SPECIMEN PHYSICO-MATHEMATICUM

quot;^ISTRIBUTIONE FLUIDI ELECTRIC!

SUPERFICIE CONDUCTORS.

ifrt - ^

SPECIMEN PHYSICO-MATHEMATICDM

\'\'•STRIBUTIONE FLUIDI ELECTRICI

IN

SUPERFICIE CONDUCTORIS,

«jrod,

ANNUENTE SUMMO NUMINE,

ex auctoeitate eectoris maguifici

PETRI HARTING,

MED. ET AUT. OBST. DOCT. ET MATH. ET PHIi. NAT. FBOf. OBB.,
NEC NOU

amplissimi SENATUS ACADEMIC! consensu

HT

\'^\'^^\'l\'issimak FACÜLTATIS MATHESEOS et PHILOSOPHIAE
NATURALIS decreto,

\\t0 ®r{t5u ®0cf0r(tf«^

sumiusque in

^-^THESI et PHILOSOPfïIA NATURALIS HONORIBUS
ac PRrVILEGIIS

^^ ACADEMIA RHEÎfO-TRAJECTINA

RITE ET LEGITIME COWSEOUEWDIS,

eruditorum examini submittit

^^ïiNELIUS HUBERTUS CAROLUS GRINWIS.

Harlemensis.

a. d. iii m. jülii, anni mdccclviii, hoiu h,

ïrajecti ad rhenum,

apud post UITEßWEER amp; Soc.

mdccclviii.

»IT

iSlFïErimn-T.r^TTj
\'nbsp;çSEïiïf^â« siïÊtîSSR i^\'to^oti*

\'S

PEAECEPTOEIEÜS,

VIRIS CLARISSIMIS

s À C M U M.

BE VER DEEL ING

BEE

electriciteiï

over het

OPPERVLAK EENS GELEIDEES

C. H. C. GRIN WIS.

U ï E E C H T ,
POST ÜITEEWEER amp; Comp.

1858.

ßMRfflST Iii 6!tBIN amp; B8M8HT,

V O O K li E D E.

Na afloop van mijn Boctoraal-emmen y;as Jiet mijn
voornemen, een ahaclemiscJi proefschrift te schrijven over de
statische eleetficiteit. Eenigen tijd was ik met dit doel
\'»■oerJczaam, toen ik mij in eene hetrehUng geplaatst zag,
^ie mij door de vele aan haar verbondene bezigheden mijne
promotie-arbeid voorloopig moest doen sfaJcen. Echter moest
die promotie , om bijzondere redenen, na eenen bepaalden
^yd volhragt zijn. Aan het volbrengen van mijn aanvan-
^elijh voorgesteld plan was niet meer te denken; ik moest
\'^yn onderwerp bekorten en koos daartoe, in plaats van
9S7ioemd onderwerp , de behandeling van een zijner onder-
\'^ieelen, zoodat ik mijn proefschrift alleen uitstrekte tot de
\'^erdeeling der electriciteit over het oppervlak eens geleiders.

Haar ik hij de behandeling hoofdzakelijk gehmik wenscMe
^^ maken van de zoogenaamde Potentiaal-functie, besloot
uithoofde der betrekkelijk weinige bekendheid dier functie,
beschouwing hater voornaamste eigenschappen, voor zoover
^\' flie noodig had, benevens hare algemeenste toepassingen
op de electriciteit hier als eerste hoofdstuk te doen voor-
^fgaan. Reeds lang had ik dit gedeelte voltooid, toen in

m

VOOßKEDE.

het midden der vorige maand het academisch proefschrift
van den Keer e. van der ven, te Leiden, verscheen,
onder den titel: Eenige beschouwingen over de Poten-
tiaal-functie. Veel overeenkomst zag ik ttisschen dezen
arbeid en de mijne; ik meende echter, vooral ook daar Ae
tijd mij hiertoe drong, het door mij geschrevene onveranderd
te moeten laten, en verwijs thans hen, die eene meer uit-
voerige behandeling der Potentiaal-functie verlangen naar
het werk van den geachten schrijver.

In het tioeede Hoofdstuk ging ik tot het eigenlijke
onderwerp van ruijn proefschrift over. Had ik meer tijd
ter mijner beschikking gehad, voorzeker zoude ik in di^
behandeling eenen anderen weg hebhen ingeslagen en meet
getraeht hebhen, onafhankelijk van vroegere schrijvers, my\'ngt;
onderwerp te behandelen; terwijl ik mij nu in menig opzigt
tot de mededeeling van, hunnen arbeid, schoon onder eenig\'
zins anderen vorm,, genoodzaakt zag.

Vooral doet het mij leed, bij de mededeeling der fraaije
methode van gkeen , dit onderwerp niet tot een meer op-
zettelijk punt van onderzoek te hebben gemaakt; terwijl ^^
mij, alweder om dezelfde reden, genoodzaakt zag de voor-
beelden ter toepassing te gebruiken , waarvan green
bediende.

Spoedig hoop ik in de gelegenheid te zijn, mijne studièV\'
over de theorie der statische electriciteit voorttezetteti-
Voldoen mijne pogingen eenigzins aan mijne verwachting»
zoo. wenseh ik die arbeid het licht te doen zien en hoo^
dan ook de verdeeling der electriciteit meer uitvoerig te be-
handelen. Ik eindig dit deel mijner voorrede na, de toe-
gevenheid mijner lezers voor deze mijne tegenwoordige arbeid
te hebben ingeroepen.

voorbede.

Op het pimt mijne akademische looplaan te eindigen,
het mj vergund., U, mijne Leermeesters, mijnen harte-
lijken danh te letuigên mor hetgeen Oij helt hijgedragen
iot hereihing van het doel, dat ik weldra zal verkregen
keilen. Zoowel aan de Beiftsche Akademie, waar ik mijne
studiën legon, als aan de ütrechtsche Hoogeschool, waar ik
voortzette, mögt ik mij steeds in Uwe bijzondere wel-
willendheid verheugen. Aan Ü allen draag ik deze llad-
^yden met warme danklaarheid op. Ontvangt ze als van
\'iemand die ten volste overtuigd is dat zoo hij eenige vor-
deringen mag gemaakt hellen, Uj dit aan üw voortreffelijk
onderwijs en aan Uive hulp en leiding, niet aan zich zeiven
fe danken heeft.

Boven allen dank ik U, hooggeschatte Promotor, Hoog-
geleerde van kees, aan wien ik mijne latere wetenschap-
pelijke vorming geheel verpligt ben. Fan den dag af, toen
^k te Utrecht kwam, ondervond ik lij U eene hartelijke
^elioitlendheid die alle verwachting verre overtreffen moest.
Nimmer kwam ik te vergeefs lij U om hulp; zoo dikwijls
^k tot ü kwam soo vaak ondervond ik Uwe hartelijke Ie-
^o-ngstelUng in de hoogste mate. Ontvang, Hooggeleerde
^leer, mijne openlijke hulde en hartelijken dank voor alles
Gij voor mij gedaan helt. Onthoud mij Uiue welwil-
lende raad en vriendschap niet nu ik het letreuren moet
^to allergrondigst onderwijs te missen. Och, mögt Gij nog
langen tijd voor Uwe dierbare letrekkingen, Uwe talrijke
^\'\'\'ienden en dankbare leerlingen gespaard tvorden en zoo nog
Vete jaren de Wis- en Natuurkundige Wetenschappen en
^irechtsch Hoogeschool tot sieraad llijven verstrekken.

Hooggeleerde lobatto, breng ik in de tweede plaats
\'\'^y\'ne hulde en innigen dank voor het vele dat ik ü verpligt
Het was toch vooral Uwe sierlijke en geviaMelijke behau-

wm

XIInbsp;VOORREDE,

delmff der Wishmde, die mij heshdten deed de beoefening
der exacte Wetenschappen tot doel te Tciezen, Blijf mij met
ütoe vriendschap ver eer en, ooh nu ih weldra het geluTc mag
hebhen mij in JJwe nabijheid te vestigen. Schenk mij Üwß
hulp wanneer ih in mijne verdere studiën moeijelijhhedety
ontmoeten zal, en ivees overtuigd dat Uwe leiding steeds op
den hoogsten prijs gesteld zal worden door hem, die steeds
danhhaar is Uw leerling te zijn.

Neemt Gij allen Hooggeaehtte Leermeesters, zoo te Utrecht
als te Delft, mijnen welgem.eensten datih aan voor het grondig
onderwijs en de vriendsehappelijhe en heusehe wijze waarop
Oij mijne studiën bevorderd en verligt helt.

En Oij, mijne Vriend,en, vaart allen wel en blijft mijner
ondanhs ome scheiding in vriendschap gedenhen.

deventer, Jnnij 1858.

EERSTE HOOFDSTUK.

ALGEMEENE BEGINSELEN.

1- Ter verklaring der electrische verschijnselen, ne-
wij met de meeste natuurkundigen twee hoogst fijne
^oeistoffen aan, die wij door de namen van positieve
^ negatieve electriciteit onderscheiden,
l^eze zijn, zooals haar naam reeds aanduidt, tegen-
in werking. Terwijl de deeltjes eener zelfde
oeistof en dus ook die van twee gelijknamige vloei-
® elkander afstooten, trekken de deeltjes van on-
§®ijtnamige vloeistoffen elkander aan. coulomb be-

trT • ^^^ ^^ ^^^^^^ ^^^^ electrische afetooting of aan-

®«king van twee vloeistofdeeltjes evenredig is aan het

^^oduct der op elkander werkende hoeveelheden vloeistof,

J^gekeerd evenredig aan het vierkant van hunnen
^istand.

ïn den gewonen toestand bevat elk ligchaam overal
^^^ yke hoeveelheden van elke vloeistof; de werking naar
en Wordt hierdoor geneutraliseerd en het ligchaam
^ ooiit geene electrische eigenschappen.

Het mengsel der beide electriciteiten in gelijke hoe
veelheid wordt de onzijdige (neutrale) vloeistof genoem\'^^\'
.Door wrijving en andere oorzaken kan in een zelfd^
ligchaam de hoeveelheid der eene vloeistof grooter wof
den dan die der andere. Het ligchaam is dan geële^
triseerd. De meerdere hoeveelheid der eene boven di®
der andere vloeistof wordt vrije electriciteit genoeßi
De electrische verschijnselen worden alleen door de vry®
electriciteit voortgebragt; bij hunne verklaring wordt de
neutrale electriciteit niet in aanmerking genomen-
De ligchamen onderscheiden zich ten opzigte van cl®

beweging der electriciteit in hun binnenste in,
en niet geleiders of isolatoren. In de eerste kan de
triciteit zich vrijelijk bewegen. De laatste bieden ^^^
de beweging der electriciteit eenen weerstand aan»
hare vrije uitbreiding verhindert.

Het is proefondervindelijk bewezen en wij komen ^i®
spoedig op terug dat de vrije electriciteit eens
zich geheel en al aan zijne oppervlakte bevindt-
vormt daar eene laag wier dikte zoo onmerkbaar
is dat zij mag verwaarloosd en de electriciteit g^^^
worden zich in de oppervlakte te bevinden. Van ^
dat in de wiskundige theorie der electriciteit het g^^^
dat de electrische krachten niet van een ligchaam
van een oppervlak uitgaan bijzonder in aanmerking ko
en dit te meer daar die theorie zich vooral met g
ders bezig houdt.nbsp;^^

Als eenheid der electriciteit nemen wij die hoeV®
heid electriciteit die op eene gelijke hoeveelheid ele^\'\' ^
citeit en op de eenheid van afstand eene kracht nit^
fend gelijk aan de eenheid van kracht.

