lu.

i-- -nbsp;\'■S ^

f^t-

ij;

i? J- quot;. Squot;

BEGRENSDE HOLOMORFE FUNCTIES

v; ■ i-A - \'Â

..vijt^t,.:

■; ■ r ■ - ...

i ■
i . ■

\'\'t f\'
Iii

Begrensde Holomorfe Functies

PROEFSCHRIFT

ter verkrijging van den graad van

Doctor in de Wis- en Natuurkunde

aan de Rijks-Universiteit te Utrecht

OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS

Jhr. Dr. B. C. DE SAVORNIN LOHMAN

Hoogleeraar in db Faculteit der reciitsaeleerdheid
volgens besluit van den senaat der universiteit

tegen de bedenkingen van oe

Faculteit der Wis- en Natuurkunde

TE VERDEDIGEN OP

Maandag, 1 Juni 1931, des namiddags te 3 uur,

door

BEREND FREDERIK WEVER,

geboren te Finsterwolde

BIBLIOTHEEK DER

U T R E H T.

Electr. drukkerij „de Industriequot; J. Van Druten — Utrecht

1931

; Iff JlJ

...

j-y

mm

Aan de nagedachtenis van mijn Vader
Aan mijn Moeder
Aan mijn Vrouw

/

•

y?f;iî;;:V : ? -

v

s

■ v^

.\'-.it

Het verheugt mij zeer U Hoogleeraren der Faculteit der
Wis- en Natuurkunde te Groningen, bij deze gelegenheid
mijn welgemeenden dank te kunnen brengen voor het onder-
wijs, dat ik van U heb mogen ontvangen.

In het bizonder geldt mijn dank U, Hooggeleerde Wolff,
Hooggeachte Promotor. Uwe groote welwillendheid en Uwe
voortreffelijke leiding bij het samenstellen van dit proefschrift
stemmen mij tot groote erkentelijkheid.

Ook ü, Hooggeleerde Barrau, Zernike en. van Ruijn,
dank ik gaarne voor de leiding, die Gij bij mijn studie hebt
gegeven.

s-; -tr\'ti-j/\'î.

y..

\'»s- ^ * .

I- •

ä

! i.

i- ■ i -,

HOOFDSTUK I.

De integraal van Poissoii.

Van historisch standpunt beschouwd, kunnen we de studie
van de integraal van Poisson als volgt samenvatten:

A. \') Zij gegeven de eenheidscirkel G en noemen we de
poolcoördinaten van een inwendig punt P: {p, 0), de pool-
coördinaten van een randpunt Ä van (7: (1,9?).

Zij binnen C gegeven een harmonische functie f{p,0), die
continu is op de rand van C.

Noemen we de randwaarden van de functie f{\\,(p) ende
afstand van P(p,ó) tot ^l(l,93):r, dan wordt de functie
f{p,Q) in elk inwendig punt van G voorgesteld door de
integraal van Poisson:

fip,Ö) =

r \'l

B.nbsp;\') Op de omtrek G is gegeven een continue functie
F{(p). Dan bestaat er binnen G een harmonische functie
f(p,ó), die de randwaarden F{(p) heeft; deze functie f{p,0)
wordt voorgesteld door de integraal van Poisson:

2 rnbsp;r^

C.nbsp;Op de omtrek C is gegeven een functie F (97), die

Zie: Osgood: Lehrbuch der Funktionentheorie, biz. 598 en vlg.

Bôcher: Bull. Amer. Math. Soc., 2 Reihe, Ed 4.
Zie: P. Fatou: Séries trigonométriques et séries de Taylor, Acta
Mathematica. Band 30.

sommeerbaar {L) is. Bij deze onderstelling is het probleem
zoo algemeen mogelijk gesteld; ook in dit geval bepaalt de
integraal van Poisson binnen G een harmonische functie ƒ (/j, ö).

Het is echter niet noodzakelijk, dat de functie ƒ (/?, ö) nadert
tot een bepaalde limiet, als het punt (/?, ö) nadert tot een
punt (l.T?); verschillende mogelijkheden, die zich hierbij
kunnen voordoen, indien F{(p) discontinu is of oneindig
wordt in een punt (1,99), zijn bestudeerd door Fatou.

In verband met toepassingen van het onderzoek van
Fatou, die in de volgende hoofdstukken worden behandeld,
worden in dit hoofdstuk enkele resultaten van Fatou mee-
gedeeld; verschillende stellingen zijn echter op een andere
manier bewezen.

2. Stelling 1.

Indien op de eenheidscirhel gegeven is een functie F (cp),
die sommeerhaar (L) is, dan is de functie f(p,0), voorgesteld
door de integraal van Poisson:

^i.TT 0

harmonisch hinnen G.

Bewijs. Bij het bepalen van de afgeleiden naar p en 6
van de functie

merken we op, dat zoo vaak als men wil onder het inte-
graalteeken mag worden gedifferentieerd naar p en 0, daar
1 —

—en al haar partieele afgeleiden naar p en d continue

functies zijn van p en ó voor plt;il en F sommeerbaar is.

1 — p^

Er blijft dus slechts te bewijzen, dat —aan de

differentiaalvergelijking van Laplace voldoet, m. a. w. dat
1 2

—een harmonische functie van p_ en ó is bij vaste qp.

In de bovenstaande figuur zij ^PM O = \\p, dan is:

= 1nbsp;,.2 _ 2cos ^^

1 — p^ _ _ . 1 2 r cos \\{j
- \' ...2

Zij è M VI het rechthoekig coördinatenstelsel met de oor-
sprong in 31, terwijl de f-as samenvalt met de lijn M O en
de quot;,^-as samenvalt met de raaklijn in M aan de eenheids-
cirkel.

Trekken we P i? _L ?-as, dan zijn de coördinaten van het
punt P{p,6) ten opzichte van dit stelsel:

^ = B M=r cos\\p

vi = P B = r sin \\p

Hieruit volgt:

}—J1 = — 1 nbsp;= - 1 ^ ^

= het reëele deel van — 1 -f

2

= het reëele deel van — ^ ^ = ^
2

Daar de functie — ^ ^ holomorf is binnen C, volgt

hieruit dat het reëele deel van deze functie harmonisch is
binnen C.

Aangezien de differentiaalvergelijking van Laplace invariant
is tegenover verschuiving en draaiing van het coördinaten-

1 ^

stelsel, vinden we ten slotte, dat —als functie van p

yinbsp;r

en ó voldoet aan de differentiaalvergelijking van Laplace.
Hiermee is de stelling bewezen.

3. Bij het onderzoek van de waarde, die de functie
ƒ (P) =ƒ(/;, (3) krijgt, als P nadert tot een punt ^(1,?\') van
C, moeten we opmerken, dat deze waarde alleen afhankelijk
is van de waarden van F{qgt;) in een vaste buurt van A.

Kiezen we op de eenheidscirkel een interval A Cenis J.\'
een willekeurig punt van de cirkelomtrek buiten dit interval
gelegen, dan is:

2 55- 0

= lzV f F{cp)dlt;p 1 f F{lt;p) d(p

SACnbsp;OA\'S

De laatste integraal is in absolute waarde kleiner dan

1 — p^ 1 f^\'^
^ (minim, afstand van P tot boog CA

en daar de minimumafstand van P tot boog CA\'B grooter
blijft dan een vast positief getal als P tot A nadert, volgt
hieruit:

O als P-)- A,

CA\'B

4. Stelling 2.

Indien op G gegeven is een functie F(lt;p), die sommeerhaar
(L) is en P -f co als (p-* (pa,
dan volgt hieruit:

f(P) =f(p, ö; O. als P (p, (1, lt;po).

Bewijs. Zonder de algemeenheid van de stelling te schaden,
mogen we stellen: 950 = 0.

