\'cpu.. Ijl Ij^

CONVERGEERENDE RIJEN
VAN HOÊOMORPHE FUNCTIES

[

i .

! ■

t

!
t

I

J. MARX

Diss.
Utrecht V

RIJKSUNIVLRSITBT

UTRECHT.

mm

m^ßm-

Si

:

07 V-;,

- \'

UNIVERSITEITSBIBLIOTHEEK UTRECHT

3593 0654

CONVERGEERENDE RIJEN

van

HOLOMORPHE FUNCTIES

m

-ÄS

\'im

• Ki

li«:-\'

i

\\âi

CONVERGEERENDE RIJEN VAN
HOLOMORPHE FUNCTIES

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN
DOCTOR IN DE WIS. EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKS.UNIVERSITEIT TE UTRECHT,
OP GEZAG VAN DEN RECTOR.MAGNIFICUS
Dr. A. A. PULLE, HOOGLEERAAR IN DE
FACULTEIT DER WIS. EN NATUURKUNDE.
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER
UNIVERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN
VAN DE FACULTEIT DER WIS» EN NATUUR.
KUNDE TE VERDEDIGEN OP MAANDAG
10 FEBRUARI 1930 DES NAM. 4 UUR, DOOR
JOHANNA MARX
GEB. TE DEVENTER

DRUKKERIJ J. VAN BOEKHOVEN - UTRECHT - AMSTERDAM

W3UOTHEEK DER
RIJKSUNIVERSITEIT

utrecht.

HAV tl fl 3 a 30Hi V M00

T-^Xii

^rc^U/iHU\'iiAK via ^r\'/Vnbsp;:V.gt;ori

iu /\'/.A
KAYnbsp;TO

.fci /!nbsp;A /■■

jijtinbsp;\'/kIO iiui^ia

mmiAy-\'Kmi^ sa khotquot; \'tüit\'^v ^^

■ ri/, - AH^Vï/ HmivMnbsp;aa

«^^pr;nbsp;.MAi^ ódCl • \' -

AAN MIJN MOEDER.

AAN DE NAGEDACHTENIS VAN MIJN VADER.

Mi\':-:

Het verschijnen van dit proefschrift geeft mij een welkome ge-
legenheid U, Hoogleeraren en Oud-Hoogleeraren in de Faculteit
der IFw- en Natuurkunde, mijn oprechte dank te betuigen voor de
ivetenschappelijke vorming, die Gij mij hebt gegeven.

In de eerste plaats mijn hartelijke dank aan U, Hooggeleerde
Wolf F. Hooggeachte Promotor, zoowél voor Uio bezielend onderivijs
als voor de steun, die ik bij de bewerking van dit proefschrift van
U mocht otvtvamjen. Steeds waart Gij bereid te helpen wanneer zich
moeilijkheden voordeden en Uw opbouwende kritiek is mijn iverk
op veU plaatsen ten goede gekomen. De persoonlijke belangstelling,
die ik van U mocht ondervinden, stel ik ten zeerste op prijs.

Hooggeleerde de Vuies, ik dank U zeer voor de buitengeivoon
heldere, systematische en geanimeerde ivijze ivaarop Gij mij met
de beginselen van dc Analyse en de methoden van de Hoogere Meet-
kunde hebt doen kennismaken.

Hooggeleerde Nijland, Ounstein en Moll, ook U ben ik zeer
o-kentelijk voor Uw onderwijs, waawan ik heb mogen projiteeren.

l\'cnsloUe dank ik het College van Curatoren en dc IF/s- en Na-
tuurkwïdige Faculteit, voor hetgeen zij gedaan hebben om mij een
Rijks-studiebeurs te verschaffen, xcaardoor mij het voortzetten van
mijn studie mogelijk was.

V

y\'- \\

.Si

■ V\'. ,VyOnbsp;sV^iVx^M^V.iiVir.«-»^-

l\'ïV. «»»sinbsp;quot;A\' quot;t^i

K\'^ï^rpm^ir. 4 i»quot;5vgt;é Vfquot; ^^nbsp;\' -
Ifwi fiVv. Jij •^•vWrS :iï\\J \'■ ^ - ■quot;IVH\'^ - •\'vMïfVr\'.VifcM«\'

• -Jmï. V;■ «-jv.vgt;tvi! »»Vf» dbrrtMi\'nbsp;-lA. a. .«mISH^

; ■ \' \'nbsp;■ .

• .wyw i^fo^lVnbsp;/«V\'\'^v

INLEIDING.

Door vele onderzoekers is nagegaan, aan welke voorwaarden
een rij holomorphe fmicties in een gebied G moet voldoen, om
daar tot een grensfunctie / (2) te convergeeren, die eveneens
holomorph in G is. De stellingen over dit onderwerp zijn in twee
groote groepen te verdoelen, n.1.

1°. stellingen die betrekking hebben op gelijkmatig conver-
geerende rijen ;

2°. stellingen die betrekking hebben op quasi-gelijkmatig con-
vergeerende rijen.

Tot de eerste groep behoort dan in de eerste plaats de stelling
van Weierstrasz volgens welke de grensfunctie / (2;) van een
gelijkmatig convergeerende rij holomorphe functies binnen een
gebied G, holomorph in G is.

Er zijn echter vele criteria, waaruit men tot de gelijkmatige
convergentie van de rij kan besluiten. Hieronder hebben enkele
betrekking op het gedrag van de functies binnen het gebied G,
andere op het gedrag van de functies op de rand van G.

Zoo is in 189\'1 door Stieltjes-) aangetoond, dat, indien een rij
gelijkmatig begrensde holomorphe functies binnen een gebied G,
convergeert in een deelgebied g van G, de rij binnen G gelijkmatig
convergeert. In 1901 bewees Osgood^), dat men het gebied g uit
de voorgaande stelling vervangen mag door een overal dichte
puntverzameling V in G, terwijl Vitali^) (1903) en Porter®)
(1905) slechts een puntverzameling {z,-) gebruikten, die minstens

1) Wcrko 1, blz. 67, 2 blz. 20ö.

») Correspondance d\'Hcrmilc ot do Stieltjes 2, blz. 368.

3)nbsp;Annals of Mathematics (2) 3, Oct. 1901, blz. 26.

4)nbsp;Rond. del R. 1st. Lombardn (2) 36, 1903, blz. 772.

5)nbsp;Annals of Mathematics (2) 6, 1904—1905, blz. 190.

één verdiclitingspimt a;«) binnen G heeft. Zelfs mag volgens
Blaschke (1914), indien G de eenheidscirkel is, (wat slechts een
onwezenlijke beperking is) en de rij op G gelijkmatig begrensd
is, het verdichtingspunt Zqo van de verzameling {Zy) op de rand

co

van G hggen, mits II {z„) = O; dat beteekent dus, dat de ver-
0

zameling (2„) zich niet te snel naar de rand van G verdicht.
Tenslotte toonden Khintchine 2) en Ostrowski 3) aan, dat de
verzameling (z^) vervangen mag worden door een puntverza-
meling V, met positieve maat, op de rand van G.

De eisch van gelijkmatige begrensdheid van de rij binnen het
gebied G, mag vervangen worden door de voorwaarde van Cara-
theodory en Landau dat de functies /„ (z) van de rij binnen
G twee vaste waarden a an h uitsluiten of zelfs, dat /„(z) a„ en
fni^) ^ K\' quot;flits de waarden a„ en b„ binnen een vaste cirkel en
niet te dicht bij elkaar liggen.

Bovengenoemde voorwaarden bepalen allen gelijkmatig con-
vergeerende rijen. Er zijn echter voorbeelden van rijen van ho-
lomorphe functies, die niet gelijkmatig tot holomorphe grens-
functies convergeeren. De besproken stellingen geven dus eischen
die wel voldoende, maar niet noodig zijn.

Omdat een holomorphe functie continu is, zal de rij in ieder
geval quasi-gelijkmatig moeten convergeeren. Deze conditie is
dus wel noodig, maar uit voorbeelden, waarin een rij holomorphe
fmicties quasi-gelijkmatig tot een continue, doch niet-holomorphe
grensfunctie convergeert, blijkt, dat ze niet voldoende is.

Door WoLFP®) is een noodige en voldoende voorwaarde voor
het holomorph zijn van de grensfunctie afgeleid. Door een nader
onderzoek van quasi-gehjkmatig convergeerende rijen van ho-
lomorphe functies is getracht, deze voorwaarde te transformeeren.

1) Leipziger Berichte 67, 1914—1915, blz. 194.

Fundamenta Mathematicae 4.

3)nbsp;Acta litt ac. scient. 1.

4)nbsp;Sitz.-Ber. ^or K. Pr. Ak. der Wiss. 32, 1911, blz. 687.

amp;) Mathematische Annalen (1) 81, 1920, blz. 48.

Hierbij is onderstaande gedachtengang gevolgd.

Bij een convergeerende rij van holomorphe functies liggen de
gebieden waar de convergentie gelijkmatig is, steeds overal dicht
in het convergentiegebied G en de pmiten van ongelijkmatige
convergentie vormen een lijnvormig continuum F, dat met de
rand van G minstens één punt gemeen heeft. Het is wel waar-
schijnlijk, dat de bouw van dit continuum invloed heeft op de
aard van de grensfunctie en het ligt dus voor de hand te trachten,
voorwaarden op te sporen waaraan het moet voldoen, opdat de
grensfunctie holomorph zij. De gevonden uitkomsten schijnen
er op te wijzen (zooals ook te verwachten was) dat deze bouw niet
te ingewikkeld mag zijn, doch vermoedelijk zijn op dit gebied
nog verder-strekkende resultaten te bereiken.

Bij quasi-gelijkmatig convergeerende rijen van holomorpho
functies kan men steeds, na keuze van een positief getal e en een
positief getal N (waarbij dan een getal N\' hoort), het gebied G
in een eindig aantal deelgebieden verdeden, zoodat in iedere
g^ een functie fjz) van de rij bestaat, die in g^ minder dan e
van de grensfunctie f{z) afwijkt. Het aantal gebieden g^ is eindig,
omdat N im { N\'. De diameter f5 van deze gebieden g^ is een
functie van N en e. De invloed, die de vorm van deze functie
«5 {s, N) op de aard van de grensfunctie van de rij heeft, is nage-
\'gaan. Voor enkele gevallen, waarin ö {e, N) een bijzondere vorm
heeft, kon aangetoond worden, dat de grensfunctie holomorph is.

De vraag, of een dergelijke vorm van de functie lt;5 ook werkelijk
voor kan komen, is hiermee natuurlijk niet beantwoord.

Met de voorgaande onderzoekingen hangt nauw samen de
vraag, onder welke omstandigheden een gebied G, dat door een
lijnvormig continuum F in enkelvoudig samenhangende gebieden
G„ verdeeld wordt, beschouwd kan worden als convergentie-
gebied van een rij van holomorphe functies die binnen G
gelijkmatig en op F ongelijkmatig convergeeren. Bovendien kan
men hot geval nagaan, dut de grensfunctie is voorgeschreven.