Bij de verdere ontwikkeling der theorie zullen

^VoHnbsp;^^^ electriciteiten waarvan gesproken

ïieilnbsp;^ij\'quot;- De aldus verkregene formulen kun-

betnbsp;moeite door verandering van het teeken der

® i\'ekkelijke electriciteits hoeveelheden op het geval toe-
JPast worden dat de eene of beide electrische vloeistof-
negatief zijn.

eei!^^quot;\' .^®Sinnen met het onderzoek der kracht, welke
elect^-^^f^quot;®^^^\'^nbsp;uitoefent op de eenheid van

din^ ^^citeit geplaatst in eenig punt P, waarvan de coör-
opzigte van drie vaste regthoekige assen
verdoelen wij het ligchaam of bij
^oppervlak in oneindig kleine elementen
elen ^^ ^^^^ ^^ hoeveelheid electriciteit bevat in een
?nbsp;^^^^^ coördinaren zijn b, c. De factor

geiiotnbsp;^^nbsp;^^^ electriciteit in dat element

^fsto^H^\' ^^^ ^^^ ^ afstand van ds en P, zoo is de
^^^^ ^^ eenheid in P uitge-

Qds

composanten ten opzigte der assen zijn

Qds 6—ynbsp;Qds O— 0

•nbsp;Inbsp;/

dus deze uitdrukkingen over de geheele
^ijn ^J\'^^t^ieid des ligchaams of zijner oppervlakte, zoo
^eelenbsp;X, T, Z, der kracht door de ge-

^ectriciteit des ligchaams in F uitgeoefend:

qds

Waarbij wij opmerken, dat deze bepaalde integralen g®\'
nomen ten opzigte van a, h, c, functiën der coördinaten
X, y, z van het punt P zijn.
Nu is

r^ — {a—xy {i—yY {c—^y

weshalve

dx

r dynbsp;f \' dz

De vorige vergelijkingen worden dus

J dx\' ~J r-^\'dy\' »

waarvoor men kan schrijven

pqdsquot;
fj r

/ v —

dy

Voert men dus eene functie V in bepaalde door
vergelijking

\'iqds

Zoo ziet men dadelijk dat de vorige vergelijkingen
gaan in

dVnbsp;äV

De functie F, die eene groote rol speelt in de theorie
^er electriciteit, is door green de Potentiaal-functie van
^et geëlectriseerde ligchaam in het punt P genoemd;
^^Uss heeft haar later den naam Potentiaal gege-
ten. quot;Wij zullen de eerste benaming behouden, daar
liet woord Potentiaal later in eene andere beteekenis
gebezigd is.

2. Gaan wij na deze algemeene bepalingen tot de
^hoofdeigenschappen der potentiaal-functie over, voor zqo-
ons die noodig zijn.
Wij hebben dan:

3\') Zij is eene stadige (continue) functie. Noemen
^vy het punt waarin de potentiaal-functie genomen wordt
steeds P, zoo is het klaar, dat wanneer P zich voort-
van de massa M verwijdert, ten opzigte waarvan

potentiaal-functie genomen wordt, de functie

^vaarin r weder de afstand van P tot dM aanduidt, nul
limiet heeft. Vermindert de afstand van Jf tot P,
neemt de functie voortdurend toe. Oppervlakkig
Schijnt het, dat wanneer P in de massa zelve ligt,

ndM

U oneindig groot wordt, daar voor de onmiddelijk

O grenzende deelen der massa r oneindig klein is.
heeft echter aangetoond, dat in dit geval de functie

r

Gene eindige waarde behoudt. Hij doet uit op de

wyze:

^ij dv een element van het volume des ligchaams,
daarvan men de potentiaal-functie neemt, q deszelfs
, element tot element veranderlijke of constante digt-
^^nbsp;i, O zijne regthoekige coördinaten en y^ z

Coördinaten van P. Wij hebben dan

=///

welke drievoudige integraal over de geheele massa ui^\'

gestrekt is.

Nemen wij nu een polair-coördinatenstelsel aan, ^^^
zijnen oorsprong in P heeft, dan is daar r de voerstraal
van dv wordt zoo amp; en (p de andere coördinaten zij^^
(lobatto, Lessen over de Differentiaal en Integraal-
rekening, II. § 142).

dv ~ rquot;^ sin %d^d(fd/r
en heeft dus tot factor; derhalve

V heeft alzoo steeds eene bepaalde eindige waarde,
de massa eindige afmetingen en digtheid heeft.

Verder zij aangemerkt, dat ook de partiële difiere^

dynbsp;dV . .. f^nctiëP

tiaal quotienten ,nbsp;-v— steeds stadige tun^^quot;

^nbsp;dx dy dz

zijn. Immers hebben wij bijv.

fff^

d\\{a~-xy {b-yy (^-ifl^l
dx

-fff

^^ . a~Xnbsp;dvnbsp;• „ Tr, 1 7

Nu IS----= cos amp; en — = sin d-dd-dqidr,

rnbsp;-

dusnbsp;^ ^^^ ^damp;d^dr,

quot;derhalve zal, zoo r en q eindig blijven eene be-

d/X

paalde eindige waarde behouden. Hetzelfde geldt na-

v, dV dV ^ .

\'\'wurlijk voor ■—- en -, dan is echter

dy dz

h—11nbsp;c—2

--=: sin amp; cos ffi en - = sm -0- sin cp.

fnbsp;r

Voor de hoogere partiële differentiaal quotienten

^ d-^r d^r d-^r ^ . . , r i

—, —z— , — enz. heeft deze stadigheid
\' dz-\' \' dxdy

^let meer plaats.

Wij hebben bijv.

a—X

d-^r

dx\' -JJ.J

. ^ dr
■ii»-quot;)\'\'-^

-fff^^\'

=^J^J^f*Q --j sin d-damp;dcpdr

r blijft alzoo in den noemer over en de uitdrukking
verliest dus voor oneindig kleine waarden van r zip^
beteekenis. Deze differentiaal quotienten lioiiden der-
halve binnen de massa op stadige functiën te zijn.

Anders is het met de potentiaal-functie van een op-
pervlak gelegen, waarover eene massa verdeeld is. 2oo
als in Nquot;. 1 reeds aangemerkt is, zal wanneer dO eeö
element van dit oppervlak en QdO de massa van dit
element voorstelt, q de digtheid dier massa zijn. Zijo
verder weder r, cp en amp; de polaire coördinaten van
element, zoo is (lobatto, Integr. ßek., § 119)

/nbsp;dr \'^ \\

dO = f 1/ (r^ sin^ amp;
\\

De potentiaal-functie

zal dus daar dO r tot factor heeft voor oneindig klei^^
waarden van r eindig blijven, hare eerste partiële dif-
ferentiaal quotienten houden echter op stadige functiëo
te zijn. Wij hebben bijv.

ix JIT^^^ dx J*S

daar nu dO slechts de eerste magt van r tot factor heeft
ennbsp;r cos d- is, bevat de teller de tweede; ^^

noemer de derde magt van r en de uitdrukking verliest
alzoo alle beteekenis.

T^xnbsp;Ctf OC

Dan alleen als---= O is, of met andere woorden

r

^\'anneer de normaal aan het oppervlak in het punt
daarin men de potentiaal-functie neemt evenwijdig loopt
aan de rigting volgens welke de veranderlijke ten op-
zigte waarvan men differentieert gerekend wordt, kan
\'ie integraal eene bepaalde waarde hebben. Zij houdt
®cliter in ieder geval op eene stadige functie te zijn.

stippen dit slechts aan en zullen ons met geene
quot;Verdere beschouwingen hierover inlaten, daar zij voor
doel onnoodig zijn.
b) Niettegenstaande de aangetoonde stadigheid onzer
ünctie, heeft de potentiaal eener door eene beslotene
Oppervlakte begrensde of daarover verdeelde massa en
hare eerste partiële differentiaal quotienten eenen
ónderen vorm binnen en buiten die oppervlakte.

Fig. 1.

heid, P het punt waarin de potentiaal-functie genomen
wordt en MP — a. Beschrijven wij nu in onze figuniquot;
met de stralen ilf« — en Mb rdr twee cirkels
die op eenen oneindig kleinen afstand van elkander
liggen en trekken wij de lijnen MD en MB\', zoodat
lt; DMA = lt; B\'MA ~ zoo zullen deze
twee laatste lijnen met de straks getrokkene cirkels
een oneindig klein vierhoekje aa\'bb\' begrenzen, welk®
inhoud door rdrdamp; wordt uitgedrukt en dat door zij»®
omwenteling om MP een ringvormig ligchaam voort-
brengt waarvan de inhoud is

rdrdamp; X ^nr sin amp; of 27rr^dr sin d-damp;.

Deze ring die loodregt op MP staat, is dus ee»
element der tweede orde van onze bolvormige schil-
Wij mogen daarom aannemen dat alle hare punten op
gelijken afstand w van P verwijderd zijn, denken
schil uit zulke ringen zamengesteld en hebben dan vooi
hare potentiaal-functie,

\'jiiQr\'^dr sin amp;damp;
u

de dubbele integratie tusschen behoorlijke grenzen g®
daan zijnde. Nu is

— j.:

udu — ar sin of —

Be grenzen dezer integraal verschillen met de ligging
Van P. Wij zullen daarom de drie gevallen beschouwen
daarin P, V buiten het buiten-oppervlak; 2® binnen
het binnen-oppervlak en tusschen beide oppervlakken
in de massa der schil zeiven gelegen is.
1quot;. P buiten de schil.

De grenzen voor w, behoorende tot eene willekeurige
laag, zijn hier blijkbaar a — r en a r; die van r zijn
in elk geval B\' en B. Wij hebben dan

27VQnbsp; ^ 4

\' / ü

I^US zoo wij door M de massa der schil aanduiden

M

(6).

p op het buitenste oppervlak ligt a — B; de
grenzen van u worden B r qxi B—r, dan is

B\'

2oodat F denzelfden vorm behoudt.
P binnen de schil.
Thans zijn de grenzen ten opzigte van u voor eene
willekeurige laag r—a en r-ha, dus

^ft^\'fr, (.fi^-Ä-).. (7).

^eze uitdrukking is onafhankelijk van a; V blijft
constant zoolang P binnen de schil gelegen is. Dit

geldt ook voor het binnen-oppervlak waar a —\'
r blijft daar dezelfde waarde als binnen behouden-

Wil men V weder in de massa der schil uitgedrukt;
zoo hebben wij,

R B!

P in de massa der schil.

Wij kunnen nu een bolvormig oppervlak denken, dat
door P gaat en in M zijn middelpunt beeft; de schi
wordt dan in twee schillen verdeeld waarvan de bui
tenste B en a, de binnenste a en B\' tot grootste e»
kleinste straal heeft. Zij Mquot; en M\' hunne respectieve
massa\'s, zoo is het klaar dat daar P op het biniieöop\'
per vlak van Mquot; en op het buitenoppervlak van M\' lig^\'
hierop het tweede en eerste geval van toepassing is
daar de potentiaal-functie eener massa noodwendig g®
lijk de som der potentiaal-functiën harer deelen is,
ben wij

. . . (9)-

of zoo wij de gevondene waarden van V uitgedrukt lö
B, B en a bezigen,

^TlQ

V = 2nQ (B^ — a^) -h {a^-B\'^).

óCt

/SB^a

Voor de grenswaarden van a, dat is P op li®^ ^^
ten- en binnen-oppe;r vlak der schil geeft deze toio

zooals behoort door achtervolgers a
stellen,

dTTÇ

R en = m te

ÇR^—B\'^) en V— \'Itiq (ä^ —

Zoo wij in de formule (10) de massa M der schaal
invoeren verkrijgen wij

Voor den bol wordt -S\' = O, de formule (5) of geeft
dan voor de potentiaal-functie van een uitwendig punt
terstond

iTTçB^ M
3anbsp;a \' \'

terwijl (10) of (11) voor een punt der massa geeft,

M. . (13).

voor P op de oppervlakte des bols oï a — B geven (12)
en (13) beide

M

r =

B

Gaan wij weder tot onze schil terug, en beschouwen
■^ij nu het partiële differentiaal quotient van V ten op-
zigte van a.

