«Iii

EEiNIGE RANDPROBLEMEN
DER CONFORME AFBEELDING

■ »V: -V

é

. -, ... lt; V

P-.

Eenige Randproblemen
der Conforme Afbeelding

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN
GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUUR-
KUNDE AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE
UTRECHT OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNI-
FICUS Jhr. Dr. B. C. DE SAVORNIN LOHMAN
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER RECHTS-
GELEERDHEID VOLGENS BESLUIT VAN DEN
SENAAT DER UNIVERSITEIT TE VERDEDIGEN
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT
DER WIS- EN NATUURKUNDE OP MAANDAG
20 APRIL 1931, DES NAMIDDAGS TE li UUR

DOOR

JOHAN HENDRIK WANSINK

geboren te aalten

BiELIOTi :lZK DER
RIJKSUNIVERSITEIT
UTRECHT.

H. J. PARIS
AMSTERDAM MCMXXXI

t-^ifr\'

AAN MIJN OUDERS EN MIJN VROUW

m

. De voltooiing van dit proefschrift schenkt mij een welkome
gelegenheid, U, Hoogleeraren in de Faculteit der Wis- en Natuur-
kunde, dank te zeggen voor Uw aandeel in mijn wetenschappelijke
vorming.

Deze dank geldt in de eerste plaats U, Hooggeleerde Wolff,
Hooggewaardeerde Promotor. Ik beschouw het als een groot voor-
recht in de gelegenheid geweest te zijn Uw colleges te volgen. Van Uw
heldere voordracht, van Uw bezielend onderwijs is voor mij steeds
een groote bekoring uitgegaan. In het bijzonder ben ik U dank-
baar voor de steun en leiding, die ik van U bij de bewerking van
dit proefschrift heb ontvangen.

Hooggeleerde Nijland, Kramers, Ornstein, Moll, voor het
onderwijs, dat U me hebt gegeven, ben ik U zeer erkentelijk, ter-
wijl ik aan de uren, die ik voor practisch werk op het Physisch
Laboratorium doorbracht, steeds met groot genoegen zal terug-
denken.

Gaarne wil ik ook U, Hooggeleerde Emeritus de Vries, dank
zeggen voor de buitengewone welwillendheid, waarmee U me de
gelegenheid schonk, me volledig van de inhoud Uwer colleges
op de hoogte te stellen, toen ik deze niet kon bijwonen. De steun
en voorlichting, die ik van U, alsmede van U, Hooggeleerde Orn-
stein heb ontvangen, toen ik na beëindiging der studie voor lO\'^
tot universitaire studie.besloot, zal ik steeds dankbaar gedenken.

INHOUD

Blz.

Inleiding..............................................1

Hoofdstuk I — Randcorrespondentie, bij afbeelding
VAN een JoRDAN-GEBIED; STELLING VAN OsGOOD. ...nbsp;6
§ 1 Definitie van eenvoudige Jordan-kromme; voorbeel-
den \'............................................6

§ 2 Eigenschappen van Jordan-krommen..............8

§ 3 Algemeene Jordan-krommen; voorbeelden..........9

§ 4 Bewijs van Wolff van de Stelling van Osgood. . .nbsp;13

§ 5 Continuïteit der randcorrespondentie.......19

§ 6 De correspondentie tusschen de rand en de rand

ingeval een algemeene Jordan-kromme is ... .nbsp;20

§ 7 Veelvuldigheid van een randpunt.........21

Hoofdstuk II — Contractietiieorema van Schwarz . .nbsp;25

§ 8 Dekpunt der transformatie in de oorsprong. ...nbsp;25

§ 9 Dekpunt der transformatie niet in de oorsprong. .nbsp;28
§ 10 Algemeene formuleering van het theorema van

n

Schwarz; monotonie van -...........30

a;

§ 11 Niet-euclidische beschouwingen..........36

§ 12 Het theorema van Schwarz in niet-euclidische for-
muleering ...................41

Hoofdstuk III — Uitbreidingen van het theorema van

Schwarz.......................43

§ 13 fl) Hulpstelling over de vergelijking f {z) — z ...nbsp;43

h) Stelling van Wolff.............44

c)nbsp;Het lineaire geval..............46

d)nbsp;Omkeering van de Stelling van Wolff.....47

§ 14 Contractietheorema van Julia..........48

a) Het contractietheorema in het rechterhalfvlak. .nbsp;48

Blz.

b)nbsp;Transformatie van het rechterhalfvlak op de een-
heidscirkel . . . ................49

c)nbsp;Verband tusschen de correspondeerende stralen der
raakbundels.................51

d)nbsp;Tweede bewijs voor de Stelling van Julia ... 53

e)nbsp;Verband tusschen de contractieconstante van
Julia h en de halfvlakconstante ......55

/) Invariantie van de n. e. afstand van de corres-
pondeerende bundelexemplaren.............56

g)nbsp;Vorm van de lineaire functie.........57

h)nbsp;Over verschillende waarden van de contractiecon-
stante ß...................57

§ 15 De Stelling van Wolff als gevolg van die van Julia. 58
§ 16 Caratheodory\'s omkeering van de Stelling van

Julia.....................\'58

§ 17 Uitbreiding van de Stelling van Julia; hoekafgeleiden

a)nbsp;Hoekbuurt (angulaire buurt) van een randpunt. 59

b)nbsp;Uitbreiding van de Stelling van Julia.....60

c)nbsp;Hoekafgeleide van w = f {z), holomorf voor xgt; O,
met u gt; O, in z = O.............62

d)nbsp;Hoekafgeleide van w = f{z), holomorf voor | 2 | lt; 1,
met \\ w\\ lt;\\ ,\'m.z=-\\-\\..........63

e)nbsp;Hoekafgeleide in het overdrachtelijk dekpunt der
functie / (2) van § 13amp;............64

/) Opmerking over de bewijzen van Wolff, en Lan-
dau—Valiron van de besproken uitbreiding van
het theorema van Julia...........64

Hoofdstuk IV — Conformiteit der afbeelding in een

randpunt......................65

§ 18 Definities van hoektrouw en conformiteit der af-
beelding in een randpunt............65

§ 19 Analytische randkrommen............65

§ 20 Hoekafgeleide en angulaire conformiteit......67

§ 21 Criterium van Caratheodory—Valiron.....68

§ 22 Criterium van Wolff..............73

§ 23 Tweede criterium van Caratheodory......79

§ 24 Criterium van Ahlfors.............80

XI
Blz.

Hoofdstuk V — Toepassingen............84

§ 25 Deugdelijke en ondeugdelijke gebieden.......84

§ 26 Voorschrift voor het construeeren van deugdelijke

gebieden....................84

§ 27 Voorbeelden van deugdelijke gebieden in het R. H. V. 85
§ 28 Voorbeelden van ondeugdelijke gebieden in het

R. H.V.....................89

■ - .. ■ , . .
• Iquot;gt;.-. t ■ .

-I. .•■•lt;■

. .-r \' ■ f t

INLEIDING

Indien in het z-vlak een puntverzameling (2) gegeven is, en we
voegen door middel van de functie w = f {z) aan elk punt 2 een
punt w van het w-vlak toe, dan ontstaat er een puntverzameling
(tc;), die zichzelf kan overdekken en die we het beeld van de punt-
verzameling (z) noemen. We zeggen, dat de functie w = f {z) de
afbeelding van {z) op (zi\') tot stand brengt.

Is de puntverzameling (2) een gebied Gf, en de functie w =f {z)
een niet-constante, holomorfe functie ih Gz, dan heeft de afbeelding
een aantal belangrijke eigenschappen, waarvan we de volgende
noemen:

a)nbsp;de puntverzameling Gw is weer een gebied [stelling van de
gebiedsoverdracht),

b)nbsp;als twee krommen elkaar in een punt Pz van Gz onder een
hoek Ö snijden, snijden de beeldkrommen van die beide krommen
elkaar in het beeldpunt Pw van Pz onder diezelfde hoek 0,
mits /\' (z) in Pz niet nul is {stelling van de hoektrouw),

c)nbsp;de plaatselijke vergrooting Nz in een punt Pz van Gz is een
functie van 2, die niet afhankelijk is van de kromme door Pz,
met behulp waarvan men de plaatselijke vergrooting definieert,

d)nbsp;ieder enkelgelaagd {„schlichtquot;), enkelvoudig samenhangend ge-
bied Gz in het 2-vlak met minstens twee grenspunten kan door een
in Gz holomorfe functie w = j (z) één aan één en conform op een
cirkelschijf Gw worden afgebeeld {fiindamenteele stelling van Rik-
mann)

Men zegt, dat de functie =f (z) G« op Gw glad {„schlichtquot;)
afbeeldt (in welk geval men de afbeeldingsfunctie ook wel „uni-
valentquot; noemt), als de correspondentie tusschen Gz en Gw één
aan één is. Noodige voorwaarde hiervoor is, dat /\' (z) nergens in G
nul is.

Door de conforme afbeelding van een gebied Gz op de eenheids-
cirkelschijf Gw wordt, zonder dat aan de afbeeldingsfunctie eenige

L. Biebekbach, Lehrbuch der Funktionentheorie II, 1927, blz. 5—8.

voorwaarde wordt opgelegd t.o.v. de grenspunten van Gz, auto-
matisch een correspondentie tot stand gebracht tusschen de randen
Fz van Gz en Fw van G». Reeds door Schwarz^) is gevonden
(1870), dat de betrekking tusschen de punten der randen Fz en Fa-
één aan één en continu is, mits de rand Fz uit een eindig aantal
analytische hogen bestaat.

De boog, gedefinieerd door a; = x [t), y = y {t), voor t-^^ ^ t ^ t^,
heet dan en dan alleen analytisch, als het segment t-^^-^t t.y
in een gebied G ligt, waar {t) iy (t) een holomorfe functie
van t is; m.a.w. als ieder punt to van dat segment middelpunt is
van een cirkel, waarin iy (lt;) kan ontwikkeld worden naar
machten van t — to.

Door Osgood is in 1901 het vermoeden uitgesproken^), dat de
correspondentie tusschen de*randen Fz en Fiü) eveneens een aan een
en continu is voor het geval Fz een eenvoiidige Jordan-kromme
is. Van déze stelling van Osgood zijn sinds 1912 vele bewijzen
gegeven We geven in hoofdstuk I het bewijs van Wolff (1930)
terwijl we dit bewijs zullen vergelijken met die bewijzen van
andere onderzoekers, welke er het nauwst aan verwant zijn.

Voor het geval Fz een algemeene Jordan-kromme is, wordt,
na invoering van het begrip randelement (Caratheodory, die een
analyse van de randen geeft, los van het probleem van de conforme
afbeelding der binnengebieden, spreekt van „primendenquot; quot;)) de
stelling van Osgood aldus gewijzigd, dat er nu een correspondentie
één aan één bestaat tusschen de punten van Fw en de randelementen
van Fz. Aan de veelvuldigheid van een randpunt van Fz zien we
een grens gesteld in Wolff\'s stelling over de nulmaat van de
verzameling der punten op Fw, die met één grenspunt van G:
correspondeeren, met welke stelling we hoofdstuk I besluiten.

Uit de analytische voortzetbaarheid van de functie xv — f {z),
die Gz één aan één en conform op | | lt; I afbeeldt, over alle

2)nbsp;H. A. Schwarz, Gesammelte Abhandlungen II, 1890, blz. 140—löl.

3)nbsp;W. F. Osgood, Enc. der Math. Wissenschaften IIu.l, 19, 1901.

E. Study, Konforme Abbildung einfach-zusammenhängender Be-
reiche, 1912; blz. 55 e.v.; zie verder noot

J. Wolff, Verslagen Kon. Akad. van Wetensch., 25 Jan. 1930; blz.
90—97.

«) C. Caratheodory, Math. Annalen 73; 1913; blz. 323, e.v.

inwendige punten van analytische begrenzingsbogen, volgt, dat
de afbeelding ook in deze punten nog conform is.

Om vervolgens het gedrag van de afbeeldingsfunctie w ^ f [z)
in de omgeving van een randpunt van Fz te kunnen onderzoeken,
voor het geval dit punt géén inwendig punt van een analytische
deelboog is, worden eerst in de hoofdstukken II en III eenige
stellingen afgeleid, die alle steunen op het lemma van Schwarz
(1870)\'). Dit lemma doet uitspraak over het gedrag van een
functie, holomorf in een cirkel, waarvan de functiewaarden in een
cirkel liggen. Voor deze cirkels kiezen we óf eenheidscirkels, óf
halfvlakken. Achtereenvolgens wordt het theorema van Schwarz
besproken voor de gevallen, dat de transformatie w ^ f {z) een
dekpunt heeft in het middelpunt van de eenheidscirkel, in een
willekeurig punt binnen de eenheidscirkel, en voor het geval, dat
er omtrent een dekpunt der transformatie niets voorondersteld
wordt. Met behulp van de uitdrukkingswijze der niet-euclidische
meetkunde wordt aan het theorema van Schwarz tenslotte een
zeer eenvoudige formuleering gegeven: de transformatie xv = f {z)
blijkt de niet-euclidische afstand van twee punten binnen de eenheids-
cirkel niet te kunnen vergrooten

Het kan zijn, dat de transformatie w = f {z) slechts punten
op de omtrek van | 2 | = I invariant laat. In dit geval stellen de
uitbreidingen door Wolff en Jull\\ 1®) aan het lemma van Schwarz
gegeven (hoofdstuk III) olis toch in staat, conclusies te trekken
over de aard vfj.n de transformatie van het binnengebied ] | lt; 1.
In plaats van een cirkelbundel, die bij het lemma van Schwarz
optreedt, waarbij één der nulcirkels van de bundel een binnen-
punt van de eenheidscirkel is, vinden we nu een bundel van cirkels,
die de eenheidscirkel en elkaar in een punt van die eenheidscirkel
raken.

Kiezen we voor de cirkelschijven, genoemd in het theorema
van Schwarz, rechterhalfvlakken, dan blijkt, dat voor het theo-

\') H. A. Schwarz, Gesammelte Abhandlungen 11, 18lt;)0, blz. 108; e.v.
en C. CARATunoDOKV, Math. Annalen, 72; 1912; blz, 107 e.v.

quot;) C. Cakatheoddrv, Sitzungsberichte Preuss. Ak. der Wissensch., 1929;
IV, blz. 43 en M. A. Bloch, Mémorial des Sciences Mathém. XX, blz. 8.
J. Wolff, Comptes rendus, 7 April 1920.

G. Julia, Journal de Mathématiques 83; 1918; blz. 72, e.v.; Acta
Math., vol 42, 1918; blz. :J49, e.v.

u

rema van Julia de eigenschap, dat X = Urn - {y constant) onaf-

hankelijk is van de gekozen y, van fundamenteele beteeke-
nis is.

Ook door een limietovergang uit het lemma van Schwarz kan
op eenvoudige wijze de stelling van Julia worden bewezen.

De door Caratheodory ^i) gegeven omkeering van deze stelling
toont, dat de voorwaarden, in de stelling van Julia genoemd,
zoo algemeen mogelijk zijn.

Een uitbreiding van de stelling van Julia i^) wordt gevonden
door aan te toonen, dat, als vannbsp;{z), holomorf in het rech-

terhalfvlak, de functiewaarden in het rechterhalfvlak liggen,

/ {z)

— en f\' een reëele, eindige angulaire limiet hebben voor
z

2-gt;oo; de waarde van deze limiet is gelijk aan de bovengenoemde
1. Voor w=-f{z), holomorf in | 2 | lt; 1 met \\ w \\ lt;1, volgt
hieruit, dat, als 2: = 1 tnw= \\ correspondeerende grenspunten

] _ y^nbsp;dW

zijn, -- en -j- een reëele, angulaire, limiet 0) bezitten voor

1 Znbsp;U/Z

-gt; 1. Deze limiet zal eindig zijn, als er een tot 1 conver-
geerende suite {zn) is, met beeldsuite {Wn), waarop het quotiënt

I j j begrensd blijft. Men zegt dan, dat / (z) een hoekajgeleide

heeft in -f- I.

In hoofdstuk IV worden criteria besproken voor de angtdaire
conformiteit van de afbeelding van een gebied Gz op een cirkelschijf
in een randpunt Zo van de contour Fz van G^. Van belang is de
door Caratheodory en door Valiron bewezen eigenschap
(1929), dat de angulaire conformiteit in Zo verzekerd zal zijn,
indien Ja ligt tusschen twee elkaar in Zo rakende cirkels.
Uit dit hoofdstuk blijkt voorts:

11)nbsp;C. Cakatheodory, zie biz. 45.

12)nbsp;J. Wolff, Comptes rendus, i:5 Sept. 1923, C. Caratheodory, zie«),
biz. 49, en E. Lakuau en G. Valikon, Journal of the London Math.
Society, Vol. IV, 1929, biz. 1()2 en IC.\'i.

quot;) C. Caratheodory, zie biz. 51, e.v.

quot;) G. Valu^on, Bulletin des Sciences Mathem. 1929; biz. 70 e.v.

a) dat voor angulaire conformiteit van de afbeelding in een
grenspunt van Gz het niet noodzakelijk is, dat de rand Fz in het
beschouwde punt een raaklijn heeft, ■— onder toepassing van
een criterium van Ahlfors, (1930)^^), —

h) dat de afbeelding van een gebied op | ïc; | lt; 1 angulair
conform kan zijn in een grenspunt Zo van Gz, terwijl de afbeel-
dingsfunctie z =(p {w) discontinu is in het met Zo correspondeerend
randpunt Wo en in geen enkele omgeving van dit punt begrensd is.

Een tweede criterium van Caratheodory en een criterium
van Wolff (1930)^quot;) stellen voor de angulaire conformiteit niet
slechts eischen aan de contour, maar ook aan de afbeeldingsfunctie.
Het criterium van Caratheodory—Valiron is evenwel als bij-
zonder geval in dat van Wolff opgesloten.

