1 löi^nii. ur

ÏN HKÏ BIJZONDER DER

• V.-* w\'nbsp;../T*- \' t

, . \' itl; ■nbsp;\'■ry.-,- ■ J-- \'•■t. jJa

^ . .. Ä.-t«

. ■ ,i......\'M\'nbsp;^

quot; - •nbsp;gt;nbsp;\' .nbsp;«nbsp;. . \'nbsp;• .*nbsp;. A» \' quot; V ■ ■ • quot;»l V \' • • , . •nbsp;• __ Jnbsp;-,nbsp;. \'nbsp;• -

■ .nbsp;■nbsp;M

«i\'\' ;

V

.1 \'

■quot;■■fefcv

■ m. ^

gt; ■ .K\' -

.\'if\'-:-. ■

■■

f-\'-l-\'\'

\' --m ..;v- V

. \'t

\'m.

rJki quot; quot;-tnbsp;\'S \' \'N . H- • • /nbsp;\' \'V.. :

MM

\' .r\':^ - ■. ■ -. ;nbsp;^vnbsp;\'s.

.1. 3?/ \'nbsp;ji\'.

■ ■ ........

. i.

V.-tnbsp;t» •

AXIOMATISCHE OPBOUW DER VERZAMELINGENLEBR
IN HET BIJZONDER DER GETALLENTHEORIE

rijksuniversiteit te utrecht

1894 6404

AXIOMATISCHE OPBOUW DER
VERZAMELINGENLEER, IN HET
BIJZONDER DER GETALLEN^
THEORIE

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR
IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-
UNIVERSITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG VAN DE
RECTOR-MAGNIFICUS, Dr. L. S. ORNSTEIN,
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER WIS- EN
NATUURKUNDE, VOLGENS BESLUIT VAN DE
SENAAT DER UNIVERSITEIT, TEGEN DE BEDEN-
KINGEN DER FACULTEIT TE VERDEDIGEN OP
MAANDAG 30 NOVEMBER 1931 TE 15 UUR

DOOR

PIETER GAELE JOHANNES VREDENDUIN
GEBOREN TE AMSTERDAM

BIBLIOTHEEK DU^
RIJKSUNIVERSITEIT
UTRECHT.

UITGEVERIJ „DE PLOEGquot;. W. LANDSTRA - UTRECHT

I. AXIOMATIEK. THEORIE DER AEQUIVALENTIE.

SYSTEEM DER NATUURLIJKE GETALLEN.

Grondbegrip: Ver2:ameling.

Grondrelatie: e (is element van).

Negatie e.

Definitie: Indien uit x e a volgt x e b, dan heet a deel-
verzameling van b. Notatie: a ^ 6,6 ^ a. Is er bovendien een
element y e b, zoodat y é a, dan heet a een echte deelver-
zameling van b.

Definitie: Isa^benb ^a, dan zijn a en 6 gelijk. Anders
zijn a en 6 verschillend. Notatie resp. a = b en a ^ b.

Axioma 1: Is a = 6 en a c dan geldt b e A,

Gevolg: In elke relatie mag een verzameling worden ver-
vangen door een daaraan gehjke verzameling. Dientenge-
volge noteeren we een verzameling door zijn verschillende
elementen tusschen accoladen te plaatsen.

Axioma 2: Uit de existentie van a en b volgt die van
{a, b}, mits a^b.

Axioma 3: Existeert m, dan existeert de verzameling van
alle elementen der elementen van m.

Definitie: Deze verzaméhng heet de vereenigingsver-
zameling van m. Notatie: Um.

Axioma 4: Existeert m, dan existeert de verzameling der
deelverzamelingen van m.

Notatie: Um.

Oordeels-definitie: Noodzakehjke voorwaarde, waaronder
geldt: lp (x) is een functie van x, is dat geldt: ^ (x) is een
verzameling, als x een verzameling is. Functies van x zijn:

а,nbsp;een verzameling a,

б.nbsp;X,

c.

d.nbsp;Ux,

e.nbsp;als (fgt; (x) en lt;/gt; (x) functies van x zijn: ^ (x)).
Oordeels-definitie: (fgt; {x, y) is een functie van x en y be-

teekent: indien x een verzameling is, is ^ (x, y) een functie
van y en indien y een verzameling is, is ^.(x, y) een functie
van X.

Gevolg: Een functie van x is tevens functie van x en y.
Axioma 5: Existeert m en zijn lt;}gt; (x) en ^ (x) functies van
X, dan existeeren de deelverzamelingen van m der elementen,
waarvoor geldt ^ (x) e lt;A (x), resp. ^ (x) ^ ^ (x).
Notatie:

Gevolg: Onder de voorwaarden genoemd in axioma 5
existeeren ook:

(x) e 0 (x) «« (*) = ^ m\'

immers dit is:
Oordeels-definitie:

^lt;lgt;{x)i ^ (X) en m^ (^j ^ ^ ^^^ /oncfics van m.

Oordeels-definitie:
^lt;fgt;(x,y)4^{x,y) ^^ (x, gt;.) ^ y)n/««ci/« yan

Gevolg: In bovenstaande (definities mag é door e, ^
door = vervangen worden.

Stelling 1: Existeert een verzameling m, dan existeert een
verzameling, die geen element bevat.
Bewijs: De verzameling m^^^ voldoet.
Definitie: Een verzameling, die geen element bevat heet
nulverzameling. Notatie :0. De nulverzameling noemt men leeg.
Stelling 2: Existeert m, dan existeert {m}.
Bewijs: Zij m ^ O, dan voldoet aan het gestelde:

Is m = O, dan voldoet UQ,

Oordeels-definitie: Zijn ^ (x) en (x) functies van x,
dan is ook een functie van x:

{^(x).^A(x)} voor lt;fgt; (X) ^ ^(x),
{^(x)} voor ^ (X) = 0(x).
Gevolg: Kies lt;fgt; (x) = if» (x) = x, dan vinden we: {x}
is een functie van x. (Het symbool = verbindt steeds ver-
schillende notaties voor hetzelfde begrip.)

Stelling 3: Bij een verzameling A bestaat de verzameling
der elementen, welke element zijn van alle elementen van A,
Bewijs: De verzameling van alle elementen van A, die
een element y bevatten, is:

^y.x^\'l\'iy)- .
Zij nu aeA, dan is de gevraagde verzameling:

Definitie: De in steUing 3 ingevoerde verzameling heet
doorsnede van A,
Gevolgen: 1. De doorsnede van A is een functie van A,
2. De doorsnede van {a, 6} isa^^j is dus een functie
van a en 6. Notatie: [aft].

Definitie: Indien voor elk element a der verzameling m
geldt:

heet m normaal.

Definitie: Men zegt, dat m één element bevat als geldt:
le: m=j^O,

2e: is aem, dan is m^^ ^
Gevolg: Js b ^ a, dan is 6 m. Dus m = {a}. Maar dan
is m = { i: m}. Omgekeerd volgt hieruit, dat m één element
bevat, immers:

Stelling 4: Zij gegeven een normale verzameling
M {/Wi, ma,....}, dan existeert de verzameling van alle
deelverzamelingen van SM, welker doorsnede met ieder

element van M één element bevat. Deze verzameling
is een functie van M.

Bewijs: De gevraagde verzameling is deelverzameling
van USM, De verzameling van alle elementen van M,
welker doorsnede met een verzameling z één element
bevat, is:

De gevraagde verzameling is dus:

een functie van M.nbsp;/

(Indien niet door haken anders is aangeduid, worden de
operaties van rechts naar links opvolgend uitgevoerd.)

Defimtiei De in stelling 4 ingevoerde verzameling heet
prodactverzameling van M. Notatie: PM,
Gevolg: Is O e M, dan geldt PM = 0.
Axioma 6: Is M ^ O een normale verzameling en is
OéM, dan is PM 0.

Invoering van de natuurlijke getallen en vaststelling
eener ordereiatie*

Axioma 7: a. Er existeert een verzameling.

6. Bij elke verzameling m en functie lt;fgt; (x)
existeert een verzameling M met de eigenschappen:
le: meMf

2e: is ye M, dan is \'}gt;(y) e M.

c. Voor elke zoodanige verzameling Mexisteert
de deelverzameling M\' der elementen, waarvan met
behulp van uitsluitend de voorschriften le en 2e kan aan-
getoond worden, dat ze tot M behooren (d.w.z. er geldt
H e M\', indien er relaties gelden, allen van de vorm le of
2e, waaronder voorkomt de relatie fi e M\'),
Notatie: {m,lt;fgt; (m), lt;fgt; (^ (m)),.....}.

Oordeels-definitie: {m, (m), ^ (m)),.....} is een

functie van m.

Gevolg: De verzameling:

rs{0,{0}, {{0}}......}

existeert.
Analoog existeert:

......}.

We noteeren Z ook wel als volgt:

{1,1 1,1 1 1,....},

of:

{1,2,3,.....}.

Definitie: De elementen der verzameling Z heeten natuur-
lijke getallen.