Wij hebben dan zoo P buiten de schil ligt

a

Ligt P binnen de schil zoo is daar dan V onafhanke-
lijk van a is

(ir

= 0.

da

Ligt P binnen beide oppervlakken zoo is volgens (U)

M

en dus

(15)-

voor a — B\' wordt volgens (15).

dV

■= O

da

evenals in de geheele ruimte binnen de schil, terwijl
voor a = -5 de formules (14) en (15) beide geven

dVnbsp;M

B\'

Wij zien dus dat V en haar eerste differentiaal quotient
verschillende vormen aannemen buiten, binnen en in de
massa, doch desniettegenstaande stadige functiën blijven
zooals wij reeds als hoofdeigenschap der potentiaal-fuquot;^\'
tie hebben vermeld.

Wat het tweede differentiaal quotient van V betreft,
binnen de schil is

.......(16)\'

= 0.

da\'\'

bulten

de schil zelve geeft (15).
dr / a^nbsp;M

B^ — ü\'^

dus

da^\'^ 3

terwijl volgens (16) en (17) aan het buiten- en binnen-
oppervlak der schil

M d\'^V

en- = 0.

geeft de formule (18) door ö =: en — te stellen
^oor het buiten-oppervlak

47Tg ( R^ —

da-^nbsp;3 \\ R^

quot;^^or het binnen-oppervlak

——-i^
da-^ 3 \'

de fnbsp;^^^

lunctie —maakt alzoo aan deze oppervlakken

sprongen en houdt dus op stadig te zijn, waarop wij
^^OQgQj. opmerkzaam maakten. Van het buitenste op-
Pervlak naar het binnenste gaande, gaat zij bovendien
den negatieven toestand in den positieven over en
^^i\'dwijnt voor

i^V ^ = 1,25992. . . U,

wat ook -S\' zij.

Nemen wij als tweede voorbeeld een bol-oppervla\'
waarover eene massa gelijkelijk verdeeld is met de digt\'
beid q. Zij de straal des bols ü, zijn middelpunt
den oorsprong der coördinaten, en het punt P waan»
men de potentiaal-functie neemt op eenen afstand ^
van dien oorsprong en op eenen afstand t van een
willekeurig punt van het oppervlak verwijderd.

Nu is, door O het oppervlak voorstellende,

Bquot;^ sin amp;damp;

r —

en daar verder

rdr

sin =

aR

^^--R Cdr.

a O

dei-

Ligt P buiten het oppervlak zoo zijn de grenzen
integratie a B en a—B, dan is

a

Ligt P binnen het oppervlak, zoo heeft men tusschen
B a en B — a te integreren en wij hebben dan

V~ ^ttqR.

Beide waarden van F geven op het oppervlak waar a ■
V =z ^ttqR.

Voor het eerste differentiaal quotiënt , hebben wij
\'^üiten het oppervlak

da

geeft op het oppervlak zelve,

TIQ,

nnen het oppervlak hebben wij echter

dV

da

^it differentiaal quotient houdt dus aan de oppervlakte

op stadig te zijn, waarvan
wij mede vroeger reeds met
een enkel woord gewaagd
hebben.

Zij het derde voorbeeld
een cirkelvlak waarover we-
der eene massa gelijkmatig
verdeeld is, zoodat q hare
digtheid voorstelt. Bepalen
wij zijne potentiaal-functie
in eenig punt P de uit zijn
middelpunt O opgerigte nor-
\'«aal oiV. Zij OP~l en PM — z, A AOB ~ m pn
® straal AO van het cirkelvlak = B.
^^^y hebben dan voor de potentiaal-functie in P

2

^R ordrdcf^
Onbsp;O

het teeken - of in de laatste uitdrukking
moetende worden naarmate l positief of negatie ^^^
Deze functie is nog stadig bij ^ = o doch neemt
eenen anderen vorm aan, daar in dit geval

r =

Uit (cc) vinden wij verder

dF

dl

en derhalve voor

dF

dl

Dus verandertnbsp;sprongsgewijze wanneer men

1nbsp;; tot eene

eene oneindig kleine positieve waarde van I w ^^^ ^^
oneindig kleine negatieve waarde overgaat.
toepassing dier stelling op een oneindig plat vla^^^^ ^^
ben wij dan R = oneindig groot ten opzigte v

j 1 ^be-

F wordt dan wel is waar oneindig groot, doen ^^
houdt zijn« waarde 27tq voor positieve of negatie^

Het eerste differentiaal quotiënt houdt derhalve zoo-

^^jel bij het cirkelvlak als bij het oneindig uitgestrekte

platte vlak in het vlak zelve op eene stadige functie
te ■•

zijn.

c) Wij vonden in (a) voor het partiële differenti-
quotiënt der uitdrukking

waarin r p/ ) (« - {inbsp;j

IL. —nbsp;~ x)dv

dx *JiJtJnbsp;f3 ~

en

-ffr

^^enzoo zullen wij blijkbaar hebben,
en

d-^r

-fff

dy- ^^^nbsp;^

I\'Snbsp;—zy—r\'^

De tweede differentiaal quotienten zamenstellende,
verkrijgen wij de belangrijke formule

___i-------------= ü,

dx^ ^ dy-\' dz-\'

welke formule wij in navolging van GBEEN kortheids
halve door

zullen voorstellen.

Het is van het hoogste belang hier op te merken,
dit bewijs ophoudt geldig te zijn, wanneer binnen
grenzen der bepaalde integraal nul wordt, d. i-
neer het punt, waarin men de potentiaal-functie nee ^^
binnen de massa ligt; dan toch verliezen, zooals

d-\'V d-\'V

in (a) zagen

hunne beteekenis en

dx-\'\' dy-\' \' dz\'^nbsp;^ ^^^

moeten eenen anderen weg inslaan om de waarde

ör te bepalen.

Is nu het punt Pbinnen de massa gelegen, zoo
nen wij eenen oneindig kleinen bol denken, die dit pu ^
bevat; de digtheid der massa kan dan in dien bol als co^
stant en gelijk aan die in het piint P beschouwd wor ^ j
Zij s de straal van dien bol, wiens middelpunt «, y
tot coördinaten heeft en laat b de afstand van P tot ^^^
middelpunt zijn. V laat zich nu in twee gedeelten sp^^^
sen; het eerste betrekking hebbende op de geheele roa^\'^^
van het ligchaam, behalve die van den kleinen boi,

tweede op de massa des bols.nbsp;_

P ligt nu buiten de eerste massa en derhalve xs ^^
dit gedeelte van V, SV^^O, Wat de tweede m

betreft, die des bols namelijk, (b) geeft ons in formule
(13) voor de potentiaal van eenig inwendig punt

2nQ

Nu is

dus 8 (t^) = 6 ,
« constant zijnde, hebben wij derhalve

ÖF— — énQ,

d^ F d^ F

df

^\'quot;inen de massa des ligchaams.

Hoewel wij slechts van ééne massa spraken, is het
echter duidelijk, dat ons gegeven bewijs voor een stel-
van een willekeurig aantal massa\'s door blijft gaan.
Gaan wij thans tot de algemeene toepassing dezer
stellingen op de electriciteit over en beginnen wij met
lare verbreiding in geleiders na te gaan. Zoo als wij
j^eeds vermeldden, bieden zij geenen weerstand aan de
«Weging dier vloeistof, terwijl de nietgeleiders dit wel
^\'en. Hieruit volgt terstond, dat de electriciteit niet in
\'^st kan zijn, ten zij voor elk electriciteits deeltje de
^Jacht die er op werkt en die niets anders is dan de
, ®tooting der overige electriciteit deeltjes nul is. In
punt x,y, z des geleiders moeten dus de compo-

dF dF

Tx\' quot;ly\'nbsp;afzonderlijk nul zijn

dr dV , dV ,
dV = --dx dy dz,
dy

zien wij dat dns overal f/r=0 en dus T of de poten-
tiaal-functie in de geheele uitgebreidheid des geleiders
constant is. Daar nu binnen den geleider steeds

d^ r d^ V

- — — 4:nQ

dz^

is, zal P of de digtheid der electriciteit noodzakehh
nul moeten zijn. De vrije electriciteit kan dus
binnen het ligchaam zijn en moet zich alleen op de op
pervlakte bevinden. Aan de oppervlakte eens geleid^f®
hebben wij dus eene laag electriciteit; welke de dikt®
dier laag is, is geheel onbekend, doch uit proeve» i
genoegzaam gebleken, dat zij steeds onmerkbaar
is. Wij zullen haar daarom in de berekening als oO
eindig klein veronderstellen, hoewel dit natuurlijk
wezenlijkheid niet zijn kan. In plaats van een electrisc^
geleidend ligchaam kunnen wij dus alleen het nieetk«!^^
dig oppervlak van dit ligchaam beschouwen, waaro^ ^
eene electrische massa verdeeld is. Door de digb^^^ ^^^
in eenig punt van het oppervlak, verstaan wij dan ^^^
quotiënt van de electrische massa die het element ^^^^
oppervlaks in dit punt bevat en van den inlioud
dit element.nbsp;.

Daar de vrije beweging der electriciteit in geleidei ^^
ligchamen noodzakelijk vordert, dat bij het evenwig
composanten der krachten lanys de oppervlakte eens g^^
leiders steeds nul moeten zijn, volgt dat de rigtmg
kracht ontstaan door de werking van de langs
perylakte verdeelde electriciteit op eene eenheid zic^ ^

^iö oppervlakte bevindende electriciteit, normaal aan dit
oppervlak zal wezen. Wij hebben in Nquot;. 2 (a) reeds
•Opgemerkt, dat in het algemeen het eerste partiele dif-
ferentiaal-quotient der potentiaal-functie van eenig op-
pervlak in een zijner punten geene stadige functie is,
Ui Nquot;. 2 (b) zagen Avij er een voorbeeld van voor de
Normale kracht bij een cirkelvlak en een oneindig uit-
gestrekt plat vlak, iaat ons thans nagaan wat er op een
•Oppervlak van willekeurigen vorm gebeurt.

t\'enken wij daartoe in eenig punt P der oppervlakte
eene normaal opgerigt en duiden wij de ligging van een
Pünt op die normaal door den afstand aan die het van
heeft. Wij zullen dien afstand binnen het ligchaam
buiten hetzelve ti noemen en de kracht nagaan waar-
eene op de normaal geplaatste eenheid electrici-
teit door de electrische massa van het ligchaam wordt
^fgestooten. Noemen wij verder met green V\' de po-
^entiaal-functie in een punt buiten het ligchaam en V
•■^ie in een punt der oppervlakte , terwijl V de poten-
tiaal-functie in een ppint binnen het ligchaam aanduidt.
Verdeelen wij nu het t^ppervlak in twee ongelijke deelen:
4 een zeer klein gèdeelte van het oppervlak dat P
^iHringt en B het overige gedeelte van het oppervlak.

Zij p en p\' twee eenheden electriciteit, die zicli op
^^e normaal op eenen oneindig kleinen afstand van P
bevinden, doch p op het naar binnen gerigte i?\' op het
^laar buiten gekeerde deel der normaal gelegen. Zij a
^ de krachten door de electriciteit van A en door
^\'e van B op p uitgeoefend in de rigting van n; a\'
de krachten door dezelfde electriciteiten op p\'
^^tgegeoefend in de rigting van n\', zoo hebben wij

^»lyivbaar

dV\'
dn

Nu kunnen dn en dn\' als oneindig klein beschouwd
worden ten opzigte der afmetingen van A, welke laat
ste men toch zoo klein nemen kan als men verkiest?
de werking van A is dus te beschouwen als van
oneindig plat vlak op een punt daar buiten; die wer
king is, zoo als wij Nquot;. 2 (b) zagen onafhankelijk
den afstand van het punt tot het vlak en steeds = ^^^\'
Q de digtheid der over het vlak verdeelde massa lU b®*
punt P zijnde. Zij is voor de punten jj en p\' dezelfde»
wel is waar tegengesteld, doch naar denzelfden
ten opzigte der rigtingen n en n\'; de werkingen 5
i\' van i? op p en p\' zijn gelijk (op oneindig kleine^
na) in grootte en rigting, doch die rigting is ten op
zigte der rigtingen n en n\' tegengesteld.