In het laatste hoofdstuk wordt een constructievoorschrift afgeleid,
dat ons in staat stelt begrenzingskrommen van gebieden in het
rechterhalfvlak te vinden, waarvan de afbeelding op de eenheids-
cirkelschijf angulair conform is in het oneindig verre punt dier
begrenzingskromme. Uit de toepassingen blijkt, dat de hier be-
wezen stelling de resultaten van Valiron^*\') omvat.

Laks Ahlfors, Acta Societatis Scientiarum Feniiicae, Nova Series
A, Tome 1, 9, 1930.

\'8) Zie noot blz. 53.

quot;) j. Wolff, Comptes reiidus, 3 Maart 1930.
\'8) Zie noot

HOOFDSTUK I

RANDCORRESPONDENTIE, BIJ AFBEELDING VAN
EEN JORDAN-GEBIED — STELLING VAN OSGOOD

§ 1 — Definitie van eenvoudige Jordan-kromme

Onder een eenvoudige Jordan-boog verstaan we een kromme,
gedefinieerd door de vergelijkingen:

x==x{t) ,y =y{t),nbsp;(1)

als deze functies continu zijn voor t^-^t -^t^ en slechts . dan
gelijktijdig aan x =x{t\'), y {t) =y{t\') kan worden voldaan,
als t

Indien men eischt dat a; {t^ = x {t^ en y {t^) = y [t^ en dat
uit a; {t) = X {t\'), y {t) =y {t\') voor tylt;t^t\' lt; t^ moet volgen:
t —t\', noemt men de kromme door (1) bepaald een eenvoudige
gesloten Jordan-kromme.

Stelt men z ^x iy, dan wordt de vergelijking van de een-
voudige Jordan-kromme: z—z(t), continu voor t-^^^t^t^,
met ^ (^i) = z (^2) en 2 {t) ^z {t\') voor t^lt;tlt;t\'lt; terwijl voor
de eenvoudige Jordan-boog de voorwaarde z {t-j) = z {t^) ver-
valt, en z{t)-=fzz {t\') is voor t^^t lt;t\' ^

De eenvoudige Jordan-krommen (resp. bogen) zijn, zooals
uit de definitie onmiddellijk volgt, vrij van dubbelpunten. De
boog wordt door haar vergelijking 1 aan 1 en continu afgebeeld
op het lijnsegment t^, terwijl de transformatie

\'I = cos —^—r . 271, 7] = sin 7—• 271
h — h

de kromme 1 aan 1 en continu afbeeldt op de eenheidscirkel van

het C-vlak (C = I «/)•

Voorheelden van Jordan-krommen. In de eerste plaats zijn alle
dubbelpuntvrije analytische krommen (zie: inleiding, blz. 2) Jor-
dan-krommen: de voorwaarde der continuïteit wordt vervangen
door de, de continuïteit insluitende, voorwaarde der holomorfie

van 2 {t) (met [ (t) 1:^^:0). Een voorbeeld van een Jordan-kromme,
die geen analytische deelboog heeft, vinden we in de kromme
van Helge von Koch (zie fig. 1).

Beschouw de suite van gesloten polygonen F,,. F^ is een gelijk-
zijdige driehoek, F^ ontstaat uit door van elke zijde het
middelste derde deel weg te nemen en te vervangen door 2 zijden
van een gelijkzijdige driehoek buiten J\\ F„ ontstaat uit 1
door van elk lijnsegment, waaruit /\'„—i bestaat het middelste
derde deel weg te nemen, en te vervangen door 2 zijden van een
gelijkzijdige driehoek, zoodanig, dat de oppervlakte van het
door /\';,—1 omsloten gebied wordt vergroot. De kromme van
Helge vox Koch is n\\i de kromme, bestaande uit de punten,
die op de lijnsegmenten van de suite 1 ]i gespaard blijyen, en de
verdichtingsunten dezer puntverzameling.

Het bewijs van de continuïteit van de kromme van Helge von
Koch vindt men in: Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik
Bnd. 1, 1903, blz. 681 e.v.

Deze kromme heeft in geen enkel punt een raaklijn. Dit volgt
onmiddellijk uit de overweging, dat in elk uiteinde van een lijn-

segment, dat gespaard blijft, een hoek van 30° is te construeeren,
zóó dat op beide beenen van de hoek punten der kromme liggen,
die zich in dat punt verdichten; dit geldt a fortiori voor de ge-
spaarde punten op een lijnsegment, die geen eindpunten zijn, en
eveneens voor quot;de verdichtingspunten dezer punten.

We merken nog op, dat de booglengte van de kromme, alsmede
van elke deelboög der kromme, oneindig groot is.

§ 2 — Eigenschappen van Jordan-krommen

Van de Jordan-krommen noemen we de volgende eigenschappen:

a)nbsp;Iedere gesloten Jordan-kromme verdeelt het platte vlak in
twee gebieden

b)nbsp;Ieder punt van het binnengebied eener gesloten Jordan-
kromme (d. i. het gebied, dat het oneindig verre punt niet bevat,)
is door een continue kromme met elk punt der Jordan-kromme
te verbinden; m.a.w. elk punt eener gesloten Jordan-kromme is
vanu,it het binnengebied dezer kromme bereikbaar ^o).

c)nbsp;Indien Pu {Xny\'n) een -puntensuite is op eeji Jordan-kromme, zóó
dat voor nco Pn nadert tot P„ {xgyl), dan geldt voor de diameter d„
van boog PoPn. Hm dn ==0. (Onder de diameter van boog PoPu

n-gt;oo

verstaan we de bovenste grens van de afstanden van twee wille-
keurige punten van boog PoPn)-

Deze derde eigenschap willen we bewijzen; de afstand

an = V K^« — ^nf -f (yo ~ y,if!

is een continue functie van continue functies van t, dus een con-
tinue functie van t. Geeft men e gt; O, dan is er een öx en een

zóódatnbsp;lx — Xo l lt; voor | i! — to i lt; \'h

V2

ennbsp;\\y — yo\\lt;-^ voor | ^ —to \\ lt; dy,

V2

zoodatnbsp;an lt; e voor \\tn — to\\lt; (5.v en (5y.

Zij nu dn de bovenste grens van de afstanden van 2 willekeurige

quot;) E. Schmidt, Sitzungsberichte Preuss. Akad. der Wiss. 19215,
XXVIll, blz. .318, e.v.

20) c. C.\\rafheodorv, Mathem. Annalen 73 (1913), blz. 305, e.v.

punten P\' en Pquot; van bg PeP„, dan kunnen we aantoonen, dat er
een puntenpaar op de boog is, waarvoor deze bovenste grens
wordt bereikt. Immers, de afstand a {P\'Pquot;) is een continue
functie van de 4 coördinaten y\', xquot; en yquot; van de punten P\'
en Pquot; en een continue functie neemt op elk gesloten interval
haar bovenste grens minstens éénmaal aan.

Voor Pn -y Po zal de parameter U, van P„ tot to naderen. Was
ern.l.eendeelrij {tp) met lim tp =t*^to, dan zou Po een dubbel-

punt van de kromme zijn, in strijd met de definitie van Jordan-
kromme.

Als nu tn -gt; to, naderen ook de parameters van de beide punten
van het puntenpaar, waarvoor de afstand op boog PoPn maxi-
maal is, tot to,\' waaruit in verband met de eerste alinea van
dit bewijs volgt:

lim dn = 0.

gt;t~yco

§ 3 — Algemeene Jordan-krommen

Onder een algemeene Jordan-krornme verstaat men de verzame-
ling van de grenspunten Pz van een enkelvoudig samenhangend,
schlicht gebied G^.

In deze definitie verstaan we onder:

een gebied, een puntverzameling (z) met de eigenschap, dat bij
elk punt van de verzameling een cirkel behoort met dat punt als
middelpunt, waarvan alle binnenpunten tot [z) behooren, terwijl
elk tweetal punten ^^ en uit (z) door een continue kromme (b.v.
een polygoon), waarvan alle punten tot (2) behooren, kunnen
worden verbonden;

een grenspimt van een gebied een punt, dat niet tot het gebied\'
behoort, maar waarbij het gebied doordringt in elke cirkel met
dat punt als middelpunt;

een schlicht gebied een gebied, waarbij elk punt der verzameling
{z) slechts éénmaal als punt der verzameling in rekening wordt
gebracht;

een enkelvoudig samenhangend gebied een gebied, waarbij elke
gesloten kromme, wier punten alle tot dat gebied behooren, slechts
punten van het gebied tot binnenpunten heeft (dan wel, als z = 00
een punt van het gebied is: slechts punten van het gebied tot
buitenpunten heeft).

De verzameling van de verdichtingspunten P, van een gebied Gz,
die niet tot Gz hehooren, noemt men de rand {contour) Tz van dat ge-
bied. Fz bestaat uit alle grenspunten van Gz.

Stelling: De rand Fz van een gebied Gz is een gesloten puntver-
zameling.

Bewijs: Zij P een verdichtingspunt van grenspunten, dan ligt
in elk interval Ip om P minstens één punt Q van Fz. We kunnen
nu om Q een interval Iq binnen Ip leggen: in Iq dringt Gz door,
dus dringt Gz ook in lp door. Aan één der voorwaarden voor een
grenspunt is dus voldaan. P kan géén punt van Gz zijn, want dan
moest er een cirkel om P zijn, die geheel tot Gz behoort, terwijl
P verdichtingspunt van Fz is. zoodat in elke cirkel om P punten
van Fz liggen, die dus niet tot Gz behooren. Ook aan de tweede
voorwaarde voor een grenspunt is dus voldaan. Elk verdichtings-
punt van behoort tot Iz) Fz is dus gesloten.

Stelling: Gz = Gz Fz is een perfecte puntv er zameling.

Bewijs: Gz is gesloten: want alle verdichtingspunten van Gz,
die niet tot Gz behooren, liggen op Fz, di^ in Gz, en alle verdich-
tingspunten van Fz liggen op Fz, dus in Gz. Verder is Gz dicht in
zich zelf; immers, als Pz een punt van Gz is, ligt er een interval
lp om P, waarin Gz doordringt; en evenzoo, als Pz een punt van
Iz is; Pz is dus in ieder geval verdichtingspunt van Gz- Gz is bij-
gevolg gesloten cn dicht in zichzelf, dus perfect.

Stelling: De rand Fz van een enkelvoudig samenhangend gebied Gz,
is een perfecte puntv ér zameling.

Bewijs: De rand van een enkelvoudig samenhangend gebied
is een ééndeelig continuum, d.w.z. is een gesloten puntverzameling,
die niet in twee gesloten puntverzamelingen zonder gemeenschap-
pelijke punten kan worden gesplitst. Kon men deze split.sing n.1.
wel uitvoeren, dan was het mogelijk een polygoon te construeeren,
die de beide deelen van elkaar scheidde ^i), waaruit dan volgen zou,
dat Gz niet enkelvoudig samenhangend was, zooals werd ondersteld.

Beschouw nu een punt Pz van Fz. was er een omgeving van Pz,
waarin dit punt het eenige grenspunt was, dan zou P. een ge-
ïsoleerd grenspunt zijn, en de rand Fz was te splitsen in minstens
twee gesloten deelen; n.1. Pz en Fz — Pz, in strijd met de vorige
alinea.

Bieberbagh, Lehrbuch der Funktionentheorie I, 19;i0, blz. 8().

n is dus dicht in zichzelf, en gesloten, dus perfect.

Stelling: Als Fz de rand is van een enkelvoudig samenhangend
gebied, dat begrensd is, d.w.z. gelegen binnen een cirkel met eindige straal,
dan zal op elke halfstraal, vanuit een punt Pz van Gz getrokken, min-
stens één punt van Fz gelegen moeten zijn.

Bewijs: Op zoo\'n halfstraal l ligt stellig een punt Qz buiten Gz,
omdat Gz binnen een bepaalde cirkel ligt. Beschouw de benedenste
grens b van de afstanden van Pz tot de punten op l, die niet in Gz
liggen. Past men b af op PzQz, dan vindt men een punt S, dat
op Fz ligt. Immers: er is géén cirkel om S, die geheel in Gz ligt,
omdat in elke cirkel om 5 buitenpunten van Gz doordringen, op
grond van de definitie van benedenste grens. In elke cirkel om S
dringt echter Gz door: alle punten op PS (onverlengd) binnen die
cirkel zijn n.1. punten van Gz\', was er toch een buitenpunt bij, dan
was de benedenste grens te verkleinen. 5 is dus punt van Fz.

Het aldus bepaalde punt van I z is vanuit Pz langs l bereikbaar
(zie de definitie van §2ö).

Een algemeene Jordan-kromme kan echter óók punten be-
vatten, die niet bereikbaar zijn, in tegenstelling met de eenvou-
dige Jordan-kromme (§ 2h).

Voorbeeld I: De punten van het deel: a.\' =0; O ^ y lt; \\ van

de Jord. kromme, die bestaat uit de zijden van het vierkant met
(0,0), (0,1), (1,1), (1,0) tot hoekpunten en de loodlijnen ter lengte

van i, in de punten ^ = ^ (w = 2, 3, 4 . . . .) van de A:-as op deze

opgericht, zijn vanuit het binnengebied dezer kromme niet be-
reikbaar. — Zie fig. 2.

Voorbeeld II: (van Caratheodory 22)). Beschouw de eenheids-
cirkel, en die bogen van de cirkels door de punten

z = -j- l en z = — 1,
die de reëele as snijden onder hoeken

..(«-2, 3, 4....),,

voorzoover deze bogen binnen de eenheidscirkel en buiten de
cirkel \\ z~\\ \\ =1. liggen. De cirkel vormt met deze bogen een
Jordan-kromme, waarvan alle punten van de eenheidscirkel, met
uitzondering van de punten ^ = 1, niet bereikbaar zijn. —
Zie fig. 3.

quot;) Caraïheouory, Über die Winkelderivierten enz., blz. 52, zie »)

De eigenschap van een eenvoudige Jordan-kromme, genoemd in
§ la, geldt evenmin voor elke algemeene Jordan-kromme.

Fig. 4 geeft een voorbeeld van een algemeene Jordan-krom-
me, die het vlak in 4 gebieden verdeelt. Het gebied is „spiraal-
vormig gewondenquot; om een cirkel met straal r, d.w.z. de rand
bestaat uit twee deelen, die elk asymptotisch tot die cirkel na-

deren, terwijl het gebied tevens „spiraalvormig gewondenquot; is bin-
nen een cirkel met straal R gt; r, d.w.z. dat de genoemde deelen
van de rand de cirkel met straal R van binnen asymptotisch
benaderen 23). Bqqy „vertakking der spiraalarmenquot; kan men uit
dit voorbeeld een kromme afleiden, die het vlak in een iamp;illekenrig
aantal gebieden {eventueel oneindig veel) verdeelt.

§ 4 — Bewijs van Wolff van de Stelling van Osgood

Aan het beioijs van Wolff 2») van de stelling van Osgood over
de continue, één-éénduidige correspondentie van de punten van
de eenheidscirkelnbsp;=1), op welks binnengebied door de

K. Study, K\'onforme Abbildung einfach-zusammenhängender Be-
reiche, 1913, biz. 44.

J. WoLKF, Sur la representation conforme; Verslagen Kon. Ak. van
Wetensch., 25 Jan. 1930; biz. 9ö.

holomorfe functie ze\'= / (z) het enkelvoudig samenhangend, schlicht
gebied Gz, begrensd door een eenvoudige Jordan-kromme
één aan één en conform wordt afgebeeld, met de punten van deze
kromme Fz, laten we een drietal hulpstellingen voorafgaan.

Hulpstelling I.

Onderstelling: De holomorfe functie w ^ f {z) beeldt het eindige
gebied Gz af op het eindige gebied G^; oppervlakte
van Gw = Iw

ir

dz

ëz

Bewijs: Stellen we z:-=x iy en w=u iv, dan zijn u en v
functies van a; en y, die voldoen aan de differentiaalvergelijkingen
van Cauchy—Riemann:

_ öy Dw _ du
dx öy \' dy dx
Met behulp van deze betrekkingen gaat de functionaaldeterminant
{^uvnbsp;dv du dv

^xy^ ~ dx dy dy \' dx

over in

waarin f\'{z) toegevoegd complex is t.o.v. f\'{z), volgt:

=nz).nz) =

= ff du . dv =nbsp;dx dy =\'/\'

]} Jil^ys J

Sanbsp;ff»nbsp;gz

Hulpstelling II.

Onderstelling: De functie w =f{z), holomorf in Gz, beeldt Gz af
op Gw

z=q) (s) is de vergelijking van een kromme h in Gz.
is de beeldkromme tn Gu\'! lengte van Iw = kw.

Bewering:

Bewijs: Men heeft: k^ = Jy^difi dv^

ds, als de eind-

punten van de kromme h door de parameterwaarden s^ en Sg
bepaald worden,dus wegens ^ _nbsp;^.

ds ds ds
dw

kw =

ds

Hulpstelling III. Ongelijkheid van Schwarz

Onderstelling: u {x) eji v {x) zijn sommeerbaar en ^ O op de punt-
verzameling e: a ^ X ^ b.

Bewering:

ju (x) . V {x)

Jiv

Bewijs:

I \\u {x) l.v {x)f ■= I [u {x)f 2A . [u {x). V {x) -j-P . 1 [y (x) p

is een definiet positieve kwadratische vorm (pos. voor alle reëele
waarden van -i).

De discriminant van de vorm is dus i)ositief.
Hieruit volgt de juistheid der bewering.

Methode van Wolff

Onderstelling: w ^f{z), holomorf in Gz beeldt dit, enkelvoudig
samenhangend, schlicht en eindig ondersteld gebied,
af op de eenheidscirkeischijf Gw {\\w [ lt; 1).
nw is een punt van de rand F^ van Gw.

/

Bewering: Er is een suite cirkelbogen binnen G^,, met a^ tot
centrum, en met straal Qn O, zóódanig, dat voor
de lengte k,, van de beeldkromme geldt:
O voor n oo.