Stelling 5: Is 72 ^ 1 een natuurlijk getal, dan is ook Sn
een natuurlijk getal.

Bewijs: De eindconclusie, welke aantoont, dat n een
natuurlijk getal is, is daar n^^ l, van de vorm: p is natuur-
lijk getal, dus ook {p}. Substitueeren we hierin voor {p}
n, dan vinden we: Sn is een natuurlijk getal, dus ook n.
Maar dan moet Sn een natuurhjk getal zijn.

Opmerking: Onder eindconclusie wordt niet verstaan de
laatste conclusie, echter de conclusie, waarin uitgesproken
wordt, dat n een natuurhjk getal is.

Zij p een natuurlijk getal dan existeert volgens axioma
7c:

Z\'p = {p l,p-\\-2,.....},

en dit is een deelverzameling van Z, dus existeert ook:

(Is m ^m, dan noteeren we m^.- ook wel verkort

X C ïit

m — m.)
Stelling 6: leZ,.

Bewijs: Voor aUe n c Z\'p geldt T n c Z, dus W Z\'p.
Stelling 7: Er is een natuurlijk getal a, zoodat a 4 2\'„,

a l^Z\'p,

/

Bewijs: Was het gestelde onjuist, dan was, daar 1 é Z\'pt
volgens axioma 7c geen der natuurhjke getallen element
van Z\'p.

Definitie: Zijn p tn q natuurlijke getallen en kan met
behulp van uitsluitend voorschrift 2e q uit p afgeleid wor-
den, dan zegt men dat q grooter is dan p, p kleiner dan q.
Notatie: q gt; p, p lt; q*

Gevolg: ïs p gt; q en q gt; r, dan geldt p gt; r (transitiviteit
der orderelatie).

Is 6 lt; a, dan kan niet b e Z\'p, daar dan ook a e Z\'p.
Is bgt;a, dan is 6 = a 1 of bgt;a-\\-l (of beide), dus
in elk geval b e Z\'p. Dus:
Z\'p bestaat uit alle natuurhjke getallen gt; a,
Zp bestaat uit alle natuurhjke getallen ^ a.
Daar Z = Zp-i- Z\'p is hiermede bewezen, dat voor elk
natuurlijk getal n geldt óf n gt; a, óf n a. (m n is een
verkorte notatie voor S {m, n}, ais {m, n} normaal
is.) Niet zeker is of deze uitspraak juist is voor elk natuurhjk
getal a. Deze zekerheid verkrijgen we door te bewijzen:
Stelling 8: p==a.

Bewijs: Uit het ongerijmde zien we gemakkelijk, dat uit:
a éZ\'p, a 1 € Z\'p en béZ\'p, h leZ\'p
volgt a=6. We kunnen,dus volstaan met te bewijzen:

péZ\'p,

Als gevolg van stelling 5 geldt:

We toonen nu aan, dat indien geldt:

péZ\'p{p l,p 2,,.,.},
ook voldaan is aan:

Was n.1. p 1 e Z\'p u dan was p -j- 1 gt; p -f- 2 en daar-
uit volgt p gt; p 1. We vinden dit do^or in het bewijs
van p -f 1 gt; p 2 overal het natuurlijk getal p te ver-

vangen door 27p. Contradictie. Uit het vooiï;aande volgt,
dat voor willekeurige p geldt:

péZ\',.

Toelichting: We kunnen bewijzen, dat p een natuurlijk
getal is door gebruik te maken van uitsluitend de beide
volgende uitspraken:

le: 1 is een natuurlijk getal,

2e: is q een natuurhjk getal, dan is ook g -f- 1 een natuur-
lijk getal.

Vervangen we in het bewijs overal „p is een natuurlijk
getalquot; door „p is gelijk ^n het bij p behoorend natuurlijk
getal aquot;, dan zien we de geldigheid van bovenstaande con-
clusie. (Bewijsmethode der volledige inductie.)

Gevolg:

Stelling 9: Voor de natuurlijke getallen a en b geldt
steeds óf a gt; 6, óf alt;b, óf a = 6.

Gevolg: Is p gt; q, dan geldt:

Zq is een echt deel van Zpt
Z\'p IS een echt deel van Z\'qgt;

Notatie:

^0 = 0.

Theorie der aequivalentie.

Stelling 9a: Existeert m en is (x) een functie van x,
dan existeert de verzameling, die tot elementen heeft
lt;fgt; (y), indien y e m, wanneer tevens een verzameling M exis-
teert, zoodat voor elke yem geldt (gt;gt;) c M,

Bewijs: Uit m leiden we af de deelverzameling, die na
transformatie overgaat in een gegeven verzameling zt

Uit M leiden we vervolgens af de deelverzamèling der

elementen, welke door transformatie uit de elementen van
m ontstaan:

^^ (z) ^ O-

Dit is de gevraagde verzameling.

Notatie: We noteeren de hierboven afgeleide verzame-
ling m (x)}.

Gevolg: Is m een functie van y, dan is ook m (jc)}
een functie van y.

m { lt;fgt; (Xf y) } is een functie van y, als steeds x em.
Definitie: Hebben Atn B geen element gemeen en heeft
de productverzameling P {A, B^ een deelverzameling
met de eigenschap, dat elk element van A-\\- B element is
van één element dezer deelverzameling, dan heet A aequiva-
lent met B,

Definitie: Hebben Aen B een element gemeen en bestaat
er een verzameling C, die volgens de voorgaande definitie
aequivalent is met A en B, dan heet A aequivalent met B,
Notatie: A co B,

Definitie: Bovengenoemde deelverzamehng van P {A, B}
heet een afbeelding van A op B,

Stelling 10: Hebben A en B geen element gemeen, dan
existeert de verzameling van alle afbeeldingen van A op B,
Bewijs: De verzameling van alle elementen van A-\\- B,
welke element zijn van één element eener verzameling

Z IS*

waarin ^cz, x^A-\\-B, We vragen nu naar de deelver-
zamelingen van P{A, B}i dus naar de elementen van
UP{A, B}, waarvoor ifgt;{z) alle elementen van A B
bevat. Deze is:

Definitie: De verzameling UP {A, B}nbsp;^ heet

afbeeldingsverzameling van A op B,

Gevolgen: 1. Hebben AenB geen element gemeen, dan is
de noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor A oo B:

2. De afbeeldingsverzameling van i4 op B is een
functie van A en B. Dus existeert steeds:

Stelling 11: Hebben gt;1 en 5 geen element gemeen, is
A co B en is ^ een afbeelding van A op B, dan bepaalt 4gt; een
functionaal verband tusschen de elementen van A en B.

Bewijs: De verzameling der elementen van die een
element y bevatten, is:

Js y eA, dan bevat ^ (gt;gt;) steeds één element van B. Dit is:

Deze functie legt het gevraagde verband.

Stelling 12: Hebben de verzamelingen A en B geen
element gemeen en bestaat er een functie lt;fgt; (x) met de
eigenschappen:

le: is a e A, dan geldt ^ (a) = 6 c B,

3e: is 6 « B, dan existeert een verzameling aeA,
zoodat 4gt; (a) = b,
dan is i4 co B.

Bewijs: Volgens stelhng 9a existeert A {*, ^ (x)}. Dit
is een afbeelding van op B.

Definitie: De functie lt;lgt; (a) heet afbeeldingsfunctie van A
op B.

Gevolgen: 1. Is { i4, B, C } normaal, dan volgt uit i4 cv) B
en B co C, dat ook A co C (transitiviteit der aequiva-
lentie).

2. Uit stelUng 11 en 12 volgt, dat bij iedere afbeeldings-
functie van A op B, lt;fgt; (a), bestaat een afbeeldingsfunctie

van B op Af tft (b), zoodat indien lt;fgt; (ai) = b^ ook geldt
^ (bj) = «1. De functie ^ (6) heet de inverse van ^ (a).

Stelling 13: Is M {m^, m^,co N{ni, ng,... zijn M
en N normaal en hebben 2 M en SN geen element gemeen,
en bestaat er vervolgens een afbeeldingsfunctie n = lt;jgt; (m),
zoodat steeds m oo ^ (m), dan is S M co SN,

Bewijs: De afbeeldingsverzameling van m op ^ (m) is een
functie van m. Zij deze functie ^ (m), dan existeert:

Deze verzameling is normaal, zijn productverzameling is
niet leeg. Zij p e PM { tft (m) }, dan is Sp een afbeelding
van SM op SN.

Stelling 14: Is M oo iV en hebben M en N geen element
gemeen, dan is UM co UN.

Bewijs: UM en UN hebben geen element gemeen. Zij
lt;lgt; (m) een afbeeldingsfunctie van M op N en ip (n) zijn
inverse. Is:

quot;M { \'quot;i\' \'quot;a»----} e UM,

dan is:

«at { ^ irrii), lt;}gt; (mg),----} e UN.

Deze verzameling kan echter ook geschreven worden:

en is dus een functie van Gemakkelijk is aan te toonen,
dat deze functie voldoet aan de eischen van stelling 12.

