ELASTIZITÄTSKONSTANTEN
VON KRISTALLAGGREGATEN

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D. A. G. BRUGGEMAN

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VON KRISTALLAGGREGATEN

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ELASTIZITATSKONSTANTEN
VON KRISTALLAGGREGATEN

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD
VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN
DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT. OP GEZAG
VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS
jhr Dr B. C. DE SAVORNIN LOHMAN,
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER RECHTSGE-
LEERDHEID. VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT
DER UNIVERSITEIT TE VERDEDIGEN TEGEN DE
BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN
NATUURKUNDE OP MAANDAG 8 DECEMBER 1930,
DES NAMIDDAGS TE 4 UUR

DOOR

DIRK ANTON GEORGE BRUGGEMAN

geboren te heerenveen

BIJ J. B. WOLTERS\' UITGEVERS-MAATSCHAPPIJ n.v.
GRONINGEN -- DEN HAAG - 1930

jbibliotheek DÊ?j
RIJKSUNIVERSITEIT\'
UTRECHT.

BOEKDRUKKERIJ VAN J. B. WOLTERS

aan mijn vrouw

aan de nagedachtenis van mijn ouders

L

Bx, het terugzien op de jaren van studie, waarvan dit proefschrift

mij t^Ts h^^^^ \' \'\'nbsp;^^^nbsp;- hoogleraren, die

^LT t rnbsp;^^^ h^n liefde voor de exacte weten-

knbsp;.nbsp;-- h-d bedankt,

Ik herdenk hun in genegen herinnering.

Hooggeleerde Haga, het is mij een groote vreugde, dat ik U, Hoog-

UwTirnbsp;quot;quot;nbsp;proefschrift mag toekenden.

Uw colleges en practica, waar Ge Uzelf volkomen gaaft, zijn mij een
onnavolgbaar voorbeeld gebleven voor eigen onderw^swerk.

da^wTlfnnbsp;Uw onderwijs in Groningen

p act rbi7u \'Tnbsp;Ge mij, na jaren onderv^quot;

IZ \\nbsp;weg hebt geholpen in de physica. Dit

proefschrift, hoezeer ook afwijkend van Uw oorspronkelijke bedoelin
IS de late vrucht van wat Gij tot bloei hebt gebracht.

vaf Mnbsp;Directeuren

van het Nederlandsch Lyceum, mijn hartelijken dank voor de werk-
en CrI\' 7nbsp;Directeuren
ÄrS ^^ -- tegemoetkoming

gaf^de^nTu-f\'nbsp;- Griend, Uw raad en daad

hub bf fnbsp;Promotor, U dank ik voor Uw

hulp b, de voltooung. Ge hebt mij vrijgelaten, als ik alleen verder kon,
-n mi, over hmdernissen heengeholpen tot het einde, ik dank U zeer.

INHALTSVERZEICHNIS.

Einleitung .........

I. Die Voigtsche Theorie der Elastizität
Medien.

§ 1.nbsp;Die Voigtschen Formeln......

§ 2.nbsp;Die Begründung des Voigtschen Ansatzes

^ 3.nbsp;Die Voigtsche Prüfung der Formeln (8).

§ 4.nbsp;Prüfung der Formeln (8) an neuen Daten

§ 5.nbsp;Kritik der Voigtschen Theorie ....

Versuch einer neuen
isotroper Medien.

§ 1. Grenzbedingungen und Annahmen .nbsp;jq

§2. Theorie des allgemeinen Lamellenaggregats\' ! 22

I A ^ovrmln als erste Annäherung ... 31
§ 4. Allgemeines über Prüfungen der Theorie.....33

krtarlt™quot;quot;nbsp;Aggregats hexagonaler

§ 1. Transformation der c\'.-, und s\'.-^ ...nbsp;39

§ 2. Die Koeffizienten der Funktionnbsp;42

4 Lamellenaggregate . . . ! ! !nbsp;46
iTztr Aggregatskonstanten

§ 5. Berechnung und Prüfung der Aggregatskonstanien
von Cadmium........

Wallequot;quot;\'\'\' \'\'\' ^^^^^^^hinen Aggregats regulärer

§ 2nbsp;der c\',,...............

§ 3\' Bornbsp;des Lamellenaggregats......62

\' vo?w u ^nbsp;der Aggregatskonstanten

von Wolfram . .

.....................oy

Seite

§ 4. Berechnung und Prüfung der Aggregatskonstanten

von Aluminium ................. 73

§ 5. Berechnung und Prüfung der Aggregatskonstanten

von Gold...................76

§ 6. Berechnung und Prüfung der Aggregatskonstanten

von Messing .................. 79

§ 7. Berechnung und Prüfung der Aggregatskonstanten

von Flußspat..................84

V. Untersuchungen an speziellen Aggregaten.

§ 1. Die nichtisotropen Aggregate ...........nbsp;86

§ 2. Spezielle Aggregate von hexagonalen Kristallen . .nbsp;89
§ 3. Untersuchung der Struktur des anisotropen Grün-

eisenschen Zinkaggregats .............95

§ 4. Spezielle Aggregate von regulären Kristallen ....nbsp;99

§ 5. Strukturuntersuchung bei anisotropen Goldaggregatennbsp;101

Zusammenfassung.....................104

_J

EINLEITUNG.

verschiedenen Metalle

LSer; H unbsp;MeuUkrisUl in

I e ?Tnbsp;haben speziell

die elas,.sehen E.genschaften umersueht. Nachdem die elastLh n

Konstanten e,n,ger Metallkristalle gemessen waren, lag es nahe sfe

u^er^^hen mit den längs, betannten Konstanten isoLper M Ju

S^alkn Ltr H o ■nbsp;aneinanderschließend,

mi allen moghehen Onentierungen der elastischen Hauptachsen es

quot;i^^L ^dnbsp;el-ischen\'Kfnl«:

ich ™ r Hnbsp;Metallstäbe. Voigt ist bis jetzt, so viel

.ch we.ß der e.n2.ge Forscher gewesen, der solche Beoehunin ein
gehend theoreusch untersucht ha. - die neuen Versuche ges«e

«a.. gefunden, Grune.se„, Mazima und Sachs fanden dabei Abwei-

—nbsp;erseheinr^so

einandergeitzt „na , Tm tnbsp;quot;quot;quot;

neue Theori. , t «quot;quot;^\'ert. Im II. BCap.tel w.rd versucht eine

de Formerar T\'nbsp;»-quot;en daraus

Ag Jr lquot; ; f quot; quot; quot;^^quot;^quot;^hen Konstanten der isotropen
■ . nexagonalen bzw. regulären Kristallen,

und diese ver-

Lten ^unbsp;Daten. Die Übereinstimmung ist im allge-

nalen MetalLnbsp;fnbsp;Aggregaten der hexago-

Stab aus sehr rein!quot; 7Inbsp;merkwürdigen

einem Zmk. den Grüneisen 1907 untersucht hat. Dieses

Aggregat („Zink IIquot;) ergab einen Youngschen Modul 12.8. 10-

cm*\'
1

während Grüneisen selbst später an Einkristallstäben mit verschiedenen
Achsenorientierungen als extreme Werte erhielt 3,520. IQii und
11,500.nbsp;Hier versagt sowohl die alte Theorie wie die neue

und überhaupt jede Theorie, die von der Isotropie des Aggregats ausgeht.
Im V. Kapitel versuche ich eine Theorie aufzustellen für verschiedene
einfache Annahmen über nicht isotrope Verteilungen der Achsen-
orientierungen. Das elastische Verhalten des Zinkstabs II stimmt dann
ganz schön bei einer sehr plausibelen Annahme über den Aufbau des
Stabes, welche an andern Eigenschaften desselben Stabes nachgeprüft
werden kann. Versuchsweise werden auch Abweichungen, die bei andern
Objekten gefunden wurden, durch spezielle Annahmen erklärt. Zum
Schluß kommt eine kurze Zusammenfassung.

In allen Untersuchungen beschränke ich mich auf reversibele Vorgänge^
größere Beanspruchungen^ wobei Gleitung auftreten könnte, sind von
vornherein ausgeschlossen.

Dies über den Inhalt der Arbeit. Was die Form anbetrifft, so ver-
wenden wir der Hauptsache nach die Voigtsche Terminologie; die
verschiedenen Symbole haben also dieselbe Bedeutung wie in Voigts
Lehrbuch der Kristallphysik. Zwar ergeben die Symbole der neueren
Tensorrechnung einfachere Formeln mit Ersparung mancher unange-
nehmen Faktoren 2 und — alle Abhandlungen mit deren Ergebnissen
wir uns beschäftigen, benutzen aber die Voigtschen ca- und sa und
anders gewählte Konstanten müssen also doch schließlich wieder
umgerechnet werden. Außerdem fordert unsre Methode schon
im Anfang die Darstellung der freien Energie als Funktion von
3 Deformationen und 3 Spannungen, von diesem Augenblicke an
würden wir also doch die eleganten Formeln der Tensorrechnung
aufgeben müssen.

Mit Voigt bezeichnen wir die Änderung der freien Energie in der
Volumeinheit bei einer isothermen Deformation mit Die Verschie-
bungen in den 3 senkrechten Achsenrichtungen heißen u, v, w, die

Deformationen ----- yz,----sind definiert durch = -----

V = — 4- —, . . . . Um Minuszeichen zu sparen, benutzen wir die

^^ dz

Voigtschen Druckkomponenten mit geändertem Vorzeichen, führen
also normale Spannungen X^, Yy und Zz und tangentielle Spannungen
Yz{= Zy), Zx(.= ^z) und Xyi^ Yx) ein. Dann gilt für jede homogene
Deformation eines Kristalls:

= ...........

.......... . . (2)

= .............

Ts.^X^Yy .......... . (2a)

Aus den Gleichungen (2) und (2a) erhält man durch partielle

Differentiationen die Hookeschennbsp;Gleichungen in der einen oder andern
rorm:

= CiiX^ .nbsp;. ^ _j_ ^^^^^^ ^ g .....

= SuZ^ .nbsp;. _ nbsp;......

des^\'L\'LdfElastizitätskonstanten, die die Elastizitätsmoduln

Es gibt im allgenaeinen 21 Elasti^itätskonstanten, zwischen welchen

W m de aTTnbsp;Beziehungen bestehen. Bei geeigneter

W h des Achsenkreuzes reduziert sich die Zahl im hexagonalen System

^ C33, Ci3, C12, C^,), im regulären System auf 3 (c„ c r ^

-tropen Substanzen auf 2. Die erste Molekulartheorie Ä^ti^?
die Cauchysche glaubte die Zahl der Konstanten weiter reduz e n
zu können durch die Gleichungen:

^ii = C23, Cßs = C31, Cßg = C12

C56 = Ci4, Ce4 = C25, C45 = ..........(4)

Im hexagonalen System würden dann 3, im regulären 2, bei der
Isotropie 1 Konstante übrig bleiben. Der Streit zwischen Rari- und
Multikonstantentheorie hat sich so ziemlich durch das ganze 19-
^hrhundert fortgesetzt, bis die Messungen immer deutlicher für die
Multikonstantentheorie entschieden und schließlich Born eine Mole-
kulartheorie der Elastizität aufstellte, welche die experimemell erwiesene
Ungültigkeit der Cauchyschen Gleichungen erklärte.

Um unsre Formeln möglichst einfach zu gestalten, schreiben wir
^pannungen und Deformationen im Kristall bei willküriich gewähltem

chsenkreuz X^----- ------- die hinzugehörigen Konstanten und

Moduln aber c«\' und Die Spannungen und Deformationen im
^ezug auf die Hauptachsen heißen ...... ...... die

thein-p^;nbsp;Kristallgitter, 1914; 2. Aufl. u. d. Titel „Atom-

ineorie des festen Zustandesquot; 1923.

hinzugehörigen Hauptkonstanten und Hauptmoduln cik und Sik, In
der Theorie treten primäre und sekundäre Aggregate auf von
axialer Symmetrie, ihre Elastizitätskonstanten werden fe geschrieben.
Die Konstanten der isotropen Aggregate heißen (£ (für gu = ©33),
gl (für ©12 = (£13) und S2 (für = ^J mit der bekannten Isotropie-
bedingung.nbsp;= ...........(5)

Andre Größen, die in den Formeln für die einzelnen Kristallsysteme
auftreten, werden in den betreffenden Kapiteln erklärt; hier erwähnen
wir noch die quadratische Funktion, die wir im II. Kapitel statt der
freien Energie | benutzen:

= ^ — — — ...........(6)

also:

2(p = X^^ -I- Yyyy XyXy — ZzZz quot; ZyZy — Z^z^ . . (6a)

DIE VOIGTSCHE THEORIE DER
ELASTIZITÄT QUASIISOTROPER MEDIEN.

§ 1. Die Voigtschen Formeln.

KrfeüllZ?:nbsp;Konstanten der

quot;Tmnbsp;Einzelkristalle, ist vor

heofe c^ten \'t quot; I quot;nbsp;Multikonstanten

theone dienen In vorhergehenden Untersuchungen») hatte Voigt

Iii ^^^quot;\'■«•^konstanten von verschiedenen kristalllierten Miner^Z
w.e Stemsalz, Flußspat, Kalkspat, Quarz, Baryt bestimmt. Daii h«e

Äequot; sf- fnbsp;-aquot;:

einmal (beim Steinsalz) angenähert erfüllt waren. Für isotrooe Kfir™..

P—Seitunr^\'quot;

® = 3Si.

Vmgt macht die Bemerkung, daß viele als isotrop bezeichnete Körper
m Wahrheit quasnsotrop, d.h. Aggregate von Kristallbrocken sind.
Kann man aus den Elastizitätskonstanten der Einkristalle die Konstanten

die Poissonsche

Gleichung erfüllt ist oder nicht. Voigt macht nun folgenden Ansatz,
den er vorläufig kaum näher begründet:

def\'^nbsp;Deformationen gehen stetig durch die Grenzflächen

der Kristalle hmdurch und haben in den verschiedenen Kristallen mit
verschiedenen Achsenorientierungen, die ein Volumelement des Aggregats
erfüllen, nahezu denselben Wert.

Mit kleiner Mühe bildet er dann die Mittelwerte der elastischen
^^pannungen. Daraus folgen sogleich die Elastizitätskonstanten des

\'1 mnbsp;Abhandl. 1887, S. 48; Wied. Ann. 38, S. 573.

w „nbsp;VII, S. 1 und 177, 1875.

W. Voigt, Wied. Ann. 31, S. 474, 1887.
W. Voigt, Wied. Ann. 34, S. 981, 1888.
W. Voigt, Wied. Ann. 35, S. 642, 1888.

quasüsotropen Mediums, ausgedrückt in den Kristallkonstanten. Mit
den Festsetzungen:

A =■- Ucn C22 C33)
B = KC23 Csi C12)

C = i(c44 C55 Cee)..........(7)

erhält er unabhängig vom Kristallsystem für die Aggregatskonstanten
die Formeln:

® = i(3A 2B 4C)
= i(A 4B- 2C)

ß2 = i(A-ß 3C)..........(8)

wobei die Isotropiebedingung (5) automatisch erfüllt ist. Bei den
Kristallen, wo die Gleichungen (4) nicht gelten, ist für das Aggregat
die Poissonsche Bedingung im allgemeinen nicht erfüllt, auch für die
hinzugehörigen quasiisotropen Medien gilt also die Multikonstanten-
theorie.

Beiläufig vergleicht Voigt bei einigen Mineralien die berechneten
Aggregatskonstanten mit den empirisch bestimmten; über das Ergebnis
werde ich im § 3 berichten.

§ 2. Die Begründung des Voigtschen Ansatzes.

Die vorhergehende Theorie beruht auf dem Ansatz von der Stetigkeit
der elastischen Deformationen. Die Begründung dieses Ansatzes findet
sich im Anhang II des Lehrbuchs der Kristallphysik»). Voigt gibt
hier eine allgemeine Theorie der Beziehungen zwischen Einkristallen
und ihren quasiisotropen Aggregaten; die Strömungen der Elektrizität
und der Wärme werden ausführlich behandelt, nach Analogie wird
dann das elastische Problem gelöst.