Bewijs: Noem dat deel van de cirkelomtrek met a^. als
centrum en qu als straal, dat binnen G^ ligt.
Dan beweren we:

Er is een suite getallen qh O voor n cxD, waarvoor:
dz

ds ~gt; O, voor M -gt; oo

dw

^tVn

Anders toch was er een e gt; O en een ó gt; O, zóódat

ds gt; - voor Q lt; (5,

7,,;

waaruit zou volgen:

. ds dg gt; 1 - dQ = 00,
Q

waarbij de dubbelintegraal uitgestrekt wordt over het deelgebied
van Gu,, dat binnen de cirkelomtrek ligt om a«, als centrum en d
als straal, en de oppervlakte voorstelt van het beeldgebied van
dit deelgebied. Hierdoor ontstaat een contradictie met hulpstel-
ling I, omdat het totale beeldgebied Gz van Gw eindig ondersteld is.

De lengte lz„ van yz„, beeldkromme van y^.,, wordt volgens hulp-
stelling n voorgesteld door:

dz

ds.

dw

Passen we nu hulpstelling III toe,

dz

u{x) =

en V (x) =1 nemend.

dw

dan vinden we:

/lèfH ■ 11\'quot;

yiln

voor woo, op grond van (1).

Hieruit volgt: de lengte h,, van de beeldkromme heeft nul tot
limiet, wat we bewijzen wilden.

Gevolgen: a) Zij nn Fz een eenvondige Jordan-kromme, dan trekken
de krommen yz,, ^ich samen tot één bepaald punt az van Fz.

Bewijs: \\Ye beschouwen de gebieden Dz,„ begrensd door y2„
en een deel van Fz (en waarvan de punten beeldpunten zijn van
binnenpunten der cirkels om am met Qn als straal). voegen
aan Dz,, de rand toe, en noemen het_afge^oten gebied Dz„.

Beschouw de doorsnee: D = Dz,. Dz^. Dz^.... Dz„....

Deze is, als doorsnee van oneindig veel in elkaar gedoosde, ge-
sloten puntverzamelingen, niet leeg. De doorsnee kan géén enkel
punt van Gz bevatten, doordat elk punt van Gw buiten de cirkel
met oa, als middelpunt en q,, als straal komt te liggen, vanaf ze-
kere n.

De doorsnee bestaat dus uit één of meer punten van Fz.

Uit de in § 2c bewezen stelling volgt, dat de doorsnee D niet meer
dan één punt van kan bevatten, omdat, als de afstand van 2
punten van J\\ tot nul nadert (met name van de punten, waarin
yz„ op Fz steunt), de diameter van het deel van Fz tusschen deze
punten ook tot nul nadert. Dit ééne punt is het in de stelling be-
doelde punt as.

b)nbsp;Voor een pimtensiiite {w„) -gt; a«. convergeert de beeldsuite Zn
tot az, en omgekeerd.

Beivijs: Buiten elke cirkel Qn (middelpunt au) Hgt slechts een
eindig aantal punten Wn, dus buiten elk gebied ligt slechts
een eindig aantal beeldpunten Zn, en dus géén verdichtingspunt.
Het eenige verdichtingspunt van {w„) ligt dus in de doorsnee
van alle Dz„, in het punt a«. Analoog als we de rol van Oï en aw ver-
wisselen.

c)nbsp;In het voorgaande was aw een willekeurig punt op / waar-
door een punt az op Fz bepaald werd. Uit het bovenstaande volgt
nog niet, dat met een willekeurig punt fiz op Fz één enkel punt
/im op ƒ w correspondeert. Dit deel van het bewijs is echter gemakke-
lijk te geven.

Immers, als er met een puntensuite (z«) -gt; ^z een puntensuite
{w„) correspondeerde, die 2 verdichtingspunten tCj en lo^ op Fu,

had, dan kunnen we bewijzen, dat er punten uit G^ zijn, die corres-
pondeeren met 2 verschillende punten uit Gw, in strijd met de
correspondentie één aan één der gebieden Gz en Gw.

Op grond van het voorgaande bestaat er toch zoowel voor
punt w^ als voor punt w^ een suite, Qn, resp. zoodat de cirkels
met deze stralen om w-^ en w^ beschreven zich samentrekken tot /5j.
Neemt men nu Qn, en Qn^ zóó klein, dat deze cirkels buiten elkaar
vallen, dan zal een punt, dat ligt in de doorsnee van de beelden
der-lensvormige deelen van Gw, door de twee cirkels om w^ en w.y
bepaald, twee beelden in het z^^-vlak moeten hebben, één in elk
der genoemde lensvormige deelen, in strijd met de correspon-
dentie één aan één der gebieden Gz en Gw-

Er is dus maar één punt met een tot dit punt convergee-
rend stelsel van contraheerende cirkels, wier beelden tot ^z con-
vergeeren.

Hiermee is de correspondentie één aan één der krommen Fz en
\'w volledig j
kromme is.

Opmerkingen: Van de talrijke bewijzen, die van de Stelling van
Osgood gegeven zijn, noemen wij die van Caratheodory, Cou-
rant, Koebe, Lindelöf en Faber^^). Het bewijs van Wolff is
het nauwst verwant aan dat van Courant en Faber.

Het bewijs van Courant is gebaseerd op de gelijkmatige conti-
nuïteit der afbeeldingsfunctie w =f{z), die, bij Courant, Gz niet
afbeeldt op de eenheidscirkelschijf, maar op een Schlitz-gebied:
het œ^-vlak, minus een lijnsegment, evenwijdig aan de reëele as
van het ïx\'-vlak. Het bewijs van die gelijkmatige continuïteit steunt
o.m. op de oppervlakte-integraal uit hulpstelling I en de onge-

Caratheodory, Math. Annalen 73; 1913; Über die gegenseitige Be-
ziehung der Ränder bei der Konformen Abbildung des Inneren einer Jor-
danschen Kurve auf einen Kreis, blz. 305, e.v.

Courant, Göttinger Nachrichten; 1914; Über eine Eigenschaft der Ab-
bildungsfunktionen bei Konformer Abbildung; blz. 101, e.v.

Koebe, Crelle\'s journal, Band 145; 1915; Abhandlungen zur Theorie der
Konformen Abbildung; blz. 177, e.v.

Lindelöf, Comptes rendus; 20 Jan. 1914. Sur la représentation conforme.

Faber, Sitzungsberichte Bayerischen Akademie der Wissenschaften,
München, 1922; blz. 93, e.v.

lijkheid van Schwarz (hulpstelling III). De rol van de booginte-
graal uit hulpstelling II wordt in zekere zin overgenomen door

^ dQ langs een bepaalde boog van een cirkel

Q constant

met een punt Pz van Fz tot centrum, welk punt door Courant
tot oorsprong van een poolcoördinatensysteem (p, o) wordt ge-
kozen.

De bewijsvoering is minder rechtstreeksch dan die van Wolff,
in wiens bewijs de bepaling van de suite tot nul naderende stralen
Qn met de eigenschap (1) van blz. 16 als het meest wezenlijke deel
van de methode moet worden aangemerkt.

De bewijsvoering van Faber is nauwer aan die van Wolff ver-
want. Ook dit bewijs steunt op oppervlaktebeschouwingen, boog-
lengtebeschouwingen en de ongelijkheid van Schwarz. Echter
wordt in het bewijs het gebruik der integralen uit hulpsteUing
I en II vermeden. Faber voert een quadrillage van het 2-vlak
in en werkt met benaderingen van oppervlak en booglengte door
2quot;\'-sommen. We ontmoeten reeds een stelsel van tot een randpunt
contraheerende cirkels, maar deze worden gelegd in het z-vlak
met een randpunt Pz van de Jordan-kromme Fz tot middel-
punt; tengevolge van het gedrag van Fz nabij Pz voert de benade-
ring van oppervlak en booglengte tot minder eenvoudige formu-
leeringen dan het gebruik der bedoelde integralen in de bewijs-
voering van Wolff, waar het oppervlak een cirkelschijf, de boog
één enkele cirkelboog is.

De toepassing betreffende de nidmaat, tot welke de methode van
Wolff aanleiding zal blijken te geven (zie § 7, blz. 23) ingeval
van een algemeene Jordan-kromme als randkromme, ontbreekt
zoowel bij Faber als bij Courant.

§ 5 — Continuiteit der randcorrespondentie

Aan het bewijs van de stelling van Osgood ontbreekt nog het
beioijs van de continuiteit in de correspondentie van de randpunten.

Onderstelling: (z,i) is een puntensuite op Fz,quot; Hm Zn =2*,

n—gt;30

Wn is het punt op Iw, dat aan Zn op Fz, en

is het punt op 7«., dat aan z* op Fz volgens § 4
is toegevoegd.

Bewering: Urn Wn=w*.
«-gt;00

Bewijs: Sla om Zn een cirkel met straal -, en om Wn eveneens;

n

kies een punt z,/ uit het gebied, dat de eerste cirkelschijf gemeen
_ heeft met het beeld van de doorsnee van de tweede met Gw. Noem
het beeldpunt w,,\'.

Dan geldt: lim Zn\' =z*, volgens de constructie,

«-gt;«

en lim w\'n —w*, volgens §4........(1)

quot;\\\'olgens de constructie is voorts: lim {w,/ — Wn) =0,

n-gt;-oa

dus lim Wn\' = lim Wn.......... (2)

«-gt;ccnbsp;n-yoo

Uit (1) en (2) volgt: l\'im Wn

n-gt;lt;xi

§ 6 — De correspondentie tusschen de rand Fz en de rand
ingeval A een algemeene Jordan-kromme is

De conclusie van § 4, gevolg a, dat de doorsnee D der samen-
trekkende gesloten gebieden één punt is, vervalt, indien we
de onderstelling, dat Fz een eenvoudige Jordan-kromme is,
laten vervallen. De diameter van een deelboog PiPn eener alge-
meene Jordan-kromme kan n.1. zeer goed een positieve limiet
hebben, ook al heeft men lim Pn = Pj (zie § 2c). Dit is zeer een-

n-gt;co

voudig aan voorbeeld I van § 3, te illustreeren.

Verbindt men het punt (O, 1) uit voorbeeld I door een suite

bogen lz„ met de punten ]z , en wel zoodanig, dat de bijbe-

\\n 2/nbsp;^

hoorende afgesloten gebieden Dz,, blijven voldoen aan Dzn \\ quot;{ Lgt;z,„
dan is het duidelijk, dat de doorsnee D in dit geval bestaat uit
het lijnsegment: x =0; Oeny ^ i.

Om de correspondentie tusschen de randen Fz en Fw in dit al-
gemeene geval te overzien, voeren we het begrip randelement in.

Onder een randelement, toegevoegd aan een punt Ojt, van Fw.
verstaan we de doorsnee van de suite gesloten gebieden Dzn, wier
contouren bestaan ten deele uit deelbogen van Fz, ten deele uit

28) Zie: Car^thegdory, Mathem. Annalen 73; 19i;i; blz. 315, e.v.

de beelden van een suite tot aw samentrekkende cirkelbogen.

Uit het theorema van Wolff uit § 5 volgt nu terstond:
met elk punt aw op T® correspondeert één randelement van I\\.

Deze randelementen waren in het geval van een eenvoudige
Jordan-kromme punten, maar behoeven dat volgens het boven-
staande niet te zijn bij een algemeene rand.

Om te bewijzen, dat met 2 verschillende punten w-,^ en Wo van Fw
niet éénzelfde randelement kan overeenstemmen, moeten we eerst
aangeven, wanneer we 2 randelementen gelijk, ivanneer verschillend
noemen.

Onder twee gelijke randelementen, bepaald door de suites

(D„) en (!gt;\',„)

van samentrekkende gesloten gebieden, verstaat men randelemen-
ten, waarbij elke Dg^ met elke punten van het gebied Gs
gemeen heeft; men noemt de randelementen verschillend, als
er een n en een n\' zijn te bepalen, zóódat Dz„ en géén punten
van Gz meer gemeen hebben.

Indien nu met 2 verschillende punten w-^^ en w^ van /\'«gt; één rand-
element Rz van Fz correspondeerde, dan kon men een suite punten
[Zn) aangeven gelegen in {Dz,) en in [Dz,), waarvan de beelden
in het rjv-vlak, voorn groot genoeg, zouden liggen in 2 buiten elkaar
gelegen cirkels om w^ en w^, zoodat de correspondentie één aan één
der binnengebieden opgeheven zou zijn.

Doordat, zooals gemakkelijk valt in te zien, met elke punten-
suite, die tot één of meer punten van eenzelfde randelement Rz
van Fz convergeert, een puntensuite (zamp;n) correspondeert, die min-
stens 1 verdichtingspunt op 7w heeft, correspondeert er met dit
randelement opgrond der bewezen stellingen juist één punt van /

Hiermee is de één-éénduidige correspondentie tusschen de punten
van Fw en de randelementen van /z bewezen.

§ 7 — Veelvuldigheid van een randpunt

Indien in één punt van de rand /\'z van een gebied Gz «ver-
schillende randelementen liggen, noemt men dit randpunt een
n-vondig randpunt.

De randpunten van een eenvoudige Jordan-kromme zijn op
grond van § 4 allequot; enkelvoudig.

Als men een kromme h in Gz kan leggen, die van een rand-

punt Pz naar dit randpunt teruggaat, maar die randpunten van Gz
tot binnenpunten heeft, dan is P- een meervoudig randpunt. Men
kan zeggen, dat elk in Pz uitmondend uiteinde van h een rand-
element bepaalt. De krommen kz,„ die, op Pz samentrekkend, de
verschillende randelementen helpen bepalen, vindt men b.v., door
op zoo\'n uiteinde een tot Pz convergeerende puntenreeks (zn) aan
te nemen, en een stel concentrische cirkels te leggen met Pz als
middelpunt door de punten Zn. De bogen, die men krijgt, door uit-
gaande van z,i de door dit punt gaande cirkel te vervolgen, naar
weerskanten, tot men een randpunt ontmoet, kan men kiezen tot
bogen

Voorbeeld van aftelbaar oneindige veelvuldigheid

Beschouw het tweede voorbeeld van §3, blz. 12. Beschrijft men
een cirkel met z =—1 tot middelpunt ennbsp;1) tot straal,

dan wordt deze cirkel door de algemeene Jordan-kromme in
aftelbaar oneindig veel bogen verdeeld (waarvan we die buiten
de eenheidscirkel buiten beschouwing laten) en die zich voor
Qn^^ alle tot verschillende randelementen, alle éénpuntig en
in — 1 gelegen, samentrekken. Met 2 = — 1 correspondeeren op
de eenheidscirkel Fw aftelbaar veel punten.

Voorbeeld van oneindige veelvuldigheid van de machtigheid va7i
het continuum .

Beschouw de bovenste helft van de om O beschreven eenheids-

meen: op de stralen met argument (/gt; en ? onderling ondeel-
baar) stukken ter lengte van Al deze lijnsegmenten met halve

cirkel en middellijn vormen de rand A van een gebied Gz. Zie fig. 5.

De oorsprong O is vanuit gebied Gl bereikbaar langs elke straal
met argument an, als o onmeetbaar is. Twee verschillende stralen
definiëeren 2 verschillende randelementen, zooals blijkt uit het
feit, dat men die stralen door een kromme binnen Gz kan verbinden,
die randpunten van Gz tot inwendige punten heeft. Het aantal
randelementen, dat in O is vereenigd, bezit bijgevolg de machtig-
heid van het continuum.

Voor de verzameling van de beeldpunten op de eenheidscirkel
rw geldt nu de volgende stelling ^s).

Onderstelling: Pz is randpunt van Gz en behoort tot een oneindig
aantal randelementen Rz van
w=f{z) beeldt Gz af op de eenheidscirkel Gn,;
rand: T\\o.

De randelementen Rz correspondeeren met de punt-
verzameling (aw) op Fvj.

Beivering: De puntverzameling (a«,) is van de maat nid.

Bewijs: De bewijsvoering loopt parallel met die van § 4, blz. 7.

Beschouw een cirkel met Pz als middelpunt en q,, als straal,
en noem de bogen van deze cirkel, voorzoover ze binnen Gz lig-
gen, achtereenvolgens:

(1) . (2) . (3) .nbsp;(,„)

y^n \' fZn \' ^Zn \' \' \' • ■ 7.,, quot; • \' quot;

Dan beweren we:
er is een suite getallen (?„-gt;0, voor w-voo, waarvoor:

ds 0 voor n ~gt;oo.....(I)

\'Zn

Anders toch was er een fi gt; 0 en een 6 gt; O, zóódat

dw
dl

»1=1,, (m)
\' s

8) J. WoLFK, Verslagen K. A. v. W. 25 Jan. 1930; blz. 97.

waaruit zou volgen:
oo

Met G^ wordt bedoeld het deelgebied van Gz, dat binnen de
cirkelomtrek om aw als middelpunt en d als straal ligt, voorzoover
het begrensd wordt door boog yT- De dubbelintegraal over dit
gebied is gelijk aan de oppervlakte van het beeldgebied van dit
deelgebied. De som. der dubbelintegralen stelt een deel van de
eindig onderstelde oppervlakte van het beeldgebied Gz voor, en
kan dus niet oo zijn. Hieruit volgt het bestaan van een suite ge-
tallen (Qn) met de eigenschap (1).

Noemen we de lengte van de boog in het te\'-vlak, die beeld
is van yfj en Sn de som van de lengten dezer beeldkrommen,
dan geldt, op grond van de ongelijkheid van Schwarz:

■O voor n^oo op grond van (1).

m = l yfquot;\')

f UK,

Hieruit volgt, dat de som van de lengten der beeldkrommen
voor n-gt;oo nul tot limiet heeft.

De ■puntverzameling op Fw, waarop deze krommen zich samen-
trekken, is dus van de maat nul.

HOOFDSTUK II
CONTRACTIETHEOREMA VAN SCHWARZ

§ 8 — Dekpunt der transformatie in de oorsprong

a)nbsp;Als f {z) holomorf is voor \\ z\\ lt;1 en \\ f {z) \\ lt;1 voor [ ^ | lt;1,
terwijl f (0) = o, geldt voor elk punt z met \\ z\\lt;l de ongelijkheid:

I / I ^ U I

Bewijs: z = 0 is nulpunt van f {z), waaruit de holomorfie van

■ip (z) = ^ voor I 2 i lt; 1 volgt.
z

De modulus van ygt; (2) bereikt voor | ^r | ^ ^ lt; 1 zijn maximum
op de rand van deze cirkelschijf, dus:

; /Ji)

waaruit volgt:nbsp;| / (2:) ] ^ | 129).

b)nbsp;Indien voor één punt z ^ z-^^ geldt: \\ f (zj) \\nbsp;geldt de
gelijkheid | / (2) | = | z | voor àlle punten z met \\ z\\ lt; 1; de functie
is dan lineair in z, en wel: f {z) = eio . z, O reëel.