De hierop betrekking hebbende onderzoekingen van IIartogs

en Rosenthal zijn in het kort weergegeven, waarbij de resul-
taten van het tweede onderzoek in iets gewijzigde, en daardoor
eenvoudiger vorm zijn medegedeeld.

Hartogs en Rosenthal hebben de afgeleide voorwaarden
getransformeerd met behulp van de leer van puntverzamelingen;
daar de hiervoor noodige beschouwingen ons echter te ver zouden
voeren, zij hiervoor verwezen naar het betreffende artikel. Een
zelfde gedachtengang is in het eerste deel van de onderzoekingen
over quasi-gelijkmatig convergeerende rijen gevolgd.

Tenslotte worden nog enkele toepassingen en voorbeelden
behandeld.

1) Mathematische Annalen (1, 2) 100, 1928, blz. 212.

HOOFDSTUK 1.

Definities en Algemeene Stellingen.

Een functie / (2) =w van een complexe variabele 2 is holomorph
in een gebied G, indien ze voor alle inwendige punten 2 van G:
1°. een bepaalde waarde w heeft
2°. een eindige afgeleide bezit.

Een functie / (2) = iv is holomorph binnen en continu op een ge-
sloten contour C indien ze:

1°. holomorph is in het door C omsloten gebied G

2°. in alle punten van C randwaarden aanneemt en op C gelijk

gesteld is aan die randwaarden.

Een rij functies /„ (2) convergeert in een gebied G tot een grens-
functie / (2), indien bij ieder positief gegeven getal e in ieder
punt 2 van G een getal N^ is aan te geven, zoodat voor alle waar-
den van n ) N^

I in (2) — / (=2) I ( ®nbsp;in dat punt 2.

Een rij functies /„ (2) convergeert gelijkmatig binnen een gebied G
tot een grensfunctie / (2), indien voor ieder afgesloten deelgebied
A van G en bij ieder positief gegeven getal £ één getal iV^ is aan
te geven, zoodat voor alle waarden van nquot; gt; iV^ en alle punten
2 van A

|/„(2)-/(2)|lt;^.

In dit geval convergeert de rij gelijkmatig op het gebied A.

Een rij functies /„ (2) convergeert quasi-gdijkmalig binnen een
gebied G tot een grensfunctie / (2), indien
1°. de rij in alle punten 2 van G convergeert

2°. in ieder afgesloten deelgebied A van G bij ieder positief
gegeven getal e en ieder getal N één getal N\' gt; N ia aan te
geven, zoodat voor ieder punt z van A een getal bestaat
(iV lt; lt; iV\') waarvoor

l/nj^) ~/(z)jlt;e.

Convergeert een rij functies /„ (z) binnen een gebied G tot een
grensfunctie f {z), dan noemt men de punten, die een omgeving
bezitten waarin de convergentie gelijkmatig is, fwnten van gelijk-
matige convergentie en de punten waar dit niet het geval is, punten
van ongelijkmatige convergentie.

Een rij functies /„ (2) is gelijkmatig begrensd binnen een gebied G,
indien er bij ieder afgesloten deelgebied A van G een getal
bestaat, zoodat | /„ (z) | Z AI^ in ieder punt z van A voor
iedere n.

In dit geval is de rij gelijkmatig begrensd op het gebied A.

Rectificeerbare kromme C. Verdeelt men een kromme G door

een willekeurig aantal punten P^, P^,----P^ en verbindt men

deze punten achtereenvolgens door rechte lijnen, dan heeft de
zoo ontstane polygoon een bepaalde lengte Bij een andere
verdeeling krijgt men in het algemeen een andere polygoon met
een andere lengte. Is echter de verzameling van al deze lengten
begrensd, dan is ö rectificeerbaar en men noemt de bovenste
grens L van deze lengten, de lengte van de kromme C.

Een punt z is limietpurU van een puntverzameling (z^) (yfc = 1,

2.....)j indien in iedere omgeving van 2, voor oneindig veel

waarden van k, een punt z^ ligt, terwijl niet 2 behoeft te zijn.

Men noemt een punt P van een afgesloten puntverzamelmg V,
een hoofdpunt van die verzameling, indien iedere omgeving
van P oneindig veel gebieden bevat, die geheel door punten
van F begrensd worden.

Men noemt een pmit P van zoo\'n verzameling V een hoofdpunt
van V ten opzichte van een verzameling G, indien in iedere omgeving
van P oneindig veel gebieden liggen, die geheel door punten
van F begrensd worden en die een p\\mt van G als inwendig
punt bevatten.

Indien een rij van holomorphe functies /„ (2) binnen een gebied G,
daar convergeert tot een grensfunctie, f {z), dan is er steeds een deel-
gebied van G, waarin de rij gelijkmatig begrensd is. Deze dcelgebiedoi
liggen dus overal dicht in G en in zoó\'n deelgebied convergeert de rij
gelijkmatig en is de functie f (z) dus holomorph (zie blz. 25, stelling
van Stieltjes).

Neem aan, dat de stelling onjuist is. Dan is er binnen G
een punt P^ en een functie /„J2), zoodat |/„, (P)| gt; 1. Omdat
/„j (z) holomorph en dus continu is, is er een gebied oj^ om I\\
waar overalnbsp;, , , .

\\LM\\ gt; 1.

In cüi moet een punt P2 met een omgeving cüj zijn, waarin
een functie /„, (2) voldoet aan

Gaat men zoo door, dan zou men een reeks gebieden krijgen

cüj gt; fOg gt; Wg gt; . ..

. tOj y ... . Deze zouden dus een limietpunt
P hebben waarvoor zou gelden :

..... /„^(P)

In dit punt P zou dan de rij niet tot een eindige limiet conver-
geeren. Dit is in tegenspraak met de onderstelling.

Er moet dus een gebied c/j^ zijn en een functie /„^ (2), zoodat
binnennbsp;; / \\ / 7

/«t (2) lt;

Deze gebieden van gelijkmatige convergentie zullen in het
vervolg door G„ (n = 1, 2,----) worden aangeduid ; de verzame-
ling punten van ongelijkmatige convergentie door F.

De gebieden G„ zijn enkelvoudig samenhangend.

Anders zou men in een gesloten contour kunnen trekken
waarop de rij /„ {z) gelijkmatig convergeerde, doch die een gebied
omsloot, dat punten van F als inwendige punten bevatte. Dit
zou in tegenspraak zijn met een volgende stelling (zie blz. 23)
dus is G„ enkelvoudig samenhangend.

Door dezelfde redeneering ziet men in, dat C r {C is de
grens van het gebied G) niet de som kan zijn van twee gesloten ver-
zamelingen, die geen punt gemeen hébhen.

Bovendien ia C F gesloten: C is volgens definitie gesloten
en een verdichtingspunt van F is óf zelf een punt van ongehjk-
matige convergentie en ligt dan op F, óf het is een punt van C.

C F is dus een continuum en, omdat de gebieden ö„ overal
dicht in G liggen, een lijnvormig caniinuum.

Een noodige en voldoende voorwaarde, dat de grensfunctie f (z),
van een in een gebied G convergeerende rij van continue functies
/„ (z), eveneens een continue functie is in G, is de quasi-gelijhnatige
convergentie van de rij binnen G.

1°. De voorwaarde is noodig. Zij A een afgesloten deelgebied
van G. Omdat de rij convergeert is er bij ieder positief gegeven
getal E en ieder getal N in ieder punt z van A een getal n^ } N
te bepalen, zoodat

Omdat / (z) en /„ (z) beiden continu zijn, is er een omgeving
(O van z te vinden, waarin geldt:

\\fnAz)-f{z)\\ lt;£.

Bij ieder punt z van A is zoo\'n omgeving o) met index n, te
vinden en omdat A gesloten is, kan A met een eindig aantal
gebieden co overdekt worden, zoodat in ieder punt z van A, uit
een eindig aantal indices gt; N, één index n^ gekozen kan worden

waarvoornbsp;j (z) — / (2) | lt; e.

2°. De voorwaarde is voldoende. Omdat de rij convergeert is er
in ieder punt z van een willekeurig afgesloten deelgebied A van

G, bij ieder positief gegeven getal e een getal N te vinden, zoodat

(1)nbsp;— /(2)j lt; i e voor iedere n gt; iV.

Omdat de rij quasi-gelijkmatig convergeert, is er bij N een
getal N\' gt; N te vinden, zoodat bij iedere z\' van A een getal n^,
[N lt; n^, lt; N\') bestaat waarvoor

(2)

Omdat alle functies {z) holomorph, en dus continu zijn,
en het aantal getallen n^, eindig is, is er één getal lt;5, zoodat,
indien j z—z\' ! lt; è,

(3)

Uit (1), (2) en (3) volgt, dat, indien | 2—z\'| lt; «3,
zoodat / {z) continu is.

Een gelijkmatig begrensde rij holomorphe funaies f„{z) binnen
een gebied G is „égakment continuquot; d. w. z. bij ieder positief gegeven
getal f is in ieder afgesloten deelgebied A van G een getal 6 {e)
te vinden, zoodat

/»(2) - /n(2\')|nbsp;(mits |z-2\'| lt; (5)

voor iedere z en z\' van A en voor iedere n.

Noem de afstand van de rand van A tot de grens van G\\ d.
Trek, met een willekeurig punt C van A tot middelpunt 2 con-
centrische cirkels cui en Wj, waarvan de stralen rcsp. ^ d cn ^ d
zijn. Wi en Wj üggcn dus geheel binnen G, Dan is voor
—zj lt; i fZ en 2\'| lt; i d:

Iƒ=

I 2 TTt t-~znbsp;2ni t—z\'

jz-^\') Ut)

2nbsp;[t—z) {t—z\')

à

Wordt dus bovendien z—z\' \' lt;

2 M.

is overal binnen iedere cirkel cog. en dus overal binnen .4,
onafhankelijk van n

Stelling van Schwarz. Zij f {z) Momorfh voor i^l lt; 1,

f{z) .

/(z) j lt; 1 voor iz| lt; I, / (O) = O en - met constarU.

voor I z lt; 1 •

De functie \'\' is holomorph voor
z

Op de rand van een cirkelschijf met straal o lt; 1 neemt ze dus een

Z p. Omdat

dit voor iedere q geldt zal, indien q

f{z)

omdat niet constant ondersteld is,

2

lt; 1 of Î / (2) I lt; , 2

Stelling van Lindelof. Zij G een gebied van het z vlak, dal door
w = f{z) conform o-p het gebied D van het w vlak wordt afgebeeld,
waarbij f (0) = 0. Laten verder g^ (2) en g^ (2) de Greensche functies
van de gebieden G en D ten opzichte van hun oorsprongen Og en O2,
zijn.