Daar F{(p) -gt;■ co als (p-gt; O, bestaat er op C een interval
— hlt;(plt;h, waar ^(95) positief is.

Zij — ^ lt; 95 lt; 5 een interval binnen het eerste gelegen,
zóó gekozen, dat daarop F {(p) gt; G is, waarin G een wille-
keurig gegeven positief getal is.

Verder is:

27rnbsp;r\'nbsp;2T inbsp;r« \'

De laatste integraal O voor P-*^ A.

De eerste integraal gt;nbsp;C =

— s \'

=izif! r\' _ Liv r\' ~\'=

— G — ir^ 0), voor P-^ A.

Hieruit volgt:

/(P) gt;(? — 1, als P dicht genoeg bij A is.

Hiermede is de stelling bewezen.

5. Stelling 3.

Onderstelde: F((p) is sommeerhaar (L) op C;

F\' ((p) is eindig in het punt A (l,(po).
F (p, Q) is een willeheurigpunt linnen G op straal OA.

O

Bewering:nbsp;F\' ((po) als P radiaal nadert tot het

O O

punt A (1, (po).

Bewijs. Zonder de algemeenheid van de stelling te schaden,
mogen we stellen: 9^0 = 0.
Op C is dus gegeven:

lim -= emdige waarde = K,

rp-^Onbsp;(P

welke betrekking we mogen vervangen door:
,p_gt;.o sm (p

Op O is dus: Fi(p) = F{0) Ksin (pg {(p), waarin g («p)
een sommeerbare functie is en waarvan geldt:

limnbsp;= 0.

sm (p

Substitutie van deze uitdrukking voor F{(p) in de inte-
graal van Poisson geeft:

\\F{0)-VKsïncp-\\- g[lt;p)\\dqgt;^

i
0

- f^quot; F{0)d(p , f^quot;quot; K sin 93 f

r\' J r\' quot;^i

2?: Jnbsp;r-

Hieruit volgt:

^ê ~ ~
_ l—p- r®\'^ K sin lt;pd(p

l2 =

= ^ X de harmonische functie in P, die op C gelijk is aan
sin9\' = 2/, dus h^Ky.

Hieruit volgt: —

Ja

dus ^tt K voor p-*

Ïgt;Ó

fl\'

2

_ f
J

2 T J r\' \'

Uit de figuur volgt onmiddellijk, dat

^ = — /3sinlt;s;, v^aarin oc, = /^MPA.

Zij nu gegeven een willekeurig getal £ gt; O, dan is op G
een interval B AG zoo te kiezen, dat o^g B A G\\

I i7 (ï\') I lt;C f I sin 931 is.

Ten slotte zij MEX. O A \\ ME—^m(p = r sin

Door toepassing van bovenstaande afleidingen vinden we:

^ h_/?(!—pquot;^) f (J W) sin a; (Z y . p (1—p^) f ^ (9?) sina: y

^ J V\' ^ J

HJCnbsp;CA\'B

De eerste integraal is in absolute waarde kleiner dan
p{\\ — p^) f £ I sin I I sin a: I (Z y ^ s p{i — o\'\'^) C d lt;p

; J 7\' \' J

BACnbsp;BAC

J

0

Daar voor P-gt; A de tweede integraal tot nul nadert, is
de stelling bewezen.

Opmerking. Met behulp van bovenstaande afleiding is op
een eenvoudige manier aan te toonen, dat de stelling blijft
doorgaan als F angulair nadert tot A. In verband met de
afleiding van een analoge stelling voor begrensde holomorfe
functies in een volgend hoofdstuk, zullen we hierop niet
verder ingaan.

6. Stelling 4.

Indien op G gegeven is een sommecrhare begrensde functie
F (9?), dan hijgt de functie

F (9?) d lt;p

0

hij radiale nadering van het ^nmt (p, ó) tot G voor een ver-

zameling (p-ivaarden, waarvan de complementaire verzameling
de maat nul heeft, de randwaarde I (9?).

Bewijs. Volgens een stelling van Lebesgue is de begrensde
sommeerbare functie F{(p) op volle 97-maat de afgeleide van

haar onbepaalde integraal G{cp)[a (9?) is een periodieke

]

functie, indien de constante ao = ~ F{(p)dlt;p van de

0

functie F{cp) wordt afgetrokken; in het volgende wordt dit
verondersteld].

Partieel integreeren is geoorloofd, dus is:

0

/ i \\

riTT

O 2 7r J tgt; 9?

0nbsp;^

1

0

Beschouwen we ook de functie:

\' 2 7r J r\'

dan is:

Toepassing van stelling 3 geeft: voor elke waarde van (p,
waarvoor G (lt;p) de afgeleide P (9?) heeft, is bij radiale nadering
van een punt (p, ó) tot het punt (1,9gt;):

Daar G(lt;p) op volle 95-maat de afgeleide F((p) heeft, zal
dus f(p,ó) op volle 93-maat radiaal naderen tot F(gj). .

In verband met de toepassing in de volgende hoofdstukken,
vermelden we nog de stelling, die als een omgekeerde van
stelling 4 kan worden beschouwd.

Stelling 5. Gegeven is hinneyi G een begrensde harmonische
functie f {p, ö); bij radiale nadering van een punt ip, 0) tot C
^^quot;Ügi fip,^) op volle qgt;-maat een limiet f {1, cp).

Dan ivordt de functie binnen G voorgesteld door de integraal
van Poisson:

f{l,\'P) dep

Bewijs: Zij plt;iElt;C.l, dan is:

fi)-1 r

{nbsp; p\' — ^R poos {lt;P —6)

Nemen we p en ó vast en laten we R naderen tot 1, dan
blijft de functie onder het integraalteeken begrensd en nadert

op volle ...maal tot

Nu is volgens een stelling van Lebesgue geoorloofd, de
teekens lim en J te verwisselen, waaruit volgt:

7. In § 2 is aangetoond, dat ^—^ het reëele deel is
van de holomorfe functie

dusnbsp;^nbsp;^ =

Daarnbsp;^ = 1 — /; cos (y — ö)

ennbsp;VI = p sin ilt;p — 6),

. , 2 p sin {(p — 0)
vmden we:nbsp;v= — —-r--

De harmonische geconjugeerde functie g {p, ö) van de inte-
graal van Poisson:

2- { H

is dus, op een willekeurige additieve constante na, bepaald
door de volgende betrekking:

g{p 0) = — -^ sin (tp — 0) Fjcp) d (p

Stelling 6. Indien ox^ de eenlieidscirTcel gegeven is een
begrensde sommeerhare functie F {(p), waarvoor geldt dat
lim F{q^) = Q [óf lim j F{(p) — F{~(p)\\ = 0],

dan is noodig en voldoende, opdat g [p, 0) nadert tot een eindige
limiet voor p-^ 1, dat de integraal

f lFilt;p) — F{- lt;p)\\dlt;p
Jnbsp;in 1/. m

tg V2 (p

nadert tot een eindige limiet voor £ -»■ 0.

Bewijs. Zij A het punt (1,0) en P een veranderlijk punt
van de straal O A.
Dan is:

sin (p \\ F{lt;p)-F {—cp)\\ d y

Zij £gt;0.

We verdeelen het interval (O, tt) in twee deelen (O, s) en
(f, tt) en we stellen: £ = 1 —
Dan is:

g{P) = -l J\'nbsp;— F i—(p)\\dqy

_ p_ r sin cp\\F{rp) — F {— (p)\\ d(p
ttJnbsp;r\'

De eerste integraal is in absolute waarde kleiner dan
1 fsing

X i maximum van | F{(p) — F{—lt;p)\\ op het interval (0, s) i
en daar s=\\—p en lim = 0 nadert deze integraal
tot nul als A.