Beivijs: Volgens de stelling van de gebiedsoverdracht moet,
indien ygt; {z) geen constante is, door w = 1/; (2:) een omgeving van
op een omgeving van ygt; {z^) worden afgebeeld, zoodat, ingeval
I y (^1) I = 1 is, er punten 2 zijn met | xp (2) 1 gt; 1, in strijd met § Sa.

yi (2) is dus een constante, waarvan wegens | ygt; {z^) | = I, de
modulus 1 is.

{z) = eio en / {z) = eiO .

Opmerking: bij a en b. We kunnen, indien we de eenheidscirkels
C^ en C\\ van w-vlak en z-vlak op elkaar gelegd denken, dit theo-
rema van Schwarz ook a.v. in woorden brengen:

H. A. schwakz en C. Cauathkodokv, t.a.p., noot \').

Als ^ —/ (z) de eeuheidscivkelschijf van het z-vluk afbeeldt op een
gebied binnen de eenheidscirkel van het w-vlak en O vastlaat, dan zal
het beeld van elk punt z komen te liggen binnen of op de cirkelomtrek
door z met O als middelpunt. Indien het beeld van eenig punt z op de
genoemde cirkel komt te liggen, geldt deze eigenschap voor alle punten.
De transformatie is dan een rotatie om O.

c) Voor f {z) geldt, indien de functie niet lineair is, | /\'(O) | lt; 1.

Bewijs: Uit a volgt:

m

/\'(O) I =lim

f (z)

Indien het gelijkteeken geldt, zal de transformatie y = —

omgeving van ^ = O met een omgeving van y — 1 doen corres-
pondeeren. Dit beteekent echter, dat er in een omgeving van

/

gt; 1, in strijd met § tenzij

2=0 punten zijn, waarvoor
/ (2) = eOi z.

De stelling volgt ook uit de integraal van Cauchy.

Indien /\' (0) ^fz O (anders toch was het gestelde zonder bewijs
duidelijk), is er een omgeving van 2=0 met f\' (0) 7^0, waarin
we een cirkel met O als middelpunt en q als straal kunnen leggen,
zóódat:

®f

Hieruit volgt, door het schattingstheorema voor de integraal toe
te passen:

d) De eenige functies, die de eenheidscirkeischijf conform op zichzelf
afbeelden met de oorsprong als dekpunt, zijn de lineaire functies
van de vorm: w = eio. z, 6 reëel.

Bewijs: Nu is niet alleen | | ^ | 2 j voor | 2 | lt; 1, maar ook
I 2 I ^ \\w\\ voor I I lt; 1, waaruit | ze; ] — [.2 [, dus w =eiO . z
volgt.nbsp;lt;

e)nbsp;Uniciteitsstelling t.o.v. de afbeelding van een enkelvoudig samen-
hangend gebied Gz op de eenheidscirkeischijf G^

Onderstelling: w ^f^ [z) en w =f^ [z) beelden heide het enkelv.

samenhangend gebied Gz af op Gw {\\w \\ lt; 1).
z = 0 is een punt van Gz; /i (ö) = f^[0) =0.
Beide afbeeldingen laten de richting van de positieve
reèele as in O invariant.

Bewering: f^{z)=f^(z).

Bewijs: Als 2nbsp;de inverse functie is van w =/i (2), is

A \\ H \\ een holomorfe functie m (jrw, die deze cirkelschijf op
zichzelf afbeeldt en 5X^ = 0 invariant laat. Volgens de vorige stelling
is dus ] (z) \\ =\\f2 {z) 1, m.a.w.: (2) = eiO . f^ (z). Alle rich-
tingen in de oorsprong worden dus door deze transformatie over
een hoek ö gedraaid: omdat voor één richting (die der pos. reëele
as) gegeven is, dat ö =0, is ö = 0 en dus (2) =/g (z).

f)nbsp;Als f {z) holomorf is in een gebied Gz, dat een cirkelschijf \\ z\\lt;r
bevat, terwijl Gz deelgebied is van | z | lt; [met R gt; r), dan zal,
indien aan de holomorfe functie w = f (z) behalve de voorwaarde
f (0) ~ O de voorxvaarde \\ f\' [0) \\ = 1 wordt opgelegd en deze functie
Gz afbeeldt op de cirkelschijf Gw{\\w\\lt;q), voldaan zijn aan:
r^Q^ R. 31)

wnbsp;z

Bewijs: Stelt mennbsp;en - = z\', dan wordt de cirkelschijf:

\\z\' \\ lt; \\ afgebeeld op een gebied ] zi)\' | lt; 1, zoodat volgens § 8c
dz^
dz\'

samenvalt met het gebied \\ z \\ lt; r.

diei diü dw dz div r
Lat TT=-i—--r- Tlnbsp;- en

dz div dz dz dz q

dz

^\'olgt:nbsp;.............. (1)

Stelt men

- =iv\' lt;tr\\ — = z ,
Qnbsp;R

Caratheodokv, Math. Annalen 72, 1!)12, blz. 111.
Faher, t.a.p., zie noot quot;).

dan wordt de cirkelschijf: \\w\' \\lt; \\ afgebeeld op het gebied

! [ lt; L

dzquot;

zoodat volgens § 8c

dw\'

is voor w\' = 0; het gelijkteeken geldt slechts, als Gz samenvalt
met het gebied | ^ | lt; r.

— 1 voor w = 0

dw .

volgt:nbsp;Q^ R.............. (2)

Valt Gz noch met \\ z\\lt;r, noch met ] lt; R samen, dan is:

r lt; Q lt; R.

Gevolg: De in deze stelling bedoelde functie beeldt \\ z \\ lt;. ?.r (A^ 1)
af op een gebied binnen \\ w \\ = Iq.

Bewijs: Uit § 8a volgt

§ 9 — Dekpunt der transformatie niet in de oorsprong

a) Als f {z) holomorf is voor \\ z \\ lt; 1 en \\ f {z) \\ lt; 1 voor \\ z \\.lt;i 1,
terwijl f {z) =z een wortel z = a heeft binnen \\z \\ = 7, — m.a.w.
als a dekpunt is van de transformatie w = f (z), — zal het beeld
w =--f (z) van elk punt z uit\\z\\cl komen te liggen binnen of op de
cirkelomtrek door z, die tot de bundel behoort, waarvan de eenheids-
cirkel

en het als nulcirkel beschouwde punt a twee exemplaren zijn.
De tweede nulcirkel van deze bundel is het punt I, als ö de toege-
voegd complexe waarde van a is; we stellen de bedoelde bundel
voor door [a, d.i. door de nulcirkels, die hem bepalen.

Indien voor één punt z\' het punt w\' = f [z\') op de cirkel door z\'
uit de bundel ^a, ligt, geldt deze eigenschap voor alle punten en de

functie w ^ f {z) is lineair.

Voor de afgeleide in het punt a geldt: | f\' {a) | lt; /.

Bewijs: Door de lineaire transformaties:

z — anbsp;w —a

C = -=- en co =

aznbsp;1 — aw

worden de eenheidscirkels in en ïê^-vlak omgezet in de eenheids-
cirkels van f- en ca-vlak, terwijl het punt z =iw = a overgaat in

het punt ^ = co = O, en het punt z = w = - in het punt

C = co = 00.

correspondeeren met de concen-

trische cirkels met middelpunt 0.

Hieruit volgen (zie fig. 6) in verband met § 8a en b terstond de
eigenschappen der beide eerste alinéa\'s.

dw dxv dagt; dC ^^ , „, ^ ,

^ ^ d^o-Tc-dznbsp;1 («) llt; quot;^et behulp van § 8c.

De analytische uitdnikking van de stelling wordt thans:

tenvijl, als het gelijkteeken voor eenig punt z geldt, de functie w — f (z)

bepaald wordt door:

10 — a .. z — a

— = --^ . ö reëel.

1 — azc\'nbsp;— 02\'

(elliptische transformatie).

b) Nemen we in plaats van de eenheidscirkel het rechter half vlak
{R.H.V.) als holomorfiegebied van f {z), en noemen we a het
spiegelpunt van het dekpunt a t.o.v. de imaginaire as, dan leeren
de transformaties:

anbsp;w — ä

tü —

z — qnbsp;w — a

waarbij de functie \'w = f {z) overgaat in een functie co ^ F (C),
holomorf voor | C | lt; 1, met j co [ lt; 1, en ü als dekpunt, ons

o-
a

Fig. 7. Samentrekkende cirkelbundel (a, a), als ƒ (a) =1= a.

De geometrische inkleeding blijft vrijwel gelijk; de te beschouwen
cirkelbundel is de bundel (a, g). Zie fig. 7.

§ 10 — Algemeenere formuleering van het theorema van Schwarz;
monotonie van -

X

Een eenvoudige transformatie van de eenheidscirkels Gz en Gw
in zichzelf levert ons het volgende contractie-theorema.

a) Als w =f (z) holoritorf is voor \\ z \\ lt; 1 en | / (2) | lt; 7 voor
I 2 I lt; 7, terwijl f (zo) = Wo, dan geldt voor elk punt uit | 2 ] lt; 7
de ongelijkheid

Indien voor één punt het gelijkteeken geldt, geldt het algemeen en is
de functie f (2) lineair; ze is dan van de vorm:
f iz)—Wonbsp;2-Zo

d reëel.

1 — ZoZ\'

1 — Wo.f (2)
Voor elk punt 2 uit Gz geldt:
Bewijs: De transformaties:

C

-Wo

en CO =

1 -ZoZnbsp;1 - WoW

zetten de eenheidscirkels van 2- en zc\'-vlak om in de eenheidscirkels
van C- en co-vlak; door deze transformaties wordt co — F (C) een
hol. functie voor ] C | lt; 1, niet j co | lt; 1, terwijl F (0) =0. We
kunnen dus § 8 toepassen, waaruit de stelling volgt.

1 - \\Wo\\

1 -Uo I

Een meetkundige interpretatie voor dit geval krijgen we a.v.

In een bundel cirkels bepaald door de nulcirkels a^ en «o aun
elk exemplaar een getal l toegevoegd, dat aangeeft de constante ver-
houding van de afstanden van een punt van de cirkelomtrek tot de
punten a^ en a.^. Aan de eene nulcirkel is het getal O, aan de andere
het getal 00 toegevoegd, aan de machtlijn van de bundel het getal 7;
voor de cirkels, die a^ als binnenpunt bevatten is A lt; 7, voor die welke
«2 C\'ls binnenpunt bevatten is a gt; 7. Voor elke cirkel, die binnen de
cirkel ligt met X = lt; 1 is lt; en voor elke cirkel, die binnen
de cirkel ligt met A =Ai gt; 7, is lgt; A^. (Zie fig. 8).

Xigt;-Wo

Zie nu § 9«. Door de transformatie co = |-wordt, daar

■WoW

de verhouding van de afstanden van punt xv tot de

Fig. 8. Cirkelbundel met indices l:
lt;nbsp;. . . . lt; Ag lt; lt; Ajj.

/ 1

nulcirkels van bundel (Wo, — voorstelt, welke verhouding we Xjti

noemen (constant op de cirkel door iv van deze bundel) de
cirkel van de bundel door k\' omgezet in een cirkel met straal

Qugt; = r—om O van het co-vlak.

I Wo I

Evenzoo wordt de cirkel met index Xz uit het z-vlak [cirkel
door uit de bundel ^Zo, omgezet in de cirkel met straal

= van O van het ^-vlak. Het geval 2:0 = O, dat we hier

I I

moeten uitzonderen, beschouwen we hieronder afzonderlijk.
We hebben dan de formuleering:

Als z ligt op de cirkel met index Xz — q \\ Zo \\ van de bundel
7 \\nbsp;\'

, ligt het beeldpunt w— f {z) binnen of op de omtrek van
7\\

met index Xw — q.\\%Vo !• Ligt voor

eenig punt z het beeldpunt w óp de omtrek van de genoemde cirkel,
dan geldt deze eigenschap voor alle punten, en f {z) is lineair.

b) Voor Zo — O wordt de stelling uit a\\

W-IVo

WoW

waarbij het gehjkteeken slechts geldt in het geval w lineair in 2 is.
Ligt 2 op de cirkel om O met straal q, dan ligt het beeldpunt

w = f {z) binnen of op de cirkelomtrek uit de bundel (wn, met

•nbsp;,nbsp;, ,nbsp;\\ ^0}

index kw = e . I t^o I.

Voor elk punt z met beeldpunt w geldt de ongelijkheid:
I ^^ i ^ l—\\Wo\\ l—\\Wo\\

i — i 2 I - i I 2 I . I r i 1 ze-o i\'

Bewijs: Stel in een figuur de punten w ^Wo en w = Ir door

Wo

A en A\' voor en het snijpunt van AA\' met de eenheidscirkel S.
{Zie fig. 9).

1—UI l l^^of

Het beeldpunt P\' van een pimt P (de afstand tot O zij e = | 2 |),
valt in de cirkel van bundel (wg, i- met index e | ze»*, |.
Noemen we het snijpunt van deze cirkel met ^S T, dan is
AT -.TA\' =q\\wo\\:\\, en AA\' = ^ ~j I\',

Wo

waaruit:

Wo

Voor de afstand van 5 tot de cirkel, waarin het punt P\' moet
liggen, vinden we:

inbsp;i lilt I \' \'e = .

/ 1 -j- I 2 I . [ !
waaruit de te bewijzen ongelijkheden volgen.

1 •

c) In verband niet de te maken toepassingen bespreken we,
ook nu, afzonderlijk het geval, dat fei holofnorfiegehied van f (z)
het Yechterhaljvlak is, in plaats van de eenheidscirkel. De formulee-
ring van het contractie-theorema wordt iets eenvoudiger dan
in het geval, waarin / (z) in de eènheidscirkel wordt beschouwd

Onderstelling: w =u iv; z — x yi]

w =f{z) is holomorf voor x gt; 0]
u gt; 0; f {zo) = Wo; Wq en Zo zijn de spiegefpunten
van Wo en Zo t.o.v. de imaginaire as.

Beiamp;ering:

; het gelijkteeken geldt slechts,
indien w —j{z) lineair is, en dan steeds.

Z , ^^nbsp;I UI) Q

Bewijs: De transformatie f --, co =-- levert ons,

Z--Zonbsp;w-Wo

evenals in § terstond de stelling.
Deze is nu a.v. in te kleeden:

Als z ligt op de cirkel met index Xo = q uit de bundel [zo, Zo), ligt
hel beeldpunt w op of binnen de cirkel met index kw ~ Q uit de bundel

{Wo, Wo).

Denken we ons het 2-vlak en het zc-vlak met de imaginaire
assen op elkaar geplaatst en de punten z = iyo\', w = iVo op elkaar,
dan liggen de cirkelbundels {zo, Zo), {wo, Wo) homothetisch.

Uo

Door de bundel (zo, Zo) vanuit het punt iyo met — te vermenig-

XQ

vuldigen, worden de cirkels met gelijke index uit beide bundels
dus tot dekking gebracht.
Hieruit volgt:

Voor de abscis van het beeldpunt w {z) van een punt z geldt:

J. Wolff, Comptes rendus, 7 April 192().

\' M S: — maal de minitnale ahscis van de cirkel door z van de bundel

~ Xo
{Zo, Zo).

It

d) In de onderstellingen van c) geldt: j /\' (z) I ^ -.

X

Bewijs: De ongelijkheid:

w

■ Wo

w -f- Uo — ivo

xegt;

z-Zo 2Xo

Uo

Voor w Wa volgt hieruit: j /\' (zo) I ^ —

%o

Omdat a;o iyo een willekeurig punt uit het R.H.V. is, is hier-
mee de stelling bewezen.

\' e) Indien en z^ punten uit het R.H.V. zijn met dezelfde ordinaat
(yj =y.2), dan geldt voor de abscissen der beeldpunten w-^ en w^:

^ =-7, «^s x^ gt; Xy.
X2

\'èW

^ dus stellig

X

dx \\x/ a;nbsp;x) ~ \'

Iv

waaruit het monotone afnemen van - voor stijgende a; volgt.

X

tt

Gevolg: Het quotiënt - nadert op elke rechte evemmjdig met de reëele

X

as tot een limiet, iegt;elke onafhankelijk is van de gekozen rechte, (fig. 10).

ti

Bewijs: Dat het getal - op een rechte d evenwijdig de reëele

%

as tot een limiet Xd nadert, volgt uit de stelling, dat een monotoon
afnemend, (althans niet toenemend,) reëel getal, dat naar beneden
begrensd is, een limiet heeft.

u

Noem nu de limiet, waartoe — nadert, als z\' op een rechte d\'

X

zich naar \'t oneindige verplaatst: Xd\'.

Volgens c is nu: « ^ maal de min. abscis van de cirkel door

z uit bundel {z\',z\').

Deze minimale abscis heeft tot limiet x (voor z\' -gt;00).

u^ Xd\' . X, of - ^ Xd\'.

X

Dit geldt voor elk punt 2 van d, dus: Xd = Xd\'.
Evenzoo is: Xd\' = Xd, door de rol van d en d\' om te wisselen:

.•. Xd = Xd\'.

Gevolg: Als X de limiet is van - voor x^oo (y constant), dan

%

geldt voor het beeldpunt w van een willekeurig punt z uit het RHV:

u^l. X.