Wij hebben derhalve

27T^ — h

dV\'

dn

maar binnen het oppervlak van een ligchaam is steeds

dV

_ ™ Wij zien

dnnbsp;\'nbsp;dn\'

wederom dat de op de oppervlakte normale kracht geene
stadige functie is; dan toch zouden noodzakelijk

dy ^ — O

dn dn\'
üioeten zijn.

Deze belangrijke stelling is het eerst door laplace
bewezen in poissons beroemde Mémoire, mr la distri-
lution de Vélecirkitê a la surface des corps conducteurs.
(Mémoires de l\'académie de Paris 1811, pag. 30 etc,).

De stelling dat V constant is in en op de oppervlakte
eens geleiders geldt natuurlijk ook voor een willekeurig
aantal geleiders, die met elkander in aanraking zijn.
Hieruit volgt, dat de potentiaal-functie van willekeurige
hoeveelheden electriciteit in eenen met de aarde verbon-
den geleider nul is, daar men wegens de groote afme-
tnigen der aarde de potentiaal-functie der over hare
oppervlakte verbreide electriciteit gelijk nul stellen mag.

4. Alvorens dit hoofdstuk te besluiten, om in het
volgende de verdeeling der electriciteit op het oppervlak
eens geleiders meer bijzonder na te gaan, willen wij
eene voor ons onderwerp in gevolg belangrijke stelling
laten volgen.

Denken wij twee willekeurige hoeveelheden electrici-
teit e en f\'; noemen wij qds een element der eerste,
q\'ds\' een element der tweede hoeveelheid, zoodat ç en

de digtheden, ds en ds\' de ruimte uitgebreidheden
aanduiden; zij nog r de afstand van ds en ds\' zoo is,
Wanneer wij de integratie over alle de elementen uit-
strekken.

Zij nu de electriciteit é\' verdeeld over de oppervlakte

van een bol van den straal R met eene constante digt-

p\'ds .

heid = 1, zoo is liare potentiaal-functie ^

ds gelijknbsp;--, waarin de afstand van ds tot het

middelpunt des bols is. De vergelijking wordt hierdoor

T

Stellen wij nu de potentiaal-functie ^ ƒnbsp;van t

ds\' = V, de potentiaalnbsp;derzelfde electriciteit in

het middelpunt des bols = V„,nbsp;zoo geeft de vorige ver-
gelijking

^^ rds\' ~nbsp;K ,

waarin de integratie moet uitgestrekt worden over het
gansche oppervlak des bols.

Uit deze vergelijking volgt de belangrijke stelling\'
dat indien de potentiaal-functie V eener electrische massa
in een gedeelte eener zamenhangende ruimte waar geeïie
electriciteit aanwezig is, constant = a is, zij overal m
die ruimte diezelfde waarde a hebben moet. — Ware dit
toch zoo niet, zoo zoude in dien in een naburig ge-
deelte de potentiaal functie grooter ware, men eenen
bol van de draad R zoo geplaatst kunnen denken, dat
het eene deel (hetwelk het middelpunt des bols bevat),
in de ruimte zich bevindt, waar de potentiaal-functie
= ff is, het andere daar waar de potentiaal-functie
grooter is.

Nu is volgens het voorgaande

ßrds =

•^f daar a constant is

^F — a) ds~ O,

hetgeen onmogelijk is, daar voor het eene deel der op-
pervlakte V — a =■ O voor het overige F — a niet nul
löaar grooter is. Was de potentiaal-functie in het an-
dere gedeelte kleiner dan a, zoo zoude men tot dezelfde
ongerijmdheid vervallen, waaruit dus volgt, dat de
potentiaal-functie in de gansche zamenhangende ruimte
dezelfde constante waarde a behoudt.

Hieruit volgt:

1®. Dat daar in een hol geëlectriseerd ligchaam de
potentiaal-functie in de massa van het ligchaam con-
stant is, zij ook in de ingeslotene ruimte constant zal
^yu, mits in deze ruimte geene geëlectriseerde ligcha-
men geplaatst zijn. Onder deze laatste voorwaarde zal
dus de verdeeling der electriciteit over eenen geleider
op dezelfde wijze geschieden, hetzij die geleider vol
(massief) of hol is.

Dat zoo de potentiaal-functie van een ligchaam
quot;^oor een deel der uitwendige ruimte constant is en zich
daar geene hoeveelheden electriciteit bevinden, zij voor
gansche oneindige ruimte constant blijft.

In dit laatste geval zal daar de potentiaal-functie op
®enen oneindigen afstand noodzakekelijk nul moet zijn,
dit in de gansche uitwendige ruimte wezen.

I^eze stelling is van GAUSS.

TWEEDE HOOFDSTUK.

DE VEKDEBLING DER BLEGTEICITEIT OVER HET
OPPERVLAK EENS GELEIDERS,

5. Wanneer aan eenen geleider electriciteit wordt
medegedeeld, zal gelijk wij in het eerste hoofdstuk op-
merkten, zich in den staat van e ven wigt vrije electrici-
teit aan de oppervlakte van het ligchaam verbreiden i»
eene laag van onmerkbaar kleine dikte.

Bij het gebruik van geleiders van verschillenden vorm
wordt het al spoedig duidelijk, dat die verbreiding der
electriciteit geheel bijzondere wetten volgt, afhankehj
van den vorm der geleiders en zien wij bijvoorbeel
om alleen van geleiders te spreken door gebogene op-
pervlakten begrensd, dat de ophooping der electriciteit,
wij drukken het een oogenblik zoo uit, zich het meest
in die punten van het oppervlak vertoont, waarin de

kromming het grootste is.nbsp;_ _ ,

Men heeft tot nog toe die verdeeling der electriciteit
voor geleiders van willekeurige gedaante niet kunnei^
bepalen. Voor enkelen is men er slechts in geslaag •

Veel hebben wij dienaangaande aan poisson te danken.
I^oor zijne uitstekende toepassing der door laplace
gegevene ontwikkelingen voor de aantrekking van sphe-
i\'oides (ligchamen wier vorm weinig van een bol ver-
schilt) bepaalde hij de verdeeling der electriciteit op lig-
chamen van deze gedaante, ofschoon in het algemeen
niet in eindigen vorm. Onder de lateren munt vooral
lt;gt;Reen uit, die twee algemeene methoden aangaf, om
omgekeerd oppervlakken te vinden, waarop de verdoe-
ming der electriciteit kan bepaald worden. Wij komen
zijnen arbeid later terug.

Hoewel men nu, onbekend als wij met de natuur der
electriciteit zijn, van het eigenlijke wezen der electri-
sche verdeeling niets bepaalds zeggen kan, dienen wij
eiquot; ons echter voor de analytische behandeling eene be-
paalde voorstelling van te maken.

De natuurlijkste voorstelling zou zijn eene electrische
laag onmiddellijk tegen het oppervlak des geleiders aan
te nemen van eindige, schoon onmerkbare dikte. De
^ligtheid der electriciteit zou er veranderlijk in zijn en
toenemen hoe digter men bij de oppervlakte van het
ligchaam komt, daar de electriciteitsdeeltjes door de meer
binnen gelegene, als het ware naar het oppervlak ge-
lt;ii^even worden en aan dit oppervlak dus de grootste
ophooping plaats heeft.

Hoewel deze voorstelling de meest juiste zijn zou,
^eeft zij echter voor de theorie door die veranderlijke
digtheid groote moeijelijkheden en maakt men daarom
Van twee andere voorstellingen gebruik:

l*quot;- kunnen wij, zooals wij in Nquot;. 3 reeds aanmerkten
^^ electriciteit met ongelijke digtheid verspreid denken
®ver het meetkundig oppervlak van het ligchaam; wij

verwaarloozen dan in de analyse de dikte der laag ge-
heel en beschouwen een meetkundig oppervlak, he^
oppervlak van den geleider, doch uit wier punten on-
gelijke werkingen uitgaan en verstaan dan wanneer q^^
de electrische massa is die in het element dO van het
oppervlak ligt door q de digtheid der electriciteit; zij is
dus de verhouding der electrische massa in dit element
aanwezig tot den inhoud dO van het element zelve. I»
dit geval beschouwt men derhalve de electriciteit, al®
ware-zij in dit wiskundige oppervlak des ligchaams ge-
concentreerd.

en dit is welligt duidelijker voor de voorstelling»
kan men zich de electriciteit weder in eene laag denken
van eindige doch zeer geringe dikte; wij nemen hierbij
echter de electriciteit die haar zamenstelt van gelijke
digtheid aan. De hoeveelheid electriciteit in elk punt
p des geleiders wordt dus bepaald door de dikte dei\'
laag gemeten langs de normaal in het punt p, van dit
punt af tot waar zij de binnen-oppervlakte snijdt. Wan-
neer dan weder qdO de electriciteit is, die tegen het
element dO aanligt zal q evenredig aan de dikte zijngt;
terwijl zij volgens onze eerste voorstelling de digtheid
zelve voorstelde.

Wij nemen nu aan, dat het buiten oppervlak der laag
volkomen met dat des geleiders zamenvalt en dit zal
hoe de zamenstelling der laag ook zij hoogst waarschijn-
lijk met de^ werkelijkheid overeenkomen; door proeven
toch ook in het luchtledige genomen, moet men \'vfel
tot het besluit komen, dat de gelijknamige vrije elec-
triciteitsdeeltjes, zich zooveel mogelijk door onderling®
afstooting van elkander verwijderende, aan de oppeiquot;
vlakte eenen tegenstand ondervinden die hen verhindert

m

V\'erder uit elkander te gaan. Het binnen oppervlak on-
zer electriciteitslaag moet nu bepaald worden en zal ons
de hoeveelheid electriciteit in elk punt van het opper-
\'^lak des geleiders doen kennen.

Wij zullen ons nu voorloopig van deze tweede voor-
stelling, die ook door POissON gevolgd is, bedienen.
Men boude echter in het oog dat die aangenomene voor-
stellingen , slechts voorstellingen zijn , noodzakelijke hidp-
Kiiddelen om een uitgangspunt voor de theorie te ver-
krijgen, die ons wel belangrijke eigenschappen omtrent
werking der electriciteit in verschillende punten van
liet oppervlak eens geleiders doet kennen, doch die ons
aangaande hetgeen er werkelijk binnen het buitenop-
pervlak plaats heeft, zoo lang wij geen juist denkbeeld

^an de natuur der electriciteit hebben, in onzeker-
lieid laat.

