vraagstuk ook aldus gesteld kan worden:

Hene loïllelceunge hoorde des cirlcels beweegt zich langs de middellijn.^ waarop
zy loodrecht staat; op deze hoorde beweegt zich iegelijh een punt, zoodanig dat
de halve hoorde steeds in dezelfde verhotiding verdeeld is.

Constructie van het hrommings-middelpunt. In figuur 40 is pM een
koorde, die gedacht wordt zich te bewegen in de richting O.... C, m
het beschrijvende punt; At loodrecht .op Mp, Mt raaklijn aan den cirkel;
zij verder de konstante verhouding — z=. h. Neemt men nu pt voor
de snelheid van de bewegende koorde, dan stelt deze lijn tevens de com-
posante langs At voor van de snelheden der beide punten M qu m; de com-
posante der snelheid langs de koorde is dan voor M: Mp. Maar daar de
verhouding van de afstanden der punten M m. m tot At konstant is, zoo zul-
len ook hunne snelheden langs de koorde evenredig zijn, zoodat dan mp de
snelheid van m voorstelt. Hieruit vloeit voort, dat de resulteerende snelheid
van. m in richting en grootte voorgesteld wordt door mt, en dat dus het
krommings-middelpunt op de loodlijn mo moet liggen. Het punt t ligt der-
halve op de drie rechten Mt, mt en Ot, en zal met een zekere snelheid tE
langs tA schuiven. Ten einde het punt 8 te vinden, zoekt men een derde
evenredige tot MO en Mt, en zet die af op een loodrechte in t op Mt op-

zijn. Immers: de lijn Mt heeft een hoeksnelheid gelijk —; dus zal het punt
t met die zelfde snelheid om M draaien; daarom zal de snelheid, waarmede
t zich in een richting loodrecht op Jlft beweegt, tot Ifi! in dezelfde verhouding
moeten staan als Mt tot MO. Hieraan voldoet de lijn, die door het verlengde
van Mp op de loodrechte tQ, wordt afgesneden, want construeert men het
parallelogram QMNt, zoo is blijkbaar:

OM: Mt~ Mt : MN
oi OM: Mt — Mt : qt.
De snelheid van t in de richting tM zal dan voorgesteld worden door QS,
en dus de resultante door tS.

Dezelfde constructie, maar in omgekeerden zin, ten opzichte van het punt
m uitgevoerd, zal het punt o. doen vinden. Trekt men namelijk tq loodrecht

op mt, zoo zal de loodlijn 8q de snelheid aangeven van t in de richting tm,
en qt de snelheid van dat punt in eene richting loodrecht daarop. De draai-
ingssnelheM Nan t om m, ~ en dus ook van de lijn mt om o, — zal gelijk
zijn aan een derde evenredige tot qt en mt zal dan de lengte zijn van den
kromtestraal. Men vindt terstond het punt o door mq te trekken, en de
loodlijn, daarop uit t neêrgelaten, te verlengen tot zij mo snijdtj want teekent
men weer het parallelogram mLto, zoo zal:

De hoeken, die de raaklijnen Mt en mt maken met de konstante richting
pM: W GU w.

tff w

y k^

■ tg\'^w

— y sin\'^w -h Ic^ cos\'^w.

Verder is:

en p

sin w

y k^ tg^w
k sin, w dw

{k\'^ cos\'^w sin\'^wf
kr

Wellen vorm moet men aan eene sponning geven, waarin het eene uiteinde eener
staaf van iepaalde lengte a loopt, opdat het andere uiteinde eene rechte lijn be-
schrijve, terwijl de richting der staaf steeds raaklijn blijft aan den vorm der sponning ?