Voigt stützt seine Theorie auf 2 Annahmen:

„daß die Kristallbrocken klein sind selbst gegen die Dimensionen
der Volumelemente, die man bei der Entwicklung der Theorie eines
Vorganges benutzt, dabei aber immer noch groß gegen die Wirkungs-
weite 4) molekularer Kräfte,quot; und „daß sie außerdem den Raum

lückenlos erfüllen.quot;

Dann bemerkt er, daß bei den meisten Vorgängen ausgezeichnete
Funktionen bestehen „die nach ihrer Definition Summen über Werte

») W. Voigt, Lehrbuch der Kristallphysik, Nachdruck 1928, S. 954.
«) 1. c. S. 954 steht „Wirkungsweisequot;, dies ist wohl ein Druckfehler.

darst^en, die sich auf die einzelnen Moleküle oder Elementarmaßen
des Körpers beziehenquot;. Beispiele liefern die Strömungennbsp;w

und der Elektrizität. „Im Gegensatz dazu .ir^T^^tZTv
durch den Zustand in einem einzigen Punkte definiertquot;
An diesen Unterschied zwischen U und V knüoft Vnicri-
Dienbsp;K^af. H« ein Po,e„.ia., das

Knstallbrocken stetig hindurchgeht. Da schreibt er- Wi/ j

rpi^r- r ,f - --

erfüHen, sehrUe gHchforÄtquot;quot;\' ^^

gleiches keineswegs, von diesen
dieVn^SlenTn H\' r quot;quot;quot; ^quot;«»engrenze normalen, nicht auch

Sr n A to\'™.nbsp;Kristallbrocken zusammengese«,

Vnbsp;r ztltSr\' quot;nbsp;Achseö

Zrlfquot;\' Q^^\'^^^hnitt des Elements senkrecht zur Z-Achse ist, die
Summe genommen wird über alle Kristallbrocken des Elements und

4nZnfnbsp;\'r Leitfähigkeit sind, abhängig von den Achsen-

orientierungen der einzelnen Kristalle. Die Summe v .erfällt in eine

durch das Symbol S zusammengefaßt werden und die Summe über
alle Orientierungen 5 geschrieben wird:

m =nbsp; nbsp; nbsp;. . (9)

»Es ist nun bei den oben erörterten Stetigkeitsverhältnissen der
i-otentiale kein Grund einzusehen, warum die Summennbsp;....

^nit^d^rientierung der Kristallbrocken, auf die sie sich beziehen,

1. c. S. 956.
\') W. Voigt, I.e. S. 957.

wechseln soUten. Wir werden sie demgemäß ausschließlich als Funk-
tionen des Ortes betrachten dürfen, an dem sich das Volumelement
befindet, und setzen

SiiVMic = IV\'ilQi

wo \\V,\\ der mittlere Wert der bezüglichen Feldkomponente in dem
Element ist, und Q,-, der AnteU von Q, der von Kristallen der Orien-
tierung (i) bedeckt wird, für alle Orientierungen den gleichen Wert

hat.quot;\')

Die Gleichungen (9) erhalten dann die Form

m = |/nl . Il^il ♦ I/13I . 11^3!. u.s.w. . . . (10)

wo die vertikalen Striche wiederum Mittelwerte bezeichnen über das
betrachtete Volumelement. Nach Wortiaut und Sinn der Voigtschen
Ableitung könnten die Mittelwertstriche bei V^, V^ und V, wegfallen.

Schließlich folgt dann für die Leitfähigkeit 1 des quasiisotropen
Aggregats durch Mittelung über alle Orientierungen:

/ = l^nl = = .........

welcher Wert sich ganz einfach berechnen läßt.

Für das elastische Problem liegen nach Voigt die Verhältnisse völlig

analog. „Die Deformationsgrößen ...... drücken sich durch

die Gefälle von Funktionen (nämlich der Verrückungskomponenten
u V w) aus, die sämüich stetig durch die Grenzen zwischen den ver-
schiedenen Kristallbrocken gehenquot;«). Er überträgt diese Stetigkeit
stillschweigend von den Verrückungen auf ihre Ableitungen, die Defor-
mationen. Sodann ergibt sich (in etwas vereinfachter Fassung)

- = knlx. Iciab. . . . • Iciel^i/\'nbsp;• • (12)

Die Berechnung der Mittelwerte lc„| u.s.w. führt sodann auf die
Voigtschen Formeln (8).

§ 3 Die Voigtsche Prüfung der Formeln (8).
Als Voigt seine Formeln veröffentlichte, war die Prüfung noch nicht
möglich. Von den quasiisotropen Medien, deren elastische Konstanten

7) W. Voigt, 1. c. S. 958.
«) Derselbe, l.c. S. 961.

gemessen waren, hauptsächlich Metallen, kannte man keine Einkristalle,
groß und homogen genug zur Bestimmung der Kristallkonstanten Voigt
ging also, um Zahlenmaterial zur Prüfung seiner Theorie zu erhalten
umgekehrt vor: er suchte aus der Reihe der Stoffe, deren KristaUkon-
stanten er gemessen hatte»), diejenigen heraus, von welchen er außer
den Kristallen auch dichte, homogene Aggregate mikrokristalliner
Struktur untersuchen konnte. Er wählte Flußspat, Kalkspat, Baryt

Zä n7t \\nbsp;^^ Konstanten an Feuerstein

und Opal, bei welchen Stoffen die Anwesenheit von Quarzmikrokristallen
allerdmgs damals noch nicht feststand.

Menfalls war zu erwarten, daß die gemessenen Elastizitätskonstanten

krkt^f Trnbsp;^^^ ^^^ berechneten, da die Einzel-

^istalle häufig durch ein fremdes Medium zusammengekittet sind.

Was das eventuelle Vorkommen von Porien im Aggregat anbelangt,

hat Voigt nachgewiesen«), daß regelmäßig verteüte Höhlungen die

Konstanten g und des Aggregats verkleinern, f aber nicht verändern;

tTrlr^lif^\'-V\'^\'fnbsp;^^^^^^^ und Einschlüsse.

quot;dL üb quot;quot; \'\'nbsp;Aggregaten kaum

großen rdativen Ungenauigkeiten der gemessenen Kristallmoduln

die^T ?nbsp;berechneten und gemessenen Größen dient

d e Tabelle A 1. Hierm sind S, und die Elastizitätskonstanten
der quasiisotropen Aggregate, definiert durch die Gleichungen:

= ßx^ -f u,s.w.

^z =nbsp;U.S.W.

Die zwei Baryte der Tabelle sind Stücke von verschiedener Farbe,
rz 1 ist Feuerstein, Quarz II Opal. Alle Konstanten sind gemessen

mm^\'

A 1. (Voigtsche Theorie)

Von den empirischen Größen ist eui anderes Symbol für den
Torsionsmodul der direkt gemessen wird. S und aber werden
berechnet aus % zusammen mit dem gemessenen Youngschen Modul ®
mittels der Gleichungen:

^ ((^ 2^1) (S — Si)nbsp;ngxm

eTlinbsp;.... V / 7

=nbsp;.........(14)-)

welche als Lösung ergeben:

2:(4X—. . (15)

3s —e

und

~ —

Kleine Fehler in (£ und % verursachen unter Umständen sehr be-
trächdiche Änderungen in (J und Um diese Vergrößerung der
Fehler zu vermeiden, empfiehlt es sich, umgekehrt mittels (13) und (14)
aus den berechneten G und die theoretischen Werte für S und %
zu bestimmen und diese zu vergleichen mit den gemessenen fi und

In die Tabelle A 2 haben wir neben ® und 51 auch das Verhältnis

aufgenommen, das wie | durch regelmäßig verteüte Porien nicht

geändert wird.

\' 10) w. Voigt, Wied. Ann. 42, S. 537, 1891; 44. S. 168, 1891.

u) vTrgl 2 B. Love, A Treatise on the Math. Th. of Elasticity, 4.h Ed., S. 102, 103.

messenen I«- Tnbsp;Schwierigkeiten, die alle ge-

Tr „Tv ^^ Konstanten sehr unsieher machen und in Anbe Jht

t Snbsp;quot;quot;quot; Einschlüssen hat Voigt wohl

lIchefthir-Tlquot;quot;\'^\'quot;quot; Obereinstimmung zu reden. Dif mag-

§ 4. Prüfung der Formeln (8) an neuen Daten.
D.e Grjmdsa^tze worauf die Voigtsche Theorie beruht, insbesondere
weit^äLtquot;nbsp;wahrscheinlich oft bei Met^ en

ZtrlnhieT Knbsp;Voigt seine bekannte

nnbsp;MetalleinkristaUe von ge-

S PrtSrTquot; quot;quot;quot;nbsp;der Theorie.

XriniV f u quot;quot;nbsp;Czochralski1918 die

^fdl strnbsp;quot;quot; S^hmelze\'.u ziehen.

von Goens an Aluminium und Gold
J^^^^J^ma und Sachs an Messing

quot;) Sgman\'\'^ •nbsp;^^^ ^^^^ 1918.

S.soe-zsxmlnbsp;^H-^IS, 1924; Proc. Am. Ac. 60,

quot;)nbsp;235-249, 1924.

quot;) Mazima inbsp;^^ 1929.

«ma u. Sachs, 2. f. phys. 50, S. 161-186, 1928.

Aus den von ihnen bestimmten Werten der Voigtschen Moduln sih
habe ich die Konstanten dh berechnet und mit einigen andern Konstanten
zusammengestellt in der Tabelle B 1:

quot;3

1

1

a

lt;u

2
V)

S
^

•s

Hier sindund A Größen, die im III. und IV. Kapitel benutzt
werden, mit den Defmitionen:

ƒ = Cu — Ci3 —

S = Cu — Ci2 — 2c«

C33 — 2CI3 —

als\'l\'Malquot;quot;quot;nbsp;-- - daher

als em Maß der Anisotropie betrachten. Bei den trigonalen Kristallen

st^ em weiteres Maß der Anisotropie, wie bei den tetrag^nalequot;
t-gg. °

vIZefTh?nbsp;® \'nbsp;Mf-g der

,0 r,nbsp;\'\'\'nbsp;zu bemerken:

i . ae Messungen der smd bis jeet „och aemlich ungenau

G dttnbsp;Genauigkeifbei:

Oold auf 5 /.; Maama und Sachs schreiben: „die Genauigkeit der
Me.ung .st aber ,US technisch nicht geklärten Ursachen ger£ quot;

C„ = ;-glL_ ^12

c -1 quot;)

C44 — —. )

•»44

i^ehler m und im allgemeinen stark vergrößert in und wie-
derkehren. So ist beim Messing c,, = ^^^^; ein Fehler von 1 o/„

gehler von 5 % m den Aggregatskonstanten ß und während in
aie i-ehler sich aufheben. Auch wenn die Voigtsche Theorie vollständig
icntig ist, wird sie also wohl nie genaue Übereinstimmung zwischen
en berechneten und gemessenen Aggregatskonstanten ergeben; ein
unterschied von etwa 5 % in (£ und S (wenn auch diese Größen weniger

Thw^^quot;\'\'\'nbsp;®nbsp;di^ Voigtsche

quot;) W. Voigt, Lehrbuch, S. 741.

Wie es um die Übereinstimmung steht zeigt die Tabelle B 2. Diese
Tabelle enthält:

1quot;. die mittels (8), (13), (14) aus B 1 berechneten Werte der Dehnungs-
und Torsionsmoduln (£ und X der quasiisotropen Aggregate,

2quot;. die empirisch bestimmten Werte derselben Moduln,
0

3quot;. das Verhältnis — als ein Maß für die Anisotropie der Kristalle,
Cii

4°. das Verhältnis dem Voigt großen Wert beilegt, weil es für

poröses und porienfreies Material denselben Wert aufweisen soll.

Von den vielen gemessenen Werten von @ und % habe ich bei jedem
Metall nur diejenigen aufgenommen, die an demselben Metallstück
gemessen sind; von den verschiedenen Daten desselben Forschers nehme
ich hier die Mittelwerte. Fortgelassen habe ich bei dieser vorläufigen
Prüfung die Metalle Zink und Cadmium, wo die verschiedenen empi-
rischen Daten in allzu scharfem Widerspruch stehen; dieser merk-
würdige Fall wird ausführlich besprochen im III. und V. Kapitel.
Beim (jold habe ich den Grüneisenschen Stab „Gold Iquot; quot;) fortgelassen,
obgleich seine ® und % beide gemessen sind; die Werte (J = 7,65,
Z = 2,55 würden bei Isotropie ergeben (nach (15) und (16)) (S = C^i = oo
und der Stab ist also gewiß nicht isotrop, wie Grüneisen selbst übrigens
empirisch nachgewiesen hat.

Dagegen habe ich die Kochschen Moduln von Messing quot;) aufge-
nommen, obgleich ® und 3: an verschiedenen Materialproben gemessen
sind; die Proben hatten aber gleiche Zusammensetzung (60% Gu,
40 quot;/o Zn) und waren in derselben Weise behandelt.

Mit Ausnahme dieser Messingkonstanten sind alle gemessenen Aggre-
gatskonstanten den Untersuchungen zweier Forscher entnommen, und
zwar den älteren von Voigt und den neueren von Grüneisen \'^i).

quot;) Grüneiscn, Ann. der Phys. 22, S. 801, 1907.

»») Koch u. Dannecker, Ann. der Phys. (4) 47, S. 197—226, 1915.

Koch u. Dieterle, Ann. der Phys. (4) 68, S. 441—462, 1922.
quot;) W. Voigt, Wied. Ann. 48, S. 674—707, 1893.
quot;) E. Grüneiscn, Ann. der Phys. 22, S. 801, 1907; 25, S. 825, 1908.

B 2. Vorläufige Prüfung der Voigtschen Theorie.

Aus dieser Tabelle lassen sich verschiedene Schlüsse ziehen.

Erstens über die Bedeutung des Dieses Verhältnis zeigte bei den

Gesteinen der Tabelle A 2 treffende Übereinstimmung, nicht nur
zwischen berechneten und mitUeren gemessenen Werten, sondern
besonders auch zwischen den gemessenen Werten untereinander, selbst
bei den so verschiedenen Materialproben Quarz I und II d. h. Feuerstein
und Opal. Bei den Metallen ist dies keineswegs der Fall. Bei gegossenen

und gezogenen Metallen stimmen die ^ im allgemeinen nicht besser

überein als die Q selbst und entschieden schlechter als die Dasselbe
gilt auch für verschiedene Proben desselben Forschers; wiesen doch
die verschiedenen Stäbe die Voigt aus demselben Messingstück schnitt,
a

für £ Werte auf von 2,82 bis 2,29, während die d von 9,8 bis 8,45, die

(£ von 3,47 bis 3,83 schwankten. Die Erklärung mag wohl sein, daß
die regellos verteilten Porien, welche Voigt zur Erklärung der merk-
würdigen Gleichheit des -| bei sehr verschiedenen ® und % heranzog,

beim vorsichtig gegossenen Metall, wie es zur Messung benutzt worden
ist, keinen entscheidenden Einfluß haben, wie Voigt schon vermutete 22).
Die Unterschiede in g und 2 mögen vielmehr hauptsächlich beruhen
auf die unvollständige Isotropie der einzelnen Proben, wie ich später
nachweisen werde.

Jeder einzelne Stab ist wegen dieser Anisotropie nicht ohne weiteres
brauchbar zur Prüfung der Voigtschen Theorie; bei Mittelwerten über
mehrere Stäbe werden diese Fehler sich mehr oder weniger atfheben,
und ist eine vorläufige Prüfung also möglich.

Zweitens zeigt die Tabelle B 2, daß die Übereinstimmung zwischen
Theorie und Erfahrung sehr verschieden ist, und zwar ergibt sich ein
merkwürdiger Zusammenhang mit der Größe der Kristallanisotropie.
Bei dem regulären Kristall wird die Anisotropie gemessen durch die

einzige Größe ^ Die berechneten Werte der Moduln sind überall
größer als die mitderen gemessenen Werte, und zwar:

Beim AI., ^o ^ 9 % beträgt, ist ß 4,4 %, S 1 % zu groß

quot;nbsp;quot; quot;27% „ „ „ 9,5%,,, 6,5% „

„ Messing, „ „ 73% „ „ „62 %, „35 %„

Die Zahlwerte der Abweichungen ändern sich, wenn man andre
Messungen hinzunimmt oder den gewählten Messungen verschiedenes
Gewicht zuschreibt. Ungeändert bleibt aber das Resultat, daß die Theorie
gut, mäßig, oder schlecht stimmt, je nachdem die Kristalle kleine,
mitdere oder große Anisotropie haben.

Dies weckt die Vermutung, daß die Voigtsche Theorie eine
erste Annäherung ist, welche für Kristalle mit kleiner
Anisotropienoch ziemlich gut stimmt, bei zunehmender
Anisotropie aber immer schlechter wird.