Zoo als wij dan aannamen, is het buiten oppervlak
onzer laag A^rije electriciteit het buiten oppervlak des
ligchaams zelve, in den staat van evenwigt zal ook het
Irinnen oppervlak eene van den vorm des geleiders af-
l^ankelijke gedaante verkrijgen. Welke is echter die
pdaante? Wij weten dat, volgens de bekende wetten,
^^ elk punt van het oppervlak de resultante van alle
quot;^verkingen op dit punt normaal op het oppervlak zijn
^oet. Doch wij hebben op meer te letten. Het is toch
niet genoeg, dat de laag vrije electriciteit in evenwigt
gt; maar veeleer, en dit zal voor hare bepaling voldoende
dat de werking der electriciteitslaag op elk punt
innen het ligchaam genomen, nul zij. Ware dit toch
niet, zoo zou de neutrale electriciteit binnen het
^geliaam gescheiden worden en de electrische toestand
^oude elk oogenblik eene andere zijn. Noemen wij

weder V de potentiaal-functie van de electrische massa der
laag in een willekeurig punt P, waarvan de coördinaten
X, y en 0 zijn, zoodat V de som van de quotienten is
der electrische massadeeltjes en hunne respectieve af-
standen tot het punt P, zoo zullen de partiele diffëren-

dV dV dV ^

tiaal quotienten ——,---- , — —, die de composan

^nbsp;dx dy dz

ten der werking op het punt P volgens de rigtingen

der coördinaten-assen uitdrukken, ieder afzonderlijk nul

moeten zijn. Hieraan wordt blijkbaar voldaan, indien

wij de aan de veranderlijke dikte der laag evenredig®

grootheid g zoodanig kiezen, dat V voor elk punt ^

binnen het ligchaam onafhankelijk is van de coördinaten

X, y, z van dat punt. Op deze wijze moeten wij eene

algemeene uitdrukking voor q vinden, die ons in staat

stelt haar voor elk punt van het oppervlak des geleiders

te bepalen.

6. Wij zullen thans in de eerste plaats de method.e
van poisson mededeelen om de gedaante der electrici-
teitslaag te leeren kennen bij ligchamen wier vorm weinig
van een bol verschilt en welke wij in navolging
laplacb enpoisson spheroïdes noemen. Plaatsen vfij deo
oorsprong van coördinaten in het middelpunt van figi^^^
van het ligchaam en nemen wij in plaats der regthoekig®
coördinaten x, y, z een polairstelsel r, amp; en co met den-
zelfden oorsprong, zoodat een willekeurig punt P ^e
paald wordt door den voerstraal r uit den oorsprong
naar het punt P getrokken; 2quot; door denhoek die die
voerstraal met eene willekeurige doch onveranderlijke hjn,
door den oorsprong getrokken, maakt; nemen wij daar
toe bijvoorbeeld de vroegere as der x, 3quot; door den noe
co tusschen het vlak door die as en den voerstraal gaanc e

^^ een ander onderveranderlijk vlak door de as gebracht;

^^zen wy hiertoe het vroegere vlak der zoo is Lt

aar, dat voor een willekeurig punt r altijd positief zal

ëeiekend worden, « alle waarde van 0° tot 360° zal
nonen verkrijgen, terwijl amp; steeds tusschen 0° en 180°
jal begrepen zijn, en beide stelsels aan elkander ver-
enden zijn door de bekende vergelijkingen:

7j = rsinamp;cosco ^ = r sin ^ sin co. . (1).

Wij onderstellen thans, dat het oppervlak van het hV-
^naam door de vergelijking

F (r, co) = O

l^^aald is, en nemen op den voerstraal van een wil-
eung puntnbsp;o,, van dit oppervlak een punt P

finnen of buiten het ligchaam, op oenen afstand l van
jn oorsprong verwijderd; nemen wij op het oppervlak
^ tweede punt Q welks coördinaten door r\', en
Jorden uitgedrukt, zoo zal de afstand FQ, die, indien
z Qnnbsp;z de coördinaten van F en Q in het

®gthoekige stelsel zijn, uitgedrukt wordt door

^ ^hans ingevolge de vergelijking (1) overgaan in
gt; j/\' j?\' ^ — 2f^ (cos ^ cos sin ^ sin (cos w—«,\')) ^^ |

Om nu den inhoud dO van een element van het op-
in polaire coördinaten uit te drukken, kunnen
opmerken, dat, daar wij met ligchamen te doen
Schilnbsp;oppervlak uiterst weinig van een bol ver-

wij mogen aannemen, dat de normaalin eenig

3

punt van liet oppervlak eenen zeer kleinen hoek m^t
den voerstraal maakt. Daar verder het element van onS
oppervlak tot projectie heeft het element van eenen bo^j
die door dit punt gaat en den oorsprong tot middelpu»^
heeft, mogen wij uithoofde van de kleinheid van dezen
straks genoemden hoek, met verwaarloozing van kl^i\'^
nen van hoogere orde, voor het element van het op^
per vlak hare projectie op den genoemden bol nemen e^
verkrijgen dan voor dit element, zoo als bekend is, eene»
regthoek, waarvan de zijden r\'dO-\' en / sin \\rda}\' zijn ei
dus voor den inhoud of dO, rquot;\' sin Q-\'da dd-\'.
Wij vinden dus voor V, q in Qq noemende

pf.______pV^

~JJ 1/ !\'■\' ^ -^\'sTITcös^ cos sin ^^ sin cos (w - «gt;)/

y- yï 2r\'l (cos cos d-\'-h sin
Stellende hierin cos amp; — n en cos = n\', zoo Woi

F:

FQ\'r\'^dfi\'dco\',

dool\'

Wanneer in de waarde van F, cos amp; en cos ^
en ft\' vervangen zijn.nbsp;^ ^ q

Deze integraal moet nu genomen worden van co
tot co\' = 360° en van ^ = - 1 tot = 1.nbsp;^^^^

Wij moeten nog opmerken dat onze
alleen de volkomen juiste waarde van V zal zijn ^ ^^
neer oneindig klein is, daar men anders ^elyj^^,
niet als de juiste afstand van het element Q tot
schouwen kan; zal de formule voor F waarde he ^^^
zoo moet q\' zoo klein zijn, dat men hare tweede

^oogere magten kan verwaarloozen en dit is toch we-

de onmerkbare dikte der laag wel het geval
Jj\'ubstitueren Avij de waarden van y, door de ver-
^ njkmgen (1) gegeven, in de vergelijking

d-^r

dr

sin dF

, — cos amp;
dxnbsp;dr

dr damp;
^ cos amp; cos co dF sinw dF

sin amp; cos co

r dd- fsin^ do} \'
cos amp; sin (a dF cos w dF

\'nbsp;damp; \' rsinamp;^Ico

vergelijkingen afgeleid zijn door in de vergelijking
^F^^ dF dF ^ dV ^ dV dV

d» en d(o hunne waarde te schrijven afgeleid
^e vergelijkingen

Xnbsp;z

ijj/«^— . . (2)
^ y

Mvqnbsp;vergelijkingen uit de vergelijkingen (1)

Verder stelden wij de coefficienten
dz, in beide leden der vergelijking gelijk

\'\' ^^Wamen dan de waarden van fl, ÉZ

dx\' dy\' dz\'

Uit deze waarden vinden wij, daar uit de vergelijkin-
gen (2) van zelve volgt,

dx rnbsp;«y \'

sin^ clamp;nbsp;cosojcosxO-^^^J^^sinji^c^

quot;rnbsp;dznbsp;1\'

\' dy

sin co dii) _
~r sin ^ \' ~ v sin ^ \'

J-. T/nbsp;^ riVnbsp;d^V GOS sm amp; ^

dx-\'

f^nbsp;dd- r

d^V cos^O-cos^co jj^ ^ sm\'^oi d V

df

cos^sin-^co ^^Bj^jcos^:^

T^^iiTTquot; damp; i\'-quot; damp;

coscosin^ ^ si^co^ ^^
H----n. ^nbsp;r^nbsp;do3

r» sin^ amp; dta

sin £0 cos co cos^ -8- dV___sm^o)

r^ sin^

d-\'- Vnbsp;^^nbsp;^- sin\'^ ^ siquot;\'

r \'\'dr r dr

sin^ co sin ^ cos ^^ iF cos_^:c^

fï sin

cos -0- sin -9- sin^ ca dV _ cos^ amp; sin^ agt; d^ V

do-

sin G) cos co dV

r^ sin^ # do3
cos co sin co cos^ {)■ dV

r^ sin^ -O-

^oor optelling dezer drie vergelijkingen gaat de ver-
gelijking

d^V d^V d^V

r nbsp;O

dx^ dyquot;quot;
över in

__d^r V

dQquot;^ j-2sinÖ\' damp; r^ sin^ amp;

ef na vermenigvuldiging met r®

^ cos % dV

\'Vervangen wij r, amp; en co door r\', en co\' en stellen
^ — ft\' zoo zal, daar dan dfi\' = — sin amp;\'dd\' en

dV _ dF d^\'nbsp;. dV

- — SU) d-\'

d^ \' d^\'

en

. damp;\' . , d^V
— cos amp; ~—H~ sm^! amp;\'

4«\'

cosy dVnbsp;,dVnbsp;d\'-V

= — 2 cos --- sin 2 ...... —

sm xr damp;nbsp;d^t\' ^nbsp;da\'

dr ,,

dfA,\'

s ar

dn\'

zyn.

Waardoor dan onze vergelijking overgaat in

dr

d

d^r

Om V nu te bepalen, zullen wij volgens l in een^
reeks moeten ontwikkelen, opdat ecbter die reeks coH^
vergent zij, zal zij gerangschikt dienen te zijn volg^^^

de magten van L, wanneer het punt P binnen het H\'

chaam ligt, volgens de magten van-^, wanneer dat

er buiten is.
Zij dus

-U\'-h enz-

r\'

zoo ztülen U;, U,nbsp;.... enz. geheele ration

functien van fji\', V O- — f^\'^) ^^s oi\' en (1 quot; ^

oW\'
ƒ

(^—x\'y (^-yy I

stellende, vonden wij in Nquot;. (c),

ä\'f , ä^f

dy\'^ dz\'

2ooals gebleken is, verandert ƒ in P, wanneer men x,
y en 5 doornbsp;w en x , y\', z\' door r\', -0-\', ogt;\' ver-

langt na substitutie voor cos ■0- en cos , y, en fi\'
^chrijvende; te gelijk gaat echter («) in vergelijking
(3) over.

Wij hebben dus :

a^F

d^\'rF

dfi

Indien wij F door hare waarde in de reeks ^7,\' enz.
Jervangen en de coëfficiënten van gelijke magten van
— O stellen, hebben wij, M^at ook U zij

(1 -K) ^^^n\')

{n 1)nbsp;O

(2ift laplace, Mecanique celeste, Livre III Nquot;. 9).
is overigens klaar, dat de function U^ symetrisch
ten opzigte van ^i, oj en co\',
t^ezelfde function zullen in de ontwikkeling van F,

quot;^quot;^igens de magten — voorkomen, zoodat:

U

■o:

beide waarden van F in de vergelijking voor F
®titieven, hebben wij in gevolge onze notatie voor
inwendig punt:

Vnbsp; I jy^ g\'U.\'dix\'da)\' -t

en voor een nltwendig punt:

_ . nbsp;^^ UJdi^\'dco\' eiiZ\'

deze beide waarden zullen op de oppervlakte van h®^
ligchaam moeten overeenkomen, terwijl zij na integraal®
geheel verschillende functien van l, f*\' en co\' zijn. ^
Is nu een oppervlak in functie van r\', ia.\' en o»
gegeven, zoo zal in den evenwigtstoestand de w^erkiquot;^?
op elk punt P, genomen bimieti het ligchaam, nul nioe
ten zijn. — Hieraan wordt blijkbaar voldaan, zoo
waarde van F onafhankelijk is van de coördinaten
m en co van dit punt P.

Om haar onafhankelijk van l te maken, stelt nie^
de coefficienten van de verschillende magten van I g® ^
nul, waardoor men bekomt,

O,nbsp;- • quot;

... rf-i^ u:di.\'do)\' = O...

t/ c/ -1 quot;

dkkelde

denkt men zich thans de uitdrukking—^^— ontw
in de reeks,

R- B,\' ...... B:

zoodat de algemeene term Bj eene geheele rationele
functie van den nf\' graad van de groothedennbsp;—fi\'^

cos co\' en —sin co\' is, die aan de vergelijking
dBJ ^

d

d^RJ

d^i\'nbsp;1 —nbsp;dfA,

Voldoet 5 zoo zal ingevolge de eigenschappen dezer func-
tie (laplace. Mécanique Celede, Livre III, N\'. 12 en
17), voor alle onderling verschillende waarden van m en n

jy* BJL\\\'df,\'dco\' == O
terwijl voor m — n

47r

B^ U^dn\' aoi\'

Waarin B^ de waarde Bj aanduidt, wanneer men fi\' en co\'
in jit en co verandert, zoodat B„ de algemeene term van

de ontwikkeling der functie ——-j- aanduidt.