§ 11 — Niet-euclidische beschouwingen

Met behulp van de uitdrukkingswijze der niet-euclidische meet-
kunde zijn we in staat, aan het theorema van Schwarz, voor

het algemeene geval, dat omtrent een dekpunt der transformatie
wnbsp;niets wordt ondersteld, een eenvoudige formuleering

te geven

a) We beschouwen daartoe de eenheidscirkel als drager eener
niet-euclidische meetkunde, en wel van een meetkunde van Lobat-
schewsky of hyperbolische meetkunde. Het hyperbolische vlak
worde zoodanig op de eenheidscirkelschijf van het euclidische vlak
afgebeeld, dat de cirkels, die de eenheidscirkel orthogonaal snijden,
de representanten worden van de niet-euclidische rechten; we
noemen die cirkels fseudo-rechten^^).

We kunnen gemakkelijk verificeren: \'

I door één punt gaan oo^ pseudo-rechten,

n door twee punten is één pseudo-rechte bepaald,

ni de pseudo-rechten door een punt P vormen in Euclidische
zin een cirkelbundel, die de (orthogonaal) toegevoegde bundel
is van de bundel, die bepaald wordt door de eenheidscirkel
en het punt P (als nulcirkel beschouwd,) als bundelexemplaren,

IV elke psexido-rechte heeft 2 oneindig verre punten, n.1. de
snijpunten met de eenheidscirkel,

V alle pseudo-rechten, getrokken door een punt P binnen de
eenheidscirkel, dat niet op een pseudo-rechte l ligt, vallen
uiteen in 2 groepen:
r een groep, die l snijdt: (//).
2° een groep, die l niet snijdt: (;,).

De twee cirkels door P, die de eenheidscirkel loodrecht snijden
in de snijpunten van l met de eenheidscirkel, zijn de represen-
tanten van de 2 evenwijdigen, die men door een punt aan een
rechte kan trekken. Ze behooren zelf tot de groep der niet-
snijlijnen (^i en k^. — Zie fig. 11.

Hk. de Vries, De vierde dimensie.

Vgl. ook J. A. Bakrau, Analytische Meetkunde, Dl. I, hoofdstuk VI,
waar we zien, dat de groep der n. e. bewegingen een drieledige ondergroep
is van de achtledige groep der projectieve transformaties, welke onder-
groep het binnengebied van een reëele kegelsnede (hier de eenheidscirkel)
invariant laat.

VI Van een driehoek, begrensd door drie bogen van pseudo-
rechten, is de som der hoeken kleiner dan 180°

b) Onder de niet-euclidische afstand [w-iw-^ van 2 punten w^ en w^
binnen de eenheidscirkel C^ zullen we verstaan:

=lg Inbsp;I.

In deze definitie verstaan we onder {let-fio^SiS^) de dubbelver-
houding:

W-, -Si _ w, — s,

W.y--S,

waarbij Sj en s.^ de snijpunten zijn van de cirkel door u\\ en üfjj,
die CJy orthogonaal snijdt, en de punten iviiv^sis^ op die orthogo-
naalcirkel in de genoemde volgorde liggen.

Door deze definitie van afstand is voldaan aan de eisch van de
additie van afstanden: als w^w^w^ op éénzelfde pseudo-rechte lig-
gen, is:

35) Hk. de Vries, t.a.p., blz. 125.

— Sg ze^a — s^I Xw^ — «2

W-,

Wl —52 Ws — S2

Verder is de afstand van een punt Wj^ tot een punt van on-
eindig.

Neemt men n.1. zCg -gt; s^, dan vindt men: [5^1^21 oo, omdat
de factor w^ — s^ -gt; O wordt.

Voorts is:

[WjW^ = — [w^^xv^, omdat (^iWoSjSg) X (ze\'aze\'jSiSg) =1.

Voor de afstand van het middelpunt van C^ tot een punt iv
vinden we:

[o, w] = Ig

Omdat de dubbelverhouding van 4 punten invariant blijft bij lineaire
transformatie, zal in het hijzonder elke lineaire transformatie, die de
eenheidscirkel in zichzelf omzet, de n. e. afstand van 2 punten invariant
laten.

c) De cirkels van de bundel ^a, ij zijn aequadistante krommen:

de afstand van de snijpunten van een willekeurige cirkel door a enh

a

[orthogonale trajectorie 7gt;an de bundel) met txvee bundelexemplaren,
is onafhankelijk van de gekozen trajectorie.

Hewijs: Door de lineaire transformatie C = r-—^ verandert

1 — axegt;

de waarde van de dubbelverhouding {I\\PoSiS») niet, als P^P^
de snijpunten van de orthogonale trajectorie met de beide bundel-
exemplaren zijn, en S^S^ de snijpunten met de eenheidscirkel C\\.
— Zie fig. 12.

Door deze transformatie ontstaat uit de beide bundelexemplaren
een tweetal concentrische cirkels, en uit de orthogonaalcirkel
een middellijn. De waarde van de dubbelverhouding, door de
beeldpunten Pj^ en P.^ op die middellijn bepaald, is niet afhankelijk
van de stand van die middéllijn, waaruit de steUing volgt.

Twee cirkels, die C^ in éénzelfde punt raken, zijn eveneens aequa-
distante krommen.

Bewijs: Een inversie doet nu de bundelexemplaren — van de
raakbundel door de twee gegeven cirkels bepaald, — met hun
orthogonaalcirkels overgaan in een quadrillage, waarbij de dubbel-
verhouding in een enkelverhouding ontaardt, die nu blijkbaar van
de gekozen orthogonaalcirkel onafhankelijk is.

Opmerking: De cirkels die C]^ raken zijn representanten van de
horicykels of grenskrommen der n. e. meetkunde, dat zijn krommen,
waarvan alle normalen evenwijdig loopen (d.i. in onze figuur: elkaar
op Cl snijden).

d) Formule voor de n. e. afstand van 2 punten:

=lg

Bewijs: Door de lineaire transformatie: y = ^—wordt de

1 —w-^^

eenheidscirkel omgezet in zichzelf; de cirkelbundel (w.^, wordt

\\

omgezet in een concentrische cirkelbundel; de n. e. afstand blijft
invariant: [gt;1^2] ^nbsp;De cirkelnbsp;wordt een middellijn

door yi = 0.

iV^] = Ig I (ï^iï^aSiSa) 1
= ig 1 (yiy2^1/2,) I
= ig I (OyaV^.) !

§ 12 — Het theorema van Schwarz in niet-euclidische formu-
leering

We kunnen nu het theorema van Schwarz a.v. formuleeren.

a) Als w = f (2) holomorf is voor

\\z \\ lt; 1 en ] / (z) I lt; i voor \\ z\\ lt; 1,
terwijl / (zx)nbsp;geldt voor elke w — f {z) de ongelijkheid

[w^w-] ^ [z^z-].

Indien het gelijkteeken voor één punt z geldt, geldt ze algemeen,
en is w een lineaire functie van z\', de transformatie is dan een niet-
eucl. beweging.

1 -f

Bewijs: Omdat de functie

1 —

toeneemt van 1 tot 00, hebben we, in verband met §11, laatste
stelling, .slechts te bewijzen:

Dit is gebeurd in § 10a.

b) De ongelijkheid {w-^w]nbsp;laat zich a.v. in woorden brengen:

het beeldpunt w van een punt z komt te liggen binnen of op de niet-
euclidische cirkel met w^ tot n. e. middelpunt, xmarvan de n. e. straal
gelijk is aan de n. e. straal van de n. e. cirkel door z, die z^ tot n. e.
middelpunt heeft

Caratheodory, Über die Winkelderivierten enz., blz. 40, zie*).

c) Uit het theorema van Schwarz volgt onmiddellijk, door af-
trekking der correspondeerende n. e. stralen:

De n. e. afstand tusschen twee cirkels uit de bundelnbsp;door

de punten z\' en zquot; is-gelijk aan de n. e. afstand tusschen de twee cirkels
uit de bundel {w^, Jr^ waarbinnen of waarop volgens het theorema
van Schwarz de punten w\' en wquot; moeten liggen.

HOOFDSTUK III

UITBREIDINGEN VAN HET THEOREMA
VAN SCHWARZ

§ 1J a) Hulpstelling over de vergelijking f (z) = z

Indien w = f {z) holomorf is voor \\ z\\ lt;1 en
dan heeft de vergelijking f {z) =z één wortel hinnen de eenheidscirkel.

Bewijs: We toonen deze stelling aan door middel van de stelling
over de argitmenisvariatie: de argumentsvariatie van w = f {z)
langs een contour fz is gelijk aan 2ji maal het aantal nulpunten
van / (2) binnen Fz, indien elk nulpunt met de juiste multipliciteit
in rekening wordt gebracht, en f {z) ^ O op Fz.

Wanneer nu 2 de cirkelomtrek C] éénmaal doorloopt in positieve
zin, beginnende in zal arg 2 met 27i toenemen. Is arg* (z^ — w^)
de eindwaarde van arg (z — w), dan blijkt uit:

arg 27r — 0 ^ arg* {z^ — w^) ^ arg Zj 0,

dat arg {z — w) bij deze ééne omloop met 27i moet zijn toegenomen.
De argumentsvariatie is dus 2jt en / (z) — z heeft één en niet meer
dan één nulpunt binnen of op de cirkelomtrek [ z | =

V b) Stelling van Wolff

Onderstelling: f (z) is holomorf voor \\ z \\ lt; 1) | / (z) | lt; i;

/ (z) zp. z, voor \\z \\ .lt; 1.
Bewering: Er is één punt a op \\z\\ =1 met de eigenschap,
dat de transformatie w = f {z) de raakbundel van
cirkels in z = a doet samentrekken, d.w.z. dat het
beeld van een punt z komt te liggen binnen of op
het exemplaar door z van de cirkelbundel, waar-
van de exemplaren in z aan CJ raken [z = a
heet overdrachtelijk dekpunt der transformatie).

Bewijs: Beschouw de hulpfunctie /n (z) = —/ (z), dan

geldt voor deze hulpfunctie: | /„ (z) I lt; 1 — 1 lt; 1, voor | z | lt; 1,

n

zoodat de vergelijking /„ (z) = z één wortel a„ heeft binnen de cirkel

Cn om z = 0 als middelpunt, met rn = \\ — - als straal.

n

Beschouw de suite a^, a.,, Og, . . . a„, . . .

Zij a een limietpunt dezer suite, dan kunnen we een suite (a„„)
extraheeren, die convergeert. Het\'limietpunt a =lim a„,„ moet
liggen binnen Cl of op

znbsp;^ z

Lag het punt a binnen C],, dan zou uit:

n

1 — — • / (a«m) =
y nmj

door limietovergang voor m -^00 volgen:

J. Wolff, Sur une généralisation d\'un theorème de Schwarz, Comptes
rendus 1926, 7 April^blz. 500, e.v.

Dit geval (dekpunt binnen C^) is in de onderstelling uitgesloten.
Dus ligt a op C^. Het beeldpunt (2\') van een binnen C\\
gelegen punt z\' ligt binnen of op de cirkelomtrek F^x^ door z\' uit

de bundel (voor m^oo nadert F„„ tot de cirkel F

\\ «W

door z\', die in a aan C^ raakt. Elk punt buiten F ligt buiten
vanaf zekere m.
We beweren nu:

/ {z\') — lim [z\') ligt binnen of op I.

Lag / {z\') buiten F, dan lag /«,„ {z\') buiten F vanaf zekere m,
dus ook buiten Fn„ vanaf zekere m. En fnm{z\') ligt binnen Fh^,
zoodat / {z\') niet buiten ƒ\' kan liggen (zie fig. 14).

Het theorema is dus bewezen, indien we nog kunnen aantoonen,
dat de suite («») slechts één verdichtingspunt op C] heeft.

Waren er twee verdichtingspunten Oj en ag. dan moest het
beeldpunt / {z\') van het punt z\', waarin twee cirkels en P^,

die resp. in a^ en a^ aan C^ raken, elkaar uitwendig raken, binnen
of op Ji en tevens binnen of op n liggen; dus zou / (z\') = z\' zijn.
Dit is in strijd met de onderstelling, dat

/ (z) 2 voor I 2 I lt; 1. (zie fig. 15).

Uit de bewezen stelling volgt onmiddellijk:

de heeldsuite (wn) van elke tot a convergeerende suite [zn] convergeert

tot a, mits: arg a — ö ^ arg (a — z„) ^ arg a Ö; ö lt;

Door deze beperking voor het gebied, waarin Zn tot a mag na-
deren, wordt bereikt, dat ^«-gt;0 voor«-gt;oo, als Qn de straal
van de cirkel door Zn is, die in a aan C\\ raakt, (zie fig. 14).
Hieruit volgt de stelling.

c) Het lineaire geval

Indien voor één punt z geldt, dat het beeldpunt w ligt öp de genoemde
cirkel, is dan f (z) een lineaire functie en ligt het beeldpunt van elk
punt z op de aangegeven cirkel.

Beeldt C\\ door een lineaire transformatie f b.v. door Z = quot;

lt; .. .nbsp;a

af op het R.H.V., zóódanig, dat het invariante punt a overgaat
in het oneindig verre punt. De cirkel door een punt z binnen de
eenheidscirkel, rakend in a aan de eenheidscirkel, wordt getrans-
formeer-d in een rechte, door het beeldpunt Z van z evenwijdig
getrokken aan de imaginaire as.

Evenzoo in het W^-vlak.

De functie w = / (2) wordt getransformeerd in een functie

W - F (Z),

die holomorf is in het R.H.V., terwijl het reëele deel van W ^ het
reëele deel van Z.

Het reëele deel van W — Z is overal S O en is een harmonische
functie, die haar minimum op de rand van het gebied, waarin
de functie beschouwd wordt, aanneemt, tenzij de functie een con-
stante is. Indien voor eenig punt z het beeldpunt w ligt op de
aangegeven cirkel, is voor. de correspondeerende punten in het
W- en het Z-vlak: R {W~Zl =0. Dus is R jW — Zj =0.
Het imaginaire deel, de geconjugueerde functie, is dus constant.

Dus isnbsp;W— Z = qi en W = Z qi.

Deze transformatie is een translatie, waarbij alle punten over
een afstand q in de richting der imaginaire as worden verschoven.

Door de inverse transformaties van die, welke C^ en C]^ in de

rechterhalfvlakken omzetten (met name: ^ = a ^ ^ enz.), vin-
den we als lineaire functie van -z, terwijl elk punt w = f {z) ligt
op de cirkel door z, die in a aan C^ raakt.

(lineaire parabolische transformatie, met dekpunt a)

d) Omkeering van de Stelling van Wolff

Als UI = f (.?) holomorf is voor \\ z \\ lt;. 1, met \\ f {z) | lt; 7, en
een invariant punt a op C^ heeft, in welk punt de raakhundel door
de transformatie w =f{z) wordt gecontraheerd, is f {z)z^z binnen CJ.

De onderstelling, dat er een dekpunt f} is binnen C^ zou n.1.
(vergelijk b, laatste gedeelte) leiden tot het bestaan van nog meerit
dekpunten, n.1. alle contactpunten van de cirkelbundels [C]., a) en

Hieruit zou volgen: / (2) = z.

§ 14 — Contractietheorema van Julia 3»)

a) Het contractietheorema in het rechterhalfvlak

Onderstelling: w =f{z) is holomorf voor xgt; O; ugt; O;
w —u-\\-iv; z — X iy ;

Er is een puntensuite (zn) met beeldsuite {wn), waar-
voor geldt:

Zn -^0, Wn-gt; O en — [x, voor w -gt; cx3.

Xfi

Bewering: De oorsprong is overdrachtelijk dekpunt voor de

f iz)

transformatie {vgl. ^13b).

ti\'fi,

Bewijs: Stel ^ = £„, dan is £„-gt;0 voor n^öo. Breng

Xn

door Zn de rechte In evenwijdig aan de reëele as, dan volgt uit de

u

monotonie van - op deze rechte (vgl. § \\0e), dat:

%

u

- lt; fx En, voor alle punten op deze rechte met x gt; Xn.

X

lt; En, voor genoemde punten.

x

Uit: w =Wn Jf\'{z) . dz volgt:

lt; /i dus voor n-^co:

\' = H-\' voor a; gt; O, y = O,

dus stellig:

Uit (1) volgt, dat voor x -^0, y =0, w-gt;0 is.

Stelt men nu: - =x\' iy\',

fi =w\' =u\'

w

dan is w\'{z\') een holomorfe functie van z\' voor a;\' gt; O, met u\' gt; 0.

G. Julia, Extension nouvelle d\'un lemme de Schwarz, Acta Mathem.,
42; 1918, blz. 349, e.v. en Journal de Mathém. 83; 1918; blz. 72, e.v.

u

Zij A = lim —voor y\' =0, x\' ^ co.
%

\' Stel w\' = Xz\' -\\-lt;p {z\'), dan is (p {z\') holomorf voor a;\' gt; O, en haar
reëele deel is wegens w\'^Aa;\'.

Verder is voor y\' = Opx\' oc^^d^ A reëel is.

^R . deel van = 0 {x\');

R. deel van (Pr..nbsp;r,nbsp;-x w , -r-

^--dus ^-gt;0, waaruit volgt --^l. En

w\'

,nbsp;is Asl oi u\'^x\', dus:

%

het oneindig verre punt is randdekpunt van w\' {z\'), dus:

w (z)

de oorsprong is randdekpunt voor —w.t.b.w.

Zij nu Fz de cirkel door een punt 2 uit het rechterhalfvlak, die
in de oorsprong aan de imaginaire as raakt, en de middellijn
van deze cirkel d. Dan is de vergelijking:

Het beeldpunt w ligt nu binnen of op de cirkelomtrek:
u^ — jii du v\'^ = O,
zoodat voor het punt w geldt:

«2 — ^ du ^ 0.