Die nicht regulären Metalle bestätigen diese Vermutung einigermaßen:

W. Voigt, Lehrbuch, S. 964.

beim Wismuth, wo ^ = 11 % beträgt, ist @ 2 % und S 10 % zu groß,
p

beim Zinn, wo ^ = 2 % beträgt, ist (i 4,4 % zu klein, 2 4,6 % zu groß,
doch gibt es hier mehrere Größen, die unabhängig von — die Anisotropie

mitbestimmen, z. B. —, das beim Bi und Sn bzw. 29 % und 24 % ist,

während beim Wismuth auch das ziemlich große Ci^ eine besondere
Anisotropie ausdrückt. Es ist nicht vorherzusagen, in welchem Maß
diese verschiedenen Anisotropien einander in ihrem Einfluß auf ß und Z
verstärken oder aufheben werden.

Voigt hat den approximativen Charakter seiner Theorie nirgendwo
ausdrücklich betont, vielmehr scheint er ^3) die unvollständige Überein-
stimmung den Materialfehlern des Aggregats zuzuschreiben. Im nächsten
Paragrafen werden wir zeigen, an welcher Stelle Voigts Ableitung theore-
tische Mängel aufweist. Der Aufbau der Theorie im IL Kapitel wird
dann zeigen, daß die Voigtsche Theorie in der Tat als
erste Annäherung herauskommt.

§ 5. Kritik der Voigtschen Theorie.

Die Voigtsche Theorie geht aus von der Bemerkung daß das elektrische
Potential, die Temperatur und die elastische Verschiebung stetig durch
die Grenzflächen der Kristallbrocken hindurchgehen. Daraus schließt
Voigt sofort, daß für ihre Ableitungen, — elektrische Kräfte, Tempera-
turgefälle, elastische Deformationen —•, dasselbe gilt. Die andern
Größen aber, die in den Problemen auftreten — elektrischer Strom,
Wärmestrom, elastische Spannungen — weisen nur Stetigkeit auf für
die normalen, nicht aber für die tangentiellen Komponenten 2«). Dies
genügt um den inneren Widerspruch der Voigtschen Theorie zu zeigen.
Ich beschränke mich auf die Elastizitätstheorie. Hätten wirklich alle
6 elastischen Deformationen auf beiden Seiten einer Grenzfläche zweier
Kristalle mit ganz willkürlicher Achsenorientierung denselben Wert,
so würden im allgemeinen die 6 Spannungskomponenten beiderseits
nicht denselben Wert besitzen, auch nicht die normalen Komponenten.
Nach dem Reaktionsprinzip ist dies aber notwendig, also sind gewiß
nicht alle Deformationen stetig.

quot;) Lehrbuch S. 962.

Voigt, Lehrbuch der Kristallphysik, S. 957.

Dies ist auch auf andre Weise einzusehen.

Wählt man die Normale der Grenzfläche zur Z-Achse, dann folgt aus
der Stetigkeit der Verschiebungskomponenten die Stetigkeit ihrer
Ableitungen nach x und y. Stetig sind also 3 Deformationen:

Stetig sind auch und nicht aber ^ und ^ und damit wird

die Stetigkeit der 3 Deformationen Zy und hinfällig 2®). Zugleich
aber auch die Gültigkeit der Voigtschen Theorie.

asj Das Beispiel des Aggregats aus dünnen nadeiförmigen Kristallbrocken,
womit Voigt, wie im § 2 zitiert wurde, die Stetigkeit der Deformationen zu beweisen
versucht, beweist nur die Stetigkeit der Ableitungen in der Richtung der Nadeln,
also der tangentialen Deformationen, sagt aber nichts aus über die normalen
Deformationen.

IL

VERSUCH EINER NEUEN THEORIE DER
ELASTIZITÄT QUASIISOTROPER MEDIEN.

§ 1. Grcnzbcdingungcn und Annahmen.

Im letzten § des vorigen Kapitels sind die richtigen Grenz-
bedingungen angedeutet worden. Wird an der Grenzfläche zweier
Kristallbrocken die Normale zur Z-Achse gewählt, und werden Defor-
mationen und Spannungen in dem einen Kristall einzeln, im andern
doppelt gestrichen, so gilt an der Grenzfläche:

wegen der Stetigkeit der Verschiebungen

yy\' = yyquot;, xy\'=^xyquot;,......(17)

wegen des Reaktionsprinzips

Zy\'=Zyquot;,nbsp;.......(is)

Im übrigen übernehmen wir die Voigtschen Annahmen in etwas
andrer Formulierung:

(I) die Kristallbrocken sind klein gegen die Dimensionen des
Aggregats,

(II) sie sind groß gegen den Wirkungsbereich der molekularen Kräfte,

(III)nbsp;sie schließen fest aneinander.

Dazu eine vierte die Voigt stillschweigend auch macht:

(IV)nbsp;im undeformierten Aggregat sind überall die Spannungen null,
oder so gering, daß für kleine hinzugefügte Deformationen das Hookesche
Gesetz gilt.

Für den Aufbau einer Theorie liegt die Sache nun viel ungünstiger
als bei den Voigtschen Grenzbedingungen. War das Aggregat, makro-
skopisch betrachtet, homogen deformiert, so durfte Voigt an jeder
Stelle jedes einzelnen Kristalls dieselben Werte der Deformationen
annehmen; aus der besonderen Orientierung der Achsen konnte er in
jedem Kristall die Spannungen berechnen, und das Mitteln dieser
Spannungen ergab die makroskopischen Spannungen und damit seine
Formeln (8). Die neuen, verbesserten Grenzbedingungen haben nur
Gültigkeit für ein bestimmtes, mit der Lage der Grenzfläche wechselndes
Koordinatensystem. Im allgemeinen Fall, wo die Brocken willkürliche

Formen haben mit Grenzflächen in allerhand Lagen, gibt es kein festes
Koordinatensystem im Aggregat, wofür auch nur eine der Defor-
mationen oder der Spannungen stetig bliebe; weder eine Deformation,
noch eine Spannung ist auch nur in einem Kristall homogen. Man
kann also nicht ohne besondere Betrachtungen über den Verlauf
einzelner Spannungen und Deformationen im Inneren der Kristalle
auskommen.

Ursprünglich habe ich versucht einige allgemeine Annahmen über
diesen Verlauf einzuführen, sie hatten aber immer etwas willkürliches
und ergaben außerdem zwischen den mit ihrer Hilfe berechneten
Aggregatskonstanten einen inneren Widerspruch, der allerdings nur
bei stark anisotropen Kristallen wie Messing eine merkliche Unsicherheit
der Resultate verursachte.

Aber auch in den Fällen, wo diese Ungewißheit nicht auftritt,
bleibt die Möglichkeit, daß eine andre Annahme andre Werte für die
Aggregatskonstanten ergeben würde.

Nur die Experimente könnten hier entscheiden. Leider sind vorläufig
die empirischen Werte der elastischen Konstanten, sowohl für Kristalle
als für Aggregate, noch viel zu ungenau, um sich zur Entscheidung
zu eignen. Es war mir, zu meinem Bedauern, nicht möglich, für will-
kürliche Aggregate auf einwandfreie Weise die elastischen Konstanten

streng zu berechnen.

Ich habe mich daher entschlossen einen besonderen Aufbau des
Aggregats zu wählen, wobei diese Schwierigkeit nicht auftritt. Die
Wahl ist naheliegend, ich mache die fünfte Annahme:

(V) das Aggregat besteht aus sehr dünnen Lamellen mit parallelen
Grenzflächen, wovon ein dünnes Paket noch alle möglichen Orien-
tierungen der Achsen in gleicher Häufigkeit, regellos verteilt, aufweist.

Bei diesem Aufbau des Aggregats kann man für alle Kristalle dasselbe
Koordinatensystem wählen mit der Normale der Grenzflächen als Z-Achse.
In diesem festen Koordinatensystem sind dann überall dieselben 6
Spannungen und Deformationen stetig, nämlich x^, Xy, Zx, Zy, Zz\'
Wir betrachten diese 6 Größen als unabhängige Variabein; die andern
6 Größen, Zy, X^, Yy und Xy hängen in den einzelnen Lamellen
von den ieweiligen Achsenorientierungen ab.

Mit den Grenzbedingungen verträgt sich ietzt die Festsetzung, jede
der 6 unabhängigen Variabein habe überall im ganzen Aggregat denselben
Wert. Dies ergibt für das Aggregat, makroskopisch betrachtet, eine
homogene Deformation; die 6 abhängigen Variabein sind konstant in

jeder einzelnen Lamelle, haben verschiedene Werte in den verschiedenen
Lamellen, und haben wieder feste Mittelwerte in Lamellenpaketen,
die dünn sind gegen die Höhe des Aggregats, aber groß gegen die Dicke
einer einzelnen Lamelle. Wollte man diesen Zustand darstellen durch
vorgeschriebene Spannungen oder Verschiebungen an den Grenzflächen
des Aggregats, so müßten diese auf den schmalen Seitenflächen jeder
Lamelle passend gewählt werden; Spannungen oder Verschiebungen,
die an jeder ebenen Grenzfläche des Aggregats überall konstante Werte
aufweisen, verursachen keine reine homogene Deformation. Doch scheint
es sehr wahrscheinlich, daß die Abweichungen sich ausgleichen werden
in einer schmalen Grenzzone der Lamellen; wir machen also noch
die Hypothese:

(VI) Wenn bei einem Aggregat des Typus (V) auf jeder Grenzfläche
konstante Spannungen und Verschiebungen herrschen, entsteht im
Aggregat, abgesehen von verschwindend kleinen Grenzgebieten, eine
elastische Deformation, wobei jede der 6 unabhängigen Variabein x®,
yy, Xy, Zxgt; Zy, Zz im ganzen Aggregat konstant ist.

Nach der Vorschrift (V) kann man noch sehr verschiedene Aggregate
aufbauen, indem man die Verteilungsfunktion der Achsenorientierungen,
die in den Lamellen auftreten, verschieden wählt. So kann man im
regulären System einmal alle Orientierungen zulassen, ein andres Mal
nur diejenigen, wobei die Z-Achse z. B. mit der Hexaedernormale
zusammenfällt. Ich werde Formeln aufstellen unter verschiedenen
Annahmen:

(Va) alle Orientierungen, die überhaupt auftreten können, kommen
regellos verteilt und gleich häufig vor.

(V/S) die Orientierungen sind nach irgend einem andern Gesetz verteilt.

Ein Aggregat der ersten Art nennen wir allgemein, eins der
zweiten Art speziell.

Ein spezielles Aggregat ist gewiß nicht isotrop, und auch bei einem
allgemeinen Aggregat darf man im allgemeinen keine Isotropie erwarten,
da die Z-Achse wohl in Bezug auf die Orientierungen der Kristallnetze,
nicht aber in Bezug auf die Lage der Grenzflächen gleichwertig mit
der X- und V-Achse ist.

Jedenfalls besitzt ein allgemeines Aggregat zylindrische Symmetrie,
wie ein Kristall des hexagonalen Systems, und ist also durch fünf elastische
Konstanten gekennzeichnet. Wie sich später herausstellen wird, ergibt
die Rechnung, daß bei Kristallen von kleiner und mittlerer Anisotropie
das Aggregat (a) praktisch schon isotrop ist; beim Messing aber ist (a)

noch merklich anisotrop. Will man in diesem Fall ein Aggregat erhalten,
das nahezu isotrop ist, dann kann man das Aufbauprinzip (V) noch
einmal anwenden.

Ich mache also die Annahme:

(VII) das Aggregat besteht aus dünnen sekundären Lamellen mit
parallelen Grenzflächen, und jede dieser Lamellen ist selbst ein Paket
dünnerer primärer Lamellen des Typus (Va), wobei die Normalen
dieser primären Lamellen alle möglichen Lagen haben, regellos verteilt
und in gleicher Häufigkeit.

Die Rechnung zeigt, daß diese Annahme auch bei Messing genügt,
um ein isotropes Aggregat zu erzielen.

Die Modelle, definiert durch die Annahme (Va) oder eine einfache
(V/3), haben den Vorteil, daß ihre Elastizitätskonstanten sich exakt
berechnen lassen. Dem steht der Nachteil gegenüber, daß ein solches
Modell wohl nie auch nur angenähert realisiert auftritt.

Ein Resultat ist allenfalls erreicht, man kann jetzt von einem möglichen
isotropen Kristallaggregat die elastischen Konstanten einwandfrei
berechnen. In den Fällen wo das Aggregat (Va) schon isotrop ist, die
Lage der Grenzflächen also keinen Einfluß hat, liegt die Vermutung
nahe, daß die berechneten Werte für alle isotropen Aggregate gelten
müssen. Andernfalls, wo die Lage der Grenzflächen sich geltend macht,
wie bei Messing, und auch bei Zink und Cadmium, haben vielleicht
die für das Modell (VII) berechneten Werte dieselbe allgemeine
Bedeutung. Wir dürfen aber nicht von vornherein die Möglichkeit
ablehnen daß für anders aufgebaute isotrope Aggregate die elastischen
Konstanten verschieden ausfallen und daß also das Voigtsche Problem
keine eindeutige Lösung besitzt. Sollten von einem reinen Metall
zwei porienfreie und erwiesenermaßen isotrope Aggregate verschiedene
elastische Konstanten aufweisen, so wäre dieser Unterschied vielleicht
aus der letzterwähnten Ursache zu erklären. Soviel mir bekannt ist
dieser Fall noch nicht vorgekommen.

§ 2. Theorie des allgemeinen Lamellenaggregats.

Ich will jetzt die elastischen Konstanten des allgemeinen Lamellen-
aggregats ausdrücken in den Konstanten der Kristalle. Im folgenden
bedeutet X, Y, Z ein raumfestes Koordinatensystem mit der Z-Achse
senkrecht zur Lamellenfläche; Zquot;, Zquot; sind in jeder Lamelle die
elastischen Hauptachsen, deren Lage festgelegt wird durch das Transfor-
mationsschema:

Mit Voigt nennen wir die freie Energie pro Volumeinheit einer will-
kürlichen Lamelle bei kleiner homogener isothermischer Deformation f.
Bevor wir über das Aggregat mittein, müssen wir erst das ^ schreiben
als Funktion der 6 Variabeinnbsp;y^, Xy, die ja im ganzen

Aggregat konstante Werte aufweisen. Dazu schreiben wir, wie in der
Einleitung:

2f = Z^c^x x^X^ y^Y^ XyXy . . . (1)

Wir können nun in zwei verschiedenen aber äquivalenten Weisen
vorgehen.

Das eine Mal werden Zy, in den gewählten Variabein ausgedrückt
durch Auflösung der 3 Hookeschen Gleichungen:

Zz — C\'siX^ — C\'aa^y — C\'sgXy = c\'ggZ, c\'ai^y c\'g^z^,
Zv — c\'nXx — C\'ia^t, — C\'w^v = c\'jgZ, 4- c\'44Zy

Zx — — — c\'^Xy = c\'ßgZ, c\'ßsr^. . (20)

Xa., Yy und Xy folgen dann aus den andern Hookeschen Gleichungen:

Xx =nbsp;c\'ia^v c\\^Xy c\'iaz, -}- c\\iZy

yy = c\'ziXx c\'sa^v -(- c\'^^Zy
Xy = c\'fliXx 4- c\\^Xy c\'ear, -f c\\^Zy -fnbsp;. (21)

Zur Abkürzung schreiben wir:

c\'aiXx nbsp; c\'ggXy = U^,

c\'ii^® 4- c\\.yy 4- c\'if^xy = C/j,

c\'isi^x c\'saJ\'v. c\\^Xy = C/ß.......(22)

und

-1- -f c\\^Xyquot;~ nbsp; nbsp; 2c\\^yyXy = U (23)

und schließlich:

34

Die Gleichungen (20) lassen sich dann schreiben:

c\'33^. d^^Zy c\'ssZ^ - Z, — f/g,
c\'lB^z c\'iiZj, c\'45Zj. = Zy — Ui,

c\\zZz c\\^Zy =nbsp;......(25),

die Gleichungen (21) ergeben:

yyYy XyXy = U U^z, UiZy U^z^

und aus (1) folgt:

21 - [7 (C/3 Zz)zz (C/4 Zy)zy {U, Z;)z, . (26)

Indem wir Zy und aus (25) auflösen und in (26) eintragen
erhalten wir:

Das Ziel ist hiermit erreicht, 2^ ist, wie zu erwarten war, eine
quadratische Funktion der 6 Variabein ZzZyZ^^yXy.