Dien ten gevolge gaat in het algemeen

over in den enkelen term
Att

Opdat dus de integraal verdwijne, zalnbsp;moeten

zijn; zoodat in het algemeen voldoende is, dat in de

ontwikkeling der functie —

wijzer n ontbreekt.

Alle termen in de ontwikkeling van V verdwijnen
op deze wijze, behalve de eerste

Uit de eerste ontwikkeling van F volgt echter terstond
door ^ irz O te stellen, U^ 1 zoodat onze uitdrukking
wordt

daar nu de veranderlijken onder het dubbele integraal-
teeken wel functien van q\' m zijn, doch onafhanke-
lijk van en co blijven, zoo zien wij, dat V thans van
alle coördinaten van het punt P onafhankelijk is.

De grootheid q\' zal nu zoodanig in functie van r\', agt;
en n\' moeten bepaald worden, dat zij aan alle die voor-
waardelijke vergelijkingen voldoet. Eene algemeene op-
lossing zou hier uiterst moeijelijk zijn; men kan er dns
alleen in bijzondere gevallen gebruik van maken.

Voor het allereenvoudigste geval, een bolvormigen
geleider is er volstrekt geene berekening noodig, daar
uit de gelijke ligging van alle punten der oppervlakte
ten opzigte van het middelpunt van zelve volgt, dat
onze electrische laag in dit geval eene bolvormige schil
zal zijn. Zij Q de gansche hoeveelheden electriciteit
aan den bol medegedeeld, r de straal des bols, zoo zal

de dikte der laag klaarblijkelijk gelijknbsp;zijn- Heeft

^ t tv

de geleider den vorm eener ellipsoïde, zoo kunnen wij
Weder berekening ontberen daar laplace (Mee. Cel.,
Livre III, Nquot;. 3) aangetoond heeft, dat wanneer de
ruimte tusschen twee concentrische ellipsoïden gevuld
is met eene homogene stof van gelijke digthsid, waar-
van ieder deeltje op een willekeurig punt eene kracht
uitoefent, omgekeerd evenredig aan het vierkant des
afstands, de totale Averking dezer laag op ieder punt
binnen de ellipsoidische schijf nul is. Wij zullen dus
door voor het binnenoppervlak onzer laag eene ellipsoide
concentrisch met het oppervlak des geleiders te ne-
men , aan den eisch voor onzen evenwigtstoestand geheel
Voldoen.

7. Wij dienen thans de uitmuntende toepassing mede
te deelen, die poisson van de straks vermelde methode
maakte, om de verdeeling bij ligchamen weinig van een
tol verschillende, nader te bepalen en tevens eene uit-
drukking voor de electrische afstooting op de punten van
Imu oppervlak te vinden. W^ij zullen dan tevens het
straks gezegde omtrent de ellipsoide bewaarheid zien,
schoon niet zoo algemeen, daar wij hier alleen van
ellipsoiden weinig van een bol verschillende spreken
mogen.
Zij dan

r\'T=a{l a t\')

de vergelijking van het oppervlak der spheroide, waarin
ös eene constante straal en « eene constante zeer kleine
Coëfficiënt is, zoodat men hare tweede en hoogere magten
\'verwaarloozen mag, terwijl f eene bekende functie van
en co\' voorstelt. Daar nu voor a = O de spheroide
^^^ een bol overgaat, en dus de dikte q der laag dan

constant is, kunnen wij algemeen uitdrukken door de
vergelijking

waarin h constant, z\' eene nog onbekende functie van
jU.\' en w\' is.

Wij hebben nu ingevolge onze vroegere notatie, door
z^teTXQ de waarden van z , t\' aanduidende, als t\' m
r overgaat

-1)^)1

en moeten thans de functie z — (« — 1) t zoodanig ^
eene reeks ontwikkelen, dat de term met den aanwijzer
n ontbreekt.

Wanneer wij nu t ontwikkeld denken in de reeks

.......enz.

waarin de algemeene term eene geheele rationele
functie van den graad ten opzigte der grootheden f\'

— fi^ cos ca ennbsp;— jtt^ sin eo is, voldoende aan

de vergelijking:

(1 — l^a) -7—

«c0-\'

zoo moet z, zal in de ontwikkeling van z ^ (n — 1) ^
de term van den aanwijzer n verdwijnen, noodzakelijk
voorgesteld worden door de reeks

211. 4-3/i!,

De reeks van t eens gevormd zijnde, zal men der-
halve q, ofschoon niet in eindigen vorm leeren kennen.

Om h te bepalen, stelt POISSON, dat de gansche hoe-
veelheid vrije electriciteit op de spheroide bekend, ge-
lijk H is. Dit geeft aanleiding tot de vergelijking

Q. cPO =: i I Q. r\'^djA,. dco

welke dubbele integraal voor fi weder van [a, — 1
tot z=. 1 voor co, van co — 0° tot co = 360° moet
genomen worden.

Schrijvende voor q en r^ hunne waarden, verwaarloo-
zende de termen met a\'^, a^, enz. en opmerkende, dat

algemeen, behalve voor —nbsp;di^dco = O,

(zie LAPLACE, Mee. Cel. , Liv. III, Kquot;. 12), vinden wij

E = jy aH diidca z=. ^ u aH
E

dus h =

Maken wij thans eene toepassing op de ellipsoide
weinig van den bol verschillende; wij moeten daartoe
in de vergelijking

r\' = a {1 a t\')

t\' in functie van BJ bepalen.

Stellen wij daartoe den inhoud der ellipsoide gelijk
aan dien van een bol van den straal a en noemen hare
halve assen «(l ctp), a{l-^aq), a{\\-i~as), zoo
hebben wij

a^\' =z a^ (1 Cf p) (1 « (1 4- cc 5)

of na ontwikkeling en verwaarloozing der tweede en
hoogere magten van a

p q -h s O

De vergelijking der ellipsoïde op regthoekige assen
wordt dan

= 1.

of (l — 2ap) y-\' (1 — 2aq) (1 — =
nu de polaire coördinaten weder invoerende, is
x — r\'ix\', y — r\'y/ (1nbsp;cos m\', s=:r\'{/ (1 — nquot;\') sin co\'

waardoor wij krijgen:

r 2 j 1—2«(p^ 2(1 —^^ 2) cos (1 —ï) tin ftj\') I \'5
of

r\'=:a jnbsp;—cosco\' fi(l—sin co\')

zal nu deze formule overeenstemmen met de onze
r\' = « (1 « t\')

zoo moet

t\' — p fA.quot;\' (1 — jW\'^) cos co\' 5 (1 — jit\'^) sin co\'.
Stelt men nu in de vergelijking
dB\'

da\'

dn\'

n ~ 2, en neemt men achtervolgens voor B\'% de
functien

lA.\'^, (1 —COS co\', (1 —(i\'-) sin w\'

zoo wordt telkens het eerste lid der vergelijking ((?\') 2.
Nemen wij dus = f, zoo wordt het eerste lid,

2 {p q s)=0.

en voldoet derhalve aan de vergelijking ((3\'), uithoofde
der vergelijking («\'); f derhalve tot de functie
behoorende, is (laplaoe, Mee. Cel., Livre III, Nquot;.
12 en 13)

i\'QJacü\'ay =r 0.

Voor alle waarden van n die van 2 verschillen; voor
alle die waarden is dan ook

Q^é\'üf^i\'aco\' = 0.

dus gaat de vergelijking

i\' ~ Ho\' -f- Bj^\' -f- B^\'

Waarin Ro verdwijnt omdat de ellipsoide gelijk een bol
Van den straal a is, over in

t\' — B:^\'

zoodat de vergelijking der ellipsoide eenvoudig over-
gaat in

r\' — a {1 a B^\').
Wij vinden dus van zeiven voor q\', daar nu ook z\' = R\'
= ö (1 «

derhalve zullen de buiten en binnen oppervlakken der
electrische laag door de vergelijkingen

r\' = a(l aBf) en r\'— q\' = {a~h) (1

bepaald worden, zijnde twee gelijkvormige ellipsoiden•
Wij kunnen nog voor q\' schrijven

Ir\'

zij is dus in elk punt evenredig aan den voerstraal r-
8. Berekenen wij thans de waarde van V aan de
oppervlakte eener spheroide en gebruiken wij daartoe
de bovengenoemde (bladz. 40) gevonden reeks voor

Q\'M\'dii\'cW 4

.....enz.

Door de vergelijkingen

r\' =: a (1 H- ai\') q\' ~ b l -h az\')
vinden wij,

2 — I 1 « 2) f\')

en voor t en z\' hunne ontwikkelingen

=r i^/ H-..........

= Bf -----h enz.

schrijvende, wordt

(jï 4) ...... 1) B,/ H- enz.)

quot;Weder opmerkende dat, wanneer m en n versclullen,
J^J^ BjU,:dii\'dm\' = O

voor m ~ n

ff =

hebben wij

ff =

ï^it gaat behalve voor nz=0 door; dan is echter daar
Vo\'— 1, wanneer wij voor r^ en q\' hmme waarden schrij-
den, als straks

2oodat voor een uitwendig punt

jr, Ania\'^

—- 1-ha

en voor een punt van de oppervlakte

df l 2at\\
docli,

..... (j, 1) enz. =nbsp;^

dus

dV\'

dr quot; l-\\-2dt

inb (I nbsp;— 2ai)

— ^^ = 4jrö (1 az) = 47r^.

deze afstooting is dus evenredig aan de dikte der laag-
Bij de ellipsoide was q echter evenredig aan den voei\'
straal, zoodat de afstootende kracht hier evenredig aaU
den voerstraal blijft.

Daar wij eindelijk ligchamen beschouwen weinig
eenen bol verschillende, zal de normaal aan eenig
met den voerstraal eenen hoek van de orde a makei^\'
Zoodat daar in het algemeen,

cos rp = 1

is, de werking volgens de normaal eene grootheid ^\'aP
de tweede orde ten opzigte van a van die langs c
voerstraal verschilt; beide werkingen zijn dus als ge yquot;
te beschouwen, zoodat de vergelijking {j\') de electrisc^^e
afstooting volgens de normaal voorstelt; zij stemt
ook geheel overeen met de algemeene waarde langs g®
heel anderen weg op bladz. 24 gevonden.

Wij gelooven thans de methode waarop poisson de
Verdeeling der electriciteit theoretisch behandelde uit-
Voerig genoeg te hebben medegedeeld. Hij beschouwde
Verder de verdeeling bij twee bolvormige geleiders van
ongelijke grootte voor de gevallen dat zij van elkander
Verwijderd en in aanraking zijn. Eindelijk gaf hij alge-
meene ontwikkelingen voor de digtheid g in reeksen en
bepaalde integralen. Wij stippen dit slechts aan zonder
^em in zijne analyse verder te volgen.

Wij willen thans de vernuftige wijze mede deelen
■^vaarop clausius in lateren tijd de verdeeling der elec-
•^riciteit over eene vlakke plaat van elliptischen vorm en
over een cirkelvlak bepaalde, clausius gaat van de door
i^aplace bewezene en hier reeds meermalen gebruikte
stelling uit, dat de aantrekking eener met homogene
®tof van gelijke digtheid gevulde laag, begrensd door
twee gelijkvormige concentrische ellipsoiden op ieder
P^mt binnen die laag noodzakelijk nul is.