Zij M een willekeurig punt opnbsp;het interval (e, ;r), dan is:

r« = 1 _ 2 cos 95 = l nbsp;- 2 (1 — 2 sinquot; V2 lt;p) =

= (1 —nbsp; 4 ; sin^

Hieruit volgt:

sm^nbsp;-nbsp;\' —

4:p

Dus:

/3 sin 95_lt;2, p sin V2 (p cos V^ lt;P ig ^P_ 2 p (r® — e^) _

4 p r^ tg fp

2tg\'h(p 2rUg\'h(p

Substitutie van deze waarde in de tweede integraal geeft:
r sin \\F{(p)~F{— (p)\\dlt;p_

27r-!nbsp;tff \'I2

■ gt; r \\F{qgt;)~F{-lt;p)\\coiil^hlt;pdqgt;

We verdeelen het interval (f, t) in de deelen U, 1^7)
en {[^s, tt) en we schrijven:

r iP(y)-P(-y)icotgy^^pdcp _

27rJnbsp;~~

t

^s^ fy~]F{cp)-Fi-(p)\\colg\'hlt;pdlt;p ,

27:Jnbsp;r

-I- Z r\\F{qgt;)—F (- (p); cotg \'A lt;P tZ lt;p ^ , ^

Op het interval G, l/e) is:
i cotg V2 95 lt; vast positief getal M (onafhankelijk van e).
Hieruit volgt:

^Mil-p)

2 T (1 — p^) X \' quot;maximum van 17^(95)—95) | op interval

lt; ^

Y^ X i maximum vannbsp;-2?\'(_9?)| op interval

Hieruit volgt wegens lim 2^(95) = 0:
lt;p-t-o

I /i I O als £ O, d. w. z. als (P-gt;- A).

Op het interval tt) is:
p^e cotg lt; vast positief getal G (onafhankelijk van f).
Hieruit volgt:

I . I ^ fV. r Vs cotg V2 cp I F {-cp)\\d(p
-^^-

s\'/i G

X i maximum van \\ Ficp) — F{—(p)\\ op

2 TT l — p\'

interval (1/ a-) 1 X

_ gf

lt; (/s X — X i maximum van \\F{(p) — F {— (p)\\ opquot;

i-r p

interval (K i.

Dus wegens de begrensdheid van

IJ2I- O als £-gt;-0, d. w. z. als P-^ A.
Ten slotte is dus het resultaat:

Indien f \\nbsp;quot;P) ^ ^quot;P ^ eindige limiet als e O,

Jnbsp;tg V2 (p

dan nadert g {p, 0) tot een eindige limiet voor -gt;• 1;
en alsnbsp;dan is:

1 r \\F{cp)-F{-lt;p)\\dcp

A = lim —^f -n---\'

.=0 2;rJnbsp;tg Va 99

Opmerking. De voorwaarde: f

inbsp;tg \'I2 (p

eindige limiet als £ -gt;• O, kan worden vervangen door de
volgende:

f I.^M^trii\'M?-. eindige limiet als .-0.

« « •

2

De functie — — cotg ^l^tp is begrensd voor O lt; 99 lt; t, het

verschil der beide integralen heeft dus een eindige limiet
voor £ 0.

HOOFDSTUK II.

Begrensde holomorfe functies.

1. Zij gegeven een functie f[z) = u-\\- vi, die holomorf
is binnen G:\\z\\ = \\ en continu op C,

Dan zijn u en v functies, die harmonisch zijn binnen C en
continu op C. Noemen we de randwaarden van f{g), u en
V respectievehjk F {(p), U{lt;p) en FM, dan is:

27r inbsp;r\'nbsp;2 77-1

Onbsp;\'nbsp;b

T

u((p) i r{(p)\\dlt;p

f^-quot; F(cp)dq^
2^ {

Fatou heeft aangetoond, dat bovenstaande integraal haar
beteekenis blijft houden, indien slechts wordt verondersteld,
dat de functie f{z) binnen O begrensd is, zonder eenig ge-
geven aangaande de rand van C.

In verband hiermee zullen we in dit hoofdstuk enkele
randwaardestelhngen mededeelen voor begrensde holomorfe
functies (stelling van Fatou, stelling van Riess).

2. SteUing 1.

Als de functie f{s) voor \\z\\lt;.l holomorf en begrensd is,
en als lim f{x) — 0,

X 1

dan heeft\'fie) voornbsp;nid tot angulaire limiet.

Bewijs: We beschrijven met het punt A = 1) tot middel-
punt de cirkelbogen

BC , Bi Cl , Bidnbsp;Ba Cn , .... ,

met stralen respectievelijk

1

1 j 2 \' 22\'\'\'\'\'\' 2quot; \' .....

Noemen we de gebieden
BGCiBiB , Bi Cl C2B2B1,nbsp;BnCa Cn lBn lBn , . .

respectievelijk

Go , Gi ,nbsp;,... , Gn , . -.. ,

dan ontstaan de gebieden

lt; Gl ,nbsp;Ga , ....

door vermenigvuldiging van Go uit A met

1nbsp;Lnbsp;±

2nbsp;\' 22 gt; •• • • \' 2quot; \' ■\'\' ■

Zij voor een punt z van Go •■^=2—1, dan correspon-
deeren met dit punt in de gebieden

Cri , Gi .......... Gn .........

de punten

14.1,14.1.nbsp;14-^

^22 \' ........ \' ^2quot;\' ........

We beschouwen in Go de functierij:

\'Al (0=/(i |

\\ /

De functierij i^niO is in Go gehjkmatig begrensd,

iOKM.

Op segment OP geldt:

»An (0 O voor n 00.
Volgens de stelling van Vitali kunnen we hieruit besluiten:
i\'niO-^O in het gebied Go,
dus: fiz)-^0 voor 1 in iedere hoek
1 argd — I lt; A lt;|-

3. De stelling van Fatou.
Stelling 2.

Als de functie f {z) in het gebied | ^^ | lt; J! holomorf en
begrensd is,nbsp;\\f{z)\\lt;^M,

dan nadert f{z) op volle (p-maat tot een eindige limiet, als
z radiaal nadert tot G :\\z\\ = l.
Bewijs. Binnen G zij:

f{z) = flo fli ^ «2 ......-f ön ......

We beschouwen ook de functie

fln Z\'

71 1

Zijn cc en f3 twee willekeurige punten binnen O, dan is:

li

De functie F(z) is dus begrensd binnen C, bovendien ge-
lijkmatig continu binnen en op C.

Laten we a-*- A en fi-^ B, dan vinden we

\\FiA) — F{B)\\lt;M\\B — A\\

Noemen we de limietwaarden van Fiz) op C:Fi(p), dan
volgt uit de bovenstaande betrekking, dat de functie F {(p)
begrensde differentiequotiënten heeft; F(lt;p) heeft dus een
afgeleide voor een verzameling 99-waarden, waarvan de com-
plementaire verzameling de maat nul heeft en

dF{lt;p)

\\M.

d (p

De functie F{,z) wordt voorgesteld door de integraal van
Poisson

2 JT l

Verder is:nbsp;=

t zo O

Toepassing van stelling 3, hoofdstuk I, geeft:

dF((p)

-jyjr nadert op volle 9?-maat totnbsp;, als z radiaal nadert

t dq)

tot G.

Hieruit volgt dus:
fiz) nadert op volle 9?-maat tot een eindige limiet, als ^
radiaal nadert tot G.