Diese Funktion hat aber die Eigentümlichkeit, daß die Produkte
wie ZzXx aus einer Spannung und einer Deformation wegfallen, die
Funktion 2^ hat also nur 12 Konstanten statt der allgemeinen Zahl 21.
Demzufolge würden wir durch Mittelung über das (axiale) Lamellen-
aggregat nur 4 der 5 erforderlichen Konstanten erhalten. Darum führen
wir, wie schon in der Einleitung bemerkt worden ist, die Funktion 97 ein:

lt;P = ^ — ZzZz — ZyZy — Z^Z^,nbsp;(6)

die in ihrem Aufbau der Potentialfunktion der Thermodynamik ähnlich
ist und sich der neuen Wahl der unabhängigen Variabein anpaßt. Aus

bk = XMx Yy^yy XybXy Zzbz, Zybzy ZJgt;z^
folgt ja für 99:

bcp = XMx Yyhv XybXy — Z^bZz — ZybZy — zJZcc,
und jede der neuen abhängigen Variabein ergibt sich aus einer partiellen
Differentiation von (p nach der hinzugehörigen unabhängigen Variabein:

\'dg)

u.s.w.

An die Stelle von (26) tritt jetzt die Gleichung

(C73 - (U, - Zy)zy iU, - . . (28)

oder mittels (25):

In dieser Formel sind U^, U^ und Ur, Linearfunktionen der Variabein
yy und Xy, U ist eine homogene quadratische Funktion derselben
Variabein und 2lt;p ist eine homogene quadratische Funktion der 6 ausge-
wählten Variabein Z,ZyZ^:cyyXy mit 21 Koeffizienten.

Jeder dieser Koeffizienten ist der Quotient zweier Determinanten.
Wir schreiben:

Au _ , /i, k, 1 = 3, 4, 5^

i, k, 1 = 3, 4,5
i^k^l

= ^ = SsJm = 1, 2, 6),

c m3 ** m4 ^ m5

:3i

C In C 43 C 44 C 46
V

C 5n C 63

54

Aus (29) erhalten wir dann für die Funktion cp in der einzelnen
Lamelle:

w 2 ;

2
2«41 V» 2e,.^Zyyy 2e,,ZyXy
nbsp; 2e,,Z,yy nbsp;...........

rreL? \' Tnbsp;willkürlichen Lamellen-

Aggregats im raumfesten Koordinatensystem XYZi

^nbsp;X 27 7 quot;f\'1 nbsp; 2nbsp;

^^ilZyX, 2^,,Zyyy 2^,,ZyXy

nbsp; 2e,,Z,yy nbsp;...............

Diese Gleichung legt den Grund für die neue Theorie der Beziehungen
Frktlfr?quot; rnbsp;n. Einerseits läßt sich

Zknterd^ rnbsp;quot; ^^^nbsp;Koeffi-

7- des Aggregats abhängen.
Andrerseits beruht die Berechnung der Koeffizienten ^33 u.s.w. in der

Gleichung (34) auf einfachen, wenn auch oft sehr umständlichen Ten-
sortransformationen. Die Gleichung (35) gestattet also die exakte
Berechnung der Aggregatskonstanten in allen Fällen, wo sich die
Mittelung der u.s.w. ausführen läßt. Ob diese Mittelung möglich
und mehr oder weniger leicht ist, hängt vor allem von der Verteüungs-
funktion der Achsenorientierungen in den verschiedenen Lamellen ab

(vl\'t T tu Tlnbsp;^^g^bt die Annahme

Va) die denkbarst einfache Verteilungsfunktion: alle möglichen Orien-
tierungen des Achsenkreuzes kommen gleich häufig vor

Dies vereinfacht die Gleichung (35) beträchtlich. Das ^ ist invariant
für Änderung des Vorzeichens der y- oder Z-Richtung, dies reduziert
Gl. (35) auf:

nbsp; nbsp;-f- 2E^^Z,yy.

Aus der Gleichwertigkeit der X- und F-Richtungen folgt:

=

^11 =

= ^32 ................

X- und F-Richtung sind auch vertauschbar mit jeder andern Richtung
in der X-V-Ebene, darausJolgt: ^ _

«P66 = KT\'ii —9^12) • .........(37)

Schließlich nimmt also für das allgemeine Lamellenaggregat (Fa) die
Gl. (35) folgende einfache Form an:

2^ = — — l^iZy^ nbsp; yvY

nbsp;— 4^x73/) nbsp; yy)......(38)

Wie schon im vorigen Paragrafen bemerkt worden ist, hat das allgemeine
Aggregat zylindrische Symmetrie. Es besitzt also 5 unabhängige
Elastizitätskonstanten Ku, 633»nbsp;quot;ndnbsp;wie bekannt, ist

®66 = i(®ii—M\' Um die Funktion (p für das Aggregat mit Hilfe der
Aggregatskonstanten in den 6 unabhängigen Variabein ZzZyZxXxVyXy
auszudrücken, wiederholen wir die Ausführung dieses Paragrafen für
ein zylindrisches Aggregat, wo die Z-Achse als 00-zählige Symmetrie-
achse auftritt. Die Gl. (24), (30)—(33) werden hier sehr vereinfacht.

A reduziert sich auf (^sa^u^, 633 wird ^44 wie (Jgg wird für
^31 wie £32 erhalten wir cpn und 9^22 werdennbsp;\' ergibt

schließlich erhält «pee den Wert See und weil für ein

zylindrisches Aggregat (wie für ein hexagonales ^istall) (See = 2 (ß^n— ^12)
ist, ist auch hier (pee = U\'Pn — \'Pii)\' Für das (p des Aggregats gilt also
die Gleichung:

nbsp; nbsp;. . . (39)

Aus (38) und (39) folgen dann für die 5 Elastizitätskonstanten des

allgemeinen Lamellenaggregats die Beziehungen:

J_ ^

®33

(E

= 5-44,...........(42)

= ...........(43)

Ken-Si2) = «P66............(44)

befecLtquot;\'nbsp;-- di^ 5 Aggregatskonstanten

erg^trquot;\'quot;\'\'\'nbsp;Annäherung

= ®13,

®44 = KSu — ßia) .........(45)

In diesen Fällen nennen wirnbsp;„„a bzw. und

staln Vquot; \'nbsp;^^^^ --ht/die Konquot;

nnfcn^^^^^nbsp;bestimmt. Bei andern Metallen

md die Gl. (45) mcht alle erfüllt; dann wird das Aufbauprinzip
(VII) angewandt Die berechneten ergeben dann die Elas^itTts
konstanten sekundärer Lamellen, womit wir das Verfahren wiederholen
In allen von mir durchgerechneten Fällen ergibt sich das sekundäre
Aggregat als praktisch isotrop, in mehreren Fällen ist die Anisotropie
der primären Lamellen schon so gering, daß die Voigtsche TheoL
genügt zur Berechnung der sekundären Konstanten.

Im IIL und IV. Kapitel wird die Rechnung durchgeführt für Kristalle
der hexagonalen und regulären Systeme. Dabei erweist sich die Auf-
stellung der Ausdrücke für J, Ö33 u. s. w. als sehr leicht, die Mittelung
aber als sehr umständlich. Insbesondere gilt das für und wo
die Zahler 4-reihige Determinanten sind und sehr verwickelte Formen
4. Grades der c,, ergeben. Die Rechnung wird aber beträchtlich
vereinfacht, wenn wir den im Anfang des Paragrafen erwähnten zweiten

Weg gehen. Wir gehen wiederum aus von der Gl. (6), ausführlich
geschrieben:

• ^T\'l\'\'nbsp;quot;quot;quot;nbsp;^^nbsp;ausgedrückt

m den 6 unabhängigen Variabein. Dazu werden jetzt die Hookeschen

Gleichungen benutzt in der Form (3a) der Einleitung. Das ganze Ver-
fahren verläuft parallel mit dem vorigen, also:

^x — s\'isZz — s\'iiZy — s\'i^Zx = s\'iÄ s\\zYy s\\^Xy,
yv — — s\'^iZy — s\'A = s\'nX^ s\'^^Yy

Xy — s\'esZz — s\'eiZy — s\'ß^Zx -nbsp; s\'^^Yy -f s\'^^Xy

z,nbsp;s\'aai\'. nbsp; nbsp;-f- s\'3,4

^J/ =^\'41^. s\',,Xy s\\,Zy

Mit den Abkürzungen:

^\'uZy s\'isZa; = Vy,
s\'izZz 5 ZiZy 5 25^X =

s\\^Zy s\'es\'^x = ........(22a)

und

s\'uZy\' 2s\',,ZzZy 2s\',,ZzZ, 2s\\,ZyZ, = V . (23a)
werden die Gl. (20a):

® ll-^x S liYy S 16-X\'j, = — Vi,

S 21-^x ^ 22^2/ ^ 26-^y ~ yj/- ^2\'

5\'eiZ, s\'e^Fy nbsp;= Xy — V,......(25a)

Jetzt werden Xx, Yy und Xy aufgelöst aus (25a) mittels der zweiten
Hauptdeterminante:

^12 ^16

Z == s\'ai s\'22 s\'26 ..........(24a)

^ 61 ^ 62 ^66

und eingetragen in die Gleichung:

2lt;p = XxXx yyYy XyXy — ZzZz — ZyZy — Z^Zx =
= Xx{Xx - 7l) Yyiyy - V,) XyiXy - V,) - V .

Dies ergibt:

Vnbsp;V^-Xxnbsp;V..-yy V,-Xy

Xx s 11nbsp;$12nbsp;5 16

^2 yvnbsp;S 21nbsp;S 22nbsp;5 26

V^ Xy S 61nbsp;$ 62nbsp;5 66

Für unsern Zweck genügt es, die Analoga der da und t hinzuschreiben,
also die Brüche mit 2-reihigen Zählern:

s\'lcknbsp;s\'kl

^ s\'iknbsp;s\'il

__s\'iknbsp;s\'il

^ S\'lknbsp;s\'il

Wir schreiben dann:

(i, k, 1=1, 2, 6
i^ktl
(i, k,i = i,2,e

2(p = OiiXx^ Oz^yy^ OjgXyä 4- 2ai2X^y„ u.s.w.........(34a)

und nach der Mittelung:

2\'^ = OiiX/ a22y!/® OeoXj/quot; 2oi2Xa;gt;\'y-f-u.s.w........ . (35a)

wo wiederum:

quot;quot; = .............(36a)

= iioii — Ö12).........(37a)

\'66

Die Vergleichung mit (39) ergibt dann

™ S13quot; —

quot; ^ quot;quot;quot;.........(43a)

— ©12) . ............(44a)

und noch 3 andre Gleichungen, die (40)-(42) entsprechen. In diesen
3 neuen Gleichungen treten jet,t aber 3- und 4-reihige Determinanten
au^ sie smd also für die Rechnung weniger bequem als (40)-(42) selbst.
Es ist klar, daß die neue Gleichung (34a) für jede einzelne Lmelle

identisch ist mit der alten Gl. (34), es ist also = ^ für jede Wahl

dernbsp;des Schemas (19). In der Tat wird sich bei der Anwendung

der Formeln im III. Kapitel zeigen, daß zl und ^ Funktionen der
Richtungscosinus mit proportionalen Koeffizienten sind. Die Ausdrücke
tur 2a und ^-e« sind aber so viel einfacher als die für und daß
es vortedha t erscheint, für die Rechnungen im hexagonalen System
neben (40), (41) und (42) die Gleichungen (43a) und (44a) zu benutzen.

Bei den regulären Kristallen gestaltet sich die Rechnung einfacher.
Hier werden bei allseitig gleichem Druck die Kristalle gleichmäßig
deformiert, die Kompressibilität hat also denselben Wert für alle
Lamellen und für das Aggregat. Diese Betrachtung liefert sofort die
2 einfachen Gleichungen:

^^^nbsp; nbsp; ®i3 = Cn 2^2......(46)

2^13 ©33 = Cii 2^2......(47)^

die sich natürlich auch aus der allgemeinen Theorie ergeben

Nachdem (S33 und S44 aus den Gl. (40), (42) berechnet worden sind
berechnen wir (5x2 und ©^3 aus (46) und (47). Schließlich gilt\'
wie wir im IV, Kapitel nachweisen werden, im regulären System dié
Beziehung:

4(6n - = 2c,2 4C44) ~ 4c,,(c,, - c,) ^ - 3c, (48)

welche mit (46) zusammen die Berechnung von und gestattet.

Die Berechnung von .31 und von den oderä,, ist also im regulären
System überflüssig.

§ 3. Die Voigtschen Formeln als erste Annäherung.

Wir wollen jetzt zeigen, daß die neuen Formeln für die Konstanten
des primären Aggregats, falls die Anisotropie des Kristalls sehr klein
ist, die Voigtschen Formeln als erste Annäherung ergeben. Das Aggregat
ist in diesem Fall also praktisch isotrop. Dazu gehen wir von unsern
Formeln (40)—(44) aus.

Kleine Isotropie bei einem Kristall eines willkürlichen Systems
bedeutet, daß alle Richtungen im Kristall nahezu gleichwertig sind.
Daraus folgt, daß bei jeder willkürlichen Wahl des Achsenkreuzes:

c\'ii, c\'22, c\'33 wenig verschieden sind von einem festen A,
C 23, c 31, c 12 „nbsp;„nbsp;„ „ „ „ Bf

Inbsp;tnbsp;M

quot; gt;gt; H }gt; tt C,

iV 55,

Während alle andern c\'i^ wenig verschieden sind von Null. Für A, B
und C können wir die Voigtschen Mittelwerte wählen, wie sie durch
die Gl. (7) definiert sind. Mit Vernachlässigung von Beträgen, die
klein sind von höherer Ordnung, wie c\'342, (c\'^^^ — Ay u.s.w. erhalten
wir (mit Anwendung des Zeichens ~ für „annähernd gleichquot;), aus (24):

und daher aus (30):
ö

\'33

-\'33

welche Gleichung bei Voigt aus (12) folgt und auf die erste Voigtsche
Gleichung (8) führt.
In derselben Weise folgt aus (24), (30) und (42)

~ c\'44...........(49b)

und daraus die 3. Gleichung (8).
Aus (24) und (32) erhalten wir:

^ /i , c\'i3 — B c\',, - A]
c\'33 ÄV ——

- ^^ I di.-B

5nbsp;A

und nach (41) und (49a)

©13 = ©33 . i^i ~ S fl

Vnbsp;B y

oder

©13 ~ c\'i3 ..........

woraus sich die 2. Gleichung (8) ergibt.
Weiter gilt nach (24) und (33)

9?ii ~ c 11

33

und aus (49a) und (49c) erhält man leicht

^^ fZl

©33 l C\'33

woraus nach (43) folgt:

©n ~ c\'ii ............(49d)

Schließlich ergibt eine andre der Gleichungen (33) zusammen mit (24)

lt;P66 ~ c\'eo

und nach (44) gilt

i(©ii — ©12) = ©66 ~ C\'BS.......(49e)

Die Formeln (49d) und (49e) ergeben aufs neue die 1. bzw. 3.
Voigtsche Gleichung; außerdem bestätigen sie, daß das Aggregat
annähernd isotrop ist.quot; Die Voigtsche Theorie ergibt also eine genügende
Annäherung bei kleiner Anisotropie der Kristalle.

Übrigens könnte man eine zweite Theorie aufstellen mit ebenfalls
beschränkter Gültigkeit, sozusagen die Antipode der Voigtschen Theorie.
Sie ergibt sich, wenn man statt der Gl. (40)—(44) die Gl. (43a) und
(44a) samt 3 weiteren Gleichungen in s\'^^ hinschreibt und die analoge
Annäherung ausführt. So erhalten wir z.B. aus (44a):

1 _
M©n-©12)quot;®««
solche Formeln drücken eine Annahme aus, welche der Voigtschen
Annahme diametral gegenüber steht, nämlich daß nicht die Defor-
mationen, sondern die Spannungen stetig durch die Grenzflächen

hindurchgehen. Jede dieser Annahmen enthält 3 richtige und 3 falsche
Grenzbedingungen, jede ist annäherungsweise richtig in demselben
Fall, nämlich wenn die Kristalle ungefähr isotrop sind.

§ 4. Allgemeines über Prüfungen der Theorie.