Ban zal, indien 2 bimien de niveaukromme Fq blijft, waarvoor
gi{z) = Ig 6 (0lt; 0 lt; 1), w binnen de overeenkomstige niveau-
kromme Aq blijven, waarvoor g^ (2) =lg 0.

De stelling is, op conforme afbeelding na, identiek met de
bovenstaande stelling van Schwabz. Zij v = 99 (2), resp. v = xp{w)
de functie waardoor G, resp. D, conform op de eenheidscirkel C

wordt afgebeeld zoo, dat de grens van G, resp. van Z), cor-
respondeert met de grens van C en waarbij cp (0) =Q, rp (0) = 0.
Een cirkel om Og met straal 0 lt; 1, zal het beeld zijn van een
kromme Fq in het z vlak en van een kromme d© in het w vlak.
Blijft nu 2 binnen Fe, dan blijft %v binnen Ae.

^P flt;p (0)
Nu is echter - holomorph in G —Li = (q) en daar

\' ^ (2)

nergens = 0. Dus is Ig j | harmonisch in G of

I ^ !

k I «P (2) I =(lg\\w \\ -f harmonische functie in G) = harm. functie

^ \\\'Pi\'\') \\=nbsp;= O op de grens

[van G.

kl I quot;P (z) I =91 (2) is dus de Greensche functie van het gebied
G ten opzicht van Og en Fe is een niveaukromme, waarvoor

9i{z) e.

Analoog is hj {w) | = g^ (w) de Greensche functie van D
ten opzichte van en J© is een niveaukromme, waarvoor

(2)

, Stelling van Landau, hidien w ^ f (2) een holomorphe funaie is
voor I 21 lt; I en f (2) ü, f{z)^l, terwijl verder | / (0) | Z M
{M constant), dan bestaat er bij ieder positief getal ß \\ l een
getal fx (O, M) zoodat.

1/(2)1 lt; fi{e, M) voor |2| lt; e.

Met ieder punt van de eenheidscirkel | 21 lt; 1 correspondeert
door f(z)=w een punt van het w vlak en door de modulaire
functie H = 7] {w) met haar voortzettingen, een punt van het
noordelijk ^-halfvlak en omgekeerd. Want, omdat w = f{z) O,
WT^I, wT^cc is, kan H =i]{w) =7] {f (2)} als functie van 2
langs iedere weg in de eenheidscirkel [ 2 ( lt; 1 worden voortgezet.
Voor 2=0 zal b.v. w = a worden (| a | ( M). Beschouw nu
die tak van de rj functie, die het punt ß = 7] {a) in één bepaald

vak brengt, zooals in fig. 1 is aangegeven. Omdat | a | lt; M, ligt
het punt a in het w vlak binnen een cirkel met middelpunt O
en straal M. Met de punten van deze cirkel correspondeeren in
het Zf-vlak pimten tusschen de reëele as en een vaste lijn AB
(afhankelijk van M). Het punt /S zal dus ook tusschen de reëele
as en de lijn AB liggen.

\\

\\
\\
I
I
/

/O

fO

Fig. I.

Pas nu de stelling van Lindelof toe. De eenheidscirkel 12; | lt; 1
komt overeen met het daar gebruikte gebied G, het /7-halfvlak
met het vlak waarin het gebied D ligt. g^iz) =lg\\z \\ ia de Green-
sche functie van de eenheidscirkel ten opzichte van de oorsprong.
Om de Greensche functie van het noordelijk ^-halfvlak te krij-
gen, spiegelt men het punt ft tegen de reëele as. Dit geeft een
punt ft\'. Dan is g^ (z) = Ig | H—ft \\ — Mj \\ H~ft\' \\ de gezochte
Greensche functie ten opzichte van het punt ft.

Voor iedere waarde van Q liggen de punten z die voldoen aan
Ig \\ z\\ =lg Q op een cirkel met straal 0 en middelpunt O, en
de punten H die voldoen aan Ig j H—^ \\ —Ig \\ H—| = ïy 0
op een cirkel met ji en fi\' als spiegelpunten. Geeft men 0 verschil-
lende waarden, dan ontstaat dus een cirkelbundel van niveau-
krommen.

Blijft \\z \\ \\ 0 lt; 1, dan zal H binnen de correspondeerende
niveaukromme blijven. Bij ieder punt /? behoort echter een andere
cirkelbundel niveaukrommen. Doch f} ligt binnen het gebied
At] (0) 1] (1) 7] (0) B (fig. ]). Construeert men bij een vast getal
0 voor alle punten van dit gebied de niveaukrommen, dan heb-
ben deze cirkels een omhullende, die in de figuur (ongeveer) door
een stippellijn is aangegeven.

Omdat 0 lt; 1, maken de lijnen //(O) C en (0) D altijd een
hoek met de reëele as. Deze hoek hangt alleen af van 0, terwijl
de uitgestrekheid van de gestippelde figuur alleen van 0 en van
de plaats van dus van M, afhankelijk is.

Het gebied, dat door de stippellijn begrensd wordt, correspon-
deert met een gedeelte van het w vlak. Blijft H dus binnen de
stippellijn, d. w. z. is | z | lt; 0 lt;( 1, dan zal, daar w een eenwaar-
dige, holomorphe functie van H is, ook lo begrensd zijn.

Komt H echter in de buurt van de punten H — 7] (0) en H= 7]{1)
dan zou er kans bestaan, dat w onbegrensd toenam. Immers,
de punten van de reëele as van het II vlak zijn verdichtings-
punten van beelden van alle punten van het w vlak.

Men kan echter steeds een cirkel construeeren, die in het punt
H = gt;; (0) aan de reëele as raaiit (fig. 2). Dan ligt dus de buurt
van het punt ij (0) van de gestippelde figuur binnen deze cirkel.
Het zal blijken, dat w zelfs binnen deze cirkel begrensd is.

Want het gebied (0) AB correspondeert met een buurt om O
in het noordelijk w vlak. Zetten we w voort over de lijn (O, 1),
dan wordt rj (0) AB gespiegeld tegen de cirkelboog )j (0) 7] (1) en
gaat daarbij over in het gebied tj (0) CD. Dit gebied correspon-
deert dus met een buurt om O in het zuidelijk w vlak. Zet men
zoo w steeds in dezelfde richting voort, dan wordt de halve cirkel

t] ify)ABCDr] (0) geheel gevuld met figuren die correspondeeren
met de buurt om O in het w vlak. Door voortzetting van w in
tegengestelde richting, dus eerst over de lijn (O, — 1), wordt de
halve cirkel {0)AE geheel gevuld met figuren die correspon-
deeren met de buurt om O in het w vlak. Dus al nadert H tot
H = 7] (0), toch zal w begrensd blijven.

H^tjM

Fig. 11.

Op analoge wijze toont men aan, dat begrensd blijft als H
nadert tot .ff = j; (I).

Resumeerende kan men dus zeggen, dat voor een functie / (2),
die holomorph,nbsp;is voor | 21 lt; 1 en waarvoor | / (0) | lt; M,

geldt:nbsp;1 / (2) I lt; /u (0, M) indien 121lt; 0.

Hetzelfde geldt voor een holomorphe functie / (z), die -^a^j^h
is voor I 21 lt; 1, j / (0) I lt; M (M constant), want dan bestaat de

, .nbsp;f{z) — a

functienbsp;wfz) = ,-----

b — a

waarbij ip (2) O, ^ 1 en holomorph is voor | 21 lt; 1, terwijl
I (0) I lt;nbsp;quot;nbsp;constant).

4-

HOÜFJDSTUK II.

Gelijkmatig Gmvergeerende Rijen van Hohmorphe Functies.

Stelling van W\'eierstrasz. Indien een rij juncties /„ (z), die
holomorph zijn in een gebied G, binnen G gelijkmatig convergeert tot
een grensfunctie f (z), dan is deze holomorph in G en f\'\'^ (z) =
^limfi\'^iz) {k = ],2.....)

n.»- 72

Voor iedere binnen G gelegen cirkel c met straal r en middel-
punt z geldt:

dt

z

Omdat f„{t) gelijkmatig convergeert tot / (f) en \\ t\'—z\\=r

op de omtrek van c, zal ^^^ op de omtrek van c gelijk-

t — r

matig totnbsp;convergeeren. Dus:

t ?

1 /quot;/„(O \' i fit)
f (z) =limj„ (z) =lim J dt = — j — dl

d.w.z. / (z) is een holomorphe functie van z binnen G.
Verder is:

k! f fit)nbsp;k! f Jil^nii)

= (r-zV-= jnbsp;=

Uit bovenstaande bewijs volgt onmiddellijk de stelling:
Indien een rij functies /„ (z), die holomorph zijn binnen en continu
op een gesloten, reaificeerbare contour C, op C gelijkmatig tot een
grensfunctie f (z) convergeert, dan convergeert de rij op het gebied
binnen C gelijkmatig tot eert holomorphe grensfunctie f (z).

Of iets scherper:

hidien een rij functies {z), die holomorph zijn binnen en cmtinu
op een gesloten, rectificeerbare contour C, op een overal dichte punt-
verzameling V van C gelijkmatig tot een grensfunctie f (2) conver-
geert, dan convergeert de rij op het gebied binnen C gelijkmatig tot
een holomorphe grensfunctie f (2).

r. De rij /„ (2) convergeert overal op C gelijkmatig.

Bij ieder positief gegeven getal e is een getal N aan te geven,
zoodat in ieder punt P van V geldt:

(1)nbsp;\\f„ p{P)~fniP)\\lt;i^ ipyo) mitsn} N.

Zij Q een punt van C, dat niet tot F behoort. In iedere omgeving
o) van Q liggen punten P van F. Er is dus, wegens de continuïteit
van de functies /„ (2) steeds een punt P te vinden, zoodat
gelijktijdig

(2)nbsp;\\fn AP)-fn p{Q)\\ lt; i e

(3)nbsp;I /„ (P) - fjQ)\\( ^ e voor n} N en p}0.
Uit (1), (2) en (3) volgt:

\\fn piQ) ~ fn{Q)\\ lt; £ voor n gt; iV en p gt; 0.
De rij /„ (2) convergeert dus overal op C gelijkmatig tot een
grensfunctie / (2).

2°. De rij convergeert op het gebied binnen C gelijkmatig tot
een grensfunctie / (2).

Zij zi een punt binnen C. Omdat (/„ p(2) — f„{z)) een
holomorphe functie binnen C is, ligt haar maximum op C.
Wordt dus n } N gekozen, dan is

voor ieder positief gegeven getal c en p gt; 0.
3°. / (2) is continu op C.

Bij ieder positief gegeven getal e is een getal ó aan te geven,
zoodat

(1)nbsp;|/„(2) -/(2) |lt; i ^nbsp;in)N)

(2)nbsp;|/„(2\') -/(2\') I lt; è ^nbsp;{ngt;N)

(3)nbsp;\' |/„(2) - /„(2\')| lt; è £nbsp;mits |2-2\'| lt; d.