Stelling 15: Onder de onderstellingen van stelling 13 is
PM oo PN.

Bewijs: PM en PN hebben geen element gemeen. Elke
volgens de bewijzen der stellingen 13 en 14 te construeeren
afbeelding van USM op USN bevat een deelverzame-
ling, welke afbeelding is van PM op PN.
Stelling 16: Is M normaal en a e PM, dan is a co M.
Bewijs: Een afbeeldingsfunctie is, als m c M:

Ten einde over te gaan tot de behandeling van verzame-
lingen, welke elementen gemeen hebben, bewijzen we eerst
de hulpstellingen 17—19.

Stelling 17: Bij elke verzameling m^O bestaat een deel-
verzameling, die geen element van m is.
Bewijs: De verzamelingnbsp;voldoet.

Stelling 18: Bij de verzamelingen m ^ O en n bestaat
een verzameling M oom, die geen element gemeen heeft
met m en n.

Bewijs: Zij re S{m, 2m, i:\'n}.Dan voldoet P lm, M J.
De functie {x, r} is rfbeeldingsfunctie van m op P { m, {r} }.
Stelling 19: Is m O en normaal, dan bestaat er bij

m (mi, mg,.....} en n een verzameling m\' met de volgende

eigenschappen:

le: m\' is normaal,

2e: Sm\' heeft geen elementen gemeen met Sm en Sn,
3e: m\' com,

4e: er bestaat een afbeeldingsfunctie van m op

m\', ^(mfc), zoodat steeds m* 00 (m^).
Bewijs: Volgens stelling 18 bestaat een verzameling
M 00 Sm, die geen elementen gemeen heeft met S men Sn.
Zij if/{x)een afbeeldingsfunctie van M op Sm. Dan
bestaat de deelverzameling der elementen van M, die door
lp (x) toegevoegd zijn aan de elementen van mj, n.1.:

Dus existeert:

R {^1, ra,.....}.

We zien gemakkehjk, dat R aan de vraag voldoet.
Met behulp dezer steUingen zien we:
De stellingen 11 tot en met 15 blijven juist, indien we de
eisch, dat A en B, resp. M en N geen element gemeen
hebben, laten vallen. Eveneens de transitiviteit der aequi-
valentie.

20: Iedere verzameling is aequivalent met zichzelf.

Bewijs: Zij gegeven m ^ O, is n co m en hebben m en n
geen element gemeen, dan is volgens de tweede definitie
van aequivalentie m co m. Voor m = O is het gestelde een
direct gevolg der eerste definitie van aequivalentie.

Stelling 21: Is a € A en p é A, dan is A — a p co A.

Bewijs: Zij B olt;iA,péBen hebben AenB geen element
gemeen. Is lt;jgt; een afbeelding, ^ (x) de bijbehoorende af-
beeldingsfunctie van A op B, dan is:

een afbeelding van A — a p op B.

Definitie: Een verzameling heet eindig, als hij met
geen zijner echte deelverzamelingen aequivalent is.

Definitie: Een verzameHng heet oneindige als hij een
echte deelverzameling heeft, waarmee hij aequivalent is.

Stelling 22: De verzameling Zp is eindig.

Bewijs: = is eindig, daar zijn eenige echte deel-
verzameling O is. — We bewijzen nu: is Zp eindig, dan is
ook Zp i eindig. Onderstel 1 is oneindig, dus:

Zp l co Zp u

waarin Zp 1 een echt deel is van .^p 1. Is a e 1 en a c% 1,
zij verder ^ (x) een afbeeldingsfunctie van\'Zp i op Zp i
en is ^{p-hl)= b. Dan is:

Zp c^Zp i — b.

Volgens stelling 21 is dan ook:

Zp ^Zp 1— b — {p 1) a,
en dit is een echt deel van Zp\' Hieruit volgt het gestelde,
(Indien b = p l ondergaat het bewijs eenige vereen-
voudiging.)

Stelling 23: Z is oneindig. Voor elke q geldt Z\'q ~ Zgt;

Bewijs: Z\\ co Z, immers de functie {x} is afbeeldings-
functie van Z op Zi\'. Is Z\'p dan is ook Z\'p i ~
Immers Z\'p ^Z\'p \\\'

Definitie: Is M oo Zp, dan zegt men, dat Afp elementen bevat.

Er is nu overeenstemming bereikt tusschen de uitspraken
„M bevat één elementquot; en „M bevat 1 elementquot;.

Definitie: Is M ooZ, dan noemt men M aftelbaar.

Stelling 24: Een eindige verzameling heeft geen onein-
dige deelverzameling.

Bewijs: Is A eindig, B ^A oneindig en i4 = ß C,
dan is:

.4 = S-f-CcvDß c,
waarin B een echte deelverzamehng van B is. Contradictie.

Axioma 8: Elke eindige verzameling is aequivalent met
een element der verzameling:

Gevolg: In verband met stelling 23 en 24 geldt nu: de
vereenigingsverzameling van een aftelbare en een eindige
verzameling is aftelbaar.

Ten einde de invoering van dit axioma te rechtvaardigen
de volgende poging tot bewijs:

Onderstel er existeert bij een gegeven eindige verzameling
M geen verzameling Zp, die aan de eisch voldoet. Er
geldt dan:

le: M heeft een echte deelverzameling ATi cv. Zi,

2e: Heeft M een echte deelverzameling Mp co Zp, dan
heeft M ook een echte deelverzameling:

Afp 1 oo Zp ^ I,

Hieruit volgt voor willekeurige q: M heeft een echte
deelverzameling Af, ~ Z,. — Alle deelverzamelingen van
M aequivalent met Z, vormen een verzameling, die een
functie is van Zqgt; Echter is Z\', een functie van 9 -}- 1, dus
daar g 1 een functie is van q, ook van q, dus is ook
een functie van q. Dan is echter:

Dus existeert de verzameling:

Deze verzameling is normaal, dus de productverzameling
existeert. Zij een element ervan: { flj, Og,... ♦ } . Daar
bij gegeven q steeds 1 element van A q elementen bevat,
bestaat er een functionaal verband a, = x (l)t waarin a,
het element van is met\'g elementen. We trachten nu uit
A een aftelbare deelverzameling van M af te leiden,
stuiten daarbij echter op de volgende moeilijkheden:

We kiezen achtereenvolgens a^, een element van Og, dat
verschillend is van Oi, een element van Og, dat nog niet
gekozen is, enz. Deze keuze kunnen we tot elk rangnummer
voortzetten en de gekozen elementen tot een verzameling
vereenigen (volledige inductie), we kunnen echter niet
alle zoo gekozen elementen tot een verzameling vereenigen.
Dit laatste zou mogelijk zijn, indien steeds gold:nbsp;a^.

Trachten we echter A zoo op te bouwen, dat hieraan vol-
daan is, dan stuiten we op een analoge moeilijkheid.

Stelling 25: De vereenigingsverzameling eener eindige
verzamehng met eindige elementen is eindig.

Bewijs: 1. We onderstellen, dat de gegeven verzameling
normaal is.

a.nbsp;De stelling is juist als de verzameling 1 element bevat.

b.nbsp;De stelling is juist als de verzameling 2 elementen
bevat. Zij dan de verzameling {a, è}. Bevat b 1 element,
dan is aan het gestelde voldaan. Het algemeene geval be-
wijzen we met volledige inductie.

c.nbsp;Is de stelling juist als de verzameling p elementen
bevat, dan is ze ook juist als de verzameling p -f 1 elementen
bevat, We splitsen daartoe de verzamehng in:

{oi, 02,----,ap} en {a, 1}.

Van deze beide verzamelingen is de vereenigingsver-
zameling eindig, dus is volgens b ook eindig:

2; { flj, 02,.,,,, Op} -f { flp i}.

2, De gegeven verzameling is niet normaal. Zij gegeven:

Anbsp;«2».....f Og),

dan existeert de normale verzameling:

H {hl, ....., coA,

zoodat er een afbeeldingsfunctie van A op B bestaat, ^ (a),
waarvoor algemeen geldt: lt;fgt; (au) cv. a*. SB is dan eindig.
Zij lp (ük) de afbeeldingsverzameling van a* op dan
existeert A{ifgt;{ak)y Dan is SPA{i/,{ak)} een verza-
meling, welker elementen de vorm {a, j8} hebben, waarin
a c öft en ^ het aan a door een aequivalentietransformatie
toegevoegde element van b^ is. De verzameling der elemen-
ten {a, p] met vaste a is een functie van a, x («), dus ook
^ x{p) — a. Dan existeert dus:

Een element der hieruit afgeleide productverzameling is
aequivalent met S A ea is deelverzameling van S B, dus
ook i7i4 is eindig.

Stelling 26: De productverzameling eener eindige ver-
zameling met eindige elementen is eindig.

Bewijs: Analoog aan het bewijs van de vorige steUing.
Stelling 27: De C7-verzameling eener eindige verzameling
met eindige elementen is eindig.