In verband met stelling 1 van dit hoofdstuk, merken we
nog op, dat fiz) op volle 9?-maat een angulaire limiet heeft,

4. SteHing 3.

Onderstelde: Gegeven is een Jordansehe kromme F en een
functie/C^\'), holomorf en begrensd binnen F;
op de boog cc van F zij: ƒ (z) K voor
z A, op de boog ß van F zij: ƒ (z) L
voor z-^ A. (Zie onderstaande figuur).

Bewering : L = K.

Bewijs: We beelden F en het gebied binnen F af op de
cirkelschijf \\z\\lt;\\. (de correspondeerende bogen en punten
zijn in de onderstaande figuur aangegeven door accenten).

De functie f{z) gaat over in een functie F{z), holomorf
en begrensd binnen (7, dus voor | | lt; 1 is : \\F{z)\\lt;^M.

F{z) is een begrensde complexe harmonische functie en
wordt dus voorgesteld door de integraal van Poisson.

Op straal O A\' geldt: F{z)-* ^l^iK L) .voor z-gt; A\'.

Als L^^K is, heeft F{é) op twee verschillende koorden
naar A\' verschillende limieten, volgens de elementaire eigen-
schappen van de integraal van Poisson.

Dit is in tegenspraak met stelling I van dit hoofdstuk.

Hieruit volgt: L = K.

5. Zij op de eenheidscirkel C gegeven een perfecte punt-
verzameling E van de maat nul. Dan is het mogelijk op
C een positieve sommeerbare functie F{lt;p) te construeeren,
die in de punten van E oneindig wordt. \')

De integraal van Poisson:

2 7: {nbsp;r\'

bepaalt dan binnen C een harmonische functie, die in alle
punten van E de waarde oo krijgt (zie stelling 2, hoofd-
stuk I); bovendien is fip,0) binnen C positief.

Zij de functie F{(p) verder zoo geconstrueerd, dat op elk
segment binnen een complementair interval van E gelegen,
F{(p) begrensde differentiequotienten heeft. Dan krijgt de
geconjugeerde harmonische functie f? (/?, ö) van/(/j, ó) bepaalde

\') Zie Fatou: Acta Math., Band 30, biz. 342.

waarden op C, behalve in de punten van E (zie stelling 6
hoofdstuk I).

De functie q^{z)=f{p,ö)^- ig{pj) is holomorf binnen C
en krijgt een oneindige waarde in alle punten van E; daar
fipj) positief is, krijgt (p{z) nooit de waarde nul binnen (7.

De functie is dus holomorf binnen C, continu op G

en nul in alle punten van E.

Met behulp van het principe van de verdichting van singu-
lariteiten is het mogelijk binnen G een begrensde holomorfe
functie te construeeren, die de waarde nul krijgt in een
puntverzameling E\' van C, zoodat E\' niet aftelbaar en overal
dicht is; maar steeds blijft volgens deze methode E\' van
de maat nul. \')

De vraag, door Fatou gesteld, of er een holomorfe functie
binnen C bestaat, die bij radiale nadering tot G in alle
punten van G de waarde nul krijgt, terwijlniet identiek
nul is, moet ontkennend worden beantwoord.

Stelling 4.

Onderstelde: f(z) is holomorf linnen de ecnhcidscirM G;

ah is een hoog van G, waarvan alle punten
F de eigenschap hehhen dat f(z)-¥0 als z
radiaal P.
Bewering: ƒ (2) = 0.

Bewijs: We beweren, dat ah een deelboog cd bevat,
zoodanig dat de functie f{z) in sector Oed begrensd is.

Ontkenning beteekent n.1., datnbsp;in iedere deelsector

Oed van sector O ah onbegrensd is.
Er bestaat dan binnen deelsector Oed een punt zi waar

I/(^)Igt;1 is.

In verband met de continuïteit van f{z) bestaat er dan
een cirkelboog pi qi met straal | zi |, bevattende het punt zi
en binnen Oed gelegen, waarop overal geldt:

1/(^)1 gt;1.

\') Zio Fatou: Acla Math., Band 30, blz. 393.

We projecteeren deze cirkelboog pv qi uit O op (7 en we
noemen de projectie p\' q.

In de deelsector Op\' q\' is dan |/(2)| onbegrensd.

In het gebied piqiq\'p\' bestaat dus een punt 22, waar
1/(^)1 gt;2 is.

Er bestaat een cirkelboog pz q^ met straal | 1, bevattende
het punt en binnen het gehiQ^ pi qi q\'p gelegen, waarop
overal geldt:

1/(^)1 gt;2.

We projecteeren deze cirkelboog pz q^ uit O op C en we
noemen de projectie p^ q^.

In de deelsector Op^q^ is dan \\f{z) \\ onbegrensd.

In het gebied p^q^q^p^ bestaat dus een punt z^, waar
1/(^)1 gt;3 is.

Er bestaat een cirkelboog qs met straal \\za\\, bevattende
het punt zs en binnen het gebied p2 q^ q^p!^ gelegen, waarop
overal geldt:

1/(^)1 gt;3.

Wordt de constructie op deze manier voortgezet, dan
vinden we:

Het gebied i^n-i ffn-inbsp;bevat een punt Zn, waar

|/(^)|gt;wis.

Er bestaat een cirkelboog jjn g-n met straal | bevattende
het punt Zii en binnen het gebied ffn-inbsp;ge-

legen, waarop overal geldt:

\\f{^)\\gt;n.

De projecties van de cirkelbogen

^ Pi ai , PiQi ........ PnQn .......

op C, hebben op C een gemeenschappelijk punt P. De ver-
bindingslijn OP snijdt alle cirkelbogenj?ng-n en op straal OP
is dusnbsp;lim sup | ƒ (s\') | = 4-oo.

f{z) kan dus in iedere deelsector van O ah niet onbegrensd zijn.

Zij Oed een deelsector van O ab, waar \\f[z)\\ begrensd
is en zij c d\' een cirkelboog met middelpunt O en met straal
/jlt;l, terwijl c ligt op Oc en d\' op Od.

Dan geldt voor elk punt z, binnen O c\' d\' gelegen:

■ƒ(.)= f l^.

J . t — z

Oc\' d\' O

Daar de functie onder het integraalteeken begrensd is en
daar boog c d een volle maat van punten heeft waar z radiaal
tot nul nadert, mogen we toepassen:

lim ƒ = ƒ lim,

dus:

J t — z J t ~ z

Ocnbsp;Od

De functie, voorgesteld door het verschil van deze integralen
is echter holomorf in elk punt z binnen Z.G O D gelegen,
waarin C ligt op het verlengde van Oc\' en D op het ver-
lengde van O d\'.

Derhalve is f{z) voortzetbaar over cd en de uitgebreide
functie is nul op cd, dus

5. In de vorige §§ is aangetoond, dat een functie ƒ (?),
die holomorf en begrensd is binnen de eenheidscirkel C, op

volle T\'-maat nadert tot een eindige limiet F{(p) als 2 radiaal
nadert tot C en dat Fiqgt;) op volle 9? maat niet constant kan
zijn, tenzij f{z) constant is. In aansluiting hiermee geven
we nog een bewijs van de stelling van Riess, die inhoudt,
dat F{(p) slechts op een 97-maat nul eenzelfde radiale rand-
waarde kan hebben.

Voordat we overgaan tot het bewijs van deze stelling, be-
wijzen we eerst de volgende hulpstelling.

Hulpstelling.

Onderstelde: f{z) — u-j-vi is holomorf voor | 0 | lt; 1;

/(0)H=0;

y is een cirkel met straal lt; 1.

Bewering: 2 log | ƒ (0) | lt; ƒ log | / (2) I cZ lt;p.

y

Bewijs. Zij p de straal van cirkel y en

Iip)=flog\\f{z)\\dlt;p.
V

Dan is:

lip) = % f log \\f{z) \\\'d(p= \',\'2/log iu\' -f v\') d cp.

f{z) heeft binnen iedere cirkel met straalnbsp;slechts een

eindig aantal nulpunten, want indien een oneindig aantal
nulpunten aanwezig waren, dan hadden deze een ver-

dichtingspunt en dan was f{z) overal nul. De stelling is
dan triviaal.