Daar deze stelling doorgaat wat ook de verhouding
^er assen der ellipsoide is, kan men ook aannemen dat
eene der assen voortdurend vermindert en eindelijk ver-

Fiff. 3.

dwijnt; de ellipsoidisclie laag gaat dan in eene ellipsoidi-

sclie schijf over.nbsp;^

Zij dan in nevensgaande figuur de ellips ABA\'B ®
doorsnede der binnenste ellipsoïde met een door de aS
BB\' gebragt plat vlak. De vergelijking der ellipsoi^^®
voor regthoekige coördinaten wordt gegeven door

zoodat a, è, c de halve assen zijn. Zij dan OB de aS
der dus OA de doorsnede met het vlak der xy. ^^
Nemen wij nu op de oppervlakte een willekeurig p^^^^^^
P, waarvan de coördinaten a-, y, z, trekken den voewtraa^
OP=r en de normaal iVP aan de oppervlakte, die na^
tuurlijk in het algemeen niet in het vlak der figquot;^^^
ligt. Denken wij nu eene tweede uitwendige concei^\'
trische ellipsoide zoo, dat de verhouding der assen c®^
inwendige tot deze is als 1 : 1 5, dan volgt uit
polaire vergelijking der ellipsoide terstond dat de voei^
straal OP tot aan dit tweede oppervlak verlengd de leng ^
r(l-h8) hebben moet. Is nu het xiitwendig opper^-^

1 1 1 *c 7OO

dat eener geleider waarover electriciteit verdeeld ^^^
zal het binnenste waarvan hiernevens de doorsnede, ^^
der inwendige electrische laag van gelijke digtheid
nen voorstellen. De hoeveelheid electriciteit in het
corresponderende met het punt P zal dan gevon ^^^
worden door het gedeelte van den voerstraal OP, hegT^^V^^
tusschen beide oppervlakken en hetwelk derhalve
f d is, te vermenigvuldigen met de cosinus van den
OPW die de normaal in het punt F met den
maakt. Noemen wij die hoek « zoo wordt de hoevee \'

electi ïciteit in P en derhalve hare digtheid in dit punt
Voorgesteld door

T COS a.

De gansche hoeveelheid B der electriciteit over het
oppervlak verspreid, zal gelijk zijn aan den inhond onzer
concentrische elliptische laag, Wij hebben derhalve de
vergelijking

ilcn ! (1 5)3

of na verwaarloozing der tweede en hoogere magten van
die zooals wij w^eten een zeer kleine grootheid voorstelt,

iü quot; 4 aiccln.

2ij nu de digtheid der electriciteit in Pp gelijk lt;S zoodat
ingevolge het voorgaande S=.r 8 cos a, en projecteren wij
de hoeveelheid in Pp op het vlak der xy, zoo vinden
voor de digtheid s in Qq daar de inhoud van het
element Pp tot Qq staat als 1 : cos NPQ = 1 ; c^s ^,
■^quot;^anneer wij hoek NPQ kortheidshalve [3 noemen en
dezelfde hoeveelheid electriciteit over beide elementen
Verdeeld is

S
cos (3

^ok de electriciteit in het symetrisch gelegen element

Pp

in Qq projeterende vinden wij aldaar voor de electri-
eiteit eene dubbele digtheid

25
cos p

na invoering der waarde van S en daarna van

r cos «

2abcn cos (5.

Het komt er nu op aan de grootheid ——^ in functie

der coördinaten x, y, z van het punt Puit te drukken-
Wij hebben dan, daar « de hoek is, die de normaal met
den voerstraal en (5 die, welke de normaal met de as der
z maakt, zoo wij kortheidshalve

. . ij\'f

i

\\dz

stellen, voor de cosinus der hoeken die de normaal m^t
de assen der x, y, z maakt,

df 1 df 1

dx\' L dy^ L

welke ingevolge de vergelijking der ellipsoide overgaan m

1 2y \\ 2z
L \' 1 T

dz\'

zoodat cos §

De cosinussen der hoeken die de voerstraal OP met de
assen der x,y en s maakt, respectievelijk

y

zijnde, vinden wij voor den hoek tusschen voerstraal
en normaal

derlial

2 _ 1

ij \'t c®

COS (3 l lnbsp;z

Waardoor wij voor de digtlieid in Qq vinden

Ra

s —-

quot;■labiiz

Daar eindelijk ingevolge de vergelijking der ellipsoïde

1 --

c

liebben wij ten laatste
R

2 ah

In deze uitdrukking komt onze derde as OJB of c
niet meer voor; zij zal dus doorgaan wat ook c zij en
dus ook wanneer c verdwijnt, wanneer met andere
Woorden de ellipsoidiscbe laag in eene elliptische schijf
overgaat.

Nemen wij a~b, zoo gaat de ellips in eenen cirkel
over; noemen wij de afstand van Q tot het middelpunt
t, zoo vinden wij

Rnbsp;a

i/ (a^ — l^)

CLausius toont verder aan dat hoewel uit deze formule
blijkt dat de electriciteit naar den omtrek in digtheid toe-
neemt en zij aan den omtrek van het cirkelvlak zelfs
oneindig is, de electriciteit daar evenwel niet in die

mate opgehoopt is, dat de hoeveelheid der over het mid-
den der plaat verspreide electriciteit ten opzigte van den
omtrek te verwaarloozen is. Hij doet dit eenvoudig
door integrerende, de hoeveelheid der electriciteit op
den cirkel te bepalen , waarvan de straal a\' en op
dezelfde wijze de hoeveelheid op den overblijven den ring
te vinden waarvan a en a\' de stralen der grenzen zijn-
Hij vindt aldus, genoemde hoeveelheid op het cirkel-
vlak M op den ring N noemende, wanneer Aveder
dezelfde beteekenis als boven heeft,

B

alnbsp;\'nbsp;a

zoodat bijv. voor

enz.

Verder toont hij onafhankelijk der ellipsoide aan dat
de voor de digtheid gevondene uitdrukking de juiste isgt;
daar door deze digtheid s aan te nemen, de potentiaal-
functie over het vlak constant is. — Eindelijk merkt
hij op, dat even als wij de digtheid op de elliptische
plaat vonden door eene as der ellipsoide voortdurend
te doen afnemen, men door eene as te doen verdwdjnen
de elliptische laag in eene wiskundige lijn doet over-

gaan, rondom welke electriciteit verbreid is, wier digt-
heid men dus bepalen kan. Hij komt dan, tegen de
verwacliting aan, tot het besluit, dat de electriciteit zich
angs die lijn gelijkmatig verbreidt. Men houde echter
in het oog, dat omtrent het meer of min juiste van dit
resultaat niets te zeggen valt, daar men de verdeeling
der electriciteit langs eene mathematische lijn, iets in de
natuur werkelijk onbestaanbaars gezocht heeft.

Wij zidlen ons hier met de beschouwingen van CLAU-
Sius niet verder bezig houden en gaan tlians de door
ons reeds met een woord aangevoerde methode van
Green mededeelen, betrekking hebbende op de verdee-
bng der electriciteit over eenen geleider.

10. Uit al het voorgaande blijkt genoegzaam, dat wij
tot nog toe bij eenen geleider van willekeurigen vorm
de verdeeling der electriciteit, d. i. de electrische digt-
heid in elk punt van haar oppervlak niet kunnen be-
palen. Door de eigenschappen der potentiaalfanctie zijn
Vi\'ij echter in staat vormen van geleiders te bepalen,
op Welke men de verdeeling aan kan geven.
green redeneert hierbij op de volgende wijze:
De potentiaalfunctie der over eenen geleider verbreide
electriciteit in een uitwendig punt even als vroeger door
aanduidende, weten wij, dat zij voldoen moet aan
de voorwaarden:

1quot;. dat aan de oppervlakte V\' constant is;
2quot;. dat voor eenig uitwendig punt P, öF\' = 0-,
3quot;. dat F\' verdwijnt, indien P zich op eenen oneindi-
gen afstand van het oppervlak bevindt.

Wii kunnen nu langs twee wegen waarden van F\'
aangeven, die aan die voorwaarden voldoen; men kan

namelijk

1quot;. voor V\' functiën van , en 2 nemen, waarvan
wij weten, dat zij aan de gestelde voorwaarden voldoen;
hiervan geeft ons de ontwikkeling van V\', volgens LA-
PLACE in -functiën U een voorbeeld.

2quot;. kunnen wij voor F\' de functie nemen, die men
als potentiaalfunctie in een uitwendig punt P,
verkrijgt van eene over eene eindige ruimte willekeurig
verbreide hoeveelheid electriciteit, daar deze dan natuur-
lijk altijd aan de drie gegevene voorwaarden voldoen zal-

De in beide gevallen gevondene waarden voor F\' zijn
functiën voor de coördinaten van het punt P; wij zullen
ons voor een oogenblik bij regthoekige coördinaten be-
palen en dus stellen

Zij nu c eene willekeurige constante grootheid, zoo
zal de vergelijking

F = F{x,y, z)--=e,

die eener oppervlakte zijn, voor welks punten F\' con-
stant is, en daar F\' aan de gestelde voorwaarden voor
uitwendige punten voldoet, zal men deze vergelijking
als het oppervlak eens geleiders kunnen beschouwen j
waarop de verdeeling der electriciteit thans bepaald kan
worden.

Het is overigens klaar, dat door e verschillende waar-
den te geven, men een oneindig aantal oppervlakken
verkrijgt, waarvan hetzelfde gezegd kan worden.

Wat de bepaling der digtheid op deze oppervlakken
betreft, wij vonden, dezelfde notatie\'s van vroeger be-
houdende, in een willekeurig punt (bldz. 24)

L

^nbsp;Att\' dn\'

Daar echter in onze quot;vvaarde van V\' niets aangaande
de over het oppervlak verbreide hoeveelheid electriciteit
voorkomt, kunnen wij daar toch de digtheid q hiervan
afhankelyk is, de potentiaalfunctie door hV\' voorstellen,
waarin h eene van de gansche hoeveelheid electriciteit
Q afhankelijke constante voorstelt, die later moet be-
paald worden. Dat dit geoorloofd is, volgt uit de be-
teekenis der potentiaalfunctie zelve.

Wij hebben dientengevolge voor de digtheid q in een
willekeurig punt, onze vroegere notatie behoudende,

h d V\'

4:7t \' dn\'

In verband met de latere bepaling van h kunnen wij
voorloopig opmerken, dat wanneer het punt P zich op
eenen zeer grooten afstand van het oppervlak bevindt,
ten opzigte van de afmetingen van het oppervlak zelve,
men die afmetingen mag verwaarloozen. Q, weder de
electrische massa zijnde en door Pv den afstand voorstel-
lende van P tot een punt binnen den geleider, zal men
indien Ti zeer groot is, mogen stellen

of met andere woorden, de potentiaalfunctie der massa
zal dezelfde zijn, alsof de geheele massa in eenig punt
binnen de oppervlakte vereenigd ware. Indien de af-
stand R oneindig groot is, zal de uitdrukking volkomen
juist zijn.

Uit deze vergelijking volgt, dat voor R oneindig groot

welke uitdrukking ons eene tot nog toe niet voorgeko-
niene eigenschap der potentiaalfunctie li V\' van de over
eene geslotene oppervlakte verdeelde electrische massa
leert kennen. Daar toch bij geslotene oppervlakken ö
eindig moet zijn, zien wij dat de limiet voor het product
IV\'R, d. i. van de potentiaalfunctie liV\' in een punt
P en van den afstand R van dit punt tot een zeker
punt binnen den geleider bij het oneindig tffenemen van
R eindig moet zijn.

Graan wij thans tot de eerste methode voor het kiezen
van eene waarde van V\' over.

Noemen wij den afstand van p tot den oorsprong van
coördinaten r en nemen wij de bekende ontwikkeling
van LAPLACE,

enz.

waar in het algemeen de door ons zoo dikwerf be-
handelde functie voorstelt.