TT-nbsp;wnbsp; nbsp;^

Hieruit volgt:nbsp;- = -^.........(3)

^ linbsp;X

Deze ongelijkheid is de analytische uitdrukking voor de stelling,

,, , , •nbsp;wiz)

dat de oorsprong randdekpunt is voor —

Opmerking: Indien voor één punt uit het 2-vlak in de laatste
. ongelijkheid het gelijkteeken geldt, geldt het gelijkteeken voor

alle punten. Passen we n.1. de transformaties = - en w\' = —

^nbsp;znbsp;w

weer toe, dan is voor het bedoelde punt u\' = x\', en dat deze ge-
lijkheid dan voor alle punten geldt, wordt bewezen als in § 13c.

b) Transformatie van het rechterhalfvlak op de eenheidscirkel

Transformeer nu de rechterhalfvlakken op de eenheidscirkels
1 Z I lt; 1 en \\ W \\ lt; 1 door de transformaties:

daar uit (1) volgt

7 ^ -tj/ 1-^

= :j—^ enW = —--

1 ^nbsp;\\ w

Met de oorsprong van de halfvlakken correspondeert het punt\'
1 op de eenheidscirkels.

Stelt men

W =Q,y. Znbsp;e\'^\' (met Qz, Ow en 6, reëel),

dan vindt men achtereenvolgens:nbsp;_ |

I —W , „ \\ ~W

W —- 4- y2 _ I_^

u iv = ^nbsp;_ 1nbsp;d^

1 .nbsp;i . cos d^\'

\\—elnbsp;1 — 1IF |2

zoodat: ti = — ^--- --.

1 -j- ew . cos ö^ \\i ^w

Dus is:

-j- z;2 I 1 _ ty 12nbsp; v2 I 1 — Z

- = ,-1 TT/ O. en evenzoo: —= !-L

unbsp;I —nbsp;Xnbsp;1 _ j ^ |2-

Voorts gaat de voorwaarde ~ -gt; jx voor n-^oo over in:

Xji

1 - I |2 I 1 -f- Zn P

I _ I |2 • [ 1 -I- Wn ^nbsp;\'nbsp;^

■ • T^^Y^r^-.

We kunnen nu het theorema a.v. formuleeren:
Indien w (z) holomorf is voor \\z\\ lt;1 en \\f [z) \\ lt;1 voor
\\z \\ lt; 1, en er een puntenreeks (zn) is, convergeer end tot 1, waarbij
een beeldsuite (wn) behoort, die ook tot 1 convergeert, zoodanig, dat:

1— \\Wn\\

9--j-,M voor w co.

^ - I Zn I

I I _ ^12nbsp;12 _ z |2

dan geldt:nbsp;voor \\ z\\lt;l .... (4)

(Ongelijkheid van Julia). 39)

fi zullen we noemen: contractieconstante uit het theorema van
Julia.

39) C. Caratheodory, t.a.p., blz. 44 e.v., zie s).

c) Verband tusschen de correspondeerende stralen der raak-
bundels

Omdat door de in h genoemde lineaire transformaties cirkels,
in de oorsprong aan de imaginaire as rakend, omgezet worden in
cirkels in 1 aan de eenheidscirkel rakend, is de meetkundige
interpretatie van de ongelijkheid van Julia deze, dat het beeldpunt
van een punt z binnen de eenheidscirkel komt te liggen binnen
of öp een bepaalde cirkelomtrek, die in 1 aan de eenheidscirkel
raakt.

We duiden (zie fig. 16) de punten 1 en z door ^ en P aan.

het tweede snijpunt van AP met de eenheidscirkel door B, en de
uiteinden van de\' middellijn door P met K en L. Dan is:
AP ^ AP\' _ AP\'- _
PB AP.PB ~ KP . PL ~ l — \\z K
Duiden we in het zc^-vlak de overeenkomstige punten met ac-
centen aan, dan wordt de ongelijkheid van Julia:

A\'P\' AP

P\'B\'

Noemen we de straal van de cirkel door die in 1 aan de
eenheidscirkel raakt, r^, en de straal van de cirkel, die in 4- 1
aan de eenheidscirkel raakt, en waarop of waarbinnen w ligt,
rw, dan kunnen we uit het contractietheorema een betrekking
afleiden tusschen de stralen r^ en rw

Denk de eenheidscirkels op elkaar geplaatst, met de punten
en w = \\ op elkaar. Noemen we het snijpunt van

Verband tusschen r^ en r,,.

cirkel (rz) met de reëele as S, en het snijpunt van cirkel {rw) met
de reëele as S\', dan vindt men (fig. 17) gemakkelijk:

AS\'

S\'D ^\'SD\'
2rw : (2 — 2rw) =/u . 2rz: {2 — 2rz).

fw

1 — rw
rw =

\\-rz{\\-fi)

Opmerking: Tusschen de in (4), (5), (6) optredende grootheden
bestaat het volgende verband:

AP

1 — rz PB

(Analoog in het z£^-vlak).

d) Tweede bewijs voor de .Stelling van Julia

Een tweede bewijs van de Stelling van Julia vinden we door
de volgende limietovergang uit het contractietheorema van Schwarz
(§ 12). .

Noem Sj^ en s^^ de snijpunten van de orthogonaalcirkel door
z en z^j met C], en en de snijpunten van de orthogonaal-
cirkel door w en w^^ met C]^. (zie fig. 16).

Uitnbsp;^ volgt:

^n — hn

z — s,

boog

Uit de stelling: limnbsp;= ^ (i^ een cirkel), als de lengte

van de koorde tot nul nadert, leiden we af, in verband met

1 -!
1 — I

lim

n-^co

Er komt dus, als we het punt, waarin de orthogonaalcirkel
door 2 en -f I de cirkel C\\ nogmaals snijdt, s^ noemen, en het over-
eenkomstige punt in het z^i-vlak s^\':

l-s.

z — 1

1-V

stellen we de punten z en s^, w en resp. door P en S^, P\' en
voor, 2=4-1 door A en te» = -j- 1 door A\', dan vindt men.

en Si

stellend (waarbij blijkt, dat de plaats van P door de hoeken ö en a
bepaald wordt), met analoge aanduiding in het z£;-vlak:

\'2—1 j . i 2 — Si [ ^ PA .
! 1 — Si Inbsp;S^A

_ PA . PS^. PC
5iy4 . PC
PA

= ......(8)

omdat, als D het tegenpunt van A is in de eenheidscirkel, uit de
gelijkvormigheid van A -D^i^ en /\\CAP gemakkelijk blijkt:
S^A .PC = PA. 2 (zie fig. 18).

Analoog:

Uit (7), (8), (9) volgt:

w~ \\ ^
TZT

Dit is de ongelijkheid van Julia (zie b).

e) Verband tusschen de contractieconstante van Julia n en de
halfvlakconstante X ,

We kunnen de vergelijking van een cirkel met straal Tz, die in
het punt 1 aan de eenheidscirkel raakt (en binnen de cirkel
ligt) als volgt schrijven:

z = {\\ —rz) rz . e\'^quot; {dz variabel).
1 4- z

Door de transformatie: = ^ ^ wordt deze cirkel omgezet
in de rechte:

f .cotglö......■ . . (10)

\'znbsp;\'z

Evenzoo wordt het beeld van de binnen | ! — 1 gelegen cirkel
met straal Yw, die in 1 aan de cirkel raakt, voorgesteld door:

w\'nbsp;^.......

Tuu

De binnengebieden van de cirkels met stralen Yz en Tw corres-
pondeeren met de halfvlakken rechts van de rechten (10) en (11).
u\'

Indien nu lim — {y constant) = l is, dan is:

u\'^Xx\', voor elk punt z\' in het R.H.V.,
zoodat uit (10) en (ll) volgt:

1 ~rw ^ ^ Lui!,

rw ~ YZ \'

........(\'2)

Vergelijking met (4)en(6)doet zien,dat dus het contractietheorema

van Julia geldt, met ^ = ^ als contractieconstante. De afleiding

voor het contractietheorema met deze constante, is onafhankelijk van
de beide bewijzen, in a) en d) van het theorema van Julia gegeven.
Noemen we fi de kleinste contractieconstante uit de ongelijkheid

van Julia, dan isnbsp;^ a =

dus:nbsp;fi.l^X............(13)

Omgekeerd, indien ^ een contractieconstante van Julia is, en
dus volgens (5):nbsp;= ^T^

volgt uit (10) en (11):

u = - a; , \'dus: — ^
^nbsp;x\' — IX

u\'nbsp;1

dus ooknbsp;X = lim — (y const.) ^

«\'-gt;-00 ^ f^

of:nbsp;..............(14)

Uit (13) en (14) volgt:nbsp;m.a.w.:

de kleinste contractieconstante ju uit het theorema van Julia voor
de eenheidscirkels, en de halfvlakconstante l zijn eikaars recifroke
waarden.

f) Invariantie van de n. e. afstand van de correspondeerende
bundelexemplaren

De n.e. afstand van 2 cirkels Fz, en Fz^ uit de raakhundel van cir-
kels {Cl, -f 1), welke cirkels resp. door de punten z-^ en z^.gaan, is
gelijk aan de \'n.e. afstand van_ de 2 cirkels F^, en Fw^ uit de raak-
hundel van cirkels {C]^, 1), binnen of op welke exemplaren volgens
het theorema van Julia de punten Wy=f (^j) en w^=f {zo) gelegen
moeten zijn.

Bewijs: Deze stelling, die men door limietovergang uit § 12 kan
bewijzen, kan ook bewezen worden door gebruik te maken van
de

in c gevonden betrekking tusschen de stralen van correspon-
deerende cirkels:

rwnbsp;Yz

— IX . --

1 — rwnbsp;1 — ra

Omdat we weten, dat Fz, en Fz^ aequadistante krommen zijn,
(zie § 11 c) hebben we, de snijpunten dezer cirkels met de reëele
assen en noemend, — en analoog voor Fw, en Fw^ — slechts
de gelijkheid aan te toonen van de dubbel verhoudingen:

{Sw,, Sw„ 1,-1) en {Sz„ Sz„ 1, — 1). ■
Rekenen we déze dubbel verhoudingen uit, dan blijkt:

2 — 2 —

= —kr-!^

2 —

-(S.,, 1, — 1).

Opmerkingen: 1, De stelling komt neer op de eigenschap, dat
bij lineaire transformatie, de waarde eener dubbelverhouding, en
daarmee de n.e. afstand, invariant blijft.

2. Met deze stelling vinden we opnieuw (vgl. § 14a), dat het ge-
lijkteeken in de ongelijkheid van Julia algemeen geldt, indien
het voor één punt geldt. Immers, als z-^ het punt is, waarvoor het
gelijkteeken geldt, en Zg is een punt van de cirkel door en 1,
die C\\ orthogonaal snijdt, dan geldt voor w^.

[w^w^ ^ [zj^a],
volgens de zoo juist bewezen stelling, en

[V2\\ =nbsp;volgens § 12.

dusnbsp;Pi\'^2] = [•^i\'^\'J-

De betrekking tusschen ze» en z is dus lineair en het gelijkteeken
geldt algemeen.

g)nbsp;Vorm van de lineaire functie

De vorm der lineaire functie w =f{z), voor het geval in de
ongelijkheid van Julia het gelijkteeken geldt, welke vorm door
Caratheodory vermeld wordt op blz. 43 van de geciteerde ver-
handeling: Über die Winkelderivierten enz., is a.v. te bepalen.

Na transformatie van de eenheidscirkels op de halfvlakken door

middel van:nbsp;z.\' =nbsp;= IJli,

1 — wnbsp;1 — z

heeft men:nbsp;juw\' = z\' qi,

uit welke drie betrekkingen volgt:

ze; = (1

(1 nbsp;-f a/)-

h)nbsp;Over verschillende waarden van de contractieconstante fi

Indien niet voor alle suites die tot -f 1 convergeeren, en

waarvoor de suites der beeldpunten \\wn) eveneens tot -f 1 conver-
geeren, li

n-

\\ — \\Wn

1 \\ .. \\ ^ (eindig) is, en uit deze suite is nu een deelsuite
1 — \\ ^n \\

te extraheeren, met een limiet fj.. waarvoor b.v. genomen kan

Worden de limes superior van de suite | | j.

1 — I Zn I

Voor deze fx, en tevens voor alle grootere, geldt de ongelijkheid
van Julia.

Uit § IOÔ volgt, dat de reëele grootheid /jl niet nul is.
Indien geen M te vinden is,, kan men zeggen, dat de ongelijk-
heid van Julia nog geldt, met fj. =oo. De bijbehoorende waarde
in het halfvlak van A is 0. Het contractietheorema leert in dit
geval slechts, dat het beeldpunt van elke 2 met | 2 ] lt; 1 binnen
de eenheidscirkel ligt.

Alléén voor ju. ^ 1 heeft het zin, het theorema van Julia een
contractietheorema te noemen.

§ 15 — De Stelling van Wolff als gevolg van die van Julia

De stelling van Wolff volgt ten deele uit die van Julia.

1\\

Immers, wegens 1--. / (a,) = heeft men voor de suite

nj

{a„) en de beeldsuite {/ (a,,) |, die beide tót het punt a op de een-
heidscirkel convergeeren (voor welk punt we in de stelling van
Julia het punt -f I namen):

—i-T^—i— = -^-;--^ 1 voor W OO,

1 — I a. j I 1 — I cr, J

waaruit Wolff\'s contractietheorema volgt met // = 1.

We merken echter op, dat de stelling van Wolff het bewijs

inhoudt van het bestaan van een invariant punt op de contour

i.j =1.

§16 — Caratheodory\'s omkeering van de Stelling van Julia ^o)

Onderstelling: a) w = f (2) is holomorf voor \\ z \\ lt;], en niet = 1.

b) Er is een -positief getal ju, zoodat voor | 2 | lt; /

__geldt: :

C. Caratheodory, t.a.p., blz. 45., zie noot

O -= i ^ —

1—\\W = ^ \'1—\\Z

Bewering: a) \\ f {z) \\ lt; 1.

h) er zijn puntenreeksen (z,,) met
Zn -gt; i
Wn 1

l—\\Wn

en lim

»-gt;•00 1 ~~ I Zn

Bewijs: | te\' j lt; 1; was er n.1. een z^ met | jx^j | = | / (^j) | ^ 1,
dan zou het middelste lid uit b van de onderstelling oneindig
groot of negatief kunnen worden, in strijd met de voorwaarden,

II _ ^12

dat dit lid ^ O is, en ^ ^ . ^^-. zoodat dit middelste lid

eindig en positief moet zijn.

Neemt men een willekeurige suite punten (xn) op de reëele as,
met Xft-^ \\ voor n oo, dan volgt, wegens form. (6) van
§ 14c, uit de onder b gegeven ongelijkheid.

1 — I / (Xn) I lt; I 1 — / (Xn) \\ ^ 1 — r«,

Hiermee is het bestaan van puntenreeksen, voldoende aan de
drie voorwaarden uit de bewering, bewezen.

§ 17 — Uitbreiding van de stelling van Julia — hoekafgeleiden
a) Hoekbuurt (angulaire buurt) van een randpunt

Als een enkelvoudig samenhangend gebied Gw binnen de een-
heidscirkel Gz ligt, en de randen J w en Fz resp. een punt JX\'o en
een punt Zo bezitten, die met elkaar correspondeeren in de zin
van § 6, bevat de stelling van Julia een eigenschap over het ge-
drag van de functie w —f[z), die Gz op Gw conform afbeeldt,
in de buurt der randpunten Zo, Wq.

Dit gedrag kan nader onderzocht worden door bestudeering van
de afgeleide f\' (z) van / (z). Hierbij beperken we ons t.o.v. het ge-
bied, waarin /\' (z) wordt bestudeerd, tot een hoekbuurt [angulaire
buurt) van een randpunt, d.i. het deelgebied

van Gz, gelegen binnen
een hoek, met het randpunt tot hoekpunt, welks beenen Gz binnen-
dringen.

Indien /\' (z) gelijkmatig tot a nadert, voor\' z^zo in elke hoek-
buurt van Zo, zeggen we dat / (z) in Zo de hoekafgeleide {angulaire
afgeleide) a bezit.

b) Uitbreiding van de Stelling van Julia quot;)

Onderstelling: w = f {z) is holomorf voor xgt; 0; ugt; 0;

z = X -{- iy; w = u iv.
Bewering: Er is een c ^ O, zoodat f (z) ^c.z (p{z), met
a) R [ cp{z)] ^ O voor x gt; O,

^ voor z-^Qo, uniform in de hoek-

buurt \\z \\ lt; Mx van z =co {M gt; O en con-
stant), ■

c) (p\' (z) -gt; O voor z-gt;oo in deze hoekbuurt.
Bewijs: We weten (§10):

lim {y constant) = l (onafhankelijk van y).

Voor de c uit de bewering kiezen we deze limiet,
Gmdat l de benedenste grens is van alle hebben we

lt;p{z) = i it] stellend: ^ = u — Xx^O.
Uit § 13c blijkt, dat, wanneer voor eenig punt z uit het R.H.V.
geldt ^ = O, f = O en (z) == constant. Dan is dus stellig -gt; 0.

We mogen voor het verdere bewijs dus onderstellen: f gt; 0.

Passen we nu het theorema van Schwarz (§ 10) toe, dan vin-
den we:

==(?lt;!, .... (1)

indien y (zp) en Zo de spiegelpunten zijn van cp (zo) en z» t.o.v. de
imaginaire as.
Stel nu:

quot;) Vergdijk: J. Wolff, Sur une généralisation d\'un théorème de Schwarz,
Comptes rendus, Sept. 1926, blz. 500, e.v.

E. Landau en G. Valiron, A deduction from Schwarz\'s Lemma, Journal
of the London Mathematical Society, Vol. IV, 1929,blz 162 en\'163.

(p jz) — irjo ^

fa

dan gaat (1) over in:
t—\\
t \\

Hieruit volgt:

t I

^ Q, dus stellig

1 _ (1 Qf _
1-0

Z-Zo

[| ^ —go I I -g —I?
I 2 — |o — I ^ — -2^0

De noemer van het rechterlid is:

[[X xoY {y — yon - [{X - xo)^ {y- yo)\'] = .

De teller is kleiner dan:

Uo| 1^1 |^o|?=4[|2i |2o|?.

Dus:

1^0 I?

\' \'nbsp;X . Xo

Uit (2) Voigt:

(p {z) ^t {z) . ^o iy]o,
dus in verband met (4):

, [| ^ I I ^O

Xo\' X . \\ Z \\

(piz)

zoodat: lim sup

z-gt;co

hoekbuurt.