Bewijs: De deelverzamelingen die 1 element bevatten,
vormen een eindige verzameling U^, Volledige inductie
levert: de deelverzamelingen die q elementen bevatten,
vormen een eindige verzameling f/,. Voorts is Ug een
functie van q, dus existeert, indien de gegeven verzameling
p elementen bevat:

{U,, ...... U,}.

Het gestelde is nu een gevolg van stelling 25.

Invoering der hoofdbewerkingen met natuurlijke
getallen en afleiding hunner grondeigenschappen.

Definitie: Zij A (a^j fttp^ ------ a^^} een eindige, normale

verzameling, zijn zijn elementen eindig en wel resp. be-
staande uit pi, P2t\'\' -\' t Pk elementen en is SA Zst tl^n
heet s de som der natuurlijke getallen Pi, p^, -. - ^ t Pk\'
Notatie: 5 = -f pg »♦ ♦ • Pa- De verzamelingen A
en üp heeten representeerende verzamelingen.

De optelUng is altijd mogelijk. Uit stelling 25 volgt n.1.,
dat de definitie een zin heeft.

De optelling is ondubbelzinnig. Immers is r j, dan
geldt niet Zr

De optelling is commutatief. In de definitie speelt de
volgorde der natuurlijke getallen geen rol.

Stelling 28: De optelling is associatief.

Bewijs: Voegen we groepen der elementen van A samen tot
verzamelingen Ai, A2,...., Ag, zoodat dus:

immers A is niet splitsbaar in oneindig veel deelverzame-
lingen. Het aantal elementen van A^ is dan [de som
van een deel der getallen pi, het aantal elementen van
i^g,..., Ag evenzoo. We verkrijgen zoo q natuurlijke
getallen, die elk de som zijn van een aantal der getallen pi,
zoodat elk getal pi in de partiëele sommen één en niet meer
dan één keer voorkomt. De som dezer q getallen is echter
weer het aantal elementen van A.

Stelling 29: Is r gt; s, dan bestaat er steeds een natuurlijk
getal X, zoodat r = s -}- x.

Bewijs: Zijn Af en A, representeerende verzamelingen.
Zij verder A^ ^Z„ dan bestaat er een echte deelverzame-
ling van Ar t Ar co Z, . We beschouwen nu Ar — Ar. Het
aantal elementen dezer verzameling voldoet aan de vraag.

Definitie: Is r = s -}- x, dan heet x het verschil van r en s.
Notatie: x = r — s.

Gevolg: De aftrekking r — sis steeds mogelijk indien r gt; s.
Definitie: Zij A{a^j, Opj ,...., Op^} een eindige, nor-
male verzameling, zijn zijn elementen eindig en wel resp.

bestaande uit pi, ps,----- elementen en is Pi4 cn? Zp, dan

heet p het product der natuurlijke getallen pi, pg,_____ p^.

Notatie: p =PiP2... «Pa.

De vermenigvuldiging is altijd mogelijk. Uit stelling 26
volgt n.1., dat de definitie een zin heeft.

De vermenigvuldigingisonrfutóe/zwnigf. Immers is r ^ s,
dan geldt niet Zr ~ Zs.

De vermenigvuldiging is commutatief, In de definitie
speelt de volgorde der natuurhjke getallen geen rol.

De vermenigvuldiging is associatief. De juistheid hiervan
bewijzen we als in stelling 28.

• De vermenigvuldiging heeft de moduluseigenschap.
Immers 1. p =p.
Stelling 30: De vermenigvuldiging is distributief.
Bewijs: We willen bewijzen:

a (6i 62 ---- 6a) = a6i 062 ____-f abk.

We representeeren de getallen daartoe door verzamelingen
A en B{Bi, Ba,...., B^}, zoodat B en {A, i: B} normaal
zijn. Uit de definitie van gelijkheid van verzamelingen volgt:

P {ASB}^2{P {A, B,}, P{A,B,},......P{A, B,}},

waarvan het gestelde een direct gevolg is.
Definitie: Zijn r, s en x natuurlijke getallen en is r = sx,

dan heet x, het quotiënt van r en s. Notatie: x =

s\'

Definitie: Is A {a^, a^,,,, } co Z, en normaal en is
ai CN3 «2 ... CV3 a, ^Zp, dan heet ai a^,,. a^ de q\' macht
van p. Notatie: pquot;.
Stelling 31: Is r gt; s, dan is r f gt; 5 -f- ï.
Bewijs: Zijn A,, As, At representeerende verzamelingen,
dan is As aequivalent met een echt deel A, van A,, Dus:
CN3 A,

en dit is een echt deel van Ar At. Is dus:

Ar Atnbsp; t,

dan is As At aequivalent met een echt deel van
Zr O waaruit het gestelde volgt.
Opmerking: Analoog bewijzen we:
r tgt;t.

De overige eigenschappen van optelling, vermenig-
vuldiging, aftrekking en machtsverheffing zijn afgeleide
eigenschappen, d.w.z, eigenschappen, welker bewijs volgt
uit de totnogtoe bewezen eigenschappen (grondeigenschap-
pen) zonder gebruik te maken van de definities van de be-
grippen natuurlijk getal, som en product, dus ook zonder
gebruik te maken van volledige inductie.

De volgende eigenschap, hoewel niet-afgeleid, rekenen
we niet tot de grondeigenschappen:

Stelling 32: Is a gt; amp; en bestaat het quotiënt van a en ft
niet, dan bestaan de natuurlijke getallen n en c, zoodat:
a = nh-\\-c en c lt; amp;.

Bewijs: Een natuurlijk getal n heeft óf de eigenschap
nbgt; a (eigenschap 1), óf de eigenschap nb lt; a (eigen-
schap 2). Een natuurlijk getal met eigenschap 1 is steeds
grooter dan een natuurlijk getal met eigenschap 2. Zij m
een natuurhjk getal met eigenschap 1. De verzameling Zm
bevat dan een natuurlijk getal /x met de eigenschap 2,
zoodat /i -f-1 de eigenschap 1 heeft. Immers 1 heeft de
eigenschap 2. Had nu in 2m steeds /x -f 1 de eigenschap 2
als n de eigenschap 2 had, dan hadden alle elementen van
Zm de eigenschap 2. Contradictie, Nu is:

a = /iamp; c en clt;h,

daar anders:

c—b-{-d en dus a = (/x 1) 6 rf,
We bewijzen nu de eigenschappen der functievorming.
Daartoe echter eerst de volgende hulpstelling:

Stelling 32a: Het aantal elementen van een verzameling
V is een functie van V,
Bewijs: Zij:

— {^0, ^z».....}gt;

en:

dan is Zk een functie van V en ft = Zk—Zk-\\ is een functie
van Zk» dus k is een functie van V. (Is V een oneindige ver-
zameling, dan levert deze functie 0.)
Grondeigenschappen der functievorming:
Stelling 33: Zijn lt;fgt; (x) en ifi (x) functies van x en stellen
^ (x) en tfi (x) natuurhjke getallen voor, indien x een natuur-
hjk getal is, dan is ook ^ (x) ^ (x) een functie van x in
het gebied der natuurlijke getallen.
Bewijs: 1. Zijn:

A {ay, 02,... oo Z, waarin a^ cvj Zkf
■B (öi, 62» • • • •) Zt waarin bk co Zk,

beide normaal en hebben SAtn EB geen element gemeen,
dan zijn functies van {Zp} resp. ap en bp, üp -}- bp, 2p,

2.nbsp;Zij:

02,.....} waarin o* lt;xgt; Zk,

normaal. Dan zijn functies van {Zp, Z,} resp. {op, o,},
ap a^, p q.

3.nbsp;Uit de theorie der aequivalentie volgt: er is een functie
x(x), zoodat:

4.nbsp;Zij Z* = w (ft), dan is:

X ( ^ (x)), ^ ((x))} = (X) 0 ix).
Opmerking: Bovengenoemde uit lt;fgt; (*) en ^ (x) afgeleide
functie neemt voor elke x een waarde aan. Niet zeker is echter
of, indien x geen natuurhjk getal is, de notatie ^ (x) ^ (x)
een zin heeft. Dit is bedoeld met de toevoeging „in het ge-
bied der natuurhjke getallenquot;.

Stelling 34; Onder de voorwaarden genoemd in stelling
33 isnbsp;een functie van x in het gebied der natuurhjke

getallen.

Bewijs: Analoog aan dat der vorige stelling.
Stelling 35: Onder de voorwaarden genoemd in stelling
33 is ^ (x) — (x) een functie van x in het gebied der natuur-
lijke getallen.

Bewijs: Zij weer = {k), dan is lt;A (x) — «/gt; (x) het aan-
tal elementen van:

Stelling 36: Onder de voorwaarden genoemd in stelling

33 is lt;lgt; (x) ^ een functie van x in het gebied der natuur-
hjke getallen.