Deze uitdrukking doorgaande wat ook zij, zoo zal
V\' de potentiaalfunctie blijven voorstellen, indien enkele

functien ü^ verdwijnen. Stellen wij dat Ü^^ U^----

enz. allen verdwijnen en nemen wäj dus voor F\' de
uitdrukking

V\'

r r^

AVij willen als vroeger de polaire coördinaten van Pi
aanduiden door r,amp; en w, die van een element op

het oppervlak door f, en co\' en voor den afstand
van ds tot F, u sclirljvende, hebben wij, ^ de digtheid
in ds zijnde

.....(1)

(l/ u

Waarin u bepaald is door de vergelijking :

— 2\'/t\'(cos amp; cos ö^\' sin £)■ sin tO-\'cos (co^—co)) /\'\'-

dus

2rr\'nbsp;» \\ ^

1—----(cos ö-cos ^\' sin ö\'sin i)-\'cos (co/ —co)) H-—

rnbsp;r^ j

De termen die r^, r\'^ enz. in den noemer hebben
verwaarloozende, hebben wij

1 1 / y\'nbsp;\\

•—=: —: IH--(cos {)• cos 0-\' sin amp; sin cos (co^—co))

u t[ r ^nbsp;I

1 r\' (cos amp; cos sin amp; sin cos (co\' — co) )
==------^--V-.

rnbsp;r^

Stelt men dit in (1) na ontwikkeling van cos (co\' — co)
en merkt men op dat f, fl-, co bij de integratie constant
Zyn, zoo wordt

Sds-\\-~\\cos9- ^aöscosö-v\' sinö-coscoJ^3 as f\'sin O-\'cos co\'
H- sin amp; sin co^q as. r\' sin siii co\'j......(2).

De eerste integTaal ^q as is = Q, de geheele boe-
quot;V\'eellieid electriciteit op de oppervlakte. Duiden wij de

drie volgende integralen door m., n en p aan, zoo wordt

Q, eos ^^ sin igt; cos O)sin O-sin ca ,on
yi^JL^---------------^--... (o).

ISTn zijn cos amp;, sin amp; cos ca, sin -Ö- sin ca de cosinussen der
hoeken, die de voerstraal AP, uit den oorsprong A naar
P getrokken, met de drie assen der coördinaten maakt.
Trekken wij dus door A eene vierde as, die met de drie
eersten hoeken maakt, wier cosinussen tot elkander staan
als m: n: p en (p de hoek die AP met deze vierde as
maakt, zoo heeft men

cosö- «sin0\'COSft)H-i3sin9\'sinca=:l/ co^ -i-n^ -{-p^ cosip

en derhalve

■nbsp;, COSt/^

Men ziet ligt dat deze vierde as de lijn is, die door A en
door het zwaartepunt der op de oppervlakte verbreide
electrische massa gaat, want daar r\' cos amp;\', r\' sinamp;\' cos co^,
r\'sin Oquot;\' sin co\' de coördinaten x, y, z van ds zijn, zijn
de integralen m, n, p \\n (2) de producten van de

electrische massa^ qds of Q met de coördinaten .r, j/,

van het zwaartepunt dier massa, zoodat men de verge-
lijking (o) ook dus schrijven kan

y. sin amp; cos co
/1.2

Veronderstelt men dus dat de as der x door het z\'A aarte-
punt gaat zoo is y. = O, O en men heeft

(4),

zoodat de ontwikkeling der twee eerste termen van V\'
zicli altijd tot dezen vorm laat terug brengen, waarvoor
wij met GBEEN schrijven

y, __,nbsp;cos d

« en h positieve, constante grootheden voorstellende.
Deze vergelijking is dan wanneer men daarin F\' =
stelt, het oppervlak eens geleiders voor de electriciteit.
Beschouwen wij haar echter als de vergelijking der be-
schrijvende kromme dier oppervlakte. Zij neemt verder
den vorm aan

2a cos amp;
quot; = ..........

dus

a ±nbsp; ck^ cos amp;

c

Voor elke waarde van amp; zijn er dus twee waarden van
De bovenste is altijd positief de onderste is negatief

Van ^ = — — TT tot xt = -- TT, positief van amp;nbsp;tt tot

green bepaalt zich tot den bovensten wortel

a -h]/a^ c/c^ cos amp;

---:..........(6).

en strekt amp; sleclits van ^ == O tot jt uit. Hierdoor
verkrijgt hij eenen tak die in het algemeen aan beide zij-
den aan de as der eindigt en welks omwenteling om
die as hem het oppervlak geeft. Wij zullen hem hierin
volgen hoewel het, om de vormveranderingen der kromme
nategaan indien e verandert, noodzakelijk zou zijn, ook
den ondersten wortel te beschouwen.

Is O zeer klein, zoo zal de vergelijking (6) weinig van

2a

eenen bol van den straal--verschillen, neemt c toe, zoo

c

zal dit verschil grooter wwden tot c = —; wordt

zoo wordt het verschil van den bolvorm grooter dan de
volgens LAPLAOE aangenomene waarde van F\' toelaat en
wordt de vergelijking dus voor ons doel onbruikbaar.

Zij dan 0 = —, zoo dat dus

2anbsp;cos amp;

hieruit volgt, wanneer wij alleen den wortel met het
positieve teeken nemen

,nbsp; l/r-F^) = -- (1 v-/ 2. cos i

a ^ ^nbsp;a

Wii moeten thans — ^ bepalen. Zij cf de hoek tus-
\'\'nbsp;m

schen de normaal en den voerstraal in een punt van het
oppervlak, zoo zal blijkbaar

dF\'

quot;JT

Ku i

d\'V _ 2a 2Ic^cosamp;

dus,

dr cos (f! dr cos 9 1 r»

daar

cos^ —2 cos2 —- 1=:(I./2.COS^^-{-1)(V^2.COS|5-quot;-1)
en

/c^ ,

r = — (1 2. cos 1 amp;),
£l

zal

cos ^ a , ^

quot;^Vij vinden dus

2„ , 2/«« cos amp;

------ 1/2. cosi^—2«™2«i/2.cos^^;

r

•3e vergelijking (7) gaat dus over in

_

rquot;^ cos q)

derhalve

— f __ ï
^^nbsp;47t quot; d9i^ ènr^ cos 9

In de vroeger genoemde vergelijking

— TiV\'

die voor R oneindig alleen doorgaat, mogen wij P door

r vervangen , daar r van P tot een punt binnen bet op-
pervlak gemeten wordt; wij hebben alzoo

/ 2anbsp;cos #

I ~nbsp;A

\\ f

daar r oneindig groot is.
Wij vinden alzoo

Q

2a

Wij hebben dus voor de digtheid in elk punt van
het oppervlak waarvan de vergelijking der beschrij-
vende kromme

(1 2. cos amp;),

Qa. \\/ 2. cos I

^ Ank^ (1 ^/2. cos 1 amp;Y cos (f).

terwijl de potentiaal-functie in een uitwendig punt P, dat
r, •O\' en co tot coördinaten heeft, voorgesteld wordt door

Ö / 2a cos amp;
AF\' = --1-----,--

2a

GREEN neemt in de tweede plaats voor F\' de poten-
tiaal-functie eener regte lijn die gelijkvormig met elec-
triciteit bedekt is. Zij 2a hare lengte, y de afstand van
een punt tot die lijn, x de afstand van den voet dezei

loodlijn tot het midden onzer lijn, terwijl x\' die van het
element dx\' der lijn tot dat midden is. Neemt men nu
dit element dx\' der lijn als maat voor de over haar ver-
breide electriciteit aan, zoo vinden wij na ligte herleiding

dx\'

__ ta — x -h-y {y\'- (a—xY)

^ gelijk de constante grootheid log C stellende verkrijgen
^^\'ij voor de vergelijking onzer beschrijvende kromme van
het oppervlak van den geleider,

a — X %/ {y^ -h (ffi — xY)

— a~x \\/{y^ {a-\\-xY) .....

is na ontwikkeling,
y\'- (1 c-\'Ynbsp;4c (1 cY... . (9).

derhalve de middelpunts-vergelijking eener ellips waarvan
\'Ie halve assen

1 c

ÏNu geeft de vergelijking (8) door differentiatie na
lerm vooraf voor y hare waarde uit (9) gesubstitueerd
te hebben,

■ 2a?.

1-he

,\' 1 -h C\'

c/

^e boek q, tusschen de as der x en de normaal wordt
^ooals bekend is gegeven door de vergelijking

äxnbsp;1nbsp;^y

tang ,, =nbsp;dus cos ^ = -nbsp;= ^^

cos 9 ßj/ ^^y

Wij hebben derhalve daar

dT 1 dF\'

2aa\'

cos 9 dx h\'y {a\'^—se\'^)
I dr __nbsp;ahh\'_

a — Xy {yquot;quot; {a — x)

Voor X en y beide oneindig zal daar wij dan de gansche
massa der electriciteit 2a in het midden der lijn gecon-
centreerd mogen denken

2a

yt —nbsp;__

In de vergelijking-^ = zal dus R thans gelijk

Y so^ voor X Qn y oneindig groot zijn.
Wij hebben dus

Onbsp;2ah

z=:hr,

of

2 ff

Waardoor derhalve voor de digtheid in een punt van
het oppervlak vFaarvan (9) de beschrijvende kromme

Qa\'

terwijl wij voor de potentiaal-functie van een uitwendig
punt waarvan de coördinaten en ^ zijn, vinden

a — Xy/ {yquot;^ (a ~ a;)^)

Waardoor wij dus de op dit punt werkende kracht kun-
nen bepalen.

THESES.

L

Dans le choix d\'un système, on ne doit avoir égard
qu\'à la simplicité des hypothèses ; celle des calculs n®
peut être d\'aucun poids dans la balance des probabili-
tés. La nature ne s\'est pas embarrassée des difficultés
d\'analyse ; elle n\'a évité que la complication des moyens-

FRESNEL.

IL

Zeer teregt zegt poinsoï : »Ce n\'est point dans
calcul que réside cet art qui nous fait découvrir.
vraie méthode n\'est que cet heureux mélange de l\'ana-
lyse et de la synthèse, oii le calcul n\'est employé qne
comme un instrument.quot;

IIL

Het opsporen van een onderling verband tusschen de
zoogenaamde transcendenten der hoogere wiskunde is
van het meeste belang voor de verdere ontwikkeling
der analyse.

IV.

De getallen-leer (theorie des nombres) heeft meer nut
an men algemeen gelooft; het zoude zoowel voor de
Züivere als toegepaste wiskunde wenschelijk zijn, dat
^y meer algemeen beoefend werd.

V.

^ Juist is het gevoelen van plana : Het is niet genoeg
^quot;■e de l\'analyse pour faire l\'analyse.

VI.

T^\'étude approfondie de la nature est la source la plus
®conde des découvertes mathématiques. Fourier.

VII.

Het voordeel onzer lengte-eenheid (de meter) van uit de
natuur gekozen te zijn, is meer denkbeeldig dan wezenlijk.

VIII.

^ y de beoefening der natuurkundige wetenschappen
® oort die harer geschiedenis gepaard te gaan ; bij de
^^iskundige wetenschappen is dit een minder vereischte.

IX.

Sedert de uitvinding van den psychrometer van AUGUST
t de hygrometer van daniell zijne waarde verloren.

X.

Eene electrisclie stroom kan door geenen electrolyt
yaan zonder dezen te ontleden.

XI.

Het kunstmatige plantenstelsel van linnaeus is het
beste voor het onderscheiden, een natuurlijk stelsel beter
voor het leeren kennen der planten.

XII.

Het sextant heeft als astronomisch instrument alle
waarde verloren.

XIII.

Eene juistere bepaling van den omwentelingstijd der
zon, is eerder langs meteorologischen dan langs astro-
nomischen weg te wachten.

XIV.

Teregt zegt bessel: »In die Astronomie is die Praxis
eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeits-Eechnung, ^^^
Theorie eine Aufgabe der höheren Mechanik.quot;