Als (Fig. 42) mp = a de staaf is, die met het uiteinde p langs de rechte
AB glijdt, terwijl m de gezochte kromme lijn beschrijft, dan zal, daar p zich
in de richting ^^ beweegt, en m in de richting mp, het snijpunt o der lood-
lijnen po en mo, resp. in de punten jö en m op de rechten pq en mp opge-
richt, het punt zijn, waarom men zich kan denken, dat het vlak op dat
oogenblik draait, d. i. het krommings-middelpunt. Stelt nu mp de snelheid

men or op en verlengt men mo, tot deze de rechte ds ( | fr) in s snijdt,
zoo is blijkbaar rs =pq, maar tevens zal oo\', j op ms, de kromtestraal der
evoluut zijn. De snelheid toch van het punt o langs os is de resultante van
ot—pq en ts, loodrecht daarop, — dus: os. Nu moet oó zoodanig zijn dat:

is, daar de hoeksnelheden van m en o dezelfde zijn; dit nu is in de figuur
het geval.

poquot;- ~ 0 =
en or^ — a
maar: po — or
dus: a == -h a®.
Deelt men deze vergelijking door a zoo komt:

waaruit blijkt, dat de konstante a, — dat is de lengte der staaf — tot den
vorm der kromme niets afdoet.
Integreert men de verg:

oi p — atg w ... . (I),
wanneer men de hoeken begint te tellen van af de richting, die de raaklijn
heeft in het punt, waar p = O is. Daar deze richting blijkbaar loodrecht staat
op de rechte AB, zoo is in de figuur L mpo — w; en dus tg w — ~. Deze ver-
gelijking wordt derhalve spoediger gevonden; echter kan uit de gegevene op-
lossing blijken, dat men ook onmiddellijk tot eene vergelijking tusschen p en
p_j kan geraken.

De gevondene kromme is periodisch ten opzichte van w, maar asymptotisch
ten opzichte van s. Integreert men namelijk:

zoo komt: s = — a Ig cos w .... {2), waar men geene konstante behoeft toe
te voegen, als men voornbsp;ook 5=0 neemt. Door eliminatie van w

P = ± av^ è quot; — 1
waaruit blijkt, dat voor s = co ook p = oo wordt; voor « lt; O wordt p on-
bestaanbaar: de twee takken:

Met rechthoekige coördinatenassen zou men aldus te werk gaan:
Zij (Fig. 43) het punt waar de beweging aanvangt de oorsprong, en de
rechte, evenwijdig aan de richting, waarin zich het andere einde der staaf
zal bewegen, de as der X; zoo is OA — a.
Nu heeft men:

Maar

n malen integreert, zoo verkrijgt men de vergelijkingen van n involuten des
cirkels. Noemt men de kromtestralen dier krommen resp: Pi, h, ps—. P«,
zoo heeft men:

aw ^

pn Z=

3.3....?? \' 3.... («—1)
waarin de telkens toegevoegde konstante de waarde is van den kromtestraal
voor w = O,

eene kromme voorstellen, waarvan de evoluut een cirkel is. Door n dif-
ferentiaties verkrijgt men namelijk:

— Anwn-i-^r B («—1) w «-3 (7 {n—2) w «-3 .... P
= An {n—l) B (m—1) {n—2) wnbsp;C{n~2) (»—3) w ....

Deze laatste vergelijking geeft derhalve den straal van den cirkel, terwijl
de voorgaande vergelijkingen telkens in den bekenden term de waarde van
den kromtestraal leeren kennen, voor w = 0.

Deze gegevens zijn voldoende om de kromme met hare evoluten zonder ver-
dere berekening te construeeren. Begint men namelijk met den cirkel te be-

schrijven, en geeft men aan de raaklijn in eenig punt eene lengte gelijk aan
den bekenden term in de vergelijking der {n — 1)®\'® evoluut, dan is het uit-
einde daarvan een punt van deze laatste kromme, die nu gemakkelijk in haar
geheel te construeeren is. Eicht men in het uiteinde van diezelfde raaklijn
een loodlijn op, die eene lengte heeft gelijk aan den bekenden term in de
vergelijking der {n— evoluut, en waarvan de richting bepaald wordt door
het teeken van dien term (verg. Hoofdstuk II, pag. 43), dan heeft men een
punt van de (n—evoluut; en deze zal in haar geheel kunnen gecon-
strueerd worden, door raaklijnen aan de ( n —■ 1)®^® evoluut te trekken. Zoo
voortgaande verkrijgt men eindelijk de kromme zelve. Op die wijze is Kg. 44
geconstrueerd, naar de vergelijkingen:

die door differentiatie uit elkaar worden afgeleid. Neemt men den straal ma
gelijk 24 lengte-eenheden, en stelt men ai = 18 lengte-eenheden loodrecht
daarop, zoodanig dat men linh om moet draaien, om van la op am over te
gaan, — omdat p_3 en voor w —O van teeken verschillen, — zoo is I
een punt van de derde evoluut der kromme. Het punt p, zoodanig genomen
dat boog ajo ■=z ab is, stelt dan het punt voor waar de ontwinding begint,
die nu door middel van raaklijnen gemakkelijk kan worden voortgezet. Yerder
is he = 24 loodrecht op ab geplaatst, zoodanig dat ab en bc dezelfde teekens
hebben. In het punt dat gevonden wordt door bq^ ~lc te nemen, be-
gint de ontwinding der derde evoluut, die alweder door raaklijnen kan worden
voltooid. Op dezelfde wijze cd = 45 en de = 42 nemende, en de krommen
ontwindende, verkrijgt men de geheele figuur.

Daar de vergelijking van de involuut des cirkels van den j^den graad in
w is, zoo zullen er in het algemeen n waarden van w zijn, die dezelfde
waarde van p opleveren; dit heeft ten gevolge, dat de kromme toppen of
keerpunten met toppen moet hebben; want, daar p voor geen enkele waarde
van w imaginair wordt, zoo zijn buigpunten en snavels uitgesloten. In de keer-
punten is de kromtestraal altijd nul, daar p alleen oneindig wordt voor «c) — oo.

wortels kunnen vinden door de hoeken te meten, die de raaklijnen in die
punten met de hoofdrichting maken i). Heeft deze vergelijking geene gelijke
of imaginaire wortels, dan heeft de kromme lijn n keerpunten; tusschen elk
paar keerpunten ligt noodwendig een top, die correspondeert met een keerpunt
van de evoluut, en waarin p een maximum heeft. Zij « zoodanige maximum
waarde; stelt men dan in p = Aw » Bwnbsp; Bw Q,

p-i-a voor p, zoodat elke kromtestraal met een lengte a verminderd wordt,
dan zal ook de maximum waarde van p kleiner worden, en de twee keerpun-
ten, waartusschen de top gelegen is, zullen naar elkaar toe schuiven. Laat
men a grooter worden, tot a — a i^, dan vallen de keerpunten samen, of
liever, zij worden vervangen door een top waar p = O is, en die met het
keerpunt van de evoluut samenvalt. Tegelijk met het verplaatsen der keer-
punten, naderen de waarden van w, die p = O maken, tot elkaar; en deze
worden gelijk, wanneer de keerpunten verdwijnen. Dit is het geval, dat de
vergelijking twee gelijke wortels heeft.

Laat men « gt; « worden, dan heeft p een negatieve minimum waarde in den
top, zoodat p niet gelijk nul wordt: er bestaat dan in dat gedeelte der kromme
geene waarde van w, die p = O maakt, d. i. de twee wortels der vergelijking
zijn onbestaanbaar geworden.

In het geval dat twee wortels gelijk zijn, — als dus de kromme door een
keerpunt van de evoluut gaat, — valt in dat punt de raaklijn der kromme
samen met de normaal der evoluut; en daar zoowel p als p_j aldaar nul is,
zoo maakt dezelfde waarde van w de beide kromtestralen tegelijk gelijk nul.