Bewijs: We gaan uit van de verzamelingen:

B {bl, amp;2,____} ~ Z, waarin bk ~ Zkgt;

C {ci, C2, ....
waarvoor geldt, dat S Ben C geen element gemeen hebben.
Zij:

aki =P{bk,{ci} }.
We leiden dan hieruit af de verzamelingen:
Al {«11, 012/.....}gt;

A2 {(hit «22»----.}»

en daaruit:

A {Ai, A2,.....}.
Dan zijn functies van x :

^ ~ cu (x))nbsp;=

en:

S{Ai, A2,.\'. gt;nbsp;}.

Zij D de doorsnede dezer beide verzamelingen, dan is
lt;fgt; (x) ^ het aantal elementen van PD en dit is een functie
van X.

Ten einde eenig inzicht te geven in de wijze, waarop uit
de rekenkunde bekende verzamelingen gevormd worden,

zullen we enkele dezer verzamelingen afleiden. De gebe-
zigde terminologie komt overeen met de gebruikelijke.

а.nbsp;De verzameling van alle n-vouden existeert, daar xn
een functie is van x. Hij luidt:

{2n, Sn,----} = 0 (n).

б.nbsp;De verzameling van alle veelvouden is:

c.nbsp;De verzameling van alle priemgetallen is:

d.nbsp;De verzameling van alle echte deelers van a is:

e.nbsp;Vervangen we de elementen van ügt; (a) 4- a doormiddel
der functie ^ (x) door de verzameling hunner veelvouden,
dan is:

{lt;o{a) a) 4- (agt;(a) -f a){0 (x)} = x (a)

de verzameling van alle natuurlijke getallen onderling deel-
baar met a.
ƒ. De verzameling:

Z-xia)

bevat alle natuurhjke getallen onderling ondeelbaar met a.

Uitbreiding van de theorie der aequivalentic.

Stelling 37: Is M{ m^, ma,..., m, } een eindige, normale
verzameling en zijn alle elementen van M aftelbaar, dan
is SM aftelbaar.
Bewijs: 1. De stelling is juist, als M 1 element bevat.
2. De SteUing is juist, als M 2 elementen bevat. We
zien dit alsvolgt:

Z=Z{2x} 4-Z{2x — 1} (volgensstelling32),
en dit zijn beide aftelbare verzamelingen.

3. Is de stelling juist, als M p elementen bevat, dan is
hij ook juist als M p 1 elementen bevat.

Stelling 38: Is M {mi, m^,----en normaal en is

nik t dan is 2 M co Z,
Bewijs:

nii co Zi, Tih co Z2^i — ... ♦

..,. fmjt Zf^ — Zj^.]^ = Zk(k i) — Zk(k-\\)t. ♦ ♦..

Sn Snnbsp;^nbsp;2

1 1

Nu is:

Zk(k i) — Zk(k-i) = lt;fgt; (Je).
2 2

Dan isMco Z{lt;fgt;{k)}, mk {k) en Z{lt;lgt;ik)} normaal, dus:

SM coSZ{\'}gt;ik)}^Z.

Stelling 39: Is M{mi, mg,..~ Z en normaal en zijn
alle elementen van M aftelbaar, dan is M ~

Bewijs: We maken gebruik van de eigenschap, dat
P {lt;!gt; (x), ijj (jc)} een functie is van x. (Dit is een gevolg daar-
van, dat P{ ^ (x), ^ (x)} ontstaan is uit U (lt;A (x) ^ (x))
door de elementen hiervan een voorwaarde op te leggen.)
Zij M\'{T, 2,...} en hebben M\' en Z geen element
gemeen, dan is de verzameling P {k, Zk} een functie van
k (k is het door een afbeeldingsfunctie van Z op M\' aan k
toegevoegde element). Dus existeert:

{ {{l.r}},{{l,2},{2,2}}......

Volgens stelling 31 \\s S A co Z. De deelverzameling van
SA, waarvoor geldt k^x is:

{{/c,^}, {/c,FPÏ},.....} =

en is dus aftelbaar. Dan is Z {x(^)} normaal cn:

SZ{x{k)}=SA coZ,

waaruit het gestelde volgt.

Gevolg: De productverzameling van een eindige.

normale verzameling is aftelbaar (volledige inductie).
Zij gegeven de verzameling:

M {m, ^ {m), lt;}gt; {lt;/gt; (m)...
dan is voor elk element aan te toonen doormiddel van uit-
sluitend de voorschriften le en 2e van axioma 7, dat het tot Af
behoort. Dezelfde redeneering toegepast op de elementen
der verzameling Z\' levert dan als eindconclusie, dat een
element k tot Z\' behoort. We noteeren het met k over-
eenkomstige element van M dannbsp;De notatie der
verzameling M wordt dan:

Stelling 40: Bij gegeven:

^ {n, in), mn),....},

existeert:

zoodat P geen element gemeen heeft met M en N,

Bewijs: We bewijzen, dat voldoet een verzameling P
van de vorm:

of bij veranderde notatie:
Uit Af en iV leiden we af:

MJM, 2 M, 2J 2 M,.....},

Nj, [N, SN, SUN,.....}.

We kiezenp, zoodatpéS {SM^, SN^}. Dan isp é S{M,N}.
Door volledige inductie zien we, dat onder deze voor-
waarde P aan het gestelde voldoet. Immers was:
p quot; € 27 { SMi, SNi}, dan was ook p W € S{S SN^},
Stelling 41: De verzameling:

is aftelbaar, mits voor k ^ l geldt ffgt; (m) ^ ^ ® (m).

Bewijs: 1. We onderstellen, dat M geen element gemeen
heeft met Daar M co M— mamp;nlt;fgt; (x) afbeeldingsfunctie
is vanM op M — m, heeft de functie lt;fgt; (x) een inverse ^ (x).
Zij nu gegeven:

waarm:
Dan is:

dus:

De verzameling:

{{O, m},x{0,m},x®{0,m},....}
existeert dan en is afbeeldingsverzameling van M op Z\'.

2. Hebben de verzameling M tn Z een gemeenschappe-
Ujk element, dan volgt de juistheid van het gestelde uit
stelling 40,

Stelling 42: Elke oneindige verzameling heeft een aftel-
bare deelverzameling.

Bewijs: Zij M oneindig, dan is:

M co M,

waarin M een echt deel van M is. Zij 4gt; (*) een afbeeldings-
functie van M op M, dan is:

M = M{lt;igt;(x)} = x{M)»

Echter volgt uit het voorgaande:

M= M{lt;fgt;{x)}^xm

is een echte deelverzameling van M. Dus:
M — M = 4gt;(M)^0.

Dan existeert:

een normale, aftelbare verzameling. Een element zijner pro-
ductverzameling is een aftelbare deelverzameling van M.
Gevolg: In verband

met stelling 37 geldt, als A. aftelbaar
of eindig is en M oneindig:

M-\\-A coM,

Stelling 43: ïsA co B ^ Ben B co A^ A^danisAcs^B,
Bewijs: Inplaats hiervan zullen we bewjzen: is A aequi-
valent met een zijner deelverzamelingen A, dan is A even-
eens aequivalent m^ ieder zijner deelverzamelingen A,
waarvoor geldt A\'^A, m.a.w.: uit -f B -j- C oo A volgt
C. —Voor B =0 of C = O is de stelling
dadelijk duidelijk. We onderstellen nu B o en C ^ O,
Zij ^ (x) een afbeeldingsfunctie van AB C op A, (x)
zijn inverse en zij: .

dan is:

Evenzoo voeren we in i42 = x enz. Dan existeert:

« {Av A^,.....}.

We leiden hieruit af de doorsnede D van a. Zij voorts:

Bi = A^ (X) 6 B =

= X (Bi), enz.,

C2 = X (Cl), enz.

Dan existeeren:

y{Cu C2,

en zijn normaal. Gemakkelijk is aan te toonen:

Nu is:

{■5/ Bxf B^,.....} OD B^, B3,

B co Bi,
Bi co B2, enz,,

dus:

S ^ B coS

Hieruit volgt:

i4 jB CcN3£) 27jS 2;y-f-C = gt;H-C.

Stelling 44: Een deel van een aftelbare verzameling is
eindig of aftelbaar.

Bewijs: Is de deelverzameling oneindig, dan heeft hij een
aftelbare deelverzameling. Stelling 42 levert dan de aftel-
baarheid.

Stelling 45: Is A aftelbaar, dan is i4 (x)} eindig of
aftelbaar.

Bewijsx Zij y^A (x)}, dan is:

een deelverzameling der elementen van A, waarvoor lt;fgt; (x)
gehjk is. Dan is:

en:

iA{^{x)}){lt;lgt;ix)}coA{rPix)}.

Echter A (x)} is aequivalent met een element van zijn
productverzameling en dat is een deelverzameling van A,
waaruit het gestelde volgt.

Stelling 46: Is i4 00 B, zijn A en B normaal en is (fgt; (x)
een zoodanige afbeeldingsfunctie van A op B, dat steeds
aeA aequivalent is met een deel van lt;f) (a), dan is 27
aequivalent met een deel van 27 B.

Bewijs: De verzameling van alle deelverzamelingen van
lt;fgt; (a) aequivalent met a is een functie van a, ^ (a). Dus
existeert:

Zij p € PA {ipix)}, dan is £p co £ Aen Spis een deel
van SB, waaruit het gestelde volgt.