Im§ 1 dieses KapitelssinddieAnnahmenaufgestelltworden,welchezum

Aufbau der Theorie dienen. Wir heben 3 dieser Annahmen hervor-

(I) Die Kristallbrocken sind sehr klein, die Materialprobe enthält
von ihnen eine sehr große Zahl.

(III) Sie schließen fest aneinander.

(Via) Alle Achsenorientierungen kommen regellos verteilt und gleich
häufig vor.

Diese Annahmen beschränken die exakte Gültigkeit der Theorie
sehr stark.

(I) schließt alle grobkörnigen Aggregate aus, und von den fein-
kornigen alle diejenigen, wo eine oder die andre Dimension sehr klein
ist, also Metalldrähte und -bänder. Sehr große Stäbe würden der Bedinging
(I) am besten genügen, sie sind aber für die feineren Experimente un-
brauchbar. Bei den verschiedenen kleinen Stäben, die Voigt!») aus
demselben Gußstück schneidet, ist die Zahl der Einzelkristalle offenbar
ungenügend, jeder Stab hat eigene Werte für die Moduln, deuüich
unterschieden von denen der Nachbarstäbe. In einigen Stäben heben
sich die Störungen ungefähr auf, sie genügen dem Isotropiekriterium
(52), das wir weiter unten ableiten werden; solche Stäbe werden wir in
den nächsten Kapiteln wählen zur Prüfung der Theorie.

(III) war sehr schlecht erfüllt bei den dichten Gesteinen der Tabellen
A 1 und A 2, an denen Voigt seine Theorie geprüft hat. Für alle Ab-
weichungen von der Annahme (III) benutzen wir im folgenden das Wort
„Porositätquot;. Dieser Begriff umfaßt also den Einfluß der leeren Räume
im Aggregat, der eventuellen Bindesubstanz zwischen den Kristall-
brocken, der relativen Bewegung der Oberflächen zweier Nachbar-
kristalle. Ein Maß für die Größe der Porosität gibt die Kompressibüität
des Aggregats. Ist die Bedingung (III) genau erfüllt, so ist im regulären
System der Kompressionsmodul ß des Aggregats gleich dem fl der
Kristalle; im regulären System erzeugt ja ein allseitig gleicher Druck
eine allseitig gleiche Kompression. Bei den andren Kristallsystemen
ist der Zusammenhang nicht so einfach, hier müssen wir zuerst aus

«) W. Voigt, Wied. Ann. 48, S. 674—707, 1893.

den Kristallkonstanten die Elastizitätskonstanten g, und g des

modul. Hier wie dort müssen wir dieses berechnete ß vergleichen mit

weiß an kemem Aggregat dessen S oder 2 wir kennen, auch das ß direkt
gemessen worden. In den meisten Fällen sind von dem einzelnen Stab
nur die eme oder die andre von den Dehnungs- und Torsionsmoduln
e und 2 gemessen, oder auch beide. Im ersten Fall ist das ß des Aggregats
Uberhaupt nicht zu berechnen, im zweiten Fall nur bei nachgewLene
Isotropie des Aggregats. Die Untersuchung der Porosität ist daher
verknüpft mit der Prüfung der Isotropie, zu welcher wir sogleich übe

f wnbsp;^^^nbsp;^^^^nbsp;-inen @ und ^

der Wert des ^ ausrechnen. Die Formel für die Beziehung zwischen (£

Z und ß wird in der folgenden Weise abgeleitet.nbsp;^^^«\'^^en

Aus den bekannten Gleichungen für ß, @ und für die Querkontrak
tion yw des isotropen Mediums:

3ß = g 26i

(S 2g,) (S - 6,)

®

®

..........(50)

r- g

2(1 ............(51)

Die Elimination von ß ergibt

2 3ß - 3

oder

J. _3 I

3^î e ................

Mit der Formel (52) läßt sich der Kompressionsmodul des Aggregats
berechnen und benutzen zur Prüfung der Porosität. Das Resultat ist
sehr verschieden.

Beim Flußspat ergibt (52) als Mittelwert der 2 am hp^t.,. ; .
Aggregate Voigtsnbsp;isotropen

= 19,600

mm\'

während die Kristalle ergeben ^s)

= 25,850

mm^

die Porosität ist also sehr groß

-nd IVnbsp;Aggregaten die in den

Kap V trSSnbsp;quot;quot;nbsp;Aggregaten des

^rd In ie V ■\'tTv quot;quot;quot;nbsp;^^ quot;r^^e. Im aUgemeinen

St^e It 7 \' Ve^\'-ng\'-) bestätigt, daß bei Metallen die
J^nstaile gut Zusammenschließen.

keS:nbsp;^^^^^ ^^^^ - quot; Schwierig-

Zwar gestanet jetzt die Röntgenanalyse einen guten Überblick über

tlnbsp;Aggregat, die schönen Untersuchungen

von Voigt und Gruneisen, welche die vollständigsten Daten zur Prüfung
unsrer Theorie ergeben ««), stammen aber aus der Zeit vor dem Laueschen
Versuch. Die Isotropie muß also in indirekter Weise nachgewiesen werden.

Beide Forscher haben ihre Aufmerksamkeit auf die Isotropie ihres
Materials gerichtet. Voigts Messungen beweisen im allgemeinen die
Gleichwertigkeit aller Richtungen senkrecht zur Stabsachse; ob diese
Richtungen aber auch mit der Stabsachse selbst gleichwertig sind, geht
aus den Messungen von (£ und Z nicht hervor, und gerade diese Gleich-
wertigkeit ist weder bei gegossenen noch bei gezogenen Stäben von
vornherein gewiß.

Grüneisen prüft sie nach mittels der Gl. (51)

2(1

Mit dieser Formel berechnet er aus den gemessenen Werten (5 und Z
eine „dynamischequot; Querkontraktion /i und vergleicht diese mit der

») W. Voigt, Wied. Ann. 42, S. 537—548, 1891.

^us den Voigtschen Konstanten, Lehrbuch S. 744.
quot;) W. Voigt, Lehrbuch S. 964.
»») W. Voigt, E. Grüneisen, 1. c. bei der Tabelle B 2.

direkt gemessenen „statischen\'\'. Die Formel (51) güt für isotrope
Substanzen, die Übereinstimmung von fidyr, und fi^t ist also ein
Kriterium für die Isotropie des Aggregats. Die Resultate haben wir
zusammengestellt in der Tabelle C:

C. Isotropie des Grüneisenschen Materials.

Platin, Bronze und Palladium sind gegossen, die andern Stäbe gezogen.

In den meisten Fällen ist die Übereinstimmung gut, unterm Strich
stehen einige Aggregate, 2 gezogene und 2 gegossene, wo das Material
sich sehr anisotrop zeigt; bei Au. I und Bronze war übrigens die
Anisotropie schon bei den Messungen selbst hervorgetreten.

Die Isotropieprüfung mhtels der Formel (51) ist unmöglich, wenn
an der Materialprobe nur 2 elastische Größen gemessen sind. Grüneisen
hat bei Cd, Sn, Pb, Bi nur Q und /x gemessen, Voigt an allen Metall-
stäben nur ß und 2;.

In diesen Fällen ergeben die Gleichungen (50) bzw. (52) Kriterien
für die Isotropie, wenn in irgend einer Weise der Kompressionsmodul
der Aggregats bestimmt ist. Dieser folgt bei den regulären Kristallen
direkt aus den Kristallkonstanten Cn und c^a; in den anderen Systemen
müssen erst nach der Theorie dieses Kapitels die 6 und ©i des isotropen
Aggregats berechnet werden, daraus folgt dann das Ä, das zur Isotropie
gehört. Der so berechnete Wert enthält also die Fehler der Kristall-

konstanten und eventuell der neuen Theorie, außerdem den Einfluß
der unbekannten Porosität des betreffenden Materialsnbsp;rf

wißheiten machen die Entscheidung nach der Fortd (50^ quot;

Ziemlich illusorisch: 1-2;. ist ja von derselben Größenordnung wie ^
An^rnbsp;quot; ^nbsp;quot;quot;--quot;dert zurück in \'

^^^nbsp;- ® ^ beLm sind.

3nbsp;2 e 3ß

3nbsp;-

ist - sehr viel größer als 1 eine Ungewißheit von 10 o/„ in ß bedeutet

demnbsp;\' quot;nbsp;--nbsp;(52) aus

Is S?abenbsp;n quot;nbsp;^nbsp;-- - bei Isotropie

LterSl t hT quot;nbsp;dieser 2 Werte ein neues

Kritermm für d,e Isotropie, das dem Grüneisenschen (Gl. (51)) ungefähr

gleichwertig ist Wo diese Kriterien versagen, ist das Matlial iZ ,1
anisotrop. Im III. und IV. Kapitel wird sich herausstellen, daß dies bei
vie en Stäben der Fall ist. Dies war von vornherein zu erwarten.
Polanyi ) hat die „stark erhöhte Häufigkeitquot; von bestimmten Kristall-
onentierungen bei gezogenen Stäben von C«, AI, Pd nachgewiesen -
die Grüneisenschen Stäbe sind zwar nachträglich geglüht, ein Blick
auf die Tabelle C lehrt aber, daß dieses Glühen nicht immer genügt
um Isotropie herzustellen, über derartige „Faserstrukturenquot; bei
gegossenen Metallstäben habe ich in der Literatur keine Angaben
gefunden. Es ist aber, besonders beim vorsichtigen Gießen, wie Voigt
es anwendet, nicht unwahrscheinlich, daß die ersten Kristalle, welche
sich m der Schmelze bilden, gewisse Vorzugsorientierungen aufweisen
m Bezug auf die Vertikale, d. h. die Stabsachse. Derardge spezielle
Onentierungen sehen wir ja oft auftreten beim ruhigen Kristallisieren,
sowohl an der Oberfläche, z.B. bei Eis und Kochsalz, wie im Innern
der Losung, z.B. bei Alaun. Die meisten gegossenen Stäbe, die Grün-
eisenschen der Tabelle C wie die Voigtschen der vorhin erwähnten
Untersuchung, zeigen deuüiche Ungleichwertigkeit der Richtungen
parallel und senkrecht zur Stabsachse.

\'») Polanyi, Z. f. Phys. 17, S. 42—53, 1923.

Im V. Kapitel wird der Versuch gemacht, die elastischen Eigenschaften
verschiedener anisotropen Aggregate dadurch zu verstehen, daß wir
anstatt der Annahme (Va) die Annahme (Vß) des § 1 dieses Kapitels
zugrunde legen. Wir untersuchen die Eigenschaften eines lamellären
Aggregats, wo in den verschiedenen Lamellen die Achsenorientierungen
nicht regellos verteüt sind, sondern einem Verteilungsgesetz gehorchen,
bei dem gewisse Orientierungen eine Vorzugsrolle spielen.

Diejenigen Stäbe, die einem der Isotropiekriterien (51) oder (52)
ungefähr genügen, büden das Material zur Prüfung der neuen Theorie
für isotrope Aggregate, und zur Vergleichung der neuen Theorie mit der
alten. Die Resultate finden sich im IIL und IV. Kapitel. Hier sei noch
bemerkt, daß die zwei Kriterien notwendige, nicht aber hinreichende
Bedingungen für die Isotropie des Aggregats darstellen. Besonders
bei den gezogenen regulären Stäben, wo nach Polanyi zwei verschiedene
Vorzugsorientierungen zusammen auftreten, kann man sich denken,
daß die spezielle Struktur wohl die Werte (g und nicht aber den
3 1

(ß ~ 2nbsp;ändert, so daß der anisotrope Stab dennoch der

Gleichung (52) genügt. Auch hierüber berichtet das V. Kapitel.

quot;^ES ALLGEMEINEN
AGGREGATS HEXAGONALER KRISTALLE.

tt taT/^^°Ka?^\'\'rV■quot;•

dasraumfes,eKll„ ,nbsp;bezeichnen wir in der Einzellamelle

Hauptachsen mit 7. , fnbsp;kristaUografischen

,.........(53)

. J \' quot;nbsp;quot;sA^a/s lort. wiegen der zylindrischen

Symmetrie der elastischen Eigenschaften reduziert sich die Zahl der

Zur Abkurzung schreiben wir für 3 dieser Konstanten:

Cii = a

Ci3 = b

, . .nbsp;C44 = c . . . ........ /54\\

und für eimge oft vorkommende Kombinationen:

Ca — Ci3 — 2C44 = /

«^11 — C12 — 2c„ = g

^11 C33 — 2ci3 — 4CI4 = h

woraus folgtnbsp; = k............(55)

Ci3 —=nbsp;..........(56)

Die Größen j:,, y^, z^, \\zy, ^z^, Ixy sind die Komponenten eines
symmetrischen Tensors. Hieraus folgen die Transformadonsgleichungen:

-nbsp; nbsp; r^Z, ß, y^ y^ y^a^z,

u. s. w.

y\\ =nbsp; 2ß,ßyy 2y,yz, (ß,y ßy,)y^

{y^o. nbsp; {a^ aß^)zy..........(57)

u .s. w.

Für die freie Energie reduziert sich Gl. (2) auf:
21 = qifeoj 2c,3(x,o
nbsp; nbsp;...........(58)

Führen wir in diese Gleichung die Werte x^« u.s.w. aus (57) ein,
so erhalten wir die freie Energie in Bezug auf die Koordinaten XYZ,
bestimmt durch eine Gleichung von der allgemeinen Form (2)

nbsp; c\'ßsz/ c\'eeXj,^ nbsp; nbsp; nbsp;

nbsp; 2c\\^yyz^ 2c\'.^z,Xy

nbsp; 2c\\eyvXy nbsp;

^c\'iex^xy 2c\\iyyy,

Hier ist

c\'n = CixOi« ciia^* CggO« nbsp; a^^) nbsp;

nbsp; y^y,^) -nbsp;=

= c„ — 2a2(c„ — Ci3 — 2C44) a4(cii C33 — 2ci3 — 4C44).

In derselben Weise werden die anderen c\',-,. abgeleitet, wobei stets
Gebrauch gemacht wird von den Identitäten:
ai2 nbsp;I_a2

^ißi «2/^2 = — oß
a^ßz — a^ßx = y u.s.w.

So erhalten wir die Transformationsformeln, die in abgekürzter
Form lauten:

c\'ii = a — 2/a2 ha^nbsp;c\'23 = fe — (gnbsp; hß^y^

c\'22 = a - 2fß^ hß^nbsp;= fi - (g -f)ß^

c\'33 - a — 2fy^ hy^nbsp;= b — {g —f)y^ ha^ß^

c\'44 = c kci\' hß^y^nbsp;c\'56 = ßyi- lg ha^)

c\'55 = c isß\' hy^a^nbsp;= ya(- ^g hß^)

c\'e« = c iSY\' ha^ß^nbsp;c\'45 = aß{- ^g hy^)

c\'u = ßyig — f ha^)nbsp;c\\, = yai—f ha^)

c\'25 = ylt;xig-f hß^)nbsp;c\'26 = aß{-f hß^)

c\'36 = aß{o — f hy^)nbsp;c\'34 = ßy{—f hy^)

c\'n = ßy{-f hß^)

c\'35 = yai—f hy^).........(59)

Wie zu erwarten war, fallen die Richtungscosinus der und Vquot;-
Achsen aus den Formeln weg.

Genau in derselben Weise läßt sich die Transformation der s\',,., der
Koeffizienten der Gl. (2a), durchführen. Hier sind die analogen Abkür-
zungen:

-■^13- 1^44 = -fnbsp;1

(54a)nbsp;5„ — Si2 — hii = G I (55a)

^11 S33-2Si3 — S44 = J

(54b)
mit Si3

(56a)

Die Spannungen sind Tensorkomponenten mit den Transformations-
gleichungen:

u.s.w.

y.o = a^aX^ ß,ßYy Y^yZ, {ß,y ßy,)Y,

iy^a nbsp;-f {a^ß aß^)Xy..........(57a)

u.s.w.