Omdat — — X en — -gt;A, voor Xo^oo {yo constant),

Xo Xonbsp;Xo

kan men door behoorlijke keuze van Zq de waarde — willekeurig

^ —. M, voor 2 -gt; oo in de gegeven

Xo

klein maken, en — . M dus eveneens. Hieruit volgt:

Xo

lim sup ^ = 0. (angulair)

ir-»oo Znbsp;\\ O /

De bewering onder b) is dus bewezen.
Verder is:

XXnbsp;z

in de gegeven hoekbuurt.
De stelling is hiermee volledig bewezen.

Gevolg: Als w = f{z) holomorf is voor xgt; O met ugt; O, geldt:

en f\'

z

voor z-^co in elke hoekbuurt van z =co, indien X de bekende
beteekenis heeft.

c) Hoekafgeleide van w =f (z), hol. voor xgt; O met u gt; O,
in z == O

Alsw =f [z] holomorf is voor x gt; O met u gt; O, en z = O, w O
zijn correspondeerende randpunten, geldt:

^^^^ -l en f\'{z)-^l

z

voor z~^0 in elke hoekbuurt van z = O, waarbij de waarde l = oo
moet worden toegelaten.

Bewijs: Door de transformaties z\' ==-, w\' wordt elkehoek-

znbsp;w

buurt van z = O getransformeerd in een hoekbuurt van z\' = oo
(met dezelfde opening), w = f {z) wordt getransformeerd in
w\' ^ F {z\'), holomorf voor z\' gt; O met w\' gt; 0.

Dus:

F{z\') „

en F\' [z\') -gt; X\' voor z\' oo (angulair).

Hieruit volgt: 7 ^ = ^ (angulair), vcor X\' ^ 0.

en, wegensnbsp;dw ^dw dj^ ^^

dz dw\'\' dz\' \' dz

dw _ z\'^ dw\'

Ti 17\'.

= (angulair).

Opmerking. Voor l\' = {) gaat de stelling door met l = oo.
In de eerste plaats is: ^-gt;00, terwijl ook ^-gt;00 moet zijn,

gemakkelijk afgeleid zou kunnen worden:

oi

omdat uit
lt; M.

d) Hoekafgeleide van w = f (z), hol. voor | z ] lt; 1 met | w j lt; 1,
in z = H^ 1

Met behulp van § 1is het contractietheorema van Julia, ge-
formuleerd in § \\Ab a.v. uit te breiden.

Als w =f {z) holomorf is voor \\z \\ lt; 1 met \\ w \\ lt; 1, en het

quotiënt ^-1 ] is begrensd op een puntensuite [zn) -gt; i met

■L ■— I I

{wn) ^ i, heeft w — f {z) een hoekafgeleide l^O in z~-\\-l.

Bewijs: We kunnen uit {zn) een deelsuite extraheeren, — die we
opnieuw als (2,,) aanduiden, — waarvoor geldt (zie § 14A):

\\ — \\Wn

eindige limes /x, voor n-^00.

Toepassing van § \\Ab geeft, na transformatie op het R.H.V., als
aangegeven in § \\Ae:

alle — gt;

X\' — fX

dus:nbsp;lim quot; (y\' constant) = A\' ^

a;\'-»oo X

w\' = F {z\') heeft dus een hoekafgeleide A\' ^ in z\' = 00,
w\'

terwijl ook —(angulair), volgens § 17amp;.
z

TT-^nbsp;— 1nbsp;W\'

1 —w _ 1 nbsp;_ 1_

l — z ~ \\ ^ w\'\'^ X\'
dw (\\ z\' V dw\'nbsp;1

dz 11 w\'

(Elke hoekbuurt van z\' =oo ligt in een hoekbuurt van z = 1,
en omgekeerd).

1 \'

Uit X\' ^ — volgt l ^ de hoekafgeleide van / (z) voor z -gt; \\

is dus eindig; uit de eindigheid van X\' volgt: / r^ 0.

Opmerking: Laten we de onderstelling, dat |-j-^j begrensd

1 — I Zn\\

is, vervallen, dan vinden we in dit bewijs X\' ^ 0; de conclusie,

dat er een hoekafgeleide is in z = 1, vervalt nu voor het geval,

• 1 ■— w dw
dat A\' =0 geldt, /w dit geval convergeeren: ^-^ en ^ voor

2 1 (angulair) uniform tot 00.

e) Hoekafgeleide in het overdrachtelijk dekpunt der functie f (z)
van § 13b

Als 1 het overdrachtelijk dekpunt is der functie w = f{z)^
holomorf voor \\ z \\ lt; l,. met w z voor 1| lt; 1, welks bestaan
bewezen is in § 13amp;, volgt uit het bewijs onder d, dat de functie
in dit overdrachtelijk dekpunt een hoekafgeleide ^ 1 en gt; O heeft.

/) Opmerking over de bewijzen van Wolff, en Landau-Valiron
van de besproken uitbreiding van het theorema van Julia

De stelling van § 1wordt door Valiron op name van
hem en Landau geschreven, We merken echter öp, dat deze
stelling reeds volledig bewezen is in het artikel van Wolff van
Sept. 1926 uit de Comptes Rendus.

De stelling is voorts bewezen door Caratheodory, op blz.
49 en 50 van zijn in noot 8 geciteerde publicatie, die ongeveer
tegelijk met die van Valiron en Landau is verschenen (Maart
1929).\'

G. Valiron, Bulletin des Sciences mathématiques. Maart 1929; blz. 76.
E. Landau en G. Valiron, Journal of the London Mathem. Society,
vol. IV, 1929; blz. 162—163,

tHOOFDSTUKIV

CONFORMITEIT DER AFBEELDING IN
EEN RANDPUNT

§ 18 — Definities van lioektrouw en conformiteit der afbeelding
in een randpunt — 1. Men zegt, dat de afbeelding van een gebied
G~ op de eenheidscirkelschijf (| z«; | lt; 1) hoektrouw is in het
grenspunt Zo van Gz, indien met Zo een punt Wo op de grens Fw
van Gw correspondeert, zóó, dat twee koorden en k.^^^, die elkaar
in 100 onder een hoek O snijden, beelden zijn van krommen k^
en k^^, die elkaar in Zo onder dezelfde hoek 0 snijden.

2. Men zegt, dat de afbeelding van een gebied Gz op de een-
heidscirkelschijf Gw conform is in het grenspunt Zo van (angu-
lair conform), indien de plaatselijke vergrooting Nz„, als tot Zg
convergeert, een eindige, van nul verschillende limiet heeft; 2„
wordt hier beperkt tot een angulaire buurt van zl (zie § 17a).

Uit de conformiteit in Zo volgt de hoektrouw in Zo, niet om-
gekeerd.

§ 19 — Analytische randkrommen — Alsw = f [z) het gebied Gz,
begrensd door de analytische kromme, of de uit analytische bogen
bestaande contour, Fz, cmiform afbeeldt op de eenheidscirkelschijf Gw
contour Fw, dan is de afbeelding angidair conform in elk inwendig-
punt Zo der analytische bogen.

Bewijs: 13eze stelling volgt onmiddellijk uit de eigenschap, dat
de afbeeldingsfunctie w — f (z) over Zo voortzetbaar is. Door deze
voortzetting wordt een omgeving van Zg afgebeeld op een om-
geving van Wo, door een holomorfe functie w = xp (z), die in G^
met w = f {z) samenvalt, en die als beeld van een analytische
deelboog van Fz, met Zo als inwendig punt, geeft een deelboog
van de eenheidscirkel Fw, met het met Zo correspondeerend punt

5

Wo als inwendig punt. In Zo is^^ 0, dus de afbeelding is con-
/dw\\

form. Was toch — =0, dan moest het beeld van de ana-

Jzo

lytische boog, waarop Zo ligt, een dubbelpunt of een meervoudig
punt in Wo hebben.

h) In de hoekpunten van analytische hegrenzingsbogen is i.h.a,
conformiteit uitgesloten.

Bewijs: Is n.1. de hoek der analytische bogen, die in het rand-
punt Zo van Fz samenkomen = a gt; jt, dan kan men in Gz twee
krommen trekken, die in Zo uitmonden, en elkaar daar onder
een hoek ß gt; ti snijden, terwijl de beeldkrommen in G^ elkaar in
het met Zo correspondeerend punt Wo onder een hoek ^ ji moeten
snijden, zoodat hoektrouw is uitgesloten, en conformiteit dus
eveneens.nbsp;^

Is de hoek a ti, dan kan men in Gw twee in Wo uitmondende
koorden trekken, die elkaar onder een hoek ß gt; a snijden, terwijl
de beeldkrommen in Gz elkaar onder een hoek ^ a moeten snij-
den, zoodat ook nu hoektrouw is uitgesloten, en conformiteit
dus eveneens.

Slechts in het geval a = jr is conformiteit in Zo mogelijk. Als

de beide bogen in Zo tangentiëel aaneensluiten, en

(waarin to de bij Zo behoorende parameter is), op beide bogen,
dan heeft ieder dier bogen in Zo een van nul verschillende kromte-
straal. De angulaire conformiteit in Zo volgt nu met behulp van
het in § 21 te bewijzen criterium.

c) Uit de volgende paragrafen zal blijken, dat ook bij begrenzings-
krommen van Jordan in punten, die géén inwendige punten van
analytische deelbogen zijn, angulaire conformiteit mogelijk is. Het
staat echter vast, dat hier een criterium niet gevonden zal kunnen
worden, door de voortzetbaarheid der afbeeldingsfunctie over de
desbetreffende punten te bewijzen. Indien n.1. deze functie over
een punt Zo van Fz voortzetbaar is, dan volgt hieruit, dat Zo in-
wendig punt eener analytische deelboog is, in strijd met de onder-
stelling. Voor het opsporen van criteria voor randconformiteit^bij niet-
analytische begrenzingsbogen moeten we dus andere wegen inslaan.

§ 20 — Hoekafgeleide en angulaire conformiteit — Als w = f {z),
holomorf in het R.H.V., in een punt Zo van de rand Fz een eindige,
van nul verschillende hoekafgeleide heeft, is de afbeelding van het
R.H.V. op het beeldgebied Gw angulair conform in Zg.

Bewijs: Kies voor Zo de oorsprong en onderstel, dat met Zo
w = O correspondeert. Stel de hoekafgeleide Xo . eiOo. (Ao^t 0).

z

Geef £ gt; 0; dan volgt uit w — j f\'{z) . dz, dat men een

Ô kan bepalen, zóó dat voor ] ] en | ^ | lt; ó (in een angulaire

lt; e, dus ook

W-,

-Ao .

buurt van z = 0) voldaan is aan:

w.

X„ . eiSo

Dus is: —gt; Xo . ei^o voor zO (angulair). Hieruit volgt de an-
z

gulaire conformiteit.

\' Opmerkingen: 1. Als ^geheel in het R.H.V. ligt, en er is een
\' hoekafgeleide in O, dan is de waarde van do steeds O, omdat voor
Oo ^ O het beeldgebied van een hoek, met opening voldoend dicht
bij ji, in het R.H.V., ten deele buiten het R.H.V. zou komen te
vallen.

2. Uit f\'{z)-yX [angulair) volgt, volgens deze paragraaf--^X

[angulair).

Omgekeerd volgt uit —[angulair), dat f\'[z)-yX [angulair).
z

Dit is in § 17amp; bewezen voor een angulaire buurt vanz = oo. Voor
een angulaire buurt van = O volgt de stelling uit de transfor-
matie —nbsp;waardoor w = f [z) overgaat in een functie

w\' = F [z\').

Dan is voor 2\'oo (angulair): -;jdus
Uit:

dz dw\' ■ dz\' ■ dz w\'^ \' dz\'
dvD

volgt nu:nbsp;\'dz\'^ ^ (angulair).

Zijn Zo en Wo de correspondeerende randpunten, dan moet inquot;
deze stelling de uitdrukking lim - vervangen worden door

Z-gt;Zo Z

W-Wo.

z^ Zo z-Zo

de verandering in het bewijs ligt voor de hand.

§ 21 — Criterium van Caratheodory-Valiron

Onderstelling: 1° w = f (z) is holomorf voor x O:

2° z = (p {w), de inverse functie van w = f {z), is

holomorf voor u gt; a;
3° w^cx) voor z-^oo {twee-dimensionaal).

Bewering: ang. limiet - gt; 0.

ixJ

Bewijs: Voor z-^oo, angulair, is --^A^O.

Voor w -^oo, angulair, isnbsp;0.

w

omdat het gebied {u gt; a) ook een halfvlak is.

rnbsp;Z 1

Voor z oo, y = O, is - van welke limiet we willen aan-
zei /

toonen, dat ze niet oo is.

Het beeld van de positieve, reëele as noemen we F^, welke
kromme zich op grond van onderstelling 3° tot in het oneindige
uitstrekt.

Nu is op Fw\'.nbsp;- -

w l

en op de reëele as: — n.

w

Oi^dat - nooit negatief is, dus „begrensd in ruimere zinquot;, —

zie opmerking 2, — moeten deze twee limieten gelijk zijn; /i = 0.
1

Uit: ^ O en ^ = O, en beide eindig, volgt: k gt; 0.

De afbeelding van gebied Gw, dat door z = (p (w) een aan een en
conform afgebeeld wordt op het R.H.V., is dus onder de voor-
waarden in de onderstelling genoemd, angulair conform in het
oneindig verre punt.

Opmerkingen: 1. Voor het geval, dat het holomorfiegebied van
w = f (z) de eenheidscir keischijf is, vinden we voor het criterium
de volgende vorm: de afbeelding van een enkelvoudig samenhangend
schlicht gebied Gw {rand Fw) op de eenheidscir keischijf Gz {rand Fz)
is angulair conform in elk punt Wo van ■ Fw, waar Fw ligt tusschen
twee elkaar in dat punt rakende cirkels (zie fig. 19).

2. We hebben in bovenstaand bewijs gebruik gemaakt van de
volgende stelling:

een functie w = f (2), holomorf en begrensd in een gebied Gz en
op de rand Fz links-camp;ntinu en rechts-continu in een punt Zo, kan
langs Fz in twee verschillende richtingen naar Zo géén ttvee verschil-
lende limieten hebben.

Onderstelling: Een voor I 2 I lt;C holomorfe, begrensde functie
F (2) is in het punt A van de cirkel ] 2 ] = niet
gedefinieerd.

7V-.« T7 t-A ^ \\ i ^\\\\voor z naderend tot A
hm i\' (2) -f zfla (= fl)Jnbsp;• , 7 . ;

Uangs de cirkelomtrek,

lim F (2) = bi ib^ {= b) iin twee verschillende

] richtingen.

Beïvering: a =b.

Bewijs: Omdat F {z) begrensd is, is F (2) gelijk aan haar Poisson-
integraal

waarin

Beschouw nu de functie yj, d.i. de hoek tusschen de (halve)
raaklijn ^fi in A en de voerstraal van A naar een punt z binnen
de cirkel. Zie fig. 21.

Dan is, als we F {z) = U {z).-\\- i . V (2) stellen,

U (z) — ai

bi — ßjnbsp;Jl

een harmonische functie binnen de cirkel. Deze neemt in A zoowel
rechts als links de randlimiet nul aan. Definieeren we nu de waarde
dezer harmonische functie in dit punt als nul, dan is de rand-
waardencollectie continu in A en moet de harmonische functie
hier de tweedimensionale limiet nul hebben.

U — a-, w

Dus:nbsp;y-

Ol - «1

d.i. als we tot A naderen volgens een koorde, die de hoek n bij A
in verhouding van m tot n verdeelt, zoodat

m

V — -;— •

w w

dan is:nbsp;»nbsp;U

langs deze koorde.

Evenzoo:nbsp;V

langs deze koorde,
dus:nbsp;F (z) ■

langs deze koorde.

F (z) nadert dus als a b, langs twee verschillende koorden
tot 2 verschillende limieten.

Een begrensde holomorfe functie, die iti een randpunt een radiale
limiet heeft, heeft echter, volgens Fatou, deze limiet angtdair, zoodat
twee verschillende limieten zijn uitgesloten.

Uit deze contradictie volgt: a = b.

Geven we, inplaats van de voorwaarden van het begrensd zijn,
de voorwaarde, dat / (2) de waarden van een bepaald deelgebied
van het vlak niet aanneemt, of een continuum van waarden, b.v.
een lijnsegment, niet aanneemt, dan vindt men door een passende
transformatie het vorig geval terug, zoodat de stelling blijft gelden.

Ook deze functies noemen we begrensd, „in ruimere zinquot;.

3. Alle inwendige punten van analytische bogen voldoen aan het
criterium van Caratheodory—Valiron, waaruit dus opnieuw de

reeds in § 19a bewezen angulaire comformiteit in deze punten volgt.
Dat echter het bewezen criterium veel verder reikt, blijkt uit het voor-
beeld van Caratheodory uit hoofdstuk I, § 3, blz. 12. Het criterium
geeft n.l. onmiddellijk de conformiteit in z = 1 van de afbeel-
ding van het door die kromme begrensd deelgebied Gz van de een-
heidscirkelschijf I 2 j lt; 1 op de eenheidscirkelschijf G„{\\w\\lt; 1)\',
als we met z = I w = ^ \\ doen correspondeeren, en b.V.
met 2 = 0 = — 1.

Toch is de functie z = (p{w), die G^ op Gz afbeeldt, discontinu
in = -f- 1. Dit is in verband met het feit, dat zé; -f 1 beeldpunt
is van de heele cirkelomtrek | z | = 1, incl. de punten z = — 1,
z ~ I (zie hoofdstuk I, § 6) duidelijk te maken a.v.: in elke om-
geving van w = \\ liggen beeldpunten van z == — 1, welk punt
van aftelbaar oneindige veelvuldigheid is, dus liggen in elke om-
geving van w = -i- \\ ook beeldpunten van punten uit de omge-
vingen van 2 =— 1. Er is dus een e (zelfs gt;1), zóódat er voor
elke ó punten w zijn aan te geven, met \\ z — 1 | gt; e en | — 1 ] lt;
Hieruit volgt de discontinuïteit van z ~ (p {w) in w = \\ .