Stelling 47: Is V ooZ normaal en zijn alle elementen
van V eindig of aftelbaar, dan is S V co Z.

Bewijs: We doen aan de algemeenheid niet te kort, als we
onderstellen O é V. Een element van PF\' is dan aftelbaar
en een deel van S V, Volgens stelling 39 is Z te verdeden
in aftelbaar veel aftelbare ver^melingen. Dan levert stel-
ling 46, dat een verzameling Z existeert, zoodat:

ZV

In verband met stelling 43 volgt hieruit het gestelde.

Stelling 48: Is 7 oo ^ en zijn alle elementen van V eindig
of aftelbaar, dan is SV eindig of aftelbaar.
Bewijs: Zij Vk^V en:

lt;fgt; (Vk) = Vk — [Vk S{vi, V2, . . . , Vfc-l}],

dan voldoet SV{lt;}gt;{x)) aan de eischen van stelling47, dus
SV{lt;}gt; (x)} is eindig, echter SV{lt;}gt;ix)} = V.

Definitie: Een verzameling A heeft een grootere machtigheid
dan een verzameling B, indien B aequivalent is met een
deelverzameling van A, echter A niet met een der deel-
verzamelingen van B aequivalent is. Notatie: Agt; B, Blt;A.
Stelling 49: UM gt; M.
Bewijs: 1.

2. Onderstel, dat UM aequivalent is met_een deel M
van M, Zij lt;fgt; (x) de afbeeldingsfunctie van M op UM,
We beschouwen de verzameling:

Dan is er een element Xj, zoodat:

«1 = ^ (Xi).

Beide onderstellingen Xi e n^ en Xj 4 u^ voeren dan tot een
contradictie.

n. INVOERING VAN NIEUWE GETALSYSTEMEN.

We zullen in dit hoofdstuk voortgaan met het doormiddel
van verzamelingen invoeren van getalsystemen en zullen
daarbij steeds de elementen der reeds ingevoerde systemen
correlatief stellen met een deel der elementen van het
nieuw ingevoerde systeem. Deze elementen van het nieuwe
systeem noemen we de correlatieve elementen van het
reeds ingevoerde systeem. Voorts zullen we de hoofd-
bewerkingen en de orderelaties definiëeren en bewijzen,
dat voldaan is aan de volgende grondeigenschappen:

Grondeigenschappen der optelling:

S 1: De optelling is steeds mogelijk.

S 2: De optelling is ondubbelzinnig.

S 3: De optelling is commutatief.

S4: De optelling is associatief.

Grondeigenschappen der vermenigvuldiging:

P 1: De vermenigvuldiging is steeds mogehjk.

P2: De vermenigvuldiging is ondubbelzinnig.

P3: De vermenigvuldiging is commutatief.

P4: De vermenigvuldiging is associatief.

P 5: De vermenigvuldiging is distributief.

Grondeigenschappen der orderelatie:

O 1: Steeds geldt óf a==b (lees: a is gelijkwaardig met 6),
óf a gt; ft, óf a lt; 6.

O 2: In bewerkingen en relaties levert vervanging van
een getal door een daarmee gelijkwaardig een met
het oorspronkelijk gelijkwaardig resultaat.

O 3: De orderelaties zijn transitief.

O4: Uit agt;b volgt a-\\-cgt;b c.

0 5: Uit a gt; 0,6 gt; O volgt ab gt; 0.

Grondeigenschappen der correlatie:

C 1; In bewerkingen en relaties in een reeds ingevoerd
systeem levert vervanging der getallen door de
daarmee correlatieve elementen een resultaat corre-
latief met dat verkregen in het reeds ingevoerde
systeem.

C2: Bij elk getal a bestaat een correlatief natuurlijk
getal n gt; a.

C3: a 0 = a.

C 4: a. 1 = a.

(Hierin stellen O en 1 correlatieve natuurlijke getallen voor.)

Omtrent het begrip ^correlatief stellen we vast, dat we het
steeds transitief zullen onderstellen.

Grondeigenschappen der omgekeerde verbindingen:

V: Bij elk getal a bestaat een getal a\', zoodat a -f a\' = 0.

Q: Bij elk getal a ^ O bestaat een getal a\', zoodat
aa\' = 1. (Hierin stellen O en 1 correlatieve natuur-
lijke getallen voor.)

De volgende definities gelden in elk systeem:

Definitie: Indien r = s x heet x het verschil van r en s.

Definitie: Indien r = sx cn s ^ O heet x het quotiënt
van r en s.

Grondeigenschappen der functievorming:

F 1: Zijn ^ (x) en ^ (x) zoodanige functies van x, dat
indien x een element van het systeem is, ook
lt;fgt; (x) en i/» (x) elementen van het systeem zijn
en dat bij gelijkwaardige x ook gelijkwaardige
(fgt; (x) en lp (x) behooren, dan is ook lt;fgt;{x) -{■ ip (x)
een functie van x.

F 2: Onder dezelfde omstandigheden is ^ (x) 0 (x) een
functie van x.

We zullen (fgt; (x) een functie van de getallen van het
systeem noemen, indien ^ (x) voldoet aan de voorwaarden
genoemd in F 1.

Ten slotte vereenigen we alle gelijkwaardige getallen

tot een verzameling, die we getalcomplex noemen. De be-
werkingen met en de relaties tusschen getalcomplexen worden
zoo gedefinieerd, dat hun resultaat in overeenstemming
is met dat verkregen na vervanging der getalcomplexen door
representeerende (d. i. tot hen behoorende) getallen.

Grondeigenschappen der complexvorming:

Cv 1: De complexvorming is steeds mogelijk.

Cv 2: De verzameling van alle getalcomplexen bestaat.

Gevolg: Zij deze verzameling C, zij c een
getalcomplex, g een representeerend getal, dan is
c = Cg dus c is een functie van g. Hieruit volgt
in verband met F 1 en F 2: Zijn lt;fgt; (x) en ^ (x)
functies, die een getalcomplex steeds in een getal-
complex overvoeren, dan zijn ook ^ (x) i/« (x) en
4gt; (x) tp (x) dergelijke functies. We zullen functies,
die aan bovenstaande eisch voldoen, functies van
de getalcomplexen van het systeem noemen.

Cv 3: Zijn (x) en 0(x) functies der getalcomplexen, dan is
ook ^ (x) — lp (x) een functie der getalcomplexen.

Cv 4: Zijn lt;fgt; (x) en 4gt; {4) functies der getalcomplexen, dan

is ook een functie der getalcomplexen.

Van de verzameling van alle getalcomplexen van het
systeem zullen we ons voorts afvragen of hij aftelbaar is.

Voor het systeem der natuurlijke getallen gelden niet
O 5, V, Q en Cv 3—4. De begrippen gelijk en gelijkwaardig
vallen samen, correlatief heeft geen zin. Dus vervallen
C 1—4 en komt hiervoor in de plaats: a. 1 = a. De begrippen
getal en getalcomplex vallen samen.

Invoering der aantallen.

Definitie: De elementen der verzameling:
Z\'={0f{0},{{0}},...,}
heeten aantallen.

De definities der optelling, vermenigvuldiging en ordere-
latie zijn eensluidend met de overeenkomstige definities in
het systeem der natuurhjke getallen. De begrippen gelijk
en gelijkwaardig vallen samen; correlatief is een natuurhjk
getal, indien het gelijk is aan een aantal. De begrippen getal
en getalcomplex vallen samen.

De grondeigenschappen gelden, behalve V, Q, Cv 3—4.
SteUing 32 gaat over in:

Stelling 50: Bij gegeven a en 6 bestaan de aantallen n en
c, zoodat:

a — nb cenclt;L
Stelling 51: De verzameling der aantallen is aftelbaar.

Invoering der gcheclc getallen.
We leiden uit Z\' af de verzamelingen:

Gi{{0,T}, {1,T}, {2,T},......},

_ G,{{0,2}, {1,2}, {2,2},......},

waarin 1 léZ\'en 2 éZ\'. Zij P{Gj, Ga}^ G.

Definitie: De elementen der verzameling G heeten
geheele getallen.
Definitie:

{ {a,T},{ö,2} } { {c,l}, {d,2}} ={{a-f cl}, {b-\\-d.2}}.

De grondeigenschappen S 1—4 gelden. (Het bewijs ge-
schiedt, zooals in het vervolg herhaaldelijk het geval zal zijn,
door gebruik te maken van de overeenkomstige eigenschap-
pen van het voorgaande systeem.)

De definitie der optelling is gemakkelijk te generali-
seeren tot de definitie van de som eener eindige verzameling
van geheele getallen, waardoor de grondeigenschappen een
meer algemeen karakter krijgen. Om het overzicht niet te
schaden laten we dit echter hier en in het vervolg achter-
wege.

Definitie:

{{a7lUb,2}}.{{criUdr2}}=

= { {ac bd, T}, {ad bc,2} }.