Zij 7\' een cirkel, waarop een nulpunt P van f{z) ligt en
zij QPR een interval op 7\' (boog QPR^O wil zeggen:
Q-^ F en P P).
Dan bestaat volgens het kenmerk van Goursat:

limnbsp;log 1/(2)1 d (p

hooeQpn-^o

en in verband met de continuïteit van ƒ {z) mogen we hieruit
besluiten:

bij elke s (O lt; e lt; 1) bestaat een getal zoodanig dat

f\\Og\\f{z)\\dlt;p- ƒ l0g|/(2)| d 97
7quot;

als de stralen p\' en pquot; van 7\' en 7quot; voldoen aan

lip) is dus een continue functie van p.

Zij T ip) de afgeleide van lip) naar p, dan is:

/ 2 IM ^--r ^ ÏT

ip) = \'/a J ——f,nbsp;d(p, voor iedere 7 waarop ƒ (2)

■/

nergens nul is.

Volgens de differentiaalvergelijkingen van Cauchy-Riemann is:

^ tl_ ^v

^ p p^lt;p

^ p p^(p
dus:

V_ ^nbsp;r

^ V .nbsp;/ udv — V d u

y rnbsp;r y

1nbsp;V

= - (toename van Bg tg - bij rondgang over 7)

= ^ (wijziging bij rondgang over 7 van arg./(2))
= ^ X het aantal wortels van ƒ(«) binnen 7.

Hieruit volgt:

I\'behalve voor geïsoleerde ^-waarden.
I{p) is dus een groeiende functie van p.
In verband met de continuïteit kan I{p) dus als volgt
graphisch worden voorgesteld:

P=i

Ten slotte vinden we:

I(0)lt;I(p),

en daar I(p) in de buurt van p = 0 constant is, volgt:
2;rlog|/(0)|lt;/log|/(^)Ult;p.

Stelling 5 (Stelling van Riess).

Onderstelde: Binnen C :\\z\\ = i is f{z) een begrensde niet
constante holomorfe functie,

\\f{z)\\lt;M-,
a is een complex getal, \\x\\-lt;M.

Bewering: Be verzameling van de punten (p, waar

lim= «

is van de maat nul.

Bewijs: We nemen eerst aan dat/(0)=|=«.
Passen we de voorgaande hulpstelling toe op de functie
ƒ iz) — a, dan is:

257log \\f{(S)-oc\\lt;j^^ \\og\\f{pe\'\'quot;)-a\\dlt;p.

O

Zij s een vast getal, O lt;! e lt; 1.

We noemen E^ (s) de verzameling der argumenten 95,
waarvoor:

e\'P* \\ ~ at

en zij (jt, E^ {e) de hoekmaat van de verzameling E^ (e).
Dan is:

2 ^ log I ƒ (0) - a I lt; (f) log £ 2 log (2 31).
Hieruit volgt:
— f^E^ (£) log £ lt; 2 t log (2 Jf) — 2 t log 1/(0) — « I

lt; constante = c,
cnbsp;c

dus:

— log £

log

De argumenten der stralen, waarop fiz)-^ac voor l
vormen een verzameling, die een deel is van

lim inf. E^{s).

n-gt;- 00

Bijgevolg is de maat daarvan hoogstens

log^

Daar s een willekeurig positief getal is, is die maat nul.
Is f{0) = a, dan brengt men dit geval door middel van
een lineaire transformatie op het voorafgaande terug, daar
f{z)^x in de onderstelling uitgesloten is.

HOOFDSTUK III.

Begrensde machtreeksen.

1. Binnen C:\\z\\ = l zij gegeven een holomorfe functie
fiz), met

1/(^)1 lt;1;

binnen G is:

ƒ («) = ao öi 2 «2 ..... a„ -f.....

00

= Z anSquot;.

n = 0

In deze paragraaf zullen we eerst wijzen op enkele bekende
eigenschappen van de coëfficiënten Un.

A. |anllt;l.

Zij 7 een cirkel met straal /3lt;C 1, dan is:

ffiz)dz

y

Volgens stelling 2, hoofdstuk II, nadert fipe\'^*) op volle
maat tot een limiet /(t) voor p-*- 1,

■\\f{t)\\lt;l,

fU)

en daar begrensd is voorl^i lt;[1, mogen we schrijven:

Ti! Vö^ ^rJ wndtlt;i.

B. Sn = «0 «1 « ..... ön = 2 tty zquot; is voor alle

ï =0

functies f{z) met bovengenoemde eigenschappen een begrensde
functie voor elke vaste n.

Uit I a„ I lt; 1 volgt onmiddellijk:

I I lt; I ao I I ai I ....... I a„ I lt; « 1.

00

C.nbsp;I «n is convergent.

Bewijs: Zij f{z) = u vi, dan is voor /?lt; 1:

/Stt

(u vi) [u — vi)d(p =

O

n = 0nbsp;m=0nbsp;)

1: fl!n Ö^ r^e^quot;- -pi rf ffl.

(n,m) = 0nbsp;J

O

{a beteekent het toegevoegd complex getal van a).

ƒ2 TT

O

/Stt

I cos (n — m)(p 4- i sin {n — m) q)\\d(p.

O

ƒ2 TT

COS {n — m) lt;pd(p = ^7r, als n = m

O

= 0 , als «-I=w
/ sin (w — jn) (p dlt;p = 0.

O

Hieruit volgt:nbsp;e^-^N = 2 t X

Verder is:

Hieruit kunnen we besluiten:

lim 2 5r Z

P-gt;1nbsp;n = 0

dus:nbsp;Z |aa|^lt;l.

n = 0

n

D. 5n = «O ai ........ «n = Z «v is voor alle

V = 0

functies f {z), die aan bovengenoemde eischen voldoen, geen
begrensde functie van n, d. w. z. er bestaan functies ƒ (s),
waarvoor Sn O (1).

In verband hiermee verwijzen we naar de functie van
Fejér Door Landau is aangetoond, dat voor de ver-
zameling van alle functies ƒ (2) met genoemde eigenschappen,
de bovenste grens van

I Sn I — I ßO ßl quot;fquot;.....Hquot; ßn I

voor elke vaste n de waarde Ga heeft, waarin

° /1X3X5.......X(2y-1)\\^

^quot;quot;,^012X4X6.......X2v /\'

en voor w 00 is 6rn C/5 — log n.

7C

Dus: Sn==0(logw), d. w. z.nbsp;is begrensd voor alle

waarden van n.

Ten slotte verwijzen we nog naar de functie van Bohr,
waarmee is aangetoond, dat de betrekking:

sa=0 (log n)

niet mag worden vervangen door de scherpere betrekking:

Sn = 0 (log n).

4

\') Zie Landau: Darstellung und Begründing einiger neuerer Ergebnisse
der Funktionentheorie.

Zie: H. Bohr: Uber die Koeffizientensumme einer beschränkten
Potenzreihe. Nachrichten von der Königlichen Ges. der Wiss. zu Göttingen.
Jahrgang 1916, Jahrgang 1917.

2. Stelling 1.

Binnen C:\\z\\ = l is f (z) holomorf en \\f(z)\\lt;l.
Binnen C is:

f{z)= Z

n = 0
n

Verder zy:nbsp;5n= Z «v

v = 0

Dan is voor elke waarde van n:

I I lt; - log w O (log w),
dus:nbsp;Sn = O (log 0%).