Diese werden eingeführt in den Ausdruck für die freie Energie im
hexagonalen System:

= SniX,^\' y/\') 533^.quot;\' nbsp; nbsp;

nbsp; 544(7,0\'- ^ 2(5„ -nbsp;. . (58a)

So erhalten wir die Transformationsgleichungen für die s\'j^: ■

s\'n = A — 2Fa- Ha*

s\',, = A — 2Fy^ Hy*

s\'44 = C 2Ga2 AHßY
5\'55 = C 2Gß^
s\'ee = C 2Gy^

s\'u = 2ßyiG-F Ha^)
s\\, = 2ya{G-F Hß^)
s\',^ = 2aßiG — F Hy^)

5\'23 =B — {G — F)a^
s\'31 = ß — (G —
s\'i2 = B — iG — F)y^ Ha^ß^

s\\^ = 2Gßy{—G^2Ha^)
s\'e4 = 2Gya(— G -f 2Hß\')
s\\, = 2Gaß{—G 2Hy^)

s\\^ = 2ya{—F Ha\'-)
s\\, = 2ßy{-F Hy^)

s\'i8 = 2a/?(—F-fHaquot;)
s\\A = 2ßy{—F Hß^)
s\'z, = 2yair-F Hy\'-)

§ 2. Die Koeffizienten der Funktion qgt;.

Im vorigen Kapitel ist gezeigt worden, daß wir von den Koeffizienten
der Funktion lt;p nur brauchen:

^nbsp;^^^ ^e

Von den zweireihigen Determinanten benutzen wir also A,,,
und 2\'ee; außerdem noch A,,, A,, zur Entwicklung der 1. Hauptdeter-
minante J Z und zur Entwicklung der 2. Hauptdeterminante X

E^as einfacher gestalten sich die Formeln, wenn wir statt

und die Summen A,, E,, E,, und 2-22 berechnen
und außerdem zu Hilfe ziehen.nbsp;\'\' berechnen

Zuerst berechnen wir die Hauptdeterminante.
Nach (24) und (59) ist

A =

ßri—f hy^), c iga^ -f hßY, aßi— ig hy^)
ya{~f hy^), aß{- Jg hy% c ^gß^ hy^a^

Sodann finden wir aus (30)

^3 = {c Ml — y\')} {c -t- /lyHl —
^44 ^65 = {2c ig(l -y\')}(a~2fy^ hy^) - (ƒ^ - ah)y\\l - y^).

Aus (31) folgt

^35 = ay{c k(l — y^)} (ƒ — hy%.
^34 = ßy{c ig(l — {f—hy\\

Jetzt können wir A entwickeln, und finden
alsonbsp;\'

nbsp;{ac-y,f f^-ah) y\\ch p-ah)} (61)

Wir sehen daß a und ß aus der Hauptdeterminante wegfallen.
Wir können also schreiben:

.............(62)

wo ^ = ac - y,f P- ah) 4- P~ah) . . (63)

Aus (32), (59) und (55) folgt in derselben Weise

Für die erste Gruppe der Koeffizienten finden wir also:

--5..................(64)

31 «32--g--(65)

a—2fy^ hy^ cia—2fy^ hy*)—iP—ah)y^{l—y^) _

^nbsp;{c Ml —

«5nbsp;

Für die spätere Mittelung schreiben wir mit Vorteil (nach (63)):
a — 2fy^ hy^ = j-{ö (/^ — ah)yHl — y^)},

A 1 A _ 1 J__1nbsp;, p — ah y2 — y*

Wir gehen jetzt zur zweiten Gruppe über.
Die 2. Hauptdeterminante wird nach (24a) und (59a)
A — 2Fa2 Ha\\ B—{G—F)y^ Ha^ß\\ 2aß{— F Haquot;^)
B-{ß-F)y^ Ha^ß\\ A - 2Fß^ Hß\\ 2aß{- F Hß^) (60a)
2aß{— F Ha% 2aß{— F Hß% C 2Gy^ AHa^ß^

Bei der Entwicklung dieser Determinante wird sich wiederum zeigen,
daß alle a und ß wegfallen.
Wir finden aus (30a) und (31a):

= (C 2Gy 2) {2^_2F(1— nbsp;}

= (C 2Gy2) {_ ß (G — Ha\'-ß^} Aa^ß^F^ — AH),
-Tee = (^2 — 2i4F AH — B^) 2y\\AF — AH BG— BF)
y*{AH—{G—F)^) 2a^ß^{—AH— BH 2F^—FH)
2a^ßYGH,
oder mit (54b)

2\'«e= {AD—B^) 2y^AiF—H) ß(G—F)} y*{AH—iG—F)^}
nbsp;— D)—HiA B)} 2a^ßYGH

Weiter folgt aus (24a) nach einer umständlichen Rechnung:

odtt Z={p 2Gy^) .....................(62a)

mita = AD—B^- 2yHA{F-H) B{ß—F)} y^{AH-{G—Fr}^ (63a)

Die zweite Gruppe der Koeffizienten wird so nach einiger Rechnung:

^^^^nbsp;(C 2Gy-W

1nbsp;Ha^ß^

= cTW »

Hieraus entnehmen wir zwei Formeln, deren Mittelung leicht vor-
zunehmen ist:

1 , B — (G — F)y^

= C -^^- ♦ ♦ ♦ • (68)

Wegen der Beziehungen (36a) und (37a): ^^ =nbsp;= — ä^^)

genügen (67) und (68) zur Berechnung der und Ogg; zusammen mit
(64), (65) und (66) ergeben sie also die 5 notwendigen Formeln.

Wenn wir (62a) und (63a) vergleichen mit (62) und (63) so sieht man,
daß die zwei Hauptdeterminanten A und 2 ganz ähnlich smd. Dies war
zu erwarten, da die Of^, welche 2 im Nenner haben, identisch sind mit
den GiT, welche A im Nenner enthalten. Es muß sich also ergeben, daß
die Koeffizienten der 2 denen der A proportional sind. Es wird sich
lohnen A und S in den Cij^ auszudrücken, wodurch die Proportionalität
zu Tage tritt; alle 5 Formeln erhalten dann denselben Nenner und die
Integration wird erleichtert. Die Zähler der Formeln (67) und (68) sind
Funktionen der auch diese werden in umgerechnet. Dazu
gebrauchen wir die Transformationsformeln für das hexagonale System

«) Vgl. Voigt, Kristallphysik, S 747, wo die c^^ in s^j. ausgedrückt stehen.

. __Cis^ _ C12C33-C^g^nbsp;Ci3

quot; - - c,,)\' - Xic, - \' = - X

Cii Cj_2

S33- ^

wo A = c33(cn C12) — 2ci32
Einerseits ist A, nach (61):

^ = {c k(l — y\')} [ac - YK2cf P — ah) y\\ch P — ah)]
und wir können nach (54) und (55) schreiben:

^ = Icuc44(cii — C12) (1 — Ly^) (1 — My^ Ny*) . .
S Cii — C12 — 2C44

wo L =

Ca — Ci2

^ _ 2cf-\\-P — ah ^ 2c44(cu ci3) —CnC33 Ci32

acnbsp;CnC44nbsp;\' \' \'

=nbsp;— ah _ c44(cn C33 2^3) — CnC,., c^^

acnbsp;C11C44

Anderseits ist H, nach (61a):
2quot; = (C 2Gy^) [AD — B^ — y^{2A{H — F) 2B{F — G)}

und nach (54a)—(56a) können wir für diese Form schreiben:

2(^11 — Sia — *5i4)
S44

(S11S33 —Si3\')[1 —

25„(533 — ^13 — K4) 2^13(512 — 5,3)

^11^33-

^.1^11(^11 533 — 2^13 — 544) — (5^3 —

Mittels (69) und (70) bekommen wir hieraus
Cll

\\ ^,g2c44(qi ci3)—CiiCaa Cis^ ^
C11C44

C12

.^cujcii C33 2ci3) — CnC33
C11C41

^ = C44(Cu-CX2)A - ^^^^ - ^^^

Somit ist die Proportionalität der zwei Hauptdeterminanten erwiesen.
Der Proportionalitätsfaktor ist^ =nbsp;^^^ ^rade

— 6 m den c^-j, wie es für den Quotient zweier dreireihigen Deter-
minanten mit Elementen s\'^ und zu erwarten war.
Dieselben Transformationen (69) ergeben für den Zähler der Formel (67)

(C iï) (2G — — Hy^il — y^) =

(cii — C12) (Cn C12 2CI3) C11C33 — Cig^ _

c

—nbsp;yHiCn — C12) (c„ C12 2ci3) — (cu 2ci2)c33 3^,2} —

-nbsp;r\'il-y\') |(Cn-Ci2) (cu ci2 2q3)

Mit der Abkürzung:

Q = (CU — C12) (Cll C12 2Ci3) CnCgg — Cjg^ .... (75)
läßt sich die Gleichung (67) nach einiger Rechnung schreiben:

«u ^22 2ai2 -^^^nbsp; ^--I-My^ Ny^

oder an a22 2ai2=---1 _ My^ Nf- ^^^^

Für den Zähler des zweiten Bruches im letzten Glied der Formel (68)
erhalten wir:

B_(G_F)y2 =_I y2 ^33^12 Cia(Cii — C13 c^g)

^nbsp;\'^(Cil —C12)

Mit der Abkürzung:

»» = C12C33 — Ci3(c„ — C12 C13).......(77)

erhalten wir nach kurzer Rechnung

Ö66 Ö12 - 1 _nbsp;cii 1—My^ Ny* \' ♦ \' ^^^^

Somit ist die Umrechnung vollendet.

§ 3. Die Konstanten der Lamellenaggregate.
Zuerst wollen wir die Formeln hinschreiben für die Konstanten des
allgemeinen primären Lamellenaggregats, wie es im § 1 des Kap. II

definiert wurde. Dieses Aggregat ist ein Paket sehr vieler dünnen
Lamellen mit allen möglichen Orientierungen des Hauptachsenkreuzes
in gleicher Häufigkeit.

Bei den betrachteten Kombinationen der Koeffizienten, d^^ ^55 u.s.w.
fallen die Cosinus a und ß der Z»-Achse weg; diese Kombinationen
behalten also denselben Wert, wenn die Zquot;-Achse der Lamelle sich
um die Lamellennormale dreht. Nur wenn der Winkel Ö der Z°- und
Achse sich ändert, ändern sich auch die Größei^das, ^gg, Cg^,

quot;quot;ii »12 2(Ti2 und (7g6 — 012. Der Mittelwert Ö33 ist also

rji . fzTtnbsp;ri

4jr jnbsp;/ dssdlt;p = / d^^dy; in derselben Weise erhalten wir die

00nbsp;0nbsp;_

andern Mittelwerte. Nach (36)_gilt a« = ö^g und 73^ = F32, nach (36a)
Und (37a) On = 022 und a^^ = o^i — Daraus folgt

Oll O22 2(7x2 = 4((7n — öes)...... , (79)

lt;^66 — Ox2 = 3068 — Ollnbsp;(80)

So erhalten wir 5 Gleichungen zur Berechnung der Elastizitäts-
konstanten des primären Lamellenpakets, nämlich:
Aus (40) und (64) mit (54):

-L _ _J_ rj C44 hy^jl —

®33 c^CiiJ y 1—Myquot; Ny^ . ♦ . . . (8Ia)

Aus (41) und (65), mit (54) und (56):

®33 CiiC^Jnbsp;l—My^ Ny*\'--——

Aus (42) und (66), mit (54) und (55):nbsp;^^^^^

©44 C44 ^ Cn - cj 1 - Ly^nbsp;J ^y l-My-^ Ny^

-Aus (43a), (44a), (79) und (76):

~cjnbsp;1 — My^ Ny*

Aus (43a), (44a), (80) und (78):

- = ƒ ■nbsp;_ 1nbsp;(8.e,

In diesen Formeln bedeuten die griechischen Buchstaben Formen
zweiten Grades in den Cf^:

^ = c^aCcii C12) — 2c

Q = C33C11 — C132 (cn — C12) (cii C12 2CI3), . .
^ ~ C33C12 Cl3(Cll C12 C^g).

Die kleinen Buchstaben sind Formen ersten Grades:

ƒ = Cu — Ci3 — 2C44

— C12 — 2C44

Ä = Cu C33 — 2CI3 — 4C44

Die großen Buchstaben sind dimensionslose Zahlen:

g

Cll C12

2044/ f

C11C44
Cjjh — Ciih

^11^44

Schließlich führen wir für die Integrale noch Abkürzungen ein

Ly^
dy

Ny*-
yHy

My^ Ny^

ri y^il-y^)dy

■ My^ Ny*

wo R sich aus P und Q berechnen läßt nach der Formel:

P — iM — N)Q — NR=l.......(83)

So erhalten die Gleichungen (81) ihre endgültige Form:

^ ^ (CiiP hR),..........(84a)

Tf- ^-7- KHi^ -1- nn), .........

«a-ss C11C44

C44

2 _ _1_ 2

C44 Cxi C12

^11^44

nbsp; nbsp; nbsp; (84d)

S .nbsp;1

Zur Prüfung der Formeln (84) sei bemerkt, daß sie auch stimmen
im Grenzfall,^o die ursprünglichen Kristalle genau isotrop sind, also
cii - C33, - ci3, cn-cia = 2c„. Da werden ƒ, g, h, M, N und v

Die Formeln (84) ergeben sodann:

©33 Cii

2^3

©33 Cn

A _ 1 I 2 _ 2

©44 C44 Cn - C12 C44

2f©x, ©12 -nbsp;=

^nbsp;^33 /nbsp;Cn

und das Aggregat hat dieselben Konstanten wie jeder Einzelkristall.

Etwas eingehender ist die Prüfung der Formeln für die Aggregats-
konstanten durch die Annahme, daß die Anisotropie des Einkristalls
gering ist. Mit Vernachlässigung der kleinen Größen höherer Ordnung
müssen sodann die Voigtschen Formeln herauskommen, wie im Kap. II,
§ 3, nachgewiesen ist. Ich habe die Rechnung durchgeführt an den
Gleichungen (81). Es seien Cn-C33, Ci2-q3 und Cn-ci2-2c44
klein gegen alle Dasselbe gilt dann nach (55) für ƒ und h, nach (70),
(75) und (77) für v und — p 2X, während nach (72)—(74) L, M und N
klein sind gegen 1. Mit Vernachlässigung aller Produkte und Potenzen
solcher Größen erhalten wir für das primäre Lamellenaggregat nach
einiger Rechnung in erster Annäherung

©11 = ©33 = C33 |ci3 fc44) .... (85a)
©12 = ©13 = i (JCn iC33 |Ci3 - IC44) . (85b)
K©u — ©12) = ©44 = i(lCn ^C33 — |C12 — |Ci3 2C44) . (85c)
und das sind eben die Voigtschen Formeln (8) für das hexagonale System.

Es kommt auch wieder heraus, daß das primäre Aggregat in diesem Fall
annähernd isotrop ist.

Es gestaltet sich also die Berechnung der Konstanten eines isotropen
Aggregats von hexagonalen Kristallen verschieden:

a. Bei kleiner Anisotropie der Einkristalle werden die Voigtschen
Formeln (8) angewandt.

Bei größerer Anisotropie wenden wir zuerst die Formeln (84) an;
ist das primäre Aggregat sodann nahezu isotrop, so erhalten wir aus
den ©fj: durch Anwendung der Voigtschen Formeln die Konstanten
des isotropen Aggregats.

c. Ist die Anisotropie der Einkristalle sehr groß, so müssen wir
auf die ©ifc des primären Aggregats noch einmal die Formeln (84)
anwenden; auch bei sehr großer Anisotropie der Einkristalle ist das
sekundäre Aggregat so wenig anisotrop, daß die Voigtschen Formeln
oder auch einfache Mittelungen sodann die Konstanten des isotropen
Aggregats liefern.

Die Formeln (84), die in den Fällen b) und c) anstatt der Voigtschen
Formeln benutzt werden, sind ziemlich einfach, nur die Berechnung
der Integrale K, P und Q ist etwas umständlich. L ist in allen Anwen-
dungen positiv, es folgt da aus (82a)

........

Die Integrationen P und Q sind verschieden je nach den Vorzeichen
der Diskriminante M^ — 4N, und der Größe N selbst. Ich schreibe nur
die Formeln hin, die in den Anwendungen benutzt werden. Durch
elementare Integralrechnung erhalten wir:

10. fallsnbsp;M^ — 4Nlt;o..........(87)

.nbsp;, 1 VN

ösrsr^ logTTWHL

P =-2^^ 4T, .........

. \'Squot;! 1 I VN T,
~ WLnbsp;47\\nbsp;......