De eigenschappen P 1—5 gelden.
Definitie:

al naarmate:

De eigenschappen O 1—5 gelden.

Definitie: Js a een aantal, dan is a correlatief met
{ {a, 1}, {o, 2} } en met elk daarmee gelijkwaardig getal.
De eigenschappen C 1—4 gelden. _ _

Aan V is_voldaan bij gegeven {{a, l}, {6, 2}} door
{ {b, 1}, {a,2}}. Het verschil tusschen de correlatieve aan-
tallen a en 6 heeft nu steeds een zm, n.1.:

{ {a, T}, {b, 2} }.

Een verkorte schrijfwijze voor O — b is — b.

De geheele getallen, die geen correlatieve aantallen zijn,
zijn dus voor te stellen door — h, waarin b een correlatief
natuurlijk getal is.

Is (f) (x) een functie der geheele getallen. Zij:

^(a)={{c,T,}, {d,2}},

dan is:

{c,l} =

dus zijn c en d functies van a. In verband met de overeen-
komstige eigenschappen der natuurhjke getallen vinden we
de juistheid van F 1—2.

Complexvorming.
Zij a een geheel getal, dan is dit te schrijven als:
{{a.1}, {0,2}}, indien a ^ O,

en als:

{{0,1}, {6, 2}}, indien a^ 0.
We onderstellen a gt; 0. We beschouwen de verzameling:

{a, a 1,----} = ^ (a).

Is k = f/t (a-{-k), dan is:

Dan bestaat dus de verzameling:

Z{{x{k,a),k}}=A

\'en is een functie van a. is echter het getalcomplex
gerepresenteerd door a. Dan bestaat de verzameling G^
der geheele getalcomplexen behoorend bij a gt; O, evenzoo
G, behoorend bij a lt; O en Gj behoorend bij o = O, dus ook
G\' = Gi Ga Gs, de verzameling van alle geheele getal-
complexen. Dus Cv 1 en 2 gelden.
Zij a gt; O, dan is:

{{ari},{or2}} = tG\'„„]„.^,

een functie van a. Voorts is:

a =27 { {a,T}, {O, 2} } - (O 1 2),
dus is a een functie van a. Verder is:
{ {0,1}, {a,^ }
een functie van a, en daar ten slotte complexen fimcties zijn
van hun representanten geldt voor a gt; 0:

— a = 0 (a).

We beschouwen nu:

Gt {x, ^ (x)}.
Er geldt steeds, mits a^O:

een functie van a. Uit de theorie der aequivalentie is af
te leiden, dat de beperking a^O mag weggelaten worden.
Nu is volgens een afgeleide eigenschap:

dus geldt ten gevolge van F 2 ook Cv 3.
De eigenschappen Q en Cv 4 gelden niet.
Uit stelling 37 volgt:

Stelling 52: De verzameling der geheele getalcomplexen
is aftelbaar.

Invoering der rationeele getallen.

^ Definitie: Isl^ 2, 14 G\' en 2éG\', dan heeten de ele-
menten van het product /? van:

G\'{{x,ï}} en (G\'-0){{x,2}}
rationeele getallen.
Definitie:

{nbsp;2} } { {c,T}, {d,2} } = { {ad bcri}. {M, 2} }.

De eigenschappen S 1—4 gelden.
Definitie:

{ {agt; T}, {6, 2} }, { {c, ï), {d, ^ } = { {ac, 1}, {hd, 2} }.

De eigenschappen P 1—5 gelden.
Definitie:

al naarmate:

ad^bc.

De eigenschappen V 1—5 gelden..

Definitie: Is a een geheel getal «-behoorend tot het ge-
heele complexa, dan is a correlatief met { [a, 1), {l, ^ } en
met elk daarmee geUjkwaardig rationeel getal.
De eigenschappen C 1—4 en A gelden.

Aan Q is bij gegeven { {a, ï}, {b, 2} } voldaan door

{{amp;,!}, {a, ^ }. Hieruit volgt, dat ^ voor correlatieve

geheele getallen steeds een zin heeft.

De eigenschappen F 1—2 gelden.
Complexvormingf

Uit { {a, 1}, {b, 2} } leiden we resp. af:

a en b,

—a^—2a,...} en {6,26,...,—6,-26,....
{ {a,_l}, {2a, 2},...,{— a,!}, {— 2a, T},....} en
{ {6, 2}, {26, 2}, ...., {- 6, 2}, { -26, ....},
en daaruit:

{ { {a, 1}, {6, 2};- { {2a, r}^{26, 2} },...
{ {-nbsp;{ - ^ 2} }, { {-2a,T}, {- 26,^ },.....}.

Deze verzameling is een functie van het gegeven ratio-
neele getal. Dus existeert de verzameling V van al deze
verzamelingen. Zij r e V, dan is:

een rationeel getalcomplex. De verzameling van aUe ratio-
neele complexen is dus:

R{igt; (r)} = i?\'.
Hiermee zijn Cv 1—2 bewezen. Cv 3 bewijzen we door
aan te toonen, dat — a een functie is van a. Cv 4 door aan te

toonen, dat - een functie is van a, waarin a een rationeel
a

complex algemeen voorstelt.
Dus: alle grondeigenschappen gelden.
Stelling 53: Dc verzameling der rationeele complexen is
aftelbaar.

Bewijs: Bij de ontwikkeling der rationeele complexvor-
ming leidden we af de verzameling V^ R\', welker elementen
door een functionaalsubstitutie uit R werden afgeleid.

i? is aftelbaar, als product van 2 aftelbare verzamelingen,
dus ook F. Dan is volgens stelling 44 R\' aftelbar of eindig,
dus aftelbaar.

Ten einde de invoering der reëele getallen voor te be-
reiden eerst nog eenige stellingen over rationeele com-
plexen.

Stelling 54: De verzameling van alle veelvouden van een
rationeel complex bestaat en is een functie van dat complex.

Bewijs: Er is een functie lt;fgt; (x), welke de correlatieve na-
tuurlijke complexen afbeeldt op de verzameling der natuur-
lijke getallen. Deze afbeeldingsfunctie neemt in de rationeele
complexen, die niet correlatief natuurlijk zijn de waarde O
aan. Zij het gegeven complex a, dan existeert:

Deze verzameling verminderd met a en O is de gevraagde
en is een functie van a.

Stelling 55: De verzameling der correlatieve natuurlijke
complexen grooter dan een gegeven rationeel complex a gt; O
bestaat en is een factie van a.

Bewijs: Zij { {a, 1 },{amp;,2} } een representant van oen zij:

a = nb-\\-c,
clt;b,

waarin a, b,c en n correlatieve aantallen zijn in het systeem
der geheele getallen. Uit b leiden we af:

Nu geldt algemeen als gegeven is een verzameling V van
natuurlijke getallen en een natuurhjk getal p, dat de deel-
verzameling van V der elementen gt; p een functie is van V
en p, immers deze deelverzameling is V—[V Zp]gt; Dit
toegepast op a en ^ (6) levert een verzameling:

{(n-fl) 6,(n-t-2)amp;,.....}.

Dit is een functie van a en b, dus ook:

Daar bij speciale keuze van de representant (b.v, a en 6
onderling ondeelbaar) a en ö functies worden van a, is deze
verzameling dan een functie van a. Dit overgedragen op
de correlatieve natuurlijke complexen levert het gestelde.

Gevolg: Zijn gegeven de rationeele complexen a en)S,dan
bestaat de verzameling der correlatieve natuurhjke com-
plexen n, waarvoor geldt na gt; p, en deze is een functie
van a en JS.

Stelling 56: Zij V een verzameling van rationeele com-
plexen gt; O en a een rationeel complex, dan bestaat de ver-
zameling der correlatieve natuurhjke complexen n, waarvoor
geldt dat na grooter is dan een der elementen van V, en
deze is een fimctie van a en V.

Bewijs: Bij elk complex jS e K bestaat de verzamehng van

O

correlatieve natuurlijke complexen gt; ^.De vereenigings-
verzameling dezer verzamelingen bestaat en voldoet.

Stelling 57: Zij gegeven een rationeel complex a gt; O, dan
bestaat de verzameling van alle rationeele complexen gt; a,
en deze is een functie van a.

Bewijs: Zij (fgt; (a, p) de verzameling der rationeele com-
plexen np, waarin n een correlatief natuurhjk complex is
en njS gt; a. Uit de verzameling R\\ der rationeele complexen
gt; O, welker existentie gemakkelijk is aan te toonen, leiden
we dan af:

De gevraagde verzameling is dan:

Uit het voorgaande volgt, dat ook de verzameling der
rationeele complexen lt; a bestaat, dus ook die der rationeele
complexen gt; /5, indien jS lt; 0. Deze is een functie van
/3, x (/3). Zij weer R\\ de verzameling van alle rationeele
complexen gt; O, dan beschouwen we de verzameling:

{\'J\'ix)} R\\{x{-x)},

waarvoor geldt:

{R\\} ~ {0}, {Hx)} ~

i?\'-(i?\'i 0).
Vereenigen we de 3 afbeeldingen, welker elementen steeds
bestaan uit een rationeel complex p en de verzameling van
alle rationeele complexen gt; p, dan vinden we de volgende
stelling:

Stelling 58: Bij elk rationeel complex p bestaat de ver-
zameling van alle rationeele complexen gt; p, en deze is een
functie van p.