Hieruit kan men twee bekende eigenschappen der hoogere-machts-vergelij-
kingen afleiden:

1) Deze graphische oplossing eener hoogere-machts-vergelijking verschilt van de graphische oplossing
in rechtlijnige coördinaten daarin, dat de punten der kromme niet uit de vergelijking behoeven
berekend te worden, daar men a^hjid met één der involuten des cirkels, en dus met eene bekende
kromme lijn te doen heeft. Omdat daarenboven in elk punt de kromtestraal bekend is, zal men
door cirkelbogen den vorm der lijn met veel meer juistheid kunnen verkrijgen. Daartegenover staat
de moeielijkheid om de lengten der bogen over te brengen op de raaklijnen; hetgeen men echter zoo
nauwkeurig kan doen als men verkiest, wanneer slechts de boogjes, die men als rechte lijntjes af-
meet, klein genoeg genomen worden.

dan zal deze nieuwe vergelijking twee gelijke of twee imaginaire wortels h.amp;hhm,
naar gelang « gelijl is aan, grooter is dan de waarde welke f (w) erlangt,
wanneer daarin voor w gesubstitueerd wordt een wortel van de vergelijking

2°. Indien eene hoogere-machts-vergelijking twee gelijke wortels heeft, dan
zal de waarde der veranderlijke tevens voldoen aan de vergelijking, die de
afgeleide functie is van de oorspronkelijke vergelijking.

Na het voorafgaande is het duidelijk, waarom de kromme van Kg. 44 slechts
twee keerpunten heeft, ofschoon hare vergelijking vier wortels heeft: tweedier
wortels zijn namelijk imaginair. In het punt bereikt de kromtestraal een
minimum waarde Stelt men nu p _}_ « voor p, dan valt ^ in het keerpunt
van de evoluut: de imaginaire wortels zijn vervangen door twee gelijke wortels.
Stelt men p ö voor p, zoodanig dat « gt; « is, dan komen twee keerpunten
te voorschijn, en daarmede twee reëele wortels.

Op deze wijze verkrijgen de meeste bekende eigenschappen der hoogere-
machts-vergelijkingen in de involuten des cirkels eene nieuwe geometrische
beteekenis. Omgekeerd worden uit de theorie der vergelijkingen eigenschappen
afgeleid betreffende de involuten des cirkels. Hiervan geeft de volgende stelling
een voorbeeld.

Wanneer men in de n^e involuut des eirlels n punten zoelt, waarin de krom-
testraal dezelfde waarde heeft, zoo zal de algebraïsche som der kromtestralen in
de

Het bewijs dezer stelling vloeit voort uit de bekende waarheid, dat men
uit eene vergelijking

p, — An {n — l) {n~2) .... 3. 2 w B {n — l) .... 2. 1 .... (2)
fnbsp;Psnbsp;\\ B ,

men door die substitutie de hoofdrichting verlegd heeft naar de richting der
raaklijn in het keerpunt der eerste involuut. Daar nu in de nieuwe vergelij-
king de tweede term ontbreekt, zoo is de som der waarden van w\' voor elke
waarde

Onmiddellijk wordt ditzelfde aangetoond, wanneer men de waarde van w uit
(2) substitueert in (1) zoodat p^ wordt uitgedrukt in functie van p^. In die
vergelijking is namelijk de coëfficiënt van p^ gelijk nul. Daar men eiken
term der vergelijking (1) kan doen verdwijnen, door de hoofdrichting te ver-
draaien, zoo is het duidelijk, dat men nog meer zoodanige stellingen kan
verkrijgen, die wij echter, wegens hare mindere eenvoudigheid achterwege laten.

Wanneer men uit drie punten van de derde involuut, waarin de kromte-
straal dezelfde waarde heeft, de raaklijnen trekt aan de tweede, en in deze
raakpunten wederom de kromtestralen, dan is de som der producten dezer stralen
twee aan twee genomen gelijk nul.

Wanneer men namelijk uitdrukt in functie van p^, en men zoekt de
coëfficiënten van de gelijke machten van p^ bij elkaar, zoo blijkt het dat de
som der coëfficiënten van de eerste macht gelijk nul is, waarin het bewijs ligt
opgesloten.

Nog vele betrekkingen zijn op te sporen tusschen de verschillende kromte-
stralen. Enkelen, die wellicht van belang kunnen zijn voor de theorie der
hoogere-machts-vergelijkingen mogen hier nog vermeld worden.

Yooraf zullen wij eenige teekens invoeren, ten einde niet telkens dezelfde
omschrijving in woorden te herhalen.