Bewijs: Zij V een cirkel met straal lt; 1 en J. C een
cirkelboog met straal ^ en middelpunt z = p.
Dan is:

. - JL f

J \' \'

ABCDJ

De contour AB GDA noemen we F\'.
Dan is:

1 j ff{z)dz ff{z)dz ■ , [f{:^dz)
F\'nbsp;F\'nbsp;F\'

_ [^^HLilMIMAi

2 Tijnbsp; l

F\'

Door splitsing van de integrant volgt:

fnbsp;__1_ (f{z)c

quot; 27ri Inbsp; inbsp;J, 1-

De laatste integraal heeft de waarde nul, daar binnen

1 —z

en op F holomorf is.

Zij Al Bi Gi een cirkelboog met straal - en middelpunt

De contour Ai Bi Ci Di Ai noemen we Fquot;.

De functie 7—„ . , is begrensd in het gebied tusschen

(1 — 3

r\' en rquot;; daar — \\ n i oP ^olle maat van Tquot; nadert
(1 — z) z

tot een eindige limiet, mogen we schrijven:

-JL f

\'~2 7ri (1— ^

_ 1 f f{t)dt ■ 1 f
~27rz J (1 — ^ J (1—

Op boog Al Bi Cl is: t=l-\\--

dus: dt = -e\'P\'id(p
n

n

1 --

n

(is dus naar onderen begrensd).

\\f{t)\\.-dlt;p
11

lt;

— 2xJ 1

n

1

Y^i = O (log n).

1

n

Op boog Cl Dl Al is: |/(0Ilt; 1

I 1 — ^ I = 2 sin \'/2

Hieruit volgt:

•95 = 2 TT--^

n

_ _ _ d(p

^ 1 rquot; d(p ^ ^ rquot; d(p

Stellen we V2 ^^ = «A, dan krijgen we scherper:

j 2 sin t// tJ sini//quot;

2n

1

2^1 1 / -1 \\
— -logtg\'UTT--logtgi —

Voor w-»- 00 is:

1 , / 1 \\nbsp;\' , M \\nbsp;1 , / 1

— - log ~--log —nbsp;cvj - log 4 w ~ log n.

TT ^ \\ 4n/nbsp;n \\4 n jnbsp;tt

Hieruit volgt:

1 Sn I lt;0 (log %) - log W.

TT

3. Stelling 2.

Onderstelde: Bin^ien G:\\z \\=l is f(z) holomorf met

de Fatou sehe limiet van f (z) op G:f(t), is approximatief
continu in z = 1.

Bewering:nbsp;s„ (1) = o (log w).

Bewijs: In de vorige paragraaf is aangetoond:

1 f nt)dt

Sa

^TTZJ (1 —

Wegens de begrensdheid (onafhankelijk van n) van de
bijdrage van de integraal geleverd door de cirkelboog

straal M, blijft nog te bewijzen:

J v

We stellen: Jquot; \\ f(t) — f(l) I dcp = Fi(p).

lt; O

Daar f(t) — f{l) approximatief nadert tot nul voor t-^ 1,
d. i. voor 95^0, heeft volgens een bekende stelling F((p)
voor 93 = 0 de afgeleide nul, dus:

Km ^\' = 0.

lt;P-)-0nbsp;(p

Zij 5 een willekeurig positief getal; dan bestaat er een
getal zoodat voornbsp;geldt:

F{lt;p)lt;slt;p.

Voor deze vaste 5 is:

\\f{t)-f{l) \\dlt;p

i

2 (log TT — log = constante = o (log n).

rnf(t)-fa}idlt;p_l\' 1
1

— n F

4. Stelling 3.

Binnen C: \\ z \\ = 1 is gegeven een holomorfe functie f[z)
met\\f{z)\\lt;l.

Dan is op volle (p-maat:

Sn {(p) = O (log n).

Bewijs: Volgens stelling 2, hoofdstuk II, nadert f{z) op
volle «p-maat tot een limiet F{lt;p), als radiaal nadert tot
een punt van C.

F{(p) is een sommeerbare functie, dus F (93) is approximatief
continu op volle 93-maat.

Uit stelling 2 van dit hoofdstuk volgt:
op volle 99-maat is Sa {lt;p) = 0 (log ??).

HOOFDSTUK IV.

Een kenmerk voor „conformiteit op oneindigquot;.

1. In het gebied \\ z \\ lt;^1 zij gegeven een begrensde
holomorfe functie f{z) = u-\\-v i.

Daar v de geconjugeerde harmonische functie is van
volgt uit stelling 6, hoofdstuk I:

v{p,0) nadert tot een eindige limiet voor p-^ indien de
integraal

u (y) — u (— (p)
tg \'/2 9?

d (p

nadert tot nul voor 0.

We onderwerpen het gebied U | ^ 1 aan een lineaire
transformatie w = L {z) met dekppnten ( t) en (— t), zoo-
danig dat het punt (— 1) in de oorsprong komt.

De lineaire transformatie is dan:

l z

w ----

1 — z

Door deze lineaire transformatie wordt het gebied \\ z \\ lt; [
afgebeeld op het rechter halfvlak D(a;gt;0); de cirkelomtrek
wordt afgebeeld op de F-as, zoodanig dat de boog van (— 1)
over (-4- i) naar (-|- 1) correspondeert met de T-as van O
tot 00.

Door de lineaire transformatie gaat de functie f{z) = u-i- vi
over in een functie F (tv) = UV i, die in het rechter
halfvlak (^\'gt;0) aan dezelfde voorwaarden voldoet als fiz)
in het gebied | « | lt;C F

Onderwerpen we een punt van de eenheidscirkel aan de
lineaire transformatie:

i z

tv = --,

1 — z

dan is:

1 cos fp i sin cp
1 — cos 9? — ï sm 9?

_(1 cos fp \\ i sin y) (1 — cos y sin 9?)_

2 — 2 cos 9?

_ 2 i sin 9? _ i

4 sin^ V2 93 ig V» fp

We vinden achtereenvolgens:

1

tg V2 9^

dlt;p = — 2 sin^ ^kfp dy
cosec® 1/2 = 1 cot^ V2 = 1 y®

1

sin^ V2 9\' =

Door de lineaire transformatie gaat dus de integraal
r \\ u[(p) — u{—(p)\\dcp
Jnbsp;tg \'h lt;P

c

over in de integraal

0nbsp;\'

Hieruit kunnen we besluiten:

V(x) nadert tot een eindige limiet voor 00, indien de
integraal

y\'

deze noodige en voldoende voorwaarde kunnen we nog ver
vangen door

ƒ00 ^ ^
j u iy).—u {—y)\\convergent.

«gt; Onbsp;^ \'

2. In verband met een toepassing van het resultaat, in
de vorige paragraaf verkregen, op het gebied van de conforme
afbeelding, vermelden we eerst enkele stellingen uit de theorie
van de conforme afbeelding.

Stelling I.

Onderstelde: f{s) is een holomorfe functie in het gebied-

I^Ki,

r(0) = o.

Bewering:nbsp;\\f{.z)\\lt;\\z\\

fiz)

Bewijs: De functie is holomorf voor UI lt;1
znbsp;I ^ •

Zij O lt; Ö lt; 1 en | ^ |lt; ö.

fiz)

in het gebiednbsp;de maximumwaarde

fiz)

lt; maximum van

lt; 1 voor iedere z, waarvan I 21 lt; 1 is.

Stelling II.

Onderstelde: De functie w — u-\\-vi=.fix-\\-yi) is holo-
morf voor a;gt;0;

wgt;0.

Bewering: - heeft voor y = 0 een limiet A als a:-gt;oc,

terwijl O lt; A lt; 00 is;
steeds is w gt; a a;.