Voor 2 1 is -gt; -f- 1, wel angulair, maar niet tweedimen-
sionaal.

4. Geen enkel punt van de kromme van Helge von Koch
voldoet aan het criterium van Caratheodory—Valiron, zooals

Fig. 22.

Voorbeeld van een gebied, waarop
een cirkeLschijf conform kan worden
afgebeeld, zóó dat er angulaire confor-
miteit is in een randpunt, en toch de
afbeeldingsfunctie in géén enkele om-
geving van dit randpunt begrensd is..

reeds blijkt uit het feit, dat dit criterium voor de randconfor-
miteit in een punt Zo het bestaan van een raaklijn aan jT^ in Zo
eischt. Toch mag men hieruit nog niet concludeeren, dat genoemde
kromme géén enkel punt zou bezitten, waarin de afbeelding con-
form is.

5. Een eenvoudige transformatie doet het in 3 bedoelde gebied
Gz overgaan in een gebied Gz\', bestaande uit het rechterhalfvlak
minus een aftelbare verzameling van halfstralen, waarvan door
w —f{z\') een afbeelding op | te | lt; 1 te verkrijgen is, die in
z\' =0, w = \\ conform is, maar niet tweedimensionaal continu,
terwijl, als w = -f 1 met 2\' =0 correspondeert, de functie z\' {w)
in géén enkele omgeving van ze; = -f 1 begrensd is (Caratheo-
dory, t.a.p., blz. 54). — Zie fig. 22.

§ 22 — Criterium van Wolff

a) Hulpstelling I.

Onderstelling: w — f (2) is holomorf binnen cirkel Kz\' {middel-
punt niz; straal rz).: alle functiewaarden liggen,
of binnen cirkel Lw, óf buiten cirkel L^ [middel-
punt mw, straal rw)-
[zn), in Kz, quot;gt; az op Kz)
(?£)„) -gt; aw qp Lwnbsp;)

[zn, Kz) =■ afstand van Zn tot cirkel Kz, d.i.

rz — \\ Zn — niz
[Wn, Lw) = afstand van .xvn tot cirkel Lw, d.i.

1 rw — I Wn — Ww 11.

[Wn, Lw) ^ [constant) op de puntensuite (z,,.).
[Zn, Kz)

Bewering: zv = f [z) heeft een hoekafgeleide in az.

Beïvijs: Deze hulpstelling is slechts een andere formuleering
van de in § 17i bewezen stelling over de hoekafgeleide.
Immers, door enkele elementaire transformaties [translatie
van het z- en het zc-vlak; vermenigvuldiging t.o.v. de oor-
sprong met — en ^ en rotatie der eenheidscirkeischijven, die dan
ontstaan, met nog eventueel een inversie van het nieuwe zc-vlak]

gaat de laatste eisch, die in de onderstelling genoemd is, over in:

1 - i Wn

lt; M\' (constant).

1

zoodat we de genoemde § 17^^ kunnen toepassen.
b\\ Hulpstelling II:

Onderstelling: Een puntensuite {Pn) -gt; O ligt geheel binnen of
op de cirkel met straal q, die in O aan de y-as
raakt.

In O raken eveneens aan de y-as: een cirkel met
straal r en een cirkel met straal R;

Q lt;r lt; R.
dr„ is de afstand van Pn tot cirkel r,
is de afstand van Pn tot cirkel R.

Bewering: ~ is naar onderen en naar boven begrensd. (Zie
fig. 23).

Bewijs: Men heeft, 0P„ en ^ P„(9A\' = (p,, stellend:

drn =r — ^{r — Xn)quot;quot; - r — —cos 9.,.

Binnen cirkel q is:

_j_ y2 — 2xi) lt; O, dus: s lt;2q cos rp.

Nu is:

r — Vs» ^^ — 2rsn cos y„
R — R^-2RSn.C0S cpn

_ 2r cosy„-Sn R V4 R^-2RSn cos (pn

- \'2Rcoslt;pn-Sn\' , V^ r^ - 2rsn cos lt;pn

gt;

R

dr

Hierbij volgt: is naar beneden begrensd

dra

Voorts volgt uit:

- dr,, lt; dR„ dat ^^
d) Criterium van Wolff

Onderstelling: Gz is een enkelvoudig samenhangend gebied, dat
door w — f {z) conform wordt afgebeeld op de een-
heidscirkelschijf Gw; Zo en Wo zijn correspondeerende
randpunten op de randen F^en Fw (zie: § 4 en § 6).
Gz bevat een cirkelschijf waarvan de rand y,
door Zo gaat, Gw bevat een cirkelschijf dw, waarvan
■ de rand Cw if^ \'^0 aaw I w raakt, en waarvan het beeld

ing. 24«. Criterium van Wolff. Fig. 246.

J. Wolff, Sur la dérivée angulaire dans la repré.sentation conforme;
Comptes rendus, 3 Maart 1930, blz. 575.

dz öf geheel binnen, of geheel buiten een cirkel Xz
ligt, die door Zo gaat.

Bewering: De afbeelding van Gz op Gw is conform in de rand-
punten Zo en Wo. (Zie fig. 24a en b).

Bewijs: De cirkelschijf dw wordt door de transformatie afgebeeld
op een gebied, dat aan één kant van de cirkelomtrek kz ligt; indien
dus voor eenige in dw gelegen puntensuite (ze») ^ Wo gold^

{Zn kz)

, begrensd, zou volgens hulpstelling I de afbeelding con-

Cw)

form zijn in de punten (iVo, Zo).

De cirkelschijf dz wordt door de transformatie afgebeeld op
een gebied, dat geheel binnen de cirkelomtrek Fw ligt: indien dus

voor eenige in dz gelegen puntensuite (zn) Zo gold: fa\'*\'

(2^«, yn)

begrensd, zou volgens hulpstelling I de afbeelding conform zijn in
de punten {zo, Wo).

Ontkennen we dus de stelling, dan moeten we hebben:

CO voor elke puntensuite {Wn)-^Wo, in dw . . . (1)

^n ^ quot;l) QQ vQQj- gii^g puntensuite (zn) Zo, in lt;5^ . . . (2)
(Zn, yz)

We toonen aan, dat deze beide betrekkingen tot een contra-
dictie voeren.

Maak t.o.v. de ligging van kz en yz twee onderstellingen:

1° yz en \'A^ snijden elkaar. Er is dan een cirkelsikkel Sz, waar
dz niet in doordringt, zóódat het beeld Sw van Sz liggen moet
binnen Fm, maar buiten Cw.

2° yz en kz raken elkaar. (Zie fig. 25). Zij nu ó\'^ een cirkelschijf,
binnen dz waarvan de rand y\'^ in Zo aan yz raakt, en d\'^ een cirkel-
schijf binnen dw, waarvan de rand c^ in Wo aan c» raakt. Dan kan
het beeld ^^ van met d\'^ géén puntensuite gemeen hebben, die
tot Wo convergeert.

(z k)

In verband met —naar boven en naar onderen begrensd
[Zn, yz)

(hulpstelling II) volgt n.1. voor een dergelijke puntensuite, in. d^
èn in d\'„ uit (1): -

{Zn, yz)
{Wn, Cw)

{Wn,rw)
En in verband met y-

oo

naar boven en naar onderen be-

{Wn, Cw)

grensd, volgt uit die hulpstelling voor de beeldsuite in d\'^ uit (2):

{Wn, Cm)

co

r-) -............

Omdat (3) en (4) elkaar uitsluiten, heeft dz met d\'^ géén tot Zo
convergeerende puntensuite gemeen.

In elk geval kan men door in Gz dus een verzameling seg-
menten Oz trekken, die een positieve hoek 6 (die in het tweede
geval = Jl is,) nabij Zo bedekken, en waarvan de beeldkrommen
door iVo alle in Gw, maar buiten d\'^ liggen.

Fig. 25.nbsp;Fig. 2C.

Criterium van Wolff. ¹) \'

Beschouw nu een enkelvoudig samenhangend gebied As iquot; Gz,
dat Zo tot randpunt heeft, en één der segmenten dz als deel van
de contour bevat, terwijl dz deelgebied van Aa is (fig. 25). Men kan
uit de segmentenverzameling (n^) het segment Oz zóó kiezen in lt;5^,
dat Az in de omgeving van Zo ligt binnen een hoek q — 2jt — s
{f. positief).

De rand van het beeld A® van Az Hgt binnen Fw, maar buiten
Cw, zóódat volgens het criterium van Caratheodory—-Valiron
de afbeelding, door de holomorfe functie C = C {w) van Atf op
de eenheidscirkelschijf ! C ! lt; 1 conform is in Wo (fig. 26).

1nbsp; In fig. 25 mag de cirkel A^ het gebied d^ niet snijden.

Z_z

V (t) = --^ is nu een holomorfe functie van f voor | f | lt;; 1 •

immers voor | C| lt; 1 is ze\' een holomorfe functie van C, de inverse

van C = t {w), en 2 is een hol. functie van zc; in A^., dus van ;

voor I f ! lt; 1, terwijl \\nbsp;voor | f | lt; 1.

Voor de functie cp (f) gelden nu de volgende 3 eigenschappen:

1°nbsp;voornbsp;op het beeld van (het beeld

van o^).

Omdat n.1. a^ de cirkel y^ onder een bepaalde hoek snijdt is

I z _ 2(3 I

■ {z, yz) \'nbsp;op ff,. Omdat 2 op cr^ tot nadert binnen Ó^,

is volgens (2):

ïz) ^nbsp;, \\z~zn

O, dus ook V—^ 0.

(w, Fw)nbsp;{W, F;

Maar, .nbsp;lt; i^H^u 0,

-Wo \\ {w, Fw)

zoodat 9? O voor ^Co op a^.

2° 95 (C) 00 op alle koorden van | f | lt; 1, door Co-
Omdat n.1. Ak- en | C | lt; 1 conform op elkaar zijn afgebeeld,
zal het beeld van een koorde k^, die de cirkel | C| = 1 onder een
hoek yj snijdt, een kromme kw zijn, die Cw in Wo onder een hoek y^
ontmoet. Deze kromme ligt dus in de omgeving van Wo stellig
binnen dw. Men vindt:

{w, Cw)nbsp;— Wo\\ sin yj,

(ttS ^ Lzie (1)] volgt:nbsp;-gt; 00.

■Wo

Nu is:nbsp;!nbsp;I gt;nbsp;_

\\w — Wo\\ I W-Wo I

dus 99 -gt; 00 langs genoemde koorden.

3° We kunnen een cirkelsegment van | C | ^ 1 bepalen, ten
deele begrensd door a^ en een koorde door U die elkaar onder
een hoek cp snijden, zóódat in dit segment cp (f) een argument
heeft, dat de waarden uit een bepaalde hoek niet aanneemt Zie
fig. 27.

Dit volgt uit: arg 9, (C) = arg (2 — 2«) — arg (w — Wo); als we
voor (p een hoek kiezen lt; (zie boven), liggen de argumenten

Fig. 27. Criterium van Wolff.

van 95 in een hoek ^ 2?! — ^e, zoodat de waarden uit een hoek
^ ontbreken.

(p {z) is dus, in de ruime zin, begrensd.

Volgens opmerking II, § 21, blz. 69 kan een begrensde functie
lt;p (C) de eigenschappen 1 ° en 2° niet bezitten.

Uit deze contradictie volgt de juistheid van het criterium.
Opmerking: Het kenmerk van Caratheodory—Valiron is als hij-
zonder geval opgesloten in dat van Wolff.

Immers, de cirkelschijf binnen G^ uit eerstgenoemd kenmerk
doet de dienst van de schijf èz uit het kenmerk van Wolff, en
de cirkelomtrek, waarbinnen G^ ligt, doet de dienst van de cirkel
Xs uit het kenmerk van Wolff. Elke cirkel schijf Cw, in j rc; | lt; 1
rakend aan | ze» | = 1 in het beschouwde randpunt, ligt aan één
zijde van Xz, omdat Gz in zijn geheel aan één zijde van Xz ligt.
Een afbeelding, die aan de voorwaarden van Caratheodory vol-
doet, voldoet dus tevens aan die van Wolff.

§ 23 — Tweede criterium van Caratheodory — Caratheodory geeft
(t.a.p. blz. 53) een tweede criterium, algemeener dan dat van § 4.
Onderstellingen: 1. w = f [z) beeldt het enkelvoudig samenhangend,
schlicht gebied Gz af op de eenheidscirkel-
schijf Gw;

2. Hz is een deelgebied van Gz, dat met Gz een
randpunt Pz gemeen heeft, welk randpunt met
w = 1 correspondeert;

3.nbsp;de rand Az van Hz is in de omgeving van P
analytisch ;

4.nbsp;het beeld Hw van Hz heeft een cirkelschijf, die
in w == 1 aan de eenheidscirkel | | = 7
raakt, tot deelgebied.

Bewering:nbsp;de afbeelding van Gz op Gw is conform inw — 1-

Bewijs: Beeld Hz door u = (p {z) één aan één en conform af op
de eenheidscirkelschijf Hu{\\u \\ lt;i\\), zóódat Pz correspondeert
met u = \\. Dan z = \\p {u) een holomorfe functie van u in Hu,
enw = f {y^ {u)] een holomorfe functie van u in Hu, die H u op Hw
afbeeldt.

Volgens het criterium van Caratheodory—Valiron is de
afbeelding van Hu op Hw conform in m = 1 (zie: onderstel-
ling 4); dus:

^ eindige limes, O, voor w -gt; 1, met | arg (1 — u) \\ ^ O

Pz is een inwendig punt van een analytische deelboog van
Az, dus u — (p (z) is over Pz voortzetbaar, en:
du

-j- -gt; eindige limes, O, voor z Pz, tweedimensionaal, dus

(ZZ

stellig angulair, in elk beeldgebied van de aangegeven angulaire
omgevingen van u —

dw dw du , ■
Uit:nbsp;volgt nu:

dz du dz

dxs)

eindige limes, O, voor z-^Pz (angulair).

De afbeelding van Gz op Gw is dus conform in zf^ = -f 1.
Opmerkingen: 1. Caratheodory stelt nog de eisch, dat een
deel der reëele as van het ze\'-vlak {h lt;iw lt;\\) beeld is van een
kromme U, die geheel in Hz ligt.

Deze voorwaarde is blijkens bovenstaand bewijs overbodig.

§ 24 — Criterium van Lars Ahlfors ^2)

In een recent artikel heeft Lars Ahlfors de conformiteit der

Lars.Ahlfors, Acta Societatis Scientiarum Fennicae, Nova Series A;
Tome l,no. 9, 1930; Untersuchungen zur Theorie der Konformen Abbil-
dung ufid der ganzen Funktionen.

afbeelding in een angulaire buurt van een randpunt onderzocht^
en daarbij o.a. de volgende resultaten verkregen.

Onderstel, dat het enkelvoudig samenhangend gebied door
w — f {z) conform wordt afgebeeld op het rechterhalfvlak Gw Als
e {r) het aantal radialen is van die boog in Gz van cirkel \\ z \\ = r,
die gesneden wordt door het beeld van de reëele as van het z^^-vlak,
dan zal, als de afbeelding van Gz op Gw angulatf conform is in z = oo
[en ook z — O bereikbaar randpunt is), voldaan zijn aan:

r

^nbsp;quot; ~ ^^^^^^^^ ^^ willekeurig).

[Noodige voorwaarde voor angulaire cxmformiteit).

Zij voorts nip het grootste van de getallen O en max. | [n — di (r)]
in het interval kP quot;^r kP ^ [k pos., constant, gt; 1), als ö, (r)
het aantal radialen is van de grootste deelboog van

\\z \\ ■= r binnen Qz,

dan zal de afbeelding van Gz op Gw angulair conform zijn in z = oo,
indien voldaan is aan:

oonbsp;qpnbsp;^

^^ nip en j \\d (r) — 7i\\ — zijn convergent.
1

[Voldoende voorwaarde voor angulaire cotiformiteit).

Met behulp van dit criterium blijkt, dat de afbeelding van het
in fig. 28 aangegeven gebied G^ op het rechterhalfvlak G^ angulair
conform is in 2 — 0. Caraïheorory geeft dit voorbeeld aan het
slot van zijn onder geciteerd artikel, als toepassing van het
in § 23 genoemde criterium. Toepassing van het criterium van
Ahlfors zal tevens doen zien, dat het gebied Gz door nog alge-
meenere gebieden kan worden vervangen.

Gz bestaat uit het rechterhalfvlak, plus een verzameling on-
eindig lange, horizontale strooken uit het linkerhalfvlak, die aan
het R.H.V. grenzen in de intervallenverzameling (a„, bn), die zich
in O verdicht. De intervallen worden zóó smal gekozen, dat de
reeks:

00

11=1

convergeert.

Transformeeren we het criterium van Ahlfors voor dit geval,
waarin 2 = O in plaats van z = 00 het te onderzoeken punt is,
dan blijkt, dat we voor het aangegeven gebied Gs moeten be-
wijzen, dat

00

to (r) . dr

en ^^ mp
ƒgt;=!

convergent zijn.

mp is het grootste der getallen O en max. [71 — ö^ {r)] in het
interval kP^r^ {k positief, constant, lt; 1); co {r) = O {r) —Jt
heeft dezelfde beteekenis, als in het vorig geval. De .S\'-som is nul,
en voor de integraal merken we op, dat de integrand nul is, be-
halve op de aangegeven intervallenverzameling; hier is echter

O) (r) lt; 71.

Ahlfors bewijst, dat, hoe de rand Fzook moge zijn, de integraal

CO (/\') dy

(als LEBESGUE-integraal opgevat), bestaat (t.a.p. blz.11).

Uit:

Onbsp;11=1 a,^nbsp;n=l

1

/CO ir\') dy

— convergent is, zoodat aan de voorwaarden

O

van Ahlfors voor angulaire conformiteit is voldaan.

Tevens blijkt, dat de strooken in fiet linkerhalfvlak door alge-
meenere gebieden mogen worden vervangen, mits de intervallen-
verzameling op de imaginaire as dezelfde blijft.

H O O F D S T U K V
TOEPASSINGEN