= V2VN-M, T, = V2VN M........(89)

VM^—AN
1

M^ — ANgt;o, Nlt;o

1 n

. . . (90)
. . . (91a)

. . . (91b)

(92)

hörirgt; fRöntgenanalyse die Zuge-
hor^keit zum hexagonalen System nachgewiesen 33).nbsp;^

Nachdem die Herstellung der Einkristallstäbe gelungen war haben
^e, verschiedene Forscher die KristallkonstantL uLbhän ig von
^nander bestimmt : Grüneisen und Bridgman a.). Leider stimmen
ihre Daten ziemlich schlecht überein. Wir sind nicht in der Lage, zu
entscheiden welche Bestimmung die genauere ist; übrigens wird ich

zLmSh rnbsp;^^^ Aggregatskonstanten

ziemlich wenig beeinflussen. Beiden folgenden Ausführungen sind jeweils

zwei Zahlenwerte angegeben; der erste bezieht sich auf die Messungen
von Grüneisen, der zweite, eingeklammerte, auf die von Bridgman
Aus den s,, haben wir mittels der Transformationsgleichungen die
durch Auflösung der Gleichungen (69) erhalten werden, die c,, bestimmt;
daraus c^-c^,nbsp;und die Größen/, g und h der Gleichungen

(55), welche den Grad der Anisotropie ausdrücken. Das Resultat findet
sich in der Tabelle D 1; hier, wie überall im folgenden sind alle Größen
in C. G. S. Einheiten geschrieben.

D 1. Kristallkonstanten von Zink.

Es zeigt sich, daß Zink sehr stark anisotrop ist, die Voigtsche Theorie
ist hier also nur eine grobe Annäherung.
Die Rechnung ergibt nach (73) und (74):

M = 1,4857(1,4163)
N = 0,8230(0,8075),

und die Diskriminante der Form l — My^ Ny^ hat den Wert:

— = —1,085(—1,224).

Die Integrale P und Q werden also berechnet nach den Formeln (88);
wir erhalten:

P = 1,7415 (1,6361)
Q - 0,7920 (0,7188).

Weiter ergibt (83)

R = 0,2167 (0,1985).
Aus den Gl. (84) folgt dann:

D 2. Primäres Aggregat von Zink.

Vergleicht man diese Tabelle mit der vorigen, so sieht man, daß
in D 2 die Unterschiede der Konstanten nach Grüneisen und Bridgman
meistens kleiner sind, als die Unterschiede in Dl. Das Aggregat ist
noch anisotrop, wenn auch in viel geringerem Maß als der ursprüngliche
Kristall. Wir bilden also nach II, § 2 ein sekundäres Lamellenaggregat.
Nach II, § 3 würden wir auf die ©ft die Voigtsche Theorie anwenden
können, wenn in Tabelle D 2 die Größen der letzten Spalte alle klein
wären den ^ik gegenüber. Diese Bedingung ist nicht genügend erfüllt,
wir wählen also den sichereren, wenn auch längeren Weg, und wenden
noch einmal die Formeln (84) an.

Diesmal erhalten wir

M = 0,14207 (0,09737)
iV = —0,00774(0,01866),

also die Diskriminantenbsp;positiv. Für diesennbsp;•

Formeln (91) die 2aUenP und Q; die Bestimmung v^Zf quot;quot;

.st wegen des kleinen Wertes von iV

^nbsp;-- ^ « -f^^ren wir

P = f\\__ ßnbsp;dy

=^gt;■(1 W ...., a-r.v w-..,., ,93,
Wir erhalten so:

P = 1,0538 (1,0389)
Q = 0,3664 (0,3574)
i? = 0,1424 (0,1399)

-n. so erhaltennbsp;^^

D 2agt; Sekundäres Aggregat von Zink.

ist^slhn h \'

Lnd nach ^ Vnbsp;Lamellen zu bilden

Is Erl T\'^rnbsp;^^^nbsp;berechnen;

das Ergebnis ist dasselbe, wenn wir einfach mittein, also

©nbsp;.nbsp;„ehmen.

Aus den erhaltenen g und berechnen wir den Dehnungsmodul:

g ^ (e 2(s:i) —(s,)

während wir wie in (14) für den Torsionsmodul im folgenden % schreiben
Daneben sind die Werte berechnet worden, welche die Voigtsche

Theorie, nach (8), (13) und (14), ergibt, wenn sie auf die sehr anisotropen
Zinkkristalle angewandt wird.

D 3. Isotropes Zinkaggregat.

Wie schon bemerkt worden ist, stimmen die Werte für (£ und %,
welche aus den Grüneisenschen und den Bridgmanschen Konstanten
berechnet sind, gut überein j viel größer ist der Unterschied zwischen
den Ergebnissen der alten und der neuen Theorie. Die experimentellen
Daten für Zinkaggregate können also zur Prüfung der neuen Theorie
beitragen.

Die empirischen Werte der ® und % sind den Landoltschen Tabellen
entnommen und umgerechnet in das C. G. S. System; von den älteren
habe ich die Voigtschen hinzugefügt.

D 4. Zinkaggregate (empirisch).

Die Unterschiede sind auffallend; alle Ursachen für Abweichungen,
die wir in II, § 3 besprochen haben, sind wohl im Spiel, daneben noch
der Einfluß von Beimischungen. Besonders fallen Abweichungen von

der regellosen Verteilung der Achsenkreuze hier schwer ine n • u

wegen der sehr großen Anisotropie der

Onentierungen ganz andre Werte für @ und S: aufweisen

Nach dem Arbehsplan am Ende des Kap. II untersuchen wir zuerst
ob D 4 isotrope Materialien enthält. Für die Entscheidunrt

kristalk vnn T^t Matenals. Als Grüneisen aber 1924 die Ein-

we den wir sehen, daß ein bestimmtes anisotropes Agg LT,-quot;de!

Um die Gl. (52) anwenden zu können berechnen wir zuerst den Kon,
pressionsmodul« = J(, 2®,). Als „5ghche WerteThrn wir a^ ^3
nach der alten Theorie

3St = 21,25 (21,25)
nach der neuen Theorie

3fl = 19,10 (19,985)

3fl = 20,20 ± 1,10

^ = 0,050 ± 0,003.

Für dieVoigtschen Stäbeerhalten wir also aus der Gl. (52)
D 5. Isotropieprüfung der Zinkstäbe.

Z. 10-11 berechnet

4,25 ± 0,05
4,01 ± 0,05

3.97nbsp;± 0,05

3.98nbsp;± 0,05

Gleichgültig ob man die alte oder die neue Theorie, die Grüneisen-
schen oder die Bridgmanschen Konstanten zu Grunde legt, in jedem
Fall findet man 2a und 2c stark anisotrop, 2b wenig anisotrop, während
2d der Isotropiebedingung sehr gut genügt. Bei der Berechnung ist
das Material als porienfrei betrachtet; ist das Material merklich porös,
so ist St kleiner, das berechnete % fällt also noch größer aus, und 2a,
2b und 2c sind noch deutlicher anisotrop, während bei einem um einige
Prozente veränderten (£, der Stab 2d immer noch die Gl. (52) ziemlich
genau erfüllt.

Es erscheint also durchaus erlaubt den Voigtschen Stab 2d an erster
Stelle zur Prüfung zu benutzen.

Da erhalten wir:

D 6. Prüfung für isotropes Zink.

Zieht man in Betracht, daß die empirischen Werte wegen der Porosität
mehr oder weniger erhöht werden müssen, so ist die Übereinstimmung
zwischen Erfahrung und neuer Theorie wirklich sehr gut.

Die andern Daten der Tabelle D 5 haben meines Erachtens wenig
Beweiskraft; so weit sie solche besitzen, unterstützen sie eher die neue,
als die alte Theorie.

§ 5. Bcrcchnung und Prüfung der Aggregatskonstanten von
Cadmium.

Neben Zink ist Cadmium das einzige hexagonale Metall, dessen
Kristallkonstanten bis jetzt gemessen worden sind. Die Verhältnisse
liegen wie beim Zink, nur noch ungünstiger. Wiederum liegen Messungen
von Grüneisen und Bridgman vor. Ihre Sj^ stimmen besser überein,
aber die Abweichungen bei S33 und haben dasselbe Vorzeichen;
während beim Zink die Unterschiede in ® und Z sich teilweise auf-
heben, werden sie hier vergrößert; außerdem tritt hier ein Unterschied
in S44 auf. Das Resultat ist 10 % Unterschied zwischen den Werten
von (£ und Z nach Grüneisen und Bridgman. Die Rechnungen laufen
parallel mit denen beim Zink; nur findet man bei den Bridgmanschen
Zahlen iV = 0,01067, also die Diskriminante M^ — 4N positiv. Für

P und Q kann man hier die Formeln (91) anwenden, wegen des kleinen
Wertes für N läßt sich aber R nicht aus (83) berechnen. Wir müssen
also einen andern Weg wählen. Bei der Zerlegung

Ny*^ {1nbsp;= —iM VM^—4iV,sehr

klein ( 0,0182); mit einem Fehler unter 0,003 kann man also schreiben

1__1 — SY

1 — My^ Ny*~ 1 — T\'Y
und die Rechnung gibt:

^ — 72 i f2 U.....

52 7-2_ C2

Q = -fAi-i u)

j,,

52 3-2_ C2

^ = ^72--f^i-hT^-l U) . . .(93c)

r«

TT r ^y 1 1 1 T.

^ -J 1 _ T-Y- ^ ^ T^

Die Tabelle:

E. 1. Kristallkonstanten von Cadmium.

wo wie vorher die ersten Zahlen von Grüneisen die zweiten von
Bridgman herrühren\'®), zeigt wiederum sehr große Anisotropie. Die
Rechnung liefert:

E 2. Primäres Aggregat von Cadmium.

quot;) 1.0. beim Zink (III, § 5).

Wiederum ist die Voigtsche Annäherung wahrscheinlich, aber nicht
ganz sicher erlaubt, wir wollen also weiter rechnen, und finden

E 2a. Sekundäres Aggregat von Cadmium.

Daraus folgt schließlich

E 3. Isotropes Cadmium.

Hier ist der Unterschied zwischen den Grüneisenschen und Bridg-
manschen Werten von derselben Größenordnung, wie der zwischen
den Ergebnissen der beiden Theorien; die alten Werte nach Bridgman
stimmen fast überein mit den neuen nach Grüneisen. Auch die em-
pirischen Daten liegen weit auseinander:

E 4. Cadmiumaggregate (empirisch).

\'•) aus g und /j. unter Voransetzung der Isotropie mit Gl. (51) berechnet.

Die Isotropieprüfung wird ausgeführt wie beim Zink, und jetzt auch
auf den Grüneisenschen Stab angewandt. Wir erhalten aus E 3:

nach der alten Theorie

3ß = 18,865 (16,48)
nach der neuen Theorie

3ß = 17,34 (15,175)

also jedenfalls

3Ä = 17 ± 1,90

oder

~ = 0,060 ± 0,007.

Daraus folgt mittels der Gleichung (52):

E 5. Isotropieprüfung der Cadmiumstäbe.

Diesmal ist die Übereinstimmung schlecht bei den Voigtschen Stäben,
ziemlich gut bei dem Grüneisenschen Stab. Bei der Berechnung ist St
genommen für porienfreies Cadmium; Porosität würde das berechnete %
wiederum vergrößern, also die erste Übereinstimmung noch schlechter,
die zweite noch besser machen. Außerdem scheint eine spezielle Orien-
tierung der Kristalle beim Voigtschen Cadmium nicht unwahrscheinlich.
Cadmium zeigt beim Erstarren eine starke Kontraktion; um Porien
zu vermeiden hat Voigt daher beim Gießen das Metall unten langsam
erstarren lassen, während es oben flüssig gehalten wurde®\'). Hier liegen
also die Verhältnisse günstig für eine spezielle Orientierung der Kristalle.

Grüneisen berichtet nichts über derartige Maßnahmen, hier kann
man daher eine schnellere Erstarrung mit nahezu allgemeiner Orien-
tierung vermuten, wobei dann wegen der erwähnten Kontraktion
möglicherweise Porien, vielleicht gar Kanälchen in der Stabsachse auf-

quot;) Voigt, Wied. Ann. 48, 1893, S. 677.

treten könnten. Falls der von Grüneisen benutzte Stab noch bei der
Phys.-Techn. Reichsanstalt aufbewahrt wird, könnte die Vermutung
über seine isotrope Struktur noch nachgeprüft werden. Für die Prüfung
der neuen Theorie kommt jedenfalls nur Stab 2 in Betracht.

E 6. Prüfung für isotropes Cadmium.

Die Tabelle E 6 zeigt, daß auch hier die neue Theorie erheblich besser
stimmt als die alte; ist die Vermutung über die Porosität der Grün-
eisenschen Stäbe richtig, so sollten beide empirische Zahlen erhöht
werden, das (g wegen der axialen Höhlung wohl am meisten — voll-
ständige Übereinstimmung zwischen Erfahrung und neuer Theorie ist
also nicht ausgeschlossen.

UNTERSUCHUNG DES ALLGEMEINEN
AGGREGATS REGULÄRER KRISTALLE.

§ 1. Transformation der c\' j.

SylmetórmlTnbsp;Lamellenaggrega, von regulärer

ZT Die Transformationsformeln der sind den Formeln (59)

inauonsschema sei jetzt:

........ (94)

Die Zo-Achse hat nicht, wie im vorigen Kapitel, eine ausgezeichnete
Bedeutung sie ist gleichwertig mit den beiden anderen Hauptachsen.
Wohl ist die Z-Achse nach wie vor senkrecht zur Lamellenebene. Es
laßt sich also erwarten, daß in den Formeln für die Aggregatskonstanten
statt des einzelnen ^ der Formeln (81) die 3 Cosinus ^ und y, gleich-
wertig auftreten werden. In der Tat treten 2 Kombinationen auf, die
gegen Vertauschungen der y^ invariant sind:

y^ = r2W .......(95)

z = ..................

Wir führen Abkürzungen ein analog denen im III. Kap.:

Cu = a,

undnbsp;............(97)

Ca — C12 — 2ci4 = ƒ............(98)

wo ƒ jetzt allein ein Maß ist für die Anisotropie des Kristalls, und
wollen a, c und ƒ als unabhängige elastische Konstanten benutzen. In
derselben Weise wie im III. Kap. erhalten wir für die elastischen

Konstanten c\'ffc der willkürlichen Lamelle, bestimmt im Bezug auf
das raumfeste Achsenkreuz XYZ, die Transformationsformeln:

c\'n = a-f fSa,^nbsp;c\'23 = (a - 2c - ƒ) f^ß^W

c\',, = a-f fSßf\'nbsp;c\'31 = (a - 2c - ƒ) fSy^a^

c\'33 = a - ƒ nbsp;= (a - 2c - ƒ)

c\'44 = c m^y^nbsp;c\'i4 = c\'se = f^a^ß.yi

c\'55 = c fSy^ai\'nbsp;c\'25 = c\'64 = f^ßi\'yiai

= c fSa^ß^nbsp;c\'36 - c\'45 = f2y^a,ßi

=nbsp;c\'35 = ,3a,........(99)

Für die s\'.-fc könnten wir analoge Formeln hinschreiben. Im nächsten §
wird sich aber ergeben, daß wir nur eine der Funktionen 95,^ der
Formeln (34), nämlich das (pes brauchen werden, außerdem ist die
vierreihige Determinante im Zähler des »pee ziemlich einfach. Es lohnt
sich daher nicht, die ganze Rechnung in den s\'i^ durchzuführen.

§ 2. Die Konstanten des Lamellenaggregats.

Für das allgemeine primäre Lamellenaggregat gilt nach wie vor die
Formel (38):

=nbsp; Zx\') ViiiXx yvV

nbsp;— AXxVv) nbsp; yv)-

Das Aggregat hat wiederum axiale Symmetrie, die Konstanten
werden bestimmt durch die Gl. (40)—(44):

2

1 Tnbsp;rt- _

— = Ö33,nbsp;t^ii--— 9P11»

iä-33nbsp;\'a-33

^ = ^44»nbsp;— ©12) = T\'ee.