Bewijs: Zij f{lt;xi) = j3i.

We stellen: c =-en --V/\'

z — «1nbsp;w — pi

waarin cci\' en /3i\' de spiegelbeelden zijn van «i en /3i ten

opzichte van de imaginaire as.

Dan voldoet a als functie van C aan de onderstellingen

van stelling I, n.1.:

O) = O voor C — 0)

w — /3i . .

7 is in absolute waarde kleiner dan 1.

tv — /3i
Hieruit volgt: | o; | lt; 1 ,

i / \\ 1 ^ reeele deel van

z-^cci geeftnbsp;en / («O lt;-^t-;—i—]--\'

®nbsp;\'nbsp;reeele deel van oci

dus overal is

Voor y = 0 krijgen we:
u

^ ^ quot; a; I f fa) I — ^ Q

X\'\'

Hieruit volgt, dat — monotoon daalt en een limiet X heeft

en steeds is — gt; A.

a: —

StelUng III.

Onderstelde: De functie w = u-\\- vi = f{x yi) is holo-
morf voor a; gt; O,
w gt; O,
A = 0.

Bewering: ^-»-O voor z-^oc, uniform in iedere hoek

Üj

lt;lflt;cc.

Bewijs: Zij x een reëel getal gt;0 en zi=x -j-
Zij f{x) — w en =
Dan is volgens stelling II:

waarin iv\' het spiegelbeeld is van iv ten opzichte van de
imaginaire as.

Hieruit volgt, dat tvi ligt binnen of op een cirkel met
maximum abscis:

l Ö

u.

1 — Ô

Ij

Stellen we 7 = m, dan is:

— y —

Kz/\' 4 œ\'-\' Km^ 4\'

en we krijgen:

Ifl lt; Ë y l-hô_u l^m\'^ -j-4-j-m

■Vnbsp;4nbsp;^ \' ^ .v\'

Ui

dus:--►O voor cOj uniform als w begrensd is.

Stelling IV.

Onderstelde: w = u-]rvi = f{x-{-yi) is holomorf voor

ugt;0,
Agt;0.

Bewering: —-gt;■ A voor co, uniform in iedere hoek

iG

lt;7)flt;oo.

Bewijs: Volgens stelling II is u\'gt;Kx.
Zij

De functie f {z) — X z-\\r (j, voldoet aan de onderstellingen
van stelling III, dus:
XX — fx ^

--gt;■ O voor z-gt; lt;X), uniform in iedere hoek

rrtnbsp;\'

lt;lflt;C»,

dus ook

X

Stelling V.

Onderstelde: io — u-{-vi = f{xA^y i) is holomorf voor

■OO,
ugt;0,
^ = 0.

Bewering: f\' (2;) -gt;■ O uniform in iedere hoek
voor z-*- CO]

fi^)

hetzelfde geldt voor -

Kf

Bewijs: De eerste bewering volgt uit \\f\'{z)\\lt;- en uit
t ^

stelling III.

Het tweede gedeelte bewijzen we als volgt.

/ft

We nemen een willekeurige halfrechte - = ö, zoodat

tV

« gt; O en c lt; Jf is.

Zijn z en zi twee veranderlijke punten van deze rechte,

Ui llt; I I ,

dan is:

nz) = f{zr) f fit) dt

Daar f\' (t)-^ O voor z-*- oo, is zi zoodanig te kiezen, dat
op de verbindingslijn van zi en « geldt:

I f\' [t) I lt; f, waarin e een willekeurig positief getal is.
Hieruit volgt:

O voor z-^\'cc, is de stelling bewezen.

Stelling VI,

Onderstelde: w = tf-i-v i = /\' (-v y i) is holomorf voor

Agt;0.

•F ( \\

Bewering:nbsp;en ---voor 2-gt;00, uniform in

z

iedere hoek

Bewijs: Zij /x gt; O,

De functie f{z) — ^z (J\' voldoet aan de onderstellingen
van stelling V, dus:

f — en ^^ — A ^O voor 200.
znbsp;z

Hieruit volgt:

fiz)

f\' (z) en ------^ voor z-^ cc uniform in iedere hoek

z

lt;l/lt;a).

3. We veronderstellen, dat het rechter halfvlak D gt; 0)
door een functie

w — f{z) — u-\\-vi

conform (1, I) wordt afgebeeld op een deelgebied A van D,
bijvoorbeeld met grens F.

Uit de vorige paragraaf volgt:

w

—gt;-A voor «-gt;-00 uniform in iedere hoek
z

Definitie: de afbeelding is „conform op oneindigquot;, als O
is is daar de „schaalquot;).

Stelling: Indien de functie tv=f(z) het rechter halfvlah
D (x\'^ 0) conform (l,l) afbeeldt op een deelgebied A van D,
dan is noodig en voldoende voor „conformiteit op oneindigquot;,
dat de integraal

dy

157 — arg w {y) arg w (— y) | —

« gt; O

convergent is.

Bewijs: Noodig en voldoende voor conformiteit op oneindig
is de eindigheid van hg^,
w

eindige limiet op O X voor co.

Daar arg - een geconjugeerde harmonische functie is van

, volgt door toepassing van § 1 van dit hoofdstuk:

eindige limiet op O X voor o; oo dan en dan

alleen, indien de integraal
ïv(y]

arg

a gt; O

convergent is.

Daar arg ?/ = ^ en ovg — y= — als gt; O is, kan de

laatste integraal worden vervangen door de integraal

c^nbsp;dy

J j TT — arg w (y)-h arg tv (- y) | —• \')

a gt; o

4, In het rechter halfvlak JD gt; Ü) zij gegeven een
kromme F met de volgende eigenschappen:

1®. het deel van F boven de X-as heeft een poolverge-
lijking p = p(ó) [ö zij de hoek van de voerstraal met de

F-as, 0lt;ölt;|

2®. op het deel van F boven de X-as draait de raaklijn
voor continu linksom en -gt;• vertikaal;

3®. F is symmetrisch ten opzichte van de X-as.

We noemen het gebied rechts van F: A en we beelden
D op A af door een functie

w = ii-i-vt = f (z),
zoodatnbsp;= 0 voor y = 0

en datnbsp;oo voor z-* cc.

De afbeelding is conform op oneindig indien de ^ van f (2;)
positief is.

Daar F symmetrisch is ten opzichte van de X-as, is de
noodige en voldoende voorwaarde voor conformiteit op on-
eindig, dat de integraal

ƒ 00^

- -- arg w iy)

--dy

1nbsp;y

convergent is.

Onze bedoeling is deze voorwaarde zoo te veranderen, dat
in het kriterium alleen de vorm van F voorkomt.

\') Zie: Lars älhfors : Untersuchungen zur Theorie der Konf. Abb.
nnd der ganzen Funktionen. Acta Societatia Scientiarum, Fennifae
(Helsingfors) 1930.

O

w-viai, oj= ILi-Vt

\\-viai, Ulfifi

Bewering: Er hestaat een ^wsitief getal C, zoodat voor
y^ C geldt, datnbsp;^ tusschen twee positieve con-

stanten A en B.

Bewijs: We stellen ^=i-\\-yji = logz

en 0} = U Vi — \\ogw
Uit het onderstelde volgt, dat met co van het 2-vlak corres-
pondeert het oneindig ver naar rechts liggend punt van de

strook I FI lt; 1quot;. We noemen deze strook H.
Voor ^ op de rechte tl = ^ geldt:

arg = arg . = 5nbsp;Bnbsp;=

« Cnbsp;d ünbsp;d\\og\\iv\\

d p

Uit de eigenschappen van F volgt:

\\

be-

TT

dp ,

grensde harmonische functie ^rg^- van ^ nadert op beide

randen van S voor ^ cc tot nul.