Uit (1), (2) en (3) volgt:

i/(s) -/(2\')| lt; mits I 2 -2\' i lt; ,5.

\'1°. / (2) is holomorph binnen C.

Voor ieder punt 2 binnen C geldt:

/(2) = lim fjz) = Bn \' I dt = Ij^\'y dt.

Stelling van Stieltjes. Indien een gelijkmatig begrensde rij
holomorphe functies /„ (2) binnen een gebied G, convergeert in een
deelgebied g van G, dan convergeert ze binnen G gelijkmatig tot een
holomorphe grcmfunctie f (2).

Volgens een voorgaande stelling (blz. 17) is de rij /„(z) égale-
ment continu. Men kan dus na keuze van een positief getal e
een getal ö (e) aangeven, zoodat een afgesloten deelgebied A
van G met een eindig aantal cirkels ö, met middellijn d (e), over-
dekt kan worden, waarbij :

(J)nbsp;\\fA^)-t,M)\\lt; i ^

voor 2 en 2\' binnen (5 en voor iedere n.

Er zullen nu cirkelsnbsp;zijn, die zoowel punten van g als

van A — g bevatten. Kies in zoo\'n cirkel een punt z^ van g.
\'Dan bestaat er voor het punt z^ een getal N, zoodat:

(2) I /„ f, - /„ 1 lt; i e mits n gt; iV en p gt; 0.

Uit (1) en (2) volgt dan echter

voor alle punten 2 van ó^^nbsp;mits n ) N on p ) 0.

Er is dus een gebied gi ) g waarin de rij /„ (2) convergeert en
zelfs gelijkmatig convergeert. Er zijn dus mi andere cirkels
zoowel punten van g^ als van A—g^ bevatten.
Men vindt nu, dat ook voor deze cirkels geldt:

voor alle punten 2 van ^ mits n gt; N\' en p gt; 0.

Omdat het aantal cirkels f^ eindig is, vindt men tenslotte een
getal zoo dat voor iedere w gt; geldt:

1 /n p (2) — in (2) I gt; « (p gt; 0) in ieder punt 2 van A.

De rij /„ (2) voldoet dus aan de voorwaarden van Weierstrasz
en convergeert binnen G gelijkmatig tot de holomorphe grens-
functie / (2).

Stelling van Osgood, Indieii een (jelijkmatiy betjrensde rij holo-
morphe functies /„ (2) binnen een gebied G, convergeert of een overal
dichte punlverzamelimj V in G, dan convergeert ze binnen G gelijJc-
matig tol een holomorphe grensfunctie f (2).

A^olgens een voorgaande stelling is de rij cgalement continu.
Men kan dus, na keuze van een positief getal s, om ieder punt
van F een cirkel è, met middellijn ö (e) leggen, zoodat:

(1)nbsp;I /„ (2) — fj^ (2\') I lt; -J £ voor 2 en 2\' binnen d en iedere n.

In ieder punt z^ van F kan, volgens onderstelling, een getal iV
bepaald worden, zoodat voor w ) iV en p ) O geldt:

(2)nbsp;

Uit (I) en (2) volgt dan echter:

voor alle punten 2 binnen fü, mits n } N cn p )gt; 0.

Dus op iedere cirkel convergeert /„ (2) gelijkmatig en, omdat
ieder afgesloten deelgebied A van G door een eindig aantal cirkels
d overdekt kan worden, convergeert /„ (2) binnen G gelijkmatig
tot een holomorphe grensfunctie f{z).

Stelling van Vitali—Porter. Indien een gelijlcmaiig begrensde
rij holomorphe functies /„ (2) binne)i een gebied G, cotivcrgeert op cm
puntverzameling (2,.), die minstens één verdichtingspunt z^ binnen
G heeft, dan convergeeH de rij binnen G gelijkmatig tot een holo-
morphe grensfunctie f (2).

De rij /„ (2) is également continu. Men kan dus, na keuze van
een positief getal e, om Zc» als middelpunt, een cirkel ó, met
straal ^ ó (e) leggen, zoodat:

(1)

voor z en z\' binnen d en iedere n.

In iedere punt z,, kan een getal N bepaald worden, zoodat voor
n } N cn f y O geldt:

(2) - lt;f
Uit (1) cn (2) volgt dan:

(3)nbsp;I4 P«)-/„«)! lt;

voor alle punten z,, binnen mits n } N cn -p } 0.
Bovendien is:

(4)nbsp;|/„(2co) -/n«,)l lt; Je en

(5)nbsp; -/„ ,«)! lt;ie.

Uit (3), (4) en (5) volgt:

/„ p(2oo) —/„ pnbsp;lt; f

voor n y N cn p } O, d.w.z. de rij /„ (z) convergeert in z^.

Beschrijf nu binnen G om z^, als middelpunt, een cirkel met
willekeurige straal R. Voor iedere n is:

f\'n (2oo ) =

De fimctie ^------ia dus binnen cn op de cirkel R

Z — Zoo

holomorph en daarom is:

lt;nbsp;bmnen cirkel R.

z — z,

De functierij —^-^^ ^ ^^ is dus gelijkmatig begrensd op

Z — Zoo

R en convergeert in de punten z,, van R tot

Uit het voorgaande volgt, dat ze dan ook in z^o convergeert.
Dus:

hm /„ {z^) = hm-= / (Zqo ) en

Z — Zr,

2Mj

f\'M Z

Analoog toont men aan, dat

2m,

li^n /W (z^) = r (Zo.) en | f\'^ {z^) | Znbsp;•

Voor iedere z binnen R en iedere n geldt:

00 {z — Za^Y

(6)

/n(2) =/„(oo)
(Z —Zoo)

-fnH^co) lt;nbsp;is er bij i

positief getal e een getal K te vinden, zoodat indien k gt; K,
Mj^ lt; e. K is onafhankelijk van n. Nadert dus 71 tot co,
dan nadert de reeks (6) gelijkmatig tot

/(z^)nbsp;=/(z)

Omdat -—jT^nbsp;^nbsp;^^^^ convergeert deze

reeks gelijkmatig op R en stelt daar dus een holomorphe functie
voor.

Nu volgt uit de stelling van Stieltjes, dat /„(z) binnen G
gelijkmatig tot een holomorphe grensfunctie / (2) convergeert.

Stelling van Blasckhe. Zij /„ (2) ^\'ij functies, Iwlomorfh
voor I 2 I lt; 1 ; 1 /n K ^^^ I 2 I ( 1 iedere n ; il/ constant.
Indien deze rij convergeert op een oneindige, aftelbare puntverzameling

cc

(2,,), (O lt; 1 2,, 1 lt; 1) waarvoor TI j 2,, | = O, dan convergeert ze binnen

I 21 Z 1 gelijkmatig tot een holomorphe grensfunctie f (2).

Voor het bijzondere geval, dat (z,.) een verdichtingspunt heeft
binnen | 21 ^ 1, is de steUing door Vitali en Porter bewezen.
Dit geval zullen we dus uitsluiten.

Zij (a,) een willekeurige puntverzameling (| | \\ 1 ) met min-
stens één verdichtingspunt binnen \\z \\ Z 1. Kies uit de rij (z)
een deelrij

fu (2). /l3 (2).....fin (2). • • ■ •

zoodat liiu /i„(«i) bestaat; dit is mogelijk, omdat voor alle

n -v co

waarden van n | /„ («j) | lt; M.
Kies iiit deze deelrij een nieuwe deelrij

/21 (z). f22 (z),----fi« (z).----

zoodat Urn f^n («2) bestaat, enz.

n gt; co

Dan voldoet de rij f^ (2), f22 (2),.... /„„ (2), .... aan de voor-
Waarden van Vitali—Porter en convergeert l)innen | 2 | Z 1
gelijkmatig tot een holomorplic grensfunctie lt;7(2).

Zoo bestaan er dus voor 12 10 één of moer holomorphe fimctios
b.v. g (z) en h (2) waarvoor geldt:

I !7 (2) I lt; M I A (2) 1 lt; M voor | 21 lt; 1

g{zi) = /j(2i).

\'Ji^i) = \'»(22)

g (2,.) = h (2,.)

terwijl 5 1 2,. I = 0.

. Ook bestaat dus een functie rp {z) = g {z) — h (z) die eveneens
holomorph is voor | z j lt; 1 en waarvoor verder geldt:

yj{z)\\i2Mvooi\\z\\lt;^l-, ip{zr)=0 {v=l,2,...); n\\z^\\ = 0

Men kan nu aantoonen, dat onder deze voorwaarden ygt; (2) = O
voor 1 2 I lt; 1.

Neem aan ip (0) 0. Rangschik de verzameling (2,,) naar
klimmende afstanden tot \\z \\ = 0. Construeer een met | 2 | = 1
concentrische cirkel met straal j) lt; 1\' ^i® ^^^ eindig aantal (Ä;)
punten z,, bevat en zoo, dat | 2,, ] o voor alle waarden van r.

V (z)

Dan is de functie ,------r------;----: holomorph bin-

(2—2i)(2—Z2)...(2—2,)

nen en op q en daar nergens 0.

W (2)

harmonisch binnen

(2 — 2i) (2 — 22) ... (2 — 2t)
en op ^.

Door toepassing van de midden waarde stelling vindt men dat:

rnbsp;\\ ip {z)\\

Q

Zij 2\' het spiegelbeeld van Zy ten opzichte, van q, dan is

r

Jlg\\z — Zy\\d(p==jlg\\z — z\'^,\\dlt;p-{-jï{f\\zy\\dq^ — ƒ ïggdcp =

= 2 7llg\\z^\\ 2 7ll{j\\z,.\\~27TlgQ = 2 TT IjQ.

Gesubstitueerd in (1) krijgt men de formule van Jensen:
27il{/\\tp {0) \\ = 2jilg\\zi\\\\z2\\.. .\\zk \\ jquot; lg\\tp{z)\\d(p — 27ikl^Q

2 M

of:nbsp;2:iïg\\ygt;{0) (_27ilg-

Omdat ^- gt;1 (= Ä; 1, 2,. .. .) is ook

O

I i/gt; (0) ( 2M ---—--- voor iedere r bij vaste lt;j .

Dit geldt bij vaste r voor iedere g. Laat men g tot 1 naderen,
dan komt:

(0) i Z 2 MI Zi I I Zg I . . . . 12,, j

00

Omdat dit voor iedere j\' doorgaat en II z,, | = O, is:

= 0.

Er was echter ondersteld i/\' (0) Had men de redeneering

y (z)

toegepast op yji (z) = -, dan zou men ook gevonden hebben

V\'i =nbsp;^^ieruit zou volgen, dat ip (z) in | 2 | =0 een nul-

punt van de orde agt; had. Omdat dit onmogelijk is, isi/;(2) = 0,
d. w. z. g (z) ^ h (z) voor \\z\\ lt; 1.