©44

©13
©33

31»

Die 5 Aggregatskonstanten sind jedoch jetzt nicht von einander un-
abhängig, sie hängen ja alle von den 3 Kristallkonstanten a, c und ƒ ab.
Es müssen also zwischen den Sit noch Beziehungen bestehen. Solche
folgen sogleich aus der Kompressionsbedingung, von der schon in II, § 3

die Rede war. Allseitig gleicher Druck P erzeugt bei regulären Kristallen

eine gleichförmige Kompression p, der Kompressionsmodul ß = ^ ist
bestimmt durch:

Cji 2CI2?nbsp;(100)

also nach (97) und (98)

3ß = 3a —4c —2/..........(101)

Für das axiale primäre Aggregat gilt nach den Hookeschen Glei-
chungen

P = (S„ 4-

Und

P = (2©13 ©33)P

und wir erhalten:

©U ©12 ©13 = 3Ä,........(102)

2©13 ©33 = ........ . (103)

Somit bleiben zu berechnen übrig (Ksa, ©44 und ©gg = K©ii — ©12).
Die Rechnung ergibt ziemlich leicht:

= c^-h 2yjcf-h 3xP................(104a)

^44 ^55=2c(a-ƒ) /(a_nbsp; 2c/2gt;,^ fnbsp;j2(l _ j, .2)

(104b)

lt;Pes = cJ -F /[{ac2 f(a — c — ƒ) (2ipc nbsp;-f

2f(a —c—ƒ) {cla^ß^aißiy^^i^ xf^akßkaißi)]^ . (104c)

In diesen Formeln ist iz^k^l, S drückt eine Summation über
3 Glieder aus. A bedeutet wie immer die Hauptdeterminante (24), sie
hat hier folgenden nur von den abhängigen Wert:

J =ac2-|-v^c/(2a —2c—ƒ) ;^f(3a —3c —2/) . .(105)

Die Mittelung wird auch hier zuerst ausgeführt über alle Lamellen
mit gleichen Dabei benutzen wir die Formeln:

^hMi =nbsp; YhW)........(106)

während aus den Definitionen von xp und (95) und (96), folgt:

= —2;C............(107)

So erhalten wir Mittelwerte für ^33, und 9766» genommen über
alle Lamellen mit denselben wobei A nach (105) einen festen Wert
aufweist» Nachher muß dann integriert werden über alle Richtungen
der Lamellennormale im System X\'^Y^Z^^ Wir schreiben für das Flächen-
element der Einheitskugel da und erhalten dann

1 1 rc2 2yjcf 3xp ^

^ ^ W-^-.........(108^)

-2-• ♦ \'(108b)

(108c)

Zwischen den Gl. (108a)—(108c) besteht noch eine einfache Beziehung
die hervortritt wenn man für A die Form (105) einführt und die 3
Gleichungen (108) bzw. mit a(3a —2/), 4c(2c /) und—8 multi-
pliziert. Addition ergibt sodann:

= ...,109,

Die Gl. (108) und (109) gelten auch für jedes spezielle Aggregat mit
festen Werten von tp und Xr nur fallen aus den Formeln (108) die

Faktoren^, die Integralzeichen und da fort; bei der Behandlung der

speziellen Aggregate im V. Kap. werden wir die so vereinfachten
Gleichungen benutzen.

Jetzt kehren wir zum allgemeinen Aggregat zurück. (109) tritt an
die Stelle der Gl. (108c), es bleiben also noch die Integrale (108a) und
(108b) zu berechnen übrig. Wir schreiben:

--~ = M........(110a)

P{3a — 3c — 2f)

---- = N........(110b)

f l

1 f_ifda

4jiJ 1

471J l Myj Nxnbsp;(111b)

Das dritte Integral, das zu den Integralen der Formeln (108) beiträgt

- r Vi f ^^^
quot; J 1 Myj N\'x\' ^^^^ ausdrücken in J und L mittels

der Formel:

JLnbsp;1

^^J nbsp;(112)

ttr

J__3ac—7c(3c 2/) —

©33 ac{3a — 3c~2f) ...............(113a)

^ = Jac(6a-3c-4f)

2ac\\3a~3c — 2f)---- (113b)

zusammen mit

2©i3 = 3a-4c-2/-(S33........(n3d)

2(©n ©12) = 3a — 4c — 2/ ®33........(113e)

die aus (109, (101), (102) und (103) folgen.

Die Formeln sind beträchtlich einfacher als die analogen Gleichungen
(84) des hexagonalen Systems; die Berechnung der Integrale ƒ und L
ist hier aber viel umständlicher als die der P und Q im Kap. III.
Für die Bestimmung der / und L gehen wir aus von den Formeln:

(quot;^sirfiP o, cos2« wdw = (2P- 1) (2p-3)...l(2g-l) (2g-3)... 1 .^r
inbsp;(p 9)(p g—1)........1.2f »-i

und

ftin^p itf cos^ örfö = _P(P-l)........_,

{nbsp;quot; ^ (2p 2g 1) (2p 2g - 1) ... . (2g 1)\'

die aus der elementaren Integralrechnung folgen.

Aus diesen Formeln lassen sich endliche Reihen ableiten für
^^ƒ rxda, ~ƒ rx\'da, u.s.w.

Hierbei schwankt das y^ im Integrationsgebiet zwischen 0 und i mit

dem Mittelwert i das schwankt zwischen 0 und ^ mit dem Mittel-
wert

Bei den Kristallen, deren Anisotropie ƒ nicht allzu groß ist gegen
a und c, sind nach (110) M und N klein gegen 1. Hier können wir

und mit großer Annäherung die Reihe schnell abbrechen. Ist die Aniso-
tropie aber größer, wie beim Gold und besonders beim Messing, so
werden M und N groß, bei Messing ist z.B. M = -2,956. In der obigen
Reihe kann daher My) in einzelnen Kristallen nahezu den Wert 1 erreichen
und sein Mittelwert ist ungefähr 0,6, die Reihe ist also unbrauchbar.
Wir führen darum ein:

P-^nbsp;..........(114a)

1=-h — X..........(114b)

wo p in absolutem Wert nie i, q nie ^ übertrifft, und schreiben:

_\\___\\_1 1

I Mxp Nx 1 W ^N~Mp-Nq~ 1 ^N\' l-M\'p~N\'q

Sodann erhalten wir:

r danbsp;1

^ 47zJ l Mxp-\\-Nx~l iM ^N M\'sPg . . . .

N\'Qo 2M\'N\'Qi 3M\'WQ^-\\- . .

N\'^R, SM\'N\'^R, 6M\'Wi?, . ,
..............quot; . .]

(115)

In dieser Reihe, die beim Messing nach rechts und nach unten bis
zum 8. Glied inkl. fortgesetzt werden muß, bedeutetnbsp;\'

...........(116a)

...........(116b)

..........(116c)

u.s.w.

(117a)

1 . ........(117b)

Die U.S.W sind feste Zahlen, die Berechnung ist ziemlich zeit-
raubend. In der Tabelle F gebe ich diese Zahlen so weit sie beim Messing
benutzt werden:nbsp;^

F. Hilfsintegrale bei regulären Kristallen,

In der GL (115) werden die Daten dieser Tabelle und die besonderen
Werte der Größen M, N, M\', N\' für jedes einzelne Metall eingeführt-
so erhält man den hinzugehörigen Wert von J.
Für L gilt:

j - ^ [nbsp;_ , r

471J 1 Myj Nx ~

also

1

l ^M ^JV t^i nbsp; .........

.......................

woraus L berechnet wird.nbsp;^^^^^

Die Formeln für die Konstanten des primären Aggregats müssen
für kleine Anisotropie die Voigtschen Formeln als 1. Annäherung
ergeben. Dies ergibt wiederum, wie im IIL Kap., eine Prüfung der
erhaltenen Formeln.
Wir gehen aus von (108a) und (108b) zusammen mit (113c, d, e).

Das ƒ wird klein, Potenzen von ƒ werden vernachlässigt, es wird also
annähernd:

2fia-c)

ac

Nach (108a) gilt:

©33 a

©33 = 0 1-1-^ =a-f/

Nach (108b) gilt:

^ = ƒ V^/(«-2c)]nbsp;= iac-

woraus folgt:

( f\\

-c if

Cf

(113c) ergibt

4(a;xi-Si^) = (3a-2/) (l 4(2c ƒ) (l —•-3« = 8c 1/
also

—©12) = c J ƒ.........(119c)

Aus (113d) ergibt sich

®i3 = ia C12 — ^633 = C12 i/ ...... (119d)

Aus (113e)

mn ©xa) = ia ^c,, nbsp; Ic,, - ^f

und aus dieser Gleichung und (119c)

©11 = ia ici2 c -iV/ . ........(Ii9e)

©12 = i« — c — ^f........ , (119f)

Führen wir in die Gl. (119) überall a, c und ƒ aus (97) und (98) ein,
so erhalten wir:

©11 = ©33 = i(3cii 2ci2 4C44),....... (120a)

©12 = ©13 = i(cn 4ci2 — 2C44),.......(120b)

©44 = K©ii — ©12) = Kcn — C12 3C44),.... (120c)
also wiederum die Voigtschen Formeln (8).

§ 3. Berechnung und Prüfung der Aggregatskonstanten von
Wolfram.

Wolfram war das erste reguläre Metall, dessen Kristalmoduln s«
gemessen worden sind, und zwar von Bridgman im J. 1924. Seine
Messungen ergeben:

G 1. Kristallkonstanten von Wolfram.

Nach dieser Tabelle ist die Anisotropie der Kristalle außerordentlich
klein, zwischen alter und neuer Theorie kann also kaum ein merklicher
Unterschied bestehen. In der Tat ergibt die Rechnung:

G 2. Primäres Aggregat von Wolfram.

Das primäre Aggregat ist also praktisch schon isotrop, und wir erhalten
ohne weiteres, wenn wir noch die Voigtschen Formeln anwenden:

G 3. Isotropes Wolframaggregat.

Die empirischen Daten können also nicht beitragen zur Vergleichung
der alten Theorie mit der neuen.

Bridgman, 1. c. beim Zink.

Diese empirischen Daten liegen ziemlich weit auseinander. In der
Tabelle G 4 bringe ich die Werte aus Landolt-Börnstein (1. Ergänzungs-
band 1927) umgerechnet in C. G. S.-Einheiten, zusammen mit denen,
die von Koenigsberger gemessen und zitiert worden sind.

G 4. Wolframaggregate (empirisch).

Zur Isotropieprüfung bietet nur Stab 2 genügende Daten. Das Resultat
ist vorauszusehen, das Material ist ja faktisch ein Kristall, also anisotrop.
In der Tat ergibt die Formel (52), wenn wir nach (G 3) 3Ä = 92,4
nehmen:

Zber = 15,4.10quot;
nebennbsp;= 16,5 .10quot;,

also einen ziemlich großen Unterschied. Es liegt also kein erwiesener-
maßen isotropes Material vor, die Prüfung unsrer Theorie ist also
vorläufig an Wolfram nicht möglich.

Die Besprechung von Wolfram könnten wir damit abschließen. Die
schlechte Übereinstimmung zwischen den verschiedenen in G 4 mitge-
teilten Resultaten hat mich aber zu den folgenden Erwägungen veranlaßt,
die vielleicht zur Erklärung dieser Tatsache beitragen können.

Die Bridgmanschen Kristallkonstanten haben einen ganz besonderen
Charakter: das Kristall ist fast genau isotrop. Daraus folgen mehrere
Eigenschaften der Aggregate:

Koenigsberger, Z. f. Phys. 40, S. 719—741, 1926.
Gfeiss u. V. Liempt, Ann. der Phys. 77, S. 105, 1925.

Einkristallstäbe der verschiedenen Orientierungen sollen nahezu
dieselben Werte für @ und % aufweisen: (g = 39,6 .10quot;, % = 15,3 . 10quot;.

2®. Multikristalle sollen ungefähr dieselben Werte ergeben, falls sie
den Bedingungen von II, § 1 genügen und zwar unabhängig von den
Kristallorientierungen, sowohl allgemeine Aggregate als solche mit
Vorzugsorientierungen. Porosität im weitesten Sinne, wie auch die
Gleitungen, die bei stärkerer Beanspruchung des Materials bald
auftreten, erniedrigen die Moduln, für Aggregate sollen also 39,6 und
15,3 Maximumwerte der Moduln darstellen.

Beide Erwartungen sind, wie aus der Tabelle G 4 hervorgeht, ziemlich
schlecht erfüllt. Von den drei Einkristalldrähten haben zwei Torsions-
moduln um 8 % und 16 % zu hoch, von den 12 Multikristalldrähten,
worüber Koenigsberger berichtet, haben 7 ein %, das 6 % bis 30 %
zu hoch liegt. Will man nicht alle diese Messungen an Materialien von
verschiedener Herkunft disqualifizieren, so bleibt wie mir scheint nur
die Folgerung übrig, daß die Bridgmanschen Kristallkonstanten von
Wolfram ziemlich ungenau sind. Dies scheint auch aus anderen Gründen
nicht unwahrscheinlich. Erstens hatte Bridgman nur einen einzigen
Kristall zur Verfügung, und es ist bekannt, daß die Einkristalle öfters
gestört sind; vielleicht deutet die Krümmung, die nach Bridgman bei
dem Einkristallstab anwesend war, auf eine solche Störung. Zweitens
erscheint der Kompressionsmodul des Wolframkristalls etwas zu niedrig.
Bridgman selbst hat die Kompressibilität gemessen an 2 verschiedenen
Vielkristallen von Wolfram ^i). Er erhielt bei einem geschmiedeten
Stab von der Dichte 19,137 für « in CG5-Einheiten 2,99. lO-is, bei
einem gezogenen Draht von der Dichte ± 19,48 « = 3,21 .10—13,
Die Kompressionsmoduln der beiden Aggregate sind bzw. 33,4.10quot;
und 31,2 . 10quot;. Den kleineren Wert des Moduln beim dichteren Material
erklärt er durch den Einfluß der größeren Menge amorfen Materials
im gezogenen Draht, wodurch die Kompressibilität vergrößert wird. Für
das Wolframkristall sollte ß also mindestens gleich 33,4 . 10quot; sein oder

= 100,1 . 10quot;.

Am Einkristallstab erhält Bridgman aber

3Ä = -f 2CI2 = 92,4 . 10quot;,
es scheint plausibel, daß dieser Wert und daher die Bridgmanschen
Kristallkonstanten iedenfalls geändert werden müssen. Übrigens gilt

«i) Bridgman, Proc. Am. Ac. of Arts and Sciences, 58, S. 163, 1922—\'23.

dies bei den großen Schwierigkeiten der elastischen Messungen wohl
für mehrere Kristallkonstanten, man sieht ja aus den Tabellen D 1
und E 1, wie weit die Werte derselben Konstante bei verschiedenen
Forschern aus einander gehen können. So muß man beim Cadmium
die Bridgmanschen Konstanten c,, C33, C12 und c^ bzw. um 10, 11, 21
und 19 % erhöhen, beim Zink das C33 13 % kleiner und das Cja 33 %
größer machen, um die entsprechenden Grüneisenschen Werte zu
erhalten. Mit Änderungen derselben Größenordnung in den von
Wolfram können wir so ziemlich alle Moduln der Tabelle G 4 erzeugen.
Die Summe c, 2ci2 soll etwa 8 % größer werden, es scheint aber
nach der Tabelle G 4 erwünscht, das berechnete @ zu verkleinern.
Versuchsweise wähle ich:

Cji 10 % kleinernbsp;als bei Br. also Cn = 46 . 10quot;,

C12 27 % größernbsp;„ „nbsp;„ , „ Cjg = 27 . 10quot;,
C44 17 %

ffnbsp;ff ffnbsp;ff f ff C44 — 18.10quot;.

Das Kristall wird sodann stark anisotrop (ƒ = — 17), was wegen
der verschiedenen Moduln bei Einkristalldrähten notwendig erscheint.
Es folgt aus dieser Annahme:
für den Kompressionsmodul:

3ß = 100 . 10quot;

in Übereinstimmung mit der Messung von Bridgman;
für den Einkristallstab parallel der Hexaedernormale:

(5 = 27,4.10quot;, 2=18.10quot;;

für den Einkristallstab parallel der Oktaedernormale:

® = 45,8.10quot;, 2=12,3.10quot;;

für das allgemeine, isotrope Aggregat, angenähert nach der Voigtschen
Theorie:

(5 = 38,6 . 10quot;, 2 = 14,6 . 10quot;.

Wo Koenigsberger die möglichen Fehler seiner Torsionsmoduln
auf 8 % schätzt, genügt die gewählte Abänderung der Bridgmanschen
Kristallkonstanten um alle plausibelen empirischen Werte der Tabelle
G 4 zu erklären. Die 2 extremen Werte, die Koenigsberger für 2 erhält,
7,1 und 8,6, werden von ihm erklärt durch die Annahme einer gewissen
Porosität, nämlich einer Aufspaltung des Drahtes, auf die schon Arkel

und van Liempt hingewiesen haben. Im übrigen Hegen seine % alle
zwischen 14,9 und 20, könnten also zu isotropen Aggregaten mit ev.
Beimischung von Kristallen mit Hexaederorientierung gehören.