Opmerkingi Deze stelling blijft juist, indien we „grooterquot;
vervangen door „kleinerquot;, „grooter of gelijk aanquot;, of
„kleiner of gelijk aanquot;.

Stelling 59: Bij elke verzameling van rationeele com-
plexen bestaat de verzameling der rationeele complexen,
die grooter zijn dan een element der verzameling, en deze
is een functie van de gegeven verzameling.

Bewijs: Zij gegeven V {oj, og,....} en zij ^ (x) de ver-
zameling van alle rationeele complexen gt; x, dan is de ge-
vraagde verzameling:

een functie van V,

Stelling 60: Zijn gegeven 2 verzamelingen rationeele
complexen V{ai, og,...ennbsp;♦«• lt;lan bestaat

de verzameling U der complexen, welke men verkrijgt door
bij elke complex a elk complex )3 op te tellen.

Bewijs: Uit V leiden we af:

V {aj iSa, «3 -f . . . .}= ^ (J8a),

en vervolgens uit W:

W{igt;(x)},

Dan is:

u = 2:w{lt;i.{x)y

Opmerking: De stelling blijft juist, als we de som der com-
plexen vervangen door hun product, verschil of quotiënt.

Invoering der reëele getallen.

We volgen de methode van Baudet^) en definieeren:

Definitie: De elementen van:

UR\\=S

heeten niet-negatieve reëele getallen.

Definitie: Een majorant van een niet-negatief reëel ge-
tal a is een rationeel complex, grooter dan een der elemen-
ten van a.

Definitie: De verzameling van alle majoranten van a heet
majorantverzameling van a.

De majorantverzameling bestaat ten gevolge van stelling
59. Hij is een functie van a.

Voor de definities van optelling, vermenigvuldiging en
orderelatie, alsmede voor het bewijs der grondeigenschap-
pen S 1—4, P 1—5 en O 1—5 en der stelling van de boven-
ste grens verwijzen we naar de theorie van Baudet. Stelling
60 dient ter vertaling dezer theorie.

Definitie: Een rationeel getal a is correlatief met een niet-
negatief reëel getal a, als de majorantverzameling van a
gehjk is aan de verzamehng van aUe rationeele complexen
grooter dan het bij a behoorend complex.

De eigenschappen C 1—4 gelden. Voor het bewijs van
Q verwijzen we weer naar de theorie van Baudet, terwijl
F 1—2 bewezen worden analoog aan het bewijs van stel-
ling 60.

Is a een niet-negatief reëel getal, A zijn majorantver-
zameling, dan is UA het bij A behoorend niet-negatief
reëel getalcomplex. De verzameling S\' al dezer getalcom-
plexen existeert.

De eigenschappen Cv 1, 2 en 4 gelden. Cv 4 volgt daaruit,

dat — representant is van:

Zie Schuh: Het Getalbegrip, in het bijzonder het onmeetbare GetaL

een functie van A,

Niet van kracht zijn dus V en Cv 3.

We trachten nu te bewijzen, dat de verzamehng der niet-
negatieve reëele getalcomplexen niet aftelbaar is. Daartoe
echter eerst eenige voorbereidende stellingen.

Stelling 61: De verzameling van alle niet-negatieve reëele
getalcomplexen gt; a bestaat en is een functie van a.

Bewijs: Er voldoet n.1. de verzamehng:

Duale ontwikkeling der niet-negatieve reëele getallen.

We vormen de productverzameling P der natuurhjke
getallen met {O, l}, waarin O en 1 niet-negatieve reëele
getallen zijn. Verder vormen we de verzameling:

{{hl}^{h2},.....},

waarin 1, 2,----natuurhjke getallen, f, i,.. , niet-nega-

tieve reëele getallen zijn. Zij een element van P:

{{aunbsp;2}......}f

We leiden hieruit af:

{ifli» ï(hr.....}

en vervolgens:

{ioi, iflinbsp;.....} = A

Ten slotte is de doorsnede der majorantverzamelingen
der elementen van deze verzameling een niet-negatief
reëel getal tusschen O en 1, indien we uitsluiten a* = O voor
alle A: en ttfc = 1 voor alle k. Indien we voorts uitsluiten a^ = 1
voor alle kgt; 1(1 is een vast aantal), dan behooren bij 2 ver-
schillende verzamelingen A steeds 2 verschillende niet-nega-
tieve reëele getallen.

Is {bl, hz,.....} de deelverzameling van welker elemen-
ten bij de vorming van het product P { { 0,1 } } gecom-
bineerd werden met 1, dan is A een functie dezer verzame-
ling. Zij deze functie ^ (*) en zij U\'Z de verzameling, die

tot elementen heeft O en alle deelverzamelingen van Z, waar-
voor geldt dat er een verzameling Z\'k bestaat, die er een deel
van is. Dan is:

m-u\'Z){4gt;ix)},
dus omdat U\'Z Z, ook UZ aequivalent met een deel der
niet-negatieve reëele complexen tusschen O en 1,

Definitie: De verzameling A heet duale ontwikkeling van
het getal a.

Omgekeerd behoort bij elk niet-negatief reëel getal tusschen
O en 1 een duale ontwikkeling. Zij gegeven a. quot;We passen
dan stelling 56 toe en kiezen- voor V de majorantverzame-
ling van a, voor a resp. i ..... We vinden daarbij dan
de verzameling:

.....},

waarin ^ (a, b) de verzameling der correlatieve natuurlijke
complexen n in het rationeele systeem is, zoodat nb gt; a.
Zij Zrat de verzameling van alle rationeele, correlatief na-
tuurlijke complexen. Wc leiden dan hieruit af:
{Zrat — 0 (ö/ i)t Zrat — *!gt; (O, i), . . . .}
en daaruit, indien het aantal elementen dezer verzame-
lingen resp. pi, P2,.....is:

{Pv • ♦ ♦ ♦ }•

We kiezen hieruit de deelverzameling, waarvoor geldt:

Pk i = 2pk 1,
waarbij we formeel invoeren p^ = 0. De natuurhjke getallen,
waarmee deze elementen correlatief zijn, leveren dan een
deelverzameling van Z, welke een duale ontwikkeling van a
levert.

Gevolg:

Stelling 62: De verzameling der niet-negatieve reêele
complexen tusschen O en 1 is niet aftelbaar en is aequivalent
met UZ-

Definitie: Deze verzameling heet continuüm. Notatie: C.

Definitie: Is M oo C, dan zegt men, dat M de continue
machtigheid heeft.

SteUing 63; De verzameling der niet-negatieve reêele
complexen gt; 1 heeft de continue machtigheid.

Bewijs: Hij wordt door ^ op het continuum afgebeeld.

Gevolg: De vereenigingsverzameling van een aftelbare
normale verzameling, welker elementen de continue mach-
tigheid hebben, heeft de continue machtigheid. In verband
met stelling 43 mogen we de voorwaarde „normaalquot; weg-
laten. Uit dezelfde stelling volgt de juistheid voor een
eindige verzameling, welker elementen de continue machtig-
heid hebben. Hieruit volgt weer in verband met de stellingen
62 en 63:

Stelling 64: De verzameling van alle niet-negatieve
reëele complexen heeft de continue machtigheid.

Definitie: Zij ï é S\', dan heeten de elementen van:
5i=5\' (5\'-0) {x,l}

reëele getallen.

De verzameling der reëele getallen is dus een uitbreiding
der verzameling van niet-negatieve getalcomplexen. De
begrippen gelijk en geUjkwaardig vallen samen. Een niet-
negatief reëel getal is correlatief met een reëel getal, indien
het representant is van een complex, dat er gelijk aan is.
Een rationeel getal a lt; O, dat representant « van het
rationeele complex is correlatief met { — gt;1\', 1 }, waarin
A\' het met A correlatieve, niet-negatief reëele complex is.
De begrippen getal en getalcomplex vallen samen. De
definities der hoofdbewerkingen en orderelatie zijn ge-
makkelijk zoo vast te leggen, dat aan alle hoofdeigenschap-
pen voldaan is, benevens aan de stelling van de bovenste
grens. Ten slotte volgt uit stelling 64 in verband met het
feit, dat de vereenigingsverzameling van 2 verzamelingen
met de continue machtigheid een verzameling met de con-
tinue machtigheid is:

Stelling 65: De verzameling van alle reëele getalcom-
plexen (getallen) heeft de continue machtigheid.

«If.-nbsp;V^-

■Vi/\'..«. ■

_____ ..\'quot;Sjnbsp;i

V \'\'T-

- , .y

■

■ ■ âf ■ : , •

Miii^süb ...........

Biii^

m

jjifjif\'rrr* \'ffr^M

m^amp;MMM

M

«Sill

m

^ \'.fvquot;:
i