Derhalve geldt tweedimensionaal (stelling 1, hoofdstuk II):

arg-^-^-O voor
Hieruit kunnen we besluiten:

de bedden van genoegzaam ver naar rechts gelegen verticale
lijnen van S worden krommen, waarop de schommeling

van U zoo klein is als men wil.........(1)

Op O X geldt:

w\\

is afnemend en —, -gt; X.

\\z ^

Dus op de diameter van 8 geldt:

Z7 — I is afnemend als f toeneemt.
Als dus op die diameter f met 1 toeneemt, neemt U op
den duur met hoogstens 1 toe.

Hieruit kunnen we onmiddellijk besluiten:

A\' vast voor ^gt;cgt;0, = 0 . . (2)

Nu bevat H een strook i V\\lt;ih, /tgt; 0.
Deze strook beeldt zich af als een gebied Cr, gedefinieerd door
hllt;/(|) met 0lt;/(|)lt;/ii, -a;lt;|lt;oo,
ennbsp;voor

Onderwerpen we het gebied \\ V\\lt;h aan de gelijkvormig-
heidstransformatie

dan is het gedrag van het gebied G ten opzichte van de
strook Inbsp;analoog met het gedrag van het gebied H

a

ten opzichte van de strook 1| lt;
Hieruit volgt:

lt; B\'\\ Bquot; vast voor ^ gt; C2 gt; O, gt;^ = 0.

Dus ook: jjlt;B\', B\' vast voornbsp;gt;0, ^ = 0 . . (3)

Door combinatie van (1), (2) en (3) vinden we:
B\'quot; en A\'quot; va
en voor alle vj,

dus:

log«/

Hetgeen te bewijzen was.

Maar in verband met de vorm van T kunnen we hieruit
besluiten:

voor vgt;cgt;0.

logy

Ten slotte is dus het resultaat:

Er bestaan positieve getallen C, A en B, zoodat voor
ygt;C geldt:

B log V [y) lt;\\ogylt;A log v {y).
Met behulp van dit resultaat gaan we de voorwaarde voor
conformiteit op oneindig wijzigen.

We stellen: ^ — arg w (y) = (5 {y).

Er bestaat een positief getal C, zoodat voornbsp;geldt:

log y lt; log y lt; A log V.

Er bestaat een positief getal B, zoodat voor ?/gt; D geldt:

dOiy) .
^^ is negatief.

Dus bestaat er een positief getal E, zoodat voor E\'^ C
QXi E^ D aan beide voorwaarden wordt voldaan.

Noodig en voldoende voor conformiteit op oneindig is, dat

J —-- convergent is.

y

Zij Ngt;E, dan is:

i ^nbsp;jnbsp;(Zy

lt;\'A Ô (N) log v(N)-AÛ (E) log v(E)-A J\'^log v d Ù (//)

E

■\\-\\AÙ{E) \\ogv{E)-ô{E) \\ogE\\

fi^) a (y) (Iv

= A / —~—■ (constante, die onafhankelijk is van N) . . (1)

ƒ ^ ÖO^ y bù{N) log t; {N) - B Ù {E) log y {E) - B f\' log v dó (gt;/)
^ ^ i ■
-hlBâ(E) logv(E)-û (E) log! =

r (v) d V

= B I —---[-(constante, die onafhankelijk is van iV)\'. . . (2)

r(A-)

Conclusie: Als de afbeelding conform op oneindig is (a gt; 0),
dan is ƒ ^ ^^^ ^ begrensd voor alle N, dus ook wegens (2):

E

I - convergent.

Jnbsp;V

V(E)

Als f--convergeert, dan is volgens (Ij ook

Jnbsp;V

v{.E)

^^^ ^ ^ convergent, dus de afbeelding conform op on-

y

E

eindig (^gt;0).

Noodig en voldoende voor conformiteit op oneindig is
dus, dat

r°\'div)dv

I —— convergent is.
1

Maar O {v) = B tg - ~

^ \'nbsp;V V

Ten slotte vinden we dus:

Noodig en voldoende voor conformiteit op oneindig (x\'^ 0)
is, dat de integraal

ƒ ^^d v convergent is.
1

We geven ten slotte nog enkele voorbeelden van krommen,
waarbij de afbeelding conform op oneindig is.
Zij de vergelijking van het deel van F boven de Z-as

y = a;P

en zij F symmetrisch ten opzichte van de X-as, dan is de
integraal ,

co

yPdi/nbsp;^nbsp;. ,

J -—~ convergent voor gt; 1,

y

dus 2gt;0 voor 1.

Zoo vinden we:

y y

A = O bij X= —J ^--\' • • • ■

^ log y log y log2 y

waarin ^ O is.

\') Zie Valiron: Bulletin des Sciences mathétnatiques, 53, 1929 {Sur
un théorème de M. Jdlia, étendant le lenime de Sehtvarx, § 4.

• . i
- ■ f\' :

1

•\'ï ■■ ■

KS«.

v.\'

r \'- K • ■ ■

■ jj

■ A

Stellingen

- . v f\'

■ ■ ■ \' ..... ■ - • lt; ^ï«

ff

\'yr

icv

Si

Stellingen,

1.

De vraag, door P. Fatou gesteld, of er een holomorfe
functie f{z) binnen de eenheidscirkel bestaat, die bij radiale
nadering tot de cirkelomtrek in alle punten van de cirkel-
omtrek de waarde nul krijgt, terwijl f{z) niet identiek nul
is, moet ontkennend worden beantwoord.

P. Fatou: Acta mathematica, Band 30, blz. 393.

2.

De moderne theorie van de integraal van Poisson is van
veel belang voor de conforme afbeelding.

3.

De theorie van de begrensde machtreeksen vertoont groote
overeenkomst met de theorie van de mod. 2 t periodieke
meetbare begrensde functies bij de reeksen van Fourier.

4.

De stelling van P. Fatou over de randwaarde van de
geconjugeerde harmonische functie van de integraal van
Poisson blijft gelden, indien wordt verondersteld, dat de op
de eenheidscirkel gegeven begrensde sommeerhare functie
F{(p) in een interval {qp ^ lt;p — de eigenschap heeft,
dat \\\\mF{(p ±^) = 0.

P. Fatou, Acta Mathematica, Band 30.

5.

Het is gewenscht de metingen van Bengt Beckman over
de groote weerstandstoename van kwik in een magnetisch
veld boven het sprongpunt bij temperatuursdaling van
T=20°,3^ tot T=U°,hK te herhalen en uit te breiden
voor andere suprageleiders.

Comm. van Leiden, 132a, § 17.

6.

De chemische binding, opgevat als electrostatisch ver-
schijnsel, verklaart op bevredigende wijze de verschillen in
vluchtigheid der halogeenverbindingen van vele elementen.

7.

Tegen de opvatting, dat een Wolf-Rayet ster als eind-
product van een nova moet worden beschouwd, zijn bezwaren
aan te voeren.

De zoogenaamde logische bewijzen voor de eindigheid van
ruimte en tijd zijn onjuist.

Th. Moreüx: Les confins de la science et de la foi.

P. ApEii: Dio Überwinding des Materialismus.

9.

De schijnbare paradoxole moeilijkheden,die zich in de pro-
jectieve analytische meetkunde voordoen bij het bepalen van
het aantal figuren die aan gestelde eischen voldoen, worden
verklaard doordat men een stelsel vergelijkingen, tezamen
met een stelsel ongelijkheden moet oplossen.

10.

Het gebruik van de affiniteitsas ^1,2 geeft bij verschillende
constructies in de Beschrijvende Meetkunde geen voordeel.

wijdenes: Euclides, 7e jaargang 1930—1931, nquot;. 3.

1

■ Al..

ié^l