De rij /„ (z) convergeert dus binnen | z | = 1 gelijkmatig tot
één holomorphe grensfunctie / (z).

Stelling van Khintchine—Ostrowski. Zij /„ (z) een rij juncties,
holomorph, | /„ (z) | lt; 1 voor \\z\\( l en iedere n. Indien de rij radiale
randwaarden l\\ (c\'\'\') = litn /„ {q^ e\'\') convergeert op een punt-

mrzameling V met positieve maat // F, dan convergeert derij j^{z)
binnen ] z | Z 1 gelijkmatig tot een holomorphe grmsjunctie j (z).

Het bewijs behoeft slechts voor het geval pY lt; 2,t gegeven
tc worden (zie blz. 23).

Neem aan, dc rij /„ (z) convergeert niet in ieder punt | s | lt; 1.
Dan zouden er dus minstens twee deelrijen }/,f{z) en/,,ƒ (z)

(ƒ = 1, 2.....) te vormen zijn, die binnen | z | Z 1 gelijkmatig

tot twee holomorphe grensfuncties j^ (z) en /,. (z) zouden con-
vergeeren, doch zoo, dat in een punt z\' (| z\' j lt; 1) (z\') /,. (z\').
Men mag aannemen, dat dit in het punt z = O zou gebeuren,
dus//, (0)7^ /,(0).

Stelnbsp;=(2) _. (2)

Benader | z 1 = 1 door concentrische cirkels c^. met straal
jPj. = 1 — (Ä; co). Zorg, dat op c^ geen mdpunten van (z)

tC

liggen. Ook iedere functie yj^ (Pte\'\'\') zal voor k-i-co, op een
verzameling stralen met positieve maat, radiale randwaarden
Wj (e\'\'*) aannemen; deze verzameling heeft een deel W, waarop
dit voor iedere j gelijkmatig gebeurt. De verzameling stralen van
W, die hun eindpunt in V hebben, bevatten een deelverzameling
9B, met positieve maat /t 2B, zoodat in de eindpunten van de
stralen van 2B, \'i^- (e^\') voor ƒ-^c» gelijkmatig tot O convergeert.

Dan is, volgens de formule van Jensen, indien j zóó gekozen
wordt, dat yj^ (0) O :

2jzlg\\yjfnbsp;{qu e^O \\ d (p i j Ig \\xjgt;j {qu equot;?\') | d qgt;

\'0nbsp;é

Omdat dit voor iedere k geldt en yi^ ( q^ e^\') op 33} gelijkmatig
tot (e\'^\') convergeert voor jp^ 1, is dus:

ia

Omdat dit voor iedere j geldt en {e!^^) op 2B gelijkmatig
toto, en dus 1/1 {e^\') | op 2B gelijkmatig tot—00 convergeert
voor ƒ -»- QU, is :

lim lg \\nbsp;= — cc d. w. z.

)■*■ co

limf,,^{0) = /m/,,,. (0)

j 00nbsp;-»- co

Hieruit volgt dus, dat de rij /„ (z) voor iedere ] 21 lt; 1 conver-
geert en dus binnen [ z | Z ] gelijkmatig tot een holomorphe
grensfunctie f {z) convergeert.

Stellingen van Landau—Caratheodory.

I.nbsp;Indien een rij functies /„ (z), die holomorph zijn en ^ a.
b zijn voor \\z \\ lt; 1, in het pmit \\z \\ — 0 convergeert, dan is de

rij gelijkmatig begrensd binnen de eenheidscirkel |z| Z 1.

Omdat de rij /„ (z) in | z | = O convergeert, is er één getal M
aan te geven, zoodat voor iedere n

I /„ (0) I Z M

Er bestaat dus, volgens de stelling van Landau (blz. 19) een
getal /lt; (0, M), zoodat voor |z| lt; 0 lt; 1,

I in (2) I lt; /\' (0. M) voor iedere n.

II.nbsp;Indien een rij functiesnbsp;holomorph voor \\z\\ lt;1,
icaarbij /„ (z) a„, /„ (z) b„, terwijl

I «n I lt; i K I lt; I «» — I gt; {y constant, gt;0, lt; 00)

in M punt \\z \\ =0 convergeert, dan is de rij gelijkmatig begrensd
binnen de eenheidscirkel | z | Z 1.

Omdat de rij /„ (z) in | z | =0 convergeert, is er één getal M
aan te geven, zoodat voor iedere n:

|/„(0)1/ M.

\' Dan is

}\'

17nbsp;I I / 1 • /n {2) — a„ , ^

Voor I z I lt; 1 IS —j-----O en ].

Er bestaat dus een getal // | 0,{M y)}, zoodat voor | 21 lt; 0

— quot;j rd/\' of |/„(2) I / a,.| /\' lt; r 2 j\'/».
Do rij /„ (z)

is dus binnen de eenlieidscirkel | z | ^ 1 gelijkmatig

begrensd.

Door een conforme afbeelding kan men van de eenkeidscirkel
overgaan tot een gebied G en kan men het pmit | 2 ] = O door een
punt P van G vervangen.

Zoo vindt men tenslotte, door bovenstaande stelling met die
van ViTALi te combineeren;

Indien een rij functies /„ (2), die kolomorfh, zijn binnen een gebied
G, waar /„ (2) a„, /„ (b) amp;„, terwijl | a„ | lt;7, \\ K\\ lt; y,

\\a —b 1 gt; {Y constant, gt;0, lt; 00) in een funtverzamding

\' quot;nbsp;»nbsp;y

{zy), met minstens één verdichtingsfunt 2oo binnen G, convergeert,
dan convergeert de rij /„ (2) binnen G gelijkmatig tot een hohmorphe
grensfunctie f (2).

HOOFDSTUK III.

Quasi-gelijkmatig Gonvergeerende Rijen van Holomorfhe Functies.

Stelling van Wolff. Zij /„ (2) een convergeerende rij holomorfhe
functies binnen een gebied G.

V\'„ {X, y, z) =--nbsp;voor

en V\'„ {x, y, z) = /„\' (2) — /,/ (2) = 0 voor x = y = z.

Dan is een noodige en voldoende voorwaarde, dat de grensfunctie
f (2) van de rij /„ (2) holomorph is binnen G: de quasi-gelijhmalige
convergentie van de rij {x, y, 2) op iedere begrensde en afgesloten
funtverzamelhig {x, y, z) van G, waar niet tegelijkertijd x=z,y^z
of x^z, y = z is.

De voorwaarde is noodig, want y) (x, y, z) = ^^^LnÜ!! _

x — e

^^ ^ {x9^z,yj^z) moet continu zijn, evenals

y — z

V\' (2, 2, 2) = O (a; = 7/ = 2).

De voorwaarde is voldoende. Zij 2 een willekeurig punt van

G, {x,.) en (2/i.) (/;=!, 2.....) twee willekeurige puntverzame-

lingen van G waarvoor x,. 2, Urn x^ =2 en y^T^z, Urn y^ = 2.

Dan

is de drie-dimensionale verzameling V, die uit de punten
Vk\' 2) en liet verdiclitingspunt (2, 2, 2) bestaat, begrensd en
gesloten.

Omdat {x, y, z) quasi-gelijkmatig convergeert op V, is
V\' {x, y, 2) daar continu en dus is:

(1)nbsp;lim y {xt, 2) = ygt; (2, 2, 2) = 0.

i 05

ƒ _ƒ (2)

Bovendien is de rij cp (oj^) = -*- begrensd op de

verzameling x^. Want anders zou men een punt x^^ kunnen
kiezen, waarvoor «2 gt; 1 en 199 — (p (Xj) | gt; 1, en een punt
x„3 waarvoor n^} n^ \\(p (xj — (f (xj | gt; 1 was.

Gaat men zoo door, dan zou voor de beide rijen :

=nbsp;= ^ = ............en

= V2 =nbsp;= .......

z verdichtingspunt zijn, terwijl voor iedere waarde van k
(IJ „ cp I = I (fi, Vk, 2) I gt; 1 ZOU zijn, Dit zou echter
in tegenspraak zijn met (J). De rij (p (%) is dus begrensd op de
verzameling [x^) en men kan uit (Xj.) een deelverzameling (1^)
kiezen, waarvoor Urn fp (^4.) bestaat en eindig is.

i gt; co

Op iedere verzameling {y^) met z tot eenig verdichtingspunt,
nadert (p {y^) dan tot dezelfde limiet, omdat

W \'/t. 2) = ih) —f (^h) en limy (f, Vt, 2) ^ 0.

OD

De grensfunctie / (2) van de rij f„{z) is dus holomorph
binnen G.

De volgende stellingen hebben allen betrekking op een rij van
holomorphe functies /„ (2), die binnen een gebied G, dat begrensd
wordt door een kromme C, quasi-gelijkmatig convergeert tot een
grensfunctie / (z). /\'zij de verzameling punten van ongelijkmatige
convergentie; de gebieden van gelijkmatige convergentie.

r kan geen deel ƒ\'* bevatten, dat geheel uit ImjdfwUen van F*
ten Of ziehte van F* bestaat.

Neem aan, F bevatte wel zoo\'n deel F* en zij P^ een punt
van F*. Dan zou er in een omgeving van P^ een gebied Gy^
zijn, dat geheel door punten van F* begrensd werd, en dat
bovendien een punt Q^ van F* als inwendig punt bevatte.

Dan zouden er, na keuze van een getal e, functies fvp{z) van
de rij /„ (z) zijn, zoodat voor ieder van hen in een gebied s,.^,
in de buurt van Qi gold: | fyj, {z) — / (2) | gt; e.

Minstens één zoo\'n gebied s,.^, dat we s,,j kunnen noemen en
waarin | (z) — / (z) | } e, moet een gedeelte van de grens
van G,,^ overdekken, omdat anders, wegens de continuïteit van
/ (z) en (z), alle functies (2) op deze grens gelijkmatig
begrensd zouden zijn en dus binnen G,.^ gelijkmatig zouden
convergeeren.

Op ligt een punt P^ en in de omgeving van P.^ ligt een
gebied Gr^, dat geheel door punten van F* begrensd wordt,
dat een punt Q2 van F* als inwendig punt bevat en dat
geheel binnen G,.^ en s,.^ ligt. Er is nu weer een gebied s,.„
in de bimrt van Q^, met een functie jy^[z) waarvoor geldt
I /vj (2) — / (2) I gt; £ binnen s,,^ en zoo, dat een gedeelte
van de grens van Gy^ overdekt.

Zoo doorgaande vindt men een reeks gebieden Gy^ gt; Gy^} Gy^} ...
Deze hebben dus een limietpunt Q, dat echter ook in ieder van
de gebieden Sy^, Sy^, Sy^,.... ligt. In Q zou echter gelden:

\\f,;{Q}-f{Q)\\gt;e, \\fr,{Q)-f{Q)\\gt;e, \\f,;{Q)-f{Q)\\}e,...