In het algemeen zal de waarde van eenigen kromtestraal of wamp;nw, vooreen
anderen kromtestraal gelijk nul, aangegeven worden door de letter p of w zoo-
veel malen geaccentueerd, als er eenheden zijn in den index van den kromte-
straal, die gelijk nul gesteld is, zoodat bijv.

beteekenen: de waarden van p,. en voor p^ = 0. De waarde van een kromte-
straal, voor p (of Po) = O zal, waar geen dubbelzinnigheid kan ontstaan, niet
geaccentueerd zijn.

Daar verder in het algemeen de {n — pf^ involuut n—■ p punten heeft
waar de kromtestraal nul is, zoo zullen er ook [n—p) waarden zijn van
elke p, voor = Elk paar waarden van eenigen kromtestraal, voor
Pj = O, zal nu als volgt onderscheiden worden:

quot;Po » Wp/\' en (^)poquot;
Pjjquot; is natuurlijk gelijk 0. De drie waarden, voor ps = 0:
van p» door (»)p/\' (j3)p„quot;\' en (y)p„quot;\'

van p, „ («)p,\'quot; (|3)p/quot; en (r)p/quot;
» P^ («)pi\'quot; (f3)pi\'quot; en (y)p/quot;
Po » («)poquot;\' (P)p,quot;\' en (r)p;quot;

Piquot;) pquot;«; Pnquot;\'.... Pa\'quot;, p^\'quot;, p/quot;; euz. of van de producten dier waarden 3 aan
3, 3 aan 3, enz. zal dit kortheidshalve worden aangegeven op deze wijze:
(^)p«quot; ((3)p/ = 2(p.quot;)
(«)p;quot; ((3)p/\'-4-(r)p;quot; = 2(p/\')
(«)p;quot;. ((3)p;quot; (.)p,quot;\'. (y)p;quot; (,3) p/quot; = c (p^^. p^-^)

Eindelijk kan altijd verondersteld worden, dat men door den coëfficiënt van
den term met de hoogste macht van w gedeeld heeft, waardoor alle kromte-
stralen in dezelfde verhouding verkleind worden, daar dit op de te behandelen
eigenschappen geen invloed zal hebben.

die verkregen is door p^ gelijk nul te stellen, en substitueert men die waarde
in (1), zoo komt:

Dit nu is juist de grootheid welke met het omgekeerde teeken voorkomt onder
het wortelteeken, bevat in de waarde van w voor p^ — O, die door wordt
aangegeven; want:

Draait men de hoofdrichting zooveel, dat zij samenvalt met de richting der
raaklijn in het keerpunt van de eerste involuut, d. i. verdrijft men uit (1)

Laat ons voor de derde involuut beginnen met deze substitutie, zoodat hare
vergelijking den vorm aanneemt:

Dit laatste is wederom dezelfde wortelgrootheid als in de formule van Car-
danus voorkomt, die hier geeft:

Zeer samengesteld worden de bewerkingen, wanneer men ook voor de vierde-
machts-vergelijking eene uitdrukking zoekt van v\'^ in functie van p^\', p^quot; en
Pi\'quot;. Wij bepalen ons tot de volgende opmerkingen.

Gaan wij uit van de vierde involuut, wier vergelijking wij — ter vermijding
van breuken — aldus schrijven:

(«)piquot; . (I3)piquot; = 25a\' — 6éaè^
(«)piquot; ((3)piquot; = 2 (piquot;) = 10»= 2g

Substitueert men deze drie waarden in (4), zoo vindt men ten slotte:
S(p,quot;\'. p/quot;) z= 3(e\' — 12a\'c 27«^ 72a5\')

S(p/quot; . Pi\'quot; . Pi\'quot;) = — 18a\'c^ 216aPc 81a^c — 4325^ — 216a^è\\
Vergelijkt men deze vormen met die, welke voorkomen in de formule, die
de oplossing geeft der vierde-machts-vergelijking (4), zoo valt de sterke over-
eenkomst terstond in het oog. Deze formule is:

waarbij, gelijk bekend is, ter bepaling der teekens moet voldaan worden aan
de conditie;

V zxz^z^ =- — h-,
Zi, z^ en zijn de wortels der derde-machts-vergelijking:
12az^ 4(9»^ — c)z — ö\' = 0,