Dc rij /„ (z) zou dan niet in Q tot een eindige limiet kunnen
convergeeren, hetgeen in tegenspraak is met de onderstelling.
F bevat dus geen deel F*, dat geheel uit hoofdpunten van F*
ten opzichte van F* bestaat.

Indien F rectificeerbaar is en G in een eindig aantal gebieden
G„ verdeelt, is j [z) hohmorfh in G.

Trek een willekeurige, gesloten, rectificeerbare kromme C\' in
G. Hierdoor ontstaan uit de gebieden G„, de gebieden G^ bmnen
C\'. Noem het stuk van F, dat binnen G\' ligt, F\'. F\' bestaat uit

de stukken Tj,, (;! ï } J ; ;;nbsp;= O voor . = v.

F^^, vormt de grens tusschen de gebieden G\'^ en G\\

F\' verdeelt C\' in de stukken C[, C^----G^, die resp. de ge-
bieden G[, G^,____G^ gedeeltelijk begrenzen. Minstens één van

deze stukken is 0.

n

De grens van G\'i wordt dus gevormd door C\'i F\'i^ .

1

Breng in ieder der gebieden G^ een reeks in elkaar gelegen
gebiedennbsp;aan, waarvan de grenzen gelijkmatig tot

n

{C,[ l»quot; F^^.) naderen. Verbind de daarvoor in aanmerking
1

komende krommen Ynfi met elkaar, zoodat gesloten, krommen
y ontstaan, die gelijkmatig tot G\' naderen.

Omdat F\' en C\' volgens onderstelling rectificeerbaar zijn, het
aantal gebieden G^ eindig is en f{z) wegens de quasi-miiforme
convergentie contimi is, is er, bij ieder positief gegeven getal f.
een getal ju te vinden, zoodat:

ƒ f{z) dz\\-\\ln j\'f{z)dz\\(^e on\\lf{z)dz\\~\\lf{z)dz\\(^

n n

[ t{z)dz\\ -j^uj

Dus:

n/t

Of, omdat / (2) in ieder gebied (?„\' holomorph is:
ƒ f{z)dz 1 lt;

C\'

en, omdat e willekeurig is:

jquot; f{z) dz = 0.

c\'

Hieruit volgt, door toepassing van de stelling van Morera dat
/ (2) holomorph is binnen G.

Indien alle F\'^^^ rectificeerbaar zijn en de lioofdfuntcn-van -f C
allen op C liggen, is f (z) holomorph binnen O.

Trek in G een willekeurige, gesloten, rectificeerbare kromme

C\'. Dan liggen binnen C\' een eindig aantal gebieden (zie vorige
stelling). Want binnen en op C\' liggen geen hoofdpimten van
r C. Men kan dus om ieder punt binnen en op C\' een cirkel
met eindige straal Q leggen, zoodat er geen gebied G^ geheel
binnen ligt. C\' en het gebied erbinnen is dus door een eindig
aantal cirkels q te overdekken, en er is slechts een eindig aantal
gebieden (r,^ binnen C\'. Men kan nu de vorige stelling toepassen
en hieruit volgt dat / {z) holomorph is binnen iedere kromme C\'
en dus binnen het gebied G.

Indien alle F^tß rcctificeerbaar zijn en liet aantal hoofdpunten van
r binnen G is eindig, dan is f {z) holomorph binnen G.

Leg om elk der hoofdpunten een cirkel met omtrek zoodat
^Qi lt; /\'■ Omdat / (2) continu is binnen G, is er een vast, positief
getal M, zoodat | / (2) | lt; M binnen G. Men kan nu bij ieder
positief gegeven getal e //, zóó kiezen, dat

I f(z)dz \\ ( M,( = i e..

Trek binnen G een gesloten, rectificecrbare kromme C\', die alle
hoofdpunten omsluit, dan is het aantal gebieden (?„\' binnen
C\'nbsp;eindig. Evenals in een voorgaande stelling (blz. 38)

bewijst men, dat:

(2)nbsp;\\jf{z)dz\\

c\'

Uit (1) en (2) volgt: \\ j /(z) d

c

Omdat e geheel willekeurig gekozen kan worden, is;
ƒ/(2) dz = O

en / (2) is holomorph binnen C\', dus ook binnen O.

Bij ieder positief gegeven getal e en ieder getal N {waaraan dus een
getal N\' } N is toegevoegd) is een getal 6 (e, N) te vinden, zoodat hij
ieder deelgebied d^, van een afgesloten deelgebied A van G, met
diameter ö, minstens één getal Wj. {N lt; n^ lt; N\') Jwort, waarvoor

fnti^) — / (z) £ ^öor 2 binnen d^.

Wegens de quasie-gelijkmatige convergentie behoort bij ieder
punt 2 van G een getal n^ {N lt; n^ lt; N\'), zoodat:

(O

Omdat / (z) en alle functies /„^ (2) (een eindig aantal) continu
zijn, is er één getal d{e, N), zoodat voor | 2— z\' \\ lt; | f3 (in A):

(2) |/(2)-/(2\')|lt;i. en

Uit (]) en (2) volgt, dat:

\\fnM\')-f{z\')\\lt;e
voor iedere 2\' in een gebied met diameter ó.

Er zijn nu verschillende bijzondere gevallen mogelijk, waarbij
zal blijken, dat de grensfunctie / (2) holomorph is binnen G.

1°. N\' onafhankelijk van e.

Dat wil zeggen, dat bij vaste N er een vast, eindig aantal
(b.v. p) functies bestaat, zoodat in ieder punt van een afgesloten
deelgebied A van G, voor minstens één dezer functies geldt:

(» = 1,2,.....p).

Daar f, geheel willekeurig is, is er in ieder punt van A
minstens één functie waarvoor:

nbsp;/(z)i =0 (71 = 1,2,.....p).

We mogen aannemen, dat binnen A voor geen waarde van i of j

= /iV /(«)•

Er kan slechts een eindig aantal punten E binnen A zijn waar
voor meer dan één waarde van n geldt:

Want, waren er oneindig veel zulke punten, dan zouden deze
een verdichtingspunt binnen A hebben en dan zouden er, daar p
eindig is, minstens twee functies (die wenbsp;en /^^„(z)

kunnen noemen) zijn, die in deze punten samenvielen. Dan
zou echter binnen A = ; (z) en dit geval hebben
we uitgesloten.

In ieder punt Q van A, dat niet tot E behoort, zijn er dus
f — 1 functies waarvoor

Dan is er, wegens de continuïteit van de functies / y ^ . (z) en
/ (z), een omgeving o) van Q, waarin deze functies ^ f (z) zijn.
Er is dus één functie f^y ^ „ (z) zoodat overal in co /^y „ (z) = / (z)
en dus is /(z) holomorph in (o.

Hieruit volgt, dat / (z) holomorph is in alle punten van A
buiten E. Maar, omdat E slechts een eindig aantal punten bevat
en / (z) continu is in ^ is / (z) holomorph binnen A en dus holo-
morph binnen G.

Uit het bewijs volgt, dat het voldoende is, indien voor één
waarde van N, N\' onafhankelijk is van e.

2°. d onafhankelijk van N.

Dit beteekent, dat in een deelgebied rf^ met diameter lt;5,
bij vaste e (positief) en veranderlijke N, een deelrij

/ni,(2).nbsp;....../„..,(z),----

bestaat, waarvoor | /„.^ (z) _ /(z) | lt; g voor aUe waarden
van n^ en iedere z van d^.

Omdat / (z) continu is in G heeft | / (z) | een maximum M in O.
Binnen d^ is dus:

\\ lt;M e = M\\

I^ß fnit is dus op gelijkmatig begrensd en conver-
geert daar in alle punten. Ze convergeert dus binnen d^ gelijk-
matig tot de holomorphe grensfunctie / (z).

Dit geldt voor ieder deelgebied d^ en omdat ieder afgesloten
deelgebied A van G met een eindig aantal gebieden d,^ overdekt
kan worden, is / (z) holomorph binnen A en dus ook binnen G.

De rijnbsp;convergeert op d,^ gelijkmatig tot / (z). Er is dus

bij ieder positief gegeven getal e en een vast getal N een getal
(Wg gt; N) te vinden, waarvoor

i (z) — / (z) I lt; £ in iedere z van d^.

Blijkbaar is dus, indien ö onafhankelijk is van N, d tevens
onafhankelijk van e.

Uit het bewijs volgt nog, dat het voldoende is, indien ö voor
één waarde van e onafhankelijk van N is.

3°. ö onafhanhelijk van e.

Dit beteekent, dat in een deelgebied d^, met diameter ö, bij
vate N {N\' behoeft echter niet vast te zijn) en veranderlijke e gt; O,
er een deelrij

bestaat, zoodat

waarbijnbsp;£1)^2)____) gt;---- lm e^ =0.

ƒ-gt;- 00

I^e rijnbsp;convergeert dus gelijkmatig binnen d^ tot de

grensfunctie / (z), die daar dan holomorph is. Omdat ieder afge-
sloten deelgebied A van G met een eindig aantal gebieden d^
overdekt kan worden, is / (z) holomorph in A en dus holomorph
in G.

Uit het bewijs volgt, dat het voldoende is, indien d voor één
waarde van N onafhankelijk is van e.

Omdat de rijnbsp;binnen d^ gelijkmatig convergeert is er,

bij een vast getal e en ieder getal N een getal n^ gt; iV te vinden,
zoodat:nbsp;I in^ (2) — / (2) I lt; £ in iedere z van d^.

Blijkbaar is dus, indien d onafhankelijk is van e, ó ook
onafhankelijk van N. De beide laatste voorwaarden zijn dus
aequivalent.

4°. voor alle gebieden d^ gelijk.

Dit beteekent, dat er een deelrij /„ (z), /„ (z)____(«)....

bestaat, die binnen G gelijkmatig tot / (2) convergeert. / (2) is
dus holomorph binnen G.

Noem — = V en beschouw de functie d (e, v).

5°. Indien er 2 getallcmrijcn bestaan :

e.- (i = 1, 2, . . .), Urn = O

Vi (i = 1, 2, . . . ), Urn r. = O,

i-^O

waarvoor de getallen d (e,., v.) voor iedere i een vast getal A }0
overtreffen, dan convergeert f,^{z) binnen G tot een Jiolomorplie
grensfunctie f (2).

Want ieder inwendig punt van G heeft een omgeving cü met
diameter J, waarin een gelijkmatig tot f (z) convergeerende
«leelrij /„^ (2) (?) = 1, 2, . . . .) bestaat.

6°. Indien bij constante e, er één getallenrij
(i = 1, 2.....), Urn r,. = O

i-gt;- 00

bestaat, waarvoor de getallen (5 {e, j;) voor iedere i een vast getal
Je gt; O overtreffen, dan convergeert de rij (2) binnen G tot een
hohmorfhc grensfunctie f (z).

Want ieder inwendig punt van G heeft een omgeving co met
diameter Ag, waarin een gelijkmatig begrensde, tot /(2) conver-
geerende deelrij /„^ (2) (lt;/ = 1, 2.....) bestaat.