De grootheid onder het vierkantswortelteeken, ontwikkeld zijnde, wordt:
— 5T (c\' — ISa^cquot; 216aè\'\'c 4- 81«^ — — 216a\'ö\')
hetgeen juist gelijk is aan:

In het overige gedeelte der uitdrukking is de combinatie der letters zooda-
nig, dat het niet moeielijk valt ook daarin de kromtestralen in te voeren.
Zelfs kan dit op meer dan eene wijze geschieden. Wij deelen die echter niet
mede, omdat alleen die wijze van belang zou zijn, welke voor vquot; eene for-
mule oplevert, analoog met de formules voor vquot; en vquot;: de wortelexponenten
zullen tot een vierde, misschien tot een zesde macht moeten opklimmen, —
dit laatste, wanneer het mocht blijken, dat zij de binomiaal-coëfficienten: 4,
6, 4 zijn, gelijk in de formule voor vquot; de wortelexponenten zijn: 3, 3j in
die voor vquot; eenvoudig: 3.

De ontwikkeling daarvan is vrij omslachtig. Ten einde daardoor — niet
slechts uit analogie, maar met zekerheid — te kunnen besluiten tot de for-
mulen voor denbsp;en in het algemeen voor de «^e-machts-vergelijking,
zou het buitendien nog noodig zijn de wet te vinden, volgens welke de
coëfficiënten voor den (« l)sten graad afgeleid worden uit die voor den
^dea graad.

Eene systematiek der kromme lijnen moet op de essentieele vergelijkingen
gegrond zijn.

Het is ongerijmd te veronderstellen, dat de geometriselie eigensckappen eener
kromme lijn niet altijd in de analytische uitdrukking zouden kunnen terug-
gevonden worden; gelijk Druckenmüller doet, wanneer hij zegt: „Jeder Ein-
theilungsgrund der Curven, der von einer geometrischen Anschauung entnommen
ist, zerstört die Eeciprocität der verschiedenen Coördinaten-systeme, wenn derselbe
nicht auch in den Analytischen Ausdruck der Curven wiedergefunden wird.quot; (Die
Uehertragungsprincipiën, pag. 108).

De meening van Lamarle: „Tant qu\'on exclura de Pétude des lignes le
principe de leur génération par le mouvement d\'un point, on s\'interdira par
là même d\'en connaître la nature intimequot; is onjuist.

Ten onrechte beweert Krause; „Lineam curvam non consistere partibus
linearibus rectisj utut parvis,quot;

Men mag het in de Wiskundigen niet afkeuren, wanneer zij zich bezig
houden met onderzoekingen, die geen dadelijk nut beloven.

In physische leerboeken wordt veelal te weinig gelet op het verschil tusschen
het mechanisch begrip van „Arbeidquot; en het begrip dat in het dagelijksch
leven aan dat woord gehecht wordt.

Er is geen voldoende grond om aan te nemen, dat samengestelde geleidende
vochten altijd door den galvanischen stroom geëlectrolyseerd zullen worden.

Het ware te wenschen dat men de samenstelling der carbonium-houdende
stoffen altijd door de relatieve hoeveelheden der elementen aangaf.

Eene indirecte bepaling van eenige grootheid is, waar zij mogelijk is ge-
worden, scherper dan de directe.

Het opnemen van O en uitademen van CO^ door de planten kan niet met
de dierlijke ademhaling worden vergeleken.

Bij het onderwijs in de Meetkunde is de analytische methode te verkiezen
boven de synthetische.

Aan het onderwijs in de Kosmogjaphie moet de historische ontwikkeling
die wetenschap ten grondslag liggen.

Het is wenschelijk, dat de natuurhistorische vakken aan de hoogere burger-
scholen door een afzonderlijken docent onderwezen worden.