Het is voldoende, indien voor één waarde van e zulk een
getallenrij bestaat.

7°. Indien bij constante v, er één getallenrij
{i= 1,2,....) Urn = O

bestaat, waarvoor de getallen (5 {e^, v) voor iedere i een vast getal
Ay y O overtreffen, dan convergeert de rij /„ (z) binnen G tot een
holomorfhe grensfunctie f (z).

Want ieder inwendig punt van G beeft een omgeving co met
diameter waarin een gelijkmatig tot / (z) convergeerende

deelrij /„^ (z) (r = 1,2,----) bestaat.

Het is voldoende, indien voor één waarde van v zoo\'n getallenrij
Ei bestaat.

HOOFDSTUK IV.

Onderzoekingen van Hartogs en Rosenthul.

Door Hartogs en Rosenthal is onderzocht, aan welke voor-
waarden een gebied G, dat door een lijnvormig continumn F in
enkelvoudig samenhangende, overal dicht in G liggende gebieden
ö„ wordt verdeeld, moet voldoen, opdat het mogelijk zij, een rij
van holomorphe functies /„ (z) (waarvoor men polynomen kan
nemen) te construeeren. die :
1°. overal binnen G convergeert,
2°. binnen iedere 6r„ gelijkmatig convergeert,
3°. in de omgeving van ieder punt van F ongelijkmatig con-
vergeert.

F heeft minstens één punt met de grens C van G gemeen.

Zij K een cirkel, die G geheel bevat. Dan is een noodige en
voldoende voorwaarde, dat er een systeem van strooken S^, S^,. . . .

. . . bestaat, die zoowel punten met G als met de cirkelomtrek K
gemeen hebben en zoodat iedere omgeving van een punt van F door
co veel van zulke strooken getroffen wordt en ieder punt van G slechts
door een eindig aantal strooken overdekt wordt. (Voorwaarde A).

Dé voorwaarde is noodig. Neem aan, er bestaat zoo\'n rij func-
ties /„ (2). Zij P een willekeurig punt van F. AN\'egens de ongelijk-
matige convergentie moet er in een omgeving van P een punt
2„ zijn en een functie (2), zoodat | /,, (2„) ] gt; n.

Omdat de rij /„ (2) niet gelijkmatig begrensd is binnen G en
dus ook niet binnen K, moet er een strook S„ zijn, die zoowel
punten met G als met K gemeen heeft en waarin | /,. (2) | gt; n.

Daar er in iedere omgeving van P een 00 aantal punten 2„
zijn, wordt iedere omgeving van P door 00 veel strooken
getroffen. Een pimt Q van G kan echter slechts door een eindig
aantal strooken overdekt worden, omdat anders de rij /„ (z)
in Q niet zou convergeeren.

De voorwaarde is voldoende. Neem aan, er bestaat een systeem
van strooken S^, S^,... . S„ . . . ., dat aan de voorwaarde A
voldoet. Dan wordt een willekeurig deelgebied van iedere G„
slechts door een eindig aantal strooken gt;S„ getroffen. Benader
nu iedere G„ door polygoonvlakken g^^, ö\'»2\' • • • Unv • • ■ ■

zorg, dat /S„ geen gebieden g.^^^----fi\'vn.----t\'^eft, doch

wel nbsp; ---- Ur,n i----- en dat de afstand van

S„ tot een punt P„ (die overal dicht op F liggen) kleiner dan (5„
is, waarbij Urn ö„ = 0.

n gt; oc

Neem nu weg uit K en noem het overblijvende, enkelvoudig
samenhangende gebied, R^. Men kan dan, volgens de methode
van Eunge een rij polynomen /„ (z) construeeren, zoodat

I /« (2) I lt; in R„ en

rl

/„(«) —1 I lt; è voor I z — F„ I lt; 2ö„, z in S„.

De rij /„ (z) convergeert dan overal binnen ö tot O, doch doet
dit in de omgeving van ieder punt van F ongelijkmatig.

Is bovendien de grensfunctie 9?(z) voorgeschreven, dan moet
dit in de gebieden G„ een holomorphe functie (z) zijn en op
F een functie (p^ (z), die als grensfunctie van een polynomenrij
(z) is voor te stellen.

Er zullen dan gebieden (?,, zijn, waar de convergentie op het
afgesloten gebied Gy gelijkmatig is en andere gebieden, waar
dit niet het geval is. (Dit hangt af van de keuze van cp {amp;)). De
eerste soort zullen we gebieden met geheel gelijkmatige convergentie
noemen, de tweede soort gebieden met ongelijkmatige convergentie
aan de rand. Een gebied van de eerste soort moet steeds begrensd
worden door gebieden van de tweede soort.

Voor het bestaan van een rij holomorphe juncties, die overal binnen
G tot (p (z) convergeeren en dat op F ongelijkmatig doen, is dan

noodig en voldoende, dat er een systeem van strooken S^, S^.....

S„,. . . . besiaat, die zoowel met de gebieden met ongelijkmatige

convergentie «ow de rand, als met de cirkelomtrek K, funten gemeen
hebben en zoo, dat iedere omgeving van een funt van F aan de „zijde{n)
van ongelijkmatige convergentiequot; door een « aantal strooken /S„
getroffen wordt, doch ieder funt van G slechts door een eindig aantal
strooken overdekt wordt (Gewijzigde voorwaarde B).

Dat de voorwaarde noodig is, blijk op dezelfde wijze als in
het voorgaande bewijs.

De voorwaarde is voldoende. Neem aan, dat er een systeem
van strooken /S„ bestaat, dat aan de gewijzigde voorwaarde B
voldoet. Benader de gebieden G,, met ongelijkmatige conver-
gentie aan de rand, door polygoonvlakken g^.^, g,,^, ■ ■ • gm, en
zorg, dat g,. ^ punten met S,, gemeen heeft. Verdeel de strooken
S,. door lengtesneden in oo veel strooken Sy^, Sy.^, ■ • • Sy„, . . .
Neem nu van het cirkelvlak K de n polygoonvlakken

92 ...... ffnn de bijbehoorende strooken Sj,,, .....s„„

weg (gy„ heeft dus punten met s,.„ gemeen). Dan wordt A\' in
hoogstens een eindig aantal enkelvoudig samenhangende gebieden
verdeeld, die geen punten met elkaar gemeen hebben. Noem
deze rest jR„.

Gescheiden van en van elkaar, liggen de gebieden gi^ „ _ i,

gfa ........!7„, „_i. Men kan nu weer, volgens de methode

van Runge, een polynomenrij /„ (2) construeercn, die in iedere

gy,„_i minder dan — van 99,. (2) afwijkt en iu ieder gebied

jR„ minder dan -i- van P„ (2).
n

Deze rij /„(2) convergeert overal binnen G tot lt;p{z). Het is
echter niet altijd zeker, dat de convergentie in de omgeving
van ieder punt van F ongelijkmatig is. Is dit niet het geval,
dan kan men volgens een voorgaande methode een functierij
h„ (2) construeercn, die overal binnen G tot O convergeert en
die dat in de omgeving van ieder punt van F ongelijkmatig
doet. Dan zal de functierij F„{z) = y h„{z), waarin y
een geschikt gekozen constante is, aan alle gestelde eischen
voldoen.

Opmerking. Uit de bovenstaande onderzoekingen volgt
onmiddellijk, dat het steeds mogelijk is, in een enkelvoudig samen-
hangend gebied G met krmime F, die aan de voorwaarde A voldoet
een rij van holmnovphe functies F,^{z) te cmstrueeren, die overal
binnen G tot een gegeven holomforhe functie F (z) convergeert en die
dat in de omgeving van ieder funt van F ongelijkmatig doet.

Benader F {z) gelijkmatig door een rij holomorphe functies
/„ (z). Construeer een rij holomorphe functies (z), die overal
binnen G tot O convergeert en dat in de omgeving van ieder
pimt van F ongelijkmatig doet. De functierij

Fn (2) = fn (Z) 7 K (Z).
waarin y een geschikt gekozen constante is, voldoet dan aan de
gestelde eischen.

Tenslotte onderzochten Hartogs en Rosenthal aan welke
eigenschappen een functie cp (z) moet voldoen, om grensfunctie
van een holomorphe functierij te kunnen zijn.

Noem de gebieden waar (p (z) holomorph is: en de ver-
zameling punten, die niet tot een behooren: F^. y„ behoeft
niet enkelvoudig samenhangend te zijn.

Dan is een noodige en voldoende voorwaarde:
1°. (p (z) moet op F^ benaderd kunnen worden door een polynomenrij
Pn (Z)-

2®. De gebieden waar de rij P„ (z) niet gelijkmatig binnen en
op de begrenzing convergeert moeten voldoen aan de gewijzigde
voorwaarde B.

Het bewijs is geheel analoog met het voorgaande, mits de
gebieden y^ zoo noodig door ,,kanalenquot; tot enkelvoudig samen-
hangende gebieden gemaakt zijn.

Tenslotte blijkt nog, dat (p{z) een functie van de 1° o/2° klasse
van Baire moet zijn otn op F„ door een polynomenrij benaderd te
kunnen worden en dat cp{z) slechts als een willekeurige zoodanige
functie gekozen kan wordm, als F^ aan de gewijzigde voorwaarde B
voldoet.

HOOFDSTUK V.
Toepassingen en Voorbeelden,
Stelling van Jentzsch^). Indien een machtreeks f{z) = S a^ ^

O

de eenheidscirkel 0 tot convergentiecirkel heeft, is ieder -pvnt van
de omtrek van G een limietpunt van de nulpu7iten van de functies

fjz) =ia,/(» = l,2.....).

O

Het is voldoende, liet bewijs te leveren voor het punt z — 1
Neem aan, dat 2 = 1 geen limietpunt van nulpunten is. Zij c een
kleine cirkel met 2 = 1 als middelpunt en straal r. Zij verder Cj
het gemeenschappelijke stuk van C ene; c^ het overige deel van c.
Kies c zoo klein, dat er in Cj geen nulpunten van een /„ (2)
liggeu en dus voor iedere cirkel y binnen Cj geldt:

fnii)

Omdat y ^^^ op y gelijkmatig tot — convergeert, zal
voor Y ook :

1 /\'/\'W ,

Dus is f{z)^0 binnen c,.