„Multi sane sunt, qui autument, in definiendis rebus intuitione immediata
clarissimis, quae omnis homo, sine ulla praeparatione scientifica, satis intelligat,
non adeo multum referre, utrum definitiones essentiales et primitivae habeantur,\'
nec ne, cum nemo sanae mentis de his rebus dubitat. Sed haec non est nisi
praejudicata sententia.quot;

Bünbsp;quot;■•gt; -T ivti ^.jLfe-knbsp;\'\' gt; M.«-.-,.nbsp;V -nbsp;,nbsp;Vnbsp;.....

Fig. JS.

_ 1 dk k^ ds	élk , 1) ^ heeft eene ds eindige positieve waarde.	dk . 2) ^^ IS nul.	0) ^ IS oneindig.
a) Zonder veran- dering van teeker 0	b) Met verandering van teeken. —---------	a) Zonder veran- ■ dering van teeken 4- co	• h) Met verandering van teeken.
«) 0 —	- 0	«) co -	\|3) — lt;» 4-
I. k is eindig positief.	k neemt toe p neemt af is eindig neg: Gewoon punt Pig. I	k neemt toe p neemt af P-i: — 0 — GewoonpuntYig. 2	k maximum p minimum p_i: — 0 Top Fig. 3	k minimum p maximum p_i: 0 — Top Fig. 4	k neemt toe p neemt af p^i : — co — GewoonpimtY\\%. 5	k maximum p minimum — 00 Top Fig. 6	k minimum p maximum P-i: -f- OO — Top Fig. 7
II. k is nul.	/fc: — 0 -4- p: _ co -4- p_i : ■ • co JBuigpunt Fig. 8	— 0 p: —. 00 p_i: co — Buigpunt Fig. 8	0 — p : — 00 — : QO — Top Fig. 9	0 4- p: 4_ CO p_i : 00 — Top Fig. 9	— 0 p: _ co 4- p_i : -4- OO — Buigpunt Fig. 8	— 0 — p : — OO -— p_i: OO —. Top Fig. 9	4- 0 4- p: 4- co 4- p_i: 4- co — Top Fig. 9
HL k is oneindig. ,	-f- OO — p: 0 — — 0 Buigpunt Fig. 10 .	00 — p: -i- 0 — — 0 Buigpunt Fig. 10	-j_ OO -f- P: 0 p_i: — 0 Top Fig. 11	k: — CO — p: - 0 - P-i: — 0 Top Fig. 11	k- ca — p: 0 — Buigpunt Fig. j^g	OO 4- p: 0 Kg. {	kt — OO — p: - 0 - Top Fig. { 11

I. k is in den éénen tak positief, in den anderen negatief.
s is onafhankelijk veranderlijke. ^ = ^IZ \|	w is onafhankelijk veranderlijke. ^ =
^ — 0 in punt è.	^ = co in punt h.	= 0 in punt i.	^ = 00 in punt h.
p=-}co Keerptmt Fig. 14	—10, eindig P-l——1 Ofoo. Keerpunt Fig. 15,16,17	p p-i-:;}- Buigpunt Fig. 8	P=±}o P_J = 0 of 00 BuigpuntYig. 10,13
II. Jc heeft in beide takken hetzelfde teeken.
ak . dk . — of — in beide takken: ds dw	^ oi ^ in beide takken: — ds dw	dk dJe 1 1 ds dw \' —J
k is eindig in b.	^ = 00 in 5.	k is eindig in b.	^ = 0 in 5.	k is eindig in h.
r neemt toe] ^ [ neemt toej § r neemt af quot;j ^ ** 1 neemt af J ^ —• eindig -— ) of 00. Snavel Fig. 18	—•) eindig Snavel Fig. 30	r neemt af 1 - neemt af J § 1 neemt toe \| [ neemt toe J ^ eindig P-i— 1 of oo. Snavel Fig. %l	Snavel Fig. 19	f neemt toe\| ^ ( neemt af J \'l \' neemt af quot;) P neemt toe J _ P-l 0 of 00 Snavel Fig. 33, 33

p\' —	a	w\'-w
p —	a	6
of: -	1 , -P a	— 1
1	— 1
waaruit blijkt, dat men slechts	1 T P	voor

Fig. Ii.
		M\'
/ h^		m\' \\ --
o!
V


M	m	Äf - ^
M