Beschouw voor alle waarden van ngt;0 de functie I\'\'\'7„(2).
Kies deze zoo, dat lim l/\'/»!«) =1 in c^. Dit is mogelijk,

n-»- X

omdat fJz) en / (2)7^0 zijn in q en Ig f,{z) en Ig f (z) dus
1) Diss. 1914.

zoo gekozen kiinnen worden, dat: Urn Ig fni^) = ^ i (z) en

f»-gt;-00

Urn P \' /„ (z) = Urn ë^ = 1 binnen c^.

n Tgt;nbsp;n -gt;- 00

Omdat /„ (z) O in c^, is 1quot; \' /„ (2) holomorph in c-^. Kies een

punt ^ in Cj op het verlengde van de lijn (O, 1).
00 ^

i a^ i 2* heeft een convergentiestraal = 1, dat is dus ook de

convergentiestraal van

a J ....

d.w.z. dat er een getal N bestaat, zoodat voor n) N

«O I I «1! .... I a„ \\M {I i)quot; M = constant.
Binnen c is

Xy /„ (2) I ^ I (i öo I I «11 ... I a„ I) (1 r) lt; m (1 (1 r)

m = constant.

De rij ly/„ (2) is dan gelijkmatig begrensd in c. Bovendien
convergeert ze in Cj, dus zal ze volgens de stelling van Stieltjes
overal in c gelijkmatig convergeeren, waar dan ook geldt:
lim ]yf„{z) = 1.

«-»-co

Er is dus een getal aan te geven, zoodat voor gt; 1
Ook is dan:

/n(^) - L-xi^)

lim |Via„| Z ^ lt; 1

00

De convergentiestraal van ^a^z^ zou dan gt; 1 zijn, hetgeen

in tegenspraak met de onderstelling is. Het punt z = 1 is dus

limietpunt van nulpunten van de functies /„ (z) = v o^ z*.

0

Uitbreiding van de stelling van Jentzsch i). hidim de reeks

00

2quot; aj^z^^f (z) een convergentiestraal = 1 heeft, en die van de

co

reeks l\'^zquot; is gt; 1, dan is ieder punt van \\z \\ =1 limietpunt
van tvortels van de vergelijkingen 2quot; a^ z* = b„.

O

Het is weer voldoende, het bewijs te geven-voor het punt

2 = 1. c, r. Cl, Cj, i\' hebben dezelfde beteekenis als iu het
voorgaande.

Neem aan, dat 2 = 1 geen limietpunt van wortels is. Dan kan
c zoo klein gekozen worden en is er een getal n, aan te geven,

«)odat binnen c voor n gt; n„ geldt: i\' a, z\' b„. Dan kan men

0

1quot; / nnbsp;------

bij iedere »1 gt; n, een functie 0„ («) = \\/\' Va^z*—kiezen,

0

die holomorph in c is. Ook ia weer

^ I «0 I I «II . . . . I rt„ lt; ( I nbsp;constant.

Bovendien kan men, omdat Urn ^^Jbj / 1, een getal 91 gt;

aangeven, zoodat voor n gt; % \\\'y | 6J lt; (i t).nbsp;jj,.

--------

(2) I lt; \\/ 2a, 2\'. 1quot;quot; I lt; (I -f- (i ,) (1 ^ (1 ^ t)

fl. w. z. de rij lt;Igt;„ (z) is biimen c gelijkmatig begrensd.

Om aan te toonen, dat de rij convergeert in c, zullen \'2 gevallen
worden onderscheiden, n.1.

Urn \' b„ . = co en 2°. Urn | =6. {h eindig)
1) J. Wolff. C. R. 184, 1927, blz. 796.

1°. geval. Br is een getal v aan te geven, zoodat voor n} y
in Cl geldt:

Omdat Zim I I Z 1 is lim ^ \\ b„ \\ =1, waaruit volgt:

n^*- co

lim 2quot; a„ zquot; — amp;„ = lim 0„ (z) = 1.

n gt; «nbsp;Onbsp;n »

n

2°. geval. In c^ is lim (2quot; a^ 2* —amp;„)=/ (z) — 6 O en dus

n -gt;- oo O

% — = Urn (p„ (z) = 1.

n gt; «

/ {2) — ft O omdat voor een cirkel y binnen Ci:

Omdatnbsp;op gelijkmatig totnbsp;convergeert,

is ook . \\nbsp;, dt = Ü. Dus moet /(«) — f^T^O zijn.

2 /(O—0

In beide gevallen is nu aangetoond, dat de rij (2) binnen c,
convergeert. De rij is binnen c gelijkmatig begrensd, en dus
volgt uit de stelling van Stieltjes, tlat ^„(2) overal in c
gelijkmatig convergeert. Daar is dan Ihn (P„ (2) = 1.

X

Men kan dus een getal N aangeven, zoodat voor n gt; iV 1
in het punt 2 = |:

Of, omdat Kmnbsp;Z 1,nbsp;lt; 2 f\'quot;-

n —1

Dus:

Hieruit volgt: lini | a„ | Z lt; 1.

Dit is echter in strijd met de onderstelling en dus is z = 1

n

limietpunt van wortels van de vergelijkingen ^\'a^z* = b„.

Voorbeeld van een rij holomorphe functies P„ (z) in een cirkel
om O, die daar niet gelijkmatig tot een holomorphe grensfunctie

1) Montel. Buil. des Sc. Math. (2) 30, blz. 190.

Construeer in het « vlak een rij figuren I„, II (n = 1 2 )
samengesteld uit rechthoeken met afmetingen, zooals de ieekening
aangeeft. Maak volgens de methode van Runge een rij poly-
nomen F„ (z) (n = j, 2,. . . .), zoodat:

P„(z) = 2 w e-quot;^\'

Deze functierij convergeert in iedere cirkel om O met straal
Ä gt; O tot de grensfunctie / (z) = 0. De convergentie is echter
met gelijkmatig, want men kan de rij niet term voor term
integreeren. Men heeft n.1. op de reëele as:

onbsp;n^«: (nbsp;I n \\

1

= Urn j 1nbsp;I ^ J

1

Echter is ƒ / (x) d x = 0.

O

Hieruit volgt tevens, dat de voorwaarde, dat een conver-
geerende rij van holomorphe functies term voor term geintegreerd
kan worden, niet noodig is, opdat de grensfunctie holomorph zij.

Voorbeeld van een rij holomorphe functies (.) in een cirkel
om O, die daar tot een holomorphe grensfunctie / (z) convergeert
terwyl de rij van afgeleiden niet tot de afgeleide van de grens-
functie convergeert.

Construeer in het z vlak een rij figuren I„, II„, (n = 1, 2,. .),

Fig. IV

samengesteld uit reclithoekon met afmetingen, zooals de teekening
aangeeft. Maak een rij van polynoinen P^ {z), zoodat:

in f„ en ir„nbsp;( | öj | lt; ] j

(|02llt;i)

Deze functierij convergeert overal voornbsp;tot de

grensfunctie / (z) = 0.

Voor z niet reëel is P^ (z) — O (stelling van Weierstrasz).
Voor z reëel en O geldt op den duur

27li J {t-zf

II.

Eindelijk is

1nbsp;. i-.l .W^-^O

27T n^

INHOUD

Bladz.

Inleiding . ..................... 9

TToofdstuk T.

Defiivitios on algomoeiifi stollingon..........13

Hoofdstuk TT.

Cclijkiniitig coiivorgoorciido rijen van holomorphe functies 23

Hoofdstuk III.

Quasi-gelijkmatig convergeerende rijen van holomorphe
functies.....................35

Hoofdstuk iv.

Ondcrzookingou van IIartogs en Rosknïhal ....

Hoofdstuk V.

Toepassingen on voorhoeldon........... 49

y-

-M

Vwe f

■ ■. K \' .

lit!«]«

\' .innbsp;\'nbsp;■ .

, . . . . . ti\'ii^nilkîa \'»»\'»^irtis^lR fin «\'gt;îtinîHlt;T

■ il XU\'ÎXUquot;f\'Hgt;îr

t,i: »fiiioiiöl tiiipojîiolvuf

.Ui

•♦ûqiofnolod lurfnbsp;aiîfim}tîH »jgt;-Riitup

fif. . . . . . . . . . . - . , . . . - - . .

7îgt; a:itgt;.fncK)ll

. ,nbsp;a-, gt;«*H tu./

.7 ji jTWiociH

et ,

1

STELLINGEN.

1.

Een noodige en voldoende voorwaarde, dat de grensfunctie
f{z) van een convergeerende rij continue functiesnbsp;binnen

een gebied G daar begrensd is, is de quasi-gclijkmatigè begrensd-
heid van de rij /„ {z) binnen G, d.w.z.:

Aan ieder afgesloten deelgebied A van G is een getal M toe-
gevoegd, met de volgende eigenschap: geeft men N willekeurig,
dan kan men uit eenzelfde eindig aantal boven N gelegen indices
voor iedere 2 van A een n^ kiezen waarvoor: (2) lt; M.

II.

Beeldt men de stralenriiimte op een stelsel involutiekegel-
sneden af en Iaat men de top van een waaier of van een ster
een kromme van de graad n beschrijven, dan ontstaat in het
beeldvlak oen kromme van de graad 2«.

J. DE VniEs. Vcrsl. Kon. Ac. (1) 34, 1925, blz. 13.

III.

Ten onrechte meent Natorp bewezen te hebben, dat de
ruimte van de ervaring driedimensionaal is.

P. Natokp. Die logischcn Grundlagen der exaktcn

Wissenschaften, 1923, blz. 306.

IV.

Dc uitspraak van Clay, dat „dequot; doordringende straling
voort moet komen uit de hoogere lagen van de atmosfeer,
behoeft nadere o.\\porimcnteelc staving.

J. Clav. Versl. Kon. Ac. (2) 36, 1927, blz. 1269.

De meening van Lewis, dat er geen grond zou zijn om
polarisatie te verwachten in het lijnenspectrum van de corona,
is onjuist.

Lick Obs. Bull. 10, 1918, blz. 7.

Publ. Astr. Soc. Pacific. 30, 1918, blz. 235.

VI.

Bij vele taalkundige onderzoekingen wordt een onjuist ge-
bruik gemaakt van statistisch materiaal.

N. Beckman. Arkiv för Nordisk Filologie. 43, 1927,

blz. 245.

VII.

De uitdrukking: /i^ is de kans, dat een x-jarige op dit
oogenblik sterft, is door haar onvolledigheid onjuist.

H. Galbkun. Assurances sur la vie. Calcul des primes.

1924, blz. 41.

VIII.

Het is niet wenschelijk, de theoretische en praktische op-
leiding van de a.s. academisch gevormde docent, tijdens de
studie voor het doctoraal examen te doen plaats hebben.

Weekblad v. G. en M. O. 26, no. 18, 1930, blz. 539.

t * JU »V

-nbsp;Vi--?.\'

......

S»

\'îfT-\'vX-xi ..t ■

\'V ■ ■■■ ■ ■ -
1 ^

..-..-v .. . .... -,

^nbsp;\\nbsp;^ ; \\ V.- ^

■.\';,■•■.■•..■■\'Squot;;.

Ijl Ij

CONVERGEERENDE RIJEN
VAN HOÉOMORPHE FUNCTIES

J. MARX

Diss,
Utrecht

fTÏÏBLS OTi .üEi-v

iRlJK3UN!VLRSiT£rr|
\\ UTRECHT. I

\\